有限と無限

(対角線論法の適用　　有限の範囲)
　最初に数列Ａで小数点以下 3桁までの有限の範囲で小数リストを
つくり，これに対角線論法を適用してみる。
　なお，この適用のため，小数点以下３桁までで桁が空位の場合は
その桁は0 で埋めておくものとする（0.1 なら，0.100）。

　この小数リストの n 番目の小数の小数点以下 k 桁目の数字を
f_n(k) とし，対角線論法で新たな小数 X をつくるにつき，その
k桁目の数字　g(k)を
　　　　　　g(k) ≠ f_k(k)
となるように X をつくる。もっとも，この小数リストは数列Ａでで
きており，実際にやってみればわかるが，常に　f_k(k) = 0　となる
ので，X の k桁目の数字g(k)は，0以外の 1から 9までの数字のいず
れかを選んでおけばいいことになる。
　そして対角線論法はXがリストにない小数であると主張するのだが，
これを検討すると，少なくとも小数点以下 3桁までのこの有限小数リ
ストに適用するについては，新たな小数など作れていないことがわ
かる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　続く

続き
　この小数リストは３桁までしかないから，リストの最初の３つの
小数(0.000, 0.100, 0.200)と比較対象して作成される Xは，対角線
論法の手法によっては，この３つの小数と違う小数であることしか
保証されない。このリストの総数は10^3 = 1000 個だから，Xと直接
的な比較がされなかった小数の数は，1000 - 3 = 997 個にも上る。
　もっとも実際には，リストにある小数のほとんどは，明らかに X
とは異なる小数となる。というのは，数列Ａは順列の原理に従うの
で，3 桁の小数であるXと同じ小数は，総数1000個のリストの中で，
1個しか存在しないからである。
　しかしこれは，逆をいえば，1000個あるリストのうち，必ず 1個
だけ，Xと同じ小数が存在することとなる。
　ようするに，順列の原理に従った小数リストに対して対角線論法
を適用しても，新たな小数を作ることはできず，必ず，リストの中
の 1つの小数と一致してしまう。
　つまり，対角線論法とは，リストの中から小数を 1つ選び出すため
の特殊な手法にすぎないのである。

　以上のような関係は，この小数リストの小数点以下の桁を，3桁から
どれだけ下げて拡張しても同じである。
　すなわち，数列Ａでできた小数点以下 n 桁までのリストに対し，
対角線論法で小数 X を作っても，リストにある 10^n 個の小数の
うち，必ず１個だけ，Xと同じ小数が存在する。　　　続く

続き
　さらに，次の点は対角線論法を考察する上で重要である。
　つまり，対角線論法では，チョックするのが n 桁目までとすると，
n 個の小数とは違う小数を 1つ作ることができるわけだが，n桁目
のまでの小数の総数は 10^n 個であるから，常に
　　　　　　　　n < 10^n
である。この関係は少なくとも nが有限の範囲では維持される。
　したがって有限の範囲のリストに対し，リストの小数を全てチェ
ックし尽くすことは，対角線論法では原理的に不可能である。

　では，nが無限に至った場合，
　　　　　　　　n < 10^n
の関係は維持されるであろうか。