★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第一問)
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/l50
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ (第二問)
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/l50


　関連スレ
面白い問題おしえて〜な 七問目
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/l50
恐ろしく難解な問題をだせ！
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049652059/l50

　　　　　　　　　　　　　　 /　　／　　　　　／　　　|　 　 　 ＼ ヽ
　　　　　　　　　　　　 　 /　／　 ／　　 / /　　　 ||　 |　　i　 ヽ i
　　　　　　　　　　　　　 i　/　　/　/　　/ / /　 　 ||　 ||　　|│ |ﾉｽ
　　　　　　　　　　 　 　 |//　 /　/___, -一ｧ|　　/! |ﾄ、|│　|　|　く」
　　　　　　　 　 　 　 　 |,-‐¬ ￣---┘'７ |!　 ﾊ! |,､-┼十|!　|　| |
　　　　　　　　　 , -‐ ''"　　し' '´_ ／,ィ二l |ﾄ、/!ヽﾄ､＼_ヽ!|!l　| ﾊ |
　　　　　　　,r／　　　　　　__　　 ,イ|ﾘ ヾハ! ヽ!　 ,ィ⌒ヾﾐﾘﾉ!/ﾘ　 |
　　　　　 ／ ||ヽ　　-'　　 　 ／￣ )｀　__　　　　　　|ヒﾉ:} '` ,ｲ/ |　 |　
　　　 ,r '　　 ヾ､　　,-､＿___ , イ￣,r=＝-　　　　　　==-'　 ﾚ' /|　 | 　　
　　／　ヽ　　　 `ーｿ　 '　|　|ﾄ､,ﾍ ′""　　　　　　　 　 "" / / ||　|　　　
. ／　　　 ＼_　　／　　|　ﾊ　ヽ｀ﾞ'ﾍ　　　　　　 ' '__. ィ　　／ / | |　 |　　
　　 　 　 　 　 ／　　 /　/ |　 ヽ 川＼　 　 ヾ三ﾆ‐'′／/! |　 | |　 | 　　　新スレ、乙であります
　　　　　　　 /　　　 /　/ 八　 ＼川| |`ト-　..　 __ , イ‐ｧﾍ |　 | ||　 |!
　　　　　　／　　　 /　/ /　 ＼　 ＼ 「`ー- ､　　　　／ 　.〉　 ト､|　 ヽ、
　　　　 ,イ　　　 ／-─＝¬ﾆヘ､_　 ＼ 　 厂＼　厂ヽ　/!| 　 |　`ｰ＝ﾍ
　-‐ ￣ /─　' ￣　　　　　├-　ヽ＼　 ＼ﾉ＼　＼　人 ﾊ!ヽ　||　　|-┤ ヽ
　 　 　 /　　　　　　　　　 ／!‐--　| |＼ 　 ﾄ､_｀ヽ oヽ　　ﾄ､!　 ||　　|‐┤- ヽ
　　／/ 〉　　　　　　__ ／　 ├‐-　 ||　 | 川-‐　　|　|　　厂7! ﾊ!　 ├:┤　￣ヽ
　　／ / ｰ ─ 　 ￣ 　 　 　 ├‐-　ﾘ　 || ﾊ!ﾍ　　 |　|　　ト┤|/′　ヾ,┤　　　ﾞi_
　　‐ '　　　　　　　　　　　　　 〉‐-　　　 | /　/＼ .|o |　/ヽ/（′　 　 ∨　　　　 ＼
‐--─　──-r､___-､　　　　/ー_　　 　 {(　　　'´＞､! /ヽ/　　　　　　 |＼ 　 　 　 ＼

さっそく、面白い問題を出してくれ〜

(1)半径１の円に内接する正n角形（n≧3）がある。
この正n角形の二頂点間距離の二乗和を求めよ。

(2)半径１の球に内接する正20面体がある。
この正20面体の二頂点間距離の二乗和を求めよ。（正20面体は球の中心に関して点対称な立体である）

「京大」って文字を消してんじゃねぇよﾊﾞｶﾔﾛｳーーーーーﾌｶﾞｰｰｰｰｰ

東大後期タイプ（？）な問題を考えました。

f_n(x)=sin(nx) とする。
このとき実数x＞０に対し、x_n→x(n→∞)かつ
全ての自然数nに対してf_n(x_n)=−１となる
数列｛x_n｝は存在するか。
存在すればそのx_nを求め、存在しなければそのことを証明せよ。

シンプルだけどかなり難しいと思うんで、チャレンジしてみて！

体積がVの粘土の塊がある。これで直円錐形のやじりを作るときやじりの表面積の最小値を求めろよ

>>5
うっかりしてた、超ゴメン。
次スレ立てるときに、前スレのタイトルも含めて訂正しましょう。

>7
直円錐の半径をｒ、高さをｈとおくと
V=πr^2h/3
また直円錐を展開した側面の扇形の中心角をθとすると
２πr=θ√(r^2+h^2)

だから表面積S(r)は
S(r)=πr^2+π(r^2+h^2)2θ/2π
　　=πr^2+2πr√(r^2+h^2)　
　　=πｒ^2+2πr√(r^2+9V^2/π^2r^4)
={πr^3+2√(π^2r^6+9V^2)}/r

S'(r)=[{2πr^3√(π^2r^6+9V^2)}r-{πr^3+2√(π^2r^6+9V^2)}]/r^2
=(2πr^3√(π^2r^6+9V^2)+4π^2r^6-18V^2)/r^2√(π^2r^6+9V^2)
S'(r)の分子=4π^2r^6+2πr^3√(π^2r^6+9V^2)-18V^2

ここで分子が０となるのは
{2πr^3√(π^2r^6+9V^2)}^2=(18V^2-4π^2r^6)^2
ｒについて整理しr^6=tとおくと
π^4t^2-15π^2V^2t+81V^4=0
とｔの二次方程式になるので解くと
t=V^2(15-3√13)/π^2
したがって最小値は
{√(15-3√13)+2√(24-3√13)}{π^2V^4/(15-3√13)}^k
ただし、k=1/6

0<a<π/4、0<b<π/4であるa、bについて下の不等式が成立することを証明せよ。

√{tan(a)・tan(b)}≦tan((a+b)/2)≦{tan(a)+tan(b)}/2

>>10

昔の京大の問題じゃねーの？
使い回すなよウンコ

スレ違いすぎだな

>>10
荒らしはやめてください。

0<a<π/4、0<b<π/4であるa、bについて下の不等式が成立することを証明せよ。

√{tan(a)・tan(b)}≦tan((a+b)/2)≦{tan(a)+tan(b)}/2

単発定理シリーズの次は単発入試予想シリーズだな

良スレ保守

>>6

∃n∈N s.t. sin(nx)=-1

を満たすx∈[0,π]は[0,π]で稠密。

で終わりで(　・∀・)ｲｲ!?

>>17
自己レス。
これじゃ駄目ぽだった・・・（゜д゜)鬱死・・・

nについてのかなりの飛躍が必要だが>>17であってることはあってるのか。

贔屓目にみれば考えの方向はわからないでもないけど
かなりだめぽだと思う

>>6
x>0,自然数nに対し,自然数mを
2m/n<=x/π<=(2m+1)/nもしくは
(2m+1)/n<=x/π<=2m/n
となるように取ることが出来る。
この時、x_n=-(π/(2n)+(2m)π/nと定めると
|xn-x|=|(2m)π/n-(π/(2n))-x|<={1+|π/2|}/nより
x_n→x
nx_n=-π/n+(2m)πだからsin(nx_n)=-1
これじゃ駄目か？

おっと
nx_n=-π/2+(2m)πだからsin(nx_n)=-1
だね。 駄目だなこりゃ。宇津田。

さて、瞬殺可能な問題は早めに片づけておこう。
>>4
(1)
　x-y座標平面を導入し、半径1の円をx^2+y^2=1と表す。
明らかに正n角形の頂点はx(k)=( cos(2kπ/n) , sin(2kπ/n) )と表される。
二頂点x(i) , x(j)の距離の二乗をd(i,j)とすれば、余弦定理より
d(i,j) = 2 - 2cos( 2π(i-j)/n )が成立する。これより求める二乗和は
Σ[1≦i,j≦n] d(i,j) /2
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n] cos( 2π(i-j)/n )
= n^2 - Σ[1≦i,j≦n]( cos( 2πi/n )*cos( 2πj/n ) - sin( 2πi/n)sin( 2πj/n) )
= n^2 - Σ[1≦j≦n]( cos( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] cos( 2πi/n ) ) - Σ[1≦j≦n]( sin( 2πj/n )*Σ[1≦j≦n] sin( 2πi/n ) )　--[Eq.1]
と計算出来る。また、虚数単位√(-1)を用いてz = ( cos(2π/n) + √(-1)sin(2π/n)とすれば、
Σ[1≦k≦n] z^k = 0　が成立するため、両辺の実部と虚部を比較して
Σ[1≦k≦n] sin( 2πj/n ) = 0　　Σ[1≦k≦n] cos( 2πj/n ) = 0
[Eq.1]にこれを代入すれば、n^2と計算出来る。

(2)
　正二十面体は三角形が二十個合わさった形であり、各頂点には５つの三角形が集まっている。
そのため、頂点の総数は3*20/5=12　辺の総数は3*20/2=30と計算される。
　また、正二十面体の任意の頂点Aに対し、ある点Bが存在し、ABは外接球の直径をなす。
PをA,B以外の頂点とすれば、AP^2+BP^2=AB^2=4。が成立する。A,Bを固定すればこのような点Pは10個取れるため。
それらの総和は40。点Aを移動させる事により、直径を成す二頂点以外の距離の二乗和を求めれば、40*12/4=120。
直径を成す二点を考えれば、その距離の二乗和は、4*12/2=24となる。
結果、両方をあわせれば、144。

>>6
sin(ny)=-1　⇔　ny=(4m-1)π/2　⇔　y=(4m-1)π/(2n)　ただし、mは整数。
数列、y(m,n)をy(m,n)=(4m-1)π/(2n)で定義すれば、
任意の自然数n、実数xに対して、n,xに依存したある整数m(n,x)が存在し
y(m,n)≦x＜y(m+1,n)　　--[不等式1]
さらに、y(m+1,n) - y(m,n) = 2π/n　が成立するため、
[不等式1]はさらに変形出来て
x - 2π/n ≦ y(m(n,x),n) ≦ x ＜ y(m(n,x)+1,n) ≦ x + 2π/n
となる。
xを定数と考えれば、y(m(n,x),n)はnを添え字とする数列と考えられる。
数列y(m(n,x),n)、y(m(n,x)+1,n)は共に
x - 2π/n ≦ y(m(n,x),n)、y(m(n,x)+1,n) ≦ x + 2π/n
を満たすため、n→∞としたときxに収束する。

このため、このような数列y(m(n,x),n)を考えれば
それは任意の実数xに収束する。

======

不思議な事にあってる気が全くしない。
どこか(or全部)間違ってるはず、訂正希望。

0<a<π/4、0<b<π/4、0<c<π/4　かつ　(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1が成立するとき、
cos(a+b+c)の正負を調べよ。

>>24
訂正(揚げ足取りでｽﾏｿ)

y(m,n)≦x＜y(m+1,n)　　--[不等式1]
→y(m(n,x),n)≦x＜y(m(n,x)+1,n)　--[不等式1]

個人的には、>>24で正解な気がするけれど。

あってるか。。うん、なんかそんな気がしてきた。　昨日は二つ解決と

「一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」

難問。

m, n(≧5), a_1, a_2, ……, a_m-1, a_mはすべて自然数とする。

<a_m, a_m-1, ……, a_2, a_1>m = Σ[1≦k≦m]a_k*k! (1≦k≦m, 0≦a_k≦k, a_m≠0)とおく。

n!を <a_m, a_m-1, ……, a_2, a_1>m で表せ。

１ｈかけた自分のを卓越するような解答を、願います。

またマルチか

東大が好んだ、複数動点が登場する問題。

OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）
点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）
点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡

凸四角形ABCDがある。　AC、BDが対角線を成し、その交点をEとする。
∠CAD=40°∠ACD=80°∠CAB=55°∠ACB=25°であるとき、
∠CEDを求めよ。

>>28
プレの問題出すな。

>>29
問題の意図が掴みにくい。ただa_k・k!をそう表しているだけなら、ずらせば済む話だし

>>24　ブラボー＆漏れの解答↓。

任意のｘ（>０）及びｎに対し、ある負でない整数ｋが定まって
　　　　2πｋ/ｎ≦ｘ< 2π（ｋ＋１）/ｎ
が成立する。すなわち、０≦α＜2π/ｎであるような実数αがあって、
　　　　ｘ＝2πｋ/ｎ＋α
とかける。
　　　　ｘ_ｎ:＝3π/2ｎ＋2πｋ/ｎ
　　　　　　　　↓　　　　↓
　　　　　　（　０　　　　ｘ　）
と定義してやれば、　ｘ_ｎ→ｘ　（ｎ→∞）であり、
かつ全てのｎで　f_n(x_n)=−１　である。

この問題のポイントは、ｆ_ｎ（ｘ）が周期関数なので、
どんなｘを取っても幅が2π/ｎのある区間に入るというところ。
ｎを大きくすればそれに応じて幅も小さくなることを上手く使ってやる。

成りすましクンが居ますね。

>>21 も正解ではないか？何を凹んでいるのだ？

・・・この問題、結構簡単だったみたいだな。ゴメンよ。
ゼミのテキストのExampleから思いついたのだが、
いまいち底が浅かったかな。

相手が悪かったな、>>35よ。
この問題はsin(nx)がΓ-収束していることを
checkする例から取ったものなのだ。
よってオマエが成りすまし。

ちなみにΓ-収束に関しては、
Gianni Dal Maso
『An Introduction to Γ-Convergence』を参照。

厨房相手にムキってんじゃねーよダサ坊が

>>646

超ワラタ

東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
�@与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
�A1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
�B平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。

東大は図形大スキ見たいのなので演習問題を３つ
�@与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
�A1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
�B平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。

>>40,>>41誤爆ｽﾏｿ!

むしろ京大の論文っぽい問題だけど・・・（ｽﾏｿ

xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。

（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。

次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。

（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。

出してばっかじゃつまらんから解けよお前ら

解答専用の別スレがあれば解くかもしれないけどな。遠慮しておくよ。

じゃはりきって解こうぜ！

とりあえず>>40と>>43にでもとりかかってみるか

俺は上から順番に・・・
>>10と>>25が残ってる。

>>48
両方、俺の出題ｗ
>>10は京大の過去問とは知らずに出してしまいスマソ。
三角関数関連の問題を作成しているところ、思いついた問題のうちの一つだったから

それと>>10は何年くらいの京大の過去問か情報キボンヌ。

>>49

９１年・京大前期。
このスレに出入りするんなら、東大・京大の過去問くらいチェックしとけ。
ちなみに左側の不等式は難問と評判だな。

受験って凸不等式つかえないんだっけ？つかえるなら>>10は一撃だけど
だめなんだろうなやっぱ。まあ２変数だったら凸不等式自体その場で凸不等式証明すれば
問題ないんだろうけど。

>>50
情報サンクス。問題演習量の少なさを痛感ｗ
左側の方は難問か？標準的だと思うのだが・・・

a+bを固定して解く、加法定理で半ごり押し、エレガントに対数、等いろいろ解法を出せるから面白いと思うけどね。

>>51
証明さえすれば、オッケーだとは思うが。

★センター試験の数学の得点の７割は「１××」　センター試験、数学の得点に偏り

・大学入試センター試験の数学の得点では、得点の数字の最上位が「１」の
　場合が圧倒的に多い――東京理科大の芳沢光雄教授（数学）、大学院生の
　穂積悠樹さんらが過去の得点分布を調べてわかった。３けたの得点では、
　６割以上は百の位が１だった。自己採点を間違えた人でも頭を１にすれば
　正しい得点になる率は上がる。芳沢さんは、青天井配点のようなどんぶり
　勘定方式を採用するなど改善すべきだという。

　穂積さんは、昨年までの１３年間にわたるセンター試験の「数学１・Ａ」と
　「数学２・Ｂ」について、本試験と追試験の全得点分布を調べた。

　企業会計や人口、住所番地などの数字の最上位は「１」に偏り、２〜９と
　ふえるほど出現率が減る。３０年代に米物理学者がこの傾向を見つけ、
　「ベンフォードの法則」と名付けられた。法則では「３割程度が１に偏る」が、
　数学の得点はそれよりも偏りが激し過ぎる。

　センター試験では、頭が1の得点が多くなりすぎないように、満点を
　200点にするなどの工夫をしている。それが裏目に出たと芳沢さんはみる。

　センター試験に限らず、大学入試全般で120点満点や150点満点などの
　頭が1になりやすい方式が多くなっている。芳沢さんは「集計が楽だから
　と安易な方式に頼らず、512点満点など、受験生の本当の力をみる努力
　をすべきだ」と話す。

>>53
コピペにマジレスすまんのだが、
それのどこが得点の偏りになっているのか誰か説明してくれ。

>>43
「妥当」っていうのは、期待値的に、確率的にってことだよね。
むずいなぁ・・・

>>40やってる人いる？

43は妥当の意味のとり方によって答えは変わるよなぁ。
いや、変わらないかもしれないけど。
計算の仕方は大体分かるけど、面倒そう。

age

それで>>29 >>31の結論　つきました？

正方形の各点ABCDがあり、AからCに引いた直線とBからDに引いた直線の交点をEとします。

その交点Eを通る直線を辺DC上から引いたとし、その辺DC上との交点をFとします。

ただし、このときの∠CFEは40°以下であること。

この直線FEの延長上にある点Gを、AF＝EGとなる位置におきます。

この△AGE上をA君が歩くと3分40秒かかるそうです。

しかしA君の靴紐は1分間に一度必ずほどけてしまい、その度に20秒間のロスがあります。

その条件でA君の速さを50分間測定し、その平均をだすと時速2200Mとなりました。

同じように△FEC上をB君が歩くと2分30秒かかりました。

B君の歩く速さは常に一定で、時速0，00000000000000003光年となります。

ただし、1光年は9兆5千億kmと考えます。



このとき、A君の好きな人は誰でしょう？

>>60
この話は本当ですか？

ペトロナスタワー
http://www.kajima.co.jp/gallery/const_museum/kousou/main/honbun/img_p/18.jpg

まず左のタワーをハザマが建てた。
それをパクりながら三星が右のタワーを建てたが傾いた。

>>60
>>60

>>60>>62
おまいらなかなかやるな。

<<60
三行目ですでにダメなわけだがな。

>>64
出だしですでにダメなわけだがな。

放物線y=x^2 をCとおく。いま、y>x^2を満たす領域にある点P(p,q)が
次の条件を満たすとき、p,qの満たすべき必要十分条件を求めよ。
　(条件) Pを通るCの任意の弦を直径とする円が
　　常にある定点を通る。

>>66

昔、だいすうの学コンで、似たようなのが出てた気がする。

>>66
q=p^2 +1

フィボナッチ数列A_n+2=A_n+1 + A_n（n=1,2,3・・・）において、
13の倍数をとる項はnが7の倍数のもののみであり、nが7の倍数の項は全て13の倍数であることを証明せよ。

D＊＊＊＊

>>69
A_1=A_2=1が抜けてるがまあいいとしよう。
とりあえず簡単だろ。C***くらいじゃね？　以下解答。

数列A_nを13で割った余りをR_nとする。すると数列{R_n}は以下のように循環数列になる。
1,1,2,3,5,8,0,8,8,3,11,1,12,0,12,12,11,10,8,5,0,5,5,10,2,12,1,0,
1,1,2,3,…
1行目の28個の項において第7項、第14項、第21項、第28項はいずれも0であるから。
第7n項（n=1,2,…）はいずれも0である。すなわちR_7n=0であるからA_7nは13の倍数。
また、それ以外の項はR_nが0でないから13の倍数でない。

これが13じゃなくて37とかだったら書き出す気も失せるが、
高々169項での循環ならこっちの方が早いかと。
そういえば、このようにひたすら1の位だけを計算させる試験みたいのがあったな。

計算方法の基本である、カッコ内を優先して行わなければならない理由を、例に挙げて計算し、矛盾を示したうえで説明せよ。

>>71

おまいは何を考えているのかと小一時間（ry

あぁ・・・最初の２項について書き忘れていた・・・
>>70
正解。ただ試験中ここまで実験しきれる受験生はそこまで多くないだろうということでＤ。
また、小問二つに分けて、（１）でA_n+2=(A_k+3)・(A_n-k)+(A_k+2)・(A_n-k-1)を示させる問題にして（２）を>>69にしてはどうだろう。
まぁ、受験生を攪乱しているのか！と言われそうだが

馬鹿か

>>66
エクストラ数学にあったな、それ。
円をベクトル表示して解いていくって作業が特徴的だが、そこまで難しくない。

係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の解が全て有理数ならば

f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k)　（m_i、n_iは全て整数）

と書けることを示せ。

>>76
「f(x)=0の根が全て有理数ならば」にしとく

代数学の基本定理と、ガウスの定理ですか。
難しくないですか？

>>71
なるほどね、簡単だが気づかない奴には気づかないかもな。
ようするに、虚数の問題だな。

>>75
エクストラ数学って何？

>>79
ﾌﾟﾌﾟｯﾌﾟﾌﾟｸﾌﾟﾌﾟ

　1=√1 …　(1)
=√(-1×-1) …　(2)
=√(-1)×√(-1) …　(3)
=i×i …　(4)
=-1 …　(5)

このような矛盾が起きるため、(2)から(3)に移るところカッコ内の計算を先にしなければならない。
よって、題意なり。

括弧内の計算と言うよりも、
√ab = √a√b は高校まででは、a, b > 0 のときしか
成り立たない公式であると言うことが、いろいろとアレだと思う。

本質的に非結合的な二項代数の例を挙げれば十分だしょ。
実数a,bに対し実数a§bをab-1かなんかで定義。この時
a§(b§c)≠(a§b)§c
例a=1,b=2,c=3
1§(2§3)=1§5=4
(1§2)§3=1§3=2
()内を先に計算すると約束してある。約束どおり計算しなければ結果が異なって
しまう。

正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。

2/3＜sin2であることを証明せよ。

数値近似系は飽きた。

もっと違うの出すれよ

>>87
まぁ待て、出題したからにはエレガントな解答があるに違いないッ！
この前の tan2005°では、凸不等式をさりげなく使ってたしなぁ…

>>86
模範解答をキボンにゅ！

　　　　　　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　　　ﾋ‐=r=;'　 　　 　∬　　 ／　
　　　　　　　　'ヽ ▽/　　っ━~~　　＜　見せてもらおうか>>86、エレガントな解答とやらを・・・
　　　　　　＿と~,,　　~,,,ﾉ_. 　∀　　　＼
　　　　　　　　　 ﾐ,,,,/~), │　┷┳━　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　￣￣￣ .じ'Ｊ￣￣|　┃
　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣ 　┻

ﾁﾝ　　　　　　☆　　ﾁﾝ　　　　　　　☆
　　　　　　　ﾁﾝ　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　　ﾁﾝ　　　　　♪
　　　　　　　　　　　♪
　　　　♪　　　　　　　　　　☆ﾁﾝ　　　 .☆　 　ｼﾞｬｰﾝ！　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜!
　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　　〃　 ∧＿∧ 　ヽ 　　　　　 　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　 　　ヽ　　＿＿_＼（・∀・ #）　／＼＿／　＜　 >>86の解答 まだー？
　　 　 　 　ﾁﾝ　 　 ＼＿／⊂　　　　つ 　 　‖　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣￣／| 　 　 ‖　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜!
　　　　　　　　| ￣ ￣￣￣￣￣￣:|　:|　 　／|＼
　　　　　　　　|　 　　　　　　　　 　 |／

　　　　　　　　ｽｺｺｺﾊﾞｼｯｽｺﾊﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾝｽｺﾊﾞﾝｽｺ　　＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
　　　　　　　　　　　　从　`ヾ/゛／'　　"＼' /".　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　|
　　　　　　　�� ≡≪≡ゞｼ彡 ∧＿∧ 〃ﾐ≡从≡=＜ まだぁー？　 　 　 　|
.　　　　　　　　　 '=巛≡从ミ.（・∀・# ）彡/ﾉ≡》〉≡　|＿　 ＿　 ＿　＿　＿　＿　＿＿ ＿|
...　　　　　　 　《゛=!|l|》ﾘl⌒! Ｉ⌒I　I⌒I I⌒I从=≡|l≫,
　　　　　　　　　 《 l|!|!l!((つT(つ) ((つT(つ)) !|l!|l;》;
　　　　　　　《　l|!|￣|￣γ ⌒ ヽ　γ ⌒ ヽ三ll≡|l》;
..　　　　　　　 《l|!|　 | （（TAMA））（（TAMA））||l|||l　》;
　　　　　 �� ≡丿-へ/人 ＿ 人 人　＿　人//へヾ
　　　　　　　　　　ﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞﾄﾞ

>>88
エレガントな解答がなくてスマン。

sinx＜x（0≦x≦1）より両辺2乗して整理すると1-x^2＜(cosx)^2=(1+cos2x)/2
∴1-2x^2＜cos2x ∴∫[0,1](1-2x^2)dx＜∫[0,1]cos2xdx ∴2/3＜sin2

sinx≦xだった。すまん。最後の積分の前まで＜→≦でよろ。

>>86
=sin(2*180/3.14)=sin(114.64)=sin(65.35)>sin(60)=3^.5/2=.866
>2/3=.666

「１＋１」がなぜ「２」となるのかを記述しなさい。

>>95
定義の意味わかってないだろ。だってそれは定理じゃないっしょ。

n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。

>>25の模範解答まだー？

もう流されたかと思っていたよ（汗
ってか、すまん（ぇ）0<a<π/4じゃなくて全てπ/2だよ（氏
答えには支障ないだろうけど、考えてくれた人がいるかどうかはわからんが、すまん・・・

−解法例１−
0<a<π/2、0<b<π/2、0<c<π/2より0<a+b+c<3π/2
そこでa+b+cがπ/2以下だと仮定すると、
cos(a+b+c)=cos(a)・cos(b+c)-sin(a)・sin(b+c)≧0
即ち、cos(a)・cos(b+c)≧sin(a)・sin(b+c)・・・（１）
0<a<π/2、0<b+c<πだから、sin(a)とsin(b+c)は正なので、両辺二乗しても符号は変化しない。
ここで条件式を使って、（１）の両辺を二乗したものを整理すると、（sinのみの式にして加法定理のみなので略ｗ）
cos(b+c)≦0、つまりb+c≧π/2
しかし、これは最初の仮定と矛盾するので、以上より、π/2<a+b+c<3π/2
∴cos(a+b+c)<0　である。

−解法例２−
方針「0<a+b+c≦π/2におけるa,b,cについて考えていく」
sinθは0<θ<π/2において単調増加・・・（１）
よって、A+b+c=π/2となる時、(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2≦(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2・・・（２）
また、（２）の右辺を整理すると、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=3/2-1/2(cos2A+cos2b+cos2c)
=3/2-1/2(2cos(A+b)・cos(A-b)-cos2(A+b))
=1-cos(A+b)(cos(A-b)-cos(A+b))
=1-2cos(A+b)・sinA・sinb・・・（※）
ここで、sinA>0、sinb>0、そしてA+b<π/2より、cos(A+b)>0であるので、（※）より、
(sin A)^2+(sin b)^2+(sin c)^2＜１

よって、A+b+c=π/2、（１）より(sin a)^2+(sin b)^2+(sin c)^2=1となるのは、π/2<a+b+c<3π/2
従って、cos(a+b+c)<0 である。


こんな感じ。

>>97
http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennNecklaceEJC.html
http://mathworld.wolfram.com/Necklace.html

>>100
ちがうよ。>>97は回転しておなじになるやつを同一視するとはひとこともかいてないでしょ？

>>97
k^(n-2k-1)

>>102
不正解

>>101
K^(n-2k)

>>104
不正解

すくなくともn>6個の円状の座席のなかからとなりあわない３席をえらぶくみあわせは
(1)条件がなければ(1/6)n(n-1)(n-2)
(2)うち一組がとなりあうくみあわせの数はn(n-4)
(3)うち２組がとなりあうくみあわせの数はn
∴その数は(1/6)n(n-1)(n-2)-n(n-4)-n=(1/6)n(n-4)(n-5)
k=3のときこれに一致しないのは正解ではない。

>>106
7*3*2/6=7
ababab^2=1
?

n=7のときは
○×○×○××
○×○××○×
○××○×○×
××○×○×○
×○××○×○
×○×○××○
×○×○×○×
の７通り。

>>106
nk^(n-2k-1)

>>109
ちがう。k=3のとき(1/6)n(n-4)(n-5)にならんといかんっちゅうに。

A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1〜n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。

ｎは３以上の整数、kは自然数とします。

>>111
ドモアブルと二項定理を用いてゴリゴリやる。
某スレでイヤというほどやったテク。
超既出。

>>113
具体的にはどうするん？

某スレを隅々まで読んで考えろ！

ちなみに某スレはこちら
http://pink.bbspink.com/test/read.cgi/avideo/1061400369/

>>116
ありがとう・・・


　　　　　　　　(ノ｀m´)ノ ~┻━┻ (/o＼) お父さんやめてー

実数a,b,cはある自然数の定数kに対して
　a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
　a^k+b^k=c^k
　a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。

>>118
１しか解けませんでした！

age

>>118
(1)
2式よりa=0⇒b=c
2式よりb=0⇒a=c
2式よりc=0,k≡0mod2⇒a=b=0
1式よりc=0,k≡1mod2⇒a=b=0
abc=0⇒a=0,b=c , b=0,a=c
ゆえに

>2式よりa=0⇒b=c
>2式よりb=0⇒a=c
嘘だ。やはりkの奇遇で場合わけが必要。
（2）は？

q

>>118の訂正。
（条件追加）ただし、0^0は0または1いずれかの好きなほうを選択して解答せよ。
（問題訂正）
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。
↓
（1）abc=0のとき、a^2+b^2+c^2=2(-ab+bc+ca)が成り立つことを示せ。

すいません。やっぱり
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
にしてください。>>124を変形しただけですが。

>>125
>>118の設問なら0^0=1と考えるのが自然っぽいけど(∵実数^整数の形なので)
いづれにしても微妙だから受験問題のつもりならどちらかキチンと指定しておくか
k≧2にしておく方が試験問題としては安全だと思う。

>>126
確かに曖昧すぎたかもしれなかったですね。
k≧2の方が混乱が少なくていいのかな。
そんなわけで以下>>118の訂正版（+α）。

実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
　a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
　a^k+b^k=c^k
　a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。

a_1 = p, a_n+1 = a_n(a_n - 2)となる数列{a_n}の一般項を求めよ。

>>128
回答例ヨロシクネ。

a_n=2cos(t_n)+1

>>129
誰か解いてくれてもなぁ。（この板の住人にとっては簡単だろうに

−略解−
（与式）より(a_n)-1=(b_n)+(1/b_n)とすると、(b_n+1)+1/(b_n+1)=(b_n)^2+(1/b_n)^2
よってp=(b_1)+1/(b_1)の解をα、βとすると、帰納的にa_nは下のように書け、一般項は求められた。

a_n=1+{α^(2^n-1)}+{β^(2^n-1)}（但し、α、βはb_1≠0より、二次方程式(b_1)^2-p(b_1)+1=0の解）

α、βは長くなるので、説明だけにしています。

二次の正方行列A=|0　-1 |（自然数p,qは互いに素）が存在する。
　　 　　　　 |1　2cos(qπ/p)|
A^n=Aとなる２以上の自然数nを求めよ。

a_11=0、a_12=-1、a_21=1、a_22=2cos(qπ/p)ね。

p=1のとき解なし。
p≠1かつqが奇数のとき2mp+1（mは任意の自然数）
p≠1かつqが偶数のときmp+1（mは任意の自然数）

>134
正解

0以上1以下の数１つを実数を生み出す乱数発生装置がある。
この乱数発生装置は故障していて，ある数が生み出される確率は，
その数の大きさに比例するという。
このとき，この乱数発生装置によって生み出される数の期待値を求めよ。

･･･微妙か？日本語変だったら直してくれ。

2/3

やるじゃん。

誰かスレの最初の方のかたずいていない問題解いてくれー
（ってか出題者、解答だせ）

>>139
ドレが解かれてないか調べるのが面倒だ。挙げてくれ。

>>139
（誤）かたずいていない
（正）かたづいていない

早く日本語覚えてね。在の方

>>97まだだよ。

>>136
真面目に考えると面倒だけど、答えだけなら三角形の重心を考えれば瞬殺

>>143
同感
てか問題見た時にそっちにイメージがいってしまった。

■■１■■
一般項がan=np^nで与えられる数列an(n=1,2,3…)に於いて、任意の自然数nに対してa1≦anが成り立つ為に実数pが満たすべき必要十分条件を求めよ。但し、必要ならば｜p｜＜1の時、n→∞ならばnp^n→0であることを用いても良い。」


■■２■■
OA=OB=8を満たす二等辺三角形△OABがある。（１）,（２）に答えよ｡
（１）点Oを中心とする半径6の円C1、点Aを中心とする半径1の円C2、点Bを中心とする半径1の円C3とする。
円C1上の点P、円C2上の点Q、円C3上の点Rを結ぶと△PQRが正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ。
（２）点Oを中心とする半径6の球S1、点Aを中心とする半径1の球S2、点Bを中心とする半径1の球S3とする。
球S1上の表面上の点P´、球S2上の表面上の点Q´、球S3上の表面上の点R´を結ぶと△P´Q´R´が正三角形となるような辺ABの長さの範囲を求めよ｡

■■３■■
（１）与えられた四面体の6つの2面角(即ち隣り合う面の間の角)の内5つが等しいときこの四面体は正四面体であるかどうかを示せ。
（２）1辺の長さが2の立方体の内部(表面とは限らない)に立方体の最も遠い2つの頂点を結んでいる折れ線がある。
　　折れ線の頂点は立方体の表面にあり折れ線を構成する各辺の長さは3である。このような折れ線の辺の数の最小値を求めよ。
（３）平行で相違なる2枚の平面Π1,Π2上に各々凸多角形α=A1A2...Am,β=B1B2...Bnがある。
　　点P,Qが各々多角形α,β上を動くとき線分PQが動いてできる立体Tをα,βを底面とするプリズム体と呼ぶ。Π1とΠ2の丁度中央(両平面から等距離)にある平面Π3によるTの切り口をμとする。
　　α,β,μの面積がa,b,mであり,Π1とΠ2の間の距離がhであるときプリズム体Tの体積をa,b,m,hを用いて表せ。

■■４■■
xy平面上に(0,0)(0,100)(100,100)(100,0)を頂点とする正方形がある。
この正方形の内部、及び周上に点を打ち、その点を中心とする半径１の円を描く。
次の問１、２に答えよ。
ただし、点は無作為に打つものとし、円周率π=3.1415・・・とする。

（１）点をいくつ以上打てば、点（a,b)（0≦a≦100、0≦b≦100）が描かれた円内に入っている確率が1/2を越えるか求めよ。
（２）正方形内で描かれた円の占める面積が5000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。

次に一辺の長さが100の立方体内に点を無作為にうち、この点を中心とする球を置く。
次の問３に答えよ。

（３）この立方体内に置かれた球の占める体積が500000以上になるには、いくつ以上の点をうつのが妥当か求めよ。

■■５■■
係数が全て整数の多項式f(x)において、f(x)=0の根が全て有理数ならば
f(x)=(m_1x+n_1)(m_2x+n_2)…(m_k+n_k)　（m_i、n_iは全て整数）と書けることを示せ。

■■６■■
正十二面体の面と面とがなす角と360゜/πとの大小を明確な根拠を元に答えよ。

■■７■■
n>2kである正の整数n,kをとる。ｎ個の円上にならべられた座席からk個の座席を
となり合う座席はえらばないように選ぶ。そのような選び方の組み合わせの数をもとめよ。

■■８■■
A_k=1/(sinkπ/2n)^2とする。
Σ[k=1〜n-1]A_k={2(n^2)-2}/3となることを証明せよ。

■■９■■
実数a,b,cはある2以上の自然数の定数kに対して
　a^(k-1)+b^(k-1)≦c^(k-1)
　a^k+b^k=c^k
　a^(k+1)+b^(k+1)≧c^(k+1)
の3式を同時にみたしている。
（1）abc=0のとき、a+b=cが成り立つことを示せ。
（2）abc≠0のとき、a,b,cはいずれも負であることを示せ。
（3）kは偶数であることを示せ。

147の６番って隣り合う面だと思われ。

（面と面の組み合わせ何通りもあるし

>>143
そう？

x が出る確率を p(x) = ax とする。∫[0,1] p(x) dx = 1 より、 a = 2
従って期待値は ∫[0,1] x p(x) dx = 2/3.

>>149
それだと、（漏れは）10秒くらい掛かるから瞬殺とは言えない

有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。

（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数）となる確率をP(k)とする。
　　　lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。

（２）に以下の文を追加します。
「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」

k≦nです。申し訳ありません。

>>151
x=0.1378463123123123123123123123123123･･･
とかだとL(x)=3にするの？

>>147

■■８■■ について

この問題はいろいろな解法があると思いますが, 1990 年 東京工業大学後期 に出題されています。
まずは, そこから確認してみてください。

>>154
失礼しました。純循環小数についての問題と見て下さい。

混循環小数も混ぜるとあり得なくなるね・・・

>>156
じゃこれは何？
＞152 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:47
＞（２）に以下の文を追加します。
＞「0<k<nであり、P(k)はL(k)/Σ[m=1→n]L(m)と定義する。」
　
＞153 名前：151[sage] 投稿日：03/12/18 23:48
＞k≦nです。申し訳ありません。
L(m)とかL(k)ってm=m.0000000000000000000･･･もk=k.00000000000000000000･･･も混循環小数とかいうやつになるじゃん。

>>147
単純に場合分けするだけなのですが、これだけのことを時間内に処理しきれるかは
文字計算（特に正負入り混じったもの）に慣れていることが重要かと。
かなり点数に差が出るのではと思います。
（1）
[ I ]　a=0のとき、kが奇数ならば第二式よりb=cとなりa+b=cをみたしている。
　　　kが偶数のとき第二式よりb=±c。b=cはa+b=cをみたしている。
　　　b=-cとすると第一式、第三式より
　　　　b^(k-1)≦-b^(k-1), b^(k+1)≧-b^(k+1) （∵k-1は奇数）
　　　ゆえにb=0。したがってc=0。これはa+b=cをみたしている。
[ II ]　b=0のとき、[ I ]と同様。
[ III ] c=0のとき、kが奇数ならば第二式よりa=-b。これを第一式に代入して
　　　　2b^(k-1)≦0 （∵k-1は偶数）
　　　ゆえにb=0。したがってa=0。これはa+b=cをみたしている。
　　　kが偶数のときは第二式よりa=b=0となり、やはりa+b=cをみたす。

（2）
[ I ]　c＞0のとき
　　( i )　a＞0かつb＞0のとき、第二式より0＜a＜cかつ0＜b＜cである。
　　　　　第二式の両辺にcをかけて
　　　　　　c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＞(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
　　　　　これは第三式に矛盾。
　　( ii )　a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式より0＜c＜-bである。このとき
　　　　　　a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は偶数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
　　　　　となり第一式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜cかつ0＜-b＜cである。このとき
　　　　　　a^(k+1)+b^(k+1)＜a^(k+1)＜c^(k+1) （∵k+1は奇数だからb^(k+1)＜0）
　　　　　となり第三式に矛盾。
　　( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
　　( iv ) a＜0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第一式に矛盾。
[ II ]　c＜0のとき
　　( i )　a＞0かつb＞0のとき、kが奇数ならば第二式に、kが偶数ならば第三式に矛盾。
　　( ii )　a＞0かつb＜0のとき、kが奇数ならば第二式よりb＜c＜0である。このとき
　　　　　　a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k+1は奇数だからb^(k-1)＞c^(k-1)＞0）
　　　　　となり第三式に矛盾。kが偶数ならば第二式より0＜a＜-cかつc＜b＜0である。このとき
　　　　　　a^(k-1)+b^(k-1)＞b^(k-1)＞c^(k-1) （∵k-1は奇数だから0＞b^(k-1)＞c^(k-1)）
　　　　　となり第一式に矛盾。
　　( iii ) a＜0かつb＞0のとき、( ii )と同様。
以上よりa＜0かつb＜0かつc＜0が必要。

（3）
逆にa＜0かつb＜0かつc＜0のとき、kが奇数ならば第二式に矛盾。したがってkが偶数であることが必要。
a＜0かつb＜0かつc＜0でkが偶数のとき、第二式をみたす(a,b,c)の組は無数に存在するが、
その(a,b,c)の組すべてに対して第二式よりc＜a＜0かつc＜b＜0が成り立ち、
　c^(k-1)=(a^k)c^(-1)+(b^k)c^(-1)＞(a^k)a^(-1)+(b^k)b^(-1)=a^(k-1)+b^(k-1)
　c^(k+1)=(a^k)c+(b^k)c＜(a^k)a+(b^k)b=a^(k+1)+b^(k+1)
より第一式、第三式も成り立っている。

補足
（1）〜（3）より第一式〜第三式をみたす(a,b,c,k)の組は
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
（tは任意の実数、u,vは互いに独立な任意の正の数、mは任意の自然数）
とかける。

間違えた。
(0,t,t,m+1),(t,0,t,m+1),(u,v,-{u^(2m)+v^(2m)}^{1/(2m)},2m)
　　　　　　　　　　　　　　　~~

>>157
問題を訂正し直します。（急いじゃいかんね

循環節の始まりが小数第１位である有理数xの循環節の長さをL(x)とする。
（例えば、1/7=0.1428571・・・なのでL(1/7)=6、13/11=1.181・・・なのでL(13/11)=2）
この時、以下の問いに答えよ。

（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
（２）0<x<1においてL(x)=k（kは自然数、）となる確率をP(k)とする。
　　　lim[n→∞](n^p)Σ[k=1→n]k・P(k)が0以外に収束するための条件を求めよ。
　　　ただし、確率P(k)は、L(x)が高々n個になるもの中からL(x)=kとなるものを選び確率であると定義する。

>>162
＞（１）0<x<1においてL(x)=n（nは自然数）となる有理数xの個数を求めよ。
　
これはメビウス関数使ってよしですか？

>>162
悪問。
せめて（１）では具体的な数についての考察にすべき。

>>162
(1)はｎ＝６かｎ＝８あたりを求めさせるのがいいんじゃない？
　最高でもｎ＝１２くらいでどうよ

nは2以上の整数とする。相異なるn個以上の自然数の和で
表されない自然数の個数をf(n)とする。
（1）f(2),f(3)を求めよ。
（2）f(n)を求めよ。
（3）相異なるn個の自然数の和で表されない自然数の個数g(n)を求めよ。

>>166はいい問題のような気がするが
みたことあるような気もする

>>166
できた。
X(n)={m|mは相異なるn個の自然数の和で表されない自然数}とおく。
X(2)={1,2}
X(3)={1,2,3,45}
X(4)={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
･･･
X(n)={m|1≦m＜(1/2)n(n+1)}･･･(※)と推定できる。これを帰納法で示す。
(I)n=2のとき　明らか
(II)n=kで成立するとする。mを(1/2)(k+1)(k+2)以上の自然数とする。m-(k+1)≧(1/2)k(k+1)であるので
仮定よりあいことなるk個の自然数x1,x2,･･･xkでm-(k+1)=�肺iとなるものがとれる。
このときm=1+��(xi+1)で、1,x1+1,･･･xk+1は相異なるk+1個の自然数であるからmはX(k+1)にはいらない。
1≦m＜(1/2)(k+1)(k+2)であるmはあきらかにX(k+1)にはいるゆえ(※)はk+1でも成立。
∴(I)(II)より(※)はすべての自然数で成立。
∴f(n)=g(n)=(1/2)n(n+1)-1

>>168
正解。
X(n)の具体的な要素を求めているとき、
本当に他の整数がX(n)の要素でないかを書いてところが試験的にややあやしいが。
一応私の用意した解答↓

相異なるn個の自然数の和で表される最小の数を a[n]=1+2+…+n=n(n+1)/2 とおく。
1≦m＜a[n]の範囲にある自然数mはいずれも相異なる自然数の和で表されない。
m≧a[n]の数がいずれも相異なるn個以上の自然数の和で表される（＊）ことを示す。
a[n]≦m＜a[n+1]をみたす整数a[n], a[n]+1, …, a[n]+nは
1+2+…+n
1+2+…+n+1 = 1+2+…+n+(n+1)-n = 1+2+…+(n-1)+(n+1)
：
1+2+…+n+n = 1+2+…+n+(n+1)-1 = 2+3+…+n+(n+1)
となり相異なるn個の自然数の和で表される。
同様にしてa[n+k]はn+k個の自然数の和で表されることが示される。
よって＊は示された。
さて、相異なるn+k個の自然数の和で表わされた自然数Xを考える。
そのn+k個の自然数をx[1],…,x[n+k]（x[1]＜…＜x[n+k]）とすると
X = x[1]+…+x[n-1]+(x[n]+…+x[n+k])
x[n]+…+x[n+k]を1つの自然数MとしてみるとXはn個の自然数の和で表され、
x[n-1]＜MであるからMはx[1],…,x[n-1]のいずれとも異なる。
したがってXは相異なるn個の自然数の和であ割らされる。
ゆえにf(n)=g(n)=n(n+1)/2-1

別解（>>169とたいした違いはない。が、こっちの方がはるかに説明が簡単だった。）

m=1+2+…+(n-1)+{m-(n-1)n/2}であるから
m-(n-1)n/2≧nである自然数mのすべてについて
mは相異なるn個の自然数の和で表わされ、
これ未満のものは表わされない。
したがって1から(n-1)n/2+n-1までのn(n+1)/2-1個の
自然数は相異なるn個の自然数の和で表されない。

どうでもいいかもしれないがn(n+1)/2-1=(n-1)(n+2)/2ですな。

勝手に改題するのもどうかと思うが、>>162の（１）は
n=Π[1,m]a_lってしたらどうよ。あり得なくなるか・・・？

>>136
やっぱり、問題文が微妙だと思う

その装置を使って一つ数をゲットしたとき
1をゲットする確率 = 0
0をゲットする確率 = 0

一方、
>ある数が生み出される確率は，その数の大きさに比例するという
ので、比例係数 = 0　…

>>173
その理論だと、任意の数をゲットする確率が0になるから、この乱数発生器からは
何一つ数を得ることが出来なくなってしまうよ。

[0,1]から任意の実数を選び出すことが出来るのだから、重み付けを考慮して
確率密度 f(x) = ax を用いて 確率測度を P(E) = ∫f(x) dx で定義する。比例定数は
P(Ω) = 1 から決定される。

とかやっていけば問題としては構わないんだが、連続確率は入試では駄目でなかったかな。
しかも厳密にやるには確率論でやっていかないと不味そうだし。

一辺の長さ１の正三角形と一辺の長さ１で固定された正六角形がある。
この正三角形の二頂点は正六角形の頂点、又は辺を共有している。
この時、残りの一頂点が描く図形を答えよ。
（但し、答える際は、その図形と正六角形の位置関係、及びその図形の式も適当に座標をおき、答えよ）

(1)y=x^x、y=x^(x^x) (x>0) の増減を調べ、グラフを描け。
(2)y=x^(x^(x^…^x))…) （n回） (x>0) は極値を何個持つか。

第1問の484＆646です。
いつの間にやら、第3問までできていたとは。
久々に問題を出します。
整数なので（というか僕の出すのは整数ばっかり）、
高校生には難しく感じる人もいると思いますが、
ここにいる人には簡単かも。

nを２桁の整数とする。
2004(10進法)をn進法で表して、各位の和を計算し、
10進法で表したところ、16となった。
nとして正しいものをすべて求めなさい。

2桁の整数、という条件を外すと、ちょっと面倒になるので、
高校生の入試として30分ではきつくなるかもしれませんね
（もっとも、問題自体は難しくならず、手間がかかるだけ）。
こういった問題を出すとき、もしかして勘違いがないかな、
ってドキドキしますね。

皆さんはじめまして
突然ですがYAHOOのトップにチャットという項目があるのはご存知ですよね？
そちらのチャットのカテゴリの中に「政治」があります
その政治カテゴリのユーザールームに「創価学会YAHOO支部」という部屋があります
そこの部屋に遊びもきてください
ボイスチャットもフル稼働です
みなさんの中にも創価学会に対するご自分の意見をどんどん言ってください
その宣伝でした
尚、人数制限がありますので（５０人）すぐに満室になって入れなくなるので
今これを読みまして興味を持たれた方はおはやめのご入室をお勧めします

