数学の質問スレ【大学受験板】part36

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレで。

質問をする際の注意
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・必要と思われる場合は、自分がどこまで履修済みか書く。（例：1A2Bまで）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　例えば、1/2aより、(1/2)a あるいは 1/(2a) のように書いた方が分かりやすい。

数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
図・グラフ掲示板
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

前スレ
part35
http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1096103376/l50

それ以前は>>2-10あたり

part1 http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html
part2 http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
part3 http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
part4 http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
part5 http://school.2ch.net/kouri/kako/1032/10320/1032026826.html
part6 http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html
part7 http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
part8 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040034565/
part9 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1042765761/
part10 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044101232/
part11 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/
part12 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045895181/
part13 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1047118250/
part14 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1049381621/
part15 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1052403965/

part16 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1054193413/
part17 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1056518836/
part18 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058461770/
part19 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1060183061/
part20 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061665677/
part21 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1063269681/
part22 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1065931301/
part23 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1067761519/
part24 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1069023159/
part25 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1071117417/
part26 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1073739135/
part27 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1075254162/
part28 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1076522562/
part29 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1078963285/
part30 http://school3.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1083211973/
part31 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1085308650/
part32 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1088072580/
part33 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1090668420/
part34 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1093350731/

【掲示板での数学記号の書き方例】
■数の表記
　●スカラー：a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ... （← ギリシャ文字はその読み方で変換可．）
　●ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
　●行列（１成分表示）：M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]
　●行列（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...] （← 行（または列ごと）に表示する．）

■演算・符号の表記
　●足し算：a+b
　●引き算：a-b
　●掛け算：a*b, ab （← 通常"*"を使い，"ｘ"は使わない．）
　●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← 通常"/"を使い，"÷"は使わない．）
　●複号：a±b=a士b, a干b （← "±"は「きごう」で変換可．他に漢字の"士""干"なども利用できる．）
　●内積・外積・３重積：a・b, aｘb, a・(bｘc)=(aｘb)・c=det([a,b,c]), aｘ(bｘc)

■関数・数列の表記
　●関数：f(x), f[x]
　●数列：a(n), a[n], a_n
　●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"は「るーと」で変換可．）
　●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
　●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
　●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
　●絶対値：|x|
　●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
　●共役複素数：z~
　●転置行列・随伴行列：M', M† （← "†"は「きごう」で変換可．）
　●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
　●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）

■微積分・極限の表記
　●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
　●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
　●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
　●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
　●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

■その他
　●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」，"≡"は「ごうどう」，"∽"は「きごう」で変換可．
　●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換可．
　●等号・不等号："≠≒≦≧≪≫"は「きごう」で変換可．

※ ここで挙げた表記法は１例であり，標準的な表記法からそうでないものまで含まれているので，後者の場合使う時にあらかじめことわっておいたほうがいい．
※ 関数等の変数表示や式の括弧は，括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
※ 上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号は大体「きごう」で順次変換できる．

乙

暇だし、一緒に問題を考えてくれないか？
sin(x)=xなる点はすぐに分かる。
x=0だ。
cos(x)=xなるxってどうやって求めるよ。

>>7
暇だし、他の質問が出てくるまでは一緒に考えようか。
まず近似解ならニュートン法やその他色々な方法でお望みの精度での値が得られる。実用上はこれで問題ない。
解がただひとつ存在することも容易に証明できる。数学の理論上はこれで問題ない。解をαとする、とでもしておけばよい。

問題は求まらないことの証明である。求まらないであろうことは直感的にはわかるが、証明は難しいと思う。
一般に、数学の話でなくても「ない」ことを示すのは「ある」ことを示すよりたいてい格段に難しい。
「ある」ことを示すには実際にそれをもってこれば良いだけだが、「ない」ことを示すにはありとあらゆることを調べてどこからも持って来れないことを示さねばならない。

まず方針として、「求まる」ということの定義を明確にする必要がある。
「求める方法」をどこから持ってくるかの範囲を決めてやらねばならないから。
「ありとあらゆること」のすべてを調べるには、その範囲が明確に指定されている必要があるだろう。

ある特殊な実数値として求まることを言うのか
さらにそれの三角関数、対数関数、指数関数、有理関数、無理関数、およびそれらの合成関数の値として求まることを言うのか
（普通高校の段階で求めるといえばここまで）
さらにそれらの逆関数も含めたものの値として求まることを言うのか
加えてある種の積分の値として求まることを言うのか
はたまた他のなにかを用いて求まることを言うのか。

このへんから話をスタートさせてみましたが、どうでしょうか？

ちなみにこの場合は
＞さらにそれらの逆関数も含めたものの値として求まることを言う
ところまで認めれば、少なくとも解は求まりますね。

f(x)=x-cosx とおくと、これは単調増加なので逆関数が存在する。
f^(-1)(0)が求める値である。

aとｂ（a＜ｂ）の最大公約数がｄ、最小公倍数がｍのとき、
a＝ｄＡ、ｂ＝ｄＢ、ｍ＝ｄＡＢ　
（Ａ、Ｂは自然数、Ａ＜Ｂ、ＡとＢは互いに素）である。

これ、証明できる？

それ最小公倍数の定義そのものじゃない？

>>8
求まる求まらん、の意味が不明だが、とりあえずcos(x)=xを満たすxが超越数であることの証明はできるよ。

１個のサイコロを３０回ふったとき、６の目が奇数回出る確率を求めよ。　
教えてください

>>13
n振って奇数回出る確率をp_nとして、漸化式作るのが簡単。

>>14
漸化式でのやり方は分かるのですが、直接求める方法がわからないのです。　
教えてくれませんか？

1/2-(2^29)/(3^30)

>>16
どうやってそう出したか教えてもらえませんか？　
漸化式でやったのですか？

あってるの？

>>18
答えは合ってます。やり方教えてください

漸化式さえたてればすぐ出来ると思うけど

>>20
三項間ですか？

p(n+1)={1-p(n)}/6+p(n)*5/6
p(1)=1/6

>>22
なるほど、ありがとうございました。迷惑かけてすいませんでした。

>>8-9 >>12
πやeを使って高校レベルの関数を用いた簡単な形で求まるかと思いましたが、
無理なようですね。。。

みんな三角関数の性質って覚えてるんですか？

sin(-θ）＝−sinθ
cos(-θ）＝cosθ
tan(-θ）＝-tanθ
sin(90°-θ）＝cosθ

とか。
私は覚えられないので、図にかいてもとめます。
ほかのひとどうなの？

その程度なら図を書くというより、頭の中で瞬殺できるようにしとく方がいいかと。

cos sinをそれぞれ半径１の円のx,y座標と対応させればいい

どうしても覚えられないなら、加法定理から出せば？
加法定理ぐらい覚えてるだろ？

Ruthってどっか見たと思ったらサロンにいた人か

>>25
何度か図を描いてるうちにその図が頭の中に描けるようになると思うが。

フィボナッチ数列の一般項の求め方教えてください

>>31
フィボナッチ数列の定義に従って漸化式を立てて、解く。

>>31
その前に三項間漸化式解けるの？その程度の質問なら学校教師に聞けよ

a_(n+2)=a_(n+1)+a_n
a_1=a_2=1
a_n=x^nなる特解を考える。
x^2-x-1=0
この２解をα, βと置く。(α>β)

a_(n+2)-αa_(n+1)=β{a_(n+1)-αa_n}かつ
a_(n+2)-βa_(n+1)=α{a_(n+1)-βa_n}

a_(n+2)=αa_(n+1)+β^(n+1)かつ
a_(n+2)=βa_(n+1)+α^(n+1)

連立して解いて、
a_n={ {(1+√5)/2}^(n) - {(1-√5)/2}^(n) }/√5

回答ありがとうございました。

また質問なのですが、前スレの984さんの解答の中なんですが

f(X)=(X＾2)*|sin(X)|とおくと、
f(X+π)=π^2ｆ(X)

ここの式変形がイマイチ判りません…
よろしくお願いします。

>>35
x=π/6を入れてみ、等号成立するか？それ。
Mathematicaでやらせたら、等号成立しなかったぞ。
自分でも確かめてみろ。

nx=Xとおく。
∫[X= 0 to nπ](X＾2)*|sin(X)| dX　/n^3
=Σ[k=1 to n]∫[X= (k-1)π to kπ](X＾2)*|sin(X)| dX/n^3
=Σ[k=1 to n]|∫[X= (k-1)π to kπ](X＾2)*sin(X) dX|/n^3
=Σ[k=1 to n]{(2k^2-2k+1)π^2+4}|/n^3
=2π^2/3
となったが。。。

=2π^2/3

→2π^2/3
だな。

>>35　つーか、確か元の問題は
lim[n->∞]∫[0,π] (x^2)|sin(nx)| dx
を求めろだったよな。　普通に挟み込みを使っても駄目だったのか。

0≦k＜nとして、
∫[kπ/n, (k+1)π/n](kπ/n)^2 |sin(nx)|dx＜∫[kπ/n, (k+1)π/n] x^2|sin(nx)|dx＜∫[kπ/n, (k+1)π/n]((k+1)π/n)^2 |sin(nx)|dx
(kπ/n)^2 *(2/n)＜∫[kπ/n, (k+1)π/n] x^2|sin(nx)|dx＜((k+1)π/n)^2 *(2/n)
が成立する。

lim[n->∞] Σ[k=0,n-1] (kπ/n)^2 *(2/n)
=(2π^2)lim[n->∞] (1/n)Σ[k=0,n-1] (k/n)^2
=(2π^2) ∫[0,1] x^2dx
=(2π^2)/3

が得られ、lim[n->∞] Σ[k=0,n-1] ((k+1)π/n)^2 *(2/n)=(2π^2)/3も明らか。
以上より、求めるべき値は(2π^2)/3

解説お願いします

ｎ個のサイコロを同時に振るとき、その中の最大の目の数が５、
最小の目の数が２となる確率を求めよ。

訂正

ｎ個のサイコロを同時に振るとき、その中の最大の目の数が５、
かつ最小の目の数が２となる確率を求めよ。

>>40
(4/6)^n…じゃダメだぞ。

三次方程式の解と係数の関係ってどんなのですか？
チャートとか探してみたけど二次方程式のやつしか見つかりませんでした。
レベルの低い質問ですいませんorz

a(x-α)(x-β)(x-γ)=ax^3+bx^2+cx+d
から出せば？

>>43
ax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)と置いて
係数比較すりゃわかるべ。

ま、新過程では一応範囲外だから
知らなくてもさほど問題はないだろうが。

確か二重根号とか出てきて覚えても入試レベルじゃ殆ど役に立たない

あ、解と係数の関係か。解の公式と間違えた。逝ってくる

>>46
解の公式じゃないんだから…

できました！
どうもありがとうございました。
>>44-48

改めて、お願いします

ｎ個のサイコロを同時に振るとき、その中の最大の目の数が５、
かつ最小の目の数が２となる確率を求めよ。

>>50
>>42の意味は考えたか?

>>51
(4/6)^nじゃ出ないケースもカウントしてるから駄目ってことだよね

ただし、(4/6)^nは重要なポイント。

(4/6)^nから引くなりして補正するってことだよね

>>54
そこまで来たんならしばらくレスつけずに
最後までやって見れ。

｢何を｣引くのか、さえ気付けば終わりじゃ。

ああ〜駄目だ、つよしギブアップー

>>56
しょうがねえなあ。

いいか、(4/6)^nの意味をよーく考えれ。
n個のサイコロ全て2から5しか出てないんだぞ。
ただしその場合、全てのサイコロで
4の目が出た場合なんかも含まれてるから
その分は除いて考えんといかん。

すなわち、3または4の目だけしか出ない場合を引いとけばｲｲのだ。ｵｹ?

漏れはしばらく嫁さんの乳でも揉んでるから
その間にもう一度やってみれ。

>>57
パパ〜、５しか出ない場合が入っちゃうよ〜揉ませて〜

>>57
ひょっとして(4/6)^n-(2/6)^nが答えと思ってるのかい？

嫁さんに拒否されて
猛り立つ欲望を持て余したM1+V/mn0がまた来たよ。

>>59
そこからもう少し処理すればよかろ。

ここまで来たら解答解説きぼんぬ

(4/6)^n-2*(3/6)^n+(2/6)^n
意味は式から考えれ。

かいせつきぼん

「2〜5が出る確率」−「3〜5が出る確率」−「2〜4が出る確率」＋「3〜4が出る確率」

「3〜4が出る確率」は、途中で2回引くことになるから、最後に足す。

>>64
分かりました。ｔｈｘ

もう一つ確率の問題お願いします。

１からｎまでの番号のついている箱と球があって、１つの箱に１個の球を
入れていくものとする。箱の番号と球の番号がすべて異なる確率をP_nとおく。
lim[n→∞]P_n　を求めよ。

完全順列
1/e

１から１０までの１０個の数から異なる４つの数を選び出すとき　
(1)最大の数が８以下、最小数が３以上となる選び方は何通りあるか。　
(2)最大の数が８より大きく、最小の数が３より小さいような選び方は何通りあるか。　
教えてください

>>68
(1) C[6,4]=15通り
(2) C[10,4]-2*C[8,4]+C[6,4]=85通り　あるいは
　　C[8,2]+2*C[7,2]+C[6,2]=85通り

学校のプリントです。
0＜ｚ≦ｙ≦ｘの時。ｘ＋ｙ＋ｚ≦ｘｙｚを証明せよです。
いろいろいじくってみましたが出ません。よろしくお願いします。

>>70
明かに成り立たないと思うが。

(x, y, z)=(2, 1, 1)のとき、
左辺＝４
＞右辺＝２
で明らかに成り立っていない。
よってこの問題は不適である。

解説お願いします

１からｎまでの番号のついている箱と球があって、１つの箱に１個の球を
入れていくものとする。箱の番号と球の番号がすべて異なる確率をP_nとおく。
lim[n→∞]P_n　を求めよ。

>>73
完全順列、でｸﾞｸﾞれ。

青チャート　数と式例題29（最後の例題です）

（2）　x+y+z=0 xy+yz+zx=-x xyz=2　　の時
x^3+y^3+z^3
これって効率よくとくには解答みたいに公式をあてはめなければなんですか？
それか地道にやるか。

チャート式の解答が何か分からないが、
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(xy+yz+zx)(x+y+z)+15xyz=30
と分解してみたが。。。

x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz=6
かな。。。
最近計算力が落ちてるな。。。

>>74
ありました。結構有名な問題なんですね。ｔｈｘ

Ruthさんどうも、俺はあなたのことよく見るし信頼してます

やっぱ自力ゆえの公式なんですね。
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz
って「指針」に書いてあったから
「こんなんおぼえろってのかよ！」っておもったんです。

>>79
覚えとけ

x^3+y^3+z^3−3xyz＝(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)　

の恒等式は覚えておくと便利だよ。因数分解の公式とみてもいいし。

（導き方の一例）

3次方程式の解と係数の関係は、

　　ax^3+bx^2+cx+d=0　の解をα,β,γとすると、
　　α+β+γ=-b/a, αβ+βγ+γα=c/a, αβγ=-d/a

であるから、これを恒等式で表すと

　　ax^3-a(α+β+γ)x^2+a(αβ+βγ+γα)x-αβγ=a(x-α)(x-β)(x-γ)

となる。とくに、a=1 とすると、
　
　　x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ=(x-α)(x-β)(x-γ)

この恒等式にｘ=a,b,c　を代入すると、

a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ca)a-abc=0
b^3-(a+b+c)b^2+(ab+bc+ca)b-abc=0
c^3-(a+b+c)c^2+(ab+bc+ca)c-abc=0

これらを加えると

a^3+b^3+c^3-(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc=0

移項して

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

間違えた。ｘ＝α、β、γ　を代入ね。
で、

α^3+β^3+γ^3-3αβγ＝(α+β+γ)(α^2+β^2+γ^2-αβ-βγ-γα)　が出てくる。

>>79
公式として覚えても良いし、導けるようにもしとけば良いと思うよ。

例えば、
x^2+y^2=(x+y)^2-2xy
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2xy-2yz-2zx
x^3+y^3+z^3=(x+y+z)^3-3(xy+yz+zx)(x+y+z)+3xyz
という風に、和と積の形に書きなおせるものがたくさんあるって理解しとけば、
後々意外なところで便利だったりするよ。

これはこれは・・いろんな人が・・・うれしいっす！（涙
覚えときます！

こんなに協力してもらった上にまた質問なんてちょっと厚かましいですが。。おねがいします。
拓朗なんで"r(^_^;
ttp://www.mashiko-tcg.ed.jp/masityu/1/img-box/img20041019221849.jpg
赤の下線の部分がわかりません。
それ以外は全然わかるんです。
これって点と点の距離を座標的に書いてるだけですか？

>>85
d=AsBsはわかる？

わかんないです

sじゃなくてxかな。読みづらいな。

もうしわけないっす
AxBxわかんないです。OからAxの距離かなと思ったんですが
それはOAxみたいだし

A_x B_xはx分後のAとBの位置の間の距離のことだと思うよ。
A_0 A_xはx分後のAの位置とAno初めの位置の距離。

あ、そうゆうことですか。
どうもでした。
>89さん　これでいいんですか？

>>91
俺は89じゃないけど、そうだよ
解答よく読めば分かると思うけど、A_xとかB_xは位置のことだよ
船Aがx分後には点A_xの位置にありますってこと

(1) (a+i)x^2+(b-2i)x+12-3i=0が異なる二つの実数解を持つとき
実数a,bはいくらか

(2) x^2-(a+3+ai)x+3a+3ai-2i=0が実数解を持つとき
実数aとそのときの実数解はいくらか

但し、i-imaginary number

(3) tan(x)=3, tan(3x)=9/13, 0≦y≦π/2 のとき
sin(2y+x)の最大最小はいくらか

(4) (logx)^2-2logx+5p=0の2解をa,bとする（対数は常用対数）
log_{a}(b)+log_{b}(a)=qのときqをpを用いて表せ

以上の4問をよろしくお願いします

複素数の問題でいくつか聞きたいんですが

（1）複素数α=1+i/√3+i　についてα^n　が正の実数となるような最小の正の整数nを求めよ。

（2）複素数平面上の３点A(α),B(β),C(γ)において γ-α/β-α = 1+√3i　が成り立つとき、∠ABC＝□であり、線分ABの長さをLとして三角形ABCの面積SをLを用いてあらわすとS=□である。
（□に答えがはいります）

（3）複素数平面上で、複素数ｚの表す点ｚが点1+iを中心とする半径２の円周上を動くとき、複素数 w=1/1+iz　の表す点ｗはどんな図形を描くか。

この程度の問題でも解けないのですが、複素数の問題のポイントがあればついでに教えていただけると嬉しいです。
よろしくおねがいします。

>>93
(1)(2)はiを含む部分と含まない部分に分ける。
(3)xは第一象限の角。
(4)log{a}(b)、log{b}(a)を常用対数に直すといいかも。

>>94
まず、複素数を極形式に直すということができますか？
(3)みたいな問題は｢点ｚが点1+iを中心とする半径２の円周上を動く｣
を数式に直すことができれば、あとは計算するだけ。

あ、ごめん>>95の(3)は嘘こいた気がする。それだけスルーしてくれ。

>>96
いちお基礎はできてるつもりなんですが…orz
{z-(1+i)}=2　でいいですか？

>>98
|z-(1+i)|=2だね。

基礎できてるつもりです

（´_ゝ`）

1から8までの異なる自然数が書かれた8個の玉が入った袋がある。
この袋から玉を袋に戻すことなく取り出すとき、いま取り出した玉に
書かれている数字が直前に取り出した玉に書かれていた数字よりも
大きいときは成功として、次の玉を取り出し、そうでないときは
失敗として中止する。5回目の取り出しまで成功し、6回目の取り出しで
失敗する確率を求めよ。ただし1回目の取り出しはすべて成功とする。

大阪府立大の過去問です。
この問題を解く時に着目すればいいところを教えてください。
解説見てもサッパリです。ちなみに答えはメル欄に書いておきます。
どうかお願いします

>>99
そうでした…。
（1）（2）あたりはどうでしょう？答えはなんとか求まるんですが、綺麗な解答を作りたいんです。。。

>>102
まず今はどうやって求めているのかが知りたい。。

>>101
1回目は4以下とか?

