面白い問題おしえて〜な 七問目

950です。ありがとうございました。>>951 さん
お礼がてら、三浦俊彦「論理パラドクス−論証力を磨く９９問」二見書房、2002年10月2日、
1500円＋税、からコピペして紹介します。

---------------------------------------------------------
これまでに生まれた人間はみな、身長3メートル以下だった。
よって、これから生まれる人間もみな、3メートル以下だろう。
これは多数のサンプルから一般的真理を導く帰納法で、合理的な推論である。

さて、同様の帰納的推論により、次のように論証してみよう。

これまでに生まれた人間はみな、西暦3000年以前に生まれた。
よって、これから生まれる人間もみな、西暦3000年以前に生まれる。
つまり、西暦3000年以降に人間は生まれない。したがって、人類の滅亡は近い。

この推論は、形としてはちゃんとした帰納法になっているように思われる。
しかし間違った推論であることも明らかだ。

しかし、どこが間違っているのか。
見えすいた詭弁なのに、ちゃんと答えようとすると案外難しい。
明確に述べてみよう。
-------------------------------------------------------------------

>>952
＞これまでに生まれた人間はみな、身長3メートル以下だった。
↓
（人間の身長は時代とともにさほど変化しないだろう）
↓
＞よって、これから生まれる人間もみな、3メートル以下だろう。


＞これまでに生まれた人間はみな、西暦3000年以前に生まれた。
↓
（人間の生まれ年は時代とともに変化する）
↓
＞よって、これから生まれる人間もみな、西暦3000年以前に生まれる。　とは言えない。


括弧の中身が違う、と。
こんなもんでどうでしょ？

偏ったサンプル？

調べる対象となる性質を持っている可能性と、
サンプルとして選ばれる可能性との間に
強い相関関係があってはまずいわけだな。

風呂から出てきたらもう正解がカキコされているので、びっくりした952です。

>>953-955さん
みなさん正解です。さすが数学板、読んでて気持ちいいです。
いちおう本の正解をコピペしておきます。

[答え]

帰納法になってはいるが、サンプルが偏っているので、無効である。

「これまでに生まれた人間はみな、西暦3000年以前に生まれた」というのは、真実だ。
1人の例外もないので、それこそ帰納法のサンプルとしては申し分ないように思われる。

しかしもちろんそうではない。

私たちが観察できる人間は、西暦3000年以前に生まれた人間であることが定められている。(中略)
帰納法の正しい通用のためには、観察されたものが、
たまたま観察されなかったものも含めた全体を代表する典型
（ランダムなサンプル）でなければならないのである。

よく使われる比喩を挙げよう。
湖で綱を使って1日中魚をとり続けたところ、どの魚も体長1cm以上であった。
この湖にいる魚は全て体長1cm以上である、と結論してよいか。

そのためには、網の細かさを確かめなければならない。

網の目が、1cm未満の魚は洩れてしまうほどの粗さであったなら、
いくらすくい上げても体長1cm以上の魚だけが選択されてくる。(p125-p126)

sin(x-a)-sin(x)=0のとき
xをaを用いてあらわせ

>>957
aが０の時しかなりたたんような

>>956
なるほどね。
その網の例は分かりやすくていいね。

こういうのもっときぼん。

>>959さん

めちゃくちゃな長さになりますし、三浦俊彦の本のパクりなので気が引けるのですが、
あまりにも面白いので、おそるおそるコピペさせていただきます。

三浦 俊彦「論理サバイバル―議論力を鍛える108問」二見書房、2003年5月25日、1500円＋税、ISBN4-576-03077-9。

ある恐ろしい実験が行われています。
最初に部屋の中に10人を閉じ込め、サイコロを2つ振ります。
そして･･･。

[実験�T]

