TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？

またageたの、しょうがないなぁ〜
>>7の解答をみて、自分も計算してみたけど、激しく計算ミスの連続
結局、答えに辿り着くのに１時間以上かかったよ…
せっかくだから ageたやつ、三角関数がらみの計算問題出したら？
そういうお前が出せと言われる前に出しておこう、簡単な問題でスマンが…

(1+tan1ﾟ)(1+tan2ﾟ)…(1+tan45ﾟ)の値を求めよ

>>180
2^23であってますか？

私も問題を出しときます。簡単かもしれませんが。

�納k=1 to n]cos(k) の一般項を求めよ。
できればオイラーの関係式を使わずに。

>>181さん、正解です

>>182さん
すばやいレスありがとうございます。
よかったら私のにも挑戦してみてください。

今がんばってます…、ムズイ
オイラーの関係式など知らないのは内緒
高校レベルの数学でできますかねぇ？
角度はラジアンですね

タイトルの問題がインパクトあるだけに、倉庫行きは惜しいですね
定期的にageられていたのも、なんとなくうなづけます
あした図書館で三角関数関連のおもしろそうな問題を収集してきます

>>180さん
高校生でも道具はそろってます。できますよ。
角度は弧度法ですが計算自体は度数法でもまったく同じです。
かなりトリッキーですが。
ヒントにならないようなヒントをメール欄に書いておきます。

タイトルの問題はさっぱりできる気がしないです。
よくあんな方法思いつくよなあ、という感じ。
このスレは巡回ルートに入れとこう。マターリいきましょう。
あ、ちなみに私は大1生です。

>>185
名前間違ってるし･･。
181ね。まあ、明らかだけど。

やっぱりラジアンのほうが都合が良いのでそちらにしときます。

cos(1)=cとおいて、とりあえずcos(n)を調べてみた
cos(1) = c
cos(2) = 2c^2-1
cos(3) = 4c^3-3c
cos(4) = 8c^4-8c^2+1
cos(5) = 16c^5-20c^3+5c
cos(6) = 32c^6-48c^4+18c^2-1
cos(7) = 64c^7-112c^5+56c^3-7c
cos(8) = 128c^8-256c^6+160c^4-32c^2+1

それはチェビシェフ多項式って奴だよ

卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
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卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
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卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍
卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍卍(-∀-)卍

I(n) = cos(1)+cos(2)+…+cos(n) とおいて
I(1) = c
I(2) = 2c^2+c-1
I(3) = 4c^3+2c^2-2c-1
I(4) = 8c^4+4c^3-6c^2-2c
I(5) = 16c^5+8c^4-17c^3-6c^2+3c
I(6) = 32c^6+16c^5-40c^4-17c^3+12c^2+3c-1
I(7) = 64c^7+32c^6-96c^5-40c^4+39c^3+12c^2-4c-1
I(8) = 128c^8+64c^7-224c^6-96c^5+120c^4+39c^3-20c^2-4c
一般項は、どう書けるのだろう…

一般項は三角関数の積の定数倍の形になります。また、ﾄﾞモアブルの定理を使うのもありですが、できれば使わずに。

age

>>181
これを和積公式でやるとしたら、nの偶奇で分けるんだろうな
nが偶数のときは、
cos(1)+cos(2)+…+cos(n)
={cos(1)+cos(n)}+{cos(2)+cos(n-1)}+…+{cos(n/2)+cos(n/2+1)}
とまとめてから和積公式を使ったら、cos{(n+1)/2}が全部に出てくるから
それでくくって…、う〜んムズイよ

>>152 不覚にもワロタ

>>194それでもいけそうだけど、なんかをかけてから積→和。シグマを処理。かけたヤツで割る。 という感じ。最初と最後の項だけ残るタイプのやつです。

f(n) = cos(1)+cos(2)+…+cos(n)とおく
和積公式から 2cos(k)sin(1) = sin(k+1)-sin(k-1)なので
2f(n)sin(1)
={sin(n+1)-sin(n-1)}+{sin(n)-sin(n-2)}+…+{sin(3)-sin(1)}+{sin(2)-sin(0)}
=sin(n+1)+sin(n)-sin(1)
よって
f(n) = {sin(n+1)+sin(n)-sin(1)}/2sin(1)
計算あってるかな…
sin(n+1)+sin(n)を和積公式でまとめても、あんまり綺麗にならないからここでstop