>>103
1は分母有理化して、極形式にしてドモアブル？で何乗かさせてiがきえるようにする。

2はよくわかんねｗ

常用対数ってどこが常用なのですか？

ちなみに高1です。全党で偏差値70くらいです。
よろしくお願いします。

>>101
(C[8,6]*5)/P[8,6]だな。

1〜ｎをｎこ並べた時にｋ番目にｋがくる個数の期待値を求めよ。　
教えてください

>>105
(1)はそれでいいかと。
(2)は、∠BAC=arg{(γ-α)/(β-α)}、AC=L×|(γ-α)/(β-α)|

>>106
底が2とか3の対数よりはよく使う。

>>110
ありがとう！計算してくる。わからなかったらまたクルね。

>>101
一応>>108の考え方ね。
負けるまでに取り出した6個は、最後が直前より小さくて、それまでは順番に増えていく。
だから、6個の数字を選んで、最後の1個になるのがどれか（一番大きくてはだめだから5通り）を決めれば、それが負けるまでの数字の並び方の一通りに対応する。
これが分子で、負けるまでの取り出し方の総数。
これをすべての取り出し方で割る。

>>101
６この組み合わせの総数＝６回目まで全部成功するパターンの総数
＝６個の組み合わせを小さい順に並べるパターン

そのうち一番大きな数（一番最後に並べたもの）以外を一つ選んで一番最後に持っていくパターンが
５こ成功して次失敗するパターンをすべて過不足無く表す

>>109
1個。

3で>>99をどうすればいいの？計算するだけっての

1+iの距離が２になる図形は何か書かないと

>>115
zをwで表して代入すりゃいいんじゃない？

>>112,>>113さん
ものすごく分かり易かったです。
見てすぐに理解できました。
本当にありがとうございます。
感謝です

代入できる？ｚがわからなくないか？え、俺って相当ばか？

(1),(2)は解決

（3）tan(x)=3より (1/3)π+nπ＜x＜π/2+nπ,
tan(3x)=9/13で　1/√3＜9/13＜1より π/6+mπ＜3x＜π/4+mπ
から解こうとしたが挫折

（4）一応、予め第二式左辺を常用対数に直して解答したんだが
第二式左辺={2log(ab)-10p}/{log(a)log(b)}
までいって挫折

>>93 (3)(4)お願いします

>>119
w=1/(1+iz)なんだろ？これを、z=〜の形にして、|z-(1+i)|=2に代入してきれいな形にすりゃいい。

後もう2問

(5)複素数a,bがa^2+b^2=0のとき,|a+b|^2-|a|^2-|b|^2はいくらか

(6)複素数z=x+yi(y≠0)において,|z-2|=2で,z+4/zが実数のとき
実数x,yはいくらか

>>121
俺って・・・逝ってきまつ。ありがとう

>>93
(4)
(logx)^2-2logx+5p=0の2解がa,bなのでlog(a)+log(b)=2,log(a)*log(b)=5p
log_{a}(b)+log_{b}(a)
=log(b)/log(a)+log(a)/log(b)
=[{log(a)}^2+{log(b)}^2]/log(a)*log(b)
=(4-10p)/5p=q

>>120
(3)は問題がよくわからん。2y+xはすべての角度を取るから1と-1でいいような…。

>>121
何度もわるいんだが、代入しても式がよくわからん。
もう諦めたほうがいいのか…。ｗがちゃんとでてこねーよ・・
もう死んだほうがいいかも

>>125
0≦y≦π/2,tan(x)=3,tan(3x)=9/13より
変数はy,定数はxとなる
よって、0≦2y+x＜2π（全ての角度を取る）とはいえない

>>127
そもそもtan(x)=3だったらtan(3x)=9/13だから、別にtan(3x)=9/13なんて条件はあってもなくても一緒なんだよ。
で、xは、第1象限と第3象限のどちらでもよく、2yは0からπまで取るんだよ。

>>126
w=1/(1+iz)から、z=(-i/w)+i。
|z-(1+i)|=2に代入して、|(-i/w)-1|=2。
よって、|-i-w|=2|w|。
これがどういう図形を表すかは自分で考えてみ。
左辺は(-i)とwの距離、右辺は原点からwまでの距離の2倍。

>>94
│z-(1+i)│=2
w=0は成り立たないので、w≠0
w=1/(1+iz)より、z=(1-w)/iw
これを上の式に代入して、
│{(1-w)/iw}-1-i│=2
整理すると
│w+i│=2│w│
これより(かなり省略するが)
│w-i/3│=2/3

(3)は自己解決した

>>130
できればその省略部分が知りたい・・・。
えと、複素数最初から全部やり直すことにしたよ。
もうほんと自信なくした

お願いします

S=1+1/√2+・・・1/√100　の整数部分を求めよ。

>>132
|(i/w)+1|=2から、(i/w)+1の共役複素数(-i/w~)+1をつかって、
((i/w)+1)((-i/w~)+1)=4
を展開してみな。

>>132
w=x+yi代入するだけ

>>132
|w+i|=2|w|
|w+i|^2=4|w|^2
ww~+wi~+wi~+1=4ww~(←i~=-iだが、計算のためにそのままにしておく)
3ww~-wi~-w~i-1=0
ww~-(1/3)wi~-(1/3)w~i+1/9=4/9
|w-(1/3)i|^2=(2/3)^2

>>122
(5)
a^2+b^2=0より、片方移項して絶対値をとることにより、|a|^2=|b|^2
|a+b|^2-|a|^2-|b|^2
=ab~+a~b
=(a^2*|b|^2+|a|^2*b^2)/ab
=(a^2+b^2)|a|^2/ab
=0

>>122
(6)
|z-2|=2より、(x-2)^+y^2=4なのでx^2+y^2=4x
z+4/zが実数なので、
z~+4/z~=z+4/z
z-z~-4(z-z~)/zz~=0
2y-8y/(x^2+y^2)=0
y-y/x=0
y≠0より、x=1,よってy=±√3

>93
(3)って場合わけしないでも解ける？

質問に答えてくれた方、ありがとう

>>139
そうしないと無理みたい
f(y)=sin(2y+x)とすると 0≦y≦π/2より
(i)xが第一象限にあるとき
fmax=f((1/2)(π/2-x))=1
fmin=f(π/2)=以下略

(ii)xが第三象限にあるとき
fmax=f(π/2)=以下略
fmin=f((1/2)(3/2π-x))=-1

>>133
理系？積分を使えば解ける。
k≦x≦k+1において1/√(k+1)≦1/√x≦1/√kであるから各辺をxについて[k,k+1]で
積分して(ただし、常には等しくないので)
1/√(k+1)＜∫[k,k+1](1/√x)dx＜1/√k
左の2つについて、k=1,2,…,99をそれぞれ加えて
Σ[k=2,100](1/√k)＜∫[1,100](1/√x)dx=18
Σ[k=1,100](1/√k)＜19…�@
右の2つについて、k=1,2,…,100をそれぞれ加えて
∫[1,101](1/√x)dx＜Σ[k=1,100](1/√k)
∫[1,101](1/√x)dx=2(√101)-2＞18より
18＜Σ[k=1,100](1/√k)…�A
�@�Aより、Sの整数部分は18

問題の解説に、

mx-y+2m=0 は、点Ａ(-2,0)を通り、
ベクトル e=(-m,1) に平行な直線

と、あるのですが。
なぜベクトルeに平行なのかがよくわかりません。

お願いします。

mx-y+2m=0　の法線ベクトルが　(m,-1) で、それの法線ベクトルが e↓ってことですね。

スイマセン、自己解決してしまいました。。

>140
場合わけしていいなら
(i)xが第一象限にあるとき
-3√(10)/10≦sin(2y+x)≦1

(�A)xが第二象限にあるとき
-1≦sin(2y+x)≦3√(10)/10

0≦2y≦πなんだから、xを中心とした半円が2y+xの範囲ね。

別にxが定数とか書いてあるわけじゃなく、ただxとyの取りうる値の条件が書いてあって、そのときの最大最小を求めよ、だから、1と-1が答えだよね、普通は。

x^2=1,y^2=1のとき、x+yの最大最小を求めよ、とかだったら、
x=1のとき、2と0
x=-1のとき 0と-2
なんて答えたら間違いだよ。

tan(3x)をわざわざ条件として出してることも含め、問題自体がちょっと悪い。

辺の長さが１の立方体の１組対辺の中点をP,Qとおく。
線分PQを含む平面で立方体を切って得られる断面の面積の最大値を求めよ。

断面が四角形と六角形で場合分けするんですが、よろしくおねがいします。

ｆ(x)=(x-3)^2+a-9 (a≦x≦a+4)

3≦a　　のとき
f(a)=a^2-5a

なんでですか？f(3)じゃないんですか？

>>147
aの値に関わらずf(a)=a^2-5aだと思うけど。
問題文はちゃんと書きなさいな。

あ、もうしわけありません。
最小の値を出すんです。
青チャIAの例題54です。

ｆ(x)=(x-3)^2+a-9 (a≦x≦a+4)　これの最小値を求めよ
　　　　　・
　　　　　・
　　　　　・
（場合わけして）a≦-1 . -1≦a<3 とやって
3≦a　　のとき
f(a)=a^2-5a

なんでですか？f(3)じゃないんですか？


ってことです。こんなかんじでいいでしょうか？

f(3)、f(a),f(a+4)が最小になる場合がそれぞれあるから場合分けしてるんでしょ

はい。それはわかるんですが
3を範囲が含んでいる3≦aなら最小は（3.-6）なんじゃないのかなと思うんですが。

>>151
3≦a　でたとえばa=４だとしよう。４から８の範囲に３は含まれるか？

4〜8は含まれませんが、3〜7には3は含まれます。・・・・
なんかおれってすごいバカなんでしょうか。。。
質問するのも失礼な気がしてきました。自分で考えます。

３−７のときaは何でf(a)とf(3)はどう違うのか

3だと頂点で最小ですが、aだと頂点である3より大じゃないですか？

・・・てかまだわからない・・・

だから値域に３が含まれない場合にaが最小になるでしょ。それぞれの場合についてグラフ書いてみ
3≦a　ではa=3のときはf(3)＝f(a)だから最小値はf(a)という表し方で問題ない

あ、そうゆうことですか！！！！！！！！！！！！！！
ちょっとあいまいなんですね。しっくりこないけど、いずれ自分のものなりますよね？

>>157
さあ？どうだろｗ　チャートの解説もっとまじめに読んだら自分のものになるかもね

あと、あいまいじゃないぞｗ

次の問題お願いします。
因みにnのとき2^n個と推測したのですがn=3までしか成り立ってませんでした。

空間内に、いずれの４平面も１つの四面体を決定するように、順に平面をおいていく。
ｎ個（ｎ≧１）の平面をおいたとき、空間はいくつの部分に分けられるか求めよ。

どの二平面も一直線を共有するっていうことだな。
普通に帰納法でいいっぽ。

f(n+1)=f(n)+n f(1)=2が成立するっぽい。
f(2)=4、 f(3)=7っぽ

証明は二次元の場合と同じっぽい。教科書レベルの参考書に載ってるっぽい。

>>160-161　思いっきり間違えたｗ

n個から４つ取れば四面体が出来るんだから、
n個から４つ選ぶ、選び方に帰着するんじゃないか？

5以上のすべての自然数ｎに対して2＾n>n＾2であることを数学的帰納法で示せ。
これに解き方がよくわからないので解説お願いします

f(x)=2^x-x^2
f(5)>0
あとは帰納法

もしくは微分

>>164
n≧5に対し(2^n)/(n^2)>1を示す。
n=5のとき32/25>1より成り立つ.
n=kで成立する、すなわち(2^k)/(k^2)>1と仮定。
{2^(k+1)}/{(k+1)^2}={(2^k)/(k^2)}×2{k/(k+1)}^2
k/(k+1)≧5/6より{k/(k+1)}^2≧25/36>1/2、2{k/(k+1)}^2>1
よって{2^(k+1)}/{(k+1)^2}>1となりn=(k+1)で示された。

>>133
積分使わなくてもできる。

手元に解答がない問題の解答が知りたいのですが、
どなたか正解か不正解かを判定してくれませんでしょうか？

問題は C: y=(1/2)x^2 上の点 P:(a,(1/2)a^2) Q:(b,(1/2)b^2)、及びR(1,2)を考える。
（但しa≠b）　P,R,Qが一直線上にあるためのaとbの関係を求めよ

というものなのですが、
これは単に、２次方程式上の３点が１直線で交わるわけないので、PとRもしくはQとRが同じと考え、
(a=1,b≠1)または(a≠1,b=1)のいずれかの関係。ってことでよろしいのでしょうか？

>>169
不正解。
「３点が一直線で交わる」の意味が不明。
グラフ書きながら問題文読み返せ。

>>169
Rは放物線上にないでしょ

>>170
そもそも｢２次方程式上の３点｣からして
ツッコミどころであるわけだが。

>>169
出題された単元にもよるが
まあ、ベクトル利用よりは
直線の方程式で進めるのが本筋かな。

この不等式の証明方法がわかりません。。
よく出そうな問題なんですが、、

文字は全て実数で、問題は (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2。

左辺ー右辺で、(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2を展開してからが分からないんです。
お願いします。

ベクトルの内積の関係を使えば自明。

a↑＝（a,b,c）
b↑＝（x,y,z）

とおくと、
a↑・b↑＝｜a↑｜｜b↑｜cosθ　≦｜a↑｜｜b↑｜　　　　　（∵-1≦cosθ≦1)
∴｜a↑｜^2｜b↑｜^2 ≧（a↑・b↑）^2
∴ (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2　■

>>174
ベクトル知らないですが｡･･(つД`)･･｡

>173
方針
（実数）^2 +（実数）^2 +（実数）^2 の形に変形できないか？　と考える

[解答]
（左辺）ー（右辺）＝(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2
＝a^2y^2 + a^2z^2 + b^2x^2 + b^2z^2 + c^2x^2 + c^2y^2 -2abxy-2bcyz-2caxz
＝(a^2y^2　-2ay*bx + b^2x^2) + (c^2x^2 -2cx*az +a^2z^2) + (b^2z^2 -2bz*cy +c^2y^2)
＝(ay-bx)^2 + (cx-az)^2 + (bz-cy)^2　≧0

>>174

言っている事は正しいが、cos θ ＝ (ax+by+cz)/｜a↑｜｜b↑｜ が使える前提か？
これが使えないなら、その証明も付けなきゃいかん。

>>173
三つの平方式の和に出来る、頑張れ！

遅くなりましたが
>>176-177
ありがとうございました！分かりました。
今からまた頑張ってきます ノｼ

>>177
使える前提って、意味不明。
漏れは>>174じゃないが全然問題ない。

>>179

通常、(1)任意のにベクトルの成す角の余弦を直交座標で表現出来る事
は、　(2)この手の不等式の勉強
の大分後に習う。

入試や、(1) の演習で出された問題なら >>174 で問題ない。
文字式の計算を勉強中のの練習の問題あれば、 >>174 を示しても判らないし、
勉強にならない。

質問です。

{(-1)^(n-1)＋１}/2　−　{(-1)^(n-2)＋１}/2

が　(-1)^(n-1)

になる計算過程の詳細お願いします。

不安なので日本語を。
-1のn-1乗足す１　を２で割ったものと　-1のn-2乗足す１　を２で割ったもの　の引き算です
その結果が-1のn-1乗　

>>181
ｎが奇数 → (与式)= 1=(-1)^(n-1)
ｎが偶数 → (与式)=-1=(-1)^(n-1)

>>181
={(-1)^(n-1)}/2+1/2-{(-1)^(n-2)}/2-1/2
= {(-1)^(n-1)-(-1)^(n-2)}/2
={(-1)^(n-2)*((-1)-1)}/2
=(-1)^(n-2)*(-2)/2
=(-1)^(n-2)*(-1)
=(-1)^(n-1)

訂正

「ｎ≧2のとき」を追加です。ちなみに数列の問題なんでn=1でも成り立つから
まとめてAn＝(-1)^(n-1)　となってます。

以下質問。
ｎ≧2のとき
{(-1)^(n-1)＋１}/2　−　{(-1)^(n-2)＋１}/2

が　(-1)^(n-1)

になる計算過程の詳細お願いします。

不安なので日本語を。
-1のn-1乗足す１　を２で割ったものと　-1のn-2乗足す１　を２で割ったもの　の引き算です
その結果が-1のn-1乗

>>182
ゴメン計算の過程が知りたいんです。　

ああ更新してなかったです。
>>183氏サンクス

最初の四行は
(-1)^(n-2)でくくれば良かったんですよね？

で五行目がよく分からないのですが。
なんで後ろの-2だけが分母の2で割られてるのですか？

スマソ、自己解決しますた。
かけてるんだから片方だけ割って当然でしたorz

modって、なんて読めば良いんですか？

http://hp.vector.co.jp/authors/VA008160/cipher/mathemat.htm

>>187
>>188にはモジュラスとあるが、モッドあるいはモジュロでもよい。

>>188 >>189 助かりました。今まで、そのままアルファベットで呼んでいたので呼びにくくて････どうもありがとうございました。

階差数列を使って一般項a[n]を求める問題で
n=1のときにも成り立つことを書き記すのはなぜですか？
成立しないときもあるのですか？

>>191
a[n]=a[1]+(b[1]+...+b[n-1])
nが２以上じゃないとこの式使えないから

必要ない。
ない。

>>180
回答ってのは質問をした本人以外の人にアピールする事もある。
漏れはわざとそう言う回答をする事もある。
一概に否定するのはナンセンスだよ。

問　鋭角三角形ＡＢＣの外心をＯ、垂心をＨとする。
　　また、辺ＢＣの中点をＭとして、ＡＭとＯＨの交点をＧとする。
(1) △ＡＢＣの外接円のＣを通る直径の他端をＤとすると、
　　四角形ＡＤＢＨは平行四辺形であることを示せ。
(2) (1)の結果を用いてＡＨ＝２ＯＭであることを示せ。
(3) 点Ｇは△ＡＢＣの重心であることを示せ。

図とにらみ合いしてるだけで全然分からない。
お願いします。

もしかして
(A+B)^2(A-B)^2=(A^2-B^2)

コレって常識的ですか？

>>196　非常識

>>195
(1)二組の辺が平行
(2)△BCDで中点連結
(3)相似、重心の定義

1/sin^2(20)-tan^2(110)

三角比の相互関係をどう使うのかがわかりません。
お願いします。

>>199
110=90+20を使う。

1/5 < a < 4/5 < b < 1とする。
log{b}(1/5), log{b}(4/5), log{a}(b), log{4/5}, 1
のうち最小、最大であるものを求めよ。
という問題なんですが、最初の不等式から底bの対数をとると
b＜１より
log{b}(1/5) > log{b}(a) > log{b}(4/5) > 1 > 0　となるということはわかったんです。
そしてlog{b}(a)の底をaに変換して、log{a}(b)=1/log{b}(a)
log{b}(4/5)の底を4/5に変換してlog{4/5}(b)=1/log{b}(4/5)
と言う風にしてみたんですが、そこからどうしたらいいのかわからないので教えてください。

>>201
4番目のlog{4/5}ってのはなんだ？
全部正の数だから逆数とって
1/log{b}(1/5) < 1/log{b}(a) < 1/log{b}(4/5) < 1

先日受けた全統の数学の問題なのですが、わたしの弱小予備校では回答冊子を全学校のテストがおわるまでかえしてくれないため
解法がわからないので質問いたします。

Q.正１２角形の頂点に反時計回りに１から１２までの整数がかかれている。この１２個の頂点から異なる３個を同時に選び、
それらを頂点とする三角形を作る。

(1)正三角形は全部で何個できるか

(2)二等辺三角形（正三角形も含む）は全部で何個できるか

(3)3個の頂点に書かれた3個の数の積が偶数となるような二等辺三角形(正三角形を含む)は全部で何個できるか？

>>203
基準実施日(日曜日)を待て
ネタバレいくない

>>199
与式
=1/{sin(20°)}^2-1/{cos(110°)}^2+1
=1/{sin(20°)}^2-1/{sin(20°)}^2+1
=1

>>202
4番目のはlog{4/5}(b)のことです。
逆数取ったらできました。
ありがとうございます。

あともう1つ質問なんですがx>2,y>2のとき
√x+y < √xy　って自明ですか？

>>206
あなたにとって自明でなければ、それは自明じゃないんですよ。

>>207
んん。。。　では
x>2,y>2のとき絶対に√x+y < √xyになりますか？

>>208
なるよ。
簡単だから自分で証明してみな

>>209
√x+y < √xy　⇒　ｘ+ｙ＜ｘｙより
ｘ+ｙ-ｘｙ=x(1-y)+ｙ＜0
でいいんですかね？
でも√x+y < √xy　⇒　ｘ+ｙ＜ｘｙ　の逆は必ず成り立つのですか？

>>210
x ＞ y 、z＞0 の時、xz ＞ yz
は納得できるかい？

それは納得できますけど、ん〜・・

>>210
証明したい式が√(x+y) < √xyなんだろ。
いきなり不等式作っちゃダメじゃん。

ついでに言うと
ｘ+ｙ-ｘｙ=x(1-y)+ｙ＜0
なんてやってると泥沼にはまる。

差をとって変形した結果が
不等式になるように考えるのが
正しい高校生の姿勢。

#平方した後、右辺-左辺を作ると
#0どころか1より大きくなるぞ。

√x+y < √xy 、に √x+y ＞ 0 、 √xy ＞ 0
でやったら？
( x＋y ) < √xy √( x＋y ) ＜ √xy × √xy ＝ xy
前半の不等式、後半の不等式を別々に出せるか？

x+y=(2x+2y)/2
<(yx+xy)/2 　 　(∵2<y , 2<x)
=xy
両辺√とる。

xy-(x+y)=xy-(x+y)+1-1=(x-1)(y-1)-1
x>2,y>2より(x-1)(y-1)>1,(x-1)(y-1)-1>0
xy-(x+y)>0よりxy>x+y
この問題では実感しないかもしれないが、
一般には対称な形に持っていくのが最良。

>>208
両辺を√x√y（＞０）で割ると
√(1/x)+(1/y)<１
これならわりと明らかかも

うんちおいしい

>>218
ついにここまで遠征してきたか。。。

log(n+1)-log(n)=∫n〜n+1の(1/x)dx
この式変形がわかりません。ご指導よろしくお願いいたします

>>220
右辺の定積分を計算すれば左辺が出てくることはわかるかい？

x,y,z,a,b,cはいずれも0より大きく1より小さくて、x+y+z=1が成り立つとき、
(a^3)/(x^2)+(b^3)/(y^2)+(c^3)/(z^2)≧(a+b+c)^3は成り立つでしょうか？
コーシーシュワルツでも相加相乗でも無理っぽいですけど・・・ご教示お願いします

「x,y,z,a,b,cはいずれも0より大きく1より小さくて」は、
「すべての正の数a,b,cについて、x,y,zが0より大きく1より小さくて」の間違いでした

確率分布の漸化式の応用の所の問題の途中のところなんですが、
〔F(n＋1)＝1/2F(n)〕→〔F(n)=F(1)・(1/2)^n-1〕
に変換できるみたいなんですが、どういう風に考えればいいのでしょうか？

あと、特性方程式っていうのはどの分野で習うのでしょうか？

F(n＋1)＝1/2F(n)
F(n＋1)＝(1/2)^2F(n-1)
……
F(n)=F(1)・(1/2)^n-1

特性方程式って、どの特性方程式？

>>225
ありがとうございます。

Pn＋1＝1/2Pn＋1/6 （n=1,2・・・）
これは次のように変形できる。
Pn＋1-(1/3)＝1/2(Pn-1/3)

