★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/

。

華麗に３げと、ズザー！

華麗に４げと、ズザー！

華麗に５げと、ズザー！

だからさやめとけって
ここの問題は流用されているよ。

ここでネタ収集してるんだけど、次スレが立たなくて焦ったよ。

流用って何に？

>>6
適当なこと言っていると思われたくなかったら、具体例を提示せよ

高校のテスト問題に流用とかあるかもねえ
まあ一般的な高校生が充分解けるレベルの問題なんて
ほとんど出てないと思うけど

曲線y=x-√xと直線y=ax+bがただ1つの共有点を持つa,bの条件を求めよ。

talk:>>11 bが0より大か0より小かで場合わけだな。

ウム。

1＋1＝2を証明しろ

とりあえず数学の問題の著作権については
どんな感じになってますか？

結構微妙
日本ではあまり気にしなくて良いと思う
外国では結構severeで、大学入試問題を
勝手にうｐしたりすると問題になったりする
まあそれ言い出すと、数学の定理や証明の著作権は？とかそういう問題になるしね
証明の著作権なんて認められた日にゃ数学が終わる

国語の大学入試問題の、問題文の著作権は今ちょうど問題になってる
ttp://www.gakushuin.ac.jp/~881791/d/0511.html#02

ｑ

>>11
{a<1∧4(a-1)b=1}∨{1<=a∧b<=0}
>>14
…

ちょっと簡単すぎかも・・・

平面上に3つの円が並んでおり、それらの3つの中心は一直線上にはない。
また、一番左にある円と真ん中にある円は2点を共有し、
一番右にある円と真ん中にある円も2点を共有し、
一番右にある円と一番左にある円に共有点はない。
このとき、うまく点をとれば、その点からこれらの3つの円に
引いた6本の接線の接点が同一円周上にあるようにできることを示せ。

以下の漸化式で定まる数列a[n]の一般項を求めよ。

a[1]=2-√3
a[2]=1
a[3]=2+√3
a[n+2]=(a[n+1]+a[n]-a[n-1]+a[n+1]a[n]a[n-1])/(1-a[n+1]a[n]+a[n]a[n-1]+a[n-1]a[n+1])

このスレで今までに出た問題で一番の傑作は？

(1)a^3+1/a^3を因数分解せよ
(2)x^3-3x+5=0を解け。

>>19
まず中心間の距離＞半径の和となる円C1,C2とこれら２円と２点づつを共有する
直線LにたいしてC1、C2、Lと直交する円が存在する円が存在することをしめす。
C1の半径をr1、C2の半径をr2とする。C1、C2の中心をO1、O2とする。
C1とLの共有点P1、Q1とC2とLの共有点P2、Q2がQ1、P1、P2、Q2の順でならんでいるとする。
L上の動点XをP1からP2へうごかす。f(X)をf(X)=√(|XO1|^2-r1^2)-√(|XO2|^2-r2^2)
でさだめるとfは連続関数でf(P1)<0、f(P2)>0であるからf(R)=0となる点が線分P1P2上にとれる。
この点RをとおるC1の接線の接点をA1、B1、C2の接線の接点をA2、B2とすれば
RA1=RB1=RA2=RB2であるからこの値をrとおくとRを中心とする半径rの円がもとめる円である。
であとは例によって円円対応の原理で以下ry
･･･円円対応飽きた。

>>23
>>19は方べきの定理で一発なのでは？

>>24
どうやんの？

age

曲線y=e^xとy=1/x-1、およびx軸、y軸とで囲まれた部分の面積が1より小さいことを示せ。

>>27
それって
{0≦x≦1/2、0≦y≦2x+1}∪{1/2≦x≦1、0≦y≦-2x+2}
にふくまれちゃうんじゃね？

三角ABCの内接円、外接円の半径をそれぞれｒ、Rとするとき
R≧2ｒを示せ。

だから宿題をココに投下するなって

>>29
それ京大の過去問になったことあるんじゃね？なんか見たことある。
（解）A,B,Cの対辺の長さをa,b,c、面積をSとして
S=(1/2)(a+b+c)r=(1/2)(sinA+sinB+sinC)Rr
S=(1/2)R^2sinA+(1/2)R^2sinB+(1/2)R^2sinC
により2r/R=(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)
和積公式から
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC、sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
∴2r/R=8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
一方で-logsin(x/2) (0＜x＜π)の凸性から
-(logsin(A/2)+logsin(B/2)+logsin(C/2))/3≧-logsin(((A+B+C)/3)/2)=-log(1/2)
∴sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≦(1/8)
∴2r/R≦1 (等号はA=B=C=π/3のとき)

ではさらに、内接円、外接円の中心をそれぞれ　I、Oとするとき、
IO＾2＝R＾2−2Rr　を示せ。

お約束問題は東大に相応しくない。

>20
a[n] = tan(θ[n]) とおくと、
θ[1] = π/12,
θ[2] = 3π/12,
θ[3] = 5π/12,
θ[n+2] = θ[n+1]+θ[n]-θ[n-1].
以下ry)

>>32
これ計算爆発するな。ホントに受験の答案にかける量におさまるん？

>>35
所等幾何で証明可。

>>36
なるほど。始点をOにして(sinA+sinB+sinC)OI↑=(sinA)a↑+(sinB)b↑+(sinC)c↑
とかしてIO^2/R^2=1-2r/Rの両辺をA,B,Cの三角比で表わして･･･できた式をみて目が
点になった。ちなみにせっかくだからかかせてもらうと
IO^2/R^2
=((sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B))/(sinA+sinB+sinC)^2
1-2r/R
=1-8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
A=π/2、B=C=π/4のとき正しいのでたぶんここまであってるんだろうーなーと。
でA+B+C=πのとき等しいことしめしてやろーと思ってやんなった。

>>36
ヒントおながいします。面積？

>>35
有名問題

>>37の方針でもできんことはないな。
　
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B
=(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinB+2sinBsinC+2sinCsinA
　-4sinAsinB(sinC)^2-4sinBsinC(sinA)^2-4sinCsinA(sinB)^2
=(sinA+sinB+sinC)^2-4sinAsinBsinC(sinA+sinB+sinC)
∴IO^2/R^2=1-4sinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)=1-(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)=1-2r/R。
　
できなくはないが･･･エレガントな香具師がしりたい。

>>39
まじっすか？なににのってる？

>>41
初等幾何の有名な本には結構載ってるよ
一寸初等幾何関係の本は実家に置いてきちゃったから
具体的に今確認は出来ないけど

と、あっさりレスが来るくらいだから、天才or幾何ヲタ問題でしかないな。

>>41
清宮の本か数オリ対策本辺りで見た希ガス。
適当にあさればすぐに見つかるよ。

>>42-43
thx。しかし初等幾何の本っつーのが一番さがしにくい。大学にはもちろんあんまないわけだし。
数オリの対策本なんかあるわけねーw。もしみつかったら>>32のエレ解おしえたってくらはい。

センターの過去問（誘導付き）にあり。

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=R%EF%BC%BE2%EF%BC%8D2Rr&lr=
今井塾がどうのとかいうのは無視しましょう

>>45
おお、それならさがせなくもない･･･かな？だいたい何年くらいまえとかそのくらいわからねすか？

>>47
2002年本試験　数１Ａ　４番
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/02/exam/212/12.html
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/02/exam/212/13.html

>>48
WOW!! GJ!!! これで心おきなく寝られる。thx a lot!!!

>41
寺坂英孝: ｢初等幾何学｣第2版, 岩波全書159 (1973)
§75 の "オィラーの関係"

http://mathworld.wolfram.com/EulersInequality.html
http://mathworld.wolfram.com/EulerTriangleFormula.html

>>29
不等式への招待２
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/496-497

>>34
すごい！！

以下の命題は任意の実数の組(x，y)について成り立つか？
成り立つなら証明をし、成り立たないなら成り立たない実数の組(x，y)を全て求めよ
命題：「適当な実数aを用いてx=ap，y=a^2qと定めれば、p＞qとできる」

>>23
>>25

左側の円と真ん中の円の交点を通る直線と
右側の円と真ん中の円の交点を通る直線の
交点がうまい点になりはしないだろうか。

ちなみに俺は>>22の出題者だが、宿題だと
思われているのだろうか…。誰か解いて。

（１）無理。
（２）無理。

>>54
宿題は質問スレに書け！

宿題じゃないっつの！！　　　(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ

（１）多項式でないから因数分解できない。
（２）数学板での出題としては三次方程式は今更だし
　　　大学入試問題としては高校生に十分や二十分で
　　　三次方程式の解法を発見させるのは無茶なので
　　　高校範囲外のことを知ってるかどうかの問題になってしまう。

1辺の長さが1の正方形の周上に3点P,Q,Rをとる。
PQ↑・PR↑の最小値を求めよ。

>>59で求めた最小値をaとする。
3点P,Q,RがPQ↑・PR↑=aを満たしながら動くとき、
線分PQの存在しうる領域の面積を求めよ。

そうか、因数分解できないのか・・・
では「a^3+1/a^3を(a+1/a)の式で表せ」というのはどうでしょうか。

とたんに難易度が下がったじゃん。考えて作れよ。。

東大より難易度低い大学でも
その程度の問題は解かせる。

次の条件を満たす点P(x, y)の存在範囲をxy平面上に図示せよ。

条件：点Pを通る直線Lで、円O:x^2+y^2=1をLに関して対称移動した円O'が
x軸に接するようなものが存在しない。

簡単すぎかなあ？
文系向きかも。
ところで、掲示板では図示するのは無理なので、領域が分かる関係式を答えてください。

|y|≦(1-x^2)/2

|y|＜(1-x^2)/2

xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がxy平面に接することはない。

Vの体積を求めよ。

>>66
それ有限に収まるか？

収まるでしょ

・・・そだな。勘違い。

さらにスマン、
名前欄間違えた。

>>66
>>63の答え回転させるだけじゃね？

xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がx軸に接することはない。

Vの体積を求めよ。

求まるかは知らんが>>66よりは骨がありそう。

>>72
やっぱり回転させるだけじゃないの？回転軸がちがうだけで。

誰か>>59>>60教えて

>>61
高一でもできるぞ！
算チャレでもやってろ！！
おまえがこのスレに書き込む資格はない！！！
厨房がぁ！！！！
二度と来んな！！！！！

>>74
Pを固定してQ,Rをうごかすことかんがえると
P,Qを固定してRをうごかしてもP,Rを固定してQをうごかしてもいづれの場合も１次なので
最小をとるQ,Rは頂点で最小になることがわかる。こまかい議論が必要だけど結局
正方形をABCDとして
A=Q、BがAB中点、RがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のとき、または
A=R、BがAB中点、QがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のときに
最小値-1/4になる。
線分PQの軌跡はAとAB、ADの中点、BとBC、BAの中点、CとCD、CBの中点、DとDA、DCの中点
を結んでできる８本の直線でかこまれてる８角形の外側。

>>63に引き続き、出題です。

x, yを実数とするとき、次の連立方程式を解け。
1/(4y)+1/(2x)=x^2+y^2
1/(2y)-1/x=x^2-y^2

分数は順に、4y, 2x, 2y, xが分母にあります。
入試というよりパズルです。どっちかっつうと数オリ風。

>>77
>>63の問題となんか絡んでんの？全然別の問題？

>>78
あ、全然別です。すみません。
ただ、同じ人間が出したってだけです。

>>77
与式から1/xを消去して1/y=3x^2+y^2
よって3(x^2)y+y^3-1=0
与式から1/yを消去して2/x=x^2+3y^2
よってx^3+3xy^2-2=0
この2式から定数項を消去してx/y=tとおくと
t^3-6t^2+3t-2=0

ｘｙ平面内の格子点を結んでできる正多角形は何種類あるか？

>>81
超有名問題

合同なある凸n角形で平面を敷き詰める。
このようなことが可能なnを全て求めよ。

勘で３、４、５、６

ｴｰｰｰ

もぎょれー

3・・・・

秘密

正n角形じゃなくていいんだよね

どう読んだら正n角形になるんだ？

>>80
それで終りっすか・・・？

終わりでｲｲﾝｼﾞｬﾅｲ？

>>92
寂しい(´・ω・`)

>>93
中学生が背伸びしたような問題ばかりだすなよ。
算数オリンピック並の問題だして、いい気になってる算数オタクは、
算チャレでもやってオナってな！

>>94
前から気になってたけど、算チャレって何？って感じ。

>>95
ttp://www.google.co.jp/search?hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&oe=Shift_JIS&q=%8EZ%83%60%83%83%83%8C

>>96
こんなのがあったんですね。親切にありがとう。

（ｘ＋ｙ）＾３＝３。
（ｘ−ｙ）＾３＝１。

またでた。こいつきらい。

>>97
ここに二度とレベルの低い問題を晒すなよ！ クズが！
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!

体積V、表面積Sの四面体ABCDの内部に次の条件を全て満たすように2つの球C1,C2をとる。

条件
C1は3平面ABC,ACD,ADBに接している。
C2は3平面BAC,BCD,BDAに接している。
C1とC2は外接している。
C1とC2の半径は等しくrである。

このとき四面体の辺ABの長さをV,S,rで表せ。

>>101
四面体は正四面体とはかぎらないすか？

限らないよ。一般の四面体でも求まるから面白い。

↓の問題お願いします。
http://www10.plala.or.jp/mathcontest/2005r.htm

>>103
へぇー、すげぇー。オイラには無理。パス。

>>105
いちいち無能宣言せんでいい

>>101は辺CDが２球の共通接平面にふくまれるときは簡単なんだけど･･･

>>101
4rV/(2V-rS) かな。

計算ミスってタ。6rV/(3V-rS)でファイナルアンサーでどうだ。

表面積Sを使っている所に意図が透けて見える。

>>109
正解

>>109
なんでそうなるかおしえてくらはい。

勘違いしてた。なるほど。わかりもうした。

あれ？やっぱりわかんない・・・だれか>>109の解答かいてください。お願いします。

>>114
わからない？
いやだね！
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。

>>115
てか既出の答えは辺CDが２球の共通接平面にふくまれると仮定したときに
自分でだした答えに一致するんだけどその仮定は常に満たされるわけじゃないし
その仮定がないと答えずれるみたいなんだけど。ホントにでてる答えで
あってんの？

あってる

ぁゃιぃ

反例だせよ

こうやろー。
ttp://www.imgup.org/file/iup131792.jpg.html

そんなすぐにはだせないよ。共通接平面で四面体の内部にふくまれる部分の面積を
S’とするときV=(1/3)r(S+S’)をつかってるとおもうけど（てか同値になるけど）
これCDが接平面にふくまれてなくても成立すんの？

そんなのいらんでしょ

△ABCにおいて∠A＝180/7度、BC=１である。
また頂点Cから辺ABにAD=1となるような点Dをとる。
このときCDの長さを求めよ。

>>122
>>121を訂正。>>109式はV=(1/3)r(S+2S’)―(*)と同値
いらんても>>121式は>>109式と同値(AB=(1/3)V/S’が成立するから)だから
(*)式が成立しなけりゃ>>109式は成立しない。ところが>>121式の
(1/3)r(S+2S’)は例えば辺CDが共通接平面と共有点をもたないときは体積より
真に小さくなるとおもうんだけど。

アホですか？

>>125
どっかまちがってる？

AB=(1/3)V/S’が成立するならば>>109と>>121は同値なんでしょ

>>127
AB=(1/3)V/S’は無条件に成立するとおもうけど。

>>127
わかった。成立しない。吊って来る。

S'の面がCDを含むときだけでしょ

すまん。オレの反論はまちがってる。しかしとしても証明がわからん。どうやって
証明するの？

>>120

>>132
さっきから503 Service Temporarily Unavailableばっかでみれん・・・

もしかしたらCDをとおる平面で適当にきればいいのか。なるほど。

C1の中心をP、C2の中心をQとしたとき
四面体PBCDから四面体QBCDを除いた立体の体積はV'=(2r/a)V
V'+(1/3)Sr=V

a=AB

なるほど。

>>120も勉強になるから見とけ

正6角錐P-ABCDEFの辺PA,PB,PC,PD,PE,PF上にそれぞれ点A',B',C',D',E',F'をとり、
PA'=a, PB'=b, PC'=c, PD'=d, PE'=e, PF'=fとおく。
6点A',B',C',D',E',F'が同一平面上にあるならば
(a+d)(ce-bf)+(b+e)(ac-df)+(c+f)(ae-bd)=0を証明せよ。

>>139
でけた。
PA=PB=PC=PD=PE=PF=1として一般性をうしなわない。
三角錐PACEの体積をV、三角錐PABCの体積をWとおく。
与式⇔(a+d)(ce)+(b+e)(ac)+(c+f)(ae)=(a+d)(bf)+(b+e)(df)+(c+f)(bd)
　　　⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab　
なので最後の式をしめす。それにはace=bdf―(A)、abc+cde+efa=bcd+def+fab―(B)をしめせば十分である。
△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので
aceV=三角錐PA’C’E’の体積=三角錐PB’D’F’の体積=bdfである。よって(A)はしめされた。
△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の面積の和は等しいので
(A)と同様にして(B)もしめされる。以上で示された。

撤回。釣って来ます。

あってるのかな。でも
　
＞△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので

＞△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の
＞面積の和は等しいので
　
この２つは証明しないとおこられるんだろな。しかし泥臭い方法しか思いつかん。
後者は前者からすぐでるので前者のみ
しめせば十分。それは四面体PA’C’E’と四面体PB’D’F’の体積が等しいときなので
|AA’||CC’||EE’|=|BB’||DD’||FF’|―(1)と同値。
ABCDEFをふくむ平面をα、A’B’C’D’E’F’をふくむ平面をα’、
ABCDEFの外接円をS、α’上のA’B’C’D’E’F’をとおる二次曲線をS’とする。
SとS’は接するとして一般性を失わない。(必要ならαを上下して接するようにすればよい。)
AD//A’D’のときはAA’=DD’、BB’=CC’、EE’=FF’なので明らか。
BD//B’D’、CF//C’F’、のいづれかが成立するときも同様。
それ以外のときADとA’D’の交点をG、CFとC’F’の交点をH、EBとE’B’の交点をIとおく。
メネラウスの定理より(1)は(AG/DG)(CH/EH)(CI/FI)=1―(2)
あるいはAG･CH･EI=DG･FH･BI―(3)と同値。これを示す。
α、α’の交線をLとおく。αに極座標rθを設定してSがr=1、Lがrcosθ=1になるとしてよい。
ABCDEFの座標を(1,θ)、(1,θ+π/3)、(1,θ+2π/3)、
(1,θ+π)、(1,θ+4π/3)、(1,θ+5π/3)とすればAG=1/cosθ-1、DG=1/cosθ+1、
BH=1/cos(θ+π/3)-1、EH=1/cos(θ+π/3)+1、CI=1/cos(θ-π/3)-1、FI=1/cos(θ-π/3)+1
これらを(3)へ代入すれば容易に正しいことが確かめられる。（←受験だとおこられるだろうな）
･･･なんか瞬殺する方法がありそうなんだけど･･･

まちごうた。>>142撤回。で再挑戦。PA=PB=PC=PD=PE=PF=1と仮定する。
与式⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab
で両辺にP-ABCの体積をかけると
左辺＝右辺＝P-A'B'C'D'E'F'になるみたい。策に溺れた…orz

知らんがな

>>139
問題あってる？
a:c:e=1:2:3入れて、計算しても0にならなかったんだけど
俺の計算ミスかな？

>>139
二通りの方法で挑戦してみたんだが、やっぱり出題がおかしくないかな。
一個目の方法はPA, PC, PE を xyz軸にした斜交空間で
A',C',E'を通る平面の方程式と、B',D',F'を通る平面の方程式が
一致するという条件で連立方程式を立てたもの。

もう一この方法は、A',B',C',D',E',F'を底面に射影した点が一つの2次曲線上に
あるという条件から行列式の計算に持ち込んだもの。

上のどちらのやり方でも
bdf(ce+ae+ac) - ace(df+bf+bd) = 0
という式が出てきた。

アホばっかｗｗｗ

確かに、東大入試受験者になったつもりのスレレベルだな

>>144
(´･ω･)知らんがな

pを素数とする。
xに関する2次方程式

px^2+(5-p^2)x-3p=0

が整数解を持つようなpをすべて決定せよ。

>>143
正解

>>150
p=2

関数ｇ(ｘ)が単調増加であることの定義を書け、さらに関数ｇ(ｘ)がその定義を満たす事を(ｂ)を用いて表せ。

nを自然数とする。
∫[0,n]log(2^(2^x)+1)dx＜2^(n+1)を証明せよ。

>154
log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)].　　(← log(1+y)<y )

I_k ≡ ∫[k-1,k] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/[2^(2^(k-1))] }dx
　< ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/(2^k) }dx　　　　　　　　　　　　　　(← 2^(k-1)≧k )
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k→k+1) = 2^(k+1) -2^k + 1/(2^k).
(左辺) = �納k=1,n] I_k < 2^(n+1) - 2 + 1 - 1/(2^n) < 2^(n+1) -1.

うわぁ
こういう問題が解けるようにならないと東大へは受からないのか。
大変だな〜〜〜（´・ω・｀）

それにしても面白そうですね。
僕も早く仲間になりたいですよ。

訂正、スマソ。
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k-1→k) = 2^k -2^(k-1) + 1/(2^k).
(左辺) = �納k=1,n] I_k < 2^n - 1 + 1 - 1/(2^n) < 2^n.

n=1:　　1.317 < 2
n=2:　　3.452 < 2^2
n=3:　　7.476 < 2^3
n=4:　 15.477 < 2^4
n=5:　 31.477 < 2^5
n=6:　 63.477 < 2^6
n=7:　127.477 < 2^7
n=8:　255.477 < 2^8
n=9:　511.477 < 2^9
n=10:1023.477 < 2^10

また万独裁事を

>158
　改良しますた。。。
　log(1+y)<y,　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より
　log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).

