現代数学の系譜11 ガロア理論を読む2

http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/　前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む >>1より

ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1371534513
数学の歴史に興味ある方にお尋ねします。「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、...noranekokuma2004さん 質問日時： 2011/9/18

「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」にチャレンジしております。
アーベル、ガロアとも、方程式の根の有理式を説明しています。

両者の説明とも、帰着するところは、根の有理式はいわゆるラグランジュの分解式のかたちをとるというところにあると、私は考えています。
ラグランジュは、３次方程式の根、α、β、γと1の3乗根によって
u=α+βω+γω＾2
v=α+βω＾2+γω
という式をつくることによって、3次方程式が解けることを示しました。
彼は、それを一般化し、素数次数の方程式の根と1の累乗根と組み合わせた、いわゆる、ラグランジュの分解式を提起しました。
皆さまの見解を伺いたいと思います。

ベストアンサーに選ばれた回答siolaglebaさん 回答日時：2011/9/21

ガロアの論文が、どんなものか知りたくて、私もこの本を読もうとしました。
高名な数学者さえ理解出来なかった論文とは、一体何がどのように書かれているのか興味があったからです。すでにガロア理論を知っていたので、軽く考えていました。

が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。
自分には、読みたい数学は一杯あるし、ガロア理論も知っている。他の数学書に取りかかった方が良いと。諦めるのが早かったかもしれません。

ラグランジュの分解式は、方程式の可解性を議論するなかで、べき根拡大を考えるとき、使ったように記憶しています。
ラグランジュは、３次・４次方程式の解明に成功しましたが、５次方程式は失敗しました。が、ラグランジュの研究は無駄ではなかったことの証が、ラグランジュ分解式と思います。

（再録）
ガロアの書き方が、現代の主流の置換群の書き方と違う
これについては、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨に詳しい
http://www.nikkei.com/life/culture/article/g=96958A96889DE3E2E2E5E5E4E1E2E0EBE2E4E0E2E3E29C9C99E2E2E3;p=9694E3E4E2E4E0E2E3E2E5E3E2E4
ガロアの群論　中村亨著 天才数学者の問題意識探る 2010/6/30付

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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（再録）
ただ、ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨だけでは、本当の面白さは分からない

やはり、アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) を傍に置きながら読まないと
http://www.amazon.co.jp/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB-%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2-%E7%BE%A4%E3%81%A8%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F-%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%B3%BB%E8%AD%9C-11/dp/4320011643
出版社: 共立出版 (1975/4/20)

>>3
乙
おっさん、めざといね
暇なのか？

（再録）
倉田令二朗も、ガロアのアイデアにそった解説を書いている

http://books.google.co.jp/books/about/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%82%92%E8%AA%AD%E3%82%80.html?id=9xqpAAAACAAJ&redir_esc=y
ガロアを読む: 第1論文研究
著者 倉田令二朗
出版社 日本評論社, 1987

http://ameblo.jp/europa2718/entry-11041364474.html
2011-10-08 03:55:22
倉田令二朗著『ガロアを読む』第1論文研究　その2

http://ameblo.jp/europa2718/page-4.html
2011-10-19 03:50:26
破天荒の人　倉田令二朗

>>4
現代数学の系譜 11によれば、ガロア論文では、現代的な群や体の定義は出てこない

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。
現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。

ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

（再録）
ガロアの人物については下記

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア
（抜粋）
新資料の発見

決闘の原因と言われていた女性の素性が明らかとなった。
彼女の名はステファニー・フェリス・ポトラン・デュモテルといい、ガロアが最後に暮らしたフォートリエ療養所の医師で所長だったジャン・ルイ・ポトラン・デュモテルの娘であった。
彼らは親子共に親切な人物で、ガロアは次第にステファニーに恋愛感情を抱くようになって求婚したらしく、それに対する5月14日付でのステファニーによる断りの手紙の文面が、ガロア自身の筆跡でシュヴァリエへの書簡の裏に転記されていた。
その内容は文面を見る限り礼儀正しいものであり、少なくとも残された文章を見た印象では彼女が「つまらない色女」と表現されるような人物などではなく、そもそもガロアの遺書が真実を記したものとは言い切れないことが明らかになった。

その上でリガテリは、決闘であるならば勝つ可能性もあるのに、ガロアの死を確信した遺書に対する不自然さを指摘し、決闘の真相を次のように解釈している。

ステファニーに失恋したガロアは、｢民衆の友の会｣の会員と共に民衆を蜂起させる方法を考えていた時、ガロアが自分が犠牲となってその機会を作ることを提案した。
（作中では「D」と名前を明確にしていないが）デュシャートレがその相手を務めることとなり、ガロアは共和主義者の感情を煽るためにわざと無念を強調した遺書をしたためた。
そして、予定通り決闘を装った工作が行われてガロアは死亡し、あとは葬儀において蜂起するだけとなった。
ところが葬儀の当日、フランスの英雄であるジャン・マクシミリアン・ラマルク将軍の訃報が伝わり、ならばそれを契機に蜂起した方が良いと急遽予定が変更された、ということである（その後の暴動の様子はヴィクトル・ユーゴーの『レ・ミゼラブル』に詳しい）。

>>6 補足

http://d.hatena.ne.jp/rockmass/20080315
2008-03-15
倉田令二朗、超準解析！（感謝を込めて）
（抜粋）
「まずは基礎論をやって、つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。」ということになった。
イプシロン-デルタ論法にかわる話を、大学に入って間もない、しかも理学部以外の学生に対してするので、教える側としては相当工夫しないと簡単には理解させることはできない。
それまでも毎回の配付資料の量の多さは異常だったが、ノンスタンダード・アナリシスになってからは、毎回の資料が30枚ほどになっていた。
いずれも汚ったない手書き文字のコピーなんだけど、いま思いだしても、非常に丁寧にわかりやすく作ってあった。

（数学者でもない私が口を挟むのもなんだが、超準解析は、いまでは多くの書籍もでて、当初は「ノンスタンダード・アナリシス」だったのに、いまでは「スタンダード」なアナリシスになった。
大学の講義でも広く扱われている。
倉田令二朗氏のすばらしさは、当然基礎論の大家でもあったのだが、30年もの昔にこの「ノンスタンダード・アナリシス」に最初に目をつけて独自に体系化し、さらに実学分野でも応用できるようにした点は、倉田令二朗氏によるところが非常に大きいと思う。）

”つぎに、超準解析、そうノンスタンダード・アナリシスをやろう。イプシロンデルタとか馬鹿なことをやっていないで、君たちの技術分野でも、これなら実にスマートに使えるんだ。
計算機による解析とかするんなら、これがいいんだ。”>>9

昔、イプシロンデルタが重視された時代があった
高校時代に数学の教師が、高校では極限はこれで済ますが、厳密にはイプシロンデルタみたく言った時代があったんだけど
そして、ワイエルシュトラスが直感を排した厳密な理論を作ったと喧伝された時代があった
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
カール・テオドル・ヴィルヘルム・ワイエルシュトラス（Karl Theodor Wilhelm Weierstras, 1815年10月31日 - 1897年2月19日）はドイツの数学者。
姓はヴァイアーシュトラスと表記するほうがより正確である。

（再録）
うーん、「既存の解析の成果をすべて超準解析で書き換えなきゃいけない」ということもないように思う
超準解析でなにをしたいかってことじゃないかな

例えば、”超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。”と。つまり、ある分野に限ってでも使えれば良いと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析（ちょうじゅんかいせき）とは、超実数やその上の関数について研究する解析学の一分野である。無限小解析と同一のものとも見なされる。
そこではイプシロン-デルタ論法によって一度は追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、ライプニッツ流の微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
アブラハム・ロビンソンによって考案された。
超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。

>>11
「〜なにか問題が？〜」：”簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。”だと思う
過去、日本の多くの数学者が、直感を否定し厳密性を重視した時期があった。だが、２０世紀末から２１世紀は再び”直感”復権の時代だと思う
もっと直感を大切にすべき
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis1.htm
超準解析１
原初無限小解析は、dxやdyが図形的な考察とともに乱れ飛ぶ直感的に明快な論理体系であった。
この考え方は固有の利点を持っており、オイラー信者の高瀬正仁大先生が著書｢dxとdyの解析学｣で詳細に述べていらっしゃる。

http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis2.htm
超準解析２ 〜なにか問題が？〜
簡単に言えば、ε−δによる微分は厳密性を得た代わりに、微小量の直感性を失った。
導関数は定義されてももはやそれはdfとdxの比ではなく、単なる一つの関数を表す記号なのである。dfやdxは単なる記号であり、単独では意味を持たない。
しかし、導関数が微小量の比であるというイメージはとても納得できるし、コーシー流の微分でもこのイメージを避けて通ることは出来ない。
頭の中のイメージと紙の上の証明とでは、全く違うことをやっているのである。

私は、数学は視覚的に明らかである方がよいと思う。それは、上に挙げた参考文献を書かれた小平邦彦先生もおっしゃっていることである。
数学とは、心の中で起こる数学的現象を解析する学問なのだ。それでは、感覚的に優れた微小量という存在を厳密に扱うにはどうすれば良いだろうか?
私の答えは、超準解析を学ぶことである。

http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/manalysis3.htm
超準解析３
超準解析にはその学問的価値に比して、日本語の本が非常に少ない。(ような気がする。)
しかし、H.Jerome.Keisler教授が無料のpdfを自らのホームページでアップロードしている。およそ900ページの超大作である 。(それでいて、freshmanのために執筆したと書いてある!!)ちなみに私は読んでいない。というか読めない。
本章の目的は超準解析を広く流布し、モナドのイメージを掴んでもらうことであるから、公理的な記述は出来るだけ避けようと思う。公理的な記述に飢えたら、このサイトにこだわらず広く本を漁ってほしい。

>>12 （再録）
まあ、こんな利用法もある
ある特定の分野で活用できるだけでも存在意義はあるし
人が直感を取り戻し、その直感を支える道具でも可だろうし
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0982-11.pdf
数理解析研究所講究録
982 巻1997 年115-125
超準解析による経路積分
駿台予備学校中村徹(Toru Nakamura)

（再録）
http://www.nippyo.co.jp/book/1320.html
超準解析と物理学｜日本評論社　数理物理シリーズ　中村　徹　著　旧ISBNコード4-535-78248-2　 発刊日：1998.06　判型：Ａ５判　ページ数：308ページ

無限大を実無限としてとらえる解析学《超準解析》の基礎をわかりやすく丁寧に解説し、
さらにその方法を物理学──エルゴード理論・ボルツマン方程式・経路積分など──に本格的に応用して展開した日本で初めての本。

第２章　超準解析による積分論とその応用
１節　ローブ測度
２節　積分
３節　ブラウン運動
４節　エルゴード定理
５節　ボルツマン方程式
第３章　超準解析による経路積分の構成
１節　経路積分公式の直感的な導出
２節　関数解析による合理化
３節　測度論による合理化
４節　ディラック方程式と*-測度
５節　*-測度からスタンダードな測度へ
６節　シュレディンガー方程式と*-測度
第４章　超準解析からみた位相線形空間
１節　ヒルベルト空間とスペクトル分解
２節　超関数論からの準備
３節　Ｄ’（Ω）の超準表現
４節　　’（Ｒ）の超準表現

（再録）
溝口紀子氏。どうでも良いが、日経サイエンスに記事が出ていた。人の評価を気にせずやったと

http://www.saruhashi.net/latest.html
第３１回　猿橋賞受賞者　溝口紀子氏の研究業績要旨 04/19/2011 17:16:03

受賞研究題目「爆発現象の漸近解析」
“Asymptotic analysis of blowup phenomena”

　溝口紀子氏は、べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式をはじめとする非線形放物型偏微分方程式の爆発現象の研究において目覚ましい成果を挙げてきた。

　微分方程式の解の最大値がある時刻Tに近づくと無限大に発散するとき、その解は時刻Tで爆発するという。
　べき乗の非線形項をもつ半線形熱方程式は燃焼現象を記述するモデルとみなされ、解の爆発は「発火」を意味する。
　1960年代半ばに藤田宏氏によって先駆的な結果が発表されて以来、爆発は微分方程式の分野で最も活発に研究されてきたテーマのひとつである。
　微分積分学の授業で教わるような、座標変数と時刻の関数として陽に表すことができる解は強解または古典解とよばれる。
　解が爆発すれば、その時点で、発散した値からの解の延長は不可能であり、解は強解としての意味を失う。
　しかし、関数に適当な試験関数を乗じて方程式を積分することで得られるような、微分の概念を広げた方程式を満たす解が存在する可能性があり、このような解は元の方程式の弱解とよばれる。
　爆発後弱解としても延長不可能な爆発を完全爆発、爆発後も弱解としては延長可能な爆発を不完全爆発とよぶ。
　燃焼を例にとると、完全爆発は「完全燃焼」に、不完全爆発は「不完全燃焼」に対応すると考えられる。
　半線形熱方程式の爆発に関する研究は長年完全爆発を対象としてきたが、1990代後半になって、ある条件のもとではこの弱解は有限時刻で爆発することが証明され、
　この時点ではじめて不完全爆発する解の存在は認識されたが、不完全爆発する解の爆発後の振る舞いについては未解決のまま残されていた。

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>>16
乙！　ageで書くとはなかなか偉い！　褒めてつかわす

追伸
コテ付け忘れsageで書いていた・・・orz

このスレは、超準解析スレじゃない
だが、「数学に直感を取り戻そう！」というスレであることは間違いない

難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する
これぞ数学の真髄（こころ）

数学に直感を
複雑なことを図式化し

見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する

これが大事だと思うよ
これぞ数学の真髄（こころ）

>>1
そろそろ主題に戻ろう

>ベストアンサー：”が、ガロアの論文は解りにくいモノでした。現在の整理された数学書の書き方に慣れているためか、ガロアの論文を少し眺めてみて、弱気になってしまいました。”ですか？

ガロアの原論文（「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」）を読むための３つのポイントは
１．ガロア分解式（リゾルベント）
　V=Aa+Bb+Cc+・・・
　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる
２．置換群のガロア記法
a b c d・・・・k
b c d・・・・k a
c d・・・・k a b
・・・・・・・・・・・
k a b・・・・・i

注）今日、置換は普通はコーシーの記法
（a b c d・・・・k）
（a b c d・・・・k）
（直上の２行は大きな括弧で括られていると思ってください）

（コーシーの記法は説明不要と思うが、下記などが参考になろう）
http://homepage3.nifty.com/asagaya_avenue/apl/association/2011/Nishikawa_nov2011.pdf

（再録）
>>19　つづき
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応

（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,

注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）

１．ガロア分解式（リゾルベント）は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
２．置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31

に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論　中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式（リゾルベント）は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

（再録）
>>20
１．ガロア分解式（リゾルベント）は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P28
２．置換群のガロア記法は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P30,31,36など
３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、「現代数学の系譜11、アーベル、ガロア、群と代数方程式、守屋美賀雄訳」P31

に記載がある。
なお、置換群のガロア記法は、ガロアの群論　中村亨著>>2に詳しい説明がある
ガロア分解式（リゾルベント）は、「ガロアを読む」倉田令二朗>>4 P110あたりに詳しい説明がある
ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応は、あまり既存の本では強調されていない

下記藤原松三郎 代數學 P106あたりの記述が近いが、「ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応」という捉え方はしていない
http://www.rokakuho.co.jp/data/books/0026.html
代數學　　第二卷
A5／765頁　9450円（本体9000円＋税5%）　978-4-7536-0026-7
藤原松三郎（理学博士）　著

第十一章　がろあノ方程式論
1. 代數的數體／2. 方程式ノがろあ群／3. がろあ分解式ノ簡約／4. 代數的ニ解カレル方程式／5. 圓周等分方程式／6. あーべる方程式／7. 素數次ノ方程式

（再録）
ガロアの時代
今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない
体の漠然とした概念はあったろうが、同じようにある演算（積と和）で閉じた集合として捉えられていない

そこでガロアが今日の体の代わりに考えたのが、”ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応”だと思う

>>20
さて、ガロアは
V、V'、V''、・・・・、V''*
注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）
を使って、次のガロア方程式を作る
F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）

１．この方程式は、例えば一般の５次方程式なら根の置換は１２０個あり
２．V、V'、V''、・・・・、V''*も、１２０個あり（５次の置換で異なる値をとるから）
３．F(x)は１２０次の方程式
４．そんなものを考えてどうなる？
５．どっこい、F(x)の１２０次の方程式をガロアは体の理論の代用に使ったのだ

例えば、重根を持たない場合、差積から判別式を作り、判別式の平方根を
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）に添加すると
ガロア方程式は、二つに分けられるだろう

V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて
V、V'、V''、・・・・、V''**として
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）を作ることができる

残りの積は、奇置換に属するものの積
こう考えることにより
ガロア方程式F(x)に補助方程式の根を添加することで、ガロア方程式F(x)を分解し、次数を下げることができる
これによって、ガロア方程式F(x)を体論の代わりに使って、ガロア理論を展開することができるのだ

（再録）
残念ながら、複雑な数学記号が掲示板では使えない

例えば、置換のコーシーの記法は、２行にわたる括弧が必要だが、ここでは使えない
そこらの読みにくさはご容赦願いたい

その制約の中で出来るだけ分かりやすくを心がける

そうそう、よろしくね。怪しいところがあれば、指摘して
高校生の諸君は、図書館に
アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) >>4は、あるかい
ブルーバックス　「ガロアの理論」　中村亨>>2も是非併読を
それから、倉田令二朗ガロアを読む>>6があれば完璧かな

>>22　補足

差積と判別式は、下記に詳しい
ここでは、判別式は重根の有無を見分けるためと書かれている
しかし、差積（＝判別式の平方根）は、偶置換（＝交代群の置換）で値が変わらないということも重要なのだ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8D%E6%A0%B9_(%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F)

（訂正）
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>29の置換との対応で、偶置換に属するものだけを取り出し（それらは６０個）、並べ替えて
　↓
V、V'、V''、・・・・、V''*の内から、>>20の置換との対応で
（注：前スレからの再録で、リンクの番号がずれているものがあります。気付けば直しますが、気付かず旧のママのものがあればご容赦ください。）

（再録）
>>22
補足

ガロア方程式という言葉は、倉田>>4のP110では
「その任意の根が他の根の有理式（k上の）で表されるような方程式のことを、今日ガロア方程式と呼んでいる」とある
しかし、ここでは狭義にガロア分解式を根とするF(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）をガロア方程式と呼びたい
それが、ガロアの頭の中にあったものだったろうから（ガロア論文で扱われているのはこれだ）

そして、判別式の平方根を添加することで
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)
と二つに分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出した
F’’(x)：奇置換に属するものだけを取り出した
となる

そして、これを素数Pのべき根に一般化すれば

ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）
は
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・・F’p(x)
とp個に分けられ
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：ある部分群に属するものだけを取り出した
F’’(x)・・・・F’p(x)：ある部分群の共役に属するものだけを取り出した
となる

これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう

（再録）
補足

方程式のガロア群をGとすれば、ある部分群をHとして
G=H＋τ1H+τ2H+・・・・+τp-1H
と左剰余類に分割されるべき（倉田>>4 P139 式(7)）

ここに、τ1、τ2、・・・・、τp-1は、ご存知Gを剰余類分割するときに登場するGの要素
なので、部分群Hの位数は群Gの位数をPで割ったものになる

補足

なお、議論を簡単にするために
ここでは、念頭に置いているのは、一般の５次方程式で、ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）はkで既約で、重根を持たないと単純化している

>>24
>これが、ガロアが現代の集合論的体論の代わりに頭に描いていたものだろう

こう考えると、ガロアの原論文の意図が見えてくる
例えば、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について、上記のガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法>>28、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応>>29の３点セットを念頭に解説する

というかこの３点セットを念頭にしなければ、なにを書いているか理解できまい

（注：前スレからの再録で、リンクの番号がずれているものがあります。気付けば直しますが、気付かず旧のママのものがあればご容赦ください。）

（再録）
>>25　つづき

”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36でガロアは
４次方程式の解法について

１．まず、（判別式の）平方根を添加することで、全体で24個の置換を含む（ガロア）方程式の群（＝４次対称群）は２つに分解するという
　　これは、>>24に書いた通り
２．そこで、12個の置換群（これが偶置換のみで構成される交代群であることは現代数学の常識ではあるが）
３．４次方程式の根をa,b,c,dとして、この群をガロアは下記のように置換群のガロア記法で書き下す

a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a

これで、24次のガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）が
12次のF'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：偶置換に属するものだけを取り出し次数が下がった

a b c d, a c d b, a d b c
b a d c, c a b d, d a c b
c d a b, d b a c, b c a d
d c b a, b d c a, c b d a

この１２個の置換を含む群（＝４次の交代群）を立て４行の群（＝位数４の群）に対し、巡回置換（b,c,d）との積と見ることができる
そこで、３次の累乗根を添加することで、>>45-46のようにさらにガロア方程式の次数が下がる

>>27　つづき

群は
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a
に縮小し、ガロア方程式も４次式になる

これは、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる
あとは、ガロアが書いている通り
平方根を添加することでガロア方程式も２次式になり、４次方程式が解けることになる

ここに示したように、置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすくし、群の分解にガロア方程式の次数低下が対応していると見ることができる
これが、ガロアが頭の中に描いていたガロア理論の原型ではなかったか

（再録）
>>28　補足
”群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

は、
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる”

これは、クライン群などと呼ばれる
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。
クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
また、交代群 A4 の正規部分群
V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) >
と同型。

まとめよう
１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の３点セットが、ガロア理論の原型
２．そして、ガロア分解式からガロア方程式を作る
３．平方根を添加すると、ガロア群は二つに分解し、その群の分解に対応してガロア方程式を二つに分解することができる
４．同様にして、これを素数Pのべき根に一般化すれば、ガロア群はP個に分解し、その群の分解に対応してガロア方程式をP個に分解することができる
５．このようにして、ガロア群の縮小に伴ってガロア方程式の次数を下げることができる
　　この様子を、ガロアは４次方程式について、解説しているのだ（ ”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP36

（再録）
「置換群のガロア記法は群の分解の様子を見やすく」を補足

群
a b c d
b a d c
c d a b
d c b a

はコーシー流（現代の群論の教科書はこれ）では、次の４つの置換で書く
（a b c d）
（a b c d）

（a b c d）
（b a d c）

（a b c d）
（c d a b）

（a b c d）
（d c b a）

ここで、一番上の置換は恒等置換でｅと書かれたりする
（つづく）

（つづき）
で、これだけだと、メリットが少ないと見えるかも

だが、群の分解を考えると
a b c d, c d a b
b a d c, d c b a

と見ることができる”ってところでメリットがでる

１．つまり現代のコーシー記法だと下記
（a b c d）, （a b c d）
（a b c d）, （c d a b）

（a b c d）, （a b c d）
（b a d c）, （d c b a）

２．しかし、こうも見ることができる
（a b c d）, （c d a b）
（a b c d）, （c d a b）

（a b c d）, （c d a b）
（b a d c）, （d c b a）

つまり、ガロアの記法は「１行目の順列の並びが省略されたコーシー記法」だと
そして、上記２．の見方は、ガロアの記法の真骨頂
２．左の列の２番目は、（ab）と（cd）が入れ替わっている。これを番号に書き直すと（12）と（34）が入れ替わっている。右の列も同じく（12）と（34）が入れ替わっている。

そういう目で、もう一度>>53のガロア記法を眺めて欲しい。ガロアが見ていたものが見えるだろう

「オウムは統一教会をラジカルにしたもの」
「オウムが行く前に統一教会が、ロシアに進出していました。ところが、そういう連中が、どうも何時の間にかオウム信者とすりかわってしまった。」
　【殺された石井こうきの発言から】


オウム、北朝鮮、麻原サブリミナル、左翼政権誕生→阪神大震災、サリン
韓流信奉、韓国、韓流サブリミナル、（反日）左翼政権誕生→東日本大震災、原発事故

似ているね
てかそのものか。　そうか、統一教会、朝鮮総連、民団→朝鮮人だらけの民主党

（再録）置換群のガロア記法>>28について、もう一つ見ておこう
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”の最後P41で
定理VII
n=5とせよ；群は次のようなものであろう：
a b c d e, a c e b d, a e d c b, a d b e c
b c d e a, c e b d a, e d c b a, d b e c a
c d e a b, e b d a c, d c b a e, b e c a d
d e a b c, b d a c e, c b a e d, e c a d b
b c d e a, d a c e b, b a e d c, c a d b e

ここで、a→0, b→1, c→2, d→3, e→4と置き換えると
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4　

そしてガロアが見ていたものは
１．最初の列を縦に、順列0 1 2 3 4に対し、＋１mod 5(5を法として計算)で一番左の列の群（部分軍＝長さ５の巡回群）が得られ

２．横に、第一番目の列の群
0 1 2 3 4
1 2 3 4 0
2 3 4 0 1
3 4 0 1 2
4 0 1 2 3
を、２倍 mod 5(5を法として計算)すれば、２列目、２列目を２倍して３列目・・と

３．それを、”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP38の第VII節の群（G）前後の記述で言えば
ガロアが見ていたものは
Xk, Xak+b、あるいはf(k+c)=f(k)+Cだと
(ここは、上記”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”と合わせて読んでください)

（再録）
>>75

「数学に直感を取り戻そう！」>>18
難しいことをやさしく、複雑なことを本質を抽出して単純化する
複雑なことを図式化し、見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する
これぞ数学の真髄（こころ）

ガロアの見ていたものが、少し見えてきただろうか？

>>22
>ガロアの時代
>今日のように、群をある演算（積）で閉じた集合として捉えられていない

補足
ガロアは、群を群に属する二つの置換S、Tの積STが群に属することは明記している。
”アーベル ガロア 群と代数方程式 (現代数学の系譜 11) ”のP27だ

この事情は、ガロアの群論　中村亨>>2のP211に詳しい
ただ、ガロアが現代群論のように、集合論を基本として、単位元、逆元、積で閉じた集合として群を考えていたわけではなかった
だが、方程式のガロア理論を語るには十分だった
ただ、他の人にそれを理解させるためには、群の概念を現代のように明確にした方が良いわけで、そこがガロアの現論文が分かりにくいといわれる原因になっている

ただ、>>33で見たように、置換群のガロア記法>>19は、現在のコーシー記法より、群の分解の仕方や、置換の相互の関係を見やすくし、内容を直感的に把握するのに優れていると思う

（再録）
ガロアは群論の創始者であり、群論が一番有名だ
が、下記「ガロアへのレクイエム」や「近世数学史談」によれば、楕円関数論についても当時の時代を凌駕する研究をしていたようだ

山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kojihas/kojihas-jM.html
山下純一さんの本「ガロアへのレクイエム」 (現代数学社)にお世話になりました。

近世数学史談 (岩波文庫) [文庫] 高木 貞治
http://www.amazon.co.jp/%E8%BF%91%E4%B8%96%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%8F%B2%E8%AB%87-%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%96%87%E5%BA%AB-%E9%AB%98%E6%9C%A8-%E8%B2%9E%E6%B2%BB/dp/4003393910

（再録）
>>33
なお、この位数20群は、下記ではB'5 メタ巡回群と書かれている
この元吉文男氏の5次方程式の可解性の高速判定法は面白くて参考になった

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0848-01.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法 元吉文男 著 - 1993

ほぼ同じ内容が下記（こちらの方が年代が後で少し詳しい）
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf
5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

追伸
”5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著”は、本当に面白くて参考になった

（再録）
0 1 2 3 4, 0 2 4 1 3, 0 4 3 2 1, 0 3 1 4 2
1 2 3 4 0, 2 4 1 3 0, 4 3 2 1 0, 3 1 4 2 0
2 3 4 0 1, 4 1 3 0 2, 3 2 1 0 4, 1 4 2 0 3
3 4 0 1 2, 1 3 0 2 4, 2 1 0 4 3, 4 2 0 3 1
4 0 1 2 3, 3 0 2 4 1, 1 0 4 3 2, 2 0 3 1 4　

この位数20のメタ巡回群B'5 >>36
元吉文男氏は、これを利用して5次方程式の可解性の高速判定法を考えた

つまり、5次方程式のガロア群がもともと位数20のメタ巡回群B'5 になっていることが、5次方程式が可解である条件なのだ
一般のガロア群S5の位数は120。120/20＝6次の式が、”P の中に根を持つならば元の多項式のP でのガロア群はB05 の部分群である”
ここに、Pは5次方程式の係数が属する体

もう少し精密には
体P 上の５次の多項式f(x) = x5-a1x^4+a2x^3-a3x^2+a4x-a5
x1, x2, x3, x4, x5 を不定元とし、
h = x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + x5x1 - x1x3 - x3x5 - x5x2 - x2x4 - x4x1 (1)
としたときに多項式
g = h^2
は、B'5 の置換で不変であり、A5 やS5 の置換では不変ではない。
g にS5 のすべての元を作用させたときに生成される多項式のうちで異なるものは６個

この６個を根に持つような６次方程式を考える
ここでは、アスキーベースなので、添字やべきがうまく書けないので、下記文献を見てほしい
http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf

（再録）
>>37
”１．ガロア分解式（リゾルベント）、置換群のガロア記法、ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応の３点セットが、ガロア理論の原型”と書いた

>>24のアナロジーで言えば
ガロア方程式F(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''*）　（120次）
は、方程式のガロア群が位数20のメタ巡回群B'5 になっている場合

メタ巡回群B'5に属する20個のV、V’・・・を取り出し
F'(x)＝（x-V）（x-V'）（x-V''）・・・・（x-V''**）：B'5に属するものだけを取り出した20次の式
以下、B'5の共役類に分けて
F(x)＝F’(x)F’’(x)・・・F’’’’’’(x)
のように、ガロア方程式F(x)（120次）が、20次づつ6つの式に分けられることがイメージできるだろう

これがガロアが現代の体論と群論をベースとした理論の代わりに、頭に浮かべていたことではないだろうか

（再録）
最近気付いたが、下記Jean-Pierre Tignolも詳しい
というか、P156の定理10,7など、ガロア論文>>4のP39のラグランジュ分解式のn乗を扱っていることや補助方程式の次数が(n-2)!になることと、完全に一致している
一致という意味では小杉の方がお話風で読みやすいが
ともかく、こういうラグランジュが到達していた地点を見ると、ほとんどガロアに近い

というか、ガロアは完全にラグランジュを下敷きにしていると思う
その痕跡をかなり消しているが
ただし、方程式のガロア群とその分解を明確に意識して理論を展開したという点では、やはり天才ではあるのだが

http://www.kyoritsu-pub.co.jp/shinkan/shin0503_03.html
代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol著 新妻　弘訳 A5，360頁，3200円
第10章　ラグランジュ
10.1　方程式の理論の成熟
10.2　既知の方法に対するラグランジュの考察
10.3　群論とガロア理論の最初の成果
（引用おわり）

Jean-Pierre Tignol「代数方程式のガロアの理論」P307に
”付録：ガロアによる置換群の表現”としてガロア記法>>31の解説がなされている
これはなかなか興味深いね

P311には、
「順列群というガロアの記述において、疑いのない明確な点は部分群、特に正規部分群の概念がこれから見ていくようにかなり自然なやり方で発生することである。」と書かれている

　つまり、正規部分群こそがガロアの理論の核心であり、オリジナルな点だが、それはガロア記法があったればこそと言えよう

なお、ブルーバックス「ガロアの理論」中村亨>>2は高校生向けのガロア記法の解説であり、
Jean-Pierre Tignolは、大学の講義用の専門的な解説になっているので、両方読まれることをお勧めする

>>18
補足

数学に直感を取り戻そう！
難しいことをやさしく
複雑なことを本質を抽出して単純化する

複雑なことを図式化し見える化する
細部に立ち入る前に全体像を把握する（ジグソーパズルと全体像）
途中で分からなくても最後まで通してみる

視点と切り口
思考の補助線
複数の本を見る

こんなところが、このスレの重要キーワードだ

>>40
補足

思考の補助線って本があるんだね
ある数学的対象があって、数学の理論がある
「補助線は何だ」という視点で学んでゆくことは大事だと思う
http://rinribenkyouhou.seesaa.net/article/155740162.html
思考の補助線: 文系国公立大学受験・勉強法ブログ(^o^)／ 2009年08月08日

>>40
補足

（再録）
ある事象Aについて、見る視点によって、見え方が違うという場合がある
というか、多少複雑な事象については、視点を変えてみる必要がある場合が多い

例えば、Aが四角形の形に配列された煙突だとすると、視点によっては３本に見えたりする
上空から見れば、配列は一目瞭然としても、上空に上がれない場合にはその配列を周囲から調べるしか配列を知る方法はない

>>40
補足
>視点と切り口

モース理論というのがある
複雑な対象を切り口で考えるのだと思う（下記）

http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/tateshina.htm
『ADHM 構成』歴史おぼえがき　2002 年8月
(抜粋)
素粒子論は湯川秀樹の中間子論に始まる．彼の理論には二つの特徴があった．一つは新粒子を導入したこと，もう一つは場の理論の枠内にとどまったことである（『場の理論』は平坦な抑揚で読むこと）．
一方，西洋を中世から近代へと移行せしめた『オッカムの剃刀』という格率のせいなのか，ヨーロッパの物理学者たちは新粒子の導入に慎重であり，
また，若き日に量子力学の開拓者たちであった彼らは，subatomic な領域に足をふみいれるにあたり，自分たちがつくりあげた量子力学を惜しげもなく捨てるというより過激な方向にむしろ魅力を感じていた．
東洋人であって西洋近代の格率のもとにいなかったことと，時期的・地理的要因により量子力学に後から追随する位置にいたことが，湯川を独創的にした，という見方もある．（小平邦彦の複素多様体論についても同様のことが言えるかもしれない．）

３．現代数学という衝撃
話をもどそう．つづいて物理学者たちの競争は多重インスタントンへと向かう．アノマリーの Jackiw や当時まだ無名の Witten も参戦してきた．そんな中，　4 人の数学者が 4 次元ユークリッド空間上の多重インスタントンを完全に分類した論文を Physics Letters に提出した．
それが ADHM である．物理学者にとって重要かつホットな問題に対し，そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事が提出される，というのは過去に例のないことではなかったか．
しかもその手法が，それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の，それも層係数コホモロジーの言語で書かれた現代的なものであった．
Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる．この衝撃が若き日の Witten の眼を現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される．
（引用つづく）

>>43
（引用つづき）
Bott は各地の物理学者たちの前で，Atiyah と彼とのゲージ理論について講演して回ったのだが，その反応は熱いものではなかった．しかしそんな中にあって一人の男が鷹のように Bott のことばを追ってきた．Witten である．
彼は Bott の講演から，後に言う Witten のモース理論を着想する．後日，Bott は彼から一通の手紙を受けとる．そこには，「Bott 先生，わたしはついにモース理論がわかりました！」と記されていた．
それは奇しくも，かつての弟子 Smale が直伝のモース理論にさらに磨きをかけついに高次元ポアンカレ予想を解決したときに Bott に告げたのと同じことばだったという．

