1=0.99999999999999999999999999

何でこうなるの？答えろや。数学オタクよ。
ちゃんと答えろよ。

終了。（あとは↓こっちでどうぞ）
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=998233109

おい馬鹿か？理系は本当に馬鹿だな。死ね。

ならないな。
表題の書き方では循環小数とは読めん。せめて・・・ぐらいつけろ。

>>4
ﾎﾝﾄﾀﾞﾈ!!

sage晒し。

>>1
そういう風に決まってるんです

タイトルが文系らしくてグッド

>>1
ここはあなたの宿題をみんなで手分けして終わらせる
ところではないのですから、分からない問題をいきなり
転載して誰かにやってもらおうと思うのは良くないです。

ん？

また文系か

死ねやクソ理系。
テメーらの頭は糞か？
とっとと教えれば許してやる。
教えなければ死あるのみだ。死ねや。>>2、>>4-11死ね馬鹿殺すぞ。

7だがオレも文系なんだが・・・

>>12
余因子君の二番煎じ。怒りキャラつまんねー。

>>12
っていうかさ、
1=0.99999999999999999999999999
ってどう見たって間違ってるよな。別スレのほうがまだまし。

殺すどころか俺らの自宅をみつけることすらできないだろうにね。

脳障害文系が懲りずにまた糞スレを建てたか（嘲藁
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=997418959&ls=50

次ぎは
１＋１＝２の証明
０＾０
マイナス　Ｘ　マイナス　は何故プラス
どれであげる？

あげない

itteyoshi

> 殺すぞ。
これって恐喝罪ですね。仮に、
> 殺されるぞ。
となれば、罪にはなりません。

でも、このタイトル、ヴァカだよね〜（ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>18
何故 π＝３ なのか？
であげるに一票

>>18

2=1.99999999999999999999999999

でいいんじゃない？

>>23
次のスレも無限小数になってなくて間違ってるんだな(w

なんで皆1/3=0.333...
を両辺3倍で1=0.999...
を書かないの？

子供だましかな。
まぁ、無限集合論を勉強したら
疑問もなくなるのかな。。。
ちょっと懐かしい。

数学ヲタクより。

＞無限集合論
ﾌﾟﾌﾟ

>>25
どうしたの？
熱でもあるの？
無限集合論を勉強しても熱は下がらないと思うけど。

>>27
ええちょっと微熱が。。。（藁

文系は数学を犯るな。

ってか、このタイトルおもろい。（ぶぶぶぶぶぶぶぶぶぶぶぶぶぶぶー

無限集合論ってなんだ？

すっきりage

age　んな！こんな馬鹿なスレ

age　んな

数学厨房がいっぱいだわ★

お仲間が登場ね
一緒にこのスレを盛り上げましょう！＞３４メーテル

おいおい、ここはコテハン「文系」が立てたネタスレだぞ

>>34-35
帰れっ！このヴォケっ！

はぁ？何逝ってんだ？文系とかいう奴は・・・
1は1っしょ？
1=0.999999999999999999999・・・とかぬかしてる奴はマジ逝ってよしだな。

>>38も理解して無いようだYO!

>>39
何とでも言うがいいさ。
誰が何と言おうが1は1だよ。
何か文句ある？

>40
ある意味かっこいいＹＯ!

厨房UZEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE！！！
せめて移動しる
ttp://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=998233109

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝終了＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1=0.999999999999999999999・・・は数学で
１＝１は算数的考えなのかな？

数字と数の区別がない人っていて、１はまだあるからいいんだけど、
０は「ない」ってことだから書けないんだね。マイナスは反物質で
考えてもいいのらしいのだけれど、０は難しいね。

>>43
It's too mathmetical!

>>40
無いYO!
でも、もうひとつひねって欲しかったYO!!

はぁ？何逝ってんだ？文系とかいう奴は・・・
1/3は1/3っしょ？
1/3=0.333333333333333333333・・・とかぬかしてる奴はマジ逝ってよしだな。

>>1
しょせん有限桁では、話にならんな。

>>1
まず、何故あなたがその年まで童貞だったのか、を答えて
ください。

このスレの電波はどなたですか？

>>1
0.99999999999999999999999999=1 がいえるためには
0.00000000000000000000000001=0 になればよい。
そのために、例えば有理数環Ｑを拡大して適当な
イデアルで割ることにする。
環Ｑ[x]/(x-0.00000000000000000000000001)を作ると
この中で0.99999999999999999999999999=1が成り立つ。
こんな感じでどうでしょう。

51は間違い。
環Ｑ[x]/(x,x-0.00000000000000000000000001)
ではどうでしょう。

52も間違い。困った。

スレ自体が痛いだけ。

0.9999…+1/∞＝1

いいじゃん、どうだって。
だいたい同じだろ。
細かいこと気にするなよ。
ばか。

簡単な話やん。

　　　　ｘ ＝ ０．９９・・・　―――　�@
　　と置きます。
　　これを十倍し、
　　１０ｘ ＝ ９．９９・・・　―――　�A
　　�Aから�@を引くと、
　　９ｘ＝９、
　　∴　ｘ＝１

気ぃすんだ？？

[別解]

　　０．９９・・は、
　　　　０．９９９・・ ＝ ０．９＋０．０９＋０．００９＋・・・
　　　　　　　　　　　＝ ０．９（１＋０．１＋０．０１＋・・）
　　となって（　）の中は初項１、公比０．１の等比級数になります。
　　公比が一より小さい等比級数なのでこれは収束する事が分かります。
　　（　）の中を計算すると、
　　　　（　） ＝ １×｛１−０．１｝ ＝１/ ０．９
　　よって、
　　　　０．９９・・ ＝ ０．９×（１/０．９）＝ １

なーる。

このスレも終わりだな。

昨日、久々に数学版行ったんです。数学版。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで更新できないんです。
で、よく見たらなんか新スレ立ってて、1=0.9999...とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、1=0.9999...如きで普段来てない２ｃｈに来てんじゃねーよ、ボケが。
1=0.9999...だよ、1=0.9999...。
なんか真性ドキュンとかもいるし。ドキュンそろって数学版か。おめでてーな。
よーし煽っちゃうぞ、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、杉浦解析やるからその席空けろと。
数学版ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
スレッドに居合わせた奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。ドキュンども、すっこんでろ。
で、やっと見れたかと思ったら、そこにいる奴が、1=0.9999...は定義、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、定義ですべてかたづけるなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、定義でしょ！、だ。
お前は本当に数学わかってるのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、数学やってるって言いたいだけちゃうんかと。
数学通の俺から言わせてもらえば今、数学通の間での最新流行はやっぱり、
超準解析、これだね。
実数に無限大と無限小を加える。これが数学通のはやり。
超準解析には無限小が加わっている。そん故0.9999...について無限小も考えに入れなければならない。これ。
しかしこれで考えるとにちゃんねらーに真性ドキュン扱いされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前らド素人は、明らかに1=0.9999...とでも主張しなさいってこった。

>>60 数学版 → 数学板

>>60
>数学通の俺から言わせてもらえば今、数学通の間での最新流行はやっぱり、
>超準解析、これだね。

素朴な疑問。実関数列の一様収束は超準解析ではどう定義するんですか？

>>62
普通の数列の収束に一様性を加味すればよい。超準解析は論理との整合性
はよい。
でも60のツッパリ兄ちゃんのいうように素人はすぐけがすっど。ちゃんと
本よまねぇと。ただ読んでも大抵わからねぇんだよ。

だって須津さＮ数学をやめたら死ぬよって

なんで1=0.999…に疑問持つ人は1/9=0.111…に
疑問を持たないのかがわからない。

りんごを 半分 半分 半分 ・・と 無限回 半分にしていくと
やはり 無 ゼロというかずは 存在しないから。
１＝０．９９９９９９９９９９９９・・・である。
つまり かぎりなくちかずくしか ない。

あるいは １＝１、００００００００００００・・・・・１ということか。

いくおーるは 不可能。

０、９
＋ ０、０９
＋ ０、００９
＋ ０、０００９
＋ ・・・
＋ ・・・
＋ ・・・
＋ ・・・
―――――――――――
０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９・・９９９（∞）
つまり １にちかずくために
１の １０分の９をたして
それから そののこり １０分の１の10分の９をたして
どんどん １に ちかずけていくけれども、
どうしても 10分の９だから 一致することは できない。

(ﾟДﾟ)ﾊｧ?
なんのたまごだと？

http://www.benesse.co.jp/tamahiyo/book/tamago.htm

1≠0.99999999999999999999999999
あたりまえだろ。ヴォケ！！！！！！！！！！！！！！！

ヴォケ！！！！！！！！！！！！！！！・・・

ヴォケつを掘りましたね（ｗ

>>42

厨房=UZEEEEEEEEEEE...............

66は電波数学者のたまごでした。（ﾜﾗ

1≠0.99999999999999999999999999　　　　　　　　　　　　
です。小学生でもわかる。　　　　　　　　　　　　　　

自明ってやつだね。

0.99999999999999999999999999≠0.999999999999999999999999999
これのほうが わからないんじゃないか？

>>76
瞬間的に見て左のほうが大きい。あたってる？

>>76
右のほうが長い。あんた、脳がスポンジ？

1=0.99999999999999999999999999+10^-26

>>76
左辺＝0.99999999999999999999999999
右辺＝0.999999999999999999999999999
うわっ，びみょ―。

>>76
３Dドットパターンってあるでしょ？
あれと同じ容量で重ねてみればすぐわかるよ

＞８１
×容量
○要領

>>77
コピーペーストしてから右に1個付け加えたんだけど、後でわかんなくなって
数えなおした。

0.９9９９９99９９９9９９９９9９９999９9９９９99９９99９9９999９999９９９9９9999９９99
と0.9９９99９99９99９９99９９99９９99９9９９９９９999９９9９９999９９9９99999９9９９9９
の大小関係を調べろ。

コピペ効かない例

>>84
0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999 ＜
0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999
エディターソフトで一発

0.9９99９９９99９９９9９９99999９999９9999９９9９９99９999９９999９９9９９９9９999９9９９9９9９
0.9９999９９９９9９９９9９9９999９９９９999９９９9999９99９９99９9９９９99９9９９９99９99９9９9９9９
0.99９９９９９９９999９９9９９9９9９9９９９９９9９９99９９9999９９9９９９９９９99９９９9９９9９９99９99９
0.99９９９９9９９99９９9９9９９９９９99９99９9９9９9９9９９9９99９9９９999９9９99９99９9９９９９999
0.９９99９9９9９９999９９９９99９9９9９９9９9９９99９9９９9999９９９9９999９９9９9９９99９９９99９９
暇な方用第２問。ひとつだけ違う数があります

し、しまったぁ！！

出直して来ます

つぅか自分自身エディタソフト使って作ったのに何故気付かなかったんだろ…

１に近いが１ではない

>>1
1=0.999999999999999999....
は

0.99999999999999999999....
を
数列 a={0.9, 0.99, 0.999, ....}
と解釈すれば
1 = lim_{n \to \infty} a_n
を意味しているにすぎない。

･ ･ ･ ･ ･

･ ･ ･ ･ ･

･ ･ ･ ･ ･

･ ･ ･ ･ ･

･ ･ ･ ･ ･

まだある。

内容が高度になってきたな。
やっと数学らしくなってきた。。。

1≠0.999…であるようにするには、
実数の定義をどれくらい否定すればいいんだろ

>>91
Texか？！

「テフ」と読む。

>>95
０．０００…≠０と＝を定義すればよい。

>>98
（１）０．０００．．．≠０
（２）０．０００．．．＋０．０００．．．≠０＋０．０００．．．
（３）０．０００．．．≠０．０００．．．

>>97
「テフ」と読む,「テック」と読む。「テフ」の人のほうが多いのでしょうか？
(テッハまたはテーハも間違いではないらしいが,こんな人はいないよねぇ)

テクテクLaTex

「ハ」はかなり息を吹きかけるように発音する。
目の前のディスプレイが曇るくらいに、
とどっかの本に書いてあった。

テッ　／　＼
　　／　　　＼　!!!!!　


これでよいですか？

目の前のディスプレイが曇るくらいに・・・・

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿□■■■■■■□□□■■■■■■■■■■■
■■＿＿＿＿＿■■＿■＿■＿■■■■■□＿＿＿□■■■■■□＿＿□■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■＿■＿■＿■■■■■□＿＿＿□■■■■■□＿＿□■■■■■■■■■■
■■＿＿＿＿＿■■■■■■＿■■■■■□＿＿＿□■■■■■■□＿＿□■■■■■■■■■
■■■■＿■■■■■■■＿■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■
■■■■＿■■■■■■＿■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■
■■■＿■■■■■■＿■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■□＿＿□■■■■■■■■■■■□＿＿＿□■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■□＿□■■■■■■■■■■■■■□＿＿□■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■□＿□■■■■■■■■■■■■■□＿□■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

1 = 0.999…
・・・・・9が　ず〜〜〜と　つづくんだぞ
これは　同じだ、　もし　1のほうが大きいと思う奴がいると思うなら
その間に入る数字を答えてみろ

「・・・」が無いんですよ。>>1の主張では。

1=0.99999999999999999999999999じゃないな

1=0.99999999999999999999999999…
が正解。よって>>1は不正解。

ってかこうじゃないの？
A=0.99999･････
10A=9.9999･･･
10A-A=9
9A=9
A＝1

はいはい。そうそう。

0.99999999999999999999999999…
こんな数は存在しない

＞＞　111
逝ってよし！
0.99999999999999999999999999…
は　存在する
それは　1だ！

>>112
要するに妥協したのか？

1 = 0.99999999999999999999999999…
両辺を　１０倍する。
10　= 9.99999999999999999999999999…　　�A
1 = 0.99999999999999999999999999… 　�@
�A　−　�@ で
9＝9　だ
簡単に　両辺を　９で割ると
1＝１

はいはい。そうそう。

ようするにこうゆースレがなくならないのは、
初心者でも分かる説明を数学が得意な人ができ
ないからだよね。

親切でわかりやすい説明をすれば不正確なところを指摘し、
正確な説明をすればわからないと言うDQNのせいだと思われ>>116

>>114
�A−�@はできない
どちらも無限に続く数だから

良く見ろ！
1=0.99999999999999999999999999
であって、
1=0.99999999999999999999999999・・・
ではない！！

nanashi君、元気だった？

>>118
＞�A−�@はできない
＞どちらも無限に続く数だから

ﾊｧ?

