[【大学入試】ワンランク上の数学質問スレNo.2]

【前スレ】
【大学入試】ワンランク上の数学質問ｽﾚ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170481008/l50

問題のおもしろさ、新旧比較、解法のおもしろさを検討するスレッドです。

一般レベル問題の質問は↓↓
【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚ【cos】

関連スレ

【sin】高校生のための数学質問スレPART153【cos】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1196074672/l50

3get

>>1死ね

＊＊＊数学の質問スレ【大学受験板】part74＊＊＊
http://ex23.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1195333139/l50

受験板では、東大より、山梨医大、滋賀医大、千葉後期数学などの方が、
圧倒的に問題の難易度が高いという話ですが、本当ですか？

　コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作を繰り返し行う。このとき、各操作
で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、ｐであるとする。
　最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含め
て３個出るよりも前に、記号○がｎ個出る確率をＰnとする。ただし、記号○がｎ個出た段階で操作は終了
する。
(1)　Ｐ2をｐで表せ。
(2)　ｎ≧３のとき、Ｐnをｐとｎで表せ。（2006東大文理共通）

(1)
×○○　　　の場合　(1-p)p
××○○　の場合　p(1-p)p=(1-p)p^2
×○×○　の場合　(1-p)^3
よって、Ｐ2はこれらの和
(2)
×○○・・・○　の場合　(1-p)p^(n-1)
××○・・・・○の場合　p(1-p)p^(n-1)=(1-p)p^n
×○×○・・・○の場合　(1-p)^3 p^(n-2)
×○○×○・・・○の場合　　同上
・・・
×○○・・・・・×○の場合　　同上
よって、Pn=(1-p)p^(n-1)+(1-p)p^n+(n-1)(1-p)^3p^(n-2)

　半径１の円に内接する正６角形の頂点をＡ1、Ａ2、・・・、Ａ6とする。これから任意に（無作為に）えらんだ
３点を頂点とする３角形の面積の期待値（平均）を求めよ。ただし、２つ以上が一致するような３点がえらばれ
たときは、三角形の面積は０と考える。（1981東大理系）

　重複して選んでよいので、組合せは、６^3
隣り合う３点（△Ａ1Ａ2Ａ3など）が選ばれたとき、面積は√3/4で、６×３！通り
１辺と隣り合わない１点（△Ａ1Ａ2Ａ4など）が選ばれたとき、面積は√3/2で、６×２×３！通り
隣あわない３点（△Ａ1Ａ3Ａ5と△Ａ2Ａ4Ａ6）が選ばれたとき、面積は3√3/4で、２×３！通り
とすると、
(√3/4)(6・3!)/6^3 +(√3/2)(6・2・3!)/6^3 +（3√3/4)(2・3!)/6^3
=√3/4

これは、重複ないものとして計算すると、6Ｃ3=20だから、
(√3/4)(6/20)+(√3/2)(12/20)+(3√3/4)(2/20)=9√3/20
となるんですが、違っていいんですよね？それとも間違ってますか？

　Ａが100円硬貨を４枚、Ｂが50円硬貨を３枚投げ、硬貨の表の出た枚数の多い方を勝ちとし、
同じ枚数のときは引き分けとする。硬貨の表、裏のでる確率はすべて1/2であるものとする。
(1)　Ａの勝つ確率、Ｂの勝つ確率、引き分けの確率を求めよ。
(2)　もし、勝った方が相手の投げた硬貨を全部もらえるとしたら、ＡとＢとどちらが有利か。
（1981東大文系）

(1)
Ａの勝つ確率ＰAは、Ａ，Ｂが表を出す枚数をそれぞれｘ，ｙで表すとき、
（ｘ、ｙ）＝（1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2),(4,3)であるから、
ＰA=(4/2^4)(1/2^3)+(6/2^4)(1/2^3)+(6/2^4)(3/2^3)+・・・　と計算し、
64/128=1/2
同様に、Bが勝つ確率は(x,y)=(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),(1,3),(2,3)だから、
29/128
引き分ける確率は、35/128
(2)
Aが受け取るお金の期待値は、(1/2)*150=75円
Bが受け取るお金の期待値は、(29/128)*400≒91円
よって、Bが有利

1981年
ロナルド・レーガンが、第40代アメリカ合衆国大統領に就任
沖縄でヤンバルクイナが発見
近藤真彦『ギンギラギンにさりげなく』
Dr.スランプ(アラレちゃん)放映開始
芸術は爆発だ!　岡本太郎
ノーベル化学賞　福井謙一、ロアルド・ホフマン

>>8
おｋ

>>6
本当ですよ。
山梨医大ではなく、今は山梨大医学部ですけど。
浜松医大とか高知大医学部とかも東大よりムズイよ。

単科医大は問題の難易度がかなり高い

問題の難易度が高い分低い点で合格できるので
入試の難易度は高くない。

こんないスレらん

>>15
日本語でおｋ

ありゃｗ

教えてください。

y=a^x や　y=log a x

で、a =1　のときに定義されないのは何故ですか？
グラフで言えば、a=1のとき、それぞれ　y=1　あるいは　x=1の 直線として定義されていても
良いかと思うんですが、今の高校数学の範囲だからかもしれませんが、a≠1　とするように
指導されます。

なんでや〜　納得いかんのですが。


「そういうもの」と決めた

↑　最終行

「そういうもの」と決めた、だけですか？
それとも高校数学だから？
それとも深い理由が。

教えてください。

>>18-19

値が特定できないから
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/0%5E0/0%5E0.htm

>>20
回答さんくすですが、それはa=0のときじゃないですか。
それが定義できないのは分かりますが、
高校数学だと、対数の低は≠1と教わりますね。

×低
○底

医学部の問題はたしかにムズイが
思考力とゆうよりはスピードが求
められる気がする

>>21
y=a^xでa=1だとy=1になるからで指数関数というより直線と呼ぶからだろうと推測

>>24
納得いかないので他の答えを待ちます。

今思いついたのは、対数の底で1を認めると、たとえば底の変換公式が使えなくなりますね。
こういう演算上の問題があるから最初からa≠1にしたのかと。

でもy=a^1 で a=1はあっても良いと思うんですが。

>>25
いい加減スレ違いだから、
「くだらねぇ問題はここへ書け」スレへドゾー

そうだな
スレ違いっぽいし
別スレなほうが（納得いきそうな）良い回答があるのかもしれない

質問主さん
いったんここでは、「打ち切ります」とのカキコして
別スレにて頼む

70年代東大・京大入試のこの１問

(1)　ｍ、ｎは自然数とする。三角関数の加法定理を用いて、等式
　　　　　　　sin(mx)*sin(nx)=(1/2){cos(m-n)x -cos(m+n)x}
　　が成り立つことを示し、さらに次の積分Ｉm,nを求めよ。
　　　　　　　Ｉm,n＝∫[-π→+π] sin(mx)*sin(nx)dx

(2)　整数ｋ（0≦ｋ≦5）、自然数ｍ、ｎおよび実数a,bに対して、
　　　　　　　f(k)=∫[-π→+π] {sin(kx) -a*sin(mx) -b*sin(nx)}^2 dx,
　　　　　　　p(k)=(1/2)^5 * 5!/{k!(5-k)!}
　　　　　　　E =�納k=0→5] p(k)*f(k)
　　とおくとき、Ｅを最小にするようなｍ、ｎ、ａ、ｂを求めよ。(1978京大理系）


(1)は教科書公式レベルの一方、(2)は、a=b=0,m=n>5　か　m=2,m=3の場合と
予想はつくんですが、何か、巧妙な計算方法あるんでしょうか？

予想がつくんだったらその通りに計算してみてはいかがでしょうか？
その計算過程で効率の良い計算方法に気付くの場合もあるのでは？
予想を立てるだけでなく実行をしてから投稿お願いします。以上。

　二辺の長さが１と２の長方形と１辺の長さが２の正方形の２種類のタイルがある。縦２、横ｎの長方形
の部屋をこれらのタイルで過不足なく敷きつめることを考える。そのような並べ方の総数をＡnで表す。
ただしｎは正の整数である。たとえばＡ1＝1、Ａ2＝３、Ａ3＝５である。このとき以下の問いに答えよ。
(1)　ｎ≧３のとき、ＡnをＡn-1、An-2を用いて表せ。
(2)　Ａnをｎで表せ。　（1995東大理系）

横がn-1のとき、正方形を１つおけば横がｎになる。
横がn-2のとき、正方形を２つおくか、長方形を１つおくと横がｎになる。
よって、
An=An-1+2*An-2
　An-2An-1=(-1)(An-1-2*An-2)=(-1)^(n-2)*(A2-2*A1)=(-1)^(n-2)
　An+ An-1=2(An-1 +An-2)=2^(n-2)*(A2+A1)=2^n
An=(1/3)*2^(n+1) +(1/3)*(-1)^(n-2)

　先頭車両から順に１からｎまでの番号のついたｎ両編成の列車がある。ただしｎ≧２とする。各車両を
赤色、青色、黄色のいずれか一色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の
塗り方は何通りか。（2005京大理系）

　ｎ両編成で題意をみたす塗り方のうち、ｎ両目が赤の場合をｐ(ｎ)通り、ｎ両目が黄か青の場合をｑ(ｎ)通りとする。
n＋１両編成のとき、p(n+1)はp(n),q(n)の場合にn＋１両目を赤に塗ればよく、q(n+1)はp(n)の場合にn+1両目を青黄
に塗ればよいので、
q(n+1)=2p(n)
p(n+1)=p(n)+q(n)=p(n)+2p(n-1)
　p(n+1) +p(n)=2(p(n)+p(n-1))=2^(n-2)*(p(3)+p(2))=2^(n-2)*8=2^(n+1)
　p(n+1)-2p(n)=(-1)(p(n)-2p(n-1))=(-1)^(n-2)*(p(3)-2p(2))=(-1)^(n-1)
p(n)=(1/3)*2^(n+1) -(1/3)*(-1)^(n-1)
q(n)=(2/3)*2^n -(2/3)*(-1)^(n-2)
となり
求める総数は、p(n)+q(n)=(2/3)*2^(n+1) +(1/3)*(-1)^(n-1)

10年前の東大の問題を少しひねった問題が京大に出る法則でした。。。

　サイコロが１の目を上面にして置いてある。向かいあった一組の面の中心を通る直線のまわりに90°回転
する操作をくりかえすことにより、サイコロの置きかたを変えていく。ただし、各回ごとに、回転軸および回転
する向きの選びかたは、それぞれ同様に確からしいとする。
　第ｎ回目の操作のあとに１の面が上面にある確率をp(n)、側面のどこかにある確率をq(n)、底面にある確率
をｒ(n)とする。

(1)　p(1),q(1),r(1)を求めよ。
(2)　p(n),q(n),r(n)をp(n-1),q(n-1),r(n-1)で表わせ。
(3)　p=lim[n→∞] p(n)、q=lim[n→∞] q(n)、r=lim[ｎ→∞] r(n)　を求めよ。(1982東大理系）

(1)
上面と底面を通る軸を選んで、どちからに回転させると上面の１のままだから、p(1)=1/3
側面を通る２つの軸のどちらかを選んで、どちらかに回転させると１は側面に移動するから、q(1)=2/3
１回で底面にくることはないので、r(1)=0
(2)
(1)の考え方より、
p(n)=(1/3)p(n-1) +(1/6)q(n-1)
q(n)=(2/3)p(n-1) +(2/3)q(n-1) +(2/3)r(n-1)
r(n)=(1/3)r(n-1) +(1/6)q(n-1)
(3)
p(n-1)+q(n-1)+r(n-1)=1だから、
q(n) =2/3
p(n) =(1/3)p(n-1) +1/9　より、
　p(n)-1/6=(1/3)(p(n-1)-1/6)=(1/3)^(n-1)*(p(1)-1/6)=(1/3)^(n-1)*(1/6)
　p(n)=(1/6){1+(1/3)^(n-1)}
r(n)-1/6=(1/3)^(n-1)*(r(1)-1/6)
　r(n)=(1/6){1-(1/3)^(n-1)}
となり、p=r=1/6、q=2/3

これは、p+q+r=1だから、r(n)は求めなくてもよいのでしょうか？

>>32
最後の一文でお前の実力が知れた

>>32

lim[n→∞] a(n)=a、lim[ｎ→∞]b(n)=bのとき、

a+b=lim[n→∞] ( a(n) +b(n) ) 　は、高校では天下り式に使っていい。

直線と二次曲線、特異点から考えてa≠1じゃないの？

sinα・sinαの積分ってsinα＝1/cosαとかtanα＝sinα/cosα使って簡単にできなかったかな？
後、よろしくね

　　　　　　　　　　 　 　 　 　 _,ィ､　 ,r､__
　　　　　　　　　 　 　 　 ,.ﾍｰ'´　 i ｀´/　　｀i_
　　　　　　　　　　　　/ヾ、　ヽ、　i　/　　　／ヽ
　 　 　 　 　 　 　 _ｨ､〉 　 >　´￣　￣　｀ く　　,ゝ、
　　　　　　　　　　}、 ,>'´　　　　　　　　､　　ヽ.／｀ヽ
　　　　　　　 　 ┌! /　 　 /　 ｉ 「｀i　　　ヽヽ　ヽ 　 }
　　　　　 　 　 　 Ｙ　　 　 ! 　 | |　 l i i　　 l　i　 ',__,.ゝ
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　　　　　　 　 　 i　　 ! 　 | 　 | |　　 | j＿__j　|　 |i i!
　　　　　　 　 　 |ｉ!　 l　 ,.|‐Ｔ丁i! 　 ﾊlj, --!｀ﾄlノ、||
　　　　　　 　 　 | !　 !　　ﾚ'ｉ´｀j　　　　"i´ ｀iヽ,　i ||　 _
　　　　　　 　 　 | l　 |i 　 iバ__ｿ　　　　 Ｌ__ｿ /.ノ |!　_ヽ)
　　　　　　 　 　 | | 　|ｌ　　|､////　'　　///// |!　|i　ヽ)
　　　　　　 　 　 !ハ　|!　　|,ゝ'　´￣￣ ｀　く　 ﾚy'|!
　 　 　 　 　 __,ノ ﾚ'ヽiﾊ ／　　 >>36　 　 　 ＼｝'´￣　｀ヽ､
　　　 ィ´￣／　 　 ,べY 　 　知っているが　 　 Ｙ｀i__　　　 ＼
　　　　〉／　　　　/　, ､ヽ　　お前の態度が 　 ／_｀ヽ＼　　　 ＼
　　 ,ｨ'ん、　 ／　! '´__　ヽ　 気に入らない　 /´__,.｀　',　＼　　 ｧ'｀
　　 ｀ヽ､/ｰ'　　 /! 　 __｀ヾ!　　　　　　　　 　 ﾚ'´　_,.　 !　　 ＼ i
　　　　/ｰ-ｨ､　ｨ__!　 ___｀フ　　　　　　 　 /　 ヽ二　　/7　　_ｉ弋
　　　/　　 　辷j　 ! 　 ヽ　　　　　　／　/　　　　/　 /　}　 j´　　〉
　 　 ヽ、　　　冫 ヽ__ｭ_y＼　 　 ／ 　 / 　 　 ／ヽﾍ／え´　　 /
　　　　 ＼'´｀　｀}ｰ-､_,ゝくi　ヽ､ _＿＿_ ,.　イｨ_,､　 __う'´＿_／
　　　　　 , ｀＞ｬ,｀Yｰ-‐'^ |ﾆ＝ｰ-　　　ｰ-/　　｀＾7 　 ,ゝ､ヽ
　　　　／／/　 l　!　　 　 | 　 　 　 　 　 /　　　　} 　 / | iﾊ_j
　　　く／//f´￣l/　 　 　 |　 　 　 　 　 i　　　　　y /-､| |
　 　 　 //　| ┌ヽ.　　 　 /　｀ー-＝'´ _|　　　　 ／｀　 | |＼
　　　　ｉ l 　 | ,ゝ,ハ　　／　　 　 　 　 ´,ﾊ　　 ／〉　 　 ﾚ' 　 ヽ

>>36
スリーランク下の質問は受験板へｗ

　ｘｙｚ空間において、不等式
　　　　　０≦ｚ≦１＋ｘ＋ｙ−３（ｘ−ｙ）ｙ、０≦ｙ≦１、ｙ≦ｘ≦ｙ＋１
のすべてを満足するｘ、ｙ、ｚを座標にもつ点全体がつくる立体の体積を求めよ。
(1982東大理系）

y=tでの断面Ｓ(t)を考えると、ｔ≦ｘ≦ｔ＋１、０≦ｚ≦（1-3t)x+(3t^2+t+1)
0≦ｔ≦１、3t^2+t+1=3(t+1/6)^2+11/12だから、Ｓ(t）は台形になり、
Ｓ(t)=(1/2){(1-3t)t+(3t^2+t+1) +(1-3t)(t+1)+(3t^2+t+1)}
＝(1-3t)t +(1/2)(1-3t) +(3t^2+t+1)
＝(t/2) +(3/2)
よって、
Ｖ=∫[0→1] S(t) dt=(1/2)(1/2)+(3/2)=7/4

　ｒを正の実数とする。ｘｙｚ空間において
　　　ｘ^2＋ｙ^2≦ｒ^2、ｙ^2＋ｚ^2≧ｒ^2、ｚ^2＋ｘ^2≦ｒ^2
をみたす点全体からなる立体の体積を求めよ。（2005東大理系）

　x=r*cosθでの断面を考え、ｘ、ｙ、ｚ≧０の部分を計算し８倍する。
0≦ｘ≦r/√2　の範囲を考えればよい。図をかくと、
Ｓ(θ)=(r^2)(sinθ)^2 -(r^2)sinθcosθ-(r^2)θ+(r^2)π/4
よって、
Ｖ=∫[0→r/√2] S dx =∫[π/2→π/4] Ｓ(θ) (-r*sinθ)dθ
　=∫[π/4→π/2] Ｓ(θ)sinθdθ
　=∫[π/4→π/2]{(sinθ)^3 -(1/2)sin(2θ)sinθ-θsinθ+(π/4)sinθ}dθ
　=(r^3)(√2 -4/3)
これを８倍し、
8(r^3)(√2 -4/3)

どう解いても、1982の計算より、計算量が10倍くらいあります。。。

　正の整数の下２桁とは、100の位以上を無視した数をいう。たとえば、2000、12345
の下２桁はそれぞれ０、45である。ｍが正の整数全体を動くとき、５ｍ^4の下２桁と
して現れる数をすべて求めよ。(2007東大文系）

http://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou2007/toudai1/sugakua/k03.htm

実質的に、合同式の解法はありってことですかね？

>>41
それは合同式を回避する手段。
いいかだめかは採点官しだい。

>>41
普通はOKでしょう

　内側が直円すい形の容器がある。その回転軸は鉛直で、頂点が最低点、深さはｈで、
上面は半径Ｒの円である。この容器に上面まで満たされた水を、断面積がＳの管を通じて、
最低点からポンプで流出させるとする。水の流出速度ｖは、そのときの水面の高さをｘと
すれば、ｖ=ｋｘ（ｋは正の定数）で与えられるようにポンプが調整されているものとする。
流出し始めた時刻をｔ=０として、時刻ｔにおける水面の高さｘ（ｔ）を求めよ。ただし、ｔは
容器が空になる時刻までに限定する。（時刻ｔとｔ＋�凾狽ﾌ間に流出する水量を�凾pと
すれば、lim[�冲→0] �儔/�冲=Svがなりたつ。）　（1983京大理系）

高さがｘ(t)のときの水面の半径ｒは、h:R=x(t):rより、r=(R/h)x(t)
よって、
　　　(1/3)πr^2*x=(1/3)π(R^2/h^2)*x(t)^3=(1/3)πR^2*h -∫[0→t] Skx(t) dt
ｔで微分して、
　　　π(R^2/h^2)x(t)^2*(dx/dt) =-Skx(t)
　　　x(t) dx =-Skh^2/(πR^2)
積分すると
　　　(1/2)x(t)^2=-{Skh^2/(πR^2)}t +C
t=0で、x(t)=hだから、C=(1/2)h^2
　ゆえに、x(t) =√{ h^2 -(2Skh^2/πR^2)t}

　Ｈ＞０、Ｒ＞０とする。空間内において、原点Ｏと点Ｐ（Ｒ、０、Ｈ）を結ぶ線分を、ｚ軸の周りに回転
させてできる容器がある。この容器に水を満たし、原点から水面までの高さがｈのときに単位時間
あたりの排水量が、√ｈとなるように、水を排出する。すなわち、時刻ｔまでに排出された水の総量を
Ｖ(t)とおくとき、dV/dt=√hが成り立つ。このときすべての水を排出するのに要する時間を求めよ。
（2006京大理系）

高さがｈのときの水面の半径ｒは、Ｈ：Ｒ＝ｈ：ｒより、ｒ＝Ｒ（ｈ/Ｈ）
hはｔの関数h(t)だから、
　　　(1/3)πr^2*h(t)=(1/3)π(R^2/H^2)*h(t)^3 =(1/3)πR^2*H -∫[0→t]√h(t) dt
が成り立ち、ｔで微分すると、
　　　π(R^2/H^2)h(t)^2*(dh/dt)= -√h(t)
よって、
　　　h(t)^(3/2)*dh=-H^2/(πR^2) dt
積分して、
　　　(2/5)h^(5/2) =-H^2/(πR^2)t +C
t=0で、h=Hだから、C=(2/5)H^(5/2)
ゆえに、h=0となるｔは、ｔ＝(2/5)πR^2*√H


　京大はこのタイプの問題はしつこく出題しますが、何か、
本質的な意図はあるのでしょうか？　　　　　

>>44-45
微分方程式を出したがる
物理屋の教授でも、いるんじゃね？

あと東大は「空間」や「立体」が好きっぽい

>>44

�凾ﾆΔって違うの？

>>47
ツーランク上の質問はこっち
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1194288814/l50

>>47
デルタの意味
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2007844

>>46
フィギア好きな教授でも…ｗ（以下略）
（秋葉原に近いし）

しつこくったって、83年→06年じゃあ、作り手も変わってるだろｗ

数年に一度出てるなら、同じ人が出題委員になるたびに似た問題を
出してるってことかもしれん（さぼってるってことｗ

(1)　定積分∫[0→π] exp(-x) * sinx dx　を求めよ。
(2)　極限値　lim[ｎ→∞]　∫[0→nπ] exp(-x) *|sin(x)| dx　を求めよ。
(1994東工大）

　次の極限値を求めよ。
lim[ｎ→∞] 　∫[0→nπ] exp(-x) *|sin(nx)| dx
(2001京大理系）

(1) f(x)=exp(-x)*sin(x)、g(x)=exp(-x)*cos(x)　とおくとき導関数f'(x),g'(x)を求めよ。
(2) 自然数kに対してI[k]=∫[(k-1)π→kπ] exp(-x)*sin(x) dx
　　　　　　　　　　　　　J[k]=∫[(k-1)π→kπ] exp(-x)*cos(x) dx
　とおくとき(1)の結果を用いてI[k]+J[k]、I[k]-J[k]を求めよ。
(3) 自然数nに対して　S[n]=∫[0→nπ] exp(-x)*|sin(x)|dx　とおくとき
　lim[ｎ→∞]　S[n]　を求めよ。（宮城教育大）


ｎが自然数と限定していない場合は、
ｋπ≦ｎπ＜(ｋ＋１）π
と挟み撃ちで極限を考える必要ありでしょうか？

>>52
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/01/k1.html
この解答は、ｎが自然数が前提ですね。

まあ、最後に一言付け加えておけばいいんじゃないか。
（ｎが自然数の場合に値が求まるので、ｎが自然数でない場合も、
自然数ｋを用いてｋ＜ｎ＜ｋ＋１とでき、被積分関数は負にならないゆえ
同じ値に収束する）とか。

証券外務員の内容ですが

15000＋22000/X×100=80% 12500ですが
Xに入る解き方を教えて下さい。

よろしくお願いします。

>>54
ここで聞く内容じゃない。
小学生（中学入試）あるいは中学生レベルなのでそちらへ。

しかしこんなのできなくて証券外務員になれるのか…。
15000＋(22000/x)*100＝80%*12500
⇔15000＋(22000/x)*100＝10000
⇔150＋(22000/x)＝100
⇔22000/x＝-50
⇔x＝-440

>>55

すみません。もっと分かりやすく教えてくれませんか？
馬鹿ですみません。

テンランク下の質問は、いいかげん算数板へｗ

>>56
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1413771364

>>54
これ以上ないくらいにマルチスレッドしてるな・・・

>>56
バカだなあ

　放物線ｙ=(3/4) -x^2をｙ軸のまわりに回転して得られる曲面Ｋを、原点を通り回転軸と45°の角を
なす平面Ｈで切る。曲面Ｋと平面Ｈで囲まれた立体の体積を求めよ。(1983東大理系）

　曲面は、y=(3/4) -(x^2+z^2)　で表わされるから、x=tでの断面Ｓ（ｔ）を求め、
それを-3/2≦ｔ≦1/2で積分すればよい。

　断面は、y=(3/4 -t^2) -z^2　の放物線であり、この放物線とｙ=ｔが囲む面積である。
よって、(3/4) -t^2 -z^2=tの正の解をαとすると、
　Ｓ(t)=∫[-α→+α] (-z^2-t^2-t+3/4) dz=(1/6)(2α)^3=(4/3)(-t^2-t +3/4)^(3/2)

　Ｖ=∫[-3/2→1/2] S(t) dt=(4/3)∫[-3/2→1/2] {-(t+1/2)^2 +1}^(3/2) dt
=(4/3)∫[π→0] {-(cosθ)^2+1}＾(3/2) (-sinθ)dθ
=(4/3)∫[0→π] (sinθ)^4 dθ
ここで、
　∫[0→π] (sinθ)^4 dθ=[-cosθ(sinθ)^3] +∫{1-(sinθ)^2}*3(sinθ)^2 dθ　だから、
　∫[0→π] (sinθ9^4 dθ=(3/4)∫[0→π] (sinθ)^2 dθ=(3/4)(1/2)π=3π/8
ゆえに
　Ｖ=(4/3)(3π/8)=π/2


　ｙ軸に垂直な断面は円周と直線で囲まれた面積なので、
よくあるパターンかと思ったら、あまりにもごちゃごちゃした
計算になったので、ｘ軸に垂直な断面で計算してみたら
できたのですが、どの断面で計算したらできるかというのは
何か基準があるのでしょうか？

>>54
お前に金を扱う資格はない

　赤球が１個と白球が３個入った容器Aと、ほかに赤球と白球の入った容器BとCがある。いま、
A、B、Cから無作為に１個ずつ合計３個の球を取り出し、これからやはり無作為に１個とってAに
かえすという操作を繰り返す。ただし容器Bから赤球が取り出される確率と白球が取り出される
確率は1/2に保たれており、容器Cからはつねに赤球が取り出されるものとする。
(1)　上記の操作をｎ回くり返したとき、容器Aにｘ個の赤球が入っている確率をPn（ｘ）、ｎ=1,2,3,…で
　表せば、関係式
　　　　　　　Pn+1(x) =(1/12)(6+x)Pn(x) +(1/24)(1+x)Pn(x+1) +(1/8)(5-x)Pn(x-1)
　が成り立つことを証明せよ。ただし、ｘ≦-1またはｘ≧５のときはPｎ（ｘ）=０と定める。
(2)　ｎ回目の操作を終えたときAの中にある赤球の個数の期待値Eｎを求めよ。
(3)　lim[n→∞] En　を求めよ。（1975東大理系）

