★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十九問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以外の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

前々スレ ★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第十七問
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1242389481/

自然数の数列{a[n]}で全ての自然数nに対してa[n+1]はa[n]の倍数であり
0.20101022=Σ[n=1,∞] 1/a[n]
となるものが存在することを示せ

>>2
明らか

1 と 0 の数字が合計で n 個一列に並んでいる。
最低 1 個は 0 があるとする。
次の規則にしたがって 0 を取り除いていく。

1．0 が複数個ある場合は、残りが 1 だけにならない限り
どれを選んで取り除いてもよい。

2．取り除いた 0 が端にない場合は、その取り除いた 0 の両隣が
0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。

3．取り除いた 0 が端ならば、その片隣が 0 なら 1 に変え、1 なら 0 に変える。

4．最後の 1 個になるまで続ける。

このとき、最初の並びが同じならば、最後はいつも同じ数字になる事を示せ。

つまらん

>>2
a[n+1] > a[n] でつね。

2進法で表わせば
　0.00110011011101010110011111100001000011111100111111

文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、ｸｽﾞ

このスレの住人で解けないやつはいない

君はどこでほえてるの？
頂上？
谷底？

もしかして>>4を出した人？
悔しかったの？

>>10
>>7

出す問題もカスだし性格もカス

今後の流れ

1．>>5=>>8 がもったいぶりながら自慢の回答を披露

2．回答に致命的な瑕疵が見つかる

3．訂正を試みるも撃沈

4．何事もなかったように退散

5．以後数日はROM専

6．ほとぼりが冷めた頃こっそり復帰

7．1．〜6．を繰り返す

>>13
土下座して解いてくださいとお願いしろ

>>4
１． が曖昧な件

数学的帰納法で示せる

a[n]=n!
a^-1=n!^-1

>>2
0.20101022 ＝ 2/10 + 1/10^3 + 1/10^5 + 2/10^7 + 2/10^8
　　　　　　　 ＝Σ[n=1〜5]1/a[n]

と置く。n＝1,2,3,4,5 について

a[n]＝10^{kn}/b[n]　(b[n]＝1,2　knは狭義単調増加の自然数列)

という形をしているので、a[n]は自然数であること、及び
a[n]｜a[n+1] であることが簡単に言える。また、

1/a[5] ＝ 1/a[5](1/2＋1/4＋1/8＋1/16＋･･･)
　　　 　＝ Σ[n＝1〜∞]1/(a[5]*2^n)

なので、数列A[n] を

A[n] = a[n]　(n＝1,2,3,4)
A[n] = a[5]*2^n　(n≧5)

と置くと、A[n]は自然数列であり、かつA[n]｜A[n+1] となることが
簡単に分かる。そして 0.20101022 ＝Σ[n=1〜∞]1/A[n] である。

>>6見て気づいたけど、2進法で無限小数展開すれば自然に題意を満たす……


>>4
数字が1つの状態で、逆向きの手順によって数字の個数を増やすことを
考えると、この作業は98年の東大後期の数学3(2)と同じ作業であることが
分かる。しかも3(2)より かなり強いことを主張している。すなわち、

初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときと、
初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときでは、
同じマルの配列が得られることは無い

ということを主張している。わからん(＾q＾)

このスレもレベル落ちたな

>>4
0が1個のときは4が適用されてなにもせずに終り、でいいのか？

Σ1/n!=eを証明しなさい。世界で2番目に短いテスト問題

>>16=>>20

そういうの、もういいから

>>23
え？お前示せないの？

俺は示せるよ

俺も

m, nを自然数とする
|36^m−5^n|の最小値を求めよ

11
はい論破

じゃあ、俺も

>>29
どうぞ、どうぞ

>>19
を見た限りでは、入試数学最難問といわれた問題の一般化を
>>5があの短い時間で解けたとは到底思えない。

すでに知っていたし
>>4=>>31

そういうのいいから

後だしジャンケン必勝法ですか？

書きたくてうずうずしてしょうがないが、今更嬉しがって書けないか．．．
他行ってくれよw

数学的帰納法

言うほど難しくないからちゃんと考えなさい

『え、いつ解けたの？』


『きにょう』

出題者以外で煽っているやついるの？ｗ

1.があるから問題が成り立っているけど1.があるから難しくない

朝まで講釈垂れてなさい

むしろ出題者がわかってないんじゃね？

∫[0, π]e^x |sin nx|dx

00000
0001
101

00000
0001
010
00

>>43
このスレの住人にはちょうどいいレベルだね

>>44
おいやめろ

1010001
101111

1010001
000001
…

>>47
だからやめろ

>>27>>43
解けました

>>4
文意がいい加減過ぎる。
出直しだよ。。

円周上にm個の赤い点とn個の青い点を任意の順序に並べる。
これらの点により、円周はm+n個の弧に分けられる。
このとき、これらの弧のうち両端の点の色が異なるものの数は
偶数であることを証明せよ。ただし、m≧1、n≧1であるとする。

5つの整数が小さい順にA.B.C.D.Eと並んでいます。
このうち2つずつの整数を取り出して加えると、その和は次の8種類の数となります。
17.22.25.28.31.33.36.39
このとき、B＋Cはいくつですか。
また、5つの整数A.B.C.D.Eの平均はいくつですか。

制限時間3分 立教中入試問題

25
14.5

25
14.2

>>53>>54正解
で何分で解けた？

失礼>>54だけ正解
おい>>53！

>>55
1分半くらい

平均×5=自然数だから14.5はない

私は-5秒だ

>>43
　∫[0,π] e^x |sin(nx)| dx = Σ[k=0,n-1] (-1)^k ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx
　　　　= Σ[k=0,n-1] (-1)^k a_k, とおく。

　∫(e^x)sin(x)dx = (e^x){sin(x)-cos(x)}/2 = (e^x)sin(x-π/4)/√2,

a_k = ∫[kπ/n, (k+1)π/n] (e^x)sin(x)dx
　　= [ (e^x){sin(x-π/4)}/√2 ](x=kπ/n, (k+1)π/n)
　　= e^((k+1)π/n){sin((k+1)π/n - π/4)/√2 - e^(kπ/n)sin(kπ/n - π/4)/√2,

>>55
8.5時間ぐらいだが何か

>>4
>>19の要領で，
初期状態が○の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を ａｎ 通り．．．�@
初期状態が●の状態でマルの個数をn個まで増やしたときの並び方を ｂｎ 通り．．．�A
とする（左右は区別する）と，

ａ（ｎ+1）＝ａｎ＋２ｂｎ＋１
ｂ（ｎ+1）＝ａｎ

より，ａｎ＋ｂｎ＝2＾ｎ−1
よって�@と�Aは重複しない

>>60
>>52の書き込みから8.5時間も経ってないが

>>61
＞ａ（ｎ+1）＝ａｎ＋２ｂｎ＋１
＞ｂ（ｎ+1）＝ａｎ

なんでこうなるの？

出題者が馬鹿だから

一人必死で張り付いている奴がいて笑えるw

>>65
統合失調症か？

既知外が住み着いて誰も寄り付かなくなったw

7 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2010/10/23(土) 10:15:01
文句ぎりいってる奴は解いてからいえよ、ｸｽﾞ

文句ぎりって愛知の方言だっけ？

>>67
ちゃんとした問題だせ

単芝死ね

ｆ（ｘ）が２ｎ次の整式のとき、関数 ｙ＝ｆ（ｘ） のｸﾞﾗﾌは極値を奇数個持つ事を示せ。

>>2=>>4=>>72

>>72
いいかげんにしろ

荒れすぎ
>>72
死んだほうがいいよ

>>72
はいはいワロスワロス

2n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。
このとき、�納0〜n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。

>>72
　f(x) が極値を持つ。　⇔　f '(x) の符号が反転する。

f '(x)は2n-1次の整式で、
　x→-∞ で f '(x) < 0,　x→∞ で f '(x) >0,
　この間で 奇数回 符号が反転する。

>>72
f(x)のx^(2n)の係数が正のとき
f(x)は連続でlim(x→-∞)f(x),lim(x→+∞)f(x)のいずれも+∞なので
f(x)の増減はxの値が小さい方から見ていくと
減少、増加、減少、・・・・、増加となる。
極値を取る点は増減の変わり目であるから ｙ＝ｆ（ｘ） のｸﾞﾗﾌは極値を奇数個持つ
f(x)のx^(2n)の係数が負のときも同様

なんか直感的過ぎかなぁ

お前らバカすぎ
反論
x^4-x^3

x→±∞　f(x)→±∞から明らか

>>82
正解

>>27
はやくしろ

関数f(x)は次のような性質を持つ
f(x)>0
単調増加
上に凸

このとき
f(x+1)/f(x)は単調減少関数であることを示せ

>>85
多分高校生スレでインスパイアされただろ

だろうな
log(x+1)/log(x)が単調減少ってすぐに分かるの？

>>85
{f(x+1)/f(x)}'={f'(x+1)f(x)-f(x+1)f'(x)}/{f(x)}^2 …(1)
ここで
f'(x)/f(x)について{f'(x)/f(x)}'={f''(x)f(x)-{f'(x)}^2}/{f(x)}^2≦0
(∵条件よりf(x)>0かつf''(x)≦0)

よってf'(x)/f(x)は単調減少なので
f'(x+1)/f(x+1)≦f'(x)/f(x)
任意のxに対しf(x)>0より
f'(x+1)f(x)≦f(x+1)f'(x) …(2)

(1)(2)より題意は示された

M(x):=f(x+1)/f(x)
Let h>0
M(x+h)-M(x)=f(x+1+h)/f(x+h)-f(x+1)/f(x)=(f(x+1+h)f(x)-f(x+h)^2)/(f(x)f(x+h))
分子＝-(1/4)(f(x)-f(x+h+1))^2 <=0
(because 上に凸 ＝＝＞f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) )

so M(x+h)-M(x) <=0

M(x) is monotonously decreasing function.

>>85
f(x)≠0
上に凸
でいい

>>88
微分可能なんて…

log_{4}(5)とlog_{5}(6) 大小関係

(because 上に凸 ＝＝＞f(x+h)>=1/2 (f(x)+f(x+h+1)) )
-->
f(x+h)>=tf(x)+(1-t)f(x+h+1), here t=h/(1+h) and 0<t<1 for h>0

分子<= -(tf(x)-(1-t)f(x+h+1)^2<=0
so M(x+h)-M(x) <=0

O(0, 0), A(1, 0)
x^2+y^2=1上の動点P, Q

>>81
>>81
>>81

81にとっては4は奇数なんだろう

a[1],…,a[2010]が2010の約数であるときa[1],…,a[2010]からいくつか選びその和が2010であるようにできることを示せ

まず2010の約数が2010個もないのにどうa[k]を定義してんだよ

>>98
あほ
重複

>>99
だったら明らかじゃん

>>100
知るかボケ

2010の約数を、重複も込めて2010個選択し、
それらをa[1],a[2],…,a[2010]と置く。
どのような選択の仕方でも、いくつかの異なる番号i1,i2,…,ikに対して
a[i1]＋a[i2]＋…＋a[ik] ＝ 2010 が成り立っていることを示せ。

>>102
重複の仕方は任意？勝手に選んでいいの？

>>103
問題読んでる？
> どのような選択の仕方でも

約数って正だけ？

>>105
負の約数だけを2010個選択すると明らかに>>102は
成り立たないから、まあ正の約数だけに限定するんだろう。
問題文に書くべきだが。

>>102
これ本当にいえるの？面白い問題だね

>>92

・解(1)
　y=ln(x) は上に凸。
　x>1 では y>0 ゆえ、 y=ln(ln(x)) も上に凸。
　ln(ln(x+2)) - ln(ln(x+1)) < ln(ln(x+1)) - ln(ln(x)),
　ln(x+2)/ln(x+1) < ln(x+1)/ln(x),

・解(2)
　y=ln(x) は上に凸。
　ln(x) + ln(x+2) < 2*ln(x+1)
　ln(x)/ln(x+1) + ln(x+2)/ln(x+1) < 2,
x>1 と 相加･相乗平均より
　{ln(x)/ln(x+1)}{ln(x+2)/ln(x+1)} < 1,
ln(x+2)/ln(x+1) < ln(x+1)/ln(x),

・例
　log_{4}(5) = ln(5)/ln(4) = 1.1609640474436811739351597147447
　log_{5}(6) = ln(6)/ln(5) = 1.113282752559378345804672928035

a[i1]＋a[i2]＋…＋a[ik] ＝ 2010..(1)
とならないようにしようとすると
2010は0個
1005は1個以下
670は2個以下
402は4個以下
335は5個以下
201は9個以下
134は14個以下
67は29個以下
30は66個以下
15は133個以下
10は200個以下
6は334個以下
5は401個以下
3は669個以下
2は1004個以下
1は2009個以下

1005から5を最大まで選ぶと1857個...(2)
なので少なくとも1,2,3は943個選ぶことになる
(2)の時点で(1)となる組み合わせがある
(2)の状態から1005から5の数を減らし代わりに1,2,3の数字を選ぶ
それでも(1)の組み合わせは存在する
これを詳しくやればいけるかな？

マジで通報すっから

S1/xdx=ΣS1/xdx-Σn(1/n-1/n+1)=Σlog(n/n+1)-Σ(1-n/n+1)=log(1/m)-(m-Σn/n+1)

(2^(131)+192)/224は自然数であることを示し
桁数を求めよ

>>112
これ、昨日考えたが、後半の桁数は
対数表使ってlog_{10}(2)の値を知ることしないと
かなり汚い問題になるってことが分かったぞ。
対数表使わないと0.3010＜log_{10}(2)を示すことになって
かなり荒っぽい評価が通用するらしいが
そんなことが通用するとは思わなかった。
算数みたいな細かい計算して求めるって方法もあるらしいが
そうすると値を計算して簡単な形にしたにもかかわらず
流れに逆流するようなことをすることになる。
後半の桁数の部分ははっきりいって汚い。

10^3<2^10
だから38か39ぐらい

>>108
>y=ln(x) は上に凸
グラフを描けば分かるが、こういういい方はしないんじゃないか？
グラフを右に回転させたものは上に凸になるが、凸性使うんだったら
log_{4}(5)とlog_{5}(6)の大小関係
は、関数y=log_{4}(5)、y=log_{5}(6)が
共に連続かつ共に単調増加であることをいって、
これらのグラフを一緒に描いて
点(4、1)と(5、log_{4}(5))を結ぶ直線、
点(5、1)と(6、log_{5}(6))を結ぶ直線
も描いて、これらの直線がx＜0、y＜0
で交わることを見せればそれでいい。
そうすると、
log_{4}(5)-1＞log_{5}(6)-1
で、大小関係は自ずと分かる。
逆に、凸性使わないで考えろってなるとすごく難しくなる。

>>112

(与式) = (2^126 + 6)*32/(7*32) = (2^126 + 6)/7 = {(2^21)^6 + 6}/7,
は自然数。

猫に小判、まで読んだ。

ワシは猫

そういえば書き忘れたが、>>115は微分するなって条件のもとでの話な。
>>92は本来微分しないで大小関係を求めて下さい、っていう問題だったんだ。
微分していいですよっていうんなら話は簡単になる。
微分法や凸性使わないで色々大小比較したんだが、かなり難しく感じたんだよ。

log4log6<((log4+log6)/2)^2=((log24)/2)^2<((log25)/2)^2=(log5)^2
log4log6<(log5)^2
log6/log5<log5/log4
log_{5}(6)<log_{4}(5)

>>120
確かに凸性は使ってないしこれに説明加えたのが
微分法を使わない解答のようだな。
説明が全くないから解答としてはダメだが式変形には否定の余地がない。
よくこんな大小比較の式変形思いついたな。

あえてケチを付けるならlog xの単調増加を述べるべきだな

微分すればすぐ解けるのにﾊﾝﾃﾞ戦みたいな事して面白いか？

電卓使えばすぐ解けるのにﾊﾝﾃﾞ戦みたいな事して面白いか？

>>123
ただ解くことだけに興味ありません(ｷﾘｯ

n個の1〜2010までの整数の部分集合A[1],…,A[n]が次の条件を満たす
『全ての1〜2010までの整数はA[1],…,A[n]の中からいくつかとりその共通部分とすることができる』
このようなA[1],…,A[n]がとれる最小のnを求めよ

n=1

n=14

a を、 0<a<1 を満たす定数とする。
0≦x＜ pi/2 の範囲で、y=sin(x) のグラフとy=a*tan(x) のグラフが囲む部分の面積を S とする。
(1) S を aを用いて表せ。
(2) lim_[a→1-0]( S/(1-a)^2 ) を求めよ。

>>129
おいおいちゃんとしろよ
どこが囲まれるんだよボケカス

>>129
(-a+a log(a)+1)
1/2

101 名前： (　´∀｀)ノ７７７７さん 投稿日： 04/02/27 21:13
羽田空港で所持金200円　どうしよう…だれか助けてください。

109 名前： (　´∀｀)ノ７７７７さん [sage] 投稿日： 04/02/27 22:21
>>106　友達に銀行に金振り込んでもらったら？ＵＦＪなら振込みも24時間できるんじゃなかったっけ？
間違ってたらごめんね。

111 名前： (　´∀｀)ノ７７７７さん 投稿日： 04/02/27 22:29
>>109　空港の銀行って21時までしかやってないんだよお。　しかも東京出てきたばかりでつ。

116 名前： (　´∀｀)ノ７７７７さん 投稿日： 04/02/27 22:54
残り80円・・もうだめぽお

117 名前： (　´∀｀)ノ７７７７さん 投稿日： 04/02/27 22:57
>>116　ジュース飲んでんじゃねーよハゲ！！

>>129 の（２）の極限ってロピらずにできるの？

できますん

いまだに人類の月面着陸が捏造だと信じているやつがいるのに驚き

いまだに月の存在を信じているやつがいるのに驚き

あの墜落事件とテイコのシグナルからあの計画がはじまった。

論理的な推察では他の惑星のビージャーがテイコクレーターに着陸した。アポロ計画は
その回収が目的だった。その技術からマイクロチップが。。。

2^nの各桁の和をa[n]とするときlim[n→∞]a[n]を求めよ

>>139
lim[n→∞]a[n]＝1

ただし、2進表記

まちげえねえ

Σ2^n=Σan10^n
2^n=(10-2)^n-3

nを2以上の整数とする.
袋の中に赤球1個,白球n個の計n+1個の球が入っており,赤球に0が,白球にそれぞれ0,1,2,…,n-1が書かれている.
この袋から無作為に1個の球を取り出し,その球に書かれている数字がk(k＝0,1,2,…,n-1)のとき,
その球を袋に戻さずにさらにk個の球を袋から無作為に取り出す.
袋の中に赤球が残らない確率を求めよ.

