関数方程式レッスド

Cauchy 方程式
f(x+y)=f(x)+f(y) の解を求めて下さい。

f(x) = c

Hamel basis で変な関数が作れるらしい。

>>2
f(x) = cx と言いたかった?

変分問題って関数方程式と言う？

>>5
それは何、変分問題は常に関数方程式に還元できるかと言うこと?
方程式は常に変分問題になると先生は主張していたけど。

なんだ、こりゃ！？

　　　　 ,,----、,,,,,,,,,､､　　　　カリスマ２ちゃんねら〜の東京kitty様が７ゲット（＠ｗ荒
　　　 / ,,-‐―、ヽヽヽヽ　　
　　 〔/　 　 　））））ヾヽヽ　ニュー速愚民が嫉妬で顔を歪めながらのたうちまわってるよ！！（＠ｗぷ　＞２
　　 /.,,,,、､　,ヽξ＼Ξ/　公判で泣きながらヲレに許しを請う姿が　楽しみだ（＠ｗぷ　＞３
　　/ ==/　 .,==- 　 レi!　一生無名で終わる雑魚名無したちがｳﾞﾁｷﾚたようだ（＠ｗぷ　＞４
　 〔、　,(_,､ﾉ（ "",,ﾉ:: 6）　　渋谷飛鳥と早く共演したいものだ（＠ｗ荒　＞５
　　λ:" ‐＝‐＾ﾝ ...::::: |/ 　　いや、かなりｶｯｺいいが？（＠ｗ荒　＞６
　　 λ:::::. .::.. ::...::::::/ λ 　　じゃあまず「お前が死んで手本を見せろよ」と　　＞８
　 　　＼::::::::::::::／/ .　λ、　HNも出せないようなﾍﾀﾚが何を言っても説得力ないよ（＠ｗぷ　＞９
　　　　　￣|￣　　　 　　/~~￣⌒＼　おまえら死ねよ（＠ｗ荒　＞１０−１００１

はめる気？

だ

（・∀・）ﾊﾒﾙ!!

f(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y),
g(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)
の解は？

sinh(x+y)=(exp(x+y)-exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)-2exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)-exp(-x)exp(y)-exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)+exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4+(exp(y)+exp(-y))(exp(x)-exp(-x))/4=sinh(x)cosh(y)+cosh(y)sinh(x)
cosh(x+y)=(exp(x+y)+exp(-x-y))/2=(2exp(x)exp(y)+2exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)exp(y)+exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(y)+exp(-x)exp(-y)+exp(x)exp(y)-exp(-x)exp(y)-exp(x)exp(-y)+exp(-x)exp(-y))/4
=(exp(x)+exp(-x))(exp(y)+exp(-y))/4+(exp(x)-exp(-x))(exp(y)-exp(-y))/4=cosh(x)cosh(y)-sinh(x)sinh(y)
よって、f=sinh,g=coshは[11]の解になる。

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あとちょっとでじゅうよんげっと

関数方程式
xΓ(x)=Γ(x+1)
tan'(x)=1+(tan(x))^2

12>双曲関数の加法定理そのもんジャン（ｗ

関数方程式の本で良いのないですか？
自分は Kuczma と Aczelの本しか知りません。

任意の実数 x, y に対して
f(x+y) = { f(x) + f(y) }/2
が成り立つとき、f(x) は定数関数であることを示せ。

f(x)が連続である、って条件は無いのか？

普通、双曲関数っていうか？

>>21
ぢゃぁなんていうの？ハイパボリック関数でつか？
はいぱぼりっくってそうきょくせんのことだよね(-＿-) ･･･

>20
不要。

>>19
x=x, y=0 を代入して終わりか。簡単だったな

そうきょくせんかんすう。

G. Belitskii, V. Tkachenko,
One-dimensional Functional Equations
2003. 224 pages. Hardcover
ISBN 3-7643-0084-1
English

Operator Theory,vol.144

This monograph is devoted to the study of functional equations with
the transformed argument on the real line and on the unit circle.
Such equations systematically arise in dynamical systems, differential
equations, probabilities, singularities of smooth mappings, and other
areas. The purpose of the book is to present modern methods and new
results in the subject, with an emphasis on a connection between local
and global solvability. The general concepts developed in the book are
applicable to multidimensional functional equations.

Some of the methods are presented for the first time in the monograph
literature, in particular, a functional parametrization of local
mappings, the gluing of local solutions, and a decomposition method.

The book is addressed to graduates and researchers interested in
dynamical systems, differential equations, operator theory, or the
theory of functions and their applications.

Table of contents: Preface .- 1. Implicit Functions .- 2. Classification
of One-dimensional Mappings .- 3. Generalized Abel Equation .- 4. Equations
with Several Transformations of Argument .- 5. Linear Equations .-
Bibliography .- Index

525 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：03/08/09 02:32
(i) F(1,0,0,1)=1
(ii) F(ka,b,kc,d)=k*F(a,b,c,d)
(iii) F(a,b,c,d)=-F(b,a,d,c)
(iv) F(a+e,b,c+f,d)=F(a,b,c,d)+F(e,b,f,d)
を満たす関数F:R^4→Rを全て求めよ。

って問題が出てた。

7

F(a,b,c,d)=F(a,0,0,d)+F(0,b,c,0)+F(a,b,0,0)+F(0,0,c,d)
　　　　　=ad-bc+p(a-b)+q(c-d)

f(x)が x=0 で微分可能で、
f(2x)=f(x+sin x)+f(x-sin x)
をみたすとき、f(x)=ax であることを示せ。

やだ！

>>30
質問は質問スレで

>>30
f(0)=0,f(x+y)=f(x)+f(y)とできる。

x+sinx=yとすると、その解は存在する。
この解のひとつをtとおくと、f(2t)=f(y)+f(t-sint)
sint=y-tから、f(2t)=f(y)+f(2t-y)
2t-yをxとおきなおすと、2t=x+yだから、f(x+y)=f(y)+f(x)なり。
蛇足スマソ

x と y が独立でないような・・・

Hamel basisで、変な関数を作れるらしいが、fが連続であるという条件を付けると、
f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=cなる関数はf(x)=cxしかない。なぜなら、有理数上でf(x)=cxになるからだ。

関数f(x)は微分可能で,次の条件(1)(2)を満たしている
(1)f(x)≧x+1
(2)全ての実数hに対し,f(x+h)≧f(x)f(h)

f(x)を求めよ
解答はﾒｰﾙらん

大昔の入試問題か？

いや、オリジナル
多分求められると思う
当方高卒以上大学入学未満です

R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f(√(x(y^2+1))+√(y(x^2+1)))を満たす物を全部求めよ。
R上で連続な関数fで、∀x,y f(x)+f(y)=f((x+y)/(1-xy)) (xy≠1)を満たす物を全部求めよ。

9

Aequationes Mathematicae という雑誌は
一流ですか？

(?Д?)ヴ??ヴ??　?勹?ス???
?????????ヴ??????
???????????????
うぉぐ！(*゜∀゜)〜????? ??ν?..._〆(゜▽゜*)??
(?Д?)ヴ??ヴ??　?勹?ス???
?????????ヴ??????
???????????????
うぉぐ！(*゜∀゜)〜?????
??ν?..._〆(゜▽゜*)??

3

o

o

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

6

354

654

017

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

\ell

934

375

229

786

hh

なまなま

184

704

226

794

ﾎｳｹｰｲ

871

x>0で定義される関数f(x)で、
f(x+1)=xf(x) for all x>0かつ、
fは連続関数
になるようなものは、ガンマ関数以外にありうるか？

>>66
いっぱいあるですよ。
実解析関数でもいっぱいある。
ガンマ関数に特定するには、さらに対数凸性が必要。

Re:>67 それと、f(1)=1であること。

842

>>21
双曲関数も双曲線関数もどっちもあるみたい。

>>67
対数凸性ってなんですか？

584

Re:>71 元の関数に対数をかけたものが凸関数であること。

>>66
f(x) = Γ(x)･g({x}), ここに{x}はxの小数部、g(0)=g(1)=1

Re:>74 うひょーっ！

>>66
f(x) = Γ(x)･g(sin (2πx)), g(x) = x^2 + 1 等

>>66
f(x) = Γ(x)･g(x), ここにg(x+1)=g(x) (周期函数)

関数方程式の本を紹介してください、今でも売ってるやつで…

　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
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任意の実数x,yに対して、次をみたす定数関数でないfを求めよ。
f(x+y) = {f(x)+f(y)}/{1+f(x)f(y)}

微分可能って書いてないから、どうするんでせう？

予想
はいぱぼりっくたんじぇんと

>81ッ！ 君の意見を聞こうッ！

最近、関数方程式が好きになりますた。
関数方程式の本（桑垣）で、こんなのを見つけましたが、
答えがないので、教えて下さい。

f(x+y+z)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) を解け。

関数方程式 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ

>83は f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけですか？

f(xyz)=f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x) は解けるのかなぁ？

自作自演 (´д｀；)ﾊｧﾊｧ

では私も桑垣から。

f (x + y) = g (x) + h (y)

>85も f(x)≡0, f(x)≡1/3 でしたな。

桑垣の復刊をキボンヌ。

　　 ＿＿＿
　.／　f(x) ＼　　　　関数不等式ヲタ発見！
　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　|::::: (●　(● |
　ヽ::::... .∀....ノ

>>85

f(x)≡0, f(x)≡1/3 だけ

変数のlogを取れば本質は同じ

関数不等式

log(x+y) < (log x)(log y)

とか？

>>87
図書館にあるだろ。
大したこと(深いこと)は書いてない本だよ。
高校生向き。

>>80
与えられた関数方程式を満たす定数でない連続関数 f(x) を求める。

f(0)=2f(0)/(1+f(0)^2) より、f(0)=0,1,-1.

f(0)=1 とすると、1=f(0)=f(x+(-x))=(f(x)+f(-x))/(1+f(x)f(-x)) より、
(1-f(x))(1-f(-x))=1-f(x)-f(-x)+f(x)f(-x)=0
ゆえに、f(x)=1 または f(-x)=1 が成立する。
したがって、0 の近傍に値 1 を取る点が稠密に存在するので、
f(x) は 0 の近傍で恒等的に 0.
ところが、f(a)=1 ならば f(2a)=2f(a)/(1+f(a)^2)=1 なので、
f(x) は恒等的に 1 となってしまう。
f(x) は定数ではないので、f(0)≠1.
同様にして、f(0)≠-1 も証明できる。
したがって、f(0)=0 でなければならない。

f(0)=0 であり、f(x) は値 ±1 をとらないことから、中間値の定理より -1<f(x)<1.

g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} とおく。
1-f(x)>0 より、g(x) は全ての実数で定義された連続関数である。

g(x+y)=1/2log{(1+f(x+y))/(1-f(x+y))}
=1/2log{(1+f(x)+f(y)+f(x)f(y))/(1-f(x)-f(y)+f(x)f(y))}
=1/2log{(1+f(x))(1+f(y))/(1-f(x))(1-f(y))}
=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}+1/2log{(1+f(y))/(1-f(y))}
=g(x)+g(y)

g(x+y)=g(x)+g(y) と g(x) が連続であることより、g(x)=cx となる c がある。

1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))}=cx を解いて f(x)=(e^(cx)-e^(-cx))/(e^(cx)+e^(-cx))

g(x)=1/2log{(1+f(x))/(1-f(x))} の部分が天下り的だと思うのは漏れだけか？

うはっ！ ありがとうございます。
g(x)を自力では見つけられそうにないです。

上のほうで tanh と書いてあったので、
試行錯誤して、g(x+y)=g(x)g(y) をみたすように
g(x)=(1+f(x))/(1-f(x)) とおいてやりました。

f’（0） の存在がわかれば
f’（x）＝f’（0）［1-｛f（x）｝^2］ が出て簡単なんだけどね。

ところで
f(xyz)=f(x)f(y)f(z)+f(x)f(y)+f(y)f(z)+f(z)f(x)+f(x)+f(y)+f(z)
をみたす関数が f(x)≡0 以外に見つけられないんですが、教えて下さい。

左辺が f(x+y+z) の場合は、f(0)の値で場合分けして何とか解けましたが、
この場合の解は、間違ってなければ…
f(x)=e^(ax)-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(ax)-1

>>94
おみそれしますた。

では、桑垣に無い有名難問

R 上の定数でない実連続関数で、
f (x) + f (2x) + f (3x) = 0
を満たすものを一つ求めよ。

>98
有名問題ですか…、さっぱり分かりません。
ほかにもあったら、もっと教えて下さい。ﾊｧﾊｧ…

>>96

g(x)=f(log x)

ってしてみてごらん

>>100

逆でしたまあいいか

(*ﾟ∀ﾟ)=3 ｳﾋｮｯ！
そんな手があるんですね。
gが f(x+y+z)= の等式をみたすから、解は…
f(x)=e^(a(e^x))-1、 f(x)≡-1、 f(x)=-e^(a(e^x))-1

(；ﾟдﾟ) …

>>96>>100>>101

関数の定義域は与えられているのか自分d決めるのか?

定義域は実数でやってます

>96を g(x)=f(e^x) としても、f(x+y+z)= をみたすから
　 f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1
となりますか…。>102の結果と同じ？

あぁそうか、g(x)=f(log x) だと
g(x+y+z) = f(log(x+y+z)) で、みたさないのか…

　 ,､|,､
　(f⌒i
　 U j.|
　　UJ
　　 ：
　 ‐＝‐

>>98

[1,3]をf(1)+f(2)+f(3)=0となるような連続関数として決めたら、あとは帰納的に全部決まるんじゃ？

1<x方向へは、まずf(x)=-{f(x/3)+f(2x/3)}で2x/3=3までつまりx=9/2まで決まる
次は2x/3=9/2つまりx=27/4まできまる・・・・

x<1方向へは、まずf(x)=-{f(2x)+f(3x)}で2x=1までつまりx=1/2まで決まる
次は2x=1/2までつまりx=1/4まできまる・・・・

そうか、f(0)=0で連続になるようにするわけか

それは[1/2,1]での関数の値域が[1,3]でのそれよりも狭くなればいいわけだ

>>102

そのg(x)が定数関数だからf(x)は？

定義域の問題もあるのか…
g(x)=f(e^x)とおくには、fの定義域が正の実数でないとダメか…

このスレ、積分方程式もOKですか?

