◆ わからない問題はここに書いてね ６ ◆

>>783
あなたの“共役”の定義がわからない（“共役”の定義はいっぱいある）
のでなんともいえんけど、かりに

a,b∈L がK上共役:⇔a,b の（K上の）最小多項式 P(T) ∈ K[T]が等しい。

が定義なら次をしめせばよい。

補題
L⊃K:体、a,b∈L、aの（K上の）最小多項式を P(T) とするとき
体同型写像 φ:K[T]/<P(T)> →K(a) でφ(t)=aなるものが存在する。
ただし<P(T)>はP(T)で生成されるK[T]のイデアルで t はその剰余類。

Point はつぎの普遍性(Universality)とよばれる重要な性質をおさえておくこと。

定理（多項式環のUniversality）
R,S を可換環、s∈S を任意の元とするとき準同型写像φ:R[T]→Sでφ(T)=s
なるものが存在する。

定理（剰余環のUniversality）
R,S を可換環、I⊂R をイデアル、φ:R→Sを環準同型でφ(r)=0(∀r∈I)
をみたすものとし、π:R→R/I を自然な射影とするとき、準同型ψ:R/I→S
でφ=ψπとなるものが存在する。

こーゆー補題をおさえとくとあとあとよろしい。（と思う。）
同型性＝全単射性はやさしい...ハズ

>>785
>定理（多項式環のUniversality）
>R,S を可換環、s∈S を任意の元とするとき準同型写像φ:R[T]→Sでφ(T)=s
>なるものが存在する。

言葉のモンダイなんだけどUniversalityと言ったときには
「一意的に存在する」までは要求しないんですか？
上の定理では「一意的に」までは主張してないですけど。
＃上の定理の主張が間違いだと言ってるわけじゃないです。

>>785
すまソまちがえた。

定理（多項式環のUniversality）
R,S を可換環、s∈S を任意の元とするとき準同型写像φ:R[T]→Sでφ(T)=s
なるものが存在する。

は

定理（多項式環のUniversality）
R,S を可換環、s∈S を任意の元、φ:R→Sを任意の順同型とするとき
準同型写像ψ:R[T]→Sでψ(T)=s、ψ(r)=φ(r)(∀r∈R)なるものが
存在する。

のまちがい。

>>787
ご指摘のトウリ。一意性が必要。すまソ。