不等式への招待 第２章

ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ…
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

不等式スレッド （前スレ）
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/l50

不等式の本
[1]　不等式、ハーディ・リトルウッド・ポリヤ、シュプリンガー、2003年
[2]　不等式、大関信雄・青木雅計、槇書店、1967年、絶版
[3]　不等式への招待、大関信雄・大関清太、近代科学社、1987年
[4]　不等式の工学への応用、海津聰、森北出版、2004年
[5]　不等式（モノグラフ４）、染取弘、科学新興新社、1990年

不等式の埋蔵地
[1]　Maths problems　http://www.kalva.demon.co.uk/index.html
[2]　IMOリンク集　http://imo.math.ca/

>>1 乙

類稀なる良スレの続編に期待しております。

【 Majorization Inequality 】
Jenzenの不等式の一般化らしい…。

http://www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, 4
http://www.math.ust.hk/excalibur/v6_n1.pdf Page.4

検索で、こんなサイトを発見した…。
もうそのまんま（笑）
見つけたばかりで、中は覗いてませんが…

JIPAM - Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics
http://jipam.vu.edu.au/index.php

中国不等式研究小組
http://zgbdsyjxz.nease.net/index1.htm

http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/

不等式発掘元サイトに追加。

>>1-5
good job !
日本には>>4のような不等式専門の研究サイトって、ここぐらいですか？

前スレの>>815の問題
a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

解答には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること
を証明なして使います。

解答前に、二つほど補題を示します

(1)
x^4+y^4=z^2には整数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には整数解が存在しない。

>>7
(1)
x^4+y^4=z^2には自然数解が存在しない。
(2)
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しない。
だな、突っ込まれる前に訂正(w

x^4+y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4+y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、zの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0,y_0の一方が奇数、他方が偶数であることがわかる。
x_0が奇数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

(x_0)^2=m^2-n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2+n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mod　4で考えるとmが奇数でnが偶数でなければならないことがわかる。

(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数

n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。

m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので

r^2=u^4+v^4となるが、z_0＞m≧rだから、z_0の最小性に反する。

よって示された。

x^4-y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと

x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合が起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2＞u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。

y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。

我ながら、書きまちがいが多いな
>>9の
＞(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
＞(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
は
(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
の誤りだった。

要するに>>7は、ab/2≧5であることを示せばよい

a^2+b^2=c^2を満たす有理数は
a=(s^2-t^2)(f/g)、b=(2st)(f/g)、c=(s^2+t^2)(f/g)とかけます。
sとtは互いに素で一方が偶数で他方が奇数
fとgは互いに素な整数。

ab/2=M(Mは自然数)とおくと、f^2*st(s^2-t^2)=M*g^2
f^2とg^2は互いに素ですから、Mがf^2で割り切れる。
M=f^2*N

st(s^2-t^2)=N*g^2

Nが平方数のとき
st(s^2-t^2)=(整数)^2
sとtとs^2-t^2は二つずつ互いに素なので、s、t、s^2-t^2が平方数となる。
s=x^2、t=y^2、s^2-t^2=z^2となるが
x^4-y^4=z^2の解が存在することになって、補題(2)に反する。

N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=g^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1　(mod　4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=g^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
よってs=u^2+v^2、t=2uv、r=u^2-v^2
(uとvは互いに素で、u、vの一方が偶数で他方が奇数)
t/2=uvが平方数より、u=x^2、v=y^2
x^4+y^4=z^2の解が存在することになって、補題(1)に反する。

N=2*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=2*(整数)^2
sが偶数でtが奇数と仮定すると、
(s/2)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡-1　(mod　4)だから不合理

sが奇数でtが偶数となるが、このとき
s(t/2)(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様の議論により、s、t/2、s^2-t^2が平方数となる。
r^2=s^2-t^2、s=z^2
よってs=u^2+v^2、t=2uv、r=u^2-v^2
(uとvは互いに素で、u、vの一方が偶数で他方が奇数)
t/2=uvが平方数より、u=x^2、v=y^2
x^4+y^4=z^2の解が存在することになって、補題(1)に反する。

風あざみぐっジョブ。問題はシンプルなのに、証明はひどく大変なんだな。
別解もありそうな気がするね。漏れは無理だ

pをp≡3　(mod　8)となる素数とする。
N=p*(平方数)のとき
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2
sがpで割り切れてtがそうではないと仮定すると、
(s/p)t(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs^2-t^2が平方数となるが、s^2-t^2≡r^2
{rt^(-1)}^2≡-1　(mod　p)だから不合理

s^2-t^2がpで割り切れると仮定する。
st{(s^2-t^2)/p}=(整数)^2
上と同様な議論により、sとtと(s^2-t^2)/pが平方数となる。
s=u^2、t=v^2
(u^2-v^2)(u^2+v^2)=p*r^2

u^2+v^2≡0　(mod　p)と仮定すると、{u*v^(-1)}^2≡-1　(mod　p)となって不合理だから
u^2-v^2≡0　(mod　p)
ここでu^2+v^2とu^2-v^2は互いに素だから、u^2+v^2は平方数
u^2+v^2=(r')^2、{(r')*u^(-1)}^2≡2　(mod　p)となって不合理

以上の議論より
st(s^2-t^2)=p*(整数)^2とかけるとき
tがpで割り切れてsがそうではないことがわかる。

(t/p)s(s^2-t^2)=(整数)^2
上と同様な議論によりs,t/p,s^2-t^2が平方数となるが、
s=u^2、t=pv^2、s^2-t^2=r^2
s=i^2+j^2、t=2ij、r=i^2-j^2
(i,jは互いに素で一方が奇数、他方が偶数)
iは奇数、jは偶数と仮定する。

u^2=i^2+j^2となるからi=k^2-h^2、j=2kh、u=k^2+h^2
kとhが互いに素で一方が奇数で他方が偶数。

kh(k^2-h^2)=p*v^2

ここでs＞j＞kよりkはsよりも小さいから

st(s^2-t^2)=p*(整数)^2のsの値がいくらでも小さくなることがわかる。

よって不合理

pをp≡3　(mod　8)となる素数とする。
N=p*(平方数)とはならないことがわかる。

>>13、>>15、>>17-18の議論より
Nの候補になりうるのは、N≧5しかない

よってM≧5が示され、ab≧10が示された。

グッジョブ
でも、あれ？？？　等号成立条件はどこ？

[前スレ.360(2)]
(D.D.Adamovic) m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

[前スレ.563(7)]
自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1
[前スレ.705]
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.

[前スレ.565(3)]
[1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
　tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

[前スレ.565(4)]
0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 　[類 ： 不等式への招待 P.39 ]

[前スレ.565(5)]
0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

[前スレ.791]
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B　∠C＞π/2を満たすとき、AB+BC+CA≧77を示せ。

[前スレ.811(1)]
1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
　0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。

[前スレ.908(3)] 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)

[前スレ.992] 「知られざる（？）コーシー・シュワルツの拡張形」 を積分に拡張した次式は成り立つか？
【予想】 区間 [a, b] で連続な実関数 f_1, …, f_m に対して
　[∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n

>>21
>　[∫[a, b](f_1(x))^n dx]…[∫[a, b](f_m(x))^n dx] ≧ [∫[a, b]f_1(x)…f_m(x) dx]^n

ただのヘルダー不等式
p_k > 1, Σ1/(p_k) = 1, f_k ∈ L^{p_k}(I) (k=1,2,...,m) ならば Π||f_k||_{p_k} ≧ ||Πf_k||_1
ただし、||・||_{p_k} は L^{p_k} のノルムを表す。
a_k > 0 ならば Σ((a_k)^(p_k))/(p_k) ≧ Πa_k からすぐ証明できる。

>21
【定理】 実関数 f_1, ……, f_n に対して
　{∫_[a,b] f_1(x)^n dx}……{∫_[a,b] f_n(x)^n dx} ≧ {∫_[a,b] f_1(x)……f_n(x) dx}^n
　(略証)
　「コーシー・シュワルツの拡張形」[前スレ989] で
　x(k,i) = f_k(a+(b-a)i/m)･�凅, �凅=(b-a)/m とおき、m→∞ とする。
　または、ヘルダーの不等式で p_k=n (k=1,2,…,n) とおく。
　等号成立は、k=2,･･･,n に対して f_k(x) = c_k･f_1(x) のとき.(終)
ぬるぽ

　m=n なら 成立
　m>n なら |b-a|→0　のとき凡例？
　m<n なら |b-a|→∞ のとき凡例？

【問題】[前スレ.387]
　f(x),g(x)は 0≦x≦1で連続とし、f(0)=0, f(x)>x, 0≦g(1)≦1 を満たし、
　f(x)/x, g(x)/x はともに狭義の単調増加であるとする。 このとき
　0<x<1 で f(g(x)) ≦ f(x)g(x)/x ≦ g(f(x)).
　を示してくださいです。〔Ralph P.Boas: Math.Magazine, Vol.５２(1979)〕

　題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・

　前スレをまだ保存してない方はドゾー↓　　サイズは 400kB ぐらい。
　　全部 → ﾌｧｲﾙ(F) → 名前を付けて保存(A) → Webページ,HTMLのみ → 保存(S)

>>24
>題名が "Inequalities for a collection", ヲタ君にぴったりな論文・・・

読みたい…
地方在住の負け犬一般人がその論文を読む方法ってありますか？
去年、地元の大学図書館である論文の取寄せを申請したら、
あんた学生じゃないですから、残念！って斬られましたが… ('A`)

他のスレからのコピーですが、質問してるわけじゃないので
マルチとか言うのは勘弁してください。

　3^k - 2^k + 2 < (2^k - 1)[(3/2)^k]
を満たさない k は有限個しかない。
全て求め、それが全てである事も示せ。

>>20
悪いが等号成立条件はよくわからん。
>>21
＞各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B　∠C＞π/2を満たすとき・・・
全く同じ問題がMathnoriにあるのだが、解答してもいいものだろうか。

>21
　n>m のときは　[23] で f_k(x)=1 (m<k≦n) とおくと
【系】 n>mのとき, 実関数 f_1, …, f_m に対して,
　{∫_[a,b] f_1(x)^n dx} …… {∫_[a,b] f_m(x)^n dx}･|b-a|^(n-m) ≧ {∫_[a,b]f_1(x)…f_m(x) dx}^n.

>>21
0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき
tan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1

まず、0≦(πsin x)/(4sin y)、(πcos x)/(4cos y)＜Π/2であることはOK
(πsin x)/(4sin y)＞Π/4または(πsin x)/(4sin y)＞Π/4の場合は
tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1

(πsin x)/(4sin y)≦Π/4かつ(πsin x)/(4sin y)≦Π/4の場合
0≦sin x≦sin y、0≦cos x≦cos y
sin x＜sin yまたはcos x＜cos yと仮定すると
1=(sin x)^2+(cos x)^2＜(sin y)^2+(cos y)^2=1となって不合理
よってsin x=sin y、cos x=cos y、したがってtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}=2＞1

>>29の5行目の
＞tan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1
はtan{(π sin x)/(4 sin y)}＞1あるいはtan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1だからtan{(π sin x)/(4 sin y)}+tan{(π cos x)/(4 cos y)}＞1は明らか
ということ。

>21
　(左辺) ≧ tan[π/(2√3)] = 1.278171491830440… を示す。
　まず π/(2√3) = 0.90689968211711… = α とおく。
　x=y のとき、左辺 = 2 > tanα.
　x<y の場合を考える。［y<x の場合も F(x,y)=F(π/2 -x,π/2 -y)なので同様にできる。]
　左辺 を x/y の函数で評価するのがミソ(補題1,2)。次に補題3より
　(左辺) ≧ tan(πx/4y) + tan{α･cos(πx/6y)} = tan(3u/2) + tan{α･cos(u)} ≧ 3u/2 + tan{α･[1-(1/2)(u^2)]}.
　ここに πx/6y =u とおいた。 0<u<π/6 = 0.5235987756… 補題4より、
　(左辺) ≧ 3u/2 + tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2 = tan(α) + u(3/2 -1.194260986681u) ≧ tan(α), 等号成立はx=0,y=π/6.
ぬるぽ

【補題1】
　0≦x<y<π/2 のとき 1 > sin(x)/sin(y) > x/y.
　(略証) sin( ) は上に凸だから、(平均変化率)= {(0,0)−(x,sin(x))の傾き} = sin(x)/x は単調減少。∴ sin(x)/x > sin(y)/y.
【補題2】
　　0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 cos(x)/cos(y) ≧ cos(cx/y)/cos(c) > 1.
　(略証) (y +cx/y) - (c+x) = (y-x)(1 -c/y) ≧0.
　　　　　(y -cx/y) - (x-c) = (y-x)(1 +c/y) ≧0, (y -cx/y) - (c-x) = (y+x)(1 -c/y) ≧0
　　　　　∴ |y-cx/y| ≧ |x-c|.
　　∴ 2cos(y)cos(cx/y) = cos(y+cx/y) + cos(y-cx/y) ≦ cos(c+c) + cos|x-c| = 2cos(c)cos(x). 等号成立は y=c または x=y.
【補題3】
　　u>0 のとき cos(u)>1 -(1/2)u^2.　　（← -cos(u)<-1 を2回積分）
【補題4】
　　0<α,α+θ<π/2 のとき tan(α+θ) ≧ tan(α) + θ/[(cosα)^2]. （←tan()は下に凸）

>29-30
　0<y<x ⇒ sin(x)/sin(y) >1 ⇒ 左辺第1項 >1.
　0<x<y ⇒ cos(x)/cos(y) >1 ⇒ 左辺第2項 >1.

[31] は [前スレ.565(3)] の別解でつ。。。
　0≦x≦π/2、π/6≦y≦π/3 のとき、tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} ≧ tan(α)
　等号成立は (x,y)=(0, π/6)、(π/2, π/3) のとき。
スマソ。

ソボレフの不等式のような積分に関する不等式ｷｳﾞｫﾝﾇ

>6
　あったYo（但しカキコするには登録が必要．．．）
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1096116444/
　http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1

>3
2つの単調減少列 {a_i},{b_i} について
　Σ[i=1,n] a_i ＝ Σ[i=1,n] b_i
　Σ[i=1,k] a_i ≧ Σ[i=1,k] b_i　　（k=1,2,…,n-1)
のとき　aゝb と書いて、a は b の優数列である(a majorizes b)とか言うらしい。（[1]の参考文献3）
(a) はばらつきが大きく、(b)は揃っている？

【使用例】(ムーアヘッドの不等式)
　aゝb ならば Σ[sym] x^a_1･y^a_2… ≧ Σ[sym] x^b_1･y^b_2…

http://planetmath.org/encyclopedia/MuirheadsInequality.html

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=46

我ながら、書きまちがいが多いな...
>23
　　x(k,i) = f_k(a+i�凅)･�凅^(1/n).

>31
　　∴ y -cx/y ≧ |x-c|.
　　∴ ･･････ ≦ cos(x+c) + ･･････
【補題3】
　　･･･････　　（← -cos(u)>-1 を2回積分）

　　　　　 ∧＿∧
　　　　　（ ´Д｀ ） 　　 まことに
　　　　 /　　　　 ヽ
　　　　 し､__X__,ﾉJ

　 　 　 /´⌒⌒ヽ
　　　　ｌ⌒ 　 　⌒ｌ 　　すいませんでした。
　　　⊂ （　　　） ⊃
　　　　　 V￣V

>35 (ムーアヘッドの定理)に追加
　Σ[sym] はすべてのx,y,…の入替えについて和をとる意味。
　G.H.Hardy, J.E.Littlewood and G.Polya: "Inequalities", 2nd ed., Cambridge University Press(UK), §2.18 and §2.19, 原著p.44-48 (1988)
　http://mathworld.wolfram.com/MuirheadsTheorem.html
"Encyclopedia"のCD-ROM版にもある...
　http://www.itu.dk/edu/documentation/mathworks/
　http://icl.pku.edu.cn/yujs/MathWorld/math0.htm

>>35 なるへそ！ ﾍﾞﾘｨｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！

[前スレ.871(1)]
　x,y,z,n≧0 のとき　F_n = (x-y)(x-z)x^n +(y-x)(y-z)y^n +(z-x)(z-y)z^n ≧0.

は、シュプリンガーの『不等式』にある定理80でつね。[前スレ.874]で解決.

（参考書）
〇厨房、工房向け
　眉村 卓：「白い不等式」(秋元文庫) 秋元書房, 文庫本/206p, (1978.6) \273
　眉村 卓：「白い不等式」(角川文庫) 角川書店, 文庫本/214p, (1981.4) \273

〇大人向け
　植木不等式：「悲しきネクタイ」地人書館, 新書判/247p, 4-8052-0518-0 (1996.10) \1050
　植木不等式：「悲しきネクタイ」日本経済新聞社, 文庫本/284p, 4-532-19078-9 (2001.8) \630
　　　　〜企業環境における会社員の生態学的および動物行動学的研究〜（日経ビジネス人文庫）
　植木不等式：「こころが疲れたら読む世紀末おとぎ話」 大和書房, B6判/237p, 4-479-39056-1, (1997.10) \1470
　　　　〜トンデモ童話20選〜
　植木不等式監訳、マーク・ミナシ著：「いつまでバグを買わされるのか」ダイヤモンド社, 四六判/346p, 4-478-37296-9 (2000.9) ￥2415
　　　　〜平気で欠陥商品を売る業界の内幕〜

単純な質問なんですが、
|x^2-3|≧x
の解を教えてください。
できれば解説(有)で。
お願いしますm(_ _)m(_ _)m

また荒れ始めたな…。
スレが活性化すると荒らしも多くなる。

　　　　∧__∧
　　　 (｀･ω･´)　馬鹿はとっとと消え失せぇぃ！
　　　.ノ^　yヽ、
　　　ヽ,,ﾉ==l ﾉ
　　　　/ 　l |
"""~""""""~"""~"""~"

[31]の方針
　(左辺)=F(x,y) とおき、
　0≦x≦y　⇒　F(x,y) ≧ F(cx/y,c) ≡ F(u,c) ≧ F(0,c) = tan(α).
　を示す。ここに c≡π/6、α≡π/(2√3).

>40
　x ≦ (√13 -1)/2 = 1.302775638…, 2.302775638… = (√13 +1)/2 ≦ x.

>>24
f(x)が増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)が増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。

>>44の訂正
f(x)/xが増加関数だから、 f{g(x)}/g(x)≦f(x)/x
g(x)/xが増加関数だからg(x)/x≦g(1)/1≦1ゆえに、 g(x)/x≦g{f(x)}/f(x)
よって f{g(x)}≦{f(x)g(x)}/x≦g{f(x)}となる。

>>20
等号成立条件
a=3/2、b=20/3、c=41/6のときa^2+b^2=c^2かつab=10となる。

>3,35
絡まった不等式??
　[1]の参考書3の最後の方
　http://www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, 左中央

絡まった不等式
　http://www.artofproblemsolving.com/Forum/topic-14975.html
　http://www.srcf.ucam.org/~dl267/writeups/MajIneq.pdf

↓からも入れるらしい....
　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-32.html
　http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=19962

和書にないかなかと、カタカナで探してみた。

統計科学の最前線
http://www1.ocn.ne.jp/~kup/sinkan/805toukei.html
　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　>3、>>35-36、>>47-48
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

実数x,正整数nに対し
Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}≦2√π

Majorization Inequality なんて初耳だったし、
Ho:lderの不等式なんか証明の仕方を忘れてるのに
平気で使っている横着な自分に気がついた。

それで、三角不等式とか相加相乗などの基本から始めて
証明をつけながら一つ一つまとめてる最中だけど、全然進まない。
相加相乗は、証明の別解が多すぎて後回しにしてるし…。

いま Jensenの不等式をまとめてて、積分形があるのを知った。
しかし証明が載ってない…　　（参考文献[2] 第７章 P.187-）
　 il||li _|￣|○ il||li

区間 [α,β] の凸関数 f(x) と、
区間 [a, b] で連続な a(x)、φ(x) が α≦a(x)≦β、φ(x)>0 をみたすとき、
{∫[a, b]a(x)f(φ(x))dx}/{∫[a, b]a(x)dx} ≧ f({∫[a, b]a(x)φ(x)dx}/{∫[a, b]a(x)dx})

参考文献[3] P.125 Karamataの不等式 について、しょうもない疑問。

Karamata って人名？ 地名？
検索すると、ギリシャのプロポネソス半島の南端の 町の名にカラマタってのがあるらしい。

>50
　左辺を f_n(x)、その最大値を M_n とおく。
　(1) M_nはnについて単調増加.
　(2) n→∞ のとすると f_n(x) は各点で収束するが、[0,π]で一様収束ではない。
　　　｛極限 は f(x)=(π-x)/2 (0<x<2π), f(0)=0 ｝
　(3) M_nの上限は G '= Si(π) = ∫_[0,π] sin(x)/x dx = 1.85193705198245...

(1の略証)
　M_1 = f_1(π/2) =1.
　M_2 = f_2(π/3) =(3/4)√3 >1.
　x≠2mπ (mは整数)のとき
f_n '(x) = Σ[k=1..n] cos(kx) = Σ[k=1..n] {sin[(k+1/2)x] - sin[(k-1/2)x]}/[2sin(x/2)]
　= {sin[(n+1/2)x] - sin(x/2)}/[2sin(x/2)] = cos[(n+1)x/2]sin(nx/2)/sin(x/2).
　|f_n| が極大（or停留値）になるのは cos[(n+1)x/2]=0 すなわち x_k=(2k+1)π/(n+1) のとき。
　|f_n| が最大となるx_k を X とおくと、sin[(n+1)x_k]=0 より, M_n = f_n(X) = f_{n+1}(X) < M_{n+1}.
　(注) x0 = π/(n+1), (2n+1)π/(n+1).

あとは任せた。

http://mathworld.wolfram.com/Wilbraham-GibbsConstant.html

[43] の方針ならば
　(左辺) ≧ tan((π/2)sin(u)) + tan{α･cos(u)} = F(u,c) ≧ tan(u) + tan{α･cos(u)}
　　　≧ u + tan{α[1-(1/2)(u^2)]} ≧ u +tan(α) -(1/2)α(u^2)/[cos(α)]^2
　　　= tan(α) +(1-1.194260986681u)u ≧ tan(α).
となる。

【補題1】
　　0≦x<y かつ c<y≦ (π/2)-c のとき、 sin(x)/sin(y) > sin(u)/sin(c), u≡cx/y.
　(略証)　0<k<1, 0<y<π/2 のとき
　　{sin(ky)/sin(y)} ' = [k･tan(y)-tan(ky)]cos(ky)cos(y)/[sin(y)^2] ≧0.
　　∴ sin(ky)/sin(y) はyについて単調増加。
　　∴ sin(x)/sin(y)> sin(cx/y)/sin(c) = sin(u)/sin(c).

>>50訂正
実数x,正整数nに対し
|Σ[k=1..n]{sin(kx)/k}|≦2√π

閑散としたスレに不等式ヲタ降臨！
主に下のサイトから発掘 （書き間違いがあったらゴメソ）
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/

　　　　　�凵@　　　　○　　　∇　、＿＿＿,､´｀ﾞ；~､　　';冫　☆
　　　　　　　　　　　┏　 ━ゝヽ''／　　≧　＼━〆Ａ!ﾟ━━┓。
　╋┓"〓┃　 ＜　ゝ＼',冫｡'　|:::: 　＼ .／　|゛△│´'´,.ゝ'┃.　　　　　 ●┃ ┃┃
　┃┃_.━┛ヤ━━━━━━|::::: (●　(● |━━━━━━━━━　　━┛ ・　・
　　　　　　　　∇ 　┠─Σ-　　ヽ::::... .ワ.....ノ　　冫　そ',´; ┨'ﾟ,。
　　 　 　 　 　 .。冫▽　＜　　 ⊂ 　 　　./⊃　　　　 乙　　≧　　　▽
　　　　　　　　　。　┃　　 Σ　　 （⌒ゞ　,l,　､'' 　│ 　 て　く
　　　　　　　　　　　┠─ム┼ 　　ゝ,,ﾉ　ﾉゝ.　､,,　.┼ ｧ　Ζ┨　ミｏ''｀
　　　　　　　　　。､ﾟ`。､　　　i／　　　レ' o。了　､''　×　 个ｏ
　　　　　　　　○　 ┃ 　　`､,~´＋√ ▽　 　',!ヽ.◇　 　　ｏ┃
　　　　　　　　　 　 ┗〆━┷　Ｚ,.'　/┷━''ｏ ヾｏ┷+＼━┛,゛；
　　　　　　 ヾ　　　�凵@　　　　　　　　　　　　　　'、´　　　　∇

【問題Ａ】正の数 a, b, c, d, e に対して、次の不等式を示せ。

(1) 4a+5b+6c ≧ 3√(ab) + 7√(bc) +5√(ca)

(2) a+b+c=1 のとき、
　(ab)^(5/4)+(bc)^(5/4)+(ca)^(5/4) < 1/4

(3) a^2+b^2+c^2=1 のとき、
　1/(a^2) +1/(b^2) +1/(c^2) ≧ 3 + 2(a^3+b^3+c^3)/(abc)

(4) a+b+c=3, abc=1 のとき、
　ab/[(a^2+b)(a+b^2)] + bc/[(b^2+c)(b+c^2)] + ca/[(c^2+a)(c+a^2)] ≦ 3/4

(5) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 ≧1 のとき、
　a^2/(b+c+d) + b^2/(c+d+e) + c^2/(d+e+a) + d^2/(e+a+b) + e^2/(a+b+c) ≧ √5/3

【問題Ｂ】三角形ABCにおいて、次の不等式を示せ。

(6) (sinA + sinB + sinC)^2 ≦ 6(1 + cosA・cosB・cosC)

(7) 外接円、内接円の半径を R, r とおくとき、(cos{(B-C)/2})^2 ≧ 2r/R

(8) (sinA)^2/A + (sinB)^2/B + (sinC)^2/C の値を求めよ。

(1) Hungary 2005.1
(2) Crux M146 (30n4)
(3) Crux 2532 (26n3)
(4) Crux M137 (30n2)
(5) Crux 3001 (31n1)
(6) Crux 2676 (27n7)
(7) Crux 2382 (24n7)
(8) Crux 2190 (22n8)

【問題Ｃ】久々にネタ投下。しょぼいですが… (´д｀；)ｶﾞｸﾌﾞﾙ

(1) 自然数 m, n に対して、(m+n)!/(m!) ≧ (m+1)^n

(2) 実数 a, b が a-b=1 をみたすとき、a^3-b^3 ≧ 1/4

(3) 0 < θ < π/2 において、sinθ+tanθ > 2θ

(4) x, y >1 のとき、log((x+1)/(x-1))*log((y+1)/(y-1)) ≧ [log((x+y+2)/(x+y-2))]^2

(5) 0 ≦ a_k <1 が, a = √( [(a_1)^2 + … + (a_n)^2]/n ) ≧ 1/√3 をみたすとき、
　(a_1)/[1-(a_1)^2] + … + (a_n)/[1-(a_n)^2] ≧ na/(1-a^2)

(6) Fibonacci数列 F(n) に対して、(Σ[k=1 to n]F(k+1)^2)(Σ[k=1 to n]1/F(2k)) ≧ n^2

【問題Ｄ】気分転換に等式の証明とか…

(7) C[n,k] を二項係数とする。a_k = 1/C[n,k], b_k = 2^(k-n) に対して
　Σ[k=1 to n] (a_k)/k = Σ[k=1 to n] (b_k)/k

(8) nは3の倍数でない自然数とする。
n次実正方行列 A, B, C が A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA をみたすとき、
　det(AB+BC+CA-AC-CB-BA)=0

(9) 2xy/(x+y) + √[(x^2+y^2)/2] = √(xy) + (x+y)/2 の実数解の組をすべて求めよ。

(1) 参考文献[4] P.15　　 (2) Crux M127 (30n1)
(3) Crux 2585 (26n7) 　　(4) Crux 233 (29n4)
(5) Crux 3001 (30n7) 　　(6) Crux 2955 (30n5)
(7) Hungary 3771　　　　　(8) Crux 2998 (30n8)
(9) Crux 2268 (23n6)

>>4に追加。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

MIA Journal
http://www.mia-journal.com/

みなさん、The Cauchy-Schwarz Master Class は買いましたか？

>57
（問題Ａ）
(1) 3･(a+b)/2 ≧ 3･√(ab)
　　7･(b+c)/2 ≧ 7･√(bc)
　　5･(c+a)/2 ≧ 5･√(ca)
　辺々たす。

(3)　a^2 +b^2 +c^2 =T のとき、 x^2 +y^2 ≧ 2xy より
　　(左辺)･T = 3 + (a^2){(1/b)^2 +(1/c)^2} +(b^2){(1/c)^2 +(1/a)^2} +(c^2)/{(1/a)^2 +(1/b)^2}
　　≧ 3 +(a^2)(2/bc) +(b^2)(2/ca) +(c^2)(2/ab) = 3 +2(a^3 +b^3 +c^3)/(abc) = (右辺).

(4) a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、 t≦√(3su).
　　(略証) 　t^2 -3su = [(a^2)(b-c)^2 +(b^2)(c-a)^2 +(c^2)(a-b)^2]/2 ≧0.
　　(b +a^2)(a +b^2)/ab = 1 +(a^3 +b^3)/ab +ab ≧ 1 +(a+b) +ab = (1+a)(1+b).
　　(左辺) ≦ 1/[(1+a)(1+b)] +1/[(1+b)(1+c)] +1/[(1+c)(1+a)] = (3+s)/[(1+a)(1+b)(1+c)] = (3+s)/(1+s+t+u)
　　≦ (3+s)/[1+s+√(3su) +u].

（問題Ｂ）
(6) {sin(A) +sin(B) +sin(C)}^2 ≦ 3{sin(A)^2 +sin(B)^2 +sin(C)^2}
　　= 3{3 -cos(A)^2 -cos(B)^2 -cos(C)^2} = 6{1 +cos(A)cos(B)cos(C)}.
ぬるぽ

>58
（問題Ｃ）
(1) m≧0, 自然数n に対して, 左辺 = Γ(m+n+1)/Γ(m+1) = (m+1)(m+2)……(m+n) ≧ (m+1)^n = 右辺.
　等号成立は n=1 のとき。
(2) a-b=d>0 とする。 a^3 -b^3 =(a-b)(a^2 +ab +b^2) = d･{3(a+b)^2 +d^2}/4 ≧ (1/4)d^3.
　等号成立は a+b=0 のとき。
(3) いつものように tan(θ/2) =t とおくと t>0.
　左辺 = 2t/(1+t^2) +2t/(1-t^2) = 4t/(1-t^4) > 4t = 4tan(θ/2) > 4(θ/2) = 2θ.

（問題Ｄ）
(9) (x+y)/2 - 2xy/(x+y) = (x-y)^2 /[2(x+y)] = (x-y)^2 /[2f(x,y)].
　√[(x^2+y^2}/2] -√(xy) = (x-y)^2 /{2√[(x^2+y^2)/2] +2√(xy)} = (x-y)^2 /[2g(x,y)].
　∴ (左辺)-(右辺) = (x-y)^2 {1/g(x,y) -1/f(x,y)}.
　一方、 f(x,y)^2 -g(x,y)^2 = (x+y)^2 -[(x^2+y^2)/2] -(xy) -2√[xy(x^2+y^2)/2]
　= (1/2){(x+y)^2 -4√[xy(x^2+y^2)/2]} = (1/2)(x-y)^4 /{(x+y)^2 +4√[xy(x^2+y^2)/2]} ≧0.
　等号成立は x-y=0 に限る。
ぬるぽ

>58(4)
　x>1 に対して f(x) = log{log[(x+1)/(x-1)]} とおくと、
　g(x) = exp{f(x)} = log[(x+1)/(x-1)] = -log[(x-1)/(x+1)] = -log[1 -2/(x+1)] > 2/(x+1) > 1/x.
　f "(x) = {2/[(1-x^2)g(x)]}^2･[x･g(x)-1] >0　ゆえ f( )は下に凸.
　∴ f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).

訂正、スマソ↓
>61(4) ab+bc+ca=t とすると、t≧√(3su).
>62(1) 自然数mに対しては Γ(m+1) = m!
>62(3) tan(θ/2) =t とおくと 0<t<1.

>57(2)
　a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると(注)により、
　(左辺) ≦ (ab+bc+ca)(√s)/2 +［ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/(4√s)
　　　≦ (1/6)s^(5/2) +(1/14)s^(5/2) = (5/21)s^(5/2).

(注)　ab+bc+ca = {2(a+b+c)^2 -(a-b)^2 -(b-c)^2 -(c-a)^2}/6 ≦ (1/3)s^2.
　　　ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = (1/7){2[(a+b+c)^3 -6abc]-(a-b)(a^2-b^2)-(b-c)(b^2-c^2)-(c-a)(c^2-a^2)} ≦ (2/7)s^3.
ばらばらで、スマソ。

>>61-64
早っ！ 激乙です。
俺もすらすら解けるようになりたい… (ノ∀`)

参考文献[2] P.188の一番下

区間 [a, b] で連続な関数 f(x), g(x)≧0 に対して、p≧1 のとき
　∫[a, b] {f(x)}^p dx + ∫[a, b] {g(x)}^p dx ≧ ∫[a, b] {f(x)+g(x)}^p dx
は、どうやって証明するんでせうか？
たのも〜。

>66
　p=1 ならば 等号成立。
　p>1 のとき f^p + g^p = f･f^(p-1) + g･g^(p-1) < f･(f+g)^(p-1) + g･(f+g)^(p-1) = (f+g)^p.

