不等式スレッド

>934
(1) b,d ≦ 2 ≦ 2a,2c だから,
　(a+b)/(b+c) = 2(a+c)/(b+d) -{(a+b)(2c-d) +b(2a-b)/2 +(c +b/2)(2c-b)}/[(b+c)(b+d)] ≦ 2(a+c)/(b+d).
(c+d)/(d+a) = 2(a+c)/(b+d) -{(c+d)(2a-b) +d(2c-d)/2 +(a +d/2)(2a-d)}/[(d+a)(b+d)] ≦ 2(c+a)/(d+b).
辺々たす。

(2)　|a+b|^2 - |a-b|^2 = 4ab より、
　ab≧0 のとき |a+b|≧|a-b|, 左辺 ≧1.
　ab≦0 のとき |a+b|≦|a-b|, 左辺 ≧1.
ぬるぽ

>933
それを使って
> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？
を示すのは 多分無理、という意味と思われ．．．．

>>935
なるほど

>934(2) は、a, b が整数である必要はないですよね？
(a+b)(a-b)≠0 さえ満たしていれば…。

> n=2m+1のときの証明は、n=2m+2のときに帰着されますよね？

たしかに、ダメですね。切腹します。

>>903(4) 正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たすとき、
　F_n = (x^n)/√(1+x^2) + (y^n)/√(1+y^2) + (z^n)/√(1+z^2)
について、
　n = 0, 1 のとき、F_n ≦ 3(√3)^n/2、 n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2

でＯＫですよね？ あっているかどうか確認たのも〜。

>>907(4) の方法で、x=tan(A), y=tan(B), z=tan(C), 0<A,B,C<π/2 とおくと、条件式より A+B+C=π
n=0 のときは、cosA+cosB+cosC ≦ 3cos[(A+B+C)/3]
n=1 のときは、>>903(2)
n≧2 のときは、0≦θ<π/2 において、左辺の関数が下に凸だから。
　f(θ) = (tanθ)^n・cosθ
　f'(θ) = (tanθ)^(n-1)・[n-(sinθ)^2]/cosθ
　f''(θ) = (tanθ)^(n-2)・[(n-1)n-(sinθcosθ)^2]/(cosθ)^3 > 0

まとめると、こんな感じでせうか… (；´д｀)ﾊｧﾊｧ
　1 ≦ F_0 ≦ 3/2
　2 ≦ F_0 ≦ 3(√3)/2
n = 2, 3, … のとき、F_n ≧ 3(√3)^n/2

もひとつおまけに
　x/(1+x^2) + y/(1+y^2) + z/(1+z^2) ≦ 3√3/4

>>940 ３行目は F_1 の書き間違い
>>941 は、正の実数x,y,zがx+y+z=xyzを満たす条件下で。

たびたびスミマセン。
>>940の最小値には、イコールがつかないですね…

　G_n = (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2)
こちらのほうも、作れそうですね。

n=0 のときは、(cosα)^2+(cosβ)^2+(cosγ)^2 となるけど
凹凸が一定でないので無理そうですが…

次スレ立ててみました。

不等式への招待 第２章
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/l50

>939-940
0 < sinθ･cosθ = (1/2)sin(2θ) ≦ 1/2 なので
まとめると、こんな幹事でせうか…
　n≦(1-√2)/2　のとき　F_n ≧ 3(√3)^n /2,
　0≦n≦1　のとき　0 < F_n ≦ 3(√3)^n /2,
　(1+√2)/2≦n　のとき　F_n ≧ 3(√3)^n /2.

>941
　左辺 = (1/2)sin(2A) + (1/2)sin(2B) + (1/2)sin(2C) ≦ (3/2)sin(2π/3) = (3/4)√3.