(2^(n-1)+n-1)/(n(n+1))

>>144
だっさー

猫が寝転んだ。

(n!)^n≧Π[k=0,n-2]((k+2)^(n-k))を導け。

>>147
訂正
(n!)^(n+1)≧Π[k=0,n-2]((k+2)^(n-k))を導け。

>>147
　n! = Π[k=0,n-2] (k+2),

良ｽﾚだったのになあ。。。

1.
体積が1の直方体ABCD-EFGHの辺ADの中点をP,辺AEを1:2に内分する点をQとする。
このとき△GPQの面積の最小値を求めよ。

2.
aを実数の定数とする。
xy平面上に円C1:x^2+y^2=16, C2:(x-8)^2+(y-12√3)^2=64, C3:(x-20)^2+(y-a)^2=1
があり点PはC1上、点QはC2上、点RはC3上を動く。
三角形PQRが正三角形となる場合が存在するようなaの値の範囲を求めよ。

3.
aを正の実数の定数とする。
xy平面上で点F(a,0)と点F'(-a,0)を焦点とする楕円Dがあり、
点Fを通りx軸とは異なる様な直線Lと楕円Dの2交点をそれぞれP,Qとする。
点Pにおける楕円Dの接線とy軸の交点をR、点Qにおける楕円Dの接線とy軸の交点をSとし
PQの長さをb,RSの長さをcとする。
このとき△F'PQの内接円の半径をa,b,cを用いて表せ。

ゴミクズ

4,
a>bの実数a,bに対してf(x)=1/(ax-b)とし、xy平面上に点Pn(n,f(n))と点Qn(n,0)を取る。
全ての正整数nについて△Qn-1PnQnをy軸を中心に回転させたときの立体の体積が
等しくなるようなa,bの値を求めよ。

5,
pを3以上の素数とする。
(1)nを正の整数とするときΣ[i=1_n] i×p^iをp,nを用いて表せ。
(2)p-1以下の正整数kに対して正整数a(k)をb(k)を
　b(k)=Σ[j=1_p-1] j^k×a(k)　と定める。
　1≦k≦p-1の全てのkについてb(k)がpの倍数であるとき、a(k)も全てpの倍数であることを示せ。

6.
αを正の実数とし、0または1のみからなる数列a(n)を以下のようにn=1から定めていく。
・a(1)=1
・Σ[k=1_k] a(k)=S(k)として、2≧nではa(n)=1となる確率はα/(α+S(n-1))
以上のように数列を決めていき、S(n)=mとなる確率をp(n,m)とする。
(1)p(n,1)をα,nを用いて表せ。
(2)p(n,m)をp(n-1,m),p(n-1,m-1),α,mを用いて表せ。
(3)lim[n→∞] {p(n,m)}^(1/n)をα,mを用いて表せ。
(4)(3)で得られた極限値をq(m)としたとき、lim[n→∞] p(n,m)/{q(m)^(n-2)}をmを用いて表せ。

ゴミクズ

気違いが住みついちゃったなぁ

今に始まったことではなかろう

東大というとやたら「私の知り合いの天才レベルの少年」の話持ち出す人が多いけど…
そんなの学年に数人なんですが。
大多数は、「しこしこまじめに努力を続ける能力のある子たち」なんですよ。
難問に手こずったり記述は点が取れなかったりあたりまえにありましたけどね、今の時期。
ゴソさんも同じ勘違いしてますけど、別に東大に入れるのに天才である必要はないんですよねえ。
うちの子なんてジュニアオリンピックなんて挑もうという気すらゼロだったし。
やるべきことを徹底してやる。それだけで理�Vの合格可能性80％の偏差値は取れるんです。
さすがに早慶となるとまた話は別ですけど。
きっとその辺の偏差値が身近でない親御さん達がやたら理�V天才伝説をしたり顔で振り撒くんだと思います、正直。
まあいいんですが。光栄で。でもうちの子は天才ではないし友達のほとんどもそうです。
ケンちゃんはさすがに出遅れ過ぎだと思いますね。
やっぱり先手必勝なんですよね。
この時期上位の子達をここから抜いていくのは非常にきついです。
あっ、ゴソさんは天才児を生み出すのが第一で
東大はあくまでその結果と思っていたのでしょうね、失礼しました。

x軸上のｘ＞０に中心を持つ半径１の球ｎ個をひとつめの球が中心（１，０，０）になるように置き、これらが隣同士が互いに外接するように並べる。
（２n-1,0,1）を通りｙ軸を含む平面で全体を切断するとき、この平面より上側の部分の球（の一部）の体積の合計をU,
平面より下側に来る部分の体積の合計をＶとするとき、lim[n→∞]Ｕ／Ｖを求めよ。

猫

正三角形PQRの3 辺PQ，QR，RP上にそれぞれ点A，B，Cをとる。△PCA，
△QAB，△RBCの外接円の中心をそれぞれO1，O2，O3，その半径をそれぞれ
r1，r2，r3 とする。△ABC の3 辺の長さをa = BC，b = CA，c = AB とする
とき，次の問いに答えよ。

(1) r1，r2，r3 をa，b，c で表わせ。
(2) △O1　O2　O3 は正三角形であることを示せ。

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284618538/375
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1291738835/97,238,240,241,537,538,540,543,546,547,550,551

この問題コピペする荒らしが流行ってんの？

高校生用の質問スレが埋まって新スレたったからまた湧いたのか

>>153
5.
(1)　Σ[i=1,n] i･x^i
　　= x･Σ[i=1,n] i･x^(i-1)
　　= x･Σ[i=1,n] (d/dx)x^i
　　= x･(d/dx)Σ[i=0,n] x^i
　　= x･(d/dx){[x^(n+1)-1]/(x-1)}
　　= x･{n･x^(n+1) -(n+1)x^n +1}/(x-1)^2,
ここで x→p とする。

(2)
　k=p-1 のときは　j^(p-1)≡1 より
　Σ[j=1,p-1] j^(p-1) ≡ p-1 ≡ -1 (mod p)
よって
　p|b(p-1) ⇒ p|a(p-1)
しかし 1≦k≦p-2 のときは
　Σ[j=1,p-1] j^k ≡ 0　(mod p)
の場合もあるので……

>>153

4.
題意より、�儔n-1･Pn･Qn は直角�凾ﾅある。高さyでの断面積は
　S_n(y) = π{n^2 - [n - (1 - y/f(n))]^2}
　= π{2n[1 - y/f(n)] - [1 - y/f(n)]^2},
これをyで積分すると
　V_n = ∫[0,f(n)] S_n(y)dy = π(n - 1/3)f(n),
∴ a=1, b=1/3

>>151

1.
頂点の座標を
　A: (0, 0, 0)
　B: (a, 0, 0)
　D: (0, b, 0)
　E: (0, 0, c)
　G: (a, b, c)
とおく。題意より abc=1,
　P: (0, b/2, 0)
　Q: (0, 0, c/3)
また
　PG↑ = (a, b/2, c)
　QG↑ = (a, b, 2c/3)
　PG×QG = (-2bc/3, ca/3, ab/2)
よって
△PQR = (1/2)|PG×QG|
　= (1/2)√{(2bc/3)^2 + (ca/3)^2 + (ab/2)^2}
　≧(1/2)√{3･(abc/3)^(4/3)}　　　(← 相加･相乗平均)
　= (1/2)√{(1/3)^(1/3)･(abc)^(4/3)}
　= 1/{2･3^(1/6)}・(abc)^(2/3)
　= 1/{2･3^(1/6)},
等号成立は 2bc/3 = ca/3 = ab/2,
すなわち AB:AD:AE = a:b:c = 4:2:3 のとき。

あけまして おめでとう ございまつ。　本年も宜しく････ 後ry)

>>158
k番目の球の中心は O_k = (2k-1,0,0) にある。
問題の平面は z = x/(2n-1) = x･tanδ,　(δ: それがxy平面となす角）
O_k からこの平面までの距離は d_k = (2k-1)sinδ である。
この平面より上側および下側の部分の球の体積は、
　u(d) = π∫[ d〜1] (1-ζ^2)dζ = π[ζ-(1/3)ζ^3](d〜1) = (π/3)(2-3d+d^3),
　v(d) = π∫[-1〜d] (1-ζ^2)dζ = π[ζ-(1/3)ζ^3](-1〜d) = (π/3)(2+3d-d^3),

　Σ[k=1,n] d_k = sinδ･Σ[k=1,n] (2k-1) = sinδ･Σ[k=1,n] {k^2 -(k-1)^2} = sinδ･n^2 ≒ (2n+1)/4,
　Σ[k=1,n] (d_k)^3 = (sinδ)^3･Σ[k=1,n] (2k-1)^3 = (sinδ)^3･Σ[k=1,n] {(k^2)[2k^2 -1] -(k-1)^2･[2(k-1)^2 -1]}
　　= (sinδ)^3･n^2･[2n^2 -1] ≒ (2n+3)/8,

　U = Σ[k=1,n] u(d_k) = (π/3)Σ[k=1,n] {2 -3d_k +(d_k)^3} ≒ (π/4)(n - 1/2),
　V = Σ[k=1,n] v(d_k) = (π/3)Σ[k=1,n] {2 +3d_k -(d_k)^3} ≒ (π/4){(13/3)n + 1/2},
∴　lim[n→∞] U/V = 3/13,

このスレ実質死んでるから、過去問の人気投票でもして品評会でもしようや

過去ログまとめてほしいな

ここはセルフサービスらしいよ。

球を切り取ってできた、断面の円の半径が３�p、断面を下にして、地面に置いた時の高さが１�pの物体の体積および表面積を求めよ。

体積はもちろん表面積も高校の範囲内で求められる。

�@数列{F[n]}が，F[1]=F[2]=1，F[n+2]=F[n+1]+F[n]を満たすとき
F[1]+F[3]+・・・+F[2n-1]=F[2n]
が成り立つことを示せ．

�AOA=OB=1,AB=xの△OABにおいて，辺OBの中点をMとする．∠OAMが最大となるようなxの値を求めよ．

�Bx^3+3xy+y^3=32を満たす整数の組(x,y)を全て求めよ．

�Cサイコロをn個同時に投げるとき，出た目の数の和，積がともに偶数となる確率を求めよ．

�Dxy平面上において，不等式
36x^3-12x+1≦y≦0
を満たす領域の面積は1より小さいことを示せ．

>>172

�@　(左辺) = Σ(k=1,n) F[2k-1] = Σ(k=1,n) {F[2k] - F[2k-2]} = F[2n] - F[0] = (右辺),
　　ここで便宜上、F[0] = 0 とした。

�A　第二余弦定理より
　　cos(∠OAM) = (1 + AM^2 -1/4)/(2AM) = (1/2)AM + 3/(8AM) ≧ (√3)/2, 　(相加･相乗平均)
　　∴　∠OAM ≦ 30ﾟ
　　等号成立は AM = (√3)/2, cos(∠O) = 1/2,　∠O=60ﾟ,　x=1, (正三角形)
　　∵　AM^2 = (1/4) + 1 - cos(∠O) = (1/4) + (1/2)x^2,

�B　(左辺) - (右辺) = (x+y-1){x^2 + y^2 -xy +2 +(x+y-1)} -31,
　　右辺の {　} ≧ 0, より
　　x+y-1=1,　x^2 + y^2 -xy +2 = 30,　{x,y}={-2,4}　　(x+y-1=31 は不適)

�C　積が偶数　⇔　すべてが奇数ではない。　確率: 1 - (1/2)^n,
　　すべてが奇数のときは、和の奇偶 = nの奇偶,
　　和が奇数となる確率 = 和が偶数となる確率 = 1/2, 　
　　和，積がともに偶数となる確率は
　　　　nが奇数のとき　1/2,
　　　　nが偶数のとき　1/2 - (1/2)^n,

�D　f(x) = 36x^3 -12x +1 = 12x(3x^2 -1) +1　とおく。
　f '(x) = 12(3x+1)(3x-1), より　極小値は f(1/3) = -5/3 < 0,
　一方　f(0) = f(1/√3) = 1 > 0,
　f(x) = 0 の正根を a<b とすると、0<a<1/3<b<1/√3,
　0 < b-a < 1/√3,
　題意の面積 ≦ (5/3)(1/√3) = 5/√27 < 1, （実際は 0.4873767188････ぐらい)
　a = (2/3)cos(φ-2π/3) = 0.085188････ 　b = (2/3)cosφ = 0.53002334････
　ここに、cos(3φ) = -3/8,

>>171

球の半径をR,　断面の円の半径r=3,　高さh=1 とおく。
題意より　　r^2 + (R-h)^2 = R^2,
∴　R = (r^2 + h^2)/(2h) = 5,
　体積 = ∫[0,h] S(z)dz = π∫[0,h] {R^2 - (R-h+z)^2} dz
　　= π∫[0,h] (2R-h+z)(h-z) dz
　　= πh^2･(R - h/3)
　　= (14/3)π,
　表面積 = π(r^2 + 2Rh) = 19π,

>>174表面積は、なぜその式で求まるの？

何かのスレでπ>3.05を示すのにArctanの積分と簡単な不等式使ってπ>46/15を示す方法あったんだが分かる人いない？

積分使うなら面積で評価してるんだから√(1-x^2)を考えるじゃないの

>>176
Fランク大学の数学の入試問題を考える。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208196395/269

269 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/04/27(日) 15:03:40
円周率の問題（π>3.05を示せ）だが、0≦x≦1において不等式
1/(1+x^2) = 1-x^2 + (x^4)/(1+x^2)≧1-x^2+(1/2)x^4 と
∫[0,1]{1/(1+x^2)}dx = π/4
の２つを奇跡的に気がつけば、後はFランクレベルで
π/4≧1-1/3+1/10
∴π≧46/15=3.0666...

これも、東大生でも気がつくのは無理かな？

a,b,a/(a^2-b^2),b/(a^2-b^2)が全て整数になる組(a,b)を求めよ

箱の中に0,1,2,3,4,5の数字が書かれたカードが1枚ずつ計6枚ある
無作為に1枚取りだし,数字を記録して元に戻すという試行をn回繰り返す
このとき,引いたn個の数字の積が4の倍数になる確率を求めよ

n桁(n≧3)の自然数のうち,次の条件を満たすものはいくつあるか
条件
2〜(n-1)の各桁の数字は隣り合う桁の2つの数字とは異なる
1桁目の数字は2桁目の数字,n桁目の数字とは異なる
n桁目の数字は1桁目の数字,(n-1)桁目の数字とは異なる

>>175

　底面は円： πr^2,
　曲面部分は球帯で、表面積は両端のzの差(h)に比例する： 2πR･h

>>180
＞ 曲面部分は球帯で、表面積は両端のzの差(h)に比例する： 2πR･h

なんで？
それ、高校生でも理解できる？

>>181
以下のように考えますた。

半径Rの球を、厚さ�凛の円板にスライスしたとすると、
表面の幅は �凛/cosθ で、1周の長さは 2π(R･cosθ) だから、
表面積は (2πR)�凛 となり、θ(= z軸から測った天頂角) によらない。

>>172

�D　求める領域は
　36x^3 -12x ≦ y ≦ 0,
に含まれる。 よって
　S = -∫[a,b] (36x^3 -12x+1)dx ≦ -∫[0,1/√3] (36x^3 -12x)dx = -[9x^4 -6x^2](x=0,1/√3) = 1,

＞π≧3.0666...

苦労した割には評価が悪すぎだろ

似たような考えで
π = 6∫[0,1/2]dx/√(1-x^2)
≧ 6∫[0,1/2](1+x^2/2)dx
= 25/8 = 3.125

>>171
球（半径R）の中心から、天頂方向に軸を取り、その軸から角度θを取る
物体の曲面側の表面積は、
θからθ+dθまでの線素：Rdθ
その線素の回転半径：Rsinθ
従って、面積は∫[0,Θ]RsinθRdθで与えられる。ただしΘは　cosΘ=4/5を満たす角

という方法は、高校の範囲外になったのか？

22/7　＞　π　の証明は難しいのかな？

>>186
いつの時代なら高校の範囲内だったのか答えよ

積分の基本は、xとx+Δxの間の量をxやΔxで表し、その積算が積分だというのは、高校で習うだろ

ピントずれてるな。
表面積の概念を習うかどうかだろ。

表面積の概念を習わず、表面積を求める問題は出されるっていいたいのか？
それとも、表面積の概念は小学や中学で習うから、高校の範囲外だっていいたいのか？

その質問もピントずれてる

186 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/01/31(月) 12:29:01
>>171
球（半径R）の中心から、天頂方向に軸を取り、その軸から角度θを取る
物体の曲面側の表面積は、
θからθ+dθまでの線素：Rdθ
その線素の回転半径：Rsinθ
従って、面積は∫[0,Θ]RsinθRdθで与えられる。ただしΘは　cosΘ=4/5を満たす角

という方法は、高校の範囲外になったのか？

189 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/01/31(月) 17:33:16
積分の基本は、xとx+Δxの間の量をxやΔxで表し、その積算が積分だというのは、高校で習うだろ

191 名前：１３２人目の素数さん [sage]： 2011/01/31(月) 21:46:23
表面積の概念を習わず、表面積を求める問題は出されるっていいたいのか？
それとも、表面積の概念は小学や中学で習うから、高校の範囲外だっていいたいのか？

高校の範囲内かどうかは、出題者側の足かせであって、解答者が解答作成時に確認しなければならない事ではない。
既に習っている概念に対し、ごく自然に積分法を適用すればたどり着く解法。「応用問題」と分類してもよい。

かつて、「表面積を積分を用いて計算する方法」という分野があり、ある時期から、その分野が指導要領から明示的に
はずされたからといって、「表面積を積分を用いて計算する問題」を出してはいけない理由にはならない。
なぜなら、その問題は、既に学習しているものの延長上にある問題だからだ。
（実際にこの様な時代背景があったのかどうかは知らない）

>>172

�D　f '(x) = 12(9x^2 -1) = 12(3x+1)(3x-1),
　f '(±1/3) = 0,
x≧0 で f(x)≧ f(1/3) = -5/3,
∴　f(x) - (5/8){f(x) -1} = (3/8){f(x) + 5/3} ≧ 0,
∴　求める領域は
　(5/8){f(x)-1} ≦ y ≦ 0,
に含まれる。 よって
　∴ S = -∫[a,b] f(x) dx ≦ -(5/8)∫[0,1/√3] {f(x) -1} dx
　　　= -(5/8)∫[0,1/√3] 12(3x^3 -x) dx
　　　= -(5/8)[ 9x^4 - 6x^2 ](x=0,1/√3)
　　　= 5/8,

>>171を出題した者だけど、体積は積分を使うけど、
表面積は、積分で求まった体積を利用して、中学生でも求められる方法があるんだけど。
表面積を積分で求めさせる問題が有りなら、
いっそ、2π∫[a→b]f(x)√〜という回転体の側面積の公式を自力で導け、みたいな問題も有り、だと思うんだけど、
そんな問題、時間内にできる受験生はそうそういないような気がするけどねえ。

中学生でもという言葉から想像するに、高さが４、底面の半径３の円錐を持ってきて、
例の物体と結合させたものの体積は、曲面の部分の面積をＳとすると、
Ｓ×（球の半径）×（１／３）に等しいという式から導かせようとしているようだな。

ところで、かたくなに表面積の扱いについて否定的な意見を出しているようだが、
球の表面積を求めようとする行為をデカルト座標下で行おうとすると、「積分の応用」
の中の「表面積」と一分野として設けても良いような内容になるかも知れないが、極座
標下において行おうとすると、y=f(x)、y=0、x=a、x=bで囲まれた領域の面積を求める
「定積分」の問題に毛が生えたものに帰している事実を無視してないか？

結果的には「曲面の表面積を求めた」かもしれないが、使ったテクニックは「定積分」レベルだぞ。

反応が無くなったので、参考問題を一つ。

球面　x^2+y^2+z^2=r^2　が　二つの平面　z=α　とz=β　(-r≦α＜β≦r)
によって切り取られる部分の面積は　2π(β-α)r　で与えられる事を示せ。

>>187
いいえ。

　(1/6)π^2 = ζ(2)
　= Σ[k=1,∞) 1/k^2
　= Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) 1/k^2
　< Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) 1/(k^2 -1/4)
　= Σ[k=1,n] 1/k^2 + Σ[k=n+1,∞) {1/(k -1/2) - 1/(k +1/2)}
　= Σ[k=1,n] 1/k^2 + 1/(n + 1/2)
　= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 2/9　　(← n=4 とおく)
　= 5/3 - 1/48
< 5/3 - 1/49
　= (1/6)(22/7)^2,

∴　π < 22/7,

200げと〜


>>185, >>199 から

〔補題〕
　　3 + 1/8 < π < 3 + 1/7,

(補足)
　(1-x^2){1 + (1/2)x^2}^2 = (1-x^2){1 +x^2 + (1/4)x^4} = 1 - (3/4)x^4 -(1/6)x^6 < 1,
∴　1/√(1-x^2) > 1 + (1/2)x^2,
　

一辺の長さが１の立方体とその中接球の共通部分の体積を求めよ。

類題：東大

内接球との共通部分？
それって内接球じゃないか？

補足：中接球はその立体のすべての辺に接する球のこと

そう言う言葉があるのか
勉強になった。

補足説明ありがとう。

0.965068858214997383...

>>201 >>203

立方体を
　|x| ≦ 1/2,　|y| ≦ 1/2,　|z| ≦ 1/2,
とすると 中接球は
　x^2 + y^2 + z^2 = 1/2,
z=一定　の断面は、正方形と円(半径√(1/2 - z^2) の共通部分で,
　4つの2等辺△の面積： √(1-4z^2),
　4つの扇形部分の面積： π/4 - arctan(√(1-4z^2)),
∴　S(z) = √(1-4z^2) + {π/4 - arctan(√(1-4z^2))},

∴　∫S(z) dz = ∫√(1-4z^2)dz + (π/4)z - ∫arctan(√(1-4z^2))dz
　= (1/2)∫(1-8z^2)/√(1-4z^2) + (1/2)∫1/√(1-4z^2)dz + (π/4)∫dz - z･arctan[√(1-4z^2)] -∫(2z^2)/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
　= (1/2)z√(1-4z^2) + (1/4)arcsin(2z) +(π/4)z -z･arctan[√(1-4z^2)] -2∫(z^2)/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
　= (1/2)z√(1-4z^2) + (3/4)arcsin(2z) +(π/4)z -z･arctan[√(1-4z^2)] -(1/√2)arctan[(√2)z/√(1-4z^2)],
z=-1/2 から z=1/2 まで積分すれば
　V = ∫[-1/2,1/2] S(z) dz = π(1 - 1/√2) = 0.92015118451061011495470288824916

一つの扇系の角度=π/2 - 2 arctan(√(1-4z^2))
だから、
４の扇系の面積=4*(1/2)*(1/2-z^2){π/2-2arctan(√(1-4z^2))}
の間違いだろ？

っていうか、
V=(4/3)π(√2/2)^3-6π∫[1/2,√2/2](1/2-x^2)dx=π(5/4-2√2/3)=0.9650688582...
とすればいいだけじゃね？

>>207
正解！！！

〔171の類題〕
球を切り取ってできた、断面の円の半径が 1/2、断面を下にして、地面に置いた時の高さが (1/√2 - 1/2) の甲羅形の体積を求めよ。

>>207 のご指摘のとおり、
　S(z) = √(1-4z^2) + (1-2z^2){π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))},
ですた。
これを使って計算をやり直したら >>205 >>207 と同じ結果になりますた。
ｽﾏｿ.

