【大学入試】ワンランク上の数学質問ｽﾚ

>>936
教科書全部見れば、一、二冊くらいは例題になってるのが
あると思うが。ケーリーハミルトンは俺が使っていた教科書には
問題として出ていた。

というか専門が数学教育なのに変なこという教授だな。

よろ
[【大学入試】ワンランク上の数学質問スレNo.2]

【前スレ】
【大学入試】ワンランク上の数学質問ｽﾚ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170481008/l50


ハイレベル問題専用のスレです。

・東大・京大・東工大・阪大の理系入試レベル
・大学への数学(東京出版)難易度基準C以上

一般レベル問題の質問は↓↓
【sin】高校生のための数学の質問ｽﾚ【cos】

>>943
しね。

aを正の定数とし、座標平面上に3点P0(1,0)、P1(0,a)、P2(0,0)が与えられたとする。
　P2からP0P1に垂線をおろし、それとP0P1との交点をP3とする。
　P3からP1P2に垂線をおろし、それとP1P2との交点をP4とする。
以下同様に繰り返し、一般にPnが与えられたとき、
　PnからPn-2Pn-1に垂線をおろし、それとPn-2Pn-1との交点をPn+1とする。
このとき次の問に答えよ。
(1)　P6の座標を求めよ。
(2)　上の操作をつづけていくとき、P0,P1,P2,･･･,Pn,･･･はどのような点に限りなく近づくか。
（1979東大理系）

点Ai,Ai+1,Ai+2で作る三角形を辺は、長い順に（a>1としておく）、
△A0A1A2　√(1+a^2) : 　　　a　　　　　 : 1
△A1A2A3　a　　　　　:　a^2/√(1+a^2) :　a/√(1+a^2)
△A2A3A4　a/√(1+a^2) : a^2/(1+a^2): a/(1+a^2)
△A3A4A5　a^2/(1+a^2) : a^3/(1+a^2)^(3/2) : a^2/(1+a^2)^(3/2)
・・・
ここで、相似比が、a/√(1+a^2),1/√(1+a^2),a/√(1+a^2),・・・と交互になっていることから、
An=(xn,yn)とおくと、A0→A2→A4→A6→A8→･･･と点をたどっていくと、
x0=1,x2=1,x4=0,x6=a^2/(1+a^2)^2,x8=a^2/(1+a^2)^2,x10=x6-a^4/(1+a^2)^4,・・・
y0=0,y2=0,y4=a/(1+a^2),y6=a/(1+a^2),y8=y6-a^3/(1+a^2)^3,･･･
となっている。
　よって、A6=(a^2/(1+a^2),a/(1+a^2))
Anのｘ座標は、a^2/(1+a^2)^2-a^4/(1+a^2)^4+a^6/(1+a^2)^6-･･･　
　初項a^2/(1+a^2)^2、公比 -a^2/(1+a^2)^2の等比数列の和だから、
　→ a^2/(a^4+3a^2+1)
y座標は、a/(1+a^2) -a^3/(1+a^2)^3 +a^5/(1+a^2)^5　-･･･　
　初項a^2/(1+a^2)、公比 -a^2/(1+a^2)^2の等比数列の和だから、
　→ a(1+a^2)/(a^4+3a^2+1)

この問題も、A12くらいまでの類推から答えはわかるのですが、
数学的帰納法で類推の一般化を示す必要はあるのでしょうか？

>>945
△A0A1A2のｘ軸に平行な辺A0A2が、再びｘ軸に平行になる相似三角形は、
△A4A5A6、△A8A9A10、・・・だから、
とでも書いておけば十分。

>>943
問題の面白さについて語るスレにしないとアホがよってくるよ。
少なくとも自分なりの解答をつけた質問じゃないと、
東大京大の易問まで質問しに来る。そういうのは質問スレでOK

確かに、｢答えや方針｣を教えてじゃ存在意義が無いからねえ。
質問者は解答ができた上で、もっと明快な考え方を探るというなら、｢わからんスレ｣と違う使い方できると思う。
採点基準がどうのこうのは答えようが無いけどね。

つーか、ココまでのログ見て、方向性も出てきたろうに
そういうのなんも考えんで>>943みたいにとりあえず
このままで次スレに、ってバカがいるんじゃさ、
アホが寄って来てもしかたないよ