↑は　Pn＋1＝1/2Pn＋1/6 を特性方程式:x＝1/2x＋1/6の解1/3を用いて
変形しているらしいんですが、ちょっと理解できません・・・。

P_(n+1)＝P_n/2＋1/6
x=x/2+1/6
なるxを考える(x=1/3)
上の式引く下の式は、
{P_(n+1)-x}＝{P_n-x}/2
P_n-x=a_n
とおけば、これは
a_(n+1)=a_n /2
なので、等比級数に帰着し、
a_(n)=P_n- 1/3=(1/2)^(n-1)*(a_1- 1/3)

ほかにも、
式全体を(1/2)^(n+1)で割り、
2^(n+1)*P_(n+1)＝2^n*P_n＋2^(n+1)/6
2^n*P_n=b^nとおけばこれは階差数列に帰着し、
b_(n+1)-b_n=2^(n)/3
b_n=b_1+{2^(n)-2}/3
P_n=a_1/2^(n-1)+1/3-(1/2)^(n-1)/3
となる。

>>222
成り立つよ。高校では習わないかもしれないけど、Jensenの不等式、っていうのを使うと簡単。
Jensenの不等式は、fが下に凸な関数、Σ[i=1 to n](a_i)=1で、各a_i≧0なら、
Σ[i=1 to n](a_i)f(x_i)≧f(Σ[i=1 to n](a_i)(x_i))
というもの。

n=2なら凸性の定義そのものだね。

今は、f(x)=x^3, a_1=x, a_2=y, a_3=z, x_1=a/x, x_2=b/y, x_3=c/z
とおけば、求める不等式が出てくるよ。

>>228
一応等号条件にも触れておくと、f(x)=x^3は狭義凸な関数でJensenの不等式において各x_iが全部等しい場合にのみ等号が成り立つ。

だから、a/x=b/y=c/z (=a+b+c) の場合に等号成立、となる。

{√(x+2)} / {√(x-2)} - {√(x-2)} / {√(x+2)}

ってどうやって計算するんですか？お願いします

>>230
分数の引き算は通分をするといいと思いますよ。
先に分母の√を外してから計算しようとすると不必要にややこしくなるのではないでしょうか？

0≦x≦3ならば、常に二次不等式（x-a）（x+a-2）≦0が成り立つような定数aの範囲を求めよ

で
（x-a）（x+a-2）→x^2-2x-a^2+2 にして　f(x)=x^2-2x-a^2+2　とする。
0≦x≦3ならば成り立つ事を求めるので
f(0)=-a^2+2≦0　よってa^2≧2　→　a≧±√2
f(1)=-a^2+1≦0　よって・・・・・・　→　a≧±1
f(3)=-a^2+5≦0　よって・・・・・・　→　a≧±2√5

よってa≧√5　　　　
方針自体間違ってるんですが、なんで間違っているかわかりません。
このやり方ではダメな理由をおねがいします。
おねがいします。愚か者で申し訳ない・・・

>>232
0≦x≦3のとき常に（x-a）（x+a-2）≦0であるということは、
max{a, -a+2}≧3かつ
min{a, -a+2}≦0
ならば解の位置から答えが出ることは容易に分かると思う。
この大小関係は図を書けば分かり、
a≧1ならば、
a≧-a+2
よって、
a≧3かつ
2≦a
よって、a≧3

a≦1ならば、
a≦-a+2
よって、
a≦-1かつ、
a≦0
よって、a≦-1
よって、
a≦-1または3≦a

あと君の解答を直しておくと、
f(x)=x^2-2x-a^2+2a
このグラフは下に凸なので
条件はf(0)≦0かつf(3)≦0と同値。
f(0)=-a^2+2a=-(a-1)^2-1≦0よってa∈Rで成り立つ。
かつ
f(3)=-a^2+2a+3≦0よって、a≦-1または3≦a
これらより、
a≦-1または3≦a

一対一やっていますが、わからない問題がｲﾊﾟｰｲですぐに解答を見てしまうんですよ。
やっぱり解らないなりに「考える」ことをしてから解答を見たほうがいいですか？

夏休み５時間/日の勉強をしていましたが今日の全統記述４０点くらいorz

数学を毎日５時間やっててそれならばやり方に問題があるといって良いだろう。

灘高から東大理三にいった和田秀樹先生の言葉で、
『数学は暗記だ！！』の言葉に激しく同意できるんだが・・、
数学をたしなむ人（特に得意な人）にとってはどうなんだろうか・・？？

やはり問題を解く時、自分の中にある解法パターンから選りすぐったやつをひねりだすのだろうか？

>>236
その限りではない。

>>236
理III に入る位までは可能かもしれないが，大学で数学を専攻したとしたら挫折する。

>>234
解答見て書き写すのでなく、一旦解説を読んでからその解説を伏せて自分で解答を作成するってのなら立派な勉強だと思う。
しばらく時間をおいてからもう一回解いてみて、そのときに解けるようなら解法が身に付いたってこと。
解けなかった問題には印を付けておいて、自力で解けるようになったら印を消すって勉強方法、よくあるじゃない？
解説は読むが、解答は見るな。

おれすげえことに気づいた
宝くじって実際当たるか外れるかだから
当たる確率ってどう考えても二分の一だよな？
これってすごくねえ？

>>240
使い古しのネタ。
地球が滅亡するかしないか云々とかね。

＞＞233さんどうもでした。

６乗すると27になる→6＾√27　（パソコンでの表し方がわからないので。）

6＾√27÷4＾√48
＝（3＾3)^1/6 (2^4 ・3)^1/4
＝3^1/2÷2・3^1/4

ここまではわかります。でもそのつぎが
＝4^√3/2（答え

どうしてですか？
3^1/2÷2・3^1/4ということは3^1/2÷2^1/4×3^1/4
だから4^√3^3/2
ではないのですか？

（　）の中は先に計算するのは昔習ったけど
3^1/2÷2・3^1/4は（　）はないのに2・3^1/4を先に計算するのはなぜ？

まちがえた。
3^1/2÷2・3^1/4ということは3^1/2÷2^1/4×3^1/4
ではなく
3^1/2÷2・3^1/4ということは3^1/2÷2×3^1/4

でした。

>>243
なんか書き方がいい加減なんで
読み違ってたらスマンが
()より先に累乗を計算する、ってのは
中学で習わんかったのか?

ちなみに｢６乗すると27になる｣数→｢27の6乗根｣
すなわち27^(1/6)と表記するように。

不等式x^-(a-3)x-2a+2<0を満たすxの整数値がただ1つあるような定数aの値の範囲を求めよ。

これを
(x+2)(x-a+1)<0
f(x)=x^-(a-3)x-2a+2=0

・・・しかわかりません。
f(x)=x^-(a-3)x-2a+2=0
になる数、例えばmとして、mの範囲が
-2<m<a-1 もしくは　a-1<m<-5
っていうことはわかるんでが。。。

>>246
全ては因数分解してからだ。

>>243
20=4×5だからといって、
10÷20=10÷4×5=2.5×5=12.5
とはしないだろ？

答えには
(x+2)(x-a+1)<0 ・・・�@
�@を満たすxの整数値がただ1つある条件は
-4≦a-1≦-3　xの整数値は-3だけ
もしくは
-1≦a-1≦0　　xの整数値は-1だけ
これらを解いて
-3≦a≦-2 　,　　0≦a≦1

とありますが、-4とか-3、-1や0ってなんですか？
厳密にはそこが分からないです。

もうしわけない
(x-2){x-(a-1)}<0・・・�@
となっています。同じですが訂正します。

>>249
まず、不等式をaで場合わけして解いてみな。

>>249
数直線上にこの不等式の解の範囲を表してみろ。
x=-2とx=a-1の間になるだろうが。

で、その範囲が-2の右か左かを考えてる、と。

しかも、その範囲の中には
｢xの整数値がただ1つ｣なんだろ。

>>249
書き間違えかもしれんが、答えは正しくは、
-3≦a<-2　,　　0<a≦1
だぞ。

>>253
等号入ってもいい、つか入れろ。
等号入れずに減点される生徒は多い。

>>254
おいおい。ちゃんと問題嫁。

等号が成立しないことが分かっている時は、できる限り入れないべきなんじゃないかな？
入れても間違いではないけど、んなこと言ったら
答えが100＜aになるとき、10＜aとかも許容しなきゃいかんくなるぞ。

>>255
え、そんなことは…ホンマやー。
鬱だ。逝ってくる。

>>245
>>248
へえ〜なんとなくわかったような

ところでここで答えてる人たちは結構数学に詳しいですけど
数学科の大学生かなんかですか？
受験生ではないですよね。

400回コインを投げる。毎回の表の出る確率は1/2である。この時表の出る回数
が180〜200回の間になる確率は？

先日、和田秀樹氏の『数学は暗記だ！』を読んだのですが、
暗記なんですかねぇ...どう思います？

>>260

>>236-237

>>259
ほぼ50%。49.9%とか49.8%とかそんなもん。

質問です

１０００蔓延を年利率８％で借り、返済は一年後を第一回とし、その後毎年等額ずつ支払い、
１０年で完済する。
毎年支払う金額はいくらか。
ただし、1.08^10＝2.159とし、１００円未満を切り上げろ。


とあるのですが、解答に、

＞借りた１０００万円の１０年後の元利の合計が、
毎年の返済金を積み立てたときの１０年後の元利合計の総額に等しい　とあります

この意味が分かりません。また、

＞借りた１０００蔓延は１０年後には10^7×1.08になる
毎年ｘ円ずつ返済するとし返済金額を積み立てていくと
一回目のｘ円は１０年後に（1.08^9）ｘ円、二回目のｘ円は…（１０回目まで続く）
……？なぜこれに利率をかけるんでしょう？
なんとなく言いたいことは分かるんですが、具体的になりません。
どなたかお願いします。

借りた金をA円, 毎年の返済額x, 利率をr, R=1+rとして、
返済額は10年後は、
xR^9+xR^8+…+xR=x(R^10-1)/(R-1)
になる。これが「毎年の返済金を積み立てたときの１０年後の元利合計の総額」。

借りたお金は、10年後はAR^10。これが「借りた１０００万円の１０年後の元利の合計」。

よって、
x(R^10-1)/(R-1)=AR^10
を解いて、x=ArR^10/(R^10-1)=10^7*0.08*1.08^10/(1.08^10-1)。

>借りた１０００蔓延は１０年後には10^7×1.08になる
は、(10^7)*(1.08)^10=(10^7)*2.159の間違いだろ。

>>264
ごめん、返済額の足し算、xが1個抜けてる。

？？
凄くﾊﾞｶｰな質問なんですが、１０００万円から１００万円払ったら９００万ですよね。
次回の８％足した分て、９００×1.08じゃないんでしょうか…
返済額に利率、というのがぴんと来ません…orz

残りの返さなくてはいけない金額を考えれば、
最初　1000
1年後　1000*1.08-x
2年後　(1000*1.08-x)^1.08-x=1000*(1.08^2)-(x+x*1.08)
…
10年後　1000*(1.08)^10-(x+x*1.08+…+x*1.08^9)
となる。（単位：万円）
この10年後が0になればいいんだけど、これが結局、
「1000の10年後価値」−「返済額すべての10年後の価値」
という形になる。

別に利子がなければ、「払った合計」＝「元の金額」になればいいから、
10x=1000、とかして求めるでしょ？

利子があるから、
「払った合計の10年後の価値」＝「元の金額の10年後の価値」
という式をつくればいい、ということ。

>>259
表が出る回数をXとすると、二項分布の公式より
E(X)=Np=200
V(X)=Np(1-p)=100
σ(X)=√V=10
180<X<200を正規分布に変換すると
x=(X-E)/σより
-2<x<0
正規分布の表より、49.5%程度(答)

x^2-ax+a-1=0,x^2-2ax+3a+3=0が共通解αを持つとき
αとそのときのaを求めよ

α^2-aα+a-1=0 ‥‥(1)、α^2-2aα+3a+3=0 ‥‥(2)
(1)-(2) より、α=(2a+4)/a　これを(1)へ代入して、
(2a+4)^2=a^2(a+5)　⇔　a^3+a^2-16a-16=(a+1)(a+4)(a-4)=0
よって、(a, α) = (-1,-2), (-4,1), (4,3)

半径の等しいn（≧３）個の円 Ｃ[1], C[2], ・・・ Ｃ[n], は全て半径１
の円Ｃに外接し、Ｋ＝１，２・・・ｎ−１に対してＣ[ｋ]とＣ[ｋ＋１]
は外接しＣ[ｎ]とＣ[1]も外接している。Ｃ[1], C[2], ・・・ Ｃ[n]の
周りの長さの和をＬ[ｎ]とする
（１）Ｌ[ｎ]をｎとπで表し、lim_[ｎ→∞]Ｌ[ｎ]を求めよ

解答
外接するｎ個の半径をr[ｎ]とすると
r[ｎ]/r[ｎ]＋１＝sin(π/n)・・・・

なぜπ/nになるのかわかりません。２π/nになるのではないでしょうか？
教えてください。どなたかお願いします

図書いてみれ

>>270のような解法のほかに
第一式=f(x),第二式=g(x)として
f(x)+kg(x)=0
を使った解法をするにはどうしたらいいですか？

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●不合格●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
これを見た人は確実に【不合格】です。これをコピペでどこかに３回貼れば回避できます。
これは本当です。やらないと一年無駄になります.

>>251>>252>>253
わかりました！唯一ってことはひとつしかまたいでない　ってことですね！
助かりました！どうもです。

それにしても274のこぴぺする人って必死だな。
そんなことしてもお前が頭良くなるわけじゃなしに。
んな事バカの俺でもわかる。

おまじないなんかで落ちるような僅差の力でうけねーっての
って言いたいが俺はまだまだだからいえない。。。

>>276
単に荒らしたいだけだろうから、暇つぶしとか、遊びとか、
受験に合格すること以外にも色々目的あると思うよ。

x^3+px^2+qx+r=0　は、少なくともひとつの実数解を持つことを証明せよ。

お願いします。

p,q,rはなんなのさ？

x^3+px^2+qx+r=0

係数が実数なので、複素数の解は共役な物とあわせてふたくみで存在してる。ｌ

よって一つあまり、必ず実数会を持つ。

>>278
出題単元つか、既習範囲によって
解答も色々考えられるが。

>>279
定数です

>>282
実数か複素数か聞いてるんだと思うが。

ごめんなさい。実数です。

複素解が共役な解を同時に持つことが分かっていれば２秒で解ける問題。

がんばれ。
分からなければグラフの形から言及しても良いが。

>>280
>　よって一つあまり、必ず実数会を持つ。

これじゃ答案として不十分じゃ？

f(x)=x^3+px^2+qx+rは連続な関数。
lim[x→∞]f(x)=∞かつ
lim[x→-∞]f(x)=-∞
よって、f(x)=0なる点が少なくとも一つある。

見たいな。

自明な気もするけどな

>>286
外観だけ示してる。

もう少し書くなら、
３次式には複素解も含めて３つあり、
複素解があれば必ず共役な解があるので、
複素解は必ず２n個あり、
かならず１つは複素数でない解が残る。

ぐらいでいかな。

>>288
複素数の解とその共役な解があることを理解してもらうための、
教科書や例題レベルの問題なんでしょう。

>>289
>　複素解があれば必ず共役な解があるので、
>　複素解は必ず２n個あり、

ここまで分かっているのなら、

>　かならず１つは複素数でない解が残る。

じゃなくて、もっと厳密な話にもっていけるはずだが？

>>291
やってみて。
これで十分だと思うし。

残る解が実数と仮定すると矛盾が生じる、くらいでいいんじゃね？

>残る解が実数と仮定すると矛盾が生じる

生じちゃだめだろｗ
複素数と仮定するんだろｗ

ぱっと見、中間値の定理を使うべき問題だと思うが…。
>>287みたいに。

>>294
すまん、うっかりんこ

複素数と虚数をごっちゃにしてません？
「複素数」には実数も含まれますよ。

>>295のいうとおりだな．
共役な複素数解云々書いてる香具師は頭固すぎ。
この場合，３次関数の連続性のみが本質的だよ。

>>298
のみって…

命題と証明で分からない所があるので教えてください，（必要条件・十分条件）

問題
整数a,bについて、a^2+b^2が4の倍数であることは、
a,bがともに偶数であるための[　　]条件。

解答
（偶数）^2＋（偶数）^2＝(2m)^2+(2n)^2＝4m^2+4n^2＝4(m^2+n^2) であるから、
a,bがともに偶数⇔a^2+b^2は4の倍数。
よって、必要十分条件。

これで合ってますよね？

（偶数）^2＋（偶数）^2の他に、（奇数）^2＋（奇数）^2や、
（奇数）^2＋（偶数）^2なんかをする必要はないですよね？

>>300
結論はあってるね。　１００点満点で採点すると２点ぐらいじゃない。

ﾁｪｸﾘﾋﾟ1Aの278の慈恵の問題なんですが、解答の5〜6行目で、〜がすべてのnで成り立つのでp=1になる、とありますがなぜそうなるかが分からないので教えてください

>>300
＞（偶数）^2＋（偶数）^2＝(2m)^2+(2n)^2＝4m^2+4n^2＝4(m^2+n^2) であるから
という議論は
a,bがともに偶数⇒a^2+b^2は4の倍数
を示すための議論です。
＞a,bがともに偶数⇔a^2+b^2は4の倍数
を示すためには、あと
a^2+b^2は4の倍数⇒a,bがともに偶数
を示さなければなりません。

あと、必要条件や十分条件という言葉を使うときには
「何が」「何であるための」必要十分条件である。というような書き方をしましょう。常に。

>（偶数）^2＋（偶数）^2＝(2m)^2+(2n)^2＝4m^2+4n^2＝4(m^2+n^2) であるから、
>a,bがともに偶数⇔a^2+b^2は4の倍数

これはa, bが偶数ならばa^2+b^2が4の倍数になることを示したんだから、

a, bが偶数⇒a^2+b^2が4の倍数

であって必要十分を示したことにはならない。

三角形ABCの3辺の長さをAB＝２、BC＝4、CA＝3とし外接円の中心をOとする。
その時、２AO・ABの値を求めよ。
と言う問題で
解答が
∠ABD＝∠ACD＝90゜したがって
２AO・AB＝AD・AB＝→[AB]＾2＝２＾2････････※
＝４

なんですけど、※の２AO・AB＝AD・ABまではｲｲのですが、これが何故AB]＾2に成るのかが分かりません。
内積の問題なのでCOSの値が必要だと思うのですがそれがどうなるのかがわかりません。
とりあえず、∠BAD＝αとおくとADｃoｓα＝ABという形には成りましたが
これをどうＣОＳとして活用していいのかが分かりません。よろしくお願いします。

Dって何？

AOの延長線と外接円の交点がDかな？
だとしたら
cosθ=|AB|/|AD|(ベクトルの矢印略)
定義より
AD・AB=|AD||AB|(|AB|/|AD|)=|AB|^2

y＝(x^4)-(2x^3)-(3x^2)+(5x)-1

を因数分解すると

y＝(x^2-x-2)^2+x-5

になるようなのですが、どうゆう手順でこのくくりを見つけるのでしょうか？

あと∫logAdx （A：定数）
の積分結果はどうなりますか？
お願いします。

＞307
�dクス。
こんな簡単なことに気付かなかったとは・・・・。OTZ

>>308
上は何故そういう風に因数分解しなければならないのかよく分からない。

下は、logAが定数なんだからkとでもおけば、
kx+Cとなる。

>>308
上について、因数分解じゃねーよ。

下について、定数の積分です。

数列の問題です。
初項から第n項までの和が20、初項から第2n項までの和が30の数列がある。
この数列の初項から第3n項までの和を求めよ。
おねがいします。

>初項から第n項までの和が20、初項から第2n項までの和が30の数列がある。

矛盾が。。。

>>301,>>303-304
遅くなりました、お返事ありがとうございます。
うーん、、ではこれで正解ですよね？

問題
整数a,bについて、a^2+b^2が4の倍数であることは、
a,bがともに偶数であるための[　　]条件。

解答
m,nを整数とする。
（偶）^2＋（偶）^2＝(2m)^2+(2n)^2＝4m^2+4n^2＝4(m^2+n^2)
（偶）^2＋（奇）^2＝(2m)^2+(2n+1)^2＝4m^2+4n^2+4n+1＝4(m^2+n^2+n)+1
（奇）^2＋（奇）^2＝(2m+1)^2＋(2n+1)^2＝4m^2+4m+1+4n^2+4n+1＝4(m^2+m+n^2+n)+2

よって、a^2+b^2が4の倍数であることは、 a,bがともに偶数であるための必要十分条件。

>>314
○

>>315
合っててよかたｔ、、ありがとうございました。

>>313
申し訳ありませんん。数列は等比数列です

>初項から第n項までの和が20、初項から第2n項までの和が30の数列がある。

S_n=20なら、
S_2n=20　　(n=2nを代入)
だが、これに書かれているのは
S_2n=30
よってこの問題は適切ではない。

ｎと２ｎは異なるから問題無し。

>>318
そうなんですか？代入したらだめなんじゃ…？

>>318
この場合のnっていうのは定数なんじゃね？

>>321
あ、たぶんそうだと思います。
誰かわかります？汗

>>322
初項a,公比rの数列とすると
S_n=a*(1-r^n)/(1-r)=20
S_2n=a*(1-r^2n)/(1-r)=30
これを連立させてとけばいんじゃね？

>>323
それ連立で解くじゃん？解ける？複雑じゃないかい？俺だけか…

>>324
最終的にはただの二次方程式じゃね？
rはn乗根とかになる気がするけど

３変数あるのに２式で解くの？

いや、n変数じゃないし

>>310
そうゆう風にくくり出すと、接点、接線が簡単に出て
面積が求まるという仕組みだそうです。
荻野の勇者を育てる数学3C(Vol2)第58講の練習問題
に書いてありました。

誰か〜〜この参考書やった人でわかる人いませんか〜？？

x＾4＋ｙ＾2≦ｘ＾2の範囲ってどうやって調べればいいんですか？

>>312

３５

>>330
答えはわかるんだ。過程が…
おねげーします。。

>>331
過程も何も>>323を連立させて解くだけだって
aを消去すればrも消えるはず。
あとはr^2をXとでもおいてr≠1に注意して２次方程式を解く。
そうすりゃS_3n出るっしょ？

訂正：
あとはr^2をXとでもおいて→あとはr^nをXとでもおいて

S_2n/S_n=(1-r^2n)/(1-r^n)=3/2
よってｒ＾ｎ=xとおくと、
2x^2-3x+1=0
x=1, 1/2
x=1のときr=1で、an=20, 2an=30で、合わないので不適。
よって、r=2^(-1/n)
a=40( 1-2^(-1/n) )
あとは出る。

>>308
問題書いた方が早いと思うよ。

>>312初項a,公比rの数列とすると
S_n=a*(1-r^n)/(1-r)=20…(1)
S_2n=a*(1-r^2n)/(1-r)=30…(2)
(2)/(1)より
(1-r^2n)/(1-r^n)=3/2
よって、(r^n-1)(2r^n-1)=0
r^n≠1よりr^n=1/2
また、(2)より　a/(1-r)=30/(1-r^n)=40
よって、 S_3n={a(1-r^3n)}/(1-r)=35

(1),(2)がめちゃくちゃだった、脳内補完してくれ

>>308

335さんの言うとおりだな
もしくは荻野の勇者を育てる数学3C(Vol2)なんてのを都合よく持ってる奴が現れるのを待て

やさ理の例題２３みたいな二重接線の問題でしょう。


荻野＋二重接線と言えば・・・
http://that3.2ch.net/test/read.cgi/gline/1098196440/

エピサイクロイドの問題で半径３中心（０，０）の円Ｃに
半径２中心（５，０）の円が接して回るって言う問題がよく分からないんですけど
あれは公転しながら自転もしてるんですか？

滑らない、と考えればいい

ＯＰ↓＝ＯＯ’↓＋Ｏ’Ｐ↓

＝５（cosθ,sinθ）＋２（cos（θ＋３／２θ）,sin（θ＋３／２θ））

なんで＋３／２θなんですか？

3θ/2だよね。弧長に注目するといい

>>335
1-r^2n=(1-r^n)(1+r^n)だから
辺々割ったあとは約分した方が早くﾈ?

