代数的整数論 021

代数的整数論 021
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

過去スレ
001: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231/
002: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310/
003: http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
004: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
005: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
006: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/
007: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/
008: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
009: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
010: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208646742/
011: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/
012: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/
013: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/
014: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1251012346/
015: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255385658/
016: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/
017: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1264907022/
018: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1268013108/
019: http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1269467269/
020: http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1273981720/

おおおおお
くまーさんだ。
戻ってきてくれてうれしいよ

復活おめでとう御座います。心からお祝い申し上げます。

猫

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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なるほどナ。そういう考え方かてアルのや。ワシは了解したるけどや、その代わ
りに何かの犠牲をアンタ等かて払わなアカン事にナルだけや。判ってるわナ。

猫

このスレは閉鎖ということで。

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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まあ、ソレが現実的な選択やとワシは思うワ。

猫

もういないのか

出よ『Kummer ◆g2BU0D6YN2』、其して精進レスを致し賜え!!

なんだ、やっぱり>>1は偽者か

閉鎖っちゅう話になってた筈や。エエ加減にせえやナ。

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

反感買うってなんで？やっぱり嫉妬か？

アンタ等がワシの反感を買うたのや。そやし嫉妬とはちゃう。まさかオマエは
人から嫉妬されるモンとはちゃうやろ。

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

日本語でおｋ

別に英語でもフランス語でもエエがな。そやし何で日本語にせなアカンのかをち
ゃんと説明せえや。エエな。

猫

kummerが戻ってくるまでの間、測度論くらいからまとめようとおもうんだけど、
part009の過去ログだけが手に入らない。
ファイル形式はなんでもいいからupしてくれる人はいないですかね？

代数的整数論 009
http://unkar.org/r/math/1195560105
でいいのか？

>>17
それこそKummer本人がLaTexにして欲しいね。

>>19
それをやるなら専用サイトを作って有料で配布しようかなと思ってる。
１スレ３００円くらいでｗ

今、積分論を見直してるんだが意外と時間がかってる。
Bochner積分とかベクトル測度をやろうとしてるんだけど、このあたりの文献で適当なものが
手に入らないんで自分で考えてる。

>>19
ほんとはそれがいいんだろうけど、当人はそういうのあんまりやる気無さそうだしｗ
これだけまとめたものはそうはないから、やはり体裁を整えて残したいよね。
一応ログは全部揃えたけど、結構大変そうだなこれｗ

>>18
ありがとう＾＾

楽しみにしてますから、早く公開に漕ぎ付けて下さいまし。

猫

>>23

猫さん、それはKummerセンセに言うてはるの？
それとも　>>22(=>>19?)に言うてはるの？

>>24
ああいう数学の実質的な議論が展開されるのであれば、ソレは誰であっても良
いと思います。

猫

早く、クマさんに復帰してもらいたいね。

>>22
>ほんとはそれがいいんだろうけど
>当人はそういうのあんまりやる気無さそうだし

頑張ってくれ。
但し、他人の書いたものを電子媒体に纏めるのは大変だよ。
ある事情があって、昔の謄写版印刷を幾冊かやったがエラク疲れた。

東大生およびその卒業生のみがこのスレッドに書き込む資格があります。

猫

日本語すら出来ない　>>28　はここに来る資格はない。

>>30
いや来て貰ってその蘊蓄とやらを沢山カキコして貰ったらエエと思いますね。
幾ら優秀なエリートの東大生サンでも文章が長くなればなる程に中身が崩れる
だけでしょうから、ソレを探してソコから叩けば良い訳ですね。なので先ずは
東大生サンがミスをスルのを待てばエエのですワ。

そやし黙って見てまひょ。

猫

>>31
なんともいえない猫のイタイ書き込み

人から見てイタくても自分がイタくなければ無問題。ワシは唯東大生サンが失敗
スルのを待ってるだけや

猫

小学生のときは、ランドセルにフランス語で書かれた論文を入れて、学校で読んでいたものだった。
塾で子供と接しているが、最近の子には熱意を感じない。

でもアナタには10000人分の熱意がアルからソレで充分。頭がエエ人はお役目が
沢山あってホンマに大変なんやなァー

猫

私も基本的にはそう思いますが、でもああいう話はココには勿体無いですね。

猫

>>34 ：東大生
> 塾で子供と接しているが

こんな奴が教える塾なんぞ、碌なモンじゃないわな。

SEGっていうハイレベルな塾みたいですよ
大学への数学でお馴染みの
古川先生が主宰してらっしゃる
東大出身の講師が多いみたいですね

＞＞３８
コイツ、タレ目で、ニートの、クズ・カスの、クソガキ！！！！！！！

過去スレたどってるんだけど、昔は面白い議論してたんだね、kummerさんｗ

ガロア理論 Part 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089611846/695

終了

おつかれー
Kummerさんの過去の投稿を
つぶやくTwitterBotとか作っても面白いかも

過去スレで、内容を改変してうｐするのはやめてくれって言ってるんだねー、kummerさん。

>>41 本物

いつの間にか年が変わってたｗ

あけおめ〜

>>41 本物　　×
>>41 本物？ ◯

そういえば，スレそのままならいいと，
たぶん前スレで俺も言われてた気がした．

引用文献ではHalmosやbourbakiが挙げられてるけど、
Kolmogolov,Fominによるところが大きいよね＞積分論。

>>47
Kolmogolov,Fominは参考にしてないですよ。

主に参考にしたのは以下の著者の本
Bourbaki
Hewitt-Ross
Halmos
Rudin
伊藤清三
三村征征雄（現代数学概説II）

今、次に書くことの準備として参考にしてるのは
Fremlin
Loomis
Dunford-Schwarz
Royden(real analysis)
Folland(real analysis)
Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide

今、主にやろうとしてることはBourbakiの積分論の主要な結果を
一般の測度空間上の積分論に拡張すること。
その拡張した積分論を逆にRadon測度に応用して、Bourbakiの積分論の主要な結果を導くこと。
このようにすることでBourbakiの積分論と普通の積分論の両方の理解が深まるだろう。

なるほど。期待してます。

類体論の話を沢山聞きたいです

本物のKummerさん、ガンバって代数的整数論の連載を復活させてよ

類体論スレも復活きぼん

クンマーってバカだろ？
前に黙って見ていたら、間違い、自明な証明、無意味な一般化が多く見られたので
以来、見ないことにしているw
こんなもん、織田せんせーが見たら激怒しそうw

何かしら権威によりすがらないと発言できないんですかねー

>>54
馬鹿はクンマーやのうてオマエや。

猫

もうエエかァ？　ほしたらや：

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

>>54

「東大生」はアホだな。
「以来、見ないことにしている」なら何故書込む？

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質痰スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■ウンコ食って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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豚

もうねなんていうのかな頭以前に人間のレベルが低いんですわ

>>54
>自明な証明

自明な証明＞＞＞．．．＞＞＞非自明で理解不能

>無意味な一般化が多く見られたので

あんたにとって無意味なだけだろｗ

>>47
内測度のことを言ってるならKolmogolov,Fominの本ではなく高木の解析概論を参考にした。

話は少し変わるが前に無限次元の微積分について書いたら

>恥ずかしくないの？
>Lang が地獄で怒ってるわよ！

と書いたやつがいるがLangの本は見ていない。
自分の読んだ本と似たようなことが書いてあるからそれを真似たに違いないって、
どんだけ短絡思考なんだよｗ

代数的整数を扱う分野らしいけど
じゃあ普通の数論と代数がくっついた分野は無いの？
もしかしてそれが初等整数論なの？

>>63

「普通の数論」とは何かね？

>>64
ただ単に整数を扱うって意味で

>>65

通常の有理整数を扱うのは「初等整数論」かな。
ただ初等整数論というと、方法論が「初等的な」整数論という意味の方が多数派なんだろうね。
ついでだが、「『初等』整数論だから容易」という事は全然ないから気を付けた方が良い。

くんまー、悔しいのうw

悔しいのうw

もうエエかァ？　ほしたらや：

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

クンマーは無職である。
しかし貴族らしいw

>>62

>無限次元の微積分
>Langの本

Differential and Riemannian Geometry か
Real and Fucntional Analysis　辺りだろうが
何れにせよ読む必要があるとは思えない。

Langって死んだん？

>>72

2005年没。

>>71
>何れにせよ読む必要があるとは思えない。

必要でないって何に？
あんたにとって必要ないのは確かだろうがｗ

>>74

お前にはLangを読む能力はないから気にするな。

>>73
ほんまや。Weilほど長生きできんかったんやね。
なむ（−人−）

クンマーって無職なんだろ？　

>>75
自分が読むのに苦労したからって他人を巻き込むなｗ

もうエエかァ？　ほしたらや：

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

>>67
なんで悔しいんだよ
意味不明

ワシは悔しくなんてアラヘンのや。そやし：

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

悔しいのおw　無職のくんまー
学歴ものうてのうw

好きだった数学でもバカにされてのお

しょせん、アマチュアw
悔しいのお

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

パリ第７大学に行って来ました。
別のところで猫先生のこと話しましたよ。

猫はドンキホーテ

クラッシュの話を続けます：

エコノミストが言うには、ギリシャがクラッシュした際、ヘッジファンドの果たした
役割が大きかったと。ヘッジファンドは公然化していない債務とかを
表に出す事で、より大きなクラッシュが来るのを防いでいる
そういうモラルなんだと。

日本もヘッジファンドが仕掛けているらしいですが、
中々、動かない。

数学板のあり方だけど、京大の某先生のスレとか
低業績の数学者を晒すスレとか
女性数学者批判のスレとか
セクハラ、アカハラの告発スレとか
社会的にみて、どういう貢献が
実際にあったんだろうか？

あのような議論のおかげで
何か大学で変わったことってある？

猫は講演して歩けばいいんじゃないか？
１回１０万円くらいで

池上彰みたいにね

>>88
私は池上彰さんみたいに立派な人ではないので、ソレは不可能です。

猫

>>82
必死だなｗ
悔しいのはお前の方だろｗ

悔しいのおw

クンマーは無職です。本人が認めています。

無職のくんまーは時々名無しで現れて反応しているようです（笑）

悔しいんだw？　分かり易い奴だなw

ワンパターンの突っ込みウザイ
はっきり言って、ほとんどの数学の教科書の大部分の内容は他の数学書または論文のパクリだよ。
そのままコピーというのはさすがに少ないが、アイデアは他人のものが多い。
ほとんどの内容がオリジナルな教科書というのは例外的。
たとえばガウスのDisquisitiones Arithmeticaeはその例外的なものだろう。
ある程度確立された数学の分野をまったくオリジナルに再構成するなんて不可能に近いし
仮に出来たとしてもそんな独自すぎる本は教科書としては不適当だろ。
この当然のことがわかってないやつが多すぎる。

例えばLangうんぬんと言ってたやつ、Langが書いた教科書の内容がほとんど彼のオリジナルだと
思ってるとしたらアホ。

だからと言って俺が書いたものが全て他人のアイデアのパクリと言うわけではない。
これも誤解してる奴が多いみたいだから注意しておく。
もしそうなら証明の間違いはもっと少ないはずだろｗ

おまえのアイデアなんて皆無だろw

>>96
本当にそう思ってるわりには内容に意味もなく難癖をつけてるなｗ

相変わらず、おまえはバカだなw

名無しがみんな同じ人間が書いていると思っているんだろw

>>98
>名無しがみんな同じ人間が書いていると思っているんだろw

なこたあない
例えば>>94と>>95は一応別人向け

>>97は適当な推測
>>96だって根拠のない推測だろ
お互いさまだ

>>98
>相変わらず、おまえはバカだなw

そのわりに俺の書いてるものをよくチェックしてるみたいだなｗ

>>66
群論とかの現代代数学と密接に関連した整数の分野は無いのかなって話です
初等整数論が初等幾何学並みかそれ以上に難しいのは知ってるぜ

うぬぼれの強いくんまー
自演と嵐以外誰も相手してくれないかわいそうなくんまー
数学好きでもオリジナルなことは何もできないくんまー
学部生にもバカにされるくんまー
失業者くんまー

悔しいのおw

>>102
いや、そんな事はアリマセンがな。もしクンマーさんが出て来はったらワシが
大真面目に書き込みを読んで勉強させて貰いまっさかい、そやしアンタみたい
な糞馬鹿には無視された方が皆がやり易くてエエと思いますね。ソレよりもア
ンタみたいなアホは誰も相手になんかせえへんさかい、早く消えろや。

また出たらワシが叩いて虐めるさかいナ。

猫

>>101
> 群論とかの現代代数学と密接に関連した整数の分野

やっぱり"Algebraic Number Theory"なんだろうね。
"algebraic numbers" の　"theory" じゃなくて
"numbers"　の　"algebraic theory" と言う意味で。
確かCatalan conjectureは Algebraic Number Theoryを使用して
証明されたんじゃなかったかな。

>>78
> 自分が読むのに苦労したからって

俺は低レベルのお前と違って、Langで苦労はしておらんぞ。

>>94

はKummerセンセかね？
だったら

> 例えばLangうんぬんと言ってたやつ

は、如何でもいいじゃん。
Langなんてどうせ、human-readableじゃないんだから。

>>106
>Langなんてどうせ、human-readableじゃないんだから。

永田ほどじゃないだろｗ
俺はLangはわりと好き
Bourbakiの元メンバーだし

>>107
>永田ほどじゃない

まあね。
Local RingsはGrothendieckが｢読めた代物じゃない｣と言ったそうだから。

>>104
日本語に訳したら代数的数論ですね！
数論幾何がこういう順番なんだから
数論代数とかありそうなもんなのにな

知ったか乙w

>>108
俺はLocal Ringsをすらすら読めた

>>108
グロタンどころか、ある学生が永田先生のところに質問をしに持っていったら、
誰がこんな教科書を書いたんだと激怒したらしいからｗ

(X, Φ, μ) を測度空間(過去スレ007の317)とする。
Φ は集合環(過去スレ007の189)であるから
A, B ∈ Φ のとき A ∪ B ∈ Φ かつ A ∩ B ∈ Φ となる。
一般に順序集合 L において任意の a, b ∈ L に対して sup(a, b) と inf(a, b) が存在するとき
L を束(lattice)と言う。
束は数学の到るところに現れる。
測度論をより深く研究するには Φ の束としての性質を調べる必要がある。

定義
L を順序集合とする。
S を L の部分集合とする。
s = sup S が存在するとき s を S の結び(join)とも呼び s = ∪S とも書く。
(x_λ)、λ ∈ Λ を S の元の族とする。
s = sup{x_λ；λ ∈ Λ} を s = ∪{x_λ；λ ∈ Λ} または s = ∪(x_λ；λ ∈ Λ)
とも書く。
S = {x_1、．．．x_n} のとき sup S を x_1∪．．．∪x_n とも書く。

S が空集合のとき sup S は L の最小元である。

t = inf S が存在するとき t を S の交わり(meet)とも呼び t = ∩S とも書く。
(x_λ)、λ ∈ Λ を S の元の族とする。
t = inf{x_λ；λ ∈ Λ} を t = ∩{x_λ；λ ∈ Λ} または s = ∩(x_λ；λ ∈ Λ)
とも書く。
S = {x_1、．．．x_n} のとき inf S を x_1∩．．．∩x_n とも書く。

S が空集合のとき inf S は L の最大元である。

定義
L を順序集合とする。
L の任意の２元 a, b に対して a∪b が存在するとき L を上半束(upper semilattice)と言う。
空集合も上半束と考える。
上半束は最小元を持つとき有界(bounded)であると言う。

定義
L を順序集合とする。
L の任意の２元 a, b に対して a∩b が存在するとき L を下半束(lower semilattice)と言う。
空集合も下半束と考える。
下半束は最大元を持つとき有界(bounded)であると言う。

L を有界な上半束とする。
L における空集合の上限は L の最小元であるから
L の任意の有限集合（空集合も含む）は上限を持つ。
逆に任意の有限集合（空集合も含む）が上限を持つ順序集合は有界な上半束である。
よって有界な上半束はそうでない上半束より自然な概念だと考えられる。

定義
L を上半束とする。
L の部分集合 S は任意の a, b ∈ S に対して a∪b ∈ S となるとき L の部分上半束と言う。
L が有界なときは、特に断らない限り L の部分上半束は L の最小元を含むものとする。

定義
L を下半束とする。
L の部分集合 S は任意の a, b ∈ S のとき a∩b ∈ S となるとき L の部分下半束と言う。
L が有界なときは、特に断らない限り L の部分下半束は L の最大元を含むものとする。

だからさ、Local Ringsもまともに読めない奴なんて、論文なぞ書けないぜ

例
X を位相空間とする。
X の準コンパクト(quasi-compact)(過去スレ006の104)な部分集合全体 QComp(X) は
包含関係に関して有界な上半束である。

注意：
X がHausdorff空間でないとき X の準コンパクト部分集合の有限個の交わりは
準コンパクトとは限らない。
よって、QComp(X) は包含関係に関して下半束になるとは限らない。

例
G を群とする。
G の有限生成部分群全体 FSub(G) を包含関係に関して順序集合と見なす。
このとき FSub(G) は有界な上半束である。
有限生成群の部分群は有限生成とは限らないので FSub(G) は下半束になるとは限らない。

>>122は以下で定義するコンパクト元全体の作る上半束の特別な場合である。

定義
S を順序集合とする。
S の元 a は次の条件を満たすときコンパクトと言う。
T を S の部分集合で sup T が存在し、a ≦ sup T とする。
このとき T の有限部分集合 F があり a ≦ sup F となる。

例
X を集合とする。
X の冪集合 P(X) を包含関係に関して順序集合と見なす。
このとき P(X) のコンパクト元とは X の有限部分集合に他ならない。

証明
F = {a_1、．．．、a_n} を X の有限部分集合とする。
F ⊂ supΓ とする。
ここで Γ は X の部分集合の集合である。
各 a_i は sup Γ に属すから Γ に属すある部分集合 A_i に含まれる。
よって、F ⊂ sup {A_1、．．．、A_n}
よって、F は P(X) のコンパクト元である。

逆に F を P(X) のコンパクト元とする。
Γ = {{a}；a ∈ F} とおく。
F = sup Γ であるから Γ の有限部分集合 Φ があり F ⊂ sup Φ となる。
よって、F は有限集合である。
証明終

例
G を群とする。
G の部分群全体 Sub(G) を包含関係に関して順序集合と見なす。
このとき Sub(G) のコンパクト元とは G の有限生成部分群に他ならない。

証明
H を G の有限生成部分群とする。
H ⊂ sup Γ とする。
ここで Γ は G の部分群の集合であり、
sup Γ は Γ で生成される部分群である。
H の生成元を x_1、．．．、x_n とする。
各 x_i は sup Γ に属すから Γ に属す部分群の元の有限個の積で表される。
よって、Γ の有限部分集合 Φ があり各 x_i は sup Φ に属す。
よって、H ⊂ supΦ
よって、H は Sub(X) のコンパクト元である。

逆に H を Sub(G) のコンパクト元とする。
Γ = {<a>；a ∈ H} とおく。
ここで <a> は a で生成される H の部分群である。
H = sup Γ であるから Γ の有限部分集合 Φ があり H ⊂ sup Φ となる。
sup Φ ⊂ sup Γ であるから H = sup Φ である。
よって、H は有限生成である。
証明終

例
A を環とし、M を A-左加群とする。
M のA-左部分加群全体 Sub(M) を包含関係により順序集合と見なす。
このとき Sub(M) のコンパクト元とは M の有限生成 A-左部分加群に他ならない。

証明
>>126と同様である。

定義
S を順序集合とする。
S の任意の元 a が S のコンパクト元からなる集合の sup となるとき
S はコンパクト生成されるという。

例
G を群とする。
G の部分群全体 Sub(G) を包含関係に関して順序集合と見なす。
>>126より、G の巡回部分群は Sub(G) のコンパクト元である。
G の任意の部分群はそれに含まれる巡回部分群全体で生成されるから
Sub(G) はコンパクト生成される。

>>120
>Local Ringsもまともに読めない奴なんて、論文なぞ書けない

Grothendieckは論文書けなかったっけ？

例
A を環とし、M を A-左加群とする。
M のA-左部分加群全体 Sub(M) を包含関係により順序集合と見なす。
>>127より、M の有限生成 A-左部分加群は Sub(M) のコンパクト元である。
M の任意の A-左部分加群はそれに含まれる有限生成 A-左部分加群全体で生成されるから
Sub(M) はコンパクト生成される。

命題
S を上半束とする。
a と b を S のコンパクト元(>>124)とすると a∪b もコンパクトである。

証明
T を S の部分集合で sup T が存在し、a∪b ≦ sup T とする。
a はコンパクトであるから T の有限部分集合 F_1 があり a ≦ sup F_1 となる。
同様に T の有限部分集合 F_2 があり b ≦ sup F_2 となる。
よって、a∪b ≦ sup(F_1 ∪ F_2)
よって、a∪b はコンパクトである。
証明終

命題
S を上半束(>>115)とする。
S のコンパクト元全体の集合 Comp(S) は S の部分上半束(>>118)である。
S が有界(>>118)のときは Comp(S) も有界である。

証明
>>132より Comp(S) は S の部分上半束である。
S が有界のとき S の最小限はコンパクトであるから Comp(S) に属す。
よって、Comp(S) は有界である。
証明終

>>109
> 数論幾何がこういう順番なんだから
> 数論代数とかありそうなもんなのにな

Arithmetic Algebra？
何だか、(整)数論とは関係ない物のように聞こえるなぁ。
\mathbb{Q}の拡大Algebra(それも可換でないとか、結合則が成立しないとか)さ。
いい名前を付けるのも難しいね。

>>112
>ある学生が永田先生のところに質問をしに持っていったら、
>誰がこんな教科書を書いたんだと激怒したらしい

それは初耳。
で、「こんな教科書を書いたのは若気の至り」と反省したんなら許せるけど･･･

オマエ等を全員ワシが打ち据えたるがな。

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

>>136
ココでは真面目な数学の話題が進行しているので打ち据える必要はアリマセン。
打ち据えなければならないのは誹謗中傷や名誉棄損をスル馬鹿者だけです。

猫

定義
S を集合とする。
μ: S×S → S を写像とする。
(x, y) ∈ S×S に対して μ(x, y) = xy と書く。
μ は次の結合律を満たすとする。

結合律： x, y, z ∈ S のとき (xy)z = x(yz)

このとき S を半群(semi-group)と呼ぶ。

定義
S を半群(semi-group)とする。
S の元 a は a^2 = a となるとき冪等(idenpotent)と言う。
S の任意の元が冪等であるとき S を冪等半群と言う。
S が単位元を持つとき冪等モノイドと言う。

S を上半束とする。
S の任意の元 a, b, c に対して以下が成り立つ。

(L1) 可換律 a∪b = b∪a
(L2) 結合律 (a∪b)∪c = a∪(b∪c)
(L3) 冪等律 a∪a = a

S が最小元 0 を持てば
(L4) a∪0 = a

よって、上半束は冪等可換半群であり、
有界な上半束は冪等可換モノイドである。

命題
S を冪等可換半群とする。
このとき S に一意に順序関係が存在し S の任意の元 a, b に対して
ab = a∪b となる。
S が単位元 e を持てば e はこの順序に関して S の最小元である。

証明
一意性：
S に順序関係 ≦ が存在し S の任意の元 a, b に対して ab = a∪b となるとする。
a ≦ b のとき ab = b である。
逆に ab = b なら a ≦ b である。
よって、このような順序関係は S の算法から一意に決まる。

存在：
ab = b となるとき a ≦ b と定義する。
aa = a だから a ≦ a

a ≦ b かつ b ≦ c のとき
ab = b かつ bc = c
よって ac = a(bc) = (ab)c = bc = c
よって a ≦ c

a ≦ b かつ b ≦ a のとき
ab = b かつ ba = a
ab = ba だから a = b

以上から ≦ は順序関係である。

(続く)