>58(6)
　次の補題より、相加・調和平均に持ち込む。便宜上、F(0)=F(2)-F(1)=0 とした。

【補題】 F(2n) = F(n+1)^2 -F(n-1)^2.
（略証）nに関する帰納法による。
　n=1 のとき F(2x1) = 1 = 1^2 - 0^2 = F(2)^2 - F(0)^2.
　n=2 のとき F(2x2) = 3 = 2^2 - 1^2 = F(3)^2 - F(1)^2.
　n=3 のとき F(2x3) = 8 = 3^2 - 1^2 = F(4)^2 - F(2)^2.
　n-1,n に対しては成立したとする。このとき
　　F(m+2) = F(m+1) +F(m) = 2F(m) + F(m-1) = 3F(m) -F(m-2)　…(*)より
　　F(2n+2) = 3F(2n) -F(2n-2) = 3{F(n+1)^2 -F(n-1)^2} -{F(n)^2 -F(n-2)^2}.
　　これに、F(n+1) = F(n+2) - F(n),
F(n-1) = F(n+1) -F(n) = F(n+2) -2F(n),
　　　　　　F(n-2) = 3F(n) -F(n+2)　　…(*).
を代入して F(n) と F(n+2) で表わせば、求める式が出る。(終)

　よって、(左辺) ≧ {Σ[k=1,n] 1/Ｆ(2k)}{Σ[k=1,n] Ｆ(2k)} ≧ n^2.

　（系） F(2n) = F(n){F(n+1)+F(n-1)} は F(n) で割り切れる。
ぬるぽ

>>67
なるへそ。
不等号の向きが逆だったんですね。
�d�dｸｽ！

x>0, y>0, z>0, x^4+y^4+z^4=1 のとき
(x^3)/(1-x^8) + (y^3)/(1-y^8) + (z^3)/(1-z^8)
の最小値を求めよ

>70
　f(x) = x^3 /(1-x^8),　x0=1/[3^(1/4)], x/x0 =X,
　M = f(x0) = (9/8)[3^(1/4)] = 1.48058326… とおくと、
　f(x) - M･x^4 = {1 - M[3^(1/4)]x(1-x^8)}(x^3)/(1-x^8)
　　= {1-(9/8)X(1-(1/9)X^2)}(x^3)/(1-x^8) = (1/8)(8-9X+X^9)(x^3)/(1-x^8)
　　= (1/8)(1-X)^2･{Σ[k=0,7] (8-k)x^k}(x^3)/(1-x^8) ≧ 0.
　等号成立は X=1, x=x0=0.75983568 … のとき。
　∴ (与式) = f(x) + f(y) + f(z) ≧ M(x^4+y^4+z^4) = M = 1.48058326 …
ぬるぽ

(訂正)、スマソ。
　M = f(x0)/(x0^4) = …

(補足)
　X≧0　⇒　X^n - nX +(n-1) = (X-1)^2 {Σ[k=0,n-2] (n-1-k)X^k} ≧0.

x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0 が実根を持つならば、a^2+b^2≧8

ココで出題した問題が、yahoo（>>34）のprime_132 にコピペされているな・・・
不等式ヲタの苦労が水の泡ってところか・・・

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=ldbja4rbdpa47a4a2a4a4a4dea47a4ga4a6&sid=1835554&mid=974

>73
　左辺を平方完成(?)すると、
　x^4 +ax^3 +2x^2 +bx +1 = (x^2)(x +a/2)^2 +{(8 -a^2 -b^2)/4}x^2 +(bx/2 +1)^2.
ぬるぽ

>21
[前スレ.565(4)]
　無限乗積表示 sin(πx) = πx･Π[k=1,∞) {1-(x^2)/(k^2)} を使ってみますた。(牛刀
かも)
　f(x^2) = log|sin(πx)/πx| - a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)}　(0≦a≦1) とおくと、
　f(y) = Σ[k=1,∞) log[1 -y/(k^2)] -a･{log(1-y) -log(1+y)}, f(0) = 0.
　f '(y) = -Σ[k=1,∞) 1/(k^2 -y) +a･{1/(1-y) +1/(1+y)}.
　　　　　= -Σ[k=2,∞) 1/(k^2 -y) -(1-a)/(1-y) +a/(1+y)　:単調減少(fは上に凸).
　f '(y) < f '(0) = -ζ(2) +2a = -(π^2)/6 + 2a.

　(i)　a=1 のとき 上に凸で f(0)=f(1)=0 だから |x| <1 で f(x^2)>0.
　(ii)　a≦(π^2)/12 = 0.82246703… のとき f '(0)<0 ∴ f'(x^2)<0, f(x^2)<0.
　∴ log(1-x^2) -log(1+x^2) < log|sin(πx)/πx| < a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)}.
ぬるぽ

( ﾟ∀ﾟ) ｳﾋｮｯ！
そこに痺れる憧れるぅ〜

【Johnstonの不等式】
a_1, …, a_n の相加平均をA、相乗平均をBとする。
0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 G^(Q-P) ≧ P^(Q-A)・Q^(A-P)

　　∧_∧　ｯﾊﾟｼｬ　ｯﾊﾟｼｬ
　　(　　 )】
　　/　 /┘ ﾑｯﾊｧ〜 ﾊｧﾊｧ…
　ノ￣ゝ 　

>78
P= a_k =Q のときは等号成立。
P<Q のとき {Ln(Q)-Ln(P)}/(Q-P) =Ｃ とおく。 Ｃ>0.
　Ln( )は上に凸だから、
　a_k≠P に対して {Ln(a_k) - Ln(P)}/(a_k -P) > Ｃ, Ln(a_k) - Ln(P) > (a_k -P)Ｃ.
　k=1 to n について加えてnで割ると Ln(G) - Ln(P) > (A-P)Ｃ ……(1).
　a_k≠Q に対して Ｃ > {Ln(Q) - Ln(a_k)}/(Q -a_k), (Q -a_k)Ｃ > Ln(Q) - Ln(a_k)
　k=1 to n について加えてnで割ると (Q-A)Ｃ > Ln(Q) - Ln(G) …… (2).
　(1)(2)からＣを消去して真数をとれば、求める式が.....
ぬるぽ

x(1)=2, x(n+1)=x(n)^2-x(n)+1 (n≧1) のとき
1-1/2^(2^(n-1)) < Σ[k=1..n](1/x(k)) < 1-1/2^(2^n)

>80
漸化式から 1/x(k) = 1/{x(k)-1} -1/{x(k+1)-1}.
　∴ (中辺) = Σ[k=1,n] 1/x(k) = 1/{x(1)-1} -1/{x(n+1)-1} = 1 -1/{x(n+1)-1}.
　ここで次の(補題)を用いると、
　1 -1/{2^[2^(n-1)]} ≦ Σ[k=1,n] 1/x(k) < 1 -1/{2^(2^n)},　(等号はn=1).

（補題） n≧1 ⇒ 2^{2^(n-1)} ≦ x(n+1) -1 < 2^(2^n) -1,　(等号はn=1).
　(略証) nについての帰納法による。
　n=1 のとき 2 = x(2)-1 < 4-1 で成立。あとは簡単(終).
ぬるぽ

[1]
a(k)∈(0,π/2), k=1,2,3,4, Σa(k)=π のとき
Σ{(√2)*sin(a(k))-1}/cos(a(k))≧0

[2]
z(k)∈C, k=1,2,...,n, Σ|z(k)|=1 のとき
|Σ[z∈S]z(k)|≧1/6 を満たす S⊆{z(1),z(2),...,z(n)}
が存在する

【問題 11127】 ('A`) なす術なし…
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-01-jan05.pdf

>>82([2])
{1, 2, ..., n}を(arg z(k))*2/π（ただしargは[0, 2π)の範囲に取る）の整数部分によって
4つの集合S_0, S_1, S_2, S_3に分ける。
いずれかのjについて�農{k∈S_j}|z(k)|≧1/4が成り立つ。
k∈S_jならばarg' z(k)i^{-(j+1/2)}∈[-π/4, π/4)（arg'は[-π, π）の範囲に取った偏角）であることより
　|�農{k∈S_j}z(k)|
=|�農{k∈S_j}z(k)i^{-j}|
≧Re �農{k∈S_j}z(k)i^{-j}
≧�農{k∈S_j}|z(k)|cos(π/4)
≧1/(4sqrt(2))>1/6。

<<OVER KILL>>

>>82 Mathnoriに載ってたんだが。

m(>1)次元ユークリッド空間上のn個の点x(i)=(x(i,1) , x(i,2) , … , x(i,m))　が
Σ[i=1〜n] |x(i)| =1　を満たすならばn個の点から適当にいくつか選び、
それらをy(1),y(2),…,y(k)とすれば
|Σ[i=1〜k] y(i)|≧Γ(m/2)/(2sqrt(π) Γ((m+1)/2))
とすることが可能である。

---

MathNori回答者（つか俺）の答案からコピって来た。

>85
m=1 のとき
　x(k)の符号により二類に分ける。
　x(i)>0 の和を S(+)=Σx(i)=Σ|x(i)|, x(j)<0 の和を S(-)=Σx(j)=-Σ|x(j)| とすると、
　|S(+)| + |S(-)| = Σ[k=1,n] |x(k)| =1.
　∴ |S(+)| ≧1/2 または |S(-)| ≧1/2.
m>1 のとき
　ある向き(e↑)の成分を考えて、1次元に帰着させる。
　e↑∈Ω(m), ここに「超球面」Ω(m)={e↑∈R^m | ‖e‖=1 }, |Ω(m)|=�電ω= {2/Γ(m/2)}π^(m/2)
　いま、f(e↑) = Σ[k=1,n] |(e↑･x(k)↑)| = Σ[k=1,n] |cosθ(e,k)| ‖x(k)‖ とおき、
　あらゆる向きのe↑について平均すると、<|cosθ|> を外へ出すことができ、
　<f(e↑)> = �吐(e↑)dω/|Ω(m)| = <|cosθ|>･Σ[k=1,n]‖x(k)‖ = <|cosθ|> = Γ(m/2)/{Γ((m+1)/2)√π}.
　∴ f(e_1) ≧ <|cosθ|> となるような e_1 をとることができる。
　以下m=1のときと同様にして |S|≧(1/2)<|cosθ|> が出る。
ぬるぽ
　(例) m=1 のとき |S|≧1/2, m=2のとき |S|≧1/π, m=3のとき |S|≧1/4.

http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html

定数nに対し、項数kの自然数列
1≦a(1)＜a(2)＜…＜a(k)≦n
を考える。この数列をどの二項の和( a(i)+a(j) )
も平方数にならないように定め、kを可能な限り大きくしたとき、
11n/32≦k＜n/2 　を示せ。

訂正
11n/32≦k 　を示せ。

【78の類題】
正の数 a_1, …, a_n の相加平均をA、調和平均をH とする。
　0 < P ≦ a_k ≦ Q のとき、 H ≦ PQ/(P+Q-A).

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=107

[89]写し間違い、スマソ.
H ≧ PQ/(P+Q-A).

　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ >>89-90
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

分かスレにありますた。

nを自然数とし,
A_n(x) = {cos(2x)}^(n/2),　B_n(x) = {cos(x)}^(2n) - {sin(x)}^(2n) とする。
0<x<π/4 において A_n(x) と B_n(x) の大小を比べよ。

分かスレ２０３
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1108110312/4,84

逆数の相加平均は調和平均の逆数で
逆数の相乗平均は相乗平均の逆数なので
>>78から
　（１／Ｇ）＾（１／Ｐ−１／Ｑ）
≧（１／Ｑ）＾（１／Ｐ−１／Ｈ）（１／Ｐ）＾（１／Ｈ−１／Ｑ）。
　（Ｐ／Ｑ）＾（ＰＱ／Ｈ）
≧Ｇ＾（Ｑ−Ｐ）Ｐ＾ＰＱ＾（−Ｑ）
≧（Ｐ／Ｑ）＾（Ｐ＋Ｑ−Ａ）。

ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ! >93

>78 (訂正)
　我ながら間違いが多いな・・・後(ry
　Ln(a_k) - Ln(P) ≧ (a_k -P)Ｃ, (Q -a_k)Ｃ ≧ Ln(Q) - Ln(a_k).
　等号成立は a_k=(P or Q) のとき

(問題)
　0≦x≦y，x＋y=1，nは自然数 とするとき、
　y^n -y ≦ x^n -x が成り立つことを示して下さいです。。。

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=131

>>64
> >57(2)
> 　a+b+c=s とする。 (ab)^(5/4) < ab(2s+a+b)/(4√s) を循環的に加えると

これって、どうやって思いつくんですか？

>97
　s>a,b より相加･相乗平均 (ssab)^(1/4) < (s+s+a+b)/4, (ab)^(1/4)･√s < (2s+a+b)/4.

>96 nを実数とする。
n≦0 のとき
　x^n-x は単調減少により成立。等号は x=1/2.
n>0 のとき
　(左辺) - (右辺) = (1-x)^n -x^n +x -(1-x) = f(x) とおくと
　f(0)=0, f(1/2)=0, f "(x) = n(n-1){(1-x)^(n-2) -x^(n-2)}.
　・0<n<1 or 2<n のとき f "(x)≧0(下に凸), f(x)≦0 により成立. 等号はx=0,1/2.
　・n=1,2 のとき f "(x)=0, f(x)=0 により等号成立.
　・1<n<2 のとき f "(x)≦0(上に凸), f(x)≧0 だから逆向き. 等号は x=0,1/2.
ぬるぽ

>>98
なるへそ。ありがとうございます！

>>99
ぐっじょぶ！

問題 1713. nCr (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
問題 1714 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_mag-78-1-feb05.pdf
問題 792 不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/col_math_jou-36-1-jan05.pdf

（再掲）
問題 11127 三角関数と不等式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-01-jan05.pdf

power mien の積分形を考えてて思ったこと。

区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
　lim[r→0] {(∫[a,b] {f(x)}^r dx)/(b-a)}^(1/r)
は、e^{(∫[a,b] \log f(x) dx)/(b-a)} になりますか？

>>102
power mean … ('Ａ`)

>>64

>>57(2)は、ピッタリ最大値が求まらないでしょうか？

求まりそうな気がするけどね
条件が対称だから

ですよねぇ。
最大値は a=b=c のとき 1/(9√3) だろうと思って
こないだから弄ってたんだけど、力不足でだめぽ。
さらりと解いて解答を載せるつもりだったけど、
挫折して聞いてしまった… ('Ａ`)

書き間違い… （吊）
a=b=c=1/3のときの 1/(3√3)

>>101
問題1713 は、前スレの終わりのほうで
似たようなやつがあったけど、できそうでまだできてない…。

OS再インストールしたときに、過去ログの保存を忘れててアボーンしてしまった。
dat落ちしてから、見れるようになるまで何ヶ月くらいかかるのでせうか？
　|
　8 < ﾓｳ ﾀﾞﾒﾎﾟ…
　'`
　￣

>104-107
　[106-107]が正しいとすると、等号条件が a=b=c =s/3 の不等式しか使えない。たとえば[98]は
　{(s/3)(s/3)ab}^(1/4) < {2(s/3)+a+b}/4, (ab)^(1/4)･√(s/3) < {2(s/3)+a+b}/4.
　としないといけないし、[64]は次のようにする。
(ab)^(5/4) < ab{2(s/3)+a+b}/{4√(s/3)} を循環的に加えると(注)により、
　(左辺) ≦ (ab+bc+ca)(1/2)√(s/3) +［ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)]/{4√(s/3)}
　　　≦ (1/2)t√(s/3) + (1/4)(s^2-t)√(s/3) = (1/4)(s^2+t)√(s/3) ≦ 3(s/3)^(5/2) = {1/(3√3)}s^(5/2).

(注)　ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a) = st -3u ≦ (s/3)(s^2 -t).
　　　∵ s^3 -4st +9u ≧ 0. （← [前スレ.611]の(1) または "Inequalities"の定理80）

>>109
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
そうか！ s/3 で置き換えれば ≦ になるのか！
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ

>101 [1713]
　(問題)　Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] 1/Ｃ[n,k] = 3/2.
　(解答)　(左辺) = Σ[n=4,∞) Σ[k=2,n-2] …… = Σ[k=2,∞) Σ[n=k+2,∞) …… を使おう。
　1/Ｃ[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)} = {k!/(k-1)}{ 1/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] -1/[n(n-1)…(n-k+2)] }
　　= {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[n-1,k-1] -1/Ｃ[n,k-1] }.
　∴ Σ[n=k+2,N] 1/Ｃ[n,k] = {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[k+1,k-1] -1/Ｃ[N,k-1] }
　　= {k/(k-1)}{ 2/[k(k+1)] -1/Ｃ[N,k-1] } = {1/(k-1)}{ 2/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] }
　　= {1/(k-1)}{1 -(k-1)/(k+1) -k/Ｃ[N,k-1] } → 1/(k-1) -1/(k+1).　　(N→∞)
　　k=偶数(2,4,…)についての和は 1/(2-1) =1, k=奇数(3,5,…)についての和は 1/(3-1) =1/2.
　　よって (左辺) = 1/(2-1) + 1/(3-1) = 1 +1/2 =3/2.
ぬるぽ

>>102-103
もっと詳しく！

前スレ。

http://mimizun.com:81/log/2ch/math/science3.2ch.net/math/kako/1072/10725/1072510082.dat
http://mimizun.com/cgi/dattohtml.pl?http://mimizun.com:81/log/2ch/math/science3.2ch.net/math/kako/1072/10725/1072510082.dat
http://makimo.to/cgi-bin/html2dat/html2dat.cgi?science3_math/1072/1072510082.html
http://makimo.to/2ch/science3_math/1072/1072510082.html

>101 [No.1714]
　(問題) m,n,x,y,z>0, x+y+z=s のとき、
　　　(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] + (y^4)/[(my+nz)(mz+ny)] + (z^4)/[(mz+nx)(mx+nz)] ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
　(解答) 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
　　= [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).
　　4(x^4) = (x^2+y^2)(3x^2 -y^2) + (x^2 -y^2)^2 ≧ (x^2+y^2)(3x^2 -y^2).
　　辺々割って、
　　(x^4)/[(mx+ny)(my+nx)] ≧ (1/2)(3x^2 -y^2)/(m+n)^2.
　　循環的に加えて、
　　(左辺) ≧ (x^2 +y^2 +z^2)/(m+n)^2 ≧ (1/3)(x+y+z)^2/(m+n)^2 ≧ (1/3)[s/(m+n)]^2.
ぬるぽ

[111] [No.1713] の補足
　n=4,…,N までの部分和をとる。
　 Σ[n=4,N] Σ[k=2,n-2] 1/Ｃ[n,k] = Σ[k=2,N-2] Σ[n=k+2,N] 1/Ｃ[n,k] = ……
　= 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - Σ[k=2,N-2] {k/(k-1)}/Ｃ[N,k-1]
　= 3/2 -1/(N-2) -1/(N-1) - { 2/N + 3/(N(N-1)) + Σ[k=4,N-2]Ｏ(1/N^3) } → 3/2　(N→∞).

>>113
をぉぉっ！ ありがとうございます。
助かりました。

>>113
をぉぉっ！ ありがとうございまつ。
助かりますた。

>101 [No.792]
　一般に、正係数の多項式Ｆ(x, y, …) については、
　x_k≧0, y_k≧0, … (k=1,2,…,n) ⇒　Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).
　ここにＧは相乗平均で、Ｇx={Π[k=1,n] x_k}^(1/n), Ｇy={Π[k=1,n] y_k}^(1/n), …
ぬるぽ

「数学オリンピック」 スレより
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091700814/529,562,580
JMO本選３らしい…

529 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/12(土) 12:30:59
正の実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
　a(1+b-c)^(1/3) + b(1+c-a)^(1/3) + c(1+a-b)^(1/3) ≦ 1

580 名前： ◆BhMath2chk [sage] 投稿日：05/02/16(水) 13:00:02
>>529
−１≦ｘのとき（１＋ｘ）＾（１／３）≦１＋ｘ／３。
ａ（１＋ｂ−ｃ）＾（１／３）≦ａ＋ａｂ／３−ａｃ／３。
ｂ（１＋ｃ−ａ）＾（１／３）≦ｂ＋ｂｃ／３−ａｂ／３。
ｃ（１＋ａ−ｂ）＾（１／３）≦ｃ＋ａｃ／３−ｂｃ／３。

>101 (No.792)
　[117] の訂正、すまそ。
　(1/n)Σ[k=1,n] Ｆ(x_k, y_k, …) ≧ Ｆ(Ｇx, Ｇy, …).

　(略証) 項ごとに相加･相乗平均を使う。

>>112 [power mean]
正の数 a_1, …, a_n の r次平均 M_r = [((a_1)^r + … + (a_n)^r)/n]^(1/r) について
　lim[r→+∞]M_r = max{a_1, …, a_n}
　lim[r→-∞]M_r = min{a_1, …, a_n}
　lim[r→0]M_r = G （相乗平均）

これが関数もときにも成り立ってるのかなと思ったわけで…
区間 [a,b] で連続な f(x)>0 に対して、
　lim[r→+∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = max[a≦x≦b]f(x)
　lim[r→-∞] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r) = min[a≦x≦b]f(x)
が成り立つから、
　lim[r→0] (∫[a,b] {f(x)}^r dx)^(1/r)
も何かの値になるのかなと思ったのでした。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

【sin】高校生のための数学質問スレPart20【cos】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1108205751/444

444 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/21(月) 00:49:38
（問題）
　　n,m,x,y,z が正数のとき、
　　　x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my) >= 3/(m+n)
　　となることを数IAの範囲で証明せよ。

>>121
Cauchy の不等式より
　[x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my)]*[x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ (x+y+z)^2 … (1)
ここで、
　x(ny+mz) + y(nz+mx) +z(nx+my) = (m+n)(xy+yz+zx)
であることと、
　(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = (1/2)[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2] ≧ 0 … (2)
より、[(x+y+z)^2]/(xy+yx+zx) ≧ 3 だから
　[x/(ny+mz) + y/(nz+mx) + z/(nx+my)] ≧ [(x+y+z)^2]/[(m+n)(xy+yz+zx)] ≧ 3/(m+n)
等号成立条件は、(1), (2) の両方で等号が成り立つときで、x=y=z である。
　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　なんとか解けたよ！
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

気のせいかな？
前にも解いたような気がする…

前スレにありました （ ﾟ∀ﾟ） ﾃﾍｯ

前スレ 903(1) 正の実数a,b,x,y,zに対し、x/(ay+bz) + y/(az+bx) + z/(ax+by)≧3/(a+b)

前スレ 907 に解答
　x/(ay+bz) = {(a^2)(ax+by)/(ay+bz) +(b^2)(az+bx)/(ay+bz) -ab}/(a^3 +b^3).
　循環的に加えて 相加･相乗平均を使うと
　左辺 ≧ 3(a^2 +b^2 -ab)/(a^3 +b^3) = 3/(a+b), 等号成立はx=y=zのとき.

>>124の解法は、ぬるぽ神によるものです。

[前スレ.907] の補足
　「相加･相乗平均を使う」は数�TA 辺りでは通用しないかも知れないので・・・

(補題) X,Y,Z>0 のとき　Z/X+X/Y+Y/Z ≧ 3,　Y/X+X/Z+Z/Y ≧ 3.
(略証) X,Y ≧Z のとき X-Z≧0, Y-Z≧0 ゆえ
　YZ^2 +ZX^2 +XY^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +Y(X-Z)(Y-Z) ≧0.
　ZY^2 +YX^2 +XZ^2 -3XYZ = Z(X-Y)^2 +X(Y-Z)(X-Z) ≧0.
　これらを XYZ>0 で割る。　(終)

[1]
連続関数 f:[0,1]→R が任意の x∈[0,1] に対して
∫_{x}^{1}f(t)dt≧(1-x^2)/2 を満たすとき
∫_{0}^{1}(f(t))^2dt≧1/3

[2]
p>1とする。|x|^p+|y|^p=2を満たす任意の実数x,yに対し、
(x-y)^2≦C(p)*{4-(x+y)^2}
が成立するような定数C(p)が存在する

>>114
> 4(mx+ny)(my+nx) = [(m+n)(x+y)+(m-n)(x-y)][(m+n)(x+y)-(m-n)(x-y)]
>　　= [(m+n)(x+y)]^2 - [(m-n)(x-y)]^2 ≦ [(m+n)(x+y)]^2 ≦ 2(m+n)^2(x^2+y^2).

この式変形に激しく (´д｀；)ﾊｧﾊｧ

749 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/02/23(水) 12:19:56
3^e＜e^3
を示す問題なんですけど、

751 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：05/02/23(水) 13:31:31
>>749
3^e＜e^3⇔3^(1/3)＜e^(1/e)⇔x^(1/x)またはlog(x)/xがx>eで単調減少

>>102
ｌｏｇ（ｆ（ｘ））が有界のとき
ｆ（ｘ）＾ｒ＝ｅｘｐ（ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ）＝１＋ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｒ＋Ｏ（ｒ＾２）。

∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ＝∫ｄｘ＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。

∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ＝１＋ｒ∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ＾２）。

（１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾２））＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（ｃ＋Ｏ（ｒ））なので
（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ＋Ｏ（ｒ））。

ｌｉｍ（（∫ｆ（ｘ）＾ｒｄｘ／∫ｄｘ）＾（１／ｒ））＝ｅｘｐ（∫ｌｏｇ（ｆ（ｘ））ｄｘ／∫ｄｘ）。

不等式の証明で
　4(a^2+ab+b^2)^3 - 27a^2b^2(a+b)^2
の因数分解がうまくいかんのだけど、コツを教えてけれ！

>>131
a-b=A とおく ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>131
　基本に返って (a+b)^2=S, ab=t とおく ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

　4(S-t)^3 -27(t^2)S = 4S^3 - 12(S^2)t - 15St^2 - 4t^3 = (S-4t)(2S+t)^2
　= (a-b)^2(a^2+5ab+b^2)^2.
∵ a=b のとき0だから、因数定理により S-4t=(a-b)^2 を因子にもつ。

>>131
a-b=A とおいた理由は、b に a を代入したら 0 になるから、因数定理よりｺﾞﾆｮｺﾞﾆｮ…。
結局、>>132-133 から、任意の実数 a, b, c に対して
　4(a^2+ab+b^2)^3 - 27[ab(a+b)]^2 = [(a-b)(2a+b)(a+2b)]^2 ≧ 0
等号成立条件は、a=b または 2a=-b または a=-2b のとき。

興味ないだろうけど、参考文献 [2] P.216 問6の解答に同じ問題があるYO！
でも誤植だYO！ il||li _|￣|○ il||li

さらに頼まれもしないのに、不等式の別証をチラシの裏に書いてしまう。
ただし、a, b≧0 の場合ですが…。

4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2
これと相加平均・相乗平均の関係から
　(a^2+ab+b^2)^3 ≧ (27/64)(a+b)^6 ≧ (27/16)ab(a+b)^4 ≧ (27/4)[ab(a+b)]^2 ≧ 27(ab)^3
等号成立条件は a=b。

下から４行目に書き間違い
> 4(a^2+ab+c^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+c^2 ≧ (3/4)(a+b)^2

正しくは
　 4(a^2+ab+b^2)-3(a+b)^2 = (a-b)^2 ≧ 0 より、a^2+ab+b^2 ≧ (3/4)(a+b)^2

a^2+ab+b^2 絡みで…

非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(a^2+ab+c^2)
　≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3

─────────────‐
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　||| lll　|　|　.／　　≧　＼　ガラッ
　　　 　|　|　|:::: 　＼ .／　|　　|||　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　||| 　|　|　|::::: (●　(● |　　 ／
　　　　 ＼＼ヽ::::... .ワ......ノ　＜　　( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
　　　　　　＼　　　　　＼　　　 ＼
|||　ガラッ　　）　　　　ﾄ、ヽ　|||　￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　|||　　　/　 　 　（　|　|　　 |||
━━━━━━━━━mm━━━
─────────────‐

ゴメン、また書き間違いしました。

非負実数 a, b, c に対して
(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)
　≧ (27/64)[(a+b)(b+c)(c+a)]^2 ≧ (1/3)[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^2 ≧ (ab+bc+ca)^3



　|
　8 < ﾀﾞﾒﾎﾟ…
　'`
　￣

>136
　左側： [135]
　中間： (9/8)(a+b)(b+c)(c+a) = (1/8)(a+b)(b+c)(c+a) + (a+b)(b+c)(c+a)
　≧ √(ab)√(bc)√(ca) + (a+b)(b+c)(c+a) = abc +(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca).
　右側： (1/3)(a+b+c)^2 - (ab+bc+ca) = (1/6){(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2} ≧0.
ぬるぽ

>>122
正の数 a, b, c, m, n に対して、
　(a+b+c)^2/[(p+q)(ab+bc+ca)] と [1/(pa+qb) + 1/(pb+qc) + 1/(pc+qa)]*(a+b+c)/3
の大小は定まりますか？

>>139
また書き間違った。
> 正の数 a, b, c, p, q です ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>139-140
a=b=c のときは等号成立。
a=b=c でないとき、
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とすると、(左辺)=(s^2)/[(p+q)t].
　p=q のとき (左辺)-(右辺)=(s^2)/(2pt)-s(s^2 +t)/[3p(st-u)] = s{(s^2 -3t) +(t^2 -3su)/t}/[6p(st-u)] >0.
　q/p→0 のとき (左辺)-(右辺)= (s^2)/(pt)-st/(3pu) = -s(t^2 -3su)/(3ptu) < 0.
よって 大小は定まらない...

>>130
ありがとうございまする。 自分では思いつかんす。

>>141
ありがとうございまする。なるへそ。

a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と正の数 m, n に対して、
　(a^m)(b^n)+(b^m)(c^n)+(c^m)(a^n) ≦ (m^m)/[(m+n)^(m+n)]
が成り立つなら証明たのも〜。

>>143の類題 （前スレ603）
[1999 CMO]
a, b, c≧0、a+b+c=1 のとき、a^2b+b^2c+c^2a ≦ 4/27

【問題】 公差が負でない等差数列 {a_n} に対して
　Σ[k=2 to n] ≦ (n-1)(a_1*a_n+a_2*a_{n+1})/(2*a_1*a_2*a_n*a_{n+1})

目指せ最下層

>144
　(略証) a,b,c≧0 とし、a^2b +b^2c +c^2a = Ｆ(a,b,c) とおく。
　a≧b,c のとき Ｆ(a+c/2, b+c/2) - Ｆ(a,b,c) = (a-b)bc +ac(a-c)/2 +b(c^2)/4 +(c^3)/8 >0.
　∴ F(a,b,c) ≦ F(a+c/2, b+c/2, 0).
　相加相乗平均より
　Ｆ(a ',b ',0) = (a ')^2･b ' ≦ (1/2){(a '+a '+2b ')/3}^3 = (1/2){2(a '+b ')/3}^3
　= (1/2){2(a+b+c)/3}^3 = (4/27)(a+b+c)^3.

[1999 CanMO 31st] Problem 5
http://www.kalva.demon.co.uk/canada/can99.html


>145
【問題】 a_k≠0 の等差数列 {a_n} に対して
　Σ[k=2 to n] 1/(a_{k+1}･a_{k-1}) = (n-1)[1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})].
(略証)
　公差 d=0 のときは a_k=a_1≠0 より成立つ。
　公差 d≠0 のとき 1/(a_{k-1}･a_{k+1}) = [1/a_{k-1} -1/a_{k+1}]/(2d)
　(左辺) = [1/a_1 +1/a_2 -1/a_n -1/a_{n+1}]/(2d) = [1/a_1 -1/a_n]/(2d) +[1/a_2 -1/a_{n+1}]/(2d)
　= (n-1)[1/(2a_1･a_n) +1/(2a_2･a_{n+1})].

>146
現 在 703位
　最下層 715位

>145
【147系】 a_1･a_{n+1} >0 の等差数列 {a_n} に対して、
　Σ[k=2 to n] 1/(a_k)^2 ≦ (n-1) {1/(2*a_1*a_n) +1/(2*a_2*a_{n+1})}.

　∵ 0 < a_{k-1}a_{k+1} = (a_k -d)(a_k +d) = (a_k)^2 - d^2 ≦ (a_k)^2 だから.

>146
718中 718位 でつ。

>>143の類題
a+b+c=1 をみたす非負実数 a, b, c と自然数 m に対して、次式を示せ。
　(a^m)b + (b^m)c + (c^m)a ≦ (m^m)/[(m+1)^(m+1)]
　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　　最下層記念パピコ問題
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

世俗と隔離された世界で、不等式に (´д｀；)ﾊｧﾊｧ する。
なんてキティガ…、素敵なんだろう…

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>150
書き忘れたけど、m≧2 なりよ。

　 　┃ ぬるぽ製薬〜♪
　　 ┃
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　　　||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| 　　|ｗ
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http://www6.big.or.jp/~beyond/bbsnews/proxy/erobbs/1103073240/113

>>149
あげるな

【問題】 -1 < a, b, c < 1 かつ a+b+c = -1/2 のとき、
　3/[6^(12)] ≦ a^(12) + b^(12) + c^(12) ≦ 2+ (1/2)^(12)
http://www.math.ust.hk/excalibur/v5_n5.pdf Page.2, Ex.3

最小値は Jensen から、最大値は majorization すげぇ〜！
ところで majorization 知らない場合の最大値の求め方をたのも〜。


>153-154
荒らさないで下さ(=ﾟωﾟ)ﾉぃょぅ

最下層にするために他のスレを上げる荒らし

専用ブラウザ使っているから、
最下層とか関係なかったりします
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

age荒らしの住処はここか

　　　　　　　　　＝≡＝
　　　　　　　 　　／
　　　　　　　　〆 　　　　　　　　　. .∈≡∋
　　　　　　　　　|| 　γ ⌒ヽヽコノ　　 ||
　　　　　　　　　||　.｜　　　|:::|　..〓　 .||
　　　　　　　 .／|＼人 ＿.ノノ _||_.　／|＼

　　　　　　　　　 ∧＿∧
　　　　　　　　　（　・∀・）　>155 まだぁ〜
　　　　　　　　　（　∪ ∪
　　　　　　　　　と＿_）__） 　旦

>155
　nは正の偶数とするとき、連続函数 f(x)=x^n は[-1,1]で 下に凸(convex)である。
　∴ f(x) + f(k-x) も下に凸なので、端で最大となる。

ここで 1≧a≧b≧c≧-1 としても一般性を失わない。
3c≦a+b+c≦3a より -1≦c≦-1/6, -1/6≦a≦1
　∴ -7/6 ≦ a+c ≦ 1/2.
(i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
　f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = 1 +f(b) +f(-b-3/2)
　≦ 1 +f(-1/2) +f(-1) = 2 +(1/2)^n
(ii) -7/6 ≦ a+c≦0 のとき -1/2 ≦ b ≦ 2/3.
f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(a+c+1) +f(b) +f(-1) = f(-b+1/2) +f(b) +1
　≦ f(1) +f(-1/2) +1 = 2 +(1/2)^n.