>>210 の詳細は以下のとおり。

　∫S(z) dz = ∫√(1-4z^2) dz + ∫(1-2z^2){π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))dz
　= ∫√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} - ∫{z-(2/3)z^3}4z/{(1-2z^2)√(1-4z^2)}dz
　= ∫(1-4z^2)/√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} + (4/3)∫(1-z^2)/√(1-4z^2) dz -(4/3)∫1/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
　= (1/3)∫(7-16z^2)/√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} -(4/3)∫1/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
　= (2/3)∫(1-8z^2)/√(1-4z^2) dz + (5/3)∫1/√(1-4z^2) dz + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} -(4/3)∫1/{(1-2z^2)√(1-4z^2)} dz
　= (2/3)z√(1-4z^2) + (5/6)arcsin(2z) + {z-(2/3)z^3}{π/2 - 2arctan(√(1-4z^2))} - (2/3)(√2)arctan((√2)z/√(1-4z^2)),
z=-1/2 から z=1/2 まで積分すれば
　V = ∫[-1/2,1/2] S(z) dz = π(5/4 - (2/3)√2) = 0.9650688582...

a,b,xは実数とし、cを正の定数とする。また、xの小数部分をF(x)で表す。
どのようなbに対しても、xの方程式F(x)=F(ax+b)が0≦x＜cで解を持つようにaの範囲を定めよ。

もういっちょ。

△ABCは正三角形ではないものとする。
△ABCの内接円の中心をOとし、この内接円上に点Pをとる。
辺AB，辺BC，辺CAに関してPと対称な点をD,E,Fとする。

（１）(△DEFの面積)≦(△ABCの面積)を示せ。また、等号が成り立つための条件を求めよ。

（２）△ABCを固定し、点Pを内接円上で自由に動かすとき、△DEFの面積が最大となるときのPをP1、最小になるときのPをP2とすると、P1とP2は中心Oについて対称な点であることを示せ。

〔問題〕
　22/7 < √2 + √3 < √10
を示してくださいです。

それぞれ２乗して、５を引いて、…でルート６との比較にもっていくくらいしか思いつかん

地道に開平方しても小数第三位か第四位くらいでケリがつくか。

>>214

22/7 < π　< √10

の間違いじゃないの？

>>214

・左側
49^2 > 48･50 = (1/6)(120^2),
∴　√6 > 120/49,

(√2 + √3)^2 = 5 + 2√6 > 485/49 > 484/49 = (22/7)^2,
∴　22/7 < √2 + √3,

・右側
y=√x は上に凸:　√a + √b < 2√((a+b)/2) = √{2(a+b)},
あるいは　√a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} < √{2(a+b)},

ためしに√２と√３を足してみたら3.14に近くなったから出題したと見た

以上をまとめて
〔補題〕
　3 + 1/8 < π < 22/7 < √2 + √3 < √10,

左側から
>>185, 200
>>187, 199
>>214, 218

[3]√31　や 355/113 もいれれば

3 + 1/8 < [3]√31 < π < 355/113 < 3 + 1/7 < √2 + √3 < √10

東大入試直前 1

曲線y=n/(1+x)^n (n=2, 3,・・・)上の第1象限の点における接線およびx$軸, y軸とで
囲まれる部分の面積の最大値をS_nとする。lim_{n→∞}S_nを求めよ。

>>223 2/e ?

正解。何分くらいかかつた?

出典 198? TDU でした。


東大入試直前 2

3辺の長さが整数, ∠B=2∠A かつ ∠C が鈍角となる三角形 ABCの周長の最小値を

求めよ。

＞何分くらいかかつた?
さすが数学板。日本語が不自由やで！

That means, How long did it take to solve the problem?

どうやら英語も不自由らしいなｗ

結局, この東京電機大学当時, 偏差値42.5の問題,何分で解きましたか？
東大レベルの受験生なら,15分以下が目標ですかね。理3だったら, 10分？

失言致しました。申し訳ありません。

東大入試直前 2　是非, 解いてみてください。

>東大入試直前 2
∠A=θとしたとき、0＜θ＜π/6で、
sinθ：sin2θ：sin3θが整数比になるようなθが存在するか？
となって詰まった。

問題をググると答え出てくるね。

>>231
倍角公式、3倍角公式より
　sinθ : sin(2θ) : sin(3θ) = 1 : 2cosθ : (2cosθ)^2 - 1,
よって 題意は cosθ が有理数であることと同値。
　cos(π/6) < r < 1,
なる有理数rをとって　θ = arccos(r)　とおく。

>>231
　r = (2n-1)/2n　(n≧4)　のとき
　a : b : c = sin(A) : sin(B) : sin(C)
　　= sinθ : sin(2θ) : sin(3θ)
　　= n^2 : n(2n-1) : (n-1)(3n-1),

>>222

　π^6 = 945ζ(6) = 945･Σ[k=1,∞) (1/k)^6
　　> 945･{1 + (1/2)^6 + (1/3)^6}
　　= 945 + 945/64 + 35/27
　　> 945 + 944/64 + 35/28
　　= 945 + 59/4 + 5/4
　　= 961
　　= 31^2,
∴ π > (31)^(1/3),

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/192-193
不等式スレ５

>>234 r = (2n-1)/2n　(n≧4)　のとき
　a : b : c = sin(A) : sin(B) : sin(C)
　　= sinθ : sin(2θ) : sin(3θ)
　　= n^2 : n(2n-1) : (n-1)(3n-1)

ということは, n=4⇔a=16, b=28, c=33のとき, Min(a+b+c==77ってことか？

r = (2n-1)/2n　(n≧4)の導出も含めて, 答案をみせてくれ。

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57,...
という数列がある。
(1)　この数列の法則を述べよ。
(2)　この数列の第n項をa(n)とすると、a(n+5)=a(n)+6を満たす最小のnを求めよ。

誤：(2)　この数列の第n項をa(n)とすると、a(n+5)=a(n)+6を満たす最小のnを求めよ。
正：(2)　この数列の第n項をa(n)とすると、a(n+5)=a(n)+6を満たす最小のa(n)を求めよ。

2011 早稲田理工 第 4 問　解答
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?p=2178762#p2178762

東大入試予想問題
半径１の球面上に４点Ｏ，Ａ，Ｂ，Ｃを∠ＡＯＢ＝∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＡ＝９０°
を満たすようにとる。ＯＡ＝a，ＯＢ＝ｂ，ＯＣ＝ｃとおく
(１)四面体ＯＡＢＣの体積の最大値を求めよ
(２)四面体ＯＡＢＣに内接する球の半径の最大値を求めよ
これ解けたらかなりきてると思う

O(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c) とする。
4点を通る球面の方程式は x(x−a)＋y(y−b)＋z(z−c)＝0
(x−a/2)^2＋(y−b/2)^2＋(z−c/2)^2＝(a^2＋b^2＋c^2)/4
球の半径が 1 だから，a^2＋b^2＋c^2＝4
相加相乗の不等式より, abcの最大値は(8√3)/9
四面体OABC の体積の最大値は，(4√3)/27…(1)

内接球の半径を r とする。中心の座標は (r，r，r)、
中心から平面 ABの方程式 x/a＋y/b＋z/c−1＝0の距離が r
{1−(r/a＋r/b＋r/c)}/√(1/a^2＋1/b^2＋1/c^2)＝r
r＝1/(√(1/a^2＋1/b^2＋1/c^2)＋(1/a＋1/b＋1/c))
a＝b＝c＝(2√3)/3 のとき最大値 (√3−1)/3…(2)

�@数列{F[n]}が,
F[n+2]=F[n+1]+F[n],F[1]=F[2]=1を満たすとき,
F[n+2]F[n]+(-1)^n={F[n+1]}^2
が成り立つことを示せ.
�A△ABCにおいて,
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2{(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2}
を満たす三角形はどのような三角形か.
�Bp^q-q^p=1を満たす素数の組(p,q)を求めよ.
�C1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ,計n枚ある.
無作為に1枚カードを選び,書かれた数字を記録して元に戻すという試行を3回繰り返す.
このとき,記録した3つの数字のうちのどの2つの和をとっても,和がn+1以下になる確率を求めよ.
�D2次正方行列Aが,
A^2-2A+E=O
を満たすとき,Aは逆行列をもつことを示せ.
また,nを自然数として,
{A^(-1)}^n=p[n]A+q[n]E
を満たす実数p[n],q[n]を求めよ.
�Elim[n→∞]∫[0→1]{dx/(1+x^n)}の値を求めよ.
�@数列{F[n]}が,
F[n+2]=F[n+1]+F[n],F[1]=F[2]=1を満たすとき,
{F[1]}^2+{F[2]}^2+…+{F[n]}^2=F[n]F[n+1]
が成り立つことを示せ.
�Bp^p-q^q=23を満たす素数の組(p,q)を求めよ.
�C1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ,計n枚ある.
無作為に1枚カードを選び,書かれた数字を記録して元に戻すという試行を2回繰り返す.
このとき,記録した2つの数字の和がn+1以下になる確率を求めよ.
�Dxy平面上において,3点O(0,0),A(a,a^3),B(1,1)がある.ただし,0<a<1とする.
y=x^3と線分OA,ABによって囲まれた2つの図形の面積の和が最小となるようなaの値を求めよ.

今年の東大の問題来たよ
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/sokuho/recent/tokyo/zenki/index.html

東大は相変わらずセンスの欠片もない問題だなｗ

いや、ことしは京大のほうがセンスがない。というか、完全やる気ない。
やっつけ仕事で作った感がすごい。

お前ら意識高いな
受かると問題すら見る気なくすわ
そして恐らく解けもしないｗ

全ての面が平面である立体について

四面体は三角錐以外に存在しますか？

>>245
ほんとだ
どしたんだろう

>>242

�@
　F[m+1]F[n] - F[m]F[n+1] = G[m,n]　とおく。
　G[n,n] = 0,
　G[2,1] = F[3]F[1] - (F[2])^2 = 1,
　G[m,n] + G[m-1,n-1] = F[m+1]F[n] - F[m]F[n+1] + F[m]F[n-1] - F[m-1]F[n]
　　　　= {F[m+1]-F[m]-F[m-1]}･F[n] - F[m]･{F[n+1]-F[n]-F[n-1]} = 0,
∴　G[n+1,n] = -G[n,n-1] = ･･････ = (-1)^(n-1)･G[2,1] = (-1)^(n-1),

�A
　(左辺) - (右辺) = 3{1 - [cos(A)]^2 - [cos(B)]^2 - [cos(C)]^2}
　= −(3/2){cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + 1},
ところで、恒等式 A+B+C+D=0　⇒
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + cos(2D) = 4cos(A)cos(B)cos(C)cos(D)−4sin(A)sin(B)sin(C)sin(D),
に D = -180ﾟ を代入して
　cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) + 1 = −4cos(A)･cos(B)･cos(C),
∴　cos(A)･cos(B)･cos(C) = 0,
∴　cos(A), cos(B), cos(C) のいずれかが0,
∴　A,B,C のいずれかが90ﾟ、
∴　ABCは直角��.

�B
　(p､q)=(3,2) に限るらしい。
　Le Veque (1952)
　H.B.Yu (1999) ････初等的｛数セミ, ３８(6) (1999/June) による｝

・カタランの予想については
　数セミ増刊「数学100の問題」p.104-105 (1984/Sep)
　Preda Mihuailescu (Paderbon大学): J.reine angew. Math., ５７２, p.167-195 (2004)

>>242

�C
　出た数を i,j,k とする。(1≦i,j,k≦n)
　題意に適するのは i+j ≦ n+1 かつ max(i,j) + k ≦ n+1,
　Σ[i+j≦n+1] {n+1-max(i,j)} = (1/4)(n^3 +n^2 +3n -1),　(n:奇数)
　　　　　　　　　　　　　　　= (1/4){n^3 +(3/2)n^2 +n},　(n:偶数)
これを n^3 で割る。

�D　与式より
　A･(-A +2E) = (-A +2E)･A = E,
∴定義により　A^(-1) = -A +2E,
また、A≠E のとき
　p[1] = -1,
　q[1] = 2,
　p[n+1]A + q[n+1]E = {p[n]A + q[n]E}A^(-1)
　　= p[n]E + q[n]A^(-1)
　　= p[n]E + q[n](-A +2E)
　　= (-q[n])A + (p[n]+2q[n])E,
∴　p[n+1] = -q[n],
　　q[n+1] = p[n] + 2q[n],
∴　p[n] = -n,
　　q[n] = n+1,
なお、A=E のときも p[n]+q[n]=1 は成立つ。

�E
　1/(1+x^n) = 1 - (x^n)/(1+x^n),　と分ければ簡単。
∫[0→1] dx = [ x ](x=0,1) = 1,
　0 < ∫[0→1] (x^n)/(1+x^n) dx
　　< ∫[0→1] x^n dx
　　= [ {1/(n+1)}x^(n+1) ](x=0,1)
　　= 1/(n+1) → 0,　(n→0)

まず、（n→∞）　と修正。↑

>>242
�@
　F[k]^2 = F[k](F[k+1]-F[k-1]) = F[k]F[k+1] - F[k-1]F[k],　(k>1)
　F[1]^2 = F[1]F[2],
の総和をとる。

�B (p,q)=(3,2) に限るらしい。
　p>3 のとき p^p - q^q > p^p - (p-1)^(p-1) > (p-1)^p > 3^4 = 81,
∴ 3 ≧ p > q > 1,

�C 出た数を i,j とする。(1≦i,j≦n)
　i+j = n+1 となる確率は 1/n,
　i+j < n+1　⇔　(n+1-i) + (n+1-j) > n+1,
　i+j < n+1 となる確率と i+j > n+1 となる確率は等しく, (n-1)/(2n),
よって (n+1)/(2n),

�D n=3 とする。問題の面積は
　S(a) = (1/2)a･(0+a^n) + (1/2)(1-a)(1+a^n) - ∫[0,1] x^n dx = (1/2)(1 -a +a^n) - ∫[0,1] x^n dx,
　S '(a) = (1/2){-1 + n･a^(n-1)},
よって、最小となるのは a = 1/{n^(1/(n-1))} のとき。
なお、∫[0,1] x^n dx を計算する必要はない。

〔別法〕 相加･相乗平均より
　(a0)^n + (a0)^n + ･････ + (a0)^n + a^n ≧ n･(a0)^(n-1)･a,
　　　････ (n-1)個 ････
そこで　a0 = (1/n)^(1/(n-1)), とおくと、
　1 -a +a^n ≧ 1 - (n-1)(a0)^n,
等号成立は a=a0 のとき。

>>247
無限に伸びた四角柱・四角錐などを除いて有限な多面体で考えれば、三角錐以外には存在しない。

頂点数をv, 稜の数をe, 面の数をf とする。
各頂点は3つ以上の稜が集まり、それらを２頂点で共有しているから、
　2e ≧ 3v,　　…… (1)
各面には3つ以上の稜があり、それを２面で共有しているから、
　2e ≧ 3f = 12,　…… (2)
また、オイラーの多面体定理から、
　v-e = 2-f = -2,　…… (3)
(1),(2),(3)から
　v=4, e=6,　


>>249 (2)
　何もそんな複雑な恒等式を持ち出さなくても････
と言いつつ、もう２つ。

A+B+C+D = 0　⇒
　tan(A) + tan(B) + tan(C) + tan(D) = tan(A)tan(B)tan(C) + tan(A)tan(B)tan(D) + tan(A)tan(C)tan(D) + tan(B)tan(C)tan(D),
　cot(A) + cot(B) + cot(C) + cot(D) = cot(A)cot(B)cot(C) + cot(A)cot(B)cot(D) + cot(A)cot(C)cot(D) + cot(B)cot(C)cot(D),
辺々割ると、 tan(A)tan(B)tan(C)tan(D) = 1/{cot(A)cot(B)cot(C)cot(D)},

http://nyushi.yomiuri.co.jp/11/sokuho/kyoto/zenki/sugaku_ri/images/mon4_1.gif

pとqは共に奇数になることはありえないからすんなり示せるお

>>253

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/214-215
不等式スレ５

立方体の容器いっぱいに水を入れる。
底面に穴を開けたところ、１００秒で容器内の水が半分になった。
ある時刻において容器から流れ出る水の量は水面の高さの平方根に比例するとして、
立方体の水が全て流れ出るまでの時間を求めよ。

スレ違いで悪いが

京大入試の数学でカンニングがあったみたいね
図太い神経しとるのう(^o^;
去年、今年の京大の数学見ると
阪大や東北大の方が
よっぽど難しいね
京大よ、どうした？

>>256

水量は、底面から水面までの高さzに比例する。題意より
　dz/dt = -√{k･z(t)},
これは変数分離形なのですぐ解けて
　z(t) = (k/4)(c-t)^2,　　(0<t<c)
ここに cは水量が0になる時間である。また、
　z(0)/z(100) = {c/(c-100)}^2 = 2,
　c/(c-100) = √2,
ここで、算数チャチャチャ（ペギー葉山）を口ずさむと、自然に
　c = 100(2+√2),　　[秒]
が分かると思うんだが････

nを正の整数とする
次の条件を同時に満たす整数の組(x[1],x[2],x[3])は何通りか

(i）0≦x[1]≦x[2]≦x[3]
(ii)x[i]+x[j]≦n (i≠j)

nを3以上の整数、a[1],a[2],・・・,a[n]を実数とする
以下の式を因数分解せよ

Σ[k=1,n](a[k]^3)-3Σ[1≦i<j<k≦n](a[i]*a[j]*a[k])

>>257

'１１年の２・２６事件、と呼ぶらしい。

>>258
正解。簡単すぎたかな

スレのテンプレにないけど，このスレの過去ログが
http://cid-d357afbb34f5b26f.office.live.com/browse.aspx/.Public/%E6%9D%B1%E5%A4%A7%E5%85%A5%E8%A9%A6%E4%BD%9C%E5%95%8F%E8%80%85%E3%82%B9%E3%83%AC
からダウンロードできます。

猫

>724 名前：１３２人目の素数さん ：2011/03/02(水) 22:28:23.32
> >>KuzuNOSeihanzaish
> 数学に捨てられ「た」性犯罪者でしょうか？
> 社会の屑の印象をどうしても受けます。
>

対面の目の和が7で各面に1〜6の数字がかかれた立方体のサイコロと各面に1〜4の数字がかかれた正四面体のサイコロを考える。
立方体のサイコロをふりでた目が偶数がでれば正四面体のサイコロを転がし、奇数がでれば正四面体のサイコロを転がさない。
地面に接した面をサイコロの目とし、初め1の目の状態にあるとすると
n回目に正四面体の目が1である確率を求めよ。
ただし、転がすとは地面に接した面の任意の辺を一つ選び、その辺を
軸に目が変わるように回転させることである。

数列（あるいは２×２行列）だね

>>212がいまだに解けないんだが、解答希望

文系でしか出ないっぽい。

>>265　n回振った後に、1である確率をp[n]、同様に、2,3,4である確率をq[n],r[n],s[n]とすると、
p[n+1]=(1/2)p[n]+(1/2){(0/3)p[n]+(1/3)q[n]+(1/3)r[n]+(1/3)s[n]}、p[0]=1,q[0]=r[0]=s[0]=0
対称性から、q[n]=r[n]=s[n]、当然、どこかは常に地面に接しているから、p[n]+q[n]+r[n]+s[n]=1
整理すると　p[n+1] = (1/3)p[n] + (1/6)　漸化式を解くと　p[n] = (1/4) + 3^(1-n)/4

全然自信ないけど、a≧1+1/c かなあ。

(ax+b)-x=N(整数）、aは明らかに１でないから、x=(N-b)/(a-1)
0≦(N-b)/(a-1)＜c
b≦N＜c(a-1)+b
任意のbに対して、整数Nが存在するのは c(a-1)≧1
a≧1+1/c

あ、一応 >>212 の答えです。

>>260

　(与式) = s*{Σ[k=1,n] a[k]^2 - t} = s*(s^2 -3t),

ここに基本対称式を
　s = Σ[i=1,n] a[i],
　t = Σ[1≦i<j≦n] a[i]*a[j],
　u = Σ[1≦i<j<k≦n] a[i]*a[j]*a[k],
　･････
とおいた。

a-1＜0　の場合を忘れてた。a≦1-1/c もOKぽい。

>>272
お見事。

>>258

http://www.youtube.com/watch?v=ftjLKxbqFEQ 02:17
http://www.youtube.com/watch?v=cGcnXTwj5es 02:52 　

