◆ わからない問題はここに書いてね ６ ◆

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　人ｗ/　从从) ）　 わからない問題はここに書いてね♪
　 ヽ　| |　l　 l |〃　それから、数学記号の書き方の例は >>2 を
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 その他・業務連絡は >>3 を読んでね♪
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

【過去のスレッド】
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=967755172 その１
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970795775 その２
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=974911042 その３
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=978209589 その４
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=981372834 その５

【数学記号の書き方の例】

●変数・定数：x,y,z,..., a,b,c,... （← スカラー・ベクトルの区別は基本的にしない）
●関数：f(x), f[x]
●数列：a(n), a[n], a_n
●行列・テンソル：A, A(i,j), A[i,j], A[i,j,...;p,q...]
●足し算：a+b
●引き算：a-b
●掛け算：a*b, ab （← "*"を使い，"ｘ"は使わない．）
●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← "/"を使い，"÷"は使わない．）
●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"を使う．「るーと」で変換可）
●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
●対数・対数関数：log_a(b), log<a>b, log(x/2)=log_10(x/2), ln(x/2)=log_e(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
●内積・外積・スカラー３重積：a・b, aｘb, [a,b,c]
●行列式・トレース：|A|, det(A), tr(A)
●絶対値：|x|
●組合せ：nCk, C[n.k] （← P, Π, H も同様）
●微分・偏微分：y', dy/dx, ∂y/∂x （← "∂"は「きごう」で変換可）
●積分：∫[0,1]f(x)dx, ∫[y=0,x]f(x,y)dy
●数列和・数列積：Σ[k=1,n]a(k), Π[k=1,n]a(k)
●極限：lim[x->∞]f(x)

※その他"≠≧≦≒∈±≡∩"などは「きごう」を変換して使う．

【その他・業務連絡】

●新スレへの移行
・９００を超えたら新スレに移行準備
・旧スレの終了宣言と新スレへの誘導
・注意書きの変更

●注意書きの変更依頼
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=974985294

●数学板の削除依頼
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=975411628

さくらたんと、オマンコしたい！！！

>>1-3
ご苦労様です。
>>3のリンク先が落ちてます。現在使われているのはここです。

●注意書きの変更依頼
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=accuse&key=981797747&ls=50

●数学板の削除依頼
http://teri.2ch.net/test/read.cgi?bbs=saku&key=974165593&ls=50

さっそく質問させてください
{(x+y)^7}-(x^7)-(y^7)を整数係数の範囲で因数分解せよ。
また
{(x+y)^n}-(x^n)-(y^n)が{(x^2)+(xy)+(y^2)}*(x..yの多項式)
の形に表される様な2以上の自然数nを小さい方から3つ求めよ。

Mathematica によると
{(x+y)^7}-(x^7)-(y^7) = 7xy(x+y){(x^2)+(xy)+(y^2)}^2
だそーです。

>>6
なるほど。
しかしMathematicaは反則ですな(笑
羨ましい。。

>>6
f(5) = 5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)
f(7) = 7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2
f(11) = 11xy(x+y)(x^2+xy+y^2)(x^6+3x^5y+7x^4y^2+9x^3y^3+7x^2y^4+3xy^5+y^6)

>>9
レスありがとうございます。
この5.7.11という数はどうやって求めたのでしょうか?
1から全部入れてやっていくというわけではないですよね、、

積分なのですが質問お願いいたします

f(x)は次数が1以上の整式とする。ある定数Cに対して、
等式∫[-x→x]{f(t+1)-f(t)}dt =cf(x)が任意の実数xで成立しているとする。
(1)f(x)の次数が3以下のとき、cおよびf(x)を求めよ

(2)cおよびf(x)を求めよ

　　　　　　　　　∩
　　　　　　　　 //
　　　　　　　　//
　　　　　　　　|:| Λ＿Λ　　／￣￣￣￣￣
　　　　　　　　|:|（　´Α｀）＜　ln(x^2+a^2)の不定積分を御願いします。
　　　　　　　　|:|_）:∵:（ 　　＼＿＿＿＿＿
　　　　　　　　＼:∵:∴:＼
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>>12
何について積分したいの?

>>13
nについてです。御願いします。

∫(x^2+a^2)dn
⇔(x^2+a^2)n

ネタにマジレスをつけるというネタですか？

>>6
{(x+y)^n}-(x^n)-(y^n)が{(x^2)+(xy)+(y^2)}*(x..yの多項式)
の形に表される様な2以上の自然数nは
n=6k+1, n=6k-1 （kは自然数）でいいんじゃないかなあ。

f_n(x,y)={(x+y)^n}-(x^n)-(y^n) とおく。
z^2 + z + 1 = 0 の根を w とおく。

f_n(x,y)が{(x^2)+(xy)+(y^2)}*(x..yの多項式)
の形に表されたとすると f_n(w,1)=0 である。
自然数 n に対して
「{(w+1)^n}-(w^n)-(1^n)=0」⇔「n=6k+1, n=6k-1（kは自然数）」
であることは複素平面を睨んでればわかる。
（注：w は１の原始３乗根、w+1 は１の原始６乗根。）

逆に n=6k+1 または n=6k-1（kは自然数）ならば
f_n(wy,y)=(y^n)f_n(w,1)=0
f_n((w^2)y,y)=(y^n)f_n(w^2,1)=0
だから f_n(x,y) は (x-wy)(x-(w^2)y)=(x^2)+xy+(y^2) を因子に持つ。

…証明は大体こんな感じだけど頭が半分寝てる状態で
書いたんで変なこと言ってるかもしれん。

>>6　>>17
((t+1)^n - t^n -1)が(t^2+t+1)で割り切れるようなnを探す。

(t^2+t+1)=0の解の一つはa=cos(π/3)+isin(π/3)
f(n,t)=((t+1)^n - t^n -1)とすると
f(n,a)
=(cos(π/6)+isin(π/6))^n - (cos(π/3)+isin(π/3))^n - 1
=(cos(nπ/6)-cos(nπ/3)-1) + i(sin(nπ/6)-sin(nπ/3))

cos(nπ/6)-cos(nπ/3)-1=0 }
sin(nπ/6)-sin(nπ/3)=0　 }　⇒　略　⇒　n=6k±1

略したとこきぼーん。
和→積の公式なんて覚えてないっす。

>>11
f(x) が奇関数であることはすぐ分かる。

（１）は、f(x)=Ax^3+Bx と置いて計算すればよい。

（２）は、次数が３より大きい解があるとして、
f(x)=Ax^(2n+1)+Bx^(2n-1)+.....
と置いて計算してみればよい(A≠0,n≧2)。
x^(2n+1) と x^(2n-1) の係数を考えるだけで、あり得ないと分かる。

6,11は学コンだってさ。

マジ？>>21
汚ねぇ奴だな>>6, >>11

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　　　　　　　　|:|（　´Α｀）＜　>>13 xについてです >>14 勝手に答えないで下さい
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交換留学生です。アメリカ人に馬鹿にされたくないのでどなたか教えてください。
よろしくお願いいたします。
Let M be an n by n matrix with independent identically distributed
entries Mij, where
P(Mij = ±1) = 1/2,
Determine Var(det(M)).

-2x+2a*arctan(x/a)+x*ln(x^2+a^2)+c

Consider the Markov chain Xn on S={0,1,2} with transition matrix:
P=[1/2 1/4 1/4; 1/2 0 1/2; 1/4 1/4 1/2]

1. Is the chain irreducible and aperiodic?
2. Is the chain reversible?
3. How many solutions π does the matrix equation πP=π have?
4. Compute: lim[n→∞]Po(Xn=1).

Let Xn, n≧0, be the 3-state Markov chain on S={0,1,2} with transition matrix
P=[1 0 0; 7/12 1/4 1/6; 5/6 1/6 0]
Show that
lim[n→∞](3^n)*P1(Xn=2) exists, and compute the limit.

　　　　　　　　　∩
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　　　　　　　　//
　　　　　　　　|:| Λ＿Λ　　／￣￣￣￣￣
　　　　　　　　|:|（　´Α｀）＜　>>23 解答ありがとう。逝って来ます
　　　　　　　　|:|_）:∵:（ 　　＼＿＿＿＿＿
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x/3=y/5=z/6 のとき3x+y-3x/x-y+zの値を求めなさい。

これを姪（１７歳）にわかりやすく解説するにはどうしたらいいでしょう？
自分の説明では「わからない」と言われた主婦です。
もう解き方忘れちゃいました……(T-T)よろしくお願いします。

x/3=y/5=z/6 = t とおく
t=0 のとき　分母０だから計算できない
t=0でないとき、全部の項をtだけで表す。
　　　　　　　　計算しておわり

>>30
ありがとうございました！

実は問題式、間違ってました(^-^;)
3x+y-3z/x-y+z でした。答えは-1ですよね？

A(n) を 1,2,3,...,n の最小公倍数とするとき、Σ1/A(n) は無理数
であることを示せ、という問題があったはずだけれど、答は、がいしゅつなの？
これで合っていると思うんだけれど、どう？

b/a=Σ1/A(n) と表せたとする(a,b は自然数）。

p を a より大きい素数とし、上の式に A(p-1) を掛ける。

A(p-1)b/a=A(p-1)/A(1)+A(p-1)/A(2)+...+A(p-1)/A(p-1)+ΣA(p-1)/A(n)

最後のΣは、n≧p についての和。
最後の項以外はすべて整数。よって、最後の項も整数。正の整数だから、
ΣA(p-1)/A(n)≧1 でなくてはならない。
以下で、「＜1」となることを示し証明が終わる。

p の次にくる素数を q とする。q≦2p-1 である。
（一般に２以上の自然数 p について、p＜q＜2p を満たす素数 q が存在するから。）
いま、p≦n≦q-1 の範囲にある n を考える。q≦2p-1 によりそのような n は高々 p-1 個。
A(p-1)/A(n)≦1/p は明らか。よってこの範囲の n について和をとれば、
ΣA(p-1)/A(n)≦(p-1)/p ・・・(1)

同様にして、q の次にくる素数を r とすれば、q≦n≦r-1 の範囲の n について、
A(p-1)/A(n)≦1/pq であり、
ΣA(p-1)/A(n)≦(q-1)/pq ・・・(2)

次の素数を s とすれば、r≦n≦s-1 の範囲で、
ΣA(p-1)/A(n)≦(r-1)/pqr ・・・(3)

同様にどんどん不等式を出して、(1),(2),(3),... をすべて加える。
ただし、これらの不等式は、A(p-1)/A(n) の評価の際、A(n) に素数が平方フリーで
現れることしか考えていない。実際は、p^2 という因子などもどこかに現れるはずだから、
すべての式で等号が成り立つことはあり得ないことに注意する。

ΣA(p-1)/A(n)＜(p-1)/p+(q-1)/pq+(r-1)/pqr+...=1

>>32
無限級数ですよ

age

有限和が有理数なことは自明ですよ

age

age

age
とかないと
スレッドたっちゃう

あげ

>>33,35
ん？
俺、なんか間違ってるの？
無限和で考えているけど。

33=35は途中までしか読んでないんで無いの？

失礼しました

>>32
なんか感動
ポイントはなんですか？

次の計算ができません。教えて下さい。
�@Ｂ^２＝Ａ＊Ｃ　　
�A２Ｃ＝Ｂ＋Ｄ
�B２（Ｂ＋２）＝Ａ＋Ｃ＋３
�C（Ｃ＋２）^２＝（Ｂ＋２）（Ｄ＋３）
上記の�@〜�Cを満たす、Ａ，Ｂ、Ｃ、Ｄを求めてほしいんですが。

>>44
(A,B,C,D)＝(1,2,4,6)

ありがとうどざいました。

B+2=b,D+3=d,C+2=c,A=a

c^2=bd
2c+1=b+d

(t-b)(t-d)=t^2-(2c+1)t+c^2=0
t={(2c+1)±√(4c+1)}/2

2b=(2c+1)+√(4c+1)=a+c+1
√(4c+1)=a-c ⇔　(a-c)^2=4c+1 ⇔ a^2+c^2-2ac-4c-1=0
2(b-2)=a+c-3 ⇔ 4B^2=(a+c-3)^2=4a(c-2) ⇔ a^2+c^2-2ac+2a-6c+9=0

a^2+c^2-2ac-4c-1=0
a^2+c^2-2ac+2a-6c+9=0

2a-2c+10=0 c=a+5
a^2+(a+5)^2-2a(a+5)-4(a+5)-1=0 ⇔ -4a+4=0 ∴a=1,c=6,C=4

2b=a+c+1=8 ∴b=4,B=2
bd=c^2 ∴4d=36,d=9,D=6

その5にも書きましたが、数セミ4月号の86ページの2番って、
条件式に不備がありませんか?

http://www.nippyo.co.jp/m_sugaku_s/index.htm
※お詫びと訂正

「エレガントな解答をもとむ」
出題２
に条件の不備がありました．お詫びいたします．

実数 y＞0，z＞0
s≦t
(sとtの大小関係が抜けていました．)

以上の条件を補って解答を考えてください．

>>49
ありがとうございます。

分からない問題ではないのですが，ここにて質問させて頂きます．
１．時系列データのLiapunov指数を計算したいと思っているのですが，
何かよいソフトはありませんか．教えて下さい．

２．あと，FFTを分析するソフトもあれば，教えて下さい．フリーソフト
なんかがあるのですが，どうも，結果を信用できなかったりします．
ほぼ正解なのでしょうが．．．．．周期の端を見るとなんかうそくさい
部分もあるような気がするのです．

３．パワースペクトルの値が負の値を取る結果があります．
これはどんな計算しているのでしょうか?

どうかよくわからないのですが、、、、
「ひつじが1000匹います。1匹目をa、2匹目をb、3匹目をcと
　して、以下4匹目からは必ずa、b、cのどれかに属します。
　さて、64匹目はa,b,cのどのグループに所属するでしょう？」
ちなみに64匹目はbらしいのですが、こういうのを、
「1匹目、2匹目、3匹目（a,b,c）は『○○○○』が違う」というのでしょう？
『○○○○』を教えてください（ひらがなだと４文字)。
集合の問題ですかね？

『ぐるーぷ』が違う

『しょぞく』が違う

『はいぞく』が違う

『じょうよ』が違う

だいたいなんでこれだけの条件で64匹目がbに属してることが
分るんだ？a,b,cの順で入れてったらaに入るんだが、、、

1000匹というのは何か意味が…

52です。皆さん考えてくださりありがとうございます。
ちなみに、
「4匹目はbである
　5匹目もbである
　6匹目はaである
　7匹目はbである
　8匹目はaである
　9匹目はbである
　10匹目はaである」
だそうです。
まるで規則性はわかりません。
やっぱ数学ではないのかな。

ｃに入る奴が何故でてこないんだろう、、、

ぴき　ひき　びき

　有名ななぞなぞだな。こんなのもある。
1=a,2=a,3=a,4=a,5=a,6=b,7=a,8=c,9=b,10=b,…

○○○○はなんだったの？

>>62
∞=c ?

>>64
4=aだよ？

>>63
よみかた？

>>65
｜｜
└┼
きっとこういう感じの４なんだらう。
　

52です。やっぱり騙されてました。
なぞなぞでした。６６さん正解でした。
考えてくださった皆さんありがとうございました。
わたしは逝ってよしですよね。
ハイ、逝ってきます。

>わたしは逝ってよしですよね。
>ハイ、逝ってきます

面白いです。ほのぼの

等差数列、等比数列はなんとなくわかるんですが、
もうひとつの階差数列というのがよくわかりません。
教えて下さい｡

>>51
Ans.1 そろばん、電卓、スクリプト、Ｍａｔｈｍａｔｉｃａ、どれでも好きなものを
Ans.2 上記と同じ、それに自分の五感が加わる
Ans.3 基準値が題意に無い問題、数学ではなく物理、それも電磁気の問題に多し

単独の階差数列というものはない。
ある数列a(n)の隣り合う2項の差
a(2)-a(1),a(3)-a(2),a(4)-a(3) ･･･を各項とする
数列b(n)を、数列a(n)の階差数列という。

例
3,5,7,9,11･･･の階差数列は
2,2,2,2･･･
2,6,18,54,162･･･の階差数列は
4,12,36,108･･･

これでいいですか？
ちなみに調和数列というものもあるが、こちらは
実用性があるのかよくわからん。

age

∞って実数なんですか？
あと超越数ってどーゆー定義ですか？

>74
∞ってのは数とは呼ばないと思うが・・・。
超越数ってやつは一言でいうなら
「有理数でよく近似できる数」
というところだろーか。

>>74
∞は実数ではありません。そもそも数ではありません。

超越数というのは有理数係数の代数方程式の解にならない実数という定義です。
解になる数を代数的数といいます。

なるほど。簡潔なレスさんくす。
∞＞これは俺の勘違いっていうか思い違いでしたか。
超越数＞てことは広さ（濃度？）としては実数＞無理数＞超越数
といった感じでしょうか。

>>77
包含関係としてはそんな感じです。
濃度はどれも実数と同じ連続濃度です。

eやπが超越数である事の証明はどうやりますか?

eの超越性は
「an:0でない代数的数　pn：互いに異なる代数的数　このとき
a1*e^p1＋a2*e^p2+・・・＋an*e^pn＋・・・・
は０にはならない」(リンデマンの定理)
から出る。
(eの超越性自体は、係数と指数が整数のときを言えばよい。それを最初に示したのはエルミート)
これの証明はちょっと大変。この定理を使えばπの超越性がEulerの公式からただちにでる。

age

わからない問題はここに書いてね

>>79
北大の田口さんのページに証明があったような

定期age

　　　 , 　 ― ﾉ）
　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　みんな，おっはよー． 今日４／１は私の誕生日♪
　 ヽ　| |　l　 l |〃　わからない問題は，今日もさくらといっしょに
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 レリーズ！
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＞{(x+y)^n}-(x^n)-(y^n)が{(x^2)+(xy)+(y^2)}*(x..yの多項式)
＞の形に表される様な2以上の自然数nを小さい方から3つ求めよ。

　　　 , 　 ― ﾉ）
　γ∞γ~　　＼ 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　人ｗ/　从从) ）　 x^2+xy+y^2=0を解くとy=ωxより，f(x,ωx)=((1+ω)^n-1^n-ω^n)*x^n
　 ヽ　| |　l　 l |〃　=((-ω^2)^n-1^n-ω^n)*x^n=(-1-ω^n+(-1)^n*ω^(2n))*x^n
　　｀ｗﾊ~　ｰノ） 　 これが0となるのはnが3の倍数でない奇数のとき(*)だから，n≡1,5 (mod.6)．
　　 /　＼｀「 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＃ すでに答えは出ているけど解いてみたので答えてみました．
f(x,y)=(x+y)^n-x^n-y^n，ωは1の虚数立方根で1+ω+ω^2=0,ω^3=1．
(*)は，-1-ω^n+(-1)^n*ω^(2n) と 1+ω+ω^2=0に注目してね．

>>85
おめでとうございます。微妙な日のお生まれですねぇ。

中学校でやる回転体の問題です。

http://widech.virtualave.net/upload/img-box/img20010402192927.jpg

１+１＝２を証明してください。

[証]
義務教育初等学習過程において、
1〜10までの数を習う　････�@
林檎が　1個と1個で2個あると教わる　････�A
足し算とは数を足すことだと分かる　　････�B
1足す1は　1+1で表すと知る。　　　････�C
�Aより、林檎が1個と1個なので
林檎は２個、
�@�A�B�Cより1+1=2である。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<終了>

証明下手だが、こんなんでも反論がきそうだから笑える。

仮定は何ですか？>>89

>>89
「証明」って言葉は違いませんか

むかしから疑問だったので教えてください。
0<=x<1の実数の集合から任意の一点を選んだときに、その点が有理数である
確率っていくつなのでしょうか？
有理数と実数とが１対１対応つかないことは知っています。
#そもそも確率とは何かわかっていないのかもしれません。

>>93
Yahoo

>>93
[0,1)の有理数は可算個だから
確率(測度)は0

>>93
俺もよくわかんないけど
０≦ｘ＜１の実数の集合から任意の一点ａを選んだときに、
（１）１／３≦ａ＜１／２　である確率はいくつだとおもいますか？
（２）ａ＝１／２　である確率はいくつだとおもいますか？

カンケイないけど
「任意に選ぶ」＝「無作為に選ぶ」
ということなのかなあ・・・。

>>96
(1)1/2-1/3=1/6←確率
(2)確率は0

「任意に選ぶ」＝「無作為に選ぶ」です。

>>93
公理では

１点を選ぶ確率が０
　↓
有限個の点を選ぶ確率が０
　↓
可算無限個の点を選ぶ確率が０

でも感覚的にはうーん・・・

>>95
今ある本を見ていたら、A. Kolmogorovによる確率論の測度論による公理的な
基礎づけ、というのが出ていました。きっとその辺を見ると、0となるのが
わかるのですね？ありがとうございました。

なんだか話が終わっちゃったみたいだけど、こういう話は
「無作為に選ぶ」というのを

０≦ｓ＜ｔ≦１なる実数ｓ、ｔに対して
０≦ｘ＜１の実数の集合から一点ａを“無作為に”選んだときに、
ｓ≦ａ＜ｔ　である確率をｔ−ｓとする。

と定式化（定義？）して、ここから話を進めるんだとおもいます。

>>88 さん
l に関する C の対称点を C'
AC と l の交点を P,　C'P と l の交点を Q
A, C, Q から l に下ろした垂線の足を D, E, R
と定める。このとき
　　△ADP ∽ △CEP (相似比 2 : 1)
　　△CEP ≡ △C'EB
なので
　　PA : BC' = 2 : 1
これと PA // BC' から
　　△APQ ∽ △BC'Q (相似比 2 : 1)
　　⇒ △C'PE ∽ △QPR (相似比 3 : 2)
　　⇒ PR = 2/3, RE = 1/3, RQ = 2/3

# あとは計算するだけです♪

誤) C'P と l の交点を Q
正) C'P と AB の交点を Q

Ｎ角数の逆数の無限和はどういった値になるかわかっているのでしょうか？
３角数(n(n+1)/2),四角数(1/n^2)についてはわかりますがそれ以上はどうなのでしょうか。

Ｑ：立方体の少なくとも３辺の中点を通る平面は全部で何個あるか？

>>104
中点が１２個あるから・・・・・＜考え中＞・・・・・１２Ｃ３＝２２０個です！

1.面を含むもの　6個
2.面に平行で1じゃないもの　3個
3.各頂点に最も近い3中点を通るもの　8個
4.中点4個を通り1、2じゃないもの12個
5.中点6個を通り、切り口が6角形になるもの　4個
6.切り口が5角形になるもの　24個
7.1辺を含むもの　24個
計81個

12Ｃ3から重複分を除くことを考えると
１,２,４の21個は4中点を通るので　(4Ｃ3-1)＊21＝63個重複
５の4個は6中点を通るので　(6Ｃ3-1)*4＝76個重複
220-63-76＝81個

麻雀の天和と、ポーカーで最初からロイヤルストレートフラッシュになるのはどっちが起こりやすい？

最初からロイヤルストレートフラッシュになる確率

ジョーカーを含まない52枚のカードから5枚もらう場合の総数は
C{52,5}=311875200（通り）
ロイヤルストレートフラッシュになる場合の総数は、
絵柄が4つあるので4通り
よって確率は4/311875200=1/77968800

天和はどういう役か知らん。役立てなくてｽﾏｿ

>>108
>C{52,5}=311875200（通り）

５！で割ってくれよん
５２Ｃ５＝２５９８９６０通りだよん

ロイヤルストレートフラッシュの確率
＝４／２５９８９６０
＝１／６４９７４０
≒６５万ぶんの１＜

天和の確率は約３３万ぶんの１らしい

>>89
数０の存在をGaitiとする。
ここで、０とは違う数１を考える。
ある数が０と１の差と同じく、１の次に存在するとき、その数を１’とする。
同じように、０と１の差と同じく、１’の次に存在する数を１’’とする。
こうして出来た集合Ｘ＝｛ｘ｜１（’＊Ｘ）｝の全ての数に、
１＝１、１’＝２、・・となる記号を１対１対応させる。（２以降便宜上省略
ここで、「ある数Ａに’をｎ個加え、集合Ｘ内の別の数Ａ（’＊ｎ）に変える」
という演算を表す記号「＋」を考える。
すなわちＡ＋ｎ＝Ａ（’＊ｎ）とする。
すると、２＝１’＝１＋１
よって、１＋１＝２

等式　nPr= n-1Pr ＋ R n-1Pr-1を証明せよ.

