【東大・京大】整数問題【良問・難問】

自分が今までに問題集や過去問、模試などで出会い印象深かった整数問題の良問難問をみんなで出しあって解くスレ
難関校で数多く出題されるが、バリエーションに富み難問も多く対策しにくい、そんな整数問題を攻略しよう
確率や数列がらみの問題でもおｋ

俺は一橋だがこれは期待

「とにかく覚える」
整数問題に強くなるには、とにかく知識を増やすこと
実は努力がものをいう美味しい分野である

難しくはないが１問
任意の自然数nについてn^9−n^3は常に９で割りきれることを示せ

整数といえば京大

東大生がなんか林組っていうヤクザに
マインドコントロール機械をつかわれたみたい

数学、日本史は一橋が秀逸

国語、英語は東大

京都は変態

よって一橋の整数をとこう

日本史選択だったから日本史と書き込んでしまったｗ
社会だ社会

よし。
それでは入試問題コレクターの私が、
これから一橋大学の整数問題を過去40年分に渡って出題することにする。
皆の者、奮起して解いてくれたまえ。

名前欄は単なるトリップであり、解答とは関係ない。

2007一橋大・前期
mを整数とし、f(x)=x^3+8x^2+mx+60とする。
(1)　整数aと、0ではない整数bで、f(a+bi)=0をみたすものが存在するようなmをすべて求めよ。
ただし、iは虚数単位である。
(2)　(1)で求めたすべてのmに対して、方程式f(x)=0を解け。

2007一橋大・後期
直角をはさむ二辺の長さがa, bの直角三角形がある。内接円の半径をrとする。
(1)　rをa, bで表せ。
(2)　a, bは整数とし、r=5とする。このようなa, bの組をすべて求めよ。

互いに素である二つの整数をｍ、ｎとおくと

から始める問題いっぱいといたのに。ちぇっ、出なかったよ。

何この面白そうなスレ

京大生だけど参加していい？

m=-43; x=2+-i, -12
m=22; x=-1+-3i, -6

3m+5nで表せない自然数を全て求めよ。(m,nは自然数)　（大阪)
これが解けないやつは落ちます。

某スレより引用

自然数nに対してa_{n+2}=a_{n+1}+a_nを満たす数列{a_n}のうち、
a_1=1, a_2=1であるものを特に{F_n}とおく。
a_1, a_2がどのような整数であっても、{a_n}の項の中に素数pの倍数であるものが存在するための
必要十分条件は、F_mがpの倍数となる最小のmが（　 ）であること。

出題

自然数nについて、以下のような条件を定める。
条件�@
不等式5/4＜k/n＜4/3を満たす自然数kが存在する。
条件�A
n≧7である。

(1)条件�@を満たすnはすべて条件�Aを満たすことを示せ。
(2)条件�Aを満たすが、条件�@を満たさないnをすべて求めよ。

>>14
k＝3m+5nとおく。
この時lを自然数とおくと、k+l＝3(m+2l)+5(n-l) と表せるからn-l≧1⇔n≧l+1の時kに対してk+lが存在することになる…�@
n＝1の時、k＝3m＋5＝3(m+1)+2 であるからkは8以上の3で割って余りが2になる自然数になり得る…�A
n＝2の時、k＝3(m+3)+1 であり�@よりそれぞれのkに対してk+1も存在するから、kは13以上の3で割って余りが1か2になる自然数になり得る…�B
n＝3の時、k＝3(m+5) よりkは18以上の3の倍数になり得る…�C
�A�B�C全ての条件を満たさない数は、1、2、3、4、5、6、7、9、10、12、15、でありこれが答え

>>12
俺発見ｗ
俺は昨日、本文欄に解答まで打ち込んだけど送信するのやめた。

>>13
正解。

2006一橋大・前期
次の条件（a）, （b）をともにみたす直角三角形を考える。ただし、斜辺の長さをp,
その他の2辺の長さをq, rとする。
（a）　p, q, rは自然数で、そのうちの少なくとも2つは素数である。
（b）　p+q+r=132
（1）　q, rのどちらかは偶数であることを示せ。
（2）　p, q, rの組をすべて求めよ。

