数学の質問スレ【大学受験板】part35

では書いてきます。一応出典はオークションで買った京大数学理系です。

どこの問題だかもってこい。大体ある規則にしたがって並ぶのが数列。第一項以前を考えようとするのがナンセンス。だいたい何自分で定義してんだ?神になったつもりか?

xの多項式f(x)があり、任意の実数aに対して,f(x)-f(a)がつねにx^3-a^3で割り切れるとする。このとき、ある多項式g(x)によって、f(x)=g(x^3)と表せることを示せ


セクションは複素数と書いてありますが、どう展開すればいいのやらorz

しかもらりった和分式まで持ちだして。ありえない

因数定理臭いな。

下から進まないんです
f(x)-f(a)=(x^3-a^3)Q(x)=(x-a)(x^2+ax+a^2)Q(x)=(x-a)(x-α)(x-β)Q(x)
ただしα=(-1-√3i)a/2,β=(-1+√3i)a/2
またα=a{cos(4π/3)+sin(4π/3)},β=a{cos(2π/3)+sin(2π/3)}とかける。
複素数ωを使って表せばω^3=a^3の解・・・？

>>893
補題
h(x)をxについての多項式とする。xh(x^3) - ah(a^3) が任意の実数aについてx^3-a^3で割り切れるなら、hは恒等的に0である。

x^3=1の1でない解の一つをωとして、xh(x^3) - ah(a^3)がx-a、x-ωa、x-ω^2aで割り切れると仮定する。
x-aで割り切れることは明らかなので、x-ωaで割り切れるかどうかを考える。
xh(x^3) - ah(a^3)　にx=ωaを代入する。
ωah(a^3) - ah(a^3) = (ω-1)ah(a)
これが全ての実数aに対して0になるためにはhが恒に0でなければならない。

この補題と同様にh(x)をxの多項式としたときx^2h(x^3) - a^2h(a^3)がx^3-a^3で割り切れるときはhが恒等的に0になる。


今、明らかに
f(x) = g(x^3) + xh(x^3) + x^2p(x)　　、g,h,pはxの多項式、
と表記できるので、上の補題より条件を満たす。

(a)=f(α)=f(β)=0よりf(ω)=0
f(x^3)=f(ω^3)=０なのでf(x^3)=g(x^3)とすることにより表せる。

これはなんか気持ち悪いんですけど
必要条件がいえて十分条件は逆のことを言えばいい？のかなorz

となんか入れ違いになってるし、、
ありがとうございます。拝見させていただきます

>>898はおかしいのでスルーで結構です。

>>900　んなことは分かってる。俺の書いたのはあってるか？
あってて、理解できたら、もう寝るから、なんか言え。

もっと簡単に。
３回以上微分すると定数項にQの微分した回数が３回差ずつのものしかこないことが分かるから、
それを言えば、Qには３の倍数乗項のものしかこないことがわかる。
そうすればf(x)=g(x^3)だと言える。

これなら複素数も使わないし、簡単な微分だけで片付く。

暇なんで別解考えてました。

定数項っていうか、
f(0)のときの値ね。

>>897
文をにらめっこしてましたが流れがよくわからないです
>>902
拝見させていただきます

>>902
あれ？多項式って微分可能とかって普通に使えましたっけ？

>>905
あっそ、んじゃ、もう寝るわ。ぱっと見たけど、俺が書いたのには
大きな間違いがないみたいだし、特に大恥かくことも無いだろうと言うことで、
今日はお休み。

なんかあるはずなんだけどな。複素数だからもっと簡単にできる方法が。

あああああああああああ
みっすってるううううううううううううううううううううううううううううううう。

もういいや、寝るﾉｼ

>>892
フーリエ級数の部分和とか．S(n) = Σ[k=-n,n] a(n), a(n) = exp(i n x)
こんなんいくらでもあるよ．

ごめん、俺が間違ってた。a0が初項の問題早速みつけてきた。Snがらみじゃなかったけど。まあ高校数学の範囲ではnが負の問題は見たことないんでフーリエなんていわれたら利根川にとびこんで寒中水泳してくるしかない。土下座m(_ _)m

数学ピンチ・・・

蒸し返すようで悪いんですが、はじていの数列の問題
S(n)=3^n+1 (n=1.2.3...)
の一般項を求めよという問題で
n=1の時、a(1)=S(1)=9
n≧2の時求めた一般項a(n)に1を代入したa(1)=6
となりa(1)が食い違うことをはじていレベルの僕でも分かるような説明お願いします。