正直、学部入試レベルの問題は簡単なんだから君たち自分で解きなさい

数学板で入試問題を議論して意味があるのは、背景にある
高度な数学の意味を考える時。

受験レベルの難問であってもそういう意味づけがないなら
受験板か、質問スレで十分。ましてや、その入試問題を
解けないレベルなら「100年ROMってろ」でいい。

　kは定数、ｍは一つの自然数とする。
　x＞0のとき、つねにx^m -1≦k(x^(m+1) -1)　であるならば、
k=m/(m+1)であることを示せ。(1981京大理系）

f(x)=k(x^(m+1) -1) -(x^m-1)　とおく。f(x)をｘで微分したものをf'(x)とすると、
f'(x)=k(m+1)*x^m -m*x^(m-1)=x^(m-1)*{k(m+1)x -m}　となる。
よって、f(x)の増減は、m/{k(m+1)}≠１ならば、f(1)=0より、

x　0･･･m/{k(m+1)}･･･１･･･
f' −−　　０　　＋　　＋
f 1-k　↓最小値　↑０　↑

となるが、x>0でf(x)≧0とならない。

　一方、m/{k(m+1)}=1のとき、f(x)のx>0における最小値は０となり、
題意は満たされる。
　よって、k=m/(m+1) でなければならない。

これで必要十分の論証になっているのでしょうか？
何か釈然としないのですが。。。

>>952

m/k(m+1)＜１、＝１、＞１の３通りを示さないと、まずいだろ。

　　　　　,. -‐―――-- ､.__
　　_｣^ｰ'.>Y＾ゝノし〜'て __,.｀ヽ__
　　〉>o _ﾌ_ﾟ_ﾉ_て_乙ﾟＪ~=)ｏ { (.〈_,
　 (_..-'´,ｨ' ,.ｨ　,.--､`ｰ-､_〜'〜'ノ
　　 )'´/ ﾚ 　Ｙ　　　＼}＼￣ヽ. ＼
　　 {　{　 ___　　　　____ 　 i　 ├ '´
　　 ヽ i ´,-‐､　　 ,.‐-､｀　}　　|
　　　 ﾄ;! ､ﾋ),:)　、:､ﾋ).ﾉ　ﾉ ,　 !
　　　 ヽ}　 ﾞﾞ 、.　ﾞﾞ' '　　/ｨ'}　ﾉ
　　　　λ 　 ､____,　　　 _'ノ 〈
　　　 .｛_,ヽ. 　 ｰ　　　.ｲ　､_,ﾉ
　　　 （　 ,ﾉiヽ.___,.　'〔_,ゝ　　）
　　,.-‐'-､ﾉ｀`ｰ‐‐‐‐'´ }.,.-‐'-.､
　./　　/ /ヽ.__________,ノ　.i　　　ヽ
. /　　ﾉ .{_　　　　　　_ﾉ　ﾉ　　 　 i
/　　,{ 　　￣￣￣￣ 　〈 ,ﾉ／ 　 |

古き良き７０年代が過ぎ
８０年代の入試問題に突入

　次の不等式を証明せよ。ただし、eは自然対数の底である。
(1)　0＜ａ≦ｘのとき　∫[a→x] e^(-t^2/2) dt≦(1/a)e^(-a^2/2) -(1/x)e^(-x^2/2)

(2)　3＜bのとき　　　∫[3→b] e^(-t^2/2 +2t) dt＜e^(3/2)
（1981京大理系）

(1)f(x)=右辺−左辺　とおくと、
f'(x)=(1/x^2)e^(-x^2/2) -(1/x)(-x)e^(-x^2/2) -e^(-x^2/2)
　　　=(1/x^2)e^(-x^2/2)＞０
したがって、f(x)の増減は、
x(0<)a･･･
f' 　+　+
f　　0　↑
となり、問題の不等式が成り立つ（等号はx=aのとき）。

(2)　-t^2/2 +2t=-(1/2)(t-2)^2 +2　だから、t-2=sと置換し、
(1)の不等式を使うと、問題の積分（＝Ｉ）は、
Ｉ=∫[1→b-2] (e^2)e^(-s^2/2)ds
≦(e^2){e^(-1/2)-(1/(b-2))e^(-(b-2)^2/2)
ここで、b-2>0、e^(-(b-2)^2/2)>0だから、(1/(b-2)e^(-(b-2)^2/2)>0
したがって、Ｉ＜e^2*e^(-1/2)=e^(3/2)　が成り立つ。

　以下の問いに答えよ。
(1) 0＜x＜aをみたす実数ｘ,ａに対し、次を示せ。
　　　　(2x/a)＜∫[a-x→a+x] (1/t)dt＜x{1/(a+x) + 1/(a-x)}