2006一橋大・後期
正の整数nに対して、n=k+2lをみたすような0以上の整数の組（k, l）の個数をa_nとする。
また、n=p+2q+3rをみたすような0以上の整数の組（p, q, r）の個数をb_nとする。
（1）　a_nをnで表せ。
（2）　nが6の倍数のとき、b_nをnで表せ。

整数問題めっちゃ苦手だ・・・。
これ得意になると、数学を押さえたような気がする。

>>17 正解。

東工大の整数問題もなかなか難しいんだぜ

今年の京都の整数はいい問題

　異なる2つの素数p,qはp≠2,q＜2p-1をみたす。x^2-2px+q=0の実数解のうち大きい方をαとする。α^(2p-2)-1の整数部分はpで割りきれることを示せ。

>>19
略解でいきます
2006前期
(1)
p^2 = q^2 + r^2
q,rいずれも奇数とすると
4k^2 = 4m^2 + 4m + 4n^2 + 4n + 2
で右辺が4の倍数にならず矛盾
(2)
q=2sとする。
p^2 = 4s^2 + r^2より(p - 2s)(p + 2s)=r^2∴p - 2s = 1 , p + 2s = r^2
よってr^2 + r - 132 = 0
r = 11
∴p + 2s=121
よって(61,60,11)(61,11,66)

良スレだな。
京大志望の受験生です。

出題
（８９年一橋）
三角形ＡＢＣにおいて、tanＡ、tanＢ、tanＣの値がすべて整数であるとき、それらの値を求めよ。

誰か>>16解いて〜

>>27
マスター・オブ・整数の「ファレー数列」のとこを見たら分かるよ

(1)1/x+1/y=1/2をみたす自然数x,yの組(x,y)をすべて求めよ。
(2)nを自然数、rを正の有理数とする。
このときΣ[n,k=1]1/x(k)=rをみたす自然数x(k)の組(x(1),･･･････,x(k))の個数は
有限であることを示せ。

>>28
質問じゃなくて、俺(>>27)は出題者

>>27-28>>30の流れにﾜﾛﾀが、良スレですな。

3以上9999以下の奇数ａで
ａの2乗-ａ　が10000で割り切れるものをすべて
求めよ。

これの解答わかる人お願いします。

625

１、pが4K＋1の形の素数であるとき、pは2つの平方数の和として表されることを示せ。




２、8K＋7の形の自然数は、3つの有理数の平方の和として表すことができるか。

正の無理数α、βが 1/α + 1/β ＝1 を満たすとき、どんな自然数m,nをとっても［mα］＝［nβ］が成り立たないことを示せ。


読みにくかったらスマソ

なんかZ会通信の脳しわの整数→マスオブってながれが整数制覇の近道な気がしてきた。二刀流いる？

>>24
高校数学難問良問集
http://83.xmbs.jp/checkmath/
からの剽窃だな？

>>35 やったことある気がする！なんか最後は、l＜m+n＜l+1(lは整数)で矛盾みたいな感じだっけ？

>>38
おｋ

なんか激しく重複スレが立ったぞ。
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1179661397/

>>16
（1）
�@の式を変形すると
5n/4＜k＜4n/3
これを満たすkが存在するには
4n/3-5n/4＞1
が必要であるから、n＞12である。
これはn≧7を満たす。
よって題意は示された■

（2）
�@を満たさないnは
n≦12であるから、
条件�Aの範囲とあわせると
求めるnは
n＝7,8,9,10,11,12


証明問題って自信満々の文章になるから、まちがってたらはずかしいよな。

>>41
4n/3-5n/4＞1
の部分が分からん。
別に左右は1以上離れてなくても間に整数は入りうるでしょ。

n=10とすると
5n/4=12.5
4n/3=13.33・・・
となって、k=13が存在する。

n>12ならつねにkは存在する。
n≧7でダメなのはn=8, 9, 11, 12の4つだな。
エレガントな解答は思いつかん。

数字が小さいので全部調べきることができるが、
もっと数字を大きくして規則性を発見しないと解けないようなやつなら東大あたりでも出そうだな。
数学板にあったやつ。
2009/2008<k/n<2008/2007
となる整数kが存在しないような正の整数nの個数を求めよ

