有限と無限

数学において、有限と無限の違いを議論する

例えば、おおまかに
解析学⊂無限の数学、グラフ理論、組み合わせ論⊂有限数学

有限では当たり前でも、無限では成り立たないことも多い。
そんなことについて、議論したい

例えば、有限の和において順番を入れ替えて
１−１／２＋１／３−１／４＝１＋１／３−１／２−１／４
であるが、無限和では
１−１／２＋１／３−１／４＋…＝log２
≠１＋１／３−１／２−１／４＋…（２こずつ足したり引いたり）

ガロアさんへ、
こんなこと、いまさら議論しなくても…。
教科書をみれば、書いてありますよ。
ちなみに、無限組合せ論という分野もあります。

だから、「おおまかに」って書いたんですよ。
それに組み合わせ論とかラムゼー理論は専門だから、
無限組合わせ論や無限グラフは知ってますよ。
この例のほかに有限と無限の違い、さらには、無限のどのような
性質がそうさせているのか考えようというのが趣旨だけど
つまらないですか？
興味があれば、ルべーグの収束定理などでも話しましょう
あれも<<4と基本的には同じ原理ですけどね

昔ガロワってコテハンがいたけどそれは>>1？

有限で成り立つのは無限でも成り立ちますよ？

数学は、有限で成り立つ理論をいかに無限でも成り立つ理論に
研ぎ澄ましていくか、が重要です。

有限・離散なテーマで扱われる有限は、通常の（無限を含む）数学の
それと比較して非常に巨大で複雑な構造を有する場合がある

>>6
範囲がとっても広いので貴方が道標となって下さい

良スレ保守

16

> 有限で成り立つ理論をいかに無限でも成り立つ理論に研ぎ澄ましていくか
Cantor の理念だね。最近の cardinal arithmetic （Shelah の pcf theory とか）
なんかも、まさにこの路線上にあるわけだが。

あらあら、もうおしまいかい、このスレは？

a

864

22

1 はもういないのか?

697

3

186

そもそも、無限の定義って何

Aを集合とする。
Aの真の部分集合Bと、A自身の間に全単射が存在するとき、
「Aは無限集合である」という。

227

age

>>23
よく意味が分からん。
集合の要素が無限なら無限集合と呼ぶんじゃないのか？

>>26
集合の要素が無限であることを23で定義してるんじゃないの

ω（ω={{},{0},{0,1},{0,1,2},…}}）の
ひとつの要素への全単射が存在する集合を有限集合と呼び、
有限集合ではない集合を無限集合と呼ぶ

>>26
もしそうだとしたら、自然数の集合Nが無限集合ということは
はその真部分集合A={1, 2, 3, 4, 5}とのあいだに全単射があるんだろ。
でも、明らかに |A|=5 だから、>>23の定義の仕方はまずいんじゃないの？

まあ正確には
Aの「ある」真の部分集合Bと・・・
と書くべきだな

ＺＦＣで考えてるなら問題ないけど、
ＺＦだと>>23と>>28の無限の定義は同値ではない。
そういう理由があるので、
>>23のほうは"デデキント無限"、>>28のほうは単に"無限"と区別して呼ばれる。
>>23と>>28の定義がＺＦで同値でないのは、
可算部分集合を含まない無限集合が存在するようなＺＦのモデルが存在するため。
（つまり「無限集合は可算部分集合を含む」という命題はＺＦから独立）
可算部分集合を含まない集合はデデキント有限であることが言えるので、
このモデルにはデデキント有限な無限集合が含まれる。

168

有限と無限って連続してるの？
堂考えても有限なものに有限なものを
掛けていこうが足していこうが
無限になりそうもないのだが。ムムッ。

128

242

>>22
> そもそも、無限の定義って何

http://www.mugen-power.com/

>>22
やっぱ『無限ホンダ』が最強である

無限に付いて語る。実無限VS可能無限
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/995535913/791

465

　　　　　　☆ ﾁﾝ　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 ∧＿∧　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　＜　まだ〜？
　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿ )　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣ ／|
　　　　　　　|￣￣￣￣￣￣￣|　 |
　　　　　　　|　　愛媛みかん　 |／

連続しているかどうか誰も知らないのか・・・

813

237

814

405

age

670

>>40
君の言う連続してるというのは何だ？
君の頭の中をみんなが分かっているわけではないぞ

204

801

>>1
無限次元ガロア理論も出来ている。

何を議論しようというのだ。
明確にしてくれ。
似たようなスレは沢山ある。

755

312

850

330

112

859

613

400

828

196

680

869

438

368

604

146

236

このスレ　オワ

200

781

1/3 = 0.333…
0.333… * 3 = 0.999…
0.999 + 無限小 = 1
1/3 * 3 + 無限小 = 1
1/3 * 3 = 1
∴無限小 = 0

223

384

171

448

数学＠2ch掲示板
■ ▼
BBQ が止まっています
BBS が止まっています

そもそも次元が違うし

>>77
「有限」
を「次元がある」
と勘違いしていないか?

有象と無象が来た

>>79
お前の事だろ

655

あげ

人間は無限を本当に認識できるだろうか？

ある性質Ｐが有限集合{1} {1,2} {1,2,3}・・・{1,2, ・・・,n}（nは任意の自然数）で成り立つとします
このときこの性質Ｐが自然数の集合Ｎで成り立つことを示すにはどんな方法がありますか？

>>84
帰納法

普通の帰納法で無限集合Ｎまで正しさ確保されるのかな？
あくまで任意の自然数nで成り立つってことであって
結局n < ∞ではないの？

つまり有限の話から無限の話に飛躍するにはlimitを取る必要がある
だからlimitで保存される性質が有限集合で成り立っていれば無限集合でも成り立つ
ということなんだろうけど　どう？
無限集合の話を有限集合の話に帰着させる方法とかそういう話も聞きたい

>>83
簡単だよ
1, 2, 3, .... と
.......　を使うだけ。

x=0です。今、f(0)=(1/x)sinx=1でです。
テイラー展開は無限回微分可能が示されてできるのではないのでしょうか？

「ある性質Ｐが有限集合{1} {1,2} {1,2,3}・・・{1,2, ・・・,n}（nは任意の自然数）で
成り立つならば、Ｐは全ての自然数で成り立つ」

これを保証、というよりも、この飛躍を許可するのが、
まさに帰納法そのものだよ。自然数の定義の一部。

>>90
それじゃ87の答えにはなってないのでは？
無限には到達していないとおもわれ....

>>84
性質 P が有限集合で成り立つとか、
N で成り立つってのは、
その有限集合(あるいは N)の任意の元に対し、
P は成り立つってことだよな?

任意の N の元 n に対し、仮定より、
集合{1,2,...,n}の任意の元に対し性質 P は成り立つ。
よって n に関しても成り立つ。
つまり任意の N の元に関し成り立つ、
つまり性質 P は N で成り立つ。証明終わり。

これは帰納法ではない。
P(n)⇒P(n+1) が仮定されてるのではなく、
最初から任意の n に対し…という形の仮定になってる。

最初の質問の答えがノーで、
Pが集合そのものに関する性質(たとえば有限集合であるとか)とすれば、
Nで成り立つという結論は出ない。

P(A):="∀a∈A ,U_a：Rの開集合 ⇒∩[a∈A]U_a ：Rの開集合"
とかね

899

386

１： 　　　　　　　　　　∧＿∧
　　　　　　　　　　　　(#｀д´)　　　　　　　なんてことでしょう。
　　　　　　　_＿＿__（つ日_と)_＿＿　　人権擁護法違反で訴えてやる！
　　　　　 ／ ＼　　　　 　 　＿＿＿＼
　　　　 .<＼※ ＼＿＿____|i＼＿＿＿ヽ.
　 　 　 　 ヽ＼ ※　※　※|i　i|.====B|i.ヽ
　　　　　　　 ＼`ー──-.|＼.|___|__◎_|_i‐>『都知事の「ババァ」発言が問題に〜』
　　　　　　　　　￣￣￣￣|　.|￣￣￣￣|
　　　　　　　　　　　　　　　＼| テレビ台 |〜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒公の場での人権侵害で＊【有罪】＊
２： 　　　　　　　　　　　　　　　. 　　　 　　∧＿∧ 　　 　
　　(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ　　　　　　　　　　　<｀д´＃> ＜ウリ達はレイプ民族じゃないニダ！
「取引先の韓国人に　　　　　　　　　　　　　　　　　　そんなことばかり言ってると
無理やりレイプされそうになった…」　　　　　　　　　人権侵害で訴えてやるニダ！
　　　　　　　　 　　　　　　　　⇒事実であっても公然と主張すると名誉毀損の罪は成立⇒＊【有罪】＊
３：
　ｶﾀｶﾀ　∧＿∧　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　ｷﾝｺｰﾝ
　　　　 （・∀・＃）＜万引きするなんてあび●は　　　　　モラーさんですか、警察です。
　　 ＿|￣￣||＿）＿＼本当に酷いんだな！　　　　　　　　人権擁護委員会のクレームで
　／旦|――||/／ ／|　￣￣￣￣￣￣￣￣￣　　　　　　　調査に来ました。
　|￣￣￣￣￣|￣| . |
　|＿＿＿＿＿|三|／　　　　⇒差別的発言を掲示板に書き込んでも＊【有罪】＊

こんな法案が、日本で成立しようとしています…
今、言論弾圧を目的としたこの法案を阻止する為、１人でも多くの反対活動を必要としています

詳しくはこちらをどうぞ。
http://hobby.2log.net/zk1/archives/blog772.html
http://blog.newsch.net/home/zk1/

805

190

406

　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣＼
　|　　 　　　　100GETしていいですか？ . 　　　　　 　　　　 |
　＼＿＿＿＿　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿／
　　　　／||ミ　 Ｖ
　　 ／ ::::||
　／:::::::::::||＿＿＿＿
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　|:::::::::::::::||│　／　　||
　|:::::::::::::::||￣＼　　 ｶﾞﾁｬｯ
　|:::::::::::::::||ﾟ ∀ﾟ）　　 ||
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　|:::::::::::::::||∧ ∧∩ ..||
　|:::::::::::::::|| ﾟ∀ﾟ）/ 　.||
　|:::::::::::::::||∧ ∧∩ ..||
　|:::::::::::::::||　ﾟ∀ﾟ）/ . ||
　|:::::::::::::::||　　　 〈......||
　|:::::::::::::::||,,／＼」......||
　＼:::::::::::||￣￣￣￣
　　 ＼ ::::||
　　　　＼||

age

無限というのは、考えられる数に1足したもの。
1億までしか考えられなければ、1億1は無限大ということになる。
そう思わないのは、君が兆とか京とかを知っているからだ。
なお、日本の単位はどんどん上に行くと、"無限大数"になる。

"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"
"無限大数"

