面白い問題おしえて〜な 十二問目

面白い問題、教えてください

過去ログ
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://www6.atwiki.jp/omoshiro2ch/

1 http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 http://natto.2ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1026218280/
4 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044116042/
5 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049561373/
6 http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
7 http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/

面白い悶題めこすじ〜な ６９悶目

>>3
死ね

ＩＭＯ面白い

　↓　↓　↓

ＩＭＯ　１９７１の３
ＩＭＯ　１９９０の６
ＩＭＯ　１９９２の５
ＩＭＯ　１９９３の３
ＩＭＯ　１９９５の６
ＩＭＯ　１９９９の３
ＩＭＯ　２０００の３
ＩＭＯ　２００１の３
ＩＭＯ　２００２の６
ＩＭＯ　２００３の３
ＩＭＯ　２００４の３
ＩＭＯ　２００６の６

0.9mmのシャープの芯から0.3mmの芯を削りだす。
最高で何本削りだせるか？


７本でいい？

短くてよけりゃ、いくらでも輪切りにしますが。

>>6
削って見せろや

>>6 ７本でいんじゃね？

7本可能な事と、8本以上が不可能な事を示す必要があるとか無いとか。

問題は直径3の円Aの中に直径1の円が重ならないように8個入るかって事か

プログラムさえ使っていいなら有限種類の配置方法と
その際の円の重なる部分の面積を求めれば不可能かどうか判定出来るな

直径3の円Aの中に直径1の円が重ならないように8個入るか
⇔直径2の円の中に8個の点を配置して、どの2点間の距離も1以上となるようにできるか

下図から、領域Sには高々1点しか入らない。よって、残りの円環領域に7個の点が入ることに
なる。ところで、この円環領域は6個のパイン形領域Pに分かれるので、これら6個のうちある
パイン形領域には2つ以上の点が入ることになる。ところが、パイン形領域には高々1個の
点しか入れることができないので、矛盾。
ttp://tamago.donburi.org/src/up3069.png

こんな感じか？

>>12
図がよめねー。

ケプラーはよそう。

おお！図が見れた。
それでよさげ

幾何20051210122540 　幾何10-15
他にもっとスマートな解き方もあるだろうがwikiに解答無かったんで解いた
かなり汚いが今は反省している
ちなみに角度の「゜」は省略で表記もよくわからんのでご了承ください

∠BAC=X,BDの中点をM,ACとBDの交点をE,CD=１とする（CDは計算しやすいように便宜上ね　もちろんCD≠１でもできる）
△ECD∽△CBDから　�@AB＾２＝BD×ED
△BCDについて正弦定理から　BD/sin74=CD/sin30　つまり　BD=2sin74
�@から　CD^2=2sin74×ED つまり　ED=1/（2sin74）
EM=DM-ED=BD/2-ED=sin74-｛1/(2sin74)｝
∠MAE=16　なので　△AEMについて正弦定理から　AE/(sin90)=EM/(sin16)
つまり　AE=〔sin74-｛1/(2sin74)｝〕/(sin16)=｛2(sin74)^2-1｝/(2sin74cos74)=(-cos148)/(sin148)=(cos32)/(sin32)
AM⊥BDより　AE^2-EM^2=AB^2-BM^2
｛(cos32)^2｝/｛(sin32)^2｝-(sin74)^2+1-1/｛4(sin74)^2｝=AB^2-(sin74)^2
AB^2=｛(cos32)^2+(sin32)^2｝/｛(sin32)^2｝-1/｛4(sin74)^2｝=1/｛(sin32)^2｝-1/｛4(sin74)^2｝=｛4(sin74)^2-(sin32)^2｝/｛4(sin32sin74)^2｝
ここで　4(sin74)^2-(sin32)^2=-2｛1-2(sin74)^2｝+2-｛1-(cos32)^2｝=-2cos148+(cos32)^2+1=(cos32+1)^2
よって　AB=(cos32+1)/2sin32sin74
△ABEについて正弦定理から
AB/(sin74)=BE/(sinX)
(cos32+1)/｛2sin32(sin74)^2｝=(BM+ME)/(sinX)
ここで　BM+ME=2sin74-1/(2sin74)=｛4(sin74)^2-1｝/2sin74　から
(cos32+1)/｛2sin32(sin74)^2｝=｛4(sin74)^2-1｝/2sin74(sinX)
(cos32+1)/(sin32sin74)=｛4(sin74)^2-1｝/(sinX)
｛2(cos16)^2｝/｛(2sin16cos16)(cos16)｝=(2cos32+1)/(sinX)
1/(sin16)=〔2｛1-2(sin16)^2｝+1〕/(sinX)
sinX=sin16｛3-4(sin16)^2｝=3sin16-4(sin16)^3=sin(16・3)=sin48
0<X<180　は明らかなので　X=48 または 132
X=132 のとき ∠ABD=106-132<0 となってしまうため不適
以上から ∠BAC=X=48

>>12
これは鳩ノ巣原理か

太陽から地球まで、光は8分20秒かかって届きます。
さて、光速が秒速30万kmとすると、地球は太陽の周りを秒速どれくらいで公転しているでしょう？

約２π(AU/年)

20ならジュースでも飲むか。
廿という字は20だ。
ところで、辺を共有している面同士を同じ色で塗らずに正20面体の面に4色のうちのいずれか一色を塗る方法は何通りあるか？

【有名問題（鉄板少女アカネ問題）】

鉄板少女アカネ問題の解答例を参考に
アカネから堀北真希までを最短で変換せよ

解答例
http://tv7.2ch.net/test/read.cgi/actress/1157434545/212

>>21
aho

数学の問題ではないような気もするが、、、
「直径１０ｃｍの球は直径１０ｃｍの円形の穴を通過できるか？」
↑↑↑
物理板で散々もめた問題。
けっきょくどういう結論に達したかは忘れた。

>>23
球の表面と穴の円周がぶつかるので通過できない。
直径10cmの球及びその内部をBとすると、Bの内部(つまりB^i)は
直径10cmの円形の穴を通過できる。

しまった…穴の方もまた円周が含まれるものと思い込んでた。完全な解答はこうなるな。

Rの部分集合の”長さ”(ルベーグ測度)は、その集合から零集合を除いても不変なので、長さ
だけ与えても集合は一意に定まらない。「直径10cmの球」という表現だけでは、その球は表面を
含んでいるのか分からず、同じく「直径10cmの穴」という表現だけでは、その穴は円周を含んで
いるのか分からないので、通過できるか否か判断できない。問題に不備がある。

>>25
まずは、印象でものを言う事を許してください。
その場合、球または穴のどちらか一方が周(円周・球表面)を含んでいなければ
ぴったりと接しながら通過できるということでよろしいですか？

その理解の場合、次のような疑問が生じます。（こちらが本題）
両方がその周を含んでいないときには、どちらか片方が周を含んでいる時にくらべ
すこし余裕があって通過できるんでしょうか？

>>26
＞すこし余裕があって通過できるんでしょうか？
(印象では)円周分の余裕があると見てよいはず。

「通過できる」「すき間がある」等の定義による、としか答えられんだろ。数学的には。

実数を、ある点を境に左右に分けるとき、
「すき間がある ⇔ どちらにも含まれない要素がある」
と決めれば、(-∞,0) (0,∞) はすき間があることになるし、
「すき間がある ⇔ どちらにも含まれない、測度が0でない集合がある」
と決めればすき間はないことになる。

＞実数を、ある点を境に左右に分けるとき、
数学的には、”ある点を境に左右に分ける”の定義が不明。
＞「すき間がある ⇔ どちらにも含まれない、測度が0でない集合がある」
数学的には、何の測度か不明。A⊂Rに対してμ(A)＝1 (0∈A)，0 (0∈R−A)
と定義すれば、μはRのベキ集合上の測度となり、一点集合{0}は測度μに関して0でない。

０でないならすきまがあると決めたら０でないならすきまがある。

そういうことだ

ここに4cm, 5cm, 6cmの長さのひもがある。
これを使ってA,Bの2人がゲームをすることにした。
ひもを1本選び任意の場所を切る、ということを交互に繰り返す。
ひもの本数はそのたびに増えていく。
最終的に1cm未満のひもを作ったほうが負けというルールである。
Aが先手となったのだが、最初にどのひものどの部分を切るべきだろうか？

どっちも負けるんじゃないか？

1cmのひもを先に作ったほうが負け。
と訂正します。

>>34
1cm未満の、でした。

問題のできが悪いのでいいかげんにしか答えないが

解1
Aは初手で脂肪しました。そうです太さ0.9cmのひもにしてしまったからです。

解2
Aは降参しました。そうです太さ5kmのひもだったので
裂けるチーズの裂け方のように切っていたら
時間がかかり過ぎて決着がつきませんでした。

解3
Aは最初に5cmのひもを1cmと4cmに切ろうとしましたが作戦失敗でした。
ひもに太さがあったのでBがひもを斜めに切ってしまったからです。

なんだこいつ。

条件を追加させてください。
ひもの太さは考えないものとします。
また、誤差無しで切ることができるものとします。
つまり、例えば4cmのひもをちょうど1cmと3cmに切り分けることができます。
もちろん半端な長さに切ることも自由です。
切ることによってひもの長さの合計が増減することは無いものとします。

真面目だなｗ間抜けとも言うｗ

>>39
いや、余計なツッコミを防ぎたかったもので。

もうひとつ条件を追加します。
制限時間は考えないものとします。

>>32

5cmの紐を真ん中で切る。
奇数cmの紐１本を
相手に渡すと主導権を握られるから。

例えば３cmの紐が１本あると真ん中で切れば
1.5cmと1.5cmで勝てる。
これを１cmと２cmに切れば
２cmを切って返されて負ける。

つまり常に奇数cmの紐を
こちらに１本回させればいい。

まぁ完全情報零和ゲームと呼ばれる類の問題だね。
オセロや将棋と同じ。
逆算して詰める訳だ。

g(x) = x - (x-1)^(-1) - (x-2)^(-1) - (x-3)^(-1)
とおく。f(x)が−∞〜∞で積分可能ならば
∫_[−∞〜∞] f(g(x))dx = ∫_[−∞〜∞] f(x)dx
が成り立つことを示せ。（ネタ元はポリヤ＆ゼゲーの１巻）

>>41
Aが5cmのひもを真ん中で切ると、ひもの長さは 2.5, 2.5, 4, 6 になります。
次にBが6cmのひもを1.5cmと4.5cmに切ると、1.5, 2.5, 2.5, 4, 4.5 になります。
これでAがどうやってもBが勝てる状態になっています。

>>41
5cm のひもを真ん中で切ったあと、
6cm のひもを 4.5cm と 1.5cm に切られたらどうする？

>>32
6cm を 2cm と 4cm に分ける

>>44
正解です。どう解きましたか？

>>45
昔、計算したことがあるので…
一松信の「石とりゲームの数理」にも載ってます

>>46
そうでしたか。
では解説します。

まず、ひもの長さについてはその整数部分だけに着目すればいいことに注意します。
例えば、6cmのひもを1.5cmと4.5cmのひもに切ったとき、これを1cmと4cmに置き換えても問題ありません。
なぜかというと、1.5cmも1cmもそれ以上切れないし、
4.5cmと4cmのひもは整数部分に着目する限り同じようにしか切り分けられない
（例えば4.5=2.2+2.3に対して4=2+2で整数部分は2と2で同じ）からです。
つまりa（aは正整数）をa=b+cなるb,cに分ける代わりに、それをa=b+cまたはa-1=b+cを満たす
正整数b,cに置き換えることで、同じゲームが成立します。
これであとは全パターンを調べれば正解がわかります。
数学的に解くには、2進数を利用する方法があるので調べてみてください。
（書くのが面倒。本当はここが重要だったりしますが。）
この問題は、選択肢が無限にあるのに、解いてみると正解はただ1つというところが面白いかと思います。

>>32
常に切れる紐を対称にのこせるように切る。

>>43
それができればいいんですが、この場合はできなくないですか？

>>49の>>43は>>48でした。

△ABCにおいて辺AB,AC上にそれぞれ点D,Eをとり、BEとCDの交点をFとする。
△BDF=4, △BCF=5, △CEF=6 のとき、四角形ADFEの面積を求めよ。

問題：無限階常微分方程式

(I + h d/dx + 1/2! h^2 (d/dx)^2 + 1/3! h^3 (d/dx)^3 + ...) u(x) = f(x)

を解け。ここで h は定数であり、微分作用素については Iu = u および
(d/dx)^k u は u の k 階微分の意味である。また、解 u を解析関数とする。

u(x)=f(x+h)?

>>53
惜しい！Taylor 展開より u(x + h) = f(x) だから x
の代わりに x - h を入れて u(x) = f(x - h) が答え。
微分方程式と言っておきながら、実はただの平行移動
という問題。

無理やり微分作用素

e^(h d/dx):= I + h d/dx + 1/2! h^2 (d/dx)^2 + 1/3! h^3 (d/dx)^3 + ...

を定義すれば、平行移動作用素になってしまう。不思議じゃない？

>>51
意外な答え

>>51
B = (0, 0), C = (c, 0) と置くと △BCF = 5 より
F = (f, 10/c) と置けるので二直線

BF: y = 10/(cf) x
CF: y = -10/(c(c - f)) (x - c)

を得る。△DBC = △BDF + △BCF = 9 より D = (d, 18/c) と
置けて、D が直線 CF 上にあることから d = 1/5 (9f - 4c)
であり D = (1/5 (9f - 4c), 18/c) となる。

同様に △ECB = △CEF + △BCF = 11 より E = (e, 22/c) と
置けて、E が直線 BF 上にあることから e = 11/5 f であり
E = (11/5 f, 22/c) となる。

以上から二直線

BD: y = 90/(c(9f - 4c)) x
CE: y = -110/(c(5c - 11f)) (x - c)

の交点 A = (99f - 44c, 990/c) を得る。よって、△ABC = 495
であり、四角形 ADFE = 480 となる。

なるほど。
もっとエレガントな解法もあるよ。

四角形ADFE=xとすると、メネラウスの定理から
CE/EA*AB/BD*DF/FC=1
11/(x+4)*(x+15)/9*4/5=1
45(x+4)=44(x+15)
x=480

>>59
おー、まさしくそれが>>58で言った解法。
図形問題に馴れてる人なら難しくなかったかな。
ちなみに、意図的に>>32で使われている数で問題を作った。

面白いか？

3284＾158を11で割った剰余を求めよ。

>>62
4

>>63
正解。

3^79 mod 11 で行き詰まってしまったorz

3^10≡1 mod11

>>62
3284≡6 (mod11)
∴3284^158≡6^158 (mod11)
また、
6^1≡6 (mod11)
6^2≡36≡3 (mod11)
6^3≡6^1*6^2≡6*3≡18≡71 (mod11)
6^4≡(6^2)^2≡3^2≡9 (mod11)
6^5≡6^2*6^3≡3*7≡21≡-1 (mod11)
なので、
3284^158≡6^158
　　　　≡(6^5)^31*6^3
≡(-1)^31*7
≡-7　　　　
≡11-7≡4 (mod11)
∴4

合同式って高校で教えなくなったよね・・・。

なんか初等整数論で合同式を勉強したばっかりの高校生の解答って感じね

合同式って以前は教えてたっけ
もとから指導要領には無かったような

>>69
別にいいじゃないか。おまえもチンコに毛が生えてオギャーと出てきたわけではあるまい。

いや丁寧なのは良いことだと思うよ、うん

別にいいんだけど合同式なら合同式でなんかこうグッとくるような面白い解法が
あるのかなぁと勝手に期待してて拍子抜け

むしろ問題にいえよ。

tasikani!!!

>>67の方針なら、6^r≡−1 (mod 11)を満たす(最小の)自然数rは、もし
存在するとしたらr＝5しか有り得ないことがフェルマーの小定理から
分かるので、6^1から順に計算する必要はなく、6^5だけ計算すればよい。

そんなことせずに6^(11-1)≡1でいいじゃん
gcm(6,11)=1なんだから

でもフェルマーの小定理位は使ってもばちは当たらないのでは？あと
3284＝3289-5くらいは・・・

3284＝3289-5≡-5≡6だろ
つうかこの問題はどうでも良い工夫の話しか出ようがないような

じゃあ終わり　誰か次の問題ヨロ

>>42

無限に伸びるゴムひもの上を蟻が歩く．
いまゴムひもの長さは2mあり、蟻が端から毎秒1�pの速さで歩き始めるのと同時に、ゴムひもを毎秒1m伸ばす．
蟻の体力や寿命及びゴムの幅は十分あるものとして考えると、計算上蟻は反対側に辿り着けることが解る．
そこで、蟻はおよそ何年後に辿り着けかを有効数字2桁で答えよ．

1.7×10^36 年後

どなたか>>82の解法を教えて下さい

>>84
ゴムひもの最初の長さをL、伸びる速度をE、蟻の速度をV、
時刻tにおける蟻の位置をゴムひもの長さに対する相対値で表してx（0≦x≦1）とすると、
(d/dt)(L+Et)x=V+Ex
Ex+(L+Et)(dx/dt)=V+Ex
dx/dt=V/(L+Et)
x(0)=0より
x=(V/E)log{1+(E/L)t}
x=1を解くと
t=(L/E){e^(E/V)-1}

え、それで合ってる？

ん？　どこか間違ってる？

いや数字が合わんかっただけ・・・。
どっか間違えたんだろう。わざわざレスにすることなかったすまん。

独りで神経衰弱をするとき最大何ターンで終了するか。

ルール：
1組52枚のトランプを使用。
同色同数字のカードをペアとする。
全てのカードをよく混ぜて裏向きに並べた状態で開始。
1ターン毎に2枚のカードをめくり、ペアならばそれを取り除き、ペアでなければ元に戻す。
全てのカードが取り除かれた時点で終了。

プレイヤーは完全な記憶力を持ち、既にめくったカードの色と数字は分かるものとする。
プレイヤーはできるだけ少ないターンで終了することを目指すものとする。

俺のターン！ドロー！俺は手札から(ry

>>89
51

26回

>>91
正解。
では同色でなくても同数字ならばペアと見なすとすると？

39ターン

どう解いた？

>>93
>>94があるので自信がないが42ターン

２枚をめくるというのが 一枚めくった時点で２枚目を選べるのか
同時に２枚めくるのかで変わってきそうだが
同色のみがペアの最大値が51ということなので前者で考える。

01ターン Ａ ２ ← 最初の２枚は揃わない
02ターン ３ Ａ ← 未知のものと既知のものが出る
03ターン Ａ Ａ ← 既知の組み合わせを取る（これより後でとってもいいが消費ターン数はかわらない）
04ターン ４ ２ ← 未知のものと既知のものが出る
05ターン ２ ２ ← 既知のものをとる
06ターン ５ ３ ← 未知のものと既知のものが出る
07ターン ３ ３ ← 既知のものをとる
：
： この時点で ＪとＱが既知
22ターン Ｋ Ｊ ← 未知のものと既知のものが出る
23ターン Ｊ Ｊ ← 既知のものをとる
24ターン Ａ Ｑ ← 未知のものと既知のものが出る
25ターン Ｑ Ｑ ← 既知のものをとる

続き

26ターン ２ Ｋ ← 未知のものと既知のものが出る
27ターン Ｋ Ｋ ← 既知のものをとる
28ターン ３ Ａ ← 未知のものと既知のものが出る
29ターン Ａ Ａ ← 既知のものをとる
：
： この時点で ＪとＱが既知
48ターン Ｋ Ｊ ← 未知のものと既知のものが出る
49ターン Ｊ Ｊ ← 既知のものをとる
50ターン Ｑ Ｑ ← 一枚目で必ず既知のものが出るのでとる
51ターン Ｋ Ｋ ← 最後の２枚をとる

同時に２枚めくるルールなら50ターン以降が以下のように変わるかな

50ターン Ｑ Ｋ ← 既知のもの１枚と未知のもの一枚をめくるが揃わなかった
51ターン Ｑ Ｑ ← 既知のもの２枚をとる
52ターン Ｋ Ｋ ← 最後の２枚をとる

続き

このゲームでターン数が少なくなるということは未知(同数字の１枚目または３枚目)のカードを
できるだけ少ないターンであけてしまう（すなわち既知のカードにしてしまう）ことである。

1→Ａ 10→Ｔ 11→Ｊ 12→Ｑ 13→Ｋ と書く。
初めてめくるカードが以下の並びの時
{Ａ２３Ａ４２５３６４７５８６９７Ｔ８Ｊ９ＱＴＫＪＡＱ２Ｋ３Ａ４２５３６４７５８６９７Ｔ８Ｊ９ＱＴＫＪＱＫ}

・この並びでは、未知のカードが２枚連続で出てくることは最初の１２と次の２３だけしかない。
・最から数えて２枚めは未知のカードではない。
・ゆえに未知のカードを全てめくるためには少なくとも２５ターンが必要
・未知のカードが出たターンではカードをとる(ペアにする)ことはできない。
・ガードを全て取るためには２６ターンが必要
・つまり全てをとるためには５１ターンが必要

以下、５２ターンにはならないことの説明。

未知のカードを全てめくるために少なくとも２６ターン必要な並びは
最後の２枚が同数のカードの時だけしかない。
しかしこのような並びでは、最後の未知のカードをめくった同ターンに
ペアにすることができてしまうので５２ターンにはならない。

９９の訂正

× ・最から数えて２枚めは未知のカードではない。
○ ・最後から数えて２枚めは未知のカードではない。

これは５２ターンにならないことの説明に使ったような
最後の２枚が同数の並びではない
つまり未知のカードをめくった同ターンにペアに
できてしまうような並びではないことを説明している。

25ターンまですべて異なるカードをめくっていけば
26ターン目の1枚目をめくった時点で
すべてのカードの位置を特定できる。
26ターン目から全部取り続けられるんだから
51ターン目で終わるのはほとんど明らか。

>>97-100
既に1枚目のAをめくったことがあって、あるターンで2枚目のAがめくられたとき、
次のターンですぐに2枚のAをめくるのは損じゃないか？
温存しておけば、3枚目のAが出たときに4枚目をめくることなくペアを作ることができる。

>>102
それでめくる回数が節約できるとは思えないのだが
詳しく説明してくれ

ガウス平面上に重心が0となるような異なる4点a(1),a(2), a(3), a(4)を取る。
これらに回転 exp(it) を施し
b(k) = a(k) exp(it)
を定義する。

