代数的整数論 017

代数的整数論 017
Kummer ◆g2BU0D6YN2 が代数的整数論を語るスレです。
現在は代数的整数論の準備をしています。
代数的整数論のみに興味ある方はこのスレは必要になった段階で
参照することをお勧めします。
ただし、このスレが終了すると見れなくなる恐れがあるので、
適時チェックして内容をセーブしたほうが良いでしょう。

内容についてわからないことがあったら遠慮なく
質問してください。
その他、内容についてのご意見は歓迎します。
例えば、誤りの指摘、証明の改良など。
なお、このスレの主題に直接関係のないコメントについては
原則としてレスはしません（たとえそれが励ましの言葉であっても）。

過去スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1126510231
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1132643310
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1141019088/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1164286624/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1173998720/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1185363461/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1187904318/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1189335756/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195560105/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1208646742/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1212143770/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246160488/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1247494646/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1251012346/
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1255385658/l50
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/

命題(三角形に関するCauchyの定理(過去スレ016の616)の拡張)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とする。
c を U の点とし、f: U → K を連続関数で U - {c} 上で微分可能とする。
Δ を有向閉三角形(>>614)とし、|Δ| (過去スレ016の614) ⊂ U とする。

このとき、∫[∂Δ] f(z) dz = 0

証明
Δ = Δ(z_1, z_2, z_3) (過去スレ016の614) とする。

|Δ| ⊂ U - {c} の場合は、過去スレ016の616より ∫[∂Δ] f(z) dz = 0 である。

c が Δ に含まれる場合は、
∫[∂Δ] f(z) dz
= ∫[c, z_1, z_2, c] f(z) dz
+ ∫[c, z_2, z_3, c] f(z) dz
+ ∫[c, z_3, z_1, c] f(z) dz
である。

よって、c が Δ の頂点の一つである場合に
∫[∂Δ] f(z) dz = 0 を証明すればよい。

c = z_1 と仮定して一般性を失わない。
a ∈ |[z_1, z_2]|
b ∈ |[z_1, z_3]|
a ≠ z_1
b ≠ z_1
のとき、
∫[∂Δ] f(z) dz = ∫[z_1, a, b, z_1] f(z) dz + ∫[a, z_2, z_3, b, a] f(z) dz

(続く)

>>2の続き

[z_1, z_2] の中点を w とする。

∫[a, z_2, z_3, b, a] f(z) dz
= ∫[a, z_2, w, a] f(z) dz + ∫[b, w, z_3, b] f(z) dz + ∫[a, w, b, a] f(z) dz

この右辺の各項は、過去スレ016の616より 0 である。
よって、∫[∂Δ] f(z) dz = ∫[z_1, a, b, z_1] f(z) dz

任意の ε ＞ 0 に対して、
|a - z_1| ＜ ε
|b - z_1| ＜ ε
a ≠ z_1
b ≠ z_1
となるように a, b をとる。

|a - b| ≦ |a - z_1| + |z_1 - b| ＜ 2ε
よって、[z_1, a, b, z_1] の長さは ＜ 4ε

|∫[∂Δ] f(z) dz|
≦ ∫[z_1, a, b, z_1] |f(z)| ds
≦ 4εM

ε ＞ 0 はいくらでも小さく出来るから、∫[∂Δ] f(z) dz = 0
証明終

命題(星型開集合に対するCauchyの定理(過去スレ016の620)の拡張)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を星型(過去スレ016の618)の開集合とする。
c を U の点とし、f: U → K を連続関数で U - {c} 上で微分可能とする。

このとき U における任意の区分的に C^1 級の閉曲線(>>495) C に対して、
∫[C] f(z) dz = 0 である。

証明
>>2を使えば過去スレ016の620と同じである。

>>4を使えば円に対するCauchyの積分公式(過去スレ016の610)の別証明が得られる。

命題(円に対するCauchyの積分公式)
K を複素数体とする。
a を K の点とし 0 ＜ R ＜ ∞ となる実数 R に対して
f: U(a, R) (過去スレ016の601) → K を微分可能関数とする。
0 ＜ r ＜ R となる任意の r をとる。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。

ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

証明
U(a, R) は星型であるから、>>4を使えば過去スレ016の610と同じである。

最近、ウンチの量が多いのだが、

何か考えられるか＞クンまー

補題
K を複素数体とする。
a ∈ K と r ＞ 0 の対して C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) とおく。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
∫[C] 1/(ζ - c) dζ = 2πi

証明
過去スレ016の599と過去スレ016の609より明らかであるが別証を与える。

|c - a| ＜ r_1 ＜ r となる r_1 ＞ 0 をとる。

ζ ∈ |C| のとき、|(c - a)/(ζ - a)| ＜ r_1/r ＜ 1
よって、Σ((c - a)/(ζ - a))^n は 1/(1 - (c - a)/(ζ - a)) に収束する。
よって、
1/(ζ - c)
= (1/(ζ - a))(1/(1 - (c - a)/(ζ - a)))
= Σ(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1)

ここで、Σ|(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1)| ≦ (1/r)Σ(r_1/r )^n ＜ +∞
よって、Σ(c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) は |C| で一様収束する。
過去スレ016の563より、
∫[C] 1/(ζ - z) dζ = Σ∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ

n = 0 のとき過去スレ016の609より、
∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ = ∫[C] 1/(ζ - a) dζ = 2πi

n ＞ 0 のとき (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) は原始関数をもつから
過去スレ016の549より、∫[C] (c - a)^n/(ζ - a)^(n+1) dζ = 0

よって、∫[C] 1/(ζ - a) dζ = 2πi
証明終

過去スレ016の290より、収束べき級数 f(z) はその収束域で微分可能であるから
円に対するCauchyの積分公式(>>5)が成り立つ。
しかし、このことは直接に証明出来る。

命題(収束べき級数に対するCauchyの積分公式)
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の１変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を R とする。
0 ＜ r ＜ R となる任意の r をとる。

このとき、U(0, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。
ここで、C = ∂D(0, r) (過去スレ016の602) である。

証明
g: U(0, R) - {c} → K を
z ∈ U(0, R) - {c} のとき、g(z) = (f(z) - f(c))/(z - c)
と定義する。

g(z) = Σa_n(z^n - c^n)/(z - c) = Σa_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1))
過去スレ016の272より、Σa_nz^n は |C| 上で一様収束する。
よって、Σa_n(z^n - c^n)/(z - c) も |C| 上で一様収束する。
よって、過去スレ016の563より、
∫[C] g(z) dz = Σ∫[C] a_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1)) dz である。

a_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1)) は z の多項式であるから原始関数を持つ。
よって、過去スレ016の549より、
∫[C] a_n(z^(n-1) + z^(n-2)c + . . . + c^(n-1)) dz = 0 である。
よって、∫[C] g(z) dz = 0
よって、∫[C] f(z)/(z - c) dz = ∫[C] f(c)/(z - c) dz
一方、∫[C] f(c)/(z - c) dz = (2πi)f(c)I(C, c)
>>7より I(C, c) = 1 である。
よって、∫[C] f(c)/(z - c) dz = 2πif(c)
よって、f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。
証明終

補題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を連続関数とする。
C を U における区分的に C^1 級の閉曲線(過去スレ016の495)とする。
z ∈ K - |C| (過去スレ016の550)のとき、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ とおく。

このとき、g(z) は K - |C| において解析的(過去スレ016の319)である。
さらに、g^(n)(z) = n!∫[C] (f(ζ)/(ζ - z)^(n+1) dζ である。

証明
c を K - |C| の任意の点とする。
R = inf{|ζ - c|; ζ ∈ |C|} とおく。
|C| はコンパクトであるから閉集合である。
よって、R ＞ 0 である。
明らかに U(c, R) (過去スレ016の601) ⊂ K - |C| である。

ζ ∈ |C|, z ∈ U(c, R) のとき、|(z - c)/(ζ - c)| ＜ 1 であるから、
f(ζ)/(ζ - z) = (f(ζ)/(ζ - c))(1 - (z - c)/(ζ - c))^(-1)
= (f(ζ)/(ζ - c))Σ((z - c)/(ζ - c))^n である。

M = sup[|f(ζ)|; ζ ∈ |C|} とおく。

|(f(ζ)/(ζ - c))((z - c)/(ζ - c))^n| ≦ (M/R)(|z - c|/R)^n

よって、
(f(ζ)/(ζ - c))Σ((z - c)/(ζ - c))^n は
|C| 上で一様に f(ζ)/(ζ - z) に収束する。

(続く)

>>10の続き

よって、過去スレ016の563より、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ
= Σ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c))((z - c)/(ζ - c))^n dζ
= Σ(z - c)^n ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ

a_n = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ とおけば、
g(z) = Σa_n(z - c)^n

即ち、g は U(c, R) において収束べき級数 Σa_n(z - c)^n で表される。
c は K - |C| の任意の点であるから g は K - |C| 上で解析的である。
過去スレ016の307より、a_n = g^(n)(c)/n!
よって、g^(n)(c) = n!∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。
証明終

定理
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。

このとき f は U で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c, R) ⊂ U となる R ＞ 0 がある。
0 ＜ r ＜ R となる任意の r をとる。
円に対するCauchyの積分公式(>>5)より、U(c, r) の任意の点 z に対して、
f(z) = (1/2πi)∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ となる。
ここで、C = ∂D(c, r) (過去スレ016の602) である。

>>10より、f は U(c, r) で解析的である。
c は U の任意の点であるから f は U で解析的(過去スレ016の319)である。
証明終

命題(Moreraの定理)
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を連続関数とする。
|Δ| ⊂ U となる任意の有向閉三角形(過去スレ016の614) Δ に対して、
∫[∂Δ] f(z) dz = 0 とする。

このとき、f は U 上で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c, r) ⊂ U となる r ＞ 0 がある。
U(c, r) は星型(過去スレ016の618)であるから過去スレ016の620より、
f は U(c, r) で原始関数 g を持つ。
>>12より g は解析的である。
よって、f は U(c, r) で解析的である。

c は U の任意の点であるから f は U で解析的である。
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U ⊂ E を開集合とし、U の境界を B とする。
即ち、U~ を U の閉包とすると、B = U~ - U である。
c を U の点とし、r = inf(|z - c|; z ∈ B} とおく。
ただし、B が空のとき r = +∞ とする。

このとき、U(c, r) (過去スレ016の601) ⊂ U である。
ただし、r = +∞ のとき、U(c, r) = E とする。

証明
B が空のときは U = U~ である。
E は凸だから連結である。
U は空でないから U = E である。
よって、この場合は本補題は成り立つ。

B が空でないとする。
U(c, r) ⊂ U でないとして矛盾を導く。

(続く)

>>14の続き

z ∈ U(c, r) - U となる z がある。
|z - c| ＜ r であるから z は B の元ではない。
よって、z ∈ E - U~ である。

t ∈ [0, 1] のとき、ψ(t) = c + t(z - c) とおく。
c ∈ U であるから 0 ∈ {t ∈ [0. 1]; ψ([0, t]) ⊂ U} である。
t_0 = sup{t ∈ [0. 1]; ψ([0, t]) ⊂ U} とおく。

ψ は連続であるから、任意の ε ＞ 0 に対して δ ＞ 0 があり、
t ∈ [0, 1] かつ |t - t_0| ＜ δ なら |ψ(t) - ψ(t_0)| ＜ ε となる。
一方、t_0 の定義より、t_0 - δ ＜ t ≦ t_0 かつ ψ([0, t]) ⊂ U となる t がある。
|ψ(t) - ψ(t_0)| ＜ ε だから ψ(t_0) ∈ U~ である。

ψ(t_0) ∈ U とすると、ある ε ＞ 0 があり U(ψ(t_0), ε) ⊂ U となる。
ψ は連続であるから、δ ＞ 0 があり
t ∈ [0, 1] かつ|t - t_0| ＜ δ なら ψ(t) ∈ U(ψ(t_0), ε) となる。
よって、t ∈ [0, 1] かつ t_0 ≦ t ＜ t_0 + δ のとき ψ(t) ∈ U
よって、t_1 = inf(1, t_0 + δ/2) とおくと、ψ([0, t_1]) ⊂ U である。
z = ψ(1) は U に含まれないから ψ(t_0) ∈ U より t_0 ≠ 1 である。
よって、t_0 ＜ t_1 である。
これは t_0 = sup{t ∈ [0. 1]; ψ([0, t]) ⊂ U} に矛盾する。
よって、ψ(t_0) ∈ U~ - U = B

一方、|ψ(t_0) - c| = |t_0||z - c| ＜ r
これは r = inf(|z - c|; z ∈ B} に矛盾である。
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の有限次元のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U ⊂ E を開集合とする。
a を U の点とし、0 ＜ r ＜ +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、0 ＜ r ＜ r_1 ＜ +∞ となる r_1 があり、
U(a, r_1) ⊂ U となる。

証明
U の境界を B とする。
即ち、U~ を U の閉包とすると、B = U~ - U である

B が空のときは U = U~ である。
E は凸(過去スレ008の424)だから連結である。
U は空でないから U = E である。
よって、この場合は本補題は成り立つ。

B が空でないとする。
d = inf{|x - y|; x ∈ S(a, r), y ∈ B} とおく。
B は閉集合であり、S(a, r) (過去スレ016の601) はコンパクトであるから
d ＞ 0 である。

(続く)

>>16の続き

U(a, r + d) ⊂ U を証明しよう。

x ∈ U(a, r + d) とする。
|x - a| ≦ r のときは x ∈ U であるから
r ＜ |x - a| ＜ r + d と仮定してよい。

t = r/|x - a| とおき、
b = a + t(x - a) とおく。
b ∈ S(a, r) である。
|x - b| = |(x - a) - t(x - a)| = |1 - t||x - a| = |x - a| - r ＜ d

d ≦ inf{|b - y|; y ∈ B} であるから>>14より、x ∈ U である。
証明終

命題(円に対するCauchyの積分公式(>>5の拡張))
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 ＜ r ＜ +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。

ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

証明
>>16より、0 ＜ r ＜ R ＜ +∞ となる R があり、
U(a, R) ⊂ U となる。
>>5より、U(a, r) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。
証明終

命題
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 ＜ r ＜ +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、U(a, r) (過去スレ016の601) の任意の点 c に対して、
f^n(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。

ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

証明
>>18より、U(a, r) の任意の点 c に対して、
f(c) = (1/2πi)∫[C] f(z)/(z - c) dz となる。

よって、>>10より、
f^n(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。
証明終

>>19
>f^n(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。

f^(n)(c) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ である。

命題(Cauchyの評価式)
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 ＜ r ＜ +∞ となる r に対して
B(a, r) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ S(a, r) (過去スレ016の601)} とおく。
S(a, r) はコンパクトであるから M ＜ +∞ である。

このとき、
|f^(n)(a)| ≦ n!M/r^n

証明
>>19より、
f^(n)(a) = (n!/2πi)∫[C] (f(ζ)/(ζ - a)^(n+1) dζ である。

|f^(n)(a)|
≦ (n!/2π)∫[C] |(f(ζ)/(ζ - a)^(n+1)| ds
≦ (n!/2π)M/r^(n+1)∫[C] ds
= n!M/r^n
証明終

命題(Cauchyの評価式(>>21の系))
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 ＜ R ＜ +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を微分可能関数とする。
sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ≦ M ＜ +∞ とする。

このとき、
|f^(n)(a)| ≦ n!M/R^n (n = 0, 1, 2, . . .)

証明
>>21より、0 ＜ r ＜ R となる任意の r に対して、
|f^(n)(a)| ≦ n!M/r^n

r → R とすれば
|f^(n)(a)| ≦ n!M/R^n
証明終

定義
K を複素数体とする。
f: K → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。

このとき、f を整関数(entire function)と言う。

命題(Liouvilleの定理)
有界な整関数(>>23)は定数である。

証明
sup{|f(z)|; z ∈ K} ≦ M ＜ +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>21)より、任意の z ∈ K と任意の R ＞ 0 に対して
|f’(z)| ≦ M/R

R → +∞ とすれば f’(z) = 0
よって、過去スレ016の588より、f は定数である。
証明終

命題(代数学の基本定理)
複素数体は代数的閉体である。

証明
K を複素数体とする。
a_0, a_1, . . ., a_n ∈ K, n ≧ 1 a_n ≠ 0 とする。
f(z) = a_0 + a_1z + . . . + a_nz^n とおく。
このとき、f(c) = 0 となる c ∈ K が存在することを証明すればよい。
このような c が存在しないとして矛盾を導く。

g(z) = 1/f(z) とおく。
仮定から g(z) は整関数である。

h(z) = f(z)/z^n とおく。
h(z) = a_0/z^n + a_1/z^(n-1) + . . . + a_(n-1)/z + a_n である。
|z| → +∞ のとき、h(z) → a_n である。
よって、|z| → +∞ のとき、|f(z)| = |(z^n)h(z)| → +∞ である。

よって、|z| → +∞ のとき、g(z) → 0 である。
よって、0 ＜ R ＜ +∞ となる R があり、|z| ＞ R なら |g(z)| ＜ 1 となる。
g(z) は連続だから |z| ≦ R のとき有界である。
よって、g は K で有界である。
よって、Liouvilleの定理(>>24)より、g は定数である。
f は定数でないから、これは矛盾である。
証明終

命題(平均値の定理)
K を複素数体とする。
U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
a を U の点とし、0 ＜ R ＜ +∞ となる R に対して
B(a, R) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。

このとき、
f(a) = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + Rexp(iθ)) dθ

証明
円に対するCauchyの積分公式(>>18)より、
f(a) = (1/2πi)∫[C] f(ζ)/(ζ - a) dζ となる。

ψ(θ) = a + Rexp(iθ) とおく。
ψ’(θ) = (Ri)exp(iθ) である。
よって、
f(a) = (1/2πi)∫[0, 2π] f(ψ(θ))(ψ’(θ)/(ψ(θ) - a)) dθ
= (1/2π)∫[0, 2π] f(a + Rexp(iθ)) dθ
証明終

命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の１変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を R とする。

このとき、f は U(0, R) (過去スレ016の601) で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
過去スレ016の290より f は U(0, R) で微分可能である。
よって、>>12より f は解析的である。
証明終

>>27は自明ではない。
U(0, R) の任意の点 c に対して c_n = f^(n)(c)/n! (n = 0, 1, . . .) とおいたとき、
Σc_n(z - c)^n が収束べき級数であり、c の近傍で f(z) と一致することを
証明しなければならない。

K が実数体の場合には、>>12が使えないので別の証明方法が必要である。
後に K が実数体の場合にも通用する証明を述べる。

>>19
>U ⊂ E を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。

U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。

補題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を連続関数とする。
C を U における区分的に C^1 級の閉曲線(過去スレ016の495)とする。
z ∈ K - |C| (過去スレ016の550)のとき、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ とおく。
c を K - |C| の任意の点とする。
R = inf{|ζ - c|; ζ ∈ |C|} とおく。
|C| はコンパクトであるから閉集合である。
よって、R ＞ 0 である。
a_n = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(n+1) dζ, n = 0, 1, 2, . . . とおく。

このとき、Σa_n(z - c)^n は U(c, R) において絶対収束し、
g(z) = Σa_n(z - c)^n となる。

証明
>>10の証明より明らかである。

命題
K を実数体とする。
f(x) = Σa_nx^n を K 係数の１変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を R とする。

このとき、f(x) = Σa_nx^n は複素数係数の１変数収束べき級数とも見なせ、
その収束半径は R に等しい。

証明
過去スレ016の281より、R = sup J(f) である。
ここで、J(f) = {r ∈ R++; Σ|a_n|r^n ＜ ∞} である。

これより本命題の主張は明らかである。
証明終

>>28
>K が実数体の場合には、>>12が使えないので別の証明方法が必要である。

次のように間接的には使える。

命題
K を実数体とする。
f(x) = Σa_nx^n を K 係数の１変数収束べき級数、
即ち K{{X}} (過去スレ016の275) の元とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r とする。

このとき、f は U(0, r) = {x ∈ K; |x| ＜ r} で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
>>31より、f(x) = Σa_nx^n は複素数係数の１変数収束べき級数とも見なせ、
その収束半径は r に等しい。
>>27より、f(z) は D = {z ∈ C; |z| ＜ r} で解析的である
ここで、C は複素数体を表す。

a を U(0, R) の任意の元とする。
f(z) は D = {z ∈ C; |z| ＜ r} で解析的であるから、
収束べき級数 Σc_n(z - a)^n があり、a の C における近傍で f(z) と一致する。
過去スレ016の307より、c_n = f^(n)(a)/n! である。
a は実数であるから、c_n も実数である。
よって、f は U(0, r) で解析的である。
証明終

命題(一致の定理)
K を実数体または複素数体とする。
U を K^n の連結開集合とし、f: U → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
a を U の点とする。
全ての α ∈ (Z+)^n に対して、 (∂^α)f(a) (過去スレ016の302) = 0 であれば
f は U で 0 である。
特に f が a のある近傍で 0 であれば f は U で 0 である。

証明
V = {x; 全ての α ∈ (Z+)^n に対して、 (∂^α)f(x) = 0} とおく。
過去スレ016の303より、各 α ∈ (Z+)^n に対して、(∂^α)f は U で微分可能である。
よって、(∂^α)f は U で連続であるから V は U の閉集合である。

a を V の任意の元とする。
過去スレ016の319より、
収束べき級数 f_a = Σc_αX^α と、a の近傍 W ⊂ U があり、
W 上の各点 x で x - a ∈ C(f_a) (過去スレ016の274) となり、
f(x) = Σc_α(x - a)^α となる。

過去スレ016の307より、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
c_α = (1/α!)(∂^α)f(a) である。
a ∈ V であるから c_α = 0 である。
よって、f(x) は W 上で 0 である。
よって、W ⊂ V である。
よって、V は開集合である。

U は連結であるから U = V である。
証明終

定義
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の１変数収束べき級数とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r ＜ +∞ とする。
c を B(0, r) (過去スレ016の601) の点とする。
c のある開近傍 V で定義される解析関数 g があり、
V ∩ U(0, r) において f = g とする。

このとき、c を f の非特異点と言う。
非特異点でない B(0, r) の点を f の特異点と言う。

>>27より、f は U(0, r) において解析的であるから
U(0, r) の各点は f の非特異点である。
よって、f の特異点はそれがあるとすれば S(0, r) (過去スレ016の601)の点である。

f の収束半径が +∞ のときは K の任意の点を f の非特異点と言う。

命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、0 ＜ r ＜ +∞ となる r に対して
U(a, r) ⊂ U とする。

このとき、K の元 c_n, n = 0, 1, 2, . . . があり、
U(a, r) の各点で Σc_n(z - a)^n は絶対収束し、
f(z) = Σc_n(z - a)^n となる。

証明
円に対するCauchyの積分公式(>>18)より、
このとき、U(a, r) の任意の点 z に対して、
f(z) = (1/2πi)∫[C] f(ζ)/(ζ - z) dζ となる。
ここで、C = ∂D(a, r) (過去スレ016の602) である。

c_n = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - a)^(n+1) dζ, n = 0, 1, 2, . . . とおく。
>>30より、Σc_n(z - a)^n は U(a, r) の各点 z において絶対収束し、
f(z) = Σc_n(z - a)^n となる。
証明終

命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の１変数収束べき級数とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r ＜ +∞ とする。
r ＜ R ＜ +∞ となる R に対して g: U(a, R) → K を任意の解析関数とする。

このとき g は U(0, r) において f と一致しない。

証明
>>35より、K の元 c_n, n = 0, 1, 2, . . . があり、
U(0, R) の各点で Σc_nz^n は絶対収束し、
g(z) = Σc_nz^n となる。
よって、Σc_nz^n の収束半径 ≧ R である。

過去スレ016の307より、c_n = (1/n!)g^(n)(0), n = 0, 1, 2, . . . である。
よって、U(0, r) において g = f とすると、
c_n = a_n, n = 0, 1, 2, . . . である。
よって、Σa_nz^n の収束半径 r ≧ R となって矛盾である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σa_nz^n を K 係数の１変数収束べき級数とする。
f の収束半径(過去スレ016の281)を r ＜ +∞ とする。

このとき f は特異点(>>34)を持つ。

証明
f が特異点を持たないとして矛盾を導く。

S(0, r) の各点 c は非特異点であるから
c の開近傍 V_c = U(c, δ_c) で定義される解析関数 g_c があり、
V_c ∩ U(0, r) において f = g_c となる。
一致の定理(>>33)より g_c は一意に決まる。

S(0, r) はコンパクトであるから有限個の U(c, (δ_c)/2) で覆われる。
よって、ρ ＜ r ＜ ρ’となる ρ, ρ’を r に十分近くとれば
D = {z ∈ K; ρ ＜ |z| ＜ ρ’} は有限個の U(c, δ_c) で覆われる。

z ∈ D のとき z ∈ U(c, δ_c) となる c がある。
g(z) = g_c(z) と定義する。
z ∈ U(c, δ_c) ∩ U(c’, δ_c’) のとき、
g_c と g_c’は U(0, r) ∩ U(c, δ_c) ∩ U(c’, δ_c’) ≠ φ で f と一致するから
一致の定理(>>33)より g_c(z) = g_c’(z) である。
よって g(z) は c の選び方によらない。
z ∈ U(0, r) のとき g(z) = f(z) と定義する。
z ∈ U(0, r) ∩ D のとき g(z) = f(z) であるからこの定義に矛盾はない。

g は U(0, r) ∪ D = U(0, ρ’) で解析的である。
これは>>36と矛盾する。
証明終

補題
K を複素数体とする。
区間 [0, 2π] から K への連続関数全体を E とする。
f, g ∈ E に対して
<f, g> = ∫[0, 2π] f(θ)g(θ)~ dθ と定義する。
ここで、g(θ)~ は g(θ) の複素共役である。
E は <, > に関して K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。

このとき、(exp(niθ)), n ∈ Z は E の正規直交族(過去スレ014の147) である。
ここで、Z は整数全体の集合である。

証明
n ≠ 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 0

n = 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 1

<exp(niθ), exp(miθ)>
= ∫[0, 2π] exp(niθ)exp(-miθ) dθ
= ∫[0, 2π] exp((n - m)iθ) dθ

よって、
n ≠ m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 0

n = m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 1
証明終

>>38の修正

補題
K を複素数体とする。
区間 [0, 2π] から K への連続関数全体を E とする。
f, g ∈ E に対して
<f, g> = (1/2π)∫[0, 2π] f(θ)g(θ)~ dθ と定義する。
ここで、g(θ)~ は g(θ) の複素共役である。
E は <, > に関して K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。

このとき、(exp(niθ)), n ∈ Z は E の正規直交族(過去スレ014の147) である。
ここで、Z は整数全体の集合である。

証明
n ≠ 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 0

n = 0 のとき、
∫[0, 2π] exp(niθ) dθ = 2π

<exp(niθ), exp(miθ)>
= ∫[0, 2π] exp(niθ)exp(-miθ) dθ
= ∫[0, 2π] exp((n - m)iθ) dθ

よって、
n ≠ m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 0

n = m のとき、
<exp(niθ), exp(miθ)> = 1
証明終

補題
K を実数体または複素数体とする。
X をコンパクト集合とする。
μ を X 上の正値Radon測度(過去スレ009の730) とする。
C(X, K) を X から K への連続関数全体とする。
f ∈ C(X, K) に対して
|f|_∞ = sup{|f(x)|; x ∈ X}
|f|_2 = (∫[X] |f(x)|^2 dμ(x))^(1/2)
とおく。

このとき、任意の f ∈ C(X, K) に対して、
|f|_2 ≦ (μ(X))^(1/2)|f|_∞

証明
∫[X] |f(x)|^2 dμ(x) ≦ (|f|_∞)^2∫[X] dμ(x) = μ(X)(|f|_∞)^2

両辺の平方根をとって、|f|_2 ≦ (μ(X))^(1/2)|f|_∞
証明終

命題
K を複素数体とする。
a ∈ K, R ＞ 0 に対して、f: U(a, R) → K を解析関数とする。
>>35より、f(z) = Σc_n(z - a)^n と書ける。

このとき、0 ＜ r ＜ R となる任意の r に対して
Σ|c_n|^2 r^(2n) = (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ

証明
区間 [0, 2π] から K への連続関数全体を E とする。
<f, g> = (1/2π)∫[0, 2π] f(θ)g(θ)~ dθ と定義する。
ここで、g(θ)~ は g(θ) の複素共役である。
E は <, > に関して K 上の分離的な前Hilbert空間(過去スレ010の598)になる。
f(a + rexp(iθ)) = Σc_n r^n exp(niθ) である。
過去スレ016の272より、|z| = r のとき、Σc_nz^n は一様収束
よって、Σc_n r^n exp(niθ) は [0, 2π] において一様収束する。