[1997 Chinese M.O.]

>>160
うひょっ、ありがとうございます。
f(c) を f(a+c-1) に置き換えたところが分からないのですが…

> (i) 0 ≦ a+c ≦ 1/2 のとき -1≦b≦-1/2.
> 　f(a) +f(b) +f(c) ≦ f(1) +f(b) +f(a+c-1) = …


nが奇数のときの最大最小も出ますか？
曲線上の(1,1)における接線や、
(-1,-1)における接線で挟むのかなと思うんだけど…
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>161
1>a>c>c-(1-a), f(x) は下に凸だから
　f(a) ≦ {(1-c)f(1) + (1-a)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
　f(c) ≦ {(1-a)f(1) + (1-c)f(c-(1-a))}/(2-a-c)
辺々たして
　f(a) + f(c) ≦ f(1) + f(c-(1-a))
　内側の和 ≦ 外側の和

>>162
なるほど。
ありがとうございます。
自分では思いつかないなぁ…

正の数 a, b, c, d に対して
a/sqrt[3]{a^3+63bcd} ≧ (a^p)/(a^p+b^p+c^p+d^p)
をみたす p が 21/16 ってのは、どうやれば出てきますか？

ｂ＝ｃ＝ｄ＝ａｓとすると１＋３ｓ＾ｐ≧（１＋６３ｓ＾３）＾（１／３）。
ｆ（ｓ）＝１＋３ｓ＾ｐ−（１＋６３ｓ＾３）＾（１／３）とすると
０≦ｆ（ｓ），ｆ（１）＝０なので
（ｄｆ／ｄｓ）（１）＝３ｐ−６３／１６＝０からｐ＝２１／１６。

ｐ＝２１／１６のとき
　（１＋３ｗ＾（ｐ／３））＾３
＝１＋９ｗ＾（ｐ／３）＋２７ｗ＾（２ｐ／３）＋２７ｗ＾ｐ
≧１＋６３（（ｗ＾（３ｐ））（ｗ＾（１８ｐ））（ｗ＾（２７ｐ）））＾（１／６３）
＝１＋６３（ｗ＾（４８ｐ））＾（１／６３）
＝１＋６３ｗ＾ｐ。
　（ａ＾ｐ＋ｂ＾ｐ＋ｃ＾ｐ＋ｄ＾ｐ）／ａ＾ｐ
＝１＋（ｂ／ａ）＾ｐ＋（ｃ／ａ）＾ｐ＋（ｄ／ａ）＾ｐ
≧１＋３（ｂｃｄ／ａ＾３）＾（ｐ／３）
≧（１＋６３ｂｃｄ／ａ＾３）＾（１／３）
＝（ａ＾３＋６３ｂｃｄ）＾（１／３）／ａ。

>>165
＞＝１＋６３ｗ＾ｐ。
＝１＋６３ｗ。

>>165
ｂ＝ｃ＝ｄ＝ａｓ とおいても一般性を失わないの？

>>167 上が必要条件で、下が十分条件だろが。

>164
(n+1)文字の場合は
a/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ (a^p)/(a^p + b_1^p + … + b_n^p),　N=(n+1)^n -1

1/(左辺)^n = 1 + N(b_1…b_n)/(a^n) = 1 + N(G/a)^n, G=(b_1…b_n)^(1/n).
1/(右辺) = 1 +(b_1/a)^p + … +(b_n/a)^p ≧ 1 + n(G/a)^p ≡ 1 + nX.
1/(右辺)^n ≧ (1+nX)^n = 1 + Σ[j=1,n]Ｃ[n,j]n^j X^j ≧ 1 + NX^r　=1 + N(G/a)^(pr) ← 相加相乗平均
ここに、r = (1/N)Σ(Xの指数) = (1/N)Σ[j=1,n]jＣ[n,j]n^j = (n/N)Σ[j=1,n]Ｃ[n-1,j-1]n^j
　= (n^2 /N) Σ[j'=0,n-1]Ｃ[n-1,j']n^j' = n^2･(n+1)^(n-1) /N
両辺を見比べて、p = n/r = N/{n･(n+1)^(n-1)}.

(例) n=3 のとき N=63, r=16/7, p=21/16.

>165 の後半
w=bcd らしい。

【155の拡張】 -1 < a,b,c < 1 かつ a+b+c =-1/2 のとき、
　3f(-1/6) ≦ f(a)+f(b)+f(c) ≦ f(1)+f(-1/2)+f(-1).
　ただし f(x)は (-1,1) で下に凸とする。

>164
n=1, 2, 3, 4, 5 のとき p=1, 4/3, 21/(4^2), 156/(5^3), 1555/(6^4). n が大きいとき p≒(n+1)/n.

ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
165さん、169さん乙です。
印刷して今から解読します。

これで、cyclic に廻して、 Σa/{a^n +N(b_1…b_n)}^(1/n) ≧ 1 が得られました。
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>172
文字が違った。こうか…

Σ(a_1)/{(a_1)^n +N(a_2…a_n)}^(1/n) ≧ 1

>172-173
n=2 の例は↓をﾄﾞｿﾞｰ。　たしかに p=4/3 となってゐた。

IMO-2001 (USA) Problem 2
http://imo.wolfram.com/problemset/index.html
[前スレ.143,149,157]

解読完了。
相加相乗の使い方がうまいですね >>169
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>174
ｸﾞｼﾞｮｰﾌﾞ！

正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
　(1+a)(1+b)(1+c) ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c)

Re:>176
9abc-7(ab+ac+bc)+9(a+b+c)-7にc=1-a-bを代入した式
f(a,b)=-9a^2b-9ab^2+7a^2+16ab+7b^2-7a-7b+2が0<a,0<b,a+b<1の範囲で0以上になることを示す。
bを固定するごとに、0<a<1-bの範囲での挙動を調べる。
∂_af(a,b)=(14-18b)a-9b^2+16b-7となる。
b<7/9のとき、a=(9b-7)(b-1)/(14-18b)で極小となる。
以下略(もうめんどくさい。)

>176
(解1)
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　(左辺) - (右辺) = (1+s+t+u) -8(1-s+t-u) = -7 +9s -7t +9u
　= (s^3 -4st+9u) + (s^2 -3t) + (s-1)(4t -s^2 -2s+7) ≧0.　（←s=1）
(解2)
　f(x) = Ln{(1+x)/(1-x)} = Ln(1+x) - Ln(1-x) とおくと
　f '(x) = 1/(1+x) +1/(1-x) = 2/(1-x^2) は(0,1)で単調増加，　f(x)は(0,1)で下に凸.
　∴ Jensen により f(a)+f(b)+f(c) ≧ 3f((a+b+c)/3) = 3f(1/3).
　∴ (1+a)(1+b)(1+c)/[(1-a)(1-b)(1-c)] ≧ [(1 +1/3)/(1 -1/3)]^3 = 2^3 =8.
ぬるぽ

>>176-177
改造したくなるのが、不等式ヲタの習性！ ｵﾗｵﾗｵﾗ！

正の数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、次を示せ。
　64/27 ≧ (1+a)(1+b)(1+c) ≧ (1-a^2)^2+(1-b^2)^2+(1-c^2)^2 ≧ 8(1-a)(1-b)(1-c) ≧ 64abc

　　　　　 ／/
　　　　／　/＿＿
　　　 / 　／　 ≧ ＼　　 ﾊﾟｶｯ！
　　　/.∩|::::　＼ .／ |
　　 /　| ||::::(●　(●.|_　　あ、不等式ヲタ インしたお！
　　/／| |ヽ::::....ワ....ノ／
　　"￣￣￣￣￣￣"

リンク先間違った。 >>176-178です。
３つレスがあるのに気づかなかった。

ﾌﾟｯ。。。
みんなにアボーンされてるんだなｋｉｎｇ

>177
落書きはチラシの裏に書け。

>179
　改造されたんぢゃぁ仕方ねぇ。。。
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。等号成立は a=b=c.
左側から
　相加相乗平均より (1 +s/3)^3 ≧ (1+a)(1+b)(1+c).

　(1+a)(1+b)(1+c) - {(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2}
　= (1+s+t+u) -3 +2t +2(s^2 -3t) -{s(s^3 -4st +9u) +2t^2 -5su}
　= t(s^2 -3t) + (t^2-3su) + (1-s){(s^3 -4st +9u) +(st-9u)+u +(s^2-3t) -s-2} ≧ 0.

　{(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2} -8(1-a)(1-b)(1-c)
　= 3 -2(s^2 -3t) -2t +{s(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +su} -8(1-s+t-u)
　= (s+1/s)(s^3 -4st +9u) + 2(t^2 -3su) +(1-s){-(9+s)u/s -5 +3s} ≧ 0.

　相加相乗平均より (1-a)(1-b)(1-c) = (b+c)(c+a)(a+b) ≧ {2√(bc)}{2√(ca)}{2√(ab)} = 8abc.
ぬるぽ

---------------------------------------------------------------
(注)　a^2 +b^2 +c^2 = (s^2 -3t) +t.
　a^4 +b^4 +c^4 = (s^2 -2t)^2 -2(t^2 -2su) = s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su.
　(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3-2t -2(s^2 -3t) + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.

(1-a^2)^2 +(1-b^2)^2 +(1-c^2)^2 = 3 -2(a^2 +b^2 +c^2) +(a^4 +b^4 +c^4)
= 3 - 2(s^2 -3t) -2t + {s(s^3 -4st +9u) +2(t^2 -3su) +su}.

>>127 [2]
　x+y=s, (x-y)/s =z とおくと、x=(1+z)s/2, y=(1-z)s/2,
(i) p≧2 のとき、 [>>67] により　
　x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ (x^2 +y^2)^(p/2) =(1/2){s^2 + |x-y|^2}^(p/2).
　与式より、 4 ≧ 4^(2/p) ≧ s^2 + |x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2,　C(p)=1.

(ii) 1<p≦2 のとき(補題)より,
　p>1 より 2(s/2)^p ≦ x^p +y^p =2 より s/2 ≦ 1.
　x^p +y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^2
　≡ {2 + [2/C(p)]z^2}(s/2)^2 = (1/2){s^2 +[1/C(p)]･|x-y|^2}.
　与式より、 4 ≧ s^2 + [1/C(p)]･|x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ C(p)(4-s^2),　C(p)= 2/[p(p-1)].
ぬるぽ

【補題】
　　1<p≦2 or 3≦p かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
(略証)
　f(z) = (1+z)^p とおくと、f "(z) = p(p-1)(1+z)^(p-2) は下に凸ゆえ
　∴ f "(z) + f "(-z) - 2f "(0) ≧0.
　F(z) = f(z) + f(-z) - f "(0)z^2 も下に凸ゆえ
　{F(z)+F(-z)}/2 ≧ F(0) = 2f(0)　(終).

不等式ヲタの連中からしたらkingのは鮮やかじゃないってこと？

ぬるぽ神は見ていて思いつきそうにない鮮やかな解答を書いてますな

>>127 [2]
　松ヶ枝ますた。[67]は使えそうにないので修正
(i) p≧2 のとき、 z^(p/2)は下に凸より、
　x^p +y^p = (x^2)^(p/2) + (y^2)^(p/2) ≧ 2{(x^2 +y^2)/2}^(p/2) =2{(s^2 + |x-y|^2)/4}^(p/2).
　与式より、 4 ≧ s^2 + |x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ 4-s^2,　C(p)=1.

>185
　( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>185
条件式を使って文字を減らして微分って楽しくないよね？
このスレでは楽しい解法を追求しているんじゃないの？

【問題】 0 < x ≦ π/2 において、(sin x)^3 / x^3 ≧ cos x を示せ。

級数展開して、大雑把に比較すれば出そうですが、
高校レベルでは できませんか？

>>127 [2]
[184] (ii)の改良
　x^p + y^p = {(1+z)^p +(1-z)^p}(s/2)^p ≧ {2 + p(p-1)z^2}(s/2)^p
　　　= 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {4(s/2)^(2-p)}
　　　≧ 2{s^2+(p/2)(p-1)|x-y|^2} / {s^2 +(p/2)(4-s^2)}.
　与式より、s^2 + (p/2)(4-s^2) ≧ s^2 + (p/2)(p-1)|x-y|^2.
　∴ |x-y|^2 ≦ {1/(p-1)}(4-s^2),　C(p)=1/(p-1).
ぬるぽ

【補題１】
　　1<p≦2 かつ -1<z<1 のとき、(1+z)^p + (1-z)^p -p(p-1)z^2 ≧ 2.
【補題２】
　　0<p≦2 かつ s≧0 のとき、4(s/2)^(2-p) ≦ 2{p + (2-p)(s/2)^2} = s^2 +(p/2)(4-s^2).
　　(略証)　相加相乗でハｧハｧと...

>188
　f(x) = sin(x)/[cos(x)^(1/3)] とおくと、
　f(0) = 0.
　f '(x) = cos(x)/[cos(x)^(1/3)] +(1/3)[sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
　　= [cos(x)^2 + (1/3)sin(x)^2]/[cos(x)^(4/3)]
　　= [1 + 2cos(x)^2]/[3cos(x)^(4/3)] > 1.　　(← 補題)
∴ 0<x<π/2　⇒　f(x)>x　⇒　{sin(x)/x)}^3 > cos(x).
ぬるぽ

(補題）z≧0 のとき (1 +2z^3) - 3z^2 = (1+2z)(1-z)^2 ≧0.

>>190
�d�d�dクス。 ナットク。

>>130
> （１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾２））＾（１／ｒ）＝ｅｘｐ（ｃ＋Ｏ（ｒ））なので

ここが分からないのですが、詳しく教えて下さい。

>192
｜ｘ｜＜１のとき、Ｌｎ（１＋ｘ）＝ −ｘ ＋(1/2)ｘ^2 −Ｏ（ｘ^3）
ｘ に ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2） を入れて、
Ｌｎ｛１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝＝｛ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝−(1/2)(ｃ^2)Ｏ（ｒ^2）＝ｃｒ＋Ｏ（ｒ＾2）.
∴　（１／ｒ）Ｌｎ｛１＋ｃｒ＋Ｏ（ｒ^2）｝＝ｃ＋Ｏ（ｒ）.

訂正、すまそ。
｜ｘ｜＜１のとき、Ｌｎ（１＋ｘ）＝ ｘ −(1/2)ｘ^2 ＋Ｏ（ｘ^3）

>>193-194
ありがたうございます

（tanスレより）
618 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/08/29(金) 02:12

3･sinθ/(2+cosθ) ＜ θ ＜ tan(θ/3)＋2･sin(θ/3)
Snellius が発見し Huygens が証明したとされる。

たのも〜

>196
左側: g(θ)=(2+cosθ)θ - 3sinθ とおくと、
g(0) = 0,
g '(θ) = 2(1-cosθ) -θ･sinθ = sinθ{2tan(θ/2)-θ} >0.
∴ θ>0 ⇒ g(θ)>0 ⇒ (左辺) <θ.

右側: [>>188] と 相加相乗平均より
θ < 3･sin(θ/3)/[cos(θ/3)^(1/3)] = 3[tan(θ/3)･sin(θ/3)^2]^(1/3) < (右辺).
ぬるぽ

>>197
ありがとうごぜぇます。

狙ったわけでもないのに、>188が使えたとは…
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>197 (別法)
　左辺を L(θ), 右辺を R(θ) とすると、
　L(0) = 0 = R(0).
　L '(θ) = 3(1+2cosθ)/(2+cosθ)^2 = 1-{(1-cosθ)/(2+cosθ)}^2 < 1
　< (1+2z^3)/(3z^2) = (1/3)(1/z^2 +2z) = R '(θ), ここに z=cos(θ/3).
　∴ 0<θ<π ⇒ L(θ) < θ < R(θ).
変わり映えしない。。。

前スレ
931 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：05/01/16(日) 15:49:05

　★の不等式　「t>0 ⇒ t^n ≧ nt-(n-1)」 は次にもあるよ。
　微積分と一つの不等式「数学100の定理」日本評論社, p.89 (1983)

（問題）
　Ａ = {x(1)+x(2)+･･･+x(n)}/n,
　Ｇ = {x(1)x(2)････x(n)}^(1/n),
　Ｈ = n/{1/x(1) +1/x(2) + .... +1/x(n)} とおくとき
　Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
--------------------------------------------------------

この証明が20％くらいできないんですが…。
おねがいします

>200
【Sierpinskiの不等式】
　[>200]のとき、　Ａ^(n-1)･Ｈ ≧ Ｇ^n ≧ Ａ･Ｈ^(n-1).
(略証)
　Ｆ ≡ Ａ^(n-1)･Ｈ/Ｇ^n とおき、Ｆ≧1 を示す。
　nに関する帰納法による。
　n=2 のとき ＡＨ=x(1)x(2)=Ｇ^2 だから等号成立、Ｆ=1.
　nに対して成り立つとする。x(n+1)=x ' とおくと n+1 に対しては
　Ａ' = (nＡ+ x ')/(n+1), Ｇ ' = (Ｇ^n･x ')^(1/(n+1)), Ｈ ' = Ｈ(n+1)x '/(Ｈ+nx ').
　Ｆ/Ｆ ' = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}(Ｈ+nx ') = {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ -(Ａ-Ｈ)/(n+1)}
　≦ {Ａ^(n-1)/Ａ'^n}{nＡ' -(n-1)Ａ} = {nt-(n-1)}/(t^n) ≦ 1, ここに t≡Ａ'/Ａ. (←★)
　∴ Ｆ '≧Ｆ≧…≧1.
　x(k) の代わりに 1/x(k) を考えれば、右側も示せる。(終)
ぬるぽ

>200 (>201の補足)　

【補題】Ａ≧Ｈ.
　(略証) Ａ／Ｈ = (1/n^2){Σ[i=1,n] x(i)}{Σ[j=1,n] 1/x(j)}
　= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)/x(j) +x(j)/x(i) -2}
　= 1 + (1/n^2)Σ[i<j] {x(i)-x(j)}^2 /[x(i)x(j)] ≧ 1. (終)

>200 (>201の補足)
【★】　t > -1 ⇒ t^n ≧ nt -(n-1).
(略証)
(i) t≧1のとき
　t^(n-1) + t^(n-2) + ... + t^2 + t + 1 ≧ n.
　の両辺に t-1 をかければ t^n - 1 ≧ nt - n が得られる。
(ii) -1＜t＜1のとき
　1 + t + t^2 + ... + t^(n-2) + t^(n-1) ≦ n.
　の両辺に 1-t をかければ 1 - t^n ≦ n - nt が得られる。
いずれの場合も t^n ≧ nt-(n-1) が成り立つ。　(終)

>>201-203
ありがとうごぜぇます、お代官様。今から読みます。


もう一つ質問。
[前スレ903(3)] 0<x≦π/2 のとき、sin(sin(x))<tanh(x) の解答 [前スレ909] において

>　f(y)=arcsin(arcsin(y)), g(y)=arctanh(y)=(1/2)Ln{(1+y)/(1-y)} とおく。arcsin(y)>y より
>　f '(y) = 1/√{1-arcsin(y)^2}・1/√(1-y^2) > 1/(1-y^2) = g '(y).
>　これと f(0)=0=g(0) から 0<y≦sin(1) ⇒ f(y)>g(y).

f(y)=arcsin(arcsin(y)) の逆関数は sin(sin(x)) になるのですか？

>>204
当たり前やわな。すまそ。

>>31
なるほど、難しいですね。
証明を追いかけるので精一杯ですだ。

>206
　元々の >1 を示す問題はそれ程でも無いんだが >>29-30
　欲張って ≧tan(α) まで出そうとするから大変なことに。。。
　（斜に構えればすぐ見えるかも）
>205
　どう致しまして。

【１】S(n)=Σ[k=1..n]1/k^2, A=π^2/6 とすると、
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<S(n)<A{1-1/(2n+1)^2}

【２】∫[0..1] x/cos(x) dx < log2

>>208 【２】
まず、x≧0 において cos x ≧ 1-(x^2)/2 を示す
f(x) = （左辺）-（右辺） とおいて、微分すれば（以下略）
したがって、
　∫[0..1] x/cos(x) dx <∫[0..1] x/{1-(x^2)/2} dx = log2

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>208 【２】
　調子に乗って下限も出しますた…
　0<a<√2 とする。

〔補題〕 x≧0 のとき 1 -(x^2)/2 +(x^4)/24 ≧ cos(x) ≧ 1 -(x^2)/2.
(略証) cos(x)≦1 を2回積分すると -cos(x)≦(x^2)/2 -1, さらに2回積分すると cos(x)≦(x^4)/24 -(x^2)/2 +1. (終)

x/{1 -(x^2)/2 +(x^4)/24}
　= (√3)［ x/{3-√3 -(x^2)/2} -x/{3+√3 -(x^2)/2} ］< x/cos(x) < x/{1-(x^2)/2}.
∴　(√3)［ log{(3+√3 -(x^2)/2)/(3-√3 -(x^2)/2)} ］ < ∫ x/cos(x) dx < ［ -log{1-(x^2)/2} ］.
∴　(√3)［ log{(3+√3 -(a^2)/2)/(3-√3 -(a^2)/2)} -log{(3+√3)/(3-√3)} ］ < ∫_[0..a] x/cos(x) dx < -log{1-(a^2)/2}.

a=1 のとき
　(√3) [ log{(2.5+√3)/(2.5-√3)} - log{(3+√3)/(3-√3)} ] < ∫_[0..1] x/cos(x) dx < log(2).
　0.67508500 < 0.675535 < 0.69314718.

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>210
Σ(ﾟДﾟ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！

>206
　[>31] はハｧハｧして書いたので難解。。。
　改良版 [>>43,>>54] の方が分かり易いと思われ。

>>208
(1)　0<x<π/2において　sin(x)<x<tan(x)　となる。各辺の逆数を取って二乗すれば
cot^2(x)<1/x^2<cosec^2(x)　が得られる。これから
cot^2(kπ/(2n+1))<1/(kπ/(2n+1)^2<cosec^2((kπ/(2n+1))　(k=1,･･･,n)が成り立つ。
k=1,…,nとして和を取れば
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<Σ[k=1,n]cosec^2((kπ/(2n+1))　

1+cot^2(kπ/(2n+1))=cosec^2((kπ/(2n+1))　であるので
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))の値を求めると、
Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3　となる。(計算略)
よって
n(2n-1)/3<Σ[k=1,n]1/(kπ/(2n+1)^2<2n(n+1)/3
が得られるので、これを適当に変形すれば
A{1-(6n+1)/(2n+1)^2}<Σ[k=1,n]1/k^2<A{1-1/(2n+1)^2}
が得られる。

>>208
(1) 別解（三角函数を使わない）

〔補題〕 A - 1/(n+1/2) < S(n) < A - 1/(n+1),　ここに A=(π^2)/6.
　S(n) = 1 + Σ[k=2..n) 1/(k^2) ≦ 1 + Σ[k=2..n] 1/(k^2 -1/4)
　= 1 + Σ[k=2..n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = 1 + 2/3 - 2/(2n+1) ≦ 5/3 (上界).
　有界単調列は収束するから、その極限をζ(2) =A とおく。
　S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{k(k+1)} = A - Σ[k>n] {1/k -1/(k+1)} = A - 1/(n+1).
　S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) > A - Σ[k>n] 1/(k^2 -1/4)
　= A - Σ[k>n] {1/(k -1/2) -1/(k +1/2)} = A - 1/(n +1/2).　(終)

　A -B(6n+1)/(2n+1)^2 < S(n) < A -C/(2n+1)^2 とおくと、(補題)から
　B=6/7<A, C=9/2>A.
ぬるぽ

>>208-210 【２】
さらに調子に乗って、簡単な不等式を作りました。 華麗に証明してね。
　log2 < ∫[0, π/3] x/cos(x) dx < 1

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>208-215
よくみると、それぞれに答案の書き方に違いがあるけど
いったい何人くらい不等式ヲタが生息しているのですか？

>>216
不等式ヲタは群生体だから、無限の知識と無尽蔵の体力を持ってるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは１人２人じゃなく、１ヲタ２ヲタと数えるんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは三角関数や nCr でも ﾊｧﾊｧ しちゃうんだよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式ヲタはデルタ宇宙域からやってきたよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは世界中のあらゆるところから不等式を鬼集してるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは集めた不等式を同化し改良するから、抵抗は無意味だよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式ヲタはちょっとキチガイ入っているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタは他スレを荒らさないから安心してね ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
不等式ヲタのレスの半分は自作自演、残りはなりすましでできてるよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

不等式を見て興奮した君は、すでに不等式ヲタに同化されているよ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
今日から君も不等式ヲタだ ( ﾟ∀ﾟ)９ ﾃﾍｯ

>215
　作られちまったか。生姜ねぇなぁ。
　0<x<π/2　⇒　sin(x) < x < tan(x) を使うだけだが．．．
　∫ sin(x)/cos(x) dx < ∫ x/cos(x) dx < ∫ tan(x)/cos(x) dx.
　log|cos(x)| < ∫ x/cos(x) dx < 1/cos(x)　　〔積分定数はry)〕
[0,π/3] で定積分して、
　log(2) < (与式) < 2-1 =1.
ぬるぽ

非負実数 x, y, z に対して、次式を示せ。
(1) (x^x)*(y^y)*(z^z)*{(x+y+z)^(x+y+z)} ≦ {(x+y)^(x+y)}*{(y+z)^(y+z)}*{(z+x)^(z+x)}
(2) (x^(x^2))*(y^(y^2))*(z^(z^2))*{(x+y+z)^((x+y+z)^2)} ≧ {(x+y)^((x+y)^2)}*{(y+z)^((y+z)^2)}*{(z+x)^((z+x)^2)}
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　ネタを仕入れてきました
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　存分に ﾊｧﾊｧ してください
　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　　　　　　　ﾃﾍｯ！
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

>>213
> Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1))=n(2n-1)/3　となる。(計算略)

詳しくおねがいします （：D）|￣|＿

tanスレ読んで理解したからいいです。すまそ。

>220,221
　N=2n+1 とおく。
　w ≡ cot(kπ/N)^2 = {1+cos(2kπ/N)}/{1-cos(2kπ/N)} ≡ (1+z)/(1-z).
　z=cos(2kπ/N) は f(z)={T_N(z)-1}/(z-1)=0 の根だから、f((w-1)/(w+1))=0.
　両辺に (w+1)^(N-1) を掛けて、w^(N-2) の係数を求めたような稀ガスる。
　ここに T_N(z) は N次のチェビシェフ多項式

　http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Cot/23/01/
　http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Csc/23/01/


>219 の参考に（Hlawkaの不等式）
　|x| + |y| + |z| + |x+y+z| ≧ |x+y| + |y+z| + |z+x|.
　http://www.seriousliving.net/new-315722-14.html

[214]の改良
〔補題〕 A - 1/(n +1/2) < S(n) < A - 1/(n +9/16),　ここに A = Lim[n→∞) S(n).
　k≧2 より k^2 = (k -7/16)(k +9/16) -(1/8)(k - 63/32) < (k -7/16)(k +9/16).
　S(n) = A - Σ[k>n] 1/(k^2) < A - Σ[k>n] 1/{(k -7/16)(k +9/16)} = A - Σ[k>n] {1/(k -7/16) -1/(k +9/16)} = A - 1/(n +9/16).
　左側は [214] を参照.　(終)

二次導関数を持つ関数 f : R→R が任意の x に対し f(x) + f ''(x) ≧ 0 を満たすとき
f(x) + f(x+π) ≧ 0

Re:>224
初めにf(x)+f''(x)=0のときf(x)+f(x+π)=0であることに注意しよう。
任意の実数xに対してf(x)+f''(x)≥0のとき、
実数aを任意にとり、g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),g(x)+g''(x)=0となるようなgを選ぶんでh(x)=f(x)-g(x)とおくと、
h(a)=h'(a)=0,任意のxに対してh(x)+h''(x)≥0となる。
a=0の場合だけ示して一般性を失わず、
結局任意のxに対してf(x)+f''(x)≥0で、f(0)=f'(0)=0のときf(π)≥0であることを示せばよいことがわかった。
g(x)=f(x)+f''(x)とおいて、f(x)=a(x)cos(x)+b(x)sin(x)とおくと、
(続きは誰かやってくれ。)

(ܷܵܶ∀ܷܵܶ)

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）をｘで偏微分してｙで偏微分して
ｚで偏微分したものをｈ（ｘ，ｙ，ｚ）とし
［ａ（０），ａ（１）］×［ｂ（０），ｂ（１）］×［ｃ（０），（１）］で
０≦ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）とする。
ｆ（ａ（ｉ），ｂ（ｊ），ｃ（ｋ））をＦ（ｉ，ｊ，ｋ）と略記すると
（ｐ，ｑ，ｒ）∈［ａ（０），ａ（１）］×［ｂ（０），ｂ（１）］×［ｃ（０），ｃ（１）］で
　Ｆ（１，１，１）−Ｆ（１，１，０）−Ｆ（１，０，１）＋Ｆ（１，０，０）
−Ｆ（０，１，１）＋Ｆ（０，１，０）＋Ｆ（０，０，１）−Ｆ（０，０，０）
＝（ａ（１）−ａ（０））（ｂ（１）−ｂ（０））（ｃ（１）−ｃ（０））ｈ（ｐ，ｑ，ｒ）
となる（ｐ，ｑ，ｒ）があるので
　Ｆ（１，１，１）＋Ｆ（１，０，０）＋Ｆ（０，１，０）＋Ｆ（０，０，１）
≧Ｆ（１，１，０）＋Ｆ（１，０，１）＋Ｆ（０，１，１）＋Ｆ（０，０，０）。

ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）のときｈ（ｘ，ｙ，ｚ）＝Ｄ＾３ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）。

ｇ（ｗ）＝ｗｌｏｇ（ｗ）のときＤ＾３ｇ（ｗ）＝−１／ｗ＾２なので
　ｇ（ｘ＋ｙ＋ｚ）＋ｇ（ｘ）＋ｇ（ｙ）＋ｇ（ｚ）
≦ｇ（ｘ＋ｙ）＋ｇ（ｘ＋ｚ）＋ｇ（ｙ＋ｚ）＋ｇ（０）から
（ｘ＋ｙ＋ｚ）＾（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ＾ｘ）（ｙ＾ｙ）（ｚ＾ｚ）
≦（ｘ＋ｙ）＾（ｘ＋ｙ）（ｘ＋ｚ）＾（ｘ＋ｚ）（ｙ＋ｚ）＾（ｙ＋ｚ）。

【問題】
任意の正の数 a, b, c と自然数 n に対して、次式を華麗に証明せよ。
　a/(1+a^n) + b/(1+b^n) +c/(1+c^n) ≧ (a+b+c)/{1+(a+b+c)^n}

絶対値の問題で似たようなやつがあったね。

Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.

Re:>228 a/(1+a^n)+b/(1+b^n)+c/(1+c^n)≥a/(1+(a+b+c)^n)+b/(1+(a+b+c)^n)+c/(1+(a+b+c)^n),a>0,b>0,c>0,n≥0.

>>229
自然数に0を入れなければ

正数 a,b,c と自然数 n に対して、
　a/(1+a^n) + b/(1+b^n) + c/(1+c^n) ＞ (a+b+c)/(1+(a+b+c)^n)
ということですよね。

Re:>231 そうだな。しかし、[>228]は何のつもりで書いたのだろう？

>>230-231

正数 a_k (k=1,2,...,N) と非負整数 n に対して、
　Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
　等号はn＝0のときのみ
ということですね。

nが負の整数だったら不等号はどうなりますかいの

Re:>235 お前誰だよ？

　

>>234
正数 a_k (k=1,2,...,N) について、

・非負整数 n に対して、
　　Σ(a_k/(1+a_k^n)) ≧ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)
　　等号はn＝0のときのみ
・負の整数 n に対して、
　Σ(a_k/(1+a_k^n)) ＜ (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n)

でつよね。

>231,233,237
正数 a_k (k=1,2,…,N) について、

・0<n≦1 に対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
　等号成立は a_k=(定数) のとき
・-1≦n<0 に対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
　等号成立は a_k=(定数) のとき

でつよね。

>231,233,237
0< a_k ≦1 (k=1,2,…,N) について、

・正の整数nに対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≧ Σ(a_k/(1+a_k^n)) > (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).
・負の整数nに対して、
　(Σa_k)/{1+((Σa_k)/N)^n} ≦ Σ(a_k/(1+a_k^n)) < (Σa_k)/(1+(Σa_k)^n).

