京都大学入試作問者になったつもりのスレ�@

理系でベネッセの数学偏差値８０の人が、
１時間かけてなんとかとけるような難問（良問）
を作ってください。
東大に類似スレがあるので、対抗してたてました。

フランスパン

うんこ

類似スレがあることを知っているのになんでわざわざスレ立てたの？
馬鹿なの？

　　　　　 {},i!-i!,{}　
　　　　 　i __　__.i　 き
　　　　　 |´ﾟﾞiiﾞﾟ｀|
　　　　　キ ﾞTﾞ キ　り
　　　　　 ヽ ≡./
　　　　　　 }｀'´{　　ん
　　　　　　ﾉ:∴ヽ、
　　　　 ／∴∵∴ヽ.
　　　,.=i∴∵∴∵∴'、
　　 ,;'´{ _ r――‐､ r､ヽ､
　　.iii　i i'､ヽ　　　 ヽヽヽ）
　　.!!!　} } > ）　　　////
　　　　////　　　 ////
　　　////　　　　////
　　　`````　　 　 `````

　_)　　　　　　　　 /:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::ヽ
　 ）　　　　　　 　,'::::::::::::::::::::/￣￣ ` ' ｰ─- ､;::::::::',
＜　　 馬　う　　l:::::::::::::::::::/　　　＿,,　　　　　　`ヽ;l
　 )　　鹿 .す　　!::::::::::::::::::| ヽ二二,､　　　　ヾ､、　l!
＜　　　!!　ら　　';:::::/^ヽ;::| ミr_(;oﾟ;;〕　　　　 ＿ ヽ l
　ﾉ　　　　　　　　';:::ｉ 入 ;ﾘ　　　　　　　　 (イ;;oﾟ)彡l
　￣`､　, ─､　,-' ';:ｌ レ `　　　　　　　　　 ヽ￣　　ｈ
. 　 　 V　 　 `'　 　' ,　　　　　　　 　 　 　 / 　 　 ,リ
　　　　　　　　　　　 ヽ　　　　　　 ｉ` ｰ---ｧ　　　/
　　　　　　　　　　　　　>、　　　　 ｌ,,─､／　　　/
　　　　　　　 ┌─'T／　　　　　　 ` -'"　　　／
　　 ￣￣￣￣＼　　＼　　　` ､_　￣　　 ／
　　　　　　　　　 ＼　　 ＼ ／) , ' )ス"￣
　　　　　　　　　 　 ＼　　/ /／／7　ヽ＿＿
　　　　　　　　　　　　ヽ／　"∠ -'ｰ､　|　　　`ヽ
　　　　　　　　　 　 　 /　　　　　'二ヽ ﾉ　　　　 ｉ

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●　　　　　　　　　　　　 　●　　　　　　　　　　　　　 ●
●　　　　　　　　　　　　　 ●　　　　　　　　　　　　　 ●
●　　　　　　　　　　　　 　●　　　　　　　　　　　　　 ●
　　●　　　　　　　　　　 　●　　　　　　　　　　　 ●
　　　　●　　　　　　　　　●　　 　　　　　　　 ●　　ｴｰﾃﾞﾙﾜｰｲｽ ｴｰﾃﾞﾙﾜｰｲｽ
　　　　　　●　　　　　　 ●　 　　　　　　 ● 　　　　　　 　　　＿（ "''''''::::.
　　　　　 　　●　　　　● ●　　 　　 ●＿＿　____,,,... --‐'''^~ 　　ヽ 　　゛゛:ヽ
　　　　　　　　　●　 ●　　 　●　 ●:::::::::....:""""　　・　　　　・　　. ＼::.　　 丿
　　　　　　　　　　● ●　　　　● ●::::::::::::::::::: 　　　　　 ・　　....:::::::彡''ﾍ::::／
　　　　　　　　　　　●　　　　　　 ●:::::::::::::::::::::::::::::;;;;;,, ---‐'' "^~
　　　　　　　　　　　　●●●●●-‐‐ ''^~

不定積分はいつでも計算で求まるか.

問題の定義の仕方も知らん奴は帰れ

>難問（良問）を作ってください。

難問はおうおうにして悪問になりがち。
良問は難易度が平凡なことが多い。

東大作問スレの問題のほとんどすべてが京大的問題なので、
スレ分ける必要性なし。

東大作問スレの問題もおよそ京大に出そうもない問題ばかりだ。
東大や京大にあった問題を演習したければＺ会の即応コースをやるしかなかろう。
２ｃｈのようなところでカネを払わずに東大・京大対策ができるなんて考えるのは
およそ見当違いだ。

sin1°が無理数であることを示せ。

>>12
＞東大や京大にあった問題を演習したければＺ会の即応コースをやるしかなかろう。
＞２ｃｈのようなところでカネを払わずに東大・京大対策ができるなんて考えるのは
＞およそ見当違いだ。

そんなこと目的にスレ見てる奴いないと思う・・・

>>4
やはり、東大とはちがう、京大の独創性が出た
問題を作ってほしいからです。
明確に違う、京大独特の問題を作ってほしい。

それは２ｃｈ住民に頼まずに京大に頼んだら？

>>16
「東大入試作問者になったつもりのスレ」だってあるのですから、
２ちゃんねるの住民にもやってほしい。

じゃあ東大作問スレでお願いしたら？

才能は必要だが、もっと必要なのは経験だ
そしてもっと必要なのは目の前の患者の命を救うことだ

1:１３２人目の素数さん[]
2008/08/25(月) 16:11:37
理系でベネッセの数学偏差値８０の人が、
１時間かけてなんとかとけるような難問（良問）
を作ってください。
東大に類似スレがあるので、対抗してたてました。

とりあえず、進研模試の難易度では測れません
あと、東大作問スレは傾向とかあまり意識とかしてないと思うが？
ここで>>1が過去問解いて、解答を打ち込んでいったほうが良スレになるんじゃない？

参考ページ
東大過去問(1970〜の過去問が網羅)
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

東大・京大・東工大の過去問(未掲載分あり)
http://www.j3e.info/ojyuken/math/

論証を作問すればいいのでFA？

age

>>13

sinθ = s とおくと
sin(3θ) = 3s - 4s^3,
sin(5θ) = 5s -20s^3 +16s^5,
sin(45ﾟ) = (1/2)√2 は sin(1ﾟ) の多項式。
sin(1ﾟ) は有理数と仮定すると、sin(45ﾟ) = 1/√2 も有理数となって矛盾。

>>14

わからん奴やな。
京大対策になるような良問（新作）ただでこのスレに書き込むバカはおらんということ。
受験産業に売ればいい稼ぎになるという話。

>>24
受験産業は、素人から問題を買ったりしません。

>>24
お前馬鹿だな

>>25

自分は受験産業に問題を買ってもらっておるからプロということになるな。

>>26

オマエあほやろ。

それにしてもよくまあこんなしょうもないスレが乱立するものだな。
東大や京大の出題担当の先生がご覧になれば的外れな問題ばかりで
苦笑しておられるだろうな。

競馬の必勝法を答えなさい。

>>25
買ったりしますよ。あなたが知らないだけ。

作問者に“なったつもり”のスレなんだから
ごちゃごちゃ言わずに好き放題書けばいい

そして俺らがﾆﾖﾆﾖしながら眺める、と

１．
直線y=px+qが関数y=logxのグラフと共有点を持たないためにpとqが満たすべき必要十分条
件を求めよ．

２．
正四面体ABCDを考える．点Pは時刻0では頂点Aに位置し，1秒ごとにある頂点から他の
3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．このとき，時刻0から時刻nまでの間に，
4頂点A，B，C，Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ．ただしnは1以上の整数とする．

３．
空間の1点Oを通る4直線で，どの3直線も同一平面上にないようなものを考える．このと
き，4直線のいずれともO以外の点で交わる平面で，
4つの交点が平行四辺形の頂点にな
るようなものが存在することを示せ．

４．
定数aは実数である．関数y=|x^2-2|とy=|2x^2+ax-1|のグラフの共有点はいくつあるか．
aの値によって分類せよ．

漸化式
a[1]=0
a[2]=1
a[3]=5
a[4]=9
a[n+4]=a[n+3]+2a[n+1]+4a[n]
で定まる数列a[n]において、a[2n]は平方数であることを示せ。

nが奇数
a[n]=(8N+1)(N-1)/9
ここでN=(-2)^{(n-1)/2}

nが偶数
a[n]=[{2･(-2)^(n/2)+1}/3]^2

絶対方向性違うよな

>>34
自作？

>>36
自作かどうか知って、なんか意味あんの？

パクリか

>>38
パクリかどうかなんて関係あんの？

パクリだな
見たことある

問題を作ってないな
てかもうこのスレいらね

>>40
どこで見た？

数オリスレでこういうの見たことがある。3項間漸化式で、各項が平方数に
なっていることを証明する問題。

>>34
場合の数に帰着したら簡単に解けるな

数学セミナーでも同じようなのあったな

益田塾にあったけな

>>13
　
第2種チェビシェフ多項式
　U_15(x) = -1 +112x^2 -2016x^4 +13440x^6 -42240x^8 +67584x^10 -53248x^12 +16384x^14,
より
　sinθ =s とおくと
　sin(15θ) = s･U_15(√(1-s^2)) = 15s -560s^3 +6048s^5 -28800s^7 +70400s^9 -92160s^11 +61440s^13 -16384s^15,
一方、
　sin(15ﾟ) = √{(1-cos(30ﾟ))/2} = √{(1-(√3)/2)/2},

>>34-35
特性多項式
　t^4 -t^3 -2t-4 = (t+1)(t-2)(t^2 +2),
から特性根
　t= 2, -1, ±(√2)i
したがって
　a[n] = (2/3)･2^n +(1/3)･(-1)^n -2a[n-2],

絶対方向性違う･･･

>>34
解答希望

a[2n]=[{2^(n+1)-(-1)^(n+1)}/3]^2

以下の漸化式で定まる数列{a[n]},{b[n]}がある。

a[1]=0
a[2]=1
a[3]=5
a[4]=9
a[n+4]=a[n+3]+2a[n+1]+4a[n]

b[1]=0
b[2]=1
b[3]=5
b[4]=9
b[5]=11
b[n+5]=b[n+4]+2b[n+2]+4b[n]

n≠1,2,3のときa[2n]=b[n+1]^2を示せ。

∠A=90°,AB＞ACの直角三角形ABCがあり、AからBCに下ろした垂線の足をHとする。
AB=√p，AC=√q，AH=√rとおくとp,q,rはみな自然数で、それらの最大公約数は1となった。
BCの長さは自然数であることを示せ。

数列{a[n]}を a[0]=0, a[1]=1, a[n]=a[n-1]+(1/2)a[n-2] で定める。
n≧9のとき a[n] は整数ではないことを証明せよ。

Nを自然数とする。xy平面上の正方形領域0＜x≦N,0＜y≦N内の格子点(x,y)で
xとyが互いに素なものの個数をS(N)とおく。lim[N→∞]S(N)/N^2を求めよ。

>>49
正解っす

>>50-53も誰か解いてちょ

>>53
N=50000で
S(N)=1519848527
S(N)/N^2=0.60793941

6/(π^2)

>>56
正解やで

ゼータ2

俺は>>55だが
分からなかったから自力で5万までは計算したが
そのあとの労力はなかった
どうやったら6/π^2が出るのか教えてくれ>>57

二つの自然数を無作為に選び、それらが互いに素である確率は6/π＾2

n個の自然数を任意に選んだ時
それらが互いに素である確率は
1/ζ(n)

>>61
お前どっかのスレに誤爆してなかった？

>>51
BC=p+q(自然数)　
で終わり

(^ω^)嘘でした

>>51
BC=√(p+q)　

S=√{(p+q)r}/2=√(pq)/2
(p+q)r=pq
pq-(p+q)r=0
(p-r)(q-r)=r^2

…のあとが証明すべきことはわかるんだけど文章がまとまらない。
(p-r)と(q-r)はrの素因数の積で表せるのだけれど、
p,q,rの最大公約数が1であることを使うと

BC=√(p+q)=r+1
になります。

>>52は三項間での漸化式を立てればいいのかな

dを正の整数としたとき3つの整数
2d+1,5d+4,13d+12
が全て平方数になることはないことを証明せよ

ごめん>>65は最後間違い

>>53
こんなん高校の範囲で解けんの？

俺も高校の範囲では解けないと思う

高校範囲内でのζ(2)=π^2/6の導出方法を知っていれば、高校の範囲で解ける。

どうやったらあの問題がζ(2)とつながるのか分からないので解説よろ

x,yが互いに素であるには
(1)x,yのどちらか一方は2の倍数でない
(2)x,yのどちらか一方は3の倍数でない
(3)x,yのどちらか一方は5の倍数でない
･･･
を全ての素数p_iについてについて満たす必要がある。
で、素数p_iについてxがp_iの倍数である確率は
1/p_iであると考えられるので、上の議論からx,yが互いに素である確率は
(1-1/2^2)*(1-1/3^2)*(1-1/5^2)…=Π[i=1,∞]{1-1/(p_i)^2}=1/ζ(2)
になる。この大雑把過ぎる議論に厳密性を持ち込もうとすると
>>53のような形になる。

ζ(2)の求め方とか無限和型ζをオイラー積に直すとかは
知っていれば高校レベルでも可能だとおもうが、
>>53がオイラー積になるというのは厄介な気がする。

ζ(2)=π^2/6って大学入試に出たような…。
たしかどこかの女子大だったはず。
解説には誰かさんの論文からぱくったんだろうみたいなことが書いてあった記憶が…。

>>52
特性多項式は　t^2 -t -(1/2),
特性根は　p = (1-√3)/2, q = (1+√3)/2

　a[n] = (q^n - p^n)/√3 = {Σ[k=0,m] C[n,2k+1] 3^k }/{2^(n-1)},
ここに　m=[(n-1)/2],

あとは任せた。

>>74
2004 日本女子大・自己推薦

はさみうちの誘導付きで札幌医大で出てたような。
青チャートに乗ってたはず。

>>77
それはもしかして
1-1/3+1/5-1/7+・・・=π/4
のことですかい？
これは頻出過ぎて語るに値しない。
1-1/2+1/3-1/4+・・・=log2
も合わせて頻出。

ζ(2)=π^2/6の証明は上記の日本女子大の問題しか見たことない。
富山医科薬科大でζ(2)≦π^2/6が出たことがあるが。

日本女子大のやつをググッて見たらひっかかったので眺めてみたが
こういうやり方ははじめて見た。興味深いな。

手順の簡単さでいえばたまに見かけるド・モアブルの定理と
解と係数の関係を用いるやつのほうが楽な気がするが、
今はド・モアブルの定理はアウトなんだっけ?

それ以外にもないことはないし、アプローチの仕方は多そうだが、
受験問題にするにはかなり頑張って誘導しないとつらそうだ。

>>78 あーそれだったわ＾＾；

ググってみたけど思いっきりガッチガチの誘導付きじゃん。
やはり先の問題は不適切だな。　

日本女子大のが どういう方法を使っているのかは知らんが、それは
ttp://homepage.univie.ac.at/Josef.Hofbauer/02amm.pdf
これと同じ方法か？

>>82
いいえ。
ウォリスの公式のような，(2n-1)!!/(2n)!!を利用してはさみうちする方法です。

sinx=a_[0]*x*(x^2-π^2)*(x^2-(2π)^2)*(x^2-(3π)^2)*･･･

sinx=x-1/3!*x^3+･･･

(-1/3!)/1=-{(2π)^2*(3π)^2*･･･+(π^2)*(3π)^2*･･･+(π^2)*(2π^2)*･･･+･･･/{(π^2)*(2π^2)*(3π)^2･･･}
=-(1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･)/π^2

1/1^2+1/2^2+1/3^2+･･･=π^2/6

>>84
それはオイラーの原証明だね。
無限積の定義や展開の可能性が厳密に基礎づけられたのはもっと後生だけど。

恐るべき直観力

xyz座標空間の|x|≦1，|y|≦1，|z|≦1をみたす領域に点A(a,b,c)，B(p,q,r)があり，
ab+bc+ca，pq+qr+rpの少なくとも一方が0である．
AB=1をみたすように線分ABが動くとき，通過領域の体積を求めよ．

age

age

>>51
p^2=(p-r)(p+q)
q^2=(q-r)(p+q)
r^2=(p-r)(q-r)になる。今,p+q=(平方数)を示せばよい.

(1) 「(p-r)と(p+q)が互いに素」or「(q-r)と(p+q)が互いに素」のとき
　　上か真ん中の式から(p+q)は平方数

(2) 「(p-r)と(p+q)が互いに素ではない」and 「(q-r)と(p+q)が互いに素ではない」のとき
　　p-r=k*a …A
　　p+q=k*b …B
q-r=l*c …C
　　p+q=l*d …D
gcd(a.b)=gcd(c,d)=1.特に,gcd(k,l)=1 (なぜならgcd(p,q,r)=1)

A,Bからp^2=k^2*a*bで(a,b)=(a'^2,b'^2)とかける　(なぜならgcd(a.b)=1)
同様に(c,d)=(c'^2,d'^2)置きなおした後でA,Cを使っていちばん上の式に代入すると
　　
p^2=k*l*a'^2*d'^2

だから(k,l)=(k'^2,l'^2)とかけて結局Bなどから(p+q)は平方数

あげ

サンドイッチマン

king ≤ うんこ

Reply:>>93 何をしている。

>>69-71
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/316

実数係数の2008次式f(x)に対して、以下の2つの方程式(1),(2)を考える。
f(x)=x　　…(1)
f(f(x))=x　　…(2)
方程式(1)が実数解を持たないならば、方程式(2)も実数解を持たないことを示せ。

確率の問題

２枚のカードがある。一枚は片面が赤でもう片面が青。もう一枚は両面が赤。
この二枚のカードを中が見えない袋に入れて、一枚を片面しか見えないように
取り出したところ、赤い面だった。

さて、このカードの裏面が青である確率は？

1/3

整方程式 f(x)＝0 が重複解を持つための条件は、
f(x)＝0 、 f'(x)＝0 が共通解を持つことであるということを示せ

↑くそツマラン問題を出すな

もうこのスレもうダメだ

>>101
結論を出すのはまだ早い。
さすがに、東大にはかてないかもしれないが、
「さすが京大」と思わせられるような問題を
作って欲しい。

真面目に

>京都大学入試作問者になったつもり

になったら難しい問題は出さんだろうに
最近の京大の問題は標準的なレベルの問題ばかりだし

>>96 念のため。

f(x) - x = g(x) とおくと (1) は
　g(x) = 0,
題意により、g はすべての実数xで連続。もし
　g(a) ≦ 0 ≦ g(b),
なる a,b があったと仮定すれば、中間値の定理により、(1)は実数解をもつ。
これは 題意に反する。
∴　g(x) は定符号。

ところで (2) は
　g(f(x)) + g(x) = 0,
だから、実数解をもたない。(終)

A,Bは二次正方行列で、ともに逆行列を持つとする。また、Eは二次単位行列とする。
　A^5=E, ABA^(-1)=B^2, A≠E, B≠E
であるとき、B^n=Eをみたす自然数nが存在することを示し、その値を求めよ。

次の二つの条件をみたす数列{a[n]}(n=1,2,…)の一般項を求めよ。
・ 任意の自然数nに対してa[n]は自然数
・ 任意の自然数nに対してa[a[n]]＜a[n+1]

最高次の係数が1である多項式f(x)で、任意の整数nに対してf(n)が常に
2009で割り切れるようなもののうち、次数が最低のものを求めよ。

>>106
５秒で解けた
a[n]=n

答えは分かるけどそれを他人に伝わるようにいかに説明するのかが主眼という意味では
伝統的な京大らしさのある問題。

まあ106は糞問だわな

まあ105と107もだけどな

109は悔しくてなんかほざいてるみたいだけど106はあたえられた不等式使うだけの糞問

問題１　次の京大入試問題を解いたのち論評せよ。
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/archives.html

糞ガキが一匹紛れ込んでるなｗ

>>108>>110-112
じゃぁ答案書いてみて

>>106
まず、任意の自然数 n に対して、a[n] < a[n+1] を、示す。
仮に、a[n+1]≦a[n] とすると、a[n+1]≦a[a[n]]< a[n+1]となり、矛盾。
したがって、n についての帰納法で、n≦a[n] が、なり立つ。
今、a[a[n]]< a[n+1] だから、{a[n]}(n=1,2,..) の、単調増加性より、
a[n]<n+1。
したがって、a[n]=n

＞仮に、a[n+1]≦a[n] とすると、a[n+1]≦a[a[n]]< a[n+1]となり、矛盾。
a[n+1]≦a[n]という式だけではa[n+1]≦a[a[n]]< a[n+1]という式は出ない。最初の不等号

a[n+1]≦a[a[n]]

はどうやって示すのか？2番目の不等号a[a[n]]< a[n+1]は問題の仮定から明らかだがな。

>>99
十分性は
　f(x) = p(x)(x-a)^2 + f '(a)(x-a) + f(a),
と書けるから。
必要性は明らか。

>>96 >>104
題意より f(0) ≠ 0,
f(0) < 0 のとき g(x) <0,
　x > f(x) > f(f(x)) > f(f(f(x))) > …
f(0) > 0 のとき g(x) >0,
　x < f(x) < f(f(x)) < f(f(f(x))) < …

>>107
　2009 = 7*7*41,
よって 41次式
　f(x) = (x-a)(x-a+1)(x-a+2)…(x-a+40),　aは任意の整数。

東大スレで数オリ並みの難しい問題ばっかりやってたら京大スレの問題がスラスラ解ける(*'∀'*)

あのスレの住人は天才ばっかりだから凡人は行っちゃダメだよ
凡人はここで平凡な問題を出したり解いたりしよう

a,b,cは0より大きく1/2以下の実数でa+b+c=1を満たすとする。
このとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
(7a-1)/(a-a^2)+(7b-1)/(b-b^2)+(7c-1)/(c-c^2)≦18

次の和を計算して、nの式で表せ。
nC2-nC6+nC10-nC14+…

xy座標平面上において、内部に2009個の格子点を含むような円を描くことが出来るだろうか？

xの二次方程式x^2+px+q=0の２つの解が直角三角形の２つの鋭角の
正弦になるためのp,qに関する必要十分条件を求めよ。

>>117
ご指摘どうも。
意外と、難しいんだね。
>>116 は、不完全な答案につき、スルーでお願い。

面積と周長がともに1となる凸四角形は存在するか？

>>125
m9（＾Д＾）ﾌﾟｷﾞｬ-

>>119
君はスラスラと解いてなどいない

>>122
　i = √(-1),　ω = exp(iπ/4) = (1+i)/√2　とおくと,
　(nＣr の係数) = cos(rπ/2) * sin(rπ/4)
　　　　= {1+(-1)^r}/2 * {ω^r -(iω)^r}/(2i)
　　　　= {ω^r +(-ω)^r - (iω)^r - (-iω)^r }/(4i),
∴　(与式) = {(1+ω)^n + (1-ω)^n - (1+iω)^n - (1-iω)^n}/(4i),

>>123
　たとえば、(e,π) を中心とする円を書く。
　半径rを増加させると格子点は1個づつ増えるから、いつか2009個になるだろう。

>>124
　直角3角形の鋭角をα, 90ﾟ-α とする。(0<α<90ﾟ)
　根と係数の関係より　-p = sinα + sin(90ﾟ-α) = (√2)sin(α+45ﾟ),　q = (sinα)sin(90-α),
∴　p^2 -2q = (sinα)^2 + sin(90-α)^2 = 1,
　0 < α < 90ﾟ で sin(α+45ﾟ) は 上に凸だから 1 < -p ≦ √2,

>>126
　３つの頂点および周長(1)を固定して考える。
　このとき（底辺が固定されるから）面積が最大になるのは高さが最大のとき、すなわち2等辺3角形のとき。
　これはどの頂点についても言えるから、等辺4角形すなわち菱形となる。
　また、頂角について考えると、正方形のとき面積が最大となる。
　周長が1のとき、面積は (1/4)^2 = 1/16 を超えられない。　　　(凹4角形まで含めても)

ハｧハｧ

>>106
(P[k]): n≦kに対しa[n]=n, n≧k+1に対しa[n]≧k+1
という命題を考える。(P[0])は明らか。(P[k-1])を仮定し(P[k])を導く。
a[k],a[k+1],...のうち最小のものをa[m]とすると、
a[a[m-1]]＜a[m]よりa[m-1]≦k-1
仮にm≧k+1とすると(P[k-1])からa[m-1]≧kとなり矛盾するから、
m=k+1, a[k]＜a[n] (n=k+1,k+2,...)
