不等式への招待 第４章

>>171
　a,b,c を >>172 のようにおくと問題は、

(a,b,c) が鋭角△条件を満たすとき、
　pa + qb + rc ≦ M√{(a^+b^2+c^2)/2},
を満たすMの最小値を求めよ。

　(p,q,r) が鋭角△条件を満たすときは >>172 と同様な答となり、等号条件は a:b:c = p:q:r (相似) となる。
しかし >>171 のように (p,q,r) が鋭角△条件を満たさないときは、上記のような (a,b,c)は存在しない。

それぢゃぁ >>171 のように r - √(p^2 +q^2) = 2δ > 0 の場合はどうするか？
　(pa+qb)^2 = (p^2 +q^2)(a^2 +b^2) - (qa-pb)^2 ≦ (p^2 +q^2)(a^2 +b^2),
　pa + qb + rc ≦ √(p^2 +q^2)√(a^2 +b^2) + rc　　　(← コーシー)
　　　=　M{√(a^2 +b^2) +c}/2 - δ{√(a^2 +b^2) -c}　{← M = r + √(p^2+q^2)}
　　　≦ M{√(a^2 +b^2) +c}/2　　　　　　　　　　　　(← δ>0)
　　　≦ M√{(a^2 +b^2 +c^2)/2}, 　　　　　　　　　　(← コーシー)
等号成立は a:b:c = p:q:√(p^2+q^2) (直角��) のとき。

　参考書[3] の最初にもあるが、説明不足の希ガス。