それとはじていには階差数列の所でもa(1)が一致しないこともあるような感じで書いてあるんですが、それはどういうことでしょうか？

>>914
S(n)-S(n-1)=a(n) (n≧2)
=3^(n+1)-3^(n)=2*3^(n)
a(1)=S(1)=9
∴a(n)=2*3^(n) (n≧2)or 9 (n=1)
…何か問題でも？

1 と 3 は互いに素？

>>916
http://www.asahi-net.or.jp/~tt9h-hskw/sugaku/gcm-lcm/
最大公約数が１となる２つの数は、「互いに素である」と言います。

これを参考に考えろ。

a(n)=∫｛（１−ｘ）＾(n-1)／（ｎ-1）！｝×e^x・ｄｘ［０，１］

のとき０＜a(n)＜（e／n！）を示せという問題ですけど
教えて下さい

>>918
部分積分をすると
a_n-a_(n-1)=-1/(n-1)!になるから、
そこからもうちょっと考えてみて。

解答では
a(n)< ∫｛（１−ｘ）＾(n-1)／（ｎ-1）！｝×e^1・ｄｘ［０，１］

ってなってるんですけど何でですか？

e^x≦e　(0≦x≦1の時)だから、

（e／n！）ってかなり０に近い数なんですよね？

>>922
nが大きければな。

ありがとうございます

>>917
わざわざｔｈｘ！

893についておねがいします

>>926
>>897>>902はスルーか？

>>926
x^(3n+1)-a^(3n+1)を(x^3-a^3)でわると、xa^(3n)+a^(3n+1)あまり、
x^(3n+2)-a^(3n+2)を(x^3-a^3)でわると、x^2*a^(3n)+a^(3n+2)あまり、
x^(3n)-a^(3n)を(x^3-a^3)でわると、わりきれることから、
多項式をf(x)=Σ[k=0 to n] b_k x^kとおけば、
f(x)-f(a)=Σ[k=0 to n]b_k (x^k-a^k)を(x^3-a^3)で割ったあまりは
Σ[n=0 to n] b_(3n+1){xa^(3n)+a^(3n+1)}+b_(3n+2){x^2*a^(3n)+a^(3n+2)}
とかけ、これらは互いに次元が違い、素なので、任意のx, aに対して成り立つには、
∀n∈N b_(3n+1), b_(3n+2)=0
でなければならない。

902についてはコメントしました｡もうひとつのはあとから読んでわかりましたが､別解をね｡

>>926, >>929
別解が欲しいだけなら普通に別解が欲しいといえば角も立たないのではないかと思うが。

>>928
xa^(3n)+a^(3n+1)
−では？

これから言葉遣いには気をつけようと思う。ごめんなさい

>>932
言葉遣いを改めると同時についでだから、ローラン展開でも調べてろ

x＋7＜5ｘ＋3
｛
　　　4≧ａ^2−ａｘ＋2ｘ
誰かこの不等式といてよぅ先生に怒られちゃうＹＯ　つД｀） ﾀｽｹﾚ !!

>>934
上は普通に解けるべ？
下はａ≦２とａ≧２で場合わけ。

>>934
先生に怒られることが問題なのでなく、自分で解けないことが問題であることに気付くことが重要である。

a>2 , a=2 , a<2 のときで場合わけ
a<2 のときはさらにもう1回場合わけが必要そう

解説についての疑問点の質問です。
参考までに出典は87年の京都大学です。

y=(-4/27)a^3
と
y=-a-1

という三次関数と直線の交点が一瞬で（-3/2,1/2）と求まっているのですが、
（正確には求めるプロセスが書いてありません）
これは一体どうやって求めたものなのでしょうか。
連立してもどう解けばいいのかさっぱりです。
領域の図示問題なので交点の求め方とかは軽く扱われてるっぽいのですｗ

連立して因数定理

>>937
因数定理使って普通に求めればいいじゃん。
4a^3 - 27(a+1) = 0 でaにめぼしい値を入れていくんだろ？

そでなければ、カルダノの解法
x^3 + ax +b =0
a=-3pq  b=p^3+q^3 として、
x^3 + ax +b
=(x+p+q)(x^2+p^2+q^2+xp+pq+qx)=0

p^3とq^3は二次方程式から求まるとして……

っていうやり方を使うか。

>>937
軽く出すだけなら、適当にうまくいきそうな値を入れてみればよい。
この場合一本目の式でうまく約分できるように a の分母に２、分子に３あたりはすぐ思いつくから
まず a=±3,±3/2 あたりは真っ先に試してみる値だと思う。

この方法でたまたまうまくいけばよし。というかうまくいくように問題が作られているんだろ？