面白い問題おしえて〜な 十八問目

〔問題〕
nが自然数のとき、x^3 + x = n^3,　の実根は無理数か？

　x = {√[(N/2)^2 + 1/27] + N/2}^(1/3) - {√[(N/2)^2 + 1/27] - N/2}^(1/3)
　ここに N = n^3,

http://2sen.dip.jp/cgi-bin/upgun/up1/source/up59830.pdf
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/708


なお、有理数で近似することはできる。
　{n - 1/(3n)}^3 + {n - 1/(3n)} = n^3 - 1/(3n)^3 ≒ n^3,
　x ≒ n - 1/(3n),

>>55
x=q/p (p,qは互いに素)とおくと
(q^3)/p=(pn^3-q)p
なのでp=1 (右辺が整数より左辺も整数でなくてはならないため)
よってxは整数となり条件式より正の整数となるが、
m^3<m^3+m<(m+1)^3
からこれはありえない
よって背理法からxの実根は無理数
なお、この問題で実根の存在の有無については記載する必要はないと思われる