なんといいますか、「萌える英単語」に代表されるように「萌え」の力は大きいです。
この先は学習する生徒の側だけじゃなく、教える側
ひいては入試問題を出す側（東大含む）も、萌えを考慮していかなきゃいけないんじゃないでしょうか。

数学ならまず１変数の場合から新たな要素を吟味していくのが適切でしょう。
http://ex3.2ch.net/test/read.cgi/campus/1072080168/l50

>>174
>[0,1]から任意の実数を選び出すことが出来るのだから、重み付けを考慮して
>確率密度 f(x) = ax を用いて 確率測度を P(E) = ∫f(x) dx で定義する。比例定数は
>P(Ω) = 1 から決定される。

>とかやっていけば問題としては構わないんだが、連続確率は入試では駄目でなかったかな。
>しかも厳密にやるには確率論でやっていかないと不味そうだし。

漏れもその方法で考えたけどな。あと、連続確立は範囲外だけど2001年の東大後期で出題されてたよ。

>>180
×確立
○確率
欝だ氏脳・・・

でも、ちゃんと断り書きが添えてあったね。

つか、確率と確率密度をごちゃ混ぜにしたような問題が粗悪なだけで、
連続確率が範囲外かどうかなんかはまた別の話

この前類題っぽいのでてたけど、まだこっちの方が計算多いかな？


単位円に内接する正ｎ角形の二頂点間距離の和を求めよ。
ただしｎは３以上の自然数とする。

>>97
ｎ（ｎ−ｋ−１）！／ｋ！（ｎ−２ｋ）！。

>>184 n cot(π/(2n))

>>186
正解。

Ｂ＊＊＊ぐらいかな。今回のは

a_1=α（αは正の無理数）　a_n+1=[Σ[1,n](a_k)/k]　数列a_nは増加数列とする。
（１）lim[n→∞]Σ[1,n](a_k)/k^2は発散することを証明せよ。
（２）lim[n→∞]Σ[1,n](a_k)/k^3は収束することを証明せよ。
（３）(a_n)/nの取りする値の範囲を求めよ。

ｎ>1で増加数列・・・すまそ

>>177
問題を定式化すると、
2004 = a_0 + n a_1 + n^2 a_2 + ... n^k a_k のとき
16 = a_0 + a_1 + a_2 + ... a_k となる n を全て求める、ということになる。

上から下を引いて整理すると、
1988 = (n-1) a_1 + (n^2-1) a_2 + ... (n^k-1) a_k
ここで右辺は(n-1)の倍数。一方、左辺を素因数分解すると、
1988 = 2 * 2 * 7 * 71
よってn-1はこれらを組み合わせて作られる整数。
nが二桁という条件から、n-1 = 14, 28, 71 について確かめれば十分。

n=15のとき 2004 = 8 * 15^2 + 13 * 15 + 9 ...不適
n=29のとき 2004 = 2 * 29^2 + 11 * 29 + 3 ...適
n=72のとき 2004 = 27 * 72 + 60 ...不適

よって n=29 。
---
2桁の制限を外すと、確かめるべきは
n-1 = 2,4,7,14,28,71,142,284,497,994,1988
となる。実際に確かめれば、 n=29,143,285,498,995,1989 のときに成立することが判る。
なんかもっと良い枝刈りがありそうな気もするが、まあいいや。

>>185
正解。

３次方程式f(x)=0の解をz_1、z_2、z_3とし、またf`(x)=0の解をα、βとする。
そして複素数平面上に点A(z_1)、B(z_2)、C(z_3)をとった。
この時、点A,B,Cが三角形を成すならば、α、βを焦点とし△ABCの各辺の中点を通る楕円が存在することを証明せよ。

>>191
3点で円が定まるからそんな楕円はいくらでも存在する。
おそらく各辺の中点で接する楕円といいたいんだろうが、
誘導がないと知識で差が付くため悪問。

>>192は問題を読んでなかった。
α、βを焦点とするという条件があるのか。
まあどっちにしろ悪問。

早とちり。

こんな風に変えてみた。

３次方程式f(x)=0の解をz_1、z_2、z_3とし、またf`(x)=0の解をα、βとする。
そして複素数平面上に点A(z_1)、B(z_2)、C(z_3)、D(α)、E(β)をとった。
以下の問いに答えよ。ただし点A,B,Cは三角形を成しているモノとする。

（１）点D,Eが△ABCの内部にあることを証明せよ。
（２）線分DEの中点と、△ABCの重心が一致することを証明せよ。
（３）辺ABの中点をMとした。
　　　(i）角AME=角BMDであることを証明せよ。
　　　(ii)DM+MEをz_1、z_2、z_3及びα、βで表し、定数であることを示せ。
（４）以上のことから△ABCの各辺の中点と接する楕円の焦点はα、βであることを証明せよ。
　　　ただし、楕円の性質に関して必要な事は、楕円がxy平面上でx^2/a+y^2/b=1と表されることで示せ。

こんな感じかな？

すまそ。

（３）の(ii)での「定数であることを示せ」はいらないな・・・

２００３年の第二回駿台東大入試実戦の理系ベスト２０

01：現　西大和（奈良）
02：現　ラサール（鹿児島）
03：現　灘（兵庫）
04：浪　東大寺（奈良）
05：浪　神戸女学院（兵庫）
06：浪　灘（兵庫）
07：現　灘（兵庫）
08：現　灘（兵庫）
""：現　灘（兵庫）
10：現　筑駒（東京）
11：現　灘（兵庫）
12：現　灘（兵庫）
13：浪　大阪星光（大阪）
14：現　筑駒（東京）
15：浪　開成（東京）
""：現　開成（東京）
17：現　愛光（愛媛）
18：現　灘（兵庫）
19：現　神戸女学院（兵庫）
20：現　不明（北海道）

>>195
知識で差が付くため悪問。

nを自然数とする。
（1） 適当な実数a[0], a[1], …, a[n]を用いて
　　　(cosx)^n=a[0]+a[1]cosx+…+a[n]cos(nx)
　　と表されることを証明せよ。
（2） (1)のa[0], a[1], …, a[n]について
　　　Σ[k=0,n](k^2-n)a[k]
　　を求めよ。

>>198
受験数学なんてしょせん知識で解くもんじゃん
と県1位だった私は思うニダ

>>199
知識で差が付くため悪問。

白血病解析プロジェクト

http://p-q.hp.infoseek.co.jp/

みんなも参加しよう！

>>199
気分的に a[k] = a_k と書かせてもらう. (1) は自明, (2) は簡単, ということで
東大京大レベルじゃあないと思うが..

(1) n についての数学的帰納法を用いる.
0 のとき明らか. n-1 で成立するとする. n のとき
(cosx)^n = (cosx)^n-1 cos(x)
= a_0 cos(x) + Σ[k=1,n-1] a_k cos(kx) cos(x)
= a_0 cos(x) + Σ[k=1,n-1] a_k/2 {cos[(k+1)x]+cos[(k-1)x]}
= Σ[k=0,n] b_k cos(kx)
よって成立する.

(2) (cosx)^n = Σa_k cos(kx) において
x = 0 とすると 1 = Σa_k
両辺を x で2回微分して x = 0 とすると n = Σa_k k^2
従って Σ(k^2-n)a_k = Σk^2a_k - nΣa_k = 0

>>203
正解。東大京大って意外とこんなもんだと思う。

>>201
知識で差が付くほどのものか？
>>203の解答みたいに2回微分することに気づかなくても
（1）から次のような解答にいたる事はごく自然で解けるはず。

（1）より
　(cosx)^n=a[0]+a[1]cosx+…+a[n]cos(nx)
　(cosx)^(n+1)=b[0]+b[1]cosx+…+b[n+1]cos(n+1)x
とかける。
（1）の過程からn≧2のとき
　b[0]=a[1]/2, b[1]=a[0]+a[2]/2,
　2≦k≦n-1のとき b[k]=(a[k-1]+a[k+1])/2
　b[n]=a[n-1]/2, b[n+1]=a[n]/2
したがって
　Σ[k=0,n+1]{k^2-(n+1)} b[k]
= {1^2-(n+1)}a[0]+Σ[k=1,n]{(k-1)^2+(k+1)^2-2(n+1)}a[k]/2
= (0^2-n)a[0]+Σ[k=1,n](k^2-n)a[k]
= Σ[k=0,n](k^2-n)a[k]
（以下略）

確かに
(cosx)^n=a[0,n]+a[1,n]cosx+…+a[n,n]cos(nx)
としなかったのは不親切かもしれなかったと反省。

「未解決問題」解くどころかとかれていない問題ばっか増えているな。

ここ最近書き込まれていないし

>>189
正解です。
簡単だったかもしれませんが、楽しめましたでしょうか？
久々に来てみました。
場合分けの所は、それ以上工夫する必要はないと思います。

未解決というか、それほど良問でもないからスルーされてるのでは？

>>146の■■３■■（１）出題者か解けた人いたら解答よろ。

おかしい・・・おかしすぎる・・・
わからない問題スレで４回聞いても答えてくれた人はいない。
ヤフー数学カテでもスルー。
これは難問なのでしょうか？

実数集合A={a_i｜1≦i≦n}において
Σ[1≦i≦n]a_i=p、Σ[1≦i≦n](a_i)^2=q（p,q定数）が成り立っている。
Σ[1≦i≦n](ai)^3のとり得る値の範囲を求めよ。
また、最小値、最大値をとるときの集合A(a_i≦a_(i+1),1≦i≦n-1)を求めよ。
ただし、iは自然数、nは3以上の自然数とする。

>>209
数学科行っている奴にとっては易問
（受験数学の基本ばっか使うだけだし）

>>210
易問 なんて猿でも言える。
答えが出てないって言ってるんではないの？

●●●●●●●●●●●●●　コピペ大推奨　　●●●●●●●●●●●●●

133 ：大学への名無しさん ：04/01/21 15:56 ID:AAAA7DSY
お、、、、俺のID・・・・・・・

神IDｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!

騙されスレじゃないからお前らも記念カキコしる！！

http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1074571321/133-

●●●●●●●●●●●●●　コピペ大推奨　　●●●●●●●●●●●●●

102

3.1415926535・・・

nは2以上の自然数とし、nCkを(n,k)と書くことにする。
(n,k+1)/(n,k) が0≦k≦n/2-1をみたすすべての整数kで
整数となるようなnを求めよ。

>>215
解なくね？俺の間違いかもしれないけど

>>216
勘違いだと思う。kの範囲を間違えてない？。

>>215
やってみた。

（ｎ＋１）/（ｋ＋１）が題意を満たすｋの範囲で整数にならなければいけない。
ｎが偶数だと、ｋ＋１は奇数でなくてはならなく、ｋは偶数。すると、題意に反する。
よって、ｎは奇数。ｎ＝２ｍ＋１として、２（ｍ＋１）/（ｋ＋１）が整数にならなければならない。
ｋの範囲は、０≦ｋ≦ｍ−１/２。よって、ｋは０，１，２，・・・，ｍ−１。
２（ｍ＋１）が１，２，３，・・・，ｍで割り切られなければならない。
２（ｍ＋１）＝ｍ！でなければならない。
ｍ＝１，２，３，・・・なので、解はない。

>>218
2行目からおかしいわけだが…。

n=2?

>>220
もっとある。

うわ、恥ずかしい(´;ω;`)ｼｮﾎﾞｰﾝ なんつぅ解答したんだろ俺は

n=1,2?

>>223
そもそもn≧2なわけだが。

１。
１，１。
１，２，１。
１，３，３，１。
１，４，６，４，１。
１，５，１０，１０，５，１。
１，６，１５，２０，１５，６，１。

(n,k+1)/(n,k) =(n-k)/(k+1) ?

>>226
んだ。
分子のｋ分離しちゃえば見やすいよ

条件より
(n+2)/n≦(n-k)/(k+1)≦n

(n+2)/n=1+2/n も整数

n≧2　より n=2　になりましたが、ダメですか？

>>228
だめです。

直線ｌ上に点Ａ・Ｄ・Ｅ・Ｖが、直線ｍ上に点Ｂ・Ｄが、直線ｎ上に点Ｃ・Ｅがこの順で並んでいる。
半径３５０の円Ｏ１（中心点Ｏ１）が直線ｌ・ｎと点Ａ・Ｃで接しており、
半径不詳の円Ｏ２（中心点Ｏ２）が直線ｌ・ｍと点Ａ・Ｂで接している。
点Ｏ１・Ｏ２・Ａは直線ｋ上にこの順に並んでいる。
∠ＶＥＣ＝∠ＶＤＢ＝６６．４°、ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
円Ｏ２の半径を求めなさい。
必要なら、ｃｏｓ６６．４°＝０．４を使うこと。

時間切れですか？？

29

>>215
(n,k+1)/(n,k)=(n-k)/(k+1)
=(n+1)/(k+1)-1
=n'/k'-1
ここで、n'=n+1 k'=k+1なので、n'≧3 1≦k'≦(n'-1)/2
この条件の下でn'/k'が整数になるような自然数n'を求めればよい。
n'=2m+1(mは自然数)のとき、k'=mを代入すると
n'/k'=(2m+1)/m=Aとなる。(m>0よりAは非負整数とおける)
ゆえに、2m+1=Am⇔1=(A-2)m⇔A=3 m=1なので、n'=3
n'=2m(mは2以上の整数)のとき、k'=m-1を代入すると
n'/k'=2m/(m-1)となる。
ここで、2m/(m-1)>2(m-1)/(m-1)=2
2m/(m-1)≦{2m+(2m-4)}/(m-1)=4
ゆえに、2m/(m-1)=3または4
　　2m/(m-1)=3のとき、m=3となりn'=6
2m/(m-1)=4のとき、m=2となりn'=4
以上からn'=3，4，6なのでn=2，3，5となる。
このとき、(n,k+1)/(n,k) は0≦k≦n/2-1をみたす
すべての整数kで整数となる。
したがって、求めるnはn=2，3，5となる。

受験生頑張って下さい!！

>>230
344？

知ってる人は知ってる問題。

三角形ABCにおいて、∠B=60°,Bの対辺の長さbは整数、
他の2辺の長さa,cはいずれも素数である。
このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ。

>>235
それ京大の過去問だろ。

うん。ばれたか。

めっちゃ昔の兄弟の問題でも覚えてるやついたのに、
んな最近のでごまかせると思ったか。

いやばれてるつもりで出題したんだが・・・
スマソ
工房だから許してください。

X_n=Σ_[k=1,n](1/n^2)が整数となるのはｎ=1の時のみであることを示せ。

１／ｎが整数だからｎ＝１。

>>241
分数と分数の和が整数にならないこと示さないといけないだろ。

>>241
そういうこと。

>>235
a>cと仮定する。
b^2=a^2+c^2-acとなるがb^2=(a-c)a+c^2>c^2よりb>c
(b-c)(b+c)=a(a-c)より
b-cまたはb+cがaで割れる。（aが素数であるから）

・b-c=akとなる場合(k>0)
ak(ak+2c)=a(a-c)
(k^2-1)a+(2k+1)c=0となるが左辺>0となるので矛盾。
・b+c=akとなる場合(k>0)
ak(ak-2c)=a(a-c)
(k^2-1)a=(2k-1)cでa>cよりk^2-1<2k-1となるが
このようなkはk=1しかない。この時c=0となるので矛盾。

よってa=cとなる。
もっと簡単に出来る方法はある？

ａ≦ｂ≦ｃとすると（ｂ＋ａ）（ｂ−ａ）＝ｃ（ｃ−ａ）で
０≦ｂ−ａ＜ｃ＜ｂ＋ａ≦２ｃから０＝ｂ−ａまたはｂ＋ａ＝２ｃ。

＞＞２３４
　不正解

>>240
1≦Xn＜1+∫[1,∞](dx/x^2) = 2

>>247
正解です。

難し過ぎたかなぁ？

n = 24 とする。1≦k≦n をみたす整数 k に対し、
f(k) = cos(2πk/n)+ i sin(2πk/n) とおく。
ここで、i は虚数単位である。

(1) A={1, 2, ..., n} とおくとき、Σ_{k∈A} f(k) = 0
であることを証明せよ。

ただし、Σ_{k∈A} f(k) とは、すべての A の要素 k に
対して f(k) を足し合わせること、すなわちこの場合は
f(1) + f(2) + … + f(n) を意味する。

(2) 次の条件 (*) をみたす、正整数 m をすべて求めよ。

(*) A の部分集合 B で、m 個の要素からなるものをとれば、
Σ_{k∈B} f(k) = 0 となるようにできる。

※ 余裕のある方は、一般の n の場合にも挑戦してみてください。

ｍ＝０，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３
，１４，１５，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２２，２４。

>>251
正解。n = 24 の場合はそれほど難しくないですね。（幾何学的なイメージがあれば）

ｎが６の倍数のときは簡単。

半径1の円4つを(※)を満たすようにして平面に書いた。
出来た図形の外周に囲まれた図形の面積の最大値を求めよ。

・どの円も他の二つと重なるようにし、また出来た図形の外周で囲まれた領域内に円ののっていない部分が存在しない・・・（※）

　　　　　　　　　　　　 / / }
　　　　　　　　　　　_/ノ.. /、
　　　　　　　　　　 /　 < 　 }
　 　 　 ry､ 　　　 ｛ｋ＿　_/`;,　　ﾉﾉ　ﾊﾟﾝﾊﾟﾝ
　　　 / / } 　　　　　;'　　　　 `i､　
　　 _/ノ../、　　　＿/ 入/ /　　 ｀ヽ,　ﾉﾉ
　 /　r;ｧ 　}''i"￣.　 ￣r'_ノ"'ヽ.i 　　）　―☆
　｛ｋ＿　_/,,.'　　;.　 :.　　　　　 l､ 　ﾉ　　
　　　 ＼　｀ 　､　　,i. 　　　.:, :, ' / /　＼
　　　　 ,;ゝr;,;_二∠r;,_ｪ=-ｰ'" r,_,/　　　☆
【ラッキーレス】
このレスを見た人はコピペでもいいので
10分以内に3つのスレへ貼り付けてください。
そうすれば１４日後好きな人から告白されるわ宝くじは当たるわ
出世しまくるわ体の悪い所全部治るわでえらい事です

２３０の回答　まだ・・・？
もう　入試シーズンも　終わっちゃうよ！

>>230
＞ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、

↑なにこれ？

>>230
しょーもな

２５７や２５８には多分永遠に解けそうもないな。
というより、そもそも彼らが２ちゃんに投稿すること自体が
罪だったりして。

>>230
＞ｍからｎに引いた垂線の長さ６としたとき、
これをm,nの間の距離と解釈して。
riをOiの半径として
r2sin56.8°-r1sin56.8°=6
にsin56.8°=cos33.2°=√((1+cos66.4°)/2)=√0.7とr1=350代入するだけだろ？

＞＞２６０
不正解！！

ああ、
r1sin56.8°-r2sin56.8°=6
か。

>>230
しょーもな

全然　目の付け所が　違ってますね。
それじゃ　解けないのも当然。

>>264
じゃあもう解けないでいいや。

(r1-r2)sin23.4°+r1+6=r1じゃね？

訂正
(r1-r2)sin23.4°+r2+6=r1じゃね？

接線の長さを　円の半径であらわすことを考えられてはいかがでしょう。

>>267
じゃいかんの？

>>268
おおい。

どうしても　ｒ１−ｒ２＝６としたいようですね。
それは　言えますか？

>>271
？？>>267をといたら
r1-r2=10になるけど？

(r1-r2)sin23.6°+r2+6=r1に訂正。
(r1-r2)(1-sin23.6°)=6
(r1-r2)(1-cos66.4°)=6
cos66.4°=0.4より
(r1-r2).6=6
r1-r2=10
だと思うが。

というか明らかに他にでてる問題より一段ランクの低い問題はっといてどうして
こんなでかい態度がとれるんだろう？自分の出してる問題が他の問題より
レベルが低すぎてだれからもレスがもらえないことが理解できないんだろうか？

出来なかった負け惜しみは聞く耳持ちません。

２７３の解法は間違い。
ヒントを出されているのに　この程度ですか？？？
おばかさんですね。

ばーか

てかさ。>>230は他の問題一問でもとけるのか？といてみたら自分の問題が
スレちがいの低レベルだってわかりそうなもんだと思うんだが。
　
釣りじゃなさそうだし。

http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p.pdf
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/1.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/2.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/3.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/4.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/5.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t01-22p/6.htm
問題うpされたからage

出題の特徴
手はつけ易いが計算が繁雑で時間がかかる問題が多い．
その他トピックス
例年，目新しい出題が見うけられるのだが，
今年は「どこかで見たことがある気がする」問題が並んでいる．

厳しい評価ですな。

>>280
まあ、そんな感じじゃない。

それにしてもまた π=3.14... にこだわった問題が出題されているなあ。
体積が 8 になる、というのは、πを 3 とみなしたときの2つの球の体積の和なのだろう。
シチュエーションがあまりにも人工的で、センスがいいとは思えないね。

っていうか・・・この解答書いた人、字が下手すぎｗ

字が下手なのは間違ってた場合言い訳できるからだと思われ。

東大の問題を3つほどやってみたけど、
どれも20分ほど格闘したあげくダルくなって放棄。（情けなや

京大の問題も3つほどやってみたんだが、
3つとも10〜15分であっさり解けてしまった。

こんなに差があったっけ？
昔は京大の方がねちっこくてダルい印象があったんだけど。

今年の京大は異常

去年も異常じゃ？w
ずっとこの方針でいくらしいよ。

>>282
ワセダ亨か？

427

円C1は(0,0)、C2は(5,0)、C3は(4,4)、C4は(1,5)を中心とする半径1の円である。
C1の内部・周上に点A、C2,C3,C4も同様に点B,C,Dをとる。
四角形ABCDの面積の最小値及び最大値を求めよ。

ﾍｰ(´ν_.｀　)ｿｳﾅﾝﾀﾞ

>>289
四角形の面積を4点の位置（動径の位置を回転角で表すと、それぞれとりうる値は0以上2π以下）に
関する4変数の連続関数とみなせば、最小値および最大値が存在することはよい。

そこで最小値（もしくは最大値）が実現されるとして成り立つべき関係を
式で表すと、2つの変数に関する連立方程式が立てられる。

そこまではよいのだが、この連立方程式が解けない…。Mathematica に解かせると、
Simplify できない、物凄く長い式になってしまった。

面白い問題と思うのだが、答えがちゃんと求まるような点を選んだほうがいいのでは…
それとも間違ってますか？

東大の問題って
方針の概要は浮かびやすいんだけど
ゴツイ計算につまずいたり
明らかに正しそうなことを上手く表現できなかったりして
なかなか答えにたどりつかない。

http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p.pdf
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p/1.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p/2.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/t02-21p/3.htm

http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/k02-22p.pdf
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/k02-22p/2.htm
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/k02-22p/3.htm

問題がうｐられてたからage
コメントは両方とも「変わりなし」との事。

個人的には東大の方は問題がなんか汚い。

と思ったが京大の4番、三角関数の近似値求める問題じゃねぇか。
東大のパクリだ。パクリ。

パクりはウリナラ発祥ニダ

Ａからみて東に光速の９９％で遠ざかるＢがあり、
Ａからみて西に光速の９９％で遠ざかるＣがある。
では
（１）ＣからみてＢは東に光速の何％で動いて見えるか？
（２）ＡからみてＢとＣは光速の何％でお互いに離れて見えるか？

>>296
特殊相対論の問題。せめて速度の合成法則くらい書いておいてくれ。

(1) 99.99%

光速よりも速い自然現象の例をあげてください。

>>299
名古屋国際の土佐

http://www.marathonguide.com/history/records/alltimelist.cfm?Gen=F&Sort=Time

http://physicsweb.org/article/news/6/1/13

>>299
うわさの伝達速度

>>302
光速の３倍、groupe velocityだよ。

(2)はだれもできないのか？

2^20,996,011-1の次の素数はなに？

306はパソコンをつかってよい。

>>306
2^38007203 -1

ほんとかあ〜

>>306
模範解答ｷﾎﾞﾝ

昔京大でEisensteinの判定法が出てたよね。とりあえず
漏れも一問出してみよう。
f(x)=f '(x)をみたす函数はCe^xしかないことを示せ。
早い人は一分以内に解けるけど。