ω３乗=１
ω２乗＋ω＋１=0
の２つは
そのまま公式として
使っても
模擬試験で×にはならないですよね?
アドバイス宜しくお願いします。

>>344
ωの定義があらかじめ与えられていればｵｹ。
あるいは、自分で解答内に記述しておくか。

>>345
ありがとうございます。では
ω３乗=１よりと
書いてから使えばよいのですよね?
それともちゃんと導きだしてから使わないと
駄目ですか?

ω^3=1　ω≠1より 0=ω^3-1=(ω-1)(ω^2＋ω+1)なので、ω^2＋ω+1=0
これぐらいは書いても、たったの１行だぜ。

1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1)　を変形すると x≠1　の時どうなるか。
お願いします。

>>312
初項から第n項までの和が２０で、
それに続くn項の和が１０なら
さらにそのあとのn項の和が５じゃね？
（等比数列だから）
んであっさり３５って出ね？

>>348
xで積分すると（積分定数略）
x+x^2+x^3+x^4+...+x^n
=x(x^n-1)/(x-1)
これをxで微分すると答えがでる。

おお、裏技解答！そのパターンはどのような問題に適応できる？

s=1+2x+3x^2+4x^3+……+nx^(n-1) とおく
xs= x+2x^2+3x^3+……+(n-1)x^(n-1)+nx^n
上式-下式で(1-x)s=1+x+x^2+……+x^(n-1)-nx^n=(x^n-1)/(x-1)-nx^n
よってs=○

ｆ（ｘ）はｘ（ｘ-１）の整式であるってどういう意味ですか？
ｘ（ｘ-１）の定数倍ってことですか？

>>353
字面どおりにとらえると、x(x-1) の累乗、定数倍、及びそれらの和ってこと
たとえば f(x)=2{x(x-1)}^5+{x(x-1)}^3-4{x(x-1)}^2+3{x(x-1)}+5 とか

>>354
じゃあ
ｘ（ｘ+１）+５もｘ（ｘ+１）の整式なんですか？

>>355
Yes, I do.

∫[-π,π]sin(Ax)sin(bx)dx
これが０になるらしいのですが、解き方を教えてください。

sin(Ax)sin(bx)={cos(A-B)x-cos(A+B)}2

329 名前：大学への名無しさん 投稿日：04/10/26 20:42:33 ID:5rxoK/bv
x＾4＋ｙ＾2≦ｘ＾2の範囲ってどうやって調べればいいんですか？

お願いします。

>>359
質問の意味が不明確だから、みんな答えてないんだよ、きっと。
何が知りたいんだ？

実数を係数とする3次方程式
ｘ＾3−√3ｘ＾2＋3ｘ＋ａ＝0
の異なる3つの解の実部が全て等しいときのａを求めよ。（早稲田大）
何をすればいいかさっぱりでorz 教えてください三 (lll´Д｀)

{x-(c+bi)}{x-(c-bi)}{x-c}とおいてみよう。

展開して係数を比べればいいんですね。

共役解の利用は重要だよね。

>>362
解けた(　ﾟдﾟ)ﾋﾞﾝｺﾞｰ　助かったｱﾘｶﾞﾄ!(´▽｀)

名前のとこに「362」書いてしまったorz
何やってんだ、、、

>>359
不等式が示す領域を図示せよってことだよな？
f(x)=f(-x) f(y)=f(-y)だからグラフはx軸y軸に対しともに線対称。
故に、x≧0,y≧0---�Tを考えれば十分。（与式）をy≦x√(1-x^2)と変形して
�Tに気をつけて微分して増減表作ってグラフ書けば概形が分かる。
そして第２〜４象限のグラフを書いてその内部が求める図

>>351
同意ｗ

>>350
すごいしカッコイイ！と思ったけど、応用菊ｗ？

>>368
大学でのマクローラン展開やテイラー展開などで使えますね。

>>368
高校範囲なら、
Σ[k=1 to n]kC[n,k]とかΣ[k=1 to n](k^2)C[n,k]を求めよ、なんて問題に使えるね。
普通によく使うやり方だよ。

>>369
どうでもいいけどマクローリンじゃねえの？

仏語で撥音しとるんじゃないの？

マクローラン展開、
マクローリン展開とローラン展開を融合した物
通常のローラン展開はΣ[n=-∞,+∞] a(k)(z-c)^kという形で得られるが、これのc=0の
特別な場合をマクローラン展開と呼ぶ。

>>373
なるほどｗ

ホントのところは、どっちを言う人もいるけど、マクローリンという人の方が多いしそう書いてる文献の方が多分多い。

オレの微積の先生がマクローランって言ってたからマクローランで定着してる。
通じるし、どっちでもいいでしょｗ

マクローラン展開
http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&ie=UTF-8&q=%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%A9%E3%83%B3%E5%B1%95%E9%96%8B
マクローリン展開
http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&ie=UTF-8&q=%E3%83%9E%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E5%B1%95%E9%96%8B

｢リ｣のほうが多数派だね。
まぁどっちでもいいけどｗ

「一辺１の正四面体に平行光線をあて、ある平面に影をつくりました。
この正四面体の影の最大値と最小値を求めなさい。」

この問題がわかりません。よろしくお願いします。

>>377
法線ベクトルを考える。

正四面体のある一つの面に垂直な単位ベクトルと、射影される面に垂直な単位ベクトルを考える。
んで、正四面体の一つの面が作る影の面積が、二つのベクトルを使ってどう表現されるのかを考える。

バカな質問かもしれませんがどなたか教えてください。
-2t^3+3t^2-1=0の因数分解の仕方をよろしくお願いしますm(__)m

　　　　-2t^3+3t^2-1=-2(t^3-t^2)+t^2-1
と分解しましょう。てゆうか、次数がでかいときは適当に一つの解を見つけて、
組み立て除法で次数下げで良いんじゃん？

>>379この板は大学受験の板ですよ。高校受験じゃなくて

3次の因数分解だから高校の範囲だと思われるが?

>>380
ありがとうございます。でもやっぱりわかりません…。
良ければもう少し分かり易く教えてくださいm(__)m

>>379
因数定理は知ってるのか?
そこから教えるとなると
ちょいとばかし大変だなあ。

>>379
-2t^3+3t^2-1=0
t=1の時、左辺は0になるのでこれは解
(t-1)(-2t^2+t+1)=0
(t-1)(-2t-1)(t-1)=0

>>377
影が三角形になるときと四角形になるときで分ける。

>>377
全体の影が多角形を成す事を使う。
各頂点の影を考える。向かい合う正方形二つの四頂点の影と捉えれば、
合同な平行四辺形の四頂点×2＝八頂点 の外側を直線で結んだ八角形が
影の一般的な形。六面体の各稜線のみの影で考察する。

最近思ったことなんですが
ベクトルの成分表示ならぬ複素数表示なんてあれば便利な予感
複素数平面においてA(1+2i),B(3+5i)のときAB↑=(2+3i)みたいな感じで
でもこんなの教科書にないし使っても大丈夫なのだろうか

>>388
>複素数平面においてA(1+2i),B(3+5i)のときAB↑=(2+3i)みたいな感じで

つーか、ベクトル＋回転行列でやれ。

>388
そういうときは答案の中で、自分で記号を定義してから使うようにすればいい。
例えば、「以下では複素数平面上でベクトル　AB↑　に対応する複素数を[AB↑]とする。」
と断ってからなら、　[AB↑]＝2+3i　みたいに書ける。なお、この記号を清史弘氏が使っているのを
受験教科書でみた。今は駿台文庫から出てるかな。

>389
新課程では回転行列が範囲内になるけど、旧課程では回転行列は扱ってないんだよなあ。

質問です

階差数列における必須条件のｎ≧２　の意味を教えて下さい。
階差数列をつかった漸化式の時、bnをｎ≧１となってることがあって、わからなくなってしまいました。
bnにおけるnが≧２　なのか、それともanにおけるｎが≧２なのか、全体にかかるのか。
そうだとしたら理由はどうしてなのか、どなたかお願いします。

階差数列における必須条件のｎ≧２

そんな条件おれ知らない。。。。
てか具体的な問題出してよ。説明するから。
問題の中で必要かどうか決まるんだろ？

>>391
1≧n で定義されている数列 an に対して、bn を
bn=an-a(n-1) で定義するのであれば、bn は n≧2 でしか定義できないでしょう。
n=1 のときは a0 なる定義されてない謎のものが出てくるので。

ってそんなことは教科書読んだらわかるはずだし…　何がわからないのですか？

おれ
a_(n+1)=a_n+2^n
とか階差数列に置きなおしたことが無いから分からんかったのかｗ

置いたりせんでも
a_(n+1)-a_n=2^n
を足し合わせれば良いだけじゃん。

>>394
数列のやばそうだな。ちょっとひねられるとわかんなくならない？

>>391
ただの添字の話じゃないの？
１〜n-1
２〜n

>>394
じゃぁ、例えば
a_1=1
a_(n+1)=a_n+2^n+1 (n≧1)
とかを解いてみな。

>>391
n＝1は最初から考えなくてもわかる（最初から与えられてる）けど2以降は自分で考えないといけない。だから区別してるってこと。
n−1が成り立たなくなるからとりあえず2いれろー！とかそういうことではない。

2^n+1

これは

2^(n+1)
でおｋ？

>>398
失礼。(2^n)+1。

a_n=2^n - n - 1
かな。
問題出されて緊張してるからいまいちｗ

2^(n+1)
か

質問に答えてる人カコイイ

naniittenndayo
2^n + n - 2
だよ。しっかりしろよ、おれｗ

>>391
ちょうどいいから
>>396を例に説明しよう。
a_1=1
a_(n+1)=a_n + 2^n + 1 (n≧1)
∴a_(n+1) - a_n = 2^n + 1
a_2 - a_1 = 2^1 + 1
a_3 - a_2 = 2^2 + 1
……………………
a_n - a_(n-1) = 2^(n-1) + 1
a_(n+1) - a_n = 2^n + 1
辺辺全て足し合わせて、
a_(n+1)-a_1=Σ[k=1 to n] (2^k +1)
ここで、Σ[k=1 to n] (2^k)=S_nとおくと、
2S_n-S_n=S_n=2^(n+1)-2
∴a_(n+1)=2^(n+1) - 2 + n + a_1=2^(n+1) + (n+1) -2
∴a_n=2^n + n -2
となる。

>>391
b_nと置く原理もこれと同じはずだから、
これを理解しとけば良い。
これで階差数列は基本的に解けるはずだよ。

>>403
答えを答えるだけならそれでOK。
>>404
俺が教師ならそれは少し減点するぞ。

>>405
どこ？
てかいいよ、概観だけ分かれば。
あと辺辺足すときに一番下の式減らすほうが良いな。

>>406
そういう問題じゃなく、
最後のa_n=2^n + n -2が、n=1に成り立っているかどうかは保証されていない、ってこと。
その記述だけからだと、
a_1=1
a_n=2^n + n -2 (n≧2）
という答えしか出てこない。
n≧2のときのa_nにn=1を代入すると、a_1=2+1-2=1となって、これは実際のa_1と等しくなってることを確認して、最終的に答えは
a_n=2^n + n -2 (n≧1)
としなけりゃいかん。

>>391の疑問はその辺のことと思ったんだが違うかな？

この手の話って定期的に出没するなぁ、飽きてきた。

>>407
あぁね。

(正の)整数nに対し
a_1=a_1かつ
a_n=S_n-S_(n-1) (n≧2)
と
a_1=a_1かつ
a_n=a_1+Σ[k=1 to n-1]b_k (n≧2)
をまとめて理解しとくと良いかもね。

もちろんa_0から始まるときは
a_1-a_0=b_0から辺辺足すから
a_n=a_0 + Σ[k=0 to n-1] b_k (n≧1)
とかになるし、

…

なんていうかやっぱり>>391の良いたいことが良く分からんｗ
誰か説明してあげて。

>>391
ていうか>>391には自分が分からなかった問題を持ってきて欲しいというか（ぼそっ

漸化式と数学的帰納法ってどう違うんですか？
前者が数式の種類、後者が証明の法法ってこと？

私大文系で偏差値４５の漏れにわかるようにおながいしまつエロい人。

私大文系なら数学いらねーだろ

おっしゃるとおり入試の準備としては「いらねー」のですが・・・
数学のキソくらいできないと寂しいじゃないですか。
たしかに小さいころは寂しいなんて思ったことなかった。
でも、受験生してみると何だか「本当にひとり」だと思ってしまうことがありまつ。

あの頃見ていた合格も、今はもうなくて
あの頃のようにまた未来を見てみたい。
だけどあの頃には戻れないのもわかっている。
だから今しか見れないんです。本当は合格を、未来を見たいのに。
こんな事考えても、これという答えがあるわけじゃないんですよね。
そう、こんな風にあがきながら長い旅を続けていくのですね。

おしえておねがいエロい人

>>411
漸化式は数列の定義の仕方。（帰納的な定義、という言い方もする）
数学的帰納法は、自然数に関する命題の証明の方法のひとつ。


幼稚園にて男の子と女の子が交互に一列に並べた。

先生：「自分の前の子を覚えておいてね。先生が並べといったらその子の次に並ぶのよん。一番前の女の子はとっとと一番前にきてねん。」
これで、子供たちは一列に並ぶことができる。これが漸化式。

園長：「偶数番目に並ぶ子は男の子で、奇数番目は女の子だよね。」
先生：「一番前の子は女の子。奇数番目の子が女の子だったら次の偶数番目の子は男の子、次の奇数番目の子は女の子だから、間違いなくそうですね。」
これが帰納法。

>>407
保証される。

>>391
数列a(n)の階差数列をb(n)とすると
a(n)の項数がn個であるのに対して
b(n)はn-1個しかない、というのはいいか?

だから、n≧2でなければ
階差数列は定義不能…と、
こういう説明では不満か?

>>415
何言ってんだ？　理由は？

414さん ド深夜なのに、ご親切にどうもありがとう
卑近な例を出していただいて助かりました　よくわかった気がします
チャート式読んで寝ますね　どうもありがとう！

406が正しい

黄色チャートに
2sinθ=√2といった
三角方程式の問題は
答案には図を書かずに
θの値だけ書いてもいいと書いてありましたが
三角不等式も同じく
図を書かずに
答えだけ書いても
減点されずに
正解になるのでしょうか?
レス宜しくお願いします｡

減点された記憶はない。

>>420
図を描いたほうがお互い分かりやすく、親切ではある。

>>420
自分でも図を書いたほうが間違いが少なくなるよ

421さん422さん423さんレスありがとうございました｡
図は試験の時問題用紙にかなりおおまかに書いてましたが
けっこう雑に書いてるので減点対象に
なるかもしれないと
思い解答用紙には
書きませんでした｡
図は書かなくても
減点されないみたいな
ので
今まで通り
問題用紙にささっと
書いて解答に答えを
書こうと思います｡
ありがとうございました｡

>>424
は縦読み

東大の2003年の問題で「円周率が3.05より大きい事を示せ」ってのがあったけど，
なんで3.05なんて甘くしたんだろう．
3.10より大きい事は簡単に出るのにな．

計算自体はボーナス問題と化していることから
円周率をおよそ３としたゆとり教育へのアンチテーゼが主題

>>427
もあるかもしれないが、当時、東大のスーパーコンピューターが円周率を凄まじい桁まで出して、円周率の近似法が話題になったから、
そういう数学の話題を知ってますか?って問題でもある。


知らなくてもその場で出せる力があればOKですよっていう。

円周率を３とすると、円に内接する正六角形を考えた場合、
正六角形の周囲と、円周が等しくなるって、話題になったから、
正六角形から考えるのが無難と思って、3.05にしておいたのかも

α＝‐1+√3iとし、正の整数nについてZn＝α＾nとおく。次にaを実数とし、複素数平面上の点Znと点aとの距離をdnとする。このとき、dn+1>dnがすべての正の整数nに対して成り立つようなaの範囲を求めよ。
解答を作って頂きたいですm(__)m

要素の個数を数えるのが苦手です。
0〜10、13〜45、99〜120の間の整数の個数を数える方法を教えてください。

引いたらその部分の数も消えるから＋１

A〜Bの間の整数の場合は、常にB-A+1が成り立つんですね。
今まで基本が理解できてなかったからたまに間違えてました。
ありがとうございます

a〜bのとき、b-a-1個

>>430
α=2ω(1の3乗根)だから、不等式の両辺2乗して絶対値をはずして
整理すれば、後はnをmod3で場合分けすればそれほどめんどくさくないんじゃ?
というか、左辺のn+1って添え字だよな?

｜α｜≠１ なので mod 3 じゃ駄目だと思うが。

y=(x^2)-9/2をy=-9/4に関して上に折り返すことにより得られる関数は
どうなりますか？おねがいします。

y=(x^2)-9/2
y方向に9/4平行移動して
y=(x^2)-9/4
y軸に関して対称移動して
-y=(x^2)-9/4
y=-(x^2)+9/4
y方向に-9/4平行移動して
y=-(x^2)

あってる？y軸と折り返す直線を一致させるように平行移動して
折り返した後にまた戻せばいいわけだ。
あと頂点に注目してy軸対称させればいいって考え方もある。
つーかかなり基本

マルチ

>>437
軽く巡回しただけで3ヶ所マルチしてるな。
他にもありそうだが。

楕円　(x^2)/4 +(y^2)=1 の周上に２点、Ｐ(1,√3/2)，Ｑ(-√3,1/2)をとる。
このとき、弧ＰＱと、線分ＯＰ、ＯＱとで囲まれる部分の面積を求めよ。　　　【青山学院大学】

x=2cosθ，y=sinθ と置いて、
∫[π/3 to 6π/7 ]y dx を計算したのですが、答えが合いません。
何が違うんでしょうか？　

媒介変数の積分がどうも苦手です・・・・。。
お願いします。

>>441
∫〜dx というのは x での積分なので積分区間は x の範囲です。
したがって計算すべき積分は ∫[x=-√3〜1]ydx です。
この次に積分変数を x から θ に変数変換します。
変数変換とは後ろの dx を (dx/dθ)dθ に変えて、同時に積分区間も x の範囲から θ の範囲に変えることです。
(どうでもいいことですが、媒介変数表示の際のパラメータ(媒介変数)には、個人的にはθでなく t を用いることが多いかも…)

しまった、間違い教えた…
∫[-√3〜1]ydx ではその曲線と x 軸、直線 x=-√3 , x=1 で囲まれた部分の面積ですね
それを求めた後で、線分OP,OQの下にできる二つの三角形の面積を引く必要があります。

多分 ∫[π/3〜6π/7]y(dx/dθ)dθ を計算しても答えは出ると思う。
少なくとも、積分範囲と積分変数が異なってるのはｲｸﾅｲ

まず、積分範囲が[π/3 to 6π/7 ]→[π/3 to 5π/6 ]だと思う。
そして、y dx →　L*2 dθ　(ただしL=√(x*2+y*2))　。
これで積分すりゃ解けると思う。

>>442
スイマセン、表記ミスです。
以下のように計算してます。。

ｘ=2cosθ ⇒　dx=-2sinθ dθ 　から、

S=∫[π/3 to 6π/7 ] sinθ(-2sinθdθ)
　=-2∫[π/3 to 6π/7 ](1-cos2θ)dθ/2
　=∫[π/3 to 6π/7 ](cos2θ-1)dθ
　=･･････
　=-5π/6

解答は　π/２　なんですが････。

>>444
＞まず、積分範囲が[π/3 to 6π/7 ]→[π/3 to 5π/6 ]だと思う。
　　　　　　　　。　。
　　　　　　　　　＼＼
ｴ━━━━━━( Д ; )━━━━━━!!!

