面白い問題おしえてーな 九問目

過去スレ

[1]面白い問題教えて
http://cheese.2ch.net/math/kako/970/970737952.html
[2]面白い問題教えて 第２版
http://natto.2ch.net/math/kako/1004/10048/1004839697.html
[3]面白い問題おしえてーな
http://science.2ch.net/math/kako/1026/10262/1026218280.html
[4]面白い問題おしえて～な 四問目
http://science.2ch.net/math/kako/1044/10441/1044116042.html
[5]面白い問題おしえて～な 五問目
http://science.2ch.net/math/kako/1049/10495/1049561373.html
[6]面白い問題おしえて～な 六問目
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1057551605/
[7]面白い問題おしえて～な 七問目
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
[8]面白い問題おしえてーな 八問目
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/l50

２げっと

>1
乙。

１０組の夫婦がいます。
いま、ある円卓に対して、妻が自分の夫と隣合わないように座る方法は何通りあるでしょう。
ただし、円卓の各席には１～２０までの番号が付いているものとします。

全ての座り方は20!通り。
妻が自分の夫と隣合うように座る方法は、
（妻が座る場所の数）×（妻の両隣）＝20*2=40
よって、
20!-40=2432902008176639960通り。

って、桁が大きいことを除けば高校生レベルのような気が・・・

>>5
ダウツ

夫婦が隣り合う座り方は2*2*10!通りでは？

プロブレム・ド・メナージュ

>>7
ダウツ

>>7
10!だと「全ての夫婦が隣り合う場合」を意味しているよ。
余事象で考えると「少なくとも1組の夫婦が隣同士になる場合」を引かなければならない。

Retunner金城武age

Returnerじゃね？

とりあえずn=10として
∑[k=0,n]C[n,k](2n-k)!2^k-2･2∑[k=0,n-1]C[n-1,k](2n-2-k)!2^k
みたいだけど。もっと簡単になるのかな？

>>4
頂点数20，次数18の正則グラフにおけるハミルトン閉路の数，か．
めんどいな．

まちごうた。
とりあえずn=10として
∑[k=0,n]C[n,k](2n-k)!(-2)^k-2･2∑[k=0,n-1]C[n-1,k](2n-2-k)!(-2)^k
だった。

とりあえず前スレでのこってた香具師。
自然数nに対しその２進展開をn=∑[i=0,∞]c_i(n)2^iとする。c(n)=∑[i=0,∞]c_i(n)とおく。
(０でないのは有限個なのでwell-defined)。このとき数列c(n)は同一のパタ－ンが３回
くりかえさないことを示せ。つまり非負整数nと正の整数kで
c(n+i)=c(n+k+i)=c(n+2k+i) (0≦∀i≦k-1)をみたすものは存在しないことをしめせ。
↑これだれかでけた？

しもた。訂正。c(n)=∑[i=0,∞]c_i(n)を2でわった余りとおくだ。
つまりc(n) (0≦n)は
0110100110010110･･･
みたいな。（全スレの出題とは0と1が逆だけど実質同じ。）

>>11-12
映画の事ですか？
円卓に座るシーンがあるとか。

>>14
高校数学の範囲では解けませんか？

前スレ見た。
有名問題も多いが、一般的に云って、多くの人が問題の意味を理解できる
パズル的問題が多いな。それも知らない人は多いから、結構長い間かかずらわっていて、
実質的な問題の数は多いとはいえない。
しかし高校生でも理解できる数オリ的問題も少なかったな。
より数学的な問題（例えば定理を使って解く）様な問題は
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem.htm
に 250 題ほどあって、約 2/3 には解答が付いていないから面白いぞ。
ただし、問題自身が良く分からなかったり、定式化が不十分なものも多いが。

その中から解答の付いていつもの、いないものをそれぞれ一題。
問題２１４）　任意の有理数は（高々）３つの有理数の立方の和になる。（有名問題　解答）
問題９）　閉区間 [0, 1] から [0, 1] への連続関数 f で、 f (0) = 0, f (1) =1　
且つ、区分的線形関数である物（１変数の場合は、グラフが折れ線になる関数の事である。）
全体の集合を X とする。この時、 X に属する任意の 2 元 f, g を取ると、
X に属する適当な 2 元 p, q で、恒等式 f (p(t)) = g (q(t)), t ∈ [0, 1]
が成立する物が取れる事を示せ。（新作問題、解答・準備中）

関数電卓機能もなく、メモリ機能もない至極単純な電卓で、
Σ[n = 0 ～ 10] 1/n! 等を紙にメモする事もなく
電卓のキー操作だけで行うとしたら、
最低何回キーを押さねばならないか?
（あふれ誤差は除く。）

>>20
「等」ってなんだよ。
どう答えりゃいいんだよ。

>>4
Sp+1=Sp(p(p-1)2),S4=1 ?

>>4
S2m=(S2(m-1))(2(m-1)-1)2,S4=1
S20=S18(17)2=S16(17*15)2^2=...
=(17!/9!)2^8 ?

>>21
関数電卓機能がない、
即ち e を一発で計算できないという意味だよ。
「関数電卓」は知っているよな。
Windows にも付属している。

=(17!/9!)2^8/2^9=(1/2)17!/9! ?

>>20
色色。

>>16>>17
こういう定式化ができたんですね

でも解けないなあ・・・

（問題）
ＸＹ平面上に、面積 S の、内部を含む、有界で凸な図形 F が存在する。
直線
x cos(θ) + y sin(θ) = r
と F が交わるとき、その共通部分の線分の長さを L(θ,r) とし、
交わらないとき、L(θ,r) = 0 とする。
このとき、
∫[0,2π] ∫[0,∞] {L(θ,r)}^3 dr dθ = 3S^2
となることを証明せよ。

x cos(θ) + y sin(θ) = r
は(cos,sin)と距離ｒのところで直行する直線
∫[0,2π] ∫[0,∞] {L(θ,r)}^3 dr dθ = 3S^2
はその直線を平行にずらしてFをスキャンすることを
θをまわしやる操作

>>26
具体的に

【問題】

A，Bの二人がじゃんけんをして、グーで勝てば3歩、チョキで勝てば５歩、パーで勝てば6歩進む遊びをしている。
Bがグー、チョキ、パーを出す確率はすべて等しいとする。1回のじゃんけんで、AがBより前に最も進むことが期待されるのはAがどのような確率でグー、チョキ、パーを出すときか。またｎ回じゃんけんをするときのそれぞれの確率も求めよ。

>>31
勝つ確率も負ける確率もあいこの確率もそれぞれ1/3なので
パーを出し続ければいい

>>32　よく考えてください。パーを出して負けたときは相手が5歩進むんですよ。ちなみに数式を使って解いたほうが分かりやすいです。

じゃあチョキを出し続ければいい

>>34　ＧＪ！！

>>28>>29
積分幾何の本（栗田）に書いてあったような。

お小遣いのもらい方で

･･･あ～やっぱやめた

(3pg+5qc+6rp)(1/3G+1/3C+1/3P)
A=1pgG+5/3qcP+2rpG
B=1qcG+5/3rPC+2pgP
A>B
(1p+5/3q+2r)>(1q+5/3r+2p)
-p+1/3r+2/3q>0
p+q+r=1,p,q,r>=0
4/3r+5/3q>1
r>3/4-5/4q

　室伏が金確定！

>>30
具体的に。

ハリ麻酔でやれば、ドーピングはかからなかったのに

項数nの多項式を2乗したとき、その項数が最小になる多項式の項数をQ(n)とおく。
例えば、Q(1)は項数1の多項式、ax^kを二乗したとき、a^2x^2kになるので、Q(1)=1である。
同様に、Q(2)=3が得られる。このようにして、Q(n)を定義したとき、
liminf Q(n)/n
を求めよ。


すげー意外な結果になったので、報告する。

Q(n) は、(n-1)次の多項式を自乗した式の(次数+1)に等しいから、
Q(n) = 2(n-1)+1 = 2n-1
よって、
liminf Q(n)/n = 2

説明が不足しておりました。申し訳ありません。
t^4 + 2t^3 - 2t^2 + 4t + 4
のような式を考えたとき、これを二乗すると
16 + 32t + 28t^4 + 4t^7 + t^8
と、なりますので、n=5の時、Q(n)≦5となります。

ある、項が0になるとき、それはカウントしません。
0以外の項を数えるというルールです。

従って、1,2ぐらいまでは簡単にQ(1)=1、Q(2)=3が得られますが、
それ以降になると、Q(n)の値を実際に求めることが困難になると思われます。

>>45
ヒントおながいしまつ。

g(n)=Q(n)/nとして、
g(mn)≦g(m)g(n)
g(n)≦3/2
g(4n+1)≦28/29
を示しちゃおう。

>>47
大きいほうからの評価はいいとして小さいほうからの評価は？
つまり一般項≦××からliminf≦××がでたとしてもそれが
liminfにぴったり等しいことはどうやってしめすの？

ま、そっちはヒント抜きでやってくれ

結論として答えは7/29になるの？てかホントに下からの評価できてるの？
なんかぁゃιぃ

あ、いやなるほど。勘違い。スマン。

>>42の答えは0

>>52
証明おながいしまつ。

>>28>>36
答えきぼんアゲ

>>52
証明きぼんぬ

Q(n)を与える多項式fn(x)とQ(m)を与える多項式fm(x)を考えて
fn(x^k)も同じ性質を持つからfn(x^k)fm(x)がちょうどQ(n)Q(m)になるようにkを調節できる
だからQ(nm)≦Q(n)Q(m)でいい？
でQ(29)≦28が示せるとg(29^k)≦(28/29)^kだから0

＞でQ(29)≦28が示せると

つまり、こういうことだな。
f(x)=1 + 2x - 2x^2 + 4x^3 + 6x^4 + 4x^5 - 4x^6 + 8x^7 + 6x^8 - 4x^9 + 4x^10 - 8x^11 - 4x^12 + 8x^13
- 8x^14 + 16x^15 + 6x^16 - 20^17 + 20x^18 - 40x^19 - 12x^20 + 56x^21 -
56x^22 + 112x^23 + 28x^24 - 168x^25 + 168x^26 - 336x^27 - 336x^28
が29項の多項式で、その２乗が28項と。

それでOKなんだな。

>>56-57
なるほど。すばらすぃ。

で、Q(n)のnによる表示は？

>>59
もうliminf=0までしめせてるのでは？

もう少し頑張れば、lim=0が示せそうだが。
Q(n)の具体的表記は得られそうもない。

>>28
できたぜ。所与の領域をDとするとDは曲線Cで囲われたJordan領域。
Cはsmoothな曲線でかつその囲う領域が凸になるものでいくらでも近似できるので
最初からCはsmoothとして一般性をうしなわない。I=∬[C×C]l^3drdθはストークスの
定理から∬[D×C]3t^2dtdrdθに等しい。ただしt:D×C→Rは(p,q)∈D×Cにp,q間の距離
を与える関数。p∈Dを固定して∫[{p}×C3t^2dθはpによらない定数3Sだからそれを
D上で積分すればその値は3S^2。□

あとオレ的に気になるのは16-17かな？これどうやんだろ？

>>16-17
できた。そのような(n,k)が存在すると仮定する。そのなかでkが最小のものをとってくる。
するとkは奇数。なぜならkが偶数なら([n/2],k/2)も条件をみたすのでkの最小性に矛盾。
kの2進展開の桁数をuとする。まず[n,n+2k-1](=最初の２つのブロック)内の整数は
２進展開の末尾u桁が0～2^u-1までのすべての自然数が出現することに注意する。
(i)k+1が2べきでないとき。
このときkの２進展開のあるv桁目が1でv+1桁目が0である0≦v≦u-1がとれる。
このとき２進展開のu桁目以下の部分がすべて0であるx∈[n,n+2k-1]と
u桁目以下の部分がv桁目以外が0でv桁目が1であるy∈[n,n+2k-1]をとれば
c(x)≠c(x+k) (mod 2)であるかc(y)≠c(y+k) (mod 2)であるゆえ矛盾。
(ii)k+1が2べきのとき。
kが1のときは容易。k≧3と仮定してよい。a∈[n,n+2k-1]で２進展開の末尾u桁がすべて
0であるものをとる。[n,n+2k-1]には6つ以上の整数があるゆえaの前後3つ以内にある2数
x,yでu+1桁め以降がすべて等しくかつ(xの末尾u桁、yの末尾u桁)=(2,3) or (2^u-2、2^u-1)
となるものがとれる。
するとc(x)≠c(x+k) (mod 2)であるかc(y)≠c(y+k) (mod 2)であるゆえ矛盾。□

>>56
＞g(29^k)≦(28/29)^kだから0

29のk乗で無限に飛ばせば０かもしれんが、
それ以外の形で無限に飛ばしたらどうなるかは言えてないんじゃないか？

>>65
いやいけてるとおもうよ。
liminf[n→∞]g(n)=lim[n→∞]inf{g(k) | k≦n}
だから非負項数列g(n)に対して
liminf[n→∞]g(n)=0をいうにはi→∞でni→∞なる数列niでlim[i→∞]g(ni)=0
となるものをひとつでもみつけてくればいい。もっというならそのような場合inf{g(k) | k≦n}
が任意のnに対して0になってしまう。

まちがった。
＞inf{g(k) | k≦n}
は全部inf{g(k) | k≧n}だった。

>>4
P[2n,k]を2n人いて，k組の夫婦が隣合う場合の数とすると

P[4,0]=2
P[4,1]=0
P[4,2]=4
P[2n+2,k] = 2(2n-k+1)*P[2n,k-1] + { (2n-k)(2n-k-1) + 2k }*P[2n,k] + 2(k+1)(2n-k-1)*P[2n,k+1] + (k+1)(k+2)*P[2n,k+2]
ただしP[2n,k] = 0 for k<0 or n<k

という漸化式がたつ．すると，およそP(20,0) ≒ 4.13 × 10^16

>>57
この式はどうやって見つけたのか教えて頂けないですか？

g(n)=1であるnが無数に存在することが示せないものかな

>>70
>>42＋>>47のg(n)？つまりlimsup[n→∞]g(n)≧1じゃないかってこと？
なんとなくlimsupのほうも０にいきそうな悪寒。

まだ解答でてないやつ。
Nを２以上の整数とするときΠ[k=1,N-1]Γ(k/N)を求めよ。

>>72
ヒント：Γ(a)Γ(1-a)を計算せよ。

Γ'(1)を求めよ。

Re:>74 真面ですか？

いろいろカキコしたけどこのスレが一番面白かった
短い間だったけど２ｃｈ数学板これからも頑張ってね
じゃサヨナラ

>>75
ダッシュみえてる？まあついててもそんなに難しくないけど。

関数f:[0,1]→Rが次の性質を持つとする：
∀x∈[0,1], ∃ε>0, ∀y,z∈(x-ε,x+ε)∩[0,1], f(y)=f(z)．
このとき，
∀x,y∈[0,1], f(x)=f(y)
だろうか？

>>78
どうみてもYesにみえる。

また，[0,1]を(0,1)とした場合はどうか？

>>80
それでもYesであるような・・・ちがうの？

x=0を中心として[0,a_1)までfは定数になる．
次に，x=a_1ととって[0,a_2)まで定数になる．
このように{a_n}を定義したとして，果たしてsup{a_n}=1だろうか？
というところを問題にしたつもりです．
局所的なことが大域的に広げられるかどうかということが背景にあります．

>>82
これでいい？
a<b∈(0,1)をとる。x∈[a,b]に対し開近傍Uxをy∈Ux⇒f(y)=f(x)を満たすようにとる。
[a,b]はコンパクトなのでUx1・・・Uxnが[a,b]を覆うようにできる。
各Ui上でfは定数。かつUxi∩Uxj≠φ⇒Ui∪Ujでも定数ゆえ結局帰納法つかって
[a,b]上で定数。

過去ログ見てないからガイシュツかもしれないが。

【問】A,B,Cは複素数を成分にもつn次正方行列で、
AB-BA=C
CA-AC=2A
CB-BC=-2B
が成り立つとする。このとき C の固有値が整数である事を示せ。

>>84
これって正標数では反例あるんだっけ、ないんだっけ？

>>74 発散では？

>>28 を書いた者だけど、考えてくれてありがと >>62
これは実は前スレの↓を考えてるときに気がついた。

面白い問題おしえてーな 八問目
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/901
> 901 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：04/08/26 15:10
> かなり挑戦的な問題考えました。
> もし解けたら号泣です。
> 面積1の三角形上に2点を独立の一様分布から選ぶ。
> これら2点を通る直線は確率1で元の三角形を三角形と四辺形に分割する。
> 分割してできた三角形の面積をA、四辺形の面積をBとするとき、|A-B｜を求めよ。

>>28 と同じようにして、
F の２点を一様かつ独立に選ぶとき、その２点が直線
x cos(θ) + y sin(θ) = r
上にある確率は、L(θ,r)^3/(3S^2) dr dθ になることが分かる。
これを使って、上の問題が計算できる。

で、前スレの 901 だけど、A-B の絶対値の期待値 E(|A-B|) を計算する。
三角形の面積を S とすると E(|A-B|)/S は三角形によらない値をとるので、
O(0,0), P((√3)/2,1/2), Q(0,1) の正三角形に限定して考える。（S = (√3)/4）
分割されてできた三角形に頂点 O が含まれていて、
直線と OP, OQ の交点を、それぞれ P', Q' とするとき、
OP'≧OQ' となる場合を考える。（確率 1/6）
選ばれた２点を通る直線を x cos(θ) + y sin(θ) = r とすると、
上の条件は、-π/6≦θ≦π/6, 0≦r≦cos((π/3)-θ) で、
この直線が選ばれる確率は、
P(θ,r) drdθ = (1/(3S^2)) (P'Q')^3 drdθ
= (2/√3)r^3/{cos(θ)cos((π/3)-θ)}^3 drdθ。
分割されてできた三角形と四角形の面積は、
A = △OP'Q' = S*OP'*OQ' = Sr^2/{cos(θ)cos((π/3)-θ)}, B = S - A。
以上を使って
E(|A-B|) = 6 ∫[-π/6,π/6] ∫[0,cos((π/3)-θ)] |A-B| P(θ,r) dr dθ
を計算すると、
E(|A-B|)/S = (1 + 2*log(2))/6 ≒ 0.39772。
ついでに、A-B の期待値は、E(A-B)/S = -1/9。

× O(0,0), P((√3)/2,1/2), Q(0,1) の正三角形に限定して考える。
○ O(0,0), P(1/2,(√3)/2), Q(1,0) の正三角形 OPQ に限定して考える。

>>86
んなわけない。Γ(s)=∫[0,1]x^(s-1)e^(-x)dxはRe(s)>0で正則だからF'(1)も有限確定値。

>>87
なるほど。エレ解だ。すばらしぃ。

>>90 スマソ。 Γ'(1) = -γ = 0.577...(オイラー定数) ですか?

π=∫_{-1}^{1}(1/√(1-x^2)dx)として、
実数(複素数でもいい。)xに対して、sin(x)=∑_{n=0}^{∞}((-1)^nx^(2n+1)/(2n+1)!)とする。
sin(π/2)=1を証明せよ。

>>93
π=2∫_{-1}^{1}(1/√(1-x^2)dx)じゃないの？

↑間違えた。

n次の多項式f(x)=Σ[k=0,n] a(k)x^kが　-1≦x≦1の範囲で
√(1-x^2) * |f(x)|≦1
を満たすとき、
|a(n)|の最大値を求めよ。


答えはめる欄。

　　　　　　　 ＿　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　／_　＼　＜　　自分の名前間違えちゃ～(ry
　　　　　 （　 _ﾉ` ）　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　／　　　　 ＼
　　　/ /＼　　　/￣＼
　＿|￣￣ ＼　/　 ヽ　＼＿
　＼￣￣￣￣￣￣ ＼＿_）
　　||＼　　　　　　　　　　　　＼
　　||＼||￣￣￣￣￣￣￣||￣
　　||　 ||￣￣￣￣￣￣￣||
　　||　 ||　　　　　　　　　　 ||

まずは易しい問題から。
n, k は自然数とし、 2 ≦ k ≦ 3^n とする。
k 個の玉がって、見かけは皆同じがが、、
k - 1 個の玉は同じ重さで、他の 1 個だけ少し重い。
天秤ばかりを高々 n 回使用し、その重い玉を見つけよ。

>>98
（1）k が３の倍数のとき
k/3 個ずつ３グループ（A, B, C）に分け、A と B を比較する。
(a) A>B のとき
　少し重い玉は A の中にある。
(b) A<B のとき
　少し重い玉は B の中にある。
(c) A=B のとき
　少し重い玉は C の中にある。
（２）k が３の倍数でないとき
[k/3+1/2] 個のグループ２つ（A, B) と k-2*[k/3+1/2]個１つ(C)に分け、（１）の方法でA と B を比較する。

この方法によって、(k-1)個の玉の重さが同じで、他の(k-1)個より重い玉を１つ含む k 個の玉を
重い玉を1個含む高々 3^(n-1) 個のグループにすることが出来る。

同じ操作を高々(n-1) 回繰り返すと、３個以下のグループに分けることが出来る。残りが
（１）１個のとき、
それが重い玉である。
（２）２個のとき、
二つの玉を天秤にかけて、重いほうが求める玉である。
（３）３個のとき、
玉a, b, c について、a と b を比較すると、
a>b → a, a<b → b, a=b → c と判別できる。

よって、題意が示された。

>98
玉をぶつけていっしょに転がればそいつが重い玉

Uを、一次元ユークリッド空間の空でない連結開集合とする。
(D)'をU上のdistribution全体のなす空間とする。
(D)'の元で超関数微分が0になるものは、定数関数から誘導される汎関数しかないことを証明せよ。

FeaturesOfTheGod
は暇でいいな

>>100
完全弾性体であるとは仮定されていない。
女性体？

ここの問題46-3の解法を教えろ！
ttp://www.asahi-net.or.jp/~nj7h-ktr/kadai02-03.html

>>92
正解じゃ！！！

サッサと教えろ！

>106
104のことか？

sin(18°)やsin(75°)が(√(5)-1)/4だったり(√(6)+√(2))/4だったりすることや
加法定理を使っていいなら力技でできると思うが。3°と15°かいな。

だが、いわゆる「エレガントな解法」ではないわな。
「エレガントな解法」があるのかどうかは知らぬ。

エレガントな解答をキボンヌ！

Γ'(1/2)を求めよ。

>>106
計算すると、きれいな答えにはならないな。
18°と15°が逆なら両方とも9°になるからエレガントな解き方もありそうだね。
多分間違ってるんじゃない？

すまぬ。

えらくシンプルで馬鹿な勘違いをしていた。たぶん、３と１５にはならんわ。
台風19号に向かって逝ってくる。

【問題】
A,B,C,Dの4人は、独立に 2/3 の確率で嘘をつく。
Aが嘘をついたとBが主張したことをCが否定したとDが主張したとき、
Aが真実を言った確率を求めよ。