6−6以外の目が出たら、その10人を釈放し、次に別の100人を部屋に送り込む。
またサイコロを振って、同じ手続きにしたがう。

この要領で、N番目には新たな（10のN乗）人の人間を部屋に送り込んで、
6−6が出れば全員射殺しておしまい。6−6が出るまで続く実験というわけだ。

部屋はとてつもなく広い（あるいは、人数が増えると自動的に拡がる）ので、
被験者たちの人数がどんなに増えようとも収容できる。

あなたはいま、自分がこの実験に選ばれて、部屋にいることがわかった。
あなたが射殺される確率はいくらだろうか。

[正解]

まわりを見回して、部屋に100人いるのか、1万人か、1億人いるのかを見きわめることで推測しようとしても無駄である。
あなたが何番目のグループに入っているとしても、あなたのいるグループが射殺される確率は、1/36だ。3％弱。
だから心配するには及ばない。

ところがこのクイズは、さらにすこし変形して続くのです。

[実験�U]

実験者が�Tのように1回ごとにサイコロを振るのではなく、
初めにまとめて振って、6−6が出るまでの系列を記録しておいた。

たとえば1回目は3−5、2回目は1−6･･･というふうに目の列を記録したのである。
そのうえで�Tと同様の手順でN回目に（10のN乗）人を部屋に送り込みつづけ、
6−6が対応している回において全員射殺し、実験終了。

このような設定のもとで、あなたはいま、
自分がこの実験に選ばれて、部屋にいることがわかった。
あなたが射殺される確率はいくらだろうか。

[正解]

今度は、Iとは事情が違っている。

ここでは、全部で何人がこの部屋に入れられるかが初めから決まっている。
その決まった人数のうちの、大多数が射殺されることもわかっている。

たとえば3回目に6−6が出たのであれば1110人中1000人射殺、
6回目に6−6ならば1111110人中1000000人射殺。

少なくとも90％が射殺されるのである。

とすれば、この実験のために選ばれた人間のうち、
あなたは別段えこひいきされているわけではないだろうから、
多数派に属する、つまり最後の回のグループに割り振られている可能性が一番高い。

あなたが射殺される確率は90％以上である。

さて、長ーーーーい準備の後で、いよいよ問題です。

よく似た状況なのに、�Tと�Uでは、射殺される確率が「3％未満」対「90％以上」と劇的な差がある。
これは変ではないだろうか？

サイコロをいつ振るかということは、
6−6が出る確率そのものには何の変化ももたらさないはずである。
なのにこの違い。

�Tと�Uでこれほど確率の相違が出るのはどうしてだろう。
理由を述べてください。

１と２で考えている確率が違うから
１では、その回で6-6の出る確率を考え、２では自分が射殺される回に割り振られる確率を考えているから

IIでは、サイコロの振られる回数の上限が
決定されてるということが本質的に違うんだな。

あまりにも面白いかもしれないが、あまりにもガイシュツだな。

>>966
それは出題者の求める答えになってなくないか？

なんか変だな・・・

問題に不備があるのか？
人口無限とかそこらへんにタネがあるのかしら

ＩＩの実験は、例えば100000人が殺される予定になった場合、
その人が被験者となった瞬間に母集団111110人に含まれることが限定されてしまうから。
（111111人目以降はそもそも呼ばれない）

全ての人間を、10人・100人・1000人…のグループに振り分ける、という作業から考えた場合、
100000人のグループに含まれる可能性よりも111…111011111人に含まれる可能性のほうが
遥かに高いから、あまり心配することはない。

らいおんの家

>>972さん　その通り。そこからコピペです。

答え

�Tの場合は、実験がオープンである。�Uの場合はクローズドだ。どういうことか。
�Tの場合は、実験が現在進行形なのである。

あなたが部屋に入れられたときには、実験はまだ終わっていない。
つまり、永遠に6−6が出ずに、人数ばかりが10倍10倍に増えつつ
いつまでも銃が火を吹かない可能性が残っているのである。
無限に人間が増えてゆくかもしれないのだ。

一方、日の場合は、6−6が出るまでサイコロを振りつづけ、
6−6が出てから、人々を部屋に入れ始めている。
つまり、いつかは6−6が出ることが保証されている。
これが決定的な違いだ。