>>141の続き

a, b ∈ S のとき a(ab) = (aa)b = ab
よって、a ≦ ab
同様に b ≦ ba = ab
よって、ab は {a, b} の上界である。
a ≦ c かつ b ≦ c のとき
ac = c かつ bc = c
(ab)c= a(bc) = ac = c
よって、ab ≦ c
よって ab は {a, b} の上限である。
即ち、ab = a∪b

S が単位元 e を持てば S の任意の元 a に対して ea = a
よって、e ≦ a
よって、e はこの順序に関して S の最小元である。
証明終

>>140と>>141から上半束と冪等可換半群は本質的に同じものである。
また有界な上半束と冪等可換モノイドも本質的に同じものである。
下半束に関しても同様である。

定義
L と M を上半束とする。
写像 f：L → M は L の任意の元 a, b に対して
f(a∪b) = f(a)∪f(b) となるとき準同型と言う。

定義
L と M を有界な上半束とする。
上半束としての準同型 f：L → M は
L の最小元を M の最小元に写すとき単位的と言う。
特に断らない限り有界な上半束間の準同型は単位的とする。

有界な上半束とその間の準同型の作る圏を BULat とする。
冪等可換モノイドとその間の準同型の作る圏を ICMon とする。
ただし、冪等可換モノイド間の準同型は単位元を単位元に写すものとする。
有界な上半束 L に対して I(L) を>>140により定まる冪等可換モノイドとする。
f：L → M を圏 BULat における射とする。
f は I(L) から I(M) への準同型と見なせる。
これを I(f) と書くことにする。
このとき、I：BULat → ICMon は関手である。

逆に冪等可換モノイド X に対して L(X) を>>141により定まる有界な上半束とする。
h：X → Y を圏 ICMon における射とする。
h は L(X) から L(Y) への準同型と見なせる。
これを L(f) と書くことにする。
このとき、L：ICMon → BULat は関手である。
LI：BULat → BULat は恒等関手であり、
IL：ICMon → ICMon も恒等関手である。
よって、I と L は同型関手(過去スレ017の358)で互いに逆関手である。
よって、BULat と ICMon は同型である。

命題
L と M を上半束とする。
任意の準同型 f：L → M は順序を保存する。
即ち、a ≦ b のとき f(a) ≦ f(b)

証明
a ≦ b のとき a∪b = b であるから f(a∪b) = f(b)
よって、f(a)∪f(b) = f(b)
よって、f(a) ≦ f(b)
証明終

>>146の修正
>これを L(f) と書くことにする。

これを L(h) と書くことにする。

定義
L と M を上半束とする。
写像 f：L → M は上半束の圏 ULat の射として同型射のとき
同型写像または同型射または同型と言う。
即ち f が全単射の準同型で f^(-1) が準同型のとき f は同型写像と言う。
このとき L と M は同型であるという。

定義
L と M を有界(>>115)な上半束とする。
写像 f：L → M は有界な上半束の圏 BULat の射として同型射のとき
同型写像または同型射または同型と言う。
このとき L と M は同型であるという。

命題
L と M を上半束とする。
f：L → M を準同型とする。
f が同型であるためには f が全単射であることが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
f が全単射の準同型とする。
x, y ∈ M のとき f^(-1)(x∪y) = f^(-1)(x)∪f^(-1)(y) を証明すればよい。
f は全射だから x = f(a)、y = f(b) となる a, b がある。
f(a∪b) = f(a)∪f(b) = x∪y だから
f^(-1)(x∪y) = a∪b = f^(-1)(x)∪f^(-1)(y)
証明終

命題
L と M を有界(>>115)な上半束とする。
f：L → M を準同型(>>145)とする。
f が同型であるためには f が全単射であることが必要十分である。

証明
必要性：
自明である。

十分性：
f が全単射の準同型とする。
>>151より x, y ∈ M のとき f^(-1)(x∪y) = f^(-1)(x)∪f^(-1)(y) である。
一方、f(0) = 0 であるから f^(-1)(0) = 0
よって、f^(-1) は準同型である。
証明終

例
L と M を上半束とする。
f：L → M を同型とすると f は全単射で順序を保存する(>>147)。
しかし、この逆は必ずしも成り立たないことを示そう。

G を位数 6 の巡回群とする。
G の位数 2 の唯一の部分群を H とする。
G の位数 3 の唯一の部分群を K とする。
G の部分群全体 Sub(G) = {{e}、H、K、G} は有界な上半束である。
一方、集合 {1, 2, 3, 6} は自然数全体の部分集合として全順序集合であるからやはり有界な上半束である。

写像 f：Sub(G) → {1, 2, 3, 6} を
f({e}) = 1
f(H) = 2
f(K) = 3
f(G) = 6
と定義する。
f は全単射で順序を保存するが Sub(G) は全順序集合でないので
f は同型ではない。

定義
L と M を順序集合とする。
写像 f：L → M を全単射とする。
f と f^(-1) が順序を保存するとき f を同型と言う。
このとき L と M は同型であるという。

命題
L と M を上半束とする。
写像 f：L → M を全単射とする。
f が上半束の同型であるためには順序集合の同型(>>154)であることが必要十分である。

証明
必要性：
f が上半束の同型であるとする。
>>147より、f およびその逆写像 f^(-1) は順序を保存する。
よって、f は順序集合の同型である。

十分性：
f が順序集合の同型であるとする。
a, b ∈ L とする。
a ≦ a∪b、b ≦ a∪b であるから f(a) ≦ f(a∪b)、f(b) ≦ f(a∪b)
x ∈ M、f(a) ≦ x、f(b) ≦ x とする。
f は全射だから x = f(c) となる c ∈ L がある。
よって、f(a) ≦ f(c)、f(b) ≦ f(c)
f^(-1) は順序集合の同型だから a ≦ c、b ≦ c
よって、a∪b ≦ c
よって、f(a∪b) ≦ f(c) = x
よって、f(a∪b) = f(a)∪f(b)

双対的に f(a∩b) = f(a)∩f(b)
証明終

定義
L を順序集合とする。
L の任意の２元 a, b に対して結び a∪b と交わり a∩b が存在するとき
即ち、L がこの順序に関して同時に上半束かつ下半束のとき L を束(lattice)と言う。
空集合は束であると見なす。
最小元を持つ束は下に有界(bounded below)であると言う。
最大元を持つ束は上に有界(bounded above)であると言う。
最小元と最大元を持つ束は有界(bounded)であると言う。
通常、束 L の最小元を 0、最大元を 1 と書く。

例
X を集合とする。
冪集合 P(X) は包含関係により有界な束である。
空集合は P(X) の最小元であり、X は P(X) の最大元である。

>>114を修正する。

定義
L を順序集合とする。
S を L の部分集合とする。
s = sup S が存在するとき s を S の結び(join)とも呼び s = ∨S とも書く。
S = {x_1、．．．x_n} のとき sup S を x_1∨．．．∨x_n とも書く。
(x_i)、i ∈ I を L の元の族とするとき、
s = sup{x_i；i ∈ I} を s = ∨{x_i；i ∈ I} とも書く。

t = inf S が存在するとき t を S の交わり(meet)とも呼び t = ∧S とも書く。
S = {x_1、．．．x_n} のとき inf S を x_1∧．．．∧x_n とも書く。
(x_i)、i ∈ I を L の元の族とするとき、
t = inf{x_i；i ∈ I} を t = ∧{x_i；i ∈ I} とも書く。

例
G を群とする。
G の部分集合全体 Sub(G) は包含関係により有界な束である。
H_1、H_2 ∈ Sub(G) のとき H_1 ∧ H_2 は H_1 と H_2 の集合としての交わりである。
H_1 ∨ H_2 は H_1 と H_2 から生成される部分群である。

例
A を環とし、M を A-左加群（またはA-右加群）とする。
M の部分 A-左加群全体（または部分 A-右加群全体）は包含関係により有界な束である。
特に A の左イデアル全体（または右イデアル全体）は包含関係により有界な束である。

例
N = {1、2、．．．} を自然数全体とする。
a, b ∈ N で b が a で割りきれるとき a ≦ b とする。
これは N の順序であり、この順序により N は束になる。
a, b ∈ N のとき a ∪ b は a と b の最小公倍数であり、a ∩ b は a と b の最大公約数である。
N は下に有界な束であるが上に有界でない。

例
任意の全順序集合は束である。

例
X を集合とし L を順序集合とする。
L^X を X から L への写像全体とする。
f, g ∈ L^X とする。各 x ∈ X に対して f(x) ≦ g(x) のとき f ≦ g と定義する。
このとき L^X は順序集合である。
L が束のとき L^X は束である。

例(下半束だが束でない例)
実数体における [a, b)、a ≦ b の形の有限区間全体は包含関係に関して下半束であるが束ではない。

命題
束は次の性質をもつ。

(L1) 可換律 a∨b = b∧a
(L2) 結合律 (a∨b)∨c = a∨(b∨c)
(L3) 冪等律 a∨a = a
(L4) 吸収律 a∨(a∧b) = a

(L1)’可換律 a∧b = b∧a
(L2)’結合律 (a∧b)∧c = a∧(b∧c)
(L3)’冪等律 a∧a = a
(L4)’吸収律 a∧(a∨b) = a

逆に集合 L に二種類の二項演算 ∨、∧ が定義され上の条件を満たすとする。
このとき、L に順序関係が定義され L は束となり、 L の任意の元 a, b に対して
sup(a, b) = a∨b、inf(a, b) = a∧b となる。
このような順序関係は一意に定まる。

証明
束は明らかに上記の性質を持つ。
逆に集合 L に二種類の二項演算 ∨、∧ が定義され上の条件を満たすとする。
>>141より L に一意に順序関係 ≦ が存在し L の任意の元 a, b に対して
sup(a, b) = a∨b となる。
同様に L に一意に順序関係 ⊂ が存在し L の任意の元 a, b に対して
inf(a, b) = a∧b となる。

a ≦ b なら a∨b = b だから(L4)’より a∧b = a∧(a∨b) = a
よって、a ⊂ b である。
逆に a ⊂ b なら a∧b = a だから(L4)より a∨b = (a∧b)∨b = b
よって、a ≦ b である。
よって、順序関係 ≦ と ⊂ は一致する。
証明終

Kummerさん、復活オメ！

定義
X を集合とし、R を X 上の関係とする。
即ち R は X×X の部分集合である。
R^(-1) = {(y, x)；(x, y) ∈ R} とおき、これを R の逆関係と言う。

定義
X を集合とし、R を X 上の前順序関係(過去スレ008の139)とする。
R の逆関係 R^(-1) は前順序関係であるから (X, R^(-1)) は前順序集合となる。
これを前順序集合 (X, R) の双対前順序集合と言う。
R を明記しないで X を前順序集合と言うことが多いが、
この場合 X の双対前順序集合を X^o と書く。

X が順序集合のときその双対 X^o も順序集合である。
これを X の双対順序集合と言う。

定義
P を順序集合に関する命題とする。
P の双対命題 P^o とは次の性質を持つ命題のことである。

任意の順序集合 X が P を満たすことと X^o が P^o を満たすことは同値である。

例
P を次の命題とする。
P：順序集合 X が最小元を持てばそれは一意に定まる。

P の双対命題 P^o は次の命題である。
P^o：順序集合 X が最大元を持てばそれは一意に定まる。

定義
Π を順序集合に関する命題の集合とする。
Π^o = {P^o； P ∈ Π} と書く。

>>169の修正
定義
P を順序集合に関する命題とする。
P の双対命題 P^o とは次の性質を持つ命題のことである。

順序集合 X が P を満たすことと X^o が P^o を満たすことは同値である。

定義
P を順序集合に関する命題とする。
順序集合 X が P を満たすことと X が P^o を満たすことが同値であるとき、P を自己双対と言う。

Π を順序集合に関する命題の集合とする。
順序集合 X が Π に属す全ての命題を満たすことと X が Π^o に属す全ての命題を満たすことが
同値であるとき、Π を自己双対と言う。

定義
Π を順序集合に関する命題の集合とする。
P を順序集合に関する命題とする。
Π に属す全ての命題を満たす順序集合 X は常に P を満たすとき Π ⇒ P と書く。

[順序集合に関する双対原理]
Π を順序集合に関する命題の集合とし、P を順序集合に関する命題とする。
このとき Π ⇒ P なら Π^o ⇒ P^o である。

[順序集合に関する双対原理](>>175の系)
Π を順序集合に関する命題の集合で自己双対(>>173)とする。
P を順序集合に関する命題とする。
このとき Π ⇒ P なら Π ⇒ P^o である。

[順序集合に関する双対原理](>>175の系)
P を順序集合に関する命題とする。
このとき φ ⇒ P なら φ ⇒ P^o である。
即ち P が全ての順序集合に対して成り立つなら P^o も全ての順序集合に対して成り立つ。

定義
X を順序集合とする。
X の元 a は a ＜ x となる x ∈ X が存在しないとき X の極大元と言う。

定義
X を順序集合とする。
X の元 a は x ＜ a となる x ∈ X が存在しないとき X の極小元と言う。

双対原理の応用を簡単な例で示そう。
次の命題 P を考える。
P：空でない有限順序集合は極大元(>>178)を持つ。
この証明は読者に任そう。

さらに次の命題を考える。
Q_1：順序集合 X は空でない。
Q_2：順序集合 X は有限集合である。
Q_3：順序集合 X は極大元を持つ。

Π = {Q_1、Q_2} とおく。
P は Π ⇒ Q_3 と同値である。
>>175より Π^o ⇒ (Q_3)^o である。
(Q_1)^o = Q_1、(Q_2)^o = Q_2 であるから Π^o = Π である。
よって、Π ⇒ (Q_3)^o である。

一方、(Q_3)^o ：順序集合 X は極小元を持つ。

よって、次の命題が得られる。
P^o：空でない有限順序集合は極小元(>>179)を持つ。

定義
L を束とする。
L の双対順序集合 L^o (>>168)は束である。
これを L の双対束と言う。

L を束とする。
L^o は束であるから>>175から束に関する双対原理が得られる。

>>180
> P：空でない有限順序集合は極大元(>>178)を持つ。

茶々を入れて悪いが、この証明は
「有限」の定義次第では結構めんどくさい事になるんじゃ？

定義
Π を束に関する命題の集合とする。
P を束に関する命題とする。
Π に属す全ての命題を満たす束 X は常に P を満たすとき Π ⇒ P と書く。

[束に関する双対原理]
Π を束に関する命題の集合とし、P を束に関する命題とする。
このとき Π ⇒ P なら Π^o ⇒ P^o である。

>>183
X に極大元がないと単射 N → X が存在することになって矛盾。
ここで N は自然数全体の集合。

[束に関する双対原理](>>185の系)
Π を束に関する命題の集合で自己双対(>>173)とする。
P を束に関する命題とする。
このとき Π ⇒ P なら Π ⇒ P^o である。

[束に関する双対原理](>>185の系)
Π を束に関する命題の集合で自己双対(>>173)とする。
P を束に関する命題とする。
このとき Π ⇒ P なら Π ⇒ P^o である。

[束に関する双対原理](>>185の系)
P を束に関する命題とする。
このとき φ ⇒ P なら φ ⇒ P^o である。
即ち P が全ての束に対して成り立つなら P^o も全ての束に対して成り立つ。

L を束とする。
M を L の部分集合とする。
M の任意の２元 a, b に対して a∨b ∈ M、a∧b ∈ M となるとき
M を L の部分束(sublattice)と言う。

定義
L を順序集合とする。
a ∈ L に対して
[a, +∞) = {x ∈ L； a ≦ x}
(a, +∞) = {x ∈ L； a ＜ x}
(-∞, a] = {x ∈ L； x ≦ a}
(-∞, a) = {x ∈ L； x ＜ a}
と書く。

a, b ∈ L、a ≦ b に対して
[a, b] = {x ∈ L； a ≦ x ≦ b}
[a, b) = {x ∈ L； a ≦ x ＜ b}
(a, b] = {x ∈ L； a ＜ x ≦ b}
(a, b) = {x ∈ L； a ＜ x ＜ b}
と書く。

L を順序集合とする。
a ∈ L に対して
[a, +∞) および (-∞, a] は L の部分束である。

a, b ∈ L、a ≦ b に対して [a, b] は L の部分束である。

定義
L と M を束とする。
写像 f：L → M は L の任意の元 a, b に対して
f(a∨b) = f(a)∨f(b)、f(a∧b) = f(a)∧f(b)
となるとき準同型と言う。

【芸能】番組降板で収入激減必至の麻木久仁子にアデランスがモニターをオファー

http://hato.2ch.net/test/read.cgi/ske/1294548248/l50

>>194
そういう下らん書き込みはすんなや。そやけどナ、また出る様やったらワシが
撲滅スルさかい覚悟をせえや。そんな馬鹿芸能人の話はワシが許さんのや。

猫

グルーポンのからくりはご存知ですか？

３０００円のメニューがあるとします。
グルーポンに出す時には通常１万５千円と書くんですね。
で半額と言ってクーポンを売るんですよ。
７５００円だからお得でしょ？
グルーポンには３７５０円とられてしまうので
お店には３７５０円しか入らないんですねえ。
でも３０００円で出している料理なんで
かなりの儲けになるんです。

ロイヤルスゥイートなんていうルームカテゴリーを１０万円で設定します。
グルーポンに出す時には、とてつもない価格にしておくんですね。
で、これを８割引きのクーポンにします。２万円なのでお得ですよね？
グルーポンに１万円とられますから、ホテルには１万円しか入りません。
ホテルがあまりもうからないと思うでしょ？

ここからがすごいんです。
ロイヤルスゥイートなんて２部屋しかなくて、
クーポンの期限は６ヶ月。このクーポンを６００枚売ったら
どうなりまっか？

たいていの人は行かれないんですねえ。
クーポンを２万円で買ったけども、使えないんですねえ。
使えない分もホテルの儲けになりますんです。

すごいでしょ？

これがグルーポンのビジネスモデルなんです。

猫さん、いますかー？

麻木久仁子をどう思いますか？
村々しますか？

居ますよ。何時も監視してますので。ほんでその麻木って人は姿すら見た事が
ないので何も知りませんね。何だか馬鹿なネット報道が出てたのを見ただけで
すワ。ワシはテレビなんていう馬鹿製造装置は持ってないしナ。

猫

猫の定理
***********************************
猫には数学の才能はないが、
2chを荒らす才能はたっぷりある（大爆
***********************************

>>200
そういう事です。今更当たり前の事をカキコしない様に。

猫

11日から牛丼値下げ　すき家250円吉野家270円松屋240円　牛丼屋がチキンレース

すき家、吉野家、松屋／1月11日から牛丼値下げセール
（商品 / 2011年01月06日）

大手牛丼チェーンのすき家、吉野家、松屋フーズは1月6日、1月11日から17日まで牛丼の値下げセールを実施すると発表した。
主力の並盛りの価格はすき家が250円、吉野家が270円、松屋が240円で松屋が最安値となった。
値引幅では、最大手のすき家が牛皿、牛皿定食などを除き一律30円引き、吉野家は牛丼・牛皿・牛鮭定食・牛サラダ定食などを含め一律110円引き、松屋も牛めし・牛めし野菜セット・同豚汁セットなどを含め80円引き。
値引幅では吉野家の110円が最大で、すき家の30円が最小となった。
すき家では、その他に牛丼類全品も謝恩価格の30円引きで販売する。ミニは200円、大盛350円、特盛450円、メガ580円。
吉野家は、牛丼並盛は270円。大盛370円、特盛520円、牛鮭定食390円、牛鮭サラダ定食470円などで販売する。そば処吉野家でも謝恩セールを同時開催し、そばセットを110円引きで販売。
松屋フーズは、大盛340円、特盛440円、牛めし野菜セット380円、同お新香セット360円、同豚汁セット460円などを展開する。近畿2府4県（大阪府、京都府、兵庫県、滋賀県、奈良県、和歌山県）の店舗でも期間限定で牛めし（並）を 240 円で販売する。
http://www.ryutsuu.biz/commodity/d010630.html

俺はセンター試験の試験監督にあたっているので、
晩飯は吉野家で食うことにするか。

何時までもセンター試験を続けていると国家が更に崩壊スルだけでしょうね。

猫

おまえはセンター試験の監督から逃げていたそうだね

ソレを言うなら証拠を出せや。ほんでその証拠を基に法廷で戦うさかいナ。
もし根拠がナイでそういう事を言うたらソレはもう名誉毀損やろが。エエな。

猫

>>186
> X に極大元がないと単射 N → X が存在することになって矛盾。

つまり　Xが無限集合の定義を「単射 N → X が存在する」とした訳ね、なるほど。
(Xが無限集合の定義を「Xから真の部分集合Yへの単射が存在する」にすると、
面倒なんだよね。）

>>206
中学生？まさか成人でそんな子供じみた恥ずかしい書き込みしないよね？

>>208
私は成人ですが、どんなに子供じみた事でも恥ずかしいとは一切考えないので。
だから徹底して貴方達と敵対します。だから覚悟をして下さい。

猫

なにを荒れているのかい？

それよか俺の論文がアナーレンに出るから読んでくれ

全国1万4千人調査 都道府県別女のSEX「よがり声」と「絶頂語」

http://news.nifty.com/cs/entame/showbizddetail/jitsuwa-20110109-571/1.htm
面白いことに、オーガズムワードには、方言があまり使われないという。
「世界的に見ても『イク、イク』『来る、来る』『終わっちゃう』『最高』という言葉が基本形です。
中略
声が大きく、にぎやかな反応の県の上位3県は1位千葉県、2位福岡県、3位埼玉県。
そして、比較的おとなしい反応の県は1位山口県、2位愛知県、3栃木県だった。
中略
神経伝達物質の分泌にはブレーキが利くものなのですが、セックスの時にはブレーキが働かずに過剰に分泌されるため
『この先どんな風になってしまうのか』という不安感が恐怖につながるようです。
だから、必死で腰を使いながらも『ダメ、ダメ！』と無意識に拒絶語を発するのです」

束って何ですか？

>>212

A lattice is a poset in which any two elements have a unique supremum and an infimum.