>>121

ﾊｧ?

>>122

ﾊｧ?

ﾊｧﾊｧ?

>>118
っていうか、そういう数同士の塩山って定義された無いじゃん。
昇仙峡はそろそろ見ごろかな？

みんな、厳密さにかけてるよ。
もっと数学スレらしく論じようよ。

>>125
0.555…-0.333…
これも定義されてない？

0.999… の … の部分の意味について。
この … の意味は次のような意味を持っている
n番目が　0.99…99
（9が0の後ろにn個並んでいる　例えば10番目は0.9999999999）
という数の列を考えて、この数の列をずーっと見ていくと
1 にいくらでも近づいていくことがわかる。
いくらでも近づくとは、1とは異なるどんな数を考えても、数の列の中の
ある番号から先は全てその数よりも1に近いという意味で、例えば
　 1.000000000000000000000000001
という数をとると、それに対して数の列の中の28番目の数
　　0.9999999999999999999999999999
の方が1に近いし、28番目から先のどの数をとってもいえる。
これはどんなに1に近い数をとってもできる話なので今考えている
数の列は1にいくらでも近づくという事が言える。
ところで、
　　0.9999…
というのは今考えている数の列の＜いくらでも近づける数＞のことを
さしているものである。
したがって
　　0.999…=1
であるし、
　　0.9+0.09+0.009+0.0009+…=1
（これは1番目が 0.9、2番目が 0.9+0.09
　n番目が 0.9+0.09+…+0.0…09　という数の列の＜いくらでも近づける数＞
　という意味になる。）
ちなみに＜いくらでも近づける数＞はいつでもあるとは限らない。
　　1-1+1-1+…　（+と-が交互にあらわれる）
は、n番目が
　　1-1+…-1+1 （+と-がn回ずつあらわれる）
という数の列が上の意味でいくらでも近づける数をもたないので、
答えはない。

上の　　<1-1+…-1+1 （+と-がn回ずつあらわれる）>
を修正。
　nが偶数なら
　　1-1+…-1+1 (+と-がn/2回ずつあらわれる）
　nが奇数なら
　　1-1+…-1+1-1 (+が(n-1)/2回、-が(n-1)/2と1回分あらわれる）
この数の列は実質
　　1,0,1,0,…
となる

>>128
「いくらでも近づける」・・・yahooの小川君ですか？

>>違います

とりあえず、
０．９９９…＞１でないのは自明だから
後は０．９９９…＜ａ＜１なる実数ａがあるのかないのかの問題

128,129を書いた者ですが、この議論をするには
個々が認識している、…の意味をはっきりさせないと
話が一方通行になってしまうと思われます。
できればそれを簡単にでもかいてもらえるといいんですが。

「小数点以下がずーっと９」以外に書きようがないと思うけど・・・。

０．９９９・・・と１の間に数がないってコトは明らか。
そんな数、作りようがないから・・・

問題は、０．９９９・・・と１の間に数がないことから
０．９９９・・・＝１につながることをどう説明するか？
「だって当たり前じゃん」と思ってしまったら負け・・・

>>134
わたしの…の意味とはやはり違いますか？

>>136
・・・そう聞かれてもねえ・・・。

「小数点以下がずーっと9」というのは
確かに分かり易いのですが、同じ言い方で
　　1-1+1-1+…
というものになると
「1と-1をずーっと加えていく」
となりますが、これは数をあらわしません。
やはり…は数の列の「いくらでも近づける数」
（数学用語での極限）を使って定義しないといけない
気がするのですが…

>>138
「いくらでも近づける数」という定義も、
数その物が動いて１に近づくようなイメージがあるので
定数っぽくない気がする。

「小数点以下の位が全て９」ってのは？

とりあえず128で私は…を定義することで
　　0.999…=1
をだしましたが
（128で考えた数列　0.9,0.99,0.999.…　が1に
「いくらでも近づく」証明は厳密にはしていません<-簡単です）
反論でもなんでもいいのでお待ちしてます。長々とすみません。

>>139
「いくらでも近づける数」というのはあくまで定数です。
動くのは与えられた数の列ですから。あと、「全て9」というのも「ずーっと」
私には同じに聞こえてしまうのですが、どうなんでしょうか？

>>140
「いくらでも近づく」って、変えられないでしょうか？
YAHOOにこの意味をはき違えて議論が堂々巡りした「小川君」ってのが
いて説明にえらく困ったことがあるんで、極限値にはちょっとナーバス
なんですよ。それに、極限を使った説明は素人ウケしないし・・・。

>>141
「全て」と言ってしまえば０．９９９・・・を静的に捕らえられて
便利だとおもったんですが・・・。「ずーっと」だと動点っぽくて
確かにイメージ悪いですけどね。

それでは、厳密さにかけることを恐れずにやってみます
数aと数bがあったとして　a≧b と　a≦b が両方なりたてば　a=b となることは認めます。（これはいいと思う）
…の意味を小数点以下が「ずーっと」あるいは「全て」9である「数」とします
1≧0.999… はいいでしょう。あとは、1≦0.999… です。
仮に　1＞0.999… であるとしましょう。そうすると　1＞a＞0.999… となる数aが存在します。
（例えば(1-0.999…)/2)
　ここでnという番号を、10をn回かけると1/(1-a)よりも大きい数になる番号とします。
（いくらでも大きな番号はありますからこのようなnが見つかることはいいでしょう。）
そうすると、　1-a＞0.0…01 (0が小数点以下n-1個並んでいる）となります。
ここで　0.0…01=1-0.9…9 (9がn個並んでいる）ですから
　1-a＞1-0.9…9 つまり　0.9…9＞a となります。0.999… は1が「ずーっと」並んでるわけですから
　0.999…＞0.9…9＞a となって、上の　1＞a＞0.999…　と矛盾してしまうわけです。
矛盾してしまったというのはどこかまちがっていたわけでそれは必然的に　1＞0.999… としたところです。
従って、　1≦0.999… が正しいということになります。以上で証明をおわります。長くてすみません。

修正です。144の6行目　（例えば…）のところです
正しくは　　{(1-0.999…)}+0.999… です。すみません。

{(1-0.999…)/2}+0.999… でした。なんか不安になってきた…。

確かにその通りなんだけど・・・
１と０．９９９・・・の間に数が存在しないということと
だから１＝０．９９９・・・であるということを
論理的につなげるものが欲しいような・・・・。

順序しか入ってないなら
1＞0.999…

これも構わない
実際こういうのを別物として考える場合もある

>>148
その考え方って、
1>a>0.999・・・となるａが存在しないことを
どう捕らえているの？　

>>147
aとbはどちらが大きいかを考えるとします。
aはbよりも大きくない、すなわち同じかもしくは、bのほうが大きいことがわかりました。
いっぽう、bはaよりもおおきくない、
すなわちおなじかもしくは、aのほうが大きいこともわかったとしたら、
aとbは同じということになりませんか？

>>148
順序？　どういう概念ですか？　どこにはいっているものなのですか？

120 ：１３２人目の素数さん ：01/08/28 22:26 ID:29Ogtll6
そもそも「0.999…」の定義をはっきりさせないと数学の話にはならない。
でも無限級数で定義すると理解できなくなる奴がいるようなので、
どのように定義するにせよ、「0.999…」とは次の要請１，２を満たすものとしよう。

（記号：小数点以下に9がｎ個続く実数を0.9(n)と書く。例えば、0.9(3)とは0.999のことである）

要請１：0.999…は実数である（ｗ
要請２：すべての自然数ｎに対して1≧0.999…≧0.9(n)である。

命題：
1=0.999…である。

証明：
1≠0.999…であったとする。
このとき、ε= 1-0.999… とおくと、ε>0だから、
自然数ｎを十分大きくとれば、ε>10^(-n)とすることができる。
すると、
0.999… = 1-ε < 1-10^(-n) = 0.9(n)
となり要請２に反する。


以上に文句がある奴は、まず「0.999…」の定義をはっきりさせろ。

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/998233109/101-200

a<b<cとなるようなｂが存在しないとき、ａ＝ｃである
を説明できれば、０．９９９・・・＝１問題はほぼ解決すると思う
・・・というのが>>147だったんだけど・・・。

>>152も、そう。
確かに言ってることは正しいんだけど、
これで理解できてる奴は、わざわざここに来る必要のない人なんだよね・・・。

私の回答144では、a≧b,a≦b ならば a=b というのをつかっています。
なるべくわかりやすくと思ったのですが、どうでしょう？

>>152の要請のおかげということがわからないと・・・ﾁｮﾄﾈ

１＞０．９９９・・・ならば、当然１＞ａ＞０．９９９・・・となるａが存在するはず。
しかし、そのようなａはない。だから、１＞０．９９９・・・ではない。

・・・ていう論理でしょ？
その「だから」について言及してるのが>>147。
１＜＝０．９９９・・・のかわりに１＝０．９９９・・・と書いたけど、
大した差はないと思われ

>>157
背理法の論理は直感的にもわかりやすいと思ったのですが…

>157
>１＞０．９９９・・・ならば、当然１＞ａ＞０．９９９・・・となるａが存在するはず。

これはどうしてですか？

>>159
a=(1+0.999･･･)/2とすれば0.999･･･<a<1

>>157
1＞{(1-0.999…)/2}+0.999…＞0.999…

ぐずぐず言ってる奴はまだ理解できないのか？

>>157
できれば、もうすこしくわしく引っかかっている部分について説明してください。
背理法そのものに疑問があるのですか？

>160
a=(1+0.999･･･)/2とすれば0.999･･･<a<1

これはすでにaの存在を使っているんでは？

使ってないと思います
aとしてこのような数がとれるといっているだけで２の代わりに３でも４でもいいわけですから

165上で言っているのは161の式でのことでした。すみません。
160でも同様で使っていないと思います

二つの異なる実数a,bがあって、a<bとする。
このとき、(a+b)/2も実数でa<(a+b)/2<bが成り立つ。

>165-167

しかし、aが存在するかしないかわからない場合

＞このとき、(a+b)/2も実数でa<(a+b)/2<bが成り立つ。

このように間に数があるかどうかは分からないんでは？
この場合だと(a+b)/2という実数がaとbの間に存在することは
分かっているわけで、その性質を使っていないとすれば
aが存在しないとしても成立するような結果でなければならんと思うが？

>>168
aの存在を証明しているのが160及び161だとおもうのですが

>>168馬鹿？
aとbが実数でa<bということだけから
「(a+b)/2も実数でa<(a+b)/2<bが成り立つ」
という事実が従うんだよ！

>169
循環してると思う。

>170
多分話が通じてない

＞>169
＞循環してると思う。
してねーよ

>>171
1と0.999･･･が実数ならば(1+0.999･･･)/2も実数である

>172
あくまで実数としての性質を使っていて、

>１＞０．９９９・・・ならば、当然１＞ａ＞０．９９９・・・となるａが存在するはず。

これはその性質から導かれたもので、ここでの「当然」というのは
>152の要請によってであると思う。

結局、こういう話をするときに気にするべきところを気にしていないというのは
結構問題だと思うんだけどなぁ

>>174
うむ。それがなにか？

>176
だから>159に戻る

寝る

>148まで戻るんだ
ま、いいや

161で私は具体的な二つの数からaとして
{(1-0.999…)/2}+0.999…
という数をつくっています。>>144 では
　0.999…
はひとつの数としてかんがえていますので。
そこに矛盾があるというなら　>>128　にすこし厳密にかいてます

1と0.999･･･が実数であるならば（>>152の要請１)、
「当然」(1+0.999･･･)/2も実数である。

さらに「当然」
0.999･･･ < (1+0.999･･･)/2 < 1
が成り立つ。

こんなことがわからん奴がいるとは・・・

>>182を修正

さらに0.999･･･ < 1ならば「当然」
0.999･･･ < (1+0.999･･･)/2 < 1
が成り立つ。

もう議論の余地はないと思われるんですが…。
厳密な証明はできてるし、直感的にわかりやすい説明もあるし。
論理的な展開自体を疑うのは別の機会にすればいいと思う。話が発散する

うむ。>>168,>>171,>>174,>>177の馬鹿にもわかったようだしな。

>>184
説明なら(１/3)x3で終わってるような気がするぞ

>>185
高校生は黙ってれ

要請１，２　のように一定のルールを定めないと、すれちがいばかりだし
数学に不慣れな人はどれを見てもだまされた気分だろうし。
話が彫り下がっていくのが狙いなら当たりなんだけどね。でもやっぱり発散しすぎ

中学生なんですけど…

この種の証明を厳密性を欠いた形でやることじたいが無意味

>>189
１８５が中学生なの？それとも１８５＝神崎？

>>168,>>171,>>174,>>177は大学生以上ってこと！？
それはｲﾀｲな・・・

神崎氏のｼﾞｻｸｼﾞｴﾝｽﾚ

すみません。神崎は184でした。

でもまぁ中学生相手だと説明しかないだろうね
証明はちょっと無理だな

>>192
微積分習いたての大学一年生だろ？
>１＞０．９９９・・・ならば、当然１＞ａ＞０．９９９・・・となるａが存在するはず。
の部分には実数の持つ深ぁい性質が使われているのだ！とでも言いたかったんじゃない？

このまえある高校の公開講座でこの問題に似た話をやっていました。
それでもらった資料みながら>>144と>>128かいてみたんですが

>>197
書きこむ前にスレのタイトルをよく見るべきだったな（ｗ

どういうことですか？

1=0.99999999999999999999999999 じゃねーだろ？（ｗ
もともとネタスレなんだよ。
読み返せばわかるが、>>128以前はまともな話になっていない。

ネタスレだってこと。
1>0.9999999999999999999
1=0.999...