任意の t に対して、実部の平方和
S(t) = Re(b(1))^2 + Re(b(2))^2 + Re(b(3))^2 + Re(b(4))^2
は定数か？

定数でなければ、定数となるためのa(1),a(2), a(3), a(4)の満たす条件を言え。

>>93
47

>>103
あるターンで最初にめくったカードが3枚目のAのとき、
既出のAをめくればそのターンはハズレを回避できる。
カードの順序によっては、運が悪い場合、
このような回避が1度もできないような場合もありそうだが、
それが無いとしたらこれは有効な作戦といえる。

>>93
40

>>106
1枚のカードは最大で2回しかめくられない。
2枚目のAを温存するした場合、
既出のAの3枚目、4枚目ともにあるターンの2回目にめくられると
4枚のAが2回づつめくられ、Aは最悪8回めくられる。
2枚目のAをすぐ取れば、Aをめくる回数は最悪でも7回。
最悪の場合を想定するなら取ったほうがよいことになる。

＞プレイヤーはできるだけ少ないターンで終了することを目指すものとする。
↑
これの解釈によっては温存しなければいけない場合もあるのかも。

>>108
温存するのは、あるターンの2つめのカードが2枚目のAの場合だよ。
次のターンで1枚目と2枚目のAをめくってしまうと、
あるターンの1つめが3枚目のAの場合にハズレを回避するチャンスが無くなる。
そのチャンスが来なくても、1枚目と2枚目のペアはいつでも取れるから残しておいて損は無いはず。

>>109
なるほど、誤解していた。

>>97-100は「同色同数字のカードをペアとする」場合じゃないのか？

なんかいろいろ答えが出てるけど、みんな根拠あるの？

>>111
47ターンの場合
1[A,2] 2[3,A] 3[4,A] 4[5,A] 5[6,2] 6[7,2] 7[8,2]
8[9,3] 9[10,3] 10[J,3] 11[Q,4] 12[K,4]
以上が12ターン目までの最悪のパターン。
4が3枚めくられているが4枚目の4があるターンの2枚目めくられるとするとA〜4は8回めくる
5-Kは最悪でも7回しかめくらない。また、最後のカードはめくらなくてもわかる。
よってカードをめくる回数は4*8+9*7-1=94
94/2=47ターン

混乱させてスマン。
>>97-100 は 同色のペアの場合。51が正解らしいので 書いてみた。
色について何にも書かなかったからわけわからんことになってる。

異色でもペアを認める場合は温存法が使えるようなのでも少し減りそうだね。

>>112
＞5-Kは最悪でも7回しかめくらない。
ここがわからぬ。

温存ありだったら46ターンになった。
47ターンとかあるからまだターン稼ぎできそう。

>>114
＞5-Kは最悪でも7回しかめくらない。
↑
ごめん、確かにこれでは、わからないよね。説明不足でした。

13ターン以降の最悪のパターンは
13[5,5] 14[5,4] 15[6,6] 16[6,5] 17[7,7] 18[7,6] 19[8,8] 20[8,7]
21[9,9] 22[9,8] 23[10,10] 24[10,9] 25[J,J] 26[J,10] 27[Q,Q]
28[Q,J] 29[K,K] 30[K,Q]
めくられていないカード1枚は K
この後、既知のA-4を8ターン、5-Kを9ターンかけて取とって47ターン。

5も8回めくるとした場合
13[6,6] 14[6,4] 15[7,7] 16[7,5] 17[8,8] 18[8,5] 19[9,9] 20[9,5]
21[10,10] 22[10,6] 23[J,J] 24[J,7] 25[Q,Q]　26[Q,8] 27[K,K]
28[K.10]
めくられていないカード3枚は J Q K
この後、既知のA-5を10ターン、6-Kを8ターンかけて取とって46ターン
で1ターン短くなってしまう。

>>116
なんかあってそうな気がするが、それが最悪のパターンだというのは数学的に証明できるのかな。
考えてるうちに混乱してきたわ…。

01[1,2]　14[7,8]　　　26ターン以降はカードを取り除くのみ。
02[1,2]　15[8,7]　　　全てのカード（52枚）を取り除くには26ターン必要。
03[1,2]　16[8,9]　　　25+26=51（ターン）
04[3,1]　17[9,8]　　　同色でなくても同数字ならばペアと見なすと最大51ターン。
05[3,2]　18[9,10]　　 同色同数字のカードをペアとするときと同じターン数になった。
06[3,4]　19[10,9]
07[4,3]　20[10,J]
08[4,5]　21[J,10]
09[5,4]　22[J,Q]
10[5,6]　23[Q,J]
11[6,5]　24[Q,K]
12[6,7]　25[K,Q]
13[7,6]　26[K,K]めくらなくても[K,K]はわかっている。

とりあえずベストの行動は決まってるのか？

>>118
03ターンで1が出たときに既にわかっている１とペアでとってしまえば
ターンが減ると思うのだが‥

>>119
ターンの1枚目は、まだめくっていないカードを優先してめくる。
ターンの2枚目は、ペアを作ることを優先する。1枚目が初めての数字の場合、まだめくっていないカードをめくる。
これでよさそうな気がする。

>>117

先ず、あるターンの1枚目にめくったカードが既知のカードとペアにしてとれるときは、必ず取るものとする。

8回めくる数字は、2-4枚目のカードがあるターンの2枚目にめくられる。
1枚目のカードがあるターンの1枚目だとしても、ターンの2枚目になるカードが2枚多い。
全体としてターンの1枚目にめくられるカードと2枚目にめくられるカードの枚数は同じなので、
この分は他の数字のカードがターンの1枚目にめくられて相殺されなくてはならない。

最悪のパターンを作るには、8回めくる数字が多い方がいいので
7回めくる数字でターンの1枚目にめくられるカードを多くしなければならない。

7回めくる数字でターンの1枚目にめくられるカードが最も多いのは
　1枚目=ターンの1枚目
　2枚目=ターンの1枚目(※1枚目とペアにしてとるので、1枚目がターンの2枚目にもなっている)
　3枚目=ターンの1枚目
　4枚目=ターンの2枚目
となるパターンでターンの1枚目になるカードがターンの2枚目になるものより1枚多い。

6回めくる数字の場合は、ターンの1枚目になるカードがターンの2枚目になるものより
2枚多いパターンが最大になるが、最悪のパターンを作るには、8枚めくる数字1つを
6回めくる数字1つで相殺するよりも、8枚めくる数字1つを7枚めくる数字2つで相殺
したほうがよい。

8回めくる数字は、最大で4つ、残りの数字は最悪でも7回しかめくられない。
したがってカードをめくる回数は8*4+7*9=95回を超えることはない。

>>122
合ってるみたいだね。
プログラムで計算したら確かに47回になった。

>>120
条件にあてはまらないから>>118はだめです。

1枚ずつめくる（同時に2枚めくらない）

01[A,K]　21[6,6]　41[10,10]
02[2,A]　22[6,5]　42[Q,J]
03[A,A]　23[5,5]　43[J,J]
04[A,2]　24[7,6]　44[J,Q]
05[2,2]　25[6,6]　45[Q,Q]
06[2,A]　26[8,7]　46[Q,J]
07[A,A]　27[7,7]　47[J,J]残りQ,Q,K,K,K,KでQ,Kは既出（01ターン、46ターンで既出）
08[3,2]　28[7,8]　48[K,K]残りQ,Q,K,KでQは既出（48[Q,Q]残りK,K,K,Kのときは50ターンで終了）
09[2,2]　29[8,8]　49[K,Q]残りQ,Q,K,KでQ,Q,Kは既出
10[4,3]　30[8,7]　50[Q,Q]
11[3,3]　31[7,7]　51[K,K]又は50[K,K] 51[Q,Q]
12[3,4]　32[9,8]
13[4,4]　33[8,8]　　AからQまでの各数を8回めくり、Kを6回めくる例である。
14[4,3]　34[10,9]　 同じ数字のカードをめくる回数は4から8。
15[3,3]　35[9,9]　　当然、めくる回数は多い方がターンを稼げる。
16[5,4]　36[9,10]　 例より多くめくるためには
17[4,4]　37[10,10]　（1）AからKまでの各数を8回めくる。（不可能）
18[6,5]　38[10,9]　 （2）AからQまでの各数を8回めくり、Kを7回めくる。（不可能）
19[5,5]　39[9,9]　　J,Kを7回めくるとき（46[Q,K] 47[K,K] 48[K,Q] 49[Q,Q] 50[J,J] 51[K,K]）
20[5,6]　40[J,10]　 （1）、（2）が不可能なので例のめくる回数が最も多い。答え51ターン。

>>123
> プログラムで計算したら
なにをどう計算したのかｋｗｓｋ

>>126
カードを
a…場に残っていてまだめくっていない
b…場に残っていてめくったことがある
c…場から取り除かれた
の3つに分類すると、各数字の4枚についてA,B,Cの枚数は
(a,b,c)=(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,0,2),(1,1,2),(0,0,4)
の6通りが考えられる。
(1,3,0),(0,4,0),(0,2,2)のパターンもあるが、これらのパターンがあれば
すぐに次のターンでその数字を取ることにすればよいので、実際は無いものと考えてよい。
13個の数字のうちこれらのパターンがそれぞれいくつあるかによってゲームの局面が分類される。
各局面における、ターンの1枚目と2枚目でのプレイヤーの選択と、
まだめくっていないカードをめくるときどのカードが出るかに対して、
ミニマックス法を適用することにより、ゲーム開始局面からのターン数を求めた。

ちなみに、数字がn個で各数字が4枚ずつの場合について調べてみた。
2, 6, 10, 14, 17, 21, 25, 28, 32, 36, 39, 43, 47, 50, 54,
58, 61, 65, 69, 72, 76, 80, 83, 87, 91, 94, 98, 102, 105, 109（n=30まで）
どうやらn=1の場合を除いて [(11n-2)/3] と表されるらしい。

>>125の方法だと>>121の条件は満たしているが温存していないからだめ。
だめな例で混乱させてしまってスマン。
きりのいいところで次の問題どうぞ。

軽い問題を。

将棋盤があり、最初は真ん中のマスに駒が置かれている。
置かれている駒を縦か横に挟む2マスに新たな駒を置き、間の駒を取り除く。
これを繰り返して1マスを除く80マスに駒が置かれた状態にすることができるか？

端にある場合はどうする？片方だけに置かれる？操作禁止？

>>130
えーと、禁止。

あと、駒を挟む2マスのどちらかに駒がある場合も、もちろん禁止。

>>129出来ない

>>129
盤を市松模様に塗りわけ、中央のマスの属する側に 1,
そうでない側に -1 を割り当てる。
駒のあるマスに割り当てられた数の和は mod 3 で 1 と合同。
ところが、1マスを除く80マスに駒が置かれた状態は
mod 3 で 0 または 2 と合同なので、実現不可能。

>>134
正解！

最初に真ん中から1つずれたマスに駒が置かれている場合はどうなんだろう。
答えは知らない。

＞最初に真ん中から1つずれたマスに
1つだけなら同じだね。
「最初に真ん中から1つずれたマスにももう1つ駒が」ってことかな。

-1=2.

>>136
>1つだけなら同じだね。

なぜ？

市松模様に塗り分ければ
かならず黒升におかれた駒の数と白升に置かれた駒の数は
片方が偶数、片方が奇数になるじゃん

>>139
ならないってば

市松模様に塗り分ければ
かならず黒升におかれた駒の数と白升に置かれた駒の数は
片方が偶数、片方が奇数になるじゃん

あ、そうか
失礼

age

ageとくか

1!＋4!＋5!＝145

>>141
なんで？

T OFOFNTSFTFEN○N

○に入る数字は何か？

>>140だけど、>>142は俺じゃないからね
>>142=>>141と思われ

>>147
せめて数学らしい問題を持ってきてくれ。

>>148
>>141＝>>142なのかどうかわからんが、漏れもならンと思うよ。

確かに、よく考えたら>>141=>>142である根拠は無いね
違ってたら失礼

>>147
S

>>147
7

こんな確率求めてみたい その1/4
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1154790000/l50
での未解決問題。

161 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 2006/09/19(火) 16:59:46
どうやっても分かりません。どなたか教えて下さい。

1,2,3,4・・・nと1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ計n枚入っている箱がk個ある。
このk個の箱のそれぞれからカードを１枚、計k枚取り出す。
取り出されたカードの数字の和がm以下である確率を求めよ。

n=6で固定しても十分難しいね。

>>154
f(x)=( Σ_[j=0,n-1](x^j) )^k =Σ_[j=0,k(n-1)](a(j)x^i) とすれば
a(m-k)はカードの和がmになる組み合わせの数になる。
カードの数字の和がm以下である確率は、(Σ_[j=0,m-k]a(j))/(n^k) 。
a(j)の漸化式は、
a(j)=-Σ_[i=1,k;(i=<j)]{(-1)^(i)C[k,i]a(j-i)　　　　　　　　　　　(jがnの倍数でないとき)
　　=-Σ_[i=1,k;(i=<j)]{(-1)^(i)C[k,i]a(j-i)+((-1)^m)C[n,m]　(j=mnのとき；mは整数)
たぶん簡単な式ではあらわせないと思う。

(1)下図のように、一辺に3個の○が並び正三角形を形成している。
これらの○のうち2つだけを移動し、逆三角形にせよ。

　　○
　○ ○
○ ○ ○

(2)下図のように一辺に4個並べた場合は、3個の○を移動すれば
逆三角形になることを示せ。

　　　○
　　○ ○
　○ ○ ○
○ ○ ○ ○

(3)下図のように一辺に5個並べた場合は、5個の○を移動すれば
逆三角形になることを示せ。

　　　　○
　　　○ ○
　　○ ○ ○
　○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○

(4)一般に、一辺にn個の○を並べて正三角形を作ったとき、
それを逆三角形にするには最低何個の○を移動させればよいか？

n は三角数という条件付？

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
　 　 　 　 　○
　 　 　 　 　↓
　 　 　 　 　○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

で逆三角形ってのもなし？

問題文をよく読みましょう。

>>157
[x] を x を越えない最大の整数とする。n 段のとき、
移動すべき ○ の最小数は

T(n) = 1/2 (6[n/3]^2 - 4(n - 1)[n/3] + n^2 - n)

で与えられる。よって T(3) = 2, T(4) = 3, T(5) = 5。

出題者として、これからいくつか問題を出していきますから、解いてください。

中学生でも解ける問題です。

『問１』

まず、下の図を見てください。

http://photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/vwp?.dir=/811c&.src=ph&.dnm=d8de.jpg&.view=t&.done=http%3a//photos.yahoo.co.jp/ph/nen_kingkong/lst%3f%26.dir=/811c%26.src=ph%26.view=t

図のように、・横　　　　３　
　　　　　　・高さ（縦）５
　　　　　　・奥行き　　６
の直方体があります。この直方体のＡ点からＢ点までの最短距離を求めて下さい。
　
但し、最短距離は、内部を通らず、この直方体の表面を通って下さい。

答えは数値のみでよいです。（解き方、解答方法はまだ提示しない下さい。）

では、皆様！お願い致します。

>>161
死ね

>>161
うぜぇよお前二度と来んな

>>161は死ね、氏ねじゃなくて死ね

>>161は死ねばいいと思うよっていうか死ね

おまえらな〜、こっち来いといっておいて、なんじゃらほい。

>>161
ものさしで測ったら 10 cm ありました。

漏れは11.5cmだった。

>>166
問題が面白くないのが最大の欠点だな。

>>161
さっき帰宅して、見ようと思ったのでクリックしたらみれんかた
だれか図、教えてくださいやさしぃ人

】【　解けるかな？　】【
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1159797214/l50

ここにある

関数f(x)=([x]+a)(bx−[x])がx=1とx=2で連続となるように定数a,bの値を求めよ。

よろしくお願いします。。（[x]はガウス記号です）

>>172
マルチすんな

talk:>>172 これは右連続だから、左連続になるようにすればいい。

>>42
#1 ある閉区間[a,b]で1、それ以外で0をとるようなf(x)で
　　>>42の等号が成り立つなら全てのfで成り立つ事を示す
#2 b-a→0の極限を調べて∀y(Σ[g(x)=y]1/g'(x) = 1)が成り立つなら
　　#1のfに対して>>42の等号が成り立つ事を示す
#3 g(x)=x-Σ[k](x-a_k)^(-1)という形の関数に大して#2が成り立つ事を示す

証明のアウトラインはこんな感じでいいのか？

>>170 図はここだよ。
http://cocoa.gazo-ch.net/bbs/18/img/200610/1012774.jpg

>>166 で、君は中学生？恐らく日本の小学、中学教育をきちんと受けてきたのなら
似たような問題に出会っているはずだ、とここまで書いて自信がなくなった。
この十数年はやばいのかも。

>>177
この問題の元ネタは数蝉のエレ解で、
さらなる元ネタはくぬーす先生の出題らしいぞ。


まぁ、だからどうしたという訳でもないわけだが

>>178 そんなすごい来歴があるような問題だったんだ、なるへそ、長方形の頂点
の存在が味噌なんですね。うっかりしてました。エレガントに解くのは難しそうですね。

問題
ttp://image.itmedia.co.jp/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV09.jpg
ttp://image.itmedia.co.jp/l/im/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV09.jpg

解答2
ttp://image.itmedia.co.jp/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV10.jpg
ttp://image.itmedia.co.jp/l/im/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV10.jpg
解答3
ttp://image.itmedia.co.jp/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV11.jpg
ttp://image.itmedia.co.jp/l/im/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV11.jpg
解答4
ttp://image.itmedia.co.jp/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV12.jpg
ttp://image.itmedia.co.jp/l/im/games/articles/0610/11/l_wk_0601011LV12.jpg

点に太さがあるとは・・・
曲線でも直線に見えればＯＫとは・・・
意見をきかせて


DS用ソフト「レイトン教授と不思議な町」
ゲーム史上最大のナゾに挑む――レベルファイブ新作ソフト発表会で新たな事業展開も
ttp://plusd.itmedia.co.jp/games/articles/0610/11/news103.html
＞『頭の体操』で有名な問題以外にも、本作のために新たに30問ほど問題を製作し収録している。
有名な問題と新たな30問が良問なら買っても良いけど例題が糞すぎ。

その手の問題で、幾何の問題の暗黙の了解事を
疑わなければならないとしたら
そうでない問題の全てに「ユークリッド平面において」とかの
注意書きを付けなければならない。

逆に、そのような条件が付いてない問題は
どのような空間を仮定してもよい事になってしまう。

>>180
リファラエラーが出て画像見れねーぞこの野郎！！

>>180
リファラエラーが出て画像見れねーぞ、このケツ毛野郎！！

ケツ毛バーガーｗｗｗ

>>182-183
下図の9つの点を、なるべく少ない直線の一筆書きで結ぶことができるか。

・・・
・・・
・・・

解答
ttp://plusd.itmedia.co.jp/games/articles/0610/11/news103.html

それで正解ならあとの正解を囲めってのも
全部の選択肢いっぺんに囲んで○くれそうだな。

1分に一回分裂して増殖する細胞がある。１個から始めて直径１センチの
球になるまで３０分かかった。では、直径１センチの球になるまで、２個から
始めたら何分かかるか？

２９分と言いたいところだが、
最初の２個の配置の仕方によっては、うまく球にならないかもしれない。

一光年ぐらい離れてる

>>185
3本で出来る奴は点に勝手に面積を与えてるので
直線の方に勝手に面積を与えても許されるなら
太い一本の線でできるね。

許されるのは点と同じだけまでｗ

４本の線でしょ

┏━━┳━━┳━━┓
┃　　 　　　　　　　　　┃
┣　　　╋　　　╋　　　┫
┃　　　　　　　　　　　　┃
┣　　　╋　　　╋　　　┫
┃　　　　　　　　　　　　┃
┗━━┻━━┻━━┛
こういう9個の部屋を全て通るには直線は3本で良いって問題も昔見た。

容易。
平行な直線を三本引く。

それに、直線をちょっと傾ければ交わる。

(1,2,...,n)の置換(a_1,a_2,...,a_n)に対してmax(Σ|i-a_i|)を求めよ

floor(n^2/2).