(左辺) = ∫[0,n] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
　= [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n) = 2^n -e(-n) < 2^n.
∴　(2^n) -1 < (左辺) < 2^n.

p

f(x、y)=x^2006+y^2005上に有理点はたかだか有限個しか存在しないことを示せ。

z = f(x,y)じゃないよな、、
f(x,y) = 0、、でも無いよな、、
>>161の題意が分からない

意味不明。

=0だとしても(n^2005、-n^2006)は全部有理点だしね。

無作為にふたつの自然数をとったときそれらが互いに素な確率を求めよ

>>165
もうあきたそれ。

eが無理数であることを示せ

>>167
それは実際に受験ででたんだっけ？

>167
もしもｅが有理数で、ｅ=p/q (p,qは自然数)だったなら、(q!)ｅは自然数のはず。
ところで、
　ｅ - �納k=0,n] (1/k!) = �納k=n+1,∞) (1/k!) < (1/n!)�納k=n+1,∞) 1/(n+1)^(k-n) = 1/(n･n!).
　0 < (n!)ｅ - M < 1/n.
∴　(n!)ｅ は自然数でない。
これがすべての自然数nについて成立つから、ｅは有理数でない。(終)

たしか実際の受験では誘導でエルミートの公式（のP(x)=x^nの場合）
(1/n!)∫[a,b](x^n)e^(-x)dx=(1+a+a^2/2+a^3/6+･･･+a^n/n!)e^(-a)-(1+b+b^2/2+b^3/6+･･･+b^n/n!)e^(-b)
を証明させる問題がついててa=0、b=1を代入して
(e/n!)∫[0,1]x^ne^(-x)dx=e-(1+1+1/2+1/6+･･･+1/n!)
を示せって感じのがついてたかな？これいつのだっけ？

平面上に3円C1,C2,C3があり、C1とC2およびC2とC3は外接しておりC1とC3は共有点を持たない。
C2上には赤く塗られた点Pが、C3上には青く塗られた点Qがあり、始め点Pと点Qは一致している。
C3はC2に接しながら滑ることなくC2の周りを転がり、C1に接すると今度は滑ることなくC1の周りを
転がり、再びC2に接したところで滑ることなくC2の周りを転がり最初の位置に戻ってくる。
この過程でC3とC1が、またはC3とC2が異なる2点で交わることは無いものとする。
このとき最終的に赤い点Pと青い点Qが一致するための3円の半径r1, r2, r3の条件を求めよ。

>165
それって高校生出来ないような気がする。集合論とか必要じゃない？有名なん？

正整数aの正の約数の個数をt(a)で表すことにする。また、T(n)=t(1)+t(2)+…+…t(n)とおく。

(1)t(n)=[n]+[n/2]+…+[n/n] を示せ。
(2)n→∞のときT(n)/n→lognを示せ。

>173
(1)
まず、第一象限における曲線xy=a(a∈n)が通る格子点の個数はt(a)である
(y=a/xが格子点(p、q)を通る⇔p、qはaの約数(∵a=pq)
また、aの約数の個数はt(a)で与えられることから)。
ここで、T(n)はa=1,2,…,nとしたときの格子点の総数であり、xy=nとx軸、y軸に囲まれる領域に含まれる格子点の個数。
さて、x=a(a=1,2,…,n)上にあるこの領域内の格子点の個数は[n/a]であるから、T(n)の値は題意の通りである。

(2)
(1)の値から積分を利用し、∫[1〜n]n/xdx<T(n)<n+∫[1〜n]n/xdx⇒nlogn<T(n)<n+nlogn
辺々nで割り挟みうちより。

逝きはよいよい帰りは怖い系の計算問題って、作るの結構難しいな。
わざとらしいトラップをかますとかは除いて。

もしかして>>161は=1かな？

arctanの逆関数を求めろ

？

>>169
ｅ - �納k=0,n] (1/k!) = �納k=n+1,∞) (1/k!) の部分が烈しく範囲外。
誘導付じゃないと無理。

∫【0→2π】√(1-sinx)dx
を求めよ。

>180
√{1-sin(x)} = √{1-cos(x-π/2)} = (√2)|sin(x/2 -π/4)|
　= (√2)sin(x/2 +3π/4)|　　(0<x<π/2)
　= (√2)sin(x/2 -π/4)|　　(π/2<x<2π)
(与式) = (√2)∫[π/2,5π/2] sin(x/2-π/4)dx = (2√2)∫[0,π］sin(y)dy = 4√2.

>>169 >>179
expの級数展開を有限桁で打ち切ったものを使って
eを上下から押さえるように誘導すればよいかと。

>>182
桁→項

∫【2→3】√(1-x^2)dx
を求めよ

>>184
(1/2)(Arcsin3−Arcsin2)＋(3√2−√3)i

京大ぽいが、どうでしょう。

[問題]　自然数の組(a，b，c)で1/a+1/b=1/cを満たすものを全て求めよ

>186
去年か一昨年早稲田で出た。文系のどっかで。

え！？まじ・・・
久方ぶりにシンプルな良問(個人的に)ができたと思ったのに・・・。誰か解いてください

あと、>>53教えてください。

>>188
良問も糞もあるか！
その辺の問題集に載っている ありがちな問題だぞ！
アホかお前は！！

ただの相加相乗平均の不等式を、私が発見したものですと言っているのと同じレベルだぞ！
あきれた。

>>186
期末テストで出たよ・・・俺が高校のころ。

平面上に曲線Cがあり、点Pを通るどのような直線ともちょうど2点で交わり、
その2交点間の距離は常に1である。
このような曲線Cに囲まれる領域の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。

π/4？

>>192
「範囲」はブラフってか？
その楽観主義、入試で痛い目見るぜ。

平面上の閉曲線Cの内部の点Pでその点を通るどのような直線もCとちょうど2点で交わり、
その直線がCにより切り取られる線分の長さが常に一定であるとき、点Pを凄い点と呼ぶことにする。
平面上のどのような閉曲線も凄い点を2つ以上持たないことを示せ。

凄い点ってｗｗｗ

［π／４，π／２）。

>>191
Pを極にCをrθ極座標での方程式r=f(θ)として表示すれば。
0 ≦ f(θ) ≦ 1
f(θ)+f(θ+π) = 1 を満たす。
Cに囲まれる領域の面積S[f]は
S[f] = ∫[0→2π]f^2 dθ/2
= ∫[0→π](f^2 - f + 1/2)dθ
= ∫[0→π](f - 1/2)^2 dθ + π/4

Sは
f(θ) = 1/2 のとき最小値π/4
f(θ) → 1 (0≦θ＜π) のとき上限π/2

---
Cが閉曲線である、とかPがCの内部にある、とかを
勝手に使っちゃったが。補うべきかも。

1＋χ＝5
χは何でしょう

レスをあぼーんした。
悪く思うなよ。

>>197
S[f]の式1〜2行目で何が起こったのか是非教えてほしい。
f(θ)+f(θ+π)=1を使ってるのと、∫f(θ+π)^2dθ=∫f(θ)^2dθになることは分かった。
でも第2項のとこだけわからんのです。

∫[π→2π]　を置換して　f(θ)+f(θ+π) = 1　を使ってるんじゃないの。

\int r^2dθ/2を知らない人はかなり不利だな
と入試問題的に批評してみる

自然数nに対し、その正の約数の総和をσ(n)で表す。また、σ(n)=2nなるnを完全数と呼ぶ。
以下を示せ。


(1)
m、nが互いに素ならば、σ(mn)=σ(m)σ(n)

(2)
m=2^n-1かつ、mが素数であるとき、m*2^(n-1)は完全数である。

(3)
偶数の完全数はすべて、ある適当な、m=2^n-1かつ、mが素数であるようなm、nを用いてm*2^(n-1)と書ける。

>203

略証します。

(1)
素因数を考えて明らか。

(2)
簡単の為、m*2^(n-1)=Nとおく。Nおいて、mが素数ならば、(m,2^(n-1))より、
σ(N)=σ(m*2^(n-1))
=σ(2^(n-1))σ(m) (∵(1))
=(2^n-1)(m+1)=m(m+1)
=2N
からNは完全数。

>203

(3)
aを偶数の完全数とする。
まず、aは偶数だから
a=m*2^(n-1)、n>1、m：奇数
とおける。
さて、(m,2^(n-1))=1から(1)より
σ(a)=σ(m*2^(n-1))=σ(m)σ(2^(n-1))
=(2^n-1)σ(m)…�@
また、aは完全数だから
σ(a)=2a=m*2^n…�A
∴ σ(m)=m*2^n/(2^n-1)=m+m/(2^n-1)
この右辺は整数であるから、m/(2^n-1)はmの真約数。すると、σ(m)はmの二つの相異なる約数の和に等しいことになるが、σ(m)の定義から、これはmは素数であり、m/(2^n-1)=1となることを意味する。
∴ m=2^n-1(素数)、a=m*2^(n-1)

>>202
それって今高校数学の範囲内？

>>206
ﾆﾔﾆﾔ…

>>207

中心(a/2,0)半径aの円
と
中心(-a/2,0)半径aの円が重なり合った部分を
y軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ。

>>209
宿題は此処に書き込んではいけないよ

>210 宿題じゃないよ。できるんならやってみたら？

>>211
　　　　　ノ⌒ヽ
　　　γ´o　........)
　　＜　　 《 ･д･)ｶﾞｵｰ!!
　 ＜:: ::;;:::つ~~つ
　 ノ:: :: :: :: :: :(
∠､-‐（_ノ"ヽ_）

>211
　できますたヨン.

「中心(a/2,0)、半径aの円」の左半分：　x = √(a^2 -y^2) -(a/2).
「中心(-a/2,0)、半径aの円」の右半分： x = (a/2) -√(a^2 -y^2).
上下左右に対称で、交点は (0,±b),　b=((√3)/2)a = (sin(π/3))a.

V = π∫[-b,b] (x^2)dy
　= π∫[-b,b] {(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
　= π∫[0,b] 2{(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
　= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -2a√(a^2 -y^2)} dy
　= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -a(a^2 -2y^2)/√(a^2 -y^2) -a(a^2)/√(a^2 -y^2)} dy
　= π[ (5/2)(a^2)y -(2/3)y^3 -ay√(a^2 -y^2) -(a^3)arcsin(y/a) ](y:0→b)
　= π{ (5/2)(a^2)b -(2/3)b^3 -ab√(a^2 -b^2) -(a^3)arcsin(b/a) }
　= π{ (3/4)(√3) - (π/3) }(a^3)　　　　　　　　　　　　　(← b/a=(√3)/2.)
　≒ 0.79118043583053… (a^3).

やっぱり宿題だな...

a,bは、a≦2bを満たす自然数とする。
長さ10メートルのゴムホースが大量にある。
これらを切り分けて、長さ3メートルのホースと長さ4メートルのホースを
それぞれa本とb本作りたい。
このとき、10メートルのゴムホースは最低何本必要か。

東大受験生ならバームクーヘンで。

4π∫[0,a/2] x√{a^2-(x+a/2)^2} dx
=4π∫[a/2,a] (x-a/2)√(a^2-x^2) dx
=4π[-(1/3)(a^2-x^2)^(3/2)][a/2,a] - (2πa)∫[a/2,a] √(a^2-x^2) dx
=4π*(1/3)*(3√3/8)a^3 - (2πa){(1/2)a^2*(π/3) - (1/2)*(1/2)*(√3/2)a^2}
=(√3π/2)a^3 - (π^2/3)a^3 + (√3π/4)a^3
=(1/4)(3√3)πa^3 - (π^2/3)a^3

>209,211
　[213] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)xdy = …… スライス（カバリエリ風）
　[215] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)ydx = …… 葉巻き、ロールパン

>>216
＞∫(2πx)xdy
これおかしくね？だいたい高校の教科書の体積の定義は
V=∫Sdy
みたいな感じのはず。笠型でもバームクーヘンでも好きなものつかっていいとは思うが
あくまで出発点は∫Sdy系の形から変形すべきだ。受験数学スレでは。それが
教科書の定義なんだから。

本来式変形で∫(2πx)xdyにたどり着けるはずだよね
どうやるのか知らないけど

ただ例のバウムクーヘンは、大数とかはつかって良いという考えみたいだけど

バカ！いいわよもう。思考言語切り替え、日本語をベーシックに

V=∫π(x^2)dyのはず。

∫(2πx)ydx
じゃないとおかしいな

次の命題が真なら証明し、偽なら反例を挙げよ。

【命題】
{a_n}　は　0＜a_n＜1　を満たす数列とする。
0≦x≦1　で定義された連続関数の列　f_n(x)　が任意の　0≦x≦1　で
lim(n→∞)f_n(x)＝0　を満たすとする。
このとき、lim(n→∞)f_n(a_n)＝0　である。

スレ題からの疑問。

なぜ、東大なのか　?

次の値を求めなさい。
sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)

>>223
できた。
P=sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)とおく。
ρ=cos(π/2006)+isin(π/2006)とおく。sin(kπ/2006)=(ρ^k-1/ρ^k)/(2i)により
P=Π[k=1,2005]((ρ^k-1/ρ^k)/(2i))=(Π[k=1,2005]ρ^k)(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))/(2i)^2005
ここで
(Π[k=1,2005]ρ^k)=ρ^(2005･1003)=i^(2005)
(Π[k=1,2005]z-ρ^(-2k))=1+z+z^2+･･･+z^2005。
∴(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))=2006
∴P=2006/2^2005

>224
レスありがとうございます。正解です。難易度はどのくらいでしたか？宜しければ教えて下さい。

難易度０かな。
いまさらって感じ…。

>>225
受験問題としてはむずいかもしれない･･･かな？
　
＞理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
　
↑まさにこれくらい？いやちょっと数学得意ってくらいの高校生だと手にあまるか？うーん？

Σ【k=1→2005】sin(kπ/2006)を求めよ。

>228
sin(kπ/n) = {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}.
�納k=1→n-1] = {cos(π/2n) - cos((n-1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}
　= {cos(π/2n) - cos(π-π/2n)}/{2sin(π/2n)}
　= 1/tan(π/2n).
に n=2006 を代入。

>229
正解です。

>227
ご回答ありがとうございます。やはり、やり方を知っているかいないかっていうのがカギになってしまいますね…。
純粋に『程よい難しさ』の問題(いわゆる良問)を作るのは難しいです。

>223
リアルな別解を....

　sin(π/n)sin(2π/n)……sin((n-1)π/n) = f'(0) = n/(2^(n-1)).
に n=2006 を代入。

〔Sinの乗積公式〕
　sin(x)sin(x+(π/n))sin(x+(2π/n))……sin(x+(n-1)π/n) = {1/(2^(n-1))}sin(nx).

[略解] 左辺を f(x) とおき、sin(kx), cos(kx) の級数(0≦k≦n)に展開する。
f(x+(π/n))=-f(x) より 周期 2π/n をもつので、k=0,n の項だけが許される：
　f(x) = a +b･sin(nx) + c･cos(nx).
また、f(0)=f(π/n)=0 より、a=c=0, 参考書↓より、b= 1/(2^(n-1)).
　(終)

高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　265頁、練習問題(5)の(11)　Γの乗積公式(Gauss)
　252頁の(7)：　Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs).

xyz空間に次の条件を満たすような長さ2の線分ABがある。

条件
点Aはxy平面上にある。
線分ABは点(0,0,1)を含む。

このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。

>>232
bをもとめよってのが問題じゃないの？

>>233
もとめる軌跡をXとおく。
0≦z≦1においてはXは高さ1、底面積4πの円錐にひとしいのでその体積は(4/3)π。
1≦z≦1においてはxy平面においてx=rcosθ、y=rsinθ、r=2-1/cosθ (0≦θ≦π/3)で
あらわされる曲線のかこむ領域をx軸中心に回転させた図形の体積にひとしい。それをVとおけば
V=∫[0,1]πy^2dx
=∫[π/3,0]π(2sinθ-tanθ)^2(-2sinθ)dθ
=･･･
しんどなった。

極座標でやると計算メンドイね。

xyz空間に次の条件を満たすような長さ2の線分ABがある。

条件
点Aはx軸上にある。
線分ABは直線x=y-1=0と共有点を持つ。

このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。

こんなんどうよ。
m^3+1/mn-1が整数となるような正の整数m,nを全て求めよ。

>>237
(x,y,z)がAB上にあるのはA(a,0,0)、ABとx=y-1=0の交点を(0,1,c)とおいて考えれば
(x,y,z)=(a,0,0)+t(-a,1,c)、(x-a)^2+y^2+z^2≦4、0≦t≦2をみたすa,c,tが存在するときで
このときy=t、a=x/(1-t)=x/(1-y)であることから
(y/(1-y))^2･x^2+y^2+z^2≦4、0≦y≦2―(※)であることが必要十分。
よってこの領域の体積をもとめればよい。yを固定したときの(※)を満足する領域の面積は
(π/4)y/(1-y)。よって体積は･･･以下ｒｙ

↑まあ、自作ではないわな。

>>238
ほんとに有限個しかないの？

有限個

３点A(1,0,0),B(0,1,√3),C(0,r,0)を通る平面に原点から下ろした垂線の足が
△ABCの内部にあるときのｒの範囲を求めよ。

>>242
まじっすか。へぇ〜。･･･寝よ。

>233
[235]の続きを....

高さzでの存在領域の半径をR(z)とおくと、V=∫ πR^2 dz.
原点をOとすると OA≦√(4-1)=√3.

0≦z≦1 においては、Ｘは高さ1、底面積3πの円錐にひとしいのでその体積はπ。
　R(z) = (√3)(1-z)　　(0≦z≦1)　…… 円錐（体積π）

1≦z≦2 においては、 A(r,0,0) ⇔ B(R,0,z) とすると、
　r = √{(4/z^2)-1}, R = (z-1)r = (z-1)･√{(4/z^2)-1}
　R(z) = (z-1)･√{(4/z^2)-1}　　(1≦z≦2)

V = ∫[0,2] πR(z)^2 dz
　= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] (z-1)^2･{(4/z^2)-1} dz
　= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] {4/(z^2) -8/z +3 +2z -z^2} dz
　= π[ -(1-z)^3 ](z=0→1) + π[ -4/z -8log(z) +3z +z^2 -(1/3)z^3 ](z=1→2)
　= π + π｛ 17/3 -8log(2) }
　= 1.121489222187…π

>>239
間違いだらけじゃん

四平方の定理を知らないものとして・・・

【問題】
n，a，bは自然数とし、nを2進法で表記した時の各位の和を#(n)とする。
このとき n(a^2+b^2)は2#(n)個以下のいくつかの平方数(異なる必要は無い)
で書き表されることを示せ。

>>221
真のような気がするが、偽なんだろうな．．．

>>238

（m､n）＝（1、2）（1、3）

１辺の長さaの正四面体の隣り合う２面の重心を通る直線を軸として一回転させたときの図形の体積を求めよ。

>>238
　(m,n) = (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)

　 { (m,n) | m,n∈{1,2,3}, m≠n}

（ｍ＾３＋１）／（ｍｎ−１）。

（ｍ，ｎ）＝（１，２），（２，１），（１，３），（３，１）
，（２，２），（２，５），（５，２），（３，５），（５，３）。

>>238
訂正、すまそ
　(m,n) = (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,5), (3,1), (3,5), (5,2), (5,3).

困難どうよ？
　(2^n +1)/(n^2) が整数となるような1より大きい整数nをすべて決定せよ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(芋･1990, Beijing, Q3)

GCD{(2^a)-1,(2^b)-1} = 2^GCD{a,b} -1　　（GCD と f(x)=(2^x)-1 は可換）

>>252>>253
まあ、香港大会の問４だからな。
ただ、解法を示さなければ点はない。
>>北京
それは後期用では？
前期には不適切。

>>252
>>253

正解！
簡単だった？
確かに解き方は知りたいかな。てか香港大会の問題とは知らなかった。

π^eとe^3の大小を比較せよ。

>>256
二つしか解を導き出せなかった僕の立場は一体・・・・（涙

簡単な問題でスマンが……


nを自然数とし、√nを10進数の小数で表現する。

このとき、小数点以下第2005位の数字が1、2006位の数字が8になるような
nが無数に存在することを示せ。

1
一辺が1の正方形ABCDと長さが1のひもPQ(ひもの両端がPQ)がある。
ひもPQが正方形ABCDの辺に沿って(はりついて)動く時、線分PQの
通過する領域の面積を求めよ。

2
一辺が1の正三角形ABCと長さが1のひもPQ(ひもの両端がPQ)がある。
ひもPQが正三角形ABCの辺に沿って(はりついて)動く時、線分PQの
通過する領域の面積を求めよ。

>>259
これ一様分布定理つかったら簡単なんだけどな。
　
　√nの小数点以下第2005位の数字が1、2006位の数字が8
　⇔0.18≦(10^2004√n)の小数部＜0.19
　
で一様分布定理によれば0.18≦(10^2004n√2)の小数部＜0.19をみたすnの密度は1/100。
･･･受験数学の範囲でしめせか･･･どうやんだろ？

>>238
だれも解答をかかないから一例をば。
(m^3+1)/(mn-1)∈Z⇒(n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(mn-1)･n^3-{(mn)^2-mn+1}∈Z
ゆえ(m,n)が解⇔(n,m)が解。よってm≦nなる解のみもとめる。m=nのときは
(m^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(m^2+1)=m+1/(m-1)ゆえ(m,n)=(2,2)のみが解。
0<m<nなる解をかんがえる。(m^3+1)/(mn-1)=uとおく。mは方程式x^3-unx+u+1=0の解ゆえm|u+1。
そこでn=m+v、u+1=mwとおく。するとこのとき
m^3+1=u(mn-1)=(mw-1)(m^2+vm-1)=wm^3+(vw-1)m^2-(v+w)m+1―(1)。
(i)vw-1>v+wのとき。このときw≧1、m^2≧mにより
wm^3+(vw-1)m^2-(v+w)m+1＞m^3+(v+w)m-(v+w)m+1=m^3+1。これは1に反するゆえこのとき解なし。
(ii)vw-1≦v+wのとき。このとき(v-1)(w-1)≦2より(v,w)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)。
(1)⇔(w-1)m^2+(vw-1)m-(v+w)=0にこれらの値を代入して正の整数解をもつのは
(v,w)=(2,1)のときm=3、n=m+v=5。
(v,w)=(3,1)のときm=2、n=m+v=5。
(v,w)=(2,2)のときm=1、n=m+v=3。
(v,w)=(1,3)のときm=1、n=m+v=2。
結局m<nである解は(m,n)=(3,5),(2,5),(1,3),(1,2)。
以上よりすべての正の整数解は(m,n)=(3,5),(2,5),(1,3),(1,2),(5,3),(5,2),(3,1),(2,1),(2,2)。

芋かあ、、
だと思ったよ

>260 (1)
4直線 x=0,x=1,y=0,y=1 で囲まれた正方形を考え、P(a,0), Q(0,1-a) とする。(0<a<1)
線分PQ: y=(1-a)(1-x/a) は点A(a^2, (1-a)^2)を通り、傾きが -(1-a)/a である。
0<a<1 なるすべてのaについて点A(a^2, (1-a)^2) を通る曲線は √x +√y =1.
また、Aでの傾きも線分PQの傾きと一致するから、曲線 √x +√y =1 はPQたちの包絡線である。
4頂点に対応して4本の曲線があり、互いに交わっている。境界となるのは
　(1/2,(3/2)-√2) 〜 ((3/2)-√2,1/2)
の部分である。軸を45°回転して、
　u=(x-y)/√2,　v=(x+y)/√2.
とおくと、上記の曲線は
　v = (u^2 +1/2)/√2,　|u|≦ 1-√(1/2).
(放物線の一部)である。

I = 2∫[0,1-√(1/2)] {(u^2 +1/2)/√2}du = (√2)∫[0,1-√(1/2)] (u^2 +1/2)du
　= (√2)[(1/3)u^3 +(1/2)u ](u:0→1-√(1/2)) = (4√2 -5)/3.
S/4 = I + {(3/2)-√2}^2 - {1-√(1/2)}^2 = I + {(3/2)-√2}^2 - {(3/2)-√2}
　　= I + {(3/2)-√2}{(1/2)-√2} = (4√2 -5)/3 - (2√2 -11/4) = (13-8√2)/12
S = (13-8√2)/3 = 0.5620971670050…….