無量大数だろ。

日本の単位スレ：
http://news18.2ch.net/test/read.cgi/news7/1112107584/1/Zero

543

もとID:bFn8q+YVは私です。

あー、IDでない。
トリップつけよう。
ID:bFn8q+YVでした。

改めて問題を整理しない？

元スレ>>936
＞Anが4に近づくから、lim(n→∞)Anは4なの。
＞言い切ったらまずいだろ。４に収束するの方が正しいと思いませんか？どうですか？

収束するのはあくまでAnですよ。
limAnは、Anがいくつに収束しますか、という意味だから4に収束する。

>>108
数列Anが数値aに収束するとき。
lim(n→∞)An=a

ここまでは相違ないが、
元すれID:tRrPamF9は、
この等式の等号は等しいを意味しないと主張します。

ttp://hobby5.2ch.net/test/read.cgi/magic/1095176133/771-
よりスレ違いの議論が発生したためしばらくおじゃまします

元スレID:tRrPamF9
は、

数列Anが収束した値である、数lim(n→∞)Anが、aに近づく、と言っています。

lim(n→∞)Anは数列ではなく数だと私は言っていますが、
それに付いてのコメントはもらっていません。

つまり、数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a
と表記する。 これは良いよね？
そこでだ、俺が問題だと思ってんのはこれを等しいといってしまっていいのか？ということだ。
元数学科なら何十冊もの本を読んでいるはずだから質問します。
lim(n→∞)An=a の両辺は等しいって書いてある本はありましたか？（必答）

元スレ(p)ID:tRrPamF9 は、いらしてますか？

いひがそうです

>>113
数学では、
等式の左右は等しいもの、という大前提があるので、
いちいち書かなくても左右の項は等しいです。
むしろ、等しくないという文献を提示していただきたい。

極限の定義の際に、この等号は等しいを意味しませんよ、と書いてある文献を
提示してください。

>>116
探すのめんどくせ

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E6%A5%B5%E9%99%90
参考の為。
ウィキブックスの極限の項です。
等しくないとは書いていない。
（等しいとも書いていませんが、等しくないならば注が入るはずです）

お前しつこいよ等しいとか等しくないとかじゃないんだって元数学科なのにそんなこともわかんないの？

>>119
等しいとか等しくないとかじゃない、という根拠はなんですか？
あなたの思い込みではないですか？

もう面倒だから
数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a
と表記する。　これでよくね？両者痛みわけってことで。いつまでもごたごた言っててもしょうがないじゃんか

>>121
そこは一度も争点になっていません。
そこについては両者合意のはずでは？
前述>>110

その数式の、等号が等しいを意味しないという点に争議があります。
それは、数学としてはあり得ないほど間違った認識と私は考えています。

あなたが、あっさり撤退する気ならかまいませんけど、
わざわざ数学板まで来た甲斐がないですね。

>>120
根拠は数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a と表記する。とだけ書いてあって等しいも等しくないもかいてないから。
ただ数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a と表記して完結してる・・・

まさかそこまで言うんだったら東大くらいは出てんだろうな

では、
何らかの等式が出てきたとき、あなたは、
その等式の両辺が等しくないか等しいか、いちいち書いていないと判断できないのでしょうか。

長方形の面積をn、長辺をa、短辺をbとした時の、
n=a×b
という公式で、
この等式は等しいことを意味します、といちいち書いてありましたか？

無限を扱うときだけに限っていってます私は

>>124
どこの大学だろうが無関係ですよ。
大学によって
lim(n→∞)An
の意味が変わったりはしません。

>>127
どうせ三流大だろ・・・ったく馬鹿がよくホザクゼ

>>126
極限は、無限を直接扱いません。
元スレでも書きましたが、ε−δ法という手法で、無限を使わずに極限を定義します。
（n→∞）
という表記は便宜的なもので、
nが大きくなると、Anはどう振る舞うか、という程度の意味です。

lim(n→∞)An=a のイコールはaが収束値ですよ。とだけ言ってるとしか思えない。

>>128
こんなところで大学名を名乗ったところで、何の信用がありますか。
それとも、東大出だ、と言ったら信じるんですか？

ま、大学はわからなくても
馬鹿かどうかは、レスの知性である程度判別できると思います。

>>126
書き間違えた

>>130
aが収束値ですよ。
lim(n→∞)Anは、Anの収束値を意味しますから。
だから、等しいんです。

>>131
あなたのアホぶりがレスから滲み出てますよ

>>134
反論できなくなりましたか？

実数空間と複素数空間はハウスドルフ空間だからいいけど、
一般の位相空間で、点列が複数の点に収束するばあいの極限記号はどうなるのだろう？
やっぱり集合のlimsup,liminfとかを使うのかな？

あなたは、等しくない、ということを誰から習いましたか？
あるいは、どの文献で知りましたか？

元スレで、
＞820 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/11(水) 08:21:21 ID:xkGXqtXN
＞>>819
＞証明するもなにもそういう決まりごとなんだよ。

といっていましたね。どこにその決まり事はあったんですか？

aが収束値ですよ。
lim(n→∞)Anは、Anの収束値を意味しますから。
だから、等しいんです。 →これが納得いかん。きちんと証明して、元数学科でしょ。

集合のlimsup,liminfはそもそも集合の位相には関係ない話だな。

Re:>>138 「収束値」を「極限」にして読み替えてみよう。

「読みかえ」は「読み換え」の方がいいのかな？

>>138
>>118のは読んでもらっていますか？
用語は若干異なりますが、

＞xをcに近付けるとき、必ず、f(x)がLに近付く場合、
＞「Lはxをcに近付けた時の関数f(x)の 極限である。」といいます。
＞xを c に近付けた時の f(x)の極限が Lであるということを数式で
＞lim(x→c)f(x)=L
＞と表現します。

lim(x→c)f(x)が
xを c に近付けた時の f(x)の極限
であることがわかりますね。

>>139
すみません、スレ違いを承知でこのスレにきてます。
（適切なスレがわからなかったもので…）

lim(x→c)f(x)が →「L」って書くのが普通でしょ
xを c に近付けた時の f(x)の極限
であることがわかりますね。

>>143
＞lim(x→c)f(x)が →「L」って書くのが普通でしょ
どこにそんなことが書いてありますか？
f(x)→L　（x→c）
ならどこかにあるかもしれません。

>>118
を見ていますか？
lim(x→c)f(x)→L
とは書いていませんね。

普通の本にはそう書いてあります。図書館にでも行って確かめてみてください。

数学IIIの範囲なんだが、

いずれにしても，lim n→∞ an＝l の“＝”は，5＋7＝12の“＝”とは違うことに気をつけて下さい．

だと。
放送大学教授 長岡亮介氏の高校生向けの著書からそのまま引用した。
あまり詳しくない本だからよくわからんけど・・・・
他の本ではそういう極限の基本性質は高校生では証明しない。と。
大学でも専門的なとこ以外は証明しないらしい。
高校生では極限や無限大の定義が確立していないから。

>>146
ナイスコメントです

>>145
簡易数学辞典
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/rfrs.htm#limit
から引用。
＞極限【きょくげん】
＞ 　「x を a に限りなく近づけた時、f(x) の極限は A である。」
＞ 　これを lim[x→a]f(x) = A と書き、次のように定義する。
＞ 　任意の ε＞0 に対して δ＞0 が存在して、|x - a|＜δ ならば |f(x) - A|＜ε が成り立つ。
＞ 　解釈としては、f(x) と A の差をいくらでも小さく出来ると考える。

これで、=を使う2例目。
ちょろっとググッただけで、「＝」を使う方はすぐ2例見つかりましたが。

Re:>>146 どういう説明なのだ？

長岡亮介氏とは意見が合いそうです

やけにレスがのびてるのでちょっと覗いてみたのだけど、

「それとも、東大出だ、と言ったら信じるんですか？
ま、大学はわからなくても
馬鹿かどうかは、レスの知性である程度判別できると思います。 」

　　の下りでいの一番にkingを思い浮かべてしまった俺ってかわいいやつ。
　　

>>148
論点がまるで違ってしまっています。もう一度文章を読み返してみましょう。

Re:>>151 私を呼んだか？

>>146
その「＝」は、等しいを意味しない、と書いてありますか？
ポイントはそこです。

＞いずれにしても，lim n→∞ an＝l の“＝”は，5＋7＝12の“＝”とは違うことに気をつけて下さい．

どういう意味合いで違うのかは書いてあります？

噛み付きキターーーーーーーーーーーーーーーーーー！！！！！
意地でも自分の間違った考えを訂正しようとしない。

>>152
論点はなんですか？

読み返すのはどの文章ですか？

興味深く成り行きを見守っていますので、
お二人とも頑張ってくださいませ。

お前が思いつく全ての文だ。がんばって〜。

>>157
どもです。

「いひ」さんは質問に答えてくれないので困っています。

>>みなさま
よろしければ
>>111のスレの
803あたりから読んでください。

>>157
とまあ、
>>158みたいなかんじですわ。
釣られるこっちがアホなんだろうな…

>>160
ようやく気づいたか。それではもう来ませんのでさようなら。

>>161
つられているのはアホですが、
あなたは間違っていることに変わりはありませんよ。

>>154
lim n→∞ an＝l
であるからといって、
an＝a∞＝lとは解釈してはいけない。 云々の事が書かれてた。
どういう意味の“＝では無いものとして考える”なのかは不明。

>>163
報告ありがとうございます。

＞lim n→∞ an＝l
＞であるからといって、
＞an＝a∞＝lとは解釈してはいけない。 云々の事が書かれてた。

至極まともですね。
でも「＝」の意味が違うとは無関係だなあ。

逃げられちゃったか。
残念。

245 ：１３２人目の素数さん ：2005/05/11(水) 20:31:20
ここの人たちって簡単な問題にしかまともに答えられないことがよくわかりました！^^
　　↑この辺でもう限界。
あまり答えるのもダメポらしい。

まあ、形式的には

lim[n→∞]An

という記号自体は数を表すとは限らないからね。

lim[n→∞]An=a

で、「数列Anがaに収束する」という命題そのものを表していると解釈する
流儀もありますね。論理学的にはこっちのほうがスマートなんだよね、確か。
もちろん実用的にはまわりくどいし、実用に耐えないが。

私も１６７さんに一票です

>>165
言葉の手品スレから見てました。
わたくし高校文系並みの知識しかありませんけど、

「＝」を「両辺が等しい」という意味で使うのは、原理的に計算可能な場合に限る、
ていうのでは駄目なのでしょうか？(o^。^o)ゞ

>>169

計算可能性という概念は、それはそれでヤヤコシイ。

>>167
収束ではなく発散する場合（lim[n→∞]An=∞）は、数ではないですよね。

最近の日本の大学の数学科はちゃんとした考え方を教えてないのかね・・・はあ寂しい。
◆hEpdoZ.tHU みたいな被害者をもう出さんでくれ頼む。

>>170
あ、そうなんですか(o^。^o)ゞ
「無限」という概念が入り込んできたら、計算しても答えがでないなぁ、というくらいの
軽い意味で考えてたんですが…

>>167
元々の議論では、
Anは収束する数列として考えていたみたいだよ。

言葉の手品スレから眺めてたんだけど、
結局何が正しいの？

数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a
と表記する。
そこで、これを等しいといってしまっていいのか？について
せっかくだからみんなの意見聞かせてよ。

いいに決まっている。少なくともそういう解釈はできるし、明らかに妥当な解釈。
ただ論理学的にはスマートじゃないなあ。っていうだけ。でも、論理的なスマート
さよりここでは直観を優先させたいよね。

なるほど
ということは計算上は等しいと言ってしまっていい。
そして論理的には数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a
と表記する。ということですか？