>944
　f(θ) = (tanθ)^n (cosθ)^2.
　f '(θ) = n(tanθ)^(n-1) -2(tanθ)^(n+1)･(cosθ)^2.
　f "(θ) = n(n-1)(tanθ)^(n-2)/(cosθ)^2 -2(n+1)(tanθ)^n + 4{(tanθ)^(n+2)}(cosθ)^2
= {n(n-1)[1+(tanθ)^2]^2 -2(n+1)(tanθ)^2[1+(tanθ)^2] +4(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
= {n(n-1) +2(n^2 -2n-1)(tanθ)^2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^4}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2
　　= {-D_n +[(n-1)^2 -2 +(n-1)(n-2)(tanθ)^2]^2}{(tanθ)^(n-2)}(cosθ)^2 /[(n-1)(n-2)].
　ここに、判別式 D_n = [(n-1)^2 -2]^2 -n(n-2)(n-1)^2 = 4 -3(n-1)^2.

　n≦1-(2/3)√3 = -0.154700538379252… または n≧1+(2/3)√3 = 2.154700538379252… のとき
　D_n ≦0, f "≧0 (下に凸).
　∴ (x^n)/(1+x^2) + (y^n)/(1+y^2) + (z^n)/(1+z^2) ≧ (3/4)(√3)^n.
ぬるぽ

>>360 (D.D.Adamovic)
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

(1)>>364、(2) 未解答


>>407 正の数 a,b,c に対して、1/{a(1+b)} + 1/{b(1+c)} + 1/{c(1+a)} ≧ 3/(1+abc)


>>783 整数 a, b, c, d が a>b>c>d>0、ad=bc をみたすとき、(a-d)^2 ≧ 4d+8


>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ

>948
[407] は [477] [503] [>>504-505] の辺りにも．．．

>>949
あぁほんとだ。
どおりで解いたことあるような気がしてた。

三角形の辺の長さ a, b, c について
(1) (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2 ≦ 3abc
(2) (a+b-c)^a・(b+c-a)^b・(c+a-b)^c ≦ (a^a)(b^b)(c^c)

正の数 a, b, c, p, q, r に対して、
(3) p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3
(4) p+q+r=1 のとき、a+b+c ≧ (a^p)(b^q)(c^r) + (a^q)(b^r)(c^p) + (a^r)(b^p)(c^q)

(5) 非負実数 a, b, c に対して、(bc+ca+ab)(a+b+c)^4 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2

(6) 自然数 n と a>b>0 に対して、a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]

(7) 正の数 a_1, … a_k に対して、相乗平均を G とおくと、(1+a_1)…(1+a_n) ≧ (1+G)^n
　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　 ／　　≧　＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　　(7) は既出のような気がしますが…
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　　(3) は一般化できそうな予感
　　　 　 　 人つゝ 人,,
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　　　よろしくお願いします。
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

565 名前：三角形と三角関数の不等式[sage] 投稿日：04/11/01(月) 09:24:59

(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

(2) [1978 Austria] tan k (k = 1度, …, 44度)の相加平均をA、相乗平均をGとおくとき、A > (√2)-1 > G

(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2　 [類 ： 不等式への招待 P.39 ]

(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

>>783
ｐ＝ｇｃｄ（ａ，ｂ），ｑ＝ａ／ｐ，ｒ＝ｂ／ｐ，ｓ＝ｃ／ｑとすると
ａ＝ｐｑ，ｂ＝ｐｒ，ｃ＝ｑｓ，ｄ＝ｒｓ。
ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ＞０からｐ／ｓ＞ｑ／ｒ＞１。
ａ−ｄ≧（ｒ＋１）（ｓ＋１）−ｒｓ＝ｒ＋ｓ＋１≧２√（ｒｓ）＋１＝２√（ｄ）＋１。
等号が同時に成り立つことはないので
ａ−ｄ＞２√（ｄ）＋１。
（ａ−ｄ）＾２＞４ｄ＋４√（ｄ）＋１≧４ｄ＋５。
（ａ−ｄ）＾２は４で割ると余りは０か１なので
（ａ−ｄ）＾２≧４ｄ＋８。

>951 (1)
b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおく。
(1) 左辺 = [x(y+z)^2 +y(z+x)^2 +z(x+y)^2]/4 = (y+z)(z+x)(x+y)/4 +xyz
= 3(y+z)(z+x)(x+y)/8 -(1/8){x(y-z)^2 +y(z-x)^2 +z(x-y)^2} ≦ 3(x+y)(y+z)(z+x)/8 = 右辺.