最後のところを和積公式で計算したら
f_n = sin{(2n+1)/2}cot(1) - 1/2

>>200
sin(1)をかけるよりもsin(1/2)をかけると
2cos(k)sin(1)=sin(k+1/2)-sin(k-1/2)　となるから
-2f(n)sin(1)
={sin(1/2)-sin(3/2)}+{sin(3/2)-sin(5/2)}+…+{sin(n-1/2)-sin(n+1/2)}
=sin(1/2)-sin(n+1/2)=-2cos{(n+1)/2}sin(n/2)
ゆえに
f(n)=[cos{(n+1)/2}sin(n/2)]/sin(1/2)
これ、よく見ると
1+2+3+…+n=(1/2)n(n+1)=(n/2){(n+1)/2}/(1/2)
となってよく似てるんですよね。
何でそうなるのかはよくわかりませんが。

Mathematica で

a=Tan[3*Pi/11]+4*Sin[2*Pi/11]
b=TrigExpand[a]
FullSimplify[b]

とすると　√11 と出てくる．
FullSimplify にはかなり時間がかかるけどね．
ペン４ 2GHz のＰＣで20分くらいかかった．

Maple を使って答えを出す方法を教えてください．

実はsin(1/2)を掛けてやっていたのですが、
1+2+…+n=n(n+1)/2の公式に似ていることに気づきませんでした

sinについて同様の計算をすると
sin(1)+sin(2)+…+sin(n) = sin(n/2)sin{(n+1)/2}/sin(1/2)
こちらも同じ形になりました sinだけの式で表されてきれいですね

cos(x)+cos(3x)+cos(5x)+…+cos((2n-1)x)
ってのもあるよ。

（どっかのHPでハッケソ）
次の方程式を満たす角θ（0ﾟ＜θ＜90ﾟ）を求めよ．
　sin(60ﾟ)sin(30ﾟ＋θ) ＝ 2sin^2(80ﾟ)sinθ

　　　　　

　　　　　　　　　　　　　

cos(1)+cos(2)+…+cos(n)とsin(1)+sin(2)+…+sin(n)は別々に計算するよりも
まとめて複素数の計算に持ち込むと簡単になります

どうやって？

　e^(ki) = cos(k) + i sin(k)
だから
　e^i+e^(2i)+e^(3i)+…+e^(ni) = (e^i){1-e^(ni)}/{1-e^i}
右辺をcosとsinであらわして、分母を実数化（←こんな言葉あるのか）させて
計算したのちに、実数部分がcosの総和、虚数部分がsinの総和になってる

有理化

遊離化

さびれたスレに さりげなく問題うぷ

�納1≦n≦∞] 3^(n-1)sin^3{x/(3^n)}

しかし誰にも気づかれない罠

1/4(x-sinx)
で、あってます？

あってます (x-sinx)/4です

Π［k=1〜∞］cos(x/2^k)
という問題を考えてみた。
ただしΠは全ての項をかけあわせる記号。

絶対値が1以下のものを無限に掛け合わせるから、求める値は０でいいですか？

>>220
だめ。

☆　このスレッドがdat落ちしないことをお祈りします　☆

三角関数がらみということで、先日くだスレで教えてもらった証明問題をメモ

�納0≦n≦∞] {sin(nθ)}/(n!) = sin(sinθ)e^(cosθ) を証明せよ

某所から…
Π[0≦k≦2^(1999)](4sin^2{kπ/2^(2000)}-3)
Πは掛けるの意

Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)を計算せよ

くだスレで教えてもらった三角関数の問題を ここに保存

∫[0≦x≦π](xsin{x})/(1+cos^2{x})dxを求めよ

>>219 遅くなりましたが、これでいいですか？

２倍角の公式より sinθ = 1/2sin(θ/2)cos(θ/2) を繰り返し用いて
sin(x)
= 2sin(x/2)cos(x/2)
= (2^2)sin{x/(2^2)}cos{x/(2^2)}cos(x/2)
= …
= (2^n)sin{x/(2^n)}Π[1≦k≦n]cos{x/(2^k)}