>>108
だからどうしたのよ
定数以外にあったのか？

この場合は f(x) が解ならば f(-x) も解なので g(x)=f(-e^x) とおくことができます。

>>110

g(x)=f(-e^x)でもいいよ

>111
積分方程式もOKです。とにかくﾊｧﾊｧ…

>113
>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
この部分が分かりません。お願いします、

>>115
f(-xyz)=f((-x)(-y)(-z))=f(-x)f(-y)f(-z)+f(-x)f(-y)+f(-y)f(-z)+f(-z)f(-x)+f(-x)+f(-y)+f(-z)

>>115
>113
>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
この部分が分かりません。お願いします

＞>f(x) が解ならば f(-x) も解なので
＞この部分が分かりません。お願いします
f (0) = 0 はすぐ出るから、
x が正の場合と不の場合に独立に考えてよいということ

なるほど、定義域が正の数で求めた解 (>106)
　 f(x) = x^a-1, -1, -x^a-1
について、F(x)=f(-x) を考えると、Fも関数方程式をみたすから解だと…。

気になるのは、f(x+y+z)=… の解を求めるときに、fは連続だとして求めたので、
x<0のときは、上の解は、aが偶数じゃないとヤバイ？

f(x)≡0も解

f(x)≡0 は f(x) = x^a-1 に含まれてるじゃん。だめぽ漏れ

>>108
それだけでは恒等式は満たされない

>98を解説してください。
　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ

発掘品を。
f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)=0

>>123
「桑垣」に典型例として載っている。

>>123
「桑垣」には、
f(x+y+z)-f(x+y)-f(y+z)-f(z+x)+f(x)+f(y)+f(z)- f(0) =0
の形で載っていたから、 f(0)=0 として終わり。

たとえば f(x)=x とか f(x)=x^2 も満たしていますが…

桑垣ッ！ 君の意見を聞こうッ！

　　　　　　　　　　　　　　　 ､　　　　　‐;､
　　　　　　　　　　　　 _,..rｰ' ｀``ヾヽ`､ﾉ i,, ､ 　
　　　　　　　　　　 i､|` ⌒ヾ ､`､／　 ノi　‐'ｿ 　　　
　　　　　　　　　　 ﾄ､/　　=｀ヽ　//／__ ヽ　￣ヽ
　　　　　　　　　　 'ｧl!　/　 ､､ i 〃, ‐､ ヽ |‐､ヾ ｀)
　 　 　 　 　 　　 　{i/,ﾉ　 | r=---‐ｧ |__{. { ､､ il>′
　 　 　　　　　　　　{/ ,ﾉノ !|..:::.　 .:'）ﾉ　li; } l/ lヽ
　　　　　　　　　　 r''v‐'- .,,`＿::_＿,. -‐''iノ　丶｀ヽ
　 　 　 　 　 　 　　|{i ト ､;::: :::::;>‐<:::::: ;ィ′`''i ヽ,　l
　　　　　　　　　　　l>,i　 l ￣　 ,:::l;:'￣l |、 　　ヽ |! |
　　　　　　　　　　O'ri!l　 |　　　､;/　　'/ `O　　,!ﾉ /
　　　　　　　　　　　|＼ヽ　　-===-‐ /ﾉ!　　　く ｣'′
　　　　　　　　　　　l｀`ヽ､＼　 'T''　/／!　　　_ﾉﾉ
　 　 　 　 　　　　　 |;;|｀`'〒,ヽ ＿,/'i'´ |､
　　　　　　　　　 ,. ィ|;;`;;,､_|;;;;;;;;;|||;;;;;| _,.|└;_
　　　　　　,.. ィ"i　 l　ヽ'､ ;;;;;;;:;;;;|||;;;;;;'／;//;;;ヽ、
─-､‐''"´;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ヽ,` ｀`'''-､;○／;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;`''ｰ-=＝'''ヽ、

>>91
０≦ｘのときｆ（ｘ）＝１であればｆ（ｘ）＝１またはｆ（−ｘ）＝１になる。
ｆ（ｘ）が−１と１にならないことの証明がない。

ｆ（ａ）＝１のとき
　ｆ（ｘ）
＝ｆ（（ｘ−ａ）＋ａ）
＝（ｆ（ｘ−ａ）＋ｆ（ａ））／（１＋ｆ（ｘ−ａ）ｆ（ａ））
＝（ｆ（ｘ−ａ）＋１）／（１＋ｆ（ｘ−ａ））
＝１。

なるほど。

f(xy-zw)=f(x)f(y)-f(z)f(w) をみたす連続関数fは、
f(x)=ax (aは任意定数) でよろしいでせうか？

>130
ちがった、f(x)=x, f(x)≡0 だけか

>>98は周期関数を使わないとできそうにないと思うが．．．

では三角関数を使うのかな？

>>98の問題について、
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a090.htm
の一番下の(注)に解答の指針が書いてあった。
誰か具体的に計算してみてくれ

むずかしいぽよ

○|￣|_ =３　ブッ

>>134
これはちょっとexplicitに表せてないんですっきりしな罠。

　　　　　　　　　＿＿_
　　　　　　　,∠==､ヽ `i'ｰ- .
　　　　　　/　　　　ヽ|　｢｀'ｰ､`ｰ､　　　　　　　　　　　
　　　 　 　l　　　　　ﾐ| /　　　`ｰ､ヽ　　････ｺﾞﾒﾝﾅｻｲ
　　　　　　j　　　　 R|ｲ ｰ-､.　　ﾉ7┐　
　　　　　　`Vﾊﾊﾊ/ヽ.｢~￣　｀''ｧf‐┘　　　　　　　　
.　　　　　　　　 `､ }ｰ-`､__..._／::l　　　　　
　　　　　　　　　　`|:::::::|ヽ／l:;:;:;|
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　　　　　　　　　　∠-､ﾚ'ヽ〃〕

>>123-125
「桑垣」に
ｘ　の高々二次関数と書いてある。
関数方程式を論ずるなら。、
桑垣アキラ、函数方程式概論、朝倉
ぐらいは読んでおけ。

f(x+y)=f(x)+f(y), f(xy)=f(x)f(y) をみたす関数f(x)をすべて求めよ。
ただしｆ（ｘ）は実数全体で定義され、実数値をとる。（高１レベル）

>>139
＞f(x+y)=f(x)+f(y)
は既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出既出

>139
荒らすな、氏ね！

　　　　　　r;ｧ'N;:::::::::::::,ｨ／　　　　　 >::::::::::ヽ
.　　　 　 〃　　ヽﾙ1'´　　　 　 　 ∠:::::::::::::::::i
　　 　 　 i′　　___,　-　,. = -一　 ￣ｌ:::::::::::::::ｌ
.　　　　　 ! , -＝=､´r'　　　　　　　 　 l::::::/,ﾆ.ヽ　　　　　>>139
　　　　　　ｌ　　　　　　　　_,, -‐''二ゝ　 ｌ::::l fﾞヽ |、 ここはお前の日記帳じゃねえんだ
　　　 　 　 ﾚー-- ､ヽヾﾆ-ｧ,ﾆ;＝、_　　 !:::l ） } ト
　　　　　　 ヾ¨'７"ry､｀ 　 ｰﾞ='ニ,,,｀　 　 }::ヽ(ノ 　チラシの裏にでも書いてろ
:ｰゝヽ､ 　 　 !´ "￣ 'l,;;;;,,,.、　　　　　　　,i:::::::ﾐ
::::::::::::::::ヽ.-‐ ﾄ、　r'_{　　 __)｀ニゝ、　 ,,iﾘ::::::::ﾐ
::::::::::::::::::::Vi／l:::V'´;ｯ`ﾆ´ｰ-ｯ-,､:::::`"::::::::::::::;ﾞ　, 　な！
:::::::::::::::::::::::::N. ﾞ､::::ヾ,.｀二ﾆ´∠,,.i::::::::::::::::::::/／／
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>>83
ｘ＝０，ｙ＝０，ｚ＝０としてｆ（０）＝０，１／３。
ｙ＝０，ｚ＝０としてｆ（ｘ）＝ｆ（０）＾２／（１−２ｆ（０））。

>>140
f(xy)=f(x)f(y)がついているのは既出ではないんでは

いまさらだが「レッスド」って耳新しいな。

次をみたす連続関数fを求められませぬ。
たのもー、たのもー
f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)}

>>1の解は>>123の解になる。

>146を解説してください。
　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
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　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ

方程式から簡単な関係を出すために
同じものが出るように代入する。
ｆ（ｘ）とｆ（ｙ）とｆ（ｘｙ）がある場合は
ｘ＝ｙかｘ＝ｘｙかｙ＝ｘｙとなるようなものを代入する。

>>146
定数関数しかないじゃん

>150
それはどうかな、明智君！
aの値で場合分けするのは当然として、
鼻クソほじくって、よく考えろ！

y = 1 と置くとおのずと･･･

f(1)をまず求めにゃあかん

>>146
f(xy) のように、f の中に一次式以外のものが入ってきたら
定義域を決めるのが普通。

f(xy) = f(x) + f(y)

のように。この場合はどこで考えているのかな。
x > 1000000000 かな?

それも含めて考えろと言う問題なんじゃない？

関数方程式って一般論無いの？

有る分けないがな
分類なら｢一般論｣はあるが。

ちょっと思いついた方法が、たとえばf,gを超幾何関数だと仮定して代入、
両辺を簡約化してf,gを具体的に出すとか。
これで何でも解けるとは思えないけど。

http://www.kudpc.kyoto-u.ac.jp/Service/Application/REDUCE/reduce3.7/node772.html
こーゆーの使ってね。

関数方程式でも、クラスを限定すれば結構一般的解法はあるんじゃないかなぁ。

>>146
ａ≠１のときｆ（ｂ）≠ｆ（ｃ）となるｂ，ｃをとり
ｆ（ｂ（ｃｘ））＝ｆ（ｃ（ｂｘ））を展開する。

>>146
f(xy) = {a{f(x)f(y)}+1} / {f(x)+f(y)}

定義域が正の数に限るなら、
g (x) = f(e^x) と置いて一般加法定理に帰着。

Meijer G Functionに有理数乱数を代入して関数テーブルを作り、
片っ端から関数方程式に代入というのを考えた。

http://documents.wolfram.com/v5/Built-inFunctions/MathematicalFunctions/HypergeometricRelated/FurtherExamples/MeijerG.html
ね、たいていの関数方程式に出てきそうな関数は全部Meijer G Functionで
表せる訳よ。
引数ベクトルを指定して乱数成分とかを与えれば、ある限定されたクラスの
関数を全て網羅するテーブルが生成できることになる。
んでそいつを代入。

桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣桑垣

>>164
桑垣にMeijer G Functionを使った方法が出てるのか？

>146
a=1のとき, f(x) = coth[(c/2)Log(x)] = (x^c -1)/(x^c +1), c:定数.

f(x)+f(1/x)=c, cは定数

略解ぐらい欲しいものだ＞桑垣

>167
f(x) = c/2 + b*Log(x), b,c:定数

>168様。
一体どうやって解くのでしょうか？
この愚か者めに教えてちょんまげ！

ｆ（ｘ）＝ｃ／２＋（ｘ−１／ｘ）ｇ（ｘ＋１／ｘ）。

解き方を教えろっちゅーに。

>170
前から気になるのだが、BhMath2chk の意味を教えれ！

Bh … 意味不明。
Math2chk … これは分かる、2ch数学板ｷﾗｰ、つまり「数ヲタ殺し」だな。

>168
正しい答えは こうじゃないかね？ ゴゴゴゴゴ…

　f(x) = c/2 + b*Log|x|, b,c:定数

丈太郎ッ！ 君の意見を聞こうッ！

それは証明と、
定義域がそこに行き着いた
理由を聞いてから。

ある関数方程式を解いていて、
任意の実数xに対して f(2x)=f(x) をみたす f(x) は
定数関数に限りますよね？

Re:>175 0でのみ異なる値をとる関数というのもある。他にもたくさんある。

>>175

そうでもないよ。ディリクレ関数なんかは違うと思うが。

>>175
連続ならそれのみだが、それ以外に沢山有る。

>>175
区間 (-2, -1], {0}, [1, 2) で f を任意に定めれば
f(2x)=f(x) を満たす f が一意に定まる。

>>167
f(x) = c/2 +{h(x)-h(1/x)}･g(x+1/x).