５．あれでもなくこれでもなく
Donaldson や Kirwan といった "Atiyah の子どもたち" は，Bott の来訪を毎回サンタを待つように楽しみにしていたという．
Donaldson の論文 "An application of gauge theory to four dimensional topology" の題が Bott の若い頃の論文の題と似ているところに，そのあたりの雰囲気が表れているように思う．
Donaldson のこの論文は，ADHM とも Atiyah-Bott とも違う道を切り開くものであった．
すぐ近くで誕生した ADHM も Atiyah-Bott も深い理論であり，また当時できたばかりだからやることはたくさんあったはずである．
事実 Donaldson はそれぞれに関連する仕事もしている．しかし彼は，それとは別に 4 次元トポロジーへの応用という思いもよらぬ方向へと一歩を踏み出した．
彼の理論は，Rochlin の定理しかなかった 4 次元トポロジーの状況を打開しただけでなく，異種 4 次元ユークリッド空間という存在をわれわれに示してくれた．
こんなものがあると知っただけでも数学を勉強した甲斐があったというものではないか．Witten はこう言っている，「Donaldson 理論は時空の幾何を理解する鍵である．」
（引用おわり）

モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
立体を平面に表す
もちろん、１面では無理で、３面を必要とする
同じように、複雑な対象は一つの切り口だけでなく、複数の切り口を使うべし

>>43
橋本氏の話は何時もとても面白いですね。『打倒Witten』の魅力は今も健在。

猫

>>43

”オッカムの剃刀”は下記
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%89%83%E5%88%80
オッカムの剃刀（オッカムのかみそり、英: Occam's razor; Ockham's razor）とは、「ある事柄を説明するためには、必要以上に多くの実体[2]を仮定するべきでない」（英語: Entities should not be multiplied beyond necessity.）という指針。
思考節約（思考経済）の法則やケチの原理と呼ばれることもある。
もともとスコラ哲学にあり、14世紀の哲学者・神学者のオッカムが多用したことで有名になった。
（引用おわり）

湯川秀樹の話は下記
http://www.sci-museum.kita.osaka.jp/~saito/
斎藤吉彦のホームページ　大阪市立科学館・学芸員
http://www.sci-museum.kita.osaka.jp/~saito/job/writing/utyu/new_particle.pdf
嫌われた新粒子 湯川理論誕生の背景で 月刊うちゅう　2007 Vol.24 No.2
（抜粋）
1937年に来日したボーアは湯川を「新粒子が好きなのですね。」と揶揄したそうです。
このように欧米の天才物理学者たちは新粒子に抵抗したのです。その背景に
はオッカムのカミソリという信念が根付いていたと言われます。オッカムは14
世紀の哲学者・神学者で、「物事を説明するのに、無駄なものは可能な限り削ぎ
落として、できるだけ単純なことで説明せよ、余計な仮説は使うな。」という指
針を多用したそうです。この指針をオッカムのカミソリと言います。欧米の天
才物理学者たちは、オッカムのカミソリを使って、余計な新粒子を削り落とそ
うとしたそうです。オッカムのカミソリに根拠はなく、あくまで考えを進める
上での指針にしか過ぎません。人が集団となってある事を信じ込み、そこから
抜け出せないというのは、社会現象としてよくあることです。天才集団もオッ
カムのカミソリを信じ込んで身動きできなかったのです。湯川はオッカムのカ
ミソリの影響が少ない日本にいました。そして、新粒子仮設の機会が巡ってき
たのでしょう。

>>45
猫さん、乙です

>橋本氏の話は何時もとても面白いですね。『打倒Witten』の魅力は今も健在。

橋本氏？　橋本　義武　　Yoshitake Hashimoto　これは大阪市大か
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/index.html
http://math01.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/
クライン「正２０面体と５次方程式」を読む pdf (18.4MB) 2006/03/15
グロタンディークの双二十面体──マチウ群試論 pdf (13.1MB) 2006/03/15


いまは、東京都市大学？
http://www.comm.tcu.ac.jp/literacy/math/staff.html
東京都市大学｜知識工学部リテラシー学群｜数学部門｜教職員紹介

橋本義武
教授（自然科学科所属）
７２７号室
【テーマ】
もともと物理学の理論であるゲージ理論を数学の立場から研究しています。
他の分野との予想外の出会いもあって、トポロジストとリーマン面の研究をしたり、物理学者とブラッ クホールの研究をしたり、代数学者と有限標数のD加群の研究をしたりしてきました。
【担当科目】
数学基礎、線形代数学(1)(2)、数理統計学、関数論、幾何学(1)
http://www.ke.tcu.ac.jp/ns/lab/ns07.html
微分幾何学研究室
担当教員名
教授：橋本義武

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああああ！！！！！！！

>>47
そう、彼ですよ。大阪市大からいつの間にか移動したみたいですね。とても
面白い人です。

猫

４次元トポロジーてこれからは
どんな進展を遂げるのだろうね？

>>47

『打倒Witten』？
http://surgery.matrix.jp/topologynotes.html
Topology/Geometry Lectures on the Web
古田幹雄/Mikio Furuta
Seiberg-Witten不変量
K理論と指数 (大阪市大数学教室集中講義、石邨茂久氏・記、橋本義武さんのサイトへのリンクです)
（引用おわり）

これ（上記）の中身か？それとも、下記などを見ると、Witten超え狙いみたい
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~ohnita/2011/GEOSOCKsem/GEOSOCKsem120314-15.html
阪大-阪市大‐神戸大-九大合同幾何学セミナー　（第６回）　
第６回GEOSOCKセミナー :　　
数学と理論物理の若手交流のための小研究会
　「幾何学と数理物理」　
開催日： 平成２４年３月１４日（水）‐１５日（木）
講演予定者：
橋本 義武 先生（東京都市大学知識工学部自然科学科 教授，大阪市立大学数学研究所 客員教授）

http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~furuhata/workshop/tohoku/9708.html
Division of Mathematics
Graduate School of Information Sciences
Tohoku University
１９９７年度幾何学シンポジウム

大場 清（お茶の水女子大理） 橋本 義武（阪市大理） アーベル微分の線型ポアンカレ双対

>>49
猫さん、乙です

橋本 義武 先生（東京都市大学知識工学部自然科学科 教授，大阪市立大学数学研究所 客員教授）>>51だから、まだ大阪市立大学数学研究所に席はあるみたい（だから市大のホームページが残っているんですね）
ところで、『打倒Witten』>>51をもう少し詳しくお願いできませんか

>>52
彼がまだ東大の院生だった時に、その彼の院生室の壁に『打倒ウィッテン』
と、研究の目標が書かれた紙が貼ってあったという記憶なんですけどね。
でも後日にご本人に確認したら、「いや、記憶違いでは？」という様な話
でしたけどね。でも彼ならそれ位の目標があっても全く不思議はないかと。

猫

こんなのがあった
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~m01016k/Index_Gauge_IV/index.html
研究集会　指数定理からゲージ理論へIV 2002年8月1日
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~m01016k/Index_Gauge_IV/reference.html
講演の概要
橋本義武氏「ADHM 構成とその周辺」

直交射影と接続
多様体のはじまりが Euclid 空間の部分多様体ならば，ベクトル束のはじまりは自明束の部分束，このとき直交射影によって接続が定義されるわけだが，R2, R4 上の具体例でその曲率を計算してみようというのが第１回である．
特に R4 上曲率が Anti-Self-Dual (ASD) かつ L2 になる接続（Yang-Mills instanton）の例をあたえるが，これが Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin (ADHM) 構成である．第２回以降，R4 上の Yang-Mills instanton がこれらにかぎることを見ていく．
ASD 接続と正則ベクトル束の対応
第２回は，ASD 接続が正則ベクトル束に対応することを二つのやりかたで見る．一つは twistor，もう一つは Kempf-Ness の定理の無限次元版である．正則ベクトル束の jumping line にもふれる．
Fourier-Mukai 変換（Nahm 変換）
第３回では，まず T4 上の ASD 接続の Fourier-Mukai 変換についてのべる．
そして，R4 上の ASD 接続の，あるいは対応する正則ベクトル束の Fourier-Mukai 変換が，ADHM 構成のデータにほかならないことを見る．時間がゆるせば，monopole の Fourier-Mukai 変換が Nahm 方程式の解になることにもふれたい．
話さないこと
本講演は 1980 年代前半までに得られた基本的結果の紹介にとどまる．
その後の重要な発展としては，ALE 空間上の ADHM 構成 (Nakajima，Kronheimer) に端を発する quiver variety の理論 (Nakajima)，D-brane との関連 (Witten, Douglas)，非可換空間上の ADHM 構成 (Nekrasov) などがあげられよう．
参考文献
Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin, Construction of instantons, Phys. Lett. 65A(1978), 185-187
Atiyah, The Geometry of Yang-Mills Fields, Fermi Lectures, Scoula Normale Pisa, 1979
Donaldson, Instantons and geometric invariant theory, Commun. Math. Phys. 93(1984), 453-460
Donaldson-Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, chap. 3:The Fourier transform and ADHM construction, 75-125, Oxford, 1990

>>50
もし４次元ポアンカレ予想の微分同相版が否定的に解決されたらとても
面白いと個人的には思ってますけどね。でもどうなる事やら。

猫

少し古いが、ここに文献集がある。
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/chichibu.pdf
全部読んで概略を理解するのにどれ位時間がかかるか？
一年？

>>53
猫さん、ども

>彼がまだ東大の院生だった時に、その彼の院生室の壁に『打倒ウィッテン』
>と、研究の目標が書かれた紙が貼ってあったという記憶なんですけどね。

へーえ
http://jglobal.jst.go.jp/public/20090422/200901077712201976
J-GLOBAL - 橋本　義武 【研究者】
更新日 2008年06月19日
東京大学 博士( 理学系研究科 数学) 1990
東京大学 大学( 理学部 数学) 1985

http://en.wikipedia.org/wiki/Edward_Witten
Edward Witten (born August 26, 1951) is an American theoretical physicist with a focus on mathematical physics who is currently a professor of Mathematical Physics at the Institute for Advanced Study.
Witten is a researcher in superstring theory, a theory of quantum gravity, supersymmetric quantum field theories and other areas of mathematical physics.[1]
He has made contributions in mathematics and helped bridge gaps between fundamental physics and various areas of mathematics. In 1990 he was the world's first physicist to be awarded a Fields Medal by the International Union of Mathematics.
In 2004, Time magazine wrote that Witten was "generally considered the greatest theoretical physicist in the world."[2]
（引用おわり）

”東京大学 博士( 理学系研究科 数学) 1990” ＆ ”In 1990 he was the world's first physicist to be awarded a Fields Medal by the International Union of Mathematics. ”
なので、1990より前ですな
橋本　義武さん、がんばって！

>>55
確かに。
４次元では微分構造は複素構造に近いが、
その根源的な理由が未だに理解出来ない。

Wittenのモース理論て簡単にいうとどんなもの？

>>58
個人的な印象としては、もしそういう違いみたいなものを識別する不変量
があれば面白いと思いますがね。但し通常の特性類みたいな感じではなく
て、非常に解析学的な何かだろうと期待してしまうんですがね。

猫

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　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
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>>55>>58>>60
なるほど・・

http://en.wikipedia.org/wiki/Diffeomorphism
Homeomorphism and diffeomorphism

It is easy to find a homeomorphism that is not a diffeomorphism, but it is more difficult to find a pair of homeomorphic manifolds that are not diffeomorphic.
In dimensions 1, 2, 3, any pair of homeomorphic smooth manifolds are diffeomorphic.
In dimension 4 or greater, examples of homeomorphic but not diffeomorphic pairs have been found. The first such example was constructed by John Milnor in dimension 7.
He constructed a smooth 7-dimensional manifold (called now Milnor's sphere) that is homeomorphic to the standard 7-sphere but not diffeomorphic to it.
There are in fact 28 oriented diffeomorphism classes of manifolds homeomorphic to the 7-sphere (each of them is a total space of the fiber bundle over the 4-sphere with the 3-sphere as the fiber).

Much more extreme phenomena occur for 4-manifolds: in the early 1980s, a combination of results due to Simon Donaldson and Michael Freedman led to the discovery of exotic R4s:
there are uncountably many pairwise non-diffeomorphic open subsets of R4 each of which is homeomorphic to R4,
and also there are uncountably many pairwise non-diffeomorphic differentiable manifolds homeomorphic to R4 that do not embed smoothly in R4.

>>62
なるほど・・
http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4
In mathematics, an exotic R4 is a differentiable manifold that is homeomorphic to the Euclidean space R4, but not diffeomorphic.
The first examples were found by Robion Kirby and Michael Freedman, by using the contrast between Freedman's theorems about topological 4-manifolds, and Simon Donaldson's theorems about smooth 4-manifolds.
There is a continuum of non-diffeomorphic differentiable structures of R4, as was shown first by Clifford Taubes.

Prior to this construction, non-diffeomorphic smooth structures on spheres ? exotic spheres ? were already known to exist, although the question of the existence of such structures for the particular case of the 4-sphere remained open.
For any positive integer n other than 4, there are no exotic smooth structures on Rn; in other words, if n ≠ 4 then any smooth manifold homeomorphic to Rn is diffeomorphic to Rn.

Small exotic R4s
An exotic R4 is called small if it can be smoothly embedded as an open subset of the standard R4.
Small exotic R4s can be constructed by starting with a non-trivial smooth 5-dimensional h-cobordism (which exists by Donaldson's proof that the h-cobordism theorem fails in this dimension)
and using Freedman's theorem that the topological h-cobordism theorem holds in this dimension.

Large exotic R4s
An exotic R4 is called large if it cannot be smoothly embedded as an open subset of the standard R4.
Examples of large exotic R4s can be constructed using the fact that compact 4 manifolds can often be split as a topological sum (by Freedman's work), but cannot be split as a smooth sum (by Donaldson's work).
Michael Hartley Freedman and Laurence R. Taylor (1986) showed that there is a unique maximal exotic R4, into which all other R4s can be smoothly embedded as open subsets.
（つづく）

>>62
６０年代から７０年代はJacoとかHempel、Waldhausenらの
３次元多様体論の本がよく読まれた。Thurston以前の話だ。
また４次元に関しては単連結という仮定の下で、手術理論
が盛んに研究された。WallやBrowderらの本がよくまとまっている。
７０年には基本予想やNovikovによる有理Pontryagin類の
位相普遍性が示され、高次元多様体のホモトピー類と
位相同型の違いがPontryagin類によってほぼ分類が可能であることも
分かった。
二次特性類は葉層構造に関するBott消滅定理（積分可能性）が
示され、新たな活躍の場を得たといえる。
Bott消滅定理はたった２ページで証明されたので、当時の数学に
与えた衝撃は大きかった。
これからThurstonやConnes等による研究が大きく花開いたと
思うのだが、この辺りを詳細に纏めた数学史を誰か書かないかな？

>>63　つづき

http://en.wikipedia.org/wiki/Exotic_R4
Related exotic structures
Casson handles are homeomorphic to D2×R2 by Freedman's theorem (where D2 is the closed unit disc) but it follows from Donaldson's theorem that they are not all diffeomorphic to D2×R2. In other words, some Casson handles are exotic D2×R2s.
It is not known (as of 2009) whether or not there are any exotic 4-spheres; such an exotic 4-sphere would be a counterexample to the smooth generalized Poincare conjecture in dimension 4. Some plausible candidates are given by Gluck twists.

http://en.wikipedia.org/wiki/Gluck_twist#4-dimensional_exotic_spheres_and_Gluck_twists
In differential topology, a mathematical discipline, an exotic sphere is a differentiable manifold M that is homeomorphic but not diffeomorphic to the standard Euclidean n-sphere.
That is, M is a sphere from the point of view of all its topological properties, but carrying a smooth structure that is not the familiar one (hence the name "exotic").

The first exotic spheres were constructed by John Milnor (1956) in dimension n = 7 as S3-bundles over S4. He showed that there are at least 7 differentiable structures on the 7-sphere.
In any dimension Milnor (1959) showed that the diffeomorphism classes of oriented exotic spheres form the non-trivial elements of an abelian monoid under connected sum, which is a finite abelian group if the dimension is not 4.
The classification of exotic spheres by Michel Kervaire and John Milnor (1963) showed that the oriented exotic 7-spheres are the non-trivial elements of a cyclic group of order 28 under the operation of connected sum.

>>64
乙です

>これからThurstonやConnes等による研究が大きく花開いたと

そう言えば、Connesさんも３次元ポアンカレ予想に挑戦してんだっけ

>>65　つづき　ここらも面白いね
http://en.wikipedia.org/wiki/Gluck_twist#4-dimensional_exotic_spheres_and_Gluck_twists
Explicit examples of exotic spheres
One of the first examples of an exotic sphere found by Milnor (1956, section 3) was the following:
Take two copies of B4×S3, each with boundary S3×S3, and glue them together by identifying (a,b) in the boundary with (a, a2ba?1), (where we identify each S3 with the group of unit quaternions).
The resulting manifold has a natural smooth structure and is homeomorphic to S7, but is not diffeomorphic to S7.
Milnor showed that it is not the boundary of any smooth 8-manifold with vanishing 4th Betti number, and has no orientation-reversing diffeomorphism to itself;
either of these properties implies that it is not a standard 7-sphere. Milnor showed that this manifold has a Morse function with just two critical points, both non-degenerate, which implies that it is topologically a sphere.

As shown by Egbert Brieskorn (1966, 1966b) (see also (Hirzebruch & Mayer 1968)) the intersection of the complex manifold of points in C5 satisfying
（式省略）
with a small sphere around the origin for k = 1, 2, ..., 28 gives all 28 possible smooth structures on the oriented 7-sphere. Similar manifolds are called Brieskorn spheres.

Twisted spheres
Given an (orientation-preserving) diffeomorphism f: Sn?1→Sn?1, gluing the boundaries of two copies of the standard disk Dn together by yields a manifold called a twisted sphere (with twist f).
（面白いが省略）

>>55
>もし４次元ポアンカレ予想の微分同相版が否定的に解決されたらとても

ああ、そうそう、これは落とせないね。直接関係するから
”The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.”だと
http://en.wikipedia.org/wiki/Gluck_twist#4-dimensional_exotic_spheres_and_Gluck_twists
4-dimensional exotic spheres and Gluck twists
In 4 dimensions it is not known whether there are any exotic smooth structures on the 4-sphere.
The statement that they do not exist is known as the "smooth Poincare conjecture", and is discussed by Michael Freedman, Robert Gompf, and Scott Morrison et al. (2010) who say that it is believed to be false.

Some candidates for exotic 4-spheres are given by Gluck twists (Gluck 1962).
These are constructed by cutting out a tubular neighborhood of a 2-sphere S in S4 and gluing it back in using a diffeomorphism of its boundary S2×S1.
The result is always homeomorphic to S4. But in most cases it is unknown whether or not the result is diffeomorphic to S4.
(If the 2-sphere is unknotted, or given by spinning a knot in the 3-sphere, then the Gluck twist is known to be diffeomorphic to S4, but there are plenty of other ways to knot a 2-sphere in S4.)

Akbulut (2009) showed that a certain family of candidates for 4-dimensional exotic spheres constructed by Cappell and Shaneson are in fact standard.

やらせA 就活中
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/3/1/31a6f8e6.jpg
やらせB 就職後
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/2/b/2b790359.jpg


世論調査もこんな感じで捏造してます


　東京にある6つのキー局の内、製作から財務まで一貫して朝鮮人が行ってるテレビ局が1つ
　中国共産党から毎年大量の反日工作費が流れているテレビ局が2つ
　もろに北朝鮮と繋がっているテレビ局が1つ　　
年寄はまだまだテレビという外国人に騙され続ける



オレオレ詐欺なんて年寄がどれだけ騙されやすいかという社会実験でしかない
馬鹿はいつまでも騙される

>>66
今ではもう昔の話だけど、Connesは非可換幾何を
始めた時には可換が真っ盛りで（今でもそうかもしれない）、
彼はそれを使って大きな問題に挑戦するという
事も視野に入れていた。葉層構造とC^*環との繋がりとか
今ではそれがリーマン予想にまで及んでいる。
個人的な印象としては非可換の研究は期が熟していないのでは？という印象。
勿論、分かっている人には目標が見えているのだろうけど、
まだ大きなものは出てきていない。

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>>69
乙です

訂正失礼>>66（３次元ポアンカレ予想は解決したんだから）
そう言えば、Connesさんも３次元ポアンカレ予想に挑戦してんだっけ
　　↓
そう言えば、Connesさんも３次元ポアンカレ予想に挑戦してたんだっけ

>今ではもう昔の話だけど、Connesは非可換幾何を
>今ではそれがリーマン予想にまで及んでいる。

なるほど下記ですな
http://en.wikipedia.org/wiki/Connes　抜粋
Work
Alain Connes is one of the leading specialists on operator algebras. In his early work on von Neumann algebras in the 1970s, he succeeded in obtaining the almost complete classification of injective factors.
Following this he made contributions in operator K-theory and index theory, which culminated in the Baum-Connes conjecture.
He also introduced cyclic cohomology in the early 1980s as a first step in the study of noncommutative differential geometry.
Connes has applied his work in areas of mathematics and theoretical physics, including number theory, differential geometry and particle physics.[1]

Awards and honours
Connes was awarded the Fields Medal in 1982, the Crafoord Prize in 2001 and the gold medal of the CNRS in 2004.

See also
Cyclic homology
C*-algebra
M Theory
Groupoid
External links
1.^ Scientific Americain, The Geometry of Particle Physics, July 24, 2006
Alain Connes Official Web Site containing downloadable papers, and his book Non-commutative geometry, ISBN 0-12-185860-X. http://www.alainconnes.org/
nlab about Alain Connes
Alain Connes' Standard Model

>>71
英語のwikipediaの解説は充実していますね

こんなのがあった
http://en.wikipedia.org/wiki/Criticism_of_non-standard_analysis
Connes' criticism

In "Brisure de symetrie spontanee et geometrie du point de vue spectral", Journal of Geometry and Physics 23 ('97), 206?234, Alain Connes wrote:
"The answer given by non-standard analysis, namely a nonstandard real, is equally disappointing: every non-standard real canonically determines a (Lebesgue) non-measurable subset of the interval [0, 1],
so that it is impossible (Stern, 1985) to exhibit a single [nonstandard real number]. The formalism that we propose will give a substantial and computable answer to this question."
In his '95 article "Noncommutative geometry and reality" Connes develops a calculus of infinitesimals based on operators in Hilbert space. He proceeds to "explain why the formalism of nonstandard analysis is inadequate" for his purposes.
Connes points out the following three aspects of Robinson's hyperreals:

(1) a nonstandard hyperreal "cannot be exhibited" (the reason given being its relation to non-measurable sets);
(2) "the practical use of such a notion is limited to computations in which the final result is independent of the exact value of the above infinitesimal. This is the way nonstandard analysis and ultraproducts are used [...]".
(3) the hyperreals are commutative.

In the view of M. Katz and K. Katz Connes' comments are critical of non-standard analysis, and they challenge these specific claims.[6]
With regard to (1), Connes' own infinitesimals similarly rely on non-constructive foundational material, such as the existence of a Dixmier trace.
With regard to (2), Connes presents the independence of the choice of infinitesimal as a feature of his own theory.

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>>71
>今ではそれがリーマン予想にまで及んでいる。

（再録）前スレ221
>だって数学というモノは神様が創った壮大な作品ですからね。だから人
>造物なんかとは比較になりませんよ。

確かにね
NHKの番組で、以前リーマン予想についての番組があった（こいつは見逃したのでDVDで見た）

リーマン予想に関しゼータ関数の非自明な零点分布（の間隔）が、ダイソンの研究していたランダム行列の固有値の分布（間隔）と一致するという結構有名な話題が取り上げられていたね
量子カオスとも関係していると。不思議なこともあるものだね

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/246_riemann.htm
［２］リーマン予想と量子物理学との関連
　これらのことにより，ゼータ関数の零点分布がランダム行列理論で得られる関数で表されることは予想されていたのですが，近年，ルドニックとサルナックはこれを部分的に証明したという・・・．

　このようにゼータ関数の零点を作用素のスペクトルと関連づけて解釈しようとする数論の新しい動きを総称して「数論的量子カオス」と呼ばれます．
素数を周期軌道，零点を固有値と読み変えることによって，ゼータ関数が仮想的な量子系を表現していると考えることができるというのです．

　リーマン予想の証明では，このようなゼータ関数の零点が固有値となるような演算子をつきとめるというヒルベルト・ポリヤ以来の行列の固有値方面からのアプローチがあげられるのですが，
フランスの数学者コンヌは，それとは逆に，量子物理のアイディアからリーマン予想を証明しようとその可能性を追求しています．コンヌのアプローチはそのような演算子を実際に構成するというものです．

　コンヌはリーマン演算子が作用する対象として非常に変わった空間を構築しました．アデールとはすべてのｐ進数体Ｑp｛Ｑ2，Ｑ3，Ｑ5，Ｑ7，・・・｝と実数体Ｒから成るのですが，
それぞれに素数を内蔵していてすべての素数を備え，同時に２進数であり３進数でありかつ実数でもあるような仮想的な数体系となっています．

　コンヌは有理数体Ｑのアデール環ＡをＱの乗法群Ｑ~で割って得られる非可換空間Ａ／Ｑ~を基にして

　　リーマン予想　←→　Ａ／Ｑ~に対して跡公式が成り立つ

を示しました．

>>74
リーマン予想関連
（再録）前スレ438
アインシュタインが、当時馬鹿にされながら統一理論を追求して、カルツァー・クライン理論になった
それが、ウィッテンのM理論に
ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ

量子力学のランダム行列理論とリーマン予想との不思議な関係

ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn−ズの証明という流れもある
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B4%E3%83%AC%E3%82%A4%E7%AC%A6%E5%8F%B7
ゴレイ符号（英: Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_Golay_code
http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice

ソリトンも落とせないかな
フェルミ・パスタ・ウラムの問題→ソリトン→可積分系
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E3%83%BB%E3%83%91%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%A9%E3%83%A0%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
950年代にロスアラモス研究所で電子計算機を用いて、この問題に取り組んだ3人の物理学者エンリコ・フェルミ、ジョン・パスタ、スタニスワフ・ウラムに名に因む。
当初の予想では相互作用が非線形な系ではエルゴード性によって、長時間経過後に各モードにエネルギーが等分配された平衡状態に達するはずであったが、
計算機実験の結果はそれに反し、初期状態のモードに戻る再帰現象が観測された。後に、この再帰現象はKdV方程式の研究から可積分系におけるソリトンと関連した現象であることが明らかにされた。
http://en.wikipedia.org/wiki/Soliton
In 1965 Norman Zabusky of Bell Labs and Martin Kruskal of Princeton University first demonstrated soliton behaviour in media subject to the Korteweg?de Vries equation (KdV equation) in a computational investigation using a finite difference approach.
They also showed how this behavior explained the puzzling earlier work of Fermi, Pasta and Ulam.[3]
（つづく）

>>75　補足
>ワインバーグサラム理論は、４次元位相空間の研究に使われたそうだ

ここ正確には、
ワインバーグサラム理論の基礎になっているヤン＝ミルズ理論が、４次元位相空間の研究に使われた

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A4%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%82%BA%E7%90%86%E8%AB%96
ヤン＝ミルズ理論（−りろん、英: Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことである。
なお、その少し前にヴォルフガング・パウリ[1][2]と内山龍雄も同理論を完成していたと言われているが、様々な事情により発表が遅れ、先取権はヤン＝ミルズにあるとされる。
元々は、数学者ヘルマン・ワイルらによって研究が進められていた（可換）ゲージ理論であった。このゲージ理論を物理学の世界に応用して生まれた、強い相互作用や弱い相互作用の場についての理論が、ヤン＝ミルズ場と呼ばれるゲージ場の理論である。
目次
1 定義
2 実際の例とバリエーション
3 繰り込み群と結合定数
4 脚注
5 参考文献
6 関連項目

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
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　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
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>>76
ヤン＝ミルズ理論補足

http://en.wikipedia.org/wiki/Simon_Donaldson
Biography
Donaldson's father was an electrical engineer in the physiology department at the University of Cambridge[citation needed].
Donaldson gained a BA degree in mathematics from Pembroke College, Cambridge in 1979, and in 1980 began postgraduate work at Worcester College, Oxford, at first under Nigel Hitchin and later under Michael Atiyah's supervision.
Still a graduate student, Donaldson proved in 1982 a result that would establish his fame.
He published the result in a paper Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds which appeared in 1983.
In the words of Atiyah, the paper "stunned the mathematical world" (Atiyah 1986).

Whereas Michael Freedman classified topological four-manifolds,
Donaldson's work focused on four-manifolds admitting a differentiable structure, using instantons, a particular solution to the equations of Yang-Mills gauge theory which has its origin in quantum field theory.
One of Donaldson's first results gave severe restrictions on the intersection form of a smooth four-manifold.
As a consequence, a large class of the topological four-manifolds do not admit any smooth structure at all.
Donaldson also derived polynomial invariants from gauge theory.
These were new topological invariants sensitive to the underlying smooth structure of the four-manifold.
They made it possible to deduce the existence of "exotic" smooth structures?certain topological four-manifolds could carry an infinite family of different smooth structures.
（つづく）

>>78
つづき

http://en.wikipedia.org/wiki/Simon_Donaldson
Donaldson's work（抜粋）
A thread running through Donaldson's work is the application of mathematical analysis (especially the analysis of elliptic partial differential equations) to problems in geometry.
The problems mainly concern 4-manifolds, complex differential geometry and symplectic geometry. The following theorems rank among his most striking achievements:
The diagonalizability theorem (Donaldson 1983a, 1983b): if the intersection form of a smooth, closed, simply connected 4-manifold is positive- or negative-definite then it is diagonalizable over the integers.
(The simple connectivity hypothesis has since been shown to be unnecessary using Seiberg-Witten theory.) This result is sometimes called Donaldson's theorem.
A smooth h-cobordism between 4-manifolds need not be trivial (Donaldson 1987a). This contrasts with the situation in higher dimensions.
A stable holomorphic vector bundle over a non-singular projective algebraic variety admits a Hermitian-Einstein metric (Donaldson 1987b). This was proved independently by Karen Uhlenbeck and Shing-Tung Yau (Uhlenbeck & Yau 1986).

Donaldson's recent work centers on a difficult problem in complex differential geometry concerning a conjectural relationship between algebro-geometric "stability" conditions for smooth projective varieties
and the existence of "optimal" Kahler metrics, typically those with constant scalar curvature.
Definitive results have not yet been obtained, but substantial progress has been made (see for example Donaldson 2001).

See also Donaldson theory.

External links
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Simon Donaldson", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
Simon Donaldson at the Mathematics Genealogy Project.
Home page at Imperial College

>>79
補足
下記岩木泰孝氏の修論がよく纏まっているね
http://www.sci.hyogo-u.ac.jp/maths/master/h11/iwaki.pdf
平成11 年度学位論文 Seiberg-Witten 理論について 兵庫教育大学 岩木泰孝

序　文（抜粋）
1956 年J.W.Milnor が７次元の球面と連続同相であるが可微分同相ではないエキゾチック球面を発見して以来 略
しかし1980 年代初頭に２つの出来事によりその状況が大きく変わることになった。
１つには1982年のM.H.Freedman による仕事で、略
もう一つが1983 年、まだ学生であったS.Donaldson によりゲージ理論を応用して単連結4 次元閉C1 多様体の正定値交叉形式が決定されたことである。
その後もDonaldsonはh-同境定理の反例やDonaldson 不変量の定式化など輝かしい業績を築いていった。
これらの業績により1986 年Donaldson はFreedman らと共にFields 賞を受賞している。
Donaldson 理論は物理学で発展したゲージ理論(Yang?Mills 理論) を数学に持ち込んだものであった。
その中核を成すのはYang?Mills 方程式と呼ばれる非線形偏微分方程式である。
Yang?Mills 方程式の非線形性やゲージ群がSU(2) で非可換であるなど理論を展開するのに多くの難点を克服する必要があり 略
しかし1993 年P.Kronheimer,T.Mrowka によりDonaldson 不変量の構造定理が発表されるとDonaldson理論の本質的な部分は物理学で言うところの「質量ギャップ」にあることが分かってきた。
Donaldson 理論の背景にあるゲージ理論は物理学ではN = 2 SuperSymmetry Yang-Mills 理論と呼ばれるものである。
物理学的に双対な理論を考えることはN = 4 の場合には一般的であったがN = 2 の場合には意味がないと言われていた。
しかしN = 2 の場合の双対な理論を考えることで「質量ギャップ」は磁気単極子(Monopole) の存在の問題に置き換えることができることを1994 年N.Seiberg とE.Witten が発見した。
そしてYang?Mills 方程式に代わりMonopole 方程式を用いた理論を数学にフィードバックしたのがSeiberg?Witten 理論である。
その成り立ちから見ても、Seiberg?Witten 理論は当初より物理学的な理由からDonaldson 理論と同値であると予想されており、実際Donaldson 理論の成果はSeiberg?Witten 理論でも示されている。

本論文ではSeiberg?Witten 理論を数学的に基礎から構築し 略

>>72
>英語のwikipediaの解説は充実していますね

英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く
そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする
そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる

数学では、英語のwikipediaの記事が圧倒的に情報量が多いね

>>80
これも英語のwikipediaのリンクからたどったが、ご参考まで
http://xstructure.inr.ac.ru/x-bin/revtheme3.py?level=1&index1=284824&skip=0
arXiv Structure
N=2 supersymmetric; Prepotential n=2; Picard-fuchs equation; N=2 supersymmetricyang-mills
List of Review Articles:
（略）

ガロア拡大体の有名な定理に正規基の定理と云うのがあるが、
Q 上ガロア拡大の場合は、正規基は常に代数的整数で取れるのだろうか？

>>82
うむ
仙石６０（前スレ671−672）かもしらんが、まあ良い
おいらは、来るものは拒まず去る者は追わずで、特にこだわらない

>ガロア拡大体の有名な定理に正規基の定理と云うのがあるが、

アルティンの第２章 14「正規底の存在」の定理33だな
http://www.kishimo.com/math/Galois/p46.html
http://na-inet.jp/weblog/archives/001482.html
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」ちくま学芸文庫

>Q 上ガロア拡大の場合は、正規基は常に代数的整数で取れるのだろうか？

Qが有理数体であることを確認しておく
アルティン定理33によれば、”EをK（ここではQ）の正規拡大体とし、・・・σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)がK（ここではQ）に関して線形独立であるようなものが存在する。”とある
面白いことに、アルティン先生の本では、「基底」という用語に明確な説明が与えられていない（分かっているものとして話が進む（因みに”10.アーベル群とその応用”の”基底定理”とは基底のイメージするところが異なると思う））

まあ、常識では”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”たちを線形空間の基底と呼ぶことは当然ではあるが
正規＝正規拡大体に対すると、線形独立とを引っ掛けているんだろう

説明を簡単にするために、線形空間としてn次の直交空間として考えると、”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”はx(x1)軸、y(x2)軸、z(x3)軸・・・、(xn)軸の上の単位ベクトルに選ぶのが普通
単位ベクトル＝長さ１
しかし、”単位ベクトル＝長さ１”を考えるのは、本質ではなく適当な大きさのベクトルを考えても線形代数の理論の本質は変わらない。ただ、式に余計な係数が増えるだけなので、最初に単位ベクトルにしておくのが普通
（ここらは、工学の電磁気学を学ぶと、単位系をどう選ぶかという話につながる）

で、「代数的整数」をどういうイメージで捉えているか不明だが、Eの中の線形独立要素として”σ1(θ)、σ2(θ)、・・・、σn(θ)”たちがあるわけで、
これが、仮に”代数的有理数”としても、例えばσ1(θ)分母の最小公倍数を求めて、その最小公倍数を掛けてやって整数にしても線形独立の性質は損なわれない
だから、答えはYesかな

>>83　補足

下記GREENBERG予想と正規整数底(群スキームの変形と整数論への応用)によれば、”整数環”では事情が違うと（当然でしょうが）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/kokyuroku.html
京都大学数理解析研究所 - 講究録 Kokyuroku -
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/1996.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/942.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0942-9.pdf
9. GREENBERG予想と正規整数底(群スキームの変形と整数論への応用)--112
　　　　日本大学生産工学部　　　福田 隆

やっと気づいたAKBの宣伝に税金が使われている件。そしてその税金は民主党にも流れている。

報道規制とあらゆるランキングの操作、CD等売上の捏造、サクラ動員の証拠画像等はこちら
やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件　その120
http://hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1331752286/

AKBも韓流もワンピース（集英社）も同じ広告代理店の捏造人気　　

>>44
訂正

モース理論までいかなくとも、製図の正面図は平面図がある
　↓
モース理論までいかなくとも、製図の正面図や平面図がある

>>39
だいぶ寄り道したが、本題へ
郡とはなにか？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。
群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。

概略
群の概念は、数学的対象 X から X への自己同型の集まりの満たす性質を代数的に抽象化することによって得られる。
この集まりは X の対称性を表現していると考えられ、結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在などがなりたっている。
集合論にもとづき X が集合として実現されている場合には、自己同型として X からそれ自身への全単射写像を考えることになるが、空間や対象の持つ構造に応じてさらに付加条件を課すことが多い。
例えば、ベクトル空間 X に対してその自己同型写像の集まりを考えると群が得られる。
また、平面上に正三角形など何らかの対称性を持った図形が与えられているとき、平面全体の変換のうちでその図形を保つようなものだけを考えることによって、図形の対称性を表す群を取り出すことができる。
（つづく）

>>86
>だいぶ寄り道したが

寄り道が楽しいんだよね

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)#.E6.9C.89.E9.99.90.E7.BE.A4.E3.81.AE.E6.A7.8B.E9.80.A0.E5.AE.9A.E7.90.86
つづき
歴史

群の概念が初めてはっきりと取り出されたのは、エヴァリスト・ガロアによる根の置換群を用いた代数方程式の研究だとされている。

16世紀中頃に、ジェロラモ・カルダーノ、ルドヴィコ・フェラーリらによって四次方程式まではべき根による解の公式が得られていたが、5 次以上の方程式に解の公式が存在するのかどうかはわかっていなかった。
その後18世紀後半になってラグランジュによって代数方程式の解法が根の置換と関係していることが見出された。（「ラグランジュの定理」にその名が残っているのはこのためである。）
19世紀に入り、ルフィニやニールス・アーベルによって五次以上の方程式にはべき根による解の公式が存在しないことが示された。

ガロアは、より一般に任意の代数方程式について根が方程式の係数から加減乗除や冪根の操作によって得られるかどうかという問題を、方程式のガロア群の可解性という性質に帰着した。
ガロアの研究に端を発する群を用いた代数方程式の理論は今ではガロア理論と呼ばれている。

ガロア理論によれば五次以上の代数方程式の非可解性は交代群が単純であることによって説明される。
このような有限単純群の分類は20世紀に大きく発展し、1980年代までにいくつかの系列と26の例外からなる有限単純群の同型類のリストアップが完成した。

>>87
英語版
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)
In mathematics, a group is an algebraic structure consisting of a set together with an operation that combines any two of its elements to form a third element.
To qualify as a group, the set and the operation must satisfy a few conditions called group axioms, namely closure, associativity, identity and invertibility.
Many familiar mathematical structures such as number systems obey these axioms: for example, the integers endowed with the addition operation form a group.
However, the abstract formalization of the group axioms, detached as it is from the concrete nature of any particular group and its operation,
allows entities with highly diverse mathematical origins in abstract algebra and beyond to be handled in a flexible way, while retaining their essential structural aspects.
The ubiquity of groups in numerous areas within and outside mathematics makes them a central organizing principle of contemporary mathematics.[1][2]

Groups share a fundamental kinship with the notion of symmetry. A symmetry group encodes symmetry features of a geometrical object:
it consists of the set of transformations that leave the object unchanged, and the operation of combining two such transformations by performing one after the other.
Such symmetry groups, particularly the continuous Lie groups, play an important role in many academic disciplines.
Matrix groups, for example, can be used to understand fundamental physical laws underlying special relativity and symmetry phenomena in molecular chemistry.