これって既出ですか？ ﾊｧﾊｧ…。

ﾁﾝﾁﾝ！ まだぁ～

1/3

ここに 8 個の球がある。見かけは皆同じだが、このうち 6 個は重さが同じで、
あと 2 個は少し重い。その 2 個の重さは同じである。
天秤ばかりを 3 回使用してその重い 2 個を見つけよ。

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091972996/13
にヒントを書いたけど見ないで解いてね。

>114
せめて高校の数学を終了してからにしろ。
それまではチラシの裏に書いてろ、な！

>>112
解答きぼん

>A,B,C,Dの4人は、独立に 2/3 の確率で嘘をつく。

答えは1/3以外ありえない。　

>>115
できる？ほんとに？一回目のせるのは
１＋１、２＋２、３＋３、４＋４のいづれかだけど
つりあったばあい。のこる可能性は
１＋１でつりあった場合
重いのが１つづつ＝１通り or 乗せたやつは全部軽い＝C[6,2]＝15通りで計16通り。
２＋２でつりあった場合
重いのが１つづつ＝４通り or 乗せたやつは全部軽い＝C[4,2]＝6通りで計10通り。
３＋３でつりあった場合
重いのが１つづつ＝９通り or 乗せたやつは全部軽い＝C[2,2]＝1通りで計10通り。
４＋４でつりあった場合
重いのが１つづつ＝１６通り。
どれやっても１０通り以上の可能性がのこるんだけど。しかし天秤はあと２回で９通りしか
場合分けできないのに。できると思えないんだけど。

なんか読みづらいと思ったら
>１つづつ
これだ。「１つずつ」だろ。

>>112
ようは独立な事象A,B,C,DがあってP(A)=P(B)=P(C)=P(D)=1/3のとき
X=D⇒(C⇒not(B⇒notA))という条件下でのP(A)をもとめよ。
だとおもうんだけど
X⇔notD or (notC or not(notB or notA))
⇔notD or (notC or (B ＆ A))
⇔notD or notC or (B＆A)
でもとめるのはP(X＆A)/P(X)でいいの？

>>119
センターの国語110点のオレにこれ以上要求すな。

>>112
Aが嘘をつく確率は2/3

「Aが嘘をついた」とBが主張する確率は、
P(Bが「Aが嘘をついた」と主張｜Aが嘘をつく）*P(Aが嘘をつく)+
P(Bが「Aが嘘をついた」と主張｜Aが嘘をつかない）*P(Aが嘘をつかない)
=1/3 * 2/3 + 2/3 * 1/3 = 4/9

「Aが嘘をついた」とBが主張したことをCが否定する確率は、
P(Cが否定｜「Aが嘘をついた」とBが主張)*P(「Aが嘘をついた」とBが主張)
P(Cが否定｜「Aが嘘をついた」とBが主張しない)*P(「Aが嘘をついた」とBが主張しない)
= 1/3 * 4/9 + 2/3 * 5/9 = 14/27

「Aが嘘をついた」とBが主張したことをCが否定することをDが主張する確率は、
P(Dが主張｜Cが否定)*P(Cが主張)
P(Dが主張｜Cが否定しない)*P(Cが否定しない)
= 1/3 * 14/27 + 2/3 * 13/27 = 40/81

よって答えは 40/81

>122
これ合ってるの？

>>123
各人が独立に一定確率で嘘をつくためには、全ての事実を知っている必要がある。

>>123
合ってるも何も122は答えるものを間違ってる。

すくなくとも>>120と>>122は両立しないな。

まぁ模範解答が気になる

『Aが』真実を言った確率だったorz
今から首吊ってきます。

>>112の問題は、下のP.40問10で、解答はついてない。
https://sslserver.sbs-serv.net/nippyo/books/bookinfo.asp?No=2406

違った、P.24問16だった。

>>115
できた．3,3,2にわけて，始めに3,3を天秤で量る．

>>131
でつりあったら？

>>131
おもりをABCDEFGHとしてABC、DEFをはかってつりあった場合重いおもりの可能性として
AD、AE、AF、BD、BE、BF、CD、CD、CF、GH
の10通りがのこる。次どうすんの？

AD、AE、AF、BD、BE、BF、CD、CE、CF、GH
の間違い。あと２回でできんの？

ちょっとまって，今，解答作るから．

まず８個の玉をA:○○○，B:○○○，C:○○に分け，A, Bを天秤で量る(一回目)．
つりあった場合はCが二つとも重い玉．
つりあわなかった場合．重い方をA，軽い方をBとする．このとき，重い玉を●として次の2通りがある．
(1) A：○○●，B：○○○，C：○●
(2) A：○●●，B：○○○，C：○○
したがってCの２つを天秤で量れば，(1), (2)のどちらであるかがわかる（2回目）．
あとは，Aから２つとってそれを天秤で量ればよい（3回目）．

(1)の場合
まず，Cの計量で重い玉が１つ見つかる．
Aの測定でつりあった場合は量らなかったものが重い玉．傾いたらもちろんそれが残りの重い玉．

(2)の場合
Aの測定でつりあったらその二つが重い玉．傾いたら，その重いほうと，量らなかった残りの１個が重い玉．

間違えました．出来てません．

一回目どう計っても10通り以上の可能性がのこる場合がおこりうると思うんだが。
出題ミスくさい。

いや，やっぱできる．AとBがつりあった時は
Aから２つとってはかる（2回目）
Bから２つとってはかる（3回目）
を追加．

なんじゃ。>>115みたら｢そんなこと不可能｣だって。なめとんか。

いや，やっぱ出来ない．すまん．

>>139
それだと全部つりあったときに
･一回目はかってない２つが重い
･ABのなかで2回目、3回目にえらばれなかった２つが重い
の２つの可能性をくべつできない。

壮大な釣りだった訳か。

>>112
まず、「ABCDは順番に発言し、BCDの3人は前の発言者の発言の真偽について述べていることは分かっているものとする。」は条件に加えなきゃいけない。
BとかCが「ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━ｯ!!」とか意味ないことを言う場合は除かなきゃいかん。

結論から言うと、答えは13/41。

もし問題が、
「Aが嘘をついたとBが主張したとき、Aが真実を言った確率は？」

だったら、Bがこの発言をする場合は、（A嘘、Bほんと）か、（Aほんと、B嘘）
の2通りで、確率は
2/3*1/3+1/3*2/3=4/9
で、そのうちAがほんとを言ってる場確率は後者の2/9だから、求める確率は、
(2/9)/(4/9)=1/2
となる。

今の問題の場合は、Dからこの発言が出る場合は、
（Aほんと、Bほんと、C嘘、D嘘）等の８通り。（ほんとと嘘の数が偶数である場合になる。）
この８通りのそれぞれの確率を求めて合計したものは、41/81。
うち、「Aほんと」をふくむものの確率の合計は、13/81。
したがって、答えは13/41になる。

n を 3 の倍数で奇数とする。
一辺の長さが n√13 の正方形を、直角をはさむ二辺の長さが
2, 3 となる直角三角形で敷き詰める事は不可能である事を示せ。

n が 3 の倍数で偶数の時、多くの場合に不可能が示せたが、
一般的にはどうなるのだろう。

>>145
＞直角をはさむ二辺の長さが2, 3 となる直角三角形
って２種類あるけど両方つかっても不可能であることをしめさないといけないの？

>>146
2種類あるか？

>>147
あるじゃん。(0,0)、(2,0)、(0,3)をむすんだヤツと(0,0)、(3,0)、(0,2)をむすんだヤツ。

ひっくり返せ

>>149
だからひっくりかえさないで同じものばかりでは埋め尽くせないことをしめせといってるのか
それともひっくりかえせば同じになる２種類をつかってすら埋めつくせないことまで
しめせないといけないのかを聞いてる。まあ後者だろうけど。前者だとそんなに
むずかしくなさそうだし。

裏返しを許しても不可能です。

>>145
結局は４角形の４辺に三角形の斜辺をならべていって（しかも同じ向きに)
のこりの部分を２×３の長方形でうめられるかという問題に帰着できるけど
それはn=3mとして面積39m^2の領域を面積6の長方形でうめる問題になって
奇偶性をみて不可能となった。しかし前半部分の問題を還元する部分の記述が
めちゃめちゃめんどい。すぱっととけるの？

39m^2じゃなくて39m^2-36mね。

>>152
類似の考え方でスパッといけるよ。
そろそろ答え言おうか?

>>154
おながいします

もし可能とすると三角形の数は (13*n^2)/3 個。これは奇数。
√13 は無理数だから、正方形の辺の一部となるのは三角形の斜辺のみ。。
従って辺に張り付く三角形（の斜辺）は 4n 個。
それ以外に (n^2*√13)/3 - 4n 個の斜辺が内部に現れるが、
内部にある斜辺の延長線分で、三角形の辺の和集合になるものを考えると、
必ず両側にこれを斜辺とする三角形が同数個現れる。

なぜなら、その延長線分の片側にこれを斜辺の一部とする三角形がが
p 個、もう一方の側に q 個あるとする。
残りは長さ 2, 3 の辺が幾つかあるだけだから、
p√13 + m = q√13 + n, m, n は非負整数。
p ≠ q とすると、 √13 が有理数となる。
よって、 p = q.
この三角形の3辺はすべて長さが違うから重複して数えられる事は無い。
よって斜辺が内部にある三角形は偶数個。

寄って矛盾。

>>156
×寄って→○因って

一羽半の鶏が一日半で一個半の卵を産むとしたら、
九羽の鶏が九日で何個の卵を産むか？

　　　　　　　　　　アイザック・アシモフ 「われはロボット」 より

９個




１個半の卵って何だよ！？
半分の殻にプカプカと黄身が浮いているのかよ！
前提が偽であるならばいかなる結論も真である。
ということで、９個と答えても間違いないだろう。
出題者は54個を正解にしたかったのかも知れないがな。

>159
正解は54個。

一羽の鶏が、一日に平均一個の卵を産むとしたら、
一羽の鶏が、ある一日に一個の卵を産む確率は？

Re:>161 Poisson分布？

>>162
Yes. ポアソン過程といった方がいいのかな。事象間無相関。

Re:>163 exp(-1)

>>164
正解。まあ鶏が一日にいくつも卵を産むかという問題もあるけど。
一個も産まない確率=一個産む確率=1/eみたいのをうまく使った
面白い問題とかできないかなと思ったり。

サイコロを６回振って、１の目が１回出る確率とかと同じようなものか。
似たような問題で６種類のオマケのカードが入っているお菓子をいくつ買えば、全種類のカードを集めることができるかとかいうものもあるな。

Re:>166
それと何が同じだと？
まさかPoisson分布と同じというのではないだろうな。
B(6,1/6)とP(1)は全然違うものだ。
十分大きいnに対してベルヌーイ分布B(1/n)に従う確率変数列(独立とする。)X_k(k=1,…n)を考えるとき、
Y=X_1+…+X_nの従う分布は、
P(1)の分布の原点に近いあたりはこれに似るようになる。

そろそろ「これは」という問題を頼む。

>>167
原点に近くなくてもいいだろ。
Bin(n,1/n)→P(1) (n→∞)
だ。

FeaturesOfTheGod ◆
出てくるなよ

D={(x,y)|0≦x<1, 0≦y<1}とし、次のようなDからDへの写像Tを考える。
T:(x,y)→(X,Y)
X=2x, Y=y/2 (0≦x<1/2のとき）
X=2x-1, Y=y/2+1/2 (1/2≦x<1のとき）

nを自然数とするとき、T^n(P)=PとなるようなD上の点Pの個数を求めよ。
（すなわち、n回Tで変換して下に戻るような点の個数を求めよ。）

×下に戻る→○元に戻る
ごめん。

>>171
2^n-1

>166

全てのオマケの出る確率が同じだとすると、種類数の３倍買えば90％超えるぞ。
ただ、シークレットの存在があるから難儀だな。

>>173
正解。

別スレみてて思いついた
――問題――
P1･･･P(n+1)をn次元ユークリッド空間の点としてΔをその凸包とする。
行列A=(aij)を次でさだめる。
aij=
0　　　　　　(i=j)
1　　　　　　(i≠j, n+2∈{i,j})
d(Pi,Pj)^2　(otherwise)
(ただしd(Q,R)はQとRの距離)
このときdetA=-(-2)^n(n!volΔ)^2が成立することをしめせ。
――――――
たぶんいけると思うんだけど。

高木貞治、代数学講義、共立
に n = 4 の場合が書いてあるけど同じ考え方でいけるよ

n = 3 の場合だった。

>>176の公式ってなんか名前ついてんの？

いやいや、n = 6 の場合だったかな。

高校のころ思いついたんだけど結局解けなかった問題を誰かに解決していただきたく。

同じ長さのマッチ棒で1辺がn本の正三角形を作る。
また、中にもマッチ棒の端と端がくっつくように配置して小さい正三角形も作るとする。
なんつーかこう、ピラミッド型に規則的に作ると考えてください。
正三角形の内部に、各辺と平行に√3/2間隔で1本～n-1本のマッチ棒が配置されるとでも言えばいいのかな。

ex. 1辺を1本で作ると上向きの正三角形がひとつできる。
　　1辺を2本で作ると中に上向きの正三角形が大小あわせて4つ、下向きの正三角形がひとつできる。
　　1辺を3本で作ると中に上向きの正三角形が大小あわせて10個、下向きの正三角形が3つできる。


このとき、
1.上向きの正三角形の総数は？
2.下向きの正三角形の総数は？
この二つをnを用いて表すことができるでしょうか？という問題です。
1.は割と簡単にできた気がするのですが2.はお手上げだったような・・・。
思いついたときには面白い問題かなと思ったんですが・・・どうでしょ？

ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６。
（４ｎ＾３＋６ｎ＾２－４ｎ－３＋３（－１）＾ｎ）／４８。

そんなあっさりと・・・。
簡単に説明きぼんぬ。

新作問題

ジョーカーを除いたトランプ 52 枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、残りのカードをよく切ってから 51 枚抜き出したところ、
スペード、ハート、クラブが 13 枚、ダイヤが 12 枚であった。

このとき、箱の中のカードがダイヤであった確率はいくらか。

問題訂正

ジョーカーを除いたトランプ 52 枚の中から１枚のカードを抜き出し、
表を見ないで箱の中にしまった。
そして、別の人が残りのカードをよく切ってから 51 枚抜き出したところ、
スペード、ハート、クラブが 13 枚、ダイヤが 12 枚であった。

箱の中にしまった人はこの事を知らないとする。このとき、箱にカードをしまった人にとって、
箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか。

三角形ABCがある。　∠B＝60°であり、∠Bに向かい合う辺ACの長さbは整数である。
また、他の辺の長さa,cは素数である。
このとき、△ABCは正三角形であることを証明せよ。

余弦定理から b^2 = a^2 + c^2 - ac．変形して (b-c)(b+c) = a(a-c)．
この式からa=c⇔b=cとわかるのでa≠c∧b≠cと仮定して矛盾を導く．
k = (b+c)/a = (a-c)/(b-c)≠0 とおいてbについて解くと (b =) ka - c = (a-c-kc)/k．
したがってc = (1-k^2)aを得るが，a,cは素数だから1-k^2 = 1．よってk=0となり矛盾．

1辺が1の正方形の中に，相異なる3点A,B,Cを配置するとき、
⊿ABCは決して鈍角三角形にはならない事を示せ。

>>188
ダウト

訂正

1辺が1の正方形の中に，相異なる３点A、B、Cを配置する。
⊿ABCにおて、３辺の長さがすべて１以上のとき、
決して鈍角三角形にはならない事を示せ。

しょうもない計算ミスがあったので全面的に書き直す.

(b-c)(b+c) = a(a-c)であるが，aが素数なので b+c=ka（kは1以上の整数）(b-c=kaとするとはじめの等式は成り立たない).
ゆえに b= ka-c = c + (a-c)/k．したがって(k^2-1)a = (2k-1)c．
c≦aとしても一般性を失わないが，その場合k=2のみが適する．つまりa=c．

誰かわかりませんか？

鈍角をはさむ2辺の長さが1以上の時、他の一辺の長さは√2より大となるから矛盾。

>>193
Blow Job！

>>191
Good job!

あげてみよ

f(x)をxに関する実係数の多項式であるとする。
f(x)=0を満たすxのうち、絶対値が最大であるものの絶対値をa(1)とおく。
同様にf'(x)=0を満たすxのうち、絶対値が最大であるものの絶対値をa(2)とおく。
以下、f''(x),f'''(x)の零点に対して、どうように数列a(n)を定義するとき、
a(n)は単調非増加数列であることを証明せよ。

>>197
　
＞f(x)=0を満たすxのうち、絶対値が最大であるものの絶対値をa(1)とおく。
＞同様にf'(x)=0を満たすxのうち、絶対値が最大であるものの絶対値をa(2)とおく。
　
この｢f(x)=0を満たすxのうち、｣というのは複素数解もふくめての全部のなかでの最大？

実数の範囲に限定すると反例あるね。

正直、ｽﾏｿ

>>197
n次式をn回微分するとき、

f(x)=1+2*x+3*x^2+・・・+(n+1)*x^n

とすると、f(k)(0) = (k+1)! (f(k)(0) は、f(x)の k 次導関数に 0 を代入したもの)
だから、n回微分までは単調増加数列になる。

n+1回以上微分すると 0 となるので、どちらにしても単調数列にはならない。

Lucas's theoremを流用すれば示せそうだが．
そうすると実係数多項式に限らず成り立つね．

Lucas's theoremってどんなん？

Lucas's Theorem:
If all zeros of a polynomial P(z) lie in a half plane,
then all zeros of the derivative P'(z) lie in the same plane.
[Ahlfors, p.29]

ここに証明を書くのはちとめんどい．
この系として，P(z)の零点を含む最小の凸多角形の中にP'(z)の零点は含まれる．
ということとかが言える．

>>204
すばらしい!!それで終了だ。その証明なににのってるの？証明むずい？

高木貞治　代数学講義
P72あたり

Ｐの零点の実部が全て０以下のとき
Ｐの零点をａとしｚの実部が正のときとすると
ｚ－ａの実部は正で１／（ｚ－ａ）の実部も正。
（ｄＰ／ｄｚ）（ｚ）／Ｐ（ｚ）＝Σ（ｋ／（ｚ－ａ））の実部も正になるので
（ｄＰ／ｄｚ）（ｚ）は０にならないのでｄＰ／ｄｚの零点の実部は０以下。
一般の場合はｗ＝ｂｚ＋ｃによって移せばいい。

>>205
Ahlfors, Complex Analysis 3rd.ed., p.29にある．
証明は難しくない．長くも無い．初等的．
>>206
そこにもあるのか．今度見てみようかな．

>>206に載ってるのは>>204の系の方
別のページを探せば載ってるかも知れないけど、
まだ見てない。

>>207
すばらしい。もう完全解決。

なんで０÷１はいいのに１÷０はだめなの？

>>211
0で割ることは出来ない。
理由はワカランが、恐らく答えを出すと無限となる

>>211
０÷１＝□
とすると、割り算は掛け算の反対だから、
０＝□×１
となって、□＝０　と答えが出る。

１÷０＝□
とすると、
１＝□×０
だけど、□にどんな数を入れてもイコールが成り立たない。
だから、１÷０は計算できない。

http://page6.auctions.yahoo.co.jp/jp/auction/f28494711

自然数nと三次元空間上の点(a,b,c)に対し、na,nb,ncがいずれも整数となる時、
点(a,b,c)をn格子点と呼ぶ事にする。

頂点がいずれも1格子点であるような3次元空間上の凸多面体Aがある時、
自然数nに対してAに含まれるn格子点の数をf(n)とする。

この時ある整数係数多項式g(n)が存在し、
全ての自然数に対してf(n)=g(n)となる事を証明せよ。

ひびせんせかなんかの本で見たことあるな。

素数と関係する？

ごめんなさい。>>215の三段落目を修正。

この時ある整数係数多項式g(n)が存在し、
↓
この時ある多項式g(n)が存在し、

1クラス40人の学級に、同じ誕生日の人がいる確率はどのくらいでしょうか？
閏年は考慮しなくてもいいです。

↑そのスレにあった問題なのだが↓どう？

>毎日が誰かの誕生日という状態にするには最低366人が必要だが
>無作為に集めた集団が毎日が誕生日になるために必要な人数の期待値は？

計算面倒なだけな気が……

３６５×（１／１＋１／２＋．．．＋１／３６５）。

>>220
一般にnΣ[k=1 to n](1/k)だ。

違う誕生日がk人すでにそろっている状態で、全部の誕生日が揃うまでに必要な人数の期待値をE(k)とすると、n=365として、

E(k)=(k/n)(1+E(k))+(1-k/n)(1+E(k+1))
より、
E(k)=E(k+1)+(n/(n-k))

これとE(n)=0から、E(0)=nΣ[k=1 to n](1/k)が求まる。

てことはEをオイラーの定数とすると
nΣ[k=1 to n](1/k) は n(E+Γ'(ｎ)/Γ(ｎ)） さらに n(E+(Ψ(n+1)) なので
面倒な計算は省略するが
だいたい２３６５人くらいになるってことだな。

n(E+Γ'(ｎ)/Γ(ｎ)） は n(E+Γ'(ｎ+1)/Γ(ｎ+1)） のまちがいだ
忘れてくれ

20％くらいだろ

くらいだな

信じられないくらい長い文章題教えて

a,b,cにより構成される以下のような列を文章という。
abcacabc……

文章は以下の条件を満たす。
babcabc　などのように、同じ部分を繰り返さない。
　　　　(abcの繰り返し)
abcbabc　のように途中に別のアルファベットを挟む場合は文章として良い。


この条件を満たす文章のうち、最大の長さを持つ文章を求めよ。


信じられないぐらい長くなるよｗ

漏れは文章とは認めない

>>228
北朝鮮の文章題は賛辞がやたら多いから長くなるな。

>>229
56くらい？

ttp://plaza.harmonix.ne.jp/~k-miwa/magic/something/brother.html
このページの「問題１」なんだけど、どう考えても1/2だよなぁ。

>>233
そのページを見て思ったこと。
出題者馬鹿だ。

>>233
夜聞こえてきた女の子の声は、その日たまたま遊びに来ていた従姉妹の娘だったのです。

>>171の解

x,yの2進表示を、それぞれ、
x=0.abc…
y=0.αβγ…
とする。ただし、有限で終わる場合は残りをすべて0と考える。
（例えば1/2は、0.1000…。0.0111…の表現は使わない。）
このとき、T(x,y)=(X,Y)とすると、
X=0.bc…
Y=0.aαβγ…
となる。したがって、点(x,y)を、その2進表示をxについては原点から右方向に、yについては原点（正確には-1の位置）から左方向に並べた両側無限点列
(…γβαabc…)
と同一視すると、Tはこの両側無限点列空間における左側へのシフトとみなせる。
したがって、n回シフトして同じ点列になる点列は、n個が循環している点列であり、その個数は2^n-1個となる。（2^n個のうち、1がn個続くもののみ除外）

>>233
女の子の声が聞こえる場合は以下の４つ
１．姉、妹の組み合わせで姉の声が聞こえた。
２．姉、妹の組み合わせで妹の声が聞こえた。
３．姉、弟の組み合わせで姉の声が聞こえた。
４．兄、妹の組み合わせで妹の声が聞こえた。

>>233
「古典と言ってよい問題ですが、確率の基本的な考え方を理解するのにはよい問題です」
って、5年以上も訂正されてないのが恥ずかしいよ。
これが日本の数学教育のレベルなんだろうなぁ。

>>238
丁半ばくちの話をヒントに出してたけど、そのページの管理人に次のような質問をしたらなんて返ってくるかな。
『サイコロを二回振りました。
　一回目に偶数が出たことは分かっています。
　では、二回目に偶数が出る確率はいくつでしょうか？』


管理人理論が正しければ、1/2にはならないｗ

おっと、管理人理論によれば一回目と二回目は区別されるんだよな・・・
っていうことは、あれか？

『サイコロを二回振りました。
　一回目に偶数が出たことは分かっています。
　では、二回目に偶数が出る確率はいくつでしょうか？』

だと1/2になって

『サイコロを二個振りました。
　一つは偶数が出ました
　もう一つが偶数である確率は何でしょう』

だと、確率が変わる訳か。　もうアフォとしか……

本当は答えわかってるようにも思えるけど。

>>241
「丁半ばくち」のヒントをわざわざ述べていることから、
本気で2/3だと主張していると思うべきだろう。

http://plaza.harmonix.ne.jp/~k-miwa/magic/something/brother4.html
＞実際のところ、本当の正解は１／２という説もあります。どちらが正解なのでしょう（笑）。

という記述があるところから、正解を知っている可能性も否定できない。

>>243
実際のところ、本当はどうなのでしょう（笑）。考えてください。
なお、この正解を私に求められましても、答えないことにしています。

1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+1/(2^4)+....∞=??