だめだこりゃ

レッスド だからな。

f(x+y) = {f(x)}^2+f(y) …(1) をみたす実関数fを求めよ。

(1)に x=0を代入して f(0)=0
(1)に y=0を代入して f(x)={f(x)}^2 …(2)

(2)から、各xについて f(x)=0 または f(x)=1が成り立つ.
fの連続性が仮定されていなかったら、f(x)≡0 または f(x)≡1 は出せませんよね？

>>183
f(x)≡0
はでてくるがな

がながな

関数方程式を解く仮定で、x=0 とか x=y を代入して、
既知の関数方程式に帰着させたりして解くけど、
得られた解は必要十分でしょうか？
元々の関数方程式を満たすことを確認して完成でしょうか？

いや十分ではない。

f(x+y)=x+2y

には解はない。

なるほど、ありがとうございます

関数方程式にハマってしまった。パズルみたいだからかな？

任意の実数x,yに対して、次をみたす関数fを求めよ。
(1) f(x+y) = f(x)f(y)f(xy) 　[INMO 2001]
(2) f(xy){f(x)-f(y)} = (x-y)f(x)f(y) 　[IMO shortlist 2001]

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>>189
(2) f(x)≠0ならばy=1を代入して、
f(x)(f(x)-f(1))=(x-1)f(x)f(1)
両辺をf(x)で割って
f(x)-f(1)=(x-1)f(1)
よって
f(x)=cx

>189(2)
y=1 を代入して f(x){f(x)-xf(1)}=0
各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) が成り立つ。
fの連続性が仮定されているならば、f(x)=ax (aは任意定数) が解。
連続性が仮定されてないから、どうやればよいのか…

わからんちん

>192から続けると、
　「各xに対して、f(x)=0 または f(x)=xf(1) 」
どちらの場合にも f(0)=0 が成立。

f(c)=0 をみたす c≠0 が存在しないとき、
f(x)=xf(1) より f(x)=ax, a≠0 を得る。

f(c)=0 をみたす c≠0 が存在するとき、
与式に y=c を代入して f(cx)f(x)=0 が任意のxに対して成り立つ。
　「各xについて、f(cx)=0 または f(x)=0」
これから f(x)≡0 が言えれば楽なのだが…。

>>189(1) f(x+y)=f(x)f(y)f(xy)

与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1
f(0)=0 のときは、与式に y=0 を代入して f(x)≡0

f(0)=1 のとき…、どうするんだろう？

>>194
c≠0 を勝手な定数としたとき、
f(x)= cx (x≧0 のとき), 0 (x<0 のとき)
とか、
f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき)
はこの関数方程式の解なので、一筋縄ではいかないみたい。

一般に、乗法群 R-{0} の部分群 S が与えられたとき、
f(x)=cx (x∈S のとき), 0 (x∈S でないとき)
も解だけれど、これが答？

> f(1)=c, f(x)=0 (x≠0 のとき)
f(1)=c, f(x)=0 (x≠1 のとき)

>189(2) の IMO shortlist は解答をwebで晒してないのかなぁ？
自分は よう見つけられなんだけど…。

>195
>f(0)=1 のとき…
もしf(a)=0をみたすa≠0が存在するとすると、
与式にy=aを挿入して、任意のxに対しf(x+a)=0が成り立つことになるが、
x=-aのときf(0)=0となって仮定に反する。
とりあえず、f(0)=1のときには、fは0にならない。

これが分かっても、なんにもならんなぁ…、だめぽ

>195
>与式に x=y=0 を代入して f(0)={f(0)}^3 より、f(0)=0,1

f(0)=0,1,-1 だった。
結局、答えは f(x)≡0,1,-1 になりそうな予感。

問題 f(f(x)+y)-f(f(y)-x)=2x をみたす実関数f(x)

>196 は正しいみたい。

必要条件を示す。f(1)=c≠0 のときを考える。
>194 より、f(x)≠0 と f(x)=cx は同値となることに注意する。

S={x∈R | f(x)≠0} とおくと、S は乗法に関し群となることを示す。

0) 1∈S は f(1)=c≠0 より明らか。

1) x,y∈S かつ x≠y ならば xy∈S となること。
f(xy)(f(x)-f(y))=(x-y)f(x)f(y) の右辺≠0 より、f(xy)≠0.

2) x∈S ならば 1/x∈S となること。
x=1 ならば 1/x=1∈S なので、x≠1 としてよい。
f(1)(f(x)-f(1/x))=(x-1/x)f(x)f(1/x) である。
ここで、f(x)-f(1/x)=c(x-1/x) または f(x)-f(1/x)=cx であるが、
いずれの場合も f(x)-f(1/x)≠0 なので f(1/x)≠0 となる。

3) x∈S ならば x^2∈S となること。
この場合も x≠1 としてよい。
f(x)(f(1/x)-f(x^2))=(1/x-x^2)f(1/x)f(x^2) であるが、
2) より f(1/x)≠0.
f(1/x)-f(x^2)=c/x または f(1/x)-f(x^2)=c(1/x-x^2) だがx≠1 より
1/x-x^2≠0 なので f(1/x)-f(x^2)≠0. したがって左辺≠0 なので f(x^2)≠0.

0)-4) により、S は乗法に関し群となることがわかった。

(1) f(f(x)+x) = f(x)
(2) f(f(x)+y) = f(x)+f(y)

>189 (2)

f(a)=0 となる a が存在すれば、任意の x に対し f(x)=f(a)f(x-a)f(a(x-a))=0 となる。
そこで、f(x)=0 となる x が存在しない場合を考える。

f(x) が解のとき g(x)=-f(x) とおくと、
g(x+y)=-f(x+y)=-f(x)f(y)f(xy)=(-f(x))(-f(y))(-f(xy))=g(x)g(y)g(xy)
より、g(x) も解となるので、f(0)>0 となる解を決定すればよい。

f(0)=f(0)^3 より、f(0)=0, ±1 なので、f(0)=1 である。

f(x-1)=f(x)f(-1)f(-x)=f(-(x+1)) より、f(-2)=f(0)=1.
一方、f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(1)f(x)^2 より
f(0)=f(1)(f(1)f(-2)^2))^2=f(1)^3f(-2)^4=f(1)^3 なので f(1)=1 である。

したがって f(x+1)=f(x)f(1)f(x)=f(x)^2 なので、
任意の x に対し、f(x)>0 であり 任意の整数 n に対し、f(n)=1 となる。

f(x)=f(x+1)f(-1)f(-x-1)=f(x)^2 f(-x-1) なので f(x)f(-x-1)=f(x)√f(-x)=1.
よって f(-x)=1/f(x)^2. x に -x を代入して f(x)=1/f(-x)^2=f(x)^4 なので f(x)=1.

したがって、f(0)>0 となる解は f(x)≡1 に限り、f(0)<0 となる解は f(x)≡-1 に限る。

>>203 なるほど、そうやるのか！
さすがです。ありがとうございます。
　　　　　　　　 ＿＿＿
　　　　　　　.／　 nCr ＼　　　神降臨キタ━(ﾟ∀ﾟ)━！！！
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　　　　　　＼|　　愛媛みかん　|

>202 (1)
　f(f(x)+x) = {f(x)+x}-x
と変形して、z ∈ A = {f(x) | x∈R}として
　f(z+x) = z-x
を考えていたけど挫折。


>202 (2)
与式のxとyを入れ替えた式の右辺は、元の右辺に等しいから
　f(f(x)+y) = f(f(y)+x)
もし、fが単射であることが証明されれば、
　f(x)+y = f(y)+x
より、f(x)-x = f(y)-y は変数に無関係な定数となって
　f(x) = x+c （cは任意定数）
単射であることが言えればナー

>>189
　ｆ（ｘ＋ｙ＋ｚ）
＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ＋ｚ）ｆ（ｘ（ｙ＋ｚ））
＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）ｆ（ｚ）ｆ（ｙｚ）ｆ（ｘｙ）ｆ（ｘｚ）ｆ（ｘ＾２ｙｚ）。
ｆ（ｘ＾２ｙｚ）＝ｆ（ｘｙ＾２ｚ）。
ｘｚ＝１，ｙ＝１としてｆ（ｘ）＝ｆ（１）。

>206
こりゃ思いつかんわ。

>189(2) と 202(1)(2) をたのもー

>>202
ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）。
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｘとするとｆ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋ｘで
ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）はｇ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｇ（ｙ）となるので
ｆ（ｆ（ｘ）＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）という条件は
ｆ（Ｒ）の元がｇの周期になることと同じ。
ｆが連続のときのｆは０とｘ＋ａ。
ｆが連続でない解の例はｈを［０，１）−＞Ｚの関数
ｎをｘの整数部分としてｆ（ｘ）＝ｎ＋ｈ（ｘ−ｎ）。

任意の実数xに対して f(f(x))=x の解はどうなるのでしょう？
とりあえず fは全射。
f(x)=f(y)のとき、x=f(f(x))=f(f(y))=yより単射だから、与式は
　f(x)=f^{-1}(x)
これ以上の情報は得られないのかなぁ…。

たのも〜 （ＡＡ略）

>>209
f=f^-1　なので、y=f(x) のグラフが直線 y=x に関して
対称になるものはすべて解になります。

>210
ありがとうございます。次の解はどうなりますか？
　f(xf(y)) = yf(x)

x=y=0を代入して、f(0)=0
y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0
y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x)
これから>210の解の一部だろう…、とここまではいけましたが。

>211　f(xf(y)) = yf(x)

x=y=0を代入して、f(0)=0
y=f(x)を代入して、f(x^2) = {f(x)}^2 ≧ 0
y=xを代入して、f(xf(x)) = xf(x)
与式でxとyを交換した式を与式に代入して f(f(xf(y))) = f(yf(x)) = xf(y)

A={xf(y) | x,y∈R}, B={xf(x) | x∈R} とおくと
　x∈Aのとき f(f(x))=x, x∈Bのとき f(x)=x

これ以上わからんちん。たのも〜 （ＡＡ略）

f(a)=0 となる a≠0 が存在したとすると、
f(xf(a))=af(x) より　0=f(0)=af(x).

次に、そのような a は存在しないとする。
b=f(1) とおくと、
f(b)=f(1・f(1))=1f(1)=b
よって b は f(x) の不動点である。
f(1・f(x))=xf(1) より
f(f(x))=bx. また、
f(b・f(x))=xf(b) より
f(bf(x))=bx.
b≠0 なので>>209 と同じ論法により、f(x) は全単射。よって
f(x)=f^-1(bx), bf(x)=f^-1(bx)
これより b=1 でなければならない。

よって　f(f(x))=x
>>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。
ところが、このような関数は次の２つのタイプしかない。
(1) y=x
(2) 単調減少：x>1 の範囲に f(x) の零点が１つある。

(2) は仮定に反するので、(1)のケースしかありえない。

以上をまとめると、f(x)=0 または　f(x)=x となる。

>>210 より、y=f(x) のグラフは y=f(x) に関して対称になる。
y=f(x) のグラフは [y=x] に関して対称になる。

しまった。>>213 の分類には f(x) の連続性を仮定している。
連続を仮定しなければ、他にも>211の解はある。
f(x)=1/x

あぁ確かに…。
　f : R(+)→R(+)、lim[x→∞]f(x)=0
の解を求めさせる問題が 1983.IMO でした。その解が f(x)=1/x

R(+) は正の実数の意味で書きました。

y=f^-1(z)　を元の式に代入すれば、f=f^-1 だから
f(xz)=f(x)f(z) になる。f の不動点集合を S とすれば、
log S={log a|a∈S} は Q-vector space になる。
S={-1,0,1} のときは xf(x)∈S だから xf(x)=±1 になる。
sgn f(ab)=sgn f(a)・sgn f(b) より、
sgn f(a)={sgn f(√a)}^2=1.　よって f(x)=1/x

S=R のときは y=x. それ以外のときは S は dense set になる。
Q に関する R の Hamel basis を A_1∪A_2∪A_3 (背反和）とする。
ここで A_1 は log S の基底、＃(A_2)=＃(A_3) となるように取る。
F:A_2→A_3 （全単射）を固定する。
f(p):=F(p),p∈A_2；f(q):=F^-1(q),q∈A_3 とし、
f の乗法性を用いて R 全体に f を拡張する。それは明らかに
f(f(x))=x をみたしている。

以上より、S により解を場合分けすると、
(1) S={0}　f(x)=0
(2) S={-1,0,1} f(x)=1/x, f(0)=0
(3) S=R f(x)=x
(4) それ以外。上の構成法による解。

f(exp p)=exp F(p)　 p∈A_2
f(exp q)=exp F^-1(q)　q∈A_3
でした。

そろそろ｢桑垣｣から又一丁出すか

>220
どうぞ出してください。「桑垣」とやらの本から。
それで満足したら帰ってください。

イオナズンのガイドラインPart5
http://that3.2ch.net/test/read.cgi/gline/1088477164/

では｢桑垣｣からごく簡単なのを一題。
k ＞ 0 (定数)とするとき
f (x + y) = k*f (x)*f (y)

少しづつ難しくしていくぞ。

>>222
g(x)=k f(x) とおけば、g(x+y)=g(x)g(y).
連続な解は g(x)=exp(cx) または g(x)≡0.
よって、f(x)= (1/k)exp(cx) または f(x)≡0.

>>222
あれあれ、レスが止まってますよ？
進行役はしっかり動きましょうよ！

　　　 ＿＿＿　　　　しょうがないなぁ
　　.／　　≧　＼　　　222が来るまで、私が相手だ！
　　|:::: 　＼ .／　|　ﾊｧﾊｧ
　　|::::: (●　(● |　　　　　　　ﾊﾞｰﾝ！　不等式ヲタが現れた！
　　ヽ::::... .∀....ノ ／　　ﾁﾝ　☆
　＿(　　⊃　　⊃　　ﾁﾝ　☆　　　【問題】
　|＼￣￣￣￣旦￣＼　　　　正の実数上で定義された実数値連続関数 f, g, h で
　|　|￣￣￣￣￣￣￣|　　　　　　f(x+y)+g(xy) = h(x)+h(y) 　(x,y>0)
　＼|　　愛媛みかん　|　　　　をみたすものをすべて求めよ。

>>224
簡単すぎたからレスしなかったんだ。
勿論正解。
それに私は忙しいので、毎日見る暇も無い。
次の問題はもう少し後で。

>226
ケッ！ ヤル気ね〜奴め
シヌェ！

では（その２）｢桑垣｣53p から。
a, b, c, d を定数として、
f (x + y) + f (x - y) = a*f (x)*f (y) + b*f (x) + c*f (y) + d

ケッ！ 解けね〜奴め
シヌェ！

グリーン関数について語れ。








King以外でよろ

>230

解答を作ったのにレスをつけないと文句を言うくせに
解けないときは解けないと正直に言わないんだな

>>232
簡単すぎたからレスしなかったんだ。

>>233
では書いてみろ
(それほど難しくないのは確かだが)

ﾏｽならいくらでもかいてやる。

では、｢桑垣｣100p. から難問を一つ。
f (x + y) = g (x)*h (y) + k (x) + l (y).