かぶった。

なるほど。でもとりあえずいい勉強になったのでよかったです。

>>128以降もネタじゃねーの？

ネタでしょう。まじなら0.999...の意味から議論の余地などないからね。

必死でついていってたつもりだったんですけど…。
出直してきます。

一番よい回答した人だれ！

>>152でいいだろ？

>>69も明快でいいな（ｗ

0.999…って単なるかき方の問題でしょ。>>152が答えなんじゃ？
1と言う数字を0.999…と書いているだけで、数字としては同じもの。
0.999…って極限値と思えば、

0.999…=lim(n→無限)0.9(n)=lim(n→無限)Σ(k=1→n)(9*0.1^k)=1
(0.9(n)の表記は>>152におけるものを引用しました。)

とおなじみの式が出てくる。
これでわからない人は、無限の概念があやふやだから、
どんなに説明してもダメだよ。
仮に納得したとしても、間違った認識でわかったつもりでいると思う。

0.999…って考えてみたけど、良く見たら1でした、ってだけのこと。

999=9*10^2+9*10+9
0.999=9/10+9/10^2+9/10^3
0.999...=9/10+9/10^2+9/10^3+...=9/10(1+1/10+1/10^2+...)=(9/10)/(1-1/10)=1

>>127
その前に…の意味をはっきりさせないと。

0.999…=1/2+1/4+1/8+1/16+…=(1/2)(1-1/2)=1

>>213
ほえ？
0.999…=1/2+1/4+1/8+1/16+…=(1/2)/(1-1/2)=1 か？

愚地独歩

こう言うのはどう？
１０進法の性質上０．９９９・・・＜ａ＜１となるａは存在しない。
もし０．９９９・・・＜１ならば、
０．９９９・・・＜（０．９９９・・・＋１）／２＜１となるので矛盾。
よって、０．９９９・・・＝１

↑激しく外出です・・・

>>214
＞0.999…=1/2+1/4+1/8+1/16+…=(1/2)/(1-1/2)=1 か？
うむ。正しい等式だ。

>>217
でも明快でしょ？

＞１０進法の性質上０．９９９・・・＜ａ＜１となるａは存在しない。
ここが明快でない。

>>217
> ↑激しく外出です・・・
これの意味は
「激しく外出ですすすすすすす・・・（以下無限に続く）」
ってことでＯＫ？

>>220
なぜ？

no.
「激しく外出です激しく外出です激しく外出です・・・（以下無限に続く）」

>>222
＞１０進法の性質上
１０進法のどのような性質なのか？

>>224
９に１足すと繰り上がってしまうため、
０．９９９・・・に何かを足すと１を超してしまう。
よって、０．９９９・・・より大きい数は、１かそれより大きい数になる。

>>225
＞０．９９９・・・より大きい数は、１かそれより大きい数になる。
それから
＞０．９９９・・・＜ａ＜１となるａは存在しない。
が言えるの？

>>226
言えます。

>>227
勘違いｽﾏｿ

>>228
いえいえ

>>ALL
ﾏﾀｰﾘ

>>230
ﾜﾛﾀ

もっと極端に言えば、
2(10進法)=10(2進法)
何故って言われても、表現方法が違うだけで実体は同じだから。
1=0.999999999･･･
も表現が違うだけで実体は同じ。

意外と盛り上がってるね、このスレ。
決定的なレス、誰か付けてYO!!

85 ：６７ ：01/10/19 17:23
俺はこれでイイと思うけど・・・。

１０進法の性質上（註：９に何か足すと繰り上がる）
０．９９９・・・＜ａ＜１となるａは存在しない。

仮に０．９９９・・・＜１ならば、
　　０．９９９・・・＜（０．９９９・・・＋１）／２＜１となるので矛盾。
よって、０．９９９・・・＝１

＞１０進法の性質上（註：９に何か足すと繰り上がる）
＞０．９９９・・・＜ａ＜１となるａは存在しない。

？

>>235
０．９９９９・・・と１．００００・・・の間の数は存在しないってことだけど？

＞１０進法の性質上（註：９に何か足すと繰り上がる）
＞０．９９９・・・＜ａ＜１となるａは存在しない。

ﾅﾆﾕｴ？

>>237
それが１０進法だから

＞１０進法の性質上（註：９に何か足すと繰り上がる）
＞０．９９９・・・＜ａ＜１となるａは存在しない。

＞それが１０進法だから

・・・・・ﾖｸﾜｶﾗﾝ

>>239
じゃ考えろ

>９に何か足すと繰り上がる
なんじゃこりゃ

０．９９９・・・は、少なくとも０が１の位にある数字の中では最大だから、
何か正の数を加えたら１に追いつくか追い越さざるを得ない
ということ

＞０．９９９・・・は、少なくとも０が１の位にある数字の中では最大だから、

･････？

>>243
「わからない」だけで話し合う気がないなら書き込みするな

＞０．９９９９・・・と１．００００・・・の間の数

虚数みたいに定義しちゃったら？
無いけどある、みたいな。
具体的に数は書けないけど、あると便利だな、って感じで。
以上。
ぶんけーバリバリくんでした。

>>245
定義したら、それは１０進法でどう書くの？

「無限小」みたいなやつで、αを導入して
０．９９９・・・＜０．９９９・・・＋α＜１
ってことにすれば？

>>247
要するに１０進法に収まり切らないからそういう「定義」が
必要なんでしょ
この事実が一番の証明だよ

虚数をa+biとかって書く感じかな

>>249
それだって実数から外れた概念だし

でも１２進法ってのもあるよな。
０．９９９９・・・＜０．EEEE・・・＜１
でもいいかも。（EはELEVENのE）

０．ＥＥ・・・ＥＥ＝１−（１／１１）＾ｎ
＜１−（１／１００）＾ｎ
　　　　　　　　　＝０．９９９９・・・９９９９
よって、０．ＥＥＥＥ・・・＜０．９９９９・・・も成り立つ

それに、１２進法で表された数だからって１０進法で表せない
ってことにはならないんだよ。２５２でもやったけど

ま、今回は全て１に帰着するから関係ないか

＞252
有限個で言えたって無限個で言えるかわけじゃないじゃん。
１０進法にとらわれずに考えると０．９９９・・・＜１も言えそうだな。
でも０．９９９・・・＋無限小＜１も捨てがたいかな。

１０進法に捕らわれずに考えたいなら、
１０進法を超越した証明を考えなさい。
それを思いついてから意見すること。
あと無限小＝０だから、それも覚えておいた方がいい。

眠くなったから寝る。なかなかおもしろかった。

＞255
あした考えるよ

じゃあな。
俺はまだやることがあるから・・・

･････?

・・・・・！

しかし1=0.999…と1≠0.999…のどちらも証明出来ないように
「0.999…」を定義できないものかね。

排中律を仮定すれば、0との大小関係が分からない実数が出来るのだから
↑のも出来そうな気はするのだが。

そんな定義に意味があんのかってことだね（ｗ

なかなかいいスレだね。

無限に暇がありさえすれば
1を敢えて0.999…と表現しかねない人々のことを
数学者と定義する。

何か違う？

誰も反論できないんだねプププ

ここの連中には意味が通じてないんじゃない？（ぷ

http://www.sex-jp.net/dh/01/

>>264
大丈夫
いつか相手してくれる人が見つかるから

そして二人は結ばれる。

煽って誰にも反応してもらえなくて、
すぐ次のレスも自分の書き込みになったときほど
恥ずかしいことはないと思う。

>>269
ﾜﾗﾀﾖ

>>270
つーかネタだよ。
よく見てみな。

>>272

　　　　　　　 　　 　　/ ） ／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　 　　　 ./ /　|　　怒らせて
　　　　　　　　　　 / /　　＼　　　　　　　　　 ／￣￣￣
　　　　　　 　　　 / /　　　　￣|／￣￣￣￣　　|　 ゴメーン
　　　　　　　　　./ /＿Λ　　　　　, -つ　　　＼
　　　　　　　 　/ / ´Д｀）　 .／__ノ　　　　　　　￣∨￣￣￣￣
　　　　　　　　/　　　　＼　／ /　　 ⊂_ヽ､
　　　　　　　 .|　　　　へ／ ／　　　　　　.＼＼　Λ＿Λ
　　　　　　　 |　　　　ﾚ'　 /､二つ　　　　 　 ＼ （　´Д｀）
　　　　　　　 |　　　　　／.　　　　　　　　　　.　>　　⌒ヽ
　　　　　　　/　　　／　　　　　　 　　　　　　/　　　 へ ＼
　　　　　　 /　 ／　　　　　　 　 　　　　　　/　 　 /　　 ＼＼
　　　　　　/　 /　　　　　　　　　 　　　　　ﾚ　　ノ　　　　　ヽ_つ
　　　　 ／　ノ　　　　　　　　　　　　　　　/　 /
　　　_/　／　　　　　　　　　　　 　　　　/　 /|
　 ノ　／　　　　　　　　　　　　　　　　　（　（　､
⊂ -'　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　|　 |､　＼
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　.　　|　/　＼　⌒l
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|　|　　　）　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ノ　 ）　　 し'
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(＿／

わかってないのは
>>268
>>270
>>272

（・∀・）ﾊｽﾞｶｼｰ

>>272→>>273

（・∀・）ﾏﾁｶﾞｴﾀ!

　　　　　　　 　　 　　/ ） ／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　 　　　 ./ /　|　　>>275さん！
　　　　　　　　　　 / /　　＼　　　　　　　　　 ／￣￣￣
　　　　　　 　　　 / /　　　　￣|／￣￣￣￣　　|　 誰も味方してくれません！
　　　　　　　　　./ /＿Λ　　　　　, -つ　　　＼
　　　　　　　 　/ / ´Д｀）　 .／__ノ　　　　　　　￣∨￣￣￣￣
　　　　　　　　/　　　　＼　／ /　　 ⊂_ヽ､
　　　　　　　 .|　　　　へ／ ／　　　　　　.＼＼　Λ＿Λ
　　　　　　　 |　　　　ﾚ'　 /､二つ　　　　 　 ＼ （　´Д｀）
　　　　　　　 |　　　　　／.　　　　　　　　　　.　>　　⌒ヽ
　　　　　　　/　　　／　　　　　　 　　　　　　/　　　 へ ＼
　　　　　　 /　 ／　　　　　　 　 　　　　　　/　 　 /　　 ＼＼
　　　　　　/　 /　　　　　　　　　 　　　　　ﾚ　　ノ　　　　　ヽ_つ
　　　　 ／　ノ　　　　　　　　　　　　　　　/　 /
　　　_/　／　　　　　　　　　　　 　　　　/　 /|
　 ノ　／　　　　　　　　　　　　　　　　　（　（　､
⊂ -'　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　|　 |､　＼
　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　.　　|　/　＼　⌒l
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|　|　　　）　/
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ノ　 ）　　 し'
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(＿／

記念カキコ

>255

無限小って、１÷∞のこと？

>255 はただの電波

無限小＝十分小さい数（ｗ

無限小＝無限に小さい数、でしょ？

1=0.99999999999999999999999999 じゃねーだろ？（ｗ
もともとネタスレなんだよ。

>>282
何回目？

無限小は０に収束する数の事

＞０に収束する数
そんなものが存在するのかと問いたい。問い詰め(以下略

だからあ、無限小＝「十分小さい数」だってば！

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1002893257/562

　　 　 　 　 　 　 　 　 ∩
　　 　 　 　 　 　 　 　 | |
　　 　 　 　 　 　 　 　 | |
　　　 　 　 ∧＿∧ 　 | |　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　 　 （；´Д｀）／/＜　先生！十分小さい数ってなんですか？
　　　　　 ／ 　 　 　 /　　 ＼
　　　　 / /|　　　　/ 　　　　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ＿＿| | .|　　　　|
　 ＼　 ￣￣￣￣￣￣￣＼
　　||＼　　　　　　　　　　 　 ＼
　　||＼||￣￣￣￣￣￣￣||￣
　　||　 ||￣￣￣￣￣￣￣||
　　 　 .||　 　 　 　 　 　 　 ||

スミルノフの本とかに書いてるから
知りたかったら読め

十分小さい数は書いてねーだろ（ｗ

1か0なんじゃねーの

何が？

　　　　　　　　　　 　（ ）
　　　　　　　　　　　／／
　　　　∧＿∧　　　 ミ）
　　　（・∀・）＿／／　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　／　　　　　／／　　　＜　負け犬粘着厨房の巣発見！
　（　　　＿　／／つ　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　＼　／　／／（
　　　（彡／　　　）
　　　　＼＿＿＿∧
　　　　／／　　＼＼
　　 　││　 　／／
　　　（＿）　（＿）