両辺をxで割り n→∞とすると、sin{x/(2^n)}/{x/(2^n)}→1より
sin(x)/x = Π[1≦k≦∞]cos{x/(2^k)}

出題者も忘れてしまって、埋もれる運命にあるという罠
悲しいけど、これって現実なのよね

>>228
OKです。解いてくれてありがとね。
このスレに出てきた問題は大体やってみたんだけど
>>225や>>207がわからん。分かる人いらっしゃいますか？

>>229 よかった、もう忘れてるのかと思ったよ （もしかして181さんかな？）

>>207は、私が作成して某ＨＰに投稿した問題です
作成したというより、図形の問題を解いてて出てきた問題を、
計算で解いてみたら面白かったので、等式だけの形で出題しました
いじくってたらcos●だけが残るので、cos●の関係式を作ってみてください

>>225は、ある問題集で見つけた問題で、解けなくて答えを見ました
少しだけヒントを言うと、複素数を考えて…

>>230
と言うことは１８０さんなのでしょうか？
なるほど>>225は複素数に持ち込むのですね。
解と係数の関係あたりかな？これからやってみます。

>>231
ははは、最近カキコしてる人って、意外と少人数だったんですね
落ちかけたらageてくれる人も幾人かいるようで うれしい限り…
他にも、三角関数の問題をいくつか見つけたので、そのうちＵＰします
ここが、三角関数の問題集スレになればいいと思ってます

＞落ちかけたらageてくれる人も幾人かいるようで うれしい限り…
荒らしがπスレageてるだけだから、あんまり彼に餌上げるような事は言わないで頂けると…

ぐふっ、そうだったのか…

やはりそうでしたか。私も何か問題を収集してきます。
個人的には今のところ
>>224が2の指数を一般の自然数に拡張できる辺りがいい感じかなと思います。

>>227
その等式 sin(x)/x = Π[1≦k≦∞]cos{x/(2^k)} に、
x=π/2を代入したものが、ヴィエタの公式と呼ばれるものである

http://mona.2ch.net/546/qwertyuiop.html

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中高生とHな出会い
　 即アポ即H出来る
　 超最高なH＆Hが・・

昼間にageるから、ヴァカが貼り付けるのだ！

かなり落ちたので、ageついでに三角関数の問題をupします
簡単かも知れないけど、次の式を簡単にしてください
{sin(θ)+sin(2θ)+…+sin(nθ)}/{cos(θ)+cos(2θ)+…+cos(nθ)}

やっと>>207が出来ました。
sin(60ﾟ)sin(30ﾟ+θ)=2sin^2(80ﾟ)sin(θ)
⇔-1/2cos(90ﾟ+θ)+1/2cos(30ﾟ-θ)=-{1-cos(160ﾟ)}cos(90ﾟ+θ)
⇔1/2cos(90ﾟ+θ)+1/2cos(30ﾟ-θ)=cos(160ﾟ)cos(90ﾟ+θ)
⇔cos(60ﾟ)cos(30ﾟ+θ)=1/2cos(250ﾟ+θ)+1/2cos(70ﾟ-θ)
⇔cos(30ﾟ+θ)=cos(250ﾟ+θ)+cos(70ﾟ-θ)=-cos(70ﾟ+θ)-cos(110ﾟ+θ)
⇔cos(30ﾟ+θ)+cos(70ﾟ+θ)+cos(110ﾟ+θ)=0
⇔2cos(70ﾟ+θ)cos(40ﾟ)+cos(70ﾟ+θ)=0
⇔cos(70ﾟ+θ){2cos(40ﾟ)+1}=0
2cos(40ﾟ)+1≠0なのでcos(70ﾟ+θ)=0
θの範囲を考えればθ=20ﾟ
で、どうでしょうか？

おおぅ、正解です *＾ーﾟ)ﾉ
解いてくれてありがとです
非常に上手く解かれてます
他の問題にも ぜひ挑戦してみてください〜

自分がゴリゴリ解いた方法に比べて、この解法は上手いですね〜
まいったです

スレ立て本人じゃないけど倉庫行きにしたくないので、三角関数の問題をUP

次の方程式、不等式を解け
(1) 1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+cos(4x)=0 (0ﾟ≦x≦360ﾟ)
(2) sin(x)+sin(2x)+sin(3x)+sin(4x)>0 (0ﾟ≦x≦180ﾟ)