　等号成立は a_k=(定数) のとき

でつよね。

Re:>235 いいからそのハンドルネームをやめろ。

　　　　∧__∧
　　　 (｀･ω･´)　荒らしはとっとと消え失せぇぃ！
　　　.ノ^　yヽ、
　　　ヽ,,ﾉ==l ﾉ
　　　　/ 　l |
"""~""""""~"""~"""~"

ＮＧネームに登録されてる人は、真面目にレスするときは名無しで発言してくだちゃい。
いちいちＩＥで見るのはメンドウでつよね。

>>219
(1)　x(x+y+z) < x(x+y+z) + yz = (x+y)(x+z)　をx乗する。そして循環的に掛ける。

(2)　例によって x+y+z=s とおく。
　（補題）の式に s^(xy) > (x+y)^(xy)　を掛けて、
　　z^(z^2)･s^(2xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)･(x+y)^(2xy).
　これを循環的に掛ける。
ぬるぽ

【補題】z^(z^2)･s^(xy+z^2) > [(x+z)(y+z)]^(z^2)･(x+y)^(xy).
(略証)
　２項定理より、a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
　　s^a =((x+y)+z)^a = (1+ z/(x+y))^a･(x+y)^a > (1+az/(x+y))･(x+y)^a = (x+y+az)･(x+y)^(a-1).
　ここで a=1 + xy/(z^2) とおくと
　　z･s^(1 +xy/(z^2)) > (x+z)(y+z)･(x+y)^(xy/(z^2)).
　これを z^2 乗する。(終)

↑の補足でつ。。。

【補題】a>1, d>-1 のとき (1+d)^a ≧ 1+ad.
(略証1)　f(v) = (1+v)^a とおくと f "(v)=a(a-1)(1+v)^(a-2) >0.
　　∴ f は下に凸､ (1+d)^a = f(d) ≧ f(0) + f '(0)d = 1+ad,
　　等号成立は d=0 のとき。
(略証2)　aが有理数のときは a=1+(n/m) (m,n は自然数)とおく。
　　1,…,1, 1+ad,…,1+ad (n個:m個)の相加相乗平均より、
　　1+d = {n+m(1+ad)}/(m+n) ≧ (1+ad)^{m/(m+n)} ≦ (1+ad)^(1/a),
　　これを a乗する。(終)

凸函数ヲタ向けの補足。。。

【補題】a>1, d>0 のとき (1+d)^a > 1+ad.
(略証3) log(1+v) は上に凸だから, Jensenより,
　a･log(1+d) > log(1+ad) + (a-1)log(1) = log(1+ad). (終)

414 ：お願いします ：皇紀2665/04/01(金) 18:34:24
a>0, b>0 のとき
　(a+1/a)^2 + (b+1/b)^2 ≧ 25/2 =12.5
を証明してくださいです。。。

さくらスレ１６１
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111594072/417

415 ：４１４：皇紀2665/04/01(金) 18:38:11
a+b=4 という条件が抜けてました。
これが無けりゃ8になっちゃう。

さくらスレ１６１
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111594072/414-415

>>208 【２】
又々さらに調子に乗って上限も改良しますた。 消して鰈ぢゃねゑが。。。
　Ｉ ≡ ∫_[0..a] x/cos(x) dx.

〔補題〕x>0 で cos(x) > 1 -(1/2)x^2 +(1/24)x^4 -(1/720)x^6.
(略証) -cos(x) ≧ -1 を6回積分する。始点はx=0とする。(終)

　x^2=X とおくと 右辺は 1 -(1/2)X +(1/24)X^2 -(1/720)X^3 ≡ f(X).
実根を ±r とすると、r = √R = 1.5699058251612… < π/2.
　〔∵ R = 10 + 2{5(3√14 -11)}^(1/3) - 2{5(3√14 +11)}^(1/3) 〜 2.4646 〕

　f(X) = (1 -X/R)g(X) とおける。　　　(← 因数定理)
　g(X) ≡ 1 - (1/2 -1/R)X + (R/720)X^2 = (R/720){Γ^2 + (Xo-X)^2} > 0.
　g '(X) = -(1/2 -1/R) + (R/360)X.
　ここに、Xo = (360/R)(1/2 -1/R) = 13.767697850062…, Γ = √(720/R -Xo^2) = 10.128506369060… とおいた。
　1/f を部分分数に分けて、
　1/f(X) = 2(b/R)/(1 -X/R) + [bg '(X) - b(3/R -1/2) + 1]/g(X),
　ここに、b = R/[6-2R+(1/12)R^2] = 1.562862462858….
　∴ Ｉ < ∫_[0..a] x/f(x^2) dx = (1/2)∫_[0..a^2] 1/f(X) dX
　　=［ -blog(1 -X/R) + (1/2)blog(g(X)) + [b(3/R -1/2)-1](360/RΓ)arctan{(Xo-X)/Γ} ］(X:0→a^2)
　　= -blog(1 -a^2/R) + (1/2)blog(g(a^2)) + 1.7441051997288…arctan{(Xo -a^2)/Γ}.

a=1 のとき
　0.675085000630… < I < 0.67554170686288… < 0.69314718055994…　〔 I≒0.675535 〕

>>219 (1)の系
【系】正の実数 x,y,z に対して x+y+z=s とおくとき、
　C ≦ (s/√3)^(2s) < (x^x)(y^y)(z^z)(s^s) < {(x+y)^(x+y)}{(y+z)^(y+z)}{(z+x)^(z+x)} < (A_x)^x (A_y)^y (A_z)^z < s^(2s).
　ここに A_x=(s^2 +x^2)/2, A_y=(s^2 +y^2)/2, A_z=(s^2 +z^2)/2, C=exp{-2(√3)/e}.
(略証)　左から
　v･Log(v) ≧ -1/e より. (等号は s/√3 = v = 1/e のとき)
　Log は上に凸だからJensenより (x^x)(y^y)(z^z) = -x･Log(1/x) -y･Log(1/y) -z･Log(1/z) > -s･Log(3/s) = s･Log(s/3).
　xs = x(x+y+z) < (x+y)(x+z) < (s^2 +x^2)/2 = A_x < s^2 をx乗する。そして循環的に掛ける。(終)

ハｧハｧ…

幾何学的不等式への招待
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hutou1.htm

絵が描けないから、どうしても代数と解析に偏ってしまう...orz

グッジョブ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>250 の入口

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/index.htm
→ ■今月のコラム（閑話休題）→ 2002年のコラム → 12,13

一辺１の正方形ABCDの内部にP、Qをとる。このとき
13(PA＋QC)＋14PQ＋15(PB＋QD)＞38
って成り立ちますか？

>253
成田つね。　(左辺) ≧ 2√(13^2 +14^2) = 2√365 = 38.2099463490856…

等号条件が複雑...
　cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13,　sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
　cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5,　sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
　cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65,　sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65.
　PA=QC≒0.595394711946…, PB=QD≒0.556137917752…, PQ≒0.215912368068…

>>254
どうやったんでつか？

>255
　Ｉ(P,Q) = 13(PA+QC) + 14PQ + 15(PB+QD) を P,Qで微分する。
　(grad_P)Ｉ = -13ｅ↑(PA) - 14ｅ↑(PQ) - 15ｅ↑(PB)
　点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、grad Ｉは△の方を向く。∴ Pが△AQBから遠い程Ｉは大きい。
　点Pが△AQBの外部や辺上にあるとき、Ｉは極小でない。
　(grad_Q)Ｉ = -13ｅ↑(QC) - 14ｅ↑(QP) - 15ｅ↑(QD) についても同様。
　極小位置では (grad_P)Ｉ = ０↑ だから、第二余弦定理より、
　cos(∠APQ) = cos(∠CQP) = -5/13,　 sin(∠APQ)= sin(∠CQP)= 12/13,
　cos(∠BPQ) = cos(∠DQP) = -3/5,　　sin(∠BPQ) = sin(∠CQP)= 4/5,
　cos(∠APB) = cos(∠CQD) = -33/65,　sin(∠APB) = sin(∠CQD) = 56/65,
　cos(∠BAP) = cos(∠DCQ) = 218/(13√365)， sin(∠BAP)= sin(∠DCQ) = 119/(13√365),
　cos(∠ABP) = cos(∠CDQ) = 82/(5√365),　　sin(∠ABP) = sin(∠CDQ) = 49/(5√365),
　PA = QC = 91/(8√365), PB = QD = 85/(8√365), PQ = 66/(8√365) (←死んでお詫びを･･･AA省略)
　∴ (左辺) = { 13(91+91) + 14･66 + 15(85+85) }/(8√365) = 2√365.
ぬるぽ

一辺１の正方形ABCDの辺上に2点P、Qをとる。このとき
　13(PA + QC) + 14PQ + 15(PB + QD) ≧ 28 + 8√3　(=41.85640646055…)
って成り立ちますか？

ａ,ｂ,ｃが実数で、ａ^2＞ｂｃ,ａｃ＞ｂ^2ならばａ≠ｂであることを証明するには、どんな考え方をすればよろしいのでしょう？

ｻｹﾞ忘れ

>258
　0 < (a^2 -bc) + (ac-b^2) = (a-b)(a+b+c) ∴ a-b≠0 とか.

あげ

>258 ↓で

ハイリホー♪
http://hobby5.2ch.net/test/read.cgi/knife/1108152339/8-11
http://that3.2ch.net/test/read.cgi/sepia/1066654353/38
http://www.yomiuri.co.jp/komachi/reader/200409/2004092600079.htm#0008
http://homepage2.nifty.com/-kasi-/200410.htm　のスパイシー10/26

>>256
�dクスですぬるぽ神。　

関数 f : R→R が任意のxに対して f(3x)=3f(x)-4f(x)^3 を満たし、
x=0 で連続のとき、 |f(x)|≦1

>264
g(x) = 1-f(x)^2 とおく。
題意により、 g(3x) = g(x){4g(x)-3}^2 だから、g(x)≧0 ⇒ g(3x)≧0.
(略証)
　g(0)=1 より、あるε>0 があって、 |x|≦ε ⇒ g(x)>0.
　任意のx∈Rに対し、 n > Ln(x/ε) となる n(x)∈N が存在する。（←アルキメデスの原理）
　ところで、g(ε)>0 と上記により、|x| ≦ (e^ｎ)ε < (3^n)ε ⇒ g(x)≧0.
　∴ x∈R ⇒ g(x)≧0 ⇔ |f(x)|≦1.

(訂正)
　f(3･0)=3f(0)-4f(0)^3 より f(0)^2 =0, 1/2　∴ g(0)=1, 1/2 ですた。

「すべてのｘに対して、ａｘ^2−ｘ＋２ａ＞０」が偽であるようなａの値の範囲は、『−√2/４≦ａ≦√2/４』であってますか？

不等式だったら何でもここに書いていいわけじゃないぞ！
質問スレに逝け、クズ！

>267 ↓のあたりに回答

さくらスレ１６２
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1113314531/38-39

Re:>261 お前誰だよ？

連続関数 f : I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y)+yf(x)≦1 を満たすとき
∫[0,1]f(x)dx≦π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。

>271
　x=cosθ, y=sinθ とおき 0<θ<π/2 で積分する。等号成立は f(x)=√(1-x^2) のとき

>272
　それならｆは↓を満たせば十分か？
(x,y)∈C に対して xf(y)+yf(x)≦1, ここに C={(x,y)|x>0, y>0, x^2+y^2=1}

　そうすると等号条件は↓になるか？
　 f(x) = p√(1-x^2) + q/{2√(1-x^2)} (ただしp+q=1)

| a + b√2 + c√3 | < 10^(-11)
を満たす、すべては0でなく、いずれも絶対値が10^6未満の整数 a,b,c が
存在することを示せ。

>274
A={0,1,2,……,m-1}, S={r+s√2+t√3 | r,s,t∈A} とおく。 #A=m.
r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、#S=(#A)^3=m^3.
Sの任意の要素xは区間 [0,d]の中にある。 d≡(1+√2+√3)(m-1).
この区間を(#S-1)等分すると、Sのある2つの元が同じ小区間内に存在する。　←鳩ノ巣原理(ディリクレ)
小区間の幅は d/(#S-1) = (1+√2+√3)/(m^2 +m+1) < 4.1462643…/[m(m+1)].
0< |x-y| ≦ d/(#S-1) となるので、x-y, y-xが求めるものである。(終)

秋山＋富蘭:[完全攻略] 数学オリンピック, p.47-48, 日本評論社(1991.11)

>274 (補足)
> r+s√2+t√3 の値はすべて相異なるから、

【補題】{1,√2,√3}はQ上1次独立
(略証) r+s√2+t√3 = 0, r,s,t∈Qとする。
r,s,tのうちの2つが0なら残りも0.
st≠0 のとき √6 = {r^2 -2s^2 -3t^2}/(2st) ∈Q
s=0, t≠0 のとき √3 = -r/t ∈Q
s≠0, t=0 のとき √2 = -r/s ∈Q
いづれも矛盾なので、 s=t=0, r=0 (終)

【問題】 \sqrt[3]{10} と \sqrt[3]{3/2}+1 の大小を華麗に評価せよ。

0<b<1 のとき y=x^b は上に凸ゆえ、2{(a+1)/2}^b > a^b +1. a=3/2, b=1/3 とおく。

(1) f(x)を無限回微分可能な関数、f(-1)=f(1)=0とする。
|∫[-√3,√3]f(x)dx|≦A
を満たす定数Aの最小値を求めよ。

(2) 辺の長さが1の正方形の内部に n (>2) 個の点を取る。このとき、
これらに適当に P(1) , P(2) , ... , P(n) と名前を付けて、
Σ[k=1,n] |P(k-1)P(k)|^2 ≦ 4 とできることを示せ。　但し、P(0)=P(n)

>>279
|∫[-√3,√3]f(x)dx|
は幾らでも大きくなりうる

いまさらこんな問題で俺様が釣ら…ｸﾏｰ
http://www.springer-tokyo.co.jp/contest/contest8.pdf

>281
第８回シュプリンガー数学コンテスト
【問題】
　a,b,cを3角形の3辺の長さとする。このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
　3/2 ≦ a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) ≦ 2.

　→詳しくは　http://www.springer-tokyo.co.jp/contest.html

>281-282
いまさらこんな問題で俺様が釣ら…

[左側]（Shapiroの巡回不等式）.
　(�@) 与式 = 2s{1/(b+c) +1/(c+a) +1/(a+b)} -3 として相加･調和平均.
　(�A) f(x)=x/(2s-x) は下に凸. (0<x<2s=a+b+c)

[右側]
　三角不等式から (分母) ≧ (a+b+c)/2 =s.

クマー！

>281-282

[定理]
　n≦13と正の数a_kに対して
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/2.

　[1] H.S.Shapiro: "Problem 4603." Amer. Math. Monthly, ６１, p.571 (1954).
　[2] http://mathworld.wolfram.com/ShapirosCyclicSumConstant.html
　[3] ｢不等式への招待｣, 大関信雄･大関清太, 近代科学社 (1987.10), p.28-30


[類題]　[ASU 1969.14]
　正の数a_kに対して
　a_1/(a_2+a_3) + a_2/(a_3+a_4) + … + a_n/(a_1+a_2) ≧ n/3.

　[前スレ.497(2) & 501]

巡回不等式って、なんとなくエロくてたまらん。
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ

(1) [Moldova Olympiads 2002]
3≧a≧b≧c≧0 のとき、
　 (a- b)/(a^2-9) + (a-c)/(b^2-9) + (b-c)/(c^2-9) ≦ 36

(2) a, b, c > 0、a+b+c=1 のとき、
　 1/(a+bc+3abc) + 1/(b+ca+3abc) +1/(c+ab+3abc) ≦ 1/(ab+bc+ca+abc)

(3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
　 (2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)

ひさびさの不等式ヲタです ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　ネタを仕入れてきました
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　存分に ﾊｧﾊｧ してください
　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　　　　　　　ﾃﾍｯ！
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

>286 (2)
　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。さらに st+3u=X とおく。
　(左辺) = 1/(a^2･s +X) +1/(b^2･s +X) +1/(c^2･s +X)
　= {(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}/{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3}.
　(右辺) = ２/(st+u) と思われ...
　∴ 2s{(s^3)(u^2) +(t^2 -2su)(s^2)X +(s^2 -2t)sX^2 +X^3} - (st+u){(t^2 -2su)(s^2) +2(s^2 -2t)sX +3X^2}
　= …… = (u^2){4(s^3 -4st+9u) +(st-9u)} + 2(s^2)tu(s^2 -3t) ≧0.
　∴ (左辺) ≦ (右辺), 等号成立は a=b=c のとき。

ひさびさの ハｧハｧ です。

　(1) の左辺は分子が正、分母が負になる洋館

条件を書き間違えていました。 0≦a≦b≦c≦3 でした。 （切腹 AA略）

>289
　286(1)は
　　(b-a)(9-a^2) + (c-a)(9-b^2) + (c-b)(9-c^2) < 36.
　を示す問題ぢゃない?

実は (1) はまだ解いてないから、右辺がいくらになるのか知らな…

>290 (286(1)+289)
　左辺は, aについては単調減少, bについては b=b0=(c+a)/2 で極大.
　(左辺) = (c-a){18 -a^2 -b^2 -2b0(c-b)} = (c-a){18 -(3/4)(c-a)^2 -2ac -(b-b0)^2}
　= 18t -(3/4)t^3 - �� = f(t) -�� = 24√2 - (3/4)(4√2 +t)(2√2 -t)^2 -��.
　ここに t=c-a≧0, ��=t{2ac+(b-b0)^2}≧0.
∴ (左辺) ≦ 24√2 < 34,
　等号成立は ��=0 より a=0, b=b0=(c+a)/2, c=a+2√2 のとき。

http://www.mathlinks.ro/Forum/topic-3673.html
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/topic-3673.html

>>292
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！

【Ｑ２】
　f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k･z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
　このとき |a_2|≦2, 等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotationに限る。
　を示してくださいです。

exp(-iθ)･f(exp(iθ)z) を f(z)のrotationとか言うらしい。

ヒント
【面積定理】
　g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とする。このとき
　Σ[k=1,∞) k･|b_k|^2 ≦ 1.

http://mathworld.wolfram.com/BieberbachConjecture.html
L.Bieberbach: "Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln."
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., p.940-955, (1916).

【Ｑ４】
　f(z) = z + Σ[k=2,∞) a_k･z^k は |z|<1で正則な一価函数としまつ。
　このとき |a_4|≦4, 　等号成立は Koebe函数 z/(1-z)^2 のrotation に限る。
　を示してくださいです。

ヒント
【面積定理の拡張】(Grunsky)
　g(z) = z + Σ[k=0,∞) b_k/z^k は |z|>1で正則な一価函数とし、
　Ln{[g(w)-g(z)]/(w-z)} = - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(w^j)(z^k)] とおく。このとき
　|ΣΣ[j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)･x_j･x_k| ≦ Σ[k=1,N] (1/k)|x_k|^2.

http://mathworld.wolfram.com/BieberbachConjecture.html
R.Garabedian and M.Schiffer: "A proof of the Bieberbach conjecture for the fourth coefficient." J.Rational Mech.Anal.,４,p.427-465(1955)
L.de Branges: "A proof of the Bieberbach conjecture." Acta Math.,１５４, p.137-152, (1985).

〔294の補足〕
CをJordan閉曲線とする。Cの内部の面積Sはストークスの公式より
　S = ∬ 1 dxdy = �点C (xdy-ydx) = -(i/2)�点C (x-iy)(dx+idy) = -(i/2)�� z~･dz.　(z=x+iy)
また、∂{P'(z)･P(z)~}/∂z~ = P'(z)･P'(z)~ = |P'(z)|^2 より
　0 ≦ ∬_C |P'(z)|^2 dxdy = -(i/2)�点C P'(z)･P(z)~･dz.

〔面積定理〕
円周C(r) = {z,| ‖z‖=r>1}とする。w=g(z) によるC(r)の像D(r)の面積は
S(r) = ∬_D 1･dudv = -(i/2)�点D w~･dw = -(i/2)�点C g(z)~･g'(z)･dz
これに g(z) = z + �納k=0,∞) b_k/(z^k) を代入し、円周C(r) = { z=r･exp(iθ) | 0<θ<2π} で積分すると、
S(r) = π{r^2 - �納k=1,∞) k･|b_k|^2 /r^(2k)}
よって r→1 として所期の不等式を得る。(終)

〔295の補足〕
〔面積定理の拡張〕(Grunsky)
　Ln{[g(ζ)-g(z)]/(ζ-z)} ≡ - ΣΣ[j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[(ζ^j)(z^k)]
は {|z|>1,|ζ|>1} で正則であり、γ_(j,k)=γ_(k,j). （Grunsky係数とか言うらしい.）
さて、これをζで微分することにより
　ζ･g'(ζ)/[g(ζ)-g(z)] = ζ/(ζ-z) + �這納j=1,∞)[k=1,∞) γ_(j,k)/[j(ζ^j)(z^k)] ≡ �納j=1,∞) F_j(g(z))/ζ^j,
　を得る。ここに F_j(g(z)) = z^j + j�納k=1,∞) γ_(j,k)/(z^k) はg(z)の多項式である。（j次のFaber多項式とか言うらしい.）
　F_1(w)=w-b_0, F_2(w)=(w-b_0)^2 -2b_1, …, F_j(w)=w^j + …
　N次の多項式P(w)を Faber多項式の一次結合に展開する。係数をλ_k として
　P(g(z)) = �納k=1,N] (1/k)λ_k･F_k(g(z)) = �納k=1,N] (1/k)λ_k･z^k + �納k=1,∞) β_j /z^j, β_j = �納k=1,N] γ_(k,j)･λ_k.
　0 ≦ ∬_D |P'(w)|^2 dudv = -(i/2)�点D P'(w)･P(w)~･dw = π{�納k=1,∞) (1/k)|λ_k|^2･r^(2k) - �納j=1,∞) j|β_j|^2 /r^(2j)} .
　よって r→1 として (左辺) = �納j=1,∞) j|β_j|^2 ≦ �納k=1,N] (1/k)|λ_k|^2 = (右辺) を得る。
　一方、シュワルツの不等式から (左辺)*(右辺) ≧ | �納j=1,N]β_j･λ_j |^2.
　∴ | �這納j=1,N][k=1,N] γ_(j,k)･λ_j･λ_k | = | �納j=1,N] β_j･λ_j | ≦ (右辺).
　を得る。（Grunsky不等式とか言うらしい.）　(終)

(文献)
　小中澤: ｢函数論と不等式｣, 数理科学, ３３(8), 特集･現代の不等式, p.25-29 (1995.8)
　R.N.Pederson: "On unitary properties of Grunsky's matrix." Arch. Rational Mech. Anal.,２９, p.370-377, (1968).

〔294-295 のヒント〕
f(z) を |z|<1 で正則な一価函数とし、g(z) = 1/√f(1/z^2) と置きまつ。
　g(z) は |z|>1 で正則な一価函数となる（奇函数）。
　ﾛｰﾗﾝ係数の関係は、
　 b_1=-(1/2)a_2, b_3=(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3, b_5=(3/4)a_2･a_3 -(5/16)(a_2)^3 -(1/2)a_4,
　　b_{2k} = 0.
　Grunsky係数は、
　　γ_(1,1) = b_1 = -(1/2)a_2,
　　γ_(1,3) = γ_(3,1) = b_3 =(3/8)(a_2)^2 -(1/2)a_3,
　　γ_(3,3) = (1/3)(b_1)^3 + b_1･b_3 + b_5 = -(13/24)(a_2)^3 + a_2･a_3 -(1/2)a_4.
　ついでに N=3, λ_1:λ_2:λ_3 = λ:0:1 と置くといいらしい。

三角函数スレにありますた。

【ネタ】　1994 Russian math. olympiad final round
　cos(cos(cos(cos(x)))) > sin(sin(sin(sin(x)))).

　|x| ≧ |sin(x)| ≧ |sin(sin(x))| ≧ …….
　|t|≦1 ⇒ 0 ≦ cos(t) -√(1-t^2) ≦ 2.
　0.0160822310385 = cos(cos(1)) -sin(1) ≦ cos(cos(sin(x))) -sin(sin(x)) ≦ cos(cos(1)) +sin(1) = 1.6990242006543
　0 ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) -cos(cos(sin(x))) ≦ cos(cos(cos(1))) -cos(1) = 0.11398748462964
　0.1095… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(x))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(1)) = 1.60317735751195
　0.16585… ≦ cos(cos(cos(cos(x)))) - sin(sin(sin(sin(x)))) ≦ cos(cos(1)) +sin(sin(sin(1))) = 1.535983693207

　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/734-735
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/879

三角函数スレにありますた。

【ネタ】 x>0 のとき
　sin(sin(sin(sin(x)))) < (1/2){tanh(x) +x/(1+x^2)} < sin(sin(tanh(x))) < tanh(tanh(x)) < (1/2){Arctan(x) +x/(1+x^2)} ≦ Arctan(tanh(x)) < π/4.

　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/880

　x>0 のとき sin(sin(x)) < tanh(x) < Arctan(x) < Min(x,π/2).
　　(左)　[前スレ.903](3) [前スレ.909]
　　(中) {tanh(x)} ' = 1/cosh(x)^2 = 1/{1+sinh(x)^2} < 1/(1+x^2) ={Arctan(x)} '.

>294
　[298]のようにおくと、b_1=-(1/2)a_2. 面積定理から |b_1|≦1. よって|a_2|≦2 (終)

300げとー.

しょぼいけど、３問

問 A.371
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200504&t=mat&l=en
問 387
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_may.pdf
問 3040
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n4/PDF/v31n4syn.pdf

　　　　　　　 ヽl ヽ　l/i ;;;0i｀　 ヽ_ ! _,.=-､!ヽ l　　　 l　　　 l
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　　　 i 不等式入門 i. |　./　　○i　　ヽ 　 /／　　　　　　　 i
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　　 く丶　.　　　　　　l. l'ゝ､　　○l　　　　/　　　　　　　　　 /
　　 く丶j　/ヘ;;;;;　⊂ニ｀ ヽ.　　 l　　　く __,.-‐つ　　　 _,.-j
　　 く_`j　 ';=r=‐ﾘ ｀--､　　ヽ ○l　　　　{_________________j-''
　　 く__j 　 ヽ二/　 `--､　　 j 　 l　　　　/　　　　　 /
　　　 L________________.｀-､_　　 ＼ l　　　 /　　　　　 /　http://www.morikita.co.jp/cgi-bin/kensaku-bunya2.cgi?id=1456

■ 数学ライブラリー教養篇　不等式入門　POD版

元慶應義塾大学教授　渡部隆一／著
A5判・162頁・定価2940円
ISBN4-627-01049-4 C3341 1969年2月発行

■目次　
算術平均と幾何平均
凸関数
累乗平均
コーシーの不等式
累乗和
ヘルダーの不等式
ミンコフスキーの不等式
積分に関する不等式
対称式に関する不等式

不等式は数学のほとんどあらゆる部門に現われ，その内容も証明方法もきわめて多種多様である.
しかも，ごく簡単な不等式でさえ，意外に証明のやりにくいものが多い．
本書は，不等式の中でも最も基本的で，かつ，有名な算術平均と幾何平均に関する不等式および，
その仲間と考えられるいくつかの初等的な不等式について解説した．
不等式には，その内容はもちろんであるが，その証明方法にきわめて興味深いものが多いので，
本書ではなるべく多くの証明法を紹介するように努めた．

>301
問 387.
　a,b,c,d は実数で av-bu=1 のとき a^2 +u^2 +b^2 +v^2 + au+bv ≧ √3 を示せ.

　a^2 +b^2 =c, u^2 +v^2 =w とおく。
　(au+bv)^2 = cw - |av-bu|^2 = cw -1.
　(左辺) = c+w +(au+bv) = 2･√(cw) ±√(cw-1)
　↓の補題により、 (左辺) ≧ √3, 　等号成立は c=w=2/√3, au+bv=-1/√3, av-bu=1 のとき.
　　(例) a = -b/√3 = u = v/√3 = ±(1/2)√c.

【補題】 x≧1 のとき 2√x -√(x-1) ≧ √3.
(略証) y=√x は上に凸だから
　√(x-1) + √3 = √(x-1) + 3･√(1/3) ≦ 4･√(x/4) = 2√x, 等号成立は x=4/3 のとき.(終)

π(n)をnを超えない素数の個数とする。

n^( π(2n)-π(n) ) ＜ 4^n

を示せ

【問題】 実数値関数 f(x, y) = (x+2y+3)/(x^2 + 2y^2 + 3)
のとりうる値の範囲の求め方を、いろいろな方法でキボンヌ。

>306
　とりあえず一つ。
　u=(x+2y)/√6, v=(y-x)√(2/3) のように直交変換すると
　f(x,y) = (u√6 +3)/(2u^2 +v^2 +3) ≡ g(u,v).
　v≠0 のとき |g(u,v)| < |g(u,0)| なので、g(u,0) を考えれば十分。
-(√2-1)/2=a, (√2+1)/2=b とおくと ab=-1.
　b(2u^2 +3) - (u√6 +3) = 2b(u +(a/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≦ b.
　 (u√6 +3) -a(2u^2 +3) = -2a(u +(b/2)√6)^2 ≧0 より g(u,0) ≧ a.
　∴ a ≦ g(u,0) ≦ b,
　等号成立は (u,v)=(-(b/2)√6, 0) 及び (-(a/2)√6, 0).
　∴ -0.20710678118655… = a ≦ f(x,y) ≦ b = 1.2071067811865…

>>306
最大値を求めてみました。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

x+2y = z とおくと、
　 x^2 + 2y^2 = (z-2y)^2 + 2y^2 = 6(y- z/3)^2 + (z^2)/3
だから、 x = y = z/3 で最小値 (z^2)/3 をとるから、
　 f(x, y) = (z+3)/(x^2 +2y^2 +3) ≦ (z+3)/{(z^2)/3 +3} = 3(z+3)/(z^2 +9) … [1]
実数 z が変化するとき、[1] の右辺の最大値は、z+3 > 0 の場合を考えればよい。
　 3(z+3)/(z^2 + 9) = 3(z+3)/{(z+3)^2 -6(z+3) +18} = 3/{(z+3) +18/(z+3) -6} … [2]
z+3 > 0 より、相加平均・相乗平均の関係から、
　 (z+3) +18/(z+3) ≧ 2・\sqrt{(z+3)・18/(z+3)} = 6√2
が成り立つ。等号は z+3 = 18/(z+3) かつ z+3 > 0 より z = 3√2のとき。 したがって
　 [2] ≦ 3/(6√2 -6) = (√2 +1)/2 … [3]
以上より、 f(x, y) ≦ (√2 +1)/2 である。
　 等号成立条件は、 [1]、[3] の両方で等号が成り立つときで x = y = z/3 = √2 -1 のとき。
ゆえに、最大値は f(√2 -1, √2 -1) = (√2 +1)/2

>301
問 A.371' 実数a,b,cについて a+b+c+1≧0, a+b≦c+1, b+c≦a+1, c+a≦b+1 が与えられている。次を示せ。
　a^2 +b^2 +c^2 ≦ 2abc +1.

(略証)　a+b+c+1=s, (a+1)-(b+c)=x, (b+1)-(c+a)=y, (c+1)-(a+b)=z とおくと
　1-c=(x+y)/2, 1+c=(z+s)/2.
　�� ≡ (2abc +1) - (a^2 +b^2 +c^2) = (1-c^2) - [(1-c)/2](a+b)^2 - [(1+c)/2](a-b)^2
　= [(1-c)/2]{(c+1)^2 -(a+b)^2} + [(1+c)/2]{(1-c)^2 -(a-b)^2}
　= [(1-c)/2](a+b+c+1)[c+1-(a+b)] + [(1+c)/2][b+1-(c+a)][a+1-(b+c)]
　= (1/4)(x+y)sz + (1/4)xy(z+s) = (xyz+xys+xzs+yzs)/4.
　∴ s,x,y,z≧0 ⇒ �凵�0.

　[307]と[308]の関係は: u√2 =(x+2y)/√3 = z/√3, v = (y-x)√(2/3) = (y- z/3)√6.

ハｧハｧ

問 366
　正の実数x,y,z, xyz=1 のと狐に次が成立つような最大の数r キボンヌ。
　(x^2 +y^2 +z^2 +xy+yz+zx)/(√x +√y +√z) ≧r.

　http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_feb.pdf

しょぼいけど、２問

問 B.3821
　正の数a,b,cは正の数で a^2+b^2+c^2=1 とする。次の和の最小値 キボンヌ
　S = ab/c + bc/a + ca/b.

問 B.3829
　a_1,a_2,……,a_n を正の数とせよ。次を示せ。
　Σ[k=1,n] (a_k)^2／(a_k +a_{k+1}) ≧ (1/2)(a_1 + a_2 +……+ a_n).
　a_{n+1} = a_1.

http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200504&t=mat&l=en
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200505&t=mat&l=en

>301
問 3040
　左辺をF(a,b,c), 1/a-1/b=x, 1/b-1/c=y とおく。
　{a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは a<b<c の場合、を示す。
　F(a,b,c) - F(a,c,b) = (1+1/a)y,
　F(a,b,c) - F(c,b,a) = 2(2+1/b)(x+y),
　F(a,b,c) - F(b,a,c) = (3+1/c)x,
　F(a,b,c) - F(b,c,a) = (3+1/c)x + (1+1/b)(x+y),
　F(a,b,c) - F(c,a,b) = (3+1/b)(x+y) + (1+1/a)y.
　∴ {a,b,c}を入れ替えたときF(a,b,c)が最大になるのは x>0,y>0 のとき。
　∴ a<b<c としてよい。a≦2, b≦3, c≦4. F(a,b,c) は a,b,cについて単調減少だから、
　F(a,b,c) ≦ F(2,b,c) ≦ F(2,3,c) ≦ F(2,3,4) = (3/2)(7/3)(13/4) = 91/8.

( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ

問題は↓ですた。

問 3040
　3つの相異なる自然数 a,b,c>1 について次を示せ。
　　 (1+1/a)(2+1/b)(3+1/c) ≦ 91/8.

【abcd不等式(2)】 (saikorodeka)
　a,b,c,d≧0 かつ 右辺の各因子≧0 のとき
　abcd ≧ (a+b+c-2d)(b+c+d-2a)(c+d+a-2b)(d+a+b-2c).

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=175

21.
　a,b,c≧0 のとき (bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.

30. （USAMO 1977/5)
　0<p≦a,b,c,d,e≦q のとき
　(a+b+c+d+e)(1/a +1/b +1/c +1/d +1/e) ≦ 25 + 6(p/q +q/p -2).

　http://mathcircle.berkeley.edu/inequalities.ps

y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。

誤爆スマソ

このスレは無限に降下する...

【問題】
　u,v,x,y∈Ｚ, u^2+v^2=x^2, u^2-v^2=y^2 ⇒ v=0

さくらスレ１６６
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1117681200/383


証明は >>395-398 をご覧ください.

>>395で仮定した、x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
　x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
の証明が知りたければ
　http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/node25.html
をご覧ください。

395 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:18:26
>>383
x^2-y^2とx^2+y^2が共に平方数ならばx^2-y^2=ａ^2、x^2+y^2=ｂ^2
したがってｘ^4-ｙ^4=(ｘ^2+ｙ^2)(ｘ^2-ｙ^2)=(ab)^2
したがって、x^4-y^4は平方数である。

以下で、x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないことをいいます。

証明には
x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、
x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること ・・・※
を証明なして使います。


x^4-y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、xの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。

mod　4で考えると、x_0が奇数でy_0が偶数と奇数の場合のみが起こりえます。

y_0が奇数のとき

({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)*({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)={(z_0)/2}^2
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2と{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2の公約数は
x_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)+({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)、y_0=({(x_0)}^2+(y_0)^2}/2)-({(x_0)}^2-(y_0)^2}/2)
の公約数となるので、これは1以外にはありえない。
{(x_0)}^2+(y_0)^2}/2=u^2、{(x_0)}^2-(y_0)^2}/2=v^2
とおくとu^4-v^4=(u^2+v^2)(u^2-v^2)={(x_0)(y_0)}^2
(x_0)^2＞u^2={(x_0)}^2+(y_0)^2}/2となってx_0の最小性に反する。

396 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:19:27
y_0が偶数のとき

(x_0)^2=m^2+n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2-n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)

mが奇数でnが偶数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。

m=s^2-t^2、n=2st、x_0=s^2+t^2
(s、tは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4-v^4となるが、(x_0)^2＞(y_0)^2≧n＞n/2≧uだから、x_0の最小性に反する。

よって示された。

398 ：風あざみ ：2005/06/07(火) 00:26:01
>>395-396より
x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しないから、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0あるいはz=0でなければならない。
仮定よりy≠0だからz=0ゆえにx=y
したがって2x^2=b^2よってb/x=√2

よって、x^2-y^2とx^2+y^2とも平方数ならば、y=0でなければなりません。
したがって、√2が有理数となって不合理。

>311

B.3821
　A=a^2, B=b^2, C=c^2 の基本対称式をA+B+C=s, AB+BC+CA=t, ABC=u とおく。
　t^2 -3su = (AB)^2 +(BC)^2 +(CA)^2 - (A+B+C)ABC = (1/2){A^2(B-C)^2 +B^2(C-A)^2 +C^2(A-B)^2} ≧0.
　t ≧ √(3su).
　与式 = (AB＋BC+CA)/√(ABC) = t/√u ≧ √(3s).

B.3829
　(a_k)^2 /(a_k +a_{k+1}) = (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1} + �兩k ≧ (3/4)a_k -(1/4)a_{k+1}.
　これを循環的にたす。
　なお、�兩k = (a_k -a_{k+1})^2 /[4(a_k +a_{k+1})] ≧ 0.

>315
【21】a,b,c≧0 のとき
　(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ (1/3)(a+b+c)^6 ≦ 27(a^3 +b^3 +c^3)^2.
(略証)　基本対称式を a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
(左側)
　s^2 -3t = (a+b+c)^2 -3(bc+ca+ab) = (1/2){(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2} ≧0.
　∴ t ≦ (1/3)s^2.
(右側)
　9(a^3 +b^3 +c^3) = 9{s(s^2 -3t) +3u} = 9s^3 -27st+27u = s^3 +8(s^3 -4st+9u) +5(st-9u).
　st-9u = (a+b+c)(bc+ca+ab)-9abc = a(b-c)^2 +b(c-a)^2 +c(a-b)^2 ≧0.
　s^3 -4st+9u = a(a-b)(a-c) +b(b-c)(b-a) +c(c-a)(c-b) = a(a-b)^2 +(a-b)(b-c)(a-b+c) +c(b-c)^2 ≧0.
　(↑ bはa,cの間にあるとしてよい. (a-b)(b-c)≧0, a-b+c≧0)
　∴ s^3 ≦ 9(a^3 +b^3 +c^3).

【30】a_1,…,a_n>0 のとき
　n^2 ≦ (a_1 + a_2 + … + a_n)(1/a_1 + 1/a_2 + … + 1/a_n) ≦ n^2 + N(p/q +q/p -2), N=[(n/2)^2]
(略証)
　(中辺) -n^2 = Σ[1≦i<j≦n] (a_i/a_j +a_j/a_i -2) ≡ f(a_1,a_2,…,a_n) とおくと、
f(p,a,q) - 2f(p,q) = f(p,a)+f(a,q)-f(p,q) = -(p+q)(q-a)(a-p)/(paq) ≦0 (反･三角不等式)
　また p≦a_1≦a_2≦……≦a_n≦q としても一般性を失わないから
　f(a_1,…,a_n) ≦ f(p,a_2,…,a_{n-1},q) ≦ f(p,p,a_3,…,a_{n-2},q,q) ≦ ……
　 ≦ f(p,p,…,p,q,…,q,q) = Nf(p,q) = N(p/q +q/p -2).
　nが偶数のとき N=(n/2)^2, nが奇数のとき N={(n+1)/2}{(n-1)/2}=(n^2-1)/4=[(n/2)^2].

訂正、スマソ
【30】0<p≦a_1,…,a_n≦q のとき

>>286 (3)
　a=sin(A), b=sin(B), c=sin(C), d=sin(D) とおくと　0≦a,b,c,d≦1.
　(左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a) ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d)
　= 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)] ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)]
　= [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d) ≦ 4･[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4･(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺).
　等号成立は a=c=0, b=d=1 のとき。
ぬるぽ

>>286 (3)
【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
　4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+b+c)/(2+c+d) + (2+c+d)/(2+d+a) + (2+d+a)/(2+a+b) < 4 +3/2 = 11/2.
　(略証) 　[325]より、(325の左辺) ≦ 2 + 3(a+c)/[2(a+b+c+d)].

[前スレ.818]の拡張 (saikorodeka)

△ABCの3辺を BC=a, CA=b, AB=c, f(x)を単調減少函数とするとき、
(b+c)cos(A)f(a) +(c+a)cos(B)f(b) + (a+b)cos(C)f(c) ≧ af(a) + bf(b) + cf(c).

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=219

>299
　cos(cos(cos(cos(x)))) > |sin(sin(sin(sin(x))))|.

(略証)
　まず cos(cos(u)) ≧ |sin(u)| が成り立つ。
　∵　|t| > |sin(t)| より　1-t^2 < cos(t)^2.
　これに t=cos(u)を入れると…….　( 等号成立は u= (n+1/2)π のとき)
　|sin(u)| も cos(cos(u)) も 0 ≦ u < π/2 では単調増加.

　(左辺) ≧ cos(cos(|sin(x)|)）> |sin(sin(x)| ≧ … ≧ (右辺) または
　(左辺) > |sin(cos(cos(x)))| ≧ sin(|sin(x)|) ≧ … ≧ (右辺).　(終)


三角函数スレ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/937

出題（不等式）
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=230

(続き)
^nでn重合成函数を表わせば

【299の一般化】
　cos^(2n)(x) > |sin^n(x)|.
　n≧4 のとき　cos^(2n)(x) ≧ cos^(2n)(0) > sin^n(π/2) ≧ |sin^n(x)|.
(補足説明)
　0≦x≦π/2 では cos^(2n)(x) も |sin^n(x)| も単調増加ゆえ
　cos^(2n)(0) ≧ cos^8(0) = 0.722102425026708…
　sin^n(π/2) ≦ sin^4(π/2) = 0.678430477358956…

出題（不等式）
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=233

問題[3](1) n≧2のとき
　　π/4 < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1

http://www.math.kyushu-u.ac.jp/gakufu/2004sugakukiso.pdf
九大院、数理学府　H17年度修士　数学基礎科目問題（数学コース）

>>330
グッジョブ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>330 ついでに

【類題】n≧1 のとき
　　1 -(2-√3)/n < ∫_[0,1] √{1 -x^n +x^(2n)} dx < 1

　n=1のときは ∫√(1-x+x^2) dx = (1/2)(x -1/2)√(1-x+x^2) +(3/8)Ln{x -1/2 +√(1-x+x^2)} +c.
　I_1 = 1/2 +(3/8)Ln(3) = 0.9119796082505…
　n≫1では I_n 〜 1 -1/4n らしい.

hint(?)
　3/4 ≦ (3/4) + (1/2-y)^2 = 1-y+y^2 = 1-y(1-y) < 1　(0<y<1).
　1-√(1-z) = z/{1+√(1-z)}.

【220】(saikorodeka)
(π/4)√2=a とおくとき
cos{a*sin(x)} ≧ |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)}.

http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=220
及び 253

>>333
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ

Prob.390
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_jun.pdf
227, 224 など
http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n2.pdf

>333

【220'】(saikorodeka)
0≦a<(π/4)√2 のとき
　cos{a*sin(x)} > |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)} ≧ -sin(a),
　0 ≦ sin(a) < sin(√2 * π/4) = 0.896018935926807….

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=257

nCrスレがないので、ここで…
[11164]
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-06-jun05.pdf

【258'】(saikorodeka)
　0≦a≦π, |x|≦1 のとき、
　2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) + cos{a√(1-x^2)} ≦ 1 +cos(a).

(略証)
　(a/2)|x| ≧ sin{(a/2)|x|} ≧ sin(a/2)･|x|
　1 -(1/2)(ax)^2 ≦ cos(a|x|) = 1 -2sin{(a/2)x}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･x^2.
　1 -(1/2)(a^2)(1-x^2) ≦ cos{a√(1-x^2)} = 1 -2sin{(a/2)√(1-x^2)}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･(1-x^2).
　辺々加えて、2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) +cos{a√(1-x^2)} ≦ 2 -2sin(a/2)^2 = 1 +cos(a).


出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=261

不等式もあるyo.

[11145]
　Ａ(a_1,…,a_n) = (1/n)Σ[i=1,n] a_i
　Ｈ(a_1,…,a_k) = k / Σ[j=1,k] 1/a_j
とおく。
　n≧1, a_1,…,a_n>0 ⇒ Σ[k=1,n] Ｈ(a_1,…,a_k) ≦ c･n･Ａ(a_1,…,a_n)
が成立つような最小のcをキボンヌ.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.4 (Apr 2005)
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-04-apr05.pdf

deadline: August 31, 1995

>>339
問題 [11148] と [11149] にも (´д｀；)ﾊｧﾊｧ しました。まだできてないけど…

>337
[11164]
左辺 = Σ[1≦i≦j≦k≦n] (-1)^(k+1) Ｃ[n,k] 1/(ij)
　　= Σ[i=1,n] 1/i Σ[j=i,n] 1/j Σ[k=j,n] (-1)^(k+1) Ｃ[n,k].
　　に補題↓を3回適用する。

[補題]
　1≦x≦n のとき 　Σ[y=x,n] (-1)^(y+1) Ｃ[n,y] = (-1)^(x+1) Ｃ[n,x] (x/n).
(略証)
　左辺に Ｃ[n,y] = Ｃ[n-1,y-1] + Ｃ[n-1,y] を代入する。ただし Ｃ[n-1,n]=0 とする。
　次に Ｃ[n-1,x-1]=Ｃ[n,x] (x/n) を使う。(終)
　特に x=1 のとき 1+(1-1)^n =1.

(類題)
　�@ Σ[1≦i≦n] (-1)^(i+1) Ｃ[n,i] = 1.
　�A Σ[1≦i≦j≦n] (-1)^(j+1) Ｃ[n,j] 1/i = 1/n.
　�C Σ[i≦i≦j≦k≦L≦n] (-1)^(L+1) Ｃ[n,L] 1/(ijk) = 1/n^3.
　�D Σ[i≦i≦j≦k≦L≦m≦n] (-1)^(m+1) Ｃ[n,m] 1/(ijkL) = 1/n^4.

不等式もあるyo.

[11139]
X_n = {1^p +3^p + … + (2n-1)^p}/{(2n+1)^p + … +(4n-1)^p} は
p>1 または p<0 ⇒ 単調増加,
0<p<1 ⇒ 単調減少.

Amer. Math. Monthly, Vol.112, No.3 (2005 Mar)
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/problems/am_math_mon-112-03-mar05.pdf

Y_n = 1 +1/X_n を考え 加比の理を使うらしい...

【加比の理】bd>0 のとき, r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。

>>341
すげぇょ！ ( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ

>>342
見た瞬間から (´д｀；)ﾊｧﾊｧ が止まりません！

まぁ、予想どおりの証明でしたね。
http://www.springer-tokyo.co.jp/contest/ans_sol8.pdf

【命題268】(math_board_watcher)
f(x)は|x|≦1で正則な解析函数で、マクローリン展開の係数がすべて非負実数かつ
f(0)=0, f(1)=1 のとき
g(x)=x^r (r>0)とおくと, I=[0,1]において
　r>1 　⇒ f(g(x)) ≧ g(f(x)).
　0<r<1 ⇒ f(g(x)) ≦ g(f(x)).
が成立する。

【系】
f^(-1)(x) [f(x)の逆函数] が命題の条件をみたすなら, I=[0,1]において
　r>1 　⇒ f^(-1)(g(x)) ≧ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≦ g(f(x)).
　0<r<1 ⇒ f^(-1)(g(x)) ≦ g(f^(-1)(x)) より f(g(x)) ≧ g(f(x)).
が得られる。

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=268

>346

(証明272) の概略
題意より、f(x) = Σ[k=1,∞) a_k･(x^k) とマクローリン展開されたとする。
f(1)=1 より Σ[k=1,∞)a_k =1.
もし係数a_kがすべて非負実数であれば、Jensenの定理より（収束について適当な条件のもとで）
r>1 ⇒ g(x)=x^r は下に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k･{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k･g(x^k) > g{Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)} = g(f(x)).
0<r<1 ⇒ g(x)=x^r は上に凸 ⇒
f(g(x)) = Σ[k=1,∞) a_k･{g(x)}^k = Σ[k=1,∞) a_k･g(x^k) < g{Σ[k=1,∞) a_k･(x^k)} = g(f(x)).
が得られる。

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=272

>342
【加比の理】
　bd>0 ⇔ r=(a+c)/(b+d) は a/b と c/d の中間にある。
(略証)
　ad-bc =�� とおく。
　(a/b) -r = ��/{b(b+d)},
　r -(c/d) = ��/{d(b+d)}.
　を辺々かけて
　{(a/b) -r}{r -(c/d)} = �竸2 /{bd(b+d)^2}.　(終)

ここの住民は神か？俺なんて手も足も出ないよ。orz

>342 (補足)
X_nの分母・分子は奇数のp乗の和でつ。
分子 = {1^p +3^p +5^p +… +(2n-3)^p +(2n-1)^p}
分母 = {(2n+1)^p +(2n+3)^p + … +(4n-3)^p +(4n-1)^p}

The Cauchy-Schwarz Master Classから一問。
[Exercise 12.8] (Weierstrass's Polynomial Product Inequality)

複素数 a_1, a_2, …, a_n と b_1, b_2, …, b_n が
1≦j≦nにおいて |a_j|≦1、 |b_j|≦1 を満たすとき、
|a_1*a_2*…*a_n - b_1*b_2*…*b_n| ≦ �� [1≦j≦n] |a_j - b_j|
の証明キボンヌ。

>351
(左辺) ≦ Σ[1≦j≦n] |b_1･b_2……a_(j-1)･{a_j-b_j}･a_(j+1)……a_(n-1)･a_n| ≦ (右辺). (終)

「Cauchy-Schwarz不等式」専用スレ
　http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1110615777/18-19

>>21
[前スレ.563(7)] [前スレ.973]
　0≦x≦1≦m,n に対して、 (1-x^n)^m + {1-(1-x)^m}^n ≧ 1.

(略証)
　f(x) = 1 - (1-x)^m とおくと (左辺) = {1-f(x^n)} + f(x)^n.
　f(x) の逆函数を f~(x) と書くと、
　f~(x) = 1 - (1-x)^(1/m) = (1/m)x + (1/2m)(1-1/m)x^2 + (1/3m)(1-1/m)(1-1/2m)x^3 + ……
　a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)m}･a_{k-1} > 0 かつ f~(0)=0, f~(1)=1.
　∴ f~(x) は >346 の【命題268】の条件をみたす。
　∴ その【系】から, I=[0,1]において, {1-f(x^n)} + f(x)^n ≧ 1. (終)

>352
　 |b_1･b_2……b_(j-1)･{a_j-b_j}･a_(j+1)……a_(n-1)･a_n|

今年の数オリの不等式たん(´д｀；)ﾊｧﾊｧ
解けねーよ！

>>354
ttp://www.mathlinks.ro/Forum/topic-44481.html

>354-355
[IMO 2005, Problem 3]
　正の実数x,y,z があって xyz≧1 とせよ。このとき次を示せ。
　(x^5-x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5-y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5-z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 0.

(略証) xyz≧1 を使って分子・分母を同次形に直す。
　x^5 -x^2 ≧ x^5 -(x^2)xyz = x{x^4 -(x^2)yz} ≧ x{x^4 -(x^2)(y^2+z^2)/2}
　≧ x(2x^2 -y^4 -z^4)/4,
　0 < x^5 + y^2 +z^2 ≦ x^5 + (y^2 +z^2)xyz = x{x^4 +(y^2 +z^2)yz}
　≦ x{x^4 +(1/2)(y^2 +z^2)^2} ≦ x(x^4 +y^4 +z^4).
　∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).
　これを循環的にたす。等号成立は x=y=z=1 のとき. (終)

>>356
さすが神！ （３行目は x(2x^4 -y^4 -z^4)/4 でつね）

　 　　　　 |
　 　＼　　__　　／
　 　＿　（ｍ）　＿ﾋﾟｺｰﾝ
　 　　　　|ミ|
　 　／ 　.｀´　 ＼
　　　　 ('A`)　　　　　　　　相加相乗かぁ！ ﾊｧﾊｧ…
　　　　 ノヽノヽ
　　　　　 　くく

>355
　http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-32.html
　ご参考

＞　∴ (x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (1/4)(2x^4 -y^4 -z^4)/(x^4+y^4+z^4).

ここがよくわからん。負の場合もOKなの？

>359 訂正、スマソ

(略証) (L.Radzivilovsky)　分子の符号によらず,
　(x^5 -x^2)/(x^5 +y^2 +z^2) ≧ (x^5 -x^2)/{x^5+(y^2+z^2)x^3} = (x^2 -1/x)/(x^2+y^2+z^2).
　これを循環的にたす。 xyz≧1 を使って、
　(左辺) ≧ (x^2+y^2+z^2 -1/x 1/y -1/z)/(x^2+y^2+z^2) ≧ {(yz-1/x)+(zx-1/y)+(xy-1/z)}/(x^2+y^2+z^2) ≧0.

　または、分母をコーシーして 1/x ≦ yz ≦ (y^2+z^2)/2 を使う。(iandrei2)
　　　(x^5+y^2+z^2)(1/x+y^2+z^2) ≧ (x^2+y^2+z^2)^2.

Problem3 IMO2005
http://www.mathlinks.ro/Forum/topic-44480.html

Σ(ﾟДﾟ) そっか、負の場合を考えてなかった…

>>360
リンク先の掲示板見て、外国も2chと一緒だなと思った。
夏厨が沸いてるな

>354-355
n変数の場合は↓かな。。。

Ａ_i = {(x_i)^(2n-1) -(x_i)^(n-1)}/{(x_i)^(2n-1) +Σ[j≠i] (x_j)^(n-1)}
とおけば A_1 +…+ A_n ≧ 0.

>361
[356]の補足(Ra Mla F)
　xyz≧1を使って
　x(x^4+y^4+z^4) ≧ x^5 +y^2 +z^2 ≧ x^4 /yz +y^2 +z^2 ≧ x(x+y+z).
　これらより
　(x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧(x^4)/(x^4+y^4+z^4),　x/(x+y+z)≧(x^2)/(x^5+y^2+z^2).
　循環的にたすと Σ'(x^5)/(x^5+y^2+z^2) ≧ 1 ≧ Σ'(x^2)/(x^5+y^2+z^2).

>364
【補題】(Vasc-Petrov)
　x_1･x_2……x_n≧1, p>1のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
　(x_1^p)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +……+ (x_n)^s}.
(略証)
　1<s<p だから (x_2)^s +……+(x_n)^s ≧ (x_2……x_n)^(p-s)･(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n).
　これに (x_1)^s を加えて整理する。(終)

>342,350
[11139]
　X_n = {1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p} / {(2n+1)^p +(2n+3)^p +……+(4n-1)^p},
　Y_n = 1 + 1/X_n = {1^p +3^p +……+(4n-3)^p +(4n-1)^p}/{1^p +3^p +……+(2n-3)^p +(2n-1)^p}
　　　= (a_1 +a_2 +……+a_n)/(b_1 +b_2 +…… +b_n),
　ここに a_k = (4k-3)^p +(4k-1)^p, b_k = (2k-1)^p とおいた。
　a_k / b_k = (2^p)[(1-δ)^p +(1+δ)^p] = 2^(p+1)f(δ), δ=1/{2(2k-1)} →0 (k→∞).
　p>1 または p<0 ⇒ f(δ)は下に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調減少 → 2^(p+1)、
　　　加比の理から Y_nも単調減少→2^(p+1)、X_nは単調増加。
　0<p<1 ⇒ f(δ)は上に凸の偶函数、 a_k/b_k は単調増加 → 2^(p+1)、
　　　加比の理から Y_nも単調増加→2^(p+1)、X_nは単調減少。

>>323 の簡略版
　1 ≦ A/H ≦ 1 + L(p/q +q/p -2), L=1/4.
(略証)
　0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
　∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(p-q)^2 /(4pq) = 1 + (1/4)(p/q +q/p -2).

出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=307

>365 を拡充しますた。

【補題】(Vasc-Petrov)
　x_k>0, Ｇ^n = x_1･x_2……x_n ≧1 とする。
　(i) p>1 ならば (x_1^p)/(x_1^p +x_2 +…… +x_n) ≧ (x_1^s)/{(x_1)^s +…… +(x_n)^s}.
　　ここに、s={(n-1)p+1}/n.
　(ii) 1<q<n+1 ならば x_1/(x_1^q +x_2 +…… +x_n) ≦ (x_1^r)/{(x_1)^r +…… +(x_n)^r}.
　　ここに、r=1 -(q-1)/n.

(略証)
　(i) 1<s<p だから 相加･相乗平均より
　(x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (n-1)(Ｇ^n /x_1)^(s/(n-1)).
　に(1 -1/s)を掛ける。また、
　(1 -1/s)･(Ｇ^n /x_1)^(s/(n-1)) + (1/s)(x_k)^s ≧ (Ｇ^n /x_1)^(p-s)･x_k　　(k=2,3,…,n)
　辺々加えて
　(x_2)^s +(x_3)^s +…… +(x_n)^s ≧ (Ｇ^n /x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n) ≧ (1/x_1)^(p-s)･(x_2+……+x_n).
　これを (x_1)^s で割って 1をたす。
　{(x_1)^s +(x_2)^s +…… +(x_n)^s}/(x_1)^s ≧ {(x_1)^p +x_2 +…… +x_n}/(x_1)^p.

　(ii) 0<r<1 だから 相加･相乗平均より
　(x_1)^q +(1-r)(x_2+x_3+……+x_n) ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1･Ｇ^{n(q-1)/((n-1)q+1)} ≧ {1+(n-1)(1-r)}x_1.
　(1-r)x_1 + r･x_k ≧ (x_1)^(1-r)･(x_k)^r　　　　(k=2,3,…,n)
　辺々加えて
　(x_1)^q + x_2 +x_3 +…… +x_n ≧ x_1･{(x_2)^r +(x_3)^r +…… +(x_n)^r}/(x_1)^r.　(終)

すげぇ Σ(ﾟдﾟ；)！
さすが神！ そこに痺れる憧れるぅ〜

(問題) 0<r<1, Ｓ_k = Σ[n=1,∞) (n^k)(r^n)/(1-r^n) とおくとき
　Ｓ_0 > r/(1-r),
　Ｓ_1 > r/(1-r)^2,
　Ｓ_2 > r(1+r)/(1-r)^3,
　Ｓ_3 > r(1+4r+r^2)/(1-r)^4,
　Ｓ_4 > r(1+11r+11r^2+r^3)/(1-r)^5,
　Ｓ_5 > r(1+26r+66r^2+26r^3+r^4)/(1-r)^6.
を示してくださいです。

---------------------------------------------------
(例) r=exp(-2π) のときは
　Ｓ_1 =(1/24)- 1/(3π) = 0.0018779308936928…,
　Ｓ_3 = (1/80)(ω/π)^4 -1/240 = 0.0018990120511196…,
　Ｓ_5 = 1/504 = 0.0001984126984126984…
らしいです。。。
　ω =∫_[0,1] 2/√(1-x^4) dx = Γ(1/4)^2 /√(8π) = 2.6220575546888…

>360,363 を拡充しますた。

【補題】(L.Radzivilovsky)
　Ｇ^n = x_1･x_2……x_n≧1, 1≦p≦(2n-1)/(n-1) のとき s={(n-1)p+1}/n とおくと
　Σ' (x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ 0

　(略証) x_1 -1 の符号によらず
　　(x_1^p -x_1)/(x_1^p +x_2+……+x_n) ≧ (x_1^p -x_1)/{x_1^p +(x_2+……+x_n)x_1^(p-1)}
　　= {x_1 -x_1^(2-p)}/(x_1 +x_2 +……+x_n).
　ところで s={(n-1)p+1}/n とおくと
　　(2-s)x_1 + ((p-1)/n)(x_2 +…+x_n) = (2-p)x_1 +(p-1)Ａ ≧ (2-p)x_1 +(p-1)Ｇ
　　≧ x_1^(2-p)･Ｇ^(p-1) ≧ x_1^(2-p).
　循環的に加えて、x_1 +x_2 +… +x_n ≧ x_1^(2-p) +x_2^(2-p) +… +x_n^(2-p).　(終)


>370
　Ｓ_5 = 1/504 = 0.001984126984126984…

(1) 非負実数 a, b, c が a+b+c=1 をみたすとき、
　 2 ≦ √{(1-a)/(1+a)} + √{(1-b)/(1+b)}+ √{(1-b)/(1+b)}+ ≦ 1 + 2/√3

(2) 正の実数 a, b, c, d が a+b+c+d=1 をみたすとき、
　 abcd/{(a+b+c)(b+c+d)(c+d+a)(d+a+b)} ≦ 16(abc+bcd+cda+dab)/81

(3) 非負実数 a, b, c に対して
　 a^3+b^3+c^3+3abc ≧ ab√(2a^2+2b^2) + bc√(2b^2+2c^2) + ca√(2c^2+2a^2)

(4) 非負実数 a, b, c に対して
　 (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}

(5) 0 < a, b, c < 1、ab+bc+ca=1 に対して、a+b+c+abc のとりうる値の範囲をキボンヌ。
　 http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2004/n6/PDF/v30n6syn.pdf

(1)は凸不等式だろうけど、エレガントなのはないでしょうか？
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　軽めのネタを仕入れてきました
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　 　 　
　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　　　　　　
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

(6) a, b, c≧0、x > 0 のとき、 x^a + x^b + x^c ≦ x^(a+b+c) +2

(7) a, b, c≧1 のとき、 2^(a+b+c+1) ≧ 2^(a+b) +2^(b+c) +2^(c+a) +4

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>373
(6)の下限は、これでいいですか？
　 3・x^((a+b+c)/3) ≦ …

まず ｢おまけ｣ から

(6) 相加･相乗平均、
　　右側は x^a ≦ {a･x^(a+b+c) +b +c}/(a+b+c) を循環的にたす。

(7) a,b,c≧1 より
　2^(a+b+c-1) ≧ 2^(a+b), 2^(b+c), 2^(c+a), 2^2.
　辺々たす。
ぬるぽ

>>373
(6) 右側の別解

a, b, c≧0、x > 0 に対し、 x^a + x^b ≦ x^(a+b) + 1 … (☆) を示す。
x = 1 のとき、等号成立
x > 1 のとき、x^a, x^b≧1、x < 1 のとき、x^a, x^b≦1 でどちらの場合も
　x^(a+b) + 1 - (x^a + x^b) = (1-x^a)(1-x^b) ≧ 0

(☆) を２回用いて示すべき不等式をゲット。 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>372(5) [問.2971]
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　題意より、1-s+t-u = (1-a)(1-b)(1-c)>0, ∴ s+u<1+t=2.
　a,b,cのいずれか→1 のとき上限 2.

　I(a,b,c;k) = (a+b+c) +abc -k(ab+bc+ca-1) とおいて極値を求める。
　∂I/∂a = 1 + bc - k(b+c), などより k=(3+t)/2s = 2/s,
　a=b=c=1/√3 のとき最小値 10/(3√3).

使えそうで使えない不等式を、チラシの裏に書き留めておこう。
証明は、差を取って Lagrangeの恒等式を…。

　(1+a^2+b^2)(1+c^2+d^2) ≧ (a-c)^2+(b-d)^2

>378
　ラグランジュの恒等式
　(x^2+a^2+b^2)(y^2+c^2+d^2) = (xy+ac+bd)^2 + {(ay-cx)^2 + (by-dx)^2 +(ad-bc)^2}
　で x=y=1 とおく。

Lagrangeの恒等式って、n（≧5）文字でも成り立つんだろうか？

不等式の証明に使えそうで使えない （？） 等式

P=ax+by+cz, Q=ay+bz+cx, R=az+bx+cy のとき、
　 (a^3+b^3+c^3-3abc)(x^3+y^3+z^3-3xyz) = P^3+Q^3+R^3-3PQR

>380
　{�納i=1,n] (x_i)^2}{�納j=1,n] (y_j)^2} = {�納k=1,n] x_k･y_k }^2 + �納1≦i<j≦n] (x_i･y_j-x_j･y_i)^2.
>381
　x^3+y^3+z^3-3xyz =
　｜x y z｜
　｜z x y｜
　｜y z x｜

>380
　http://mathworld.wolfram.com/LagrangesIdentity.html

>>382-383
�d�dクス。

行列式とはエレガントですな。
昼間、置き換えたりしながらゴリゴリ展開して苦戦してたのが馬鹿だった…

>>377
最小値は、他の方法では出せないでしょうか？

1/a, 1/b 1/c を tanA, tanB, tanC (π/4 < A, B, C < π/2) とおくと
条件式は A+B+C=π となったけど、a+b+c+abc が簡単になりそうにな…

>>385
(a+b+c)^2 ≧ 3(ab+bc+ca) = 3、 a+b+c > 0 より
　 a+b+c ≧ √3
1-a, 1-b, 1-c > 0 より、相加相乗と上述の不等式から
　 0 < (1-a)(1-b)(1-c) ≦ (1/27)(3-a-b-c)^3 ≦ 2 - 10/(3√3)
(1-a)(1-b)(1-c) = 2-(a+b+c+abc) を代入してポン！

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?highlight=inequalities&t=16133

>>372
> (4) 非負実数 a, b, c に対して
> 　 (a^3+b^3+c^3+3abc)^2 ≧ 2(ab+bc+ca){ab(a^2+b^2) + bc(b^2+c^2) + ca(c^2+a^2)}

a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいて
　（左辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+12s^3u
　（右辺） = 2(s^2t^2-stu-2t^3)

　（左辺）-（右辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu+12s^3u+4t^3

ここから、うまくでけん。 次が出てくるように括ればいいんだろうけど
　s^2-3t≧0, st-9u≧0, 2s^3-7st+9u≧0, s^3-4st+9u≧0, t^2-3su≧0, …

>>387
間違ってた…
　（左辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+9s^2t^2-36stu+36u^2

　（左辺）-（右辺） = s^6-6s^4t+12s^3u+7s^2t^2-34stu-4t^3+36u^2

　 (a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3b + b^3c + c^3a)

の証明が20％くらいできません！ おねがいします！

初歩ですみません．次の不等式の導き方が分かりません．

Σ[i=1,n]|a_i| ≦ n^(1/2)(Σ[i=1,n](a_i)^2)^(1/2)

また，こういうものまで網羅している不等式の本てあるのでしょうか？
>>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした．

>>390
コーシーシュワルツの不等式そのまんま。

つ 参考文献 [5] ほか高校の参考書を嫁

>>391
ありがとうございます．そのまんまでしたね．

>>390
> >>1 の参考文献の [1] には載ってないようでした．

読んでいない証拠
夏休みの宿題は質問スレに行け
二度と来るな

>393
初めてなのに釣れたっ！
これからも私の宿題をお願いしますね、電卓さん！

まあ、工房がシュプリンガー読むわけないわね。

>>389
見た目は簡単なのに、その証明のなんと難しいことよ。

>>389
(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 3(a^3b + b^3c + c^3a)
　= a^2(a-b)(a-2b) + b^2(b-c)(b-2c) + c^2(c-a)(c-2a)

これが0以上であることを示せれば…。
とりあえず a≧b≧c≧0 として、Schurの不等式のときみたいに考えたけど、うまくいかない
不等式オタどもはお盆休みなのか？

>>35-36
ムーアヘッドの不等式がイマイチよく分かりません。
簡単な不等式の例で説明してもらえると嬉しいです。

>372(4), 387-388

>>38 の補題を使いますた。>>1 の参考書[1]の定理80.
【補題】
　F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b)
　= (a^n)(a-b)^2 + (a^n -b^n +c^n)(a-b)(b-c) +(c^n)(b-c)^2 ≧0.
　(略証)　bがa,cの中間にあるとすると、 a^n -b^n +c^n ≧0, (a-b)(b-c)≧0. (終)

　(左辺) = (s^3 -3st+6u)^2 = (s^3 -3st+6u)(F_1 +st-3u).
　(左辺) -(右辺) = (s^3 -3st+6u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.
　F_0 = s^2 -3t ≧0,　F_1 = s^3 -4st +9u ≧0.