よって、
<f(a + rexp(iθ)), exp(niθ)>
= (1/2π)∫[0, 2π] f(a + rexp(iθ))exp(-niθ) dθ
= Σc_m (1/2π)∫[0, 2π] r^m exp((m - n)iθ) dθ
= c_nr^n
よって、
f(a + rexp(iθ))
= Σc_n r^n exp(niθ)
= Σ<f(a + rexp(iθ)), exp(niθ)>exp(niθ)

この右辺は [0, 2π] で一様かつ絶対収束する。
よって、>>40より、ノルム | |_2 に関して総和可能(過去スレ006の147)である。
よって、Parseval の等式(過去スレ014の167)より、
|c_n|^2 r^(2n) = (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ
証明終

命題(Gutzmerの不等式)
K を複素数体とする。
a ∈ K, R ＞ 0 に対して、f: U(a, R) → K を解析関数とする。
>>35より、f(z) = Σc_n(z - a)^n と書ける。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ＜ +∞ とする。

このとき、
Σ|c_n|^2 R^(2n) ≦ M^2

証明
このとき、0 ＜ r ＜ R となる任意の r に対して
(1/2π)∫[0, 2π] |f(a + rexp(iθ))|^2 dθ ≦ M^2

>>41より、
Σ|c_n|^2 r^(2n) ≦ M^2

Σ|c_n|^2 r^(2n) の k 項までの有限和を S(k, r) とおく。
S(k, r) ≦ Σ|c_n|^2 r^(2n) であるから
S(k, r) ≦ M^2 である。

r → R とすると
S(k, R) ≦ M^2 である。
よって、k → +∞ として Σ|c_n|^2 R^(2n) ≦ M^2
証明終

命題(最大値の原理の特殊な場合)
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 ＜ R ＜ +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を解析関数とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ＜ +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>22)または平均値の定理(>>26)より、|f(a)| ≦ M である。

このとき、|f(a)| = M であれば f は定数である。

証明
>>35より、f(z) = Σc_n(z - a)^n と書ける。

Gutzmerの不等式(>>42)より、
Σ|c_n|^2 R^(2n) ≦ M^2

|f(a)| = |c_0| = M であるから
n ≧ 1 のとき c_n = 0 でなければならない。
よって、f は定数 c_0 である。
証明終

命題(最大値の原理)
K を複素数体とする。
D を K の連結開集合とする。
f: D → K を解析関数とする。
a を D の点とし、U(a, r) ⊂ D とする。

このとき、U(a, r) の各点 z で |f(z)| ≦ |f(a)| であれば f は D で定数である。

証明
>>43より、f は U(a, r) で定数である。
よって、一致の定理(>>33)より f は D で定数である。
証明終

命題(>>43の別証(Titchmarsh: the theory of functions))
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 ＜ R ＜ +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を解析関数とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ＜ +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>22)または平均値の定理(>>26)より、|f(a)| ≦ M である。

このとき、|f(a)| = M であれば f は定数である。

証明
0 ＜ r ＜ R ＜ +∞ となる r に対して
平均値の定理(>>26)より、
f(a) = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + r exp(iθ)) dθ
よって、
M = |f(a)| ≦ (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ ≦ M
よって、(1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ = M

よって、M - |f(a + r exp(iθ))|) ≧ 0 かつ、
(1/2π)∫[0, 2π] (M - |f(a + r exp(iθ))|) dθ = 0

よって、全ての θ ∈ [0, 2π] で |f(a + r exp(iθ))| = M
r は任意だから U(a, R) において |f(z)| = M である。

(続く)

>>45の続き

f(a) = 0 なら M = 0 となり f は定数 0 である。
よって、f(a) ≠ 0 と仮定する。

平均値の定理(>>26)より、
1 = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + r exp(iθ))/f(a) dθ

両辺の実部をとって、
1 = (1/2π)∫[0, 2π] Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) dθ

一方、Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) ≦ |f(a + r exp(iθ))/f(a)| = 1
よって、1 - Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) ≧ 0 かつ、
(1/2π)∫[0, 2π] (1 - Re(f(a + r exp(iθ))/f(a))) dθ = 0

よって、全ての θ ∈ [0, 2π] で Re(f(a + r exp(iθ))/f(a)) = 1

一方、|f(a + r exp(iθ))/f(a)| = 1 だから f(a + r exp(iθ))/f(a) = 1
よって、f(a + r exp(iθ)) = f(a)
r は任意だから U(a, R) において f(z) = f(a) である。
証明終

命題(>>43の別証(杉浦：解析入門))
K を複素数体とする。
a を K の点とし、0 ＜ R ＜ +∞ となる R に対して
f: U(a, R) → K を解析関数とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ＜ +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>22)または平均値の定理(>>26)より、|f(a)| ≦ M である。

このとき、|f(a)| = M であれば f は定数である。

証明
0 ＜ r ＜ R ＜ +∞ となる r に対して
平均値の定理(>>26)より、
f(a) = (1/2π)∫[0, 2π] f(a + r exp(iθ)) dθ
よって、
M = |f(a)| ≦ (1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ ≦ M
よって、(1/2π)∫[0, 2π] |f(a + r exp(iθ))| dθ = M

よって、M - |f(a + r exp(iθ))|) ≧ 0 かつ、
(1/2π)∫[0, 2π] (M - |f(a + r exp(iθ))|) dθ = 0

よって、全ての θ ∈ [0, 2π] で |f(a + r exp(iθ))| = M
r は任意だから U(a, R) において |f(z)| = M である。

(続く)

>>47の続き

M = 0 なら命題は明らかだから M ≠ 0 とする。

P = Re(f)
Q = Im(f)
とおく。

|f(z)|^2 = P^2 + Q^2 = M^2

両辺を x および y に関して偏微分して、
P(∂P/∂x) + Q(∂Q/∂x) = 0
P(∂P/∂y) + Q(∂Q/∂y) = 0

これを P, Q を未知数とする連立方程式と見る。
M ≠ 0 だから U(a, R) の各点 z で P^2 + Q^2 = |f(z)|^2 = M^2 ≠ 0 である。
よって、U(a, R) の各点で (∂P/∂x)(∂Q/∂y) - (∂P/∂y)(∂Q/∂x) = 0

一方、Cauchy-Riemannの関係式(過去スレ016の482)より、

∂P/∂x = ∂Q/∂y
∂P/∂y = -∂Q/∂x

よって、(∂P/∂x)^2 + (∂P/∂y)^2 = 0
よって、
∂P/∂x = 0
∂P/∂y = 0

よって、f’(z) = ∂P/∂x - ∂P/∂y = 0
よって、過去スレ016の588より、f は定数である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K を連結開集合とし、f: D → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
f は恒等的には 0 でないとする。
a ∈ D において f(a) = 0 とする。

このとき、整数 k ≧ 1 と
D において f(z) = ((z - a)^k)g(z) となる解析関数 g: D → K で
g(a) ≠ 0 となるものが一意に存在する。

証明
f(z) = ((z - a)^k)g(z), g(a) ≠ 0
f(z) = ((z - a)^k)h(z), h(a) ≠ 0
となる D 上の解析関数 g, h があるとする。
z ≠ a のとき g(z) = h(z) = f(z)/(z - a)^k である。
g と h は a で連続であるから g(a) = h(a) である。
よって、D の各点 z で g(z) = h(z) となり一意性が証明された。

次に g の存在を証明する。
f は解析関数であるから a の開近傍 V ⊂ D で f(z) = Σc_n(z - a)^n となる。
f(a) = 0 で f は恒等的には 0 でないから>>33より、
c_0 = . . . = c_(k-1) = 0, c_k ≠ 0 となる整数 k ≧ 1 がある。

V において h(z) = Σ[n ≧ k] c_n(z - a)^(n-k) は解析関数を表し、
f(z) = ((z - a)^k)h(z) かつ h(a) = c_k である。

g: D → K を z ∈ D - {a} のとき f(z)/(z - a)^k
z = a のとき g(z) = c_k と定義する。

V において g = h であるから g は a で微分可能である。
よって、g は命題の条件を満たす。
証明終

定義
K を複素数体とする。
D ⊂ K を連結開集合とし、f: D → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
f は恒等的には 0 でないとする。
a ∈ D において f(a) = 0 とすると、>>49の整数 k が一意に定まる。

このとき、a を f の k 位の零点という。
また a は f の位数 k の零点ともいう。

命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K を連結開集合とし、f: D → K を解析関数(過去スレ016の319)とする。
f は恒等的には 0 でないとする。

このとき f の全ての零点 a は孤立している。
即ち、a の近傍 V ⊂ D があり、z ∈ V - {a} のとき f(z) ≠ 0 となる。

証明
>>49より、整数 k ≧ 1 と
D において f(z) = ((z - a)^k)g(z) となる解析関数 g: D → K で
g(a) ≠ 0 となるものが一意に存在する。

g(a) ≠ 0 だから a の近傍 V ⊂ D があり、z ∈ V のとき g(z) ≠ 0 となる。
このとき、z ∈ V - {a} のとき f(z) ≠ 0 となる。
証明終

過去スレをどこかにアップしてもらえませんか？
せっかくなのに読めないんですよ

>>51の証明でgの一意性は不要ですね

定義
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
ψ_i: [a_i, b_i] → K を C_i の代表とする。
f : |C_1|×. . .×|C_n| → K を連続関数とする。

I_i = [a_i, b_i], i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n) ∈ (I_1)×...×(I_n) のとき
ψ(t) = (ψ_1(t_1), ..., ψ_n(t_n))
とおく。

このとき、∫ [C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) dz_1...dz_n を
∫[C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) dz_1. . .dz_n
= ∫[(I_1)×...×(I_n)] f(ψ(t))(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n) dt_1...dt_n
で定義する。

t → f(ψ(t))(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n) は連続であるから右辺は通常の重積分である。
これが各 ψ_i の取り方によらないことは、過去スレ016の501と同様にして証明される。

>>53
当然不要です。>>49をそのまま引用したわけです。

命題(多変数のCauchyの積分公式)
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を微分可能(過去スレ016の35)とする。
a = (a_1, ..., a_n) ∈ U とし、
B(a_1, r_1)×...×B(a_n, r_n) (過去スレ016の601) ⊂ U とする。
各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i とする。
Γ = C_1×...×C_n とおく。

このとき、任意の z ∈ U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) (過去スレ016の601) に対して
f(z) =
(1/2πi)^n∫[Γ]f(ζ_1, ..., ζ_n)/(ζ_1 - z_1)...(ζ_n - z_n)dζ_1. . .dζ_n

証明
記述を簡単にするため n = 2 として証明する。

過去スレ016の57より、f は連続である。
さらに過去スレ016の83より、∂f/∂z_1, ∂f/∂z_2 が存在する。
1変数のCauchyの積分公式(>>18)より、

(z_1, z_2) ∈ U(a_1, r_1)×U(a_2, r_1) のとき、
f(z_1, z_2) = (1/2πi)∫[C_1]f(ζ_1, z_2)/(ζ_1 - z_1) dζ_1

ζ_1 ∈ |C_2|, z_2 ∈ U(a_2, r_1) のとき、>>18より、
f(ζ_1, z_2) = (1/2πi)∫[C_2]f(ζ_1, ζ_2)/(ζ_2 - z_2) dζ_2

よって、
f(z_1, z_2) =
(1/2πi)^2∫[C_1] dζ_1∫[C_2]f(ζ_1, ζ_2)/(ζ_1 - z_1)(ζ_2 - z_2) dζ_2

f は連続であるからこの右辺は
(1/2πi)^2∫[Γ] f(ζ_1, ζ_2)/(ζ_1 - z_1)(ζ_2 - z_2) dζ_1dζ_2
証明終

>>56
>ζ_1 ∈ |C_2|, z_2 ∈ U(a_2, r_1) のとき、>>18より、

ζ_1 ∈ |C_1|, z_2 ∈ U(a_2, r_2) のとき、>>18より、

>>10の補足
>C を U における区分的に C^1 級の閉曲線(過去スレ016の495)とする。

>>10の証明からわかるように C は閉曲線でなくとも良い。

ζ = (ζ_1, ..., ζ_n)
z = (z_1, ..., z_n)
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n
のとき多重指数の記法(過去スレ016の294)で
(ζ - z)^α = (ζ_1 - z_1)^(a_1)...(ζ_n - z_n)^(a_n) である。

特に、ι = (1, ..., 1) ∈ (Z+)^n のとき、
(ζ - z)^ι = (ζ_1 - z_1)...(ζ_n - z_n)

dζ = dζ_1. . .dζ_n とおく。

このとき、多変数のCauchyの積分公式(>>56)は、
f(z) = (1/2πi)^n∫[Γ] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ
と書ける。

　▃█▄　　　　　　　　　▃█▄　　　　　　　　　 ▃█▄
　　▉　▀▆　　　　　　　　▉　▀▆　　　　　　　　 ▉　▀▆
▅▀█▀▀▆　▀▀▀▃　▅▀█▀▀▆　▀▀▀▃　 ▅▀█▀▀▆　▀▀▀▃
　▀▉　▅▀　　▃▅▀　　▀▉　▅▀　　▃▅▀　　 ▀▉　▅▀　　▃▅▀
　　　　　　　　　　　▂▂▂▄▄▄▄▄▂▂▂
　　　　　　　　　◢░　　　　　　　　　　　░◣
　　　　　　　◢░　　　　　　　　　　　　　　　░◣
　　　　　 ◢░　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ░◣
　　　　◢░　　　　　　▂　　　　　　　　　　　　▂　 ░◣
　　　◢░　　　 　　▄▀ ▀▄　　　　　 　 　 ▄▀ ▀▄　 ░◣
　　▐░::　 　　　　　　　　　　　▂ 　 　 　▂　　　　　　░▍
　 ▐▓░::　　　　　　 　　　 　▐::　 　 ▄　 ▀▄　　　　　░▍
　▐▓░░::░::　　　　　　 　　 ▋:::　 ▅▀　::░▋ 　 　 　░▓▍
　 ▐▓▓░░░::░:::　　　　　　▊░:::▊ ▊:::░▊　 　:::░::░▓▍
　　▐▓▓▓░░░::░::░　　　　 ▀▀　　▀▀　 ░░░░▓▓▍

定義
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
ψ_i: [a_i, b_i] → K を C_i の代表とする。
f : |C_1|×. . .×|C_n| → K を連続関数とする。

I_i = [a_i, b_i], i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n) ∈ (I_1)×...×(I_n) のとき
ψ(t) = (ψ_1(t_1), ..., ψ_n(t_n))
とおく。

このとき、∫ [C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) |dz_1|...|dz_n| を
∫[C_1×...×C_n] f(z_1, ..., z_n) |dz_1|...|dz_n|
= ∫[(I_1)×...×(I_n)] f(ψ(t)) |(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n)| dt_1...dt_n
で定義する。

t → f(ψ(t))|(ψ_1)’(t_1)...(ψ_n)’(t_n)| は連続であるから右辺は通常の重積分である。
これが各 ψ_i の取り方によらないことは、過去スレ016の569と同様にして証明される。

命題
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
f : |C_1|×. . .×|C_n| → K を連続関数とする。

C = C_1×...×C_n
dz = dz_1...dz_n
|dz| = |dz_1|...|dz_n|
とおく。

このとき、
|∫ [C] f(z) dz| ≦ ∫[C] |f(z)||dz|

ここで、∫ [C] f(z) dz は>>54で定義され、
∫[C] |f(z)||dz| は>>61で定義されたものである。

証明
定義(>>54と>>61)と積分の性質(過去スレ008の359)より明らかである。

命題
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。

f_n: |C_1|×. . .×|C_n| → K, n = 1, 2, . . . を連続関数の列とし、
lim f_n = f (一様収束) とする。

このとき、
∫ [C] f(z) dz = lim ∫ [C] f_n(z) dz

ここで、
C = C_1×...×C_n
dz = dz_1...dz_n

証明
過去スレ016の552より f は連続である。
よって、命題は>>62より明らかである。

>>63
>過去スレ016の552より f は連続である。

過去スレ016の552を持ち出すまでもなく f が連続になるのは周知である。

>>64
周知であるが証明しておく。

命題
X を位相空間とし Y を一様空間(過去スレ006の194)とする。
(f_n), n = 1, 2, . . . を X から Y への連続写像の列とする。
f を X から Y への写像で lim f_n = f (一様収束) とする。

このとき f は連続である。

証明
x_0 を X の点とする。

Y の任意の近縁 V に対して W^3 ⊂ V となる対称近縁(過去スレ006の202) W をとる。
このとき整数 n_0 ≧ 1 があり、
n ≧ n_0 なら (f(x), f_n(x)) ∈ W が任意の x ∈ X で成り立つ。

n ≧ n_0 となる n を固定する。
f_n は x_0 で連続であるから x_0 の近傍 U があり、x ∈ U なら
(f_n(x), f_n(x_0)) ∈ W となる。

よって、x ∈ U のとき
(f(x), f_n(x)) ∈ W
(f_n(x), f_n(x_0)) ∈ W
(f_n(x_0), f(x_0)) ∈ W
となる。
よって、
(f(x), f(x_0)) ∈ W^3 ⊂ V

よって、ｆは x_0 で連続である。
証明終

補題(>>10の多変数版)
K を複素数体とする。
C_1, . . ., C_n を K における C^1 級の曲線(過去スレ016の492)とする。
C = C_1×...×C_n, |C| = |C_1|×...×|C_n| とおく。
f : |C| → K を連続関数とする。

c ∈ K^n - |C| に対して、
>>59の記法で
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ とおく。
ここで、ι = (1, ..., 1) ∈ (Z+)^n

このとき、g(z) は K^n - |C| において解析的(過去スレ016の319)である。
さらに、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
(∂^α)g(z) = α!∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ

ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。

証明
c = (c_1, ..., c_n) を K^n - |C| の任意の点とする。
R_i = inf{|ζ - c_i|; ζ ∈ |C_i|} とおく。
明らかに U(c_i, R_i) (過去スレ016の601) ⊂ K - |C_i| である。
U = U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) とおく。

ζ ∈ |C|, z ∈ U のとき、|(z_i - c_i)/(ζ_i - c_i)| ＜ 1, i = 1, . . ., n
よって、
f(ζ)/(ζ - z)^ι
= (f(ζ)/Π(ζ_i - c_i))Π(1 - (z_i - c_i)/(ζ_i - c_i))^(-1)
= (f(ζ)/Π(ζ_i - c_i))ΠΣ((z_i - c_i)/(ζ_i - c_i))^(α_i) である。
= Σ(f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α

(続く)

>>66の続き

M = sup[|f(ζ)|; ζ ∈ |C|} とおく。

|(f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α| ≦ (M/ΠR_i)Π(|z_i - c_i|/R_i)^(α_i)

よって、
Σ(f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α は
|C| 上で一様に f(ζ)/(ζ - z)^ι に収束する。

>>63より、
g(z) = ∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ
= Σ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α + 1))(z - c)^α dζ
= Σ(z - c)^α∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α+1) dζ

c_α = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α+1) dζ とおけば、
g(z) = Σc_α(z - c)^α

即ち、g は U において収束べき級数 Σc_α(z - c)^α で表される。
c は K^n - |C| の任意の点であるから g は K^n - |C| 上で解析的である。
過去スレ016の307より、c_α = (∂^α)g(c)/α!
よって、(∂^α)g(c) = α!∫[C] (f(ζ)/(ζ - c)^(α+1) dζ である。
証明終

>>67
α+1 は α+ι の間違いである。

定理(>>12の多変数版)
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を微分可能(過去スレ016の35)とする。

このとき f は U で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) ⊂ U となる
R_i ＞ 0, i = 1, . . ., n がある。
0 ＜ r_i ＜ R_i となる任意の r_i, i = 1, . . ., n をとる。
多変数のCauchyの積分公式(>>56)より、U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) の
任意の点 z に対して、
f(z) = (1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ となる。
ここで、各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、
C = C_1×...×C_n である。

>>66より、f は U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) で解析的である。
c は U の任意の点であるから f は U で解析的である。
証明終

K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、z = x + iy を U の座標関数とする。
dz = dx + idy
dz~ = dx - idy
と定義する。
ここで、z~ は z の共役である。

dz + dz~ = 2dx
dz - dz~ = 2idy

dx = (dz + dz~)/2
dy = (dz - dz~)/2i

f を U 上の C^1 級の複素数値関数とする。
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy と定義する。

df = (∂f/∂x)(dz + dz~)/2 + (∂f/∂y)(dz - dz~)/2i
= ((∂f/∂x - i∂f/∂y)/2)dz + ((∂f/∂x + i∂f/∂y)/2)dz~

よって、
∂f/∂z = (∂f/∂x - i∂f/∂y)/2
∂f/∂z~ = (∂f/∂x + i∂f/∂y)/2
と定義する。

このとき、
df = (∂f/∂z)dz + (∂f/∂z~)dz~
である。

f が C^1 級でなくても ∂f/∂x と ∂f/∂y が存在するとき
∂f/∂z = (∂f/∂x - i∂f/∂y)/2
∂f/∂z~ = (∂f/∂x + i∂f/∂y)/2
と定義する。

命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の複素数値関数とする。
f(z) = P(x, y) + Q(x, y)i とする。
ここで、z = x + iy で P, Q は U 上の実数値関数である。

f が c ∈ U で微分可能(過去スレ016の35)であるためには
P と Q がそれぞれ c で微分可能で
Cauchy-Riemannの関係式(過去スレ016の482)
(∂P/∂x)(c) = (∂Q/∂y)(c)
(∂P/∂y)(c) = -(∂Q/∂x)(c)
を満たすことが必要十分である。

証明
必要性は過去スレ016の482で証明されている。

P と Q がそれぞれ c で微分可能で
Cauchy-Riemannの関係式を満たすとする。

(∂P/∂x)(c) = α、(∂Q/∂x)(c) = β とおく。
Cauchy-Riemannの関係式より、
(∂P/∂y)(c) = -β
(∂Q/∂y)(c) = α
である。

(続く)

>>71の続き

u = h + ki を |u| が十分小さい複素数とする。
P と Q がそれぞれ c で微分可能であるから、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |P(c + u) - P(c) - (αh - βk)|/|u| = 0
lim |Q(c + u) - Q(c) - (βh + αk)|/|u| = 0
である。

(α + iβ)u = αh - βk + i(βh + αk)
よって、
f(c + u) - f(c) - (α + iβ)u
= P(c + u) - P(c) - (αh - βk) + i(Q(c + u) - Q(c) - (βh + αk))

よって、u ≠ 0 のとき
|f(c + u) - f(c) - (α + iβ)u|/|u|
≦ |P(c + u) - P(c) - (αh - βk)|/|u| + |Q(c + u) - Q(c) - (βh + αk)|/|u|

よって、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |f(c + u) - f(c) - (α + iβ)u|/|u| = 0

よって、f(z) は z = c で微分可能である。
証明終

多変数のCauchyの積分公式(>>56)はその証明から
f が連続で各 ∂f/∂z_i が存在すれば成り立つ。
よって、>>69はこの場合にも成り立つ。

命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K を開集合とし、f: U → K を U 上の複素数値関数とする。

f が c ∈ U で微分可能(過去スレ016の35)であるためには
P と Q がそれぞれ c で微分可能で
(∂f/∂z~)(c) = 0 となることが必要十分である。

証明
>>71と次の等式から明らかである。

∂f/∂z~ = (∂f/∂x + i∂f/∂y)/2
= ∂P/∂x - ∂Q/∂y +i(∂Q/∂x - ∂P/∂y)
証明終

定義
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、z = (z_1, .., z_n) を U の座標関数とする。
z_i = x_i + y_i√(-1) とする。
dz_i = dx_i + dy_i√(-1)
d(z_i)~ = dx_i - dy_i√(-1)
と定義する。
ここで、(z_i)~ は z_i の共役である。

dz_i + d(z_i)~ = 2dx_i
dz_i - d(z_i)~ = 2dy_i√(-1)
よって、
dx_i = (dz_i + d(z_i)~)/2
dy_i = (dz_i - d(z_i)~)/2√(-1)

f を U 上の複素数値関数で、∂f/∂x_i, ∂f/∂y_i が存在し連続であるとする。
df = Σ(∂f/∂x_i)dx_i + Σ(∂f/∂y_i)dy_i と定義する。
df = Σ(∂f/∂x_i)(dz_i + d(z_i)~)/2 + Σ(∂f/∂y_i)(dz_i - d(z_i)~)/2√(-1)
= (1/2)Σ(∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)dz_i
+ (1/2)Σ(∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)d(z_i)~

よって、
∂f/∂z_i = (∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)/2
∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2
と定義する。

このとき、df = Σ(∂f/∂z_i)dz_i + Σ(∂f/∂(z_i)~)d(z_i)~ である。

∂f/∂x_i, ∂f/∂y_i が連続でなくても ∂f/∂x_i と ∂f/∂y_i が存在するとき
∂f/∂z_i = (∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)/2
∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2
と定義する。

命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を関数とする。
f(z) = P(z) + iQ(z) とする。

f が c ∈ U で微分可能であるためには
P と Q が c で微分可能で各 i に対して
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)
となることが必要十分である。

証明
必要性：
f が微分可能であるとする。
df(c): K^n → K は線型写像である。
df(c)(z_1, . . ., z_n) = γ_1z_1 + . . . + γ_nz_n とする。
γ_i = α_i + √(-1)β_i, i = 1, ..., n とおく。
u = (u_1, ..., u_n) ∈ K^n を |u| が十分小さい元とし、
u_i = h_i + k_i√(-1) とおく。

df(c)(u) = Σγ_iu_i = Σ(α_i + √(-1)β_i)(h_i + √(-1)k_i)
= Σ(α_ih_i - β_ik_i) + √(-1)Σ(β_ih_i + α_ik_i)

f(c + u) - f(c) - df(c)u
= P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)
+ √(-1)(Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i))

(続く)

>>76の続き

よって、u ≠ 0 のとき、
|P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u|
≦ |f(c + u) - f(c) - df(c)u|/|u|

|Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u|
≦ |f(c + u) - f(c) - df(c)u|/|u|

よって、u → 0 のとき
lim |P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u| = 0
lim |Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u| = 0

よって、P と Q は c で微分可能である。
z_i = x_i + y_i√(-1) とおく。
(∂P/∂x_i)(c) = α_i
(∂P/∂y_i)(c) = -β_i
(∂Q/∂x_i)(c) = β_i
(∂Q/∂y_i)(c) = α_i
よって、
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)

(続く)

>>77の続き

十分性：
P と Q が c で微分可能で各 i に対して
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)
となるとする。

(∂P/∂x_i)(c) = α_i、(∂Q/∂x_i)(c) = β_i とおく。
このとき
(∂P/∂y_i)(c) = -β_i
(∂Q/∂y_i)(c) = α_i
である。

u = (u_1, ..., u_n) ∈ K^n を |u| が十分小さい元とし、
u_i = h_i + k_i√(-1) とおく。

P と Q がそれぞれ c で微分可能であるから、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u| = 0
lim |Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u| = 0
である。

(続く)

>>78の続き

(α_i + β_i√(-1))u_i = α_ih_i - β_ik_i + √(-1)(β_ih_i + α_ik_i)

よって、
f(c + u) - f(c) - Σ(α_i + β_i√(-1))u_i
= P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)
+ √(-1)(Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i))

よって、u ≠ 0 のとき
|f(c + u) - f(c) - Σ(α_i + β_i√(-1))u_i|/|u|
≦ |P(c + u) - P(c) - Σ(α_ih_i - β_ik_i)|/|u|
+ |Q(c + u) - Q(c) - Σ(β_ih_i + α_ik_i)|/|u|

よって、
u ≠ 0, u → 0 のとき
lim |f(c + u) - f(c) - Σ(α_i + β_i√(-1))u_i|/|u| = 0

よって、f(z) は z = c で微分可能である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を関数とする。
f(z) = P(z) + iQ(z) とする。

f が c ∈ U で微分可能であるためには
P と Q が c で微分可能で各 i に対して
(∂f/∂(z_i)~)(c) = 0 となることが必要十分である。

ここで、∂f/∂(z_i)~ は>>75で定義したものである。

証明
∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2
= ∂P/∂x_i + √(-1)∂Q/∂x_i + √(-1)∂P/∂y_i - ∂Q/∂y_i
= (∂P/∂x_i - ∂Q/∂y_i) + √(-1)(∂P/∂y_i + ∂Q/∂x_i)