整数の問題

【１】「ｎを整数値とする、2^n　+1　は15で割り切れないことを証明せよ」
【２】「2000^2000を12で割ったときの余りを求めよ」　

(1) 2^n (n>0) の下一桁は 2,4,8,6,2,4,・・・
だから 15 で割りきれるとすれば n=4m-2
このとき 2^n+1=4^(2m-1)+1=(3+1)^(2m-1)+1=�納k=1,2m-1]C[n,k]*3^k+2
右辺第一項は 3 の倍数なので 2^n+1 は 3 の倍数にならない。
したがって 2^n+1 は 15 の倍数にならない。
n≦0 のときは明らか。

マルチかよ。

【１】15を法として、2^1≡2，2^2≡4，2^3≡8，2^4≡1となるので、自然数nに
対して　2^n≡1，2，4，8 のいずれか　となり、2^n≡−1には成り得ない。

【２】2000^2000＝12k＋r とおく。rを求めればよい。rは明らかに4で割り切れるので、
r＝4Lとおける。よって4L≡2000^2000≡8^2000＝2^6000 (mod 12)となり、4で割って
L≡2^5998≡1 (mod 3)となる。0≦L＜3に注意して、L＝1を得るので、r＝4となる。

【問題】
(7/3)^1000 の一の位の数字を求めよ。

ネタ切れか？
もっと…。もっと面白くて、斬新で、解けたと感じた瞬間ゾクゾクするような問題キボーンヌキボーンヌキボー…

自然数a1,a2,…,an及び自然数k1,k2,…,knがあって、各iに対して1≦ai≦kiを
満たしているとする。a1〜anの値をそれぞれ変化させるとき、Σ[i＝1〜n]aiが
偶数になるのは何通りあるか。

>>203
その台詞は、問題を解いてからにしてくれｗ

＞205　
まったくだ

＞203
とはいうものの数学に興味を持ってるのは良い事だと思うから
数学オリンピックの問題もやってみれば？

>>202
こんなの出来るのか？

198より簡単そうな気がする・・

>>203
んじゃ、この問題といてみてくれ
x^2 + y^2 = z^2 、 xyz＞60 、 gcd(x,y)=1
を満たす正の整数x,y,zがある。
この時、次は正しいと言えるか？

7以上の素数pが存在して、 p|xyzを満たす。

>>209
解いた

>>210
詳しく教えてもらおう。

>209

p|xyz
　↑
ちょい質問
この｜はなに？

pはxyzを割り切る

>213
サンキュ
考えてみるわん

>>209
デキタ。結構手こずった。

>>215
さぁ、解答頼むぜ

(1) 高々可算個の元からなる全順序集合は、
　　Qのある部分集合と順序同型になる、と言えるか？
(2) 高々実数濃度の元からなる全順序集合は、
　　Rのある部分集合と順序同型になる、と言えるか？

>>217
(1)Xが条件を満たすとすると、NとXの間に集合としての全単射g:N→Xが存在する
f(n)∈Qを{g(1),...,g(n)}と{f(1),...,f(n)}が順序同型になるよう定義すれば{f(1),f(2),...}はXと順序同型

(2)R^2に辞書式順序を入れる(a>cかa=c,b>dなら(a,b)>(c,d)となる順序)
これは実数濃度だけどRのある部分集合と順序同型にならない
(同型f:R^2→RがあるならRは[f(x,0),f(x,1)]という形をした
　互いに共通部分を持たない非可算個の閉区間を含む事になるから)

(2)整列可能定理により、実数Rにある順序≦'を入れて整列集合とすることが
出来る。このとき明らかに(R,≦')と(R,≦)(←普通の順序)は順序同型でない。

（・ω・）質問

＞集合としての全単射g:N→Xが存在する

個々の要素に対して同じ定義が存在するっていうことですか？
それか（1,2,3,4,5）と（1,2,3）は（1,2,3）で同値だろ！チクショーー！！っていうことですか？

>>220
可算集合だからX={a_1,a_2,a_3,a_4,...}とラベリング出来る、ってだけです

というか可算の定義そのまま

>>219
これはいくらなんでも無茶だろう。

>>209
答え：正しい。
証明： p|xyzを満たす7以上の素数pが存在しないとすると、x,y,zの素因数は2,3,5に限られる
ことになる。x＝1またはy＝1のときは解が存在しないので、x＞1,y＞1としてよい。一般に、
x^2＋y^2＝z^2,gcd(x,y)＝1を満たす自然数x,y,zに対して
・zは3の倍数でない。x,yのうち片方は3の倍数で、もう片方は3の倍数ではない(mod 3で考えると分かる)
・zは2の倍数でない。x,yのうち片方は2の倍数で、もう片方は2の倍数ではない(mod 4で考えると分かる)
・zは5の倍数である。x,yの両方とも5の倍数でない(mod 5で考えると分かる)
が成り立つので、これとx＞1,y＞1より、a,b,cを自然数として(x,y,z)＝(2^a,3^b,5^c)，(3^a,2^b,5^c)
と表せることが分かる。(x,y,z)＝(2^a,3^b,5^c)としてよい。このとき、x^2＝(z−y)(z＋y)より
2^(2a)＝(5^c−3^b)(5^c＋3^b)が成り立つ。よって、r＋s＝2aを満たすある非負整数r,sに対して
5^c−3^b＝2^r,5^c＋3^b＝2^sと表せる。左辺は両方とも偶数だから、r,sは自然数となる。また、
明らかにr＜sとなる。5^cを消去すると3^b＝(2^s−2^r)/2となるから、もしr≧2だとすると、
右辺は偶数、左辺は奇数となって矛盾。よってr＝1となり、3^b＝2^(s−1)−1＝4^(a−1)−1となる。
つまり4^(a−1)−3^b＝1となる。mod 8で考えることにより、これを満たすa,bは(a,b)＝(1,1)に
限られる。このときx＝4,y＝3となり、z＝5を得る。しかしxyz＝3×4×5＝60となり、xyz＞60に矛盾。

＞・zは5の倍数である。x,yの両方とも5の倍数でない(mod 5で考えると分かる)

ここがよく分からん。
5^2 + 12^2 = 13^2
は駄目なのか？

>>225
本当だ…なんか計算ミスしてたみたい。訂正します。

・zは3の倍数でない。x,yのうち片方は3の倍数で、もう片方は3の倍数ではない(mod 3で考えると分かる)
・zは2の倍数でない。x,yのうち片方は2の倍数で、もう片方は2の倍数ではない(mod 4で考えると分かる)
・zは5の倍数である。x,yの両方とも5の倍数でない(mod 5で考えると分かる)

↓

・zは3の倍数でない。x,yのうち片方は3の倍数で、もう片方は3の倍数ではない(mod 3で考えると分かる)
・zは2の倍数でない。x,yのうち片方は2の倍数で、もう片方は2の倍数ではない(mod 4で考えると分かる)
・上の2つ及び、x,y,zの素因数が2,3,5に限られていること、そしてz＞1から、zは5の倍数となる。

thx　そして、　乙。
今から読もう。

自然数 n に対してf(n)を次の形で定義する。

f(n)は3^nを十進数で表現したときの、各桁の総和である。
すなわち、f(1)=3、f(2)=9、f(3)=9、f(4)=9、f(5)=9、f(6)=18……

この時、lim[n->∞] f(n)を求めよ。

>>228
任意の自然数mに対して、ある自然数nが存在して、

3^n＝999…99a1a2a3… (←右辺は十進法表示。上からm桁が全て9になっている)

となっている(これの証明には、log[10]3が無理数であること、そして、
無理数の稠密性を使う)ので、lim[n->∞] f(n)＝∞となる。

しまった。これではlimsup[n→∞]f(n)＝∞が示せただけか。f(n)が小さい値を取る
ようなnが無限にあったら、f(n)は振動するから、lim[n→∞] f(n)は存在しなくなるな…

ΘをRの通常の位相とし、Ｃを閉集合系とし、Ｂをボレル集合系する。
(1)各F∈Ｃ−{φ}についてf(F)∈Fが成り立つ写像f：Ｃ−{φ] → R を1つ構成せよ。
(2)各O∈Θ−{φ}についてf(O)∈Oが成り立つ写像f：Θ−{φ} → R を1つ構成せよ。
(3)各A∈Ｂ−{φ}についてf(A)∈Aが成り立つ写像f：Ｂ−{φ} → R を1つ構成せよ。(ゴメン。俺には解けない。)

talk:>>231
Fに正の数が含まれるならばそのうちの最小、それ以外の場合はFの最大。
0,-1,0,1,-2,-3/2,-1,-1/2,0,1/2,1,3/2,2,-3,-8/3,-7/3,-2,-5/3,-4/3,-1,-2/3,-1/3,0,1/3,2/3,1,4/3,5/3,2,7/3,8/3,3…の中にOに含まれるものが存在するのでその最初のもの。
ボレル集合に対しては選択公理を使うか？

しまった… (3)は選択公理が無いとダメかも。(1)，(2)は選択公理無しで構成可能。

閉集合関係は、正の数のうちの最小ではなくて、0以上の数のうちの最小とするべきだったか。
ボレル集合族は閉区間族を含む完全加法族であるといった情報はあるが、逆に言うとそれしか分からないのだ。

５＋＋５＝＝＝　

ボレルでなくても、Fσ, Gδ で十分むづかしい。

確率1/2で当たるくじがあり、当たると1点、外れると−1点もらえる。正の実数εに対して、
Pε(n)＝「n回くじを引いたとき、n回とも、獲得した点数の合計がε未満である確率」
とおく。lim[n→∞]Pε(n)＝0となることを示せ。(例えば、100点以上の点数を獲得
したいとすると、くじをずっと引き続けていれば、ツキがまわって来て めでたく
100点以上の得点を獲得できる。)

「小数展開に 1 が現れない実数全体は測度 0」 の証明と同じようにできる。

「小数展開に 1 が現れない実数全体は測度 0」の証明を知らない俺に教えてくれ。

>>231
(1)F∈C−{φ}を任意にとる。F＝∪[x∈Z]([x,x＋1]∩F)と表せるから、F≠φであることより、[x,x＋1]∩F≠φ
なるx∈Zが存在する。そのようなxのうち|x|が最小のものをとる(x,−xの2つがとれるときは、正の方でも選んで
おこう)。[x,x＋1]∩Fは有界な閉区間だからコンパクトであり、よって最小値αが存在する。α∈[x,x＋1]∩F⊂F
となっているから、f(F)＝αとおけばよい。
(2)B＝{(a,b)｜a,b∈Q,a＜b}とおくと、BはΘの開基であり、Bは可算集合である。つまり、位相空間(R,Θ)は
第2可算公理を満足する。B＝{(an,bn)｜n∈N}と表記しておく。O∈Θ−{φ}を任意にとる。このとき、
(an,bn)⊂Oを満たす(an,bn)が少なくとも1つ存在するから、そのような(an,bn)のうち、nが最小のものを
とる。そして、x＝(an＋bn)/2とおく。このときx∈(an,bn)⊂Oだからx∈Oである。よって、f(O)＝xとおけばよい。

>>240
>232 と本質的に同じ。清書ごくろうさん。

一辺の長さが1の正n角形に含まれる正2n角形のうち、面積が
最大であるものを求めよ。また、その理由も示せ。

π＾e　　　　と　e^π　　　　の大小関係を述べよ。
(πのe乗)　　　(eのπ乗)

＊関数電卓禁止

んな、高校レベルの問題……

>>242
それってホントに最大値があるのか？
いくらでも大きくできそうな気がするンだが

nを固定して正2n角形のとり方を考えるってことなのかな？

まぁ、最大値をn使って表現するんだろうしなぁ……

>>243
確かに、スレタイの趣旨には合っているが、そんなの中学高校で既出なんだよ！ アホか！
次に期待しておるぞ、下がってよい！

>>248
中学レベルで解いて。いや、問題の意味を説明して。

pailoge-elogpai=pai-elogpai

>>249
問題の意味が分からないって、マジで小学生なのか？
このスレはいつからオムツの取れないガキの溜まり場になったんだ？


('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

>>251
いや、単に中学レベルって言われたからイヤミで切り替えしただけだろ。
中学だとe習ってないから、問題の意味が説明できないって言いたいみたいだな。

どっちにしろ、スレ違いだが

ａ[n+1]=√{1+(Σ[1,n]ａk)^2}を解け。

(z-a)^-bdz、ｂは実数はどうやって複素積分するの？

このスレでは面白くもない問題は容赦なくスルーされます

State Koenig's Theorem. Use it to prove that 2^aleph0<>alephw.

まだ解けていないのか。。。プッ、

>>253を熔けないのが数学板の低さをものがたっている。
定時限な奴らの集まりである。こいつらを積分してやっても意味なく定Level。

>>258
>定時限

日本語から勉強しなおしてくださいね。

>>259は2chに華々しくデビューしたばっかの亜歩だお

おこちゃまは寝る時間ですよ。 荒らさないでね。 プケラ！

>>258
低レベルだな。せめて「こいつらのレベル全体の集合はルベーグ零集合」とか言ってくれ。

それだと全員のレベルが100でもルベーグ零集合だお(　＾ω＾)

そうでつね〜君達はグラスマン数にしとこうかなﾃﾗﾜﾛｽ

Rを実数全体の集合、≦をRの普通の順序とする。Rの非可算な
部分集合Aのうち、(A,≦)が整列集合となるものは存在するか。

>>265
存在しない。
Aが整列集合だとすると、Aの任意の元aとaより大きい最小の元bに対してa<c<bなる有理数cを対応させれば
AとQの部分集合が1対1に対応するのでAは高々可算。
（aがAの最大の元であればa<cなるcをとる）

>>250
続きをつづけて〜な(;´д｀)ﾊｧﾊｧ

（x-a）（x-b）（x-c）……（x-y）（x-z）

を展開するとどうなる？

0って言いたいんか

>>269
正解。
つまらん問題だったか…

2つの円が、異なる2点A,Bで交わっている。
双方の円に共通な接線を1本引き、その接点をS,Tとする。
このとき、直線ABは線分STを二等分することを示せ。

座標と三角比でガリガリやったら一応証明できたが、
ちっとも勝った気がしないので、初等的解法を募集。

中心を結ぶ線とＡｂは直角だから、と、半径が同じだから、あとは見れば
わかるだろうぐらい書きなぐっておけばいい。

＞半径が同じだから、
？

>>270
散々既出！
100万年ROMってから来い！
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

('A` )　ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
　 くく　へﾍﾉ

はんけいがことなるのなら、接線は両側にあるから、２等分同時に出来たら、
ａｂは折れ線になるじゃないか。。。

>>275
なんか、勘違いしてないか？

>>271
初等的なものになるかは知らんがこんなのはどうだろう。
2つの円P、Qの半径が同じとき題意は明らかに成り立つ。
次に3次元でP、Qを下の様に置く
P: x^2+y^2=1, z=0
Q: (x-x_0)^2+y^2=1, z=h>0, 0<x_0<2
そして直線AB,STをz方向に広がる平面にしておく。

このとき+zから見るとQのほうが半径が大きく見える…(*)
するとSTが二等分されるのは明らか…(**)

(*)でしかも(**)な写像が見つかるといいねって話。

Iを実数空間の区間とし、f:I->Rを凸関数とすると、{(x,y)|x∈I,y∈R,y>=f(x)}はR^2の凸集合であることを証明せよ。
しかし、すぐにできるかもしれない。

>>271
つ[方べきの定理]

>>253をいまだに誰も熔けてない阿保の集まり。
では>>253をKing氏！この問題を幾何的に溶いてくれ。

talk:>>280 何やってんだよ？

>>281溶けないのか？

そりゃあ溶けないだろうよ。氷じゃあるまいし

宿題か

>>253
は無視
>>253
は無視
>>253
は無視
>>253
は無視

球を平面で切断したら切り口が円になるけど
n個の平面でランダムに切断した時にできるn個の円の交点の数の期待値は？

確率幾何とかいう分野の問題らしい

>>286
そのn個のランダムな平面つーのが、どういう条件なのか言ってくれないと……

>>251 = >>274

はしゃぎ過ぎｗ

はやく>>253を溶けはやく>>253を溶けはやく>>253を溶け
はやく溶けはやく溶けはやく溶け
はやく溶けはやく溶けはやく溶け
はやく溶けはやく溶けはやく溶け

>>253はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け

>>253はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け

>>253答だけでもいいから早く解いてみろ！無視とかいって
学力がないのに数学板うろついてるニートたちよ！>>253はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け
はやく溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け溶け

>>253はやくとけ
(＠>▽<＠)ノφ(^∀^*)♪
(★嬉+O∀o*)??(゜Q。)??
(ノд<。｀)ノ♪(ーεー*)
ヾ(*≧▽≦)〃（≧∇★）
ヾ（@＾∂^@）¶ｷﾀ――(゜∀゜)――!!(((゜Д゜)))ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ(o^_^o)(^-^)v(*⌒▽⌒*)
ヾ(^▽^)ノわーいヽ(^^ )p(^-^)q（ー'`ー;）なぬ?(-.-")凸 ﾁｯﾁｯﾁヽ(*｀Д´)ノ(ノ-"-)ノ~┻━┻o-_-)=○☆(x_x;)
(;_;)>>253早く解け(･∀･)
(=ﾟωﾟ)ﾉm(_ _)m(^3^)/チュッ(?_?)φ(._.)メモメモ(ﾟДﾟ；≡；ﾟдﾟ)O(><;)(;><)O

>>285
出題者、必死だな

じゅーななの女子高生でっす^-^
>>253を解いてくれたステキな人と付き合っちゃいます
痩せ型、童顔、大きめの目がチャームポイントだよ♪

>>279をヒントに考えてみた。
ABとSTの交点をPとすると、方べきの定理より
SP^2 = PA*AB = TP^2 より SP=TP である。■
こんなにあっさり決まるとは‥‥まさに瞬殺。
気づかないと泥沼だぁ。

>>277
発想が、俺の某友人に似ている。

>>296
方べきの定理を知っていますか？

なぜ誰も>>253を解かない・・・？
なぜ無視する


解け！解け！解け！解け！解け！解け！
解け！解け！解け！解け！解け！解け！
解け！解け！解け！解け！解け！解け！
解け！解け！解け！解け！解け！解け！
解け！解け！解け！解け！解け！解け！
解け！解け！解け！解け！解け！解け！

253初項は？

>>297
訂正。真ん中はPA*ABではなく、PA*PBだな。
正直、弦の交点が円の外に出ているタイプは知らなかった。
昔どっかで見た記憶もあるが、こうやって実際の問題に
自力で適用できなかったわけだから知らないも同然。
証明が、交点が内部にある場合とほぼ同様にできることは確かめた。

>>300
うむ、それでいい。

>>286
確率幾何の問題なら、任意の測度に対して期待値を求めろって事なのかね

>>287ランダムはランダムや。無作為に条件付いたら無作為ちゃうやん。

平面で円をｎ個書くとき、交点の最大数はいくつ？

それを球面にマッピングすれば。。。

球面上でｎこの円を書くとき、交点の数の最大は？

平面では直線は１回しか交わらない。球面では２回、直線が３回交わる空間はどんな空間？

座席が４０列、最前列が１０席、各列は前の列より２席おおくなっている。
全部で何席あるか？　ヒント　台形の面積の公式を使う

ａn+1=√{1+(Σ[1,n]ak)^2}これを出題する！！解けるかな？

早く解いて

初項を言い当てたらいいだけ

最初だけiで後全部0でいいのか？

ok

ｎ個の球を交差させて出来る交差面の最大数は？

ｎ個のおっぱいを交互に愛撫する組み合わせの数は？

球をだんだんと大きくしていけばいい。
2+3+4+…n

球面上において直線は存在しない

>>317
一般に、2点間の道のりの最小値を与える曲線を、
その曲面上の「直線」と定義できる。
球面上では、それは球と直径を共有する円になり、大円と呼ばれる。

＞球面上において直線は存在しない
みんな、幼少の頃から平面幾何しか教えられてないから、こういうふうに
洗脳されちゃうんだよな。小学校から非ユークリッド幾何を教えればいいのに。
もちろん、突っ込んだ内容ではなく、「直線」の何たるかが理解できる程度に。

問題は定義のなんたるかだな
もし直線が無いと定義すると同じ論議で円も球もどんなな図形も定義上有り得ないことにならんか？
こんなこと言い出せば切り無い気がする
全ては定義なんだよ

ならん。

直線がないと円をかけない。。。

直線の定義は接ベクトルが平行

>>309初校は１だ！さぁとけ

＞ｎ個のおっぱいを交互に愛撫する組み合わせの数は？
365

あとは順番に入れればいいだけ。お前はもう解けている。。。。

お前はもう溶けている。。。。

ヒントをくれてやる
連分数に直せば収束値がでるから、あとは逆算するだけ。

>>309をさあ溶くんだ！これが数学板の実態なねか？
さぁさぁ早く溶くんだ。
今すぐ溶きなさい。

ほとんどの漸化式は解析的に解けないのが数学界の常識だって
ことすら知らないのですか？
パソコンで計算してグラフにして見な？

>>309の前科式解けますよﾒｶﾞﾜﾛｽ
ぷぷぷ…
幾何的にも解けるし普通に解いてもできるからwww
とりあえず>>330は数学かじっただけなので帰ってよろしい。

こいつ２乗の位置まちがってるよ。

>>332間違ってねぇよwwwwwww

a1=i
an=0(n≧2)

余裕で解ける

ａn+1=√{1+Σ[1,n](ak)^2}
ヒントをくれてやる
連分数に直せば収束値がでるから、あとは逆算するだけ

さらっと二乗の位置が変わってるな

(ak)^2なら簡単すぎるだろ

３乗でもよゆうでとけるだろ。。。早くといてみろよ

だから>>309は a1=i、an=0(n≧2)でいいじゃん

>>336
an+1 = √{1+Σ[1,n](ak)^2}
an = √{1+Σ[1,n](ak)^2} - 1
an = √(1 + n(ak)^2) - 1

ほい、解いた。

>>309初校は１だ！さぁとけ

>>332間違ってねぇよwwwwwww

>>341
正解！

おいおい普通一般項だすだろwさぁ一般項をだせ
ａ[n+1]=√{1+(Σ[1,n]ａk)^2}ａ[1]=1

ねぇまだー？
早く溶いて解いて溶いて解いて溶いて

なんで、二乗の位置が書くたびに変わるんだ？

n≧2のとき、与式からａ[n+1]=√{1+(Σ[1,n]ａk)^2}ａ[1]=1
すなわちａ[n+1]=1となるので、a[n]＝1 (n∈N)となる。

>>348
絶対やると思ったｗｗ

>>348バロス
二乗の位置はこれが正しい。
ａ[n+1]=√{1+(Σ[1,n]ａk)^2}

(1+n^2(n+1)^2/4)^.5
ぐらいだね。

ａ[n+1]=√{1+(Σ[1,n]ａ[k])^2}なのか

ａ[n+1]=√{1+(Σ[1,n]ａk)^2}なのか

ａn+1=√{1+(Σ[1,n]ａk)^2}なのか

出題者溶け溶け言ってないで書き方統一してくんないかな

答え全然違ってくるじゃん

ａ[n+1]=√{1+(Σ[1,n]ａ[k])^2}すまん>>350はおれだがこれが正しい。
勝手に書き換えるなよ虫ども。

a[1]=i
a[n]=0(n≧2)

>>354…ひっひぃ〜やめてくれwwww
早く解いてー

S[n]＝a[1]＋a[2]＋…＋a[n]とおくと、与式はS[n＋1]＝S[n]＋√(1＋S[n]^2)と
変形できる。実はS[n]＝1/tan{π/2^(n＋1)}と表せることが、数学的帰納法により
分かる。よって、a[n]＝S[n]−S[n−1]が答え。

>>356正解。
ａ[n]=1/sin(π/2^n)
もしくは>>356が答

こいつ、ほんとは途中計算が知りたいだけなんだろう。。。

どうして>>356は良くて>>354がダメなのはなんで？

(x-a)(x-b)(x-c)・・・(x-y)(x-z)＝？
最近本で見た問題。

面白くないからそれ

答えは？

0
あと問題にするならせめて∫[0,1](x-a)(x-b)(x-c)・・・(x-y)(x-z)dxを求めよ
とかにしないと

すいませんでした。でも友人はほぼ解けなかった。

>>268
を見てみような　4日前に出題済みだ。

>>360
(x-x)(=0)を掛けているので0

1/tan(pi/8)−１=(1+(1/tan(pi/8))^2)^.5にならないだろ、いいかげんな言い逃れをしやがって
２乗の位置を間違えてる。。

>>367
その計算式が間違ってる。正しくは
1/tan(pi/16)−1/tan(pi/8)＝(1+(1/tan(pi/8))^2)^0.5

1/tan(pi/8)−１=(1+(1/tan(pi/４))^2)^.5

α、ｂ、ｃを３辺の長さとする三角形がある。
条件
　α3（ｂ−ｃ）＋ｂ3（ｃ−α）＋ｃ3（αーｂ）＝０
が成り立つとき、この三角形はどんな三角形か。

>>370
二等辺三角形
a^100（ｂ−ｃ）＋ｂ^100（ｃ−α）＋ｃ^100（αーｂ）＝０
では？

正三角形

　α＾3（ｂ−ｃ）＋ｂ＾3（ｃ−α）＋ｃ＾3（αーｂ）＝０

直角三角形、鈍角三角形、鋭角三角形、ほかになにがある？

２ｎ×２ｎ個のます目をもつ碁盤を考える。碁盤の１つのます目（正方形）
の１辺の長さを１単位の長さとする。この碁盤の上に、直径が（２ｎ−１）
の円を描く。円の中心は碁盤の中心と一致するものとする。次の図はｎ＝２
の場合である。下の問い（問１〜問３）に答えよ。