(1)
　ｎ＋１回目の操作で、取り出す球を(A,B,C)で表わすと、
　Pn+1(1)は、
　Pn(0)のとき、(白、赤、赤）から赤を選ぶ確率：1*(1/2)*1*(2/3)=1/3
　　　　　　　（白、白、赤）から赤を選ぶ確率：1*(1/2)*1*(1/3)=1/6
　Pn(1)のとき、(白、白、赤）から白を選ぶ確率：(3/4)*(1/2)*1*(2/3)=1/4
　　　　　　　（白、赤、赤）から白を選ぶ確率：(3/4)*(1/2)*1*(1/3)=1/8
　　　　　　　（赤、白、赤）から赤を選ぶ確率：(1/4)*(1/2)*1*(2/3)=1/12
　　　　　　　（赤、赤、赤）から赤を選ぶ確率：(1/4)*(1/2)*1*1=1/8
　Pn(2)のとき、(赤、白、赤）から白を選ぶ確率：(2/4)*(1/2)*1*(1/3)=1/12
であるから、
Pn+1(1)=(7/12)Pn(1)+(1/12)Pn(2)+(1/2)Pn(0)　が成立している。
　x=0,2,3,4の場合も同様に問題の式が成立する。

(2)
　Pn+1(0)=(6/12)Pn(0)+(1/24)Pn(1)
　Pn+1(1)=(7/12)Pn(1)+(1/12)Pn(2)+(4/8)Pn(0)
　Pn+1(2)=(8/12)Pn(2)+(3/24)Pn(3)+(3/8)Pn(1)
　Pn+1(3)=(9/12)Pn(3)+(4/24)Pn(4)+(2/8)Pn(2)
　Pn+1(4)=(10/12)Pn(4)+(1/8)Pn(3)
　�納k=0,4] Pn+1(k)=１
より、
En+1=1*Pn+1(1)+2*Pn+1(2)+3*Pn+1(3)+4*Pn+1(4)=(1/2) +(5/6)En 　となる。
En+1-3=(5/6)(En-3)=(5/6)^(n)*(E1-3)=(5/6)^(n)*(4/3-3)=-(5/3)*(5/6)^n
En=3-2*(5/6)^n
(3)
lim[ｎ→∞] En=3

　片面を白色に、もう片面を黒色に塗った正方形の板が3 枚ある。この3 枚の板を机の上に
横に並べ、次の操作を繰り返し行う。さいころを振り、出た目が１、２であれば左端の板を裏返し、
３、４であればまん中の板を裏返し、５、６であれば右端の板を裏返す。
　たとえば、最初、板の表の色の並び方が「白白白」であったとし、１回目の操作で出た
さいころの目が１であれば、色の並び方は「黒白白」となる。さらに２回目の操作を行って
出たさいころの目が５であれば、色の並び方は「黒白黒」となる。
(1)「白白白」から始めて、３回の操作の結果、色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。
(2)「白白白」から始めて、ｎ回の操作の結果、色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。
注意：さいころは１から６までの目が等確率で出るものとする。（2004東大理系）

(1)白をw,黒をbで表わすと、
www→bww→www→bww、www→wbw→www→bww、www→wwb→www→bww
www→bww→bbw→bww、www→wbw→bbw→bww、www→wwb→bwb→bww
www→bww→bwb→bww
の７通りだから、7*(1/3)^3=7/27

(2)
ｎ回の操作の後、白が３つのときの確率をp(n)、白が２つのときq(n)、
白が１つのときr(n)、白が０のときs(n)とする。
このとき、
　p(n)=(1/3)q(n-1)
　q(n)=p(n-1)+(2/3)r(n-1)
　r(n)=s(n-1)+(2/3)q(n-1)
　s(n)=(1/3)r(n-1)
が成り立つ。
a(n)=q(n)+r(n)、b(n)=q(n)-r(n)とおくと、
a(n)=(2/3)a(n-1)+(1/3)a(n-2)、b(n)=(-2/3)a(n-1)+(1/3)b(n-2)
の漸化式が導かれ、、a(1)=1,a(2)=2/3,b(1)=1,b(2)=-2/3を用いると、
　a(n)+(1/3)a(n-1)=a(n-1)+(1/3)a(n-2)=a(2)+(1/3)a(1)=1
　a(n)-a(n-1)=(-1/3)(a(n-1)-a(n-2))=(-1/3)^(n-2)*(a(2)-a(1))=(-1/3)^(n-1)
　b(n)+b(n-1)=(1/3)(b(n-1)+b(n-2))=(1/3)^(n-2)*(b(2)+b(1))=(1/3)^(n-1)
　b(n)-(1/3)b(n-1)=(-1)(b(n-1)-(1/3)b(n-2))=(-1)^(n-1)
が求められる。
　よって、
a(n)=(3/4)+(1/4)(-1/3)^(n-1)
b(n)=(3/4)(-1)^(n-1)+(1/4)(1/3)^(n-1)
　q(n)=(3/8){1+(-1)^(n-1)}+(1/8){(1/3)^(n-1)+(-1/3)^(n-1)}
白黒白、黒白白、白白黒になる確率は、それぞれ(1/3)q(n)であり、
q(n)はｎが偶数のとき０になる。
また、白白白の確率p(n)は、ｎが奇数のとき０になるので、求める確率は、

ｎが偶数のとき、
p(n)=(1/3)q(n-1)=(1/8)*2+(1/24)2*(1/3)^(n-2)=(1/4)+(3/4)(1/3)^n
ｎが奇数のとき、
(1/3)q(n)=(1/8)*2+(1/24)*2*(1/3)^(n-1)=1/4+(1/4)*(1/3)^n
となる。

　東大は、漸化式で確率を解かせるのが、70年代からの伝統です。

>>63-64
って、期待値の漸化式はともかく、個々のＰｎ（ｘ）って解けるの？

>>68

CKYめよ。

基本行列の定義って何ですか？

基本変形するための行列じゃね？

sin x　をゼロから無限まで
定積分することって可能なのでしたっけ？
無限を入れても一意的な解は求まらないので
不可能なのでしたっけ？

-cos(∞)とは？

>>72　0〜2の範囲で振動する

よって、ただたんに上端を無限に飛ばしても、低積分は存在しない。
上限を2npiなどのように制限すると出すことは可能

>>70　定義なんてものはない。
　ただ単に掛けることで基本変形と同じ働きをする行列をそう呼んでいるだけだ。

なんか量子論関係の本なのですが
cos(・・・・)の無限からゼロまでの定積分を
lim_{Ω→無限}cosΩ=0
として計算する。
みたいなことが書かれてあるのですが
これはどう会社したら良いのでしょうか？
0〜2の範囲で振動すると考えてそのうちどれかを
仮の値としておけば良いのでしょうか？

いやいや、値が定まらない時点で広義積分は定義できません。

積分のアーベル和とかじゃねーの

ねーよこの馬鹿

△OABにおいてVa=VOA,Vb=VOAとする。またVaの大きさは3,Vbは5。
cos∠AOB=3/5とする。
このとき∠AOBの二等分線と、Bを中心とする半径√10の円との交点
の、Oを原点とする位置ベクトルをVa,Vbを用いて表せ。

という京都大の問題なのですが、できそうでできません。円を式に表し
たりVaVbの内積を出してもそこから進みません。お願いします。

高校生スレから紹介されて来ました。

>>81
あっちで表記をちゃんとしろって言われなかった？

まるち

>>81
解けないクズは、高校生スレから出てこないでねｗ
こっちは、入試問題が解けた上でそれ以外の解法などを話題にする
スレだから。

>>81
それが表記を正しくしなくても大丈夫な理由にはならない

>>84
初耳！
前スレから、回答している者だが
いつからそうなった？

81
小さな三角形でできたピラミッドをイメージしちみち
たぶん初等幾何で解けると思うお
》←おいら

別解はどうでもいいから、問題の背景が分かるやつはそれを語ってくれ。

nを２以上の自然数とする。x1≧x2≧・・・≧xnおよびy1≧y2≧・・・≧ynを満足する数列
x1,x2,・・・,xnおよびy1,y2,・・・,ynが与えられている。y1,y2,・・・,ynを並べかえて得られる
どのような数列z1,z2,・・・,znに対しても
　　　　　�納j=1,n] （ｘj - yj)^2　≦　�納j=1,n] (xj - zj)^2
が成り立つことを証明せよ。(1987東大理系）


左辺−右辺
＝2x1(y1-z1)+2x2(y2-z2)+･･･+2xn(yn-zn)
≧2xn{(y1-z1)+(y2-z2)+･･･+(yn-zn)}
＝2xn{(y1+y2+･･･+yn)-(z1+z2+･･･+zn)}
＝０
はいいとしても、等号の条件が、この式からは、
x1=x2=・・・=xnしかでてこないのです。
明らかにy1=y2=・・・=ynのときも等号成立ですが、
この式からどう言えばよのでしょうか？
それとも、別の式で示す必要があるのでしょうか？

よろしくお願いします。

>>89
＞　左辺−右辺
＞　＝2x1(y1-z1)+2x2(y2-z2)+･･･+2xn(yn-zn)
＞　≧2xn{(y1-z1)+(y2-z2)+･･･+(yn-zn)}

はならんだろ？
(yj-zj)＜０　や　xj＞０の場合もあるんだしｗ

x^2+ax+a+8=0,,,(A)とする。
（１）（A）が相異なる実数解をもつときに、aの値の範囲を求めよ

D=a^2-4(a+8)⇔ a>8 or a<-4である

（２）（１）のときに二つの実数解がー２よりも小さいaの値の範囲を求めよ

f(x)=x^2+ax+a+8とするとグラフから

a>8 or a<-4
f(-2)>0 ⇔ a<12
-a/2(頂点x座標) < -2 ⇔ a>4

よって8<a<12

(３)（１）の解の差が√１３となるときのaの値はいくつ？

二つの解をαとβとする（α＞βとする）

α＋β＝−a
αβ＝a+8

(α＋β)＾２-(αーβ)＾２＝４αβより

a^2-(√１３)＾２＝４（a+8）
⇔ a=-5 or a=9
であってる？

>>91
まるち

>>91
ついでにスレ違い。

>>90
間違ってました。では、帰納法で、

n=2のとき、
z1=y1,z2=y2のときは左辺＝右辺
z1=y2,z2=y1のとき、右辺-左辺=2x1(y1-y2)+2x2(y2-y1)=2(x1-x2)(y1-y2)≧0
等号は、x1=x2またはy1=y2のとき、

n≦k(kは３以上)のとき成立と仮定(等号はx1=…=xk,またはy1=…=ykのとき）
n=k+1のとき、
1)　zjのなかにyjと等しいものがある場合(ym=zmとすると）、
左辺から(xm-ym)^2を除き、右辺から(xm-zm)を除いた式は、n=kの場合に帰着する。
（等しいものが複数ある場合は,その数に従いn=k-1,k-2・・・の場合に帰着）
よって、左辺≦右辺が成り立っている。
2)　zjのyjがすべて異なる場合
y_k+1と等しいものをzmとする。
右辺で、(xm-zm)^2　を(xm-z_k+1)^2に、(x_k+1-z_k+1)^2を(x_k+1-z_m)^2に入れ替えると、
xm≧x_k+1、z_k+1≧zmの関係があるので、
(xm-z_k+1)^2 +(x_k+1-zm)^2≦(xm-zm)^2 +(x_k+1-z_k+1)^2
が成り立つ。
とすると、
(x1-z1)^2+…+(xm-z_k+1)^2+…+(x_k+1-y_k+1)^2≦(x1-z1)^2+…(x_k+1-z_k+1)^2
で、左辺は、最後の校がzj=yjの場合なので、n=k以下に帰着され、
(x1-y1)^2+…+(x_k-y_k)^2+(x_k+1-y_k+1)^2≦(x1-z1)^2+…+(xm-z_k+1)^2+…+(x_k+1-y_k+1)^2
となる。

以上より、任意のｎで左辺≦右辺となる。
等号は、x1=・・・=xn,またはy1=・・・=ynのとき

X^3-3X-1=0 ってどうすればいいですか？いろいろ代入したけど因数定理もつかえないのですが…。

>>95
アーベルの論文
4次方程式までは解の公式が存在する

>>94
yj=zj(j=1,・・・,n）のときも等号成立するね。

>>95
2cos(π/9)，2cos(5π/9)，2cos(7π/9)
が根となる。 cos の三倍角の公式使え。

正四面体をある面と平行な平面でｎ等分する。この操作を４面すべてに施すと、正四面体はいくつの部分にわかれるか。
（2008　東工大AO）

全ての部分が合同な正四面体になる

>>99
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/divisor/tetrahedron.htm

>>100
何をおバカなことを

>>98 なぜCOSを代入したのですか？

>>103
何故 cos に気が付いたかと言うこと？

>>104 はい。言われたらわかりますが、いきなり三角関数がでる理由はどうして？

よろしくお願いします。
http://imepita.jp/20080113/860230

２Σ３^k-1/4Σ４^kで計算式合ってますか？

>>106
たいがいにしろ

>>105
x^2の項がない3次方程式と、3倍角の公式を見比べる。
基本的なテクだが、知らないと思いつかないだろうね。

>>106
いいから早く氏ねよ

>>105
一度でも、角（例えばπ/3) の三等分をやってみたことがあれば気が付きますよ。
これは確かにワンランク上の質問ですね。
他のワンランク下の質問は高校数学質問スレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1199865748/l50
へどうぞ。

>>108 基本なんですか！ありがとうございました！

基本じゃないだろ。

すみません
東大の数学と京大の数学(理系)の問題って一般的にどちらが難しいのでしょうか？

自分で両方解いたら分かるだろう

最近2,3年を除けば京大に一票

試験場で解いて、点が取りにくいのは東大。
家で解いてると、手が付きにくいのは京大。

難しさの方向が違うから比較しにくい。京大は時折めちゃ易しいｗ

京大は気付かなかったら終わりってな問題が多いかも。
まあ、おととしのレベルまで易しくなるというのはもうないと思うよ。

主問題

　min e^(x)
s.t x≧0

の双対問題の作り方をお願いします。

対数をとる

>>119
対数をとると、最小化の目的関数はxになりますが、そこから
どうやればいいのでしょうか？

双対問題を作る

ttp://6504.teacup.com/aozoram/bbs

>>118
あちこちで聞きまくらずに自分で本を買って勉強したらどうですか？

ここで質問していい問題なのか分からないのですが・・・

ある楕円O上の点をPとする。
点PにおけるOの接線をLとし、点PとOの2つの焦点R,Sをそれぞれ結んだ時、
接線Lと線分PR、PSがなす角は等しい事を証明しろ。

という問題です。
楕円の接線の出し方はまだ習っていないので、図形的に解くんだと思いますが・・・どうやって解けばいいんでしょうか？

>>124
スレ違い。

ググレカス
ttp://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/quadratic/reference/ellipse_tan.html

>>125
ありがとうございます
これは生徒に授業終了間際3分でとかせるような問題じゃないですね・・・。

物理と絡めて宿題に出す分には面白い問題だと思うけどな
俺はこのスレには手ごろなレベルだったと思うよ

理系から見ても「ワンランク上」の文系入試ってある？
>>5>>7あたりはｲﾏｲﾁｵﾓｼﾛｸﾅｲ

>>128
文系でも
Ａランクは、やはり上

理系でも
Ｆランクは、やはり下

結論は"偏差値通り"

>>129
そんな全教科総合値を聞いてるんじゃなく
>>6
的な事が知りたい

１２９って
日常生活においても、誰でも知ってる事を得意げに語ってんだろなﾌﾟｯ

http://sports11.2ch.net/test/read.cgi/parksports/1193830877/l50
【東京】都庁前で観光客が全裸で撮影　ウェブで写真公開し男女３名逮捕★part3

>>130
周知であろう東大、一橋の他としては、
横国経済・後期や早大慶大の文系学部が安定した難度を保っている。
それでも、文系にとっては難問であっても理系が見れば大したことはない。

>>133
よくできる理系から見れば、でしょ。
07年の横国の後期の問題とかはけっこう難しかったと思うけど
(素因数2の個数の関数かなんかの問題)
一橋は意外に楽かなと思う。東大は年によるけど試験時間内に
正確に書ききるのは厳しいなって問題はちらほらある

>>134
＞よくできる理系から見れば、でしょ。
それが本ｽﾚのﾃﾞﾌｫﾙﾄかと横ﾚｽ便乗。

今年、高中進学の子持ちｵｻｰﾝ（共通一次世代）なんだが、父親の威厳とやらのために密かに数学ﾘﾊﾋﾞﾘを決意。
おそらく上が文系、下が理系なんでとりあえず�Ubを固めようとｾﾝﾀｰ試験とやらに取組んだらI�Uで完答に2時間もかかってしまったOTZ
07年横国後期の問題とか難問類をどこかのHPで見れないかな？赤本は上記の家庭事情で持ち込めないんだが…

>>135
父親の威厳なんか犬に食われてしまえ。
分かるのと教えるのは全然違う。
数学科の教授の息子だって塾行ってたぞ。

それでも、そんなに威厳とやらが大事なら
「解いてる間集中したい」
とかいって、その間掲示板で聞けばいいだろう。

有名大学の最近の問題なら予備校のサイトに
行けばもれなく模範解答がついてくるだろう。

>>135
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/
http://www.densu.jp/
http://www.jtw.zaq.ne.jp/nankan/
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html
http://www.alpha-net.ne.jp/users2/eijitkn/

>>136
子供のいない人もいるスレに威厳って表現に食い付かれる事は想定の範囲。

もちろん塾くらい行かせる。
集中もしないであっさり解いてこそ威厳なんだが…
模範解答なんて中級でも解る解法なんで威厳がないんだが…
とりあえず予備校のサイトは質量ともに期待せずを見てみる。

仮にも人の親を名乗るやつがその態度か。子の程度も知れるというものだ。

>>138
今年のセンターでそんだけ苦しんでいるわりに
予備校の解答を馬鹿にするのがなんだかなｗ

>>138
何だ、ただ子供にオナニー見せたいだけか。

このスレよく読めばワンランク上の数学問題には、
1.要領よく確実に計算をする問題
2.ちょっとした発想を必要とする問題
の２つがあるのがわかるだろう。
1 はおまいのいう「あっさり」というのは無理。
泥臭い計算が必要。
2 は発想が見えれば、一言ヒントで片付くが、
ただの自慢。自分が入試問題を解けても
子供が解けるわけじゃない。

頼られる親父ってのはうらやましいがね。

>>138って無能ゆえに見栄張りだけは人以上っていう馬鹿の典型だな
お前みたいな馬鹿に育てられる子供が哀れw 馬鹿ループだな

父親の威厳は受験勉強みたいな安っぽい部分じゃなくて、他の面で見せつけてやれよ。

中学生の時分に親父が数学を教えてやると言うから適当に問題集見せたら
1問目からオイラーの公式を持ち出して自明だとか言われて終わったことを思い出した

何らかの公式使ってる時点で自明じゃないだろ。

想定外、大漁に釣れてる

>>139
自称、理想の親子ｗ

>>140
上記の事情により家でやるわけにいかないから
休日の図書館新聞コーナーで他の新聞の空きを気にして取替えながら（読売３回ローテ）
机なし長椅子席で本を下敷きラップトップワークなんだから苦しんだのはむしろそっちの方。
もちろん完答後の検分時間込み。
予備校のは想定内だった。会社経費で赤本は無理だから参考雑誌扱いで大数でも購買するか。

>>141
子供相手に自分で鉛筆持って泥臭い計算なんて威厳なし。結果をさらっと検分するだけ。
簡単なヒントを出せば出来る子達なんだ。上は１言ったら１０わかる子なんだ。下は１言ったら１００わかる子なんだ。

>>142
ずばり確信突かれて逆切れ乙、将に想定外。

>>143
他にいくらでもしてるがマンネリでもあり、自分も楽しめる分野を開拓するのは子供がいなきゃわからんだろ。

おやおや、釣り宣言しておいてレスですか・・・

よほど悔しかったんだろう

>>137 で欲しいレスもらったんだから、素直に礼くらい述べて
去っておればいいものを。



悔しいのおｗｗｗ 悔しいのおｗｗｗ

＞赤本は上記の家庭事情で持ち込めないんだが…

意味が分からん。

【調査】 「理系の生徒は、学力低下してないと証明できた」 理系高３の数学力、３０年前よりアップ
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1201576630/l50

そりゃそうだろ。何度もでてきているが、70年代、80年代の東大京大の易問オンパレードを
見る限り、最近の受験生の方が、はるかにレベルが高い。

慰問？

30年前より上がっていることよりも15年前より下がっていることを問題視しなければならない。

つーか、30年前より上がったかどうかすらわからない
インチキ調査なんだけどね。
最初に結果ありき「学力低下はない」の理科大おっちゃんの調査だし。

どなたか�TＡの範囲で解ける問題教えてくだしあ＞＜

位置ベクトルってなんだよ。
ベクトルに位置定めたらそれはもうベクトルじゃないじゃないか。

>>155
膨大にある

>>156
教科書読め

>>155
y=x^2+1のグラフを書け

>>156
KY

動きがないんで大学数学の質問させていただきます^_^;

原点からの距離が最大、最小となる曲線x^2+xy+y^2=1上の点をそれぞれ求めよ

という問題です。多分、ラグランジュをつかう範囲の問題です
よろしくおねがいします

>>たぶん、ラグランジュの・・・

それもう答え

f(x,y)とg(x,y)をそれぞれどう与えればいいのかわからんのんです、
お助けを！！

sinα−sinβ＝1、cosα−cosβ＝1の時
cos(α＋β)という問題ですがわかる方解説お願いします。

どこがワンランク上なの？>162

じゃあ教えてくれよ！！

>>164
スレ違い。
ヒントだけ出しておく。

cos(α−β)＝1/2を言う。
4[ cos{(α＋β)/2} ]^2・[ sin{(α−β)/2} ]^2＝1

変化球ｷﾀｺﾚ

sinα−sinβ＝1、cosα−cosβ＝1の時
a=90,b=180

cos(α＋β)という問題ですがわかる方解説お願いします。
cos(270)

G=(x^2+y^2)-r(x^2+xy+y^2-1)
Gx=Gy=Gr=0

運動能力が高いと知能が高いといえるのは前頭葉についてだけ。
チータは９９もできない。
あいつはばかだ。エセ科学者

sin(z)=-i

問３
P＝a・b+b・c+c・d+d・aのとき、
（1）AB＝CD＝2、∠B＝∠C＝60°の等脚台形のとき、Pを求めよ。
（2）P＝0であることは四角形ABＣＤが平行四辺形であるための必要十分条件であることを示せ
問４ （１）２０≦ｎ≦９９のとき、ｎ（２乗）−ｎが１００の倍数のｎを求めよ。
（２）１００≦ｎ≦４９９のとき、ｎ（３乗）の下３桁とｎが一致する偶数ｎを求めよ。


解法を教えて下さい。

問１
f(x)＝x２乗のグラフにおいて、原点からxが正の方向へf(x),y軸を通り越してｘが負のf(x)・・・という風に直線を結んでいくつもf(x)とｙ軸の間に正三角形を作る。
そのとき正三角形をなす直線とｙ軸の交点を下からA(1),A(2)・・・とし、また正三角形の頂点とxが正のf(x)との交点をP(1)、P(2)・・・、正三角形の頂点とxが負のf(x)との交点をQ(1)、Q(2)・・・とする。
正三角形を下から（ｙが正の方向順に）T1、T2・・・とするとき、
（1）A(1)を求めよ。
（2）A（n+1)を求めよ。
（3）O,P(1),Q(1),P(2),Q(2)・・・Q(n-1),P(n)の長さをl(n)とする。l(n)の長さをnを用いて求めよ。

解法と解答を教えて下さい
Ｚ会の添削問題です

>>171
マルチ
>>172
日本語でおｋ

１００≦ｎ≦４９９のとき、ｎ（３乗）の下３桁とｎが一致する偶数ｎを求めよ。
n^3=n mod 1000
n=0 mod 2

>>174
マルチ

>>172
> Ｚ会の添削問題です

締め切りはいつ？

放物線 y=(x^2)/4乗に相異なる３点Ａ(2a,a^2)、Ｂ(2b,b^2)、Ｃ(2c,c^2)がある。
（１）3点Ａ，Ｂ，Ｃにおける放線が１点で交わるための必要十分条件は
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＝０であることを証明せよ。《解決済み》
（２）（１）の条件を満たすとき、３法線の交点をＰとおく。
　　　さらに△ＡＢＣが直角三角形となるようにＡ，Ｂ，Ｃが動くとき
　　　Ｐの軌跡を求めよ。　（2002年　福井医大）

（２）について質問です。
　すでに角Ｃが直角と固定することでＣＢ↑・ＣＡ↑＝０の関係式を作り、
　ａｂ＝−４を出して（１）の等式と連立して軌跡の方程式ｙ＝x^2／１６＋６
　を得ています。しかし、軌跡の限界を求めるに当たってｃ≠±√２から
　ｘ≠±４√２を出すのがうまくいきません。

　某大学への数学によると、ａ＋ｂ＝−ｃとａｂ＝−４から
　ａ，ｂが２次方程式ｔ^2＋ｃｔ−４＝０の２解となることを利用して
　解にｃが含まれる場合を想定してｃ≠±√２を導き出すということで、
　その解法はなんとなく理解したつもりなのですが、軌跡の限界を導き
　出すのがいつも苦手で、特に今回の「解と係数の関係」を使った解法
　など答えを見るまでは全然思いつかないというか、どこか腑に落ちない
　感じがしてしまいます。

　もし発想のポイントや別解などがありましたらご教授下さい。
　よろしくお願いします。

>>177
こっちじゃね？
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1201260994/

>>178
さすがに小中学生用の問題ではないと思うので・・・
よろしくお願いします。

>>177

>> y=(x^2)/4乗 ？？？
y=(x^2)/4 のこと？
y=(x^2)^(1/4) のこと？　どっち？

>>（１）3点Ａ，Ｂ，Ｃにおける放線
法線 のこと？

とりあえず記載をしっかりしてほしい

>>177
問題文をきちんと明記していない質問には答えられません

>>177
A,B,Cが異なる三点である条件を吟味しなければならんだけ

>>180-181
失礼しました。訂正します。

放物線 y=(x^2)/4　上に相異なる３点Ａ(2a,a^2)、Ｂ(2b,b^2)、Ｃ(2c,c^2)がある。
（１）3点Ａ，Ｂ，Ｃにおける法線が１点で交わるための必要十分条件は
　　　ａ＋ｂ＋ｃ＝０であることを証明せよ。《解決済み》
（２）（１）の条件を満たすとき、３法線の交点をＰとおく。
　　　さらに△ＡＢＣが直角三角形となるようにＡ，Ｂ，Ｃが動くとき
　　　Ｐの軌跡を求めよ。　（2002年　福井医大）

>>182
結論がそれだということは、なんとなく理解しました。
ただ、自分の場合軌跡の問題すべてについて言えるのですが、
「なぜ」異なる三点である条件を吟味すればいいだけなのか
というようなことがいつも引っかかってしまいます。