俺はアホですね････。　OTL


あと、
＞y dx →　L*2 dθ　(ただしL=√(x*2+y*2))　
のところを詳しく説明して戴けませんか？
円を積分ですか？

>>441
原点中心、x軸方向に1/2倍の相似変換（縮小）を行うと
・楕円→単位円
・P,Q→P'(1/2,√3/2) , Q'(-√3/2,1/2)
に移る。
単位円とOP',OQ'で囲まれる部分は円の1/4で、面積はπ/4
よって求める面積はその２倍。

>>446
区分求積の応用？で原点からの距離Lとそこからの垂線Ldθによる微小三角形の積分を考えたけど、それなら
×　L*2 dθ　(ただしL=√(x*2+y*2))　
○　(L*Ldθ)/2　= (L^2dθ)/2　(ただしL=√(x^2+y^2))
だね。
乗数の記号間違えてた。

>>441
>>447が一番、変に計算しないでいいから。
あと、>>445で負の数が出た時変に思えてないとまずいけど。

>>430
d(2)>d(1)よりa>-6
d(3)>d(2)よりa<12/5
d(4)>d(3)よりa>-6
d(5)>d(4)よりa>-48
以上より、-6<a<12/5が必要。

次に、nが4以上のときを考える。
d(n+1)=|α^(n+1)-a|≧|α^(n+1)|-|a|（三角不等式）
=|α|^(n+1)-|a|=2^(n+1)-|a|
d(n)=|α^n-a|≦|α^n|-|a|=2^n-|a|
ここで、2^(n+1)-|a|-(2^n-|a|)=2^n-2|a|≧16-2|a|>0
よって、-6<a<12/5であれば十分。

>>448
嘘は(･A･)ｲｸﾅｲ!!
君はよくやる間違いを犯している。
楕円 x=2cosθ，y=sinθ は単なる媒介変数表示であって、
ｒ=√(x*2+y*2) としても極座標表示とはならない。

やれやれ。お目目大丈夫?

>>451
素で間違えてた。orz
徹夜明けに考えたのがまずかった。
今までの俺のレスは知ったかが適当こいてたって笑ってやって下さい。
そうすりゃ本番では間違えんでしょうし、少しは償いにもなるでしょう。

x=2cos(t)
y=sin(t)
ベクトルr(t)=(x, y)に対し、ベクトルdr(t)=dr/dt * dt = (-2sin(t), cos(t))
rとdrが成す面積dSは、||r×dr||/2=1
∫[t=π/3 to 5π/6]dS=(5-2)π/6=π/2

ちなみにこの方法だと去年の東大数学のサイクロイドの問題も数秒で解ける。

円に関する求積法はいろいろあるから、一通り見ておくと便利だ。
東大のサイクロイド
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/sokuho04/tokyo/zenki/ri_sugaku/images/mon3_1.gif
解答とその他求積の基本
http://data.uploda.net/anonymous/etc2/dat6/upload21554.exe

>>455
お手製ですか？
ありがとうございます。。

.jpegのアイコンを見ると、エロ画像かと思う俺は負け組･･･。

||r×dr|| の意味がよくわからん。
ｘは？ノルムみたいなのは？

>>454
三行目の最後と四行目、ｄｔ が抜けてない？
ｘは外積か。
ノルムの ||r×dr|| は、|r×dr| の方がいいと思う。

>>457
||r×dr||は外積したベクトルの絶対値。

>>458
オレの先生がその書き方だったから、おれも絶対値記号をベクトル表示する癖が付いてる。

>>458

ノルムみたいなのは？っていうのは、
ユークリッド空間で定義される内積に対し、
||r×dr||=√<r×dr, r×dr>
見たいな事を書けば良いのだろうか？

というか||r×dr||/2に本質的な意味は無くて、
単なるベクトルrとdrの張る三角形の面積だからね。

∫[-2〜2](a|x|x+b|x|)dx
=2∫[0〜2]b|x|
どうしてa|x|xが消えるのか教えてください。

>>462
奇関数だから。
a|(-x)|(-x)=-a|x|x

>>461
だから dS＝(||r×dr||/2)dt＝dt の間違いだろ。

・ R=(A B) は 3A+B=0 という条件を満たすすべての集合である。
これってベクトル空間ですよね？

p^3+ap^2+bp+c=0
p^3+cp^2+ap+b=0
3p^2+2ap+b=0
3p^2+2cp+a=0
ただしa=b=cにはならない。

この四元三次方程式が解けそうで解けないのですが、
どのようにしたら解けるでしょうか？
式が4本あるから解けるはずなんですが。。。

A=p^3+ap^2+bp+c=0
B=p^3+cp^2+ap+b=0
C=3p^2+2ap+b=0
C=3p^2+2cp+a=0


真面目にただの計算問題じゃん。何が分からんのだがか……
0=(a-c)B-p(A-B)-c(A-B)とか計算してみろ

ごめん、ちと間違った。

ごめん、これじゃ解けないわ。

んでも、真面目にやったとしても簡単なんですが……
p^3+ap^2+bp+c=0
3p^2+2ap+b=0
より、
p/3 + a/9=0 が成立する。従ってp=-a/3が成り立つ。って感じか。同様に
p^3+cp^2+ap+b=0
3p^2+2cp+a=0
より、p=-c/3だな。あとはpとbをどうするか。

また、間違った。真面目にやるわ。
って、これ式の数足りる？　グレブナー基底計算してもできなかったんだけど……

やった、とりあえず、pの値が絞れた。
p=3,0,-1,1±√2
のどれかだ。

地方国立大学（宮崎、鹿児島）の理系学部志望です。俺は、２Ｂのセンターレベル微積分は学習しましたが、３Ｃを未習です。３の微積分を学習する前に２の微積分の黄チャートを学習した方がいいでしょうか？それとも一気に３の微積分に入った方が能率がいいんですか？

>>472
どちらかが先とか言うより、両方。
補い合いながら。

二つの素数の差が２となる素数の組は無限個あることを証明しろ

>>474
現在世界にそれを証明できる人はいないな。
興味のある香具師は双子素数でググれ。

>>471
･･･どうやって絞りました？

>>476
やっと質問がキタ。これで答えられる。
f(x)=x^3+ax^2+bx+cとおけば、f(p)=0,f'(p)=0が成立する。明らかに、
f(x)=(x-p)^2(x-q)とおくことができるので、解と係数の関係より
2p+q=a
p^2+2pq=b
qp^2=c
が成立する。
次にg(x)=x^3+cx^2+ax+bとおけば
g(p)=0より、
p( p^2 + qp^3 + p^2+q + p+2q )=0
が成立する。p=0の場合、明らかにa=b=c=0が成立するため条件は満たされない。従って
p^2 + qp^3 + p^2+q + p+2q=0が成立する。　また、g'(p)=0より3p^2+2qp^3+2p+q=0
なので、
2qp^3 + ４p^2 + 2p + 6q = 0
2qp^3 + 3p^2 + 2p + q = 0
の両辺を引いてp^2 +5q=0……とか色々。

続き　p^2 +5q=0なので
　2qp^3     + 3p^2    + 2p      + q = 0
-2qp^3   　　　　      -10pq^2       =0
　　　　　　　-3p^2                -15q =0
を全部足すっていうのもあり、(2-10q^2)p -14q=0が得られる。
(1-5q^2)p - 7q = 0かつp^2 +5q=0より

　(1-5q^2)^2p^2                       + 5q(1-5q^2)^2 =0
-(1-5q^2)^2p^2   - 7q(1-5q^2)p                       =0
　　　　　　　　　　　 +7q(1-5q^2)p　　　　-49q^2       =0

を全部足して……こんな感じ

>>466
仕方がない。。。俺が解くか。

>>477-478でミスってる？
計算ミスはあるかも知れないけど、大筋であってるはずだよ。

続けて計算すると
5q(1-5q^2)^2 - 49q^2 = 0　q=0ならば、p=0となり上と同様の矛盾
従ってq≠0。よって
(1-5q^2)=±7q
が成立し……じゃあかんのか？このまま、q求めてpも求めて、んでもって
解と係数の関係からa,b,cを求めて、行けるはずだろ

>>466
下の２式の解が一致しないので、
これら全てを見たす解は存在しない。
Q.E.D

>>466は虚数解も持つが，実数解のみでいいのか？

俺( ID:XmOgjV3t )のは大筋であってるはずだよね？
なんか、お前らの反応で不安になってきた。これでいいじゃんって思ってるんだけど……
計算間違ってても後は質問者が何とかするだろうよ

ｘ^2＋ｙ^2=１をみたすとき、ｘ^2−ｙ＋１の最大値、最小値を求めるのって、線形計画法で求められますか？なんか解答と違う答えが出ちゃって

>>484
線型計画法の定義をまず述べよ。

>485
すいません、わかりません。

>>485
アニキ、>>481って正しいんですかい？
二つの放物線が一つの解を共有するようには出来ないんですかい？

>>466
普通に文字をひとつずつ消していけば解けるよ。
実数解なら
p=1,a=-7/3,b=5/3,c=-1/3
でよいだろ。

>>488
何から消しましたかね？
>>477-478も拝見しましたが、新しくqを作ってるあたりが回りくどい感じがするんで、
普通に消して解けるならそちらも解説願いたいです。

>>487
それはめんどくさい。

>>489
下2つのどちらかから、b=…か、a=…の式を作って代入していけ。
んで、pだけにしてpの方程式を解く。
俺の計算が正しければ((p-1)^2)*(p^2+2p+3)=0という式が出るはず。

>>490
いや、二式の解が二つともは一致しなくても、
一つは共有できるよね。だから>>481って証明なのかなあと。

>>488
a, b, c, dは定数なんだからpはa, b, c, dで記述することになるんじゃないのか？

>>492
うん、できるけど、


め　ん　ど　く　さ　い　ｗ

>>494
いや、面倒かどうかじゃなくて、君のは証明になってないよってこと。
実際に解はあるわけだしさ。

>>493
d ってなんだ？
四元三次方程式って書いてあるから p , a , b , c の４つが変数
なにか勘違いしてる悪寒。ID:pWEKTHibさんはちょっと頭冷やしてみて

>>493
a,b,cも変数で、問題集の略解は>>488の通りでした。
いちおう最初に｢四元｣と書いたので伝わったかと思いましたが。。。

とりあえず>>491のでやってみます。

>>495
ネタつぶしされた。。。

>>496
四元か。

cosπ/30とsinπ/30は共に無理数だということはどうやって証明できますか?

>>499
cos(π/10)=√(10+2√5)/4
sin(π/10)=(√5-1)/4
あとは３倍角の公式

おかげさまで解けました。
ありがとうございました_(._.)_

青チャートIAもってる人がいたら聞きたいのですが
例題94の問題で　解が二個の・・・と書いてあるのにD≧0となっているのはなぜですか？

重解も二個の解、ってことじゃね？

相異なる二つの解≠二つの解

504さん、そうなんですか？
だとしたらこの時期までしらんかった・・・

解の個数に関しては、問題によってケースバイケース。
重解を1個と数えるときもあるし、そうでないときもある。

>>499
実は cos(pπ) (pは0と1/2の間の有理数) に対して、
値が有理数となるのは p＝1/3 に限る。
sin の場合も同様。（この場合は p＝1/6 に限る）

>>507
高校の範囲で理解できる証明ならぜひ披露して下さい。

なぜセンター試験では図形と方程式は出ないのでしょうか？

>>508
コピペでよければどうぞ。

cos(pπ) (pは有理数) が有理数とする。
今cos(n+1)πz＋cos(n-1)πz＝2coszcosnz・・・（１）
で、今、x=2cosz Pn(x)=2cosnz とおくと、（１）は
Pn+1(x)=xPn(x)-Pn-1(x)となり、これから、Pn(x)は整数係数のn次多項式・・・（２）
であることがわかる（証明は帰納法で）。
さて、cos(mπ/n)=b/a とおくと
x=2b/aとなり、Pn(x)=Pn(2b/a),Pn(x)＝２cos(mπ)=2(-1)^m
となるので、（２）より、2b/aはｎ次の整数係数の多項式の根となる（但し、ｎ次の項の係数は１であることに注意）。
ここで、一般に、整数係数の整方程式が有理数の解をもつならば、その解は
（０次の項の係数）/（ｎ次の項の係数）　となる。
したがって、2b/a=2cos(mπ/n) は整数となる。よって、b/a=0,±1/2,±1であるから、
もとめるｐは、n/3(nは整数）・・・（答え）　となる。

北里大学2004年度薬学部の数学の問題で質問です
第5問
ABCDEFの6チームで試合をしました、勝率はそれぞれ1/2

問4
ABCがそれぞれ4勝1敗となる確率を求めよ

という問題です、解説を見ると
AはBかCに1回負ける場合を考える
Bに負けた場合(1/2)^5*(1/2)^4*(1/2)^3
Cも同様
∴2*(1/2)^5*(1/2)^4*(1/2)^3=1/2048

となっているのですが、DEFの中での3試合を無視する理由がわかりません。
どなたか教えていただけませんでしょうか？

DEFのどれかに負けるとするとABCが全て4勝1敗にはならない。
AがDに敗れるとすると残り全部勝って4勝1敗
BはAに敗れているのでA以外全部に勝って4勝1敗
そうするとCは2敗することになって不適

>>511
DEF同士の勝敗は関係ないから、というか何でもいいから。

サイコロ2回ふって、1回目が1である確率は？
とかだったら、2回目は1〜6のどれでもいいから、
Σ[k=1 to 6]（1回目が1かつ2回目がkである確率）
となるんだけど、これは、
（1回目が1である確率）*Σ[k=1 to 6](2回目がkである確率）
で、後ろは考えうるすべてのkについて確率を足してるわけだから1になる。
（一般的には後ろのΣの中身は条件付確率になるけど、それでも一緒。）
実際この場合、普通は全部1/6と考えるよね。
で、結局1回目の確率だけ考えれば2回目は無視していい。

どうでもいい部分の確率は、考えられる事象のうちどれかが発生する確率だから1と考えていいということ。

>>512-513
レスありがとうございます。本日この問題にぶつかりDvsE　EvsF　FvsDがなぜ考慮されていないのか3時間ほど悩んでいました・・・
まだ完全にすっきりできてませんが今宵眠れる程度にすっきりしました。

付け加えて質問してすみませんが　
(1/2)^5*(1/2)^4*(1/2)^3の解釈は　1/2で5回　1回自動で決まり、残り1/2で4回　2階自動で決まり　1/2で3回戦う
という解釈であっていますでしょうか？


問3がこんな感じでした。
（6チームすべてが違う戦績となる確率を求めよ。でした）

>>514
いいよ。Bに負けた場合で考えると、
(1/2)^5　がA対（B〜F）の5試合。Bだけに負けて後は全部勝ちとなる確率。
(1/2)^4　がB対（C〜F）の4試合。Cだけに負けて後は全部勝ちとなる確率。
(1/2)^3　がC対（D〜F）の3試合。全部勝ちとなる確率。
で、後DEF同士はどうでもよいから考えんでもいい、ということだね。

>>509
数学2には単独ででるが、2Bでは微積との融合で出ることが多い。
出題分野をひろくとるのが目的。

3^log2a(底2、真数a)をa^xで表せという問題がわかりませんでした。この時期になってこの問題が解けないのはやばいですよね(o__)o泣

>>517 3^log2a=a^x
の両辺を2を底として対数をとればxがでる。
携帯からなんで見にくかったらすまん。

>>517
3^(log_[2](a))=3^(log(a)/log(2))=a^x
両辺対数を取って、
log(a)*log(3)/log(2)=xlog(a)
x=log_[2](3)

>>510
なるほど、ありがとうございます。

受験生が全員合格する確率は何％でしょうか。

>>521
定員数より受験者数のほうが多い場合は０％です。

>>522
現実の世界では、そう宇土も言えない。

i(0)=π/6,　i(z)=∫[0〜π/6]tan^x dx (z=1.2.3.....)　において、
z≧1のとき、1/(3^z)(2z-1)=(1/√3){i(k-2)+i(k)}を満たすkの値。
ちなみに、i(z+2)+i(z)={(1/√3)^（z+1)}×(1/z+1)です。

>>524
マルチしまっくてるな。

実数x,y,zについて各x,y,zは他の2個の平均以下である｡
x,y,zの組を全部求めよ｡

うーん、問題はシンプルっぽいけど何から手をつけていいかさっぱりわけわかめです｡
まあ(x,y,z)=(a,a,a)[a:任意の実数]のときがx,y,zの組の一つということくらいは分かる。

>>526
相加平均でいいよな？
x≦y≦zと仮定すると
z≦(x+y)/2よりすべて等しい事が分かる。

>>526
対称性より
x≦y≦zとしてよい。
条件よりz≦(x+y)/2≦yなので、z=yが成立する。……以下略

こんな感じだと思われますが何か。

2x≦y+z
2y≦z+x
2z≦x+y
辺々足して
2(x+y+z)≦2(x+y+z)
等号成立は
2x=y+z
2y=z+x
2z=x+y
これを解いてx=y=z

>>527>>528>>529
問題ならシンプルなら解答もシンプルだ・・・
こんな基本くさい問題に引っかかった漏れのバカバカ！チャート式で言うとコンパス３つくらい？

それはともかく皆さん回答ありがとうございます。

入試問題集 数�V 141の信州大の医学後期の問題です
f(X)=e^x-1としa.b>0
0からaまでのf(x)を積分するとe^a-a-1
f(x)の逆関数はg(x)=log(x+1) 0からbまでをg(x)で積分すると(x+1)log(x+1)-b
この時e^a-ab+(x+1)log(x+1)≧a+b+1が成り立つ事を証明せよ
e^aはeのa乗の事です よろしくお願いします

∫[0,π]x*sin(2kx)dxと
∫[0,π]x*cos(2kx)dxの積分をどなたかお願いします。
kは自然数です。
私がやると両方とも0になって明らかに違うと思うんですが・・・

整数問題についてです。

ｍ,nがともに自然数で、ｍ<n、1/ｍ　+1/n=1/67のとき、ｍ=□である。
という問題なんですが、途中まで解いてわからなくなったので、解答見てみたら
(解答)　分母を払って、整式に直して考える
　　　　67（ｍ+n）＝ｍｎ
ここまでは自分と同じなんでわかるのですが、次の行には
　　　　(ｍ-67)(ｎ-67)＝67~2
と書いてあり、そこに至る過程がよくわかりません・・・。
どなたか、ご教授願います。

>>533
展開
移項して整理
両辺に 67^2 を加える
因数分解

>>531は違うスレで聞きます 分かりましたらカキコよろしくお願いします この問題京大目指してる奴がわかんなかったから…分かる人いんのかな？？

>>531
[0,a]の区間でf(x)を積分するとe^a-a-1,
[0,b]の区間でf-1(x)を積分すると(b+1)log(b+1)-b
この２つの面積の和はe^a-a-1+(b+1)log(b+1)-b
この和は、よこaたてbの長方形の面積を下回る事はない。
（図を書けばわかる）
ということで
e^a-a-1+(b+1)log(b+1)-b≧ab
よって示される。等号成立はf(a)=bのとき

>>532
> ∫[0,π]x*sin(2kx)dx
=[x*(1/2k)*(-cos2kx)] [π,0] - ∫(1/2k)*(-cos2kx)dx
=-π/2k-0 + [(1/2k)^2*sin2kxdx][π,0]
=-π/2k

> ∫[0,π]x*cos(2kx)dx
=[x*(1/2k)*sin(2kx)][π,0] - ∫(1/2k)*sin(2kx)dx
=0- [(1/2k)^2*(-cos2kx)][π,0]
=0

>>536
図を書いてもabより大きい事は証明できないのでは？？ 長方形より大きいとなぜいえるんでしょうか？？

>>538
いえるよ。
y=f(x)のグラフ描いて、
直線x=a引いて、
直線y=b引いてみて。
・x軸,x=a,y=f(x)で囲まれた面積S1
・y軸,y=b,y=f(x)で囲まれた面積S2 の和は、
(0,0) (a,0) (a,b) (0,b)を順に結んだ長方形の面積以下じゃね？

すみませんマルチしてたみたいでこのスレで聞くのもすごく悪い気がしますので…反省してきます
みなさん どうもすみませんでした

>>538
f(x)=e^x-1だけをグラフに書いた時（g(x)=log(x+1)は書くな）、e^a-a-1と(b+1)log(b+1)-bの面積を斜線で引ける？
ちゃんと書けていれば>>536さんの回答で十分分かると思うぞ。
>>539(=>>536)さんが書いているS1がe^a-a-1、S2が(b+1)log(b+1)-bに当たる。
ちょっと落ち着いて図をかけば分かるはず。頑張れ。

>>539さん
でませんw g(x)で囲まれた部分がS2になるんですか？？

>>542
そう。
x軸,x=b,y=g(x)で囲まれた部分の面積は
y軸,y=b,y=f(x)で囲まれた部分の面積と同じ。
（直線y=xに関して対称移動させると吉）

何度もすみません
g(x)とx軸(x=1)とy軸に囲まれた部分と1からbまでのx軸とx=bとg(x)に囲まれた部分がS2ですか？？S2にうまくあてはまらないんですが

>>544
x軸は直線y=0だYO

んー、式での説明には限界あるか？
まず、O(0,0) A(a,0) C(a,b) B(0,b)で長方形をつくる。
次に、OとCを結ぶ下に凸な曲線をかく。これがy=f(x)
この曲線によって長方形が２つの部分に分けられる。
右下がS1、左上がS2。

すみませんちょっと僕が勘違いしてると思うんで画像みてください
http://p2.ms/r837n

>>547
あ、勘違いだね。x=1とかy=1は関係ないよ。
>>546見て図形描いてくれる？

その問題の元ネタそのまんまのページ教えます。
「ヤングの不等式」でぐぐってみました。
http://homepage3.nifty.com/sugaku/young.htm

ID:jSl7j5Fjは素晴らしく面倒見のよい人だ。
君はよい教師になる。講師歴○年の俺が断言する。

Σ(￣□￣;)!!
分かったかも…

>>550
サンクスコです。

本当にありがとうございました めっちゃうれしいです 分かりました
m(_ _)m本当にありがとうございました

f(x),g(x)は微分可能な関数であるとし、f '(x)、g '(x)は連続関数である。
aを正の定数とする。

f'(x)=-g(x)　f(x)≦g'(x)　が任意の実数xが成立し
0≦x≦aにおいて、f(x)＞0。
g(0)=0とするとき
a≦b≦a+(f(a)/g(a))　　かつ　f(b)=0なる実数bが存在する。


誰か教えてください。

>>554
何を教えろ、と?