現実には�Tの場合も必ず6−6が出るときがくるはずだが、
理論的にはいつまでも6−6以外の目ばかり出続けることはありうる。
現実的ではないが、理論的なこの可能性が、
�Tの場合に「無限に続くかもしれない…‥・」楽観主義を正当化するのである。
�Uではその望みはない。

したがって自分はまず9割方、多数派すなわち殺され組に入っているだろう、
という推測が正しい。

�Tの場合にはその多数派（殺され組）がまだ単なる可能性に過ぎないので、
実は永遠に存在しないままかもしれないのである。(pp209-212)

実験１で、
１００００回連続で6-6が出なかったら１００００回目に部屋にいた連中はみな殺す。

という条件がついたらどうなる？

つまりこういう感じ
↓


6−6以外の目が出たら、その10人を釈放し、次に別の100人を部屋に送り込む。
またサイコロを振って、同じ手続きにしたがう。

この要領で、N番目には新たな（10のN乗）人の人間を部屋に送り込んで、
6−6が出れば全員射殺しておしまい。6−6が出るまで続く実験というわけだ。

ただし、１００００回連続で6-6が出なかったら１００００回目に部屋にいた連中はみな殺す。

あなたはいま、自分がこの実験に選ばれて、部屋にいることがわかった。
あなたが射殺される確率はいくらだろうか。

コレ分かる人いる？(携帯用URLでｽﾏｿ;)
http://game4.2ch.net/test/r.i/quiz/1074337999/9

http://game4.2ch.net/test/read.cgi/quiz/1074337999/9

>>977
★なぞなぞ★その2
9 ：（　･∀･）つ〃∩ﾍｪｰﾍｪｰﾍｪｰ ：04/01/18 09:43

ある人が２から９９までの２つの数を考えた。その数の積と和をそれぞれＰ氏(積)とＳ氏(和)に伝えた。すると二人の間で以下のような会話がなされた。
Ｐ: ２つの数は分からない。
Ｓ: 私も分からないが、あなたがそう言うのは分かっていた。
Ｐ: 分かった。
Ｓ: 私も分かった。
ではこの数はなにか。どのようにして２つの数が分かったのか？

>>978
異なる２数という前提だろうね。

Ｐがすぐに分からなかったから、２つの素数の積ではない。

Pに二つの数が分からない事をSは分かったから、二つの素数の和でもないんだな。
ゴールドバッハ予想(200ぐらいまでは確認済だろ)により二つの数の和は奇数だと分かる。
よって二つの数の片っぽは奇数、もう片っぽは偶数。
…あとは┐(´〜｀)┌ﾜｶﾝﾈ

分かった、と言うか見付けた。二数が4と13なら会話が成立するね。
Pが教えられた数字(積)は52。これから考えられる二数は(2,26)と(4,13)の二種類。
ところが前者だとSが「君も分からないって事は分かったよ」なんて言えないから、解は後者だとPに分かる。
Sが教えられた数(和)は17。これから考えられる二数は(2,15)(3,14)(4,13)…(8,9)の七種類。
ところが(4,13)以外の六種類を考えると、いずれもPが二数を「分かる」事はできない。
よって解は(4,13)だとSにも分かる。

ただ、この方法だとめっちゃ面倒くさい。
二つの素数の和とならない数を、小さい方からシラミ潰しに調べていっただけだからなぁ。
それに、他に解を持つ可能性もある。

976氏のやり方でいいんじゃないかな。
Ｐ: ２つの数は分からない。
Ｓ: 私も分からないが、あなたがそう言うのは分かっていた。

ここまでで2数の和Sは、
6<=S<=196、Sは奇数かつSは2+素数でない。

Ｐ: 分かった。

2数の積Pは奇数×偶数に一意に分解される（他は偶数×偶数となる。）
→P=4p (pは素数)、2数は4とp

Ｓ: 私も分かった。

2+pは素数でない。
したがって2数は(4,p), p=7, 13,19, 23...