>>264
PQ=1だからP(a,0), Q(0,1-a)じゃだめなんじゃね？軌跡はアステロイドになるんじゃねーの？
http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/asteroid.htm

>265
1.
一辺が1の正方形ABCDと長さが1の棒PQ（棒の両端がP,Q）がある。
P,Qが正方形ABCDの辺上を動く時、線分PQの通過する領域の面積を求めよ。

PをAB上に QをCD上にとってPQを平行移動させれば、掃く面積は1ですな？

誰も解いてくれてませんな・・・

２（ａ＾２＋ｂ＾２）＝（ａ＋ｂ）＾２＋（ａ−ｂ）＾２。

>>264　(1)正解！　解いた感想も教えてください。
あと、S/4 = I + {(3/2)-√2}^2 - {1-√(1/2)}^2
これはどこを計算したのですか？ここだけ俺と違います。

>>265　アステロイドではないです。

>>269
・・・・・・・・・ばれた・・・・
次はもっとまともなの考えてきます。

>>237解けた人いる？

>>271
１０年ROMってろ！

>>273
氏ね

>>260
問題文の意味がやっと分かった。紐を正方形の周に這わせるんだな。

>260,270
わざわざ 45°回さなくても
S/4 = ∫[0,(3/2)-√2] (1/2) dx + ∫[(3/2)-√2,1/2] (1-√x)^2 dx
　　= ∫[0,(3/2)-√2] (1/2) dx + ∫[(3/2)-√2,1/2] (1+x-2√x) dx
　　= (1/2){(3/2)-√2} + [ x +(1/2)x^2 -(4/3)x√x ](x=(3/2)-√2→1/2] = ……
で出るんだった……(反省)。

I は 放物線と u=±{1-√(1/2)}, u軸(v=0) で囲まれた部分の面積 でつ。
これに x軸(y=0), u= {1-√(1/2)}, x=1/2 で囲まれた�� および
　　　 y軸(x=0), u=-{1-√(1/2)}, y=1/2 で囲まれた�� の面積を加え、 +{(3/2)-√2}^2
さらに x軸(y=0), u= {1-√(1/2)}, u軸(v=0) で囲まれた�� および
　　　 y軸(x=0), u=-{1-√(1/2)}, v軸(v=0) で囲まれた�� の面積を差引く -{1-√(1/2)}^2
として S/4 を出しますた。

>>275
おれはまだ問題の意味わかんないんだけど。どういう意味？
>>260 は問題出題できるレベルじゃないんじゃないの？

勘違いしやすい問題文だよな。
チューブを正方形状に折り曲げて、中に紐を通すんだな。

すぐに分かった俺は負け組みか・・・・・

さっきソープランドから帰ってきました。

>>279s
IQ180乙

>>278
ぜんぜんわからん。まあもういいや。問題文短くするためにわかりやすさを犠牲に
してるような問題は気分わるい。たとえ問題文が少々長くなっても題意がすっきり
他人につたわるようにすべきだとおもうけどな。どっちかっていうと問題文はあいまいさなく
すっきりつたわるけどそれでもなかなか解けないってのがオレ様的には好き。

>>281
問題文に難ありだが
まだ理解できない君もすごい。

>>282
ありがとう。もういいよ。問題文理解するために努力することはしない主義なんだ。
出題者によると>>264があってるらしいから>>264をがんぱってよめば理解できるのかも
しれないけど問題文理解するために解答よむって努力はする気になれん。
理解した瞬間答えわかってしまうんだから。

馬鹿は放置でよろ

どう見ても釣りです。
本当にありがとうございました。

今更だが、このスレ朝9時ジャストに立ったんだな
入試っぽくていいね

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2n| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。

訂正ﾇﾏﾇ

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2k| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。

あれ、まだ間違えてる。まじでごめん。

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-k| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。

[]

コインをn回投げる時、表が2回続けて現れる確率は？

題意不明瞭の揚足鳥問題ですか。
試験にはなるでしょうがｗ

5/6
(1/2)

すいません・・これどうやって解いたらいいですか？　お願いします。

あぁ、改行しちゃってすみません。
（２分の１）の６分の５乗です

>>291
n = 1 の時 0

>>291
こう？
　
{表,裏}の２文字をならべて表が２つつづかないながさnの文字列の数をAnとおく。
A1=＃{表、裏}=2、A2=＃{表裏、裏表、裏裏}=3。
長さn+2のそのような文字列は最後の文字が裏であるか
最後の２文字が裏表であるかにわけられて前者の個数はA[n+1]、後者の個数は
A[n]に等しいので漸化式A[n+2]=A[n+1]+A[n]をえる。これをといて
A[n]=(α^(n+2)-β^(n+2)}/(α-β) (ただしα=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2)
よってn回ふって表が２回つづく確率は
1-4(((1+√5)/4)^(n+2)-((1-√5)/4)^(n+2)}/√5。

>>291
こう？

　　1 - A[n]/(2^n) = 1 - F_(n+2)/(2^n).

関連スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/

>>289
(1) f(x) = (2n+1)(n-x) 　　(x<0)
　　= (2[x]-2n+1)x -[x]([x]+1) +n(2n+1)　　(0≦x<2n)
　　= (2n+1)(x-n)　　(x≧2n)
　　x<n では単調減少、x>n で単調増加 だから f(x) ≧ f(n) = n(n+1).

(2) f(j) = n(n+1) -(j-n)^2　　　(0≦j≦2n)
f(j) ≦ y ≦ 2n^2 を満たす格子点の数は 2n^2 -f(j) +1 = n(n-1) +1 -(j-n)^2
　　S(n) = �納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 } = ……
　　lim[n→∞] S(n)/(n^3) = 4/3.

１円硬貨、５円硬貨、１０円硬貨、５０円硬貨、１００円硬貨、５００円硬貨、１０００円札、２０００円札、５０００円札、１００００札を
つかってｎ円を支払うときのくみあわせの数をA[n]とする。たとえば１１円は１円硬貨１１枚、１円硬貨１枚１０円硬貨１枚、
１円硬貨１枚、５円硬貨２枚、１円硬貨６枚５円硬貨１枚、の計５通りの支払い方ができるのでA[11]=5である。
　
lim[n→∞]A[n]/n^rが０でない有限値に収束するrをもとめよ。またそのときの極限値をもとめよ。

rは与えて極限だけを答えさせる形式でないと
ブラフ出題かと勘ぐってしまう。

＞S(n) = �納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 }

>>299
求めるオーダーは
(n/10000)・(1/2!)(n/5000)・(1/3!)(n/2000)・(1/4!)(n/1000)・(1/5!)(n/500)・(1/6!)(n/100)・(1/7!)(n/50)・(1/8!)(n/10)・(1/9!)(n/5)

>>302
ちがう･･･ハズ

平面上に凸４角形ABCDが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
PA+PB+PC+PDが最小になるのはPがABCDの対角線の交点にあるときであることを示せ。

>304
　三角不等式を使う。
　PA+PC≧AC,　等号はPが線分AC上にあるとき。
　PB+PD≧BD,　等号はPが線分BD上にあるとき。
　辺々たす。
　凸性により、対角線AC,BDの交点が存在する。(終)

>>305
すばらしい。もひとつ。
平面上の鋭角三角形ABCが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
3PA+4PB+5PCが最小となる点OをとるとOはABCの外心となり
PA=PB=PC=1となった。△ABCの面積をもとめよ。

しかし･･･想定外にあっさりとかれた。オレは結構なやんだんだけど。

>289
http://www.d4.dion.ne.jp/~zen/kubikukuri/

>266
asteroid の面積について
a={1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) として、
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx,
x^(1/3)=s とおいて、 x=s^3, dx=3(s^2)ds
∫{1-x^(2/3)}^(3/2) dx = 3∫(1-s^2)^(3/2)･(s^2)ds
　= (3/16){arcsin(s)-s√(1-s^2)} +(1/2)(7/4 -s^2)(s^3)√(1-s^2) +c
以下ry)

hg

>>266
a = {1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) = 0.225098232187283…
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx
　= 0.112549116093641… +0.251717461029020… -0.155355966338664… = 0.208910610783997…
S = 0.83564244313599…

難し過ぎたかな。

数列｛a_n ｝は任意のｎ≧１に対して
Σ（ｋ＝１→ｎ）（a_n）＾3　＝　（Σ（ｋ＝１→ｎ）a_n　）＾2
を満たすとする。
このとき、a_1・a_2・・・a_n　の最小値を求めよ。

０。

>>312
-(n-1) (n-1)! かな。
難しいって言うほどは難しくないけど、面白い問題かもね。

＞Σ（ｋ＝１→ｎ）（a_n）＾3　＝　（Σ（ｋ＝１→ｎ）a_n　）＾2
　
これ当然a_nってa_kのまちがいだよね。
負の項がゆるされるならn≡2(mod 4)のとき実数Aにたいして
a_kn=A(-1)^kとおけば��(a_k)^3=0、(�蚤_k)^2=0でΠa_k=-A^nになって
最小値なしになる気がする。他の場合も最小値ないような気がする。　

>312
　a_k =k　(k=1→n-1),
　a_n = -(n-1).
のとき。

>>316
>>315はまちがってる？たとえばn=6のとき
A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3=0=(A+(-A)+A+(-A)+A+(-A))^2
かつA(-A)A(-A)A(-A)=-A^6だから最小値ないと思うんだけど。

問題文もまともに読めないカス

問題文がおかしい

>>312の問題文そのまま解釈すれば
左辺=n(a_n)^3、右辺=(n^2)(a_n)^2でとけばa_n=0 or n (∀n)
だからa_1・a_2・・・a_n　の最小値は0で>>313が正解だな。

先頭車両から順に1からｎまで番号のついたｎ両編成の列車がある。ただしｎ≧2とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか？

>>321
題意を満たすn両編成で
最後尾の車両が赤なのををr(n)通り
最後尾の車両が赤でないのをa(n)通りとすると
r(2)=3 、a(n)=2
r(n+1)=r(n)+a(n)
a(n+1)=2*r(n) あとはこの漸化式をとく。

>>322　御名答。

実際の東大の過去問の改題みたいな感じで。
（問題）
x^(2/3)+y^(2/3)≦1、t≦x≦1、y≧0であらわされる領域をDtとしDtをx軸を中心に回転させて
できる領域の体積をVtとする。lim[t→1-0]Vt(1-t)^rが0でない有限の値に収束する
実数rの値をもとめよ。またそのときの極限値を求めよ。

>322
　ときますた。
　r(n) = (2/3){2^n +(1/2)(-1)^n}
　a(n) = (2/3){2^n -(-1)^n}

ごく最近の京大の問題をそのまんま載せてなんか意味あるの？

冬休みだからな。

>304,307　　　　　　　　　、
　点対称な凸2n角形もどうよ？

要は中点が等しい２つ組いくつかに分けられるときはいつでもつかえるんだな。

いや、中点である必要もないのか･･･

>304, 307
　点対称な凸2n角形もどうよう。

333

age

>324
　Ｄt:　t≦x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ {1-x^(2/3)}^(3/2)
　x≒1 のとき 1-x^(2/3) = (2/3)(1-x) + O((1-x)^2),
　　　{1-x^(2/3)}^3 = (8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4) より
　Ｖt = π∫[t,1] (y^2)dx = π∫[t,1] {1-x^(2/3)}^3 dx
　　= π∫[t,1] {(8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4)} dx
　　= π[ -(2/27)(1-x)^4 + O((1-x)^5) ](x=t,1)
　　= (2/27)π(1-t)^4 + O((1-t)^5).
　　r=-4,　極限値は (2/27)π.

a,b,cを1＜a＜b＜cを満たす自然数とする。
bcをaで割ったあまりが1
caをbで割ったあまりが2
abをcで割ったあまりが3
の時、a,b,cを求めよ。

>>335
どうやって解くんだ？

>336
　とりあえず↓を代入して･･･

(a,b,c) = (7,23,158) (7,25,86) (7,27,62) (7,29,50) (7,33,38) (8,13,101) (9,11,32)

(bc-1)がaで割り切れ、
(ca-2)がbで割り切れ、
(ab-3)がcで割り切れる。
したがって、

(bc-1)(ca-2)(ab-3)がabcで割り切れる。このことから、
2ab+6bc+3ca-6がabcで割り切れる。

急用入ったから、ここで失礼。
多分、解けそうじゃね？

ｂｃがａで割って１余る→ｂとｃは、ともにａで割って１余る数

>>339
6 * 13 ≡ 1 (mod 7)

>>339
ﾌﾟｹﾞﾗ

>>338の続き
1＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。
また、bcをaで割ったあまりが1であることから、a,bの最大公約数は1、a,cの最大公約数は1
caをbで割ったあまりが2であることから、b,cの最大公約数は1または2。

1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。・・・場合わけ16パターンか・・・やるきしないなぁ。

abをcで割ったあまりが3なので、　ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、　ac=mb+2が成立する。　(m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、　a^2＞mnとなる。
また、m≦nであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2＞mb+2となって矛盾するため、m＞nが成立する。

a=2の時、
4＞mn、m＞nなので、m=3,n=1、m=2,n=1となる。条件を満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時
9＞mn、m＞nなので・・・・できるかﾎﾞｹ



誰か頼む

>>342訂正

>>338の続き
1＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。

1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。

abをcで割ったあまりが3なので、　ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、　ac=mb+2が成立する。　(m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、　a^2＞mnとなる。
また、mb≦ncであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2≧mb+2となって矛盾するため、mb＞ncが成立する。

ab=nc+3＜mb+3　b(a-m)＜3　となる。仮に、a＞mとするとb=1,2となって、矛盾。
a=mとすると、ac=ab+2なので、a(c-b)=2　　a=m=2,　c=b+1が成立する。
2b = n(b+1) + 3　なので、　b=(n+3)/(2-n)となり、n=1が成立する。b=4、c=5。これは条件を満たさない。
以上より、a＜mが成立する。

さらに、a,nの最大公約数はab=nc+3より、1または3、　a,mの最大公約数は1,または2。

これらの事を利用して場合わけを行う。
a=2の時。
4＞mn、　2＜mなので、　m=3,n=1が成立して、2b=c+3、2c=3b+2　これを満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時。
9＞mn、3＜mなので、m=4,n=1・・・やっぱ駄目だ。誰かお願い。

整数問題は解く気がしない。

>>296>>297大正解だヨン様

易しめで。

2n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。
このとき、�納0〜n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。

>>346
模範解答をキボンネ！

え・・・もう、ｷﾎﾞﾝﾇ？

後で

模範解答は出す・・・
確かに出すが・・・
今はまだその時は指定していない・・・

(3^n-1)/2^nが整数となるようなnをすべて求めなさい。

motomemashita

n=0，2

>>346
私、胸、Ｅカップなんだけど
教えてくださらない？

lim[n→∞]∫[0,1] (cos(x^2))^n dx を求めよ。

talk:>>355 0になるのだろうが、大学入試でどうやって証明するのだ？

>355
　求めますた。
　0<x<1 のとき sin(x^2) > sin(1)x^2 = (ax)^2.
　∴ cos(x^2)^2 = 1 - sin(x^2)^2 < 1 - (ax)^4 < exp{-(ax)^4}.
　∫[0,1] cos(x^2)^n dx < ∫[0,1] exp{-(n/2)(ax)^4} dx < ∫[0,∞) exp{-(n/2)(ax)^4} dx
　= (1/a)･(2/n)^(1/4)･(1/4)∫[0,∞) y^(-3/4)･exp(-y) dy = (1/a)Γ(5/4)･(2/n)^(1/4)
　= 1.1750…･(1/n)^(1/4) → 0　(n→∞)
　ここで (n/2)(ax)^4 = y とおいた。dx =(1/a)･ (2/n)^(1/4)･(1/4)y^(-3/4)･dy,
　sin(1)= 0.84147…,　1/a = 1.0901…,　Γ(5/4) = 0.90640…

>356
　頭を少し使う....

わざわざ面倒くせえことやってんな

>>358
ビシッと見本を見せてやってください

gmj

あげまん

>>355
マルチ

>353
違う。

円周率3.14の続きを小数第百位まで自分で考えなさい

計算しちゃ駄目なんか

良スレage

>>346
分った！！！

>>335の解答は？

>>351 の解答？
　0,1,2,4

n = 1, 2, ... に対し、2乗してちょうどn桁の数となる
正の整数全体の個数を f(n) とする。このとき、
f(n+1) > f(n) であることを証明せよ。

>>346
　(左辺) = �納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] Ｔ/(2k+1)
　= Ｔ�納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] ∫[x=0,1] x^(2k) dx
　= Ｔ∫[x=0,1] �納k=0〜n] Ｃ[n,k] (-x^2)^k dx
　= Ｔ∫[x=0,1] (1-x^2)^n dx
　= Ｔ･I_n.
　ここに I_n = ∫[x=0,1] (1-x^)^n dx とおいた。I_0=1.

　∫(1-x^2)^n dx = ∫(1-x^2)^(n-1) dx - ∫(x^2)(1-x^2)^(n-1) dx
　= {2n/(2n+1)}∫(1-x^2)^(n-1) dx + (1/2n)x(1-x^2)^n　だから,
　I_n = {2n/(2n+1)}I_(n-1) = …… = {(2n)!!/Ｔ}I_0 = (2n)!!/Ｔ　　……　(*).

　∴ (左辺) = (2n)!! = (右辺).

*) 森口･宇田川･一松: ｢数学公式I｣, 岩波全書221, p.220 (1956.9)
　　第V編, 第1章, §46 (i)

>>351

n≧1のとき

nはn=2^a*b(aは0以上の整数、bは奇数)と書ける。
3^n-1={3^(2^a)-1}*[{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1]
{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1は奇数がb(=奇数)個あるので、当然奇数。
したがって、3^{(2^a)*b}-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる

3^(2^a)-1=(3^2-1)(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]
3^2=4*2+1だから
(3^2)^s+1=(1+4*2)^s=2+4*2*Σ_[i=1,n]C(n,i)(4*2)^(i-1)だから
3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1を4で割った余りは2
したがって、3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1は偶数だが4で割り切れない
(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]は2^(a-1)で割り切れるが、2^aで割り切れない。
したがって
3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔2^a*b≦a-1+3=a+2

b≧3のとき
2^a*b≧3*(1+1)^a≧3(1+a)=3a+3＞a+2だから不適
b=1のとき
a=0,1,2のとき、確かに2^a≦a+2となる。
a≧3のとき
2^a=(1+1)^a≧1+a+a(a-1)/2＞a+2となって不適

n＝0のとき
3^0-1=0は当然2^0=1で割り切れる。

よって条件に合うのはn=0、1、2、4である。

>>370
　2乗して 2n-1桁になる自然数を [10^(n-1), M] とすると、3･10^(n-1) ≦ M < 4･10^(n-1)
　　　2･10^(n-1) < f(2n-1) ≦ 3･10^(n-1).
　2乗して 2n桁になる自然数を [m, (10^n)-1] とすると、3･10^(n-1) < m ≦ 4･10^(n-1)
　　　6･10^(n-1) ≦ f(2n) < 7･10^(n-1).
　より明らか。

直径５の円Aがある。この円を直径２の円９個を使って埋め尽くす（９個をうまく配置して、
任意のA内の点が直径２の円内に必ず含まれているようにする）ことができることを示せ。

１から６までのさいころを１つ使い（出目は同様に確からしいとする）
次のようなゲームを考える。
N回まで振ることができ、途中でいつでもやめてよいとする。
このとき途中でやめたときは、最後に出た目が得点。
N回目まで振ったときはN回目の目が得点。
以上のようなルールのとき、得点が最大になる戦略とその期待値を
求めよ。

>>375
大体分かった。

戦略：n以上の目が出たときにやめる。
期待値En
nは少なくとも4以上。
で、あとは期待値Enを計算して、
Enが一番大きくなる時がベストな戦略。
計算で注意すべきなのは等比級数の計算とN回目の部分。

計算してないけど、予想だとたぶんn=5かな。

>>376

Nの関数になると思うけど…

>>376
ブラックジャック理論

多分前半は、できるだけ大きい数狙いで振りつづけて
後半にさしかかっても思うような目が出てこない場合は
比較的小さな値でも妥協するという戦略が>>376より
マシになると思う。

結婚相手を探す問題に類似性を感じるんだが
さくっと解く方法はしらんなぁ。

N回振れるときに、一回目の戦略を「f(N) 以下なら振りなおす」とすると
E(N) = f(N)/n E(n-1) + (7+f(N))(6-f(N))/(2n)
がもとめる期待値で、f(N)をどうするかっていう問題だな。

f(1) = 0, E(1) = 21 から始めて再帰的に f(N) と E(N) を計算していけばいいかな。

簡単な問題いきます。

面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y)
の最小値を求めよ。

X = y+z-x > 0, Y = x+z-y > 0, Z = x+y-z > 0 とすると
x = (Y+Z)/2, y = (X+Z)/2, z = (X+Y)/2, x+y+z = X+Y+Z
s = (x+y+z)/2 = (X+Y+Z)/2

三角形の面積が1なので、
√s(s-x)(s-y)(x-z) = √((X+Y+Z)/2)(X/2)(Y/2)(Z/2) = 1
∴ √((X+Y+Z)XYZ) = 4 <=> XYZ(X+Y+Z) = 16 -- (1)

ところで相加相乗調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 3/(XYZ) <= (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) <= 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺辺掛け合わせて
27/(XYZ(X+Y+Z)) <= (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27/16)^(1/4) = 3^(3/4)/2 <= 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/3)

>382

ところで 相加･相乗･調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 27/(XYZ) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺々掛け合わせて
(27･9)/(XYZ(X+Y+Z)) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27･9/16)^(1/4) = 3^(1/4)･(3/2) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/4) のとき。

瞬殺されてしまった。

>>384
いやいや、これからも楽しい問題をお願いします。

>>382
>>383
>>385
別にお前に言ってない

2005個の合同な小三角形に分割できる三角形が存在することを示せ。

凸六角形を、いくつかの小さな凸六角形に分割せよ。

>>388
訂正

凸六角形を、２つ以上の小さな凸六角形に分割せよ。



答えは、不可能なんだけど・・・それを敢えて教えないで出してみるという意図。

>>386
おれは何も言ってない。

分かっていると思うが
384≠386

>387
　2005 = 18^2 + 41^2 = 22^2 + 39^2.

