不等式への招待 第２章

さくらスレにありますた。

276 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/04(水) 20:54:36
　π^e とe^3 はどっちが大きいか教えてください。
　計算機に頼らないとき方はないですか？

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136023134/276-280 ,395

>539
　√(a+b+c+d)=w, √(b+c+d)=z, √(c+d)=y, √d=x とおくと、0≦x≦y≦z≦w.
　(左辺)^2 = (x+y+z+w)^2 = (x^2+y^2+z^2+w^2) + 2x(y+z+w) +2y(z+w) +2zw ≧ 7x^2 +5y^2 + 3z^2 +w^2 = a + 4b + 9c +16d = (右辺)^2.

>>540
395 ：１３２人目の素数さん ：2006/01/06(金) 02:15:34

　9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
　∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
　∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.

talk:>>540
19/7<e, 28/9<πなので(これも要証明だが省略。)、
19/7*ln(28/9)が3より大きいことを証明すればよい。
exp(21/19)が28/9より小さいことを示すことにしよう。
exp(21/19)<1+21/19+(21/19)^2/2*∑_{n=0}^{∞}((7/19)^n)=467/152<28/9.
よってπ^e>e^3.

>>540
改造したくなるのが不等式ヲタの…
(
ﾟ∀ﾟ)つ 「 e^π > π^e > e^3 を示せ。」

>>539
つ 【三角不等式】

>>542
> 　9/4<e<3 より、(9-e)(2e-3)/2 = e^2 + (4e-9)(3-e)/2 > e^2.
> 　∴ log{(9-e)/2} > 1 + log{e/(2e-3)} = 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} = 3/e.
> 　∴ π^e > {(9-e)/2}^e > e^3.

２行目の 1 -log{2-(3/e)} > 1 -{1-(3/e)} を解説お願いします。
もっとスッキリした証明はないのでしょうか？

>545,539
【n角不等式】
　|x↑| + |y↑| + |z↑| + |w↑| + … ≧ |x↑ + y↑ + z↑ + w↑ + … |
に
　x↑ = (√d,　0,　0,　0,0,0,…),
　y↑ = (√d,√c,　0,　0,0,0,…),
　z↑ = (√d,√c,√b,　0,0,0,…),
　w↑ = (√d,√c,√b,√a,0,0,…),
を代入する？

>544
　y=exp(x) は下に凸だから exp(x) > 1+x　(x≠0),
　p≠e とする。log{log(p)}≠log(1)=0 だから log(p) > 1 + log(log(p)).
　∴ p > e･log(p)
　∴ e^p > p^e.

『大学への数学』(1970.11)
「数学の問題 = 第�B集」数セミ増刊、日本評論社 (1988.9) 第27問

>546
>547 の exp(x) > 1+x から -log(1+x) > -x.
　これに x=1-(3/e) を代入する。
　もっといい証明があれば うpシロン.

>547 の訂正
　p>1, p≠e とした。　(p≦1 の場合は明らか)