以下において、2つの曲線が直交するとは、交点においてそれぞれの曲線の接線どうしが直交することをいう。ただし、交点が2つ以上ある場合は、どの交点においても接線どうしが直交することとする。
Lを原点Oを通らない直線とする。L上の点Pに対して、点QをOQ↑=-OP↑/(OP^2)により定める。
点Pが直線L上を動くとき、対応する点Qの軌跡をT(L)で表す。このとき次の問いに答えよ。
(1)直線L[1]:x=1に対してT(L[1])の方程式を求めよ。
(2)直線L[2]:y=2に対するT(L[2])はT(L[1])と直交することを示せ。

村八分。

猫

>>277
しねかす

>>278
に一票！

>>278
そうは行かへんのや。そやし諦めて耐えろや。思いっきり苦しめやナ。

猫

>>280
荒らし消えろ

>>259

まず, (i) と x[2]+x[3]=n を満たす組み合わせの数 f(n) を求めよう。

0 ≦ x[1] ≦ x[2] を満たす x[1] は x[2] +1 通りあるので、
x[2] = 0,1,･････,[n/2] について和をとると
　f(n) = (1/2)([n/2]+1)([n/2]+2)
　　　　= (1/8)(n+2)(n+4),　　(n:偶数)
　　　　= (1/8)(n+1)(n+3),　　(n:奇数)

求めるものは
　Σ[k=0,n] f(k)
　　　= (1/24)(n+2)(n+3)(n+4),　　(n:偶数)
　　　= (1/24)(n+1)(n+3)(n+5),　　(n:奇数)

f(x)=ax^3-bx^2-cx-dを考える
またある点(a、b)からの距離をdとする
(ただし、同じく文字は同じものである。)


d=3である点を全て求めよ

>>283

y=f(x)上の点だと断らなくて良いの？

>>284

どこでもよい

3辺の長さがそれぞれ
x、x＋1、x＋2である三角形の面積Sをxを用いて表せ！

>>286

x>1 のとき ヘロンの公式で
S(x) = (1/4)(x+1)√{3(x+3)(x-1)},

y≧x^2,(x-a)^2+y^2≦a^2,a＞0
を満たす領域の面積を求めよ。

関靖俊が被差別部落民だから起きたことだろ？
部落のこの男が教員をやったら、街が穢れるがなｗ

実父は被差別部落で、関靖俊の実母は朝鮮人！
府営住宅の穢多で、関靖俊は被差別部落で間違いなし！
関靖俊は被差別部落でありながら、在日朝鮮人の権利を主張している。
関靖俊に対し「被差別部落！被差別部落！被差別部落！」の大合唱が
絶えないが、事実そのものだろ。
被差別部落の関靖俊が下着泥棒を繰り返しているそうじゃないか。

実父は被差別部落で、関靖俊の実母は朝鮮人！
府営住宅の穢多で、関靖俊は被差別部落で間違いなし！
関靖俊は被差別部落でありながら、在日朝鮮人の権利を主張している。
関靖俊に対し「被差別部落！被差別部落！被差別部落！」の大合唱が
絶えないが、事実そのものだろ。
被差別部落の関靖俊が下着泥棒を繰り返しているそうじゃないか。

実父は被差別部落で、関靖俊の実母は朝鮮人！
府営住宅の穢多で、関靖俊は被差別部落で間違いなし！
関靖俊は被差別部落でありながら、在日朝鮮人の権利を主張している。
関靖俊に対し「被差別部落！被差別部落！被差別部落！」の大合唱が
絶えないが、事実そのものだろ。
被差別部落の関靖俊が下着泥棒を繰り返しているそうじゃないか。

fwe

nを6以上の自然数とする。
さいころをn回投げたとき、出た目の数の種類の期待値を求めよ。

>>290
　特定のk種が現れ,他の(6-k)種が現れない場合の数をf(k)とおくと、
　f(k) = k^n - Σ[j=1,k-1] Ｃ[k,j]･f(j),　　(k>1)
　f(1) = 1,
よって
　f(k) = Σ[i=0,k-1] (-1)^i Ｃ[k,i] (k-i)^n,
求める期待値は
　E(k) = (1/6)^n･Σ[k=1,6] k･Ｃ[6,k]･f(k) = ･････

>>288

放物線と円周の交点を(t,t^2) とおくと(t≠0)
　t^3 + t - 2a = 0,
　t = {√(1/27 + a^2) + a}^(1/3) - {√(1/27 + a^2) - a}^(1/3),

あとは任せた･･･

f(x)は全ての実数xにおいて微分可能であり、f(x)>0であるとする。
nを自然数として、全ての実数xにおいて、f´(x)>｛f(x)｝^n　
が成り立つならば　n=1 であることを示せ。

kingとは何だったのか

>>290-291

Ｅ{k} = (1/6)^n･Σ[k=1,6] k･Ｃ[6,k]･f(k)
　　　= (1/6)^(n-1)・(6^n - 5^n)
　　　= 6*{1 - (5/6)^n},
　　　→ 6　　(n→∞)

>>293

背理法による。
　g(x) = 1/{f(x)}^(n-1) とおく。
　題意により 全ての実数xにおいて g(x) >0

n>1 のとき、
　(d/dx)g(x) = -(n-1) f'(x)/{f(x)}^n < -(n-1) < 0,
　x > g(0)/(n-1) なるx に対しては g(x) < 0. (矛盾)

n<1 のとき、
　　(d/dx)g(x) = (1-n) f'(x)/{f(x)}^n > 1-n > 0,
　　x < -g(0)/(1-n) なる x に対して g(x) < 0. (矛盾)

なお、n=1 のとき、f(x) = k0･exp(k1･x),　k0>0, k1>1 は条件を満たす。

>>288のうまい解法ない？これ汚い数字にならないよね？

abc-2=a+b+c
を満たす正の整数a,b,cの組をすべて求めよ

>>297
きれいになる気がしないけどなぁ。
とりあえず>>292のtを用いて
((t^3)/6)-((at^2)/2)+((π/2)-Acos(√(t/2a)))a^2
となりそう。tを入れたあとうまくきれいになる気がしない。

α>0 β>0のとき、

α^(2β)≧2α＋β^αを満たす実数α、βのうち
βは有限であることを示せ

ランダムに自然数を生成するプログラムがある。このプログラムは生成する自然数の上限を自由に変更することができ、nを上限とする際に追加するプログラム列をa(n)とする。
例えば、a(6)を追加した場合にはプログラムはランダムに1,2,3,4,5,6の自然数を生成する。但し、このプログラムによってある自然数が生成される確率は全て同様に確からしいものとする。
（１）a(6)を追加したプログラムを用いて10個の自然数を生成した。この10個の自然数の最大値が6である確率を求めよ。
（２）a(n)を追加したプログラムを用いてm個の自然数を生成した。このm個の自然数の最大値がnである確率を求めよ。
（３）a(N1)を追加したプログラムを用いてN1個の自然数を生成したのち、a(N2)を追加したプログラムを用いてN2個の自然数を生成した。
このとき、合計N1+N2個の自然数の平均値がN1+N2/2となる確率を求めよ。但しN1≦N2とする。

>>288
簡単な計算により原点以外の交点は(a,a^2)と求められる。

面積=(四分円-直角二等辺三角形)+(放物線と直線に囲まれる面積)
=(πa^2)/4-(a^2)/2+(a^3)/6

>>300
マルチするなカス

>>300
マルチするなカス

↑嘲笑

>>298
　(1,2,5)　(1,3,3)　(2,2,2)

0,負も含めれば
　(-1,-1,n)　(0,n,-(n+2))　

〔290の類題〕
nを自然数とする。
さいころをn回投げたとき、出た目の数の種類k、k^2、k^3、k^4 の期待値を求めよ。

>>306
kのm次式について (1≦m≦6)
　Ｅ{k(k-1)･････(k+1-m)} = {6!/(6-m)!}Σ[i=0,m] (-1)^i Ｃ[m,i] {(6-i)/6}^n

これらから、
　Ｅ{k} = (6^n - 5^n)／6^(n-1),
　Ｅ{k^2} = (6･6^n -11･5^n +5･4^n)／6^(n-1),
　Ｅ{k^3} = (36･6^n -91･5^n +75･4^n -20･3^n)／6^(n-1),
　Ｅ{k^4} = (216･6^n -671･5^n +755･4^n -360･3^n +60･2^n)／6^(n-1),

>>299
((t^3)/6)-((at^2)/2)+((π/2)-arccos(√(t/(2a))))a^2
= t^2(t-3a)/6 + (a^2/2)arccos(1-t/a)

>>302
ギャグですか？

>>304
ここにも高校生質問スレから逃げてきたバカがいた

>>302その簡単な計算がわかりませんm(_ _)m
x^3+x-2a=0の解が何故aだとわかるんですか？
f(x)+kg(x)=0をといて
x=(y^2+y)/2aとy=x^2と連立したり、
解をα,p±qiとおいてみたり、円の点をx=a+acosθ,y=asinθとおいたり…爆発です。教えてください

>>311
（a,a^2）を円の式に代入しても恒等式にならないから、>>302は間違いじゃないかな
a＞0の範囲ではa=1でしか成立しない。

>>309>>311>>312
正直すまんかった。寝ぼけてたわ……

途中で扇形の計算がいるから、やはりθ使うんじゃないかな……

>>288は何年か前の駿台で似たのがあったかも…
知ってるやつｷﾎﾞﾝ

Σ_[k=0,∞]1/k！=e を既知として、
a(n)=Σ_[k=1,∞]k^n/k！を求めよ。

円(x+2)^2+(y-2)^2=2に外接し、かつ直線y=x-2に接する円の中心をPとする。
(1)　点Pの軌跡の方程式をもとめよ。
(2)　(1)で求めた方程式で表される曲線とy軸に囲まれた図形の面積をもとめよ。

＞ここにも高校生質問スレから逃げてきたバカ

自己紹介乙
馬鹿かw

>>317
決めつけるなカス

>>318
乙

>>316
(1)
Pは
(Pから(-2,2)までの距離)=(Pからy=x-2までの距離)+√2　…(*)
を満たす。
((-2,2)からy=x-2までの距離)>√2
であることに注意すると、Pはy=x-2よりも左上の領域にあることがわかるので、(*)は
(Pから(-2,2)までの距離)=(Pからy=x-4までの距離) …(*)'
と書きかえられる。すなわちPの軌跡は、焦点(-2,2)、準線y=x-4の放物線である。
これは、焦点(0,2√2),準線y=-2√2の放物線
y=(√2/16)x^2
を原点中心にπ/4回転させた図形なので、その方程式は
x^2+16x+2xy+y^2-16y=0

(2)
(1)の結果をxについて解くと、
x=-y-8±4√(2y+4)
であり、y軸より右側では
x=-y-8+4√(2y+4)
である。またx=0を解くと
y=0,16
である。したがって求める面積は
∫[0,16](-y-8+4√(2y+4))dy
=64/3

>>319
板に張り付いてるキチガイ

>>321
またレスつけてるよw
低脳

>>320

正解です。
Pの軌跡が放物線になることまで見抜いてくださりました。

(2)は、y=(√2/16)x^2と直線y=xで囲まれた面積を計算した方が楽です。
直接やってもたいした計算ではないのですが

>>322
人が書き込みしてすぐにレス返してるんだな
常時レス監視してるのか？
マジでキチガイだな
かわいそう

>>323
どこが東大レベルの問題なんだ？

>>324
いや、お前もだろwwwwwww
お前も見てるだろwwww
そしてこのレスにも...

>>326
板に張り付いてるって認めやがったｗ
人がレスして数分後に必ずレスしてくるキチガイだしな

>>327
数分とかw
レスはやっぱりきたねw

そしてー？
このレスにもー？

>>328
レスご苦労様ｗ
板に張り付いてるって言われて即レスするの止めたんだなｗ
キチガイでも気を遣うんだな

>>329
はい、レス来ましたねw
やはり低脳かも...www
お前も張り付いてる訳で( ´ ▽ ` )
お前みたいなニートではないので笑
仕事探せぃ！

>>330
バカな奴発見！
｢お前も｣じゃなくて｢お前が｣の間違いだろ
板に張り付いてる自覚だけはあるんだな

>>331
張り付いてるのはお前もだろ

>>331
可哀想だな
張り付いるってww

>>333
お前がなキチガイ野郎

>>334
そうだよ。お前を潰すためにな

ホントにスルースキルの無い馬鹿が多いな

>>333
横槍だが、張り付いるってなんだよ？お前は日本語が不自由な朝鮮人か？だったらキチガイなのも理解出来る。もう荒らすな。母国へ帰れ。

>>336
何がスキルだよカス

>>337
おい、カスはここにもいるぞw

>>339
自己紹介乙

>>340
はいはい キチガイ

>>315

与式に
　k^n = Σ[m=1,n] S(n,m)k(k-1)････････(k-m+1)
を代入して
　Σ[k=0,∞) {k(k-1)･････(k-m+1)}1/k！ = Σ[k=m,∞) 1/(k-m)! = Σ[K=0,∞) 1/K! = e,
を使えば
　a(n) = e･Σ[m=1,n] S(n,m) = e･B(n),
ここに
　S(n,m) は第２種スターリング数 {n個の要素をm個の（空でない）組に分ける方法の数}
　B(n) はベル数

http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html
http://mathworld.wolfram.com/BellNumber.html

xyz空間上に、
(2,0,0)を中心にもつ半径1の球をA、xz平面上にある原点中心の半径1の円をBとする。
球A,Bがxz平面によって切り取られる円をそれぞれ円A,Bとする。
円Aとx軸との交点の内、x座標の小さい方を点Cとする。
この状態を0秒とする。

球Aはz軸を軸として、z軸負方向を見て1(cs)回転するとともに、原点を中心として円B上を、円Bに接しながら滑らないように、1(cs)転がる。
また、点Pが、点Cから円A上を1(cs)移動する。
ただし、点Cの移動は球Aの全ての回転による影響を受ける。

(1)
30秒後の点Pの座標を答えよ。また、点Pの進んだ距離が10となるのは何秒後か？

(2)
点Pが円Aと次に共有点を持つのは何秒後か？

(3)
点Pは、最初いた点に1時間以内に戻ってこれるか？

(4)
点Pや円Aの全ての回転の速さをそれぞれa,b,cとする。
aは任意の実数でa≠0である。
この時、点Pが最初にいた点に戻ってこれないa,b,cの組み合わせを3つ求めよ。
無い場合はそれを証明せよ。

訂正(4)a≠0,b≠0,c≠0

>>341
レス早いな
さすがいつも監視しているキチガイだな

>>345
いつでも監視してるから

>>345
今も見てるから

>>347
こわｗ＠＠：

>>346-347
キチガイストーカーｗ

>>345は
キチガイかなぁ

>>349だろ

>>343-344だが、補足。

a(cs)は、「時計回りに１秒間にa度の回転」と定義する。

>>350-351
自演基地外乙

>>353
まじレス乙(嘲笑)

>>354
キチガイ乙

嘲笑って色んなスレに書き込んでるの見た事あるけど、お前は嘲笑の意味分かってないなｗ

>>355
日本語勉強しろよw
キチガイw

>>356
嘲笑

おいおまえら二人
基地外ごっこしてんと
猫でもからかったほうがええんとちゃうか

>>358
ではどうぞいらして下さいませ。

猫

>>358 >>359
仲良し

>>360
誰と誰がや？　ちゃんと言うてミロや。

猫

>>361
しずかに

このスレにまで猫が降臨したな
このスレは終了だな

>>362
私が「しずかに」スルかどうかは『貴方達次第』です。判りますよね。

猫

猫ちゃんも忙しいね
あちこちのスレに書き込んでて

ソレはもう、本業として必死でやってますから。

猫

>364
しずまれい

>>367
私の方針は：
１．馬鹿が出たら攻撃。
２．馬鹿が出なければ放置。
従って何も出なければ私は何もしませんから静かになります。

猫

>368
さようなら

>>369
そんな事はどうでも良い事です。私の行動のポリシーは一定しています。

猫

>370
そうです

さあほんものの基地外があらわれてしまいましたね
基地外ごっこってこわいですねえ

心配しなくてもこれから更にもっと怖い思いをするでしょう。

猫

きちがいごっこの二人はどこへいったのやら

ワシだけやったらアカンのかァ？

猫

>>374
お前自身の事だろカス
自演ばっかしやがって
しかも猫まで呼び寄せやがってよクズ

ワシはもうココから離れへんさかいナ。

猫

>>376
おお
きちがいごっこの片割れ登場

>>377
猫ちゃん夜は寝ましょうよ
夜更かしは体に悪いよ

>>378
決めつけｗ
流石自演野郎だな

>>380
さあ
猫と遊べよ

ねこさんこいつ馬鹿ですよ〜

>>381
自演乙
お前はキチガイごっこしているんじゃなくて、ただのキチガイ

>>379
ソレは余計なお節介や。

猫

すごいスレだな

いえいえ、まだこの程度では大した事アリマセンよ。まだまだこれからデス。

猫

ほら猫あばれんかい

東大入試作問者になったつもりって
誇大妄想やったんや！

でもどうせ誇大妄想やったらナポレオンになったらええのに

>>387
首が回転しますｗ

>>388
忘れ物 つ[ズ]

>>386
いや、アンタみたいな馬鹿が出えへんかったらワシの出番はアラヘンのや。

猫

>>390
今起きたのか？

そないなことを言うなら、おまえが電話をかけまくって

迷惑した先生に謝れや

ほら猫あばれんかい

何年か前のこのスレは毎日おもしろい問題や解答が書き込まれていたのに今じゃつまらんスレになった

>>394
そういう内容を書き込む能力の無いお前みたいなのしか残ってないから仕方ないのでは？
面白い問題や解答を提供する能力がある奴がいても、>>394みたいな芸の無いレスしか期待できないようでは
足が遠のくのも無理はないしね

そもそも今の数学板には優秀なやついない

猫がわるいな

そうや、猫が悪いのや。

猫

うるさい！

猫はサボるな

α,β,γ,a,b,x,yは全て異なる整数のとき

α+β+γ=x+y=a
αβγ=xy=b

をみたすという。

具体的なa,bの値を１組求めよ。


・・・０でないことは分かります

>>399
ウルサくて悪かったナ。

猫

>>401
>・・・０でないことは分かります

理由を述べよ。

しずかに

>>401
1+3+4=2+6=8
1*3*4=2*6=12

これが今話題

デスクトップにフォルダがn個ある
うっとうしいので1つのフォルダに纏めてしまいたい
さて、何通りのまとめ方がある？

どれにどれを入れるかということ？

n個のフォルダは区別できないものとみなす？
それとも名前がついていて区別できるとみなすの？

全部ゴミ箱にまとめろ

例えばフォルダがa,bの2つだったら
aにbを入れるパターンとbにaを入れるパターンの2通りになる

らしいな
区別するっぽい

もし、入れる順番も区別するなら、(n!)^2/n
ex. n=3のとき、
a(b,c),a(c,b),b(a,c),b(c,a),c(a,b),c(b,a),
a(b(c)),a(c(b)),b(a(c)),b(c(a)),c(a(b)),c(b(a))

入れる順番は区別しないんじゃね？
てか「する、しない」以前に区別できないと思うが

(1)bをaに入れる
(2)cをaに入れる
のように、まとめる操作の場合の数とすると順番の区別もあるかと。

交換法則や結合法則を認めるかどうか、みたいなことか

a(b(c))をつくるのにaにb(c)を入れるか、 a(b)のb内にcを入れるかの違い
a(bc)をつくるのにa(b)のa内b外にcを入れるか、 a(c)のa内c外にbを入れるかの違い

そこまできっちりカウントする意義があるかどうかは疑問だけど

漸化式か

1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ,計n枚ある.
無作為に1枚引いて,数字を確認して元に戻すという試行をn回繰り返すとき,
少なくとも1を1回以上引く確率をp[n]とする.
lim[n→∞]p[n]を求めよ.