問１
ｎ＝３のとき、円周は何個のます目を通過するか。

問２
一般のｎに対して、円周は何個のます目を通過するか。

問３
一般のｎの場合、円内に完全に含まれるます目の数をｆ（ｎ）とするとき、

π（ｎ−１／２）2ー８（ｎ−１／２）≦ ｆ（ｎ）≦ π（ｎ−１／２）2

となることを示せ。

一辺が4の正方形の内部または周上に、n個の点をとる(n≧2)。ただし、どの2点間の距離も
√2以上になるようにする。nの最大値を求め、その理由も説明せよ。

各アルファベットについている色のイメージ。

赤…a
青…p,q,s,w,z
黄…b,i,j,l,r,u,v,y
黒…e,k,x
白…c,h,o
灰…f,n
茶…m,t
？…d,g

みんなはどう？

>>375
１）
　２）を見よ

２）
　8(n-1/2)

３）
　f(n)は円の面積{π(n-1/2)^2} 未満。
　円周の通過する正方形の面積の合計は8(n-1/2)なのでf(n)+8(n-1/2)は円の面積より大きい。
　　

２) の概略。
全体を田の字に分割し、左上の部分だけを考える。

円周(1/4の円弧)は(0,0)のマスから(n,n)のマスまでを通る。

円弧は単調増加なので(グラフが引き返すようなことはないので)
このようなグラフは(0,0)から(n,n)までに右方向にn-1マス分、
上方向にn-1マス分の移動がある。つまり通過するマスは2(n-1)+1。

その例外はグラフが格子点を通るときであるが、
円弧の半径はn-1/2であることを考えると、それが格子点を通過することはない。
（もし格子点を通過するならば、三平方の定理より半径の2乗が整数である必要がある）

dを自然数とする。
自然数a1,a2,…,an及び自然数k1,k2,…,knがあって、各iに対して1≦ai≦kiを
満たしているとする。a1〜anの値をそれぞれ変化させるとき、Σ[i＝1〜n]aiが
dの倍数になるのは何通りあるか。

>>243
>>250
ってどう解くの？
ログにしても大小わかんなくねｗ

>>381
それはお前の頭が悪いから

>>380 意味わからん。

>>380
条件少なすぎ。
問題写し間違えてないか？

>>382
おすえてください

e^π とπ^eの大小関係について。

0＜x,yの時
x^y ＞ y^x
ylog(x) > xlog(y)
log(x)/x > log(y)/x

従って、e^π とπ^eの大小関係を論じるためには
log(e)/e と log(π)/πの大小関係を論じればよい。

f(x)=log(x)/x と置いて、f'(x)を計算すれば
f'(x)=log(x)*(-1/(x^2)) + 1/(x^2)
=(1-log(x))/(x^2)
となり、x≧eの時、f(x)は単調減少関数。このため、
log(e)/e > log(π)/π

>>386
あったまいぃ〜(・∀・)！！
漏れがただ頭悪いだけか・・・
あんがとっ、スッキリしたよｗ３９〜

流石にキツイか(＾ ＾；元の問題を載せておきます。

自然数a1,a2,…,a10は1≦ai≦6 (i＝1〜10)を満たしているとする。a1〜a10の値を
それぞれ変化させるとき、(−1)^Σ[i＝1〜10]ai＝1が成り立つのは何通りあるか。

これが元の問題。なんで「 (−1)^Σ[i＝1〜10]ai＝1 」という回りくどい表現を
とっているのかを考えたら、解法が見えました。

3*6^9か？

>>386
その問題いいね。詩的で。
よく知られている超越数を二つ使っているところが上手いのかな。

まあπはeより大きな数だったら本来何でもいいわけだが

>>390
言っておくが、大学受験レベルの常識だぞこれ。

よくある有名問題だな

教育的だね。
高校でもこういうの教えればいいのに。

高校で教わったのだが。

そりゃあ、対数の計算方法くらいは教わるんだろうけど。

だから、まんま この問題を高校でやったのだが。解答も>>386と同じ。

「やったのだが」って言われてもｗ　確かめようがないからなぁ。
まあ、こういう面白い問題を授業で紹介したのなら、いい先生ではあるな。

よく高校の数IIIの参考書とか問題集に載ってるよ

てかe知ってたらわかるだろ。

>>398
低脳バカ高校乙。

超有名問題だろ。何をいまさらって感じだが。
>>386の解答は間違ってるけどな。
0＜x,yの時
x^y ＞ y^x
⇔ylog(x) > xlog(y)
⇔log(x)/x > log(y)/x
こう書かないとダメだぞ。

>>397
やべ。まんこの問題を高校でやったのだが。に見えた。

>>402
もう1つ、>>386には誤植もあって正しくは最後の行
　⇔log(x)/x > log(y)/y
にしといてくれ。

>>404
死ね

何だ？
ﾌｧﾋﾞｮる相手を間違えてないか？

煽り合いﾂﾏﾝﾈ

煽り合ってないないｗ

>>405
必死だな。 >>386さんよぉ！

( ﾟ∀ﾟ)ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ / ＼/ ＼

教科書では見た事無いなぁ・・・
補習かなんかで参考書でみたんじゃないの？

>>410
教科書だけしかやらない低脳バカ高校乙。

>>372
二等辺三角形だよ

>>410
ハァ？ 教科書？ （ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ
m9(^Д^)ﾌﾟｷﾞｬｰ

>411,413
言うねぇw自信たっぷりだねぇww

　さいころをn回ふるとき、n回までに少なくとも一回１の目が出る確率は
　1-(5/6)^nで表される

これ説明してくれない？
いまいち良く分からないから・・・

>>414
そんな問題は このスレには書かれていないはずだが？

こっち行け低脳。スレ違いだから。そして二度と戻って来るな。
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1162905141

sage

n個の都市x1〜xn∈R^2に対してサラリーマンが全ての都市を1度は通る最短の経路の道のりをA(x1〜xn)とする
max[x1〜xn∈S^2](A(x1〜xn))を求めよ

問題がおかしい

S^2ってなんだ。

普通は球のことだがこの問題ではなあ

動点Pは座標(x,y)にあるとき、加速度は(sin(x)/(1+sin(x)^2),-sin(x)^2/(1+sin(x)^2))である。
時刻tにおける動点Pの座標を(x(t),y(t))とし、(x(0),y(0))=(0,1), 時刻0での速度を(v,0)とする。
動点Pの軌跡を求めよ。

間違えた
S^2じゃなくてS^1やった
{(x,y)∈R^2|x^2+y^2=1}の事ね

じゃあただの
内接正n角形の1辺の長さ×(n-1)
じゃないの？

S^2だと内接正(n-2)角形の一辺の長さ×(n-3)+大円/2か？

いや違うか…？

S^2解けたらノーベル賞もの

ノーベル笑

Cのジョルダン閉曲線Γのうち、次の2つの条件を満たすものを考える。
(1)Γは有限個の格子点p1,p2,…,pmを結んだ線分から成る折れ線である。
(2)各線分は、x軸に平行であるか、またはy軸に平行である。
このとき、C−Γは2つの連結成分から成ることを示せ。

>>410
俺も見たことないなあ。
参考書の「研究課題」とかで、欄外で紹介されるコラム的な問題のような。

>>429
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

どこがだよｗ
普通に例題として載ってるような問題だろ。

チャートに類題載ってるじゃん。
3^πとπ^3の大小比較。

>>428
あのな、分からない問題は質問スレにだせよ、馬鹿！

>>386
低レベルな受験数学の問題は受験板に行け、もしくは自身が逝け！

>>429
>>410
誰も教科書に載ってるなんて言ってないんだが
いや乗ってるのもあるかもしれんけど

>>433
何で、回答者に当たってるんだ。
受験数学とかじゃなくて、単に質問がうっとーしーから答えただけだろ。

自分にも分かる問題だから叩く方も調子に乗ってるみたいだねw

>>433
「分からない問題」じゃなくて、「面白い問題」なのだが。ジョルダン閉曲線定理の
簡易版。相変わらずこのスレは、ちょっと解析っぽい問題になるとすぐに宿題扱いだな。

>>429＝>>410

>>434
乗ってる？教科書の上に問題が乗っかってるのか？

脳味噌沸いてる馬鹿表現だな

その煽りは流石に下らなすぎる

f(x)＝Π[i＝1〜n](x^1＋x^2＋…＋x^ki)＝Σ[a∈A]x^(a1＋a2＋…＋an)とおく。ただし
A＝{a：{1,2,…,n}→N｜1≦ai≦ki for i＝1〜n}とおいた。これをさらに変形して、
Σ[a∈A]x^(a1＋a2＋…＋an)＝Σ[r＝0〜d−1]Σ[a∈A, a1＋…＋an≡r (mod d)]x^(a1＋a2＋…＋an)
＝Σ[r＝0〜d−1]Tr(x)とする。ただしTr(x)＝Σ[a∈A, a1＋…＋an≡r (mod d)]x^(a1＋a2＋…＋an)と
おいた。ω＝e^(2πi/d)とするとき、k∈Zに対してTr(ω^k)＝Σ[a∈A, a1＋…＋an≡r (mod d)]ω^{k(a1＋a2＋…＋an)}
＝Σ[a∈A, a1＋…＋an≡r (mod d)]ω^{kr}＝ω^(kr)Pr となる。ただしPr＝Σ[a∈A, a1＋…＋an≡r (mod d)]1
＝「a1＋…＋an≡r (mod d)が成り立つa∈Aの個数」とおいた。このとき
f(ω^k)＝Σ[r＝0〜d−1]Tr(ω^k)＝Σ[r＝0〜d−1]ω^(kr)Pr　…＊
となるので、k＝0,1,…,d−1を＊に代入し、得られたd個の式を全て足し合わせることでΣ[k＝0〜d−1]f(ω^k)＝dP0と
なるので、P0＝Σ[k＝0〜d−1]f(ω^k)/dとなる。P0＝「a1＋…＋an≡0 (mod d)が成り立つa∈Aの個数」であり、これが
求める個数であった。以上より、Σ[k＝0〜d−1]f(ω^k)/d が答えとなる。

n人(n≧6)でジャンケンを1回するとき、次の3条件を全て満たす確率を求めよ。
・2人以上はグーを出す。
・2人以上はチョキを出す。
・2人以上はパーを出す。
ただし、どの人間についても、グー・チョキ・パーを出す確率は同様に確からしく1/3とする。

talk:>>439 何やってんだよ？

talk:>>443 お前誰だよ？

>>441
>f(ω^k)＝Σ[r＝0〜d−1]Tr(ω^k)＝Σ[r＝0〜d−1]ω^(kr)Pr　…＊
>となるので、k＝0,1,…,d−1を＊に代入し、得られたd個の式を全て足し合わせることで
>Σ[k＝0〜d−1]f(ω^k)＝dP0となるので、

てくだりは
Σ[k＝0〜d−1]Σ[r＝0〜d−1]ω^(kr)P_r＝dP_0
てこと？ここがようわからんです。

>>445
そこは計算を省いてしまいました。
Σ[k＝0〜d−1]f(ω^k)
＝Σ[k＝0〜d−1]Σ[r＝0〜d−1]ω^(kr)P_r
＝Σ[r＝0〜d−1]Σ[k＝0〜d−1]ω^(kr)P_r　(kとrを入れ替える)
＝Σ[r＝0〜d−1]{P_rΣ[k＝0〜d−1]ω^(kr)}
＝dP_0＋Σ[r＝1〜d−1]{P_rΣ[k＝0〜d−1]ω^(kr)}
＝dP_0＋Σ[r＝1〜d−1]{P_r*0}　(∵1≦r≦d−1のときΣ[k＝0〜d−1]ω^(kr)＝0)
＝dP_0
となります。

(1)平面上に八点があり、どの三点も同一直線上にないものとする。
さて、直角に交わる二直線を適当に選ぶと、八点はどちらの直線についても線対称であるとする。
その八点を通る楕円は存在するか？
(2)平面上に八点があり、どの三点も同一直線上にないものとし、
直角に交わる二直線を適当に選ぶと、八点はどちらの直線上にも無く、
どちらの直線についても線対称であるとするとき、その八点を通る楕円が存在することを証明せよ。

（±１，±１），（±２，±３）。

つまり、面白い問題。

talk:>>447 お前に何が分かるというのか？
talk:>>449 何やってんだよ？

talk:>>450 お前の問題はどこだ？

talk:>>451 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰す方法を述べよ

教科書では見た事無いなぁ・・・
補習かなんかで参考書でみたんじゃないの？

分母が2桁の整数である分数のうちπの値に最も近いものを求めよ。

10π/10

それも正解といいたいところだけど、整数比で表される分数ということでよろしく。

さらに一般化した問題。
任意の実数aと任意の正整数nが与えられたとき、分母がn以下の整数である分数のうちaに最も近いもの
を求める効率的な方法を求めよ。

>>456 　邦書ではやっぱり高木貞治の「初等整数論講義」がとっても
良い、と思います。結構実用でも役にたったりする、連分数。手でグラフ書くときに便利。
（実験の授業担当してるので）

と、言う訳で数学愛好家の物理専門家なのですが、きちんと計算した訳ではなく有効数字3ケタ
レベルの観察で思いついた事なのでデタラメだったらご免なさい、以下問題。

cos[2 \theta_n +\phi_{n-1}]=sin[\theta_n]、\phi_n=\phi_{n-1}+\theta_{n-1}
で、\phi_0=0の場合、\thetaの答えは常に\piの有理数で与えられる。

(1)gcd(n,6)＝1のとき、n^8−n^4＋1のどんな素因数も24で割ると1余ることを示せ。
(2)24で割ると1余る素数が無限に存在することを示せ。

ありゃ？gcd(6,n)＝1は必要ないか。

訂正
(1)gcd(n,6)＝1のとき、n^8−n^4＋1のどんな素因数も24で割ると1余ることを示せ。
↓
(1)自然数nに対して、n^8−n^4＋1のどんな素因数も24で割ると1余ることを示せ。

>>458
上はn≡±1

>454
1桁　　　22/7 = π + 1.26448926734968…×10^(-3),
2桁　　311/99 = π - 1.78512175651679…×10^(-4),
3桁　355n/113n = π + 2.66764189404967…×10^(-7).

>461

祖沖之(429-500) は πの近似値として
　約率: 22/7
　蜜率: 355/113
を求めたらしい。『隋書』の｢律暦志｣による。

>>386
　e^x > 1+x (x≠0) を使う。
　a>0,a≠e のとき (a/e)-1=d　とおくと
　e^(a/e) = e･e^d > e･e^d > e(1+d) = a,
　e^a > a^e.

>391
　e以外の正数なら…

>386

改造したくなるのが不等式ヲタの…
　( ﾟ∀ﾟ)つ 「e^e < 3^e < e^3 < π^e < e^π < 3^3 < π^3 < 3^π < π^π を示せ。」

不等式への招待２
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/540-548,551-553

出題(不等式)
　http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=377

両面が赤のカード：2枚
両面が青のカード：2枚
表が赤で裏が青のカード：3枚
これらを中の見えない袋に入れ、1枚取り出し片面だけを見る。
そして、裏が何色なのかを当てるゲーム。
見えた色が赤だったら、どっちに賭ける？

>>465
青。

>>466
俺と賭けをしないか？

>>467
私の計算が間違っているのか？

>>468
じゃあ、袋から1枚引くとき、裏表同じ色のカードを引くか、裏表が違う色のカードを引くかで賭けをしたらどっちに賭ける？

>>469
両面同じ色に決まってるだろうが、ダボが！

talk:>>466 無作為に選ぶときは赤になる確率の方が高いから、ディーラーがそれを逆手にとって、こっそり両面が違うカードを選びやすくしているだろう、という推測からその答えになったのか？

（・∀・） ﾆﾔﾆﾔ…

>>470
じゃあ、もう一回>>465のゲームで見えた色が青だったら、どっちに賭ける？

>>473
君の意見を聞こうか？

　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿_
　　　　　　　　　　 | 　 ￣￣￣￣ 　 |
　　　　　　　　　　 {`　　 ｒ'"￣￣　 ´}
　　　　　　　　　　 |　　/　　　　　　　|　　条件付期待値という言葉を知っているかね、ｵｰﾋﾞｰくん？
　　　　　　　 　 ＿ｌ―‐------- ―‐l　　
　　 　 =ﾆ二￣　　￣￣￣￣￣￣￣　￣　二ﾆ=　　
　　　　　　　　￣ ﾌ ﾃ6〒 '' ｰｒｒｒｧ､''ﾐl￣
　　　　　　　　　く　　こ ノ　　ﾐｼ リﾐﾐ.ヽ　　　　　　　
　　　 　 　 　 　 {{ｌｌｌ､　　 　 ､ｼ`‐'ｌﾐミミ}
　　　　　　　　　__}⊇ﾐ.､　 .､ｼ　　 >''´　_｝＿
　 　 　 　 　 ／ （}.}.}.l.l.l.l.l､ｼ__ ／　 ／／　　 ｀ヽ
　　　　　　 / 　 〃￣/￣＿____ ／　/　　　　　　ヽ

　　　　
|　 | 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｵｰﾋﾞｰ ﾃﾞﾓ ﾊﾞｰﾋﾞｰ ﾃﾞﾓﾅｲｯ！
|　 |∧＿∧ 　　　　　　　　
|＿|；´・ω・`)　 　　　　　　　　　　　ヽ(｀Д´；)ノ　　　ﾀﾞｰﾋﾞｰ ﾀﾞ！ ｵﾎﾞｴﾃｵｹｯ！
|茶| ｏ　　⊃　　　　　　　　　　　　　　　（　　）へ
|￣|―ｕ' 　　　　　　　　　　　　　　　　　く
""""""""""""""""""""""""""""""""""""

>>473
赤。

>>477
俺と賭けをしないか？

赤　478が477に百万円払う
青　477が478に百十円払う

>>478-479
ok

>>479
期待値に差があり過ぎｗ

マジレスでも頂点に立つ俺様が、この条件付確率を晒そう！
　赤 ： 4/7
　青 ： 3/7


　―┼‐　　　　　　　　 ノ　　 　 /　 　|　 --ヒ_/　　　 　/　　 ＼ヽヽ　　　 ー―''7
　　　`」 　 ┼,　　　二Z二　　　レ 　 /　 /´レ' ＼　―７￣｝　　|　　ー-、　　　/
　（＿＿ 　（|フ)　　　（＿＿ノ　　＿ノ　　∨`　　ノ　　/ 　/　　　　　＿ノ　　　 ＼＿

　　　 ─┼-　　　　　　　　/　　 |　　 ‐┼-　　　|　　　　　ー|―
　　　 ─┼─　|　　　＼　レ　　/　　￣Tー　　/　　　　　　ノ　-─
　　　(二フヽ　　＼/　　　　＿ノ 　 (二フ＼　　ヽ＿ノ　　 /　、＿＿

　　　　 ｉ';ｉ
　　　　/__Y
　　 　 ||真||　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ／⌒彡
　 ＿　||露|| 　　　　　　　　／⌒＼　　　 　/冫、　）　・・・・・・。
　 ＼　|| 　||￣￣￣￣￣￣￣＼　`.／⌒ i `　 ／ゝ 　　　_,,..,,,,_
　　||＼`~~´　　（ｷﾑﾁ）　　 　　 　＼(　>　 　　 ('＼＼ 　./ ,' 3　`ヽｰっ　・・・・・・。
　　||＼||￣￣￣￣￣￣￣￣￣||￣＼`つ　 　 ⌒ ＿）　l　　 ⊃　⌒_つ
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( 'A) ・・・。 〃∩ ∧＿∧ 　 　　　 　＜⌒／ヽ＿＿＿
/(ﾍ)ﾍ　 　 ⊂⌒（ 　・ω・）　・・・。　 ＜_/＿＿＿＿／　ｚｚｚｚ・・・
　　　 　　 　　｀ヽ_っ⌒/⌒ｃ

これは
赤ー赤　2/7
青ー青　2/7
赤ー青　3/7
で見えたのと違うほうを答えるのが有利というわけではないんですか

厨房レベルでは理解できません・・・

>>483
表が赤だったときの、裏も赤である確率＝4/7
表が赤だったときの、裏は青である確率＝3/7
よって赤に賭けた方がよい。

条件付確率もわからない人多いのね

以前質問スレでも発問したのですが、きちんとした回答が得られなかったので改めて…

1〜kまでの目が均等に出るサイコロをつかってスゴロクをする
ここでプレイヤーがスタート地点からnマス先のマスに
（通過せずに）ピッタリ止まる確率をP(n)とする
（例えば明らかにP(1)=1/k,P(2)=(1/k)+(1/k)P(1)･･･）

P(n)をnの式で表しP=lim[n→]P(n)を求めよ。

直感的にPは2/(k+1)と思うのですが、
(∵サイコロは平均して(k+1)/2の目が出るので)
これがなかなか厳密に示せません。
漸化式を書いてみたものの、手計算で解ける気がしません。
興味のある方是非挑戦してみてください。お願いします。

>>486
俺も、手計算で解ける漸化式じゃないと思うわ

別に漸化式を厳密に解く必要ないでしょ。
max{P(i) ; n≦i≦n+k-1}-min{P(i) ; n≦i≦n+k-1}をΔ(n)とかおくと
nが十分大きいとき、Δ(n+k)≦rΔ(n)、0 < r < 1は定数、
みたいな感じの評価が出来るはずなので
こういうことを使って示せばよい。

