有限と無限

(無限小数を網羅していることの証明　1)
　数列Ａが有限小数しか含んでいないと仮定する。
　そうすると，数列Ａのリストの桁も有限桁の下限を持つことにな
る。しかし，リストに含まれる小数の総数は，桁の下限を n 桁 と
すると，10^n 個であるから，n が有限個とすると，総数も有限個。
　だが，これは数列Ａが限りなく並び続けていけるという自明な事実
に反し，矛盾。
　つまり，数列Ａは無限小数を含む。
　さらに，数列Ａは順列の原理に従っているから，リストの桁までの
全ての小数を網羅している。
　よって，数列Ａは，全ての無限小数を網羅する。

(無限小数を網羅していることの証明 2)
　まず，任意の無限小数を１つ考える。たとえば，
　　　　π-3 = 0.14159265…

この無限小数の小数点以下 n 桁までの有限小数を表した数列をa_n
とする。すなわち，
　　　　a_1 = 0.1
　　　　a_2 = 0.14
　　　　a_3 = 0.141
　　　　　・
　　　　　・
など。すると，この数列の極限は
　　lim[n→∞]a_n = π-3

となる。つまり，
　　　0　=<　(π-3) -　a_∞　< ε
となり，結局，
　　　π-3　=　a_∞

更に，全ての無限小数について，同様の数列，b_n, c_n, d_n, …
を考えることができ，これらの極限も無限小数と一致する。
　そして，数列Ａは，これらの数列a_n, b_n, c_n, d_n, ……を全て
含んでいる。
　よって，数列Ａは無限小数を網羅している。　　　

(無限小数を網羅していることの証明 3)
　仮に，数列Ａが無限小数を含んでいないとすると，数列Ａのリス
トとは別に，無限小数のみを並べたリストを考えることができる（こ
のリストが無限小数を網羅しているかどうかまでは問わない。以下，
この無限小数の数列を数列Ｂという）。
　ところで数列Ａは順列に従って並べられているので，数列Ａの桁
がある範囲では，全ての小数が並べられている。つまり，数列Ｂに
並べられた無限小数も，数列Ａと重複する桁の範囲では，数列Ａに
あるいずれかの小数と同じ小数の並びにすぎない。
　とすると，数列Ａと数列Ｂの２つのリストが違うリストとなるため
には，数列Ｂのリストの桁が，数列Ａのリストの桁よりも，明らかに
下まであることを示さなければならないが，数列Ａのリストの桁に下限
などないから，これは矛盾。
　よって，数列Ａと異なる数列Ｂのリストというものは，存在するこ
とができず，数列Ａは無限小数も含んでいるということができる。