等しいと言ってはいけない場合ってあんの？
僕は知らないけど、分野によってはあるのかな。

アバウトな話では等しくて。
論理的（厳密）には数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a
と表記する。ということですか？

lim(n→∞)An=a という式を
「lim(n→∞)An は a に等しい」と読んでもいいのかっていう問いでは？

>>179
極限の話をするときは厳密には等しいというんじゃなくて、
限りなく近づくという表現のほうが正しいと教授は言ってたよ。

教授が「限りなく近づく」なんて言う曖昧な言葉を「正しい」なんて言うかね。
まさか
lim(n→∞)An は a に限りなく近づく
なんて言う馬鹿なことをいったんじゃないだろうな。

>>181のつづき

そんで、一人は、等号そのもににこだわり「いいに決まってる」と言い張り、
もう一人は、極限の定義にこだわり「いかんに決まってる」と言い張り、平行線、
て感じですかね。

いや、厳密にも「Anが収束するとき、その値をlim[n→∞]Anと書く」と定義しても
いいんだよ。ただそうすると、Anが収束することが分かっているときだけ、lim[n→∞]An
という記号を使えることになる。つまり「lim[n→∞]An=a」という文が命題になるのは
Anが収束するときのみで、そうでないときは命題ではなくなってしまう。これはめんどい。

一方「lim[n→∞]An=a」を「Anがaに収束する」という命題だと思うと、Anがどんな
数列だろうとも、ちゃんと命題になる。だからこっちのほうが論理的には綺麗。
Anの収束性を判定するまでも無く、lim[n→∞]An=aという表現を使えるから。

でも現実問題としてlim[n→∞]An=aという表現を使うのは、たいていAnがaに収束するとき
だから、別にlim[n→∞]Anを数だと思ってしまってもいいわけです。

１８５は ◆hEpdoZ.tHU だな

皆さん１８６に絡むと平行線になってしまうので気をつけて。

>>186
違うけど、その事の証明は出来ない。

実用では等しいとして扱って、
論理的に綺麗にしたいときは「lim[n→∞]An=a」を「Anがaに収束する」という命題
ということでいいんですか？おれ馬鹿だからよくわかんないよ

誰が誰とか議論に関係ないし。
そんなことで結論は変わらない。

結局誰の意見が正しいかなんて証明できない。

>>183
言ったよ。それでも、あなたの意見よりは信頼できるけどね。私はそう思います。

definitionの問題ですからねえ。

あと補足しておくと「lim[n→∞]An=a」を「Anがaに収束する」という
命題だと解釈する、という流儀だと

lim[n→∞]An = lim[n→∞]Bn = a
lim[n→∞]An + lim[n→∞]Bn = a

とかがあっさり解釈不能になる。という弱点があるので、現実的にはカナーリ
使えない定義です。

>>192
マジかよ、すげえ教授だな。
Anはaに近づくけど、limAnは近づかないよ。

Anがaにかぎりなく近づくことを、limAnとかくのでは？

結局limAnって何を表してんの？

Re:>>195 かぎりなく近づくことを具体的にどのように表現するか、それが問題だ。

Re:>>196 点列の極限。

>>197
だから極限の話は難しいし、意見が分かれる

>>195
それが極限というものです

>>195
ものすごくおおざっぱに言うと、
Anは、limAnに近づく。
「近づくこと」ではなく、「近づく目的地」
たどり着くかどうかとか、目的地があるのかとかはまた別の問題。

＞Anは、limAnに近づく。
Anに対して何も操作してませんので意味不明
近づく目的地に近づくということかな？

まあ、「nが大きくなるにつれて」って文章くらい脳内補完してやれよ。

An(n→∞)　と　limAnって同じ意味じゃん。
同じものが同じものに近づくっておいもう理解不能。

ε量化記号を使って εx(x は An の極限) のことを limAnと書く、ということにすれば、
limAn はれっきとした数値を表すことになる。

An(n→∞)　って数値なのそうじゃないのどっち？

ますますマニアックな論理の世界に入っていくな。

>>207
もともとそういうスレじゃないの？

>おいもう理解不能


|　おいもお、おいもお〜・・・　おいも〜　おいーぃも〜
＼＿＿＿＿＿　＿＿＿＿＿＿＿＿／
　　　　　　　　　V
　　　　　　　　　.____　　　∬　ﾋﾟｨｨｨｨｨｨｨ
　　　　　　　____(・　)>___□
　　　　-(石焼いも)--- |~~~~~~~~~~~~~~~|~
　　 / ￣￣￣//￣￣.|| ||△・┓　　　 　 ｜
　 /　　　 .∧// ∧ ∧|| || g||┃ ∬∫∬ ｜
[/_________.(ﾟ//[ ](ﾟДﾟ )|| ||.a||┃┳━━┳|
.||_　　　 ___|_|￣￣ ∪.|.| ||.s||_=|＝＝＝＝|
.lO|--- |O゜.|＿＿＿_ |.|_|ニニニニニニニl.|
|_∈口∋￣_l_____ｌ⌒ ｌ.|＿＿＿　__.| ｌ⌒ｌ_||
　￣￣`--'￣￣　`ー'￣￣￣`--' 　`ー'

つまんね

>>205
もう反論できなくなっちゃったの

ｺﾞﾒﾝﾅｻｲ。。

なんだか馬鹿が騒いでいますね。

その馬鹿とやらを具体的に指摘してください

>>213

>>164
馬鹿か？

>>193
もっと詳しく

ID出てなくても何となくわかるな。

>>214
イコールの右辺と左辺が等しくない、といっているやつは馬鹿以外の何者でもないだろ。
「近似」ならばニアリーイコール「≒」を使う。
「近づく」ならば「→」を使う。
等しくないものが等号の両辺に現れたら、それは矛盾だ。どこかが間違っている。

>>219
そーですね

：＝が言いたかったんじゃない？いひは。

極限【きょくげん】
　「x を a に限りなく近づけた時、f(x) の極限は A である。」
　これを lim[x→a]f(x) = A と書き、次のように定義する。
　任意の ε＞0 に対して δ＞0 が存在して、|x - a|＜δ ならば |f(x) - A|＜ε が成り立つ。
　解釈としては、f(x) と A の差をいくらでも小さく出来ると考える。（x→aで）
ttp://simfan.cn1.jp/mathmarks/rfrs.htm
　等しいなんていってないじゃん

>>219
の意見ではf(x) と A の差をいくらでも小さく出来ると考える。（x→aで） ではなくて
　　　　　f(x) と A の差を０に出来ると考える。（x→aで）になりますよね？
これは間違っている。馬鹿以外の何者でもないだろ。

lim(x→a)ｆ(x)＝ｆ(a)
　と同じことです。
　要するに、ｘをａにずーっと近づけると、ｆ(x)もｆ(a)にどんどん近づいていきますよ、ということです。

ttp://www.miki-net.or.jp/~ma-kun/DG/mathroom.htm

馬鹿がまた来たな。
>>224
lim(x→a)ｆ(x)＝ｆ(a)
それが典型的な間違いなんだよ。
f(a)が定義されない関数、たとえば
f(x)＝（x+1)(x-a)/(x-a)
では、
f(a)は未定義になるが
lim(x→a)f(x)はきちんとa+1という値を取る。
極限を理解してないの丸わかりだな。

>>222-223
ここも解釈が全く間違っている。
lim[x→a]f(x)ってのは、f(x)じゃねえんだよ。
「f(x) と A の差をいくらでも小さく出来る」ってことは、
任意のxに対してf(x)<>Aは言えているが、
lim[x→a]f(x)に関しては
lim[x→a]f(x) = A
と、Aに等しいと書いてあるだろうが。
定義だ定義。馬鹿コノ。

関数f(x)と、Aの間に
　　任意の ε＞0 に対して δ＞0 が存在して、|x - a|＜δ ならば |f(x) - A|＜ε が成り立つ
ときに
　　x を a に限りなく近づけた時、f(x) の極限は A である
といって、
その特別なAを、lim[x→a]f(x)と表記する定義なんだよ。

いひ2号？
本人だろ。
こんな馬鹿そんなにたくさんいたらたまらんわい。

証明できませんがちがいますよ

＞lim(x→a)f(x)はきちんとa+1という値を取る。
＞極限を理解してないの丸わかりだな。
a＋1という極限をとるですよ。極限を理解してないの丸わかりだな。

>>227
そのままやん！反論になってない。残念！

げんきがいいなぁ、ええ？おぃ。
lim[x→a]f(x) = A
この式に付いてよ、
両辺が等しくねえんだったら、
どうして等しくないものを統合で結んでんだい？
説明してみろよ。

元気百倍アンパンマン

>>232
便宜上

>>231
アホか？
lim[x→a]f(x)を定義しているの。
Aのような数値を、lim[x→a]f(x)と記述しますよ、といっているんだよ。
ばかでばかで仕方ないな。

>>234
何の便宜上だよ。
そんないい加減な数学があるかい。
お前ホントになんにもわかってないな。

Aのような極限が正しい

>>236
そんなに俺に理解して貰えないのがくやしいか？
何の便宜上だよ。そんなこと言い出したら。何でそうなんだよ。何でそうなんだよ。・・・
がずっと続いてきりないですよ。子供じゃないんだから。

お前の間違った理論など理解などしたくねーよクズ。ゴミ。

数学で、便宜上イコールにするもんなんかねえよ！

イコールじゃないけど便宜上イコールとにた扱いをするのは
二アリーイコールだ。
これだって、誤差の範囲を意識しながら使ってんだよ。
等しくないものをイコールで結ぶなんてあり得ないっての。

lim[x→a]f(x)
って、何だと思ってるよ。
この数字は言っとくけど、f(a)じゃねえからな。

f(x)と、Aの差をいくらでも小さくできるときに、
lim[x→a]f(x)がAになるんだ。
f(x)がAになる訳じゃない。
lim[x→a]f(x)ってのは、f(x)の値ではないぞ。

別に等しくないものをイコールで結んだって何もおかしな事は無いと思うが。
単にそれは偽だというだけであって。

なるほど。分かりました。ありがとうございました。と言っておこう。これが大人の対応だ。

>>243
おっしゃる通りです。
orz
興奮し過ぎた

あなたに格言を一言
人のふり見て我がふり直せ

説得力ゼロだな。

>>247
こんきょは？

>>248
＞239 ：いひ２号でいいですか？ ：sage ：2005/05/12(木) 19:32:20
＞お前の間違った理論など理解などしたくねーよクズ。ゴミ。