またa[k+1],a[k+2],...のうち最小のものをa[m']とすると、
a[a[m'-1]]＜a[m']よりa[m'-1]≦k
仮にm'≧k+2とすると(P[k-1])からa[m'-1]＞a[k]≧kとなり矛盾するから、
m'=k+1, a[k]=k これで(A[k])が示された。

>>129
>　半径rを増加すると格子点は1個ずつ増える。
同じ円周上に2つ以上の異なる点がなければ十分。

P,Q を相異なる素数とし、(√P, √Q) を中心とする円を描く。
同じ円周（半径r）上に2つの格子点 (X1,Y1), (X2,Y2) があったとすると、
　(X1-√P)^2 + (Y1-√Q)^2 = r^2 = (X2-√P)^2 + (Y2-√Q)^2,
　X1^2 + Y1^2 -X2^2 -xY2^2 = 2(X1-X2)√P + 2(Y1-Y2)√Q,
補題↓により
　X1-X2 = Y1-Y2 = 0.
　(X1,Y1) = (X2,Y2)

〔補題〕
a,b,cは有理数、P, Qは相異なる素数のとき、
　a + b√P + c√Q = 0　⇒　a=b=c=0.
(略証)
与式を通分する。a,b,c (0を除く) の分母の最小公倍数L を両辺に掛けると
　A + B√P + C√Q = 0,　　　　････ (1)
ここに　A=aL, B=bL, C=cL は整数。 A=B=C=0 を以下に示そう。
(1)より
　A^2 = (B√P + C√Q)^2 = (B^2)P + (C^2)Q +2BC√(PQ),
　{A^2 - (B^2)P - (C^2)Q}^2 = (2BC)^2･PQ,
両辺における 素数P,Qの次数を比べて 2BC = 0,

・B=0 のとき　(1)から
　A^2 = (C^2)Q,
両辺における 素数Qの次数を比べて A=C=0,

・C=0 のとき　(1)から
　A^2 = (B^2)P,
両辺における 素数Pの次数を比べて A=B=0, (終)

xy座標平面上において、内部に2009個の格子点を含むような円を描くことが出来るだろうか？

ちょうど・・っていれなくていいの？

これって面積問題だろ

ルベッグつかえよ

>>131
＞両辺における 素数P,Qの次数を比べて 2BC = 0,

意味不明
0点

∫x^2dxを３の倍数の整数で積分しなさい。

>>133
　両辺が0でないとして素因数分解し、PまたはQの次数を比べる。
　左辺は偶数次（0次も含む）、右辺は奇数次となって、矛盾する。
∴　両辺は0である。
∴　2BC = 0.

>>121
ここら辺↓に解答････

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/576-577 , 394, 373-374
不等式スレ３

京都大学からノーベル物理学賞受賞者が
でるような、斬新な問題を作ってくれ。

京大の入試問題は、完璧な時間配分でできているんだよ？
40分かかる難問があれば、10分で解ける易問できちんと帳尻を合わせている。
一問だけ適当なとこからパクってきて、京大の作問者になったつもりなんて、馬鹿丸出しだよ。

>>138
最近の問題は時間が余るだろ

素数が無限にあることを証明せよ。

>>140
まず出ないだろうなー

4で割って1余る素数が無数にあることを証明せよ。

だったら少しは可能性は・・・ないか。

　xy平面で通る点が
(−n,0)(n、0)(0、n)(0、−n)※n=整数の円がある。この
円の内部に存在して、格子点が全て整数であるような正方形
の数はいくらか。正し格子点は円のそれとは接触して良い。

素数、合成数、素数、合成数と数が順に来る場合が無限にあることを
証明せよ

ある素数Nの２乗は合成数Mであるが、Nからその合成数まで素数Nを含めて
素数がN個以上存在することはできない理由を証明せよ。

>>143
それ証明したらフィールズ賞もらえるかも

>>142
＞格子点が全て整数であるような

日本語でおｋ

>>144
N=5
N^2=25

5,7,11,13,19,23

5個以上存在

ラムゼーの定理を証明しなさい　15点

ラムゼーの定理をつかってワイエルシュトラスーボルザノの定理を証明しなさい　15点

>>146
(x,y)の成分が整数

>>150
意味不明

(−n,0)(n、0)(0、n)(0、−n)
r=n
x^2+y^2=n^2

半径nの球に入る体積１の立方体はいくつ？

>>153
[√(6n)/3]^3個？

りーまんすちぇるちぇすの下側を計算するか、根性でパッキング問題を解くか？

有界だけどばりえーしょが発散する関数を一個つくりなさい？

格子点を聞いているのはパッキング問題じゃなくスチェルチェス問題
格子点がないときはパッキング問題でややこしや

>>140

〔補題〕4で割って3余る素数は、無限に存在する。

(略証) 背理法による。
4で割って3余る素数はn個しかない、と仮定する。
これらを p1,p2,･･･,pn とおく。
　N = 4*p1*p2*････*pn + 3,
は 4で割ると3余る。ゆえにNは 4で割ると3余る素因数 をもつ。
一方 N は p1,p2,････,pn のいずれでも割り切れない。
よって p1,p2,･･･,pn 以外に 4で割って3余る素数 p_(n+1) が存在する。
これは仮定と矛盾する。(終)

〔系〕素数は無限に存在する。

>>158
？

>>142の問題難し過ぎるだろ。

問題文がD#レベル

円周率が3.1以上3.2以下であることを証明せよ。

素数が有限だとする
最大素数をpとする
p!+1はpまでのどの素数でも割り切れない。

しってりゃぬこでもかける

ぬこは鉛筆もてないから無理

>>160 じゃあ４点からなる正方形内部

πが循環小数にならないことを証明して

それは阪大がやってただろ

どんな０以外の実数aでもπ^aが循環小数にならないことを証明して

は？
π^a = 100を満たす実数aが存在しないとでもいうつもりか？

どんな０以外の有理数aでもπ^aが循環小数にならないことを証明して

糞スレになってるな

京大っぽい問題ってこだわるほうがちょっと・・・
空間認識、数的処理、トポロジさわり・・・

Reply:>>164 爪にインクをつけて書く。

kingﾜﾛｽ

素数の逆数の和を求めよ

Reply:>>174 和ろ紙。

問題は２種類しかない
１　誰でも簡単に理解できるけど、回答を出すのが難しい。
２　理解するのが難解だけど、回答はわりとすぐに出せる。
それいがいはクソ問

1からnまでの数字が書かれたｶｰﾄﾞが1枚ずつある．
そのｶｰﾄﾞを左右1列に並べるとき，
全ての左からk枚目がkの数字にならない並べ方を a(n) とする．
a(n) を求めるか，それが無理であれば a(n) が満たすべき漸化式を求めよ．

>>145
双子素数が無限にあると証明するだけでフィールズ賞か、お買い得だな

モンモール数なんて京大で出ないだろ

>>178
簡単過ぎる

>>179
数論の中でも有数の未解決問題だからな

双子素数の問題は紀元前から知られてる。
多分解決不能だよ

タオでも無理かな

>>178
a_n=(n-1){a_(n-1)+a_(n-2)}

f(n)=1 if p<n<q, q-p=2
=0 otherwise
Sf(n)dn=0

はーい、皆さん　過疎っているみたいなので超難問いきますよ

(1)次の命題の真偽を述べよ　
　　『0.999999･･･････＝1』

(2)微積を思い付いた人は？

(3)kingの正体は？

(3)が、特に難しいな。

（４）　リーマンのフルネームを現地語で書きなさい。
（５）　∞のスペルは？
（６）　アレフはヘブライ語の何番目の文字
（７）　オイラーが生まれたときの日本の総理大臣は？

Riemann Hypothesis

>>187
俺は中学生の時、微積を思いついて、フレッシュ微分の着想も得た、
収束の部分で少し甘かったけど、証明もほぼ正しい道順だったと思う。
そういう意味では、微積を思いついた人なんて数万人はいるだろう。

>>158
　N = 4*p1*p2*････*pn - 1,
の方がいいと思うよ。
　p1 = 3
だから…

微積思いつけるって天才だろｗｗｗ微積思いつけたら、なし崩しで
思いつける。

http://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_derivative

>>122
　(1/2)sin(nπ/8)*β^n - (1/2)sin(3nπ/8)*α^n,
ここに　β = 2cos(π/8) = √(2+√2),
　　　　α = 2sin(π/8) = √(2-√2),

>>122
　{2^(n/4)*sinh(γn) - cos(nπ/4)*α^n}sin(nπ/8),
ここに γ = log(β) - (1/4)log(2) = (1/4)log(2) - log(α) = 0.4406867935097710････,

7^t+2��(k=1→n)nCk・(17^k+11^k)(-1)^(k-1)が３の倍数であることを
証明せよ。ただしtは自然数とする。

>>147
ワロタｗｗｗ

>>195-196と>>129どっちが正しいんだ？

x,y,z座標上で、原点Oを中心として半径がn(自然数)の球がある。
この球の内側(球表面を含む)の座標(X,Y,Z)の成分が整数であるような
点は全部で何点あるか。京大生でもとけいないだろうな。

切り口みたいなことかな？
平面でまず考えて、積分の要領で球の場合を数える？

>>197
さっぱりわからん。大学分野だろ。

nの関数で表すことが出来たけど、ここに書くのは面倒

整数問題が解けないやつは数学得意じゃない。

幾何もだな

本当にオリジナルなの？

7^t+2��(k=1→n)nCk・(17^k+11^k)(-1)^(k-1) mod 3
1-��(k=1→n)nCk・(2^2k) mod 3
1-��(k=1→n)nCk mod 3
1-2^n-1 mod 3
1+2^n mod 3
n=2m+1->1+2=0 mod 3
n=2m->1+1=2 mod 3

>>197
って適当だろ？

>>199
>>129 は虚数ｉを使った表現。
　>>195-196 は実数だけを使う表示。

Test your mathematical muscles with this quiz designed by Robert Kaplan.

1. Can you divide by zero? Why, or why not?

2. What is 13 raised to the 0 power? What is 0 raised to the 0?

3. If you add up 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 and so on, will you ever get to 1?

4. Why does zero matter in solving equations?

5. How do zero and calculus combine to tell us when the waves in our affairs crest or crash?

Extra Credit Question:
Are there more counting numbers (1, 2, 3...) or more even numbers (2, 4, 6...)?
HINT: there are different degrees of infinity.

>>204
是非、未解決問題解いてくれ

http://www.msebeida.net/images/naca0012_vorgrid_s__wh23.gif

164 ：無党派さん：2008/10/12(日) 12:38:10 ID:SG3tpNif

小泉純一郎さん（元衆議院議員　享年６６歳）

アメリカ大統領の前で尻振り踊りをしたことで
有名。実はカナダではリアル土下座もしていた。
赤坂プリンスホテルの最高級スイートルームに
一年中宿泊しつづけた資金源は謎である。本人
は、消えた年金問題に絡み、厚生大臣を歴任し
た時代の給与返還など金がないからできないと
主張していた。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　 ＿＿＿＿
|小泉純一郎　殺人　　　　　　　　　　｜｜ 検 索 ｜
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　 ￣￣￣￣
「小泉純一郎　レイプ」でググった結果　　　２３３，０００件
「小泉純一郎　殺人」でググった結果　　　　３７６，０００件
「小泉純一郎　小はん」でググった結果　　　　 ９，１００件　
「小泉純一郎　奥貫浩美」でググった結果　　　２，３４０件
「小泉純一郎　稲川会」でググった結果　 　　９４，９００件
「小泉純一郎　精神病院」でググった結果　１８９，０００件

（市井の声（横須賀市民））
特定郵便局長の世襲を批判して票を得ていたくせに、
自分は引退して馬鹿息子（偏差値４０）ｗに選挙地盤
を譲って世襲すると発表した小泉純一郎って、部下に
特攻を強制しておきながら、自分はさっさと飛行機で
台湾に敵前逃亡して生き延びた富永恭次や、連合艦
隊参謀長のくせに捕虜になって作戦命令書を奪われ
たのに、おめおめとゲリラとの取引で帰ってきて生き
延びた福留繁と、同じぐらい卑怯、卑劣だよな！！！

>>197
３の倍数にならない。

http://www.mpg.de/bilderBerichteDokumente/multimedial/bilderWissenschaft/2005/11/Wicht0502/Web_Zoom.jpeg

http://www.physicalgeography.net/fundamentals/images/globalairmasses.jpg
http://homeboyastronomy.com/wp-content/uploads/2007/10/jetstream2.jpg
http://www.allstar.fiu.edu/aero/images/jetstream.gif
http://www.dkimages.com/discover/previews/834/976510.JPG
http://www.weatherquestions.com/jet_stream.jpg
http://www.crystalinks.com/jetstream.gif
http://www.eduspace.esa.int/Background/images/jet.gif

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/3/3e/Jetcrosssection.jpg

>>199
　ω = exp( πi/4) = (1+i)/√2,
　ω~= exp(-πi/4) = (1-i)/√2 = -iω,
より
　(nＣr の係数) = cos(rπ/2)^2 * sin(rπ/4)
　　　　= {1 + (-1)^r}/2 * {ω^r -(ω~)^r}/(2i)
　　　　= {ω^r - (ω~)^r + (-ω)^r - (-ω~)^r }/(4i),
∴　(与式) = {(1+ω)^n - (1+ω~)^n + (1-ω)^n - (1-ω~)^n}/(4i),　　>>129
一方
　|1+ω| = 2cos(π/8) = √(2+√2) = β,
　|1-ω| = 2sin(π/8) = √(2-√2) = α,
より、
　1+ω　= exp( πi/8)β,
　1+ω~ = exp(-πi/8)β,
　1-ω　= exp(-3πi/8)α,
　1-ω~ = exp(3πi/8)α,
よって
　(1+ω)^n - (1+ω~)^n = {exp(nπi/8) - exp(-nπi/8)}β^n = (2i)sin(nπ/8)β^n,
　(1-ω)^n - (1-ω~)^n = {exp(-3nπi/8) - exp(3nπi/8)}α^n = (-2i)sin(3nπ/8)α^n,
これを >>129 に代入すると
　(与式) = (1/2)sin(nπ/8)β^n - (1/2)sin(3nπ/8)α^n,　　　　>>195

次の値が正の整数となる、正の整数の組（ａ，ｂ）を全て求めよ。
a^2／2ab^2-b^3+1

a^2／2ab^2 って a で約分できるような気がするんだけど。

>>219
数オリの2003年の問題じゃん
パクるなよカス

R=2^N人の人が一対一のじゃんけんで勝敗を決める時、特定の人物が
できる必然の最大連勝数はいくらか？ただしN→∞とはしてはいけない。
最大連勝数R(max)をNを用い表せ

どうせトーナメント表組むんだろう
糞問乙

というか問題が何を言いたいのかが良く分からん

＞必然の最大連勝数
脳内定義乙

高校生すれ荒れてるからこっちに書く

例えば、N=2のとき、（この4人をA,B,C,Dとする）
Aが順番にB,C,Dと勝負すれば最高3連勝が可能だが、最低で１連勝だ
（Aが全敗でも、B,C,Dが勝ってるから）
そこで、トーナメント組むと、４人のうち最低でも一人は２連勝してるやつがいるから（ｒｙ

つまり、「大じゃんけん大会を開いたとき、少なくとも一人r連勝するやつがいる
rの最大値と、そのときの対戦相手の組み方を言え」

・・・とエスパーした
説明し辛い

こんな問題文で入試に出したら抗議殺到だろうな

>>224
例えば３人でじゃんけんをするとする。Ａ，Ｂ、Ｃ。
まずＡとＢがやると必ずどっちかが勝つからそれを
Ａとする。するとＢは振り出し。ＢとＣがやると
かならずどっちかが勝つからそれをＢ。一勝ずつの
ＡとＢがやると必ずどっちかが２連勝する。つまり
最大連勝数は２。こういう具合です。

2^N人でじゃんけん大会を開き少なくとも一人がＮ回連続勝つ確率が1で
あるような場合の時、Nの最大値を求めよ。

結構むずいな。それ。良い問題だ。

設定が正しく伝わるような問題文が構築できれば、だがな。

予想は１０００人でやったら９９９連勝。

8人のとき,連勝作ると
30000000
32222000
43000000
43222000
43300000
44000000
50000000
52222000
54000000
54222000
54300000
54322000
54330000
54400000
55....
.....