違うかな。

>>975
それだと、終わりがあるわけだから、
実験２と同じような考え方を適用できると思う。

つまり死ぬ確率は９０％超。

2数の積Pは奇数×偶数に一意に分解される（他は偶数×偶数となる。）
→P=4p (pは素数)、2数は4とp
これから、間違ってるな。他にも間違ってるけど。すまん。

なかなかいい問題だね。
全くわかんあいけど

yahoo ( in English ) watcher
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1020334993/
これの８１から４と１３。

>>973
オープンだとかクローズだとか言ってるのは、いかにも論理学者っつうか哲学者っぽい説明だね。
俺はこの例ははじめて見たけど、数学的に説明すると次の通り。

これはただの囚人の考え方の違い、すなわち事前確率の違いとして説明される。
Xを、囚人が選ばれた番目の試行回数、Nを試行が終わった回数とすると、今求めているのは、Xがわかった
ときの、N=Xである条件付確率の、Xの分布による期待値を求めたい、ということ。

すなわちE(P(N=X|X))=E(P(N=X))=E(P(X=N|N))を求めたい。

基本的にはNの分布は、幾何分布p*q^(n-1) (p=1/36,q=1-p)に従うとわかっているので、Nの方が条件付けやすく、
ΣP(X=N|N=n)p*q^(n-1)を求めたい、ってことになる。

２番目の例では、P(X=N|N=n)＝P(X=n|N=n)、すなわち試行がN回で終わったとしたとき、自分がN回目にいる
確率を、10^n/(10+…+10^n)と考えている。

n回で終わったのを確認し、10+…+10^n人を人数で一様に選ぶ、という仮定をおいている、ということ。
この場合は、その期待値ΣP(X=N|N=n)p*q^(n-1)も9割以上だ。
（ちゃんとは求まらないが、10^n/(10+…+10^n)→1、Σp*q^(n-1)=1だから、そんなかんじ）

ただ、これは勝手に囚人がそう選ぶのが普通だ、と考えているだけで、人数で一様ではなく、それぞれの回数で一様
に選ばれた、という可能性だってある。すなわち、自分がn回までのどの順番にいるかはランダムだと考え、
P(X=N|N=n)=1/nと設定するという考えもある。
期待値はちょっと難しい和（Σ(1/n)*p*q^(n-1)）になるけど、これはかなり小さくなることが分かるでしょう。

もうひとつの考え方は、普通に毎回自分が選ばれる確率は最初っから決まっており、試行終了回数が決まってから決
まるものではない、と考えた場合で、この場合は、E(P(X=N))=pとなり、これが１番目の例である。

具体的には、例えば自分がk-1回目までは選ばれないで、k回目に選ばれる確率がp(k)で、Nに関係ないととした場合、
P(X=n,N=n)は、n回目で試行が終了し、かつ自分がn回目に選ばれる確率だから、
P(X=n,N=n)=(1-p(1))…(1-p(n-1))p(n)*pq^(n-1)。
また、P(X=n)=(1-p(1))…(1-p(n-1))p(n)*q^(n-1)だから、P(N=X|X=n)=p、すなわちE(P(X=N))=pである。

このように、事前情報をどのように考える確率に組み込むかによって確率は変わってくるのが普通で、これはその
顕著な例。ぱっと見、一般的と考えうる事前確率の設定が複数ある場合によくパラドックスとして引用される。
３囚人とかモンテシージレンマとかも全部そう。

>>989 モンティーホールジレンマだな、最後。なんだよモンテシーってw

>>987
結局この問題は、手計算じゃ難しいのかな。
あきらめて、しらみ潰しで調べるとたしかに(4,13)しかないけど、
うまく説明できない。数を1000以下としても他に(4,61)が増えるだけみたい。
片方は4くらいは説明できるかな。

ヽ(´ー｀)ノ次スレは？

面白い問題おしえてーな 八問目
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/

>>993
どうもありがと

|-`)

ｃ⌒っ*ﾟーﾟ)っうめ

plum

(ﾟ∀ﾟ)キュンキュン

'A`)

1000ｷﾀ━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━ ！！！

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。