ゼロと言わずに、十分小さい数って言葉をわざわざ使う
って事はゼロとは区別してる数なんだろう（予想）

でもそれって、ゼロの次の数ってことにならないか？
ってこたぁ１の前の数も存在することにならないか？
つまり、１マイナス十分小さい数＝0.9999999...？
あれ？でも１＝0.9999....とか言ってたよな？
そうすると十分小さい数＝０？最初の予想と違うぞ？
じゃぁ、なんでわざわざ区別してるんだ？
俺はどこが間違ってるんだ？

1=0.99999999999999999999999999 じゃねーだろ？（ｗ
もともとネタスレなんだよ。

大雑把な無限小の解説

・まず自然数の集合Nにあらたな数aを追加して
全ての自然数nに対して「a>n」となるように定義する。
このような集合をN^*とする。

・んで実数の集合Rにも↑と同じaを追加する。
そしてb*a=1となる、ようはaの逆数であるbを追加する。
このような集合をR^*とする。
んでこのbを無限小って言う。

無限小ってのは普通の実数の集合には含まれない。

実数の定義を蔑ろにしてばっかりだから数学板には
「1=0.999…」って問題に対して約1500ものレスが付くんだろうね…
そういう俺のこのレスだって正確とは程遠いから基礎論に詳しい方フォロー求む

R^*においてはb≠0であり、Rに含まれるどんな実数ｘに対しても
x>bであるから無限小って言うんだろうか。

もしここに煽る事を楽しんでいる奴以外の人がいたら
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/998233109/n212-/
↑のスレッドの「１３２人目メーテル」と「nanashi」以外の書き込みを見てくれ。
そうすれば少しは無限小について分かる。

>>296
・・・ダメ
煽られっぷりがイタイタしくて見てられない（ｗ

ていうか、自然数のどれよりも大きいａって「無限大」以外に考えられ
なくない？大きい自然数って、どこまでも大きいし
「無限大」を自然数に組みこもうなんて、>>295って文系？

たかが、
「1=0.99999999999999999999999999」
のスレタイトルで、よくもこんなに伸びたもんだな。

　　　　　　　　　　 　（ ）
　　　　　　　　　　　／／
　　　　∧＿∧　　　 ミ）
　　　（・∀・）＿／／　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　／　　　　　／／　　　＜　３００です！
　（　　　＿　／／つ　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　＼　／　／／（
　　　（彡／　　　）
　　　　＼＿＿＿∧
　　　　／／　　＼＼
　　 　││　 　／／
　　　（＿）　（＿）

>>298
えっと、詳しい説明を知りたいのなら
「超準解析と物理学／中村徹／日本評論社」という本を読んで下さい。

この本はGoogleで「超準 自然数」と2つのキーワードを入力した時、
その上から六番目のURL先にある掲示板で薦められていた本です。

ちなみに呼んだ人の感想は
＞全ての自然数についてａｎ＝ｂｎ＝０のとき、(ａｎ，ｂｎ)＝０と定義しています。
＞ａｎ、ｂｎの中に０でないものがあるとき、(ａｎ，ｂｎ)が０を表しても、(ａｎ，ｂｎ)＝０になりません。
＞超準解析の本は読んだことはあるのですが、私の頭では理解不可能と思いました。
だそうです。

「呼んだ→読んだ」です。誤字すいません

>>287
ワラターヨ

>>303
十分小さい数って、そこに置かれた条件を満たすぐらい十分に小さい数
って意味だよ

数学板の一般的な教えて君を１とすると
Ｉという人物は
1-0.999・・・・
であらわされる。

な〜んとなく理解してきたぞ。

ゼロを中心に左がマイナス、右がプラスの直線を考えて
左右へ限りなく伸びていくとする。

―――――――――――――――0―――――――――――――――――

その上に位置を特定できる数が、いわゆる「実数」なんだな。
その上に特定できないものが「その他」なんだな。

で、１とか５とか−６なんかは特定できる実数なんだけど。
０÷０だったら答えが無い、つまり特定できない「その他」だし
無限大も線上に特定できない「その他」
――0――――∫省略∫――――――∞
なんてやっても、「その∞の左右はどうなんだｺﾞﾙｧ!」となる。

で、無限小の場合も同じで、線上の点に特定できない。
だって0.00000...0001で間にあるゼロの数が無限なんだから。

となると、同じようにπでも√２でも小数点以下が延々と続くものは
「厳密に特定できない」ってことになる。
で、それじゃ困るから「無限に近づく近似値はまとめちゃえ」というルールを
作って、それに従うことにしたのが今の数学なんだな。

だから、別に自分ルールで1≠0.99999999999...とする数学体形を作って
そこから自分でその体形を研究発展させるのもかまわないわけだ。

でもこれはちょっと辛いよ。
1≠0.99999999999...（無限に近づくが等しくない）
π≠3.141592653...（これも無限に近づくが等しくない）
1/3≠0.333333333...（やっぱり無限に近づくだけで等しくない）
こんなルールで勉強しないといけなくなるから。
だから、そうしたい人だけそのルールで勉強してね。ということだ。


素人が素人文章で書いたので、間違いがあったら指摘して下され。
以上、長文スマソでした。

>306
示すべきことがちがいまんがな

>>304
出典はここ
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1002893257/556-562

（正の数）／（十分小さい数）＝−∞らしい・・・（ｗ

>>308
確かにやる気のない答えだけど、何日も引っ張るほど楽しいか？

　　ﾊﾊﾊ
　 ∧＿∧　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　（　＾∀＾）＜　　あほか
　（ つ ⊂ ）　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 .）　 ）　）
　（_＿）＿）　　　　　（＾∀＾）ｹﾞﾗｹﾞﾗ

>>310
暗すぎる・・・

というより、意図を勘違いしてるナ

必死に言い訳してる奴がいるナ

どこが？

↑必死（ﾜﾗ

だから、何が？

それより>>1よ、
じゃなくて>>0.9999999999よ、聞いてくれ

なんだよ

>>318
ﾜﾗﾀ

>>306
そこまでやってなにになる？

>>320
なんだか安心できました。

>>1
文系と名乗りながらさりげなく理系じゃねえのか＞１は

1=0.99999999999999999999999999は

１−１／１０＾ｘと置き換えられる
もちろん、この場合はｘ＝２６

まず、最初に
１−１／１０＾ｘについて
Ｘが無限におおきい場合
極限をとると
１／１０＾ｘは０に近付く
よって
１＝０．９９９９９・・・が成り立つ

ただ、この極限を取るということは
１や０．９９９９９・・・という数字が何を意味するかによって
違ってくると思う

これが１メートルと０．９９９９・・・メートルという単位を
持つもので
この数字が実際の測量などで必要であれば
上の計算方法は問題ない

そこで＞１の言っている問題も
場合によっては成り立つ


とこれは俺の独自の見解だ

一般的な解答は
「イプシロン・デルタ」　細井　勉　著　　日本評論社
を見ろや

簡単で読みややすいよ　おすすめ

つまり９の数が少なすぎるんだろ？
９を１億個ぐらいならべれば＝になるんじゃないのか？

↑
例えば普通の力学の実験
なんでもいい、ミリカンの油滴だろうが、表面張力だろうが
では
１／１００００までも計測しないから
＞１の言っている場合でも
十分
１＝０．９９９・・・９９となりうる

純粋な数のみを扱うんであれば
εーδ論法だ

他の方法は知らん

って言うかこれから講議だ
逝ってくる

流石物理専攻（ﾜﾗ

test

物理学者は「すべての奇数は素数である」という証明をする。

「１はそレ自身以外に約数がないから素数である。３，５，７が素数
であることを確かめるのはやさしい。次の９はどうだ？これは３×３
と因数分解できるではないか。でもこれは例外だ！次の11も13も素数
ではないか。よって全ての奇数は素数であることが証明された」

http://www.uv.es/~jaguilar/humor/hmate2.html

＞325

ゴラァ

え？
1=0.999999でしょ？
だって、
　　　
　１・００００００００００００００００…
−０・９９９９９９９９９９９９９９９９…
―――――――――――――――――――
　０．０００００００００００００００１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　仮においたこの１にも、さらに右があるから、
　　　　　　　　　　　　　　　　　永遠に０が続くってことでしょ？
無限に少ない小数点以下に１が出ても、さらに繰り下げればまた0になるでしょ？

１-0.99999999＝0.000000000000
でしょ。
だから0.00000000000＝0

＞素敵

全然ダメ

>>327

＞ 9 is ... uh, 9 is an experimental error

ワラタ

ｵﾚﾊｺﾚﾆﾜﾗﾀ
> 9 will be fixed in the next release, ...

錯乱中の学部生
pを任意の2より大きい素数だとする。
pは素数であるから2で割り切れない。
従って任意の素数pは奇数である。
証明終//

>>334
おいおい、それじゃ正解だろ。
ネタは「任意の奇数は素数である」だぞ。

>>335
訳しただけだもんなぁ

>>335

＞ Confused Undergraduate: Yes, it's true. Proof: Let p be any prime number larger than 2. Then p is not divisible by 2, so p is odd. QED

え。じゃあつまり、結論が違うってだけのギャグなのか。。

うーん。

>>306
そのおかげですっきり定式化できる場合もある。
それが超準解析。

さげ

「すっきり定式化」・・・ううーむ。

1
-0.99999999999999999999999999
―――――――――――――――――――
0.0000000000000000000000001

はい、じゃあ「すべての奇数は素数である」ことを証明する機械を作りました。
機械を動かします。
「出力：１は素数です。」結果が出ました。
「出力：３は素数です。」結果が出ました。
「出力：５は素数です。」結果が出ました。
「出力：７は素数です。」結果が出ました。
「出力：９は素数です。」あ、ちょっと機械の調子が悪いようです。
「出力：１１は素数です。」結果が出ました。
「出力：１３は素数です。」結果が出ました。機械は治ったようです。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　：

01は素数だ。
03は素数だ。
05は素数だ。
09は（8進で）11だ。これも当然素数だ。

ｽﾏｿ1,3,5じゃなくて3,5,7だった

>>343-344
なんか洗脳カセットテープみたい。

あの人の声をあててみよう。

>>343
ソースコード見せて。

功徳を積むぞ。功徳を積むぞ。功徳を積むぞ。
そしてわたしは、大いなる救済者になるんだ。
わたしは大いなる救済者になるんだ。
わたしは大いなる救済者になるんだ。

void prime(unsigned num)
{
if (num % 2)
printf("%u is prime.\n",num);
return;
}

>>343
１が素数？
やっぱり調子悪いみたいね。

>>350
numが十分に小さければ使えそう

>>352
ﾜﾗﾀ

>>352
せいぜい4294967295までとか。
アーキテクチャによっては18446744073709551615までは使えるか？！

ある漫画で、紙に０.９９９９９９９９９・・・・・と書いていっていくらやっても１にならないという話が出てきた

「グラップラー刃牙」か？

>>356
そうです

>>355
それは単に書き足りないだけ。
人間の一生ぐらいじゃ１にはならないよ。

>>341
あんたかなり知ってるだろ？

>>358
何年ぐらい続ければ１になりますか？

>>360
1000000･･････年位

>>361
ﾜﾗﾀ

1=0.99999…　ってのは、普通に数学やってれば常識なんじゃ？
実数が現実の世界に適用できるものなのか？みたいな話は、数学じゃ
数学基礎論とか位でしか問題にはならないよ。形式的に実数を定義して、
こういう、1=0.99999…　とかを決めたの。１とか、２とか、整数のみに
こういう2通りの表記が出来ちゃうんで、上の式の左辺の表記を標準の記法に
しましょう、って取り決めたの。わかった？

１／３＝０．３３３３３３３３３・・・・・・・・・・・・・・だからこれに３かければいい

１／３＝０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・・・・だからこれに３かければわかる

>>364-365
０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・・・・に３かけると言うことを
厳密に示してくださいな。

０．３３３３３３・・・×３
＝０．９９９９・・・＝１

だからぁ、>>1の主張は
1=0.99999999999999999999999999
なんだってさ。間違っていることは小学生でもわかるでしょ。
>>2-366はみんな的外れなことを言ってるんだよ。
荒らしと間違われるから気をつけてよ。

>>368
このスレってネタだったのか？

そうみたいだね。

>>369
いままで気付かなかったの？（＠。＠；

時にはマジレスも新しいネタとしていいもんだよ。

それなりには楽しんでるよ。このスレ。

なんという中身の無いスレだ（ｗ

だぁかぁらぁ〜、>>364-365よ！！
０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・・・・に３かけると言うことが
どういうことか厳密に示してくださいな。

だから
０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・・・・×３＝０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９・・・・・・
だろ？

>>1
今更「マジだった」とは言えまい（ｗ

>>375
ていうか、「そこ」がクリアできればＯＫってことは、
方向性としてあの証明は悪くないってコト？

０．３３３・・・を「１０進法上の数」と考えれば
「各位に３をかけること」＋「繰り上がり」を定義すればいいわけで、
今回は「繰り上がり」がないから簡単に計算できちゃったワケでしょ

>>376
数学わかってないなぁ。
分配法則は有限個の項にのみ適用できるんだよ。
形式的にやったってダメなの。
ってことは、０．３３３３３３３３３３３３３３３３３３３・・・・・・の意味を
明確にする必要があって、それはすなわち、
１＝０．９９９９９９９９９９９９９９９９９９９９・・・
の答えでもあるわけ。
で、>>1は、1=0.99999999999999999999999999
なんて激アフォなこと抜かしているんで逝ってよしなんだけどね。