　直角三角形ABCをとる。　A(-18^2,0), B(0,18x41), C(41^2,0)
　　相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 18：41：√(2005)
　　△AOB を 18^2 等分し、△BOC を41^2 等分する。

　直角三角形ABCをとる。　A(-22^2,0), B(0,22x39), C(39^2,0)
　　相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 22：39：√(2005)
　　△AOB を 22^2 等分し、△BOC を39^2 等分する。

>>392
おま、天才？

自演乙

n個(n>=2)のさいころを同時に振った時に、
最も出る確率の高いサイの目の総和をN(n)とする。
N(n_1+n_2)とN(n_1)+N(n_2)の大小関係を比較せよ。

>>386
なんだとおら！
鉄入り作業靴で蹴り頃すぞ！

関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、
x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。

この時、次の二つの問いに答えよ。
(1)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。

(2)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。

>397
(1) x(t)=t,
y(t) = √(1/2)･t　　　（0≦t≦2-√2)
　　y(t) = 1-(√2)･(1-t)　　（2-√2≦t≦1)

(2) x(t)=2x,　y(t)=0　(0≦t≦1/2)
　　x(t)=1,　y(t)=2t-1　(1/2≦t≦1)

空間内に4点O,A,B,Cがあり∠OAB=∠OBC=∠OCA=3π/5である。
3点O,A,Bを頂点とする正五角形の中心を通り、三角形OABを含む平面に垂直な直線をLとし、
正五角形OBDECの頂点D,EからLに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとする。
このときDH=EKを証明せよ。

空間内に4点O,A,B,Cがあり∠AOB=∠BOC=∠COA=3π/5である。
3点O,A,Bを頂点とする正五角形の中心を通り、三角形OABを含む平面に垂直な直線をLとし、
正五角形OBDECの頂点D,EからLに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとする。
このときDH=EKを証明せよ。

X とY がn 次元Euclid空間を動くとき、不等式

＜X＋Y＞_h　≦　＜X＞_h　・　＜Y＞_h

が 成り立つような最小の非負の実数h を求めなさい。
ここで、記号＜X＞_h は h ＋｜X｜＾２ の平方根を表します。
但し、｜X｜ はX のn 次元Euclidノルムで ｜X｜＾２ は｜X｜ の２乗を示します。

昨日テレビでシャンパンタワーを見て思いついた
数学っていうより物理っぽいけど・・・

積み方は、上からk段目がk*kの正方形になるように並べるとして
n段目の上からl(ｴﾙ)行目、左からm列目のグラスにかかる力を求めよ
ただしグラスの形状は均一で質量はすべてM、重力加速度はgとし
あるグラスにかかる力は下のグラス４つに等しく伝わるものとする

問題文に穴あったらｺﾞﾏﾝﾅｻｲ
脳内補完していただけると幸いです
挙句どう見ても東大レベルじゃないっていうｗｗｗ

>>402
物理で分類すれば演習問題、数学で分類すれば二項定理あたり。
どちらにしろ教科書の基礎レベルだけど、こういうのは面白いよ。
そんなことばかり考えていると、いつの間にか脳内構造が東大レベルに上がっているという。

>>403
わかりません。

x²＋y³＝17を満たす正整数x，yの組を全て求めよ

ごめん。間違った。訂正。

x²＝y³＋17を満たす正整数x，yの組を全て求めよ

>>404
漏れ作成者ですが解けませんでしたｗ

>406
　(5,2) (9,4) (23,8) (282,43) (375,52) (378661,5234)

>>408
解き方教えてくれー

平面上に定点Oと△ABCがあり、OA↑・OB↑= OB↑・OC↑= OC↑・OA↑= 1 をみたすとき、
OA、OB、OCのうち、少なくとも１つは長さが１以下であることを示せ。

>>410
Z会の広告問題じゃん

四面体ABCDの辺AB、辺BC、辺CD、辺DAを2:1に外分する点をそれぞれE,F,G,Hとする。
四面体ABCDと四面体EFGHの体積の比を求めよ。

>>410
これどうやって解くん？

>>413
とりあえずabcと置いてみたら

>410,413
Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。
OB↑ は ∠AOCの中にあるとする。
∴ 0 < ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC < 90°
cos(∠AOC) < cos(∠AOB)･cos(∠BOC)　　（← cosの加法定理）.
∴ 1/(ac) < 1/(bc)･1/(ab)
∴ b^2 <1.

>>411
誘導ついてなかった？

>>412
宿題は質問スレに行け！

>>410
どっかの類問

>>415
＞ Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。

解説希望。
特に点Oが△ABCの内部にある場合について、教えてくれ。

ごめん、ぼけてた。

誰か>>406教えて

>>417
根拠のない決め付けは愚かしさを露呈するだけだよ

質問スレより

[4]曲面Kの面積を求めよ
K{(x,y,z)|x^2+y^2=x,x^2+y^2+z^2≦1}

>>423
知るか！
ちなみに、０／０は０で割る計算の中でもさらに例外で、
0/0=xとして、掛け算に直すと、
0=0xより、xはすべての数である。
よって０／０はすべての数である。

>>412
正四面体としてよいのでEF=√7AB
よって体積比は1:7√7

GEGE=5

ｘｙ平面内の曲線　ax^2+by^2+cxy+d=0 は放物線を表せない事を示せ。

>427
　(0,0)に 対称心をもつ。

√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xは存在するか？

>419
OA↑・OB↑>0だから，∠AOBは正の鋭角としてよい。
同じく∠AOC，∠BOCも正の鋭角としてよい。
よって，Oが三角形ABC内にあることはない。
また，∠AOCの中にBがあるとして☆よい。
(∠AOB内にCがあるときは，BとCの名前を交換することで☆に帰着される)

>>429
ある。フィボナッチの問題、或いは合同数の応用。
入試レベルの解答は未だ思いつかない。
天下りに一つ見つけて全部有理数だと言うだけなら簡単だが。
勿論それでも正解。

しない。

何で。

存在しない

>>429
√x が有理数なので、 x=(m/n)^2となる互い素な自然数m,nが存在する。
また、x+1 = (m^2 + n^2)/n^2が有理数なので m^2 + n^2 = k^2となる自然数kが存在する。
従って、自然数m,n,kは他の自然数a,b,cを用いて
m = 2abc
n = c( a^2 - b^2 )
k = c(a^2 + b^2)　　　　　--[1]
または
m = c( a^2 - b^2 )
n = 2abc
k = c(a^2 + b^2)　　　---[2]
と表現できる。さらに、m,nは互いに素なので、c=1となる。

x+2が有理数になるということから、[1]の場合
(2ab)^2 + 2(a^2 - b^2)^2
が平方数になる。


なんとなく、存在シナイっぽい。けど、わかんね

>>429
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとする。
仮定より、互いに素な自然数a,bを使って　√(x+1)=b/a　と書ける
x=(b^2-a^2)/a^2　x+2=(b^2+a^2)/a^2　についても、仮定より
b^2-a^2=c^2　b^2+a^2=d^2　となる自然数c,dがある。
a,bが互いに素なことから、aとc,aとdも互い素になる。
b^2-a^2=c^2からb^2=a^2+c^2となるので、a,cが互い素なことから
4を法とした合同式で考えるとbは奇数であることがわかる。
b^2+a^2=d^2について同じように考えるとdも奇数。
bが奇数なのでaは偶数となり、cは奇数とわかる。

また(b^2-a^2)*(b^2+a^2)=b^4-a^4=(cd)^2とでき
cdは奇数であるので、このことから
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとすると
X^4-Y^4=Z^2という方程式はZが奇数であるような自然数解を持つことがわかる。

>>436の続き
方程式X^4-Y^4=Z^2ついて、X,Y,Zを、
Zが奇数でこの方程式を満たす(即ちX^4-Y^4=Z^2を満たす）
自然数解の中でXが最小なものであるとする。
X^4=Y^4+Z^2でZは奇数なので、互い素な自然数e,fを用いて
Y^2=2ef　Z=e^2-f^2　X^2=e^2+f^2　と書ける。
e,fはどちらか一方のみが奇数となるのでeを奇数と仮定する。
(fが奇数の場合は以下の議論のeとfを入れ替えればよい)
Y^2=2efでeとfが互いに素、eが奇数であることから自然数g,hによって
e=g^2　f=2h^2と書ける。このときeが奇数なのでgも奇数となる。
またX^2=e^2+f^2についてe,fが互いに素、eが奇数、fが偶数なので
互い素な自然数i,jがあってe=i^2-j^2　f=2ij　X=i^2+j^2と書ける。
f=2ijより2h^2=2ijなので、i,jが互いに素なことから
i,jはともに平方数。よって自然数k,lによってi=k^2,j=l^2と書ける。
このこととe=i^2-j^2,e=g^2よりk^4-l^4=g^2となる。またgは奇数。
X=i^2+j^2＞i^2=k^4　であり、kが自然数な事からX＞k
これはXの最小性に反する。
よって方程式x^4-x^4=z^2はzが奇数であるような自然数解をもたず、
このことから√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xは存在しない。

うっかりした、ごめん。フィボナッチの問題は√x, √(x+5), √(x+10) だった。

>438
√x = 31/12, √(x+5) = 41/12,　√(x+10) = 49/12.

なんで公差が１だと解ナシで、5だとヒボナッチ数列が関与してるん？
(どう関与してるのか不明だけど)なんか理由あるの？

>>440
フィボナッチ数列じゃなくて、フィボナッチ数列を考えたおっさんが解いた問題。
じゃなかったっけ？

>>440
大いにある。

11兆7,343億ドルの５％は日本円でいくらか求めよ

ｎを自然数, Ｐ(ｘ)をｎ次の多項式とする。
Ｐ(０), Ｐ(１),Ｐ(２),・・・, Ｐ(ｎ)が整数ならば、
全ての整数ｋに対してＰ(ｋ)は整数であることを証明せよ。

>>444
n>0, 0≦i,j≦n とする。
f_i(x) = x(x-1)…(x-i+1)･(x-i-1)…(x-n)/{i(i-1)…1･(-1)(-2)…(i-n)}
とおくと、
f_i(j) = δ(i,j) ゆえ,
Ｐ(x) = �納i=0,n] Ｐ(i)･f_i(x)　と表わせる。
補題↓により、k∈Z　⇒　Ｐ(k)∈Z.

〔補題〕k∈Z　⇒　f_i(k) ∈Z.
(略証)
f_i(x) = { x(x-1)…(x-i+1)/(i!) }･{ (x-i-1)…(x-n)/(n-i)! ･(-1)^(n-i)}.
0≦j≦n のとき
　f_i(j) = δ(i,j) ∈ Z.
k>n のとき
　f_i(k) = Ｃ[k,i]・Ｃ[k-i-1,n-i](-1)^(n-i) ∈ Z.
k<0 のとき
　f_i(k) = Ｃ[i-1+(-k),i](-1)^i・Ｃ[n+(-k),n-i] ∈ Z.

〔補題〕
　連続するi個の整数の積 k(k+1)(k+2)…(k+i-1) は i! で割り切れる。

(略証)
iに関する帰納法による。
i=1 のときは明らか。
i-1に対して成り立つとする。
　kに関する帰納法による。
　k=1 のときは明らか。
　k を1増やすと、(k+1)(k+2)…(k+i) - k(k+1)(k+2)…(k+i-1) = {(k+1)(k+2)…(k+i-1)}ｉゆえ、i!の倍数。
　k を1減らすと、(k-1)k(k+1)…(k+i-2) - k(k+1)…(k+i-1) = -{k(k+1)…(k+i-2)}ｉゆえ、i!の倍数。
よって iに対しても成り立つ。(終)

5辺の長さが1で残り1辺の長さがaの四面体ABCDがあり、AB=aである。
四面体ABCDの内部に2球C1,C2を
C1は3平面ABC,ACD,ADBに接するように、
C2は3平面CAB,CBD,CDAに接するように、
さらにC1とC2は外接しており、2球の半径は等しくなるようにとる。
aが0<a<√3の範囲を動くとき、C1の半径の最大値を求めよ。

>>410
で、これの完璧な解答は誰が出すの？
お願いします。

既に正解出てるだろ
それ見て考えろ、無能

>>449
そこを何とか。

空間内に半径a(a>0)の球Cがあり、Cの球面上に異なる2点A.Bを、線分AB上に点Pをとる。
A,BがCの球面上を動くとき、Cの中心Oに対して、AP・BPがOP^2以下になるような点P全体からなる立体の体積を求めよ。

>>451
修正。
空間内に半径a(a>0)の球Cがあり、Cの球面上に異なる2点A.Bを、線分AB上に点Pをとる。
A,BがCの球面上を動くとき、Cの中心Oに対して、AP・BPがOP^2以上になるような点P全体からなる立体の体積を求めよ。

>>452
半径(1/√2)aの球なので体積は((√2)/3)πa^3

>>453
正解。簡単すぎですね。

半径1の円に対しn本の平行線を引き、その面積をn+1等分する。
n本の平行線のうち隣り合った2本の間隔が最大となる2直線の距離をK、
n本の平行線のうち隣り合った2本の間隔が最小となる2直線の距離をLとするとき、
lim[n→∞](K^3)/(L^2)を求めよ。

入試問題史上最難問とされている､東大の必要十分条件を求める問題知ってる人いる?

お前以外みんな知ってるよ。

辺の長さが、それぞれa、b、cの三角形の面積を求めよ。
a<c、b<cである。


サインコサインタンジェントー
なんて使わなくても解けるよー∩(・ω・)∩ばんじゃーい。

>>458
暇だったから学校で作った。
中学数学だけで十分だお。

なんか
過去レス見てるとかなり間隔があいてる・・
どうしよう。

考えたのでうｐするべ。

【問題】
0でない相異なる実数a,b,cについて，
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=bx^2+cx+a
h(x)=cx^2+ax+b
とする．
(1)y=f(x)，y=g(x)，y=h(x)は全て異なる2点で交わることを示せ．
　以下，y=f(x)とy=g(x)との交点のx座標をα[1]，α[2]，y=g(x)と
y=h(x)との交点のx座標をβ[1]，β[2]，y=h(x)とy=f(x)との交点
のx座標をγ[1]，γ[2]とする（ただし，α[1]<α[2]，β[1]<β[2]，
γ[1]<γ[2]）．
(2)α[1]=β[1]=γ[1]かつα[2]=β[2]=γ[2]とはならないことを示せ．
(3)α[1]=β[1]=γ[1]またはα[2]=β[2]=γ[2]となるための必要十分
条件を求めよ．

任意の自然数nに対してf(n)が素数値をとるような整数係数多項式f(n)は存在しないことを示せ。


簡単？

>>461
(a,b,c)=(2,1,3)でf(x)とg(x)は接する。

>>462
多項式の次数を1以上としないと自明な反例（定数関数）があるよ。

ということで、次数は1以上としておく。

f(1)＝p（素数）とすると、f(1＋kp)はpの倍数なので、
k＝1,2,3,...のときf(1＋kp)が素数だとしたら、pでなければならない。
つまり、f(1)=f(1＋p)=f(1＋2p)=f(1＋3p)=･･･=pでないとダメ。
しかしこれは1次以上の多項式では成立しえない。
（なぜなら、代数方程式の解の個数は有限！）

ふむふむ

>>464
> f(1)＝p（素数）とすると、f(1＋kp)はpの倍数なので、

もっと詳しく！

>>466
2項定理によって
(1+kp)^m＝1＋(pの倍数)
したがって多項式の場合
f(1＋kp)＝f(1)＋(pの倍数)＝(pの倍数)
となる。（f(1)＝pという仮定に注意）

なるほど

467解いてくれてありがとおう
また暇なとき投下します

斜辺が1の直角二等辺三角形を5つ、重ならないように平面上に配置する。
これら5つの三角形がその内部(周上を含む)にあるような円の半径の最小値を求めよ。

p,q,rを定数として,3次関数 y= x^3 +px^2 + qx + r のグラフをCとおく。
Cが,互いに直交する2本の接線をもつための,p,q,rの満たすべき条件を求めよ。

スマソ
(1)は取り消ししてくれ。
【問題・訂】


0でない相異なる実数a,b,cについて，
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=bx^2+cx+a
h(x)=cx^2+ax+b
とする．
y=f(x)，y=g(x)，y=h(x)は全て異なる2点で交わることとし，
以下，y=f(x)とy=g(x)との交点のx座標をα[1]，α[2]，y=g(x)と
y=h(x)との交点のx座標をβ[1]，β[2]，y=h(x)とy=f(x)との交点
のx座標をγ[1]，γ[2]とする（ただし，α[1]<α[2]，β[1]<β[2]，
γ[1]<γ[2]）．
(1)α[1]=β[1]=γ[1]かつα[2]=β[2]=γ[2]とはならないことを示せ．
(2)α[1]=β[1]=γ[1]またはα[2]=β[2]=γ[2]となるための必要十分
条件を求めよ．

これならいける希ガス

>471
　導函数 y = 3x^2 +2px +q が負の値をもつ。

>471
　導函数 y = 3{x +(1/3)p}^2 -(1/3)p^2 +q が負の値をもつ。

>471
　最小値 -(1/3)p^2 +q が負の値をもつ。

>>458
　a<c, b<c だから ∠A と∠B は鋭角である。
　Cから対辺ABに垂線CHを下ろしその長さ（つまり高さ）を h としよう。
　√(a^2-h^2) + √(b^2-h^2) = AH + HB = AB = c
　両辺を2乗すると色んな項が出てくる。
　√のない項は右辺に移項して、もう一度2乗しよう。
　これで √ は無くなった。めでたいな。
　整理するとh^4 の項は相殺するから h^2 の1次式になる。あとはこれを解くだけ。
　△ABC = ch/2 = (1/4)√{(a^2+b^2-c^2)^2 - (2ab)^2}
　= (1/4)√{(a^2 +b^2 +2ab -c^2)(a^2 +b^2 -2ab -c^2)}
　= (1/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}.
　∩(・ω・)∩ばんじゃーい。

[参考文献]
M.Baker: Ann.Math.,１, p.134-138 (1884).
　"A collection of formula for the area of a plane triangle."

>>455
　L > π/(n+1) ≧ ∫[x=0,L] 2√(1-x^2)dx = [ L√(1-L^2) + arcsin(L) ] = 2L + O(L^3).
　L = π/(2(n+1)) + O(1/n^3)

　√(1-x^2) = √(2(1-x)) + O((1-x)^(3/2))
　S(d) = ∫[x=1-d,1] √(1-x^2) dx = ∫[x=1-d,1] { √(2(1-x)) +O((1-x)^(3/2)) } dx
　= (1/3)(2d)^(3/2) + O(d^(5/2)).

　S(d1)=π/(n+1) とすると d1 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)),
　S(d2)=2π/(n+1) とすると d2 = (1/2){6π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)).
　K = d2 -d1 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3){2^(2/3) -1} + O(1/n^(4/3)),
よって
　(K^3)/(L^2) → (9/2){2^(2/3) -1}^3　(n→∞)
かな？

a＞0　及び　p、q　は正の整数とする。

教科書において　a^(p/q)＝[q] √(a^p)　と定義した理由を述べよ。
（ただし右辺は通常の教科書の定義とする）
また、教科書が　a＜0　の場合には触れていない理由を考察せよ

訂正、ｽﾏｿ.
S(d) = 2∫[x=1-d,1] √(1-x^2) dx = 2∫[x=1-d,1] { √(2(1-x)) +O((1-x)^(3/2)) } dx
　= (2/3)(2d)^(3/2) + O(d^(5/2)).