なんで変なスレばかりがあがっているんだ？

猫にとって都合の悪い事があるからシャッフルして隠蔽しているんだろw

別にワシに都合が悪い話なんて何もアラヘンのや。そやから遠慮なしにカキコせえや。
ワシかて一切の手加減はせえへんさかいナ。アンタ等が足腰が立たへん様にナルまで
攻撃されるのや。まあ覚悟スルこっちゃナ。

猫

今分かっていることは、猫という人物がKummerという人物に迷惑をかけているという、ただそれだけのことだね。

そやけどオマエ等が掛けてる迷惑の方が酷いんとちゃうのんかァ！　ワシはオマエ等
が全部消滅スルまで絶対に引かへんさかいナ。まあ判ってるとは思うけんどナ。

猫

オマエ「等」という解釈は適切でないと思うし、それはただの論点のすり替えにすぎないよ。
何にせよ、猫と名乗る人物がKummerと名乗る人物に迷惑をかけている、というのは事実だ。
そして猫と名乗る人物が活動を続ける限り、Kummerと名乗る人物には迷惑がかかり続ける。
ただそれだけのこと。それが良いとか悪いとかいうことはない。
(まあ、Kummer自身が無駄な書き込みを迷惑と思っているかどうかは知らないが)

>>212
>>113と>>156に定義が書いてあります。

>>180
>空でない有限順序集合は極大元(>>178)を持つ。

X を有限順序集合とする。
X の元の個数 n に関する帰納法でこれを証明しよう。
n = 1 のときは明らかである。
n ＞ 1 とする。
a を X の任意の元とする。
a が X の極大元なら証明は終わるから、a は X の極大元でないとする。
よって、a ＜ b となる b ∈ X がある。
帰納法の仮定より有限順序集合 X - {a} には極大元 c が存在する。
c ＜ a なら c ＜ b となって矛盾である。
よって、c は X の極大元である。

>>218
私の標的はクンマーさんではアリマセンのや。ワシが攻撃の目標とスルのはあく
までも数学とは無関係の話題を出して出してカキコしてカキコして懲りない馬鹿
だけですね。ココは数学板なので数学に無関係な非生産的な書き込みをスル連中
はワシが足腰が立たなくなるまで徹底的にぶちのめすだけですね。そやからアン
タの書き込みは無意味でしかないのや。特に名誉毀損と誹謗中傷と他人のプライ
バシーの弄びに関してはワシは断固とした態度で臨むだけやね。この糞共よ、
覚悟しろよ。

猫

増田うぜぇ

定義
L と M を束(>>156)とする。
f：L → M を準同型とする。
f が全単射で f^(-1) が準同型のとき ｆは同型という。
このとき L と M は同型であるという。

命題
L と M を束(>>156)とする。
f：L → M を準同型とする。
f が同型であるためには f が全単射であることが必要十分である。

証明
>>151と順序集合に関する双対原理(>>177)を使えばよい。

命題
L と M を束(>>156)とする。
写像 f：L → M を全単射とする。
f が束の同型であるためには順序集合の同型(>>154)であることが必要十分である。

証明
155と順序集合に関する双対原理(>>177)を使えばよい。

命題
L と M を束(>>156)とする。
任意の準同型(>>193) f：L → M は順序を保存する。
即ち、a ≦ b のとき f(a) ≦ f(b)

証明
束は上半束(>>115)であり、f は上半束としての準同型であるから>>147より f は順序を保存する。

定義
L と M を順序集合とする。
f：L → M を写像とする。

(1) x ≦ y のとき f(x) ≦ f(y) となるとき f は単調増加または単に単調という。
または f は順序を保存するともいう。

(1’) x ≦ y のとき f(x) ≧ f(y) となるとき f は単調減少という。
または f は順序を逆向きに保存するともいう。

(2) x ＜ y のとき f(x) ＜ f(y) となるとき f は狭義単調増加または単に狭義単調という。

(2’) x ＜ y のとき f(x) ＞ f(y) となるとき f は狭義単調減少という。

(3) x ≦ y と f(x) ≦ f(y) が同値であるとき f は順序埋め込み(order embedding)
または単に埋め込み(embedding)であるという。

順序埋め込み(>>227)であるが束の準同型ではない例

G を位数 12 の巡回群とする。
n が 12 の約数のとき G の位数 n の部分群は一意に存在する。
この部分群を H_n と書く。
L = {H_1、H_2、H_3、H_12} とおく。
M = {H_1、H_2、H_3、H_4、H_6、H_12} とおく。
M は G の部分群全体である。

L と M はそれぞれ包含関係に関して束である。
f：L → M を包含写像とする。
f は順序埋め込みであるが束の準同型ではない。

順序埋め込み(>>227)であるが束の準同型ではない例

G を群とする。
>>159で説明したように G の部分集合全体 Sub(G) は包含関係で束である。
G の冪集合 P(G) も包含関係により束である。
f：Sub(G) → P(G) を包含写像とする。
f は順序埋め込みであるが一般に束の準同型(>>193)ではない。

>>216

くまーの自演乙w

くまーは無職、失業者

>>230
オマエ、ちょっと訊くけどや、無職で失業者っちゅうんは何でアカンのや？
ちゃんと答えろよナ。返事せえへんかったら追い詰めるさかいナ。

猫

>>221
いやいや、猫と名乗る人物が他のスレッドに要らない書き込みをするのに対して、
その制裁的措置としてここのスレッドに要らない書き込みがされる、ということだよ。

>>230
コラ、返事をシロや。何で無職で失業者がアカンのや。返答せえへんかったら
どうなるかは判るわナ。

猫

例えばこんな風に。

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

猫
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■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■

猫
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■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■
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猫

>>232
なるほど、サンクションですか。では私も貴方達に思いっきりサンクションを。

猫

サンクションというのは、例えば痴漢が職を失うということ？

そういう事だと思いますね。

猫

多くの名無しは痴漢はしていないけれど、どういう制裁を受けるの？

何度も繰り返しますが名誉毀損、誹謗中傷、他人のプライバシーの弄び、及び
下らない下ネタ等は私の撲滅の対象になります。特に陰湿な書き込みは私が全
力で対抗します。但しソレをサンクションと言うのかどうかは私は知りません。
貴方達が他人を攻撃スルのを私が見ていて学んだ方法でお返しをしてるだけで
すね。だからココ２ちゃんではごく普通の光景ではないでしょうか。

猫

でも、誰も痛くもかゆくもない
くんまー以外はなw

もう一度繰り返しますが、ココでの私の活動は：
★★★『貴方達が自分の気に入らない書き込みに攻撃を加えるのと全く同じ』★★★
ですね。貴方達が好き放題に誰かの書き込みに対して陰湿に攻撃をしかけてい
たり、また筋や論理どころか道義でさえ吹っ飛ばして無茶苦茶をしていたのは
私が２００７年の秋頃から２ちゃんをずっと下調べしていた時からちゃんと見
ていましたので良く知っています。あの糾弾スレは大変に参考になりましたね。
何回か無記名で煽りの書き込みをして実験しましたので。但し無記名での書き
込みはその時だけですけどね。

猫

定義
X を順序集合とする。
x、y ∈ X で x ＜ y とする。
区間 (x, y) (>>191)が空集合のとき、即ち x ＜ z ＜ y となる z がないとき
y は x の直後の元と言い、x は y の直前の元という。
x と y は互いに隣り合っているという。

>>240
そんな事はどうでもいいんですね。寧ろ『誰も痛くも痒くもない』からこそ私は
ココでの書き込みを趣味として楽しめますので。あ〜馬鹿潰しは楽しい〜ってね。

猫

でも誰も潰されていないという現実から

眼をそむけるのか？

>>244
はい、そういう現実には目をそむけます。どうでもエエ事なので。

猫

猫が２ちゃんねるざんまいしているのは、やはり一人で数学の研究を出来ないという欠陥を持っているからか？
多くの数学者が定年になって好きな研究に没頭出来る日が来る事を夢みているのだけど、
強制定年となった猫が、なぜに２ちゃんねるばかりをしていて、研究に没頭しないのか不思議だよ。
筑波でも定年になったのを喜んで、研究に打ち込んでいる人もいるのではと思うけど、どうよ？

堀田先生だったか、大学をやめてセイセイして、好きな数学が出来るとどこかに書いておられたけど？

私はそういう事は一切気にしませんね。私は「自分の判断でコレが必要」とか、
また「自分の判断でコレをしよう」と考える事をその時の状況に合わせて精一
杯やるという考え方なので、だからとにかく何をするのかは自分で決めている
という事ですね。だから「他の人がどうしてる」なんてえ話は参考にはしませ
んね。まあ堀田先生は堀田先生という事で。いずれにしても堀田先生みたいな
偉い数学者は私には参考にはなりませんね。私は長年鬱積してても立場上言え
なかった事をココでかなり吐き出したので、自分の頭の整理にはかなりなりま
したね。だから私を思いっきり叩いて下さった２ちゃんの皆さんには結構感謝
していますね。この私自身の理解は他所でも使えるかも知れませんしね。

まあまあ。

猫

定義
ユークリッド平面上の有限個の点の集合 H_0 ≠ φ と有限個の線分の集合 H_1 ≠ φ の
組 H = (H_0, H_1) で次の条件を満たすものをHasseの図式という。

(1) H_1 に属す線分の両端は H_0 に属す。

(2) H_0 の各点は H_1 に属す線分の端点である。

(3) H_1 の各線分は X-軸に水平ではない。

(4) H_1 の各線分の上には両端以外に H_0 の点は乗っていない。

定義
H = (H_0, H_1) をHasseの図式とする。
a、b ∈ H_0 とする。

(1) (a のY-座標) ＜ (b のY-座標) となっていて a と b を両端とする H_1 に属す線分があるとき
b は a の直後にあると言う。

(2) a = x_0、x_1、．．．、x_n = b となる H_0 に属す点の列があり、
各 x_(i+1) は x_i の直後にあるとき a ＜ b と書く。

(3) a、b ∈ H_0 とする。a = b または a ＜ b のとき a ≦ b と書く。

このとき関係 ≦ により H_0 は順序集合になる。
これをHasseの図式 H から定まる順序集合と言う。

定義
H = (H_0, H_1) をHasseの図式(>>248)とする。
S を順序集合とする。
S が H から定まる順序集合 (H_0、≦) と順序集合として同型(>>154)なとき
H を S に対応するHasseの図式という。

命題
S を空でない有限順序集合とする。
このとき S に対応するHasseの図式(>>248)が存在する。

証明
S の元の個数 n に対する帰納法による。
n = 1 のときは明らかである。
n ＞ 1 とする。
>>220で証明したように S は極大元(>>178)を持つからその一つを a とする。
T = S - {a} に対応するHasseの図式を G = (G_0、G_1) とし、g：T → G_0 を順序同型とする。
a の直前の元(>>242)全体を b_1、．．．、b_m とする。
g(b_1)、．．．、g(b_m) の上にある点 P を適当に選び、
各線分 L_i = [g(b_i)、P] の上に g(b_i) 以外の G_0 の点が乗っていないようにする。
H_0 = G_0 ∪ {P}、H_1 = G_1 ∪ {L_1、．．．、L_m} とおけば、
H = {H_0、H_1} が S に対応するHasseの図式である。
証明

>>192の修正

L を束(>>156)とする。
a ∈ L に対して
[a, +∞) (>>191)および (-∞, a] は L の部分束である。

a, b ∈ L、a ≦ b に対して [a, b] (>>191)は L の部分束である。

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■■■■■■■ このスレは他板・他スレ運営妨害の非常に悪質糞スレの為に ■■■■■■
■■■■■■■反感を買って終了しました。 皆様のご愛顧有難う御座いました■■■■■■
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猫

演習問題
(1) ３次対称群 S_3 の部分群の作るHasseの図式(>>248)を描け。

(2) >>161より自然数全体 N は整除の関係により束になる。
>>252より任意の自然数 n に対して [1, n] (>>191)は N の部分束である。
[1, 12] のHasseの図式を描け。

(3) 位数１２の巡回群の部分群のなす順序集合のHasseの図式を描け。

演習問題(>>254への追加)

３個の元からなる集合 {a, b. c} の冪集合のHasseの図式を描け。

>>229
>G の部分集合全体 Sub(G) は包含関係で束である。

G の部分群全体 Sub(G) は包含関係で束である。

演習問題(Jacobson：Basic Algebra I)

G を有限群とする。
G の部分群の全体 Sub(G) が包含関係で全順序集合となるためには
G が素数冪の巡回群であることが必要十分である。

猫はなんで研究に没頭しないのかな

時間の無駄をしても、独創的な論文が書けるほど甘い世界じゃないだろ
数学は

そうだよな
たとえ猫の目的が果たされてここがすばらしい世界になっても
数学には１つも貢献しないだろうし

猫は荒らすな

全面的に猫を支持するで

257の証明をお願いします

ハッセの図の定義をしてkださい

猫は俺に電話をかけるな！
命令だ。

>>248の修正
定義
ユークリッド平面上の有限個の点の集合 H_0 ≠ φ と有限個の線分の集合(空かもしれない) H_1 の
組 H = (H_0, H_1) で次の条件を満たすものをHasseの図式という。

(1) H_1 に属す線分の両端は H_0 に属す。

(2) H_1 の各線分は X-軸に水平ではない。

(3) H_1 の各線分の上には両端以外に H_0 の点は乗っていない。

>>220
>空でない有限順序集合は極大元(>>178)を持つ。

これは次のように証明してもよい。

X を有限順序集合とする。
X の元の個数 n に関する帰納法でこれを証明しよう。
n = 1 のときは明らかである。
n ＞ 1 とする。
a を X の任意の元とする。
帰納法の仮定より有限順序集合 X - {a} には極大元 c が存在する。
a ＜ c なら c は X の極大元である。
c ＜ a なら a は X の極大元である。
a ＜ c でも c ＜ a でもないなら c は X の極大元である。

>>263
>>265
>>250

>>257の解答

必要性：
G の部分群の全体 Sub(G) が包含関係で全順序集合であるとする。
a を G の位数最大の元とする。
a で生成される G の部分群を H とする。
b を G の任意の元とする。
b で生成される G の部分群を L とする。
仮定より L ⊂ H または H ⊂ L である。
L の位数は H の位数を超えないから L ⊂ H である。
よって、b ∈ H である。
b は G の任意の元であるから G = H である。
よって G は巡回群である。
G の位数が二つの異なる素数 p, q で割れるとする。
G の位数 p と位数 q の部分群をそれぞれ H_p、H_q とする。
仮定より H_p ⊂ H_q または H_q ⊂ H_p であるがこれは不可能である。
よって、G の位数は素数冪である。

十分性：
自明である。

命題
S を順序集合とする。
S の冪集合 P(S) を包含関係により順序集合と見なす。
ｆ：S → P(S) を f(x) = (-∞, x] (>>191)により定義する。

このとき、ｆ は順序埋め込み(>>227)である。

証明
x ≦ y なら f(x) ⊂ f(y) である。
逆に f(x) ⊂ f(y) とする。
x ∈ f(x) だから x ∈ f(y) である。
よって、x ≦ y である。
証明終

クンマーはなんでテフで打たないんだ？
テフで打って、コーネル大学のアーカイブに投稿すればいいだけじゃないか？
それとも著作権で問題となることをしているのか？

X軸に水平でないとはどういう意味？

座標平面を机の上の載せると、平面上の線はいずれも水平だと思うが？

そもそもユーくリッド平面とは？
大学入試的には座標平面と書くけど？　

>>271
X軸に水平でない平行でないの間違いです

もといｗ
X軸に平行でないの間違いです

>>248と>>265の修正

定義
ユークリッド平面上の有限個の点の集合 H_0 ≠ φ と有限個の線分の集合(空かもしれない) H_1 の
組 H = (H_0, H_1) で次の条件を満たすものをHasseの図式という。

(1) H_1 に属す線分の両端は H_0 に属す。

(2) H_1 の各線分は X-軸に平行ではない。

(3) H_1 の各線分の上には両端以外に H_0 の点は乗っていない。

>>273
ここは大学入試じゃないんで
ユーくリッド平面をご存知ないですか
Wikipediaで調べてください

だからユークリッド平面ってどういう定義なの？
R^2 に計量とか入っているってこと？

クンマーは高校生に言い負かされているなw

命題
S を順序集合とする。
f：S → P(S) を>>269で定義した写像とする。
このとき、S の元 a, b に対して a∧b が存在するなら
f(a∧b) = f(a)∩f(b) である。

証明
x ≦ a∧b とする。
a∧b ≦ a、a∧b ≦ b であるから x ≦ a かつ x ≦ b である。
よって、 (-∞, a∧b] ⊂ (-∞, a] ∩ (-∞, a] である。
即ち、f(a∧b) ⊂ f(a)∩f(b) である。

逆に x ∈ (-∞, a] ∩ (-∞, a] なら x ≦ a かつ x ≦ b である。
よって、x ≦ a∧b である。
よって、 x ∈ (-∞, a∧b] である。
即ち、f(a)∩f(b) ⊂ f(a∧b) である。

以上から f(a∧b) = f(a)∩f(b) である。
証明終

ハッセの図で線分は交わってもいいんですか？

>>278
だからWikipediaで調べてください。

>>281
いいです

>>279
ユークリッド平面のどこがおかしい？

>>280より S が下半束(>>116)のとき、>>269で定義した f は
下半束の準同型(>>144の双対概念)である。
しかし S が上半束のとき、f は上半束(>>144)の準同型とは限らない。

>>280より S が下半束(>>116)のとき、>>269で定義した f は
下半束の準同型(>>144の双対概念)である。
しかし S が上半束のとき、f は上半束(>>144)の準同型とは限らない。

http://blog.livedoor.jp/calc/archives/50528564.html
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%83%E3%82%BB%E5%9B%B3

例
>>161より自然数全体 N は整除の関係により束(>>156)になる。
>>252より任意の自然数 n に対して [1, n] (>>191)は N の部分束である。
n が平方数 ＞ 1 で割れないとする。
即ち p_1、．．．、p_m を互いに異なる素数としたとき
n = (p_1)．．．(p_m) と書けるとする。

このとき [1, n] は束として T = {p_1、．．．、p_m} の冪集合 P(T) と同型である。

例
Z を有理整数環とする。
Z のイデアル全体 I(Z) は包含関係により束となる。
(I(Z))^o を I(Z) の双対束(>>181)とする。
一方、>>161より自然数全体 N は整除の関係により束(>>156)になる。
写像 f：N → (I(Z))^o を f(n) = nZ により定義する。
このとき f は束の同型である。

例
>>161より自然数全体 N は整除の関係により束(>>156)になる。
>>252より任意の自然数 n に対して [1, n] (>>191)は N の部分束である。
一方、G を位数 n の巡回群とする。
G の部分群の全体 Sub(G) は包含関係に関して束となる。
m ∈ [1, n] のとき f(m) を G の位数 m の部分群とする。
このとき写像 f：[1, n] → Sub(G) は束の同型である。

おい、猫

おれの質問にこたえろや

定義
S を順序集合とする。
S の冪集合 P(S) を包含関係により順序集合と見なす。
ｆ：S → P(S) を f(x) = (-∞, x] (>>191)により定義する。
>>269より f は順序埋め込み(>>227)である。
このとき f を S の下写像(down map)と言う。

定義
L と M を順序集合とする。
f：L → M を写像とする。
x ≦ y と f(x) ≧ f(y) が同値であるとき f は順序双対埋め込み(dual-order embedding)　という。

定義
S を順序集合とする。
S の冪集合 P(S) を包含関係により順序集合と見なす。
ｆ：S → P(S) を f(x) = [x, -∞) (>>191)により定義する。
>>269の双対命題(>>172)より f は順序双対埋め込み(>>293)である。
このとき f を S の上写像(up map)と言う。

>>294の修正

定義
S を順序集合とする。
S の冪集合 P(S) を包含関係により順序集合と見なす。
ｆ：S → P(S) を f(x) = [x, +∞) (>>191)により定義する。
>>269の双対命題(>>172)より f は順序双対埋め込み(>>293)である。
このとき f を S の上写像(up map)と言う。

定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
写像 T↓：S → P(S) を T↓(x) = T ∩ (-∞, x] により定義する。
T↓ を T-下写像(T-down map)と言う。
T↓ は単調増加(>>227)である。

>>296の修正

定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
T の冪集合 P(T) を包含関係により順序集合と見なす。
写像 T↓：S → P(T) を T↓(x) = T ∩ (-∞, x] (>>191)により定義する。
T↓ を T-下写像(T-down map)と言う。
T↓ は単調増加(>>227)である。

定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
T の冪集合 P(T) を包含関係により順序集合と見なす。
写像 T↑：S → P(T) を T↑(x) = T ∩ [x, +∞) (>>191)により定義する。
T↑ を T-上写像(T-up map)と言う。
T↑ は単調増加(>>227)である。

定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
任意の x ∈ T に対して (-∞, x] ⊂ T となるとき T を S の下集合(down set)と言う。
S の下集合の全体を Down(S) と書く。

定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
任意の x ∈ T に対して [x, +∞) ⊂ T となるとき T を S の上集合(up set)と言う。
S の上集合の全体を Up(S) と書く。

>>212
>>263
使用する専門用語についてはそれが定義されている箇所のレス番号をなるべくつけるようにしてますが
それがついていない場合はスレを遡って調べてください。
因みに、このスレ全体をテキストエディター（例えば秀丸）でコピーして検索すれば
簡単に定義の箇所が見つかります。
過去スレを検索する場合は各過去スレをテキストエディターでコピーして同一のフォルダーに格納し、
テキストエディターのgrep機能で検索すればこれも簡単に定義の箇所が見つかります。
さらにテキストエディターのタグジャンプ機能を使えばその場所に一発で飛べます。
このシリーズを読みまともに理解しようとする場合、秀丸のようなテキストエディターは
ほぼ必須だと思ってください。

逃げるな、猫

うしろめたいのか？

>>302
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/sec2chd/1294655819/
猫は規制されて書き込めないよ。

猫よ、見ているだろうか？
もりたぽを使えば
２ちゃんねるに規制なしでいくらでも書き込めるようになるぞ。
年間わずか500円だ。
ぜひ一連の市民活動への導入を検討してほしい。

一緒に規制されてたりして

証明した

>>260
>253は猫になりすましてるだけだよ
トリップを表す◆が◇に化けてるだろ
それとトリップの英数字列が太い字体になってしまってるだろ（少なくとも専ブラで見ると太い）
あれ、猫に成り済まそうとして、猫のハンネとトリップからなる文字列「猫は作業 ◆MuKUnGPXAY」全体を
ＨＮに指定したってこと
この投稿は、試しにKummerさんのＨＮとトリップの文字列「Kummer ◆g2BU0D6YN2」全体をＨＮに指定してみました
（Kummerさん、ごめんね）
するとトリップを表す◆が◇に化けてしまって、しかもKummerさんのトリップの文字列「g2BU0D6YN2」が太字になってるだろ

>>307
>>41は私じゃないんだが、こういうのはどうやるの？

例
Ψ を集合 X の部分集合からなる集合とする。
Ψ が遺伝的(過去スレ007の767)であるとは
Ψ が X の冪集合 P(X) の下集合(>>299)であることに他ならない。

命題
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
T が S の下集合(>>299)であるためには S - T が S の上集合(>>300)であることが必要十分である。

証明
必要性：
T が S の下集合であるとする。
x ∈ S - T に対して x ≦ y とする。
y ∈ T なら x ∈ T であるから y ∈ S - T でなければならない。
よって、S - T は S の上集合である。

十分性：
順序集合に関する双対原理(>>177)より、S - T が S の上集合であれば T は S の下集合である。
証明終

命題
S を順序集合とする。
Ψ を S の下集合(>>299)の集合とする。
このとき ∪Ψ および ∩Ψ は S の下集合である。

証明
自明である。

命題
S を順序集合とする。
Φ を S の上集合(>>300)の集合とする。
このとき ∪Φ および ∩Φ は S の上集合である。

証明
自明である。

定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
>>311より T を含む S の下集合全体の共通部分は T を含む最小の下集合である。
これを ↓T と書き T の S における下閉包(down closure)と言う。

定義
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
>>312より T を含む S の上集合全体の共通部分は T を含む最小の上集合である。
これを ↑T と書き T の S における上閉包(up closure)と言う。

命題
S を順序集合とする。
T を S の部分集合とする。
このとき、↓T = {x ∈ S； x ≦ y となる y ∈ T がある} である。

証明
T’= {x ∈ S； x ≦ y となる y ∈ T がある} とおく。
T ⊂ T’である。

x ∈ T’なら x ≦ y となる y ∈ T がある
z ≦ x なら z ≦ y だから z ∈ D である。
よって T’は下集合である。

D を下集合で T ⊂ D とする。
x ∈ T’なら x ≦ y となる y ∈ T がある
y ∈ D だから x ∈ D である。
よって、T’⊂ D である。

以上から T’は T を含む最小の下集合である。
証明終

ねこはおじけづいて逃げたようんだなw

>>273
>そもそもユークリッド平面とは？

正確にはユークリッド平面に直交座標を入れたものです。
単に座標平面と言うと射影平面とかいろいろあって紛らわしいんで。
まあ、座標平面と書いても誤解の恐れはないでしょうが。

定義
S を順序集合とする。
a ∈ S のとき ↓{a} (>>313) を a で生成される主下集合と言い ↓a と書く。
>>315より、↓a = (-∞, a] である。

定義
S を順序集合とする。
a ∈ S のとき ↑{a} (>>314) を a で生成される主上集合と言い ↑a と書く。
>>315の双対命題(>>172)より、↑a = [a, +∞) である。

X を集合とする。
A、B、C を X の部分集合とすると次の分配律が成り立つ：

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪(A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B)∩(A ∪ C)

このような分配律の成り立つ束を分配束(distributive lattice)と言う。

命題
L を束(>>156)とする。
L の任意の元 a, b, c に対して
(1)： a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) とする。