1/a+1/(a^2)+1/(a^3)+1/(a^4)+....∞=??のときは？？

>>245
ただの無限等比級数じゃないのか……？

x-y平面上の有理点をいくつかの色で塗り分ける。
距離が1だけ離れた二点を同じ色で塗るとき、最大で何色色が必要か答えよ。


1色だと、条件を満たすようにぬれるけど、それより多くね♪

三角形の内部に点Pを取る。
点Pから三角形の各頂点への距離の和をS
点Pから三角形の各辺への距離の和をTとするとき
S≧2Tを示し、等号成立条件を求めよ。


同様に、四面体において内部に点Pを取り
点Pから四面体の各頂点への距離の和をS
点Pから四面体の各辺への距離の和をTとするとき、
S≧T√8を示し、等号成立条件を求めよ。

>>247
一色以外の解あるの？
とりあえず単位円上は全部原点と同じ色ぬらなきゃいけないし。まあ白だとして
すると単位円上の同点を中心とする円の軌跡は全部白。つまり半径２の円の周と内側全部白。
この作業繰り返したら真っ白じゃないの？

>>249
有理点だからそう簡単じゃないんじゃない？
簡単にいくのかもしれんが。

>>248
＞各辺への距離の和をTとするとき
　
これ鈍角三角形のときは辺を延長した直線との距離で桶？

>>250
ああ、有理点か。なるほど。

>>251
それでOK。

>>247
これもしかして(a,b)と(c,d)の距離が１
⇒a-cとb-dの分母の素因子≡1 (mod 4)な希ガス。
そうならG={q∈Q | qの分母の素因子≡1 (mod4)}とおくときQ/Gが無限群だから
いくらでもたくさんとれたりする希ガス。

>>240
下だと、「ひとつは偶数が出てるよ」ということだけ知らされた、ようにもとれるぞ。それだと2/3。

>>255
ごめん、1/3。

>>247
そうだ。やっぱり
a,b,c∈Z＼{0}、a^2+b^2=c^2、(a,b,c)=1⇒cの任意の素因子≡1 (mod 4)
もし2|cだと(a,b,c)=1からa,bは奇数でa^2+b^2≡2 (mod4)は平方数になりえない。
p|cだと(a/b)^2≡-1 (mod p)であるがこのときZ/pZの乗法群が位数４の
元をもつので4|p-1。つまりp≡1 (mod4)でなければならない。
これから原点中心の単位円上の有理点(a,b)の分母の素因子≡1 (mod 4)がいえる。
よって有理点P,Qの同値関係P～QをP～Q⇔P=∃P0･･･∃Pn=Q s.t PiとP(i+1)間の距離が1
でさだめると(a,b)～(c,d)⇒a-c、b-dの分母の素因子≡1 (mod 4)になるがとくに
(0,0),(1/3,0),(1/9,0),(1/27,0)･･･は全部ちがう類に入る。
よって結局無限に多くの色をつかうことができる。
あってる？

OK

>243
いや、単純に本人も訳わからんようになっているだけと思われ。

「子供が2人いる」
男男1/4、男女1/2、女女1/4
↓
「少なくともどっちかは女の子だったはずだけど…」
男女2/3、女女1/3
↓
「女の子の声がしたよ」
男女1/2、女女1/2

3番目は男の子の声が聞こえる可能性もある状況において、女の子の声が聞こえている（すなわち任意に一人取り出したら女だった、という状況である）わけだから、2番目より得ている情報は多いんだよね。

>>248の後半が･･･前半は数オリの問題かなんかでみた記憶があるんだけど。
この手の問題ってたいがい正多面体の重心とか垂心のときとかが答えになりそうな
もんだけど後半は正四面体の重心のときが等号じゃないみたい。すげー厄介な悪寒。

>>248
答えおながいします。

n番目の素数をP(n)とするとき
P(n+1)<=P(n)+n が成り立つ　

>>248
答えおながいします。

>>248
答えおながいします。

>>263
これも難しいな。素数定理で反例が有限個しかないのはすぐでるけど
その可能性の最大値が天文学的数字になって計算機でも手も足もでない･･･
これあっても有限個しかないことをしめせじゃなくてホントに全然ないこと示せなの？

>>248
前半は分かった。三角形ABCの内部に点Pをとる。PからBCにおろした垂線の足をD、
CAにおろした垂線の足をE、ABにおろした垂線の足をFとする。
明らかに、四角形AFPEは円に内接し、外接円の直径はAPである。従って正弦定理より
FE/sin(∠FPE)=APが成立し、∠FPE=π-∠Aであるため、FE=APsinA　　∠は省略が成り立つ。
今、点F,Eから直線BCに垂線をおろし、その足をF',E'とすればEF≧E'F'が成立する。従って
APsinA≧E'F'が成り立つ。また、E'F'=E'D+DF'が成立し、E'D=PEsinB　DF'=PFsinCが成り立つ。
このことから、AP≧(sinB/sinA)PE+(sinC/sinA)PFが成立する。

同様にして、PB,PCについても同等の不等式を得れば、
AP+BP+CP
≧((sinC/sinB)+(sinB/sinC))PD + ((sinB/sinA)+(sinA/sinB))PE + ((sinC/sinA)+(sinA/sinC))PF
≧2(PD+PE+PF)

等号成立条件は∠A=∠B=∠Cかつ、EF=E'F'等なので、△ABCが正三角形でかつ
点Pが重心に位置するとき。

m^2=Σ[k=1,n] k^2
を満たす、自然数m,nを全て求めよ。

>>268
手でやろうとしたらほとんど無理

>>248
答えおながいします。

>>268
右辺=n(n+1)(2n+1)/6 で n,n+1,2n+1 はどの２つも互いに素なので、
約分したあとそれぞれ a,b,c になったとすると、それらは全てが平方数に
なっていなければならない。

なるほど。そこからは？

>>270
未解決とぐぐったらでましたが？

>>273
>>248が？

>>248は数オリの問題だな

前半は解決しただろ。>>267参照。

後半は未解決だ。

>>275
>>248の後半も答えもってんの？

>>277
ちょ、ちょっと待ってね。過去問収集が趣味で、探すのが大変ほど溜まってる。
似た問題だけかもしれないけど探してみる。
俺の記憶は後半のほうがすごい見覚えあるんだよなぁ

>>277
『数学セミナー』2001年5月号 pp.91-94
>>275
ⅰだろ？

>>276
後半だ

>>279
そのころの数セミもってねぇぇえｌ！！！

>>281
コピペしてググれ

>>279
それ答えももってたらうｐしてちょ

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hutou1.htm
４面体では
　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧√８（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）
　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3Ｒ4≧８１ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4
であることが示されています．
====

未解決ではないらしい。
解決方法は書いてないな。

http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node7.html#tex2html6
>>284
すまんここみてた。予想とあったから。

>>283
前半は書いてあるが後半解説なし

Kazarinoffこれって何て読むの？

まぁ、俺が張ったアドレスの方が間違いって言う可能性もあるんだし、
とりあえず、証明出てくるまでは、2ch的未解決っていうことで。

>>286
前半は>>267であってたの？

>>289
解答は長くなるから書かないけど三角関数使って大体そんな感じ

>>287
かざりのふ？

前半の証明では、途中四角形が円に内接する事を使ってるよな。
そのままじゃ、四面体に応用できないか……

mathnori上位者がここ見てたら挑戦してくれ！！

>>292=エコブラックだけど、無理

>>286
後半は参考書の提示もないの？
一切解説無し？　問題文だけ？

解説ないよ｡ごめんな｡紹介だけ
エコブラックなら数日のうちに解決しそうだ｡頼んだ｡

>>248が気持ちわるいのは直感的には答えは>>267と同様等号成立は
正四面体の重心のときっぽいんだけど実際その場合やってみると
等号成立しないよね？だからな～んか気持ちわるい。√8じゃなくって3なら
わかるんだけど。3だと反例あるんかな？

エコブラックって何？

>>296
誰の出題かだけでも教えてくれ。　それでなにがしかのヒントになるかも知れない。

リンク先のページに文献とあるが

すまそ、とりあえず、Kazarinoff, tetrahedronでぐぐってみた。
色々文献が出ているので、調べてみる。

あ～だめだ解答見つからん。
Ｓ≧Ｔ√8ってすげぇ見覚えあるんだけどな。
難問だね。

このﾍﾀﾚ！ ＿＿＿　ｵﾗｯ!　　　　　　
　　　 ﾄﾞｯｶﾝ |　　 |　でてこい、エコブラック！
　 　 ∩∩　 |　 　|　　 | 　∩∩　　　　
　　　| | | |　 |　　 |　　 | 　| | | |　　 　
　　..(　　,,)　.|　 　|　　 |　(・ｘ・ ）　　
　　/　　.つ━━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l 　 |Ｕ　
～（ 　 /　　 | 　 ｜ 　 |⊂＿　|～
　　し'∪　　 |　　 |　　 |　　　∪　

わかんね、つってんだろ。

>>248教えれあげ。ついでにエコブラックって何？

エコアザラクの息子だよ

マジレスするとエコピンク

じゃおれエコイエロー

リーダーはグリーンだ

２ちゃんねるに環境板があったのか

これ難しいね

エコレッド：自己中心。
エコブルー：冷静沈着。
エコイエロ：デブヲタ。
エコグリン：頭数合わすためのオマケ。
エコピンク：公衆b…

エコブラックの立場が･･･いれてやれよ

ちげー

エコグリーン：環境戦隊エコレンジャーのリーダー
エコレッド　：男気あふれる熱血漢
エコブルー：クールな二枚目戦士
エコイエローとエコピンクは途中参加の戦士達だ。

エコブラク：Noriを小馬鹿にする天狗。

別掲示板で(ﾟ∀ﾟ)キターと叫んでいる人がいますよ

どこでつか？

実況板にいけばいくらでもいるがそういうこと?>316

>>318
つまらん８点

進展あったなら誰か書き込んでくれ

2つの三角形があり、3つの角が等しく（つまり相似）、
3辺のうち2つの長さが等しいという。
これら2つの三角形は合同と言えるか。

ちょっと意味不明だったので書き直し。

2つの相似な三角形があり、
3辺の長さをそれぞれ (a,b,c)、(d,e,f) とすると
a=d、b=eが成立している。
これら2つの三角形は合同と言えるか。

r=3/2として
(1,r,r^2)、(r,r^2,r^3)は相似かつ２辺が等しいけど合同じゃない。

お見事。

感動した！

腹減った！

>325
うんちでも食ってろ！

Re:>325 まだ飯食ってないのか？何やってんだよ。

>>327
うんち食ってろ

Re:>328 お前は普段何している？

すごい勢いで蒸発する飲用液体があります。
それを２つのコップにわけます。
ひとつは100ml　もうひとつは400mlだとします。
それぞれのコップから毎秒5ml蒸発します。
８人の人がどちらかにストローをつっこんで一斉に飲みはじめます。
それぞれは毎秒5mlで飲みます。
片方がなくなったら間髪いれずもう片方に移って飲みます。
飲み始めるまでの蒸発やストローの長さや
コップを移るロスなどは考えないとします。

その場合どういう人数配分でスタートするのが
もっとも８人合計で多くの液体を飲めますか？

また数値を変えた場合についてもわかるように
できれば法則化してください。

Re:>330
100mlのコップにx人ついて、残りに8-x人つくとしよう。
他方に移らない場合は、20/(x+1)秒間で、100mlのコップがからになり、
80/(9-x)秒間で、400mlのコップがからになる。
20/(x+1)>80/(9-x)(⇔x<1)のとき、
80/(9-x)秒間でちょうど400mlのコップが空になり、他方のコップには(100-100/(x+1))mlの液体が残っている。
だから合計(400/(9-x)+800/9*x/(x+1))ml飲める。
20/(x+1)≤80/(9-x)(⇔x≥1)のとき、
20/(x+1)秒間で、100mlのコップが空になり、他方のコップには(400-400/(9-x))mlの液体が残っている。
だから合計(100/(x+1)+3200/9*(8-x)/(9-x))ml飲める。
これで、数値が最大になるところを求めればよい。

Re:>330
訂正。
x<1のとき、(3200/(9-x)+8/9*(100-400(x+1)/(9-x)))ml飲めて、
x≥1のとき、(800/(x+1)+8/9*(400-100(9-x)/(x+1)))ml飲める。

さんくす

>>330
蒸発量を最小化すれば良いんだね
だから容量の少ないコップから先に飲み干せばよい
飲み干してしまえばもう蒸発しないからね

ということで
（１）最初の２秒間は１００ｍｌコップから
８人がかりで８０ｍｌ飲む．１０ｍｌ残して７人は
４００ｍｌコップに移動．
（３）３秒目は
残った１人は１００ｍｌコップから更に５ｍｌのむ．
５ｍｌ蒸発するから１００ｍｌコップはこの時点で空になる．
移動した７人は４００ｍｌコップから３５ｍｌ飲む
３秒間の累積蒸発量は１５ｍｌだから４００ｍｌコップの
残存量は４００－１５－３５＝３５０ｍｌとなっている．
（４）４秒目以降は８人掛かりで４００ｍｌコップを飲みほす．
飲める量は３５０＊４０／４５＝約３１１ｍｌ

以上合計すると
８０＋５＋３５＋３１１＝４３１ｍｌ

ありがとう
一つ目を空にしてしまうと蒸発しないけど
その分二つ目を飲みきるのが遅くなるから
結局同じだと思ってました

>>334
自己レスだけど．．．

下の部分は２秒間に限定するのではなくて
８人がかりで１００ｍｌコップを飲み干して
しまう方が本当は飲める量を最大化できる
興味があったら計算してみて

> （１）最初の２秒間は１００ｍｌコップから
> ８人がかりで８０ｍｌ飲む．１０ｍｌ残して７人は
> ４００ｍｌコップに移動．

hai

次の条件を満たすように、平面上に有限個の有界な凸集合を並べよ。
1) どの３つの凸集合も共通の内点を持つ。
2) ある二つの凸集合が存在し、それらは共通の内点を持たない。

Re:>338 共通内点を持たない二つの有界凸集合を作ればいいのだな。

>>338
自明的に出来る。
A = B = 空集合と置けばよいｂ

>>338
共通内点を持たないような有界凸集合２個を
平面上に配置すればよい

凸集合が３個以上存在する場合は条件１）によって
条件２）の否定が成立するので，題意を満たす配置は不可能

これは
1) どの３つの凸集合も共通の内点を持つ。
という仮定を満たす。
集合が二つだから

>>338
ヘリーの定理

>>343
なんじゃ＞ヘリーの定理？できないってのがヘリーの定理？
証明おながいします。

ヘリーの定理

--------------------------------------------------------------------------------
[定理](Helly) 平面上に、有限個の凸集合があり、これらのうちのどの 3つを選ん
でも、それらに共通な点が含まれるとすると、最初の凸集合すべてに共通な点が存在
する。

証明はごく普通の帰納法でできる。特別な知識は何もいらない。
難しいとすれば、たぶん、凸集合の定義だけ。(まあ、誰でも凸集合がどういうもの
であるかは知っている。ただ、「へこんでない形」というイメージだけにたよると
証明は難しいと思う。)
一応、凸集合の定義を書いておきます。

[定義] 集合Xは、Xの任意の2点を結ぶ線分が必ずXに含まれているとき凸集合と呼ば
れる

応用としては、次のような問題が考えられます。

[応用問題] 平面上に有限個の点 があり、どの3点を選んでも、この3点を半径1 の
円で覆うことができるならば、すべての点を 半径1 の円で覆うことができる。

応用問題の方は、メーリングリストでは話題になっていませんが、これからメーリン
グリストに参加しようと思っている人はちょっと考えてみてはいかが？

>>http://www.hamaint.co.jp/math/math_th_helly.html

>>http://coolee.at.infoseek.co.jp/convex.html#1

>>345
＞証明はごく普通の帰納法でできる。特別な知識は何もいらない。
　
これそんなに簡単なんですか？４つのときいえればあとは帰納法ってのは
わかるけど。４つのときができん。だれか証明してたも。

４つで球面や凸はずした時の反例が浮かんだ。
>>346しこしこ読めば？

>>348
４つのときの証明はできたの？

>>346に証明のってるのか･･･結構難しいじゃん。

うん?帰納法だろ。４考えなくていいじゃん。

３で言える。
ｎで成立としてn+1で成り立つ事を示す。
ここから、これおもしろいね。
結局、n+1個でどの任意の3個じゃなくてどの任意のnもまで自然に行っちゃう
じゃん。

結局
「平面上に、(n+1)個の凸集合があり、これらのうちのどのｎ個を選ん
でも、それらに共通な点が含まれるとすると、(n+1)の凸集合すべて
に共通な点が存在する。」
を示せばいいんだな。

なるほど。で、それを>>346より簡単に証明できます？

>>353を平面である事と凸である事を使って示すのが、証明の残りだが、
ここで反例が存在するとして矛盾を示そう。
(n+1)個の凸集合に番号を付ける。A1,A2,,,,Ai,,,,An+1としよう。
全てのi(1<=i<=n+1,iは自然数)に対して、Ai以外のｎ個の凸には共通な点が必ず
存在するから、この点をaiと言う事にする。Aiはai以外の全ての点aj(1<=j<=n+1,i<>j,jは自然数)
を含んでいる。
ここでBiをR^2からAiを除いた集合とする。つまり、Biは平面から凸を除いた形になる。
しかもBiは点aiしか含まない。

続く。

続きがきになるあげ

あぼーん

続きはどうした

Re:>357 おい、それは私のメアドだぞ。勝手に載せるなよ。

続き
後は以下を示せば良い。
１．点aiで図凸(n+1)多角形を構成できる。
そうでないなら、点aiで凸多角形と内点を得られるが、この内点のうちの一つ
の点だけを含まない様な凸図形が得られない（Ajのどれかでそれはあるはず。）。
２．この凸(n+1)多角形内にすべてのAiに含まれる点が存在する事を示す。
（これが明らかに矛盾になり、反例があるとした仮定は誤りになる。）
凸(n+1)多角形に対角線を２本引こう。その交点はこの対角線を構成する
４点に対応するAiすべてに含まれる。
対角線分をaiaj,akalとしてみると、AkとAlは凸性から、交点を含む。AiとAjも同様。

もう一息です。続く。（２が終了してない。）

あぼーん

Re:>361 お前何やってんだよ？

続き（２の証明）
対角線の話だけではｎ=3つまり凸４角形についてしか２を言えない。
凸５角形については対角線をすべて引いてできる星型の中央にできる凸５角形がこの
凸４角形の交点に相当する。この中央の凸５角形の一つの辺に着目するとこの辺は全ての
Aiに含まれることがわかる。
凸(n+1)角形についてもｎ>=4以上の場合は同様に、その凸(n+1)角形を構成する周上の
連続する勝手な５点を選び、これをai,aj,ak,al,amとした時に（周上にこの順で並んで
いるとする。）対角線aiakとajakの交点をb1,amakとajakの交点をb2とすれば、
線分b1b2が全てのAiに含まれる事が納得できる。
したがって２が示された。

証明了（集合Biは１を示す時に使うと了解しやすいが、なくても証明できる。）

>>363の訂正
対角線の話だけで凸(n+1)角形についても言える事に気がつきました。

凸(n+1)角形を構成する周上の連続する勝手な４点を選び、これをai,aj,ak,al
とした時に（周上にこの順で並んでいるとする。）対角線aiakとajaｌの交点は
全てのAiに含まれる。
したがって２が示された。

定理をとおさなくても、直接問題を解いた方が、（わざわざその定理を証明する
なら）わかりやすかったと思います。
質問された方こんな説明でよかったでしょうか？

と言う訳で>>338を見たのだが、何これ？

どの３つも満たすなら、当然どの２つもみたすよな？意味不明。

まあ、いいか。ヘリ―の定理はおもしろかったから。

>>346よりちっとも簡単になってないような…

平面上に、有限個の凸集合があり、これらのうちのどの 2つを選ん
でも、それらに共通な点が含まれている時、最初の凸集合すべてに共通な点は存在
するか？しない。三角形の各一辺だけを含む凸集合を思い浮かべればよい。

でも３つにした途端、、

正直、もっと簡単に証明したいよ。>>346は読んでないが。

それでは凸の条件をはずすとどうなるか？
連結でない場合は明らかに反例ありだが、
連結な場合はどうだろう？
(ヘリーの定理について。)