このようなことは、いつも「勘」で処理するべきなのでしょうか。
それ以外の着眼点がなければむしろ楽なのですが・・・もしあったら教えてください。

>>177
例えばa+b=1, ab=1とかなってたら疑問感じない？
a,bが実数であることは常にチェックしたい条件だよ
そのチェックのし方が、a+bとabを使得る形なら貝と係数の関係が
楽だろうってことじゃないかな？

>>183
旧課程の２次曲線あたりにも関与する問題なのかな・・・
しかし、この時間帯に、この問題は、ちと即答しかねる（ごめん）
後日レスする

勘も良いけど訓練の段階ではある程度理詰めかな
平面上の任意の三点は同じ直線状になければ必ず三角形
放物線は曲がってるから異なる点であれば必ず三角形
直角に関しては必要十分ってことで出してるし、って感じ？

ａ＋ｂとａｂが出てきたら解と係数の関係に着目する、という練習は何度か
行ったのですが、今回このことに気付かなかったというのはやはり練習不足だ
ったということなのだと自分でも痛感しています。

ただ、ａ，ｂ，ｃという３つの値で構成されているものについて、
ａとｂの値のみに着目し、それが（ｃでない）実数であると言う条件から
軌跡の限界を算出するという発想は、未熟な自分にはちょっと新しすぎる
発想でした。次にこれと同じような問題が出たとき、そこに気付けるかど
うかちょっと不安です。

この解法はとりあえずメモをとって覚えておくつもりですが、もし別解など
ありましたら教えていただけないでしょうか。

>>187は>>184へのレスでした

>>187
そこね、a+b+c=0だから、
a,bが実数としてちゃんと存在すればcは自動的に存在してるでしょう
軌跡の限界、と考えるからわかりにくいのかもしれない
そうじゃなくて、存在条件と考えて、
そこからたまたま限界が見えると思った方が良いかもね

>>189
軌跡の問題を解くにあたって、どうしてもぶつかってしまう壁が「限界」という
部分だと思うのですが、その「存在条件」がそのまま「限界」につながるという
考え方が、どうも腑に落ちないのです。
「その」条件が、軌跡の限界として「必要十分」なのか。
そして、それが「必要十分」なのは、なぜなのか。
その辺が、どうもうまく自分の中にきっちり入っていきません。

今回の場合は、やはり解と係数の関係で解かないと出ないものなのでしょうか。

>>190
>>182でも書いたがc≠a,c≠bだから2a+b≠0,a+2b≠0でab=-4からa,b≠±√2が
出せると思うが

>>191
ｃの条件としては、どうでしょうか。
今回は交点のｘ座標がｃの−４倍になるので、ｘ座標はｃの値に依存する
という考え方からｃの存在領域に議論が移るわけですが、
ａ，ｂ，ｃが互いに異なるという条件からそれが出せるかということと、
それで軌跡の限界の議論は終わらせていいのか、もし終わらせていいなら
それはなぜなのか、ということが気になっています。
そちらの方も、お手数とは思いますがお願いします。

今の場合実数条件を考えるのは
ab=1という２次の関係式があるから、a+bの値との兼ね合いで
危ないこと（虚数解）になるのが見えるから、だね

>>192
a+2c≠0,b+2c≠0とa(a+c)=4,b(b+c)=4からc≠±√2が得られぬか？

>>193
そうですね。ａ＋ｂとａｂの２値の条件からある値が得られた場合、
その値の拘束条件としてａ＋ｂとａｂの実数条件を導き出すというのは
このごろよく使っていて、本当に大事だと実感しています。

>>194
ありがとうございます。c≠±√2については、そこから得られそうです。

典型問題
a↑・b↑=0⇔a↑,b↑が垂直だと勘違いしているからそんな疑問が生じる

>>196
確かに、垂直だけではなくてゼロベクトルの可能性もありますよね

にゃー

>>197
それがわかてるならならc≠±√2は気付くでしょう。
実数条件から範囲を出せないというなら勉強不足

>>199
それが、気付かなくて・・・
実数条件から範囲を出せないと言うより、a,b,cの関係から
直角の点であるｃの存在範囲をどう出せばいいんだー、で頓挫してしまった
のです。だから、ａｂの実数条件から出せた、ということが不思議でしょう
がないのです。実際には実数条件は満たされていて、重解条件から求める範
囲が出た感じなのですが・・・。

a↑,b↑が垂直⇔a↑・b↑=0且つa↑,b↑がともに0↑でない

これを理解しているなら且つ以下に注意しただけ

>>201
そこから、軌跡の限界についてはどう持ち込めばいいのでしょうか

>>197
つまり、内積＝０だけだと、「a, b, cのどれかが一致している」場合を含んでしまっている。
そのような時は三角形ABCが存在しないから、軌跡には含まれないので、除外しなければならない。
それはAがBに一致するときか、AがCに一致するときか、BがCに一致するときか、どれか。（３つが重なる場合を含む）
a=bまたはa=cまたはb=c
ab=-4なので最初のはありえない。
後の２つをそれぞれa+b+c=0に代入して、さらにab=-4に代入して、ダメな値を求める。

解と係数の関係を使ってやるのがテクニカルだと思うなら、
上みたいに原始的にやればいいと思うよ。

「軌跡の限界」というのは、要は、
「軌跡上にある点はすべてこの式を満たすはず」←必要条件
「逆にこの式を満たす点の中で軌跡上には存在しない点があるから除く」←十分条件
という「逆」の確認をすればいいんだよ。

>>203
軌跡の限界というのは、逆の確認をすればいいわけですね。
問題は、その確認をいかにして行うか、ということなのですが・・・
その辺は、問題をできるだけ探して、数で勝負しようと思います。

ａ＋ｂ＋ｃ＝０、ａｂ＝４を満たす、直角三角形の直角の部分にあたる
ｃの存在範囲を求めるためには、どのような制約を行えばいいのか。
重解条件と、ｃの存在条件を、どう構成すればいいのか。

重解条件については、ａｂ，ｂｃ，ｃａが重複した場合を考えればいい。
（式に代入すればいいだけ、ということが自分の頭からは飛んでいました）
ｃの存在条件については、ａ，ｂの存在条件から割り出せばいい。
（この思考回路も、自分にはありませんでした）

とりあえず、この２つを覚えておくようにします。
似た問題が出たら嬉しいのですが・・・。
いろいろお手数おかけしました。

>>202
それと
a,bは2次方程式の2解である

この2つからcは2次方程式の解になりえない
は導けない？

>>205
解と係数の関係に思考がいけば、思いついたかも知れません。
答えを見ると理解できるのですが・・・とりあえず、なんとかしてみます。

>>206 <長文になります>

軌跡の問題では、
同値関係を維持しながら不要な変数を消していく方法と、
>>203 さんが書いておられるように、必要条件で変形していき最後に十分条件で削っていく方法があります。
一概にどっちが簡単かは断言しにくいのですが、少なくとも前者を想定しながら解くことをお勧めします。
なぜなら
必要から十分で解く場合にも「きっとここで同値関係くずしてるから、この辺を最後に削る必要があるな」
と思っていないと漏れなく削る箇所を発見することが難しいからです。

さて、前者の方針で解く場合ですが、
P（X,Y)とすると、
X = -1/2 * ab(a+b) ・・・・・・�@
Y = (a+b)^2 -ab +4 ・・・・・・�A
ab = -4・・・・・・�B
a+b+c = 0・・・・・・�C
a,b,cは互いに等しくない実数・・・・・・�D
から、�Dの縛りを受ける媒介変数a,b,cを消去していき、X,Yの関係式に同値変形していくことになります。

まず、aを消去します。即ち、�Bより a = -4/bを用います。
変数を消す際には、その範囲から制約を残していく必要がありますが、
bが実数なら必ずaは実数になること、aはbに等しくないことも bが実数であれば満たすことができます。即ち、
X = 2*(b-4/b)・・・・・・�@
Y = (b-4/b)^2 + 8・・・・・・�A
(b-4/b) + c = 0・・・・・・�C
b,cは互いに等しくない実数・・・・・・�D
となります。ここで、�Cを用いてc = - (b-4/b) によりbを消しますが、�Dのbが実数である必要十分条件としての判別式と
cと等しくないことから、今度はcの範囲が規制されるわけです。
以上の手順を、「解と係数の関係から〜」は同値関係が保てますので、一気に進めることができるともいえます。
最後に�@,�Aからcを消す際に、X,Yの範囲にcの制約が残る点も、
これまでの変数消去法と同様に考えると違和感無いかと思います。

任意の実数xについて
ax^2+bx+c=0
が成り立つための必要十分条件を求めよ

必要条件を積み重ねて最後にそれが実は十分条件であることをいう典型的な問題
こういうのやっておくといいかもわからんがとりあえず>>177は良問の気配

ax^2+bx+c=0
が必ずｘ軸と交点を一つ持つ

>>208
x=0のときに成立するのでc=0が必要。
さらに、c=0のとき、とくにx=1,x=-1でも成立するので　a+b=0、-a+b=0が必要。よってa=b=0が必要。
逆に、a=b=c=0なら任意のxにたいしてax^2+bx+c=0は明らかに成立。
よって求める必要十分条件は　a=b=c=0

>>208
ここまで明らかなものは典型的とは言わん

>>208を明らかって数学科の人間ではないな

「ax^2+bx+c≡0 なら a=b=c=0」は高校ではなぜか数IIなんだよねｗ
数Iでは展開の一意性が保証されてないじゃんと突っ込むのが
数学科のかなしい性orz

低学歴が数学科語んなｗ

とりあえず208を出題したおれが感じたことを言わせてくれ
>>210が模範解答だ！皆よく勉強するように

1辺の長さ a の正三角形の内部に1点Pをとり、三角形を折り返して3つの頂点が
すべてPと重なるようにする。折り返された図形が 6 角形となるようなPの存在範
囲の面積を求めよ。


解答解説がなく、わかりません。よろしくおねがいします。

>>216
(πa^2)/4

>>217
どのようにして解かれたのでしょうか。よろしくお願いします。

>>216
{(√3)/4 - π/8}a^2

どうしてもわかりません。よろしくお願いします。

未知数x,y,zについての連立方程式

x+2y+z=1
2x+y+2z=a
ax+by+z=c

が解を2組以上もつとき、aの値を求め、さらにcをbを用いてで表せ。

>>220
x+2y+z=1 かつ 2x+y+2z=a かつ ax+by+z=c が解を2組以上持つ
⇔x+2y+z=1 かつ 3y=2-a かつ (a-1)x+(b-2)y=c-1 が解を2組以上持つ
⇔3x+3z=2a-1 かつ y=(2-a)/3 かつ 3(a-1)x+(b-2)(2-a)=3(c-1) が解を2組以上持つ
⇔a＝1 かつ (b-2)=3(c-1)
⇔a＝1 かつ c=(b+1)/3

あ

e^(ix)の微分可能性と、微分結果について高校生の質問スレのほうで質問したのですが、高校の範囲では難しいかもしれないということで、こちらに投稿させていただきます。
(eはネイピア数、iは虚数単位)

あと、オイラーの公式が成り立つという前提で次のような証明を考えてみたのですが、どなたか検証お願いします。

オイラーの公式により
e^(ix)=cosx + i*sinx
がなりたつものとし、e^(ix)の微分を行う。
ただし、ここでiは虚数単位、eはlim_[h→0](1+h)^(1/h)によって与えられるネイピア数である。
(e^(ix))'=(cosx + i*sinx)'　
=(cosx)' + i*(sinx)'
=-sinx + i*cosx
=(1/i)(-i*sinx - cosx) (∵i^2=-1
=-(1/i)(cosx + i*sinx)
=i(cosx + i*sinx) (∵i^2=-1 ⇔i=-(1/i)
=i*e^(ix)

>223
複素微分はちょおっと定義が異なるんだよね
興味があるなら、解析（複素解析）函数論の本みるべし

>>224
お返事ありがとうございます。
やはり複素解析というのが必要なんですね。
受験まで時間が少ないし、自分の小さな頭で理解できるか読わかりませんが、非常におもしろそうなので読んでみます。

>>225
今は受験に専念したほうが・・・

解けません。お願いいたします。

放物線y=x*2 上の相異なる3点P,Q,Rは△PQRが正三角形になるように動いている。
△PQRの重心はある一つの放物線上にあることを示せ。

お願いします。

お騒がせしました。解けました。

>>225
「複素解析」でなくて224の言ってる「関数論」と名のつく本を中心に探せ

いや入試まではきちんと勉強しろ
逃避するな

>>223
大学の教師にみせたら問題ないとのことでした。

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　　　　　　　 ／　 ,ﾊ'.　　　　ｲ:/ | :.:::!　 　 　 ｀　　　　　 　 　 |::::.:.:|:.:!':.:/
.　　　　　 ／　 ／　 ヾ、r '′|:!　 :.:.::ヽ、　　　　‐　　　　　　　|::::.:.:j/:.:/ 　報告乙で、あります
　　　　／ 　 　 　 　 　 ｛　　 ||　 |:.:.:.::|::|l:..､　　　　　　　　 ,.イ::::.:.:/／
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. ／　　 　 　 　 　 ／　　 　 　 　 '.:.:.:::|;ﾊ　　 　 　 |　　　　　j::.:/
　　　　　　　　　, ´　 　 　 　 　 　 ＼::|…‐-　.,__rく_,.．-‐　/／ヽ
　　　　　 　 　 /￣ ¨　¬ヘ-─／ 　ヽ／..:::／/〈::.::.:〉　 ,／　 ／｀７ ｰ- ､
.　　　　 　 　 /　　　　 ノ　　＼　　　 /..::::::/／::.::.厂::.＼ 　 ／ 　 / 　 ／￣｀ｱヽ、
　　　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼　〃￣〃{::.::.::.j{:.::.::.::.:.＼　　　/　／..::::::／　　ハ

ネトゲでPKにやられた。

で？

f(x)+g(x)≡h(x)のとき

f(x)exp[-ax^2]+g(x)exp[-ax^2]=h(x)exp[-ax^2]

は自明で良い？

f，g，hがどういうものかによる

任意のx∈Cに対して恒等的に等しいなら自明

≡って定義するって意味だろ？
＞f(x)+g(x)≡h(x)のとき
こう定義してるんだから
＞f(x)exp[-ax^2]+g(x)exp[-ax^2]=h(x)exp[-ax^2]
自明って言うか、単なる式変形にすぎねぇだろ

>>238
中学生でも知ってる三角形の合同とか
代数でやるa≡b(mod k)とか
恒等的に等しいという場合とか
定義は全く別の記号でだいたい⇔だったり＝のちょこんとした奴だったりする

定義するって意味じゃねえだろ。
普通は「恒等的に等しい」って意味だよ。

>>238
> ≡って定義するって意味だろ？

普通は違う

>>241
物理だと定義するで使うことが多い

≡とか場合によって違いすぎるだろ・・・

合同の記号

>>242
何の本だろうか…
出あったことないんだが

"≡"の記号の解釈で盛り上がってるな・・・

>>239で話は終了なんですけどね

この問題教えて下さい。
よろしくお願いします。

ある会場に10人の人がいます。
その各々が一斉に1〜100の間の任意の数を叫び、
その中で2番目に大きな数を叫んだ人が賞金を得ることが出来ます。
このとき、1〜100のいくつの数を叫べば最も勝率が高いでしょう。

直感的には９７？

100は叫ばない
99も叫ばない
・・・
２も叫ばない
１なら

>>248
面白い
が、他のﾌﾟﾚｲﾔｰの戦略に規定が無い以上単純に一つの答えとはならないんじゃないか

もし他の9人が叫ぶ数が1〜100までの乱数なら
9×(n+1/100)^8×(99-n)/100＜9×(n/100)^8×(100-n)/100＜9×(n-1/100)^8×(101-n)/100
が成り立つ、そこで分母分子を払うと
(n+1)^8×(99-n)＜n^8×(100-n)＜(n-1)^8×(100-n)

ここまでやって計算が面倒になったので省略

訂正
9×(n+1/100)^8×(99-n)/100＜9×(n/100)^8×(100-n)/100＞9×(n-1/100)^8×(101-n)/100
(n+1)^8×(99-n)＜n^8×(100-n)＞(n-1)^8×(100-n)

>>251
湯川学（福山雅治）ガリレオですかｗ

みんなで談合して９人が１と叫んで一人がそれ以外を叫べばおｋ

条件が特に指定されていないけど「すべての参加者は充分頭がよく論理的に行動する」とする

何らかの計算により最も勝率が高い数字が定まったとすると
すべての参加者が論理的思考により同じ数字を叫ぶはずなので賞金はもらえない
Q.E.D

問題が不完全

数学においては不完全
が、一般には議論の余地のある問題を良問というのかもしれない

>>256
賞金がもらえるか否かは問題とされていないので、
全員が叫ぶであろう数字が答えなんじゃない？

100を選んでも絶対２番目にはなれないので100を選ぶ人はいない
100を選ぶ人はいないので99を選んでも絶対に２番目にはなれない
以下、同様に考えると論理的には選ぶべき数は存在しない

>>259
抜き打ちテストの論理か。

>>259
微妙に違うんじゃない？

2番目に大きい数を叫んだ人が一人に決まらない場合はどうするんだろ

他人も最善の数を言う場合は解なし?

最善の数が存在するとし、その集合をAとする
集合Aに属する最大の数は、他人が集合Aのうちのいずれかを
叫ぶことから、最善の数ではなく矛盾するので、最善の
数は存在しない

自分以外は１〜１００までをランダム（等確率）で叫ぶという仮定ならどうだ。

>>248から、この問題が提起されて２週目に突入ですが・・・
なんか、私たちの手に負えないような気がしてきた

東大入試作問者スレや数学オリンピックスレ、面白い問題おしえてスレなどの方々に助言を求めてみる？
（おそらく数学板では五本の指に入るであろう最強スレ）

（ってか、そもそも問題として成立してるのか？という前提もあるのですが・・・）

受験板に帰れカスども

自分以外の９人はランダムに選ぶと仮定したとき

計算でも求められるだろうけど面倒なので
プログラムを組んで１０００万回くらいまわしてみた
一番勝率が高いのは89を選んだ時で勝率40.77%

>>267
やっぱりその方法でやる人が現れたか。
89って妥当な数字だと思う。

イメージ的には

８９〜１００を叫ぶ人の数の期待値が大体１だから
８９を叫んでおけばいいんじゃね？

って感じかな？

つーか、この問題
もはや、大学受験とかワンランク上とかの範疇じゃないよな？

数学の問題ではない
どういうルールを考えるのが合理的かと言う問題

広義的解釈を許されるのなら、ある意味、一種のエスパー問題ともいえるかもｗ

自分以外の人間がどういうルールによって行動するかを指定しなければ単なる
エスパー問題

原点と放物線y=ax^2-4上の点との最短距離を求める問題がわかりません…よろしくお願いします。

エスパー問題入りました

全然エスパー問題じゃなかったね。ごめん。

>>274
高校スレへいけ。

a＜0は自明
a＞0でt＝x^2≧0、at^2＋(1-8a)t＋16はaを1/8を境に最小値を取るtが変わる。

>>277
ありがとうございます。
もしよかったら、at^2＋(1-8a)t＋16の式がどのように立てられているか教えて下さい…

>>278
>>277の初めの一言が読めないか？

a^2+b^2=c^2
aは5以上の素数

ｂは3の倍数であることを示せ。
教えてください。

a=6n±1

b=3n±１
で、矛盾ですか？

受験板に帰れカスども

>>283
わからない人は引っ込んでて下さい

b,cは正の整数と解釈する
a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)
aが素数であることと
0<c-b<c+bから、c-b=1, c+b=a^2
よってb=(a^2-1)/2={(6n±1)^2-1}/2
=12{n^2+n(n±1)/2}
でbは12の倍数

ワンランク上というには易しいんだが
質問者には判断できんだろうね

>>278
スレ違いだということ。

距離を求めるんだから距離の2乗の式をtに置き換えただけだ。
これ以上は高校スレでな。

全部丸ごとすれちがい
さっさと受験板なり教える君スレに消えてくれ

レベルの判断なんて質問者にはわからんのが当然
質問スレとつけた時点で迷い込んでくるのも仕方ないし
他のスレまで汚すよりはタイトルの悪いスレで処理するほうが合理的じゃねーか？

ケチをつけたいヤツは答えなければいいだけ。独自の基準に照らしてケチをつけなければ気が済まないならこんなスレは必要ない。東大入試問題のスレ辺りと合併すればいい。

倣岸を充填した自己顕示スレをいくつ立てれば満足するのですか
苦労しなさい

うほっ
蒼天の拳おもしろいな
劉宗武カッコイイ

>>248

既に指摘があるように勝率が最も高くなる数字と言う意味の答えは
なさそうだが、ゲーム理論のナッシュ均衡なら求められる。

まずはルールを整備。幾つかの解釈で進めてみる。

1)2番目に大きな数を叫んだ人の定義
a.複数の人が叫んだ数字も1つとして考え、叫ばれた数の中で、
　 2番目に大きな数字を叫んだ人
b.10人を大きな数字を叫んだ順に並べて、2番目になった人
　 あるいは2番目の人が入る事になる数字を叫んだ人

2)1に該当する人が複数いる場合
x.全員が勝者となる
y.ランダムで1名が勝者となる


(1)から整理すると、aの場合は、250,259さんの言う通り、
100を叫んだ場合の勝率は明確に0であり、そこから順番に
全ての数字の勝率が0である事が導かれる。

ゲーム理論的に考えると、ナッシュ均衡は
全員が1と叫ぶ戦略を選択する場合の1つのみ。
この状態からは、全ての人が、戦略を変えることによって
勝率を高めることができない（ナッシュ均衡の定義）。

bの場合は、ある数字が該当の数字となった場合、その数字を
選択しなかった人は、その数字を選択する戦略に変更することで
勝率を上げることができる(x,yのいずれの場合にもかかわらず)ため、
全ての人が同じ数字を叫ぶ戦略を選択していない状態は
ナッシュ均衡とはなりえない。

全ての人が同じ数字を選択する戦略を選んでいる場合は、
それがどの数字でもナッシュ均衡である。
この場合は、1〜100まで100個の均衡がある事となる。
256,263さんが指摘しているような状態。

(2)のルールは結局関係なかった。
ただ、たとえば「z.全員賞金無し」と言うルールにすると、
上記の以外の均衡も発生する。

大袈裟な理論からつまらない結果じゃあね・・・

もうすこしいい解釈希望

じゃあ自分で考えろ！

大学入試レヴェルにこのような理論にまで発展してしまうこの問題を出す
大学入試問題作成責任者の面が見てみたい・・・

未知数込みの連立方程式のまとめ方について質問です。
分数などが入って煩雑だったので下にまとめました。

http://shibuya.cool.ne.jp/sibuya98/001.htm
概要は、このような感じです。
x(y-z)＝y(z-x)＝z(x-y)＝aという連立方程式において、
i)ｙ≠０，１のとき
　i-i)a＝1のとき(x,y,z)＝省略
　i-ii)a≠1のとき（x,y,z）＝省略
ii)ｙ＝０のとき（x,y,z）＝省略
iii)ｙ＝１のとき（x,y,z）＝省略

という形になったときの、解の書き方はどうするべきか迷っています。
a=1のとき、a≠１のとき、のようにaの値で場合分けできるとすっきり書く
ことができ、実際答えはその２つにまとめることができるようですが、
そこまで頭が回らず・・・しかし、わけられるとしてもなぜそうなったのか
がよく文章として構成できません。
本来どういう風に解くべきなのか、どなたか教えてください。お願いします。

>>296
解決しましたので取り下げます。失礼しました。

a＞0,a≠1のとき
f(x)=a^x-a^(-x),
g(x)=a^x+a^(-x)
とおく。
f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8のとき
x,yの値を求めなさい。

求めますた

>>299
xとyの間に成り立つ関係式は？

x=yで
x=log(√2±1)/log(a)
だが、それが何か面白いのか？

>>294
期待に添えなかったようで残念ですが、少し言い訳を。

ナッシュ均衡は、別に大げさと言う程のもんじゃないよ。
行数喰っているのは、ルールの解釈の方だしね。

結果がつまらないと言う事に対しては、
294さんがそう感じた以上は、その通りとしか
言い様が無いんだけど、自分としてはこの問題には
ナッシュ均衡を持ち出すのがベストチョイスだと考える以上、
この結果は、問題自体の性質。
もちろん、プアな問題でも、改題や解釈の拡張で
勉強になることは大いにあるので、何か案があれば
考えて見ます。

自分としては、先に出ていた幾つかの答えの
流れに乗る形で、さらに見通しを良くできたので、
書き込む価値があるかなと考えました。
294さんが、問題を考えていた時点で、
「つかみどころが無い」と思っていた状態から、
「つまらない」となったなら、やはり
書き込んだ価値はあったのかなと思います。

これってゲーム理論で解けますか？

AさんとBさんが、以下のような手順で
m×nの大きさのチョコレートを順番に食べる。

�@Aさんがチョコレートを２つに割って、Bさんがどちらかを選んで食べる
�ABさんがチョコレートを２つに割って、Aさんがどちらかを選んで食べる

�@、�Aを順番に繰り返し、最後にチョコレートを食べた方が勝ち。

Aさんが勝つのはどのような場合か。

高校数学を逸脱するような問題は
別スレでやってくれないか？

でも高校数学の問題書いたら質問スレ行けって言われるんだよね、ここ。

>>303
ちなみに、それは先手必勝か後手必勝のゲーム。
普通「ゲーム理論」といえば、双方が（交互ではなく）同時に作戦を繰り出し
その組合せによって双方の得る利益が変動するようなものを扱う。
まあ、先手必勝物も広い意味ではゲーム理論なのかもしれんが。

どこぞの雑誌で懸賞にでもなってそうな問題だな……

>>302
いたいけな高校生が受ける大学受験に
ナッシュ均衡が出題される時代なのか？・・・

>>308
少なくとも今は無いかと。今後もおそらく無いと思われ。
>>248 の問題は大学入試の過去問でないことは確かでしょう。

>>303
これは、306さんの言う通り、先手必勝か後手必勝の
必ずあるゲーム。詳細は「二人零和有限確定完全情報ゲーム」
で検索を。この問題も大学入試に出ることは無いと思われ。

まずはルールの整備から。下記を追加。
1)チョコレートは溝に沿ってのみ割る事ができる。
2)「2つに」割る際には、片方の大きさが0でも良い。
1は単なるいちゃもん程度だけど、
2はゲームとして成立するために必要。

この種類のゲームの場合はバックワードインダクション
（逆向き推論、後方帰納）で解ける事が多い。
要は、ゲームの最終局面から逆向きに考えていく事。

このゲームの最終局面は事実上1種類しかないから、分析は簡単。
チョコレートが1*1の時は、1*1と0に割るしかないので、
当然この時点で食べる方が勝つことになる。

もっと大きいチョコレートの勝敗を調べる時には、1*1から順番に
下記のルールに従ってチョコを大きくして分析する。
ある大きさのチョコレートを、
1)2つとも次の順で食べる方が勝つように割れる時は割る方の勝ち
2)片方でも次の順で割るほうが勝つ大きさが入るようにしか
　割れない時は食べる方が勝ち。
(片方が0になる割り方は行った時点で負けなので1*1の時以外は無視)