>>486
出来た。確かにP＝2/(k＋1)になる。でも解き方が下手糞すぎる(Pが存在することは、
P(n)の特性方程式の解の性質を調べることで証明し、Pの具体的な値は、P(n)の母関数を
使って変な極限を作って求めた)ので書かない。

Pの存在が分かれば
1-P(n)=Σ[i=1,k-1]((k-i)/k)P(n-i)
(nマス目を通過する確率から)
より両辺n→∞として
1-P=Σ[i=1,k-1]((k-i)/k)P
p=2/(k+1)
でどうでしょう？

>>484

＞表が赤だったときの、裏も赤である確率＝4/7
これが感覚とずれるんですよね、裏が赤は2枚しかないので

要するに
裏と表が同じ確率　＝4/7
裏と表が違う確率　＝3/7
よって見えた色と同じものを答えたほうが有利、ということでしょうか

算数からやり直すかな

>>491
条件付確率を勉強しる

>>491
両面赤のカードを引いた場合、表が見えてる場合と裏が見えてる場合があるでしょ。
赤は全部で2*2+3=7面ある。

なるほど、面ですか
ありがとうございます

>>428
・弧状連結成分が2個以下である事の証明
Γと点Aでのみ交わる線分BCを用意する （BA、CAは十分短くする）
これはA≠p1,...,pmとして、またΓに垂直になるようにBCを取ればよい
次に任意の点X∈R^2-Γに対しXから1番近いΓの点をYとする

X → Yに十分近い点 → Γに十分近い部分をΓに沿って通る
→ 線分BCにぶつかる → BかCの近い方へ
というルートを通る曲線aはΓと交わらない。よって任意の点XはBかCと弧上連結

・連結成分が2個以上である事の証明
R^2-Γ上の関数f(x,y)を次のように定義する
点(x,y)から左45度の方向へ伸ばした半直線bとΓの交点が偶数ならf=-1、奇数ならf=1と。
bの取り方によりbはΓと有限個の点のみを共有するからfは上手く定義出来る
f(x,y)が連続関数である事はbとΓの交点の個数nについての帰納法によって証明する
{(x,y)|f(x,y)=-1}も{(x,y)|f(x,y)=1}も空でない閉集合だから
連結成分が1個と言う事は無い

曲線aの取り方の詳細と帰納法の証明部分はまた今度書けばいいか…

>>486の一般化。

非負の実数列{an}はΣ[i＝1〜∞]ai＝1，Σ[i＝1〜∞]iai＜∞を満たすとする。i∈Nに対し、
iの目が出る確率がaiであるサイコロをサイコロをつかってスゴロクをする 。プレイヤーが
スタート地点からnマス先のマスにピッタリ止まる確率をp[n]とする。このとき
lim[n→∞]p[n]＝1/(Σ[i＝1〜∞]iai)となる。

…これが正しいか否かは分からない。

>>495
＞bの取り方によりbはΓと有限個の点のみを共有するからfは上手く定義出来る
bの取り方によって交点の偶奇が変化しないことを言わなければwell-defined
とは言えないのでは？

訂正。
誤：交点の偶奇が変化しないことを言わなければ
正：交点の個数の偶奇が変化しないことを言わなければ

>>496
正の実数列の方がいい。非負の実数列じゃ明らかに成り立たない。

>>499
＞非負の実数列じゃ明らかに成り立たない。
どのへんが明らかなの？

a2=1

>>497
「bの取り方を変化させる事により」じゃなくて
「"点(x,y)から左45度の方向へ伸ばす"というbの取り方により」って意味で書いた

>>501
あー…本当だ。じゃあ、こうしたらどうかな？

非負の実数列{an}はa1＞0，Σ[i＝1〜∞]ai＝1，Σ[i＝1〜∞]iai＜∞を満たすとする。i∈Nに対し、
iの目が出る確率がaiであるサイコロをサイコロをつかってスゴロクをする 。プレイヤーが
スタート地点からnマス先のマスにピッタリ止まる確率をp[n]とする。このとき
lim[n→∞]p[n]＝1/(Σ[i＝1〜∞]iai)となる。

問題: 自然数全体 N から有理数の集合 Q∩[0, 1] への全単射 r
に対して、二進小数表示(aij ∈ {0, 1})を用いて次のように表す:

r1 = 0.a11 a12 a13...
r2 = 0.a21 a22 a23...
r3 = 0.a31 a32 a33...
...

(1) 対角線上の数列で表される 0.a11 a22 a33... は有理数と
なり得るか？

(2) 対角線の一段下の数列で表される 0.a21 a32...a[k+1,k]...
は有理数となり得るか？

>>504
(1) 多分なり得ない。a=0.a11 a22 a33... が有理数ならば 1-a も有理数だが、
これは対角集合にビット反転をかけた数なので、リスト中に出てこない。

(2) b=0.a21 a32...a[k+1,k]...としたとき、1-b=r1 となるように並べる場合に限り、可能なのでは。

スマソ、あまり自信ない。

>>505
(1) はそんな感じでok。
(2) はもう少し検討の余地有りかな。

一辺１の正方形を1個のマスとして、n^2個のマスからなる一辺nの正方形を考える。
それぞれのマスを赤or青or黄で隣り合ったマスの色とは異なるように塗り分けるとき、塗り方は何通りか

>>505
a=0.a11 a22 a33... = 0.10000... = 1/2
r2 = 0.10000... = 1/2
1-a = 0.01111... = 1/2

ひとつの有理数に異なる２個の少数表示が存在することがある

>>508
やばい。それ考えてなかったわ。出題した俺も答え分からなくなった。
すまん。とりあえず 0 以外は無限に 1 が登場する方の表現を採用しよう。
0.10000... ×
0.01111... ○

>>507
３＾（４ｎ）＋６＾２ｎ（ｎ‐１）
なわけない

>>509
r1 = 0, r2 = 1/2,
k≧3 について a[k,k] = 1 とできる。(証明略)

このとき
0.a11 a22 a33... = 0.01111... = 1/2
は有理数。

>>488
具体的にどうやんの？

2 進数に対しては対角線論法を使えないのかorz
俺としては対角線論法を使って、対角部分が有理数に
なり得ないことを示そうとしたんだけど、3 進数以上
ではそうなるよね？

>>511
ミイラ取りがミイラになってしまった。その証明、考え中。

　　　　　　　　　　　

>>511
ギブアップ。良かったら証明の概略教えて下さい。

n 桁目に 1 が現れる数が無限にあるので、
back and forth method を使うのだろうね。

単純に、上から見ていって条件を満たさないものがあったら
条件を満たすようなものを探してきて順に入れ替えれていけばいいような。

back and forth argumentとかって名前は聞いたことあるんだけど
どういう議論のことを言うのかは知らない。

>>517
直感的には、それで行けそうな気がする。でも、疑問は残る。
互換 (p[i],q[i]): N → N (i ∈ N) を考える。このとき、
全単射 r: N → Q∩[0, 1] に置換

τ[n] = (p[n],q[n]) (p[n-1],q[n-1]) ... (p[1],q[1])

を施した写像 r(τ[n](・)): N → Q∩[0, 1] は、また全単射
になる。しかし、n → ∞ のとき、果たして極限写像もまた
全単射になるだろうか？

>>516
その back and forth method は全単射を保証するのかな？
不勉強なもので、調べてみます。

有理数を順に並べる。
ｒ（１）＝０，ｒ（２）＝１／２。
３≦ｎのときｒ（ｎ）をｒ（ｉ）（１≦ｉ＜ｎ）以外で
ｎ桁目が１になる最初の有理数とすればいい。

本調べたら往復論法は載ってたけど
前のほうから読まないといけなさそうなので読む気が起きん。。

「最初の有理数」というのは当然 i が一番小さいという意味だよね。

>>518
何にどういう文字を当ててるか分からんけど
この場合OKでしょ。

条件を満たさないものがあったら、条件を満たすようなもののうち
「一番上にあるもの」と入れ替えていくことにする。入れ替えは上から順に行っていく。
この操作を繰り返して得られる写像をs: N → Q∩[0, 1]とする。
操作をk回繰り返せばs_1からs_kまでは確定するから s は最初の r を
定めればきちんと定義されている。

全写なことと単写なことを別々に確かめればよい。
単写なのは定義から明らか。

全写なのは背理法で示す。sによってr_i∈Q∩[0, 1]に対応する自然数が無かったとしよう。
このようなr_iたち同士の順序（上にあるか下にあるか）は操作によって変わらない。
このような i のうちで最小のものxを取る。
r_xは十分多くの操作（N回とする）が行われた後には
N + 1番目（未定義のr_iたちのなかで一番上）に来ている。
これ以降のM回目（M>N）の操作では必ず第M桁目が0となっていて
「条件を満たさないもの」となっている。
つまりr_xの小数表示はN + 1桁目以降は全て0。矛盾。

>>154
>1,2,3,4・・・nと1からnまでの数字が書かれたカードが1枚ずつ計n枚入っている箱がk個ある。
>このk個の箱のそれぞれからカードを１枚、計k枚取り出す。
>取り出されたカードの数字の和がm以下である確率を求めよ。

求める確率を(n,k,m)とすると、

p(n,k,m)=(Σ[t=0,m-k]Σ[i=0,FLOOR(t/n)]{C(k,FLOOR(t/n)-i)*(-1)^(FLOOR(t/n)-i)*C(k-1+t-n*FLOOR(t/n)+n*i,k-1)})/(n^k).

>>520
難しくて時間食ったわ。

>r_iたち同士の順序（上にあるか下にあるか）は操作によって変わらない。

各操作の段階で、順序は変わると思うのだが。
極限操作の結果生成された、はみ出し者(r_i)たちの順序は
r を用いてソートされたものなので、s の構成操作の段階で
決まる?(うごめく)順序とは無関係なはず。そうなると

>これ以降のM回目（M>N）の操作では必ず第M桁目が0となっていて

となる必要もないと思う。

書き忘れたけど>>504でr_iを上から下に並べてあるので上とか下とか書いてます。
つまり分かりにくく書くとr^(-1)とかs^(-1)でNに引き戻したときの順序。
「はみ出し者」はQ∩[0, 1] - s(N)の元という意味。

>>522
いや、はみ出し者r_i1とはみ出し者r_i2があったとしたら、
r_i1とri2の相対的な順序は変わらず、最初r_i1のほうがr_i2より上のほうにあったら
何回操作をしてもr_i1はr_i2より上にあるままで変わらない、ということ。

「条件を満たすようなもののうち一番上にあるもの」がr_1より上にある場合と、
r_2より下にある場合と、r_1とr_2の間にある場合に場合分けして考えてみたら良い。

というか522もそう書いてるような気がするけど…

往復論法は古くは Cantor による実数の順序構造の特徴づけの
証明の前半に、可算で端点のない自己稠密な全順序の一意性と
して現れる。(後半は順序完備化の一意性）
例としては、Q と Q(π) は順序同型になるが、この同型を具
体的に与えるのはかなり難しいと思う。

暇潰し問題 "By Albert Einstein (maybe)"だってさ
http://www.coudal.com/thefish.php
There are five houses in a row in different colors.
In each house lives a person with a different nationality. The five owners drink a different drink,
smoke a different brand of cigar and keep a different pet, one of which is a Walleye Pike.

The question is-- who owns the fish?


Hints:
1. The Brit lives in the red house.
2. The Swede keeps dogs as pets.
3. The Dane drinks tea.
4. The green house is on the left of the white house.
5. The green house owner drinks coffee.
6. The person who smokes Pall Malls keeps birds.
7. The owner of the yellow house smokes Dunhills.
8. The man living in the house right in the center drinks milk.
9. The man who smokes Blends lives next to the one who keeps cats.
10. The Norwegian lives in the first house.
11. The man who keeps horses lives next to the one who smokes Dunhills.
12. The owner who smokes Bluemasters drinks beer.
13. The German smokes Princes.
14. The Norwegian lives next to the blue house.
15. The man who smokes Blends has a neighbor who drinks water.

nを3以上の自然数とする。1辺の長さが2の正n角形Sと半径がrの円Oがある。
r＞1/tan(π/n)のとき、OはSに含まれないことを示せ。(こんなの当たり
前のようだが、厳密に証明しようとすると……まあ、それなりに当たり前。)

>>526
含まれる、含まれないの意味がわからん。

はみ出ないように重ねられる→含まれる
どうずらして重ねてもはみ出る→含まれない
で、おけ？

>>528
そういうことです。

N*Nの格子に切られたマスに、M以下の自然数の書かれたコマをおく。
マス一つにコマ一つ、コマはいくつ置いても良い。同じ自然数のコマがあっても良い。
盤面を回転反転して重ねられる場合は同じとして、何通りのコマの置き方があるか。
N、Mを使って示せ。

まったくわかりません。

＞ マス一つにコマ一つ、コマはいくつ置いても良い。

ひとマスにはコマをひとつだけ置ける。
コマが置いていないマスがあってもよい。

…ってこと？

どの2点間の距離も有理数で,どの3点も一直線上にないように平面上に点はいくつおけるか?

>>532
4つおこうとして早くも挫折中ｗ

>>533
２辺の長さが 3 と 4 の長方形。

長さが２ｃｍの糸を輪にして、原点にとめて、コンパスの
間隔を1/nｃｍにして糸に引っ掛けて、あちこちまわしてやる。

>>531
マス一つにコマ一つまで、マス全体ににコマはいくつ置いても良い。かなあ・・・。
というか全部のマスに一つずつ置くと決めても、1を置いてない場合と読み替えにするとかで
似たような話に帰結しませんか。

>>532
四つが限界っぽいが……

>>534
んじゃ、その長方形の対角線の中心に次の1点をおいてみたら5点は出来そう？

あっ、1直線上はダメなのか。

確かいくつでも置けるんだよな。円周上にうまく配置していくんだったかな？

一直線上がいいなら等間隔に置けばいくらでも置けるし

>>536
「かなあ・・・。」じゃねぇよクズ！問題文の意味くらい正確に把握して来い！

>>532
与えられたｎに対して所望の配置が存在する。
無限個を配置することは出来ない。

>>543
証明ｷﾎﾞﾝ

ナ・イ・シ・ョ

有名問題だから、どっかで見たことがある

確かピーター･フラン来るの本に載ってなかったか？

>>540
そうだよね。
トレミーの定理を使うと、点を追加する際すでにある 2 点からの距離が
有理数になりさえすればよいことがわかる。

地味に投下

(Ｘ−Ａ)(Ｘ−Ｂ)(Ｘ−Ｃ)…(Ｘ−Ｚ)
この式の答を求めよ。
※Ａ〜Ｘは任意の数














答 ０
理由 (Ｘ−Ａ)…(Ｘ−Ｘ)…(Ｘ−Ｚ)＝(Ｘ−Ａ)…０…(Ｘ−Ｚ)＝０

>>548
ガロア拡大と自己同型群を使え

>>542
いや最初のであってますけど、
言い換えないと理解できないのかと思って。

どうしてこの問題は定期的に現れるんだ？

A={(cos 2t, sin 2t) | cos t, sin t∈ Q}

面白い問題以外は持ってくるなよ。質問とか論外だ。

拾ってきました　高さ１ｍの電柱ってw

底面が半径１の円、高さが１ｍの電柱が地面に立っている。底面の電柱の中心から２ｍ離れたところに高さ２ｍの街灯がある。
真夜中に街灯が作る電柱の影の体積Ｖを求めよ。ただし、障害物はないものとする。

影は平面なので体積はありません。

↑
究極のアホ。

で、底面の半径は１kmなのかね？

１光年でおながいします

>>543
各々の距離が有理数なら>>552にもあるように二次曲線上に置けばいいべ
無限個置くのが無理なのは各々の距離が自然数の場合

小太郎君がふたつの玉をいじっています。
どうやら雛子お姉ちゃんと一緒に遊びたいようなのですが、さて、ここで問題です。
rを正の実数とする。xyz空間内の原点O(0,0,0)を中心とする半径1の玉をA、
点P(r,0,0)を中心とする半径1の玉をBとする。玉Aと玉Bの和集合の体積をVとする。
ただし、玉Aと玉Bの和集合とは、玉Aまたは玉Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。
V=8になるときrの値はともかくとして二桁の数字で表す男女の営みがありますが、それはなんですか？

かいなし

age

n枚の百円玉と(n+k)枚の500玉を同時に投げたとき、表の出た100円玉の枚数より表の出た500玉の枚数の方が多い確率を求めよ。
大学入試で出たのがk=1の場合だったので一般化してみました。答えは知らぬ存ぜぬ

>>563
もうね、アホガドバナナと

時々おとん　てか？

>>565
もっと詳しく！

無限集合から２値集合への写像全体の集合はもとの集合より大きいって問題。

�馬Ca*n+kCb/2^2n+k　a>b

>>568
このＤＱＮに数式の書き方を叩き込んでいいですかね？

こんなもんだいとける？　
　規則性の問題
１０、２４、６６、３３６、（　）
この数列の規則を説明し、（　）の中にはいる数を求めよ。

ミスしました。
３３６を１３６にしてください。

規則性の問題
１０，２４，６６，１３６、（　）
この数列の規則を説明し、（　）の中にはいる数を求めよ。

１０
１０、２４、６６、１３６
が周期的に訪れる数列

偶数

どうせ等差か頭皮数列しかない、ストかステイックなやつは１０年に
いちどぐらいしか出題されない

>>571
答えは、234かな？

規則は7*nで、nは4づつ増えてる。

要するにたかが階差数列が面白い問題であると

Ａ＿＿＿＿Ｂ
.｜　　　｜
.｜　　　｜
.｜　　　｜
.｜　　　｜
Ｄ￣￣￣￣Ｃ

正方形ＡＢＣＤがあります
Ａから辺ＤＣに線をひき好転をＰとします
∠ＢＡＰの二等分線を引き辺ＢＣとの交点を
Ｑとします（必ず辺ＢＣと交わります）

このときのＡＰ＝ＤＰ＋ＢＱを説明して

×　Ａから辺ＤＣに線をひき好転をＰとします

○　Ａから辺ＤＣに線を引き交点をＰとします

>>567
全射f:X→2^Xが存在するなら任意の関数g:X→Xは不動点を持つ
不動点を持たない関数g:X→Xを作ればいい

>>571
有限項の数列の一般項など、無数に作れるぞ！

>>577
三角関数使えば大した事はないが、あまり面白くないので敢えて封印する。

∠BAQ=θとする。問題の仮定から∠BAP=2θ。
AB//DCだから∠APD=∠BAP=2θ

DP=EP・・・(1) となる点Eを線分AP上にとる。
△PDEが二等辺三角形だから、
∠PDE=(180°-∠BAP)/2 = 90°-θ
∠ADE=∠ADC-∠PDE=90°-(90°-θ) = θ

DEの延長線とABの交点をFとすると、
∠ADF=∠BAQ=θ、ABCDが正方形だからAD=BA, ∠DAF=∠ABQ=90°
合同条件を満たすから△ADF≡△BAQ
したがって AF=BQ ・・・(2)

∠AFE = 180°-∠FAD - ∠ADE = 90°-θ
∠AEF = 180°-∠AFE - ∠BAP = 180°- (90°-θ) - 2θ = 90°-θ
つまり△AFEはAE=AFの二等辺三角形である。 ・・・(3)

(1)(2)(3)から、
AP = EP+AE = DP+BQ

>>581
俺と違う考えだから合ってるかわからないが

俺が用意した答え
↓







辺ＤＰ辺ＢＱが一直線上にくるように図を書く
　　　　A
D'＿＿＿＿＿＿B
.｜　　｜　　｜
.｜　　｜　　｜
.｜　　｜　　｜
　￣￣￣￣￣￣C
C'　　　B'D


そうすると二等辺三角形が出来るから同じ長さ

言ってることは>>581と同じなのかなぁ

一直線上に、ＯＡ＝１、ＯＰ＝ａ(≠０)を満たす三点Ｏ、Ａ、Ｐがある。
コンパスと目盛りのない定木だけを用いて、長さがａ^2となる線分を描け。

方べきの定理を使わずに、中学までの知識でやってください。

>>583
俺は方べきの定理を中学で習ったから、方べきの定理は「中学までの知識」だな。終了。

残念。

「方べきの定理を使わずに」 かつ 「中学までの知識」でやってください

辺の長さが1とaと適当な長さの三角形を作って、その三角形と相似比が1:aになるようにもう一つ三角形を作る

そうそう、それそれ

>>586
その方法は思いつきませんでした。
自分の考えたやり方より簡潔で手数も少なくていいですね。

↓自分が考えたやり方
直線をx軸とし、Oを原点として直交するy軸を描く。
y=axとx=aを描くと交点のy座標がa^2となるから…

こういう場合はコンパスで円書いて直交する線を書けるのか?