/*少し考えたら出来た。*/
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
main(){
FILE *f1;
int c[372]={
137,80,78,71,13,10,26,10,0,0,0,13,73,72,68,82,0,0,0,64,
0,0,0,64,1,3,0,0,0,144,167,227,157,0,0,0,6,80,76,84,
69,0,0,0,255,255,255,165,217,159,221,0,0,1,41,73,68,65,84,120,
156,189,209,63,74,3,65,24,5,240,1,11,11,145,28,97,241,8,214,130,
115,17,11,239,96,161,32,56,118,41,211,6,82,236,25,172,68,155,41,68,
108,148,37,149,69,140,19,8,178,77,200,26,22,156,89,178,59,207,247,205,
138,133,7,112,6,134,31,204,255,247,41,252,52,37,195,117,214,227,211,148,
130,69,28,160,17,228,7,64,39,48,5,16,137,136,130,115,6,170,195,107,
179,132,134,218,98,178,23,96,5,227,77,52,14,202,227,241,11,61,62,74,
163,19,166,133,181,149,224,45,179,214,19,113,31,61,154,27,56,91,115,187,
191,35,182,196,206,125,143,118,118,107,18,194,172,48,86,80,31,185,145,181,
29,119,77,178,67,107,4,167,171,19,35,168,46,55,239,199,61,194,116,140,
132,122,240,144,112,230,29,18,206,203,191,24,121,155,176,214,97,55,97,229,
112,1,180,80,47,14,87,154,127,86,243,42,34,79,240,29,156,76,205,195,
146,104,8,100,4,31,255,204,236,114,240,59,107,194,162,36,12,152,78,193,
43,12,162,145,124,136,22,18,93,165,177,17,170,42,199,144,132,42,139,160,
241,68,248,197,46,90,77,212,60,103,41,213,97,250,188,66,146,215,224,34,
169,197,144,61,33,40,253,91,193,255,198,55,25,93,194,199,47,132,109,70,
0,0,0,0,73,69,78,68,174,66,96,130};long i;
if((f1=fopen("lettersoflibertynoekaki20041012.png","wb"))==NULL){puts("fopen error");exit(1);}
for(i=0;i<372;++i){putc(c[i],f1);}
fclose(f1);
return 0;
}
/* これをコンパイルして実行すると、同一フォルダにPNGファイルができる。 */

実数列f(1),f(2),f(3),…,f((2n－1)!!)がある。この中から、
(広義)単調増加または(広義)単調減少するn項の部分列が選べることを
示して下さい。

>>371
数オリ？鳩ノ巣原理かな

>>372
離散数学の本に、時々載っている有名(?)問題です。本当は(2n-1)!!個も
必要無いのですが、私の趣味で(2n-1)!!に変えました。

ある凸多面体はどの方向への正射影も三角形、または四角形になるという。
この多面体は四面体であることを示せ。

>>371
http://web2.incl.ne.jp/yaoki/zgseq.htm

○|￣|_ =３ ﾌﾞｯ

毎時平均10個の流星が流れる流星群があるとする．
（流星は互いに関係なくランダムに，すなわち定常ポアソン過程として流れる）．
事実：ある流星が流れてから次の流星が流れるまでの平均時間は６分である．

Ａ氏は夕方からこの流星群を観測し，流れた時刻をノートにつけた．
Ｂ氏は夜中０時からＡ氏の隣で同じ流星群を観測した．

Ｑ１．Ｂ氏が始めに観測する流星の時刻の期待値は何時何分か？
Ｑ２．Ａ氏がＢ氏が来る直前に記録した流星の時刻の期待値は何時何分か？
Ｑ３．０時を挟んだ２つの流星の間隔の期待値は何分か？
Ｑ４．Ｑ３の答は上の「事実」の間隔と異なるか？異なるとしたらなぜか？

Q1. 0時6分
Q2. 0時6分前
Q3. 6分
じゃないの？
事象が無相関でも、その間隔がある確率分布に従うなら
<t1+t2>≠<t1>+<t2>なのは不思議じゃないと。

>>378
Q3は12分だろ。

>>378
Ｑ３．１２分。
流星の間隔は平均６分だけど、０時の前後の流星の間隔は倍の平均１２分。
べつに１時でも２時でもいいけど。

で、Ｑ４なわけか。
なぜそうなるの？

ある時刻より前に記録した流星の時刻からその時刻までは流星が流れていない、という条件がつくからね。その分、平均時間が増える、って感覚。
その増えた分がQ2であり、ちょうど2倍になる。

具体的に密度関数を書けば、時間間隔Tの分布f(t)は、
通常：　f(t)=λe^(-λt)
ある時刻をはさむ：　f(t)=(λ^2)te^(-λt)
となる。後者は結局、これから2個目の流星が流れるまでの時間の分布と同じで、ガンマ分布になる。

>>382だけど、λ=10ね。平均時間は1/λ（時間）=6分。

Q3は0時の時点での期待値、という意味なのかな。
すでに流星の流れた時刻のデータがあって、任意にある時刻をえらぶ。
直前の流星からその時刻までの時間の期待値、その時刻から次の流星まで
の期待値、その時刻をはさむ2つの流星の間隔の期待値ならば全部6分だよね。

>>384
あんまり理解できてないようだな。

例えば１年間取り続けて、流星の流れた時刻のデータが、いっぱいたまったとしよう。
で、時刻を固定せずに、間隔だけを見てそのすべての平均をとれば6分。
ある特定の時刻をはさむ時間間隔だけ抽出して、その平均をとれば12分になる。

もちろん、厳密には開始時間と終了時間が有限だから多少誤差がでるけど。

>>385
あー、やっとわかった。>>382は、
物差しがたくさんあって、その長さの分布（密度関数）が
f(t)=λe^(-λt)
時刻をランダムに決めると、長さtの物差しにあたる確率は
t*f(t)に比例するはずで、規格化すれば特定の時刻を含む物差しの
密度関数は、
g(t)=(λ^2)te^(-λt)
ってことか。

>>382 >>386
正解です。

「０時」とか「Ｂが来たとき」とか「電話が鳴ったとき」とか流星と無関係な条件がつくと、
それだけで長い間隔にひいきがあってｔがかかる、ともいえるし、
こういう事象が流星が流れたのと変わらず、Ｑ３が２回分の間隔を求めているともいえる。
というわけで密度関数は２次のアーラン分布 f(t)=(λ^2)te^(-λt) になります。
最初気づいたときは直観に反する気がしてずいぶん悩んだけど。

xについての複素係数多項式、f(x),g(x)を考える。
F(k) = { x | k=f(x) , x∈C }　　G(k) = { x | k=g(x) , x∈C }
と定義し、F(0)=G(0)かつF(1)=G(1)ならばf(x)=g(x)が恒等的に成立することを示せ。

半径 1 の円に内接する、正 $n$ 角形がある。このと
き、

(i) 正 $n$ 角形の面積が最大になるのはどういうときか？
(ii) 正 $n$ 角形の周の長さが最大になるのはどういうときか？

Re:>389 どんな問題だよ？

>>389
半径1の円に内接する正n角形って……
ほとんど自由度がないよね。簡単すぎ、

1)　最大値は存在しない。　nに対する単調増加
2)　n=3の時、最小値

任意の自然数nに対して、(n^2)!/(n!)^nは自然数になることを示して
下さい。

>>392
=Π[k=0 to n-1](C[n(n-k),n])
C[m,n] (m≧n)が自然数であることの証明もいる？

>>393
おお…　正解です。一瞬で見破られてしまいました。

age

>>369
楕円型に３個の集合をとり、（ちょうど三菱を太らせた様に）
最後に平面から円を抜いた型をここに当てはめれば
これでできあがり。

ロジスティック写像について

0 < x_0 < 1
3 < r < 4
のとき、

x_(n+1) = r * x_n * (1-x_n) (n≧0)

としたとき、x_n の一般式あるいは誤差を最小限におさえるような一般項を求めよ。

あぼーん

Re:>398 人のメアドを勝手に載せるな。

収束すれば、{rx+(1-r)}x=0で
x=0,r/(r-1)これ収束条件とかあんの？

線形代数のスレに載せたがレスが無いのでこちらへ

n 次実正方行列 A, B が A^2 = B^2 = (AB)^2 = -E
を満たすなら n は 4 の倍数

419

>>402アホ厨

同感です。
カウント厨は、コテハン名乗れ！
アボーンしやすいから

すごいな、
夕方に上がってたのに
無茶苦茶沈んでたぞ！

2ch はお日様と反対

2ch はお日様と反対

真似するな

1+2+3+4+,,,と
1+1/2+1/3+1/4+,,,はanと1/anが∞に発散する例になるが、
この他には
1+1+1+,,,,しか思い浮かばない。
他に例があればそれを希望。
なければ、できればそれを示してください。
すいません。純粋なただの単なる疑問です。

n*log(n)
n*log(n)*log(log(n))
....

thnx
1+2^0.5+3^0.5+,,,,
1+1/2^0.5+1/3^0.5+,,,,
-1<d<1
1+2^d+3^d+,,,,以外でおながいします。

>>409
単に
log n

亀？115が解けた。
８個の玉をA:3 B:3 C:2に分けて、AとBを比べる。
釣り合わなかったら136の通り。
釣り合ったら、下の二つのうちどちらかである。
(1) A：○○●，B：○○●，C：○○
(2) A：○○○，B：○○○，C：●●
次に、Aから２個、Bから２個とって比べる。
　また釣り合ったらAとBの残ったやつとCの二つを比べる。
　釣り合わなかったら、重かった二つを比べる。
ふう。

>>413
＞次に、Aから２個、Bから２個とって比べる。
ここで、○●/○●でつりあったら、後1回では特定不可能では。
というか、可能性は2C8=28とおりあって、天秤で分離可能なパターンは
3^3=27パターンなんだから元々無理なのでは。

anは収束、Σanが∞に発散をさがせば良い。事はわかった。

>>415>>409
で、あなたに見つけた例は？
つまらんもの書くなよ。

単純に、0<lim[n→∞]an<∞ なら 0<lim[n→∞](1/an)<∞ で
Σan と Σ(1/an) はともに発散するんじゃねーの？

はっさん、にじゅうし


あってる？

Hassanに住し、
発散に重視、
８３２４、

あってんじゃん。

>>417
an=1/nを考えてて似たのをさがしてた。これはもう終わりにしよう。
スレ違いだしな。

169

二つの円に関するポンスレーの閉形定理は二つの楕円でも成立する。

851

http://www.google.com/search?q=%83%7C%83%93%83%58%83%8C%81%5B%82%CC%95%C2%8C%60%92%E8%97%9D&hl=ja&ie=Shift_JIS&lr=
なんだこれは。googleめ間違った事教えるんじゃねぇ

>>425
ロイターとか、婦女子とかで検索すると結構面白い事に

>>426
おもしろいｗ

驚いたー

>>426
「ロイター」「婦女子」「就職しない」「ふたりはプリキュア」

いずれも「もしかして：」が無くなってたよorz

>>429
全部あるよ？

「就職しない」に対して
もしかして: 就職できない
はおもしろ過ぎるな。

漏れはふたな（ｒｙにﾋﾞｸｰﾘ
>>429
googleの検索結果はどうも時（とgoogle側サーバ？）によるみたいだから。

私には当てはまらないわね。
(当然だけど）

この問題、どうやって解くんだ？


問題：
厚さが２ｃｍのカーペットがある
これを直径１ｍの円筒の容器に丸めて入れたい
最大で何ｍ分のカーペットをこの容器に収める事が出来るか？

円筒の深さとカーペットの横の長さは一致しててぴったり収まるものとして、そこは考慮にいれなくていい
問題は、丸めて入れられるカーペットの縦の長さだ

誰か解き方を教えてくれ

あ、俺が馬鹿だったかも
ぴったり正確な値はわからなくても、だいたいこのくらいって予測は簡単に出来るや

かも？

小学校の問題です。
立方体ABCD-EFGHがあってBCの中点をM,CDの中点をNとする。
このときMNGを通る平面で立方体を切断した時の三角形MNGの面積を求めよ。
三平方の定理は使えません。解答が物凄いやり方なので驚きました。

√5って使えんのか？

>>437
一辺１とする。

たぶん求める三角形を底面と見たときの三角錐の高さが1/3ってことを出して、
そこから求める三角形の面積を逆算するんだろう。

でもその1/3の求め方が分からない。
（このレスの1/3は三平方使って計算した）

>>438
答えに√は出てこないよ。

>>437
ありがちな問題だな．
△MNG≡△MNAを見抜けばよい．

>>441
なるほど！　一発だな！　すげー。

俺の予想は全然外れたわけか。

えーと、じゃあ、
「点Cから△MNGに垂線を下ろしたときの交点をPとする。
　CPの長さを求めよ。」
だったら更に奥が深くなるわけかな？

f:R→Rは連続である。また、任意のx,y∈Rに対して
f(x＋y)＝{f(x)＋f(y)}/{1＋f(x)f(y)}が成り立っている。このような
f(x)を全て求めて下さい。

>>443
宿題は自分でやれ！
氏ね！！

>443
tanの加法定理だね。それ。

で、>>434の解き方は？

>>443
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1055809155/80
答はこの後を探せ。

f:R→Rは連続で、任意のx,y∈Rに対してf(x＋y)＝{f(x)＋f(y)}/{1＋f(x)f(y)}
x=y=0をまずとるだす。
f(0)=2f(0)/{1+f(0)^2}だす。
整理して、f(0)=0 or f(0)^2=1だす。
x=x,y=0とるだす。
f(x)={f(x)+f(0)}/{1+f(0)f(x)}だす。
いろいろやってみるだす。

切断した立体のうちＣを含むほうの展開図を考え、正方形から周りの三角形
の面積を引くというのが解答に載ってたものでした。面積を求めるのに
展開図を使うという発想がこの問題以外で通用するのか謎です。

>>446
カーペットが変形しても体積が変わらないとすると
2cm*x=1m*1m*πとなるようなxが上限なのは確か。
だけどカーペットはどんな変形が出来るのか分からんから
答えがxよりどれだけ小さくなるのかワカラン。
何でもありならxという限界まで、いやそれを超えて詰め込めるけど。

>>449
＞切断した立体のうちＣを含むほうの展開図を考え、正方形から

切断した立体の展開図が正方形になるってどうして分かるの？

数学で計算問題とか解いてるときお前等頭の中で０００+０００だから００００００００になるなとか思いながらといてんの？
というか頭の中で言語にしてから問題といてんのか？

計算問題だと有る程度は言葉にしてるんじゃないかな
というか手続きとして覚えている、といった方が適切かも

ちなみにどういう計算問題をいってるのか？
ラマヌジャンのノートに出てくる訳わかんない級数の和を求めるのも
「計算問題」ではあるが

>>451
>>449ではないが
△ＭＮＣの直角二等辺三角形の、ＭＣ＝ＮＣを１とすると
△ＭＣＧと△ＮＣＧは直角をはさむ辺が１、２の直角三角形となる
３つの三角形を展開図になるように組みたてると
都合よく一辺２の正方形におさまる。

　Ｃ　　Ｎ　　Ｃ

　Ｍ

　Ｃ　　　　　Ｇ

ＣＭＣの角が180度になることの証明は
小学生向けだとどうやればいいのかな…
答えを知ってないと正方形になることを思いつかないかもしれない

おっと、証明も何も
>>441が全てを物語ってますね。

そう、展開図が正方形になることは>>441を使わないと分からないよな？
んで>>441を使うのであれば「展開図」なんて回りくどいものを考えなくても一発で答えは出る。
>>449の模範解答は疑問だ。

なるほどな。（441がおもしろい）
展開図がそうそう正方形にきちんとなる訳ではない。
つまり、ある種のひらめきで解ける特殊例なんだな。一般例ではない。

本来は合同を使って正方形ＡＢＣＤ内の問題にできるところを
合同を使わずに何とかしようとして
苦肉の策が（結果的にＡＢＣＤと合同になる）展開図なのかな。

　>>449＞面積を求めるのに
　　　　　＞展開図を使うという発想がこの問題以外で通用するのか謎です。
への答えは
　>>457＞特殊例なんだな。一般例ではない。
ということになるのか。

他に展開図が綺麗な形になって断面積を求めることができるケースってあるかな。

M,Nが中点なのがミソ。少しずらせば、たちどころに、きれいにはならないのがわかる。
このタイプの他の特殊例ね。ないとは言えないや、そこが（出題者も含めた）ひらめき
ではないかと、、、。

正方形ABCDの内部にPA=1, PB=2, PC=3となる点Pが取れるとき、
正方形の一辺の長さを求めよ。

>>460
ｘ＾２＋ｙ＾２＝４　と
ｘ＾２＋（ｙ－ａ）＾２＝１　の第一象限の交点の座標をａを用いて表して、
その座標と（ａ，０）との距離＝３　の方程式を解けば終了？

辺が１、２の直角三角形の対角線の長さに違いは無いということで、
点Ｇを点Ａに移せれば氷解なんだな。空間把握能力でも試す問題か？

面白い問題教えてくれ

>>460
√(5+2√2)

Σ[n=1,∞]n^2/2^n を求めよ。

>>465
標準的すぎてつまらん

>>413
>>115のヒントをみると…ずるい。

同じ重さの軽い玉A個と
同じ重さの重い玉B個
合計（A＋B）個があるとき

ABの数字は与えられてるとき
天秤をつかってすべての玉について重い玉か軽い玉かを判別するための
最小回数N（A、B）を求めよ
という一般形になるかな。

N（１，１）＝１
N（１，２）＝１
N（１、３）＝２
N（２，２）＝２
N（１，４）＝２
N（２，３）＝３

N（２，６）＝４　４回で出来る方法はわかるが３回でできないことは証明してない

一般のN（A、B）を数字ABをつかった式で表わせるだろうか

3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがある。
f(x)が極小値と極大値を持つとき、極小となる点と、極大となる点を結ぶ
直線の方程式を求めよ。
工房にはできないﾔｼ多いだろうな。

hage

>>468
f(x)をf’(x)で割った余り

(ﾟдﾟ)ﾌｧｲ?

余りに決まってるだろうが

l：y={(f(a)-f(b))/(a-b)}(x-a)+f(a)

f'(a)=f'(b)=0
f(x)=f'(x)(px+q)+rx+s
f(a)-f(b)=r(a-b)⇔r=(f(a)-f(b))/(a-b)
f(a)=ar+s⇔s=f(a)-ar

記号ばかり使うんじゃなくて、ケイタイでも簡単に出題・解答出来る問題ってありますか？
1から2000の総和を求めよ、とかそのぐらいの易しいレベルの

自分でケータイ専用のスレ立てろ

>>474
携帯サイトで探せよ

>>474
>1から2000の総和を求めよ、とかそのぐらいの易しいレベルの

(　´,_ゝ｀) プッ
そんな単純計算が面白いの？
おまえはココ立ち入り禁止な！
一人でシコシコやってろ！ ﾌﾟｹﾗ。

次の命題の真偽を判定し、それを証明せよ

「年末ジャンボ宝くじで5000万円以上当たる確率は、
連番で買ったときよりもバラで買ったときの方が高い。」

なお、当選本数はリンクの通りとする。
ttp://www.takarakuji.mizuhobank.co.jp/topics1.html

>>478
報酬があるならやってやるよ

>>478
年末ジャンボ33枚、約1万円分くれたら解いてやってもいい。

>>478
１等、前後賞、２等が当る確率？

それぞれは5000万未満でも
合計金額が5000万以上になる確率？

買った値段を差し引いて
利益が5000万以上になる確率？

>>481
2番目のでしょう。

x_0～x_nについて次の操作を考える。
(1) x_a=x_b=N となるa,bがあったら x_a=N-1、x_b=N+1 と変化させる。
(2) ( a≠b → x_b=M and x_a=N<M ) となるaがあったら
　　x_a=N+1と変化させ、a≠bとなるbに対しては x_b=M-1 と変化させる。

最初x_0=x_1=…=x_n=0となっている状態から(1),(2)の操作を何回か行なう時、
max|x_i-x_j|の取りえる最大値を求めんさい。

>>483
(2)の操作がよくわからない。
bが特定の元を指すのか、全てなのか。

他の全てを指すと思ってたけど、今元ネタ読み直したら勘違いだった。
えぇとbは特定の元を指します。ちなみに元ネタは↓

In a game of patience, played on a finite set of counters on Z,
there are two legal moves:
(1)if there are two counters on the same integer k,
we may move one to k-1 and the other to k+1.
(2)if there is a counter on k and anothere on m>k
then we may move them to k+1 and m-1.
Starting with n counters, all on 0, what is the maximal distance between
two counters that can be achieved by a sequence of legal moves?