よろしくお願いします...

定義　　nPr = n (n-1)・・・(n-r+1) = n!/(n-r)!

計算するだけっす

>>111

左辺nPrは「ｎ人からｒ人を選んで一列に並べる方法の総数」･･･★
だが、いまｎ人の中の1人（A君とおく）に着目して、★を
「A君を選ばない場合の並べ方」と「A君を選ぶ場合の並べ方」
に分けたものが右辺。

「A君を選ばない場合」は、A君以外のｎ-1人からｒ人選んで並べるので
n-1Pr 通り。
「A君を選ぶ場合」は、A君が何番目にくるかでｒ通りの決め方があり
さらに残るｒ−1人の並べ方がn-1Pr-1 通りなので、この場合は
r×n-1Pr-1 通り。

天和とは麻雀で自分が親でちょんちょんを
自分がとった１４個目ですでにロンの状態になっている
ことですね。
これは難しい・。
自分が親で確立４分の１、・・・・？？わからん。

(*'ー')ﾉ分数の割り算は、どうして反対にして掛け算に
　　　　なるんですか

(*'ー')ﾉ分数の割り算は、どうして反対にして掛け算に
　　　　なるんですか

生活全般板から来たんですが、この解き方ってあってるの？間違ってるの？

元スレ　http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=kankon&key=986020427
148 名前：おさかなくわえた名無しさん投稿日：2001/04/03(火) 17:06
ワシが小学４年生のとき、朝顔の観察日記をつけさせられた。
どうせ１０歳かそこらのガキが書く日記である。何日目に双葉が
開いた、とか何日目に本葉が出てきた、とか、その本葉の数を
記録したり、とか、まぁそんな程度のものが多かったのだが、
ひとりだけ「朝顔の葉の面積」を細かくつけている奴がいた。
それも「２５，５平方センチメートル」とか、「３１，５平方センチメートル」
と、極めて細かい数値まで出していた。
ワシは「(ﾟдﾟ)ﾊｧ???」となった。
担任の先生も「(ﾟдﾟ)ﾊｧ???」となったらしく、
「おい、Ｋ下、どうやってこんなに細かい面積を出したんだ？」
と、その同級生に聞いた。
するとそいつの答えは、
「まず画用紙を５mm四方の正方形二枚と、１０mm四方の正方形
　多数に切っておく。
　次に画用紙に朝顔の葉の輪郭を写し、その輪郭に沿って切り抜く。
　そうしておいて、その葉の形をした画用紙を、天秤ばかりの一方に
　乗せ、釣り合うまで正方形の画用紙を乗せていく。紙の厚みは
　同じなので、釣り合った所で１０mm四方の画用紙の数と５mm四方の
　画用紙の数を数える」
だった。そいつの家は薬局で、天秤ばかりが有ったからこその方法だが、
これを聞いたときは、水戸黄門に印籠を見せられた悪代官になってしま
った。

長くてｽﾏｿ。

面積比＝底面積＊高さ（等しい）の比＝体積の比＝重さの比

Ａ先生は「来週、抜き打ちテストをします。」といいました。
Ｂ君はいいました。
・土曜日に抜き打ちテストはできないから、月〜金のどれか
　にしなければならない。
・土曜日にできないことはわかっているので、金曜日に
　に抜き打ちテストをすることはできない。
・以下続く。
・よって、結局抜き打ちテストはできない。

どこがおかしいですか？

>土曜日に抜き打ちテストはできない

なんで？

>>114
33万分の1と言われている天和の確率は
親のときに牌配で和了れる場合を計算しています

（国士無双＋一般形＋七対子−ニ並向）／（136Ｃ14）

こんな感じできっちり計算してたサイトを見かけたけど
今探したら見つかりません（＞＜）

>>120
これは昔からある有名問題（パズル？）です。
土曜日にやるということは金曜日まではないということ。すると金曜日
にないということが分かった時点で、土曜日にテストがあるということ
が分かってしまうので、「抜き打ち」テストにならないという理屈です。

>>113
これで証明になるの？

>>119
ある日にテストがあるとわかった→抜き打ちにならないのでその日にテストはない
→その日にテストがないと思っているのでテストを行えば抜き打ちになる
→以上の過程をすべて予測した上で、テストはないと判断する
→以上の過程をすべて予測した上で、抜き打ちテストを行う
→・・・・（以後永遠に続く）

>>123
nCr
の定義が
n個のものからr個取る組み合わせなんだから

それに
たとえば
nC0 + nC1 + ・・・ + nCn
を求めるときなんかは
組み合わせ論的解釈をしないと
めんどうじゃない？

nC0 + nC1 + ・・・ + nCn＝2^n
これは二項定理を使って導くのが常套では？

>>117

こういう奴、スキっす。

n人から何人か委員を選ぶ
ことを行うには
一人一人が委員になるかならないかが決まればよい
よって
2^n
と解釈する方がスマートでしょう

意味より計算式を第一に考えるのはナンセンスですよ

計算中は意味を捨象しないと、そもそも計算という手法を採用する意味がないですよ。

まあ覚えるならばわかりやすい方を、
厳密な証明を求めるならば直感を排除した数式の方を
それぞれ採用すれば

数式という形が問題で取られているからと言って
計算という手法を取れと言う命令ではありませんよ
要はその数式が「読めれば」いいんですから

計算と意味は臨機応変に取るべき手法であって
意味の捨象が必要な考察もあると思いますが
ここでは関係ないでしょう

そもそもその様な言い方では
組み合わせ、順列の記号の計算式が先立っているように思えて
非常に不自然ですが＞厳密な証明

ナンセンスっていうのは取り消しておきます

>>132

１３１さんの意見が妥当だと思いますよ。

・一般の問題を解決するのに、数学的手法を使うかどうかという選択がある。
・数学的な手法を用いる場合は、問題をモデル化して、モデルについて計算し、結果をモデルの習性や実際の解決に結びつけなければならない。
・数学的手法を用いる場合には、計算を手段として用いる必要がある。計算そのものは数字や演算子、それらの拡張されたものの意味のみを扱い
その他の部分を捨象することができ、この事が数学的手法に一定の優位性を与えている。

一般的に言うと依存関係というのはこういう感じだと思いますよ。
計算内容に依存しない汎用性の高い計算方式や記述方式を編み出すというのは数学家の独壇場でしょう。
それらに対する信頼がなければ、工学も物理学も天文観察の様な神話的な要因以外に余り意味のないような学問も
信頼されることはないでしょうし。

で、この場合は抜き打ちテストの対策には一日あれば十分だというのが暗黙の前提になって、
条件から抜けてるんですね。

物理学の特殊な方程式たちのようにそれも一理ありますが

こんな基礎的なところで直感を排除するのはどうでしょうか？
人間が直感で得た事実からtermを定義して、そこで
初めて得た計算式じゃないですか。
数式処理の信頼性に依存するのはもっと後でいいと思われます。
これはdefinitionと、このtermの意味するところの確認として
あるべきだと思われます。

完全な数式処理と完全な論理的考察
を求めるのは確かに数学を生業とする
人間を養うには必要かもしれませんが
教育に於いて、数学が"養える"思考力はその範囲のみでは
無いと思います。
それに、そういう思考力もまた、実際のところ
数学者たちは持っており、必要な気がします。
ちょっと不安ですが

物理学などは学者の妄想にすぎないものが
実証を得ることで信頼を受けて一般に通用することは
たしかにそうですが、
先端を開拓している人間たちは直感的思考を持った
人たちも多いじゃないですか。
古典物理学においてはそれが殆どですし
現代物理学を開いたA.Einsteinなんかは、人間的直感による
業績に他ならないのではないでしょうか？

少なくともアインシュタインが活躍した頃の物理の方程式はごく普通の線形な方程式で、
特殊な直観的能力を要求されるものではないのでは？
アインシュタインが物理学に功績を残したのは物理学に必要な直観を持っていたからだという可能性はありますが、
アインシュタインが数学に必要な何らかの直観を介して数学に業績を残したと言う事はないと思われます。

それはそうと、抜き打ちテストの予習には一日で十分である。抜き打ちテストの予習をしても一日たったら忘れてしまう。
どうせしないと行けない勉強でも一日でも送らせてやりたい、など定式化を待っている条件がいろいろあると思うのですが、
そちらの方では何かアイデアはないでしょうか？

数学のこといったんじゃないんだけど＞Einsteinの話

>>141
別の板へどうぞ。

>>142
変な揚げ足取るな
しね

ごめんなさい

？？

ｱｲﾝｼｭﾀｲﾝが数学に業績をもたらしたと言えるかどうかはどーでもいーけど
少なくともｱｲﾝｼｭﾀｲﾝは数学者に飯の種を沢山与えたと思われ

>>142 ごもっとも

数学への影響から言ったら、Einsteinよりもδ関数なんていう厄介かつ便利なシロモノ創り出したDiracの方が大きいと思われ

＞アインシュタインが活躍した頃の物理の方程式はごく普通の線形な方程式

おまえ、いいかげんな事ほざいてんじゃねえ。
Einstain方程式は非線型偏微分方程式だぞ。

y = a - b・exp{-((x+c) / d))^6}

データ(x, y)があって、このデータを上のワイブル関数にカーブフィッティングしたい。
4個のパラメータa,b,c,d(a,b,c,d > 0)を最小ニ乗法で決定したいのですが、どうすればいいのでしょうか。

>>142
直感的解釈が物理学では必要だと言った
Einsteinが数学に業績を残したことは言及していない
->数学のことを言ったのではない
板違いじゃない
しんどけ

Ｚ/2Ｚは射影的でないことをしめせ
代数問題ですがよろしくお願いします

Ｐ（ｘ）−Ｑ（ｘ）がｘについての２次式になり、
Ｐ（ｘ）＝０と、Ｑ（ｘ）＝０がただ一つの共通解αを持つとき、
「Ｐ（α）−Ｑ（α）＝０、かつＰ（α）−Ｑ（α）のＤ＝０」
ってあってますか？

Ｚ、Ｚ/2ＺはＺ加群とみなすとする。
p:Ｚ→Ｚ/2Ｚ　標準的射影(もちろん全射準同型)
id:Ｚ/2Ｚ→Ｚ/2Ｚ　恒等写像(もちろん準同型)
f:Ｚ/2Ｚ→Ｚ を準同型とすると
[0]、[1]に対して
f([0])=0、f([0])＝f([1]＋[1])＝f([1])＋f([1])＝0　よりf([1])＝0
すなわちfは零写像。よってid＝p・fとならないのでＺ/2Ｚは射影的でない。

>>152
なんか、勘違いしてるかな？
条件から
Ｐ（ｘ）−Ｑ（ｘ）=a (x-α) (x-β)

でしょ。Ｐ（ｘ）＝a (x-α) f(x)、Ｑ（ｘ）=a (x-α)g(x) とおいて
f(x)=g(x)+(x-β)ととって、g(β)≠0とでもしておけばf(x)とg(x)は共通根を持たず
このときＰ（α）−Ｑ（α）＝０は当然成り立ち
α≠βのときＤ≠０

Einstain博士曰く、
「数学者が口を出すようになってから、私にも相対性理論がよくわからない
代物となってしまった」
なんかの本で読みましたよ。

なんか、物理の人って数学の人をよく煽るよね。
なんだか、文系が理系を煽ってるみたいだ。
所詮物理。煽り方も幼稚だ。

ごめんレスする場所間違った。
>>156
は無視してくれ。

3　ネター環だがアルティン環ではない例をあげ証明せよ

>>158

えー？そんなのいくらでもあるじゃん。
たとえば整数環Ｚ。

>>154
あああ、わかりました。ありがとう。

僕は浪人生なんですがひとつ解らない問題があって悩んでいます。
それは

3^210/3^10+1
の桁数と1の位の数字を求めよ。

という問題です。
どうかお願いします。
問題がわかりにくいなどありましたら書き込んでください。

3^210/(3^10+1)
じゃないんですか？

>>162
おっしゃる通りです。
すいませんでした。

3^200-1 < 3^210/(3^10+1) < 3^200
が成り立つ

3の階乗の1の位は3,9,7,1の順に循環するから
3^200の1の位は1
よって 3^210/(3^10+1) の1の位は0

log10 3^200 = 200 * log10 3
から桁数を計算すればいい

・ポイントはよくわからない値の評価
(この場合、分母の小さい値を消して大小評価の式を作ってみた)

>>164
あー
すいません
大嘘です
ごめんなさい

よく見たら誤差だらけだ
ばかばかしい
ほんとにすいません

3^199 < 3^210/(3^10+1) < 3^200
が成り立つので
これで桁数は出るはず
log10 3=0.4771
あたりでやってみてください

・・・出ない・・・
もうだめだ

っつーか
これ東京か京都の入試問題じゃないの？

神戸大学です。

常用対数は与えられてますか？

log10２とかのことですよね。与えられてます。

n
��2/n+2
k=1

2 * 3^199< (与式) <3^200
で評価できました

>>173
kがシグマの中にありません

n
��2/k+2
k=1

１の位は２かな

最高位だった・・・なにやってんだろ・・・

3^210/(3^10+1)
=(3^210-1+1)/(3^10+1)
=(3^210-1)/(3^10+1)+1/(3^10+1)
=(3^200+3^190+3^180+･･･+3^20+3^10+1)+1/(3^10+1)
かな？？？

3^210=(3^10)^21・・・�@
3^10+1=xとおくと
�@＝(x-1)^21
これをxで割ると、
�@＝x(x^20+・・・+1^20)+1^21なので、余りは１。
よってこの割り算の結果、即ち3^210/(3^10+1)は、
整数部分＝((3^10+1)^20+・・・+1^20)、小数部分＝1/(3^10+1)
で与えられる。

・・・で、ここからどうにかなりませんか（汗

>>179
かぶった？（汗汗

なんか違う。
�@＝x(x^20+・・・+1^20)+1^21→x(x^20+・・・+“20*”1^20)+1^21

y^2=x^3+ax+b さん, 152さんのアイディアをまとめました♪

>>161 の問
3^10+1 = x として 3^210 = (x-1)^21 を 2項展開
　　3^210 = x^21 + (21C20)*x^20*(-1)^1 + … + (21C1)*x*(-1)^20 + (-1)^21
これより 3^210/(3^10+1) = (x-1)^21/x の整数部は
　　x^20 + (21C20)*x^19*(-1)^1… + (21C2)*x*(-1)^19 + (21C1)*(-1)^20 …(#)
ここで、3^n について
　　　　n　 | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
　　1の位 | 3 9 7 1 3 9 7 1 3　9
なので、3^10+1 = x の 1の位は 0 であり
　　(#) ≡ (21C1)*(-1)^20 ≡ 1 (mod10)

二項展開か・・・気づかなかったです
>>183 さん
ちょっとした訂正ですが
整数部は1引いた値です

>>179
わりきれませんよぉ>因数分解したところ

>>184 = y^2=x^3+ax+b さん
あ、ホントだ。ご指摘ありがとうございます♪

>>161 さん
と言うことで >>183 には修正が必要です。
流れはつかめると思うので、答案作成に使ってください。

かいてね

そうか、xの１の位が0なのか・・やたらやばい計算がいるのかと思った（笑（えない

2/3+2/4+2/5+2/6+2/7+2/8+2/9+2/10+・・・・2/n+1+2/n+2

>>161

> A＝3^210/(3^10+1)とおく．
> 3^210/(2*3^10)＜A＜3^210/(3^10)
> → 3^200/2＜A＜3^200
> → log_{10}(3^200/2)＜log_{10}(A)＜log_{10}(3^200)
> → 200*log_{10}(3)-log_{10}(2)＜log_{10}(A)＜200*log_{10}(3)
> log_{10}(2)≒0.3010，log_{10}_(3)≒0.4771 より
> 95＜log_{10}(A)＜96
> よって，Aの桁数は96．
>
> A＝((3^10)^21+1)/(3^10+1)-1/(3^10+1)
> ＝(3^10)^20-(3^10)^19+・・・+(3^10)^2-3^10+1-1/(3^10+1)
> ＝3^200-3^190+・・・+3^20-3^10+1-1/(3^10+1)
> この数の整数部分[A]は，
> [A]＝3^200-3^190+・・・+3^20-3^10
> 3^4≡1 (mod.10)に注目すると，
> [A]≡(1-9)*5≡0 (mod.10)
> よって，Aの1の位の数字は0．

ﾜﾗた

>>176
分母＝(n+2)!/6
分子＝2*(1+(n+1)+(n*(n+1))・・・
分子＝An=(n+1)!/k!=2*(n+1)P(k) (k<n+2)
の和*2。
Sn=12*Σ((n+1)P(k))/(n+2)!

できてない。

m＝k+2として、
2*Σ[3, n]1/m＝2*Σ[1, n]1/m - 3
Σ1/mを表す簡明な式ってのは無いのでは？

自分てやれや

ｆ（ｚ）＝０という方程式の解（複素数の範囲で解を考える）を頂点とする多角形を考える。
導関数の方程式　ｆ’（ｚ）＝０　の解はこの多角形の内部または周上にのみ存在する。

この定理はなんと言う名前でしょうか?

便乗で定理名質問。
三角形ＡＢＣで角Ａの二等分線とＢＣの交点＝Ｍのとき、
ＡＢ：ＢＭ＝ＡＣ：ＣＭ
「角の二等分線に関する定理」
みたいな複合名詞句的な名前じゃなくて。

それってその複合名詞句的な名前以外にあるのかなぁ
それも一応正式名称でしょ

>>195
“Gauss-Lucas theorem” または “Lucas's Theorem” みたい。
アールフォルスの「複素解析」では「ルカスの定理」になっていた。

＞Σ1/mを表す簡明な式ってのは無いのでは？

簡明な式じゃないけど、ガンマ関数の導関数を使えば表せるみたい。

Γ(x+n+1)/Γ(x+1)=(x+1)(x+2)(x+3)・・・(x+n)

この式を x で微分してから x=0 として、n! で割れば Σ[m=1,n]1/m になる。
実際計算して、Γ(n+1)=n!、Γ(1)=1、Γ'(1)=-γ （γはオイラー定数）を使うと、

Σ[m=1,n]1/m=Γ'(n+1)/n!+γ

になると思う。

ガンマ関数って自然数定義域だと階乗のことだよね？
導関数ってあるんですか？

定義域が階乗と違って自然数じゃないからね…（ｱﾎ

すいません;;
わからなかったもので質問しただけなんです
実数の関数値を補完したりするんでしょうか

個の板の常連って何人くらいなんだろう

＞２０３
知るかヴぁか！

>>204
ありがとうございます

>>203
任意の自然数

age

囲碁の先後の決め方。一方の人が何個かの石を握り、もう一方の人がその石の個数が偶数であるか奇数であるかを当てることによって先後を決める。
後者の立場の人は「偶数」と「奇数」どちらを予想すべきか

>>202

>>199のxは自然数とは限らないよ

>>208

どっち選んでも同じでしょう。

いや、だからどんなのかと思って質問したんです
私は自然数の階乗しか知りませんので。
・・・
自分で勉強します。ごめんなさい

>>208
有限個の石であれば
奇数のほうが若干確率が高いな。

ｍ×ｎのマス目がある。次の条件を満たすように各マスを黒または白に塗る。

条件：すべての黒マスについて、そのマスに隣接する黒マスの個数は奇数である。

このとき、黒マスの総数は、偶数であることを示せ。ただし、２つのマスが隣接するとは、それらが異なり、かつ一辺を共有することである。


やり方と答え教えて

http://village.infoweb.ne.jp/~fvgm9250/index.htm
未来にアクセス

各黒マスが隣接する黒マスの個数を、全黒マスについて足した総数を考える。
隣接する黒マスのペアに対して１つの隣接する辺があるので、総数は全黒マスの個数の２倍、つまり偶数。
黒マスの個数が奇数個だとすると、先程の総数は 奇数*奇数＝奇数となり、矛盾する。

既出だがlogがみつからない

各黒マスが隣接する黒マスの個数を
は
各黒マスが隣接する黒マスの個数とその黒マス自体をあわせた個数
じゃないの？

反例
□■□□
■■■■
□□■□

>>215
全黒マスの個数じゃなくて、隣接辺の総数の2倍だろう

【今年の数学オリンピック】
55 名前：１３２人目の素数さん投稿日：2001/02/11(日) 19:33
>>54 本選の問題ではないよね？
隣接する黒桝の組の数を p とする。
黒桝が q 個、うち隣接する黒桝が1個のもの r 個とすれば
2p=1*r+3*(q-r)=3q-2r より、 3q = 2(p+r) なので q は偶数。

テンソルってなに？

＞テンソル

おおざっぱには、多重線型写像

定期age

実数を係数とする整式f(X）ｇ(X)　h(X)　にたいして
P(X)＝{f(X）}＾3+{ｇ(X)}＾3+{h(X)}＾3−3f(X)g(X)h(X)
Q(X)＝f(X）+ｇ(X)+h(X)　とおく
(１)P(X)はQ(X)で割り切れることを示せ
(２)ａを実数とするとき
　　P(Ｘ)は(X−a)＾2で割り切れるが(X−a)＾3で割り切れないものとする
　　このときQ(X)がX−aで割り切れるならば、(X−a)＾2でも割り切れることを示せ

この問題の(２)をお願いします
(１)はa^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-b-ca)の公式
　　でで来たと思うんですが(２)がうまくいかないのです

P(x) = { f(x) + g(x) + h(x) }[ {f(x)}^2 + {g(x)}^2 + {h(x)}^2 - f(x)g(x) - g(x)h(x) - f(x)h(x) ]
と因数分解できるので
R(x) ≡ {f(x)}^2 + {g(x)}^2 + {h(x)}^2 - f(x)g(x) - g(x)h(x) - f(x)h(x)
　　　= (1/2) * [ {f(x)-g(x)}^2 + {g(x)-h(x)}^2 + {h(x)-f(x)}^2 ]
と定義し
P(x) = Q(x)R(x)
と書く
条件より、Q(x)は適当な実数係数多項式q(x)を取ってきて
Q(x)=(x-a)q(x)
と書けるので
(x-a)^2 | R(x)q(x)(x-a)　かつ　(x-a)^3 メ R(x)q(x)(x-a)
⇔
(x-a) | R(x)q(x)　かつ　(x-a)^2 メ R(x)q(x)
メは「割り切らない」の記号のつもり

(x-a) | R(x) と仮定すると
f(x), g(x), h(x)は実数係数の多項式より
R(a)=0 ⇔ f(a)=g(a)=h(a)
ところが、(x-a) | Q(x) より
f(a)+g(a)+h(a)=3f(a)=0
よってf(a)=g(a)=h(a)=0より
f(x), g(x), h(x)は(x-a)を因数に持つが、そうすると
R(x)が(x-a)^2を因数に持ってしまい矛盾
よって
(x-a) | q(x)
つまり
(x-a)^2 | Q(x)

age

>>>225は>>224の解答です

>>224
（やってることは[>>225]と同じだとおもうけど…）
R = f + wg + (w^2)h
S = f + (w^2)g + (w^4)h
とおく。但し w は w^2 + w + 1 = 0 の根とする。
このとき P=QRS が成り立つ。ところで
f, g, h はすべて実係数で w(=w^4)とw^2 は互いに共役。
よって実数 a に対して「R(a)=0 ⇔ S(a)=0」である。
したがって P が a で２重の零で Q(a)=0 ならば
Q も a で２重の零となる。

ε-δ論法で厳密に極限とか微積分は定義されていると言い切っていいすか？

225さん228さんありがとうございました

>>229
いいかどうかはわかんないけど
ε-δ使えば明快にはなるとおもいます

剰余定理、因数定理の問題だと思うのですが、全くわかりません。
教えて下さい！

整数を係数とするxの整式Aを
x^3+x^2+x+1で割ると余りは-3x^2-x+2であり、
x^2+2x+3で割ると余りは5x+3であるという。
このようなAの中で、次数が最小のものを求めよ。

２２４にある問題は、Z会MA４−１旬の問題で、まだ締め切りがきていないので、できればコメントしないようお願いいたします。

こんなもん日常茶飯事だよ。Ｚ会にタレコミすれば？

でもそういう情報はありがたいです

>>232 = Mr.Bear さん
B = x^3 + x^2 + x + 1,　C = x^2 + 2x + 3
A を B で割った余りを Q(x) として,
　　A = B*Q(x) + (-3x^2 - x + 2)
　　　 = {C*(x - 1) + 4}Q(x) +{-3*C + (5x + 11)}
　　　 = C*{(x - 1)Q(x) - 3} + {4Q(x) + 5x + 11}
なので, 第2項を C で割った余りが 5x + 3 となればよく
もとめる最小次数の A は, Q(x) = a (定数) として
　　4a + 5x +11 = 5x + 3 ⇒ a = -2
　　∴ A = B*(-2) + (-3x^2 - x + 2)
　　　　　 = -2x^3 - 5x^2 - 3x

# 剰余定理も因数定理も使ってません(汗)

>>236 = trさん
レスありがとうございます。助かりました!!
ただすべてを理解するには至りませんので
質問よろしいでしょうか？

A を B で割った余りを Q(x) として,
↓
A を B で割った商を Q(x) として,
ですよね？
で、5行目の
= {C*(x - 1) + 4}Q(x) +{-3*C + (5x + 11)}
の意味がわからないんですけど…。

>>237 = Mr.Bear さん
修正ありがとうございます。＜余り →商

ええと, 実際に割り算すると
　　B = C*(x - 1) + 4
　　-3x^2 - x + 2 = -3*C + (5x + 11)
となるから書き換えたんですよ。

>>238 = trさん
なるほど!!
簡単に言うと
y=3x+10
y=5x+2
があったとしたら
y=5x+2
=3x+(2x+2)
として
2x+2=10
で
x=4
ってわけですね！(^-^)v

そんな感じです。^-^)b バッチシ！

くだらないスレッドに書いたのですが、スレッドが少し違ったようなので、クロスポストご容赦ください。

p/q(ただし、pとqは互いに素)が有限小数で表せるとき、1/qが無限小数になる(有限小数で表せない)ことってありますか?