　S(d1)=π/(n+1) とすると d1 = (1/2){3π/2(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)),
　S(d2)=2π/(n+1) とすると d2 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)).
　K = d2 -d1 = (1/2){3π/2(n+1)}^(2/3){2^(2/3) -1} + O(1/n^(4/3)),
よって
　(K^3)/(L^2) → (9/8){2^(2/3) -1}^3 = 0.228011463602279…　(n→∞)
だったな

乙です

数列a[n]を次のようなものを満たす．
[i]nが奇数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等差数列となる
[ii]nが偶数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等比数列となる
[iii]a[1]=1
このようなもので，lim[n→∞]a[k]が収束するためのa[2]の条件を求めよ．

ｽﾏｿ
訂正。

数列a[n]を次のようなものを満たす．
[i]nが奇数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等差数列となる
[ii]nが偶数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等比数列となる
[iii]a[1]=1
このようなもので，lim[n→∞]a[n]が収束するためのa[2]の条件を求めよ．


の間違いですた。

あ、いちおう念のためにいっておくが、条件[i][ii]はその順に等差数列、等比数列になるので。

念のためのようで念を押せてない

nが奇数ならば、2a[n+1]=a[n]+a[n+2]
nが偶数ならば、(a[n+1])^2=a[n]a[n+2]

(1)３辺の長さが全て自然数の直角三角形において、
内接円の半径も自然数であることを示せ
(2)a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,c(a<b)の組は、自然数ｎを用いて、
a=p+2n,b=q+2n,c=p+q+2nの形で書き尽くされることを示せ
ただし、p,qは2n^2=pq,p<qを満たす自然数であるものとする

>>485
それそれ、その条件であってます。

>486
(1) 直辺を a,b 斜辺を c とすると、内接円の半径r = 2(面積)/(周長) = ab/(a+b+c)
　これに(2) を代入する。 pq=2n^2 から
　r = (p+2n)(q+2n)/(2p+2q+6n) = n.

a≠0,b^2-4ac≧0のとき（後半は不要だろうね）
a[{-b-(b^2-4ac)^(1/2)}/2]^2+b[{-b-(b^2-4ac)^(1/2)}/2}]+c
の値を求めよ。センター向きかな。。。

>486
(2)　補題↓で、d(v-u)^2 =p, d(2u^2) =q, du(v-u)=n とおけば得られる。

〔補題〕(Diophantus)
　題意のとき、(a,b,c) = (d(v^2-u^2), 2duv, d(v^2+u^2)) と表わせる。ここに d,u<v は自然数。
(略証)
　a,b,c の2つが公約数をもてば他の1つもそれを約数にもつ。
　a/d=a', b/d=b', c/d=c' (dはa,b,cの最大公約数) とおけば a',b',c'は互いに素である。
　x^2≡0,1 (mod 4) より、c' は奇数である。a',b'の一方は奇数、他方は偶数である。
　いま、a'を奇数、b'を偶数としてもよい。
　(b')^2 = (c')^2 -(a')^2 = (c'+a')(c'-a')　……　(*).
　(c'+a')/2 と (c'-a')/2 が1以外の公約数をもてば a',c' もそれを公約数にもつ（矛盾).
　(*) の左辺は平方数であるので、c'+a'=2v^2 ,c'-a'=2u^2 (v>u:自然数) とおける。
　(a',b',c') = (v^2-u^2, 2uv, v^2+u^2)　　　　　　　　　　　　　　　(終)

http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html

>488,>490

解いてくれてありがとうございます。
プラスαもつけていただき、かなり参考になりましたm(_ _)m
自分が知らないことがたくさんありました‥

879

xy平面上に、中心(a, b)、半径r(r<a, r<b)の円がある。
両端が第一象限上にある長さLの線分が、この円と共有点を持たないように動きながら
円のまわりを一周する。このようなことが可能なa,b,r,Lの満たすべき条件を求めよ。

分数関数を基本形に直すのがどうしてもわかりません。
2(x+2)-1/x+2がどうやって、-1+2/x+2になるんでしょうか？

教えてください〜

>>494
括弧使って。
さらに多分そうはならない。

>>494
マルチ

三平方の定理を証明せよ。
但し、
�@部分点はあまり考慮しない。
�A亜種の証明はだめよ
�B逆の証明をすれば合否通知に「氏ね」と送ります。
�C証明できた数をnとするとき、この設問における配点はa_1=1,a_2=1のフィボナッチ数列に依るa_nで与える。

>>497
一瞬、意図が分からなくなる問題だな。

よーは、たくさんのやり方で三平方の定理を示せって言うことか。
何を持って「亜種」とするのかの解釈が分かれそうだが……

いやね、最近の工房に聞いたら、結構知らないし解けないのですよ。
そーいえば
円周率なんたらって問題も、俺が消防の頃の教科書にのってた記憶がある

東大志望者達が難問を囲んで超ハイレベルトークしているスレ発見！
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1138008996

型にはまった問題しか解けない馴れ合いｽﾚ。
大した事はない。

>>501
半径√2の球Cがあり、Cは以下の条件を満たしながら動く。
条件：一辺の長さ√2の正方形をある空間内に固定して、Cは常にこの正方形を内部に含む。
このときCの中心Oの動く領域の体積を求めよ。

これは高校範囲で解答可能か検証頼む

�_

>>503
リトルチンチンって知ってる？

mmcctt

�_�b�a㌎�a㌎

n枚の硬貨を一列に並べてできる順列について
表または裏が少なくとも3枚連続する確率p_nを求めよ

>>507
1-(4/√5)[{(1+√5)/4}^(n+1)-{(1-√5)/4}^(n+1)]

問題

同じ大きさのスイカが5つあります。これを6人で分けて食べることになりました。
普通なら１個を1/6してそれを5個とって食べればいいのですが、あんまりかさばる
ようにはしたくない。最低1/4で分けるとした時、どのような分け方がベストか。

2個を3個に斬り3個を2個に斬る
一人分は1/3+1/2

>>510

正解！

ここはクイズを出すスレじゃない

>>511
うせろ、おちこぼれ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

半径1の球面上に4点O,A,B,Cをとる。
OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑の最小値を求めよ。

１辺が５００ｋｍの正方形が書いてある、一枚の世界地図があります。
その正方形の各頂点に１基ずつミサイルＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。
今、これらのミサイルが同時に同じ速さで発射されました。
ＡはＢ、ＢはＣ、ＣはＤ、ＤはＡを追うとき、ミサイルのたどる経路の距離は何ｋｍですか。
また、どこで、この４基は命中するでしょうか。

>514
　-1/2.　(O方向を極とすると、A,B,Cの天頂角:arccos(2/3)、方位角:0,±2π/3）

>515
ABCDの中心をOとする。
4つのミサイルの速さは、つねに互いに等しいとする。
すると、4つのミサイルはつねにOを中心とする正方形の各頂点にいる。
Oを中心とする極座標(r,θ) をとり、ミサイルの経路を r=f(θ) とすると
　f'(θ)/f(θ) = tanα,　α=(3/2)π.
　f'(θ) = -f(θ).
　f(θ) = r_0･e^(-θ), r_0=500/√2 [km]
これは "対数らせん" である。これはオウムガイの殻などに見られ、その道のりは、
　L = ∫[0,∞) √{f(θ)^2 +f '(θ)^2} dθ = (√2)r_0∫[0,∞) e^(-θ) dθ = (√2)r_0 = 500 [km].

http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html
｢数学の問題｣ 第�B集, 数ｾﾐ･ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞｽ, 日本評論社 (1988) No.40
G.ガモフ: ｢数は魔術師｣, 白楊社
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2607/SPR/SprYume.htm

半径1の球面上に4点O,A,B,Cをとる。以下の問いに答えよ。
(1)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑の最小値を求めよ。
(2)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑が(1)で求めた値となるときの|OA↑|の最大値を求めよ。

第６問
三角形ABCにおいて、BC=a,CA=b,AB=c,∠BAC=Aとおくとき
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
が成り立つことを証明せよ

>>515>>517
図法に依らず？

余弦定理の証明って実際にあったんじゃなかったっけ？

それはたぶん加法定理ね。

関数f(x)={1-(1/x)}^x　の増減を求めよ。
また、xを、0＜x≦128を満たす整数とするとき、
この関数の最大値とそのときのｘの値を求めよ

>523
　e^(-t)>1-t, log(1-t)<-t.
　{log|f(x)|} '= {x･log(1 -1/x)} '= log(1 -1/x) +1/(x-1) = -log{1 +1/(x-1)} +1/(x-1) >0.
　∴ f(x) は x>1 で単調増加。

>>523
宿題は質問スレに書け！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

>>517
微積を使わない直感的な説明も可能。

150のp＝2の解説お願いできますか。東大志望の現在偏差値50程度です。

>>527
素朴にやればいいのでは？

この2次方程式の判別式をDとすると，D=(5-p^2)^2+12p^2=p^4+2p^2+25．
2次方程式が整数解を持つとき，判別式の値が平方数となることが必要なので，
mを非負整数として，
p^4+2p^2+25=m^2 ⇔ (p^2+1)^2-m^2=-24 ⇔ (p^2+1+m)(p^2+1-m)=-24
とおける．よって，p^2+1+m≧2^2+1+0=5 を考えて，
(p^2+1-m，p^2+1+m)=(-1，24)，(-2，12)，(-3，8)，(-4，6)．
このうち，条件に適するものは，(p，m)=(2，7)．
逆に，p=2 のとき，(x+2)(2x-3)=0 となり，整数解 x=-2 を解に持つので十分．
∴ p=2・・・答

ありがとうございます。
必要条件から得られた数値が命題をみたすか実験するのですね。もし実験が命題を満たさなかったら、答えはなしですね。答えがあることを前提にして解くのは背理法の逆なのかなあ。

マジで東大狙ってる奴はこんなとこいたらダメなんじゃないかな？
今年受けるとしたら偏差値50では100％落ちるし1年や2年でその成績なら青チャートでもやってた方がいい
ここはあくまで遊びの場だと思うよ

>>530
同意なんだが、今更言うことでもないし
高校生がこんなところ来て、遊んでるんだったら
そいつが悪いとしか言いようが無い。

このスレの問題ってあまり東大の問題っぽくないよねｗ
模試とかじゃないからあまり似てなくても入試には出なさそうでも
適当に難問を集めてるのが大半かと

難問でもないような気がするが。
もっと難しい問題希望

私達と知的なひとときを過ごしませんか？
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1139580462

f(t)を連続な関数とする。
このとき、点A(t)=(t,0)、　B(t) = (f(t),1＋{f(t)}^2)を考え、
0≦t≦1の時に、線分ABが通過する領域を考える。

この領域の面積の最小値を求めよ。
また、そのときの関数f(t)をひとつ求めよ。

>>535
類題を見たことがあるな。

ひとつ求めよってひとつしかない

フェルマーの最終定理をn=4或はn=3の時について示せ
又、あるべきnについて解が無い時そのいかなる倍数のべきについても解が無いことを示せ

>>538
昔本で証明見たな・・・
XYZが最小になる（X,Y,Z）の組に１でない公約数が存在する背理法だったと
思う。４のときはX＾４＋Y＾４＝Z＾２で証明する。

三角形ABCでtanA,tanB,tanCが整数となるtanA,tanB,tanCの組を求めよ。

>>538
n=4の場合
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/fermat_th4.pdf
n=3の場合
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/fermat_th3.pdf

少なくてもn=3の場合は高校の範囲外だと思う。

無限降下法？だっけ

>>540
一橋の過去問

単位球に内接する四面体の体積が最大になるのはどういう時か（理由を添えて
又その時の四面体の体積を求めよ

>>544
それに似ていて、より難しい問題が過去問で出てた。

>>537
なぜ。

計算するのが面倒だけど、概略の方針だけ>>535に与えておこう。
細かい証明は他の誰かに頼んでくれ。　俺はイヤダ。

線分A(0)B(0)とA(1)B(1)が端点以外で交わらないケース。
線分A(0)B(0)とA(1)B(1)が端点以外で交わるケース。
の二つに分けて考える。

前者はほぼ明らかに最小値が求まる。
後者は交点をCとおいて、△A(0)CA(1)と三角形っぽいB(0)CB(1)の面積について考察する。

http://hw001.gate01.com/akiyoshi/index.html

ＺＦＣ＝159　を示せ。

>>535
はみだしけずり

>>545
どんな問題？
単位球に内接する正四面体の体積はそれなりに知られてるけど
体積が最大になるとき正四面体になることを証明って結構発想力使うと思うが

>>551
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/t_pdf/88s.pdf
問6

四面体の場合と同じ発想で解けるけど、若干・・・本当に微妙に若干だけ難易度が上がってる気がする。

>551
88年度東大理系

第 ６ 問
　空間内の点Ｏに対して，4点Ａ, Ｂ, Ｃ, Ｄを
　　　　ＯＡ＝１, ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４
をみたすようにとるとき, 四面体ＡＢＣＤの体積を最大値を求めよ.

>553
3点B,C,D は平面 z=z0 上にあるとする。B,C,Dは半径 R=√(4^2 -z0^2) の「外接円」上を動く。
△BCDの面積をSとおくと、相加相乗平均、凸性、B+C+D=π から
S = 2(R^2)sin(B)sin(C)sin(D) ≦ 2(R^2){[sin(B)+sin(C)+sin(D)]/3}^3
　≦ 2(R^2){sin((B+C+D)/3)}^3 = 2(R^2){sin(π/3)}^3 = {(3√3)/4}(R^2) = {(3√3)/4}(4^2 -z0^2).
　等号成立はB=C=D=π/3、△BCDが正三角形のとき。
Aから△BCDまでの垂線の高さをhとおくと、OA=1 より
　h = |z(A) - z0| ≦ 1 + |z0|.
体積V = (1/3)Sh ≦ {(√3)/4}(4^2 -z0^2)(1+z0) = 9√3 - {(√3)/4}(5+z0)(2-z0)^2 ≦ 9√3.
等号成立は z0=2, z(A)=-1, h=3, R=2√3 のとき。(終)

>551
　4面体のある面が正3角形でないなら、それより大きい4面体を作ることが可能。

>>555
たとえば、どんな四面体で体積はいくつになるの？

質問スレ池

球に内接する四面体で体積最大になるのは正四面体だろ？

ある円に内接する三角形の中で面積最大なのは正三角形であることは容易に証明できる
そこから>>555にいたるのは自明

ただ>>555だけで正四面体のときに最大だと言えるかは疑問だがな
体積最大のものがあるとすれば正四面体以外にありえないとはいえる

>>555

4面体のある（一つの）面が正3角形でないなら、（その四面体）より大きい四面体を作ることが可能。


4面体のある（一つの）面が正3角形でないなら、（>>551(正四面体)）より大きい四面体を作ることが可能。



後者だと思って読んでしまったorz

今年の東大の数学ひどすぎる・・・
京大に至っては１時間で全完可能。恐るべし新課程・・

あれはひどいな。
後期に期待するよ。98年のような問題がいいな。

東大前期の問題見ましたけど、なんかフツーの問題ばっかりで寂しいっすね。
代ゼミの概評だと第3問とかに「複雑な計算を的確に処理することが要求される」
なんて書いてあるけど、こんなの複雑なうちに入らないって・・・

まあ、後期は、（良い意味で）とんでもない問題を期待。

予備校が直ぐに解答作れないくらいの問題がいいよね

>>565
激しく同意！
2chでも誰も解けなくて一番最初に解答出した奴が神になれるという設定で！

>>565
それ受験の問題として妥当か？

98年後期の第3問は？予備校は解けたの？

>>567
大門一個ぐらいならいいべ。　毎年恒例の超難問とか

>>568
その問題は知らないんだけど。
受験会場より解きやすい状況にある予備校が解けなかったら
受験生は誰も解けなかったんじゃないかな。
「解ける問題か否かを見極める力」を問う問題は受験の趣旨に合わない気がする。

と、ここまで書いて予備校の解答速報ってたまに間違いがあるな、とか
普段から解けずに切る問題あるなぁ、とか思ったけど
せっかく書いたんだから送っちゃえ。（ﾎﾟﾁｯと

>>570
これ
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/tokyo-index.html
この解答じゃ不十分な気がするが

∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx＞8であることを示せ。

複素数Zn(n=1,2,3,…)をZ1(←n=1の意味)＝1、Z(n+1)(←Znのnの部分がn+1の意味)＝(3+4i)*Zn＋1によって定める。
�@すべての自然数nについて
(3*5^(n-1))/4＜｜Zn｜＜5^n/4
が成立することを示せ。
�A実数r>0に対して、｜Zn｜≦rを満たすZnの個数をf(r)とおく。このとき、
lim[r→∞](f(r)/log(r))
を求めよ。

>>572
∫e^x*sin^2(x)dx
=∫e^x*(1-cos2x)/2dx
=e^x/2-(1/2)∫e^xcos2xdx
=e^x/2-(e^x*sin2x)/5-(e^x*cos2x)/10
∴∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx
=(2/5)*(e^π-1)>(2/5)*{(14/5)^3-1}=(2/5)*(2744/125-1)=(2/5)*(2619/125)=5238/625=8.3808
eとπについてどう考えればいいんだ？

>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx=(2/5)*(e^π-1)
また、曲線y=e^xのx=3における接線を考えて、x>3のとき、e^π＞e^3*(π-3)+e^3だから…

ﾚｽｱﾝｶｰついたのでもう一度
>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx=(2/5)*(e^π-1)
また、曲線y=e^xのx=3における接線を考えて、x＞3のとき、e^π＞e^3*(π-3)+e^3だから…

２００４某大学過去問数学です　
（１）Xのｎ乗＋Yのｎ乗＝Zのｎ乗　ｎ≧３のとき与式を満たす自然数XYZが存在しないことを証明せよ。

>>576
π>3と断定してしまうんならe^π>e^3とした方が早いのでは？

と思ったけどe^3だと21より小さいわけかスマン

>>577
ムリ。X=Y=Z=1のとき成立する。

>>580
２＝１？

>>577
どこの大学か　言　っ　て　み　ろ

>>538-541あたりでも出てるがn=4のとき以外は高校の数学過程の範囲内では不可能
nが固定されてて誘導があるならまだしも一般解って何だその嘘
生徒に100枚を超える論文書けってか？阿呆か

>>577
うそつき！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

相当質の悪いネタなのに、食いつきいいなお前ら。
なんだそのヌクモリティ。

これが数学板クオリティ

>>577
まずFLTを持ち下げて「某大学過去問」等と発言してることから数学の知識は乏しい
更にX^nと書くのがセオリーなのに対して「Xのｎ乗」と書いてることから数学板の住人では無い

敢えてこう書くことによってかわいさをアピールしてる可能性は低い
では何故FLTを過去問としてこのスレに書いたのか
1：学校等で偶然耳にしたFLTの答えを知りたかった
2：偶然FLTの情報を耳にし、数学板の住人のレベルを確かめようとした（FLTの有名さを知らなかった
3：悪質なネタ

悪質なネタにしても質が悪すぎることから3ではないだろう。いや、そう信じたい
数学板の住人でも無いのにわざわざ数学板まで来て尚且つこのスレに書き込む意図が不明すぎる
よって1か2と思うのだが典型的な房の雰囲気が出ていることから両方が当てはまると思われる
つまり>>577は
学校で先生等に「これ解けるか？」等或いは
無知な先生等に「これどっかの過去問なんだけど」等と言われ、答えを知りたくなった。
そして数学板への書き込みだが、変にプライドが高いせいか質問スレで「教えてください」とは言いたくなかった。
敢えてこのスレに書き込むことで「なんとなく答えが書かれる」ことを望んでいたが結果叩かれた

おまえらの食いつき見てると涙出てきた。
このスレも余程ネタ不足なんだな。
俺が自作問題投下してやるよ。

a>1とする。xの方程式a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つようなaを求めよ。

数学板にいて、かつ数学の知識が低い、スレ汚ししている奴に絞れば、
>>577の正体は、だいたい察しがつく

・ カウント厨
・ 計算厨 （レス番号を数字で書き込む奴）
・ ゆんゆん
・ 数学にロマンを持ったアホ
・ 毎日、数学板にクソスレを立てている奴

>>587
a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つ⇔a^x=xが異なる2つの整数解を持つ
x>0においてa^x=x⇔a=x^(1/x)である。
ここで
y=x^(1/x)のグラフを考える
y'=(1-logx)x^(1/x-2)より0<x≦eで単調増加、e<xで単調減少
またe<xの範囲でx^(1/x)>1
また2^(1/2)=4^(1/4)=√2
以上のことからm^(1/m)=n^(1/n)となる異なる自然数m,nの組は2と4だけである
∴求めるaの値は√2で2つの整数解はx=2,4

3乗のときは確か解けなかったっけ

高校数学で解けるのはnが4の倍数のときだけ。

3の時に使う高校で習わない知識って何？

>>587
どこが自作問題なんだ？
65536年前から頻出だよ。

10000年と2000年前から愛してるよ

>>573に答えよ。

>>574
　π > 3.1333･･･ = 4･0.7 + (1/3) > 4･log(2) + (1/3),
　e^π > (2^4)e^(1/3) > (2^4){1+(1/3)} = 64/3 > 21.
と考える....

フィボナッチ数列の一般項を求めよ

受験で特性使ったら減点されるっけ？

されるわけ無いじゃん
ただなぜそうなるかを理解せずに
「定石」を適用しているように見える解答は望ましくない

けど高校の数学課程範囲外でしょ？

漏れが受験の時は先生に
「使ってもいかにも使ってないように見える答案にしろ」と言われたが

>>573,595
　|3+4i|=5,　1/(2+4i) = (1-2i)/10 より,
　{Z_(n+1) +(1-2i)/10} = (3+4i){Z_n + (1-2i)/10} = …… = (3+4i)^n･{Z_1 +(1-2i)/10} = (3+4i)^n･{(11-2i)/10}.