このとき、
(2)： a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) となる。

証明
(a∨b)∧(a∨c) = ((a∨b)∧a)∨((a∨b)∧c)　←　(1)
= ((a∧a)∨(b∧a))∨((a∧c)∨(b∧c))　　　　←　(1)
= (a∨(b∧a))∨((a∧c)∨(b∧c))　　　　　　←　冪等律 a∧a = a より
= a∨((a∧c)∨(b∧c))　　　　　　　　　　　←　吸収律 a∨(b∧a) = a より
= (a∨(a∧c))∨(b∧c　　　　　　　　　　　　←　結合律
= a∨(b∧c)　　　　　　　　　　　　　　　　←　吸収律 a∨(a∧c) = a より
証明終

定義
L を束(>>156)とする。
L の任意の元 a, b, c に対して
(1) a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
(2) a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
をそれぞれ分配律と言う。

分配律 (1) と (2) が成り立つ束を分配束(distributive lattice)と言う。
>>321とその双対命題(>>172)より (1) または (2) が成り立つ束は分配束である。

>>273

ユークリッド平面＝2次元空間、だろ。
「大学入試的に」如何書こうが、此処の議論には関係がない。
余計な事は書くな。

命題
L を分配束(>>322)とする。
a, b, c ∈ L に対して
x∧a = b、x∨a = c となる x があれば x は a, b, c により一意に決まる。

証明
x∧a = b、x∨a = c
y∧a = b、y∨a = c
とする。

x = x∩(x∨a) = x∧c = x∧(y∨a) = (x∧y)∨(x∧a) = (x∧y)∨b

一方、b ≦ x、b ≦ y だから b ≦ x∧y
よって、(x∧y)∨b = x∧y
よって、x = x∩y

同様に y = x∩y
よって、x = y
証明終

定義
L を有界(>>156)な束(>>156)とする。
a ∈ L に対して a∧x = 0、a∨x = 1 となる x を a の補元(complement)と言い
a’または¬aと書く。
>>324より a の補元は存在すれば a により一意に定まる。

例
X を集合とし P(X) を X の部分集合とする。
P(X) は有界な束であり、最小元は空集合 φ で最大元は X である。
A ∈ P(X) の補元は A の補集合 A’である。

定義
L を有界(>>156)な束(>>156)とする。
L の任意の元が補元(>>325)を持つとき L を相補束(complemented lattice)と言う。

>>325の修正

定義
L を有界(>>156)な束(>>156)とする。
a ∈ L に対して a∧x = 0、a∨x = 1 となる x を a の補元(complement)と言う。
>>324より L が分配束のとき a の補元は存在すれば a により一意に定まる。
このとき a の補元を a’または¬aと書く。

定義
L を有界(>>156)な束(>>156)とする。
a, b ∈ L、 a∧b = 0、a∨b = 1 となるとき a と b は互いに相補的であると言う。

>>327の修正

定義
L を有界(>>156)な束(>>156)とする。
L の任意の元が補元(>>328)を持つとき L を相補束(complemented lattice)と言う。

定義
L を有界(>>156)な束(>>156)とする。
L の任意の元が補元(>>328)を一意に持つとき L を一意相補束(uniquely complemented lattice)と言う。

>>308
トリップ検索ツールというのを使えばできる。
膨大な時間がかかるから正常な人間はしないけどｗ

トリップ割れてるみたいだから、変えたほうがいいかもですよ。

>>332
短い文字数のトリップ使ってるんだけど、短いと比較的簡単に割り出せるんですかね？

test

>>334
アドバイスに従って今後このトリップを使います。

定義
分配束(>>322)かつ相補束(>>330)である束をBoole代数(Boolean algebra)と言う。

>>333
それはあまり関係ないと思います。
必ずしも自分が入力した文字を見つけ出すわけではなく、虱潰しにトリップと
一致する文字列を検索するものなので、、、

>>336
代数という言葉は結合代数とかLie代数とか多用されているのでBoole代数よりBoole束と
言ったほうが適切かもしれない。しかし、Boole代数という用語は広く使われているので
慣用に従うことにする。

定義
L を最小元 0 を持つ順序集合とする。
0 の直後(>>242)の元を原子(atom)と言う。

定義
L を最大元 1 を持つ順序集合とする。
1 の直前(>>242)の元を余原子(coatom)と言う。

定義
L を順序集合とする。
a、b ∈ L、a ≦ b のとき a は b に含まれると言い、b は a を含むと言う。

定義
L を最小元 0 を持つ順序集合とする。
L の 0 と異なる任意の元が原子(>>339)を含む(>>341)とき L を原子的(atomic)と言う。

定義
L を最大元 1 を持つ順序集合とする。
L の 1 と異なる任意の元が余原子(>>340)に含まれる(>>341)とき L を余原子的(coatomic)と言う。

例
X を空でない集合とする。
X の冪集合 P(X) を包含関係により順序集合と見なす。
このとき、X の各点 a に対して {a} は P(X) の原子(>>339)である。
X - {a} は P(X) の余原子(>>340)である。

P(X) は原子的(>>340)かつ余原子的(>>343)である。

命題
L を一意相補束(>>331)とする。
a ∈ L が原子(>>339)のとき a’は余原子(>>340)である。

証明
a’= 1 なら a = 0 となって仮定に反するから a’＜ 1 である。
a’＜ b ＜ 1 となる b があるとする。

a’＜ b より 1 = a∨a’≦ a∨b
よって、a∨b = 1
また、a ∧ b ≦ a より a ∧ b = 0 または a ∧ b = a である。

a ∧ b = 0 なら a∨b = 1 より b = a’となって仮定に反する。
a ∧ b = a なら a ≦ b
よって、a∨b = b となってこれも a∨b = 1 に反する。

以上から a’は余原子である。
証明終

命題
L を一意相補束(>>331)とする。
a と b を L の原子で a ≠ b とする。
このとき a ≦ b’である。

証明
>>345より b’は余原子だから a∨b’= b’または a∨b’= 1 である。
a∨b’= b’なら a ≦ b’である。
よって、a∨b’= 1 とする。
このとき a∧b’= 0 なら a’= b’、a = b となって仮定に反する。
よって、a∧b’= a
よって、a ≦ b’である。
証明終

L を分配束とする。
a、b、c ∈ L、a ≦ c のとき a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) = (a∨b)∧c である。
即ち、a ≦ c のとき a∨(b∧c) = (a∨b)∧c である。
これをmodular律という。

定義
modular律：a ≦ c のとき a∨(b∧c) = (a∨b)∧c
が成り立つ束をmodular束と言う。

>>308
> >>307
> >>41は私じゃないんだが、こういうのはどうやるの？

Kummerさんのトリップを生成してる文字列が41の人に破られて（解読されて）いるんだと思います。
41はその解読した本物の文字列をトリップに指定してるから本物のトリップが付いているんです。
２ちゃんねるにはトリップ破りを依頼するスレがどこかにありましたし、トリップ生成の文字列として
例えば数学者の名前とか数学用語なんかを選んでるのならば破られる可能性が高いです。
自力で破ろうとするのならば、無作為に文字列を生成させてそれをトリップ生成アルゴリズムで
トリップに変換して一致するかどうか試すか、そうでなければそういう可能性が高そうな文字列から
試すでしょうから。

例
modular束が重要なのは主に次の事実による。
G を任意の群とする。
G の正規部分群全体の作る束はmodular束である。

証明
H, K, L を G の正規部分群で H ⊂ L とする。
H(K∩L) = (HK)∩L を証明すればよい。

H(K∩L) ⊂ HK
H(K∩L) ⊂ HL ⊂ L
よって、H(K∩L) ⊂ (HK)∩L

逆の包含関係を証明しよう。
x ∈ (HK)∩L とする。
x = hk、h ∈ H、k ∈ K と書ける。
k = h^(-1)x ∈ HL ⊂ L
よって、x = hk ∈ H(K∩L)
よって、(HK)∩L ⊂ H(K∩L)
証明終

>>350と同様にある環上の加群(module) M の部分加群(submodule)の作る束もmodular束である。
modular束という名前はこの例から来たものと思われる。

>>349
有難うござます。
破られてもまた変えればいいだけなのに物好きな人もいるものですなｗ

斉藤裕先生亡くなってたのか・・・まだ若かったと思うが。

くんまーの書いてるこれは正しいの？

トリップ割ってみるか

ほれほれ

猫死亡

例
位数 2 の巡回群 C_2 の２個の積 G = (C_2)×(C_2) を考える。
G は Klein の４元群と呼ばれる。
G = {1, a, b, c} とすると
a^2 = b^2 = c^2 = 1
ab = c、bc = a、ca = b

G はアーベル群であるから>>350より G の部分群全体 Sub(G) は包含関係に関してmodular束である。

H = {1, a}、K = {1, b}、L = {1, c} とおく。
Sub(G) = {{1}、H、K、L} である。

H∧(K∨L) = H∧G = H
(H∧K)∨(H∧L) = {1}∨{1} = {1}
よって、H∧(K∨L) ≠ (H∧K)∨(H∧L)
よって、Sub(G) は分配束ではない。

1∧G = {1}、1∨G = G
H∧K = {1}、H∨K = G
K∧L = {1}、K∨L = G
H∧L = {1}、H∨L = G
よって、Sub(G) は相補束である。

俺本物だよ

>>358の補足
Sub(G) は相補束(>>330)であるが一意相補束(>>331)ではない(例えば H の補元は K と Lの２個ある)。

今回はちゃんと長い文字数にした？

テス

定義
L を束とする。
a, b ∈ L、a ≦ b とする。
x ∈ [a, b] に対して x∧y = a、x∨y = b となる y を
区間 [a, b] における x の相対補元(relative complement)と言う。

定義
L を束とする。
L の任意の区間 [a, b]、a ≦ b が L の部分束として相補束(>>327)であるとき
L を相対相補束(relatively complemented lattice)と言う。
相対相補束は有界とは限らないことに注意する。

定義
L を束とする。
L の任意の区間 [a, b]、a ≦ b が L の部分束として一意相補束(>>331)であるとき
L を一意相対相補束(uniquely relatively complemented lattice)と言う。

命題
L を有界(>>156)なModular束(>>348)とする。
x ∈ L が補元(>>328) x’を持てば x ∈ [a, b] となる任意の区間 [a, b]、a ≦ b において
x は相対補元(>>363)を持つ。

証明
y = (x’∧b)∨a とおく。
a ≦ y ≦ b である。

x∧y = x∧((x’∧b)∨a) = (x∧(x’∧b))∨a = 0∨a = a
x∨y = x∨((x’∧b)∨a) = x∨(x’∧b)∨a = x∨(x’∧b) = (x∨x’)∧b = 1∧b = b

よって y は [a, b] における x の相対補元である。
証明終

トリ割れと聞いて

定義
L を最小元 0 を持つ束とする。
任意の a ∈ L に対して区間 [0, a] (>>191)が L の部分束として相補束(>>327)であるとき
L を区分的相補束(sectionally complemented lattice)と言う。

>>328と>>325の修正

定義
L を有界(>>156)な束(>>156)とする。
a ∈ L に対して a∧x = 0、a∨x = 1 となる x を a の補元(complement)と言う。
a の補元が一意に存在するとき a の補元を a’または¬aと書く。

命題
Boole代数(>>336) B の任意の区間 [a. b] (>>191)は B の部分束(>>190)としてBoole代数である。

証明
[a. b] は B の部分束として分配束である。
>>347よりBoole代数(>>336)はmodular束(>>348)であるから
>>366より [a. b] は B の部分束として相補束である。
よって、[a. b] は B の部分束としてBoole代数である。
証明終

命題
Boole代数(>>336)は一意相補束(>>331)かつ一意相対相補束(>>365)である。

証明
>>324よりBoole代数は一意相補束である。
よって、>>370よりBoole代数は一意相対相補束である。
証明終

命題
L を最小元 0 を持つModular束(>>348)で区分的相補束(>>368)とする。
このとき L は相対相補束(>>364)である。

証明
[a, b]、a ≦ b を任意の L の区間(>>191)とする。
x ∈ [a, b] に対して x’を x の [0, b] における補元(>>369)とする。
即ち x∧x’= 0、x∨x’= b である。

y = (x’∧b)∨a とおく。
a ≦ y ≦ b である。

x∧y = x∧((x’∧b)∨a) = (x∧(x’∧b))∨a = 0∨a = a
x∨y = x∨((x’∧b)∨a) = x∨(x’∧b)∨a = x∨(x’∧b) = (x∨x’)∧b = b∧b = b

よって y は [a, b] における x の相対補元である。
証明終

定義
最小元を持つ分配束(>>322)で区分的相補束(>>368)である束を
一般Boole代数(generalized Boolean algebra)と言う。

>>347より分配束(>>322)はmodular束(>>348)であるから>>372より一般Boole代数(>>373)は
相対相補束(>>364)である。

例
集合 X 上の集合環(過去スレ007の189)は包含関係により一般Boole代数(>>373)である。
逆に X の冪集合 P(X) の部分束 Φ (>>190)が一般Boole代数なら Φ は集合環である。

例
集合 X 上の集合代数(過去スレ007の196)は包含関係によりBoole代数(>>336)である。
逆に X の冪集合 P(X) の部分束 Φ (>>190)がBoole代数なら Φ は集合代数である。

定義
S を順序集合とする。
S の部分集合 C は S の順序に関して全順序集合となっているとき鎖(chain)と言う。

定義
S を順序集合とする。
C を S の鎖(>>377)とする。
C の元の個数 n が有限のとき n - 1 を C の長さ(length)と言い length(C) と書く。
C の元の個数が無限のとき C の長さは無限とし、length(C) = +∞ とする。

定義
S を順序集合とする。
S の鎖(>>377)全体を Γ とする。
sup {length(C)； C ∈ Γ} を S の長さと言い、length(S) と書く。

定義
S を順序集合とする。
a、b ∈ S、a ≦ b とする。
S の鎖(>>377) C で a = min(C)、b = max(C) となるものを a から b への鎖と言う。
このとき a を C の始点、b を C の終点と言う。

定義
S を順序集合とする。
a、b ∈ S、a ≦ b とする。
a から b への鎖全体を C(a, b) とする。
C(a, b) を包含関係で順序集合とみたときその極大元を a から b への極大鎖と言う。

定義
S を順序集合とする。
S の部分集合 A は任意の a, b ∈ A、a ≠ b に対して a ＜ b でも b ＜ a でもないとき
反鎖(antichain)と言う。

定義
S を順序集合とする。
A を S の反鎖(>>382)とする。
A の元の個数を A の幅(width)と言い width(A) と書く。
A の元の個数が無限のとき A の幅は無限とし、width(A) = +∞ とする。

定義
S を順序集合とする。
S の反鎖(>>382)全体を Δ とする。
sup{width(A)；A ∈ Δ} を S の幅と言い、width(S) と書く。

定義
S を順序集合とする。
S の反鎖(>>382)全体を Δ とする。
Δ を包含関係で順序集合とみたときその極大元を S の極大反鎖と言う。

定義
S を順序集合とする。
S の任意の区間 [a, b] (>>191)の長さ(>>379)が有限のとき S を局所的に有限な長さ
(locally finite length)を持つと言う。

定義
S を局所的に有限な長さを持つ順序集合とする。
S の任意の区間 [a, b] (>>191)に対して d(a, b) = length([a, b]) (>>379)とおく。

定義
S を順序集合とする。
x ∈ S に対して x を終点とする鎖(>>380)の長さの sup を x の高さ(height)と言い ht(x) と書く。

定義
S を順序集合とする。
S の任意の区間 [a, b] (>>191)に対して a から b への全ての極大鎖(>>381)の長さが
有限で等しいとき S はJordan-Dedekindの鎖条件(Jordan-Dedekind chain condition)を満たすと言う。

S をJordan-Dedekindの鎖条件を満たす順序集合とする。
x ≦ y ≦ z のとき d(x, z) = d(x, y) + d(y, z) である。

定義
S を順序集合とする。
Z を有理整数の集合とする。
写像 d：S → Z で次の性質を持つものを S の次数関数(graded function)と言う。

(1) x ＜ y のとき d(x) ＜ d(y)

(2) y が x の直後(>>242)の元のとき d(y) = d(x) + 1

命題
S を局所的に有限な長さを持つ順序集合とする。
S が次数関数(>>391)を持つためには S がJordan-Dedekindの鎖条件(>>389)を満たすことが
必要十分である。

証明
必要性：
S が次数関数 d：S → Z を持つとする。
a ＜ b を S の元とし、a = x_0 ＜ x_1 ＜ ．．．＜ x_n = b を極大鎖(>>381)とする。
各 x_(i+1) は x_i の直後(>>242)の元であるから、
d(x_(i+1)) = d(x_i) + 1、i = 0、．．．、n-1
よって、d(b) = d(a) + n
よって、d(b) - d(a) = n
よって、S はJordan-Dedekindの鎖条件を満たす。

(続く)

>>392の続き

十分性：
S がJordan-Dedekindの鎖条件を満たすとする。
a ∈ S を任意に選び固定する。
x ∈ S に対して
d(x) = d(a∧x, x) - d(a∧x, a) とおく。
ここで、d(x, y) は>>387で定義したものである。

x, y ∈ S、x ≦ y に対して
d(y) - d(x) = d(a∧y, y) - d(a∧y, a) - d(a∧x, a) + d(a∧x, a)

一方、>>390より
d(a∧x, a∧y) + d(a∧y, y) = d(a∧x, y)
d(a∧x, x) + d(x, y) = d(a∧x, y)
よって、
d(a∧x, a∧y) + d(a∧y, y) = d(a∧x, x) + d(x, y)

ここで、再び>>390より
d(a∧x, a∧y) = d(a∧x, a) - d(a∧y, a)
よって、
d(a∧x, a) - d(a∧y, a) + d(a∧y, y) = d(a∧x, x) + d(x, y)

よって、
d(y) - d(x) = d(x, y)
よって、d は次数関数である。
証明終

>>390の修正

S を局所的に有限な長さを持つ順序集合でJordan-Dedekindの鎖条件(>>389)を満たすとする。
このとき、x ≦ y ≦ z のとき d(x, z) = d(x, y) + d(y, z) である。

定義
S を順序集合とする。
N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
次の条件(ACC)を昇鎖律(ascending chain condition)と言う。

(ACC) f：N → S を任意の単調増加写像(>>227)とするとき f(N) は有限集合である。

定義
S を順序集合とする。
N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
次の条件(DCC)を降鎖律(descending chain condition)と言う。

(DCC) f：N → S を任意の単調減少写像(>>227)とするとき f(N) は有限集合である。

定義
S を順序集合とする。
(1) S の空でない任意の部分集合が極大元を持つとき S は極大条件を満たすと言う。
(2) S の空でない任意の部分集合が極小元を持つとき S は極小条件を満たすと言う。

命題
S を順序集合とする。
(1) S が昇鎖律(>>395)を満たすためには S が極大条件(>>397)を満たすことが必要十分である。
(2) S が降鎖律(>>396)を満たすためには S が極小条件(>>397)を満たすことが必要十分である。

証明
(2) は (1) の双対命題(>>169)であるから双対原理(>>177)より (1) のみを証明すればよい。

必要性：
S が昇鎖律を満たすとする。
T を S の空でない部分集合とする。
S が極大条件を満たさないとする。
S は空でないからある元 a_1 ∈ S がある。
a_1 は極大元でないから a_1 ＜ a_2 となる a_2 ∈ S がある。
この操作を続けて S の元の列 (a_n)、n = 1、2、．．．で a_n ＜ a_(n+1) となるものが構成出来る。
これは昇鎖律に反する。

十分性：
S が極大条件を満たすとする。
N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とし、
f：N → S を任意の単調増加写像(>>227)とする。
f(N) は極大元 a を持つ。
f(n_0) = a とすれば n_0 ≦ n のとき a ≦ f(n) である。
a は f(N) の極大元であるから a ＜ f(n) ではない。
よって a = f(n) である。
よって、f(N) は有限集合である。
よって、S は昇鎖律を満たす。
証明終

命題
S を極大条件(>>397)と極小条件(>>397)を満たす順序集合とする。
このとき S は局所的に有限な長さを持つ(>>386)。

証明
S が局所的に有限な長さを持たないとする。
S の区間 [a, b] で長さ(>>379)が有限でないものが存在する。
M = {x ∈ [a, b]；[a, x] の長さは有限でない} とおく。
b ∈ M であるから M は空でない。
よって、極小条件より M は極小元 c を持つ。
a ＜ c であり、c は a の直後(>>242)の元でないから
区間 (a, c) = {x ∈ S； a ＜ x ＜ c} は空でない。
よって、極大条件より (a, c) は極大元 d を持つ。
d は c の直前(>>242)の元であるから [a, d] の長さは有限でない。
これは c の定義に矛盾する。
証明終

>>389の修正

定義
S を局所的に有限な長さを持つ(>>386)順序集合とする。
S の任意の区間 [a, b] (>>191)に対して a から b への全ての極大鎖(>>381)の長さ(>>379)が
等しいとき S はJordan-Dedekindの条件を満たすと言う。

命題
長さ(>>379)が有限な順序集合は極大条件(>>397)と極小条件(>>397)を満たす。

証明
S を長さが有限な順序集合とする。
S は昇鎖律(>>395)と降鎖律(>>396)を満たす。
よって、>>398より S は極大条件と極小条件を満たす。
証明終

過去スレ001の205で次の定義をした。

定義
位相空間 X が可約とは、 X = F_1 ∪ F_2 となる、X の閉部分集合
F_1, F_2 で X ≠ F_1, X ≠ F_2 となるものが存在することをいう。
空集合でない位相空間が可約でないとき既約という。

位相空間 X の部分集合 A が既約とは、A に部分空間としての位相を
いれたときに、既約なことをいう。

これを束に拡張すると次の定義が得られる。

定義
L を束とする。

(1) L の元 a が∨可約とは a = x∨y、x ＜ a、y ＜ a となる元 x、ｙ が存在することをいう。
L の最小元でない元が∨可約でないとき∨既約と言う。

(2) L の元 a が∧可約とは a = x∧y、a ＜ x、a ＜ y となる元 x、ｙ が存在することをいう。
L の最大元でない元が∧可約でないとき∧既約と言う。

演習問題
>>161より自然数全体 N は整除の関係により束になる。
このとき N の∨既約元(>>403)とは何か？

>>403の拡張

定義
L を上半束(>>115)とする。
L の元 a が可約とは a = x∨y、x ＜ a、y ＜ a となる元 x、ｙ が存在することをいう。
L の最小元でない元が可約でないとき既約と言う。

>>405の双対

定義
L を下半束(>>116)とする。
L の元 a が可約とは a = x∧y、a ＜ x、a ＜ y となる元 x、ｙ が存在することをいう。
L の最大元でない元が可約でないとき既約と言う。

命題
L を極小条件(>>397)を満たす空でない上半束(>>115)とする。
L の任意の元は有限個の既約元(>>405)の結び(>>158)となる。

証明
L の元で有限個の既約元の結びとならないものの集合を Ψ とする。
Ψ が空でないとして矛盾を導けばよい。
極小条件より Ψ には極小元 a が存在する。
a は既約でないから a = x∨y、x ＜ a、y ＜ a となる元 x、ｙ が存在する。
x と y は有限個の既約元の結びとなるから a も有限個の既約元の結びとなって矛盾である。
証明終

命題
L を最小元を持つ上半束(>>115)とする。
L の任意の原子(>>339)は既約(>>405)である。

証明
自明である。

命題
L を区分的相補束(>>368)とする。
L の元が∨既約(>>403)であるためには原子(>>339)であることが必要十分である。

証明
必要性：
a ∈ L が∨既約であるとする。
a が原子でないとして矛盾を導けばよい。
a が原子でないなら 0 ＜ x ＜ a となる x がある(定義>>403より a は最小元でない)。
L は区分的相補束だから a = x∨y、0 = x∧y となる y がある。
y = a なら 0 = x∧a = x となって矛盾。
よって、y ＜ a
よって、a は∨可約(>>403)となって矛盾。