>>249
なんで？

人のふり見て我がふり直せ
れっきとした格言なわけだが、これを理解できないなんて馬鹿以外の何者でもない。
というわけで>>249を馬鹿と定義します。

大人の対応なんてどうでもいいから数学の議論してよ

>>252
出たーーーーーーーー言い逃れ

久々に見るなあ。こういう争い。数学板ではあんまりみないが、2ch的でいい。

数列Anが、aに収束する時、
lim(n→∞)An=a と表記する。
これは絶対間違ってないからね。俺はこれを採用しーようっと。

>>254
死んでいいよ

いひ２号はあぼーんしますた
数学の議論をしましょう

何か必死だよな。

>>255
誰もそれに異論を挟んでいない訳だが。
面白い人だ。

>>257
まともな議論をお望み？

>>259
異論がないから正しい。それだけだ。

>>261
うん。
で、
lim(n→∞)An=a
の両辺は等しい。

>>262
そうだよ。そんなことも知らないの？馬鹿じゃんかおまい。お前俺に何回釣られた？

うんうん、釣れたーって言えば格好は付くよね。

ようやく敗北宣言か。
ま、しょうもない釣りだなあ。

>>264
釣られたのがそんなにくやしい？まあせいぜいイライラしてなさい。こっちは楽しんで書いてます。

ここにいるのは二人きりじゃないよ。

これだから釣るのはやめられない。

>>266
あーくやしいなー

>>267
証明できる？

オレ「釣り」とか「釣り師」っていうのは、
　　　釣り師→　○　 ／|←竿
　　　　　　　　　　ト／　 |
　　　　　　　　　 │. 　~~|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
　　　　　　　　　 八　　 §←餌(疑似餌)　　　　　>ﾟ++<