とりあえず新課程では複素数の絶対値は習わないわけだが

>>599
それはあんたが特性方程式の何たるかを理解してないんだよ。

>>601
それ本当？
絶対値をやらない複素数なんて何に使えるんだろう。

>>603
新課程生だが、習ってない。
まぁ受験勉強としては一応知ってるけど。

>>589の
＞a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つ⇔a^x=xが異なる2つの整数解を持つ
っていきなり言い切っていいものなのかな

>>573
�@
α=(3+4i)*α+1とおくと
Zn-α={(3+4i)^(n-1)}*(1-α)
三角不等式
｜Zn｜-｜α｜≦｜Zn-α｜≦｜Zn｜+｜α｜
を用いる。
�A
�@から
｜Z1｜＜｜Z2｜＜｜Z3｜＜…
f(r)=kとおくと
｜Zk｜≦r＜｜Z(k+1)｜
ゆえに�@から
3*5^(k-1)/4＜r＜5^(k+1)/4
r→∞のときk→∞
∴1/log5

新課程の複素数の範囲糞簡単杉なんだよな

もはやe^π＞21の証明だよね

>>605
y=a^xは単調増加だから(p, q), (q, p)がともに
y=a^x上の点となるのはp=qのときに限るってぐらい言ったほうがいいよな。

>>592
>>541

こんなスレ見つけた

ttp://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089214156/l50
ttp://www.casphy.com/bbs/highmath/#R8

>>608
「もはや」の使い方がおかしい。
自画自賛乙。

>>608
外国人ですか？

y=x^x^x^…のグラフの概形を書け。

>613
ノ ←こんな感じ

>>611-612
おかしくないだろ
阿呆ですか？

大学受験板のスレですが数学の問題(物理、化学も)を出し合って楽しんでいます
是非一度お越しくださいませ
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1139580462

定積分∫[1〜∞]dx/√(x^3-x))を求めよ。

talk:>>613 x=e^(1/e)付近でどうするか？

>618
とりあえず増減表的なものを書ければよしとする方針で。Kingは出来たみたいだな。

>>615
くににかえれ！
おまえにも かぞくが いるんだろ （ガイル）

talk:>>613,>>619 xが1未満のとき、xが1より大のとき、xがe^(1/e)のとき収束することもしめさないといけないのか？

>621
それを示して、かつ微分可能性も調べなければグラフは書けない。1≦x<e^(1/e)で単調増加であることも示す。めんどくさいだろうが。

>>620
新米乙
お前が自分が元居たスレに戻れ
>>611-612>>620は>>608のｱﾝｶがどれかも解らない低能

king久々に見たな

馬鹿二人つまらん争いはやめろ

king俺は今から嘘を言う
しかし二言目に言うことは本当だ
kingはとりあえず生きろ

>>625
馬鹿

だれか608を日本語にしてください

何この必死なスレ？

kingは一生の12分の1を少年として過ごし、3分の1をｷﾓｦﾀﾈﾗｰとして過ごした。
その後9分の1を経て風俗に目覚め10年間通い続けた。
2年後kingは犬を飼い始めたがkingの寿命の12分の1しか生きられなかった。
kingは犬が死んだ6年後に死んだ。

kingの寿命は？

>>628

>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx＞8　という証明だけど
e^π＞21　の証明がこの問題の難しい所だよね

ディオファントスのking

talk:>>624,>>632 私を呼んだか？
talk:>>626 お前に何が分かるというのか？
talk:>>630 そんなことより、風俗通い10年分の金をくれよ。

>>630
kingの寿命、46歳くらいか？
あと2,3年でしぬじゃん

talk:>>634 お前に何が分かるというのか？

talk:>>633 ｷﾓｦﾀﾈﾗｰは否定しないのか？

Ａ，Ｂがじゃんけんをする。
どちらかが勝てば、勝った方が「二人の出ている指の本数の差の絶対値」だけ得点がもらえる。
（グーで勝てばチョキとの指の差は2本なので2点）

じゃんけんを繰り返し、6点獲得すれば勝者となる。
Ｂは3/7の確立でチョキ、2/7の確立でグー、2/7の確立でパーを出す。
Ａがこの勝負に勝つ期待が最も大きくなる時、Ａがグー、チョキ、パーをどのような確立で出した時か。
又、期待が最も小さくなる時も求めよ。

exp(π)>exp(3.125)

>>67
○確率
×確立
っていうかＡが出すのはＢに対しての期待値で一意に定まらないか？

誰か>618出来ませんか？

まぁ結局は原点白丸でx=e^(1/e)までの

ノ

こんなグラフ

ｘ＝ｙ＾（１／ｙ）。
ｅｘｐ（−１）≦ｙ≦ｅｘｐ（１）。

昔
1.4^1.4^1.4・・・て1.4を何回1.4乗すると2を超えるでしょう
とかいう問題出されたな

4回

3回だった

1.4^1.4^1.4…とかいたら普通は
1.4^((1.4^(1.4＾(1.4.........))))のことだけど

書き方がマズかった
1.4を何回1.4乗するとって書いたらﾀﾞﾒだね

http://tsb.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/oekaki/189.png
この絵参照

>>643
何回やっても2を超えないと思うが

>>647
式の意味を…

>>649
f(1)=1.4
f(n+1)=1.4^f(n)
ととってあげてくれ

こんくらい察しろよ＾＾；

a^b^cと書いたら普通a^(b^c)の意でしょ。
(a^b)^cだったらa^(bc)と書く。

0以上e^(1/e)以下で収束？？

2 < log_{1.4} 2 < 3
1.4^(1.4^n)が2を超えればいいのだから3

慣用の指数の付け方で書いてるのなら
何度1.4の肩に乗せても2は超えない

608は三国人

n を 0 以上の整数とする
10^(3^n)-1 が 3^(n+2) で割り切れ、
3^(n+3) では割り切れないことを示せ

>>656
数学的帰納法で証明
1)n=0のとき10^(3^0)-1=9なので3^2で割り切れるが3^3で割り切れない
2)n=k(k=0,1,2...)のとき
10^(3^k)-1が3^(k+2)で割り切れるが3^(k+3)で割り切れないと仮定する・・・A
10^(3^(k+1))-1=(10^(3^k)-1)(10^(2*3^k)+10^(3^k)+1)
ここで10^(2*3^k)+10^(3^k)+1の10進法各位の数の和は3なので3で割り切れるが9で割り切れない
ゆえにAの仮定とあわせて10^(3^(k+1))-1は3^(k+3)で割り切れるが3^(k+4)で割り切れない
1)2)より0以上の自然数nについて
10^(3^n)-1は3^(n+2) で割り切れるが3^(n+3) では割り切れない

結構重要な定理の特殊な場合なんだけど、やっぱここじゃ瞬殺か…

>>617
　x=1/(t^2) とおくと dx=-(2/t^3)dt
　∫[1,∞)｛1/√(x^3 -x)}dx = ∫[0,1] {2/√(1-t^4)}dt = (√2)Ｋ(1/√2) = {1/(2√2π)}Γ(1/4)^2
　Ｋ(1/√2) = 1.854074677301372…　　(第1種の完全楕円積分)

>>658
誰も解けずに放置されている問題の方が遥かに多い。
誰も興味を持たずに、の方が性格かも知れないが。

AB=a (0<a<1) BC=1の長方形ABCDがある。
動点PをBP=1かつ、線分BPと線分ADが共有点Qを持つように動かす。
このときできうる二等辺三角形PQDの個数を求めよ。

↑わからん。答えは？

2個

場合分けいらねーの？

場合分けは間違いなく必要

0<a<1の意味がわからん。

a≧1だと三角形ができないからだろ

>>661
PQ=QDはあり得ない。
PQ=PDの二等辺三角形は
0<a<2(1-2^(-2/3))^(3/2)で2個
a=2(1-2^(-2/3))^(3/2)で1個
a>2(1-2^(-2/3))^(3/2)で0個
DP=DQとなる場合が分からねえ

>>667スマン。そういう意味でなく、>>668のいうように0<a<1の間でさらに場合分けがあるのかどうかが知りたかった。

場合分けは必要性に応じて自分でするもんだ。

いや、わからんからなんだが。

とりあえず考えたとこまで書け

PQ=QDはあり得ない。ここまでしかわからん。そのあと何をつかって解いていくのかさっぱりだ。

DP=DQの二等辺三角形は0<a<1で1個だな。

初めから全部代数的にやると因数分解がめんどいから、
二等辺三角形を二等分して三角形の相似から関係式を得ると早い。

東大生でも全然解けない超難問をVIPで考えるスレ
http://ex14.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1141237140/

>>675
初めから → 始めから or はじめから

はじめて何かをするときは、「初めて」だよ。
何々しはじめるときは、「始める」だよ。

　　　＿＿,, ,　,　,　_ ､ ,,, ...　,,　_　..,_
　ー=､ ､ｰ-､`ヽ､、ヽ`!i' , ,i",r'",-'"=ミ
　　　 `ヽ`ヾ`､　! ヽ ! l! i! !_i_/_<'"``
　　　　　`,ゝ､iliｰ'"　"､,"､',　 i,　ﾘ
　　　　　 !/!,li ,;;-=o=-,ｯｨ=｡ｩｨ
　　＿_　 i､`!', '; `ー　/;;!i､''; ,!
ー''`ヽ`,ｰi'`''"!､ヽ　,　`一'､ /　　　__
　　　　`il `i !　ヽ､　 ￣￣ / iヽ、/ ,.ヽ_
　　　　　i!　!`　　 `ｰｧ､-ｰ'　 ! ﾉ!トi,!'",ﾉ-､
　　　,..=､i! iヽ-､　rィ',;'!ヽー-､! 　`/_,i' _,.!'､
ーニｰ-､._ `ヽゞﾆ-､.;' i! ! ,　　`ﾄ_ﾉ`x-'" ノ
=ニヽ､　,　`,　/ヾ=ソ ﾉ　!/　　　!､`ｰ`''イ､
-ｰ-､　`i,　/ / ヽ `イ_,　 i -'"￣`!　!　　　ヽ
　　　ゝﾉ /-'"　　`　　　'　!　　　　ヽ　　　　 !

お前も義務教育くらい受けたんだろ？
二度と間違えんな！
約束だぞ！

>>675
直角三角形をつくるってこと？そうであればそこから式作った後がわかんないんだが。

>>677
小学生ですか？
辞書引いてみろ

>>678
微分してグラフ書け

>>677
えーと、名詞、動詞、副詞の区別はできるかな？

後期のセット
第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(�@)または(�A)が成立することを証明せよ。
(�@)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(�A)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
a>1のとき、次の極限値を求めよ。
lim[n→∞]∫[0,n]{(1+x/n)^n}e^(-ax)dx
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。

後期にしては問題文がやけに淡白だな

ｆ(x)=e^x
f(x)をｘ軸を軸に対称移動させ、y軸方向に-2移動させた関数をg(x)とする。

ｘ軸上の点Ｐ(p,0)を中心に楕円をf(x)、g(x)、y軸の全てに接するように描きたい。
pを求めよ

>>682
ちょｗｗｗ(2)簡単すぎｗｗｗ
後期だったらこれくらいやらないと。

第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(�@)または(�A)が成立することを証明せよ。
(�@)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(�A)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=0,∞](1/k^2)を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。

>>685
そんな知識問題出せるわけねえ

>>685
ちょｗｗｗ(2)簡単すぎｗｗｗ
後期だったらこれくらいやらないと。

第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(�@)または(�A)が成立することを証明せよ。
(�@)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(�A)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=0,∞](1/((k^2)logk))を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。

>>687
じゃあおまえ解けるのか？高校の範囲で解いてみろよ。

>>685
(2)定義されない

まず1完だな

>>688
有名問題で鼻息荒くすんなよ

>>689
スマン、申し訳ない。
>>685訂正

第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(�@)または(�A)が成立することを証明せよ。
(�@)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(�A)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=1,∞](1/k^2)を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。

>>691
他人の出題に寒い改変ｲｸﾅｲ

ここは自作問題うｐするスレだぜ。
人様の出題に対して化石みたいな有名題で上書きとはふてえ野郎だ

正直、ここで出された問題があたってたら、
ｽｹﾞｰって思うけど、>>691は外れるだろうなｗ

そんな阿呆な第2問が出るわけ無いだろう

ごちゃごちゃ言うやつに限って解かずに答えをﾚｽしようとしない。

>>661の解方をアップしてくれ。

>>697
いいけど長くなるからちょっと時間くれ。

数列{a_n} (n=1, 2, 3, ・・・)の各項は負でない整数で、
a_{n+2}=a_n-a_{n+1} (n≧1)
を満たしている。
この数列は、a_{m-1}-a_m<0となると停止し、このときの「長さ」はmであると定める。
たとえば、120, 71, 49, 22, 27の長さは5である。

(1) a_1=150, a_2=B とするとき、長さmが最大となるBの値を求めよ。
(2) mはm≧5なる自然数とする。
　　このとき、次の２つの条件をともに満たす数列{a_n}は全部で何通り存在するかを答えよ。
　　（条件１）: 長さはmであり、末項a_m≦2000
　　（条件２）: 任意の自然数nに対して、a_nは5の倍数でない。

このスレいつ見ても必死

Aを2行2列の正方行列としてAの逆行列を求めよ(証明)

マルチ

そんなに>>661の答えが知りたいか？

もはや質問スレ以外の何者でもないなこのスレ

>>682
　第1問
　nに関する帰納法による。
　n=3 のときは明らか。
　或る n-1 に対して成り立つとする。
　(i)の場合は、点P_1 〜 P_(n-1) は1つの直線L_0 上にある。
　　点P_n も 直線L_0 上に有れば(i)が成立。
　　点P_n が 直線L_0 上に無ければ、P_n と他の点を通る直線(n-1本)と L_0 と有るので(ii)が成立。
　(ii)の場合は 点P_1 〜 P_(n-1) の2個以上を通る直線 L_1 〜 L_(n-1) がある。
　　点P_n と 他の1点P_jを通る新たな直線 L_n が有るので(ii)が成立。
　　但し、点P_n がある 直線L_i 上に有るときは、直線L_i 上に無い点P_j を択ぶものとする。

>>682
　第2問
　(1+x/n)^n = �納k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k = �納k=0,n] (1-1/n)(1-2/n)…{1-(k-1)/n} (x^k)/k! はnに関して単調増加で、
　lim[n→∞) (1+x/n)^n = lim[n→∞) �納k=0,n] (x^k)/k! = e^x.
　ε>0 に対して或る自然数Nが有り、
　n>N ⇒ e^x -ε < (1+x/n)^n < e^x.
　∫[0,n] (e^x -ε)e^(-ax) dx < ∫[0,n] {(1+x/n)^n}e^(-ax) dx = ∫[0,n] (e^x)e^(-ax) dx.
　[ -(1/(a-1))e^(-(a-1)x) + (ε/a)e^(-ax) ](x:0,n) = ∫[0,n] …… dx < [ -(1/(a-1))e^(-(a-1)x) ](x:0,n).
　(1/(a-1)){1-e^(-(a-1)n)} - (ε/a){1-e^(-an)} = ∫[0,n] …… dx < 　(1/(a-1)){1-e^(-(a-1)n)}.
　ここで n→∞ とすると
　1/(a-1) - (ε/a) ≦ lim[n→∞)∫[0,n] …… dx ≦ 1/(a-1).
　これが任意のε>0 に対して成り立つから、
　lim[n→∞) ∫[0,n] …… dx = 1/(a-1).

xy平面において曲線|x|^n+|y|^n=1で囲まれる部分の面積をS(n)とする
lim(n→∞)S(n)を求めよ

>707
S(n) = 4∫[0,1] (1-x^n)^(1/n) dx = 4(1+2/n)Ｂ(1+1/n, 1+1/n) = 4[Γ(1 +1/n)]^2 /Γ(1 +2/n).
lim[n→∞) S(n) =4.
円 → かどの丸い正方形 → かど張った正方形

>>708の途中からよく分からんけど
0≦x＜1でlim(n→∞)(1-x^n)^(1/n)=1だから
lim[n→∞) 4∫[0,1] (1-x^n)^(1/n) dx =4∫[0,1]dxってしちゃだめなのか？
x=1のところがおかしくなるからNGかな？

東大の後期試験まであと1週間ということで・・・俺が作った問題ではないが
第1問
nは2以上の整数とし、a(1),a(2),a(3),a(4)は次のふたつの条件を満たす正の整数とする。
�@)各i=1,2,3,4に対して、nとa(i)は互いに素である。
�A)すべてのk=1,2,・・・,n-1について
　　{ka(1)}(n)+{ka(2)}(n)+{ka(3)}(n)+{ka(4)}(n)=2n
　　が成り立つ。
このとき、{a(1)}(n),{a(2)}(n),{a(3)}(n),{a(4)}(n)を、和がnになる2組の対に分けることが
できることを示せ。ただし、正整数nに対して{a}(n)は、aをnで割った余りを表す。
第2問
aが0でない整数ならば、
x^n+ax^(n-1)+ax^(n-2)+・・・+ax-1
は、２つの整数係数多項式の積に因数分解できないことを証明せよ。
第3問
10人が円卓を囲んでいる。各人の前に何枚かずつカードが置かれていて、合計は100枚である。
合図があると、各人は一斉に自分の前のカードの中から、もしそれが偶数枚だったらその半分の
カードを、奇数枚の時は１つ足してその半分の枚数のカードを、右側の人に渡す。
このカードの移動を繰り返すと、いつかみんなの前にはちょうど10枚ずつのカードが置かれている
状態になることを証明せよ。

誘導なしかよ

>>709
lim[n→∞) 4∫[0,1] (1-x^n)^(1/n) dx =lim[x→1-0)4∫[0,x]dx=4
とすれば問題ないと思う

４／２＾（２／ｎ）≦Ｓ（ｎ）≦４。

>>709
(1/2)^(1/n) =a とおく。
|x|^n + |y|^n =1 のグラフは 4点(±a,±a) を通るので 一辺2aの正方形を含むらしい。>713

8点(1,0), (a,a), (0,1), (-a,a), (-1,0), (-a,-a), (0,-1), (a,-a) をつないだ8角形を含むならば
　4･(1/2)^(1/n) < S(n) < 4.

>>699
　a_n = (-1)^n･{BF(n-1) -AF(n-2)},　A=a_1,　B=a_2,　F(n) はフィボナッチ数列

関連スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/

今年の後期簡単すぎないか？

x^n+ax^(n-1)+ax^(n-2)+・・・+ax-1
x^n-1=ag(x)
ag(1)=a(n-1)<>0
g=(x^n-x)/(x-1)=x(x^n-1-1)/(x-1) x<>1
g(1)=(n-1)

いつもでたらめ書いて何をしたいんだか

2004年

[133]青いラッコ 06/03/11 16:27
問) �B
xy平面上の放物線 y=x^2 上の3点 P,Q,R が次の条件を満たしている。
△PQR は一辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは √2 である。
このときaの値を求めよ。

ザ･掲示板（数学）
http://math.bbs.thebbs.jp/1140967809/133,154

>>719
このコピペの存在意義が分からん。
概してコピペとはそういうものであるが、
願わくば場所とタイミングが絶妙のコピペが見たい。

出ていたらごめん。
ここの
>>29
って今年の京都大学，後期4番そのものじゃない？
（京大のは）
半径1の円上に3点ABCをとるとき，△ABCの内接円の最大値，って問題。
有名問題とはいえ，タイムリーで恐れ入った。

最大値，ではなく1/2を超えないことでした。
申し訳ない。
でも，そのものであることに違いはないけど。

>>721
平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある。△ABCの内接円
の半径rは1/2以下であることを示せ。

>721-723
　△ABCの3辺の中点を結んだ△DEFは、△ABCの1/2の大きさである。
　△ABCの外接円の半径はR=1だから、△DEFのそれは1/2である。
　△DEFの外接円はAB,BC,CAの3辺と交わる(or接する)から、△ABCの内接円はこれに含まれる(or一致する).
　よって　r ≦ R/2 =1/2.

n次元空間E^n内の点Ｏを中心とし半径1の超球面上に相異なるn+1個の点がある。
これらが作る超多面体に内接する超球の半径rは1/n以下であることを示せ。

大関: ｢不等式への招待｣ 近代科学社 (1987) p.7-8

>725
　超多面体をＰ, その頂点をP_i (i=1〜n+1) とする。
　P_i以外のn個の頂点からなる超対面の重心をQ_iとすると、
　　OQ_i↑ = (1/n)Σ[j=1〜n+1,j≠i] OP_j↑
　Q_i (i=1〜n+1)が作る超多面体Ｑは、Ｐの1/nの大きさである。
　{P_i}を通る超球の半径はR=1だから、Ｑのそれは1/nである。
　{Q_i}を通る超球はＰの各超表面と交わる(or接する)から、Ｐに内接する超球はこれに含まれる(or一致する).
　よって r ≦ R/n = 1/n.　　　　　　　　　　　　　　　 (清水多門氏)

y＝x*e＾−x*sinxとx軸との間で囲まれた部分の面積のうち、
x＝（n-1）π　x＝nπ　で区切られた部分の面積をＳ（ｎ）とする。

（1）Ｓ（１）を求めよ

（２）Ｓ（ｎ）を求めよ

（３）Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。

（４）lim【n→∞】Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。

関数Ｙ＝１/Ｘに於て、区間１から２までの間をn等分する。
（１、１）をａ（０）、そこから１/nずれた関数上の点をａ（１）とし、
以下任意の整数k（０≦k≦n）に対し、（１+k/n、１/（１+k/n））
をａ（k）とする。
そして原点、ａ（k）、ａ（ｋ+１）で囲まれた三角形の面積をＳ（k）
とする。
(1)
この時lim（n→∞）ΣＳ（k）（k＝０→k＝n-１）を求めよ。
(２）
（１）で求めた値をT１とする。
また∫【１→２】（１／X）dx＝T２とする。
T１/T２を求めよ。

√(729) = 27

Ｙ＝x*ｅ＾（−x）*sin（x）とx軸との間で囲まれた部分を
x軸の周りに一回転させる。
この時できる立体群の体積のうち、x＝（n−1）πとx＝nπ【n=１、２、・・・・・】
の間の立体の体積をＶ（ｎ）とする。
（１）Ｖ（１）を求めよ。

（２）Ｖ（ｎ）を求めよ。

（３）ΣＶ（k）［k＝１→k＝n］を求めよ。

(４）ｌim【n→∞】ΣＶ（k）［k＝１→k＝n］を求めよ。

教えてください。
以下の規則で数列を定める。
初項をＡ１とし、1以上の自然数ｎに対し
Ａ（ｎ+１）＝ｎ*Ａ（ｎ）/e＾nの漸化式を満たす数を次項とする。
この時lim（n→∞）Ａ（ｎ）を求めよ。
この漸化式から一般項を求められますか？
求められれば極限計算できるのですが・・・
よろしくお願いします。

