不等式への招待 第３章

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f(x) = 6/(1-x) - 1/x とおくと、
　(左辺) = f(a) + f(b) + f(c),
(a,b,c)の変域は、平面a+b+c=1上の a=1/2, b=1/2, c=1/2 を辺とする正三角形（但し頂点は除く）

・境界上の極大
　6/x + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},
　1/x + 1/(0.5-x) = 8 + (1-4x)^2 /{x(1-2x)},
より、辺 c=1/2 では
　(左辺) = f(a) + f(1/2 - a) + f(1/2) = 18 - (1-4a)^2 {7+(1-4a)^2}/{4a(1-a)(1+2a)(1-2a)} ≦ 18,
等号成立は (a,b,c) = (1/4,1/4,1/2) のとき。

・ 内部の極大
生姜ないから、微分法を使おう。
束縛条件（a+b+c=1）があるので、ラグランジュの未定乗数λを使う。
　I(a,b,c;λ) = f(a) + f(b) + f(c) - λ(a+b+c-1),
　∂I/∂a = ∂I/∂b = ∂I/∂c = 0　から
　f '(a) = f '(b) = f '(c) = λ,　　f '(x) = 6/(1-x)^2 + 1/(x^2),
∴　(a,b,c; λ) = (1/3, 1/3, 1/3; 45/2) で 極大値 18 をとる。

なお、この極大と境界上の極大(1/4,1/4,1/2)の間の鞍点（峠点）↓も解ではあるが、これらは捨てる。
　(a,b,c; λ) = (0.279000307274921, 0.279000307274921, 0.441999385450158, 24.3886725897975)

しかし･････後味わるいな。

・境界上の極大
　6/(1-x) + 6/(0.5+x) = 16 + 2(1-4x)^2 /{(1-x)(1+2x)},