これで、理屈の上ではすべての大きさのチョコに対して、
A、Bどちらが勝つかを求める事ができる。
例えば、1*2は、1*1を2つに割ることができるから、この時点で
割る方(A)の勝ち。2*2は、1*2を2つに割る事しかできないので
食べる方(B)の勝ち。

もちろん、すべての場合に勝敗が調べられる事と、
m*nの勝敗についての条件を明確に示す事は別。
上のほうに雑誌の問題くさいとか書いているので考え方だけ。

1)上記の方法で、いろいろな大きさのチョコで勝敗を調べる
2)パターン推測で、一般のm*nについての勝敗仮説を立てる
3)2の証明、できれば具体的な必勝手順を示す
の流れです。2の部分が大変そうですが、この問題なら、
しばらくやればかなりの場合に適用できる判別法が分かり、
そこから考えれば一般に適用できるルールが見えて来ると思います。

折角なので入試レベルの問題を一つ。
バックワードインダクション的な考え方はナッシュ均衡よりは
入試に役立つ可能性がありそう。

サイコロを振って、得点を競うゲームを考える。
・最大5回まで振れる。2回目からは、振る前に止めるかを選択できる。
・やめた時点で、最後に出た目の数が得点。
どの時点でやめるかを適切に選択した時の、得点の期待値を求めよ。

昔受験生から聞いた問題だから、多分類似の過去問があるかなと。

>>308
いたいけな高校生なんていません

次の問いに答えよ。
(1)三角形ABCにおいて、∠ABC=90°,∠BAC=60°,CA=5のとき辺ABと辺BCの長さをそれぞれ求めよ
(2)tanθ=3/4のときsinθとcosθの値を求めよ。ただしθは鋭角とする
(3)0°≦θ≦180°のとき、cosθ=-√3/2を満たすθの値を求めよ。
（愛知工科大学）

>>312
高校生のための数学質問スレへどうぞ

けちだなぁ。解けないんでしょ。

(1)
1:2=AB:5 AB=5/2
√3:2=BC:5 BC=(5√3)/2

(2)
(3/4)^2+1=1/(cosθ)^2
cosθ=±4/5 θは鋭角だからcosθ=4/5
sinθ=√(1-(4/5))^2=3/5

(3)
θ=150°
であってますでしょうか？

高校生のための数学質問スレへどうぞ

f(x)=2x^3-5x^2+6x-2とする。f(x)=0の実数解を全て求めてみよう。

(1)x座標が１である点における曲線y=f(x)の接線をlとする。
lがx軸と交わる交点のx座標x[1]を求めよ。
(2)f(x[1])を求めよ。
(3)(2)の結果をもとに,f(x)を因数分解せよ。
(4)f(x)=0が実数解を１つだけ持つことを示せ。

(2007 大阪工業大学）

高校生のための数学質問スレへどうぞ

といわれる前に向こうに答えておいたぞ。
ここには変な人しか居ないので。

あと、あっちの本スレはここ
【sin】高校生のための数学質問スレPART173【cos】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1205989076

>>317
(1)
f'(x)=6x^2-10x+6
f'(1)=2
また
f(1)=1より
接点は(1,1)で接線はy-1=2(x-1)よりy=2x-1
従って接線とx軸との交点のx座標はx[1]=1/2
(2)
x=1/2をf(x)に代入して計算するとf(1/2)=0
(3)(2x-1)(x^2-2x+2)
(4)
f(x)=(2x-1)(x^2-2x+2)
g(x)=x^2-2x+2とおくと平方完成よりg(x)=(x-1)^2+1でg(x)のグラフを書くと
x軸との交点がないことより、解を持たない。
従ってf(x)=0が解を持つのはx=1/2時のみであることが示された。

http://pya.cc/pyaimg/pimg.php?imgid=31509

これの（２）に答えるとして、「g(6)=18を回答とする」と一行で答えた場合、点数になるのでしょうか。
というかこれのもっともきれいな答えかたってなんだ。

>>320
g(6)＝6だから0点じゃね？

g(6)＝6、でいいと思うけど。
ぐだぐだ言いたかったらg(1)〜g(5)、g(7)が0になることを言えばいいんじゃね？

あいやすまん・
このページの引用が間違ってるけど、本当はｇ（ｎ）=３f(Σ[k=1,7](k^n))なんだ。

>>322
あらら。

でも結局g(6)＝18、だけでもいいと思う。
n＝6を何となく入れてみた、でもいいわけだし。

>>320
(1)を使ってそれっぽく答えを作りたければ、
a,bが互いに素である場合は、
a^(k+1)をbで割った余りがaの時は、a^kをbで割った時の余りは1である
事を示しておけば(背理法で簡単)
あてずっぽうでなく6を選んだ事を強調できる。

(1)の証明の時に6乗で1になる事を示していると格好悪いから、
1〜3までは素直に計算、剰余で順に計算どちらでも良しとして、
4〜6はs=1,2,3として (7-s)^7 から示して置けばいいかな。

きれいと言うよりは格好付けだけど。

三角形ABCがあり、点Pを頂点A上に置く。
コインを投げて、表が出れば半時計周りに点Pを三角形ABCの頂点に動かし、
裏が出れば時計回りに点Pを三角形ABCの頂点に動かす試行を考える。
コインをn回投げて点Pを動かした時に、点Pが頂点A上にある
確率を求めよ。 (一橋大）

n回目に点A,B,Cにある確率をそれぞれa_n、b_n、c_n とすると

a_0=1 , a_(n+1) = (1/2)b_n + (1/2)c_n
b_0=1 , b_(n+1) = (1/2)c_n + (1/2)a_n
c_0=1 , c_(n+1) = (1/2)a_n + (1/2)b_n
a_(ｎ+1)+b_(n+1)+c_(n+1) = a_n + b_n + c_n = … = a_0 + b_0 + c_0 =1
より、第1式は
a_(n+1)=1/2(1-a_n) と変形できる。
漸化式を解いて
a_(n)=2/3(-1/2)^n-1+1/3

さいころを続けてn回投げる時、さいころの出た目が6の約数である回数
が奇数回である確率をP(n)とする。これについて下記の問いに答えよ。
(1)P(1)、P(2)を求めよ。
(2)n>=2の時にP(n)とP（n-1）との間に成り立つ関係式を求めよ。
(3)P(n)を求めよ。(2008 慶応大（理工））

(1) P(1)は2/3、P(2)=2*(2/3)^1*(1/3)^1=4/9
(2) P(n)の時に、さいころの出た目が6の約数になる回数が奇数回になるのは
<1>n-1回目の時にさいころの出た目が6の約数になる回数が偶数回でn回目に
6の約数になるさいころの目が出た時
<2>n-1回目の時にさいころの出た目が6の約数になる回数が奇数回でn回目に
6の約数でないさいころの目が出た時
なので
P(n)=2/3(1-P(n-1))+1/3P(n-1)
P(n)=3/2-1/3P(n-1)

(3) (2)の漸化式を解いて
P(n)=1/2-1/2(-1/3)^n

東大、京大、慶応大（医学部）って確率漸化式大好きですね。
しかもほとんど漸化式を作らせる誘導がないしwww

でも、その手の問題は一つ残らず簡単であると言う事実

>>328
確率漸化式は予備校系の記述式模試でも1回は必ず出題されるので
対策はしやすいと思います。

慶應医の確率漸化式が簡単とな？！
無知というのは恐ろしい。

１＋1/3＋1/6＋1/10＋1/15・・・・

の無限級数の和教えてください
お願いします

高校生のための数学質問スレへどうぞ

>>330
難しいのってあったけ？
経験がないと難しいと感じるだけで、パターンが限られるから
対策しておけば十分なものばかり。

>>330 >>333
東大、京大、慶応大（医学部）の確率の問題は漸化式を使うか
漸化式を使わない方法を使うかを解答者が決めないといけないので
難しい。

確率漸化式が誘導されている場合であれば対策すれば十分なものが多いので
対処できると思う。
（今年の広島大（文理共通）のように確率漸化式を作るように誘導されて
いればそれほどでもないと思う）

>>331
分母：n(n+1)/2
2/{n(n+1)} = 2/n - 2/(n+1)

>>325
別スレの内容をコピペして何が面白いんだ？
文字と式の間違いまでそのままにして。

はっきりいって確率漸化式は入試レベルなら東大だろうが京大だろうが簡単だろ・・・

>>333
あ、ごめん。ここ数学板なの忘れてた。
2004年の2番などはお口に合いますでしょうか？

単に考え方が難しい問題ということと、ワンランク上というのは
違うと思うんだけどね。
誘導があれば易しくはなるが、問題に隠された高等数学があれば
それはワンランク上。誘導のあるなしは関係ないんです。

ここは受験板じゃなくて数学板なんですよね？ｗ

なんか最近勝手に「ワンランク上」の定義を押し付けてるやつがいるな。

>>330
ここ2年は本当に簡単です

>>340
>>312 とか >>317 とか、困ったもんだよ。

>>341
慶應医は、合格者がほぼ満点くらいの試験でも
本当はいいみたいな話ｗ

>>340、>>342
前スレは良スレだったのにね…

現このスレは、ただ単に"検討するだけ"の、もうｵﾅﾆｰスレ化している

前スレはどんな感じだったの？

質問がたくさん来た
簡単な問題にも、とりあえずは答えてくれる人が居た
入試レベルを超えても、答えてくれる猛者が居た
その回答に反応して議論を広げてくれる人が居た

問題にケチつけるだけの人とか、ワンランク上の定義を押し付ける人とか、
ただ問題と解答を羅列するだけの人とかが、居なかったわけではない。

要はこのスレに人が来なくなった。

前スレはワンランク上と思われる程度の入試問題で、背景が隠されてる
ような問題がけっこう書き込まれていたから議論になった。

最近は、単純に高校数学の範囲から離れた話題（で、さほど
面白くもない）か、書き込む本人がレベルもわからずに
自分が解けない問題を書き込むだけだから、人も離れますわな。

ちょうど高校生スレの類似スレで言ったことだが、追加して述べておく。

以前は、基礎・基本スレ、標準（本スレ）、ハイレベル（ワンランクスレ）とあった。
初級、中級、上級みたいな感じ
各自・各スレでお互いに助け合って育んでいた。
（例えば、 本スレでも手に負えなさそうな問題は、ワンランクへとヘルプを求めたり）

その後、基礎・基本スレは本スレと統合された。
それでも、 ワンランクスレは、最後の砦として意義深いスレであった。

その後、学校でいう２学期後半あたりからか
卑しいVIPからか、受験に失敗間際な輩どもが、あちこちこの数学板全般に"乱れ"を撒き散らしやがった…

このワンランクスレも例外ではなかった。

今現在では、幾分この数学板でも、乱れは収まったかもしれないが
その深い爪あとは、各スレにまだ残っているのかもしれない。

そして、もう一つ
あとは、時期的なもの
つまり、先輩たちが、受験本番で忙しく数学板にいることが少なくなった
そしてめでたく大学合格。

高校生スレ、ワンランクスレを育んでいった先輩たちが、皆卒業してしまった。
（これはこれで、めでたいことではある！そして、僕たちもいつかはこのスレを卒業することだろう…）

>>346氏の最後のレスと同じことだが、人が少なくなったということだ。

だけど、今僕たちにできることといえば
先輩たちが築いてきた前スレを踏まえ
今後の後輩たちに恥ずかしくないようなスレにしたいものだと願う…

>>348
要は、問題の難易度がちゃんと分かる奴は質問しない、
ってことじゃないの？
分かる奴で深く知りたい奴は他にある質問スレで聞けば
いいんだし。
だから時間の経過と共にごっちゃになるのはある意味必然。

解析的に解かせてる積分の問題とかワンランク上が多いと思う

>>347
質問するぐらいなんだから、
レベルってなんてわかるわけないじゃん

死刑囚を10人集めて、248さんのゲームで勝った奴を無罪にする
という実験をしてみたい

正八面体があり頂点AB1B2B3B4CがありB1B2B3B4は同一平面上の正方形をなす。
点Xを点Aに置き、1秒ごとに隣の頂点に移動する試行を考える。
n秒後に同一平面上の頂点B1B2B3B4に点Xが存在する確率をb[n]とする。
この時、b[n]とlim[n→∞]b[n]を求めよ。（2006 札幌医科大学）

頂点Aに点Xが存在する確率をa[n],頂点Cに点Xが存在する確率をc[n]とすると
a[n+1]=1/4b[n]
c[n+1]=1/4b[n]
よって頂点B1B2B3B4に点Xが存在する確率b[n]は
b[n+1]=a[n]+1/2b[n]+c[n]
またa[1]=0,b[1]=1,c[1]=0,a[2]=1/4.b[2]=1/2,c[2]=1/4である
よって
b[n+2]=a[n+1]+1/2b[n+1]+c[n+1]
より
b[n+2]=1/2b[n+1]+1/2b[n]
b[n+2]+1/2b[n+1]=b[n+1]+1/2b[n]
従って
b[n]=1/3(-1/2)^n-1+2/3
lim[n→∞]b[n]=2/3

袋の中に赤玉2個、白玉1個が入っており、袋の中から玉を1個取り出して
また袋の中に入れる試行を考える。
赤玉が出た時に赤玉の出た回数を記録する。赤玉が出た回数が奇数の
時の確率をP[n]とおく。これについて後の問いに答えよ。
(1)P[1],P[2]を求めよ。
(2)P[n+1]とP[n]との間の漸化式を作れ。
(3)P[n]を求めよ。

(1)P[1]=2/3,P[2]=2C1(2/3)(1/3)=4/9
(2)P[n+1]=(1-P[n])*2/3+P[n]*1/3
P[n+1]=2/3-1/3P[n]
(3)P[n+1]-1/2=-1/3(P[n]-1/2)
P[1]-1/2=1/6
よって
P[n]-1/2は初項1/6,公比-1/3の等比数列なので、
P[n]-1/2=(1/6)(-1/3)^n-1
P[n]=(1/6)(-1/3)^n-1+1/2

>>354
何がしたいの？

>>354
＞頂点Aに点Xが存在する確率をa[n],頂点Cに点Xが存在する確率をc[n]とすると
＞頂点B1B2B3B4に点Xが存在する確率b[n]は
＞b[n+1]=a[n]+1/2b[n]+c[n]

ここから a[n]+b[n]+c[n]=1 より
b[n+1]=1-1/2b[n]
と二項間定番に変形したほうが早い。後はいつものように
b[1]=1より b[n]=1/3(-1/2)^n-1+2/3、lim[n→∞]b[n]=2/3 はすぐでる。

>>352
自分でレベルがわからないなら、最初に高校スレで聞く。

1+2+3+....=-1/12
の理由を教えて。

>>358
複素解析でゼータ函数の解析接続。

>>358
無限大に発散
>>359
解析接続する意味がわからん

その理由を、このスレで聞く>>358の意味がわからん

>>360
ゼータ函数ζ(x)=Σ1/n^x＝1/1^x+1/2^x+1/3^x+1/4^x+･･･
はRe x>1 で正則、Re x≦1に一意に解析接続され、x≠1で正則。

ζ(-1)=-1/12 となるので、「形式的には」1+2+3+....=-1/12。

ま、確かにスレ違いだが、ワンランク上ではあるなｗ

>>362
ζ~(s)=(π)^(-1/2)*Γ(s/2)ζ(s)と置いてζ~(s)=ζ~(1-s)が∞=∞を含めてs∈Ｃ
Γがs<=0の整数で１位の極を持ち他で正則よりΓ(-2n)=∞だが
ζ~(1-s)は有限確定なのでζ(-2n)=0となる
ここまで高校生でもわかるが、実際に奇数の値を求めるのはどうするんだ？
実数しか相手にしない場合、高校生では無限大に発散としか思えない…とおれは思った

ちょいインチキのはいった解説（笑）

ζ(s)=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+･･･ = (1+1/3^s+1/5^s+･･･)+(1/2^s+1/4^s+1/6^s+･･･)
ここで、1/2^s+1/4^s+1/6^s+･･･= 1/2^s *ζ(s) となるので
1+1/3^s+1/5^s+･･･=(1-1/2^s) ζ(s)

したがって、交代級数 f(s)=1-1/2^s+1/3^s-1/4^s+･･･ =[1-2^(1-s)]ζ(s)
となり、特にζ(-1)=-f(-1)/3。

f(-1)=1-2+3-4+･･･ を求める。|s|< 1 で収束する等差×等比型の級数
-[s+2s^2+3s^3+4s^4+･･･]=-s/(1-s)^2 でs→-1+0と極限をとると
1-2+3-4+･･･=1/4 と思えるので、ζ(-1)=-1/12が従う。

>>364
Γ函数の定義と簡単な性質だけなら高校生でもわかるが、
ζ~(s)=ζ~(1-s) は高校生でもわかるように説明できたっけ？

函数等式を認めて良いなら、ζ(2)=π^2/6 だけなら、高校数学のちょい
拡張範囲で証明する方法は確かあったな。

最近の高校生の勉強してる範囲の内容なんてしらないけど
ζ関数知っているくらいだからPartial Summationくらい当然やっているんだろうな

king君がコインを2枚投げて両方とも表だった時に、「ワン」と吼える。
上記の試行をn回実施して、「ワン」と吼えた回数が奇数である確率を
P[n]とおく。
この時P[n]とlim[n→∞]P[n]を求めよ。

P[1]=1/4
P[n]=3/4P[n-1]+1/4(1-P[n-1])
P[n]=1/2P[n-1]+1/4

よってP[n]=-(1/4)(1/2)^n-1+1/2
従ってlim[n→∞]P[n]=1/2

Reply:>>368 お前は大陸に帰れ。

袋Aには赤色のおはじきが2個、袋Bには青色のおはじきが3個それぞれ入っている。
袋Aからおはじきを1個取り出して袋Bに入れ、次に袋Bからおはじきを袋Aに入れる
試行を行う。
この試行をn回実施し、袋Aに赤色のおはじきが2個入っている確率をP[n]、
袋Aに赤色のおはじきと青色のおはじきがそれぞれ1個入っている確率をQ[n]、
袋Aに赤色のおはじきが1個も入っていない確率をR[n]とする。
この時P[n]を求めよ。

P[1] AからBに赤、BからAに赤　1*1/4=1/4
Q[1] AからBに赤、BからAに青 1*3/4=3/4
R[1] ありえないので0

ここでAに赤2個、Bに青3個の集合をP
Aに赤1個、青1個、Bに赤1個、青2個の集合をQ
Aに赤0個、青2個、Bに赤2個、青1個の集合をRとする。

P→P 赤赤より1/4
P→Q 赤青より3/4
Q→P 青赤より1/2*1/4=1/8
Q→Q 青青より1/2*3/4=3/8
Q→Q 赤赤より1/2*1/2=1/4
R→Q 青赤より1*1/2=1/2

P[n+1]=1/4P[n]+1/8Q[n]
Q[n+1]=3/4P[n]+5/8Q[n]+1/2R[n]

ここでP[n]+Q[n]+R[n]=1より
Q[n+1]=3/4P[n]+5/8Q[n]+1/2(1-P[n]-Q[n])
従ってQ[n+1]=1/4P[n]+1/8Q[n]+1/2

Q[n+1]-P[n+1]=1/2
Q[n+1]=P[n+1]+1/2

従って
P[n+1]=1/4P[n]+1/8Q[n]は
P[n+1]=1/4P[n]+1/8(P[n]+1/2)
P[n+1]=3/8P[n]+1/16
P[n+1]-1/10=3/8(P[n]-1/10)
P[1]=1/4より
P[1]-1/10=3/20
したがって初項3/20 公比3/8の等比数列より
P[n]-1/10=3/20(3/8)^n-1
P[n]=1/10+3/20(3/8)^n-1
P[n]=1/10+2/5(3/8)^n

ちなみにこの問題は83年の東京工業大学の入試問題です。

83年なら新規だったかもしれんが、確率漸化式の定番問題だな…

>>373
前年に東大の理系の入試問題で誘導付きで確率漸化式を出題したのを、
翌年東工大が誘導なしで確率漸化式を出題しました。

東工大お得意の他大学で出題された入試問題を誘導なしで出題する
法則です。

p:AB+ABB->AA+BBB 1/3(1/2)(1/4)=1/24
q:AA+BBB->AA+BBB 1/3(1/4)=1/12
r:BB+AAB 1/3
1/8
aa+bbb->a+abbb->aa+bbb,ab+abb
->b+aabbb->bb+aab
A(P,Q,R)=(P,Q,R)
P->P 1/4
P->q 3/4
p->r 0
q->q ab+abb->a+abbb,b+aabb->ab+abb 1/2*3/4+1/2*1/2=5/8
q->p 1/8
q->r 1/4
r->p 0
r->q 1/2
r->r 1/2
(P,Q,R)=(1/4,1/8,0)(P,R,R)
(3/4,5/8,1/2)
(0,1/4,1/2)
un=A^nu0

今年のセンター試験の文字列のやつを、穴埋め誘導、3回まで
じゃなくて、漸化式にすれば難問になる。

センター形式に当てはめたからつまらん問題になったが、素材としては
良い問題だ（センターはそういうのはけっこうある）。

>>376
センター試験の枠組みが数�TA、数�UBである限り、
数Aの確率と数Bの数列の融合問題は出題できない。

ああ、そういう意味ではなくて、センターの問題をアイデアだけ
借りて、二次試験向きに作り変えるってこと。
センターの枠なら激安問題にしかできないし。

対象学年：高3・卒
　対象志望校：東大理科
　目的：高いレベルで数学の学力を統合し、東大理系数学を完答する。

　定員：4名
　予定時間：3h/1週*12週（約3ヶ月間）
　料金：126000円（=3500円/h*36h）

>>379
該当するやつは自分で勉強できそうな気がするが。

面積が１であるような△ABCの辺AB､BC､CA上に点D､E､FをAD:DB=t:(1-t)､BE:EC=2t:(1-2t)､CF:FA=(1-3t)となるようにとる（ただし、0<t<1/3とする)。
△DEFの面積をSとするとき　
(1)Sをtを用いて表せ。
(2)0<t<1/3において、Sが最小となるtの値を求めよ。
むずくて全く解けません。解ける人いないでつか？

高校スレへどぞー

S=DExDF/2

>>378
2次試験であればセンターのアイデアを借りて確率漸化式の問題を
出題できますね。

確率漸化式ではないが、過去のセンターの追試で出題した確率の問題の
アイデアを借りて今年、東北大の理系の2次試験で出題されました。

東北大の教員がセンターの出題委員になる→数年後、手直しして二次に出すｗ

>>381
マルチ

>>381
暗算でもとけるだろ・・・

数直線上を原点から出発して、次の規則で移動する点Pがある。

（規則）
1個のさいころを投げて、出た目が5以上の場合は正の方向に2進み、
出た目が4以下の場合は正の方向に1進む。

さいころをn回投げた時に、Pの座標が偶数になる確率をA[n]とする。
このとき次の問いに答えよ。

(1)A[1],A[2],A[3]を求めよ。
(2)A[n+1]をA[n]を用いて表せ。
(3)A[n]を求めよ。
(2007 福井大（工））

(1)
A[1]=2/6=1/3
A[2]
偶数＋偶数の時
(4/6)^2=4/9
奇数＋奇数の時
(2/6)^2=1/9
より4/9+1/9=5/9

A[3]
全て偶数の時
(1/3)^3=1/27
1回偶数、2回奇数の時
3C2(2/3)^2(1/3)=12/27
よって1/27+12/27=13/27

(2)
A[n+1]が偶数になるのは次の場合
�@A[n]の時に点Pが偶数でn+1回目が偶数
�AA[n]の時に点Pが奇数でn+1回目が奇数
A[n+1]=1/3A[n]+2/3(1-A[n])
A[n+1]=-1/3A[n]+2/3

(3)(2)の漸化式を解いて
A[n]=(1/2)(-1/3)^n+1/2

ある地点（0年目）で同じ容量の2つの空の樽A、Bに新味噌を一杯にいれ、
以後1年経つことに以下の操作を行う。但し味噌の量は自然に増加しない
ものとする。

Bの味噌を半分取り除き、Aの味噌の半分をBに移す。
さらにAにはその年の新味噌を入れ一杯にし、それぞれの樽をよく混ぜる。

以下では新味噌は0年物とし、x年後の味噌が1年経過したものを(x+1)年物
とする、またx年物とy年物を同量ずつ良く混ぜた味噌は(x+y)/2年物とする。

n年後に上記の操作を行った直後のA、Bの樽の味噌をそれぞれA[n]年物、
B[n]年物とする。これについて下記の問いに答えよ。

(1)(A[1],B[1])と(A[2],B[2])をそれぞれ求めよ。
(2)A[n+1]をA[n]を使って表し、A[n]を求めよ。
(3)B[n+1]をB[n]を使って表せ。
(4)C[n]=2^n(B[n]-3)を使ってB[n]を求めよ。
(2006 慶応大（理工））

(1)A[1]={A[0]+(A[0]+1)}/2=1/2
B[1]={(B[0]+1)+(A[0]+1)}/2=1
(1/2,1)

A[2]={A[0]+(A[1]+1)}/2=3/4
B[2]={(B[1]+1)+(A[1]+1)}/2=7/4
(3/4,7/4)

(2)
A[n+1]={A[0]+(A[n]+1)}/2
A[n+1]=A[n]/2+1/2
漸化式を解いてA[n]=-1/2(1/2)^n-1+1
A[n]=1-(1/2)^n

(3)
B[n+1]={(B[n]+1)+(A[n]+1)}/2
B[n+1]=1/2B[n]+1/2A[n]+1
B[n+1]=1/2B[n]+1/2(1-(1/2)^n)+1
B[n+1]=1/2B[n]+3/2-(1/2)^n+1

(4)
B[n+1]=1/2B[n]+3/2-(1/2)^n+1
B[n+1]-3=1/2(B[n]-3)-(1/2)^n+1
両辺に2^n+1をかけると
2^n+1(B[n]-3)=2^n(B[n]-3)-1
C[n]=2^n(B[n]-3)と置き換えて
C[n+1]=C[n]-1
C[n]=C[1]-(n-1)
C[n]=-4-(n-1)=-(n+3)
従って
-(n+3)=2^n(B[n]-3)
(B[n]-3)=-(n+3)/2^n
B[n]=3-(n+3)/2^n

東大、京大、慶応大（医学部と理工学部）は確率漸化式大好き。

2点A,Bとその上を動く1個の石がある。この石は時刻t=0では点Aにあり、
その後次の法則(a)、(b)に従って動く。

各t=0,t=1,t=2に対して

(a)時刻tに石が点Aにあれば、時刻t+1に石が点Aにある確率はC、点Bにある
確率は1-cである。
(b)時刻tに石が点Bにあれば、時刻t+1に石が点Bにある確率は2C、点Aにある
確率は1-2cである。
ただしcは0<c<1/2を満たす定数である。
今nを自然数として、時刻t=nにおいて石が点Aにある確率をP[n]とする時、
次の問いに答えよ。

(1)P[1]、P[2]を求めよ。
(2)P[n+1]をP[n]とcを用いて表せ。
(3)P[n]を求めよ。
(4)lim[n→∞]P[n]を求めよ。
(2008 広島大（理系））