残りの項Rも同様にして
　R ≡ ab(a^2 +b^2 -c^2)(a-b)^2 +bc(b^2 +c^2 -a^2)(b-c)^2 +ca(c^2 +a^2 -b^2)(c-a)^2
= X(a-b)(a-c) + Y(b-a)(b-c) +Z(c-a)(c-b)
= X(a-b)^2 + (X-Y+Z)(a-b)(b-c) +Z(b-c)^2 ≧0.
　ここに X={(b+c)a^2 +(b-c)(b^2 -c^2)}a≧0, Y={(c+a)b^2 +(c-a)(c^2 -a^2)}b≧0, Z={(a+b)c^2 +(a-b)(a^2-b^2)}c≧0.
　〔∵ bはa,cの中間にあるとすると X-Y+Z =2ac(a^2 -b^2 +c^2) ≧0, (a-b)(b-c)≧0.〕

>372(3)
　(4)の右辺にコーシーを適用。

>>398
例えば 「数学ライブラリー教養篇　不等式入門　POD版」（>>303） P.150 問１(1)

2(a^6) + 2(b^6) + 2(c^6)
≧ (a^4)(b^2) + (a^4)(c^2) + (b^4)(c^2) + (b^4)(a^2) + (c^4)(a^2) + (c^4)(b^2)
≧ (a^3)(b^2)c + (a^3)(c^2)b + (b^3)(c^2)a + (b^3)(a^2)c + (c^3)(a^2)b + (c^3)(b^2)a
≧ 6(a^2)(b^2)(c^2)

[p, q, r] = (a^p)(b^q)(c^r) + (a^p)(c^q)(b^r) + (b^p)(c^q)(a^r) + (b^p)(a^q)(c^r) + (c^p)(a^q)(b^r) + (c^p)(b^q)(a^r)

で表すと、(6, 0, 0) ゝ(4, 2, 0) ゝ(3, 2, 1) ゝ(2, 2, 2) だから、Muirhead の不等式から
　[6, 0, 0] ≧ [4, 2, 0] ≧ [3, 2, 1] ≧ (2, 2, 2)

>>399
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!
(4)の右辺にコーシー使ったら(3)になるなんて気づきませんでした ( ﾟ∀ﾟ)！


>>38
F_n ≡ (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) +(c^n)(c-a)(c-b) ≧ 0 について。

〔Schurの不等式〕
任意の実数 r と、正の数 x, y, z に対して
　F_r ≡ (a^r)(a-b)(a-c) + (b^r)(b-c)(b-a) +(c^r)(c-a)(c-b) ≧ 0
証明は、>>1 の参考書[3]のPP.27-28。

>399
　(左辺) -(右辺) = t･F_2 +(s^3 -3st+4u)･F_1 -su･F_0 = F_4 + u･F_1 + R.

>>399
それにしても凄いな！
いま計算を追っているけど、とても自分では思いつかないなぁ…

>389, 396-397
　等号成立は [a,b,c]=[1,1,1] または [a,b,c]=[1, t, (1/t)(1-t)^2] のとき（4つ）

　ただし、tは (t-2)^3 -7(t-2) -7=0 の根、0.307978528369905…, 0.643104132107791…, 5.04891733952231…。

>>404
ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！

等号成立条件に変なのが入っているので
　（左辺）-（右辺） = A(a-b)^2+B(b-c)^2+C(c-a)^2 ≧ 0
になるとは限らないんでしょうね
('A`)

>389
a,b,cの基本対称式をs,t,uとする。
(左辺)-(右辺) = (a^2+b^2+c^2)^2 -3(a^3b+b^3c+c^3a)
　= (s^2 -2t)^2 +3t^2 -3s(u+a^2b+b^2c+c^2a)　　……(1)
　これは対称式ぢゃないんですぅ…。そこで、

>404 のゼロ方向(3つ)は1次独立なので、それをX,Y,Z軸とする（斜交軸）。
　a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
　これを(1)に代入すると、うまく対称式になりますた。
　(左辺)-(右辺) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2} ≧0.
　等号成立は [X,Y,Z]= [1,1,1], [1,0,0], [0,1,0], [0,0,1] のとき.
ぬるぽ

>406
Q:　(a,b,c) ⇔ 反変成分(X,Y,Z) の1次変換
　a=pX+rY+qZ, b=qX+pY+rZ, c=rX+qY+pZ.
　に出てくる p,q,r って何?

A:〔補足説明〕
・3軸の向き（ゼロ方位）を
　X軸: [a,b,c]=[p,q,r]
Y軸: [a,b,c]=[r,p,q]
Z軸: [a,b,c]=[q,r,p]
　としますた。
　p=0.34929169541609…, q=0.10757434232607…, r=0.54313396225783…
　（ θ^3 -θ^2 +(2/7)θ -(1/49)=0 の3根.）

・基本対称式の関係
　X,Y,Zの基本対称式をS,T,Uとすると ｓ＝S, t=(T+2S^2)/7, u+a^2b+b^2c+c^2a=(U+S^3)/7.
　これを(1)に代入すると
　(左辺)-(右辺) = (1/7)(T^2 -3SU) = (1/14){X^2(Y-Z)^2 +Y^2(Z-X)^2 +Z^2(X-Y)^2}.

・X,Y,Zは負のこともある。

>>406-406
まず >404 のゼロ方向や、3軸の向き（ゼロ方位）という言葉がよく分かりません。
つぎに [a,b,c]=[p,q,r] これは、何かの演算が等しいってことですか？

>408
　ゼロ方向は、(1変数の)ゼロ点と同じ意味。
　[a,b,c]はデカルト座標（3Dグラフを考えますた。）

　[1,1,1]方向から見ると、X,Y,Z軸はc,a,b軸から33.6311315…°程ずれている。
　これを一致させて対称性を回復する所が本題のミソ。

保守あげ

★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問より
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/l50

81 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2005/08/23(火) 15:59:35

> e^{e^(e-1)-e}<(e-1)^{e^e-e^(e-1)} を示せ。ただし、eは自然対数の底


131 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/28(日) 16:27:44

> >>81ってホントに問題あってるの？計算機で計算したらすげー値に開きが
> あるんだけど。こんなに開いてるならスゲーラフな評価でできるとおもうんだけど。
> どっかまちがってんじゃね？

>389
こんどは直交軸だけで解いてみますた... 直交変換を次のようにおく。
　a=p'X'+r'Y'+q'Z', b=q'X'+p'Y'+r'Z', c=r'X'+q'Y'+p'Z'
　ここに、p'､q'､r'は θ'^3 -θ'^2 +(1+2√7)/(27√7) =0 の3根.{ [1,1,1]軸のまわりの回転 }

・基本対称式の関係
　X',Y',Z' の基本対称式を S',T',U' とおくと、s=S', t=T'. また u+a^2･b+b^2･c+c^2･a については、
　　(X'^2･Y'+Y'^2･Z'+Z'^2･X') の係数 (p'^3+q'^3+r'^3 +6p'q'r') +(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)と
　　(X'･Y'^2+Y'･Z'^2+Z'･X'^2) の係数 (p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') +3(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2)
　が等しいとおくと、4(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') + 5(p'q'^2+q'r'^2+r'p'^2) = (p'+q'+q')^3, 係数は (4-√7)/9.
　p'q'r'+p'^2･q'+q'^2･r'+r'^2･p'= (1+2√7)/27, (p'^3+q'^3+r'^3 +3p'q'r') + 6(p'^2q'+q'^2r'+r'^2p') = (11+4√7)/9 より、
　u+a^2･b+b^2･c+c^2･a = ((1+2√7)/27)(S'^3 -3S'T'+3U') -((4-√7)/9)(S'T'-3U') +(√7)U'
　= ((1+2√7)/27)S'^3 -{(√7 -1)/3}S'T' +(√7)U' = (1/7)(U +S'^3).

　これを(1)に代入すると
　(左辺)-(右辺) = (S'^2 -2T')^2 +3T'^2 -(3/7)S'(U+S'^3)
　　= (1/7){(7T'-2S'^2)^2 -3S'U}
　　= (1/2)[X^2(Y'-Z')^2 +Y^2(Z'-X')^2 +Z^2(X'-Y')^2］≧0.
　　ここで、X=(X'-S/3)√7 +S/3,　Y=(Y'-S/3)√7 +S/3,　Z=(Z'-S/3)√7 +S/3.
U = XYZ = (7√7)U'-(7/3)(√7 -1)S'T' +{2(7√7-10)/27}S'^3.
　　>406 と同じことだが。

>>354
大数９月号に解説が載っていたので買っていた （ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ？）

示すべき不等式を
　(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^5+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≦ 3　 … (1)
として、Cauchyの不等式を用いて
　(x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) ≦ (yz+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)
を示し、巡回させて和をとると
　(1)の左辺 ≦ 2 + (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2) ≦ 3

----------------------------------------------------------------------
より強い不等式が載っていた。証明は同様にするらしいけど… ('A`) お願いします。

正の実数x,y,z が xyz≧1 をみたすとき、
　(x^5)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 1 ≧ (x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^2)/(x^2+y^2+z^5)
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>413
>>364

Σ(ﾟДﾟ) ﾊｯ！

ager

「数学オリンピック２」 スレより
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/134
> 134 名前：sage[] 投稿日：2005/09/08(木) 12:00:58
>
> 微積分不等式
>
> x0, 1, x2, …,xn を x0 + x1 + x2 + … + xn = 1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ．
>
> ��( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) ) < π / 2
>
> 解答
>
> ��( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) )
> 　< ∫( 0 , 1 ) dt / ( √ ( 1 - t^2 ) )
> 　 = π / 2

>417
　��(i=0,1,…,n) ぢゃないか?

解答
　x_0 + x_1 + … + x_{i-1} = sin(θ_i) とおくと、0 = θ_0 < θ_1 < … < θ_n < θ_(n+1) = π/2.
　(左辺) = �納i=0,n] {sin(θ_(i+1)) - sin(θ_i)} / cos(θ_i).
　ところで、{sin(Ａ+��)-sinＡ}/cosＡ = sin�� - (1-cos��)tanＡ < sin�� < ��.
　(左辺) < �納i=0,n] {θ_(i+1)) -θ_i} = θ_(n+1) - θ_0 = π/2.
ぬるぽ

「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問」
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/221
> m個の正の実数a1,a2,..amと正の整数k,lについて
> (a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦m(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l))

>>419
Σ[i=1 to m]ti=1、ti≧0、p+q=1、p,q>0とする。x^p,x^qは凸関数なので、
0≦(Σ(1/m)(ti)^p)≦(Σti/m)^p=m^(-p)
0≦(Σ(1/m)(ti)^q)≦(Σti/m)^q=m^(-q)
よって、
(Σ(1/m)(ti)^p)(Σ(1/m)(ti)^q)≦m^(-p-q)=1/m
(Σ(ti)^p)(Σ(ti)^q)≦m
等号はti=1/mのとき成立。

ti=ai^(k+l)/Σai^(k+l)、p=k/(k+l)、q=l/(k+l)とおいて示せる。

>>420
凸関数→上に凸　or 凹関数に訂正

チェビシェフそのものって感じもするが

５ページ目の問題313は既出だっけ？
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n5/PDF/v31n5syn.pdf

>>422
たしカニ
　　　*　　　　　　　　　　+
　　　(V)∧_∧(V)
　+ 　　ヽ(ﾟ∀ﾟ)ノ　　ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ　　　　+
　　　+　/　 /　　　　　　　　　　　　+
　　　　ノ￣ゝ　　　　　　*
　　　　　　　　+　　　　　　　　　　　　+
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　*
.　　　　+　　　　　 (V)∧_∧(V)
　+　　　　　　　　　 ヽ( 　　)ノ　　ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ
.　　　　　　　*　　　　/　 /　　+
　　　+　　　　.......... ノ￣ゝ　　　　　+

>>423
Jensenで瞬殺かと思ったけど…、あまいあまいッ！ あまいわッ！

5ページ目の問3073
http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n6/PDF/v31n6syn.pdf

見たことあるような、ないような ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

正の数 a、b、c が abc=8 をみたすとき、
　 (a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3

ABMO 2005
http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo2005.html
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

たしか初参加

>>427
AM-GMを繰り返し使って

　(a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)
≧ 3( a^2b^2c^2 / {(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} )^(1/3)
≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
≧ 36 / (3+3abc)
= 4/3

等号は a=b=c=2

>423
[313]
In 1965 the Romanian mathematician T.Popoviciu proved the following inequality
　f(x) + f(y) + f(z) +3f((x+y+z)/3) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2),
where f is a convex function on an interval Ｉ and x,y,z∈Ｉ.

(略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。
(M-x)/(z-M) = t とおくと 1/2≦t≦2.
(i) yがxとM の間にあるとき、1/2≦t≦1.
　f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2),　ｔf(z) + (2-t)f(M) ≧ 2f((y+z)/2),　(1-t)f(z) + (1+t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
　辺々たす。
(ii) yがMとzの間にあるとき、1≦t≦2.
　(1/t)f(x) + (2 -1/t)f(M) ≧ 2f((x+y)/2),　f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2),　(1 -1/t)f(x) + (1 +1/t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2).
　辺々たす。

>426
[3073]　Let x,y,z be positive real numbers. Prove that
　1/(x+y+z+1) -1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/8.
and determine when there is equality.

(x+y+z)/3=A とおく。相加相乗平均より (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (A+1)^3, 等号成立はx=y=zのとき.
(左辺) = 1/(x+y+z+1) - 1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/(3A+1) -1/(A+1)^3 = (A^2)(A+3)/[(3A+1)(A+1)^3]
　= 1/8 - (A-1)^2(3A^2 +8A+1)/[8(3A+1)(A+1)^3] ≦ 1/8.
等号成立は x=y=z=1 のとき。

>>428
pu

>>428
> AM-GMを繰り返し使って

> ≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)}
> ≧ 36 / (3+3abc)

不等号の向きが逆になるのでは？

言葉をつつしみ給え！ 君達はラピュタ王の前にいるのだぞ！

　　 /ヘ;;;;;　
　　 ';=r=‐ﾘ　　 　|　|
　　 ヽ二/　　　　　|　|　ｶﾞｯ
　と　　　　）　 　 |　|
　　 Ｙ　/ノ　　　 人
　　　 /　）　 　 < 　>__Λ∩
　 ＿/し'　／／. Ｖ｀Д´）/　←>>431
　（＿フ彡　　　　　 　　/

ﾊｽﾞｶｼｽ

1≦a,b,c,d,e≦2のとき、
25≦(a+b+c+d+e)(1/a+1/b+1/c+1/d+1/e)≦28を示せ。

>435
　>>315, >>323-324
　【30】（USAMO 1977/5)　L=6/25.
　http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=234
　http://mathcircle.berkeley.edu/inequalities.pdf

L=1/4 なら簡単
　http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=307

>436
　L=1/4, N=(n^2)/4 の方だけ...
　0 ≦ Σ(q-a_k)(a_k-p)/a_k = Σ(p+q-a_k-pq/a_k) = n(p+q-A-pq/H).
　∴ A + pq/H ≦ p+q.
　∴ A/H ≦ (A +pq/H)^2 /(4pq) ≦ (p+q)^2/(4pq) = 1 +(1/4)(p/q +q/p -2).

>>430
もし最大値が 1/8 と分かっていなかった場合は、どうするのでしょうか？
微分以外で…。

LMO 2002 らしい
正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
　 (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

( ﾟ∀ﾟ) 分からんぽよ。

>>439
こうかな？
s=1/√x、t=1/√y、u=1/√zとして1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)=s/(a/s)+t/(b/t)+u/(c/u)。
y=1/xに関する凸不等式より
(s/(s+t+u))(a/s)+(t/(s+t+u))(b/t)+(u/(s+t+u))(c/u))≧1/((ax+b+c)/(s+t+u))=(s+t+u)/(a+b+c)。
∴1/(ay)+1/(bz)+1/(cx)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2/(a+b+c)。
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(a+b+c)≧(1/√x+1/√y+1/√z)^2―(1)。
同様にして
∴(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))(x+y+z)≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2―(2)。
(1)+(2)より
3(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))
≧(1/√a+1/√b+1/√c)^2+(1/√x+1/√y+1/√z)^2
≧(3/(√(abc))^(1/3))^2+(3/(√(xyz))^(1/3))^2
=9/(abc)^(1/3)+9/(xyz)^(1/3)
≧18/(abcxyz)^(1/6)。
∴(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧2/(abcxyz)^(1/6)―(3)。
一方で
1/(abc+xyz)≦(1/2)/√(abcxyz)―(4)。
ここで1/2=(a+x)/2≧√(ax)、1/2=(b+y)/2≧√(by)、1/2=(c+z)/2≧√czであるから
abcxyz≦1/64。∴2/(abcxyz)^(1/6)≧(1/2)/√(abcxyz)―(5)。
(3),(4),(5)より
(1/3)(1/(ay)+1/(bz)+1/(cx))≧1/(abc+xyz)。
∴(abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

しまった。(5)の不等号逆だ･･･orz 吊って来る。

>439
こうかな?
　a+x-1=ξ, b+y-1=η, c+z-1=ζ とおく。
　abc = a(1-y+η)c, xyz = (1-a+ξ)yz より,
　(abc + xyz)(1/ay) = c/y -c +(c/y)η + z/a -z +(z/a)ξ = c/y +z/a -1 -ζ +(c/y)η +(z/a)ξ.
　循環的にたすと、
　(左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/y + y/b) -3 + ��
　　= 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (y-b)^2 /by + ��
　　≧ 3 + ��.
　ここに、�� = (z/a -b/x -1)ξ +(x/b -c/y -1)η +(y/c -a/z -1)ζ.
　題意より, ξ=η=ζ=0,　∴ ��=0,　∴ (左辺) ≧ 3.
ぬるぽ

しまった。xがyに変わってる…orz　釣って来る。
　(左辺) = (c/y + y/c) + (a/z + z/a) + (b/x + x/b) -3 + ��
　　= 3 + (y-c)^2 /cy + (z-a)^2 /az + (x-b)^2 /bx + ��
　　≧ 3 + ��.

>>439
> 正の数 a、b、c、x、y、z が a+x = b+y = c+z = 1 をみたすとき、
> 　 (abc+xyz){ 1/(ay) + 1/(bz) + 1/(cx) } ≧ 3

これですな。しかし harazi の証明が分からんぶー
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?highlight=Leningrad+Olympiads+2002&t=2926

>444
　abc + (1-a)(1-b)(1-c) = (1-b)(1-c) + ca + ab-a.
これを使って次の式を得る。
　[abc + (1-a)(1-b)(1-c)] * 1/(a(1-b)) = (1-c)/a +c/(1-b) -1.
循環的にたす。
　LHS = {(1-c)/a + a/(1-c)} + {(1-a)/b + b/(1-a)} + {(1-b)/c +c/(1-b)} -3.
Apply now AM-GM for these 6 numbers.

みなさん、乙です。
シンプルなのに難しいですね。 ﾊｧﾊｧ…

>>423
[429]の改良
(略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。 このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。

(i) yがxとM の間にあるとき、　x, y, M, (z+x)/2, (y+z)/2, z の順。
　∴ 線分(M、f(M))−(z,f(z))は 線分((z+x)/2,f(…))−((y+z)/2,f(…)) より上にある。
　∴ f(z) + 3f(M) ≧ 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2).
　一方、f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2).
　辺々たす。

(ii) yがMとzの間にあるとき、　x, (x+y)/2, (z+x)/2, M, y, z の順。
　∴ 線分(x、f(x))−(M,f(M))は 線分(x+y)/2,f(…))−((z+x)/2,f(…)) より上にある。
　∴ f(x) + 3f(M) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((z+x)/2).
　一方、　f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2).
　辺々たす。 　　　　　　　　　　　　　　(終)

>>411
　e^(1-t) = 1/e^(t-1) < 1/t より、
　e^{1 -e^(1-x)} < e^{1-(2-x)} = e^(x-1) = {e^(1 -1/x)}^x < x^x.
　両辺を e^(e-1)乗して、x=e-1 とOK.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/446

>>447
エレガントですね。

MOCP 2005-9 問406
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_sept.pdf

このタイプは初めてかな…

>>448
なるへそ！ ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾋﾞ！
問題の式が複雑なので、どこから手をつけていいか分かりませんでした。

>450

406. Let a,b,c be natural numbers such that the expression
　　　(a+1)/b + (b+1)/c + (c+1)/a
　is also equal to a natural number. Prove that the greatest common diviser of a,b and c, gdc(a,b,c),
　does not exceed (ab+bc+ca)^(1/3), i.e.,
　　　gdc(a,b,c) ≦ (ab+bc+ca)^(1/3).

[略解]
　(与式) = k とおいて通分すると、ca(a+1) + ab(b+1) +bc(c+1) = k･abc.
　ab + bc + ca = k･abc -ca^2 -ab^2 -bc^2 = (a,b,cの3次の整式).
　gcd(a,b,c)=d とし、a=da', b=db', c=dc' とおくと
　a'b'+ b'c'+ c'a' = (a',b',c'の3次の整式)d ≧ d.
　ab + bc + ca ≧ d^3.
　(ab + bc + ca)^(1/3) ≧ d.

東大スレより

462 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/08(土) 19:39:30
logf(x)=logx /x（x>0）とする。
(1)f(x)の増減表を書け。
(2)99^100と100^99の大小を比較せよ。

465 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/10/09(日) 01:34:05
>462 (2)
　Ｃ[n,k] = n(n-1)…(n-k+1)/(k!) < (n^k)/(k!) なので、二項定理より、
　(1 +1/n)^n = �納k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k < �納k=0,n] 1/(k!) < e.
　(n+1)^n / {n^(n+1)} = (1/n)(1+1/n)^n < (1/n)e <1.　　(n≧3)
　∴ n^(n+1) < n^(n+1).

非負実数 s(1),s(2),...,s(2004) が
s(1)+s(2)+...+s(2004)=2,
s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(2003)s(2004)+s(2004)s(1)=1
を満たすとき、s(1)^2+s(2)^2+...+s(2004)^2 の最大値、最小値を求めよ。

x,y∈[0,π/2]のとき
sin√(xy) ≧ √(sin(x)sin(y))
を示せ。

>>454-455
幼稚園児向けの問題ですか？

>454
　最大値は　s(1)^2+s(2)^2+･･･+s(n)^2 ≦ {s(1)+s(2)+･･･+s(n)}^2 -2{s(1)s(2)+s(2)s(3)+...+s(n-1)s(n)+s(n)s(1)} =2^2 -2 =2.
　s↑=(1,1,0,･･･,0) のとき。

　最小値は 3/2, s↑=(1/2,1,1/2,0,･･･,0)のとき、かな？？

>455
　x∈(0,π/2) では 0 < sin(x) < x < tan(x).
　f(x)≡log{sin(x)/x} とおく。
　f '(x) = 1/tan(x) -1/x <0 (単調減少)より、f(√(xy)) > f((x+y)/2).
　f "(x) = -1/sin(x)^2 +1/x^2 < 0 (上に凸)より、f((x+y)/2) > {f(x)+f(y)}/2.
　辺々たすと f(√(xy)) > {f(x)+f(y)}/2,　かな？？

>458
　g(t)≡log(sin(e^t)) とおく。
　g '(t) = (e^t)/tan(e^t), g "(t) = -(2e^t -sin(2e^t))(e^t)/{1-cos(2e^t)} <0 (上に凸)
　∴ g(log√(xy)) > {g(log(x)) + g(log(y)) }/2

Let x and y denote non-negative real numbers. Prove that sqrt(x/2) + sqrt(y/2) ≦ sqrt(x+y)
http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&h=200510&t=mat&l=en

>460
　{sqrt(x/2)+sqrt(y/2)}^2 + {sqrt(x/2)-sqrt(y/2)}^2 = x+y から。

>460 の所にありますた。

〔A.380〕
　単位正方形の内部に凸n角形Ｋがある。
　この多角形の3つの頂点を、それらが 80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすように、
　選べることを示してくださいです。。。


〔A.380〕
　The convex n-sided polygon Ｋ lies in the interior of a unit square.
　Show that it is possible to select three vertices of the polygon
　that form a triangle of smaller area than 80/(n^3) units.

>460
　v↑=(sqrt(x),sqrt(y))， e↑=(sqrt(1/2),sqrt(1/2)) とおくと、
　v↑・e↑ ≦ |v↑|.

(；´Д｀)'`ｧ'`ｧ
たまらんね。
不等式に萌える自分は異常かもしれない…、だがやめられん。

>>462
これは、一辺が１の正方形内に凸n角形が入っていれば、
それがどんな凸n角形であろうとも、うまく３点を選べば、
80/(n^3)より小さい面積の三角形をなすことを示せということですよね？
むじゅ…

東大入試スレにありますた。

786 ：１３２人目の素数さん ：2005/11/05(土) 00:26:13
a>0, b>0のとき、(a^b) + (b^a) >1　を示してくださいです。。。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/786

>466
　a≧1 のとき a^b≧1, b^a>0 より成立。　b≧1 のときも同様。
　残るは 0<a,b<1 のときである。
　ベルヌーイの不等式で 1+x=1/b とおくと
　　　(1/b)^a < 1 + a(1/b-1) = (a+b-ab)/b.
　　　∴ b^a > b/(a+b-ab),
　同様に a^b > a/(a+b-ab).
　辺々たして a^b + b^a > (a+b)/(a+b-ab) >1.　(終)

〔ベルヌーイの不等式〕
　(1+x)^a < 1+ax　　if 0<a<1, x>-1.

　http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html

>>466->>467
( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ

ネタ投下
３ページ目 Prob.239
http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf

>468
　【Prob.239】
　鋭角三角形 ABC について、次を示せ。
cos{(A-B)/2} + cos{(B-C)/2} + cos{(C-A)/2} ≦ ((√2)/2){(a+b)/√(a^2+b^2) + (b+c)/√(b^2+c^2) + (c+a)/√(c^2+a^2)}.

１ページ目の問３の関数方程式 （不等式の友達の等式の親戚として大目に見てやって…）
１ページ目の問４の不等式と最大値の問題もサッパリでつよ
http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf

>468-469
（Prob.239）
倍角公式, cos(C)>0 (C<π/2), 第二余弦定理より
　{2(a^2 +b^2)}sin(C/2)^2 = (a^2 +b^2){1-cos(C)} ≦ a^2 +b^2 -2ab･cos(C) = c^2.
　∴ sin(C/2) ≦ c/√{2(a^2+b^2)}.
これと補題から
　cos((A-B)/2) ≦ (a+b)/√{2(a^2+b^2)} ≦ 1,　等号は a=b, A=B のとき.　　(終)

【補題】
　△ABC に対し cos((A-B)/2) = {(a+b)/c}sin(C/2), など.
(略証)
　∠C の2等分線とABの交点をD, CからABに下ろした垂線を CH とすると、∠DCH = |A-B|/2.
　△ABC = (1/2)CH･c = (1/2)CD{c･cos[(A-B)/2]}.
　△BCD = (1/2)CD{a･sin(C/2)}.
　△ACD = (1/2)CD{b･sin(C/2)}.
　これを △ABC = △ABD + △ACD に代入する。(終)

※ a>0,b>0 のとき、2(a^2+b^2) ≧ (a+b)^2 ≧ 4ab,　　等号は a=b のとき.

(Prob.232)
　線分AD上に2点B,Cがある。
AB=CD ならば 任意の点Pに対して PA+PD ≧ PB+PC.

>>472
P が線分 AD 上にある場合や、P が線分 AD の延長線上にある
場合には、題意は明らか。よって以下、そうでない場合を考える。

B （または C）が線分 AD の端点と一致する場合は題意は自明。
よって以下、そうでない場合を考える。

はじめに、B と C が一致しない場合を考える。

示すべき式の形から、4 点 A B C D は、この順に並んでいるとして
さしつかえない。このとき、AD の中点を M とすれば、5 点 A B M C D
はこの順に一直線に並んでいて、また M に関して対称である。

Mに関してPと対称な点をQとすると、対称性から PD = QA、
また PC = QB。したがって我々は 「PA + AQ ≧ PB + BQ」を
示せば十分である。

仮定から、点 B は三角形 APQ の内部にある。したがって、直線
PB を B の側に延長すれば、その延長線は三角形 APQ の周と
共有点をもつ。その点を R として、R が三角形のどの辺上にあるか
考えるが、直線 PR すなわち直線 PB は辺 PA および辺 PQ の
いずれとも一致しないから、R はこれら二辺の辺上にはなく、
したがって R は辺 AQ 上の点である。

三角形 PAR および三角形 BRQ で三角不等式からそれぞれ
PA + AR ≧ PR、BR + RQ ≧ BQ がいえていることに注意すると

　PA + AQ ＝ PA + AR + RQ
　　　　　 　 ≧ PR + RQ
　　　　　 　 ≧ PB + BR + RQ ＝ PB + BQ

これが示すべきことであった。B と C が一致する場合も同様である。

>473
　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!

　直線ADに関してPと対称な点Rをとって
　凸多角形F ⊂ 閉曲線G　⇒　(Fの周長) < (Gの周長)
　でもいいらしい。

　凸多面体S ⊂ 閉曲面T　⇒　(Sの表面積) < (Tの表面積)
ハｧハｧ

？

>>58 問題Ｄ(7)
これでどうだ？ おらっ！

Σ[k=0 to ∞](C[2k,k]/{(2k+1)*16^k})Σ[j=0 to k](-1)^jC[2k+1,k+j+1](2j+1)^(2p+1) = ?

　　(　⌒　)
　　　l | /
　　 ∧_∧　　
⊂（*・∀・）　ん〜これか？ ほしいんだろ、これが！
　/　　　ﾉ∪ 　　　　　　　
　し―-J　|l| |　　　
　　 　 　 　 人ﾍﾟｼｯ!!
　　　　　　　＿＿
　　　　　　　＼　 ＼
　　　　　　　　 ￣￣
自然数 m, n に対して、(m+n) !/(m+n)^(m+n) < (m!/m^m)・(n!/n^n) を示せ。

>>477
ﾊｧﾊｧ…

おれの解析の参考書(野本久夫著、｢解析入門｣、サイエンス社)にのってる式
　
　(√n)n^n＜e^n･n!/√(2π)＜(√n)n^n(1+1/4n) (n≧2)
　
をつかわせてもろたら簡単なんだけどな･･･この式証明まんどくせー

>477
a>0,b>0 のとき
　{(m+n)!/(m!n!)}(a^m)(b^n) = C[m+n,m](a^m)(b^n) < (a+b)^(m+n).
ここで a:b=m:n と桶。


(参考書)
　ﾊｲｾﾞﾝﾍﾞﾙｸﾞ:「部分と全体 −私の生涯の偉大な出会いと対話−」みすず書房
　Werner Heisenberg: "Der Teil und das Ganze −Gesprache im Umkreis der Atomphysik−"

>>479
>>480
　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　|::::: (●　(● |　明日、図書館に行ってみます
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

>476
　δ_(p,0) らしいYo.

シンプルで難しい問題
　ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/414-417

不等式の問題 ： MOCP （問418、問420）

( ﾟ∀ﾟ)つ http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2005/prob_dec.pdf


>>482
どうみてもグッジョブです。本当にありがとうございました。

どう見ても○○のガイドライン
http://ex13.2ch.net/test/read.cgi/gline/1132234454/l50

>483
[問418]
　(a) Show that, for each pair m,n of positive integers, Min{m^(1/n), n^(1/m)} ≦ 3^(1/2).
　(b) Show that, for each positive integer n, (1+1/√n)^2 ≧ n^(1/n) ≧1.
　(c) Determine an integer N for which　n≧N ⇒ n^(1/n) ≦ 1.00002005。 Justify your answer.

[問420]
　Two circles intersect at A and B. Let P be a point on one of the circles.
　Suppose that PA meets the second circle again at C and PB meets the second circle again at D.
For what position of P, is the length of the segment CD maximum ?

