面白い問題おしえてーな 八問目

>>853
おいおい
その数字が妥当なものかどうかくらい、実際に作図してみりゃわかるんじゃないか？
１．４倍の半径だったら明らかに重なる部分が大きいだろ

２桁の数が書かれたカードが６枚ある。
このうちの５枚のカードに書かれた数は、小さい方から順に28、36、64、73、81
。残る１枚は内緒。
この６枚から１枚を捨て、残りの５枚を２つに分けてそれぞれ合計したところ、
その合計の比がちょうど2:7になった。次に、元の６枚からまた１枚を捨て、
残る５枚を２つに分けて合計したところ、今度は合計の比が１：３になった。

さて、内緒にしておいた残る１枚に書かれていた数は？

──友達に聞かれてわからなかった。一応そこそこの大学出たのに...

和算で出てきそうな問題だな

>>855
まず、２：７を作るためには小さい数字が９０以下にはならないといけない
その時点で、既出の数字では２８と３６の組み合わせしかないわな
となると内緒カードは７０か７９になる
どっちを使っても１：３は作れなかった

となると隠された数字は小さい数字になる

続く

迷える数学好きです。
さて、問題です！！半径１で、母線の長さが２の円錐
の入れ物があります。これに水を満タンまで満たします。そして、
鉛直方向から３０度傾けます。このとき、こぼれた水の量は？
なかなか難問です。

>>858
ちょっとまて、いまから実測するから

ああ、そか
１枚と４枚で２：７もありか

>>858
たしかに面白い問題だね

20%ぐらいだ。

某T大生の友達4人に解かせたんすけど、
みんなお手上げでした。
さらに驚くことにこの問題、なんと！！中学入試の問題なんです。

元の水の量を2*2*2（単位略）とすると残っている水の量が1*2*1だから
元の水の3/4がこぼれた。
違うかな？

…そんなにはこぼれていないような気がする（；´Д｀）

係数を省いた計算でスマソだけど、
中学入試レベルっていうんだから、やっぱりこういう感じの考え方で解けるはず。
元の水の量を2*2*2とすると残っている水の量が1.5*2*1で
5/8の水がこぼれた。

こんどこそ正解かな？

ちゃんと計算しようとしたら積分つかわなきゃできないもんねえ。

う〜ん、水平方向に切って積分に持ち込もうとしたが、
短径の長さが定まらないー。
これはかなりの難問ですな〜。

２８＋３６＝６４。
７０＋７３＋８１＝２２４。
８１＝８１。
３６＋６４＋７０＋７３＝２４３。

>>855
偶数なのは間違いないね

７０か

そんな単純な体積比の問題かな〜？
てか、元の円錐と残った水は明らかに相似じゃないっしょ！
やっぱこれは計算でゴリるしかないか。

（４√（３）−√（６））π／１２。

>>858
半分だ！

中学入試なら√もπも使わんだろう。

もとの量の5/8がこぼれたと出た。

何度か考えてみたが、やはり5/8になりそうな感じ。

37/64に一票。

>>858
俺も計算したら (4√3 - √6)π/12 になった。

あーもっぺん考えてみたらルート付きそうな感じが。

でも中学入試なんでしょ？

多分ホントの問題は円錐じゃなくて円柱

[>858]の問題は、カバリエリの原理を使うと出来る。
ちなみに、円錐を平面で切ったときの断面が楕円になることは知ってるよね？

蛇足：
円錐2z^2=√(3)(;x^2+y^2)を平面で切ったときの断面は、
二直線か、双曲線か、一直線か、放物線か、一点か、楕円であるかのいずれかである。
(さらに蛇足：円も楕円である。)

>>881
楕円の長径はどうやって求めるの？短径は√３

Re:>883
短径4/3,長径√(3)。重心ぐらい知っているだろう？

T大生も落ちたものだな。

King君、短径 √2 だよ…

ふーん…
で、解答は？ 小学生に分かるように解説してください。

中学入試って言われたからT大生も悩んだんじゃないの？

>>884
長径と短径逆だったかも知れないが
そこ、短径じゃないでしょ？
（２・（１／２）／（３／４）で求めたんじゃない？）

>>858の水面の短径は3/2だろ。
短径の中点は長径の中点でもある。
長径の両端で底面に平行な平面で切ると、断面はそれぞれ半径1と半径1/2の円。
その中間の高さで切れば半径3/4の円。
求める楕円の短径は、その円の直径でもある。