の組み合わせだと思ってたんだけど、
最近自称釣り師がダイレクトで自分の本音を攻撃されて「釣れた！」とか
言ってるの多いよね。
　これは、どっちかというと、

　　　　　　..釣れたよ〜・・・│
　　　　　　────y──┘
　
　　　　　　 ・ﾟ･｡ ○ﾉノ。・ﾟ･
　　　~~~~~~~~~~│~~~~~~~~~~~~~~~
　　　　　　　　. 　ト>ﾟ++< ミ　ﾊﾟｸｯ
　　　　ｼﾞﾀﾊﾞﾀ 　ハ
　　　　　　　.　ノ　ﾉ

釣りが楽しくて良かったね。
でも、わかってはいないんだよね？

>>271
乙

>>272
何を？

まあ、釣れたって言ったら負けかなと。

数式いっぱい書いていた人はどこ言ったの

>>275
証明して

楽しいって言ってる割には必死だな。
レス早いし。

だって楽しいんだもん

釣れたとか言い出して、もうつまんないな。
じゃあさよなら。

>>276
まだいると思うよ。

ヽ〔ﾟДﾟ〕丿 ﾊｲｽｺﾞｲｽｺﾞｲ

　　|　だって楽しいんだもん！！！
　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　＿＿＿＿
　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 ∨　 ｶﾀｶﾀ＿＿＿_　＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧＿∧ 　 |｜＼　　 .＼　 |◎ |
　　　　　　　　　　　　　　　　　 （.#｀Д´）　 |｜　　|￣￣|　 |：[].|
　　　　　　　　　　 ∧＿∧ . ┌（ 　 つ／￣l｜ ／￣￣/　..| ＝|
　　 ∧＿∧　　　（　TДT）　|└ ヽ　|二二二」二二二二二二二二」
　　（　TДT）　　（　　つつ 　￣］||_＿） 　 |　||　　　　　　　|　||
　　（つ　　つ　　/　 /　/　　.／￣＼　　／　|| 　 　　　　／　||
　　と＿）＿） 　（＿__）__）　 ◎ 　 　◎ .[＿__||　　　　　.［＿__||
　　　　　　　　　 　 ∧
　　 ／￣￣￣￣￣　￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 |　いひよ、もういいんだ・・・・・・・
　　 |　本当に良く頑張った・・・もう充分じゃないか・・・楽になっていいんだ

>>280
さようなら。おったしゃで〜〜〜〜。

>>283
ﾜﾛﾀ

>>283
デスクじゃなくてノートね

とりあえず、
いひは間違いってことでオケ？
昨日から長かったがようやく結論が出たな。

>>287
手品板の人？
この人つれて帰ってよ。

>>287
釣るために言ったわけだが。誰も釣りとは思わないだろうな。
釣りと分かっているのは俺だけ。

>>289
昨日から二日がかりの釣りですか。
大物釣りですね。

手品板の人はもういないのかな。

>>291
いひはもともと手品板でしょ。

イヒさんの華麗なる釣りのえさ

815 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/11(水) 07:59:31 ID:xkGXqtXN
極限の場合のイコールは厳密には等しいという意味で使っていません。あくまでも便宜的使っているものです。まさかそんなことも知らないの？

818 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/11(水) 08:06:56 ID:xkGXqtXN
だから、どの本見たって等しいなんて表現してないんだってば。もう一回よーく本見てみ。

820 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/11(水) 08:21:21 ID:xkGXqtXN
>>819
証明するもなにもそういう決まりごとなんだよ。

854 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/11(水) 17:04:31 ID:tRrPamF9
lim(n→∞)Anこれは式であって数値ではない。数値はaのほう。

859 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/11(水) 17:08:18 ID:tRrPamF9
>>857
そんくらい自分で考えろボケ

このへんもいひさんのえさですかね？

813 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/11(水) 03:42:17 ID:FDUlH0Pe
＞lim An=a について左辺と右辺は等しいと言うんですか？
＞これの答えはYESだよ。
そう言ってんのたぶんお前ぐらいだよ。

952 ：芸も名前もありません ：sage ：2005/05/12(木) 10:17:32 ID:cl+BYfn4
(p)ID:bFn8q+YV
の馬鹿さは無限大に発散する

もういいよ。
スレ違いは終わりだ、帰れ。

￣￣￣￣￣￣￣○￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　O 。
　　　　　　　　　　　　　　　　 , ─ヽ
＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　/,/＼ヾ＼ 　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
|＿＿|＿＿|＿＿|＿　　 __（（´∀｀＼　）＜　という夢だったのさ。
|＿|＿＿|＿＿|＿＿　／ノへゝ/''' 　)ヽ　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
||＿＿|　　　　　　　 | | ＼´-｀）　/　丿/
|＿|＿|　从.从从　　| ＼__￣￣⊂|丿/
|＿＿|| 从人人从.　|　/＼＿＿/::::::|||
|＿|＿|／//ヽヾ＼　 /　　　::::::::::::ゝ/||
────────(〜〜ヽ::::::::::::|／　　　　　　　　＝ 完 ＝

引っ越ーし、さっさと引っ越ーし、しばくぞ。

わかる人には、釣りかマジボケかわかるらしいが…

で？

もういいよ。
帰れ。

あっけないものだ。

いひさん帰って来てよ…

結局いひがいないと盛り上がらないのか・・・？

有限と無限は何となく知っているが、超限帰納法の「超限」とは何だろう？






釣れない釣り師でした。

トランセンデンタル

transfiniteじゃなかったけ。

数学的帰納法は超限帰納法の特別な場合だが、数学的帰納法のどこから「超限」なんて出てくるのか？

「おいもう」に反応して
　　石焼きいものAAを探索。
http://maruheso.at.infoseek.co.jp/aadic/gik2.html
　　ここに、

石焼いも売り【いしやきいもうり】
ギコ猫の車両シリーズの石焼いも売り。
救急車や霊柩車とは違い煽りに使われない。
スレの流れに関係なく現われ、すぐに通りすぎる。

　と書かれてたのではってみたが
　　立派な煽りになってしまった。つД｀)ﾀﾞﾏｻﾚﾀｰ

つまんね

無限とは、

いちいち範囲や制限や境界を考えるのがじゃまくさい

という意味でしかない

つまり無限とは
思考放棄そのものである

つまんね

>>210,309,311
あなたもしや…

1=0.999･･･ のスレによるとちかごろ無限はカネで買ってくるものになったらしいぞ

なんだかんだいって活気のあるすれになったね。
遊びにきてよかった。

1=0.999･･･ ていうのはやっぱり納得がいかないね

1と0.999…が等しくないようなモデルも作れる。そういうのがお好きなら
そういう代数系を考えればよろし。

曖昧な世界ならどうにでもなる

,. -‐''' ー- ､ヽ‐---､::::::::＼　ヽ､　i､
　　　 　 　 ／　´￣ ￣｀`ヾ lヽ､｀'ｰﾞ::::::::::::::;＞　Y′　お願い、おっきいちんちん、はやくいれてぇ･････
　ﾄ､　　 ／　　　　　　　　　 　 ｀ヾ､=;r‐<´ヽ.　ヽ.l、
-'ーﾞ-v':　　 ﾞ´￣　ミ =ﾐ:.､.　､＼.＼ヾﾞ;､ ヽヾヽ　|
　｣::--三'　　　　　 ﾐ: ､ >､ミ;､ヽ ヽ. ヽヽト､ lハヽ|
,..<,r:'´　　　　　 　 ､／;;r:''"ヾ;ﾄ､ヽ.ヽ ヾ;ﾄ､.｀　　　　　　　　 　 　 ,.　-_;'ニニ;_ ､_
::://,　　　　　 ヽ､ベ､ﾐ;''ヽ;､__ﾉ;ゝl; ヽl｣Lヽ〃rへ;_＞=-‐‐.､　 ／.／　　　　 　 ｀ヽヽ､_
::l// ,'　　　　ヽ､　ヾ;ヽ 　 ｀`'´　／,＞‐''"￣＿＿,,.. --‐''"У／::.　　　　　　 　 　 ヾー-`'=ｰ-､
//.! |. ,　　 ヽ,.ヽﾄ､,､　　　　　 /／　,.r '' "´　　　￣￣　, ｲ ./:::::.:.　　　　　　　　　　 i　　 　 ｀ヽ.＼
|:! .| .!i l　　､　:ヽﾄ､!l'ﾞ`ヽ,ヽ / / 　 /　　　 ,　　　　 ,.-‐/ / //:::::.　　　　　　　　　　　|　　　　　　ﾞ､.l
　 ﾊ ﾚl ', 　 ＼ヾﾐヽゞ=ｲ 　 /　 ./　　 .／　　 | ./´ ./.'　!　|,'::::::::.:.　　　　　　　　 　 /　　　　　　　l l,
　/ハVい､ ':,　`ヾﾐ､ｰ＞-‐:|　./ 　 ／　　/＿|/　 /　　|　j'::::::::::.:.　　　　　　　　 .,.ｲ:::.　　　　　　 .! |
　!.|　|`ﾄlヽヽ ヽ　　ヽ`ヾ:;＼| /　 ,.'　　/／ 　 |　 ,'　　 .l　,'::::::::.:.:.　　　　　　　 .:/:;::i::::.:.　　　 　 　 | |
　|.ﾊ. l ',.', ＼ヽ,ヽ 　 ｀:.､ ＼〈　 / _,. イ /　　 .|　 !　　 ,'　!::::::::.:.:.　　　　　 　 .::;' / ﾉ::::.:.　　　　　　i ,'
　　 ヽﾞ､い　 l::::/ヽ､　　｀ヽ､`j./´　 /　,′　　|　 |　　,'　.|:::::＿＿__　　　 　 　 |:／::::.:.:　　　　 　 / |
　　 　 ヽヾ;､､l;ハ､-｀ヽ､.　　l　　　ﾉ　/　　　 .l　 l. | .,'　 ｢-―‐ ''"´二二二`' ー‐ - ､ __　　　　/　.l
　　　　　 ＼ヽ-‐ヽ　　 ｀`｀` i　／　/　　.,'　 l､_ | .| .l　 7"｀`::ー--＝==:;＿三二_`'_ｰ-=｀＞-,ｲ

俺おっきくないから、誰かおっきい人頼む！

Re:>>319 おっきくならないの？

結局バカの群れがまぜかえしに来るだけだな

「等しくなければ等号で結ぶわけないだろ」
VS
「等しいなんてどこにも書いてないだろ」

の争いだからね。不毛すぎる。

話題転換に。
x＋yz=(x＋y)(x＋z)が一般に成り立つ状況は存在するか存在しないか？
さーどっち。

>>323
x=0
x+y+z=1
じゃいかんの？

>>322
そのまとめ方はちょっと違う気がするが。

>>324
一般にだよ

>>324
知的レベルの低さがヨーク分かりますね

一般に成り立つ状況ってのは、

x＋yz=(x＋y)(x＋z)

が恒に成り立つ環があるか？とかそういうことですか。

そーユーことじゃねーのたぶん

見た目分配則っぽいが、よくわかんね。どっから出てきた式なのかね。

お前らその程度か？

有限と無限にどう繋がってくのかもわからんし、非可換環論詳しくないし。

↑うぬの力はその程度か？

その程度だ

このスレの住人のレベルの低さがよく分かりました。

>>335

どういうところから出てきた式なの？ x＋yz=(x＋y)(x＋z)ってのは。

困った人だ

もう降参かね？

降参

降参したからといってなんか教えてくれるわけでもないのか。

正解は・・・論理演算の性質ね。

…有限と無限に何の関わりが？

age

>>342
makeoshimi

まだ奴がいるらしいな。

∩(●ﾟ∀ﾟ●)∩　age!　　　　　

無限次元可積分系

きゃは

有限→限りがあること。限界を有すること。
無限→限界のないこと。有限性の否定。無際限。

>>345
奴もいるみたいだな

有限次元のユークリッド空間では単位閉球上の点列は収束部分列を持つが、無限次元になると
(普通のヒルベルト空間として考えて)単位閉球上の点列は必ずしも収束部分列を持たない。
例としては、正規直交基の列
(1,0,0,..)
(0,1,0,..)
(0,0,1,..)
..
を考えれば良い。

>>341

環の話じゃなかったのね。。。
なんか漏れの知らない分野の環論の話かと思ったよ。

これじゃただのクイズだよ。

　 ,j;;;;;j,. ---一､ ｀ 　―--‐､_ l;;;;;;
　｛;;;;;;ゝ T辷iﾌ i 　 　f'辷jァ　 !i;;;;;　　
　 ヾ;;;ﾊ　　　　ﾉ　　　　　　　.::!lﾘ;;rﾞ 　　 有限と無限じゃ、本質的な違いがある．．．
　　 `Z;i　　　〈.,_..,.　　　　　　ﾉ;;;;;;;;>　　そんなふうに考えていた時期が
　 　,;ぇﾊ、　､_,.ｰ-､_',. 　 　,ｆﾞ: Y;;f.　　　俺にもありました
　　 ~''戈ヽ 　 ｀二´ 　　 r'´:::.　`!

>>354はオイラー

浜の真砂は有限です。
疑うんだったら、試しに数えてご覧。

age

数学はいつになったら神学から卒業できるのか

>>358のがんばり次第だな。

神学とそうでないものがあるだけのこと。
ところで神学って何？

っていうことは、神学と哲学は同値？

有限＝本当は無限だけど有限に見えてるやつ
無限＝本当は有限だけど無限に続くように見えてるやつ

>>362
無限の存在を認めた立場で考えると、それが正解のような気がする。
でも、そのときは無限とはなんぞやとの、定義が必要な気がするのだが。

308

900

180

700

384

二年二時間。

age

744

616

俺の命は有限。

愛は無限。

ttp://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=mad8b&sid=1835554&mid=95

有限を積極的に定義してるのか。どんな本に書いてあるのかな？

デデキント以外の無限の定義って、有限でないって以外はどんなのがある？

超準解析

そういうのは定義とは言わない

>>377
自身の真部分集合と全単射が取れる集合。

>>380
それはデデキントの定義そのもの

相対性理論は？

>>382
？？？？？

平行線が交わる点

結局無限の定義ってノーマルなものしかないのかね