なんか、Pを動かしてもCDの長さは変わらない気がするんだけど

>483-484
[問418]
(a) 1<m<n としてもよい。Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n).
　f(x) = (1/x)log(x-1) とおくと、f '(x) = {1 +1/(x-1) -log(x-1)}/(x^2) = g(x)/(x^2), g(x) は単調減少。
　x≦4 のとき g(x) ≧ g(4) = (4/3)-log(3) = 0.23472104･･･ >0, f '(x) >0, f(x) ≦ f(4) = (1/4)log(3).
　x≧5 のとき g(x) ≦ g(5) = (5/4)-log(4) = -0.13629436･･･ <0, f '(x) <0, f(x) ≦ f(5) = (1/5)log(4).

　n≦4 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 3^(1/4) = 1.31607401･･･
　n≧5 のとき (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791･･･
　∴ Min = m^(1/n) ≦ (n-1)^(1/n) ≦ 4^(1/5) = 1.31950791077289･･･

(b) n=1 の場合は明らかゆえ、n>1 とする。 1+x ≦ exp(x) より、
　1 +1/√n = 1/[1 -1/(1+√n)] > exp(1/(1+√n)) = {exp(-1+√n)}^(1/(n-1)) > (√n)^(1/(n-1)) = n^{1/(2(n-1))}.
　∴ (1+1/√n)^2 > n^(1/(n-1)) > n^(1/n) >1.

(c) 1+1/√n < √1.00002005,　1/√n < 1.002494975･･･×10^(-5), n ≧ 0.9950286628×10^10 =N.

>483 の所にありますた。

[問421] 次を示してくださいです。。。。
　(a) 平面上の4角形 ABCD について、 AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD
　(b) 空間内の4面体 ABCD について、 AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD

ヒント
　http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html

>487
[解421]
(a) ∠A, ∠B, ∠D ≦π としてよい。∠A の内部の点Eを、△ABE と △ACD が等角になるようにとる。　　
　　△ABE ∽ △ACD　　･････　(1)
　だから、AB:AC = AE:AD そして ∠BAC = ∠EAD.　ゆえに二辺夾角の相似定理により
　　△AED ∽ △ABC　　･････　(2)
　(1)から AB･CD = AC･BE,　(2)から AD･BC = AC･ED を得る。
　辺々加えて、AB･CD + AD･BC = AC･(BE+ED) ≧ AC･BD.

　小平邦彦: ｢幾何のおもしろさ｣　数学入門ｼﾘｰｽﾞ 7, 岩波書店 (1985), 定理111, p.252-254
　矢野健太郎: ｢幾何の有名な定理｣ 数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981), p.47-48

(a) 複素数平面を考え、A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
　(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) ≡ (c-a)(d-b). 　　(← ﾔｺﾋﾞの恒等式)
　∴ |b-a|･|d-c| + |d-a|･|c-b| ≧ |c-a|･|d-b|.

　栗田 稔: ｢数学100の定理｣ 数ｾﾐ増刊, p.16 (1983)

(b) AC,BDに平行な平面Π上に射影する。 右辺は減少し、左辺は元のまま。

>>488
(a) 幾何学的証明と複素数を用いた証明は、どちらも >>1[3] PP.23-24 にも載ってまつ。
(b) なるほど！ その手があったか！ さっぱり気づかなかったです。

これは既出ですか？

( ﾟ∀ﾟ)つ 正の数 a、b、c に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a+b+c)(1/a + 1/b +1/c)

talk:>>490
c=1としても一般性を失わない。
(a/b+b+1/a)^2-(a+b+1)(1/a+1/b+1)
=((a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b))/(ab)^2,
(a^2+ab^2+b)^2-ab(a+b+1)(ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-ab(a^2b+a^2+ab+ab^2+ab+b^2+ab+a+b)
=a^2b^4+a^4+b^2+2a^3b^2+2a^2b+2ab^3-a^3b^2-a^3b-a^2b^3-ab^3-3a^2b^2-a^2b-ab^2
=a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2

新しい問題。
a,bが正の数のとき、a^2b^4+a^4+b^2+a^3b^2+a^2b+ab^3-a^3b-a^2b^3-3a^2b^2-ab^2≥0を証明せよ。

talk:>>491
c=1などとして対称性を失わない。
(a/b+b/c+c/a)^2-(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
=((ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca))/(abc)^2,
(ca^2+ab^2+bc^2)^2-abc(a+b+c)(ab+bc+ca)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+2(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)
　　　　　　　　　　-abc(a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a^4+a^2b^4+b^2c^4+(a^3b^2c+ab^3c^2+a^2bc^3)-abc(ab^2+bc^2+ca^2+3abc)
=c^2a(a^3+b^3-b^2a-ab^2)+a^2b(b^3+c^3-b^2c-bc^2)+b^2c(c^3+a^3-c^2a-ca^2)
=c^2a{(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)}+a^2b{(b+c)(b^2-bc+c^2)-bc(b+c)}+b^2c{(c+a)(c^2-ca+a^2)-ca(c+a)}
=c^2a(a+b)(a-b)^2+a^2b(b+c)(b-c)^2+b^c(c+a)(c-a)^2
≧0

talk:>>492 c=1などとしないほうが分かりやすかったのか。

>476
>>58 問題Ｄ(7)
　1/Ｃ[n-1,k] + 1/Ｃ[n-1,k+1] = n/{(n-1)Ｃ[n-2,k]} を使いますた。

与式の左辺を S_n とおくと、
S_n = (1/n)Σ[k=0,n-1] 1/Ｃ[n-1,k]
　= (1/2n){�納k=0,n-2] 1/Ｃ[n-1,k] + �納k=1,n-1] 1/Ｃ[n-1,k] + 2}
　= (1/2n)�納k=0,n-2] { 1/Ｃ[n-1,k] + 1/Ｃ[n-1,k+1] } + 1/n
　= (1/2n)�納k=0,n-2] n/{(n-1)Ｃ[n-2,k]} +1/n
　= {1/2(n-1)}{�納k=0,n-2] 1/Ｃ[n-2,k]} + 1/n
= (1/2)S_(n-1) + 1/n.
　∴ (2^n)S_n = {2^(n-1)}S_(n-1) + (2^n)/n = ･･････ = �納k=1,n] (2^k)/k.
　∴ S_n = �納k=1,n] 2^(k-n)/k = (右辺).
ぬるぽ

>490
　a,b,c>0 に対して (a/b + b/c + c/a)^2 ≧ (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9.

(略証) b/c=x, c/a=y, a/b=z とおくと xyz=1. 与式の各辺は
　(x^2 +2/x) + (y^2 +2/y) + (z^2 +2/z),　(x+1 +1/x) + (y+1 +1/y) + (z+1 +1/z),　3 + 3 + 3.
のように分けられるので、
　x>0 のとき、 x^2 +2/x ≧ x+1 +1/x ≧ 3.
に還元される。これは
　(x^2 +2/x) -(x+1 +1/x) = (1/x)(x+1)(x-1)^2 ≧0,
　(x+1 +1/x) - 3 = (1/x)(x-1)^2 ≧0.
により成立。　等号は x=y=z=1, a=b=c のとき。
ぬるぽ


【類題】
　(a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) ≧ 9 + 3[(1- a/b)(1- b/c)(1- c/a)]^(2/3) ≧ 9.
　[前スレ.704](8), 解答は [前スレ.808]

29 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/12(月) 21:58:26
三角ABCの内接円、外接円の半径をそれぞれｒ、Rとするとき R≧2ｒを示せ。

30 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/12(月) 22:25:19
だから宿題をココに投下するなって

東大入試作問者スレ６
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/29

>496
�@ 三角形の3辺を切る円は、内接円を含むから、半径>r.
�A 各辺の中点A',B',C'を通る円(つまり△A'B'C'の外接円)の半径は, Rの1/2.
�@�Aより、R≧2r.
なお、n次元では R≧nr らしい。（清水多門氏)

参考書[3]の p.7〜8 例題4.

　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　>>496
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　懐かしい。
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　　　これは球殻不等式ですね。
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　せっかくなので、毒電波入りの別証を…。
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ
------------------------------------------------------------------------------
やっときましたね。おめでとう。

　　△ABCの面積 S = (1/2)ab・sinC に正弦定理を用いて、R = abc/(4S)
　　△ABCの半周長を s = (a+b+c)/2 とおくと、S = rs
　　これより、示すべき不等式は abc ≧ 8S^2/s

なに　かんがえてんだ！

　　右辺にヘロンの公式 S^2 = s(s-a)(s-b)(s-b) を用いると、上式は abc ≧ 8(s-a)(s-b)(s-c)

どういうことだ？

　　ここで x = s-a、y = s-b、z = s-c とおくと、結局、示すべき不等式は、
　　x、y、z > 0 の条件下で、(x+y)(y+z)(z+x) ≧ 8xyz となる。

そこで そうかそうじょうへいきんか！

　　そう！そのとおり！！　わたしは　ふとうしきを　うちたおす　ヒーローが　ほしかったのです！

なにもかも　あんたが　かいた　すじがきだったわけだ。

　　なかなか　りかいが　はやい。 （以下略）

神のガイドライン http://ex13.2ch.net/test/read.cgi/gline/1131772534/l50

ﾜﾛｽ

三百三十三日三時間三十三分三十三秒。

>>494
ついでに、こやつめも殺っちゃってください。

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[n=4 to ∞] Σ[k=2 to n-2] 1/C[n,k] = 3/2

☆東大入試作問者スレ6　にありますた。

154 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/17(土) 15:07:50
nを自然数とする。
∫[0,n] log(2^(2^x)+1) dx ＜ 2^n を証明せよ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/154-157

>>502
うほっ！ ムズそう！

　　(　⌒　)
　　　l | /
　　 ∧_∧　　
⊂（*・∀・）　これは、まだ解いてないですよね？
　/　　　ﾉ∪ 　　　　　　　
　し―-J　|l| |　　　
　　 　 　 　 人ﾍﾟｼｯ!!
　　　　　　　＿＿
　　　　　　　＼　 ＼
　　　　　　　　 ￣￣
正の数 a、b、c が a+b+c+abc=4 をみたすとき、次を示せ。
a/sqrt(b+c) + b/sqrt(c+a) + c/sqrt(a+b) ≧ (a+b+c)/sqrt(2)

>503
元スレの解答は...
　log(1+y) < y.
　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より 2^(2^x) > e^x.
　log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).

∫[0,n] (2^x)log(2) dx < (左辺) < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
∴　[ 2^x ](x:0→n) < (左辺) < [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n)
∴　2^n -1 < (左辺) < 2^n -e^(-n) < 2^n.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134000000/159

>501
先にnの和を取る。
　1/Ｃ[n,k] = k!/{n(n-1)…(n-k+1)}
　= {1/(k-1)}{ k!/[(n-1)(n-2)…(n-k+1)] - k!/[n(n-1)…(n-k+2)] }
　= {k/(k-1)}{ 1/Ｃ[n-1,k-1] - 1/Ｃ[n,k-1] }.　より
　�納n=k+2,∞) 1/Ｃ[n,k] = k/{Ｃ[k+1,k-1](k-1)} = k/{Ｃ[k+1,2](k-1)} = 2/{(k+1)(k-1)} = 1/(k-1) - 1/(k+1).
そこで kの和をとると、
　�納k=2,∞) {1/(k-1) -1/(k+1)} = 1 + 1/2 = 3/2.

〔不等式ぢゃねぇのに ﾊｧハァしちまった。今は反省している。〕

>>506
> 先にnの和を取る。

ｎ と k は別々に極限をとっていいのですか？
その辺がよく分からないので、もう少し詳しくお願いします。
自分は、次のように考えて、止まりました。

lim[m→∞] �納n=4, m] �納k=2, n-2] 1/Ｃ[n, k]
= �納k=2, m-2] �納n=4,m] 1/Ｃ[n, k]
= �納k=2, m-2] k/(k-1) �納n=4,m] {1/Ｃ[n-1, k-1] - 1/Ｃ[n, k-1] }
= �納k=2, m-2] k/(k-1)*{1/Ｃ[k+1, k-1] - 1/Ｃ[m, k-1] }
= �納k=2, m-2] 2/(k-1)(k+1) - �納k=2, m-2] k/{(k-1)*Ｃ[m, k-1]}
= 1 + 1/2 - 1/(m-2) -1/(m-1) - �納k=2, m-2] k/{(k-1)*Ｃ[m, k-1]}

第２項の変形が、上手くいかね…

>507
　絶対収束の場合は，収束性が項の順序に無関係になるらしい。。。

高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波書店, p.173 (1961), 第4章 §50.二重級数

>>508
なるほど、ありがとうございました。

>>325
その変形が、思いつきそうにないです。差をとって簡単にできないでしょうか？

> (左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a)
> ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d) = 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)]
> ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)] = [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d)
> ≦ 4･[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4･(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺)

この変形のことです

>>505
２行目の
> 　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より …

ここが、さらっと出ないんですけど、どう考えるのですか？
おねげぇしますだ。

>511
　1行目で 1+y=Y とおくと、log(Y)<Y-1, e･Y<e^Y, 2^x = exp{log(2)･x} > e･log(2)･x,
　ｅ･{log(2)}^2 ≒ 1.3060067 > 1.

>504
f(x) = 1/sqrt(x) は f>0, f'<0, f">0 を満足する。
よって Jensen により
　(左辺) = a･f(b+c) +b･f(c+a) + c･f(a+b) ≧ s･f(2t/s).
ここに、a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおいた。
補題↓により t≦s だから
　s･f(2t/s) ≧ s･f(2) = (右辺).
ぬるぽ

〔補題〕a,b,c>0, a+b+c+abc=4 ならば ab+bc+ca ≦ a+b+c.
(略証)
a,b,c の基本対称式を s,t,u とおく。題意により s+u-4=0.
　s^3 -4st +9u ≧ 0.　　　　　　(← 参考書[1]の定理80 >>38 >>399 n=1の場合）
　(s/3)^3 +s -4 ≧ u +s -4 =0, 左辺は単調増加だから s≧3.
これらより、
　4s(s-t) = (s^3 -4st +9u) +(s^2 -9)u - (s+u-4)s^2 ≧0.
　∴ t≦s. (終)　

>>286
> (3) 0 ≦A, B, C, D ≦ π/2 のとき、
> 　 (2+sinA+sinB)/(2+sinB+sinC) + (2+sinC+sinD)/(2+sinD+sinA) ≦ 4(2+sinA+sinC)/(2+sinB+sinD)

>>325
> 　a=sin(A), b=sin(B), c=sin(C), d=sin(D) とおくと　0≦a,b,c,d≦1.
> 　(左辺) ≡ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+c+d)/(2+d+a) ≦ (2+a+b)/(2+b) + (2+c+d)/(2+d)
> 　= 2 + a/(2+b) + c/(2+d) = 2 +[a(2+d)+c(2+b)]/[(2+b)(2+d)] ≦ 2 + 3(a+c)/[2(2+b+d)]
> 　= [2(2+b+d)+(3/2)(a+c)]/(2+b+d) ≦ 4･[2 +(3/8)(a+c)]/(2+b+d) = 4･(2+a+c)/(2+b+d) ≡ (右辺).
> 　等号成立は a=c=0, b=d=1 のとき。
> ぬるぽ

>>325 をみて、こうやったけどＯＫ？

（右辺） - （左辺）
＝ 4(2+a+c)/(2+b+d) - (2+a+b)/(2+b+c) - (2+c+d)/(2+d+a)
≧ 4(2+a+c)/(2+1+1) - (2+a+b)/(2+b+0) - (2+c+d)/(2+d+0)
＝ a+c - a/(2+b) - c/(2+d)
＝ a{1-1/(2+b)} + c{1-1/(2+d)}
≧ 0

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ
しかし、この方法では >>326 の系の証明に使えない…

> 【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
> 　4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + (2+b+c)/(2+c+d) + (2+c+d)/(2+d+a) + (2+d+a)/(2+a+b) < 4 +3/2 = 11/2.
> 　(略証) 　[325]より、(325の左辺) ≦ 2 + 3(a+c)/[2(a+b+c+d)].

>>512
嗚呼！ 成る程、感謝ナリ
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>326
つまり、こういうことですか？

1≦a、b、c、d≦2 に対して、
　4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) ≦ 11/2

　　　　　　　　　　　　　　 _.. ..‐::´／
　　　　　　　　　　　　　_/::::::::::::/
　　　　　　　　　　　＿/:::::::::::::/　＿＿＿_
　　　　　　　　 ,..::::´:::::::::::::::::::::￣:::::::::::._／
　　　　　　　／:::::::::::::::::|　ヽ､:::::;::::::::::::／
　　　　　　 /:::::::::::::::::::::|´|ヽ　　　|/_:::.::／
　　_ .. -─':::::::::::::::､::|｀'　 　,　　　.!::∠
　　｀''　‐-.._:::::::;-‐､｀（●）　　（●）　|::::｀::-､　　　オッス！オラ悟空
　=ﾆ二::::::::::::::::|６ 　 　＼＿＿_／､｜　-──｀ クリスマスを一人で過ごすというのに
　　　　‐=.二;;;;;｀‐ｔ　　 　＼／　　ノ　　　　　　　なんだかすっげえワクワクしてきたぞ！

>>516
あ、右辺の不等号を ミスった。書き直し。

1≦a、b、c、d≦2 に対して、
　4 ≦ (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+d) + (c+d)/(d+a) + (d+a)/(a+b) < 11/2．

>514
【系】(>>326)
(略証)　0≦a,b,c,d≦1 より
(2+a+b)/(2+b+c) ≦ (2+a+b)/(2+b) = 1 + a/(2+b) = 1 + 1.5a/(3+1.5b) ≦ 1 + 1.5a/(a+b+c+d).
　循環的にたす。

>>518
さすがでござるよ、ﾆﾝﾆﾝ。 ( ﾟ∀ﾟ)

>>513
> 〔補題〕a,b,c>0, a+b+c+abc=4 ならば ab+bc+ca ≦ a+b+c.

条件式と相加相乗から 1≧abc なので、a+b+c≧3 （等号はa=b=c=1）
対称性から a≧b≧c (>0) としてもヨーシヨシいい子だ。 このとき a≧1≧c (>0)
b = (4-c-a)/(1+ca) より、
a+b+c-(ab+bc+ca) = {(c+a-2)^2 + ca(a-1)(1-c)}/(1+ca) ≧ 0 （等号はa=b=c=1）

ｱｯﾃﾏｽｶ？ ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>513
a, b, c に上限があるから、a･f(b+c) +b･f(c+a) + c･f(a+b) の最大値も求まるでしょうか？

>514
【系】(>>326)
　(2+a+b)/(2+b+c) + …… ≦ 5.
(略証)
0≦a,b,c,d≦1 より (a-c)/(2+b+c) ≦ 1/2, 2-b-c≧0.
加比の理 より、　　　( >>348 )
　(2+a+b)/(2+b+c) = 1 + (a-c)/(2+b+c) ≦ 1 + [a-c +(2-b-c)/2]/[2+b+c +(2-b-c)] = 1 + [1+a -(1/2)b -(3/2)c]/4.
循環的に加える。
　(左辺) ≦ 4 + [4-(a+b+c+d)]/4 ≦ 5.

>520
まる。
　http://www.hakutsuru.co.jp/maru/index.html

>>522
おー、すげっ！
でも、等号成立条件が分からないです。
右辺の等号成立条件は a+b+c+d=0 (0≦a,b,c,d≦1) のときだから、a=b=c=d=0
これを左辺に代入すると （左辺）=4 となって…

>>348の加比の理の証明の中で �� = ad-bc = 0 のときだから、
>>522の証明の中で (a-c)・(2-b-c) - (2+b+c)・[(2-b-c)/2] = 0 を解いて
　2a=2+b+3c (0≦a,b,c,d≦1) ⇔ a=1, b=c=0
てことは、等号は成立しないってことですね？

>524-525
訂正....

【系】0≦a,b,c,d≦1 のとき
　4 ≦ (2+a+b)/(2+b+c) + …… < 5.
　等号成立は a=c,b=d のとき。

>521
a=c=ε, b=(4-2ε)/(1+ε^2) とおいて ε→0 とすると…

もうだめぽ
　ttp://a-cats-yawn1986.seesaa.net/article/10671208.html

>>527
なるほど。

ΩΩ Ω ＜ﾅ、 ﾅﾝﾀﾞｯﾃｰ

正の数 a, b, c が ab+bc+ca+abc=4 をみたすとき
1+a+b+c ≦ abc+ 1/a + 1/b + 1/c を示せ。

似たようなのがあったようなハロゲンガス

連続関数 f(x) に対して、∫[0, 1]e^{f(x)}dx ≦ e^(∫[0, 1]f(x)dx) を示せ。

>>530
∫[0,1]f(x)dx=aとおく。e^t≧(e^a)(t-a)+e^aが任意のtで成立するゆえ
e^{f(x)}≧(e^a)(f(x)-a)+e^a。∴∫[0,1]e^{f(x)}dx≧∫[0,1]((e^a)(f(x)-a)+e^a)dx=e^a=e^(∫[0,1]f(x)dx)
･･･不等号逆じゃね？

>>531
> ･･･不等号逆じゃね？


仰せの通りにごぜえます

　|
　8 ＜ ｼﾝﾃﾞ ｵﾜﾋﾞｦ…
　'`
　￣

>>532
ィ�`

>529
　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　題意より t + (t/3)^(3/2) ≧ t + u = 4, 左辺は単調増加だから t≧3.
　(右辺) = u + t/u = 3u/4 + [t^2 -(t-u)(t+u-4)]/(4u) +1 = 3u/4 + (t^2)/(4u) +1 だから
　s ≦ 3u/4 + (t^2)/(4u).
　を示せばよい。
　(左辺) - (右辺) = s -(t^2)/(4u) -3u/4 = (4su-t^2)/(4u) -3u/4
　ここで、t^3 -4stu +9u^2 ≧0 (*) を使うと
　(左辺) - (右辺) ≦ 9u/(4t) -3u/4 = -3(t-3)u/(4t) ≦ 0.
ぬるぽ

*) Schur の不等式　　>>399 , 参考書[1]の定理80, 参考書[3]のp.28
　F_n = (a^n)(a-b)(a-c) + (b^n)(b-c)(b-a) + (c^n)(c-a)(c-b) ≧0.
　n=-2 の場合は
　F_(-2) = (1/a^2)(a-b)(a-c) + (1/b^2)(b-c)(b-a) + (1/c^2)(c-a)(c-b)
= (t^3 -4stu +9u^2)/(u^2) ≧0

さくらスレ182にありますた。

905 ：１３２人目の素数さん ：2005/12/30(金) 10:13:33
絶対値が1より小さい4つの実数a,b,c,dに対し、a+b+c+d < 3+abcd が成り立つことを示せ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134810000/905 ,913

>>535
|a|, |b| < 1 に対して、(1+ab)-(a+b) = (1-a)(1-b) > 0 より、a+b < 1+ab が成り立つ。

|a|, |b|, |c|, |d| < 1 のとき、|ab|, |abc| < 1 より、上の不等式を繰り返し用いる。
　(a+b)+c+d < 1+ab+c+d < 2+abc+d < 3+abcd

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

123

>529
Schurの不等式について　(補足)
F_(-n)≧0 と F_(n-1)≧0 は同値
　F_(-n) (a,b,c) = F_(n-1) (1/a,1/b,1/c)
　F_n(a,b,c) = G_n(s,t,u) とおくと、
　G_(-n) (s,t,u) = G_(n-1) (t/u,s/u,1/u)

( ﾟ∀ﾟ)つ 「 正の数 a, b, c, d に対して、
　　　　　　　sqrt(a+b+c+d) + sqrt(b+c+d) + sqrt(c+d) + sqrt(d) ≧ sqrt(a+4b+9c+16d) 」

さくらスレにありますた。

276 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/04(水) 20:54:36
　π^e とe^3 はどっちが大きいか教えてください。
　計算機に頼らないとき方はないですか？

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136023134/276-280 ,395

>539
　√(a+b+c+d)=w, √(b+c+d)=z, √(c+d)=y, √d=x とおくと、0≦x≦y≦z≦w.
　(左辺)^2 = (x+y+z+w)^2 = (x^2+y^2+z^2+w^2) + 2x(y+z+w) +2y(z+w) +2zw ≧ 7x^2 +5y^2 + 3z^2 +w^2 = a + 4b + 9c +16d = (右辺)^2.

>>540
395 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/06(金) 02:15:34

　9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
　∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
　∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.

talk:>>540
19/7<e, 28/9<πなので(これも要証明だが省略。)、
19/7*ln(28/9)が3より大きいことを証明すればよい。
exp(21/19)が28/9より小さいことを示すことにしよう。
exp(21/19)<1+21/19+(21/19)^2/2*∑_{n=0}^{∞}((7/19)^n)=467/152<28/9.
よってπ^e>e^3.

>>540
改造したくなるのが不等式ヲタの…
(
ﾟ∀ﾟ)つ 「 e^π > π^e > e^3 を示せ。」

>>539
つ 【三角不等式】

>>542
> 　9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
> 　∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
> 　∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.

２行目の 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} を解説お願いします。
もっとスッキリした証明はないのでしょうか？

>545,539
【n角不等式】
　|x↑| + |y↑| + |z↑| + |w↑| + … ≧ |x↑ + y↑ + z↑ + w↑ + … |
に
　x↑ = (√d,　0,　0,　0,0,0,…),
　y↑ = (√d,√c,　0,　0,0,0,…),
　z↑ = (√d,√c,√b,　0,0,0,…),
　w↑ = (√d,√c,√b,√a,0,0,…),
を代入する？

>544
　y=exp(x) は下に凸だから exp(x) > 1+x　(x≠0),
　p≠e とする。log{log(p)}≠log(1)=0 だから log(p) > 1 + log(log(p)).
　∴ p > e･log(p)
　∴ e^p > p^e.

『大学への数学』(1970.11)
「数学の問題 = 第�B集」数セミ増刊、日本評論社 (1988.9) 第27問

>546
>547 の exp(x) > 1+x から -log(1+x) > -x.
　これに x=1-(3/e) を代入する。
　もっといい証明があれば うpシロン.

>547 の訂正
　p>1, p≠e とした。　(p≦1 の場合は明らか)

>>546
> ２行目の 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} を解説お願いします。 … ★


つ ★ ⇔ log{2-(3/e)} < 1-(3/e)

('A`) ： なに　かんがえてんだ！

つ ★ ⇔ 1-3/e = t とおくと、log(1+t) < t

('A`) ： どういうことだ！

つ 【y=log(1+x)の原点における接線】

('A`) ： なにもかも　あんたが　かいた　すじがきだったわけだ

つ　なかなか　りかいが　はやい。 （以下略）

東大スレ [381-313] より。

面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y) の最小値を求めよ。

X = y+z-x > 0, Y = x+z-y > 0, Z = x+y-z > 0 とすると
x = (Y+Z)/2, y = (X+Z)/2, z = (X+Y)/2, x+y+z = X+Y+Z
s = (x+y+z)/2 = (X+Y+Z)/2

三角形の面積が1なので、
√s(s-x)(s-y)(x-z) = √((X+Y+Z)/2)(X/2)(Y/2)(Z/2) = 1
∴ √((X+Y+Z)XYZ) = 4 <=> XYZ(X+Y+Z) = 16 -- (1)

ところで相加相乗調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 3/(XYZ) <= (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) <= 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺辺掛け合わせて
27/(XYZ(X+Y+Z)) <= (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27/16)^(1/4) = 3^(3/4)/2 <= 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/3)

ところで 相加･相乗･調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 27/(XYZ) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺々掛け合わせて
(27･9)/(XYZ(X+Y+Z)) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27･9/16)^(1/4) = 3^(1/4)･(3/2) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/4) のとき。

>542-543
　ｸﾞｯｼﾞｮﾋﾞ!

>544
改造したくなるのが不等式ヲタの…
( ﾟ∀ﾟ)つ 「e^e < 3^e < e^3 < π^e < e^π < 3^3 < π^3 < 3^π < π^π を示せ。」

出題(不等式)
　http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=377

talk:>>551 難しいのは e^π < 3^3 の部分だけだ。( e^3 < π^e は済み。)

talk:>>551
e=∑_{n=0}^{∞}(1/n!)>0かつe=∑_{n=0}^{∞}(1/n!)<1+∑_{n=0}^{∞}(2^(-n))=3より、e^e<3^e.
x>0でxをx^(1/x)に対応させる関数をfとおくと、fの導関数は、(1-ln(x))/x^2*exp(ln(x)/x)なので、
fは0より大かつeより小のところで単調増加、eより大のところで単調減少。よって、3^e=(3^(1/3))^(3e)<(e^(1/e))^(3e)=e^3.
π=4*∑_{n=0}^{∞}((-1)^n/(2n+1))で、π>4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11=10312/3465>3より、
e<3<π.よってπ^e<e^π.さらに、3^3ππ^3<π^3<3^π<π^π.
これでほとんどの部分は示した。
e^π<3^3については、π<13/4を示して、e^(13/12)<3であることを証明すればよい。
π<4-4/3+4/5-4/7+4/9-4/11+4/13-4/15+4/17-4/19+4/21=47028692/14549535<13/4であり、
e^(13/12)<1+13/12+169/288*∑_{n=0}^{∞}(3^(-n))=619/216<3.

>>507
こやつめも、ぜひ、こらしめてください。

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[k=1 to n] C[n、k]*C[kn、n] = -(-n)^n

MOCP 429
http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_jan.pdf

(1-(1+x)^n)^n = (-x)^n (Σ_[k=0,n-1] (1+x)^k)^n

>554

>555 の式を展開すると
　�納k=0 to n] (-1)^k Ｃ[n,k] (1+x)^kn = (-x)^n {n + (xの1次以上の項)}^n.
その x^n の係数は
　�納k=1 to n] (-1)^k Ｃ[n,k]*Ｃ[kn,n] = (-n)^n.

>>555-556
なるほど、ありがとうごぜいます。( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ

問題１． 0<x<1 に対して、{1+x^3(1-x)^3}(1-x^2)/(1+x^2) < sin(πx)/(πx)

問題２．複素数 a,b,c に対して、sqrt(a^2+b^2+c^2) ≦ max(|a|+|b|, |b|+|c|, |c|+|a|)
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　　
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　　彡
　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　　　よろしくお願いします。
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

>554,557

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[k=2 to n] (-1)^k Ｃ[n,k]*Ｃ[kn,n+1] = (-1)^n･(1/2)(n-1)･n^(n+1)

( ﾟ∀ﾟ)つ Σ[k=2 to n] (-1)^k Ｃ[n,k]*Ｃ[kn,n+2] = (-1)^n･(1/8)(n -5/3)(n+1)(n-1)･n^(n+1)

問題(1)
nを6以上の自然数とするとき、
　√{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) > 2^(n+1)
となることを示してくださいです。。。
ただしＣ(n,k)を二項係数、[x]をガウスの記号としまつ。

整数論の問題を出し合うスレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1106654316/181 ,230
を改作

>>559
x^(n+1)、x^(n+2) の係数を比較するのでつね。

>>560
>　n≧6　⇒　√{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) > 2^(n+1)
> をnに関する帰納法で示しまつ。
> n=6 のとき 7Ｃ[6,3] = 7･20 = 140 > 128 = 2^(6+1) で成り立つ。
> n=7 のとき √(56)･Ｃ[7,3] > 7.4･35 = 259 > 256 = 2^(7+1) で成り立つ。
> n=2m-1 のとき成り立てば、
> 　Ｃ(2m,m) = (2m)!/(m!)^2 = 2*(2m-1)!/{(m-1)!m!} = 2Ｃ(2m-1,m-1)
> 　Ｃ(2m+1,m) = (2m+1)!/{m!(m+1)!} = 4{(2m+1)/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1) > 4√{2m/(2m+2)}･Ｃ(2m-1,m-1)　←(*)
> より n=2m,2m+1 のときも成り立つ。(終)
>
> (*) (2m+1)^2 = 2m(2m+2) +1 > 2m(2m+2) ゆえ {(2m+1)/(2m+2)}^2 > 2m/(2m+2).
>
> なお、左辺は右辺 2^(n+1) の 140/128倍を超えない。


最後の行について、　(35/32)*2^(n+1) > √{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) の証明をきぼんにゅ。

>>562
n≧4で成り立つのではアルマジロ？

>562
r(n) = (左辺) / (右辺) = √{7(n+1)}･Ｃ(n,[n/2]) / 2^(n+1) ≦ 140/128 を示しまつ。
r(n) = r(n-2)･n√(n^2 -1) /{4[n/2](n-[n/2])},
r(2m) = r(2m-2)･√{(2m)^2 -1} /(2m) < r(2m-2),　単調減少.
r(2m+1) = r(2m-1)･(2m+1) /√{(2m+1)^2 -1} > r(2m-1),　単調増加.
また、r(2m) = r(2m+1)･√{(2m+2)/(2m+1)} > r(2m+1)　より有界なので収束する。　(*)
∴ 140/128 = r(6) > r(8) > … > r(2m) > … > √(7/2π) > … > r(2m+1) > … > r(7) > r(5) > 1.

*) 高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波, p.8 (1961.5), 第�T章, §4, 定理6

>>564
r(n)の極限はどうやるのですか？

>565
( ﾟ∀ﾟ)つ [ワリスの公式]

　√(2m+1)･Ｃ(2m,m) / (2^m)^2
　= √(2m+1)･(2m)! / [(m!)(2^m)]^2
　= √(2m+1)･(2m)! / [(2m)!!]^2
　= √(2m+1)･(2m-1)!! / (2m)!! →　√(2/π).　(m→∞)

高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波, p.116 (1961.5), 第3章, §35
http://mathworld.wolfram.com/WallisFormula.html

r(2m) →　(1/2)･√7･√(2/π).　(m→∞)
r(2m+1) = r(2m)･√{(2m+1)/(2m+2)} → 同上

>>566
成程。ありがとうございまふ。

( ﾟ∀ﾟ)つ　{(n!)^(1/n)} /n > 1/e.