あ、間違えてた。
＞求めたい楕円の短径は、その円の直径でもある。
が嘘。
えーと、中心から1/4の距離の弦の長さだから、三平方の定理で
2√((3/4)^2-(1/4)^2)=√2だな。

はい失格。
小学生は三平方知りません。

>>852
半径 r の円の中心から測った、二つの円周の２交点のなす角を 2θ とすると、
X = R/r = 2sin(θ/2)
２円の交わる部分の面積 S は、計算してやると、
S = r^2 {π - sin(θ) - (π-θ)cos(θ)}
と比較的簡単な式になった。
S = (1/2)πr^2
として、この方程式の数値解を求めると、
θ = 1.235897, X = R/r = 1.158729

＃誰か、>>855 で、うまく可能性絞り込む方法わからない？
＃答だけ見てもつまらないぞ

>>855
６枚の総合計は2:7に分割可能だから9の倍数。
同様に1:3に分割可能だから4の倍数。
つまり総合計は36の倍数。
５枚の合計が282≡30 mod36だから、
残る１枚は6 mod36つまり6か42か78の３通りに絞られる。

>>858
＞さらに驚くことにこの問題、なんと！！中学入試の問題なんです。

これは嘘だな

>>880
＞多分ホントの問題は円錐じゃなくて円柱

ありそう

楕円の短径は3/2,長径は√(3),そして残る水はもとの1/4と。

今度こそ分かったぞ。
楕円の短径は√(65)/6,長径は√(3),
そして残る水は√(65)/6*√(3)/2*π*√(3)/3だ。

>893
一枚取る事を忘れてる。

わかっている数字をそれぞれ４と９で割ったときの余り（mod4とmod9ね）を考えると
28(0,1)
36(0,0)
64(0,1)
73(1,1)
81(1,0)
仮に取り除かれたカードが、その秘密のカードだとすると、残りの5枚は上記の5枚になるが
4で割っても9で割っても割り切れないから、最初のケース（2：7のやつ）も次のケース（1：3のやつ）も
取り除かれたのは秘密のカードではないことがわかる。

そうすると、取り除かれたのは上記5枚のうちのいずれかということになるから、次の4つの場合に場合分けする。
１・1回目は9の倍数、2回目は4の倍数のカードが取り除かれた。
２・1回目は9で割ったら1余る数、2回目は4の倍数のカードが取り除かれた。
３・1回目は9の倍数、2回目は4で割ったら1余る数のカードが取り除かれた。
４・1回目は9で割ったら1余る数、2回目は4で割ったら1余る数のカードが取り除かれた。

893の答えはこの1番目のケースに該当するよ。あとはmod7とかを考えると解けそうだが、すまぬ、これから午後の会議だ。

「円柱」を30度傾けるんだったら、小学生にも解けるの？

a_1 = 1
a_m = 1-a_{m mod floor(log[2](m-1))} （m≧1）
を満たす数列 {a_m} を考える。
つまり、
{a_1, a_2} = {1, 0}
{a_1, a_2, a_3, a_4} = {1, 0, 0, 1}
{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7, a_8} = {1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0}
・・・・・・
という数列である。

このとき {a_m} は、どの部分を取っても同一パターンを3回以上繰り返すことがないことを証明せよ。

floor(x) は、x を超えない最大の整数です。

かなり挑戦的な問題考えました。
もし解けたら号泣です。
面積1の三角形上に2点を独立の一様分布から選ぶ。
これら2点を通る直線は確率1で元の三角形を三角形と四辺形に分割する。
分割してできた三角形の面積をA、四辺形の面積をBとするとき、|A-B｜を求めよ。

mathnoriあたりで見たことがあるような。
あれだな、難問とその解法っていう本の幾何学編に載ってるな。

>>901
|A-B|の平均？