>>43
5/4＜14/11＜4/3

ad - bc = 1のときa/b ＜ p ＜ c/dをみたす有理数pのうち分母が最小のものは

　p = (a+b)/(c+d)

ということ。

>24
全く方針立たん…
でも試しに具体的数値入れたら割りきれるんだよな…

無理数の冪乗の整数部分なんかでこんなうまいこといくのか？

外点、内点、境界の証明がかなりムズい(>_<)デルタをとるとこはわかるが(>_<)
実数軸が数直線に書けない場合が辛い(>_<)

駿台文庫にテーマ別に問題集があって、その中に整数って書いてあるのがありました。

>>41>>42>>43
不正解

だから8, 9, 12じゃないの？

＞数学板にあったやつ
俺が16をアレンジして向こうに貼ったんだｗ

>49
じゃあ超略解で

5/4＜p/q＜4/3をみたす既約分数p/qは自然数m,n適当にとれば(5m+4n)/(4m+3n)と表される(証明略)
∴q≧7でダメなのは4m+3nで表せない数。4と3は互いに素なので12+1=13以上は全部表せる(証明略)。なので、8,9,12

>47
ん？どの問題のこと？

>>52
そいつキチガイだからほっといていいよ。

アナルファック

>>24
q＜2p-1より0＜p-√(p^2-q)＜1　∴0＜{p-√(p^2-q)}^(2p-2)＜1
また、{p+√(p^2-q)}^(2p-2)+{p-√(p^2-q)}^(2p-2)=2aとなる整数aが存在して、[α^(2p-2)-1]=2a-2となる。
ここでa-1≡q^(p-1)-1≡0(mod p)　(フェルマーの小定理)
よって[α^(2p-2)-1]はpで割り切れる。

age

★ 東大受験生の併願は？ 【早慶中央理科】
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1176361686/l50
東大受験専用　東大英語の勉強の仕方　其の壱
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1177558141/l50
東大受験専用　東大国語の勉強の仕方　其の壱
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1177763242/l50
東大受験専用　東大数学の勉強の仕方　其の壱
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1176935126/l50
東大受験専用　東大地歴の勉強の仕方　其の壱
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1177857277/l50
東大受験専用　東大物理の勉強の仕方　其の壱
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1177660666/l50
東大受験専用　東大化学の勉強の仕方　其の壱
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http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1173470995/l50
【東大への】東京大学 理類総合スレPart7【最終章】
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1173514000/l50
東京大学理科�T類・�U類志望の者為のｽﾚ
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1176686078/l50
東大一年計画１０
http://school7.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1178275084/l50x
【東大・京大】整数問題【良問・難問】
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1179219933/l50
続・東大模試E判定の俺が東大を目指すスレ part3
http://ex22.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1178732227/l50

こんなスレもあるぞ
http://school7.2ch.net/test/read.cgi/jsaloon/1175709295/l50

数列{a[n]}は
　a[n+2] = |a[n+1] - a[n]|
を満たす。
(1) a[1],a[2]が有理数ならば、a[k]=0となるkが存在することを示せ。

(2) a[1]=√3,a[2]=√2ならば、n≧3のとき
a[n]=x[n]√3+y[n]√2
をみたす整数x[n]、y[n]は0にならないことを示せ。

>>52
正解

3〜6の間にcosθ×sin3θ−tan4θはいくつ入るか答えよ

>>59
これって(1)を利用して(2)を解ける？
別々に解けてしまったのだが・・・。

連続する８個の自然数の積で表される整数のうち、平方数となるものは存在するか？

(3､5)(11､13)(17､19)(29､31)....などの素数の組を双子素数と言う
双子素数が無限にあることを証明せよ

それは非常に難しいな。
整数問題って数学界屈指の難問まで簡単に出せるから始末が悪い。

双子素数問題なんて未だに人類が証明してないくらいムズイからね

最大の素数が存在すると仮定し、全ての素数をかけて出来た数をpとする。
p+1はどの素数で割っても1余るので、1とp+1以外の約数を持たない。
よって素数の定義に合致するp+1は素数である。故に素数は無限に存在する。