>234
場合分けがややこしくて…


　　　　　　　　　　　○|￣|_ =3 ﾌﾞｯ

>>237
では a ≠ 0 でいいよ。

f(x,z)+f(y,z)=f(xy,z), xyz≠0
f(x,y)+f(x,z)=f(x,yz), xyz≠0
f(x,1-x)=0, x≠0,1
をみたすf(x,y)は定まりますでしょうか？

はじめの２条件をみたす連続な解 f : (R-{0})×(R-{0}) は
　 f(x,y)=c(log|x|)(log|y|)
でＯＫですか？ ３番目の条件も考えると f(x,y)≡0 でＯＫですか？

ちがうっぽい…

>>239
universal symbol K_2 (R)

>242
はぁ？

f:N→N
f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996
をみたす関数を求めよ。

やり方を教えて下さいぽよ。

Re:>244
f(n+2)≠0とすると、f(n+3)=(f(n)+f(n+1)+1996)/f(n+2).
f(n+2)≠=0とすると、f(n)+f(n+1)=-1996,f(n-1)+f(n)=-1996となる。
ここから、f(n+1)=f(n-1)が分かる。
f(n-2)+f(n+1)=(-1996-f(n+1))f(n+1)-1996が得られる。
これをf(n+1)について解くと、x^2+1997x-1996-f(n-2)の根であり、
f(n+1)=(-1997­

Re:>244 すまね、手が滑った。

>>245-246
この落書きは？

>>244
勘でf(偶数)=α、f(奇数)=βの形を仮定すると
α+β=αβ-1996
(α-1)(β-1)=1997
より(α,β)=(1998,2),(2,1998)。なんとなくこんな形しかない羊羹。

神降臨待ち

f(n)+f(n+1) =f(n+2)f(n+3)-1996
f(n+1)+f(n+2)=f(n+3)f(n+4)-1996
より、
f(n)-f(n+2)=f(n+3){f(n+2)-f(n+4)} …(#)
よって
f(n+2)-f(n+4) は f(n)-f(n+2) の約数である。…(*)
また、f(n+3)>0 と(#)より、２つの数列
A:f(1), f(3), f(5), f(7),...と
B:f(2), f(4), f(6), f(8),...
はそれぞれ狭義単調増加(or減少）数列または定数列である。
しかし、fの値域が自然数なので、単調減少はありえない。（マイナスになってしまう）
また、数列の第２項以降の中に 1 が含まれている場合は、
その数列はすべて 1 になる（狭義単調増加が不可能だから）。…(**)

(*)より、|f(n+4)-f(n+2)|≦|f(n+2)-f(n)|.
この式を recursive に使えば、必ず等号が成り立つ n が存在する。
その n に対して(*)式の f(n+3)=1 が成り立つ。
(**)より、A,B の少なくともどちらか一方が 1 の定数列になる。
後はそれぞれの場合について、f(n)+f(n+1)=f(n+2)f(n+3)-1996
を使って値を求めていけばよい。

(1) A が 1 の定数列の場合、f(n) の値は
1 a 1 a+1997 1 a+1997*2 1 a+1997*3 …
(2) B が 1 の定数列の場合、
b 1 b+1997 1 b+1997*2 1 b+1997*3 …

a,b は任意の自然数。

>>248>>250

f : N→N
f(x+f(y)) = f(x)+y
をみたす関数を求めよ。こやつめを たのもー (ＡＡ略)


x=y=1を代入して f(1+f(1)) = f(1)+1
a=1+f(1) は f の不動点で、条件 f : N→N より、a≧2
任意の自然数 k に対して f(ka)=ka の成立が帰納法で示せる。

ここで止まった ○|￣|_ =3 ﾌﾞｯ

ａをｆ（ａ）＝ａを満たす正の整数とする。
ｆ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ｘ＋ｆ（ａ））＝ｆ（ｘ）＋ａ。
ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（ａ＋ｆ（ｘ））−ａ＝ｆ（ａ）＋ｘ−ａ＝ｘ。
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ＋ｆ（ｆ（ｙ）））＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）。
ｆ（ｘ）＝ｆ（１）ｘ。
ｆ（ａ）＝ａからｆ（１）＝１なのでｆ（ｘ）＝ｘ。

>253
3行目の ｆ（ｆ（ｘ））＝ｆ（ａ＋ｆ（ｘ））−ａ が謎々博士

昨日まで無職童貞だったけど、これは面白かった。
マジおすすめ。（なんのこっちゃ）

f : R→R
f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy)+f(x)+f(y)

ｆ（ｘ＋ａ）＝ｆ（ｘ）＋ａのｘにｆ（ｘ）を代入してｆ（ｆ（ｘ）＋ａ）＝ｆ（ｆ（ｘ））＋ａ。

>255
訂正。

R^(+)={x \in R | x>0}
f : R^(+)→R^(+)
f(x+y)+f(x)f(y) = f(xy)+f(x)+f(y)

>256
なるほど。
ありがとうございます。

この問題を お願いしますだ。

次をみたす f は存在しないことを示せ。(1998 Bulgaria)
f : R^(+)→R^(+)
{f(x)}^2 ≧ f(x+y){f(x)+y}.


(1998 Roumania)
Find all functons g : R→R for which there exists a strictly monotonic
function f : R→R such that
　 f(x+y)=f(x)g(y)+f(y), 　x,y∈R.

>259の上側の問題

条件をみたす f が存在すると仮定して矛盾を導く。
与式に y=x(>0) を代入して、{f(x)}^2 ≧ f(2x){f(x)+x} > f(2x)f(x)
条件より f(x)>0 だから、f(x)>f(2x)

与式に y=f(x) を代入して {f(x)}^2 ≧ 2f(x+f(x))f(x)
f(x)>0 より、f(x) ≧ 2f(x+f(x))

これ以上 分かりません ○|￣|_ =3 ﾌﾞｯ

>259の下の問題
>strictly monotonic function f : R→R
この狭義単調関数って、狭義単調増加関数か狭義単調減少関数で
定数関数は含まないんですよね？

>259の下の問題

与式に x=0 を代入して整理すると、f(0)g(y)=0

f(0)≠0 のとき g(x)≡0.
このとき与式は f(x+y)=f(y) より、f は定数関数となって条件に反する。

f(0)=0 のとき、与式に y=0 を代入して整理すると、f(x){1-g(0)}=0.
f は定数関数でないから g(0)=1.

これ以上 分かりません ○|￣|_ =3 ﾌﾞﾘﾌﾞﾘｯ！

　　　　　/ /　　.,' /　 /　　　 ,　 ',　 '、　ヽ　 ヽ,　 ヽ. ヽ,ヽ＼. 　　',　 , '　　　　　　_,,
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.　　 　,'　i　　　.i ! 　 !　　 !　 ﾊ　 .i､　,ﾙ--,､、　 ﾞ､ ﾞ、'､､ ﾞ､ヾ､ﾞｖ',ﾉ　　　　　 , '
　　　 ,　.i 　　　l l　 _i､- -ﾄ.　i ',　 !ﾞｒ'´ !ﾞ,　',ﾞ,｀ヽ、i　ﾞ,. ﾞ,ヽ ',. ﾞ,'､ﾞ、　　　　 , '
　　　 i.　l.　　　 !,r'".i| 　 'l　 ,'　!　'　i　,ｊ､L_l',i ',　　i.　i　i. ﾞ､.i　ﾞ,ﾞ､',　　　 , '
　　　 !.　ｌ　　　 ', ',　!', ,,,'_ﾄ./　 ! ,'　 ｒ',ｒ''‐=-ヽ,',. 　!　l　l　 ',l　 ﾞ､',ﾞ, 　 , '
　　　 l　 ',　　 　',ヾ,r''-=:-､､　 '/　　ﾘ ﾄ-ｲiii::ﾊﾞi.　,i　,i　ﾊ 　! 　 ',ﾞ,i ／
　　　 ',　 ﾞ,　　　 ',,i ﾄ-ｲiii:::ﾊ　'　　　　 !ゞ::!r''::ﾘ,l. ,'.! ,'.ｊ/ ﾞ,', 　 　 ﾚ!ﾞ
　　 　 i.　 ', 　 　 'l{. !ゞ::!!r''ﾘ　　　､.　　ヽ-=='　,'ｲ.,'/.ﾒ;　.i',',　 　 !.!
　　　　', ./ '、　　 ',　`‐-‐ '　　,-‐　''',　　　　　　j,'／　i. ,' ',', 　 .,'
　　　　 ', ﾞ ､ヽ 、.　',　　　　　　{　　　 }　　　　 ,. '"　 　.l.,'　i !　 .,' 　　たのも〜！！
　　　　　'､'､｀`､ﾞ､　 ﾞ､.　　　　　ﾞ､　　ﾉ　　,､‐'"i　　　　 !', ' ',.!　/
.　　　　　 ' ,ヽ, ヽヽ　ヽ`' ‐-　､、,｀,,´､-ﾔ　 ',　ﾞ,　　　 , '　　i.!,.'
　　　　　　 ヽ､＼ヽ＼ ヽ,､ゝr'ヽ　　　　 ﾊ 　 ',　', 　 , '　　　j,'
　　　　　　 　 ヽ. ヽ`,>ﾄ､v　.!　　　　　 ﾉ　ﾞ,　 ﾞ､ ', ./　　　　/
　　　　　　　　　　／　l　i＼iヽ､,　　 ／,､‐'　　 ヽy'　　　　 '
.　　　　　　　　.／　 　',. !　 ゝ--｀‐´''´　　　　　 ＼

ｘ，ｙを正の数とする。
ｆ（ｘ）＾２≧ｆ（ｘ＋ｙ）（ｆ（ｘ）＋ｙ）≧ｆ（ｘ＋ｙ）ｆ（ｘ）で
ｆ（ｘ）≧ｆ（ｘ＋ｙ）となるのでｆは減少関数。
ｆ（ｘ＋ｙ）≦ｆ（ｘ）＾２／（ｆ（ｘ）＋ｙ）≦ｆ（ｘ）−ｙ＋ｙ＾２／ｆ（ｘ）。
ｎ，ｋを０≦ｋ＜ｎを満たす整数として
ｘ，ｙにｘ＋ｋｙ／ｎ，ｙ／ｎを代入して
　ｆ（ｘ＋（ｋ＋１）ｙ／ｎ）
≦ｆ（ｘ＋ｋｙ／ｎ）−ｙ／ｎ＋ｙ＾２／ｎ＾２ｆ（ｘ＋ｋｙ／ｎ）
≦ｆ（ｘ＋ｋｙ／ｎ）−ｙ／ｎ＋ｙ＾２／ｎ＾２ｆ（ｘ＋ｙ）。
ｋについての和をとって
ｆ（ｘ＋ｙ）≦ｆ（ｘ）−ｙ＋ｙ＾２／ｎｆ（ｘ＋ｙ）。
ｎ−＞∞としてｆ（ｘ＋ｙ）≦ｆ（ｘ）−ｙ。
ｆ（ｘ）＜ｙのときｆ（ｘ＋ｙ）＜０となるので条件を満たすｆは存在しない。

ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）。
ｆ＝０のときｇは任意の関数。
ｆ≠０のときｆ（ａ）≠０となるａが存在する。
ｆ（ａ＋（ｘ＋ｙ））＝ｆ（（ａ＋ｘ）＋ｙ）を展開してｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）。
ｆ（ａ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ａ）＋ｆ（ａ）。
ｆ（ａ）（ｇ（ｘ）−１）＝（ｇ（ａ）−１）ｆ（ｘ）。
ｇ（ｘ）−１＝ｂｆ（ｘ）。
ｂ＝０のときｇ＝１でｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）。
ｂ≠０のときｆ（ｘ）＝（ｇ（ｘ）−１）／ｂでｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）なので
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）を満たす。

ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）。
ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｙ）ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）。
ｆ（ｘ）（ｇ（ｙ）−１）＝ｆ（ｙ）（ｇ（ｘ）−１）。
ｆ≠０，ｇ≠１のときｇ（ａ）≠１となるａが存在する。
ｂ＝ｆ（ａ）／（ｇ（ａ）−１）とおくとｆ（ｘ）＝ｂ（ｇ（ｘ）−１）でｆ≠０なのでｂ≠０。
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｇ（ｙ）＋ｆ（ｙ）からｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）。

>264-265
どうもありがとうございます。
>264の４行目の不等式の右側の
　 f^2/(f+y) ≦ f-y + y^2/f
は、どうやって作ったのですか？
確かに差をとれば y^3/{f(f+y)} > 0 となりますが…



＞ｆ（ａ＋（ｘ＋ｙ））＝ｆ（（ａ＋ｘ）＋ｙ）を展開してｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）。

ここの部分に (;´Д`) ﾊｧﾊｧ /lァ/lァ ／/ア／/ア！！

０≦ｗのとき
１／（１＋ｗ）＝１−ｗ＋ｗ＾２−ｗ＾３／（１＋ｗ）≦１−ｗ＋ｗ＾２。
　ｆ（ｘ）＾２／（ｆ（ｘ）＋ｙ）
＝ｆ（ｘ）／（１＋ｙ／ｆ（ｘ））
≦ｆ（ｘ）（１−ｙ／ｆ（ｘ）＋ｙ＾２／ｆ（ｘ）＾２）
＝ｆ（ｘ）−ｙ＋ｙ＾２／ｆ（ｘ）。