第2パラグラフはただの命題じゃん。
真偽の検討か?
それにしても日本語が変だしなあ。

漏れの経験から断言するが
言語能力が不足してる奴は
数学の点数も伸びないぞ。

>>555
これの証明を教えて欲しいのです。お願いします。

>>556
555さんじゃないけどヒントだけ。

a≦b≦a+(f(a)/g(a))を0≦g(a)(b-a)≦f(a)（g(a)>0である事は少し考えたら分かる。）変形してみると、
平均値の定理を使ったら解けそうだなーってのは分かるよね。
それに気が付けば後は簡単。

f(x)=log2x ｇ(x)=log2(x＋a）

（１）Ｆ(x)=g(x)−f(x)とすると
　　　Ｆ(2)=１となるのは ａ=［　］
　　　 F(1)=2F(3)となるのは a=［　］

（２）　h(x)=log4(4x＋b)(b>0)とする
　　 g(1)=h(1),g(1/2)=h(1/2)となるのはa=［　］　b=［　］

できるだけ途中計算も詳しくお願いします。

これが出来ないんじゃ、もうお前終わってる。
諦めろや

2^n人で１対１のトーナメント戦を行う。ＡさんとＢさんが決勝で当たる確率はいくらか。

考え方を教えてください

2^n人で１対１のトーナメント戦を行う。ＡさんとＢさんが決勝まであたらないような配置になる確率はいくらか。

考え方を教えてください

>>560
AさんとBさんが勝つ確率が分からないとなんとも。
1/2の確率で勝つとかないの？

すいませんマルチになって。後者の質問でお願いします

商業高校だと一流の大学行けないの？

>>561
配置だったのね。
トーナメント表見たことあれば分かると思うけど、
左半分と右半分は決勝のところで繋がってるじゃん。
つまりAとBの一方が左半分、もう一方が右半分にいるわけ。
これで分かったでしょ？

それはわかるんですが、確率の出し方がわからんとです。

>>566
Aが左半分にいるとして、Bが右半分に入る確率は？
Bが入りうる場所はあと[ ]個残ってて、そのうち右半分なのは[ ]個。
これで分かる？

すいませんが>484教えてもらえませんか？

わかりましたー!２時間近く悩んでたんですが!　2^n-1/2^n　−1
ですね!このスレサイコー!

>>569
最高なのはこのスレじゃなくて俺ね。そこんとこ夜露死苦。

５５８です。
頭悪くてすいません＞＜
どなたか教えてください。

>>568
求められると思うけどお薦めしないね。
x^2を消去してyの範囲で最大最小を求めたら？

ありがとうござました!

>>571
(1)でまずF(2)=1をaを用いて表してみて。

log2(2＋a)−log22＝１になるんですよね？
これからどうすればいいんでしょうか・・・。

>>575
何ゆえ22・・・

>>575
とりあえず
log[2](2+a)-log[2](2)=1のように書いた方がいいね。
で、それを変形する公式は知らない？
log[2](x)+log[2](y)=?

あぁ底が２ってこと？
１=log2^1 (底2)
log(2+a)-log2=log((2+a)/2)　(底2)
を使いましょう。
正直今の時期これがわからないのはやばすぎです。
とりあえず教科書レベルは暗記してください。

>>578
暗記はイクナイ！ね。
log(x)+log(y)=log(xy)は証明できるんだから。
証明できるものは証明して覚えるべし。

あぁもちろん証明は出来た方がいいです。
出来た上で暗記してください。

577>>
解けました！
ありがとうございました！

>>579
まあ、でも、文系なら暗記でいいかと
見たところ、センター対策みたいだし

試験でガウスの記号出ますか？

>>583
出るよ。でも出るときは
「ただし、[x]はxを超えない最大の整数値を表す」
って説明はつくけど。

>>584
即レスどうも。
ちなみに俺は文系で志望はマーチです。
やっぱりガウスの記号は出るんですね。。。
実は今日問題集やってて初めて知りました・・・。

ニューアクションβの�UＢ問題109
�AＳ＝３ｔ＾２−２ａｔ＋ａ＾２　
をａについて微分せよ。

答え：ｄＳ／ｄａ＝（３ｔ＾２）’−２ｔ（ａ）’＋（ａ＾２）’
＝−２ｔ＋２ａ

なんですが、どうして３ｔ＾２が微分されてるのかわかりません。

微分演算子は線型だから。
dS/da=d(3ｔ＾2 - 2ａｔ + ａ＾2)/da=d(3ｔ＾2)/da - d(2ａｔ)/da + d(ａ＾2)/da=-2t + 2a

>>586
ａについて「微分せよ」
だから微分している。

だいたい分からなかったら定義に立ち返れよ。
tを固定して、
dS/da=d(3ｔ＾2 - 2ａｔ + ａ＾2)/da
={(3ｔ＾2 - 2(ａ+�兮)ｔ + (ａ+�兮)＾2)-(3ｔ＾2 - 2ａｔ + ａ＾2)}/�兮
→-2t+2a

>>589
おかしいぞ。

>>590
何が？

【問１】
aを実数とし、f(x)＝-x^2+ax-a+2とする
放物線C：y＝f(x)はaの値によらず定点（□、□）を通る。

（１）　2次方程式f(x)＝0が正と負の解をもつようなaの値の範囲は、□＜a＜□である

（２）　放物線Cとx軸の二つの交点のx座標をα、β（α＜β）とし、l＝β-αとする。
　　　　l^2＝a^2-□a+□であるから、lはa＝□のとき、最小値□をとる。


□を埋めよ。

>>592
どこまでが分かってどこまでが分からないのか。

全部お願いします。

次の方程式を満たす関数f：R→Rを求めよ。
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
という問題が分かりません。教えてください。

>>592
f(x)=-x^2+a(x-1)+2より、x=1とすれば、aの値によらず、
(1,1)を通ることが分かる。

（１）
f(0)＞0ならば、十分大きい実数rに対してf(r)＜0かつf(-r)＜0なので
条件を満たしている。
従って-a+2＞0　つまり　a＜2

(2)
L^2=(β+α)^2 − 4αβ
=a^2 -4(a-2) =a^2-4a+8

このことより、a=2の時、最小値4をとる。


俺のも頼む

>>595
見た瞬間にf(x)=x^2が思いついた

>>597
大雑把にやると分かるんですよ。
微分可能性を仮定してやれば、その条件の下で推測できます。

でも、そんなこと仮定してないんです。

>>591
等号

>>596
Ｌ^2はa＝2で最小値4をとりますけど
Ｌの時もa＝2で最小値4をとるんですか？

俺頭良くないんで間違ってたらすいません。
変な事を言ってたらごめん。。。

>>600
そのぐらいの間違いは許してくれよ。
お前の言うとおりだ。β＞αなのでl＞0
l^2≧4なので、lの最小値は2だよ。


こんな事につっこむぐらいなら、俺の問題解いてｗ

>>595
釣りか？
大学受験で、連続性も微分可能性も仮定しない、そんな問題が出るわけ無い。
出典は？

>>602
予備校の問題集です。

f(x)＝x^2+g(x) とおくと
g(x+y)＝g(x)+g(y) という有名な関数方程式（Cauchy 方程式）になる。

>>601さん、サンクス。
いや、マジで俺頭わるいんで確信してなかったんです。
つっこんだつもりじゃないのですいません。

せめて
f'(0)が有限値なら
f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy
x=y=0の時f(0)=0
y=�凅とすると、
f(x+�凅)-f(x)=f(�凅)-f(0)+2x�凅
から即効で出せるのにな。

1/(1+x^4) を積分しるのどうやりゅの?

任意の閉曲線Cので囲まれる平面上の面積を求める公式ってなんでしたっけ。

>>603
その予備校は辞めた方が(・∀・)イイ！

>>607
x^4=-1の解が
x=√2/2 ±　√2/2, -√2/2 ±　√2/2
であることから、部分分数分解が可能
x^4=(x^2+1)-2x^2からx^4=(〜)(〜)
と分解しても良い。

解はめんどくさいから書かないが、
http://school4.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1097970142/482
を借りれば、
答えはＡ＋Ｂただし
Ａ＝log(x^2 + √2*x + 1)/(4√2)+√2θ/4　(√2x + 1=tanθ)
Ｂ＝log(x^2 - √2*x + 1)/(4√2)+√2φ/4　(√2x - 1=tanθ)
となる。

>>608
∫∫dxdy

Ａ、Ａ、Ａ、Ｂ、Ｂ、Ｃの6個の文字すべてを、無作為に横一列に並べることにする。
同じ文字が3個連続すると2点、同じ文字がちょうど2個連続すると1点を得るものとする。

（１）　6個の文字の並べ方の総数は？

　　　Ａが3個連続し、かつＢが2個連続するような並べ方は何通り？
　　　
　　　合計3点を得る確率は？


（２）　Ａが3個連続して合計2点を得る確率は？

　　　合計2点を得る確率は？


（３）　合計得点が0点の確率は？

　　　合計得点の期待値は何点？






解答を置いてきてしまったので解法の過程もお願いします。
よろしくお願いします。

かくところまちがえた。
ｽﾏｿ

>>612
宿題乙

　1 6C3 * 3C2 * 1C1
4C2 * 2C1 } 1C1

>>614
いやマジで宿題じゃないっす。
いじめないでください（´Д`；）

>>603
その予備校の解説を後日うｐきぼんぬ。
絶対間違ってる！間違い無い！

>>612
> （１）　6個の文字の並べ方の総数は？ →6!/(3!2!1!)=60通り
> 　　　Ａが3個連続し、かつＢが2個連続するような並べ方は何通り？ →3!=6通り
> 　　　合計3点を得る確率は？ →6/60=1/10
> （２）　Ａが3個連続して合計2点を得る確率は？
Aが3つ連続かつBは互いに離れているような並べ方は、
↓　　　↓　↓
　AAA　　C　　↓３つのうち２カ所にBを入れる方法は3C2=3通り
CとAAAが逆になった場合もあるので、ぜんぶで6通り
よって求める確率は6/60=1/10
> 　　　合計2点を得る確率は？
AA,BB,A,Cの並べ替えを考える。AAとAが離れていることを考えると
↓　↓　↓
　BB　C　　　↓３つのうち２カ所にAAとAを入れる方法は3P2=6通り
BBとCが逆になった場合もあるので、ぜんぶで12通り
よって２点を得る確率は、(6+12)/60=3/10
> （３）　合計得点が0点の確率は？
↓　↓　↓　↓
　B　 B　　C　　↓４つのうち３カ所にA３つを入れる。
Bどうしがとなりあわないためには、左から２つ目の↓にAが１つ
入る事が必要で残り３カ所から２カ所の選び方は3C2=３通り。
↓　↓　↓　↓
　C　 C　　B　　↓４つのうち３カ所にA３つを入れる。
上と同じく３通り。
↓　↓　↓　↓
　C　 B　　C　　↓４つのうち３カ所にA３つを入れる。
この場合は４カ所から３カ所を選べばよく、その方法は4C3=4通り。
以上より、求める確率は(3+3+4)/60=1/6
> 　　　合計得点の期待値は何点？
１点を得る確率は、余事象を用いて1-1/10-3/10-1/6=13/30
よって、得点の期待値は0*1/6+1*13/30+2*3/10+3*1/10=4/3

f(x)=x^3-3ax^2+3ax-a^2
=(x^2-2ax+a)(x-a)+2a(1-a)x

となる過程がわかりません。教えてエライ人!!

>>618
f(x) を x の整式とみて x^2-2ax+a で割る

>>619
�dクス。

任意のベクトルa↑，b↑，c↑について
(1)a↑+b↑=b↑+a↑
(2)(a↑+b↑)+c↑=a↑+(b↑+c↑)
を示せ｡

なんてことないベクトルの足し算の交換法則と結合法則ですが
僕が「図を書けば終わりじゃない？」と言うと
「その図においては成り立つけど、任意のベクトルについて示したことにはならないだろ？
２+４=6であることを理由に偶数+偶数が常に偶数と言い切るのと同じ」
などとヘリクツを抜かすヤツがいます｡
こいつを納得させるにはいったいどうすればいいんでしょうか？

簡単なものかもしれませんが・・・

p^2＋q^2=4
(p-a)^2＋(q-b)^2=12
の答えが
p=(-a±√3b)/2
q=(-b±√3a)/2（複号同順）

となる過程が分かりません。某私立大の過去問です。
どなたかよろしくお願いします！

>>622
連立させてp,qについて解けば？

>>622
方針としては１文字消去して解の公式で解けばOKです。
解き方の一例として、下の式を展開すると p^2+q^2 がでてくるのでそこに上式を代入。
すると p,q に関する1次式になるので、p=(または q=)の形に変形して上式に代入。これで1文字消えます。
割り算するときに分母≠0 のチェックをするのと、2乗のルートをとるときに絶対値になるのを忘れずに。
こうやって解くとその答えにはならないので、問題または答えに不備があります。

>>623
もちろんやってみました。
しかし√の中身が整理しきれなくなってわからないんです。

>>625
なら最初からそのルートの中身とやらも書け。
>>622のように問題文だけしか書かれていないと「最初から何をやっていいのかわかりませんでした」って意味の質問にとらえられる。
どこまでやってどこがわからんのか書け。

>>625>>626
ありがとうございます、そしてすいません。
>>625さんの解き方を見て今試しにやってみましたが
わかりませんでした。赤本の式の一部を掲載したので私に不備があるのかもしれませんね・・・。

今のところ、
(p-a)^2＋(q-b)^2=12
を展開して、
p^2-2ap＋a^2＋q^2-2bq＋b^2=12
で、分かっている条件から、
4-2ap＋a^2-2b√(4-p^2)＋b^2=12
というふうに変形したんですが、このあとがわからないんです。もしかしたらこの時点で全然違っているのでしょうか。
もしまだいましたら、返答お願いします。

すいません、>>625じゃなくて>>624さんでした。

質問です。青チャ�UＢの例題１８３の（１）
ｆ（ｘ）=∫[1,0](9xt^2+2x^2t-x^3)dtをxの式で表せという問題で、

途中式　　9x∫[1,-1]t^2dt+2x^2∫[1,-1]tdt-x^3∫[1,-1]dt が、
どうやったら　答6x-2x^3　になるのかわかりません。
初歩的な事かもしれませんが、どなたかご教授ください

>>627
ｽﾏｿ。>>624は計算間違いしてるのな。
代入する時は1次式を入れるほうが楽。
4-2ap-2bq+a^2+b^2=12 の式を q について解くと
2bq=-2ap-8+a^2+b^2
b≠0 のとき q=-(a/b)p-(4/b)+(a^2+b^2)/2b
となって、これを p^2+q^2=4 に代入すると 単なる p についての2次方程式になるはず。

>>629
実際に定積分を計算しましょう。その計算では
∫[1,-1]t^2dt , ∫[1,-1]tdt , ∫[1,-1]dt
の３つの定積分がでてきていますが、これらのうちどの積分がわからないのですか？

>>621
その屁理屈ヤローの方が正しいと思う

>>621
与えられた任意のベクトルに応じて図を描くのです。
その相手に２つのベクトルを与えてもらいなさい。その与えられたベクトルに関して、図を描いて説明できればOKです。
任意とは、文字通り「相手の意に任せる」という意味です。この場合は相手が目の前にいるんだから、その相手の意思で２つのベクトルを指定してもらえばよい。
図を描いた後でその相手の意思を聞くのでは、証明になっていないでしょう。

例えばベクトルを成分表示し、その加法が成分同士の加法であることを認めれば
その(1),(2)の性質は実数の加法における類似の性質に帰着します。

区分求積法を用いる問題で基本式になおしてから解答書かないとだめだっけ？

>>621
１定義である。
２aの成分とbの成分を文字でおき、スカラーの計算に帰着させる。

>>627
一部だけ掲載するな。
問題全部書かないから単純な問題もめんどくさくなる。
おそらくa^2+b^2=4という条件がどっかで出てくるんだろ？
しかも答えは、>>622じゃなくて、±のどちらか一方が逆で複号同順になる。

>>622
a=100
b=0
のとき、その計算は成り立たない。

図を描いて確かめよ。

>>635
高校では有向線分（の同値類）の集合をベクトルと定義している（んだよね？）わけだから定義である、はまずいよ。

もし、足し算の定義をAB↑+BC↑=AC↑という定義にしているなら、

点Oを任意にとり、OA↑=a↑を満たす点A、AB↑=b↑を満たす点B、BC↑=a↑を満たす点Cを取ると、
a↑+b↑=OA↑+AB↑=OB↑
b↑+a↑=AB↑+BC↑=AC↑
4角形OACBはOA↑=BC↑より平行四辺形なので、OB↑とAC↑は大きさと向きが等しく、同じベクトルである。

という感じで示すべき。

センターの過去問なんですけど・・・

２種類の文字Ａ,Ｂを繰り返し用いることを許して８個並べて文字列をつくる。

(1)Ａ,Ｂがそれぞれ４個ずつ使われておる文字は［　］個
(2)(1)の文字列のうちＡが連続して使われている文字列は［　］個
(3)Ａが３個、４個または５個使われている文字列は［　］個
(4)３文字目から８文字目までも６文字の中にＡ、Ｂがそれぞれ３個ずつ使われている文字列は［　］個

個数の処理だけはどうしても苦手なんです＞＜
考え方も教えてください。お願いします。

>>634
におこたえを！

>>639
(1)ＡＡＡＡとＢＢＢＢからとりだして８個並べる。
４！×４！＝５７６

であってる？

>>641
答えは違うんですよ＞＜
(1)70
(2)5
(3)182
(4)80
になるんです。

あ、なんか思い出した。

８！／４！×４！
かも。
８個並べて（８！）、ＡとＡ、ＢとＢは区別しないから÷。（４！×４！）

>>639
（2）○Ｂ○Ｂ○Ｂ○Ｂ○

の○のひとつにＡＡＡＡがセットで入る。
５Ｃ１＝５

>>639
(1) C[8,4]
(2) ABABABAで、後1個のBがどこに入るかで5通り。
(3) C[8,3]+C[8,4]+C[8,5]
(4) 4*C[6,3]

>>643
ありがとうございます！

>>643
>>645
ありがとうございます！助かりました。

>>639（３）
Ａが３個の場合（Ｂが５）→８！／３！×５！＝５６
Ａが４個の場合（Ｂが４）→８！／４！×４！＝７０
Ａが５個の場合（Ｂが３）→８！／５！×３！＝５６

５６＋７０＋５６＝１８２

>645
あ、Ａが連続ってそういう意味だったのか。

>>645
ごめん間違えた。(2)はAが連続で使われないのを求めてしまった。
答えから見れば、>>644の理解で多分正しい。

簡単な質問ですいません。
∫sin(x+y)dyを教えてください。

>>651
-cos(x+y)+Cでねーの？何でお悩みなんだ？

>>652
ありがとうございます。ひさしぶりの積分計算で頭こんがらがってました。

へぼくてすみませむ
区分求積法をもちいて解答をかくときΣk=0、n-1かΣk=1、nの基本式になおして解答書かないとだめですよね？

しょぼい質問ですみませんが
三角関数の積和の公式を見てふと思ったんですが
sinαcosβとcosαsinβって別物なのでしょうか？
ということは加法定理も
sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
だと間違いなのでしょうか？

>>655
へ？？
sinαcosβとcosαsinβは違うものだよ。
でもsinβcosαとcosαsinβは同じものだよ。
もう一度目をこすってよーく見なはれ。

(x+1)f'(x)=2f(x)+4,f(0)=0
を満たす整式で表された関数f(x)を求めよ。

が全面的にわかりません。
答えf(x)=2x^2+4x

>>657
f(x)の最高次の項をax^nとおけば　a≠0　n≧1
nax^n = 2ax^n
が成立している。従って、na=2aが成立する。n=2

>>657
常微分方程式を解けば答えは出る。
と言っても高校生じゃ厳しいか

どうしても出来そうになければ、答えは２次式だと割り切ってやってみろ
f(x)=a*x^2+bx+c
簡単なはずだ
出なけりゃ３次式としてやってみよう

>>659
最近の整式っていうのは次数を考えなくても良くなったんだ。
100へぇ

数�Vの4STEP持ってる人に聞きたいんだが、解答の
296の４行目→５行目、297の４行目→５行目の積分の所で
どうしてそうなるのかわからないんだが、誰か教えてください。
お願いします。

>>658
f(x)の最高次→ax^n
(x+1)f'(x) x^nの係数はna
2f(x)+4 x^nの係数は2a

がよくわかりません。
f'(x)のある式はn-1次式でnx^n-1が最高次になるのではないんですか？

>>662
そうだけど、俺にはf'(x)にx-1をかけてるように見えるから
（ｘ−１）ｆ’（ｘ）の最高次の項はnax^nだと思う。

>>663
ありがとうございます。
でも
(x+1)*nax^n-1
がnax^nなのはなぜですか？

また別の問題で
(x-1)f'(x)=3f(x)+2,f(0)=-1の関数を求めよ
の(x-1)f'(x)の最高次が
x*nax^n-1=nax^n
となってます。
f'(x)にかけるのが(x+1)のときも(x-1)のときも
おなじnax^nになってます。わかりません。
いったいどうやって計算してnax^nを出すのでしょう。

>>654
一言言っておく。

自分の頭の中でしか通用しないようなことを言われても誰も答えられない。

>>664
本気で分からんらしいなぁ。

f(x)=ax^n + bx^(n-1) + …… + c
みたいに書いてみるぞ、Σ記号を使わないのは、何となく慣れてなさそうに見えるから使わない。

f'(x) = nax^(n-1) + b(n-1)x^(n-2) + ……

になるのは分かるか？

んで、これにx-1を掛けるわけだ

つまり、

  x*( nax^(n-1)   + b(n-1)x^(n-2) +  …… )
-　　　　　　　        　nax^(n-1)     +  b(n-1)x^(n-2) + ……