The concept of a group arose from the study of polynomial equations, starting with Evariste Galois in the 1830s.
After contributions from other fields such as number theory and geometry, the group notion was generalized and firmly established around 1870.
Modern group theory?a very active mathematical discipline?studies groups in their own right.a[?]
（略）

>>88
つづき
なお”Main article: History of group theory http://en.wikipedia.org/wiki/History_of_group_theory”がまた面白いんだ
http://en.wikipedia.org/wiki/Group_
History
The original motivation for group theory was the quest for solutions of polynomial equations of degree higher than 4.
The 19th-century French mathematician Evariste Galois, extending prior work of Paolo Ruffini and Joseph-Louis Lagrange, gave a criterion for the solvability of a particular polynomial equation in terms of the symmetry group of its roots (solutions).
The elements of such a Galois group correspond to certain permutations of the roots.
At first, Galois' ideas were rejected by his contemporaries, and published only posthumously.
More general permutation groups were investigated in particular by Augustin Louis Cauchy.
Arthur Cayley's On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) gives the first abstract definition of a finite group.

Geometry was a second field in which groups were used systematically, especially symmetry groups as part of Felix Klein's 1872 Erlangen program.
After novel geometries such as hyperbolic and projective geometry had emerged, Klein used group theory to organize them in a more coherent way. Further advancing these ideas, Sophus Lie founded the study of Lie groups in 1884.

The third field contributing to group theory was number theory.
Certain abelian group structures had been used implicitly in Carl Friedrich Gauss' number-theoretical work Disquisitiones Arithmeticae (1798), and more explicitly by Leopold Kronecker.
In 1847, Ernst Kummer led early attempts to prove Fermat's Last Theorem to a climax by developing groups describing factorization into prime numbers.

The convergence of these various sources into a uniform theory of groups started with Camille Jordan's Traite des substitutions et des equations algebriques (1870).

>>86
訂正

郡とはなにか？
　↓
群とはなにか？

さらに本題
”ガロア理論とは何か？”

検索していると、こんなサイトが・・・・！　これはお薦めです！
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20090901/p1
ガロア理論のサイトオープン -20090901
（抜粋）
* Ｇの夢 〜 解けない方程式の謎を解く >> http://galois.motion.ne.jp/

目標は「高校生でもわかる 泥臭い群論入門」、ぜひ見て下さいね！

今日の時点ではまだ前半だけですが、後半も近々アップ予定です。

>>90　つづき
”ガロア理論とは何か？”

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。
現代の代数学はこの理論から始まった。ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。

ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。

>>91
”ガロア理論とは何か？”英語版

http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
In mathematics, more specifically in abstract algebra, Galois theory, named after Evariste Galois, provides a connection between field theory and group theory.
Using Galois theory, certain problems in field theory can be reduced to group theory, which is in some sense simpler and better understood.

Originally Galois used permutation groups to describe how the various roots of a given polynomial equation are related to each other.
The modern approach to Galois theory, developed by Richard Dedekind, Leopold Kronecker and Emil Artin, among others, involves studying automorphisms of field extensions.

Further abstraction of Galois theory is achieved by the theory of Galois connections. http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_connection

Application to classical problems
Galois theory not only provides a beautiful answer to this question, it also explains in detail why it is possible to solve equations of degree four or lower in the above manner,
and why their solutions take the form that they do. Further, it gives a conceptually clear, and often practical, means of telling when some particular equation of higher degree can be solved in that manner.

>>92
つづき

http://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
History

See also: Abstract algebra#Early group theory http://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebra#Early_group_theory

Galois theory originated in the study of symmetric functions ? the coefficients of a monic polynomial are (up to sign) the elementary symmetric polynomials in the roots. For instance,
(x ? a)(x ? b) = x2 ? (a + b)x + ab, where 1, a + b and ab are the elementary polynomials of degree 0, 1 and 2 in two variables.

This was first formalized by the 16th century French mathematician Francois Viete, in Viete's formulas, for the case of positive real roots.
In the opinion of the 18th century British mathematician Charles Hutton,[1]
the expression of coefficients of a polynomial in terms of the roots (not only for positive roots) was first understood by the 17th century French mathematician Albert Girard; Hutton writes:
...[Girard was] the first person who understood the general doctrine of the formation of the coefficients of the powers from the sum of the roots and their products.

He was the first who discovered the rules for summing the powers of the roots of any equation.

In this vein, the discriminant is a symmetric function in the roots which reflects properties of the roots ? it is zero if and only if the polynomial has a multiple root,
and for quadratic and cubic polynomials it is positive if and only if all roots are real and distinct, and negative if and only if there is a pair of distinct complex conjugate roots.

See Discriminant: nature of the roots for details.
（以下略）

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ヽヽ___//　　　日本
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　　　　　　　　　|街宣車の正体 　朝鮮人工作員　 　 　.|　|検索|

英語ｇｏｏｇｌｅは無視か？
英語弱そうだな、おっさん
英語ｇｏｏｇｌｅまで朝鮮だ街宣だと言われちゃ、ｇｏｏｇｌｅ本国が起こるだろうぜ

>>95
訂正
起こるだろうぜ
　↓
怒るだろうぜ

イカン馬鹿が感染ってきた

>>1
が、意外と (元々) 馬鹿である事がやっと分かった。

>>97
心配するな。おっさんと同じ程度だよ、仙石

”616 名前：仙石60サポータ[はい] 投稿日：2012/03/15(木) 01:29:32.39
寺田文行さんのつけた問題と解凍はすばらしい。
さすが心技ともにすぐれた先生方はすばらしい。
おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ。”か？

http://logsoku.com/thread/kamome.2ch.net/math/1294901071/
60才からの数学への理解
1 : 仙石６０: 2011/01/13(木) 15:44:31 　いまや　毎日が日曜日。
職業に関係する知識とノウハウは誰にも負けん。
しかし数学は大學理科（非数学）れべるに止まっている。
ジャルゴンだけなら、数学用語もしっているが本質はしらん。
そこで数学勉強を始めようとおもう。
情報処理能力は若い奴に葉ソフトハードともにまけん。
よろしくご教示指導願いたい。
　遊民的暇つぶしなどと言わないでよろしくお願いする。
（引用おわり）

毎日が日曜日で、2011/01/13(木)から１年以上、”おかげでガロア理論の理解もかなり進んだ”？
わんこら式をやった方がいいぞ

（前スレ449より再録）
”正規部分群はどういう意味があるか”の著者がこんなことを書いているので紹介する
http://wankora.blog31.fc2.com/blog-entry-1295.html
Author:かずゆき 京都大学理学部を数学専攻で卒業

わんこら式数学の勉強法(受験生、小学生から中学生、高校生、大学生、社会人まで通用)
これを参考に効率ではなく『拘りを捨てて出来ることをやる』を常に念じて自分にあわせてやってください。

問題を見てすぐに解答、解説を読みます。
英語なら英語を読んですぐに対応する日本語を読みます。
最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。

1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ〜って感じで読むだけで超高速で終わらせます。
2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。
3,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
4,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
5,またその範囲を、すぐに拾えるものだけ拾って一周します。
…こんな感じで7周ぐらいやってみてください。
これで、だんだん理解出来ていったり、処理が速くなったり、覚えられてきたら成功です。

拾えるものだけ拾うって言うのは
○こういう意味だから、こうなのか
○これとあれは似てる
○こういう計算になるから、こうなる
○語呂合わせ などです。

目安タイムは最初の1周目で 白チャートなら1例題10秒 シンプルな英単語帳の例文は1つ1秒
大学受験の数学の二次試験の過去問なら1問20〜40秒 数学の専門書なら1ページで10〜30秒

最初の周は意味わからないスピードにするのがポイントです(限界突破) 2周目からは、スピードを余り落とさないで意味を拾えるだけ拾っていきます。
ほんまに速すぎたり、めっちゃ難しいのは、何も拾えずに出来ないので注意して下さい。拾えるものを拾おうとしたり、計算を紙に書いて確認して結構時間かかっても大丈夫です。
繰り返すたびに整理していって、話を簡単にしていくようにします。

（前スレ611より再録）

ジグソーパズルを知っているだろう
数学の本を読んでいると、次から次に定義・定理が出てくる

ジグソーパズルの一つのピースみたいなもの
早く全体像を掴んで、その一つのピースが全体のどこにはまるのかを考えないと

ジグソーパズルの各ピースを見ていても理解は進まない
だが、各ピースを見ないと、全体像が理解できない。数学の本を読むのはなかなか大変だ（一部の天才は別として）

わんこら式>>449というのも一理ある
前の方で分からないところが出てくる。だが、最後まで読むと、後ろの方で関連したところが出てきて、「ああ、そうか」と分かる場合がある

早く最後まで読んで、また前から読むべし。全体像を掴みながら
これが良いのでは・・

>>97
仙石のおっさんな、岩波の数学辞典を知っているか？
下記に情報があるけどね
http://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0803090/top.html
岩波 数学辞典 第 4版

おいらは、第3版を買ってね。お世話になった
おっさんは見たことないんだろうな

googleを馬鹿にしているが、岩波の数学辞典を利用するのとなんら変わらない
というか、英語のgoogleの情報量は圧倒的だよ。岩波＜日本語google＜英語google という感じかな

最近、アルティンって、初心者には意外にむつかしいかも知らんと思うようになった

正規底とか説明なしにポンと出てくる>>83　岩波でも手元に置いて読まないと、基礎知識がないとつらいだろう
（前スレ609より再録）
アルティン「ガロア理論入門」をあらためて眺めていたんだが
これ、群論の知識を前提として、群論部分はほとんど記述がないね・・

アルティン氏による”まえがき”に
「その初版のドイツ語訳の提案を受けたときに、私はついでに現代代数学の理論への入門をつけ加えるのが良いのではないかとも考えた。」
　しかし、熟慮ののち、私は当初の方針を堅持し、前と同様の読者層を対象とすることを決意した。
　今日世の中に現代代数学の基礎理論を与える教科書は十分なほどに用意されているからである。」と書かれている

前と同様の読者層＝ノートルダム大学の夏期学校で行った講義
だと

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8E%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%AB%E3%83%80%E3%83%A0%E5%A4%A7%E5%AD%A6
ノートルダム大学（University of Notre Dame）は、アメリカ合衆国、インディアナ州サウスベンド近郊にあるカトリック教会創設の名門私立大学。
1842年エドワード・ソリンによって創設された。現地では英語式に、「ノーターデイム」と発音する。エモリー大学などとともにヒドゥン・アイビー（Hidden Ivies）に数えられる。
（引用おわり）

ご存知米国は９月入学。とすれば、夏期学校の対象は、最低１年の大学教育は終えた者
おそらくは、数学科だろう
なお、「ガロア理論入門」のドイツ語の題は入門はついていないのだった
とすれば、群論は履修済みとして、そこは飛ばして夏期学校の短い時間で担当直入に「ガロア理論」を展開した本だと
”入門”というより、”概括”とでも言った方がいいかも知れない
骨太にガロア理論のエッセンスを、数学科で最低１年の大学教育は終えた者に教えるのだと

索引に群論関係の用語がほとんどないこともうなづける
索引はおそらく原書のままで、ページだけを調整したのだろう
P37の節の見出しになっている「群指標」さえ索引にはない。巡回群もない。本文には、群の定義は与えられていない＝知っているのが前提だと
アルティンは、そういう本なのだと思って読むことだね（＝”まえがき”にある「現代代数学の基礎理論を与える教科書」を併読すべきだと）

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　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
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>>98
チンで解凍するのか？

>>101

ああ、そう言えば、おいらがwikipediaからの引用が多いので、wikipediaだけから知識を得ているように勘違いする人が多いんだが
wikipediaからの引用するのが、スクラッチでタイプするより楽だし
wikipediaは説明用によく纏まっているし

書くべき内容は大体頭の中にはあるんだ
だが、正確に書こうと思うと、参考書も引っ張り出さないと行けない
キーワードと大体の内容は浮かんでいるから、検索で書きたいことと同じようなことを探して、コピペする。それが必然wikipediaからが多くなるだけ

>>107
回答は>>99だよ、仙石のオッサン
2011/01/13(木)から１年以上か
最近、アルティンって、初心者には意外にむつかしいかも知らんと思うようになった>>101
岩波 数学辞典>>101を手元に置いて、わんこら式>>99をやってみな
あと、分からんところをこのスレで質問してみな

>>90
引用されている下記が良いね

”* 群論は輪っかの理論
>> http://www18.ocn.ne.jp/~hchiba/math/group.pdf
「群論がどのようなものか少し学んでみようという人には極力少ない文量で多くを述べた」
コンパクトに、要点を突いた良ドキュメント。
この方のサイトには、他にもいくつか数学関係のドキュメントがあって、どれも充実した内容です。”
（引用おわり）

輪っかの理論の図が綺麗

俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。
そろそろ書く禁になるかもな。

＞現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

こいつ最近下品だなｗ　本性が出てきたかｗ

>>111-112
そうか、仙石じゃないか

>俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。
>そろそろ書く禁になるかもな。

２ちゃんねる素人か？

>こいつ最近下品だなｗ　本性が出てきたかｗ

別に隠しちゃいない
相手に合わせているだけさ、おれはおれ

>>90
引用されている下記が良いね
物理のかぎしっぽは、前スレでおいらも引用したが

（引用開始）
今回のサイト作成にあたって、特に参考にしたコンテンツＢｅｓｔ３を紹介します。

* 物理のかぎしっぽ -- 代数学

>> http://hooktail.sub.jp/

ガロア理論を順序立てて、しっかりと、しかもわかりやすく解説してある素晴らしいサイト。

よくぞこれだけ作ったものだと、本当に感心します。

“ガロア理論”をはじめとするキーワードで検索すると、ほぼ真っ先に(Wikipediaの次くらいに)このサイトが出てきます。

「初心者に易しく,楽しく,そして深く学ぶことのできる,誰もが欲しいと思っていた物理学ドキュメントをWWW上に構築しようとしています.」

うーむ、志が高い。
（引用終わり）

>>101
　仙石は数学をはじめて一年以上たっているんだよ
もう修士レベルは終わっているんじゃないのかな？

>>113
＞相手に合わせているだけさ、おれはおれ
無意味なトートロジー。あんたが、下品だろうが、池沼だろうが成り立つなｗ

＞ゴレイ符号（デジタル通信に用いられる誤り訂正符号。名前の由来はスイスの数学者 Marcel J. E. Golay。）→リーチ格子→散在単純群→モンスター群→ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャn−ズの証明という流れもある

ギョウエーテさんも学識が深いですね。

>>115
>　仙石は数学をはじめて一年以上たっているんだよ
>もう修士レベルは終わっているんじゃないのかな？

そう期待したいが
しかし、仙石の数学的アウトプットを見たことがないので、一年以上たっているけど進んでいないような気がする
自学自習の限界というか、現代数学は用語や記法がむつかしい。ガロアの時代とは違う。ガロアの時代は式の計算が中心だったから
アルティンは、用語や記法がある程度分かっている前提で書いているようだ。夏期学校という短期の講義録という制約からだろうが
線形代数の習熟と群論の基礎が前提とされていると思う

>>116
＞相手に合わせているだけさ、おれはおれ

スキンという言葉を聞いたことがあるか？（下記）
無意味なトートロジーではない
スキンを多少相手に合わせている。だが、本体は急には変わらない
http://it-words.jp/w/E382B9E382ADE383B3.html
スキンとはアプリケーションソフトウェアなどでユーザインタフェースの外観表示を変更できる機能をいう。（IT用語辞典 | 日立ソリューションズ）

>>117
乙です

リーチ格子→散在単純群→モンスター群は、昔から鈴木道夫氏が群論などに書いていた
ムーンシャイン→頂点作用素代数によるボーチャ−ズの証明は、ボーチャ−ズがフィールズ賞を貰ったときに話題になった
ゴレイ符号→リーチ格子は、最近読んだ本にあって、ゴレイ符号についてはネット検索で情報を得た

ギョウエーテさんね。ネット検索すると似たような名乗りがあるけど（下記ご参照）、もし特定の人を指すなら人違いだろう
ギョウエーテと名乗ったことも呼ばれたことも無かったから

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A8%E3%83%8F%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%86
ゲーテ (Goethe) のドイツ語での発音は日本人には難しいこともあり、日本語表記は、古くは「ギョエテ」「ゲョエテ」「ギョーツ」「グーテ」「ゲエテ」など数十種類にものぼる表記が存在した。
このことを諷して斎藤緑雨は「ギョエテとは俺のことかとゲーテ言い」という川柳を詠んだ（矢崎源九郎『日本の外来語』参照）。

>>101
>というか、英語のgoogleの情報量は圧倒的だよ。岩波＜日本語google＜英語google という感じかな

補足
大体、まずwikipediaを見るようにしている。google検索のトップに来ることが多いし
次に英語のwikipedia。下記テクニックは>>81で紹介した
で、論文のPDFが落ちていたりすると拾う
岩波の数学辞典は以前の版を持っていて、昔はお世話になりました。あれ後ろに公式集みたいなのがついていて便利なんだ

”英語のwikipediaに対する一つのテクニックとして、まず日本語のwikipediaの検索ページを開く
そして、左端の言語のEnglishのところをクリックする
そうすると、日本語のwikipediaの検索に対応する英語の記事に飛ぶことができる”>>81

>>110
シローの定理というのが出てくる
四郎さん、アーベルと同じノルウエー人で高校の教師だった、1862年30歳のときに大学で講義”explained Abel's and Galois's work on algebraic equations”をしている。
そのときに、シローの定理に関する問題意識をもったようだ
1872年40歳のときにシローの定理の論文を発表したが、これが大ヒットだったんだ

http://en.wikipedia.org/wiki/Peter_Ludwig_Mejdell_Sylow
Peter Ludwig Mejdell Sylow (12 December 1832 ? 7 September 1918) was a Norwegian
Sylow was a high school teacher in Halden, Norway, from 1858 to 1898,
It was then that he posed the question that led to his theorems regarding Sylow subgroups.
Sylow published the Sylow theorems in 1872, and subsequently devoted eight years of his life, with Sophus Lie, to the project of editing the mathematical works of his countryman, Niels Henrik Abel.

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sylow.html
In 1862 Sylow lectured at the University of Christiania, substituting for Broch. In his lectures Sylow explained Abel's and Galois's work on algebraic equations. A summary of these lectures is presented in [2].
It is worth noting that although he had not proved 'Sylow's theorems' at this time (he published them 10 years later) he did pose a question about them.

Sylow's fame rests on one 10 page paper published in 1872.
In this paper Theoremes sur les groupes de substitutions which Sylow published in Mathematische Annalen Volume 5 (pages 584 to 594) appear the three Sylow theorems.
Cauchy had already proved that a group whose order is divisible by a prime p has an element of order p.
Sylow proved what is perhaps the most profound result in the theory of finite groups.

If pn is the largest power of the prime p to divide the order of a group G then
G has subgroups of order pn,
G has 1 + kp such subgroups,
any two such subgroups are conjugate.

Almost all work on finite groups uses Sylow's theorems.

>>90

更に引用する
http://d.hatena.ne.jp/rikunora/20090901/p1
（抜粋）
「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」
この問題意識から、ガロア理論は生まれました。
簡単に言います。
「５次方程式には５つの解がある。
　その５つの解を違いに入れ替える方法は 5! = 120通り。

　この１２０通りの入れ替え方法を、形として表現すると正２０面体となる。
　より正確には、１２０通りを半分にした６０通りの入れ替え方法が、
　“正２０面体を回転して自身に重ね合わせる方法”に対応付けられる。
　（正１２面体に対応付けることもできる。）

　ところで、実際に正２０面体を動かしてみればわかるのだが、
　正２０面体の回転操作を分解して、より簡単な図形に還元することができない。
　これは、方程式で言うと、５次方程式をより簡単な式に分解して還元できないことを意味する。
　なので、五次方程式は解けない。」

なんのこっちゃ？ 何故に、正２０面体？
そう思った人は、ぜひ上のサイトへ。　→ http://galois.motion.ne.jp/

>>123
>「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」
>この問題意識から、ガロア理論は生まれました。

ラグランジュが根の置換と有理式で表される性質との関係を証明した（ラグランジュの定理）
（前スレ317より）
http://homepage2.nifty.com/cakravala/historyofequation.pdf
方程式論の歴史（平成１４年）
これの定理3-3だな
（引用おわり）

そしてラグランジュは、ラグランジュの分解式でべき根による解法を研究した（ラグランジュの分解式は、上記方程式論の歴史（平成１４年）のP8参照）
簡単化していうと、べき根による解法というのは結局巡回群に帰着される
巡回群というのは、ぐるぐる回るってことで、この話は>>110の”群論は輪っかの理論”を見てください

べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある　と

>>124
もう少し、「なぜ、五次方程式は代数的に解くことができないのか？」について、分かりやすい例えばなしを

そこで、”複雑な対象は一つの切り口だけでなく、複数の切り口を使うべし>>44”と
一つの切り口が、
”正２０面体の回転操作を分解して、より簡単な図形に還元することができない。
　これは、方程式で言うと、５次方程式をより簡単な式に分解して還元できないことを意味する。
　なので、五次方程式は解けない。”>>123だと

これはトップダウンアプローチ
（因みに、トップダウンアプローチ、ボトムアップアプローチはよく言われるが、意識して自由自在に使い分けることをお薦めする。一般には両方をミックスして使う場合が多いので（下記は一例））
http://www.atmarkit.co.jp/im/cpm/serial/standard03/standard03.html
トップダウンかボトムアップか　瀬谷 茂　2006/10/20
（引用おわり）

”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124
は、ボトムアップアプローチ

>>125　つづき

あと、アナロジーという考えがある
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A1%9E%E6%8E%A8
類推（るいすい）は類比（るいひ）、アナロジー（Analogy）ともいい、特定の事物に基づく情報を、他の特定の事物へ、それらの間の何らかの類似に基づいて適用する認知過程である。
ドイツ語のAnalogieはギリシャ語の?ναλογ?αからの外来語だが、そのギリシャ語での意味は「反ロゴス」である。
類推は、問題解決、意思決定、記憶、説明（メタファーなどの修辞技法）、科学理論の形成、芸術家の創意創造作業などにおいて非常に重要な過程であるが、論理的誤謬を含む場合が高く、論証力としては弱い論理である。
(科学的な新概念の形成過程は、チャールズ・パースによるアブダクション理論として区別される場合が多い)

異なる事象に対し類推することで、共通性を見出す言語的作業が比喩である。 言語学では、言語自体に対する類推が言語の変化の大きな要因とされる。
（引用おわり）

”べき根拡大→巡回群→ぐるぐる回る関係しか表現できない→表現能力に限界がある”>>124ということを
平面多角形の周囲と内部の対角線の複雑さに例えると

対角線は、下記のサイトの図のようになる
http://yosshy.sansu.org/taikakusen.htm

方程式の次数に対応するように、１次方程式には１点のみの図形、２次方程式には２点からなる図形（線分）を、多角形に含める（３次は当然３点からなる三角形）
そうすると、１次、２次、３次までは対角線がない。だから、（対角線に関係しない）巡回群のみで話が済む

４次方程式は、四角形が対応するが、対角線はただ２本だけ。なので、これはまだ巡回群の範囲で扱える*)
だが、５次方程式は、五角形が対応するが、上記のサイトの対角線の図で、この対角線に従う根の置換までを表現する必要が出てくる

で、巡回群は上記のサイトの図で、対角線での置換を除く、周囲の根の配置はそのままで、ぐるぐる回る関係を表現するもの
とすると、五角形になると複雑になって対角線に従う根の置換は、巡回置換（＝巡回群）の範囲で収まらない→だからべき根の範囲に収まらない→べき根では解けない と

*)鏡像変換（＝３次元空間に持ち上げて180℃反転する）で扱える。鏡像変換は、C2（２次の巡回群）と同型だと

>>126　つづき
（先に言っておくが、今日は仕事が休みでね）

鏡映変換は下記ご参照
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%8F%A1%E6%98%A0%E6%93%8D%E4%BD%9C

で、別の切り口
組成列と単純群、可解群という見方がある
http://hooktail.sub.jp/algebra/GroupSeries/
ガロア理論の基本定理
http://hooktail.sub.jp/algebra/GaloisFundamentalTheorem/
ガロア群と可解群
http://hooktail.sub.jp/algebra/Radicals/
可解群について補足
http://hooktail.sub.jp/algebra/SolvableGroupsApp/

ガロア理論の基本定理を認めてしまうと
方程式がべき根で解ける→方程式のガロア群が可解→５次方程式のガロア群は５次対称群で正規部分群は５次交代群のみ→５次交代群は単純群（位数は60）で非可解。（巡回群では表現できないからべき根では解けないと）

>>127
>方程式がべき根で解ける→方程式のガロア群が可解→５次方程式のガロア群は５次対称群で正規部分群は５次交代群のみ→５次交代群は単純群（位数は60）で非可解。（巡回群では表現できないからべき根では解けないと）

これは、トップダウンアプローチで、５次交代群S5から降りてくると、５次交代群A5までしか降りられないと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E7%A7%B0%E7%BE%A4

ボトムアップアプローチは、単位群から出発して、べき根で解ける群はどんなものかを考えるアプローチ
これが、ガロアの第一論文の最後の定理になっている

（前スレ575より再録）
因みに、守屋>>3のガロア論文の本文第VII節P39で
「この[群（G）の直前の]群について、前の群についてと同様に論ぜられるであろう。
その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は
xk, xak+b
という形の置換だけを含むことができることになる。」
と、書かれているが、ここはちょっとおかしいだろう

つまり、ガロアは>>554アルティン「補題　qを素数とし、Hをq個の文字の置換群とし、Hの正規部分群Nが線形であるとする。するとH自身も線形である」を明確に意識し、
”線形群の正規拡大はまた線形になる”ので、結局べき根で解ける素数n次の既約方程式のガロア群は線形群だと主張していると思う

とすれば、
「この（正規部分群列（方程式のガロア群=G0>G1>G2>・・・>Gs-1>Gs=1 by アルティン>>511 ））について、前の群（Gs-1 by アルティン＝群（G）の直前の群 by ガロア）についてと同様に論ぜられるであろう。
その結果、[群の]分解の順序で第一の群、すなわち方程式の実際の群は
xk, xak+b
という形の置換だけを含むことができることになる。」とされるべきだったろう。ガロアの原文が悪いのか、訳がどうなのか不明だが

>>128
つづき
ガロアの第一論文の最後の定理>>4

（前スレ440より再録）
話がそれたが、今日の本題は、正十二面体の中で、５次の線形群（位数 5・4=20）を考えてみようと

>正十二面体の面は正五角形をしていますので，星型に五本の対角線が引けます．
>この対角線の一つを一辺とする正六面体を正十二面体の中に内接させることができます．次図のように，これには五種類あります．
>正十二面体はちょうど，正六面体の一つの面に切妻屋根を乗せたような形になっているわけですね．
>まず正六面体の頂点を通る対角線を軸に，120度もしくは240度回す変換があります．対角線は4本ありますので，この種類の変換が計8個あります．
>次に，正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換があります(この軸は，切妻屋根の稜線の中心を通ります)．これが計3本あります．
>P(12)〜5xA4=A5

P(12)〜5xA4=A5の中で、5は５次の巡回群＝”上記の内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”で位数５
だから、位数 5・4=20のためには、A4の部分群で位数４のものを探すと・・・、”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”計3本＋恒等置換で計４！　これかなと

まとめると、
５次の線形群（位数 5・4=20）は、（A5の部分群で）A4の部分群の”正六面体の面の中心を通る軸の回りに180度回す変換”の成す群（位数４）と、”内接正六面体、五種類で、これをそっくり入れ替える置換”の巡回置換群（位数５）の組み合わせからから成る群だと

これ（>>435-436）で、A5（５次交代群）と正十二面体や正二十面体群との関係、部分群として５次の線形群（位数 5・4=20）の正十二面体の中での位置づけが見えたと思う
で繰り返しになるが、５次の線形群（位数 5・4=20）までの特殊な５次方程式ならべき根拡大で解ける>>415-416
そのときは、”V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実はV=Aa+Bb　と二つの根で十分だ”>>415という特別な場合だ
しかし、一般の５次方程式の場合は、ガロア群はS5になって、それはA5に落とるが、A5は図形的には正十二面体や正二十面体群で、これはべき根（＝巡回群）による正規拡大（＝巡回群による群の拡大列）では到達できない群になる
これが、ガロア理論のお話し的な説明なのだ

>>129
つづき

ガロアは、５次（素数次）の方程式として、コーシーの論文を引用し、５次の巡回群が必要だというボトムアップアプローチを考える
そうして、５次の巡回群のひとつ前の正規部分群が線形群になり、線形群を正規部分群を含む群は正規部分群になると展開する

それが>>128-129
これで、ボトムアップアプローチから、５次のべき根で解ける方程式のガロア群は線形群（位数20）までで、位数60の交代群A5や位数120の対称群には届かない

これば、ボトムアップアプローチからの一般５次方程式がべき根では解けないもう一つの説明だ

>>130
E.Artin(アルティン)/寺田文行・訳「ガロア理論入門」>>83
で、定理46　素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる

と述べたのち、
「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”」
「系 実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」
「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
だと。

これも、一般５次方程式が解けないという説明の一つの切り口

>>131
>「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
>「系 実数だけからなる体内の奇素数次の既約多項式がべき根で解けるときは、その既約多項式は実根をただ一つもつか、すべての根が実根であるかのいずれかである」
>「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」

余談だが
この系と例は、アルティンとは別の本んでも昔読んだ気がする（そのときは下記には気付かなかった）
が、「Kを実数体の部分体とする・・２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。」
という部分で、１の原始根は拡大体に含まれているとして、ガロア理論を展開するのが普通。とすれば、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”で、１の原始根（虚数）は？と思うんだよね

結論は正しいと思うけど、理由付けがね。例えば、アルティンは定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている
そしてその結果を用いて、線形群を導き、定理46を導いている
とすれば、”２つの実根をもつとすると、”その２根をKに付加すると実数だけならなる体が得られる”が、定理46によって、その体はf(x)の分解体である。”は違和感あり

３つの実根と２つの虚根の場合に、定理46に反するのは（１の原始n乗根は添加されている前提で）もう少し丁寧な議論を要するように思う

>>113
>２ちゃんねる素人か？
何かうまい方法でも有るのか？

640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー反日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品

�@『監査法人 (2008)』反体制・反社会

�A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会

�B『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会


日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員


テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は

>>133
>何かうまい方法でも有るのか？

いや、別に方法はないけど

”俺は仙石では無いが、荒らしのしすぎで目を付けられている。
そろそろ書く禁になるかもな。”のところがね

数学板みたく過疎っているところはどうか知らないが
そう簡単にアク禁にはならないだろうと思う

現在のルールは熟知していないが、経験的にはアク禁は個人ではなく、発信元のプロバイダー込でアク禁になったと思う
だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった

「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、そうとう大変なことで周りを巻き込むから管理者側もよほどでないとやらない
”荒らしのしすぎ”というのがどの程度か知らないが、従来のアク禁のレベルから言えば、そうとうな労力をかけてやらないと

アク禁になるのは、荒しより宣伝貼り付けが多いように思う（経験上）
２ちゃんねるでの商売（PR）は、オーナーの許可が必要だぞと

”荒し”かどうかは、なかなかムツカシイし、基本はその板やスレの住人に任されているから、「その程度は自分らで管理しろ」と思われる場合が多いだろうと
と言って、荒しを奨励しているわけじゃない

「発信元のプロバイダー込でアク禁」というのは、その個人のIDをプロバイダーへ送り付けて、「こいつをなんとかしないと、あんたのところ全員２ちゃんねるアク禁だ」とやるわけで
そいつは、発信元のプロバイダーから睨まれるってことになる。そうして、プロバイダーから「再発防止策を取りましたのでアク禁解除してください」という連絡があるまで、解除されないよと

”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと
それが結論だけど

>>135　訂正

だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてアキコが出来ないという経験はなんどもあった
　↓
だから、自分は関係なくとも巻き込まれて、アク禁にされてカキコが

>>135
他人の荒らしやほかの板と比べてどの程度か分からないが、
http://150.19.10.122/error.html
と云うメッセージが良く出る。
>”荒し”みたいな無益はことに労力使うなと
確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
今月いっぱいで止めようとは思うが。

>>137
>http://150.19.10.122/error.html
>と云うメッセージが良く出る。

うん、これはね、おいらも経験があるけど
”荒し”という内容に関する規制ではないよ

”連投禁止”みたいなものだ
おそらく、ある短い時間の間に連続して投稿（記憶では８回かな）したので（あんたの場合は荒しかな）
ちょっと頭を冷やしないさいみたいな
で、それは”目を付けられて”ではなく、（コンピュータの）機械的な処理だと思う

>確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
>今月いっぱいで止めようとは思うが。

暇だね。まあ、止める権能はおいらにはないけど
できれば、他所でやってくれると助かるね

>>137
>確かにそうだが、暇なので又、今晩やってみる。
>今月いっぱいで止めようとは思うが。

一つ忠信から忠告するが
つまらんことをしていると、リアルでそういう臭いというか影が出ることがある
人間が小さく影や隠し事のあるつまらない人間的魅力の無い人になってしまうような気がする

やるなら、人のために汗をかくことをした方がいいよ
そうすれば、人が磨かれ光る
そちらがお薦めだよ

>>139
忠告有り難う。
来週は理科大だから実質的には今週いっぱい。
それ以外にあったとしたら別人。

ああ、東京理科大か
うちの会社にも去年一人
神楽坂の辺に展示場みたいなのが・・
もう大学の準備かね
頑張ってね

>>90
>”ガロア理論とは何か？”

このページなかなか面白いし、レベル高い。参考になるよ

http://blog.livedoor.jp/calc/archives/cat_50008692.html
学校では教えてくれない数学:ガロア理論

2010年09月16日
かわったガロア理論

>>90
これも面白い

http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論　梅村　浩　多元数理科学専攻教授　名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
　方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
　ガロア理論は上に述べた歴史的難問の解決に役立っただけではない。19世紀以降の数論、代数幾何学の発展はガロア理論なくして考えられない。たとえば300年を越える眠りから覚めたフェルマの最終定理の証明もそうである。

忘れ去られたアイデア

代数方程式とならんで大切なのが微分方程式*4である。科学の多くの問題が微分方程式記述できることからもその重要性が推察できよう。
代数方程式においてガロア理論が重要な役割をはたすのを見て、リー*5はガロア理論を微分方程式に対してもつくろうという着想をもった。微分方程式のガロア理論は微分ガロア理論とよばれている。つまり、リーは微分ガロア理論をつくろうと考えた。
ところがこれは難しい問題である。その理由は2つあって、1つは理論が本質的に無限次元*6であること（略）
有限次元の理論さえなかった当時、リーは有限次元の理論からつくり始めなければならなかった。リーのアイデアの実現は20世紀の初めまで盛んに試みられたが、問題が難しいこともあって放棄され、ついには忘れ去られてしまった。
私は1996年に、20世紀初頭に活躍したフランスの数学者ヴェッシオ*7の晩年の1つのアイデアを現代代数幾何学*8と結びつけることにより、新しい無限次元微分ガロア理論を提案した。
数年後海外で話題となった。現在はこの分野の研究に注目する数学者が増えてきた。無限次元微分ガロア理論は数十年の眠りから覚めて復活したのである。
1980年代からひそかにこの分野の重要性に注目して、研究をしていた私にとって、復活のための一翼を担うことができたのは、うれしいことである。

（前スレ368より再録）
http://wind.ap.teacup.com/skreduhs/253.html
ガロア理論　なぜこの方程式は解けないか？ （さくら教育研究所）

■ガロア理論への旅　その１
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。

ところが、最近になって急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。

そして、わかってしまうと、結局は「2次方程式の解の公式」の中にすべての秘密が隠されていることに気がつかされるのである。（某大学の先生）

■ガロア、わが青春の砕けた夢

　いまでも数学というと陶然となる。もちろん高校までの受験数学や教養課程の数学ではない。今でも理解したくても出来ないのがガロア理論だ。
確かにガロアといえばその政治的人生と失恋、決闘による悲劇の最期の生涯ばかりが語られがちだ。これもやむを得ないことでガロア理論、現代数学の真のスタート、があまりに難解で読んでも聞いてもまず常人では理解不可能なしろものだからだ。

これは何もガロア理論に限らず近代から現代数学の諸天才になる数学理論の全てに妥当するがその象徴的、あらゆる意味で象徴的な存在がガロアである。
今はラインナップが整理されたようだが東京図書からは数多くの数学ジャンルの本が出版されていた。その中で「ガロア理論」を高三のとき購入し、読み始めたが余りの難しさに持っているだけの満足感を求めるしかなかった。

「ガロア、その真実の生涯」は数学自体は出てこないに等しいので誰にでも読める。だが、これでは何も理解したことにはならない。
カントールの「濃度の理論」の集合論は分かる。

だが抽象代数学は本当に難しい。
ガロアの群論からさらにリー群論となるとてんで一行も進まない。（某お医者さん）

は？ hiroyukikojimaの日記って、あの小島さん？

http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20110404/1301921889
思想としてのガロア理論 - hiroyukikojimaの日記　2011-04-04

ぼくに記事の依頼があったのは、昨年『天才ガロアの発想力』技術評論社というのを刊行したからだろう。今回の記事は、この本の最後の章に書いた「位相空間のガロア理論」を、もっと初歩から丁寧に論じた。

天才ガロアの発想力　?対称性と群が明かす方程式の秘密? (tanQブックス)作者: 小島寛之
(この本については、『天才ガロアの発想力』出ました！ - hiroyukikojimaの日記参照のこと)
http://d.hatena.ne.jp/hiroyukikojima/20100821

”最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。”か
みんな苦労しているんだ・・

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n25948
ガロア理論　を勉強中の人の役に立ちたい！４次方程式からの入門　ライター：nijicameさん（最終更新日時:2012/1/28）投稿日：2012/1/27

４次方程式の解法の紹介

関連資料（準同型、半直積等についての）　

　４次方程式の解法中で群論がどのように働いているか、群がどうのように変化しているかを行列で表現し工夫しました。

　読後、「５次対称群が可解群でないので５次方程式がこの解法の延長では解けそうもない」ことを感じ取って貰えれば、このノートの目的はひとまず達成しているかと思っています。

　最後になってですが、筆者はこの解法を書き上げて、やっとガロア理論をなんとなく分かってきたかなという状況に成りました。

攻撃開始

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>>132

（前スレ415より再録）
ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある
例えば、ガロア論文の最後の定理
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と

つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった

（前スレ407より再録）
今日はこれ。>>315>>317倉田>>4§７より
（ラグランジュの定理）
体ｋ上のｎ（＞１）次の多項式の根α１、・・・、αｎは重根を持たないとする。
α１、・・・、αｎのｋ上の有理式
β＝φ（α１、・・・、αｎ）、γ＝ψ（α１、・・・、αｎ）において
βを不変にするすべての（α１、・・・、αｎ）の置換によって、γが不変ならば、
γはβのｋ上の有理式で表される。

証明は、
デデキント、ラグランジュの論法を使う
βを不変にするSn（ｎ次対象群）の部分群をHとし、
Sn＝H＋σ1H＋・・・＋σk-1H
とする。
β1＝σ1β、β2＝σ2β、・・・、βk-1＝σk-1β とおけば、
β、β1、β2、・・・、βk-1は、Snの置換によって生じる量の全部である。
γから同様にγ1＝σ1γ、γ2＝σ2γ、・・・、γk-1＝σk-1γを作る。
このとき、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1も、Snの置換によって生じる量の全部である。
但し、γ、γ1、γ2、・・・、γk-1の中に等しいものはあり得る。
F(ｘ)＝（ｘ−β）（ｘ−β1）・・・（ｘ−βk-1）
を作ると、根と係数の関係から、F(ｘ)はｋ上の式。
F(ｘ)（γ／（ｘ−β）＋γ1／（ｘ−β1）・・・＋γk-1／（ｘ−βk-1））＝G(ｘ)
を作ると、G(ｘ)もSnの置換によって不変だから、ｋ上の式。

これから、
γ＝G(β)／F’(β) 即ち、γはβのｋ上の有理式
F’( x )＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)

（前スレ411より再録）
「１．V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント（ガロア分解式）は、”a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる”ように定めた>>28
　　だから、Vを変えない置換は恒等置換eのみ」
「３．ラグランジュの定理を補助線として、Vを見ると、Vを変えない置換は恒等置換eのみだから、Vはどんな根の有理式を持ってきても、それは必ずVの有理式で表されるという構造になっているんだ（ここポイント）」

V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントで、>>407にならって、Snの置換によって生じる量の全部
V、V1、V2、・・・、Vk-1　（k=n!）
で、元の方程式の一つの根aがa＝φ(V)という有理式で表されたとして、上記同様Snの置換によって生じる量の全部を考え
φ(V)、φ(V)1、φ(V)2、・・・、φ(V)k-1　（k=n!）
ここで、この中には同じ値のものが存在する。例えば、一般５次方程式なら根は５つ(例 a,b,c,d,e)であるから、異なる値は５で２４づつ同じ値が存在する。

F(ｘ)＝（ｘ−V）（ｘ−V1）・・・（ｘ−Vk-1）として
F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ)
φ(V)＝G(V)／F’(V)
F’(x)＝dF(ｘ)/dx (F(ｘ)の微分)

で、分かりやすく一般５次方程式で根５つ a,b,c,d,eで考える。

１．ある置換σがあって、根aがbに置換されたとする
そのとき、ガロアリゾルベントVの値が変わるがその式をVbと名づけよう
Vb＝Ab＋・・・（後の・・・は根b以外の項）

F(ｘ)（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））＝G(ｘ)　（k=5!）
で、この式の両辺に置換σを施す
この式全体は、ｋ上の有理式だから、左右両辺は全体としては変わらず等号は成り立つ
ただ、（φ(V)／（ｘ−V）＋φ(V)1／（ｘ−V1）・・・＋φ(V)k-1／（ｘ−Vk-1））の並びが変わる

φ(V)／（ｘ−V）は、φ(Vb)／（ｘ−Vb）に変わる
φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)
ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)

（つづき）

２．逆にある置換σでaが不変なら、上記の論法でφ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)は、aのまま
３．同じことが、aがc、ｄ、eに変わるときにも言える。つまり、ある置換σとそれに対応するガロアリゾルベントでのaの変化は完全に対応している
４．上記の論法（φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)）で、同じことは他の根（b,c,d,e）の全てに言えて、ある置換σにおける根の入れ替わりと、その置換に対応するガロアリゾルベントでの根の入れ替わりは同じ

なので、>>325でしたように
”f(α,β,γ)=（α−β）^2で、これを変えない置換は、（α,β）（＝α,βの互換）で変わらない式を作る
Ｖ１＝ａα＋ｂβ＋ｃγ、Ｖ４＝ａβ＋ｂα＋ｃγ（Ｖ１に（α,β）を施してＶ４に）
で、（ｘ−Ｖ１）（ｘ−Ｖ４）がそれ”

と、置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる
そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）

ここは、前述>>361のように
倉田>>4は、P119の命題２（Vの有理式の群と根の置換の成す群が（反）同型）で扱っている
>>409-412が証明になっているかどうか不明だが、分かりやすい説明にはなっているだろう

（前スレ414より再録）
補足

>ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
>つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)

ここは、
φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ−V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409
分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると
そういう見方もできる

>そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）

V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し
この順列と下記の置換が対応する
（a,b,c,・・・）
（a',b',c',・・・）
（ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください）

V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント
　↓
（a',b',c',・・・）順列
　↓
（a,b,c,・・・）置換
（a',b',c',・・・）

という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った
これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか

>>156
えーと、前スレより長々と引用したが
言いたいことは

”つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった”と

そして、ガロアリゾルベントを使う論法で、係数A,B,C・・・は、最初の体（簡単のために有理体Qとする）としてよく、方程式論の拡大体（分解体）のように１の原始根（x^n=1 の虚根）は考える必要はない
とすれば、>>132のアルティンの例ではガロアリゾルベントを使う論法の方が、１の原始根を考慮する必要がないだけ、議論は簡単になるだろうということ
（>>132で指摘したように、アルティンは分解体を導く前、定理41の証明の２．で「εを１の原始n乗根として」として証明を進めている）

>>161
アルティン>>83の例　>>131で定理46の系の下に記されている
「有理数を係数にもち、既約でしかも３つの実根をもつ５次方程式をつくることは容易である。そのような方程式はべき根で解くことはできない。例えばx^5-10-2=0」
について考える

３つの実根a,b,cと二つの虚根d,eを持つを持つとする
定理46は、「素数次の既約方程式の群Gが可解のとき、その分解体はその方程式の相異なる任意の２根を添加するだけで得られる」と

だが、ガロア論文>>4の第VIII節の定理は
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、[この方程式の]根の任意の２つがわかれば、他[の根]はそれから有理的に導かれることが必要十分である」と

このガロア原論文の表現でよければ、分解体という用語を使わない方が、１の原始根を使わなくて簡単で良い
ガロア原論文の表現でよければ、「実根を二つ選べば、虚根は有理的に導かれない」ともいえる

すまん、コテ抜けた>>156-162

割り込んですいません。かなりのボンクラですが、質問させてください。
長いので↓に書きました。迷惑だったらスルーヨロ！
http://blogs.yahoo.co.jp/waowao888car/4020261.html

>>164
乙です。面白い情報をありがとう

暗黒物質関連の数物連携宇宙研究機構というのは知らなかったが、面白そう
http://www.ipmu.jp/ja
ホームページ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%89%A9%E9%80%A3%E6%90%BA%E5%AE%87%E5%AE%99%E7%A0%94%E7%A9%B6%E6%A9%9F%E6%A7%8B
数物連携宇宙研究機構（すうぶつれんけいうちゅうけんきゅうきこう、英称: Institute for the Physics and Mathematics of the Universe、略称: IPMU）は、
数学と物理学の連携により宇宙の最も根源たる謎（暗黒物質など）の解明に挑む、東京大学総長室直属の研究機関。

>>165　つづき

”「このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。」 と書いてますが、”は、下記だね
http://www.ipmu.jp/ja/research-activities/research-program/particle-astrophysics
天体素粒子物理学 | IPMU-数物連携宇宙研究機構
（抜粋）
暗黒物質粒子の相互作用は重力以外わかっていないので、いろいろな可能性を調べなければならない。
IPMU研究者は可能性のありそうなもの、たとえば数論的暗黒物質、超対称性理論に現れるグラビティーノ、アクシオン、ステライルニュートリノ（相互作用をしないニュートリノの総称）、非対称でなおかつ崩壊するレプトンのような暗黒物質、などである。

数論的暗黒物質は中山、高橋、柳田によって提案されたエレガントで新しい可能性である。このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。
（このような理論はその名称と目的に示されるとおりの「物理学と数学」の研究所から生まれたことを付け加えておく）
（引用おわり）
その英語版が下記
http://www.ipmu.jp/research-activities/research-program/particle-astrophysics
で、Number-theory dark matter が英語のキーワード（日本語で”数論的暗黒物質”で検索してほとんど意味ある情報はヒットしない）
で、英語検索で下記ヒット
http://arxiv.org/abs/1102.4688
Number-Theory Dark Matter
Authors: Kazunori Nakayama, Fuminobu Takahashi, Tsutomu T. Yanagida
(Submitted on 23 Feb 2011 (v1), last revised 21 Apr 2011 (this version, v2))

>>166　つづき

（アブストラクト）
We propose that the stability of dark matter is ensured by a discrete subgroup of the U(1)B-L gauge symmetry, Z_2(B-L).
We introduce a set of chiral fermions charged under the U(1)B-L in addition to the right-handed neutrinos,
and require the anomaly-cancellation conditions associated with the U(1)B-L gauge symmetry.
We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained,
and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced.
The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument.
Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L).
Comments: 12 pages, no figure. v2: references added
Subjects: High Energy Physics - Phenomenology (hep-ph); Cosmology and Extragalactic Astrophysics (astro-ph.CO); High Energy Physics - Theory (hep-th)
Journal reference: Physics Letters B 699 (2011) 360-363
DOI: 10.1016/j.physletb.2011.04.035
Report number: IPMU 11-0020, TU-878, KEK-TH 1440
Cite as: arXiv:1102.4688v2 [hep-ph]
（引用おわり）

フェルマー理論との関係：
”We find that the possible number of fermions and their charges are tightly constrained,
and that non-trivial solutions appear when at least five additional chiral fermions are introduced.
The Fermat theorem in the number theory plays an important role in this argument.
Focusing on one of the solutions, we show that there is indeed a good candidate for dark matter, whose stability is guaranteed by Z_2(B-L). ”

あとは仕事から帰ってから

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　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
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テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな

>>166-168

論文のPDFが見つかった（下記）
http://www.citebase.org/abstract?id=oai%3AarXiv.org%3A1102.4688
で、本文を読むと、P9で
”Importantly, the Fermat theorem excludes the case of n = 3, which have forced us to consider n > 3.”と出てくる
P7で
”In the case of three new fermions (n = 3), we can easily see that there is no solution to Eq. (4), by noting the famous Fermat theorem in the number theory [7].”
”[7] A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 443 (1995); R. Taylor and A. Wiles, Annals of Mathematics 141, 3, 553 (1995).”

ところがだ。Eq. (4)というのがZ1^3+Z2^3+Z3^3=0って・・・、それWilesを引用する？？？

>>172

Z1^3+Z2^3+Z3^3=0は、もともとオイラーさんが証明していたでしょうよ
（因みに、オイラーさんも”おいら”と言っていたんだぜ、きっと）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
n = 3 ：オイラー
オイラーは1753年にゴールドバッハへ宛てた書簡の中で n = 3 の場合の証明法について言及し、1770年に刊行した著書でそれを明らかにした。
ただし、この証明は虚数のレベルまで因数分解を行ったものであったが、虚数のレベルまで因数分解をすると様々な複素数の積に分解できてしまうという不備があったので、のちに補正された。
（引用おわり）

まあ、軽い冗談なんだろうな

>>167
U(1)B-Lとか分からんだろうな（おいらも分からんかった）

下記ご参照
http://en.wikipedia.org/wiki/B%E2%88%92L
In high energy physics, B ? L (pronounced "bee minus ell") is the difference between the baryon number (B) and the lepton number (L).

DetailsThis quantum number is the charge of a global/gauge U(1) symmetry in some Grand Unified Theory models, called U(1)B ? L.
Unlike baryon number alone or lepton number alone, this hypothetical symmetry would not be broken by chiral anomalies or gravitational anomalies,
as long as this symmetry is global, which is why this symmetry is often invoked.
If B ? L exists as a symmetry, it has to be spontaneously broken to give the neutrinos a nonzero mass if we assume the seesaw mechanism.
The gauge bosons associated to this symmetry are commonly called X and Y bosons.

The anomalies that would break baryon number conservation and lepton number conservation individually cancel in such a way that B ? L is always conserved.
One hypothetical example is proton decay where a proton (B = 1; L = 0) would decay into a pion (B = 0, L = 0) and positron (B = 0; L = ?1).

Weak hypercharge Y
W is related to B ? L via:

X + 2Y
W = 5(B ? L)
where X is the U(1) symmetry Grand Unified Theory-associated conserved quantum number.

>>174 つづき

http://en.wikipedia.org/wiki/Left-right_model
Left?right symmetry is a general principle in physics which holds that valid physical laws must not produce a different result for a motion that is left-handed than motion that is right-handed.
The most common application is expressed as equal treatment of clockwise and counter-clockwise rotations from a fixed frame of reference.

The general principle is often referred to by the name chiral symmetry.
The rule is absolutely valid in the classical mechanics of Newton and Einstein, but results from quantum mechanical experiments show a difference in the behavior of left-chiral versus right-chiral subatomic particles.

Particle PhysicsIn theoretical physics, the electroweak model breaks parity maximally.
All its fermions are chiral Weyl fermions, which means that the weak gauge bosons only couple to left-handed quarks and leptons.
Some theorists found this objectionable, and so proposed a GUT extension of the weak force which has new, high energy W' and Z' bosons which couple with right handed quarks and leptons.
（この後が面白いが、数学記号が複雑なので省略する）

>>175　つづき

http://en.wikipedia.org/wiki/Grand_Unified_Theory
A Grand Unified Theory, (GUT), is a candidate model in particle physics in which at high energy,
the three gauge interactions of the Standard Model which define the electromagnetic, weak,
and strong interactions, are merged into one single interaction characterized by one larger gauge symmetry and thus one unified coupling constant.
In contrast, the experimentally verified Standard Model of particle physics is based on three independent interactions, symmetries and coupling constants.

Models that do not unify all interactions using one simple Lie group as the gauge symmetry,
but do so using semisimple groups, can exhibit similar properties and are sometimes referred to as Grand Unified Theories as well.

Unifying gravity with the other three interactions would provide a theory of everything (TOE), rather than a GUT. Nevertheless, GUTs are often seen as an intermediate step towards a TOE.

As of 2012[update], all GUT models which aim to be completely realistic are quite complicated, even compared to the Standard Model, because they need to introduce additional fields and interactions, or even additional dimensions of space.
The main reason for this complexity lies in the difficulty of reproducing the observed fermion masses and mixing angles.
Due to this difficulty, and due to the lack of any observed effect of grand unification so far, there is no generally accepted GUT model.
（この後が面白いが、数学記号が複雑なので省略する）

>>164
ブログ削除されたか？・・・
まあ良い

>>166
”このような暗黒物質粒子の安定性は基本的な数論とフェルマー理論に関連する新しい対称性によって引き起こされる。”って
ご冗談でしょうフェルマーさん・・だな

>>162
本題に戻る

>３つの実根a,b,cと二つの虚根d,eを持つとする

分解体という用語を使わないガロア原論文の表現の方が、１のべき乗根を入れたくないときは、議論がシンプルだと思う
それから、３つの実根a,b,cと二つの（共役な）虚根d,eを持つ場合、ガロア群は線形群では収まらないということを直接導けるような気がする
（どうすれば良いか浮かんでいないが）

>>161
>V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント

なぜガロアはこんなものを考えたのか？を考えて見た
ガロアリゾルベントの前に、ラグランジュの分解式があった>>1

ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式
ガロアは、最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？
だが、結局係数を１の（虚数）累乗根という制約を外しても、５次方程式は解けなかった
そこから、ガロア群へ発展したのでは・・

>>1
レスどうもありがとう！
ってか何でブログ削除されてんだろ？
何かのカテゴリーに何時間か以内に入らないと消えるシステムになってんの？
それとも人のアドレスを勝手に貼ったからかなあ…気味悪

>>179
違うよ

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>>180
ども

>ってか何でブログ削除されてんだろ？
>何かのカテゴリーに何時間か以内に入らないと消えるシステムになってんの？

おそらくルールは公開されていると思う
どこかに書いてあるんじゃないかな？
探して読んで見たらどうか

>>181
この書きっぷりは、その１で出てきたお方かな
どこが違うと？

ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式で、元の体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式で根の置換をすると一般５次方程式でも異なる１２０の値を持つ
とすると、ラグランジュの分解式はガロアリゾルベントの一種と考えることもできるだろう

とすれば、体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式を使ってもガロア論文と同じ論法は展開できるのでは？
とすれば、わざわざラグランジュの分解式を使わずガロアリゾルベントにする意味は？
　↓
ガロアは、最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？と考えたのだが・・

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現代数学はガロアから始まった・・

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
ガロア理論（ガロア-りろん、Galois theory）は、基本的には代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する代数学の理論をさす。
1830年代におけるエヴァリスト・ガロアによる代数方程式のべき根による可解性などの研究に端を発しているためこの名前がつけられている。
数学的構造についての最も初期の研究であり、圏と関手の考え方を含むような非常に現代的なパラダイムにもとづく理論だと見なされている。
実際にガロアは、方程式の研究において未知であった群や体の考えを用いていた。現代の代数学はこの理論から始まった。
ガロア理論を、方程式だけでなくそれの元になった初期の基本的な代数まで含めてもよいだろう。

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>>187
つづき

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
歴史

ガロアは1832年の（死の原因となる）決闘の前日に、友人のオーギュスト・シュヴァリエに宛てて、ガロア理論と楕円関数論に関する数学的業績を要約した手紙を書いた。
その後、1846年になって、リューヴィルがガロアの功績を知って自分の雑誌にガロアの論文集を掲載したことで、多くの数学者が刺激を受けることになった。
デデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[1]。早い時期に、ベッチ、クロネッカー、ケイリー、セレは群概念を厳密化していった。
カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された『置換と代数方程式論』 (Traite des substitutions et des equations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。
また、デデキントとウェーバーは1882年に代数関数体とリーマン面の代数的理論を構築した[1]。

ソフス・リーによって導入されたリー群はガロア理論の類似を微分方程式に対して確立しようという試みの中から生まれたとされている。
その後、エミール・アルティンによってガロア理論の線型代数学的な定式化が追求された。
アレクサンダー・グロタンディークによって圏論的な定式化と数論幾何・代数幾何への応用が押し進められた。

640 名前：名無しさん＠１２周年[] 投稿日：2012/02/18(土) 15:05:47.13 ID:sskgsjsc0 [2/2]
『平清盛』プロデューサー在日朝鮮人　磯智明（反日・天皇制度廃止論者）のプロデュース作品

�@『監査法人 (2008)』反体制・反社会

�A『最後の戦犯 (2008)』反日・天皇制度廃止・反体制・反社会

�B『リミット -刑事の現場２- (2009)』反体制・反社会


日本放送協会 、、 〒150-8001 東京都渋谷区神南2-2-1
韓国放送公社(KBS) 〒150-0041 東京都渋谷区神南2-2-1NHK東館710-C　←よく痴漢やヤクで捕まるのはここの工作員


テレビが言えない民主党のスポンサー=韓国北朝鮮
あとはもうわかるよな
民主党は、朝鮮人だらけ。
野田はどうだろうか。韓国人の集いに出席し、韓国人暴力団から賄賂を貰っている野田は

>>189

下記がなかなか面白い
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
外部リンク
フランス語の原文とドイツ語、イタリア語、英語の翻訳：
http://www.galois-group.net/

http://www.galois-group.net/g/EN/theory.html　というのがあって、”Prof. James Milne for allowing us to mirror his splendid course notes "Fields and Galois Theory". ”で
http://www.jmilne.org/math/ へ行くと
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html Fields and Galois Theory - J.S. Milne Top から、v4.22 (March 30, 2011).が最新版

>>191
J.S. Milneさんか、どこの大学かな？

http://www.jmilne.org/math/
Mathematics Site - J.S. Milne (since 1996)

What's New in Articles
?Nov 11, 2009. New version of Points on Shimura varieties over finite fields: the conjecture of Langlands and Rapoport 2008b

What's New in Course Notes
?March 7, 2012. Major revision of Affine group schemes, Lie algebras, reductive groups, ....
?September 16, 2011. Algebraic Number Theory and Group Theory now available for ereaders

What's New in Expository Notes
?March 18, 2012. The Work of John Tate For Abel prize volume.
?May 13, 2011. TeXed version of Tannakian Categories (with Deligne)

http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/lec.html　Lectures on Etale Cohomology

>>192

http://www.jmilne.org/　写真が綺麗

http://www.jmilne.org/math/tips.html
If you write clearly, then your readers may understand your mathematics and conclude that it isn't profound. Worse, a referee may find your errors. Here are some tips for avoiding these awful possibilities.
1.Never explain why you need all those weird conditions, or what they mean. For example, simply begin your paper with two pages of notations and conditions without explaining that they mean that the varieties you are considering have zero-dimensional
（面白い人だね）

大学がよくわからないが、時間がないのでここまで

>>192
> http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/lec.html　Lectures on Etale Cohomology

補足：上記を引用したのは、下記があったから
おーい、加藤和也！　名指しされているぞー！
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%9B%E3%83%A2%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC
現在エタール・コホモロジーについて書かれた体系的な日本語文献は出版されていない。岩波書店の現代数学の展開から出版予定であるが数年間延期されたままになっている。（執筆者は加藤和也）

・・と、 シカゴ大学数学科教授か、日本語書いている時間がないかね？ 愛光出身か、四国の名門だね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%A0%E8%97%A4%E5%92%8C%E4%B9%9F_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
1970年 - 愛光高等学校卒業
2009年 - シカゴ大学数学科教授に就任

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%84%9B%E5%85%89%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E3%83%BB%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1
ドミニコ会を設立母体とし、カトリック精神に基づいて「愛 (Amor) と光 (Lumen) の使徒」たる「世界的教養人」を育成することを目標としている。
開校以来、男子校であったが、創立50周年に当たる2002年度より共学化を実施。2005年2月には、初めての女子生徒を送り出した。
全国でも有数の進学校であり、全国各地から生徒を集め、学園構内にある寮には多くの生徒が寄宿している。

>>194
>・・と、 シカゴ大学数学科教授か、日本語書いている時間がないかね？

ビジネス的には、なにか仕掛けをつくらないと動かんよ
シカゴ大学で、講義する。そのテキストと講義録を元に、だれか日本にいる人がテキストを作る
加藤和也と共著にするか、加藤和也監修にするか
まあ、岩波も名門だけどのんびりしているからな・・

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E6%9B%B8%E5%BA%97
1913年（大正2年）8月5日、岩波茂雄が東京市神田区南神保町16番地（現・東京都千代田区神田神保町）に開いた古書店として出発。正札販売方法を採用し、注目を集めた。
翌1914年（大正3年）に夏目漱石の『こゝろ』を刊行し、出版業にも進出。漱石没後に『夏目漱石全集』を刊行し、躍進する。看板は漱石の筆による。
多くの学術書を出版するだけでなく、岩波文庫や岩波新書を出版するなどして古典や学術研究の成果を社会に普及させることに貢献。文化の大衆化に多大な影響を与えた。昭和時代にはしばしば、大衆的な路線を貫く講談社と対比された。
戦前には、いわゆる共産主義講座派の拠点であった。

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>>193
>大学がよくわからないが、時間がないのでここまで

どうもシカゴ大みたいだが
その前にこんなのが・・・

http://www.e-booksdirectory.com/mathematics.php
Free Mathematics Books

Here is an alphabetical list of online mathematics books, textbooks, monographs, lecture notes, and other mathematics related documents freely available on the web.
I tried to select only the works in book formats, "real" books that are mainly in PDF format, so many well-known html-based mathematics web pages and online tutorials are left out.
Click here if you prefer a categorized directory of mathematics books. The list is updated almost on a daily basis, so, if you want to bookmark this page, use the button in the upper right corner.