(2) (1)を利用して、次を示せ。
　　　　0.68＜log(2)＜0.71
　ただし、log(2)は２の自然対数を表す。(2007東大理系）

(1)0<aに対し、aを固定して、
f(x)=x{1/(a+x) +1/(a-x)}-∫[a-x→a+x] (1/t)dt　を考えると、
f'(x)=1/(a+x) +1/(a-x) +x(-1/(a+x)+1/(a-x)) -(1/(a+x)+1/(a-x))
　　=(2x^2)/(a^2-x^2)>0
f(x)の増減を考えると、0<x<aでf(x)>0となる。
同様に
g(x)=∫[a-x→a+x] (1/t)dt -(2x/a)　とおくと、
g'(x)=1/(a+x)+1/(a-x) -2/a=2a/(a^2-x^2) -2/a=(2x^2)/{a(a^2-x^2)}>0
g(x)の増減を考えると、0<x<aでg(x)>0となる。
任意の0<aについていえるので、問題の不等式が成立する。

(2) (1)の不等式を、Ｉ＜Ｊ＜Ｋとおく。
(a+x)/(a-x)=√2のとき、x=(√2-1)a/(√2+1)で、
I=2(√2-1)^2=2(3-2√2)>0.344>(1/2)*0.68となるので、

(1/2)0.68＜(1/2)log(2)　が成立している。
　このとき　K=(√2)/4＜0.3536＜(1/2)0.71　なので、
(1/2)log(2)＜0.3536＜(1/2)0.71が成立している。

2007東大の問題では、図示して四角形の面積と比較して、
不等式を証明していましたが、1981京大の不等式も、
図形的な意味があるのでしょうか？

>>956
増減表書くか、図書いて説明書くかで、
時間的にはどっちもどっちだろう。

>955の図形の意味は知らない。

次スレは？

>>958
980ぐらいになってからでも
十分だとも思う。

なぜならば
>>1みて、２月…

過疎＞＜

元々問題数も少ないしこんなもんだろ。
大体近年の問題はそこらじゅうに解答転がってるしな。

さて次は

　放物線y=x^2をCで表す。C上の点Qを通り、QにおけるCの接線に垂直な直線を，QにおけるCの
法線という。0≦ t ≦１ とし、つぎの3 条件をみたす点P を考える。
(イ)　C上の点Q(t,t^2)におけるCの法線の上にある。
(ロ)　領域 ｙ≧ｘ^2　に含まれる。
(ハ)　P とQの距離は（t−t^2）√(1＋4ｔ^2）　である。
　tが０から１まで変化するとき、P のえがく曲線をC’とする。このとき、CとC’とで囲まれた部分の面
積を求めよ。（1981東大理系）

P(x,y)とおくと、Ｑを通る法線上にあり、Ｃの内側にあるので、
y-t^2=(-1/2t)(x-t)、ｙ≧０　→　y -t^2 = -x/2t +1/2
また、
PQ^2=(x-t)^2+(y-t^2)^2=(x-t)^2+(1/2 -x/2t)^2
=(1 +1/4t^2)(x-t)^2=(1+4t^2)(x-t)^2/(4t^2)
=t^2(1-t)^2*(1+4t^2)
よって、
(x-t)^2=4t^4*(1-t)^2　ｔ≦ｘ、０≦ｔ≦１だから、
x-t=-2t^2*(1-t)
x=2t^3-2t^2+t、y=t　→x=2y^3-2y^2+y
したがって、
x=√y,x=2y^3-2y^2+yで囲まれる面積として
S=∫[0→1] √y -2y^3+2y^2-y dy
=2/3 -2/4 +2/3 -1/2
=1/3

最後の積分は、ｔの積分
∫[0→1] y(C')dx -∫[0→1] y(C)dx
=∫[0→1] t(6t^2-4t+1)dt -∫[0→1] t^2 dt
=6/4 -4/3 +1/2 -1/3
=1/3　　とした方がいいでしょうか？

>>963

題意より、ＣとＣ’が交わらないのは明らかだから、
ｔでなくｘで積分したほうがいいね。この問題の場合は。

http://7andy.yahoo.co.jp/books/detail?accd=08117823&pg_from=rcmd_detail_2
東大の理系数学が２５ヵ年収録されている。９０年代前半までの出題はかなり難しい
ものも含まれている。現在の入試では出ないような問題もあるので、問題を取捨選択
しながら進めるとよいだろう。
２５ヵ年の入試問題を研究することで、傾向をつかむことができるのではないだろうか。
東大を受験しようと思っている人は、持っていて損は無いであろう。