逆にアブノーマルな定義というものを知りたい

>>386
有限についてなら、デデキントのもう一つの定義とかシェルピンスキーのとか。無限についてもその否定を使うという手もあるけど。

集合なしに有限と無限を定義って無理かね？一階述語論理でってこと。

それができるならラッセルは無限公理なんて導入しなかったと思う。

例の前原本には無限を２階の述語として書いてるな。１階じゃあ無理とは書いてないが。

361

無限集合には構成可能な無限集合と、構成的ではない無限集合と二種類が
あると思われる。

>>392
ないない。

>>392
あるかないかと言われればまああるんだろうが、わざわざそういう
分け方をしなきゃいけない必要に迫られたときだけだろうな。

有限を普通でない形で定義して理論展開すると、無限であることの証明がエライ難しくなるな。
デデキントの第２の有限の定義で自然数の集合や実数の集合の無限性を導くのって、どうやるんだ？
高木の論文はあるようだが、ドイツ語みたいだし、手が出せん。

215

有限と無限

無限と有限

無有と限限

限限と愉快な仲間たち

巨大数スレを見ると、今まで俺が考えていた有限の小ささや無限がいかに矮小化されていたのかがわかるな。

集合Ｍが有限とは、写像f：Ｍ→Ｍが存在して、任意のＡ⊂≠Ｍ、Ａ≠φとなるＡに対し、f（Ａ）⊆Ａとならないようにできる。

>>386

(1) 空集合は有限集合である。
(2) 有限集合に１点を加えて得られる集合は有限集合である。
(3) 以上によって得られたもののみが有限集合である。

>>406
ノーマルな自然数の定義だよね。

>>407

(1) 空集合は自然数である。
(2) 自然数にそれ自身を加えて得られる集合は自然数である。
(3) 以上によって得られたもののみが自然数である。

ちと違う。

>>408
本質的な違いがないからねえ。

一対一対応の意味で同じ＝濃度　ですけど

部分が全体と同じじゃ気持ち悪いからとその違いを区別できる概念ってあるのですか？

>>410
もともとの集合概念。

20 名前：GO MAXIMA ：03/12/06 14:24
>18
有限単純群の分類(The Classification of Finite Simple Groups,略してCFSG)
は、1980に最初でたときは 15000ページもあり不備もあってレフェリーを泣かせた
らしい。その後 たった5000ページの正しい証明が出た。これにより非可換有限群は
3つのタイプ、５次以上の交代群、Lie type群、26個のsporadic群 に分類されること
になった。CFSGを使って言えることは 膨大だが、同時に分らないことも 膨大に増えた
のだということを知ってほしいね。例えば Eを位数nで対称群と交代群以外で単純群となる
ものが存在する正の整数nの集合とする。いま e(x)= n(E ∩{0,x}) とおく。CFSGから
e(x)=2π(x)+(1+√2)x^(1/2) +O(x^(1/2)/logx) が成立する。π(x)は素数関数である。
有限と無限の間の関係には興味をそそる問題も多い。

素数関数という用語はあるの？なんかn番目の素数を表す関数と誤解されそうな用語だけど。

普通はπ(x)で表される素数に関する関数なんて、ｘ番目以下の自然数の中の素数の個数を
表しているものなんじゃないの？

もちろんそうだが、それを「素数関数」と表現するのは見たことがない。

412の引用先の人はMAXIMAというソフトを他人に勧める程に奇特な人であるから
「素数巻数」という表現は奇特の序の口レベルと言えましょう

kingのオナニー欲は無限

talk:>>417 何やってんだよ？

kingのちんちんから射精する精子の数は限りなく無限に近い。
しかし有限である。

talk:>>419 日本語を書け。

「限りなく無限に近い。 しかし有限である。」
をε-δで記述せよ。

∀n∈N c>n,c<∞

age

　　　／ ￣￣￣￣￣ ⌒ヽ　　　
　　/　 　　　　 /i　＼ 　　ヽ　　
　　| |　/////.∧　| | | | ∧ |＼､　　　
　　| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・〕--ヽ　　
　　| .|| || ゛｀ー'(､●^●,)ー'゛　ヽ 　　 私のオナニー技を見たいのか？
　　|　　| ||　＊ 　ﾉﾄｪｪｲヽ 　・　　l
　 .|　　| ||::::　　ﾉ ヽ｀ｰ'ﾉ ヽ　::::　/　　　
　|　i　ゝ:::::::::::　　　　 '⌒ヽ　:::: ノ　 　
//∧|　＼＿＿ '､＿＿,ﾉ＿／

　　　　　　オナニーだいすきんぐ

talk:>>424 何やってんだよ？

はっはっは、憎まれ者king参上！
　　　　　　　　ャ-‐一
　　　　　　 ＿／_√~
　 　 　　＜　r-‐='＞￣￣｀ヽ
　　　　 ,　´∠　　　　　　　　 }n 　
　　　／､'´　　　　　　　　　　レ'}
　　　￣「￣￣￣￣￣丁　(７/)l　
　　　　 |＿_　　　　　 /　／/ｲ } 　　
　　　　｜l　 ￣￣￣　／√ﾉ人] 　　　　
　　　　　l l　　　　　　 ｀´ ｲ,-ｰ' 　
　　　　.　､ l　　　　　 ／´￣￣ ｀`ー-=-､
ー-v'´￣｀ ー─＝ニ´　　＿, -ーニ三「￣｀ヽ､

talk:>>426 お前に何が分かるというのか？

>>4
せっかくなんでkwsk解説してみてくらはい

>>428
小平でも読んだら？

king氏ね集合は有限集合ですか？

talk:>>430 お前に何が分かるというのか？

巨大基数って無限の親分みたいなもん？

まだわかってない。さらに階層があることが否定されればそうとも言える。

ステージの最後にいるボスキャラってイメージはある。

　　　　　　　　　＿　　　　　　　　　　__
　　　　　　　　/,=､,｀=‐-,.-=.- ､　 ,'´ ミ｀ヽ
　　　　　　 　 ヾ,:"ﾐミ∠.:三 =-｀<｀>'＼ヽヽヽ
　　 　 ,.-‐;.ﾆ=±ヾﾐ/ﾍ:三ニー彡ハ　 | l　l |
　　　 l 　/ ,.-,‐ ´￣＾i |´´ `≪､彡'ﾉ} / | //
　　　　 / /　| __　　　|.| 　 __ .||ヽ彡l| | |//
　　　　 | l|　 l´;=ﾐ 　 ,!|‐;ﾆ､ ｀|| .l彡ﾘ | |l ト､
　　　　　!ll　ハ! iﾟ|　　ﾘｲ |ﾟi|　l| /｀l.'　 ヽ､ﾄ､＼
　　　　　ヾ　/ﾊ￣ι 　 ￣´ ".l!｡ﾉ　　　　＼i lヽ 　　　　kingは出入り禁止！
　　　　　　　l |i ゝ､ ‐='　　　 ﾊヽﾟﾟ　 　 　 　 }l.l | 　　　
.　　　　　　　 |ｌ.|　 ｀ - ‐ ´　l ﾉﾉ　　　 　 　 ﾉ// 　　　　　　　　　　　 ○
.　　　　 　 　 ヾ{.　　 ＿|.　　|　　　　　 ｰ=彡"　　　　　　 　 　 　 　 //
..　　　　　　　　┌/´　-､ -‐｀￣ ｀ヽ 　　　　　　　　　　　　　　　　 //
　 　 　 　 　 ,.-┴''　､, 　 　　　,.-‐ヤ 　　　　　　　　　　　　　　　//
　　　　 　 ,;'´　　　,;'´　　　　　　,ｲ:::::::::＼ 　　　　　　 　 　 　 ∩//
　　　　　 ,'￣"'‐-r -,,_＿ ,, - ﾅ´:ﾄ､::::::::::::＼ 　　　　　　　　　ﾉ//_
　　 　 　 ヽ;;;;;;;;ニニ;;;:::::::::::::;;;ﾉ::::/　＼::::::::::::＼ 　　　　 　 ／/t三)
　　　 　 　 ｀ ''''''´ ｀ '''''''''''''''

talk:>>435 私を呼んでないか？

　　　　　　　　　　　　　　　　
　　 　　 ／⌒ヽ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／⌒ヽ
　　 　　/　_=ﾟω）　魔貫光殺法!!!!!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　/　´_ゝ`） ！
　　　　（　＿￣σ=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=⊃　　　　　　　　 |　 　 /　I'm the king of kings!
　　　／ ／〉　〉　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　| /|　|
　　 ,i＿_） ヽ＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　//　| |
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .Ｕ　 .Ｕ

talk:>>437 何考えてんだよ？

　　 　 　 　 　 |￣l＼　　　　　.|￣l＼
　　 　　　|￣l｀|　 | |￣￣￣￣|　 | 　＼
　　 　 TTTTT.|　 | |　（┘） 　 | 　| TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTlヽ
　　　 [二二二| 　| |　 　 　 　 | 　| [二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二]＼lヽ
　　 　｀l　[]l[] .| 　| | 日日日　| 　|　|　田田　田田　田田　田田　田田　田田　田田　| 　 ＼l
　　 　[二二二| 　| |　 　 　 　 | 　| [二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二]　　　|i-i-i-i-i､
　　 　｀l　[]l[]. |　 | | 日日日　| 　|　|　田田　田田　田田　田田　田田　田田　田田　| 　 　 |二二二]＼
　　 　[二二二| 　| |　 　 　 　 | 　| [二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二]　　　| 田田　| 　|
　　 　｀l　[]l[] .| 　| | 日日日　| 　|　|　田田　田田　田田　田田　田田　田田　田田　| 　 　 l二二二]　 |
　　 　[二二二| 　| |　 　 　 　 | 　| [二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二]　　　| 田田　| 　|
　　 　｀l　[]l[]. | 　| l|￣|￣|ﾆl .| 　|　|　田田|￣|￣|　田田　田田　田田　田田　田田　l 　 　 l二二二] 　|
　￣￣￣￣￣￣￣|　 | 　|]　_|＿| [二二二|　 |￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　 　 　 　 　 　 　 |　 | 　|／　　　　　　 　 | 　| 　 ＿＿＿＿＿＿＿
　　 　 　 　 　 　 　 |　 | 　|　　　　　　　　.　| 　|　　|king氏ね大学院|
　　 　 　 　 　 　 　 |　 | 　|＿_＿＿＿＿＿| 　| 　 ￣￣￣￣￣￣￣
　　 　 　 　 　 　 　 |　 | 　|　 　 　 　　　　　| 　|
　＿＿＿＿＿＿＿|＿l／ 　 　 　　 　　　　|＿|＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

talk:>>439 お前に何が分かるというのか？

kingのポーズ

　　　　／￣￣￣￣＼
　　　（　　人＿＿＿＿）
　　　.|ミ/　　ー◎-◎-）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　（６　　　　　(_　_)　）＜数学やる前に一発オナニー！！
　　　ヾ/　∴　ノ　　３　ﾉ　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　 ∩＼＿＿＿＿ノ∩
　　／|└９　））　　　６┘|
　　　にニ｝､_　　　 /にニ｝

talk:>>441 お前は36000秒間pauseしてろ。

朝のking

　　　　／￣￣￣￣＼
　　　（　　人＿＿＿＿）
　　　.|ミ/　　ー◎-◎-）　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　（６　　　　　(_　_)　）＜　朝起きたら一発オナニー！！
　　　ヾ/　∴　ノ　　３　ﾉ　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　 ∩＼＿＿＿＿ノ∩
　　／|└９　））　　　６┘|
　　　にニ｝､_　　　 /にニ｝

talk:>>443 何考えてんだよ？

キソグ氏ね

talk:>>445 お前に何が分かるというのか？

kingは天才数学者だが数学嫌いであることが分かる。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

５０年後のking
　　　　　　　　　＿___
　　　　　　　　/　、,　ヽ
　　　　 ,, -┬ | ＾　　＾ |┬,-、
　　　／ ,-､,-(:|ｌ●H●ｌ|;)ー--、
　 　 |／|,ﾞ,ｌ| ,,┴ｰ.ｖｰ┴、 　　ヽ
　 ／　 __|､|/'ｖ'Ｔ'~＾~Ｔヽｌ＼　　 ＼　　全裸女子大生の画像くれ
　 |　　 {_Ξ} 　 ヽ,,,,,,/　　　 ＼| 　 |
　 ＼___/T'|' 　 　| ''' |数学命　|　 /
　 　 　|　ｌﾟ| 　 　 |┿|　　　　　|／
　 　 　|　|ｌ| 　 　 |┿|　　　　　|┤
　　　　|　|'| 　 　 |┿|　　　　　|┤
　 　 　|,__|ﾞ|＿＿,ｌ人ｌ___＿＿__|/
　 　 　　| |,|　　　　　　　　　　|
　　　　　｀|'|　　　　　　 　　　/
　　　　　　ｌ|､＿___λ＿＿／
　　　　　　!　　ｖ　　　　ｖ

＞31 ：１３２人目の素数さん ：04/03/15 17:35
＞ ＺＦＣで考えてるなら問題ないけど、ＺＦだと>>23と>>28の無限の定義は同値ではない。
＞ そういう理由があるので、>>23のほうは"デデキント無限"、>>28のほうは単に"無限"と区別して呼ばれる。
＞ >>23と>>28の定義がＺＦで同値でないのは、可算部分集合を含まない無限集合が存在するようなＺＦのモデルが存在するため。
＞ （つまり「無限集合は可算部分集合を含む」という命題はＺＦから独立）
＞ 可算部分集合を含まない集合はデデキント有限であることが言えるので、このモデルにはデデキント有限な無限集合が含まれる。

その通りなんだが、此処に来ている奴の大部分には何のことかちんぷんかんぷんなじゃね？

talk:>>449 何やってんだよ？

なぜに突然>>31に？