あるにきまっているだろ
ばーか

>>242
じゃあ例を出して見ろよ。
ばーか。

じぶんでさがせ
ばーか

互いに素ってどういう意味ですか？？

ふたつの整数 p, q に対して、「pとqは互いに素」とは
「pとq の公約数であるような自然数は 1 だけだ」ということ。

1しか共約数がないってことです．p/qが既約ってことです．

>>245
ヴァカ？

かぶった．しかも，公約数だった．

>>241
>p/q(ただし、pとqは互いに素)が有限小数で表せるとき、
>1/qが無限小数になる(有限小数で表せない)ことってありますか?

答：ない。

ふたつの自然数 p, q に対して
p/q が有限小数で表せるということは
p/q = a/(10^n) となる 自然数 a, n があるということ。
ここでさらにこの p, q が互いに素だとすると
1/q = b/(10^m)
となる 自然数 b, m があるということが
ちょっと考えればわかる。

５と７は互いに素である

>>241
　　　p/qが有限小数
　⇔　p/qが小数点以下n桁で表せる
　⇔　(p*10^n)はqの倍数

pとqは互いに素だから
10^nがqの倍数になって
1/qも小数点以下n桁以内で表せるので
無限小数になることはない□

なんか不安・・・適切な表現に直してkure

かぶり負け
まちがってなsageだったので安心sage

よく分かりました．ありがとう．

>>252

ばーか

[248:１３２人目の素数さん(2001/04/10(火) 20:07)]>>245
ヴァカ？

ヴァカってどういう意味ですか？『あなたはヴァですか？』の略ですか？

242=244=255
物理板から電波が届いている模様。
証明が理解できない厨房はキエテクダサイ

答えを教えて
ここに 普通に市販されている渦巻き型の蚊取線香かある。この香取り線香は60分キッカリで燃え尽きる。
この香取り線香 2本を使って、45分計りたい。どうすればよいでしょう? ただし、香取り線香は折ったり してはいけない。
わかんね〜？？？？

>>258
片方の線香にはお尻と頭と両方に火を付けて
片方の線香には頭にだけ火を付ける。

両方に火を付けた線香は30分で燃え尽きるので、
燃え尽きた時点でもう片方のお尻に火を付けると
ちょうど15分で燃え尽きる。都合45分。

>>259
ばーか

242=244=255=260

>>260
馬鹿は消えてください。
このスレに無意味な書き込みをしないだけ
嵐山の方が「まだ」ましです。
>>259
一応後半部をもう少し詳しく書くと、
片方の線香は半分だけ残っているので反対側に火をつけると
その半分の時間で燃え尽きるということです。
駄レスです。

>>262
ばーか
37分30秒だろうが

>>260

>>4を見ろ
ばーか

242=244=255=260=263の母です。あの子に悪気はなかったんです。
根は良い子なんです。許してageて下さい。

>>263
はっ？
いつから
30分/2＝7分30秒になったのですか？
>>264
私に対するですね？
見落としてました。

ところで
>>258 の条件（ただし線香の数は自由）で計れる１時間以下の時間は
60*(1-(1/2)^n)分
だけなのでしょうか？

>>266

バカは相手にしないようにしませう。

> 60*(1-(1/2)^n)分

おそらくそうでしょう。
基本的に火を付けられるのがお尻と頭だけですから。
たとえば、三十分を計って他の線香と比べて、
真ん中の火が付けられるとかならもーちょっとバリエーションがあるかも。

>>266
いえ。一時間以下だったら60分も存在します。

有界と有限はどう違うんですか？

次の級数の収束・発散を判定せよ。
Σ[n=1,∞]　1/n(2n-1)

答え、これで合ってますか？　教えてください。
a(n+1)/a(n)=n(2n-1)/(n+1)(2n+1)＜１
よって、ダランベールの判定法により級数は収束する。

定数項及び係数をabcdとする4次方程式について簡単な解のようでむずかしくて解けない
与式、f(x)=x^4+a(x^3)+b(x^2)+cx+d=0　の１つの解が　(√3)+i　の時、残りの3解を求めよというので
まず2つ目は解の対称性より(√3)-iとでる。
f((√3)+i)-f((√3)-i)=　16ai+4(√3)bi+2ci=0　となるから
abcdの関係式を作り連立で解こうとして
{x-((√3)+i)}*{x-((√3)-i)}=(x^2)-2(√3)x+4より
与式をこれで割ると商は(x^2)+(a+2√3)x+(2√3a)+b+8
余りは(8a+2√3b+c+8√3)x-(8√3a+4b+32)
となり商の方程式の2解が残りの解でその解はx=a+2√3±√・・・・・/2
また余り=0より最初に出た式を用いて連立しようとして
わけがわからなくなりました
お願いします

a(n+1)/a(n)＝n(2n-1)/(n+1)(2n+1)
＝2-1/n / (1+1/n)(2+1/n) →(n→∞)→1
この判定法では収束発散はわからない
オイラー・マクローリンの判定法を使う
∫[1,u]1/x(2x-1)dx＝log{(2u-1)/u}　→(u→∞)→log2
広義積分は収束する。よってこの級数は収束する。

(x^2-2√3x+4)(x^2+tx＋s)＝x^4+ax^3+bx^2+cx+d
とおいて、左辺バラして両辺比較すると、
4s＝d、t＝a＋2√3

>273
といっても余計な変数を増やしただけで答えにつながりません。
ちなみにその方法で
t-2√3=a s-2√3t+4=b -2√3s+4t=c 4s=dとなり
残りの２解をαβとしてα+β=t αβ=sとして
x^4+ t-2√3*x^3 + s-2√3t+4*x^2 + -2√3s+4t*x + 4s
にx=√3+i,√3-iを代入して２つの方程式から解を出そうとしても
代入した段階で０になりますね。

訂正
-2(α+β)=tでした

未知数が4つで、与えられた解が2つだから、
残りの2解には未知定数が2つ含まれる

>>271
a,b,c,dに関する条件は無いんですか？
整数（有理数）等が無いと解は決まらないっぽい・・・

残りの解は未知定数２個を含む式で表されるということですか
ということはabcdを含んだ形でで解を表す？
{t-2√3=a s-2√3t+4=b -2√3s+4t=c 4s=d(t=-2(α+β),s=αβ)}
から導けるような気がするができません

有理数abcdでした

a,b,c,dは実数という条件が無ければ
(√3-i)も解になるとは言えないので・・・

残りの2解はx^2+tx＋s＝0 の解。解の公式と
4s＝d、t＝a＋2√3
を使えばａ、ｄを含んだ答えになる

>>274
> ちなみにその方法で
> t-2√3=a s-2√3t+4=b -2√3s+4t=c 4s=dとなり

もうちょっとです。
a,b,c,dが有理数になるにはsとtが・・・と考えてください。
sとtが決まります。

定数項及び係数を有理数abcdとする4次方程式f(x)=x^4+a(x^3)+b(x^2)+cx+d=0　の１つの解が　(√3)+i　の時、
残りの3解を求めよ（ちなみに佛教大）
まず2つ目は解の対称性より(√3)-iとでる。
残りは281の方法でx={(-a-2√3)±√(a^2+4√3a+12-d)}/2
でいいの？

>>283
入れ違いですね。
sとtは一意に決まります。

> t-2√3=a s-2√3t+4=b -2√3s+4t=c 4s=dとなり

第１式よりt=a+2√3
第４式よりs=d/4

これらを第２、第３式に入れてsとtを消去し
A+B√3=0　のかたちにします
A、Bが有理数ならA=B=0なので（以下略）

>282
t=2√3 s=4 で
x^2+2√3x+4
となり
結局(√3)±iの重解がこたえですか?

>284
A+B√3=0→A、Bが有理数ならA=B=0
というのを学校でならった記憶が無い
というより有理数という概念と条件を
持ち込んでとくことがあまりなかったかもしれない。

実数α=a+b√3 (a, b∈Q+Qi iは虚数単位)
に対して
conj(α)=a-b√3

複素数β=c+di (iは虚数単位, c, d∈R)
に対して
＿
α=c-di

と定義すると(括弧内の条件からa, b, c, dは一意に決まる)
これらは共役となる
実際計算すると
conj(α) * conj(γ) = conj(αγ)
conj(α) ± conj(γ) = conj(α+γ)
が成り立つ
共役複素数に関してはご存知の通り

以上の道具を使っていく

f(x)=x^4+a(x^3)+b(x^2)+cx+d=0　の１つの解が　(√3)+i
より、α = (√3)+i
と置くと
α^4+a(α^3)+b(α^2)+cα+d=0・・・(*)
が成り立つので、両辺共役とって
＿　　　＿　　　　＿　　　＿
α^4+a(α^3)+b(α^2)+cα+d=0・・・(**)
　　　　＿　　＿
よってαはf(α)=0を満たすので解である

また、(*)の両辺conj()をとって
(conj(α))^4+a(conj(α))^3+b(conj(α))^2+c*conj(α)+d=0
となり、conj(α)も解となる

また、(**)の両辺conj()をとって
　　　＿
conj(α)
も解となる

以上から4つの解 √3±i, -√3±i
が求まる。
よって、
(x-√3-i)(x-√3+i)(x+√3+i)(x+√3-i)
=x^4-8x^2+16
となりa,b,c,dが求まった

>>287
一行目実数じゃなかった
訂正

やっぱり佛教大だから
はじめから解の対称性と一言で済ませば
１０秒で解ける問題だったんですね

>>285
>結局(√3)±iの重解がこたえですか?

-(√3)±iですね
（書き損じだったらスマソ）

>>286
自分も遠い昔のことなんで・・・
っていうかもっとスマートな解き方があるに違いない

夜中に出入りしてる人達が詳しいので
疑問を書いて寝かせておくと明晩にはレスが付いてるでしょう

またニアミスしてしまった
±√3±iだった

>>272さん、レスありがとうございます。

オイラー・マクローリンの判定法はまだ習っていないのですが、
0＜1/(2n^2-n)＜1/n^2で、1/n^2が収束するということで示すことはできますか？

もう一度>>271を読んでみたら・・・

> {x-((√3)+i)}*{x-((√3)-i)}=(x^2)-2(√3)x+4より
> 与式をこれで割ると商は(x^2)+(a+2√3)x+(2√3a)+b+8
> 余りは(8a+2√3b+c+8√3)x-(8√3a+4b+32)

ともに√3+iを解に持つf(x)=0と((x^2)-2(√3)x+4)=0に対して
f(x)を((x^2)-2(√3)x+4)で割ったのだから
その余り=0がxに関して恒等的に成り立つ

> 余りは(8a+2√3b+c+8√3)x-(8√3a+4b+32)

dが出てこないのでこの余りの式はまちがってるけど
正しい余りの式をpx+qとするとp=q=0という２式を得る

a,b,c,dが有理数であることから
２式をA+B√3=0に書き直して（以下略）

というわけで最初の方針でもなんとかなりました。

> また余り=0より最初に出た式を用いて連立しようとして

って書いてありましたね。スマソ

>>292
それでもいいと思います。
ただし、Σ1/n^2 が収束することの証明をきちんとしなくては。
An＝1＋1/2^2＋・・・＋1/n^2　とおくと、数列{An}がCauchy列になることから証明できます。

何年か前にアメリカでこんな問題が議論を呼びました。数学者の中にも
正解を得られない人がいたとか・・・。


３枚の封筒のうち１枚だけに、あなたが行きたいと思っているコンサー
おチケットが入っています。どの封筒に入っているか当てたら差し上げ
ましょう。ただくじびきするだけえはおもしろくないので、次のように
してください。まず、３枚の中から好きなものをいれてください。あな
たが選ばなかった２枚の封筒のうち少なくとも一方はチケットが入って
いませんから、それを私が教えてあげます。そのあと、もう一度封筒を
選びなおすチャンスを選びますか、それとも残された封筒を選びますか
。根拠も示してください。

何年か前にアメリカでこんな問題が議論を呼びました。数学者の中にも
正解を得られない人がいたとか・・・。


３枚の封筒のうち１枚だけに、あなたが行きたいと思っているコンサー
おチケットが入っています。どの封筒に入っているか当てたら差し上げ
ましょう。ただくじびきするだけえはおもしろくないので、次のように
してください。まず、３枚の中から好きなものをいれてください。あな
たが選ばなかった２枚の封筒のうち少なくとも一方はチケットが入って
いませんから、それを私が教えてあげます。そのあと、もう一度封筒を
選びなおすチャンスをあたえます。さ、最初に選んだ同じ封筒を選びま
すか、それとも残された封筒を選びますか 。根拠も示してください。

何年か前にアメリカでこんな問題が議論を呼びました。数学者の中にも
正解を得られない人がいたとか・・・。


３枚の封筒のうち１枚だけに、あなたが行きたいと思っているコンサー
おチケットが入っています。どの封筒に入っているか当てたら差し上げ
ましょう。ただくじびきするだけえはおもしろくないので、次のように
してください。まず、３枚の中から好きなものを選んでください。あな
たが選ばなかった２枚の封筒のうち少なくとも一方はチケットが入って
いませんから、それを私が教えてあげます。そのあと、もう一度封筒を
選びなおすチャンスをあたえます。さ、最初に選んだ同じ封筒を選びま
すか、それとも残された封筒を選びますか 。根拠も示してください。


すんません、ミスしまくりで。

>>298
超がいしゅつ。
もう見飽きたよ、この問題は・・・

しかもまだミスしている。

教えてください・・・

コンサーおチケット

くじびきするだけえは

>>302
コンサーおチケットって普通に使うよ。
知らない？？

みんなわかんないんだ。ばかだなあ

うｎ

次の方程式を満たす角θ（0°＜θ＜90°）を求めよ．
　sin60°sin(30°＋θ) ＝ 2sin280°sinθ

>>306
東京出版のページで出されてる問題（の写しまちがえ）
相手にしないよーに

>>306
左辺＞0　右辺＜0　∴解ﾅｼ（ｗ

>コンサーおチケットって普通に使うよ。
>知らない？？

今更ながらだが、
うそなんだけどね。みんなごめんね。だまして。＞特にπ

誰かダマされてたの？（ﾜﾗ

>>307
>写しまちがえ
って、活用おかしいですよ。2ch用語だったらスマソ。
数学と関係無いのでsage

>>311
「まちがえ」も「まちがい」もおかしくはないよ
なんだったら語学板かどっかで聞いてみなんしょ

まちがう → まちがい
まちがえる → まちがえ

@307 > の写しまちがえ
と直前に 「の」 があるから 「まちがい」 と続けたほうがいいかも？(謎)

xの3次式p(x)があってp(1)=3とおくp(x)+3 が(x+a)^2で割り切れ
p(x)-3 が(x-a)^2で割り切れるときp(x)を求めよと言うので
p(x)+3=(x+a)^2*(sx+t) → p(x)=sx^3+(2as+t)x^2+(sa^2+2at)x+ta^2-3
p(x)+3=(x-a)^2*(px+q) → p(x)=px^3+(-2ap+q)x^2+(pa^2-2aq)x+qa^2+3
係数比較から
p=s を経て　4pa^3=-6 にたどりつく
またp(x)+3=0 が x=-a で重解を持つと言うことです。
つまり、y=p(x) のグラフは、x=-a で極値 -3 を持ちます。
同様に x=a で極値 3 を持ちます。
よってa＞0としてp´(x)=-(x+a)(x-a)=-x^2+a^2
p(x)=-(x^3)/3+(a^2)x+Ｃ
p(1)=(-1/3)+a^2+Ｃ=3 ∴Ｃ=(10/3)-a^2
∴p(x)=-(x^3)/3+(a^2)x+(10/3)-a^2
となったんですが
これでもaを消去できません消去しないまま答えになるんでしょうか

p(a)=3 →2a^3-6a^2+1=0
p(-a)=-3　→2a^3+3a^2-19=0
aだけの３次式に導けました。

ですが２通りの式が出ることはありえないので
後者の方針は脱線ですかね、もともと方程式の分野ですから

>>315
>よってa＞0としてp´(x)=-(x+a)(x-a)=-x^2+a^2

ここで間違えているんよ。
p(x)=sx^3+… なので、p'(x)=3sx^2+… のはずだから、
p'(x)=3s(x+a)(x-a)
と置くのが正しい。

係数比較でやるなら、そのまま、
s=p
as+t=-2ap+q
sa^2+2at=pa^2-2aq
ta^2-3=qa^2+3
を解く方がよさそう。なお、a も求まり答えは二つあるようです。

y=3x2乗-6x+1の頂点の座標の出し方教えてください

完全平方すると、

y=3(x-1)2乗-2

となるから、頂点の座標は、(1,-2) です。
っていうか、このくらい教科書か参考書で調べたらわかるでしょ。

×完全平方すると
○平方完成すると

>>320
ありがとうございました。
…好きです

>>270, >>292
1/n(2n-1) < 1/n(n-1) = 1/(n-1) - 1/n
を使えば簡単

なんてね。
ほんとはコンサーおチケットって普通に使うよ。

あげ

何年か前にアメリカでこんな問題が議論を呼びました。数学者の中にも
正解を得られない人がいたとか・・・。


３枚の封筒のうち１枚だけに、あなたが行きたいと思っているコンサー
トチケットが入っています。どの封筒に入っているか当てたら差し上げ
ましょう。ただくじびきするだけではおもしろくないので、次のように
してください。まず、３枚の中から好きなものを選んでください。あな
たが選ばなかった２枚の封筒のうち少なくとも一方はチケットが入って
いませんから、それを私が教えてあげます。そのあと、もう一度封筒を
選びなおすチャンスをあたえます。さ、最初に選んだ同じ封筒を選びま
すか、それとも残された封筒を選びますか 。根拠も示してください。


すんません、ミスしまくりで。

>>323
なるほど〜。そんな簡単にできたんですね。
お答え、ありがとうございます。

>>287は>>271の解です
長々と書いたから無視されたかも・・・

>326

応用問題を。

前提は以下の３点。
・３本のくじ引きを３人で順番に引く。
・当たりは１本しかない。
・あなたは２番目に引く。

何の気なしに引けば、当たりを引く確率は(2/3)*(1/2)で1/3になる。
しかし

・１人目が引く前にあなたは１本のくじに（心の中で）しるしをつけておく。
・１人目がハズレを引いてあなたの番が回ってきた時に、しるしをつけたくじが残っていたとする。

この条件を追加すると>326と同じ要領で
しるしをつけたくじではなく、
逆を選んだ方が当たる確率は高くなる。

このことから、
心の中でしるしをつけるという行為が確率の変動に関わる、
という結論が得られる。

・・・・・・

以上、間違いを指摘してください。
特にπ氏に

ラッセルのパラドックスを説明して下さい。

「しるしをつけたくじが残ってい」る確率は？

もういいです
頼みません
2度と
自力で解きゃあいいんだろ
しょうがねえなあ
三日連続徹夜で
死ぬほど睡魔に襲われるし、
ひどい頭痛とめまいがする
ああこんな問題があるとは

>頼みません
>2度と

いい心掛けだ

>>332
数学の部屋掲示板でちゃんとレスついたじゃん。
なんで続きをそっちで聞かないのかわからん。
（ヨッシー氏のレスを反古にするとはおそれおおい奴・・・）

それにここでも解き方の指針レスついたじゃん。
答えだけが欲しかったのかい？

ほれ。p(x)=(-3x^3+9x)/2　,　12x^3-9x

＞π
どれも1/2じゃねえの？
違うの？頭悪いからわからん

＞おっπ
1/3と2/3とちゃう？

どうなの？

＞・１人目が引く前にあなたは１本のくじに（心の中で）しるしをつけておく。
＞・１人目がハズレを引いてあなたの番が回ってきた時に、しるしをつけたくじが残っていたとする。
＞この条件を追加すると>326と同じ要領で
＞しるしをつけたくじではなく、
＞逆を選んだ方が当たる確率は高くなる。

ここ全然理解できん。なんで逆を選んだ方が当る確率は高くなるのか
説明して。

　ある図書館に、そこにあるすべての図書を記載した図書目録があるとします。
その図書目録は、なぜか二分冊になっていて、「目録Ａ」と「目録Ｂ」があるとします。
ここがいかにも作為的ですね。怪しげですね。騙されないように気をつけて読んでください。
　目録Ａには、書中のどこかで自分自身についての記述をしている図書をすべて収録します。
こんな馬鹿なことを本当にやるとしたら、図書館の職員さんは死ぬほど大変でしょうね。
あくまで仮定の話です。目録Ｂには、そうでない図書、
すなわち自分自身についての記述をいっさいしていない図書をすべて収録します。
これで図書館にあるすべての図書は目録ＡかＢかに必ず収まることになります。
　ところで、目録Ａと目録Ｂも図書館の蔵書です。だから、この二冊も目録の中に記載しておかなければなりません。
目録Ａは、目録Ａに記載します。これはいいですね。だって、これで、目録Ａは自分自身に言及していることになるし、
目録Ａには、自分自身に言及した図書のみを収録することになっているのですから。
　さて、目録Ｂはどうでしょうか。
目録Ｂを目録Ａに記載してみましょう。
　すると、目録Ａのきまりによって、目録Ｂは自分自身に言及した図書でなければなりません。
　でも、自分自身を記載していないのだから、これには違反しています。
では、目録Ｂは目録Ｂに記載すべきでしょうか。
でも、そうしてしまうと、目録Ｂに自分自身に言及した図書を収録することになって、
やはり違反です。アレーッ、これは困ったことになったぞ。
目録Ｂを図書として登録する場所がないじゃないか。目録ＡとＢで図書館の図書は全部収録できると言ったのに。

−−−−−−−−−−−−−−−−
ってのは、どっかの大学の先生が、した例え話。
この話の書物を集合と置き換えてみよう。

指針あってたのに
解けないのはなぜ？
計算力無いから？？これが数学偏差値６９の力か？？
マア文系だから数学は偏差値69だけでいいし

>>340

もう来ないんじゃないの？

>>340
おまえの偏差値などどうでもいい。
教えてもらって礼も言えんのか？
↓こっちでも書きっぱなしだよな。
http://diver.miffy.to/freebbs/mkres5.cgi?aoki