005. Lectures on Stochastic Processes
K. Ito | Tata Institute of Fundamental Research （伊藤清？）
Published in 1960, 207 pages
（新しそうなところで）
006. Theory of the Integral
Brian S. Thomson | ClassicalRealAnalysis.com
Published in 2012, 330 pages

010. Geometry and Group Theory
Christopher Pope | Texas A&M University
Published in 2008, 181 pages

013. Group Theory
J. S. Milne |
Published in 2009, 127 pages

014. Introduction to Topology
Alex Kuronya |
Published in 2010, 102 pages

>>197
”J. S. Milne taught at the University of Michigan between 1986 and 1999”だと
いまは？と思うが、まあこの程度で

（このサイトもなかなか面白いよ）
http://mathforum.org/library/topics/fields/
The Math Forum - Math Library - Fields

All Sites - 8 items found, showing 1 to 8
２．Course Notes - J. S. Milne
Full course notes in dvi, pdf, and postscript formats for all the advanced courses J. S. Milne taught at the University of Michigan between 1986 and 1999:
Group Theory; Fields and Galois Theory; Algebraic Number Theory; Class Field Theory; Modular Functions ...more>>

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>>185
補足

>ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式で、元の体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式で根の置換をすると一般５次方程式でも異なる１２０の値を持つ
>とすると、ラグランジュの分解式はガロアリゾルベントの一種と考えることもできるだろう

一つ確かに言えることは、V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベント>>161は、ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式の一般化（拡張）になっている
現代のガロア理論を知る我々の目から見れば、体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式を使ってもガロア論文と同じ論法は展開できる

だが、ガロアの時代の人から見れば、ラグランジュの分解式＝１の（虚数）累乗根のべきを係数とした式を使っても、そこに疑問を挟まれる余地がある（別の係数の式ではどうなる？と）
そこで、V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントで係数A、B、Cは任意だとして理論を展開すれば、ここに疑問を挟まれる余地がなくなるので、理論としてはすっきりする。そういうメリットはある

ただ、ガロアの思考としてはV=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントでラグランジュの分解式以上の何かが出ないかと少しは考えたのではないだろうか
でも、何も出ないということは、ガロアにはすぐ分かったことと思う。そして、それをガロア理論の展開の基礎に据えたと

>>20
さて、今日はこれ

（引用開始）
”３．ガロア分解式と置換群のガロア記法との対応

（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,

注)V''*は、Vにダッシュ'がn-1個ついたもの（アスキーでは添え字が表現できないので）”
（引用おわり）

「　V=Aa+Bb+Cc+・・・
　a,b,c・・・は、（重根を持たない）で問題の方程式の根、A,B,C・・・は根の置換で異なる値をとる」>>19

普通の素直な発想は、V=Aa+Bb+Cc+・・で、根（a,b,c・・・）の置換（a',b',c'・・・） (aa',bb',cc'・・・)

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>>201　スマソ途中でカキコになった

つづき
普通の素直な発想は、V=Aa+Bb+Cc+・・で、根（a,b,c・・・）の置換（a',b',c'・・・） (説明：aをa',bをb',cをc'・・・に置換）するとして、単純にV'=Aa'+Bb'+Cc'+・・とすれば良いじゃないかと
それを複雑に、Vの有理式による根（a,b,c・・・）を考えて、a=φV,b=φ1V,・・・・,e=φm-1V, (注：５次方程式を想定して最後の根をeとしたが、当然さらなる高次の方程式も考えることができる)

（注：なお、>>4の守屋注釈にあるように、φV,φ1V,・・・・,φm-1VはVの有理式という意味で、現代ではφ(V),φ1(V),・・・・,φm-1(V)と書かれるべき）
と、Vの有理式を経由して、置換（a',b',c'・・・）とV'=Aa'+Bb'+Cc'+・・とを結びつけている

その理由はなんだ？
おそらく、部分群を考えるときや最後の定理>>161　”根の任意の二つがわかれば・・・”を意識しているのだろう

”（V）| φV,φ1V,・・・・,φm-1V,
（V'）| φV',φ1V',・・・・,φm-1V',
（V''）| φV'',φ1V'',・・・・,φm-1V'',
・・・・|･･････・・・・・・・・・・・・・・・・・
（V''*）| φV''*,φ1V''*,・・・・,φm-1V''*,”
の形で、Vの有理式を経由して置換とガロアリゾルベントVとを結び付けておけば、（V）、（V'）、（V''）、・・・・、（V''*）の個数が即、置換の個数だということが分かる
つまり、普段一般の置換を考えるときは置換（a',b',c'・・・）→V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・という直感的な扱いで良いが、>>161のような場合に「実は方程式のガロア群は、Vの値がn(n-1)しか異なる値を取らない」というときに、ガロア群の位数＝n(n-1)が直ちに出る

そんなことで、Vの有理式を経由して置換とガロアリゾルベントVとを結び付けておくことで、理論展開が数学的にしっかりしてくると
ガロアは考えたのではないだろうか

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>>203
つづき

>そんなことで、Vの有理式を経由して置換とガロアリゾルベントVとを結び付けておくことで、理論展開が数学的にしっかりしてくると
>ガロアは考えたのではないだろうか

補足
代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol著 新妻　弘訳 ”付録：ガロアによる置換群の表現”>>39
P311にガロア論文>>4の部分訳がある

Tignolの訳は、守屋の訳とは少し異なっている
というか、Tignolを訳した新妻　弘の訳し方が違うのかも知れない

どちらが正しいかは判断できないが、守屋の訳もあまり分かりやすい文にはなっていないが
TignolのP311の「導入における基本的な考え方からの引用」は
P307の注釈で、「順列」と「代入」（＝置換の意味）とを用いるとしておきながら、「代入」と「置換」という用語を使っている。守屋の訳では、Tignolで「置換」のところが「順列」となっている。どうもここは守屋が正しいようだ

>>205
補足

ガロア論文>>4のP32で、「注解２．　なお、置換は根の個数に無関係である。」と訳されていて、なんの解説もないがこれだけでは意味が通らない
一つの解釈は、５次方程式で、根は５つだが、ガロア群が長さ５の巡回置換（＝５次の２項方程式）の場合、置換群の位数は５だが、一般の５次方程式の位数は120で（最後に出てくる線形群は位数20）、置換群はいろいろケースで異なるということを言いたかったのかも

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>>203
>普通の素直な発想は、V=Aa+Bb+Cc+・・で、根（a,b,c・・・）の置換（a',b',c'・・・） (説明：aをa',bをb',cをc'・・・に置換）するとして、単純にV'=Aa'+Bb'+Cc'+・・とすれば良いじゃないかと
>それを複雑に、Vの有理式による根（a,b,c・・・）を考えて、a=φV,b=φ1V,・・・・,e=φm-1V, (注：５次方程式を想定して最後の根をeとしたが、当然さらなる高次の方程式も考えることができる)
>その理由はなんだ？
>おそらく、部分群を考えるときや最後の定理>>161　”根の任意の二つがわかれば・・・”を意識しているのだろう

「置換（α,β）（＝α,βの互換）を考えて、それをベースに素直に（ガロア論文にある根の有理式を経由しないで）ガロアリゾルベントで直接根の置換を考えて良いということになる
そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）」
と、>>157-160で書いた

単に置換とガロアリゾルベントVとの対応だけなら、率直な発想で良い
だが、５次で巡回群（位数５）や線形群（位数20）を考えると、ガロアリゾルベントVの取る異なる値の数は減って、5個あるいは20個になる（一般の120個の式で同じ値を取るものが出てくる）
そういう視点で見ると、ガロアリゾルベントというのは方程式論だけで言えば、スグレものの発明だったと

もちろん、現代数学への発展という視点からは、群論と体論との組み合わせによるガロア理論が大事なんだが
こういう切り口もあるということを知っておくと
ガロア理論への理解も深まるだろう

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倉田令二朗がガロアを読む: 第1論文研究>>6の序論の「5.文献」で「[守屋]はは現代的理論による強引な解説という立場であって、・・・、しかしそれは徹底したもので、結局たいへんお世話になった」とある
同感だ。[守屋]の解説は、現代数学目線で、ガロアの論文を理解しようという視点は薄い。だから、[守屋]の解説を読んでも、原論文の意味がなかなか取れなかった

もしそうでないなら、倉田令二朗があとがき>>6で、「他の多くの人達と同様、私はなんとか古典を理解したい思いにかられ、過去何度も挑戦して挫折した経験がある。最近共同作業のおかげでようやくガロア第I論文し得て原稿化したが・・」と書くこともなかったろう
（前スレ633にも書いたが）（倉田令二朗にしてこれだから、普通の人は挫折して当然なのだろう>>1）

なお、ガロア第I論文を理解しようとするなら、守屋>>4に加えて倉田>>6とJean-Pierre Tignol>>39と、あと中村>>2を併読すべし

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（前スレ398より再録）
Maximaを使っているこんなページもあった

http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/perm/glgrp.htm
Galois 理論の数値実験

最後に
多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。人間の抽象化能力は具体的事実とのペアで働きます。具体例を伴わない抽象化は無意味です。論理だけでは抜けが入り込むからです。
（引用おわり）

同じ人が、こんなページも
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/perm/BasicThry.htm
Galois の基本定理の証明と sf による数値実験

で、sf というのが下記Python sfというソフト
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/index.htm
python sf による群論：群電卓・・これもなかなか面白いね
http://www.nasuinfo.or.jp/FreeSpace/kenji/sf/pysf/math/group/group.htm
python sf は、普段のメモ書き数式そのままを計算させてたくて作りました。その python sf は 群論での数式にも使えます。

理科大の準備出来ているか？

>>39
>代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol著 新妻　弘訳 A5，360頁，3200円

新妻　弘先生は、東京理科大だな。もし会ったらよろしくな。研究室に挨拶に行くと喜ぶと思うよ
http://m2server.ma.kagu.tus.ac.jp/math2/niitsuma/index.html
新妻研究室
http://jglobal.jst.go.jp/public/20090422/200901040603914678
J-GLOBAL - 新妻　弘 【研究者】

>>213
>多くのGalois 理論の教科書は抽象的過ぎると考えます。
>人間の抽象化能力は具体的事実とのペアで働きます。
>具体例を伴わない抽象化は無意味です。
>論理だけでは抜けが入り込むからです。

これは2chの住人の大部分が賛成するだろ。
天邪鬼な俺はこのように大多数が賛成するときに逆に警戒する。
具体例というのは難しい場合が多いのだよ。
抽象化とは具体例の本質的でない難しさを取り除いて単純化することでもある。
だから一般に具体的なものより抽象的なもののほうが簡単。
例えば Gauss のDisquisitiones Arithmeticaeは非常に具体的であるが難解である。

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（前スレ446より再録）
http://sugakujuku.blog109.fc2.com/blog-category-2.html
びっくり数学島 日記

習うときはタンタンと
2011-09-26 Mon

しばらく前に仲間に言われたこと．

できあがった理論や，他人が研究で新しく編み出したテクニックを習得するときは，何てすごいアイディアなんだ！と驚嘆したり感動したりせず，
「フーン，そうやればいいのか．」と冷静に，当たり前のように受け止めたほうがよいらしい．
なぜなら，それをスゴイ理論だと思うほど，自分には難しくて使いこなせないのでは，という心理的な壁ができてしまうから．うーんなるほど，そうだなぁと思った．
（引用おわり）

１．使いこなす過程で理解を深める（理解して使うのではなく、使って理解する。（驚嘆したり感動したりはそのあとでも可）
２．理解できなくとも、先に進むべし。先に進むと、「ああ、あの時のはこれか」と理解できることが多い
３．一冊の本で止まらない。誤記誤植もある。分からないところは別の本で確認すべし
４．一段高い立場に上がってみる。例えば、微分積分が十分理解できないところがあっても、微分方程式とその解法を勉強すると、「微分積分はこういうことか」と微分方程式を通した理解ができるはず
５．遠慮なく巨人の肩の上に登れ。ガロアも先人の肩の上で仕事をした

>>215
Kummerさん、乙です

>天邪鬼な俺はこのように大多数が賛成するときに逆に警戒する。
>具体例というのは難しい場合が多いのだよ。
>抽象化とは具体例の本質的でない難しさを取り除いて単純化することでもある。
>だから一般に具体的なものより抽象的なもののほうが簡単。

それは一理あるね
下記の岡潔の発言について、広中がどこかに書いていたが
広中は、一般の場合がむつかしいからとどんどん制限を付けて具体的な範囲で「これなら解ける」と発表した
岡潔がいわんとしたのは、もっと問題を抽象化一般化して、その問題を一部として含むところまで抽象化すべしということでは無かったかと
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%83%E4%B8%AD%E5%B9%B3%E7%A5%90
広中 平祐（ひろなか へいすけ、1931年4月9日 - ）は日本の数学者。日本人で2人目のフィールズ賞受賞者である。専門は代数幾何学で、フィールズ賞受賞対象の研究は「標数0の体上の代数多様体の特異点の解消および解析多様体の特異点の解消」。
多様体特異点の解消問題を、制限条件を付けて学会発表した。その時、岡潔が立ち上がり、問題は一般的に制限なしで解かなければ解けないと言った。その後、広中は制限なしで解き、フィールズ賞の成果となる。
（引用おわり）

この例としては、ポアンカレ予想をさらに一般化したサーストンの幾何化予想があると言われる
ポアンカレ予想をその一部として含む幾何化予想まで拡張したことで、（３次元）幾何化予想の証明→ポアンカレ予想の解決となった

ただ、抽象から具体例、具体例から抽象化の、行ったり来たりも必要だと思うんだ

>>208

ああ、こんなページが・・、なにかのご参考に
http://teenaka.at.webry.info/200608/article_28.html
「ガロアと群論」＿�W．方程式の群（１） T_NAKAの阿房ブログ 2006/08/27

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（前スレ509より再録）
http://www.kishimo.com/math/Galois.html
アルティン「ガロア理論入門」を読む
文庫本が出たのをきっかけに，30年前から読みたかった「ガロア理論入門 (ちくま学芸文庫)」を読む決心をしました。
（引用おわり）

http://www.kishimo.com/math/Galois.html
残り１４７ページ。

毎日1ページずつ読めば5か月弱で読み終えますが，果たして…。

読んだところまでの定理一覧
2010/09/10 064〜066　39　定理13とその系の行間を補完したものを，別ページに書いておきます。
（引用おわり）

批判するわけじゃないが、こんな読み方は止めた方が良い（特に本格的に勉強しようという人は）
やるなら”わんこら式”>>99
”最初に30秒ぐらいで出来た範囲をすぐに7周ぐらい繰り返す感じでやります。

1,最初の周は問題も解答も意味わからんわ〜って感じで読むだけで超高速で終わらせます。
2,またその範囲を、意味や理解などすぐに拾えるものだけ拾って一周します。”

数学書なら、まず前書きと目次、序論、後書きまでを読む（30分程度）
次に、ページをめくる。目次を見て、面白そうなところ、結論（山頂に当たるところ）は何かをつかむ（１時間前後）
その後、この本が教書で試験に出るとか自分が理解して使わなければならないなら、”わんこら式”でまず１周

試験なら過去問を把握しておく。使わなければならないなら、自分が適用する問題を理解し、どこが使えるかを考えながら読む
そうやって、早く２周３周する。ここで、”わんこら式”を継続するか、分からないところを人に聞くか、別の本を読むかなど考える

”わんこら式”を知る前からこんなことはやっています
というか、個人的には”わんこら式”をさらに省略して、面白そうなところをつまみぐいしています

>>213
補足

ここで言いたかったのは、Python sfというソフト
これからは、ソフトを使わないと世界では通用しないだろうと。早く自分が使う良いソフトを手に入れて使いこなすこと。さらに、Python sfなどの自分で作る世界も経験した方が良いだろうと

>>218
>ただ、抽象から具体例、具体例から抽象化の、行ったり来たりも必要だと思うんだ

佐藤幹雄がソリトン理論を作るときに電卓を使って膨大な数値計算をしたらしい
そもそも、ソリトン理論の発展と数値計算は不可分
http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/lectures/koukaikouza/text.pdf
ソリトン　〜 不思議な波が運んできた，古くて新しい数学の物語〜　九州大学大学院数理学研究院梶原健司

1.4 大ブレーク!
Miura3 は手計算でKdV 方程式(2) の保存量を13 個求め4，最終的に保存量が無限個(!) あることを示しました．

広田はこの方法を駆使して，各個撃破的にたくさんのソリトン方程式の解を求めたり，また新しいソリトン方程式を
構成して見せたり，ソリトン方程式の解の変換理論を作ったりして，爆発的に研究を進めていきます．どうやら，広田
自身には「双線形形式こそがソリトン方程式の本質だ」という，極めて先駆的な確信があったようです．
そして1981 年，広田の確信がソリトン方程式の根本を突いていることに気が付いたのは，同じく独創的な数学者と
して名を知られていた佐藤幹夫でした．

3 ソリトンが運んできた数学
佐藤理論は多くの研究者が追い求めていた「からくり」を一挙に明らかにしました．1981 年に佐藤理論が発表さ
れた後は，研究者たちは別の研究に移り，ちょうど大騒ぎした祭りの後のような状況だったということです．文献[7]
の冒頭の対談では，ちょうどその頃大学院生だった方が「気がつくと周りには誰もいない感じがしたものです」と発言
されています．しかし，文献[7] は1997 年に出版されており，タイトルも「ひろがる可積分系の世界」(可積分系とは
ソリトン方程式のような意味で解ける方程式を言います) です．実は，「ソリトン的からくり」はさまざまな新しい数
学を内包していたのですね．

>>222
補足

下記は九州大学大学院数理学研究院梶原健司氏と神戸大の方（都合で省略）の共著だが
数式処理を使っている
それと、Gaussの超幾何函数が「親玉」だと
Gaussの超幾何函数を昔見たとき、？？？だったけど、「親玉」だと言われると、ああそうかとなんとなく納得してしまう
”理解できなくとも、先に進むべし。先に進むと、「ああ、あの時のはこれか」と理解できることが多い”>>217の例

http://gandalf.math.kyushu-u.ac.jp/~kaji/preprint/hyper.pdf
q-Painlev´e 方程式の超幾何解
九州大学大学院数理学研究院梶原健司(Kenji Kajiwara)
(Graduate School of Mathematics, Kyushu University)

解として現れる超幾何函数は方程式の退化図式(図1) に対応して，図2 のようになっている．PVI の解として現れるGaussの超幾何函数2F1 は，
言うまでもなく物理数学などで現れるさまざまな特殊函数の「親玉」である．では，図1で点線に囲まれていない部分のうち，
右端の3 種類(超幾何解は存在しないと予想される) を除くWeyl 群対称性をもつq-Painlev´e 方程式の超幾何解としてどのような函数が現れるのであろうか．

2.2 何が難しいのか
適当なq-Painlev´e 方程式について実際に実行してみると，(30) の第1,3
項の係数は通常1 次式に因数分解されているが，第2 項が因数分解されていない巨大な式になる(例えばE(1)8 型の場合100 項をはるかに越える)．

さて，数式処理を用いれば(72)-(76) に対して上の手続きはそう困難なく実行することができる．

楕円Painlev´e 方程式を何とか書き下して超幾何解を構成し，2 階の
線形方程式で記述される超幾何函数の「親玉」として楕円超幾何函数10E9 が現れることを示したのが[22] である．

>>221
訂正

その後、この本が教書で試験に出るとか自分が理解して使わなければならないなら、”わんこら式”でまず１周
　↓
その後、この本が教科書で

>>222
訂正

佐藤幹雄
　↓
佐藤幹夫
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)

>>217
> ５．遠慮なく巨人の肩の上に登れ。ガロアも先人の肩の上で仕事をした

ガロア第一論文>>4でも、ラグランジュの分解式が引用されている。第V節と第VII節の２箇所
このラグランジュの分解式の使い方は、ラグランジュと同じである（これについては、下記小杉か代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre TignolのLagrangeのところをご参照）

ガロア第一論文の補題IIIのところで、アーベルの楕円関数に関する遺稿に言及している
第VII節で「二項方程式に対するガウス氏の方法」と言及している

つまり、ガロアはラグランジュ、アーベル、ガウスといった巨人たちの肩の上に乗って仕事をしたのだ
もちろん、巨人たちの肩の上に乗ること自身大変なことなのだが、ともかく遠慮なく巨人の肩の上に乗れ

（前スレ143より再録）
さて、今日の本題は、「数学史 (数と方程式)」小杉肇
このP118にLagrangeの方程式論が詳しく書かれている
日本語の文献としては、Lagrangeの方程式論がもっとも詳しく書かれていると思う

http://mail2.nara-edu.ac.jp/~kawaken/zemi_kawaken.html
平成 13 年度は数学史を学生のみんなと一緒に勉強しました。教科書として「数学史 (数と方程式)」小杉肇, 槙書店, をゼミのみんなで輪読しました。
そのあと、各自興味のあるところをつっこんで探求してもらいました。

http://www.jbook.co.jp/p/p.aspx/1159113/s
数学史（数と方程式） 数学選書 小杉　肇
発行年月：1973年06月 発売元：槙書店

　　　　　　　　　　　 気
　　　　　　　　　あ　　を
　　　　　　　　　の　　付
　　　　　　　　　民　　け
　　　　　　元　 主　　.ろ
　　　　　　朝 　党
　　　　　　鮮 　.員
　　　　　　人
　　　圖　
　 ∧＿∧
　（　´∀｀）
　（　 ○　）


280 名前：名無しさん＠１２周年[sage] 投稿日：2012/01/13(金) 12:26:01.31 ID:sGoAT50E
三年前ごみんすに投票した連中、今どんな気持ち？
287 名前：名無しさん＠１２周年[sage] 投稿日：2012/01/13(金) 12:27:00.18 ID:P8V2Yy+50
>>280
橋下様なら何とかしてくれるとお経上げてるよ。


09年の選挙では　民主なら誰でもよかった　
今度の選挙では　維新なら誰でもよかった
幾らB層でも流石にこうはならないな

>>226
補足

>つまり、ガロアはラグランジュ、アーベル、ガウスといった巨人たちの肩の上に乗って仕事をしたのだ

いま気付いたが、ガロア第一論文>>4のP27補題Iの前に
「方程式 (x^n-1)/(x-1)=0、ここでｎは素数
　にガウス氏の補助方程式の１つの１根を添加するとき・・」と書かれている

これは明らかに、代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol>>39の「第12章 ガウスの円分方程式」のP200 「12.5 べき根による可解性」で用いられるラグランジュ分解式のことに違いないだろう
ラグランジュ分解式は、ガウスを通じて知ったのかも知れない
が間接としてもラグランジュの肩の上という上記結論はそのままで良いだろう

こんなのがあった

http://leonhardeuler.web.fc2.com/documents/column9.html
私のオイラーとの出会い　オイラー研究所名誉所長　佐々木　力　（SASAKI Chikara, Honorary Director of the Euler Institute in Japan; 東京大学大学院総合文化研究科・数理科学研究科教授）

　先日、京都大学数理解析研究所での研究集会「数学史の研究」での講演に赴いた際、会議場に「オイラー研究所」の名前を冠した文書が並べてあった。
　それらを手にして、私は九州大学の高瀬正仁氏の「仕業」であることをただちに感得した。彼に問い質したところ、たしかに自分が所長だということであった。
　しかし、インターネットにそのことを明かしてはいないということであった。以前からオイラーにただならぬ愛着心を抱いていた私は、高瀬氏に「私をも所員にしていただけないか？」とお願いした。
　ところが、高瀬氏は「ただの所員では畏れ多いので、名誉所長なら受け入れる」ということであった。
　そのような高瀬氏の要請なら断れないと考え、かつ悪名を轟かせている昨今の私には珍しい「名誉職」と思い直し、名誉所長という役職での研究所入りを決意した次第であった。
　しかし、研究所とはほとんど名ばかり、実態は、高瀬氏周辺の若手研究者数名の有志団体なのであった。

　このような経緯で、日本オイラー研究所は実質的に走り出すことになった。
　以上の会話は、2007年8月22日午後のことで、翌23日夜には、他の数学史研究者数人と祇園に繰り出し、オイラー研究所立ち上げをそこの由緒ある店で宣言することとなった。オイラー生誕300年目の快挙ではあった。

　京都から横浜に帰還すると、ただちに高瀬氏から、オイラーの名著『極大もしくは極小の性質をもつ曲線を発見する方法、別題、最広義で解釈された等周問題の解答』
　（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proporietate gaudentes, sive Solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, Lausannae & Genevae, 1744）の原典コピーが送られてきた。
　東京大学大学院数理科学研究科所蔵のかつて見た稀覯書のコピーであった。私をオイラーの無類の称賛者たらしめた著作にほかならない。

　私は、1976年秋からプリンストン大学大学院の院生として本格的な数学史研究に踏み出すことになった。
（以下略）

>>229
本題は下記

http://reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-770.html
新しい数学史を求めて(102)情緒の数学史(42)「置換の理論」をめぐって　2009-09-14
（抜粋）
ルフィニは1799年の大著作に自身があったようで、相当に広い範囲に送付した模様ですが、ヨーロッパのほぼすべての数学者から黙殺されました。

コーシーはルフィニの著作に触発されて「置換の理論」を展開し、1812年11月30日、「対称関数について」という標題の論文を科学アカデミーで報告しました。
この論文は1815年のエコール・ポリテクニクの紀要に掲載され、アーベルも読んでいたのですから、コーシーを通じてルフィニの研究を承知していたのではないかという推定は可能です。
次数が５以上の代数方程式には解の公式は存在しないのではないかという着想を手にするうえで、コーシーを経由してルフィニがアーベルに影響を及ぼしたことは十分に考えられるところです。

コーシーの論文「対称関数について」は106頁を占める大きな作品です。
コーシーの「置換の理論」には不思議なことがひとつあります。それは、コーシーには代数方程式の解法理論への関心がまったく見られないということです。
ラグランジュは３次と4次の代数方程式のいろいろな解法を同じひとつのアイデアに依拠して説明しようとして、「置換の理論」を工夫しました。
同じアイデアに基づいて5次以上の代数方程式を解くことができるかどうか・・ラグランジュはこの論点を詳細に論じましたが、はっきりとした結論は得られませんでした。
ラグランジュ自身は高次方程式に対しても解の公式は存在すると考えていたようですし、しかもその公式は・・「置換の理論」によりみいだされると信じていたように思います。

「解の公式の存在」を信じていたであろうラグランジュの目には、ルフィニの試みは荒唐無稽と映じたのでしょう。アーベルの論文を読もうともしなかったガウスのように、ルフィニの著作を受け取ったラグランジュはほとんど読まなかったのではないかと思います。
コーシーはラグランジュとルフィニの代数方程式論から「置換の理論」だけを抽出して洗練させる方向に進みましたが、アーベルの「不可能の証明」はコーシーが明らかにした事実を利用して成功したのですから、「置換の理論」は代数方程式論と無関係というわけではありません。

>>229
>　それらを手にして、私は九州大学の高瀬正仁氏の「仕業」であることをただちに感得した。

倉田>>6の序論Piiに「一昨年より・・高瀬正仁氏らと古典研究会を持ち・・」と書かれている

>>185
>とすれば、体をQ（有理数体）で考える限り、ラグランジュの分解式を使ってもガロア論文と同じ論法は展開できるのでは？
>とすれば、わざわざラグランジュの分解式を使わずガロアリゾルベントにする意味は？
>　↓
>ガロアは、最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？と考えたのだが・・

いま気付いたが、ガロア論文>>4を見ると
ガロアリゾルベントに関する補題IIIの最後P29に
「この命題は、アーベルの楕円関数に関する遺稿の中で、証明なしで引用されている」とある
この命題とは、補題IIIとするとガロアリゾルベントを考えたのは、アーベル？
ガロアリゾルベントというから、ガロアの考案と思っていたのだが・・

いずれにしても
”最初ラグランジュの分解式の係数を１の（虚数）累乗根という制約を外して、５次方程式の解法を考えたのではないだろうか？と考えたのだが・・”という意見は不変だが

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがあああああああああああ！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがあああああああああ！！！！！！

「抽象化はそれだけではあまり有用なものとならなかった」「重要なものと考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていない」「圏論についてのブルバキの著作は（準備はされていたが）結局のところ書かれなかった」

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8B%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%BB%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD
ブルバキの主な業績は、七千頁以上に及ぶ「数学原論」(Elements de mathematique) の執筆である。
もとは微積分学の現代的な教科書を書くことに当てられていた彼らの作業は、中途で肥大化し、教科書を書くという目的は捨て去られた。
最終的に集合論の上に現代数学を厳密に、そして公理的に打ち立てることにその目標は向けられる。
彼らはそこで、代数構造、順序構造、位相構造という三つの構造概念、フィルターなどいくつかの新しい概念や術語を導入し、現代数学に大きな影響を与えた。
その完璧な厳密性と一般性を求める叙述はブルバキスタイルと呼ばれるようになる。

ブルバキの影響は年と共に次第に低下していった。
その理由はいくつかあるが、
ひとつには、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用なものとならなかったせいであり、
ひとつには、ブルバキの影響を受けた本が他にも出版されるようになりブルバキの出版する本の独自色というものが失われつつあったせいでもあり、また
ひとつには、重要なものと考えられるようになった別の抽象化、例えば圏論などをカバーしていないためでもある。

ブルバキのメンバーの一人アイレンベルグは圏論の創始者であり、グロタンディークも圏論を積極的に論じた。
だが、圏論を導入するには、それまでに発表されてきたブルバキの著作に根本的な修正を与えなければならなかった。
そのため、圏論についてのブルバキの著作は（準備はされていたが）結局のところ書かれなかった。

>>234
>ひとつには、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用なものとならなかったせいであり

こんなことは英語版に書いてないな。
個人的かつ主観的な意見だな。
日本版のwikipediaは数学に関しては英語版に比べてお粗末。

Emil_Artinの写真があるね

http://en.wikipedia.org/wiki/Emil_Artin
Whenever he was asked whether mathematics was a science, Emil would reply unhesitatingly,
“No. An art.” His elegant elaboration of this idea is often cited, and worth repeating here:
“We all believe that mathematics is an art. The author of a book, the lecturer in a classroom tries to convey the structural beauty of mathematics to his readers, to his listeners.
In this attempt, he must always fail. Mathematics is logical to be sure, each conclusion is drawn from previously derived statements.
Yet the whole of it, the real piece of art, is not linear; worse than that, its perception should be instantaneous.
We have all experienced on some rare occasion the feeling of elation in realizing that we have enabled our listeners to see at a glance the whole architecture and all its ramifications.”

>>235
Kummerさん、乙

>>ひとつには、彼らの抽象化はそれだけではあまり有用なものとならなかったせいであり
>こんなことは英語版に書いてないな。
>個人的かつ主観的な意見だな。

そうなん
考えて見るに、抽象化は大事だ。ただ、ブルバキの独占ではなく、ブルバキなくとも抽象化は必然の部分はある
ブルバキによる抽象化がどれだけ寄与したか不明だが
少なくとも、ヨーロッパでの影響は大きいかったろう、日本よりもはるかに（当然だが）

>日本版のwikipediaは数学に関しては英語版に比べてお粗末。

同感す

10.11.6_01/15　リチャード・コシミズ｢日本らしい日本を取り戻そう！..｣

>>236
>“No. An art.”

An art.：一種の芸術だ
という意味だろうね

>>237
まあコレは『私の個人見解』なので、従って誰かに押し付ける考えはな
いけれど：
★★★『私が考える数学とは「厳密、抽象、普遍」をきちんと踏襲する議論』★★★
ですね。そしてその目的は『人間の恣意性を徹底的に排除する事』です
よね。だから私にとってはブルバキの手法こそが『数学そのもの』であ
り、なので：
★★★『全ての数学というモノはブルバキの形式に整理されて
　　　　　　　初めて完成形となる。なのでブルバキこそが到達の目標』★★★
という認識ですね。

とにかく人間の恣意性は微塵も残してはいけない。ソレが数学ですね。

猫

>>240
>まあコレは『私の個人見解』なので、従って誰かに押し付ける考えはな

猫＝熊だったのか？ｗ

テレビで
女性に人気の
とか言っているのを見て真に受けて買い求めに走る女とか見てると　テレビっ言う宗教の信者なのかと思ってしまう


やらせA 就活中
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/3/1/31a6f8e6.jpg
やらせB 就職後
(p)http://livedoor.blogimg.jp/jin115/imgs/2/b/2b790359.jpg

世論調査もこんな感じで捏造してます
いい加減、目覚めなさい

日本という国は、そういう特権階級の人たちが、楽しく、幸せに暮らせるように、
あなたたち凡人が、安い給料で働き、高い税金を払うことで、成り立っているんです。
そういう特権階級の人たちが、あなたたちに何を望んでいるか知ってる？

今のままずーっと愚かでいてくれればいいの。　

世の中のしくみや、不公平なんかに気づかず、
テレビや漫画でもぼーっと見て何も考えず、会社に入ったら、上司の言うことを大人しく聞いて、
戦争が始まったら、真っ先に危険な所に行って戦ってくれればいいの。

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。それが必要条件よ。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに Ann.of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　一番嫌いなのは論文数を増やすためにくだらない論文を書いて
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　良い論文の出版を遅らせるお馬鹿な人。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、　　　　　　　　　あなたの論文が Ann of Math に accept される確率は?
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼　　　　　　　　　　　　それとも最近は Inv. Math. の方が上かしら？
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

>>239
An art.の中に必然人の技という意味が入る
自然のものや神のものはいくら美しくても”art”そのものではない

http://dictionary.goo.ne.jp/leaf/ej3/4499/m0u/
artの意味 - 英和辞書 - goo辞書

1 [U][C]芸術, 美術；((集合的))芸術作品, 美術品
2 [U][C]技術, こつ, 要領；（…の）術((of ...))
4 [U]人為, 技巧（⇔nature）；（ふるまいなどの）不自然さ, 作為
nature and art
自然と人為

>>240
猫さん、乙です

数学に個性があるように思うんだけど
それと、ブルバキは神の書物を目指したかも知れないが、結局人間だった
ブルバキに収まりきらないものが沢山でてきた・・

>>241
>猫＝熊だったのか？ｗ

ではないだろう
話した感触が違う
それに、両者の書き込みの時間をきちんとトレースすれば、アリバイ証明は可能じゃないかな

>>245
『数学とは何ぞや？』という問いに関する答え方はその人それぞれでし
ょうね。ですが：
★★★『数学とは人間には一切無関係な存在で、しかも絶対真理に一番近い存在』★★★
という部分が私が数学を信頼する理由ですね。人間は常に感情に塗れ、
その結果として恣意性と誤謬からは自由たりえません。だからこその価
値が数学にはあるというのが私の考え方ですね。他の人がどう考えるの
かは私は知りませんが。

だから私にとっては数学は神そのものですね。

猫

>>245
つまり：
★★★『ブルバキに収めようとする行為そのものも数学という認識をする。』★★★
という考え方も出来るでしょう。数学はあくまでも厳密、抽象、普遍と
いう条件を全てクリアしていなければなりませんから。

猫

>>246-247
猫さん、乙です

>だから私にとっては数学は神そのものですね。

気持ちは分かりますが
２点指摘しておきたい

１．Bourbaki について、Kummer>>235ご推奨の英語版下記。”20th-century mathematicians”だと
http://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki
Nicolas Bourbaki is the collective pseudonym under which a group of (mainly French) 20th-century mathematicians wrote a series of books presenting an exposition of modern advanced mathematics, beginning in 1935.
With the goal of founding all of mathematics on set theory, the group strove for rigour and generality.