よって、
(∂f/∂(z_i)~)(c) = 0 は
(∂P/∂x_i)(c) = (∂Q/∂y_i)(c)
(∂P/∂y_i)(c) = -(∂Q/∂x_i)(c)
と同値である。

よって、本命題は>>76より直ちに得られる。
証明終

命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K^n を連結開集合とし、f: D → K を微分可能とする。

D 上で Im(f(z)) = 0 であれば f は定数である。

証明
>>80より、各 i に対して ∂f/∂(z_i)~ = 0 である。
即ち、∂f/∂x_i = -√(-1)∂f/∂y_i である。
仮定より f は実数値関数であるから
∂f/∂x_i = ∂f/∂y_i = 0

よって、D 上で df = 0 である。
過去スレ016の534より f は定数である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
D ⊂ K^n を連結開集合とし、f: D → K を微分可能とする。

D 上で |f(z)| が定数であれば f(z) は定数である。

証明
D 上で |f(z)| = c とする。
c = 0 なら f = 0 となって命題が舞代が成り立つ。
よって、c ≠ 0 と仮定する。

f(z)f(z)~ = c^2 である。
両辺に ∂/∂(z_i)~ を作用させると、>>80より ∂f/∂(z_i)~ = 0 だから
f(z)(∂f~/∂(z_i)~) = 0

c ≠ 0 より、任意の z ∈ D に対して f(z) ≠ 0
よって、∂f~/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i - √(-1)∂f/∂y_i)/2 = 0 である。
一方、∂f/∂(z_i)~ = (∂f/∂x_i + √(-1)∂f/∂y_i)/2 = 0 であるから、
∂f/∂x_i = ∂f/∂y_i = 0 である。

よって、f(z) = P(z) + iQ(z) のとき、
D 上で、dP = 0 かつ dQ = 0 である。

過去スレ016の534より P と Q は定数である。
よって、f は定数である。
証明終

>>82を使うと>>47の別証が得られる。

命題(Weierstrassの２重級数定理の多変数版)
U ⊂ K^n を開集合とし、(f_k), k = 1, 2, . . . を
U 上の複素解析関数の列とする。
f: U → K を関数とする。
f = lim f_k (コンパクト一様収束(過去スレ016の551))とする。

このとき、f は U で解析的であり、
任意の α ∈ (Z+)^n に対して、U 上で
(∂^α)f = lim (∂^α)f_k (コンパクト一様収束) となる。

ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。

証明
c を U の任意の点とする。
U は開集合であるから U(c_1, R_1)×...×U(c_n, R_n) ⊂ U となる
R_i ＞ 0, i = 1, . . ., n がある。
0 ＜ r_i ＜ R_i となる任意の r_i, i = 1, . . ., n をとる。
多変数のCauchyの積分公式(>>56)より、U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) の
任意の点 z と各 k に対して、
f_k(z) = (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ となる。
ここで、各 B(a_i, r_i) (過去スレ016の601) の境界(円周)に
正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、C = C_1×...×C_n である。

|C| = |C_1|×...×|C_n| はコンパクトであるから
(f_k) は |C| 上で一様収束する。
よって、>>65より f = lim f_k は連続であり、
>>63より、
(1/2πi)^n∫[C] f_(ζ)/(ζ - z)^ι dζ
= lim (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ

(続く)

>>84の続き

一方、f_k(z) = (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ であるから、
f(z) = lim f_k(z) = lim (1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^ι dζ

よって、
f(z) = (1/2πi)^n∫[C] f_(ζ)/(ζ - z)^ι dζ

よって、>>66より、 f(z) は U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) で解析的である。
c は U の任意の点であるから f は U で解析的である。

次に U 上で (∂^α)f = lim (∂^α)f_k (コンパクト一様収束) を証明する。
>>66より、z ∈ U(c_1, r_1)×...×U(c_n, r_n) のとき、
(∂^α)f(z) = α!(1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ
(∂^α)f_k(z) = α!(1/2πi)^n∫[C] f_k(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ

よって、
|(∂^α)f(z) - (∂^α)f_k(z)|
= |α!(1/2πi)^n∫[C] (f(ζ) - f_k(ζ))/(ζ - z)^(α + ι) dζ|

(続く)

>>85の続き

z ∈ U(c_1, r_1/2)×...×U(c_n, r_n/2)
ζ ∈ |C| = |C_1|×...×|C_n|
のとき、|ζ_i - z_i| ＞ r_i/2 である。

よって、z ∈ U(c_1, r_1/2)×...×U(c_n, r_n/2) のとき、

|(∂^α)f(z) - (∂^α)f_k(z)|
= |α!(1/2πi)^n∫[C] (f(ζ) - f_k(ζ))/(ζ - z)^(α + ι) dζ|
≦ α!(1/2π)^n(Π(2/r_i)^(α_i + 1))|f - f_k|∫[C] |dζ|
= α!(1/2π)^n(Π(2/r_i)^(α_i + 1))(Π(2πr_i))|f - f_k|
= α!(Π2^(α_i + 1)/(r_i)^(α_i))|f - f_k|

ここで、|f - f_k| = sup{|f(ζ) - f_k(ζ)|; ζ ∈ |C|}

よって、U(c_1, r_1/2)×...×U(c_n, r_n/2) 上で
(∂^α)f = lim (∂^α)f_k (一様収束)

c は U の任意の点だから
U 上で f = lim (∂^α)f_k (コンパクト一様収束) である。
証明終

命題
K を複素数体とする。
a = (a_1, ..., a_n) ∈ K^n とし、
U = U(a_1, R_1)×...×U(a_n, R_n) (過去スレ016の601) とおく。
f: U → K を微分可能(過去スレ016の35)とする。

このとき、収束べき級数 g(z) = Σc_αz^α があり、
U 上の各点 z で z - a ∈ C(g) (過去スレ016の274) となり、
f(z) = g(z - a) となる。

証明
各 i に対して 0 ＜ r_i ＜ R_i となる任意の r_i をとる。
>>56より、任意の z ∈ U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) に対して
>>59の記法で f(z) = (1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ となる。
ここで、各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、
C = C_1×...×C_n である。

>>66より、
c_α = ∫[C] (f(ζ)/(ζ - a)^(α+ι) dζ とおけば、
Σc_α(z - a)^α は任意の z ∈ U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) で絶対収束し、
f(z) = Σc_α(z - c)^α となる。
U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) は開集合であるから z に十分近い点 w に対して
Σc_α(w - a)^α は絶対収束する。
よって、z - a は Σc_αz^α の収束域(過去スレ016の274) に含まれる。

任意の z ∈ U に対して各 i で、|z_i - a_i| ＜ r_i ＜ R_i となる r_i がある。
上で示したように Σc_α(z - a)^α は絶対収束し、
f(z) = Σc_α(z - c)^α となる。
U は開集合であるから、 z に十分近い点 w に対して
Σc_α(w - a)^α は絶対収束する。
よって、z - a は Σc_αz^α の収束域に含まれる。
証明終

命題(>>84の系(本来のWeierstrassの２重級数定理))
K を複素数体とする。
(f_k(z)), k = 0, 1, 2, . . . を
収束べき級数環 K{{X_1, ..., X_n}} (過去スレ016の275) の元の列とする。
f_k(z) = Σc_(α, k)z^α とし、
各 α ∈ (Z+)^n に対して c_α = Σ[k = 0, ∞] c_(α, k) とおく。

U = U(0, r_1)×...×U(0, r_n) は各 f_k の収束域(過去スレ016の274)に
含まれるとする。
f: U → K を関数とし、U 上で f(z) = Σ f_k(z) (コンパクト一様収束)とする。

このとき、Σc_αz^α は収束べき級数であり、Σc_αz^α の収束域は U を含み
U の各点 z で f(z) = Σc_αz^α となる。

証明
>>84より、f は U 上で解析的である。
>>87より、収束べき級数 Σc_αz^α があり、
U は Σc_αz^α の収束域に含まれ
U の各点 z で f(z) = Σc_αz^α となる。

過去スレ016の307より、各 α ∈ (Z+)^n に対して
c_α = (1/α!)(∂^α)f(0) である。
同様に、過去スレ016の307より、各 α ∈ (Z+)^n と 各 k ∈ Z+ に対して
c_(α, k) = (1/α!)(∂^α)f_k(0) である。

一方、>>84より、
(∂^α)f(0) = Σ(∂^α)f_k(0) である。

よって、
c_α = Σ[k = 0, ∞] c_(α, k) である。
証明終

記法
K を複素数体とする。
a = (a_1, . . ., a_n) を K^n の点とし、
r = (r_1, . . ., r_n) ∈ (R++)^n とする。
ここで R を実数体としたとき、R++ = {x ∈ R; x ＞ 0} である。

このとき、
U(a, r) = U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) と書く。
ここで各 U(a_i, r_i) は過去スレ016の601で定義したように
U(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| ＜ r_i} である。

同様に
B(a, r) = B(a_1, r_1)×...×B(a_n, r_n)
S(a, r) = S(a_1, r_1)×...×S(a_n, r_n)
と書く。

ここで過去スレ016の601で定義したように
B(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| ≦ r_i}
S(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| = r_i}
である。

U(a, r) を a を中心とする半径 r の多重開円板という。
B(a, r) を a を中心とする半径 r の多重閉円板という。
S(a, r) を a を中心とする半径 r の多重円という。

命題
K を複素数体とする。
U ⊂ K^n を開集合とし、f: U → K を微分可能関数とする。
a を U の点とし、r = (r_1, . . ., r_n) ∈ (R++)^n とする。
B(a, r) (>>89) ⊂ U とする。
M = sup{|f(z)|; z ∈ S(a, r) (>>891)} とおく。
S(a, r) はコンパクトであるから M ＜ +∞ である。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/r^α
ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。
α! および r^α の記法については過去スレ016の294を参照。

証明
>>56より、任意の z ∈ U(a, r) に対して、
f(z) = (1/2πi)^n∫[C]f(ζ)/(ζ - z)^ι dζ (>>59)

ここで、各 B(a_i, r_i) の境界(円周)に正の向きを付けた曲線を C_i としたとき、
C = C_1×...×C_n である。

>>66より、任意の z ∈ U(a, r) に対して、
(∂^α)f(z) = α!(1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - z)^(α + ι) dζ

よって、
|(∂^α)f(a)| = |α!(1/2πi)^n∫[C] f(ζ)/(ζ - a)^(α + ι) dζ|
≦ α!(1/2π)^n∫[C] |f(ζ)/(ζ - a)^(α + ι)| |dζ|
≦ α!(1/2π)^nM(1/r^(α+ι)∫[C] |dζ|
= α!(1/2π)^nM(1/r^(α+ι)(2π)^nΠr_i
= α!M/r^α
証明終

命題(多変数のCauchyの評価式(>>22参照))
K を複素数体とする。
a を K^n の点とし、R_1 ＞ 0, . . ., R_n ＞ 0 とする。
R = (R_1, . . ., R_n) とおく。
f: U(a, R) (>>89) → K を微分可能関数とする。
sup{|f(z)|; z ∈ U(a, R)} ≦ M ＜ +∞ とする。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/R^α
ここで、∂^α の記法については過去スレ016の302を参照。
α! および R^α の記法については過去スレ016の294を参照。

証明
各 i で 0 ＜ r_i ＜ R_i となる任意の r_i をとる。
r = (r_1, . . ., r_n) とおく。
このとき、>>90より任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/r^α

r → R とすれば
|(∂^α)f(a)| ≦ α!M/R^α
証明終

定義
K を複素数体とする。
f: K^n → K を微分可能関数とする。

このとき、f を整関数(entire function)と言う。

命題(多変数のLiouvilleの定理(>>24参照))
有界な多変数の整関数(>>92)は定数である。

証明
f: K^n → K を整関数とし、
sup{|f(z)|; z ∈ K^n} ≦ M ＜ +∞ とする。
Cauchyの評価式(>>91)より、
任意の a ∈ K^n と任意の R_1 ＞ 0, . . ., R_n ＞ 0 に対して、
|(∂f/∂z_i(a)| ≦ M/R_i (i = 1, ... , n)

R_i → +∞ とすれば ∂f/∂z_i(a) = 0 である。

よって df(z) = 0 である。
よって、過去スレ016の536より f は定数である。
証明終

texの練習がてらこの講義のLectureNoteをtexで打って
pdfにしてgoogleアップしてもいい？恐らく見れない人が大半だろうから。

>>94
2chの規約がどうなってるかわからないのでなんとも言えないです。

以下は２ｃｈの規約上問題ないと仮定した場合の私の個人的な意見です。

申し訳ないですがpdfには反対です。
pdfにした場合、それが正確に内容を反映してない可能性かあります。
というか絶対に正確というのはまずあり得ないでしょう。
勿論、私の書いたものにも誤りがありますがそれは私が気付けば直します。
pdfの場合はそうはいかない、というか私は直す気はないです。

textとしてそのままアップするのはいいです。
ただし、以下の条件があります。

(1) 改変しないこと。
たとえ内容に間違いがあっても、誤字、脱字があっても直さないこと。
「あらし」も削除しないこと。
要するに各スレッドをそのままコピーすること。

(2) ソースをはっきりさせること。
つまり、2chの過去スレッドのコピーであることがはっきり分かるようにすること。
次のような各スレのリンクアドレスを載せること。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1262085373/


繰り返しますが、以上は２ｃｈの規約上問題ないと仮定した場合です。
問題ある場合はアップしないでください。

年間数千円を払えば過去スレを見れますよ。
勿論、個人で経済状態や価値観はそれぞれ違うので高いと思う人もいるでしょう。
その人の価値観に反対するつもりはないです。
因みに私は２ｃｈのまわし者ではないです。

命題(多変数の最大値の原理)
K を複素数体とする。
D を K^n の連結開集合とする。
f: D → K を微分可能(従って>>69より解析的)とする。
a を D の点とし、U(a, r) (>>89) ⊂ D とする。

このとき、U(a, r) の各点 z で |f(z)| ≦ |f(a)| であれば f は D で定数である。

証明
r = (r_1, . . ., r_n) としたとき、ρ = inf{r_1, . . ., r_n} とおく。
K^n の元 z = (z_1, . . ., z_n) のノルム |z| = sup{|z_1, . . ., |z_n|} とする。
U = {z ∈ K^n; |z - a| ＜ ρ} とおく。
U ⊂ U(a, r) である。

b を U の任意の点とする。
t ∈ K のとき、ψ(t) = a + (b - a)t とおく。
|t| ≦ 1 のとき、|ψ(t) - a| = |(b - a)t| ＜ ρ
よって、ψ(t) ∈ U である。
よって、|t| ≦ 1 のとき f(ψ(t)) が定義される。

合成写像の微分(過去スレ016の58)より、
|t| ＜ 1 のとき f(ψ(t)) は微分可能(従って>>12より解析的)である。
命題の仮定より、|t| ＜ 1 のとき|f(ψ(t))| ≦ |f(a)| = |f(ψ(0))| である。
よって１変数の最大値の原理(>>44)より、f(ψ(t)) は |t| ＜ 1 で定数である。

f(ψ(t)) は |t| ≦ 1 のとき連続であるから
|t| ＜ 1、t → 1 のとき f(ψ(t)) → f(ψ(1)) = f(b) である。
よって、f(b) = f(0) である。
b は U の任意の点であるから f は U で定数である。
よって、一致の定理(>>33)より f は D で定数である。
証明終

じゃあ、まんまコピペしてpdfじゃなくてdviかps形式で上げればいいのか。
pdfはgoogle　documentでアップできるけど、dvi形式とかはどこでアップ
したらいいのかわからん。2chの利用規約についてはまた調べてみる。

dviは互換性が悪いから使わないほうがいい。
論文のファイルを送るときもdviは避けるべきだ。

命題
K を複素数体とする。
f(z) = Σc_αz^α を K 係数の n 変数収束べき級数、
即ち K{{X_1, ... , X_n}} (過去スレ016の275) の元とする。
過去スレ016の292より、C(f) (過去スレ016の274) は連結開集合である。

このとき、f は C(f) で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
過去スレ016の318より、f は C(f) 上で C^∞ 級である。
よって、>>69より f は C(f) 上で解析的である。
証明終

>>98
pdfが問題というよりTexに変えるというな内容を改変することが問題なわけです。
だから、pdfでもそのままコピーならいいです（２ｃｈの規約上問題ないという前提で）。
どうも誤解されような書き方をしてすいません。

>Texに変えるというな

Texに変えるというような

命題
R を実数体とする。
f(x) = Σc_αx^α を R 係数の n 変数収束べき級数、
即ち R{{X_1, ... , X_n}} (過去スレ016の275) の元とする。
過去スレ016の292より、C(f) (過去スレ016の274) は連結開集合である。

このとき、f は C(f) で解析的(過去スレ016の319)である。

証明
C を複素数体とする。
D = {z ∈ C^n; z のある近傍 U があり U の全ての点 w で Σ|c_αw^α| ＜ ∞}
とおく。
明らかに C(f) ⊂ D である。
よって、Σc_αz^α は複素数係数の n 変数収束べき級数である。
>>100より、f(z) = Σc_αz^α は D で解析的である
よって、a を C(f) の任意の元とすると、
収束べき級数 Σb_αz^α ∈ C{{X_1, ... , X_n}} があり、
a の D におけるある開近傍 U の各点 z で f(z) = Σb_α(z - a)^α となる。

過去スレ016の307より、b_α = (1/α!)(∂^α)f(a) である。
a ∈ R^n であるから、b_α は実数である。
よって、Σb_αz^α ∈ R{{X_1, ... , X_n}} である。
C(f) は開集合であるから C(f) ∩ U は a の D(f) における開近傍である。
C(f) ∩ U の各点 x で f(x) = Σb_α(x - a)^α であるから
f は C(f) で解析的である。
証明終

解析関数の概念を拡張しよう。
まず形式的べき級数の概念の拡張から始める。

定義
K を可換体とする。
K 上の多項環環 K[X_1, ... , X_n] の m 次の同次多項式全体のなす部分集合を
H_m とする。H_m は K 上の線型空間である。
H_m の任意の元は Σc_αX^α と一意に書ける、
ここで、α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n、c_α ∈ K、X = (X_1, ..., X_n) であり、
Σ は |α| = m となる α 全体に渡る。
(X^α や |α| などの記法については過去スレ016の265参照)。

E を K 上の線型空間とする。
E と H_m の K 上のテンソル積を E※H_m とする。
E※H_m の任意の元は Σv_α※X^α と一意に書ける、
ここで、α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n、v_α ∈ E、X = (X_1, ..., X_n) であり、
Σ は |α| = m となる α 全体にわたる
Σv_α※X^α を Σv_αX^α と書く。

E[[X_1, ..., X_n]] = ΠE※H_m と書く。
ここで、ΠE※H_m は H_m, m = 0, 1, 2, . . . の
K 上の線型空間としての直積である。
E[[X_1, ..., X_n]] は K[[X_1, ..., X_n]] (過去スレ016の266)上の加群である。
E[[X_1, ..., X_n]] の元を E 係数の n 変数形式的べき級数という。
E[[X_1, ..., X_n]] を E 係数の n 変数形式的べき級数加群という。
E[[X_1, ..., X_n]] の任意の元は、Σv_αX^α と一意に書ける。
ここで、α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n、v_α ∈ E、X = (X_1, ..., X_n) であり、
Σ は α ∈ (Z+)^n 全体に渡る。

定義
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ完備な可換体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
R を実数体とし、R++ = {x ∈ R; x ＞ 0} とする。
r = (r_1, ..., r_n) ∈ (R++)^n と
f = Σc_αX^α ∈ E[[X_1, ..., X_n]] (>>105) に対して、
|f|_r = Σ|c_α|r^α とおく。

A_r(K^n, E) = {f ∈ E[[X_1, ..., X_n]]; |f|_r ＜ ∞} とおく。
E{{X_1, ..., X_n}} = ∪{A_r(K^n, E); r ∈ (R++)^n} とおく。
E[[X_1, ..., X_n]] の元を E 係数の n 変数収束べき級数という。
E{{X_1, ..., X_n}} を E 係数の n 変数収束べき級数加群という。

定義
G を位相アーベル群とする。
X を集合とする。
F(X, G) を X から G への写像全体とする。
F(X, G) は一様収束の一様構造(過去スレ007の149)により一様空間となる。

I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, G) の元の I を添字集合とする族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空でないとき、S(J) ∈ F(X, G) である。
J が空集合のときは S(J) = 0 (恒等的に 0 である写像)とする。

J ∈ Φ(I) に対して Ψ(J) = {S(K): J ⊂ K, K ∈ Φ(I)} とおく。
Ψ_0 = {Ψ(J); J ∈ Φ(I)} とおく。
明らかに Ψ_0 は F(X, G) におけるフィルター基底(過去スレ006の77)である。
Ψ_0 が一様収束の位相(過去スレ007の149)で
f ∈ F(X, G) に収束(過去スレ006の131)するとき
族 (f_i) は X において一様に総和可能といい、f = Σf_i と書く。

命題
G を分離的(過去スレ006の73)かつ完備(過去スレ006の249)な位相アーベル群とする。
X を集合とする。
F(X, G) を X から G への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, G) の元の I を添字集合とする族とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空でないとき、S(J) ∈ F(X, G) である。
J が空集合のときは S(J) = 0 (恒等的に 0 である写像)とする。

G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) ∈ V となるとする。

このとき、族 (f_i) は X において一様に総和可能(>>107)である。

証明
G の単位元 0 の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる
0 の対称近傍 W をとる。

本命題の仮定より、J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) ∈ W となる。

よって、J_0 ⊂ J なら K = J - J_0 とおくと
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) = S(J)(x) - S(J_0)(x) ∈ W となる。

(続く)

>>108の続き

同様に
J_0 ⊂ J_1 なら K_1 = J_1 - J_0 とおくと
任意の x ∈ X に対して S(K_1)(x) = S(J_1)(x) - S(J_0)(x) ∈ W となる。

よって任意の x ∈ X に対して
S(J_1)(x) - S(J)(x) = S(J_1)(x) - S(J_0)(x) + S(J_0)(x) - S(J)(x) ∈ W + W ⊂ V
よって
J ∈ Φ(I) に対して Ψ(J) = {S(K): J ⊂ K, K ∈ Φ(I)} とおき、
Ψ_0 = {Ψ(J); J ∈ Φ(I)} とおくと、
F(X, G) の一様収束の一様構造(過去スレ007の149)に関して
Ψ_0 は Cauchy フィルター基底である。
過去スレ007の163より、F(X, G) は完備であるから Ψ_0 は収束する。
よって、族 (f_i) は X において一様に総和可能(>>107)である。
証明終

定義
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
X を集合とする。
F(X, E) を X から E への写像全体とする。
R を実数体とし、F(X, R) を X から R への写像全体とする。

I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, E) の元の I を添字集合とする族とする。
(|f_i|), i ∈ I が F(X, R) の元の列として X 上で一様に総和可能(>>107)のとき、
(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能であると言う。

補題
G を位相アーベル群とする。
X を集合とする。
F(X, G) を X から G への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, G) の元の I を添字集合とする族とする。
(f_i) は一様に総和可能(>>107)とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。

このとき、G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して S(K)(x) ∈ V となる。

証明
f = Σf_i (>>107)とする。

J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。

G の単位元の任意の近傍 V に対して W + W ⊂ V となる 0 の対称近傍 W がある。
(f_i) は f に一様に総和可能であるから、J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) と任意の x ∈ X に対して
f(x) - S(J)(x) ∈ W となる。

K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合とする。
J = J_0 ∪ K とおく。
任意の x ∈ X に対して、S(J)(x) = S(J_0)(x) + S(K)(x) である。
よって、
S(K)(x) = S(J)(x) - S(J_0)(x) = S(J)(x) - f(x) + f(x) - S(J_0) ∈ W + W ⊂ V
証明終

命題
K を可換とは限らない体とする。
| | を K の自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)とする。
E を K 上の完備(過去スレ006の249)なノルム空間(過去スレ006の561)とする。
X を集合とする。
F(X, E) を X から E への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, E) の元の I を添字集合とする族とする。
(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能(>>110)とする。

このとき、(f_i), i ∈ I は X 上で一様に総和可能(>>107)である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σf_i, T(J) = Σ|f_i| とおく。
ここで i は J の元全体を動く。
任意の x ∈ X に対して、|S(J)(x)| ≦ T(J)(x) である。

>>111 より 任意の ε ＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して T(K)(x) ＜ ε となる。

|S(K)(x)| ≦ T(K)(x) だから
任意の ε ＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
K ∈ Φ(I) で J_0 ∩ K が空集合なら
任意の x ∈ X に対して |S(K)(x)| ＜ ε となる。

E は完備だから、>>108より (f_i) は X において一様に総和可能である。
証明終

命題(Weierstrassの優級数定理)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ
必ずしも可換とは限らない体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
X を集合とする。
F(X, E) を X から E への写像全体とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(f_i), i ∈ I を F(X, E) の元からなる I を添字集合とする族とする。

R を実数体とし、R+ = {x ∈ R; x ≧ 0} とおく。
(M_i), i ∈ I を R+ の元からなる I を添字集合とする族とする。
任意の i ∈ I と任意の x ∈ X に対して、|f_i(x)| ≦ M_i とする。
(M_i), i ∈ I は総和可能(過去スレ006の147)とする。

このとき、(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能(>>110)である。
よって、E が完備であれば、>>112より
(f_i), i ∈ I は X 上で一様に総和可能(>>107)である。

証明
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σ|f_i|, T(J) = ΣM_i とおく。
ここで i は J の元全体を動く。
本命題の仮定より、任意の x ∈ X に対して、S(J)(x) ≦ T(J) である。

過去スレ006の152 より 任意の ε ＞ 0 に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
L ∈ Φ(I) で J_0 ∩ L が空集合なら T(L) ＜ ε となる。
任意の x ∈ X に対して、S(L)(x) ≦ T(L) だから
S(L)(x) ＜ ε となる。
>>108より |f_i| は X において一様に総和可能である。
よって、(f_i), i ∈ I は X 上で一様に絶対総和可能である。
証明終

把握しました。もともと自分はtexの練習がしたかったので、
今回は見送らせていただきます。見たい方はモリタポをつかえば
1000円で過去ログを見ることができます。ちなみに、
Kummerさんがそこまで直にコピペをすることにこだわるのはなぜですか？

>>114
このスレを修正してアップすると複数バージョン出来ることになり混乱の元になるからです。

補題(Abelの補題(過去スレ006の271)の拡張)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ完備な可換体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
f = Σc_αX^α ∈ E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)とし、
ある r = (r_1, ... , r_n) ∈ (R++)^n に対して、
M = sup{|c_α|r^α; α ∈ (Z++)^n} ＜ ∞ とする。

このとき、ρ_i ＜ r_i となる任意の ρ = (ρ_1, ... , ρ_n) ∈ (R++)^n に対して
f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) (>>89) 上で一様に絶対総和可能(>>110)かつ
一様に総和可能(>>107)である。

証明
x ∈ B(0, ρ) に対して |c_αx^α| ≦ |c_α|ρ^α ≦ M(ρ/r)^α
ここで、ρ/r = (ρ_1/r_1, ... , ρ_n/r_n) である。

過去スレ006の269より、ΣM(ρ/r)^α の任意の有限和は有界である。
よって、過去スレ006の52より、ΣM(ρ/r)^α は総和可能(過去スレ006の147)である。
E は完備であるから、Weierstrassの優級数定理(>>113)より、
f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) 上で一様に絶対総和可能かつ
一様に総和可能である。
証明終

記法(>>89の拡張)
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E を K 上のノルム空間とする。
a = (a_1, . . ., a_n) を K^n の点とし、
r = (r_1, . . ., r_n) ∈ (R++)^n とする。
ここで R を実数体としたとき、R++ = {x ∈ R; x ＞ 0} である。

このとき、
U(a, r) = U(a_1, r_1)×...×U(a_n, r_n) と書く。
ここで各 U(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| ＜ r_i} である。

同様に
B(a, r) = B(a_1, r_1)×...×B(a_n, r_n)
S(a, r) = S(a_1, r_1)×...×S(a_n, r_n)
と書く。

ここで
B(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| ≦ r_i}
S(a_i, r_i) = {x ∈ K; |x - a_i| = r_i}
である。

U(a, r) を a を中心とする半径 r の多重開円板という。
B(a, r) を a を中心とする半径 r の多重閉円板という。
S(a, r) を a を中心とする半径 r の多重円という。