>>408
n個のフォルダが区別できないものとして、
n個のフォルダを1つにまとめる場合の数をp(n)とおく。(p(1)=1)
n=a[1]+a[2]+・・・+a[k](a[1]≧a[2]≧・・・≧a[k])
に分ける場合全てにおいての
p(a[1])*p(a[2])*・・・*p(a[k])
を求めて
それら全てを合計するとp(n+1)になる。
これを満たすようなp(n)を求めればいいのだと思います。

>>417
(a[1]≧a[2]≧・・・≧a[k])
を
(a[1]≧a[2]≧・・・≧a[k]>0)
に直しておいてください。

kとa[1],a[2],・・・,a[k]は整数です

a(b,c),d(e(f))とa(b(c)),d(e,f)を区別してるから駄目。

>>417
a[1],a[2],・・・,a[k]のうち
a[b[1]]=a[b[1]+1]=・・・=a[b[1]+N[1]-1],
・・・
a[b[m]]=a[b[m]+1]=・・・=a[b[m]+N[m]-1],
の場合には重複を除くため、
p(a[1])*p(a[2])*・・・*p(a[k])中の
Π[i=b[x],N[x]-1]p(i) を {p(b[x])}H{N[x]}
に置き換えてください。(x=1,2,・・・,m)
a[y],b[y],N[y],x,y,mは整数です

>>420
訂正

Π[i=b[x],N[x]-1]p(i)
は
Π[i=b[x],b[x]+N[x]-1]p(i)
の間違いです。

大学入試・公開実戦模試・数学
http://ameblo.jp/skredu/theme-10034452728.html
＠いま数学勉強中なのよ

f(x)=x^xは微分不可能なことを示せ

>>423　微分可能だろ

>>424
ミスタ
お前ないす

>>423
x^xはx<0においては不連続だからf(x)はx<0では微分不可能
だと思います。

それ以前に高校では x<0 では未定義

>>416

p(n) = 1 - (1 - 1/n)^n
　　　→ 1 - 1/e,　(n→∞)

縦にnマス、横にnマスの空白の正方形が隙間なく描かれた紙がある。
あるルールに沿ってこれらのマスの中に記号を書き、できるだけ多くの
パターンを表現したい。
どのようなルールで書きこめばよいか？
また、パターン数の最大値を求めよ。

>>429
使える記号の種類はm種類までとする。(mは正の整数)

n人の人が丸くなり手を繋いだ(n≧2の整数)
そのときの、結び目を数えることとし、その数をkとする
例えばn=2のとき、k=2となる

ここで、円内の人1人を選択する
その人をAとする
Aの右手を握っているひとをBとする
また、Bの右手を握っている人を1人追加で足して、その人をCとする
また、Cの右手を握っている人を1人追加しその人をDとする
以下、その操作を続けていき、Aと円の中心を結び、A以外の交点(人)がZとなるとき、kを求めよ

ただし、アルファベットはアルファベット順に続くものとする

意味の通った日本語でたのむわ

あほ

とても練られた問題とは思えない感じだなｗ

13人でじゃんけんをする
ルールは普通のじゃんけん同様
ただし
勝者→2人
敗者→11人 になるまで行う

1回目のじゃんけんで負けたのものは、自動的にそのまま敗者になる
そこで勝ち上がった人が数名いたとすると、その中でまたじゃんけんをし、負けたものが自動的にそのまま敗者となる
この操作を続ける

なお、勝者が1人になった場合はもう一度始めから全員参加となり、じゃんけん再開
すなわち、2回目のじゃんけんが始まる

13人の中の1人「X」が2回目で勝者になる確率を求めよ

答えや解き方を出題者が吟味した上で出そしましょう
適当な思いつきと投げっぱなしがうかがえるのはみっともない

それが解けない証拠だ

>>437
？

すなわち
解けるのか、解けないのか

いや、そうじゃない
やるのか、やらないのか

ただ、それだけだ

明らかに解く過程を出題者が想定してない駄問に
とりかかる価値があるかどうか　

それだけだな

出題者は人数を13にした理由も示せまい
問題に適した人数を調整する数学的美的感覚そのものもあるまい
解法も具体的に想定できていない作者には、当然人数の一般化もできるはずがないから。

13って知ってるか

解けない理由...か
いや、解かないだけ

それ以前に「１回目のじゃんけん」や「勝者」の説明にも不備がある
その程度の出題者

解けないより解かない
もっと正確に言えば解いてもらえない、だろうな

誰も解いてないしな(笑)

ホント
可哀想に

>>446
お前がなぁあぁあああ

5で終わる実数全体の集合をNとおく。
関数f(x)を以下のように定義する。
f(x)=1(x∈Nのとき)
f(x)=0(そうでないとき)

∫[0,1]f(x)dxを求めよ。

0

>>449
理由をお願いします。

>>448
「5で終わる実数」というのは5の右側に
0以外の数字が現れない実数を意味します。

>>448
範囲外

>>447
誰にも解いてもらえず
出題のセンスの無さだけ晒すことになったのか
残念だったな

>>453
お前は何を考えてるんだ

ダメな問題を出す人は
言いかえす能力も欠けてるんだな、ってことかな＞考えてること

>>453
＞>>447
＞誰にも解いてもらえず
＞出題のセンスの無さだけ晒すことになったのか
＞残念だったな

解けない馬鹿w

誰にも解いてもらえず
涙目

解けない馬鹿はまだ嘆くw

出題者だろうな＞解けない馬鹿

他は解かないだけだから

解いてから言えよ

AとBがいる
Aは何をやるにおいてもBより勝っている

こんな状況でゲームをしよう
もちろん2人で戦うわけだ
でもBはやる気が起きないだろう
なぜなら、元から自分が負けるのを知っているからだ

ここでCという人をいれる
Cはあるゲームを思いついた
それは「じゃんけん」だ
3人でじゃんけんをしようと言い出した
だが、忘れてはいけない
必ずAはBに勝つということだ
しかし、3人でやるとどうだろう
AはBに勝てても、Cに負けることがある
A→グー B→チョキ C→パー
こんな状態だ
でもこれは、「あいこ」として処理することにする
すなわち、3人の手の状態が重要視されて個々の勝負は別となる
まぁ、これは普通のじゃんけんと同ルールである
それゆえ、勝者が2人になることもあるわけだ

では質問する
じゃんけんを3回行なう
Cが3回連続で勝つ確率を求めよ

>>460
出題者がねｗ

自分の欠点から目をそむけてると進歩できないよ

解けるけどな(笑)
ま、お前には無理だ
言い訳ばっかだもんな

>>463
口ばっかなのは出題者ｗ
くやしかったらとりかかってみろって話だ

残念なことに問題そのものは誰でも見れるように隠しようもなく残ってるから
余計な事を言うたびに出題者の恥が上塗りされていくだけなんだがなぁ…

それと同時にお前のコメントも残ってるがな

なぁ、そうだよなぁ

>>458さん

>>455

いい加減
自演やめたらどうだ

欠点を指摘されたものの
何ら具体的な話が出来ず
飽きずにへらず口たたきづつけることしかできない出題者

アホ丸出しだなw

アホ丸出しなことに気付かずいられることも一つの才能だろうよ
そうでもなければあんな出題はできないだろう

馬鹿がたくさんいるな
逃げ惑うのか

馬鹿は出題者一人じゃね？
問題のダメな部分をなんとか出来ない限り
泣きながら両手振りまわしてる駄々っ子にしか見えないし
誰にも解いてもらえないんじゃね？

何故解いてもらえないか気付かなきゃ
気づかないまま騒ぐから恥をどんどん上塗りしてるんだよ？
問題を見直せば容易にわかることなのになあｗ

馬鹿は他にもいるだろ

なぜ、馬鹿どうし仲良くできない？
いがみ合ってどうする？

馬鹿は馬鹿を呼ぶ

馬鹿は出題者一人
周囲を巻き込むな

周囲も馬鹿だろ
馬鹿に構うな馬鹿

俺はバカではないが、アスカに　「あんたバカァ？」と言われてみたい。
ttp://www.youtube.com/watch?v=J_sZmv4HAg4

>>448-452
答えは0ではありません

どうせ１なんだろ？

終了

>>432
>>434
>>436
>>440
>>443
>>446
>>453
>>455
>>457
>>459
>>462
>>464
>>468
>>470
>>472
>>474
>>476

アホ

>>479
積分をどう定義する？

正四面体をある箱の中に20個、隙間なく詰めた
このとき、その箱は立方体で無いことを示せ

>>480
1ではありません

>>482
不連続関数f(x)の区間[0,1]での定積分です。

じゃあ1/10か1/9だな

1/100

>>485
証明をお願いします

問題の不備をまず直さナイト

時代は繰り返すよ

480 ：素数様：2007/01/25(木) 01:33:41
最近書き込めなくてすまん。
実は事故にあって腕を骨折した。
そのせいでセンターは受けられなかった。
今年の浪人も決定した。
だからもう俺大学に行かないことにした。
大学が俺を拒んでるとしか思えない。
ここで就職探しながらずっと問題を提供して君達の力になろうと思う。

http://mimizun.com/log/2ch/math/1166904000/

>>448
問題文を修正します

5で終わる実数は全実数のうちどれくらいの割合を占めるかを書け。
「5で終わる実数」は「5の右側に0以外の数字が現れない実数」を意味する。

>>490　0.555...=5/9は、５で「終わる実数」ですか？

『ゴー』で終わる気持ちいいスポットは？







答　ttp://www.gogo-group.com/densha/

>>491
5/9は「5の右側に0以外の数字が現れない実数」ではないので
「5で終わる実数」ではありません

ということは、「5で終わる実数」は全て、適当な整数kを持ってきて、10^k倍すれば、整数になる。
つまり、可算無限集合。実数の中の自然数の濃度に等しい。０

xyz空間で、O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0) , D(0,0,1), E(1,0,1), F(1,1,1), G(0,1,1) を頂点とする立方体をKとする。
Kを、対角線OFの方向に平行移動させて、頂点Oが(1/2, 1/2, 1/2)に移るようにする。
この平行移動の際にKが通過する領域の体積を求めよ。

nを自然数、a[1],a[2],・・・,a[n]を実数とする。
人間にはn個のパラメーターa[1],a[2],・・・,a[n]がある。
これらのパラメーターはそれぞれ人間が生まれたときに決まり、
0〜1のいずれかの実数を等確率でとる。
k=1,2,・・・,nの全てでa[k]<1/4となったとき、
この人間を「馬鹿」と呼ぶことにする。

「馬鹿」が生まれる確率を求めよ

>>495
5/2

重複乙

xyz空間で、O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0) , D(0,0,1), E(1,0,1), F(1,1,1), G(0,1,1) を頂点とする立方体をKとする。
Kを、対角線OFの方向に平行移動させて、頂点Oが(a,b,c)に移るようにする。
この平行移動の際にKが通過する領域の体積が整数となる条件を求めよ。ただし、a,b,cは正とする。

訂正：
xyz空間で、O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0) , D(0,0,1), E(1,0,1), F(1,1,1), G(0,1,1) を頂点とする立方体をKとする。
Kを平行移動させて、頂点Oが(a,b,c)に移るようにする。
この平行移動の際にKが通過する領域の体積が整数となる条件を求めよ。ただし、a,b,cは正とする。

a+b+c が正の整数

>>499
平行移動といっても経路は無数にあるワケだが。

頂点Oが線分OKに沿って動くのならそういう条件をつけとかないと。

>>498-499

　Kの移動速度を (a,b,c) とすると、体積Vが増加する速度は
　　dV/dt = a*□ABFE + b*□BCFG + c*□DEFG = a+b+c,
　Kの移動に1秒間かかるから、体積の増分は a+b+c,　>>500

へんな時間次元の持ち込み方をするもんだなぁ

(1,0,0)を法線ベクトルにもつ、前方の面が開拓する体積
=面積×移動距離×方向余弦=１× √(a^2+b^2+c^2) × a/√(a^2+b^2+c^2)=a
他の面もあわせると、a+b+c。これに移動前の体積1を加えた 1+a+b+c がKの体積。

頂点Oが線分OKに沿って動くのならそういう条件をつけとかないと。

>>503
　スマソ。
　各面が開拓した斜柱体の体積は、(各柱体の高さ)*(各面の面積) なので
　�儼 = a*□ABFE + b*□BCFG + c*□DEFG,
でつね。

xyz空間で、O(0,0,0), A(p,0,0), B(p,q,0), C(0,q,0) , D(0,0,r), E(p,0,r), F(p,q,r), G(0,q,r) とする。
　長方形 □ABFE、□CBFG、□DEFG からなる 開三面体をKとする。
Kを平行移動させて、各点(x,y,z) が (x+a,y+b,z+c) に移るようにする。（中略）ただし a,b,cは正とする。

頂点Oが線分OKに沿って動くのならそういう条件をつけとかないと。

命題が単純な問題って無いの？

1辺の長さが1の立方体が通ることのできない最も大きい正方形の穴を求めよ。

xyz空間で、O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0) , D(0,0,1), E(1,0,1), F(1,1,1), G(0,1,1) を頂点とする立方体をKとする。
立方体の各辺が、x軸、y軸、z軸の何れかと平行を保ちつつ、頂点OがP(a,b,c)に移るように移動した。ただし、0<a<b<cとする。

(1)Kが通過した領域の体積の最小値を求めよ。
(2)頂点Oが、(a,0,0)、(a,b,0)を経由してPに到達した場合、Kが通過した領域の体積の最小値を求めよ。
(3)Q(x,y,z)を経由してP(a,b,c)に通過したときの領域の体積の最小値が(1)と異なるようなQの条件を定めよ。

すこし進歩したな

放物線y=a^2-x^2の頂点Ｑとｘ軸との交点（a,0）をＲとする。
ＱＲ間の放物線上にＱＰ１＝Ｐ１Ｒとなるような
点Ｐ１：（p1,a^2-p1^2）をとる。

�@△ＱＯＲの面積をＳ０とする。Ｓ０をaの式で表せ。
�A△ＱＰ１Ｒの面積をＳ１とする。Ｓ１をaの式で表せ。
�B直線ＱＰ１を斜辺とし、ＱＰ１間の放物線上にＱＰ（２，１）＝Ｐ（２，１）Ｐ１となるような
　点Ｐ（２，１）：（p(2,1),a^2-p(2,1)^2）を
　直線Ｐ１Ｒを斜辺とし、Ｐ１Ｒ間の放物線上にＰ１Ｐ（２，２）＝Ｐ（２，２）Ｒとなるような
　点Ｐ（２，２）：（p(2,2),a^2-p(2,2)^2）をとる。
　△ＱＰ１Ｒの２等辺上にある、これら２つの三角形の面積の和をＳ２とするとき
　Ｓ２をaの式で表せ。

�CＳ０を与える三角形を第０世代三角形、Ｓ１を与える三角形を第１世代三角形
Ｓ２を与える２つの三角形を第２世代三角形と名付けて
この操作を続けていくとき
第ｎ世代の三角形は２＾（ｎー１）個できる。

第０世代〜第ｎ世代の三角形の面積の総和をaを用いた式で表し
ｎ→∞　の極値を求めよ。

n→∞Σ(2n^2-n-1)

age

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/777-778
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/787

あ＝∫［あ、あ］(あ(あ)-あ^|あ|+(あ-あ^あ))

A、B、Cを相異なる素数とする
ただし、A<B<Cとする

A+B=P
A+C=Q
ABC=R とおく

P+Q+Rも素数となる最小のAを求めよ

>>517
あ＝０

3つの整数a、b、cがこの順に等比数列をなしている。（a＜c、1≦a≦37とする。）
a＋b＋c＝37のとき、このような（a、b、c）の組をすべて求めよ。

立方体の中に正四面体を内接させる
その正四面体の中に球を内接させる

立方体の1辺をaとするとき
球の半径をaを用いて表せ

10進表記の整数Nをx進表記で表したものをMとする。
ここで、xが整数以外の場合を考えてみる。
たとえばNが偶数のとき,Nを2進表記、Nが奇数のとき、
Nを3進表記であらわすとする。
このとき、Nが全ての整数を取るとき
2進表記と3進表記のMが同じ比率で存在することになる。
これを2と3の平均値1.5を用いて1.5進数と呼ぶことにする。
ここで、xが整数でない場合のx進数を以下のように定義する。
「Nが全ての整数をとるときに
自然数n[1],n[2],・・・,n[m]進数で表されるMが全て同じ比率
で存在する場合、これを(Σ[k=1,m]n[k]/m)進数と呼ぶ。」

このとき、π進数を表現する方法は存在するか？
存在するならその方法を、しないのならその証明を書け。

>>522
訂正
2と3の平均値1.5
これを
2と3の平均値2.5
に直しておいてください。


初歩的なミスすみません。

>>520
　(a,b,c) = (q^2, qr, r^2)　　q,r は互いに素。
　(a,b,c) = (9, 12, 16),　(9, -21, 49),　(16, -28, 49)

>>521
　立方体の体積 a^3,
　それから４つの正３角錐（体積 (1/6)a^3）を除去する。
　残った正４面体の体積は V=(1/3)a^3,
　各面は１辺 (√2)a の正３角形だから、面積は (1/2)(√3)a^2,
　正４面体の表面積は S = (2√3)a^2,
　球の中心から各面までの距離をrとすると、V=(1/3)Sr なので,
　r = a/(2√3),

東大はなんでこんなにいい問題ばかり毎年作れるのか。

2chのリーマンスレを見たとき
おお！！
リーマン板が単独であるのかっ！！と
むふ〜っ！！（ひとは風に）となり

ゼータ関数について書いてやろうと
意気込んだが・・・


リーマンって、サラリーマンを略したことを知ったとき
悲しくなった。

>>522-523
ミス以前の問題だろう
進数関係ないし、無駄が多すぎて何がしたいのやら
もっと自分の中で整理してから出題しよう

>>526

リーマンショック の事かとｵﾓﾀよ･･･

>>1-529

半径1の円の周上に定点Aがある
点Aから弦AP,AQを引いて面積を三等分したとき
π/6<弧PQ<π/5となることを示せ

自明

>>530

∠PAQ = θ とおくと、∠POQ = 2θ,
中央帯の面積S(θ) = θ + sinθ,
題意より　S(θ) = π/3,
∴　π/6 < θ < arcsin(π/6),
x/sin(x) は単調増加だから
　(6/π)arcsin(π/6) < (√2)(π/4),
より
　arcsin(π/6) < (π^2)/(12√2) ≒ 0.18512012π,

θ〜0.17069908104608π

sinθcosθtanθ=1
のとき、sinθのとりうる値の範囲を求めよ
ただし、0≦θ<πとする

アホだらけだな

お前が一番(ry

>>533
マジレスすると答えは無いのではないですか？
\sin \theta \cos \theta (\sin \theta/\cos \theta)=\sin^2 \theta=1
より\sin \theta=1だがこのとき\tan \thetaは定義できないから。

>>533
初々しさが感じられるほほえましい良問だｗ

円の半径を限りなく0に近づけていく
それもまた円

>>535
マジレスするとお前が１番カス

>>539
乙（ーー；）

sinθ･cosθ･tanθ = n/4,　(0≦n≦3)
のとき、sinθのとりうる値の範囲を求めよ。
ただし、0≦θ<πとする。

AB＝3、BC＝4、CA＝5 の三角形において
36°＜ C ＜ 37° を示せ。

二次方程式ax^2+bx+c=0(a≠0)について、
5a+b+2c=0を満たすとき、２つの異なる実数解を
持つ事を証明せよ。

二次方程式ax^2+bx+c=0(a≠0)について、
5a+b+2c=0を満たすとき、２つの異なる実数解を
持つ事を証明せよ。

正三角形の1辺を直径とする円を各3つ書く
円同士のみの交点をすべて通過する図形の名称を答えよ

>>544
b^2-4ac＞0　となることを示すのだ。

>>545
『あんでぃ』へ、

貴方が既に同意した作業に関する進捗状況をご報告下さいませ。お返事をお待ち
致して居ります。

猫

>>547
私の仕事は続いているよ
終わることはない

原点(0,0)から質点を初速度(cosθ,sinθ)で打ち出す。
y軸下向きに加速度1が働くとき、質点が到達しうる領域を求めよ。

>>549
糞

>>548
『あんでぃ』へ、

では私も継続して貴方に対してメッセージを投げ続ける事にナリマス。

猫

>>548
『あんでぃ』へ、

貴方が既に同意した作業に関する進捗状況をご報告下さいませ。お返事をお待ち
致して居ります。

猫

私も継続して投げ続けます

>>553
『あんでぃ』へ、

貴方が既に同意した作業に関する進捗状況をご報告下さいませ。お返事をお待ち
致して居ります。

猫

>>554
私の仕事が分かりません

>>555
『あんでぃ』へ、

ソレは『当該スレの削除』で御座います。

猫

>>556
それは別人ですね
私には関係ありませんでした
では、頑張ってください(乙)

>>557
『あんでぃ』へ、

はい、では今後もこの方針で頑張ります。

猫

>>558
私もあなたの返答に対して適当に返事をしていくシダイでございます

>>559
『あんでぃ』へ、

はい、きちんと了解しています。だからソレで大丈夫です。

猫

>>560
はい

>>561
『あんでぃ』へ、

それでは貴方が既に同意したと私が認識している作業である『当該スレ
の削除』に関する進捗状況をこの場にてご報告願います。

猫

>>562
それは別人です

>>563
『あんでぃ』へ、

私はそういう事をカウントする考え方をしていません。

猫

>>564
削除の仕方を細かく教えて下さい
さっぱり分かりません

>>565
『あんでぃ』へ、

そういう事は自分で調べて下さい。なので私からの情報は皆無です。

猫

>>566
分かりませんが

>>567
『あんでぃ』へ、

そうですか。では貴方が判る様にナルまで私から貴方に対する書き込み
が続く可能性がアリマス。

猫

>>568
頑張ってください

>>569
『あんでぃ』へ、

当該スレを削除して下さい。

猫

>>570
分かりません

>>571
『あんでぃ』へ、

なるほど。それでは貴方がその事を判る様にナルまで、私が貴方に対し
て書き込みを執拗に徹底して継続します。

猫

>>572
頑張ってください

頑張ってください

>>573
>>574
『あんでぃ』へ、

貴方に指摘されなくても徹底してきちんと頑張って喰い下がるのが私の
遣り方なので、従ってご心配には及びません。

猫

>>575
分かりました

>>576
『あんでぃ』へ、

では早速ですが、当該スレの削除という方向に向かっての貴方の行動計画
をこの場にてご報告下さいませ。

お返事をお待ちします。

猫

>>542

　∠B=90ﾟ ゆえ直角三角形で
　tan(C) = 3/4,
　tan(5C) = {(tan C)^5 -10(tan C)^3 +5(tan C)}/{1 -10(tan C)^2 +5(tan C)^4}
　　 = 237/(4･19･41),
　0 < 5C - 180ﾟ < tan(5C) = 237/(4･19･41) ≒ 4.3578625ﾟ,
　180ﾟ < 5C < 184.3578625ﾟ
　36ﾟ < C < 36.8715725ﾟ

(蛇足)
　sin(C) = 3/5,
　sin(5C) = 5(sin C) -20(sin C)^3 +16(sin C)^5 = -237/3125 ≒ -4.3453119ﾟ,
　4.3453119ﾟ < 5C - 180ﾟ,
　36.8690624ﾟ < C

>>577
スレの削除が分からない
ゆえにできないです
分かりません

>>578
一つの式に度数法と弧度法を混在させて見辛いよ。
しかも「≒」の記号を使っているし。
あと、評価に関数の凸性を使っているのも分かりにくい。

次の方程式が表す図形を図示せよ


x^3+y^3+2x^2-3y^2+x-y+9=0

>>581

軸を45ﾟ回して
　x = (u+v)/√2,
　y = (u-v)/√2,
とおく。
　x^3 +y^3 +2x^2 -3y^2 +x -y +9
　= (1/2)(3√2･u-1)v^2 + (5u+√2)v +(1/√2)u^3 -(1/2)u^2 +9,
∴ 与式より
　{(3√2･u-1)v + (5u+√2)}^2 = -3u^4 +2(√2)u^3 +12u^2 -22(√2)u +10,

　-2.50930862664657 < u < 0.3801202958784 のとき 右辺 >0 となり、

　v = {-(5u+√2) ±√(右辺)}/(3√2･u -1),

漸近線:　u = 1/(3√2), x+y = 1/3,

〔類題〕
次の方程式が表す図形を図示せよ。
　x^3 +y^3 +3x^2 -(1/2)y^2 +(1/2)xy = 0,

(参考)
森口･宇田川･一松: ｢数学公式I｣ 岩波全書221 (1956)
　6.38図 (p.275) をy軸方向に拡大した。

>>583
　漸近線は x+y=-2/3 らしい....