>>450
>>405については？

＞453 ：１３２人目の素数さん ：2006/07/08(土) 05:46:13
＞>>405については？

28と同じだろ。
ただ、つまらん揚げ足を捕られない様に　「(2) 有限集合に１点を加えて得られる集合は有限集合である。」の「1点」は「1要素」位にした方が良い。

>>454？？？？一点ってなんのこと？

おしりのらっぱがなりました　●２点

>455 ：１３２人目の素数さん ：2006/07/09(日) 00:30:01
> >>454？？？？一点ってなんのこと？

28 に聞いてね。

＞457 名前：１３２人目の素数さん ：2006/07/09(日) 14:19:07
"28" should read "405."

　　　　　　　　 　＿／ミ　　 ＼_
　　　　　　　　／　　　 !　　ミ　 ＼_
　　　　　　 ／　　　　__|l l l＼　　　＼
　　　　　 /　/／　／　＼　 |_L　＼　＼
　　　　　/　/／／　　　　＼ | l_ ＼　　 )
　　　　 /　（　/.|　　　　　　＼＼＼　＼|
　　　　 |　 | /l/　,-==　　　 =＼ヾ|　＼ |
　　　　/ ! ! ( V　,--o、　　　l-o-L＼＼＼
　　　　| ! ! !(__!　　　　　　　　　　　＼ ＼ |
　　　　＼　l＼|　　　　　,　　　　　　　| ＼ }
　　　　　＼l　 |　　　　 l..o,.o)　　　　 |　＼＼
　　　　　　 ＼ ^l　　　　,-v-、_　　　 /　／　|
　　　　　　　　| ＼　　<-l^l^lヽ/　　/|＿__／| 　　　　　よおking。寝る前に一発オナニーか？
　　　　　　　　 ￣＼　 ヽ￣／　　/　|　　)／＼
　　　　　　　　　／ |＼_ ￣　　_／　 |￣^|＼　 ＼
　　　　　　／￣　 /|　　￣￣￣　　/　　 ＼＼　 ＼＿＿＿
　　　　 ／　　　　( _|　　　　　　　　|　l l　l　＼|　　　　　　　 )
　 ／￣　　　　　　＼　　　　　　　　) | |　|　|　＼　　　　　　/＼
／　　　　　　　　　　＼＿＿＿＿_// | | |　|　＼＼　　　　 /　 .＼

【アンドリューワイルズ】プリンストンでは仕事をせずに詰め将棋を作っていた【フェルマー】
http://game9.2ch.net/test/read.cgi/bgame/1152439067/

>>457
>>405のどこに一点が関係するのかがわからないんだけど？

>461

Sorry. Mea culpa.
405 (I think) is equivalent to 23.

違うと思うが？

>463

Then can you explain, please?

イメージ的にはfはサイクリックな写像なんだろうが、正直俺も完全には理解していない。
ただ、あれがデデキント無限の否定になっていないことぐらいは分かる。

>>450の言う通りだとしたら、日本の数学科のレベル低下は相当酷いな。

２ｃｈですよ

例のコテハンと取り巻きへのウザさを遠まわしに批難してただけちゃうのか

にしてもさすがに東大の院生が知らないわけがないだろ？
非難なら表現が下手杉というか。

talk:>>459 何考えてんだよ？

kingはオナニーなどしない！
そうだよな？king

>>450=>>454は結局知ったかだったのか

talk:>>471 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

関数電卓で10x^y6.5=1/x　をしたら3.16277......e-7って出てくるんだけど、「e-7」って何？

*10^(-7)

>>405の定義で自然数全体の集合が有限でないことはどうすれば言えるんだろう？

219

（小数の並べ方）

0以上 1未満の小数を以下のルールに従い並べる。

　＜並べ方のルール＞
　１　先頭に 0.0 (=0) を置く。
　２　その後，小数点以下１桁の小数を，その中で小さい数から順
　　次並べ，それが終われば，小数点以下２桁の小数を，その中で
　　小さい数から順次並べるというように，桁の少ない小数から多
　　い小数へ，その中では，小さいものから大きいものへと並べて
　　いく。
　３　（先頭の0.0は別として）並べる小数の最終桁が 0となる
　　場合，これは既出の小数であるから，これは並べずに，飛ばす
　　こととする。

　なお，このルールで並べた数列を，数列Ａとする。

　では，数列Ａを具体的に並べてみる。

　まず，先頭に，0を，便宜上，
　　　　0.0
　として置く。
　次に，小数点１桁の小数を，小さい順に
　　　　0.1
　　　　0.2
　　　　0.3
　　　　0.4
　　　　0.5
　　　　0.6
　　　　0.7
　　　　0.8
と順次，並べていく。そして，
　　　　0.9
となり，小数点 1桁の小数を並び終えた。このように，小数点以下
の桁が 9で満たされた場合には，次の小数については，桁を 1桁下
げた最終桁に 1を置き，間の桁の数字を全て 0とする小数を置く。
　　　　0.01
　そして，このように最終桁を１下げた小数に，その桁の数字を１
ずつ足した小数を並べていく。
　　　　0.02
　　　　0.03

　　　　0.04
　　　　0.05
　　　　0.06
　　　　0.07
　　　　0.08
　　　　0.09
　そして，この次の小数は，このまま足すと，0.10となるところ
であるが，このように最終桁が 0となる小数は，既出の小数（この
場合は0.1）となるので，この数は飛ばし，次の小数として，
　　　　0.11
を置く。同様に，続けて
　　　　0.12
　　　　0.13
　　　　0.14
　　　　0.15
　　　　0.16
　　　　0.17
　　　　0.18
　　　　0.19
　　　　0.21
　　　　0.22
　　　　0.23
　　　　0.24
　　　　0.25
　　　　0.26

　　　　0.27
　　　　0.28
　　　　0.29
　　　　0.31
　　　　0.32
　　　　0.33
　　　　0.34
　　　　0.35
　　　　0.36
　　　　0.37
　　　　0.38
　　　　0.39
　　　　0.41
　　　　0.42
　　　　0.43
　　　　0.44
　　　　0.45
　　　　0.46
　　　　0.47
　　　　0.48
　　　　0.49
　　　　0.51
　　　　0.52
　　　　0.53
　　　　0.54

　　　　0.55
　　　　0.56
　　　　0.57
　　　　0.58
　　　　0.59
　　　　0.61
　　　　0.62
　　　　0.63
　　　　0.64
　　　　0.65
　　　　0.66
　　　　0.67
　　　　0.68
　　　　0.69
　　　　0.71
　　　　0.72
　　　　0.73
　　　　0.74
　　　　0.75
　　　　0.76
　　　　0.77
　　　　0.78
　　　　0.79
　　　　0.81
　　　　0.82

　　　　0.83
　　　　0.84
　　　　0.85
　　　　0.86
　　　　0.87
　　　　0.88
　　　　0.89
　　　　0.91
　　　　0.92
　　　　0.93
　　　　0.94
　　　　0.95
　　　　0.96
　　　　0.97
　　　　0.98
　　　　0.99
とすると，小数点以下 2桁の小数を並び終えた。このように，小数点
以下の桁が 9で満たされた場合には，次の小数については，桁を 1桁
下げた最終桁に 1を置き，間の桁の数字を全て 0とする小数を置き，
　　　　0.001
とする。以下，同様に続ける。
　　　　0.002
　　　　0.003
　　　　0.004
　　　　　・
　　　　　・

（個数計算）
　ここで，いったん数列Ａを離れ，新たに，小数点以下 n桁目ま
での小数を網羅したリストというものを考える。
　まず，小数点以下 3桁までの小数を網羅したリストを作成して
みよう。その作成方法は，小数点以下 3桁目の，
　　　　0.001
から初めて，これに順次,0.001を足していき，
　　　　0.002
　　　　0.003
　　　　0.004
　　　　0.005
　　　　0.006
　　　　0.007

　　　　0.008
　　　　0.009
　　　　0.010 　(数列Ａとは異なり，最終桁が 0の小数も置く)
　　　　0.011
　　　　　・　　
　　　　　・　
　　　　0.999
とすると，過不足ないリストを作成でき，その個数も999 個であ
ることがわかる。　ここで個数計算の便宜上，リストの先頭に，
0.000 (=0)も加えておくと，総個数が1000 個になる。
　このように，小数点以下 n 桁目までの小数を網羅したリストと
いうのは，順列の考え方に従い，個数が 10^n 個となる。
　したがって，0.99ならば100番目の小数，0.999ならば1000番目の
小数となる。

　実は，数列Ａも，この網羅リストを小数点以下１桁のリストから，
小数点以下 2桁のリスト，3桁のリスト，………という具合に，（重
複分の既出小数を省きながら）順次並べたものにすぎない。
　よって，数列Ａの個数も，小数点以下 n 桁目までの総数は　10^n
個であり，0.99ならば100番目の小数，0.999ならば1000番目の小数
である。

（有限小数を網羅していること）
　なお，数列Ａも含め，こういった網羅リストは,順列の原理に従っ
ているので，小数点以下 n 桁目までのリストに対し，小数点以下
n 桁の小数を任意に一つ作ったとしても，その小数は，必ずリスト
の中に存在することになる。これは，小数を一つ任意に作る方法に
特殊な方法を用いたとしても，同じことである。
　そして，数列Ａは限りなく並べ続けていくことができるから，個
数は無限に存在し，その小数点以下の桁にも下限はない。
　よって，数列Ａが0 以上 1 未満の小数のうち，少なくとも有限小
数について，その全てを網羅していることは明らかである。　

(無限小数を網羅していることの証明　1)
　数列Ａが有限小数しか含んでいないと仮定する。
　そうすると，数列Ａのリストの桁も有限桁の下限を持つことにな
る。しかし，リストに含まれる小数の総数は，桁の下限を n 桁 と
すると，10^n 個であるから，n が有限個とすると，総数も有限個。
　だが，これは数列Ａが限りなく並び続けていけるという自明な事実
に反し，矛盾。
　つまり，数列Ａは無限小数を含む。
　さらに，数列Ａは順列の原理に従っているから，リストの桁までの
全ての小数を網羅している。
　よって，数列Ａは，全ての無限小数を網羅する。

(無限小数を網羅していることの証明 2)
　まず，任意の無限小数を１つ考える。たとえば，
　　　　π-3 = 0.14159265…

この無限小数の小数点以下 n 桁までの有限小数を表した数列をa_n
とする。すなわち，
　　　　a_1 = 0.1
　　　　a_2 = 0.14
　　　　a_3 = 0.141
　　　　　・
　　　　　・
など。すると，この数列の極限は
　　lim[n→∞]a_n = π-3

となる。つまり，
　　　0　=<　(π-3) -　a_∞　< ε
となり，結局，
　　　π-3　=　a_∞

更に，全ての無限小数について，同様の数列，b_n, c_n, d_n, …
を考えることができ，これらの極限も無限小数と一致する。
　そして，数列Ａは，これらの数列a_n, b_n, c_n, d_n, ……を全て
含んでいる。
　よって，数列Ａは無限小数を網羅している。　　　

(無限小数を網羅していることの証明 3)
　仮に，数列Ａが無限小数を含んでいないとすると，数列Ａのリス
トとは別に，無限小数のみを並べたリストを考えることができる（こ
のリストが無限小数を網羅しているかどうかまでは問わない。以下，
この無限小数の数列を数列Ｂという）。
　ところで数列Ａは順列に従って並べられているので，数列Ａの桁
がある範囲では，全ての小数が並べられている。つまり，数列Ｂに
並べられた無限小数も，数列Ａと重複する桁の範囲では，数列Ａに
あるいずれかの小数と同じ小数の並びにすぎない。
　とすると，数列Ａと数列Ｂの２つのリストが違うリストとなるため
には，数列Ｂのリストの桁が，数列Ａのリストの桁よりも，明らかに
下まであることを示さなければならないが，数列Ａのリストの桁に下限
などないから，これは矛盾。
　よって，数列Ａと異なる数列Ｂのリストというものは，存在するこ
とができず，数列Ａは無限小数も含んでいるということができる。

(対角線論法の適用　　有限の範囲)
　最初に数列Ａで小数点以下 3桁までの有限の範囲で小数リストを
つくり，これに対角線論法を適用してみる。
　なお，この適用のため，小数点以下３桁までで桁が空位の場合は
その桁は0 で埋めておくものとする（0.1 なら，0.100）。

　この小数リストの n 番目の小数の小数点以下 k 桁目の数字を
f_n(k) とし，対角線論法で新たな小数 X をつくるにつき，その
k桁目の数字　g(k)を
　　　　　　g(k) ≠ f_k(k)
となるように X をつくる。もっとも，この小数リストは数列Ａでで
きており，実際にやってみればわかるが，常に　f_k(k) = 0　となる
ので，X の k桁目の数字g(k)は，0以外の 1から 9までの数字のいず
れかを選んでおけばいいことになる。
　そして対角線論法はXがリストにない小数であると主張するのだが，
これを検討すると，少なくとも小数点以下 3桁までのこの有限小数リ
ストに適用するについては，新たな小数など作れていないことがわ
かる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　続く

続き
　この小数リストは３桁までしかないから，リストの最初の３つの
小数(0.000, 0.100, 0.200)と比較対象して作成される Xは，対角線
論法の手法によっては，この３つの小数と違う小数であることしか
保証されない。このリストの総数は10^3 = 1000 個だから，Xと直接
的な比較がされなかった小数の数は，1000 - 3 = 997 個にも上る。
　もっとも実際には，リストにある小数のほとんどは，明らかに X
とは異なる小数となる。というのは，数列Ａは順列の原理に従うの
で，3 桁の小数であるXと同じ小数は，総数1000個のリストの中で，
1個しか存在しないからである。
　しかしこれは，逆をいえば，1000個あるリストのうち，必ず 1個
だけ，Xと同じ小数が存在することとなる。
　ようするに，順列の原理に従った小数リストに対して対角線論法
を適用しても，新たな小数を作ることはできず，必ず，リストの中
の 1つの小数と一致してしまう。
　つまり，対角線論法とは，リストの中から小数を 1つ選び出すため
の特殊な手法にすぎないのである。

　以上のような関係は，この小数リストの小数点以下の桁を，3桁から