>>340
偏差値って母集団によるからなぁ（ﾜﾗ

＞解けないのはなぜ？

馬鹿だからに決まってんじゃン

>>315
318 がほとんど答えだよ。
結局 p は x = a で極大値 3 x=-a で極小値 -a の３次関数なので原点対称
であることがわかる。このあと一般に原点対象の３次関数が極大（または極小）
を取る点が原点からみて反対側の２倍いったとこ（本問の場合 x = -2a で 3
x = 2a で -3) だというわりと受験数学でよくでてくるやつをしってれば
条件 p(1) = 3 からこの 1 ってのは a か -2a のどっちかとわかる。
ゆえに p(x) = c(1/3x^3 - 1/4) または p(x) = c(1/3x^3 - 1) なる
形までもってこれてあとは条件 p(1) = 3 から c をもとめればよいです。
...参考までに...
３倍角の公式ででてくる多項式 f(x) = 4x^3 - 3x は原点対称で他の
原点対称３次関数はこれを縦横に何倍かひきのばしたものです。
f(-1/2) = f(1) = 1, f(1/2) = f(-1) = -1 です。受験でよくでる
３次関数なのでグラフに書いて記憶の片隅にかすらしておくといいかも。

>345
訂正
誤 c(1/3x^3 -1/4)
正 c(1/3x^3 - 1/4x)
誤 c(1/3x^3 -1)
正 c(1/3x^3 -x)

>>315=高校生��
バッシングが気になるなら数学の部屋掲示板に戻った方がいいですよ。(^^;

>係数比較でやるなら、そのまま、
>s=p
>as+t=-2ap+q
>sa^2+2at=pa^2-2aq
>ta^2-3=qa^2+3

318氏の指針通りに進めるなら、
この4つとf(1)=3から得られる5つの式から
5つの未知数a,p,q,s,tを出せるはずです。

解けなかったのはどこかに計算ミスがあったのでしょう。
f(1)=3を使うときはp(x)-3=(x-a)^2*(px+q)に代入した方が
ちょっと得です。

機械的な計算の前に
345氏や最初に教えてくれたヨッシー氏のような
グラフのイメージをつかむことができれば
p(x)が奇関数になることや答えは2つあるはずだという
見通しが立ちます。

（別解？）
「f(x)が(x+a)^2で割り切れればf ’(x)は(x+a)で割り切れる」
というのを知っていれば、本問ではa=0が不適なので
(p(x)±3)’=p ’(x)は(x±a)で割り切れることがすぐに見えて
p(x)=∫s(x+a)(x-a)dx=s(x^3)/3-s(a^2)x+tと置くことができます。
あとはp(a)=p(1)=3，p(-a)=-3と連立させれば
s,t,aが求まってp(x)が決まります。

コレを聞こうと思って 数学版にやってきた文系なんだけど
マイナス１とマイナス１を掛けると 何で プラスになるの？
子供に聞かれても 答えられないよーー。

>>348
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=953590762

偏差値６９で、こんな問題が解けないなんて
酷い世の中になったもんだね
偏差値５０くらいだと掛け算できなかったりしてな（藁

>>348
これで納得するかどうかはしらんが。
(-1)*(-1) = (-1)*(1/(-1)) = (-1)/(-1) = 1

歴史は繰り返す・・・

1/(-1)=-1
が言えるのは(-1)*(-1)=1を前提にしているのでは？

>>348

こんなのはどうよ。

　0＝(-1)×0
　 ＝(-1)×{1+(-1)}
　 ＝(-1)×1 + (-1)×(-1)
　 ＝-1 + (-1)×(-1)

>>354
どうして(-1)×1 =-1になるの？

>>353
だから正確な話ではない。
ちゃんと証明するより納得する理由が欲しいだけなら
いろいろとごまかす方法があるけど、その一つという意味です。

1は単位元なの

−と−はどうして＋なの？
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=984767951

マイナスにマイナスを掛けるとなんでプラスになるの？
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=953590762

−×−
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=a1dda1dfa1dd&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1

教えてください

△ＡＢＣの内心Ｉから各辺ＢＣ、ＣＡ、ＡＢに下ろした垂線の足を
それぞれＰ，Ｑ、Ｒとおく。
ＢＣ＝a、ＣＡ＝b、ＡＢ＝cとするとき、
a（ベクトルＩＰ）＋b（ベクトルＩＱ）＋c（ベクトルＩＲ）＝0
となることを示せ。

>>355
0=0*1=(1-1)*1=1+(-1)*1

>>315=高校生��
よっしーﾀﾝがページ作ってくれてるぞ。あっちでお礼してくるべし。
http://www.geocities.co.jp/Playtown-Dice/5061/sansu/kokosei1.htm

>>360
どうして 1×1 = 1 になるの？

1は単位元なの

>>359 さん
内接円の半径 r とすると
　　△BCI : △CAI : △ABI
　　= (1/2)ar : (1/2)br : (1/2)cr = a : b : c
であり, 直線 AI と BC の交点 D として
　　BD : DC = △ABI : △CAI = c : b
　　AI : ID = △ABI : △BDI = (b+c) : a
から
　　AI = {(bAB + cAC)/(b+c)}*{(b+c)/(a+b+c)}
　　⇔ (a+b+c)IA + bAB + cAC = 0 …(#)
が成り立つ。

次に線分の長さを
　　RB = BP = l, PC = CQ = m, QA = AR =n
　　[注) l+m = a, m+n = b, n+l = c です]
と表すことにすると
　　aIP = a{IA + (mAB + lAC)/(l+m)}
　　bIQ = b{IA + n/(m+n)AC}
　　cIR = c{IA + n/(l+n)AB}
と変形できるので
　　aIP + bIQ + cIR = (a+b+c)IA + (m+n)AB + (l+n)AC
　　　　　　　　　　　 = (a+b+c)IA + bAB + cAC = 0 (∵(#))

>>364さん
なるほど。ありがとうございます。

age

>>359
こんな解法もあるよん。
（以下、大文字2つ並んでるのはベクトルと思われよ）

まず、AB＋BC＋CA＝0が当然成り立つ。ここで
　IB'＝AB、IC'＝BC、IA'＝CA
となるように点B'、C'、A'をとれば
　IB'＋IC'＋IA'＝0　・・・（★）
が成り立つ（Iを始点にそろえただけ）。
いま、Iを中心とする90°回転を表わす変換をfとして、★より
　f(IB')＋f(iC')＋f(IA')＝0
（∵fは線型変換）が得られる。そして、
　f(IB')＝(c/r)IR、f(IC')＝(a/r)IP、f(IA')＝(b/r)IQ
なので、題意は示される。

実数の区間[a,b]を任意に取ります。
この時、有理数の稠密性よりこの区間内に有理数があることは
証明できるのですが、無理数があることを証明できません。
基本的な問題で申し訳ないのですが、誰か証明を教えて下さい。

>>369
1<a<bの場合。
1<a<c<d<bとなる任意の有理数c,dについて、
root(c*d)が有理数でないとき、
それは無理数であり、
c<root(c*d)<dである。

ここでいう｢実数」「有理数」「無理数」の定義は？

[a,b]にひとつも無理数がないとすれば[a,b]は可算集合となり矛盾

>>369
もちろん a<b でないとだめっす。
解法Ｉ
[a,b]にある有理数は可算無限個しかないが[a,b]は非可算無限集合
なので有理数しかないっていうことはない。
解法ＩＩ
(a,b)のなかの有理数 p をとってくる。e を p-a, b-p より小さい
正の数とする。すると a<p-e<p+e<b。
有理数の稠密性より √2 - e < q < √2 + e なる
有理数 q をとる。すると -e<q+√2<e。
よって p-e<p+q+√2<p+e。
よって a<p+q+√2<b。
よって無理数 p+q+√2 が (a,b) のなかにある。

>>373
訂正
誤：（９、１０、１１行目）q+√2
正：-q+√2

1+1=2って証明できるんかな？

↑ごめんちゃい。他に板ありました。

３６９です。答えて下さったみなさんありがとうございました。
わかりました。

あと、ここでは実数とは連続性の公理とか可換体の公理とか
順序の公理で定義されるもので、有理数は既約分数で表される
もの、無理数は実数であって有理数でないものという風に考えて
いました。

「代数的数の最小多項式は既約である」
みたいな記述を目にしたのですが、ここでいう「既約」
ってのは実数範囲でのことでしょうか？

「実超越数は無理数である」
・・・すいません、実超越数ってナニモノですか？

>ここでいう「既約」ってのは実数範囲でのことでしょうか？

範囲は有理数。

>実超越数ってナニモノですか？

有理数を係数とする多項式の解になるものを「代数的数」という。
たとえば、
1,2,-1/3,√2,1+2i(i は虚数単位）
なんかは代数的数。それぞれ、
x-1=0,x-2=0,x+1/3=0,x^2-2=0,x^2-2x+5=0
の解だから。

で、代数的数以外の数を「超越数」という（当然、無理数になる）。
そのうち実数であるものが実超越数。
円周率πとか、自然対数の底 e がその例。

可換環って、「かかんかん」って読むんですか？

>>380
違います。「かかんわ」です。
それくらい分からないでどうする？

かーねるかーねるかかんかん

　　　○○○
　　×○○○
　――――――
　　　○○○
　　○○○
　○○○
　――――――
　○○○○○


虫食い算です。
○には0〜9の数字がそれぞれ2回ずつ使われています。
どう考えればいいでしょうか？

ちょっとずれちゃった。すみません。
でも、問題の意味は伝わります･･･よね？
（3桁の数）×（3桁の数）です。

Give asymptotic bound for T(n)
1).T(n) = 3T(n/3 +5) +n/2
2).T(n) = T(n-1) +1/n

please.

次の級数の収束・発散を判定せよ。
Σ[n=2,∞]　1/｛n^2-2√n｝

方針を教えてください。お願いします。

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ...
のΣはどうやって表せますか？

>>386
たぶんだけど...
これ次の定理

　　定理　正数列 a_n > 0 においてもし a_n < c となる定数
　　　　　がとれるなら �納n=1,∞]a_n は収束する。

を使わないとめちゃむずい？これ出典はどこ？まさか大学受験の
問題集？高校数学の範囲でとけるのかな？

>>388
まちがえた。
誤：a_n < c
正：�納k=1,∞]a_k < c

>　　定理　正数列 a_n > 0 においてもし a_n < c となる定数
>　　　　　がとれるなら �納n=1,∞]a_n は収束する。

ﾊｧ?

>>386 n^2-2n^{1/2}>n^2/2

>>323のまねをしてみる
1/(n^2-2√n) < 1/(n^2-2n) = {1/(n-2)-1/n｝/2 ( n >= 3 )

>>388-391
レスありがとうございます。
>>391
これで逆数をとって、�納n=1,∞]2/n^2が収束するから、
与式も収束するってことですね。
その不等式がどうやって出てくるのかが知りたいです。
数学的センスの問題なのでしょうか？

>>387
�納n=1,∞]　1/ｎ

>>391
> n^2-2n^{1/2}>n^2/2

ちょい修正
n^2-2n^{1/2}>n^2/4 (n>=2)

東京出版のホームページにある算数王神社
http://www.tokyo-shuppan.co.jp/susanowo/index.html
にある問題の２

問題２　2∫[0,π/3]1/√(1-k sin^2x)dx
=∫[0,π/2]1/√(1-k sin^2x)dx
をみたす定数 k を求めよ。

さっぱりわからんぬ。ヒントきぼんぬ。参考資料もきぼんぬ。

>>396
第１種完全楕円積分だっけ？
楕円積分とかその辺を調べてみては・・・

>>397
んぬっ。レスありがとんぬ。楕円積分ネットでしらべてみたんぬ。
すると、

∫[0,θ]1/√(1-k sin^2x)dx、∫[0,θ](1-k sin^2x)dx

の形の積分を第一種、第二種不完全楕円積分というらしんぬ。
とくに θ=π/2 の場合を完全というらしいんぬ。第二種不完全
楕円積分は楕円を (a cos t,b sin t) とパラメータ表示したとき
の 0≦t≦θ の部分の周長をあたえるらしいんぬ。そこまでは
わかったんぬ。でも第一種のほうはさっぱりネット上ではわからんぬ。
あるホームページで値を計算してくれるとこがあったんぬ。
みつけたときちょっとうれしかったんぬ。でもそのあと悲しかったんぬ。
やっぱり本かなんかしらべんとあかんみたいんぬ。
なんかどっかに参考資料なかりしかんぬ。
Help meんぬ。

>>396
楕円関数 sn の加法定理の問題。
参考資料は楕円関数の教科書。
正解者の方々「１３２人目の素数さん」って誰だよ？
俺じゃねーぞ（ｗ

>>397 >>399
ありがとございました。396 です。398 ではちょっとわるのり
しすぎて我ながらうざい。すいません。
sn の加法定理しらべてみます。それでもだめならもっかい聞きます。
たぶんもっかい聞くかも... いや絶対聞くな。でもしばし自分で
調べてみます。ありがとございました。

すみません。どうしてもわからないのですが・・
問題は点列の物で・・

n次元空間Ｒ^ｎの集合Ｑ（A；r）は閉集合、
Ｃ（A;r）は開集合という事を示せ。

です。
Ｑ（A;r）={(X1,X2,... ,Xn)∈Ｒ＾n| ｜Xi-Ai｜≦r}
Ｃ（A;r）={(X1,X2,... ,Xn)∈Ｒ＾n| ｜Xi-Ai｜＜r}
と定義してます。

宜しくお願いします。

>>379
遅ればせながら、どうもです。

y^2=x^6+1は複素空間上で穴が2つ開いた曲面になると聞き,
あれこれ試しましたが、さっぱりです。
どういう空間に射影すれば良いのでしょうか？
また、一般的な2変数多項式がどういう曲面になるか分かる方法がございましたら、
教えて頂きたくお願いします。
ただし、できれば、高校生程度の知識で。

メビウス関数の反転公式
f(n)=Σg(d)->g(n)=Σμ(n/d)g(d)
の応用例を教えてください。

age

lim[An]=+∞→lim[1/An]の証明と
An>0,lim[An]=0→lim[1/An]=+∞の証明を教えてください。
大学に内部推薦で入ったため授業についてけません。

lim[An]=+∞→lim[1/An]=0でしたすいません

紀宮清子内親王　　１９６９／０４／１８　３１歳
三笠宮彬子女王　　１９８１／１２／２０　１９歳
三笠宮瑶子女王　　１９８３／１０／２５　１７歳
高円宮承子女王　　１９８６／０３／０８　１５歳
高円宮典子女王　　１９８８／０７／２２　１２歳
高円宮絢子女王　　１９９０／０９／１５　１０歳
秋篠宮眞子内親王　１９９１／１０／２３　　９歳
秋篠宮佳子内親王　１９９４／１２／２９　　６歳

３６年間にコインの表が続けて８回でました。
９回目にコインの表が出る確率はいくつでしょう？

>>406
「lim[An]=+∞→lim[1/An]=0 を証明せよ」

これは、言い換えると

　「任意の実数 K に対して、ある整数 m が存在して

　　　n > m　⇒　An > K

　　を満たす」

　との仮定から

　「任意の正数 ε に対して、ある整数 m が存在して

　　　n > m　⇒　|1/An| < ε

　　を満たす」

　を導け

との問にょ。

まず、任意の正数 ε が与えられたとして、仮定より、

　1/ε に対して、ある整数 m が存在して

　　n > m　⇒　An > 1/ε　（ ⇒　1/An < ε ．　∵ 1/ε >0 ）

　を満たす

が言えるので、このことから

　任意の正数 ε に対して、ある整数 m が存在して

　　n > m　⇒　|1/An| < ε

　を満たす

が言えるにょ。

ある本曰く、
「Q(α,β,…,γ)=Q(ω)となる代数的数ωが存在する」
とのこと。どーしてですか？
あ、ちなみにQ(α,β,…,γ)は代数体のことです。

ある本曰く、
「Q(α,β,…,γ)=Q(ω)となる代数的数ωが存在する」
とのこと。どーしてですか？
あ、ちなみにQ(α,β,…,γ)は代数体のことです。

あれ？失敗？すいませんです。

数体の有限拡大はつねに単純拡大

>>403
>y^2=x^6+1は複素空間上で穴が2つ開いた曲面になると聞き,
>あれこれ試しましたが、さっぱりです。

やりかたは
y^2=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)
（a,b,c,d は定数、どのふたつも相異なる）
の場合と同じです。

閉集合、開集合の定義は？>>401

下記のサンプル１及び２において、Ａに対するＢ及びＣの関係を導き出してください｡
文字は16進数（多分）。

・Sample1
Ａ「7313a6e7bf7f111b604696f20c83c224」
Ｂ「99b94581ec3091d98bb675e3c86f82e0」
Ｃ「09854958b4eb69d8fd8cc8571fb9231801d0a8e304b6fc12」

・Sample2
Ａ「5a2e304a327717223bd6cc0c296c0629」
Ｂ「8fc3ac89373cbcca302a794d2f069a54」
Ｃ「6bbd9b9cf4577c175900aeb781b9908001d0a8e369f75a89」

「空事象でない２つの事象AとBが独立、このときAとBは排反
でないことを定義に基づいて示せ。」これは数学的に解ける問題
なのでしょうか？

>>417
事象 A,B が独立:⇔P(A∩B)=P(A)P(B)
事象 A,B が排反:⇔P(A∩B)=0
やったっけ？
ex.
Joker なしのトランプ52枚をひいて
A:=“奇数を引く”B:=“偶数を引く”C:=“ハートを引く”
なら
P(A)=28/52,P(B)=24/52,P(A∩B)=0 なので A,B は背反やけど独立でない。
P(A)=28/52,P(C)=13/52,P(A∩C)=7/52 なので A,C は独立やけど背反でない。
かな？受験数学みたい。なぜそれぞれのカードを引く確率が 1/52 なのか...
そっちのほうが数学では手がでんかも...

数２の三角関数の初歩的なことなんですが
cosθ-sinθ/cosθ+sinθ=1-tanθ/1+tanθ
の変形がわからないです。

>>419
・分母＆分子をcosθで割る
・(sinθ/cosθ)をtanθに直す

１＋１＝２ の証明は今井のＨＰにあるぞ。

Ｑ（A;r）={(X1,X2,... ,Xn)∈Ｒ＾n| ｜Xi-Ai｜≦r}
Ｃ（A;r）={(X1,X2,... ,Xn)∈Ｒ＾n| ｜Xi-Ai｜＜r}

Ｃ(A;r)の点xをとり、max|Xi-Ai|＝Rxとおけば、開球|X-A|<r - RxはＣ(A;r)に含まれる。xは任意なのでＣ(A;r)は開集合.
Ｑ(A;r)はＣ(A;r)の閉包だから閉集合。

>>383

179×224

>>421
今井のHPって信用出来るのか？

＞４２２
御返事遅くなりすみません。
ありがとうございます。
少し自分の頭で　考え直して見ます。
それでわからなかったらまた質問します。

それでは失礼いたしました。

>>424
ネタ？

最小多項式って、なぜ一意に定まるのでしょうか？
証明していただけると嬉しいです。

体Ｋ、部分体Ｍ、Ｍ係数1変数多項式環Ｍ[X]
a∈ＫのＭ上の最小多項式は、イデアル{f(x)∈Ｍ[X] ｜f(a)＝0}
の生成元のうち、次数が最低で、最高次の係数が1であるもの。
別の生成元をとれば、それは最小多項式で割り切れる。
最小多項式と同じ次数の多項式が生成元ならば、それは最小多項式の定数倍。
よって最小多項式は一意に定まる。

>>427
428 氏の説明がわかる人はもともと質問しないと思うので、初心者用の説明。

αの最小多項式とは、f(α)=0 となるもののうち、「次数が最低で最高次の係数が 1 」
であるもの。
αの最小多項式が f(x), g(x) と二つあったとする[f(α)=g(α)=0,f(x)≠g(x)]。

このとき、f(x) と g(x) の次数は等しい。そうでなければ、次数の大きい方が、
「次数が最低で」の条件を満たしていないので最小多項式であることに反する。

次数を n 次として、f(x)=x^n+…, g(x)=x^n+… とする。

h(x)=f(x)-g(x) とおく。x^n は打ち消しあうので、h(x) は高々 n-1 次式。
また、f(x)≠g(x) なので、h(x) は恒等的に 0 とはならない。
よって、h(x)=ax^m+bx^(m-1)+… （a≠0,m＜n）とおくことができ、
h(α)=f(α)-g(α)=0 である。
そこで、k(x)=h(x)/a を考えれば、これは、「k(α)=0 で、次数が n より小さく、
最高次の係数が 1 」である。
次数が n より小さいものができてしまったので、f(x), g(x) は最小多項式でなかった
ことになり矛盾。

>>403
穴の数のことを種数といいます。
f(x) を n 次式で、f(x)=0 が重解を持たないとすると、y^2=f(x) の種数は、
n=1, 2 → 種数0
n=3, 4 → 種数1
n=5, 6 → 種数2
n=7, 8 → 種数3
という具合になります。
少なくとも y=±√x を２枚の複素平面を張り合わせて一価関数にする話（リーマン面）
くらいは知らないと・・・。高校程度の知識で説明するのは難しそう。

>>428
>>429
ありがとうございました。

a,b,cを０でない実数として、空間内に３点Ａ（ａ、０，０）Ｂ（０，ｂ、０）
Ｃ（０，０、ｃ）をとる。
（１）　空間内の点ＰがベクトルＡＰ・（ベクトルＢＰ＋ベクトル２ＣＰ）＝０
を満たしながら動くとき、点Ｐはある定点Ｑから一定の距離にあることを示せ。

（２）　（１）における定点Ｑは３点Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面上にあることを示せ。

（３）　（１）における点Ｐについて、四面体ＡＢＣＰの体積の最大値を求めよ。

＊なるべく高１の範囲で解いてください。よろしくお願いします。

以下、ベクトルＰを「Ｐなどと表します。
「Ｐ＝(x,y,z)と置く。
「ＡＰ＝「Ｐ−「Ａ＝(x-a,y,z)
「ＢＰ＝「Ｐ−「Ｂ＝(x,y-b,z)
２「ＣＰ＝２（「Ｐ−「Ｃ）＝(2x,2y,2z-2c)
∴与式の左辺＝(x-a,y,z)・(3x,3y-b,3z-2c)
=3(x^2-ax) +3(y^2- (by/3)) +3(z^2- (2cz/3))=0
３で割って平方完成すると、
　(x- (a/2))^2 +(y- (b/6))^2 +(z- (c/3)^2 =(a/2)^2 +(b/6)^2 +(c/3)^2
この式を満たすｘ，ｙ，ｚは、点(a/2,b/6,c/3)を頂点とする球上にある。
よってＰは定点Ｑ＝(a/2,b/6,c/3)から一定の距離にある。

また、Ｑが平面ＡＢＣ上にある事は、
『ある点ｘが平面ｄｅｆ上にある条件
「ｘ＝ｒ「ｄ　＋ｑ「ｅ　＋ｓ「ｆ（ｒ＋ｑ＋ｓ＝１）』
より明らか。

また、「ＱＰがＡＢＣに垂直なとき体積は最大で、このとき
最大値＝球Ｐの半径＊三角形ＡＢＣの面積である。

・・である。けど。出せない。（汗

ちょっと待て。
最大値＝球Ｐの半径＊三角形ＡＢＣの面積/３
なにやってんだか。

くだらんスレにもお願いしてるんですが・・・
3 2
1

6 2 5
4 3
1
のように三角形に自然数を並べ、差が下の数になるようにする。
５段（ｎ＝１５）まではいけるけど、そのあとはどうでしょうか？

(1)条件より
OA・OB=OA・OC=OB・OC=0
よって(1)の式は
AP・(BP+2CP)=0
⇔(OP-OA)・(OP-OB+2OP-2OC)=0
⇔3|OP|^2-OP・(OB+2OC+3OA)=0
⇔| OP-{(1/3)OB+(2/3)OC+OA}/2 |^2=|{(1/3)OB+(2/3)OC+OA|^2 / 4
より、定点{(1/3)OB+(2/3)OC+OA}/2
から等距離|{(1/3)OB+(2/3)OC+OA| / 2
にある点である