ってのなら知ってるんだがなぁ……。

>>66
双子素数は証明されたんじゃないっけ？
まあ、どちらにせよ漏れらが証明できるわけがないんだけど。

>>68
重大な誤りが発見されて論文提出者が自ら撤回したらしい。

>>26
それ、本屋で代ゼミの荻野の最高峰への数学（？）。黒い奴を立ち読みしたときに見たな。
覚えてないんだけど（ぁ

>62
（1）と（2）には関係はないです。別々の問題ですよ。

>>63
存在しない

>>72
証明しろ！そのままの意味で受け取るな！ボケ！ｗ

実に潔い数字だ。

>>61
今世紀最大の難問か？

tan1ﾟ は有理数か。　[2006年　京都大学・理系第6問(後期)]

答えはググれば出てくる。

>>73
(n-3)(n-2)・・・(n+4)=(n^4+2n^3-9n^2-10n+4)^2-(8n+4)^2だから

>>77
天晴れ！天才！
御見それ致しました。m(_ _)m

>>77
の右辺が平方数にならないのはなぜですか？
馬鹿な私に説明してください・・・

おおぅ！言われてみれば・・・。(^_^;)
>>77さん、教えてくだされ。

n^4+2n^3-9n^2-10n+4=A, (8n+4)^2=Bとおけば、
(n-3)(n-2)・・・(n+4)=A^2-B
A-√(A^2-B)=B/{A+√(A^2-B)}≦B/Aであり、
A-B=n^4+2n^3-73n^2-74n-12
=n^2(n+11)(n-9)+(26n+4)(n-3)と変形すると
n≧9ならA>Bとわかり、0<A-√(A^2-B)<1
つまり、(A-1)^2<A^2-B<A^2となるから、
(n-3)(n-2)・・・(n+4)は平方数ではない
4≦n≦8のとき、(n-3)(n-2)・・・(n+4)は
素因数７を１つだけ持つからやっぱりダメ

一般性のない解法だな

(A^2-B)-(A-1)^2=2A-B-1
=2(n^4+2n^3-9n^2-10n+4)-(8n+4)^2-1
=2(n+9)(n-7)+44n(n-2)+4(n-3)+3
のほうがいいな

nを自然数とする。数列{a[n]}、{b[n]}を以下の条件を満たすように定める。
【条件1】
a[1]、b[1]はともに自然数でa[1]^2-2b[1]^2=7を満たす。
【条件2】
a[n+1]=3a[n]-4b[n]
b[n+1]=-2a[n]+3b[n]

ある自然数kについてb[k]＞0,b[k+1]＜0が成り立つとき、(a[k],b[k])のとりうる値の組を全て求めよ。

整数問題の処理方法が詳しく載っているサイトってありますか？

http://83.xmbs.jp/checkmath/
ここの[整数問題を解く]に必須手法は載ってる

>>85
おー、これはわかりやすい。
ありがとうございます。

n^2 + (2^8)/n (n=1,2,3,・・・)の最小値を求めよ。

>>85のサイトについてなんだけど、整数問題 [積の形に直そう！] の練習問題

「a^3+b^3=p^3をみたす素数pおよび自然数a,bは存在しないことを示せ。」

最初に因数分解すると思うんだけど、その後に詰まったのでどなたか解法お願いします；

>>87
48[3]√4かなあ。
n=4[3]√2のとき。

ωの性質知ってますかってのを試す問題

(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1はx^2+x+1で割り切れるか

>>88
左辺=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a+b>1なので、
（a+b, a^2-ab+b^2）=（p, p^2）, （p^2, p）, （p^3, 1）のいずれかである。
あとはゴリゴリと矛盾を示せばいいかと。