ごく初歩的な微分方程式じゃないか…
>>311は逝ってよし！

>>311
え？俺わからん。
「それだけしかない」っていうにはどうすればいいん？

312が分かってるのかどうか微妙だけど……
これ知ってるのと知らんのとでは大分微積の理解に
違いが出るだろうから簡単だけど出題しました。
f(x)/e^xを微分すると、0になるから、あとは簡単。
Π^2/6出してもいいんだけど、取り敢えず
「18人(1,2〜18)で総当たり戦をしました。三すくみの組合せ
(a,b,c)は最大でいくつ出来ますか？」これ、制限時間15分程度
だったんだが、漏れは時間内に解けなかった。因みに見たこと
ある！なんてデリカシーのないことを言わないように。

>>314
いや、それはわかる。
微分して０になるから、ｆ(ｘ)/e^xが定数になる。ってことでしょ？
だから、「それしかない」の証明はどうなんの？

多分伝わってない。
(f(x)/e^x)^2=e^(-2)A,
A=f'(x)exp x-f(x)exp x={f'(x)-f(x)}exp x.
これはf(x)が微分可能なら必ず成立するが、この場合
問題の条件からA=0。よってf(x)/exp x=Const.
（こっちの証明には平均値の定理を使う。）

三すくみ難しいよ。

失礼、(f(x)/e^x)^2の2は’に変えてください。微分です。

>>306
大学生がパソコン使って見つけた世界最大の素数です。
つぎをみつけたらギネスにのります。

それの次に大きい素数を見つけることは
それより大きい素数を見つけることより
遙かに難しいと思う

>>319
は？あたりまえじゃん。

素数の分布からいってどのあたりに次の素数があるのですか？

高二の春休みにガッコの数学課題をしていて面白い問題を見つけました。
数学IAIIBIIICの中でも最も基礎的な範囲である数学Ｉの二次関数。
基礎の基礎とは言え侮る無かれ、二次関数には、数学が得意な方でも二十分はかかってしまう場合分けがあります。
私も解いて見ましたが、二十分程かかってしまう問題でした。初心に戻ったつもりで、この問題を解いてみて下さい。

二次不等式　x^2-(2a+3)x+a^2+3a<0…�@,　x^2+3x-4a^2+6a<0…�A
について、次の各問いに答えよ。ただし、aは正の定数とする。

(1)　�@,�Aを解け。
(2)　�@,�Aを同時に満たすxが存在するのは,　aがどんな範囲にあるときか。
(3)　�@,�Aを同時に満たす整数xが存在しないのは,　aがどんな範囲にあるときか。

>>322
なぜそんな問題が東大スレなんだ

>>323
簡単だろうけど、「時間のかかる問題」だから。
東大の人でも一瞬では解けないと思ったからかな

(1)a<x<a+3……�@　2a<x<2a+3……�A
(2)0<a<3
(3)a=2　∨5/2≦a
あとは自分で解くこと。

こんな問題に二十分もかかったら、灯台の入学試験じゃ
点数取れないよ。とくに昔の問題は。

（ａ，ａ＋３）。
（−２ａ，２ａ−３），（２ａ−３，−２ａ）。
（３，＋∞）。
（０，７／２）∪｛４｝。

>>322
こんなクソ問題　高校一年の教科書付属の問題集に載ってる。
だいいちこんなの２０分もかからん

>>327
（０，７／２］∪｛４｝。

Π＜355/113を証明せよ。

>>330
前から疑問だったんだが、この手の問題って言うのは
何を知識として出発すれば良いんだ？

それこそ、円周率が円周/直径である事からスタートしなくてはいかんのかなぁ。
でも、だとすると、どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
示さないといけないだろうし、それを示すとなると、ほとんど厳密にやろうとしたら
範囲外になるだろうし、一体どの程度の知識で解く事が要求されているのか。

そういう基準は受験生としての常識で判断するんだ。
東大は採点者が何を求めているのか察する要領の良さ、
空気読む能力を求めている。

> どのような直径の円においても円周/直径が定数になることを
> 示さないといけないだろうし、
これは相似だからで済ましてはいけないの？

普通の受験生が厳密に証明しようとしても、厳密とは
程遠い読むに耐えない証明しかできないんだから、
（17世紀数学式に？）円周率の性質をうまく使って値を評価する
だけでいいんじゃないの？そもそも曲線の長さや面積の定義なんて
高校じゃ殆ど教えてないし、教えても誰も理解しないだろ。

�農k=1^∞(1/k^k)=∫_0^1(x^x)dxを示せ。
これだけじゃ高校範囲じゃきついか。

>>335
わからんぽ。
教えてください

age

ager

age

それは確か、ヨハン・ベルヌーイの…

609

　　　　　　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　　　／　　　　　　　　　　 　＼　　　　 ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　/　　　　　　　　　　　　 　　ヽ　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜　 l:::::::::　　　　　＼,, ,,／ 　 　　|　 　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　|:::::::::: 　　（●）　 　 （●）　　|　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　へ　　 |::::::::::::へ 　 ＼＿＿_／　　　|　＜　面白い問題ﾏﾀﾞｰ？
　　　　　　　　 ＼＼ ヽ:::::::::::＼＼..　＼／　　　　ノ 　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
チン　　　　　　　 ＼＼＼.　　　＼＼　　　　　　　　　　ヽ
　　　チン　　　　　　＼＼/　　　　＼＼　　＿　　　　　　 | 　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　＼￣￣￣￣￣￣￣／　 /￣　　 ヽ　　　　/　　＿
　　　　　　　 ＼回回回回回／￣￣ヽ　　　　　　　　/￣￣／| 　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　＼＿＿＿／　　　　　 ヽ＿＿＿＿／　　／　 .|

△ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rをとる。△AQR,△BRP,△CPQのうち
少なくとも1つの面積は、△PQRの面積を超えないことを示せ。

>>335どっか間違ってるよ。

613

　Lim　(1+1/x)のx乗=eとする。これを用いて次の極限値をもとめてください
x→+∞

�@　Lim　(1+ｋ/x)のx乗　　　　x＝ｋy　と変数変換
　　x→+∞

e=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{K!}で定義する　ただし0!=1である
このとき\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}が上で定義したeに収束することを示せ

(1+\frac{1}{x})^{x}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdots+\frac{1}{x!}は簡単に示せると思うけど
f(x)<(1+\frac{1}{x})^{x}でeに収束するf(x)がなかなか見つからないかと

とりあえず現役工房からの出題です

二項展開して最初の高々N項目まで取った部分和S_Nを
取ってから順番に∞に飛ばせば良いんじゃなかったっけ？
漏れが現役工房のとき『微分と積分1』（入門）で勉強して
全然分からなかった覚えがあるけど（ｗ

ツマラン、オマイの話は・・・

5-2=?

　　　　　‐'7::::::::::::::::::::::::ハ:ﾊ::|ヽ:::;､::::::::::::丶
　　　　 ／::::::::::::::/!i::/|/　 ! ヾ　ﾘハ:|;!､:::::::l
　　　　/´7::::::::::〃|!/_,,、　　 ''"゛_＾`''`‐ly:::ﾄ　　　　　 氏ねばいいと思うよ
　　　 　 /|;ｨ:::::N,､‐'゛_,,.＼　　 ´''""'ヽ　 !;Ｋ
　 　 　 　 ! |ﾊﾄ〈 　,r''"゛　 ,　　　　　　　ﾘｲ)|　　　　
　　 　 　 　 　`y't　　　　 ヽ' 　 　 　 　 /／
　　　　　　　　 ! ぃ､ 　 　 ､;:=＝ｦ　　 〃　　　　　
　　　　　　　　　｀'' へ、 　 ` ‐ '゜ 　 .ｲ
　　　　　　　　　　　 　 `i;､　　 　 ／ l　　　　　　　　
　　　　　　　　 　　 　 　 〉　` ‐ ´ 　 l`ヽ

508

質問です。
友人がFランク大に通ってるんですが、そいつが、数学の宿題を聞くのです。
だけど、そいつは、数学を理解しようとせず、問題を解くための途中式を書くことだけを要求します。
彼は、途中式をみることによって、問題の解きかたを何となくしることによって、テストを乗り切ろうという魂胆らしくて、
きちっとした勉強をする気は全くないようです。本人曰く単位が出ればよいとのことです。
しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの。ついに微分の宿題が出た時、そいつは手も足も出なくなってしまい、
落ち込んで、勉強することも諦めて、どうせ自分は何やっても駄目だからとつぶやくのです。
参考図書を進めても、どうせ読んでもわからないと言って、いじけるばかりで何にもなりません。
一体こういう奴にはどういう対処をしたら良いのでしょうか？
Fランク大には彼のようなタイプは多いと聞きますが、みなさんはこういったタイプの人とあったことがありますか？

死ぬべきだと思います。
このストイックな現代社会の中、>>353の友人の様な厨房は生き残れるとでも思っているのでしょうか？

釣りなのかなあ？ この‘はてい’の部分

>>353
>しかし、そんな勉強ではいつかはていするというもの

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ..＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 | （・∀・） ｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿＿＿＿　　　 |￣￣￣￣ 　　＿＿＿＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　| （・∀・） ｜　 ∧ 　　 　　　　　| （・∀・） ｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|￣　　　　　　<⌒>　　 　 　　　|￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧　　　　..　／⌒＼　　　 　　 ∧
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　<⌒>　　　　　］皿皿［　　　..　　<⌒>
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ／⌒＼　　　／ 田 田 ＼ 　.... ／⌒＼　　　　　　　　　　 ジサクジエン王国
　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　］皿皿［、　 _］∩皿皿∩［＿＿］皿皿［、、　　　　　＿＿＿＿
　　　　　| （・∀・） |　　／三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三 三三 ヽ　| （・∀・） ｜
　　　　　￣￣￣￣|　　 |＿_|￣田￣田 /￣￣Π . ∩ . Π￣￣ヽ田￣田￣田 . ［＿|￣￣￣￣_　　　＿＿＿＿
＿＿＿＿　　　　／三三三三三三三三三三三∧_／＼_∧三三三三三三三三.三 ,,|「|,,,|「|ミ^!、　　| （・∀・） ｜
| （・∀・） |　　＿_|￣田￣田￣田 ￣田. 田　 | | |..田..| | |. 田 .田￣田￣ 田￣田￣田￣|,,|「|,,,|「|ミ^!|￣￣￣￣
￣￣￣￣|＿/==／＼＝ハ, ￣￣|「|￣￣￣￣|ハ＝／＼= |＿_＿_ヽ「|￣￣￣￣￣￣|_|'|「|'''|「|||:ll;|| .|

数学の基礎がきじゃくなんでしょ。
もし先生が悪いならのうめんすればいい。

キジャクはわかったがウメンがわからん

脆弱（ぜいじゃく）

207

831

破綻（はてい）
脆弱（きじゃく）
罷免（のうめん）
巣窟（すくつ）
既出（がいしゅつ）
出自（でめ）
東京めたりっく通信（とうきょうめったくりつうしん）
おひつまぶし（おひまつぶし）
カエサル（かさえる）

真撃に、ってのもあるな。
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&q=%90%5E%8C%82%82%C9%8E%F3%82%AF%8E%7E%82%DF&lr=
ほとんどはOCRの読み違いだろうけど。

561

お勧めトリップ。KingOfKingMathematicianの後に付けるのがおしゃれ。 #[Aｼsudｾl

>>353
F ランク大学で勉強しようとするヤツは先ず居ない。

126

126

126

>>322

定数が $a, b$ の二つぐらいあって、$(a , b)$ を図示せよ、とかいうくら
いの問題なら、20 分くらいかかるかも知れんな。

第６問
体積１の球を適当な平面で切る。
球と平面は必ず交わると仮定したとき（つまり球と平面の交わる確率は１）、
切り口の面積の期待値を求めよ。

レインボー解答が可能な極悪問題ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!

ｆｊでさんざん議論済み

>>372
>レインボー解答が可能
って何？

夏厨はすっこんでな。

誰もわかんねぇの？


くぁｗせｄｒｆｔｇひゅじこｌｐ；
くぁｗせｄｒｆｔｇｙふじこｌｐ；

xを0.99999999・・・・とする。
10xは、9.99999999になる。
10x-x＝9
9x＝9
x＝1
あれれ？初めのx＝0.99999に合わないけど何で？

お願いします。

東大05【問４】
xを0.99999999・・・・とする。
10xは、9.99999999になる。
10x-x＝9
9x＝9
x＝1
あれれ？初めのx＝0.99999に合わないけど何で？

これを証明せよ。

またですか

>>371
期待値は不定。なぜならば球と平面の交わり方がどのように
同様に確からしいのか明確でないから。

>>377
実数の10進展開が一意的でないことが原因であり、
Σ[n=1,∞]9×10^(-n)=1であるから、「合わない」という
発言が間違っている。

　∋oノハヽo∈　ﾋｰﾝ!　　　　　　　　　　○月●日
　　 (　;´�D｀;)　　　ﾋｰﾝ!
　　　（　つと）　　　　　　　　　　　　　みんなが　ののに　いったのれす、
　　　 ゝ__@"@∴：:・;:@つ;∴：:・;:　　　　「　あしなんて　かざりです
　　;∴：:・;:　~;；;';@つ:';';；;;：　　　　　　　　　えらいひとには　それが　わからんのです　」

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そういって　のののあんよを　とったのれす・・・・。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　あとれ　みんなは、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　「　かざりじゃないのよ　あんよは　はっは〜　」
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　って　うたってたのれす。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ののに　あやまってるつもりらったのかな。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　れも　ののは　おへんじれきなかったのれす････。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　いたいれす！いたいれす！　さけんれたから
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ひーん！　ひーん！　ないてたから
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おへんじ　れきなかったのれす････。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おねがいれす　のののあんよさん
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　おねがい　ののに　くっついてくらさい・・・・。

問題：sin(3°)を求めろよ。ｺﾞﾙｧ~

{√2(1+√3)(-1+√5)-2(-1+√3)√(5+√5)}/16

問題2：sin(2°)を求めろよ。ｺﾞﾙｧ~

リンク切れなので修正しとく。もう一個が見つからない。
http://natto.2ch.net/math/kako/1000/10005/1000592003.html

3x≧y≧2x≧1で、xy-x-yの最小と、そのときのx,yを求めよ。

age

理解しようと努力しないのは現代風だね
もうそういう大学生しかいないということだ
日本も少子高齢化で少ない若者のレベルが下がって
ますますボロカスな国になってしまうんだろうなあ

http://kazumi.jdyn.cc/cgi-bin3/stored/up0662.pdf
とりあえず、図はかけたのですが、それからサパーリです。
よろしくおねがいします。

>>390
自作なのに解けないと？

ガイシュツかもしれないけど，こんなのどう？

n,kを0≦k≦nなる整数とする．このとき
{n!}/{k!(n-k)!}
が整数であることを示せ．

もちろんn個のものからk個取り出す組合せだからという「証明」は期待していない．

{n!}/{k!(n-k)!}=B(n,k)としたらB(n,k)=B(n-1,k-1)+B(n-1,k)は簡単に
示せるから、B(p,0)=B(p,p)=1(p:整数)を考えれば自明。

1) {n!}/{k!(n-k)!} は (1+x)^n のk次の項の係数として得られる。
2) (1+x)^n の係数は整数
おしまい。

【問】
ジョーカーを抜いたトランプ52枚をシャッフルして裏返します．
あなたは１枚づつ次めくるカードが赤であるか黒であるかを予想します．
予想が当たった場合そのカードを右側に置き，外れた場合は左側に置きます．
あなたは最終的にできるだけ多くのカードが右側に来るように予想します．
そのとき，最終的に右側にあるカードの数の期待値を求めよ．

×カードの数の期待値を求めよ．
○カードの枚数の期待値を求めよ．

>>371
図形の対称性から切る平面の向きは一方向のみであると考えても期待値は変わらない。
ここでこの球をx-y-z空間においてx^2+y^2+z^2≦1で表すことにし、
x=0に平行な平面で切ることにする。
するとx=tで切ったときの面積は(1-t^2)π。
∴求める期待値Ｚは、
Ｚ=∫[0->1](1-t^2)π dx = (2/3)π　//





っていうのを回答にする為にはどういう風に問題を書き換えればいいんですかねぇ？

訂正
dx → dt

>>397
＞適当な平面で切る。
ってのを、

「直径AB上にある一点Pを通りABに垂直な平面で切る。
ただしPはAB上に一様に分布するものとする。」

とか変える必要があるね。

４００

漸化式

a_n={(（n-1)/n）a_(n-1)}^（n-1)/n）, a_1=1がある。

このときlim[n→∞]a_nを求めよ。

>>401
むずいなこれ。０くさいけど。ちがう？

>>401
まちがった。１くさい。ちがう？

>>401
またまちがった。eくさいだった。逝ってきます。

1/eじゃない？

>>405
正解

同地域を表した１０００分の１の地図ξと５０００分の１の地図ξ’がある。
ξ’をξの地図上にはみ出さないように重ねる時、同じ地点を示す両地図上の点が
一致するような地点が、一つあることを示せ。

地図ξ及びξ’は長方形であるとする。

>>407
･･････あのね･･････

縮小写像には唯一つの不動点がある。

>>407
ξ’\subspace ξ
f：ξ→ξ’：縮小写像
d:ξ×ξ\to R：適当な距離関数　として
F(x)=(f(x),x)　と定義すると、Fは連続で、

長方形はコンパクトだから、最大値最小値の定理よりOK

d:ξ’×ξ’\to R：適当な距離関数　として
F(x)=(d(f(x),x))　と定義すると、Fは連続で

ごめんまちがいた。

>>411
Fが連続だからどうだっての？最小値が０じゃないとなぜいけない？

大学の知識は使わないようにしましょう

誤爆った。
{x}_{n}＝f({x}_{n-1})とおいて

|{x}_{n}-{x}_{m}|≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}+…+{x}_{m}｜
≦|{x}_{n}-{x}_{n-1}|+…|{x}_{m+１}-{x}_{m}｜
≦|f({x}_{n})-f({x}_{n-1})|+…|f({x}_{m+１})-f({x}_{m})｜

だな。すまん。

地球上のある点Aをとりその地点と中心をはさんで反対側の点B
がある。
AとB地点における気温が同じであるある点Aは必ずひとつ存在する事を示せ。

>>413
ここでそんな制限いらんだろ

>>415
T(A)=A地点の温度−Aと反対側の地点の温度を考えるのかな？

そうだね。一回答案書いたらノートン先生がまあいいんだが。

f(x)=T(x)-T(-x)と置くと、
f(x)=-f(-x)なので、この間のパスｃを取り
f(c(t))に中間地の定理を適用し　これが０になる点が存在する。

あっ俺の答案だと温度がTね。

>>395
これできない。だれか教えて。たぶん予想は｢それまで出たカードが赤、黒同数のときは
任意に予想し、黒が多ければ赤、赤が多ければ黒と予想する。｣という前提だとおもうけど。
とりあえずオレができたのはN=26とおいて
つまり(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)のとき次があたる確率は
x=yのとき1/2、x>yのときx/(x+y)、x<yのときy/(x+y)
で(のこり黒の数、のこり赤の数)=(x,y)となる確率はC[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]
なので結局期待値は
�納x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
だと思うんだけどこれの計算ができん。鬱･･･方針からしてちがうのかな？

あ、和の範囲から(x,y)=(0,0)はぬいといてちょ。

おしえてアゲ

おしえてアゲよ永遠に

おしえてアゲAgain

>>395の出題者さん。せめて答えだけでもかいてくれアゲ

>>377 >>378

なぜかというと掛け算は一番低い位から行うものだからです。掛け算の定義です。掛け算の定義にのっとらないとそのようなへんてこりんな答えが出てしまいます。
(０．９９９９９９９.......　の一番低い位などないのですから掛け算が出来ませんよね？）
同じ類の問題で1=2となってしまう有名な問題がありますね？あれは数をXという変数で割ってしまってるからです。X=0のとき定義されてませんでしょ？
ちなみに0.999999999=1を正確に証明するなら等比数列を使わなければなりません。以上、初投稿でした。

０以上９以下の整数をすべて使って、a×bという形で表したとき、その値が最大になるa,bをもとめなさい。ただし、各数字はすべて一度だけつかうものとする。

>>427
オマエはあれか？そんなんを東大生に溶かせるのか？
そんなもん出してる暇があったら>>395の回答教えれ

帰ってきた>>395の答えおしえろアゲ

>>395の問題期待値は>>420に書いた通りN=26として
　
�納x=0,N][y=0,N]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
　
であってると思うんだけどこれを一般のNの簡単な式に直すのってどうにも無理くさい
と思うんだけど。だとするとしこしこたしてくしかなさそう。もしかして出題ミスなのかな？

804

>>395
できたぜ！！
�納x=0,N][y=0,N][(x,y)≠(0,0)]C[x+y,x]C[2N-(x+y),N-x]/C[2N,N]･max{x,y}/(x+y)
=((n-1/2)C[2n,n]+4^n/2)/C[2n,n]
かな？

>>427
素朴に
93210×87654（＞90123×87654←相加相乗平均を考慮）
と予想してみる

ゴメン嘘．
96***×87***の方がまだ大きい（∵各位の数＜10だから10冪が勝つ）．
それでもやはり相加相乗平均の考え方を用いて
大きい位から順に求めていく事になりそうだが…

と云う訳で
>>428
出題意図は悪くないと思うよん．

実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
∫[-1,1] (1-x) ( f(x) )^2dx = 1
このとき、
|f(1)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(-1)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
であることを示せ。

>>435
これホントに正しい？
問題は1-x=2tと変数変換して
――
実係数を持つn次の多項式f(x)があり、次の条件を満たす。
4∫[0,1] t ( f(t) )^2dt = 1
このとき、
|f(0)|≦(n+1)(n+2)/(2√2)
|f(2)|≦√((n+1)(n+2))/(2)
を示せ。
――
と同値だけど数学辞典によるとG(2,2;t)=(1/t)(n+1)!(d/dt)^n{t^(n+1)(1-t)^n}
とおくとき∫[0,1]G(2,2,t)=1/(2(n+1)^3)になるそうだ。
コレを信じるとP_n(t)=(n+1)^3G(2,2,t)/4は前提条件をみたすけど
P_n(1)=(-1)^n･(n+1)!･(n+1)^3･n!になってしまうけど？

まちごうた。
∫[0,1]tG(2,2,t)^2dt=1/(2(n+1)^3)
になるそうだ。数学辞典まちがってるとかじゃないよね？

うーん。　Problems and Theorems in analysis vol.2　からとってきた問題なんだけど。
書き間違えたかも。コンビネーション使って原文通りに書いてみる。

f(1)≦((n+2)C2)/√2
f(-1)≦ √(((n+2)C2)/2)

だそうだが。　この本のP89.104番からの出題。今から解答引っ張ってくるから、
ちょいまて

と思ったら、やたらと長い解答だし
大学入試レベルではないので止め。
気になるんなら、上の問題集を見てくんなまし。

>>438>>439
PS か。
その問題だけの回答ではない。
前に証明した事実も使って居る。

341

PS は Mics に整数論の問題まで載っていて面白いな。

>442
唐突に何を？
解説キボンヌ！

>>443
>>438へのレスだよ。
著者名の頭文字が P & S

【問題】

　　　　　　　　　　　　　　（−１）×（−１）＝１

を証明せよ。

aが零元であるとすると、a=a+0=0
a,cがbの負元であるとすると、a=a+0=a+b+c=0+c=c
また、負元の定義から、1は-1の負元である。
(-1)*(-1)=(-1)*(-1)+0=(-1)*(-1)+((-1)*1-((-1)*1))=((-1)*(-1)+(-1)*1)-((-1)*1)
=(-1)*(-1+1)-((-1)*1)=(-1)*0-((-1)*1)=((-1)*0+0)-((-1)*1)=((-1)*0+((-1)*0-((-1)*0)))-((-1)*1)
=(((-1)*0+(-1)*0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*(0+0)-((-1)*0))-((-1)*1)=((-1)*0-((-1)*0))-((-1)*1)
=0-((-1)*1)=-((-1)*1)=-((-1)*1+0)=-((-1)*1+(1*1-(1*1)))=-(((-1)*1+1*1)-(1*1))
=-((-1+1)*1-(1*1))=-(0*1-(1*1))=-((0*1+0)-(1*1))=-((0*1+(0*1-(0*1)))-(1*1))
=-(((0*1+0*1)-(0*1))-(1*1))=-(((0+0)*1-(0*1))-(1*1))=-((0*1-(0*1))-(1*1))=-(0-(1*1))
=-(-(1*1))=-(-1)=1