十分性：
自明である。
証明終

命題
L を極小条件(>>397)を満たす区分的相補束(>>368)とする。
L の任意の元は有限個の原子(>>339)の結び(>>158)となる。

証明
>>407と>>409による。

定義
L を上半束(>>115)とする。
L の最小元でない元 a に対して a に含まれる(>>341)既約元(>>405)のなかで極大なものを
a の既約成分と言う。

定義
L を束とする。
L の最小元でない元 a に対して a に含まれる(>>341)∨既約元(>>403)のなかで極大なものを
a の∨既約成分と言う。

命題
L を分配束(>>322)とする。
a、b、c ∈ L で a ≦ b∨c とする。
このとき、a が∨既約元(>>403)なら a ≦ b または a ≦ c である。

証明
分配律より a = a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
a は∨既約だから a = (a∧b) または a = (a∧c)
よって、a ≦ b または a ≦ c である。
証明終

命題
L を分配束(>>322)とする。
a を L の元で a = x_1∨．．．∨x_n とする。
ここで、各 x_i は∨既約であり、i ≠ j のとき x_i ≦ x_j でないとする。
このとき、{x_1、．．．、x_n} は a の∨既約成分(>>412)全体である。

証明
x を a の∨既約成分とする。
>>413より x ≦ x_i となる i がある。
よって、x = x_i である。

逆に各 x_i に対して x_i ≦ x ≦ a となる∨既約元 x があるとする。
>>413より x ≦ x_j となる j がある。
x_i ≦ x_j であるから命題の仮定より i = j である。
よって、x = x_i となる。
よって、x_i は a の∨既約成分である。
証明終

しょっちゅうさる食らってるだろお前

>>407の修正

命題
L を極小条件(>>397)を満たす空でない上半束(>>115)とする。
L の最小限でない任意の元は有限個の既約元(>>405)の結び(>>158)となる。

証明
L の最小限でない元で有限個の既約元の結びとならないものの集合を Ψ とする。
Ψ が空でないとして矛盾を導けばよい。
極小条件より Ψ には極小元 a が存在する。
a は最小限でも既約でもないから a = x∨y、x ＜ a、y ＜ a となる元 x、ｙ が存在する。
x と y は有限個の既約元の結びとなるから a も有限個の既約元の結びとなって矛盾である。
証明終

命題
L を極小条件(>>397)を満たす空でない分配束(>>322)とする。
L の最小限でない任意の元 a は a = x_1∨．．．∨x_n と一意に書ける。
ここで、各 x_i は∨既約であり、i ≠ j のとき x_i ≦ x_j でない。
このとき、{x_1、．．．、x_n} は a の∨既約成分(>>412)全体である。

証明
>>416より、a = y_1∨．．．∨y_m と書ける。
ここで、各 y_i は∨既約である。
{y_1、．．．、y_m} の極大元全体を x_1、．．．、x_n とすれば
a = x_1∨．．．∨x_n となり、i ≠ j のとき x_i ≦ x_j でない。
>>414より、{x_1、．．．、x_n} は a の∨既約成分全体である。
証明終

例(代数幾何の初歩の知識を仮定する)
K を可換体とする。
A = K[X_1、．．．、X_n] を K 上のｎ変数の多項式環とする。
f ∈ A のとき V(f) = {x ∈ K^n； f(x) = 0} とおく。
A の部分集合 S に対して V(S) = ∩{V(f)； f ∈ S} とおく。
V(S) の形の K^n の部分集合全体を K^n の閉集合として K^n に位相が入る。
これを K^n のZariski位相と言う。
A はNoether環であるから、K^n の閉集合全体は包含関係により極小条件(>>397)を満たす。
しかも K^n の閉集合全体は空でない分配束(>>322)である。
よって、>>417より K^n の空でない任意の閉集合 V は V = V_1∪．．．∪V_n と書ける。
ここで、各 x_i は∨既約であり、i ≠ j のとき V_i ⊂ V_j でない。
このとき、{V_1、．．．、V_n} は V の∨既約成分(>>412)全体である。

さる避け

さる避け対策

さるよけ

話の途中だが、ここで>>154の補足をする。

定義
L と M を順序集合とする。
写像 f：L → M を全単射とする。
f と f^(-1) が順序を逆向きに保存する(>>227)とき f を反同型(anti-isomorphism)と言う。
このとき L と M は反同型であるという。

定義
L を順序集合とする。
反同型写像 f：L → L を自己反同型と言う。
このとき L は自己双対(self-dual)であるという。

定義
L を順序集合とする。
f を L の自己反同型(>>423)で f ≠ 1 かつ f^2 = 1 となるとき
f を L の対合(involution)と言う。

さるよけ

例
B をBoole代数(>>336)で B ≠ {0} とする。
x ∈ B に x の補元 x’を対応させる写像は B の対合(>>424)である。

演習問題
X を n 個の元からなる集合とする。
X 上に定義される順序関係の個数を求めるアルゴリズムを求めよ。
出来ればこのアルゴリズムをコンピュータプログラムで実現せよ。

演習問題
X を n 個の元からなる集合とする。
X 上に定義される順序関係全部の集合を同型で分類し、この同型類の個数を
求めるアルゴリズムを求めよ。
出来ればこのアルゴリズムをコンピュータプログラムで実現せよ。

演習問題
>>428で求めた同型類のなかで自己双対(>>423)となっているものの個数を
求めるアルゴリズムを求めよ。
出来ればこのアルゴリズムをコンピュータプログラムで実現せよ。

定義
A を必ずしも可換でない環、M を A-加群とする。
M の A-部分加群全体 Sub(M) は包含関係に関して順序集合となる。
Sub(M) の長さ(>>379)を M の長さと言い、length(M) と書く。

次の命題はJordan-Hoelderの定理(過去スレ001の286)の一部であるが
束論の説明の都合上改めて証明しよう。

命題
A を必ずしも可換でない環、M を A-加群とする。
M の A-部分加群全体 Sub(M) は包含関係に関して束となる。
M の長さ(>>430)が有限なとき Sub(M) はJordan-Dedekindの条件を満たす。

証明
N と L を M のA-部分加群で N ⊂ L とする。
N から L への極大鎖(>>381)の長さ(>>378)が全て等しいことを証明すればよい。
N から L への極大鎖の長さの最小値を s(N, L) と書く。
n = s(N, L) に関する帰納法による。
n = 0 のときは N = L となり命題は成り立つ。
よって、n ＞ 0 と仮定する。
N = N_0 ⊂ N_1 ⊂ N_2 ... ⊂ N_n = L と
N = L_0 ⊂ L_1 ⊂ L_2 ... ⊂ L_m = L
を極大鎖としたとき n = m を証明すればよい。
N_1 = L_1 のときは s(N_1, L) ≦ n - 1 だから帰納法の仮定より
n - 1 = m - 1 となって n = m である。
よって、N_1 ≠ L_1 と仮定してよい。

(N_1 + L_1)/N_1 と L_1/(N_1∩L_1) は同型であるが、N_1 ≠ L_1 より N_1 ∩ L_1 = 0 であるから
(N_1 + L_1)/N_1 は L_1 と同型である。
よって、N_1 + L_1 は順序集合 Sub(M) の元として N_1 の直後(>>242)の元である。
一方、s(N_1、L) ≦ n - 1 であるから帰納法の仮定より
length([N_1, L]) = n - 1 であり、N_1 + L_1 から L への長さ n - 2 の極大鎖がある。

一方、上と同様に (N_1 + L_1)/L_1 は N_1 と同型であるから
N_1 + L_1 は順序集合 Sub(M) の元として L_1 の直後の元である。
よって N_1 + L_1 から L への長さ n - 2 の極大鎖とつなげることにより
L_1 から L への長さ n - 1 の極大鎖が出来る。
よって、s(L_1, L) ≦ n - 1 であるから帰納法の仮定より m - 1 = n - 1
よって m = n である。
証明終

Birkhoffの Lattice theory(1948)によると>>350はDedekindが加群に関して最初に証明したと言う。

定義
L を束(>>156)とする。
a, b ∈ L のとき四つ組 (a∧b、a、b、a∨b) を L における菱形(quadrilateral)と言う。
集合 {a∧b、a、b、a∨b} の要素の個数が４でないとき
菱形 (a∧b、a、b、a∨b) は退化(degenerate)していると言う。
集合 {a∧b、a、b、a∨b} の要素の個数が４のとき
菱形 (a∧b、a、b、a∨b) は非退化(non-degenerate)であると言う。

菱形 (a∧b、a、b、a∨b) が退化しているためには a ≦ b または b ≦ a が必要十分である。

L を束(>>156)とし、a, b ∈ L とする。
x ∈ [a∧b, a] (>>191)のとき x∨b ∈ [b, a∨b] である。
写像 f：[a∧b, a] → [b, a∨b] を f(x) = x∨b で定義する。
f は単調増加(>>227)である。

x ∈ [b, a∨b] のとき x∧a ∈ [a∧b, a] である。
写像 g：[b, a∨b] → [a∧b, a] を g(x) = x∧a で定義する。
g は単調増加である。

L をmodular束(>>348)とする。
x ∈ [a∧b, a] のとき (x∨b)∧a = x∨(b∧a) = x
よって、gf(x) = x

x ∈ [b, a∨b] のとき (x∧a)∨b = x∧(a∨b) = x
よって、fg(x) = x

よって、f は順序同型であり g はその逆写像である。
即ち、菱形 (a∧b、a、b、a∨b) の対辺 [a∧b, a] と [b, a∨b] は L の部分束として同型である。

>>435より次の命題が得られた。

命題
L をmodular束(>>348)とする。
任意の a, b ∈ L に対して
写像 f：[a∧b, a] → [b, a∨b] を f(x) = x∨b で定義する。
写像 g：[b, a∨b] → [a∧b, a] を g(x) = x∧a で定義する。
このとき f は順序同型であり g はその逆写像である。

定義
S を順序集合とする。
a、b ∈ S で b が a の直後(>>242)の元であることを a -< b または b >- a と書く。

定義
S を順序集合とする。
a、b ∈ S で a と b が比較可能でないとき、
即ち a ≦ b でも b ≦ a でもないとき a || b と書く。

>>436より次の命題がただちに得られる。

命題
L をmodular束(>>348)とする。
任意の a, b ∈ L に対して
a∧b -< a ⇔ b -< a∨b

定義
S を順序集合とする。
a、b ∈ S で b が a の直後(>>242)の元であるとき区間 [a, b] (>>191)を素区間と言う。

>>439を言い換えると次のようになる。

命題
modular束における菱形(>>434)のある辺が素区間(>>440)であるためには
その対辺が素区間であることが必要十分である。

定義
L を束(>>348)とする。
任意の a, b ∈ L に対して
a∧b -< a ⇒ b -< a∨b
となるとき L を上半modular束(upper semimodular lattice)と言う。

>>442の修正

L を束とする。
任意の a, b ∈ L に対して
a∧b -< a ⇒ b -< a∨b
となるとき L を上半modular束(upper semimodular lattice)と言う。

定義
L を束とする。
任意の a, b ∈ L に対して
b -< a∨b ⇒ a∧b -< a
となるとき L を下半modular束(lower semimodular lattice)と言う。

>>439より、modular束(>>348)は上半modular束(>>443)かつ下半modular束(>>444)である。

ここで、有限順序集合の表示方法について説明する。

S を順序集合とする。
S に対応する(>>250) Hasseの図式(>>276)を H = (H_0, H_1) とする。
説明を簡単にするため S と H_0 を同一視する。
すると S の順序構造は H_1 により定まる。
α ∈ H_1 に対して α の始点を a, α の終点を b としたとき
α を [a, b] と書く。
例えば S = {a, b, c} とし、H_1 = {[a, b]、[a, c]} とすれば S のHasseの図式は Ｖ字形となる。

例
>>254
>(1) ３次対称群 S_3 の部分群の作るHasseの図式(>>248)を描け。

S_3 の部分群全体を L = {0, a, b, c, d, 1} とする。
ここで、0 は単位群、1 は S_3、
a, b, c はそれぞれ位数 2 の部分群、
d は位数 3 の部分群を表す。

L のHasseの図式は>>446の方式で表すと
{[0, a]、[0, b]、[0, c]、[0, d]、[a, 1]、[b, 1]、[c, 1]、[d, 1]}
である。
この図を描いて見ることを薦める。

上半modular束(>>443)であるがmodular束(>>348)でない例

S = {0, a, b, c, d, e, 1} とし S の順序構造を
素区間(>>440)の集合 {[0, a], [0, b], [a, c], [b, c], [a, d], [b, e], [c, 1], [d, 1], [e, 1]}
で定める(>>446)。
この図を描いて見ることを薦める。
この図からわかるように S は上半modular束(>>443)である。

d∨e = 1、d∧e = 0 であるから (0、d、e、1) は菱形(>>434)である。
この菱形の辺 [e, 1] は素区間(>>440)であるが、その対辺 [0, d] は素区間でない。
よって、S は下半modular束(>>444)でない。
よって、>>445より、S はmodular束(>>348)でない。

束論は図、特にHasseの図式(>>276)を描くことにより非常に分かりやすくなる。
というより図を描かないと分からないと言ったほうが正確かもしれない。
そもそも lattice(格子)という用語自体、束のHasseの図式が格子に似ているからだろう。

>>449
>そもそも lattice(格子)という用語自体、束のHasseの図式が格子に似ているからだろう。

そもそも lattice(格子)という用語自体、束のHasseの図式が格子に似ていることから来たものだろう。

命題
L を局所的に有限な長さを持つ(>>386)上半modular束(>>443)とする。
このとき L はJordan-Dedekindの条件を満たす(>>400)。

証明(>>432を参照)
L の任意の区間 [a, b] (>>191)に対して a から b への全ての極大鎖(>>381)の長さ(>>379)が
等しいことを証明すればよい。
a から b への極大鎖の長さの最小値を s(a, b) と書く。
n = s(a, b) に関する帰納法による。
n = 0 および n = 1 のときは命題は自明である。
よって、n ＞ 1 と仮定する。
a = a_0 ⊂ a_1 ⊂ a_2 ... ⊂ a_n = b と
a = b_0 ⊂ b_1 ⊂ b_2 ... ⊂ b_m = b
をそれぞれ極大鎖としたとき n = m を証明すればよい。

a_1 = b_1 のときは s(a_1, b) = n - 1 だから帰納法の仮定より
n - 1 = m - 1 となって n = m である。
よって、a_1 ≠ b_1 と仮定してよい。
a -< a_1 だから a_1∧b_1 = a または a_1∧b_1 = a_1 であるが
a_1 ≠ b_1 より a_1∧b_1 = a である。
a -< b_1 で L は上半modular束だから a_1 -< a_1∨b_1 である。
同様に b_1 -< a_1∨b_1 である。

s(a_1、b) = n - 1 であるから帰納法の仮定より
length([a_1, b]) = n - 1 であり、a_1∨b_1 から b への長さ n - 2 の極大鎖がある。
b_1 -< a_1∨b_1 であるから b_1 から b への長さ n - 1 の極大鎖が出来る。
よって、s(b_1, b) ≦ n - 1 であるから帰納法の仮定より n - 1 = m - 1
よって n = m である。
証明終

定義
S を順序集合とする。
a、b ∈ S で a = b または a -< b (>>437)であることを a =< b または b >= a と書く。

命題
L を束とする。
L が上半modular束(>>443)であるためには
a, b, x を L の元としたとき、
a -< b なら a∨x =< b∨x となることが必要十分である。

証明
必要性：
L は上半modular束であるとする。
a -< b とする。
任意の x ∈ L に対して a ≦ b∧(a∨x) ≦ b
よって、 a = b∧(a∨x) または b∧(a∨x) = b である。

b∧(a∨x) = b のとき： b ≦ a∨x だから a∨x = b∨x

a = b∧(a∨x) のとき： b∨x = b∨(a∨x) であることと L が上半modular束であることから
a∨x -< b∨x である。

十分性：
a -< b なら a∨x =< b∨x とする。

α と β を L の元で、α∧β -< α とする。
仮定より、(α∧β)∨β =< α∨β である。
(α∧β)∨β = β だから β =< α∨β である。
β = α∨β なら α ≦ β だから α∧β = α となって α∧β -< α に反する。
よって、β -< α∨β である。
よって、L は上半modular束である。
証明終

命題
L を局所的に有限な長さを持つ(>>386)束とする。
L が上半modular束(>>443)であるためには
a, b を L の任意の元としたとき、length([b, a∨b]) ≦ length([a∧b, a])
となることが必要十分である。

証明
必要性：
L は上半modular束であるとする。
写像 f：[a∧b, a] → [b, a∨b] を f(x) = x∨b で定義する。
>>453より x -< y のとき f(x) =< f(y) である。
length([a∧b, a]) = n とする。
a∧b = x_0 -< x_1 -< ．．． -< x_n = a を a∧b から a への極大鎖(>>381)とする。
b = f(x_0) =< f(x_1) =< ．．． =< f(x_n) = a∨b
よって、b から a∨b への極大鎖で長さ n 以下のものがある。
>>451より L はJordan-Dedekindの条件を満たすから
length([b, a∨b]) ≦ length([a∧b, a]) である。

十分性：
a, b を L の元で、a∧b -< a とする。
length([b, a∨b]) ≦ length([a∧b, a]) = 1 より、
length([b, a∨b]) = 0 または 1 である。
length([b, a∨b]) = 0 なら a∨b = b となり a ≦ b である。
よって、a∧b = a となり a∧b -< a に反する。
よって、length([b, a∨b]) = 1 である。
よって、b -< a∨b となり L は上半modular束である。
証明終

>>454と双対的に次の命題が得られる。

命題
L を局所的に有限な長さを持つ(>>386)束とする。
L が下半modular束(>>444)であるためには
a, b を L の任意の元としたとき、length([a∧b, a]) ≦ length([b, a∨b])
となることが必要十分である。

定義
L を束とする。
S を L の部分集合とする。
S を含む L の部分束(>>190)全体の共通部分は S を含む最小の部分束である。
これを S で生成される部分束と言う。

定義
集合 S = {0, a, b, c, 1} の順序構造を
素区間(>>440)の集合 {[0, a], [a, b], [b, 1], [0, c], [c, 1]}
で定める(>>446)。
S はこの順序構造で束になる。
この束を五角形(pentagon)という。

L を束とし、a、b、c ∈ L、a ＜ b とする。
{a, b, c} で生成される部分束(>>456) M は次の元（同じものがあるかもしれない）からなる
（M のHasseの図式(>>276)を描くことを薦める）。
M = {a、b、c、a∧c、b∧c、a∨(b∧c)、a∨c、b∧(a∨c)、b∨c}

この集合の部分集合 P = {b∧c、c、a∨(b∧c)、b∧(a∨c)、a∨c} はもし全ての元が異なれば
L の部分束として５角形(>>457)である。

もし L がmodular束(>>348)なら a∨(b∧c) = b∧(a∨c) だから P は５角形にならない。

命題(Dedekind)
L を束とする。
L がmodular束(>>348)であるためには L が部分束として５角形(>>457)を含まないことが
必要十分である。

証明
必要性：
L が５角形を含むとする。
a、b、c ∈ L、a ＜ b で {a∧c、a、b、c、b∨c} が L の部分束で５角形となるものがある。
a∨(c∧b) = a∨(c∧a) = a
(a∨c)∧b = (b∨c)∧b = b
よって、a∨(c∧b) ≠ (a∨c)∧b
よって、L はmodular束でない。

十分性：
L がmodular束でないとする。
a、b、c ∈ L、a ＜ b、a∨(c∧b) ≠ (a∨c)∧b となるものがある。
>>458で見たように {a, b, c} で生成される部分束(>>456) M は次の元
（同じものがあるかもしれない）からなる
M = {a、b、c、a∧c、b∧c、a∨(b∧c)、a∨c、b∧(a∨c)、b∨c}

この集合の部分集合 P = {b∧c、c、a∨(b∧c)、b∧(a∨c)、a∨c} のどれか二つが一致すれば
a∨(b∧c) = b∧(a∨c) となることが容易に確かめられる.
しかし、a∨(c∧b) ≠ (a∨c)∧b であるから P は５個の相異なる元からなる。
よって、P は L の部分束として５角形である。
証明終

補題
L を束(>>156)とし、a、b、c ∈ L とする。
a ＜ b、a∧c = b∧c、a∨c = b∨c であれば
P = {a∧c、a、b、c、b∨c} は L の部分束として５角形(>>457)である。

証明
a ≦ c とする。
c = a∨c = b∨c
よって、b ≦ c
一方、
a = a∧c = b∧c = b
これは a ＜ b に反する。

a ≧ c とする。
c = a∧c = b∧c
よって、c ≦ b
一方、
a = a∨c = b∨c = b
これは a ＜ b に反する。

以上から a || c (>>438)である。

双対的に b || c である。
よって、{a∧c、a、b、c、b∨c} の各元は互いに異なる。
証明終

補題
L を束(>>156)とし、a、b、c ∈ L とし、
a ＜ b、a∨(b∧c) ≠ b∧(a∨c)とする。
このとき、P = {a∧c、a∨(b∧c)、b∧(a∨c)、c、b∨c} は L の部分束として５角形(>>457)である。

証明
x = a∨(b∧c)、y = (a∨c)∧b とおく。
>>460より、x ＜ y、x∧c = y∧c、x∨c = y∨c を証明すればよい。

a ≦ y、b∧c ≦ y より x ≦ y である。
本命題の仮定より x ≠ y であるから x ＜ y である。

b∧c ≦ c ≦ a∨c より y∧c = ((a∨c)∧b)∧c = (a∨c)∧(b∧c) = b∧c
一方、b∧c ≦ x より、b∧c ≦ x∧c ≦ y∧c = b∧c
よって、x∧c = y∧c

b∧c ≦ c ≦ a∨c より x∨c = (a∨(b∧c))∨c = (a∨c)∨(b∧c) = a∨c
一方、y ≦ a∨c より、a∨c = x∨c ≦ y∨c ≦ a∨c
よって、x∨c = y∨c
証明終

>>459の証明は次のようにしたほうがいいかも知れない。

命題(Dedekind)
L を束とする。
L がmodular束(>>348)であるためには L が部分束として５角形(>>457)を含まないことが
必要十分である。

証明
必要性：
L が５角形を含むとする。
a、b、c ∈ L、a ＜ b で {a∧c、a、b、c、b∨c} が L の部分束で５角形となるものがある。
a∨(c∧b) = a∨(c∧a) = a
(a∨c)∧b = (b∨c)∧b = b
よって、a∨(c∧b) ≠ (a∨c)∧b
よって、L はmodular束でない。

十分性：
L がmodular束でないとする。
a、b、c ∈ L、a ＜ b、a∨(c∧b) ≠ (a∨c)∧b となるものがある。
>>461より、L は５角形 P = {a∧c、a∨(b∧c)、b∧(a∨c)、c、b∨c} を含む。
証明終

命題
L を局所的に有限な長さを持つ(>>386)上半modular束(>>443)とする。
>>451より、L はJordan-Dedekindの条件を満たす(>>400)。
よって、>>392より L は次数関数(>>391) d：S → Z を持つ。
このとき、任意の a、b ∈ L に対して
d(a) + d(b) ≧ d(a∧b) + d(a∨b) となる。

証明
>>454より、length([a∧b, a]) ≧ length([b, a∨b]) である。
length([a∧b, a]) = d(a) - d(a∧b)
length([b, a∨b]) = d(a∨b) - d(b)
よって、d(a) - d(a∧b) ≧ d(a∨b) - d(b)
よって、d(a) + d(b) ≧ d(a∧b) + d(a∨b)
証明終

>>463の双対として次の命題が得られる。

命題
L を局所的に有限な長さを持つ(>>386)下半modular束(>>444)とする。
>>451の双対より、L はJordan-Dedekindの条件を満たす(>>400)。
よって、>>392より L は次数関数(>>391) d：S → Z を持つ。
このとき、任意の a、b ∈ L に対して
d(a) + d(b) ≦ d(a∧b) + d(a∨b) となる。