同志社大、早稲田大、島根大、東工大などで出ているので問題集を探せば見つかるかも。

>>90
おお、しばらくωとか忘れていたな。ω^2＋ω+1=0だから割り切れない。でいいの？

>>85のサイトの数学雑記の幼稚園児＞東大生にある問題３がわからない･･･

>>92
穴には砂粒は1つも入っていない。じゃダメなのかな。

＞ω^2＋ω+1=0だから割り切れない。
意味分からん。

>92
「幼稚園＞東大生」は問題文をちゃ〜んと読めば即答できるよ。どっちかというと国語の問題(笑)

>>89
うん、微分すると最小の実数nがそうなって、今nは整数で
[ 4*2^(1/3) ] = 5だから最小はn=5　or　n=6のときが必要
この関数を=f(n)とすれば、f(5)-f(6)=-11 + (2^8)/30 < 0だから、答えはf(5) = 381/5．

>>95
ほんまや・・・
全然整数じゃなかった・・・。アホすぎる・・・。
ごめん。勉強になったわ。

ちなみに微分せずに相加相乗で
n+2^7/n+2^7/n≧3[3]√2^(14)としてやったけど。

間違えた。
n^2+2^7/n+2^7/n≧3[3]√2^(14)

なるほどそういうやり方もあるね。

>>90
x^2+x+1=0の解がωで
ω^2+ω+1=0にω-1かけてω^3=1
これつかって次数さげれば割り切れる
京大のはず

>>90
自信ないけど

x＾3-1=(x-1)(x＾2+x+1)より
x^2+x+1=0をみたす解の1つをωとすると
ω＾3=1、ω＾2+1=-ωである
(ω^100+1)^100+(ω^2+1)^100+1
(ω+1)＾100+ω+1
(-ω＾2)＾100+ω+1
ω＾2+ω+1=0
ゆえに与式は(x＾2+x+1)を因数に持ち割り切れる

大体１００の解答でいいんだけど
f(x)=(x^100+1)^100+(x^2+1)^100+1とした場合

f(ω)=0を示しただけだから

x^2+x+1で割り切れることを証明したことにはならない

実はx^2+x+1=(x-ω）(x-ωバー）
と因数分解できるので
ωの共役ωバーでも割り切れることを示す必要がある

因数定理と次数下げの手法、ωの性質を確認する問題でした

京大からの出展です難易度評価によると易からやや易って感じでした

相異なる2n枚（n>1）のカードから、n枚を選ぶ組み合わせが、
4の倍数でないようなnをすべて求めよ。

互いに異なるN個（N>1）の複素数の元（要素）からなる集合のうち、
重複を許さずに取ったどの二つの元（要素）の積も、やはりその集合の
元（要素）になるものが無限に存在するようなNをすべて求めよ。

>>103
問題の意味がちと分かりません。整数問題ではない気も…Nを求めるんですか？

>>102
答えはn=2^(p-1) pは自然数
パスカル三角形ね。mCkでm=2^(p-1)-1のときは全部奇数で、
m-1Ck-1 = m-1Ck
あとは必要十分をごちゃごちゃ

103じゃないけど、Nを求めるんだよ。

やっぱり在日がTBSの現場上部にいるんだ。こりゃTBSは反日番組だらけになるわけだしスポーツ番組の変な演出もわかる。

■アメフトＷ杯、TBS社員など在日10人が韓国代表に
http://mindan.org/shinbun/news_bk_view.php?page=1&subpage=432&corner=5
第３回アメリカンフットボール川崎大会の開催に際してこのほど在日同胞選手10 人が韓国ナショナルチームに招請された。
10人は21から32歳までの３世の大学生・社会人たち。大会では太極旗を背負い、代表チームを牽引する。
同大会はアメフト競技の世界１決定戦として知られている。