>>446
一番最後、
　　　　　　　　　−（−１）＝１
って使えないでしょ。

Re:>447
上の方に書いてある説明が読めないか？

本当はこんなまどろっこしいことを二度繰り返す必要は無く、
-((-1)*1)から、
-((-1)*1)=-(-1)=1とすればよかったか。

Re:>447
補足：-aはaの逆元であり、b-aとは、b+(-a)のことである。

なんじゃそら　もっと簡単な解き方がアルやろ

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM って馬鹿だなー。

Re:>452 消えろ。

半径rの球の中心との距離がr/√3である2平面P,Qがあり
平面Pと平面Qは垂直である。
この球がP,Qにより分けられる4つの立体のうち
体積が最小である立体の体積を求めよ。

[2](1)定円に内接する四角形で面積が最大のものは正方形であることを示せ。
　 (2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。

[3]異なる4つの自然数がありどの3数の和も素数である。
この4数のうちある2数の差が3の倍数なら残り2数の差も3の倍数であることを証明せよ。

[4]半径1、高さhの直円錐がある。底面に垂直で底面の中心Oとの距離が1/2
である平面Pと円錐の側面にともに含まれる点全体からなる曲線をCとする。
C上の点をQとするとき線分OQの最小値をhを用いて表せ。

[5]一枚のコインを投げて表か裏かを記録する試行を、表が3回続けて出るまで繰り返す。
コインを投げる回数の期待値を求めよ。

[6]xyz空間内にa+b+c=a^3+b^3+c^3=abcをみたす点(a,b,c)全体からなる図形をPとする。
いま、P上のn個の異なる点を結ぶと、正n角形ができた。このようなことが可能なnをすべて求めよ。

訂正
×sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)
○sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)

【２】
（１）円の半径をｒ（＞０）、円に内接した四角形の各頂点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、
円の中心をＯ、∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ＝θとすると、四角形の面積Ｓ(θ)は

　　　　　　　　　　　　　Ｓ(θ)＝2r^2*sinθ

と表されるので、ｒは定数であることに注意すると

　　　　　「Ｓ(θ)が最大」　⇔　sinθ＝１　⇔　θ＝π/2

なので、題意は示された。

（２）３じゃないの？ワカンネ（１）をどう利用するかが・・・＞＜

>>461
(1)円に内接する四角形を長方形に決めてしまってませんか？
(2)(1)がもし三角形の話だと・・・

>>462

よく分からんが、(1)の別解。　つーても、>>461をほとんど見てないｗ


別解
円に内接する四角形ABCDの二点A,Cを固定して考える。
残りの二点B,Dを動かすことを考える。

明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
さらに、△BACの面積を底辺をACとして考えると、ACは固定されているため
高さのみでその面積が決定される。このとき、点Bの位置はBA=BCなる点に決定される。
同様に点Dの位置も決定される。

明らかに、この場合線分BDは円の直径になる。そのため、BDの長さは固定される。
次に、二点ACを動かす。明らかにAC⊥BDが成立するため、四角形ABCDの面積は
AC*BD/2で与えられる。よって、BDが固定されているとき、ACが最大になればいい。
この場合、ACも・・・以下略

>>463
＞明らかに、線分ACからみて、B,Dが同じ側にある場合最大値を取らない。
この行は蛇足かと。 初めから対角線ACとして固定すればよいし、
そうでないならACが正方形の一辺にもなりうる。

>>455
この(1)って微妙に(2)の誘導になってんのかな？
(2)は結局半径1の円に内接する３角形の面積の最大値をもとめさせてるんだけど
それは正三角形のときで面積は3･(1/2)･sin120°=3√3/4。

>>465
正解(配点20)

ごめんウソ。減点-2

>>456
4数をa,b,c,dとして仮定はb+c+d、a+c+d、a+b+d、a+b+cが素数。
でもしどれか一個が3だとする。a=3としてよい。すると
b≡c≡d (mod 3)であるか ≡1(mod3)、≡2(mod3)となるものがある。
前者ならb+c+dは3でない3の倍数なので矛盾。後者ならb≡1(mod3)、c≡2(mod3)
としてよいがa+b+cが3でない3の倍数になって矛盾。よって3はまじってない。
よってa≡±1(mod3)、b≡±1(mod3)、c≡±1(mod3)、d≡±1(mod3)だが
符号がおなじなのが３つあると仮にそれをa,b,cとするとa+b+cが3でない３の倍数になって矛盾。
よってa≡1(mod3)、b≡1(mod3)、c≡-1(mod3)、d≡-1(mod3)として一般性を失わない。
さて選んだ２数(x,y)の差が３の倍数なのだから(x,y)=(a,b) or (c,d)。
いずれにせよのこり２数を(z,w)とするとz≡w(mod 3)ゆえ主張は成立。

>>467
減点された･･･どこ？

>>469
{sin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-x)}/2が半径1の円に内接する３角形の面積

そうだった

>>468
1,3,7,9はどの3数の和も素数です

>>455
[2](1)
半径ｒの円Oに内接する四角形ABCDにおいて、
∠AOB＝x、∠BOC＝ｙ、∠COD＝ｚ、∠DOA＝ｗ とおく （ｘ+ｙ+ｚ+ｗ＝2π）

四角形ABCD＝（1/2)ｒ＾2(sin x+sin y+sin z+sin w)≦（1/2)ｒ＾2(1+1+1+1)＝2ｒ＾2

等号は x＝y＝z＝w＝π/2 のとき成立し、このとき四角形ABCDは正方形となる。

>>473
模範解答thx

>>458
[5]がめんどいけどこれエレ解あるの？
求めるものは1/8+�納n≧4]n(n-4回目までは３回連続表はでない確率)×(1/16)
で
(n回目までは３回連続表はでない＆n回目は裏の確率)=an
(n回目までは３回連続表はでない＆n-1回目は裏＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表はでない＆n-2回目は裏＆n-1回目は表の確率＆n回目は表の確率)=bn
(n回目までは３回連続表があった確率)=dn
とおくとき
a(n+1)=(1/2)(an+bn+cn)
b(n+1)=(1/2)an
c(n+1)=(1/2)bn
d(n+1)=dn+(1/2)cn
をとけば�納n≧4]n(1-cn)はもとまるけど正直しんどい。なんかもっと鮮やかなのがある？

>>472
しまった。吊ってくる。

>>472
a,b,c,d
≡0,0,0,0 ≡0,0,0,2 ≡0,1,2,2
≡0,0,0,1 ≡0,0,1,2 ≡1,1,2,2
≡0,0,1,1 ≡0,1,1,2 ≡0,2,2,2
≡0,1,1,1 ≡1,1,1,2 ≡1,2,2,2
≡1,1,1,1 ≡0,0,2,2 ≡2,2,2,2 (mod3)
のいずれかとしてよい。でどの３つをたしても≡0(mod3)にならないのは
(a,b,c,d)≡1,1,2,2 ≡0,0,1,1 ≡0,0,2,2(mod3)の３つしかない。でいづれにせよ主張成立。

>>462
（１）ですが、長方形∋正方形ですよね？
だからまず、内接する長方形を考慮したんです。んで解答の

　　　　　　θ＝π/2　⇔　ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ　⇔　ＡＢＣＤは正方形

となると思うんですが。

>>478
質問したいのだが、円に内接する四角形の中で最大の面積を持つ物が
長方形でさえなかった場合というのは検討したのか？

>>479
ほんまやぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁ！！！！！！！
ああ、ごめんごめん・・・もうイヤ＞＜
数学苦手やった奴が口出しするもんじゃねーなｗ

>480
チラシの裏に書いてろ、な！

>>457[4]
ｈ/√2

場合訳がいったか．．．

>>475
ちょっとインチキ臭い操作でほとんど複雑な計算なく整数値ででます。

>>477
正解(配点20)

>>458の[5]のインチキ臭い操作というのが思いつかん。

一枚のコインを投げて表がn回続けて出るまで繰り返すとき、
投げる回数の期待値を a_n とすると、
a_{n+1}=2(a_n+1) という漸化式を満たす。

>>455
まだ見ていますか？

[2](2)について
x,y,zの条件は他にありませんか？無ければ次のようになります。

-1<=sin(x-y)<=1,-1<=sin(y-z)<=1,-1<=sin(z-x)<=1ゆえ
問題の式はsin(x-y)=sin(y-z)=sin(z-x)=1のとき最大となる
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=(2c+1/2)π (a,b,cは整数)
を満たすが、3式を辺々足すと
a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)

よって求める最大値は3
このときx,y,zは
x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
を満たす任意の実数

>>455
すいません、訂正します。

誤）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π (a,bは整数)
正）x-y=(2a+1/2)πかつy-z=(2b+1/2)π (a,bは整数)

注１）誤）の"y-z=(2b+1/2)π,z-x=-(2a+2b+1)π"の間の","は"かつ"の誤りです
注２）誤）の3式目は整理すれば必要なくなります

>>488
＞a+b+c+3/4=0ゆえc=-(a+b+3/4)
a,b,cは整数としているので矛盾です
>>487
よろしければ導出過程プリーズ

>>490
確かにそうですね。失礼しました。
>>455
ごめんなさい。誤解答の例ということで忘れてください。

>>459[6]

ｎ＝3，6 とみたが、どうだ？

>>492
惜しい

(a,b,c)＝(k,-k,0), (0,k,-k), (k,0,-k) はあってる？

>>494
あってまふ

>>494
氏ね

>>495
じゃあ、エレファントだけど途中まで。

a+b+c＝a^3+b^3+c^3＝abc＝k とおくと
k≠0 のとき、
ab+bc+ca＝(k^2+2)/3 より a、b、c はtの3次方程式
t^3-kt^2+{(k^2+2)/3}t-k＝0 の解。
右辺は狭義単調増加なので、3次方程式の実数解は1個で不適。
よって k＝0。
したがって、(a，b，c)＝(s，-s，0)，(0，s，-s)，(s，0，-s)。
よって、図形Pは適当に平行移動お呼び回転をすると、xy平面上の3直線
y＝0，±(√3)x になる。←ここで勘違いか？

>>497
あってますよ。結論にわずかな見落としが。

>>492
あと、正方形ができる。

漏れは包茎じゃないんですっかり見落としていたよ。

>>500
でも短小なんだろ

>>501
下品なﾔｼだな。

Re:>502 おまえもな。

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMウザイ。
恥を知れ。

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMじゃあしょうがない。
みんなウザイ馬鹿なのは知ってる。

(2)実数x,y,zについてsin(x-y)+sin(y-z)+sin(z-y)の最大値を求めよ。
↑
は終わったと思っていいですか？

>>506
いい

>>506
もちつけ（ｗ

もっとおもすろいのないの？

別スレでだしたやつだけど東大入試にもだせる形にして
lim[N→∞]∫[0,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
とかどう？

オイラーの定数が出るんじゃないの？

そうか。t=0の近傍でも広義積分になってるから
lim[N→∞]∫[1/N,N](logt)t^(1/2)e^(-t)dtをもとめよ。
にしないといけないか。

>>511
しまった。そうだ。だから大学入試にはつかえん。吊ってくる。

>>490
直感的な説明。
n+1 回連続して表が出るためにはまず n 回連続して表が出る必要があり、
平均して a_n 回投げなければならない。
次の回に投げて成功すればよいが、失敗するとはじめからやり直しとなる。
成功の確率は 1/2 だから、平均すれば「n 回連続して表が出る + 1 回」を
2 回繰り返せば n+1 回表が連続して出るだろう。

>>514
thx　確かに直感的。でも正しい。
入試数学ではOKな考え方なのかな。

試験の解答としてはダメだろ。

０点だろ。

平面上に異なる四点を取り、
どの２点の距離も奇数になるようにせよ。
不可能であるならば、その事を証明せよ。

Re:>518
5通りの2点間の距離が奇数になるようにはできる。
問題はあと一組か。

>>518
ヒントおながいしまつ

こう言う問題は不可能だと相場が決まっている。
鳩の巣原理に一票。

Re:>521 私も最初はそう思ったけどね。

Kingはストーカー原理主義者。

>>518
円に内接する四角形ダメで対角線が垂直に交わる四角形もダメ。
どーも無理っぽい

>>515
とりあえず試験にもかけそうな解答ではこんな感じでどうだろう。
Vnを最初にn回連続表がでた時点をあたえる確率変数、
Xnを最初にn回連続表がでた直後の試行が裏であった場合という事象
としてE(Vn)=anとおくとき
a(n+1)
=E(V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)E(notXn|V(n+1))
=(1/2)E(Xn|V(n+1))+(1/2)(E(notXn|V(n))+1)
=(1/2)(E(Vn)+1+E(V(n+1)))+(1/2)(E(V(n))+1)
=(1/2)(an+1+a(n+1))+(1/2)(an+1)
∴a(n+1)=2an+2。
E(Vn)がちゃんと収束することも上の議論をすこし丁寧にやればでるね。

ttp://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/579

　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■
　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■
　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■
　　　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■
　　　　　　　　■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■
　　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■■
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■
　　　　　　　■　　　　　　　　　■　　　　　　　　　　　　　　　■■
　　　　　　■■　　　　　　　　　■■■■■■■■■　　■■
　　　　　■■■　　　　　　　　　■■■■■■■■　　■■
　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■
　　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■■
　　　　　　　■■■■　　　　　　　　　　　　　　　　　■■　　　　　 ■
　　　　　　　　　■■■　　　　■　　　　　　　　　　■■　　　　　■■
　■■　　　　　　　■■■　　　■■　　　　　　　■■　　　　■■■
■■　　　　　　　　 ■■■■　　■■　　　　　　■■■　 ■■■■■■　　　　　　■
■■　　　　　　　　　　■■■　　　　■　　　　　■■■■■■■　 ■■　　　　　　■
■■　　　　　　　　　■■■■　　　■■　　　　■■■■■■　　　■■■　　　■■
■■　　　　　　　　■■■■　　　　■■　　　　■■■■■　　　　　■■■■■■
■　　　■■■■■■■■　　　　 　　 　　　　 　■■■　　　　　　　　　　■■■■
　　　　　　■■■■■■　　　　　　　　　　　　　　　■

Re:>523 それ誰から聞いた？

>>458
表が連続k回出ている状態から、試行が終わるまで投げる回数の期待値をb_kとする。
b_3=0
b_2=(1/2)(1+b_3)+(1/2)(1+b_0)
b_1=(1/2)(1+b_2)+(1/2)(1+b_0)
b_0=(1/2)(1+b_1)+(1/2)(1+b_0)
これを解いて、b_0=10。
厳密には条件付期待値の概念を使ってるから問題としていいのかどうかはわからんが。

>>518
わからん。答えおながいしまつ。

　　　　　　　　　　☆ ﾁﾝ　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ﾏﾁｸﾀﾋﾞﾚﾀ〜
　　　 　 　 ☆　ﾁﾝ　　〃　 Λ＿Λ　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 　 　 　 　　ヽ　＿＿_＼（＼・∀・）　＜　>>518答えﾏﾀﾞ〜？
　　 　 　 　 　 　 ＼＿／⊂　⊂＿ )　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 　 　 　 　 ／￣￣￣￣￣￣ ／|
　　　　　　　　|￣￣￣￣￣￣￣|　 |
　　　　　　　　|　　　　　　　　　　　|／

>>458 なるべく高級なことを利用しないように努めた解法。

長さ n の列で、最後の 3 回で初めて3 回連続して表が出た列全体の集合を A_n とし、
A_n の元の数を |A_n| で表す。
n 回目に初めて 3 回連続して表が出る確率 p_n は p_n=|A_n|/2^n である。

1) p_{3n},p_{3n+1},p_{3n+2}≦(7/8)^n が示せるので、
Σ_[n=1,∞]p_n と Σ_[n=1,∞]{np_n} が存在することがわかる。

2) A_{n+4} に属する列の最後の 4 回は 裏表表表 になっている。
この列の最後の 4 回を 裏裏表表表 または 表裏表表表 で置き換えた列を考える。
裏裏表表表 に置き換えたものは、すべて A_{n+5} の元である。
表裏表表表 で置き換えたものは、A_{n+5} の元であるかまたは
A_{n+1} に属する列に 裏表表表 を付け足した列になる。

逆に、A_{n+4} の元は、A_{n+5} に属する列から n+1 番目を取り除いた列か、
A_{n+1} に属する列の最後の 表 を 裏表表表 で置き換えた列になっている。

したがって、2 |A_{n+4}| = |A_{n+5}| + |A_{n+1}| が成立する。
両辺を 2^{n+5} で割ることで、p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) が得られる。

3) p_{n+5}=p_{n+4}-p_{n+1}/16 (n≧0) を辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]p_n = p_4 + Σ_[n=1,∞]p_n - 1/16Σ_[n=1,∞]p_n
p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]p_n=1 となる。

4) また、n+5 倍してから辺々加えることで、
Σ_[n=1,∞]{np_n} = -p_3 + 4p_4 + Σ_[n=1,∞]{(n+1)p_n} - 1/16Σ_[n=1,∞]{(n+4)p_n}
Σ_[n=1,∞]p_n=1, p_3=1/8, p_4=1/16 より Σ_[n=1,∞]{np_n}=14 となる。

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/234_sankaku.htm
＞また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は
・・・

の結果を利用するとすぐに>>518の答えが分かるけど高校レベルの解答は分からん。

>>532
どうつかうの？べつにa,b,c,d,e,fが全部奇数で左辺が0でも矛盾しないような。

わかった。これつかうのか↓。なるほど。
　
　　（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　　　　　　　　　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　　　　　　　　　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　　　　　　　−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2
　
a,b,c,d,e,fが全部奇数なら右辺≡2(mod4)だ。

>>518難しかった。こんな簡単にとけちゃうもんなんだな。またあたらしいのんキボン。

>>395ではないが、>>395を誘導方式に変更してみた。
（１）、（２）はそれぞれ単独でもまずまず面白い問題かと。
（２）は漏れの頭の柔らかさでは高校範囲を逸脱する解等しか用意してないんだが…。

（１）
2n個の数値　x_1,x_2,…x_(2n)は次を満たすとする。
・x_1+x_2+…+x_2n=0
・任意のi=1,…,2nに対し、x_i=1 or x_i=-1
（すなわち、x_iは1がn個で-1がn個ってこと）

今、y_i（i=1,…,2n）を、
　(x_i)×(x_i+x_(i+1)+…+x_(2n))>0のとき、y_i=1
　それ以外の場合、y_i=0
と定義する。

このとき、y_1+y_2+…+y_n=nであることを示せ。

（２）
Σ[k=1〜n]C(2k,k)・C(2(n-k),n-k))=2^(2n)-C(2n,n)を示せ。
（CはCombination。C(n,m)=n!/(m!・(n-m)!)です。）

（３）
>>395の解が、>>432の結論の式となることを示せ。

>>532
座標を入れてごりごり計算してみたが、それほど面倒ではなかった。
ポイントは a,b,c が奇数のとき、(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) が
16n-1 の形の整数になるということのようだ。

>>532のサイトみてからずっときになってんだけどもしかしてこんなこと成立する？
----
n次元ユークリッド空間のn+1個の点P1･･･P(n+1)をとる。行列Aを
Aij=
0 (i=j)
1 (i≠j ＆ (i=n+2 or j=n+2))
(PiとPiの距離)^2 (それ以外のとき)
で定義するときP1･･･P(n+1)の凸包の体積をVとするとき
V^2･(nだけで決まる関数)=|A|
----
n=2,3でそうなってるってのが>>532のサイトに紹介されてるんだけど。

>>518って>>532のヒントがあるととたんにそりゃそうだって思えるようになるな。
たとえばOABCがOA、OB、OC、AB、BC、CAが全部奇数と仮定して
↑OA=a、↑OB=b、↑OC=cとおく。仮定から|a|、|b|、|c|は全部奇数で
2a･b、2b･c、2c･aは全部奇数でmod8で1。ところでOABCを端点とする四面体の体積は
det|[[(a,a),(a,b),(a,c)],[(b,a),(b,b),(b,c)],[(c,a),(c,b),(c,c)]]であるがそれは０。
よってとくにdet|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]
は０でなければならない。しかし一方これは全成分が整数で対角成分がmod8で2、
その他の成分がmod8で1。よってとくに
det|[[2(a,a),2(a,b),2(a,c)],[2(b,a),2(b,b),2(b,c)],[2(c,a),2(c,b),2(c,c)]]はmod8で4。矛盾。

952

757

面積Sの四角形ABCDについて、2S=AB・CD+BC・DAが成り立つとき
四角形ABCDはどんな四角形か。

AB・CD+BC・DA=AC・BDって円に内接するときしかだめなんだっけ？
これ誰の定理だっけ？

>>542
円に内接しかつ対角線が直交するときかな？
まず平面に軸xyと正の実数0＜r＜1をy軸方向にr倍してABCDが円に内接するようにとる。
それが可能なのはまずABCの外接円をとってDがその外側にあるときACをx軸にとって
rを1から0へ増大させながらy軸方向へr倍するアフィン変換を作用させていくと
Dはどこかでちょうど円上にのる。そのときのrをとればよい。
Dが外側にあればrを1から∞まで変化させて同様にするとr＞1でDが円上にのるようにできるか
x軸とy軸をいれかえてrを1/rにすればもとめる条件をみたす。
いまy軸方向にr倍する変換でのABCDの移り先をA'B'C'D'、四角形A'B'C'D'の面積をS'と
すればS'=rS、A'B'≧rAB、B'C'≧rBC、C'D'≧rCD、D'A'≧rDA、ですべて等号になるのはr=1のとき。
よって2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'であり等号成立はr=1のときのみ。
このときトレミーの定理からA'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'であるから
2S'≧A'B'・C'D'+B'C'・D'A'=A'C'・B'D'=2S/sinθ (θはA'B'C'D'の対角線のなす角)
∴sinθ=1かつ2S'=A'B'・C'D'+B'C'・D'A'。
よってr=1かつA'B'C'D'の対角線が直交する。

>>543
AB・CD+BC・DA≧AC・BD が常に成り立ち、等号は四角形ABCDが円に内接するとき成立。
これを使えば>>544はもっと簡単になる。

｜z｜=｜z-α｜を満たす複素数z,αがある。
(1) z+(1/z)が実数となるzがちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2であるようなαの条件を求めよ。

訂正っす
(2) z+(1/z)がとりうる実数値がちょうど2つであるようなαの条件を求めよ。　

x-y平面上の点のうち、x,y座標両方の値が整数値であるものを格子点と呼ぶ。
四つの格子点(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)をそれぞれ、白、黒、赤、青の色で塗る。
次の操作を行い、各格子点をこれら四色のうち、どれか一つで塗ることを考える。

操作　n,mを整数として
単位正方形(n,m),(n+1,m),(n,m+1),(n+1,m+1)を考える。
この正方形の頂点に対し、反時計回りにA,B,C,Dと名前を付け、(どこをAととっても良い。)
点A,Bの辺CDに対する線対象な点をA'、B'とする。
点AとA'、点BとB'を同じ色で塗る。


この操作を、有限回繰り返し、最初白で塗られていた原点(0,0)を
別の色で塗り直せ。　不可能であるならば、その事を示せ。

>>548
操作によって新しく塗られる点ともとの点のx座標、y座標の偶奇は変化しないので不可能。

n×nマスの部屋を1×3マスのタイルと1×4マスのタイルで
隙間なく重なりなく敷きつめられることを示せ。
ただしnは3以上の整数で、使わない種類のタイルがあってもよいものとする。

>>550

まず，n×nで敷き詰めが出来ているときに(n+2)×(n+2)を作る事を考える．
■■■■■■
■□□□□■
■□□□□■
■□□□□■
■□□□□■
■■■■■■
上図より，1×(n+1)が作れればこれは可能であり，
n+1=3l+4m(l≧0，m≧0)なる整数l，mが存在すればよい事になる．
そこで，3l+4m(l≧0，m≧0)の形で表せる自然数の条件を4の剰余類毎に考えると，
4m　　全て可能
4m+3　全て可能
4m+2　≧6なら可能
4m+1　≧9なら可能
となるから，n+2=7(即ちn+1=6)以上の敷き詰めは，6×6以下の敷き詰めが可能なら
全て可能である事が分かる．
後は3≦n≦6の場合を具体的に構成して終わり．尚，5×5は3×3から出来る．
q.e.d.