とやっていくと７になる。

(1)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 −a^2)
(2)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 −a^4)
(3)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2)

の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数 です。

この質問何回見たか分からん。ここまでしつこいマルチも珍しいかも。

３、４、５の三つの正三角形に囲まれた楕円形の最小の領域を求めよ。

Ｐは素数である。（２Ｐ）≡２であることを示せ（ｍｏｄ　Ｐ＾２）
　　　　　　　　（Ｐ　）

>>236
p=3,
2p=6,
p^2=9,

(2p)≡6(mod p^2)≠2

x、ｙ、ｚは、ｘ＋ｙ＋ｚ＝０を満たす、区間[-2,1]間に属する実数とする。
このとき、�]＾2＋Ｙ＾2＋Ｚ＾2≦６であることを示せ。

cos36=(１／４）＋（１／４）√５である。
このとき、
（ｔａｎ＾2１８）（ｔａｎ＾2５４）が有理数であることを示せ。

空間にｘ１、ｘ2、、、、ｘｎというｎ個の点がある。
どのような組（ｘｉ，ｘｊ）の間にも、ｘｉからｘｊまたは
ｘｊからｘｉまでの矢が存在する。
このとき、矢の方向に進む点�]1、・・・・�]ｎを含む、
�]ａ1→�]ａ2→・・・・→�]ａｎの進路が存在することを示せ。

>>238
x,y,zの条件はあるが、X,Y,Zの条件はないので、示せません
>>239
(tan^218)(tan^254)=(t^2)(a^2)(n^472)
だが、tもaもnもわからない
>>240
点�]1、・・・・�]ｎは矢の方向に進むんですかそうですか

なにこいつｗ

カンザス大学数学科定期試験問題。

次の式を満たす、ｕとｖがある。Ａは０より大きい有理数である。
このとき、Ａは有理数となる辺の値をもつ正三角形の一つの領域
であることを示せ。
ｕ＾２−ｖ＾２＝ｖ＾２−ｗ＾２＝Ａ

キチガイすぐるｗ

解答
まず、有理数の値をとる辺ａ，ｂ，ｃ（ａ＜ｂ＜ｃ）をもつ
正三角形Ｔの存在領域をＡとしよう。
このとき、
ａ＾２＋ｂ＾２＝ｃ＾２
Ａ＝ａｂ／２　
ｕ＝（ａ＋ｂ）／２
ｖ＝ｃ／２
ｗ＝（ｂ−ａ）／２
と表すことができる
したがって、ｕ，ｖ，ｗは有理数である。
また、
Ａ＝ａｂ／２＝（ａ＾２＋２ａｂ＋ｂ＾２）／４−（ａ＾２＋ｂ＾２）／４
　＝（ａ＋ｂ／２）＾２−（ｃ／２）＾２
　＝ｕ＾２−ｖ＾２

Ａ＝ａｂ／２＝（ａ＾２＋ｂ＾２）／４−（ａ＾２−２ａｂ＋ｂ＾２）／４
　＝（ｃ／２）＾２−（ｂ−ａ／２）＾２
　＝ｖ＾２−ｗ＾２
ヒントはここまで。

ｎを２以上の自然数とする。
このときｎ人の人がじゃんけんをしてアイコになる確率をもとめよ

>>245
＞有理数の値をとる辺ａ，ｂ，ｃ（ａ＜ｂ＜ｃ）をもつ
＞正三角形Ｔの存在領域をＡとしよう。

正三角形じゃないじゃん。
あとAは有理数じゃないの？
存在領域ってなに？

>>247
キチガイ相手にしないでいいよ

Let m1, m2, m3 be the slopes of the three sides of
an equilateral triangle in the plane, with no side
parallel to the y-axis. Among all such triangles,
what is the largest value of m1m2 + m2m3 + m3m1?

ジョージタウン大学数学科定期テスト問題。
Take a cylinder of paper of diameter 1
(for example, the carboard tube in the middle of a
roll of paper towel) and cut it at a 45° angle.
Now take the paper cylinder, cut it vertically and
unroll it so it lays flat. See the figure on the left.
What is the function that describes the shape of the top of
the paper?

京都大学も、英語で数学の入試問題を出題し、
英文で解答させればいいのに。

シカゴ大学数学科定期テスト問題。

下の式を満たす、全ての実数�]、Ｙをもとめよ。
８�]＾２−２�]Ｙ＾２＝６Ｙ＝３�]＾２＋３�]＾３Ｙ＾２

スレタイ読み直せよキチガイｗｗ

IQ160ってイタイよ…。

>>250

浪人の漏れがわかるってことは、ジョージタウン大学ってレベル低いのな。

>>255
どこでも定期テストは難しくしないだろ
難しいのが出るなら授業で類題をやっている場合が多いし

>>238
　x^2 +x = 2 - (1-x)(2+x) ≦ 2,
　y^2 +y = 2 - (1-y)(2+y) ≦ 2,
　z^2 +z = 2 - (1-z)(2+z) ≦ 2,
　-(x+y+z) = 0,
辺々たす。

>>239
　tan(18ﾟ)tan(54ﾟ) = tan(18ﾟ)/tan(36ﾟ)
　= (1/2){1 - tan(18ﾟ)^2}
　= [cos(18)^2 - sin(18ﾟ)^2]/[2cos(18ﾟ)^2]
　= cos(2*18ﾟ)/[1+cos(2*18ﾟ)]
　= cos(36ﾟ)/[1+cos(36ﾟ)]
　= 1/√5,
これを２乗する。

周囲３００mの池の回りに素数の距離mのときだけ植木を植えると、何本植木が必要か。

どこが京大？

(4)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 −a^2) * (-1)^(n-1),
(5)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 + a^2) * (-1)^(n-1),

の極限値を求めたいのですが、どうしたら良いでしょうか?　a≠整数 です。

高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962) 第5章, §64

>>252
　8X^2 -2XY^2 = 3X^2 + 3X^3･Y^2,
より
　X{(2+3X^2)Y^2 -5X} = 0,
　X=0 または Y^2 = 5X/(2+3X^2)　　　････(1),

・X=0 のときは Y=0,
・X≠0 のとき
　X,Y∈R だから Y^2 ≧0, 2+3X^2 >0 ∴ X>0,
　与式より Y = (1+4X^2)X^2 / (2+3X^2)　　　････(2)
これと(1)からYを消して
　10 + 15X^2 -X^3 -8X^5 -16X^7 =0,
　(1-X)(10 +10X +25X^2 +24X^3 +24X^4 +16X^5 +16X^6) =0,
∴　正の根は 1 のみ。
∴　(X,Y) = (0,0) (1,1)

188:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 08:33:37 ID:AQ7gcWuF0
>>186
あほ！！
そりゃあ、おれが、別のスレッドに書いた
解答だ。
君自身で、独創的な問題を作れるのかと
きいているのだ。

190:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:01:29 ID:AQ7gcWuF0
>>189
中学生の脳みそで解く問題だぞ。
難しいに決まっているだろうが。

191:Zeus（ゼウス）[]
2008/10/09(木) 09:05:38 ID:AQ7gcWuF0
高校生用には、こういう問題を
用意してある。

「２球面の交わりによってできる円に関する問題を作り、解け」


「連立方程式と線形性に関する論証問題を作り、数式を使わず論証せよ」

★★★★★茨城の高校★★★★★ part18
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1219237794/

こいつまだいたのか・・・

長さNメートルの紐の端と端を結んでできる輪の面積で一番大きい
面積はどれくらいか？

めっさムズイｗｗｗｗ

N^2/4π m

>>265
本気で言ってる？

等周不等式なんかでるわけねーだろ。

age

普通に東京大学や京都大学の方が凄い。
京都大学のノーベル賞受賞者輩出数は日本NO.1。
日本人初のノーベル賞受賞者である湯川秀樹(物理学者)も京都大学出身。
ちなみに湯川秀樹は水瓶座O型。

慶應義塾大学や早稲田大学は所詮は私立大学。
ノーベル賞には縁が無いし国立大学の足下にも及ばない。

水瓶座(湯川秀樹、京都大学)＞山羊座(福澤諭吉、慶應義塾大学)＝魚座(大隈重信、早稲田大学)

三角形ＡＢＣにおいて、a,b,ｃはそれぞれ、
角Ａ，Ｂ，Ｃの対辺の長さである。
このとき、√ａ，√ｂ、√ｃに相当する辺を
もつ、三角形Ａ’，Ｂ’，Ｃ’が存在することを示せ。
また、∠Ｂ’Ａ’Ｃ’＞（１／２）ＢＡＣであることを示せ。

（１０）＾（２００８）−１０＾８は２００８で割り切れることを示せ。

＊十の２００８乗引く１０の８乗は、２００８で割り切れることを示せ。

2008=2^3*251

10^2008-10^8
≡2^2008-2^8≡0(mod 8)

FLTより
10^250≡1(mod 251)
∴10^(2008)-10^8
≡10^8-10^8=0(mod 251)

>>270
WLOG a=>b=>c
Triangle inequality からb+c>a
∴(√b+√c)^2=b+c+2√(bc)>b+c>a
∴√b+√c>√a


A'> 1/2*A
⇔cosA'< cos(1/2*A)
⇔cosA'< √{(1+cosA/2)} (∵0< 1/2*A<π/2)
b+c>aよりA'<π/2なので両辺を2乗しても同値で
⇔2cos^2A'< 1+cosA
Cosine Theoremから
⇔(b+c-a)^2/(2bc)<1+(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
⇔(b+c-a)^2< 2bc+(b^2+c^2-a^2)
⇔a<b+c
これは正しい。

式�]＾２＋Ｙ＾２＝Ｚ＾５は、無限の数の解をもつことを
証明せよ。

>>274
Y^2=Z^5-X^2
1=Z(Z^2/Y)^2-(X/Y)^2
1=[√Z・(Z^2/Y)+(X/Y)][√Z・(Z^2/Y)-(X/Y)
右辺をp・qと表すことが出来た。
q=1/pよりpとqは1：1対応
よって無限数解をもつ

>>275
海外の一流大学の数学の問題だけど、
簡単に解いちゃうんだね。
京都大生。

明らか、と答えたい今日この頃
有理数とか整数とか、自然数とかいう条件はなかったのだろうか

ゼウス名前変えたのかよｗ

>>277
ｍ、ｎが正の整数であるとき、ｎ√ｍとｍ√ｎのうち
小さいほうは、3√３よりも大きくないことを示せ。


（注）ｎ√ｍとはｍのｎ乗根のこと。

>>276
俺は群馬医だｗｗｗ

>>274, 277
M,N を自然数として
　X = M･Z^2,　Y = N･Z^2,　Z = M^2 + N^2.

>>279
　m≦n のとき、m^(1/n) ≦ n^(1/n) = exp{f(n)} ≦ 3^(1/3),
(略証)
　f(x) = log(x)/x　とおく。
　f '(x) = {1-log(x)}/(x^2),
　f は x<e で単調増加、 x>e で単調減少。
　f(n) ≦ Max{f(2), f(3)} = Max{log(2)/2, log(3)/3} = log(3)/3,
∵　3log(2) = log(8) < log(9) = 2log(3).

1:堀・切次郎[]
2008/11/24(月) 05:16:52
行列式と面積に関する問題を作り、解け。


問題を作る！高校数学
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/rikei/1227471412/


Zeus＝堀・切次郎

Ｚｅｕｓココ逝けば？
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089455158/l50

a,b,cは1<a<b<cを満たす整数で
(ab-1)(bc-1)(ca-1)はabcで割りきれる
このときa,b,cの組を求めよ

xy=x+yがx,yが整数で成立する組数はいくつ？

素数Ｐとその素数より小さい素数全ての積に１を加えたものＱはどちらが大きいか

よくまあそんな下らん問題が思いつくよ

正四角すいをどのような面で切っても、その断面積が
ａ＾2＋ｂ＾2となる。このとき、その正四角すいの底面の
面積を求めよ。

うるさい。

(a,b,c)=(2,3,5)

>>284
　ab-1 は c で割り切れ,
　bc-1 は a で割り切れ,
　ca-1 は b で割り切れる。

>>285
(x-1)(y-1) = 1.
　∴ 2組（x=y=2 と x=y=0）

>>286
　P/2 < P '< P なる素数 P' がある。（Bertrand 予想、Chebyshevの定理）
P>4 のとき P '>2,
　Q ≧ 2P '+1 > P +1.

有理数ｐ／ｑが与えられている。
このとき、
（１／ｘ）＋（１／ｙ）＝ｐ／ｑ
は、有限個の多数の正の整数解を持つことを証明せよ。

有限個の多数の解を持つことを示せって言われても
何が言いたいのか分からん。

一個以上有限個しか解が無いって言いたいのか？

Ａ，Ｂは、Ａ＋Ｂ＝Ｉ、列（Ａ）＋列（Ｂ）＝ｎを満たす、実数ｎのｎ×ｎの行列である。
このとき、Ａ＾２＝Ａ，B＾２＝ｂ，ＡＢ=ＢＡ＝０であることを示せ。

>>293
英文を和訳したもので。。。
忠実に和訳すると、そういう表現になります。

Ａ，Ｂは、Ａ＋Ｂ＝Ｉ、列（Ａ）＋列（Ｂ）＝ｎを満たす、実数ｎのｎ×ｎの行列である。
このとき、Ａ＾２＝Ａ，B＾２＝Ｂ，ＡＢ=ＢＡ＝０であることを示せ。

>>293
たぶんfinitely many roots of positive integerと言いたいんだろう。

単一の円の中に、正ｎ角形があり、その全ての対角線と辺の長さの
合計をＳｎとするとき、Ｓｎを求めよ。

ある放物線において、互いに二等分する弦が
存在しないことを証明せよ。

三角形ＡＢＣと、その三角形の内部に、点Ｓがある。
このとき、三角形ＡＢＳ，ＢＣＳ，ＣＡＳの面積が
等しいならば、点Ｓは三角形ＡＢＣの中心点であることを示せ。

>>298-300
問題文が意味不明です。

>>295
全然忠実じゃないよ。元の文と意味が変わっちゃってるから。

>>296
＞Ａ，Ｂは、Ａ＋Ｂ＝Ｉ、列（Ａ）＋列（Ｂ）＝ｎを満たす、実数ｎのｎ×ｎの行列である。
列（Ａ）って何だよ。「実数 n の n × n　行列」って何だよ。意味不明。

>>298
内接してるんじゃなくてただ内部に大きさ不定の正n角形があるだけなの？
そんなん求まる訳無いじゃん。

>>300
「中心点」って原語は何？三角形の「中心」と呼べるような点は五種類あるんだけど。
「〜〜。したがって点Sは三角形ABCの中心点である。」
なんて書いたら入試でも容赦無く減点されるよ、多分。

元の英文

Let　Ｓｎ　ｂｅ　ｔｈｅ　ｓｕｍ　ｏｆ　lengths　ｏｆ　all　ｔｈｅ　sideｓ
ａｎｄ　all　ｔｈｅ　diagonals　ｏｆ　ａ　regular　ｎ−ｇｏｎ　inscribed　ｉｎ　ａ　unit　circle．
Evaluate　Ｓｎ．

単一じゃなくて半径1の円だろ。

直訳ではないが、
Snを半径1の円に内接する正n角形の全ての辺、対角線の長さの総和とするとき、Snを求めよ。

こんな感じだろうか。ていうか作問スレじゃかったっけここ。

ZEUSの頭の悪さは異常

それはトリビアル

>>305
これのあとにlim[n→∞]Sn/(n^2)を求めよ
とかがあったら京大レベルではないけど入試問題っぽくはなりそう

>>288もなんか変な誤訳してそう。

つうかそれ以前に a と b って何だよっていうｗ

てかスレ違いだろ

自分で作ったんじゃなくて海外から引っ張ってきてるのか
しねよクズｗ

以降も海外の問題をもってくるんなら
下手な和訳せずに原文で書け。

いや、たぶん海外の元の問題とは別物になっているだろうから
この問題のクレジットは彼に帰するべきだと思うｗ

問題になってないけどなｗｗ

正の整数nに対してS(n)=1+1/2+1/3+･･･+1/n　とし、
S(n)=b/a (a,bは互いに素な正の整数)とする。
bが3で割り切れるようなnをすべて求めよ。

二次方程式の解の公式を記せ
またそれを証明せよ


今のゆとりはちゃんと証明出来るのどのくらいいるかな？
半分もいないと思う。

30年前でも半分もいなかったと思う。

そうなの？
京大目指して浪人中の俺に言わせればあり得ない

何があり得ないのかな？

京大受験生なら何割正答するかな

>>316
2,7,22は3の倍数になるが、それ以外にもあるのかな

多分絶対値のとこ書かないやつ多そう。

>>322
ということは次はn=67 と予想

mを正の整数とし、数列{a[n]}を
a[1]=2
a[n+1]=ma[n]+√{(m^2-1)(a[n]^2-4)}　(n=1,2,...)
によって定める。
すべてのnに対してa[n]は整数であることを示せ.

はいはい帰納法

元ネタを経由せずに示せるなら興味深いけど。

>>325
　a[1]=2, a[2]=2m は明らかに偶数。
与式より、
　a[n] = ma[n+1] - √{(m^2 -1)(a[n+1]^2 -4)},
したがって
　a[n-1] = ma[n] - √{(m^2 -1)(a[n]^2 -4)},
これと与式をたして
　a[n+1] = 2m*a[n] - a[n-1].
を得る。よって a[n] は偶数。

(注)
α = arccosh(a[1]/2) = log({a[1] + √(a[1]^2 -4)}/2),
　μ = arccosh(m) = log(m + √(m^2-1)),
とおくと、一般項は次で表わせる。
　a[n] = cosh(α + (n-1)μ),

>>325 (訂正)

　a[n] = ２cosh(α + (n-1)μ),
ただし　本問では a[1] = 2 だから α=0.

数列{a_[n]}を初項a_1=a、公差1の等差数列とする。ただしaは0以上の実数である。
このとき、a_[i],a_[j],a_[k]が等比数列をなすような相異なる正の整数i,j,kが存在するための
aに関する必要十分条件を求めよ。

充分性は出たんだが、必要性が四目線

長さＬのひもの両端をつなげてｎ角形を作り、その面積をＳ(n)とする。
(1)正ｎ角形のときＳ(n)が最大になる事を証明せよ。
(2)Ｓ(n)の最大値とＳ(n+1)の最大値の大小を理由をつけて説明せよ。


円が一番大きいって事の証明になる

>>332
ならないよ

円はn角形じゃないだろ

書けるかな？

第二回京大実戦の５番は京大らしい問題だと思った

どんな問題？

n→∞なら円だろ

>>330
論理的に非常に大きな欠陥があるな

ミスった
>>332

>>336
うｐ

長さＬのひも一本でn角形作るって事だよな？
n本使うんだったら（2）はクソ以下

第二回京大実戦模試
理系・乙
第五問
座標空間で，点（0,0,1）を中心とし半径1の球面のz≦1の部分をKとする．Kをx軸のまわりに1回転してできる立体の退席を求めよ．

退席を求めてどうすんだorz
体積の誤変換です

>>333
B***
　x^2+y^2=1, z=1
xを固定してx軸との距離RについてはR^2=y^2+z^2=2-x^2
　y=0, x^2+(z-1)=1, z≦1
xを固定してx軸との距離rについてr^2=y^2+z^2=(1-sqrt(1-x^2))^2=(2-x^2)-2sqrt(1-x^2)
　対称性を考慮して求める体積VについてV/(2π)=∫[0,1](R^2-r^2)=∫[0,1]2sqrt(1-x^2)=π/4
(単位円が作る閉領域の1/4の面積)　∴V=(π^2)/2

ちょっとめんどいので過程見てないけれども、答えはpi^2です

>>330 a≧0 じゃ存在するわけねーじゃん

>>347
a=0

1,2,4

>>317
流石にこれくらいは平方完成すれば終わりだから
簡単に証明できるかと…。

東大で出すとしても、加法定理の証明みたいに入り組んだものが出ると思う。
東大で出そうといえば、
1. \sum_{k=1}^{n} k^3(あるいはk^4,k^5)の証明
2. 正弦定理
3. 余弦定理
4. ヘッセの公式

3.、4.(座標平面の直線との距離)は中学生の一次関数でも証明可能。

>>345
>∫[0,1]2sqrt(1-x^2)=π/4
2を掛け忘れていた。π/2だ。すると答えはπ^2だ。
最近こういうミスが多い。若年性痴呆症にでもなったのだろうか。

>>348 元の数は等差じゃなくて良かったんだな。壮大な勘違いしてたよ。
「a が有理数であること」か？

>>332
「円が一番大きい」と言った場合は、どの範囲で面積を
比較しているのか言及しなければならない。
{ 3角形，4角形，5角形，…，円 }
という範囲で面積を比較しているならば、この範囲において一番面積が
大きいのは確かに円になる。しかし、
{ 長さLのひもで作れるジョルダン閉曲線全体 }
という範囲で面積を比較しているならば、この範囲において一番面積が
大きいのは、結果的には やはり円になるものの、その証明は>>332の
ロジックでは示せない。

そりゃそうだ。

「あるとしたらそれは円である」のレベルだったら簡単に示せるんじゃなかったっけ。

>>351
証明がなきゃ0点ですがな、あなた

試験じゃねーからおマンコぐっちょり！

nを自然数とするとき、
29^n＋2^(7n-6)＋(-1)^(n-1)2^(2n-1)
で表される数すべてを割り切るような素数を求めよ。

簡単杉

>>357
(-1)^(n-1)2^(2n-1)は(-1)^(n-1)と
2^(2n-1)の積

>>332
長さがNの正M角形と円では、円が一番大きいことは証明できるけど、長さ
Nのひもで作る面積の最大が円ってのはどうやって証明するんだ？

>>332の路線から入り法に切り替えて証明しているのを見たことがある
最大性の証明が肝だから、そこをどうするかってのがｒｙ

平曲面はn→∞のn角形で書ける
周囲の長さが等しいn角形は正n角形のとき面積が最大
正n角形でn→∞→円
って考えたら駄目？

論理的におかしいと思わないのか？

＞平曲面はn→∞のn角形で書ける
意味不明。「n角形で近似する」という意味だとしたら、その方法では証明できない。

＞周囲の長さが等しいn角形は正n角形のとき面積が最大
その証明はどうやるのか？「周長がＬの正n角形の面積＜周長がＬの円の面積」は
簡単に示せるが、「周長がＬのn角形の面積＜周長がＬの正n角形の面積」は
難しいと思う。

＞「周長がＬのn角形の面積＜周長がＬの正n角形の面積」は
＞難しいと思う。
まずトポロジカルな条件から最大値の存在を導いて
（たとえば閉集合で定義された実数値関数には最大値が存在する、
とかなんとか）その後に
長さ a と長さ b の辺が隣り合っている n 角形 X の面積
　＜　長さ (a+b)/2 の辺が隣り合っていて、その他の辺は X と同じ n 角形 X' の面積
を示せば良い。

どうしてもｎ角形を持ち出してやりたい人がいるみたい。

もういいよそのネタは
有名問題すぎてつまらん

>>362
「等周問題」でググれ。
変分法，フーリエ解析など実に多種多様な証明方法が知られているが，どれも初等的ではなく難しい。

>>366
単純に難しいのはそこじゃないよって言いたかっただけだけどね。

まあ有名問題すぎて詰まらんってのには同意。

>>357-359
　n=1 のときは 33. (=a)
29 = a-4　より
　29^n = (a-4)^n ≡ na*(-4)^(n-1) + (-4)^n,　(mod a^2)
2^7 = 128 = 4a-4　より
　2^(7n-6) = 2*2^{7(n-1)} = 2*(4a-4)^(n-1)
　= -2(n-1)a*(-4)^(n-1) + 2*(-4)^(n-1),　(mod a^2)
また
　(-1)^(n-1)*2^(2n-1) = 2*(-4)^(n-1),
よって
　(与式) ≡ (-4)^(n-1)*{na -4 -2(n-1)a +2 +2} 　(mod a^2)
　　= (-4)^(n-1)*(2-n)a,
∴ 与式はaで割り切れる。
　求める素数は 3,11.

