現代数学の系譜11 ガロア理論を読む

>>412
補足

>ところで、a=φ(V)だったからこの式の両辺に置換σを施すとb=φ(Vb)
>つまりb=φ(Vb)＝G(Vb)／F’(Vb)

ここは、
φ(V)=aで、φ(V)／（ｘ−V）は、デデキント、ラグランジュの論法>>407のもともとの式の定義から、分母と分子は一つの置換で連動して動くことになっていたから>>409
分子aがbに置換されれば、分母のVの式中のaもbに置換されると
そういう見方もできる

>そうなると、置換とガロアリゾルベントが直感的かつ自然に対応が取れて、見通しがよくなる（そうでないと、根の有理式を経由して考えようとすると見通し悪すぎ）

V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a,b,c,・・・）が対応し
V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベントには、順列（a',b',c',・・・）が対応し
この順列と下記の置換が対応する
（a,b,c,・・・）
（a',b',c',・・・）
（ここは、置換のコーシー記法で、上段と下段とを大きな括弧で括っていると見てください）

V'=Aa'+Bb'+Cc'+・・・ ガロアリゾルベント
　↓
（a',b',c',・・・）順列
　↓
（a,b,c,・・・）置換
（a',b',c',・・・）

という三点セットで、ガロアは置換群をガロアリゾルベントの集合として捉え、ガロアリゾルベントを体論の代用として使った
これがガロアの見ていた原風景ではないだろうか

>>414
ガロアリゾルベントを体論の代用として使うメリットもある
例えば、ガロア論文の最後の定理
「素数次の既約方程式が累乗根で解けるためには、（この方程式の）根の任意の二つがわかれば、他（の根）はそれから有利的に導かれることが必要十分である」と

つまり、根の任意の二つがわかれば・・・は
V=Aa+Bb+Cc+・・・ ガロアリゾルベントが、実は
V=Aa+Bb　と二つの根で十分だと
とすると、置換（a,b,c,・・・）でV=Aa+Bbの取る値の数は、n(n-1)となり、この場合のガロア群の位数が直ちにでるのだった