>>117
>E を K 上のノルム空間とする。

この行は不要である。

>>116
>f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) (>>89) 上で一様に絶対総和可能(>>110)かつ
>一様に総和可能(>>107)である。

f(x) = Σc_αx^α は B(0, ρ) (>>117) 上で一様に絶対総和可能(>>110)かつ
一様に総和可能(>>107)である。

　財団法人「日本数学検定協会」の副理事長が、２２００万円の年俸とは別に毎月約４０万円の報酬を受け取っていたことが明らかになった。
同協会は、理事長や副理事長への高額報酬が問題視されている。副理事長は理事長の長男。

　高田忍副理事長（３６）は２７日、文科省を訪れ、改善経過を報告した。報告書では、外部から弁護士や公認会計士ら３人を新たに理事に迎え、
内部統制を強めるとしているが、８人の理事は留任するという。

　また、高田副理事長は、アメリカに駐在した約３年間、２２００万円の年俸を受け取っていたと説明していたが、これとは別に毎月約４０万円の
報酬を得ていたことを明らかにした。アメリカ事務所は閉鎖し、高田副理事長はすでに３４０万円を自主返納したという。しかし、
改善は不十分と指摘される可能性がある。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>106)とする。

このとき、Σc_αx^α は U(0, r) (>>89) に含まれる任意のコンパクト集合上で
一様に絶対総和可能(>>110)かつ一様に総和可能(>>107)である。

証明
Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) であるから Σ|c_α|r^α ＜ ∞ である。
よって、sup{|c_α|r^α; α ∈ (Z++)^n} ＜ ∞ である。

F を U(0, r) に含まれる任意のコンパクト集合とする。
過去スレ016の273より、ρ ＜ r となる ρ ∈ (R++)^n があり、
F ⊂ B(0, ρ) となる。
>>116より Σc_αx^α は B(0, ρ) 上で一様に絶対総和可能かつ
一様に総和可能である。
よって、Σc_αx^α は F 上で一様に絶対総和可能かつ一様に総和可能である。
証明終

>>106の修正

定義
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上の完備なノルム空間とする。
R を実数体とし、R++ = {x ∈ R; x ＞ 0} とする。
r = (r_1, ..., r_n) ∈ (R++)^n と
f = Σc_αX^α ∈ E[[X_1, ..., X_n]] (>>105) に対して、
|f|_r = Σ|c_α|r^α とおく。

A_r(K^n, E) = {f ∈ E[[X_1, ..., X_n]]; |f|_r ＜ ∞} とおく。
E{{X_1, ..., X_n}} = ∪{A_r(K^n, E); r ∈ (R++)^n} とおく。
E[[X_1, ..., X_n]] の元を E 係数の n 変数収束べき級数という。
E{{X_1, ..., X_n}} を E 係数の n 変数収束べき級数加群という。

定義(過去スレ016の274の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
C(f) = {x ∈ K^n; x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞}
を f の収束域(domain of convergence)と呼ぶ。

>>123の修正

定義(過去スレ016の274の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
C(f) = {x ∈ K^n; x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞}
を f の収束域(domain of convergence)と呼ぶ。

定義(過去スレ016の277の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
J(f) = {r ∈ (R++)^n; f ∈ A_r(K^n, E)} とおく。
即ち、J(f) = {r ∈ (R++)^n; Σ|c_α|r^α ＜ ∞} である。
位相空間 (R++)^n の部分空間としての J(f) の内部を I(f) と書く。

命題(過去スレ016の283の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して
C(f) = {x ∈ K^n; x ∈ U(0, r) (>>89) となる r ∈ I(f) が存在する} である。
ここで、C(f) は f の収束域(>>124)であり、I(f) は>>125で定義したものである。

証明
B(f) = {x ∈ K^n; x ∈ U(0, r) となる r ∈ I(f) が存在する} とおく。

まず、任意の x ∈ C(f) に対して x ∈ B(f) を証明する。
C(f) の定義より、
x のある開近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞} となる。
U は開集合だから、|x_i| ＜ |y_i|, i = 1, ..., n となる
y = (y_1, ..., y_n) ∈ U がある。
よって、s ＞ 0 があり、σ = (s, ... , s) ∈ (R++)^n に対して、
U(y, σ) ⊂ U となる。
0 ＜ t ＜ s となる t をとる。
各 i に対して |y_i| ≠ 0 であるから z_i = ((|y_i| + t)/|y_i|)y_i が定義出来る。
|z_i - y_i| = |(|y_i| + t)/|y_i| - 1)|y_i| = t
よって、z = (z_1, ..., z_n) ∈ U(y, σ) である。
よって、r = (|z_1|, ..., |z_n|) とおけば r ∈ J(f) (>>125)である。
|z_i| = |y_i| + t であるから (|y_1|, ..., |y_n|) ∈ I(f) である。
|x_i| ＜ |y_i|, i = 1, ..., n であるから x ∈ B(f) である。

逆に x ∈ B(f) とする。
x ∈ U(0, r) となる r ∈ I(f) が存在する。
よって、r_i ＜ s_i, i = 1, ..., n となる s = (s_1, ..., s_n) ∈ J(f) (>>125)
がある。
>>121より、f は U(0, s) の各点で絶対収束する。
よって、x ∈ C(f) となる。
証明終

定義(過去スレ016の281の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X}} (>>122) とする。
このとき、sup J(f) (>>125) を f の収束半径と呼ぶ。

命題(過去スレ016の284の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。

このとき C(f) = {x ∈ K; |x| ＜ r} である。
ここで、C(f) は f の収束域(>>124)である。

証明
まず、0 ＜ r ≦ +∞ に注意する。

B(f) = {x ∈ K; |x| ＜ s となる s ∈ I(f) (>>125) が存在する} とおく。
>>126より、C(f) = B(f) である。
よって、B(f) = {x ∈ K; |x| ＜ r} を証明すればよい。

x ∈ B(f) とする。
|x| ＜ s となる s ∈ I(f) が存在する。
よって、s ＜ t となる t ∈ J(f) (>>125) が存在する。
t ≦ r であるから s ＜ r である。
よって、|x| ＜ r である。

逆に |x| ＜ r とする。
|x| ＜ s ＜ r となる s をとる。
s ＜ t となる t ∈ J(f) がある。
よって、s ∈ I(f) である。
よって、x ∈ B(f) である。
証明終

命題(過去スレ016の285の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_nX^n ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。

このとき x ∈ K, |x| ＞ r であれば Σ|c_nx^n| = +∞ である。

証明
Σ|c_nx^n| ＜ +∞ と仮定する。
|x| ∈ J(f) (>>125) となる。
よって、|x| ≦ r となって仮定に反する。
証明終

命題(過去スレ016の289の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_nX^n ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。
g = Σnc_nX^(n-1), n ≧ 1 とおく。

このとき、g ∈ E{{X}} であり、g の収束半径は r である。

証明
|x| ＜ r となる任意の x ∈ K をとる。
|x| ＜ t ＜ r となる t をとる。
|x|/t = ρ とおく。

Σc_nt^(n-1) ＜ +∞ であるから
|c_nt^(n-1)| ≦ M, n = 1, 2, ... となる M がある。

よって、
|nc_nx^(n-1)| = n|c_nt^(n-1)|ρ^(n-1) ≦ Mnρ^(n-1)

ρ ＜ 1 であるから 過去スレ016の287より、ΣMnρ^(n-1) ＜ +∞ である。
よって、Σ|nc_nx^(n-1)| ＜ +∞ である。
よって、g ∈ E{{X}} であり、g の収束半径 s ≧ r である。

|x| ＜ s のとき Σn|c_nx^(n-1)| ＜ +∞ である。
一方、|c_nx^n| ≦ n|c_nx^n| = n|x||c_nx^(n-1)|, n = 1, 2, ...
よって、|x| ＜ s のとき Σ|c_nx^n| ＜ +∞ である。
よって、s ≦ r である。
以上から s = r である。
証明終

命題(過去スレ016の290の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_nX^n ∈ E{{X}} (>>122) とする。
f の収束半径(>>127)を r とする。
g = Σnc_nX^(n-1), n ≧ 1 とおく。
>>130より、g ∈ E{{X}} であり、g の収束半径は r である。

このとき、f(x) は収束域 C(f) = {x ∈ K; |x| ＜ r} (>>128) で微分可能であり、
C(f) の各点 x で f’(x) = g(x) である。

証明
|x| ＜ r となる x ∈ K を固定する。
|x| ＜ s ＜ r となる s をとる。
U = {y ∈ K; |y| ＜ s - |x|} とおく。

h ∈ U - {0} に対して
(f(x + h) - f(x))/h - g(x) を計算する。

(x + h)^n - x^n = h((x + h)^(n-1) + x(x+h)^(n-2) + ... + x^(n-1))
よって、
(f(x + h) - f(x))/h - g(x) = Σu_n(x, h), n = 1, 2, ...
ここで、
u_n(x, h) = c_n((x + h)^(n-1) + x(x+h)^(n-2) + ... + x^(n-1) - nx^(n-1))
とおいた。

(続く)

>>131の続き

|x| ＜ s かつ |x + h| ≦ |x| + |h| ＜ s
よって、|u_n(x, h)| ≦ |c_n|(ns^(n-1) + ns^(n-1)) = 2n|c_n|s^(n-1)
g の収束半径は r であり、s ＜ r だから Σn|c_n|s^(n-1) ＜ +∞
よって、任意の ε ＞ 0 に対して、整数 n_0 があり
Σ[n ≧ n_0] 2n|c_n|s^(n-1) ＜ ε/2
よって、Σ[n ≧ n_0] |u_n(x, h)| ＜ ε/2 となる。

h → 0 のとき u_1(x, h) + ... + u_(n_0)(x, h) → 0 である。
よって δ ＞ 0 があり、|h| ＜ δ のとき
|u_1(x, h) + ... + u_(n_0)(x, h)| ＜ ε/2 となる。

以上から h ∈ U - {0} かつ |h| ＜ δ のとき
|(f(x + h) - f(x))/h - g(x)| ≦ Σ|u_n(x, h)|
= |u_1(x, h) + ... + u_(n_0)(x, h)| + Σ[n ≧ n_0] |u_n(x, h)|
＜ ε/2 + ε/2 = ε
よって、f’(x) = g(x) である。
証明終

命題(過去スレ016の292の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) の
収束域 C(f) (>>124) は連結開集合である。

証明
C(f) の定義(>>124)より、任意の x ∈ C(f) に対して、
x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞ となる。
x ∈ V ⊂ U となる開集合 V がある。
任意の z ∈ V に対して V は z の近傍であり、
V の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞ となる。
よって、z ∈ C(f) である。
よって、V ⊂ C(f) である。
よって、C(f) は開集合である。

次に C(f) が連結なことを証明する。
>>126より、
C(f) = {x ∈ K^n; x ∈ U(0, r) (>>89) となる r ∈ I(f) が存在する} である。
r ∈ I(f) のとき U(0, r) ⊂ C(f) であるから
C(f) = ∪{U(0, r); r ∈ I(f)} である。
r = (r_1, ..., r_n) ∈ (R++)^n のとき
U(0, r) は {x ∈ K; |x| ＜ r_i}, i = 1, ..., n の直積である。
各 {x ∈ K; |x| ＜ r_i} は連結であるから U(0, r) も連結である。
U(0, r) は原点 0 を含む。
よって、C(f) は 0 を共通点にもつ連結集合 U(0, r) の合併であるから連結である。
証明終

定義(過去スレ016の293の拡張)
K を可換体とする。
E を K 上の線型空間とする。
f = Σc_αX^α = Σc_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) を
E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)の元とする。

このとき、∂f/∂X_i ∈ E[[X_1, ..., X_n]], i = 1, ..., n を
∂f/∂X_i = Σa_i c_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_i)^(a_i - 1)...(X_n)^(a_n)
により定義する。

110 名前：ソヤシ猫 ◆ghclfYsc82 ：2010/02/07(日) 14:11:41
日本の検察は大恥をかいた訳ですな。責任者は当然全員が辞任するでしょう
けどね、此処まで検察は小沢先生に対して無礼な事をしたのであるから：
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
★★★「日本の検察は小沢先生に対して謝罪し、責任者は即刻全員辞任するべき」★★★
（省略されました・・全てを読むにはここを押してください）

K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) の
収束域 C(fC(f) の定義(>>124)より、任意の x ∈ C(f) に対して、
x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞ となる。
x ∈ V ⊂ U となる開集合 V がある。
任意の z ∈ V に対して V は z の近傍であり、
V の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞ となる。
よって、z ∈ C(f) である。
よって、V ⊂ C(f) である。
よって、C(f) は開集合である。

次に C(f) が連結なことを証明する。
>>126より、
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) の
収束域 C(f) (>>124) は連結開集合である。

証明
C(f) の定義(>>124)より、任意の x ∈ C(f) に対して、
x のある近傍 U があり U の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞ となる。
x ∈ V ⊂ U となる開集合 V がある。
任意の z ∈ V に対して V は z の近傍であり、
V の全ての点 y で Σ|c_αy^α| ＜ ∞ となる。
よって、z ∈ C(f) である。
よって、V ⊂ C(f) である。
よって、C(f) は開集合である。

次に C(f) が連結なことを証明する。
>>126より、

163 名前：ソヤシ猫 ◆ghclfYsc82 ：2010/02/06(土) 12:25:13
>>158
但し警察や検察などの国家権力に対して監督官庁という考え方は
非常に難しい概念で、例えば現状で民主主義国家と認識されてい
る多くの事例であっても、所謂「まともな国家」である保障とし
て良く皆が議論の対象にする：
１．Free press
２．Independent court
は確保が（どの国であっても）非常に難しいのが現状だと思いま
すね。だから多くの人達は、たとえソレ等の条件を満たさなくて
も、まあ「お金目当て」という事でアメリカに集中するという妥
協をするケースが多い様に見えますけどね。

猫

MR0882039 Hatoyama, Yukio; Fukuoka, Hiroshi; Suzuki, Kazuyuki
Application of Markovian decision theory to the problem of highway maintenance.
Stochastic models in reliability theory (Nagoya, 1984), 198--212,
Lecture Notes in Econom. and Math. Systems, 235, Springer, Berlin, 1984.

MR0594356 (81k:90043) Hatoyama, Yukio A replacement problem with trade-in.
J. Oper. Res. Soc. Japan 23 (1980), no. 3, 224--242. (Reviewer: K. D. Glazebrook)
90B25 (90C39) PDF Doc Del Clipboard Journal Article

MR0537953 (80h:90073) Hatoyama, Yukio On optimal policies for multi-repair-type
Markov maintenance models. J. Oper. Res. Soc. Japan 22 (1979), no. 2, 106--122. (Reviewer: S. M. Pandit)

MR0469234 (57 #9028) Hatoyama, Yukio Markov maintenance models with control
of queue. J. Operations Res. Soc. Japan 20 (1977), no. 3, 164--181. (Reviewer: Andor Dobo)

Hatoyama, Yukio
MR Author ID: 82430
Earliest Indexed Publication: 1977
Total Publications: 4
Total Author/Related Publications: 5

>>115　この春休みを利用してこのスレで代数を勉強しようと思います。
専攻は解析ですが、このあたりもやって損はないと判断したので。
何か修正点があればその都度報告するので。あと、
自分の知っている本でいいreferenceがあればその都度紹介します。

>>139
>何か修正点があればその都度報告するので。あと、
>自分の知っている本でいいreferenceがあればその都度紹介します。

よろしく。

命題(過去スレ016の297の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して、
各 ∂f/∂X_i (>>134) は E{{X_1, ..., X_n}} に属し
∂f/∂X_i の収束域(>>124) C(∂f/∂X_i) は f の収束域 C(f) (>>124) と一致する。

証明
記述を簡単にするため n = 2 と i = 1 の場合に証明する。
一般の場合もまったく同様である。

任意の x ∈ C(f) をとる。
>>126より、x ∈ U(0, ρ) となる ρ = (ρ_1, ρ_2) ∈ I(f) がある。
よって、ρ_i ＜ s_i, i = 1, 2 となる s = (s_1, s_2) ∈ J(f) (>>125)
がある。
ρ_i ＜ r_i ＜ s_i, i = 1, 2 となる r = (r_1, r_2) ∈ (R++)^2
を任意にとる。
t_i = r_i/s_i, i = 1, 2 とおき、t = (t_1, t_2) とおく。

Σ|c_αs^α| ＜ +∞ であるから
全ての α ∈ (Z+)^2 に対して |c_αs^α| ≦ M となる M がある。

よって、
|n c_(n, m)(r_1)^(n-1)(r_2)^m|
= n |c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m||(t_1)^(n-1)(t_2)^m|
≦ n(M/s_1)(t_1)^(n-1)(t_2)^m

よって、
Σ|n c_(n, m)(r_1)^(n-1)(r_2)^m| ≦ Σn(M/s_1)(t_1)^(n-1)(t_2)^m
≦ (M/s_1)(Σn(t_1)^(n-1))(Σ(t_2)^m)

(続く)

>>141の続き

t_1 ＜ 1 であるから過去スレ016の287より、Σn(t_1)^(n-1) ＜ ∞
t_2 ＜ 1 であるから Σ(t_2)^m ＜ ∞
よって、Σ|n c_(n, m)(r_1)^(n-1)(r_2)^m| ＜ ∞
よって、r ∈ J(∂f/∂X_1)
よって、ρ ∈ I(∂f/∂X_1)
よって、x ∈ C(∂f/∂X_1)
よって、C(f) ⊂ C(∂f/∂X_1)

逆に x ∈ C(∂f/∂X_1) とする。
>>126より、x ∈ U(0, r) となる r ∈ I(∂f/∂X_1) がある。
よって、r_i ＜ s_i, i = 1, 2 となる s = (s_1, s_2) ∈ J(∂f/∂X_1) がある。
即ち、Σ|n c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m| ＜ +∞ である。

一方、
|c_(n, m)(s_1)^n(s_2)^m| = |x_1||c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m|
≦ n|s_1||c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m|

よって、
Σ|c_(n, m)(s_1)^n(s_2)^m| ≦ Σ|n c_(n, m)(s_1)^(n-1)(s_2)^m| ＜ +∞ である。

よって、s ∈ J(f) である。
よって、r ∈ I(f) である。
よって、x ∈ C(f) である。
よって、C(∂f/∂X_1) ⊂ C(f)
証明終

命題(過去スレ016の299の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

このとき、C(f) の各点 p で (∂f~/∂x_i)(p) (過去スレ016の85), i = 1, ..., n
が存在し、各 i に対して (∂f~/∂x_i)(p) = (∂f/∂X_i)(p) である。

ここで、∂f/∂X_i は、>>134で定義されたものである。

証明
p ∈ C(f) であるから>>126より、p ∈ U(0, s) となる s = (s_1, ..., s_n) ∈ I(f)
が存在する。
よって、s_i ＜ r_i となる r = (r_1, ..., r_n) ∈ J(f) (>>125) が存在する。
Abelの補題(>>116)より、f は U(0, r) の各点で絶対総和可能である。

よって、x_i のベキ級数 f(p_1, ..., x_i, ..., p_n) は
|x_i| ＜ r_i のとき絶対収束する。

>>131より、このベキ級数は p_i で微分可能であり、
(∂f~/∂x_i)(p) = (∂f/∂X_i)(p) である。
証明終

定義(過去スレ016の300の拡張)
K を可換体とする。
E を K 上の線型空間とする。
f を E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)の元とする。

∂f/∂X_i (>>134) を (∂_i)f とも書く。
任意の i, j ∈ {1, ..., n} に対して (∂_i)(∂_j)f = (∂_j)(∂_i)f である。

∂_i を f に m 回作用させた (∂_i)...(∂_i)f を (∂_i)^mf とも書く。

Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n のとき、
(∂_1)^(a_1). . . (∂_n)^(a_n)f を以下の３通りにも書く。

1) (∂^α)f
2) ∂^|α|f/(∂X_1)^(a_1)...(∂X_n)^(a_n)
3) ∂^|α|f/(∂X)^α

命題(過去スレ016の301の拡張)
K を可換体とする。
E を K 上の線型空間とする。
f = Σc_αX^α を E[[X_1, ..., X_n]] (>>105)の元とする。
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n とする。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して (∂^α)f(0) = α!c_α である。
ここで、記法 α! については過去スレ016の294を参照し、
(∂^α)f については>>144を参照。

証明
(∂^α)(c_αX^α) = α!c_α である。

α ≠ β かつ β ≦ α であれば (∂^α)(c_βX^β) = 0 である。

α ≠ β かつ α ≦ β であれば (∂^α)(c_βX^β) は定数ではないから
(∂^α)(c_βX^β)(0) = 0 である。

以上から (∂^α)f(0) = α!c_α である。
証明終

定義(過去スレ016の302の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のノルム空間(過去スレ006の561)とする。
U を K^n の開集合とし、f(x_1, ..., x_n): U → E を写像とする。
p を U の点とする。

Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
α = (a_1, ..., a_n) ∈ (Z+)^n に対して、
(∂^|α|f/(∂x_1)^(a_1)...(∂x_n)^(a_n))(p) が存在するとき
これを以下のようにも書く。

1) (∂_1)^(a_1). . . (∂_n)^(a_n)f(p)
2) (∂^α)f(p)
3) (∂^|α|f/(∂x)^α)(p)

命題(過去スレ016の303の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
(∂^α)f (>>144) は E{{X_1, ..., X_n}} の元であり、C(f) = C((∂^α)f) である。

証明
m = |α| に関する帰納法による。

m = 0 のときは (∂^α)f = f であるから C(f) = C((∂^α)f) である。

m ≧ 0 に対して、|β| = m + 1 となる任意の β ∈ (Z+)^n をとる。
β = (b_1, ..., b_n) とする。
|β| ≧ 1 であるから b_i ≧ 1 となる i がある。
α = (b_1, ..., b_i - 1, ..., b_n) とおけば α ∈ (Z+)^n であり、
|α| = m である。

帰納法の仮定から (∂^α)f は収束べき級数であり、C(f) = C((∂^α)f) である。
>>141より、(∂^β)f = (∂_i)(∂^α)f は収束べき級数であり、
C((∂^α)f) = C((∂^β)f) である。
よって、C(f) = C((∂^β)f) である。
証明終

任意の f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) に対して、
各 ∂f/∂X_i (>>134) は E{{X_1, ..., X_n}} に属し
∂f/∂X_i の収束域(>>124) C(∂f/∂X_i) は f の収束域 C(f) (>>124) と一致する。

証明
記述を簡単にするため n = 2 と i = 1 の場合に証明する。
一般の場合もまったく同様である。

任意の x ∈ C(f) をとる。
>>126より、x ∈ U(0, ρ) となる ρ = (ρ_1, ρ_2) ∈ I(f) がある。
よって、ρ_i ＜ s_i, i = 1, 2 となる s = (s_1, s_2) ∈ J(f) (>>125)
がある。
ρ_i ＜ r_i ＜ s_i, i =

ちょっと補足。

>>87の

＞「有限部分集合全体」ということは、たとえば、1〜nまでの有限な部分集合
＞から考えたとき、その要素の個数は2^n個で有限になる。

ってのは正しい。だけどだからといってNの有限部分集合全体が有限個しかないこと
にはならない。Nの有限部分集合を作るときに、1〜nから要素を選ぶって決まってる
わけじゃないんだから。

この路線で考えるなら、Nの要素のうち1〜nまでから任意個選んでできるNの有限部
分集合は2^n個、空集合をのぞくと2^n-1個。するとNの有限部分集合の総数は空集合

※(A')
x∈R、y∈Rとし、x>0とする。そのとき、
　　　　　nx>y
を満たすn∈Z+が存在する。

[(B)の証明]
いま、x、yを2つの実数とし、x<yとする。このときy-x>0であるから、アルキメデス性を仮定すれば、
(A')によって
　　　　　n(y-x)>1 >>129>>110
となる正の整数nがある。またm[1]<nx<m[2]を満たす整数m[1], m[2]が存在するから、
　　　　　m-1≦nx<m
となるような整数mがある。(すなわち、m[2]>nxを満たす整数m[2]の最小のものをmとするのである。)

命題(過去スレ016の304の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

任意の i, j ∈ {1, ..., n} と任意の p ∈ C(f) に対して
(∂_i)(∂_j)f~(p) と (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。

証明
>>143より、任意の i ∈ {1, ..., n} に対して (∂_i)f~(p) = (∂_i)f(p) である。
>>147より、(∂_i)f は E{{X_1, ..., X_n}} の元である。
よって、任意の j ∈ {1, ..., n} に対して (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_j)(∂_i)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f(p) となる。

一方、>>144より、(∂_i)(∂_j)f = (∂_j)(∂_i)f である。
よって、(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。
証明終

命題(過去スレ016の305の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

i_1, ..., i_m を {1, ..., n} の元の任意の有限列とする。
任意の p ∈ C(f) に対して、∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f~(p) が存在し、
∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f(p) と一致する。
従って、∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f~(p) は i_1, ..., i_m の順番によらない。

証明
>>151より明らかである。

命題(過去スレ016の306の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
C(f) の各点 p で (∂^α)f~(p) (>>146)が存在し、
(∂^α)f~(p) = (∂^α)f(p) となる。

証明
>>152より明らかである。

命題(過去スレ016の307の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

このとき、任意の α ∈ (Z+)^n に対して、
c_α = (1/α!)(∂^α)f~(0) である。

証明
>>153より、(∂^α)f~(0) = (∂^α)f(0) である。
>>145より、c_α = (1/α!)(∂^α)f(0) である。
よって、c_α = (1/α!)(∂^α)f~(0) である。
証明終

命題(過去スレ016の308の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f, g ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
U を K^n の開集合で、0 ∈ U ⊂ C(f) ∩ C(g) とし、
U の各点 x で f(x) = g(x) とする。

このとき、f = g である。

証明
>>154より明らかである。

過去スレ016の317の拡張
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
f = Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

>>155より、f は関数 f~ により一意に決まる。
よって、今後、関数 f~ を考えるときはこれを f と同一視することにする。

命題(過去スレ016の318の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) は C(f) (>>124) 上で C^∞ 級である。

証明
i_1, ..., i_m を {1, ..., n} の元の任意の有限列とする。
>>152より、C(f) 上で ∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f が存在し、
∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f ∈ K{{X_1, ..., X_n}} である。

一方、>>121と>>65より、任意の f ∈ E{{X_1, ..., X_n}} は
C(f) 上で連続である。
よって、∂_(i_1). . . ∂_(i_m)f は C(f) 上で連続である。
よって、過去スレ016の316より f は C^∞ 級である。
証明終

= Σc_αX^α ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) とする。
C(f) (>>124) から E への写像 f~ を f~(x) = f(x) により定義する。

任意の i, j ∈ {1, ..., n} と任意の p ∈ C(f) に対して
(∂_i)(∂_j)f~(p) と (∂_j)(∂_i)f~(p) が存在し、
(∂_i)(∂_j)f~(p) = (∂_j)(∂_i)f~(p) となる。

証明
>>143より、任意の i ∈ {1, ..., n} に対して (∂_i)f~(p) = (∂_i)f(p) である。
>>147より、(∂_i)f は E{{X_1, ..., X_n}} の元である。
よって、任意の j ∈ {1, ..., n

定義(過去スレ016の319の拡張)
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
U を K^n の開集合とし、f: U → E を写像とする。

U の任意の点 a に対して f_a ∈ E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) と、
a の近傍 V_a ⊂ U があり、V_a 上の各点 x で x - a ∈ C(f_a) (>>124) となり、
f(x) = f_a(x - a) となるとする。

このとき、f を C^ω級である、または解析的(analytic)または K-解析的であるという。
K が実数体のとき f を実解析的という。
K が複素数体のとき f を複素解析的または正則(holomorphic)であるという。

解析的写像のことを略して解析写像ともいう。

命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の r ∈ (R++)^n に対して、A_r(K^n, K) (>>122) は
K 上のノルム環(過去スレ006の694)である。

証明
f = Σa_αX^α と g = Σb_βX^β を A_r(K^n, K) の元とする。

|f + g|_r
= Σ|a_α + b_α|r^α
≦ Σ(|a_α| + |b_α|)r^α
= |f|_r + |g|_r

|fg|_r
= Σ|a_α||b_β|r^(α+β)
= (Σ|a_α|r^α)(Σ|b_β|r^β)
= (|f|_r)(|g|_r)

明らかに、K の任意の元 a に対して |a|_r = |a|

以上から A_r(K^n, K) は K 上のノルム環である。
証明終

>>160
A_r(K^n, K) はノルム環として完備であるが、この事実は今は必要ない。

命題
K を実数体または複素数体とする。
K{{X_1, ..., X_n}} (過去スレ016の275) は
K[[X_1, ..., X_n]] (過去スレ016の266)の部分環である。
従って K{{X_1, ..., X_n}} は整域である。