(2)(1)より明らか
(ABの内分点とその点とAの内分点)

(3)Qが球の中心で、平面ABCが、そのQを通る平面である事から
(1)で出た距離を使って簡単に計算できる

（２）をもうちょっと詳しくお願いします。

（２）をもうちょっと詳しくお願いします。

Ｏを原点とする空間内に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり、４点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃは
同一平面上にないものとする。
ベクトルＯＰ＝ベクトル２ＯＡ＋ベクトル３ＯＢ＋ベクトル４ＯＣ　と点Ｐをおくとき
（１）　四面体ＰＡＢＣの体積と四面体ＯＡＢＣの体積比は？

ほかのところに書いたんですが返答がなかったので、これもよろしくお願いします。

数三の範囲の、無限等比級数と図形の問題です。
学校でやっていないのでさっぱりわかりません、教えてください。

問題

∠Ａが頂角である三角形ＡＢＣで、ＣＡ＝１、ＡＢ＝２とする。
頂点Ａから辺ＢＣに垂線を下ろし、その足をＡ1とする。
次にＡ１から辺ＡＢに垂線を下ろして、その足をＡ2とする。
このようにして、図のように垂線Ａ2Ａ3、Ａ3Ａ4、Ａ4Ａ5、・・・
を作っていく。
このとき、Ｌ＝ＡＡ1+Ａ1Ａ2+Ａ2Ａ3+・・・・・・を求めよ。
（図形では、Ａが左下で直角です）
最終的にこれは、初項２／√５、公比２／√５の収束する
無限等比級数の和を計算する、ってなるんですが、過程がさっぱりわかりません
よろしくおねがいします。

解けるけど書くのめんどい。方針はＯＰと平面
ＡＢＣの交点をＱとでもしてＯＱ対ＱＰが答えに
なる。ＯＱをベクトルＯＡ，ＯＢ、ＯＣで現そう。

>>441は>>439の返事ね。
>>441
あんたねえ、参考書みたほうが早いよ？
問題自体は簡単だけど。似た問題チャートにも
あるでしょう？

>>441は>>439の返事ね。
>>442
あんたねえ、参考書みたほうが早いよ？
問題自体は簡単だけど。似た問題チャートにも
あるでしょう？

>>440
まずＡＡ１、Ａ１Ａ２、Ａ２Ａ３、……を求めれ
中学でやったろ？

そこをなんとかおねがいします。

>>439
ＯＱ＝２／９ＯＡ＋３／９ＯＢ＋４／９ＯＣになる。
よってＯＱ対ＱＰ＝1対8だから1対8
ＯＱ＝ｐＯＡ＋ｑＯＢ＋ｒＯＣ，ｐ＋ｑ＋ｒ＝１
ｐ：ｑ：ｒ＝２：３：４でだすわかる？

＞４４０
点Ａ，点Ｂ，点Ｃでできる三角形をΔ（Ａ，Ｂ，Ｃ）と書くと
Δ（Ｃ，Ａ，Ｂ）∽Δ（ｃ、Ａ，Ａ１）よりＡＡ１＝２／√５
同様に
Δ（Ｃ，Ａ，Ｂ）∽Δ（Ａ，Ａ２、Ａ１）より
Ａ１Ａ２＝ＡＡ１＊２／√５＝（２／√５）＾２
初項２／√５、公比２／√５の無限等比級数ですな
俺もけっこういけるやん、30年前に受験したにしては

>446
もっと詳しくお願いです。

>>448
>>446
の三行目は平面ＡＢＣ上にＱがある条件
4行目はＱがＯＰ上にあるという条件
ＯＱ＝１／９ＯＰだからＯＱ対ＯＰ＝１：９
よってＯＱ：ＱＰ＝１：８
ＰＡＢＣとＯＡＢＣは底面ＡＢＣが共通だから高さの比が
体積比になる。図をかくと高さの比はＯＱ：ＱＰに
なることがわかる。自分で図をかけ！

>>437 >>438
{(1/3)OB+(2/3)OC+OA}/2
は
BCを2:1に内分した点をDと呼ぶとき
ADを1:1に内分した点
ちゃんと紙に綺麗に分数を書けば分かるはずです

10進法表示のn桁の正の整数で、
隣り合う桁の数字が互いに相異なるような数の個数をA(n)とする。

(1)A(n)を求めよ
(2)上の数のうちで、1の位の数が0である数の個数を
B(n)とするときlim(n→∞){B(n)/A(n)}を求めよ

東工大の問題ですがよろしくおねがいします

さっきの（３）も計算式を書いてもらうとありがたいんですが・・・
どうかよろしくお願いします。

>>452
計算くらい自分でやれｺﾞﾙｧ

すいません。
私も一つお願いします

京都府立の問題です

「一回の試行で事象Aが起こる確率はpであって
Aがおこれば2点、起こらなければ一点が与えられる。
この試行を繰り返し行うとき、得点の合計が途中で丁度n点となる確率を
P(n)とする」
(1)
P(n)={(1-p)P(n-1)}＋{p*P(n-2)}を示せ
(2)
P(n)をnの式であらわせ
(3)
得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ

代数的数全体は、なぜ体になるのですか？

>>451 さん
(1) { A(1) = 9　　　　　　　　　　| 1,2,3,4,…,8,9
　　{ A(n+1) = A(n)*9 (n≧1)　|------------
なので, これを解いて　　　　　| 10,12,13,…,19
　　A(n) = 9^n (n≧1)　　 　　　| 20,21,23,…,29
　　　　　　　　　　　　　　　　　　| …　　　　　…
(2) B(n) = A(n)/9 (n≧2)　　　 | 90,91,92,…,98
が成り立つから,
　　B(n) = 9^(n-1) (n≧2)
　　∴ lim[n->∞] B(n)/A(n) = 1/9

# 東工大の問題がこんな簡単なハズがない..
# めっちゃ勘違いしてるかもしれません(汗)

>>454 さん
(1) ちょうど n点になるのは,
　　i) (n-1)点の状態から A が起こらない
　　ii) (n-2)点の状態から A が起こる
のどちらかなので
　　P(n) = P(n-1)*(1-p) + P(n-2)*p (n≧3)

(2) { P(1) = 1-p, P(2) = p + (1-p)^2……(#1)
　　{ P(n) = (1-p)*P(n-1) + p*P(n-2) …(#2)
(#2) を変形した
　　{ P(n) - P(n-1) = -p{P(n-1) - P(n-2)}
　　{ P(n) + p*P(n-1) = P(n-1) + p*P(n-2)
それぞれから n≧3 に対し, 次式を得る。
　　{ P(n+1) - P(n) = {P(2)-P(1)}*(-p)^(n-1)
　　{ P(n+1) + p*P(n) = P(2) + p*P(1)
辺々ひいたのち (#1) を代入, 整理して
　　P(n) = -{(p^2)*p^(n-1) - 1}/(p+1)　(∵ p+1≠0)
これは n = 1, 2 にも適するので n≧1 で成り立つ。

(3) P(2n) - {P(n)}^2 を計算すればよく
　　{(p^3)*(-p)^(2n-2) + 2p^2(-p)^(n-1) + p}/(p+1)^2 (n≧1)

やっぱ >>456 は間違ってます。(爆)

と言うことで >>456 の (2) を訂正します。

(2) B(n+1) = A(n) - B(n) (n≧1)
が成り立つことと, B(1) = 0 から
　　B(n+1)/9^(n+1) - 1/10 = (-1/9){B(n)/9^n - 1/10}
　　⇒ B(n)*/9^n = {B(1)/9 - 1/10}*(-1/9)^(n-1) + 1/10
　　⇒ B(n) = (1/10){9^n - 9*(-1)^(n-1)} (n≧1)
したがって
　　lim[n->∞] B(n)/A(n) = 1/10

# 今度はあってるかな？(汗)

>>455
a を代数的数として、たとえば、a^4+2a^3+3a^2+4a+5=0 であるとします。
それなら、

(-a)^4-2(-a)^3+3(-a)^2-4(-a)+5=0
1+2(1/a)+3(1/a)^2+4(1/a)^3+5(1/a)^4=0

も成立しますので、-a や 1/a も代数的数であることはすぐわかります。
しかし、a, b が代数的数であるとき、a+b, ab も代数的数であることを示すのは、
少し面倒。代数学の教科書を見てください。

a,bがＱ上代数的なら、Ｑ(a,b)/Ｑは代数拡大。

偏微分の記号∂の読み方教えてください。

ディー。ラウウンドと言う人もいるのかな？

「でる」って私は読んでいるが

Tex流に「ぱーしゃる」って読むひとはいないか？

対偶と背理法は同じものなのですか？

trさんご解答ありがとうございます。
自分は確率漸化式が弱いので演習を繰り返しているのですが
もう一問、同じ分野で質問させてください。

2つの袋A,Bがあってそのどちらにも赤玉1つ、白玉1つの計2個ずつの玉が入っている
両方の袋からでたらめに玉を一つずつ取り出していれかえる。
この操作をn回引き続いていったとき
始めのように各袋に赤玉と白玉が1つずつ入ってる確率をP(n)とする。

(1)n≧1としてP(n)とP(n＋1)の関係式を求めよ

(2)P(n)を求めよ

裳華房　集合と位相　内田伏一著　の10Ｐ問２.５（５）
Ａ＝Ｂ−（Ｂ−Ａ）がＡ⊂Ｂと同値であることを示せ。
どのようにしてやればいいのでしょうか？　教えてください。

右辺＝｛ｘ｜ｘ∈Ｂかつｘ（∈≠）（Ｂ−Ａ）｝
　　＝｛ｘ｜ｘ∈Ｂかつｘ（∈≠）｛ｘ｜ｘ∈Ｂかつｘ（∈≠）Ａ｝
　　＝？

>>468
A=B-(B-A)⇔A⊆B

(→)
x∈A
⇒x∈B-(B-A)
⇒x∈BかつNOT(x∈B-A)
⇒x∈BかつNOT(x∈BかつNOT(x∈A))
⇒x∈Bかつ(NOT(x∈B)またはx∈A）
⇒(x∈BかつNOTx∈B)または(x∈Bかつx∈A)
⇒x∈B

(←)
x∈A
⇒x∈B
⇒x∈Bかつx∈A
・・・
⇒x∈B-(B-A)
また
x∈B-(B-A)
⇒x∈Bかつx∈A
⇒x∈A
より
x=B-(B-A)■

# 状況ごとに記号をさだめるとわかりやすいかも？

>>467 の問題
n 回いれかえを終わらせた状況について
　　A が 赤白 [, B が 赤白] を P(n)
　　A が 赤赤 [, B が 白白] を Q(n)
　　A が 白白 [, B が 赤赤] を R(n)
とおくと n≧1 に対し, 次の 3式が成り立つ。
　　{ P(n) + Q(n) + R(n) = 1
　　{ Q(n) = R(n)
　　{ P(n+1) = P(n)*(1/2) + Q(n)*1 + R(n)*1
Q(n), R(n) を消去して
　　P(n+1) = (-1/2)P(n) + 1 (n≧1)
これを解いて
　　P(n) = {P(1) - 2/3}*(-1/2)^(n-1) + 2/3
　　　　 = (-1/6)*(-1/2)^(n-1) + 2/3 (n≧1)

2を越える偶数は２つの素数の和で書ける。誰か証明してちょ。

>>471
とんでもを誘導しよ〜っちゅ〜はらやな。ちょっと意地悪いで。

二つの事象AとBが独立であるというのと二つの事象XとYが独立
であるということの定義はどこが違うのでしょうか？それぞれ
の具体例を出していただけるとありがたいのですが。

>>469さん、レスありがとうございました。

もう一つだけ、
(Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪Ｃ)∩(Ａ∪Ｄ)∩(Ｂ∪Ｃ)∩(Ｂ∪Ｄ)∩(Ｃ∪Ｄ)
＝(Ａ∩Ｂ∩Ｃ)∩(Ａ∩Ｂ∩Ｄ)∩(Ａ∩Ｃ∩Ｄ)∩(Ｂ∩Ｃ∩Ｄ)
がどうしても示せません。
長いやつで申し訳ありませんが、教えていただけないでしょうか。

初歩的な質問かもしれませんが、わかる方教えてください。

10進数の25.375を2進数に変換すると
25の部分は　11001　に
0.375の部分は　.011　となると書いてるんですけど

逆に2進法の11001.011を10進数に変換する場合
どういう計算すればいいんでしょうか？
11001の部分は、右から順に2・4・8・16・32と計算していけばと
わかるんですが、小数の部分の計算がわからないのです。
2進法の.011をどう計算すれば10進法の0.375になるのですか？

>>475
>2進法の.011をどう計算すれば10進法の0.375になるのですか？
0*(1/2)+1*(1/4)+1*(1/8)=0.375

１０進法とおなじこと 0.123 は
1* 1/10 + 2* (1/10^2) + 3 * (1/10^3) のこと。
同じように２進で　０．01１とは
　 0* (1/2) + 1 * (1/2^2) +1 * (1/2^3)のこと。
　( つまり 10進表記で 1/4+1/8 )
　　

>>476.477
やっと理解できました。ありがとうございます。

有限個の閉集合の和集合は閉集合である。これの証明はどうやるんですか？
一方、無限個の閉集合の和集合は閉集合であるとは限らない。反例はあるんですか？

これがわかりません。
Fを閉集合、Gを開集合とする。F＼G、G＼Fについて何が云えるか。
誰か教えてください。
お願いします。

>>479
>>480

　どのレベルで質問してるのかな？一般位相の話？それとも距離空間とかユークリ
ッド空間の話？反例なら、閉区間[1/n,1-1/n]を自然数ｎについて和集合をとれば、
開区間(0,1)になって、これは閉集合じゃないよな。

>４８１さんへ
お返事ありがとうございます。
一般位相での話です。宜しくお願いします。

>>482
479さんの質問の仕方では何が前提でそれを示そうと
しているのかわかりません。

たとえば仮に開集合の公理が適用された上で閉集合の定義が
開集合の補集合として定義された、としたら開集合の
公理から自明です。

複素関数の分野に関して質問です。

関数f(x)がZ=Z_oにおいて複素微分可能であるとき、f(x)はZ=Z_oにおいて連続である
事を示せ。

>>474 さん
　　x∈(A∪B)∩(A∪C)∩(A∪D)∩(B∪C)∩(B∪D)∩(C∪D)
⇔ x∈(D∪A)∩(A∪B), x∈(A∪B)∩(B∪C),
　　x∈(B∪C)∩(C∪D), x∈(C∪D)∩(D∪A)
⇔ x∈A, x∈B, x∈C, x∈D
⇔ x∈A∩B∩C∩D
⇔ x∈A∩B∩C, x∈A∩B∩D, x∈A∩C∩D, x∈B∩C∩D
⇔ x∈(A∩B∩C)∩(A∩B∩D)∩(A∩C∩D)∩(B∩C∩D)

>>484
実数の場合とまったく同様に示せるんじゃないの？

測度論の話で「選択公理を認めるとルベーグ非可測集合が作れる。」
って言ってたんですけど。誰か簡単に説明してもらえません？

>>487
実数の集合に、次のような同値関係を入れる。
x 〜 y ⇔ x-y が有理数
各同値類から、区間 [0,1] に含まれる代表元を選び出し、その代表元の集合を A とする。
A が可測と仮定し矛盾をいう。
以下、m(A) とは、集合 A のルベーグ測度を表す。

B_n=A+1/n とおく（n は自然数。「+」は、A を数直線上 1/n だけ右にずらすという意味）。
このとき次のことは明らか。
(1) m(B_n)=m(A)
(2) n≠m のとき、B_n と B_m は排反。
(3) あらゆる n について、B_n は区間 [0,2] に含まれる。
[0,2] のルベーグ測度は有限（っていうか２）なので、(1),(2),(3) より、m(A)=0 である。

有理数は可付番なので、実際に番号を打ち、r_n （n=1,2,3…）をすべての有理数とする。
C_n=A+r_n とおく。次は明らか。
(1) m(C_n)=m(A)=0
(2) n≠m のとき、C_n と C_m は排反。
(3) すべての C_n の和集合は、実数全体と一致する（つまり、∪C_n=R ）。
しかし、これでは、m(R)=m(∪C_n)=Σm(C_n)=0　で、実数全体の測度がゼロになるから矛盾。

>>485さん
お答えありがとうございました。
やっと納得することができました。
感謝、感謝です。

>>484
fがZoで複素微分可能　⇔　f(Zo+h) - f(Zo) = f'(Zo)h + o(|h|)
h→0として
f(Zo+h)→f(Zo)

まいっています。助けてください。

1+2+3+....+n = n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+....+n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+....+n^3 = {n(n+1)/2}^2

ここまではわかりました。

しかし，

1^4+2^4+3^4+....+n^4 = ？
1^5+2^5+3^5+....+n^5 = ？
1^k+2^k+3^k+....+n^k = ？

はちんぷんかんぷんです。
指数がｋの時は，ベルヌーイ数を使ってといわれましたが？

よろしくお願いいたします。

(x+B)^n＝x^n + nC1*x^(n-1)*B + nC2*x^(n-2)*B^2 + ...
(x+B-1)^n＝x^n + nC1*x^(n-1)*(B-1) + nC2*x^(n-2)*(B-1)^2
これより
★(x+B)^n - (x+B-1)^n＝nC1*x^(n-1) + nC2*x^(n-2)*{B^2-(B-1)^2}+...

ここで、B^nをBのべきと思わずに、次の条件を満たす未知数とみなす
　B^2-(B-1)^2＝0、B^3-(B-1)^3＝0、....B^n-(B-1)^n＝0
B^nの代わりにBnと書いて、Bernoulli数という。
B1＝1/2、B2＝1/6、B3＝0, .....
すると、★式は
(x+B)^n - (x+B-1)^n＝nC1*x^(n-1)　　すなわち
　n*x^(n-1)＝(x+B)^n - (x+B-1)^n　となる。
これに、x＝1,2,...kを代入して辺々を足し合わせれば、Ｎ＝n-1とおいて、
　n{1^N+2^N+...+k^N}＝(k+B)^(N+1) - B^(N+1)
1^N+2^N+...+k^N ＝{(k+B)^(N+1) - B^(N+1)}/(N+1)
右辺を展開して、B^NをBernoulli数BNに置き換えればよい。
たとえば、
1^3+2^3+3^3+....+n^3＝{(n+B)^4 - B^4}/4
　　　　　　　　　　＝{n^4＋4B1*n^3＋6B2*n^2＋4B3*n^3}/4
　　　　　　　　　　＝{n^4＋2*n^3＋*n^2}/4＝{n(n+1)/2}^2

集合と位相についてです。

１．Ａ⊂ｆ^(‐1)（ｆ(A)）
２．ｆ（f^(‐1)(C)）⊂Ｃ

それぞれに対して、等号が成り立たないのはどのようなときですか？
成り立つときの証明の仕方は本なあったんですが、成り立たない時の具体例がわかりません。

あと、もうひとつ

Ｉn＝（‐1/n ,1/n)とするとき、∩In、はなんですか
Ｄn＝｛（x,y）∈Ｒ^(2)｜x^(2)＋y^(2)＜1/ｎ^(2)｝とするとき、∩Ｄn、はなんですか

私は共に０ではないかと思うんですがどうなんでしょうか？

>>493
>それぞれに対して、等号が成り立たないのはどのようなときですか？

Ｘ＝｛ａ，ｂ｝，ｆ：Ｘ→Ｘ
で反例が作れる．

>私は共に０ではないかと思うんですが

０と｛０｝の区別はつけてくれ．

「反例」というより「例」と言ったほうがいい？

f(x)=x^2
f((-∞,0))＝(0,∞)
f^(-1)f((-∞,0))＝f^(-1)((0,∞))＝(-∞,0)∪(0,∞)≠(-∞,0)

fの定義域をX、C⊂f(X)とすればf(f^(-1)(C))＝C
そうでないとき、x∈C＼f(X)　ならば　f(f^(-1)(x))＝φ

>>492

ありがとうございました。
こんなにはやく答えがくるとは思わずに，
お礼が遅れて申し訳ありませんでした。

感謝・感激です。

f(z)=(1+z)(1+z^2)(1+z^4)...(1+z^2n)...
このとき，
f(z)=1/1-z
となるということですが，どうしてでしょうか？

非常に基本的な問題ですいません教えてください。

１問目
　0<m<1　をみたす，有理整数は存在しないことを示せ。
２問目
　x>0　とする。このとき，
　「xは正の約数は，１とxのみ」
　または，
　「1＜（xの正の約数）≦√x　をみたす適当なxの約数が存在する」
３問目
　ｎ変数のｄ次多項式を，単項式の和として
　無駄のない表示をした時，
　でてくる項数≦(n+d)/n!d!

以上３問たのみます。

(n+d)/n!d! ...???