いくつかの整数を並べ、それに対し次のルールを考える。

(1) 2個の同じ数があったら、片方を+1、他方を-1してよい。
(2) 2個の異なる数があったら、小さい方を+1、大きい方を-1してよい。

n個の0から始め、このルールで操作を行なっていったとき、
この列中の2数の差は最大でいくつになりうるか？

えっと、今トライ中だけど
(2) ( a≠b → x_b=M and x_a=N<M ) となるaがあったら
　　x_a=N+1と変化させ、a≠bとなるbに対しては x_b=M-1 と変化させる。
は
(2) x_b=M かつ x_a=N<M となるようなaおよびaとは別の（←当たり前）bがあったら
　　x_a=N+1、x_b=M-1 と変化させる。
でいいんだよね？
誰かa game of patience, counters（計数器？）の訳し方教えれ

で、なんとなく[log 2]の気がするけど、証明が難しいな
それとも、実はそれより大きくて吃驚！ということなのかな？
数学は予想を間違うと、絶対証明できないから怖いな

あーごめん考えてたら十分も遅れて被っちまった
今はこの問題を考え中だけど、別の問題だしとくわ
ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1103204972/31
（Fermat点のやつ）見てて思いついた奴。たぶん有名問題かもだった気もするが

三角形ABCの外部に正三角形BCD、CAE、ABFをつくる。このとき
AD、BE、CFは一点において交わることを示せ

counters=カウント厨

>>485の訳は>>486でいいのかな？
だとしたら、2*[n/2] になりそう。

[補題]
全て0からスタートした列は、全体の和を取ると常に0である。
逆に、和が0になるいかなる列も、ルールに従って操作を施す
ことにより全部0に戻すことができる。

[証明]
前半は2つのルールが和を変えないので明らか。
後半については、列の中の0でない要素を集めると、
最大元は必ず正、最小元は必ず負である。
それら2つに(2)を何回か施せば、少なくとも一方を0にできる。
その0を除外し、残った元に同じことを繰り返すと、0は
着実に増えていき、総和が0なので最後は全部0になる。

さて、nが偶数である場合を考え、n=2m とおく。このとき、
列を -m,m,0,0,‥‥,0,0 とすることができる。(*)

[証明]
m=1 のときは明らか。m=kのときに(*)が正しいと仮定する。
m=k+1 のとき。2k+2個の0からスタートして、最初から
2個の0を無視すれば、仮定により -k,k,0,0,‥‥,0,0 (0がk個)
という状態に持っていける。後ろのk個の0にさらに仮定を適用
すれば、-k,k,-k,k,0,0,‥‥,0 とできる。この(-k,-k)と
(k,k)に(1)を施して、(-k-1,-k+1),(k+1,k-1)、これと
補題より -k-1,k+1,0,0,‥‥,0 とできる。
つまり m=k+1 のときも(*)が成り立つ。

∴nが偶数の時は、差の最大は少なくともnにはなる。
nが奇数の時は、最初から0を1つ無視すれば偶数の場合に
帰着でき、少なくとも(n-1)/2にはなることがわかる。

‥んで、どうやらこれより大きくはなれないみたいなんだけど、
なんかうまくいかない。n=2mとして、正の最大をm+1にする
ためには、その直前のステップでmが2個存在する必要があって、
長さ2mの列で2個のmを生成するのが不可能であることを
言えばいいんだけど。誰かに任せた。

↑の結論を出すには、
　AP ≧ {sin(C)/sin(A)}PE + {sin(B)/sin(A)}PF
が必要では．．．．。　

不等式スレッド
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/814

この問題にsin関係あるか？

【問題】
1円、5円、10円、50円、100円、500円、1000円、5000円、10000円の各通貨を使い
買い物をする。（2000円札は入れない）
自分の所持金額に対し、常に最小枚数の状態であることが要請されているとして、
請求金額に対する払い方が一意になることを証明せよ。

http://www1.kiy.jp/~yoka/integ-ranking/top.cgi

定積分を楽しく学べるサイト！！きみはどこまで上り詰められるかな？

マルチ！

11円持ってるときに６円のものを買う場合
10円玉だけでなく、１円玉も出す払い方でないといけないわけだね

>>497
いえす。
ちなみに、お店側が払うお釣りも最小枚数状態というルール、
自分の財布の中身は最小枚数状態を維持し続けなければならない…って、これは言ったか。
あと、余計な払い方（３００円の請求に対して２４００円払うとか）、こういうのもなし、ということで。

>>498自己レス。
> あと、余計な払い方（３００円の請求に対して２４００円払うとか）、こういうのもなし、ということで。

わかりづらいな。
支払金種とお釣りの金種に重複があってはならない、と言いかえたほうがいいのだろうか。
まあ、「一意」ということなので、これを認めるとなんでもありになってしまう、と。

要するに任意の金額Xに対して合計してX円になるような貨幣の組み合わせのうち
貨幣の枚数が最小値をとる組み合わせは一通りに限る。ということですね。

1円玉と8円玉と15円玉があるとすると、

16 = 1 + 15 = 8 + 8

とかなって不味いわけだ。

なんか付帯条件がやたらとうざったいようなｗ

まあ貨幣・硬貨が 2a_n<a_{n+1} を満たしているから明らか、ではだめなの？

一列に並んだ、Ｎ個の異なるデータがある。
これを、1つのスタックを用いて並べ替えることを考える。

・入力は、先頭から順にスタックに積んでいく。
・取り出しは、任意のタイミングで任意個行なうことができる。
・取り出された順にデータを並べて出力とする。
・どのデータも、一度だけスタックに積まれる。
・最終的に、スタックは空にする。

このとき、出力の並び方は何通りか。

スタックを知らない人は↓
http://www2.cc.niigata-u.ac.jp/~takeuchi/tbasic/BackGround/Stack.html

俺も考察中なので答えはわかりません。

（２ｎ）！／ｎ！（ｎ＋１）！。

>>500
＞要するに任意の金額Xに対して合計してX円になるような貨幣の組み合わせの
＞うち貨幣の枚数が最小値をとる組み合わせは一通りに限る。
これは出題の意図と一致してるんだろうか。
例えば、お店には50円玉がないかもしれない。でも手元に10円と100円が
あるなら、題意を満たしつつ60円払う「払い方」は10円+100円の一通りだよ、
という問題だと思ってた。

>>500
解答を大雑把にいうと
１円玉より大きい金額の貨幣や硬貨の金額はそれより小さい金額の
貨幣や硬貨全て1種類だけで構成することができる。
（2000円では5000円は構成できない。そのため問題から除かれたのだろう。）

そのため、任意の金額X以下の金額の貨幣・硬貨でXを割り、その余りを
次に大きな金額の貨幣・硬貨で割り、余りが0になるまで繰り返したとき
その商の和は最小になる。
（もし、ならないとすると、
ある金額の貨幣・硬貨Yの個数１つ＜Yより小さい金額で同じ金額構成したときの個数
　に矛盾する。）

この計算は1通りの答しかないため、
貨幣の枚数が最小値をとる組み合わせは一通りに限る。

訂正
>>506→>>494　ですた。

訂正の訂正
｢>>506→>>494　ですた。｣
の506→500ですた。

直径ｎの円の中に直径１の円は重ならずに何個いれられるか。

これ一般に数列化できるのかね・・

なんだよ数列化って

>510
ｃｏｍｐｕｔｅｒで計算できるような関数になるかな～とか思って・・
別に一般的な言葉使いではないです。

computerで計算できる自然数から自然数への函数のことは
recursive function（帰納的函数）といいます。
一般的な言葉遣いです。

>>502さんへ
　N個のデータの1つ1つを１緒にするか否か（連結の仕方）で
データの並び方は区別できます。
（異なった連結の仕方でデータの並び方が異なることは自明）
N個のデータの連結部分はN-1考えられ、１緒にするか否かなので

　　　　　　２^(N-1)通り
が答です。
>>504さんの解答は残念ながら間違いです。
例えばN=3では４通りですが504さんの解答では
５になってしまいます。

１２３。
１３２。
２１３。
２３１。
３２１。

>>513
>>514嫁。てめーが間違ってんだよ！脳味噌、膿んでんじゃねーのか？
偉大な「mathnori」トップクラス常連者の○○様が、お間違えになるはずねーだろが！
死ね！ボケ！二度とレスつけんな！ｗ

アホ

>>500 >>501 >>506
すみませんが不正解です。
問題の趣旨をご理解いただいてないようで残念です。

>>494 の趣旨は
「貨幣の枚数が最小値をとる組み合わせは一通り」
ではなく
「貨幣の枚数が最小値をとるための、請求金額に対する払い方が一通り」
です。

>>497 さんと >>505 さんがご理解いただいており、光栄でございます。

>>517
最小枚数となる組が一意なんだから，支払い前の財布の中身と支払い後
の財布の中身を見比べて支払い前のみに存在する貨幣を払えばいいん
でしょ．

>>518

現在の所持金が72円（50円1枚、10円2枚、1円2枚）だとする。
ここに6円の請求がきた場合、
支払後の残高は66円（50円1枚、10円1枚、5円1枚、1円1枚）となるわけだが、

（50円1枚、10円2枚、1円2枚）
　と
（50円1枚、10円1枚、5円1枚、1円1枚）

の差分を見て、
> 支払い前のみに存在する貨幣を払えばいい

つまりここでそれに該当するのが
（10円1枚、1円1枚）
となり、これを支払えばいい…

という主張で良いんだよね？


さて、これが任意の所持金と任意の請求金額に対して
一般的に成り立つかどうかなんだけど…。

うお、すげえ。1時間で答え出てるし。
てめぇで問題出しときながら解けないとは情けなや。

最初、出力の先頭に来るデータがどれかによって
場合分けして漸化式を立てようと考えたんだけど
どうもうまくいかない。

風呂に入って熟考中、、pushとpopの発動順序に着目
することを思い立つ。つまりpushを I、popを O としたとき、
N個のデータではIとOがそれぞれN回ずつ発動し、
これらの並び方が、出力と一対一に対応する。
そこで次を考えればよい。

・N個のI、N個のOを一列に並べる。このとき、
どの部分で列を左右に分割しても、
「左側に含まれるIの数≧左側に含まれるOの数」
となるようなものは何通りか。

ところがこう変形しても、うまく式になってくれなくて
困っている。>>504が正しそうなことは何となく
わかるんだけどね‥‥

>>494
その条件だけだと一意的には定まらんぞ？
519の例でいくと、10円一個と1円二個払ってもいいことになる

>520
カタラン数 でぐぐれ。

さらに、I、Oをそれぞれ左カッコ、右カッコと読み替えれば、
問題は次のようにも変形できる。

・N組のカッコを、文法的に正しくつける並べ方は何通りか。

N=3 のとき、この解釈を>>514の順番で並べれば、
( ) ( ) ( )
( ) (( ))
(( )) ( )
(( ) ( ))
((( )))
となる。つまり、結合則を満たさない2項演算@があって、
a@b@c@d みたいに並べられてたとき、どの順序で
演算を実行していくか？ということを考えればいい
ような気がする、といったところで現在停滞中。

>>522
これだ。
その言葉は聞いたことしかなく、
内容は全く知らなかったんだけど、
まさにこれみたいです。ありがとう。

>>521

>>498-499

百円硬貨３枚が机の上に、左から順に表表表の状態で一列に並んでいます。
さいころを振り、出た目が１，２であれば左端の百円硬貨を裏返し、３，４であれば
まん中の百円硬貨を裏返し、５，６であれば、右端の百円硬貨を裏返します。
このような操作を２１回繰り返した結果、表表表または表裏表となる確率は、
何分の何ですか。

１つのサイコロを１０回投げて、投げた順に出た目の数の積を作っていきます。
このとき、目の数の積が第１０回目までのどこかで４となる確率は、
１２５９７１２分の何ですか。

(6^11 - 56)/(25*6^10)

>>526-527
糞マルチ氏ね

あげ

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　～～～終了～～～
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

ほしゅ

>>467
軽いほうの A 枚を判定せよという問題なら、
重いほうの B 枚が重さ一定にしろ相異なるにしろ、
回数に変わりは無いのではないか?

http://anti.bne.jp/upload/updata/up0611.mp3
こいつがおれに電話かけてくる確率を計算せよ

>>534
恐くて踏めんのだが…

>>534
今聞いたよ。
かけているのは雑誌社か?警察か?

>>533
Ａ＝１，Ｂ＝２。
１，２，２は一回。
１，２，３は二回。

>>537
そうか、なるほど。

結局>>494の証明はだめでしたか。

>>467で
「同じ重さの軽い玉A個と
同じ重さの重い玉B個
合計（A＋B）個があるとき」
の最小回数をN（A、B）

「同じ重さ(重さa)の玉A個と
同じ重さ(重さb)の玉B個　　（a≠b）
合計（A＋B）個があるとき」
の最小回数をN’（A、B）とするとき

⊿N（A、B）＝N’（A、B） - N（A、B）
はどうなるかな。

age

ほしゅ

別スレで未解決の問題

ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1104474105/159
159 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/01/03 13:29:52
1＋3＋3^2+3^2+3^4+・・・・+3^nが平方数になるようなnを求めよ

お願いいたします。

>>543
規則性がわからん

Σ[k=0,n] 3^k = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 +・・・・+ 3^n
が平方数になるようなnを求めよ

の間違いだねw

次の問題を微分を用いずに解いてみよ。

半径１の球に内接する四面体のうち、体積が最大になるものは正四面体であるこ
とを示せ。

>>546
略解．美しいから。

2005^2005の各桁の和をＡ、Ａの各桁の和をＢ、Ｂの各桁の和をＣとする。
Ｃを求めよ。

C=7

>>546
体積最大のものの存在は自明的にいえるから、
後は容易

どして自明的なの？

(=ﾟωﾟ)ﾉ
ひさびさに数学板来てみたら。。。まだあるのかこのスレ。
ってかわからんスレはまだ２つ平行であるのか。。。


高校の頃ちょっと見て、面白かったから２番を自作した。非数学科学部生レベル。美しいので是非解いてみてください。


１．数列Anを以下とする

A1＝√2
A2＝(√2)^(√2)
A3＝(√2)^A2
A4＝(√2)^A3

An＝(√2)^(An-1）

このとき数列Anが収束することを示し、
lim(n→∞)Anを求めよ


２．pを任意の実数（>0）とする時、数列Bnを以下とする

B1＝p
B2＝p^p
B3＝p^B2
B4＝p^B3

Bn＝p^(Bn-1)

このとき、Bnが収束するためのpの条件を求めよ。

>>551
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
にも類題があったが、球面上の 4 点を並べた点の空間
{ (x, y, z, w) | x, y, z, w はその球面上の点 }
はコンパクト。
その凸包のの体積はその空間上の連続関数だから最大値を取る。

そりゃあ大学でεδ式の微積を
まじめに勉強した人間には明らかでしょうやｗｗｗ

高校生にとってそうかな？普通の高校生や東大受験生が
最大値の存在は証明すべき事であるとか
そういう意識を持つこと自体がアブノーマルじゃないかな？

Ｎ面サイコロ振って
全部の面が出る確率が50％を越える回数とか。

Ｍ回振った場合、全部の面が出てる確率を求める数式。
高校レベルよりは難しい大学レベルの初歩かと思うんだけど。
ずっと前数学パズルのページで、パズル好きからまともな回答がつかなかった問題。

>>554
ノーマルじゃないからどうした？
ノーマルがそんなに重要か？

>>555
前にどっかで書いたやつ

1～n を取る m 個の乱数を振ったとき k 種類の数が出る確率を P(m,k) とすると
P(0,0)=1, P(0,k)=0 (k＞0)
P(m+1,k) = (k/n)*P(m,k) + {1-((k-1)/n)}*P(m,k-1)。
よって、x の多項式 f[m](x) = Σ[k=0,n]{P(m,k)x^k} について
演算子 A を A = (1/n){x(d/dx) + x(n-x(d/dx))} としたとき
f[m+1](x) = A・f[m](x) なので f[m](x) = A^m・f[0](x) = A^m・1。
g[k](x) = x^k*(1-x)^(n-k) とすると A・g[k](x) = (k/n)g[k](x)。
一方、C[n,k] を二項係数として
Σ[k=0,n]{C[n,k]g[k](x)} = {x+(1-x)}^n = 1。
よって
f[m](x) = A^m・1 = A^m・Σ[k=0,n]{C[n,k]g[k](x)}
= Σ[k=0,n]{C[n,k](k/n)^m*g[k](x)}。
x^n の係数を比較して
P(m,n) = Σ[k=0,n]{C[n,k](-1)^(n-k)*(k/n)^m}。

>>552
http://www.akanekodou.sytes.net/math/pdf/towerp.pdf
参照

２とは何ですか。
回答例：
最初にゼロがある。そこに１が現れる。他には何も無い。
１が占有した領域と同じだけの領域を１以外に確保したとすれば
そこには１とまた別の１がある。このどちらかを２と呼んでも
構わない。どうよ？

占有とか領域とかあまり本質的じゃないと思われ

>>560
その理由は？

>>561
占有,領域,確保が定義されていないから

>>562
じゃあ、まず君の考えで「領域」を定義してみてくれ。話はそれからだ。

2とは何か？
⇒定義： 2 =_{def} 0 + 1 + 1（つまり、 S(S(0)) あるいは 0'' ）じゃないのか？

で、何のためにそのような概念を考えるのか？
⇒ものの個数や順序を数えるため。

個数とは何か、順序とは何か？
⇒哲学板へGO！

2 とは何かを本当に知らない人に>>559みたいな
答えかたしても絶対分からないだろ。

こんなコピペを発見した。
丸の中には、０から９までの数字が一つづつ入るってことかな？
でないと問題にならんわな。

>544 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：05/01/05(水) 05:37:54
>これ答えれる方！
>〇〇〇／〇〇〇＋〇〇／〇〇＝1
>わかる方いますか？
>後半のフタ桁の分母は36～56以内です
>お願いします

こうじゃないの？

定義１：「自然数」と名づけた集合を考える。

定義２：「１」は自然数とする。

定義３：自然数の任意の元に対して「１を加える」という操作を定義する。
　　（便宜上、記号で＋１と書くことにする）

定義４：任意の自然数に＋１の操作を加えて生成されたものも自然数とみなす。

で、１＋１の生成結果をとりあえず「２」と呼ぶことにしましょ

ってことでしょ？

>>566
＞定義１：「自然数」と名づけた集合を考える。
定義１：「自然数」と名づけられた物の集合を考える。

>>565
○の中に 0～9 が一回ずつ入り、
最上位桁の数字は 0 にならないとして探索してみた

287/369 + 10/45 = 1
728/936 + 10/45 = 1
169/507 + 32/48 = 1
269/807 + 34/51 = 1
204/867 + 39/51 = 1
678/904 + 13/52 = 1
609/783 + 12/54 = 1
309/618 + 27/54 = 1

>>568
下品な人

>>568
いやいや、乙です。
やっぱ、解が一つじゃないと
パズル問題としてはおもしろくないよね

>>570
二つの分数は既約分数とする、という条件を加えると４番目だけが正解になる

・・・と思ったけどならない

>>571
1 - 32/48 = 16/48

そもそも分母が違うんだから今回の場合
少なくともどちらか一方は既約ではありえない罠

そろそろ >>546 の答え書こうか、、、。

正四面体でないならば、体積が最大にならないことを示せば良い。

四面体 ABCD が正四面体でないならば、この四面体の内、少なくとも等しく
ない二辺が存在する。それが、AB と AC だったとしよう。今度は、三点
A, B, C を通る平面の上で考える。このとき、弧 BAC 上に、BE = CE とな
るように点 E を取ると、三角形 BCE の面積は三角形 BCA のそれよりも大き
い。よって、四面体 BCED の体積は四面体 BCAD のそれよりも大きい。（終）

対偶と初等幾何を知ってれば解ける言うわけやな。

それはダメやっちゅうに。

自然数の中では1が最大である。
なぜなら1以外のnに対してはn＜n^2で最大で無いから

と同じ論法。

臭せぇ～、臭せぇ～よ！ 銀次！

>>574
弧BACがわからないんだが

空間内の四面体において、∑δ はそれの６つ辺のの二面角の和を、∑ω はそれの４つ頂点のの立体角の和を表すとする。
（ただし一頂点における立体角の全角は 4π とする。）この時、2∑δ －∑ω = 4π となる事を示せ。

>>575
意味不明。

>>574 に関しては、正四面体でない、四面体に対して、>>574 の「平面」上で
三点を二等辺三角形になるように（＝四面体の体積がより大きくなるように）
点を動かす操作を点A以外、点B以外、点C以外、点D以外についてこの順で繰り
返せば、正四面体に近づくことを言えばなお良い。

>>579
「体積最大の図形が存在する」（１）
が言えてないので、
「正四面体でないならば、体積最大でない」（２）から「正四面体が体積最大である」（３）は導けない。

>>575も同じ。
「最大の自然数が存在する」（４）
が言えてないから、
「１でないならば、最大の自然数となり得ない」（５）から「１が最大の自然数である」（６）は導けない。


ちなみに事実は　（１）真（２）真（３）真　（４）偽（５）真（６）偽　であるが、それは今は関係ない。

グッジョブ

>>579
どの四面体からスターとさえても
＞三点を二等辺三角形になるように（＝四面体の体積がより大きくなるように）
＞点を動かす操作
この操作を繰り返すことで四面体に近づくことを言えば、確かに間違いがないといえる。
けど、>>574にはこれが全く触れられていないので、関係なし。

「体積の最大値が存在し、最大をとるとき、それは正四面体である」が正しい命題だな。
受験数学じゃ「最大値を求めろ」だけだけど、どういうときに最大値をとるか書かないと減点される。
対偶を取るならば、「正四面体で最大値をとらなければ、最大値をとるような四面体は存在しない」だろう。

あ、ちょっと対偶変だけど、まぁ影響ないか。

結局、微分使わずにどうやって最大値の存在を言えばいいかは難しいかな？

ごめん、あまり意味はないことだけど、
最大値の存在は証明できることなのに、
「最大値が存在するならば～～」なんて言い方はちょっと変だな。正しくは、
「内接する四面体のうち、最大値をとる四面体が存在して、それは正四面体である」だ。
対偶取れないな。

で？

微分では最大最小が出るけど、それ使わないなら平方完成的な
方法か。任意の一点からそれを含まない球内の平面に三角形を投影した場合
の最大面積は正三角形か。まずはそれを証明してみたらどうだろう。

n を自然数とするとき、a! + b! + c! = 2^n をみたす自然数解 (a, b, c) をすべて求めよ。

7以上の素数pについて、次の命題は真か？
証明するか反例を挙げよ。

p^2≡1(mod 5) ⇔ あるaが存在し、a^2≡5(mod p)

>>579 でいいんじゃねーの？　結局与四面体は半径１の球に内接してるから、
四面体の体積は上限を持つ。>>579 提唱の方法の操作をくり返す度に、四面
体の体積を v_1 , v_2 ,... としけていけば、{v_n} は単調増加な数列。上
に有界な単調増加数列は収束し、その収束するときの状態は正四面体。（こ
の事実は証明可能だが、マンドクサいのでやらねー。）

＞上に有界な単調増加数列は収束し、
ぼみょー。何の証明をし

>>588
これはどうするの？

ａ！≦ｂ！≦ｃ！とするとａ！は２＾ｎの約数。

>>590
>>590
>>590
>>590
>>590
>>590
>>590
>>590
>>590

>>588

(a,b,c)=(1,1,2),(1,1,3)(2,3,5)

これであってますか？

↑ａ≦ｂ≦ｃとしてあります

>>595
(2,3,4)はどうなった

>>589
真。
略証。(5/p)(p/5) = 1.

紙に書いた円にむかって上から棒を落とします。
棒は必ず円と、２点で交わるか、接するものとします。
交わった場合の２点をそれぞれＡ，Ｂとします。
この時、ＡＢ間の距離と接する場合の点が、
この円に内接する正三角形の一つの辺の長さより長くなる確率は
いくつでしょう？

決定不能

お前は不能 （インポ）か？

>>599
題意を満たす確率の定めかた次第で変わってくる。

①　棒が落ちた状態の図を、解りやすいように
　　点Ａが真下に来るように回転させて、
　　点Ｂの取りうる位置という考え方で逝った場合。
　　点Ａを頂点の一つとする内接正三角形を思い浮かべて下さい。
　　「正三角形の一つの辺の長さより長くなる」点Ｂの取りかたは
　　内接正三角形の上部にある場合がそれに当たる。
　　円周上、その範囲は１２０度であり、全体に対する割合は１／３となる。

②　棒が落ちた状態の図を、解りやすいように
　　棒が水平になるように回転させて考え、
　　弦ＡＢの中点の取りうる範囲、という考え方で逝った場合。
　　取りうる弦ＡＢの中点の軌跡は円の直径となるわけだが、
　　上部１／４と下部１／４の部分に弦ＡＢの中点が来ると
　　題意を満たさないので、それ以外の中央の部分。
　　よって題意を満たす弦ＡＢの中点の取りうる範囲は１／２。

でいかがでしょう？

ところで、私が>>494で出した問題は未解決のままでつねorz

>>602
授業ではそうならったんですが、
実際に、試行回数をふやしていくと、
1/2か1/3かどちらかに収束しないんでしょうか？

>>603
そもそもが、すべての弦ＡＢの取り方というのが
「同様に確からしい」のでしょうか？既にその段階で疑問があります。
棒の長さも、落とす高さも決まっていない。

> 棒は必ず円と、２点で交わるか、接するものとします。

そうならなかった場合を排除してるけど、これは問題ないのでしょうか？

おっと>>604名前書くの忘れた

線形代数
(1)　Ａが正則であることとＡの余因子行列が正則であることが
　　　同値であることを証明せよ。
(2) Ａが実対称行列ならばＡの余因子行列も対称行列であつことを
　　　証明せよ。」
　　　　　　　　　　是非解いてみてください。

>>606
ここは宿題を貼るスレではない

６０６誰かといてください。お願いします。

ま

る

ち

>>606
>　是非解いてみてください。

それが質問者の態度か？
（ ﾟ∀ﾟ）ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！

ﾃﾗﾜﾛｽwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

>>606 = >>608
大学１年にもなって、なんでこうも厨房丸出しなんだろ、ほんと情けない。
とりあえず氏んどけよ。

大学4年かも奈

>>615
大学４年にもなって、線形代数でつまづいてたら終わってるよ。

てめ＝ら志ね！！きもいぞこら！！

>>617
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105688404/
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1106442829/

>>617=>>606=>>608
マルチ厨＝ポリゴンヲタ　資ね

ポリゴンがまた暴れているのか？

ttp://www.sexstump.com/streetscene.jpg
(´Д｀)ﾊｱﾊｱ

>>621
精神的部落ら

>>621
(ノд`) ｱﾁｬｰ
今夜は魘されそうだ…

>>620
そのようです。
マルチで荒らして、みんなに文句言われたら逆ギレしてブラクラ貼る始末。
性根まで腐ったクソガキのようです。

>>624
自分ではったのを他人のせいにするな

625=606?

