854 :
132人目の素数さん:04/08/26 00:44
>>853 おいおい
その数字が妥当なものかどうかくらい、実際に作図してみりゃわかるんじゃないか?
1.4倍の半径だったら明らかに重なる部分が大きいだろ
855 :
132人目の素数さん:04/08/26 00:56
2桁の数が書かれたカードが6枚ある。
このうちの5枚のカードに書かれた数は、小さい方から順に28、36、64、73、81
。残る1枚は内緒。
この6枚から1枚を捨て、残りの5枚を2つに分けてそれぞれ合計したところ、
その合計の比がちょうど2:7になった。次に、元の6枚からまた1枚を捨て、
残る5枚を2つに分けて合計したところ、今度は合計の比が1:3になった。
さて、内緒にしておいた残る1枚に書かれていた数は?
──友達に聞かれてわからなかった。一応そこそこの大学出たのに...
856 :
132人目の素数さん:04/08/26 00:58
和算で出てきそうな問題だな
857 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:12
>>855 まず、2:7を作るためには小さい数字が90以下にはならないといけない
その時点で、既出の数字では28と36の組み合わせしかないわな
となると内緒カードは70か79になる
どっちを使っても1:3は作れなかった
となると隠された数字は小さい数字になる
続く
858 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:28
迷える数学好きです。
さて、問題です!!半径1で、母線の長さが2の円錐
の入れ物があります。これに水を満タンまで満たします。そして、
鉛直方向から30度傾けます。このとき、こぼれた水の量は?
なかなか難問です。
859 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:30
860 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:31
ああ、そか
1枚と4枚で2:7もありか
861 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:33
862 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:38
20%ぐらいだ。
863 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:44
某T大生の友達4人に解かせたんすけど、
みんなお手上げでした。
さらに驚くことにこの問題、なんと!!中学入試の問題なんです。
864 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:58
元の水の量を2*2*2(単位略)とすると残っている水の量が1*2*1だから
元の水の3/4がこぼれた。
違うかな?
865 :
132人目の素数さん:04/08/26 01:59
…そんなにはこぼれていないような気がする(;´Д`)
866 :
132人目の素数さん:04/08/26 02:05
係数を省いた計算でスマソだけど、
中学入試レベルっていうんだから、やっぱりこういう感じの考え方で解けるはず。
元の水の量を2*2*2とすると残っている水の量が1.5*2*1で
5/8の水がこぼれた。
こんどこそ正解かな?
867 :
132人目の素数さん:04/08/26 02:06
ちゃんと計算しようとしたら積分つかわなきゃできないもんねえ。
868 :
132人目の素数さん:04/08/26 02:10
う〜ん、水平方向に切って積分に持ち込もうとしたが、
短径の長さが定まらないー。
これはかなりの難問ですな〜。
28+36=64。
70+73+81=224。
81=81。
36+64+70+73=243。
870 :
132人目の素数さん:04/08/26 02:33
871 :
132人目の素数さん:04/08/26 02:35
70か
872 :
132人目の素数さん:04/08/26 02:52
そんな単純な体積比の問題かな〜?
てか、元の円錐と残った水は明らかに相似じゃないっしょ!
やっぱこれは計算でゴリるしかないか。
(4√(3)−√(6))π/12。
中学入試なら√もπも使わんだろう。
もとの量の5/8がこぼれたと出た。
何度か考えてみたが、やはり5/8になりそうな感じ。
37/64に一票。
>>858 俺も計算したら (4√3 - √6)π/12 になった。
あーもっぺん考えてみたらルート付きそうな感じが。
でも中学入試なんでしょ?
多分ホントの問題は円錐じゃなくて円柱
881 :
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/26 07:47
[>858]の問題は、カバリエリの原理を使うと出来る。
ちなみに、円錐を平面で切ったときの断面が楕円になることは知ってるよね?
882 :
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/26 07:52
蛇足:
円錐2z^2=√(3)(;x^2+y^2)を平面で切ったときの断面は、
二直線か、双曲線か、一直線か、放物線か、一点か、楕円であるかのいずれかである。
(さらに蛇足:円も楕円である。)
>>881 楕円の長径はどうやって求めるの?短径は√3
884 :
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/26 08:10
Re:>883
短径4/3,長径√(3)。重心ぐらい知っているだろう?
885 :
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/26 08:11
T大生も落ちたものだな。
King君、短径 √2 だよ…
ふーん…
で、解答は? 小学生に分かるように解説してください。
中学入試って言われたからT大生も悩んだんじゃないの?