どれだけ下げて拡張しても同じである。
　すなわち，数列Ａでできた小数点以下 n 桁までのリストに対し，
対角線論法で小数 X を作っても，リストにある 10^n 個の小数の
うち，必ず１個だけ，Xと同じ小数が存在する。　　　続く

続き
　さらに，次の点は対角線論法を考察する上で重要である。
　つまり，対角線論法では，チョックするのが n 桁目までとすると，
n 個の小数とは違う小数を 1つ作ることができるわけだが，n桁目
のまでの小数の総数は 10^n 個であるから，常に
　　　　　　　　n < 10^n
である。この関係は少なくとも nが有限の範囲では維持される。
　したがって有限の範囲のリストに対し，リストの小数を全てチェ
ックし尽くすことは，対角線論法では原理的に不可能である。

　では，nが無限に至った場合，
　　　　　　　　n < 10^n
の関係は維持されるであろうか。

(極限と大小関係)
　　lim[n→∞] n = ∞
　　lim[n→∞]10^n = ∞
　この２式の右辺の∞は，大小はないと考えられている。というか，
∞は数ではないから，そもそも大きい，小さいという議論の範疇に
ない。したがって，この２式の等号＝も，等しいという意味を表し
ているというより，単なる比喩的な表現と考えられる。
　そして，このような考え方は，n と 10^n のように，発散の早さ
が異なる無限であっても，いずれ無限に至った場合に，大小をいう
のはおかしいという思想に依拠していると考えられる。
　だが，無限に至る２つの項が変数を共通にし，かつ関連づけて論
じられる（あるいは同じ式の中で扱われる）ときには，大小比較も
普通にできる。
　　たとえば，n と，n, 2n, n^2 とは，n→∞ でいずれも ∞に発
散するが，
　　lim[n→∞] n /n = 1
　　lim[n→∞] 2n /n = 2
　　lim[n→∞] (n^2) /n = ∞
である。これは n と，n, 2n, n^2 との大小を表していると解釈
できる。
　つまり，２つの無限が別個独立に発散した場合に大小を問えない
のは当然としても，無限に至る２つの項がその変数を共通し，かつ
関連して論じられる場合には，その大小比較ができることを意味する。

(対角線論法の適用　無限の範囲)
　数列Ａのリストの桁を限りなくのばして 0以上1未満の小数全体の
リストをつくり，これに対角線論法を適用してみる。

　小数リストの n 番目の小数の小数点以下 k 桁目の数字をf_n(k)
とすると，対角線論法は，新しい小数 Xのk桁目の数字をg(k)を，
　　　　　　g(k) ≠ f_k(k)
となるように X をつくる。
　ここでXがリストにない小数となるためには，無限桁をチェックし
尽くすと同時に，リストにある無限の小数全てとの比較対象を終えな
ければならない。
　だがこれは，まず，無限に至る瞬間を認識できることを前提にして
おり，妥当でない。このような前提は，無限というものを，到達した
瞬間を認識可能な単一の巨大数のようなものと仮定する（仮定１）も
のであって，無限の本質に反する。　　　　　　　　　　続く

続き
　さらに対角線論法は，その結論を導くため，変数を共通にし，関連
づけて論じられる２つの無限についても，（発散の早さいかんにかか
わらず）無限に到達する際には同時に無限に至るとの仮定（仮定２）
を置いているものと考えられるが，この仮定もありえない。
　リストの桁数とリストの総数との関係は，有限リストにおいては
　　　　　n < 10^n
だったわけだが，無限リストにおいても，２つの無限が，変数を共通
し，かつ関連して論じられる以上は，
　　　　　n < 10^n
の関係が維持されているものといわなければならない。つまり無限に
至る瞬間に，
　　　　　n = 10^n
となることを主張する仮定２は成立しない。

　よって，対角線論法を無限リストに適用しても，新しい小数を作り
出すことはできない。
　なお，自然数と実数の濃度の違いを示す他の証明についても，ここ
で述べたこれらの仮定と関係するものがあるように思われる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　終了

(まとめ)

小数の並べ方
　　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1065894741/478-483

個数計算
　　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1065894741/484-485

有限小数を含むこと
　　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1065894741/486

無限小数を含むこと
　　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1065894741/487-489

対角線論法の適用　有限の範囲
　　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1065894741/490-492

対角線論法の適用　無限の範囲
　　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1065894741/493-495

age

>>487からイッちゃってるわけか。

>>498
いっちゃってるって？
でたらめ？？

ウン

>>496はある意味トンデモかもしれないが
対角線論法も同じようなもの。

対角線論法は順列に従って並べられたいかなるタイプの小数リストに
対しても成立しない。

並べてるわけじゃないから。写像の概念が理解できないとトンデモになる。

　写像の定義域を考えよう。
　たとえば小数点以下２桁の小数についての写像では
対角線論法でつくる新たな小数は必ず３番目以降となり
対角線論法が主張するような矛盾は生じない。
　そこで無限桁の場合も同じ関係となるかどうかが問題となる。

対応を順に調べても意味ないよ。

言わんとするところは
「実数の濃度は加算である」
ということだろうけど確かに>>487から間違ってるね

おそらく

Rの濃度＝R^2の濃度っておかしくね？
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1122625618/

で同じ事を主張して完膚無きまでに叩きのめされた
78 ◆fg/BD.gfFw
と同一人物の手によるものだと推測する

でもセンスの欠片も感じない証明だね。

対角線論法は順列の原理に反し，成立しないといいたいんですよ

496で挙げた数列が無限小数を含まないとしても
対角線論法が成立しないことに変わりはない。

ちなみに濃度の違いを示す他の証明の正否は今のところ問題と
していない。

>>506
何を言っても構わないが、君の主張が成立しないことには変わりはない。

>>506（＝501＝◆KYAfgkP9SEだろうがｗ　トンデモ君自演乙）
>対角線論法は順列の原理に反し，成立しないといいたいんですよ

対角線論法は「二つの集合の濃度が一致しないこと」を簡便に証明するために提示された論理的手法だ。
「（任意のリストに対して）新たな少数（数）を構成できることを保証するメソッド」じゃない。
ここでいう”リスト”とは君が用いている意味での”リスト”ね
この辺りを勘違いしている節が>>490-491と>>495に見受けられる。

だから（ある特定のリストに対して）新たな小数が構成できないから対角線論法は（全体として）成りたたない、
なんてのは甚だナンセンス。

あと>>492-493の主張は俺的感覚における俺的主張であまりにも意味が無さ杉。
>>493なんかそもそも数列が極限操作で無限大に発散することの定義を理解してないことがバレバレだし。

>>494と>>495はそもそも数列Aによって作られる順列のリストは無限小数を含まないので前提からして間違ってるし、
その後の主張もほとんど意味不明。

順列の原理だの極限の大小関係だの認識可能な巨大数のようなものだの無限の本質だの俺的感覚多杉。
少なくとも数学板で主張するときにはきっちりとした定義付けをベースにして展開してくれ。

論理性もなく、定義も知らず、数学的な主張の様式も理解してないのなら、おとといきやがれって感じだな。

>ちなみに濃度の違いを示す他の証明の正否は今のところ問題としていない。
　反語的表現だと理解すると対角線論法を使った証明は証明になってないと言いたいのだろうが、そもそも対角線論法
　を理解してないから対角線論法を使った証明が理解できないのも当たり前だね。
　他の証明も正否を問題にしていないのではなく正否判別を云々する程度まで手をつけてないだけでしょｗ
　もっとも手をつけたところで誤解すれば世話ないがｗ

>>508
　まず数列Ａとは別に，ある有限桁の小数リストが順列の原理を満たす形
で並べられていると仮定する。
　このリストに対して対角線論法を適用しても，これはリストの中にある
小数を１つ選び出すための特殊な方法にすぎず，新しい小数などできない。

　次に，数列Ａとは別に，ある無限桁の小数リストが順列の原理を満たす形
で並べられていると仮定する。
　このリストに対角線論法を適用して新しい小数ができるかどうかは，桁数
とリストの総数との関係が，有限リストの場合と同様に
　　　　　n < 10^n
であるか，あるいは
　　　　　n = 10^n
であるかによって，異なる。ここで n = 10^n　と主張するにはその理論的
説明が必要。対角線論法は今のところ，その説明を怠っており，やはり新
しい小数ができることを証明できていない。

　さて，以上のことを踏まえ，全ての小数を網羅したリストに対して対角
線論法を適用して新しい小数を作ることができるかを考察するに，そのた
めには，全ての小数を網羅したリストが順列に従って並べられたリストで
ないことを証明しなければならないが，対角線論法はその証明を怠って
いる。
　よって，対角線論法には少なくとも証明の不備がある。

だから対角線論法は新しい数を構成するメソッドじゃないっていってるやんｗ
お前、何も理解できてないな…、可哀想に…。

選択公理のない集合論では可算無限より小さい無限集合はあるの？

>>511
かなりマニアックな状態になるな。
可算集合と比較不能な無限集合ってのは存在しそうだが、
「小さい」ってことは可算集合からの全射は存在するってことだろう。

小さい方は無理？

だめっぽい。その集合をXとする。

全射f:N→Xが存在するとせよ。

Nの部分集合Aを以下のように定める。
A={Xの各元tに対し、f^-1(t)に含まれる元のうち最小のものたち}
この構成には選択公理はいらない。

このようにして作ったAはNの部分集合で、fのAへの制限は全単射になる。
というわけで、可算集合になっちゃうぽ。

Nの部分集合は可算ってのは言えるの？選択公理がないと、なんかややこしいね。

単射がある

>>515
Nの部分集合には常に、自然な順序が入る（小さい方から順に並べる）べよ。

585

オナニーだいすきんぐ

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　　| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・　〕-ヽ　　
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　|　i　ゝ:::::::::::　　　　 '⌒ヽ　:::: ノ　 　
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￣T￣ 　　　　|　　⊂llll /
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　 | 　　ヽ､（__人_）_,ノ　|

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>520
土管

三年。

∞って、数なんですか？　数じゃないんですか？
１÷∞とかできるんですか？

集合論かじったモンですが、無限には比は無いんですか？
自然数と偶数では１対１対応で濃度は等しいとしても、
直感的に比率は２：１になりそうなんですが・・・
初心者でスマソ

>>525
自然数なら

　lim ( n までに現れる偶数の個数)/n = 1/2
n→∞

だから自然数のうちにおける偶数の密度は1/2、

っていうやり方もあるよ
あらゆる無限集合に通じる方法じゃないけどね

>>526
サンクス
濃度の話を聞くたびに気になってたからスッキリしました

>>526
どういう集合の話なんだ？
偶数は無限集合ではないという新理論かい？

>>528
定義1：自然数全体の集合をNとして、その部分集合Aに対しd(A)＝inf{|A∩[1,n]|/n｜n∈N}と定義する。
ただし| |は集合の濃度を表す。d(A)はAの密度と呼ばれる。d(A)は0以上1以下の値をとり、
d(A)＝1 ⇔ A＝N が成り立つ。また、Aが1を含まないならd(A)＝0となる。
定義2：A,B⊂Nに対してA＋B＝{a＋b｜a∈A,b∈B}∪A∪B＝{a＋b｜a∈A∪{0},b∈B∪{0}} と定義する。
また、A[n]＝A＋A＋…＋A (←n個)と定義する。
例1：O＝{2n−1｜n∈N}とおくとき、d(O)＝1/2となる。

定理1：A⊂Nがd(A)＞1/2を満たすならば、d(A＋A)＝1すなわちA＋A＝Nが成り立つ。(証明はやや面倒)
定理2：A,B⊂Nに対してd(A＋B)≧d(A)＋d(B)−d(A)d(B)が成り立つ。(自力で証明できるとウレシイかも)
系1：A⊂Nに対してd(A[n])≧1−{1−d(A)}^nが成り立つ。
系2：0＜d(A)ならば、十分大きな自然数nに対してd(A[n])＞1/2である。よって、定理1より
A[2n]＝A[n]＋A[n]＝Nとなる。
定理3(シュニレルマン)：Pを、1及び素数全体から成る集合とするとき、d(P[2])＞0である。
(この定理3の証明はとても難しい)
例2：定理3よりd(P[2])＞0なので、系2より、十分大きな自然数mに対してP[m]＝Nとなる。
つまり、固定されたある自然数mが存在して、任意の自然数は高々m個のPの元の和で表せる。
(ゴールドバッハ予想の類似)

>>525
尺度（物差）を定義すれば、定義に応じた秤方が生まれるよ。
利用する価値があると皆が認識して使われるようになればその定義に喪前の名前がつく。
頑張ってくれ。

115

ほんざん

不二家〜

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