数学的帰納法

上ので、納得できなかったら、こんなのはどうでしょうか？

0.999999･･･と表記される実数を、
任意の自然数ｎに対して、
1 - 1/10^n
以上で１以下の実数として定義したい。（これはいいよね？１未満は１以下に含まれるし）

すなわち少なくとも、
1 - 1/10^n≦0.999999･･･≦1
を満たすように、定義したい。

今、
lim(n→∞)1.0 - 1/10^n　＝１

よって、はさみうちの定理より0.999999･･･＝１
と定義しないと矛盾が出る。


0.999999･･･＝１に釈然としないというのは、
９がいくら続いたって１に到達するわけないじゃないかということだと思いますが、
実際に0.999999･･･を定数として定義するとなると、現在の数学では＝１とするしかないのです。
なんか狐につままれた感じですが無限を扱うとそういうことがたまにあります。
0.3333･･･のどの３に３をかけても９にしかならないのに、
全体に３をかけると１になっちゃうんですよね。
「･･･」ってなんか怪しげです。

自然数と偶数の個数（濃度）は等しい（１対１対応がつく）というのも、
個人的に気持ち悪いんですが、でも無限ってそういうもんだと思って割り切ってます。