不等式への招待 第５章

〔補題〕
3 + 1/8 < 31^(1/3) < π < 355/113 < 22/7 < √2 + √3 < √10,

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1287119136/220-222
東大入試作問者スレ１９

・3 + 1/8 < 31^(1/3) は
　(3 + 1/8)^3 = 27 +27/8 +9/64 +(1/8)^3 = 31 -(5 -9/8 -1/64)/8 < 31,

・355/113 = 3 + 16/113 < 3 + 16/112 = 3 + 1/7 = 22/7,

・22/7 < √2 + √3 は >>186

・√2 + √3 < √10 は
　y = √x は上に凸:　√a + √b < 2√{(a+b)/2} = √{2(a+b)},
　あるいは　√a + √b = √{2(a+b) - (√a -√b)^2} ≦ √{2(a+b)},

　 π^6 = 945ζ(6) = 945*(1+1/2^6+1/3^6+...)
> 945*(1+1/2^6+1/3^6) = 945 + 945/64 + 35/27 = 945 + (14*64+48+1)/64 + {1+ (27+5)/(27*4)} = 961 + 1/64 + 5/108
> 961 = 31^2 = ([3]√31)^6