>>379
それは「証明」にしようとした場合であって、
計算として明らかに成り立つ場合は局所的に
事実を認めてもいいと思うけどね
頭固いこと言わないでさ

>>378
勝手に定義して解決したつもりでいちゃだめだよ。
その定義がwell-definedであることを示してよ。
知ってる人には馬鹿げたことかもしれないけど、
無限を扱うときには重要なこと。
たとえば、
Σ(1/n)→＋∞ as n→＋∞（n∈N）
だけど、
Σ(1/2^n)→1 as n→＋∞（n∈N）
でしょ。見た目で∞を形式的に扱っちゃいけないってこと。

大学の数学科なら一番最初に頭に叩きつけられるはずのことだから、
まじめな話、ほとんどの大学の数学科っていい加減なことやってると
思ってしまうよ、このスレ見てると。もう少し自覚するべきだね。
もしくは実は高校生以下の厨房しかいないかのどちらかだな。

ちなみに煽りじゃなくて本当に自覚してもらいたいと思ってレスしました。

>>380
そんなに込み入った議論ではなくて、その基本的なところを抑えれば
実はこの問題は解決してしまうと言うことに気づいて欲しい。
ちょっと考えてもらえればわかるけど、
もともとこの問題は、証明するべきことじゃなくて、
きちんと０．９９９９９９９９・・・・の定義を述べれば
それでおしまいなんだよ。

>>378
もちろん数学科の人じゃないですよね。
もしそうなら、進路を考え直したほうが言いと思いますよ。
転部とか他大学を受けなおすとか。

>>381
示すのは数学科でやればいいこと。
０．９９９・・・＝１ごときが議論の対象になる
このスレの趣旨をわかってないかも

>>382
だったら、何故それを出して説得しない？

>>383
煽り無用

>>385
煽りじゃないでしょう？
普通の数学科の先輩や先生なら、数学科に入ってきた学生に向かって
最初に言う言葉だよ。
つまり、素養の無い人には数学は志して欲しくないってこと。
それが、あなたのレスに垣間見れたってことだよ。

>>384
> >>382
> だったら、何故それを出して説得しない？

問題にするようなことじゃないよ。
このくらい自分で気がつかなくっちゃ。

>>386
アナタ教えるの下手でしょう？

>>388
まあそうあせるなって。
自分の無知を人のせいにする前に、自分の将来をまじめに考えなさいな。
時間はあるんだろ。今、大学何年生だ？

>>389
教え下手を人のせいにしてる間は何も見えてきませんよ。

>>388
大学の数学の講義なんて、そんなに学生に気を使って教えてなんかいないよ。
ついて来なければ来なくてもいいって感じだからね。
演習なんかではみんなの前で思いっきりつるし上げられるし、
本来とても厳しい世界。
それともあなたの大学はなぁなぁで授業をやっているの？

>>390
大学を義務教育と間違ってるよ、この人。
いやならやめたら？
人に頼るんじゃなくて、自分から積極的に勉強するところだよ、大学は。
ひとつの講義に、どれだけ予習復習に時間かけてます？

大学の講義と２ｃｈを混同は違うの。
そこはきちっとケジメをつけるように。

これじゃあ、π＝３にせざるを得ないのも納得できる。
中学で2次方程式も教えなくなるらしいから、
これからの大学数学は大変になるね。

>>393
>>390はけじめがつけられないみたいだね。
かなりマジになってるYO!!

アナタの問題は違うところにあるけどね。

>>395
煽るの早くない？

>>393
どう違うの？

>>393
なんか日本語が変では？

>>398
マジでわからないの？
>>399
そういうのは具体的にいうこと。

だって意味が通じないもん。だったら言い直してよ。

アナタの頭の問題につきあう気はないよ。

>>400

> >>398
> マジでわからないの？

そういうのは具体的にいうこと。（ｗ

1/3=1÷3=0.3333････
両辺を３倍して
1=0.9999････

これ↑のどこが間違っているのか解り易く教えてくれ。
あと、
>>379
＞分配法則は有限個の項にのみ適用できるんだよ。
これはどういう意味だ？よくわからん。

>>404
ほら、本物の高校生が現れたよ。教えるチャンスだよ！！

>>403
マジで>>398の問題提起に答えが出ないの？

>>402
とうとう破綻したか。許す。逝ってよし。

>>405
そうだよね。言った人出てこい！

>>402
答えてやれよ。

>>409
どうして？

こっちで似たような話してる。
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/998233109/692

>>411
これは不正解だね。

なんだ、やっぱり間違ってないんだろ？
>>379以下はいったい何をごちゃごちゃ言ってたの？
それにしても
>>379
＞分配法則は有限個の項にのみ適用できるんだよ。
は気になる・・・

0.333*3=(0.3+0.03+0.003)*3=0.9+0.09+0.009
は正しい。でも、
0.333・・・*3=(0.3+0.03+0.003+・・・)*3=0.9+0.09+0.009+・・・
は一般的には見た目だけでは正しいとはいえない。それは無限回の操作が
暗黙のうちに使われてしまっているから。有限の操作で正しいから、
それを無限の操作に拡張したところで必ず成り立つとは限らない。
しかし実は、上記の場合は結果的に正しい。高校の美席のレベルでも
証明はできるはず。やってみよう。

>>413
結果的には間違ってないよ。
ただ、足し算は「ａ＋ａ」の形で定義されたのが基本だから、
「ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ＋ａ」みたいに数え上げるものしか
認めないのが原則。無限和は違う形で定義し直さなければならない。

実数αと収束する数列a_nに対して
αlima_n=limαa_n
ということぐらいは俺でも知ってる。
だから
0.3333････×3=0.9999････
になるのは当たり前じゃん。
というか、間違ってもいないのにこんなに騒いでる理由がわからん。
それより、
>>379
＞分配法則は有限個の項にのみ適用できるんだよ。
はでたらめということでOK？

>>416
要するに、
limが存在しない場合はダメってこと。
だから、でたらめじゃないんだよ。

>>416
それがわかっているのなら、このスレの答えも理解してるってこと。
それ以上に何を望む？

>>416
とにかく、大事なことは、
有限の足し算と無限の足し算では性質が違ってくるということ。
だから、有限の足し算で成り立っている法則を無限に延長するのは
どのような場合でも慎重を期すべきであって、
本来なら「証明不十分」で片づけられてもおかしくない。
証明では、だけど。

>>416
> というか、間違ってもいないのにこんなに騒いでる理由がわからん。

ここでは正しい正しくない、と言うことが問題ではなくて、
ちゃんと認識しているかしていないかが問題なの。
数学において一番怖いのは、馴れ合って何が重要かが
わからなくなってしまうこと。謙虚な姿勢を見失ってしまうこと。
それがあなたには理解できたかどうかが、実は一番重要なのだよ。

2人が高校生を諭しているな。いいことだ。

ダブりまくり。宇津

>>420
「重要なのだよ」
・・・書生さんですか？

>>417
そういうことか。
でも、部分和S_nに対してlimS_nが存在しない場合は、
分配法則以前にα*limS_nという掛け算自体が考えられないのだから、
「limが存在しないときは分配法則は適用できない」
というのはナンセンスでは？

井健（ｗ

>>424
割り込むでない！！

>>424
結果的にはそうなると思う。
でも「結果的」に過ぎないのであって、
「無限和」にはﾔﾊﾟｰﾘ慎重を期すべし。
証明ではね。

分配律の場合は、かなり直感がそのまま正しく適用されるから
そんなに問題にはならないけど、もっと複雑な極限とかがからむと
いろいろ厄介だったり、直感では正しいとか収束するかどうかも
わからないことがある。
とにかく無限を扱うときは最初から疑ってかかること。

>>424
学校の先生に聞いてみたら？
先生の本当の実力がわかるよ。今の君なら先生も逝かせられるかも。

>>429
一番嫌われるタイプ（ｗ

このスレもそろそろ収束しそうですな。

>>424
そんなナンセンスでもないよ。
そもそもk(limA_n)=lim(kAn)ということ自体それ程自明じゃないから
例えばK=0,limA_n=∞の場合とかを考えてみては？
one poit compactificationされたR∪｛∞｝とかも考えてみたり。

ていうか、収束しちまえ

poit→point
あとは
lim∫f(x)dxと∫limf(x)dxの違いとかも考えて見るといいんじゃない
かな？

無限次元線形空間なんかも面白いかも。

>>432
分散は？

>>435
だんだんズレてきてる・・・

主ワルツの不等式の無限次元版やってみよう。

はじまった

高校生は？

数学屋の悪い癖
周りが見えなくなる病

>>436
分散？すみません、よく分かりません。
まあ、一応>>432のことについて書くと例えば
lim0=0だけどこれを例えば0=0*nとかして
0limn=lim0=0としちゃうと右辺は意味のある式なのに
最左辺が意味のない式になるわけで・・
あと>>434について修正、
lim(n→∞)∫f_n(x)dxと∫lim(n→∞)f_n(x)dx
ということです。

たとえば、
An=1-1/n
としたとき、任意のnに対して、
An<1
だが、n→+∞としたとたんに、
lim(n→+∞)An<=1 (正確にはlim(n→+∞)An=1)
となる。有限と無限の性質が異なってしまう。
これが有限と無限の違う怖いところ。

>>443
もういいって(^_^;)

まだやってたのか

>>445
講義中に席を立つなよ（ｗ

こいつ誰に話してるんだ

なんだ？？？

知るか

この擦れは収束しました。よって、

◇◇◇しゅーりょーぉぉぉぉぉぉぉおおおおおおおおおおおおおおおっ♪◇◇◇

QED

尻すぼみな終わりかただなオイ

あとはボランティアの方達でどうぞ。

この質問を東工大の卒業生にぶつけたら、華で笑われたよ。

私は小学生の娘に聞いたら馬鹿にされました。
そんなのもわからないの？って。
どう見ても、
1=0.99999999999999999999999999
って成り立たないですよね。親の威厳、丸つぶれです。
回復するにはどうしたらいいですか？
このスレの責任ですので、ここで解決してください。
いい案を期待しています。

>>452
今までのはプロと言わんばかりですな

またはじめに戻るのかよ

いつまでもこうやって循環するが，
有限でうち切られる，
それを身をもって示しているのか
永劫回帰

>>453
理系は基本的に周りの見えない人が多いから仕方ないでしょう。
>>454
（せめて「・・・」つけてください。）
「０の世界」と「１の世界」があります。
「０の世界」で一番大きいのは０．９９９・・・で
「１の世界」で一番小さいのが１です
しかし、この２つの世界はくっついているため、
自然と１と０．９９９・・・もくっついてしまうのです

しかし、ある時２つの世界は分離してしまいました。

>>457
無限を扱うには注意を要する。
もうひと回りすると、ちょうど１０００ぐらいでないかい？

でも、またくっつきました。

500ぐらいまでマターリ逝って、501からまた萌えるレスをつけましょうよ。
で1000をまっとうするということでよろしいかと。

明るい家族計画ですね。

そうなるのを見守ろう

一度、「ここが変だよ日本人」で取り上げてもらいたいね。

２０点です

どこが

耳かな

どんな耳してんねん

微妙にあったかい感じ？

ε^_^;３＜−こんな耳。左右いびつやねん。

耳っていうより、おしりね

>>471
いい!!

いや？

循環小数に四則演算は可能なの？

あっちできいたらだれもおしえてくれなかった

可能

不可能

どっち!?

>>475
循環小数って実数だろ？
だから可能に決まってんじゃん。
ばっかじゃねーの？

全部

475=476=477=478

何でこうなるの？答えろや。数学オタクよ。
ちゃんと答えろよ。

分数に直せば可能。

ふふふ
君はまだ2ちゃんの怖さをしらない

>>475
循環小数って分数に直せるから計算できるじゃん。
つまり小学生だってできるよ。発想の転換だよ。

無限小数の形ではできないだけＳＡ！

マジレスありがと

0.333…=1/3
1/3を3倍すると1
だね。
でも0.333…=1/3かどうかでスレが伸びてるんだから
全く進展ナシだよ。欝

俺は飯に逝く。帰ってくるまでに消滅してないことを願うよ（ｗ

>>485さんと立場は同じつもり
質問がヘタだでした

では次の方どうぞ

>>487
多分、1000まで逝ってると思うYO!!