受験モニター的報告

解答作成所要時間15分，実際の試験ならもうちょっと丁寧に書いて
推敲含め20〜25分程度か．
因みに当方は数学科4年生（専攻：整数論）．
個人的には，受験生なら「やや難：30分以上」になると思うがどうだろう？

良問提供多謝．

>>551-552
解答＆感想サンクス。
俺の場合数学は趣味だけど、整数問題なら自信の一作が。
入試問題としては誘導なしだと相当な難問かもしれないけど。

(問)BC=a,CA=b,AB=cの三角形ABCの辺BC上(両端を除く)に点Dをとると
AB=AD=DCとなった。aは素数、b,cは整数のときa,b,cを求めよ。

答えは綺麗に一組に定まるので自作問題のなかでは一番のお気に入り。

３以上で５でない整数で３と４の和で表せるので
ｎ×３とｎ×４を並べてｎ×ｎができる。

>>553
できた。(a,b,c)=(5,6,4)。あってる？

aだけ素数ってのが惜しいな。

UdoWOLrsDMは素数。

>>555
さすが数学板っすね。解き方も書いてくれると嬉しいです。

>>553>>558
∠ADC=θとおく。-cosθ=cos(π-θ)=(d/2)/c=d/(2c)。
余弦定理からb^2=2c^2-2c^2cosθ=2c^2(1-cosθ)。
∴2c^2(1+d/(2c))=b^2。∴2c^2+cd=b^2。∴ca=c(c+d)=(b-c)(b+c)。
ここでb=gb'、c=gc'、(b',c')=1とおけば
c'a=g(b'-c')(b'+c')。(c',b'+c')=(c',b'-c')=(b',c')=1よりc'|g。
∴a=(g/c')(b'-c')(b'+c')であるがaが素数であるからどれかがaでのこりは1。
b'+c'>b'-c'からb'+c'が1にはなれないのでg/c'=b'-c'=1、b'+c'=a。
b'=c'+1であるが３辺が(b,c,c)は頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるので
(b',c',c')=(c'+1,c',c')も頂角が鈍角である2等辺三角形の３辺であるが
(2,1,1)は3角不等式をみたさす(4,3,3),(5,4,4),･･･は頂角が鈍角にならない。
よって(b',c')=(3,2)。これからすでに得た等式にどんどん代入していけば(a,b,c)=(5,6,4)
であることが必要。一方B(0,0)、D(1,0)、C(5,0)、A(1/2,(3√7)/2)は条件満たすので
これが答え。

>>559
お見事です。
cが平方数であることを示す誘導問題を考えてたけど>>559のほうが自然すね。
三角形ADCが鈍角三角形に着目すれば評価が楽なのも気づいてなかったし・・・(´･ω･`)

去年の学コンにも似た問題出てたね。

>>561
どんな問題？
俺去年の5月に代ゼミの作問スタッフに応募して採用されたんだけど、それからさっぱり音沙汰なし。
まあいいかと思ってたけど、もし問題横流しされてたら嫌だなあ。どうせ被害妄想だけど。

代ゼミに送った問題サンプル
ttp://www2.spline.tv/bbs/marujyuu/grpview.php/51.jpg
ttp://www2.spline.tv/bbs/marujyuu/grpview.php/52.jpg

>>562
ちょっと何月号か忘れたけど、たしか、
同じように三角形の三辺が整数であるとか互いの素であるとかという条件をおいていた問題だった気がする。
似てるというか、辺の長さに整数問題を組み合わせただけかな

>>562
作問スタッフなんて募集してるのか・・・！
問題解く能力と作る能力って全然違うよなぁ。
難問かつ良問作れる人は尊敬する

>>564
今は募集してないみたい。特に数学と化学は募集打ち切りが早かった気がする。

作問スタッフってギャラいいのですか？
一問いくらとか？

普通

集合S={1,2,…,n}と全単射の写像fを考える。ｆ：S→Sであり、かつ
Σ[k=1,n] | f(k)-k | = (n^2-1)/2
を満たすとき、写像fとして考えられるものの総数を答えよ。





あと、関係ないけど前スレのログ持ってる人いない？

nが偶数のとき0通り
nが奇数のとき3・{(n-1)/2}!通り、かな

いや、
nが偶数のとき0通り
nが奇数のとき3・[{(n-1)/2}!]^2通り、か

数列a_n=2n^2+3n+1 (n=1,2,3・・・)の項のうち平方数のみすべて取り出し
小さい順にb_1,b_2,b_3・・・と並べた数列b_nの一般項を求めよ。

>>571
2n^2+3n+1=m^2
⇔(4n+3)^2-2m^2=1
である。x^2-2y^2=1の整数解はβ=3+2√2、α=3-2√2とおいて
x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/2(√2))(α^k-β^k)(kは整数)と書けるから
(1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数になるkをもとめる。
それはkが3以上の奇数のとき。つまりk=2l+1 (lは自然数)と書けるときなので
結局b_l=m=(1/2(√2))(α^(2l+1)-β^(2l+1))

まちごうた。
2n^2+3n+1=m^2
⇔(4n+3)^2-2(2m)^2=1
だ。あとx^2-2y^2=1の正の整数解は
x=(1/2)(β^k+α^k)、y=(1/(2√2))(α^k-β^k)(kは正の整数)
よってもとめるのは
(1/2)(β^k+α^k)が4でわって3あまる4以上の整数かつ
(1/(2√2))(β^k-α^k)が偶数になるとき
やはりkが3以上の整数。以下同じ。
･･･
正直Pell方程式の一般解に関する知識がなきゃ解けん。

反応がないと自演か．．．

>>574
誤爆？

おれ=>>572-573だけど自演じゃないぞ。

┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
┃
┃　　　　　　　　- 自作自演厨の鉄の掟 -
┃　　　　　　　 　　1. 質問者には自作自演でも優しくしよう
┃　　　　　　　 　　2. 自作自演邪魔する香具師はむっしっし
┃　　　　　　　 　　3. 自作自演は目標全レス
┃　　　　　　　 ∧＿∧　 　。　　　　　　　　　　　　　Ｅ[]ヨ
┗━━━━　（ 　 ・３・） ／━━━━━━━━━━━━
　　　　　　　　（つ　　つ
　　　　　　　|￣￣￣￣￣|
　　　　　　　| 　　 　 　 　 |
　　　　　　　| 　　 　 　 　 |
　　|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|

たぶん>>574=>>577にとっては “自演でないかぎり解けっこない” と思えるほどの
難問だったんだろうな･･･

箱の中に赤玉a個、白玉b個、黒玉c個が入っている。
この箱の中から1個ずつ玉を取りだしていき、最初にすべて取り出された玉が赤玉ならA君、
白玉ならB君、黒玉ならC君の勝ちとする。A君の勝つ確率を求めよ。

>>579
計算まちがってるかもしれないけど。
ボール全部とりだすとして全事象は(a+b+c)!/(a!b!c!)。最期にとりだしたボールが黒(C)である事象の数を
かぞえる。最期が〜〜白黒黒･･･黒(最期黒を連続してc-i個ひく)事象の数をもとめる。
これは赤a個、白b-1個、黒i個をならべる組み合わせの数なので(a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)
結局最期に黒ひく事象の数は�納i=0,c-1](a+b-1+i)!/(a!(b-1)!i!)=C[a+b-1,a]�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]。
で公式�納i=0,∞]C[k+i,i]t^i=1/(1-t)^(k+1)をつかえば�納i=0,c-1]C[a+b-1+i,i]は(1/(1-t)^(a+b))･(1/(1-t))=1/(1-t)^(a+b+1)
のc-1次の係数。つまりP[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。よってもとめる事象の数はC[a+b-1,a]P[a+b+1+c-2,c-1]/(c-1)!。
同様にして最期ひくボールが白も考えてたして･･･まんどくせ――――――

>>579
bc(b+c)(2a+b+c)/((a+b+c)(b+c)(c+a)(a+b))
になった。

>>579
全部取り出された順に順位をつけて、A1位、B2位、C3位という事象をA_123とする。他も同様。

Pr(A_123∪A_132∪A_231)=aがbに勝つ確率=C[a+b-1,b]/C[a+b,b]=b/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213)=aがcに勝つ確率=c/(a+b)
Pr(A_123∪A_132∪A_213∪A_213)=aが少なくともどちらかに勝つ確率=(b+c)/(a+b+c)

よって、
Pr(A_123∪A_132)=b/(a+b)+c/(a+b)-(b+c)/(a+b+c)
=>>581　（でも約分汁）

>>582
途中式、C[a+b-1,a]/C[a+b,a]に訂正。

>>582
2つめはc/(a+c)だな。答えの真ん中の項も。

xの三次方程式x^3+ax^2+bx-a+b=0 (a,bは整数)
が整数解を持つなら、その整数解は-2か0であることを示せ。

>>585
ｘ＾2-ｘ+1-1/（ｘ+1）+ａ（ｘ-1）+ｂ＝0

簡単すぎないか？

宿題を質問スレに書いたからね、585は。

クズばっか

f_1(x)=a^x, f_n(x)=a^f_(n-1)(x) (a>1,n=2,3,4,・・・)で定義される関数f_n(x)について
f_n(x)=xを満たす整数xがちょうど2つであるようなaを求めよ。

これできるか？

って
そんな頭いい奴いるわけねーかorz

問題：定規とコンパスのみを用いて正１７角形を作図せよ。

中心 O の円を描き, 直交する二つの直径 AB, CD を描く。 AE : EO = 3:1 になるような
内分点 E を採る。 直線 AB 上に CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI となる点 G, H, I を採る。
又, AI の中点 J を中心とし, 半径 JI の円を描き, OC との交点を K, KL = OH/2 となる点 L を AO 上に採る。
LK を半径として, OA の延長上に点 M を, ON = OM/2 なる点 N を AO 上に採る。
そして, ON ⊥ PQ となる点 P, Q を円周上に採ると, これらが正 17 角形の一辺となる。

え？
これはガロワが解いた問題なんだけど、
定規ってのは直線を描くためだけに使うんであって、
長さは測っちゃだめだよ、確か。

どこで長さを測る必要がある？

ガウスの間違いだと思われ

てゆーか自作問題うぷしろよ

【問】
xについての方程式
A: x^3+lx^2+mx+n=0
について考える．但し、l,m,nは
(a:方程式Aの自然数解の個数)
(b:方程式Aの整数解の個数)
(c:方程式Aの実数解の個数)
のいずれかであるとする．

(1)
l,m,nがa,b,cとある対応をしたときl,m,nの値がそれぞれ確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．

(2)
l,m,nがそれぞれある値だったとき、l,m,nとa,b,cの対応が確定した．
このときのl,m,nとa,b,cとの対応及びl,m,nの値及び方程式Aの解を求めよ．

>>596
問題の日本語に不備ありすぎ

>>597
そうか？

>>596
対応と確定を使わず表現してくれ

CE = EF = EG, CF = FH, CG = GI とか
AE : EO = 3:1 とかって
長さをはからずに
コンパスと定規で可能？

>>600
おまえ馬鹿だろ？

長さを測る必用がないなら、コンパスは不要では？

次の命題を証明せよ。

「関数 f(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝ は任意の閉区間 [a，b] で x の多項式で表す事ができない。」

>>603
ｘの多項式ｆ(x)は、ｘで何度か微分を繰り返すことで、恒等的に0となるが、
1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返してもならない。・・でいいんじゃないのか？

「1/(1+(sinx)^2)は何度微分繰り返しても０にならない」の証明は？

>>605
実際ｎ次導関数求めればいいんじゃない？大変だろうか

ｎで簡単に表されるとは思えないが。

>>603
“任意の閉区間 [a，b]”じゃなくて“実数全体”なら瞬殺なんだけどな。

>>608
その条件だったら出題するまでもなかろう・・・

{f(x)-1}の零点が無限に存在する（x=kπ）から、なんてのは駄目？

>>610
>>608-609

任意の閉区間 [a，b]だから駄目だね。

>>610
有界閉区間には{f(x)-1}の零点は有限個しか含まれない

全然駄目ですね思慮不足でした

大体できたかな。
多項式をf(x)とおくと
cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2
これを2回微分して
f(x)の微分方程式をつくる。
あとは簡単。

× cos(2x)＝3-2/{f(x)}^2
○ cos(2x)＝3-{2/f(x)}

今日エナ行きました。奥田先生は東大の教官は教科書を横に置いて問題を作るといってました。
ホエールバックの定理が東大頻出、とかいっていたんですが、
検索しても出てきません。名称からアソシエートして正しい定理を教えて下さい。

それからわがままですみませんが、１度問題を編纂して
直前期に繰り返せば８０点はカタイ（エナ生に通える高所得の家庭の子供はそういう）
という問題集を作ってはくれませんか？とりあえず黒大数の東大の過去問やりますけど。
明日あたりにまた来ます。

>>618
氏ね

>>618
マジレスすると、このスレの人間は自分のペースで
ゆっくり問題を作ったりといたりしているから
人に何かをやってくれとか言われても、絶対にやらないと思われ。

>>615-616
なるほどね。
もっと簡単にできそうだが．．．できない。

PDFにしてるけどこれは自分のためであって人にやるもんでもない。
問題提供者には感謝する。

>>603
受験の解答だとこんなもん？
a<bという仮定は当然あるものとして
まず多項式P,Q,Rについて
Psin2x+Qcos2x=R―(1) が(a,b)で成立するときP=Q=R=0であることを示す。
degP+degQに関する帰納法。degP+degQ=0なら(P,Q)=(0,0)でなければ左辺は
0でない３角関数で何回微分しても0じゃないけど右辺は何回か微分すると0なので矛盾。
よってP=Q=R=0。degP+degQ<n≠0のとき成立するとしてdegP+degQ=nのときは
Psin2x+Qcos2x=Rを2回微分して(P''-4Q'-4P)sin2x+(Q''+4P'-4Q)cos2x=R''―(2)。
(1),(2)より(P''-4Q')sin2x+(Q''+4P')cos2x=4R+R''。よって帰納法の仮定から
P''=4Q'、Q''=-4P'、R''=-4R。P,Q,Rは多項式だからP'''=-16P'、Q'''=-16Q'、R''=-4Rより
P'=Q'=R=0。よってP,Qは定数でdegP+degQ=0であるがこれはdegP+degQ=n≠0に反する。
よってdegP+degQ=n≠0となるこのような多項式は存在しない。
もしf(x)＝1/｛1+(sin x)^2｝が開区間(a,b)で成立し、かつf(x)が多項式なら
(3-cos2x)f(x)=2、よって(3-cos2x)f(x)+2sin2xf'(x)=0、よって2f'(x)sin2x-f(x)cos2x=-3f(x)。
よってf(x)=0でなければならないがf(x)は開区間(a,b)で0関数に成り得ないので矛盾。

>>623
>>615-616見てない？

6{f(x)}^3-4{f(x)}^2-2{f'(x)}^2+f"(x)f(x)=0

もっと一般化してみたいね。
恒等的に０ではない、三角関数の合成関数ｆ（sinx,cosx)は任意区間でｘの多項式ｇ(ｘ)にはならない。

多項式以外の初等関数だったら言えるよ。

>>625
f(x，y)＝x^2+y^2 ならどうする？

>>627
(ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰそうだったね。
なんて説明すればいいかわかんね

>>624
みてなかった。須磨

まあたぶんいいたいのはR[sin(x),cos(x)]がR[U,V]/(u^2+v^2-1)に環として
同型とかそんな感じのはなしを受験問題にできないかということかな？

かわういね ＞ (ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ

(ﾉ∀｀)ｱﾁｬｰ

あぼーん

ねー、これは簡単には示せへんの？

f(x),g(x)が共に何回でも微分可能なとき、
x∈[a,b]でf(x)=g(x)　ならば　x∈Ｒでf(x)=g(x)

>>634
それは反例があるのでダメ。

>>634
その定理を複素関数にして、解析接続っぽい形にすればOK

>>620なるほど、独善ぶりも東大教官の如くやるわけですね。
でもホエールバック（？）の定理の正式名称を考えてくれませんか？

僕も出題しておきます。a[n]=(1-S[n])(1-S[n-1])の一般項を求めよ。

あぼーん

あぼーん

Re:>633,639-640 お前人のメアド勝手に載せるなよ。

>>641
どうせ捨てメアドなんだろ？

ヤフーに迷惑かけているのはお前だ！

それから、いちいちレスつけるなよ。

それが荒らしを喜ばせているってことに気付かないのか？

ホントKingって学習能力ないなぁ呆れるよ。

Re:>642 お前誰だよ？幾つ同じレス付けてんだよ？

>>643
話をすり替えるな。お前の詭弁には騙されないよ

大人しくしてろよ30過ぎのおっさんがっ早く就職しろ。

あぼーん

>>637
スレ違い。

>>647 東大の傾向を知り尽くしたこのスレの人々ならわかると思ったんですけどね。
せめて誘導をつけていただければ助かるのですが、まあ取り敢えず自前の問題集３０回とき回します。

Re:>644-645 お前早く土に還れ。

>>648
お前、非常にムカつく。

氏ね灰になれ！

>>647
マジレスすると同じ問題と解き直すより、新しい問題に行った方がいい。

Re:>649 お前が先に氏ね。

>>651　荒らしは氏ね

>>637
マイケル・シューマック

>>638
a[1]=a
a[n]=(1+a)[(1/{1-(1+a)(n-1)})-(1/{1-(a+1)(n-2)})] (n≧2)

イマイチだな

>>655が、俺ならもっといい回答するぜ、誰かこの俺に訊けよ、と叫んでいます。

>>650うーん・・では過去問やったあとは力の５０題にでも挑戦します。
最大最小問題で多変（略）における調和関数の性質使うと簡単に終わるものありますね。
>>654 展開するのがめんどくさいので確認しませんが、正答としては
(A)a[1]=1,a[n]=0(n>=2)or(B)1/a[n]=(n+c)(n+c-1),c=const.です。
>>653調べておきます。京大頻出はカントールの定理らしいです。

>>657
聞き齧った用語を理解しないまま書き連ねているのが哀れよのう

>>658 「最大最小問題で」の所ですか？
U上で連続な関数f(x1,x2,---)について△f=0のとき調和関数といい、
fは∂Ｕにおいて最大および最小をとる、で合ってます？
間違ってたら、まさしく哀れです。

>>657
F1知らなくてもミハエル・シューマッハがぐらい聞いたことあるだろ

>>660いや知ってはいたんですけど、実はあると思ってしまいまして。

平面上にn個の異なる点を配置する。どの２点間の距離も、必ずある二つの実数値のどちらかを取るように
nこの点を配置することを考える。n=3の時は、二等辺三角形をなすように配置する例がある。

1)　n=4の時、点の配置を全て求めよ。
2)　n=5の時、点の配置は正五角形に限ると言えるか。
3)　n=6の時、条件を満たす点は位置は存在しないことを示せ。

前スレのログ持ってるやついる？

できれば、どこかにうぷして欲しいんだけど。
おねがいしますだ。

まずはヒザマヅケ！

>>1乙

俺のとっておきだ。
次の不定積分を解きなさい。

∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ

これは難問だぞ

アフォか？

>>667
積分区間を良く見てみ

∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0

[e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。

>>670
> [e^0..sin(π/2)]は積分区間ではないところがミソだな。

じゃ，何だっていうつもり（ｗ

勘弁してくれよ、出題者に聞いてくれ

不定積分なんだから積分区間はないよな．
[e^0..sin(π/2)]は「..」が気になる．なんだろ？

>>673
定積分の書き間違いだろ

「..」は？

667 １３２人目の素数さん 04/10/14 13:01:30
これは難問だぞ


668 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:03:29
アフォか？


669 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 13:06:46
>>667
積分区間を良く見てみ

∫[e^0..sin(π/2)]θ^(sin4θ)dθ =
∫[1..1]θ^(sin4θ)dθ = 0

675 １３２人目の素数さん sage 04/10/14 15:21:09
「..」は？

面白すぎ :-)

定積分を不定積分と間違え、しかも「解きなさい」などと意味不明な事を書き、
不定積分に必要だと勘違いした積分区間に「..」などと変な記号を入れる、
これはそうとうな池沼だな。

んなことは、どうでもいいから、>>662の解答ｷﾎﾞﾝ

>>677
そんなこと一目で見抜けるだろ

わざわざ書き込んだのは釣られたはらいせだな

釣られたのは多分>>679

>>667-680

666を見て10秒以内に解けなかった人は高校の微積分からやり直してください，
ということで終了

粘着もやめてね

>>662
面倒だなぁ

凸包で場合分けしていくやり方しか思い浮かばない。

おまいら分かってねーな。
>>666は0と即断したヤシを馬鹿にするための問題だぜ。
罠はひとつと思い込んだ奴の負け。

>> 683
ボクもこたえが0になりました．

0が正解ででないならこたえを教えてください．

６６６は間違いを誤魔化すので必死だった
ということで終了

>>684
疑惑の[e^0..sin(π/2)]の部分は「..」が不明だが取り合えず
変数が含まれてないので定数と考えればよい。
「..」の詳細は>>666の再降臨を待つべし。

関数f(x)とg(x)があり、f(x)=g(x)とおくと、その根が交点のx座標である。
何故か説明せよ。

Re:>687 交点とは何か、等式の根とは何か、それぞれ説明願う。

kingうんち

>>687
実根でなくていいのか？

巨根

[e^0..sin(π/2)] は何かの演算子だろう。交換子に似ているが。

Re:>692 a<bとするとき、[a..b]={x∈R|a≤x≤b}.