Ｗ杯大会でチームを牽引するクォーターバックの金景敏さん（ＴＢＳテレビ編成制作本部スポーツ局勤務）は大阪・鶴橋出身。
京都大学在籍中、本格的にアメフトにのめり込んだ。昨年７月にナショナルチーム入りが決まり
忙しい業務の合間を縫ってトレーニングに励んでいる。
金さんは「在日が国家代表で出られるなんて一生に一度。こんな名誉はサッカーではありえないこと」と話しており
心地よい緊張感を楽しんでいる。試合では「必ずタッチダウンを奪う」と意気込む。

ってか俺は今ｳｶｯﾀからいいけど、こんなスレ俺のときもあればよかったな

京大の人もいるから聞いてみたいんだが、
特別京大とかには整数対策も必要なの？
一対一にも整数分野があるけど、あれぐらいで十分？

京大の整数の出題率は異様に高い上に難しい。たぶん一対一では対応しきれないと思う。

逆にいえば整数対策がっちりやってたら他人と確実に差がつくよ。整数問題はみんな一番手薄だから

自然数a,bに対してa=bc+d,0≦d<bを満たす非負整数(c,d)の組がただ一組だけ存在することを証明せよ。

>110
途中論証省いてるけど大筋こんな感じで

直線L：y=-bx+aについて考える。x≧0かつy≧0をみたすL上の格子点がn+1個あるとして全てをx座標の小さいものから書き出すと(0,a),(1,-b+a),(2,-2b+a),…,(n,-nb+a) とする。このとき、0≦-nb+a＜bでありd=-nb+a、c=nとおくと題意をみたす。
また(0,a),(1,-b+a),(2,-2b+a),…,(n-1,-(n-1)b+a)に関してはy座標はbより大きくなる。
よって題意をみたすc,dは一組しかない

>>111
いや、mod bで一発じゃん。ｗ

あっ、ほんとだ

一瞬だし(笑)

4K±1の形で表せうる素数は有限個か。

無限

>>106
案外女子アナでもチョンいるかも
中野美奈子と平井理央がチョンだったらどうしよ…

a^3 + 2b^3 + 4c^3 - 6abc = 1
をみたす自然数の組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。

黄金比を求めよ。

東大京大志望者なら何も見ないでこの問題解けるよな？

↑ちなみに赤茶の問題ね

>118
白銀比を求めよ

これならどう？

たぶん東大合格者のほとんどが黄金比の定義を覚えてないと思う。
（黄金比についての話題は読んだことがあるだろうが）

■【 日経NET EYE プロの視点】中国に対する韓国人の感情 （http://www.nikkei.co.jp/neteye5/suzuoki/index.html）
一番極端な人々は、韓国外務省のチャイナスクールの一部の人のように「中国に精神的にひれ伏してしまった人々」だ。
彼らは「中国の偉大さ」にいかに自分が圧倒されたかを率直に語り「韓国は中国に従うのが一番」と公言する。
「韓国人のＤＮＡには中国への従属心が組み込まれているのか」と外国人を唖然とさせるほどだ。

一方、保守派や普通の人々は米国に対し複雑な感情を抱きつつも「独裁国家の中国に心を寄せる気にはなれない」
と漏らす人が多い。典型的なのが韓国の風刺漫画だ。そこに中国が悪役として登場することはまずない。
それは親中感情の現われではなく、中国に対する恐怖心の深さの現れである。
「米国や日本を新聞でいくら批判しても報復はされないが、中国はそうでないから」と韓国の新聞人は明かす。

韓国のある知識人は米国への心情をこう説明する。
「常に助けられてきたため常に絶対的な下位に置かれ、その結果、常に見下されているとの思いを抱かざるを得ない」
「日本人は米国に負けはしたが米国とは同じ土俵で戦ったとの対等意識を持てるし、劣等感を抱く必要がない」のだ、という。
日本は戦前に安保を含め一歩立ちした経験を持つ。それゆえに現状にある程度納得できるのだろうが
「一本立ち」を体験したことのない韓国人は「一度は」と思うのかもしれない。
冷戦期に対立の狭間に産み見落とされたひ弱な国の国民が、初めて大国から離れ、自由度を増せるとの期待を持ったのだ。
彼らは日本と異なり、太平洋の覇権を目指し壊滅的な被害を受けるという失敗の苦い経験はまだ持たない。
今は、現実はともかくもなるべく大きな夢を見たい、ということなのだろう。