蛇足だが、a^2 で割り切れるのは n≡2 (mod a) のとき。

>>370
正解です。

円になるかどうかの前に>>332の問題は解けるのだろうか
とりあえず問題投下
�T　数直線上に1，a,b(≠0)が与えられてるときに
a*b,a^2,a/bを作図せよ
�U　二次方程式ax^2+bx^+c=0の解は全て複素平面上に作図できる事を示せ
作図には目盛のない定規とコンパスを用いる事
知ってる人は無視してください

京大は微分方程式だけじゃなく複素平面も出題するのか

そいえば複素平面は俺の年で最後だったorz
でも複素平面が何か知ってれば多分出来る

今思えば入試で定規とコンパス使用の時点でだいぶあり得ん
連投スマソ

色んな意味で処置なしの馬鹿だな。

>>372
＞�U
できるの？
�Uではa,b,cは与えられてないんでしょ？？

>>374
できないけど調べる気もない

a,b.cがどんな複素数でもできます
複素数Zが与えられてるときにZ^2,Z^(1/2)をどう書くかがカギ
書き忘れたけど原点も与えられています

うん、だからa,b,cは実軸上に与えられてないんでしょ？
それでできるの？

おもてが３回連続するまでコインを投げ続けるとき、コインを投げる回数の期待値を求めよ。

無理ですね

>>379
�Uは作図できる事を「示す」問題だから実際に作図しなくてもいいです
あと�Uではa≠0です

>>383
お前頭大丈夫か？

ていうか別に適当な複素数a,b,cが与えられて、そこから作図してもいいです

>>385
与えられてなかったらできるはずないだろ
死ねクズ

>>372>>383
ガウス平面にa,b,cが与えられてない(点としてプロットされてない)んでしょ？
どうやるの？
実際に作図することと作図できることを示すってことは本質的な違いはない。

�Uは文章とa,b,cに関係ない図を書くだけで示せるんだけどな･･･
まあいいや�Uはa,b,cが複素平面上で与えられてて、そこから作図するって事で

>>388
自分の設定ミスが指摘されてるかもしれないのに「まぁいいや」で片付けないでよ。
反論があるなら反論してくれ。

a,b,cが与えられてる(複素平面上にプロットされてる)状態から作図するのと
どんな複素数a,b,cでも作図できる事を示すのは違うんじゃないか？

>>390
たとえば、1、1、1の3つが与えられたとして、
複素平面上でどこが「1」なのかをどうやって確定するのって話。

>>390
だめだこいつ・・・早く何とかしないと・・・

>>391
それだったらa,b,cを与えるんじゃなくて平面上での基準の大きさを与えればいいって事？
確かに�Tでは書いてたのに�Uではなんで書いてないんだろう。申し訳ないorz
複素平面上での1とiの大きさはわかってるとしてくれ

もう話題は君の頭の悪さを嘲笑する方にいってるから。

こうやって後から条件どんどん付け足していく奴、前にもいたよな。

素直に非を認め謝ればいいものを。こういう人間がいちばん嫌われる。

1とiだけ与えられてa,b,cは任意の複素数ね・・・
じゃぁ超越数の長さなんかも作図できるのか。すごいね

もう色々と不備があるみたいなので訂正します
�U二次方程式ax^2+bx^+c=0の解は全て複素平面上に作図できる事を示せ
　　　　　　　　　　　　↓
�U複素平面上に1,i,a,b,cが与えられてるときに
二次方程式ax^2+bx^+c=0の解は全て複素平面上に作図できる事を示せ

もう死んだ方がいいほど哀れだわ俺

死んだ方がいいほどじゃなくて死んだ方がいいよ。

答え書けば？

いずれにしろ下らん問題だ

Suppose the interior of the unit circle is divided into two equal areas
by an arc C (i.e., C is a non{self{intersecting path) with end points on
the circle. Show that the length of C is at least 2.

英文で解答せよ。

Suppose the unit square is divided into four parts by two perpendicular
lines, each parallel to an edge. Show that at least two of the
parts have area no larger than 1/4

Let the square be called ABCD and the four points of intersections
of the two line and AB,BC,CD,DA ''P,Q,R,S'' respectively,and the intersection of
PR and QS is O.

Now we can let $AP=x,AS=y$,with 0<x≦1/2,0<y≦1/2 without lose of generality,
thus we easily see that the smallest and greatest parts of the four parts are
APOS and QCRO respectively.and the area of APOS is smaller or equal to 1/4.

Then,suppose that both the area of PBQO and RCSO are larger than 1/4,then
(1-x)y＞ 1/4 and
x(1-y)＞ 1/4 　follow.
by adding these inequalities we have
-2xy+x+y＞ 1/2, so (1/2-x)(1/2-y)＞ 0.
this is contradict the assumption 0<x≦1/2,0<y≦1/2,so we have done.

>>405
京大の大学院生か？

>>405
(1/2-x)(1/2-y)＞ 0.
じゃなくて
(1/2-x)(1/2-y)＜ 0.
ですた。

>>406
暇な学部生

＠　自演障害者と　無色ﾆｰﾄホモコテのお部屋でつ! 気分転換にコメントどうぞ（笑）
キーワードは「ホモ」 [風俗」

http://love6.2ch.net/test/read.cgi/chiri/1228617777/

i hold the fundamentally same view as 407's. but i've used Δx & Δy (both larger than zero).
here it goes...
let the perpendicular line positioned at (1/2+Δx,0) to (1/2+Δx,1)
and let the horizontal line positioned at (0, 1/2+Δy) to (1, 1/2+Δy)
now, the area of the upper right hand rectangular is obviously less than 1/4.
so let's work on the other two rectangulars.
the area of the upper left hand rectangular is (1/2+Δx)x(1/2-Δy),
which is 1/4+1/2Δx-1/2Δy-ΔxΔy .....(1)
the area of the lower right hand rectangular is (1/2-Δx)x(1/2+Δy),
which is 1/4-1/2Δx+1/2Δy-ΔxΔy .....(2)
now the case boils down to the matter of whether both (1) & (2) can be larger than 1/4.
in order for both (1) & (2) to be so, the following two equations need to be true, which are...
1/2Δx-1/2Δy>ΔxΔy ..... (3)
-1/2Δx+1/2Δy>ΔxΔy ..... (4)
but as the equation (3)+(4) indicate,
0>ΔxΔy contradicts the fact that both Δx & Δy are bigger than zero.
so this shows that at least either (1) or (2) has to be less than 1/4.
done!

英語ができるなんて凄いですね

>>408
しつこい石原？

円錐を任意の方向からみたときの断面積を求めなさい。

だから日本語しゃべれって

月の満ち欠けを時間で表すとき、月の見えてる面積を求めなさい

円錐は軸を底辺に直行する面で回転させるときだけ断面積が変わる。
三角はdxdy->costdxdy
円はdxdy->costdxdy

θを０＜θ＜９０を満たす整数とする

tanθ°が有理数となるようなθをすべて求めよ

arctan(a/b)

>>416
http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51338750.html

パイの有理数倍じゃないよ

正多面体は５種類しか存在しないことを示せ

オイラーの公式より明らか

>>419
ん？
>>418より，tanθ°が有理数となるのはθ=45°のときだけだと分かるだろ？

age

半径１の円に４個の円を最充填して４個の面積の和が最大になるように４個の円の各半径を求めなさい。

>tanθ°が有理数となるのはθ=45°のときだけ

arctan(1/3)=?

tanxは０ー＞１のすべての有理数をスパンする・・・＞ｔａｎｘが有理数になるxは無限にある。
QED
x=arctan(a/b)

２個のとき
2a+2b=1
S=pi(a^2+b^2)
=pi(a^2+(1-2a)^2/4)
=pi(2a^2-a+1/4)
dS/da=pi(4a-1)=0->a=1/4
S=pi/8 minimum

>>425
問題をよく読め。
>>416にθは整数って書いてあるだろ。

>>424
最小じゃなくて最大なの？

四角関数という単語から連想できる新しい関数を定義し
それを使った問題を作り、解け

πをかけて整数になるの？それじゃなおさらだな。

問題を書き写すときはちゃんとオリジナルの書き方を守るべきだ。それがコピーの最低条件の
礼儀です。πをかき漏らしてつっこまれている。

>>430-431
おまえらどこまで頭悪いんだよ……

>416 ：１３２人目の素数さん ：2008/12/20(土) 01:59:56
>θを０＜θ＜９０を満たす整数とする
>tanθ°が有理数となるようなθをすべて求めよ
　　　↑
ここに○があるのが見えないのか？？
それとも度数法というものを知らない？？

>>432はラジアンを知らないんだな。

物理や工学のようなレベルの低い分野はともかく、
数学ではそういう場合は(180/π)θと書く。

ごめん見えない

力のある人なら(π/180)θと書くと思うのだが。

平面上の４点O,A,B,Cが(→OA)・(→OB)＝1　(→OB)・(→OC)＝４
(→OC)・(→OA)=９をみたしいてる。点Ｃが直線ＡＢ上にあるとき
で、さらに線分ＡＢ上にないなら｜→OC｜の範囲tを求めよ。

これ数学が得意なやつも見落とす傾向ありの良問

>>433-435
ここは「京都大学入試作問者になったつもりのスレ」なんですが……

京大入試の云々を論じる人が，まさか伝説の問題「tan1°は有理数か」を知らないことはないよね？
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/06/k02-22p/2.html

これを知ってれば，>>416が単なるこれの一般化であることは誰でも分かる。
当然，°が見えなくて弧度法と勘違いしたりすることもあり得ない。
もちろん，入試で「°を見落として弧度法だと思って解きました」なんて言い訳は通用しない。

「レベルの低い…」「数学では…」「力のある…」なんてのは，京大理学部数学科に言ってください。

tan1°は有理数のどこが伝説何だよ、他にもっと難しいのあるからな。
キャラだけで中身は普通な若手芸人と一緒だろ。

>>436
難しいな、学校の先生に聞けよ。

>>438
難易度じゃなくて入試史上問題文最短記録で伝説なんだよ。

>>440
実数とは何か。

６文字だろ。もっと知れ。

>>441
何大の何年の入試問題ですか？

>>442
どっかの大学で見た。

「πは無理数か」

π+e　を求めよ

どうせなら
実数とは何か、何であるべきか。
にしてほしい今日この頃。

>>433は今顔真っ赤にしてるんだろうね
なんだよ(180/π)θってｗ

京大で伝説と言うか神話なのは
『この関数みたす任意の値を求め、しるせ。その値を貴方の得点とする』
だと思うが

>>448
発想が面白いよねｗ

俺受験生だったら多分テンパるｗｗｗ

正確には，これだな。確かに神話だ。

＜1995年京大後期文系第４問＞
自然数 n の関数 f(n)，g(n) を
　f(n) = (n を 7 で割った余り)
　g(n) = 3 f (Σ[k=1,7]k^n)
によって定める。
(1)すべての自然数 n について f(n^7) = f(n) を示せ。
(2)あなたの好きな自然数 nを一つ決めて g(n) を求めよ。その g(n) の値をこの設問(2)におけるあなたの得点とする。

>>450

　1≦k≦6 のとき　k^6 ≡ 1　(mod 7)
　7^n ≡ 0　(mod 7)
より、
　g(6) = 3f(6) = 3*6 = 18,
　g(n+6) = g(n),
--------------------------
nが奇数のとき
　(7-k)^n ≡ -k^n,　(mod 7)
　�納k=1,7] k^n ≡ 0,　(mod 7)
　∴ g(1) = g(3) = g(5) = 0,
nが偶数のとき
　(7-k)^n = k^n,　(mod 7)
　�納k=1,7] k^n ≡ 2�納k=1,3] k^n,　(mod 7)
　�納k=1,7] k^2 ≡ 2(1+4+9) ≡ 0,　(mod 7)
　�納k=1,7] k^4 ≡ 2(1+16+81) ≡ 0,　(mod 7)
　g(2) = g(4) = 0,

>>451
つまり、0点か18点しかあり得ないってことか。
kが8以上でも同じ議論だもんな

フェルマの小定理で瞬殺

京大数学の問題は思いつけば女子でもできる問題が多いね。おれは好きな
んだが。東大みたいに思いつくのも書くのも計算も面倒くさいのとは違っ
てシンプルでいい。

基本京大は教科書の定義をしっかり理解したらとける問題が多い。
東大や慶大はひねくれた問題が多い、都会の姑息さを感じるぜｗ。

>>455
京都は都会じゃないの？？

京大数学は基本算数。

70年代は京大最強だったのになぁ

最近の京大数学はクソだからなあ・・・
慶応にすら負けてんじゃないの？？

最近の京大数学は非医専用数学の駅弁大レベル

>>458
70年代って・・・
一期校、二期校の時代かよ。
78年くらいに共通一次が始ったんだっけ？
そんな昔の問題見たことない。
80年代も難しいという評判だったが、70年代とは桁違いに
ぬるいのかね？

ttp://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/archives.html
ここで70年以降の問題は全部見られるよ

京大の数学一見難しそうだけど、考え方はワンパターンだな。

90年代の東大が一番エゲつないと思う
あんなんで試験になってたのかね

ずばり、なってませんでした。

ただ、受験数学に数々の名問題を提供し、
80年代にマンネリで閉塞状態にあった数学の入試問題の
新たな可能性を切り拓いた、と言っても大げさではないと思う。

全国の大学の教授たちに入試作問のアイデアを色々と
示唆したのではないだろうか。

合格者が1完2完ばっかだった時期だな
完答ゼロでも合格できた

ただ数学で差がつかないため、０点に近い奴も大量に入学。
その後の指導に困ったとか聞いた事がある。
それで元に戻したんだろう。
正四面体の影の問題は個人的には入試問題史上ベスト１だと思う。

>>467
その問題についてｋｗｓｋ

具体的にその年月出せや。わかんねーんだよ。

>>467
誰から聞いたか具体的にいえよ。

正四面体の影と言えば88年2番だ。
あとは>>462を見ろ。

>>471
答えののってるサイトもついでにはれや。

>>471
違ってるだろうが、まじでちゃんとしろ。お前が行ってるのは
相似のやつだろうが。

http://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/t_pdf/88s.pdf の２番だろ。
ちょっと考えれば答の予想はつくが，正確な論証が恐ろしく難しいという伝説の問題。

>>474
おまえがいってるのは東大だったのか、そのサイトのせろ。
>>462は京大でしょ？

>>474
さっさとそのサイトはれ。まじで中途半端なことしかしねーな。
ぐぐってもでてこんぞ。

http://hwm5.gyao.ne.jp/yonemura/

>>477
答えもはれ、東大のは見つからん。

これのどこかに。ただし書いてるのは気違いなので注意。
http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/tuusinn/mistake.pdf

大数の転載じゃん

何かご不満でも？

いや、大数の編集者ってキチガイなのかなと思ってさ

大数の編集者は別に気違いではない。

あの大数の解答は論理的にやや弱い。
多少減点食らうだろう。

入試数学に少しでも携わってる人間なら，「正四面体の影の問題」といえば東大のあれしかないと分かるだろ。
しかも，>>464-467で90年代の東大入試の難易度のことを論じてるんだし。
正四面体の影の問題を知らなかったのなら，今月発売された
http://www.seibunshinsha.co.jp/books/ISBN978-4-7922-1041-0.html
を全部やって出直してきな。

>>468-470>>472-473>>475-476>>478
お前は今後はもう少し謙虚な態度で臨むことだな。

>>484
お前さぁ、釣りか？受験生はどうなるんだよ。玄人が描いた回答で原点だったら
受験生はどうなるんだよ、適当なことかくなや。まじで切れるぞ。京大受験生の
身にもなってみろ。

受験生はもっと減点。単純な理屈だ。

>>488
だから論理的に弱いだけで何で減点なんだよこら。減点の仕組みわからん
てめーが何いってんだか。

分かったからもう寝ろ。

てめーが寝ろ。減点ってのはなぁ、何をもって何だよ。日本語がおかしい
だけ、論理が弱いだけで減点されてたらまじで。

プププｗｗ
お前不合格間違いなし。
頭悪い奴は努力しても無駄ｗｗ

本当に馬鹿だな。減点ってのは受験生のレベルに合わして決めるんだよ。
てめーらがいちいち探って重箱の隅つついた指摘何て寛容の範囲だろ。
まじで殺すぞ、むかつくな。

プププｗｗ
お前不合格間違いなし。
頭悪い奴は努力しても無駄ｗｗ

国賊を排除せよ。

>>493
まー、そりゃ受験生のレベルに合わせて決めるだろうね。
そのレベルがどのぐらいかは知らないけど、少なくともプロ以下ってことぐらいは分かるよ。
ただ必死になって言う事じゃないな

伝説の問題言うなら東大後期数学は毎年伝説だった気がするがｗ
まぁ98年後期のアレは安田先生ですら解けなかったとか、その安田先生が知り合いの数学者にFAXして
ギリギリ解答速報に間に合わせたとかメチャクチャな逸話があったりとか

ちなみに減点っていうか部分点は0点を大量に出すと問題だからそれをごまかすために決められることもごにょごにょ


って88年の2番…？
コレは知らん……

安田の本読んだだけのど素人はちょっと黙っとけ。

何だ、ただの煽りだったのかｗ

>>67
>>260
>>316
>>330
>>332
>>398
>>416
>>436

が未解決みたいだ。実力者の降臨を待つ。

>>67の問題とけた。
2d+1 5d+4 13d+12がすべて平方数であると仮定する。
すると
2d+1 = K^2
5d+4 = L^2
13d+12 = M^2
と表せるから、
L^2-K^2 = 3d+3
(L+K)(L-K) = 3(d+1)
よって、
(L+K,L-K) = (3,d+1)または(d+1,3)
前者の場合
　L+K = 3　より L=2 K=1（なぜならば設定よりL>K）
　となりLが平方数とならず仮定と矛盾する
後者の場合
　L=(d+4)/2
　であるから、冒頭の
　L^2 = 5d+4
　と連立してとくと、
　d=12
　となる。これを用いてMを求めると
　M=168
　となり、Mが平方数とならず仮定と矛盾する
以上より、題意は示された。

安田（笑）

>>436 は既に別ｽﾚで既に解かれてる。結構簡単。
どっちかいうと悪問。

>>501
＞(L+K)(L-K) = 3(d+1)
＞よって、
＞(L+K,L-K) = (3,d+1)または(d+1,3)

ここがわからない。俺がバカなのか。
説明頼む。

>>504
それだけじゃ間違ってるようにしか見えない……
何か別の記述を忘れてるのかな？

>>504
そうだな。そこ間違ってるな。別に素数じゃないんだし。

＞L=2 K=1（なぜならば設定よりL>K）
となりLが平方数とならず仮定と矛盾する

これもよくわからない。Ｌが平方数を取るように設定したわけじゃないのに。
いろいろと間違ってるな

安田に何か恨みでもあんのかコイツは…

>>67
補題
　n^2≡0,1,4,9 mod.16である。
証明
nが奇数の時、n=2k-1となり、n^2 = 4k(k-1) + 1。k,k-1はどちらかが偶数なので、
n^2≡1 mod.8　となって、n^2≡1,9　mod.16
nが4の倍数でない偶数のとき、n=2(2k-1)、n^2=4(8m+1)≡4 mod.16
nが4の倍数のとき、n^2≡0 mod.16　　Q.E.D.