(1)
P[1]=c
P[2]=P[1]*c+(1-P[1])*(1-2c)=3c^2-3c+1

(2)
時刻t=nの時に石が点Aにあるとき、時刻t=n+1の時に石が点Aにあれば良い
よってc*P[n]
時刻t=nの時に石が点Bにあるとき、時刻t=n+1の時に石が点Aにあれば良い
よって(1-2c)*(1-P[n])

それぞれ独立しているので
P[n+1]=c*P[n]+(1-2c)*(1-P[n])
P[n+1]=(3c-1)P[n]+(1-2c)

(3)3c-2が0でないので
P[n+1]-(2c-1)/(3c-2)=(3c-1){P[n]-(2c-1)/(3c-2)}
P[n]-(2c-1)/(3c-2)の初項はP[0]-(2c-1)/(3c-2)より(c-1)/(3c-2)
公比(3c-1)の等比数列より
P[n]-(2c-1)/(3c-2)={(c-1)/(3c-2)}(3c-1)^n
P[n]={(c-1)/(3c-2)}(3c-1)^n+(2c-1)/(3c-2) (n=0,1,2,・・)

(4)
P[n]={(c-1)/(3c-2)}(3c-1)^n+(2c-1)/(3c-2) (n=0,1,2,・・)
において0<c<1/2より-1≦3c-1≦1より
lim(n→∞）(3c-1)=0
従って
lim(n→∞）P[n]=(2c-1)/(3c-2)

正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとに
ある頂点から他の3頂点のいずれかに等しい確率で動くとする。
この時、時刻0から時刻nまでの間に4頂点ABCDの全てに点Pが現れる
確率を求めよ。但しnは1以上の整数とする。
(2008 京都大（理系-甲乙共通））

n=1,2のときは正四面体の4つの頂点ABCD全てにPが現れないので確率はともに0
従ってn≧3の時で考える。
i)Aを含む2頂点のみに点Pが現れる場合の確率をP[n]とおく。
A→Bのみは(1/3)^n
A→Cのみは(1/3)^n
A→Dのみは(1/3)^n
よって3P[n]=3(1/3)^n

ii)Aを含めた3頂点のみに点Pが現れる場合の確率をQ[n]とおく。
例えば点Pが頂点A,B,Cのみに現れる場合を考えると点Pが頂点Dに
現れない確率は（2/3)^nである。
この場合下記のケースが考えられる。
1)A→B→Cの3頂点に点Pが現れる。（この確率をQ[n]とする）
2)A→Bの2頂点に点Pが現れる。
3)A→Cの2頂点に点Pが現れる。

従ってQ[n]=(2/3)^n-2P[n]
どの頂点にあるかを考える組み合わせが3通りあるので
3Q[n]=3{(2/3)^n-2P[n]}
3Q[n]=3{(2/3)^n-2(1/3)^n}

従って余事象で
1-3P[n]-3Q[n]が求める確立になるので計算すると1-{(2^n)-1}/3^n-1

正四面体ABCD上を動く点Xがある。点Xを頂点Aにおく。
点Xは1秒毎に隣り合う頂点に同じ確率で移動するものとする。
この時n秒後に点Xが頂点Bにある確率P[n]を求めよ。

n秒後点がBにいる確率P(n)とすると、n≧1で
P(n+1)=(1/3)(1-P(n))
（∵ｎ秒後にB以外の3点のいずれかにいる確率は1-P(n)、
　このとき次はABDのどこに居ても、1/3の確率でBに来る。
　ｎ秒後にBにいればその1秒後もBにいることはありえない）
初期条件はP(0)=0　以下省略

P[0]=0
P[1]時はA→Bの移動のみなので1/3
P[n+1]の時に点Xが頂点Bにある場合はP[n]の時に点Xが頂点B以外にあればよい。
従って
P[n+1]=1/3(1-P[n])
P[n+1]-1/4=-1/3(P[n]-1/4)
よってP[n]-1/4は初項1/12,公比-1/3の等比数列なので
P[n]=1/12(-1/3)^n-1+1/4
P[n]=1/4{1-(1/3)^n}

ちなみに399は下記の岡山理科大の問題から誘導を抜いたものです。
実際の問題は下記の問題です。

正四面体ABCD上を動く1匹のアリがいる。アリを頂点Aにおく。
アリは1分毎に隣り合う頂点に同じ確率で移動するものとする。
この時n分後にアリが頂点Bにある確率をP[n]とする。
これについて下記の問いに答えよ。
(1)P[1]、P[2]を求めよ。
(2)P[n+1]をP[n]を使って表せ。
(3)P[n]を求めよ。

>>400ですが
P[n]=1/4{1-(1/3)^n} は削除してください。
別の問題の回答を書いてしまった・・。
上記問題が

三角形ＡＢＣについて
s=AB↑・AC↑，t=BC↑・BA↑，u=CA↑・CB↑
とおく

1.s+t=|AB↑|^2，t+u=|BC↑|^2，u+s=|CA↑|^2が成り立つことを示せ

2.三角形ABCの外接円の半径をs，t，uを用いてあらわせ

3.与えられたs_0>0，t_0>0，u_0>0に対して

s=A_0B_0↑・A_0C_0↑，t=B_0C_0↑・B_0A_0↑，u=C_0A_0↑・C_0B_0↑

をみたす三角形A_0B_0C_0が存在することを示せ
(2008 九州大（理））

3の方針が立ちません。何をもって示せたと言えるのでしょうか

>>403
そのような三角形を作ってみせることができれば示せたことになる

1から7までの数字が1ずつ書かれた同じ大きさの7個の球が入った袋がある。
この中から球を1個取り出し、球に書かれた数字の大きさを調べて球を元に
戻す試行を1000回繰り返す。a[0]=0としてn回目に袋の中から取り出した
球の数字が1または7の時はa[n]=a[n-1]+2,それ以外の時はa[n]=a[n-1]+1
として数列を作る。この数列の中にnが含まれない確率をP[n]として、
次の問いに答えよ。
(1)P[1],P[2]を求めよ。
(2)P[n+1]をP[n]を使って表せ。
(3)P[n]を求めよ。
(4)a[1],a[2],・・,a[1000]の中にnが含まれる確率を求めよ。
(5)a[1],a[2],・・,a[1000]の中にnとn+1が含まれる確率を求めよ。
(2007 東京理科大（薬））

(1)1回目でa[n]=1でなければ良いので
1,7の数字の球を選ぶ確率が2/7
P[1]=2/7
2回目球を取り出して、a[n]=2にならないためには、
1回目にa[n]=1,2回目にa[n]=3になれば良いので、5/7*2/7=10/49
P[2]=10/49
(2)n+1回目にn+1に含まれないためには、n回目にnで、n+1回目にn+2であれば
良いので、P[n+1]=2/7(1-P[n]) 従ってP[n+1]=(-2/7)P[n]+2/7
(3)P[n+1]-2/9=(-2/7)(P[n]-2/9)
P[1]-2/9=2/7-2/9=4/63
よりP[n]-2/9は初項4/63,公比-2/7の等比数列なので
P[n]-2/9=(4/63)(-2/7)^n-1
P[n]=(4/63)(-2/7)^n-1+2/9
よってP[n]=2/9{1-(2/7)^n}
(4)nが含まれるので余事象を考えれば良いので
1-P[n]=1-{2/9{1-(2/7)^n}}=7/9+(2/9)(-2/7)^n=7/9{1-(2/7)^n+1}
(5)nとn+1が含まれるためにはnの時にa[n]=nであり、n+1の時に
a[n+1]=n+1になればよい。
従って(1-P[n])*5/7より
[1-7/9{1-(2/7)^n+1}]*5/7=5/9{1-(2/7)^n+1}

>>399
P[n]=1/4{1-(-1/3)^n}じゃない？

編入試験の質問もここでしていいのでしょうか？

微分方程式、広義積分etc...

誘導していただければそちらで質問しようと思います。

よろしくお願いします。

>>408

微分方程式や広義積分は大学の内容なので下記のスレに質問したら
いかがでしょうか？

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1206540000/

半径1の円に内接する四角形ABCDに対し、L=AB^2-BC^2-CD^2+DA^2とおく。
△ABDと△BCDの面積をそれぞれSおよびTとする。また、∠A=θ(0°＜θ＜90°)とおく。

(1)LをS、Tおよびθを用いて表せ。
(2)θを一定としたとき、Lの最大値を求めよ。
（2006 横浜市立大）

(1)S=(1/2)AB*ADsinθ
T=(1/2)BC*CDsin(π-θ)=(1/2)BC*CDsinθ

従って三角形ABDについてBDの辺の長さは余弦定理より
BD^2=AB^2+AD^2-2AB*ADcosθ
三角形BCDについてBDの辺の長さは余弦定理より
BD^2=BC^2+BD^2+2BC*BDcosθ
従って
BC^2を消去して
0=AB^2+AD^2-2AB*ADcosθ-BC^2-BD^2-2BC*BDcosθ
0=L-2cosθ(AB*AD+BC*BD)
L=2cosθ(AB*AD+BC*BD)
L=2cosθ(2S/sinθ+2T/sinθ)=4(S+T)/tanθ

(2)三角形ABDにおいて正弦定理より
BD/sinθ=2*1
BD=2sinθ
従ってBDはθが一定よりBDも一定となる。
従って頂点AとCを動かせばよい。
三角形ABDにおいて面積が最大になるのは頂点Aから辺BDに下ろした垂線の長さが最大
三角形BCDにおいて面積が最大になるのは頂点Cから辺BDに下ろした垂線の長さが最大
よって頂点AからBCに下ろした垂線と頂点Cから辺BCに下ろした垂線の長さが直径になれば良い。

従ってAC=2の時で、
S+T=1/2AC*BD=2sinθ

よってL=(4/tanθ)*(2sinθ)=8cosθ

四角形ABCDが底面の四角すいOABCDを考える、時刻t=0の時に、点Pを頂点Oにおき、
1秒ごとに隣り合う頂点に移動する試行を考える。
時刻t=n秒後に点Pが頂点にある確率をP[n]とした時に、P[n]の確率を求めよ。
(2007　京都大（文系））

0秒後は点Pが頂点OにあるのでP[0]=1
1秒後は点Pが頂点OにはないのでP[1]=0

n+1秒後に点Pが頂点Oあるためには、n秒後に点Pが頂点Oになければよい。
よって(1-P[n])とおける。
O以外は底面ABCDにあるので、
点Pが頂点Aにある確率は1/4(1-P[n])
点Pが頂点Bにある確率は1/4(1-P[n])
点Pが頂点Cにある確率は1/4(1-P[n])
点Pが頂点Dにある確率は1/4(1-P[n])
n+1秒後に点Pを頂点ABCDから頂点Oに移動すれば良いので、
P[n+1]=1/4(1-P[n])*1/3*4
したがって
P[n+1]=1/3(1-P[n])
P[n+1]-1/4=(-1/3)(P[n]-1/4)
P[n]-1/4は初項-1/4、公比-1/3の等比数列なので
P[n]=(-1/4)(-1/3)^n-1+1/4

問題文を写し間違えました。

四角形ABCDが底面の四角すいOABCDを考える、時刻t=0の時に、点Pを頂点Oにおき、
1秒ごとに隣り合う頂点に移動する試行を考える。
時刻t=n秒後に点Pが頂点Oにある確率を求めよ。
(2007　京都大（文系））

414の答えが413です。

4=√(16)

>>414
ワンランク上の大学とはいえ質問の問題が簡単すぎるのだが…

>>417
ここは質問を答えるスレではなく、数学の大学入試問題を鮮やかに解く
スレッドだから・・・。
414の質問だって413に解答しているし・・。

４１３が鮮やかってどんだけレベル低いんだよ
このスレは高校生しかいないのか

お前と同じレベルだよ

最近、合格した新乳性が解答してるみたいだな

悲しいほど鈍臭い

(√(-1))^2=-1

次のように媒介変数tを用いて表される曲線Cを考える

x=4-t^2/8，　y=t　　(-∞<t<0)

x=4cos(2πt)，　y=2√3sin(2πt)　　　(0<=t<=1)

x=4-(t-1)^2/8，　　y=t-1　　(1<t<∞)

x，y座標がともに整数である点を格子点ということにして以下の問いに答えよ

(1).　a，bは実数で，0<a<4とする。点(a，b)を通るCの接線がちょうど2本存在し，その傾きがいずれも正であるような(a，b)の存在範囲をDとする。
Dを表す連立不等式を求めよ。また，格子点はD内に存在しないことを示せ。


(2).kは自然数で，l　は整数とする。格子点(k，l)を通るCの接線がちょうど4本存在し，その傾きがすべて正であるような(k，l)はただ1つ存在する。
この点(k，l)を求めて，4本ある接線の傾きを小さい順に記せ。

(2008　浜松医大）

浜松医大っぽすぎて思わず吹いた。

さすが浜松
問題の練りこみがまったくない
いつも通りだ

批判はさておき、早よ解かんかい

>>424
ここは自分で選定した問題を自分で解くスレです。

と解けない輩がほざいております

袋Aには赤球1個、白球1個が入っている。袋Bには赤球1個、白球1個が入っている。
これを袋Aから球を1個取り出して袋Bに入れよくかき混ぜ、袋Bから球を1個取り出して
袋Aに入れてよくかき混ぜる試行を行う。
この試行をn回行い、袋Aに赤球2個入っている確率をP[n]、袋Aに赤球1個、
白球1個入っている確率をQ[n]、袋Aに白球2個入っている確率をR[n]とする。
(1)P[1],Q[1],R[1]をそれぞれ求めよ。
(2)P[n+1],Q[n+1]をP[n],Q[n]を使って表せ。
(3)P[n]をnの式で表せ。
(2003 北九州市立大）

(1)P[1]は白、赤なので1/2*1/3=1/6
Q[1]は赤、赤または白、白なので1/2*2/3*2=2/3
R[1]は赤、白なので1/2*1/3=1/6
(2)
P[n]→P[n+1]へは赤、赤と取ればよい。1/3
P[n]→Q[n+1]へは赤、白と取ればよい。1*2/3=2/3
Q[n]→P[n+1]へは白、赤と取ればよい。1/2*1/3=1/6
Q[n]→Q[n+1]へは白白または赤赤と取ればよい。2*1/2*2/3=2/3
R[n]→Q[n+1]へは白、赤と取ればよい。1*2/3=2/3
P[n+1]=1/3P[n]+1/6Q[n]
Q[n+1]=2/3P[n]+2/3Q[n+1]+2/3R[n]
P[n]+Q[n]+R[n]=1より、
Q[n+1]=2/3
P[n+1]=1/3P[n]+1/9
(3)
P[n+1]-1/6=1/3(P[n]-1/6)
P[1]=1/6より、
P[n]-1/6=(0)(1/6)^n-1
P[n]=(0)(1/6)^n-1+1/6

ここで数学を学びなおしました。
ttp://www.wa.commufa.jp/~norp/kijo/list_tono/06a_t_urashima.html

喜悦太郎＝

どうでしょうか

点Oで交わる2つの半直線OX,OYがあって、∠XOY=60°とする。2点A,Bが
OX上にO,A,Bの順に、また2点C,DがOY上に順にO,C,Dの順に並んでいる
として、線分ACの中点をM、線分BDの中点をNとする。線分ABの長さをs,
線分CDの長さをtとする時、以下の問いに答えよ。

(1)線分MNの長さをsとtを用いて表せ。
(2)点A,BとC,Dがs^2+t^2=1を満たしながら動く時、線分MNの長さの最大値
を求めよ。
(2008 大阪大（理系））

(1)OM↑=(OA↑+OC↑)/2 ON↑=(OB↑+OD↑)/2
ここで|AB↑|=s,|CD↑|=t(s>0,t>0)より、
|MN↑|^2=|OM↑|^2-|ON↑|^2より、
|MN↑|^2={(OA↑+OC↑)/2}^2-{(OB↑+OD↑)/2}^2
|MN↑|^2=1/4|OA↑-OB↑+OC↑-OD↑|^2
よって
|MN↑|^2=1/4|BA↑+DC↑|^2
|MN↑|^2=1/4(|AB↑|^2+2AB↑･CD↑+|CD↑|^2)
|MN↑|^2=1/4(s^2+2st(cos1/3π)+t^2)
|MN↑|^2=1/4(s^2+st+t^2)
したがって|MN↑|=√(s^2+st+t^2)/2
(2)
(1)でs>0、t>0、またs^2+t^2=1より
|MN↑|=√(1+st)/2
ここで相加・相乗平均の定理より
(s^2+t^2)/2≧√(s^2t^2)=st
1/2≧st
よってs=t=√2/2の時最大値√6/4となる。

1個のさいころを投げて、1の目が出たら回数を記録するものとする。
さいころをn回投げて、1の目が偶数回出た確率をP[n]とする。
なお1の目が0回の場合も偶数回とするものとして、次の問いに答えよ。

(1)P[1],P[2]をそれぞれ求めよ。
(2)P[n+1]をP[n]を使って表せ。
(3)P[n]を求めよ。
(4)lim[n→＋∞] P[n]を求めよ。

(2005 兵庫県立大（理系））

(1)
P[1]=5/6
P[2]は1回も1の目がでないか2回とも1の目が出たときなので
P[2]=(1/6)^2+(5/6)^2=13/18
(2)
n+1回目で1の目の出た回数が偶数になるには
�@n回目で1の目の出た回数が偶数でn+1回目で1の目以外が出る
�An回目で1の目の出た回数が奇数でn+1回目で1の目が出る
より
P[n+1]=5/6P[n]+1/6(1-P[n])
P[n+1]=2/3P[n]+1/6
(3)
P[n+1]-1/2=2/3(P[n]-1/2)
P[1]=5/6より
{P[n]-1/2}は初項1/3、公比2/3の等比数列より
P[n]=1/3(2/3)^n-1+1/2
(4)
lim[n→+∞]P[n]=1/2

おう

三角形OABにおいて、辺AB上に点Qをとり、直線OQ上に点Pを取る。
ただし点Pは点Qに関して点Oと反対側にあるものとする。
3つの三角形�儖AP、�儖BP、�僊BPの面積をそれぞれa,b,cとする。
これについて次の問いに答えよ。
(1)OQ↑をOA↑、OB↑およびa,bを用いて表せ。
(2)OQ↑をOA↑、OB↑、OC↑およびa,b,cを用いて表せ。
(3)3辺OA、OB、ABの長さがそれぞれ3,5,6であるとする。点Pを中心
として3直線OA、OB、ABに接する円が存在する時、OP↑をOA↑、OB↑
を用いて表せ。
(2008 九州大（理系））

偶数か奇数でだいすうの法則から０．５になるのはいうまでもない。

(1)
三角形OAP=a
三角形OBP=b
三角形ABP=c
ここで三角形OAPの高さをh[a]、三角形OBPの高さをh[b]とする。
�儖APと�儖BPは相似で面積比がa:bより
OQ↑＝（bOA↑+aOB↑）/(a+b)

(2)(1)と同じく三角形OABの高さをh[1],三角形ABPの高さをh[2]とする。
�儖ABと�僊BPは相似でり、�儖ABと�僊BPの面積比がa+b-c:cより
OP↑=(a+b)/(a+b-c)OQ↑
従って,OP↑=(a+b)/(a+b-c){（bOA↑+aOB↑）/(a+b)}
OP↑=（bOA↑+aOB↑）/(a+b-c)

(3)円の半径をrとすると
�儖AP=3/2r,�儖BP=5/2r,�儕AB=6/2r
従ってOP↑=(5/2OA↑+3/2OB↑)/(3/2+5/2-6/2)=(5OA↑+3OB↑)/2

√(441) = 21 世紀

n個の球とn個の箱がある。各球を無作為にどれかの箱に入れる。すなわち
各球を独立に確率1/nでどれか1つの箱に入れるものとする。n≧3のとき2箱
のみが空となる確率をP[n]とする。以下の問いに答えよ。

(1)P[3],P[4]を求めよ。
(2)n≧4とする。2箱のみが空で、1箱に3個の球が入り、その他の(n-3)箱
のそれぞれに1個の球が入る確率Q[n]を求めよ。
(3)n≧5に対しP[n]を求めよ。
(4)(2)で求めたQ[n]についてlim[n→∞] Q[n]/P[n]を求めよ。

(2008 早稲田大（基幹・創造・先進理工）

東工大プレの問題ですがわかりません。
どなたかお願いします。
袋の中に赤玉６個と白玉４個が入っている。
袋に戻さずに玉を１個ずつ取り出す試行を考える。
取り出された玉のうちで、白玉の個数が赤玉の個数より多いときは試行を中止し、そうでないときは袋の中に玉があるかぎり試行を続けるものとする。
玉を１０個すべて取り出すまで試行が続く確率を求めよ。

>>443
東工大っぽいな
個人的に良問だと思う

ただのカタラン数

>>444
どこがだ

>>443

カタラン数を知っているかどうかの問題だな。
過去に九州大、上智大（理工・数学科専門）、京都府立医科大、慶應大（環境情報）
で出題されているな。

普通は誘導を付けるけど、さすが東工大の傾向を把握しているか
誘導なしで出題している。

で答えは23/210で合ってる？

>>443さん

23/210ではなくて90/210で3/7になりましたが合ってますか。
最短経路の問題に帰着して白が赤の個数を超える領域を
外せば解けると思う。

プレってことは代ゼミか・・・相変わらずのクオリティｗ

>>443
3/7になった。てかプレとかゴミすぎる

お前ら頭いいんだな（´・ω・｀）
カタラン数なんて聞いたの8年ぶり

11個の黒石と10個の白石があって、それを自由に並べたとき、
ある所から黒石から右を全部取ると、どんなならべかたでも、
白石と黒石の個数が同じになることを証明せよってやつ。

○○○○○○○○○○●●●●●●●●●●●

○○○○○○○○○○●●●●●●●●●●／●
で何かい、それをこれから全パターン試すか？

京都府立医科大のカタラン数の一般化
はかなり難しかった気がするわ
あれは帰納法使わないと無理なのか？

カタラン数の定石どおり、最短経路に対応させてやればできるじゃん？

俺もそれを試みたんだが上手く行かなかった
もし暇があったら解答晒してくれるとありがたい
無理には言わないが

>>455

帰納法を使わないと無理だが、帰納法をつかって証明するだけでも
大変。

実際の試験なら飛ばすと思う。

東工プレの問題解いてみたけど３／７になりません。
たぶん（エ）が５通りになると思うんだけど、なんでか教えてください。なんかい数えても６通りになるんですが。
（ア）１個取り出した時点で試行が終わる場合の数は、座標における（０，１）から（６，４）まで進む最短経路数に等しいので、９Ｃ３＝８４通り
（イ）３個取り出した時点で試行が終わる場合の数は、座標における（１，２）から（６，４）まで進む最短経路数に等しい。また原点から（１，２）まで条件を満たしながら進む場合の数は１通りであるから、場合の数は１×７Ｃ２＝２１通り
（ウ）５個取り出した時点で試行が終わる場合の数は、座標における（２，３）から（６，４）まで進む最短経路数に等しい。また原点から（２，３）まで条件を満たしながら進む場合の数は２通りであるから、場合の数は２×５Ｃ１＝１０通り
（エ）７個取り出した時点で試行が終わる場合の数は、座標における（３，４）から（６，４）まで進む最短経路数に等しい。また原点から（３，４）まで条件を満たしながら進む場合の数は６通りであるから、場合の数は６×３Ｃ３＝６通り
以上（ア）〜（エ）より求める確率は１−（８４＋２１＋１０＋６）／２１０＝８９／２１０

>>459
http://www36.atwiki.jp/pentomino?cmd=upload&act=open&pageid=1&file=toko.PNG
横が赤で縦が白

>>460
ありがとうございます。
なんか最短距離の数え方を根本的に勘違いしてました。
ってか、みなさん出身大学どこなんですか？
数学できる人は大概物理化学もできるし、学歴高い人が多いような気がするんですが。
ちなみに僕は高３で昭和大医学部志望です。

(1)
P[3]は3個の球と3個の箱があり、2箱が空なので、空箱を選ぶ方法は3C1で3通り。
球は1個の箱に3個球を入れるので1通り。
全ての球を入れる入れ方は3^3=27通り
P[3]=1/9

同様にしてP[4]を考える
P[4]は4個の球と4個の箱があり、2箱が空なので、空箱を選ぶ方法は4C2で6通り。
球は以下の2通りの入れ方がある。
(i)2箱に2個球を入れる場合
4C2*2C2=6で6通り
(ii)1箱に1個球を入れ、もう1箱に3個球を入れる場合
2C1*4C1*3C3=8通り
(i),(ii)とも独立より4C2*(6+8)=84通り
全ての球を入れる入れ方は4^4=256通り
P[4]=21/64

(2)n≧4なので
空の2箱を選ぶ選び方はnC2=n(n-1)/2通り

(n-2)箱から3個の球を1箱選んで球を入れる入れ方は
n-2C1*nC3={n(n-1)(n-2)^2}/6通り

その他の(n-3)箱に(n-3)個の球を入れる入れ方は
(n-3)!

