不等式への招待 第２章
57 ：１３２人目の素数さん：
【問題Ａ】正の数 a, b, c, d, e に対して、次の不等式を示せ。
(1) 4a+5b+6c ≧ 3√(ab) + 7√(bc) +5√(ca)
(2) a+b+c=1 のとき、
(ab)^(5/4)+(bc)^(5/4)+(ca)^(5/4) < 1/4
(3) a^2+b^2+c^2=1 のとき、
1/(a^2) +1/(b^2) +1/(c^2) ≧ 3 + 2(a^3+b^3+c^3)/(abc)
(4) a+b+c=3, abc=1 のとき、
ab/[(a^2+b)(a+b^2)] + bc/[(b^2+c)(b+c^2)] + ca/[(c^2+a)(c+a^2)] ≦ 3/4
(5) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 ≧1 のとき、
a^2/(b+c+d) + b^2/(c+d+e) + c^2/(d+e+a) + d^2/(e+a+b) + e^2/(a+b+c) ≧ √5/3
【問題Ｂ】三角形ABCにおいて、次の不等式を示せ。
(6) (sinA + sinB + sinC)^2 ≦ 6(1 + cosA・cosB・cosC)
(7) 外接円、内接円の半径を R, r とおくとき、(cos{(B-C)/2})^2 ≧ 2r/R
(8) (sinA)^2/A + (sinB)^2/B + (sinC)^2/C の値を求めよ。
(1) Hungary 2005.1
(2) Crux M146 (30n4)
(3) Crux 2532 (26n3)
(4) Crux M137 (30n2)
(5) Crux 3001 (31n1)
(6) Crux 2676 (27n7)
(7) Crux 2382 (24n7)
(8) Crux 2190 (22n8)
(1) 4a+5b+6c ≧ 3√(ab) + 7√(bc) +5√(ca)
(2) a+b+c=1 のとき、
(ab)^(5/4)+(bc)^(5/4)+(ca)^(5/4) < 1/4
(3) a^2+b^2+c^2=1 のとき、
1/(a^2) +1/(b^2) +1/(c^2) ≧ 3 + 2(a^3+b^3+c^3)/(abc)
(4) a+b+c=3, abc=1 のとき、
ab/[(a^2+b)(a+b^2)] + bc/[(b^2+c)(b+c^2)] + ca/[(c^2+a)(c+a^2)] ≦ 3/4
(5) a^2+b^2+c^2+d^2+e^2 ≧1 のとき、
a^2/(b+c+d) + b^2/(c+d+e) + c^2/(d+e+a) + d^2/(e+a+b) + e^2/(a+b+c) ≧ √5/3
【問題Ｂ】三角形ABCにおいて、次の不等式を示せ。
(6) (sinA + sinB + sinC)^2 ≦ 6(1 + cosA・cosB・cosC)
(7) 外接円、内接円の半径を R, r とおくとき、(cos{(B-C)/2})^2 ≧ 2r/R
(8) (sinA)^2/A + (sinB)^2/B + (sinC)^2/C の値を求めよ。
(1) Hungary 2005.1
(2) Crux M146 (30n4)
(3) Crux 2532 (26n3)
(4) Crux M137 (30n2)
(5) Crux 3001 (31n1)
(6) Crux 2676 (27n7)
(7) Crux 2382 (24n7)
(8) Crux 2190 (22n8)
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