命題
L を局所的に有限な長さを持つ(>>386)束とする。
L が上半modular束(>>443)かつ下半modular束(>>444)とする。

このとき L はmodular束(>>348)である。

証明
>>451より、L はJordan-Dedekindの条件を満たす(>>400)。
よって、>>392より L は次数関数(>>391) d：S → Z を持つ。

L がmodular束でないとする。
>>462より、L は５角形 P = {a∧c、a、b、c、b∨c} を含む。
ここで、a ＜ b、a∧c = b∧c、a∨c = b∨c である。

>>463と>>464より、
d(b) + d(c) = d(b∧c) + d(b∨c) = d(a∧c) + d(b∨c)
d(a) + d(c) = d(a∧c) + d(a∨c) = d(a∧c) + d(b∨c)
よって、d(b) + d(c) = d(a) + d(c)
よって、d(b) = d(a)
これは a ＜ b と矛盾する。
証明終

命題
L を局所的に有限な長さを持つ(>>386)modular束(>>348)とする。
>>451より、L はJordan-Dedekindの条件を満たす(>>400)。
よって、>>392より L は次数関数(>>391) d：S → Z を持つ。
このとき、任意の a、b ∈ L に対して
d(a) + d(b) = d(a∧b) + d(a∨b) となる。

証明
>>439より、modular束(>>348)は上半modular束(>>443)かつ下半modular束(>>444)である。
よって、>>463と>>464より、任意の a、b ∈ L に対して
d(a) + d(b) = d(a∧b) + d(a∨b) となる。
証明終

>>436を参考にして次の定義を導入する。

定義
L を束とする。
任意の a, b ∈ L に対して
写像 f_a：[a∧b, b] → [a, a∨b] を f(x) = a∨x で定義する。
写像 g_b：[a, a∨b] → [a∧b, b] を g(y) = b∧y で定義する。
f_a と g_b が互いに逆写像となる全単射のとき対 (a, b) をmodular対という。

>>467の修正

>>436を参考にして次の定義を導入する。

定義
L を束とする。
任意の a, b ∈ L に対して
写像 f_a：[a∧b, b] → [a, a∨b] を f_a(x) = a∨x で定義する。
写像 g_b：[a, a∨b] → [a∧b, b] を g_b(y) = y∧b で定義する。
f_a と g_b が互いに逆写像となる全単射のとき対 (a, b) をmodular対という。

L を束とし、a, b ∈ L とする。
写像 f_a：(-∞, b] → [a, +∞) を f_a(x) = a∨x で定義する。
写像 g_b：[a, +∞) → (-∞, b] を g_b(y) = b∧y で定義する。

簡単のために f_a と g_b をそれぞれ f、g と略記する。
f と g はともに単調増加である。
任意の x ∈ (-∞, b] に対して gf(x) = b∧(a∨x) ≧ x
任意の y ∈ [a, +∞) に対して fg(y) = a∨(b∧y) ≦ y

よって
f(x) ≦ y なら x ≦ gf(x) ≦ g(y)
x ≦ g(y) なら f(x) ≦ fg(y) ≦ y

即ち次の関係が成立つ。

f(x) ≦ y ⇔ x ≦ g(y)

[a, +∞) と (-∞, b] は前順序集合(過去スレ008の139)であるから
過去スレ017の281より、小さい圏(過去スレ017の280)と見なせる。
f と g は単調増加であるから関手(過去スレ017の302)と見なせる。
このとき上記の関係より (f, g) は随伴状況(過去スレ019の362)である。

定義
S と T を順序集合とし、f：S → T を単調増加写像とする。
単調増加写像 g：T → S があり、
任意の x ∈ S に対して gf(x) ≧ x
任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
となるとき g は f の残余(residual)と言い、f は残余を持つ(residuated)と言う。

S と T を順序集合とし、f：S → T を単調増加写像とする。
>>469よりわかるように f の残余(>>470)とは f を関手とみたとき f の右随伴関手に他ならない。

命題
S と T を順序集合とし、f：S → T を写像とする。
以下の条件は互いに同値である。

(1) f は単調増加である。

(2) T の任意の主下集合(>>318) D に対して f^(-1)(D) は下集合(>>299)である。

(3) T の任意の主上集合(>>319) U に対して f^(-1)(U) は上集合(>>300)である。

証明
ルーチンなので読者に任す。

次の命題は>>469、>>471よりほとんど明らかであるが後に参照するため述べておく。

命題
S と T を順序集合とし、f：S → T を単調増加写像とする。
以下の条件は互いに同値である。

(1) f は残余(>>470) g を持つ。

(2) 単調増加写像 g：T → S があり、f(x) ≦ t ⇔ x ≦ g(t)

証明
(1) ⇒ (2)
g は単調増加だから f(x) ≦ t なら x ≦ gf(x) ≦ g(t)
f は単調増加だから x ≦ g(t) なら f(x) ≦ fg(t) ≦ t

(2) ⇒ (1)
f(x) ≦ t ⇒ x ≦ g(t) において t = f(x) とおくと x ≦ gf(x)
x ≦ g(t) ⇒ f(x) ≦ t において x = g(t) とおくと fg(t) ≦ t
よって、g は f の残余である。
証明終

命題
S と T を順序集合とし、f：S → T を写像とする。
以下の条件は同値である。

(1) f は単調増加で残余(>>470)を持つ。

(2) T の任意の主下集合(>>318) D に対して f^(-1)(D) は主下集合である。

証明
(1) ⇒ (2)
g を f の残余とする。
>>473 より、任意の t ∈ T に対して f(x) ≦ t ⇔ x ≦ g(t)
即ち、x ∈ f^(-1)((-∞, t]) ⇔ x ∈ (-∞, g(t)]
よって、f^(-1)((-∞, t)) = (-∞, g(t))

(2) ⇒ (1)
任意の t ∈ T に対して a ∈ S があり、f^(-1)((-∞, t]) = (-∞, a] となる。
(-∞, a] = (-∞, b] なら a ≦ b

(-∞, x] = (-∞, b] なら a ≦ b かつ b ≦ a より a = b
よって、f^(-1)((-∞, t]) = (-∞, a] となる a は t により一意に定まる。
よって、a = g(t) とおく。
t ≦ s なら (-∞, t] ⊂ (-∞, s]
よって、f^(-1)((-∞, t]) ⊂ f^(-1)((-∞, s])
よって、(-∞, g(t)] ⊂ (-∞, g(s)]
よって、 g(t) ≦ g(s)
よって、g は単調増加である。

任意の t ∈ T に対して f^(-1)((-∞, t]) = (-∞, g(t)] であるから
f(x) ≦ t ⇔ x ≦ g(t)
よって、>>473より g は f の残余である。
証明終

>>474の (2) は連続写像の開集合の逆像が開集合であるという事実を想起させる。

>>471で述べたように残余写像とは右随伴関手に他ならない。
このことから残余を持つ写像が順序集合の研究において重要なことは想像がつくだろう。
この概念が最初に現れたのは次の論文らしい。

Derderian, J.: Residuated mappings, Pacific Journal of Mathematics, 20, 35-43 (1967).

>>474
>よって、f^(-1)((-∞, t)) = (-∞, g(t))

よって、f^(-1)((-∞, t]) = (-∞, g(t)]

S と T を順序集合とし、f：S → T を残余(>>470) g を持つ写像とする。
>>473 より、任意の t ∈ T に対して f(x) ≦ t ⇔ x ≦ g(t)
即ち、x ∈ f^(-1)((-∞, t]) ⇔ x ∈ (-∞, g(t)]
よって、f^(-1)((-∞, t]) = (-∞, g(t)]
よって、g(t) は f^(-1)((-∞, t]) の最大元である。
よって、g は f により一意に定まる。

例
Z を有理整数全体の集合とし、R を実数全体の集合とする。
f：Z → R を包含写像とする。
任意の x ∈ R に対して f^(-1)((-∞, x]) = Z ∩ (-∞, x] の最大元は [x] である。
ここで、[x] はGaussの記号、即ち x を超えない最大の整数を表す。
よって、>>477より f は残余を持ち、その残余写像 g は g(x) = [x] で定義される。

演習問題（例を兼ねる）
X と Y を集合とする。
f：X → Y を写像とする。
f_*：P(X) → P(Y) を f_*(A) = f(A) により定義する。
ここで、P(X)、P(Y) はそれぞれ X、Y の冪集合である。
f_* の残余は何か？

演習問題（例を兼ねる）
N = {1、2、．．．} を自然数全体の集合とする。
m ∈ N を固定する。
f_m：N → N を f_m(n) = mn で定義する。
f_m の残余(>>470)は何か？

演習問題（例を兼ねる）
A を可換環とする。
A のイデアル全体を I(A) とする。
I(A) は包含関係で順序集合になる。
I を A のイデアルとする。
f：I(A) → I(A) を f(J) = IJ で定義する。
f の残余(>>470)は何か？

命題
S と T を順序集合とし、f：S → T を残余(>>470) g を持つ写像とする。
このとき以下が成り立つ。

(1) fgf= 1

(2) gfg = 1

証明
(1)
任意の x ∈ S に対して x ≦ gf(x)
よって、f(x) ≦ fgf(x)

任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
よって、任意の x ∈ S に対して y = f(x) とおけば、
fgf(x) ≦ f(x)

以上から fgf(x) = f(x)
即ち、fgf = 1

(2)
任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
よって、gfg(y) ≦ g(y)

任意の x ∈ S に対して x ≦ gf(x)
よって、任意の y ∈ T に対して x = g(y) とおけば、
g(y) ≦ gfg(y)

以上から gfg(y) = g(y)
即ち、gfg = 1
証明終

>>482の修正

命題
S と T を順序集合とし、f：S → T を残余(>>470) g を持つ写像とする。
このとき以下が成り立つ。

(1) fgf= f

(2) gfg = g

証明
(1)
任意の x ∈ S に対して x ≦ gf(x)
よって、f(x) ≦ fgf(x)

任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
よって、任意の x ∈ S に対して y = f(x) とおけば、
fgf(x) ≦ f(x)

以上から fgf(x) = f(x)

(2)
任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
よって、gfg(y) ≦ g(y)

任意の x ∈ S に対して x ≦ gf(x)
よって、任意の y ∈ T に対して x = g(y) とおけば、
g(y) ≦ gfg(y)

以上から gfg(y) = g(y)
証明終

X と Y を順序集合とし、f：X → Y を残余(>>470) g を持つ写像とする。
h = gf とおく。
>>483より 任意の x ∈ X に対して h^2(x) = gfgf(x) = gf(x) = h(x)
よって、h^2 = h である。
よって、h：X → X は以下の性質を持つ。

(1) h は単調増加である。

(2) 任意の x ∈ X に対して x ≦ h(x)

(3) h^2 = h

定義
X を順序集合とし、f：X → X を写像とする。
f が次の以下の性質を持つとき f を X の閉包写像(closure map)と言う。

(1) f は単調増加である。

(2) 任意の x ∈ X に対して x ≦ f(x)

(3) f^2 = f

定義
X を順序集合とし、f：X → X を閉包写像(>>485)とする。

x ∈ X に対して f(x) を x の f に関する閉包(closure)と言う。
x = f(x) のとき x を f に関する閉元(closed element)と言う。

定義
X を順序集合とし、f：X → X を写像とする。
f：X → X^o が閉包写像(>>485)のとき f を開核写像と言う。
ここで、X^o は X^o の双対順序集合(>>168)である。
即ち、f が次の以下の性質を持つとき f を X の開核写像と言う。

(1) f は単調減少である。

(2) 任意の x ∈ X に対して f(x) ≦ x

(3) f^2 = f

定義
X を順序集合とし、f：X → X を開核写像(>>487)とする。

x ∈ X に対して f(x) を f に関する x の内部(interior)と言う。
x = f(x) のとき x を f に関する開元(open element)と言う。

>>326の修正

例
X を集合とし P(X) を X の冪集合とする。
P(X) は有界な束であり、最小元は空集合 φ で最大元は X である。
A ∈ P(X) の補元は A の補集合 A’である。

例
X を位相空間とする。
P(X) を X の冪集合とする。
A ∈ P(X) に A の閉包 A~ を対応させる写像は閉包写像(>>485)である。
A ∈ P(X) に A の内部 int(A) を対応させる写像は開核写像(>>487)である。

>>487の修正

定義
X を順序集合とし、f：X → X を写像とする。
即ち、f が次の以下の性質を持つとき f を X の開核写像と言う。

(1) f は単調増加である。

(2) 任意の x ∈ X に対して f(x) ≦ x

(3) f^2 = f

>>488の修正

定義
X を順序集合とし、f：X → X を開核写像(>>491)とする。

x ∈ X に対して f(x) を f に関する x の内部(interior)と言う。
x = f(x) のとき x を f に関する開元(open element)と言う。

例
X を集合とし P(X) を X の冪集合とする。
A ∈ P(X) を固定する。
E ∈ P(X) に A ∪ E ∈ P(X) を対応させる写像 f：P(X) → P(X) は閉包写像(>>485)である。
E ∈ P(X) に A ∩ E ∈ P(X) を対応させる写像 g：P(X) → P(X) は開核写像(>>491)である。

例
A を可換環とする。
A のイデアル全体を I(A) とする。
I(A) は包含関係で順序集合になる。
I ∈ I(A) を固定する。
f：I(A) → I(A) を f(J) = (JI：I) で定義する。
ここで、(IJ：I) = {x ∈ A； xI ⊂ JI} である。
このとき f は閉包写像(>>485)である。

例
A を可換環とする。
A のイデアル全体を I(A) とする。
I(A) は包含関係で順序集合になる。
f：I(A) → I(A) を f(I) = rad(I) で定義する。
ここで、rad(I) = {x ∈ A；x^n ∈ I となる整数 n ≧ 1 がある}
このとき f は閉包写像(>>485)である。

例
A を可換環とする。
A のイデアル全体を I(A) とする。
I(A) は包含関係で順序集合になる。
I ∈ I(A) を固定する。
f：I(A) → I(A) を f(J) = I(J：I) で定義する。
ここで、(J：I) = {x ∈ A； xI ⊂ J} である。
このとき f は開核写像(>>491)である。

定義
X を順序集合とする。
X の部分集合 F はある閉包写像(>>485)に関する閉元(>>486)全体となるとき
閉包集合(closure subset)という。

定義
X を順序集合とする。
X の部分集合 U はある開核写像(>>491) f：X → X に関する開元(>>492)全体となるとき
開核集合という。

命題
X を順序集合とし、f：X → X を閉包写像(>>485)とする。
f に関する閉元(>>486)全体を F とする。
g：F → X を包含写像とする。
このとき g は f の残余(>>470)である。

証明
f および g は単調増加である。
任意の x ∈ X に対して gf(x) = f(x) ≧ x
任意の y ∈ F に対して fg(y) = f(y) = y
よって、g は f の残余(>>470)である。
証明終

X を順序集合とし、f：X → X を閉包写像(>>485)とする。
f に関する閉元(>>486)全体を F とする。
x ∈ X、y ∈ F で x ≦ y とすると、x ≦ f(x) ≦ f(y) = y
よって、f を関手と見たとき f(x) は x の F-反射(過去スレ018の135)であり、
F は X の反射的部分圏(過去スレ018の136)である。

過去スレ017の281より、順序集合は圏とも見なせる。
ここで、圏論におけるいくつかの基本的概念を順序集合において翻訳してみよう。

X を順序集合とする。
X の双対圏(過去スレ017の352)とは X の双対順序集合(>>168)のことである。

X の始対象(過去スレ017の288)とは X の最小元 0 のことである。
X の終対象(過去スレ017の288)とは X の最大元 1 のことである。

X の任意の元は X の分離対象(過去スレ018の212)である。
X の任意の元は X の余分離対象(過去スレ018の219)である。

X における射は全て全単射(過去スレ017の345)である。
X における同型射(過去スレ017の350)は全て単位射(過去スレ017の330)である。

x, y ∈ X のとき x と y の積とは x∧y (>>158)のことである。
x, y ∈ X のとき x と y の余積とは x∨y (>>158)のことである。

X が積を持つ(過去スレ018の910)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
inf(x_i) が存在することである。

X が余積を持つ(過去スレ019の50)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
sup(x_i) が存在することである。

X が上半束(>>115)であるとは X の任意の２元の余積が存在することである。
X が下半束(>>116)であるとは X の任意の２元の積が存在することである。
X が束(>>156)であるとは X の任意の２元の積と余積が存在することである。

X が有界(>>115)な上半束(>>115)であるとは X が有限余積を持つ(過去スレ019の51)ことである。
X が有界(>>116)な下半束(>>116)であるとは X が有限積を持つ(過去スレ018の911)ことである。
X が有界(>>156)な束(>>156)であるとは X が有限積と有限余積を持つことである。

>>501の続き

x ≦ y のとき射 x → y の差核(過去スレ017の772)とは
単位射(過去スレ017の330) x → x のことである。
x ≦ y のとき射 x → y の差余核(過去スレ017の850)とは
単位射 y → y のことである。

X における正則単射(過去スレ018の456)は全て単位射(過去スレ017の330)である。
X における正則全射(過去スレ018の558)は全て単位射(過去スレ017の330)である。

X における極値的単射(過去スレ018の496) x → y とは x =< y (>>452)のことである。
X における極値的全射(過去スレ018の580) x → y とは x =< y (>>452)のことである。

x ∈ X の部分対象(過去スレ018の646)とは (-∞, x] (>>191)の元のことである。
x ∈ X の部分対象の作る前順序集合(過去スレ018の657)とは
X の部分順序集合 (-∞, x] のことである。

x ∈ X の商対象(過去スレ018の653)とは [x, +∞) (>>191)の元のことである。
x ∈ X の商対象の作る前順序集合(過去スレ018の668)とは
X の部分順序集合 [x, +∞) のことである。

x ∈ X の極値的部分対象(過去スレ018の646)とは y =< x (>>452)となる y のことである。
x ∈ X の極値的商対象(過去スレ018の653)とは x =< y (>>452)となる y のことである。

x ≦ z、y ≦ z の引き戻し(過去スレ017の866) とは x∧y のことである。
z ≦ x、z ≦ y の押し出し(過去スレ017の867) とは x∨y のことである。

>>502の続き

X を順序集合とする。
R = {(x, y) ∈ X×X； x ≦ y} とおく。
X を圏と見たとき R は X の射の集合と見なせる。
s：R → X を s(x, y) = x で定義する。
t：R → X を t(x, y) = y で定義する。
このとき、(X, R, s, t) は圏 X のグラフ |X| (過去スレ017の344)である。

X と Y を順序集合とする。
関手 f：X → Y (過去スレ017の302)とは単調増加写像(>>227)のことである。
反変関手 f：X → Y (過去スレ017の305)とは単調減少写像(>>227)のことである。

関手 f：X → Y は全て忠実(過去スレ017の403)である。

関手 f：X → Y が充満(過去スレ017の403)とは、f(x) ≦ f(y) ⇒ x ≦ y となることである。
即ち、充満関手とは順序埋め込み(>227)に他ならない。

関手 f：X → Y が本質的に全射(過去スレ017の388)とは全射のことである。

f: X → Y
g: X → Y
を関手、即ち単調増加写像とする。
自然変換 τ：f → g があるとは、任意の x ∈ X に対して f(x) ≦ g(x) となることである。
このとき f ≦ g と書く。
X から Y への単調増加写像全体を Hom(X, Y) と書く。
Hom(X, Y) は関係 ≦ により順序集合となる。

f: X → Y が圏同値(過去スレ017の404)とは順序集合の同型(>>154)のことである。

>>503の続き

X を順序集合とする。
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし、G：I → |X| (過去スレ017の344) を
I 型の図式(過去スレ017の833)とする。
lim G (過去スレ018の839) とは inf {G(i)；i ∈ I} に他ならない。
colim G (過去スレ018の847) とは sup {G(i)；i ∈ I} に他ならない。

X が圏として完備(過去スレ017の828)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
inf(x_i) が存在することと同値である。
このとき過去スレ018の915より、X は完備束(過去スレ018の914)である。

X が圏として余完備(過去スレ017の829)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
sup(x_i) が存在することと同値である。
このとき過去スレ018の915の双対より、X は完備束(過去スレ018の914)である。

X が圏として有限完備(過去スレ019の178)とは、
X が有界(>>116)な下半束(>>116)であることと同値である。

X が圏として有限余完備(過去スレ019の179)とは、
X が有界(>>116)な上半束(>>115)であることと同値である。

以上から順序集合、特に束の理論は圏論の特殊な場合と見ることが出来る。
逆にいうと圏論は束論を一般化したものと言える。

定義
X を順序集合とする。
X の元の任意の族 (x_i)_I に対して sup(x_i) が存在するとき
X を上完備(upper complete)と呼ぶ。

定義
X を順序集合とする。
X の元の任意の族 (x_i)_I に対して inf(x_i) が存在するとき
X を下完備(lower complete)と呼ぶ。

上完備(>>506)な順序集合 X は上半束であり、最小元(sup φ)と最大元(sup X)を持つ。
下完備(>>507)な順序集合 X は下半束であり、最大元(inf φ)と最小元(inf X)を持つ。

上完備かつ下完備な順序集合 X は完備束(過去スレ018の914)であり、
最小元(inf X)と最大元(sup X)を持つ。

>>508の修正

過去スレ018の915より下完備(>>507)な順序集合 X は完備束(過去スレ018の914)である。
双対的に上完備(>>506)な順序集合 X は完備束である。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
A の任意２元 a, b に対して a ≦ c, b ≦ c となる c ∈ A があるとき
A を上向きの有向部分集合と言う。

双対的に下向きの有向部分集合が定義される。

定義
X と Y を順序集合とする。
f：X → Y を単調増加(>>227)写像とする。

A を X の部分集合で次のどれかとする。
(1) A は X の任意の有限部分集合である。
(2) A は X の空でない任意の有限部分集合である。
(3) A は X の任意の部分集合である。
(4) A は X の任意の空でない部分集合である。
(5) A は X の任意の上向きの有向部分集合(>>510)である。

このとき、sup A が存在するなら sup f(A) が存在し、f(sup A) = sup f(A) となるとき
それぞれ以下のように言う。

(1) f は有限部分集合の上限を保存する。
(2) f は空でない有限部分集合の上限を保存する。
(3) f は部分集合の上限を保存する。
(4) f は空でない部分集合の上限を保存する。
(5) f は有向部分集合の上限を保存する。

>>511の修正

定義
X と Y を順序集合とする。
f：X → Y を写像とする。

A を X の部分集合で次のどれかとする。
(1) A は X の任意の有限部分集合である。
(2) A は X の空でない任意の有限部分集合である。
(3) A は X の任意の部分集合である。
(4) A は X の任意の空でない部分集合である。
(5) A は X の任意の上向きの有向部分集合(>>510)である。

このとき、sup A が存在するなら sup f(A) が存在し、f(sup A) = sup f(A) となるとき
それぞれ以下のように言う。

(1) f は有限部分集合の上限を保存する。
(2) f は空でない有限部分集合の上限を保存する。
(3) f は部分集合の上限を保存する。
(4) f は空でない部分集合の上限を保存する。
(5) f は有向部分集合の上限を保存する。

inf についても同様に定義する。

X と Y を順序集合とする。
f：X → Y を写像とする。

f がsupまたはinfの保存に関して>>512のどれかの条件を満たせばf は単調増加である。

X における空集合の sup は X の最小元である。
よって、X に最小元 0 があるとき f がsupに関して>>512の(1)または(3)を満たせば
f(0) は Y の最小元である。
最大元とinfに関しても同様である。