>267
なるほど なるほど！
ありがとうございます。

341

うんこ食べたよ

Re:>270 そんなことより、関数方程式について考えてくれ。

>>270
トリップ割れでもしてんのか？

ＵＦＪ食べたよ

Re:>273 訳の分からぬ言葉を使うな。

ＵＦＪおいしい

277

f : Q^(+) → Q^(+)
f(1/x)=f(x)
f(x+1)=(1 + 1/x)f(x)
をみたす関数 f をお願いしまする。

条件より f(x)>0 なので、g(x)=f(x)/f(1) とおくと g(1)=1 で、
　g(1/x)=g(x)
　g(x+1)=(1 + 1/x)g(x)
をみたす。第２式を変形して g(x+1)/(x+1) = g(x)/x
これを繰り返し用いて、自然数 n に対して
　1 = g(1)/1 = g(2)/2 = … = g(n)/n
より、g(n)=n を得る。あと分かったことは、有理数 x に対して
　g({x+1}/x) = g(1/x + 1) = (x+1)*g(1/x)
ここで小一時間悩んで挫折しました。一つ目の条件式を、まだ使ってないし…。
たのも〜。

＿ﾄ￣|○

ａ／ｂが既約分数のときｆ（ａ／ｂ）＝ａｂｆ（１）。
証明はａ＋ｂについての数学的帰納法。

[Austrian-Polish 1994]
a,bは実定数のとき、次式をみたす関数 f : R^2 → R を求めよ。
　f(x, y) = af(x, z)+bf(y, z)

多変数のときって、難しそうなんですが…。
桑垣の本を借りてくるか…。

ｆ＝０は条件を満たす。
ｆ≠０とする。
ｙ，ｚにｘを代入して（１−ａ−ｂ）ｆ（ｘ，ｘ）＝０なので
ａ＋ｂ＝１またはｆ（ｘ，ｘ）＝０。
ａ＋ｂ＝１のときｙにｘを代入してｆ（ｘ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｚ）なので
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ，ｘ）とおくとｆ（ｘ，ｙ）＝ｇ（ｘ）。
条件からｂｇ（ｘ）＝ｂｇ（ｙ）なのでｂ＝０またはｇは定数関数。
ｆ（ｘ，ｘ）＝０のときｚにｙを代入して（１−ａ）ｆ（ｘ，ｙ）＝０なのでａ＝１。
ｙにｘを代入して０＝（ａ＋ｂ）ｆ（ｘ，ｙ）なのでａ＋ｂ＝０からｂ＝−１。
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ，０）とおくとｆ（ｘ，ｙ）＝ｆ（ｘ，０）−ｆ（ｙ，０）＝ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）で
これは条件を満たす。

よって条件を満たす関数は
（１）ｆ＝０。
（２）ａ＋ｂ＝１のときｆは定数関数。
（３）ａ＝１，ｂ＝０のときｆ（ｘ，ｙ）＝ｇ（ｘ）。
（４）ａ＝１，ｂ＝−１のときｆ（ｘ，ｙ）＝ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）。

>281
なるほどなるほど、ありがとうございます。

x,y,z∈R, f(x,y)f(y,z)f(z,x)=1 の解はどうなりますか？

log|f(x,y)|=g(x,y) とおくと Sinzowの方程式をみたすから
　|f(x,y)| = e^{h(x)-h(y)}, h(x)は任意関数
ここまでは出ましたが、これ以上は出ませんか？
fが連続だとか条件がいるのでしょうか？

数を減らして x,y∈R, f(x,y)f(y,x)=1 の解は、
　|f(x,y)| = e^{h(x,y)-h(y.x)}, h(x,y)は任意関数
fが連続なら f(x,y)| = ±e^{h(x,y)-h(y.x)} でＯＫですか？

ａ＝ｆ（０，０）とおくとａ＾３＝１で
ｆ（ｘ，ｘ）ｆ（ｘ，０）ｆ（０，ｘ）＝１＝ｆ（０，０）ｆ（０，ｘ）ｆ（ｘ，０）からｆ（ｘ，ｘ）＝ａ。
ｆ（ｘ，ｙ）ｆ（ｙ，ｘ）ｆ（ｘ，ｘ）＝１なのでａｆ（ｘ，ｙ）＝１／ｆ（ｙ，ｘ）。
ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ，０）とすると
ｆ（ｘ，ｙ）＝１／（ｆ（ｙ，０）ｆ（０，ｘ））＝ａｆ（ｘ，０）／ｆ（ｙ，０）＝ａｇ（ｘ）／ｇ（ｙ）。

>285 なるほど！ ありがとうございます。

284の場合だと、0にならない任意関数 g(x) を用いて f(x,y)=g(x)/g(y) と書けそうですね。
計算でどうやって出すかは分かりませんが…。

>286
そういう訳にはいかんですね。
f(x,y)のxとyが分離できるとは限らないし…。
だめぽ。

151

次の関数方程式の解はどうなるのでしょうか？

(1) f(x,z) = {f(x,y)+t(y,z)}/{1-f(x,y)f(yz)}

(2) f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y)=1

(1) はサッパリ。(2) は >285 のようにはいかないし…。
おねがいします。

>289(1)は、f(x,x)≡0, f(y,x)=-f(x,y)なので、与式は
　f(x,y)+f(y,z)+f(z,x)=f(x,y)f(y,z)f(z,x)
となることまでは分かったけど、そこまで…。

分からんプー＞ （：D）|￣|＿

f(x,z) = {f(x,y)+f(y,z)}/{1-f(x,y)f(y,z)}　という関数の場合は
f(x,y)=tan(g(x,y)) （-π/2<g(x,y)<π/2　(2)）とおいて
tan(g(x,z))=tan(g(x,y)+g(y,z))
g(x,z)=g(x,y)+g(y,z)となる。(1)

g(0,0)=g(0,y)+g(y,0)=g(0,0)+g(0,0)よりg(0,y)=-g(y,0)になるから
g(x,z)=g(x,0)+g(0,z)=g(x,0)-g(z,0)。ここでg(x,0)=h(x)とおくとg(x,z)=h(x)-h(z)
また任意のh(x)に対してg(x,z)=h(x)-h(z)は(1)を満たす。
よってf(x,y)=tan(h(x)-h(y)) h(x)は(2)を満たす任意の関数。

>291
ありがとうございます。むずい。

f, g ： R →R
f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)
の解き方を教えて下さい。

　　　　　　 |　　 _,.. -‐"／￣/　 /| ￣　l ヽ 　＼~`"'ー､ﾉ　　　たのも〜♪
　　　　　　 ｹﾌ"　／ /　 ,.-'‐￣/ .i 　　.i ￣＼- ＼　＼ヾ
　　　　　　/ ／.l　l　l .//　/ .／　 l　　/ 　　　ヾ　 iヽ　　i.＼　　　　　たのも〜♪
　　　　 　ノ　 |　l　l　l Y ／"¨''ヽ　.i　/　ｧ''"¨ヾ i ｲﾞi.　ﾘ
　　　　 　 `ヽ　r､ 丶l i` 　　　　　　ﾚ　　　　　　 |　 ｲ/"
　　　　　　 　 ＼　ヽ　 ヽ　"""　 iー'ｰv'　 """ /　　'
　　　　　　　　 　ヽ　ヾ-　ゝ　　　　._／　　　.／
　　　　　　　　　/''"" ＼Ｙ.':　∧∧　　 ∧∧ｿ ｀"ヽ､
　　　　　　　　,ィ"　 　,.ィ."ヽ(=ﾟωﾟ)人(ﾟωﾟ=)ﾉ｀丶,”､
　　　　　　　/"　ヾ,.-"　　〜（　 x）､ /（x　 ）〜　　 ｀丶、
　　　　　　／　/"　　　　＼⊃U U　y　U U⊂／　　　　 ヽ

　　 　 　 　 　 　 |　: :.:;;;;;;;::;: '".:.::.:::.::::.::::.:::::.::::::.::::.:::.:::.::.:.:. ' 、.:;;;;::.　　　　 　 /　　わしの話題はどうした？
　　　　　 　 　 　 i | .:.::;;;γ.:.::.:::.::::.:::::.::::::.::::::.:::::.::::.:::.:::.::.:.　　＼.:;:.　 　 　 　 ,'
　　　　　　　　 　 Yi ::::;;;;:i .:.:::.:::::.::::::::.::::::::::.::::::::.::::::::::::::.::.:.　　　＼　　　　　人,＿
　　　　　 　 _,,,... -‐', : ::;;;|.:.::.:::.::::.::::.::::::::::::::::::::::.::::::.::.:::.::.:.　　ノ（　',　　　　/` 、.:::.~"'''ｰ-　.,
＿___,,. -‐''".:.:::.:::.:::.:.' ､,..,i:. '"' . . : .: .:::.:::.::::::::::::::::..:::::.:::..⌒　 ⌒　 |　／^ヽ.:.:::.`、.:::::::::::.::.:.:..~"''ｰ 、
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::i :::i:.⌒"'ｰ ､., .:.:.).::.::::.::::.:.,. -‐'''"~'ヽ　　　,.メ~,. ,　 |:::::::::::.';:::::::::::::::::::::.:::.::.::.:.`
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::;':', ::';　-‐‐--　 、!.:::::."''~ --‐‐‐-　、　／ :ﾚ'⌒)　:i;;:;;::;:::;:::.';:::::::::::::::::::::::::::::: : .
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;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;';;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,'､.:.::.:::.::::.:::.'ｰ､ｰ'.:.::.:::.::::.:::.::.::.:.　　 ,'ｰ///.::::i;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;,'､,;;;;;;;;;;;,;;,;, ; ,

＿|￣|○ ＜ だめぽ

888

>>1 の連続で無い解の構成の仕方を教えて下さい。

ヒント1：
R は Q 上のベクトル空間であるので、基底を取る。
（勿論他にも色々方法はあるが）

ヒント２をきぼんぬ

ヒント2：基底の濃度はアレフ。
この事からの帰結として、一次関数 f (x) = cx 全体はアレフ個だが
>>1 を満たす関数アレフ個より多い。因って存在。
（存在だけ。構成的でない。） 以上。

>>3
に書いてあるやん

704

このスレ　オワ

　　 ＿＿＿
　.／　 f(x) ＼
　|:::: 　＼ .／　|　桑垣の古本
　|::::: (●　(● |　get しました
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

>>305
で、どうだった？

いい本ですね。
知らないことばかりで勉強になります。

では>>236の問題。桑垣の本では微分可能性を仮定して解いている。
連続性だけではどうなのだろう。
だから｢難問｣と書いた。

明倫館で、ボロボロの桑垣本を 2500円+送料 で買ったけど、
12月中旬に復刊ですか…。

ダメポ ＞ （：D）|￣|＿

復刊?
それは買わなくては。

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誰か教えてください。マジレスで。

P(X)=X3(←３乗）-(2K+1)X2(←２条）+(3K+2)X-K-2

で、Ｐ（Ｘ）を因数分解せよ。

お願いします。

わざとわかりにくく書いているとしか思えない。

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★の馬鹿め

最近、変な荒らしが多いね

519

連続関数 g, h が、g(x)h(x)≡0, h(0)=0 ならば、h(x)≡0 なのですか？

ちょっと訂正。
連続関数 g, h が、g(x)h(x)≡0, h(0)=0 ならば、g(x)≡0 または h(x)≡0 なのですか？

>>320
違う
g (x) = (x + |x|)/2
h (x) =( -x + |x|)/2

じゃあ、


実解析関数 g, h が、g(x)h(x)≡0 ならば、g(x)≡0 または h(x)≡0 なのですか？

R 全体で（または開区間で）なら正しい。
（一致の定理より。）

解析関数の事をｱﾅﾙと言ったら変ですか？

f(x+y)=f(x)g(y)+h(y)
f, g, h は実連続関数

これを f' の連続性を仮定せずに解けますか？

桑垣 P.97 問５ （解答なし） について教えて下さい。
〔問題〕 f(x+y)=f(x)g(y)+h(x)f(y)、 f, g, h∈C^1、 x, y∈R

与式で x=0 または y=0 を代入して整理すると
　(1-h(0))f(y) = f(0)g(y)、 (1-g(0))f(x) = f(0)h(x) … (☆)

f(0)≠0 のとき、与式は f(x+y) = {(2-g(0)-h(0))/f(0)}・f(x)f(y)
(2-g(0)-h(0))/f(0)=c、F(x)=cf(x) とおくと、F(x+y)=F(x)F(y) だから、F(x)≡0, F(x)=e^(ax)

f(0)=0 のとき、(☆)は (1-h(0))f(y)=0、 (1-g(0))f(x)=0
　f(x)≡0 のとき、g, h は任意
　f(x)\not\equiv0 のとき、h(0)=g(0)=1で、この後どうするんでしょうか？

f, g, h∈C^1 をまだ使ってないので、どっかで使うんでせうか？
よろしくおねがいしまする。

線型写像をホモと言ったら変ですか？

>327
king、king なのか？
堕ちたものだな…、こんな糞レスしかしなくなるとは…

たのも〜、たのも〜。

analytic function = AF

【 函数方程式概論 】
先月、明倫館で買った古本（2850円）があるのに、
誘惑（ゆうやく）に負けて、復刊された奴（3360円）を
買い換えてしまった。中身はそのままだった…。
古本のほう、欲しい人あげるよ。

１冊は実家に置いとくか…

>>325
ｆ（ｘ＋（ｙ＋ｚ））＝ｆ（（ｘ＋ｙ）＋ｚ）を展開して
ｇ（ｙ＋ｚ）＝ｇ（ｙ）ｇ（ｚ），ｈ（ｙ＋ｚ）＝ｈ（ｙ）ｇ（ｚ）＋ｈ（ｚ）。
ｈ（ｘ＋ｙ）＝ｈ（ｙ＋ｘ）からｈ（ｘ）＝ａ（ｇ（ｘ）−１）。
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｙ＋ｘ）からｆ（ｘ）＋ａ＝ｂｇ（ｘ）。