円周上に任意の点Pをとる
点Pにおける接線は1本のみであることを証明せよ

やっべえよ

スープの上にn個の油滴が浮いている。
隣り合う二つの油滴を箸でつついて一つにつなげていく。
すべての油滴を一つにまとめあげるには最低何回油滴をつつく
必要がありますか？

>>597
稀にみるアホ

任意のキンタマは臭い

俺のはフローラルの香りだ

>>587
n-1でどうでしょうか？

当たり前だろ

キンタマのニオイが？

>>Kummer
出てきなさい。撲滅しますから。

俺のタマキンは無臭だが

>>Kummer
貴方は永遠の監視対象です。

まいんちゃんとやりたい
おつぴーおつぴー
つくたんたんつくたんたん（＾▽＾）
つんとんとんつんとんとん

>>Kummer
見ています。永遠にね…

まいんちゃんの賞味期限はあと何日？

>>ALL
貴方達を絶対に許すことができません。
迅速なる謝罪を求めます。

絶対に許されないなら謝罪しても無駄ですね、ハイ

>>601
謝罪の後に、賠償を求めます。

謝罪＆賠償せよ

絶対に許されないなら賠償をする意味がないですね、ハイ

>>603
賠償しろ。エエな。

貴方が死ぬまで待った方がいいですね、ハイ

>>597
えー、偽物くんですね
バカオツ（ーー；）

>>588
あ、これもパクリ乙
偽物くんですね
バカオツ（ーー；）

>>597の発言を予想しているのかな？
バカオツ（ーー；）

便所の落書きに偽物も本物もないだろ
そんな事もわからないアホなのか？
じゃあお前が本物である事示せよカス

>>606-607
またまた偽物くん
バカオツ（ーー；）警
オツピーオツピー
まいんちゃんペロペロ
クリクリマングリパー

>>608
バカオツ（ーー；）

http://uploader.sakura.ne.jp/src/up38044.jpg

グロ注意
バカオツ

画像怖くて踏めません
鑑定お願いしますね

中東辺りの子供の遺体画像

>>610
>>612
バカオツ（ーー；）
パクリ乙（ーー；）

>>615
と偽物が言ってます
バカオツ（ーー；）

>>616
きましたね、偽物くん♪
バカオツ（ーー；）です...

皆纏めてバカオツ（ーー；）

>>618
はい、バカオツ（ーー；）

トリップ付けたり画像偽造したりしてしつこいですね
恥を知りなさい
バカオツ（ーー；）

>>620
悔しいんでしょうかねバカオツ（ーー；）が
オツピーオツピー♪
バカオツ（ーー；）警！

>>621
偽物くん
トリップ忘れてますよ
オツピーオツピー
バカオツチンチンバカオツ（ーー；）

バカオツ（ーー；）

とか言ってるやつ
「バカオツ（ーー；）」が悔しいんだな
本物に言われて
悔しくて言うってことか

キチガイバカオツ（ーー；）

悔しいですね
偽物くん
バカオツ（ーー；）警！

>>624
口調もすごい似せてるな
笑える
バカオツ（ーー；）警！
オツピーオツピー♪

哀れな偽物バカオツ（ーー；）

>>626も偽物バカオツ（ーー；）

すごい音楽だな。

バルキスの定理を使えば一瞬

偽物増殖バカオツ（ーー；）

>>630
あなたも、偽物ですね！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！

631:◇2nnnnnnnn.◆2nnnnnnnn. :2011/05/04(水) 18:58:05.76 [sage]
>>630
あなたも、偽物ですね！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！

本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！

作詞◇2nnnnnnnn.

本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！

オツピーオツピー(⌒-⌒; )

そしてバカオツ（ーー；）

キチガイピーヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ

バカオツ（ーー；）... マジ乙警！

オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
口調も真似てますバカオツ（ーー；）...
オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！

キチガイピーヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ

>>632
>>633
>>634
偽物

>>632
>>633
>>634
ついに爆発したね！
バカオツ（ーー；）警！

自演オツ

>>637

作詞◇2nnnnnnnn.

本当にバカオツ（ーー；）警！
口調も真似かな？
うん、オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
本当にバカオツ（ーー；）警！

オツピーオツピー(⌒-⌒; )

そしてバカオツ（ーー；）

キチガイピーヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ

バカオツ（ーー；）... マジ乙警！

オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！
口調も真似てますバカオツ（ーー；）...
オツピーオツピーバカオツ（ーー；）警！

キチガイピーヾ(＠⌒ー⌒＠)ノ

>>639
気持ち悪いぞ！キチガイ！
バカオツ（＾∇＾）！
キチガイはたくさんだな！
パクリ乙（ーー；）警！
キチガイ丸出し！
偽物オツピーオツピー♪バカオツケー♪
頑張れ！偽物！

非常に大きな円筒状の容器があり、中は真水で満たされている。
ある時、容器の底に面積 x cm^2の穴があき、水が流れ出し、水位がどんどん下がっていった。
容器には、十分な水が入っていることが望まれる。しかし、大量の真水が無かったため、
上部から、毎分 y m^3 の海水を注ぎ入れた。
初め水位はどんどん下がっていったが、ある時期から、水位は一定になった。

(1)一定になった水位h(mm)を x と y を使って表せ。なお、重力加速度は、g m/s^2とする。
(2)海水の塩分濃度をa%、海水を入れ始めてからt秒後の、容器内の塩分濃度がb%であった時、時刻tにおける容器内の水の量を求めよ。

答えや解き方を出題者が吟味した上で出そしましょう

>>242 �B
>>249 �B

〔補題〕
　p,q,x は1より大きい自然数
　x^q - (x-1)^p = 1,　　･････ (*)
ならば
　(p,q,x) = (3,2,3)

略証 (H.B.Yu,1999)
　x^q - (x-1)^p = {(x-1)+1}^q - (x-1)^p ≡ q(x-1) +1, (mod (x-1)^2)
　x^q - (x-1)^p ≡ (-1)^p･(px-1),　(mod x^2)
　題意より、(x-1)|q, x|p, pは奇数ゆえ xも奇数, x-1は偶数、q=2r
　(x-1)^p = x^q -1 = x^(2r) -1 = (x^r-1)(x^r+1),　…… (**)
　2 ≦ GCD(x^r +1, x-1) ≦ GCD(x^r +1, x^r -1) = 2,
　x-1 = (2^e)w (e≧1,wは奇数)とおくと、GCD(x^r +1, w) = 1,
　x^r +1 = 2^a. 　一方、x^r +1 > x^r -1 ≧ x-1 ≧ 2, a≧2,
　x^r -1 および x-1 は4の倍数でない。e=1,
　これを用いて (**)を 2ベキ因子 と 奇数因子 に分離する。
　　2^p = 2^(a+1) =2(x^r +1),
　　w^p = (x^r -1)/2,
　これと x^r +1 > x^r -1 より、2^(p-2) > w^p,
　∴ w=1, x-1=2, x=3,
　3^r -1 = 2 より r=1, q=2r=2, p=3 (終)

http://unkar.org/r/math/1122121499/48-49
http://unkar.org/r/math/1132313250/16-17

>>641

(1) 水位差による海水の噴出を考えると、流速は √{2g(h/1000)}
　　流出速度は (x/10000)√{2g(h/1000)} [m^3/s],
　　毎分では 60(x/10000)√{2g(h/1000)} [m^3/分],
　　これがyと釣り合う。

　（注）海水の密度にはよらない。

物理学は無視した
仮想的な真水という物質なのですねｗ

液体ではなさそうですが

>>645
　非圧縮性の流体なので、密度は一定。
　名前はどうでもいい。

あんでぃ

５浪ブロガー久々更新ｷﾀｰ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !！!！
http://d.hatena.ne.jp/mizu00sawa13/

体調によって、ある薬を１日１錠から３錠飲むが、１日３錠を２日以上続けてはいけない。
薬局で３錠買った場合の飲み方は、（１,１,１）（１,２）（２,１）（３）の４通りであるが、
１５錠買った場合の飲み方は何通りか。

(1) (2) (3,1) (3,2) の並べ方。

ただし末日は (3) も可。


(ii)初日(3)、終日は(3)でない

>>649
薬が早く尽きてもいいわけですな

場合分けと計算方法は思いついたけど
素直に計算すれば5分以上かかりそうだ…

しかも一日に飲む数が１〜４錠あるいは２〜４錠というように少しいじられただけでお手上げ
日数も15から一般化されるときびしい

>>648
誰だよ！
失せろ！

>>649
1,2,3を適当に並べた列を考える。ただし、3だけは連続して並べない。
そのような列のうち、数値の合計がnで、最後の数字が1のもの数をA[n]、
2のもの数をB[n]、3のもの数をC[n]とすると、
A[n]=A[n-1]+B[n-1]+C[n-1]
B[n]=A[n-2]+B[n-2]+C[n-2]
C[n]=A[n-3]+B[n-3]　が成り立つ。

n｜１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９　10　11　 12　 13　 14　 15
A｜１ １ ２ ４ ７ 13 23 42 76 138 250　453　821　1488　2697
B｜０ １ １ ２ ４ ７ 13 23 42　76 138　250　453　 821　1488
C｜０ ０ １ １ ２ ３ ６ 11 20　36　65　118　214　 388　703

2697+1488+703=4888

出題者ですが、それで正解です。
ただし、私のやり方は、答えをａ(n)とすると、
ａ(n+5)=ａ(n+4)+ａ(n+3)+ａ(n+1)+ａ(n)…�@
ａ(1)からａ(5)までは、１,２,４,７,１３となります。
�@よりａ(6)=２３
あとは自動的にすべてのａ(n)が求まります。
一般項を求めるのは無理でしょうが。

訂正します。
×答えをａ(n)とすると
○n錠の場合の数をａ(n)とすると

B[n]=A[n-1]、C[n]=A[n-3]+A[n-4]、から、A[n]=A[n-1]+A[n-2]+A[n-4]+A[n-5]となります。
ここでの初期値は、最後の1のものに限るので、A[0]=0、A[1]=1、A[2]=1、A[3]=2、A[4]=4
求めるべきものはA[15]+B[15]+C[15]なのでA[16]に一致します。
A[n]の一般項を求めると、A[n]=k1*a^n+k2*b^n+k3*c^n+k4*d^n+k5*e^nという形になります。
ここで、a,b,c,d,eはx^5=x^4+x^3+x+1の根で、k1からk5は、初期値により定まる値です。
一般項を求めることは可能ですが、簡単な形にはなりません。

>> 一般項を求めるのは無理でしょうが。
質問かと思って解説を加えたけど、最後は「か」ではなく「が」だった　orz。

>>658
大学受験生は高校生もしくは浪人生だから、その一般項は求められんだろ、なかなか。

>>657

x^5 -x^4 -x^3 -x-1 = (x-1.81240361926804)(x^2 +1.499420x+0.6388185)(x^2 -0.687016x+0.8637094),

　a = 1.81240361926804
　b,c　= -0.749710 ± 0.277044ｉ,
　d,e　=　0.343508 ± 0.863546ｉ,

>>657

しかし
　|b| = |c| = √0.6388185 < 1
　|d| = |e| = √0.8637094 < 1
だから初項だけが残り
　A(n) = [ k1･a^n + 0.4 ]
　k1 = 0.653589129119619･･･
ぬるぽ

サイコロを三回ふり、一回目に出た目をｘ1、二回目に出た目をｘ2、三回目に出た目をｘ3とする。サイコロの各目が出る確率は１/６とする。


今、関数ｆ(Ｘ)を
ｆ(Ｘ)＝(Ｘ^３)/ｘ3
と定めるとき、
∫[ｘ1→ｘ2]ｆ(Ｘ)ｄＸが整数となる確率を求めよ。

>>662
L=∫[ｘ1→ｘ2]ｆ(Ｘ)ｄＸとおく。

１）x1=x2のときx3の値によらずL=0となる。　このときの確率は1/6
２）x1≠x2のときを考える

L＝(x2^4-x1^4)/（4x3）　　x2^4-x1^4が4の倍数でなければLは整数とならないので
x2^4-x1^4は４の倍数である必要がある。　　x1,x2の偶奇が一致しなければ奇数になるので
x1,x2の偶奇が一致する必要がある。

(x1,x2)=(1,3),(3,1) のときlLl=20/x3　　x3=1.2.4.5のとき整数となる。　このときの確率は8/216
・　
・省略
・
以上すべて排反なので　
求める確率は　1/6+(8+10+4+4+6+8)/216=19/54

1)2)は正論ですが、結果の19/54 確率は高くない？

>>663間違い。
>>664間違い。

>>665
んなら1)のx1=x2は、奇遇が一致する一要素
とでもいえばいいんか？んなん思考の勝手。

(3^4-1^4)/4=20の約数は1,2,4,5.
(5^4-1^4)/4=156の約数は1,2,3,4,6.
(5^4-3^4)/4=136の約数は1,2,4.
(4^4-2^4)/4=60の約数は1,2,3,4,5,6.
(6^4-2^4)/4=320の約数は1,2,4,5.
(6^4-4^4)/4=260の約数は1,2,4,5.

1/6+(8+10+6+12+8+8)/216=11/27>19/54.

17/54になったんだが

それで？

それでの意味が分からん

5/9になったんだが

整数はマイナスの自然数も含みます。
一方で第二項は、x1=x2の余事象での
制限がかかる

すまん…｢整数はマイナスの自然数も含む｣
部は勘定にいってた

１２個の見分けのつかない玉がある。
そのうち一つだけ、他の玉よりやや重い玉がある。


てんびんを三回使って、この玉を決定することはできるのか否か。また、その根拠を証明せよ。
ただし、手で持って玉を判別することはできないとする。てんびん以外のすべての器具を使うことを禁止とする。

4-4で比較。
つり合えば残り４つにあたりがある。それを2-2で比較。重い方の二個を1-1で比較し、重いものがあたり。
4-4の比較でつり合わなかった場合、重い方の四つにあたりがある。上と同様の方法で特定可能。

では類題。五つの見分けのつかない玉がある。重さは全て異なる。7回だけてんびんを使って玉を重い順に並べ替えたい。
可能か？　可能ならその根拠を示せ。

>>674
細かいことだけど、
＞他の玉よりやや重い玉がある。
これだけでもいいけど、他の玉の重さが全部同じってことは言っといた方がいいのでは？

12個どころか倍の24個でも３回で判別可能なんじゃないかな？

>>675
全て異なるなら、最大10回かかるはず

>12個どころか倍の24個でも３回で判別可能なんじゃないかな？
というか27個ですな。

>他の玉よりやや重い玉がある。
ではなく、「１つだけ重さの違う玉がある」という問題のつもりだったんでしょうかねえ。
（それでも12個じゃなくて13個までＯＫだが）

>>677　もちろん不正解
せめて、「8回なら出来る事は解ったが、7回で可能か？」
という段階まで煮詰めてから回答して欲しかった。

>>678
重さが異なる玉があり、それが重いか軽いか不明。
そして、その重さが異なる玉を特定するだけなら13個まで可能。
重さが異なる玉を特定し、それが、重いのか、軽いのかまで言い当てるならば12個が限界。

なにこのひとこわい

>>679
では８回の実例をどうぞ

>>681 4つだけでソートを確定(5回必要)→仮2位と残り一つを比較→以下2回以内で確実に可能。

>>679
「8回なら出来る事は解ったが、7回で可能か？」という段階で投げて出題しちゃったか。

>>683　なんか、変な勘違いをしているかも知れないが、俺はきちんと答えを持っている。
というか、もっと複雑な問題が出されたときに、その問題の答えの一部として、この問題
の答えを使っている。この辺のどこかの掲示板にアップしたから、探せば見つかるはず。

>>675は、>>674の出題形式になぞらえた出題形式にしただけ。
>>679は、簡単に8回で可能なのは解るはずなのに、10回は必要などという異次元の回答に
呆れ、あのようなコメントをだした。

なにこのひとこわい

「a、b、c、dを整数とし、a＞b＞c＞d＞0　とする。これらが、
　　ac＋bd=(b＋d＋a−c)(b＋d−a＋c)
　をみたすとする。このとき、ab＋cdは素数でないことを示せ」

ac＋bd=(b＋d＋a−c)(b＋d−a＋c)

b＋d＋a−c
b＋d−a＋c 　が

１にはならないのか。

以下は、あるIMOの問題を解いているとき思いついた問題。
簡単なのか難しいのか判断しかねてる。
解ける人はすぐ解け、回答もかなり短いはず。

【問題】　ａ、ｎ　は１より大きい整数、b、m　は正の整数で

ｎ！＝a^m・b　が成り立っているとき、　m　＜　ｎ/（a-1）　を示せ。

>>688

aが素数のときは簡単
　m = Σ(k=1,∞) [n/(a^k)] ≦ Σ(k=1,∞) n/(a^k) = n/(a-1),

>>688

　凡例　n=4, a=8, m=1, n/(a-1)=4/7,
　　　　n=8, a=4, m=3, n/(a-1)=8/3,

>>690
すまん、aは素数じゃないと駄目か．．．

か

トリップつけすぎw

な

トリップつけすぎw

予想問題じゃないがそれっぽいの作ってみた
どうせこんな感じのしか出らんだろ


http://2sen.dip.jp/cgi-bin/upgun/up1/source/up59696.pdf

>>696
「プログラム」「○○を追加したプログラム」などが
ひとりよがりな表現じゃないか？

そういうところじゃなくて問題の配置とか
そういう巧妙さを見てくれ

第四問は
巧妙さには欠けるんじゃね？小問の配置なんて特に。

それはそうだが>>301を写しただけだからな

【問題】
S_n＝Σ[k=1→n](x^k/k!) とするとき次の問に答えよ．

(1) x＞0 のとき， S_n＜e^x＜S_n＋x^(n+1)･e^x/(n+1)! を示せ．
(2) e が無理数であることを示せ．
(3) 任意の実数 x に対して lim[n→∞]S_n が存在して，e^x と等しいことを示せ．

× S_n＝Σ[k=1→n](x^k/k!)
〇 S_n＝Σ[k=0→n](x^k/k!)

S_n(x) とした方が記号的には良かったかな。

Make it so !