先生、トイレに行ってきます！

>>490
おまえ、いつも授業中に行くんだな。もしかして大か？

中・・・かな

>>491
私はよくこの手を使いました。ちょっとおなかが。。。と言って。

休み時間にやると、上から覗く奴がいるんだよな。
落ち着いてふんばれんかった。

先生、ソープに行ってきます！

ナプキン持ってる？

脱線してきたぞ。

498

ゴムは忘れるな。　　

脱糞です

何故こういう展開に。。。楽しい。

ピクニックはこうでなくっちゃね！

サイクリングもヤッホーじゃなくっちゃ♪

うーん、３０点です

どこが

Cでもいいんで、単位ください。

♪より♥でしょ

30点じゃだめ

あげません

やっぱＤかな

留年したくないんです。お袋が病気で。。。

あなた私とお母さんとどっちが大事なのよ！

いや、急におなかが痛くなって、仕方なく試験を欠席したんで。。。
追試してください。。。

残念ながら、昨日で締め切ったわ

う

つ　　　

だ　　

し　　　　　

の　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

う　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

ちんぽが腫れちゃったんです

>>521
そうか、精神病院逝ってこい

【症状】　認知の歪みが著しい
【処方】　ブロムワレリル尿素　４週間分

〜　おだいじに・・・　〜

だから単位くれっちゅぅに！！

ageない

最初のレスは1≠0.9
次のレスは1≠0.99
んで、1≠0.999、1≠0.9999、1≠0.99999ってやっていっても
もちろん有限回なわけだから1=ってはならない。

ネタスレならあと400レスばかしそれで埋めたっていいんじゃねぇか？

と、いうことで実験。
1≠0.9
1≠0.99
1≠0.999
1≠0.9999
1≠0.99999
1≠0.999999
1≠0.9999999
1≠0.99999999
1≠0.999999999
1≠0.9999999999
1≠0.99999999999
1≠0.999999999999
1≠0.9999999999999
1≠0.99999999999999
1≠0.999999999999999
1≠0.9999999999999999
1≠0.99999999999999999
1≠0.999999999999999999
1≠0.9999999999999999999
1≠0.99999999999999999999
1≠0.999999999999999999999
1≠0.9999999999999999999999
1≠0.99999999999999999999999
1≠0.999999999999999999999999
1≠0.9999999999999999999999999
1≠0.99999999999999999999999999
1≠0.999999999999999999999999999
1≠0.9999999999999999999999999999

1≠0.99999999999999999999999999999
1≠0.999999999999999999999999999999
1≠0.9999999999999999999999999999999
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実に下らぬことをしてしまった。

ここら辺が有限と夢幻との違いか。

夢幻戦士ヴァリス

無限とは幻であった…

>>1よ。。。

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1≠0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
1≠0.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

途中で止めんなよ。

もし私の記憶が正しいならば数学では、
１≠0.999999999999999・・・
１−δ＝0.999999999999999・・・
とかいうのも『あり』だったはずだが、、、

・・・がどうなっているかが問題だ。
たとえば1000桁目で終わっていたりすれば『あり』だな。

>>542
いやいや、「・・・」が可算無限続いていてだよ．
ま、連続体問題がＺＦから独立だから、アレフＮ続いていても大丈夫
なんだろうけどさ．「δ」はダサかったかな．いまはどんな記号を使っ
いるのかな？

そのδってのは当然実数じゃないんだろ？

ってことは「−」も通常の減法とは違うはず。
どのように定義されてるんだろう？
0.999999999999999・・・−δ
はいったいどんな数？

0.999999999999999・・・−δ　＝　１−２δ

>>527

単純にすげえと思った
最強のブルートフォースアタッカーに認定

>>546
0.999999999999999・・・−δ　＝　１−２δ ＝　１− δ ≠ 1

>>544
ええと、実数の定義が切断なら違うよなぁ、、、
ごみん、わかんね．

>>539うざっ

ｳｻﾞｲｽﾚﾆｳｻﾞｲﾚｽ｡ｵﾚｶｺｲｲ

δ＝0ですよね。

ほ？

>>541
δって何よ？

>>553
ピクミン

>>553
メロン

>>553

超順実数だっけなぁ、無限小数だっけなぁ、そんな感じ．

どわから、実数じゃないんだろ？

http://www.hi-ho.ne.jp/yoshik-y/mathematics/m004.html
スレ圧縮によりお亡くなりになられてしまったスレより発掘。

とりあえず無限小の数は実数の体には入ってません。
あくまで拡大した集合の要素。

「超準解析でも1=0.999･･･」みたいなこと書いてあるが、よーわからん。
実際、どーなのよ？

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/998233109/228

>>558
調べるほどの事じゃ。。。

結局nonstandardでやったってstandardと結論は変わらない

定説なんでしょ。

所詮>>1よ。

そろそろネタ尽き。。。

ポアです。

1=0.99999999999999999999999999だと、とんでもない事がおきる。
だって、
10=9.9999999999999999999999999
が正しい事になっちゃうもん。

いや、
100=99.999999999999999999999999
になってしまうことのほうがとんでもないぞ

1=0.99999999999999999999999999
だと
100000000000000000000000000=99999999999999999999999999
両辺から 99999999999999999999999999 を引いて
（以下省略）

そうだ、δはディラック関数のδ！！
こじつけかな、（笑）

クロネッカーの・・・

>>570
す、すんません、そのδは無限小とかにどんな関係が、、、？？

関係ないから安心しろ

マジレスわかりやすい説明

１÷３＝0.3333・・・・ですよね？
１を３つに割ったのが0.3333・・・なのだから
その逆に、３つに割った１を３倍してあげると１になるはず
ここまでは分かりますよね？　では実際にやって見ましょう♪

１＝１÷３×３＝（0.333・・・）×３＝0.999・・・

つまり１＝0.999・・・・　となるのです

かなり文系的な答え方をすると
１を３で割った数に３をかけると１になるはず。
実際やってみると答えは0.999・・・という数になる
上の文章が間違っているという点が無い以上、１＝0.999・・・は正しい

また嵐の予感･･･

それでは，実際やってみましょう．
まず，無限に広い紙を用意して下さい．
準備は，整いましたか？
それでは，はじめます．って，はじまるか！

>>574
答えは，正解でした．

1=文系
1=0.999999999999・・・・
よって、文系＝0.999999999999・・・＝変な奴　

>>575
>>539の続き頼む

>>575
始めなければ終わらない。これ名言。

やってみれば良いのに。。。ｂｙひかるこ。

↑誰だ？お前。

終わってないのにＯＲ学会。これ迷言。

>>581
すたぁです♪

書けませんよ(￣ー￣)ニヤリッ

書けるんですが何か？

age?

　　 　 ∧＿∧∩　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 （　´Д｀）/＜　先生！ 最終ラウンド無視されて辛かったんですか？
　＿ / /　　 /　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＼⊂ノ￣￣￣￣＼
　||＼　　　　　　　　＼
　||＼||￣￣￣￣￣||
　||　 ||￣￣￣￣￣||
　 　 .||　 　 　 　

もうsage続けてください。

┌───────────────────
│あ、どうもｽｲﾏｾﾝ、>>1がお騒がせしました･･･
└───v───────────────
　　　　 ／⌒＼　っ　　 ／＼
　　　　/'⌒'ヽ　＼ っ／＼　 |
　　　 （●．●）　）／　　　|:　|　すぐ連れて逝きますんで･･･
　　　　 >冊/　 .／　　　　 |: /
　　　/⌒　　 ミﾐ　＼　　　〆
　　 /　　　／　|::|λ|　　　 |
　　 |√7ミ　　 |::|　 ﾄ、　　 |
　　 |:／　　　　V＿ハ　　　|
　 ／| i　　　　　　　　 |　∧|∧
　　　и .i　　　　　　Ｎ　/⌒ ヽ）　>>170
　　　 λﾍ、|　i　.ＮV　 |　　 | |
　　　　　　Ｖ＼Ｗ　　　（ 、　∪

>>580-583
のりか？

ヤフーオークションで、凄い人気商品、発見！！！

コピーガードキャンセラー↓
http://page2.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/b18032656

注目のオークションに適用される事、
間違いないですね。

私も買いました。

皆も買いましょう。

>>590
草助はOL（役名は忘れた）と付き合って結婚するべきだ。
折れならそうする。のりかよりOLのほうが若いしかわいいもん。

0.999…=1/2だ。19進法でだがな。

0.999…=1/3だ。28進法でだがな。

てことは、0.999999……　＝ 1.0000000……

さらには、0.000000……　＝　−0.0000000……

になってしまうような気がするが？

マイナスゼロってなに？
プラスゼロってなに？
広瀬正が書いた『マイナスゼロ』を思い出しました。

＞0.999…=1/2だ。19進法でだがな。

違います。19進で0.999…は1/2に近づきつづける数です。

3 * 0.33333333333333333.... = 0.999999999999999999.... ・・・(1)
という式自体が間違ってるって説はどうよ？
つまり、(1)式は循環小数のかけ算というちゃんと定義されていない演算であり、
それを有限小数のかけ算と混同して答えを出しているために、
(1)が成立しているという前提は成り立たない。

一方、1/3 = 0.33333333... は成立しているはず（？）
なので、次の(2)式は正しいと言える。
3 * 0.33333333333333333.... = 3 * 1/3 = 1 ・・・(2)

つまり、0.999999.... ≠ 1 である。・・・だめ？

訂正。やっぱ
> 0.999999.... ≠ 1
とは言えないな。

>>597
いつまでもネタをかくなよ。それともマジなの？

600ｹﾞﾄｰ

>>597
そういうことだと思う。
おかしいと思うのに、正しいと思う人が
なんでこうもいるんだ?

しかも、理論的に説明してる人までいる始末・・・・。

だって、どう考えても
0.999999････
は1より小さいだろ?

0.333333････×3=0.999999･････
がおかしいのであって、
0.333333････×3=1
でしょ。

>>599
俺は597じゃないが、逝っても
大学止まりだな・・・。

>>601

> おかしいと思うのに、正しいと思う人が
> なんでこうもいるんだ?

だって、ここが数学板だから。
普通の人は「感覚的に」1 < 0.999999999...と思って当然だろうね。

> しかも、理論的に説明してる人までいる始末・・・・。

だって、ここが数学板だから。

思うに、ここは君の来るべき場所じゃない。

>>602
> 普通の人は「感覚的に」1 < 0.999999999...と思って当然だろうね。
ｽﾏﾝ、1 > 0.99999999...の間違い

>>602,603
基本的には、>>255〜>>305で考えているわけで、
>>293と>>305が解答だと思ってる。

実数とはDedkindの切断の集合でしょ。
ただ、
0.9999･････
の場合、特定できないという意味で、
その切断が、動いてるわけです。

つまり、
0.99999････
は存在してるかどうか”わからない”訳です。
”特定できない”という意味で、わからないということ。
ただ、次の性質だけはわかっている。
0.99999････は、1に近づいている。

けど、
誰が
0.999999･････
を見たときに、0.33333････×3と訳したんだ？

ゲーデルの不完全性定理だよ。
わかっちゃいるけど、証明できねぇ〜♪
真否の判断ができねぇんだなぁ〜。
これがまた、しかも数学上原理的に説明できないと来てんだから、

ここはネタスレなんだ、ネタスレなんだと俺は自分自身に
小一時間言い聞かせたい。

>>605
ここに来る人は皆、雑談スレだと思ってるはず。

ただ、なんか気になるんだよ・・・。

このスレでは、多数決で＝として構わない。
それが民主主義のあるべき姿だからだ。
しかし、私は≠と主張するのを止めない。
なぜなら、いまだ、誰一人として
１＝０.９９９９９...を証明していないということだ。
そして、このスレを多数決の≠で決まったことを
一般社会で通用することはない。
なぜなら、＝である事は、このスレだけの
特殊定義事項であり、一般常識とはかけ離れているからだ。
そして、一般常識としては、この式は≠である。
それは、このスレが＝の認定のとき多数決を決定した理由に他ならない。
一般には、圧倒的多数が≠を主張し、それが正しいとされるからだ。

>>607
学問と民主主義に一体どんな関係があるというのかね？

以前は変なこと言ってるレスを見るとマジで説明してたんだが
もうどぉでもよくなってきた。。。

>>609
学習性絶望やね

>>608
書くたる根拠も無く＝をスレの統一見解に
しようと画策する人が居るので、
皮肉っただけだ。

>>609
しかし、それでは昨今の底辺の数学力低下を
阻止する事に疲れているのは理解できなくもないが、
底辺の数学力低下を阻止することができなくなるではないか。

今何ループ目？

ここで教えている側は何度も同じ事を言っているのだろうけど、
とんちんかんな事を言う人は、それぞれ別人だから、
これはもう人類が生き続ける限り無限ループだよ。

なにを前提にして１＝０.９９９９９...
といってるかわかってないひとがほとんどだよ

1＝1.0000000000…
は本当に正しいのでしょうか(w

1/3≒0.3333333……
1≒0.9999999……
じゃダメなの？
0.9999…と９をいくら続けたって１にはならない。
そう考えるのであれば0.3333･･･と３がいくら続いても1/3にはならないでしょう？
1/3=0.333333……これを納得するのであれば
1=0.999999……も問題ないでしょう？

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006180123/53
↑これはどうなの？これで良いの？

0.99999999…… が実数ならば、それは１に等しい。

じゃあさ、
2=1･99999999999999999999・・・・
でもいいのか？ああ？

>>619
よくねぇよ（藁

ああ？
1･99999999999999999999999･･･････････8
になるだろうが。
よって１＝0.99999･･････
は間違い！

>>621
その８はどこからくるんだよ（藁藁

ああ？じゃあ
1/3＊6=2なんだぜ。
だから0.33333････＊６って理屈が成り立つんじゃネェのカ？
無限小数だから最後に８があるってのも理解できねー。最後が
無い筈なのに・・・
でも1/3×6は、２だよな。
マジで教えてくれ。

1/3　×６は２じゃねーか

で、1/3は0.333333333･････なんだぜ？

１については0.3333333×３という説明してるくせに、
繰り上がったりすると破綻すんのかよ！

0.999999･･･のケツは無いけど、全部9だってことが分かってるから
ＯＫなのか？
確かに0.9999・・・・・・・・・になる。
0.3333･･････×6だと全部9にならないだろうから駄目なのか？
でも99999になるのは結果論であって、0.3333×３というのがあり
なら0.3333×6というのもありなんんじゃないの？
結果が0.99999だから満足してるだけど、０．XXXXXXXXXの
掛け算が成り立つことを証明してないじゃん。
そこを教えてくれよ。
繰り上がらない場合は成り立つということにしているの？
でも繰り上がるって発想は、数字にケツがないと駄目なんだけど
ケツは無いってことにしてるよね。ワケ分らん。

