不等式への招待 第２章
連続関数 f : I=[0,1]→R が任意の x,y∈I に対して xf(y)+yf(x)≦1 を満たすとき
∫[0,1]f(x)dx≦π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。
∫[0,1]f(x)dx≦π/4 を示し、等号が成立するような f を見つけよ。
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272 ：１３２人目の素数さん：2005/04/16(土) 17:33:01
>271
x=cosθ, y=sinθ とおき 0<θ<π/2 で積分する。等号成立は f(x)=√(1-x^2) のとき
x=cosθ, y=sinθ とおき 0<θ<π/2 で積分する。等号成立は f(x)=√(1-x^2) のとき
273 ：１３２人目の素数さん：2005/04/18(月) 12:07:27
>272
それならｆは↓を満たせば十分か？
(x,y)∈C に対して xf(y)+yf(x)≦1, ここに C={(x,y)|x>0, y>0, x^2+y^2=1}
そうすると等号条件は↓になるか？
f(x) = p√(1-x^2) + q/{2√(1-x^2)} (ただしp+q=1)
それならｆは↓を満たせば十分か？
(x,y)∈C に対して xf(y)+yf(x)≦1, ここに C={(x,y)|x>0, y>0, x^2+y^2=1}
そうすると等号条件は↓になるか？
f(x) = p√(1-x^2) + q/{2√(1-x^2)} (ただしp+q=1)