An+1=A1ΠAn+1/An=A1Πne^-n=A1n!e^n(n+1)/2

>>731
マルチ

そのまえにスレ違いだろ

そのまえにマルチ

そのまえに板違い

y＝x*e＾−x*sinxとx軸との間で囲まれた部分の面積のうち、
x＝（n-1）π　x＝nπ　で区切られた部分の面積をＳ（ｎ）とする。

（1）Ｓ（１）を求めよ

（２）Ｓ（ｎ）を求めよ

（３）Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。

（４）lim【n→∞】Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。
だれか解け、俺は三十五分で完答したぞ。

>>737
０点

【陸上】
ティラノサウルス≧ギガノトサウルス＞アロサウルス＞＞タルポサウルス
＞＞＞＞＞＞＞＞アフリカゾウ＞ホッキョクグマ＞インドゾウ＝シロサイ＞ヒグマ＞
カバ＝キリン＞ガウル＞アフリカ水牛＞アムールトラ＞イリエワニ＞バイソン＝バッファロー＞＞トラ
＝ライオン＞クロサイ＞ジャガー＞アメリカグマ＞ナイルワニ＞ゴリラ＞チーター＝ピューマ
＞オオカミ＝ヒョウ＞インドガビアル＞セイウチ＞ゾウアザラシ
＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞＞ 数学ヲタ
【水中】
シロナガスクジラ＝マッコウクジラ＞シャチ＞ホオジロザメ＞ツチクジラ＞アオザメ＞ヨシキリザメ＞ホッキョククジラ＞
ナガスクジラ＞イッカク＞＞＞＞オオダコ＞＞大王イカ ＞＞＞＞数学ヲタ

特例無しの平均勝負
冷めた目で見つめてみた結果です

ププｗｗやっぱティラノ最強だね！！！
数学ヲタ弱ｗｗｗｗｗｗ
結論世界最強の動物はティラノ！！！！

同じイネ科の植物でも水田農業と畑作農業ではまったく違う。ある心理学者は、
日本人の集団主義と相互監視社会は水田農業にあるとしている。
水田農業では一つの川から大勢の人間が水を引くので我田引水的な行動はできない。
だから独自の集団主義的な精神文化が形成された。
このように、同じイネ科でも種によって民族の文化も変わってくるのだ。
それに日本人と遺伝子が近いシベリア先住民は今でも狩猟中心の生活だが、
これは「よく似た別の種」がなかったからだ。

talk:>>739 雑魚に何が分かるというのか？

>>727,737
F(x) = ∫ x･e^(-x)･sin(x) dx = (1/2) - (1/2)e^(-x){x･sin(x) +(1+x)cos(x)}.
F(nπ) = (1/2) - ((-1)^n)(1/2)e^(-nπ)･(1+nπ) = (1/2) -((-1)^n)(1/2)(a^n)(1+nπ).
　ここに, a = e^(-π) = 0.0432139182637723… <1.
(1)　Ｓ(1) = (1/2)(1+a+aπ) = 0.589487223207035…
(2)　Ｓ(n) = |F(nπ) - F((n-1)π)| = (-1)^(n-1)･{F(nπ) - F((n-1)π)}
　　　= (1/2)e^{(n-1)π}･{1+(n-1)π} + (1/2)e^(-nπ)･(1+nπ)
　　　= (1/2)a^(n-1)･{1+(n-1)π} + (1/2)(a^n)(1+nπ).
(3)　�納k=1,n] Ｓ(k) = (1/2) + a/(1-a) + πa/(1-a)^2 - (a^n){(1-a^2)(1+nπ) +2πa}/{2(1-a)^2}.
(4)　(上式) → (1/2) + a/(1-a) + πa/(1-a)^2 = 0.693466617002435…

>>730
　G(x) = ∫ π{x･e^(-x)･sin(x)}^2 dx = (π/2)∫(x^2)e^(-2x)･{1-cos(2x)} dx
　　　= (π/8)(5/4) - (π/8)e^(-2x){ [2-cos(2x)+sin(2x)]x^2 + [2+sin(2x)]x +1 +(1/4)cos(2x) +(1/4)sin(2x) }.
　G(nπ) = (π/8)(5/4) - (π/8)(a^(2n)){(1/4)+(1+nπ)^2}.
　　ここに, a = e^(-π) = 0.0432139182637723… <1.
　あとは任せた。

age

>>730
(1) V(1) = G(π) = (5/32)π - (1/8)π(a^2){(1/4) +(1+π)^2} = 0.478111637312166….
(2) V(n) = G(nπ) - G((n-1)π) = …….
(3) �納k=1,n] V(k) = G(nπ) = …….
(4) G(nπ) → (5/32)π = 0.49087385212340519350978802863742…. (n→∞)

　a = e^(-π) = 0.043213918263772249774417737171728… <1.
　a^2 = e^(-2π) = 0.00186744273170798881443021293482703… <<1.
　(1/2) + a/(1-a) + πa/(1-a)^2 = 0.693466617002435149318197408402104…

xyz空間内の点Pは1秒ごとに点Pからの距離が1であるいずれかの格子点に移動する。
原点を出発した点Pがn秒後に存在可能な点の総数をf(n)とするとき、
lim[n→∞]f(n)/(n^3)を求めよ。

>>746
君の宿題ですか？

>>747
不正解

>746
　|x|+|y|≦n-|z|, x+y+z-n=(偶数), を満たす格子点の数は、g(n,z) = (n+1-|z|)^2.
　f(n) = �納z=-n,n] g(n,z) = �納z=-n,n] (n+1-|z|)^2 = (n+1){1+2(n+1)^2}/3,
　2/3.

hg

xyz空間内の点Pは1秒ごとに点Pからの距離が3であるいずれかの格子点に移動する。
原点を出発した点Pがn秒後に存在可能な点の総数をf(n)とするとき、
lim[n→∞]f(n)/(n^3)を求めよ。

東大予想問題をこんなところでＵＰする気には全くならんね。
受験産業に一問○万円で売れるからな。

>>746>>751
距離変えても何もかわってないと思うけど・・
まぁとにかく、今やってみたら2/3に収束したんだけど、
あってる？

あ、ちょっと計算ミスってたかも。
もう一度確かめる。

やっぱ4/3だと思う。

>>752
え、マジで？詳しく知りたい。。
まぁ所詮俺には無理だろうが。

>>753
1^2+2^2+2^2=3^2

>>752
ぶっちゃけ解説書くのがが面倒だからあんまり割がいい気しないけどな。

ちょっと、想像してみてください。

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>>757
あ〜、ろくに考えてなかったらいいこと無いな〜・・・
で、結局俺がといたのは全然東大レベルじゃない問題でしたよっと・・・
しかしそれを考えたらかなり面倒だな・・・
桂馬とびみたいになるから相当複雑な増え方する気がする。。
>>758
好きなことで金が入ればそれに越したことは
無いから俺はできたらいいと思うけどな。

>755
　つ[消滅則]

　x+y+z の奇偶 と nの奇偶 は一致する。

>>761
ん、あ！>>749が先にやってたんだ・・誰もやってないかと思っていた。

ってか、削減則って何？俺はあんまり知識ないから感覚で解いたんだが。
多分4/3になるんだけどなぁ・・・

>>749のように条件式みたいのじゃなくて一秒たつといける範囲が一回り増えるから、
xy平面だけで考えたら今までのより一回り増えて、
z≠0のところでは今まであったやつが一段上がって
（または下がって）間にxy平面に今あったやつが入るって感じで
増えると思ったから、それでやったら4/3になったんだけど・・
2/3に初めなってしまったのはzがマイナスの方にも増えるのに
それを足し忘れてたから倍になったんだけど。。

って、説明になってないかな？ほんと感覚で解いたから・・説明が難しい。
理解できない文章になってたらごめん。

あ、書き込まれてないかと思いきや下げたままだった。
ってことでage

>>762
たとえば奇数秒後に原点に点Pが存在できるか？

はい、俺が馬鹿でしたあぁぁぁぁぁ〜〜・・ぁ・・ぁ・・

コインを表が出るまで投げ続けるとき、コインを投げる回数の期待値はいくらか。

コインを表がk回連続で出るまで投げ続けるとき、
コインを投げる回数の期待値は2^(k+1)-2であることを証明せよ。

三角形に内接する円の半径をｒ、外接する円の半径をRとすると、
R≧２ｒとなることをしめせ。

示しました

三角形ABCに内接する円の半径をr、外接する円の半径をRとすると、
R ≧ [2/cos{(B-C)/2}^2]r となることをしめせ。

不等式への招待２
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/57 (B-7)

>766
　初めの(x-1)回は表が出ず,x回目で表が出る確率は、P(x)=p(1-p)^(x-1), p:表が出る確率.
　xP(x) = (1-p)^(x-1) + {(x-1)(1-p)^(x-1) - (1-p)^x}.
　E{x} = �納x=1,∞) xP(x) = �納x=1,∞) (1-p)^(x-1) = 1/p.　{ }はtelescopingで消える。

>767
　初めにk回続けて表が出る確率は p^k,　p:表が出る確率.
　そうでない確率は 1-p^k. このとき、(y-1)回続けて表が出,y回目は表が出ない(1≦y≦k)。
　yの期待値をE{y}とすると
　(1-p^k)･E{y} = �納y=1,k] y(1-p)p^y = (1-p^k)/(1-p) -k･p^k.
　トータル回数nの期待値を E{n} とおくと
　E{n} = (p^k)k + (1-p^k)( E{y} + E{n} ) = (1-p^k)( 1/(1-p) + E{n} ),
　E{n} = {(1/p)^k -1}/(1-p).

訂正

xP(x) = (1-p)^(x-1) + {(x-1)(1-p)^(x-1) - x(1-p)^x}.

｢コイン｣の形状について何も説明がないが、｢表｣と他の部分は明確に区別されているとした。

>>710の第１問教えてください〜

過去問なのか？問題文には間違いはないんだろうな？それから出所を明確にしろ。
１．問題が懲りすぎ。
２．出題が不明確。
例えば、ｎはあるｎでしかないはずだ。
考えてみてもいいが、きちんと考えられてない問題だったりしたら、考えるのもいや。

第三問は大数の宿題とほぼ同じだな

１．オリジナルじゃないのなら、質問スレへ。
２．オリジナルなら出題元を明確に！

777

ふふふ　ではない。

既存問題を参考にしていない自作問じゃねーの？

半径２の円は半径１の円×７で覆いつくせることを示せ

>779
半径1の円を…
・半径2の円の中心に1枚置く。
・半径2の円に内接する正6角形を描く。各辺を直径とするように6枚置く。

６枚では覆いつくせないことを示せ。これは命令だ。

何プレイですか？

　　　　　　☆ ﾁﾝ　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 ∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　＜　779の回答まだ〜？
　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿ )　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣ ／|
　　　　　　　|￣￣￣￣￣￣￣|　 |
　　　　　　　|　　愛媛みかん　 |／

>>780
証明になってないからね。あなた不正解ね。

>779
別に正しいならいいだろう。ここで厳密な証明を必要とする理由があるか？

あ

　　　　　　☆ ﾁﾝ　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 ∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　＜　779の回答まだ〜？
　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿ )　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣ ／|
　　　　　　　|￣￣￣￣￣￣￣|　 |
　　　　　　　|　　愛媛みかん　 |／

>>785
じゃあ780の指針で証明してくださいよ！

>>779 IMOの問題の変形っぽいのだね。

>779
面倒なんだよ。

proof(簡略).
>780の配置で覆い尽くせることは、一辺2の正三角形が単位円2つで覆い尽くせることと同値。それを示す。

正三角形の頂点の一つ(Aとする)から対辺へ垂線を下ろし足をBとする。AB<2からA、Bに単位円を置けば覆い尽くせる。
Q.E.D

>790
　ABの垂直二等分線で ｢一辺2の正三角形｣ を2分割する。
　Aに近い方は一辺1の正三角形で、Aを中心とする単位円に内接する。∴ Aから1以内。
　Bに近い方は正六角形の半分で、Bを中心とする単位円に内接する。∴ Bから1以内。
　Quantum ElectroDynamics.

>791
補足ありがとう。

（a+ｂ）の０乗は１になるのでしょうか？
またどうしてそうなるのでしょうか？
解きなさい。
解けたら書き込み権利チケット１枚。

解けたから書き込んでみる、いぇーい

〔類題〕
　(1) 半径(3n-2)の円は半径1の円 × 3(2n-1)^2 で覆い尽くせることを示せ.
　(2) 半径(3n-1)の円は半径1の円 ×{6n(2n-1) +1} で覆い尽くせることを示せ.
　(3) 半径 3n 　の円は半径1の円 × 6n(2n+1) で覆い尽くせることを示せ.

>>791
正解です。

ｄ

xy平面上の動点Pは直線y=1のx＞0の部分を運動しながら原点に向けてレーザーを放つ。
x＞0で定義された関数y=f(x)で表される凸面鏡によってレーザーは点(0, 1)に集められる。
f(x)を求めよ。

√2+√3 > π　を証明せよ。
ただし π=3.14・・・ などは既知としない。

無理数の無理数乗が必ずしも無理数にならないことを示せ。

>>801
0,1でない有理数の代数的無理数上は超越数だから無理数。
よって、2^√2は無理数。もちろん√2は無理数。
(2^√2)^√2=2^(√2*√2)=2^2=4は有理数。
よって、無理数の無理数乗は必ずしも無理数。
















とやってみる。

にならないをコピペできてなかったorz

>>802
> 0,1でない有理数の代数的無理数上は超越数だから無理数。
これは高校の範囲で証明できるの？

流石に無理だろw

つうか、あまりにネタ元が有名な問題なんで、わざとはずして答えてみたんだろう。

ググったらすぐ出てくるような問題なのね。ｽﾏｿ
友人から直観主義の話を聞いたときに教えてもらった問題でした。

阪大の過去問だな。

>>799の問題って高校生で解ける？
まだ数Cに手をつけていない俺だが・・・

なんかここのスレの問題って、何度か解こうと試みたけど、
少ししたら今の自分の知識で解けるのかどうか分からなくなって
やめてしまうんだよね・・・

高校範囲で余裕。
でも凸面鏡じゃないじゃん。

>800
Snelliusの式
　3θ < 2{ 2sin(θ/2) + tan(θ/2) } = 4√{(1-cosθ)/2} + 2√{(1-cosθ)/(1+cosθ)}.
で　θ=π/6 とおくと、
　π/2 < (√6 -√2) + 2(2-√3) = (4+√6) -(√2 +2√3).
ところで、5-2√6 = 1/(5+2√6) >0,　2(4+√6) -(3√2 +5√3) = -(5-2√6)/{2(4+√6) +(3√2 +5√3)} <0 より
　π/2 < (1/2)(√2 + √3).

ああっ、もうダメッ！
ぁあ…固有値出るっ、固有値出ますうっ！！
たッ、たいかッ、対角化ーーーーーッッッ！！！
いやああああっっっ！！固有ベクトル見ないで、お願いぃぃぃっっっ！！！
ユニタリッ！エルミートーーーーーーッッッ…行列ッ！
正方行列ウウウウウッッッッ！！！！
ユークリッドおおーーーーっっっ！！！ノッ、ノルッ、ノルムゥゥゥッッ！！！
んはああーーーーっっっ！！！じ、じゅッ、じゅうかいぃぃッッ！！！
いやぁぁっ！たッ、対角化できないィィィッッ！！！
n重解ぃぃ！！固有ベクトルはm次元っっっ！！！！
むりぃぃ！！対角化むりぃぃ！！！忍耐イッ！限界ッ！忍耐限界忍耐ィィィィッッッッ！！！！
おおっ！ジョルッ！！ジョルダン標準形ィィィ！！！似てるぅぅ！！
ああっ、もうダメッ！！ジョルダン細胞ーーーーっっっ！！！
いやーーぁぁっ！こんなにいっぱい固有値出してるゥゥッ！
線形ぃぃぃぃぃぃぃっっっっ！！！！独立ぅぅッッ！！！

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>811
〔Snelliusの式〕
　0<θ<π/2 のとき　2sinθ + tanθ > 3θ.
(略証)
　cosθ =z とおくと z>0,
　cosθ + cosθ + 1/(cosθ)^2 = 2z + 1/z^2 = 3 + (1+2z)(1-z)^2 /z^2 ≧3.　(← 相加･相乗平均)
　これをθで積分する.
　（証明は Huygens による.）

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/679

5√3 - 4√2 > 3 > (√3 + 3√2)/2.
を示してください。
ただし √2=1.4142…, √3=1.7320…, 等は既知としない。

ついでにﾄﾞｿﾞｰ...

(41√3 - 29√2)/10 > 3 > 4√3 - (25/9)√2.
を示してください。
ただし √2=1.4142…, √3=1.7320…, 等は既知としない。

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…

既知としなくても二乗すれば良いじゃん

点(x,y)を原点のまわりに反時計回りに90度回転する変換は線形変換であること、さらに、対応する行列を求めよ

>>819
単なるマルチ

5√3 - 4√2 > 3 > (√3 + 3√2)/2
3=√3(√3-√2)(√3+√2)

3=√3√3(√3-√2)(√3+√2)

>>814
バカですみませんが、
>これをθで積分する.
と、なぜこの式が求まるのですか？あと、相加相乗は、なぜz,z,1/z^2でやらないのですか？

>>823
スマソ。積分は自己解決しました（自明に近いレベルでしたね。orz）
相加相乗の方はなぜかは未だに理解できていません。

>>823
z,z,1/z^2 に相加・相乗を使うと、求める式はすぐ出るから、
>>814 の余計なとこは書いた人の勘違いじゃ？

>>825
�d

>825
ハｧハｧして書いた。
相加･相乗平均を知らない人や使いたくない人のために 両辺の差が
　(1+2z)(1-z)^2 /z^2 (≧0)
であることを示した。
今は反省している。

すてきやん。

　　　　　　　　　　A,!''━━ﾆﾆ'''''''''''''''''''''ﾆﾆ=━--┐D
　　　　　　　　　　　‖　　　　　~ﾞ''-､,,,-'"ﾞ｀　　　　||
　　　　　　　　　　　‖　　　　　.,,／Eﾞ'-,、　　　　 ||
　　　　　　　　　　　.|ﾞl　　　 .,／;;;;;;;;;;;;;｀'i､　　　 ./ |
　　　　　　　　　　　.| .ﾞl　　／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;｀'i､　 丿 |
　　　　　　　　　　　.|　ヽ.,/;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ﾞ'i､/　　| １０
　　　　　　　　　　　.|　 ,i F;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;H,八　　|
　　　　　　　　　　　.|　/　＼;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,/｀ ﾞl,　 |
　　　　　　　　　　　.| ,i´　　‘-、;;;;;;;;;;;;;;;;.,／　　 ﾞl │
　　　　　　　　　　　.|/　　　　 `'-,、G _／　　　　 .ﾞl|　
　　　　　　　　　　　‖ 　 　 　 　 ,,Ｖｉ'′　　　　　 ‖
　　　　　　　　　　　 l　 .＿,,,-‐'"｀　 ｀ﾞ''ｰ-,,,,,_、　 l　
　　　　　　　　　　B.`ﾞﾟﾟﾟﾟ”ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ”ﾟ“ﾞ C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０
　　　　　　|　|￣￣￣|
　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣＼￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　＼:＼　　　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＼　　∧＿∧　　／ 中坊へ問題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヽ　＼（´Д｀　）＜　　斜線の部分の面積を求めなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　　　　　＼ ＼
　　　　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　 　｜　　　｜｜ 　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　.　　 　　　　　　　　　｜　　　｜｜

他スレより抜粋。
これの３次元版の体積を求めよ。
（１辺の長さを１とし、各頂点を中心とする半径１の球８つの共通部分の体積）
こういうの東大の問題にありそうだがどうだろう。

n∈Ｎとする。
数列{An}において、
各項AnがAn≧0を満たし、
かつ、Σ[n=1 ,∞]An=1/2が成り立つとする。
また、
Bn=Π[k=1 ,n](1-An)
Cn=1-Σ[k=1 ,n]An
とおく。

(1)∀nに対し不等式Bn≧Cnが成立することを示せ
(2)あるnについて、Bn+1=Cn+1が成り立てば、Bn=Cnとなることを示せ
(3)B3=1/2となるとき、C3=1/2であることを示せ
(4)B3=1/2となる数列{An}は全部で何通りあるか求めよ
(5)B5=1/2となる数列{An}は全部で何通りあるか求めよ

>>830
マルチ

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

talk:>>832 私を呼んだか？

(ܷܵܶ∀ܷܵܶ)

>>829

分かスレ２３７
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1144970716/807-833

>>835
あっちの809ですよ。
ふと思いついて３次元版を！ととっさに書き込みましたが
こっちに書くのがよいかと思って持ってきました。
そもそもあっちじゃスレ違いですし。

nを自然数としn以下の素数の総数をf(n)とする。
lim[n→∞]f(n)/n=0を証明せよ。

あっちのスレで答を出してくれた方が現れました。
のでこちらではスルーでおながいします。

>>724 について次を示してください。

1)　△ABCの3辺の中点D,E,Fを通る円は
　・各頂点(ABC)から対辺への垂線の足
　・各頂点(ABC)と垂心Hとの中点
　も通る（九点円）。

2)　△ABCの重心をG, 垂心をHとするとき、
　上記の円の中心はGHを1:3に内分する。(オイラー線)

>>724 について…

2')　△ABCの外心をO, 垂心をHとするとき、
　上記の円の中心はOHの中点である。(オイラー線)

3)　上記の円は △ABCの内接円および傍接円に接する … 難しい。
　　(フォイエルバッハ,1822)

(p,q)≠(0,0)なる実数p,qを用いて数列{{a[n]},{b[n]}を以下の漸化式で定める。
a[n+1]=qa[n]+pb[n]
b[n+1]=-pa[n]+qb[n]
いま、ある番号mが存在してa[m]=b[m]となった。この時、a[4m],b[4m]を求めよ。

>829,836,838
あっちの解答は

895 ：852：2006/04/23(日) 23:42:13
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1) の8点を頂点とする立方体を考える。
各辺を2等分して 8つの小立方体に分ける。
(1,1,1)を含む小立方体中の点(x,y,z)から見ると、最も遠い頂点は(0,0,0)
よって、求める体積は領域Dの体積の8倍。
　D = {(x,y,z) | x^2 +y^2 +z^2 <1, x>0.5, y>0.5, z>0.5 }
　V = 8∫∫∫_D dx･dy･dz.