>>500
間違いでした。
(n+d)/n!d!
でなくて，
(n+d)!/n!d!
でした。
すいません。

>>498
f(z)=(1+z)(1+z^2)(1+z^4)...(1+z^(2^n))...
の間違いと思われ。
(1+z)(1+z^2)(1+z^4)...(1+z^(2^n))＝Σ[k=0 to 2^(n+1) -1]z^kの証明
nに関する帰納法。n=0のときは明らか。
一般のn≧1について成り立つと仮定。
(1+z)(1+z^2)(1+z^4)...(1+z^(2^n))(1+z^(2^(n+1)))
＝{1+z+z^2+...+z^(2^(n+1) -1))}(1+z^(2^(n+1)))
＝(1+z+z^2+...+z^(2^(n+2) -1)))
よってn+1のときも成り立つ。

>>502
ご指摘の通りです。指数の表記を間違えていました。
　それでも，正答が出せるところがすごいですね。

>>498
暗算で
(1-z)(1+z)(1+z^2)(1+z^4)...(1+z^(2^n))=(1-z^(2^(n+1)))
を導く。
|z|<1 として n→∞ とすれば (1-z)f(z)=1 を得る。

蛇足ですが、無限積が収束することもちゃんと示す必要があります

0＜m＜1となるm∈Ｚがあるとする。そのうち最小のものをkとする。
このとき、1-k(＞0)∈Ｚ。
0＜1-k＜1 であり、kの最小性より0＜k＜1-k　これより0＜k＜1/2
すると、0＜1/2-k＜1/2＜1　であり、1/2-k∈Ｚであるから、kの最小性より
0＜k＜1/2-k　これよりk＜1/4
以下同様にして、任意の正整数Ｎに対し、0＜k＜1/N　矛盾

>>505
そうですね。蛇足じゃないです。

>>499
>３問目

ようするに「係数が１の、ｎ変数の高々ｄ次の単項式」の総数が
(n+d)!/(n!d!) 個であることを示せばいい。これは
「係数が１の、ｎ＋１変数のｄ次“同次”単項式」の総数と同じ。
こっちのほうが数えやすいとおもう。

>>502　>>504
　ばっちりわかりました。
　ありがとうございました。

1＜d＜xをみたす、xの正の約数dがあるとする。x＝d*kとおく。
k＞1。d＞√x and k＞√x　であると仮定すると、
x＝dk＞(√x)^2＝x　矛盾。よってd≦√x or k≦√x

>４９６
ありがとうございました。
出来れば後半の問題も教えて下さい。直観的に｛０｝になるのではないかと思うだけで、数学的にそうだと云う根拠はないので教えて下さい。

>>499 ３問目

そうだね。次数揃えがいい。

重複組合せ H[n、r] = C[n+r-1、r] は既知としてよいのかな？

x1、x2、…、xn の n 変数による d 次多項式であるとすると、
これを同次式にする為に、形式的に各項に x(n+1) を
必要な個数だけ掛ける（こうする前後で項の個数は
変わらないので問題ない）。

すると、各項は x1、x2、…、x(n+1) の (n+1) 変数から
重複を許して d 個取ってきて作られているわけだから、
項の個数は高々

　H[n+1、d] = C[n+d、d] = (n+d)!/{d!(n+d -d)!} = (n+d)!/(n!d!) ．

>>493、>>494

今井の実数では (-1/n、1/n) で整数 0 を表します。（ｗ

>>511
任意の n に対して 0 ∈ (-1/n、1/n) であることはいいよね？
これより 0 ∈ ∩In ．

さて、任意の実数 r （≠ 0）について、アルキメデスの原理より、
|r|n > 1 なる自然数 n が存在する。即ち |r| > 1/n ．
∴　r not ∈ In = (-1/n、1/n) ．
∴　r not ∈ ∩In ．

以上より、∩In = {0} ．
２次元の場合もやることは同じ。

※「∈」「∋」の否定記号って出ないのかな？
　 かなり苦しい表記をしてしまいました…。

＞５１４
本当にありがとう。また、なにかあったら教えて下さい。

>486さん >490さん


どうもありがとうございました

a[1]=1で任意の自然数nに対して
　a[n]>0および
　6Σ[k=1,n]a(k)^2=a[k]a[k+1]*(2a[n+1]-1)
を満たす。
一般項a[n]を求めよ。

高校の問題集でこんな問題があったけど解説が載ってないやつなので
ぜんぜん分かりません。
誰か教えてください。

式をもう一度かくにんして
なんかへんだよ

>>517
正しくは
6Σ[k=1,n]a(k)^2=a[n]a[n+1]*(2a[n+1]-1)
と思われ。２、３項計算してa[n]=nと推定できる。というか左辺と
右辺の“６”あたりからはは〜んとわかる。あとは帰納法で
それをしめせばよい。a[n]=nまでただしいとすると
a[n+1]は漸化式から2a[n+1]^2-a[n+1]-(n+1)(2n+1)=0を満たす。
以下やってみそ！

>>519
右辺と左辺をまちがったとおもわれ。

「･･･と思われ」って言い方、
さいきん流行ってんの？

>>521
はやってないと思われ。

写像ｆ：X→Yおよび、Ｘの部分集合系（Ａλ｜λ∈Λ）に対して、
ｆ^-1(∪[μ∈M]Ｂμ)＝∪[μ∈M]ｆ^-1(Ｂμ)
を証明

左辺⇔ｆ^-1(あるμ∈Mに対してｘ∈Ｂμ)
　　⇔｛ｘ｜あるμ∈Mに対してｘ∈ｆ^-1(Ｂμ)｝
　　⇔左辺
これで証明できていますか？　それともどこかおかしいでしょうか？
教えてください。お願いします。

>>519
ありがとうゴザイマシタ
なんとかできました。
それでa[n]=nまで正しいとするとってあるけど
そうしないとa[n]よりまえの
例えばa[n-1]=n-1とかが使えないってことですか？

Ty=y'は部分空間の線形変換であることを示せ、教えてください

>>525
記号の説明がどっかに載ってない？
Ty=y'だけじゃなんのことやら…
部分空間ってどの空間の部分空間なの？

Ｎ、Ｍが有限集合のとき、全射ｆ:Ｎ→Ｍ　はいくつありますか？

>>527
Ｍ＞Ｎのときナシ
Ｍ≦ＮのときＭ＾（Ｍ−Ｎ）

>>528
符号逆（鬱

Ｍ＞Ｎのときナシ
Ｍ≦ＮのときＭ＾（Ｎ−Ｍ）

>>529
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

2円 x^2+y^2-4x-6y+4, x^2+y^2=r^2
が共有点を持たないようなrの値の範囲は何ですか？
ただし,r＞0

>>531
2円の中心と半径を求めろ
ヴァカ！！

>>532
ありがとう、普通に分かった。
恩にきります。

教えてください。

金利(複利)計算なんですが、
年利xでn年預けるとほぼ2倍になるかという問題で、
x*n=(約)0.72
という式が成り立つみたいです。

どなたか、導いてくれませんか？
要するに、
(1+x)^n = 2 で n → ∞ のとき xn が何に収束するかということだと
思うのですが。

よろしくお願いします。

>>527
それって、簡単な形に求まるの？
次の式以上、どうにもならないように思うけど。
Ｎ、Ｍの要素の数を n, m とすると、

Σ[k=1,m](-1)^(m-k) mCk k^n

>>524
＞それでa[n]=nまで正しいとするとってあるけど
＞そうしないとa[n]よりまえの
＞例えばa[n-1]=n-1とかが使えないってことですか？
そうっす。漸化式の右辺にa[1]〜a[n]まで全部でてきてこれを全部１〜ｎに
おきかえないとしんどいのでa[1]=1〜a[n]=nまで全部仮定すると
a[n+1]=n+1も証明できるのでＯＫというLogicです。

>>534
log2=0.6931471806

>>537さん
ありがとうございます。
x → 0 のとき、log(1+x)=x
を使えば良いんですよね。

0.69や0.7でなくて0.72と書かれていたので悩んだのですが、
「約数が多い(暗算しやすい？)」という単純な理由のような気がしてきました。
実際に想定されるnの値が、収束値に近づくには
いまいち小さすぎというのもあるのでしょうが。
#だったら、「数学的に導かれる値」とか書かないでくれ.......

世間で使われる数学(数字)って結構いいかげん。

ストルツの定理ってどんな定理なんですか？

空間に、３点Ａ（１，-１，１）Ｂ（１，１，１）Ｃ（０，０，１）がある。直線
ｘ＝２＋ａｔ
ｙ＝３＋ｂｔ　　（但し、ｔはパラメータ）
ｚ＝２＋ｔ

が三角形ＡＢＣと共有点を持つためのａ、ｂの条件を求めよ。
また、その条件を満たす点（ａ，ｂ）の範囲を表せ。但し、三角形ＡＢＣは周及び内部を含むものとする。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（大阪府立大）
これがどうも分かりません。空間系は苦手なもので・・


--------------------------------------------------------------------------------

三角形ＡＢＣにおいて、∠Ａの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとし、
その外接円の中心をＯとする。

ＡＢ＝２　ＡＣ＝３　∠Ａ＝θ　１/２ﾍﾞｸﾄﾙＡＢ＝ﾍﾞｸﾄﾙｂ　１/３ﾍﾞｸﾄﾙＡＣ＝ﾍﾞｸﾄﾙｃ
とするとき、次の問に答えよ。

（１）ﾍﾞｸﾄﾙＡＤをﾍﾞｸﾄﾙｂ、cで表せ。また、ﾍﾞｸﾄﾙＡＯをﾍﾞｸﾄﾙｂ、ｃ、θで表せ。

（２）ＯＣ⊥ＡＤとなるとき、ｃｏｓθを求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（８６東大）

>>541

（１）|ﾍﾞｸﾄﾙｂ|＝|ﾍﾞｸﾄﾙｃ|＝１だからこのﾍﾞｸﾄﾙの張る三角形は２と右辺3角形なので
∠Ａの２等分線はｓをパラメータとしてｓ（ﾍﾞｸﾄﾙｂ＋ﾍﾞｸﾄﾙｃ）/2
ＤはＢＣ上にあるからｔをパラメータとして２（１−ｔ）ﾍﾞｸﾄﾙｂ＋３ｔﾍﾞｸﾄﾙｃ
とも書ける。２式が等しいとおいてｓとｔを求めればﾍﾞｸﾄﾙＡＤが求まる

ﾍﾞｸﾄﾙＡＯは∠Ａの二等分線上にあるのでこれもｓ（ﾍﾞｸﾄﾙｂ＋ﾍﾞｸﾄﾙｃ）/2
と書ける。ｓは外接円の半径だから、ＢＣの長さを求めれば正弦定理よりでる。

（２）
（１）よりＯＣが求まり、（ﾍﾞｸﾄﾙｂ＋ﾍﾞｸﾄﾙｃ）と直交してるので内積とって０より

>>542
×２と右辺3角形
○二等辺三角形

アホ変換

>>540
△ＡＢＣの内部はﾍﾞｸﾄﾙＯＣ＋pﾍﾞｸﾄﾙＣＢ+qﾍﾞｸﾄﾙＣＡ
（０≦p+q≦１，０≦p,q≦１）のように書けるので

(p+q,p-q,1)と表せる。
この点をとおるとしたら、ｚ=１だからt=-1
なので、x,y,tに値を入れてa,bの条件をp,qに関する不等式から出す

微分の分野なんですけど、
Y=sin[tan(sec√(x二乗+5x-3)]
のdy/dxってどうやって求めたらいいんでしょう？

>>546
合成関数の微分
y=sin[tan(sec√(x^2+5x-3)]

dy/dx=cos[tan(sec√(x^2+5x-3)]d[tan(sec√(x^2+5x-3)]/dx
=cos[tan(sec√(x^2+5x-3)]sec^2[sec√(x^2+5x-3)]d[sec√(x^2+5x-3)]/dx
=cos[tan(sec√(x^2+5x-3)]sec^2[sec√(x^2+5x-3)]sin[√(x^2+5x-3)]sec[√(x^2+5x-3)]d[√(x^2+5x-3)]/dx
=cos[tan(sec√(x^2+5x-3)]sec^2[sec√(x^2+5x-3)]sin[√(x^2+5x-3)]sec[√(x^2+5x-3)](2x+5)/{2√(x^2+5x-3)}

ありがとうございました〜、公式みながら頭んなか整理してみます

x,yの多項式f(x,y)=(x+y)^n+x^n+y^nがx,yの多項式
g(x,y)=x^2+xy+y^2を因数にもつという。このとき。自然数n
の満たす条件を求めよ。

非常に悩んでもわかりません、ぜひ教えてください。

三角錐ＯＡＢＣ（Ｏがてっぺんにある）において、ＰはＯＡを２：１に内分する点、
ＱはＯＢを３：１に内分する点、ＲはＢＣの中点とする。
また、この三角錐を３点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面で斬った時、
この平面が線分ＡＣと交わる点をＳとする。

１）
ﾍﾞｸﾄﾙａ＝ﾍﾞｸﾄﾙＯＡ、ﾍﾞｸﾄﾙｂ＝ﾍﾞｸﾄﾙＯＢ、ﾍﾞｸﾄﾙｃ＝ﾍﾞｸﾄﾙＯＣとする。
３点Ｐ，Ｑ，Ｒを通る平面の任意の点Ｘに対して、ﾍﾞｸﾄﾙＯＸを
ﾍﾞｸﾄﾙａ、ｂ、ｃで表せ。

２）
点ＳはＡＣをある比で内分している。ﾍﾞｸﾄﾙＯＳをﾍﾞｸﾄﾙａ、ｃで
表すことにより、その比を求めよ。　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　（大阪大・後期）
これがどうしても分かりません。誰か教えてください。

f(x,y) = g(x, y)P(x,y)とおく。この時、wを1の３乗根とすると-w^2 = 1 + w。
g(1, w) = 0よりf(1,w) = (1 + w)^n + 1^n + w^n = (-w^2)^n + 1 + w^n = 0
これはn = 6n + 2, 6n + 4の時に限る。
この時、f(x, 1) = g(x, 1)P(x)となるP(x)は存在する。
P(x)の各項にyの適当な冪を加えて斉次式にする。
すると、f(x,y) = g(x,y)P(x,y)
となる。

>>549
T[n]:=f(x,y)、p=x+y、q=xyと置く
T[n]=pT[n-1]-qT[n-2]+q p^(n-2)
x^2+xy+y^2=p^2-qだからこれを因数にもつならq=p^2を代入して０になる

q=p^2をT[n]の漸化式に入れればＴ[n]が０に成るような条件が求まる

>>550
今日日曜だから学校の宿題か？
そろそろ自分で考えろ
どうしてもわからんというのは１週間くらい考えてから言え

・１＋２＋３＋・・・・＋２０００００を√をつかって表せ。
・（１００＋２００＋・・・３００）＋１は素数か、はたまた虚数か

>>554
おっこれ確か大正時代の帝国大学の入試問題じゃん！
見たことあるぜ

>>554
なんだこれ？

>>554=>>555
ｼﾞｻｸｼﾞｴ-ﾝ

>>554
キテレツな問題だな！
世界は広いねえ！！

>>554
つーかこれ「フロイトの哲学を数学に応用した問題」だろ？
未だに解けた奴がいないっていう。

554=555=558=559ﾀﾞﾛ?
ｼｭｸﾀﾞｲｵｼｴﾃﾓﾗｴﾅｸﾅｯﾃ
ｲｼﾞｹﾀﾉｶ?(w

>>554

1 + 2 + 3 + … + 200000 = √(1 + 2 + 3 + … + 200000)^2

(100 + 200 + … + 300) + 1 = 601 is prime.

ﾄﾞｳﾀﾞ!(w

√(X+[X]）+mX＝2　（mは正の定数）のとき
異なる３つの実数解を持つような
mの範囲を求めよ
またこの範囲での最小解の取りうる範囲を求めよ
（[X]はガウス記号です）
おねがいします

>>560
なんで俺がジサクジエンしなきゃなんね-ンだよ！！
ひでえって

560＝554だろ？うぜえよ、氏ね

ガウスきごうって利用価値高いよな！

＞（１００＋２００＋・・・３００）＋１は素数か、はたまた虚数か

本当はどう書きたかったのか予想せよ。（配点50）

>>562
Z会のやつだろおれもやった。

>>551
>>552
どうもありがとうございました。551さんのはとても自分には思いつかないですね。
私には552さんの解法のほうが合ってました。

>>527
異なる n 個の物を m 個の箱（区別しない）に空箱のないように
分配する方法の数は第２種スターリング数と呼ばれるにょ。
第２種スターリング数は

　S(n、m) = �納k=0、m]{(-1)^k *mCk *(m-k)^n}/m!

で与えられるにょ。

f： N → M （全射）の数は、M の m 個の元も区別するので、
それは m!S(n、m) となるにょ。つまり

　�納k=0、m](-1)^k *mCk *(m-k)^n ．

535さんは微妙に違うにょ。

これ以上は簡単にならないはずにょ…。

>>535　>>569
ありがとうございます。
その式をどうやって出したのか聞きたいです・・・

ドキュソな俺に教えてください。

空間の２点Ａ（３，７，１）、Ｂ（１１、−１，９）の位置ベクトルをそれぞれ
ａ、ｂとし、Ａ，Ｂを通る直線上の点Ｐの位置ベクトルをｐとする。
│ｐ│の値が最小になるときの△ＯＡＰの面積を求めよ。
ただし、Ｏは原点である。

お願いします。

562の問題の締め切りは4月26日です。

添削問題は自分で解かなきゃ意味なんだよ

つまり、>>562の問題の解答は少なくとも4月27日以降にしろってことだよな

>>569
>第２種スターリング数と呼ばれるにょ。
知らなかったにゃ。第１種もあるなら教えて欲しいにゃ。

>535さんは微妙に違うにょ。
和の取り方が逆なだけで、同じなんだにゃ。

>>527=570
>その式をどうやって出したのか聞きたいです・・・

inclusion-exclusion principle を利用するのがひとつの方法。

母関数を利用する方法を以下に示す。
n個の集合から、m 個の集合への全射の数をs(m)とする（s(0)=0 としておく）。
以下、n は固定するが、m はあらゆるゼロ以上の整数をとるものとする。
次の式は、N→M の（全射とは限らない）すべての写像の総数を二通りに表したもの。
Σ[k=0,m]mCk*s(k)=m^n

これを変形して、
Σ[k=0,m]{1/(m-k)!}*{s(k)/k!}=(m^n)/m! ・・・・・・（１）

f(x), g(x) を次のように定める。
f(x)=s(0)+s(1)/1!+s(2)/2!+s(3)/3!+s(4)/4!+…
g(x)=0^n+(1^n)/1!+(2^n)/2!+(3^n)/3!+(4^n)/4!+…

また、
e^x=1+x/1!+(x^2)/2!+(x^3)/3!+(x^4)/4!+…
なので、（１）は、(e^x)f(x)=g(x) を表している。

よって、f(x)={e^(-x)}g(x) となるが、この式を展開し、x^m の係数を比較することで、
s(m)/m!=Σ[k=0,m]{(-1)^(m-k)}/(m-k)!*(k^n)/k!
を得る。

224=562 ?

添加した体って、どんな代物ですか？

たとえば、ＥがＦの拡大体として、α∈Ｅに対して、
「体Ｆにαを添加した体」とは
「Ｆとαを含む最小の体」のことだ。

>>578
明快な記述どうもです。

線形常微分方程式です。

１問目：ｙ'(t)＝ａ(t)＊ｙの任意に解ｙ1とし、ｙ2を０でない解とするとき、任意のｔについて
　　　　ｙ1(t)＝Ｃ＊y0(t)　となる定数Ｃが存在することを示せ。

２問目：ｙ'(t)＝ａ(t)＋ｂの任意の解をｙ0、ｙ1、ｙ2とするとき、ｙ1−ｙ0≠０ならば、ｔの関数
　　　　Ｆ(t)＝ｙ2(t)−ｙ0(t)／ｙ1(t)−ｙ0(t)　は定数関数となることを示せ。

３問目：リッカチ型
　　　　ｙ'＝ａｙ^２＋ｂｙ＋ｃ　の１つの解をｙ0とするとき、ｕ＝ｙ−ｙ0と置くと
　　　　ｕについての方程式が求積可能なものになることを示せ

の３問です。
基本的な問題なのかもしれませんが、マジまいってます。誰か助けてください。お願いします。　

２つの確率変数ｐとｑが独立であることの具体例と２つの確立変数ｒとｓが
独立でないことの具体例をそれぞれ教えてください。お願いします。

y=sin[tan{sec√(x^2+5x-3)}]はどうやって解いたら良いんでしょう？

∫1/X4＋１dx
これの答えを教えてくだしぇ

>>575
Leibniz rule

D^n(f_1・f_2・...・f_m)
= �農{t_1+t_2+...+t_m=n}D^{t_1}f_1・D^{t_2}f_2・...・D^{t_m}f_m

(D は任意の微分作用素)

を D = d/dt, f_i = (e^t-1) に適用して t=0 を代入したほがはやいかも。

>>582
何言ってるのかサッパリわかりません。

>>569
連続する m 個の自然数 n(n+1)(n+2)・…・(n+m-1) を展開したときの
n^k の係数を第１種スターリング数（T(m、k) と書こう）と呼ぶにょ。

　n(n+1)(n+2)(n+3) = 6n + 11n^2 + 6n^3 + n^4

より、T(4、1) = 6、T(4、2) = 11、T(4、3) = 6、T(4、4) = 1 にょ。

…で、実は（�煤AnCr まで許して）T(m、k) の一般形を知らないにょ
（一般に知られていない、ではなく、私個人が知らないという意味）。
誰かご存知なら教えて欲しいにょ。

> >535さんは微妙に違うにょ。
> 和の取り方が逆なだけで、同じなんだにゃ。

535 の式では k = 0 の場合が欠落していると思ったんだけど、
よく考えると k = 0 だと k^n の部分が 0 となって、総和には
関わってこないにょ。というわけで 535 さんの式は正しかったにょ
（情けない…）。ゴメン。

上の「>>569」は「>>575」の誤りです。
重ね重ね申し訳ございません…。

>>587
でじこは謝らないぞ!(笑
それはともかく気にせず行こう。

>>587

でじこ＠数学板　様

「目からビーム」はどうすればできるようになるのでしょうか？

>>550 さん
(1) OX = l*OP + m*OQ + n*OR　(l+m+n=1)
　　　　 = (2/3)l*OA + {(3/4)m + (1/2)n}OB + (1/2)n*OC
(2) OS = (1-k)OA + k*OC と表せるから (1) を用いて
　　{ (2/3)l = 1-k
　　{ (3/4)m + (1/2)n = 0
　　{ (1/2)n = k
この 3式を連立させ k = 3/5 を得る。
　　∴ OS = (2/5)OA + (3/5)OC
　　⇒ AS : SC = 3 : 2

>>571 さん
　　AB = (8,-8,8) = 8*(1,-1,1)
　　⇒ OP = OA + k*(1,-1,1)
と表せる。このとき,
　　|OP|^2 = (3+k)^2 + (7-k)^2 + (1+k)^2
　　　　　　 = 3(k-1)^2 + 56
から |OP|^2 の min は 56 (k=1) とわかる。

△OAP = (1/2)√{|OA|^2|OP|^2 - (OA・OP)^2}
　　　　　= (1/2)√(59*56 -56^2)
　　　　　= (1/2)√(56*3) = √(42)

>>584
すげぇ。圧倒的な早さだ。

>>586
第１種スターリング数、さんくすです。

>>580
[１問目] G(t)=y1/y2 とおいて、G'(t)=0 を計算で示すだけ。
（ｙ1(t)＝Ｃ＊y0(t) は ｙ1(t)＝Ｃ＊y2(t) のミスだよね）

[２問目] F'(t)=0 を計算で示すだけ。もしくは、u1=y1-y0, u2=y2-y0 とすると、
u'=a(t)*u なのでこれに [１問目] の結果を適用する。
（ｙ'(t)＝ａ(t)＋ｂ→ｙ'(t)＝ａ(t)＊y(t)＋ｂ）

[３問目] u についての式を立ててから、z=1/u とおく。

y=√(３)x+2cosx O＜＝Ｘ＜２π
これでタンジェントのラインが平行なポイントっていうのは
いくつなんでしょう？？？

y=x+sinx 0＜＝Ｘ＜２π　ってのが（π、π）っていうのはわかったんですけど・・・

>>594
なんかへんなカナ英語まじり。接線がx軸と平行の意か？
なら y'=√３ -2sinx = 0 を解くだけだけど。

すんません、呼び方がわからないもんで。
そのＸ軸と並行ってことです。
おれがやった限りではcosx=(√3)/2で
x=π/6 なんですけど・・・

>>596
どうやったんでしょう？わかんないけど次はしってる？

公式 曲線 y=f(x) の点 (t,f(t)) における接線は y-f(t)=f'(t)(x-t)
　　 特にその傾きは f'(t) である。

よって本問は傾き f'(t)=√３ -2sint が 0 になる t をさがせばよい。
つまり sint = √３/2 こうなる t を 0<=t<２π の範囲でさがします。
２つあるね。

あ、そっか、どうもです

y=x^2/√(x^9+9)のdy/dxは？

x,yが(log_2x)^2*(log_2y)^2=log_2x^3+log_2y^3を満たすとき
x/yの最大値と最小値を求めよ。

高校の問題です、誰か教えてください。

>>600
X = log_2x, Y = log_2y とおいて、、
とやるんでしょ。

>>599

y'=2x(x^9+9)^(-1/2)-(9/2)*x^10*(x^9+9)^(-3/2)

>>600

X=log_2x, Y=log_2y とおいて X^2*Y^2=3(X+Y) として、X-Y の最大値と最小値を求めよ

かぶった・・・・

＞５９３
本当にどうもありがとう。ミスちゃてごめんなさい。

統計の問題なんですけど、

「棄却検定法について、“標準偏差”“正規分布”などの概念を
　ふまえて説明しなさい」

ってのがよくわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか。

>>606

【解答例】
棄却検定法は、標準偏差や正規分布を利用します。
（おわり）

有理係数のn次多項式f(x)∈Ｑ[x]はＱ上で既約であるとする。
f(x)の根の一つをαとすると、
Ｑ[α]={a_{0} + a_{1}α + … + a_{n-1}α^{n-1} ; a_{j}∈Ｑ}
はＣの部分体である。

このことを用いて
「代数的数全体の集合は体である」
ことを示せないものでしょうか？？
ご意見ください。

lim[n->∞]x_n = a
lim[n->∞]y_n = b
lim[n->∞]x_n*y_n=abを証明するとき、
lim[n->∞]x_n*y_n=1/4*lim[n->∞]{(x_n+y_n)^2-(x_n-y_n)^2}
=1/4*{(a+b)^2-(a-b)^2}=...
としてよいのは何故ですか？

>>609
それって、だめじゃねぇ？

>>610
途中の計算省略しているだけ？

>>609
lim[n->∞]x_n = a
lim[n->∞]y_n = b
⇒lim[n->∞]x_n*y_n=a*b
だから良いよ。

a, bが有限の値に収束するならな。

>>609
>としてよいのは何故ですか？

だめですよ。
(x_n+y_n)^2 → (a+b)^2 を示すのに
まさにこれから示したい積の極限を使ってしまってます。
証明はε−δで。

(x_n)±(y_n) → a±b
(x_n)(y_n) → ab
1/(x_n) → 1/a (a≠0)