ん？70年代、80年代は簡単だったんじゃないのか？

そりゃ学習指導要領が違うんだから、
習わない問題は難しいだろうよ。
ゆとりカリの高校生が複素数の問題みてもなかなか
解けないだろう。

平均すれば90年代前半までは今よりやさしい。

まあ、昔はよかったという、親父世代が、昔は難しかったと
優越感にひたりたいんだろう。

難しいとめんどくさいは違う。
「学力があぶない」（岩波新書、大野晋、上野健爾著）には、

受験生の答案がパターン化し、ちょっとひらめきを要する
問題には白紙が続出し、こうした問題は出しづらくなった。

というようなことが書いてある。完答でなく部分点を稼ぐ
ことで数学の得点をとる戦法にでられると、出題者側は、
その作戦をとるものとして、問題をつくらないといけなく
なる。そういう問題は泥臭い問題にせざるをえない。

ひらめき一発エレガントな解答あり、みたいなのは、
良問なら翌年にはすぐ「常識」とされて広まるから、
今見れば簡単そうにみえるだけ。

x=2cos(π/9)は、x^3-3x-1=0の解のひとつです。
この値は、超越数でしょうか？それとも代数的数でしょうか？
もし、代数的数なのであれば、四則と冪乗根だけで表すことはできるのですか？

言ってることが分からんのだが。
背伸びしすぎじゃあるまいか。

>>969
超越数の定義を調べてから言え

>>969
頭悪そうとしか思えない

代数的数で四則と冪乗根だけで表すことが出来ない一番簡単な例は何か？
ってのが聞きたいのでは？

二百九十九日。

いや超越数の定義は知っていますが、「５次以上の方程式の解は、一般に有限回の四則と冪乗根だけでは表せない」
ということを知り、だったらx=2cos(π/9)は、３次方程式の解なので、有限回の四則と冪乗根だけで表せるのでは？と思ったわけです。

そこまでわかっててその上何が言いたいのか

>>975
高校生か？大学に受かってから考えろ

超越数の定義を知ってるやつは
> x^3-3x-1=0の解のひとつです。この値は、超越数でしょうか？
なんて絶対に言わない。

カルダノの公式を用いると、
x=(1/2+√(3)/2)^(1/3)+(1/2-√(3)/2)^(1/3)
となりますが、立方根の中に複素数が入っていて、ルール違反な気がします。
一方、2cos(π/9)とすると超越関数を使っているので、代数的でない気がします。

ミスりました……
x=(1/2+i√(3)/2)^(1/3)+(1/2-i√(3)/2)^(1/3)

＞立方根の中に複素数が入っていて、ルール違反な気がします。

俺定義に当てはまらないからダメってどんだけ

>>979
> 一方、2cos(π/9)とすると超越関数を使っているので、代数的でない気がします。

見るからに円分拡大なのに代数的でないと感じるほうが間違いだろ。
代数的数の定義はその数の表示に関わりなく代数方程式の根になるか否かだけで決まる。

>>979
お前の頭が悪いことは分ったから、スレ違いだしとっとと首吊れ。

ならば、cos(xπ)（xは有理数）の値は、全て代数的数と言える、ということですか？

>>984
ｶｴﾚ

cos(xπ)+isin(xπ)を適当に冪乗して実軸に載せれば
あとは実部取り直すだけなんだからこれ以上の問答は不要だろ。
つか、塩分拡大ってキーワードも出てるのに
まともに調べる気とかまるっきり無いんだろう。

>>969も>>979も>>984も自分の感覚だけで当てっこゲームしてるだけ。
そんなのは数学でもなんでもない。

ありがとうございます。疑問が解決しました。
では来週の模試に備えて勉強再開します。
お騒がせしました〜。

死ねばいいのに。

70年代、80年代の東大入試で難しい問題は、
計算のｽﾃｯﾌﾟの複雑さ、絶対的なスピードを
競うような問題が主流であったが、最近の
難しい問題は、答えを予想した上で、誘導
枝問がある場合はそれを利用して、いかに
答えにたどりつくかという発想のプロセスを
重視する問題だといえる。

70年代〜80年代の難問　がむしゃらに計算してスピードを競う高度成長期の能力が必要な入試

90年代の難問　　奇をてらう複雑な問題の華やかな解法を見つけるというギャンブル的バブリーさが必要な入試

2000年代の難問　解を予想し自分でプロセスを発見していく思考向けのオリジナルな発想が必要な入試