不等式スレッド
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それぢゃあこっちには三角函数を使わない方法を載せておこう。
Pから3辺 BC, CA, AB に下した垂線を PD, PE, PF とする。
∠QAB=∠CAP であるような半直線AQを引き、B,CからAQに下ろした垂線をBM,CNとする。
2角相等により △ABM∽△APE ∴ PA･BM=c･PE
2角相等により △ACN∽△APF ∴ PA･CN=b･PF
∴ PA = (c･PE+b･PF)/(BM+CN).
ところが、半直線AMNと辺BCとの交点をQとすると, BM + CN ≦ BQ + QC = BC = a.
∴ PA ≧ (c/a)PE + (b/a)PF.
循環的に加えれば PA+PB+PC ≧ (c/b +b/c)PD +(a/c +c/a)PE +(b/a +a/b)PF ≧ 2(PD+PE+PF).
等号の成立は △ABCが正三角形で, Pがその中心 という場合だけ。 [東山和生氏による]
ほかにパッポスの定理や(外接円に関する)トレミーの定理を使う方法もあるらしい。
〔参考文献〕
｢数学の問題 第(1)集｣ No.53 日本評論社(1977) [数セミ,４０(2) (2001,Feb.)で再出題]
N.D.Kazarinoff: "Geometric Inequalities", RandomHouse(1961) → 数理科学,１(4),サイエンス社(1963.10)
P.Erdosの問題: Amer.Math.Monthly (1935) → 大関:｢不等式への招待｣ p.14 近代科学社(1987.12)
それぢゃあこっちには三角函数を使わない方法を載せておこう。
Pから3辺 BC, CA, AB に下した垂線を PD, PE, PF とする。
∠QAB=∠CAP であるような半直線AQを引き、B,CからAQに下ろした垂線をBM,CNとする。
2角相等により △ABM∽△APE ∴ PA･BM=c･PE
2角相等により △ACN∽△APF ∴ PA･CN=b･PF
∴ PA = (c･PE+b･PF)/(BM+CN).
ところが、半直線AMNと辺BCとの交点をQとすると, BM + CN ≦ BQ + QC = BC = a.
∴ PA ≧ (c/a)PE + (b/a)PF.
循環的に加えれば PA+PB+PC ≧ (c/b +b/c)PD +(a/c +c/a)PE +(b/a +a/b)PF ≧ 2(PD+PE+PF).
等号の成立は △ABCが正三角形で, Pがその中心 という場合だけ。 [東山和生氏による]
ほかにパッポスの定理や(外接円に関する)トレミーの定理を使う方法もあるらしい。
〔参考文献〕
｢数学の問題 第(1)集｣ No.53 日本評論社(1977) [数セミ,４０(2) (2001,Feb.)で再出題]
N.D.Kazarinoff: "Geometric Inequalities", RandomHouse(1961) → 数理科学,１(4),サイエンス社(1963.10)
P.Erdosの問題: Amer.Math.Monthly (1935) → 大関:｢不等式への招待｣ p.14 近代科学社(1987.12)
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