証明
f と g を K{{X_1, ..., X_n}} の元とする。
f ∈ A_r(K^n, K), g ∈ A_s(K^n, K) となる r, s ∈ (R++)^n がある。
r = (r_1, ..., r_n)
s = (s_1, ..., s_n)
とする。

t_i = inf(r_i, s_i), i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n)
とおく。

f ∈ A_t(K^n, K), g ∈ A_t(K^n, K) である。
>>160より、 f + g ∈ A_t(K^n, K), fg ∈ A_t(K^n, K)
よって、K{{X_1, ..., X_n}} は K[[X_1, ..., X_n]] の部分環である。

K[[X_1, ..., X_n]] は整域であるからその部分環 K{{X_1, ..., X_n}} も整域である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
任意の r ∈ (R++)^n に対して、A_r(K^n, E) (>>122) は
| |_r に関して K 上のノルム空間(過去スレ006の561)である。

証明
f = Σa_αX^α と g = Σb_βX^β を A_r(K^n, E) の元とする。

|f + g|_r
= Σ|a_α + b_α|r^α
≦ Σ(|a_α| + |b_α|)r^α
= |f|_r + |g|_r

任意の c ∈ K, f ∈ A_r(K^n, E) に対して |cf|_r = Σ|ca_α|r^α = |c||f|_r

|f|_r = Σ|a_α|r^α = 0 なら全ての |a_α| = 0 である。
よって、f = 0 である。

以上から A_r(K^n, E) は K 上のノルム空間である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, E) (>>122) の積 fg ∈ A_r(K^n, E) が
fg = Σa_αb_βX^(α+β) により定義される。
このとき、|fg|_r = (|f|_r)(|g|_r) である。
この積より A_r(K^n, E) は環 A_r(K^n, K) 上の加群になる。

証明
f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, K) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, E) の元とする。

|fg|_r
= Σ|a_α||b_β|r^(α+β)
= (Σ|a_α|r^α)(Σ|b_β|r^β)
= (|f|_r)(|g|_r) ＜ +∞

よって、fg ∈ A_r(K^n, E) である。

>>160より、A_r(K^n, K) は環であるから
A_r(K^n, E) は A_r(K^n, K) 上の加群になる。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
E{{X_1, ..., X_n}} (>>122) は
K{{X_1, ..., X_n}} (過去スレ016の275)上の加群である。

証明
f = Σa_αX^α ∈ K{{X_1, ..., X_n}}
g = Σb_βX^β ∈ E{{X_1, ..., X_n}}
とする。

f ∈ A_r(K^n, K), g ∈ A_s(K^n, E) となる r, s ∈ (R++)^n がある。
r = (r_1, ..., r_n)
s = (s_1, ..., s_n)
とする。

t_i = inf(r_i, s_i), i = 1, ..., n
t = (t_1, ..., t_n)
とおく。

f ∈ A_t(K^n, K), g ∈ A_t(K^n, E) である。
>>164より、 fg ∈ A_t(K^n, K)
よって、E{{X_1, ..., X_n}} は K[[X_1, ..., X_n]] 上の加群である。
証明終

>>161の事実を使う場合があるので証明する。

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

このとき、任意の r ∈ (R++)^n に対して、A_r(K^n, E) (>>122) は
| |_r に関して K 上の Banach空間である。

証明
>>163より、A_r(K^n, E) は | |_r に関して
K 上のノルム空間(過去スレ006の561)である。
よって、A_r(K^n, E) が | |_r に関して完備であることを証明すればよい。

(f_n), n = 1, 2, ... を A_r(K^n, E) の Cauchy列とする。
f_n = Σc_(n, α)X^α とする。
任意の ε ＞ 0 に対して m ≧ 1 があり、i, j ≧ m なら
|f_i - f_j|_r ＜ ε である。

各 α ∈ (Z+)^n に対して
|c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
≦ Σ|c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
= |f_i - f_j|_r ＜ ε

よって、
|c_(i, α) - c_(j, α)| ＜ ε/r^α

よって、(c_(n, α)), n = 1, 2, ... は E におけるCauchy列である。
E は完備だから c_α = lim c_(n, α) が存在する。
f = Σc_αX^α とおく。

(続く)

>>166の続き

n → +∞ のとき、|f - f_n|_r → 0 を示そう。


任意の ε ＞ 0 に対して m ≧ 1 があり、i ≧ j ≧ m なら
|f_i - f_j|_r ＜ ε である。

|c_α - c_(j, α)| ≦ |c_α - c_(i, α)| + |c_(i, α) - c_(j, α)| より、
任意の整数 k ≧ 0 に対して
Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(j, α)|r^α
≦ Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(i, α)|r^α + Σ[|α| ≦ k] |c_(i, α) - c_(j, α)|r^α
＜ Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(i, α)|r^α + ε

i を十分大きくすれば Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(i, α)|r^α ＜ ε

よって、
Σ[|α| ≦ k] |c_α - c_(j, α)|r^α ＜ 2ε

k → +∞ として、
|f - f_j|_r = Σ|c_α - c_(j, α)|r^α ≦ 2ε

よって、
n → +∞ のとき、|f - f_n|_r → 0 である。

よって、十分大きい n に対して
|f|_r = |f - f_n + f_n|_r ≦ |f - f_n|_r + |f_n|_r ＜ +∞
よって、f ∈ A_r(K^n, E) である。
証明終

命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E, F, G を K 上の完備なノルム空間(過去スレ006の561)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

I と J を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする E の元の族とする。
(y_j), j ∈ J を J を添字集合とする F の元の族とする。

(x_i) と (y_j) がそれぞれ絶対総和可能(過去スレ006の697)とする。
過去スレ006の735より、(x_i) と (y_j) はそれぞれ総和可能(過去スレ006の147)である。

このとき、(u(x_i, y_j)) は絶対総和可能で、
u(Σx_i, Σy_j) = Σu(x_i, y_j)

証明
u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M ＞ 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、H ⊂ I と K ⊂ J をそれぞれ I と J の有限部分集合とすると、
Σ[(i, j) ∈ H×K] |u(x_i, y_j)| ≦ M(Σ[i ∈ H] |x_i|)(Σ[j ∈ K] |y_j|)
この右辺は有界であるから過去スレ006の698より (u(x_i, y_j)) は絶対総和可能である。
よって、過去スレ006の735より、(u(x_i, y_j)) は総和可能である。

よって、
Σu(x_i, y_j)
= Σ[i ∈ I] Σ[j ∈ J] u(x_i, y_j) ← 過去スレ006の164より
= Σ[i ∈ I] u(x_i, Σy_j) ← u の連続性より
= u(Σx_i, Σy_j) ← u の連続性より
証明終

>>168の別証

命題
K を自明でない絶対値(過去スレ006の414,422)をもつ可換体とする。
E, F, G を K 上の完備なノルム空間(過去スレ006の561)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

I と J を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする E の元の族とする。
(y_j), j ∈ J を J を添字集合とする F の元の族とする。

(x_i) と (y_j) がそれぞれ絶対総和可能(過去スレ006の697)とする。
過去スレ006の735より、(x_i) と (y_j) はそれぞれ総和可能(過去スレ006の147)である。

このとき、(u(x_i, y_j)) は絶対総和可能で、
u(Σx_i, Σy_j) = Σu(x_i, y_j)

証明
Φ(I), Φ(J), Φ(I×J) をそれぞれ I, J, I×J の有限部分集合全体とする。

u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M ＞ 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、H ∈ Φ(I) と L ⊂ Φ(J) とすると、
Σ[(i, j) ∈ H×L] |u(x_i, y_j)| ≦ M(Σ[i ∈ H] |x_i|)(Σ[j ∈ L] |y_j|)
この右辺は有界であるから過去スレ006の698より (u(x_i, y_j)) は絶対総和可能である。
よって、過去スレ006の735より、(u(x_i, y_j)) は総和可能である。

(続く)

>>169の続き

H ∈ Φ(I) と L ⊂ Φ(J) に対して、
S(H) = Σ[i ∈ H] x_i
S(L) = Σ[j ∈ L] y_j
とおく。

T ∈ Φ(I×J) のとき、
S(T) = Σ[(i, j) ∈ T] u(x_i, y_j)
とおく。

S(H×L) = u(S(H), S(L)) である。

s = Σu(x_i, y_j) とおく。
(u(x_i, y_j)) は総和可能であるから、
任意の ε ＞ 0 に対して、T_0 ∈ Φ(I×J) があり、
T_0 ⊂ T ∈ Φ(I×J) のとき、
|s - S(T)| ＜ ε である。

一方、
H_0 ∈ Φ(I)
L_0 ∈ Φ(J)
があり、
H_0 ⊂ H ∈ Φ(I)
L_0 ⊂ L ∈ Φ(J)
のとき、
|S(H) - Σx_i| ＜ ε
|S(L) - Σy_j| ＜ ε

(続く)

>>170の続き

よって、
|S(H×L) - u(Σx_i, Σy_j)|
= |u(S(H), S(L)) - u(Σx_i, Σy_j)|
= |u(S(H), S(L)) - u(S(H), Σy_j) + u(S(H), Σy_j) - u(Σx_i, Σy_j)|
≦ |u(S(H), S(L)) - u(S(H), Σy_j)| + |(u(S(H), Σy_j) - u(Σx_i, Σy_j)|
= |u(S(H), S(L) - Σy_j)| + |u(S(H) - Σx_j, Σy_j)|
≦ M(|S(H)||S(L) - Σy_j| + |S(H) - Σx_j||Σy_j|)
＜ Mε(|S(H)| + |Σy_j|)
≦ Mε(|Σx_i| + |Σy_j|)

p_1: I×J → I
p_2: I×J → J
を射影とする。

H_1 = H_0 ∪ p_1(T_0)
L_1 = L_0 ∪ p_2(T_0)
とおく。

T_0 ⊂ p_1(T_0)×p_2(T_0) ⊂ (H_1)×(L_1) である。

(H_1)×(L_1) ⊂ T ∈ Φ(I×J) とする。

T_0 ⊂ (H_1)×(L_1) ⊂ T ⊂ p_1(T)×p_2(T)
H_0 ⊂ p_1(T)
L_0 ⊂ p_2(T)
である。

(続く)

>>171の続き

よって、
|S(p_1(T)×p_2(T)) - u(Σx_i, Σy_j)| ≦ Mε(|Σx_i| + |Σy_j|)
|S(p_1(T)×p_2(T)) - s| ＜ ε
よって、
|s - u(Σx_i, Σy_j)| ≦ ε(M(|Σx_i| + |Σy_j|) + 1)

ε ＞ 0 は任意だから
s = u(Σx_i, Σy_j)
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、
P(f, g) = Σu(a_α, b_β)X^(α+β) ∈ A_r(K^n, G) である。

P: A_r(K^n, E)×A_r(K^n, F) → A_r(K^n, G) は K 上の双線型写像である。

さらに u のみで定まる定数 M ＞ 0 があり、
|P(f, g)|_r ≦ M(|f|_r)(|g|_r)
よって、U は連続な双線型写像である。

また、任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、
P(f, g)(x) = u(f(x), g(x))

証明
u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M ＞ 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、
|P(f, g)|_r
= Σ|u(a_α, b_β)|r^(α+β)
≦ M(Σ|a_α||a_β|r^(α+β))
= M(Σ|a_α|r^α)(Σ|a_β|r^β)
= M(|f|_r)(|g|_r)

よって、P(f, g) ∈ A_r(K^n, G)

(続く)

>>173の続き

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
h = Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、

P(f + h, g)
= Σu(a_α + c_α, b_β)X^(α+β)
= Σu(a_α, b_β)X^(α+β) + Σu(c_α, b_β)X^(α+β)
= P(f, g) + P(h, g)

よって、P(f, g) は K 上の双線型写像である。

任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
任意の x ∈ U(0, r) に対して、
Σ|a_α||x|^α ≦ Σ|a_α|r^α ＜ +∞ であるから
f(x) = Σa_αx^α は絶対総和可能である。

よって、>>168より、
f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) と
任意の x ∈ U(0, r) に対して、
P(f, g)(x) = Σu(a_α, b_β)x^(α+β) = Σu(a_αx^α, b_βx^β)
= u(Σa_αx^α, Σb_βx^β)
= u(f(x), g(x))
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
r ∈ (R++)^n とする。

このとき、任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、
|f(x)| ≦ |f|_r となる。
よって、f ∈ A_r(K^n, E) (>>122) に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続な線型写像である。

証明
f → f(x) が線型写像であることは明らかである。

|f(x)| = |Σa_αx^α| ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r
よって、f → f(x) は連続である。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の f, g ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、
(fg)(x) = f(x)g(x)

証明
写像 u: K×K → K を u(x, y) = xy により定義する。
u は連続な双線型写像である。
よって、本命題は>>173より得られる。
証明終

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122)
g = (g_1, ..., g_n) ∈ A_s(K^m, K^n)
|g_i|_s ≦ r_i, i = 1, ..., n
とする。
ここで、各 g_i ∈ A_s(K^m, K) である。

このとき、h = Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)
|h|_s ≦ |f|_r
となる。

さらに、x ∈ U(0, s) ⊂ K^m のとき、h(x) = f(g(x))

証明
>>160より、A_s(K^m, K) は環であるから
各 α ∈ (Z+)^n に対して、g(X)^α ∈ A_s(K^m, K) である。

|g(X)^α|_s
= |Π(g_i(X))^(α_i)|_s
= Π(|g_i(X)|_s)^(α_i) ← >>160より
≦ r^α

(続く)

>>177の続き

>>164より A_s(K^m, E) は環 A_s(K^m, K) 上の加群になる。
よって、a_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|a_αg(X)^α|_s = |a_α||g(X)^α|_s ≦ |a_α|r^α

|f|_r = Σ|a_α|r^α ＜ +∞ であるから、過去スレ006の700より、
族 (|a_αg(X)^α|_s), α ∈ (Z+)^n は総和可能である。
即ち、族 (a_αg(X)^α) は絶対総和可能(過去スレ006の697)である。
>>166より A_s(K^m, E)はが完備だから過去スレ006の735より、
族 (a_αg(X)^α) は総和可能である。
よって、Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|Σa_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r

>>175と>>176より、x ∈ U(0, s) のとき
h(x) = Σa_αg(x)^α

この右辺は f(g(x)) である。
証明終

>>173
>よって、U は連続な双線型写像である。

よって、P は連続な双線型写像である。

>>173
>また、任意の x ∈ U(0, r) (>>89) に対して、

また、任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、

>>173の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E, F, G を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
u: E×F → G を連続な双線型写像とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、
P(f, g) = Σu(a_α, b_β)X^(α+β) ∈ A_r(K^n, G) である。
P: A_r(K^n, E)×A_r(K^n, F) → A_r(K^n, G) は K 上の双線型写像である。

さらに u のみで定まる定数 M ＞ 0 があり、
|P(f, g)|_r ≦ M(|f|_r)(|g|_r)
よって、P は連続な双線型写像である。

また、任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
P(f, g)(x) = u(f(x), g(x))

証明
u は連続な双線型写像であるから過去スレ007の134より、M ＞ 0 があり、
任意の x ∈ E, y ∈ F に対して、u(x, y) ≦ M|x||y|である。

よって、
|P(f, g)|_r
= Σ|u(a_α, b_β)|r^(α+β)
≦ M(Σ|a_α||a_β|r^(α+β))
= M(Σ|a_α|r^α)(Σ|a_β|r^β)
= M(|f|_r)(|g|_r)
よって、P(f, g) ∈ A_r(K^n, G)

(続く)

>>181の続き

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
h = Σc_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) に対して、

P(f + h, g)
= Σu(a_α + c_α, b_β)X^(α+β)
= Σu(a_α, b_β)X^(α+β) + Σu(c_α, b_β)X^(α+β)
= P(f, g) + P(h, g)

よって、P(f, g) は K 上の双線型写像である。

任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
任意の x ∈ B(0, r) に対して、
Σ|a_α||x|^α ≦ Σ|a_α|r^α ＜ +∞ であるから
f(x) = Σa_αx^α は絶対総和可能である。

よって、>>168より、
f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) と
g = Σb_βX^β ∈ A_r(K^n, F) と
任意の x ∈ B(0, r) に対して、
P(f, g)(x) = Σu(a_α, b_β)x^(α+β) = Σu(a_αx^α, b_βx^β)
= u(Σa_αx^α, Σb_βx^β)
= u(f(x), g(x))
証明終

>>175の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。
r ∈ (R++)^n とする。

このとき、任意の f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122) と
任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
|f(x)| ≦ |f|_r となる。
よって、f ∈ A_r(K^n, E) (>>122) に f(x) ∈ E を対応させる写像は
連続な線型写像である。

証明
f → f(x) が線型写像であることは明らかである。

|f(x)| = |Σa_αx^α| ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r
よって、f → f(x) は連続である。
証明終

>>175の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の f, g ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
(fg)(x) = f(x)g(x)

証明
写像 u: K×K → K を u(x, y) = xy により定義する。
u は連続な双線型写像である。
よって、本命題は>>181より得られる。
証明終

>>184の>>175は>>176の間違い

>>176の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
任意の f, g ∈ A_r(K^n, K) (>>122) と
任意の x ∈ B(0, r) (>>89) に対して、
(fg)(x) = f(x)g(x)

証明
写像 u: K×K → K を u(x, y) = xy により定義する。
u は連続な双線型写像である。
よって、本命題は>>181より得られる。
証明終

>>177の修正

命題
K を実数体または複素数体とする。
E を K 上のBanach空間(過去スレ008の550)とする。

f = Σa_αX^α ∈ A_r(K^n, E) (>>122)
g = (g_1, ..., g_n) ∈ A_s(K^m, K^n)
|g_i|_s ≦ r_i, i = 1, ..., n
とする。
ここで、各 g_i ∈ A_s(K^m, K) である。

このとき、h = Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)
|h|_s ≦ |f|_r
となる。

さらに、x ∈ B(0, s) ⊂ K^m のとき、h(x) = f(g(x))

証明
>>160より、A_s(K^m, K) は環であるから
各 α ∈ (Z+)^n に対して、g(X)^α ∈ A_s(K^m, K) である。

|g(X)^α|_s
= |Π(g_i(X))^(α_i)|_s
= Π(|g_i(X)|_s)^(α_i) ← >>160より
≦ r^α

(続く)

>>187の続き

>>164より A_s(K^m, E) は環 A_s(K^m, K) 上の加群になる。
よって、a_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|a_αg(X)^α|_s = |a_α||g(X)^α|_s ≦ |a_α|r^α

|f|_r = Σ|a_α|r^α ＜ +∞ であるから、過去スレ006の700より、
族 (|a_αg(X)^α|_s), α ∈ (Z+)^n は総和可能である。
即ち、族 (a_αg(X)^α) は絶対総和可能(過去スレ006の697)である。
>>166より A_s(K^m, E)はが完備だから過去スレ006の735より、
族 (a_αg(X)^α) は総和可能である。
よって、Σa_αg(X)^α ∈ A_s(K^m, E)

|Σa_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_αg(X)^α|_s ≦ Σ|a_α|r^α = |f|_r

>>183より、x ∈ B(0, s) のとき |g_i(x)| ≦ |g_i|_s ≦ r_i
よって、g(x) ∈ B(0, r)

よって、>>183と>>186より、
h(x) = Σa_αg(x)^α

この右辺は f(g(x)) である。
証明終

解析写像の性質を調べるため形式的べき級数環について基本的なことを述べる。

命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。

過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。

各 n に対して ψ_n: G → G/G_n を標準射とする。
n ≦ m のときアーベル群の射 f_nm: G/G_m → G/G_n を
x ∈ G のとき f_nm(ψ_m(x)) = ψ_n(x) で定義する。
x ≡ y (mod G_m) のとき x ≡ y (mod G_n) だから
これは矛盾なく定義出来る。

明らかに (G/G_n, f_nm) はアーベル群の射影系である。
よって射影極限(定義は例えばWikipedia参照) proj.lim G/G_n が定義される。
f: G → proj.lim G/G_n を標準射とする。

このとき、G が位相アーベル群として分離かつ完備であるためには
f がアーベル群としての同型であることが必要十分である。

証明
必要性：
G が分離かつ完備であるとする。
G は分離だから ∩G_n = 0 である。
Ker(f) = ∩G_n であるから f は単射である。

(続く)

>>190の続き

ξ = (ξ_n) を proj.lim G/G_n の任意の元とする。
各 n に対し ξ_n = ψ_n(x_n) とする。
n ≦ m のとき f_nm(ξ_m) = ξ_n であるから x_n ≡ x_m (mod G_n) である。
よって、(x_n) はCauchy列である。
G は完備であるから x = lim x_n が存在する。
よって、任意の n に対して整数 ν(n) ≧ 0 があり、m ≧ ν(n) なら
x ≡ x_m (mod G_n) となる。
よって、m ≧ sup(ν(n), n) とすれば
x ≡ x_m (mod G_n) かつ x_n ≡ x_m (mod G_n)
よって、x ≡ x_n (mod G_n)
よって、f(x) = (ψ_n(x)) = (ψ_n(x_n)) = ξ
よって、f は全射である。

十分性：
f がアーベル群としての同型であるとする。
Ker(f) = ∩G_n であるから
f の単射性より、∩G_n = 0 である。
よって G は分離である。

(x_n), n = 0, 1, ... を G のCauchy列とする。
任意の n に対して整数 ν(n) ≧ 0 があり、m ≧ ν(n) なら
x_m ≡ x_(m+1) (mod G_n) である。
よって、G/G_n の元 ξ_n = ψ_n(x_m) が定まる。
ξ = (ξ_n) は proj.lim G/G_n の元である。
よって、f の全射性より f(x) = ξ となる x がある。
f(x) = (ψ_n(x)) = (ξ_n) であるから、
任意の n に対して m ≧ ν(n) なら x ≡ x_m (mod G_n) である。
よって、x = lim x_n である。
よって、G は完備である。
証明終

A を可換環、I を そのイデアルとする。
A は (I^n), n = 0, 1, ... によりフィルター付環(過去スレ003の91)になる。

過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (I^n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。

n ≦ m のとき環の射 f_nm: A/I^m → A/I^n が自然に定義され
(A/I^n, f_nm) は環の射影系になる。
f: A → proj.lim A/I^n を標準射とする。
>>190より、A が位相環として分離かつ完備であるためには
f が環としての同型であることが必要十分である。

定義
A を可換環、I を そのイデアルとする。
A は (I^n), n = 0, 1, ... によりフィルター付環(過去スレ003の91)になる。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (I^n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A のこの位相を A の I-進位相という。

定義
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
f = Σf_k を B の任意の元とする。
ここで f_k (k = 0, 1, 2, ...) は A 係数の k 次の n 変数同次式である。

ord(f) = inf {k ; f_k ≠ 0 } とおく。
f = 0 のとき、ord(f) = +∞ とする。

ord(f) は f の位数(order)と言う。

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。

f, g ∈ B に対して以下が成り立つ。

1) ord(f + g) ≧ inf(f, g)

2) ord(fg) ≧ ord(f) + ord(g)

3) A が整域で f ≠ 0, g ≠ 0 のとき
ord(fg) = ord(f) + ord(g)

証明
ほとんど自明なので証明を省略する。

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。

A が整域のとき B も整域である。

証明
>>195の 3) より明らかである。

補題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。

f = Σf_k を B の元とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。
f_0 は A の可逆元であるとする。

このとき、B の任意の元 h に対して
h = fg となる g ∈ B が一意に定まる。

証明
h = Σh_k
g = Σg_k
とする。

h_0 = (f_0)(g_0)
h_1 = (f_0)(g_1) + (f_1)(g_0)
h_2 = (f_0)(g_2) + (f_1)(g_1) + (f_2)(g_0)
.
.
.
h_n = (f_0)(g_n) + (f_1)(g_(n-1)) + ... + (f_n)(g_0)
.
.
.
である。

f_0 は A の可逆元であるから、n に関する帰納法より、f と h から
g の各同次成分が一意に定まる。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
f = Σf_k を B の元とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。

f が B の可逆元であるためには f_0 が A の可逆元であることが必要十分である。

証明
f が B の可逆元であるとし、fg = 1 とする。
g = Σg_k とすれば、(f_0)(g_0) = 1 である。
よって、f_0 は A の可逆元である。

逆に f_0 が A の可逆元であるとする。
>>197において、h = 1 とすれば f は B の可逆元である。
証明終

命題
A を局所環とし、I をその極大イデアルとする。

このとき、B = A[[X_1, ..., X_n]] も局所環であり、
その極大イデアルは
IB + (X_1, ..., X_n)B = {Σf_k ∈ B; f_0 ∈ I}
である。

証明
まず、等式 IB + (X_1, ..., X_n)B = {Σf_k ∈ B; f_0 ∈ I} を証明する。
右辺を J とおく
f ∈ IB + (X_1, ..., X_n)B とする。
f = g + h, g ∈ IB, h ∈ (X_1, ..., X_n)B と書ける。
f_0 = g_0 + h_0 であり、g_0 ∈ I, h_0 = 0 である。
よって、f_0 ∈ I となり、f ∈ J である。
よって、IB + (X_1, ..., X_n)B ⊂ J である。

逆に f = Σf_k ∈ J とする。
g = f_1 + f_2 + . . . とおく。
g ∈ (X_1, ..., X_n)B である。
f = f_0 + g であり、f_0 ∈ I であるから f ∈ IB + (X_1, ..., X_n)B である。
よって、J ⊂ IB + (X_1, ..., X_n)B である。

次に J が唯一の極大イデアルであることを証明する。
f ∈ B - J とする。
f_0 ∈ A - I であり、I は A の唯一の極大イデアルであるから
f_0 は A の可逆元である。
よって、>>198より f は B の可逆元である。
よって、J は B の唯一の極大イデアルである。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

このとき、B は位相環として分離かつ完備である。

証明
まず I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} に注意する。
各 k に対して ψ_k: B → B/I^k を標準射とする。
g, h ∈ B で g ≡ h (mod I^k) とは g と h の次数 ＜ k の同次成分が
全て一致することと同じである。

ψ: B → proj.lim B/I^k を標準射とする。
I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} より、∩I^k = 0 である。
よって、ψ は単射である。

ξ = (ξ_k) を proj.lim B/I^k の任意の元とする。
ξ_k = ψ_k(f_k) とする。
k ≦ m のとき f_k ≡ f_m (mod I^k) である。
即ち、f_k と f_m の次数 ＜ k の同次成分は全て一致する。
よって、各整数 k ≧ 0 に対して f_(k+1) の k 次の同次成分 g_k は
ξ により一意に決まる。
g = Σg_k とおく。
各 k に対して g ≡ f_k (mod I^k) であるから ψ(g) = ξ である。
よって、ψ は全射である。

以上から ψ は同型となり、>>192より B は位相環として分離かつ完備である。
証明終

>>200
Aは単なる可換環でいいんですか？

>>201
いいです

Aの閉包は何になるんでしょうか？

>>203
A は B の閉集合です。
理由はご自分で考えてください。

>>200の修正

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

このとき、B は位相環として分離かつ完備である。

証明
まず I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} に注意する。
各 k に対して ψ_k: B → B/I^k を標準射とする。

ψ: B → proj.lim B/I^k を標準射とする。
I^k = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} より、∩I^k = 0 である。
よって、ψ は単射である。

ξ = (ξ_k) を proj.lim B/I^k の任意の元とする。
ξ_k = ψ_k(f_k) とする。
g, h ∈ B で g ≡ h (mod I^k) とは g と h の次数 ＜ k の同次成分が
全て一致することと同じである。
よって各整数 k ≧ 0 に対して f_(k+1) の k 次以下の同次成分の和 g_k は
ξ により一意に決まる。

k + 1 ≦ m のとき f_(k+1) ≡ f_m (mod I^(k+1)) である。
よって、k + 1 ≦ m のとき g_m の k 次以下の同次成分の和 は g_k である。
よって、B の元 g で各 k に対して
g ≡ g_k (mod I^(k+1))
となるものが一意に存在する。

(続く)

>>205の続き

各 k ≧ 0 に対して
g_k ≡ f_(k+1) (mod I^(k+1))
よって、
g ≡ f_(k+1) (mod I^(k+1))

よって、ψ(g) = ξ である。
よって、ψ は全射である。

以上から ψ は同型となり、>>192より B は位相環として分離かつ完備である。
証明終

命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。
(x_n), n = 1, 2, . . . を G の点列とする。