全ての球を入れる入れ方はn^n通り

よって
Q[n]=[{n(n-1)/2}*{n(n-1)(n-2)^2/6+(n-3)!}]/n^n
Q[n]={n(n-1)(n-2)n!}/(12n^n)

(3)n≧5で考えると、球の入れ方は下記の2通りである。
i)2箱のみ空で、1箱に3個の球が入り、その他の(n-3)箱に(n-3)個の球を入れる場合
ii)2箱のみ空で、2箱に2個の球が入り、その他の(n-4)箱に(n-4)個の球を入れる場合

i)は(2)よりQ[n]={n(n-1)(n-2)n!}/(12n^n)

ii)の場合の確率をR[n]とする。
空の2箱を選ぶ選び方はnC2=n(n-1)/2通り
(n-2)箱から2個球を入れる箱を2つ選ぶ選び方は、
n-2C2*nC2*n-2C2={n^2(n-1)^2(n-2)^2(n-3)^2}/16通り
その他n-4個の箱をn-4個の球を入れる入れ方は(n-4)!通り
全ての球を入れる入れ方はn^n通り
従って
R[n]=[{n^2(n-1)^2(n-2)^2(n-3)^2*(n-4)!}/16]/n^n
R[n]=n(n-1)(n-2)(n-3)n!/16n^n

従って
P[n]=Q[n]+R[n]より
P[n]={n(n-1)(n-2)n!(3n-5)}/48n^n

(4)
lim[n→∞] Q[n]/P[n]は
lim[n→∞] [{n(n-1)(n-2)n!}/(12n^n)]/[{n(n-1)(n-2)n!(3n-5)}/48n^n]
lim[n→∞] 4/3n-5
従って0

入試に良く出る項目で興味があるのはこんな題材かな。

チェビシェフの多項式・・2007の慶應（理工）、2008の慶應（医）など題材として多数出題

今年の早稲田（理工）と慶應（理工）の確率の問題は標準的だな。
来年はかなり難しい問題を出すと思う。

今年は慶應（医）のように確率漸化式、領域、集合を絡めた問題、
東大の同じ色のカードの確率を確率漸化式を作って解く問題、
阪大のコインの表が連続で500回で試行が終了する問題、
東工大のコーシ・シュワルツの不等式と確率の融合問題が印象に残った。

一つのさいころを続けて3回投げて、さいころの出た目の数を順にa,b,cとして、
数u=49a+7b+cを定める。1から6までの整数に対し、u≦57nとなる確率P[n]を
求めよ。
（2005 浜松医科大）

>>466
題意に基づいたuを7進法で表記すると、各桁の数字が
上位からa,b,c と並ぶ3桁の数になる。57=7＾2+7+1だから、
これが同じく7進法表記の各桁が「n,n,n」となるものよりも
小さくなる確率を考えればよい。

n=1 のとき 明らかに1/216
n=2 のとき、a≦1 または (a=2かつb≦1） または
（a=b=2 かつc≦1） またはa=b=c=2
（2-1)/6 + 1/6 * (2-1)/6 * 1/6 * 1/6 * (2-1)/6 + (1/6)^3
つまり、
・7^2位がｎ-1以下
・7^2位がnで7^1位がn-1以下
・7^2位と7^1位がnで１位がn-1以下
・全位がｎ のいずれかが起きる確率であるから、一般には
（ｎ-1){ 1+ 1/6 + 1/6) ^2} +1/216 =（43n-42）/216

結論だけなら数分で出せた。こういうのは得意鴨 > 自分

>>467
正解です。

>>466
それにしても、浜松医科大の練りこみのなさには脱帽だな。
普通誘導付けるだろ。

>>467
理解できたが、カシコイなぁ。
大学生ですか？
高校のときからすでに数学得意でした？

オッサンですが、詳しい状況はちょっとご勘弁w

趣味のプログラムを書いていた頃（まったくのアマチュアレベル
ですが）もあるので、7進法に帰着させるような発想をしたり、
ある数での手順を一般化したりするのは得意なのかと（自画自賛）。

反面、数IIIC範囲は未だにキツイです。とくに1変数関数として
ふつうに描けない曲線は苦手で、たとえば>>424だと、グラフの
概形描いた段階でおしまい、投了です。

って、最後の式を見なおすと、｛｝前を((n-1)/6)にしないと
ダメっすねｗ

パチンコエバンゲリヨンで千円で２３回まわる台を３日連続で打った時の５万円以上勝つ確率と負ける確率をそれぞれ求めよ。

ただし１回の出玉は一律1500発とし、等価交換。抽選回数は１日1500回、1500回目が時短中だった場合は、時短100回終了時まで抽選を行えるものとする。

n進法の発想を誘導なしで考え付くのかなという意味で取り上げてみました。
>>467さんのようにプログラムを書いてみたり、大学で情報系の学科にいる
人なら考え付くけど入試ではどうかなって思ってます。
（n進法知っていれば簡単に解けるという意味では受験問題としては
悪問かなと思います）

ＣＲ春の悪ツは千円３０の期待収支をだせ。

>>472
整数論の問題に慣れた人なら、n進法の発想は自然に出る。
むしろ入試の定番ではないか？ 7進法は珍しいが。

470がすぐに気がついたのは、プログラムやっていたからじゃなくて
n進法が教科書に載っていたオッサン世代だからであろう。

>>474
n進法は旧旧旧過程の教科書まではあったみたいだが、旧旧過程で
指導要綱から消え、教科書から消えた。

大学入試も80年代後半までは定番だったが、今は誘導なしでは全く出題されていない
なってしまったので2005年に誘導なしで出題された時は驚きだったらしい。

浜松医科大は出題範囲に「数Cの統計」まで範囲にしているし、
驚きの問題が結構多いと思う。

浜松医科大は問題冊子の表紙が一番驚くからなｗ

>>476
問題冊子の表紙に何があるのですか？
気になる。

ヨセフスの問題なんかは２進法に帰着できるしな。
いまだにヨセフスなんかは中学入試にもでるし、最近なんかは早稲田の政経学部あたりに出ていた。

>>478
河合塾が出版している「入試攻略問題集2008」のトピックにも
ヨセフスの一般化の問題が取り上げられていた。
（2007年の鳥取大の医学部専用問題）

鳥取大の問題は漸化式を導いているので2進法を知らなくても
解答できるようになっている。

漸化式で誘導されるが、実は確率が一定になってしまう例

kingはコインを1回投げ、表が出るとkingは「世界のナベアツ」のモノマネをする
試行を考える。コインをn回投げ、kingが「世界のナベアツ」のモノマネをする回数
が奇数回である確率をP[n]とする。これについて次の問に答えよ。
(1)P[1]を求めよ。
(2)P[n+1]をP[n]を使って表せ。
(3)P[n]を求めよ。

解答）
(1)
P[1]は表が出たときなので1/2
(2)
n+1回目でkingが「世界のナベアツ」のモノマネをした回数が奇数に
なるのは下記のとおりである。
i)n回目でkingが「世界のナベアツ」のモノマネをした回数が奇数で
n+1回目にコインを投げて裏が出た場合
ii)n回目でkingが「世界のナベアツ」のモノマネをした回数が偶数で
n+1回目にコインを投げて表が出た場合
なので
P[n+1]=1/2P[n]+1/2(1-P[n])
でP[n+1]=1/2
(3)(2)よりP[n]=1/2

f(x)=x^3-3x^2+2xとおく。
(1)曲線y=f(x)の点(a,f(a))における接線の方程式をg(x)とおく。
この時、xに関する方程式f(x)-g(x)=0が重解を持つことを示せ。
(2)曲線y=f(x)上の点P[n](x[n],f(x[n]))を次の条件(a),(b)で決める。

(a)P[1]を（0,0)とする。
(b)n≧2について、P[n-1]における曲線y=f(x)の接線はP[n-1]以外
の唯1点でこの曲線と交わる。この交点をP[n]とおく。

(i)x[n-1]とx[n]との関係式を求めよ。
(ii)x[n]を求めよ。

（2007 お茶の水女子大（理系））

(1)
g(x)はy-f(a)=(3a^2-6a+2)(x-a)で、y=(3a^2-6a+2)(x-a)+(a^3-3a^2+2a)
よって
g(x)=(3a^2-6a+2)x-2a^3+3a^2

従って
f(x)-g(x)=x^3-3x^2+2x-{(3a^2-6a+2)x-2a^3+3a^2}
f(x)-g(x)=x^3-3x^2-(3a^2-6a)+2a^3-3a^2
f(x)-g(x)=(x-a)^2(2a-3)
従ってx=aで重解を持つことが示された。

(2)
(i)f(x)-g(x)のもう一つの解が-2a+3より
x[n]=-2x[n-1]+3

(ii)
n≧2より、
(i)の漸化式を解くと
x[n]-1=-2(x[n-1]-1)
{x[n]-1}は初項-1、公比-2の等比数列より
x[n]-1=(-1)(-2)^n-1
x[n]=(-1)(-2)^n-1+1
x[n]={(-2)^n/2}+1

n=1の時x[1]=0よりn=1の時も成立する。

>>482
微分したほうが１は楽かなと思ったが、２にいきないのか…

誘導がある・なしだと
良問にも、難問・奇問にもなる罠・・・

Aはある的に向かって矢を撃つ。1回目は0.5の確率で的に矢が命中する。
的に矢が命中した後は0.4の確率で的に矢が命中し、的に矢が命中しな
かった後は0.8の確率で的に矢が命中するものとする。n回矢を撃って的
に命中する確率をP[n]とする時次の問いに答えよ。
(1)P[n+1]をP[n]を用いて表せ。
(2)P[n]を求めよ。
(3)lim[n→∞]P[n]を求めよ。
（佐賀大（工））

(1)
n回目に的に命中した時は0.4の確率でn+1回目も的に命中
n回目に的に命中しない時は0.8の確率でn+1回目に的に命中

従って
P[n+1]=2/5P[n]+4/5(1-P[n])
P[n+1]=-2/5P[n]+4/5

(2)
P[n+1]-4/7=-2/5(P[n]-4/7)
P[1]-4/7=-1/14
従って{P[n]-4/7}は初項-1/14,公比-2/5の等比数列なので
P[n]-4/7=(-1/14)(-2/5)^n-1
P[n]=4/7-(1/14)(-2/5)^n-1
(3)
lim[n→∞] (-2/5)^n-1=0より
lim[n→∞] P[n]=4/7

アホ大学生に質問させてください。

E=Fe^{i(ωt-k・r)}と書いたとき、
∇×E=-ik×E　　（1）
となることを示せ。
kは波数、iは複素数です。
（1）式の左辺を展開して（偏微分）も0になってしまいます。

>>487
スレ違い

四面体A1A2A3A4の頂点から頂点に動く点Qがある。1つのさいころを投げ、
出た目に応じてQは次のルールに従って動く。

　ルール:さいころを投げる前、QはAkにあるとする。さいころを投げた時
　　　　 出た目Lがk,5,6のいずれにも等しくなければQはALに動き、Lが
　　　　 k,5,6のいずれかに等しければQはAkにとどまる。

最初QはA1にあるとする。さいころをn回投げた時、QがA1にある確率をP[n]
とする。この時次の問いに答えよ。
(1)P[n+1]をP[n]を用いて表せ。
(2)P[n]をnを用いて表せ。
(3)lim[n→∞] P[n]を求めよ。
(2006 山口大（医））

(1)
i)n回目に点QがA1にあるとき、1,5,6が出ればよいので
1/2P[n]
ii)n回目に点QがA1以外にあるとき、1が出ればよいので
1/6(1-P[n])
従ってP[n+1]=1/2P[n]+1/6(1-P[n])
P[n+1]=1/3P[n]+1/6
(2)
P[n+1]-1/4=1/3(P[n]-1/4) P[1]=1/2より
｛P[n]-1/4}は初項1/4,公比1.3の等比数列より、
P[n]-1/4=1/4(1/3)^n-1
P[n]=1/4(1/3)^n-1+1/4
(3)
lim[n→∞](1/3)^n-1=0より
lim[n→∞] P[n]=1/4

質問です。
次式を指数関数で表せ。
sinωｔ

>>491
まずは写像の概念を学んでから質問しような？

マクローリン展開について

多項式の関数のｎ次式のｎを十分大きくしてやれば、どんなに複雑に曲がった曲線も、つまりlogとか指数とか分数式で複雑に書き表された関数も、一つの多項式に書き換えることができる　という考えが理解できないんですがどういうことでしょうか？

それと
f(ｘ)＝f(0)＋f'(0)ｘ＋｛f''(0)／2｝ｘ^2＋｛f^(3)(0)／3!｝ｘ^3＋｛f^(4)(0)／4!｝ｘ^4＋……＋｛f^(n)(0)／n!｝ｘ^n＋……
のグラフはどのようになるかわかりますか？？

三角形ＡＢＣがあり、異なる定点Ｐ，Ｑがある。

Ｐは辺ＡＢ上に、ＱはＡＣ上に存在するように三角形を動かす。

このとき辺ＢＣが動いた後の包絡線はどのような図形を描くか。


既出だったらごめんなさい。

Ｑは辺ＡＣ上です。間違えました。

>>493
入試に直接でない話だけど、関連話題は出るからねぇ。
すごく直感的な捉え方として、多項式関数だったらどうなるか考えてみましょう。

ある関数f(x)があって、f(0)=-4、f'(0)=3、f''(0)=8、f'''(0)=18、これ以上微分したら
常に第ｎ階導関数に0を代入した値は0、だったとする。f(x)が多項式関数だったら
どんな関数か。

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d だろうという見当はつく。
f(0)=-4だから、定数項-4は確定。
f'(x)=3ax^2+2bx+c に0を代入した値が3ってんだからc=3。もとの2次以降の項が
　微分された結果の項にはまだｘが残ってる。定数項は消えてしまう。
　だから、0を代入することで残るのはx^1の項の係数だけ。
f''(x)=6ax+2b　同様に、元々2乗だった項の係数だけが値8に影響する。ただし、
　2乗だったことに由来して、元の2乗の係数の2倍と等しくなる。
f'''(x)=6a これも、元々3乗だった項の係数だけが影響しているけれど、
　3乗→2乗→1乗→定数となったので、元の2乗の係数の3!倍になる。
これで元の関数は決められる。

こうしたプロセスを繰り返せば、「x^nの係数は、元の関数をｎ回微分して
x=0を代入した値をn!で割ったもの」として導ける。これがもし、無限に
（あるいは任意回）繰り返せるとしたら？　ここで示した手続きで
導ける多項式関数で、元の関数が表せることになる。たとえ、
元の関数が多項式関数の形をしていなくても(!)

数学的にはきわめて粗雑な議論なのだけれど、あくまで感覚的には
こんな理解をしておけばいいんじゃないかと。

√(49)=7

４９５＞＞本に書いてあるグラフだとｆ(ｘ)は　y=a^x　(a>1)　のようなグラフが書いてあるんだけど
なんでそんなグラフになるかわからない

>>493
多項式の関数のｎ次式のｎを十分大きくしてやれば、どんなに複雑に曲がった曲線も、つまりlogとか指数とか分数式で複雑に書き表された関数も、一つの多項式に書き換えることができるということです

それ以上に何を聞きたいのかが分かりませんが

> f(ｘ)＝f(0)＋f'(0)ｘ＋｛f''(0)／2｝ｘ^2＋｛f^(3)(0)／3!｝ｘ^3＋｛f^(4)(0)／4!｝ｘ^4＋……＋｛f^(n)(0)／n!｝ｘ^n＋……
> のグラフはどのようになるかわかりますか？？

fが何なのか分からないのに分かると思いますか？

>>496,498,499 ごめんなさい　言葉が足りなかったようで
ｆは何回でも微分できて、その微分した関数が有界な関数とでもいいましょうか、ｆ(ｘ)＝(a0)＋(a1)ｘ＋(a2)ｘ^2＋(a3)ｘ^3＋(a4)ｘ^4＋(a5)ｘ^5＋(a6)ｘ^6＋…… (an)x^n…… とします。
知りたいのはグラフのおおまかな形なんですけど、確かに自分の持っている本にもｆ(ｘ)はｙ＝a^x (a>1)のかたちのグラフ
がのっています。なぜそのようなかたちになるのか分からないです。。

一般にｎ次の多項式の関数はｎ−１回(以下)曲がる曲線になります。
このことから、ｎ次式のｎを十分大きくしてやれば、どんなに複雑に曲がった曲線も、つまりlogとか指数とか分数式で複雑に書き表された関数も、一つの多項式に書き換えることができる
という考えがよくわかりません。教えてください m(_ _)m

>>501
それを厳密に示すのは難しいが
微分を知っていれば分かった気にはなれる

任意の微分可能な関数に対して微分をして微係数を調べる。
これと同じ微係数を持つ多項式をつくれば元の関数と同じ形になる。
多項式の微分の性質から必ずこのような多項式が構成できる。

>>500
いや、そりゃ数列{a[n]|が決まらなきゃグラフの形も決まりませんよ。
既に指摘されてる通り。

あくまで一般形として｛a[n]}の形で書いて、グラフを指数関数のような
形で表示してあれば、記述が不適当。あるいは、グラフも特定の
{a[n]}でのみ成り立つ場合の例として示されていると読むべき。

グネグネ曲がった形の典型的な例として三角関数があるけれど、
この場合
cos(x)=1 - x^2/2! + x^4/4! -+…

sin（x)=x - x^3/3! + x^5/5! -+…

となります。 確かに、2回微分すると元の関数の-1倍になる、
というsinやcosと同じ性質を持っていることは見て取れるはず。

具体的なグラフの挙動に関しては、適当なグラフ描画のフリーソフトを
入手して、次数をだんだん増やしていくと、x=0の近くからだんだん
sinやcosっぽくなっていく様子を見るのが一番納得できると思います。
Gcalcとか、Microsoft PowerToys for WinXP のPower Calculatorとか。
（後者は英語版ですが、グラフを1本描かせるだけならむしろ手軽です）

回答ありがとうございます。とても参考になります。
でも、　条件のｆが何回も微分できて、その微分した関数も有界だから
｜ｆ^(n)(0)｜≦K＜∞　のKが存在するから、
｜｛ｆ^(n)(0)/n!｝x^n｜≦K|x/1・x/2・…・x/n|　→０　(ｎ→∞)　　※PCの画面だとわかりづらいんですがｆ＾(ｎ)はｆをｎ乗ではなく、　ｆをｎ回微分したという表記ということで・・。

となるのは何となくわかったんですが、　だから、ｆ(ｘ)はｘ＝０の近くでｆ(0)＋ｆ'(0)x ＋{ｆ''(０)/２！}x^2＋・・・
と多項式近似できるといことが考えてみたけど理解できません。ｘ＝０の近くでという表記も曖昧でさっぱり・・

>>504
さすがにスレ違いだな
なんでもいいから関数論の本買え
ローラン展開→級数の収束性が遠回りに見えて近道

「0の近くで」だけれど、どこまでが許容されるかは「収束半径」といい、
厳密に理論付けるには高校範囲を逸脱しすぎます。厳密な議論が
必要なら、大学生用の教科書を入手して読んでください。

ただ、「近くでないとヤバい」ことの実例は、割と簡単に示せます。

1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 +- …
（これは微分を使わなくても、割り算すれば出てくる式です。
ただし、微分で出したものと係数はちゃんと一致してます）

と書いたときに、|x|≧1だと等式が成り立ちません。
x=1だと 1/2 = 1-1+1-1+… (!?) ってことになるし、
x=2だと左辺は1/3 、右辺は明らかに収束しません。
従ってこの式は実数全体では収束しません。が、実は-1<x<1 なら大丈夫。
「0の近く」ということの実例になってるわけです。

なお、sin,cos,expなどの関数は、マクローリン展開した級数が、
ちゃんと実数全体で収束します。

サーセンｗ　　参考にします。

>>506　　逸脱し過ぎましたね。丁寧な解説本当にありがとうございました。

すいません。
解答と自分の考えが合わない問題を質問させてください。

無限等比数列

次の数列の極限を調べよ。

{3^(ｎ)＋√3^(ｎ)}/√9^(n)

お願いします。

自分で問題のレベルがわからない人はまず
高校生のための数学の質問スレへどぞー

>>509
自分がどう考えたか書いてみ

√9^(n)＝？

>>511
別スレで理解しました。
ありがとうございました。

3つのポールA,B,Cがあり、今ポールAに全て半径の異なっているn枚の円盤が半径
の大きいものから順にささっている。この円盤を次の規則に従って移動させ、最終的に
B,Cのどちらかに今と同じような状態になるように移動させる。
　規則1：小さい円盤の上に大きい円盤をのせることは出来ない。
　規則2：1回の移動では1枚の円盤しか動かすことが出来ない。
　規則3：移動の際はA,B,Cの3つのポール全てを使用してもよい。
この時、n枚の円盤全てをB,Cのポールのどちらかに今と同じような状態になるように
移動させるためには最低何枚円盤を移動させないといけないかをnを使って表せ。
（有名問題）

>>513
二度と来んな

あは　別スレ

n回目のポールAにn枚のポールがささっているという設定にしても
一般性を失わない。
n+1回目にポールAにささっているn枚の円盤をポールBに移動する
回数はa[n]回、n+1枚目の円盤をポールCにさす。
その後、ポールBにささったn枚の円盤をポールCに移す回数は
a[n]回となる。
したがって
a[n+1]=a[n]+1+a[n]
a[n+1]=2a[n]+1
a[1]=1より
a[n+1]+1=2(a[n]+1)
{a[n]+1}は初項2、公比2の等比数列なので、
a[n]+1=2*2^n-1
従って
a[n]=2^n-1

これはハノイの塔と呼ばれる有名問題で、大学入試でも結構取り上げられている
テーマの1つです。

一応良問だお
a,b,c を正の数とするとき不等式　2×｛(a＋b)/2−√ab｝≦3×｛(a＋b＋c)/3−(abc)^1/3｝
を証明せよ。

名古屋大学過去問

良問だけど、業界では有名な問題だからなー

数学科だが初めて知った
これ一般化できんのか？
思いつくのは解析的な手法だけだなぁ

>>514
確か三重大学の推薦の小論文で出題された。
小論文では具体的なnの数を与えて、数学的帰納法で求めていた。

>>518は京大の過去問として有名だろ。
ハノイの塔は何回か出たことあると思う。

ハノイの塔は中学入試でも出たことある。
もちろんｎなどではなく数値だったが。

ハノイの塔とかカタラン数とか有名な話題が大学入試に
結構されているんだな。

>>514
>>移動させるためには最低何枚円盤を移動させないといけないかをnを使って表せ。
「何枚」というとろは突っ込みどころ？答えはn?

何回でおｋだと思われ。
てかすぐ下に答えあるだろｗ

カタラン数系は最近おおきがしないでもない

メビウス変換でオートモルフィックなファンクションの３つかきなさい。

>>529
どういう意味の保型函数？

ｎｘｎのジャングルジムで土人と宣教師の問題を解きなさい。

周期がｎこある関数をかきなさい。

　　　　　　　　　　　. . √

　　　　　　(ﾉ'A`)ノ
　　　　　　(　　)
　　　, , , , /　>

中国学科教員　問題言動集

Ｎ．Ｓ教授・・・・・授業中に、
　　　　　　　　　　「人間は働かなくても生きていける」
　　　　　　　　　　「（自分のことを棚に上げて）中国語学科の学生は常識が無さ過ぎる」
　　　　　　　　　　「（上に同じく）教育学科の学生はロリコンだらけ」
　　　　　　　　　　「三国志が好きな奴は中国学科に来るな」
　　　　　　　　　　「一般教養など必要ない」
　　　　　　　　　　「セクハラというものはその行為を行う本人に悪気が無ければセクハラには当たらない」
　　　　　　　　　　「大学教授は世間を知らなくて当たり前だ」
　　　　　　　　　　ｅｔｃ迷言・珍言多数
Ｗ．Ｙ教授・・・・同じく授業中に、
　　　　　　　　　　「第１２３代天皇は精神異常者」
　　　　　　　　　　「Ｎ．Ｋ（Ｄ大名誉教授）、Ｆ．Ｎ（Ｔ大教授）、Ｓ．Ｔ（元Ｇ大教授・故人）、Ｈ．Ｉ（元Ｎ大教授）、
　　　　　　　　　　　Ｉ．Ｓ（芥川賞作家・都知事）、Ｋ．Ｙ（妄想漫画家）は人間のクズ」
　　　　　　　　　　「金持ちに対する税制優遇を廃止して、税金をできるだけ多く搾り取るべきだ」
Ｙ．Ｙ准教授・・・・退学願を提出した学生に対して、
　　　　　　　　　　「私の言う通りに行動すれば、君の要求が通るように私が裏で話をつけておいてあげよう」
　　　　　　　　　　という内容の取引を持ち掛けた。

以上のように、中国学科はキ○ガイ教員の巣窟です。
これから大○文化への入学をお考えの皆さんは、
中国学科にだけは絶対に出願をしないようにして下さい。

このスレも落ちたもんだな

なんぞ

あげ

wwwwwwwwwwwwwwwwwww

age

3つの袋があり、それぞれの袋の中には「1」から「10」までのカードのうち
複数のカードが入っている。ただし、それぞれの袋に含まれるカードは個々には
重複しないが袋同士では重複する場合がある。

このとき、3つの袋から1枚ずつカードを取り出したとき、その3枚のカードが
重複しない組み合わせの数を計算式で表せ。

3つの袋があり、それぞれの袋の中には「1」から「10」までのカードのうち
複数のカードが入っている。ただし、それぞれの袋に含まれるカードは個々には
重複しないが袋同士では重複する場合がある。

このとき、3つの袋から1枚ずつカードを取り出したとき、その3枚のカードが
重複しない組み合わせの数を計算式で表せ。

わかりますかー

1つ目の袋=a
2つ目の袋=b
3つ目の袋=c

それぞれの袋には
2枚以上10枚以下の複数のカード、
ここの袋ではカードに書かれている数は重複しないが
袋同士ではカードに書かれている数が重複することがある

a、b、c、それぞれの袋からカードを1枚ずつ取り出したときに
その3枚のカードに書かれている数が重複しない（3枚ともばらばら）
組み合わせの個数を計算式で表して

10*9*8=720通り。
袋の設定が無意味になるが。

>>543
答えになってないぞw

[02]
m＞0とする。2直線 (m-1)x-y+1=0, mx+(m-2)y+2=0 の交点の軌跡を求め、図示せよ。

[解1]
交点の座標は、(x=-m/{(m-1)^2+1}, y=-m+2/{(m-1)^2+1} となる。（分母≠0）
m-1=tanθとおくと、m＞0より、-π/4＜θ＜π/2　すなわち、-π/2＜2θ＜π・・・�@

(x, y)=-1/2, 1/2)+cos2θ(-1/2, 1/2)+sin2θ(-1/2, -1/2)=a+(cos2θ)b+(sin2θ)c・・・�A
とおくと、bとcは長さが等しく直交するので、�Aは円上の点を表す。
�@と�Aにより、中心(-1/2, 1/2), 半径1/√2の円のx座標が負の部分を表す。

[解2]
(�@)　x≠0 の時

(m-1)x-y+1=0 ⇔ m=(x+y-1)/x・・・�@’ かつ mx+(m-2)y+2=0・・・�A かつ m＞0・・・�B
⇔　�@’ を�A�Bに代入する
⇔(x+1/2)^2+(y-1/2)^2=1/2 かつ x(x+y-1)＞0・・・�C

(�A)　x＝0の時
�@、�Aより、m＝0となり、�Bに反するので不適。よって�Cが答え。

あげ

問題集から。

1, 2, 3 のカードが2枚ずつある。これら6枚をよく切って3人に2枚ずつ配る時、
どの人の2枚についても、その2枚の数字が異なる確率を求めよ。

各々1から10までの番号の付いた10個の白い球と、同じく10個の赤い球の計20個が入った袋がある。
この袋から1つずつ順に4個の球を取り出す事にする。ただし、一度取り出した球は袋に戻さないものとする。この時、
(1)　4つ目の球を取り出した時に初めて同じ番号の白球と赤球の対が出来る確率を求めよ。
(2)　2つ目に取り出した球の方が大きくなる確率を求めよ。

>>549
3人の中のある人に2枚配る時、初めの1枚はどれを配ってもよく、
2枚目は初めの数字と異なるものを配らなければならないから、(6/6)×(4/5)・・・�@

この状態で、カードは3種類あり、そのうち2枚は同じ数字である。
2枚ある同じ数字が2人に分かれればよいので、(4/4)×(2/3)・・・�A
�@×�Aより、8/15・・・（答え）

山商店では、１個の仕入れ値が７５円の商品を定価２００円で売ると、１日あたり１００個売れている。
今、１個売り値を２円値下げするごとに、１日あたりの売り上げ個数が２個ずつ増加することがわかった。ただし、２円きざみに値下げをし、売値は定価の半額以上定価以下となるようにする。
この商品を１２０個より多く仕入れた場合、１２０個を超えた分については１個の仕入れ値が４０円となる。この商品の１日の売り上げ金額から仕入れ金額を引いた残金が１２７００円となるような売値の値をもとめよ。


分からないんだ。マルチになってしまうんだが向こうは答えてくれない。たのむ

>>550
(1)　3人目までは異なる数字を選び、4人目は初めの3人の誰かと同じ数字を選べばよいから、
(20/20)×(18/19)×(16/18)×(3/17)＝48/323・・・（答え）

(2)　2番目と4番目に適する順列は、10種類の数字のうち2種類を選び、それぞれ赤白を選ぶので、
10C2×2×2であるから、(10C2×2×2)/(20×19)＝9/19・・・（答え）

>>552
売れた個数をxとして、
・値段
・仕入れ値
をxの式で表す。
とりあえずここまではOK?