>>626
自分ではったのを他人のせいにするな

627=606?

621=624

609=610=611

>>629
それは違う

a, b, c, d を整数とし、特に、a, c を互いに素な正整数とする。

このとき、ad - bc = 1 となる整数の組 (b, d) が存在することを証明せよ。

yo, yo, yo, yo, nyo, nyo, nyo, nyo,............

>>632
そんな基本問題を....

>>632
すんません、簡単な質問で恐縮なんですが、
cos(-30°)は、-(√3/2)になるのでしょうか。

>>634
naranai

>>632
ユークリッドの互除法でぐぐれ

定義域が実数全体の独立変数xに従属して変化する関数f(x)があるとします。
このとき任意の定数aに対しx=aときf(x)キ0,xキaときf(x)=0となるように
関数f(x)を設計してください。
という問題なのですがどなたか頭のいい方できますでしょうか？

>>637
2行目のxの束縛が不明。
∀a∃x～ なら f(x)=1 とすればよく、
∀a∀x～ なら構成不能。

>>634
cos(-x)=cosx
sin(-x)=-sinx

xキaときってなんだよ。。。

x ≠ a のとき、だろ。答案の書き方から勉強しなおせ

キって初めて見たな（笑
信者＝儲みたいで目から鱗だ。

>>637は左利きなのだと好意的に解釈してみる

男は金で仮想恋愛を得る
女は仮想恋愛で金を得る

lim男(金→0)
lim女(仮想恋愛→0)
を求めよ。
真実の愛へ収束するのか、恋愛は成立しないのか。

俺、右利きやけど　≠じゃなくてキを書いてしまう。
理由は文章・数式は左から右へ書くので、キのほうが次の字が書きやすい。

別に紙に書くときはいいんだけど、
掲示板に数式書くときに「き」を変換してまで
キを使うのは狂ってますよ

くるってる、までは･･･
自分は、「きごう」で変換して膨大な記号の中から探すんだけど。
そんな頻繁に使う文字じゃないからすぐ埋もれて行く。
面白いから今度からはキでいこうかと思った。楽だし。

＝を変換すれば出てくる。
俺はね。

「のっといこーる」で出てくるな、≠。wnnの標準の辞書だと思う。

>>647
おー、ちょっと感動した。

敢えてキを用いたハイセンスな637に萌えた

IME2000の場合
"のっといこーる"だとでない
"ふとうごう"だとでる

>>645
>狂ってますよ
キじるしというわけか

&#8800;
≠

（問）x+y+z＝白は、条件を変えるとx+y+z＝黒になる。
x,y,zに入る色と条件の違いについて述べなさい。

>>654
赤、緑、青
条件の違いは光の強度

>>655
ソラリゼーションすか

>>654
加法混色と減法混色
「+の定義」や「書いてある関数の形・意味」を変えることを
条件を変えるって言うのには、なんか抵抗があるなあ。

RGB/CMYKってことね
数学の素養のなさそうな問題だなあ

で、x,y,zに入る色って何よ？

文学的な表現に酔うのが好きで
ちょっとかじっただけの理系的知識をヒケラカス痛い香具師って多いよね
「不機嫌なジーン」の脚本家とかもその類だろうな

>>654 = >>658

平面上の各点に、白または黒の色をつける。
白点と黒点の集合をそれぞれW、Bとする。

このとき、どのような塗り方に対しても、
WかBの少なくとも一方は、任意の実数dに対し
距離dだけ離れた2点を含むことを示せ。

>>660
一辺がdの正三角形の頂点ABCを考えて
ABが同色でなく、ACも同色でなければ
BCが同色になるではありませんか的な論法でいいのかな

>>661
おお、そんな簡単だったのか

>>656
＞ソラリゼーションすか
良くそんな言葉を知っているな。
死語になったかと思っていた。

>>661
おしい。問題が
「任意の実数dに対し、WかBの少なくとも一方は、
距離dだけ離れた2点を含むことを示せ。」
つまり
∀塗り方 ∀d ∃色 ～
だったらそれで正解。

本問は
∀塗り方 ∃色 ∀d ～
の形なので、残念ながら不正解ですが、
似たような論法で証明できます。

>>660
W=φまたはB=φの時は自明なのでW,B≠φの場合について考える。
まず距離dだけ離れた２点を持つ集合の族をA(d)で表す。
あるd1に対してはW,Bのどちらか一方がA(d1)の元とならない場合
もう一方が任意のdに対してA(d)の元となる事を確かめればよい。

W∈/A(d1)の時、B∈A(d1)は自明（>>661の方法より）。
また、B∈/A(d2) (d1≠d2) となるd2が存在すると仮定すると、
d1>d2であれば、ある白点からd1離れた黒点を考え、白点からd1、
黒点からd2離れた点を考える事ができるが、この点は白点としても
黒点としても矛盾。d1<d2の場合も同様にして矛盾が導ける。
したがってW∈/A(d1)の時はB∈/A(d2)を満たすd2が存在せず、
任意のdに対してB∈A(d)となる。

φは空集合、∈/ は「属さない」って記号のつもり…

>>665
正解です。
ポイントは、白がd1を含まず、かつ黒がd2を含まないと
仮定すると、三辺が d1,d1,d2 (または d1,d2,d2) の
二等辺三角形を考えたときに矛盾が生じるという点です。

それでは次の問題。

平面上の各点に、赤または黄または青の色をつける。
赤点、黄点、青点の集合をそれぞれR、Y、Bとする。

このとき、どのような塗り方をしても、任意の実数dに対し、
R,Y,Bのうち少なくとも一つは、距離dだけ離れた
2点を含むことを示せ。

※今回は 「∀塗り方 ∀d ∃色 ～」 です。

ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ＝ＡＥ＝ＡＦ＝ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ＝ＤＧと
なるように点をとる。

>>659
残念！ 654とは他人です。
で、加色混合で白、減色混合で黒になる３色って
解が単一ではないようだが、３色がどのような関係だと
条件に合致するのか興味があったので。
実際にはRGBとCMYでは色空間が異なるけど
ぴったり重なるモデルで考えればどうなる？

>>667
背理法により示す。R,Y,Bのどれもdだけ離れた二点を含まないと仮定する。
一辺の長さがdの正六角形を仮定を崩さないように描けば、正六角形に内接する一辺√3dの正三角形は
全ての頂点が同じ色である。

従って、ある頂点から距離√3dになる点の集合(円周)は全て同じ色になる。
しかし、この円周上に適切な二点を選べば距離をdになるようにできるため仮定に反する。

終わり。

平面を白黒二色で塗り分ける。三頂点が同じ色で塗られた正三角形を同色正三角形と呼ぶ。

この時、どのような正数dに対しても、ある塗り分けが存在し、
一辺の長さdの同色正三角形が存在しないようにできることを示せ。

>>670
＞従って、ある頂点から距離√3dになる点の集合(円周)は全て同じ色になる。
ん？なんで？

>>670
＞ある頂点から距離√3dになる点の集合(円周)は全て同じ色になる。
と仮定すると、六角形の隣り合う２つの頂点から√3d離れた点は
何色だとしても>>670の説明は矛盾する。したがって>>670は間違い。

>>671
まず２つの白点を考え、それぞれの座標を原点(0,0),(2d,0)とする。
同色正三角形が存在しないと仮定すると(d,d√3)(d,-d√3)は共に黒。
この事から(4d,0)は白、さらに(3d,d√3)は黒でなければならないが
この時(2d,2d√3)は白点としても黒点としても矛盾。
したがって任意のdに対して同色正三角形が存在しないようにはできない。

てか、適当な事言って問題にするなよ…

あー、>>671へのレスは俺が勘違いしてたっぽい。すまん、、

通る時通れなくて、通らない時通れるもの、何～んだ。

ふみきり

>>668一応正解です。
>>670多分、2段落目頭の「ある頂点」は、「中心」の書き間違いだろうと推測。

距離dの2点を含む色が存在しないと仮定すると、
一辺dの正三角形の頂点は赤黄青となるしかない。
さらに、辺-黄青に関して、赤と対称な点を取ると、
そこも赤にならざるを得ない。
これは、ある赤点を中心とした半径d√3の円周上は
全て赤であることを意味する。従ってその円周上からは
赤赤で距離dのペアがいくつでも取れる。矛盾。

最初に考える赤黄青+赤の菱形をABC-D、
次に描く菱形をAEF-Gとしたときの状況を
端的に表したのが668ですが、さすがにあれは
説明不足でしょう。

>>671
正三角形の高さに等しい幅のシマシマに塗り分ければいいのかな。
夜中に小便に起き、壁にかかった縞模様のタオルを見てふと思いついた。

簡単にするため d=2/√3 とする（正三角形の高さが1）。
(x,y)を、xの値で塗り分け。
0≦x＜1 → 白
1≦x＜2 → 黒
2≦x＜3 → 白
‥‥

>>669
ぴったり重なるモデルって何のことを言ってるかよくわかんないけど
俺のイメージで言わせてもらえば
黒(0,0,0) Ｒ(1,0,0) Ｇ(0,1,0) Ｂ(0,0,1)
Ｃ(0,1,1) Ｍ(1,0,1) Ｙ(1,1,0) 白(1,1,1)
で、原点が黒か白かの違いじゃないの？

てきとうに３つ単位ベクトルをとってやっても
元の(1,1,1)方向に平行になるように足してやれば
無彩色(黒～灰～白)にはなるだろうし、
係数の選び方で明度(黒⇔白)も決められるだろう。
係数にマイナスが許されるかどうか知らんが。

そもそも三原色なんてものは人間の目の感覚に依存した曖昧なもんだし
厳密に加法減法が成立するようなものでもない気がするけど。

あれ？　>>670間違い？

距離dになる二点で同じ色に塗られたものは存在しないと仮定する。

ある点の色をRとして、その点を中心とする半径√3dの円周を考える。
仮にこの円周上に含まれるある点がY(またはB)だとすると、二点間の距離が√3dになる
二点が存在する。この二点を頂点にもつ正三角形をABCとして、A(Y)、B(R)とする。
三角形ABCに外接する正六角形をADBECF、その中心をOとし、ADBECF、OをY,R,Bで塗り分けると
二点間の距離がdで同じ色になる二点が存在するため、仮定に反する。

したがって、Rに塗られた点を中心とする半径√3dの円周にある点は全てRである。
ところが、この円周上には距離dとなる二点が存在し・・・以下略。
----
今度は会ってると思うが・・・>>670は単にこれを逆にして書いただけなんだけど・・・

>>671については>>678が正解。

>>667
背理法により示す。R,Y,Bのどれもdだけ離れた二点を含まないと仮定する。
一辺の長さがdの正六角形を仮定を崩さないように描けば、正六角形に内接する一辺√3dの正三角形は
全ての頂点が同じ色である。

この正六角形は平面状のどの位置にでもおけるため、結局√3d離れた二点は全て同じ色でなければいけない。

従って、ある頂点から距離√3dになる点の集合(円周)は全て同じ色になる。
しかし、この円周上に適切な二点を選べば距離をdになるようにできるため仮定に反する。
----
真中に一文だけ追加してみた。

平面上の全ての点を白黒で塗り分ける。>>671と同じ意味で同色正三角形を定義する。

任意の正数dに対して、同色正三角形が存在しないように塗り分けることは可能か？

間違いなので訂正。


平面上の全ての点を白黒で塗り分ける。>>671と同じ意味で同色正三角形を定義する。
平面上のどの正三角形も、同色正三角形にならないよう塗り分けることは可能か？

>>681
ごめん、尽く勘違いしてた。673は露骨に無視して。

>>684
俺のほうこそすまん。>>683出題してみたが、
普通に回答済みジャン。　気づかなかったよ。


というわけで再度出題。　(疑問に思っただけで未解決な出題)

平面上のすべての点をR,G,B三色で塗り分ける。
距離d離れた二点のうち、色が同じものに注目する。距離dだけ離れた二点で同色なもの
が二色の場合はf(d)=2、一色の場合はf(d)=1、三色の場合はf(d)=3、となるように
関数f:{x|x＞0}→{0,1,2,3}を定義する。

すでに回答済みの問題より任意のdに対してf(d)≠0が成立している。
では、任意の正数dに対してf(d)=1となるような塗りわけは存在するか？

>>685
平面全部を一色で塗りゃいいんじゃねーの？

ただしRGBはそれぞれ少なくとも２点以上存在ってことなのか？

>>686
すまん、その通りだ。　華麗に無視してくれ。

　|
　8 ＜ もうだめぽ
　'`
　￣
数ヲタのクズ 685 が自害しました。
人並みの羞恥心を持ち合わせていたようですね。

ｧ '`,､'`,､'`,､'`,､(´▽`) '`,､'`,､'`,､'`,､

　ネコちん♪パ～ンチ
　　　　　　　　　─ 　─.　　　-　　　─　　--　 - _＿＿
　　 ∧∧　─..　　　　-　　　-　 　　　─＿─／＿＿＿）　　　∧∧ .∴・
　　（ =^-ﾟ）　 -_　─　　　─ -_　　＿- ─ /　（＿＿＿∧ｶﾞｯ(::)Д´)>>688.∴・
　　⊂　　つ□ＸＸＸＸＸＸＸＸＸＸＸＸＸＸＸＸ|□|　（＿＿＜ ...＞.；/つつ
　～(つ ﾉ 　　　 　　＿　￣ ─＿ ─ ─ ─ヽ　（＿＿___∨ ~て つ
,,,,,,,,, (ノ　　　　＿ 　　　　-　　-　　─ ＿- ─＼_（＿＿ノ　 　　(/

>>680
失礼、670で正解ですた。読み違えていた。

>>688
これだったらどうよ。未解決。

平面上のすべての点をR,G,B三色で塗り分ける。
どの色も、それぞれ、ある距離dだけ離れた2点を含まないように
塗り分けることは可能か？

すなわち、たとえば
Rが距離1の2点を含まず、
Gが距離2の2点を含まず、
Bが距離3の2点を含まない。
とすることは可能か。

※660の三色バージョンです。つまり否定を考えると
「どのような塗り方をしても、RGBの少なくとも一つは、
任意の距離dだけ離れた2点を含む。」と言えるか？
となる。

なんかオナニースレになってる

板自体がオナヌィ板ですから。

納得

昨日秋山仁がテレビで
下の４つの○を結ぶ最短の線は

○　　　　　　　 ○
　 ＼　　　　 ／
　　　>──<
　 ／　　　　 ＼
○　　　　　　　 ○

このようになるって言ってたんだけどなんで？
ちなみに線が交わる所は角度が120ﾟになるそうです。

>>695
条件は？
4つの○を結ぶとは？
最短とは何を持って最短？

>>696
おまいのチンコの長さをもって最小と定義する

1+√3 < 2√2
(約2.732　< 約2.828)

>>697
わたしは、その問に対するすばらしい解法を思いついたのだが
それを図示するには余白が狭すぎる

Melzakのアルゴリズムで…

>>696
結ぶとは
・全ての○が線で「一つに」つながっている。
・線は何度でも分岐してていいし、曲線でもいいし、複数でもいいと思います。
・その他制限は特にないみたいです。
最短とは
・線分の長さを合計してそれが最も短い。
だと思いますが、これでは曖昧ですか？

またこの問題は○の数、並べ方によらず、
必ず分岐点では角度が120ﾟになるように結ばれるという事だったのですが
それが何故なのか全く分からなかったもので・・・
数学的にはどのように考えればいいんですか？

>>698
もっと短いつなぎ方が存在する可能性を否定できてないわけですが。

ユークリッド幾何じゃなくてもいいの？

ユークリッド幾何でお願いします。

節になる点は４都市を頂点とする正方形の中（周も含む）にあることがわかります。
また、節になる点は2個以下でなければならないことがわかります。
４都市と節になる点を頂点とする連結な道路の組み合わせは（節になる点の位置を無視すれば）有限個しかありません。
この組み合わせのそれぞれにおいて、節になる点（2つか１つ）を正方形の中で動かした場合、道路の長さの和は有開閉集合上の連続関数となりますので最小値を持ちます。
それぞれの組み合わせの最小値になる配置が求めるものです。
もし道路の長さの和が最小なら節になる点からは３本の道路が出ていて120度ずつ角をなしていることもわかりますので候補は絞られます。
結果的にこれになります。

705で納得できる人がいるんだろうか。
いや、705はそれで納得してるんだろうか。

>>701
それだと、対角線を引いたものの方が
短いと思うが？

条件間違ってないか？

分岐は三叉路に限る　　かな？

>>707
いや、直感的には対角線の方が短いように思えるけど
実際にやると>>695のようにした方が短いみたいです。
それを端的に示しているのが>>698で
一辺の長さが１の正方形の頂点を結ぶ場合、
>>695の長さは1+√3、対角線で結んだものは2√2になります。
秋山仁さんのスレでも話が出てたみたいですけど
シュタイナー木といってあまり簡単な問題じゃなさそうですね…。

>>708
分岐にも制限はないようです。

>>708
分岐点間の距離が短い方が線分の総和が小さくなるから
120°を成す所というのは、その条件だと最小ではなくなる。
というか最小値が存在しなくなるのでは？

あのな烏賊歯科の過去問あさってみろ　まったく同じ問題がある

>>709
線分の総和が最小になるという条件では明らかに対角線の方が短いぞ


俺が言いたいのはだな、条件を正確に書けってことだよ！

＞線分の総和が最小になるという条件では明らかに対角線の方が短いぞ
なぜ？

>>695
それ間違いじゃない？対角線で結んだほうが短いに決まってる
対角線で結んで、真ん中の横の線との交点見て、三角不等式使えばわかる。

>>713
まず"線分の総和"というのは俺の中では"道のりの総和"
とは思えないということを言っておこう

>>695のような図にたいして、４点を左上から時計回りにABCDとする。
分岐点を左からE,Fとする。

おれのいってる"線分の総和"というのはAE+DE+EF+FB+FCのこと
おそらくよくある問題で問われるのはそれではないだろう。

ちなみに、道のりと言ってもどういう道のりのことなのかは
>>701からは全く読み取れない
寧ろ誤解を招く

最短ネットワーク問題だっけかね

>>714-715の内容を読んでちょっと気が楽になった。
＞おれのいってる"線分の総和"というのはAE+DE+EF+FB+FCのこと
俺もそういう意味で言ってるよ。
>>714-716
とりあえず一辺の長さが１の正方形の頂点の場合で考えようか。
>>695の場合AE=DE=FB=FC=1/√3、FB=1-(1/√3)ってのは計算できる？

高速道路ってのは1メートルつくるのにウン百万円もかかったりするもんだ。
４都市を結ぶもっとも安上がりな結線方法ってのが重要なわけ。
線分の総和ってのはそういう意味で、対角線ではないことは自明だろ？

ちゃんと数学的に定義しろっつーことだな

ごめんごめん。最後の式はEF=1-(1/√3)ね。

>>718
ちゃんとABCDの位置関係を定義してからにしてもらおうか

>>722
一辺の長さが１の正方形の頂点の場合って書いてるけど？

>>723
全てを理解した｡俺が間違ってたようだ。すまん。
無駄になってる道があるってことだな。

アメリカが全米の拠点都市間を結ぶハイウェイ建設を計画した時に、もっとも経費を
削減できる（総延長の短い）計画の作成を数学者は依頼された。
想像以上の複雑で困難な計算に数学者は苦戦した。

結局、針金で各拠点の位置を模した模型を石鹸水に浸して持ち上げ、針金間に張った
シャボンの膜をもとにハイウェイ網は計画されたという。
表面張力によりシャボンの膜は総延長を最短にしようとする。各地に120度で
交差する三叉のインターチェンジが建設された背景には石鹸水の秘密があった。

民明ry

>>724
いや、気にしなくていいよ。勘違いする事ぐらい誰でもあるさ。
それにしてもいかに自分を抑えるか、ちょっとした修行になるな‥。

この論文を読んでいるとどんな位置にあっても120°になるようだ
また一般のn(≧3)についても書いてあるが、長！

地球が丸いことを考慮していないな。。。

おまえらが明日チョコレートもらえる確率は？

バレンタインのHはギリマン？

>>728
それは考慮したくなかったがために政府には説明しなかったって背景もありそう。

長野のトンネルは長距離でアップダウンが多くて危険だね。

サイコロを３つ転がしたとき、出た目が連続，またはゾロ目になる確率を求めよ
但しサイコロのどの目も出る確率は等しいものとする

○　１．２．３　２．２．２　など
×　２．２．３　５．６．１　１．３．５など

(i,i,i) (i=1～6)は各１通り、計６通り
(i,i+1,i+2) (i=1～4) は各６通り、計２４通り
よって(6+24)/6^3=5/36

更新
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/

ルート５をaとおいたとき、ルート０．４５をaを使って表せ

(a/a+a/a+a/a)/(a+a)

√0.45＝√（45/100）＝√45/√100＝3*√5/10＝(3/10)*√5＝(3/10)*ａ

平面上に3点A,B,Cがあるとき、
AP + BP + CP となる 点P は
1) ∠CAB >= 120度の時 P = A
2) ∠ABC >= 120度の時 P = B
3) ∠BCA >= 120度の時 P = C
4) ∠CAB < 120度 & ∠ABC < 120度 & ∠BCA < 120度のとき
は∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120度なる点P
で与えられる。

平面上にn点ある場合
適当に接続点になる点をいくつか加えて、
これらの点を頂点とする連結なグラフ
（グラフ上をたどってどの頂点からも他のどの頂点へも行ける）
のうちで辺の長さの総和が最小となるものはどのようなグラフか。