(7) 初めて見たが...
　f(x)=Ln(1+e^x) とおくと f '(x)=(e^x)/(1+e^x), f"(x) =(e^x)/(1+e^x)^2 >0 (下に凸) より。
ぬるぽ

>952 (>>565)
(1) {1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x) = 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
　= 1 + 1 -2sin(2x) ≧ 2{1-sin(2x)} >0.

(2) y=tan(x) は下に凸だから、[tan(0)+tan(π/4)]/2 ≧ [tanθ + tan(π/4 -θ)]/2 ≧ tan(π/8).
　　また、tanθ･tan(π/4 -θ) = 1 - tanθ - tan(π/4 -θ) ≦ 1-2tan(π/8) = {tan(π/8)}^2.
　　∴ 1/2> A > tan(π/8) = √2 -1 > G >0.

(6) -a+b+c=x, a-b+c=y, a+b-c=z とおくと、相加･調和平均より
　1/a = 2/(y+z) ≦ (1/y +1/z)/2,
　1/b = 2/(z+x) ≦ (1/z +1/x)/2,
　1/c = 2/(x+y) ≦ (1/x +1/y)/2.
　辺々たす。
ぬるぽ

こんな遅くまで、乙です。
新スレのほうに、例の Majorizatoin Inequality と
外国の不等式ヲタのサイトを発見したので、見てみてください。（笑）

>951 (7)
　S_kは{a_i}のk次の基本対称式, G = (S_n)^(1/n) = (a_1･a_2････a_n)^(1/n) とおく。
　相加･相乗平均により、
　左辺 = Σ[k=0,n] S_k ≧ Σ[k=0,n] C[n,k]･G^k = (1+G)^n.
ぬるぽ

>951 (2)
　b+c-a=x, c+a-b=y, a+b-c=z とおくと、x+y+z=a+b+c.
　yz = (c+a-b)(a+b-c)= a^2 - (b-c)^2 ≦ a^2 など.
　Ln(左辺) = (1/2){(y+z)Ln(z) + (z+x)Ln(x) + (x+y)Ln(y)} = (1/2){y･Ln(yz) + z･Ln(zx) + x･Ln(xy)}
　≦ y･Ln(a) + z･Ln(b) + x･Ln(c) ≦ a･Ln(a) +b･Ln(b) +c･Ln(c) = Ln(右辺).

>928 (凡例)
　nが偶数, 0<a<b のとき x_{2k-1}=Xo, x_{2k}=Xe≠Xo に対して
　左辺 = (n/2){Xo/(aXe+bXo) +Xe/(aXo+bXe)} = (n/2)[a(Xo-Xe)^2 +2(a+b)XoXe]/{(aXe+bXo)(aXo+bXe)}
　= [n/(a+b)]{1 -(a/2)(b-a)(Xo-Xe)^2/[XoXe(a+b)^2 +ab(Xo-Xe)^2]} < n/(a+b) = 右辺.
となるので、nが偶数のときは a≧b が必要かと....

>951 (2)
　[958]の訂正　死んでお詫びを……(AA省略)
　Ln(1+x) ≦x より a･Ln(a+b-c) = a{Ln(a)+Ln[1+(b-c)/a]} ≦ a･Ln(a) +b-c.
　これを循環的にたす。

>951 (5)
　bc+ca+ab = (a^2 +b^2 +c^2) -(1/2)[(b-c)^2 +(c-a)^2 +(a-b)^2] ≦ (a^2 +b^2 +c^2).
　(a+b+c)^2 = 3(a^2 +b^2 +c^2) -(b-c)^2 -(c-a)^2 -(a-b)^2 ≦ 3(a^2 +b^2 +c^2).
　辺々かけて、 左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3.
これと [>>153]の(補題) [>>688] を使って、
　左辺 ≦ 9(a^2 +b^2 +c^2)^3 ≦ 27(a^3+b^3+c^3)^2 = 右辺.
ぬるぽ