Make in YOU

どういう意味でしょう

Creampi

どういう意味でしょう

ポチ

http://2sen.dip.jp/cgi-bin/upgun/up1/source/up59830.pdf

>>708
TeXで書きなおしてこい。

wordでももうちょい上手く書けるぞｗ

>>708
今どきTeXくらいは小学生でも打てるぞ！

東大数学は答案が大事だから必ずしも
数学的に難解である必要はないという
本質がつかめてない馬鹿多いよな

>>710
これはWordをPrimoPDFでPDF化されています。
ただ数式部はWordの数式、フィールドまたは
数式エディタ(or MathType)でもなくラスタ
画像を貼り付けているっぽい。

紫式部

正７角形の対角線の交点は、
重複していないことを証明せよ。

（２０分だとちょっと無理かな？）

>>713
ＴｅＸを使ってみろよ！世界が開けるぜ！

>>715
とりあえず、交点は(2 + 3) * 7 = 35個か。これらが重複しないことを証明する。中心からの距離を調べればよさそうだな

>>715
まず、頂点に0-6の番号を振っておく。

4つの頂点を選ぶと対角線が2本引けて交点ができるわけだけど、反転と回転を使って同じにならない組み合わせは以下のとおり
a(0, 1, 2, 3)
b(0, 1, 2, 4)
c(0, 1, 3, 4)
d(0, 1, 3, 5)

やっぱり交点28個か

あとは、中心からの距離だったりなんだったり、回転と反転を使っても換わらない量を使って比べればいいけど、めんどいお

対角線は２種類しかない上に７本ずつが対等な関係だから
２種の対角線上のそれぞれの好転について検証するだけですみそう

>>719
俺もそれを考えたんだよ。でも、どうしても中心をまたぐやつがあって、単純に比較できない。っていうか、対角線上の距離を測ればいいのか
できそうだな

＞中心をまたぐやつ

というと？

>>718で行くと

cとdを比較するのが難しいなって

a > b
b > c
b > dは簡単

でも、ここまでくればcとdが同じじゃないことを言えればいいから証明できたな。うまく説明できないんだけど
やっぱり証明苦手だ。頭の中でちゃんと論理的に結論が出るのに説明できないwww

ビジュアル的には、内部に4つの正七角形ができる感じだな

東大生なら、奇数で正n角形でも証明できるんじゃないか?

>>715

頂点をA〜G とする。
正7角形で３本の交点が１点で交わる可能性があるのは、頂点の数から考えて
　AD, BE, CF（またはこれと合同な形）の場合に限る。
　中心Oの周りに 1/7回転することにより、AD→BE, BE→CF に移る。
　ADとBEの交点をP, BEとCFの交点をQとおくと、P→Q
　対称性からみて、P、Q≠O だから、P≠Q
　∴　AD, BE, CF は１点で交わらない。(終)

>>722
>>719に挙げてる「対角線は二種類」ってのをちゃんと考えてる？

短い方をA,、長い方をBとすれば
A上には他のAとの交点が２つ、Bとの交点が２つの計４交点があり
B上にはAとの交点が２つ、他のBとの交点が４つの計６交点がある

aってのはAAの交点、bってのはABの交点、cdはBBの交点だね
cdで困ったら任意のB一本に対し他のBの交わり方を示せばすむ

>>725 訂正

正7角形で、３本の対角線が１点で交わる可能性があるのは、････

>>725
確かに。この考え方なら頭の中だけで終わるなwww
頭いいな

>>726
もろもろわかってるんだけど、言語化するときにだめになるwww
って言い訳してみる

>>728
直観的にはな。

>>708
そんなのどうでもいいからこれみたいな
地道な問題をしこしこ解けよ。お前らが言う
問題なんて最近の傾向だと出ないから

>>687
(b+d+a-c) > (b+d-a+c)だから、
(b+d-a+c) = 1
(b+d+a-c) = p(pは素数）
と仮定。
これより、
a=(p-1)/2+c
b=(p+1)/2-d
ac = (p-1)c/2 + c^2
bd = (p+1)d/2 + d^2
ac+bd = p = (p-1)c/2 + (p-1)d/2 + c^2-d^2
≧(p-1)c/2 + (p+1)d/2 + 1 > p+1
p>p+1になってしまい矛盾。

>>701
をお願いします

>>733
>>701 (1)

　S_n(x)･e^(-x) = 1 - (1/n!)∫[0,x] (t^n)e^(-t)dt
　　　　　　　　> 1 - (1/n!)∫[0,x] t^n dt
　　　　　　　　= 1 - {1/(n+1)!}x^(n+1),
を使う。

>>727 より
　３本の対角線が１点で交わるとする。
　それらの端点は異なる頂点だから６頂点。
　残った頂点は１つだけ。これをＧとしても一般性を牛縄綯い。　>>725

> 一般性を牛縄綯い。
こう書いたら減点されるだろうか？

>>736
　採点者の方も泥縄だから、点数を失わない。

阪大のチャレンジ枠って灯台問題からパクるのですか？

正７角形の対角線の交点は、
重複していないことを証明せよ。

（２０分だとちょっと無理かな？）

紙に書けば楽勝じゃないか。
折ってもいい

pij=(ai+aj)/2,i<j=1-7
aj=e^2piij/7
p12=...

>>739
祈ってもいい
と読んでしまった

>>687
>>732

ac+bdじゃなくab+cdなんだが。

対角線って？
頂点から６ぽんでるけど、全部交点は頂点で重複している。

てすと。

>>701 (2)

　Sn(1) < e < Sn(1) + e/(n+1)!,
　Sn(1) = m/n!　(m,nは自然数）だから
　m < n!･e < m + e/(n+1) < m +1,
より n!･e ≠ 整数。

xyz空間に4頂点の成分が全て有理数である四面体Kがある．このときKの体積が有理数であることを示せ．

*ただし、東大入試を想定しているので外積は用いてはならない．

>>746

　頂点を O,A,B,C とし、↑OA = ↑ａ, ↑OB =↑ｂ, ↑OC = ↑ｃ とおく。
　ｏ、ａ、ｂ，ｃ，ａ＋ｂ、ｂ＋ｃ，ｃ＋ａ，ａ＋ｂ＋ｃ を頂点とする平行六面体を考える。
　これは、四面体の体積の6倍の体積をもつ。
　このあと、どうする？

底面積=有理数
高さ＝Z成分＝有理数
1/3
あとは相似だから。

e=a/b,(a,b)=1->loge=1=loga-logb
a=e^n+1,b=e^n
a=(a/b)^n+1
a^n=b^n+1
(a,b)<>1

a=e^n+x,b=e^n+x-1
a=a^n+x/b^n+x
b^n+x=a^n+x-1

2^1/e=?

数学者ってすごいよな。数学ってうっかりすると
Ｃｈｉｍｐｏ死ぬだろ

>>708 >>731

第３問
　(2 -1/6)^3 + (2 -1/6) = {8 -2 +1/6 -(1/6)^3} +(2 -1/6) = 8 -(1/6)^3 ≒ 8,
　x = 2 -1/6 = (有理数),
ぢゃなくて、
　x = {√(16 +1/27) +4}^(1/3) - {√(16 +1/27) -4}^(1/3)
　　= 1.833750957721400648406201641099････

>>746
ベクトル使うまでもないんじゃね？

有理数は四則演算に関して閉じているから

「平面上で三頂点の成分が全て有理数である三角形の面積が有理数」を
三角形を含み各辺が軸に平行な長方形からの引き算で求めるやり方でやれば
無理数や三平方すら習ってない中学生でもできるんじゃね？

>>747
　有理数 x_a, x_b, x_c を通分した分母を L,
　有理数 y_a, y_b, y_c を通分した分母を M,
　有理数 z_a, z_b, z_c を通分した分母を N,
とおく。
　x方向の間隔が 1/L, y方向の間隔が 1/M, z方向の間隔が 1/N の格子点を考える。
　（体積1あたり LMN 個の点がある.）

　平行六面体の内部の格子点を数える。
　面上の点は、裏にある同位点と合わせて１個と数える。
　辺上の点は、平行な４辺上の同位点をあわせて1個と数える。
　頂点は８つ合わせて1個と数える。
　その合計をＺとすると、この平行六面体の体積は Ｚ/(LMN) に等しい.(*)
　よって、体積は有理数。

*) この平行六面体で空間を隙間なく充填することができるので。

>>754
方法はおもしろいけど
無駄な回り道な気がするな

この方法を生かすには
問題にかなりの導入（例えば>747など）や強制を入れて
解き方の方向性を制限したほうがよさそう

>>746
一瞬面白いと思ったが平面三角形には簡単な
面積公式があるので有理数は自明だし、高さが
有理数なのが自明なら簡単すぎて東大には出ない

>>756　O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)と言う四点で、
三角形ABCを底面とした場合、底面積=√3/2、高さ=1/√3、と無理数になる。
四面体に対し、「高さ」はきちんとした用語であり、上の例で必ずしも有理数にはならない。

>>757
平面三角形だと有理数は
当たり前なのに空間になると
無理数になる場合があるって
不思議だな

>>758
何の不思議もない
平面三角形でも辺や高さが無理数になることは普通にある

>>756
底面を四面体の一面に固定しようとするからダメ
それにヘロンみたいな面積公式を天下りに使うのは
何を求められてるのか分かってるのかと思われるんじゃないか？

>>759
平面三角形には|ad-bc|/2みたいな公式があるから
a,b,c,dが有理数なら面積は無理数にならないだろ

>>766
話の流れが分かってる？

「辺」や「高さ」が無理数になることがあるのは当然ということ
>>757が高さに関して言ってるのも同じこと

それに「公式があるから」じゃ説明になってないってのも>>759で言ってるけどね。

結果的にはこの問題で>>757の言う高さも有理数になるわけだが
公式ですませるなら、四角錐の体積公式みたいなものを同様にして導けばそれが答え
ただし自力で導けるかどうかが問題ってとこだな

>>746
この定理自体は面白いが証明過程は面白くない

>>761
|ad-bc|/2は受験生なら既知だから
これ使われて証明されるんじゃ
出題者がどうしようもない

＞面積公式を天下りに使うのは
＞何を求められてるのか分かってるのかと思われるんじゃないか？

＞公式ですませるなら、四角錐の体積公式みたいなものを同様にして導けばそれが答え
＞ただし自力で導けるかどうかが問題ってとこだな

要はこんなことだな。
円周率の概算値がいくら以上なのを証明せよってのが過去にあったが
あれで「π≒3.14だから」じゃ何の説明にもなってないようなもの

|ad-bc|/2とπ≒では話が違う

＞何を求められてるのか分かってるのかと思われるんじゃないか？

発想力とか直感とかどうでもいいから
演繹的に解ける問題出せよ

受験答案とかでやたらひねくれた解法
使ってる奴がいるが、数学は演繹力がすべて
自然な論理の進行で解いているものこそ
優れている

いま東大入試にでる問題としては>>708
の第二問が優れている。こんなのしかでないよ

>>761　四面体には、四つの「高さ」がある。
>>757の例では、三つの高さは有理数だが、一つは無理数であり、
761での記述
>>結果的にはこの問題で>>757の言う高さも有理数になるわけだが
は明らかに誤りである。

三点の高さが違う三角柱の体積が有理数だってことを言うでしょ。
そのあと、4面体を軸にそった方向から見て、その三角柱の足し引きであわらせば終わり

>>763
今年の京大の理系[2]は|ad-bc|/2を知っているかどうかが全てでしたね。
これを知らないがために[2]が出来なかった受験生もいたことでしょう。

>>770
話の内容が見えてないと指示語野意味するところも理解できず
つまらん揚げ足取りにしか見えない（本人はそのつもりないにせよ）応答しかできないのな。

「この問題で」＝>>746の問題で
「>>757の言う高さ」＝四面体の任意の一面を底辺としたときの高さ
別に底面を設定して、両錐と見る解法などを使わず、あくまで既存の面に固執するという意味。

底面が有理数なら高さも有理数になるし
底面が無理数なら高さも無理数になるという当たり前の話。
>>759前半の段落が書かれている意味・意図も考えようとすらしなかったのかな…

>>722
ベクトルを通した発想ができれば別に知らなくてもいんじゃね？

xの方程式x^n=1はn個の解をもつことを示せ．ただしxは複素数の範囲までを考えるものとする．

>>746
四面体Kの4頂点を,AB,C,Dとする。
四面体を有理数幅平行移動させても体積は変わりなく4頂点の成分も有理数のままなので
点Aが原点の場合に成り立つことを示せばよい。
3点B,C,Dからなる平面はxy平面,yz平面,zx平面の少なくとも2つと交わるので
xy平面と交わるとしても一般性を失わない。
直線BC,BDとxy平面の交点を順に点E,Fとすれば点E,Fの成分も有理数となる(計算略)
このとき四面体ABEDの体積は四面体ABCDの体積の有理数倍になり
四面体ABEFの体積は四面体ABEDの体積の有理数倍となるので(計算略)
四面体ABEFの体積が有理数であることを示せばよいが、E(p,q,0), F(r,s,0)とおけば(p,q,r,sは有理数)
三角形AEFの面積は|ps-qr|/2と有理数であり、三角形AEFを底面と見たときの高さは点Bのz成分となるため
四面体ABEFの体積は有理数となるので、四面体Kの体積も有理数となる

俺は>>746の作者だけどみんな苦しんで楽しめるかな？
今度は>>775を考えてみたからやってみてね

ちなみに解答は後日発表

バカが出題して自己満足してるだけじゃん

>>778
じゃあ君が答えてみろよ

>>775
n個あることはドモアブルより明らか。他にないことを言えば終わり。
東大入試としてはちょっと易しすぎる。名大とか北大ぐらいならわからんでもない。

>>775
1秒で思いついて、2分で書けるじゃんwww

他にないことの証明が大事だから、問題文には解を入れちゃって、これ以外に無いことを示せってやったほうがいいと思う。

>>780　>>782
　複素数体Ｃに零因子がない（整域）ことを示せばいいな････

>>779
wwww

>>777
中学生が複素数知って興奮中状態？

この人の考える模範回答が見てみたい

腹痛いwwwww

Texクソ杉ワロタ
いちいち数式ごとにTex書くとか
どんだけ不便なんだよ


さっさと一気に変換するソフト作れよ

>>787
アホは黙れ

>>785
http://m.ameba.jp/m/blogTop.do?unm=junichi-nagase&guid=ON

>>776
A = O,
E(p,q,0):　OE↑ = OC↑ - {zc/(zc-zb)}BC↑,
F(r,s,0):　OF↑ = OD↑ - {zd/(zd-zb)}BD↑,
△AEF = |ps-qr|/2,
高さ h = |zb|,
体積 = (1/3)h･△AEF,

http://2sen.dip.jp/cgi-bin/upgun/up1/source/up60170.pdf

なんで文頭に句読点があるんだよ

坊やだからさ

解けない言い訳

>>776　>>790　訂正

頂点を移動するのは底面に平行な方向に限るので････

「Cを通ってOBに平行な直線」「Dを通ってOBに平行な直線」
とxy平面の交点を 順にE,Fとすれば
　OE↑ = OC↑ - (zc/zb)OB↑,
　OF↑ = OD↑ - (zd/zb)OB↑,
その成分は
　p = (xc zb - xb zc)/zb,
　q = (yc zb - yb zc)/zb,
　r = (xd zb - xb zd)/zb,
　s = (yd zb - yb zd)/zb,

>>708 >>731

第3問

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/55-56

解答作成の図表を作るソフト
ありませんか
ペイントだと変な図になる

>>797
texとemathでササッと描け！

emathって何なの？
自分で図を書いてこれを
emathに変換してくれる
ソフトはないですか

http://mathm.up.seesaa.net/image/E4BAACE5A4A7E4BA88E683B3.pdf

点Ｐはy=1/x(x>0)、点Ｑは y=-1/x(x<0)の部分を動く。
|aOP↑+bOQ↑|≦1を満たす点（a,b）が存在する領域の面積の最大値を求めよ。

過疎あげ

xy平面上に
y=(a+1)x^3+(a-2)x^2+ax+(a-1)・・・�@(aは定数)
と
y=ax^2・・・�Aがある。

Q1：�@と�Aが異なる2点で交わり、原点Oと2つの交点をA、Bとすると三角形OABの面積Sについて常にS≧6が成り立つような定数aの値の範囲を求めよ。

過疎あげ

　|>､＿_ ／|ﾌ
　 〉｡,　o　く　/＼
　 b 〜　O ヽ〉 /
　 （>　 ＜ノ ∨
　　（､＿（、 ノ
　　￣ 　 ￣

>>801

(x,y)平面上で OP=(p,1/p)　OQ=(q,-1/q) とする。(q<0<p)

|aOP↑ + bOQ↑|^2 = (ap+bq)^2 + (a/p -b/q)^2
　　　　　　　　　= (ap+bq)^2 + (aq-bp)^2 /(pq)^2,

ここから (a,b)平面で考える。a軸, b軸をθ回して
　(ap+bq)/√(p^2 +q^2) = A,
　(aq-bp)/√(p^2 +q^2) = B,
とおくと
　|aOP+bOQ|^2 = (p^2+q^2)A^2 + {(p^2+q^2)/(pq)^2}B^2 ≦ 1,
これは楕円である。
　A軸方向の半径は 1/√(p^2+q^2)、
　B軸方向の半径は |pq|/√(p^2+q^2),
∴　面積は S(p,q) = π|pq|/(p^2 +q^2) ≦ π/2,　(←相加･相乗平均)
　等号成立は |p|=|q| のとき。

このスレも廃れたなあ
前はもっと活気あったのにね

双曲線Ｃ：x^2/a^2-y^2/b^2=1,x>0,a>0,b>0について、
(1)Cがパラメーターs,tを用いて、（x,y）=s(a,b)+t(a,-b)とあらわされる時
s,tの条件を求めよ。

(2)Cを自分自身に移す１次変換の内、以下の条件(X)を満たすものがあることを示せ
(X)この１次変換により、点Ａは自分自身に移り、点ＢはＢの原点に関する対称点に移る。

あげ

あげぽよ

あげ

　　　　　　　　　　　　　　　{／　　　　　　　 /　　　　　　　　　　　　　∨-=ミﾏ ＼
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 /　 /　　　　　　　　　 ヽ　　 　 ∨i{　/}　 }}
　　　　 　 　 　 　 　 　 /　　　 　 /　/| : /　　　　 　 　　 　 　 i:　　　　　∨/　ﾉﾘ　 /⌒)
　　　　　　　　　　　　 /ｲ 　 　 : /　⌒ト |　　　 /|　 ∧　 　 　 |:　　　　|､＿_,彡 　 ｛　 ⌒）
　　　　　　　　　　　　　 |/　. : : :| :/ 　|　l　　 |/　　/⌒ト､:/∨:!:　　 　 |/: : : ハ　／￣￣
　　 　 　 （⌒ヽ 　 　 　 ﾚｲ: : : : 〃⌒心八　│　∨ 　 | :/＼| :　　　　 | : : : : : |
. 　 　 　 　 ヽ 　ヽ、　 -、:|: :|: ｲ{{. ｉ_ノ:.:ﾊ　＼|　　 　 　|/ 　 :|/　　 　 厶L:_:｣_:ﾘ
　　 　 　 　 　＼　 `（　 }八八ハ. 弋いソ　　　　　＿＿　　 /　　　　 ,: : : : : | 　　　　　ゆるゆり、はっじまっるよー！！
.　　 　 　 　 　 /　 ⌒ヽ ∨　: : :j（//)　　.　 　 　 ⌒¨¨~ヾ /: :　　　 / : 　　リ
　　　 　 　 　 〈 　　´￣）　 |　: ｛ 　 　 　 　 　 _　　 　 (//) : :　　　/ : :　　 |
　　　　　　　　 '　 　 '⌒) ｝ｉ|　: :丶　　　 ｢　　　｝　　　∠／: :　　 / : : :　　 |
　　　　　　　　　'.　　ノ´　{八　: :∧＼　　　 __ノ　 　 　 / : : :　　/ : : : :　人|
　　　　　　　　　　　 　 　 ｝　＼厶:∨::＞　 ＿,,,...　　´/: :／| 〃丶:∧: :/
　 　 　 　 　 　 ／〉　　　∧ ／｛:::|｢::::::::::::::::: ∧　 　 /／　/|/::::::::::＼|/
　　　　　　　／　/　　　/　 〉　八:||:::::::::::::::::/＿　　　　 ／:::::::::::::::::::／＞､

あげ

♥問題２♥
Q(x,y) を x,y に関する2次の同次多項式かつ対称式とする。
次は同値であることを示せ。
　�@　任意の a,b≧0 に対して Q(a,b)≧0.
　�A　Q(1,1)≧0,　Q(1,0)≧0.