>>739を証明済みとする
長さの総和が最小となっていると仮定する。
a) 接続点から1本だけの辺が出ていることはない。
∵1本だけの辺が出ていればその点と辺を削除した方が総和は小さい。
b) 接続点から2本だけの辺が出ていることはない。
∵2本だけの辺が出ていればばその点と辺を削除して、その辺がつながっていた２つの頂点を直接結んで辺とした方が総和は小さい。
c) 接続点Cから4本以上の辺が出ていることはない。
∵4本以上の辺が出ているならば接続されている隣り合う2辺のうちの少なくとも一組は120度より小さい。
それらの辺のもう一端をそれぞれA,Bとして>>739を適用する。
>>739の1)の時は辺CBを削除して辺ABを結んだグラフのほうが総和が小さいので仮定に反する。
>>739の2)の時は辺CAを削除して辺ABを結んだグラフのほうが総和が小さいので仮定に反する。
>>739の4)の時は得られたPを用いて辺CAと辺CBを削除して、
辺AP , 辺BP , 辺CP を加えたグラフのほうが総和が小さいので仮定に反する。
結果的にCに接続される辺は1本減ることになってしまうので仮定に反する。
結局、接続点からは辺はちょうど3本出ていることになる。
しかも隣り合う辺のなす角度は120度である。

また同様にもとのn点に対しては接続される辺の数は3本以下であることもわかる。

>>739
が最小。

>>739が最小?
>>739AP + BP + CPが最小

>>740
おみごと！

>>729
漏れ婚約中だからトリビアルに１以上

>>744
non-trivial

>>740のつづき
もとの点の数を n 点
接続点の数を m 点とする
辺の数を l 本とする

やはりこの連結グラフの辺の長さの総和が最小となっていると仮定する。
d) サイクル（閉じた道）を含んでいない。
∵含んでいればサイクルのうちの一辺を削除しても連結であり総和が減ってしまい仮定に反する。

e) dのようなグラフでは 辺の数 は 頂点の数-1 である。
∵有限個の頂点なのでであるので1辺しかつながっていない頂点がある。
この頂点１辺を削除しても 頂点の数 - 辺の数は変わらない。
次々に削除していくと、1点になる 頂点の数 - 辺の数 = 1- 0 = 1
もとのグラフでも 辺の数 = 頂点の数 - 1が成り立っていたことになる。

>>740のグラフにおいて
f) m <= n - 2　がなりたつ
n点から1辺以上、m点から3辺出ているので、
辺の数 l は( n + 3 m) / 2 本以上ある。
一方e)より l = n + m - 1
すなわち n + 3 m <= 2 (n + m - 1)
m <= n - 2である

g) 接続点はもとのn点を含む最小の凸多角形のの内部か周上にある。
接続点を消して凸多角形に一番近い点を接続点に動かせば（接続辺も消さずに動かせば）総和はより小さくなる。もともと最小だったという仮定に反する。
とくに>>705の前半が言えたことになる。

連日出題･解答が続いてた塗り分け問題が途絶えた理由

>>747
単純に秋田から

akippoiyatsume

トーラス上の地図で塗り分けるのに７色必要なものを作れ
（答えを掲示板上でどう書くんだ、と思うでしょうがそれも問題のうち）

明らか

>>750
　　　　　　　　　 ...,､ -　 ､ 
　　　　　　,､ '　 ヾ　、　 　 丶,､ -､ 
　　　　 ／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ 
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽ ヽ::::ヽ 
　ヽ:::::l　i.　　l　 ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽ　丶::ゝ 
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　 ヽ 
　l:/ /l　l.　　l　　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　', 
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l 　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／想像力働かせましょう。 
　 l l　l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　その程度自分でやりましょう。 
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　脳味噌ありますか？ 
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　 イ　　　　　　　　　｜無いんですか？ 
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ ､ 　　　　　　　＼それなら人間辞めましょうよ。 
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、 　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 
　　　　　　　　 ／ ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i 
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i 

５分間でトラックを５周する馬、５分間で１０周する馬、５分間で１５周する馬がいます。
スタートを同時に出発したとき、次にスタートを同時に通るのは何分後でしょうか？

↑最初にこの問題を見たときはまんまと引っかかった。

遅くとも5分後には。

どこか引っかかる所あるか？

何分後に揃うかよく考えろ

等速なら1分後、でどこか間違ってる？

ってﾒｪﾙ欄に書いてありましたな
どう間違うのか分からん

最初に出された問題は、1分で3周、5周、7周みたいな形だった。
唐突に問題を見せられ、10秒で解けと言われて、1周を3分5分7分だと
「まんまと」誤読して105分後と即答。相手は大喜び。

頭の良い皆さんには想像もつかないことかもしれないがね。

いや10秒で、とか言われたら落ち着いて解けないから間違うでしょう

◎1分後
○遅くとも5分後

△5分後
×15分後、10分後、など　それ以外

「Ａ地点からＢ地点まで行きは時速４０ｋｍ、帰りは時速６０ｋｍでした。
　往復の平均時速は何ｋｍでしょうか。」
私は、この問題に即答で５０ｋｍと答えてしまいました。
それも、友人に指摘されるまで間違いに気がつきませんでした。

x/40+x/60=3x/120+2x/120=5x/120=x/24
x/24/2/1=x/48
時速４８km？

0でしょ。

>>764
正解！

Harmonic mean ですな ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

>>763
平均の定義による。
時間の平均なら時速４８ｋｍだが、距離の平均なら時速５０ｋｍ。

age

結局A地点から動いていないのだから0km

どんな４桁の数字でも、↓を繰り返すと６１７４になる
　　　　　　（４つバラして大きい順に並べた数）－（４つバラして小さい順に並べた数）

　例：１２３４　→　４３２１－１２３４＝３０８７　
.　　　　　　　　→　８７３０－０３７８＝８３５２
.　　　　　　　　→　８５３２－２３５８＝６１７４
.　　　　　　　　→　７６４１－１４６７＝６１７４

1111

カプリカ数って奴ですか。

名前ついてたんか。
よく知ってるね。

へーこりゃ面白いな

【トリビアの泉】
カプレカ数で検索すると、自分の名前を付けてるイタイHPがヒットする。

６１７４になるのに
８回以上かかる数はなく
７回かかる数は１９８０もある
ってのがなんか不思議。

どうやって証明すればいいんだろう。
ぞろ目ではできないんですよね？

age

隣の家の夫婦には子供が３人いる。この時次の問に答えよ
１）子供が男の子１人と女の子２人である確率を求めよ
２）子供のうち１人は女の子であった。この時男の子１人と女の子２人になる確率を求めよ。
３）女の子の子供は２番目の子供だった。この時男の子１人と女の子２人になる確率を求めよ。

１）3/8
２）1/2
　女一人をどけて、残り2人が男女1人ずつの確率を出しても良いし
　女3人　(1/8)(3/3)、女2男1(3/8)(2/3)、女1男2(3/8)(1/3)、男3(1/8)(0/3)
　の合計を分母とし、女2男1を分子として求めてもよい
３）1/2
　２）と同じで2番目の子供をどけて考えてもいいし
　何番目の子か考慮してもしなくても同じ。

２）は 3/7ではなかろうか？

>>782
(1/8)*(3/3) (3/8)*(2/3) (3/8)*(1/3) (1/8)*(0/3)　を
(1/8) (3/8) (3/8) (1/8)*0　にしている

その数字の羅列の意味はわからんが
答えは3/7だぞ

この手の問題は、「隣家の夫婦」というような現実的な設定を用いることにより、
解答者が自発的に余計なことを考え始めて混乱するような書き方に(意図的に)
してあるところがミソ。

すなわち問題文が無駄な情報を含まず、余計なことを考慮する余地のないように
書かれていれば、何の芸もない問題となる。

3人の子供を持つ日本の家庭を全て集めて全体集合Uとする。
3人の子供には、誕生時刻により上中下と順序を入れておく。

このとき子供の男女の組合せは8通りあるが、それらのいずれも
全体に対し占める割合が等しく1/8ずつであると仮定する。
つまり世の中には3人の子供を持つ家庭が8戸しかなく、
全て上中下の男女の組合せが異なっているものとみなしてよい。

ここで
U = 全体集合(8戸)
A = 少なくとも1人の女の子がいる家庭の集合
B = 中が女の子である家庭の集合
C = 男1人、女2人である家庭の集合(順序は問わない)
とするとき、

(1)|C|/|U|
(2)|C|/|A|
(3)|C|/|B|

をそれぞれ求めよ。

|U|=8,|A|=7,|B|=4,|C|=3

(4)|C|/|B∪C|
を求めよ。

「子供のうち１人は女の子であった。」を単純に「男３兄弟でない家庭」と考えてもいいのだろうか？
「子供のうち１人は女の子であった。」とわかった過程によっては確率が変わると思う。
たとえば、「たまたま子供の一人が出かけるところを見かけた。」だと
その家庭は、「男２女１」よりも「女３」である家庭である確率のほうが高いと思われるのだが。

ん？３～４行目は確かに正しいけど
１行目は数学以前の問題で日本語的に疑う余地がないでしょ。
女の子がいる時は３～４行目の条件付確率は等しくならないけど
そもそも女の子がいない時は関係ない。

>>780
前提条件として、ある子供が男である確率と女である確率は等しいというのを仮定する必要がある。
2)は、「子供のうち少なくとも１人は女の子であった。」とするか、「１人は女の子であとの２人についてはわからない。」としたほうがより正確になる。

>>786
変形の過程で(2)の問題が変わっている。
答えを3/7にしている>>782>>784の間違いの原因もそこ。

子供2人の問題で
少なくとも一人が女と分かっているとき
男・女である確率を2/3にしちゃうのと同じ間違いだな。

・ジョーカーを除くトランプ52枚の中から１枚のカードを抜き出し
表を見ずに箱の中にしまった。
残り51枚のカードをよくシャッフルしてから3枚抜き出したところ
3枚ともダイヤであった。このとき、箱の中のカードがダイヤである確率は
　　A)10/49　B)1/4

・３枚のカードがあり、それぞれ両面赤、両面黄、片面赤・片面黄である。
この3枚のうちの１枚がテーブルの上に置いてあり、見えている面が赤のとき
その裏が赤である確率は
　　A)2/3　B)1/2

・隣家には子供が2人いることがわかっている。性別はわかっていない。
聞こえてくる声から、一人は女の子だと分かった。
このとき、隣家の子供が男女１人ずつである確率
　　A)1/2　B)2/3

・隣家には子供が2人いることがわかっている。性別はわかっていない。
そのうちの一人が訪ねてきた。女の子だった。
このとき、隣家の子供が男女一人ずつである確率
　　A)1/2　B)2/3

>>792
３番目と４番目は同値な問題じゃん！
単なる条件つき確率だから、 答え 2/3

普通はa,bという二人を考えた時、aの性別はbの性別に依存しない。
考えられる組み合わせが全て同確率という仮定があるわけではないから。

隣家には子供が2人いることがわかっているが性別はわかっていない。
このとき、隣家の子供が男女１人ずつである確率は 1/2

隣家には子供が2人いることがわかっているが性別はわかっていない。
聞こえてくる声から、一人は女の子だと分かった。
あるいは、そのうちの一人が訪ねてきたが、女の子だった。
このとき、隣家の子供が男女１人ずつである確率は 2/3

でＯＫ？

>>795
なんも分かってない。それで何かを説明してるつもりなの？そもそもどういう
方法で2/3を出してるのか書かれてないから何とも言えないけど、それは多分
「ある人がコインを10回投げました。ビデオで確認すると１～９回目までは
全て表でした。では10回目が裏の確率aは？」という問題でa>1/2という答えに
なってるのと同じ間違いをしてると思う。>>794でも書いたけどそれぞれの性別が
男か女かって言うのは独立事象だとは思わないの？子供の性別の組み合わせ
（４通り）がそれぞれ等しく1/4である事は仮定ではなく、何も条件がない状態で
ある一人が男である確率が1/2（これが前提）から導かれる事。
つまり条件付なら「それぞれの組み合わせが等確率」という所が変わる。
具体的に言うと、
━━━━━━面倒ならここから読め。━━━━━━
兄弟が（男、男）、（男、女）、（女、男）、（女、女）である事象をそれぞれ
MM, MW, WM, WW とするとそれぞれの確率は、
　P(MM)=P(MW)=P(WM)=P(WW)=(1/2)x(1/2)=1/4
また、訪ねて来た一人が女であるという事象をAとするとその確率P(A)は
　P(A)=P(MM)x0+P(MW)x(1/2)+P(WM)x(1/2)+P(WW)x1
　　　　=(1/4)x0+(1/4)x(1/2)+(1/4)x(1/2)+(1/4)x1 =1/2

ここで、訪ねて来た一人が女であり、かつ兄弟が男一人女一人である確率は
　P(A∩(MW∪WM))
　　=P((MW∩A)∪(WM∩A))
　　=P(MW∩A)+P(WM∩A)　*1
　　=P(MW)P(A|MW)+P(WM)P(A|WM)
　　=(1/4)x(1/2)+(1/4)x(1/2) =1/4　…（１）
また、
　P(A∩(MW∪WM))
　　=P((A∩MW)∪(A∩WM))
　　=P(A∩MW)+P(A∩WM)　*1
　　=P(A)P(MW|A)+P(A)P(WM|A)
　　=(1/2)(P(MW|A)+P(WM|A))
　　=(1/2)P((MW∪WM)|A)　*1
　　=1/4　…（１）より
したがって訪ねて来た一人が女であったという条件下での
兄弟が男一人女一人であるという確率は
P((MW∪WM)|A)=1/2,,

*1ではMWとWMが排反である事を使った。

こうやって説明汁。

・隣家には子供が2人いることがわかっている。性別はわかっていない。
そのうちの一人が訪ねてきた。女の子だった。
このとき、隣家の子供が男女一人ずつである確率

これは１／２だね。
こう書き換えればより直観的に分かる。

・隣家には子供が2人いることがわかっている。性別はわかっていない。
そのうちの一人が訪ねてきた。性別を確認した。
このとき、隣家のもう一人の子供が今の子供と性別が異なっている確率

１／２に決まってる。

釣りか？マジで言ってるのか？

狐につままれるような感覚は理解できるけどな。俺にも経験あるから。

親御さんに「２人の子供のうち１人を紹介して下さい」と言って
出てきた子の顔を見たら女の子だった。
このときもう一方が男の子である確率は？答え1/2

親御さんに「２人の子供のうち少なくとも一人は女の子ですか？」
と聞いたら「はい」と答えた。
このときもう一方が男の子である確率は？答え2/3

女の人の子が尋ねてきた、とか、女の子の声が聞こえた、だと
どっちの場合なのか意見が分かれるので良くない

は？ちょっと待て

どうした

>>801
「ある一人が女であるか」という事と「少なくとも一人は女であるか」という事の
違いは、前者は『偶然』選ばれた一人が女であるというだけYESであり、もう一人が
男か女かは関係ない。しかし後者はどちらかさえ女ならYESとなる。
これは例えばモンティホールジレンマで残りの箱を適当に開けられる場合と
外れを知っている司会者が外れを開けてみせる場合に相当する。
一人訪ねてきてそれが女であった場合、女を選んで確認できたわけではないので、
これは明らかに前者であり、意見の分かれる余地はない。
つまりあの問題で2/3と答えるのは間違い。

＞前者は『偶然』選ばれた一人が女であるというだけYESであり、
　↓
＞前者は『偶然』選ばれた一人が女であるという時だけYESであり、

>>799
マジで言ってるけど、何か問題ある？

795 ： >>796-797へ、いま返事書いてます

796-797 ： うるせー、ゴルァ！

795 ： 条件つき確率を知ってますか？

796-797 ： 馬鹿にすんか、ゴルァ！

795 ： あなたの説明の中では、条件つき確率を求めていませんよ

796-797 ： ちっ、うまく誤魔化したんだが、バレちまったか

795 ： いま、あなたの導入した記号で計算していますから、もう少し待ってね。

隣家に２人の子供がいることが分かっているとする。

A : 隣家に男女一人ずつの子供がいる事象
B : 隣家から女の子が尋ねてくる or 女の子の声がする事象

隣家の子供が、年齢の高い順から 男男、男女、女男、女女 である事象を
MM、MW、WM、WW

隣家に男女一人ずついる確率
P(A) = P(MW)+P(WM) = 1/4 + 1/4 = 1/2

隣家から女の子が尋ねてくる確率
P(B) = P(MM)*0 + P(MW)*(1/2) + P(WM)*(1/2) + P(WW)*1 = 3/4

隣家に男女一人ずつの子供がいて、女の子が尋ねてくる確率
P(A∩B) = P(MW)*(1/2) + P(WM)*(1/2) =1/4 + 1/4 = 1/2

隣家から女の子が尋ねて来たときに、隣家が男女一人ずつの子供がいる条件つき確率 P_B(A)
高校生でも知っている P(A∩B) = P(B)*P_B(A) より、1/2 = (3/4)*P_B(A) を解いて P_B(A)=2/3 （終）


>>796-797
> なんも分かってない。それで何かを説明してるつもりなの？

あのな、何かを説明するとはこう言うことだよ。オービー君！
まずは、条件つき確率を勉強してから、えらそうなことを言いたまえ！
目立つように晒し上げておく。

>807-988
(ﾟ∀ﾟ) ｲｲｯ!
よくある質問に入れておくといいかも・・・

Re:>808 どんな計算してるんだよ？P(B)=1/2,P(A∩B)=1/4だろが。

＞隣家から女の子が尋ねてくる確率
＞P(B) = P(MM)*0 + P(MW)*(1/2) + P(WM)*(1/2) + P(WW)*1 = 3/4

＞P(B) = P(MM)*0 + P(MW)*(1/2) + P(WM)*(1/2) + P(WW)*1 = 3/4
＞P(B) = P(MM)*0 + P(MW)*(1/2) + P(WM)*(1/2) + P(WW)*1 = 3/4
＞P(B) = P(MM)*0 + P(MW)*(1/2) + P(WM)*(1/2) + P(WW)*1 = 3/4

晒し上げ。

先生！>>807の意味が分かりません！

謝罪まだー

ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从　`ヾ/゛／'　　"＼' /".　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　|
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=＜　謝罪と切腹まだーーー！！！！！　 ＞
ｽｯﾄｺﾄﾞｯｺｲｽｺｺｺ'=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡.|＿　＿　 ＿　＿　＿　＿　＿＿＿|
ﾄﾞｯｺｲｼｮﾄﾞｽﾄﾞｽﾄﾞｽ=!|l|》ﾘｎl⌒!Ｉ⌒Ｉ⌒I⌒Iﾂ从=≡|l≫,ﾞ　　 ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ《l|!|!l!'~'⌒^⌒(⌒)⌒^~~~ヾ!|l!|l;"ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞl|l|（（　(〇)　））（（　(〇)　））|l|》;ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞ`へヾ―-―　　　 ―-―　.へヾｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ

>>813-814
誰に謝罪要求してるのかはっきりしろよ。

　　　　　　　　　　　　　　　 ＿
　　　　　　　　　　　　　　／／.|
　　　　　　　　　　　　 ／／.／|
　　　　　　　　　　　／／.／|　|
　　　　　　　　　 ／／.／ ／|. |
　　　　　　　　／／.／|／::/|　|　　　　　　　　　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　□／ ／ //　|　|. 　　　　　　　 　|
　　　　　　　　|　|／.;;;;//.　 |　||.　　　　　　　 　|　じゃあ、>>807は死刑という事で・・・。
　　　　　　　　|　| ;;;;;;//　 　|　|||　　　　　　　　 |＿
　　　　　　　　|　|.;;;//　　　 |　|.||　　　　 ∧ ∧　　|/￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　|　|//..　　　　|　| ||.　　　 （ ・∀・）
　　　　　　　　|　|/.　　　　　|　|. ||　　　 （　　　 ） 　　　　　　　　　　ワイワイ　　ガヤガヤ
　＿＿＿＿__.|　|＿＿＿／／|　||__ ／　| ｜　|＿＿
　　　　　　　　|　|　　　／／　 |.￣∠／（__（＿_）　／.|　　　　　　　　　 ∧_∧　∧_∧　∧ ∧.
..∧＿∧　　 (|　|⌒／. ∧ ∧⊃ｲﾔｧｧｧ.　　　　 ／／|　　　　　　　　　（´-`；）（＠･　）（；´∀）（
（　・∀・）.（⌒|　|／／（；´Д｀）　←>>1　　　／／　 |　　　　　　　 ∧∧　∧ ∧　∧_∧.　∧∧
（　　　　）　￣|　|／ （⊃ ／　 ⊂.⊃.　　　／／　　　|　　　　　　　（∀・ ）（ーﾟ* ）（　　　）（´∀`
｜ ｜　|.　　　|　| 　 　／　　 └─┘　／／　　　／.　　　　　　∧_∧　∧ ∧　∧ ∧.　∧_∧
（_＿）＿） 　　|　|　 ／　　　　 　　 　／／　　　／　　　　　　　<_`　　）（´･ω）（дﾟ｀ ）（
　　　　　　　　|　|／　　　　 　　 　／／　　　／.　　　　　　　∧_∧　∧ ∧　∧_∧.　∧_∧　∧
　　　　　　　　~~　　　　　　　 　／／　　　／　　　　　　　　（　　　）（ ﾟ∀ﾟ）（｀　　 ）（　　　）（ﾟд
.　　　　　　　　　　　　　　　　／／　　　／　　　　　　　　∧_∧　∧_∧　 ∧_∧　∧_∧　∧_∧
.　　　　　　　　　　　　　　 ／／　　　／　　　　　　　　　（д-　）（　　　）（ ´,_ゝ）（TдT）（∀｀　）

ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄ从　`ヾ/゛／'　　"＼' /".　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　|
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=＜　807の謝罪と切腹まだーーー！！！！！　 ＞
ｽｯﾄｺﾄﾞｯｺｲｽｺｺｺ'=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡.|＿　＿　 ＿　＿　＿　＿　＿＿＿|
ﾄﾞｯｺｲｼｮﾄﾞｽﾄﾞｽﾄﾞｽ=!|l|》ﾘｎl⌒!Ｉ⌒Ｉ⌒I⌒Iﾂ从=≡|l≫,ﾞ　　 ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄ《l|!|!l!'~'⌒^⌒(⌒)⌒^~~~ヾ!|l!|l;"ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞl|l|（（　(〇)　））（（　(〇)　））|l|》;ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ
ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞ`へヾ―-―　　　 ―-―　.へヾｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺｽｺｺｺ

なら同意。

このﾍﾀﾚ！ ＿＿＿　ｵﾗｯ!　　　　　　
　　　 ﾄﾞｯｶﾝ |　　 |　でてこい、８０７！
　 　 ∩∩　 |　 　|　　 | 　∩∩　　　　
　　　| | | |　 |　　 |　　 | 　| | | |　　 　
　　..(　　,,)　.|　 　|　　 |　(・ｘ・ ）　　
　　/　　.つ━━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l 　 |Ｕ　
～（ 　 /　　 | 　 ｜ 　 |⊂＿　|～
　　し'∪　　 |　　 |　　 |　　　∪　