　　　〜〜相加･相乗平均の練習問題〜〜
>951(4)
　p+q+r=1 ⇒ pa+qb+rc ≧ (a^p)(b^q)(c^r)　これを循環的にたす。

>951(6)
　(a^n-b^n)/(a-b) = a^(n-1) +a(n-2)b +…… + ab^(n-2) +b^(n-1) > n(ab)^[(n-1)/2].
ぬるぽ

>>944>>947
0<A,B,C<π/2, A+B+C=π のとき、>>580より次が成り立つ。等号はA=B=C=π/3
　0 < cosA・cosB・cosC ≦ 1/8

G_n = (tanA)^n (cosA)^2 + (tanB)^n (cosB)^2 + (tanC)^n (cosC)^2 において、
　G_0 = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1-2cosA・cosB・cosC
　G_2 = (sinA)^2 + (sinB)^2 + (sinC)^2 = 2+2cosA・cosB・cosC
だから、G_0 > 3/4、 0 < G_2 < 9/4

>>947より、0 < G_1 ≦ (3/4)√3、 n=3,4,…のとき G_n ≧ (3/4)(√3)^n

でよろしいでせうか？ (；´д｀)ﾊｧﾊｧ

>>360 (D.D.Adamovic) の(2)番。 (1)の解答は>>364
m>2, Σ[k=1,m] x_k↑ = 0↑ のとき、
(1).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k|^2 = Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|^2.
(2).　(m-2) Σ[k=1,m] |x_k| ≧ Σ[1≦i<j≦m] |x_i +x_j|.

>>565
(3) [1959 IMO shortlist] 0≦x≦π/2、π/6<y<π/3 のとき、
　tan{(π sin x)/(4 sin y)} + tan{(π cos x)/(4 cos y)} > 1

(4) 0<x<π に対して、{sin(x)/x}^3 < {(π^2-x^2)/(π^2+x^2)}^2 　[類 ： 不等式への招待 P.39 ]

>>815 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。

>>908 (3) 正整数p,qに対し、|p/q-√2|≧(6-4√2)/(q^2)

>>951 (3) 正の数 a, b, c, p, q, r に対して、 p^4/a^3 + q^4/b^3 + r^4/c^3 ≧ (p+q+r)^4/(a+b+c)^3

>>951(3) の類題をコレクションの中から発見！
このスレには書いてなかったよね？ （いちおう検索したけど…）

【類題】 文字はすべて正の数とする。
　p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)

（証）
　p^2/a + q^2/b - (p+q)^2/(a+b) = (aq-bp)^2/[ab(a+b)] ≧ 0
　∴ p^2/a + q^2/b ≧ (p+q)^2/(a+b)
これを２回用いて、
　p^2/a + q^2/b + r^2/c ≧ (p+q)^2/(a+b) + r^2/c ≧ (p+q+r)^2/(a+b+c)
等号成立条件は
　aq=bp かつ (a+b)r=c(p+q) ⇔ p/a = q/b = r/c

>>955
(>>565)(1) [1963 Eotvos] 0<x<π/2 のとき、(1/(sin x)+1)(1/(cos x)+1) > 5

の解答について質問です。

{1+sin(x)}{1+cos(x)} -5sin(x)cos(x)
　＝ 1 + sin(x)+cos(x) -4sin(x)cos(x)
　＝ 1 + 1 -2sin(2x) 　　　　　　　　　　　　← ここは なぜですか？
　≧ 2{1-sin(2x)}
　＞ 0.

あぁ、分かりました。
問題文に 0<x<π/2 とあるから、合成して sin(x)+cos(x) ≧ 1 なんですね。
スマソ。

>962
>>565(5)もまだだよ。

>>953
なるほど。ありがとうございまする。
こりゃ思いつかんわ…。

>951(3) >963
　a,b,c,n,p,q,r>0. p/a=P, q/b=Q, r/c=R とおく。 y=x^(n+1) は下に凸なのでJensenにより、
　左辺 = p^(n+1)/(a^n) + q^(n+1)/(b^n) +r^(n+1)/(c^r) = a･P^(n+1) +b･Q^(n+1) +c･Q^(n+1)
　≧ (a+b+c){(aP+bQ+cR)/(a+b+c)}^(n+1) = (p+q+r)^(n+1) /(a+b+c)^n = 右辺.
　等号条件は P=Q=R すなわち p/a = q/b = r/c.
ぬるぽ