２．現実の数学は
予想（仮説）→新しい数学→予想の部分的解決→新しい数学→予想の全面解決　という流れで新しい数学が作られてきたということだけは押さえておかなければならない
あるいは、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）から（例えばソリトン）であったりするが、それを取り扱えるように新しい数学が創造される）
Bourbakiなどの教科書は、２０世紀の新しい数学を後から整理したもので、現実の数学の進歩の道とは異なると

なので、Bourbaki を勉強することは有用ではあるだろうが、そこでとどまっては２１世紀の数学としては不十分だし
もし数学を専門とするなら、予想（仮説）を考えたり、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）に手を動かす人間的行為に躊躇する必要はないだろうと・・

>>269
訂正

>>246-247
　↓
>>247-248

>>249
訂正
あるいは、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）から（例えばソリトン）であったりするが、それを取り扱えるように新しい数学が創造される）
　↓
あるいは、新しい（泥臭い）現実（それは物理からであったり）や数値解析（実験）から（例えばソリトン）であったりするが、それを取り扱えるように新しい数学が創造される
（最後の括弧が不要）

>>249
数学の美しさも分かるが
それより楽しさを重視したいね

こんなのがあった
「コホモロジーについて」というのが、絵が多くて分かりやすいので一度覗いてみては如何
「PolSARpro」は、初耳です

http://www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/
axiom of キヨ
http://www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/math/cohomology.pdf
コホモロジーについて
http://www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/math/projectivespace.html
2次元射影空間の作り方
http://www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/math/self-transverse_immersion.pdf
自己横断的はめ込みについて
自己横断的はめ込みについて（アブストラクト和訳）
http://www7b.biglobe.ne.jp/~kiyo1729/SAR/On_PolSARpro.pdf
PolSARproについて

http://www.opengis.co.jp/htm/gamma/htm/polsarpro.htm
◆POLSARPRO 講習会に参加して(02 Oct 2008)

標題の「POLSARPRO(ポル・サー・プロ)」とは、ソフトウエアの名前で
(Polarimetric Sar Processor の略称)、レーダの偏波を利用してリモ
ートセンシングを行なう、欧州宇宙機関(ESA)のプロジェクトが開発して
いるフリー・ソフトウエアです。
http://earth.esa.int/polsarpro/default.html

http://earth.eo.esa.int/polsarpro/
30-Mar-2012 version 4.2 (January 2011)

>>249
まあ『何を数学と認識するのか』は当然に人に拠って違いますからね。
加えて何を動機とするのかもまた当然に人に拠って異なる訳です。だか
らそういう記述（例えば物理や数値解析を動機とする）に当てはまる人
であるとか、或いはそういう種類の命題も当然にあるのも、また当たり
前ですよ。但し私の場合は（もしそういう事を仮に自分がしたとしても）
その最終的な結果そのものは『定義→命題→証明』の繰り返しであって、
しかもその全てが論理命題として厳密でなければならないという考え方
を個人的にしているだけです。

何れにしても、この『私の認識』は個人的なものでしかないので、従っ
て他人に強いるものではありません。自分だけの考え方ですね。私にと
っては『数学としての完成形はブルバキでなければならない』というだ
けであり、他の人がどうするのかはその人の勝手ですから。

猫

>>249
まあ私は『恣意的なモノが大嫌い』という事なんですよね。だから他の
学問ではなくて『数学が一番気に入ってる』という事なんですよ。その
理由というのは『各種の学問の中で人間から一番遠いもの』という認識
で選びましたから。だから理論物理でさえ気に入りませんでしたからね。
とにかく人間の恣意性が微塵も感じられないものを探しましたので。

猫

>>253　補足
「コホモロジーについて」の中に、”相対”と出てくるか”双対”かな
一言ご注意を

>>254-255
猫さん、乙です
ふむふむ、猫さんらしいね

>理由というのは『各種の学問の中で人間から一番遠いもの』という認識
>で選びましたから。だから理論物理でさえ気に入りませんでしたからね。

これ、物理の観測問題を連想した
検索するとちょっと用語が違うが”観察者効果”がヒットしたので、これを引用します
物理では”観察者”（人）が登場する
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A6%B3%E5%AF%9F%E8%80%85%E5%8A%B9%E6%9E%9C
科学における観察者効果とは、観察するという行為が観察される現象に与える変化を指す。
例えば、電子を見ようとすると、まず光子がそれと相互作用しなければならず、その相互作用によって電子の軌道が変化する。
原理的には他の直接的でない観測手段でも電子に影響を与える。実際の観察をしなくても、電子が観測可能な位置に単に入っただけでも、理論上はその位置が変化してしまう。

量子力学で事象の結果が直接観測できないとき、それは重ね合わせ状態になっており、いわば全ての可能な状態に同時に存在している。
シュレーディンガーの猫という有名な思考実験では、猫は観測されるまで死んでいるとも生きているともいえない。
（引用おわり）

>とにかく人間の恣意性が微塵も感じられないものを探しましたので。

これ、コギトエルゴスム（デカルト）を思った。「我思う、ゆえに我あり」
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%88%91%E6%80%9D%E3%81%86%E3%80%81%E3%82%86%E3%81%88%E3%81%AB%E6%88%91%E3%81%82%E3%82%8A
ラテン語訳のCogito, ergo sum（コーギトー・エルゴー・スム、cogito = 私は思う、ergo = それゆえに、sum = 私はある）との標題が有名だが、これは第三者の訳による『真理の探求』で用いられたもので、デカルト自身がこのような表現をしたことはない。
『方法序説』の幾何学部分以外は、神学者のエティエンヌ・ド・クルセル（Etienne de Courcelles）がラテン語に訳し、デカルト自身が校閲し[1]、Ego cogito, ergo sum, sive existo との表現がされている。
（つづく）

>>257　つづき

”一切を疑うべし”！
人間の恣意を入れてはならぬ・・
そこからデカルトは哲学を展開した・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%88%91%E6%80%9D%E3%81%86%E3%80%81%E3%82%86%E3%81%88%E3%81%AB%E6%88%91%E3%81%82%E3%82%8A
解説
一切を疑うべし（De omnibus dubitandum）という方法的懐疑により、自分を含めた世界の全てが虚偽だとしても、まさにそのように疑っている意識作用が確実であるならば、そのように意識しているところの我だけはその存在を疑い得ない。
「自分は本当は存在しないのではないか？」と疑っている自分自身の存在は否定できない。―“自分はなぜここにあるのか”と考える事自体が自分が存在する証明である（我思う、ゆえに我あり）、とする命題である。
コギト命題、「精神肉体二元論」（いわゆる実体二元論）といわれることもある。
哲学史を教える場合の一般的な説明によれば、デカルトはこれを哲学の第一原理に据え、方法的懐疑に付していた諸々の事柄を解消していった、とされる。

>>254
猫さんの話は面白ね
あまりにも発想が違いすぎるので、思わぬ刺激があって、思考の歯車が回りはじめる

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AB%E3%83%90%E3%82%AD
ブルバキの主な業績は、七千頁以上に及ぶ「数学原論」(Elements de mathematique) の執筆である。
（引用おわり）

「原論」といえば、これは落とせない
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96
（抜粋）
『原論』（げんろん、古希: Στοιχε?α、英: Elements）は、紀元前3世紀ごろにエジプトのアレクサンドリアで活躍した数学者エウクレイデス（英語式には Euclid（ユークリッド））によって編纂された数学書である。
論証的学問としての数学の地位を確立したギリシア数学を代表する名著。
英語の数学「Mathematics」の語源といわれているギリシア語の「マテマータ」は「考えること」という意味であり、このマテマータを集大成したものが「原論」。

定義・公理・公準

5.直線が2直線と交わるとき、同じ側の内角の和が180度未満である場合、その2直線が限りなく延長されたとき、内角の和が180度より小さい側で交わる。

これらのうち5番目の公準については古代より、他の公理、公準に比して突出して複雑、自明とするには疑問とされていたが、この疑問により、近代に至ってこの公準が成立しないとする幾何学である非ユークリッド幾何学の発端となる。
さらに公準の後にユークリッドは次のような公理が示される。
これはあらゆる学問に共通の真理として受け入れられるものであり、研究において常に参照すべきものとされている。
1.同じものと等しいものは互いに等しい
2.同じものに同じものを加えた場合、その合計は等しい
3.同じものから同じものを引いた場合、残りは等しい
4.互いに一致するものは、互いに等しい
5.全体は、部分より大きい
（引用おわり）

>>259

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96
からのリンクをたどると、日本語のページもあるが
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/fsakai/he.html
ユークリッドの原論　酒井文雄


英語版があるね
http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/byrne.html
An unusual and attractive edition of Euclid was published in 1847 in England, edited by an otherwise unknown mathematician named Oliver Byrne.

（下記は直接関係ないがご参考）
http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/
Digital Mathematics Archive

>>260
これがよくまとまっているね

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
ブルバキと「数学原論」　斎藤毅
（抜粋）.
これから数学の勉強をはじめてみようかと思っている人が, ブルバキにであう機会
なんてものは今あるのでしょうか? ブルバキが証明した有名な定理があるわけではな
いし, 本屋さんにいってもブルバキが書いた本がならんでいるわけでもありません.

ブルバキ誕生のいきさつは「A. ヴェイユ自伝」(稲葉延子訳, シュプリンガー・フェ
アラーク東京) などによると, 次のようです. 1930 年代, ストラスブール大で微積分を
教えていたヴェイユとカルタンは, その教え方について議論を重ねていました. 何度と
なく繰り返される議論にケリをつけるため, 彼らは, 微積分をきちんと基礎付けた教科
書を, 仲間を集めて書くことにしました. そのころの数学書には, 厳密さがそれ以前よ
りずっときびしく求められるようになってきていたのですが, 当時のフランスの微積分
の教科書には, この要請をみたしているものがなかったのです.

彼らの計画は, 微積分の基礎付けという最初の目的から, 数学全体の基礎付けへと
すぐに大きくふくらんでいきました. 彼らの本の題は, ユークリッドの「原論」にちな
んで, 「数学原論」に決まりました. ユークリッドの「原論」は, 内容はギリシャ数学全
般にわたり, 記述は正確で厳密なことで知られます. 彼らは, 現代の数学の「原論」を
書くことにしたのです. ユークリッドの「原論」のように長く読みつがれる本を書く
ぞ, という意気込みもあったことでしょう.
（つづく）

>>261
つづき

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
ブルバキと「数学原論」　斎藤毅
（抜粋）.
（つづき）
ではなぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし
た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです. それがどういうもので
あるかは, 各分冊の最初のページにある, 「この本の使い方」に書かれています. いく
つか抜粋します.
「この原論は数学をその第一歩から取扱い, 完全な証明をつける」
「叙述の仕方は公理的, 抽象的であり, 原則として, 一般から特殊へと進む」
「内容は原則として厳密に定められた論理的順序に従って配列される」
「すでに広い知識を持合わせている読者にしかその効用がわからないような事柄も
含まれている」
完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.

定義の動機づけや, 定理や命題のもつ意味の説明がないのも, それを厳密に述べようと
すれば, 結局は理論を展開するほかないからでしょうか. とはいっても, こんなふうに
突き放されてしまうと, 初心者にはつらいものがありますね.
彼らが「数学原論」の記述に採用したのは, 公理的方法とよばれるものです. 例え
ば, 数直線, リー群, 代数多様体, 関数空間, p 進体など, さまざまな数学的対象がある共
通の位相的性質をもつことを証明したいとしましょう. そのときこの方法では, 1 つ1
つの対象に対して同じような証明をくりかえすなどということはしません. そうでは
なく, まずこれらの対象が共通にもつ性質を抽出し, それを少数の命題からなる位相空
間の公理としてまとめます. そして, この公理から問題となっている性質を導きだすこ
とによって, いっぺんに証明をすましてしまうのです. 公理的方法は抽象的なものです
が, 数学のさまざまな分野を結びつける力をもった強力なものです. 「数学原論」では,
この方法が極端なまでに組織的に, そして厳格に貫かれています.
（つづく）

>>263

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
ブルバキと「数学原論」　斎藤毅
（抜粋）.
（つづき）
4. ブルバキと現在.
このように, 輝かしい成功をおさめた「数学原論」ですが, 90 年代になって出版さ
れたのは「可換代数第10 章」1 冊があるだけです. これから書かれる巻はもしあると
しても, ごくわずかでしょう. 21世紀に生きる私たちにとって, 「数学原論」はもはや
過去のものなのでしょうか?
今の数学における「数学原論」の影響を推し測ることは, 思ったより難しいことか
もしれません. というのは, それは空気や水のようにいたるところに行きわたり, 今の
数学の土台をなしているからなのです.

別の影響は, 数学の記述に見られます. 定義, 定理, 証明の羅列というブルバキの文
体, そして, 抽象的, 公理的な構成. これらは今の数学の本, 教科書, 論文で, ふつうに見
られるものです. 「数学原論」の続きが書かれなくなったのは, 他の数学者もブルバキ
のように書くようになったからということも一因のようです. メンバーの1 人だったボ
レルは, 「(他の著者による) 新しい本の中にも, ブルバキのスタイルで書かれたものが
あった... (ブルバキが同じ主題について書いたとしたら, それは) 無駄な二度手間とな
るだけだったろう」(ブルバキとの25 年, アメリカ数学会Notices 45 (1998 年)) と振り
返っています. それはともかく, 今もブルバキは数学に大きな影響を, 意識にのぼらな
いところで, およぼし続けているのです.
（つづく）

>>263

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
ブルバキと「数学原論」　斎藤毅
（抜粋）.
（つづき）
グロタンディックは, やはりブルバキのメンバーだったデュドネと協力して, 彼が建
設した抽象代数幾何の基礎理論であるスキームの理論を, 「代数幾何原論(EGA)」に
まとめました. この本は, 文体といい, 内容といい, まさに「数学原論」の続きのような
本です. 逆に「数学原論」の「可換代数」の巻は, 「代数幾何原論」の基礎とするため
に書かれたのではないかと思われるふしもあります. 1994 年A. ワイルスによって証明
されたフェルマー予想も, 数論幾何の定理の1 つです. ワイルス自身は, 特にブルバキ
的な数学者ではありません. しかし, その証明を注意深くみると, いろいろなところに
ブルバキ的な数学の影響を読み取ることができます.
ブルバキが「数学原論」の新しい巻を次々と書き, 数学の新しい流れを作るという
ことはもうないでしょう. しかし, 彼らが作り出したものは, 今の数学の中にしっかり
と根をおろし, 新しい発展を支えてくれているのです.
（おわり）

>>261
>斎藤毅

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/
Takeshi Saito's Home Page: 和文のページ
（余談：和文の方が情緒が出ているね）

>完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.

これと反対のことを言おう
ナスカの地上絵、遠目の富士

ナスカの地上絵
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%81%AE%E5%9C%B0%E4%B8%8A%E7%B5%B5
あまりにも巨大な絵が多く、空からでないとほとんどの地上絵の全体像の把握が難しい。

遠目の富士
http://www.marino.ne.jp/~rendaico/kakuei/phirosophy_zinbutuhyo.htm
「遠目の富士だ。遠くに見る富士は颯爽として美しい。近くに行けば瓦礫の山さ。石ころばかりだ 」。
（引用おわり）

遠目の富士は引用文と趣旨がだいぶ違うが、ナスカの地上絵も言いたいことは、近くでは単なる石ころだが離れて見ないと意味わからん場合もあるよと

>>265
>遠目の富士は引用文と趣旨がだいぶ違うが、ナスカの地上絵も言いたいことは、近くでは単なる石ころだが離れて見ないと意味わからん場合もあるよと

（引用）
”はじめは微積分の教科書を書こうとしていた
はずなのに, 実数が登場するのは, 「位相」の第4 章, 「集合論」から数えて12 冊目の
後半です. 微分の定義は「実一変数関数」ですから, なんと16 冊目です.
ではなぜ彼らはこういう文体, 構成をとったのでしょうか. それは, 彼らが目標とし
た, 正確さ, 厳密さを確保するための方法によるものなのです.”
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/bourbakib.pdf
ブルバキと「数学原論」　斎藤毅
（引用おわり）

ブルバキ、これで微積分を学ぼうとすると、微分の定義は「実一変数関数」は16 冊目だと
だが、ブルバキで微積分が分かったとはならないだろう

”定義の動機づけや, 定理や命題のもつ意味の説明がないのも, それを厳密に述べようと
すれば, 結局は理論を展開するほかないからでしょうか. とはいっても, こんなふうに
突き放されてしまうと, 初心者にはつらいものがありますね.”>>262

厳密性、公理的方法と遠目の富士的に少し離れて見る見方と
両輪ではないだろうか？

>>257
>>258
まあね。私はあんな無茶苦茶な家庭で暮らす事を余儀無くされましたか
らね、だから人間臭いモノとか感情論とかが大嫌いなんですよね。だか
ら応用系の学問なんていう人間オリエンティッドなモノには微塵の興味
も持てませんしね。まあだから数学の実体に関してもパリの親方の言う
考え方（まあ一般にはプラトン主義という解釈みたいですが）と全く同
じですね。つまり人間どころか大宇宙とかでさえ全く無関係という認識
を私もしてますね。

どうです、私らしいでしょ。

猫

>>266
>厳密性、公理的方法と遠目の富士的に少し離れて見る見方と
>両輪ではないだろうか？

一旦厳密性公理的方法から離れて、遠目で全体像を見る
全体像が頭に入ったところで、近くに行って細部を見る

まず、全体像をつかめ
その後に細部に

決して逆は良くない
人生の哲学でもある

>>267
猫さん、乙です！

プラトン主義ですか・・・、検索すると「新プラトン主義」が上位に出ますね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%AA%E3%83%97%E3%83%A9%E3%83%88%E3%83%8B%E3%82%BA%E3%83%A0
ネオプラトニズム (Neoplatonism) は、プラトンのイデア論を継承し、万物は一者から流出したもの（流出説）と捉える思想で、紀元3世紀頃にプロティノスによって展開され、ルネサンス期にイタリアで再び盛んになった。
「新プラトン主義」と訳されることも多い。

ところで質問
.よく猫は人間的と言われますが、同意しますか？

>>269
プラトン主義でこんなのがヒット

http://contest2007.thinkquest.jp/tqj2007/90375/platon.html
（抜粋）
プラトンの哲学思想

　プラトンは、ソクラテス（プラトンの師）が考え出した哲学を基本として、本当の知識とは何かを研究し、イデア論と呼ばれるものを考え出しました。
　プラトンの哲学は、今でも大きな影響を与えていて、２０世紀のイギリス人哲学者は「プラトンより後の哲学は、プラトン哲学の脚注（すなわち解説書）に過ぎない」と言っています。
　一般的にプラトン主義とは「永遠の真理」「永遠の善」「永遠の美」の３つを指しています。
　プラトンの哲学の動機は、ソクラテス（プラトンの師）を死に追い込んだアテネ（ギリシア）社会でした。アテネ社会のソフィスト（法律家）たちがソクラテスをおとしいれたのです。
　 ソフィスト（法律家）たちの考えで、悪い事の基準は、状況や場所によって変わる（何が正しいか正しくないかは、時と場所・人によってちがう）ということなのです。
　プラトンはソフィスト（法律家）たちのこのような考えに反対して、悪い事の判断をする確かな基準、人によっても場所によっても変わらない永遠で絶対の判断基準を見つけ、それをイデア論という形にしたのです。
　 もう少し具体的に言えば、プラトンは、良い事そのもの（善のイデア）、正義そのもの（正義のイデア）という何かしら永遠で絶対に変わらないものがどこかにあって、人間はこのイデアによって、良い事悪い事を正しく判断することができると考えたのです。
まとめると下のようになります。

ソフィスト： 判断の基準･･･主観的、可変的、流動的、相対的（感覚の重視）：ドクサ（憶見）
プラトン ： 判断の基準･･･客観的、普遍的、永遠的、絶対的（理性の重視）：エピステーメー（知識）

プラトンの理想

　上で説明するだけでは、プラトンのイデア論は、どうもおとぎ話のようで、信じられないものがあります。
　しかし、プラトンは、国の政治についてすごい事を考えていたのです。
　プラトンの考える国は、一部の欲の強い人たちにまかせる民主主義ではなく、本当に存在するイデアを認識した何人かの哲学者によって支配されるべきだという考えでした。
（つづく）

>>270

http://contest2007.thinkquest.jp/tqj2007/90375/platon.html
（つづき）

イデア論について―永遠の美・永遠の善

　プラトンが考えていた「見る」ということは、この肉眼つまり実際の目で物事を見るということではありませんでした。
　目や耳などの感覚は、人によって違うのです。例えば、味覚が一番わかりやすいでしょう。同じ食べ物でもその味は人によって違ってくるはずです。
　また実際の目で見たものは、時間によって変化し続け、簡単に姿を変えてしまいます。プラトンは、このような体の感覚をあまり信用しなかったのです。
　プラトンは、このことをギリシア語でドクサ（思いなし）と呼んでいます。ドクサとは、英語で言えばseem「〜のように見える」「〜のようだ」という意味です。
　しかしこのような話を聞いていても、イデアというものは本当に存在するのかと皆さんは思うでしょう。すでにプラトンが生きていた時代にも、このイデア論を疑う人がたくさんいました。
　そしてプラトン自身も『パルメニデス』という本で、自分で創ったイデア論に疑問に思い、イデア論に間違えがあることを認めていました。
　何人かの学者たちによると、プラトンは自分で創ったイデア論を全てなかったことにしたのではないかとさえ言われています。

　プラトンは「つくる・つくられる」という考えから、全てのものは、イデアのコピーであると考えました。しかし、こうした「つくる・つくられる」という考えは、物を言わない作り物にしか当てはまらないのです。
　プラトンは、机のイデアや馬のイデアなどを語っていますが、イデアは永遠に存在するものです。つまり、イデアのコピーである地上の机や馬も永遠に存在しなければなりません。
　ところが現実の机は、やがて壊れたり腐ったりしてなくなってしまいます。
　プラトンのイデア論では、この地上の生き物の成長や変化、さらには運動などを説明することができないのです。

哲学の未来へ

　このようにプラトンのイデア論は、作り物には当てはまっても、生き物には当てはまらないものだったのです。
　しかし、自然界の運動や変化をうまく説明できず、自然界を寂しい作り物のかたまりにしてしまったのです。プラトンにとって、この地球上の物は、生命のない単なる材料だったのです。

>>271
補足

数学では、かなりイデア論が当てはまると思う
だが、数学でも運動や変化する部分があると思うのだが
というか、数学は完成形になっていないから・・

>>267

>どうです、私らしいでしょ。

うんうん
猫さんらしいと思いますよ

>>269
同意しませんね。最近でも周囲の人から『理屈っぽくて機会みたい』と
良く言われますね。外国人の友人には凄く褒められますけどね。

猫

>>273
そうですよね。早くフランスに帰りたいですね。実際にはもう無理だけどね。

猫

>>274
>同意しませんね。最近でも周囲の人から『理屈っぽくて機械みたい』と

なるほど・・
猫は気まぐれですからね
機械とは対極かな？

>良く言われますね。外国人の友人には凄く褒められますけどね。

なるほど・・
一般の日本人は、外国人からは『理屈がしっかりしない猫みたい』と思われているのかも・・

訂正：

機会　→　機械

訂正をどうも有り難う御座います。

猫拝

>>275
>そうですよね。早くフランスに帰りたいですね。実際にはもう無理だけどね。

猫さん、乙です
そうなんか、フランスに居たんだ・・、それでブルバキに強い思い入れが・・

無理かどうか自分にはよくわからないが
それはともかく、2012年版Grothendieck's Galois theoryを書いてみたら？　英語で

http://arxiv.org/abs/math/0009145v1　（PDFがある）
On the Galois Theory of Grothendieck
E.J. Dubuc, C. Sanchez de la Vega
(Submitted on 14 Sep 2000)

http://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck%27s_Galois_theory
Grothendieck's Galois theory

>>278
いやいや、フランス文化圏が私には楽なんですよ。とにかく合理的であり、
尚且つ論理的ですからん。でもまあポストなんかもう取れませんからね。
加えて私はもうジジイだしね。せめて乞食として受け入れてくれないかと。

猫

　お前たちは、定職に就くのが先決だろがああああああ！！！！！！！！

　ニート・無職の、ゴミ・クズ・カスのクソガキどもがああああ！！！！！！！！

>>279
理屈が通じない国だもんな、日本は。
きわめて精神が病んでるし。

>>281
政治は腐ってる。外交は皆無。財政は破綻。学問は壊滅って話ですわナ。

猫

>>279
>いやいや、フランス文化圏が私には楽なんですよ。とにかく合理的であり、
>尚且つ論理的ですからん。

この話を思い出した
http://ameblo.jp/ozawajimusho/entry-11057315370.html
なぜ肉料理が食べたいのか？｜税理士・社労士の○○な話。　2011-10-24
（抜粋）
この本の著者・吉越さんの奥様はフランスの方だそうですが、「夕食に何が食べたいか」と奥様に聞かれたときに、「肉料理」と答えた。

日本の多くの家庭なら、「ハイハイ、お肉ね」となるんでしょうが、吉越家では、「なぜ肉料理が食べたいのか」を説明しないと却下されるそう。

「昨日は魚料理だったし、最近手に入れた、お肉にあうあのワインを飲んでみたいから、肉料理がいい」という明白な理屈が必要。


我が家のように「なんとなく中華」とか、「お腹がラーメンな気分」とか、「なんでもいい」とか、曖昧な返答では許してもらえないのですね(笑)

この曖昧さ・感情論も日本人ならではで、よい文化だとは思いますが、これだけでは、問題解決できないことも。

トラブルが起こった時に、日本文化だと「申し訳ございませんでした！」と、謝ることで一件落着となることもあるけど、そのトラブルが起こった原因がうやむやになることも多々。

かといって、理屈だけで突き詰められるのも日本人には馴染まない。

論理的ロジックで骨組みを固め、隙間部分を「義理・人情・浪花節」で埋める。
日本人には一番適しているのでは、と著者は書いています。

私も仕事の中では、「なぜ」に重点を置いて、考え、聞くように心がけています。
（引用おわり）

>>279　つづき
>でもまあポストなんかもう取れませんからね。
>加えて私はもうジジイだしね。せめて乞食として受け入れてくれないかと。

”せめて乞食”は、逆に無いんでしょうね。ポストは無理でも、むしろなにかのスペシャリストで日本語ができるとか
あるいは、フランスでなにか会社を作るとかできれば
そうそう、フランス人に日本のノンロジカル思考の謎解きをしてやるビジネスとかどう？
あ、猫さんには無理だね。失礼しました

猫

>>281-282
>理屈が通じない国だもんな、日本は。
>政治は腐ってる。外交は皆無。財政は破綻。学問は壊滅って話ですわナ。

「なんとなく肉料理が食べたい」が通じる島国ムラ社会の日本ですからね
夏目漱石 「草枕」ですね
http://blog.livedoor.jp/heartwords/archives/50096191.html
2005年07月30日
智（ち）に働けば角が立つ　情に棹（さお）せば流される　意地を通せば窮屈だ　（夏目漱石）

「 “正当“に生きることの難しさとその葛藤」というのをテーマにしているというのが夏目漱石に対する私の解釈です。
“正当性”は行き場を失い、ひどく自分を生きづらくしてしまうこともあるようです。
どんな“正しい”生き方をしたとしても100％ではない、必ず半分は自分と敵対する関係となります。
（引用おわり）

ああ、こんなのが・・
http://blog.livedoor.jp/kengobooks/archives/51414120.html
2010年03月09日14:19
知に働けば蔵が建つ

内田樹の本にはいつも驚かされるが、今回もまた同様だった。この本では現代社会のさまざまなテーマを、現代思想、哲学、社会学、文化人類学、精神分析などを駆使して読み解いている。
（引用おわり）

これもちょっと面白いね
http://takedanet.com/2012/02/post_19ff.html
知の侮辱（９）・・・知に働けば角が立つ？ （平成24年2月12日(日)）

「知に働けば角がたつ。情に棹させば流される」とは夏目漱石の小説に有名なものですが、確かに理屈を言うと角がたち、そうかといって情に訴えると流されると言われるとさすが漱石！という感じです。
でも、私のこれまでの人生のいろいろな場面を振り返ってみると、知に働いたから角がたつのではなく、知に働いているのに情が絡むと角がたつという感じです。

>>222

http://en.wikipedia.org/wiki/Mikio_Sato
http://www.ams.org/notices/200702/comm-schapira.pdf
Mikio Sato, a Visionary of Mathematics Pierre Schapira NOTICES OF THE AMS FEBRUARY 2007

France was a strategic place to receive Sato’s ideas since they are based on those of both Jean Leray and Alexandre Grothendieck.
Like Leray, Sato understood that singularities have to be sought in the complex domain, even for the understanding of real phenomena.
Sato’s algebraic analysis is based on sheaf theory, a theory invented by Leray in 1944 when he was a prisoner of war, clarified by Cartan, and made extraordinarily efficient by Grothendieck and his formalism of derived categories and the six operations.

Sato, motivated by physics as usual, then tackled the analysis of the S-matrix in light of microlocal analysis.
With his two new students, M. Jimbo and T. Miwa, he explicitly constructed the solution of the n-points function of the Ising model in dimension 2 using Schlesinger’s classical theory of isomonodromic deformations of ordinary differential equations.
This naturally led him to the study of KdV-type nonlinear equations.
In 1981, with his wife Yasuko Sato, he interpreted the solutions of the KP-hierarchies as points of an infinite Grasmannian manifold and introduced his famous τ-function.
These results would be applied to other classes of equations and would have a great impact in mathematical physics in the study of integrable systems and field theory in dimension 2.

In parallel with his work in analysis and in mathematical physics, Sato obtained remarkable results in group theory and in number theory.
（つづく）

>>287

http://www.ams.org/notices/200702/comm-schapira.pdf
Mikio Sato, a Visionary of Mathematics Pierre Schapira NOTICES OF THE AMS FEBRUARY 2007
（つづき）

Looking back, forty years later, we realize that Sato’s approach to mathematics is not so different from that of Grothendieck,
that Sato did have the incredible temerity to treat analysis as algebraic geometry, and that he was also able to build the algebraic and geometric tools adapted to his problems.
His influence on mathematics is, and will remain, considerable.
(引用おわり)

>>288

Pierre Schapiraさんは、Mikio Satoを
”Looking back, forty years later, we realize that Sato’s approach to mathematics is not so different from that of Grothendieck,”と評価しているんだ・・

>>266

斎藤毅さんの、これも面白いね
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf
グロタンディーク　[さいとう たけし]

グロタンディークほど、多くの伝説が語られた20 世紀の数学者はいないだろう。しかしここで書きたいのは、私にとってのグロタンディークである。
それは、今では遠い学生のころ、来る日も来る日も読みふけった、Tohoku、EGA、SGA の著者である。

全13 章の計画が、第4 章までで中断されたままである、というのも有名な話だが、そこまででも計1,800 ページという膨大なものである。IHES（パリ郊外の高等科学研究所）の青表紙の雑誌で1960年から1967 年まで毎年1 冊ずつ出版されたものだが、
1 章だけは、大幅に改訂されたものがシュプリンガーから本となってでている。
そのはじめのところをみると、数学の対象とは構造のついた集合であるという、ブルバキの数学観が、時代遅れになっていることがわかる。
グロタンディークにとっては、数学の対象とは、表現可能な関手を表現する圏の対象である。
たとえば、ブルバキ流にいえば、実数体とは、実数全体の集合に、加法と乗法という代数的な演算を与え、さらに位相をいれたものである。
EGA では、スキームX とY のS 上のファイバー積とは、S上のスキームの圏の対象で、X が表現する関手とYが表現する関手の積関手を表現するもの、というのが定義である。

数学の対象は、それが何からなりたっているかではなく、どういう役割を果たしているかが重要だ、という視点の転換がそこにある。
アファイン・スキームも、局所環つき空間として構成されるのだが、その存在理由は、大域切断という関手の随伴関手であるところにある。対象それ自体よりも、対象から対象への射のほうが重要だ、といいかえてもよい。
この視点にたつグロタンディークにとって、スキームの点とは、位相空間としての点ではない。
それは、ほかのスキームからの射である。これは、シュヴァルツの超関数が、試験関数の空間の双対として定義されることを思い起こさせる。
（つづく）

>>290

http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf
グロタンディーク　[さいとう たけし]
（つづき）
グロタンディークの数学
グロタンディークの業績を振り返ってきたが、それが、その後の代数幾何、数論幾何にもたらしたものは、あまりに巨大である。
簡単に紹介した、ドリーニュ、マンフォード、クィレン、ファルティングス、ラフォルグの業績は、どれもフィールズ賞の栄誉をうけた。
こうしてみると、リーマン・ロッホの定理や、エタール・コホモロジーのレフシェッツ跡公式といった大定理が、輝きを放っている。
しかし、それよりも強く感じられることは、これらの定理の証明を追い求めたというよりは、理論を構築するうちに、こうした定理が自然に得られるような枠組みを作り上げたという印象である。
これは、ドリーニュによるヴェイユ予想の証明や、ワイルズによるフェルマー予想の解決からうける印象とは、異質である。
これが、グロタンディークの強烈な個性だけによるものか、それとも、分野の性格にもよるものなのかは、よくわからない。

最近、数学を専門として勉強し始めた学生向けの授業をうけもつ機会が多い。今の数学のカリキュラムでは、まず抽象的な数学の思考法に慣れることが重要になる。
そこで、抽象数学では、記号はただの記号であることがだいじだが、ただの記号と思ってはいけないなどという話をする。
矛盾しているようだが、いいたいのはこんなことである。
ただの記号であるとは、どんなものでもあてはめてよいということである。
そう思ってはいけないというのは、記号にあてはめられるものには、実に多様なものがあり、それらについての実体感抜きでは、本当の理解にはならないというつもりである。
しかし、グロタンディークは、スキームX といえば、ただX だと思っていたのではないかという気もしてくる。
とすると、そんな話をしても、未来のグロタンディークにとっては、余計なお世話かもしれない。
でもグロタンディークだからこそ、それでよかったのだとも、一数学者としては思うのである。
（おわり）

>>289
佐藤はグロタンディークより遥かに優れている、とは評価されてないのか。
それはおかしいなあ

>>291
うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや
った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約
聖書の役割を果たしていると思いますね。（まあそのアトにフィールズ
賞が何人出たのかは「単なる目安でしかない」と思いますけどね。）

まあユークリッドの全１３巻という旧約聖書から始まった数学が一応の
完成をみたのがグロタンの（予定された）１３巻ですからね。だからき
っとガウス辺りは中約聖書みたいな感じなんですかね、或いはオイラー
がその役割か。

神々からのメッセージですよね、特にグロタンは。

猫

>>292
>佐藤はグロタンディークより遥かに優れている、とは評価されてないのか。
>それはおかしいなあ

なるほど
見方によってはそうかも・・

>>293
>うん、そうそう。私もソレは全く同じ印象ですね。だからグロタンがや
>った事は『数学が正しく行われる場所を与えた』という事で、正に新約
>聖書の役割を果たしていると思いますね。

猫さん、乙です

グロタンディークの頭の中には、ランドスケープがすでにあって、それを文字にしていった
そういう風に考えます
そうでなければ、あの仕事量は理解できない

佐藤幹夫も同様で、ランドスケープが先にあった
佐藤の場合は、自分で書かずに弟子が書いたんだけれど
佐藤幹夫は偉大です

グロタンディークと同様に、彼の前と後とでは世界が変わった

>>294
そのランドスケープの話は『収穫と蒔いた種』に書いてありますよね。きっと
まあ『数学の実在』という、人間には一切無関係な神の領域に、まああぜ道み
たいな「ガイドが通る場所」を準備したんじゃないですかね。だから数学とい
う価値観を創造したユークリッドの偉大さに次ぐでしょうね。

グロタンの偉大さは決して「仕事量」じゃないです。『正しい場所を準備した
こと』です。神にしか正しい正しくないを判断する事は出来ません。

猫

>>291
クィレンは、カタカナでは分かりにくいかもしれないので下記ご参照

http://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Quillen
Quillen was born in Orange, New Jersey, and attended Newark Academy.
He entered Harvard University, where he earned both his BA (1961) and his PhD (1964), the latter of which was completed under the supervision of Raoul Bott with a thesis in partial differential equations.

He visited France twice: first as a Sloan Fellow in Paris, during the academic year 1968?69, where he was greatly influenced by Grothendieck,
and then, during 1973-74, as a Guggenheim Fellow. In 1969-70, he was a visiting member of the Institute for Advanced Study in Princeton, where he came under the influence of Michael Atiyah.
In 1978, Quillen received a Fields Medal

Mathematical contributions
Quillen's most celebrated contribution (mentioned specifically in his Fields medal citation) was his formulation of higher algebraic K-theory in 1972.
This new tool, formulated in terms of homotopy theory, proved to be successful in formulating and solving major problems in algebra, particularly in ring theory and module theory.
More generally, Quillen developed tools (especially his theory of model categories) which allowed algebro-topological tools to be applied in other contexts.

Before his ground-breaking work in defining higher algebraic K-theory, Quillen worked on the Adams conjecture, formulated by Frank Adams in homotopy theory.
His proof of the conjecture used techniques from the modular representation theory of groups, which he later applied to work on cohomology of groups and algebraic K-theory.
He also worked on complex cobordism, showing that its formal group law is essentially the universal one.

In related work, he also supplied a proof of Serre's conjecture about the triviality of algebraic vector bundles on affine space.
He was also an architect (along with Dennis Sullivan) of rational homotopy theory.