／|　　　　　　 　 |　 |＿＿＿＿_ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ||ΦΦΦ
　 |　　　　　　 　 |　 |￣￣￣ ／|　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 ||
　 |　　　　　　 　 |　 |　　　／ ／|TTTTTT　　 TTTTTTTTTT||TTTTT
　 |　 　 　 　 ／＼　|　 ／|／|／|^^^^^^ |三三| ^^^^^^^^^^^||^^^^^^^
　 |　 　 　 ／　 ／　|／／ ／ ／|
　 |　　　／　 ／ |＿|／|／|／|／|
　 |　 ／　 ／　　|文|／ ／／ ／
　 |／　 ／.　 ＿.|￣|／|／|／　　　　　　　　　Λ＿Λ
／|＼／ 　／　／ 　|／ ／　　　　　　　　　　 （＿＿_）　おいおい、何が始まったんだ
／|　 　 ／　／　 ／ヽ　　　　　　　　　　　　/〔　祭　〕〕つ
　 |　　　|￣|　 |　|ヽ／l　　　　　　　　　　　 ｀/二二ヽ
　 |　　　|　 |／|　|__|／　　　Λ＿Λ　　　　 /　/（＿）
　 |　　　|／|　 |／　　　　　 （　´∀｀）　　　（＿）　　　 Λ＿Λ
　 |　　　|　 |／　　　　　 ／/ /　 ^￣］ﾟ　　　　　　　　（｀　　　）
　 |　　　|／　　　　　　　 ﾟ/￣￣_ヽ　　　　　　　　　⊂〔〔　祭　〕
　 |　 ／　　　　　　　　　/＿ノ（＿）　　　　　　　　　 ┌|＿＿_|
　 |／　　　　　　　　　　（＿_）　　　　　　　　　　　　 （＿ﾉ ヽ　ヽ
／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＿）

>807
これも計算してみ！

電話して、女の子がいると聞いたら 「いる」 と言われたとき、２人とも ょぅι゜ょ である確率

>>807は多分条件付確率の表記法を知らなかったんだろうな。
だから条件つき確率が求められてないとか言ったんだろう。

　　　　　　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　 　　 　>>807
　　　　　　　　ﾋ‐=r=;'　 　　 　∬　　 　君も男なら聞き分けたまえ！
　　　　　　　　'ヽニ/　　っ━~~　　　
　　　　　　＿と~,,　　~,,,ﾉ_. 　∀　　　
　　　　　　　　　 ﾐ,,,,/~), │　┷┳━　
　　　　　　￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣|　┃
　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣ 　┻

この話題終了。

Σ(ﾟДﾟ ｴｰｯ!!
まだ 807 の謝罪と切腹を見てませんっ！

いや、俺がもういいって言ってるからいいのｗ
これ以上発展性ないし。

　　　　　　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　 　　 　>>825
　　　　　　　　ﾋ‐=r=;'　 　　 　∬　　 　この板では私が神だ！
　　　　　　　　'ヽニ/　　っ━~~　　　　私がもういいと言ったら、そこで終わりだ！
　　　　　　＿と~,,　　~,,,ﾉ_. 　∀　　　 君も男なら聞き分けたまえ！
　　　　　　　　　 ﾐ,,,,/~), │　┷┳━　
　　　　　　￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣|　┃
　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣ 　┻

騙るなボケ。

実は 826 = 807。

>>807=>>786?
まあ根本が間違ってたら
正解が間違いに見えてしまうといういい例だったな。
こういう人材が居るとスレの保養になる。

失敗から学ぶ。
転んでも、何かを拾って起き上がる。
勉強になりますね。

( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

794=796=797=800=804=805=811=815=818=822=824=826=828
このスレに張り付いてました。

新ネタキボンヌ！

横から煽るだけの奴ウザい。

>>789
すまん、書き方が悪かった。

＞「子供のうち１人は女の子であった。」を単純に
＞「男３兄弟でない家庭」と考えてもいいのだろうか？

「子供のうち１人は女の子であった。」を単純に
「男３兄弟でない家庭が等確率で存在」と考えてもいいのだろうか？

と書きたかった。

先の例の「たまたま子供の一人が出かけるところを見かけた。」だと
その家庭は、「男２女１」よりも「女３」である家庭である確率のほうが高いと思われるが
「女児のいる家庭のみのくじ引き分譲住宅」だと「男３兄弟でない家庭が等確率で存在」となりそうだ。

いったい何が等確率に起こるのかが明らかにされていないと
正解は求められないというだけのことではないのか？

>>835
>>789じゃないが流れから見て
>>783の2列目と3列目の違いのことを言ってるってことは分かるよ。

>>836
男女の存在確率は特に断ってない場合
半々ってのが暗黙の了承みたいだね。
コインの裏表やサイコロの目と同じで。

ジョーカーを除く52枚のトランプからランダムに１枚ずつ３回引いた。
１）引いた3枚が赤(ハート又はダイヤ)２枚・黒(スペードまたはクラブ)１枚
である確率は？
２）３枚の中からランダムに１枚取り出して見たら赤だった。このとき
引いた３枚が赤２枚黒１枚である確率は？　
３）３枚のうち２枚目に引いたカードが赤だった。このとき
引いた３枚が赤２枚黒１枚である確率は？

>>836
それと条件もはっきりさせないといけないって事だね。ただその条件が十分厳密に
書かれてると言えない場合には必ず明白な理由があるからあまり疑心暗鬼になる
事もない。今回の場合では条件の範囲が曖昧にされてたりとか。
つまり一見「女の子は少なくともx人」（今回はx=1）っていう同値な命題に変えられ
そうな二つの条件の場合では、そう書き換えることで、全体の中に「少なくともｘ人」
なのか、ある特定の部分集合（今回は特定の一人）の中に「少なくともｘ人」なのかと
いう重要な情報が消えてしまってるって話でした。蛇足だけどそういう条件の範囲と
なる部分集合が複数あってさらに排反でない場合もあるから（数学科の人がそんな
面倒なだけの問題に出くわすかどうかは知らんが）、それがいい加減だと一見正解
のようにも見える別の答えに惑わされる事になるよと。あと煽ラーには本気で氏んで
ほしいと思いました。

１つのビンに入っているジュースを２人が２つのコップに分けて
平等に飲もうとしている。計測するものが何もない場合、２人がジュースの量に
納得して飲むにはどうしたらいいか。なお、２人のどちらともジュースは出来る限り
多く飲みたいと思っているとする。

答えは、１人がジュースを２つのコップに目分量で半分ずつに分け、もう１人がその２つの
コップを見比べて、飲みたい方（量が多く見える方）を取ればお互いに納得する。

では、これを３人で行う場合、及び４人で行う場合において誰もが納得してジュースが飲める方法を述べよ。


簡単ですかね。

>>839
たて読みする気も起こらない

たいした事は何も書かれてないから気にしなくていいよ煽ラー。

>>840
簡単ではないが既出

>>840の答えがわかりませんorz

２人の場合はわかったけど、３人？、４人！？の場合なんて
まったくわかりません・・・。

どなたか教えてください＞＜；

一般化してN人で考えてみればいいよ
因みに、要するに1/Nだけ飲めなかったら自分の責任、という
ような方法を求めよ、ということかと

Re:>840 実は同じような問題が昔平成■■■■会で出たんだよ。

アミダラ女王

平成教育委員会は見てないから、この解答で正しいかどうかの自信は無いんだけど、

STEP1
　1人目が、与えられた飲み物を自分に納得のいくように、1:(n-1)に分ける。

STEP2
　2人目が、分割された飲み物のうち(n-1)側を自分に納得のいくように、1:(n-2)に分ける。

STEP1～STEP2を、n-1回繰り返す。

STEP3
　n個に分かれた飲み物を、n人目から、n-1人目、n-2人目・・・、という順番で
　とっていく。

一人目が１を１／３と２／３に分ける。
二人目が２／３を１／２と１／６に分ける。
三人目が１／２をとる。
二人目が１／３をとる。
一人目が１／６をとる。

Re:>848 [>849]が言うのは、最初に分ける人が不利だからこれでは駄目だということ。

何故不利？
そんな事言ったら二人の場合も最初のﾔｼが不利だよ。
この問題は元々数学的ではない。

コップ３つあったら
なんか本当に均等に分ける方法がありそうだけど、ないかな。

Re:>851 二人の場合は最初の人が均等に分ければいいだろう。ところが三人の場合は一人が1/3を切り分けても二人目が変な切り方をすると一人目のとりまえが少なくなる。

「切り方」っておかしいな。
平成■■■■会ではケーキを三人で分ける問題だった。

Re:>840 ジュースを少しずつコップについでいく。適当につぎ終わったら自分の取り前にする。ただし、ついでいる途中で他の人がジュースを取る権利がある。これでとりあえず平穏になるだろう。

>>855
それが一つの解だな。

ただその「注いでる途中に声をかける」っていう連続的（？）な操作を認めない場合はどうだ？
（昔どこかのスレでこの解答を見た）

>>848 自己レス。
よく考えたら、漏れの解答だと確かに序盤の分割者が不利ですな。

自分が分けた 1:(n-1) の飲み物のうち、(n-1）側を他人に恣意的に分けられて
それしか選べない状況になったら、確かに納得できない。

>>849
それも三人目の人に選択権が全くないという点でまずいように思う。
というかいまいち説明がわからない。

何か昔ピーターフランクルの問題集にあったよ

　まず順番を決めて
STEP1
　1人目が、与えられた飲み物を自分に納得のいくように、1:(n-1)に分ける。
STEP2
　1人目が分けた 1/n のジュースを、2人目以降に順に回していく。
　それが多すぎると思う人は適正と思われる量まで減らし、
　少ない or 丁度いいと思う人は手を付けない。
　n人目まで回して、最後に手をつけた人がその 1/n を貰う。

　nにn-1を代入して最初に戻る

他人のミスで自分のジュースが少なくなるのは不味いですね

>>858 と本質的に同じだけど、
高校の物理の先生に教わった解答
（そのときはカステラの分け方だった）

カステラの左端から右へ包丁を動かしていって、最初に「ストップ」と言った人が、
その時点で包丁のある位置から左端までのカステラをもらう。
これで一人減るので、また同じことを繰り返す。

>>858-859
なるほど逆オークションみたいな感じだな。勉強になりますた。

次の□に当てはまる数字は？
またその理由も答えなさい　

1　3　5　□　11　25　35

>>861
名古屋の人？

名古屋ローカルで通用するネタなの、この問題？知らんけど。
だとすれば全然数学関係ないな。時間の無駄だった。

>>863
名古屋ネタかどうか知らないけど、
数学ネタでないことは間違いない。

うち名古屋だけど33も映るよ

f：Z^2→N は、任意の(n,m)∈Z^2に対して
f(n,m)＝{f(n+1,m)＋f(n,m+1)＋f(n-1,m)＋f(n,m-1)}/4 を満たすとする。
このようなfを全て求めよ。

Re:>866
fの終域はNなので、fは最小値をとる。
Z^2の点(x,y)で最小値をとると仮定すると、
f(x+1,y),f(x-1,y),f(x,y+1),f(x,y-1)はいずれもf(x,y)以上であり、
この四つのうち少なくとも一つがf(x,y)より大きいとすると、
f(x,y)=(f(x+1,y)+f(x,y+1)+f(x-1,y)+f(x,y-1))/4>f(x,y)となる。
よって、f(x+1,y)=f(x-1,y)=f(x,y+1)=f(x,y-1)=f(x,y)が成り立つ。
fが定数になることはここから容易に分かる。

>>861
次の□に当てはまる数字は？
またその理由も答えなさい　

1　3　5　□　11　25　35

答：□＝27/5

>866
どこかで見た問題だけど、誰か知ってる？

>>869
実数値、複素数値なら見たことあるな。

鉄球がたくさん入っている袋が10個あります。
鉄球には10g , 11g , 12gの三種類があり、
一つの袋には同じ種類の鉄球しか入ってません。
グラム単位の計量が可能な台秤を一回だけ使って
どの袋にどの種類の鉄球が入っているか調べる方法を考えてください。

無理です。

（３＾１０－１）／２＝２９５２４。

>>871
あきれた。
一つの袋に同数の鉄球が入っているのかすら定義されていないのだから救いようがない

>>871
１つめの袋から順に
１個・３個・９個…を取り出して台ばかりにのっける
とかいう感じの解答

>>874
一つの袋に同数？？？

Re:>871 一つずつ鉄球を台ばかりに載せてはかりの変化を見る。

>>876◆ifsBJ/KedU 頭悪そう

算数の先生こんな問題だしてきた…

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨まで各１個あります。
これらを全て使って、以下の○を埋めて式を組み立てなさい。

○○○○○
－ ○○○○
③③③③③

正解わかりません…

Re:>877 お前に何が分かるというのか？
Re:>878
5個の2,3,4で和を9で割ったあまりが6になるようにするには、和が15でないといけない。
一方、各桁の上段から下段を引いた値が3になるようにすることは出来ないので、
一箇所または二箇所で繰り下がりがある。
二箇所とも、右の桁で繰り下がりがあるような繰り下がりがあるようにすることはできない。
よって、一つの列にのみ、1-8または2-9の組が現れる。
1-8の組が現れるとすると、7-4の組もできて、3は左に入らねば成らず、残り四つの数は入れられない。
よって、2-9の組があって1-8の組はない。
さらに左に3が入るとすると、6はどこにも入れられないので、
左には4が入る。
次に、1,3,5,6,7,8から、二数ずつ選んで、その差が3または6になるようにすると、
1-7,6-3,8-5の組み合わせのみができる。あとは答えを出すだけ。
41268-7935と41286-7953のみが答え。

>879
普段は毒電波ゆんゆんの板荒らしなのに、
薬で頭がシャキッとしてる時はいいこと書くんだな。

>>871
それぞれの袋から１個ずつ取り出して、台秤に載せるんだ。
それから、よく目を凝らして大きさを見るんだ。
いちばん大きいのが 12g で、いちばん小さいのが 10g、
真ん中の大きさが 11g だ。

>>881
中に空洞があって、大きさと重さは比例しないかもな…

>>882
しまった。

じゃ、順当に３つの袋 Ａ, Ｂ, Ｃ から１個, ２個, ４個 を取り出し、
７個を秤に載せる。
74g なら、袋 Ａ, Ｂ, Ｃ は、それぞれ 12g, 11g, 10g
75g なら、袋 Ａ, Ｂ, Ｃ は、それぞれ 11g, 12g, 10g
76g なら、袋 Ａ, Ｂ, Ｃ は、それぞれ 12g, 10g, 11g
78g なら、袋 Ａ, Ｂ, Ｃ は、それぞれ 10g, 12g, 11g
79g なら、袋 Ａ, Ｂ, Ｃ は、それぞれ 11g, 10g, 12g
80g なら、袋 Ａ, Ｂ, Ｃ は、それぞれ 10g, 11g, 12g

もう一度問題を読んでみよう

基地外だらけ

最初の袋からは１個 → １０g、１１g、１２gのいずれか
次の袋からは１０個 → １００g、１１０g、１２０gのいずれか
その次の袋からは１００個 → １０００g、１１００g、１２００gのいずれか
以下同じように１０倍ずつ取り出し量る。
合計の重量の下一桁に注目
これが０なら最初の袋は１０ｇ、１なら１１g、２なら１２g
最初の袋から取り出した分の重量を引き、下二桁目に注目
これが０なら２番目の袋は１０ｇ、１なら１１g、２なら１２g
二番目の袋から取り出した分の重量を引き、下三桁目に注目
以下同様。

取り出す個数をもっと少なくしたいなら、最初の袋からは１個
次からは３倍ずつにして、3進数で考えればよい。

>>875でもう出てんだけど解答

１００倍ずつ取り出せば計算はもっと簡単になる

>>887
「とかゆうかんじ」を解答と認めるならな

0個1個3個でいいじゃん。

また問題読んでないやつか？

レベル下がったなこのスレ

なんだお前は？

さらしあげ

疑問に思ったこと。
自然数列{an}は、∑[i＝1～∞]1/ai　が収束しているとする。A＝{ai｜i∈N}と
するとき、N－Aには 無限項から成る等差数列が含まれると言えるだろうか。

言えない気がするのだが、分からない。

うわわかんね意外とむず

どんな自然数nでもn(n+1)/2と表せない自然数から無限項からなる等差数列を作れるのかどうか？

5n+4で終わりか。難しいな。

>>895
A={(n^2)*(2^m)|n,m∈N}なんかで反例になってない？

>>899
ごめん、これじゃダメだ。
任意のn,m∈Nに対して、n+mk∈Aなるk∈Nが無限個あればN-Aは無限等差列を含まない。
だから、例えばk_(n,m,j)を
Σ[j=1 to ∞] (1/(n+m*k(n,m,j)))<1/((n^2)*(2^m))
となるように選んで（任意のn,mについてこれは可能）、
A={n+m*k(n,m,j)|n,m,j∈N}
とすりゃ反例。であってるかな？

>874　→あきれた。ここまでの見当違いは救いようがない。
>875　→>>889
>876　→一回だけ使って。>>877
>881　→>>882
>883　→10袋。>>884
>886　→>>887
>890　→０個…>>891

なかなかつわもの揃いの解答者陣であった。

>>901
>>888の評価がないぞ

Re:>901 一度のせた球は全ての測定が終わるまでのせたままにするんだよ。それでも一回ではないというのか？

はかりの目盛りを読むのが一回。
幾ら乗せても目盛りを読まずに下ろせば０回。

>>900
すげー！k(n,m,j)の例としては、k(n,m,j)＝{(n^2)*2^(m＋1)}^jが
あるな(計算ミスしてなければ)。ありがとう！すっきりしたよ。

辺の長さが３，５，７の透明な直方体がある。
底面（５×７）の中心からななめに直方体内部に向かって
（投影図でいうと正面からても側面から見ても真上から見ても
45°になる方向に）光線が出ている、光線は直方体の面に当たると
反射する（入射角＝反射角）。
１）光線が元の点に戻ってくるまでに何回反射するでしょう
２）光線の軌跡の交点はいくつあるでしょう

光線や透明だと矛盾があるかもしれないが
ビリヤードのような反射の問題の立体版ということでよろしく

３）辺の長さA,B,C(A,B,Cは自然数、A≠B≠C)で
　　１）２）を一般化できるでしょうか

平面版と同じ

Re:>904 じゃあはかりから目を離さなければいいのだな。

そもそも、何千個もおもりをのせるという方がナンセンスなんだよ。

aを正の整数とする。放物線ｙ＝ａx2（－１＜＝x＝＞１）上の動点Pとy軸上の
定点Q（０、q）との距離の二乗PQ2は、点Pが原点０に一致するとき最大である
このとき、次の問いに答えよ。
（１）qの最小値をaの式で表せ。
（２）　（１）のとき、中心がQで原点を通る円のうち、半径が最小となる円の
方程式を求めよ。

>910
（１）三角形を考えたら、QY(+/-1)=QOぐらいじゃない？
（２）r=OQ,c=OQ/2ぐらい？

>>907
A = C でもいいのね？

Re:>895
とりあえず、数列を1,2,4,8,16と指数的に増大するようにして、さらに、
第1項は適当に数を足して2k(kは自然数,以下同様)となるようにし、
第2項は適当に数を足して2kになるようにし、
第3～7項は適当に数を足して2k,2k+1,3k,3k+1,3k+2が全て現れるようにする。
第8～16項は適当に数を足して2k,2k+1,3k,3k+1,3k+2,4k,4k+1,4k+2k4k+3が全て現れるようにする。
第17～30項は適当に数を足して、…
と繰り返していけば反例になるのではないか？

>>792
> ・隣家には子供が2人いることがわかっている。性別はわかっていない。
> 聞こえてくる声から、一人は女の子だと分かった。
> このとき、隣家の子供が男女１人ずつである確率
> 　　A)1/2　B)2/3

こっちの答えは、結局なに？
1/2なの？

蒸し返すな。ログ読んで判断しる。

>>915
> ・隣家には子供が2人いることがわかっている。性別はわかっていない。
> 聞こえてくる声から、一人は女の子だと分かった。
> このとき、隣家の子供が男女１人ずつである確率
> 　　A)1/2　B)2/3

こっちの答えは、結局なに？
1/2なの？

>>914
この問題の条件だけからは答は定まらない。

まず２人の子供の組み合わせが全て等しいと仮定。
この段階では男男・男女・女男・女女のどれであるかは同じ確率。


さらに追加の条件として、２人の子供のうちどちらが話した声を聞いたとして、どちらが話すかを同じ確率と仮定する。
そうすると、女の子の声を聞いた場合は以下の４通り。
男・女の組み合わせで女が話した。
女・男の組み合わせで女が話した。
女・女の組み合わせで始めの女が話した。
女・女の組み合わせで後の女が話した。
この４つが同じ確率で起る。

また、２人の子供の両方とも話して、女の子の声のみが聞こえてくると仮定した場合は以下の３通り。
男・女の組み合わせで女の声が聞こえた。
女・男の組み合わせで女の声が聞こえた。
女・女の組み合わせで女の声が聞こえた。
この３つが同じ確率で起る。

それ以外の条件も考えられる。男と女の組み合わせの場合は話をしないが、男・男の組み合わせと女・女の組み合わせの場合は話をすると仮定する。
その場合は女・女の組み合わせで女の声が聞こえたという１通りになる。

つまり追加の条件を変える事によって、０から１までの任意の確率をとることができる。

>また、２人の子供の両方とも話して、女の子の声のみが聞こえてくると仮定した場合は以下の３通り。
>男・女の組み合わせで女の声が聞こえた。
>女・男の組み合わせで女の声が聞こえた。
>女・女の組み合わせで女の声が聞こえた。
>この３つが同じ確率で起る。

これはなんか変。

>それ以外の条件も考えられる。
>男と女の組み合わせの場合は話をしないが、
>男・男の組み合わせと女・女の組み合わせの場合は話をすると仮定する。
>その場合は女・女の組み合わせで女の声が聞こえたという１通りになる。

これは追加条件つけすぎ。言わんとするところは分かるが。

>つまり追加の条件を変える事によって、０から１までの任意の確率をとることができる

まあその通り。そもそも男女の存在確率や兄弟の性別の相関には言及されて
ないわけだから、追加条件でどうとでもなる(w

３次元空間にｎ(>=3)個の点がありこの中から任意の３点を
選ぶと二等辺三角形になる。ｎの最大値を求めよ。

>>919
宿題ぽいなそれ

>>913
人の名前真似すんな

>>914
それぞれの事象を次のように設定し条件付確率で求める。
全事象:2人の性別。4通り
事象A:女がいる。3通り
事象B:男がいる。3通り
事象(A∩B):男1人女1人である。2通り

問いの、1人が女と分かっているときもう1人が男という事象は(B｜A)で表せる。
それぞれの確率P(A)=3/4､P(B)=3/4､P(A∩B)=1/2を用いて、P(B｜A)を導くと答え。
P(B｜A)=P(A∩B)/P(A)
P(B｜A)=(1/2)/(3/4)
∴P(B｜A)=2/3

答えは2/3とみた――――!!(＾▽＾)y-゜゜゜

おもしろくねーな。

Re:>921 お前誰だよ？

>>919
7点はいけた。8点でできるのかな‥

>>922
ログ嫁

>>926
カス野郎！

922だが、何かこのｽﾚでしてはならん事をしたようだ。>>926、何かはわからんがｽﾏﾝ‥
>>927
あともうちょっとで1000だから楽しく行こう。お願いm(_ _)m

殺伐がデフォなので、大丈夫です。