本題の証明
以下、dをmod.16で考える。
2d+1が平方数だとすると、2d+1≡0,1,4,9、　2d≡0,3,8,15、 d≡0,4
d≡4とすると、5d+4≡8となり補題に反する。
d≡0とすると、13d+12≡12なり補題に反する。
よって、2d+1,5d+4,13d+12のうちいずれかは非平方数

>>509
＞2d≡0,3,8,15、 d≡0,4
d≡8やd≡12は？

d≡8なら
5d+4≡44≡4,
13d+12≡116≡4
になってmod16での平方剰余から外れないと思うんだが・・・

あ、すまん
5d+4≡44≡12だから外れるな

d≡12も同様か

>>510
すまん、忘れてくれ

と、思ってたら結果オーライだったのか……
なんか気持ち悪いな。どっちにしろ>>509の論旨に間違いがあることは確かだな

x(1)=a
x(n+1)=1/(1+x(n))
を満たす数列x(n)がn->∞の時に収束しないaの値をすべて求めよ

-1と-2だろうか

>>67は三つのうち二つが平方数になりうるときに初めて問題のていをなす
と思うが．

>>516
d=4のとき
2d+1=9=3^2
13d+12=64=8^2

日本数オリ本選で似たような問題が出ていたな.参考までに

2n^2+1
3n^2+1
6n^2+1
が同時に平方数になるような正の整数nは存在しないことを示せ.

>>518
答えは？？

>>67
本質的に
http://www.imomath.com/othercomp/I/Imo1986.pdf
と変わらんな

>>519
もし全部平方数なら(2n^2+1)(3n^2+1)(6n^2+1)も平方数だけど
これを展開してうまく変形すると
(nの2次式)^2-1の形になって隣り合う正の平方数の差が1になって矛盾

>>521
ありえなくね？　どうやって変形したの？

>>522
ごめん(nの3次式)^2-1
だったわ

>>523
同じくあり得ないと思う。要するにnの多項式とみなして変形したんだろ？
n=0の時にも、その変形は成り立ってるんだよな？

(2n^2+1)(3n^2+1)(6n^2+1) = (nの3次式)^2-1
n=0を代入して、ある整数mに対し
1 = m^2 - 1……にならない？

>>524
ごめん曖昧な記憶で適当なこと言ってたわ
俺死ねばいいのに。正しくは全部平方数だと家庭すると

(3n)^2*(2n^2+1)=18n^2+9n^2

(3n^2+1)(6n^2+1)=18n^2+9n^2+1

の2つも平方数。
2つの正の平方数の差が1になるので矛盾。

>>525
こっちこそ突っ込みまくってスマン。
解答サンクス

>>233, >>260, >>500

(1)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 −a^2) = {1 - πa/tan(πa)}/(2a^2),
(2)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 −a^4) = {2 - πa/tan(πa) - πa/tanh(πa)}/(4a^4),
(3)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2) = {πa/tanh(πa) - 1}/(2a^2),

(4)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 −a^2) * (-1)^(n-1) = {πa/sin(πa) - 1}/(2a^2),
(5)　Σ[n=1,∞) 1/(n^2 ＋a^2) * (-1)^(n-1) = {1 - πa/sinh(πa)}/(2a^2),
(6)　Σ[n=1,∞) 1/(n^4 −a^4) * (-1)^(n-1) = {(4) - (5)}/(2a^2),

高木:「解析概論」改訂第3版, 岩波書店(1962), p.283

>>527
いやいや『どうやって』解くのか聞いてるんであって、答えは聞いてないから

>>416
簡単のため度数「°」は省略するが、すべて度数表示とする。

tan45=1は有理数である
tan(90-x)=1/tanxより0<x<45について調べれば十分である.

(補題)tanxが有理数なら任意の正の整数nに対してtan(nx)も有理数である、ただし
tangentが定義されている場合のみ考える
(証明)tangentの加法定理よりtanx,tan(nx)が有理数ならtan(n+1)xも有理数である。
よって帰納的に示される.

さて,整数x(0<x<45)が素因数3をいくつ持つかで場合分けしよう.

(1)xが3と互いに素な場合.
tanxが有理数だと仮定すると補題からtan(30x)も有理数ということになるが(xと3は互いに素なので
30xは90の倍数にならなく,tan(30x)が定義されることに注意)実際にはこの場合ありうるtan(30x)の値
±1/√3,±√3はいずれも無理数なので矛盾する.よってtanxは無理数である.

(2)xが3で割り切れるが9で割り切れない場合
tanxが有理数だと仮定すると補題よりtan(10x)も有理数(同様に10ｘは90の倍数でないことに注意)
で10xは30の倍数なのでtan(10x)としてありうるのは±1/√3,±√3に限られ、(1)と同様に矛盾。
ゆえにtanxは無理数である.

(3)xが9で割り切れる場合.
これはtan9,tan18,tan27,tan36の4つがあげられる.
補題,またtan36=1/tan(54)から,いずれを有理数と仮定してもtan36が有理数であることが従う.
ところが実際にはtan36=（5−2√5）^(1/2).は無理数なので矛盾する.
ゆえにtanxは無理数である.

以上よりtanxが有理数になるような整数xはx=45のみであることが示された.

tan36=（5−2√5）^(1/2).についてｋｗｓｋ

>>530
36°は準有名角

>>531
でも入試では使えないじゃん

cos36°を計算してtan36°を求めても5分もかからんだろ。

>>532
あってりゃ使ってもいいんじゃね？　論旨がどうとかってこととは直接関係ないし

>>534
あってても使っちゃダメよ。

>>533
cos36°の求め方についてｋｗｓｋ

そんなとこに突っかかってる奴は程度が低いね

ロピタルとかテイラー展開は馬鹿の一つ覚えだけど
cos 36°はそうじゃないから別に使っても良いと思うんだけどなあ。

大学によっては減点されるかもしれないけど
それは減点するほうが愚かだと思う。

東大や京大はロピタルにしろテイラー展開にしろ
馬鹿の一つ覚えで解けてしまう問題を出すほうが悪い、という立場だよね。

というか、間違っているものを減点するならともかく、正しいのを減点する理由がよく分からん。
ましてや日本最高レベルの大学で。どう考えても受験用知識でしかないじゃない
日本の学校で勉強したことがない留学生が何かの理由で、東大を受験したとしてもロピタル使ったら減点されるのか？
アホくさくて理解する気にもなれん。

確か、高校で教えてないから証明は知らないはず。証明知らない定理は使っちゃダメ
ってロジックだっけか？

cos36°使って減点するとは思えないね
少なくとも京大では。
合同式なんかもグレーゾーンだが大学入試懇談会では東大の採点官が
減点はしてないと認めてるし。

わたし男だけど、
cos36°の求め方もわからないのにこのスレにいるおとこの人って・・・

cos36°の求め方についてｋｗｓｋ

36°＝θとおくと、5θ＝180°であることから、
sin2θ＝sin3θが成り立つ。
ゆえに、2sinθcosθ＝3sinθ-4sin^3θ
∴sinθ（4sin^2θ+2cosθ-3）＝0
sinθ≠0であるから、4sin^2θ+2cosθ-3＝0
∴4cos^2θ-2cosθ-1＝0
∴cosθ=(1+√5)/4

これを自分で求めて解く問題が94年東大理系2番に出ている。

36°，72°，72°の2等辺三角形使ったほうが早いだろ

いや、記述答案に書くならたぶん>>543の方が早い。

>>544
その早さとやらをみせてほしいね

というか36度の値は旧帝クラス受けるなら最終的には暗記してしまうような。
見かける頻度結構高いし

>>547
ないない

>>547
ないない。数字に特別な意味が無いから覚える価値がない。
「求まる」ということだけ覚えとけばおｋ

せいぜい求め方を覚えておけば十分だよな。
値を覚えるなんてバカらしい。

結構受験生だと、求め方だけ覚えれば良いという発想に至らなくて
丸暗記しちゃう人も多い気がする。

sin 15°とかもそうだよね。

>>549
sin 30°もsin 45°も大した意味無いけどね。
でもみな覚えているよ。

意識して覚えなくても使ってたら覚わる

お前らくだらない議論はいいから問題制作するか未解決問題を解きなさい

f:N->Nが、任意の自然数nに対し、
f(f(n))≦(n + f(n))/2
を満たすとき、条件を満たす写像fをすべて求め、求めたものがすべてであることを証明せよ。

（６ｎ＾３＋３ｎ）＾２＜（２ｎ＾２＋１）（３ｎ＾２＋１）（６ｎ＾２＋１）＜（６ｎ＾３＋３ｎ＋１）＾２。

>>555
>>67の解法ね、鮮やかだな

>>67じゃなくて、>>518だった

>>436
原点Ｏ と直線ABCの距離をdとして、ABCをx軸にとる。
　Ｏ(0,0)　Ａ(a,d)　Ｂ(b,d)　Ｃ(c,d)
とおくと、題意より
　ab+d^2 =1,
　bc+d^2 =4,
　ca+d^2 =9,
　(c-b)(b-a) >0,

>>549
幾何的な意味をおまいが知らないだけ。

>>554
数列 {a_n} を a_1 = a, a_(i+1) = f(a_i) で定める。
f(f(n)) ≦ [n + f(n)]/2より帰納的にa_n ≦ max{a_1, a_2}が分かる。

従って{a_n}は有界であり、
ある k とある n に対してa_(k+n) = a_k となる。

a_1, a_2, ......, a_k, a_(k+1), ......, a_(k+n-1)
が全て異なる整数で、a_(k+n) = a_k となったとする。
このとき任意の i ≧ k に対して a_i と a_(i+1)の
いずれかはこの循環数列の循環節中の数の最大値である。
従ってmax{a_k, ......, a_(k+n)} = a_i としたとき、max{a_(i+1), a_(i+2)} = a_i だから
循環節の長さは 2 以下である。
このとき a_k ≦ [a_(k) + a(k+1)]/2, a_(k+1) ≦ [a_(k+1) + a_(k)]/2より
a_k = a_(k+1) であり、循環節の長さは必ず 1 となることが分かる。

さてf(f(n)) ≦ (n + f(n))/2 より n < f(n) ならば f(f(n)) < f(n) である。
一方上で述べたことより f(f(n)) = f(n)（循環節 1）。これは矛盾。
よって任意の n に対して f(n) ≦ n 。逆にこのとき問題の条件は明らかに満たされる。

以上より、 N を共通部分を持たない単調増加な
有限数列{a_1, a_2, ......, a_m} (a_i < a_j if i < j)
もしくは無限数列 {a_1, a_2, ......} (a_i < a_j if i < j)の直和として
N = (∪_a {a_i})と表わしたとき、
f(a_(i+1)) = a_i、f(a_1) = f(a_1)とするとこの f は条件を満たす。
また問題の条件を満たす f は全てこの形をしている。□

>>436
これどこが難しいの？

>>561
難しくない。

>>562
ｄｓｙｎ

>>560
> よって任意の n に対して f(n) ≦ n

反例：f；1，2，3，4，5，6，7，9，7，8，11，12，13，・・・
つまり、f(8)=9，f(9)=7，f(10)=8，その他のnでf(n)=n
7=f(f(8))≦(8+f(8))/2=17/2=8.5
7=f(f(9))≦(9+f(9))/2=8
9=f(f(10))≦(10+f(10))/2=9
その他のnではもちろんok
これらは問題の条件を満たしている

俺もちょっとやってみたんだけど、∃n　f(n)≦n　までしか分からないんだよね
俺ももちろん∀n　f(n)≦nだったらいいなとか考えてから∃n　f(n)＞nと仮定して
矛盾を探したけど上のような例を作ることが、
しかもうまく取れば無限個作れるから困った

f(1)=3.
f(3)=2.

>>554
　fは全射ぢゃなくていい？

すまん、単射

単射かよｗｗｗｗ

何か怪しいなとは思ったが、これ嘘だな
＞一方上で述べたことより f(f(n)) = f(n)（循環節 1）。

一時期 a_2 が循環節中に入ってないといけないと
錯覚してたのを引きずってたっぽい。

f(n)=n.

>>436
は京大生でも５人に４人は間違えそうな良問。
大抵の人は範囲を絞れない。

>>571=>>436
乙
間違えたのが自分だから正当化したいの？

>>572
then can you solove this provlem?alomost peopl point that
this problem is appearantly easy so utterly apt not to solve
but in fact this problem is so hard to solve completely

>>573
＞almost people

この時点でお前の頭の悪さは分かったから。数学よりまず中学の英語の勉強を薦めとく。

A lot of people who are acustomed to study high school math can
solve the bektle problem which ask for the mere and fixed bektle's
longest or weight on the fundation of certained grafic,but they are
very mistake the problem that ask for the range of possibility of
the bektle weight or longest

英語厨は帰れ。ここは数学の問題。日本にいるなら英語喋れや。

そうだ！ここは数学だけ京大レベルの自称本気出せば京大受かったやつらの集まりなんだぞ。
英語はやめろ！

>>436は某ｽﾚで

ちなみに京大生３人に
解かせましたが一人も正解でませんでした。数学質問板史上まれに見る
難問を出したわけですが、この問題は、どんなにレベル高い参考書にも
同じような問題は極めてないです、１個だけありましたが。

とか書いて失笑を買った問題。

>>436
はでも実際数学の本質を問うてるからな。何でも未知数が含まれてようが
変形して何とかなるだろうって考えでは答え出せないよ。

>>436
解説うｐ

>>579
誰かが引っかかって答えてくれるといいね

もういいよ、この話は。

|c↑|≧6

>>583
引っかかった？

>>584
間違ってんの？
一応複数の方法で確かめたつもりだが。

>>585
おや？

>>330
十分性が示せん・・・

あってるよ。
間違えるやついるの？

>>554,567　単射ならいけた

f：N→N 単射，
（＊）：　f(f(n))≦(n+f(n))/2　(∀n∈N)
としておく。これらを満たす写像fは、f(n)=n（∀n∈N）に限る。

[証明]
∃n'∈N s.t. f(n')＞n' と仮定する。
このとき、∀k≧2　f^k(n')＜f(n')　である。（ただし、fのk回の合成をf^kとかく）
∵）　数学的帰納法により証明する。
k=2のとき、（＊）を使うと、f(f(n'))≦(n'+f(n'))/2＜(f(n')+f(n'))/2=f(n')　∴f(f(n'))＜f(n')
k＞2において、k-1まで成り立つと仮定。
（＊）を用いて、
f^k(n')=f(f(f^{k-2}(n')))≦(f^{k-2}(n')+f^{k-1}(n'))/2
＜(f(n')+f(n'))/2　（帰納法の仮定）
=f(n')
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//
このことから、f^k(n')はk≧2において高々1からf(n')-1までの有限個の値しかとらない。
したがって、∀k≧2　∃j≧2：k≠j　f^k(n')=f^j(n')　・・・（1）　となる。
今、k＞jとすると、fは単射だから、f^k(n')=f^j(n')⇒f^{k-1}(n')=f^{j-1}(n')⇒・・・⇒f^{k-j+1}(n')=f(n')
k-j+1＞1⇔k-j+1≧2だから、上の結果のf^{k-j+1}(n')＜f(n')に反する。k＜jとしても同様である。
これは（1）のk≠jに反する。
したがって、最初の仮定は誤りで、∀n∈N　f(n)≦n　・・・（2）　である。

また、∃n'∈N s.t. f(n')＜n と仮定したときも、上のときと同様に、∀k≧1　f^k(n')'＜n' （≧2でなく≧1に注意）となる。
したがって、f^k(n')はk≧1で有限個の値しかとらない。
また同様にしてfの単射性から、矛盾が生ずる（上のようにk，jを取ったときf^{k-j}(n')=n'，＜n'に反する）。
∴∀n∈N　f(n)≧n　・・・（3）
（2），（3）より、f(n)=n (∀n∈N)
逆に、f(n)=nは単射で、（＊）を満たす。　[]

不等号の代わりに等号でもいけるね。
この場合ちょっと工夫すれば普通の数列の問題になる。

実数aが1/a=a-[a]を満たすとき、aは無理数であることを示せ。
ただし、[a]はaを超えない最大の整数とする。

>>591
[a]=m(整数)とおく
1/a=a-m
⇔a^2-ma-1=0
aが有理数だと仮定すると
この2次方程式の判別式は平方数であることが必要.
つまり
D=m^2+4=n^2 (nは自然数)とかける
(n-m)(n+m)=4より(n-m,n+m)=(2,2)(-2,-2)
∴(n,m)=(2,0)
ゆえにa=±1だがこのときm=[a]は0にならないので矛盾する.

おまえらアタマ良過ぎだわ・・・食い物が違うのか？

＞(n-m)(n+m)=4より(n-m,n+m)=(2,2)(-2,-2)
(n-m,n+m)=(1,4),(4,1)(-1,-4),(-4,-1)
もあるな

あと判別式は０でもいい

D=m^2+4が0となることはない
n,mは整数なのでn-mとn+mの偶奇は一致するからその4つはありえない

こんなことはわざわざ書くまでも無くわかりきっていることだから592は省略したんじゃねーの？
実際のテストじゃないんだし、そんぐらい脳内補完してやれよ

>>594みたいに頭が悪いのもいるからちゃんとrephraseしてあげないと

数式をいじればとけそうな問題が多いな。もっと十分性色の把握が
必要な問題ないのか？こうだからこうなるてきな必要的機械作業は
つまらん。

>>597
>>330

>>549
今更だが…
ただ単に出てくる頻度が多いから嫌でも覚えらさってしまうって程度の意味だ、そうカリカリすんな

>>598
サンクスｗｗ
むずすぎて屁で宗だ。

>>13 B**
>>34 C****
>>51 C***
>>67 C***
>>96 B****
>>106D*****
>>107C***
>>123B***
>>124B***
>>126A**
>>197B**
>>316D
>>325C***
>>330D
>>343B***
>>357B**
>>416C***
>>436B***
>>514C****
>>554D*****
>>591B**

何このAとかBとか***って？

難易度と時間

Aが一番難しいのか？

A．．．ｷｽ
B．．．ﾍﾟｯﾃｨﾝｸﾞ
C．．．ｾｯｸﾙ
D．．．ﾆｼﾝ
I．．．中絶

覚わるとか覚えらさってしまうとか
どこの方言だよ

日本だろｊｋ

n≧kをみたす任意の整数nに対して
n＜m^2＜(2009/2008)*n
となるような整数mが存在するような正の整数kのうち最小のものを求めよ。

>>128
それぞれの平方数をp,q,rとしたときp=q=rは成り立たないよ？
ってことでその解答は誤り

一応解答ね
（６ｎ＾３＋３ｎ）＾２＜（２ｎ＾２＋１）（３ｎ＾２＋１）（６ｎ＾２＋１）＜（６ｎ＾３＋３ｎ＋１）＾２
すべての数が平方数であればその積も平方数になるはずなので上の不等式より
すべての数が平方数となることはない

>>601
近年になって#(無制限)と･(5分)も使うようになったよ

(tan1*tan2*…tan44)^(1/44) ＜ -1 + √2 ＜ (tan1 + tan2 + … +t an44)/44

を示せ。ただし、tanは度数法

>>609
ZEUS乙

>>606
覚わるは知らんが、覚えらさるは北海道弁

ラ抜き言葉もこの流れを汲んでる北海道弁の一種だったりする

Ｎメートルの紐を使ってエンブレムをつくりたい、正し、紐は２本に切って
それぞれからある形をつくる。その形の条件として、紐をＡ、Ｂとすると。
どちらかは円でなければならない、またもう片方は多角形でなければならない。
この多角形と円を組み合わせでエンブレムをつくるわけだが、どちらかが
片方に内接または外接してないといけない。このときエンブレムを構成する
円と多角形の面積の和の最大値を求めよ。

時間　無制限

問題分が意味不明

全ての三辺の長さが異なり、度数で表した場合全ての角がことなり度数で
表すと自然数になるような三角形はいくつあるか。またそれは何か。

３つの連続した素数は必ず一定の公式で表現できることを表せ。

それは何かって
んなもんいっぱいあるだろ

また糞問のオンパレードになってまいりました

>>616
まず二角の大きさが等しい⇔二辺の長さが等しいという
小学生でも知っている事実に気付くかどうかが鍵なわけですね、わかります。

>>617
いみふ

>>614
「正し」ってのは「間違いを正し、叱責する。」みたいに使わんかな。
普通「但し」と書くような。

つうか計算がメンドイだけの問題だし、しかも何か計算してみたら
実は最大値は存在しなかった、みたいなことになりそうだから
解く気しないんだよな

エンブレム（笑）

R=N人の人が一対一のじゃんけんで勝敗を決める時、誰かが必ず
できる必然の最大連勝数はいくらか？ただしN→∞とはしてはい
けない。 最大連勝数R(max)をNを用い表せ 。試数の数はＭ回とし
いろいろな組み合わせで決定される数なので、敗者は負けても、
Ｍ回の組み合わせに含まれる試合の中で戦うことが可能である。

リベンジ
レベルＥ***

>>622
問題文の意味がわからない。
日本語で書けよ

大数のランキングにEとかねーよｗ
しかも標準解答時間が30分かよ
「いろいろな組合せで決定される」とか言われても困る

厨は帰れ

Ｎ人の人間が、一定のシステムによって作られた試合の中でじゃんけんに
よる１ＶＳ１による試合を行うとし、１回の試合で必ず１回どちらかが勝ち
その勝ちは１勝としてカウントされる。試合のシステムを決定した場合、
任意の誰かが必ず連勝できる最大の回数を求めよ。

もういいから
お前が日本語すらも理解できていないのがよくわかる

自然数の範囲において閉区間【X、Ｙ】で、ある自然数Ａの平方数をＡ１とする。
Ａ(１)の平方数をＡ(２)とする。この繰り返しによりＡ(N)(Ｎは自然数)が存在す
るとする。X=X＋Ｍ、Ｙ＝Ｙ＋Ｍとおいて、（Ｍは自然数）Ｍ→∞とするとき
閉区間【Ｘ、Ｙ】におけるＮの大きさはどう変化していくか。

難易度Ｄ************

>>627
日本語でokだよ。

>>585
あってるよ。

＞難易度Ｄ************
問題文(日本語になっていない)を解読する難易度が
これだけ高いということだな。

N^N=√Ｎとなる自然数Ｎは存在するか。京大１９４９年後期

マジで厨は帰れ。せめて青チャートやってから来い。

>>631
そんな問題ねーよｗｗｗｗ

N^(N-1)と(N-1)^Nではどちらが大きいか。正しＮは２以上の自然数とする

１０桁の素数を１個作れ、またその方法論を述べよ。１９５９年京大

素数が存在しない桁は存在するか？１９５９年京大

ある素数をＮとする、Ｎの平方数をＭとする。Ｍ−Ｎが素数、Ｍ＋Ｎが
素数となるようなＮは存在するか。

ＮがＮであるための必要条件へせよ。

ｓｄｆｓｄｆｓｄｆｓｄｆｓｄｆ

自然数nの関数f(n)をnを31で割った余りとして定める.あなたの好きな10桁の素数nを一つ決めてf(n)を求めよ.そのf(n)の値をこの設問におけるあなたの得点とする.