>>326
ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｙ＋ｘ）からｈ（ｘ）−ｇ（ｘ）＝ａｆ（ｘ）。
ｐ（ｘ）＝ｇ（ｘ）＋（ａ／２）ｆ（ｘ）とおくとｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｐ（ｙ）＋ｐ（ｘ）ｆ（ｙ）。
ｆ（（ｘ＋ｙ）＋ｚ）＝ｆ（（ｘ＋ｚ）＋ｙ）を展開して
ｐ（ｘ＋ｙ）＝ｐ（ｘ）ｐ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）。
微分可能であることを使うのなら
ｙで微分してｙ＝０として微分方程式を解く。

age

>>333
ありがとうございます。
f(x+(y+z))=f((x+y)+z)を考える方法は、他の問題でも役立ちそうです。
(；´д｀)ﾊｧﾊｧ

〔桑垣 P.99〕 では、f, h∈C^1 を仮定して
　f(x+y)=g(x)h(y)+k(x)
を解いていましたが、「f, h∈C^1」 の仮定なしでは解けないのでしょうか？

f(x+y) = f(x)g(y)+h(x)+f(y) をみたす連続関数 f, g, h の求め方をキボンヌ！！

442

>336-337 は破棄。

次の問題について教えて下さい。
f(x+y)-f(x)-f(y)=g(x)h(y) をみたす連続関数 f, g, h の求め方。

x, y を交換して、g(x)h(y)=g(y)h(x) …(1)
g≡0 なら h は任意関数、h≡0 なら g は任意関数で、このとき与式は
Cauchyの関数方程式 f(x+y)=f(x)+f(y) となるから f(x)=ax

g も h も恒等的に０でないとき、(1) は h(y)/g(y) = h(x)/g(x) となって
変数に無関係な定数であることが分かるので h(y)=cg(y) とおける。
このとき与式は、f(x+y)-f(x)-f(y)=cg(x)g(y)

このあと、どうやるのでせうか？ たのも〜。

>>339
訂正。下から２行目。
このとき与式は、f(x+y)-f(x)-f(y)=(c^2)g(x)g(y)

>340の訂正は間違い。 寝ぼけてた。忘れてください

たのも

ｆ（（ｘ＋ｙ）＋ｚ）＝ｆ（ｘ＋（ｙ＋ｚ））から
（ｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ））ｇ（ｚ）＝（ｇ（ｙ＋ｚ）−ｇ（ｙ）−ｇ（ｚ））ｇ（ｘ）。
ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）＝０のときｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）＝０。
ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）≠０のとき（ｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ））／ｇ（ｘ）ｇ（ｙ）は
定数なのでｇ（ｘ＋ｙ）−ｇ（ｘ）−ｇ（ｙ）＝ｂｇ（ｘ）ｇ（ｙ）で
これはｇ（ｘ）ｇ（ｙ）＝０のときも成り立つ。
ｂ＝０のときｇ（ｘ）＝ａｘでｄ＝ａ＾２ｃ／２とすると
ｆ（ｘ＋ｙ）−ｄ（ｘ＋ｙ）＾２＝（ｆ（ｘ）−ｄｘ＾２）＋（ｆ（ｙ）−ｄｙ＾２）。
ｂ≠０のときｂｇ（ｘ＋ｙ）＋１＝（ｂｇ（ｘ）＋１）（ｂｇ（ｙ）＋１）。
ｂｇ（ｘ）＋１＝０のときｆ（ｘ＋ｙ）＋ｄ＝（ｆ（ｘ）＋ｄ）＋（ｆ（ｙ）＋ｄ）。
ｂｇ（ｘ）＋１＝ａ＾ｘのとき
　ｆ（ｘ＋ｙ）−ｄ（ａ＾（ｘ＋ｙ）−１）
＝（ｆ（ｘ）−ｄ（ａ＾ｘ−１））＋（ｆ（ｙ）−ｄ（ａ＾ｙ−１））。

>>343
ありがとうございます。


>>333の後半
>ｐ（ｘ＋ｙ）＝ｐ（ｘ）ｐ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）

結局、f(x+y)=f(x)f(y)+g(x)g(y) をみたす連続関数 f, g を求めることになりますが、
微分可能性を仮定せずに解こうとすると、うまくいかないのですが教えて下さい。

初書き込みしてみる

>>344
レッスドって何だ？
おい！

>>346
年始早々 誤爆ですか？
(ノ∀`) ｱﾁｬｰ

>>347
(ノ∀`) ｱﾁｬｰ

ｆはＲ−＞Ｃの連続関数でｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）を満たすとする。
ｆ（ｘ）＝０となるｘが存在するときｆ（ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ−ｘ）＝０。
ｆ（ｘ）＝０となるｘが存在しないとき
｜ｆ（ｘ＋ｙ）｜＝｜ｆ（ｘ）｜｜ｆ（ｙ）｜から｜ｆ（ｘ）｜＝ｅｘｐ（ａｘ）。
ｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（−ａｘ）ｆ（ｘ）とすると
ｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）ｇ（ｙ），｜ｇ（ｘ）｜＝１，ｇは連続となる。
ｇ（０）＝１でｇは連続だから（−ｃ，ｃ）でｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｉｈ（ｘ）），
−π／２＜ｈ（ｘ）＜π／２，ｈは連続となるｃ，ｈが存在する。
ｈ（ｘ＋ｙ）＝ｈ（ｘ）＋ｈ（ｙ）となるのでｈ（ｘ）＝ｂｘ。
（−ｃ，ｃ）でｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｂｉｘ）でｇ（ｎｘ）＝ｇ（ｘ）＾ｎなので
Ｒでｇ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｂｉｘ），ｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（（ａ＋ｂｉ）ｘ）。

>>344
ｑ（ｘ）＝ｐ（ｘ）±√（ｂ）ｆ（ｘ）とするとｑ（ｘ＋ｙ）＝ｑ（ｘ）ｑ（ｙ）。

>>349
ｆ（ｘ）＝０となるｘが存在しないとき
ｆ（０）＝１でｆは連続だから（−ｃ，ｃ）でｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（ｇ（ｘ）），
−π／２＜Ｉｍ（ｇ（ｘ））＜π／２，ｇは連続となるｃ，ｇが存在する。
ｇ（ｘ＋ｙ）＝ｇ（ｘ）＋ｇ（ｙ）となるのでｇ（ｘ）＝ａｘ。
（−ｃ，ｃ）でｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａｘ）でｎ∈Ｚのときｆ（ｎｘ）＝ｆ（ｘ）＾ｎなので
Ｒでｆ（ｘ）＝ｅｘｐ（ａｘ）。

ｆがＣ−＞Ｃの連続関数でｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）ｆ（ｙ）を満たすとき
ｆ＝０またはｆ（ｘ＋ｙｉ）＝ｅｘｐ（ａｘ＋ｂｙ）。

次をみたす f をキボンヌ。
f ： R^(+) → R^(+)
f(xf(y)) = f(xy)+x

なんとなく、f(x) = x+1 だろうと予測がつくんだけど
キッチリ示すにはどうやるんでしょうか？
おねがいしまする。

>>351
x=1を代入して、f(f(y)) = f(y)+1 より、
z=f(y) とおくと、f(z) = z+1 だから、
z=f(y) が正の実数全体をとることを言えば解決すると思うんだけど
このあとを、たのも〜 （ＡＡ略）

ｆ（ｆ（ｘ）ｆ（ｙ））＝ｆ（ｆ（ｘ）ｙ）＋ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘｙ）＋ｙ＋ｆ（ｘ）から
ｆ（ｘ）−ｘ＝ｆ（ｙ）−ｙなのでｆ（ｘ）−ｘは定数。

>>353
成程、�dクス。
この問題って、f : R → R で考えても問題ないですよね？
なんで R^(+) に限定してるんでしょうね・・・
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

345

746

998

>>293
> f, g ： R →R
> f(x+g(y))=xf(y)-yf(x)+g(x)
> の解き方を教えて下さい。

あるcに対して g(c)=0 とすると、与式に x=y=0 を代入して f(c)=0
与式に y=c を代入して、 f(x) = -cf(x)+g(x)
与式に x=c を代入して、 f(c+g(y)) = cf(y)

なんかむりぽ… 　 （：D)|￣|_

922

f(x)=ax+b
g(x)=cx+d
の形の解だけ求めると
f(x)=(c/c+1)x-c^2/(c+1)
g(x)=cx-c^2

746

345

153

304

超低レベルなんだけどよ

この直角双曲線の漸近線を求めてくれ
2xy-5x+y-2=0

2xy-5x+y-2=0
⇔2xy-y=5x+2
⇔y(2x-1)=5x+2
⇔y=(5x+2)/(2x-1)

lim[x→∞] y
=lim[x→∞] (5x+2)/(2x-1)
=lim[x→∞] 5x/(2x-1)+ 2/(2x-1)
=lim[x→∞] 5/{2(2x-1)}+5/2+2/(2x-1)
=5/2

ゆえに漸近線はx=1/2, y=5/2。

>>365
それをなんで関数方程式スレで質問したの？

質問する場所すら選べない馬鹿だからですね。

連続性を仮定しないで、
「f(x+y)=f(x)f(y)」を解けって問題なんて名前だったっけ？
あと、解答ｷﾎﾞﾝﾇ

√3*y(x+9)=x-88

二年。

age

■■■■■■■■■■■■■■■■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある）
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

　

どれどれ。

■■■■■■■■■■■■■■■■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある）
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

age

■■■■■■■■■■■■■■■■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　アホかお前　　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある）
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

■■■■■■■■■■■■■■■■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　 　　　　 複素多様体　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある）
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

age

f(x)+f(x+f(x))=x

■■■■■■■■■■■■■■■■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　違う板にコピペすると、四角の枠の中に
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　メッセージとURLが現れる不思議な絵。
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　 　　カンチユーハイ 　　　　　　 ■　　（その仕組みがリンク先に書いてある）
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　この原理を応用すると、まったく新しい
■　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ■　　コピペが作れる予感。
■■■■■■■■■■■■■■■■

(1/3)π×3^2×(4-x)+π×3^2×x=(6/7){π×3^2×4-(1/3)π×3^2×(4-x)}

のxの値の求め方を教えてください。

このスレは まだ生きていますかにゃ？
次の問題を

f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y) をみたす実連続関数 f を求めよ。

>380
わからんぽよ。

>>380
どうも求まりそうにない。

age

では私も援護射撃をしておこう…

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　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　　>>380、>>383の模範解答まだぁ？　　＞
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私も援護射撃をしておこうか…

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　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　　>>380、>>383の模範解答まだぁ？　　＞
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　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪
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ドッカン
　　　　　　　　　　ドッカン
　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆ゴガギーン
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　　　/　　つ━━"....ロ|ロ 　 .　|　l　　 |Ｕ　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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age

実定数 a に対して f(f(x))+f(x) = 2x+a をみたす連続関数 f ： R → R を求めよ。

>>380、>>383 も、おながいします。

age

f(x)=cx
f(f(x)+x)+f(x)-x=0
c(c+1)x+cx-x=0

f(x)=cx
f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y)
c(x+y+c(xy)) = xy+c(x+y)

f(x)=cx
f(x+y)=f(x)+f(y)
c(x+y)=cx+cy

f(x+y)=f(x)+sin(y)

私も援護射撃をしておこうか…

　　　　　　　　　　　　　　　 ＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿∧＿
　　　　　ﾃﾞｹﾃﾞｹ　　　　　　|　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |
　　　　　　　　ﾄﾞｺﾄﾞｺ　　 ＜　>>380、>>383、>>389の解答まだぁ？　＞
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　　　　　　　 ☆　　　ﾀﾞﾀﾞﾀﾞﾀﾞ! ∨　 ∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨　∨
　　ﾄﾞｼｬｰﾝ!　　ヽ　　　　　　　　　ｵﾗｵﾗｯ!!　　　 ♪
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　　　　♪　　　〆 　┌＼と＼と.ヾ∈≡∋ゞ
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ドッカン
　　　　　　　　　　ドッカン
　　　　　　　　　　　　　　　　　　☆ゴガギーン
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　　　 (　　,,)　 |　 　 　|　　　　|　(・ｘ・ ）＜おらっ！出てこい！ いつまで待たせんだよ！
　　　/　　つ━━"....ロ|ロ 　 .　|　l　　 |Ｕ　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
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　　　し'∪　　└──┴──┘　　∪

f(x)=cx
f(f(x)+x)+f(x)-x=0
c(c+1)x+cx-x=0
c^2+2c-1=0
c=(-1+/-2^.5)/2

f(x)=cx
f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y)
c(x+y+c(xy)) = xy+c(x+y)

c^2-1=0
c=+/-1

かなりレベルの低い質問だとは思いますが・・・
関数y=x^2＋4x (0≦x≦a)において、定数aが次のような範囲にあるとき、この関数の最大値と最小値を求めよ。
(1)0<a≦2　(2)2<a<4　(3)a=4　(4)4<a
ていう問題なんですが、解法はわかるんですが、答え方がわかりません。
一応自力で解いてはみたんですが、↓
(1)x=2のとき最大値4, x=0のとき最小値0
(2)？
(3)x=2のとき最大値4, x=0,4のとき最小値0
(4)x=2のとき最大値4, 最小値なし

どなたか訂正お願い致しますm(_ _)m

y=x(x+4)>=0,miny=0,maxy=a(a+4)

> y=x(x+4)>=0,miny=0,maxy=a(a+4)