>>589
書けるでしょ
二等辺三角形かければいいんだから

なるほど、円を二つ書くのか。
コンパスなんて使った記憶ないんだよな。

塾で聞いた話ですが｡｡｡

Ａ子のことをＢ男とＣ男がスキだといった。

ｾﾘﾌ　　

Ｂ｢僕の方がＣよりもＡ子を愛してる｣
Ｃ｢僕の方がＢよりＡ子を愛している｣

そんなことを言っているとＡ子が｡｡｡


Ａ｢貴方達2人はどっちも私を愛してないわ｣

といいました。

これを数学的に説明しなさい。

>>592
上島｢じゃあ、僕がＡ子を愛します｣
Ｂ，Ｃ｢どうぞ、どうぞ。｣

>>592
どれくらいかは別問題として。
Ｂ＝１００Ｃ
Ｃ＝１０００Ｂ
（ＢはＣの１００倍愛してるということ）
よってＢ＝Ｃ＝０

問題豆乳

平面上にｎ個の点からなる集合Ａが与えられたとする。Ａのどの２点の距離も１より小さければ、
Ａを内部に含む半径(√３)/２の円があることを証明せよ。

座標を一つ決めてAの点を(xi, yi)たちとする。
max xi - min xi ≦1、max yi - min yi ≦1だから
Aの点は全てある辺の長さ1の正方形に含まれる。
つまりAを内部に含む半径√2/2の円が存在する。

と思ったけどどっか間違ってるかな。
なんかあまりにも簡単に拡張が証明出来ちゃったから不安。

>>594
なんで比で取る？

>>595
半径(√3)/3の円じゃない？

>>598
半径(√3)/3の円だと、n＝4のとき成立しないことがあるから駄目だな。

Aを内部に含む円の半径の最小値も(√2)/2なのかな？←ちょっと表現が変だと思うけどわかってね。

>>600
明らか。

>>601
どして？

>>602
半径がr＜(√2)/2のとき、一辺の長さがr√2＜1である正方形の頂点の位置に
4点を配置し、これをAとすれば、Aは半径rの円の内部に含まれない。よって
r≧(√2)/2でなければならない。一方、r＝(√2)/2のとき、>>596より、Aが
どのような集合であっても、Aは半径rの円の内部に含まれる。

…と書いてみて気づいた。対角線上にある2点は距離が1より大きくなることがあるから間違いだな。
>>601,603は撤回します。

>>599
＞半径(√3)/3の円だと、n＝4のとき成立しないことがある

例キボンヌ

>>595
半径1、中心角120°の扇形を考える
1辺が1の正三角形を2つくっつけた形のひし形を考える
このひし形は半径√3/2の円内に収まる

こんなのかな

ttp://web2.incl.ne.jp/yaoki/aptc.htm
ここら辺が近いか？

＞Footmark
数学掲示板の癌

禿同

同じ半径の円を３個接したとき、真ん中の三角形の面積は？
楕円でもやってみて

三角形なんかないが？

誰か、610を和訳してくれ

.〇
〇〇

こういう配置で中心を結んだ三角形ということだろうか

おそらく
「同じ半径の円３つを互いに他の2つの円に接するように配置する。
３つの円に囲まれた部分（正三角形を円弧で削ったような図形）の面積は？」
という問題だと思う。

それじゃつまんないので、3つの円に囲まれた部分に入る三角形の面積の最大値は？
って問題かと思た。

三つの円の中心を結ぶと正三角形が出来る。
その中に同じ正三角形が4つでき、一辺の長さが半径に等しい。

赤い帽子が３つ、白い帽子が２つあります。それを一直線に並んだＡ君、Ｂ君、Ｃ君にランダムにかぶせ、残りは隠しました。３人とも自分より前にいる人の帽子は見えるが自分の帽子は見えません。
そこで１番後ろのＣ君に自分がかぶっている帽子ね色が分かるかと聞くと「分からない」真ん中のＢ君に聞くと「分からない」１番前のＡ君に聞くと「分かった」という。
さぁ、Ａ君のかぶっている帽子の色は赤白どちらか？

>>617
激しく有名問題

第二問。

Ａ君が時速２キロメートルで歩き出しました。その１時間後、Ｂ君が時速４キロメートルでＡ君を追いかけました。
Ｂ君が歩き出すのと同時にＣ君が時速１０キロメートルでＡ君を追いかけ、追いつくと後戻りしてＢ君のもとへ、Ｂ君のもとに戻るとまたＡ君のもとへと走ります。
これをＢ君がＡ君に追いつくまで繰り返しました。結果Ｃ君は何キロ走ったことになるでしょうか？

ちなみにこれ小学生でも５秒で解けます

無限級数を使えば暗算で求まる by von Neumann

10km。5秒じゃ問題読み終わらねえ。

じゃあお前は小学生以下だな

以下ってのは、等しい場合も含むので、小学生未満？

数学では等しい場合を含むが、日本語としては含む場合も含まない場合もある。
「もう、これ以上食べられません。」は、含むとすると矛盾してしまう。
小学生以下は難しい。「小学生以下は無料です。」は含むと思われるが、
>>623のような場合は含まないと思われる。

そのばあい
小学生以下に小学生を含もうが含まなかろうが
小学生以下にはお前が含まれます。
よって、623は真です。

>>625
> 数学では等しい場合を含むが、日本語としては含む場合も含まない場合もある。
> 「もう、これ以上食べられません。」は、含むとすると矛盾してしまう。
> 小学生以下は難しい。「小学生以下は無料です。」は含むと思われるが、
> >>623のような場合は含まないと思われる。

アホですか？
「もう、これ以上は…」 のこれは何を指すのかな？ぼうや！

「お年玉ちょうだい」
「お年玉？1000円以上は出せんな。」

>>627

goo辞書によれば、「以上」の意味は

数量・程度などを表す名詞の下に付けて、それより多いこと、また、
優れていることを表す。数量を表す用法では、その基準点を含む。

とある。つまり、「数量」なら含み、「程度」なら含まない。

>>627
頑張れよ

そもそも小学生と言っても複数名居るんで、
入学式に出たばかりの一年生も小学生なら
中学入試を終えてあとは卒業式を残すばかりの六年生も小学生なわけで
どちらも同じ「小学生レベル」だけど、だからと言って両者が同じ水準と言うわけでもなし

>>632
頑張れよ

分からないスレから改変引用

1〜63の自然数から異なる7個を選んでBとする。
このとき、どんなBに対しても、Bの空でない部分集合C,Dで、
以下を満たすものが取れることを示せ。

・ C∩D=φ
・ Cの要素の総和＝Dの要素の総和

出来たっぽい。今証明を書いてる。

詰まった(´・ω・｀)

n≧3のとき、次が成り立つことを、数学的帰納法で示す。

B⊂{1,2,…,2^(n−1)−1},＃B＝nを満たす任意のBに対して、
Bの空でない部分集合C,Dで、以下の＊を満たすものが取れる。
C∩D=φ，Cの要素の総和＝Dの要素の総和　…＊

…とかやっていたのだが、途中で行き詰まった。検証してみたら、n＝4のとき
そもそも上の主張は成り立たない( B＝{3,5,6,7} )。でもn＝3のときは成り立つ。
もしかしたら、元の場合(n＝7の場合)も実は成り立たないのかな？あるいは、nが
偶数のときは成り立たなくて、nが奇数だと成り立つとか。ワカラン。

>>634
この問題は成り立たない
反例
B={63,63-1,63-2,63-4,63-8,63-16,63-32}

これが反例になっていることの説明
要素の数が異なっていれば、個数の多いほうが
和が大きくなる。（マイナスは全部あわせても-63だから）
個数が同じときは、２進数の考え方で
和は等しくなりえないことがわかる。

正直すまんかった。

引用元
http://science5.2ch.net/test/read.cgi/math/1169473367/821

>>634-638
分からないスレで質問したものです。
ご迷惑おかけしました&ありがとうございます。

問題投下

1〜24の自然数から異なる7個を選んでBとする。
このとき、どんなBに対しても、Bの空でない部分集合C,Dで、
以下を満たすものが取れることを示せ。

・ C∩D=φ
・ Cの要素の総和＝Dの要素の総和

>>640
Bの最小の要素をmとする。
Bの（空でない）部分集合の和としてとりうる値を考える。
最小はm
最大は117+m (24+23+..+19+m)
だから高々118種類の値しか取れない。

さて、Bの（空でない）部分集合は2^7-1=127
よって鳩ノ巣の原理で要素の和が等しい部分集合が
少なくとも２つ存在する。

これらが共通の要素を持つ場合は、これを取り去れば
求めるC,Dが得られる。

>>641
24+23+22+21+20+19=129では？
117ってどこからでてくるんでしょう。

自分で最初の質問をしておいてなんですが、
Bの要素のうち任意の4個以下の整数を選びその和は
7C1+7C2+7C3+7C4=108通りある。
最大値は24+23+22+21=90
で後鳩ノ巣、でどうでしょう。

nは3以上の自然数とする。B⊂{i∈N｜2≦i≦n^2＋n−1},＃B＝n^2を満たすBについて、以下の問いに答えよ。
(1)「Bの異なる3元a,b,cでab＝cを満たすものが存在する」が成り立たないBを1つ求めよ。
(2)n^2＋n−1がBに含まれなければ、必ず「Bの異なる3元a,b,cでab＝cを満たすものが存在する」ことを示せ。

>>634

>>637 と同じようにして
B = {46, 46-1, 46-2, 46-4, 46-7, 46-13, 46-24}
という反例が作れるから、「1〜46の自然数〜」まで成立しない
「1〜45の自然数〜」から真偽不明

(1)A,B⊂{1,2,…,n}は、|A|＋|B|≧nを満たすとする。このとき、
∃a∈A∪{0},∃b∈B∪{0} s,t n＝a＋b が成り立つことを示せ。
ただし、|A|は集合Aの元の個数を表す。

(2)自然数列{an}は、limsup[n→∞]an/n ≦2 が成り立つとする。
A＝{ak｜k∈N}とおくとき、∃M∈N,∀n＞M,∃x,y∈A∪{0} s,t n＝x＋y が
成り立つことを示せ。

訂正。

誤：自然数列{an}は、limsup[n→∞]an/n ≦2 が成り立つとする。
正：自然数列{an}は、limsup[n→∞]an/n ＜2 が成り立つとする。

つ∀｀) アチャー。どうしようもないな。

誤：自然数列{an}は、limsup[n→∞]an/n ＜2 が成り立つとする。
正：狭義単調増加する自然数列{an}は、limsup[n→∞]an/n ＜2 が成り立つとする。

http://up2.viploader.net/upphp/src/vlphp012414.bmp

これ高校生に出せるように少し改変したんだが面白くない・・？？
あ、面白くないよね・・・。

jpgかpngでうｐ汁

VIPロダのMin制限でムリだった
ほかのロダ使うのﾏﾝﾄﾞｸｾ

>>649
目の覚めるような方法があるんじゃないかと期待

>>652
目の覚めるような方法は無いが・・・・
ただ、途中でいろんな道具を使うので面白いと言えるんじゃないかと
勝手に思ってるだけ・・。

>>649
数�V微積分を習いたての者に丁度よい問題だな。
解法が見え見えなので、数学板のクズ（俺のこと）には面白くはないがな。

まず根号内を平方完成し そこを tan に変換後、加法定理などで整理して積分
sin(π/12)が出てきたので、半角公式でも使って計算。

高校生向けの良問だと思うよ。

507

>>649
流れてしまったか……
再うpｷﾎﾞﾝ

>>656
でも断るッ！

>>656
∫[((√3)-1)/2→1]dx/(x√(x^2+x+1))

s、tを実数とする。
初期値sで一般項がsの有理関数f（s）で表される数列｛a（s）_n｝がn→∞でtに収束し、
かつ数列｛a（t）_n｝がn→∞でsに収束する。
s、tを求めよ。

>>659
問題文がわかりにくすぎる

空間内に、2定点 A, B と定直線g上を動く点Pがある。
直線ABとgはねじれの位置にあるとする。
AP+PBが最小となる点Pの位置を説明せよ。

nは2以上の自然数とする。A⊂Z/nZ (単なる集合として)
が＃A＞(n＋1)/2を満たすとき、∃a,b,c∈A s,t a＋b＝c が
成り立つことを示せ。

>>659
>sの有理関数f（s）で表される数列｛a（s）_n｝
f(s) と {a(s)_n} の関係がわからん。

すいません、f（s）じゃなくてa（s）です。

それでも意味不明

「一般項が有理関数で表される有理関数列 { a_n } を取る。
　各項に s を代入して得られる実数列は t に収束し、
　各項に t を代入して得られる実数列は s に収束する。
　s と t を求めよ」

ということ？

まあまあ、DQNの言うことは置いといて、次いこう！

>>664
こんどは a(s) と {a(s)_n} の関係がわからん。
F(x)=lim[n→∞]a_n(x)として
F(s)=t, F(t)=s を解けってことか？
こんなもん F(x) が分からないと都県だろ。
たとえば F(x)=x とかだったらどんな s,t でもいいぞ。

訂正
誤：たとえば F(x)=x とかだったらどんな s,t でもいいぞ。
正：たとえば F(x)=x とかだったら s=t ならなんでもいいぞ。

>>661
Bをgを軸にして回転させてもPBの距離は変わらない
それを利用して最短距離を求めるにはBをどこに移せばよいか？

すいません。
意味不明なものになってましたね。

改めて…

有理関数f（x）、g（x）が以下を満たすときf（x）、g（x）を求めよ。
x→＋∞でf（x）→g（0）かつg（x）→f（0）

>>670
たとえば f(x)=g(x)=0 とかでもいいのか？

>>670
もういい。糞食って寝ろ！

>>670
たくさんありすぎる。死ね。

>>670
ほじくった鼻糞食べて寝ろ！

>>670
とりあえず、君はその問題の、どんなところを
面白いと感じたんだ？感じたのか？

>>670
とりあえずウンコ食って寝ろ！

毎朝＝マイアス
朝日＝アスヒー

有理関数f（x）、g（x）が以下を満たすときf（x）、g（x）を求めよ。
x→＋∞でf（x）→g（0）かつg（x）→f（0）

f=g(0)f(0)/g
g=g(0)f(0)/f

例えば定数関数は題意を満たしますが、
他の場合はあるのかな？って思い、出題しました。

この問題で、関数 f, g を拘束する条件は有理関数である以外に、
原点と無限遠方における 2 値の指定しかないわけだよね。そんな
関数は無数に取れるじゃなの。例えば

f(x) = (1 - x)/(1 + x)
g(x) = -(1 - x)/(1 + x)

{p(x)/q(x) + a|p,q∈R[x]、a∈R、deg p＜deg q、p(0)=0、q(0)≠0}

>>679
そんなものくだらんスレに書け。

>>679
ここは質問スレじゃねーんだぞ！
面白い問題を出題するっつーレベルじゃねーぞ！

二度とくるな！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! >>670

まあまあ。そういきり立たずに。
面白くなかったらスルーすれば宜し。

>>679
> 他の場合はあるのかな？って思い、出題しました。

分からんのに出題するって…
それは質問するっていうんじゃないのかね？
「お ・ し ・ え ・ て ・ く ・ だ ・ さ ・ い」 ぐらい書いて質問スレに書けよ！

トーラスに楕円体は最大何個つめられるか。

>>686
無限にちっちゃい楕円体を詰めていけば、無限個詰められる？

トーラスに内接する最大体積の楕円体は最大何個つめられるか。

ウインナー状態だと？

トーラスの大きさにもよるな。

一年ほど前に確率スレッドで出題され、正式な回答が出ないままお蔵入りとなった問題です。

３つの連なった部屋A,B,Cがある。
部屋Aには２００人の囚人がいて、それぞれ1〜200までの囚人番号が割り当てられている。
部屋Bにはそれぞれ1〜200までの番号が書かれた200枚のカードが、一列にふせて置かれている。
囚人たちは囚人番号1番から一人ずつ呼び出されて部屋Aから部屋Bにうつる。
ここで部屋Bに呼ばれた囚人は、200枚のカードのうち100枚を表にしてよい。
表にしたカードに自分の囚人番号が含まれていれば、その囚人は部屋Cにうつされる。
その後、カードはそのまま裏返されて、次の囚人が呼ばれ、同じことを繰り返す。
自分の囚人番号が含まれていなければ、すべての囚人は処刑される。
このようにして200人すべての囚人が部屋Cにうつることが出来たら、囚人達は解放されるとする。
囚人達が解放される確率を1/12以上にしたい。どうすればよいか？

*部屋Aにいる囚人同士は互いに相談できるが、部屋が違う囚人同士は、一切情報交換できない。
*最初のカードの並び方はランダムである。


当然、何の策略もなく挑めば生還率(1/2)^200ですが
例のスレッドではかなり確率を高めることに成功しました。
ただし出題者が行方不明となってしまい正式な回答は得られませんでした…
それでも結構面白い問題だと思うので是非挑戦してみてください。

天和が出る確率

問題

19XX年夏の高校野球大会に出場する高校数は予選から4131校出場する。
この年のルールではコールドはなく何があっても決着がつくまで試合が続けられる。
県予選，甲子園共にトーナメント方式。
各県代表校は１校。

この年に県予選，甲子園など公式戦の総試合数は全部合わせて［　　　］試合である。

2^n=4131

>>694
これは答えですか？
全然違います

１試合で１チームが負ける(勝つ)。
最終的に１チームが残るのだから、計4130試合じゃないの？

>>693
既出ネタを貼るなよ。
帰れ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! >>693

問８
http://www.whatisgoingon.net/glat.html

正三角形を切り刻んで正方形にするとき最低何ピースに切ればいいか。

切り刻んだピースは全部使うんだよ

トーラスの表面は何ピースで

4ピース

{F_n}をフィボナッチ数列とし、m、nを非負整数とする
mがnで割り切れるならばF_mはF_nで割り切れることを示せ
また、mがnで割り切れるとき、F_mをF_nで割った商を{F_n}を用いて表せ

>>703前半
F_0=0, F_1=1 とする。数列全体をmod Nで考えたとき「F_n≡0 ならば F_(kn)≡0」を示せばよい。
F_n≡0, F_(n+1)≡x と仮定すると、これは初項が0とxで生成されるフィボであり、
0と1から始まるフィボ全体をx倍したのと同じなので、F_(n+i)≡xF_i が成り立つ。
よって、たとえば F_(3n)≡F(n+2n)≡xF(2n)≡xF(n+n)≡(x^2)F(n)≡0。
一般のF_(kn)も、F_(kn)≡xF((k-1)n)≡‥‥≡(x^(k-1))F(n)≡0。

具体例：mod 5で考えると
0, 1, 1, 2, 3, 0, 3, 3,‥‥（5番目が0、次が3だから、その後は）
↓（3倍）　　~~~~
0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4,‥‥（全体を3倍したのと同じになる。だから5の倍数番目は全部0）

〔問.479〕
　x,y,z は自然数で、 1/x + 1/y = 1/z,　xとzは互いに素とする。
　このとき x+y, x-z, y-z はすべて平方数であることを示せ。

http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2007/prob_jan.pdf
例 (x,y,z) = (x, x(x-1), x-1)

>>705
1/x + 1/y = 1/z より y=(x+y)z/x
xとzは互いに素でyは自然数だからx|(x+y)
したがってある自然数mが存在してx+y=mx となる
よってy=(m-1)x=mzとなるのでz=(m-1)x/m
m-1とmは互いに素でzは自然数だからm|x
したがってある自然数nが存在してx=mn
これよりz=n(m-1)を得るが、xとzは互いに素なのでn=1
よってx=m、y=m(m-1)、z=m-1を得る
このときx+y=m^2、x-z=1、y-z=(m-1)^2なので
たしかにx+y、x-z、y-z はすべて平方数となる

>>704
エレガントな証明ですね
私が考えていたのは、F_(m+n) = F_(m+1) * F_n + F_m  * F_(n+1)
を利用して、帰納法で示すものでした
後半は表示が一意じゃないと思います

馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿馬鹿お前らがどんなに勉強しても天才には勝てな
お前ら凡人が千人集まっても天才には勝てない
もう勉強やめろ

天才に勝つために勉強してるんじゃないぜよ。

天才は馬鹿から生まれる

のび太は馬鹿だがドラえもんをつくった

x,y,z は自然数で、 1/x + 1/y = 1/z,　xとzは互いに素とする。
このとき x+y, x-z, y-z はすべて平方数であることを示せ。

x+y=xy/z=mx->y=(m-1)x=mz->x=mz/(m-1)->z=(m-1)->x=m->x+y=m^2
x-z=m-(m-1)=1^2
y-z=mz-z=m^2-m-m+1=(m-1)^2

x+y=m^2
x-z=n^2
y-z=p^2
y+z=m^2-n^2
y=(p^2+m2-n^2)/2
z=(p^2-n^2-p^2)/2
x=m^2-y^2=(m^2-p^2+n^2)/2
...

円周上に異なる8個の点を取り、全ての点を線で結ぶ。

(1)、線分は全部で何本できるか。
(2)、この線分の中から3本を取って選ぶとき、選ばれた3本の
線分の端点が全て異なる確率を求めよ。

>>714
面白くないんだが

中学生の宿題かよ・・・

>>691
意味分からん
カードを並べ替えられるとかならともかく、
そのまま裏返したら確率 2^(-200) にしかならなくない？

>>714
質問は質問スレに行けよ、餓鬼が！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

>>706,712
どうもです

〔問.476〕
　p >0, |x_0| ≦ 2p　とし,
　x_n = 3x_(n-1) -(1/p^2){x_(n-1)}^3　　　(n≧1)
と定義する。
　x_n を n と x_0 の函数として表わせ。


〔問.478〕
　　√{2+√[2+√(2+x)]} + (√3)√{2-√[2+√(2+x)]} = 2x,
　　x ≧ 0.
を解け。

http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/2006/prob_dec.pdf

>>708
天才のひらめきは千人万人の凡人の地を這うような研究の結果を元に起こるものなのだよ。

>>717
200人ではなくふたりの場合を考えみたんだが。
（カードは２枚中１枚をめくる）

打ち合わせ無しの場合 → ふたりが助かる確率は1/4

事前に以下の打ち合わせした場合 → 助かる確率は1/2
「１番は右の、二番は左のカードをめくろう」
（同じカードをめくらないようにしよう）

てな感じで、助かる確率を上げられそうだ。
200人の場合も何か方法があるかもしれん。

すくなくとも200人が全く同じカードをめくる場合助かる確率は0だもの。
直感的には、どのカードもちょうど半分のひとにめくられるように
戦略を立てるのがよいような気がする。

定理:
n∈Nとする。
任意のnに対して平面上に以下を満たすn個の点が存在する。
・どの三点も同一直線上にない。
・どの二点間の距離も整数。

この定理を導く公理は何か。

>>719
[問476]
θ∈[0,2π)はsinθ＝x0/(2p)を満たすとする。|x0|≦2pより、このようなθは存在する。
このとき、xn＝(2p)sin(θ*3^n) と表せることが(数学的帰納法により)分かる。

[問478]
与式を変形して(√3)√[2−√{2＋√(2＋x)}]＝2x−√[2＋√{2＋√(2＋x)}]となる。
右辺は実数だから、左辺も実数となる。もし2−√{2＋√(2＋x)}＜0だとすると、
左辺は(0でない)純虚数となってしまい、矛盾する。よって、2−√{2＋√(2＋x)}≧0となる。
これを解いてx≦2を得る。よって、x＝2cosy，y∈[0,π/2]と表せる。これを代入すると、
与式 ⇔ 2cos(y/8)＋(√3)2sin(y/8)＝2cosy ⇔ sin(y/8＋π/6)＝cosy
⇔ sin(y/8＋π/6)＝sin(π/2−y)
となる。π/2−y,y/8＋π/6∈[0,π/2]であるから、y/8＋π/6＝π/2−yとなる。
よってy＝8π/27 となり、x＝2cos(8π/27)が求める解である。

>723-724
　どうもです


[問472]
　(4-x)^(4-x) + (5-x)^(5-x) + 10 = 4^x + 5^x
を満たす整数x

[問474]
　{2^log_5(x) +3}^log_5(2) = x -3
を満たすx>0.