高校生は↑を証明なしに使ってもいいのかな。
って優香、証明の術を教わらないような気がする。(^_^;

>>614
それは、一般的な命題として示すなら必要だけど
多分＞６０９のは何か他の計算の途中じゃないかな？

「…としてよい」ってどこで誰が言ったんだ？>>609

εーδの本の問題なのに
いきなりこういうのが載っていたので...
>>610,611,612,613,614,615,616

>>615
609の3行目に、
>lim[n->∞]x_n*y_n=abを証明するとき、
とあるから、まさにこの命題を示す場合だと思って。

お、617＝609ですよね？

解析概論を丸写しすると、
lim[n->∞]x_n = a
lim[n->∞]y_n = b のとき
|(x_n)| , |(y_n)| < M を満たすMが存在して
|a| , |b| < M

(x_n)(y_n) - ab = ((x_n)-a)b + (x_n)((y_n) - b) より
|(x_n)(y_n) - ab| <= M(|(x_n) - a| + |(y_n) - b|)
nを十分大きくすれば↑の右辺はいくらでも小さくなるので
左辺 → 0 , すなわち(x_n)(y_n) → ab

「>>610-616」と書けばいい>>617

>>619さんへ
元の問題は

x_n*y_n=1/4{(x_n+y_n)^2-(x_n-y_n)^2}を利用して

とあります。
これを必ず利用して解いてみてください。

>>621
問題の全文をここに書いて下さい。

>>581
[1] サイコロを２回振った場合の例。
(a) 次の２つは独立。（関係ないから）。
p:１回目の数。 q:２回目の数。
(b) 次の２つは独立でない。（r が大きいと s も大きくなりやすいから）。
r:１回目の数。 s:１回目の数と２回目の数の合計。

[2] 経済の例。
(a) 次の２つは独立。（たぶん関係ないと思う）。
p:日経平均株価。 q:公務員の給料。
(b) 次の２つは独立ではない。（世界経済はリンクしているから）。
r:日経平均株価。 s：アメリカのナスダック総合指数。

[3] 野球の例。
(a)次の２つは独立。（あっちはあっち、こっちはこっち）。
p:巨人の成績。 q:イチローの打率。
(b)次の２つは独立でない。（松井が打てば、巨人は勝ちやすいから）。
r:巨人の成績。 r:松井の本塁打数。

>(a) 次の２つは独立。（たぶん関係ないと思う）。
>p:日経平均株価。 q:公務員の給料。

まったく「独立」だとは言えなくないか？

線形常微分方程式です。

１問目：ｙ'(t)＝ａ(t)＊ｙの任意に解ｙ1とし、ｙ2を０でない解とするとき、任意のｔについて
　　　　ｙ1(t)＝Ｃ＊y2(t)　となる定数Ｃが存在することを示せ。

２問目：ｙ'(t)＝ａ(t)ｙ＋ｂの任意の解をｙ0、ｙ1、ｙ2とするとき、ｙ1−ｙ0≠０ならば、ｔの関数
　　　　Ｆ(t)＝ｙ2(t)−ｙ0(t)／ｙ1(t)−ｙ0(t)　は定数関数となることを示せ。

３問目：リッカチ型
　　　　ｙ'＝ａｙ^２＋ｂｙ＋ｃ　の１つの解をｙ0とするとき、ｕ＝ｙ−ｙ0と置くと
　　　　ｕについての方程式が求積可能なものになることを示せ。
＞５８０

[１問目] G(t)=y1/y2 とおいて、G'(t)=0 を計算で示すだけ。

[２問目] F'(t)=0 を計算で示すだけ。もしくは、u1=y1-y0, u2=y2-y0 とすると、
u'=a(t)*u なのでこれに [１問目] の結果を適用する。
（ｙ'(t)＝ａ(t)＋ｂ→ｙ'(t)＝ａ(t)＊y(t)＋ｂ）

[３問目] u についての式を立ててから、z=1/u とおく。
＞５９３
１問目がやっぱりわかりません。
Ｇ(t)＝y1／ｙ2をｔでどう微分するんですか？ほんと、ドキュンな質問してごめんなさい。

２問目：Ｆ(t)＝ｙ2(t)−ｙ0(t)／ｙ1(t)−y0(t)を微分して
Ｆ'(t)＝ｙ2'(t)*(y1(t)−y0(t))−y1'(t)*(y2(t)−y0(t))＋y0'(t)*(y2(t)−y1(t))／{ｙ1(t)−y0(t)}^2
となり、
u1(t)＝y1(t)−y0(t)　u2(t)＝y2(t)−y0(t)　u2(t)−u1(t)＝y2(t)−y1(t)　とし代入して
Ｆ'(t)＝{y2'(t)−y0'(t)}*u1(t)−{y1'(t)−y0'(t)}*u2(t)／分母
ｙ'(t)＝ａ(t)ｙ＋ｂここで、ｙ'(t)＝ａ(t)ｙ＋ｂより
ｙ2'(t)＝ａ(t)ｙ2＋ｂと考えてもよろしんですか？もし、許されるなら
Ｆ'(t)＝ａ(t)*{y2(t)−y0(t)}*u1(t)−ａ(t)*{y1(t)−y0(t)}*u2(t)／分母　となり
u1(t)＝y1(t)−y0(t)　u2(t)＝y2(t)−y0(t)　を代入して
Ｆ'(t)＝ａ(t)*u2(t)*u1(t)−ａ(t)*u1(t)*u2(t)／分母　　となり
分子＝０より（分母≠０）　　Ｆ'(t)＝０　で宜しいですか？

３問目：y＝u＋y0として、ｙ'＝ａｙ^2＋ｂｙ＋ｃ　に代入して
y'＝au^2＋(2ay＋b)u＋y0'⇔y'−y0'＝au^2＋(2ay＋b)u　とし
u'＝au^2＋(2ay＋b)u　で、z＝1/uを代入するんですか？

誰か助けてください。お願いします。

>>622
lim[n->∞]x_n = a
lim[n->∞]y_n = b
であるとき、
lim[n->∞]x_n*y_n=ab
を証明せよ。
x_n*y_n=1/4*{(x_n+y_n)^2-(x_n-y_n)^2}
を利用して証明してみよう。

簡単なことだと思いますが複素数の問題で
　　　c=p+qi,z=x+yi(p,q,x,y,aは実数)とするとき
　　　2(px+qy)=aの直線はなぜベクトル(p,q)
　　　に垂直ということがわかるんでしょうか。
わからないのでお願いします。

>>627
直線が原点を通るように平行移動すりゃ
px+qy=0だろ？コレ(p,q)と(x,y)の内積

>>625
１問目：y1=G(t) y2をｙ1'(t)＝ａ(t)＊ｙ1に代入してｙ2'(t)＝ａ(t)＊ｙ2を使いたまへ
２問目：いきなりＦ’を計算するのではなく、ｙ1−ｙ0≠０なんだからこれは１問目のy2のことで
任意の解は適当な定数Ｃが存在してＣ y2に等しいという１問目の結果を使いたまへ
３問目：とりあえず変数変換してみたまへ

y=x^2×e^(-x)のdy/dxって2xe^(-x)でいいんですか？

>>623,>>624さんレスどうもありがとうございました。

>>630
ダメ。
ｆ（ｘ）=x^2、g(x)=e^(-x)としてy=f(x)g(x)だと思って
積の微分(fg)'=f' g+f g'を使いたまへ

じゃーy'=(x^2)'(e^(-x))+(x^2)(e^(-x)'ですか？
でもeの方の展開の仕方がわかんないです・・・

y'=2x*e^(-x)+-x^2*e^(-x)であってます？

>>633
ダメ。
(e^(-x)）'
これはf(x)=e^x、g(x)=-xと思って
合成関数の微分（f(g))'=f'(g) g'　を使いたまへ

そこんところがよくわかってないんですよね・・・
んじゃ 2xe^(-x)-(x^2)(-e^(-x))
=2xe^(-x)+(x^2)(e^(-x))
ですか？

>>635

＞y'=2x*e^(-x)+-x^2*e^(-x)

良くみたら＋の後に−入れてたねコレでいいよ
気付かなかった

ありがとうございました〜、明日までに提出の問題たくさんなもんであせってます。
全部終わったらもう一回参考書見直します。

x[n]=-a*n^2+b*n+c n=1,2,3･･･とする
このとき、次の2つの条件A,Bを満たす自然数a,b,cを求めよ
A:4,x[1],x[2]はこの順で等差数列である。
B:すべての自然数ｎに対して
{(x[n]+x[n+1])/2}^2 >= x[n]*x[n+1]+1　が成り立つ

お願いします

わたしは大学一回生です。 授業で離散数学を取っているのですがどうしてもでき
ない問題があります。ともだちも分らないらしいです。
問題は・・・
Ａ，Ｂ及びＣが有限集合ならば、Ａ∩Ｂ∩Ｃも有限であり、等式
ｎ（ＡＵＢＵＣ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）＋ｎ（Ｃ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）−ｎ（Ｂ∩Ｃ）−ｎ（Ａ∩Ｃ）＋ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）
が成立する。この結果を任意の有限個の集合の場合に一般化せよ
です。よろしくお願いします｡

52枚のトランプから３枚のカードを同時にひいたとき、それらのカード
全てが絵札である確率は？

即急にお願いしますね

絵札って何？
何枚かあるの？

>６２９
がんばってみます。分からなくなったら、またアドバイスお願いします。

トランプで絵札といえばおそらく J,Q,Kのことと思われる。
Aや10がはいるかどうかは断った方がマギレはないが。。。

http://saki.2ch.net/test/read.cgi?bbs=lobby&key=988189685
ここの態度のデカイドキュン文系コテハンを徹底的に叩いてください

>>643
絵札は全部で12枚です

　

標準偏差の取り得る範囲って何？

早稲田大学の学籍番号のＣＤってどうやって出すの？

>>639
Cのところを（ＣＵＤ）で置き換えた式
ｎ（ＡＵＢＵＣＵＤ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）＋ｎ（ＣＵＤ）−ｎ（Ａ∩Ｂ）−ｎ（Ｂ∩（ＣＵＤ））−ｎ（Ａ∩（ＣＵＤ））＋ｎ（Ａ∩Ｂ∩（ＣＵＤ））

まずこの右辺を全てＵを使わない形にばらしてみたまへ
どういう式が一般式なのか予想がつくと思われ

『ある部族の長老に、年齢を聞きました。
長老は、「いくらワシでも、５００歳はいっとらん。」と答えました。
そして、「ワシの歳に５を足すと１３で割り切れる数になる。
そして、ワシの歳から５を引くと３１で割り切れる数になる。」
さて。この長老はいくつでしょう？』

数字を並べるんじゃない方法であります？

↑
既出。

>>580=625
すでに解決済みかも知れないけれど、念のため。

[１問目] G(t)=y1(t)/y2(t) を t で微分するわけ。
G'(t)={y1'(t)y2(t)-y1(t)y2'(t)}/y2(t)^2
となる。この式に、y1'(t)=a(t)y1(t), y2'(t)=a(t)y2(t) を代入するとゼロになる。

[２問目] 593 に書いたヒントは、次の２つの解法があるという意味。
(a) F'(t)=0 を直接計算して示す。
(b) u1=y1-y0, u2=y2-y0 とおいて、[１問目] の結果を利用する。

(a)の方針でやるなら、u1, u2 なんか使わなくてもいいですよ。（模範解答は (b) の方だと思う）。

＞ｙ'(t)＝ａ(t)ｙ＋ｂここで、ｙ'(t)＝ａ(t)ｙ＋ｂより
＞ｙ2'(t)＝ａ(t)ｙ2＋ｂと考えてもよろしんですか？

y'(t)=a(t)y(t)+b の解が、y0(t), y1(t), y2(t) なんだから、次の三つの式が成立します。
y0'(t)=a(t)y0(t)+b, y1'(t)=a(t)y1(t)+b, y2'(t)=a(t)y2(t)+b

＞で宜しいですか？
計算のやり方が回りくどいんですが、正解です。

[３問目] 最後の式を u^2 で割って（本当は u=0 についての吟味が必要ですが）、
u'/u^2＝a＋(2ay0＋b)*(1/u)
これより、z についての微分方程式に直せるでしょう。（あなたの式にはミスがあり、y → y0 です）。
その「 z についての微分方程式」は、よくあるタイプで、求積可能です。

>>608
どういう意味ですか。

「体であることの証明は知っているけれど、上記のことのみを使った証明法はないものか」
ということでしょうか？

それとも、証明を知らなくて、「あまり予備知識のいらない証明法を教えて欲しい」という
ことでしょうか？

＞６５４

＞６５４
マジありがとう。

>>329 いまさら掘り起こし。

たぶんものすごく簡単な問題だと思うんですど、解けないっス。
どうか教えてくださいまし。ｍ(..)ｍ

１)ある仕事をするのにＡは１６日、Ｂは４日かかる。
　 この仕事を初めはＢがやっていたが、わけあって途中でＡと交代した。
　 Ａは残りを７日で仕上げた。。。
　 このとき、交代するまでにＢは何日間仕事をしていたでしょうか？

２)下のような４桁と５桁の足し算において、Ａ〜Ｉには１〜９の
　 異なる数字が入る。Ｅ＝９　Ｂ＝２　Ｆ＝６　とすれば、
　 Ｄ＋Ｇ＋Ｈの値は あ〜お のうちどれか？

　　　　ＡＢＣＤ
　　＋ＡＥＦＧＨ　　　　　　あ／１０　い／１１
　────────　　　　　う／１２　え／１３
　　＝ＩＧＥＨＣ　　　　　　お／１４

３)任意の三角形ＡＢＣにおいて、
　 辺ＡＢを三等分した時にＡに近いほうの点を＜あ＞
　 辺ＢＣを四等分した時にＢに一番近い点を＜い＞
　 辺ＣＡを五等分した時にＢに一番近い点を＜う＞ とする。
　 このとき、三角形あいうの面積は三角形ＡＢＣの約何％になるか？

以上、お願いします。

http://saki.2ch.net/lobby/index2.html#1
ロビーでの確率論
痛い女が一人いるよ・・・「電撃少女」
文系らしいです

>>329 いまさら掘り起こし。

前提は以下の３点。
・３本のくじ引きを３人で順番に引く。
・当たりは１本しかない。
・あなたは２番目に引く。

何の気なしに引けば、当たりを引く確率は(2/3)*(1/2)で1/3になる。
しかし

・１人目が引く前にあなたは１本のくじに（心の中で）しるしをつけておく。
・１人目がハズレを引いてあなたの番が回ってきた時に、しるしをつけたくじが残っていたとする。

この条件を追加すると>326と同じ要領で
しるしをつけたくじではなく、
逆を選んだ方が当たる確率は高くなる。

このことから、
心の中でしるしをつけるという行為が確率の変動に関わる、
という結論が得られる。

・・・・・・

以上、間違いを指摘してください。
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
さて、ＡＢＣ３本のうち
仮マークしたくじをＡとすると
当たりがＡのとき（１／３）：そのままなら当たり
当たりがＢかＣのとき（２／３）：
そのうち１／２（通算１／３）：結局同じ（当たりを抜かれてしまうので）
のこりの１／２（通算１／３）：かえたら当たり
つまりは残りの２枚の勝算は１／３：１／３＝１：１。

では>>326のケースの場合、
当たりがＣ（１／３）：Ｂがオ−プンされる。
当たりがＢ（１／３）：Ｃがオープンされる。
当たりがＡ（１／３）：どちらでもオープンされる可能性がある。
相手の癖を正確につかんでいないなら確率は五分五分と考えるべき。
つまり　Ｂがオープン＝１／６　Ｃがオープン＝１／６

そして結局Ｂがオープンしたとして（仮にＣでも”同様に、”で済むのだが。）
Ａが当たり：Ｃが当たり＝１／６：１／３＝１：２となる。

>>626

ファジィは数学から見てどんな物なんでしょ

数学ではないのですが、
１＋１＋１＝５５５に線を一本引いて
式が合うようにする問題があるのですが、
どうすればよいのでしょうか？

>>664

　何度も何度もがいしゅつだけど・・・・。
　「式が合うように」じゃなくて「正しい等式に」じゃないと
　「１＋１＋１≠５５５」って答えるやつがいるから問題文訂正しようね。

ごめそ。新作か

>>664
5+5+5 = 550 じゃネーの？
Ans.5+545 = 550

>>665
正しい等式ってなに？

だれか６５９よろ。。。

>>665
つまらんこといってスマソ

1+1+1＝555　無理っぽい。無理矢理やるとすれば、
1+11+1＝555　　右辺は十進数、左辺は552進数

ξw_{1} = c_{i1}w_{1} + c_{i2}w_{2} + … + c_{il}w{l} (c_{ij}∈Ｑ)

が 1≦i≦l で成り立つ。従って

|c_{11} - ξ c_{12} … c_{1l} |
| c_{21} c_{11} - ξ … c_{2l} | = 0
|・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ |
| c_{l1} c_{l2} … c_{1l} - ξ|

となる。（↑行列式のつもりです↑）左辺を展開して、

ξ^{l} + c_{1}ξ^{l-1} + … +c_{l} = 0

と、代数的整数論（高木貞治著）にあるのですが、
この行列式が何物なのかわかりません。（展開の仕方もアヤしいです）
初歩的な質問でしょうが、どうか教えてください。

原点Ｏ（0.0）と点Ｐ（pr/p^2+q^2，qr/p^2+q^2)との距離を求めよ。

↑何方かこの問題の解き方と答えを教えていただけませんか？
厨房のうえに数学苦手なんです...お願いします。

c_{1} = -tr {c_{ij}}, ....., c_l = (-1)^l det {{c}_{ij}}
じゃないの？単にC - \xi Idの行列式を取っているように
見えるのだけれど。

>>673
距離の定義を教科書で確かめてください。

>>638 さん
　　条件A ⇔ 2*x[1] = 4 + x[2] ………(A')
　　条件B ⇔ (x[n] - x[n+1])^2 ≧ 4 …(B')
(A') に
　　x[1] = -a + b + c
　　x[2] = -4a + 2b + c
を代入して
　　2a + c = 4 ⇒ (a,c) = (1,2) (∵ 自然数)
また (B') に
　　x[n] = -n^2 + bn + 2
　　x[n+1] = -(n+1)^2 + b(n+1) + 2
　　　　　　 = -n^2 + (b-2)n + (b+1)
を代入して
　　{n - (b-1)/2}^2 ≧ 1

上式の左辺を f(n) (n は自然数) とおくと
min{f(n)} は, 以下の 3パタンにわかれるから
　　i) (b-1)/2 < 1 ⇒ f(1) = {(3-b)/2}^2
　　ii) (b-1)/2≧1, b:奇数 ⇒ f((b-1)/2) = 0
　　iii) (b-1)/2≧1, b:偶数 ⇒ f((b-2)/2) = f(b/2) = 1/4
適するのは i) で, b = 1 を得る。

以上まとめて (a,b,c) = (1,1,2)

>>659 さん
1) B が x日間仕事をしたとして
　　(1/4)x + (1/16)*6 ≦ 1 < (1/4)x + (1/16)*7
　　⇒ 9/4 ≦ x < 10/4
# で, どう答えればよいのでしょうか？(汗)

2) I-1 = A = G+1 で 2, 6, 9 が使えないから
　　(A, I, G) = (4, 5, 3)
繰り上がりの存在により C + G ≧ 11 で
　　C + G = 8 + 3 ⇒ C = 8
　　⇒ (D, H) = (7, 1)
∴ D + G + H = 11 で 「い」

3) 問題文を訂正し
辺CA を 5等分した時に 「C」 に一番近い点を <う> として
　　△あBい = (2/3)*(1/4)*△ABC
　　△いCう = (3/4)*(1/5)*△ABC
　　△うAあ = (4/5)*(1/3)*△ABC
であるから
　　△あいう = △ABC - △あBい - △いCう - △うAあ
　　　　　　 = (1 - 35/60)△ABC
∴ (25/60)*100 = 125/3 = 41.66… ≒ 42 [%]

>>677 問1) の 「≦」 と 「<」 が逆！訂正願います。<(_ _)>

これ以外にも間違いがあったら, 適宜修正願います。(爆)

あの〜、くだらない質問で恐縮ですが、
数の位ありますよね、千とか万とか。
でね、最後の5つのうちどうしても1つだけ
思いだせないのです。

漢字分かりませんが、
なゆた、あそうぎ、不可思議、無量大数

あと一個何でしたっけ？

こうがしゃとか？

>680
おお！
そう言われればそんな感じですよね。
『こうかしゃ』か『こうがしゃ』の
どっちかですよね、多分。
ありがとうございましたー。
11年間もやもやのがす〜っと取れました。
くだらない質問してすいませんでした。
では。

>>681
http://www2.odn.ne.jp/sasabomb/tables/bigNumber.html

コーシの収束条件わけわかりまへん。
教えてくださいな

微分積分の分野の話です。


区間[a,b］における連続関数f(x),g(x)に対しても、シュヴァルツの不等式

|∫f(x)*g(x)dx|≦(∫|f(x)^2|dx)^1/2*(∫|g(x)|^2dx)^1/2 �@

３角不等式

(∫|f(x)+g(x)|^2dx)^1/2≦(∫|f(x)^2|dx)^1/2+(∫|g(x)|^2dx)^1/2 �A

�@,�Aそれぞれが成立することはどう証明すればよいのですか？
誰か証明の仕方を教えてください。お願いします。

y"-5y'+6y=0を線形代数の範囲で微分方程式として解く方法を教えてください。

>>684

なぁ、こういう質問する前に微分積分じゃなくて、ふつーの
こーしー・しゅヴぁるつの不等式と三角不等式の証明を見て理解したら？

積分が単なる和であることさえわかれば、こんなヴァカな質問は
イマイと同レベルだぜ

>>685
＞線形代数の範囲で・・・

２次方程式の知識で十分だよ
線形微分方程式なんだから特解の重ねあわせで一般解はでる。
特解をy=e^(λx)とおくと
λ^2-5λ+6=0 → λ=2,3 → y=C1*e^(2x)+C2*e^(3x)

>>683

教科書を読めヴァカ！

age

>>674
\xiってなんでしょう？

>>694

ξ

>>677さん
うぉーすげぇー！ 賢い〜
1)、2)は納得できました。ありがとうございます。
3)がまだよくわからないんスけど、
　△あＢい＝(2/3)*(1/4)*△ABC
これなんでですか〜　σ(´へ｀）？？

誰か助けてください。この２問どうやって、解くんですか？

ＤをＲ^nの開部分集合とする。
１問目：f or ∀x∈Ｄ、∀ｖ∈Ｒ^n、∃r∈Ｒ(r＞０)
s.t　０≦|t|＜r(t∈Ｒ)⇒x+tv∈Ｄ　を示せ。

２問目：x∈Ｄ、v∈Ｒ^nを一組固定する。
g(t)=f(x+tv)が開区間(-r、r)で微分可能のとき次を示せ。
g'(t)=f'(x+tv;v) (∀t∈(-r、r))

お願いします。

n次正方行列A、n次列ベクトルBに対し
A*x = b　(det A = 0)
となるとき、どのようなことがわかるのでしょうか？

Aが逆行列を持たないことがわかる。

>>697
Ｄが開集合じゃから、テキトーな正数 ε をとると
点 x の ε-近傍がＤに含まれるワイのう。さすれば
r = ε/|v| とでもとれば x+tv はＤに含まれるじゃろうて。

もう一問いいでしょうか？
　一辺の長さが10cmの正方形がある。
　これの四隅からＸcmの正方形を切り取り、
　残った部分を折り曲げて直方体の容器を作る。
　Ｘが何cmのとき容積は最大になるかσ(´へ｀）？？
なんか回答見ると、｢容積＝f(X)を微分して０とすると｣
とか書いてるんですけど、なんで微分するのかがわかんないっス。