これは、(2)の解答なのでしょうか・・・？

x>=0でyは右肩上がりの>=0ですから最小は0､最大は最大のaの時です。

>>400-403
スレ違い。

>>401,403
ありがとうございました。
>>404
どうもすみませんでした・・・。ほか行きます。

ﾏﾀﾞｧ-? （･∀･ ）っ/凵⌒☆ﾁﾝﾁﾝ

いつまで待たせんだよー！ おらおら、お願いします

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age

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いつまで待たせんだよー！ おらおら、お願いします

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>>380、>>383、>>390 が未解決なのに、勝手に問題追加します

f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす ｆ：R→R を求めよ。

age

4

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age

f(x)+f(x+f(x))=x
y'+y'(1+y')=1
2y'+y'y'-1=0

f(x)+f(x+f(x))=x
g(x)=x+f(x)とおくと
g(x)-x+g(g(x))-g(x)=x
g^2(x)=2x
従って
f(x)=(-1±√2)x

>>398-399って>>380>>383の解答っぽいけど…
f(x)=cxの場合以外がないことを示せってことなんかな。

y'=-1+/-(1+1)^.5=-1+/-2^.5
y=(-1+/-2^.5)x

f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす ｆ：R→R を求めよ。

f'(1+yf')=f'+f(y)
f'=+/-(f(y)/y)^.5
f=+/-((f(y)/y)^.5)x

f(f(x))+f(x) = 2x+a
f'f'+f'=2
f'=(-1+/-(1+8)^.5)/2=(-1+/-3)/2=1,-2
f=1x+c,-2x+c

>>420
最後の式の右辺にfが含まれてるんだけど。

>>421
aが消えてるぞ。

f(y)は定数ってことで無視
最初のしきにほりこんでｃをaで表現するとか？

ここがのぼりんが出没するというスッドレかね？

f(y)=+/-((f(y)/y)^.5)y
からf(y)をとくとか。。

>>390
f(x)=px+qとおくと
f(f(x))+f(x)=(p^2+p)x+(p+2)q=2x+a
p^2+p=2, (p+2)q=a
p=1,-2
従って
f(x)=x+(a/3)
f(x)=-2x+c (a=0の場合のみ。cは任意の実定数)

f(f(x))+f(x) = 2x+a
x+2c+x+c=2x+3c=2x+a
c=a/3
f=x+a/3

4x+-2c+c-2x+c=2x=2x+a (a=0)

f(x+y+f(xy)) = xy+f(x+y)
f'(1+yf')=y+f'
yf'f'=y
f'=+/-1
f=+/-x+c
x+y+xy+2c=xy+x+y+c->c=0
-(x+y+-xy+2c)=xy+-(x+y+c)->c=0

f(x+y)=f(x)+sin(y)
f(2y)=f(y)+sin(y)
2f'=f'+cos(y)
f'=cos(y)
f=sin(y)+C
sin(2y)+C=2sin(y)+C
y=0+2npi
sin(y)=0
f(x+y)=f(x)
f(y)=f(0)=0->y=0

ほとんど微分で片付くのか。。。

>>411
＞ f(x+f(xy)) = f(x)+xf(y) をみたす ｆ：R→R を求めよ。
x=0を代入すると
f(f(0))=f(0)
よってf(0)はfの不動点。
f(x)=ax+bとおくと、f(0)=bがfの不動点であるから
ab+b=b -> ab=0 -> a=0 or b=0
a=0の場合はf(x)≡0であることがすぐにわかる。
a≠0の場合はb=0すなわちf(x)=ax
元の方程式をこれで簡約すると
ax+(a^2)xy=ax+axy
よってa^2=a a≠0よりa=1
従ってax+bの形の解はf(x)≡0, f(x)=xの2個となる。

ところで式だけのレスしてる人の言いたいことがよくわからんのだが
誰か解説してくれないか？まさか嵐じゃないよね？

f(y)=+/-((f(y)/y)^.5)y
f^2=fy
f=y,f=0

解けてしまっているのに。。。

fが微分可能なら微分方程式にしてしまえばいい
2変数ならyを定数にして、とで解けばいい。
これでほとんど解けていることがこの問題のおもしろみのないところ

微分可能性を仮定しなくても自動的に微分可能になってしまう。
これがあの問題の面白いところ。

フラクタルでの関数方程式なら微分しても解けないだろう

微分可能としても微分して解いてるのは全部でたらめ。

答えが関数方程式を満たしていればいいだけじゃない

多項式や初等関数の関数方程式は合成微分可能だから問題ないよ

fがフーリエ変換なんかだったら、解の存在を証明しなきゃ

与えられた関数方程式に解が存在するかを先に証明すべきだよな。
ウエルデファインドでない微分方程式を与えるようなものだから

f(x)=((x^2-2x+1)f(x-1)+2)/x-1

フラクタルが解となる簡単な函数方程式を作ってみよ。

an=((n^2-2n+1)an-1+2)/(n-1)

age

f(f(x))=2/3f(x)

>>
f(x)=(2/3)^(1/2)x

違ひます。（高木ヴー）

見間違えた。

647

不等式スレ２にありますた。

Problem 3.
　Let Ｒ* be the set of non-zero real numbers.
　Find all functions f: Ｒ*→Ｒ* such that
　　f(x^2 +y) = {f(x)}^2 + f(xy)/f(x).
　for all x､y∈Ｒ*, y≠-x^2.

http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf の１ページ目
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/470

Ｒ* =Ｒ-{0} らしい.

>451 のサイトにありますた。

Problem 237.
Determine (with proof) all polynomials p with real coefficients such that
　　p(x)p(x+1) = p(x^2)
　holds for every real number x.

http://www.math.ust.hk/excalibur/v10_n4.pdf の３ページ目

>444
　a_n/(n-1)! = b_n とおくと与式より
　b_(k+1) = b_k + 2/(k･k!).
　b_n = b_1 + �納k=1,n-1] 2/(k･k!)
　以下(ry

>452
　p(x) = {x(x-1)}^n, n=0,1,2,･･･
　p(x) = 0.

age

f：R→R、f(xf(y)) = yf(x) をもとめにょ。

>446
　f(x) = (±2/3)|x|.
　f(x) = 0.
　f(x)= (2/3)|x| (xは有理数),　f(x)=-(2/3)|x| (xは代数的無理数),　f(x)=0 (xは超越数).

>456
　f(x)=1/x　(x≠0), f(0)=0.

age

>>457
どう見ても乙πです。本当にありがとうございました。

>>457
＞ >456
＞ f(x)=1/x　(x≠0), f(0)=0.

これおかしくないか？
f(x)=x も条件をみたすぞ、こら！
やりなおし。
結果だけじゃなく、過程も書け！ おら！！

742

f(n+1) > f(f(n))　　をみたす f:N→N を求む。

芋1977 (ﾕｰｺﾞｽﾗﾋﾞｱ)

Nは整列集合 → Nの部分集合は最小元をもつ。

f(f(n)) = n + 2005　をみたす f:N→N は存在しない。

芋1987 (ｷｭｰﾊﾞ)

右辺の定数は任意の奇数でいいらしい。fは単射

>>462
f(n)=n だけ。

>462
fの値域Iの最小元を考える。
　n>1 に対しては f(n)>f(f(n-1))が成り立つので、f(n)は最小元でない。
　∴ 最小元はf(1)のみ。

I-{f(1),･･･,f(k-1)}の最小元はf(k)のみ。
(略証) 帰納法による。
Iの最小限はf(1)のみ。
I-{f(1),･･･,f(m)}の最小元を考える。
n>mについては f(n)>f(f(n-1)) となるが、
f(n-1)は{f(1),･･･,f(m)}には含まれないから、f(n-1)∈I-{f(1),･･･,f(m)}.
∴ f(n)は最小元ではない。∴最小元はf(m)のみ。(終)

∴ 1≦f(1)<f(2)<……<f(n)<……　　　　　　　fは狭義の単調増加
∴ f(n)≧n.
あるkに対して f(k)>k と仮定すると、k+1≦f(k), f(k+1)≦f(f(k)) となり、題意に矛盾。
∴ すべてのnについて f(n)=n.

f(n)>f(f(n-1)) wo f(n)>f(n-1) to kantigai siteruyounisika mienai

>>466
dousite ro-maji de kakunoka rikai dekinai.

f(n)>f(f(n-1)) を f(n)>f(n-1) と カンティガイ スィテルヨウニスィカ 見えない
ドウスィテ ロ・マ字 で 書くのか 理解 出来ない．
の意味が分からない．

外国にいるんだろ。

>>467
dousite ro-maji de kakunoka rikai dekinai.

>>462
　shuusei,Sumaso.

I-{f(1),f(2),……,f(k-1)} の最小元は f(k) のみ。
(略証) kに関する帰納法による。
I-{f(1),･･･,f(m)}の最小元を考える。
n-1>m については f(n-1)∈I-{f(1),･･･,f(m)}.
f(m)の定義から、f(n-1) > f(m)
帰納法の仮定から、f(m)>f(m-1)>……>f(2)>f(1)≧1 より f(m)≧m
∴ f(n-1) > m.
f(f(n-1)) ∈ I-{f(1),･･･,f(m)}
∴ f(n) > f(f(n-1)) だから、f(n) は I-{f(1),･･･,f(m)} の最小元ではない。
∴ 最小元は f(m+1) のみ。(終)

age

695

3.　実数に対して定義され、実数値をとる関数ｆであって、任意の実数x,yに対して
　　ｆ(x)^2 + 2yｆ(x) + ｆ(y) = ｆ(y+ｆ(x)).
をみたすものをすべて求めよ。

[JMO 2006年本選]

>474
f(x) = x^2 +c,
f(x) = 0.

age

>>474
fの連続性を仮定して>>475と同じ解答を出したんだけど、
結局fが連続であることは示せなかった。

あの・・増田 <nc02.wf.dion.ne.jp>
人生という道に本当に迷いそうです。人生の１＋１を教えて戴けないでしょうか・・・・・
No.19586 2005/11/20 (日) 21:29

ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｘ＾２とおくとｇ（ｙ＋ｆ（ｘ））＝ｇ（ｙ）なのでｆ（ｘ）はｇの周期。
２ｙｆ（ｘ）＝ｆ（ｙ＋ｆ（ｘ））−ｆ（ｆ（ｘ））−ｆ（ｙ）＋ｆ（０）なので２ｙｆ（ｘ）はｇの周期。
ｆ≠０のときｆ（ａ）≠０となるａがあるのでｇは定数関数。

連続関数 f: I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y) + yf(x) ≦1 を満たすとき
∫[0,1] f(x)dx ≦ π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/271-273

関数積について知っている人はいますか　？

4=8/2

1000

関数 f : R → R で
二つの恒等式
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (xy) = x*f (y) + f (x)*y
満たす物は無数にある事を示せ。
但し連続でなくても良い。

847

879

三年。

age

キングコング

talk:>>492 私を呼んでないか？

キングはただの暇人なんじゃないの？
理系大学院卒のニートとかじゃねーの？

talk:>>494 何やってんだよ？

だまれ、ニート！

　　　　　　_＿＿__
　　　　 ／∧＿∧ ＼
　　　./ 　<　・∀・）､ ｀、
　　/　/＼ ＼つ　 つ、ヽ
　　|　|　　,＼ ＼ ﾉ　　|　|
　　ヽヽ 　レ ＼ ＼ﾌ /　/
　　 ＼[　king禁止　]' ／
　　　　ヽ､ _＿＿_,, ／
　　　　 　　｜｜
　　　　 　　｜｜

talk:>>497 私を呼んでないか？

円(X−2)^2＋y^2=9接線のうち、点(6、3)を通るものはy=3と
□x−□y−□＝0である。

□内の数字を！

talk:>>499 それを関数方程式で解く方法があるのか？

king氏ね関数の関数方程式は難しい。

talk:>>501 お前に何が分かるというのか？

>>502
お前誰だよ

talk:>>503 お前誰だよ？

.　　　　　　　∧＿∧　 ／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　（；´Д｀）＜　スンマセン、直ぐに片付けます
　　-=≡ 　/　　　 ヽ　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
.　　　　　 /|　|　　 |. |
　-=≡　/.　＼ヽ／＼＼_
　　　　/　　　 ヽ⌒)==ヽ_）=　∧＿∧
-= 　 /　/⌒＼.＼　||　　|| 　(´･ω･`)
　　／ ／　　　 >　） || 　 ||　( つ旦Oking
　/　/ 　　　　/ ／＿||＿ ||　と＿)＿) ＿.
　し'　　　　　（＿つ￣(_））￣ (.)）￣ (_））￣(.)）

talk:>>505 何考えてんだよ？

f:R^2→Nで
∀x,y,t f(x,t)=f(t,y)→x=y=t
を満たすfは存在するか？

キングコングの歌

ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ　ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ
大きな山をひとまたぎ　キングコングがやってくる
こわくなんかないんだよ　キングコングは友達さ
火山も　津波も　恐竜も　キングコングにゃかなわない
戦えキングコング　ぼくらの王者

ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ　ウッホ　ウホウホ　ウッホッホ
頭を雲の上に出し　キングコングがやってくる
逃げなくっていいんだよ　キングコングは友達さ
嵐も　地震も　怪獣も　キングコングにゃかなわない
戦えキングコング　世界の王者

talk:>>508 私を呼んでないか？

kingの顔

　　　／ ￣￣￣￣￣ ⌒ヽ　　　
　　/　 　　　　 /i　＼ 　　ヽ　　
　　| |　/////.∧　| | | | ∧ |＼､　　　
　　| | |-| |〔 ==・.〕--〔==・〕--ヽ　　
　　| .|| || ゛｀ー'(､●^●,)ー'゛　ヽ
　　|　　| ||　＊ 　ﾉﾄｪｪｲヽ 　・　　l
　 .|　　| ||::::　　ﾉ ヽ｀ｰ'ﾉ ヽ　::::　/　　　
　|　i　ゝ:::::::::::　　　　 '⌒ヽ　:::: ノ　 　
//∧|　＼＿＿ '､＿＿,ﾉ＿／

talk:>510 何考えてんだよ？

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>507
f:R^2→Nに対し{(x,y)∈R^2|f(x,y)=n}をU_nで表す。
U_0={(x,x)∈R^2}として、R^2のU_0以外の部分は{(x,y)|a<x<b and c<y<d and (b<c or d<a)}
という形の領域×可算個で被覆出来る。これをU_1,U_2,…とすればfは条件を満たす。