を計算することになる。

これの最高次の項はnax^nに見えないか？

>>661
ホントにバカだな。

このスレで回答してる側は
大学生もしくは社会人が大多数。
教科書傍用の4STEPなんて持ってるヒトは
かなり少ない事実が理解できてないのか。

ヘタに手を抜こうとせず
わからん所をきちんと記述すれば
納得いく回答が得られるかも知れんのに
少しでも楽をしようなどど考えてる奴は
現実の受験でもロクなことにならんぞ。

質問です。

sin2θ=2sinθcosθ
=2sinθ/cosθ・con^2θ
なぜこのような式変形に出来るのか教えてください

>>668
sin2θ=2sinθcosθ は倍角公式。教科書嫁
次の行は con という意味不明な記号が出てきているのでわかりません。
おそらく cos^2θ=(cosθ)^2 がわかってないか約分がわかってないかのどちらかだと思ふ

今から偏差値45から60まで上げるには　なにをしたらいいですか？

DQN高校に編入する。
ただし、校内偏差値しか上がらない。

>>668
　　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
＋）　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

＝sin2=2sinαcosβ

>>668
下のはたぶん
cos^2θ*sin2θ/cosθ

（cos^2θは分子に掛けてある）
つーことだろうとおもうが、
約分すればいい。

数学は微分積分・対数指数関数・三角関数などなど関数に関することなら
比較的得意で問題も解けるのですが確立や数列、ベクトルなどを克服するには
どうゆう勉強が効率的ですか？

三次関数
y=ax^3+bx^2+cx
ならグラフは｢／＼／｣になるのはなぜですか？

よく＼／＼とまちがえます。
代入すれば解決しますか？

>>675
a の符号による。増減表を書きましょう。
a>0 なら／＼／
a<0 なら＼／＼
感覚的には、x→+∞ のとき →+∞ となるのが a>0 の方
x→+∞ のとき →-∞ となるのが a<0 の方

>>676
二次関数のとき
ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ
ａ＞０なら＼／
だから
三次関数は＼／＼
だと思ってしまうんだよ〜

問題
1辺の長さが2の正三角形ABCがある。
点Pが頂点Aを出発し、毎秒長さ1の速さで反時計回りに返上を一周するとき、
線分APを1辺とする正方形の面積yを出発後の時間x(秒)の関数として表し、そのグラフを書け。
ただし、点Pが点Aにあるときはy=0とする。


なんだか、ほとんど分からないです。
xの変域(0≦x≦6)からx=0,6の場合、
0<x≦2の場合、2<x≦4の場合、4<x≦6の場合を求める事は分かったのですが
x=0,6以外の中身が全く。。
グラフは答えが分かれば書けます、お願いします。

>678
中学校でやった問題のような・・・
答えちがってたらごめん

x=0,1,2,3 ,4,5,6
y=0,1,4,√3,4,1,0

y=0,1,4,3,4,1,0

訂正。

>>679-680
レスありがとうございます。
でも、答えは
0≦x≦2のとき、y=x^2
2<x≦4のとき、y=(x-3)^2+3
4<x≦6のとき、y=(x-6)^2 なんですが・・

http://www.mashiko-tcg.ed.jp/masityu/1/img-box/img20041108195137.jpg
青チャート　110
[
半径1の球に内接する正四面体のいっぺんの長さを求めよ]っていう問題なんですが

コレの赤線の部分が、どうにできた式かよくわかりません。
すんごい馬鹿な質問のかんじがしますが、よろしくおねがいします。

>681
0≦x≦2までのときはそのままＡからｘまでの距離がそのままＡｐになる。
2<x≦4までのときは頂点Ａから辺ＢＣにある点ｐまでの距離がＡｐ。
4<x≦6までのときは（正三角形の全部の長さ―かかった時間＝ＡＰの距離）

　

>>682
三角形の重心で線分が2:1に内分されてるから

>681
で、2<x≦4のときは
(Ap)^2=(AB)^2+(Bp)^2-2*AB*Bp*cos∠ABp
=4+(x-2)^2-2*2(x-2)cos60°
=x^2-6x+12
=(x-3)^2+3

>>682です
>>684さん　
それはわかるんですが、√3/2aがわからないです。
文不足してて申し訳なかったです。

>>686
684でないけど、正三角形の高さだろ

>>682
青チャートって凄まじい糞解答だな（ｗｗ
こんなんで勉強してる香具師のｷｶﾞしれんよ

>>682
対称性から考えてAHはBCDの重心になるのは明らかだから

>>682
Hは三角形BCDの外接円の中心だから
三角形BCDについて正弦定理より
a/sin60°=2BH　←2BHは外接円の直径ね
BH=a/√3
の方は良くね？いやこっちの方が絶対いい！

BからDCに垂直におろした垂線を2:1に内分する点が重心ってのは知ってるでしょ？

>>686
わかった。
まず、△BCDで考えてみる。
CDの中点ｐとしておく。
Apの長さは√3a/2（角60°の直角三角形⇒1：2：√３より）
Apを2：1に内分するので2/3＊√3a/2

>688
私もチャート式嫌い。
さっぱりわからない。

重心が〜ってのは知ってました。

>692さん、みなさん、ありがとうございました。


いままでも、これからもコレで俺はがんばってるんで滅入る事言うのやめてください。

>>688
チャートは、ページを跨いで解答載せるのをタブーとしてるようなので、
ページ内に収まるように端折る事は多い。

>>683,>>685
ありがとうございます。
そのヒントと参考書の睨めっこでやっと分かりました。
ただ、これ二次関数の問題なのですが、余弦定理を使って良いんですか？
余弦定理使ったほうが分かりやすくて使いたいんですが・・どうなんでしょうか？

>>694
わかったんならよかったね。
チャート式悪く言ってごめん。
でもチャートは独学には向いてない。

>>696
685は余弦定理だよ。

>>697
えっと…
二次関数の問題（テスト等）で>>685の余弦定理を使っても全く問題無いのかな？って事です、

ちなみに>>678は黄チャートbest49Pです。
チャート式は向いてないのかな・・

>>698
ない。

どこで聞けばいいのかわからなかったのでここで聞かせてください。
数理科学研究会って塾ありますよね？誰かホームページ知っていたら教えてください！

>>698
だって余弦定理つかわないと解けないじゃん。。

私は夏休みの宿題がチャート式だったけど
さっぱりわからないので答え丸写しだったよ。
受験生になって塾で先生につきっきりで教えてもらってやっとわかった。

>>698
>二次関数の問題（テスト等）で>>685の余弦定理を使っても全く問題無いのかな？
問題ない｡
それどころか数１Aの問題を2B３Cの知識で解いてもいいし
大学等で習うもっと高度な知識で解いてもいい｡知っているならの話だが｡
逆に高校の問題を中学レベルの知識で解いても（解けるのなら）構わない｡
要するに筋道さえ通っていればなんでもありなのだ。

確かにチャートは初学者でなくとも分かりにくい。
こうなる→こうなる、というプロセスの説明が乏しいから、
やっていて「なんで？なんで？」が溜まっていき、いつか爆発する。
理解力がないと言われればそれまでだろうけどさ…。

＞大学等で習うもっと高度な知識で解いてもいい｡

ここはちょっとあやしいな。
使わないで済むなら使わないに越したことはない。

>>702
余弦定理を中学レベルで説く方法教えてください。

>>703
チャートは数学がかなりできるひとが
書いてるから、初歩的な説明が抜けてるんだよ。
自分はわかるもんだから。

>>705
中学校レベルでは余弦を定義してないんだから、無理だな。

aを定数とするとき、関数f(x)=(a~2 +1)x~2 -4axについて、

�@すべての実数xに対して、f(x)＞-1となるためのaの条件を求めよ。

�Aすべての整数xに対して、f(x)＞-1となるためのaの条件を求めよ。

という問題なんですが、�@は解けたのですが�Aがさっぱり・・・・。

どなたかお願いします。

>>702

例えば東大で、
√x + √y ≧ k √(2x+y)　ってのが出題されたが、
私が知っているだけでも8つくらいの解法がある。

理系の人ほど得てして単純に微分してしまうようで、
もちろんそれでも許せる時間内に解答作成出来るのだが、
それこそ暗算で解け、3分もあれば解答が書き終えられる
別解があるのだから、やはりそちらを採用したいもの。

>>706の言うとおりだけど余弦定理を使って解いている問題でも
三平方の定理などを使って余弦定理抜きで解ける問題は結構ある｡

代表的なのが３辺から三角形の面積を求める問題

>>708

「kの最大値を求めよ」って付け加えておくね。

>>709

例えば「中線定理」なんかは、
ベクトル使った方が圧倒的にすっきりした証明が出来るけど、
「三平方」だけでも、単純な計算だけで証明できるよね。

>>707
実数＝すべての数
整数＝少数や√はふくまれない。

ではないの？

場合の数の、組み合わせＣと順列のＰ。
問題を解こうとするとき、どちらを使えばいいかわからなくなる時があるんですけど、
ないかいい見分け方とかないですかね？

選ぶだけのときがC
選んで並べるのがP

a=3^√2（√2を3乗したら２になるっていうあれ） b=1/4^√2 とおく。
（１）m,nが実数でa^m・b^n＝２になるとき、mをnで表すと
m＝□/□n＋□・・・�@である。

（2）m,nが関係式�@を満たすとき、log4(a^m)^nは
m＝□/□,n＝□□　のとき、最小値□□/□をとる。

ぜんぜん分かりませんでした・・・・。
宜しくお願いします。

すみません。７００お願いします

>>716
しらないよ〜そんなの。検索すればいいじゃん。

何か具体的な例題みたいなもの無いでしょうか？

>>715
a=2^(1/6)
b=2^(1/8)
2=2^1

2^(1/6m)*2^(1/8n)=2^1
2(1/6m+1/8n)=2^1
1/6m+1/8n=1

>>707
> aを定数とするとき、関数f(x)=(a^2 +1)x^2 -4axについて、
> �Aすべての整数xに対して、f(x)＞-1となるためのaの条件を求めよ。

頂点のx座標は2a/(a^2+1)

以下、a>0のときを考える。
2a/(a^2+1)=2/(a+(1/a))
相加相乗より(分母)≧2なので
0<2/(a+(1/a))≦1が成立
f(0)=0とあわせると、xが2以上の整数ならばつねにf(x)≧0とわかる。
xが0以下の整数の場合もf(x)≧0なので、
「f(1)>-1」さえ成立すればよい。

a<0のときも同様にして、「f(-1)>-1」が条件とわかる。

a=0のときは任意の整数xに対して不等式が成立。

以上より、求める条件は「f(1)>-1かつf(-1)>-1」
あとはこれをaの範囲として表すと
「a<-2-√3または-2+√3<a<2-√3または2+√3<a」（答）

(1) a=2^(1/3)、b=2^(-1/4) より、a^m*n^n = {2^(1/3)}^m*{2^(-1/4)}^n
= 2^(m/3 - n/4) = 2^{(4m - 3n)/12} = 2　⇔　(4m - 3n)/12 = 1　⇔　
m=(3/4)n+3
(2) log[4]{(a^m)^n} = log[4](a^mn) = mn*log[2](a)/2 = mn/6
(1) より、log[4]{(a^m)^n} = mn/6 = n{(3/4)n+3}/6 = (n^2/8)+(n/2) =
(1/8)(n+2)^2-(1/2)
よって、n=-2, m=3/2 のとき最小値-1/2 をとる。

ttp://spaces.msn.com/members/sign298954/

一応、解答を書いておきました・・・。
お願いします。

間違えました。すみません

ttp://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/data/IMG_000158.jpg
です。

>>718
｢10人の生徒から3人選んで殺すだけ｣→C
｢10人の生徒から3人選んで射殺、絞殺、薬殺と区別する｣→P

ちなみに、順序をつけるのは区別と同義。

>>722
ひょっとして問題文に
-1≧ｘ≧1
って書いてない？

７２０から引用
以下、a>0のときを考える。
2a/(a^2+1)=2/(a+(1/a))
相加相乗より(分母)≧2なので
0<2/(a+(1/a))≦1が成立

a<0としたら a=-bとおくと(b>0)
2a/(a^2+1)=2(-b)/(b^2+1)=2/-(b+(1/b))
分母に相加相乗平均を適用すると　-1≦2a/(a^2+1)<0

以上より
-1≦2a/(a^2+1)≦1

でも０のときどうなるんだろう…
とりあえず７２０を読んでやれ

０は整数。
相加相乗ってなんだっけ・・・orz

>>724
ありがとうございます。
わかりやすいんですけど、もうちょっと例題ないですかね？

>>728
小学生かい？
だったら背伸びせずにおとなしく算数やってましょうね

>728
おめえ問題集もってねーのかよ？

ａは定数
ｐ、ｑは変数
ｐｑ＝ａ＾２/２の条件で
ａ＾４+ａ＾２(ｐ＾２+ｑ＾２)+(ｐｑ)＾２　の最大値はみなさんならどうやって
求めますか？

>>731
最小値だろ？

あっ間違えました！そうです。すみません

これって導関数？
微分するわけですよね・・・
何の問題集？

一文字固定して導関数で求めるのは死にますよね。
これはある問題の計算部分です。
考えてくれてありがと

>>731
層化で一発じゃないのか？

あっそうですよね。すみません。
ぼく
ａ＾２(ｐ-ｑ)＾２+９ａ＾２/４≧９ａ＾４/２
ってやったんですよ　これはたまたまなるんですよね？
何か一般的なことがあれば教えてきぼん

>>737
そのやり方は層化と本質的に同じだよ。

創価相乗でやったら
ｐ＋ｑ≧a√２
になった。。

ありがとうございます。
その本質の部分を詳しく教えてもらえませんか？

>>740
本質の部分は、教科書かなにかで相加相乗平均の関係の証明を勉強しましょうね。
>>739
√(a^2)=|a|
絶対値を忘れていないか？

>>739
っていうか、どうせならいきなりp^2+q^2に使えよ。

>>741
ありがとうございました。助かりました☆

またまたすみません。例えば
０＜θ＜π　θ媒介変数
１-６ｘ/(ｘ＾２+ｙ＾２)=２ｃｏｓθ
６ｙ/(ｘ＾２+ｙ＾２)=２ｓｉｎθ
で普段何気にやってるのですがｘ、ｙの変域をだすのに両方のθを考慮するのではなく、なぜ
どちらか一方のθの条件を考慮するだけでよいのでしょうか？

>>720
>>726

ありがとうございました！

>>744
どこがわからんのかわからん。

>どちらか一方のθの条件
といってるが、そもそもθの条件は
0<θ<πしかないんだろ。

>>728
｢10人の生徒から3人選んで銃殺するとき、どの杭に縛るか区別する｣→P

ちなみに、>>728=713=以下略は必ず処刑されるものとして
殺害方法及び殺害順を問わない場合、9C2=36通り。

>>746
ありがと、ぼけてた

三本の当たりくじが入っている１０本ほくじがある。
くじを同時に三本引く時、二本以上当たる確率を求めよ。

袋の中に、白球四個とクロダマ五個入っている。この袋から無作為に　
一つずつ取り出し、元に戻さないとする。このようにしてすべての球を
すべて取り出す時、異なる色の球が交互に出る確率を求めよ。

この二つの問題、一つ目はＣを使っていて、二つ目はＰを使ってます。
何故そうなるんでしょうか？

>>749
一つ目は選ぶだけで順番は関係ないけど
二つ目は取り出す順番が重要だから

犯罪予告きたーーーーーーーー

http://news17.2ch.net/test/read.cgi/news2/1099581988/726

>>750
うーん、何かよくわからないです。

>>749
ＣとかＰとか使って確率解いたことが無いから分からない。
解答かいてよ。

>>752
君のようにはじめからPやCのどっちを使おうか考えてるようじゃだめ。
結果としてPやCを使うことになるのを理解しないと。

Ａ（ｎ）＝√［｛１＋Ａ（ｎ−１）｝／２］、Ａ（０）＝cosθ
のときＡ（ｎ）を求めよと言う問題なんですけど、
数学的帰納法でＡ（ｎ）＝cos（θ／ｎ＾２）となってるんですけど
どうやってここまでくるのか分かりません。教えて下さい。

>>755
半角の公式って知らん？

知ってるけど、どう到着するのかわかりません。
おしえてー。ください

0≦θ≦πとしてよい。このとき、任意の自然数n≧2に対し、cos(θ/n)≧0が成立。

cosθ= 2cos(θ/2)^2 - 1
cos(θ/2) = √( (1+cosθ)/2 )　　　( なぜならば、cos(θ/2)≧0 )

これ、繰り返していったらあかんの？

2(A_n)^2 - 1 =A_(n-1)

>>759
ほんとすいませんがそこからどうやってすればいいんですか？

>>758はスルーかよｗ

>>761
すいませんｗ

2(A_1)^2 - 1 =cos(θ)
∴A_1=cos(θ/2)
これより、
A_n=cos(θ/2^n)とおく。
n=0で成り立つ。
n=kの時成り立つとすると、
2{A_(k+1)}^2-1=cos(θ/2^k)
∴A_(k+1)=cos(θ/2^(k+1))

>>763

>>759の2(A_n)^2 - 1 =A_(n-1)
形からどやってＡｎ＝cos(θ/2^n)　にするんですか？

おまえ、全く考えてないだろ。
紙に書いて自分で考えてみろよ。
答え書いてもらってんだぞｗ

>>764
悪いがこれ以上は書かない。
君のためになるとも思えないし。

数学は暗記じゃないぞ自分で考えて一般論に結ぶつけながら頭を使え

立教の問題で

「ある市場調査に300人モニターが回答し、電気製品A,B,Cの所持について調べた。
A,B,Cを持っている人それぞれ100人、120人、130人であった。
ABCの三種類もっているのは10人、三種類とももっていないのは60人であった。
どれか二種類だけもっている人は何人か」

で
n(U)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-ｎ（B∩C）-ｎ（C∩A）+ｎ（A∩B∩C）+n（A∪B∪B）
　　　　　　　　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣これをtとおいて、数値を入れて
300＝100+120+130+10+60-ｔ
とおいて　ｔ＝120って出しました。

答えは違うんですが、なぜこれで違うのかわかりません。
解答ではこのあと
x=-n(A∩B)+ｎ（B∩C）+ｎ（C∩A）+3ｎ（A∩B∩C）として、上の式にこれを代入するんです。おねがいしますm(__)m

>>768
そのtには、ABCすべて持っている人の人数もカウントされている。
しかも３回。

あそうかー・・・
図を書いた際に三つの円が交わってるとスグ
n(U)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-ｎ（B∩C）-ｎ（C∩A）+ｎ（A∩B∩C)にして
何も考えずにtと置き換えるのが敗因ですか？

∫[0,1]r√{(1-r^2)/(1+r^2)}drをお願いします。

>>771
r^2=xと置換すればよくね？

1/(1+x^4） の積分ってどうやるんですか？　

>>773
>>610

>>774
ありがとうございます
全く意味が分からないけど

∫[0〜1] r√{(1-r^2)/(1+r^2)} dr、√(1+r^2)=t
とおくと、dr={√(1+r^2)/r}dt、1-r^2=2-t^2 より、
∫[1〜√2] √(2-t^2) dt、t=√2*sin(θ) とおいて、2∫[π/4〜π/2]
cos^2(θ) dθ
= ∫[π/4〜π/2] 1+cos(2θ) dθ = π/4 - 1/2

導関数がわからないのですが
三次関数のax^3が0より大きければ
／＼／
になるのは覚えましたが
極小値、極大値でそれぞれどの値のｘがあてはまるのか
わからないのです。
これってわざわざ代入するべきなんですか？

三次関数を微分すれば二次関数になる。
んでその二次関数が０になる値は二次方程式の解の公式を使えば求まる。

あと三次関数が／＼／の形になるのはax^3の「aが０より大きいとき」だよ。

>>777
とりあえず増減表をきちんと書けば
グラフの概形とか極値とかは
理解できるはずなんだが。

ああそれで微分するとｄS／ｄｘなんだ。
わからないことが多すぎる。。
極値をもつということはｙ’＝０が2つの実数解を持つ
という意味がわからない。。

で、777の問題は、半径4の球に内接する円錐の体積の最大値を求めよ。
ってんだけど、
計算すると範囲が０＜ｈ＜８で極値が16／3だったんだよね。
／＼／のグラフだから、／（０）＼（16/3）／（8）
だと思って。
そしたら違うの。（０）／（16/3）＼（8）
なんだよう。
どうやってくべつすりゃいいんですか？

>>780
増減表書いて区別すんの。
グラフはすべて増減表で書け。
そのうち意味が分かる。

いや増減表かいてるけどね。
代入するしかないのかなあ。

16/3の手前（xの値が16/3より小さい）では三次関数の導関数である二次関数は正だろ？
導関数が正ってことは三次関数の接線が正だから、三次関数は増加してる
だから16/3の手前側では増加してるんで、（０）／（16/3）　の形になる
んで16/3の後ろ（xの値が16/3より大きい）では三次関数の導関数の二次関数は負だから、
三次関数の接線は負になって、三次関数は減少する
んだから（16/3）＼（8） の形になる
二つあわせると（０）／（16/3）＼（8）


んで、極地というのはその関数の導関数が０になる点って意味（厳密にはその前後で正負が変化しないとダメだけど）
導関数が０ってのはその関数の接線の傾きが０ってこと

>>782
書けてれば>>780いたいな考えは生まれてこないが。
根本的な勘違いをしてないか？

http://school4.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1097970142/698-699

>>783
くわしいなあ。
f'(x)は導関数でしょ。
じゃあ、極値のとこに接線ひけば傾き０の直線になる？

>>784
代入したら、x=0のときV=0、x=16/3のときV=2048/81、x=8のときV=0
で0と8は範囲に含まれないので消していくと
極大値がだせました。