このとき、(x_n) がCauchy列になるためには
lim (x_(n+1) - x_n) = 0 が必要十分である。

証明
(x_n) がCauchy列とする。
任意の G_k に対して n_0 があり n, m ≧ n_0 なら
x_n - x_m ∈ G_k となる。
よって、n ≧ n_0 なら x_(n+1) - x_n ∈ G_k である。
よって、lim (x_(n+1) - x_n) = 0 である。

逆に lim (x_(n+1) - x_n) = 0 とする。
任意の G_k に対して n_0 があり n ≧ n_0 なら
x_(n+1) - x_n ∈ G_k となる。
よって、n ≧ n_0, p ＞ 0 のとき、
x_(n+p) - x_n
= (x_(n+p) - x_(n + p - 1)) + . . . + (x_(n+1) - x_n) ∈ G_k + ... + G_k ⊂ G_k
よって、(x_n) はCauchy列である。
証明終

>>204 Ａは完備になるんですね？

命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。
G はこの位相で完備であるとする。

(x_n), n = 1, 2, . . . を G の点列とする。
s_n = x_1 + . . . + x_n とおく。

このとき、lim x_n = 0 であれば lim s_n が存在する。

証明
s_(n+1) - s_n = x_(n+1) であるから>>207より (s_n) はCauchy列である。
G は完備だから lim s_n が存在する。
証明終

>>208
そうです

命題
G をアーベル群とし、
G = G_0 ⊃ G_1 ⊃ . . . を G の部分群の降列とする。
即ち、G はフィルター付きアーベル群(過去スレ003の92)である。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として (G_n), n = 0, 1, ...
をとることにより G は位相アーベル群となる。
G はこの位相で完備であるとする。

(x_n), n = 1, 2, . . . を G の点列とする。
このとき、lim x_n = 0 であれば (x_n) は総和可能(過去スレ006の147)である。

証明
N = {1, 2, . . .} とおき、N の有限部分集合全体の集合を Φ(N) とする。
J ∈ Φ(N) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。

lim x_n = 0 であるから、任意の G_k に対して n_0 があり n ＞ n_0 なら
x_n ∈ G_k となる。

J_0 = {1, . . ., n_0} とおく。
K ∈ Φ(N) で J_0 ∩ K が空集合とする。
n ∈ K なら n ＞ n_0 であるから x_n ∈ G_k である。
よって、S(K) ∈ G_k となる。
よって、Cauchy の定理(過去スレ006の158)より、
(x_n) は総和可能(過去スレ006の147)である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

f = Σf_k ∈ B とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。

このとき列 (f_k), k = 0, 1, . . . は総和可能(過去スレ006の147)であり、
その総和は f に等しい。

証明
>>205より B は分離かつ完備である。

各 f_k ∈ I^k であるから lim f_k = 0 である。
よって、>>211より、列 (f_k) は総和可能である。

各 k に対して、s_k = f_0 + . . . + f_k とおく。
f - s_k ∈ I^(k+1) である。
よって、f = lim s_k である。

一方、(f_k) の総和を g とすると、
過去スレ006の185より、g = lim s_k である。

B は分離であるから f = g である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

A 上の多項式環 A[X_1, ..., X_n] は B に含まれると見なせる。

このとき、A[X_1, ..., X_n] は B において稠密である。

証明
f = Σf_k ∈ B を任意の元とする。
ここで、各 f_k は f の k 次の同次成分である。

各 k に対して、s_k = f_0 + . . . + f_k とおく。
f - s_k ∈ I^(k+1) である。
よって、f = lim s_k である。

s_k ∈ A[X_1, ..., X_n] であるから f は A[X_1, ..., X_n] の閉包に含まれる。
f は B の任意の元であるから、A[X_1, ..., X_n] は B において稠密である。
証明終

命題
A を分離的かつ完備な(必ずしも可換とは限らない)環とする。

(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。

このとき、(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
ここで右辺の和は (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) 全体にわたる。
ここで、Z+ = {0, 1, 2, . . .} である。

証明
Σx_iy_j
= Σ[i ∈ Z+]Σ[j ∈ Z+] x_iy_j ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= Σ[i ∈ Z+]x_i(Σ[j ∈ Z+] y_j) ← 積の連続性と分配法則
= (Σx_i)(Σy_j) ← 積の連続性と分配法則
証明終

>>214の修正

命題
A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A はこの位相で分離かつ完備とする。

(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。

このとき、(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
ここで、Z+ = {0, 1, 2, . . .} である。

証明
lim x_i = 0 であるから
任意の A_k に対して n_0 があり i ＞ n_0 なら
x_i ∈ A_k となる。
同様に
lim y_j = 0 であるから
m_0 があり j ＞ m_0 なら
y_j ∈ A_k となる。

(続く)

>>215の続き

J_0 = {1, . . ., n_0}×{1, . . ., m_0} とおく。
K を (Z+)×(Z+) の有限集合で J_0 ∩ K が空集合とする。
(i, j) ∈ K なら i ＞ n_0 または j ＞ m_0 であるから
x_iy_j ∈ x_i(A_k) ∈ A_k
または
x_iy_j ∈ (A_k)y_j ∈ A_k

A_k は A の部分群であるから、
Σ[(i, j) ∈ K] x_iy_j ∈ A_k

よって、Cauchy の定理(過去スレ006の158)より、
(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能(過去スレ006の147)である。

よって、
Σx_iy_j
= Σ[i ∈ Z+]Σ[j ∈ Z+] x_iy_j ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= Σ[i ∈ Z+]x_i(Σ[j ∈ Z+] y_j) ← 積の連続性と分配法則
= (Σx_i)(Σy_j) ← 積の連続性と分配法則
証明終

命題
A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。
A はこの位相で分離かつ完備とする。

(x_i), i = 0, 1, 2, . . .
(y_j), j = 0, 1, 2, . . .
をそれぞれ A の元の列で総和可能(過去スレ006の147)とする。
s_k = x_0y_k + x_1y_(k-1) + . . . + x_ky_0 とおく。

このとき、(s_k) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σs_k
である。

証明
Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
>>215より、
(x_iy_j), (i, j) ∈ (Z+)×(Z+) は総和可能であり、
(Σx_i)(Σy_j) = Σx_iy_j
である。

I_k = {(i, j) ∈ (Z+)×(Z+); i + j = k } とおく。
s_k = Σ[(i, j) ∈ I_k] x_iy_j とおく。
即ち、s_k = x_0y_k + x_1y_(k-1) + . . . + x_ky_0 である。

過去スレ006の164より、(s_k) は総和可能であり、
Σs_k = Σ[(i, j) ∈ (Z+)×(Z+)] x_iy_j
である。
よって、(Σx_i)(Σy_j) = Σs_k
証明終

>>192は次のように拡張出来る。

A = A_0 ⊃ A_1 ⊃ . . .
を(必ずしも可換とは限らない)フィルター付環(過去スレ003の91)とする。
過去スレ006の593より、A の 0 の基本近傍系として (A_n), n = 0, 1, ...
をとることにより A は位相環となる。

A_0A_n ⊂ A_n
A_nA_0 ⊂ A_n
であるから各 A_n は A の両側イデアルである。

よって、n ≦ m のとき環の射 f_nm: A/A_m → A/A_n が自然に定義され
(A/A_n, f_nm) は環の射影系になる。
f: A → proj.lim A/A_n を標準射とする。
>>190より、A が位相環として分離かつ完備であるためには
f が環としての同型であることが必要十分である。

>>208
何が疑問なのかよくわかりませんが、A は B の部分空間として離散です。
任意の環は離散位相で完備になります。

定義
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。

f^(1), . . ., f^(m) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。

g = Σg_k を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
g_k は Y_1, ..., Y_m の多項式であるので
g_k(f^(1), . . ., f^(m)) が定義出来る。

>>195の 2) より、ord(g_k(f^(1), . . ., f^(m))) ≧ k である。
よって、B の I-進位相(>>193)で
k → +∞ のとき、lim g_k(f^(1), . . ., f^(m)) = 0 である。
よって、>>211より、(g_k(f^(1), . . ., f^(m))), k = 0, 1, ... は
B において総和可能である。

Σg_k(f^(1), . . ., f^(m)) を g(f^(1), . . ., f^(m)) と書く。

命題
B を必ずしも可換とは限らない位相環で分離かつ完備とする。
A をその稠密な部分環とする。

このとき B は A の完備化(過去スレ006の369)である。

証明
ψ: A → B を標準射とする。
C を分離かつ完備な位相環とする。
f : A → C を連続準同型とする。
このとき、連続準同型 g: B → C で
f = gψ となるものが一意に存在することを証明すればよい。

f は連続準同型であるから過去スレ006の351より一様連続である。
よって、一様連続写像の延長定理(過去スレ006の272)より
一様連続写像 g: B → C で
f = gψ となるものが一意に存在する。

α_1: B×B → C を α_1(x, y) = g(x + y)
α_2: B×B → C を α_2(x, y) = g(x) + g(y)

f は準同型であるから A×A 上で α_1 = α_2 である。
等式延長の原理(過去スレ006の265)より B×B 上で α_1 = α_2 である。

β_1: B×B → C を β_1(x, y) = g(xy)
β_2: B×B → C を β_2(x, y) = g(x)g(y)

f は準同型であるから A×A 上で β_1 = β_2 である。
等式延長の原理(過去スレ006の265)より B×B 上で β_1 = β_2 である。

以上から g は連続準同型である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相を入れて位相環とする。

C = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される のイデアルとする。
C に J-進位相を入れて位相環とする。

このとき、B は位相環として C の部分環である。

証明
任意の整数 k ≧ 0 に対して、
J^k = {f ∈ C; ord(f) ≧ k} である。
よって、J^k ∩ B = {f ∈ B; ord(f) ≧ k} = I^k である。
よって、B の I-進位相は C の J-進位相の部分位相である。
証明終

>>222
>J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される のイデアルとする。

J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される C のイデアルとする。

命題
A を可換環とし、B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

C = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

このとき、C は位相環として B の完備化(過去スレ006の369)である。

証明
>>205より C は分離かつ完備である。
>>213より、B は C において稠密である。
>>222より、B は位相環として C の部分環である。

以上から >>221より C は位相環として B の完備化である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[Y_1, ..., Y_m] を A 上の多項式環とする。
I = (Y_1, ..., Y_m)B を Y_1, ..., Y_m で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

C = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
J = (X_1, ..., X_n)C を X_1, ..., X_n で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

f^(1), . . ., f^(m) を C の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(m)) ∈ C を対応させる写像を φ とする。

このとき φ は連続準同型である。

証明
φ が準同型であることは明らかである。

任意の整数 k ≧ 0 に対して、g ∈ I^k とする。
ord(g) ≧ k である。
>>195の 1), 2) より、ord(φ(g)) ≧ k である。
よって、φ(g) ∈ J^k である。
よって、φ(I^k) ⊂ J^k である。
よって、φ は連続である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

f^(1), . . ., f^(m) を B の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。

C = A[[Y_1, ..., Y_m]] とおく。
J = (Y_1, ..., Y_m)C を Y_1, ..., Y_m で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

g ∈ C に g(f^(1), . . ., f^(m)) (>>220) を対応させる写像を ψ とする。

このとき、ψ は連続準同型である。

証明
g ∈ A[Y_1, ..., Y_m] に g(f^(1), . . ., f^(m)) を対応させる写像を φ とする。
>>225より、φ は連続準同型である。
>>224より、C は A[Y_1, ..., Y_m] の完備化(過去スレ006の369)である。
B は分離かつ完備であるから φ: A[Y_1, ..., Y_m] → B は
連続準同型 γ: C → B に一意に拡張される。

g = Σg_k を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
>>212より、列 (g_k), k = 0, 1, . . . は総和可能(過去スレ006の147)であり、
その総和は g に等しい。
γ は連続準同型であるから過去スレ006の175より、
γ(g) = Σγ(g_k) である。

(続く)

>>226の続き

各 g_k は Y_1, ..., Y_m の多項式であるので
γ(g_k) = φ(g_k) = g_k(f^(1), . . ., f^(m))
である。
よって、γ = ψ である。
よって、ψ は連続準同型である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B に I-進位相(>>193)を入れて位相環とする。

C = A[[Y_1, ..., Y_m]] とおく。
J = (Y_1, ..., Y_m)C を Y_1, ..., Y_m で生成される C のイデアルとする。
C に J-進位相(>>193)を入れて位相環とする。
ψ: C → B を連続準同型とする。
f^(i) = ψ(Y_i) (i = 1, ..., m) とおく。

このとき、任意の g ∈ C に対して
ψ(g) = g(f^(1), . . ., f^(m)) (>>220)
である。

証明
n → +∞ のとき、各 i に対して (Y_i)^n → 0 であるから ψ の連続性より、
(f^(i))^n → 0 である。
よって、ord(f^(i)) ≧ 1 である。

g = Σg_k を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
>>212より、列 (g_k), k = 0, 1, . . . は総和可能(過去スレ006の147)であり、
その総和は g に等しい。
ψ は連続準同型であるから過去スレ006の175より、
ψ(g) = Σψ(g_k) である。

ψ は準同型であるから
各 ψ(g_k) = g_k(f^(1), . . ., f^(m))
よって、ψ(g) = g(f^(1), . . ., f^(m)) (>>220)
である。
証明終

命題
A を可換環とする。
f^(1), . . ., f^(m) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 とする。
g^(1), . . ., g^(s) を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。
各 i に対して ord(g^(i)) ≧ 1 とする。
h^(i) = g^(i)(f^(1), . . ., f^(m)) (i = 1, ..., s)とおく(>>220)。
F ∈ A[[Z_1, ..., Z_s]] に対して
G = F(g^(1), . . ., g^(s)) ∈ A[[Y_1, ..., Y_m]] とおく。

このとき、
F(h^(1), . . ., h^(l)) = G(f^(1), . . ., f^(m))

証明
g ∈ A[[Y_1, ..., Y_m]] に g(f^(1), . . ., f^(m)) を対応させる写像を ψ とする。
h ∈ A[[Z_1, ..., Z_s]] に h(g^(1), . . ., g^(s)) を対応させる写像を φ とする。

F ∈ A[[Z_1, ..., Z_s]] に対して
φ(F) = F(g^(1), . . ., g^(s)) = G
よって、
ψφ(F) = ψ(G) = G(f^(1), . . ., f^(m))

特に、φ(Z_i) = g^(i)
よって、
ψφ(Z_i) = ψ(g^(i)) = g^(i)(f^(1), . . ., f^(m)) = h^(i)

一方、>>226より、ψ と φ は連続準同型である。
よって、ψφ も連続準同型である。
よって、>>228より、ψφ(F) = F(h^(1), . . ., h^(l)) である。

よって、F(h^(1), . . ., h^(l)) = G(f^(1), . . ., f^(m))
証明終

定義
A を可換環とする。
f を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
f ≠ 0 とし、f = Σf_k とする。
ここで、各 f_k は f の k 次同次成分である。
s = ord(f) (>>194) のとき f_s を init(f) と書き、
f の初形式(initial form) と言う。

規約
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
特に断らない限り B の位相は I-進位相(>>193)とする。

命題
A を可換環とする。
S を A[[X_1, ..., X_n]] の加法群の部分加群とする。
任意の同次多項式 f_k ≠ 0 ∈ A[X_1, ..., X_n] に対して
f ∈ S で f_k = init(f) (>>230) となるものが存在するとする。

このとき、S は A[[X_1, ..., X_n]] で稠密である。

証明
f を A[[X_1, ..., X_n]] の任意の元とする。
ord(f - f^(i)) ≧ i (i = 0, 1, 2, ...) となる f^(i) ∈ S が
存在することを証明しよう。
そうすれば S は A[[X_1, ..., X_n]] で稠密である。

i に関する帰納法による。
i = 0 のときは f^(i) = 0 とすればよい。
k ≧ 1 として、ord(f - f^(k-1)) ≧ k - 1 となる f^(k-1) ∈ S が
存在すると仮定する。

ord(f - f^(k-1)) ≧ k なら f^k = f^(k-1) とおけばよい。
ord(f - f^(k-1)) = k - 1 とする。
g_(k-1) = init(ord(f - f^(k-1))) とおく。
h_(k-1) を S の元で h_(k-1) = init(g_(k-1)) とする。
f^(k) = f^(k-1) + h_(k-1) とおく。
f^(k) ∈ S である。

このとき、
ord(f - f^k) = ord(f - f^(k-1) - h_(k-1)) ≧ k
証明終

定義(過去スレ016の293の拡張)
A を可換環とする。
f = Σc_αX^α = Σc_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_n)^(a_n) を
形式的べき級数環 A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。

このとき、∂f/∂X_i ∈ A[[X_1, ..., X_n]], i = 1, ..., n を
∂f/∂X_i = Σa_i c_(a_1, ..., a_n)(X_1)^(a_1)...(X_i)^(a_i - 1)...(X_n)^(a_n)
により定義する。

http://www.voiceblog.jp/tintindaisuke/

命題
A を可換環とする。
f, g ∈ A[[X_1, ..., X_n]] のとき、

∂(f + g)/∂X_i = ∂f/∂X_i + ∂g/∂X_i

証明
自明である。

命題
A を可換環とする。
f ∈ A[[X_1, ..., X_n]] に ∂f/∂X_i (>>233) を対応させる写像 ∂/∂X_i は
連続である。

証明
I = (X_1, ..., X_n)A[[X_1, ..., X_n]] とする。
f ∈ I^(k+1) のとき ord(f) ≧ k + 1 である。
よって、ord(∂f/∂X_i) ≧ k である。
よって、∂/∂X_i(I^(k+1)) ⊂ I^k である。
よって、∂/∂X_i は連続である。
証明終

命題
A を可換環とする。
f, g ∈ A[[X_1, ..., X_n]] のとき、
∂(fg)/∂X_i = (∂f/∂X_i)g + f(∂g/∂X_i)

証明
f と g がそれぞれ単項式
(X_1)^(i_1). . . (X_n)^(i_n), (X_1)^(j_1). . . (X_n)^(j_n)の場合は
命題は明らかである。
よって、f と g が A 係数の X_1, ..., X_n の同次式の場合にも命題は成り立つ。

f = Σf_k と g = Σg_k を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
ここで、各 f_k および g_k はそれぞれ f と g の k 次同次成分である。

>>212より、列 (f_k) および列 (g_k) はそれぞれ総和可能(過去スレ006の147)であり、
f および g はそれぞれ 列 (f_k) および列 (g_k) の総和である。
よって、>>215より、fg = Σf_kg_l である。

一方、>>235と>>236より
∂/∂X_i は A[[X_1, ..., X_n]] の加法群の連続自己準同型である。
よって、過去スレ006の175より、
∂(fg)/∂X_i = Σ∂(f_kg_l)/∂X_i

上から
∂(f_kg_l)/∂X_i = (∂f_k/∂X_i)g_l + f_k(∂g_l/∂X_i)

よって、
∂(fg)/∂X_i
= Σ(∂f_k/∂X_i)g_l + Σf_k(∂g_l/∂X_i)
= Σ(∂f_k/∂X_i)Σg_l + (Σf_k)Σ(∂g_l/∂X_i) ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= (∂f/∂X_i)g + f(∂g/∂X_i)
証明終

補題
A を可換環とする。
g ∈ A[[X_1, ..., X_n]] と整数 k ≧ 1 に対して、
∂g^k/∂X_i = kg^(k-1)∂g/∂X_i

証明
>>237を使えばよい。

補題
A を可換環とする。
g^(1), ..., g^(m) ∈ A[[X_1, ..., X_n]] のとき、
g = (g^(1))^(a_1)...(g^(m))^(a_m) とおく。
ここで、a_1, ..., a_m は整数 ≧ 0 である。
このとき、
∂g/∂X_i
= Σ(a_i - 1)(g^(1))^(a_1)...(g^(j))^(a_j - 1)...(g^(m))^(a_m)∂g^(j)/∂X_i

ここで Σ は a_j ≧ 1 となる j 全体に渡る。

証明
>>237と>>238による。

補題
A を可換環とする。
g^(1), ..., g^(m) ∈ A[[X_1, ..., X_n]]
f ∈ A[X_1, ..., X_n]
のとき、
∂f(g^(1), ..., g^(m))/∂X_i = Σ(∂f/∂X_j)(g^(1), ..., g^(m))∂g^(j)/∂X_i

証明
>>235>>239より直ちに得られる。

命題
A を可換環とし、f^(1), . . ., f^(m) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
g を A[[Y_1, ..., Y_m]] の元とする。

このとき、
∂g(f^(1), . . ., f^(m))/∂X_i = Σ(∂g/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i)

証明
g = Σg_k とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
>>220より、
g(f^(1), . . ., f^(m)) = Σg_k(f^(1), . . ., f^(m))

>>235と>>236より
∂/∂X_i は A[[X_1, ..., X_n]] の加法群の連続自己準同型である。
よって、過去スレ006の175より、
∂(g(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i = Σ∂(g_k(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i

>>240より、
∂(g_k(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i
= Σ(∂g_k/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i)

一方、過去スレ006の175より、
∂g/∂Y_j = Σ∂g_k/∂Y_j
よって、
(∂g/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m)) = Σ(∂g_k/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))

∂(g(f^(1), . . ., f^(m)))/∂X_i
= Σ[k, j] (∂g_k/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i)
= Σ∂g/∂Y_j)(f^(1), . . ., f^(m))(∂f^(j)/∂X_i) ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
証明終

定義
A を可換環とし、f を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
f = Σc_αX^α とする。
ここで、X = (X_1, ..., X_n)、c_α ∈ A であり、
α は (Z+)^n の元全体を動く。
記法 X^α については過去スレ016の265参照。

このとき、f(0) = c_(0, ..., 0) とおく。

命題
A を可換環とする。
A[[X_1, ..., X_n]] の元 f に f(0) (>>242) を
対応させる写像 λ: A[[X_1, ..., X_n]] → A は環の準同型であり、
Ker(λ) = (X_1, ..., X_n)A[[X_1, ..., X_n]] である。

証明
自明である。

命題
A を可換環とする。
f^(1), . . ., f^(n) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。
F は A 上の n 次の正方行列である。

g^(1), . . ., g^(n) を A[[X_1, ..., X_n]] の元とする。
各 j に対して ord(g^(j)) ≧ 1 とする。
G = ((∂g^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。

h^(i) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) (i = 1, ..., n)とおく(>>220)。
H = ((∂h^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。

このとき、H = FG である。

証明
>>241より、
∂h^(i)/∂X_j = Σ(∂f^(i)/∂X_k)(g^(1), . . ., g^(n))(∂g^(k)/∂X_j)

>>243より、
(∂h^(i)/∂X_j)(0) = Σ(∂f^(i)/∂X_k)(0)(∂g^(k)/∂X_j)(0)

よって H = FG である。
証明終

命題
A を可換環とする。
ψ を B = A[[X_1, ..., X_n]] の位相環としての自己同型とする。
f^(i) = ψ(X_i) (i = 1, ..., n) とおく。
>>228より、各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 である。

このとき、行列 F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n は可逆である。
従って、det(F) は A の可逆元である。

証明
ψ は B の自己同型であるから
φψ = 1_B かつ ψφ = 1_B となる B の自己同型 φ が存在する。
g^(i) = φ(X_i) (i = 1, ..., n) とおく。
G = ((∂g^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n　とおく。

φψ(X_i) = φ(f^(i)) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n))
である。
X_i = φψ(X_i) であるから、>>244より、
I = FG
ここで、I は A 上の n 次の単位行列である。
同様に、X_i = ψφ(X_i) より、
I = GF
よって、F は可逆である。
1 = det(FG) = det(F)det(G) より、
det(F) は A の可逆元である。
証明終

>>245
>ψ を B = A[[X_1, ..., X_n]] の位相環としての自己同型とする。

ψ を B = A[[X_1, ..., X_n]] の位相環としての自己同型で
A の元を不変にするものとする。

>>228
>ψ: C → B を連続準同型とする。

ψ: C → B を連続準同型で A の元を不変にするものとする。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。
B の A-代数としての自己準同型の全体のなす環を End(B/A) とする。
ψ ∈ End(B/A) に (ψ(X_1), ..., ψ(X_n)) を対応させる写像
Ψ: End(B/A) → B^n は全単射である。

証明
自明である。

命題
A を可換環とする。
B = A[X_1, ..., X_n] を A 上の多項式環とする。

f^(i) = Σa_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) を B の元とする。
ここで、各 a_(i, j) ∈ A である。
det(a_(i, j)) は A の可逆元であるとする。

>>248により ψ(X_i) = f^(i) (i = 1, ..., n) となる
B の A-代数としての自己準同型 ψ が一意に決まる。

このとき、ψ は B の自己同型である。

証明
det(a_(i, j)) は A の可逆元であるから、行列 (a_(i, j)) は可逆である。
(b_(i, j)) をその逆行列とする。

g^(i) = Σb_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) とおく。

>>248により φ(X_i) = g^(i) (i = 1, ..., n) となる
B の A-代数としての自己準同型 φ が一意に決まる。

φ(ψ(X_i)) = φ(f^(i)) = φ(Σa_(i, j)X_j) = Σa_(i, j)b(j, k)X_k = X_i
よって、φψ = 1_B である。
ここで、1_B は B の恒等写像である。

同様に ψφ = 1_B である。
よって、ψ は B の自己同型である。
証明終

命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。

L_i = Σa_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) を A[X_1, ..., X_n] の元とする。
ここで、各 a_(i, j) ∈ A である。
det(a_(i, j)) は A の可逆元であるとする。

g ∈ B に g(L_1, . . ., L_n) (>>220) を
対応させる写像を ψ とする。

このとき、ψ は B の位相環としての自己同型である。

証明
>>226より ψ は連続準同型である。

det(a_(i, j)) は A の可逆元であるから、
行列 (a_(i, j)) は逆行列 (b_(i, j)) を持つ。

M_i = Σb_(i, j)X_j (i = 1, ..., n) とおく。
g ∈ B に g(M_1, . . ., M_n) (>>220) を対応させる写像を φ とする。
>>226より φ は連続準同型である。

φψ(X_i) = φ(L_i) = X_i であるから φψ = 1_B である。
ここで、1_B は B の恒等写像である。

同様に ψφ = 1_B である。

以上から ψ は B の位相環としての自己同型である。
証明終

命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。

f^(1), . . ., f^(n) を B の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。
F は A 上の n 次の正方行列である。
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像 を ψ とする。

このとき、det(F) が A の可逆元であるなら、
ψ は B の位相環としての自己同型である。

証明
各 f^(i) の１次の同次成分を L_i = Σa_(i, j)X_j とする。
a_(i, j) = (∂f^(i)/∂X_j)(0) (1 ≦ i, j ≦ n) である。

g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像を ψ とする。
>>226より ψ は連続準同型である。

g = Σg_k≠ 0 を B の任意の元とする。
ここで、各 g_k は g の k 次同次成分である。
g_s を g の初形式(>>230)とする。

g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) の初形式は g_s(L_1, ..., L_n) である。
>>249より、g_s(L_1, ..., L_n) ≠ 0 であるから ψ は単射である。

(続く)

>>251の続き

>>249より、任意の同次多項式 f_s ≠ 0 ∈ A[X_1, ..., X_n] に対して
f_s = g_s(L_1, ..., L_n) となる 同次多項式 g_s ∈ A[X_1, ..., X_n] がある。
g_s を初形式とする任意の g ∈ B に対して、
g(f^(1), . . ., f^(n)) の初形式は f_s = g_s(L_1, ..., L_n) である。
よって、>>232より、ψ(B) は B で稠密である。

g ∈ B に g(L_1, ..., L_n) (>>220) を対応させる写像を φ とする。
>>250より、φ は位相環としての自己同型である。

環の準同型 φψ^(-1): ψ(B) → B を考える。
φψ^(-1) は全単射である。

B の任意の元 g に対して、
φψ^(-1)(g(f^(1), . . ., f^(n))) = g(L_1, ..., L_n) である。
ord(g(f^(1), . . ., f^(n))) = ord(g(L_1, ..., L_n)) であるから、
φψ^(-1) は位相同型である。

よって、φψ^(-1) は位相環としての同型である。
一方、>>205より B は完備である。
よって、ψ(B) も完備である。
よって、ψ(B) は B の閉集合となり ψ(B) = B である。

ψ^(-1) = φ^(-1)φψ^(-1) であり、φ^(-1) および φψ^(-1) は
位相環としての同型であるから ψ^(-1) も位相環としての同型である。
よって、ψ は B の位相環としての自己同型である。
証明終

命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。
f^(1), . . ., f^(n) を B の元ととする。

f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が存在するための必要十分条件は
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 であり、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) が A の可逆元であることである。

なお、この条件が満たされる場合、
g^(i)(f^(1), . . ., f^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる

証明
必要性：
f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が存在するとする。
各 j に対して ord(g^(j)) ≧ 1 であるから、
g^(j)(0) = 0 である。
よって、
f^(i)(0) = 0 である。
よって、各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 である。

(続く)

>>253の続き

>>241より、
∂f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)))/∂X_j
= Σ(∂f^(i)/∂X_k)(g^(1), . . ., g^(n))(∂g^(k)/∂X_j)

一方、f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i であるから、
Σ(∂f^(i)/∂X_k)(g^(1), . . ., g^(n))(∂g^(k)/∂X_j) = δ_(i, j) である。
ここで、δ_(i, j) は Kronecker のデルタである。

よって、
Σ(∂f^(i)/∂X_k)(0)(∂g^(k)/∂X_j)(0) = δ_(i, j) である。
よって、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0))det((∂g^(i)/∂X_j)(0)) = 1 である。
よって、det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) は A の可逆元である。

十分性：
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 であり、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) が A の可逆元であるとする。
>>251より、
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像を ψ としたとき、
ψ は B の位相環としての自己同型である。
よって、φψ = 1_B となる B の位相環としての自己同型 φ がある。
ここで、1_B は恒等写像である。

g^(i) = φ(X_i) (i = 1, ..., n) とおく。
>>228より、各 i に対して、
X_i = φψ(X_i) = φ(f^(i)) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) である。

ψφ = 1_B であるから
同様に、X_i = ψφ(X_i) = ψ(g^(i)) = g^(i)(f^(1), . . ., f^(n)) である。
証明終

規約
Z+ = {0, 1, 2, . . .} とおく。
n ≧ 1 を整数とし、i を 1 ≦ i ≦ n となる整数とする。
i~ ∈ (Z+)^n を
i~ = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0) により定義する。
ここで、1 は i 番目の位置にある。

命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。
f^(1), . . ., f^(n) を B の元とする。
各 i に対して ord(f^(i)) ≧ 1 であり、
det((∂f^(i)/∂X_j)(0)) が A の可逆元であるとする。

このとき、
f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が一意に存在する。

証明
f^(i) = Σ[|α|≧1] a_(i, α)X^α (i = 1, ..., n)
g^(i) = Σ[|β|≧1] b_(i, β)X^β (i = 1, ..., n)
とおき、関係式 f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) を満たすように
b_(i, β) を一意に決めることが出来ることを示そう。

f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = Σ[|γ|≧1] c_(i, γ)X^γ とおく。

Σ[|γ|≧1] c_(i, γ)X^γ
= Σ[|α|≧1] a_(i, α)Π(Σ[|β|≧1] b_(i, β)X^β)^(α_i)

よって、
c_(i, γ) = Σ[|α|≧1] a_(i, α)(ΣB_(1, α)...B_(n, α))

(続く)

>>256の続き

ここで、
B_(1, α) = b_(1, β(1))...b_(1, β(α_1))
B_(2, α) = b_(2, β(α_1 + 1))...b_(2, β(α_1 + α_2))
.
.
.
B_(n, α) = b_(n, β(α_1 + ... + α_(n-1) + 1))...b_(n, β(α_1 + . . . + α_n))

上の ΣB_(1, α)...B_(n, α) は
|β(1)| ≧ 1, . . . |β(α_1 + . . . + α_n)| ≧ 1
γ = β(1) + . . . + β(α_1 + . . . + α_n)
となる多重指数 β(1), . . ., β(α_1 + . . . + α_n) ∈ (Z+)^n 全体の和である。

|γ| = |β(1)| + . . . + |β(|α|)| であり、
各 |β(k)| ≧ 1 であるから |γ| ≧ |α| である。
よって、
c_(i, γ) = Σ[|α|≧1] a_(i, α)(ΣB_(1, α)...B_(n, α))
は有限和である。

X_i = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) より、
δ(i, j) = c_(i, j~) = Σa_(i, k~)b_(k, j~) である。
ここで、δ_(i, j) は Kronecker のデルタである。

(a_(i, k~)) は可逆行列であるから、(b_(k, j~)) (1 ≦ k, j ≦ n) は
(a_(i, k~)) の逆行列として一意に決まる。

(続く)

>>257の続き

γ ≠ i~ のとき
0 = c_(i, γ) = Σa_(i, α)ΣB_(1, α)...B_(n, α)
= Σa_(i, k~)b_(k, γ)
+ Σ[2 ≦ |α| ≦ |γ|] a_(i, α)Σb_(1, β(1))...b_(n, β(|α|))

右辺の Σb_(1, β(1))...b_(n, β(|α|)) は
|β(1)| ≧ 1, . . . |β(|α|)| ≧ 1 かつ
γ = β(1) + . . . + β(|α|)
となる多重指数 β(1), . . ., β(|α|) ∈ (Z+)^n 全体の和である。

|γ| = |β(1)| + . . . + |β(|α|)| であり、|α| ≧ 2 であるから
各 |β(k)| ＜ |γ| である。

よって、上の等式と、(a_(i, k~)) が可逆行列であることから、
帰納的に b_(k, γ), k = 1, ..., n が一意に決まる。
証明終

>>251の別証

命題
A を可換環とする。
B = A[[X_1, ..., X_n]] とおく。

f^(1), . . ., f^(n) を B の元とする。
各 j に対して ord(f^(j)) ≧ 1 とする。
F = ((∂f^(i)/∂X_j)(0)), 1 ≦ i, j ≦ n とおく。
F は A 上の n 次の正方行列である。
g ∈ B に g(f^(1), . . ., f^(n)) (>>220) を対応させる写像 を ψ とする。

このとき、det(F) が A の可逆元であるなら、
ψ は B の位相環としての自己同型である。

証明
>>256より、
f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 g^(1), . . ., g^(n) が一意に存在する。
u ∈ B に u(g^(1), . . ., g^(n)) を対応させる写像を φ とする。
φψ(X_i) = φ(f^(i)) = f^(i)(g^(1), . . ., g^(n)) = X_i である。

よって、φψ = 1_B である。
よって、φ は全射である。

g^(1), . . ., g^(n) に>>256を適用すると、
g^(i)(h^(1), . . ., h^(n)) = X_i (i = 1, ..., n) となる
B の元 h^(1), . . ., h^(n) が一意に存在する。

(続く)

>>259の続き

u ∈ B に u(h^(1), . . ., h^(n)) を対応させる写像を ψ’とする。

ψ’φ(X_i) = ψ’(g^(i)) = g^(i)(h^(1), . . ., h^(n)) = X_i
よって、ψ’φ = 1_B である。
よって、φ は単射である。

以上から φ は全単射である。
φ の逆写像を φ^(-1) とする。
φψ = 1_B より、φ^(-1)φψ = φ^(-1)
よって、ψ = φ^(-1)
よって、ψ^(-1) = φ

>>226より、ψ および φ は連続準同型である。
よって、ψ は B の位相環としての自己同型である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
M = (Z+)^n とおく。
A に離散位相を与え A の加法群を位相アーベル群と見なす。
位相アーベル群としての直積 A^M を考える。
B の任意の元 f = Σa_αX^α に対して A^M の元 (a_α), α ∈ M を
対応させる写像 ψ は位相アーベル群としての同型である。

証明
ψ がアーベル群として同型なことは明らかである。
よって、ψ が位相同型であることを示せばよい。

(Z+)^n の有限部分集合 S に対して
U_S = {(a_α) ∈ A^E; α ∈ S のとき a_α = 0} とおく。
U_S 全体は A^E の 0 の基本近傍系である。

整数 m ≧ 0 に対して、
S_m = {α ∈ (Z+)^n; |α| ≦ m} とおく。
S_m は有限集合である。

(Z+)^n の任意の有限部分集合 S に対して
m = sup{|α|; α ∈ S} とおく。
S ⊂ S_m である。
よって、U_(S_m), m = 0, 1, 2, . . . は A^E の 0 の基本近傍系である。

I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
任意の整数 m ≧ 0 に対して、ψ(I^(m+1)) = U_(S_m) である。
よって、ψ は位相同型である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
β ∈ (Z+)^n のとき S_β = {α ∈ (Z+)^n; α ≦ β} とおく。
J_β = {Σa_αX^α ∈ B; α ∈ S_β のとき a_α = 0} とおく。
このとき J_β は B のイデアルであり、
J_β 全体は B の 0 の基本近傍系となる。

証明
Σa_αX^α ∈ J_β
Σc_γX^γ ∈ B
とする。

Σc_γX^γΣa_αX^α = Σd_νX^ν
ここで、d_ν = Σ[ν = γ + α] c_γa_α

ν = γ + α ≦ β のとき α ≦ β であるから a_α = 0 となり c_γa_α = 0
よって、d_ν = 0 である。
よって、J_β は B のイデアルである。

(Z+)^n の有限部分集合 S に対して
J_S = {Σa_αX^α ∈ B; α ∈ S のとき a_α = 0} とおく。
J_(S_β) = J_β である。

(続く)

>>262の続き

I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。

任意の整数 m ≧ 0 に対して、
S_m = {α ∈ (Z+)^n; |α| ≦ m} とおく。
J_(S_m) = I^(m+1) である。

|β| = m とする。
α ≦ β なら |α| ≦ m である。
よって、S_β ⊂ S_m
よって、I^(m+1) = J_(S_m) ⊂ J_β
よって、J_β は 0 の開近傍である。

S_m は有限集合であるから S_m ⊂ S_β となる β ∈ (Z+)^n がある。
よって、J_β ⊂ J_(S_m) = I^(m+1)

よって、J_β 全体は B の 0 の基本近傍系となる。
証明終

>>256は>>253の条件の十分性の別証である。
>>253より構成的な利点がある。

>>205の別証

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
B は I-進位相(>>193)で位相環となる。

このとき、B は位相環として分離かつ完備である。

証明
M = (Z+)^n とおく。
A に離散位相を与え A の加法群を位相アーベル群と見なす。
>>261より、B は位相アーベル群として直積 A^M に同型である。
A は分離だから A^M も分離である。
A は完備だから過去スレ006の255より A^M は完備である。
証明終

G をアーベル群とし、
Ψ を G の部分群からなるフィルター基底(過去スレ006の77)とする。
過去スレ006の590より、G の単位元の基本近傍系として Ψ をとることにより
G は位相アーベル群となる。
G はこの位相で分離かつ完備であるとする。

L を可算とは限らない任意の集合とする。
(u_λ), λ ∈ L を G の元の族とする。

(u_λ), λ ∈ L が総和可能(過去スレ006の147)であるためには、
任意の H ∈ Ψ に対して、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ H となることが必要十分である。

証明
L の有限部分集合全体を Φ(L) とする。
J ∈ Φ(L) に対して Σ[λ ∈ J] u_λ を s(J) とおく。

必要性：
(u_λ), λ ∈ L が総和可能とし、s をその総和とする。
定義(過去スレ006の147)より、任意の H ∈ Ψ に対して、J_0 ∈ Φ(L) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(L) に対して
s - s(J) ∈ H となる。

λ ∈ L - J_0 なら J = J_0 ∪ {λ} とおくと
s(J) = s(J_0) + u_λ だから
s - s(J_0) - u_λ ∈ H となる。

一方、s - s(J_0) ∈ H だから u_λ ∈ H となる。

(続く)

>>266の続き

十分性：
任意の H ∈ Ψ に対して、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ H となるとする。

T ∩ J_0 が空となる任意の T ∈ Φ(L) に対して
Σ[λ ∈ T] u_λ ∈ H となる。

よって、(u_λ), λ ∈ L はCauchy の判定条件(過去スレ006の153)を満たす。
よって、Cauchy の定理(過去スレ006の158)より
(u_λ), λ ∈ L は総和可能である。
証明終

命題
A を可換環とし、B = A[[X_1, ..., X_n]] を A 上の形式的べき級数環とする。
I = (X_1, ..., X_n)B を X_1, ..., X_n で生成される B のイデアルとする。
L を可算とは限らない任意の集合とする。
(u_λ), λ ∈ L を B の元の族とする。
各 λ ∈ L に対して u_λ = Σa_(λ, α)X^α とする。

このとき以下の条件は同値である。

(a) (u_λ), λ ∈ L は総和可能(過去スレ006の147)である。

(b) 任意の整数 m ≧ 0 に対して、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ I^m となる。

(c) 任意の α ∈ (Z+)^n に対して a_(λ, α) ≠ 0 となる λ は有限集合である。

以上の条件が満たされるとき
a_α = Σ[λ ∈ L] a_(λ, α) とおくと、Σu_λ = Σa_αX^α である。

証明
(a) ⇔ (b) は>>266から直ちに得られる。

(続く)

>>268の証明

(b) ⇒ (c) の証明:
任意の α ∈ (Z+)^n に対して m = |α| とおく。
(b) より、L の有限部分集合 J_0 があり、
λ ∈ L - J_0 なら u_λ ∈ I^(m+1) となる。
よって、a_(λ, α) = 0 である。
よって、(c) が得られる。

(c) ⇒ (b) の証明:
α ∈ (Z+)^n に対して J_α = {λ ∈ L; a_(λ, α) ≠ 0} とおく。
(c) より、各 J_α は有限集合である。
任意の整数 m ≧ 0 に対して、J_0 = ∪{J_α; |α| ≦ m} とおく。
J_0 は有限集合である。
λ ∈ L - J_0 なら |α| ≦ m のとき a_(λ, α) = 0 である。
よって、u_λ ∈ I^(m+1) となる。
よって、(b) が得られる。

最後の主張の証明：
Σu_λ = Σ[λ ∈ L]Σ[α ∈ (Z+)^n] a_(λ, α)X^α
= Σ[α ∈ (Z+)^n]Σ[λ ∈ L] a_(λ, α)X^α ← 総和記号の交換(過去スレ006の166)
= Σ[α ∈ (Z+)^n]Σa_αX^α
証明終

定義
A を必ずしも可換とは限らない位相環(過去スレ006の189)とする。
A の 0 の基本近傍系として A の両側イデアルからなるものがとれるとき
A を線型位相環という。

命題
A を線型位相環(>>270)とする。
I を A の両側イデアルで 0 の近傍になっているとする。
このとき I は開かつ閉である。

証明
x ∈ I を任意の元とする。
x + I は x の近傍で x + I ⊂ I であるから I は開集合である。
I は A の加法群の開部分群であるから I は閉部分群でもある。
証明終

A を必ずしも可換とは限らない環とする。
Ψ を A の両側イデアルからなるフィルター基底(過去スレ006の77)とする。
過去スレ006の593より、0 の基本近傍系として Ψ をとることにより
A は位相環となる。
A はこの位相で線型位相環(>>270)である。

>>270の修正

定義
A を必ずしも可換とは限らない位相環(過去スレ006の189)とする。
A の 0 の基本近傍系として A の両側イデアルからなるものがとれるとき
A の位相を線型位相と呼び A を線型位相環または線型位相をもつ環と言う。

線型位相(>>273)の例
A を可換環とし I をそのイデアルとする。
I-進位相(>>193)は線型位相(>>273)である。

線型位相環(>>273)の例
A をフィルター付環(過去スレ003の91)とし、
そのフィルター (A_n), n ∈ Z は n ≦ 0 のとき A_n = A となるものとする。
このとき、各 A_n を 0 の基本近傍とすることにより A は線型位相環になる。

命題
G を位相群とする。
G の単位元 e の近傍 H が G の部分群であれば H は G の開部分群である。

証明
任意の x ∈ H に対して xH は x の近傍である。
xH ⊂ H であるから H は開部分群である。
証明終

命題
G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。

このとき、{e}~ = ∩{V; V ∈ Ψ} である。
ここで {e}~ は {e} の閉包である。

証明
x ∈ {e}~ とする。
任意の V ∈ Ψ に対して V^(-1) は e の近傍であるから
W ⊂ V^(-1) となる W ∈ Ψ がある。
e ∈ xW であるから x^(-1) ∈ W ⊂ V^(-1) である。
よって、x ∈ V である。
よって、{e}~ ⊂ ∩{V; V ∈ Ψ} である。

逆に x ∈ ∩{V; V ∈ Ψ} とする。
任意の V ∈ Ψ に対して V^(-1) は e の近傍であるから
W ⊂ V^(-1) となる W ∈ Ψ がある。
x ∈ W ⊂ V^(-1) である。
よって、x^(-1) ∈ V
よって、e ∈ xV
よって、x ∈ {e}~ である。
よって、∩{V; V ∈ Ψ} ⊂ {e}~ である。
証明終

命題
G を位相群とする。
Ψ を G の単位元 e の基本近傍系とする。

G が分離(即ちHausdorff)であるためには
∩{V; V ∈ Ψ} = {e} となることが必要十分である。

証明
>>277より、∩{V; V ∈ Ψ} = {e}~ である。
よって、∩{V; V ∈ Ψ} = {e} は {e} が閉集合であることと同値である。

G が分離であれば、{e} は閉集合である。

逆に {e} が閉集合であるとする。
写像 f: G×G → G を f(x, y) = xy^(-1) で定義する。
f は連続であるから f^(-1)(e) は G の閉集合である。
f^(-1)(e) は G×G の対角集合であるから G は分離である。
証明終

G を群とする。
Ψ を G の正規部分群からなるフィルター基底(過去スレ006の77)とする。
G の単位元 e の基本近傍系として Ψ をとることにより
G は位相群になる。

定義
対象(object)全体が集合となるような圏を小さい圏という。

C を小さい圏(>>280)とする。
C は次の条件(F)を満たすとする。

(F) x, y を C の任意の対象とするとき、
Hom(x, y) は空集合であるか１個の元からなる。

このとき、Hom(x, y) が空集合でないとき x ≦ y と定義すると、
容易にわかるように C の対象全体 Ob(C) は前順序集合(過去スレ008の139)となる。

逆に前順序集合 L が与えられたとき
関係 x ≦ y を x から y への射と見なすことにより
L は条件 (F) を満たす小さい圏になる。

定義
C を圏とする。
L を前順序集合とする。
L は小さい圏(>>281)と見なす。
L から C への共変関手を L を添字集合とし、C に値をとる帰納系と呼ぶ。
L から C への反変関手を L を添字集合とし、C に値をとる射影系と呼ぶ。

C を圏とする。
L を前順序集合とする。
L は小さい圏(>>281)と見なす。
F を L を添字集合とし、C に値をとる射影系とする。
λ, μ を L の元で λ ≦ μ とする。
F により、λ ≦ μ に対応する射を f_(λ, μ) と書く。
f_(λ, μ): F(μ) → F(λ) である。

f_(λ, λ) = 1_F(λ) である。
λ ≦ μ ≦ ν のとき f_(λ, μ)f_(μ, ν) = f_(λ, ν) である。

F は C の対象の族 (F(λ)), λ ∈ L と C の射の族 (f_(λ, μ)), λ ≦ μ
により定まる。
よって、射影系 F を (F(λ), f_(λ, μ)), λ ∈ L と略記する。

帰納系も同様である。

定義
I を小さい圏とし、C を圏とする。
I から C への共変関手全体を Func(I, C) または C^I と書く。
Func(I, C) は自然変換を射とすることにより圏となる。

I から C への反変関手全体を Func(I^o, C) または C^(I^o) と書く。
ここで I^o は I の射をすべて逆向きにした圏(opposite category)である。
Func(I^o, C) は自然変換を射とすることにより圏となる。

定義
I を小さい圏(>>281)とし、C を圏とする。
X を C の対象とする。
k_X を各 i ∈ I に X を対応させ、任意の射 i → j に X の単位射 1_X を
対応させる関手とする。
k_X を X に値をとる定数関手と言う。
k_X は Func(I, C) の対象でもあり、Func(I^o, C) の対象でもある。

X → k_X は C から Func(I, C) への共変関手でもあり、
C から Func(I^o, C) への共変関手でもある。
これを対角関手と呼び、Δ と書く。

定義
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
I は小さい圏(>>281)と見なす。
F を I を添字集合とし、C に値をとる射影系とする。
F は Func(I^o, C) (>>284) の対象である。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I^o, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: k_X → F が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: k_Y → F があるとき、射 f: Y → X で
σΔ(f) = τ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

このとき、次の命題で示すように σ は Func(I^o, C) の対象として
同型を除いて一意に決まる。
σ を F の射影極限と呼び proj.lim F と書く。
proj.lim F は略して proj.lim (F(λ)), λ ∈ L
または proj.lim (F(λ)) とも書く。
用語の濫用だが X を F の射影極限ともいい X = proj.lim F
または X = proj.lim (F(λ)) とも書く。

射影極限(>>286)の一意性を証明する前にいくつか準備をする。

定義
C を圏とする。
X を C の対象とする。
C の任意の対象 Y に対して Hom(X, Y) が常に１個の元からなるとき
X を C の始対象という。

C の任意の対象 Y に対して Hom(Y, X) が常に１個の元からなるとき
X を C の終対象という。

命題
C を圏とする。
C の始対象(>>288)は全て同型である。
同様に C の終対象(>>288)は全て同型である。

証明
X と Y を C の始対象とする。
f: X → Y と g: Y → X がそれぞれ１個存在する。
Hom(X, X) は１個の元からなるから gf: X → X は単位射 1_X に等しい。
同様に fg: Y → Y は単位射 1_Y に等しい。
よって、 X と Y は同型である。

同様に終対象は全て同型である。
証明終

>>286の修正

定義
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
I は小さい圏(>>281)と見なす。
F を I を添字集合とし、C に値をとる射影系とする。
F は Func(I^o, C) (>>284) の対象である。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I^o, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: k_X → F が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: k_Y → F があるとき、射 f: Y → X で
σΔ(f) = τ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

このとき、次の命題で示すように
σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U)を持てば
X から Z への同型 f: X → Zで ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

(X, σ) を F の射影極限と呼び proj.lim F と書く。
proj.lim F は略して proj.lim (F(λ)), λ ∈ L
または proj.lim (F(λ)) とも書く。
用語の濫用だが X を F の射影極限ともいい X = proj.lim F
または X = proj.lim (F(λ)) とも書く。

命題
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
F を I を添字集合とし、C に値をとる射影系(>>282)とする。

σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U)を持てば
X から Z への同型 f: X → Z で ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

証明
C の対象 X と射 σ: k_X → F の組 (X, σ) 全体を C/F と書く。
ここで k_X は定数関手(>>285)である。

(X, σ) と (Y, τ) を C/F の対象としたとき
射: (X, σ) → (Y, τ) として射 f: X → Y で τΔ(f) = σ と
なるものをとることにより、C/F は圏になる。

(X, σ) が性質(U)を持てば (X, σ) は C/F の終対象(>>288)である。
>>289より C/F の終対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

定義
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
I は小さい圏(>>281)と見なす。
F を I を添字集合とし、C に値をとる帰納系とする。
F は Func(I, C) (>>284) の対象である。

X を C の対象とし、k_X ∈ Func(I, C) を定数関手(>>285)とする。
射 σ: k_X → F が次の性質(U)をもつとする。

(U) C の対象 Y に対して射 τ: k_Y → F があるとき、射 f: X → Y で
τΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。
ここで、Δ は対角関手(>>285)である。

このとき、次の命題で示すように
σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U)を持てば
X から Z への同型 f: X → Z で ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

(X, σ) を F の帰納極限と呼び ind.lim F と書く。
ind.lim F は略して ind.lim (F(λ)), λ ∈ L
または ind.lim (F(λ)) とも書く。
用語の濫用だが X を F の帰納極限ともいい X = ind.lim F
または X = ind.lim (F(λ)) とも書く。

命題
C を圏とする。
I を前順序集合とする。
F を I を添字集合とし、C に値をとる帰納系(>>282)とする。

σ: k_X → F と ρ: k_Z → F がそれぞれ性質(U) (>>292) を持てば
X から Z への同型 f: X → Z で ρΔ(f) = σ となるものが一意に存在する。

証明
C の対象 X と射 σ: k_X → F の組 (X, σ) 全体を C/F と書く。
ここで k_X は定数関手(>>285)である。

(X, σ) と (Y, τ) を C/F の対象としたとき
射: (X, σ) → (Y, τ) として射 f: X → Y で τΔ(f) = σ と
なるものをとることにより、C/F は圏になる。

(X, σ) が性質(U)を持てば (X, σ) は C/F の始対象(>>288)である。
>>289より C/F の始対象は全て同型である。
よって本命題の主張が得られる。
証明終

議論を明確にするため圏の定義を書いておく。

定義
圏 C とは二つの類 Ob(C)、Hom(C) と二つの写像 s, t: Hom(C) → Ob(C)
からなる四つ組 (Ob(C), Hom(C), s, t) で以下に述べる条件を満たすものである。
ここで、類とは大雑把に言うと数学的対象の集まりで
必ずしも集合とは限らないものを言う。
例えば全ての集合の全体は類であり集合ではない。

Ob(C) の要素は C の対象(object)と呼ばれる。
Hom(C) の要素は C の射(morphism)または矢(arrow)と呼ばれる。
f ∈ Hom(C) に対して s(f) を f の定義域(source または domain)と呼び
t(f) を f の値域(target または codomain)と呼ぶ。
X = s(f), Y = t(f) のとき f: X → Y と書く。

(�@) (射の合成) f: X → Y, g:Y → Z のとき f と g の合成と呼ばれる射 h: X → Z が定まる。
h を gf と書く。
(�A) (射の結合律) f: X → Y, g:Y → Z, h: Z → W のとき
h(gf) = (hg)f

(�B) (単位射の存在) 各 X ∈ Ob(X) は単位射と呼ばれる射 : X → X を持つ。
X の単位射を 1_X または誤解のない場合は単に 1 と書く。

(�C) (単位射の性質) 任意の f: X → Y に対して f(1_X) = f, (1_Y)f = f

定義
圏 C の対象 X, Y に対して
X を定義域とし Y を値域とする射全体を Hom(X, Y) と書く。

命題
C を圏とする。
X ∈ Ob(X) に対して X の単位射はただ一つしかない。

証明
f と g を X の単位射とする。
>>294の (�C) より f = fg = g
証明終

命題
C を圏とする。
X ∈ Ob(X) に対して X の単位射 1_X を対応させる Ob(C) から Hom(C) への写像は
単射である。

証明
1_X = 1_Y であれば X = s(1_X) = s(1_Y) = Y である。
証明終

定義
圏 C の任意の対象 X, Y に対して Hom(X, Y) が集合となるとき
C を局所的に小さい圏と呼ぶ。
特に断らない限り圏は局所的に小さい圏とする。

Hom(C) が集合となるとき C を小さい圏と呼ぶ。
このとき、>>297より Ob(C) も集合である。

定義
S を集合とする。
μ: S×S → S を写像で、次の条件を満たすとする。
(x, y) ∈ S×S に対して μ(x, y) = xy と書く。

(1) x, y, z ∈ S のとき (xy)z = x(yz)
(2) e ∈ X があり任意の x ∈ S に対して ex = xe = x

このとき S をモノイド(monoid)と呼ぶ。
e を S の単位元と呼ぶ。
S の単位元は一意に決まる。

圏 C の任意の対象 X に対して Hom(X, X) は射の合成に関してモノイドである。
逆に任意のモノイド M は M を対象として M の各元を射とすることにより圏になる。
よって対象が１個の圏はモノイドと同一視出来る。

標語的に言うと圏とは拡張されたモノイドである。

定義
S と T をモノイド(>>299)とする。
S および T の単位元を 1 と書く。
f: S → T を写像とし以下の条件を満たすとする。

(�@) 任意の x, y ∈ S に対して f(xy) = f(x)f(y)

(�A) f(1) = 1

このとき f をモノイドの準同型または射と呼ぶ。

定義
C と D を圏とする。
写像 F: Ob(C) → Ob(D) と写像(同じ文字を使う) F: Hom(C) → Hom(D) が
以下の性質を満たすとき F を C から D への関手(functor)または射(morphism)と言う。

(�@) f: X → Y のとき F(f): F(X) → F(Y)

(�A) f: X → Y, g: Y → Z のとき F(gf) = F(g)F(f)

(�B) 任意の X ∈ Ob(C) に対して F(1_X) = 1_F(X)

S と T をモノイド(>>299)とする。
S から T への準同型(>>301)は>>300により S と T を圏と見なしたとき
S から T への関手に他ならない。

標語的に言うと関手とは拡張されたモノイドの準同型である。

定義
C を圏とする。
C^o を圏で Ob(C^o) = Ob(C) であり、
Hom(C) → Hom(C^o) への全単射 f → f^o があり次の条件を満たすとする。

(�@) f ∈ Hom(C) に対して、f^o の定義域と値域はそれぞれ f の値域と定義域である。
(�A) f: X → Y, g: Y → Z のとき (gf)^o = (f^o)(g^o)