>>717
カードの並び替えＯＫだと1/12どころか、それよりはるかに高い確率が実現出来ますが
実はカードを並び替えなくても、十分高い確率がだせます。
>>721
まあそんな感じです。

「これが最高確率だ！」というような答えはありませんが、おそらくそれに近いであろう物は用意してあります。

(1)一辺の長さが1の正四角形の周上に全ての頂点を持つ正三角形の辺の長さの範囲を求めよ。
(2)一辺の長さが1の正五角形の周上に全ての頂点を持つ正四角形の辺の長さの範囲を求めよ。

次のは自分では解いてないです

(3)一辺の長さが1の正n+1角形の周上に全ての頂点を持つ正n角形の辺の長さの範囲を求めよ。

an+1=f(an)でｆが多項式のときのクックの仕方はどうするのですか？
馬鹿教授が漸化式はむずいの一言で済ませて逝ってしまったので・・・とほほ

たぶんパスカルの三角形みたいな小技で済ませばいいとか？

カードを並べ替えることにどれだけ意味があるの？
先に打ち合わせをしておいたら同じだと思うのだが…
打ち合わせについてなにか誤解してるかな？俺…？

http://science5.2ch.net/test/read.cgi/math/1171912698/

番号の位置に並び替えることにすれば１が終わった時点で
１２３４，１２４３，１３２４，１４３２のどれかになる。

>>732
４人で２枚表にする場合。

>>730
例えば、
一人目が左端から100枚めくって番号順に並べ替える事にする。
このとき一人目がCの部屋に行ける確率は1/2。
二人目は右端から100枚めくって、全てのカードが
左端から順番に並ぶように並べ替える。
このとき二人目がCの部屋に行ける確率は1/2。
三人目以降は自分の番号のカードがどこに有るか
分かるので確実にCの部屋に行ける。

従って全員が生き残る確率は1/4。

>>726
ところで部屋Bで自分のカードをめくらなかった
囚人は部屋Aに戻るの？
でもさ、たった一人でも囚人が戻って来たら
一人も釈放されないんだから
まだ部屋Bにも行ってない囚人は
やる気をなくしてしまうだろうね。

>>734
二人目は右端から 99 枚めくり、その中にあれば、
右端から 100 枚目をめくって左から昇順に整列させる。
その中にないときは、左から 2 番目のカードをめくり、
最初の 99 枚は右端から昇順に整列させる。
二人目がCの部屋に行ける確率は 198/199.
三人目以降は、右端をめくれば全体が整列されているかどうかがわかる。
整列されていないときは、二人目が選んだ 99 枚から二分探索で探し、
その中になければ右から 100 枚目をめくる。
そこにもなければ、左から何枚目にあるかがわかっているはず。

ということで、確率は 99/199 にできると思う。

>736 と >734 は想定しているルールが違うようだ。

>>736
上手い！

でも元の問題ではカードは並べ替える事が出来ないから
関係ないかも。

>>737
そう。でも、>>730の疑問に答えているだけ。

なるほど、自分がめくって「いない」カードも並べ替えてよいのか。

test

アク禁でレスが遅れてすみません。
>>735
自分のカードをめくれなかった囚人が一人でも発生したときは
その場ですべての部屋にいる囚人が処刑されます。
まあ題意とは関係のない設定ですが（苦笑

99/199は、かなりいい線いってますね。
並び替えOKのルールの中では、最高レベルに高い数字だと思います。
私は問題製作者でないので1/12という数字がどこから出てきたのか知りませんが
実際の答えはもっと高いので、あまり深い意味はないようです。

>>741
問題が >>691 のとおりだとすると、
囚人達にできることは、
「一番最初に部屋 A で、(>>721 のように)
各囚人がどのカードをめくるかをあらかじめ打ち合わせて置く」
ことしかできないと思うんだが、
それだと4人目の囚人のところで生存確率 1/12 を切ってしまう。

問題の解釈間違ってる？

そうなんだよね。n+1 人目が成功する確率は、どんなにがんばっても
100/(200-n) より高くならないように思えるのだけど。

だなあ。並べ替えが出来ないとすると、
2番目の囚人にわかることは、1番目の囚人がめくったカードの中に1番のカードがあったということだけな気がする。

1番目の囚人がパスする確率は1/2。これはどうしようもないと思う。とすると、残りの199人が1/6以上の確率でパスしなければならない。
2番目の囚人が最も高い確率でパスするのは、1番目の囚人がめくらなかった100枚をめくることだが、それが100/199。←違う？
なので、2人目までがパスする最も高い確率は50/199。
すると、残りの198人は199/300以上の確率でパスしなければならない。
3番目だけですら、そんなに高い確率でパスする方法はなさそうに思える。

さっぱりわからん。

成功した場合は自分の番号の付いたカードを表のままにし、
それ以外のカードを裏に戻すとルールを変更したとする。
このとき、n+1 人目にとって前の n 人がどのカードを
めくったかの情報は無意味だから(だよね？)、n+1 人目が
成功する確率は 100/(200-n).
本来のルールではこれより確率は高くならない。

ネタ投下します。

(√26+5)^n=a_nとする。a_nは小数点の後n個9か0が続く事を示せ。

α、βは1/α+1/β=1であるような無理数である。A={［nα］|n=1,2,3,･･･}
B={［nβ］|n=1,2,3,...}とする（[x]はxの整数部分を表す。）。この時A∩B={0}であり、A∪B=Nである事を証明せよ。
Nは自然数の集合である。

既出ならすいません。

>>742
「一番最初に部屋 A で、
各囚人がどのカードをめくるかをあらかじめ打ち合わせておく」
その趣旨で間違いありません。

では以下ヒントを。
「並べ替えOKルール」の場合、実は全員が成功する確率を「1/2」にすることが出来ます。

まず囚人1号は無作為に100枚のカードをめくります。
そしてめくったカードのうち、k番と書かれたカードが右からk番目の位置に来るように
それぞれを並び替えます。
次に、それ以降の囚人は、
最初に、右から数えて自分の囚人番号の箇所にあるカードをめくります。
もし囚人1号がめくったカードの中に、自分の囚人番号が含まれていれば
最初の一枚で、自分の番号を引き当てられるので、その囚人はC部屋にうつれます。
では、そうでない囚人は、どのような「どのような規則で」それ以降のカードをめくればよいか？
実はこれがそのまま「並び替えNG」の場合における正解になるのですが、
ここではまだふせておきます。

>743 は、まず 100 枚選んだ後に同時に表にするという手順を仮定している。
一枚選ぶ毎に表にし、何が出たかによって次に選ぶカードを変化させるという
戦略にしないと >745 の推論が有効になるということか。

>>734も>>736も何が出たかでどのカードを開くか決めている

>>746前半
(5+√26)^n+(5-√26)^n ∈Z であることが帰納法で証明されるので、
10^-(n+1) ＜ |5-√26|^n ＜ 10^-n を言えばよい。
⇔ 10^n ＜ 1/|5-√26|^n ＜ 10^(n+1)
⇔ 10^n ＜ |5+√26|^n ＜ 10^(n+1)
⇔ n ＜ nlog|5+√26| ＜ n+1
⇔ 1 ＜ log|5+√26| ＜ 1+1/n を示せば終了‥‥

‥‥と思いきや、これだと n＞234 で主張が成立しないことになる。
というわけで、詰まった。

>>750
√26-5＜0.1がすぐ言えるでしょ

>>747　のヒントで方針はわかった気がする。

まず、1番目の囚人が (右から) 1番目のカードをめくる。
出た数を　n_1 として、それが1でないなら次に n_1番目のカードをめくる。
以後、 k番目にはk-1番目に出た値 n_(k-1)　番目のカードをめくり、
出た値　n_k を元に次をめくる。これを1が出るまで行う。
(必ず1に行き着く説明は省略)
1をめくった後は、ルールに従うと　1番目のカードに戻るので、
このルールでカードを選んでいくとループする。

さて、そのような同じループに属するカードごとに、
200枚のカードをグループ分けできる。(各グループに重複はない)
最初にm番目を開いたとき、mを見つけるまでにカードをめくる回数は、
m番目のカードが属するグループのサイズに等しい。

よって、200枚のカードを分割するいくつかのグループの
いずれのサイズも100以下であれば、囚人たちはこの方針でクリアできる。

ただ、そうなる確率の算出方法がわからない...。

もしかして>>746の題意は「少なくともn個、9か0が続く事を示せ。」なのかな？
だとしたら>>751で解決か。「ちょうどn個」と解釈していた。

考えてみれば、+1乗するごとに、桁数がきっかり1桁ずつ増えていくなんて、
10以外では起こりえないのは当然かも。

>>752
だいたい 1-log 2 ぐらいだね。
正確には 1-(1/101+1/102+...+1/200)=0.3093...

>>752
正解です！

実は私も最初算出方法が分からなかったのですが、
>>754のいう1-log2≒「0.31」がそれのようです。
実際にプログラムを組んで実験させても、近い数字が出ます。

なかなか驚くべき答えだと思うのですがいかがでしょう？

長さ 101 以上のサイクルは 1 つしか存在しない。
長さを k の順列の個数は 200!/(200-k)!
長さを k のサイクルの個数はその k 分の 1.
残りの 200-k 個の順列は (200-k)!

したがって、失敗する組合せは
Σ[k=101,200] {(200!/((200-k)!k) (200-k)!}
=200!Σ[k=101,200] 1/k

nが十分でかいときはそれが最適解になるのかな？

>>752
なるほどなあ。
しかし、処刑する側がそのことを読んでいて、200枚でループするように置いていたらアウトだなあ。

位置をランダムにすればいい。

>>746後半

(A∪B＝Nであること)
任意のk∈Nに対し、k∈Aまたはk∈Bが成り立つことを示せばよい。k∈Aのときは それでよいから、
k∈/Aのときを考える。iα＜kを満たすi∈Nのうち最大のものをnとすれば、nα＜k,k＋1≦(n＋1)α
が成り立つ(k＋1＞(n＋1)αならばk∈Aとなってしまう)。この不等式をαで割ってn＜k/α,
(k＋1)/α≦n＋1となる。1/α＋1/β＝1より、n＜k(1−1/β),(k＋1)(1−1/β)≦n＋1 となる。
これを変形してk＜(k−n)β≦(k＋1) となり、βが無理数であることからk＜(k−n)β＜(k＋1)
となり、よって[(k−n)β]＝kとなる。すなわちk∈Bとなる(α＞1なのでk−n＞0であることに注意)。

(A∩B＝φであること)
k＝[nα]＝[mβ]とすると、k＜nα＜k＋1,k＜mβ＜k＋1 が成り立つ(α,βは無理数だから等号は入らない)。
よってk/α＜n＜(k＋1)/α,k/β＜m＜(k＋1)/β が成り立つ。片々足してk＜n＋m＜k＋1となるが、k,n＋m,k＋1は
全て自然数だから矛盾。

>>746後半は
RayleighとVinogradovが証明したんだっけ。
なんかRayleighでぐぐってもVinogradovでぐぐっても出てこないｗ

>>755
二人目からが最初にめくるカードはどこにすればよいのでしょうか？

自分の番号番目のカード

家にあった数オリの本にあった問題なので、レベル低かったかも。
後問題に書き間違いしていた事をお詫びします。（A∩B={0}のあたり。）

>>753
「ちょうど」です。>>751さんの不等式がキーです。

>>760
お疲れ様です。一応、本に書いてある解法を書いておきます。

Nを自然数とする。　Nより小さい数の中で、A∪Bに含まれるような数が何個あるかを調べる。
[nα]<Nならnα<Nである。なので、Nより小さい数はAには[N/α]だけ含まれる。
同じように、Bには[N/β]だけ含まれる。なので、Nより小さい数はA∪Bには[N/α]+［N/β］=kだけある。
αとβは無理数なので、k<N/α+N/β=N。[x]>x-1なので、k>N/α-1+N/β-1=N-2。
kは自然数なので、k=N-1である。これはA∪BにはNより小さい数はN-1個だけあるという意味である。
これは全ての自然数において成り立つため、同じ数は二回出てこない。
なので、A∪B=Nであり、同時にA∩B＝φである事も証明された。

>>761
本には問題13としか書いてないので、全然分かりません。定理なんですか？これ。

なんかおかしいよな

>>764
そう。たしか一松信「石とりゲームの数理」とか
中村滋「フィボナッチ数の小宇宙」に載ってるはず。

>>764
その証明は間違ってる。

＞なので、Nより小さい数はA∪Bには[N/α]+［N/β］=kだけある。
A∩B＝φであることを示さなければ、これは言えない。AとBに重複する
元があったら、Nより小さい自然数はA∪Bに[N/α]+［N/β]=kより少ない
個数しか無い。

＞同時にA∩B＝φである事も証明された。
先にA∩B＝φを証明しておかなければならないから、これも間違い。

>>746=764
数オリっていつの問題だよ。
外国のサイトでもいいから貼ってくれないかい？

>>766
面白そうな本ですね。Amazonで調べてみます。

>>767
Nを1から無限まで動かすと、A∩B＝φが証明されると思います。
N=2として1が1個ある事が証明され、N=3としてN=2の時1が1個あるのが証明されたので,もうひとつは2、・・・って感じで。


>>768
数オリに出てた問題ではなく、数オリに出るためへの練習問題みたいな感じで書いてありました。
1問目は数オリっぽい問題ですが、何時の問題かとかは書いてありませんでした。


1問目の解答を書いたほうがいいかな？

1問目は書かんでも分かるだろ

>>746
の二問目は数蝉のエレ解で見たことがあるな。

>>746 の二問目

題意より α>1, β>1.
　M = {1,2,…,m} ⊂ N
とおく。
　A∩M = { [nα] | n∈M },　#(A∩M) = [m/α],
　B∩M = { [nβ] | n∈M },　#(B∩M) = [m/β],
　m/α + m/β = m
と無理数性より
　[m/α] + [m/β] = m-1,
mについての帰納法で…

わはははは。>>747のヒントでオレは分かったぞ。
以下、並び替える前提でスマートな回答。

1. 1番目の囚人は適当に100枚ひっくり返す。セーフの確率は1/2。
2. セーフだったとして、表返したカードを左（右）端から数えて
　カード自身の番号となるように「横向きに」並び替える。
　伏せているカードは間を埋めるように「縦向きのまま」おいておく。
3. 2番目の囚人は自身の番号（2番目）に該当するところを見る。
　2番目のカードが横向きならそれを表替えせばクリア。
　2番目のカードが縦向きならどこにあるかは不明なので、
　縦向きのまま残っている100枚をひっくり返せばどれかが当たり。
4. あとは並び替えるまでもなく2番目と同様に繰り返せばよい。

これで絶対確率は1/2じゃうひょぉおおおおおお！！！！！

・・・・・・カードが正方形とか丸だったらどうしようorz。

>>773
こんなアホウは久しぶりに見た

俺はむしろ柔軟な発想に感心したけどな

いや、既出なんだよ。
亀レスなのに、既出を見てないんだもの。

>772 の訂正、ｽﾏｿ

　A∩M = { [nα] ≦ m | n∈N },
　B∩M = { [nβ] ≦ m | n∈N },

>>772
帰納法使うくらいなら、A∩B＝φを直接示した方が早くて分かりやすいな。

>778

背理法による。k ∈ (A∩B) だったと仮定する。
　k < n1･α < k+1　　… (1),
　k < n2･β < k+1　　… (2),
(1)/α + (2)/β より
　k < n1 + n2 < k+1　… (3).
これは n1, n2 が自然数であることと矛盾する。

>>779
>>760

http://game11.2ch.net/test/read.cgi/handygame/1173022847/99

答えは↑スレ全部表示するとわかる

>>781
見た瞬間、ありきたりの問題かと思ったが、
意外に面白かった。

age

「モジュライ空間」を小学生にもわかるように説明せよ

喪男の7月空間

>>785
6月だろうが馬ー鹿

と書こうとしてjuly=7月だったと気づいた俺はもう逝きますさよなら

>>746の二問目はシェーンベルグの「数学点描」にも紹介されてますね。
起源は弦の振動数に関する問題だそうで。
http://www.amazon.co.jp/Theory-Sound-Classics-Science-Mathematics/dp/0486602923/ref=sr_1_1/249-7482077-6243506?ie=UTF8&s=english-books&qid=1173764534&sr=8-1

そこでは、それに関連する問題として第20回のＩＭＯの問題が紹介されています（↓の３番）
http://imo.math.ca/Exams/1978imo.html

>>781
［予想］最低99人助けることが可能

便宜上　赤≡0　黄≡1　青≡2 (mod[3])とおき
前からi番目の小人がかぶった帽子の色をa[i]
前からi番目の小人が宣言する色をb[i]とする

ここで
　b[100]≡a[1]+a[2]+a[3]+…+a[99]
とし、以下
　b[99]≡b[100]-(a[1]+a[2]+･･･+a[98])
　b[98]≡b[100]-b[99]-(a[1]+a[2]+…+a[97])
　…
　b[k]≡b[100]-b[99]-…-b[k+1]-(a[1]+a[2]+･･･+a[k-1])
　…
　b[1]≡b[100]-b[99]-…-b[2]
とすれば、b[s]≡a[s]（s＝1,2,･･･,99）となるので
最後尾の小人以外は全員助かる。

どうよ？

10個の連続する2桁の正の整数がある。これらの10個の数字を小さい順に
並べた後、それぞれの2桁の2つの数字の和(十の位と一の位の和)を
求めると、n番目の和は必ずnの倍数になっていた。このような10個の
連続する2桁の整数のうち、最大の整数を求めよ。

勘で71から。
理由は10番目が10の倍数だから、他の整数は明らかに一桁目がｎの数字になる。
あとは7の倍数で考えるのが一番早い、とおもう。

>>790
n=3のときちがうくない？

11〜20だとおもう

ぜんぜんちがった
てか11 21 31 41･･･って調べていったけどぜんぶちがった

連続する二桁で10の倍数なんてなくね･･･

10〜19と19〜28

ないってこと？

>>796
>>795

>>797
10の倍数つくれてないじゃん

10の倍数作れなんて問に書いてない。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　>>190　　　　　　　　　 10番目の数は必ず10の倍数ではない。11〜21だって連続する２桁の正の整数

訂正11〜20

更に訂正12〜21

上のメチャクチャ

ここにいるのは問が理解できていない。

すまん、おれが>>790でよく読んでないこと言ったから。
37〜46っぽいね。
方法は91から下に考えていった。

>>804

3+8=11・・・2の倍数ではありません

ごめんなさい、控えるわ。
>>795か・・・。

19〜28

28

1

実数αについてα＝βであることもα≠βであることも証明出来ない実数βが存在することを示せ。

「実数αについてα＝βであることもα≠βであることも証明出来ない実数βが存在する」
これを論理式で書き下そうとしてみればわかるが、
内容が少しあいまいだ。

>>810
(R,≦)は全順序なので、任意の2つの実数x,yについて
x＜y　x＝y　x＞y
のうちどれか1つが必ず成り立つ。よって、そのような実数βは存在しない。

↑
究極のアホ

究極って事は無いだろ
ありがちって感じ

意味が分かった／(＾o＾)＼
実際に「そうである」ことと、それが「証明可能である」ことは違うんだったな。

>>812は「α＝β」の証明でもなければ「α≠β」の証明でも
なく、「α＝βまたはα≠β」の証明ってわけか／(＾o＾)＼

有限の文字列から成る証明は可算個しか存在しないから、とかそんな感じか？

論理体系は指定されてないんだから任意だとしてよいんだよな。
だとしたら定数記号として実数が全て含まれていて
任意のs,tに対してs=tかs≠tのどちらかが公理に含まれているような場合は
>>810は成り立たないな

定数記号って有限個じゃなくてもいいのか？

いちおう証明論的には。
もちろん我々がそういう理論をきちんと理解できるか、とか
現実的に計算機で証明をチェックできるかとかそういう問題はあるけど
有限の言語Lとか書いてなきゃ無限でも良いと考えるのが普通かと。

>>818の「論理体系」はもっと精確に言えば言語Lだね。

>>813
↑
究極のアホ de キモオタ

>811
これまた１＝0.9999･･･のスレで流用できそうなネタだな。

証明論とか、基礎論とか全く知らないんだが、
証明可能性ってどうやって、議論すればいいんだ？

αを無理数、nを正の整数とする
このとき実変数実数値関数f(x)で
f(0)はαの整数部分
f(n)はαの小数第n位の数
f(x)は実数全体で可微分
となるものは存在するか？

>>824
する

>>824
関数 sinc(x):= sin(πx)/(πx) を用いれば、関数
g(x):= �納n:0,∞] f(n) sinc(x - n)
は条件を満たすはず。厳密な証明は分からないけど。

つか、そのαとか意味あんのか？
ｆ：N→Nでいいじゃん。

>>827
＞f(x)は実数全体で可微分

>>828
ｆ：N→NはR上の可微分関数に延長できないの？

多様体論で使用される、1の分割を使ってよいなら、存在は簡単に言える。

(1)関数f：R→Rは次の条件を満たすとする。
・f(0)＝0
・fは微分可能で、x∈(-1,1)のとき｜f '(x)｜＜1/2
このとき、｜a0｜＜1,a[n＋1]＝f(an) (n＝1,2,…)で定義される数列anの極限値を求めよ。

(2)関数f：R→Rは次の条件を満たすとする。
・f(0)＝0
・fは微分可能で、x∈(-1,1)のとき｜f '(x)｜＜1
このとき、｜a0｜＜1,a[n＋1]＝f(an) (n＝1,2,…)で定義される数列anの極限値を求めよ。

f(x)=x^x^x^x^x^・・・について
（１）xが実数のとき、f(x)が存在するxの条件を求めよ
（２）xが複素数のとき、f(x)が存在するxの条件を求めよ
ただし主値のみを考えるとする

f[n](x)=x^f[n-1](x)
f[1](x)=x
f(x)=lim[n→∞]f[n](x)
つーことですか？

そう

そうですか

pを素数とする。n=(p^p)+2が素数となるとき
(1)最小のnを求めよ
(2)このように表されるnは無数にあることを示せ

(1)はすぐ分かったのですが、(2)の証明がどうしても分かりませんでした
どなたか教えて下さい

>>836
マルチ

マルちゃん

(2)このように表されるnは無数にあることを示せ ー＞素数は無数にあるから
問題の日本語はおかしい。

>>839
あげんなボケ

すげ〜・・・。ここの住人超頭良い。
俺は馬鹿だから、理数系に強い人は本当に好きだね。
憧れてしまうなぁ。

>>841
黙れ

(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)・・・・(x-z)=?