答えのグラフには、／（極大）＼としか書いてなかったから気づかなかった。ｗ

>>782
代入しなくても、導関数の形が分かればしなくていいよ。
勿論関数の形が分からんときは適当に代入する（俺の場合はｗ）

三次関数の場合
たとえばf(x)=y=x^3-6x^2+9x+12　の極地を求める時は
y'=3(x^2-4x+3) ⇔　y'=3(x-3)(x-1)
二次関数の二次の項の係数が正だから、この二次関数は下に凸ってのはわかるでしょ？
んだから、x=1の左側（xの値が1より小さい）では二次関数は正、右側では負だから、
三次関数はx=1の左側で増加でx=1の右側で減少するから／f(1)＼
同様にx=3の左側では二次関数は負、右側では正だから
三次関数はx=3の左側で減少、右側で増加するから ＼f(3)／

>785
よくみてるね。ｗ
そこに書いたはいいもののスレの趣旨とちがう気がして
こっちに写しました。

>>786
正解！
つまりx軸に平行な直線になる。
山の頂上って雰囲気。

>>787
なるほど。
グラフのy'の＋、−を先に調べる方法もあるんだ！

>>790
あいたたた、全く理解していなかったわけか。

普通、増減表書くときは先にy'の符号を調べて
yの増減を判定するもんだが。
ガッコで習わなかったのか授業中寝てたのか。

つか、マルチ先でも同じこと教えてもらってるのに
スルーしてる点から見て、ID:oo3thST/の学力のみならず
人間性に重大な疑義が生じるわけだが。

授業で省かれた計算過程が全く分からないのでご教授きぼん。

α^2＋β^2＝ｒ^2
αr＋βｔ＝ｒ^2

これを連立してα、βについて解くと
α＝ｒ（r^2−t^2）/（t^2＋r^2）
β＝2ｒ^2t/（t^2＋r^2）

何度やってもできん…。過程も分かりやすく書いてくれると助かります orz
あとこのくらいの計算は普通に出来ないと不味いレベルなんでしょうか。

連続質問スマソ。今度は数列です。

A_n = 3/2A_(n-1)−(n/2)＋2
翻訳→（A_n項　＝　A_n-1項の3/2倍　引く (n/2) 　足す ２）

これを解くと
A_n =n-1＋(3/2)^(n-1)
となるらしいのですが、これも漸化式を解く過程きぼん。

>>792
上の式の両辺にr^2かけてα^2 r＾2＋β^2 r^2＝ｒ^4
下の式からαr=r^2-βｔを代入して整理して
β{（t^2＋r^2）β-2r^2 t}=0
まぁ不味いでしょう

>>793
階差数列とれ
A_(n+1)=(3/2)A_n-(n+1)/2+2
A_n　　=(3/2)A_(n-1)-n/2+2
辺々引いて、B_n=A_(n+1)-A_nとおくと
B_n=(3/2)B_(n-1)-1/2
もしくは
A_n-α n-β=(3/2){A_(n-1)-α(n-1)-β}
となるα、βを求めて等差数列

確率の問題の質問です。さいころを振る操作を繰り返して1の目が三回でたら
終了とし、3以上の自然数nに対してn回目で操作が終わる確率をP(n)とおくとします。
P(n+1)/P(n)=1となるのはn=12ですか？あとP(n)の最大値を教えてください。
手元に解答がないのでよろしくお願いします。

>>795
数学板のこちらのレスなどが参考になるかと思います。
◆ わからない問題はここに書いてね １５２ ◆
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099198574/513

>>796
うーん、他板だからばれないと思ったが。申し訳無い。でも知りたい。

P(n)=(1/250)*{(5/6)^n}*(n-1)(n-2) より、P(n+1)/P(n)=1
⇔　{(5/6)^(n+1)}*n(n-1)/{(5/6)^n}*(n-1)(n-2)=1　⇔　n=12　⇔　P(12)=P(13)
よって最大値は、n=12 か13 のときにとるから、
P(12)=(11/25)*{(5/6)^12}=(11*5^10)/(6^12)

変数θが0ﾟ≦θ≦180ﾟの範囲を動く

t＝sinθ + conθ とするとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。

簡単な問題かもしれませんが、どうかご回答よろしくお願いしますm(_ _)m

あと、こちらの問題も･･･。


すべての実数xに対して、

x^4 -4p^3x +12 ≧0

が成り立つような実数pの範囲を求めよ。


質問ばかりですみませんが、こちらもよろしくお願いしますm(_ _)m

三角関数の合成をすると
t=√2sin(θ+45°)
あとは任せた

>>800
数式の書き方が不適当な気がするけど・・・
ｐだけを分離して、グラフを書いて考える

>>800
微分して増減表書いてグラフを描いて最小値を求めて
その最小値が０以上になるような p の範囲

>>799
t=√2sin(θ+45ﾟ)
0ﾟ≦θ≦180ﾟだから45ﾟ≦θ+45ﾟ≦225ﾟであり、このとき
-1/√2≦sin(θ+45ﾟ)≦1
だから
-1≦t≦√2

>>800
x^4-4(p^3)x+12≧0と解釈する
x=0のとき上の不等式はpにかかわらず成立するのでx≠0において考える
(1/4)(x^3+12/x)≧p^3
ここで相加相乗平均の関係より
x^3+12/x
=x^3+4/x+4/x+4/x
≧4*{64^(1/4)}＝8√2
(等号成立はx=√2のとき)
が成り立つので
(1/4)(x^3+12/x)≧2√2=(√2)^3
ゆえに(√2)^3≧p^3
であればよいから
p≦√2

訂正
>>805はx＞0のときしか成り立たないので、x＜0のときは
t=-xとして(t＞0)
(-1/4)(t^3+12/t)≦p^3
とし>>805と同様に相加相乗平均により
(-1/4)(t^3+12/t)≦-2√2
だから
p≧-√2
>>805と合わせて-√2≦p≦√2

>>800
>>803の方が楽だな。

801-802さん、
803さん、
804-806さん、
お忙しい中、お付き合いいただき本当にありがとうございましたm(_ _)m

804-806さん、詳しい解説を載せていただき、とても参考なりました
どうもありがとうございました！

(1)nは自然数とする。実数xに対して(k=0〜n)��(-1)^kx^(2k)-(1/1+x^2)を求めよ。
(2)┃(k=0〜n)��(-1)^k/2k+1-(1〜0)∫1/1+x^2dx┃≦1/2n+3
を示せ。

（2はどうやればいいのですか?

解の公式が使えるのは実数係数のときだけですよね？

>>810
二次方程式の解の公式のこと？
なら、いつでも使える。
√の中が虚数になったときの解釈が要るが。

>>809
(2)の両辺を積分すればよくね？

両辺積分できなくない?

>>813
(1)の結果の両辺を積分すればよくね？

Σがあるのに積分できるのです?

>>811
使えるんですか。ありがとう

>>815
f(x) , g(x) , f(x)+g(x) が積分可能のとき
∫{f(x)+g(x)}dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
って知ってますか？
どーしてもΣが気になるのなら、Σを使わずに +…+ で書けばいいじゃん。

ホントだ、出てきますた!ありがとう!

>>816
判別式or解の公式は
ax^2＋bx＋c=0
(a=b=c=実数)

のときだけしか使え無いよ。

解の公式は使えるだろ。

>>819
a,b,c を複素数、a≠0 とする。
ax^2+bx+c=0
両辺を a≠0 で割る
x^2+(b/a)x+(c/a)=0
{x+(b/2a)}^2-{b^2/(4a^2)}+(c/a)=0
{x+(b/2a)}^2=(b^2-4ac)/(4a^2)
x+(b/2a)=±{√(b^2-4ac)}/2a 　 　(∵√(a^2)=±a)
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a

どこが間違っていますか？

>>819はDQN

　　 ∧＿∧　　／￣￣￣￣￣￣
　　（　´∀｀）＜　オマエモナー
　　（　　　　） 　＼＿＿＿＿＿＿
　　｜ ｜　|
　　（_＿）＿）

(e^k−1)/kでk→0とすると1になる、って
予備校で使ってたんですが何故ですか？公式ですか？

>>824
微分を勉強し直せ

f(x)=e^xとしたとき
lim(k→0)(e^k-1)/k=f'(0)

f(x)=e^kとしたら1=e^0だから平均変化率の極限。つまりf'(0)

思慮深い>>819が誤解されるといけないので一応補足しておきます。
複素数 z に関して、√z の定義の問題です。
一般に複素数 z に対して w^2=z となるような複素数 w は2つ存在します
で、そのうち一方 を α とすると、もう一方は -α となります。
z が正の実数のときは正のほうを √z と書くことにきめて
z が負の実数のときは √z=i√(-z) と決めればよかったのですが
z が一般の複素数のときは２つあるうちのどちらを √z とするかのよりどころに困ります。
実部の正負でわけるとか(実部が0のときは虚部の正負)無理やり決めることはできますが、あまり意味は無いので
通常は複素数 z に対して√z という記号は定義せずに話を進めます（高校では）

しかし今の場合は、例えば「±√」を１つの記号と認識して
±√z とは「w^2=z となる複素数 z のうちのどちらか」というふうに解釈すると問題が起きなくなります。
このように、根号に関してなんらかの妥当な意味づけを与えて初めて複素係数の2次方程式の解の公式は意味あるものになります。
>>819はこの点を注意しようとしたのでしょう。

そんな事は既に>>811が書いてるよ。

>>826-827
ありがとうございました。

質問です。

Σ[k=1,n-1] √(2k-1)/k

を教えてください。
1/2n(n+1)のような形に変形したいのですが、うまくいきません。

>>831
その和は求まらないよ
出典は？

実数p、qはp+4q<1を満たし、かつ1/p、1/qがともに自然数であるように変化する。このときp、qの関数 f(p、q)=-p^2-2q^2+p+4q を最大にするp、qの値を求めよ。

p=1/2から順に調べていく

xy平面上に3点 A(3,5),B(1,1),C(4,2)がある。
直線ACに平行で三角形ABCの面積を2等分する直線の方程式を求めよ。

という問題なんですが、解答に

平行線DE(AB間にD、BC間にE)が�僊BCの面積を2等分するから
�傳DE∽�傳AC
面積比について、BD~2：BA~2=1:2
うんたらかんたら・・・・

とあるのですが、なぜ面積比は、BD~2：BA~2=1:2
なのでしょうか？よくわからない・・・。

中学数学を思い出せ。

相似な三角形の面積比は辺の比の二乗、ということを使うんだ。

DE：　y＝-3ｘ　+5√2　−2.

になった。

>>836

どうもありがとうございます。
中学内容だったのか・・・orz
こりゃマズいですかね・・・・。

>>837

DE:y=-3x +5√2 +4　だそうです。

∫[0,1]√(t^2-t+1/2)dtはいくらになりますか？

>>839
t=(x+2-(1/x))/4と置換

それはどっから出てきたのですか？

>>841
√(x^2+a^2)の積分はx=(a-(1/a))/2と置換するといい。
ノーヒントで入試にでることはまずないと思うけど。

どうもサンクス。
ってか体積求める最後でこれが出てきたんだけど、
間違ってると言うことなのかな・・・
最後1/4になるかなと思いきやならなかったし・・・

ああ、要するに(t-1/2)/2をtanに置換するって事ですね。

>>844
tanθに置換するとそのあとがけっこう面倒だよ

教科書によく(極方程式を例取ると)F(r,θ)=0みたいな{F(x,y)=0}ってのが書いてあるんですが
これって何を指すのかよくわかりません．
例
極座標(r.θ)が方程式F(r,θ)を満たすような点Pの軌跡を極方程式F(r,θ)=0の表す曲線という.

全然方程式じゃないかと…．
これって軌跡のところでP(X,Y)と置くと，みたいな感じでやったことを言ってるのかなあ…って思ってるんですが．

極座標(r.θ)が方程式F(r,θ)を満たすような点Pの軌跡を極方程式F(r,θ)=0の表す曲線という.

極座標(r.θ)が方程式F(r,θ)=0を満たすような点Pの軌跡を極方程式F(r,θ)=0の表す曲線という.

じゃないか？

そーです，間違えました．

極座標(r.θ)が方程式F(r,θ)=0を満たすような点Pの軌跡を極方程式F(r,θ)=0の表す曲線という.

簡単な例。

F(r, θ)=2cosθ-rと置く。
F(r, θ)=0⇔2cosθ-r=0
⇔2cosθ=r

方程式だろ。
これの表す図形は中心(1, 0)半径１の円。

１）図を書いて確かめる。
２）r=√(x^2+y^2), cosθ=x/rとおいて確かめる。

をやってみよ。

平面幾何
解析幾何
ベクトル幾何
複素数の幾何
曲座標表示

はそれぞれ同じことが出来るが、
その特質ゆえに簡単に扱える問題が異なってくる。
それを認識しておくことが大事だ。

>>849
よくわかりました，問題もやってみます．
有り難うございました．

質問です。
∫1/√(a＋x)dx
ってどうやってとくんですか？

>>852
(a+x)=Xとおけ。

∫1/√(a-x)dx
でもおなじでいいですか？

>>854
自分で正しいかどうか考えろ。
それが数学の力になるから。

y=f(x)　（f(x)：２次関数）と、y=g(x) （g(x)：3次関数）　がx=t で共通接線を持つ時、
ｘの3次方程式 f(x)=g(x)　は、x=t で重解を持ちますかね？

ageます。

>>856
いや疑問に思ったのなら証明してみればいいだけの話だろ
成立しそうなことなんだし

まず x=t で共通接線を持つという条件は f(t)=g(t) , f'(t)=g'(t) と表される。
h(x)=f(x)-g(x) とおくと h(x) は3次式で h(t)=f(t)-g(t)=0 , h'(t)=f'(t)-g'(t)=0
h(t)=0 より h(x)=(x-t)Q(x) …(*)と書ける。Q(x) は2次式
積の微分法より
h'(x)=Q(x)+(x-t)Q'(x)
h'(t)=0 より Q(t)=0。したがって
Q(x)=(x-t)R(x) と書ける。R(x)は1次式
これを(*)に代入して
h(x)={(x-t)^2}R(x)
したがって3次方程式 h(x)=0 は重解 x=t をもつ
h(x)=0 ⇔ f(x)-g(x)=0 ⇔ f(x)=g(x)

ちなみに、この議論では f(x) と g(x) が整式であることは用いているがそれぞれの次数が2次、3次であることは用いていないので
f(x) と g(x) は整式であれば何次式であっても同様の議論ができる。

>>858
ｽﾏｿ。最後の一行微妙に嘘ついてる
＞整式であれば何次式であっても
ではなく、f(x)-g(x) の次数が2次以上であれば、だ。

ちなみに言っておくが、

同じ点で共通接戦をもつこと、すなわち、
f(x)=g(x)
f'(x)=g'(x)

なる条件が重解(接している)という条件なわけだが。

二次以上であることなんか使ってない。

>>860
ということを多項式関数という特殊な関数について証明したのが>>858-859でつ。
「重解をもつ」というのは方程式について定義される概念で、２つの関数(またはそのグラフ)について定義される概念ではないです。
「微分可能な関数 h(x) について、方程式 h(x)=0 が重解 x=t を持つとは
h(t)=0
h'(t)=0
をみたすことである。」
というふうに重解を定義すればほとんど証明の必要がないのですが(それでも1行くらいは必要ですが)
「多項式 h(x) について、方程式 h(x)=0 が重解 x=t をもつとは
h(x) が (x-t)^2 を因数にもつことである。」
という定義に従うとこういう証明になりますた。

ちなみに、同じ点で共通接線をもつからといって接するとは限らないと思います。奇数重解のときは交わるので
「２つの関数のグラフが点 t で共通接線を持つ ⇒ ２つの関数を等しいとおいてできる連立方程式が重解 x=t をもつ」
は正しいですが

>>861
ｽﾏｿ。2次以上って決めておいたほうが余計な議論をする手間がはぶけてよいかと思ったので。
1次以下であるときの解釈ﾏﾝﾄﾞｸｾっていうか興味もないし

奇数重解のとき交わるって言うか、
y=x^3とy=0が「接している」ように、
一見交わっていても接しているというか。

>>836
細かいこと突っ込むがそれは今では高校での学習内容なのよ｡

>>863
「接する」「交わる」の定義の問題だと思うのですが
交わるってのは x=t の前後で f(x) と g(x) の大小関係が変わること、と思っています。
で、交わってはいないが共有点をもつときに接すると。
イメージ的には曲線の外側に1本直線を引いて、その直線を平行移動で徐々に曲線に近づけていって
初めてチョンっと曲線に触れる瞬間が「接する」ってことです。
曲線同士でも同様のイメージで
このイメージでは y=x^3 と y=0 は接していないです。

でも、同じ点で共通接線が引ける時に「接する」と定義しても別に問題はないですね。言葉の問題だけなので。
でもあまり見かけない気はします。参考書などでも「接する⇒共通接線が引ける」はありますが逆は…
y=x^3 と y=0 が接しているってのはどういうイメージなんでしょうね。図形的に
接する接しないというのは図形的性質だと思うので

いや、y=x^3の接線で、接点を０にしてみろよ。。。

接戦って言うのは接してる線ってことだぞ。

>>866-867
はい、y=x^3 と y=0 は原点で共通の接線を持ちます。
そして原点で接してはいません。交わっています。
＞接戦って言うのは接してる線ってことだぞ。
その「接してる」の定義はなんなのか？　ってことです。

y=0はy=x~3のx=0における接線だよ

>>864
でも習うまでのことじゃあないよね。
平面なら面積は縦*横なんだし。

>>868
知ったかぶりするなよ．「接線」の定義をいってみなよ．
普通「交わる」の定義の方がない．

f(x)＝x＾2(xは無理数)，f(x)＝0（xは有理数）で定義される関数f(x)は原点でx軸に接している．

現高2、とりあえず数�V、Ｃまで終わって未だにベクトルだけは解けない問題にであったことがないんですが、
ベクトルって簡単な問題しかないの??

>>872
直線l: s(1, 0, 1)上に2点A, Bを。
直線m: (1, 4, 2)+t(0, 1, 1)上に2点C, Dをとる。
AB＝α、CD＝βとするとき、
四面体ABCDの体積VはA、B、C、Dの位置に寄らず一定であることを示せ。

このぐらいが最高問題かな？

円Oに内接する四角形ABCDがあり、AB＝4、AD＝5、COS∠BAD＝−1／5である。
また対角線ACとBDは点Eで垂直に交わるとする。この時のBCの長さは？
恥ずかしながら、この問題がわかりません。どなたか答えと簡単で構いせんので解説を
お願いします。

25*√6/12であってる？

>>874
余弦定理使ってBD求める。
cos→sinに変えれば△ABDの面積がわかるから
AEの長さもわかってBEもついでに出せる。
あとは△ADEと△BCEの相似を利用する、と。

ま、他にも手はありそうだけどな。

名前欄は無視してねん。

>>875、876
答えは学校のテキストなんで、現時点ではわかりません…
朝早くに本当にありがとうございます。

再びすいません。BD＝7、AE＝8√6／7ですよね？

>>879
あってる

>>880
わざわざありがとうございます。多謝

AB=5,BC=7,CA=8の三角形ABCにおいて
頂点A,B,Cから対辺に下ろした垂線の足をD,E,Fとする｡
三角形DEFの面積を求めよ｡

方法はだいたい分かります｡
（1）３辺から余弦定理と三角比の相互関係の公式を用いてsinA,sinB,sinCを求める｡
（2）三角形ABCの面積を用いる｡
（3）0.5*AD*BC=三角形ABCの関係を用いてADを求める｡同様の方法で垂線の長さを全て求める｡
（4）三平方の定理を用いてBD,DC,CE,EA,AF,FBの長さを求める｡
（5）三角形BDF,三角形CDE,三角形AEFの面積を求める｡
(6)三角形DEF＝三角形ABC-三角形BDF-三角形CDE-三角形AEFを計算｡
で解けます｡が、どうも計算が大変でいまいちな解き方に思えます｡
ということでスマートな解き方があればご教授お願いします｡

f(x)=3^x+3^-xとするとf(x-1)=f(x)を満たすxを求めよ。
f(x-1)は求められるんですが、その後どうしたらいいのかわかりません。
お願いします。

>>883
3^x=tとおいてtの方程式を解く。

3^(x-1)+3^(-x+1)=3^x+3^(-x)
3^(2x-1)+3=3^(2x)+1
3^(2x)/3=2
3^(2x)=6
x=log_[9](6)

答えはx=1/2になるはずなんですが･･･

>>885
＞3^(2x-1)+3=3^(2x)+1
＞3^(2x)/3=2

ここでミスってる。

>>886
お前はやり方分かったんだから、自分でやれボケ

3^(x-1)+3^(-x+1)=3^x+3^(-x)
3^(2x-1)+3=3^(2x)+1
2*3^(2x)/3=2
3^(2x)=3
x=1/2

>>887
解答はあったけどやり方わからんかったから聞いたんですけど。

>>888
親切にありがとうございました。

>>882
正直下策ですね｡�傳DF、�僂DE、�僊EFを直に出そうとするあたりが特に｡
�傳DFと�僊BCの比を考えましょう｡
�傳DF/�僊BC=｛(1/2)*BD*BF*sinB｝/｛(1/2)*BC*BA*sinB｝
=(BD*BF)/(BC*BA)=(BC*cosB*BA*cosB)/(BC*BA)=(cosB)^2
となります｡この結果は有用なので覚えておきましょう｡
同様に
�僂DE/�僊BC=(cosC)^2、�僊DF/�僊BC=(cosA)^2なので
�僖EF=�僊BC-�傳DF-�僂DE-�僊EF
=�僊BC｛１-(cosA)^2-(cosB)^2-(cosC)^2｝
です｡後はcosA、cosB、cosC、�僊BCを求めて代入です｡

とりあえず分かる値を出そうとするのではなく、
問題を解くには何を求めればいいのか考えてから計算して欲しいですね｡