>>295
猫さん、乙です

>そのランドスケープの話は『収穫と蒔いた種』に書いてありますよね。きっと
>まあ『数学の実在』という、人間には一切無関係な神の領域に、まああぜ道み
>たいな「ガイドが通る場所」を準備したんじゃないですかね。だから数学とい
>う価値観を創造したユークリッドの偉大さに次ぐでしょうね。

はあ、なるほどなるほど

>グロタンの偉大さは決して「仕事量」じゃないです。『正しい場所を準備した

なるほど
面白い見方ですね

Grothendieck 東北大学 論文で検索すると下記ヒット
（なぜ東北大学？を知りたかったんだが）

http://slashdot.jp/journal/539517/
虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン
日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分

親族の数学に多少の興味を持っている高校生からグロタンディーク氏
(本来なら博士とお呼びすべきなのでしょうが、皆さんもご存知の通り氏は世間と没交渉ですし、博士と呼ばれるのは最も氏の忌嫌うことだと容易に想像されますので、氏のままにします)のまとまった伝記本が無いのかと聞かれ、ちょっと困ったなあと思いました。
本がある無しで弱ったのではなく、グロタンディーク氏の人生を知ってショックを受けるかも知れぬと危惧したからです。
勿論私くらいの年齢の大人になれば、天才は天才であって、凡才は凡才に過ぎぬと居直って平気なのですが、高校生くらいの年齢ではまだ自己が何たるか分かっていないので無限大の力を持っているかのように錯覚しがちです。
今の日本で家が裕福でないと言っても、グロタンディーク氏ほど劣悪な環境で少年期を過ごすことは先ずないと思います。ですから、大人はどうでもいいですが、青少年はもっと勉強出来るはずなんです。
グロタンディーク氏の少年期を考えれば、凡才なりに勉強しないと人として恥だと思ってほしいです。

さて、グロタンディーク氏のまとまった伝記本は私の知る限り皆無です。但し、一つだけ例外があり、後でまた触れます。
本ではありませんが、まとまった伝記的記事で定評があるのがAllyn Jackson女史の"Comme Appele du Neant?As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck"(PDF)
http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdf だと思います。
この記事は2004年に発表されましたが、書かれた当時はまだグロタンディーク氏が御存命である可能性が高かったのですが、今は83歳ですから生きておられるかどうかわかりませんし、誰も知るすべを持っていません。
なお、Allyn Jackson女史は現在"AMS Notices"の主任編集者です。編集者は裏方さんなので、プライベートなことを言いたくないのですが、数学科で勉強され、私の記憶に間違いが無ければ学位も持っているはずです。

>>298

http://slashdot.jp/journal/539517/
虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン
日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分
（抜粋つづき）
ここで伝記本の件に戻ります。先に例外があると言いました。Jackson女史の記事の中でも言及されていますが、現在ミュンスター大学名誉教授のWinfried Scharlau博士が伝記本(独語)を書いていました。
但し、その本は限定出版と言うのか注文出版と言うのかよく分かりませんが、限定されています。つまり、商業ベースに乗せていないのです。その理由は博士が明言されていないので分かりません。
ただ、何となく分かるような気がします。伝記の主人公が世間と縁を切って姿をくらましているのに、赤の他人が土足で家に上がるようなもんです。しかも、グロタンディーク氏の心の傷になっているはずの少年期にも触れなければならないのです。
だから商業ベースに乗せることに躊躇いがあったと思います。もう一つ理由があると思います。
Scharlau博士はグロタンディーク氏と会ったことがありません。ですから、Michael Atiyah卿が言っている、グロタンディーク氏を個人的に知る数学者が学問的に等身大の伝記を書くことが望ましいという意見に反するのです。
しかしながら、Atiyah卿やジャン＝ピエール・セール博士がグロタンディーク氏の伝記を書くなんて私は想像出来ませんし、お二人ともご高齢ですから先ずあり得ないでしょう。結論を言えば、この先伝記本が書かれることはないと思います。
従って、伝記本は皆無です。但し、無責任素人が書く可能性はあります。
ともかくも、Jackson女史の記事の私訳を以下に載せておきます。なお、この記事は前篇で続きがあります。後編の第2部は私が気の向いた時にでも(いつになるかわかりません)紹介するかも知れません。
前篇だけでも長いので、その1とその2と2つに分けました。
（抜粋つづく）

http://slashdot.jp/journal/539517/
虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン
日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分
（抜粋つづき）

収穫と種子の中で、グロタンディークは1954年を"困難な年"("l’annee penible")(ページ163)と呼んだ。
その年を通じて、彼は位相ベクトル空間における近似問題の前進に成功しなかった。その問題はおよそ20年後にグロタンディークが試みたものと異なる手法で解決されたばかりだった。
これは"私の人生で数学をすることが重荷になった唯一の時だった!"と彼は書いた。この苛立ちは彼に教訓を与えた。すなわち、一つの問題が厄介と分かれば、取組むべきものが他にあるように数学的"火中の鉄"をいつも複数持て。
サンパウロ大学教授Chaim Honigは、グロタンディークがサンパウロにいた時に助手で、彼等はいい友達となった。グロタンディークはいくぶん質実剛健で孤独な生活をし、ミルクとバナナだけを食べて完全に数学に没頭したとChaim Honigは言った。
Chaim Honigは一度グロタンディークに数学に行った理由を訊いた。数学とピアノに熱中したが、そのような生活を得やすいと思ったから数学を選んだとグロタンディークは答えた。
彼の数学的才能は余りにも明らかなので、Honigは言った。"彼が数学と音楽の間で迷った瞬間があるなんて、私は吃驚した"。
（抜粋つづく）

http://slashdot.jp/journal/539517/
虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン
日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分
（抜粋つづき）

ブラジルを去った後、グロタンディークは1955年の1年をカンザス大学(おそらくN. Aronszajnの招待だろう。[Corr])で過ごした。
そこで、グロタンディークはホモロジー代数に没頭し始めた。彼が"Sur quelques points d’algebre homologique"[訳注:"ホモロジー代数のいくつかのポイントについて"]を書いたのはカンザス大学滞在中だった。
この論文は、それが掲載されたTohoku Mathematical Journal [To]の名前を冠して専門家の間で非公式に"東北論文"として知られるようになったが、ホモロジー代数の古典となり、モジュールに関するカルタンとアイレンバーグの研究を拡張した。
またカンザスにいる間、グロタンディークは"A general theory of fiber spaces with structure sheaf"[訳注:"構造的層を持つファイバー空間の一般論"]を書き、アメリカ国立科学財団のレポートとして出現した。
このレポートは非アーベルコホモロジーに関する彼の第1着想を展開した。非アーベルコホモロジーには後に代数幾何学の状況で舞い戻った。

この時前後、グロタンディークはコレージュ・ド・フランスのジャン＝ピエール・セール(グロタンディークは彼にパリで会ったし、後にはナンシーでも出会った)と文通を始めた。
彼等の手紙のセレクションが元々の仏語で2001年、仏語-英語の二重バージョンが2003年に刊行された。[Corr] これは長く実りのある交流の始まりだった。
手紙は、非常に異なる二人の数学者の間の深く活気に満ちた数学的絆を示す。
（抜粋つづく）

>>301
"東北論文"についての記述があったが、経緯は不明

http://slashdot.jp/journal/539517/
虚空―あたかも虚空から呼出されたかのように: アレクサンドル・グロタンディークの人生 前篇その1 | スラッシュドット・ジャパン
日記 by taro-nishino2011年09月24日 5時24分
（抜粋つづき）

グロタンディークは非常に飛んだイマジネーションを見せるが、セールの鋭い理解力と広い知識によってしばしば地上に戻されている。
時々手紙の中でグロタンディークは驚くべきレベルの無知を示す。例えば、ある時点で、彼はセールにリーマンゼータ関数が無限個の零点を持つのか聞いている。
([Corr]、ページ204) "彼の古典的代数幾何学の知識は実際にはゼロだった。私自身の古典的代数幾何学の知識は少しましだったが、大したことはなかった。
しかし、それを用いて彼を助けようとした。だが...問題にならない質問が多過ぎた"とセールは回想した。グロタンディークは最新の文献についていく人ではなく、かなりな程度まで、何が行われているかを語るセールに依存した。
収穫と種子の中で、独学したことを除いて、幾何学で勉強したことの大部分はセールから学んだと書いた。(ページ555-556) だが、セールはグロタンディークに只単に教えたのではなかった。
つまり、彼はアイデアを要約し、グロタンディークが反駁出来ないと分かる方法で要約を議論出来た。グロタンディークはセールを、アイデアの爆発のためヒューズに燃やさせるスパークを与える"起爆薬"と呼んだ。
実際、グロタンディークは彼の研究の中心テーマの多くを追跡してセールに行き着いた。例えば、1955年前後に、コホモロジー的状況でヴェイユ予想をグロタンディークに述べたのはセールだった。
その状況は、ヴェイユ予想のオリジナルな説明では明確にされておらず、グロタンディークを罠にはめる可能性があった。(R&S、ページ840)
ヴェイユ予想の"ケーラー的"類似のアイデアを通して、いわゆる"標準予想"というグロタンディークの概念もセールが呼び起こした。"標準予想"はより一般的で、系としてヴェイユ予想を暗に意味した。(R&S、ページ210)
（引用おわり）

セールがいて、グロタンディークがいた
セールが居なければ・・・

>>295
但し誤解が無い様に追加しておくと、その種を蒔いたり収穫をするのは
（馬鹿な人間ではなくて）『神々だけ』なんですよ。まあ佐藤先生はそ
ういう神々のお一人ですよね。人間でそんな人は殆ど居ませんけどね。

そして我々下々は「唯見てるだけ」ですよ、唯見てるだけね。でも見て
るだけでも充分に幸せですけどね。

例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。つまり：
★★★『要らない事は証明しない。また必要が無い事は使わない。』★★★
という事です。コレは『数学を行う際の基本』です。数学とはこうでな
ければなりません。

また例えば(FLT)の場合を考えてみましょう。コレは：
★★★『問題が解けた事そのものよりも、「ソコへと至る道筋が
　　　　　　　人類に対して示された」という事実（谷山・志村ヴェイユ）
　　　　　　　　　　の方が遥かに大切ですよね。そしてその道筋が存在し得る
　　　　　　　　　　　　　場所を与えたのがグロタンですよね。コレは神にしか不可能。』★★★
という事です。だから我々下々は「唯見るだけ」です。

我々下々は『神々の宴会』を唯見るだけです。そして我々凡俗は「唯見
るだけ」で充分なんです。

貴方がどの範疇なのかは私は知りませんが。

猫

追加です。

グロタンは『天国から地上へと梯子を下ろした』という印象ですよね。そして
その梯子を昇る事が出来た有能な人達が勝利を勝ち取った訳です。

そして佐藤先生は『地上から天国へと梯子を掛けた』という印象ですよね。そ
して『計算でも論理でも、そのどちらでも無い数学』（つまりその両方を縦横
無尽に使い切る数学）を行われた神ですよね。

そういう意味では『計算でも論理でも、そのどちらでも無い数学』、しかもそ
のご意志を計算と論理で表現なさられた岡潔先生と似てる様で似てない神です。

神とはそういう存在であり、我々下々が解釈する事は許されません。唯ソレを
見て、そして有難く鑑賞するだけです。

猫

>>304
お前は地獄行きだから関係ないよ
まず地上にあがる心配をしような

>>305
だからその『地獄の炎』で数学板を焼き払うんだよ。判るわナ。

猫

>>305
もうひとつ言っておこう。『私には地上は必要がない。』この場で馬鹿
を思いっきり焼き払うのが『その使命』だからナ。だから地上なんかに
は興味は無いんだよ。

そろそろその事実を判れや。オマエ等にとってはかなり深刻やゾ。

猫

>>305
今後も徹底的に板全体を焼くゾ。判ってるナ。

猫

フランス入国拒否…

>>309
日本に居てへんと焼却活動がしにくいがな。そやからコレでエエのや。

猫

>>303
猫さんの話はいつも面白ね

>貴方がどの範疇なのかは私は知りませんが。

私は、まったくの観客です
数学はエンタの一部です。ただ、数学は使う立場です。数学が分かると便利です。趣味と実益を兼ねています

>例えばグロタンが凄いのは『Backward deduction』ですよね。つまり：
>★★★『要らない事は証明しない。また必要が無い事は使わない。』★★★
>という事です。コレは『数学を行う際の基本』です。

お言葉なれど、経緯を時間の逆順に書けば・・
グロタンディークは、ヴェイユ予想を解決しようとした（1955年前後に、コホモロジー的状況でヴェイユ予想をグロタンディークに述べたのはセールだった）>>302
　↓
ヴェイユ予想：リーマン予想の類似で非特異代数多様体上の合同ゼータ関数における予想。(下の(3)がリーマン予想の類似)アレクサンドル・グロタンディークを経てピエール・ルネ・ドリーニュにより1974年に解決された。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A6%E4%BA%88%E6%83%B3
　↓
リーマンがゼータ関数についての予想を出した
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E4%BA%88%E6%83%B3
　↓
ゼータ関数と素数との最初の関連はオイラーによって示された
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

ということは、オイラーの肩の上にリーマンが乗り、その肩でヴェイユが類似予想を出し、セールがコホモロジーが使えるぞとグロタンディークに教え、グロタンディークが部分解決し、その肩の上でドリーニュが最終解決したけれど
ドリーニュは、グロタンディークが示した方針とは別の方針で解決しましたと（ゼータの非自明なゼロ点がすべて実部1/2の直線上にあるの類似）
で、グロタンディークはどうもドリーニュの証明に納得しなかったらしいと（美しさに欠けると思ったのかな？）

これが私の理解ですけど
グロタンディークは凄いと思うし、まさに神ですが、ヴェイユ予想の最後の部分は別の神ドリーニュを必要としたということだけは押さえておきたい

>>311
私はそういう事を言ってるのではありません。論文の書き方というか議
論の運び方です。即ち：
１．Aを示すにはBを言えば充分。
２．Bを示すにはCを言えば充分。
・・・
２５．Yを示すにはZを言えば充分。
でも「Zは自明」。従って『Aが成立』。

という議論の運び方をしますよね。コレが私の言う『Backward deduction』
ですよ。普通の数学の議論の仕方とは全く逆ですよね。

まあ歴史は貴方の言う通りですよ。だから彼の師はヴェイユとセールで
すかね。ドリーニュが弟子というのはちょっと違うでしょうけどね。

猫

>>311
追加です。ドリーニュに対してグロタンが納得しなかったのは：
★★★『ヴェイユ予想の証明に関して「グロタン自身が本来通るべき
　　　　　　　としたルートをドリーニュが意図して通過しなかった」からですね。』★★★
まあこの話は然るべき文献には記述がある（と思います）。まあ予定されてて
未完となってるEGAの各章のタイトルを見たら、その事は概ねは判りますけど。

猫

>>303
>また例えば(FLT)の場合を考えてみましょう。コレは：
>★★★『問題が解けた事そのものよりも、「ソコへと至る道筋が
>　　　　　　　人類に対して示された」という事実（谷山・志村ヴェイユ）
>　　　　　　　　　　の方が遥かに大切ですよね。そしてその道筋が存在し得る
>　　　　　　　　　　　　　場所を与えたのがグロタンですよね。コレは神にしか不可能。』★★★

これについても、私の理解を書けば（今度は時間順）
フェルマーが予想を出した
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
（このサイトがよく纏まっているの典拠はこれで）
　↓
クンマーの理想数
　↓
デデキントのイデアル理論
　↓
抽象代数学の発展（ブルバキの世界。高木の類対論などもこの流れ）

もう一つのモジュラーの流れ
ポアンカレがモジュラー形式を案出（典拠には無いがガウスが楕円関数の研究で得ていたという）
　↓
谷山・志村予想
　↓
フライ曲線、セールのイプシロン予想とケン・リベットの証明
　↓
アンドリュー・ワイルズが数学者になる一つの動機がフェルマー予想だったと。ワイルズは、「じゃ、谷山・志村予想すれば良いのね」と
そして、屋根裏部屋にこもって証明を進めた。途中、いろいろ人にこっそり聞いたとか。あと、最後はリチャード・テイラーを呼んで共同で仕上げた

このワイルズの証明の中で、グロタンディークの影響は極めて大きいとは思うが
そもそもが、FLTが出てクンマー→デデキントを通じて抽象代数学の発展につながってきたという流れの中でのグロタンディークのコホモロジー論が出たと
まあ、フェルマーさんが変なこと（「この定理に関して、私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。[4]」）を書かなければ、クンマーも変なことを考えずデデキントのイデアル論ももっと遅れたかも・・・
ということだけは押さえておきたい

>>311
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8E%9F%E8%AB%96
全体のプランはココにきちんと書いてありましたね。失礼しました。

猫

>>312
猫さん、乙です

なるほどね
論文の書き方ですか

グロタンディークは、全部明白に全貌が見えていたんでしょう
だから、必要なことだけを書いた。というか、グロタンディークが必要と思うことを書けばそうなったのかも・・・

ドリーニュはこれですね。彼は、神の怒りをかった・・（「自らのプログラムが放棄(埋葬)されたことに激怒したグロタンディークはドリーニュを激しく非難した。」）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%8B%E3%83%A5
14歳でニコラ・ブルバキの数学原論を読みこなしていたドリーニュは、ブリュッセル自由大学
──大学に入るころは既に大学の数学をすべて終えていたとのこと。──
と高等師範学校で数学を学び、23歳でIHESの客員教授、26歳でIHES教授、34歳のときフィールズ賞を受賞。1984年からはプリンストン高等研究所教授。

そのドリーニュが師事したのが、アレクサンドル・グロタンディークである。
彼はグロタンディークが数学をしていた間はグロタンディークに忠実であったが、グロタンディークが数学をやめた後は、グロタンディークのプログラムよりヴェイユ予想の早期の解決に向かい、1974年ヴェイユ予想を解決した。

自らのプログラムが放棄(埋葬)されたことに激怒したグロタンディークはドリーニュを激しく非難した。現在ドリーニュは1988年にグロタンディーク還暦記念論文集を刊行するなど和解に向けて努力している。

ドリーニュ61歳記念カンファレンスには、複数のフィールズ賞受賞者を含むメンバーが揃った[1]。

>>314
歴史は確かにそうですが、でも谷山・志村の出所は楕円曲線のモジュラリティ
の問題だから、従ってそんなにストレートな話ではないと思います。実際に、
その問題となる志村先生の（極めて重要な）定式化である『有理数体上で』と
いう論点に到達するまでは『FLTとは無関係である』と考える方が妥当だと私
は理解しています。

歴史というのは、所詮は『全て後付けでしかない』ので。その方向で完成する
までは一切何も言えないからです。

猫

>>316
まあ悪いけど、貴方が言うてるのは『良く知られてる事ばっかし』ですよ。

猫

>>315
なるほど

”『代数幾何原論』（だいすうきかげんろん、Elements de geometrie algebrique, EGA）は、アレクサンドル・グロタンディークによる代数幾何学を根底から書き換えた数学書。ユークリドの『原論』と同様に13巻刊行される予定であったが、5巻以降は未完成。
それでも、1巻から4巻まで1800ページもあり、残りの原稿となる『代数幾何学セミナー』 "Seminaire de Geometrie Algebrique"（SGA と略称）が弟子たちによってかかれた（約6500ページ）。”

ですか
なかなか凄いですね。キリストとその弟子ですね

外部リンクには、EGAとSGAが入手できるように書かれていますが
いまやってみるとうまくいかなかったな・・

>>319
ソレは今は閉じてますね。グロタン師ご本人のご意向みたいですね。

猫

>>317

うんうん、宮岡洋一氏の話がありましたね。当時新聞記事にもなった
下記は、ちょっと正確ではないようですが

谷山・志村予想の方が難しいと思われていた・・、フェルマーの直接証明よりということのようですが
http://members2.jcom.home.ne.jp/tasuzuki2/kiroku/memorial/sonota/ferumer/ferumer.html
（1988年）東京で数学者の宮岡が「フェルマーの最終定理」が解けたとワシントンポスト等に発表した。宮岡は微分積分学で
　　アプローチをしており、ワイルズの「楕円方程式」と「モジュラー形式」により証明を行っていた。但し宮岡の論文に矛盾点が見つかり
　　証明は失敗だったという結論になって終わった。

>>318
>まあ悪いけど、貴方が言うてるのは『良く知られてる事ばっかし』ですよ。

まあ、私はただの観客ですから、私からは猫さん以上のものは出てきませんので悪しからず

>>320
>ソレは今は閉じてますね。グロタン師ご本人のご意向みたいですね。

なるほど
教祖さまは、いまお篭もりですか
しかし、数学の進歩は止まらないと思いますね

>>314
だから実際に「もしフライ・リベットが無かったらどうにもならなかった」
とは言えるでしょうね。でも（何故か）：
★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★
という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実
質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。

加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし
FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。

猫

>>322
いや、IHESを辞されてからズッとお篭りされてたのは周知の事実なんで
すがね、どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言
われてますね。

大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。

猫

>>321
宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を
考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学
からのアイデア」という解釈ですかね。

あの時は『新聞が騒いだ』という意味で、宮岡先生は犠牲者ですよね。
学者の仕事や研究に対して新聞如きが騒ぐなんて愚の骨頂ですよ。日本
人はどうかしてるね。ゴシップばっかし追いかけてさ。低脳はそういう
事にしか興味を持たないから。

猫

>>323
猫さん、乙です。ちょっと外出していまして、失礼しました。

>★★★『谷山・志村が「有理数体上の問題」として定式化されてしまってた』★★★
>という事実が『地獄の釜の蓋を開けてしまった』んですよね。コレが実
>質上の数論幾何学への扉だったという風に私は理解しています。

なるほど
そういう見方もできますね

>加えてソコにはFaltingsによるMordel-Weilの解決が抜けています、もし
>FLTを語るのであればですが。フィールズ賞も彼に対して出ていますしね。

FaltingsによるMordel予想解決は、確かに大きいですよね
つーか、新聞記事になったような記憶が、フェルマー関係で（フェルマー予想の部分解決（フェルマーの解があっても有限だと））

本当は、フェルマーよりMordel予想の方が数論的には重要なのですが
世間的には、フェルマーの方が受ける（TVに例えれば視聴率が取れる）

ファルティングスはこれ
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%AB%E3%83%86%E3%82%A3%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%82%B9
1983年にモーデル予想を証明。1986年にモーデル予想を証明した業績によりフィールズ賞を受賞。その後プリンストン大学教授を経て、2004年現在はマックス・プランク数学研究所で研究している。
ファルティングスはまずテイト予想とシャファレヴィッチ予想を証明してから、モーデル予想を証明した。

モーデル予想を証明した論文をIHESのアラン・コンヌに送り、その論文に多少のギャップはあったものの、大方あっていたため、その事実をファルティングスに報告。そのギャップを埋めて完全に証明した。

>>324
猫さん、どうも
貴重な情報ありがとうございます。

>大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。

なるほどなるほど

>宮岡先生のは『ヤウ・宮岡の不等式のアリスメティックバージョン』を
>考えて、ソレを用いるという考え方ですよね。だからまあ「微分幾何学
>からのアイデア」という解釈ですかね。

ヤウ先生ね
『見えざる宇宙のかたち』　シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau を買ってきました。なかなか面白そうです
https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/0060430/top.html

もとはといえば，ただひたすら幾何学に魅せられて数学者への道を進んだフィールズ賞受賞者，シン＝トゥン・ヤウ．
しかし，「カラビ予想」の証明をきっかけとして，かたちの研究は＜宇宙のかたち＞へとつながり，ヤウは幾何学と宇宙論の境界領域に足を踏み入れることに……．
ヤウの名は，まさにその＜かたち＞である「カラビ＝ヤウ多様体」で記憶している方もおられるのではないでしょうか．
　川で体を洗う日々，貧しさのあまり家禽業者になりかける……など驚くような生い立ちをはじめ，人生における節目節目のエピソードも随所に差し挟まれますが，基本的にはヤウ自身の足跡に沿って，幾何学，そしてひも理論の魅力がみっちりと語られる本です．
抽象的かつ難解な概念が続々と出てきますが，気鋭のサイエンスライターである共著者の助力も大きいのでしょう，あらゆるトピックが非常に丁寧に，平易な言葉を使って解きほぐされていきます．
ドーナツ，バスケットボールや石鹸膜など，豊富な喩え話によりつつ，あれこれと図を描きながら想像をたくましくして読み進めていけば，大づかみながらも，ヤウの壮大な知的冒険をともに楽しむことができるでしょう．

>>327
>シン＝トゥン・ヤウ　Shing-Tung Yau

写真がありますね。”ポアンカレ予想を巡って”というのは、米国ではかなり騒がれたようですね
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%88%E3%82%A5%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%A4%E3%82%A6
丘 成桐（きゅう せいとう、シン・トゥン・ヤウまたはシン＝トゥン・ヤオ、邱成桐, 1949年4月4日 - ）は中国系アメリカ人の数学者。ハーバード大学教授。

数学者ではあるが幼い頃から数学が得意だったわけではなく5歳の頃に受けた公立学校の入学試験にはそれが原因で落ちている。
高校の頃に幾何学を学び、それがきっかけで代数学などの数学のさまざまな分野に興味を持ち始めるようになった。
この頃、父親が亡くなり経済的に非常に厳しくなったためこれらは書店で本を立ち読みして勉強したという。
1969年に香港中文大学を卒業。カリフォルニア大学バークレー校で陳省身に学び、1971年に博士号を取得。同年プリンストン高等研究所でポスドクとなる。

ポアンカレ予想を巡って
当時、未解決問題だった幾何化予想を研究していたリチャード・ハミルトンと交流があり、後に問題解決にとても大きな役割を担うことになるリッチフローを応用するよう彼に薦めたのも丘である。
この予想はウィリアム・サーストンにより予想されたものでクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題にもなっていた3次元ポアンカレ予想を含む壮大なものであり、
実際、3次元ポアンカレ予想はグリゴリー・ペレルマンが2002年にこの予想を証明することによってその長い歴史に終止符を打つことになる
（査読・検証を経て証明が確定されたのは2006年末）。
よって丘がポアンカレ予想解決を大きく推し進めたのは事実なのだが、ペレルマンの証明の検証の際に、
あたかも自分たちが最終的解決をしたかのような論文を提出した曹懐東と朱熹平（2人ともハーバード大で丘の指導を受けた数学者）を弁護したため、数学界のみならずニューヨーカー誌などの報道機関からも批判を受けた。
マーシャ・ガッセンはその著書『完全なる証明』（文芸春秋刊）で、丘のこの行為こそがペレルマンを人間不信に陥らせ、フィールズ賞含む数々の賞の入賞を辞退させることにつながったと書いている。

>>302 つづき
http://slashdot.jp/journal/548439/
taro-nishinoの日記： 書評 グロタンディークとセールの文通書簡 20120325
抜粋
一流の人から直接学ぶことが大事なのは当り前ですが、直接学ぶ機会が無くても一流の人が書いた著作を読むことが次善の策だと思います。
それに関連して思い出したことがあります。皆さんは、グロタンディーク氏とジャン=ピエール・セール博士の文通書簡集"Correspondance Grothendieck-Serre"という本を御存知でしょうか。
2001年にSMF(フランス数学協会)から出版され、2003年にはAMS(米国数学協会)から仏英2か国語版が出版されました。
この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。
今後再刊されることはありませんので、持っている人にとって貴重な現代数学史の資料となるでしょう。

この本は和訳されませんでしたので、日本のいわゆる数学愛好家には殆ど知られていません。
本にはグロタンディーク氏が位相ベクトル空間から代数幾何学へと分野替えの真っ最中の1955年に始まり、主として1969年までのセール博士との文通が収められています。

セール博士は当時(今でもそうですが)世界一の数学者であり、代数トポロジーの若き権威でした。
対してグロタンディーク氏は位相ベクトル空間に素晴らしい業績を残したけれども、代数トポロジーは勿論のこと、代数幾何学はおろか、函数論の初歩も知らなかったのではないかと思わせる有様でした。
昨今の阿呆学生でもしないような質問、例えば、リーマンのゼータ函数の零点は無限個あるのかとセール博士に聞いているのですね。
天才が天才であるのは知識が無くても、一流の数学者から手紙を通じて学び、あっという間に数学最前線に立てるのです。そこが凡才とは違うところです。
もし相手がセール博士のような一流でなければ、グロタンディーク氏の分野替えはもっと遅れただろうと思います。

書評 グロタンディークとセールの文通書簡
2004年3月 John Tate
この本は、1955年から1969年までのグロタンディークとセールとの間で行われたコラボレーションの詳しい状況を私達に見せる。その当時、彼等は代数幾何学における革命的発展に重要な役割を果たした。
（略）

>>299
>ともかくも、Jackson女史の記事の私訳を以下に載せておきます。なお、この記事は前篇で続きがあります。後編の第2部は私が気の向いた時にでも(いつになるかわかりません)紹介するかも知れません。


後編（part2）下記。200410ですね
http://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf

>>330　つづき　ついでにヒットしたもの

これは、80才の記念記事
http://www.ams.org/notices/200808/tx080800962p.pdf
Grothendieck at 80, IHES at 50

GrothendieckのBiographical Materialみたいでリンクがいろいろ・・
http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/biographic.php
Biographical Material
Modified page
Texts by A. Grothendieck no longer available as per his demand, with the exception of issues of the newsletter Survivre et Vivre (see below)

>>324
>どうやらグロタン師のご意向に加えてIHESの版権の問題とも言
>われてますね。
>大変に厳しい方だとセール先生からもお伺いした記憶ですね。

うん、>>329「この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。」の関連ですね
IHESを辞して、本もだめだと・・

　ニートのゴミ・クズ・カスのクソガキ！　消えろ！！！！！！！！！！！！！！！！

>>302
>セールがいて、グロタンディークがいた
>セールが居なければ・・・

友達が大事ってことかな
小川益川を思い出した。下記は小川さんの立場からの見方。益川先生は本を書いていたね。二人で力を合わせた・・
http://www.soken.ac.jp/journal/special/doc/05-09.pdf

>>279
>加えて私はもうジジイだしね。

話の感じでは、40代みたいなんだけど？
数学者では、カール・ワイエルシュトラスが、けっこう晩成だったと思ったが・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%82%A8%E3%83%AB%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9
1815年10月31日 - 1897年2月19日
ここからドイツのページに飛ぶと

これはどうも超楕円関数（アーベル関数）の論文をようやく1854に出したと、39才かな。2012年なら40代中頃から後半の年代でしょうね
In volliger Isolation von der mathematischen Welt arbeitete er intensiv an seiner Theorie der Abelschen Funktionen (den unmittelbaren Verallgemeinerungen der elliptischen Funktionen) und publizierte in der Zeitschrift seiner Schule.
Aufmerksamkeit erregte aber erst ein Aufsatz in Crelles Journal 1854 Zur Theorie der Abelschen Funktionen, dem 1856 eine ausfuhrlichere Arbeit folgte.

