☆★初等幾何スレッド★☆

327 ： ◆BUBuBUIBS. ：2006/10/23(月) 03:03:00

　平面α上に正三角形ABCがある。
　また平面α上にない点Oをとる。このとき
　AO + BO > CO をしめせ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/327
東大入試作問者スレ７

>58

333 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/24(火) 21:18:56

ABCは正三角形だから、
　BC･AO + CA･BO > AB･CO.
を示せば十分。（トレミーの不等式の3D版）

直線ABのまわりの回転により、点Oを平面α上（ABに関してCと反対側）の点O' に下ろすと、
　AO'=AO, BO'=BO, CO'>CO.
平面α上の4角形BCAO'にトレミーの不等式(2D)を適用する。
　BC･AO' + CA･BO' ≧ AB･CO'.
等号成立は BCAO'が同一円周上にあるとき。(終)

http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1148569109/333
東大入試作問者スレ７

〔トレミーの不等式(2D)〕
　　　AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD.

(略証1)
　ABCDは凸4角形とする(*)。
　まず点Eを ∠BAE=∠CAD, ∠ABE=∠ACD となるようにとれば
　△ABE ∝ △ACD となるから, AB/BE = AC/CD, すなわち
　　　AB･CD = AC･BE.　　…… (3)
　また、AD/AE = AC/AB, ∠DAE = ∠CAB であるから, △ADE ∝ △ACB, よって
　AD/ED = AC/BC, すなわち
　　　AD･BC = AC･ED.　　…… (4)
　こうして得られた (3) と (4) を辺々加えれば
　　　AB･CD + AD･BC = AC･(BE+ED) ≧ AC･BD.
　ここで等号が成り立つのは, 点Eが対角線BD上にある場合である。
　ところがその場合には ∠ABD = ∠ACD となるから4角形ABCDは円に内接することがわかる。

(*)　点Dが△ABCの内部にあるとき: 点Dを直線ACのまわりの180ﾟ回転により、(ACに関してBと反対側の)点D'に移す。
　　ABCD'は凸4角形で、AD'=AD, BD'>BD, CD'=CD.

矢野健太郎: ｢幾何のおもしろい定理｣ 数学ﾜﾝﾎﾟｲﾝﾄ双書36, 共立出版 (1981) p.47-48

〔トレミーの不等式(2D)〕
　　　AB･CD + AD･BC ≧ AC･BD.

(略証2)
　複素数平面を考え、頂点 A,B,C,D に対応する複素数を a,b,c,d とする。
　　(b-a)(d-c) + (d-a)(c-b) = (c-a)(d-b).
　という恒等式が成り立つので、各項の絶対値をとる.(終)

｢数学100の定理｣ 数ｾﾐ増刊 (1983.10) p.16
　栗田 稔: ｢ﾄﾚﾐｰの定理｣