座標空間で，原点を中心とし､半径1の球面をKとする．
KがK上の点,a(1,0,0),b(0,1,1)を結ぶ直線のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ｡

京大実践【5】の改です｡簡単か...。

↑　誤:b(0,1,1) → 正:b(0,0,1)

ZEUSって基地外

>>330　答：aが有理数
添え字の簡素化のため、数列(a[n])を、a[0]=a≧0なる公差1の等差数列とする。
　　∃i，j，k：i≠j≠k s.t. a[i]，a[j]，a[k]がこの順に等比数列　⇔　aが有理数
を示す。

[証明]
=>：　a[n]は公差1の等差数列だから、a[n]=a+nである。
仮定から、a[i]，a[j]，a[k]が等比数列となるようなi，j，k（i≠j≠k）が存在する。
よって、a[j]/a[i]=a[k]/a[j] ⇔ a[i]a[k]=a[j]^2 ⇔ (a+i)(a+k)=(a+j)^2 ⇔ (i-2j+k)a=j^2-ik　・・・（1） である。
ここで、i-2j+k=0とすると、k-j=j-iだから、i，j，kはこの順に等差数列である。
したがって、∃d∈Z s.t. i=j-d，k=j+d である。
（1）より、0=j^2-ik=j^2-(j-d)(j+d)=d^2 ゆえにd=0となり、i≠j≠kであることに反する。したがって、i-2j+k≠0である。
よって（1）より、a=(j^2-ik)/(i-2j+k)となり、aは有理数である。

<=：　aを非負な有理数とする。したがって、a=p/q（p，q∈N）とかける。
i=p，j=p(q+2)，k=p(q^2+3q+3)とすると、i≠j≠kで、
　a[i]=p/q+p=(p/q)*(q+1)
　a[j]=p/q+p(q+2)=(p/q)*(q+1)^2
　a[k]=p/q+p(q^2+3q+3)=(p/q)*(q+1)^3
なので、a[i]，a[j]，a[k]はこの順に等比数列となる。　　　　■

>>644
かっけーっす

自然数の範囲において閉区間【X、Ｙ】で、ある自然数Ａの平方数をＡ１とする。
Ａ(１)の平方数をＡ(２)とする。この繰り返しによりＡ(N)(Ｎは自然数)が存在す
るとする。X=X＋Ｍ、Ｙ＝Ｙ＋Ｍとおいて、（Ｍは自然数）Ｍ→∞とするとき
閉区間【Ｘ、Ｙ】におけるＮの大きさはどう変化していくか。

>>330が入試に出たとして正答率どれくらいになるんだろう

>>644
前半は(1)よりaが無理数だと仮定すると
i-2j+k＝j^2-ik＝0 より i，k は
t に関する2次方程式 t^2−2jt＋j^2＝0 の２解（重解）で
i≠k に矛盾．

では駄目？

>>648
間違いじゃないなら文句を付けることはできないけど
i-2j+k≠0が言えればaが有理数であることは（1）の形から自明なのに
わざわざaを無理数と仮定する必要が感じられない
そう俺は思うだけ

あと
>前半は(1)よりaが無理数だと仮定すると
>i-2j+k＝j^2-ik＝0 より i，k は
>t に関する2次方程式 t^2−2jt＋j^2＝0 の２解（重解）
がよく分からない

>>649
解と係数じゃね?

ﾌ━━━(　´_ゝ`)━━━ﾝ!!

>>649
そのi-2j+k≠0を示すのに手間取ってるように見えるけど。

>>650
そうだったねサンクス

>>652
2次方程式使うにしても、aを無理数と仮定するプロセスは特別必要ではない
i-2j+k=0としたら（1）からj^2-ik=0が出てくるんだから
それで2次方程式使うほうにもっていけばいい

>>644がややこしいというなら2次方程式を使えばいいし
どうしても無理数と仮定したいなら別に間違いじゃないし好きにすればいいと思う

好きにすれば良いとおもうね。

>>644
(2)のうまくi,j,kを持ってくる発想はどっから来たのか教えてくれ
いくつかの具体的な有理数を考えたときうまく等比数列を作れたから
答えの見当はついたけど、証明がまったく歯が立たなかったorz

>>655
まず、a[n]=p/q+n=(qn+p)/qで
もし、nがpの倍数なら、すなわちn=pmのようにかけたら
a[n]=(]qn+p)/q=(pqm+p)/q=(p/q)*(qm+1)ってなる
だから、qm+1についてmをうまく動かしたら等比になるようにすればいいって考えた
特にm=1としてみて
s(q+1)=qs+sとなって、このqs+sがq*整数+1の形となるためには
s≡1(mod q)であればいい
だからs=q+1なんかにしてみる
s(q+1)=(q+1)^2=q(q+2)+1となって、次のmはq+2
同様にs(q+1)^2=(q+1)^3=q(q^2+3q+3)+1だからまたその次のmはq^2+3q+3
だから最初のn=pmのところにmをいれて
i=p，j=p(q+2)，k=p(q^2+3q+3)と取ればｳﾏｰ
だいたいこんな感じ

>>656
おーサンクス！めっちゃ勉強になるわ

>>608
122488

>>631
N=1

>>658
間違い
ex.n=1000^2

1000^2＜2009/2008*1000^2=1000498,0＜1001^2

n＞0が奇数の時、
�納k=1,n-1] {(-1)^(k-1)}*{(n-k)/(k+1)} = �納k=1,(n+1)/2]{(4k-2)/(2k+n+1)}
を示せ

>>660訂正
n＞1

自演臭が漂うね

自演も何も、660=661は単なる修正だと思うが……

>>608
k=16136289
になったけど、あってる？

16136288 ＜ 4017^2 ＜ (2009/2008)*16136288

一個ずれてた・・・orz
16128257か

16136288だろ

寝ぼけてた……

n＞1の奇数のとき、
�納k=1,n] {(-1)^(k-1)}*{(n-k+1)/(k+1)} = �納k=1,(n+1)/2]{(n-2k+2)/(n-k+2)}
を示せ

>>668
簡単のためmを自然数としてn=2m+1とおこう.
�納k=1,2m+1] {(-1)^(k-1)}*{(2m-k+2)/(k+1)} = �納k=1m+1]{(2m-2k+3)/(2m-k+3)}
を示せばよい.

左辺=(2m+1)/2-(2m)/3+(2m-1)/4-･･･-2/(2m+1)+1/(2m+2)
=-[(2m+1)/2+(2m)/3+(2m-1)/4+･･･+2/(2m+1)+1/(2m+2)]+2[(2m+1)/2+(2m-1)/4+･･･+1/(2m+2)]
=-[(2m+1)/2+(2m)/3+(2m-1)/4+･･･+2/(2m+1)+1/(2m+2)]+[(2m+1)+(2m-1)/2+･･･+1/(m+1)]
=-Σ[k=1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+Σ[k=1,m+1]{(2m+3-2k)/k}
=-Σ[k=1,m]{(2m+2-k)/(k+1)}-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)+Σ[k=1,m]{(2m+1-2k)/(k+1)}
=Σ[k=1,m]{-(2m+2-k)/(k+1)+(2m+1-2k)/(k+1)}-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)
=Σ[k=1,m](-1)-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)
=-m-Σ[k=m+1,2m+1]{(2m+2-k)/(k+1)}+(2m+1)
=m+1-Σ[k=1,m+1]k/(2m-k+3)
ゆえに
左辺-右辺=m+1-Σ[k=1,m+1]k/(2m-k+3)-�納k=1m+1]{(2m-2k+3)/(2m-k+3)}
=m+1-Σ[k=1,m+1][k/(2m-k+3)+(2m-2k+3)/(2m-k+3)]
m+1-(m+1)=0
よって示された.


参考問題

p,qが
p/q=1-1/2+1/3-1/4+･･･-1/(1318)+1/(1319)
をみたす自然数のときpは1979の倍数であることを示せ(国際数学五輪1979)

>>608の解答うｐまだ？

めちゃめちゃ自演クサいな

解けないからってひがむな

実数xに対して、xを超えない最大の整数を[x]と表すこととし、さらに、{x}=x-[x]と定める。
nおよびaを正の整数として、
S_n={√a}+{√a}^2+・・・+{√a}^n
とおくとき、条件「あるnに対してS_nが有理数となる」が成り立つようなaをすべて求めよ。

自分で問題書いて、自分で回答、そして自分をマンセーw

そして自分は煽るだけ、と

自演だと思うのは自分に実力がないからだろう
「こんな問題解けるやつが２ちゃんにいるはずがないお！」とか思ってんじゃね

掲示板までわざわざ来て学歴語るって…お前らよっぽどのヒマ人だな。
周りにそんな話ししてるやつなんかいないだろう。

ここにレスしてるやつなんて同じようなヤツばっかだろ。
ほとんどが駿台生で、何らかの劣等感を味わいながら生きてるやつばっか。勉強はできるが学歴しか取り柄がないんだな。

普通に生きてる人間にとっては高学歴だの大学のランクだのなんてどうでも良いんだよ。
それよりコミュニケーションスキルだったり対人関係構築能力の方がよっぽど大事だろ。


てか、そもそもそこまで学歴に執着してること自体異常だと思う。しょせん受験勉強ができると認められただけの話しだろ

どこの誤爆だよ

強い口調で書いちゃったから「誤爆しましたすいません」なんてかっこ悪いこといえないんですね
わかります

自演自演言ってるやつの基地外ぶりにﾜﾛﾀ

次の２条件を満たす写像 f：R→Rをすべて求めよ
・ x ＜ y ⇒ f(x) ＜ f(y)
・ f(x) + f^(-1)(x) = 2x

次の２条件を満たす写像 f：R→Rをすべて求めよ
・ x ＜ y ⇒ f(x) ＜ f(y)
・ すべての実数xに対し、f(x) + f^(-1)(x) = 2x

>>682
> ・ すべての実数xに対し、f(x) + f^(-1)(x) = 2x
681を書き直すよりも　記号　f^(-1)　の意味を書くほうが親切かな。
エスパー５級発動すれば、分からないこともないとは思うが、
出題者の説明を読むのが一番だからな。

逆関数

ﾅﾙｼｼｽﾄ野郎が同じような問題ばっかり書いてﾊﾞﾛｽ

>>685
どれのこと？

>>684が>>683が意図するところをまったく分かってない件

>>683のコメントﾜﾛﾀｗ

問題のレベルがどれも京大入試（昔含めて）よりかなり上に行ってると思うんだが

>>689
入試レベルの問題を出すと、
くだらんカス問と言われて誰も解かない。

まあいいんじゃないか。数学板だし。住民の趣味嗜好に応じて進めれば。

>>683は大学入試の問題としては逆函数の説明があるべき、と言ってるんだろう。
ちょっと高校数学の数IIIでどうなってたか覚えてない。
logか e^x かどっちかの微分を求めるときしか使わないからもしかしたら無いかも。

ありますよ。

>>683
f(x) = x ± c だけ。

ただ言葉での証明が面倒だ

f の逆函数を g とする。 f が条件をみたす ⇔ g が条件をみたす
に注意。 A (a,f(a)) と B (b,f(a)) の間の平均の傾きが t であったとしよう。このとき、
f 上の点 A : (a, f(a)) を g の点 A1 : (a, g(a)) = (a, 2a - f(a)) に写す
操作ア、或いはその逆の操作と、
f の点 A : (a', g(a')) を f の点 A2 : (g(a'), a') = (a, g(a)) に写す
操作イ、或いはその逆の操作（ y = x に関する対称点に写す操作）を考える。
A1B1の傾きは 2 - t に、A2B2の傾きは 1/t となる。
よって f 上の二点間の平均の傾き t の集合は、
かつ写像φ(t) = 1/t と ψ(t) = 2 - t について閉じている。
t は常に 0 ＜ t を満たす。ψについて閉じているから t ＜2 = (1+1)/1。
t ＜ (r+1)/r とすると、φについて閉じていることを使って
t ＞ r/(r+1) が分かり、さらにψについて閉じていることを使って
t ＜ (r+2)/(r+1) が分かる。 従って任意の整数に対して t ＜ (N+1)/N。つまり t ≦ 1。
φについて閉じていることをつかって 1 ≦ t。
つまり t = 1 で、あとは f 上の任意の点(a, f(a))をとり f(a) - a = c とおくと f が唯一に定まる。

いろいろとtypoがあったっぽい。失礼。
数学論文にtypoや誤植が多い理由を悟った気がするｗ

【誤】A (a,f(a)) と B (b,f(a)) の間の平均の傾きが t であったとしよう。
【正】A (a,f(a)) と B (b,f(b)) の間の平均の傾きが t であったとしよう。

【誤】
f の点 A : (a', g(a')) を f の点 A2 : (g(a'), a') = (a, g(a)) に写す
操作イ、或いはその逆の操作（ y = x に関する対称点に写す操作）を考える。
【正】
f の点 A : (a, f(a)) を g の点 A2 : (f(a), a) = (a', g(a')) に写す
操作イ、或いはその逆の操作（ y = x に関する対称点に写す操作）を考える。

【誤】
かつ写像φ(t) = 1/t と ψ(t) = 2 - t について閉じている。
【正】
「かつ」を削除

>>608, 666

k = 4016^2 +1 = 16128257

nを超える最小の平方数を f(n) とおく。
　f(n) = M　　⇔　　(M-1)^2 ≦ n < M^2,
n=(M-1)^2 について題意が成り立てば、 (M-1)^2 〜 M^2 -1 のすべてについて成り立つ。

詳細は
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1220115988/426
T大入試作問者スレ１６

関数ｆの逆関数ｆ＾（-1）が存在するとき、
ｆが単調関数であるための条件を求めよ。

Re：>>696 その条件は逆関数の定義から明らかに、f^(-1)が狭義単調増加ではないのか。

>>697
x≠0,1 のとき f(x)=x
f(0)=1,f(1)=0

Re：>>698 勉強になりました。

ここのスレでは大学でも通用するような定義を採用しているのですね。

>>698
それ単調函数じゃないじゃん

>>700
逆関数の定義は1対1対応からきてて高校も大学も同じだと思うよ。

697 へのレスだから、それでいいでしょ。

Re：>>702 教科書を確認しました。確かに1対1対応からでした。高校では連続関数についてのみ考えるのだと思い込みをしていました。

gaussはking以下

[x]をxを超えない最大の整数とする。

nが自然数全体を動く時、[n + √n + 1/2]は平方数以外のすべての自然数をとることを示せ。

10進数表記で1000桁の自然数がある。どの桁の数も5にならないとき、この数は平方数でないことを示せ

どの面も辺の数が異なる多角形になるような凸多面体は存在するか。
ただし、凸多面体とは、多面体上の任意の二点A,Bに対し、線分ABが多面体内に存在するもののことを言う。

a,bを整数として、二次関数f(x)=x^2 + 2bx + cが任意の整数nに対し、f(n)≧0を満たすとき、
任意の有理数rに対して、f(r)≧0であることを示せ。

>>709
またお前かw

>>707
(10^500 -1)^2=10^1000-2*10^500 +1

なんか寝ぼけてたので忘れてくれ

>>709
cの条件は？

>>713
cも糞もないだろw

∀x(x∈R⇒x+c=0)

>>696
fが連続関数

f: R-{0} ->R-{0}
　 　　x l-> 1/x

>>717
連続とは定義域内での概念。
1/x は連続関数。

すげーボケてるわ
a,bを整数として、二次関数f(x)=x^2 + 2ax + bが任意の整数nに対し、f(n)≧0を満たすとき、
任意の有理数rに対して、f(r)≧0であることを示せ。

有理数じゃなくてもいいじゃんって突っ込みはなし

>>719
よくそんなつまらん糞問思いつくね

高校の定期試験レベル

a,bを整数とし、nを自然数とする。また、[x]をxを超えない最大の整数とする。
nの方程式[na]=[nb]が無限個の解を持つとき、na=nbであることを示せ。

これはひどい

A+B+C=πを満たすとき、sinA+sinB+sinCの最大値を求めよ。

有名問題すぎ吹いた

答えは重要じゃないYO!

>>722
何で既に整数である数の整数部分を取るんだ？
問題に書いてある事の意味くらい理解してから書いてよ。

>>696は
f^(-1) が単調、で良いと思うんだけど。
>>698は反例でも何でもないし。

>>728
fが単調ならf^(-1)も単調になると思うが。

逆も成り立つってだけで
別に何も問題ないような気がするが……

なんか勘違いしてる？

>>696
逆関数が存在しようとしまいと、fが単調関数であるための条件は
fが単調関数である事じゃないのか？

今日の番組の問題をちょっとアレンジしてみた。

平面上に、どの4点も同一直線上にない異なる9点がある。
この9点を並び替えて、同一直線上にある3点の組が最も多くなるようにしたとき、
その3点の組はいくつあるか？

>>732
＞並び替えて
意味不明

>>731
それはあるよね
f が単調というのを言い換えよというのなら
もっと簡単な条件に言い換えないとダメだと思う

>>706

m(m-1) +1 ≦ n ≦ m(m+1) を満たすmが1つだけある。
　m(m-1) + 1/4 < n < m(m+1) + 1/4,
　(m - 1/2)^2 < n < (m + 1/2)^2,
　m -1/2 < √n < m + 1/2,
　(与式) = n + [ √n + 1/2] = n+m,
∴　m^2 +1 ≦ (与式) ≦ m(m+2) = (m+1)^2 -1,

P(x)=x^3+ax^2+bx-1,Q(x)=x^3+cx^2+dx+1は整数係数の多項式で,P(x)は有理数の範囲で因数分解できないものとする.αをP(x)=0の1つの解とすると,α+1はQ(x)=0の1つの解となる.この時,P(x)=0の他の解をa,b,c,dを含まずにαを用いて表せ.

あるゲームがある。１２人の人がそれぞれ、等間隔に並んだドアが円の形をなすドームの中の部屋に入
れられる。ドームは上から中が見えて、ドーム全体の形はもちろん円である。プロモーター曰くその部
屋はすべて同じ形であるという。１２人のゲーマーはそれぞれ１２個の部屋に一人ずつ入れられ、問題
を解決する、部屋の中には仕切りが一つだけあり、仕切りには小さなドアがあり部屋は二つにわけられ
ていた。部屋の全ての角隅には、それぞれ○の記号と○○の記号○○○の記号、がつけられていた。○
の記号は全部で３つ、○○の記号は全部で２つ、○○○の記号は全部で３つあった。さてプロモーター
は上空から叫んだ、君たちを見ているとあの涼しい風物詩を思い出す。季語にもなっていたなぁ......