ガロア理論を勉強中です。質問ですが、ガロア分解方程式f(x)=0に
補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が
別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつよいうことですが、
この同一になる部分の証明が読んでも分かりません。なんか誤魔化
されているみたいで。

みなさんから理解に役立つヒントはもらえないでしょうか。
置換が同一になれば、そのガロア群が元のガロア群の正規部分群
になるのは理解しているのですが。

ご教示をお願いします。

グロタンといえば良しも悪しきも山純
１は相当のど素人だな、語るな今後

>>336
誤魔化されているんだよ
それから、だれに誤魔化されたか書けよ、教えて欲しければ

山純山純か、日本語ならね
山純の回し者か？それとも英語は苦手か？

>>338
まあ、証明など本が１０冊あれば全部違うんだよ
全部同じと錯覚しているようなカキコだな
一冊の本で理解しようと思うな
別の本を読んでみな

>>340　補足
なお、”補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると・・”の話は、下記

前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/329-345
ですでに議論している
よかったら参考にしてくれ

>>341
ありがとうございます。過去ログや他のスレで勉強します。

春休みなんで普段なかなか時間が
取れない勉強をしようとガロア理論を選んだんすが、まあ
ラグランジュがすべての準備はしておいてくれたとしても
わずか２０歳そこそこでガロア理論のような発想にいたった
ガロアの頭の中はどうなっているのか。

天才と言えばそれまでですが、若くして詰まら決闘なんか
で死んだのは本当に残念ですね。長生きしていたら、さらに
どんな業績を残したらやら。

ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに
そんな感覚が得られますか。僕はただそれだけのために
ガロア理論を学習しています。ガロア理論が分かったぞという
感覚を味わいたいのです。

>>342
乙

そのカキコからすると、大学１年生の春休みかな
あるいは２年生

ガロア理論と言っても、複数ある（下記）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96
（引用おわり）

個人的見解
１．もっとも原始的：ガロア第一論文＝このスレのメインテーマ（しばしばスレ主により脱線するけれども）　１９世紀
２．古典的：van der Waerden 群環体 第二次大戦前
http://d.hatena.ne.jp/TuvianNavy/20100529/1275157065
３．アルティン：線形代数化　２０世紀中ごろ
http://na-inet.jp/weblog/archives/001482.html
４．グロタンディークのガロア理論　２０世紀後半
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96

>ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに
>そんな感覚が得られますか。僕はただそれだけのために
>ガロア理論を学習しています。ガロア理論が分かったぞという
>感覚を味わいたいのです。

１（もっとも原始的）でよければ、このスレで遊んでゆきな

>>343　補足

>ちなみにガロア理論が分かったという感覚はどう言うときに
>そんな感覚が得られますか。

前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/414-415
を書いているころ、このスレでいろいろ教えてもらって
ようやくガロアの原論文が分かったという感覚になったね

学生さんみたいだから言っておくと
１．自分の勉強のレベルが分かるように聞く：答える方が困る。どの程度噛み砕いて言えば良いか検討がつかない
２．自分の勉強している本は上げる：こっちが同じ本を持っていれば確認できる（大概の本はある）
３．証明のどこにどんな疑問があるのかを書く：書くことが次の理解に繋がる

東京に限らないが、大都市の地下街を歩くと、人に連れられて言う通り歩いても、どこをどう通ってここに来たのか分からないということがある
人って、そういうことがあるよね。地上だと、周りの風景を見ながら歩くから、自分のいる位置を理解しながら行ける

数学の証明で同じように感じることがある
（証明おわり）まで来て、人に連れられて言う通り歩いても、どこをどう通ってここに来たのか分からないということがある

地下街なら、あとで地図を見るんだ
証明なら、自分で地図を作って見るんだ

>>342

>>143　より再録
http://www.sci.nagoya-u.ac.jp/kouhou/10/p14_15.html
眠りから覚めた微分ガロア理論　梅村　浩　多元数理科学専攻教授　名古屋大学理学部・理学研究科 広報誌 No.10 p14_15

彼らはガロア理論を発見した。ガロア理論を次のように説明することができる。
（１）代数方程式は隠れた対称性をもっている。この対称性はガロア群*3で記述される。
（２）ガロア群を観察すれば、公式(1)を一般化する公式がつくれないことが証明できる。
　方程式の場合、目のつけどころであるカナメの部分がガロア群である。ヒヨコのお尻と違って、方程式の対称性であるガロア群は隠れているので、発見するのが難しいのである。
（引用おわり）

４次方程式の根は４つ、５次方程式の根は５つ、で差は１
だが、隠れた対称性＝ガロア群は、４次＝S4＝位数２４、５次＝S5＝位数１２０
その複雑さは桁違い

>>336
>補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が

実は、補助方程式にも同じように隠れた対称性（＝ガロア群）があるよと

>>347
> ４次方程式の根は４つ、５次方程式の根は５つ、で差は１
>だが、隠れた対称性＝ガロア群は、４次＝S4＝位数２４、５次＝S5＝位数１２０
>その複雑さは桁違い

http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf >>36
5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

に、例が豊富にある
付録に
f(x)=x^5+a2x^3+a3x^2+a4x+a5
の係数
a2,a3,a4,a5で可解な例が上がっている

(B5 -1 -10 8 9) はx^5-x^3-10x^22 + 8x + 9 がB5 (半メタ巡回群?位数10) であることを示す。
他に可解なガロア群はB'5 (位数20、B5+で示す)、C5 (位数5、C5 で示す) がある。
・・・・・・
(C5 -11 -11 11 11) (B5 -4 1 10 4) (B5+ 0 0 0 10) (B5+ 5 0 5 5)
・・・・・・
係数を式に直すと、順に
C5 ：f(x)=x^5-11x^3+11x^2+11x+11
B5 ：f(x)=x^5- 4x^3+ x^2+10x+ 4
B5+：f(x)=x^5+10
B5+：f(x)=x^5+ 5x^2+ 5x+ 5

????
なんかおかしいな？
元吉文男先生、付録の表間違ってない？

>>348
仕方ないので方針転換
前スレ>>399より
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/handle/10132/1612
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003

P84
f(x)=x^5+330x-4170
のガロア群はF20（元吉文男>>348では、B5+ 位数20）で、べき根で解ける
具体的な根の表示もある

この場合の隠れた対称性は位数20で、一般の場合の120にくらべると複雑さが小さい
だから、べき根で解けるんだが
ともかく、”隠れた対称性”というキーワードを頭にいれておくべし

>>346
補足

証明 vs 地下街のアナロジーで言えば
どこから入って（入口）どこに連れて行かれようとしているのか（出口）と大まかな方向は、最初に頭に入れておく
証明を読むとき、それを意識して読むこと

>>341
補足

”補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると・・”で
前スレ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/329-345
でも議論しているが、例とした補助方程式は３次だが隠れた対称性を考えるとすべて添加すると６次だと
ここも重要ポイントだ

ガロアの現論文を訳して解説されている守屋先生の
共立出版の本を読んでいると、時々地下道に入り込んで
今自分がどこにいるのか分からなくなることが
ありますが、それでも完全に分かっていないながら
読んでいて、面白いなあと思うのですが、こんな
読み方でもいいでしょうか。

みなさんのような頭脳明晰でないので完全な理解は
難しいとは思うのですが、面白いんですよね。

エーミル・アルティン先生の「ガロア理論入門」は
文庫本になっていて寺田先生の訳で時々参考にして
いますが、読んで面白いのは守屋先生の原論文の訳
および解説です。アーベルの方はまだ読んでいませ
んが。

>>352
乙です

>読んで面白いのは守屋先生の原論文の訳および解説です。

そういう趣旨なら、倉田令二朗>>6「ガロアを読む: 第1論文研究」と中村亨>>2ブルーバックス　「ガロアの理論」　を併読した方が良い
256倍面白くなるよ

中村亨>>2ブルーバックスは、おそらく高校生から大学１年をターゲットにしているから分かりやすい
図書館にもあると思うが

倉田令二朗も図書館にあると思う
だが、手元において読むほうがたのしい

>>352
>守屋先生の
>共立出版の本を読んでいると、時々地下道に入り込んで
>今自分がどこにいるのか分からなくなることが

同感です
守屋先生の解説は分かりやすいものではないと思う

そうでなければ（分かりやすければ）、倉田が>>6を書く動機も薄かったろうと思う
（>>210より
もしそうでないなら、倉田令二朗があとがき>>6で、「他の多くの人達と同様、私はなんとか古典を理解したい思いにかられ、過去何度も挑戦して挫折した経験がある。最近共同作業のおかげでようやくガロア第I論文し得て原稿化したが・・」と書くこともなかったろう）

>>351
>でも議論しているが、例とした補助方程式は３次だが隠れた対称性を考えるとすべて添加すると６次だと
>ここも重要ポイントだ

ガロアは隠れた対称性を明らかにするために、ガロア分解式（リゾルベント）
　V=Aa+Bb+Cc+・・・を考えた>>19

補助方程式についても、ガロア分解式（リゾルベント）が考えられる（簡単のために３次として根をa'、b'、c'とすると）
　V=A'a'+B'b'+C'c'
A'、B'、C'は根a'、b'、c'の置換ですべて異なるように選ぶことで、Vは６つの異なる値を取ることができる

根a'、b'、c'を全て添加するとは、Vを添加することと同じで
V1,V2・・・V6は、互いに有理式で表されることに注意すると

拡大体 k(V1)=k(V2)=・・・=k(V6)であり
ガロア群を自己同型群と考えれば、”p個の群はすべて同一の置換をもつ”>>336は自明だという説明を、倉田>>6は
P141 命題３の証明の冒頭で注意している。あとはP141の証明を読んでもらえれば・・

>>353　>>354
ありがとうございます。おすすめの２冊をアマゾンでとりよせて
読んでみます。愉しみです。

ちなみにレベルの低い話で申し訳ありませんが。ガロア理論の
基本的な概念（可解群の組成列）で正規部分群がなぜ要求され
るのかがどうしてもピンと来ないので、それを原論文の解説で
理解できたらと思って読んでみたんです。

補助方程式のすべての根を基礎体に添加した拡大体と与え
られた方程式の最小分解体との共通部分の体のガロア群が
基礎体のガロア群の正規部分群になるんだとはじめて分かった
次第です。

累乗根からできる方程式を補助方程式とすると確かに正規
部分群になるわいという感じです。

まあ要するに可解群の組成列と累乗根で解けることとの
関係が実感でわかりたかったのです。原論文なら実感で
わかるかと期待して守屋先生の訳・解説本を読んだ訳で
す。

おすすめの本を読んでこのあたりを再度味わいたいと
思います。

>>356
はい、どうもです

正規部分群
１．ガロア記法との関係
前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む212より再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/212
群の共役の記述がシンプル（コーシー記法ではH = gKg-1と書かなければいけないが（下記参照）、ガロア記法はgを作用させるだけで良い>>195。だから、正規部分群に早く気付いたのかも）

２．正規部分群は商群を作る
前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む250より再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/250
正規部分群については、下記が面白く、かつ印象が強烈だったので紹介しておく
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-378.html
正規部分群はどういう意味があるか
（抜粋）
正規部分群は最初に経験する忘れらない切ない経験ですが、今回はそういう正規部分群について説明したいと思います。

まあこれだけ聞くと正規部分群はなんかようわからんことが多いねん。
なんでこんな定義してるのか、どう扱ったらええのか。
それで定義も忘れると。

そこでまずは正規部分群にイメージを持ってもらいたいねん。

だいたいこんな感じ。
これでだいたい、

せ…正規部分群…おまえ…

ってなると思うねんけど、もう少し説明を加えると正規部分群は正規部分群だけ見ててもあんまよくわからんかって剰余集合を考えて見てほしいねん。
（以下略）

>>357
補足

正規部分群
３．組成列と単純群

http://hooktail.sub.jp/algebra/GroupSeries/
これは，どのような有限群でも究極的には単純群にバラせるという，非常にショッキングな主張です．
（引用おわり）

ショッキングではなく、まっとうな主張でしょう

と、発達障害者（チビ、ブサ、知的障害）が申しております

>>357　ついでに、kazuschool.blogの記事
http://kazuschool.blog94.fc2.com/blog-entry-10.html
数理物理：これは数学と物理の中間的な記事で大学の専門的な内容なので、あまり受験とは関係ありません。興味があれば見てください。
物理と数学、両方に敬意を払っていて、数学的な思考で物理の発見がされたり、物理的な思考で数学の発見されたりすると言う信念に基づいて両方勉強してきました。全然内容はしょぼいですが。

rotのイメージ(ベクトル解析)
極限の定義、ε-δ論法は否定を考えてみるとわかりやすい
10進法とn進法の変換方法
二重級数の和の命題の証明
正規部分群はどういう意味があるか
分離公理は図を書くのがコツ
=には等しいと言う意味と、≧かつ≦が成り立つ意味がある
有理数は稠密と有限個とは
全射と単射についての説明
漸化式で解けないけど極限値は求まる問題
数学的帰納法は何故証明したことになるか？は証明になってない
整列集合と超限帰納法
因数定理と三角関数から円周率が求まる直感的なおはなし
距離を保つ一次変換である直交変換の行列は回転か鏡映
体についてとZ/pZ(p:素数)が体の証明
2×2行列Aのn乗の求め方
不確定性原理の関係式は量子を確率分布と考えることだけで数学的に出る
相対性理論、何故加速すると時間は遅れるのか？
相対性理論の続き、ロケットの中の人と地球にいる人との違い
相対性理論の何がわかってるのかの説明が何もわかってない
ポアンカレ予想
物理と表現論
量子力学とヒルベルト空間
原子の半径と不確定性原理の美しい関係
∫(0,∞)sin/xの値の求め方、複素積分の方法
複素数の物理的考察
量子力学の対称性

物理関連で
>>43から
http://www.sci.osaka-cu.ac.jp/~hashimot/tateshina.htm
>『ADHM 構成』歴史おぼえがき　2002 年8月
> ３．現代数学という衝撃
>それが ADHM である．物理学者にとって重要かつホットな問題に対し，そのさなかに数学者のみによるインパクトある仕事が提出される，というのは過去に例のないことではなかったか．
>しかもその手法が，それまで物理学者たちには全くなじみのなかった代数幾何という分野の，それも層係数コホモロジーの言語で書かれた現代的なものであった．
>Polyakov は「現代数学が役に立つのをはじめて見た」と周囲に漏らしたと伝えられる．この衝撃が若き日の Witten の眼を現代数学へと向けるきっかけとなったのではないかと推察される．

『ADHM 構成』については下記ご参照
http://en.wikipedia.org/wiki/ADHM_construction

物理関連で
前スレ現代数学の系譜11 ガロア理論を読む432より再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/432
（粟田英資 准教授）
http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=55&page_type=materials
講義資料 | 数学展望 I | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)

http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=materials
講義資料 | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)

http://ocw.nagoya-u.jp/index.php?lang=ja&mode=c&id=70&page_type=syllabus
シラバス | 数学展望 II | 理学部・理学研究科 | 名大の授業 (NU OCW)

歴史をひもといてみますと、数学と物理は互いに大きく影響をおよぼし合いながら発展してきたことが分かります。19 世紀以前ですと、ニュートン力学と微分積分や位相幾何学、電磁気学とベクトル解析などが代表的なものです。
20 世紀そして今世紀になると、その関係は更に深くなってきています。ですから、数学をより良く理解するためには、物理を全く無視する訳にはいきません。
本講義では、数学と物理の関わりについて、高校や共通教育ではやらない 20 世紀の物理（相対論や量子論）を題材に紹介します。

>>357
補足

ガロア記法については>>39でJean-Pierre Tignolも紹介している
中村>>2を見てからで良いと思うが、Jean-Pierre Tignolも楽しい本です

自分で調べればいいのですが、お詳しい方にきいた
方が早いのでおききします。

Ｓ4の部分群で位数８の正規部分群はありますか。
ないんだろうとは思うんですが。

>>364
無い

>>354-365
どちらさまも、乙です
下記"2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類"が参考になるだろう

前スレ 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む282より再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/282

対称群などについては、下記が参考になるだろう
http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/08kurano.pdf
2008 年度卒業研究 S_3, S_4, S_5 の部分群の分類
http://www.math.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/soturon.htm
明治大学 蔵野ゼミ 研究室の学生の卒業論文・修士論文

補足
>>365の無いが正解

S4の位数８の部分群については、P7の3.6項だ
P2の一覧表の書き方で、< (12); (1324) >

補足

S4の位数８の部分群< (12); (1324) >でないことの説明

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E8%AB%96%E3%81%AE%E7%94%A8%E8%AA%9E#.E6.AD.A3.E8.A6.8F.E5.88.97
与えられた群 G に対して異なる種類の正規列が存在しうる。
与えられた正規列にさらに正規部分群を追加して正規列の細分を得ることができないとき、その正規列は群 G の組成列（英語版）であるという。
ジョルダン-ヘルダーの定理（英語版）により、与えられた群の二つの組成列は必ず互いに同値となる[5]。
5 ^ これを示すのにシュライヤーの細分定理（英語版）を用いる。
（（英語版）の部分にはリンクがあるので、英語の得意な人は見てください）

上記を認めると
S4＞A4＞V＞（e,(12)(34)）＞(e)　という組成列になって（＞は集合の’含む’記号のアスキー代用）

ここにeは単位元、(e)は単位元のみからなる群、Vはクライン群（下記）、A4は４次交代群、S4は４次対称群
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%81%AE%E5%9B%9B%E5%85%83%E7%BE%A4
クラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群である。また、位数2の巡回群の直積と同型である。

クラインの四群元の単位元以外の元の位数は、2である。
また、交代群 A4 の正規部分群　V = < identity, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) > と同型。
（引用おわり）

S4：位数２４
A4：位数１２
V：位数４

位数８の群は、組成列でA4：位数１２の後に入らないといけないが、位数８ではA4：位数１２を割り切ることができないのでA4の部分群にはなれない

>>368
訂正スマソ

S4の位数８の部分群< (12); (1324) >でないことの説明
　↓
S4の位数８の部分群< (12); (1324) >が正規部分群でないことの説明

>>369つづき
もう一つの説明は、
S4＞A4＞V＞（e,(12)(34)）＞(e)　という組成列
で、A4は偶置換から成る群なので、その部分群も偶置換から成る
しかし、S4の位数８の部分群< (12); (1324) >は奇置換を含むので、組成列には入れない＝正規部分群ではない

>>370
補足
直接置換の計算をして確かめても良いんだが
>>370や>>369みたいな説明も、なんとなく群論らしいだろ

>>335
補足

>これはどうも超楕円関数（アーベル関数）の論文をようやく1854に出したと、39才かな。2012年なら40代中頃から後半の年代でしょうね

昔は寿命が短かったからという意味ね
長寿になって、栄養も良くなったいまなら、６０代近くでも現役ばりばりって感じっていう意味と感想です

>>314
訂正

（このサイトがよく纏まっているの典拠はこれで）
　↓
（このサイトがよく纏まっているので典拠はこれで）

>>329
補足

>この本は出版後、何年前か忘れましたが、グロタンディーク氏が自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めないという宣言によって、現在は仏国内でも絶版です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF
反戦運動と環境問題に熱心だったことから、1970年頃にIHESに軍からの資金援助があることを知ると、彼は即座にIHESを辞職。
その後は、数学から距離を置いた隠遁生活を送るようになった。
（引用おわり）

彼の論理的帰結としては
反戦運動に熱心だった自分→IHESに軍からの資金援助がある→反戦運動からの帰結として自身の数学が軍に利用されるのは矛盾→自身の著作権を有するものは出版を今後一切認めない
という論理を貫徹した結果かも・・

>>303
そういえば、昨晩とつぜん、亡くなったお袋のことをフラッシュバックしたよ、５０代中ごろだったから当時でもまだ亡くなるにはまだ若い方だった
猫さんの前スレでのDVの話から
悲しい話なんで、細かくは書かないけど、猫さんの１／１０くらいかね程度は

>>304
>グロタンは『天国から地上へと梯子を下ろした』という印象ですよね。そして
>その梯子を昇る事が出来た有能な人達が勝利を勝ち取った訳です。

グロタンディークがいなければ、代数幾何の発展はもっと遅れていたとは思うけれど
いずれだれかが、その高みに登っただろうと思う
ルートは紆余曲折があり、一人ではなく、現代のエベレスト登頂のように何人ものチームと重装備を用意してとなったかも知れないが・・

内山 龍雄氏が何かに下記を書いていたが、ヤングミルズ方程式は独立に得ていたが、船で渡米しているうちに先をこされたと。
（「これはだれも考え付かない」と思っていたらやられたとか）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E5%B1%B1%E9%BE%8D%E9%9B%84
内山 龍雄（うちやま りょうゆう、1916年（大正5年）8月28日 - 1990年（平成2年）8月30日）は、日本の男性理論物理学者。大阪大学名誉教授。重力場を含む一般ゲージ場の創設者である。

1954年ごろまでに、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に重力と電磁力を結び付ける一般ゲージ理論（非可換ゲージ理論）の研究を完成させていたが、日本で内山以外に一般ゲージ理論を理解できる人間がいなかった[要出典]。
国外では、ヴォルフガング・パウリが1953年には、非可換ゲージ理論を完成させていたが、こちらもゲージボソンに質量を与える方法が分からないという理由で論文発表を控えていた[1][2]。

このため、1954年10月の楊とミルズの論文に対して発表が遅れ、プライオリティは得られなかった[3]。
しかし、論文の発表と同時にプリンストン高等研究所へ赴任し、場の理論の発展に努めた。

>>376
>内山 龍雄氏が何かに下記を書いていたが、ヤングミルズ方程式は独立に得ていたが、船で渡米しているうちに先をこされたと。
>（「これはだれも考え付かない」と思っていたらやられたとか）

陸上の世界記録など
必ず破られるもの

そして、破られた世界記録は次の標準記録になる
グロタンディークは、『天国から地上へと梯子を下ろした』が、いまやそれが標準記録だろう

1 名無しさんにズームイン！ [] Date:2012/03/28(水) 08:28:15.02 ？ID:NWYs/2ZP Be:
　やらなけゃいけない
　電○の各局への圧力が半端ないんです
　昨日、一昨日前田AKB卒業ネタやった情報番組全てが前田AKB卒業ネタ中の毎分で視聴率がダダ下がりしました。
　各局本音では毎分視聴率ダダ下がりするこのネタははやりたくなかったけど原子力村以上に電○からの圧力が凄いんです

ブーム捏造、枕営業、自社買い、サクラの動員そして
AKBの捏造ブームのために税金が大量に使われている証拠がこちら

やっと気付いた「AKBに電通が絡んでる」ではなく「AKBの正体が電通」な件　その124
http://hayabusa3.2ch.net/test/read.cgi/morningcoffee/1333533082/
テレビの捏造ブームに騙されるな

>>376
補足

1954年5〜6月頃の口頭発表のときに、簡単なレジュメ（概要と結論）を配布しておけば、プライオリティの主張（独立に同じことをの）はできたかも
それと、口頭発表が伝わったのかも・・。ワイルズさんがFLTをやっているときに、ちょっとしたヒントで同じ理論を瞬時に思いつく人は沢山いると、秘密を厳格に守ったそうだ

そういう例を沢山しっていたのだろう。古くはガウスが楕円関数を一言書いたら、それをヒントにヤコビとアーベルとが理論を作り上げた
今思えば、レジュメ（概要と結論）も配布しないなら、そしてすぐ論文投稿しないなら、なんのための発表かということになる。他国で独立で進めている人には、「早く投稿しなければ」という動機付けになるし・・

ともかく、ヒントでも言ってしまえば、グロタンディークと同じことを構成する人は出てきたんじゃないかな
もっと人数と時間は掛かっても・・

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%85%E5%B1%B1%E9%BE%8D%E9%9B%84
経歴

1954年5〜6月頃、楊振寧、ロバート・ミルズとは別に一般ゲージ理論の研究を完成させ、京大基礎物理学研究所で開催された小さな研究会で口頭発表していた
1954年8月からプリンストン高等研究所に研究員として渡米
1954年10月の楊とミルズの論文（ノーベル物理学賞受賞）に対して発表が遅れたためにプライオリティは得られなかった
1955年10月 大阪大学教授

保

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む500より再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/500
位数119 までの群の分類が下記にある
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf
位数119 までの群の分類　Red cat　平成23 年10 月3 日

>>381
補足
位数119 までの群の分類　Red catさんには大変お世話になりました
いろいろ自分で部分群を考えるときに参考にさせてもらいました

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 299より再録
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/299
佐藤 幹夫先生なんかも、Ann.of Math に投稿するスタイルじゃない
もっとも、女性にはモテたのか、下記”佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）”というのが、ソリトン方程式を共同研究していた若い女性と結婚したって話は有名でね

そもそも、Ann.of Mathなど論文投稿を基準にしているってのが、ちょっと21世紀の基準としてはどうなのかと疑問に思った次第だ

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%90%E8%97%A4%E5%B9%B9%E5%A4%AB_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%80%85)
佐藤 幹夫（さとう みきお、男性、1928年4月18日 - ）は、日本の数学者で佐藤超函数、概均質ベクトル空間、D加群の創始者。大阪大学教授を経て京都大学数理解析研究所名誉教授。1992年退官。東京都出身。

東京大学理学部数学科で彌永昌吉に師事した後、一時期高校教師を務めるなど異色の経歴を持つ。ノーベル物理学賞受賞の物理学者朝永振一郎に学んだこともある。

ソリトンなど可積分系の研究、特に、ソリトン方程式のモジュライが無限次元グラスマン多様体になるという佐藤-佐藤の定理（夫人と共著）で有名。この定理は可積分微分方程式に対するガロア理論とみなすことができる。

人物
・ 不快でなじめぬ中学時代、それを忘れるため数学に没頭していたという。
・ 彼の講演を理解できる人がおらず、「ほとんどの聴衆は道に迷ってしまう」と述懐している。
・ 自身では論文をほとんど書かず、アイデアや方針をうけた弟子が書き留める。
・ 数学を解説するのではなく、独創的に作り上げるタイプの数学者。

外部リンク
Mikio Sato (京都大学数理解析研究所)
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/past-director/sato.html
An invitation to the Theory of Hyperfunctions
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/hyperfunction.htm

「オウムは統一教会をラジカルにしたもの」
「オウムが行く前に統一教会が、ロシアに進出していました。ところが、そういう連中が、どうも何時の間にかオウム信者とすりかわってしまった。」
　【殺された石井こうきの発言から】

そうか、統一教会、オウム、朝鮮総連、民団→朝鮮人だらけの民主党

そして低視聴率反日大河ドラマ
すべて繋がっている

>>383
これを引いたのは、次が言いたかったから

An invitation to the Theory of Hyperfunctions
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/hyperfunction.htm
で、
今後小改訂はこのページで行います。或る程度纏まったらここに上げます。
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/analysis/hyperfunction.html （現在作成途中, Last major Update 2011/08/31 )
で
”柏原は Fields 賞受賞に値するほどの多量の独創的な，且つ深くて面白い業績を残したが，何故か受賞には至らなかった。
Bernstein や，その他の多くの人と仕事が重なる事がいくつかあったせいかも知れない。ここ等参照
http://people.math.jussieu.fr/~schapira/mispapers/Masaki.pdf ”

で、Schapiraさんが書いていること
”Masaki Kashiwara and Algebraic Analysis Pierre Schapira Advanced Studies in Pure Mathematics 2007

It is a great honor1 to present here some aspects of the work of Masaki Kashiwara.
Recall that Masaki’s work covers many fields of mathematics, algebraic and microlocal analysis of course, but also representation theory, Hodge theory, integrable systems, quantum groups and so on.

Also recall that Masaki had many collaborators, among whom Daniel Barlet, Jean-Luc Brylinski, Etsurio Date, Ryoji Hotta, Michio Jimbo, Seok-Jin
Kang, Takahiro Kawai, Tetsuji Miwa, Kiyosato Okamoto, Toshio Oshima, Mikio Sato, myself, Toshiyuki Tanisaki and Mich`ele Vergne.

In each of the domain he approached, Masaki has given essential contributions and made important discoveries, such as, for example, the existence of crystal bases in quantum groups.
But in this talk, I will restrict myself to describe some part of his work related to microlocal and algebraic analysis.”

>>385
つづき

柏原氏も自分で天にはしごをかける能力があったのだろう
http://people.math.jussieu.fr/~schapira/mispapers/Masaki.pdf
Masaki Kashiwara and Algebraic Analysis Pierre Schapira Advanced Studies in Pure Mathematics 2007

”After 90, Kashiwara concentrated mainly on other subjects such as
crystal bases, but nevertheless we wrote several papers together. In order
to overcome some difficulties related to the microlocalization functor, we
were led to generalize the notion of sheaves and to define ind-sheaves [19].
This theory required a lot of technology from category theory, and, as a
byproduct, we wrote a whole book on this subject [20].
Algebraic Analysis and Microlocal Analysis are still actively developing
in various directions. Let us mention three of them.

[18] M. Kashiwara and P. Schapira, Sheaves on manifolds, Grundlehren der
Mathematischen Wissenschaften 292 Springer-Verlag, (1990).
[19] Ind-sheaves, Ast´erisque Soc. Math. France 271 (2001).
[20] Categories and sheaves, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 332 Springer-Verlag, (2006).”

>>346
つづき

地下街もなんども通っているとつながりが分かってくるという場合もある（そういう場合でも、壁に貼ってある地図をちょっと見ると理解が早いが）
使っているうちに理解できるという場合が多い。理解できないから使わないのではなく、理解するために使って見ると

昔対数（下記）を知ったとき（中学で本でだったように思うが）に、「掛け算が足し算になる、不思議だ」と思った
その後、大人になってグラフを作るときに対数プロットなどでお世話になり（対数プロットで直線関係が現れる）、不思議さは自然となくなった

使って理解が深まる
そういう勉強法が良いと思う

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0
対数の概念は、16世紀末にヨスト・ビュルギ（1588年）やジョン・ネイピア（1594年）によって考案され、便利な計算法として広まった。
実際、多くの対数の近似値を表にした対数表を用いることにより、積の計算を、より簡単な和の計算に置き換えることができる。
この方法では近似値の計算になるが、実用上はそれで十分である場合が多い。

対数の値を長さに換算した目盛りを持つ物差しを使用して、以上の計算手順を簡単に行えるようにしたものが対数計算尺である。

対数は煩雑な計算にかける労力を大幅に減らし、ヨハネス・ケプラーによる天体の軌道計算をはじめとして、その後の科学の急激な発展を支えた。
関数電卓やパソコンなどが広く使われる現代においても、厳密な値を必要としない（有効数字の桁数の少ない）計算をする際には便利な方法である。

指数関数的に変化する量を対数に変換してみると線型性などの綺麗な性質が浮かび上がったり、
双曲線の面積を求める時などに用いる積分 ∫?x?1?dx に現れたりするなど対数は簡便な計算法以上の意味を持つことも多く、いろいろな場面で現れ、詳しく研究されてきた関数の一つでもある。

>>265
>>完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです.
>これと反対のことを言おう
>ナスカの地上絵、遠目の富士

つづき
ガロアは、ガロア理論という巨大な地上絵を描いた
グロタンディックも巨大な地上絵を描いた
ブルバキも同様

”完全な証明をつけるのですから, 図などを使って読者の直観に訴えるのは反則なのです”は数学の証明としては正しい
だが地上絵を見るためには、細かい部分は見えない遠くから見る（あるいは高いところへ登る）ということが必要なのだ
それを忘れて、ひたすら細かい証明を追っても、いくらたっても地上絵は見えない

-----朝日新聞やNHKが煽る「国の借金」について

日頃メディアや、反日工作員が必死になって「国の借金」という単語を使い
財政破綻論を展開させていますが、現実、現在の日本には「政府の借金」1000兆円近く存在いたしますが、
「国の借金」は存在いたしません。

朝日新聞やNHKは、雇い主である中国共産党より日本人に対して不安や政府に対する不信を持たせ、煽るために
局内の共産党員を使用して既に数十年間、「国の借金」を連呼し続けております。

＜違和感なく「国の借金が1000兆円もある」という幻想に浸ってしまっている一般の方々は、朝日新聞やNHKに見事に騙されて続けている訳です＞

数十年もテレビや新聞から情報を得てきた方々の中には、「メディアが嘘を付く訳ない」と思う、そう思いたい方もいるでしょう。
　　しかし、長い目で見れば、もともと戦前から日本を転覆させるために存在してきた報道機関ですから、
これくらいの嘘は朝飯前で御座います。

それでも、「国の借金は1000兆円ある」と考えをお持ちの方は、複式簿記の勉強をしてから、日本のバランスシートをご覧ください。
　
　　実質中国共産党の持ち物でありますNHK、朝日新聞は、これからも嘘を付き続けます。デマを流し続けます。捏造し続けます。
　　　　　

　　-------そのニュース、核心はデマだ。　　　　　　　　　　　　　長文失礼いたしました。----------　

>>364
補足
”Ｓ4の部分群で位数８”というと、下記足立でも読んでいるのだろうか？　４次方程式の定理6.9にD8（位数8の正2面体群）が出てくる

http://blog.livedoor.jp/calc/archives/cat_50008692.html
学校では教えてくれない数学:ガロア理論
2010年09月04日

私が理解していないと思ったとき、何回も読み返しながら理解していった本が次の本です。
足立恒雄　ガロア理論講義[増補版]　日本評論社

>>390
補足
確かに名著（本の帯びに書いてあるから自画自賛だろうが）というだけのことはある
足立の付録Aが気に入った
ガロア理論に必要な群論がコンパクトに纏まっている

>>391
いま、足立をぱらぱらめくって読んだけど、良いね
足立の見ているランドスケープが書いてある>>388

足立の「6.5 歴史覚書」が良いね
”1920年代の末にアルチンは体を下から見るのではなくて、上から見る考え方を導入した（96ページ参照）。”と
でP96に
「要するに、最小分解体というのは一つの方程式の根という立場から（いわば下から）見た概念であり、正規拡大というのは共役写像という立場から（いわば上から）見た概念で、実はこれらは同じものなのである。」と
これは、その前のP95の定理4.13に関連した記述だが

正規拡大はアルチン先生が考えたのか・・、いまではどの本でも書いてあるね
最小分解体というのは、>>355あたりもに書いたけれど、>>366の質問の
「補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加すると、p個に群が
別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつ」に相当する部分

補助方程式の根を１つだけでなく、すべて添加→最小分解体→正規拡大（アルチン）→正規部分群→p個に群が別れて、p個の群はすべて同一の置換をもつ
というつながりだね

>>386
柏原に関してこんなのが
英語の情報量は圧倒的だね

http://en.wikipedia.org/wiki/D-modules
In mathematics, a D-module is a module over a ring D of differential operators. The major interest of such D-modules is as an approach to the theory of linear partial differential equations. Since around 1970,
D-module theory has been built up, mainly as a response to the ideas of Mikio Sato on algebraic analysis, and expanding on the work of Sato and Joseph Bernstein on the Bernstein?Sato polynomial.

The methods of D-module theory have always been drawn from sheaf theory and other techniques with inspiration from the work of Alexander Grothendieck in algebraic geometry.

http://en.wikipedia.org/wiki/Bernstein%E2%80%93Sato_polynomial
Bernstein?Sato polynomial

The Bernstein-Sato functional equation is used in computations of some of the more complex kinds of singular integrals occurring in quantum field theory (Tkachov 1997).
Such computations are needed for precision measurements in elementary particle physics as practiced e.g. at CERN (see the papers citing (Tkachov 1997)).
However, the most interesting cases require a simple generalization of the Bernstein-Sato functional equation to the product of two polynomials
・・Devising ways to bypass the combinatorial explosion of the brute force algorithm would be of great value in such applications.

>>393
リンクを辿ると

例えば、下記で論文のpdfなどが落とせる。arxivってすごいね
で、”The Bernstein-Sato polynomial (or global b-function) is an important invariant in singularity theory, which can be computed using symbolic methods in the theory of D-modules.
After surveying algorithms for computing the global b-function, we develop a new method to compute the local b-function for a single polynomial. ”と
こういう数式処理はますます重要になるだろう

http://arxiv.org/abs/1002.1475
Algorithms for Bernstein-Sato polynomials and multiplier ideals
Christine Berkesch, Anton Leykin
(Submitted on 7 Feb 2010 (v1), last revised 25 Jun 2010 (this version, v2))

代数方程式のガロアの理論（ISBN4-320-01770-6）Jean-Pierre Tignol>>39は、足立>>390の後に出たんだね

Jean-Pierre Tigno第15章「エピローグ」に、ガロア論文を審査した評が載っている
ガロア論文はベキ根による方程式の可解性の条件を含んでいないという

ガロア論文が真として、
「与えられた素数次の方程式がベキ根によって可解であるかどうか、を決定する何らかの良い方法をそれから引き出せないであろう。
なぜならば、この方程式が既約であるかどうか、次にまたその任意の２根がほかの２つの有理分数式として表されるかどうかを確かめなければならないからである。
可解であるための条件は、もしそれが存在するならば、与えられた方程式の係数を調べたり、せいぜい与えられた方程式の次数より低い次数のほかの方程式を解くことによって確かめられる外的な特性を持つべきである。」
と

だが、与えられた方程式の係数で可解性を表すことは理論的には可能であるけれども
例えば>>348 http://staff.aist.go.jp/f.motoyoshi/java/deg5.pdf >>36
5次方程式の可解性の高速判定法　元吉文男 著 - FM Memo 19961017-01

>>349 http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/handle/10132/1612
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
可解な5次方程式について 大迎規宏 兵庫教育大修士論文 2003
（引用おわり）

実は、数式処理に頼っても、それは簡単ではないので
ガロア理論による群論的理解が、ほとんど唯一の理解の仕方だったと思う。まあ、それは当時の審査員には見えていなかった
（だが、ガロアが長命なら何年か後には、もっと早くガロア理論は世に出たと思う。足立はP168でコーシーなどはガロア理論に理解を示したように書いている）

>>395
Jean-Pierre Tigno第15章「エピローグ」

”さまざまな分野へのその応用を通して、また新しい研究に対する霊感の源泉として、ガロア理論はこれで終わりになった問題である、というにはほど遠い状態にある”P319と

>>396
Jean-Pierre Tigno「序文」これがなかなか良い
”この講義の主題は代数学ではなく、より狭い意味での歴史でさえなく、「方法論」なのである。
その目的は、読者（もともとの講義は数学科の学部学生を対象としていた）に、いかに数学が作られていったかというアイデアを理解してもらうことにある。”
と

これは、>>388の地上絵的視点を補完するもの
アナロジーとして、数学で物理の話をするのもなんだが、物理で質点の運動を記述するのに（下記参照）、質点の座標と運動量（座標の微分）の両方を必要とする

地上絵＝現在の座標、歴史的発展と「方法論」＝運動量（座標の微分）なのだ
運動量（座標の微分）を知ることで、それがどこから来てどこへ行こうとしているかが見える場合が多い

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8F%E3%83%9F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%B3%E5%8A%9B%E5%AD%A6
ハミルトン力学（ハミルトンりきがく、英語：Hamiltonian mechanics）は、一般化座標と一般化運動量を基本変数として記述された古典力学である。
イギリスの物理学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンが創始した。ラグランジュ力学と同様にニュートン力学を再公式化した解析力学の一形式。

>>397
「方法論」について、個人的感想

１．変数を増やして、自由度を上げる：
　　だれかが（斎藤先生？）書いていた。カルダノの解法は、変数を増やすという一見筋の悪い方向へ行くと。一見筋の悪い方向だけれども、自由度を上げるという利点はがある
　　なんらかの方法で自由を上げるという手段は結構数学ではいろいろな場面で使われる
２．操作の骨組みを群などに写して考える：
　　体の骨組みをガロア群で考えれば、これガロア理論そのもの
３．別の空間に行ってまたもどる：
　　対数による計算もこれか。実数を対数に変換する。積は和（線形性）に変換される。結果を逆変換する
　　微分方程式の演算子法による解法も同じ
４．扱う対象を拡大する：
　　インドで０（ゼロ）が発見されたという。負の数はいつだろうか。有理数（分数）から無理数、虚数、無限小数、複素数・・と数の範囲が拡大されてきた
　　フェルマー予想を解くために、理想数が考えられイデアルに
　　一方で、多元数、ベクトル、行列、テンソルと必要に応じて数の範囲は拡大された

こんなところを意識しながら（ここはこういう「方法論」を使っている）勉強すると楽しいよ