今年の入試問題の特徴として、旧旧過程時代によく出題されていた、x軸、y軸
以外の直線で一回転した体積を求める問題がよく出題されたのだが、
1次変換が高校の課程に戻ってきたから出題されたのだろうか？

>>555
だと思う。
全体的に復古調。

>>555-556
斜回転体の体積の問題は行列の点の移動と関連するから
現過程になって出題できるようになった。

出題しやすくなった、の間違いだろ？

x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4-a(x^3+x^2y+xy^2+y^3-x^2-xy-y^2)=0
を満たす相異なるx,yが存在するようなaの範囲を求めよ

ランクの具体的定義を説明せよ。

mを定数とする。関数 y=| x |(x-4)-x-mのグラフがx軸と相違なる3点で交わるようなmの値の範囲を求めよ

どなたかよろしくお願いします。

>>561
スレ違い。
m分離してグラフ描けばすぐ分かる。
答えは-25/4＜m＜0、分からんなら高校スレ行け。

>>560
行列から取れる1次独立なベクトルの最大数

掃き出し法を使って
x+5y-4z=-2
x+2y-z=a
2x+y+z=5
の連立１次行列式が解をもつようにaの値を定め解け

という問題を教えてください

>>564
問題を教えてください、と言われてもなぁ。

問題の答えを
です。すいませんでした

掃き出し法って聞いたことないから調べたんだが、普通に一文字ずつ消去すればいいんかい？
x+5y-4z=-2・・・A
x+2y-z=a・・・B
2x+y+z=5・・・C
A-Bより
3y-3z=-2-a・・・D
2B-Cより
3y-3z=2a-5・・・E
DかつEが解を持つ条件は
-2-a=2a-5　a=1

>>567
3次正則行列の逆行列を求める操作のことじゃない？
今の高校生でやるのかわからんけど

ガウスの消去法のことだよ、バカ

>>569
バカはお前だろ…
>>568の書き込み見てそのレスはガウスの消去法がなんなのかわかってない証拠

>>569
ググレばすぐに出てくるじゃないか
線型代数くらい勉強しとけよ…
http://www.isc.meiji.ac.jp/~re00108/ch6/index.html

>>571
何で俺に言うんだ？
俺は「掃出し法を知らん」と言う>>567に
教えてやってるんだが。

Ｇ(iω）={-Ｋ/(100ω^5+101ω^3+ω)}*{11ω+i(1-10ω^2)}
この複素数の式で-150°となるようなＫの値を求めたいんですけど、誰か教えてくれませんか？
ちなみに
｜Ｇ(iω)|=1
です。
何回やってもできません

多分高校でフレネル積分は扱わないと思いましたのでこちらで質問させていただきます。

フレネル積分
∫[0,∞]cos(x^2)dx ＝∫[0,∞]sin(x^2)dx ＝ (1/2) * ( √(π/2) )
を示すにあたって、
中心点を原点、半径R、角度0〜π/4[rad]の扇型OAB(但しAはx軸上の点)を反時計回りに1周する経路に沿って複素積分で計算する場合についての質問です。

被積分関数をexp(-z^2)とした時に、扇型の弧ABを経路とする複素積分は、
∫[弧AB] exp(-z^2)dz ＝ ∫[0,π/4] (exp(-R^2(cos(2θ)+i*sin(2θ))) * i*R*exp(iθ))dθ

となりますが、この積分の絶対値について、
| ∫[0,π/4] (exp(-R^2(cos(2θ)+i*sin(2θ))) * i*R*exp(iθ))dθ | ≦ ∫[0,π/4] ( exp( -R^2* cos(2θ) ) * R )dθ
が成り立つ理由が分かりません。
|z| ≧ Re(z) であることを用いているのであれば、上記の式の左辺のi*R*exp(iθ)の部分が -sinθになると思うのですが、ここからどうアプローチするのか分かりません。
|z| ≧ Re(z)を用いたアプローチ自体が間違っているのでしょうか。

（この式を示すことで、 1-(4/π)θ ≦ cos(2θ) を用いて、R→∞の時に|∫[弧AB] exp(-z^2)dz|→0となることを用いたいのです。

| ∫[0,π/4] (exp(-R^2(cos(2θ)+i*sin(2θ))) * i*R*exp(iθ))dθ |
≦∫[0,π/4] |(exp(-R^2(cos(2θ)+i*sin(2θ)))| *| i*R*exp(iθ)) | dθ

xが実数なら|exp(ix)|=1だからでしょ

すげー、何か難いことやってんだぁ。

>>575-576
なるほど！
有難う御座いましたｍ（）ｍ

すいません、ちょっとみなさんに質問なんですが。
僕は今23歳で、今から数学を趣味と実益を兼ねて勉強したいと考えています。
しかし、チャート式（青）を開いて勉強を開始してみたところ、もう序盤から解けない問題がたまに出てきます……。
その度に僕は、「俺って数学のセンスないのかな……」とか思ってヘコむんですけど、どうなんでしょう。
これって勉強段階では普通レベルですか？それとも「もう諦めろ」レベルですかね？

趣味ならもっと頑張れ、道は開けるというレベル

先ず教科書を読んで理解すべき。特に定理、公式の証明。

>>579
青チャートはゴミだからやめとけ。
趣味で高校数学やるなら「本質の研究」（旺文社）とかをじっくり読めば。

>>579
チャートとかって効率悪いからね…
定番テキストの「新数学演習」で、忘れている所を軽く復習して
「東大の過去問」で実戦力を付けるのがいいよ。
これだけだと基礎が充分ではないので、大学の教科書も読んでおく方がいいよね。
23歳ならこのくらいはやってて当然だと思う。

受験板でパップスギュルダンの定理は証明難しいけど感覚的にわかる
みたいなこと書いたらかなり叩かれたんだがどうなの？

どうでもいい

>>579
実益は無いよ。

>>579
経験と努力の足りなさをセンスの所為にしてはいけない。
経験と努力の足りなさをセンスの所為にしている時点で
君には数学というか論理のセンスが無い、数学は諦めろ。

特性方程式てなにもんですか？ただの公式？

便利な道具。

>>588
函手。
不変量。

便法

√2＾√2の小数第1位が6であることを示せ。ただし√2は1,414…とする

学コンの問題を書き込まないように。

>>580->>583>>587
こんなに返答して下さる方がいるとは、驚きと感謝です。
特に、>>587氏の言葉は素晴らしいと思いました。

さて、青チャートってダメなんですか？？やっぱり高校の教科書を購入すべきですかね？
青チャートやってて因数分解の段階で既に、「え？何でこれがこうなるの？」
という事態に陥ります。その際、何度も何度も説明を読み返して研究し、自己解決できる場合と、
本当に意味解かんなくて、迷路に迷い込んで「俺……バカ？」と落ち込む時があります。
（誰か先生でもいれば即効で聞けるんですけどねぇ……苦笑）
そのタメには、やはり教科書からの方がいいですかね？

ちなみに、僕は一度文系教科で三流大学を卒業しているのですが、
2年前からやけに理系に目覚めて、周囲にバカにされてもいいから、
自己満足のタメだけに、数学や物理をマスターしてやる！と心に決めたのです。

あっそ

そういう目的の奴の方が伸びるかもね

あっそ

と、以前知り合った某予備校の先生に言ってもらえましたよ。

思考盗聴で個人の生活に介入する奴が永久停止すればよりよく伸びる。

>>594
まあ人生なんて自己実現のためだけにあるようなもんだから、
頑張ってください。
とりあえず青チャはあなたが感じているように「飛ばし」が多いので、やめたほうがいいです。
>>582で書いた参考書いっぺんみてごらん。

あっそ

ニート

>>594
他の人も書いているが、趣味でやるのに青チャみたいな受験参考書を使う
理由がわからん。教科書やればいいと思う。
�買xストの「これでわかる」シリーズもよくできているが、易しいレベルとはいえ、
やはり受験参考書的ではあるし。
頭のトレーニングという意味では、ジュニア数学オリンピックの本が面白い
(クソムズイけど、青チャなんかを半端にやるよりよほど訓練になる)

∫[0,π/2]sinx^50dx
↓
(49/50)(47/48)(45/46)･････(3/4)(2/1)(π/2)
ここまではいったんですが、この先って計算できますか？

>>604
できる。

青茶は解法網羅してあるだけで数学書としては糞

>>604
(49/50)(47/48)(45/46)･････(3/4)(1/2)(π/2)だな
それって入試問題？
それはさすがに手計算させるのはちょっと酷だから計算機にやらせたほうが・・・

OA(1)=OB(1)=1 ∠B(1)OA(1)=θ(0<θ<π)であるような二等辺三角形OA(1)B(1)がある。
辺A(1)B(1)の中点をB(2)とし、辺OA(1)上にOA(2)=OB(2)となる点A(2)をとり、二等辺三角形OA(2)B(2)をつくる。
以下同様にしてn>2についても二等辺三角形OA(n)B(n)を作ってゆく。辺OA(n)の長さをa(n)とおく。

(1)a(3)sinθ/4を求めよ。
(2)lim_[n→∞]a(n)を求めよ。

>>608
これ別板で解決してなかったか？

>>609
高校生のスレ〜で質問しました。
でもスルーされまくりました・・・

>>610
じゃ、解決してるところまで自分なりにまとめて書いてくれ。
あと添え字は（n）使うと普通の（）とごっちゃになるから
[n]か_nの方が読みやすいかもな。

>>610
スルーされているのは
難しくて解けなかったと思って欲しい

(1)
a[3]*sin(θ/4)
＝cos(θ/2)cos(θ/4)sin(θ/4)
＝(1/4)sinθ

(2)
a[n]＝cos(θ/2)*cos(θ/4)*…*cos{θ/2^(n-1)}
＝{1/2^(n-1)}sinθ/sin{θ/2^(n-1)}
＝{θ/2^(n-1)}/sin{θ/2^(n-1)} * (sinθ)/θ
以下略

でどうか。

z = xy(x^2 + y^2 - 1)の極値を求めよって問題だれかわかりませんか？

とりあえず
∂z/∂x = y(x^2 + y^2 - 1) + xy(2x) = 0
∂z/∂y = x(x^2 + y^2 - 1) + xy(2y) = 0
を満たすx,yを探そうと思ったのですが、(0,0) (1,0) (-1,0) (0,1) (0,-1)
とかいろいろ見つかりはするけど他にあるのか無いのか分からなくて
どうすればいいのか分かりません…

>>614
(1/2,1/2)(1/2,-1/2)(-1/2,1/2)(-1/2,-1/2)もじゃないか？
最近の高校生は偏微分もするのか。

論文で数学記号使う所について質問させてください。

A>BでCをこの２つの仲間、つまり種類を一緒にしたいんですが
＝ ではなく≒ ≠ でもない場合に用いられる記号って
具体的にどんなのが有りますか？

こっからアホの例え話、つまり好きな果実が林檎の場合
林檎>梨 なんだけど、ラフランス(西洋梨)はなんか違う見たいな
伝達力なさすぎで我ながら情けないが頼みます！レポートが…

>>616
種類が同じであることを表すのは∽とか≡とかあるけど。
何を表したいのかよく分からん。

(X+1)(2X+1)(3X-1)(4X-1)+6X^4=0
この方程式が解けません。
東大大学院の入試問題なのですが、どうしたら解けますでしょうか？

> solve((X+1)*(2*X+1)*(3*X-1)*(4*X-1)+6*X*X*X*X=0);

- 1/5 + 1/5 sqrt(6), - 1/5 - 1/5 sqrt(6), - 1/6 + 1/6 sqrt(7), - 1/6 - 1/6 sqrt(7)

>>618
展開すると x^4〜定数の係数が順に 18,22,-7,-4,1
（ax^2+bx-1)(cx^2+dx-1) の形に因数分解できる可能性を考える
（定数部がともに+1になる場合も、a,b,c,dの符号を反転させればこの形にできる）
こちらの展開も考えて同じ次数を比較すると,、x^4、x^3、ｘの係数からそれぞれ
ac=18 ad+bc=22 -b-d=-4

これを満たすものを探すと（(a,c)=(3,6) は ad+bc=22 が3の倍数にならないのでアウト）
a=9,c=2,b=2,d=2でad+bc=22 になり、このときｘ^2の係数-a+bd-c=-7 も一致

したがって与式左辺は（9x^2+2x-1）(2x^2+2x-1) と因数分解できる。

>>618
与方程式の左辺=
(X+1)(3X-1)(2X+1)(4X-1)=(3X^2+2X-1)(8X^2+2X-1)+6X^4　である
２X-1=U　X^2=V とおけば　これは　
(3V+U)(8V+U)+6V^2=30V2+11VU+U^2=(5V+U)(6V+U)
であるから、最初の方程式は
(5X^2+2X-1)(6X^2+2X-1)=0
を解くことになる。

>>618
>>620は 6ｘ＾4 の係数を-だと勘違いしてた。失礼。

>>618
東大に聞け

>>618
両辺をx^4でわって y=1/xと置換すると高校でよく見るアレ

長文すみません、どなたかこれらの問題を解説してください！


�T
ｘ^２＋３ｘ−4≦０、 �@
ａｘ−１＞０ �A
がある。ａは０でない定数である。

(1)�@を解け
(2)ａ＞０のとき、�Aを解け。
(3)�@、�Aをいずれも満たす整数ｘがただ１つとなるａの値の範囲を求めよ。

�U
２つの放物線C1:y=x^2-2x+3 C2:y=-x^2-4x+7がある。
(1)C1とC2で囲まれる部分の面積を求めよ。
(2)C1の点(t,t^2-2t+3)における接線をlとし、C2とlで囲まれる部分の面積をSとする。ただし、t>0である。
(i)ｌの方程式を求めよ。
(ii)Sをｔで表せ。
(iii)S=256/3となるtの値を求めよ。

�V
関数f(x)=asinxcosx+cos^2xがある。
(1)f(x)をsin2x,cos2xで表せ。
(2)a=√3のとき、f(x)の最大値、最小値を求めよ。
(3)0≦x≦π/4とする。
( )0<a<1のとき、f(x)の最大値、最小値をaで表せ。
( )f(x)の最大値が、f(x)の最小値の2倍となるような実数aの値を求めよ。

>>625
マルチ

すいません、大学の入試問題とは違うのですが、
確率を計算する問題といった内容なので、ここで質問してもよろしいでしょうか？

先物や株といった投資で伝説の常勝軍団だった人達の中のカーティス・フェイスと言う人が書いた本で
タートル流投資術という本を購入しました、まだ読んでいないのですが、
この本のタイトルでぐぐったら、下記サイトがヒットして

http://coblog1.corich.jp/detail.php?type=MB&id=36301

そのサイトの中に、

下記の計算式を用いて、
http://www.geocities.jp/y_infty/management/bankruptcy.html

破産率を計算するプログラムが紹介されていたのですが、使い方がいまいち分かりません。
http://www.geocities.jp/y_infty/management/soft_dl.html

このソフトで
「持ち金は２００万、仮に１回に１００万ずつ賭けていくとすると破産する確率はどれくらいか？」
と言うのを計算するにはどうしたらいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

>>627
確率計算が分からんとかいうんじゃなくてソフトの使い方の問題なわけですな
それならソフト板へ

誰かこれお願いします。できれば理由も
以下の(A)に入る数字は何か？
64→28→68→76→50→(A)→2→4→16→38→70

>>629
出典は？

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1316726438

>>630
東大の院試の専門科目の問題です

>>631
神！ありがとうございます！！！

>>629
10じゃね？
十の位の2倍と一の位の平方の和が次の数

　　　　　　 　 ／.:.:|　　＿＿＿__　 ／:|
　　　　 　 　 ＞､:./:＜ 　 　　　 　 ＼,:へ＿
　　　　　 ,.　　　　>'.:.:.:>　 　　　　　　ヽ.:.:./
　　　　／　 　 イ　|／　　　 ,ｨ 　 ﾊ　　 Ｖ ＼
.　 　 /　　／　 l　 　 　 /! / l　./　| 　 . |　　丶
　　　l 　 /　　　l　 |Vlフ.T/　| / ‐┼ﾄ .l |＼ 　 ヽ　おそいょ
　　　|　 {　 　 　} /|　|TフT　ﾚ　rﾃｵﾊ l | 　 ヽ　 '.
　 　 ヽ　ヽ　 　.八 l　ｌ弋ソ　　　V:ｿ ! lﾊl　　　）　}
　　　　 ヽ ヽ　/ 　 l　ﾄ､　 　 _ 　　.ノ　! 　 　 （ r‐'
　　　　 < ノ／　　 .∨　 }　┬‐　´! |　| 　 　　 ) >
　　　　　Ｚ＞　　　　　.ィ!_　 `‐tr-|￣￣{二 ヽ
　　 　 　 / 　 　 　 /　 ||　　　 || l.|　　　{二　|
　　　　　{　　 　 　 l　 v====V==<ヽ___.人ｰ ﾉ
　　 　 　 ＼　　 　 |　 |{:.:||.:.:.:l.:.:||.:） ∨　 ∧.:＼
　　　　 /|　 ＼　　.|　 ﾄゝ}}_:.☆:}ｨ'ﾍ ′ ./　ヽ／

任意の正整数ｍ≧2に対し、Ｚmは可換環となる。

この証明できる神教えて下さい。

教科書嫁

三辺が整数の直角三角形の面積は整数( )の倍数になる。
( )を求め､その真偽も証明せよ

将棋は先手必勝または後手必勝のゲームなんですか？

名人に聞いて

最近は、東大大学院の入試問題ばかりだな。
>>638 も1997年の専門問題（選択・ゲーム理論）だった。

>>640
えっそうなんですか？
フト疑問に思ったのでスレ違いと蹴られるのを
覚悟で書き込んでみたんですが。

・・・で、結論は？

名人に聞いて

　　　　　　　　　　　. . 歩

　　　　　　(ﾉ'A`)ノ
　　　　　　(　　)
　　　, , , , /　>

数�Vの質問です。どなたかお願いします。単元は『関数の増減、極値』
[問] 実数a,bが0<a<b<1をみたすとき、(2^a-2a)/(a-1)と(2^b-2b)/(b-1)の大小を比較せよ。

ヒント→　f(x)=(2^x-2x)/(x-1)と置き、微分する(微分した後、分子をもう一度微分するらしい。)
　　　　その後、単調増加か単調減少するかで答える。らしいです。
答え　→(2^a-2a)/(a-1)　＜　(2^b-2b)/(b-1)

お願いします！

>>644
マルチ

>>638
千日手の扱いによるだろ。たぶん。

[問]tがすべての実数値をとって変化するとき、曲線y=log(x+t)-tの通過する範囲を図示せよ。
答：直線y=x-1上とその下部分

どなたかお願いします！塾の先生にきいてもわかんなかったんです。。

>>647
マルチ。

マルチポストの摘発はURL付きで

>>649
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1222213600/584
ttp://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1222213600/599

解けないんで助けて戴きたい．

[１]2以下の目が出る確率がp(0<p<1)のさいころを一つなげて、出た目の数によって数直線上を移動する点pを考える．

pは点0から出発し、2以下の目なら正の向きに２、それ以外なら、正の向きに１進む．

いま、点pがnにとまらず、点2ｎに止まるという事象をx(n)とすると、x(n)が起こる確率
を求めよ，

[２]１辺の長さが１の正三角形ABCがある．辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとし、AP=BQ=CR=t
となる辺AB上の点をP、辺BC上の点をQ、辺CA上の点をRとして、直線上PM,QN,RLをそれぞれm(1),
m(2),m(3)とする．
m(1)とm(2)、m(2)とm(3)、m(1)とm(3)との交点をそれぞれDEFとし、三角形DEFを考える．このとき、tが0<t<1で
動くときの、三角形DEFが通過する面積を求めよ．

[３]ｘｙ平面上で、点（3/2,a）からy=x^4-3/2x^2 へ引いた接線の本数をaの
値で分類せよ．

[４]f(x),g(x)は区間-1≦x≦1で微分可能であるとする．またf(0)=0をみたし、つねに、|g(x)|≦f(x)をみたすとするとき、（１）f(1)=1,f'(x)は定数関数でないとするとき、f(a)<a　または　f(a)>aとなるa(o＜a＜1)が
存在することを示せ．f'(b)<1,f'(c)>1となる、b,c(0<b,c<1)が存在することを示せ．
（２）g'(0)=0を示せ．

>>651
受験板でも、数学板でも
マルチ

http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1222609695/148
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1223563764/191

>>652
申し訳ありません．マルチを理解していませんでした．

削除して戴いて結構です．ご迷惑をお掛けしまして、申し訳ありませんでした．

京大の過去問で03の行列の問題で質問があります。二つあるんでお願いします
一つ目、なぜAが単位行列の実数倍か否かの場合わけにいたるのか？？

二つ目、途中のr/sをxで置き換えるとき果たしてｘはすべての実数値をとりえ
るのか？
是非、答えを教えていただけたらうれしゅうございます。

質問というのならせめて質問の体をなしている文章を書けよ。
お前が何を参照しているかなんて知らないっての。

東京出版の京大入試の軌跡だろうけど、答える気はしない。

今年の京大入試の問題です。解答おねがいします。
「Zeta函数の自明でない零点の実部は全て1/2である」これを証明せよ。

やかましいわ

>>657
その問題、学校の宿題で出たけど、クラスの半分以上が出来てたよ。
自分でやれよ。

やかましいわ

ポリアのつぼの問題について。
予備校で荻野氏にhttp://imepita.jp/20081017/311680
http://imepita.jp/20081017/312890
の解答はだめだといわれました。
理由はＰｎは初めの状態からＮ回後に白が出る確率なので
二枚目の1,2行目波線は、初めとは違う袋から取り出してるからＰｎではない。
荻野氏の説き方は一回目に白が出る確率とＫ回目に白が出る確率が同じ。と仮定し、
Ｋ＋1回目も同じであることを示しました。計算内容は添付した計算と同じ。
添付した解答は本当に間違っていますか？

あっ。。。
よろしくお願いします。

問題がわからないんですが。

済ませんポリアのつぼって知らないですか？
赤球a個白球b個入っている袋から1個取り出し、
取り出した色の玉と同じ色の玉、計２つを袋に戻す。
Ｎ回目に白球を取り出す確立をＰnとし、Ｐｎを求めよ。
問題自体は漸化式で解けますが、上にも書いたように帰納法の仮定がわからないのです。
よろしくお願いします。

>>664
誤：
赤玉がa個、白玉がb個入った状態でスタートして、
n回目に赤玉が取り出される確率をP(n)とするとき、
nの値によらずP(n)=a/(a+b)になることをnに関する帰納法で示す

正：
赤玉がa個、白玉がb個入った状態でスタートして、
n回目に赤玉が取り出される確率をQ(a,b,n)とするとき、
a,b,nの値によらずQ(a,b,n)=a/(a+b)となることを、
nに関する帰納法で示す

つまり、a,bを固定して議論してはダメで、
a,bはいろんな値を取りうるものとして、それら全てについて
同時に証明しないと、帰納法が成立しない、ってことなんだろうね。

ポリアのつぼってどこの国の特産物ですか？

そうそう！665のした３行。それを荻野は｢一般化｣という技術といっていました。
しかし添付したのは大数の去年の１０月号です。
帰納法が成り立たない理由は何でですか？
その辺に悩まされていて、たまに帰納法で証明せよ。
と、誘導のような意地悪な出し方をされた時のためにお願いします。

>>661
帰納法でもおｋ。
aを固定、bを可変にして示し、
次にaを可変にして示せばいいだけ。

>>667
というか、数学的帰納法でしか示せないだろ．．．
>>665の「正」の方にも帰納法という文字があるのが読めんのか？

帰納法でなくとも漸化式立てて証明できますよ？
難しいてすが１対1演習にも乗ってます。
僕は帰納法で証明できることがわからないのではなく、
仮定で一般化することの動機、また本当に661に添付した解答が何故間違っているのかです。
難しいですか？

漸化式使ってる時点で本質的に帰納法なんだが。
例えばa[1]=c, a[n+1]=f(a[n])型の漸化式で{a[n]}全体が決まること自体帰納法で示さなければならない。
A={n|a[n]が決定不能}としてAの最小値を考える方法もあるが、
「自然数の空でない任意の部分集合が最小値を持つ」という性質は数学的帰納法と同値だ。

>>670
何がわからないのかわからない

フーリエ級数についての質問です。

三角波の式からフーリエ級数を求める問題で、

※三角波は奇関数かつ平均値は０なので、
a0 = 1/2π∫|0~2π| x(ωt) d(ωt) = 0

となるそうですがこの式について、
xに対してdの値が９０°遅れになり平均すると０になるって事で良いのでしょうか？

周期関数なんだから、積分区間は[0,2π]でも[-π,π]でも変わらんだろ
奇関数を[-a,a]で積分したら０

＞三角波は奇関数かつ平均値は０
奇関数なら自動的に平均値は０だろ
平均値が０⇔a0=0
じゃねーのか？

>>674
レスありがとうございます。

なるほど！
二つ奇関数が出てきて変に考えてたけど、
積分の式なんだから両方とも値は０になり、問題の解も普通に０になるわけですね。
わかりました、ありがとうございました。

じゃぁこれでいっか、Ｎ人の決まった人数で、特定の数の試合をする。
特定の試合の回数をＭとする。Ｍは自由に設定してよい。Ｍ回試合して
特定の人物が確実に連勝できる回数をTとする。Mを熟考し、Tを決定
せよ。

>>676
勝負に絶対などない
絶対と呼べるのは勝負ではない
試合結果はどうやって決まる？

【社会】「もち」より恐い「パン」　１３５人詰まらせ、８人死亡　東京
http://mamono.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1224810727/

>>676
もっともらしい言葉を使えば厳密に表現できた気になる
ダメ作問者の典型例だな。
、、、ってか、その問題の話してたのは「京都大学入試作問者になったつもりのスレ」だろ。

f(x)=log《x＋√(1＋X^2)》の1階微分〜3階微分まで教えて下さい

>>677
つ高校野球

じゃぁこれでいっか、Ｎ人の決まった人数で、特定の数の試合をする。
特定の試合の回数をＭとする。Ｍは自由に設定してよい。Ｍ回試合して
ある人物が確実に連勝できる回数をTとする。Mを熟考し、Tを決定
せよ。


特定→ある

>>682
Ｔ＝0

集合Eから集合Fへの写像fが与えられたとき，Eの２要素x,yについて
　　　　xRyとはf(x)=f(y)　(inF)
と定めると，Rは同値関係となる．一般の同値関係についても
このようにF,fを定めることができるのである．

と参考書に書いてあるのですが，集合Fをいったいどのように定めれば，
一般の同値関係についてもきめることができるのでしょうか…？？？
誰か教えてくだされ。

FをEのRによる同値類の集合、
fをxをxの同値類に移す写像として定める

>>684
丸痴。答えて損した。

ラグランジュ乗数法(条件付き極値問題)が分からなくて困っています

条件x^3+y^3=1の下でx^2+y^2の最小値が存在する
これを求めてください

最小値のみってことは最大値がないのでしょうか。
素直にやってみたら
(1,0)、(２^-1/3,２^-1/3)という候補がでてきたのですが・・・

このスレの人は、大学レベルでも大丈夫でしょうか。

>>687
最大値あるわけないだろ。
xが正でyが負なときを考えれば幾らでも絶対値が大きくなる。

最小は(1,0)(0,1)