Re:>693 いいから消えろ。

Re:>694 何故消えねばならぬのだ？

Re:>695 お前が偽者だからだ。迷惑してるんだよ。
おまえがウンコウンコ言うから、俺が同類だと思われるんじゃないか。

Re:>696 う■こと言ってるのはお前だろが。寝ぼけた上に頭打ったのか？

あぼーん

Re:>697 いまさらとぼける気か？この恥知らず。

Re:>698 お前何考えてんだよ？
Re:>699
【ゴキブリ】KingMathematician４【ストーカー】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095683000/594
を参照のこと。

>>666ま〜だ〜？

>>666の再臨期待あげ

>>666は施設からの外出許可がまだ出ないようです。

ごめん。積分区間です（汗

てか、定積分だし。すみませんね。

よって>>669、正解。

小学生がいいそうな問題だな。
2*3*4*5*・・・・・・*0*3*4*・・・・=
なんでしょう？とかよく言ってたよ。小2の頃。
こんなこというと馬鹿にされそうだが。

まぁこれが結構わからない奴もたけどね・・・

最近、スレ違い厨が大杉。
しっ！しっ！

いつからウンチ臭い大学生とションベン臭い小学生のスレになったんだ？

>>662

(1) 2点間を結ぶ線分は 4C2=6 本ある。このうちの少なくとも3本の
長さが1であるとして一般性を失わない。
1以外の長さが3本の場合 → 正三角形と，その重心
1以外の長さが2本の場合 → 正方形
1以外の長さが1本の場合 → 1辺を共有する2つの正三角形

>>711
正五角形の一点を抜かした四角形は条件を満たしてるんじゃないの？

あとは四点A,B,C,Dを△ABCを正三角形にして、点DをBD=CD、AD=ABを満たすように取れば
これも、条件を満たすだろ。

一辺2の立方体の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。

これは難問だぞ

こちらの方が激難問だよ。

「一辺2の正方形の内部を半径1の円盤が自由に動く。
円盤が通過しうる部分の体積を求めよ。」

>>662　長いので概略のみ
ある３点が存在し、それが同一直線上に並ぶ場合、条件を満たさない。よって、どの３点も同一直線上に並ばない。

ある点Dが存在し、残りの３点が作る三角形ABCの外心がDである場合。
△ABCが正三角形の場合、Dが外心の時、明らかに条件を満たす。
△ABCが正三角形でない場合、AB,BC,CAは二通りの値を取る。Dが△ABCの外心であることからAD=BD=CD、一般性を失わず
AD=BD=CD=ABとしてよく、この場合△ABDが正三角形をなす。このような条件を満たす点配置は３通り、その全てが条件を満たす。

４点のうち、どの３つを選んでもその３点がなす三角形の外心は４点に含まれない場合。
AB,AC,ADは条件より２通りの値を取る。よって、AB=1,AC=AD=aとしても一般性を失わない。
BC=1の場合、 BA=BC=1、Bは△ACDの外心でないことから、BD=aが成立する。
このとき、DA=DB=aが成立するため、DC=1が成立する。
BC=aの場合、 CA=CB=aが成立するためCD=1　BDの値は1,a両方取り得る。
以上より、この場合の４点が作る線分の長さは以下の通り。

1) AB=1 AC=AD=a、 BC=1 BD=a CD=1
2) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=a CD=1
3) AB=1 AC=AD=a　 BC=a BD=1 CD=1

ところが、1,3は点C,Dを入れ替えることで同じとなるため、実質的に異なる配置は二通り。

1)の配置の場合、aの値は二通り考えられるが、拡大または縮小することで両者は等しくなる。よって、1)の場合の配置は一通り。
2)の配置の場合、AC=CB=BD=DA=aより、ACBDは菱形をなす。対角線がAB=CD=1となることから、この菱形は正方形であり
この場合の点配置も一通り。

以上をまとめると、全ての点の配置は６通りであることが分かる。

>>716
君は馬鹿か？

>>718
ﾕｰﾓｱのｾﾝｽがないﾔｼだなぁ。

え、>>716って寒くない？

スレ違いは他所でやｔってくれ。

>>717　( 自己レス )
間違い発見、ｽﾏｿ　逝ってくるわ

関数 f(x) は x＝0 で連続とする。
lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在するとき、f’(0) は存在するか？
存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。

× 存在するならば証明し、存在しないなら反例を挙げよ。
○ 存在するならば証明し、存在しない場合があるならその反例を挙げよ。

>>662の問題作成者が素敵。
解がエレガントならすごく面白い。

>>723
f(x)=xsin((2π/log2)log|x|) (x≠0)、f(0)=0とすれば反例。

オレは長い方の辺の数aと短い方の辺の数bで場合わけしてやった。
――
I)(a,b)=(5,1)のとき
短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。のこる一辺はもとの辺よりながいので矛盾。
II)(a,b)=(4,2)のとき
長い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するかしかない。
正三角形ならのこりの一辺はひとつの内角の２等分線の対辺と交叉している側に
長辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(A)。
菱形は無理。
III)(a,b)=(3,3)のとき
長い辺は正三角形の３辺か３角形をつくらないとき。
正三角形ならのこる一点は重心で条件みたす。(B)
三角形の３辺とならないときはちょっとがんばると正５角形から１点のぞいた形。条件みたす。(C)
IV)(a,b)=(2,4)のとき
短い辺４本は正三角形と一辺か菱形を構成するしかない。
正三角形ならのこりの一辺は一つの外角の２等分線の大変と交叉していない側に
短辺と同じ長さになるように一点とったやつ。条件満たす。(D)
菱形になるときは正方形と２対角線になるとき。条件みたす。(E)
V)(a,b)=(1,5)のとき
短い一辺をのぞいた図形は正三角形２つはりあわせた形。条件満たす。(F)
で結局A〜Fの６つ。
――
になった。答えはこれであってるとおもうんだけどエレ解がみつからない･･･

>>726
反例になってない罠。
lim（ｈ→0）｛ｆ（2ｈ)-f(h)｝/ｈ が存在しない。

やっぱり、1_{0}(x)だね。

あぼーん

>>729
何、それ？

>>723 は直感的には真で反例がありそううな気がしない。
こんな漏れはｾﾝｽなしかもしれないが．．．

あぼーん

>>723
存在する。

>>734
証明してたもれ。

>>662
(2)になってくると、もはや相当長い場合分けしかないと思っていたが、
５点のうち、どの４点を取り出しても、必ず(1)で求めたパターンになっていると言うことと
距離が二種類しかないという事を使えば、結構簡単になるか。

>>723
存在する。以下証明。
　
証明）lim[h→0](f(2h)-f(h))/h)=cとおく。g(x)=f(x)-f(0)-cxとおけば
lim[h→0](g(2h)-g(h))/h)=0。g'(0)が存在することがいえれば十分。
g(x)は原点で連続でg(0)=0である。
正の数e>0を固定すると仮定からd>0を十分ちいさくとって任意の-d<h<d、h≠0にたいして
-e<(g(2h)-g(h))/h<e⇔-eh<g(2h)-g(h)<ehが成立するようにできる。
よって任意の-d<h<d、h≠0にたいして
-eh/2<g(h)-g(h/2)<eh/2
-eh/4<g(h/2)-g(h/4)<eh/4
-eh/8<g(h/8)-g(h/8)<eh/8
･･･
をたしあわせて左辺の和>-eh、右辺の和<ehより-eh<g(h)-g(h/2^N)<eh。
N→∞とするとlim[h→0]g(h)=0から-eh≦g(h)≦eh。
よって任意の-d<h<d、h≠0に対して-e≦(g(h)-g(0))/h≦e。
eは任意の正の数であったから結局lim[h→0](g(h)-g(0))/h=0。証明終
ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･

>>737
>ε-δ使わない証明おもいつかないな･･･

そうだよね｡僕も大体同じﾗｲﾝで考えて､
lim[h→0]{g(h)-g(h/2^N)}/h=0　
までは高校範囲ででるんだけど､そこから後が続かない｡

Re:>730,733 人のメアドを勝手に載せるな。
Re:>731 連続ではなかった。

あ・げ・ま・す・よ

http://www.h3.dion.ne.jp/~jituzai

あるサークルで、5人の女優A〜Eについての好き嫌いを調べた結果次のようになった。
・どの女優についても、好きな人は3人ずついた。
・AとBを共に好きな人、BとCを共に好きな人、CとDを共に好きな人、
　DとEを共に好きな人、EとAを共に好きな人がそれぞれ1人ずついた。
・どの女優も好きでないという人はいなかった。
このとき、このサークルの人数は最大何人いるか。

>>742
ぱっと見、10人のような気がするけど間違ってる？

Re:>743 第二の条件から、A〜Eを好きな人が5人いて、それでA〜Eを好きな人が2人ずついることが分かる。あとは簡単。

11人？

15に一票。

２０％くらい

正の実数x,y,zが2xyz+xy+yz+zx=1を満たすとき、x+y+z≧3/2を示せ。

(x+2)(y+2)(z+2)でも計算すっか

>>749　違った……　2と1が逆だった。

((2(x+y+z)+3)/3)^3≧(2x+1)(2y+1)(2z+1)=4(2xyz+xy+yz+zx) + 2(x+y+z) + 1 = 5+2(x+y+z)
x+y+z=sと置けば、
((2s)/3 + 1)^3 ≧ 5+2s
が成立する。これを満たす、sの範囲はs≧3/2である。　等号成立はx=y=z=1/2

負でない実数a,b,cがa+b+c=2を満たすとき、
3abc≧2(ab+bc+ca-1)が成り立つことｗ示せ。

>>751
なにそれ？a=2、b=c=0でいきなり反例あるじゃん。

>>752
君は
　0≧-2
が「矛盾」だとでもいうのか。

>>752
？

あ、しまった。計算まちごた。釣ってくる。

>>750みたいなエレ解があるとあとがやりにくい。
しかしどろくさくやるなら>>751はできる。
a+b+c=2なのでどれか一個は2/3以下。a≦2/3として一般性をうしなわない。
このとき
与式⇔(3a-2)bc≧2a(b+c)-2
aを固定すると右辺は一定で左辺は3a-2≦0よりb=c=1-a/2のときが最小。
そのときに成立すればよい。よって
(3a-2)(1-a/2)^2≧2a(2-a)-2
が0≦a≦2/3で成立すればよい。4(左辺-右辺)を展開して
4(左辺-右辺)
=(3a-2)(a-2)^2+8a(a-2)+8
=3a^3-6a^2+4a
=a(3(a-2)^2+1)
は0≦a≦2/3において0以上。よって与式は成立。
等号はa=0、b=cまたはb=0、c=aまたはc=0、a=bのとき。

次のように電卓(テンキーでもよい)の周りを3桁ずつ回るとき
どのように回っても(右回りでも左回りでも)和が2220になることを証明せよ。
７　８　９
４　５　６
１　２　３
例214+478+896+632=2220
789+963+321+147=2220
　236+698+874+412=2220.....
きちんとした解答を作るのは難しそうなので入試問題でもよさそうではないか?

>>757
16個しかないんだから全部計算したってそんなたいした手間にならんような。

次の文章が正しいかどうか判定せよ( 答えはメール欄 )

半径1とrの同心円がある。r＞1とする。 小円( 半径1 )の内部に点Pをとり、点Pを通る二直線が
小円と交わる点をP,Q、大円( 半径r )と交わる点をR,Sとする。円弧PQをPとQを結ぶ円周のうち短い方の長さ
円弧RSも同様と定義するとき、 PQ≦RSが成立する。

おおっと、間違えた

>>759　訂正
＞点Pを通る二直線が
ではなく

＞点Pを始点とする二つの半直線が

それは(1)にしよう。
(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに
どう回っても和が一定であることを証明せよ。
例n=2
12+23+36+69+98+87+74+41=440
47+78+89+96+63+32+21+14=440
n=7
1236987+7412369+9874123+3698741=22222220
6321478+8963214+4789632+2147896=22222220

>>761
＞(2)電卓の周りをn桁(n=9の倍数でない自然数)ずつ回るときに
nは8でわったあまりが1でない自然数じゃないの？

失礼しますた。訂正します。
誤n=9の倍数でない自然数
正nは8でわったあまりが1でない自然数

自然数ｎについて定義された関数ｆ（ｎ）＝［2005／ｎ］について、
ｆ（ｆ（ｎ））≠ｎ　満たす最小のｎを求めなさい。
ここで［ｘ］はｘを超えない最大の整数とする。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2005年　第1問）

方程式　x^2+y^2+z^2=（8m+7）4^n　(n,mは自然数)　
を満たす自然数の組（ｘ、ｙ、ｚ）が存在しないことを示せ。

（2006年　第1問）

>>764
nが2005を超えたらｆ（ｆ（ｎ）)は存在しない。悪問。

(mod8)
0^2≡0,1^2≡1,2^2≡4,3^2≡1,4^2≡0,5^2≡3^2≡1,6^2≡4,7^2≡1,
よって、任意の自然数nにおいてn^2≡0,1,4
題意を満たす(x,y,z)の組がもしあればx^2+y^2+z^2≡0,4で
x,y,zはどれもmod8で0か4でなければならない。
つまり、x,y,zは全て偶数でなければならない。
x=2＊x1,y=2*y1,z=2*z1,(x1,y1,z1は自然数)とおける。
この時、条件は
x1^2+y1^2+z1^2=(8m+7)4^(n-1)とかける。
この操作を繰り返し、
xn^2+yn^2+zn^2=(8m+7)を得る。
この時、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数となる。
しかしながら、xn,yn,znのうち１個または全てが奇数ならば
xn^2+yn^2+zn^2≡1,3(mod8)であるから、この様な組み合わせは存在しない。

>>764
2005/［2005/k］≧k+1を満たす最小の自然数kを求めればよい
2005=kp+q (p,q整数、0≦q＜k)とすると2005/p≧k+1
p=(2005-q)/kを代入して整理するとq(k+1)≧2005
q＜kよりk≧45　k=45,46,47・・・と代入してk=53で題意を満たす。

[2005/53]=37,[2005/37]=54
[2005/52]=38,[2005/38]=52

>>767>>768

お見事。皆さんにはちょっと簡単すぎましたね。悪しからず

正六角形のすべての頂点に1〜3のいずれかの数字を与える。
平面内で回転して重なるものは同一とみなすとき、数字の与え方は何通りか。

関数方程式か。　へぇ……
俺も一つ。

f(f(x))=-xを満たす関数fを一つ求めよ。

f(x)=x^i

f(x)=ixだっただ

おっと、>>772はｆ：R→Rね。

>>772
連続関数でか?

f(x)=0 (x=0)
=1/x (｜x｜≧1)
=-1/x (0＜｜x｜＜1)

別に連続でなくてもいいぞ。　ってか、連続だとねーだろ

f(x)≡0

○>>777
×>>779

距離hだけ離れた互いに平行な2平面上にそれぞれ面積Sの三角形があり、
その二つの三角形は合同で対応する3辺がすべて平行である。
このとき、二つの三角形の頂点である6つの点を頂点とする多面体の体積を求めよ。

なんかあれなのか？
Sh以外の意外な組み合わせがあるのか？

わくわく

Shともうひとつある

>>781
三角形がねじれてる場合か

>>784
それだ。

8面体か

ということは(4/3)Sh？

>>787
その通り

続けていってみよう！

Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k] = n*(4^(n-1))

を示せ、　C(m,n) = (m!)/((n!)((m-n)!))だよん

>>789
できた。
Σ[k=1,n] (k^2)C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] (k^2)C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] ((n-k)^2)C[2n,k]
=(1/2)Σ[k=0,2n] ((n-k)^2)C[2n,k]
=(1/2)Σ[k=0,2n] (n-k)(n-k-1)C[2n,k]
=(1/2)(Σ[k=0,2n] C[2n,k]t^(n-k))''|t=1
=(1/2)(t^n(1+1/t)^(2n))''|t=1
=(1/2)((t+2+1/t)^n)''|t=1
=(1/2)(n(n-1)(t+2+1/t)^(n-2)(1-1/t^2)+n(t+2+1/t)^(n-1)(2/t^2)))|t=1
=n*(4^(n-1))

んじゃ、これは？
Σ[k=1,n] k*C[2n,n-k]

k^2をkに変えた奴

次の性質を満たす正の実数 p がある．

任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p−1−1/1!−1/2!−．．．−1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．

このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．

おまえらしね

xについて恒等式
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).....(x-z)=0
が常に成立するためのa,b,c,d......zの必要十分条件を求めよ。

>>792はちと難し過ぎたかな。
では 「p が無理数である事を示せ」 は？

>>794
まだそんな事やってんのか、氏ねよ。

x>0のとき、2^(-x) + 2^(-1/x)の最大値を求めよ。

>>797
ん？微分したら終わりじゃないのか。

>>792
ｐは明らかにネイピアの数だね。
マクローリン展開か．．．

>>795
ｐが有理数とすると ｐ＝ｊ/ｋ（ｊ，ｋは自然数）とおける．
そのとき，

ｊ/ｋ＝1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!+a_n/(n+1)!

両辺を ｎ!倍すると

（ｊ/ｋ）ｎ!＝（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!+a_n/(n+1)

ｎ≧ｋ のとき （ｊ/ｋ）ｎ! は自然数．
（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ! は常に自然数で，
ｎ+1≧3 のとき， 0＜a_n/(n+1)＜１
よって， ｎ≧max｛ｋ，2｝ のとき，

a_n/(n+1)＝（ｊ/ｋ）ｎ!-（1+1/1!+1/2!+．．．+1/n!）ｎ!

において，右辺は整数となるので矛盾．

>>792も同様にしてできる．

Re:>793 お前誰だよ？

，．厨

939

半径1の円を長さaの弦で二つの弓形に分けたとき
面積が小さい方の弓形の面積をSとする。
lim[a→0]S/(a^3)の値を求めよ。

>>805
細かいことだが，a→+0 と書いて欲しい．

>>805
やってみますた。
f(x) = x - sin x - (1/6)x^3 ± x^4とおくと、(以下複合同順)
f'(x) = 1 - cos x - (1/2)x^2 ± 4x^3
f''(x) = sin x - x ± 12x^2
f'''(x) = cos x - 1 ± 24x
f''''(x) = -sin x ± 24
±f''''(x) > 0, f(0) = f'(0) = f''(0) = f'''(0) = 0　だから、
x>0のとき±f(x)>0。すなわち、
-x^4 < x - sin x - (1/6)x^3 < x^4
両辺をx^3(>0)で割って、
-x < (x - sin x)/(x^3) - 1/6 < x
∴lim[x->+0](x - sin x)/(x^3) = 1/6 …(1)
題意の弓形の円周角はaだから、
S = (1/2)a - (1/2)sin a
lim[a->+0]S/(a^3)
=(1/2)lim[a->+0](a - sin a)/(a^3)
=1/12 (∵(1))

>>791
どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。
　
(補題)
�納m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2C[2n,n]/4^n
(証明) C[2n+2,n+1]=(4n+2)/(n+1)C[2n,n] + 帰納法。以下略
(命題)
�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n]
(証明) 以下のような試行をかんがえる。動点Pを最初原点におき
確率(1/2)でx軸方向に+1、確率(1/2)でy軸方向に+1うごかす。この試行を2n回
くりかえす。各段階で直線y=xから遠のいたとき1点、近づいたとき-1点をあたえる。
試行の終了時動点は(n+k,n-k) (-n≦k≦n)であらわされる点のいづれかにいる。
(n+k,n-k)に到達する確率はC[2n,n+k]/4^nでありそのときの全得点は|2k|である。
したがって全得点をあたえる確率変数Eの期待値は
E=�納k=-n,n]|2k|C[2n,n+k]/4^n･･･(1)
一方でl回目の試行の時点でえられる得点の期待値はlが奇数のとき0であり
lが偶数のときはC[l,l/2]/2^l×1である。(=点(l/2,l/2)に到達している確率×その場合の条件付期待値)
よって全期待値は
E=�納m=0,n-1]C[2m,m]/4^m=2nC[2n,n]/4^n･･･(2)
(1)、(2)より�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]

>>807
「弓形の円周角はa」じゃないよ。

答えはあってるし、まあ良し

よかないよ。
その誤差が結果に影響しないことを
ちゃんと評価しなければ駄目駄目だ。

>>808
訂正っす
×どうも(1/2)C[2n,n]みたい。以下証明。
○どうも(1/2)nC[2n,n]みたい。以下証明。
　
×�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=C[2n,n]
○�納k=-n,n]|k|C[2n,n+k]=nC[2n,n]

>>808
普通に計算した方がはやいような・・・

>>813
-((t+2+1/t)^n)'(1/(1-t))の原点の留数計算でやるって方法はあるんだけど
あまりに味もそっけもないのでちょっと凝った方法をのせてみますた。

>>814
留数計算とか知らんけど

Σ[k=0,n] k*C[2n,n-k]
=Σ[k=0,n] (n-k)*C[2n,k]
=nΣ[k=0,n]C[2n,k] - Σ[k=0,n] k*C[2n,k]
=nΣ[k=0,n]C[2n,k] - 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1]
=n(2^(2n)+C[2n,n])/2 - 2n(2^(2n-1))/2
=n/2C[2n,n]

でいいんじゃね？

>>815
なる。
Σ[k=0,n] k*C[2n,k] = 2nΣ[k=1,n] C[2n-1,k-1]
これおもいつかんかったよ。だいたいこの手の計算答えが簡単になるときは
瞬殺する方法あとからでてきていやんなるんだよな。まだまだ修行がたりん。

簡単なのを一題
　二つの自然数m,nに対し[m,n]はmとnの最小公倍数を表すものとする。
1≦a＜b＜c＜dとして

(1/[a,b])^2 + (1/[b,c])^2 + (1/[c,d])^2

の最大値を求めよ。

(a,b,c,d)=(1,2,3,4)
1/4+1/36+1/144=(36+4+1)/144=41/144
(a,b,c,d)=(1,2,4,8)
1/4+1/16+1/64=(16+4+1)/64=21/64
41/144<21/64

>>809
指摘サンクス。
弓形の円周角をyとおくと、a->+0のときy->+0で、
a =　√(2 - 2cos y)
lim[y->+0]y/a
= √2(lim[y->+0]y/(1 - cos y))
= 1

メールくれたら､解答送付してやる

>>819
lim[y->+0]y/(1 - cos y)＝∞

>>821
訂正します。
lim[y->+0]y/a
= √(2lim[y->+0]y^2/(1 - cos y))
= 1

∠B=75°,∠C=45°の三角形ABCの辺AB上に点D辺AC上に点EをとるとBD=DE=ECとなった。
三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比を求めよ。

Re:>820 お前誰だよ？

>>824
スレと関係ないレスは控えてくれよ。

お前も荒らしと変わらないぞ。

>>824
荒らしは消えろ！

一辺の長さが1の正三角形の内部に点Pを取る。
Pから正三角形の各辺におろした垂線の足によって構成される三角形の面積がある一定の値aになるような
点Pの軌跡のうち、長さが最大になる物を求めよ。また、その時のaの値を求めよ。

>>827
a=√3/16のとき点Pの軌跡は正三角形の内接円で長さは最大値π/√3をとる

異なる5つの自然数a,b,c,d,eがあり、この中から2つの数字を選ぶ組み合わせは
10通りあるが、このうち9通りが互いに素な組み合わせだった。
このような5数a,b,c,d,eの積abcdeが取りうる平方数のうち最小のものを求めよ。

４４１００。

お前ら……証明がほとんど無いですよ。

xの関数f(x)=(ax+b)(2+e^x)-1についてf(x)=0を満たす実数xが3つあり、それをα,β,γ(α＜β＜γ)とする。
∫[α,γ]{f(x)/(2+e^x)}dx=0のとき、∫[β,γ]{f(x)/(2+e^x)}dxをγの式で表せ。

>>830
違う

>>829
(1,2,8,9,25)のときで3600、でよいのかな。

nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1
は２つの１次以上の実数係数多項式の積としてあらわせないことを示せ

訂正；実数係数→整数係数　

nを自然数とする。整式　ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+1
は２つの１次以上の「整数」係数多項式の積としてあらわせないことを示せ

>>828
aの値が違うだろ。　a=3√3/64

各頂点が格子点で、一辺の長さが１０の正方形ＡＢＣＤについて、三角形ＡＢＣの頂点を次の規則にしたがって動かす。

規則�T　毎回頂点の１つ隣り合う格子点（１はなれた点）のどこかに移動する。

規則�U　正方形から外に出てはいけない

規則�V　最終的に三角形ＤＣＢに到達しなければならない（ただし、Ａ→Ｄ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ｂ　と重なる）。

移動するたびに三角形ＡＢＣの面積（３点が同一直線上にあるとき面積は０とする）を計算し、
その最小値をｍであらわす。巧い移動方法によるｍの最大値を求めよ。

>>838
意味不明

巧い巧い巧い

正7角形には2種類の長さの対角線が存在するが、その長い方の長さをa、短い方の長さをbとする。
(1)a/b=2sin(3π/14)を示せ。
(2)sin(3π/14)を解に持つ整数係数の三次方程式を1つ求めよ。

[email protected]は誰のアドレスかな

未消化問題が溜まってるな・・・

http://ip.tosp.co.jp/i.asp?i=525maru

>>841
(1)
正七角形をABCDEFGとし、外接円の中心をOとする。
△ACFは、AC=AF=b, CF=aの二等辺三角形で、直線AOはAからCFに下ろした垂線かつ角Aの二等分線。
よって、∠CAO=(π-∠AOC)/2=(π-2*(2π/7))/2=3π/14より、
a=2b*sin∠CAO=2asin(3π/14)

(2)
正七角形を座標上に、A(1,0)、以下左回りに順にBCDEFGと取る。
以下α=2π/7、θ=3π/14=π/2-α、sinθ=xとおく。
b^2=AC^2=(1-cos2α)^2+(sin2α)^2=2(1-cos2α)=2(1+cos2θ)=4(1-x^2)
a^2=AD^2=(1-cos3α)^2+(sin3α)^2=2(1-cos3α)=2(1+sin3θ)=2(1-x)(1+2x)^2
よって、
(a/b)^2=(1+2x)^2/(2+2x)
(1)より、(a/b)^2=4x^2なので、
(1+2x)^2/(2+2x)=4x^2
8x^3+4x^2-4x-1=0

問題だけ吊るす、単なるマスターベーションスレになってしまった悪寒。

股間

Re:>842 早く消えろ。

ようし、俺もオナニーだ。

(問)三角形OABの辺OA上に点P,辺OB上に点Q,辺AB上に点Rをとると、
三角形PQRは正三角形になり、さらにPQ//ABになった。
OA↑=a↑,OB↑=b↑とし、OR↑をa↑とb↑で表せ。

俺の自信作

Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、
ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。

（１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外
の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。

（２）三角形ＡＢＣの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。

（条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。

>>850
(2)Ｃ？

>>850
(1)
Ｐは、自然数pを用いて、(3p、3^(n+1)-2p) (p=1,2,…,3^(n-1))とできる。
直線OP：y=((3^(n+1)-2p)/3p))x (0＜ｘ＜3p)で、
pが3の倍数じゃないとき0=3^0-1コ、pが3のベキじゃない3の倍数のとき2=3^1-1コ、
p=3^q (qは自然数)のとき、3^q-1コって出たけどあってる？