>>884 長径と短径逆だったかも知れないが
そこ、短径じゃないでしょ?
(2・(1/2)/(3/4)で求めたんじゃない?)
>>858の水面の短径は3/2だろ。
短径の中点は長径の中点でもある。
長径の両端で底面に平行な平面で切ると、断面はそれぞれ半径1と半径1/2の円。
その中間の高さで切れば半径3/4の円。
求める楕円の短径は、その円の直径でもある。
あ、間違えてた。
>求めたい楕円の短径は、その円の直径でもある。
が嘘。
えーと、中心から1/4の距離の弦の長さだから、三平方の定理で
2√((3/4)^2-(1/4)^2)=√2だな。
はい失格。
小学生は三平方知りません。
>>852 半径 r の円の中心から測った、二つの円周の2交点のなす角を 2θ とすると、
X = R/r = 2sin(θ/2)
2円の交わる部分の面積 S は、計算してやると、
S = r^2 {π - sin(θ) - (π-θ)cos(θ)}
と比較的簡単な式になった。
S = (1/2)πr^2
として、この方程式の数値解を求めると、
θ = 1.235897, X = R/r = 1.158729
#誰か、
>>855 で、うまく可能性絞り込む方法わからない?
#答だけ見てもつまらないぞ
>>855 6枚の総合計は2:7に分割可能だから9の倍数。
同様に1:3に分割可能だから4の倍数。
つまり総合計は36の倍数。
5枚の合計が282≡30 mod36だから、
残る1枚は6 mod36つまり6か42か78の3通りに絞られる。
>>858 >さらに驚くことにこの問題、なんと!!中学入試の問題なんです。
これは嘘だな
>>880 >多分ホントの問題は円錐じゃなくて円柱
ありそう
895 :
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/26 12:02
楕円の短径は3/2,長径は√(3),そして残る水はもとの1/4と。
896 :
FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM :04/08/26 12:27
今度こそ分かったぞ。
楕円の短径は√(65)/6,長径は√(3),
そして残る水は√(65)/6*√(3)/2*π*√(3)/3だ。
897 :
132人目の素数さん:04/08/26 12:59
>893
一枚取る事を忘れてる。
わかっている数字をそれぞれ4と9で割ったときの余り(mod4とmod9ね)を考えると
28(0,1)
36(0,0)
64(0,1)
73(1,1)
81(1,0)
仮に取り除かれたカードが、その秘密のカードだとすると、残りの5枚は上記の5枚になるが
4で割っても9で割っても割り切れないから、最初のケース(2:7のやつ)も次のケース(1:3のやつ)も
取り除かれたのは秘密のカードではないことがわかる。
そうすると、取り除かれたのは上記5枚のうちのいずれかということになるから、次の4つの場合に場合分けする。
1・1回目は9の倍数、2回目は4の倍数のカードが取り除かれた。
2・1回目は9で割ったら1余る数、2回目は4の倍数のカードが取り除かれた。
3・1回目は9の倍数、2回目は4で割ったら1余る数のカードが取り除かれた。
4・1回目は9で割ったら1余る数、2回目は4で割ったら1余る数のカードが取り除かれた。
893の答えはこの1番目のケースに該当するよ。あとはmod7とかを考えると解けそうだが、すまぬ、これから午後の会議だ。
898 :
132人目の素数さん:04/08/26 13:17
「円柱」を30度傾けるんだったら、小学生にも解けるの?
899 :
132人目の素数さん:04/08/26 15:00
a_1 = 1
a_m = 1-a_{m mod floor(log[2](m-1))} (m≧1)
を満たす数列 {a_m} を考える。
つまり、
{a_1, a_2} = {1, 0}
{a_1, a_2, a_3, a_4} = {1, 0, 0, 1}
{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8} = {1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0}
・・・・・・
という数列である。
このとき {a_m} は、どの部分を取っても同一パターンを3回以上繰り返すことがないことを証明せよ。
floor(x) は、x を超えない最大の整数です。
901 :
132人目の素数さん:04/08/26 15:10
かなり挑戦的な問題考えました。
もし解けたら号泣です。
面積1の三角形上に2点を独立の一様分布から選ぶ。
これら2点を通る直線は確率1で元の三角形を三角形と四辺形に分割する。
分割してできた三角形の面積をA、四辺形の面積をBとするとき、|A-B|を求めよ。
mathnoriあたりで見たことがあるような。
あれだな、難問とその解法っていう本の幾何学編に載ってるな。