極大値

>>701
Xを動かしたとき容積がどのようになるかを
調べる為です
要はグラフを書くため
っつーかあなた勉強まじめにしたことありますか？

微分しなくても平方完成すればよろし。
どっちでも一二^H^Hいいあるよ。703が言うようにグラフ書くあるよろし。

集合と位相の問題なんですけど、
｜A｜≦｜B｜,｜B｜＜｜C｜⇒｜A｜＜｜C｜
の証明を教えてください。お願いします。

この問題の
大小関係（順序）って何をもって定義してるの？

１＋１＋１＝５５５に線を一本引いて正しい等式にする。
やっぱり無理ですかねえ。

＞７００
ヒントありがとう。がんばってみます。わかんなくなったらまた、助けてください。

>>706さん
｜A｜≦｜B｜：＝AからBへ単射が存在
｜A｜＜｜B｜：＝AからBへ単射が存在するが、BからAへの単射は存在しない
です。

>>655
遅れて申しわけありません。後者の方であります。

>>699
xについては何か言えないものでしょうか？？

―――――――――――――――――――――――――――――――
円Ｃ: x^2 + y^2 = r^2、楕円Ｄ: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
（ただし、a > b > r）を考える。
「円Ｃ上の点ＰにおけるＣの接線が楕円Ｄによって切り取られる
線分の長さ」を最大にする点Ｐの座標を決定せよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――

問題文にヘンなところないですよね？？（ちょっと自信なし…）

>>705=709
706 じゃないけど、それってものすごく簡単じゃないのか。

A から B への単射が存在して、B から C への単射も存在すれば、それらを合成することで、
A から C へ単射になるぞ。

もし、C から A への単射が存在するなら、A から B への単射と合成することで、
C から B への単射ができてしまうぞ。

>>713さん
｜A｜≦｜B｜,｜B｜≦｜C｜⇒｜A｜≦｜C｜
これだったら、そういう考えで簡単にできると思うのですが、
＜←これの定義が何となくしっくりきません。

それとも、証明はそれでOKなのでしょうか？

>>714
しっくりくるかどうかはともかくとして、
次の２つを示せば証明完了ということはいいんでしょう？

(1) A から C へ単射が存在すること。
(2) C から A への単射が存在しないこと。

なら、粛々とその２つを示せばいいと思うんだけど、違う？

あってるでしょ。何処の点が納得できないんだろう。

>>608 さんと >>672 さんは同じ人なの？
記号の使い方が似ている・・・。

代数的整数が環をなすことがわかるなら、代数的数が体をなすことも
わかりそうなものだけど？

>>717
大学の講義では、最近環に入ったばかりでして…。（今日、準同型しました）
しかし、私は体が必要なので…ハァハァ逝っています。
けど、おかげさまでなんとか解決できました。
やっぱり、自分で予習しておけってことですかねぇ？

>>718
授業なんか出ずに一人で勉強しろということだ
馬鹿モノ！

2chからロリコン犯罪者がでました。
小学２年の女の子を誘拐した罪で逮捕されたもよう。

・逮捕された中川泰利くん（２２歳）
http://mentai.2ch.net/test/read.cgi?bbs=otaku&key=987849405&ls=100

>>715-716さん
お答えありがとうございます。
(2) C から A への単射が存在しないこと。
これをどう示すのかがよく分かりませんでした。
↓これですね。
＞もし、C から A への単射が存在するなら、A から B への単射と合成することで、
＞C から B への単射ができてしまうぞ。
やっと納得できました。

ところで、
CからBへの単射が存在しないから、CからAへの単射も存在しない。
これでは、省略しすぎですか？

α_{i} (1≦i≦m) が代数的独立ならば、各α_{i}はいずれも超越数
ってのは自明なことでしょうか？

>>722
だって、超越数じゃなかったら代数的数だから
適当な代数方程式の根になっちゃって、代数的独立にならないじゃん

質問です。
　天秤の左右どちらでもいいので，分銅をのせて重さをはかる。
　分銅は，1,3,3~2....3~n-1　（重さはすべてｇ）が１個ずつある。
　このとき，Ｘｇのものは，ｎ個の分銅を用いて計測できる。
　しかもこの時分銅の乗せ方はただ一通りに決まる。
どうやって解いたらよいのでしょう？

>>７２４
分銅は，1,3,3^2....3^n-1
が正しいです。

最大公約数に関する問題
�@　ad-bc=±1の時に，
　　GCD(x,y)=GCD(ax+by，cx+dy)
なることを示せ
�A　ax+by=GCD(a,b)
を満たす整数x,yの求める方法をのべよ
�B　α∈Ｑ　α≠０　α＝ｎ／ｍ＝ｕ／ｖ
　　n,m,u,v∈Ｑ　m＞０　u＞０　GCD(m,n)=1　GCD(u,v)=1
　　ならば，m=u　かつ　n=v　なることを示せ

よろしく頼みます　　
　　

>>724
Ｘを３進法で表記する。ただし各位で使う数字は0、１、２でなくて-１、０、１を使えば
左右どちらの皿に乗せたらいいかも一意に決まる。

>>726
以下，文字は全て整数を表わすものとする．
ｓ＝ａｘ＋ｂｙ，
ｔ＝ｃｘ＋ｄｙ
とおく．すると
ｘ，ｙの公約数は明らかにｓ，ｔの公約数である．
ところでａｄ−ｂｃ＝１とすると
ｘ＝　ｄｓ−ｂｔ，
ｙ＝−ｃｓ＋ａｔ
だから
ｓ，ｔの公約数は明らかにｘ，ｙの公約数である．
よってａｄ−ｂｃ＝１のとき
｛ｘ，ｙの公約数｝＝｛ｓ，ｔの公約数｝
である．

すいません、金沢大学のこの問題と類題を質問させてください
【金沢大学】
(1)
整数n≧3に対して(n)C(3)=Σ(k=3→n){(k-1)C(2)}を示せ
また整数k≧3に対してx＋y＋z=kを満たす自然数x.y.zの組
(x.y.z)の個数は{1/2(k-1)(k-2)}であることを示せ

(2)整数m≧0に対して、x＋y＋z≦mを満たす負でない整数x.y.zの
組(x.y.z)の個数を(1)を用いて求めよ

【類題】
次の式を満たす整数x.y.zの組(x.y.z)の総数を求めよ
x＋y＋z=10
x≧3、y≧2、z≧-1

(1)nCk=n-1Ck+n-1Ck-1　を繰り返し使う
(2)3Hm
(3)適当に変数変換して(2)に帰着させる

>>729,>>730
でもなんだろこの問題。(1)は(2)の誘導みたいだけどこの方針で
やると>>730の方針より大変だよね。miss leadってかんじ？
(1)も思い切って iCi+(i+1)Ci+...+nCi=(n+1)C(i+1) を示せ。
のほうが簡単っぽくかんじるゾ。

>>726

(3)

n/m=u/vより、n*v=m*u

m*uはnで割り切れる（n*v=m*uだから）。

nとmは互いに素だから、uがnで割り切れる。･･･(1)

n*v=m*uだから、n*vはuで割り切れる。

uとvは互いに素だから、nがuで割り切れる。･･･(2)

(1)と(2)より、n=uが言える。

また、n*v=m*uとn=uより、m=vも言える。

>>729-731
誘導に従うならこんな感じか？

(1)前者
　>>729 あるいは C(k-1, 2) = (k-1)(k-2)/2 として右辺を計算
(1)後者
　k個の物を一列に並べると、物と物の間は k-1 個
　k-1 個の間から2つ選んで左側の物の個数を x、間を y、右を z とする
　よって Ｃ(k-1, 2)
(2)
　a = x+1, b = y+1, c = z+1 とおくと a, b, c ∈ Ｎ で a+b+c <= m+3
　求める個数は(1)後者において k = 3 〜 m+3 の和より
　Σ[k=3 -> m+3]Ｃ(k-1, 2) = Ｃ(m+3, 3)

類題
　a = x-2, b = y-1, c = z+2 とおく

>>733(1)
うん。この方法なら納得いくんだけどどうも誘導はnC2=n(n-1)/2,
nC3=n(n-1)(n-2)と級数の公式�婆^2=n(n+1)(2n+1)/6などを
使わせようとしていると思われ。まあ、重複順列とかパスカル三角形
とか知らないと思いつきにくいからこうゆう誘導にしたのかな？

>>723
どうもです。逝ってきます。

質問です。お願します。
x,yに関する連立一次方程式
ax+by=0
cx+dy=0
において、解(x,y)は(0,0)と異なるなら、行列式
|a b|
|c d|
は0ではないみたいですけど、これってどうしてですか？

>>736
0=d(ax+by)-b(cx+dy)=(ad-bc)x

0=c(ax+by)-a(cx+dy)=-(ad-bc)y

xとｙは同時に０ではないからad-bcは０でない

???>>736-737

>>737
×　xとｙは同時に０ではないからad-bcは０でない
○　xとｙは同時に０ではないからad-bcは０である

ですね…

誰かMarcov Chain Monte Carloって中のハイブリッドモンテカルロという方法を調べてるんですけど知りませんか？日本語の参考文献やほむぺがあったら紹介して下さい。

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助言ありがとうございます。
やっと理解できました。

あと一題、東北大学の問題を質問させてください

【東北大】
(1)白い玉を2個、黒い玉2個、全部で4個の玉を円周上に並べる。
このとき、同じ色の玉が隣り合わない確率を求めよ

(2)赤い玉を2個、青い玉2個、黄色い玉を2個、全部で6個の玉を
円周上に並べる。このとき、同じ色の玉が隣り合わない確率を求めよ

(1)は、同色の玉を区別して考えると(4-1)!＝6通りしかないから、
全部書いてみるのがﾃｯﾄﾘﾌｧｰｽﾄ。
白1白2黒1黒2　白1白2黒2黒1　白2白1黒1黒2　白2白1黒2黒1
白1黒1白2黒2　白1黒2白2黒1
2/6＝1/3
(2)上の6通りのそれぞれに、黄色2個を追加した並びを考える。
それぞれの場合に20通り、計120通り。上の4つについては、
白と黒を分断しなくてはならないので。各々2通りの計8通り。
下の2つについては、黄色を2つくっつけて追加するやり方以外を考え
ればよい。各々20-8＝12通り、計24通り。32/210＝16/105

>>743
余計なことを考えずに数えちゃった方が早いよコレ
（１）は白い玉が並んでるか離れてるかで２通りしかない
（２）は黄色い玉は置いておいて赤と青は（１）の通りしかなくそのどこかに黄色い玉を並べて入れるか
別々に離していれるかを絵を書いて数えて終わり

>>712
普通に計算していけばできるよ。
接点の座標を (c,s) とおく（c^2+s^2=r^2）。
接線は cx+sy=r^2 になり、これと楕円の式から y を消去。
得られた２次方程式の解を α，β とする。接線の傾きを m=-c/s とすると、

[問題の線分の長さ]^2=(1+m^2)*(α-β)^2

これを解と係数の関係を使って計算・整理する（少しだけ面倒）。
t=(ac)^2+(bs)^2 とおくと、次のようになる。

[問題の線分の長さ]^2=(2abr)^2*(t-r^4)/t^2

t で微分。t=2r^4 で極大となるが、もともと t は (br)^2≦t≦(ar)^2 の範囲しか
動けないので場合分けが必要。あとは易しい。

zの共役複素数、Re(z)、|z|は全ての点で複素微分不可能
であることを示せ、という問題なのですけど、zの共役
複素数は簡単なのですが、残りが微分の定義式書いた
だけで止まってしまいます。どなたか教えていただけませんか？

　　　　　　　　　　＿
f(z)が正則　⇔　∂/∂z(f(z))＝0
これ使うと一瞬で終わる

>>747
きまじめにやるならコーシー・リーマンの微分方程式を
満たしていないことをいう。

>>747
>微分の定義式書いただけで止まってしまいます。

止まったところまで書いて

>>726

�Aの解答
簡単にする為に、GCD(a,b)=dと置く。

a=d*a' b=d*b' a'とb'は互いに素

d=1のとき、

a個の数、1*b，2*b，･･･，a*bのなかには、aで割った余りが、1になる物が必ず存在する。

証明
もしそうでなければ、 1*b，2*b，･･･，a*bをaで割った余りは、1、･･･、a-1のa-1通り
しかない事になる。

よって、1*b，2*b，･･･，a*bの中に、aで割った余りが等しくなるような

2数i*b、j*bが必ず存在する(ただし、i、jは0<i<j<aを満たす自然数)。

j*b-i*b=(j-i)*bはaで割り切れる（j*bとi*bをaで割った余りは等しいので）。

aとbは互いに素だから、j-iはaで割り切れることになるが、

これは、0<j-i<aに反する。
証明終

1*b，2*b，･･･，a*bのなかで、aで割った余りが1になるものをk*bとする。

k*bをaで割った商をlとする。

k*b=l*a+1 つまり、a*(-l)+b*k=1

よって(-l)、kが求めるx、yである。

d>1のときも、a'とb'で同様に、a'*x'+b'*y'=1を満たす整数x'、y'が見つかるので、

両辺にdを掛ければ、a*x'+b*y'=d

つまり、x'とy'が求める解である。

>>737-739
Thank you!です。

1/nの和が正の無限大に発散することは証明できたのですが1/nの２乗の和が
収束するということがどうしても証明できません。
ご迷惑をおかけしますが教えてください。よろしくお願いします。

すみません。どうしても (3)の期待値の問題で確率を足しても１にならないのですが、
教えていただけないでしょうか。


�@、�A、�B、�Cのカードが各３枚、計１２枚のカードが入っている袋の中から３枚のカードを取り出すという試行を考える。
取り出した３枚のカードの数字がすべて異なるか、３枚とも同じであるとき、当たりとする。

(1)３枚のカードの数字がすべて同じで、当たりとなる確率を求めよ。
これは１１分の２＊１０分の１で、５５分の２になりました。　　　　

(2)当たりとなる確率を求めよ。
これも、１１分の９＊１０分の６で、５５分の２７
そして、５５分の２７＋５５分の２より、５５分の２９となりました。

(3)当たりの場合、カードの数字の和を得点とする。はずれの場合、得点は０とする。このとき、この試行で得られる得点の期待値を求めよ。
(1)の解き方と、 (2)の解き方も間違っているのかもしれませんが、この問題でどうしても
すべての確率を足して１になりません。どなたかおしえてください。どうかよろしくお願いします。

この問題で、

　　ｙ＝sin（３０°−２ｘ）＋cos２ｘについて、
(1)ｙ＝ｒ sin（２ｘ＋α）　（ｒ＞０、−１８０°＜α≦１８０°）と表すとき、ｒ、αを求めよ。
この (1)で、式を−２sinｘ＋sin（３０°−２ｘ）＋１　と変形したのですが、
この先の求め方が分かりません。大変簡単な問題だったらすみませんが、解き方を
教えてくれませんか？　お願いします。

>>753
１/xの２乗の積分で上から押さえたまへ
絵を書けばわかる

>>754
(1)は 1/55 だと思われ

こういうやつが分数の掛け算もできない大学生になって逝くのか…

>>755
sin(30ﾟ-2x) の方に加法定理を使うべきだと思われ

数列に関する質問です。

数列｛Ａ（n）｝は０＜Ａ（1）＜３、Ａ（n＋1）＝１＋√１＋Ａ（n）　(n＝１，２，３、…）をみたす。

０＜Ａ（n）＜３、３−Ａ（n＋１）＜（３−Ａ（n））×１／３であるとき、

なぜ、０＜３−Ａ（n）＜（３−Ａ（１））×（（１／３））＾（n−１）　となるのですか？　

>>754
（１）が間違ってるのは置いておいても
全ての確率ってどうして計算したの？
得点０なんだからはずれの確率は計算する必要がないし
そうでなくても１−当たりの確率だよね

>>760
0 < A[n] < 3 より 0 < 3-A[n]

また、3-A[n+1] < (1/3) (3-A[n]) より
3-A[n] < (1/3) (3-A[n-1]) < (1/3)^2 (3-A[n-2]) < … < (1/3)^(n-1) (3-A[1])

>>753
756にかぶり負け（打つ
有界なことだけなら・・・

k > 0のとき
k^(-2) < ∫[(k-1),k]dx/(x^2)
Σ[k=2,n]k^(-2) < ∫[2,k]dx/(x^2)
S(n) = Σ[k=1,n]k^(-2) < 1 + ∫[2,k]dx/(x^2) = 2 - 1/n < 2

(π^2)/6=1.5(笑)に収束することは範囲外ですかね？

(a+b)(b+c)(c+a)+abc(因数分解をする)の解き方のコツを教えてください｡

>>761
だから、はずれを計算しなかったとしても、当たりの確率
５５分の２８　に、全ての場合の確率を足してもならないんです。
得点が３になる場合、６になる場合、７になる場合、８になる場合、９になる場合、１２になる場合
の確率の和が、５５分の２８にほど遠いんです。

たとえば、得点が３になる場合の確率は２２０分の１になりました。どこが間違っているのかわかりませんか？

>>765
全部書いてみれ

>>764
バラしてaでまとめてaの２次方程式として解いてみたまへ

>>765
28/55になったけど、また分数の計算がおかしいんじゃないの？
どこが間違ってるのかはそれだけじゃわからんので
全ての場合の確率を書いてみないと何が間違ってるのかは誰にもわからない

>>753
1/(n^2) < 1/(n(n-1)) = 1/(n-1) - 1/n
使って上から押さえる

得点３が２２０分の１
　　　６が４４０分の１１
　　　７が４４０分の９
　　　８が４４０分の９
　　　９が４４０分の１１
　　１２が２２０分の１

ちなみに０は５５分の２７になりました

>>770
C(12, 3) = 220 だから n/440 （nと440は素） とはならない
計算やり直したまえ

はさみうちの原理を証明してください

abc=1のとき
a　　　 b c
------+-------+-------=1の証明の仕方を教えて下さい
ab+a+1 bc+b+1 ca+c+1

すべてのnについて、An≦Cn≦Bn　　An、Bnが同一の極限値αに収束する
このとき任意のε＞0に対してあるNがあって、n≧Nならば
|α−An|＜ε、|Bn−α|＜ε
α−ε＜An≦Cn≦Bn＜α＋ε　　よって|Cn−α|＜ε

>>773

もともとの左辺を A とすると
a/(ab+a+1)=a/(ab+a+abc)=1/(bc+b+1) などから

A=1/(ab+a+1)+1/(bc+b+1)+1/(ca+c+1) …B

これと、 1/(ab+a+1)=abc/(ab+a+abc)=bc/(bc+b+1) などから

B=ab/(ab+a+1)+bc/(bc+b+1)+ca/(ca+c+1) …C

ゆえに A=B=C だが、一方

A+B+C=(a+1+ab)/(ab+a+1)+…=3

よって A=1

できました。どうもありがとうございました。

教えてください。
1，2，4，1，3，5，2，4，6，8，・・20番目に来る数字は何かという問題です。
答えは10ですが、なぜそうなるのか分かりません。ちなみに小学五年生の算数の
問題集に載っていたものです。

１
２，４
１，３，５
２，４，６，８
１，３，５，７，９
２，４，６，８，１０，１２
１，３，５，７，９，１１，１３
・・・・・・・・・・

ってか？(笑)

奇数偶数を小さい物順に並べた群が交互に一個ずつ個数を増やしてならんでるんです。

よこに

ありがとうございました。＞132人目の素数さん

「１３２人目の素数さん」だったのか。
「１３２人目の素敵さん」だとばかり思ってた。

L⊃K:体、a,b∈L、aとbはK上共役なとき、
f(a)=bとなるK-同型写像f:K(a)→K(b)が存在する。

これを示したいのですが、フツーに準同型と全単射を示せばいいのでしょうか？
もし、もっとよい方法があったら教えてください。お願します。

>>728 >>732 >>751
ありがとうございました。
お礼が遅くなってすいません。

>>783
あなたの“共役”の定義がわからない（“共役”の定義はいっぱいある）
のでなんともいえんけど、かりに

a,b∈L がK上共役:⇔a,b の（K上の）最小多項式 P(T) ∈ K[T]が等しい。

が定義なら次をしめせばよい。

補題
L⊃K:体、a,b∈L、aの（K上の）最小多項式を P(T) とするとき
体同型写像 φ:K[T]/<P(T)> →K(a) でφ(t)=aなるものが存在する。
ただし<P(T)>はP(T)で生成されるK[T]のイデアルで t はその剰余類。

Point はつぎの普遍性(Universality)とよばれる重要な性質をおさえておくこと。

定理（多項式環のUniversality）
R,S を可換環、s∈S を任意の元とするとき準同型写像φ:R[T]→Sでφ(T)=s
なるものが存在する。

定理（剰余環のUniversality）
R,S を可換環、I⊂R をイデアル、φ:R→Sを環準同型でφ(r)=0(∀r∈I)
をみたすものとし、π:R→R/I を自然な射影とするとき、準同型ψ:R/I→S
でφ=ψπとなるものが存在する。

こーゆー補題をおさえとくとあとあとよろしい。（と思う。）
同型性＝全単射性はやさしい...ハズ

>>785
>定理（多項式環のUniversality）
>R,S を可換環、s∈S を任意の元とするとき準同型写像φ:R[T]→Sでφ(T)=s
>なるものが存在する。

言葉のモンダイなんだけどUniversalityと言ったときには
「一意的に存在する」までは要求しないんですか？
上の定理では「一意的に」までは主張してないですけど。
＃上の定理の主張が間違いだと言ってるわけじゃないです。

>>785
すまソまちがえた。

定理（多項式環のUniversality）
R,S を可換環、s∈S を任意の元とするとき準同型写像φ:R[T]→Sでφ(T)=s
なるものが存在する。

は

定理（多項式環のUniversality）
R,S を可換環、s∈S を任意の元、φ:R→Sを任意の順同型とするとき
準同型写像ψ:R[T]→Sでψ(T)=s、ψ(r)=φ(r)(∀r∈R)なるものが
存在する。

のまちがい。

>>787
ご指摘のトウリ。一意性が必要。すまソ。

双対空間って?
線形代数の体K上のベクトル空間Vの双対空間V^*って、
Vに計量入れるのとどう違うんでしょうか?
V^* 上の双対基底f_iと V上の基底e_jで　f_i(e_j)=\delta_{ij}
ならばVに特別な計量を入れているのと同値な気がするのですが。
V^{**}->Vへは自然な写像とかいうけど、Vの基底からV^*の基底
への写像を適当に定義すれば、結構自然な気がします。
もしかしてdimV\neq dimV^* なんですか?
わかりません。

>>790
有限次元なら適当な同一視の下に同じ。例えば無限数列の空間
のdualを考えてみそ。双対空間の定義はpairingを取って常に
有限確定値を取る事を考えると、V \neq V^*が分かるはず。

[問]直線y=3x+1/2上の点Ｐ(p,q)から放物線y=x^2の法線は何本ひけるか調べよ。

おねがいします

すいません、一つ質問させてください

1<|3x-1|<7という不等式を解けという問題です。
学校で当てられ黒板で解答を書いたのですが
y=|3x-1|のグラフとy=1のグラフ、y=7のグラフを書いて
範囲はy=1のグラフとy=7の間なのでグラフより・・・って書いたら先生に駄目といわれました。

絶対値キゴウをはずして不等式として解くか、二乗しろといわれたのですが
グラフからの判断ではなぜいけないのでしょうか?

ちなみに解答はあってました。
よろしくおねがいします

>>790
>Vの基底からV^*の基底
>への写像を適当に定義すれば、結構自然な気がします。

Vに内積が入っていない場合の話？
写像はどう定義するの？

>>793
・グラフを書き間違えた
・先生がアホ

のどちらかです。

>>793
>グラフからの判断ではなぜいけないのでしょうか?

いいとおもうけどね。
何故いけないのかはその先生に訊いたほうがいい。

先生にその理由を聞いたら
普通、絶対値がついていてグラフなんかかかないから
そんなことしては駄目だ。といわれました

>>797
・先生がアホ

に決定しました。

>>797
どうみてもただの馬鹿だなソレ

みなさんご意見ありがとうございました。
金輪際、その先生の授業は切ってチャートでもやることにします