>>620
おい。X＝1.9999999　10X=19.99999999
　10X＝19.9999999
-　　X＝　1.9999999

９Ｘ＝18
X＝2　X＝2＝1.99999999
これは駄目なんか？間違ってる理由を教えてくれ。

あと0.33333×３という仮定は成り立っても
×6は成り立たない理由を教えてくれ。繰り上がるからじゃ負におちん。
それじゃ結果に合わせてるだけじゃん。
成り立つけどそれは1.99999999なわけかな？それはそれでまた
ワケ分らん。

0.3333･･････×6という計算を筆算でやるのが間違い。
無限小数の掛け算についての筆算は定義されていないはず。
当然繰り上がりなども無意味。

だから、0.3333333・・・×3を筆算でやって＝0.999999・・・とするのがまず間違い。

>>627
数学書の類でこーいう説明があるよ。
＞0.3333333・・・×3を筆算でやって＝0.999999・・・とするのがまず間違い。
これは厳密に間違えてるんだ。
無限小数の掛け算ってのも厳密には成り立たないものなの？
繰り上がったら無意味になるなんて結果論じゃなくて、もっと深い理由を
教えてよ。

＞あと0.33333×３という仮定は成り立っても
0.3333333･･･×３＝１/３　×　３＝１＝0.99999・・・
という順序で計算しなければならないので、
１＝０．９９９９９９９・・・の証明にはならない

>>628
掛け算は定義されているが筆算は定義されていないと言う意味。
繰り上がったら無意味になるのではなく、繰り上がりと言う言葉自体が無意味。

＞0.3333333･･･×３＝１/３　×　３＝１＝0.99999・・・
この順番は分かってるけど、これは証明になってないの？

筆算ってどーいうこと？文字では表せないものだと？
成り立つけど、現せないもの？

１＝0.999999･･･を証明したいのに、証明の中でその事実を使ってしまっているので、
証明とはいえない。
こういうのを循環論法という。

ぶっちゃけ
２＝1･999999999999
はまちがいということでよろしいのか？

数学入門みたいなもので、１＝0.999999
の証明があって、そんときゃなっとくしたんだが、
表層しか見て無かったってことかな。もちろんプロがパット見だけで
納得させる為だったんだろうけど、真の理解とは別だって
ことだね？

筆算と言うのは数学というより算数の用語で、
「数字を書きながら決まりに従って計算すること」なので、
無限小数は数字を全部書ききれないために筆算できない。

>>633
1/3＝0.33333333333　これに3倍すると１
0.33333×３は０．９９９９９９９９９
よって左辺＝右辺より１＝０．９９９９９９９
これも厳密には数学的に正しい証明ではないの？

X＝0.9999999
10X＝9.99999999
こっから９Ｘ＝９にしてX=1　よって0.99999＝１
ってのも厳密には正しくないの？

俺は>>620じゃないから知らんが、
きっと、
２＝1･999999999999･･･じゃなくて
２＝1.999999999999･･･だろ
と言いたかったのではないか？

２＝1.999999999999･･･は正しいとしても問題はないよ。

>>636
どっちも正しくない。

一つ目は
＞0.33333･･･×３は０．９９９９９９９９９・・・
ここで循環論法に陥っている。

２つ目は
＞X＝0.9999999･･･
＞10X＝9.99999999･･･
ここで循環論法に陥っている。

１０Ｘ＝１０×0.9999999･･･＝１０×１＝１０＝9.9999999･･･
という順番だから。

>>635
0.333333×3は小数点以下が無限に9になるから
数字で表わしていいの？0.33333333333･･･×6は
筆算できないけど、こういう掛け算は成り立つということで
いいの？0.333333×3が1＝0.999999なら、×３×２
つまり×６は２＝1.99999でよいのだね？
じゃあ結果的に0.33333×6は1･999999になるけど、
終わりが8だけで終わりが無いから・・・・（ｗ

>>638
？？？？数学的に本当に正しい証明はこのスレに出てるの？
これは秋山の証明だよ？？？
数学的に厳密に正しい証明っていうのはすーごく難しくて
素人には分からないものなの？

>>639
0.33333･･･×３も筆算ではできない

＞0.33333333333･･･×6は筆算できないけど、
＞こういう掛け算は成り立つということでいいの？

良い。

結果的には
0.33333333333･･･×6＝１/３　×　６＝２＝1.999999･･･
というわけ。
筆算ができないので終わりが８かどうか気にする必要も無い。

0.33333＊３に全部９が並ぶだろうという予想も
まちがい？

でも0.333×３には全部９が並ぶだろうって仮定で
証明してるからなあ。
0.3333×６は駄目っていうのが良く分らんよ。

>>640
そもそも証明しようというのがおかしい。
１＝0.999999･･･は記法上の定義。
１≠0.999999･･･と定義してしまうと数学のなかでいろいろ矛盾が出てしまう。
だから、１＝0.999999･･･と定義するしかないという論理。

もし>>636の証明を成立させたければ、
0.33333･･･×３＝0.99999･･･を先に定義する
あるいはこれを証明できるようなほかの何かを定義をする必要がある。
そうすれば、
0.999999････＝0.33333･･･×３＝１/３×３＝１
という証明ができる。

>>642
間違いではない。

>>643
＞0.333×３には全部９が並ぶだろうって仮定
この仮定がダメ。
結果的に間違っていない仮定だが、証明しないで使うことは許されない。

>>644
確かに証明とは書いて無いけど、
>>366は秋山の順番をそのまま書いた。

秋山も本質的に数学を理解してないの？？

全部９が並ぶだろうという予想は証明されているものなの？

じゃあなんたらの証明より・・・という一言を入れれば
OK？（ｗ

循環論法の点を理解してないので、ちょっと考えてみます。

ぼくの考え付いた説明は、「循環小数になるのは10進法だからで、9進法にかえれば循環しない。」

10進法では、1/3=0.3(3の上に点)になるけど、
9進法にすれば、1/3=0.3で、0.3かける3=1。
この説明でどうよ?（既出だったらごめん)

誰が書いた本でも、基本的に高校数学までの本は１００％インチキだと思った方がいい。
筆者が故意に分かりやすさ優先でインチキを書いていることもある。
教科書がその典型。
大学数学の教科書でも循環論法に陥っている教科書があったりするから油断できない。

んで全部９が並ぶだろうっていうのはどう考えても
自明なんだけど、証明になるとすんごく
難しいものになるのですか？
自明として扱うのは数学的に間違ってると。

循環小数はすべて、10進法以外の進法にすれば解決できるのでは?

>>650
ふむ。それは筆者が分り易い様にインチキをしてるのか
本当に理解していないのか、どちら？

と思ったら２〜３行目に書いてあった。

この問題は要するに定義。
1/3を3倍すれば1になる。少数であらわそうとすれば、0.99999999---になるように見える、。
それだけのこと。

う、教科書のインチキが分かるようになったら
快感でしょうね。だけどそーなるには大学レベルの
数学の教育を受けんとまず無理なんですか？
>>450

中高生レベルで良い参考書ってありますかね。

数学って1つ1つ正しい階段を昇っていくもんだと思ってたけど
だましだまし昇って、あとで、気付くってこともあるんだ。。。

循環小数の記号(数字の上に点)って、表示できる?やり方教えて。、

1=0.99999999999999999999999999 の証明
というスレがあったと思うけど、それがそもそも誤りだと。
ムズカシイ。

>>649
これは、0.333･･･×３＝１の証明？
だとしたら、間違ってはいないが、１０進法だけでも証明できる。
0.3333･･･×３＝１/３×３＝１でＯＫ
しかし９が並ぶというのはこれでは証明できない。

9進法にすれば　1/3=0.3で、0.3かける3=1。
これでどうですか?

>>655
インチキが分かる人と一緒にインチキな本を読むといい。
大学レベルでもインチキを見破れる人は少ないからなんともいえないが。
なにしろ、「あの論文にインチキがありました」という論文が発表されたりするくらいだから、
人間が数学を語るということがいかに危ういことかわかる。

中高生なら、３＋４＝７のような足し算の厳密な証明が載っている本を読んで、
一度ショックを受けるのが良いと思う。
数学事典が本屋にあるのでそこで「ペアノの公理系」を調べてみたらどうか。
ネットでも良いけれど。

数学はほとんどの人が、だましだましのぼっていって、
その一方で、日々、目からうろこを落としつづけるという感じで、
勉強するものではないだろうか。

>>656
ちょっとわからない。
もしあったら教えて欲しいけど・・。

1/3＝0.33333333333　が証明されていない
から、まちがいということなのかな？
X＝０．３３３３　１０X＝３．３３３３３
から９Ｘ＝３　Ｘ＝1/3　よって0.333・・・＝1/3
っていう前提を入れるの忘れてた。

これを入れても間違ってるとか？
この証明が正しいことを前提にしても０．３３３３×３
で９がならぶであろうことが証明されていないから
どっちみち駄目ということ？

＞0.3333333･･･×３＝１/３　×　３＝１＝0.99999・・・
これだと一番左と右で0.3333･･･×3＝0.9999
にはなってる。これって0.3333×３が0.9999であることの
証明にもなってると考えれば良いわけ？だけどなんで
最後に0.9999だと分かるの？
いきなり証明もされてないのに0.33333×3＝0.99999を
もってくるのはまちがいだとしても、上記の式で突然
0.99999が出てくるのも分からない。

証明の中でその事実を使ってるとは、0.3333に３をかけると
0.9999になるというのは、１＝O.9999だという大前提を
初めから認めてることになるから駄目なの？これが循環論法？

>中高生なら、３＋４＝７のような足し算の厳密な証明が載っている本を読んで、
>一度ショックを受けるのが良いと思う。

中高生なら、そのへんは認めて先に進んじゃったほうが
いいような気もするが…まあ人それぞれってことですか。

>>57
さんも俺と同じやり方だけどこれも厳密には誤りになっちゃうね。

３＋４＝７
これは指7本だからでＯＫだよね！違うの？

>>659
それは1=1を証明してるに過ぎない。

そもそも「1/3＝0.3333333333333･･････」だっておかしいですよ。
「0.333333333……」は限りなく1/3に近いけれど決して1/3にはならないでしょ？
「0.999999999……」が１にならないのも当然じゃないですか。
どちらも近似値です。

はいはい。そうそう。

ちなみに616は名前欄に「過去ログ読まずにカキコ」と入力してますね。

…そういうことですか。

>>57
x=0.99999……　　　　　・・・�@
�@*10より
10x=9.999999……99990　・・・�A
�A−�@より
9x=8.999999……9991
∴x=0.99999999……
じゃダメ？

はいはい。そうそう。

OKですよ。安心してください。あなたの人生、それで困りませんって。

そんなものドンブリ勘定でいいです♪

ダメ、ダメ、ダメ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

>>669
激しくﾜﾗﾀ
x=0.99999……からx=0.99999……を導いたのか？（ｗ

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>>669
実際、その部分（引き算の曖昧さ）がこの証明の泣き所。
その証明は使うべきではないね。

>>676
ぶぶぶぶぶ
この証明？その証明？baka？
じゃあ、正しい証明は
x=0.99999……
∴x=0.99999999……
てな感じか？（藁

めくら

冬休みで御座います

�狽燻ﾊ像も使わずにあくまで0.9999…などという表記で
済ませようとするところに男らしさを感じる。良く言えばね

>実数の0.999……が1でないと主張するならただの電波。
>実数以外の代数系で「(0.999……と表現され得るもの)≠1」となる
>ようなのはいくらでも存在するが、もちろんそんなことは
>「実数0.999……は1と等しい」の反論にはなりゃしない。
>つーか、そういう意味での反論であればそもそも「0.999……は1でない」
>という表現にはならないはず。
>(0.999……=1？という質問自体は舞台となる代数系を明示しなければ
>全く無意味なのだが、質問者のレベルを考慮すればこれが実数を舞台と
>したものであることは暗黙の仮定としてよかろう)

と書いてありますが、
＞実数以外の代数系で「(0.999……と表現され得るもの)≠1」となるようなの
って例えばどんなのありますかね…
ぱっと思いつく限りでは実数体Rの超冪*Rしか思いつかなかったです

ttp://www.inpaku.go.jp/kanagawa/qa/a00120.html

インパクどうよ？

682のコピペ
> 1/3は0.3333333…となりますが、両辺に３をかけると1=0.9999999…ということに
>なりますが、どういうことなのでしょうか？
>
>(回答)
>正確には、1/3＝0.3333333…　ではありません。
>つまり、左辺と右辺はイコールにはならないということです。
>0.3333333…　は、「限りなく、1/3に近づく」ということで、正式に表記するには、
>循環小数（小数点以下のある場所から、ある数字の列が繰り返し限りなく続く少数。
>0.3の上に、・ を付ける）で表記しなければばらないのです。
>…は、単にもっと続くという、省略した表記です。
>ですから、これにかけ算をすることはできません。
>
>1/3＝0.3333333…　を書きかえると、実は、
>　1/3＝0.3333333　＋　α　　　
>です。　この場合、αは、小数点以下７桁以下の余りを　３　で割ったものです。
>したがって、この式の両辺に　３　をかけると、
>　１＝0.9999999 ＋ ３α ＝ １
>となり、矛盾はなくなります。
>回答者：岩崎洋光、カネコノボル、ＳＨＯＴＡ
だそうです。