♥問題３♥
P(x,y,z) を x,y,z に関する3次の同次多項式かつ対称式とする。
次は同値であることを示せ。（だるまにおん）
　�@　任意の a,b,c≧0 に対して P(a,b,c)≧0.
　�A　P(1,1,1)≧0,　P(1,1,0)≧0,　P(1,0,0)≧0.

http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1169210077/681-687
casphy - 高校数学 - 不等式

>>814

問題２
　2次の対称式は (x+y)^2 と xy,
　Q(x,y) = Q(1,0)(x-y)^2 + Q(1,1)xy
と表わせる。

【問題】

(a1)^2＋(a2)^2＋．．．＋(an)^2 ＝ 1 を満たす有理数の組 (a1，a2，．．．，an) は
無数にある事を示せ。





簡単過ぎか？

>>816
a1=cos(2θ), a2=sin(2θ), tanθ=有理数, a3, …, an=0

ごめん、『0でない有理数の組』だった。
それでも簡単な事には変わりないが．．．

>>818
解けません…

p^2+q^2=1, r^2+s^2=1 (p,q,r,sは有理数) とすると
p^2+(qr)^2+(qs)^2=1、以下同様にいくらでも構成できる

>>820

　{p,q} = {(v^2-u^2)/(v^2+u^2), 2uv/(v^2+u^2)}
　{r,s} = { ････ }
uとvは互いに素
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html

>>821
それ>>817と同じこと（v/u=tanθ）

Ｒ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝−Σ（ａｂ（ａ−ｂ）＾２）。

Ｒ（１，１，１，１）＝０。
Ｒ（１，１，１，０）＝０。
Ｒ（１，１，０，０）＝０。
Ｒ（１，０，０，０）＝０。
Ｒ（２，１，０，０）＝−２。

1/4福島放射線全く問題なし！【低線量率放射線】【稲恭宏】
http://www.youtube.com/watch?v=X0lqhE_JYmE

【皇室】チャンネル桜の姫？高清水有子【秋篠宮】7
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/mass/1316866656/

>73-84
73 ：(国際) 欧州の銀行破綻、在米韓人の非常識、胡錦濤の妄言
74 ：〃
75 ：〃
76 ：(拉致) 野田首相の訪朝意向と、めぐみさんの生存消息
77 ：〃
78 ：(民主党) 内閣支持率とTPP、外国人一万人ご招待構想
79 ：〃
80 ：(小坂英二) 10.8 フジテレビを糾弾する国民行動･第三弾！
81 ：〃
82 ：(快刀乱麻) TPP参加問題、関税自主権と国家の存亡
83 ：(魔都見聞録) 菅さん、お遍路してる場合じゃありませんよ

>85-90
85 ：新生(さくらじ) 第2回 富岡幸一郎･西村幸祐 登場！
86 ：(ニュースPick Up) 反原発とフジテレビ抗議、アサヒの伝え方
87 ：〃
88 ：(永山英樹) 10.9 頑張れ日本！埼玉県本部設立大会 ＆街宣活動
89 ：(断舌一歩手前) 有権者の本音は？野田内閣の支持率分析
90 ：(撫子日和) 最近の遺骨収集報道について

>94-103
94 ：(松島悠佐) 日本の防衛の要衝･朝鮮半島情勢
95 ：(TPP問題) 交渉参加の検討よりも国民への説明が先である
96 ：〃
97 ：〃
98 ：〃
99 ：(明るい経済教室) 第2回 お金って何だ？市場に流れる2つのマネー
100 ：(欧州金融危機) 世界秩序の変動、通貨統合はどこへ行く？
101 ：〃

>107-117
107 ：(尖閣防衛) 第2回 尖閣集団漁業活動と領土議連との連携
108 ：(水島総) 南京の真実第二部でプロパガンダ映画に対抗
109 ：(TPP問題) 関税自主権の放棄は国を亡ぼす
110 ：〃
111 ：〃
112 ：(日韓関係) 歴史的事実･従軍慰安婦は売春婦である
113 ：〃
114 ：(政治) 菅直人･検審へ、領事館と中曽根氏のズレた認識
115 ：(欧州金融危機) 近代合理主義の終焉、人類史的な視点から
116 ：(日下公人) 200年で世界を見る
117 ：(今週の御皇室) 眞子内親王殿下の勲章授与と秋の園遊会

>121-133
121 ：(領土防衛) スクランブル激増、緊迫の東シナ海
122 ：(TPP問題) 焦っているのは経済界の一部とマスコミだけでは？
123 ：〃
124 ：(言いたい放談) 読書文化と電通の功罪
125 ：(ズバリ！文化批評) ｢地域｣をいかに復興するか
126 ：(直言極言) テレビメディアの現在とフジテレビとの闘い
127 ：(在日外国人問題) 不逞なる朝鮮学校、愚かなる横浜市議
128 ：〃
129 ：〃
130 ：(青山繁晴) 特許料と国益、近代教育と愛国心
131 ：〃
132 ：〃
133 ：(日いづる国より) 松本洋平、都市農業と町づくり

142 ：(討論！) 表現者スペシャル｢戦後保守の意味を問う｣：2011/10/15(土) 23:57:45.88 ID:wn+dieqeP 返信 tw

(URL省略)

◆表現者スペシャル「戦後保守の意味を問う」

パネリスト：
　正津勉（詩人）
　杉原志啓（音楽評論家・学習院女子大学講師）
　富岡幸一郎（文芸評論家・関東学院大学教授）
　西部邁（評論家）
　松原好之（小説家・神奈川歯科大学客員教授）
　三浦小太郎（評論家）
　安岡直（秀明大学准教授）
司会：水島総


※今日は、“表現者スペシャル｢戦後保守の意味を問う｣”と。こういった、けっこう本格的な議論をちょっとしたいな、ということで、
雑誌『表現者』に集う皆さんにお集まりいただきまして、じっくりと、この話をしてみたいと思います。

　(我が国、日本についての根本的な議論です)

雲のうち空に浮かんで見えるものの大きさを数学的に解析して、中学三年生に対してする説明の内容を述べよ。

>>823
なつかしい…
元気ですか？

>>829　？　　もうちょっとｋｗｓｋ

単位体積あたりA個の花粉の舞った　体積Ｖの部屋がある。　
毎秒体積Lの空気を通す空気清浄機を稼働させた。　
空気清浄機から出た空気には花粉は含まれないものとし部屋は密閉されている。

(1)一度きれいになった空気が二度と空気清浄機に吸い込まれないものとすると
　稼働させてから部屋の空気がきれいになるまで何秒かかるか。

(2)空気清浄機が稼働を始めた時刻をt=0とする。　tだけたった時、
単位体積あたりの花粉の個数をN(t)個とする。
（例　N(0)=A　N(∞)＝0）　

(2)花粉は均一に部屋に舞っていることを考慮して、時刻ｔに単位時間あたりに空気清浄機によって
処理される花粉の個数をN(t)を用いて表せ

　(2)で求めた量＝（-dN/dt）V　の微分方程式を解いて初期条件N(0)＝Aを代入して
N(t)を　A,V,Lを用いて表せ。

　（ヒント　N(t)＝Ce^(γt)の形になる）


(3)　花粉が初めの1%以下になる時刻を求めよ　　
　　

>>814

問題３
　3次の対称式は s^3, st, u
　(基本対称式を x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とした.)
　P(x,y,z) = P(1,0,0)(s^3 -4st+9u) + P(1,1,0)(st-9u)/2 + P(1,1,1)u,
と表わせる。

x≠±1で定義される関数
　f(x)＝∫[0,pi] log(1-2xcos(t)＋x^2) dt
を考える.以下の問いに答えよ.
(1) f(x) が偶関数であることを示せ．
(2) 2f(x)＝f(x^2) が成り立つことを示せ．
(3) f(x) を求めよ．

piってなんやねんｗ

π

>>834

(1) t = pi - t' とおくと、
　　f(x) = ∫[0,pi] log{1 +2x･cos(t') +x^2)} dt' = f(-x),
(2)
　{1-2x･cos(t)+x^2}{1+2x･cos(t)+x^2} = {1-2x^2･cos(2t)+x^4}
のlogを積分
(3)
　f(0) = 0,
　|x|<1 のとき f(x) = (1/2)f(x^2) = (1/4)f(x^4) = …… → 0
　実は f(x) = 0　　(|x|<1)
一方、
　f(x) - f(1/x) = ∫[0,pi] log(x^2) dt = pi･log(x^2),
より
　f(x) = pi･log(x^2)　(|x|>1)
　　　 = 0,　　　　　(|x|<1)

pi

円周率

>>837
＞(1/4)f(x^4) = …… → 0

この部分はf（x）の有界性を言っておく必要があるのでは？

f(x)=f(-x)+g(x)を満たす関数y=f(x),y=g(x)がある。

(1) f(x)をg(x)で表せ。

>>841
f(x)=x とすると g(x)=2x
f(x)=x+x^2 としても g(x)=2x
⇒ g(x)だけから一意にf(x)を構成できない。

(2) f'(x)をg(x)で表せ。

(3)f(x)≠g(x)とする。
f(a)=g(f(x))が成り立つaの値の範囲を求めよ。

((2m)!(2n)!)/(m!n!(m+n)!)は整数となるか？

>>845 ｍ＝１　n=1のとき２になるからなりますお　

外積が右ねじの向きであることを示せ

>>847
定義

数列　a[n]　を　方程式 e^x=1＋x＋(sin x)/n の解とする
（複数あるときはどれか一つとする）
lim[n→∞]n・a[n]　を求めよ

>>849
a[n]=0を選ぶ

>>849
死ねアホ

590:トモくん ◆soTOe4FnAI
11/11/10(木) 19:02:00 ID:XNXjfbro
お前らもブサイク同士馴れ合ってないでたまには
イケメンの動画でも見ろよなｗ
http://www.youtube.com/user/ikemenTomokun

２８の春 〜高校中退からの東大受験〜
http://ame●blo.jp/saionji-kaoru/

>>835-838
　これ↓のことかな？

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1310565460/
あるいは
ttp://www.dailymotion.com/video/x8vlbd_yyyyy-yyyyyy-yyyy_sexy （00:34）
ttp://www.dailymotion.com/video/xkkzj4_yyyyy-yyyyyy-yyyy_sexy （00:35）
ttp://erog10000ijyo.blog19.fc2.com/blog-entry-1305.html　→さゆみファック！（06:24）

赤青黄緑それぞれの玉２個ずつ計８個に糸を通し、首飾りを作る。
赤玉同士が隣り合わない首飾りは何通り作れるか。
いくつも考えなきゃいけないポイントがある、思考力を試すには打ってつけの問題です。

つまんね

>>854
お手上げ。そういう問題苦手。

>>856
本人乙

>>854
お手上げ。そういう問題苦手。

>>854
出題文の言葉使いのところから考えないといけないもんなｗ

重複数珠順列とか入試で出るのか？

この位ｴｽﾊﾟｰしてくれよ．
【再掲】

数列　a[n]　を方程式 e^x=1＋x＋(sin x)/n の 0 以外の解とする
（複数あるときはどれか一つとする）
lim[n→∞]n・a[n]　を求めよ

x=0以外に解なし

ごめん，出直してくるわ

いやあるよ

正の無限大に発散

f(x)＝e^x−x−1と置く。仮定からf(a[n])＝(sin a[n])/nだから、
lim[n→∞]f(a[n])＝0となる。よってlim[n→∞]a[n]＝0となる。
(これは自明ではないが、証明は省略する。)

次に、a[n]≠0だからf(a[n])≠0である。(∵x≠0のときf(x)≠0)
よって、f(a[n])＝(sin a[n])/nの両辺をf(a[n])で割り算できて
1＝(sin a[n])/(nf(a[n]))となる。この式の両辺にna[n]を掛け算して
na[n]＝a[n](sin a[n])/f(a[n]) となる。右辺をさらに変形して
na[n]＝{(sin a[n])/a[n]}*{a[n]^2/f(a[n])}となる。
lim[x→0](sin x)/x＝1，lim[x→0]f(x)/x^2＝1/2を使って
lim[n→∞]na[n]＝2となる。

∴lim[n→∞]na[n]＝2

>>866
喧嘩売ってんの？

>>867
意味が分からない。何か間違ってる？

自作問題でないところ

>>869
そんなの出題者に言えよ。俺の知ったことかｗ

>>870
いや、だから、自作問題を出せ、と言っている。問題を自作できないの？w

>>854
自信ないけど123通りかな？

>>869
そういうなら出典を言ってくれ

xyz空間において
0≦y≦x,z=0をx軸の周りに回転させてできる立体をSとする。
また、x^2+y^2≦1で定まる立体をＴとする。

(1)S,Tの共通部分の体積を求めよ。

(2)S,Tの共通部分の表面積を求めよ。

(3)S,Tの共通部分を直線x=y,z=1の周りに回転させたときに通過する部分の体積を求めよ。

>>874
お前おれっちなめてんの？
楽勝すぎワロエナイ

>>875
お前にとって楽勝かどうかなんてどうでもいい

876 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2011/11/16(水) 00:03:17.94
>>875
お前にとって楽勝かどうかなんてどうでもいい

一辺の長さ2の立方体の表面に二点PQがあり、PQ=1を保ちながら動いている。このとき線分PQの通過しうる領域を求積せよ。

偏差値３００の受験生が発生する得点分布の例をひとつ挙げよ

100点が一人であと全員0点で総人数を調整するだけ

>>880
624人が0点で、1人が1点ならばいい(100点で無くても1点でいい)んですね、分かります。
2人ならば同点で無い限り必ず勝者が偏差値60、敗者が偏差値40ですね…。

>>872
　正解です！

-赤○赤○○○○○-　(48種)
　或る2色を入替えても不変：2種×3 = 6
　どの2色を入替えても変化：7種×6 = 42　（対称：1種、非対称：6種）


-赤○○赤○○○○-　(48種)
　或る2色を入替えても不変：6種 × 3 = 18種
　どの2色を入替えても変化：5種 × 6 = 30種　（対称：1種、非対称：4種）


-赤○○○赤○○○-　(27種)
　或る2色を入替えても不変：7種 × 3 = 21種
　どの2色を入替えても変化：1種 × 6 = 6種　（非対称：1種）

双曲線Ｃ：x^2/a^2-y^2/b^2=1,x>0,a>0,b>0について、
(1)Cがパラメーターs,tを用いて、（x,y）=s(a,b)+t(a,-b)とあらわされる時
s,tの条件を求めよ。

(2)Cを自分自身に移す１次変換の内、以下の条件(X)を満たすものがあることを示せ
(X)この１次変換により、ある点Ａは自分自身に移り、ある点ＢはＢの原点に関する対称点に移る。
　　ただしＡもＢも軸上の点ではない。

は？
もう一度出なおせ馬鹿

電波テロ装置の戦争(始)
エンジニアと参加願います公安はサリンオウム信者の子供を40歳まで社会から隔離している
オウム信者が地方で現在も潜伏している
それは新興宗教を配下としている公安の仕事だ
発案で盗聴器を開発したら霊魂が寄って呼ぶ来た
<電波憑依>
スピリチャル全否定なら江原三輪氏、高橋佳子大川隆法氏は、幻聴で強制入院矛盾する日本宗教と精神科
<コードレス盗聴>
2004既に国民20%被害250〜700台数中国工作員3〜7000万円2005ソウルコピー2010ソウルイン医者アカギ絡む<盗聴証拠>
今年５月に日本の警視庁防課は被害者SDカード15分を保持した有る国民に出せ!!<創価幹部>
キタオカ1962年東北生は二十代で2人の女性をレイプ殺害して入信した創価本尊はこれだけで潰せる<<<韓国工作員鸛<<<創価公明党 <テロ装置>>東芝部品)>>ヤクザ<宗教<同和<<公安<<魂複<<官憲>日本終Googl検索

魂は幾何学


誰か(アメリカ)気づいた
ソウルコピー機器

テロ装置の再読願います

>>884
氏ね、ｸｽﾞ

素数は何個か？

I AM REUGFJOP. HNGHFH BHFJHWG JKBFNN JKHGJNH DOB UBGINGKB UNN JB J. HSGJ UOGFB FGOOHG UGB UV J B H. JBJHUN. JV HRIVDFHGGUV. GV FH J NLGFN. WDM JOB.








UTFB UG
B BBVB YF. B Y UYEY IVYVVB J

58個ぐらい

第６問

a,b,cを実数とする。y=ax^2+bx+c(a≠0)で与えられる関数のグラフは全て相似であることを示せ。

>>890
死にたいの？

yameta

>>845
整数となる。

　N! の素因数分解の中に素数pが現れる回数は Σ(k=1,∞) [N/(p^k)]
　[x] は xを超えない最大の整数。{x}=x-[x]
　次の補題から明らか。

〔補題〕
　m,n,P を自然数とするとき
　[2m/P] + [2n/P] - [m/P] - [n/P] - [(m+n)/P] ≧ 0,

(略証)
　 x+y　= [x] + [y] +　{x}+{y} より
　[x+y] = [x] + [y] + [{x}+{y}],
したがって
　[2m/P] = 2[m/P] + [2{m/P}],
　[2n/P] = 2[n/P] + [2{n/P}],
　[(m+n)/P] = [m/P] + [n/P] + [{m/P}+{n/P}],
だから
　[2m/P] + [2n/P] - [m/P] - [n/P] - [(m+n)/P]
　= [2{m/P}] + [2{n/P}] - [{m/P} + {n/P}]
　≧ 0,
　
∵　Max(2{m/P}, 2{n/P}) ≧ {m/P} + {n/P},

>>849
a[n] >0 を選ぶ。（xとする）

e^x = 1 +x + sin(x)/n,　x>0
より
　{x - (1/6)x^3}/n < (1/2)x^2 + O(x^3) < x/n

　1 - (1/6)x^2 < n･{x/2 + O(x^2)} < 1,
n→∞ とすれば x→0 で
　lim[n→∞] n･a[n] = 2.

y=x^4-6x^2+4x+6の最小値は
-(ア)√(イ)•cos(ウエ)°

アイウエに当てはまる数字
答えはトリップ

まじ難しいわー

(d/(dx))(x^4-6x^2+4x+6)=4(x^3-3x+1)=8(4(x/2)^3-3(x/2)+1/2).

x=aでyが最小値mを取るなら、x^4-6x^2+4x+6-m=(x-a)^2(x^2+2a+b)、a^2-b<0と書ける。
(右辺の二次式は展開した時3次の項が無くなるよう調整し、判別式が負となる)
係数を比較し、b-3a^2=-6,2a^3-2ab=4,a^2b=6-m
整理し、bを消去すると、a^3-3a+1=0,m=6+6a^2-3a^4,|a|>√3
三次方程式 を少し変形し、4(a/(-2))^3-3(a/(-2))=1/2、
これと、三倍角の公式 4cos^3θ-3cosθ=cos3θを比べ、cos3θ=1/2となるθを使って、
a=-2cosθが、三次方程式の解であることが判る。
θ=π/9+(2kπ/3),k=0,1,2のうち、|a|>√3を満たす物は、θ=π/9のみ
m=6+6a^2-3a^4=6+24(cosθ)^2-48(cosθ)^4=...=-6cos(4θ)-12cos(2θ)
=-6(cos4θ+cos2θ+cos2θ)=-6(2cos(3θ)cosθ+cos(2θ))　 　 　 　 　 (∵cos(3θ)=1/2)
=-6(cosθ+cos2θ)=-6*2*cos(3θ/2)cos(θ/2)
=-6√3cos(10°)

tesu

>>898
徹底して戦うさかいナ。

猫

>898 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2011/11/27(日) 17:42:05.04
> (d/(dx))(x^4-6x^2+4x+6)=4(x^3-3x+1)=8(4(x/2)^3-3(x/2)+1/2).
>

(1/a)＋(1/b)＝1/6
の時のa＋bの最大値

◆.l3Q3ORut2
◆BVEsk6CQSs
◆5jmHQb3UhA
答えは半角数字の上のトリのどれか一つです

a=6+eの時、b=6+(36/e)
e→+0の時、b→∞なのでa+bに最大値はない

>>902

通分すると
　(a-6)(b-6) = 36　かつ　ab≠0,
だから
　(a,b) = (-30,5)　(-12,4)　(-6,3)　(-3,2)　(2,-3)　(3,-6)　(4,-12)　(5,-30)
　　　　　(7,42)　(8,24)　(9,18)　(10,15)　(12,12)　(15,10)　(18,9)　(24,8)　(42,7)
∴　a+b ≦ 7+42 = 49

なんじゃ、こりゃ？

ほんま、なんなんやろな？

名前欄が903のどれかに一致してたら　問題にa,bが整数っていう条件が足りないってことか

やっぱり問題側の不備か　　a,bが実数だったら>>904が正解で整数なら>>905が正解。

x2+y2=(100以下の全ての素数の積)

上の整数解の個数

100以下の全ての素数の積＝2305567963945518424753102147331756070

つかえるかどうか分からないけど一応おいておきますね

>>910
入試問題にx2って2が上付き添字でなく書いてあったらどうすべきか

＾を忘れないでね　x^2+y^2=(100以下の全ての素数の積)

>>913そうだった サンクス