833 ：１３２人目の素数さん ：2006/04/23(日) 19:18:46
V = 8∫[0.5, √0.5] ∫[0.5, √(0.75-x^2)] ∫[0.5, √(1-x^2-y^2)] dz･dy･dx
　= 8∫[0.5, √0.5] ∫[0.5, √(0.75-x^2)] { √(1-x^2-y^2) -0.5} dy･dx
　= 4∫[0.5, √0.5] {(1-x^2)[arccos(0.5/√(1-x^2)) -arcsin(0.5/√(1-x^2))] -√(0.75-x^2) +0.5} dx
　= 0.01520548952884…

>829,836,838

852 ：１３２人目の素数さん ：2006/04/23(日) 21:07:53

立方体の体対角線(0,0,0)〜(1,1,1)を考える。
球面はP=（1-1/√3, 1-1/√3, 1-1/√3）, Q=（1/√3, 1/√3, 1/√3) を通る。
Vは、PまたはQを通り体対角線に垂直な平面に挟まれる. 間隔は (2-√3).
同様の8枚の平面がなす正8面体の体積は 13√3 - 22.5 = 0.016660498… > V.

また、直径 (2-√3) の球の体積は (π/6)(2-√3)^3 = 0.010072933･･･ << V.

∴ Vはかなり角張っていると思われ....

東大理３に今年、入学した俺に相応しい
ウルトラハイレベルの問題投下してくれ

>841
　r=√(p^2 +q^2) とおくと、題意より r>0.
　p=r･sinθ,　q=r･cosθ　とおくと、
　a[n+1] = { a[n]cosθ + b[n]sinθ }r,
　b[n+1] = {-a[n]sinθ + b[n]cosθ }r.
あるいは、
　a[n+1] + i･b[n+1] = { a[n] + i･b[n] }(q-ip)

　a[m+k] = { a[m]cos(kθ) + b[m]sin(kθ) }r^k,
　b[m+k] = {-a[m]sin(kθ) + b[m]cos(kθ) }r^k.
あるいは、
　a[m+k] + i･b[m+k] = { a[m] + i･b[m] }(q-ip)^k
ここで k=3m とおく？

2006x+2007y=sを満たす自然数x､yがt組あるようなsの個数をC(t)とする。
C(2006^2007)を求めよ。

>>842
積分してみた
V = √2 - 1 + (11/4)π - (49/3)arctan(√2) + (16/3)arctan(2√2)
= 0.0152054895…

>>844
数学より医学の勉強するといいお（；＾ω＾）

２ａｒｃｔａｎ（√（２））＋ａｒｃｔａｎ（２√（２））＝π。

くいんの出題したやつの解答ｷﾎﾞﾝ!

>>Queen
お久しぶり。
早速だが、その問題答えは明らかに０なような気がするんだが・・・

>geek
久しぶりだな。
本当に0であろうか？

ちょうどｔ個ってのは無いんじゃない？
だって直線でしょ？一つあった時点で無限に自然数解が出るから、
そのような物を満たす物すらないと思ったんだけど・・・あ、０を除いて。
ｔ個以上ってことだった？

84個みかんがあります　　其の中から８つだけとても美味しいみかんがあります

８つとれるとする　　　その８つすべて取れる確立を答えよ

>geek
tとsが混同してないか？

>>854　問題が間違えた

８４個みかんがある　　そのなかから８つだけ美味しいみかんがある

８つだけ取れる　　４つ取れる確立を答えよ

>>856
ただのマルチです。

>>851
N = 2006^2007 として

s = 2006*2007(N-1) + 2006a + 2007b
(1≦a≦2007, 1≦b≦2006)
と書ける数 s は

s = 2006*(2007*0+a) + 2007(2006(N-1)+b)
= 2006*(2007*1+a) + 2007(2006(N-2)+b)
= 2006*(2007*2+a) + 2007(2006(N-3)+b)
…
= 2006*(2007*(N-1)+a) + 2007(2006(N-N)+b)

となってちょうど N 組の自然数解を持つ
(0は自然数ではないとした)

>>Queen
あ、そうか。x,yは「自然数」ってのを「整数」と勘違いしていた・・・

2006と2007は互いに素。

>>847
�dクス & 乙です.

V = √2 -1 + (8 + 1/12)π - (27/2)ψ　でつね。
ψ = π - arctan(2√2) = arccos(-1/3) = 109ﾟ28'16".3942841664903…　　(四面体角)
ψ/2 = arctan(√2) = (1/2)arccos(-1/3) = 54ﾟ44'08".19714208324513…　　(Magic angle)

>>861 四面体角っての初めて知った
>>849 気がつかなかった…

V は積分しなくても計算できることに気がついた

>>842 の領域 D 考える
D の４頂点 P,X,Y,Z を P=(1/2,1/2,1/2)、
X=(1/√2,1/2,1/2)、Y=(1/2,1/√2,1/2)、Z=(1/2,1/2,1/√2) とする

x^2+y^2+z^2=1 の球面を S として、(0,0,1) を S の北極とすると、
S 上での X,Y の経度の差 θ は、θ = 2arctan(√2) - π/2

面PXYの面積 = (3/8)θ - (1/4)(√2-1)

面XYZ を S の一部として、ガウス・ボンネの定理を適用すると、
面XYZの立体角 = 2π - 3(面XYZのXの外角) - 3∫[弧XY]kds
(k は弧XYの測地曲率、s は弧XYの弧長)

φ = (π/4) - (θ/2) とすると、
弧XYのXでの単位接ベクトル = (-sin(φ), cos(φ), 0)
弧ZXのXでの単位接ベクトル = (sin(φ), 0, -cos(φ))
∴ Xの外角 = arccos(-sin^2(φ)) = arccos(-1/3)

∫[弧XY]kds = θ*sin(弧XYの緯度) = (1/2)θ

∴ 面XYZの立体角 = 2π - 3arccos(-1/3) - (3/2)θ

Dの体積 = (1/3)(面XYZの立体角) - (1/2)(面PXYの面積)
= (1/8)(√2-1) + (2/3)π - arccos(-1/3) - (11/16)θ

これを８倍すれば V が出る

>>862, 847
�dクス & 乙です.

θ = ψ - (π/2)　でつね.

√2 = 1.4142135623730950488016887242097…
ψ = 1.91063323624901855632771420503152…　(ﾗｼﾞｱﾝ)
V = 0.0152054895288398826172476377935537…

>>862, 847
マラルディの角(ψ)
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089717971/214-
　http://www.kobe-du.ac.jp/gsdr/gsdr/kiso04/04.html

>>863
>>842 は積分結果の数値だけ13桁正確に出てるけど、
なんかの積分プログラム使ったの？

>865
平凡に エクセル ＆ シンプソン(1/3) でつが。
　刻み幅を小さくして変化を見ると、収束してるか分かる…

>>866
すまん、
自分でもやってみたら、普通のシンプソンで 1025点、
6次精度公式 ( (1/90)(7,32,12,32,7) で重みつき平均) で 129点
の関数値で計算したら13桁求まった

>>864
考えたけど、四面体角が出てくる簡単な理由がわからない
(√2:1 の比が出てくるからとかじゃなく)

スレ違いっぽくなってきたので、消えます

>867
シンプソン公式(1/3)の誤差の限界
　h=(b-a)/2n とする.
　R = ∫[a,b] f(x)dx - (h/3){f(a) + f(b) +2�納i=2,4,…,2n-2] f(a+(i/2n)h) + 4�納j=1,3,…,2n-1] f(a+(j/2n)h)} とおく。
　R = -{(b-a)f""(ξ)/180}h^4, a<ξ<b.

高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波, p.128 (1961)

〔問題〕
　正n角形に内接するk角形（正k角形とは限りません）の個数は？
　ただし、k角形の頂点は正n角形の頂点から選ぶとし、正n角形と辺を共有しているものは数に入れない。

という問題を解ける人、いらっしゃったらぜひ教えて下さい。　ちなみに n=6, k=3 のときは答えは2です。

【ザ】学校で出された宿題を教えてもらうスレ�V
　http://math.bbs.thebbs.jp/1131378499/965, 992

すげ

０から９までの数字を８個ランダムに並べる。
３４５のような連続した３数字の列が少なくとも１組できる確率は？

やっぱり６個ランダムに並べるにする。

計算大変だったけど良問だった。

０から５か６までくらいがいいかもしれない。

３で割って１あまる素数が無限に存在することを証明せよ。

この男は悪質だ。佐々木東大前総長（現在、学習院）の逮捕はまだだろうか？
工作員、佐々木は刑務所に入るべき犯罪者だ。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/nougaku/1113015561/l50

【東大解体論】東大は日本を潰している。統治行為論の範囲を遥かに超えた国家ナチ犯罪。
オウム大量殺人・・・東大農学部犯罪（２０人以上毒殺、６０００人以上、重軽傷）。皇族テロ。秋田県立大の鈴木・松永・石川・松本らの逮捕が必要
天皇機関説・・・・・東大法学部犯罪（美濃部達吉）長州藩部落住民系のニセモノ皇族が凶悪なテロ犯罪実行。テロ官庁となった宮内庁の解体が必要。
クローン人間作成容疑・・・・・東大医学部（ニセ皇族等へのクローン導入容疑、ナチ手法による生命尊厳破壊、インフォームドコンセント破壊）
第二産業革命特許の強盗・・・・東大工学部犯罪（ＡＩＳＴ）＆東大経済学部犯罪（経済産業省）、ＦＴ合成軽油（ＧＴＬ）はソニータイマーを使った悪質な不正。
評論家ナチ犯罪・・・・・・・・東大文学部犯罪（情報テロ犯罪：立花隆犯罪他、逮捕が必要）。憲法を破壊したナチ盗聴に基づく多数の評論家犯罪者の横行。
作家ナチ犯罪・・・・・・・・・東大文学部犯罪（情報テロ犯罪：大江健三郎犯罪、違法盗聴で逮捕が必要）。多くの小説・映画・ＴＶドラマがナチ盗聴題材犯罪。
マスコミ犯罪・・・・・・・・・東大文学部犯罪（ＮＨＫ等による虚偽報道。悪質な大本営発表を繰り返し事実上、殺人罪の共犯）。
北朝鮮拉致捏造犯罪・・・・・・東大法学部犯罪（外務省犯罪、平沢代議士、佐々淳行他は国内先住民の大量殺人を幇助。よって殺人罪共犯）
　　　　　　　　　　　　　　　東大文学部犯罪（中山元参与も国内先住民による大量殺人を幇助：よって殺人罪共犯。殺人罪と詐欺罪で中山の逮捕が必要）
http://society3.2ch.net/test/read.cgi/soc/1137727591/l50　の投稿１０７　（ニセ天皇犯罪のメカニズム＆正規の天皇制復興論）
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/student/1137059644/l50　（秋田県立大：鈴木・松永・石川ら東大閥を中心としたサリン大量毒殺人体実験犯罪）
http://society3.2ch.net/test/read.cgi/soc/1141545162/　の投稿２４−７３ （北朝鮮拉致捏造の背景：中山元参与パーフォーマンスの学問的考察）

>>871-872

1個　0.0
2個　0.0
3個　0.008
4個　0.0153
5個　0.02260
6個　0.029841
7個　0.0370288
8個　0.04416331
9個　0.051244964

>>871-872
減少列でもいいのなら
1個　0.0
2個　0.0
3個　0.016
4個　0.0306
5個　0.04504
6個　0.059262
7個　0.0732722
8個　0.08707374
9個　0.100669736

2以上の任意の自然数nに対して次の等式を証明せよ。

n・2^(1-n) = Π_[k=1,n-1]sin(kπ/n)

その昔大数の学コンの問題で、問題文の書き換えを行ったらでてきた等式です。
これを証明すればその問題が解決、だったのですが結局証明できず、違う方針でその問題を解いてしまいました。
ちなみに大学の知識を使えば多少簡単に証明できるようです。

1.数列x[n]（x[n]>0(∀n∈Ν)）についてx[n]→α(n→∞)のとき
（１）lim[n→∞]Σ[k=1,n]x[k]/n=α　を示せ。
（２）lim[n→∞](Π[k=1,n]x[k])^(1/n)=α　を示せ。
（３）lim[n→∞]n/(n!)^(1/n)を示せ。

2.数列｛a[n]｝が次のように帰納的にさだめられるとき、一般項a[n]を求めよ。
(1)a[1]=0 (2)a[n+1]=√((a[n]+1)/2)

簡単すぎたかな？

1.の(3)は=eだった

>>879
より一般的な形の式が、高校生の質問スレに昔出てきてたよ。

>>882
より一般的って具体的な形は？
答は出てた？

>883

〔乗積公式〕(Gauss-Legendre)
　{sin(z)/sin(z/n)}･(1/2)^(n-1) = Π[k=1,n-1] sin((z+kπ)/n)

これで z→0 とする。

>>880
2.(1)
a[n]=cos(π/2^n)

訂正
2.(1)→2.

>>884
まぁ>>879の最後の１行に書いたものがその解法ですが。
一応学コンの問題を経由すれば高校の範囲で証明可ということです。
もう問題自体忘れてしまいましたが。
あとチェビシェフの多項式を使っても高校の範囲内でできたはずです。
知人がやってくれました。詳しいことは覚えてません。

>>885　正解。

分かスレから。レスが付かなかったので。

2以上の任意の自然数nに対して　Σ_[k=1,n]√k　は無理数であることを示せ。

大学以降の知識を使っても結構です。

＞理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
＞これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
＞関連スレへどうぞ

「これ以上の難易度の問題」を考えてくれるスレはどこですか？

はーー？
「大学以降の知識を使っても結構です。」とか書かれると
高校生がやる気なくすんだよ！！ボケ！！！○ね！

あ・・ごめんなさい、ちゃんと読んでませんでした。

面白い問題おしえて〜な 11問目
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
とかいいんじゃないでしょうか。すいません。

次の(i)(ii)をともに満たす複素数の集合 A を求めよ。
(i) A は相異なる3つの要素で構成される
(ii) 任意の a∈A, b∈A に対し、ab∈A となる

>>894
明らかにa∈Aのaに対して、a^k∈Aが成立する。
Aが有限集合であることから、ある異なる二つの自然数i,jに対して
a^i = a^jが成立する。このことから、a≠0の時、ある自然数mが存在して
a^m=1かつ、a , a^2 , …… , a^mは全て異なる複素数。
という条件が成立する。
1=a^m∈Aより、1∈A
|A|=3より、　m≦3

b≠0,1かつ、b∈Aなるbに対して、mの値で場合わけを行う。
b≠1より、m≠1．
m=2のとき、b^2=1、b≠1より、b=-1、従って、±1∈A
c≠±1、c∈Aとすると、明らかにc=0．従って、A={0,-1,1}

m=3のとき、b^3=1、b≠1より、b=-1/2 ± √-3/2
この場合明らかに
A={-1/2 ± √-3/2、1}

>>883
既に回答が出ているが、念のため
http://makimo.to/2ch/science4_math/1136/1136032157.html
このスレの270から読んでみ。

>>894 俺の解答

A={a, b, c} とする。
Aが0を含まないとき ab, bc, ca は全て異なる値となり、これが a, b, c いずれかと一致するので
　ab・bc・ca=abc が成立する。 abc≠0 より　abc=1
さらに a^2, ab, ac も異なる値となるので　a^2・ab・ac＝abc ∴a^4・bc=1
abc=1 から a^3＝1 同様に b^3＝1, c^3＝1 が得られるから、ωを1の3乗根(虚数)として
　A={1, ω, ω^2}
0∈Aのとき、c=0 とすると a^2 と ab は異なる値となり、ともに0でないから
a^2・ab＝ab ∴a^2=1 同様に b^2=1
A={1,-1,0}

895の方が美しいかも。
いずれにしても、ちゃんと処理しないと，場合わけで大変なことになりそうだな。

＞Aが0を含まないとき ab, bc, ca は全て異なる値となり、

そーなん？

ごめん、よく見てなかった
>>898は忘れて

>>894
a∈A とすると 任意の自然数kに対して a^k∈A
|a|≠0、1 のとき |a^k| はすべて異なるので、a^k もすべて異なり矛盾。

後期、５０分
ＡからＥまでランダムに８桁並べる。
このとき、たとえばＡＡＢＤＤＥＡＢのように
ＡＢの列が少なくとも１つある確率を求めよ。

>>887
　(ﾋﾝﾄ)
　f(z) = Π[k=0,n-1] sin((z+kπ)/n) は sin(z/n),cos(z/n) のn次以下の多項式で、f(0)=0 で、しかも周期2πをもつ。
　sin(z) の定数倍にちげぇねぇ....

>>895>>897
馬鹿が大杉でワロタｗ
高校からやり直して来いｗ

>>903
の模範解答に期待

>>903
どこが間違ってるか分からん、解説希望

期待ａｇｅ

任意のx∈Aに対して、x^n（ｎは任意の自然数）∈Aであることより、|x|=1が従う。
故に、x=cos(c) + i sin(c)と書ける事が分かる。

このとき、a,b,c∈Aのargをこ

〔問題〕
　nが1より大きい自然数のとき、1 + √2 + √3 + … + √n は無理数である
　ことを示せ。

k=1→nΣ√ｋを使うな。

Σの公式を改造して√でも使えるようにするのが、
一番楽しいやり方だろうな。

>>908
　(略解)
　まづ 1 + √2 + … + √n を根とする整多項式f_n(x)を次のようにおく。
　n=1のとき　　　　　　f_1(x) = x-1,
nが平方数でないとき　f_n(x) = f_{n-1}(x-√n)*f_{n-1}(x+√n),
　nが平方数のとき　　　f_n(x) = f_{n-1}(x-√n).

　f_{n-1}(x-√n) = g(x) - h(x)√n, (f_{n-1},g,hは整多項式) とすれば
　f_{n-1}(x+√n) = g(x) + h(x)√n　だから
　f_n(x) = {g(x) + h(x)√n}{g(n) - h(n)√n} = g(x)^2 -n･h(x)^2 もまた整多項式である.
　g(x),h(x)は互いに素 (共通根がない.) 　

f_n(x) (n>1)の根がすべて無理数であることを nに関する帰納法によって示す。
・nが平方数でないとき, √n は無理数.
　もし f_n(x) が有理根r を持つと、g(r)±h(r)√n =0 より g(r)=h(r)=0　　(← 1と√n はＱ上独立)
　ところが、g(x),h(x) が共通根rをもつことは 帰納法の仮定と矛盾する。
　∴ f_n(x) の根はすべて無理数。

・nが平方数のとき
　f_{n-1}の根は無理数だから、それに自然数√nを加えても無理数。　(終)

f_n(x)の例
　f_1(x) = x-1,
　f_2(x) = (x-1)^2 - 2,
　f_3(x) = {(x-1)^2 +1}^2 -12(x-1)^2,
　f_4(x) = {(x-3)^2 +1}^2 -12(x-3)^2,
　　……

>903 もどうせ馬鹿だろ。

本当に>>903の言ってることが分からんのだが。
単に>>903が馬鹿なの。それとも、上で解答してるやつらが馬鹿なの？

今となっては、>>903が逃げ出したということしか分からない

>>914
ニヤニヤ

>　g(x),h(x)は互いに素 (共通根がない.)
?

ところで皆、有名事実（？）っていうのどれくらい知ってる？

最低でも
ttp://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
に「有名問題」と書いてある事くらい。

>>894
A={0,1,-1}

積について閉じているならば、単位元と逆元は必要。

>>919
どうして、{1,ω,ω^2}が無いの？

誤答だから。

まさか、>>903=>>919？

莫迦は>>920をよく読んで考えろ
1の逆元は-1だ

それでも理解できない奴は数学諦めた方がイイ

>>924
すごーーーーい。
んじゃ、現役研究者全員数学あきらめた方がよさそうだなｗ

>>924
逆元ってどういう意味だっけ？
マジに分からんのだけど、説明してくれる？
1の逆元は-1でOK？

あ、忘れてた。
皿仕上げしとく。

なんか、問題少ないんで超有名問題だけど一問投下しておく。

ある凸六角形を有限個の線分で、2個以上の凸六角形に分割したい。
そのようなことが不可能であることを示せ。

加法の逆元と乗法のそれを混同してるな。

>>929
っし。　そんな事言っちゃ駄目

>895 >897 が正解
>924 は莫迦

良スレなのでまとめサイト希望。

自然数をある規則によってグループ分けすると、
あるグループには全く完全平方数が含まれない。
どんな規則なのか妄想しなさい。

完全平方数かそうでないかでグループ分けすればよい

俺って頭よくね？

>>934
妄想乙です。でもね。
各グループはa(n)=bn+c(b,cは自然数の定数)って形で
表されなくちゃいけないの。

>>935
それ早く言えよ

>>935
名前間違った。あひゃひゃ933だった。

>>933-936
君たち、おもろいぞ。その調子だ。

>>937
また名前間違った。

>>935
最初から言えよｗ

あ、自然数ってか0以上の整数だった。
0って自然数じゃないよね?(うる覚え)
ちなみに、a(n)=bn+cでbは各グループで共通ね。

連カコすまそ。
cは0になり得ます。鬱だ死のう。
みんな、どんどん妄想してね。

まだ条件が追加されそうだからやめておく

>>943
もう条件の追加はないよ。
ヒント。0から完全平方数を並べてみると、
0,1,4,9,16,25,36,...
上記を3で割ると...

別に4n+2,3でもいいし5n+2,3でもいいし6n+2,5でもいいだろうし