Fランク大学の数学の入試問題を考える。

(1) 0<x≦π/2とするとき、以下の式を示せ。
　(a) 1/sin^2(x) = (1/4)*(1/sin^2(x/2)+1/sin^2(π/2-x/2))
　(b) 1/sin^2(x) > 1/x^2 > 1/sin^2(x)-1

(2) (1)(a)を用いることで、
　2 = (1/4^n)Σ[k=1,2^n] 1/sin^2((2k-1)π/(4*2^n)) を示せ。

(3) (1)(b)においてx=(2k-1)π/(4*2^n)とおいてkについて和をとることで
　2 > Σ[k=1,2^n] (16/π^2)/(2k-1)^2 > 2 - 1/2^n を示せ。

(4) (π^2)/8 = Σ[k=1,∞] 1/(2k-1)^2 を示せ。

(5) ζ(2) = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + 1/5^2 +...とおくとき
　ζ(2) - (1/2^2)ζ(2) = 1 + 1/3^2 + 1/5^2 +...であることを示し
　ζ(2)の値を求めよ。