さてあなたたちは何に見えたのか。

スレチ

京都大学みてみてちんちんおっき

>>736
多投乙

A+B+C=π のとき次式を示せ。
　a'=sin(A/2), b'=sin(B/2), c'=sin(C/2) とおく.

(1)　a'/(a'+b'+c') + b'/(b'+c'+a') + c'/(c'+a'+b') = 1,

(2)　a'/(a'+b'c') + b'/(b'+c'a') + c'/(c'+a'b') = 2,

(3)　1/{tan(A)tan(B)} + 1/{tan(B)tan(C)} + 1/{tan(C)tan(A)} = 1,

(4)　tan(A/2)tan(B/2) + tan(B/2)tan(C/2) + tan(C/2)tan(A/2) = 1,

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1230393194/40

おながいします。

スレチかつマルチ

あるゲームがある。１２人の人がそれぞれ、等間隔に並んだドアが円の形をなすドームの中の部屋に入
れられる。ドームは上から中が見えて、ドーム全体の形はもちろん円である。プロモーター曰くその部
屋はすべて同じ形であるという。１２人のゲーマーはそれぞれ１２個の部屋に一人ずつ入れられ、問題
を解決する、部屋の中には仕切りが一つだけあり、仕切りには小さなドアがあり部屋は二つにわけられ
ていた。部屋の全ての角隅には、それぞれ○の記号と○○の記号○○○の記号、がつけられていた。○
の記号は全部で３つ、○○の記号は全部で２つ、○○○の記号は全部で３つあった。さてプロモーター
は上空から叫んだ、君たちを見ているとあの涼しい風物詩を思い出す。季語にもなっていたなぁ......
さてあなたたちは何に見えたのか。

部屋はすべて同じで全部で１２個

Cosx＋Sinx＋sinx＋cos^3x=√３＋√５＋√７のとき
xを求めよ。

全角の数字使っちゃう男の人って・・・

次の2つの条件をともに満たす、定数でない整数係数多項式f(x)をすべて求めよ。

(1)f(x)のすべての係数の絶対値は1である。
(たとえばf(x)=x+1はOKだがf(x)=x^2+1は1次の係数が0なのでNG)

(2)方程式,f(x)=0の解はすべて実数である。

>>745
ヒント：アーク

xについての多項式f(x)に対し、f(x)の0でない係数の個数をN(f(x))とおく。
たとえば、f(x)=2x^3 + 0x^2 + 1x + 4のとき、N(f(x)) = 3である。

このとき、N((f(x))^2)　＜ N(f(x)) を満たすf(x)が存在することを示し、
その一例を与えよ

>>748
またおまいか。
少しは傾向変えろよ。

正７角形を作図する方法を述べよ....
難しすぎだろ、お前らできる？てかこの板、与えられた興味深い式をこねくり
まわすのすきだけど、幾何学的な問題皆無だな。

後フェルマーの最終定理って中学校から高校までの知識で解ける方法があるらしい
ワイルズの証明法は難し過ぎるらしい。日本人の誰だっけ、埼玉大卒業した人。

釣りは他でやってください

正７角形って実際どう作図するの？

作図の道具を述べられていないからには答えようがない。目盛りの付いていない定規とコンパスだけでは作図不可能。

いや、コンパスあれば出来るよ

折り紙を道具に使えばできるぞ

Re:>>754 是非教えて欲しい。

>>756
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%83%E8%A7%92%E5%BD%A2

悪い。メモリつき定規だった。

Re:>>757 どういうことか。

つーか普通にリンク先に書いてあったな
＞正七角形をコンパスと定規（長さの計測が不可能なもの）で作図することは不可能であるが

>>759
間違えたっつってんだろカス

Re:>>758 Gaussが与えた正多角形の作図可能の必要十分条件を記憶違いしているのかと思った。

Re:>>761 リロードしていなかった。申し訳ない。

>>750
埼玉大and日本人の時点で釣り決定なんだが.....

>>750
幾何は小学生のおもちゃ也
もう遊びつくした

これだけ数学できたら、詰め将棋の公式とかお前ら一瞬で編み出したり
できないわけ？このケースの場合こうやれば積むとか。

>>766
一流の棋士だったら一定のパターンについては一瞬で答えられるだろ
ただ定性的に考えてる人がいるかどうか走らん
将棋に数学を適応はできるだろうけど、慣れるまでの時間が必要
それだったら棋士のほうが有利に決まってる

将棋の全パターン数のオーダーは高すぎる

時々、疑問何だかＩＱテストとかで、次の数字が規則正しくならんでる
例えば　１　３　５　７　○　
○の数字は何かってあるけど、これって、９以外にもあるんじゃね？
関数で叩き出したら、もっとあるんじゃね？

いい加減スレチ

xy軸上の二つのグラフ
Ｃy=ax^3＋bx＋cとＤy=sx＋t　(a,b,c,s,tは実数とする)
ＣとＤが異なる３点で交わったとする、このとき、Ｄがある点を
通り、その条件で傾きsの値を上げるか下げるか、どちからを選ん
だ時どんなsの値でも、必ず３点で交わり続ける事を証明せよ。

これ、大学入試だと、イメージで交わり続けるだろってことだけど
証明難しいな。

>>771
日本語でおｋ

1行目からすでにおかしい

解読に十分くらい掛かった。
こういうこと？

xy平面上の二つのグラフ
C:y=ax^3＋bx＋cとD:y=sx＋t　(a,b,c,s,tは実数とする)
が異なる３点で交わったとする。
Dが或る定点を常に通るようにしながら s 及び t の値を動かしたとき、
C と D は必ず３点で交わり続ける事を証明せよ。
（出来るだけ元の文章の表現を生かすようにした。
或る定点 A を通る或る直線が C と三点で交わったとする。このとき
A を通り y 軸に並行でないいかなる直線も C と三点で交わることを示せ、
とか書いたほうがスマートだけどね。）

でもこれだと重解も複素数解も数えることにしないと成り立たないからなあ。
意味が分からない。

もうちょっと人にわかるように文章を書く練習をした方が良いと思うよ。

>>774
すまんtは動かさない。ある定点を中心に回転するってことは、つまり
回転するんだｗ、直線の場合どこの定点を通ってそれを回転させても
図は変わらないからそういうこと。

何故大学入試では、これを証明しなくていいのか悩んで仕方ない。

例えば
y=x^2のグラフとy=axのグラフの交点を考える場合,a≧０のとき、
aをあげようが下げようが、必ず交わり続ける。
そういうこと。

ちょｗｗｗ、さらにすまん。
sを動かしたらtは自動的に変わるじゃんｗｗｗ
てか俺京大落ちの大阪市立大生ですたｗｗ

ちょｗｗｗ、やっぱ違うわ、まじですまん。つまりＤは直線だけど
これがＣと３点で交わる時、Ｄの任意の点を中心にＤを回転させる。
つまりその点でのＤの傾きを上げるか下げるかする。このときＣと
必ず３点で交わり続けることを証明せよ。
まじすまん。

＞y=x^2のグラフとy=axのグラフの交点を考える場合,a≧０のとき、
＞aをあげようが下げようが、必ず交わり続ける。

意味が分からん。馬鹿なの？
それとも俺が馬鹿なの？
ちなみに俺は京大卒。

>>777
「交わり続ける」の意味が分からん。
ある程度右の方の点を中心にしてある程度傾きを大きくすると交わらなくなると思うが。

>>764
いや、埼玉大学の人だよ、証明してた。

>>778
京大卒？嘘つけよｗｗってほんまならすまん。
いやすまん、やっぱり切片があると紛らわしいから
C　y=sxとしてくれｗｗ。原点中心に回転してくれｗｗｗ

>>778
エスパー7級の俺が解読
x^2=axのときa≠0なら常に2点で交わる、という意味だと思う

>>780
いいから少し落ち着けｗ

>>780
なんでそんなに「ｗｗ」をつけまくってるの？
ほんとは京大に行きたかったけど行けなくて、
だいぶ格下の阪市大にしか行けなかったことに今でも負い目があって、
自分は場違いだと感じながらも京大入試作問スレなんかに来ちゃって、
ちょっと背伸びして数学的なこと書いてみたけど全然トンチンカンで、
東大や京大の人に苦笑いされてるのが薄々分かって、
恥ずかしいけど素直になれなくて、照れ隠しで笑ってるの？

y=1000000000xとy=(1/100000000000000)x^2こんな絶対交わらなさそうな
二つのグラフでも交わるのに、

３次関数の左にひょろひょろって出たグラフの最後の方が、原点を通る
直線と交わらない事ってあるのかなぁって。

もういいよ....ここまで向き合ってくれないなら、俺がつくった問題
１０個くらいあるけど、出すのやめるわ、なーんだい。やる気なくし
たわ(藁)。

>>785
ちょｗｗw俺を騙るなよｗｗｗ

だんだんエスパースレになりつつあるな。

>>784
分かってきたぞ。
つまり、直線がどんなに傾きが大きくても、
2次関数や3次関数のグラフにいつかは追いつかれて、
はるか上の方で絶対交わる、っていう感じのことが言いたいんだな。

こりゃエスパー2級の俺にはきついわ。
>>771からそれを読み取るにはエスパー何級いるんだよ。

>>786
よっしゃｗｗｗｗ問題１個出すわｗｗｗｗｗｗ

俺の至高の一品

xy軸上で
関数y=e^2nx＋logx＋cosxと関数y=e^3nx−logx＋sinxの交点の座標
を求めよ。ｗｗｗｗ

絶対に不可能。超独創的京大レベル。

>>789
お前おもろいな。

>>771
じゃないけど、阪市が京大よりだいぶ格下ってのは違うだろ。
公立だけど都市にあるからな。まぁ、このスレには学歴厨は
いらねぇべぇ

だから、xy軸上でっていうのはなんなんだ
あとe^2nxやe^3nxは(e^2n)xなのかe^(2nx)なのかはっきりしろ

学歴厨が嫌いなら学歴の話すんなよ。

＞これがＣと３点で交わる時、Ｄの任意の点を中心にＤを回転させる。
＞つまりその点でのＤの傾きを上げるか下げるかする。このときＣと
いや傾き -1 とかだと一点としか交わらないことの方が寧ろ普通だけど。
というか回し続けてたらいつか三次関数の接線になるんだから
そのとき交点は二個だろ。

t が動かないということは、 C と y 軸の交点(0., t)を中心に回転させるのか？
とりあえず〜〜を示せという問題を出すときは最低限
人が読んで分かるような表現で、実際に証明できる正しいことを出題してくれ。

>>792
後者だろ。

確かに阪市と京大はそんな差ないが>>771おっちょこちょいすぎるだろｗｗ
出直せ('・ω・')

いや阪大と京大が少ししか違わない、ならまだ分かるが
大阪市立大と京大じゃ全然違うだろ

>>780
その証明はまず確実にどこかで間違ってるので
騙されないように。

つうか自分で答えられない問題を出すとか
どうかと思うけど。
このスレ「京都大学入試作問者になったつもりのスレ」なんだから
最低限解ける問題を出してくれ。

七角形の作図問題みたいなGalois理論使って
作図が不可能なことが分かる問題とかじゃなくて。

>>749
そう思うならとけよｗｗ

>>797
え？君その本みたの？騙されてないよ。
本みろよ。埼玉理学出身だったよ。俺は>>771
じゃないが。

ここまで自演

x≠0としの任意の実数とし、Y=logx＋cosxとするとYはsinだけの式
で合成は可能か？可能でも不可能でもそれらを証明せよ。

>>798
m^3-n^3=(m-n)^4を満たす整数(m, n)の組で、
0＜n＜m＜100を満たすものをすべて求めよ。

>>803
0は含めるのか？

0＜n＜m＜100

あぁすまんｗｗ

>>800
いや埼玉大学出身ってとこに突っ込んでるんじゃないんだが……
証明が間違っているって言ってるだけで。

騙されてないとか言ってるけど、証明全部チェックしたのか？

>>803
　(m,n) = (14,7), (57,38)

>>808
正解です

>>746
f(x)=±x±1(複合任意)

f(x)=±(x^2-1)

f(x)=±(x^3-x^2-x+1),±(x^3+x^2-x-1)

の計10個

>>810
>>746を100万回読み直せ

証明きぼん

>>746
あ、すまんｗ

f(x)=±x±1(複合任意)

f(x)=±(x^2±x-1)(複合任意)

f(x)=±(x^3-x^2-x+1),±(x^3+x^2-x-1)

の計12個

>>746
>>812
証明
f(x)の次数をn(≧1)とし、f(x)=0のn解をa[1],a[2],....a[n](すべて実数)とおく。

解と係数の関係より
a[1]+a[2]+･･･+a[n]=±1
Σ[i<j]a[i]*a[j]=a[1]*a[2]+a[1]*a[2]+･･･+a[n-1]*a[n]=±1
a[1]*a[2]*･･･*a[n]=±1

相加相乗平均の不等式より
a[1]^2+a[2]^2+･･･+a[n]^2≧n{(a[1]*a[2]*･･･*a[n])^2}^(1/n)=n･･･(1)
これと、
a[1]^2+a[2]^2+･･･+a[n]^2=(a[1]+a[2]+･･･+a[n])^2-2Σ[i<j]a[i]≦1+2=3から
n≦3がわかる.

n=1,2のときは
f(x)=±x±1(複合任意)
f(x)=±(x^2±x-1)(複合任意) が容易にわかる。

n=3のときは(1)で等号が成立することとa[1]*a[2]*a[3]=±1から(a[1],a[2],a[3])=(1,1,-1)(1,-1,-1) (cyc)
がわかるからf(x)=±(x^3-x^2-x+1),±(x^3+x^2-x-1)

一辺が1の正n角形x1x2x3…xnの内部に点Pをとる｡
L=x1P+x2P+…xnP とするとき､Lの最小値を求めよ｡

東大板にも書きましたが京大っぽいかも...。

>>815
そういう探せば出てくるような有名問題は相手にされないよ

>>803

　(左辺)−(右辺) = (m-n){m^2 +mn +n^2 -(m-n)^3}
　　　　　　　　 = (m-n)(1/4){3(m+n)^2 + (m-n)^2 -4(m-n)^3},
題意により n<m なので
　3(m+n)^2 + (m-n)^2 -4(m-n)^3 = 0,
∴ m-n は m+n を割り切る。
∴ m-n は 2m, 2n を割り切る。
　(m, n) = （ k･(m-n), (k-1)(m-n) ）,　　kは自然数。
これを与式に入れて
　k^3 -(k-1)^3 = m-n,
　(m, n) = （ k･[k^3 -(k-1)^3], (k-1)[k^3 -(k-1)^3] ）.

>>736
in case：α^2∈Q
P(α)=0,a∈Z,b∈Z
⇒b=-α^2,a=1/α^2
⇒x^2+(α+1/α^2)+1/α=0
⇒x=(-α^3-1±√-3α^3+3α^2+3α+1)/(2α^2)

>>816

有名問題とも言えない気がするが

>>816
有名問題とも言えない気がするが

ふかわ乙

ふかわ乙

>>819
どう見ても有名問題だが

>>815みたいな誰でも思いつくような問題はスレの趣旨にそぐわないだろ（難易度は別にして）
オリジナリティ溢れる良問を頼む。

a,b,c,dを実数とするとき、xの５次方程式
x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0が相異なる純虚数の解を４つ
もつための条件を求めよ。解説も含めて答えられるかな？

答えられませんので次お願いします

5次方程式より、相異なる純虚数4つ、実数1つが解になる
ので、それぞれをu1i,u2i,u3i,u4i,u5（ただしun∈R)とかく。
これより、x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d=Π[n=1,4](x-uni)・(x-u5)とかける。

>>825

5次方程式より、相異なる純虚数4つ、実数1つが解になる
ので、それぞれを ±u1i, ±u2 i, u5 (ただし u1≠u2, u5∈R) とかく。
これより、x^5+x^4+ax^3+bx^2+cx+d = (x^2 + u1^2)(x^2 + u2^2)(x-u5) とかける。
u5 = -1 より
a = b = u1^2 + u2^2,
c = d = (u1･u2)^2,
u1^2 および u2^2 は t^2 -bt+c=0 の根。
これが相異なる2つの正根をもつから、
　b >0,　c >0,　b^2 -4c >0,

>>828
> u5 = -1
何故？

ああ、5次と4次の係数が同じだからか

>>828
それって必要条件しか求めてなくね？
十分性確認しないの？

十分性は明らかだろう

明らかじゃねーっすよ。青チャートの問題だけど、普通に
十分条件も挿入してた。

>>833
>>828は取るに足らないことだと判断したんだろう。
別に試験の答案を書く場所じゃないんだから。

>>834
(＾ω＾；;)一瞬あせった...そうなんすか('^-^`)

a<b<cを満たす整数とする。
y=x^2上に点A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2)をとる。
(1) ∠BAC=60°となることはあるか？
(2) a=-3かつ∠BAC=45°となるb,cを求めよ。
ただし、√2,√3,√5,√7が無理数であることを前提としてよい。

L=Σ((p-xi)*(p-xi))^.5
dL/dp=Σ(p-xi)=0
p=Σxi/n

半径Rの円を底にもつ円錐の頂点が底面の中心から半径rの半球上を動くとき、側面積の最大は？

半径１の円に互いに接する３つの内接円をかく。そのおのおのに同じ操作をするとき、内接円とその外側の
円ととの間にできる面積の総和は収束するか？すればいくらになるか？

839

πか？

>>836

お前、一橋の問題だろこれｗｗｗまんまじゃねぇかｗｗｗ

πR^2-3πr^2
a^2(πR^2-3πr^2)
...
=(πR^2-3πr^2)(1/(1-a^2))

∠BAC=60°
AB*AC=(1/2)|AB||AC|

74 だるまにおん　[2008/11/16(日) 19:29:05]

出題
a,b,cは整数でa<b<cを満たす。放物線y=x^2上に三点A(a,a^2),B(b,b^2),C(c,c^2)をとるとき、∠BAC=60°とならないことを示せ。

75 j　[2008/11/18(火) 21:39:33]

AB:y-b^2=(a+b)(x-b)
AC:y-c^2=(a+c)(x-c)と表される。
ここでAB,ACの傾きをtanα,tanβ(-π/2<α,β<π/2)
とおくと(tanα,tanβ)=(a+b,a+c)で,
b<c⇔a+b<a+c⇔tanα<tanβよりα<βである。
ここで∠BAC=60°ならばβ-α=60°が成立し,
tan(β-α)=tan60°=√3が成立。
⇔|(tanβ-tanα)/(1+tanβtanα)=√3
⇔|(c-b)/{1+(a+a)(a+b)}|=√3
然しa,b,cは整数であり
左辺はa,b,cの四則演算で表されるため有理数だが、
右辺は無理数であるため矛盾する。
∴∠BAC≠60°

サイコロを3回なげ1回目に出た目の数をa二回目b三回目cとする
Ｘ=abcとする

�@Ｘが奇数になる確率を求めよ
�AＸ=12になる確率を求めよ
�By=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ

東大っぽいんですが、

100!=100*99*...*2*1=x*y を満たす自然数の組(x,y)を考える。

(1)x=y にならないことを証明せよ。
(2)x>yとして、(x,y)の組は何通りかを求めよ。

つまらなすぎワロタ

>>845
マルチ

t>0とし(→a),(→p)を空間ベクトルとする。｜→p｜<tであるならば
次の不等式を証明せよ。

{(a→)・(p→)-t}^2≧(1-｜→a｜^2)(t^2-｜→p｜^2)
また上のしきにおいて等号が成り立つのは→p=t(→a)のときに
限ることを証明せよ。

全然分からん、です、ただ左辺マイナス右辺にしてもまとまった
しきがでてこない...