>117
これは良門だが難しすぎないか？

フィボナッチ数列の一般項のナントカ分のナントカルートってことしか覚えてないわ

>>118
いや、知らんから

pを素数とする。p^kが1^1×2^2×3^3×・・・×n^nの約数となるような整数kのうち
最大のものをf(n,p)とおく。
（１）自然数mに対してf(p^m,p)をpで表わせ。
（２）極限値lim[n→∞]f(n,p)/(n^2)をpで表わせ。

>>113
どうやるの？

おいおい…黄金比の定義誰も知らないのかよ
電子辞書にも載ってるってのに

黄金比とは
a:b＝b:(a＋b)
のこと
a＝6(任意の自然数)､b＝xとおいて、xについて解けば、黄金比a:bを求められます
もちろんa＝6以外でも求められます

>>117

背理法で証明するんかな？

…を満たす(a,b,c)は無数には存在しない→矛盾→ゆえに無数に存在でいけそうな希ガス…

いや直接示せる。

>>45さん

>>59の(2)を教えてください。

ﾋﾝﾄだけあげよう、３項隣を見よ

>>132
有難うございます。

でも、a[12]は√3-√2にならないような…。

prove that
|a(i+3)|≦|a(i)|

2x^3-x-3=0をみたす実数xが有理数でないことを示せ。

標準問題だけど

403個の相違なる素数からなる集合Ｓが与えられている。Ｓの異なる要素 x , y で x+y または x-y が2000の倍数になるものが存在することを示せ。

次の条件をみたす異なる正の整数a b cを求めよ。
abc+a+b+c=ab+bc+ca+15

これどうやりますか？

>>137
(a-1)(b-1)(c-1)=3*5
だから2と4と6か。

(a-1)(b-1)(c-1)=2*7

左辺に―１あるから右辺は1*2*7じゃね
2と3と8

>>134
ありがとうございます。8割方解けましたが、最後のツメで止まってしまいました。

x[n]≠0かつy[n]≠0であることはどうやって示したらいいでしょうか？
これがなかなか難しくて。教えてください。

まず両方ゼロ、つまりa(n)=0にならないのはいいな
もし片方だけ０だとa(n)はあんまり小さいとは言えないな

>>138-140
そうやるんですか
ありがとうございます

>>142
すみません、
＞もし片方だけ０だとa(n)はあんまり小さいとは言えない
これは分っていたのですが、>>141にも書いたとおり
＞両方ゼロ、つまりa(n)=0にならない
ことの証明がなかなかできないのです。
分りづらい書き方をして申し訳ありませんでした。
教えてください。お願いします。

>>144
ほとんど答えになっちまうが
a(n)=0なら前の２つは同じ
遡ると全部a(n-1)の整数倍だな
a（１）もa(2)も

>>136
1000以下の素数の数は168個
ある素数の2000で割った時の余りをα
これ使って余りがαにならない素数が402個以上存在しない事を示せばいいのか・・・
真ん中で分けてα±1000の201個ずつで101個でうｓｇｈｗｈらあわけわかんねｗｗｗｗｗｗｗｗｗ意味不明ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

>>146
ヒント
素数の下三桁として考えられるものは高々400種類であることを示しましょう

偶数と5の倍数に注目すりゃいいのか・・・はめられた

mとnが互いに素な自然数ならば、
2^m-1と2^n-1も互いに素であること示せ。

方針が立ちません。。

>149
2進法表記したら明らか。

>>149
互除法知ってるの？

ｎは自然数とする。
2^n+1がnで割り切れるための必要十分条件を求めよ。

haihai

age