(　　 ﾟ)ム
(　 ﾟд)シ
(　ﾟдﾟ)k
( ﾟдﾟ )i
(ﾟдﾟ　)n
(дﾟ 　)g
(ﾟ　　 )氏
(　　　)ね

talk:>>513 お前に何が分かるというのか？

Kingがオナニー中毒であることが分かる。

talk:>>514 それより、人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

kingの脳解析に関してkingはどのような意見を持っていますか？

talk:>>517 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1151159011/985
f:R^2→Rは連続、
f( (x^2 + y^2)/2 ) = ( f(x)^2 + f(y)^2 )/2

これ結構面白そうだけどどうでしょ

>>519
どうして、R^2→Rになるんですか？

僕が質問したかったのはR→Rですよ。
まぁ、R^2でもいいのかもしれませんが、x^2って普通だったらxがベクトルでも内積になるんで、式がおかしくなりませんか？

あと、補足ですが
この問題は分からない問題スレに質問している問題です。

私は>>519なので、マルチスレッドではないと思うのですが
こういう場合、どうなるんでしょうか？

誤> 私は>>519なので
正> 私は>>519ではないので、


orz

ｘ＝ｙとしてｆ（ｘ＾２）＝ｆ（ｘ）＾２。
ｆ（（ｘ＾２＋ｙ＾２）／２）＝（ｆ（ｘ＾２）＋ｆ（ｙ＾２））／２なので
０≦ｘ，０≦ｙのときｆ（（ｘ＋ｙ）／２）＝（ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ））／２。
ｆは連続なので０≦ｘのときｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ。
ｆ（ｘ＾２）＝ｆ（ｘ）＾２から（ａ，ｂ）＝（０，０），（０，１），（１，０）。
ｆ（−ｘ）＾２＝ｆ（ｘ）＾２でｆは連続だからｆ（ｘ）＝０，１，ｘ，｜ｘ｜。

どうも、ありがとうございます。

831

問題5.
P(x)を次数n (n>1) の整数係数多項式とし, kを正整数とする. このとき,
Q(x)=P(P(…P(P(x))…))を考える. ただし, Pはk回現れている.
　Q(t)=t をみたす整数t は高々n個であることを示せ.

IMO-47
http://www.mmjp.or.jp/jmo/challenge/old/imo47q.html

age

>>526
P(x) = x^2 のとき既に違うんだが。

0と1だけだから高々2個でおｋなような

分かスレ２６２から

648 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/28(土) 04:06:29
f(x+1)f´(x+1) - f(x+1)f´(x) - f´(x+1)f(x) = 0
で f(1)=1 の時、f(x)を求めよ


649 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/28(土) 04:08:17
　↑でfは実関数です

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161364328/l648-650

>531

650 ：１３２人目の素数さん ：2006/10/28(土) 06:47:01
　xで積分すると,
　(1/2){f(x+1)}^2 - f(x+1)f(x) = c/2,
　f(x) = (1/2){ f(x+1) − c/f(x+1) }.
　c<0 のとき　f(x) = ±c'･coth(a/(2^x)),
　c=0 のとき　f(x) = b･(2^x),
　c>0 のとき　f(x) = ±c'･cot(θ/(2^x)).
　c' = √|c|.

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1161364328/648-650

996

f:R->R

f(f(x))=-x

>>534
正の実数全体をペア {x, y} の族に分ける。
f (0)= 0, ペア {x, y}, x ＜ y に対し、
f (x) = y, f (y) = -x, f (-x) = -y, f (-y) = x と置けば一丁上がり。

age

836

f(x) + f(y) ≦ f(x+y)/2
( f(x)/x ) + ( f(y)/y ) ≧ f(x+y)/(x+y)
を満たすf : { x∈R : x>0 } → Rを全て求めよ。連続性は仮定しない。

>>538
f(x)=cx^2(c≦0)だけ

証明は、g(x)=f(x)/xとおいて、不等式から
g(2x)=2g(x)であることと、gが単調減少な関数に成ることを示す。
それから、x=a+h y=a-h とおいて評価、x=a/2 y=(x/2)+h　とおいて評価
の組合せでgの連続性が従う
最後に、2進展開みたいなことをやると、∀x，yに対し g(x)≦(x/y)g(y)
が導かれる。x、yを入れ替えると、g(x)=(x/y)g(y)が出てくる
y=1とおいてf(x)=g(1)x^2を得る。g(1)≦0である。

↑
訂正
y=（x/2）+h とおいて評価→y=（a/2）+h とおいて評価

442

age

関数 f: R -> R で任意の実数 x, y に対し
f(xf(y)+f(x)) = 2f(x) + xy
を満たすものをすべて求めよ。

2006 ブラジル数学オリンピック 国内本選

関数 f: R -> R は任意の実数 x, y に対し
f (x + f ( y)) = x + f ( f (y))
を満たす。
f(2)=8 のとき f(2005) を求めよ。

2005 ブラジル数学オリンピック 国内予選

関数 f: R_{+}^{*} -> R_{+}^{*} は無効でない任意の実数 x, y に対し
f(x)f(y) - f(xy) = x/y + y/x を満たす。
(a) f(1) を求めよ
(b) f(x) の式を一つ見つけよ

2003 ブラジル数学オリンピック 国内予選

f(x,f(x))=0

f(x,f(x,f(x,...))=0

f(1)f(1) - f(1) = x/y + y/x=2
a^2-a-2=0
f(x)f(1) - f(x) = x+1/x

f(xf(y)+f(x)) = 2f(x) + xy
f(2f(1))=2f(1)+1
f(x)=x+1
f(xf(y)+f(x))
xf(y)+f(x)+1
x(y+1)+x+2
xy+2x+2
2f(x)+xy

f (x + f ( y)) = x + f ( f (y))
f(x)=ax+b
a(x+fy)+b
ax+ay+ab+b
x+afy+b
x+aay+ab+b
a=1
f=x+b

>543
f(x) = x +1,

>544
f(x) = x + g(x) とおくと、g(x+f(y)) = g(f(y)), g(x)=const.
f(x) = x +6.

>545
f(x) = 2,
f(x) = x + (1/x).

f=2+b=8
b=6

f(xf(x))=0
df(f+xdf)=0
fdf+xdfdf=0
df=-f/x
df/f=-1/x
logf=-logx+c
f=c/x

四年。

f(2x²)=4xf(x)

√（24／21）ってどうやって計算すんだ？
分かる人教えてー。

>555
f(x) = cx･log|2x|,　　cは任意定数.

>555
　ただし f(0)=0, とすべきかな。

>>12
大学一年の微分積分学でやったよ〜

817

〔問題〕
微分可能な関数f(x)があり、関係式
　f(x) + ∫[0,x] exp(-t) {f(x-t)}^(n+1) dt = exp(-x)/4,
を満たしています。ただし n≠0 でつ。 このとき、
　(1)　f'(x) を f(x) を用いて表しなさい。
　(2)　f(x) をもとめよ。

よろしくお願いします。

http://math.bbs.thebbs.jp/1191505676/77
数学総合質問スレIV

>>562
低俗な質問は、質問スレに逝け！
失せろ！

(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! >>562


('A` )　ﾌﾟｳ〜
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ>>562
　 くく　へﾍﾉ


('A` )　ﾌﾞﾘﾌﾞﾘ…
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ｳｹﾞ、ﾆｶﾞｯ…>>562
　 くく　へﾍﾉ

age

f(x+y)=f(x)+f(y),f(0)=0の解はf(x)=cx(c:定数)というような解法だとは思います。
（関数方程式の章に書かれていましたから。)
なので両辺を微分したりして解けると思うんですが難しい

【問題】
[1] 次式の根 π' を小数点以下5桁目まで求めよ。
　(e^x) - x -20 = 0
たとえばニュートン法で。

[2] 正n角形を１つ書く。その周長を L_n, 面積を S_n とする。
　(L_n)^2 /(4S_n) をnの関数として表わせ。
　また、n→∞ としたときの極限値を求めよ。

[3]　|(L_n)^2 /(4S_n) -π'| が最小になるようなnを求めよ。

お願いしまつ。

【問題】
　G(x/2π) = {G(x) -1} /x,
　G(0) =1,
の解を求めてください。

>567
べき級数展開は
　G(x) = 1 + x + (x^2)/(2π) + …… + (x^k)/{(2π)^((k-1)k/2)} + ……

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/sci/1091534329/139-
量子電磁力学スレ

827

639

age

五年一時間。

age

関数f:(0,∞)→(0,∞)で次の条件をみたすものを全て求めよ。
(条件) wx=yzをみたす任意の正の実数w,x,y,zにたいして
{(f(w))^2+(f(x))^2}/{f(y^2)+f(z^2)}=(w^2+x^2)/(y^2+z^2)
が成立する。

↑IMO2008より。

100

A(x)は成分が全て、xの実係数多項式である２次正方行列とする。
このとき、A(x+y)=A(x)A(y)を満たす行列A(x)を全て求めよ。

age

924

うるさい。

三次方程式の解の出しかた教えてください。

Reply:>>581 x^3+px+qのxにs+tを代入すると、s^3+t^3+(3st+p)x+qとなる。s^3+t^3+q=0, 3st+p=0を解く。一般の場合ははじめにx^3+px+q=0の形にしてから解く。

関数方程式のfってなんて呼ぶの？変関数？

>>583
求めるべき関数fのことが言いたいのなら、そりゃ未知関数でしょ

>>584
死ね

274

>>39
自宅警備員？

age

>>566

[1]　π' = 3.1416333028010367067760849799096…

[2]　L_n = 2nr*sin(π/n),　S_n = nr^2*sin(π/n)cos(π/n), (L_n)^2 / (4S_n) = n*tan(π/n),

[3]　504*tan(π/504) - π' = 3.1416333423109476626428859761861… - π' = 3.951E-08

921

六年。

909

168

>>167
f(x) = arctan x

371

R - {0, 1} 上定義された実数値連続関数 f で恒等式
f(x) + f(1 - 1/x) = 1 + x
を満たす物を全て求めよ。

http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn71.html
B2

“松芯痰”こと、松本 真吾 ＠鉄道総研 は、「浅学の痴れ者」にして、
その品行は、ことのほか、下劣なり。

松芯痰 が、知ったかぶりの生半可な知識をひけらかし、
世人を惑わすことを専らとする者であることは、ここ 2ch での
当人の妄動により、既に、周知のこととは相成りたるさまなるが、
この者はWeb 上のあちこちの掲示版にて、数々の狼藉を働き、
関係者に多大なる迷惑をかけて来たる“鼻つまみ者”なる
ことは、知る人ぞ知るところなり。

よって、この者の相手をするは、概して、益なく、愚かなることとぞ言うべし。

以上、ここに特記して、注意を喚起し置くは、これ 就（いずく）んぞ 世の為ならむや。


# 尚、余が これまで この「浅学の痴れ者」を相手にしてきたる所以の主なるは、まさに、「この者
（＝松芯痰）が知ったかぶりの生半可な知識をひけらかし、世人を惑わすことを専らとする者
であること」を読者に周知せしめんが為なり。

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

真吾 へ ---> この「お触れ書き」は、今後、ソチの妄動に 悉(ことごと)く 付いて廻るものと心得よ。

ｇ（ｘ）＝１−１／ｘ。
ｇ（ｇ（ｘ））＝１／（１−ｘ）。
ｇ（ｇ（ｇ（ｘ）））＝ｘ。
ｆ（ｘ）＋ｆ（ｇ（ｘ））＝１＋ｘ。
ｆ（ｇ（ｘ））＋ｆ（ｇ（ｇ（ｘ）））＝１＋ｇ（ｘ）。
ｆ（ｇ（ｇ（ｘ）））＋ｆ（ｘ）＝１＋ｇ（ｇ（ｘ））。
ｆ（ｘ）＝（１＋ｘ−ｇ（ｘ）＋ｇ（ｇ（ｘ）））／２。
ｆ（ｇ（ｘ））＝（１＋ｇ（ｘ）−ｇ（ｇ（ｘ））＋ｘ）／２。

>>599
正解　連続性を仮定しなくても出る
http://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_pro_a367.htm

>>562
　f(x) + ∫[0,x] exp(-t)g(x-t)dt = h(x),　　　･･････ (1)
とおく。xで微分すれば
　f '(x) + exp(-x)g(0) + ∫[0,x] exp(-t)g '(x-t) dt
= f '(x) + exp(-x)g(0) + ∫[0,x] exp(-t)(-∂/∂t)g(x-t) dt
= f '(x) + exp(-x)g(0) + [ -exp(-t)g(x-t) ](t=0,x) -∫[0,x] exp(-t)g(x-t)dt　(部分積分)
= f '(x) + g(x) -∫[0,x] exp(-t)g(x-t)dt,
よって
　f '(x) + g(x) -∫[0,x] exp(-t)g(x-t)dt = h '(x),　　･････(2)
(1)(2)を辺々たせば
　f(x) + f '(x) + g(x) = h(x) + h '(x) =0,　　　(← h(x)=(e^(-x))/4)
いま g(x) = G(f(x)) だから、変数分離形となり、解ける。
　∫1/{y+G(y)} dy = -x +c,
　1/(y+y^5) = 1/y - (y^3)/(1+y^4),
∴　log|y| -(1/4)log(1+y^4) = -x+c, 　（cは積分定数)
　(1/4)log|(y^4)/(1+y^4)| = -x+c,
　y = 1/{C･exp(4x)-1}^(1/4),

最後の式の定数Cは、f(0)値を再現するように決めてくださいです。。。

http://math.bbs.thebbs.jp/1191505676/77-79
数学総合質問スレIV

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