順序集合について定義した概念のあるものは前順序集合(過去スレ008の139)にも
同様に定義される。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
a ∈ X に対して
[a, +∞) = {x ∈ X； a ≦ x}
(a, +∞) = {x ∈ X； a ＜ x}
(-∞, a] = {x ∈ X； x ≦ a}
(-∞, a) = {x ∈ X； x ＜ a}
と書く。

a, b ∈ X、a ≦ b に対して
[a, b] = {x ∈ X； a ≦ x ≦ b}
[a, b) = {x ∈ X； a ≦ x ＜ b}
(a, b] = {x ∈ X； a ＜ x ≦ b}
(a, b) = {x ∈ X； a ＜ x ＜ b}
と書く。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
A を X の部分集合とする。
任意の x ∈ A に対して (-∞, x] ⊂ A となるとき A を X の下集合(down set)と言う。
X の下集合の全体を Down(X) と書く。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
A を X の部分集合とする。
任意の a ∈ A に対して [a, +∞) ⊂ A となるとき A を X の上集合(up set)と言う。
X の上集合の全体を Up(X) と書く。

命題
S を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
T を S の部分集合とする。
T が S の下集合(>>516)であるためには S - T が S の上集合(>>517)であることが必要十分である。

証明
>>310と同様である。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
A を X の部分集合とする。
>>311と同様に A を含む X の下集合全体の共通部分は A を含む最小の下集合である。
これを ↓A と書き A の X における下閉包(down closure)と言う。

双対的に A の X における上閉包(up closure)を定義しこれを↑A と書く。

命題
S を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
T を S の部分集合とする。
このとき、↓T = {x ∈ S； x ≦ y となる y ∈ T がある} である。

証明
>>315と同様である。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
a ∈ X のとき ↓{a} (>>519) を a で生成される主下集合と言い ↓a と書く。
>>520より、↓a = (-∞, a] である。

双対的に a で生成される主上集合を定義しこれを↑a と書く。

命題
X を集合とする。
Γ を X における集合環(過去スレ007の189)とする。
Γ は ∩ を乗法、対称差(過去スレ007の191)を加法とすることにより
（単位元をもつとは限らない）可換環となる。

証明
X の部分集合 A と B の対称差を AΔB と書くことにする。
A, B, C ∈ Γ とする。

AΔB = BΔA
(AΔB)ΔC = AΔ(BΔC)
AΔφ = φΔA = A
AΔA = φ
よって、Γ は演算 Δ によりアーベル群となる。

(A∩B) = (B∩A)
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
A∩(CΔD) = A∩((C - D) ∪ (D - C)) = (A∩C - A∩D) ∪ (A∩D - A∩C) = (A∩C)Δ(A∩D)

以上から Γ は可換環である。
証明終

例
X を集合とする。
P(X) を X の冪集合とする。
>>522より、P(X) は可換環である。
X は P(X) の単位元である。

Ψ を P(X) の部分集合とする。
Ψ が P(X) のイデアルになるための必要十分条件は
Ψ が上に有向(>>510)な下集合(>>516)となることである。

証明
必要性：
Ψ が P(X) のイデアルとする。
φ ∈ Ψ であるから Ψ は空でない。

A ∈ Ψ、C ∈ P(X) のとき A∩C ∈ Ψ であるから Ψ は下集合である。
A、B ∈ Ψ のとき A△B ∈ Ψ、A∩B ∈ Ψ であるから
A∪B = (A△B)△(A∩B) より A∪B ∈ Ψ
よって、Ψ は上に有向である。

十分性：
Ψ が上に有向な下集合とする。

A ∈ Ψ、C ∈ P(X) のとき A∩C ∈ Ψ である。
A、B ∈ Ψ とする。
A△B = (A - B)∪(B - A) で A - B ∈ Ψ、B - A ∈ Ψ
よって、A△B ∈ Ψ
よって、Ψ は P(X) のイデアルである。
証明終

例
X を集合とする。
P(X) を X の冪集合とする。
>>522より、P(X) は可換環である。
Ψ を P(X) のイデアルとする。
>>523より、Ψ は上に有向(>>510)な下集合(>>516)である。
>>518より、 P(X) - Ψ は上集合(>>517)である。

A、B ∈ P(X) - Ψ とする。
X - A、X - B ∈ Ψ より (X - A)∪(X - B) = X - (A∩B) ∈ Ψ
よって、A∩B ∈ P(X) - Ψ
よって、P(X) - Ψ は下に有向(>>510)である。

よって、P(X) - Ψ は空集合を含まないとき X のフィルター(過去スレ006の75)である。

集合 X の冪集合 P(X) が対称差と∩により可換環となるという事実(>>522)は
言われてみれば証明は簡単だが、これを最初に公に述べたのは Marshall Stone だと
思われる（１９３０年代）。
この事実はBoole代数(>>336)の研究にとって非常に重要である。

>>525は、『命題の価値はその証明の難易度に比例する』という考えに対する良い反例になっている。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
X の部分集合で上に有向(>>510)な下集合(>>516)であるものを X のイデアル(ideal)と言う。
X の部分集合で下に有向(>>510)な上集合(>>517)であるものを X のフィルター(filter)と言う。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
X のイデアル(>>527)で最大元を持つものを主イデアル(principal ideal)と言う。
X のフィルター(>>527)で最小元を持つものを主フィルター(principal filter)と言う。

主イデアル(>>528)とは (-∞, a] の形の部分集合である。
即ち、主下集合(>>521)である。

主フィルター(>>528)とは [a, +∞) の形の部分集合である。
即ち、主上集合(>>521)である。

命題
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
A を X の部分集合とする。
このとき、以下は互いに同値である。

(1) A は上向きの有向部分集合(>>510)である。

(2) ↓A (>>519)は上向きの有向部分集合(>>510)である。

(3) ↓A (>>519)はイデアル(>>527)である。

証明
(1) ⇒ (2)
x、y ∈ ↓A のとき>>520より x ≦ a、y ≦ b となる a、b ∈ A がある。
A は上向きの有向部分集合だから a ≦ c、b ≦ c となる c ∈ A がある。
よって、x ≦ c、y ≦ c である。
c ∈ ↓A だから ↓A は上向きの有向部分集合である。

(2) ⇒ (3)
自明である。

(3) ⇒ (1)
A ⊂ ↓A だから a、b ∈ A のとき a ≦ x、b ≦ x となる x ∈ ↓A がある。
>>520より x ≦ c となる c ∈ A がある。
a ≦ c、b ≦ c だから A は上向きの有向部分集合である。
証明終

命題
X を順序集合とする。
A を X の部分集合とする。
このとき、以下は互いに同値である。

(1) sup A が存在する。

(2) sup↓A が存在する。

さらに、このとき sup A = sup↓A である。

証明
(1) ⇒ (2)
α = sup A とおく。
任意の x ∈ ↓A に対して x ≦ a となる a ∈ A がある。
a ≦ α より x ≦ α である。

β ∈ X とし、任意の x ∈ ↓A に対して x ≦ β とする。
A ⊂ ↓A だから 任意の a ∈ A に対して a ≦ β である。
よって、α ≦ β である。
よって、α = sup ↓A である。

(2) ⇒ (1)
α = sup ↓A とおく。
A ⊂ ↓A だから 任意の a ∈ A に対して a ≦ β である。
β ∈ X とし、任意の a ∈ A に対して a ≦ β とする。
任意の x ∈ ↓A に対して x ≦ a となる a ∈ A がある。
よって、x ≦ β となる。
よって、α ≦ β である。
よって、α = sup A である。
証明終

命題
X を上半束(>>115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
B = {a∨b；a、b ∈ A} とおく。
このとき、以下は互いに同値である。

(1) sup A が存在する。

(2) sup B が存在する。

さらに、このとき sup A = sup B である。

証明
(1) ⇒ (2)
α = sup A とおく。
任意の x ∈ B に対して a、b ∈ A があり、x = a∨b となる。
a ≦ α、b ≦ α より x ≦ α である。

β ∈ X とし、任意の x ∈ B に対して x ≦ β とする。
A ⊂ B だから α ≦ β である。
よって、α = sup B である。

(2) ⇒ (1)
β = sup B とおく。
A ⊂ B だから任意の a ∈ A に対して a ≦ β である。

α ∈ X とし、任意の a ∈ A に対して a ≦ α とする。
任意の x ∈ B に対して a、b ∈ A があり、x = a∨b となる。
a ≦ α、b ≦ α より x ≦ α である。
よって、β ≦ α である。
よって、β = sup A である。
証明終

定義
X と Y を順序集合とする。
f：X → Y を写像とする。
X のイデアル(>>527) I に対して sup I が存在するとき
常に sup f(I) が存在し、f(sup I) = sup f(I) となるとき
f はイデアルの上限を保存すると言う。

命題
X と Y を順序集合とし、f：X → Y を写像とする。
このとき、以下は互いに同値である。

(1) f は有向部分集合の上限を保存する(>>512)。

(2) f はイデアルの上限を保存する(>>533)。

証明
(1) ⇒ (2)
自明である。

(2) ⇒ (1)
任意の a ∈ A に対して、(-∞、a] は X のイデアルであるから
a = sup (-∞、a] より、f(a) = sup f((-∞、a]) である。
よって、x ≦ a のとき f(x) ≦ f(a)
よって、f は単調増加である。
A を X の上向きの有向部分集合(>>510)とし、sup A が存在するとする。
α = sup A とおく。
>>530より、↓A (>>519)はイデアルである。
>>531より、sup A = sup↓A である。
よって、f(α) = f(sup↓A) = sup f(↓A)
f(α) = sup f(A) を証明すればよい。

任意の a ∈ A に対して a ≦ α とする。
f は単調増加だから f(a) ≦ f(α) である。
λ ∈ Y があり、任意の a ∈ A に対して f(a) ≦ λ とする。
任意の x ∈ ↓A に対して x ≦ a となる a ∈ A があるから
f(x) ≦ f(a) ≦ λ
f(α) = sup f(↓A) だから f(α) ≦ λ
よって、f(α) = sup f(A) である。
証明終

>>532の修正

命題
X を上半束(>>115)とする。
A を X の空でない部分集合とする。
B = {sup F； F は A の空でない有限部分集合} とおく。
このとき、以下は互いに同値である。

(1) sup A が存在する。

(2) sup B が存在する。

さらに、このとき sup A = sup B である。

証明
(1) ⇒ (2)
α = sup A とおく。
任意の x ∈ B に対して A の空でない有限部分集合 F があり、x = sup F となる。
a ∈ F のとき a ≦ α より x ≦ α である。
β ∈ X とし、任意の x ∈ B に対して x ≦ β とする。
A ⊂ B だから α ≦ β である。
よって、α = sup B である。

(2) ⇒ (1)
β = sup B とおく。
A ⊂ B だから任意の a ∈ A に対して a ≦ β である。
α ∈ X とし、任意の a ∈ A に対して a ≦ α とする。
任意の x ∈ B に対して A の空でない有限部分集合 F があり、x = sup F となる。
a ∈ F のとき a ≦ α より x ≦ α である。
よって、β ≦ α である。
よって、β = sup A である。
証明終

命題
X を上半束(>>115)とし、Y を順序集合とする。
f：X → Y を写像とし、f は空でない有限部分集合の上限を保存する(>>512)とする。
このとき、以下は互いに同値である。

(1) f は有向部分集合の上限を保存する(>>512)。

(2) f は空でない部分集合の上限を保存する(>>512)。

証明
(1) ⇒ (2)
A を X の空でない部分集合とし、α = sup A が存在するとする。
B = {sup F； F は A の空でない有限部分集合} とおく。
>>535より、α = sup B である。
B は上向きの有向部分集合であるから f(α) = sup f(B) である。
f は空でない有限部分集合の上限を保存するから
f(B) = {sup f(F)； F は A の空でない有限部分集合} である。

x ∈ B のとき A の元 a_1、．．．、a_n があり x = a_1∨．．．∨a_n となる。
f は空でない有限部分集合の上限を保存するから f(x) = f(a_1)∨．．．∨f(a_n) である。
同様に y ∈ B のとき A の元 b_1、．．．、b_m があり y = b_1∨．．．∨b_m となり、
f(y) = f(b_1)∨．．．∨f(b_m) である。
よって、
f(x)∨f(y) = f(a_1)∨．．．∨f(a_n)∨f(b_1)∨．．．∨f(b_m)
= f(a_1∨．．．∨a_n∨b_1∨．．．∨b_m) ∈ f(B)
よって、f(B) は上半束となる。
よって、>>535より、sup f(A) = sup f(B) である。
よって、f(α) = sup f(A) である。

(2) ⇒ (1)
自明である。
証明終

定義
X を順序集合とする。
X の任意の上向きの有向部分集合(>>510)が上限をもつとき
X を上有向完備(upper directed complete)という。

定義
X を順序集合とする。
X の任意の上に有界な空でない部分集合が上限をもつとき
X を制限完備(conditionally complete)という。

命題
X を制限完備(>>538)な順序集合とする。
このとき X の任意の下に有界な空でない部分集合は下限を持つ。
特に X は束である。

証明
A を X の下に有界な空でない部分集合とする。
B = {c ∈ X；任意の x ∈ A に対して c ≦ x} とおく。
A は下に有界だから B は空でない。
A は空でないから B は上に有界である。
X を制限完備だから β = sup B が存在する。
任意の x ∈ A に対して β ≦ x であるから β ∈ B である。
よって、β は B の最大元である。
よって、β = inf A である。
証明終

例
実数全体の集合はその自然な順序に関して制限完備(>>538)である。

命題
X を制限完備(>>538)な順序集合とする。
このとき完備束(過去スレ018の914) Y があり、X は Y、[0、1)、(0、1]、(0、１) (>>191)の
どれかに順序集合として同型(>>154)である。
ここで、0 は Y の最小元であり、1 は Y の最大元である。

証明
X に最小元と最大元がある場合は Y = X
X に最小元があり、最大元がない場合は Y = X ∪ {1}
X に最小元がなく、最大元がある場合は Y = {0} ∪ X
X に最小元と最大元がない場合は Y = {0} ∪ X ∪ {1}
とおけばよい。
証明終

定義
X を順序集合とする。
X の任意の空でない可算集合が上限をもつとき
X をσ-上完備(upper σ-complete)と言う。
双対的にσ-下完備(lower σ-complete)を定義する。
x がσ-上完備かつσ-下完備のときσ-完備(σ-complete)と言う。

命題
最小元をもつ上有向完備(>>537)な上半束(>>115)は完備束(過去スレ018の914)である。

証明
X を上有向完備な上半束とする。
A を X の空でない部分集合とする。
>>535より、sup A が存在する。
X は単位元を持つから過去スレ018の915（の双対）の証明と同様にして
X の任意の部分集合は下限を持つ。
よって、 X は完備束である。
証明終

例
X を位相空間とする。
X の開集合全体を Open(X) とする。
Open(X) は包含関係により束となる。
Open(X) の任意の部分集合は上限を持つ。
よって、過去スレ018の915の双対より Open(X) は完備束(過去スレ018の914)である。
Γ を Open(X) の任意の部分集合とすると、∩Γ の内部が ∧Γ である。

定義
X を集合とする。
f：X → X を写像とする。
f(x) = x となる元 x ∈ X を f の不動点(fixed point)と言う。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
f：X → X を写像とする。
任意の x ∈ X に対して x ≦ f(x) となるとき f を増大写像(inflationary map)と言う。

>>543の修正

命題
最小元を持つ上有向完備(>>537)な上半束(>>115)は完備束(過去スレ018の914)である。

証明
X を最小元 0 を持つ上有向完備な上半束とする。
X は最大値 sup X を持つから X の任意の空でない部分集合 A が下限を持つことを証明すればよい。
B = {b ∈ X；任意の x ∈ A に対して b ≦ x} とおく。
0 ∈ B だから B は空でない。
C = {sup F； F は B の空でない有限部分集合} とおく。
C は X の上向きの有向部分集合(>>510)である。
よって、sup C が存在する。
>>535より、sup B = sup C である。
β = sup B とおく。
任意の b ∈ B と任意の x ∈ A に対して b ≦ x であるから
β ≦ x である。
よって、β ∈ B である。
即ち β は B の最大値である。
よって、β = inf A である。
証明終

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
f：X → X を写像とする。
f(x) ≦ x となる元 x ∈ X を f の前不動点(pre-fixed point)と言う。
x ≦ f(x) となる元 x ∈ X を f の後不動点(post-fixed point)と言う。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
f：X → X を写像とする。
f の不動点(>>545)全体を Fix(f) と書く。
f の前不動点全体(>>548)を Pre(f) と書く。
f の後不動点全体(>>548)を Post(f) と書く。

>>546の修正

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
f：X → X を写像とする。
任意の x ∈ X に対して x ≦ f(x) となるとき f を拡大写像(inflationary map)と言う。

命題
X を完備束(過去スレ018の914)とし、f：X → X を単調増大写像とする。
このとき f は不動点(>>545)を持つ。

証明
Post(f) (>>549) は X の最小元 0 を含むから空ではない。
よって、α = sup Post(f) が存在する。
任意の x ∈ Post(f) に対して x ≦ α
よって、f(x) ≦ f(α)
一方、x ≦ f(x) だから x ≦ f(α)
即ち、f(α) は Post(f) の上界である。
よって、α ≦ f(α)
f は単調増大だから f(α) ≦ f(f(α))
よって、f(α) ∈ Post(f)
よって、f(α) ≦ α
よって、f(α) = α
証明終

命題
X を最小元を持つ上有向完備(>>537)な順序集合とする。
f：X → X を単調増加(>>227)写像とする。
Pre(f) (>>549)を f の前不動点全体(>>548)とする。
このとき、以下が成り立つ。

(1) f(Pre(f)) ⊂ Pre(f) である。

(2) A を Pre(f) の任意の空でない部分集合で X における A の下限 inf A が存在するなら
inf A ∈ Pre(f) となる。

(3) Pre(f) に最小元 α が存在するなら α は Fix(f) (>>549) の最小元でもある。

証明
(1) x ∈ Pre(f) のとき f(x) ≦ x
よって、f(f(x)) ≦ f(x)
よって、f(x) ∈ Pre(f)
よって、f(Pre(f)) ⊂ Pre(f) である。

(2) α = inf A とおく。
任意の x ∈ A に対して α ≦ x
よって、f(α) ≦ f(x) ≦ x
よって、f(α) ≦ α
よって、α ∈ Pre(f)

(3) α ∈ Pre(f) だから f(α) ≦ α である。
(1) より f(α) ∈ Pre(f) だから α ≦ f(α) である。
よって、f(α) = α
よって、α ∈ Fix(f)
Fix(f) ⊂ Pre(f) だから α は Fix(f) の最小元である。
証明終

命題
X を完備束(過去スレ018の914)とする。
f：X → X を単調増加(>>227)写像とする。
このとき、Pre(f) (>>549) の任意の部分集合 A の X における A の下限は Pre(f) に属す。
よって、過去スレ018の915より Pre(f) は完備束である。

証明
>>552の(2)より Pre(f) の任意の空でない部分集合の X における下限は Pre(f) に属す。
一方、空集合の X における下限、即ち X の最大値は Pre(f) に属す。
証明終

>>551は次のように改良される。

命題(Tarskiの不動点定理)
X を完備束(過去スレ018の914)とする。
f：X → X を単調増加(>>227)写像とする。
このとき Fix(f) (>>549)は空でない。
Fix(f) の任意の部分集合 A の X における下限および上限は Fix(f) に属す。
よって、Fix(f) は完備束である。
さらに Fix(f) の最小元は Pre(f) (>>549) の最小元であり、
Fix(f) の最大元は Post(f) (>>549) の最大元である。

証明
Fix(f) = Pre(f) ∩ Post(f) である。
即ち、M = Post(f) とおくと、Fix(f) = {x ∈ S； f(x) ≦ x}
>>553の双対から M は完備である。
よって、>>553から Fix(f) は完備である。

X の最大元は Pre(f) に属すから Pre(f) は空でない。
>>553から Pre(f) は完備だから最小元を持つ。
よって、>>552から Fix(f) の最小元は Pre(f) の最小元である。
よって、Fix(f) は空でない。

X の最小元は Post(f) に属すから Post(f) は空でない。
>>553の双対から Post(f) は完備だから最大元を持つ。
よって、>>552の双対から Fix(f) の最大元は Post(f) の最大元である。
証明終

>>554の修正

>>551は次のように改良される。

命題(Tarskiの不動点定理)
X を完備束(過去スレ018の914)とする。
f：X → X を単調増加(>>227)写像とする。
このとき Fix(f) (>>549)は空でなく、完備束である。
さらに Fix(f) の最小元は Pre(f) (>>549) の最小元であり、
Fix(f) の最大元は Post(f) (>>549) の最大元である。

証明
Fix(f) = Pre(f) ∩ Post(f) である。
即ち、M = Post(f) とおくと、Fix(f) = Pre(f|M) である。
ここで、f|M は f の定義域を M に制限したものである。
X は完備束だから最小元 0 と最大元 1 を持つ。
0 ∈ M だから M は空でない。
>>553の双対から M は完備である。
よって、M は最大元を持つ。
M の最大元は Pre(f|M) に属すから Fix(f) は空でない.
>>553から Fix(f) は完備である。

>>553から Pre(f) は完備だから最小元を持つ。
よって、>>552から Fix(f) の最小元は Pre(f) の最小元である。

>>553の双対から Post(f) は完備だから最大元を持つ。
よって、>>552の双対から Fix(f) の最大元は Post(f) の最大元である。
証明終

>>481の解答

g：I(A) → I(A) を g(J) = (J：I) で定義する。
ここで (J：I) = {x ∈ A；xI ⊂ J} である。

gf(J) = (IJ：I) であるから J ⊂ gf(J)
fg(J) = I(J：I) であるから fg(J) ⊂ J
よって、g は f の残余である。

>>470の修正

定義
S と T を順序集合とし、f：S → T を単調増加写像とする。
単調増加写像 g：T → S があり、
任意の x ∈ S に対して gf(x) ≧ x
任意の y ∈ T に対して fg(y) ≦ y
となるとき g は f の剰余(residual)と言い、f は剰余を持つ(residuated)と言う。

>>277の拡張

定義
L と M を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
f：L → M を写像とする。

(1) x ≦ y のとき f(x) ≦ f(y) となるとき f は単調増加または単に単調という。
または f は順序を保存するともいう。

(1’) x ≦ y のとき f(x) ≧ f(y) となるとき f は単調減少という。
または f は順序を逆向きに保存するともいう。

(2) x ＜ y のとき f(x) ＜ f(y) となるとき f は狭義単調増加または単に狭義単調という。

(2’) x ＜ y のとき f(x) ＞ f(y) となるとき f は狭義単調減少という。

(3) x ≦ y と f(x) ≦ f(y) が同値であるとき f は前順序埋め込み(preorder embedding)
または単に埋め込み(embedding)であるという。

>>557の拡張

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>558)とする。
単調増加写像 g：Y → X があり、
任意の x ∈ X に対して gf(x) ≧ x
任意の y ∈ Y に対して fg(y) ≦ y
となるとき g は f の剰余(residual)と言い、f は剰余を持つ(residuated)と言う。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
a と b を X の元とする。
a ≦ b かつ a ≠ b のとき a ＜ b または b ＞ a と書く。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
x、y ∈ X で x ＜ y (>>560)とする。
x ＜ z ＜ y となる z がないとき
y は x の直後の元と言い、x は y の直前の元という。
x と y は互いに隣り合っているという。
このとき x -< y または y >- x と書く。

x = y または x -< y であることを x =< y または y >= x と書く。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
a ∈ X とする。
a ＜ x (>>560)となる x ∈ X が存在しないとき a を X の極大元(maximal element)と言う。
x ＜ a (>>560)となる x ∈ X が存在しないとき a を X の極小元(minimal element)と言う。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
a ∈ X とする。
任意の x ∈ X に対して x ≦ a となるとき a を X の最大元と言い
a = max(X) または a = max X と書く。
X の最大元は一意とは限らない。