このとき C^o を C の双対圏(opposite category)と呼ぶ。

定義
C と D を圏とする。
C^o (>>304)から D への関手(>>302)を
C から D への反変関手(contravariant functor)と呼ぶ。
なお、C から D への関手は共変関手(covariant functor)ともいう。

即ち、写像 F: Ob(C) → Ob(D) と写像(同じ文字を使う) F: Hom(C) → Hom(D) が
以下の性質を満たすとき F を C から D への反変関手と言う。

(�@) f: X → Y のとき F(f): F(Y) → F(X)

(�A) f: X → Y, g: Y → Z のとき F(gf) = F(f)F(g)

(�B) 任意の X ∈ Ob(C) に対して F(1_X) = 1_F(X)

圏 C において Ob(C) を類(class)と仮定するのは不便なことが多い。
例えば圏 C と D に対して C から D への関手全体 D^C は
D が集合でないと圏にならない。

そこで巨大な集合 U を考え、U においては通常の集合の操作、
例えば積集合を作るとかベキ集合を作ることなどが自由に行えるとする。
この U を舞台にして圏論を考えようというのがGrothendieckの考えである。
このような U を Grothendieckの宇宙(Grothendieck universe)、
または単に宇宙(universe)という。

定義
以下の条件を満たす集合 U を宇宙(universe)という。

(1) X ∈ U かつ Y ∈ X なら Y ∈ U
(2) X ∈ U かつ Y ∈ U なら {X, Y} ∈ U
(3) X ∈ U なら 2^X ∈ U
ここで 2^X は X の部分集合全体の集合である。
(4) I ∈ U で (X_i), i ∈ I を I を添字集合とする U の元からなる族としたとき、
∪X_i ∈ U

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ⊂ X なら Y ∈ U

証明
>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
Y ∈ 2^X であるから>>307の (1) より Y ∈ U である。
証明終

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら X×Y ∈ U

証明
x ∈ X のとき、Y_x = Y とおく。
族 (Y_x), x ∈ X に対して ∪Y_x = X×Y である。
よって、>>307の (4) より X×Y ∈ U である。
証明終

命題
U を宇宙とする。
I ∈ U で (X_i), i ∈ I を I を添字集合とする U の元からなる族としたとき、
ΠX_i ∈ U

証明
f ∈ ΠX_i は I から Y = ∪X_i への写像 f で
各 i ∈ I に対して f(i) ∈ X_i となるもの全体である。
f とそのグラフを同一視すると f ⊂ I×Y である。
よって、ΠX_i ⊂ 2^(I×Y) である。

一方、>>307の (4) より Y = ∪X_i ∈ U である。
>>309より、I×Y ∈ U である。
よって、>>307の (3) より 2^(I×Y) ∈ U である。
よって、>>308より ΠX_i ∈ U である。
証明終

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U のとき X ⊂ U である。

証明
>>307の (1) より x ∈ X のとき x ∈ U である。
即ち、X ⊂ U である。
証明終

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U のとき |X| ＜ |U|
ここで、|X| は X の濃度を表す。

証明
>>311より、X ⊂ U である。
よって、|X| ≦ |U| である。
|X| = |U| と仮定する。

>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
よって、>>311より、|2^X| ≦ |U| である。
一方、|X| ＜ |2^X| であるから |X| ＜ |U| である。
証明終

命題
U を宇宙とする。
U ∈ U ではない。

証明
U ∈ U とすると>>312より |U| ＜ |U| となり矛盾である。
証明終

>>306
>例えば圏 C と D に対して C から D への関手全体 D^C は
>D が集合でないと圏にならない。

例えば圏 C と D に対して C から D への関手全体 D^C は
C が集合でないと圏にならない。

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U なら {X} ∈ U

証明
>>307の (2) より {X} = {X, X} ∈ U である。

命題
U を空でない宇宙とする。
空集合 φ ∈ U である。

証明
X ∈ U とする。
>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
φ ∈ 2^X であるから
>>307の (1) より φ ∈ U である。
証明終

命題
U を空でない宇宙とする。
{φ, {φ}} = 2^{φ} ∈ U である。

証明
>>316より、φ ∈ U である。
よって、>>315より、{φ} ∈ U である。
よって、>>307の (2) より {φ, {φ}} ∈ U である。
証明終

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら X ∪ Y ∈ U

証明
>>317より、{φ, {φ}} ∈ U である。
Z_φ = X
Z_{φ} = Y
とおく。
>>307の (4) より X ∪ Y = Z_φ ∪ Z_{φ} ∈ U である。
証明終

無限集合を要素にもつ宇宙の存在は証明されていない。
そこで次の仮定を認めることにする。

ω = {0, 1, 2, . . .} を有限順序数全体の集合とする。
ω ∈ U となる宇宙 U が存在する。

今後、宇宙 U は ω ∈ U となるもののみを考える。

命題
U を>>319の条件を満たす宇宙とする。
実数全体の集合を R とすると R ∈ U である。

証明
集合の操作により ω = {0, 1, 2, . . .} から R を構成することが出来るから
R ∈ U である。

定義
>>319の条件を満たす宇宙 U を固定する。

X ∈ U となる集合 X を小さい集合と呼ぶ。

小さい集合の全体からなる圏を小さい集合の圏といい Set と書く。
U = Ob(Set) である。
X, Y ∈ Ob(Set) のとき Hom(X, Y) は X から Y への写像全体であり、
Hom(X, Y) ∈ U である。

定義
>>319の条件を満たす宇宙 U を固定する。

小さい圏 C とは Ob(C) ∈ U かつ Hom(C) ∈ U となるものを言う。

定義
>>319の条件を満たす宇宙 U を固定する。

U の任意の部分集合 E を類(class)と呼ぶ。
>>311より小さい集合(>>321) X は類である。

小さい集合でない類を真の類(proper class)と言う。
例えば、>>313より U は真の類である。

定義
大きい圏 C とは Ob(C) および Hom(C) が類(>>323)であるものを言う。

定義
グラフ G とは二つの集合 Ob(G)、Hom(G) と二つの写像 s, t: Hom(G) → Ob(G)
からなる四つ組 G = (Ob(G), Hom(G), s, t) のことである。

Ob(G) の元を G の対象と呼び、Hom(G) の元を G の射または矢と呼ぶ。
f ∈ Hom(G) に対して s(f) を f の定義域(source または domain)と呼び
t(f) を f の値域(target または codomain)と呼ぶ。
X = s(f), Y = t(f) のとき f: X → Y と書く。

小さいグラフ G とは Ob(G) および Hom(G) が小さい集合(>>321)であるものを言う。
大きいグラフ G とは Ob(G) および Hom(G) が類(>>323)であるものを言う。

定義
G = (Ob(G), Hom(G), s_G, t_G)
H = (Ob(H), Hom(H), s_H, t_H)
をグラフ(>>325)とする。

射 F: G → H とは写像の組 F = (F_0, F_1) で次の条件(M)を満たすもののことを言う。
ここで、
F_0: Ob(G) → Ob(H)
F_1: Hom(G) → Hom(H)
である。

条件(M)：
任意の f ∈ Hom(G) に対して、
s_H(F_1(f)) = F_0(s_D(f))
t_H(F_1(f)) = F_0(t_D(f))

即ち、f: X → Y のとき F_1(f): F_0(X) → F_0(Y)

>>309の証明を修正するため次の命題を用意する。

命題
U を宇宙(>>307)とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら順序対 (X, Y) ∈ U

ここで、(X, Y) = {X, {X, Y}} と考える。

証明
>>307の (2) より {X, Y} ∈ U である。
よって、再び>>307の (2) より (X, Y) = {X, {X, Y}} ∈ U である。
証明終

補題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら {X}×Y ∈ U

証明
{X}×Y = ∪{{X}×{y}; y ∈ Y}
>>315より、{X} ∈ U であり、y ∈ Y のとき {y} ∈ U である。
よって、>>327より、y ∈ Y のとき {X}×{y} = ({X}, {y}) ∈ U
>>307の (4) より {X}×Y ∈ U である。
証明終

>>309の修正

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U かつ Y ∈ U なら X×Y ∈ U

証明
X×Y = ∪{{x}×Y; x ∈ X}
>>307の (1) より x ∈ X のとき x ∈ U である。
よって、x ∈ X のとき、>>328より {x}×Y ∈ U である。
よって、>>307の (4) より X×Y ∈ U である。
証明終

定義
G = (Ob(G), Hom(G), s_G, t_G) をグラフ(>>325)とする。
1_G = (1_Ob(G), 1_Hom(G)) を G の単位射または恒等射と呼ぶ。

定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
C = (Ob(C), Hom(C), s_C, t_C)
をグラフ(>>325)とする。

F = (F_0, F_1): A → B と G = (G_0, G_1): B → C を射とする。
このとき、H = (G_0F_0, G_1F_1) は射: A → C である。
H を GF と書き F と G の合成と呼ぶ。

定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

Ob(B) ⊂ Ob(A) かつ Hom(B) ⊂ Hom(A) であり、
s_B および t_B がそれぞれ s_A および t_A の制限写像であるとき、
B を A の部分グラフと呼ぶ。

定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

Ob(B) = Ob(A)
Hom(B) = Hom(A)
s_B = t_A
t_B = s_A
のとき B を A の双対グラフ(opposite graph)と呼び、A^o と書く。

定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

A^o (>>333)から B への射(>>326)を反変射(contravariant morphism)と呼ぶ。
通常の射(>>326)は共変射(covariant morphism)とも言う。

定義
X, Y, Z を集合とする。
f: X → Z
g: Y → Z
を写像とする。

集合 {(x, y) ∈ X×Y; f(x) = g(y)} を (X×Y)_Z と書き
X と Y の Z 上のファイバー積と呼ぶ。

(x, y) ∈ (X×Y)_Z に f(x) = g(y) ∈ Z を対応させる写像
(X×Y)_Z → Z を (X×Y)_Z の標準写像と呼ぶ。

定義
O を集合とする。
グラフ(>>325) A で O = Ob(A) となるものを O-グラフと呼ぶ。

A と B を O-グラフとし F = (F_0, F_1): A → B をグラフの射とする。
F_0 = 1_O のとき F を O-グラフの射と言う。

定義
A = (Ob(A), Hom(A), s_A, t_A)
B = (Ob(B), Hom(B), s_B, t_B)
をグラフ(>>325)とする。

F: A → B
G: B → A
を射(>>326)とする。

GF = 1_A
FG = 1_B
となるとき G を F の逆射といい G = F^(-1) と書く。
F は G の逆射であり F = G^(-1) である。
このとき F は同型射という。
A と B は同型という。

定義
A と B をO-グラフ(>>336)とする。
F: A → B
G: B → A
をO-グラフの射(>>336)とする。

GF = 1_A
FG = 1_B
となるとき G を F の逆射といい G = F^(-1) と書く。
F は G の逆射であり F = G^(-1) である。
このとき F は同型射という。
A と B は（O-グラフとして）同型という。

定義
A と B をO-グラフ(>>336)とする。
A と Hom(A) および B と Hom(B) を同一視する。
s_A: A → O と t_B: B → O に関するファイバー積(>>335)を (A×B)_O とする。
即ち (A×B)_O = {(g, f) ∈ A×B; s_A(g) = t_B(f)} である。
(A×B)_O はいわば「合成可能」な射の対 (g, f) である。

s: (A×B)_O → O を s(g, f) = s_A(f)
t: (A×B)_O → O を t(g, f) = t_B(g)
で定義することにより (A×B)_O は O-グラフになる。

O は、Ob(O) = O, Hom(O) = {1_O}
s_O(1_O) = O
t_O(1_O) = O
と定義することにより、O-グラフになる。
(A×O)_O および (O×A)_O は A にO-グラフとして同型(>>338)である。

定義
圏とは
(1) 集合 O
(2) O-グラフ(>>336) A
(3) O-グラフの射(>>336) c:(A×A)_O (>>339) → A
(4) O-グラフの射(>>336) i:O → A
の四つ組 (O. A, c. i) で以下の性質(�@), (�A) をもつものを言う。

(g, f) ∈ (A×A)_O に対して c(g, f) = gf と書く。
X ∈ O に対して i(X) = 1_X と書く。

(�@) (g, f) ∈ (A×A)_O, (h, g) ∈ (A×A)_O のとき h(gf) = (hg)f

(�A) 任意の X ∈ O と t(f) = X となる任意の f ∈ A に対して (1_X)f = f
s(g) = X となる任意の g ∈ A に対して g(1_X) = g

記法
圏 C = (O. A, c. i) (>>340) において
O = Ob(C)
A = Hom(C) または A = Ar(C)
と書く。

X, Y ∈ O のとき s(f) = X, t(f) = Y となる f ∈ A の全体を
Hom_C(X, Y) または Hom(X, Y) と書く。

今後特に断らない限りグラフ(>>325)および圏(>>340)は
>>319の条件を満たす固定した宇宙 U で考えることにする。
即ち C をグラフまたは圏としたとき
Ob(C) ⊂ U かつ Hom(C) ⊂ U と仮定する。
言い換えると C は大きいグラフまたは大きい圏(>>323)とする。

定義
C を圏とする。
任意の X, Y ∈ Ob(C) に対して Hom(X, Y) が小さい集合(>>321)のとき
C を局所的に小さい圏または小さいHom集合(small hom-set)をもつ圏という。

なお、Mac Lane の本 Categories for the working mathematician は
局所的に小さい圏という用語は他の概念と紛らわしいので避けている。

定義
C を圏とする。
グラフ(>>325) (Ob(C), Hom(C), s, t) を C のグラフと言い、|C| と書く。

定義
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
任意の T ∈ Ob(C) に対して u ∈ Hom(T, X) に fu ∈ Hom(T, Y) を対応させる写像
が単射のとき f を単射(monomorphism)という。

任意の T ∈ Ob(C) に対して v ∈ Hom(Y, T) に vf ∈ Hom(X, T) を対応させる写像
が単射のとき f を全射(epimorphism)という。

f が単射かつ全射のとき f を全単射という。

定義
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
射 g: Y → X で gf = 1_X となるものがあるとき f を左可逆または
引き込み可能(retractable)と言い、g を f の左逆射または
引き込み(retraction)と言う。

射 h: Y → X で fh = 1_Y となるものがあるとき f を右可逆または
切断可能と言い、h を f の右逆射または断面(section)と言う。

命題
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が左可逆(>>346)であれば f は単射(>>345)である。

証明
g: Y → X を f の左逆射とする。
gf = 1_X である。

任意の T ∈ Ob(C) と u, v ∈ Hom(T, X) に対して、
fu = fv とする。

g(fu) = g(fv)
よって、
(gf)u = (gf)v
よって、
(1_X)u = (1_X)v
よって、
u = v

よって、f は単射である。
証明終

命題
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が右可逆(>>346)であれば f は全射(>>345)である。

証明
g: Y → X を f の右逆射(>>346)とする。
fg = 1_Y である。

任意の T ∈ Ob(C) と u, v ∈ Hom(Y, T) に対して、
uf = vf とする。

(uf)g = (vf)g
よって、
u(fg) = v(fg)
よって、
u(1_Y) = v(1_Y)
よって、
u = v

よって、f は全射である。
証明終

命題
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が左可逆(>>346)かつ右可逆(>>346)であれば f の左逆射と右逆射は一致し、
f により一意に決まる。

証明
g: Y → X を f の左逆射とする。
gf = 1_X である。
h: Y → X を f の右逆射(>>346)とする。
fh = 1_Y である。

(gf)h = (1_X)h = h
一方、
g(fh) = g(1_Y) = g

よって、g = h

g’: Y → X を f の左逆射とする。
上から g’= h = g である。
同様に h’: Y → X を f の右逆射とすると、
h’= g = h である。
証明終

定義
f: X → Y を圏(>>340) C における射とする。
f が左可逆(>>346)かつ右可逆(>>346)のとき f を同型射(isomorphism)と呼ぶ。
このとき、>>349より f の左逆射と右逆射は一致し f により一意に決まる。
この射を f の逆射と呼び f^(-1) と書く。

f: X → Y が同型射のとき X は Y に同型であると言う。

定義(>>304の言い換え)
C を圏(>>340)とする。
|C| を C のグラフ(>>344)とする。
|C|^o を |C| の双対グラフ(>>333)とする。
C において、f: X → Y のとき
|C|^o における f: Y → X を f^o と書くことにする。

C において、f: X → Y, g: Y → Z のとき
g^o: Z → Y と f^o: Y → X の合成 (f^o)(g^o) を
(gf)^o = (f^o)(g^o) により定義する。
このとき |C|^o は射の合成により圏になる。
この圏を C^o と書き C の双対射と呼ぶ。

>>351の修正

定義(>>304の言い換え)
C を圏(>>340)とする。
|C| を C のグラフ(>>344)とする。
|C|^o を |C| の双対グラフ(>>333)とする。
C において、f: X → Y のとき
|C|^o における f: Y → X を f^o と書くことにする。

C において、f: X → Y, g: Y → Z のとき
g^o: Z → Y と f^o: Y → X の合成 (f^o)(g^o) を
(gf)^o = (f^o)(g^o) により定義する。
このとき |C|^o は射の合成により圏になる。
この圏を C^o と書き C の双対圏と呼ぶ。

C を圏(>>340)とする。
(C^o)^o = C である。

定義(>>302の言い換え)
C と D を圏(>>340)とする。
|C| と |D| をそれぞれ C と D のグラフ(>>344)とする。
グラフの射(>>326) F: |C| → |D| が以下の性質を満たすとき
F を C から D への関手(functor)または射(morphism)と言う。

(�@) f: X → Y, g: Y → Z のとき F(gf) = F(g)F(f)

(�A) 任意の X ∈ Ob(C) に対して F(1_X) = 1_F(X)

定義
C, D, E を圏とする。
F: C → D
G: D → E
を関手(>>354)とする。

F と G のグラフの射としての合成 GF (>>331) は関手である。
これを F と G の合成と呼び GF と書く。

定義
C を圏とする。
恒等写像 1_Ob(X): Ob(X) → Ob(X) と
恒等写像 1_Hom(X): Hom(X) → Hom(X)
は関手 C → C を定義する。
この関手を C の恒等関手または単位関手と呼び 1_C と書く。

定義
小さい圏(>>322)全体は関手(>>354)を射とし、
関手の合成(>>355)を射の合成と定義することにより圏になる。
この圏を Cat と書く。

定義
C と D を圏とする。
F: C → D
G: D → C
を関手(>>354)とする。

GF = 1_C
FG = 1_D
となるとき F(および G) を同型関手と呼ぶ。
G は F により一意に決まるので F^(-1) と書く。

このとき、C と D は同型と言う。

命題
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手(>>354)とする。

F が同型関手であるためには
F_0: Ob(C) → Ob(D)
F_1: Hom(C) → Hom(D)
がともに全単射となることが必要十分である。

ここで、 F_0 および F_1 はそれぞれ F が引き起こす写像である。

証明
自明である。

定義
C と D を圏とする。
F: C → D
を関手(>>354)とする。

任意の X, Y ∈ Ob(C) に対して
f ∈ Hom(X, Y) に F(f) ∈ Hom(F(X), F(Y)) を対応させる写像
F_(X, Y): Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が単射のとき
F を忠実(faithful)な関手と呼ぶ。

F_(X, Y): Hom(X, Y) → Hom(F(X), F(Y)) が全射のとき
F を充満(full)な関手と呼ぶ。

忠実かつ充満な関手を忠実充満(fully faithful)な関手と呼ぶ。

定義
C を圏とする。
D を |C| (>>344) の部分グラフ(>>332)で次の条件を満たすとする。

(�@) f: X → Y および g: Y → Z が D の射のとき
gf も D の射である。

(�A) 各 X ∈ Ob(D) に対して 1_X は D の射である。

このとき D は圏となる。
D を C の部分圏と呼ぶ。

定義
C を圏とする。
D を C の部分圏(>>361)とする。

Ob(D) ⊂ Ob(C)
Hom(D) ⊂ Hom(C)
であるので関手 F: D → C が自然に定義出来る。
この関手を包含関手と呼ぶ。
包含関手は明らかに忠実である。

包含関手が充満(>>360)であるとき D を充満な部分圏と呼ぶ。
充満な部分圏 D は Ob(D) のみで定まる。

定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
G: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 τ(X): F(X) → G(X) を対応させる対応 τ が
次の条件を満たすとき τ を F から G への自然変換または自然射または単に射と言う。

C における任意の射 f: X → Y に対して
G(f)τ(X) = F(f)τ(Y) となる。

即ち次の図式が可換になる。

F(X)　→　G(X)
↓　　　　↓
F(Y)　→　G(Y)

定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 1_X: F(X) → F(X) を対応させる対応は
自然変換(>>63)である。
これを F の恒等自然変換または単位自然変換、恒等射、単位射などと呼び
1_F と書く。

>>364の修正

定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 1_X: F(X) → F(X) を対応させる対応は
自然変換(>>363)である。
これを F の恒等自然変換または単位自然変換、恒等射、単位射などと呼び
1_F と書く。

定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
F: C → D
G: C → D
H: C → D
をグラフの射(>>326)とする。

τ: F → G
σ: G → H
を自然変換(>>363)とする。

各 X ∈ Ob(C) に D の射 σ(X)τ(X): F(X) → H(X) を対応させる対応は
F からH への自然変換である。
これを τ と σ の合成と呼び στ と書く。

定義
C と D をグラフ(>>325)とする。
C から D への射(>>326)全体を Hom(C, D) と書く。
Hom(C, D) は自然変換(>>363)を射とすることにより圏となる。

C が小さいグラフ(>>325)のとき Hom(C, D) は大きい圏(>>323)である。

C が大きいグラフ(>>325)のとき Hom(C, D) は大きい圏とは限らない。
即ち、U を>>321の宇宙(>>307)とすると、
Ob(Hom(C, D)) ⊂ U
Hom(Hom(C, D)) ⊂ U
となるとは限らない。

定義
G をグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
グラフの射 T: G → |C| (>>344) を
C における G 型の図式(diagram of type G in C)と言う。

定義
G をグラフ(>>325)とし、C を圏とする。
C における G 型の図式(>>368)全体を Diag(G, C) と書く。
Diag(G, C) = Hom(G, |C|) (>>367) である。

定義
C と D を圏とする。
F: C → D
G: C → D
を関手(>>354)とする。

|F|: |C| → |D|
|G|: |C| → |D|
をそれぞれ F と G から引き起こされる射とする。
ここで、|C|, |D| はそれぞれ C, D のグラフ(>>344)である。

F から G への自然変換は |F| から |G| への自然変換(>>363)として定義される。
F から G への自然変換は自然射または単に射とも言う。

シーシュポスは罰として、匿名掲示板で数学書の書き写しを続けるよう命じられた。
スレッドが埋まるとまだ次のスレッドへ・・・この苦行が永遠に繰り返される。

定義
C と D を圏とする。
C から D への関手(>>354)を Func(C, D) または Hom(C, D) または D^C と書く。
Func(C, D) は自然変換(>>370)を射とすることにより圏となる。
Func(C, D) を C から D への関手の圏と呼ぶ。

C が小さい圏(>>322)のとき Func(C, D) は大きい圏(>>324)である。

C が大きい圏のとき Func(C, D) は大きい圏とは限らない。
即ち、U を>>321の宇宙(>>307)とすると、
Ob(Func(C, D)) ⊂ U
Hom(Func(C, D)) ⊂ U
となるとは限らない。

>>312の修正

命題
U を宇宙とする。
X ∈ U のとき |X| ＜ |U|
ここで、|X| は X の濃度を表す。

証明
>>311より、X ⊂ U である。
よって、|X| ≦ |U| である。

>>307の (3) より 2^X ∈ U である。
よって、>>311より、|2^X| ≦ |U| である。
一方、|X| ＜ |2^X| であるから |X| ＜ |U| である。
証明終

例
G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を Ob(G) を１個の要素からなる集合とし
Hom(G) = φ であるグラフ(>>325)とする。
C を圏とする。
Diag(G, C) (>>369) は圏として標準的に C に同型である。

例
G = (Ob(G), Hom(G), s, t) (>>325) を
Ob(G) = {x, y} を２個の要素からなる集合
Hom(G) = {f}
s(f) = x
t(f) = y
で定義する。
C を圏とする。

Diag(G, C) (>>369) は C の射の圏(arrow category)と呼ばれる。
Diag(G, C) の対象は C の射 X → Y である。
即ち Diag(G, C) = Hom(C) である。

X → Y ∈ Hom(C)
Z → W ∈ Hom(C)
のとき、X → Y から Z → W への射は射の対 (X → Z, Y → Z) で
次の図式を可換にするものである。

X 　→ 　Y
↓　　　↓
Z　 →　 W

例
グラフ(>>325) G を
0 → 1 → 2
の形のものとする。
C を圏とする。

Diag(G, C) の対象は C の合成可能な射の対 X → Y → Z である。
X → Y → Z から X’→ Y’→ Z’への射は
射の三つ組 (X → X’, Y → Y’, Z → Z’) で
次の図式を可換にするものである。

X 　→　Y　→ 　Z
↓　　　↓　　　↓
X’→ 　Y’→ 　Z’

定義
G = (Ob(G), Hom(G), s, t) をグラフ(>>325)とする。
G の射の列 f_1, f_2, ．．．f_n で
t(f_i) = s(f_(i+1)) (i = 1, ．．．n-2) となるものを G におけ道と呼ぶ。
即ち道とは X_1 → X_2 → ．．．→ X_(n+1) の形の射の列である。
このとき、n を道の長さと呼ぶ。
X_1 を道の始点と呼び、X_(n+1) を道の終点と呼ぶ。

道 X_1 → X_2 → ．．．→ X_(n+1) と
道 Y_1 → Y_2 → ．．．→ Y_(m+1) は
X_(n+1) = Y_1 のとき結合可能と呼び、
道 X_1 → X_2 → ．．．→ X_(n+1) = Y_1 → Y_2 → ．．．→ Y_(m+1) を
それらの結合と呼ぶ。

Ob(C) = Ob(G)
Hom(C) = G の道の全体
c ∈ Hom(G) に対して s(c) は c の始点とし、t(c) は c の終点とする。
射の合成は道の結合とする。
X ∈ Ob(G) のとき 1_X は X を始点および終点とする長さ０の道とする。
このとき、C = (Ob(C), Hom(C), s, t) は明らかに圏になる。
C を G から生成される自由圏と呼び C = Fr(G) と書く。

G の対象 X に Fr(G) の対象 X を対応させ、
G の射 X → Y に長さ１の道 X → Y を対応させることにより
グラフの射 G → |Fr(G)| が得られる。
これを G から |Fr(G)| への標準射と呼ぶ。

命題
G = (Ob(G), Hom(G), s, t) をグラフ(>>325)とする。
C を圏とする。
T: G → |C| をC における G 型の図式(>>d368)とする。

このとき、関手 S: Fr(G) → C で
c = (f_1, f_2, ．．．f_n) を G における任意の道(>>377) としたとき
S(c) = T(f_n)．．．T(f_1) となるものが一意に存在する。

証明
簡単なので省略する。

例
G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を Ob(G) = {X} を１個の要素からなる集合とし
Hom(G) = φ であるグラフ(>>325)とする。

C = Fr(G) (>>377) は
Ob(C) = {X}
Hom(C) = {1_X}
からなる圏である。

例
グラフ(>>325) G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を
Ob(G) = {X, Y} を２個の要素からなる集合
Hom(G) = {f}
s(f) = X
t(f) = Y
で定義する。

C = Fr(G) (>>377) は
Ob(C) = {X, Y}
Hom(C) = {1_X, 1_Y, f}
からなる圏である。

例
グラフ(>>325) G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を
Ob(G) = {X, Y, Z} を３個の要素からなる集合
Hom(G) = {f, g}
s(f) = X
t(f) = Y
s(g) = Y
t(g) = Z
で定義する。

即ち G はグラフ X → Y → Z である(>>376)。

C = Fr(G) (>>377) は
Ob(C) = {X, Y, Z}
Hom(C) = {1_X, 1_Y, 1_Z, f, g, gf}
からなる圏である。

これは全順序集合 {0, 1, 2} の圏(>>281)と標準的に同型である。

定義
グラフ(>>325) G = (Ob(G), Hom(G), s, t) を
Ob(G) = {X} を１個の要素からなる集合
Hom(G) を任意の集合 A
f ∈ A のとき s(f) = X, t(f) = X
で定義する。

Fr(G) はモノイド(>>299)であり、A で生成される自由モノイドと呼ばれる。