大阪市立大学後期ですが...ムズすぎてゲロはきそうです

左辺 - 右辺を t の二次式とみて平方完成すればおｋ

>>850
いや、無理だろ。平方完成するまえにt消えるからな。

＞平方完成するまえにt消えるからな。
いみふ

よく分からんが左辺のt^2の係数は1、右辺は(1-|a|^2)だから
2次の係数は消えないぞ。

>>849
tは隠れ蓑だろ。
両辺をt^2（＞０）で割って　b↑=p↑/tとおけば、証明すべき命題は
|b↑|＜1　⇒　（1-（a↑）・（b↑））^2≧（1-|a↑|^2）（1-|b↑|^2）
殆ど自明か？

>>849
853みたいな高尚なことはまったく思いつかなかったけど、a↑・b↑=|a↑||b↑|cosθとして
左辺-右辺をちまちま平方完成していったらできたぞ
どこが難しいポイントなのかもさっぱりわからなかった

>>854
できたなら書いてくれよ。おれはそのやり方で自爆したんだが。
てか>>853よ。数学質問板でお前と同じやり方だったけど同一人物か？

>>854
cosθとcos^2が同時に出てきて、どうまとめたらいいか分からなかった。
ちなみにtの式で平方完成するやり方も、t↑a=p↑のときのみ等号が成り立つ
は必要条件すら求められん。元の与式に代入したら、必要条件はそりゃ成立
するけど、それのみは確実に証明できん。

結局
>>853のような方法しかないと思うのだが、こんな糞難しいやり方少ない問題
市立が出すなよまじで夜も寝れん。

>>854
頑張れ職人。
>>853
頭好過ぎ、市立後期の赤本2007年度見てくれ、カスみたいにややこしくて
難しい因数整理とかで学者でも思いつかん、そんなド型破りな発想天才す
ぎる。お前東大生だろ。

>>857
どこから論破してほしいんだｗ

>>855
↑つきでベクトルを表すのはメンドイので、以下ではaだのbだのは全てベクトル。

証明すべき命題を再掲すると
|b|＜1　のとき　(1-a・b)^2≧(1-|a|^2)(1-|b|^2)　

不等式の左辺は正ゆえ、もし　|a|＞１なら右辺は負になるので確かに不等式は成立する。
よって、これ以後は|a|≦1の場合を扱う。

コーシー・シュワルツから　a・b≦|a||b|　である。よって　1-a・ｂ≧1-|a||b| である。
この不等式の両辺は正だから２乗しても不等号の向きは変わらない。
すなわち、 (1-a・b)^2≧(1-|a||b|)^2=1-2|a||b|+|a|^2|b|^2　・・・(*)
ここで　明らかに　-2|a||b|≧-|a|^2-|b|^2　・・・(**) であるから
(*)の右辺≧1-|a|^2-|b|^2+|a|^2|b|^2=(1-|a|^2)(1-|b|^2)
よって　示すべき不等式　(1-a・b)^2≧(1-|a|^2)(1-|b|^2)　　が得られた。
等号はコーシー･シュワルツと(**)で等号がなり立つときだか　a=b のときである。

(1-a・b)^2≧(1-|a|^2)(1-|b|^2)　⇔ aabb-2a・b+1≧aabb-aa-bb+1
⇔aa-2a・b+bb≧0⇔(a-b)^2≧0 等号成立はa-b=0

(a・b)(a・b）≠aabb

ベクトルの問題の解答をまとめたみた。

http://image01.wiki.livedoor.jp/l/y/loveinequality/eabe1dedf6b113fb.pdf

>>861
ほんとだ。そんなに簡単でもなかったか。

((a,p) - t)^2 - (1 - (a,a)^2)(t^2 - (p,p)^2)
= (a,a)^2t^2 - 2(a,p)t + (a,p)^2 + (p,p)^2 - (a,a)^2(p,p)^2
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + (p,p)^2 - (a,p)^2/(a,a)^2 - (a,a)^2(p,p)^2 + (a,p)^2

長さをa, p 、角度をθとおいて余っちゃった項を計算すると
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + p^2 - p^2cos^2θ- a^2p^2 + a^2p^2cos^2θ
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + p^2(1 - cos^2θ- a^2 + a^2cos^2θ)
= (a,a)^2[t - (a,p)/(a,a)^2]^2 + p^2(1 - cos^2θ)(1 - a^2)

t^2で割っても別にそう簡単になるわけじゃないみたいだね。
まあこれは試験場で出ると解けない問題かもしれない。

ちなみに大数の評価はD#でしたね。

平方完成して t の値を動かして最小値を求めたら
それが正になってるはずだから云々、というのは
一応「定石通り」の発想ではあるんだけどね。

どこかで見かけた問題。

3次方程式(*)が0<x<1を満たす実数解を持つことを示せ

4ax^3+3bx^2+2cx=a+b+c･･･(*)

ただしa,b,cは実数

a=0,b>0,c<>0
3bx^2+2cx-b-c=0
x=-c+/-(c^2+(b+c)3b)^.5

-c+(c^2+(c+b)3b)^.5<0
c^2+3cb+3b^2<c^2
cb+b^2<0
0<c<-b<0

f=4ax^3+3bx^2+2cx-(a+b+c)
f(0)=f(1)=0
a+b+c=0
3a+2b+c=0
2a+b=0 b=-2a c=a
df=12ax^2+6bx+2c=12ax^2-12ax+2a
df(1)=df(0)=2a -> 0 is in between x=1 and 0

(t^2-|p↑|^2)>0より|a↑|≧1,|a↑|=0のときの成立は自明なので、0<|a↑|<1で考える
(a↑・p↑-t)^2-(1-|a↑|^2)(t^2-|p↑|^2)
=(|a↑||p↑|cosθ-t)^2-(1-|a↑|^2)(t^2-|p↑|^2) 以下めんどいので|a↑|=a,|p↑|=pとして、見やすいようにapをくくりだす
=(ap)^2(cosθ-(t/ap))^2 -t^2+(at)^2-(ap)^2+p^2
0<a<1,0<p<tよりt/ap>1,(ap)^2>0なので、(ap)^2(cosθ-(t/ap))^2はcosθ=1のとき最小
≧(ap)^2(1-(t/ap))^2 -t^2+(at)^2-(ap)^2+p^2
=(at)^2-2apt+p^2=(at-p)^2≧0
等号成立はcosθ=1かつat=p⇔p↑=t*a↑

2次関数の最小値の議論と式変形のみだけど、何が難しいの？

おっと括弧が足りなかった
t/apはすべてt/(ap)のことです

さらに書き忘れ
p=0のときも簡単な式変形によりすぐに成り立つことがわかります
連投スマン

四方八方にﾏﾙﾁしてる問題。
下記の回答がとどめ。

628 名前： 大学への名無しさん 投稿日： 2009/01/30(金) 23:10:25 ID:Ir62FYej0
>>561
あまり詳しくありませんがミンコフスキー空間の問題のようです
平行四辺形の面積はその対角線の長さの積の1/2以下になるので
ベクトルv,wを|v|,|w|≦1である3次元ベクトルとするとき
これを2辺とする平行四辺形の面積Sは
S≦(1/2)|v+w||v-w|≦(1/2)(|v|+|w|)|v-w|≦(1/2)(1+1)|v-w|=|v-w|
S^2≦|v-w|^2
(v・v)(w・w)-(v・w)^2≦v・v+w・w-2v・w
(1-v・v)(1-w・w)≦(1-v・w)^2
これはミンコフスキー空間においてV=(1,v),W=(1,w)と置くとき
<V,V><W,W>≦<V,W>^2
となることを意味しています
（おそらくもっとスマートな証明があります）

S^2≦|v-w|^2 までは誰でも思いつくけどね

>>849
a↑・p↑=|a↑||p↑|cosθの変形すら使う必要はない。
愚直に二次関数の問題として解ける。
f(t)=|a↑|^2t^2 - 2(a↑・p↑)t + |p↑|^2 - |a↑|^2|p↑|^2 + (a↑・p↑)^2
a↑=0の場合は自明だから以下a↑≠0の場合を考え、t>|p↑|の範囲でf(t)≧0を示す。
(i)(a↑・p↑)/|a↑|^2≦|p↑|のとき
f(t)＞f(|p↑|)=(|p↑|-(a↑・p↑))^2≧0
(ii)(a↑・p↑)/|a↑|^2＞|p↑|のとき
t=(a↑・p↑)/|a↑|^2のときf(t)は最小となり
f(t)≧(1/|a↑|^2-1)(|a↑|^2|p↑|^2-(a↑・p↑)^2)
シュワルツの不等式より、|a↑|^2|p↑|^2≧(a↑・p↑)^2
さらに(ポイントはここだけ)、(a↑・p↑)^2＞|a↑|^4|p↑|^2
ゆえに1/|a↑|^2-1＞0である。したがってf(t)の最小値は0以上で、
シュワルツの不等式で等号が成立する場合に限って0となる。

最後の3行は間抜け

自作問題。

曲線x^2+2xy-3x+y^2-y+2-2n=0上の点で、
x座標、y座標がともに自然数である点がただ一つ存在することを証明せよ。
ただしnは任意の自然数とする。

x-y座標上、(0,0)から(1,1)まで連続した線を引く。
線上の点にx座標値、y座標値の両方が無理数になる点が乗らないようもっとも短く線を引いた場合の線の長さは2であることを示せ。

まってくれまってくれ。

同値関係ってのは、↑Ａ=t↑Ｂ⇔t=｜↑Ａ｜/｜↑Ｂ｜っていう同値
関係は成り立たないんじゃ？

>>864
一応平方和完成できたんんだな、ありがとさん。自分でやってみる。

>>879
誤爆？

>>877
x=n-1, y=-n+1

おっと、ただ1つか

>>877
x+y-1=uとおくとy=n-u(u-1)/2
x,yが自然数となる条件は0＜y≦uかつy,uが整数になることで、
0＜n-u(u-1)/2≦uを変形するとu(u-1)/2＜n≦u(u+1)/2
f(t)=t(t-1)/2とおくとfはt≧1で単調増加だから、
f(u)＜n≦f(u+1)を満たす自然数uはただ一つ存在する。
このuからx,yが一意に定まる。

>>884
お見事。
ちなみに、題意を満たす点(x,y)は、
第一象限(x軸、y軸を含まない)の格子点に点(1,1)から順に
15
10 14
　6　9 13
　3　5　8 12
　1　2　4　7 11
と数字を振り当てていったとき、nに対応する点です。
n=(x+y-2)(x+y-1)/2+y　と式を変形すると、
右辺の第一項はn以下の最大の三角数、第二項はnが振り当てられた点のy座標を表しています。

なんか問題作るほうは楽すぎて申し訳ない

めっちゃ難しい問題かんがえた

胸の奥にしまっておけ

大阪市立大生の数学個人研究マニアだけど、かなり難しい問題
考えた。

等式
x^2(2+y-y^2)+2(y+1)x+y+1=0をみたす整数x,yの組(x,y)を全て
求めよ。かなり難しいと思うが頑張れ。

y+1　でくくれますやん

>>372以降の流れを見る限り、お前の脳みそは信用できない。

>>888
むずいな、まずx=0の時までは分かったんだが、x,yも中途半端な
整数で成り立つかちょっと調査中。

>>888
(x,y)=(t,-1),(-1,1),(1,5)(tは任意の整数)

>>888
左辺=(y+1)(x^2(2-y)+2x+1)
y=-1のときxは任意の整数
y=2のときx=1/2は整数解でない
y!=2のとき
x=(1±√(y-1))/(y-2)
y-1→x=-1
y=5→x=1
y>=10なら分子<分母でxは整数にならない

>>893
y=・・・にして解いてもいいよね

>>888
どこが難しいの？ｗ

x|1

>>888
ｗｗｗ

>>888が分からん

地味に>>888が難し過ぎる件について。

もういいって
詰まんないよおまえ

>>888
解けそうでとけない。

幾何から。

円に内接する四角形ABCDを考える。
△BCD,△CDA,△DAB,△ABCの内心をそれぞれA',B',C',D'とする。
四角形A'B'C'D'は長方形であることを示せ。

かなり難しい問題

等式
y=ax^3+bx+cをみたす整数x,yの組(x,y)を全て
求めよ。

y^2=ax^3+bx+c

>>903
cがあるから任意のx,yの実数を解にできる.

(y-1)(x+101)^102=(y^n-1)(x+100)^102をみたす整数x,yの組(x,y)を
全て求めよ

文字の定義をしろ。

めちゃ簡単だが記憶に残ってる問題
a^3-b^3=217となるa.bの組を全て求めよ
京大の過去問だけど
おかげで現役で入れた

こんな問題が京大で出るとは終わってるね

>>909
難しい問題じゃないが
いろんな解法が考えられるし十分差がつく問題だと思うが

>>910
京大生ってバカなんだね

>>862
天才すぎるｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
どんだけ親切なんだよ、このスレ親切なやつ多すぎ。何か対人関係
で苦労しそうだから頑張れよ。

>>862
解説の数が赤本の５倍でワロタwww。赤本の解説は、何か
因数整理がややこしかったけど、そっちの方が分かりやすいな。

金にならないのによくやるなｗ

いや金になるだろ、これだけ能力あれば。高校数学だからといってまだ
発掘されてない解法だってあるんだろ。

a^3-b^3+a^2b=217となるa.bの組を全て求めよ

とかに改変するとめちゃくちゃ難易度あがるよね

>>862
等号成立条件を間違えてるのと，
>>873の素晴らしい別解がないのが惜しい．

>>912
>>913
>>915
自演乙

ｎ個の実数、x(1),x(2)........x(n)はそれぞれ０より大きい正の
実数である。これらがx(1)＋x(2)＋.......x(n)=1をみたすとき、
T=x(1)^2＋x(2)^2＋........x(n)^2とすると、、x(1),x(2)..x(n)
を変化させていくとき、Ｔが最小値は存在し、最大値が存在しな
い事を証明せよ。

>>919
n=1のとき命題は偽

>>920
すまんn≧２の場合で、ごめん、追加しといて。

n≧2として考える

RMS≧AMより
(T/n)^(1/2)≧(x_[1]+x_[2]+･･･+x_[n])/n=1/n
∴T≧1/n　等号はx_[1]=･･･=x_[n]=1/nのときだから最小値1/n

各x[i]について0<x[i]<1なのでx[i]^2<x[i]
∴T<x[1]+x[2]+･･･+x[n]=1.
ゆえに十分小さい任意の正数εに対して
T＞ 1-εとなるようなx_[1],x_[2],...,x[n]が存在することを示せばよい。
これには
x_[1]=√(1-ε)
x_[2]=x_[3]=･･･=x_[n]={1-√(1-ε)}/(n-1)
とすればよい。
ゆえに最大値なし。

高校の範囲なのか？

x1〜xnを座標だと思って
原点から超平面Π:x1 + x2 + ......... , xn = 1に下した垂線の足をHとし、
さらに超平面内Π内に点H' = (x1+Δx1 ,......... , x(n-1)+Δ(n-1), x_n - (Δx1 + ......... + Δx(n-1))をとると
OH'^2 = OH^2 + HH'^2 よって最小値は H = H' のとき。
OH' > HH' > Δx1だから最大値無し。

高校範囲じゃないじゃんｗ

ああ、適当に高校範囲内の解答に読み替えてくれって書き加えるの忘れた

>>919
これマジで日本語でおｋなんだが
なんだよ　それぞれ０より大きい正の実数　って
意味かぶってんだよｶｽが
それに全角数字なんて使ってんじゃねえよゆとりが

>>927
>>927
>>927

α＝sinx°とする。xが1未満で変化する有理数のとき、αは有理数とし
て存在するか。

問題文でお前が数学できないのはわかる

だいたいsin(-x)=sinxなのにx<1に限定する意味がわからん

>>931

（ ﾟдﾟ）…

kingはオイラーの生まれ変わり

>>929
x=0

有理数として存在するとか意味不明。問題不備。

Reply:>>931 それは何か。
Reply:>>934 あなたもまたオイラーの教えを継ぐべき。

>>929
それ証明できたらノーベル賞取れるよ。

んなわけない。

>>939
何いってるんですか！？！？！？？！？？
僕は大阪市立大学後期試験で合格したエリートですよ！？！？！？
僕が考えた問題は私の友達も絶賛していますし、何せ、凄い数学の
根本をついた問題が多いんですって！！！！

あぁ、スルー検定か

京大＝Ｓ級
市立＝Ａ級ｗｗｗ

今年の６番後半の解答例は、駿台も河合塾もモサモサしてるなあ。
もっと鮮やかな解答募集

age

サイコロを3回なげ1回目に出た目の数をa二回目b三回目cとする
Ｘ=abcとする

�@Ｘが奇数になる確率を求めよ
�AＸ=12になる確率を求めよ
�By=ax＾２+bx＋cがｘ軸からきりとる線分の長さが1/2以上になる確率を求めよ

なんだこ駅弁大で出てそうな問題は

駅弁でもこんな問題ださねぇよ
Fラン私大だろ

0<xで0<f(x)<1である、連続関数f(x)がある
a(m)=∫(0→A(m-1))f(x)dxとするとき

a(M)が1/2002より小さくなるようなMが存在することを証明せよ

↑パクリは止めろ

>>949
教えてくれ、じゃないとリストカットする。これのときかた分からん。
そうだよ名古屋の問題だよ、ばれた？

積分の平均値の定理で瞬殺

具体的にｗｗｗｗ

スレチだし、使うものも書いたんだからあとは自分でやってくれよ

>>953
ちょっとずつ減るんだから、いつかは1/2002より小さくなるって
解法はだめなの？

あｓｄ

ｆｗ

>>948
a(m)＞a(m+1)＞0 より、数列a(m)は下に有界で単調なので収束する。
その値をαとするとα=∫(0→α）f(x)dx。これが成り立つのはα=0のみ。
よって十分大きなMに対して、a(M)<1/2002。

>>948
このAって何？定数？
ひょっとしてaの間違い？
で確認しようと今年の問題かと思ったら違うみたいだな
てか名古屋って4問しかとかなくていいのかよ

aの間違いだね。
これは2002年度の問題。

http://www.densu.jp/nagoya/02nagoyasprob.pdf
元の問題見つけたけど、誘導突き出、解き方まで指定してあるじゃねーか

a(1)=1/2
a(n+1)=2a(n)^2+2a(n)
a(n)を求めよ

a_[n+1]+1/2=2(a_[n]+1/2)^2

>>961
b_n = 2*a_n + 1,
とおくと
　b_[n+1] = (b_n)^2,
よって
　b_n = (b_1)^{2^(n-1)},
　a_n = [ (2*a_1 + 1)^{2^(n-1)} -1 ] /2,

　a，bを0から9までの整数とする。数列{a[n]}_{n=1,2,…}を
　　　　　a[1]=a，　　　a[2]=b，
　　　　　a[n]=(a[n-1]+a[n-2]の1の位の数)　　　(n=3,4,…)
で定める。このとき、a，bの値によらず、常にa[k]=a[2]となるような整数kをすべて求めよ。

簡単すぎ

a^2+b^2=3^nとなる自然数a,b,nは存在しないことを示せ

n>2
a^2+b^2≡0 (mod 3)⇒a≡b≡0 (mod 3)
∴(a/3)^2+(b/3)^2=3^(n-2)
∴n=1,2
a^2+b^2=3 or 9
no solutions.

sinθ＋sin3θ＝sin5θを満たすθはいくつあるか
ただし0≦θ＜2πとする

>>968

和積公式から
　sinθ + sin(3θ) - sin(5θ) = sinθ - 2sinθcos(4θ) = (sinθ){1 - 2cos(4θ)},
∴ sinθ = 0 または cos(4θ) = 1/2,
前者から2つ（θ=0,π）
後者から8つ（θ=π/12, 5π/12, 7π/12, 11π/12, 13π/12, 17π/12, 19π/12, 23π/12)

長さがＸの辺５つ、１の辺１つでできた三角錐がある
Ｘの範囲を求めよ

>>970

長さ1の辺をABとすると、△ACD、△BCD は一辺Xの正三角形で、稜CDを共有する。
これらは稜CDのまわりに自由に回転してよい。
∴　X√3 ≧ 1,

次の性質を満たす関数 ｆ（ｘ） を求めよ．

ｆ’（ｘ）＝[ｎ]√ｙ ，ｆ（０）＝０

ただし ｎ は自然数とする．

× ｆ’（ｘ）＝[ｎ]√ｙ
○ ｆ’（ｘ）＝[ｎ]√｛ｆ（ｘ）｝

>>973
　f(x)^(-1/n) f(x) = 1,
両辺を x で積分する。
・n>1 のとき
　{n/(n-1)}･f(x)^{(n-1)/n} = x +c,
　f(x) = {[(n-1)/n](x+c)}^((n-1)/n),
　初期条件から c=0.
・n=1 のとき
　log|f(x)| = x+c ',
　f(x) = C'･exp(x),
　初期条件から C' =0.

>>974
０点

何故？

>>971 は相似変換して
　「長さが1の辺5つ、1/Xの辺1つでできた三角錐」
を考えたな。。。

>>974は積分可能性に触れていないからダメなのかな
つまり、可微分⇒連続⇒原始関数の存在、を明言していないとか

>>974
(n-1)/n の分子分母が逆だし、それがあってても駄目だろ。
n=2 と n=3 で出来たら十分だろね。

# 解は無数にある。

n=1 のときだけ一意解かな。

微分方程式の基礎も知らない奴ばっかなんだなここ・・・

>>981
先輩、解説をお願いします！

まず微分方程式入門でも読んでから来い

本当はあまり自信がない？

二百十日四時間。

>>972
俺も分からん
気になるから誰か完全解答頼む
もしくは>>972が解答例を提示してくれ

>>986
( i ) nが偶数の時
y≧0 が必要で y’≧0
(中略)
x≦0 で y≡0
(以下略)

二百十一日。

解説者、出てｺｲﾔｰ

恒等的に0または、
n≧2のときは{(n-1)*x/n}^{n/(n-1)}
でいいんじゃないの？

君は境界条件というのを知らないのかね

しつこい

今の問題って x の正負で定義域を分けて、とかやるような問題じゃないよね。

>>987
字読めないの？
完全解答を頼む

いやです。