任意の x ∈ X に対して a ≦ x となるとき a を X の最小元と言い
a = min(X) または a = min X と書く。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
A を X の部分集合とする。
c ∈ X とする。
任意の x ∈ A に対して x ≦ c となるとき c を A の上界と言う。
任意の x ∈ A に対して c ≦ x となるとき c を A の下界と言う。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
A を X の部分集合とする。
B を A の上界(>>564)全体とする。
B に最小元(>>563) α が存在するとき α を A の上限(supremum)と言い、
α = sup A と書く。
α は A により一意に決まるとは限らない。

A が空集合のときは X が A の上界全体であるから sup A は X の最小元である。

双対的に A の下限(infimum)が定義され inf A と書く。
A が空集合のときは A は X の最大元である。

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
f：X → Y を写像とする。

A を X の部分集合で次のどれかとする。
(1) A は X の任意の有限部分集合である。
(2) A は X の空でない任意の有限部分集合である。
(3) A は X の任意の部分集合である。
(4) A は X の任意の空でない部分集合である。
(5) A は X の任意の上向きの有向部分集合(>>510)である。

このとき、sup A (>>565)が存在するなら sup f(A) が存在し、f(sup A) = sup f(A) となるとき
それぞれ以下のように言う。

(1) f は有限部分集合の上限を保存する。
(2) f は空でない有限部分集合の上限を保存する。
(3) f は部分集合の上限を保存する。
(4) f は空でない部分集合の上限を保存する。
(5) f は有向部分集合の上限を保存する。

inf についても同様に定義する。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
x、y ∈ X とする。
x ≦ y かつ y ≦ x のとき x と y は同値と言い、x 〜 y と書く。
〜 は X の同値関係である。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
X/〜 を X の同値関係 〜 (>>567)による商集合とする。
p：X → X/〜 を標準写像とする。
x ≦ y のとき p(x) ≦ p(y) と定義することにより X/〜 は順序集合になる。
X/〜 を X に付随する順序集合と言う。

>>558の修正

定義
L と M を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
f：L → M を写像とする。

(1) x ≦ y のとき f(x) ≦ f(y) となるとき f は単調増加または単に単調という。
または f は順序を保存するともいう。

(1’) x ≦ y のとき f(x) ≧ f(y) となるとき f は単調減少という。
または f は順序を逆向きに保存するともいう。

(2) x ＜ y のとき f(x) ＜ f(y) となるとき f は狭義単調増加または単に狭義単調という。

(2’) x ＜ y のとき f(x) ＞ f(y) となるとき f は狭義単調減少という。

前順序集合(過去スレ008の139)の全体は単調増加写像(>>558)を射とすることにより圏となる。
この圏を Preord と書く。
順序集合の全体は単調増加写像(>>558)を射とすることにより Preord の充満な部分圏
(過去スレ017の362)となる。
この圏を Ord と書く。

X ∈ Preord に X/〜 (>>568)を対応させることにより関手 F：Preord → Ord が得られる。
このとき、X/〜 は X の反射(過去スレ018の135)であり、
Ord は Preord の反射的部分圏(過去スレ018の136)である。

>>570の修正

(過去スレ008の131参照)
前順序集合(過去スレ008の139)の全体は単調増加写像(>>558)を射とすることにより圏となる。
この圏を Preord と書く。
順序集合の全体は単調増加写像(>>558)を射とすることにより Preord の充満な部分圏
(過去スレ017の362)となる。
この圏を Poset と書く。

X ∈ Preord に X/〜 (>>568)を対応させることにより関手 F：Preord → Poset が得られる。
X ∈ Preord のとき p：X → X/〜 を標準写像とする。
(X/〜, p) は X の Poset-反射(過去スレ018の128)である。
よって、Poset は Preord の反射的部分圏(>>136)である。

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。

以下の条件は互いに同値である。

(1) f は剰余(>>559) g を持つ。

(2) 単調増加写像 g：Y → X があり、f(x) ≦ y ⇔ x ≦ g(y)

証明
(1) ⇒ (2)
g は単調増加だから f(x) ≦ y なら x ≦ gf(x) ≦ g(y)
f は単調増加だから x ≦ g(y) なら f(x) ≦ fg(y) ≦ y

(2) ⇒ (1)
f(x) ≦ y ⇒ x ≦ g(y) において y = f(x) とおくと x ≦ gf(x)
x ≦ g(y) ⇒ f(x) ≦ y において x = g(y) とおくと fg(y) ≦ y
よって、g は f の剰余である。
証明終

X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
過去スレ017の281より、前順序集合(過去スレ008の139)は小さい圏(過去スレ017の280)と見なせる。
f は単調増加であるから関手(過去スレ017の302)と見なせる。
>>572より f の剰余(>>559)とは f の右随伴関手(過去スレ019の442)に他ならない。

定義
X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
S を X の部分集合とする。
s = sup S (>>565)が存在するとき s を S の結び(join)とも呼び s = ∨S とも書く。
S = {x_1、．．．x_n} のとき sup S を x_1∨．．．∨x_n とも書く。
(x_i)、i ∈ I を X の元の族とするとき、
s = sup{x_i；i ∈ I} を s = ∨{x_i；i ∈ I} とも書く。

t = inf S が存在するとき t を S の交わり(meet)とも呼び t = ∧S とも書く。
S = {x_1、．．．x_n} のとき inf S を x_1∧．．．∧x_n とも書く。
(x_i)、i ∈ I を X の元の族とするとき、
t = inf{x_i；i ∈ I} を t = ∧{x_i；i ∈ I} とも書く。

注意：sup S および inf S は S により一意に定まるわけではないが、
存在すれば全て互いに同値(>>567)である。

過去スレ017の281より、前順序集合(過去スレ008の139)は小さい圏(過去スレ017の280)と見なせる。
ここで、圏論におけるいくつかの基本的概念を前順序集合において翻訳してみよう。

X を前順序集合とする。
X の双対圏(過去スレ017の352)とは X の双対前順序集合(>>168)のことである。

X の始対象(過去スレ017の288)とは X の最小元(>>563)のことである。
X の終対象(過去スレ017の288)とは X の最大元(>>563)のことである。

X の任意の元は X の分離対象(過去スレ018の212)である。
X の任意の元は X の余分離対象(過去スレ018の219)である。

X における射は全て全単射(過去スレ017の345)である。
x, y ∈ X のとき x と y が同型(過去スレ017の350)とは x と y が同値(>>567)であることである。

x, y ∈ X のとき x と y の積(過去スレ017の747)とは x∧y (>>574)のことである。
x, y ∈ X のとき x と y の余積とは x∨y (>>574)のことである。

X が積を持つ(過去スレ018の910)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
inf(x_i) (>>565)が存在することである。

X が余積を持つ(過去スレ019の50)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
sup(x_i) (>>565)が存在することである。

>>575の続き

X を前順序集合(過去スレ008の139)とする。
x、y ∈ X、x ≦ y のとき射 s：x ≦ y の差核(過去スレ017の772) Ker(s, s) とは
同型射(過去スレ017の350) x’→ x のことである。
即ち同値(>>567) x’〜 x のことである。

射 s：x ≦ y の差余核(過去スレ017の850) Coker(s, s) とは
同型射(過去スレ017の350) y → y’のことである。
即ち同値(>>567) y 〜 y’のことである。

X における正則単射(過去スレ018の456)とは同型射のことである。
X における正則全射(過去スレ018の558)とは同型射のことである。

X における極値的単射(過去スレ018の496) x → y とは x =< y (>>561)のことである。
X における極値的全射(過去スレ018の580) x → y とは x =< y のことである。

x ∈ X の部分対象(過去スレ018の646)とは (-∞, x] (>>515)の元のことである。
x ∈ X の部分対象の作る前順序集合(過去スレ018の657)とは (-∞, x] のことである。

x ∈ X の商対象(過去スレ018の653)とは [x, +∞) (>>515)の元のことである。
x ∈ X の商対象の作る前順序集合(過去スレ018の668)とは [x, +∞) のことである。

x ∈ X の極値的部分対象(過去スレ018の646)とは y =< x (>>561)となる y のことである。
x ∈ X の極値的商対象(過去スレ018の653)とは x =< y となる y のことである。

x ≦ z、y ≦ z の引き戻し(過去スレ017の866) とは x∧y (>>574)のことである。
z ≦ x、z ≦ y の押し出し(過去スレ017の867) とは x∨y (>>574)のことである。

>>576の続き

X を前順序集合とする。
R = {(x, y) ∈ X×X； x ≦ y} とおく。
X を圏と見たとき R は X の射の集合と見なせる。
s：R → X を s(x, y) = x で定義する。
t：R → X を t(x, y) = y で定義する。
このとき、(X, R, s, t) は圏 X のグラフ |X| (過去スレ017の344)である。

X と Y を前順序集合とする。
関手 f：X → Y (過去スレ017の302)とは単調増加写像(>>569)のことである。
反変関手 f：X → Y (過去スレ017の305)とは単調減少写像(>>569)のことである。

関手 f：X → Y は全て忠実(過去スレ017の403)である。

関手 f：X → Y が充満(過去スレ017の403)とは、f(x) ≦ f(y) ⇒ x ≦ y となることである。

関手 f：X → Y が本質的に全射(過去スレ017の388)とは、
任意の y ∈ Y に対して x ∈ X で f(x) 〜 y (>>567)となるものが存在することである。

f: X → Y と g: X → Y を関手、即ち単調増加写像とする。
自然変換 τ：f → g があるとは、任意の x ∈ X に対して f(x) ≦ g(x) となることである。
このとき f ≦ g と書く。
X から Y への単調増加写像全体を Hom(X, Y) と書く。
Hom(X, Y) は関係 ≦ により前順序集合となる。

>>577の続き

X を前順序集合とする。
I を小さいグラフ(過去スレ017の325)とし、G：I → |X| (過去スレ017の344) を
I 型の図式(過去スレ017の833)とする。
G の極限 lim G (過去スレ018の839) とは inf {G(i)；i ∈ I} に他ならない。
G の余極限 colim G (過去スレ018の847) とは sup {G(i)；i ∈ I} に他ならない。

X が圏として完備(過去スレ017の828)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
inf(x_i) が存在することと同値である。

X が圏として余完備(過去スレ017の829)とは X の元の任意の族 (x_i)_I に対して
sup(x_i) が存在することと同値である。

x ∈ X とし、(x_i)_I を x_i ≦ x となる元の族とする。
(x_i)_I の交わり(過去スレ019の110)とは inf (x_i)_I のことである。

x ∈ X とし、(x_i)_I を x ≦ x_i となる元の族とする。
(x_i)_I の余交わり(過去スレ019の143)とは sup (x_i)_I のことである。

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ018の657)とする。
X から Y への単調増加写像(>>569)全体を Hom(X, Y) と書く。
f: X → Y と g: X → Y を単調増加写像>>569)とする。
任意の x ∈ X に対して f(x) ≦ g(x) となるとき、f ≦ g と書く。
Hom(X, Y) は関係 ≦ により前順序集合となる。
f、g ∈ Hom(X, Y) で f ≦ g かつ g ≦ f のとき f と g は同値と言い、f 〜 g と書く(>>567)。

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ018の657)とする。
f：X → Y を単調増加写像>>569)とする。
g：Y → X を単調増加写像で gf 〜 1_X (>>579)かつ fg 〜 1_Y (>>579)となるとき
g を f の準逆写像という。
ここで、1_X および 1_Y はそれぞれ X、Y の単位写像である。
このとき、f および g は同値写像または単に同値と言い、X と Y は同値であると言う。

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
f(x) ≦ f(y) ⇒ x ≦ y となるとき f は充満(full)であると言う。

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を写像とする。
任意の y ∈ Y に対して x ∈ X で f(x) 〜 y (>>567)となるものが存在するとき
f を本質的に全射と言う。

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
f が同値写像(>>580)であるためには
f が充満(>>581)かつ本質的に全射(>>582)であることが必要十分である。

証明
過去スレ017の281より、前順序集合(過去スレ008の139)は小さい圏(過去スレ017の280)と見なせる。
このとき>>577より f：X → Y が写像として充満(>>581)かつ本質的に全射(>>582)であるとは
f が忠実充満(過去スレ017の403)かつ本質的に全射(過去スレ017の388)な関手であることと
同じである。
よって、過去スレ017の399より本命題が従う。
証明終

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
X の任意の部分集合は上限(>>565)を持つとする。
このとき f が剰余(>>559)を持つためには
f が部分集合の上限を保存する(>>566)ことが必要十分である。

証明
Freydの特殊随伴関手定理(過去スレ019の749)を f：X → Y に適用する：

>>575より X の任意の元は X の余分離対象(過去スレ018の219)である。
>>578より X は圏として余完備(過去スレ017の829)かつ余交わり(過去スレ019の143)を持つ。
即ち、X は強余完備(過去スレ019の181)である。

>>573より、f の剰余(>>559)とは f の右随伴関手(過去スレ019の442)に他ならない。
f が部分集合の上限を保存する(>>566)とは
f が小さい余極限を保存する(過去スレ019の265)ことと同じである。
>>578より余交わり(過去スレ019の143)とは部分集合の上限のことであるから
f は余交わりを保存する(過去スレ019の267)。

よって、Freydの特殊随伴関手定理より本命題が従う。
証明終

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
このとき f が剰余(>>559)を持つためには
任意の y ∈ Y に対して f^(-1)((-∞, y]) の最大元(>>563)が存在することが必要十分である。

証明
必要性：
f が剰余 g を持つとする。
任意の y ∈ Y に対して f(g(y)) ≦ y
よって、g(y) ∈ f^(-1)((-∞, y])
一方、任意の x ∈ f^(-1)((-∞, y]) に対して f(x) ≦ y
よって、x ≦ g(f(x)) ≦ g(y)
よって、g(y) は f^(-1)((-∞, y]) の最大元である。

十分性：
任意の y ∈ Y に対して f^(-1)((-∞, y]) の最大元(>>563)が存在するとする。
選択公理より、写像 g：Y → X で
任意の y ∈ Y に対して g(y) が f^(-1)((-∞, y]) の最大元であるものが存在する。
y ≦ z なら (-∞, y] ⊂ (-∞, z] だから g(y) ≦ g(z) である。
よって、g は単調増加である。

任意の y ∈ Y に対して g(y) ∈ f^(-1)((-∞, y]) であるから f(g(y)) ≦ y である。
任意の x ∈ X に対して x ∈ f^(-1)((-∞, f(x)]) であるから x ≦ g(f(x)) である。
よって、g は f の剰余である。
証明終

>>584の直接証明をしよう。

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
X の任意の部分集合は上限(>>565)を持つとする。
このとき f が剰余(>>559)を持つためには
f が部分集合の上限を保存する(>>566)ことが必要十分である。

証明
必要性：
f が剰余(>>559) g を持つとする。
A を X の空でない部分集合とする。
a = sup A (>>565)とする。
任意の x ∈ A に対して x ≦ a であるから f(x) ≦ f(a) である。
よって、f(a) は f(A) の上界(>>564)である。

任意の x ∈ A に対して f(x) ≦ c とする。
x ≦ g(f(x)) ≦ g(c)
よって、a ≦ g(c)
よって、f(a) ≦ f(g(c)) ≦ c
よって、f(a) は f(A) の上限(>>565)である。
即ち、f(sup A) = sup f(A)

0 を X の最小元とする。
任意の y ∈ Y に対して 0 ≦ g(y)
よって、f(0) ≦ f(g(y)) ≦ y
よって、f(0) は Y の最小元である。

以上から f は部分集合の上限を保存する(>>566)。

(続く)

>>586の続き

十分性：
f が部分集合の上限を保存する(>>566)とする。
任意の y ∈ Y に対して f^(-1)((-∞, y]) の上限(>>565) α が存在する。
仮定より、f(α) = sup f(f^(-1)((-∞, y])) である。
任意の x ∈ f^(-1)((-∞, y]) に対して f(x) ≦ y
即ち、y は f(f^(-1)((-∞, y])) の上界である。
よって、f(α) ≦ y
よって、α ∈ f^(-1)((-∞, y])
よって、α は f^(-1)((-∞, y]) の最大元である。
>>585より、f は剰余を持つ。
証明終

柳下浩紀　建部賞

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を写像とする。
以下の条件は互いに同値である。

(1) f は単調増加(>>569)である。

(2) Y の任意の下集合(>>516) D に対して f^(-1)(D) は下集合(>>516)である。

(3) Y の任意の主下集合(>>521) D に対して f^(-1)(D) は下集合(>>516)である。

(4) Y の任意の上集合(>>517) U に対して f^(-1)(U) は上集合(>>517)である。

(5) Y の任意の主上集合(>>521) U に対して f^(-1)(U) は上集合(>>517)である。

証明
(1) ⇒ (2)
a ∈ f^(-1)(D) とする。x ≦ a なら f(x) ≦ f(a) ∈ D
f(x) ∈ D だから x ∈ f^(-1)(D)
よって、f^(-1)(D) は下集合である。

(2) ⇒ (3)
自明である。

(3) ⇒ (1)
a、b ∈ X、a ≦ b とする。
b ∈ f^(-1)((-∞、f(b)])
よって、a ∈ f^(-1)((-∞、f(b)])
よって、f(a) ≦ f(b)
よって、f は単調増加(>>569)である。

双対的に (1) ⇔ (4) ⇔ (5)
証明終

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、f：X → Y を写像とする。
以下の条件は同値である。

(1) f は単調増加(>>569)で剰余(>>559)を持つ。

(2) Y の任意の主下集合(>>521) D に対して f^(-1)(D) は主下集合である。

証明
(1) ⇒ (2)
g を f の剰余とする。
>>572 より、任意の y ∈ Y に対して f(x) ≦ y ⇔ x ≦ g(y)
即ち、x ∈ f^(-1)((-∞, y]) ⇔ x ∈ (-∞, g(y)]
よって、f^(-1)((-∞, y]) = (-∞, g(y)]

(2) ⇒ (1)
任意の y ∈ Y に対して x ∈ X があり、f^(-1)((-∞, y]) = (-∞, x] となる。
x は f^(-1)((-∞, y]) の最大元である。
よって、選択公理より、写像 g：Y → X で
任意の y ∈ Y に対して f^(-1)((-∞, y]) = (-∞, g(y)] となるものが存在する。
y、z ∈ Y、y ≦ z なら (-∞, y] ⊂ (-∞, z]
よって、f^(-1)((-∞, y]) ⊂ f^(-1)((-∞, z])
よって、(-∞, g(y)] ⊂ (-∞, g(z)]
よって、 g(y) ≦ g(z)
よって、g は単調増加である。

任意の y ∈ Y に対して f^(-1)((-∞, y]) = (-∞, g(y)] であるから
f(x) ≦ y ⇔ x ≦ g(y)
よって、>>572より g は f の剰余である。
証明終

>>590は>>585とほとんど同じである。

命題
C と D を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
F：C → D を関手とする。
F の右随伴関手(過去スレ019の442)が存在すれば同型を除いて一意である。

証明
G：D → C を F の右随伴関手とする。
ε：FG → 1_D を (F, G) の余単位(過去スレ019の425)とする。
過去スレ019の427より、任意の M ∈ D に対して ε(M)：M → F(G(M)) は
M から F への普遍射(過去スレ017の573)である。
よって、普遍射の一意性から G は同型を除いて一意である（詳しくは読者に任せる）。
証明終

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ018の657)とする。
f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
このとき f の剰余(>>559)が存在すれば同値(>>579)を除いて一意である。

証明
>>573より f の剰余(>>559)とは f の右随伴関手(過去スレ019の442)に他ならない。
>>592より、f の剰余(>>559)が存在すれば関手としての同型を除いて一意である。
よって、本命題が得られる。
証明終

演習問題
>>593を圏論を使わないで直接証明せよ。

命題
X を順序集合とする。
Y を前順序集合(過去スレ018の657)とする。
f：X → Y を単調増加写像(>>569)とする。
このとき f の剰余(>>559)が存在すれば一意である。

証明
g、g’を f の剰余とする。
>>593より、g ≦ g’かつ g’≦ g (>>579)である。
X は順序集合であるから g = g’である。
証明終

命題
C、D、E を局所的に小さい圏(過去スレ017の343)とする。
次の関手を考える。

　　F　　　H
C　→　D　→　E
C　←　D　←　E
　　G　　　K

(F、G) と (H、K) は随伴状況(過去スレ019の362)とする。

このとき、(HF、GK) は随伴状況である。

証明
次の２変数の関手の自然同型(過去スレ018の144)がある。
Hom(F(X), M) ⇔ Hom(X, G(M))
Hom(H(M), S) ⇔ Hom(M, K(S))

よって、次の２変数の関手の自然同型がある。
Hom(HF(X), S) ⇔ Hom(F(X), K(S)) ⇔ Hom(X, GK(S))
よって、(HF、GK) は随伴状況である。
証明終

命題
X、Y、Z を前順序集合(過去スレ018の657)とする。
f：X → Y と f’：Y → Z を単調増加写像(>>569)とする。
f の剰余(>>559)を g とし、f’の剰余(>>559)を g’とする。
このとき、f’f の剰余は gg’である。

証明
>>573より f の剰余とは f の右随伴関手(過去スレ019の442)に他ならない。
よって、本命題は>>596から従う。
証明終

剰余(residual)(>>559)という言葉はあまりいいと思えないし非対称なので
英語版Wikipediaを参考にして次のように変更する。

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調増加写像(>>558)とする。
任意の x ∈ X と任意の y ∈ Y に対して

f(x) ≦ y ⇔ x ≦ g(y)

となるとき f は g の下随伴(lower adjoint)と言い、
g は f の上随伴(upper adjoint)と言う。

このとき、(f, g) を随伴対(adjoint pair)と言う。

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調増加写像(>>558)とする。
任意の x ∈ X と任意の y ∈ Y に対して

f(x) ≦ y ⇔ g(y) ≦ x

となるとき (f, g) をGalois対(Galois connection)と言う。
このとき f と g は互いに対極であると言い、
g を f の対極、f を g の対極と言う。

X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調増加写像(>>558)とする。
>>572より、g が f の上随伴(>>599)とは g が f の剰余(>>559)であることと同じである。

>>600の修正

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調減少写像(>>569)とする。
任意の x ∈ X と任意の y ∈ Y に対して

f(x) ≦ y ⇔ g(y) ≦ x

となるとき (f, g) をGalois対(Galois connection)と言う。
このとき f と g は互いに対極であると言い、
g を f の対極、f を g の対極と言う。

X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調減少写像(>>569)とする。
Y^o を Y の双対前順序集合(>>168)とする。
f^o：X → Y^o を f^o(x) = f(x) で定義し、
g^o：Y^o → X を g^o(y) = g(y) で定義する。

このとき、(f, g) がGalois対(>>602)であるとは
(f^o, g^o) が随伴対(>>599)であることを意味する。

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調減少写像(>>569)とする。

以下の条件は互いに同値である。

(1) (f, g) はGalois対(>>602)である。

(2)
任意の x ∈ X に対して gf(x) ≦ x
任意の y ∈ Y に対して fg(y) ≦ y

証明
>>572の証明と同様である。
または>>603に注意して>>572より得られる。

>>602の修正

定義
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調減少写像(>>569)とする。

任意の x ∈ X に対して x ≦ gf(x)
任意の y ∈ Y に対して y ≦ fg(y)

となるとき (f, g) をGalois対(Galois connection)と言う。

>>604の修正

命題
X と Y を前順序集合(過去スレ008の139)とし、
f：X → Y と g：Y → X を単調減少写像(>>569)とする。

以下の条件は互いに同値である。

(1) (f, g) はGalois対(>>605)である。

(2) 任意の x ∈ X と任意の y ∈ Y に対して y ≦ f(x) ⇔ x ≦ g(y)

証明
(1) ⇒ (2)
g は単調減少だから y ≦ f(x) なら g(y) ≧ gf(x) ≧ x
f は単調減少だから x ≦ g(y) なら f(x) ≧ fg(y) ≧ y

(2) ⇒ (1)
y ≦ f(x) ⇒ x ≦ g(y) において y = f(x) とおくと x ≦ gf(x)
x ≦ g(y) ⇒ y ≦ f(x) において x = g(y) とおくと y ≦ fg(y)
よって、(f, g) はGalois対である。
証明終