分かスレ２２８
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1137775255/184 ,222
を改作

>>568
ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!

>>568
> 対数を考えると、
>　(1/n)log(n!) - log(n) = (1/n)Σ[k=1,n] log(k/n) → ∫[0,1] log(x)dx = [ x･log(x) -x ](x=0,1) = -1.
>　∴ 与式 = 1/e.

>>570
これは lim_[n→∞]{(n!)^(1/n)}/n = 1/e の証明でした…

>568 を改作

( ﾟ∀ﾟ)つ　∫[1/n,1] log(x)dx - (1/2n) >　log{(n!)^(1/n) /n} > ∫[1/2n, 1-(1/2n)] log(x)dx > -1.

>572 から
　log{(n!)^(1/n) /n} = (1/n)Σ[k=1,n] log(k/n) > ∫[1/2n, 1+(1/2n)] log(x)dx
　= [ x･log(x) -x ] = (1 +1/2n)log(1 +1/2n) +(1/2n)log(2n) -1 ≧ (1/2n)log(2en) -1. 　←(*)

∴　n! > n^(n+1/2)･e^(-n)･√(2e).
　
*)　a>0　⇒　(1+a)log(1+a) = -(1+a)log{1 - a/(1+a)} ≧ a.

>573
　n! 〜 n^(n +1/2)･e^(-n)･√(2π) だが...

たまには意味の無いことも
ttp://mash1.or.tv/centerlink/patio/patio.cgi?mode=view&no=37

遅れましたが自己紹介させていただく
名はリンゴォ・ロードアゲイン
３年ほど前、砂漠で「能力」を身につけた「スタンド使い」…
能力名は「マンダム」
そう認識していただきたい
ほんの「６秒」、それ以上長くもなく短くもなく
きっかり「６秒」だけ「時」を戻すことができる
それが能力 　ゴゴゴゴゴ…

スター林檎の不等式は
　n^(n +1/2)･e^(-n +1/12n)･√(2π) > n! > n^(n+1/2)･e^(-n)･√(2π)　だが...

高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波書店, p.258-260 (1961.5) 第5章 §69


たまには意味の無いことも
ttp://centerlink.chu.jp/patio/patio.cgi?mode=view&no=37

>>576
> たまには意味の無いことも
> ttp://centerlink.chu.jp/patio/patio.cgi?mode=view&no=37

ほんと意味不明。 なにが言いたいのか？

複素数 a, b に対して、三角不等式 |a+b| ≦ |a|+|b| が成り立ちますが、
この成立条件は 一方が他方の定数倍のときですが、これを繰り返し用いると、

複素数 a, b, c に対して、三角不等式 |a+b+c| ≦ |a|+|b|+|c| が成り立ちますが、
この等号成立条件は一体何でしょうか？

>578
　n角不等式
　a,b,c,… が互いに非負実数倍のとき。

>>579
なるほど。ありがとうございます。
非負実数倍じゃないとだめぽですね。

nを自然数とするとき、次式の大小を比較せよ。
{(2^n - 2)/(n-1)}^(n-1)、 {(2^n - 1)/n}^n、{(2^n)/(n+1)}^(n+1)

よろしくおねがいしまする。

>>581
わかんね。

a, b, c, x ,y, z > 0 のとき、a^2/x + b^2/y + c^2/z ≧ (a+b+c)^2/(x+y+z) を示せ。

この不等式って、置き換えたら有名不等式だった〜なんていう秘密はありますか？

>>583
( ﾟ∀ﾟ)つ 【Jensenの不等式】

>>583
( ﾟ∀ﾟ)つ 【Cauchyの不等式】

∵ (a/√x, b/√y, c/√z) と (√x, √y, √z) の内積は a+b+c.

>>581
　n=2,3 のときは直接代入する。
　n≧4 のとき 　N = 2^n -1 > 3(n+1) > e(n+1).
　補題↓により、 {N/(n-1)}^(n-1) < (N/n)^n < {N/(n+1)}^(n+1)

〔補題〕
　{(n+1)/n}^n <e.
(略証)
　{(n+1)/n}^n = (1 + 1/n)^n= Σ[k=0,n]Ｃ[n,k] (1/n)^k = Σ[k=0,n] (1/k!) (1-1/n)(1-2/n)…(1-(k-1)/n) < Σ[k=0,n] 1/k! < e.
　※ 左辺はnについて単調増加。

>>584-585
潮騒キボンヌ！

>>584-585
やっと理解しました。ありがとうございます。
いや、このスレの空気からすると、こういうべきなんでしょうか？
( ﾟ∀ﾟ) ﾊｧﾊｧ

>>586
まだ分からないです。

n≧4 のとき 　N = 2^n -1 > 3(n+1) > e(n+1).
補題により、{(n+2)/(n+1)}^(n+1) > {(n+1)/n}^n > {n/(n-1)}^(n-1)

ここから、{N/(n-1)}^(n-1) < (N/n)^n < {N/(n+1)}^(n+1) に持っていくやり方をお願いします

>589
　{n/(n-1)}^(n-1) <e.
　1/N < 1/(en).
　を辺々掛けて
　{N/(n-1)}^(n-1) / {(N^n)/n^(n-1)} < 1/n.

　{(n+1)/n}^n <e.
　1/N < 1/{e(n+1)}.
　を辺々掛けて
　(N/n)^n / {N^(n+1)/(n+1)^n} < 1/(n+1).

　※ 以下は蛇足ですた。

〔別法〕
　f(x) = x^(1/x) とおくと　{log f(x)} ' = {(1/x)log(x)} ' = [1-log(x)]/(x^2).
　x>e では f(x)は単調減少なので
　f((N/(n-1)) < f(N/n) < f(N/(n+1)).

正の数 a, b, 自然数 m, n に対して、次式を示せ。
　 a^(m+n) + b^(m+n) ≧ a^m・b^n + aa^n・b^m

>591
　(左辺) - (右辺) = a^(m+n) + b^(m+n) - (a^m)(b^n) - (a^n)(b^m) = (a^m -b^m)(a^n -b^n),
　a^m -b^m, a^n -b^n の符号は a-b の符号と一致する(*)ので、 右辺≧0,　等号は a=b のとき。
　　　　（m,n が偶数の場合は、実数 a,b に対して成り立つ.）

※ a≠b >0 のとき
　(a^m -b^m)/(a-b) = a^(m-1) + a^(m-2)b + … + ab^(m-2) + b^(m-1) >0.
　(a^m -b^m)/(a-b) = a^(n-1) + a^(n-2)b + … + ab^(n-2) + b^(n-1) >0.

面積が4√3の鋭角三角形ABCがあり、辺AB,BC,CAの中点L,M,N,においてLM,MN,NLを折り目として折り返してできる四面体の体積の最大値を求めよ。

某スレより

>>592
さすがです。
ありがとうございまする。
よく見たら、問題文の右辺で aa^n って書き間違ってましたね、すまそん。

>594
　なので こちらも 一番下の行で nの所をmと間違えときますた。(ｳｿ)

( ﾟ∀ﾟ)つ http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/jmo16yq.html 第11問

(；´Д｀)つ http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/apmo17q.html 第2問

>>590
理解できました。ありがとうございます。

>596
11.　0以上1以下の実数x,yに対して
　　　　f(x,y) = x(y^2)√(1-x^2) -(x^2)y√(1-y^2)
　とする。次の条件をみたす定数cの最小値を求めよ.

　　2以上の任意の整数nと 0 ≦ a_1 < a_2 < …… <　a_n ≦ 1 をみたす任意の実数
　　a_1,a_2,…,a_n に対して
　　　　f(a_1,a_2) + f(a_2,a_3) + …… + f(a_(n-1),a_n) < c
　　が成り立つ.

　第16回(2006年)JMO予選の問題

>597
2.　正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
　　(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3.

　　第17回APMO(2005)の問題

>>591
プチ改造しました。 もっと面白くできないかなぁ…

正の数 a, b, 自然数 m, n に対して、
　a^(m+n) + b^(m+n) ≧ a^m・b^n + aa^n・b^m ≧ 2(ab)^{(m+n)/2}
　a^(m+n) + b^(m+n) ≧ {(a+b)/2}^(m+n)

上下のどれかを比較できませんか？

>>601
つまり、(a^m・b^n + a^n・b^m)/2 と {(a+b)/2}^(m+n) の大小比較ですな。

【Jensenの定理】
[a,b]で定義された実関数fが
　f((x+y)/2) ≧ (f(x)+f(y))/2　　　　　… (1)
を常に満たすとする．このとき，α≧0, β≧0, α+β=1なるすべてのα，βに対し，
　f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)　　　　… (2)

分かスレ２３１
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1139159696/436

>603
　(1)を [x,(x+y)/2] に適用すれば f((3x+y)/4) ≧ {f(x)+f((x+y)/2)}/2 ≧ {3f(x)+f(y)}/4.
　また、[(x+y)/2,y] に適用すれば f((x+3y)/4) ≧ {f((x+y)/2) +f(y)}/2 ≧ {f(x)+3f(y)}/4.
　で、[x,y] の4等分点についても成り立つ。
　同様にして [x,y] の 2^n等分点についても成立つことを示せる。
　fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/3.
　アルキメデスの原理より、(2^n)|y-x|δ >1, (2^n)(ε/3)/f(x) >1, (2^n)(ε/3)/f(y) >1 となる自然数nがある。
　α:βに最も近い2^n等分比をa:bとすると、|α-a| < 1/(2^n)　より、|z-(αx+βy)| < δ,
　∴ f(αx+βy) ≧ f(ax+by) -ε/3 ≧ af(x) +bf(y) -ε/3 ≧ αf(x) + βf(y) -ε.
　∴ f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)　　… (2).


　大関: >>1 の参考書[3] 第3章, p.96-97 (1987)
　C.Alsina: "General Inequalities 2", Birkhauser Verlag, p.419-427 (1980)

fは連続なの？

>604
すみません，連続性は仮定してないんです．反例はありますか?

既出は許して

(1)
a>1、x_i>0 (i=1,2,3,...,n)のとき
?ﾓ(x_i*log_[a]x_i) ≧ (1/n) * ?ﾓx_i * ?ﾓlog_[a]x_i

(2)自明だけど
2^(n-1) ≦ n! ≦ n^n

(3)
n≧2のとき
(√(n/2))^n ＜ n! ≦ (n^n)/(2^(n/2))

(4)ガウスの評価
n^(n/2) ≦ n! ≦ ((n+1)/2)^n

(5)
e(n/e)^n ≦ n! ≦ en(n/e)^n

(6)
n! ≦ e(√n)(n/e)^n

何使おうと人の勝手だけどスターリングはちょっと哀しいかも。

>605-606
　>604 は fを連続と仮定してますた。ｽﾏｿ.

〔凡例〕
qを1つの無理数として、
　f(x) = 1,　　x-q ≠ 有理数 のとき
　f(x) = 0,　　x-q ＝ 有理数 のとき

ついでに >604 を修正
　fは連続だから、任意の ε>0 に対して或る δ>0 があって、|z-(αx+βy)| < δ ⇒ |f(z)-f(αx+βy)| < ε/2.
　アルキメデスの原理より、(2^n)δ > |x-y|, (2^n)(ε/2) > |f(x)-f(y)| となる自然数nがある。

　　 ＿＿＿
　.／　　≧　＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ 不等式ﾊﾞﾝｻﾞｲ！
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

>>608
反例になってねえだろ

>>608
　x=有理数, y=2q+有理数 のとき f((x+y)/2) = 0 < 1 = {f(x)+f(y)}/2.
だろ

>607
(1)　�倍同順序積} ≧ �倍乱順序積}

(2)　自明

(3) 1≦k≦n-1 に対して ↓を掛け合わせ、√する。
　2n ≦ (k+1)(n+1-k),　k(n-k) ≦ {n^2 - (2k-n)^2}/4 ≦ (n/2)^2.
　(√(2n))^(n-1) < n! ≦ (n^n)/(2^(n-1)).

(4) 1≦k≦n に対して ↓を掛け合わせ、√する。
　n ≦ k(n+1-k) ≦ ((n+1)/2)^2.
　n^(n/2) ≦ n! ≦ ((n+1)/2)^n.

(5) >>570-573 から、
　√(2en)･(n/e)^n < n! < en(n/e)^n

解析学の基本は不等式。
代数学の基本は等式〜〜〜〜きれいごと。
幾何学〜〜〜〜〜もはや数学ではない。

>>607 (6)
y=log(x) は上に凸なので 折れ線より上側にあるから（>>572 の左側）
　∫[1/n,1] log(x)dx +(1/2n)log(1/n) > (1/n)�納k=1,n] log(k/n) = log{(n!)^(1/n) /n} から
　n! < e(√n)(n/e)^n.

>>573 と合わせて
　√(2en)･(n/e)^n < n! < e(√n)･(n/e)^n.

ｽﾀｰ林檎は n! > √(2πn)･(n/e)^n.

>>607(2)
では俺も一つ。

( ﾟ∀ﾟ)つ 貧弱な評価ですが、「自然数 n に対して、 (2n+1)! < n^(2n-1)」

>>614
ｽﾀｰ林檎…。
いま気づいて、思わず叫んでしまった。 スターリングのことかー！！！


　「_￣ﾌ　　ﾉ^ｰ┐　///////////ノ/
　,-､二、　ｰク /　　7_／////////^
　`ー‐‐'　　`ｰ'　　　　 ///////し
　　 _l^l_　　i^i　i^i　　 ///////
　 / ,--┘　Ｕ ﾉ |　　//////^
　 !__ニｺ　　lﾆ.ノ 　 　7///　　　　_,,.. .　__
　__l^l__へ　 i^i　i^i　　//^　　　 ．．　＿　 ｀ヽ
　ﾞ┐r┐Tﾞ　∪ ﾉ |　 |/ 　 　　/：：／.┬".)　 　l
　 く,ﾉr'_,ﾉ　　lﾆ.ノ　　 ７ 　　 _iゞ/ｲ｡_ﾉ　　 　_r'''､
　　　|　　　 ,へ　,ﾍ　/　 　　/ ﾆ-''^＼¨　　 ∠.} l
　　　|　　　　`ﾞ / /　|.　　　｜l､ヾ⌒-|　 u　 r_ﾉﾉ "
　　　|　 　 ヾ二ノ　　|　　　 ヽ |`´_,--|　　i､ﾆイ
　　　|　　　 /,ﾆ^＼.　|　 　　 ＼ｌ<-ﾆﾌ　,ノ ,.　＼、'
　　| | | |　　| しリj |　 ＼　 　　＼￣ ,／ノ/　, |　Z
　　ﾟ ﾟ ﾟ ﾟ　　`ｰ" ｰ' 　〔　　　　　 /￣／ '", //／　,.

>616,>>575-577
http://mathworld.wolfram.com/StirlingsApproximation.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%97
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B4%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC
http://www.yk.rim.or.jp/~y_satou/beatles/news/news96.html#RingoTakaraCM

>615
k(2n-k) = n^2 - (n-k)^2 ≦ n^2.
　k=1,2,…,2n-1 について掛け合せて√すると　(2n-1)! < n^(2n-1).

>>603-606,>>608-611
反例できた
R を Q係数のベクトル空間と見て、基底を e_1, e_2, … とする
x∈R として x = q_1*e_1 + q_2*e_2 + …
のとき f(x) = q_1 とすれば、これが反例になってることは明らか

２００６年本選
５．任意の正の実数x1,x2,x3,y1,y2,y3,z1,z2,z3に対して不等式

　(x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)

　　が常に成り立つような実数Ａの最大値を求めよ。
　　またＡをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

数学オリンピックスレより
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/l50

>>620
今年も数ヲリ不等式ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!

あ

>620
　A=3/4, x = y = z = (1/6)^(1/3) のとき
かな?

( ﾟ∀ﾟ)つ http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n2/PDF/v32n2syn.pdf 問101
どっかで見たことあるよね。

>>620
(略解)
　f(v1,v2,v3) = v1^3 + v2^3 + v3^3 +1 とおくと、
　Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - Ａ(x1+x2+x3)(y1+y2+y3)(z1+z2+z3),
変数が9つもあると大変…
　∂Ｆ/∂x1 = (3x1^2)f(ｙ)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂y1 = f(ｘ)(3y1^2)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂z1 = f(ｘ)f(ｙ)(3z1^2) - Ａ(s2･s3) =0
等から
　xi = λ√{f(ｘ)/si},　ｘ=(x1,x2,x3)
　yi = λ√{f(ｙ)/si},　ｙ=(y1,y2,y3)
　zi = λ√{f(ｚ)/si},　ｚ=(z1,z2,z3)
　ここに si≡ xi +yi +zi (i=1,2,3)とおいた。辺々加えて
　xi +yi +zi = λ{√f(ｘ) +√f(ｙ) +√f(ｚ)}/(√s_i)
　∴ (si)^(3/2) = λ{√f(ｘ) +√f(ｙ) +√f(ｚ)}.
　右辺はiによらないから、 s1 = s2 = s3.
　∴ x1=x2=x3, y1=y2=y3, z1=z2=z3　
　この場合のみを考えればよいので 結局 次の3変数の問題に帰着する。

【５'】任意の正の実数 x, y, z に対して不等式
　　　　(3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) ≧ Ａ(x+y+z)^3
　　が常に成り立つような実数Ａの最大値を求めよ。
　　またＡをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

>>620
[625]の続き
3変数の対称式と来れば …… x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおく(基本対称式)。
Ｆ~(x,y,z) = (3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) -Ａ(x+y+z)^3
　= 27(xyz)^3 + 9{(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3} + 3(x^3+y^3+z^3) +1 -Ａ(x+y+z)^3
　= 27u^3 + 9{3u^2 + t(t^2-3su)} + 3{3u + s(s^2-3t)} +1 -Ａs^3
　= (3u+1)^3 + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1
　= (81/4)u + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1 + D_2
　= (3/4 -Ａ)s^3 + D_1 + D_2 + D_3.
　≧ (3/4 -Ａ)(x+y+z)^3.

D_1 = 9t(t^2-3su) = (9t/2){(xy-yz)^2 +(yz-zx)^2 +(zx-xy)^2} ≧0,
D_2 = (3u+1)^3 -(81/4)u = {(3/4)u +1}(6u-1)^2 ≧0,　　(9u,3/2,3/2 の相加-相乗平均)
D_3 = (9/4)(s^3 -4st +9u) ≧0,　　　　　　(Schur不等式,n=1 >>399-401)

　上式が常に ≧0 となるようなＡの最大値は 3/4.
　Ａ=3/4 と取るとき、等号が成立する条件は, u=1/6 から x=y=z=(1/6)^(1/3).
ぬるぽ

>>625 の訂正 … ｽﾏｿ
　Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3),

>>21
[前スレ.360(2)]
　Σ[k=1,m] x_k↑ = s↑, (m-2)Σ[k=1,m] |x_k| +|s| =L,　Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j| =R
とおく。まず補題として
　D = (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2 +|s|^2 - Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2 =0.
を示すのだが、これは内積を使えば簡単である。

次に L-R ≧0 を示そう。
(L-R){ Σ[k=1,m] |x_k| +|s| } = (m-2){Σ[k=1,m] |x_k|}^2 +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| + |s|^2 -R{……}
　= 2(m-2)�納i<j] |x_i||x_j| +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| - R{……} + (m-2)Σ[k=1,m] |x_k|^2 + |s|^2
　= 2(m-2)�納i<j] |x_i||x_j| +(m-1){Σ[k=1,m] |x_k|}|s| - R{……} + Σ[i<j] |x_i +x_j|^2 +D
　= �納i<j] {(|x_i|+|x_j|)(�納k≠i,j] |x_k| +|s|) - {……}|x_i+x_j| + |x_i+x_j|^2 } +D
　= �納i<j] {|x_i|+|x_j|-|x_i +x_j|}･{�納k≠i,j] |x_k| +|s| -|x_i+x_j|} +D
　≧ D =0.
{……} >0 だから L-R ≧0.

*)　�納k≠i,j] |x_k| +|s| -|x_i+x_j|
　　= (�納k≠i,j] |x_k| -|�納k≠i,j] x_k| ) + (|s -x_i -x_j| +|s| -|x_i +x_j|) ≧0

参考書[3] の p.34

>>626
Schur不等式ってなんですか？　あと、バンチってのも知りたいんだけど、よかったら教えて。

>629
　>>399-401
　参考書[1] の定理80
　参考書[3] のp.27-28

"The BUNCH" (Burroughs, UNIVAC, NCR, CDC, Honeywell)。
　汎用コンピューター・メーカーで規模のやや大きいIBM対抗5社の頭文字か?

(x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)
G=f(x,y,x)-r(h-a)-s(g-b)-t(k-c)
Gx1=3x1^2f(y)f(z)-s=0->f(y)f(z)=s(3x1)^-2
Gx2=0->f(y)f(z)=s(3x2)^-2
Gx3=0->f(y)f(z)=s(3x3)^-2->x1=x2=x3,y1=y2=y3,z1=z2=z3
(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)>=A27xyz
G=(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)-r(xyz-a)
Gx=9x^2f(y)f(z)-ryz=0->f(y)f(z)=ryz/9x^2=ar/9x^3->(3x^3+1)f(y)f(z)=h=ar/3+ar/9x^3
Gy=0->f(x)f(z)=rxz/9y^2=ar/9y^3->h=ar/3+ar/9y^3
Gz=0->f(x)f(y)=rxy/9z^2=ar/9z^3->h=ar/3+ar/9z^3->x=y=z=a^1/3
Gr=0->xyz=a->f(x)f(y)f(z)=(ar)^3/(9a)^3=(r/9)^3
p=(3x^3+1)(3y^3+1)(3z^3+1)/27xyz=((3a+1)^3)/(27a)
dp/da=((3a+1)^2)/3a-((3a+1)^3)/(27a^2)=0
3a+1=9a->a=1/6
p>=6(3/2)^3/27=6/8=3/4=A

f(αx+βy) ≧ αf(x) + βf(y)
f(Ax+By)=f((2ax+2(1-a)y)/2)>=(f(2ax)+f(2(1-a)))/2=(f(Ax)+f(By))/2,A+B=1 (a=0->.5)

正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3
G=(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)}
+ (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} -r(abc-8)

Ga=2af(a)f(b)-3/2a^4f(a)^3f(b)-3/2a^2c^2f(c)f(a)^3-rbc=0
Gb=2bf(c)f(b)-3/2b^4f(b)^3f(c)-3/2a^2b^2f(a)f(b)^3-rac=0
Gc=2cf(c)f(a)-3/2c^4f(c)^3f(a)-3/2b^2c^2f(b)f(c)^3-rab=0

2a^2f(a)f(b)-3/2a^5f(a)^3f(b)-3/2a^3c^2f(c)f(a)^3-r8=0
2b^2f(c)f(b)-3/2b^5f(b)^3f(c)-3/2a^3b^2f(a)f(b)^3-r8=0
2c^2f(c)f(a)-3/2c^5f(c)^3f(a)-3/2b^3c^2f(b)f(c)^3-r8=0

2a^2f(a)f(b)-3/2a^5f(a)^3f(b)-3/2a^3c^2f(c)f(a)^3-r8=0
2b^2f(c)f(b)-3/2b^5f(b)^3f(c)-3/2b^3a^2f(a)f(b)^3-r8=0
2c^2f(c)f(a)-3/2c^5f(c)^3f(a)-3/2c^3b^2f(b)f(c)^3-r8=0

正の実数a,b,cが abc=8 をみたすとき, 次の不等式を示せ.
(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3
G=(a^2)/√{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/√{(1+b^3)(1+c^3)}
+ (c^2)/√{(1+c^3)(1+a^3)} -r(a^3b^3c^3-8^3)

G=(a^2/3)/√{(1+a)(1+b)} + (b^2/3)/√{(1+b)(1+c)}
+ (c^2/3)/√{(1+c)(1+a)} -r(abc-8^3)

G=(a-1)^2/3(ab)^-.5+(b-1)^2/3(cb)^-.5+(c-1)^2/3(ac)^-.5-r((a-1)(b-1)(c-1)-8^3)

Rose Ballのパレードの場所をgoogle　mapで見てみたい
メーシーズのパレードは終わったのかな？

さくらスレ１８７にありますた。

(問題)　自然数n, 実数xに対して
　|�納j=1,n] sin(jx) /j | ≦ 2n/(n+1).
を示して下さいです。。。

>>21
[前スレ.705]
　a,b ≧ 2.
(i) 1/3 < (b-2)/(a-2) < 3 のとき
　a+b < 4(a-1) ≦ 2^a,　a+b < 4(b-1) ≦ 2^b.
　1/(a+b) > (1/2)^a,　　1/(a+b) > (1/2)^b.
　{1/(a+b)}^(1/a) > 1/2,　{1/(a+b)}^(1/b) > 1/2　より成立.

(ii) (b-2)/(a-2) ≦ 1/3 のとき
　a + b ≦ a + (a-2)/3 +2 = (4/3)(a+1) = (a+1)/0.75.
　{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) ≧　{0.75/(a+1)]}^(1/a) + {0.75/(a+1)}^(1/2) = g(a).
　ここに g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + {0.75/(x+1)}^(1/2) とおいた。
　x>2 では 1 < g(x) ≦ 1.0403408655163817…　@x=50.47477… (証明略)

(iii) (b-2)/(a-2) ≧3 のとき
　(ii)と同様。

603 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/03/12(日) 18:51:49
>>586
それでは今月号のエレファント解答を…

　D = (xy^2 +yz^2 +zx^2)^3 -xyz(xy+yz+zx)^3
　= Axy^2(y-z)^2 + Byz^2(z-x)^2 + Czx^2(x-y)^2,
　A = x^2(y+z)^2 + 3xyz^2 + 2z^4 > 0　
　B = y^2(z+x)^2 + 3yzx^2 + 2x^4 > 0　
　C = z^2(x+y)^2 + 3zxy^2 + 2y^4 > 0　
より　D≧0. 題意より xyz>1 だから
　xy^2 + yz^2 + zx^2 ≧ (xy + yz + zx)(xyz)^(1/3) > xy + yz + zx.

604 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/03/12(日) 19:08:40
>>586
今月号のエレガントな(？)解答

相加・相乗平均より
　(2/3)xy^2 + (1/3)zx^2 ≧ xy(xyz)^(1/3) > xy.
これを循環的にたす。

x>2 ⇒ g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + √{0.75/(x+1)} >1

(略証)
　(x/2,x/2,1) の相加･相乗平均から {(x+1)/3}^3 > (x/2)^2.
　∴ 1/x < 3√{0.75/(x+1)} -1 = 3y-1.
　上式の第2項 √{0.75/(x+1)} =y とおいた。x>2 より 0<y<1/2.
　また (2y/e)^2y ≧ 1/e,
　e^(±(1-2y)) > 1 ±(1-2y)　　　(← 下に凸)
　8/e >e　　　　(← log(2) > 2/3) より
　y^(2/x) > y^(6y-2) = (2y/e)^(6y-2)･(e/2)^(6y)･(1/y)^2 > e^(-3(1-2y))･e^(2(1-2y))･2^(2-6y)
　= (1/2)･(8/e)^(1-2y) > (1/2)e^(1-2y) > (1/2){1+(1-2y)} = 1-y.
　∴ g(x) = y^(2/x) + y > 1.
　y=1/2, x=2 のときは等号成立。

おやすみ。

>640
　1/x > 3√{0.75/(x+1)} -1 = 3y-1.
　y^(2/x) < y^(6y-2).
なので…

x>2 ⇒ g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + √{0.75/(x+1)} >1

(略証)
上式の第2項を y とおくと
　g(x) = y^(2/x) + y = y^{2(y^2)/(0.75-y^2)} + y

h(y) = 2(y^2)log(y) - (0.75-y^2)log(1-y) とおいて
　0<y<1/2　⇒　h(y)>0 を示す。
h '(x) = 4ylog(y) + 2ylog(1-y) +3y +1 -0.25/(1-y).
h "(x) = 4log(y) + 2log(1-y) +9 -2/(1-y) -0.25/(1-y)^2　　(←上に凸)
h "'(y) = 4/y - 2/(1-y) -2/(1-y)^2 -0.5/(1-y)^3　　　　(←単調減少)
　　　= {-0.5 -1.5(1-y) +6(1-y)^3}/{y(1-y)^3}.
　h "' はただ一つの根 y0 = 0.379994095141187… をもち、(y0-y)h "'(y) ≧0.
　あとは これを元に増減表を作る。

　(y2-y)(y-y1)h"(x) ≧0,　y1 = 0.2814220413428536…,　y2 = 0.477737467426340…
　　h "(y0) = 0.297421638543268… >0 (極大)

　(y3-y)h'(x) ≧ 0,　y3 = 0.132713083245667…
　　h '(y1) = -0.11691236892110… <0　(極小)
　　h '(y2) = -0.077743191346139… <0　(極大)

　h(y) >0　　　　　(← h(0) = h(1/2) =0)

*)　y0 = 1 - (1/2){(3-√6)/9}^(1/3) - (1/2){(3+√6)/9}^(1/3).

>640 は取り下げまする。ｽﾏｿ.

〔相加-相乗平均不等式〕（行列式）

　A, B を正定値対称行列とするとき、
　{ det(A)det(B) }^(1/2) ≦ det( (A+B) /2 )

分かスレ２３５
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1142561148/28-29

絶対不等式
ttp://www.nikonet.or.jp/spring/zettaiti/zettaiti.htm

>>643
28 ：１３２人目の素数さん ：2006/03/18(土) 07:23:18
A, B を正定値対称行列とするとき、相加相乗平均不等式
( (det A)(det B) )^{1/2} ≦ det( (A+B) / 2 )
を出来るだけエレガントに示したいのですが、どうすればいいでしょうか？


29 ：１３２人目の素数さん ：2006/03/18(土) 08:44:20
両辺に左右から det(B^(-1/2)) = (detB)^(-1/2) をかけると、示す式は
(det(B^(-1/2)AB^(-1/2)))^(1/2) ≦ det((B^(-1/2)AB^(-1/2)+I)/2)
となる。B^(-1/2)AB^(-1/2)を対角化すればよい。

>>21

[前スレ.908(3)]
q=1 のとき、 |p-√2| ≧ √2 -1 > 6-4√2.　　　　(← √2 > 7/5)
q≧2 のとき、 √(1+2q^2) ≦ (3/2)q.
　|p-q√2| =�� とおくと、
　(��+2q√2)�� ≧ (p+q√2)�� = |p-q√2|(p+q√2) = |p^2 -2q^2| ≧ 1.
　∴ (��+q√2)^2 -1-2q^2 ≧0.　
　�� ≧ √(1+2q^2) - √(2q^2) = 1/{√(1+2q^2) + √(2q^2)} ≧ 1/{(3/2)q +(√2)q} = 2/{(3+2√2)q} = (6-4√2)/q.
　等号は q=2, p=3 のとき。

http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesApproximationTheorem.html

>>646
グッジョブです！

>>21
[前スレ.565(5)]

0<x<1,　y=x(1-x) とおくと 0<y≦1/4.
(1+x)(1-y+y^2) = (1+x){1-x(1-x) +(x^2)(1-x)^2} = 1+x^2 -(1-x)x^4 < 1+x^2　…(1)

0<x≦1/2 のとき
sin(πx)/(πx) ≧ 1 -(1/3!)(πx)^2 +(1/5!)(πx)^4 -(1/7!)(πx)^6
　　≧ 1 -(1/3!)(πx)^2 + {(1/5!) - (π^2 /7!)/4}(πx)^4　　　　(← 1-4x^2 ≧0)
　　= 1 -2x^2 + 0.355065933151774x^2 + 0.764054469252832x^4
　　≧1 -2x^2 + 1.04170958160908x^3　　　　　　　　(←相加･相乗平均)　　
　　> 1 -2x^2 +x^3 = (1-x)(1+x-x^2) = (1-x)(1+y).　　　　　　　　…(2)
この式は x=1/2 に関して対称な形になるから、1/2≦x<1 でも成り立つ。

(1),(2) より,
sin(πx) /(πx) > (1-x)(1+x-x^2) > {(1-x^2)/(1+x^2)}(1-y+y^2)(1+y) = {(1-x^2)/(1+x^2)}(1+y^3).

[791],[811(1)] は未解決でござるな...

>>21
[前スレ.791]

3辺の長さを AB=c, BC=a, AB=c とおく。
題意により sin(A) = sin(2B) = 2sin(B)cos(B),　cos(C) <0.
正弦定理・第二余弦定理を使って、角の関係を辺の長さの関係に直す。
　a/b = 2cos(B) = (c^2+a^2-b^2)/(ca),　-2ab < a^2+b^2-c^2 <0.
　(c-b){a^2-b(b+c)}=0,　0 < (a+b)^2 -c^2 < 2ab.
　c>b より (c-b)^2 < b(b+c) = a^2 < c^2 -b^2.
　∴ c-2b < b < c-b,
　∴ 2b < c < 3b,
　∴ 3b < b+c < 4b,
　∴ (√3)b < a < 2b,
　∴ a+b+c > (3+√3)b.
　b≧17　⇒　a+b+c ≧ 17(3+√3) = 80.4448637286709… >77 なので,
　4≦b≦16, (√3)b < a < 2b なる(a,b)を求め、b|(a^2) を満たすものを残す。
　b=16, a=28 のみが該当する。
　c=33, cos(A)=17/32, cos(B)=7/8, cos(C)=-7/128.

注) LCD(b,b+c) = LCD(b,c) =d　とすると、b(b+c)=a^2 から d|a.
　本問では最小解が問題なので d=1 に限ってもよい。
　そうすれば b,b+c は互いに素となり 平方数に限られる。