>>836
答えおながいします

>>836の問題は1999日本数学オリンピック本選第4問

>>854
答えおながいします

>>855
タイピングするの大変・・・ググったらどこかにないかな？

>>855
もう少しは考えろよ
本に書いて無い別海を見つけてこそ
本望だろ

>>857
結構考えた。もう疲れた。
>>856
すくなくとも数オリの公式ＨＰっぽいとこには2000以降しかなかった。

>>836>>855
略解
ｆ（ｘ）＝（x^2+1^2）(x^2+2^2)(x^2+3^2)・・・・・（x^2+n^2）+ 1
= g*h, 4n ＞ deg g ≧ deg h ＞ 0 とすると、
g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0
ところが f の定数項は平方数で無い。

>>859
＞g - h に 2n 個の値 ±i ±2i, ... , ±niを代入すれば g - h = 0
　
なるほど
　
＞ところが f の定数項は平方数で無い。
　
gとhの定数項が等しくなるのはなぜ？

わかった。なるほど。g,hの次数が2n以下だからか。なるほど。すばらしい。

まだわかって無いような文章の書き方だな。

f(ki)=i
g(ki)=-i
になることはないのかな？

>>863
ほんとだ。その可能性あるじゃん。どうやって否定するんだろ？
否定してください。＞>>859

>>863
f = g*h で、f は偶関数だから g が奇関数とすると h も奇関数となって、
f の定数項が無くなる。よって g, h は偶数次の項を持つ。
g(ki) が虚数とすると、 |g(ki)| ＞ 1 となる。 h についても同様。
よって、f = g*h に矛盾。

>>865
すばらしい。完全に解決。
g(ai)h(ai)=1からg(ai)、h(ai)ともにZ[i]の単元かつ互いに逆元、
さらに共に(偶数次の項しかないので)実数なので
(g(ai),h(ai))=(1,1) or (-1,-1)しかゆるされないんだね。

だから
>>859 で略解と断った上に >>862 でも警告したのに。
まだ分かっていないようだな。偶数次の項も奇数次の項もありうる。

>>867
ああ、そうか。奇関数じゃないっていってるだけで偶関数っていってるわけじゃないのか。
でももういいや。後は自分でできそうだから。

>>851

申し訳ない。三角形ＡＢＣ→三角形ＯＡＢ　

Ｏを原点とするxy平面に　Ａ（0,3^(n+1)） B(3^(n+1),3^n) （ｎは正の整数）がある。ただし、
ｘ座標　ｙ座標がともに整数である点を格子点という。

（１）　辺ＡＢ上の端点以外の格子点をＰとする。任意のＰに対して、線分ＯＰ上の端点以外
の格子点の個数ｋは　ｋ＝3^m-1 (ｍは非負整数)　とあらわされることを示せ。

（２）三角形ＯＡＢの内部の格子点Ｑのうち、次の条件をみたすものの個数を求めよ。

（条件）　直線ＯＱとＡＢの交点は格子点である。

>>869
とりあえずv(n)をv(n)=max{e | 3^e|n}で定義するとき
AB上の格子点をP(3p,3^(n+1)-2p)、p=3^e･q (3,q)=1とするとき
(3p、3^(n+1)-2p)=(3^(e+1)･q、3^e(3^(n+1-e)-2q))=3^eであるから
線分OP上の両端を除く格子点でOに一番ちかい格子点は
(3q、3^(n+1-e)-2q)でありよって両端以外の格子点は
(3qr、(3^(n+1-e)-2q)r) (1≦r≦3^e-1)
よってその数は3^e-1=3^v(p)-1個になった。
で結局その総和は
�納p=1,3^n-1](3^v(p)-1)=�納p=1,3^n-1]3^v(p)-3^n+1
で
�納p=1,3^n-1]3^v(p)
=3の倍数の数×3
+(9の倍数の数-3の倍数の数)×9
+(27の倍数の数-27の倍数の数)×27
･･･
+(3^(n-1)の倍数の数-3^(n-2)の倍数の数)×3^(n-1)
を計算すればいいと思うんだけど。あってる？

馬鹿ばっか

>>869

難しすぎ。こんなの東大入試でねーよ

後期は結構な難問出るぜ

とっくに東大入試のレベルなんか無視されてるとおもうが。

んじゃ、俺が少し簡単目の問題を出してやる。

各項が1,2,3によって構成される数列がある。この数列に対し次の二つの操作を行う。
操作1
　数列の項のうち、全ての1と2を置き換える。すなわち、数列が１，３，２，１，２であれば
　２，３，１，２，１と置き換えられる。
操作２
　数列の項のうち、全ての2と3を置き換える。すなわち、数列が１，２，１，３，２，１であれば
　１，３，１，２，３，１と置き換えられる。

この二つの操作を用いて、数列{a(1),a(2),…,a(n)}を次のように変換していくことを考える。
数列aに操作1を施して得られる数列をb、操作2を施して得られる数列をcとし、新たな数列を
b(1),b(2),…,b(n),a(1),a(2),…,a(n),c(1),c(2),…,c(n)
とする。最初に数列を{1,2,3}からスタートさせ
1,2,3
2,1,3,1,2,3,1,3,2
1,2,3,2,1,3,2,3,1,2,1,3,1,2,3,1,3,2,3,1,2,1,3,2,1,2,3
と上の規則に従ってのばしていく。 k回規則を適用した結果の数列をd_k(n)とおく。

　　以下、問題文は続く

数列d_k(n)は任意の自然数kに対し、次の条件を満たすことを示せ。
1) どのような自然数m,nに対しても、d_k(m+i)=d_k(m+n+i) 0≦i＜n が成立しない。
　すなわち、途中で数列の繰り返しが生じない。
　1,2,3,2,3 ( 2,3の繰り返し )などのようなものが生じない。

2) 上のように、数列が途中で繰り返しを持たないように、各項が1,2,3のみで構成される
　無限列を作成せよ。

xの方程式x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して
2個以下であるような実数bの条件を求めよ。ただしeは自然対数の底である。

f(x)=x^2-b,g(x)={(e^x+1/e^x)-a}^2=(coshx-a)^2

ふむ、それで？

>>877
b≦0になるような気がする。あってるかどうかだけでもキボン。

f´(x)=2x,g´(x)=2(coshx-a)sinhx

返事ないな〜。オイラの解法があってればb≦0みたいなんだけど。
しかしがんばって書いて穴あったらハズかしいし。

>>880
違うよf(x)=x^2-b, g(x)=-(2coshx-a)^2 の間違いじゃない？

>>883
オレ=>>880=>>882だけど>>878や>>881じゃないよ。b≦0じゃないの？

違うよ。b≦0で成立するのは明らかだけどbが割と小さな正の値でも成り立つよ

f(x)=x^2-b,g(x)=-{(e^x+1/e^x)-a}^2=-(coshx-a)^2
とおいて、グラフを調べる。
共に隅関数なので正だけで可。
大切なのは相対的位置だけでbとa^2の大小関係、
b^0.5とcoshx=aなるxとの大小にも注意が必要。
範囲を場合分けすれば共に凸や凹関数なのでイメージはつかみ易い。
くれぐれも交点は念入りに注意深く調べる必要がありそう。

相対的位置だけではありませんでした。
g(x)の形状はaに依存するので絶対的位置も要考慮。

ちがうのか･･･どこまちがってんだろ？答えだけでも教えて。ほんとにその範囲で
解一個しかないか計算機でたしかめてみたい。

b≦1/4で試して

間違いが見つからん･･･どこおかしいんだろ？オイラこうやったんだけど↓まちがってる？
　
x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下
⇔t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると
t+(cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。
　
こうやったんだけど･･･おかしいのかな？

訂正
　
x^2+(e^x+(e^(-x))-a)^2=bの実数解の個数が任意の実数aに対して2個以下
⇔t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
が多少の議論のもとでわかる。つぎにu=2cosh(√t) (t≧0)の逆関数をt=g(u) (u≧1)とすると
t+(2cosh(√t)-a)^2=b (t≧0)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)+(u-a)^2=b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
⇔g(u)=-(u-a)^2+b (u≧1)の実数解の個数が任意の実数aに対して1個以下
だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。

>>889
b≦1/4だとぶつからないの？今日はねむいから明日計算してみよ。おやすみなさいませでごじゃる。

>>889
わかった。最後の
＞だけどb>0ならg(u)のグラフと上に凸な放物線-(u-a)^2+bはaをうまくとると2点でぶつかる。
ここがまちがってるや。b≦1/4なら確かに一回しかぶつかんないや。

f(t)をtについての連続な関数とし、 0≦t≦1の範囲の最小値を0、最大値を1とする。
二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) , ( f(t) )^2 )
によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。

1/6＜S≦4/3かな

思いっきり間違えた。ちと簡単すぎたよ

f(t)をtについての連続な関数とする。
二点 ( -t,t^2 ) ( f(t) + 1 , ( f(t) )^2 )
によって作られる線分が0≦t≦1の範囲で通過する領域の面積の範囲を求めよ。

（１／３，４／３］。

[13/24,∞)

>>898
んな、単純になるか？

俺からも1問　単発問題だけど、
eは自然対数の底として，
　(ax/(2x+1))*e＜(1+(1/x))^x (0＜x)
が成り立つような定数ａの最大値を求めよ．

>>899
f(t)≡-1/2で最小じゃない？　最大値はいくらでも大きくできるし

a*eを1つの文字にしてないのはヒントなのかなあ

>>901
いや、証明を聞いているのだが

普通に考えれば、
x-y座標に置いて
A( 0,0 ) B(-1,1) C( a+1, a^2 ) D(b+1,b^2)
と置いて、線分ACとBDが
1) 交点を持たない、または、D(C)のみを共有する場合
2) D以外の交点を持つ場合
の二つに分け、１）の場合、放物線y=(x-1)^2上、C,Dの間に１点をとりそれをEと置けば、
線分AE、BE、放物線AB( これで言いたいことは分かるよね？ )で囲まれる部分の面積
は線分AC,BD、放物線AB,CDで囲まれる部分の面積より小さい。
従って、S≧m またはS＞mを満たす最良のmを検討するためには、1)の場合関数ｆが定数関数のみの
場合を検討すればよい。
この場合、この部分の面積は 線分AE、BE、ABによって囲まれる三角形の面積、と線分AB、放物線ABで囲まれる
面積の二つの和になる。　後者の面積は一定なので、△ABEの面積を最小にする場合を検討すればよい。
このような、場合はABに平行な直線が放物線y=(x-1)^2に接するところを求めればよく、その場合の面積は……


2)の場合、線分AC,BDの交点をEとおく。
明らかに求める部分の面積は、
(放物線AB、線分AE,BEで囲まれる部分の面積) ＋ (放物線CD、線分CE,DEで囲まれる部分の面積)
以下であるため、このような部分の面積に注目すればよい。
また、線分ACが放物線y=(x-1)^2と交点を持てば、それを新たにCと置き直して、面積を小さくすることができるため
ACとこの放物線は交点を持たないと考えて良い。　同様にBDとこの放物線も交点を持たない。

このような場合……で計算がめんどくさくて、やってないのだが、どーなのよ？
そんな単純になるんかね？

>>903
あー、確かに。

はみ出し削りで考えると四角形ABCDが平行四辺形のとき最小になりそうだが、このときは線分ACが
放物線y=(x-1)^2と2点で交わり無駄があるので、ACがy=(x-1)^2の接線かつBE=EDで最小になると思う。

接点は頂点寄りで

スマソ。はみ出し削りならAE/AC=BD/BE=1/√2か

訂正AE/AC=BE/BD=1/√2
書き間違いorz

>>875-876
できた。しかし･･･すげーながい。も少しがんばって短くなるようなら解答うｐしてみる。
結局ポイントは条件をみたすm,nがあるとすればmもnも3の倍数であるものが
存在するってことしめすとこみたいだけど。

>>875-876
がんばったけどこれより簡単にならん。
まず記号の整理。
w0,w1,w2,･･･
を有限列の列でw0=2,w1=123,w3=213123132,･･･とする。
定義はw0=2、w(i+1)=(12)wi+wi+(23)wi。ただし+は列の連結、
(12)wiはwiの1と2を入れ替えた列、(23)wiはwiの2と3を入れ替えた列。
以下w[k]でwの第k項をあらわすとする。ただし添え字は0からかぞえる。
また|w|はwの長さを表すとする。
たとえばw1=123に対しw1[0]=1、w1[1]=2、w1[2]=3、|w1|=3。
でまずは簡単な補題から。
(補題)
w=wp、l=|wp|、w'=w(p-1)とおく。
(1)mが3の倍数のとき{w[m],w[m+1],w[m+2]}={1,2,3}
　とくにm<nが共に3の倍数のとき第m項から第n-1項までの総和は2(n-m)。
(2)w[3i+1]=w[i+l/3]=w'[i]
(3)wの先頭2文字と最後の2文字は(1,2,2,3)か(2,1,3,2)。(この繰り返し。)
(証明)
簡単な帰納法で定義から容易にでる。以下略。
(命題)
各w=wpと非負整数mと正の整数n>0にたいしてwの第m項から第m+n-1項からなる
部分列uと第m+n項から第m+2n-1項からなる部分列vが共に定義可能であるとき
それらはひとしくない。
(続く)

(続き)
(証明)
l=|w|とおく。
p=0,1ならあきらか。p=1〜P-1までは成立するとしてp=P≧2と仮定する。
n=1のとき。m=l/3-1かm=2l/3-1でなければu+vは
(12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。
ゆえにm=l/3-1かm=2l/3-1であるが
w(p-1)の先頭,末尾が(2,2)のときは第l/3-1項、第l/3項は(1,2)、第2l/3-1項、第2l/3項は(2,3)、
w(p-1)の先頭,末尾が(1,3)のときは第l/3-1項、第l/3項は(3,1)、第2l/3-1項、第2l/3項は(3,1)、
なのでありえない。
n=2のとき。l/3-3≦m≦l/3-1か2l/3-3≦m≦2l/3-1でなければu+vは
(12)w(p-1)かw(p-1)か(23)w(p-1)のいづれかの部分列なので帰納法の仮定よりありえない。
またm≡1(mod3)でなければu+vの要素には補題1より{1,2,3}のすべてをふくむので
ababの形になりえない。よってm=l/3-2、2l/3-2のいづれかしかありえない。
しかしそれも補題(3)よりn=1の場合同様ありえない。
（続く）

(続き)
一般のとき。まずn≡0 (mod3)をしめす。
(I)m+n≡1(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡0(mod3)。
w[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=b、w[m+n+1]=v[1]=c、w[m+2n-2]=v[n-2]=dとおく。
このときw[m+2n-1]=v[n-1]=a。補題(1)より
wの第m項から第m+n-2項の和=wの第m+n+2項から第m+2n-3項の和+6
よってa+6=a+b+c+d。一方{a,b,c}={1,2,3}よりa+b+c=6。∴a=d。
∴w[m+2n-2]=w[m+2n-1]であるがこれはn=1の場合の結論に反する。
次にn≡2(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。
w[m]=u[0]=a、w[m+n-1]=u[n-1]=b、w[m+n+1]=v[1]=cとおく。
このときw[m+n]=v[0]=a。補題(1)より
wの第m+1項から第m+n-2項の和=第m+n+2項から第m+2n-1項の和
よってa+b=a+c。∴b=c。これは{a,b,c}={1,2,3}に反する。
(II)m+n≡2(mod3)のとき。この場合は(I)と同様。
(III)m+n≡0(mod3)のとき。まずn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡2(mod3)。
w[m]=u[0]=a、w[m+2n-1]=v[n-1]=bとおくと(I)同様にしてa=b。
するとw[m+n-1]=u[n-1]=a、w[m+n]=v[0]=aとなるがこれはn=1の場合の結論に反する。
次にn≡1(mod3)と仮定する。このときm≡1(mod3)。
w[m]=u[0]=a、w[m+1]=u[1]=b、w[m+2n-2]=v[n-2]=c、w[m+2n-1]=v[n-2]=d、
とおくと(I)同様にしてa+b=c+d。よって(a,b)=(c,d) or (d,c)。すると
w[m+n-2]=u[n-2]=c、w[m+n-1]=u[n-1]=d、w[m+n]=v[0]=a、w[m+n+1]=v[1]=b、
となるが(a,b)=(c,d)でも(d,c)でもn=1の場合かn=2の結論に反する。
(I)〜(III)よりn≡0(mod3)がいえた。
すると
m≡0(mod3)のときはw'[m/3+i]=w[m+3i+1]=w[m+3i+n+1]=w'[m/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、
m≡1(mod3)のときはw'[(m-1)/3+i]=w[m+3i]=w[m+3i+n]=w'[(m-1)/3+i] (0≦i＜n/3)、
m≡2(mod3)のときはw'[(m+1)/3+i]=w[m+3i+2]=w[m+3i+n+1]=w'[(m+1)/3+i+n/3] (0≦i＜n/3)、
となりいづれにせよ帰納法の仮定に反する。

いづれ

>>911
乙。　だが、この問題の一番の売りは（２）にあるつもりなんだが、
（２）はできた？

>>913
(2)は(1)でつくった列を真ん中からきったものでいいんじゃないの？
2
123
213123132
123213231213123132312132123
･･･
だから真ん中以降は
2
23
23132
23132312132123
となっていく。つまり前の列の拡張になっていく。このなかにはもちろん繰り返しがない。

単にくりかしのない数列って事なら、
１０進法で言うと自然数をただ並べただけの数列
1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。
(これで無理数が作れる。)
3進法にすれば同様な数列が構成されるだろう。
この数列において置換してもやっぱりくりかえしはないはずだ。

>>914
正解

出題者のねらいとしては
2
123
213123132
123213231213123132312132123
･･･

これを持ち出して、無限列っていうアフォを引っかけるつもりだったんだが、
甘すぎたな。

>>914
それじゃどんな有限列wをとってきてもwwがでてきてしまう。

まちがった。>>915だ。その構成だとどんな0,1,2からなる有限列wをとってきてもwがその列の
なかにでてくる。くりかえしのある列012012とか11111111だってもちろんでてくる。

>>915
＞1234567891011121314151617181920,,,,,にはくりかえしはない。
　　　　　　　　　　↑　ココらへｎ

いや、あるように見えるが……

有るな。わりこみsory。続けてください。

>>894

解答マダ−−−−−？

回答のないものの方が多い。
気長に待ちなさい。

非負整数 n に対して、次式の値を求めよ。
Σ[k=0 to ∞] Σ[j=0 to k] C[2k,k] C[2k+1,k+1+j] (-1)^j (2j+1)^(2n+1) / {(2k+1) 16^k}

xyz空間内に底面がxy平面上の円x^2+y^2=a^2,(a＞0)頂点が(0,0,2b),(b＞0)の直円錐がある。
円錐内部は光を通さないものとして以下の問いに答えよ。
(1)点A(a,0,b)に点光源を置き円錐を照らしたとき、円錐の側面のうち光のあたる部分の面積を求めよ。
(2)光のあたる円錐の側面(底面は除く)の面積が(1)で求めた値と等しくなるような点光源の位置(x,y,z)全体の集合Zを求めよ。
(3)a,bが互いに素な自然数のとき、Zの要素のうち原点に最も近い格子点の1つが点Aであるようなa,bの条件を求めよ。

サイコロを振ってk回目に出てきた目をa(k)とする。どの目が出てくる確率も1/6である。
このとき
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k　　の期待値と
Σ[k=1,∞] (a(k))/7^k　 　　の期待値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,-
　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´
　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ
　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ
　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ.
　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､
　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　|
　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　|
　　　 　 　 |　　iｻ　 |l lヾヾｼヾミミﾐﾐり|iｉ//三iﾘ　`ｻi　 |
　　　　 　 |　　,ｶ ,ｶll|l l lヾリﾘﾘﾘﾘ川川|爪ミミiﾘllｶ､ｶi　 |
　 　 　 　 |　　;iｻ,ｻ |l l l リﾘ川川川川|爪ミﾐiiﾘ ｻi ｻi　 |
　 　 　 　 | 　 iｶ ;ｶ, |l l ﾘﾘﾘﾘ川川川川l爪ﾐﾐilﾘ ,ｶi ｶi　　|
　　　　 　 | 　iｻ ;ｻ, |ﾘ ﾘﾘ川川川川川l爪ミﾐiﾘ ,ｻi ｻi　　|
　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　|
　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､
　　　　　 ,√　　,:ｶ,　|彡彡彡彡ﾉ川川|ゞﾐﾐﾐﾘ 　,ｶi　　 `ヾ
　　　　　´　　 　;ｻ, 　|彡彡彡彡川川ﾘゞﾐミﾘ　　,ｻi
　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi
　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi
　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､
　　　　　　　;ﾒ　　　　　　ヾリリﾘﾘノ巛ゞシ　　　　　　 `ﾍ､
　　　　　　;ﾒ　　　　　　　　｀`十≡=十´　　　　　　　　　`ﾍ､
　　　　　　　　　　　　　　　　 ┃ 　 ┃
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　 ／　　　　 ＼
　　　　　　 　　　　　　　／　　　　　　 　 ＼
　　　　　　　　　　 　 ／ 　　　　　　　　 　　＼

>>925
1/2, 7/12

>>925
k回目に出てきた目をa(k)としているだけで、それはただの記号じゃん。
「k回目に出る目の期待値をa(k)」とするとかならわかるけど。

>>928
いや、期待値じゃなくて値っていうなら、お前の突っ込みも分かるけど
Σ[k=1,∞] ××
全体で確率変数なんだろ。んで、その期待値を求めろっていうんだろ？
普通に積分すればいいじゃん。

あれだべさ、 >>926の前半の概略はこうなるべ
αを0＜α＜1の6進数、小数点以下第n位までの有理数とする。
α = Σ[k=1,n] ( a(k)-1 )/6^k
となる確率は1/6^n　従って、α≦β＜α＋1/6^nなる実数βの集合を考えると
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k
がこの集合に含まれる確率は1/6^n　とかってやるんじゃないの？

>>929
あああ、言いたいことわかる！！わかるけどパッっとしないなあ。
何が引っかかってんだろ・・・優しく語ってくれないか？
確率めっちゃ苦手だ

>>931
連続確率の問題だからなぁ、間違いなく高校レベル超えてるだろこれｗ

>>931
とりあえず、ルベーグ積分を覚えてみ。
そうすれば、理解できるようになると思われ

>>932
>>933
サンクス、最初っから高校レベルじゃないんだな。安心したよ

>>934　つーても、それほど逸脱しすぎてるわけでもないと思うから出題してみたのだが

普通に
Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^k
を有限で止めて、>>930みたいにやっていくわけだが、
高校生でもできるんでないかい？

>>931
たぶんA={1,2,3,4,5,6}をμ({1})=μ({2})=μ({3})=μ({4})=μ({5})=μ({6})=1/6
なる測度で(A,μ)を測度空間とみなしてそのコピーを可算個容易して
(An,μn)としたときX=(ΠAn,Πμn)を積測度としてそれが確率測度になるからその
測度空間上で関数a(n)=(第n成分を取り出す関数)をとるとき
関数Σ[k=1,∞] (a(k)-1)/6^kが可測関数であることを示して
その期待値をもとめろってんじゃないのかな？なんとなくa(k)/6^kが可測で
Σ[k=1,K] (a(k)-1)/6^kが一様に可積分だからなんとなく当たり前のような気もするけど。

>>935
測度空間が無限集合になるのは受験数学の範囲を逸脱してると思う。

>>930>>936
なるほどね・・・受験数学ヲタだから、あまり大学数学は知らないんだよな。
ルベーグ積分はかじった程度。>>936の説明ならわかった希ガス

E[a(k)]=7/2なんだから、
E[Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞]E[( a(k)-1 )/6^k]=Σ[k=1,∞](5/2)/6^k

答えを出すのは簡単。
Σ[k=1,∞] ( a(k)-1 )/6^kが実際に確率変数になる（可測性）とか、limとΣの交換可能性とか細かいことを言わないなら高校生でも解けるだろ。

いや、工房でもlimとΣの入れ替えぐらいはうるさく言うだろ

>>939
高校生に解答はかけないだろう。
予想はできても。
ま、マーク式問題なら勘のいいヤツなら正解できるな