>>688
あ、なるほどー、３乗だからか
考えてみれば、中学生ぐらいでも感覚で分かることだな、最大値をとりようがないな、こりゃ
２乗の問題は、必ず正だから気にしなくてよかったのか

それから(0,1)の方をすっかり忘れていた、ｘ、ｙの関係がいわば対称なのか
ありがとうございます
尚、(２^-1/3,２^-1/3)は、可能性になるだけで、最小じゃない
なんか２^1/3が出てきて電卓によると約1.2599＞１だから最小じゃなかった

>>689
というかグラフ書いたら、
第2、第4象限にあるときは考えなくていいんで、第1象限だけ考えて、
x＋y＝1とx^2＋y^2＝1を考えればx^3＋y^3＝1が外側にもっと膨らむのは分かるだろうから、
x^2＋y^2は(1,0)(0,1)で最小になるのは推測付くでしょ。

>>690
つまりこの問題って、
ラグランジュのような特殊な知識がなくても、
ある程度の微積の極大極小概念と、グラフを書く能力があれば、
高校生でも答えを出せるわけですね
少なくとも感覚として「おそらくこうなる」という答えは出せそうですね
その感覚を確固たるものにする補佐役がラグランジュなわけで

ということは、その感覚がある奴は、解法を書く前からある程度の答えが見えているわけだな
ただ計算を鵜呑みするだけではダメですね
できる奴はその時点で差をつけていて、俺が越えられない壁があるわけだorz

宿題で出されたのだけど、意味が分からない、学校でやった帰納法の例は
奇数とか、何かの倍数とかですごい簡単だったんだけど・・・
本当に困ってます


任意の3以上の素数をｐとする
任意のｐ未満の自然数ａに対して
ａのｐ＝ａ（ｍｏｄ　ｐ）
であることを示せ

（ヒント帰納法）

>>692
こら、授業中に２ちゃんするな

by 担任

高校生じゃないよ、
えっと大学生です、2年の離散数学で出た課題です。

先生が高校の内容って言ってたので
ここに書き込みました。

先週の月曜にに出た課題で、来週の月が
期限段だけど、自分で考えても埒が明かないんですよ。

>>692
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86

どこで聞いていいのか分からなかったので
(一応なぞなぞかもしれないので)

５枚のピザを５人で食べるのに５秒かかるとしたら
１００枚のピザを１００秒で食べるには何人必要か？
答えは１００人ではない。

>>696
5人。

>5枚のピザを5人で食べるのに5秒かかるとしたら
1枚のピザを1人で食べるのに5秒かかる。

>100枚のピザを100秒で食べるには何人必要か？
1人が100秒で食べるピザは100/5=20枚
100枚食べるには、100/20=5人（答え）

>>698
おしいが不正解。

一人が５秒で食べられるピザの枚数はせいぜい４枚まで。
あとはお腹が顎がつかれてきたりお腹が膨らんで食べるのがおっくうになる。
そこで、１００秒間に一人が食べられる枚数の平均をとると、
１枚につき結局８秒かかる事になり、１００秒間では１２枚食べることになる。
８人だと96秒でちょっときついなぁと思うので、ひとり手伝ってもらって、
正解は９人。

同値律の3法則が独立であることを示すということで，
集合Eとしては，実数全体をとり，次の3つの関係
x R_1 y とは x=y=0
x R_2 y とは x≦y
x R_3 y とは ｜x-y｜<1

を考えてこのとき
R_1は反射律R_2は対称律R_3は推移律が成り立たないのでそれぞれの
法則は独立であると述べられているのですがよくわかりません．
どういうことなのか教えてください．

>>700
3つの××律のうちどれかが成り立ったとき、他のどれかが自動的に成り立つ、という
ような関係はどの組合せについてもない、ということ。

ある○○律が他の××律たちから導かれるなら、他の××律が成り立ってその○○だけ
成り立たないということはありえない。

3つの××律のうちひとつだけが成り立たないという例が3パターン全部あるということは、
どの××律も他の××律たちからはでてこないということを意味する。

初歩的な質問ですいません…。

0≦θ≦πのとき、sinθ+cosθ=tとおいた時、
t=√2sin(θ+π/4)
π/4≦θ+π/4≦5π/4

までは分かるのですが、なぜここから

-1≦t≦√2となるのでしょうか？

>>702
φ＝θ＋(π/4)
π/4≦φ≦5π/4 -> sinφの範囲を考えろ

F(x)がｘ→∞で斬近線y=-xになるとき。
F(x)/x→-1・・�@
F(x)+x→0・・・�A
の条件が必要ってかいてあったけど

�Aだけで十分な気がしますが、何故�@もやるんでしょうか？
�Aだけでy=-xに近づくってことがいえますよね？

�Aを類推するため。

�Aだけじゃだめなん？

勿論いいよ

お前らだったらこれぐらい解けるだろ、お願いします。

log( (n+k)Ck ) <= n+k の証明。

>>708
マルチ

偏微分方程式u_x+u_y+yu=0で
C={(s,0)},f(s)は初期曲線上の初期値、s,tはパラメータで
x=t+s,y=t,u=f(s)exp{-(1/2)t^2}になるらしいんですけど、
どうやったらこうなるか説明お願いします・・・

ちなみに明日テスト・・・

Reply:>>710 微分公式で方程式を変形して、偏微分の変数に使わない文字の値を固定するごとに常微分方程式を解けばよかろう。テストの前に偏微分の公式を覚えよう。

微分方程式でy'＝e^3x+2y
の解き方がどうしても分かんないんですが教えて頂けませんか？

>>712
うむ
y=e^3xという感じがしないだろうか

わかりづらい書き方ですいません
3x+2y乗です

それなら(e^3x)(e^2y)なんだから変数分離しておしまいじゃん

そっから y= の形にどうしてももっていけなくて

>>716
途中式の微分ができないのか対数をとるのを忘れているのか…？途中式が木になります

>>917
すいません
写メupします
ちょっと待って下さい。

http://imepita.jp/20081207/855670

この先がわかりません
途中計算もあってますか？

>>719
e^(-2y)=(-2/3)*e^3x+C
loge^(-2y)=log((-2/3)*e^3x+C)
-2y=log((-2/3)*e^3x+C)
y=

こんな感じですか？
わかりません＞＜；

>>720
あってるみたいです^^
ありがとうございます！

もひとついいですか？o(^^)o

>>721
もう寝ますけど僕より優秀な人がまだこのスレで起きてるかもなので大丈夫だと思います＞＜；
ううぅ〜、わかんないんです〜＞＜；

あ、眠いとこ申し訳ないです
一応
この曲線の二点間の弧の長さなんですが
http://imepita.jp/20081208/002650

>>723
公式にぶち込んで計算すればおしまいだと思うけど。
自分ではどこまでやったの？

こう計算していったんですが
答えが違って
http://imepita.jp/20081208/009540

次に
http://imepita.jp/20081208/010980

>>725
そこまではあってると思うけど。

>>725
ﾙｰﾄの中が塀塀ﾎｰになる

>>726
1回割って次数を下げる

>>29
ありがとうございます！
これじゃダメですよね
http://imepita.jp/20081208/012830

>>729
答えと合いました
お世話になりました(*v_v*)zzZ

暇なら下のスレの問題の解説頼むわ
◆oAjkLC5FGY
図はA市とB市とを結ぶ11ヵ年計画道路網である。
道路網は11区間からなるが今後1年ごとに1区間ずつ完成させていくものとしどの区間を着工するかは毎年抽選で決める。
すると11年後に道路網は完成するが早くて4年後に遅くても10年後に両市はこの道路網によってつながることになる。
ちょうど9年後につながる確率を求めよ。

◆PNQNSBht1M
図はA市とB市とを結ぶ11ヵ年計画道路網である。
道路網は11区間からなるが今後1年ごとに1区間ずつ完成させていくものとしどの区間を着工するかは毎年抽選で決める。
すると11年後に道路網は完成するが早くて4年後に遅くても10年後に両市はこの道路網によってつながることになる。
ちょうど6年後につながる確率を求めよ。

(補足)問題の図とはA市とB市を三段のはしご状
　　　もしくは縦棒二本に横棒が三本のあみだくじ状の道路でつなげたもので
　　　上端、下端にそれぞれA市、B市がある

◆YZdC6ZQS
太郎君は2円花子さんは3円持っている。じゃんけんをし太郎君が勝ったら
花子さんから1円もらい負けたら花子さんに1円払う。どちらかの所持金が
0円になった時ゲームは終了し0円になった者が敗者となる。
太郎君がじゃんけんに勝つ確率が2/5の時太郎君がこのゲームで勝つ確率を求めよ。

◆Jj44NOFea2
立方体ABCD-EFGHがあり点Pは辺ABの中点、点Qは辺AEをp:(1-p)(0<p<1)
に内分する点、点Rは辺BCを1:2に内分する点である。3点P,Q,Rを通る
平面が辺GHと共有点を持つようなpの値の範囲を求めよ。
1/6≦p≦1/3なら#1/6,1/3
頂決4
http://changi.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1224516006/

>>732のスレの目的がよく分からん。

スルーを覚えよう

入試ではないんだけど……

f(x,y)＝exp(x^2(siny))の偏導関数fxとfy
あと原点におけるテイラー展開を教えてください。

むしろexpが何なのか教えてほしい。
指数関数なのは知ってるけど、どう計算するのか全然分からないんだorz
申し訳ないけど、お願いします。

×指数関数 ○指数
でした。すいません。
引き続き教えてくれる方お待ちしてます。

質スレ使え

友人に無理言って教えてもらって解決しました。
お騒がせしました。

>>733
日本語としては「ひちがつ」が正しいがレッドブックの「なながつ」も間違いではない
ただ朝鮮人や関西人が良く使う「しちがつ」は明らかに間違い
これを使っていると日本人である事を疑われるので気を付けるように

>>739
出鱈目なこと教えるスレか

　

江戸っ子はヒとシの区別がつかないから、４と７の段の九九ができない。

H=[a c]
　　[c d]
という行列がある。
ここで、Tr(H)=a+d、Det(H)=ad-c^2　とする。
このとき、Tr^2/Detがどのようなことを意味するかを答えよ。

>>743
Detに対するTr^2の比

>>742
いいねぇこういうの。山田くん、座布団一枚。

某予備校正月特訓のオマケ問題です
答えがないのでどなたか教えていただけないでしょうか
a^b×c^d＝abcd
を満たす場合a〜dはいくらになるのかを教えていただけないでしょうか
また考え方も教えていただけるとありがたいです

a,b,c,dは0〜9の数字で、abcdってのは4桁の数？

だったら解なしっぽいぞ。
10＾4通りのしらみつぶしだからプログラム書きゃすぐ全数検証できるけど
左辺と右辺が等しくならない。

abcdっつったら普通かけ算だろ。
思いこみ激しすぎ。

それだとa=b=c=d=1みたいな自明な解があるから、何か条件があるんじゃないかとは思ったけど

いかにも思いつきの問題っぽいから、別に適当でいいんじゃないの。

>>750
たぶん元ネタココ
だから正解はあるはず

積だとすると、b=1、d=１、a、cは任意の整数とか、
積が2^nの形になるパターンだとか、縛りがないと解の種類が
多すぎて、受験生が取り組む問題として体をなしてない。
だから4桁の整数じゃないか、と言ったんだがね。

積で、a,b,c,dいずれも1でないとすると全て2が解になる。

厳密な論証はしてないが、y=axとy=a^x の大小から
ある程度絞れるんじゃないかと思う。

ただ、>>746には a,b,c,dが整数とも自然数とも
書いてないんだよなぁ。

質問です。
初歩的なものなのか判断がつかないのでスレ違いでしたらすみません。
ある参考書のガウスの消去法例題で

ａ11ｘ1＋ａ12ｘ2＝ｂ1・・・�@
ａ21ｘ1＋ａ22ｘ2＝ｂ2・・・�A

の連立一次方程式にて�@に−ａ21／ａ11を掛けて�Aに加えると

ａ11ｘ1ａ12ｘ2ｂ1・・・�@
ａ22ｘ2−ａ12ａ21ｘ2／ａ11＝ｂ2−ａ21ｂ1／ａ11・・・�A´

従って上の�A´式から

ｘ2＝ａ11ｂ2−ａ21ｂ1／ａ11ａ22−ａ12ａ21

ｘ2が求める
ｘ2を�@に代入すると

ｘ1＝ａ11ｂ1−ａ12ｂ2／ａ11ａ22−ａ12ａ21

を得る。
とあるのですが�A´式に変換するまでは出来るのですがｘ2を求める式以降は僕には出来ません。

何方かご教授願いします<m(__)m>

すみません�@式の定数倍を�Aに加えたあとの式での�@式に"＝"が抜けてました。
申し訳ありません<m(__)m>

口じゃなく手を動かせ

>>755
なんかエロイｗ
次は腰かい？
ｗｗｗ

http://ja.wikipedia.org/wiki/命題論理

このページの公理系2を使って、

φ → ¬¬φ

を証明するにはどういう手順になるのか
教えていただきたく候

すまんスレを間違えた

数学基礎論の質問スレッド その4
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207899938/
こっちに移る。

x^2・e^-x^3の不定積分を求めよ

これって、部分積分法でやるんですよね？
誰か解き方教えてください

x^3を置換すれば良いと思うよ

>>759
∫ x^2・e^(-x^3) dx
=-e^(-x^3) / 3 + c

他家が三元牌２種のシャボでテンパイしています。今、中をツモってきました。この中が当たる確率は？
という問題で、僕は１／２だと思うんですが、２／３だと強弁に主張する人がいます。どう思いますか？

麻雀だとわかりにくいので、
「A,B,Cの３つのくじがあって、あたりは２種がそれぞれ２本ずつ、はずれが１種で４本はいっています。
いまCを引きました。これがあたりである確率は？」
という問題なんですが、２／３と言っている人がいますが、僕は１／２が正解だと思うんです。

>>762,763
よう知らんけど、そもそも
＞他家が三元牌２種のシャボでテンパイ
が分かってる（＝推測できる）ような状態で、
かつ残りの三元牌が一切どこにあるか分からんって状況あるの？

>>762-763
俺だったら>>762と>>763を同じ問題だとは思わないだろうね。

レスありがとうございます。
残りは全部山にあってわかりません。

>>765
山がないからですか？？

>>764
通常ありませんが、仮定の話です。
>>765
どうかもう少し詳しくその理由をお願いします！

>>768
俺は別にあんたが間違ってるなんて言うつもりはないよ。
マージャンだから牌は各4枚で、シャボ待ちだからあたり牌2種は残り2枚ずつ、
それ以外は4枚だから･･･
なんてのを>>762からだけではイチイチ想像しないなってだけだよ。

1,2,3の内、2種類は当たりです。1が当たりの確率はいくつですかと問われてるとしか思わないな、と。

>>769
そうですか。でもよく考えてみると>>763と同じ問題ですよね？
そして解答は１／２ですよね？？

>>763の答えは1/2だ。それ以外の部分はは好きにしてくれ。

(;´д｀)ﾄﾎﾎ…

3*3行列A=[[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]]に対してA=B^2となるようなBをひとつ求めよ、
という問題がわかりません。

とりあえずAを対角化すると[[1,0,0],[0,1,0],[0,0,4]]となりましたが…、
ここからどうしたら良いのか分かりません。
どなたかお願いします。

>>773
対角成分をすべて平方根にしたものをAの対角化行列で元に戻せばいいじゃん

どなたか分かる方いますか？さっぱりわかりません。


関数U(r)=A・r^(-n)-B・r^(-m)について、以下の問いに答えよ。
(1)U(r)が最小になるr(=r[e])を求めよ。
(2)U(r[e])=B・r[e]^(-m)・(m/n -1)=A・r[e]^(-n)・(1- n/m)であることを示せ。
(3)U(r)=U(r[e])/(m-n)・{m・(r[e]/r)^n-n・(r[e]/r)^m}であることを示せ。
(4)U(r)=0の時、r=σ=r[e]・(m/n)^{1/(n-m)}であることを示せ。
(5)U(r)=U(r[e])/(m-n)・(n^n/m^m)^{1/(n-m)}・{(σ/r)^n-(σ/r)^m}であることを示せ。

>>775
はいはいマルチマルチ。

翌日の天候を決める処理を以下のように定義する。
Ａ．「晴れ」の翌日は「晴れ」か「くもり」である。
B．「くもり」の翌日は「晴れ」か「くもり」か「雨」である。
Ｃ．「雨」の翌日は「くもり」か「雨」である。

　晴れカード 12 枚、くもりカード 10 枚、雨カード 8 枚からなる 30 枚のカードがあり、
　本日の天候から見て、翌日の天候にならないカードを全部抜いて、この束から無作為に 5 枚を引く。
　引いたカードのうち最も多いものを翌日の天候とする。
　最多のものが複数種類ある場合は、その中より等分の確率で再抽選する。
（いずれも計算過程を明示する事、有効数字は３桁とする）
（１）現在の天気を「晴れ」とする。翌日の天気が「くもり」である確率を求めよ。
（２）現在の天気を「晴れ」とする。２日目の天気が「くもり」である確率を求めよ。
（３）現在の天気を「晴れ」とする。３日目の天気が「雨」である確率を求めよ。
（４）「晴れ」→「晴れ」の確率を求めよ。
（５）「晴れ」→「くもり」の確率を求めよ。
（６）「晴れ」→「雨」の確率を求めよ。
（７）「くもり」→「晴れ」の確率を求めよ。
（８）「くもり」→「くもり」の確率を求めよ。
（９）「くもり」→「雨」の確率を求めよ。
（１０）「雨」→「晴れ」の確率を求めよ。
（１１）「雨」→「くもり」の確率を求めよ。
（１２）「雨」→「雨」の確率を求めよ。

（１３）「晴れ」「くもり」「雨」の確率を、それぞれｘ，ｙ，ｚとする。
　　　　ｘ，ｙ，ｚを使って翌日に「晴れ」「くもり」「雨」が出現する確率を記述せよ。
（１４）これを無限回繰り返した時、「晴れ」「くもり」「雨」の出現する確率を求めよ。



（１）は晴れ５〜３枚の確立を足して５４／１３３と出して、あってれば（１）〜（３）はできそうです。
しかし他の問題でどう解けばいいのかが分りません(´・ω・`)

>>777
マルチしすぎだろカス

>>777
マルチ。

半径1の円の半円周上を動点Pが、残りの半円周上を 動点Qが自由に動く時線分PQの中点が通過する領域の面積を求めよ。

の問題で、Pを(ｘ1、ｙ1)Ｑ(ｘ2、ｙ2)とおくと、
半径1/2、中心(x1/2,x2/2)の円が出てきて、ｘ1は−１から1、ｙ1は０から1までを動きます
その後わかりません。面積を求めよですが、これは最大半径１の円を超えてしまいます。

2点の中点と円の中心の関係を考えれば
どういう図形を描くか容易に証明できる

正n角形があり、地面と接している辺の左側をA、右側をBとする。
この正多角形を滑らないように、時計回りに回転していき、Aが最初のBの位置に来たところでやめる。
このときのAの道のりの長さをP(n)とする。
(1)P(6)を求めよ
(2)lim(ｎ→∞)P(n)を求めよ。

(出典、北海道大・改題)

結構面白いよ。曲線の長さっていってるけど、曲線の長さを積分で求めるのではないので、
現教育課程範囲(数�V)で解ける。

>>781
考えたんですけど。。。
もうちょい具体的に教えてもらえませんか？

経験則：具体的な回答が得たいなら、質問をより具体的にすべき。

>>782
＞Aが最初のBの位置に来たところ
表現が分かりにくい。

>>785
すまん、「頂点Aが再び地面に接したとき」でいいかい？

言っとくけど質問じゃないよ。面白く、数学力が問われる問題だから投下しただけ。
北海道大の問題から抜粋したのが高校Sirius�Vにのってて「これは面白い」
と思って書いた。高校Sirius�Vに載ってるときはn=6のときの図が書いてあった。

>>786
＞質問じゃない
もちろんそれは承知してる。
ただ、「ん？」と思ったんで書いただけな。

>>787
適切な指示、感謝する。

正n角形の大きさの条件が抜けてるな。半径1の円に内接とかだろうけど。

数列｛an｝の平均が発散する⇒｛an｝が発散する
は正しいか。
正しくない場合は反例をあげよ。

教えてください

対偶を考えれば直感的に明らか
証明は収束の定義にe-d論法で示せばよい

a0=1, a(n+1)=1+1/(1+an)を満たす有利数列{an}はコーシー列であることを示せ.
お願いします.

>>792
b(n)=a(n+1)-a(n)とおけば、b(n)*b(n+1)<0、そして |b(n)| は単調減少。

>>793
実は、|b(n+1)-b(n)|が単調減少までは導けたのですが、その先が分からないんです。
よろしくお願いします。

>>794
a(n)=a(0)+Σb(k)　は交代級数の収束条件を満たす。

高校生の質問スレでレスがもらえなかったので、ここで質問させてください
行列の固有方程式が、ケーリー・ハミルトンの定理と同じ形をしているのには、何か理由があるのですか？

>>796
n次の行列Aで定まる多項式　f(x)=det(xE-A)　をAの固有多項式といい、
f(x)=0の解を行列Aの固有値と呼ぶ。
f(x)=x^n + a_{1}・x^(n-1)　+　・・・　+ a_{n-1}・x + a_{n} としたとき、
f(A)=A^n + a_{1}・A^(n-1)　+　・・・　+ a_{n-1}・A + a_{n}E　とする。
ケーリーとハミルトンは、f(A)=Ｏを示した。
ここに、Eはn次の単位行列、Ｏはn次の零行列である。

>>797
> ケーリーとハミルトンは、f(A)=Ｏを示した。
直接示したのはケーリー

「　f''(r) / f'(r) = -2 / r

　　両辺を積分して、
　
　　f'(r) = -B / r^2 　　（Bは任意定数）」

と書かれていまして、なぜ

f''(r) / f'(r) がf'(r)

になるのか、また

-2 / r

が、

-2log(r)

にならないのか、わかりません。(> <)ｼｸｼｸ

>>799
右辺は-2log(r)であってる。
∫f''(r) / f'(r) drがどうなるか考えてみな。
対数微分法とかで見覚えのある形だとは思わないか?

>>800
置換積分とかでいいんですか？（左辺）

>>801
合成関数の微分・積分とか色々計算してみたことないの？

>>802
f '(r) = y とおくと、 f ''(r) = y '
( r = x とおく )

f ''(r) / f '(r) = 1/y ・ y' = d (log |y| ) / dy ・ dy / dx = d ( log |y| ) / dx
元にもどして、
= d ( log | f '(r) | ) / dr　
積分して
log | f '(r) | = -2 log| r | ( = 右辺の積分 )

あと一息なのですが〜。わからない〜！！

あ、
log | f '(r) | = log( r ^-2) + c
f '(r) = B / r^2 (B = exp| c | )
ですか。わかりました。どうもありがとうございます。

ところで、いつも、この手の問題には壁にぶつかったような感じになってしまいます。
その、合成関数・対数関数などの微積分、って、みなさん、普通に知ってらっしゃるのですか？

何の本に詳しく書かれてますか？おすすめなどありましたら、教えていただけませんでしょうか〜。m(_ _)m

>>797
なるほど！　ありがとうございます
固有方程式という固有値を求める式のｘを、Tで置き換えることができる、
特に平方行列の際は、その式は高校で習う
λ^2-(a+d)λ+(ad-bc)=0
となる、という理解でよろしいですか？

>>805
しかり

すいません
二次正方行列でした

>>804
> 何の本に詳しく書かれてますか？おすすめなどありましたら、教えていただけませんでしょうか

高校の教科書。

１０進数じゃなかったら円周率って無理数じゃない形で表せるの？

＞１０進数じゃなかったら円周率って無理数じゃない形で表せるの？

この時間になると面白い奴続々だな

有理数無理数わかってないかもしれないけど、答えて

じゃ、まず、無理数じゃない形、って何よ?

終わらない形で表せる数

はいはいπ進数なら1な。

>>815
なるほど！いいレス！！

もっと他にない？

>>816
いいレスなのか？そもそもπ-進表示できる数ってどういうものだ？

>>817
よくわかんないよ。

でもπ進数ならたしかに１であらわせるよね。
１０進数でπは永遠に続きます！っていうことに意味あるの？
進数の表現の違いでしかなくない？

π進数なんかないよと言われている訳だが。

sin2xの逆関数を教えてください

>>820
arcsinθ/2
ではないアルか？

>>821
途中式おねがいできますか？

>>820
arcsinの定義より　sin(arcsin x) =x, arcsin(sin x)=x だから
(1/2)*arcsin(sin 2x) = (1/2)*(2x) = x
sin(2*{(1/2)*arcsin x}) = sin(arcsin x) =x
したがってy=sin 2x ⇔ x=(1/2)*arcsin y

>>822

arcsinの定義はわかってるアルか？
y=sinxのときx=arcsinyと表すアルよ。このとき(-π/2≦x≦π/2)で考えるとarcsinも１つのyに対して１つのxが定まるようになるアルよ。
というわけで
sin(2x)=θとおくと
2x=arcsinθ(-π/2≦2x≦π/2)
x=arcsinθ/2(-π/4≦x≦π/4)
となるわけアルよ。

>>820
それのどこがワンランク上の大学入試問題なんだ？

大学入試のセンターレベルの簡単な問題で申し訳ないのですが
ａを０＜ａ＜πを満たす角度とする。０≦θ≦πの範囲で方程式
ｓｉｎ（θ−ａ）−ｓｉｎ２θの解θは、ａを用いて
θ＝○π＋●（丸は分数）どう表されるのでしょうか。
できれば分かりやすい説明もお願いします。三角関数なんですが。
馬鹿で申し訳ありません

>>826
方程式になってないアルよ……

>>826
マルチ

>>827
マルチにマジレスﾌﾟｷﾞｬｰ

x=Aの前後で、解をもつ２次関数の条件で、わざわざ解と係数より
f(a)＜０であることが条件って書いてるのがかなりムカツク。単純に
グラフの性質よりって書くんじゃなくて、Ｄ≧０も条件に入らないと
いけないのに。

男子４人と女子３人が一列に並ぶとき、女子二人が隣り合う場合は何通りありますか？

やっぱりこのスレいらんだろ

830はわかスレに書いたつもりが間違えていましたので無視して下さい。

322

東大02２番
a1=1.b1=1
an+1=an+bn
bn+i=an
anとbnは互いに素である事を証明せよ

これをユークリッドで

x.yの最大公約数を(x.y)とおくとする。
(an+1.bn+1)=(an+bn.an)=(an+bn-an.an)=(bn.an)=(an.bn)
これを繰り返し用いて
(an.bn))=(a1.b1)＝1
よって最大公約数1よりanとbnは互いに素。


ユークリッド自体は証明なしに用いてよいですか？
ユークリッド自体は証明なしに用いてよい場合これであってますか？


大学受験版では答えてもらえませんでした。
ユークリッド自体は証明なしに用いてよいですか？
ユークリッド自体は証明なしに用いてよい場合これであってますか？

お願いします