>>841
コテつけろ！
そうすれば、貴様の糞レスを読まずに済むからな！

>>843
それ面白いか？

わからないスレから改変転載。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1175764597/723

pを素数、Zp={1,2,‥‥,p-1}、*をZp上の通常の乗算とする。

a∈Zp に対し、Zpの元のp-1項組 (1*a,2*a,3*a,‥‥,(p-1)*a) を
(1,2,‥‥,p-1) の置換とみなしたとき、
それが偶置換となるためのaの条件を求めよ。

ｐが奇素数とする。
ａが原始根のとき奇置換。
ａが原始根の偶数乗のとき偶置換。
ａが原始根の奇数乗のとき奇置換。

>>847
これって (a/p)=1 と同値？

>>848
そうだね。Z/pZ の単元群は巡回群だから、結局 Z/(p-1)Zでの足し算による移動（ずらし）の
隅奇性を考えればいいだけだな。

別のところにも、書いてしまったんだけど、10桁の足し算を一瞬で解ける公式を教えてください。

>>850
ただの足し算に公式なんてものがあると思うか？

>>836
お願いしまーす

>>852
作問者に聞いてこい

誰か教えてください！！ ━━━━━━━━━━━━B分のA÷D分のC＝B分のA×C分のD　の証明
━━━━━━━━━━━━の仕方を教えてください！！　今まで結論だけわかって使ってるんですけど証明となると……。

>>854
スレ違い

そう？？でも結構この問題おもしろくない？？

つまらない。死ね。

今、死にました。次の命令を下さい。

二度とこのスレに書き込むな。

じゃぁ死んどきます

>>860
二度とくるな馬鹿め

マーチンﾃﾗﾊﾞｶｽwwww

やっぱせめて答えだけでも

>>863
死ね

死ね？！俺はやり方をきいてるんです。　　　　　　できない人はいいです。

質問は適切なスレでしてくれないかな。
別のスレで聞いたのなら答えても良いけどこのスレでは俺は答えない。

そう面白いとは思わないからね。

まぁね俺もこだわりすぎたｹﾄﾞね　この問題ってそんなに簡単？？

簡単。くだらない。低脳は死ね。

でもこの問題に反応してくれたのはこのスレの人たちだけだし……　だから頼む！！教えてくれヽ(´Д｀ヽ ミ　ノ´Д｀)ノ

＞でもこの問題に反応してくれたのはこのスレの人たちだけだし
「くだらない」「死ね」という反応しかないがなｗｗｗ

いやいや、こういう会話もまぁまぁ楽しいし　会話になってるかどうかはわからんけど

>糞ルーチン
＞教えてくれ
はぁ？自分よりはるかに頭がいい人たちに対してその口の聞方は何？
俺なら例えネット上でもとても出来ない

じゃぁもう諦めます。四つやり方はわかったんですけど…あと一つは他でききます。迷惑かけてすみませんでした。

ﾏｰﾁﾝﾜﾛｽｗｗｗ

自作問題。

f，L：(a,b)→Rは次の2つの条件を満たすとする。
・Lは各点で微分可能(C^1級とは限らない)
・∀x∈(a,b),∀ε＞0,∃δ＞0 s,t y∈(a,b),0＜|y−x|＜δ → {f(y)−f(x)}/(y−x)≦L'(x)
このとき、次が成り立つことを示せ。
・a＜x≦y＜b → f(y)−f(x)≦L(y)−L(x)

n_1, n_2 を整数とし、 d_1, d_2 を0より大きい整数とする。
さらにn_1/d_1, n_2/d_2 が既約分数表示になっているとする。
n_1/d_1=n_2/d_2ならば、n_1=n_2 かつ d_1=d_2 であることを証明せよ。

n_1, n_2 を整数とし、 d_1, d_2 を0より大きい整数とする。
さらにn_1/d_1, n_2/d_2 が既約分数表示になっているとする。
n_1/d_1=n_2/d_2ならば、(n_1=n_2 かつ d_1=d_2) または n_1=0 であることを証明せよ。

[>>876]でいいのか。

n_1=p*n_2
d_1=q*d_2

>876,878

題意より
　n_1*d_2 = n_2*d_1,
　gcd(n_1,d_1) = 1,
　gcd(n_2,d_2) = 1.
任意の素数p,qと自然数j,kについて
　p^j | n_1 ⇔　p^j | n_2
　q^k | d_1 ⇔　q^k | d_2
よって
　n_1=n_2, d_1=d_2.

開区間(a,b)に対し、|(a,b)|＝b−aと定義する。また、空集合φに対し、|φ|＝0と定義する。
{On}(n＝1,2,…)は開区間の列(φも開区間とする)とし、(0,1)⊂∪[i＝1〜∞]Oiが成り立って
いるとする。以下の問いに答えよ。
(1)Σ[i＝1〜∞]|Oi|≧1が成り立つことを示せ。
(2)Σ[i＝1〜∞]|Oi|＝1が成り立つ{On}(n＝1,2,…)を1つ求めよ。
(3)|Oi|＜1 (i＝1,2,…)が成り立つとき、Σ[i＝1〜∞]|Oi|＞1 が成り立つことを示せ。

talk:>>880 素因数分解でできるのか。n_1/d_1=n_2/d_2かつ、d_2>d_1ならば、n_2/d_2=(n_2-n_1)/(d_2-d_1)が成り立つことを利用する方法もある。

Zagier's problems
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~john/Zagier/Problems.html

n人(n≧3)のグループから、任意の3人を選ぶ。
3人の誕生日の月と日が同じであるような確率 Pn を求めよ。
1年は365日とし、うるう年は考えない。

n人じゃなくて3人でいいの？
「月と日が同じ」ってのは？完全に一致するってこと？？
なんにせよ、意図がよーわからん

すまん出題が悪かった。

n人(n≧3)のグループにおいて、誕生日が同じ3人組が存在する確率Pnを求めよ。
1年は365日とし、うるう年は考えない。

pを0でない実数とし、qを実数とする。O=(0,0),A=(1,0),B=(p,q)のとき三角形OABの五心を求めよ。

>>884
誕生日のパラドクス【Part 8】
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1126016995/

参考スレ

>>886
＞n人(n≧3)のグループにおいて、誕生日が同じ3人組が存在する確率Pnを求めよ。

p(n)=1-((n!*(1/2)^365)*�納k=(2*n+1-(-1)^n)/4,365]C(365,k)*C(2*k,2*k-n))/(365^n).

計算例
p(67)=0.275082173722958739776582350023661578986456826158565230293…,
p(90)=0.534195571499801513117864155312496780467198156847508353184…,
p(159)=0.98083145864996116932607047331416046602116980905361451973….

>>875
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−Ｌ（ｘ）とおくと
ｌｉｍｓｕｐ＿｛ｙ−＞ｘ｝（（ｇ（ｙ）−ｇ（ｘ））／（ｙ−ｘ））≦０なので
ａ＜ｘ≦ｙ＜ｂのときｇ（ｘ）≧ｇ（ｙ）。

>>888
すまん。 発見が遅れた。

>>884
２０％くらいじゃないの？

>>846
> pを素数、Zp={1,2,‥‥,p-1}、*をZp上の通常の乗算とする。
> a∈Zp に対し、Zpの元のp-1項組 (1*a,2*a,3*a,‥‥,(p-1)*a) を
> (1,2,‥‥,p-1) の置換とみなしたとき、

この置換をaに対応させるとZpの置換表現になっているのは自明ですか？

自明じゃないけど、このレベルの問題なら、
<Zp,*>が乗法群になることくらいは既知扱いでもいいと思われ。

>>893
> pを素数、Zp={1,2,‥‥,p-1}、*をZp上の通常の乗算とする。
> a∈Zp に対し、Zpの元のp-1項組 (1*a,2*a,3*a,‥‥,(p-1)*a) を
> (1,2,‥‥,p-1) の置換σ_aとみなしたとき

σ_a＊σ_b=σ_(a*b ) 　　（左辺は置換の積）

が成立するか？ってことです。

>>894
失敬。自明だった

>>890
平均値の定理？

tri

転載。
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1174230352/506

正の整数が「交代的」であるとは、その整数を十進法表示したときに、
どの隣接する2つの桁の数字に対してもそれらの偶奇が異なることをいう。
交代的な倍数をもつような正の整数をすべて決定せよ。

>>898
これ数オリの問題

>>882
　このスレは無限降下する…

900げとー

自然数mがm=(p[1]^a[1])*(p[2]^a[2])*・・・*(p[n]^a[n])と素因数分解されたとする。
rをmの約数の総数、sをmの約数の逆数の総和とするとき、r/s≧nとなることを示せ。
また、等号が成り立つのはmが完全数であるときに限ることを示せ。

>901
題意より
　r = Π[k=1,n] {1 + p[k]^1 + p[k]^2 + …… + p[k]^a[k]},
　s = Π[k=1,n] {1 + p[k]^(-1) + p[k]^(-2) + …… + p[k]^(-a[k])},
辺々割って
　r/s = Π[k=1,n] p[k]^a[k] = m.
等号成立は m=n=1 ?

>>901
完全数２８＝２＾２＊７のとき
ｓ＝２、ｒ＝６、ｎ＝２
で成立してないような。　

rをmの約数の総数（１と自分自身を除く）ってことか？　

>903
そうすると、題意より
　r = Π[k=1,n] {1 + p[k]^1 + p[k]^2 + …… + p[k]^a[k]} -1 -m,
　s = Π[k=1,n] {1 + p[k]^(-1) + p[k]^(-2) + …… + p[k]^(-a[k])} -1 -(1/m),
辺々割って
　r/s = m.

総和≠総数

完全数（偶数、奇数を問わない）の約数の逆数の総和は常に2である。
ってのはあるけど
∵
(ｍの約数の逆数の総和)×ｍ = (ｍの約数の総和)

(ｍの約数の総和)=2ｍなので、
(ｍの約数の逆数の総和)=2
　

題意が間違ってた
不等式の中のnは間違いで、a[1]+a[2]+・・・+a[n]だった
本当に申し訳ない

申し訳ない。二つの問題が混ざってた。
>>901 の二行目までは正しい
三行目は次のように読み替えてください。

mが完全数のときはr/s=a[1]+a[2]+・・・+a[n]となることを示せ。

>>901
r/s はｍの約数の調和平均Ｈになってるみたい。
また、約数の相乗平均Ｇ＝√ｍ　も証明できるので

Ｈ＝ｒ／ｓ≦√ｍ　ってのは証明できた。　下限はまだ

>>909
相乗平均=√m、綺麗で感動した
証明は帰納法でごり押ししてみた

r/s≧2^n/(n+2)を示せるな
もちろん2^n/(n+2)≧n (等号はn=2のみ)
k番目の素数が>klogkなことを使って改良すると
例えばn≧3で、r/s>(5log3/12)2^n/lognとか

r/s≧(2^(n+1))/(n+2)
だ、ミスった

n≧3で、r/s>(5/12)log(7/2)*(2^n)/log(n+1/2)に修正
これも大雑把だけど

下からの評価をするとき、結局a[k]≧1を使うから荒くなるんだよね
しかもm→∞のときn→∞となるとは限らないから、もうなんかダメポ

いや、ｎだけの式を作るならa[k]≧1を使うのは当然でしょう
じっさい自由なんだから

目的がnによる評価だから仰るとおりです
気分的にm→∞のときr/s→∞と限らないのが嫌で
でも>>913のように、nに関する評価を精密にするのは大切だと思う

>>916
たとえばこんなのはどう？
q_kをk番目の素数として、
r/s≧Π[k=1,n](2p_k/(p_k+1))≧Π[k=1,n](2q_k/(q_k+1))
1番右はnだけの関数でf(n)とおいとく
さらに適当なmをとってそこから先を近似して
f(n)≧{Π[k=1,m](q_k/(q_k+1))}(2^n)(f(m)/f(n))　(n≧m)
たとえばf(x-1/2)=(logx)^(1+1/logx-loglogx/logx)とすると、
（m=15としたときn=1000でのf(n)との誤差は１０％以下
これはコンピュータで計算しただけで誤差評価ではない）

あ、ｍって使ったらまずかったな、このｍはただの数字ってことで・・・

f(n)≧{Π[k=1,j](q_k/(q_k+1))}(2^n)(g(m)/g(n))　(n≧j)
たとえばg(x-1/2)=(logx)^(1+1/logx-loglogx/logx)とすると、
ｊ=15としたときn=1000での右辺とf(n)との誤差は１０％以下

どうも調子悪い

順列（1,2,3,...n)を辞書式順序でn!個並べると
、、、（偶置換、偶置換）、（奇置換、奇置換）、（偶置換、偶置換）、、、
となることを示せ

>>920
問題の意味が…

すいません。

例えば　n=3 のとき
(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)　が辞書式順序で並べた数列で

数列に対応する置換σを(σ(1)σ(2)σ(3))とするということです。
上記の場合 恒等置換(偶）, 互換（奇）(2,3)、(1,2), 巡回置換（偶）(1,2,3), (1,3,,2),
互換（奇）(1,3)　と最初と最後を除き奇奇偶偶となるということです。

簡単ならごめんなさい。

（１，５，４，２，３），（１，５，４，３，２），（２，１，３，４，５）。

>>923 ありゃ間違ってましたか。　実はｎ＝４のときまでしか確かめてなかった、、
　　
０＝偶置換、１＝奇置換、ｎ’をｎの偶奇を反転したものとすると

ｎ＝２のとき　２＝０１　　２’＝１０
ｎ＝３のとき　３＝２２’２＝０１１００１
ｎ＝４のとき　４＝３３’３３’＝０１１００１　１００１１０　０１１００１　１００１１０
ｎ＝５のとき　５＝４４’４４’４＝０１１００１１００１１００１１００１１００１１０　１００１１００、、、

となるようです（多分）。　また　最初と最後の偶奇は　

ｎ≡０、１（mod 4)　のとき００
ｎ≡２、３（mod 4)　のとき０１　

いいや面白い予想を書くスレじゃないから

t(n) := (n を 10進数で書いたときの各位の和)
とする。
このとき、Σ_{i=1 〜 ∞} t(n)/{(n)(n+1)} を求めよ。

nじゃなくてiじゃないか。

Σ_{i=1 〜 ∞} t(i)/{(i)(i+1)}

>>926
∞　調和級数で発散

>927

t(i) ≦ 9*log(i+1) ≦ c√i < 2c／{1/√i + 1/√(i+1)} = 2ci(i+1){1/√i - 1/√(i+1)},
c = (9/2)*log(5) = 3.145365…

ちゃんとした数に収束するよ。

自分で用意した証明は、大学1、2年程度の知識が必要だけど。

>>927
良問。
オリジナル？

>>931
Digit Sum -- from Wolfram MathWorld
http://mathworld.wolfram.com/DigitSum.html

2進法展開の場合を計算したらlog4になった。計算の方針は、
f(x)＝Σ[k＝1〜∞]t(k)x^(k−1) (0≦x＜1)
とおき、これを別の計算によって簡単な形にする。その結果は
f(x)＝1/(1−x^2)＋{1/(1−x)}Σ[k＝1〜∞]{x^(2^k−1)}/{1＋x^(2^k)}
となる(計算は略)。この式から、
Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝∫[0,1](1−x)f(x)dx
＝∫[0,1]1/(1＋x)＋Σ[k＝1〜∞]{x^(2^k−1)}/{1＋x^(2^k)}dx
＝log2＋Σ[k＝1〜∞](log2)/2^k
＝log4
になる。積分とΣの順序交換についても確認が必要だが、面倒くさいのでここでは書かない。
10進法の場合も似たような計算かな？

マテよ、Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝∫[0,1]∫[0,t]f(x)dxdt＝… という形で
計算するより、Σ[k＝1〜∞]t(k)/{k(k＋1)}＝lim[y↑1]∫[0,y](1−x)f(x)dx＝…
の形で計算した方が安全だな。

自然数l,m,nに対し、m*m行列Aをa_ij=C[l+n,n+i-j]、n*n行列Bをb_ij=C[l+m,m+i-j]で定めるとき、detA=detBを示せ。

>>935
p<qに対してC[p,q]はどう定義して？

0だろ

>>936
ごめん書いてなかった
937の言うとおりでok

自作問題。

f,g：[0,＋∞) → [0,＋∞)は単調減少関数で、lim[x→＋∞]f(x)＝0,lim[x→＋∞]g(x)＝0
であるとする。このとき、次を示せ。
・任意のε≧0に対して、広義積分∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dxが存在する。
・lim[ε↓0]∫[0,∞]f(x)g(εx)e^(ix)dx＝g(0)∫[0,∞]f(x)e^(ix)dxが成り立つ。

殆ど、初めて勉強した事を得意になって開陳する厨房状態ですが。ナッシュの埋め込み定理の
具体例に関して。
　2次元球面は十分に大きな空間においては好きなだけ小さな領域に等長に埋め込める。私は
めちゃくちゃおおざっぱな評価をしたのですが、このようにできる最小次元は何次元なんで
しょう？これじゃ問題と言うより質問になっちゃうが。4次元でできるかな？以上shape operator
なるものは超曲面の場合しか具体計算したことの無い人間の戯言でした。

>>940
うせろ！

1,2,3, ...n から二数　ｘ、ｙを適当に選んで消してｆ（ｘ、ｙ）を付け加える。
この操作を続け最終的に残る数が二数を選ぶ順番によらないようなｆ（ｘ、ｙ）をすべて求めよ。

定数関数

交換法則と結合法則を満たす二項演算全部か？

初等数学で。次の等式を満たす整数x，y，z (x≦y)を全て求めてください。
(1) 2^x+2^y=2^z
(2) 3^x+3^y=3^z
(3) 2^x+2^y=3^z

>>945
つ…いや、何でもない。

>>935
に挑戦してるんだが、だめだなあ。
lで帰納法かなあ。うまくいかん。

>935, >947
det(A) = Π[k=0,m-1] (l+n+k)!k!/[(l+k)!(n+k)!],
　det(B) = Π[k=0,n-1] (l+m+k)!k!/[(l+k)!(m+k)!].

>945
　(1) x=y=z-1
　(2) なし
　(3) (x,y,z)=(-1,-1,0), (0,1,1), (0,3,2)

>935, >947

>948 に
　(l+n+k)!/(n+k)! = Π[p=0,l-1] (p+n+k+1),
　k!/(l+k)! = Π[p=0,l-1] 1/(p+k+1),
　(l+m+k)!/(m+k)! = Π[q=0,l-1] (q+m+k+1),
　k!/(l+k)! = Π[q=0,l-1] 1/(q+k+1),
を代入すると いづれもl項の積の形になり
　det(A) = Π[p=0,l-1] {(p+m+n)!/(p+n)!} * {p!/(p+m)!},
　det(B) = Π[q=0,l-1] {(q+m+n)!/(q+m)!} * {q!/(q+n)!},
だから、
　det(A) = det(B).

>>948>>950
やるぅー。
ところで>>948式は俺の頭ではどうにも導けそうにないんだが 。
教えて下せえ。ところどころ端折ってもいいんで。

今、１億円の財産を持った一人と１０００万円の借金がある１０人が
輪になって座っています。　ここで、借金がある人は両隣の二人から
借金と同額のお布施を受けることが出来るといいます。

さて、このときこのお布施を続けていくと全員が平等に無一文になってしまう
ことを証明してください。

>>952
> 両隣の二人から借金と同額のお布施を受けることが出来るといいます。

ｎ円の借金がある人は、両隣からそれぞれn円？ それともn/2円ずつ？

借金がある人の隣の人は借金してでも隣にお布施をするの？ それとも借金のない人だけ？

>>953
両隣からそれぞれn円です。

借金がある人はそれが財産に化けるというむちゃくちゃな話ですが、、　

>>954
なるほどわかった。

できればもう一つの質問にも答えていただきたい。

>>955
借金がある人も借金を増やして隣の借金のある人にお布施をします。

ちなみにこの問題を一般的に考えると最先端の数学（表現論）ともつながっているそうです。

ちょっと試してみたが、１億とマイナス一千万が１０人では全員がゼロになるが
合計がゼロならかならず全員がゼロになるというわけではないのだな‥

>>957
すいません、問題に不備がありました。
合計が０という設定はまずかったです。

初期値の合計が０より大きいときいつかは全員の財産が
０以上になるようになるっていうふうに訂正します。

ヒントは不変量　

金のやり取りの操作が線型である以上
収束先が固有値で決まるのは自明だろう

線型かどうかは重要なのかなあ。
問題の中では明言されてないけど、それぞれが財産を出来るだけ増やそうとしていたらどうなんだろ。

これ、IMOの過去問で見た事あるぞ

>>959
必ず収束するのか？

問題。
20桁(20桁に満たない数は先頭ゼロ埋めで20桁にする)の非負整数の中で
以下の条件を満たすものはいくつあるか？
上位10桁と下位10桁をそれぞれ10桁の数とみなして
この二つを足して自乗すると、元の数になる。

>952の問題の意味がよくわからんのだけど
借金がある人はお布施を受けることができるっていうのは
借金がある人全員が一斉に受け取る操作を繰り返すの？
つまり
初期段階：
　一人が100000000　のこり十人が-10000000
時刻１：
　100000000円の人は80000000に
　その両隣の人は0
　残り八人は-10000000
・・・みたいな感じで時刻を十分に進めるとどうなるかを考えるの？

それとも「十一人のうちの誰か一人がお布施を要求する」という現象が
十分多い有限の回数起こると借金持ちが必ず消えるっていうのを示すの？

>>964
初期値の合計は０より大きくしないといけないので借金１０００万円の人数は９人にしてください。

借金持ちを任意に一人選んで、その両隣からお金を奪ってプラスにするってこと

y<0 、（ｘ、ｙ、ｚ）→（ｘ+y、-ｙ、ｚ+y）　なる変換を負の値を適当に選んで
繰り返していくといつか全部０以上になるっていうことです。

上の変換で変化するある量を計算して背理法を使うと簡単に示せます。

ｘ（ｋ＋ｎ）＝ｘ（ｋ）。

Σ＿｛０≦ｉ＜ｎ，０＜ｋ＜ｎ｝（（Σ＿｛０≦ｊ＜ｎ｝（ｘ（ｉ＋ｊ）））＾２）。

lim[x↑1](1−x)Σ[k＝1〜∞]kx^(k^2)＝1/2を示せ。