矛盾って何でしょうね。

>>669 の意味が
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1009102965/l50
の337にあるぞ！本人かどうかわからないが。

ゲーデルの第1不完全性定理の一例。

>>685
しかし、まあひねたコメントだね。ただ第1不完全性定理じゃ
誤解が多いんじゃないでしょうか。

0.33333333は1/3に限りなく近づくってだけでイコールじゃないんじゃないの？
１＝0.999999999999なんて無意味じゃないの？

そうなの？
１＝0.999999っていうのは中高生に数学教える為の
面白い話？

>>687
　あなたに悪意はないけど、とりあえず
　0.33333333　とか　0.999999999999
　とかのあとに“・・・”を付けといた方がいいと思いますが
　揚げ足を取って申し訳ない

ものすごいアホな質問ですまないけど、
0.999…にガウス記号をつけたら１になるの？それとも０？

>>689
一瞬、総和とんのかとｵﾓﾀ
床ね、床。

>>689
いいねぇ。「ガウス記号をつける」って表現もいいね。
[　]を関数だと思うと普通の話しになっちゃうけど、
「ガウス記号をつける」だと文字列についての形式的変換
と受け止めることにできるから０の可能性も出てくるね。
689座布団１枚！

無限級数の和＝a/(1-r)を使えばいいんでは？
0.99999999…＝0.9+0.09+0.009+…
これは初項a＝0.9，公比r＝0.1の無限級数の和だから
0.99999999…＝0.9/(1-0.1)＝1

>>692
0.9999･･･を無限級数で定義するということだよね。
あたらしく定義する時は、
その定義によって既存の数学に矛盾は出ないことを示さないといけない。
どうやって示しますか？

>>693
さあ、それは高校範囲外だからわかりません（笑

>>693
新しく定義するといわれると、既存の定義を伺いたく思います。
どういう定義ですか？

>>693
ちゃんと0.99999999…＝1になるんだから既存の数学に矛盾は出ない、
じゃ駄目なの？

ていうか、それ、今さら定義するという問題なの？
はなから、「0.9+0.09+0.009+…＝1？」という意味の質問をされてるんだ
と思ってた。

そう言われてみると、「0.99999999…＝1？」と質問する人が何を念頭に
置いて「0.99999999…」と書いているのかよくわからなくなってきた…。

>>695　>>696
0.999999･･･などという「･･･」を用いた表記は数学では定義されてないと思うので、
0.99999･･･＝１？という質問は、
「0.9999･･･＝１と言うためには、0.9999･･･をどう定義したら良い？」
という質問になると思います。
その解答として、
「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…（正確には無限級数の表記で）と定義すればいい」
を挙げるなら、その定義が本当に矛盾を起こさない安全なものかを示さないといけない。

「0.999･･･は１より小さい数を表すはずだ」と思っている人にとっては、
つまり、「0.999･･･＜１」は数学的に正しいと信じている人には、
＝１になるような上の定義は矛盾を起こしているから納得できない。

「0.999･･･≦１」が数学的に正しいと信じている人には、
上の定義はとりあえず今のところは矛盾が見当たらないけど、
さて、この定義を認めてもいいものかどうか・・・という感じ。

0.999･･･が数学的には意味なし（ただの記号）だと思っている人にとっては、
0.9999･･･＝１とA＝１は同じように映るだろうから、
矛盾は無いし、どうでもいい話なのでしょう。

0.99999･･･＝１？と質問する人は、その多くが、
「0.999･･･は１より小さい数を表すはずだ」
と思っているらしく、したがって、＝１になるような定義を紹介しても、
納得しないのは当然と言えば当然なのです。

訂正：
×「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…（正確には無限級数の表記で）と定義すればいい」
○「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）と定義すればいい」


0.9+0.09+0.009+･･･といくら足しつづけても、
極限をとらない限り１にはならないので。

>>697
つまり、君の立場だと、
「0.99999…＝1だ」「いや違う」という言い争いは実は無意味なのね。
だって、「0.99999…」という記号で、両陣営が違うものを指してるん
でしょ。片方の陣営は「0.99999…＝1」が成り立つような何かを指して
るけど、もう一方は「0.99999…＜1」になるような何かを指してる。
連続の概念をそう定義したから、とかじゃなく、1と等しくなるように
「0.99999…」そのものずばりを定義してるから「0.99999…＝1」になる、
というだけの話なわけね。
まあそういう立場もアリかなあ。

僕としては、「0.99999…」が数学的に厳密に何を指すかは「0.99999…
＝1」問題とは独立に決まって、そこから「0.99999…＝1」が導かれる、
だから「0.99999…＜1」説は間違い、というのがしっくりくるけどね。

ちなみに、√２は、
ｘ^2＝２を満たすｘ（＞０）ですが、
その値は、
１≦ｘ≦２
１．４≦ｘ≦１．５
１．４１≦ｘ≦１．４２
と無限に繰り返した時の不等式の左辺と右辺の極限として定義されます。

同様に、0.9999･･･も、
0.9≦0.9999･･･≦１
0.99≦0.9999･･･≦１
0.999≦0.9999･･･≦１
と繰り返した時の左辺と右辺の極限で定義するのが普通かなと思うけど、
この定義が数学に矛盾を起こすかどうかは俺には示せません。
誰か示せる人がいたらよろしく。

実数の10進表示（無限小数）というのの、ひとつのやり方は692のように
無限等比級数として定義するものです。もう一つのやり方は0...9の無限
列に辞書式順序を入れたのち、ｘｙｚ999...とｘｙ（ｚ+１）000...（ただし
ｚは0...8）　を同一視するというようにして実数を定義するものです。
後者は足し算、掛け算を定義しなくて順序構造だけで定義できます。もちろん、
どちらにしても　1＝1.000...＝0.999...　です。また、もちろん
上記の同一視をする前は等しくありません。あと、等しくないという
ので筋のよいのはNonstandardAnalysis(無限小解析）で解釈する筋
でしょう。
まあ楽しく考えるのがよいのでしょう、691＝私。

楽しく考えてねえで俺に分かるように説明しろや！ヴォケ

>>701で終わってる気もしますが、せっかくですし…

>>700さん
その定義以前に「…」という記法に他の定義がない限り、矛盾は起こらない
でしょう。そのように定義された「…」を含むある文Aとその否定とが万一
証明されたとしたら、定義を用いて「…」を使わずにAと同じ命題を表現した
文A’とその否定も証明されます。従って、数学に元から矛盾がない限り、
その定義で矛盾は起こりません。
さすがに、「…」を一様に定義せずに
「0.999･･･＝3×(0.333･･･)」
「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
「0.333･･･＝0.3+0.03+0.003+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
などと定義すれば矛盾は出ますが。

>>701さん
僕の
>だから「0.99999…＜1」説は間違い
は、もちろん、連続の概念も実数の概念も標準通りなら、という前提つきの
話です。>>701に全面的に賛同です。

すみません、>>703のは
「0.999･･･＝3×(0.333･･･)」
「0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
「0.333･･･≠0.3+0.03+0.003+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）」
の間違いです。

もいっこすみません、
>そのように定義された「…」
は
>0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）
を念頭に置いてました。この定義自体は矛盾していないので。
仮に「0.999＝0.9999･･･＝１」のような、それ自体が矛盾している定義だと
当然矛盾が起こります。

図解せよ

>>699
俺としても、0.999･･･が独立にうまく（気分良く）定義されて、
それを使って＝１を導く（というかきっと定義から自明だろうけど）のが
いいんだけど、どうも、高校数学までしかやってない人と議論を始めると、
「何を前提としているのか」から整理しなくちゃ
いつまでたってもこの手のスレッドが立ちつづけると思う。

ある証明が提示されて、それで納得する人としない人では、
戦っている土俵が違うと言うことでしょ？
その違いを互いに認識しておかないと、最後は水掛け論になっちゃう。
いかに相手をこっちの土俵に引きずり込むかが勝負だと思う。
どんな説明をしたら＜１派を＝１派に洗脳できるかという。

人間の頭の中では数学的事実より先入観のほうが勝ることがあって、
先入観を持った相手を納得させるのはかなり難しいけど。

>>703
＞その定義以前に「…」という記法に他の定義がない限り、矛盾は起こらないでしょう。

そのとおりだと思うし、数学でも、黒板で説明する時とかはめんどくさいので「･･･」を良く使うと思います。
ただ、それは「･･･」の記法の意味を全ての人が同じ意味に変換してくれる場合に限ると思う。
こと0.999･･･＝１の話題に関しては、「･･･」の解釈そのものが問題になっていると思うわけです。
＞0.999･･･＝0.9+0.09+0.009+…の極限（正確には無限級数の極限lim�舶\記で）
というような解釈ならば＝１は自明だけど、
それで納得いかないのはその解釈自体に疑問を持っているからなので、
そういう人がいたら「･･･」の複数の解釈が互いにぶつかってしまいます。

・・・なんだか良く分からなくなってきたなぁ。

>>707
なるほど。確かに、＜1派と話をしてると、連続やら実数のとらえ方からして
食い違ってますもんね。

>そういう人がいたら「･･･」の複数の解釈が互いにぶつかってしまいます。
それを数学の矛盾と言えるかどうかは別として、確かに>>703では、皆に
とって一様な、厳密な定義のことを考えてました。皆が定義をまちまちに
使ってたら対立は起きるでしょうね。

･･･妙な感じの話になってきました。数学そのものの話じゃないっぽい。
まあ楽しく。

>>689
sin って名前に気がつかなかった、座布団もう１枚！

<1派は「･･･」が無限級数の和だと認めても=1じゃないと主張しますからねぇ。

結構多いのが「無限に近づくが1じゃない」って奴。

数列の収束って今はどの課程でやるのでしょうね？

>>710
厳密な（と言われている）ものは大学の数学科の１年で初めてやるんじゃない？
話によると最近は極限を高校と同じく「限りなく近づく」方式で教えてるらしいね。
信じられないけど、ホントなの？

ところで、「無限に近づくが１じゃない」派って、
「･･･」のところをあいまいにしてると発生するよね。
f(n)=0.9+0.09+0.009+･･･（n回足す）としたら、
f(n)≠１だけど、
0.9999･･･の解釈を、
（１）0.9999･･･＝f(n)とするか
（２）0.9999･･･＝limf(n)（ｎ→∞）とするか
はっきりさせないと、いけないとおもうよ。
じゃないと、（１）に反論する人が溢れ出てくる。

「無限に近づくが１じゃない」派で（２）に反論する人は
（１）と（２）の違いがわからない人かな。
先入観で（１）がまずあって、（２）を見せられてそれはそれで認めるんだけど、
でも（１）が引っかかって、納得できないのだと思う。

結局答えはどうなのよ。

>>712
なんに対する答え？

ε-δ論法でしっかり教えてやれよ。
それで>>1派が分からない・納得いかないってんだったら、

牛鮭定食でも食ってなさいってこった。

そんなこと言われても俺は松屋ではカレーかキムチ牛丼しか食べない。

結局、数学的な定義はどっちが正しいのよ？

>>715
そりゃ(2)だろ。
(1)だと 0.9999,,, が有限小数になってしまう。

やふでは無限界の動作をすることなんて出来ないって言う
奴がいるが、その場合は最初っから0.999…なんて数存在しない事に気付いて欲しい…

>>711
> 厳密な（と言われている）ものは大学の数学科の１年で初めてやるんじゃない？
> 話によると最近は極限を高校と同じく「限りなく近づく」方式で教えてるらしいね。
> 信じられないけど、ホントなの？

最近の大学生の学力低下は激しいらしく、文系、理系問わず１０年前の講義は
できないとか。そん話を聞くと、高校と同じ方式・・・ってのもありそうに思
えてくる。実際は知らないが。

> 「無限に近づくが１じゃない」派で（２）に反論する人は
> （１）と（２）の違いがわからない人かな。
> 先入観で（１）がまずあって、（２）を見せられてそれはそれで認めるんだけど、
> でも（１）が引っかかって、納得できないのだと思う。

そういう人は（２）の内容自体が理解出来ていないことも考えられる。収束す
るってことは収束する先があって、その収束する先の値を収束値と呼ぶ・・・
ってこと自体を理解していない。

だから「無限に近づくが・・・じゃない」なんて言う。

あと<1派では「0.999･･･(無限桁)･･･9」っのても多いね。例の１０倍して引い
て９で割るに反論する人たち。

結局、「無限」についての理解が足りない・・・ってことか。でも、今の課程
ではしかたないことなのかな？

数学板削除依頼
　　120 ：. ：01/11/08 23:57 ID:ZWhB4Mbf

　　重複スレッド
　　http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/　1=0.9999999999999999999999999999・・・

で、
＞本スレが確認できませんでした。
と言われて、削除してもらえず…

お前は本当1=0.9999999だと主張したのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、1=0.9999999って言いたいだけちゃうんかと。
ここが本スレだといいたいだけちゃうんかと。
しかしこれを頼むと

　　http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/998233109/l50
　　1 ：１３２人目の素数さん ：2001/08/19(日) 23:58

の方が先で、このスレも重複ちゃうんかと言われる危険も伴う、諸刃の剣。素人にはお薦め出来ない。
まあお前ド素人は、今井のDQNネタにでも引っ掛かってなさいってこった。

はーい、引っ掛かってまーす。

ゲーデルの第2不完全性定理より
1≠0.999999999････
での数学を作ること。

証明自体不可能であるし、証明するよりも
そこを分岐点と考えて、新しい数学を作る方が賢明である。

ユークリッド幾何学から、非ユークリッド幾何学への進展と同じこと。