[968] に写し間違い,スマソ。　r^(n+1)/(c^n)、　c･R^(n+1)　

[951]への解答レス（主なもの）
　　(1)[954] (2)[959] (3)[968] (4)[960] (5)[959] (6)[960] (7)[954][957]

>961
　3/4 ≦ G_0 < 1、 2 < G_2 ≦ 9/4 　でいいんぢゃない？
　（0<A,B,C<π なら 3/4 ≦ G_0 < 3、 0 < G_2 ≦ 9/4）

>>811(1)も未解答では？

実数a[k],k=1,2,...,nに対し
|sin(a[1])|+|sin(a[2])|+...+|sin(a[n])|+|cos(a[1]+a[2]+...+a[n])|≧1

>>969
�dクス。

　↑ の問題と、>>962のリストと、次の３問。

>>563(7) 自然数 m, n と実数 0≦x≦1 に対して、(1-x^n)^m+{1-(1-x)^m}^n ≧1

>>565(5) 0<x<1 に対して、(1-x^2){1+(x-x^2)^3}/(1+x^2) < (sin πx)/(πx)

>>811(1) 1対1の上への関数 f : [0,1]→[0,1] は狭義単調増加であるとし、逆関数をgとおく。
　　0<t<1のとき、∫[0,1] (f(x)+g(x))^t dx≧(2^t)/(1+t) を示せ。

ごめん、563(7) は>>662にあった

>>973　さらに追加
>>791
各辺の長さが整数値の三角形ABCがあり、∠A=2∠B　∠C＞π/2を満たす。
この時、AB+BC+CA≧77を示せ


等号成立条件しか書かれていないので未解決としてよいかと
出題は某国数学オリンピック。

>971
　a[k]/π に最も近い整数を q[k]、r[k] = a[k] - q[k]π とすると, |r[k]| ≦ π/2.
　左辺 = |sin(r[1])| + …… + |sin(a[n])| + |cos(S)|
　≧ (2/π)(|r[1]|+|r[2]|+ …… +|r[n]|) + |cos(S)| = (2/π)Θ + |cos(S)|.
　ここに S = r[1] + r[2] + …… + r[n], Θ = |r[1]| + |r[2]| + …… + |r[n]| とおいた。
　Θ ≧ π/2 のときは成立。
　Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
ぬるぽ

>974
　ごめん、563(7) は >>706-707 で解決のように見えまつが、>>705 (未解決)を使ってますた。

　｜ｓｉｎ（ｘ＋ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜｜ｃｏｓ（ｙ）｜＋｜ｃｏｓ（ｘ）｜｜ｓｉｎ（ｙ）｜
≦｜ｓｉｎ（ｘ）｜＋｜ｓｉｎ（ｙ）｜。

　１
≦｜ｓｉｎ（Σ（ａ（ｋ）））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜
≦Σ｜ｓｉｎ（ａ（ｋ））｜＋｜ｃｏｓ（Σ（ａ（ｋ）））｜。

ウホッ いい不等式 ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍ

一年二十四日。

>>951(6) を改造。
自然数 n と a>b>0 に対して、(n/2)(a-b)[a^(n-1)-b^(n-1)] > a^n-b^n > n(a-b)(ab)^[(n-1)/2]
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

∫[0,1]{x/cos(x)}dx < log(2)

>>976
最後の行
> Θ < π/2 のとき 0 ≦ S ≦ Θ より, 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ ≧1.
において、
　 左辺 ≧ (2/π)Θ + cosΘ
ここまでは分かりましたが、それが ≧1 となるのは何故ですか？

まさか、f(θ) = (2/π)θ + cosθ を微分して、
0<θ<π/2 における増減を調べて ≧1 を確認
なんて面倒なことをしないですよね？

グラフから、0≦θ<π/2 において cosθ ≧ 1-(2/π)θ であることを使うのですか？