問題>>1　, 解答 7
問題>>180, 解答 181
問題>>181, 解答 201 (188-200, 204-205, 210-212)
類題>>206, 解答 ---
問題>>207, 解答 240, 参考 230
問題>>215, 解答 217
問題>>219, 解答 227, 参考 236
問題>>223, 解答 ---
問題>>224, 解答 ---
問題>>225, 解答 ---, 参考 230, 231
問題>>226, 解答 ---
問題>>239, 解答 ---
問題>>243, 解答 ---

保守あげ

>243 (1) x=45°、135°

>>247 不正解

1の5乗根
実部の和を考えて
x=n*72°(n=1,2,3,4)

>243 (1) 45°、72°、135°、144°、216°、225°、288°、315°

>>250 正解

次の方程式を解け。
1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+cos(4x)+...+cos(nx)=0 (0ﾟ≦x≦360ﾟ，n∈N)

360ﾟまで含めるのはなぜ？

>243
(2)って、簡単な答がでますか。
ニュートン方で零点を求めてみたら、
5.25988（ラジアン）と6.18144（ラジアン）とでてきたのだけれど、
これって、度になおしても整数とかにならないように思いますが。

＞243
＞254は間違いでした。
（１）のcosをsinにそのまま置き換えたものと思ってしまっていました。
（２）の答は、
0°≦x≦72°、90°≦ｘ≦144°、180°≦x≦216°、270°≦x≦288°

>>255
ケアレス

>>255 残念、不正解です
範囲が 0ﾟ≦x≦180ﾟ なので、0ﾟ≦x≦72ﾟ、90ﾟ≦ｘ≦144ﾟ でした

Mathematicaを使ったことがないのですが、不等式も解けるのですか？
コンピュータを利用するのも１つの手段ですが、式変形など
自分で考える楽しみがなくなって もったいないような気がします
計算の過程で、新しい問題を見つけることもできますし…

>>257
おまいさんもケアレス

すまん、書き間違い
0ﾟ<x<72ﾟ、90ﾟ<ｘ<144ﾟ が正解だ

>257
Mathematicaでは不等式もとけます。ただし其の場合、不等式用のパッケージを
読み込まなければなりませんが。
この問題はまず、Mathematicaでグラフを描かせ、次に式の零点（解）を求め
て導きだしたものです。
解析的に式を変形して解くのが一番いいのでしょうが、なにせMathematicaを
持ってはいるものの、ほとんど使う機会がないので、こうした機会に
使い方の練習をかねて挑戦しているわけです。
これからも、良問をおねがいいたします。

それでは久々に問題を

次式の値を求めよ
(1) cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)-cos(4π/7)+cos(5π/7)-cos6(π/7)
(2) cot(arccot3+arccot7+arccot13+arccot21)

>>261
(2)はtanの加法定理で…。出題意図が見えない。

>261
(1)cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)-cos(4π/7)+cos(5π/7)-cos6(π/7)は、
... -cos(6π/7)の間違いとして計算すると
１
(2)1.5

>>263 正解
(2)は >>262の言う通り加法定理。ただの計算問題。

(1)は問題文書き間違ってましたね
あとは、(1)を人力で証明して見せてください

>>261(2)の拡張として、次式が成り立つのは数学的帰納法で証明できたが、それより
その式を一体どうやって思いついたのか、小一時間問い詰めたいと思うのは自分だけ？

cot(�納1≦k≦n]arccot(k^2+k+1)) = (n+2)/n

>>261(1)
0=(-1)の7乗根の実部の和
=cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)+cos(7π/7)+cos(9π/7)+cos(11π/7)+cos(13π/7)

1=-cos(7π/7)
=[cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)]+[cos(9π/7)+cos(11π/7)+cos(13π/7)]
=[cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)]-[cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)]

>>266 なるほど〜、勉強になりますた
自分は、1の7乗根の実部の総和＝０でやりました
cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)-cos(4π/7)+cos(5π/7)-cos(6π/7)
=2{cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)}
なので、z^7-1=0において解と係数の関係から（実部について）
0
=cos(0π/7)+cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)+cos(8π/7)+cos(10π/7)+cos(12π/7)
=1+cos(2π/7)-cos(3π/7)-cos(π/7)-cos(π/7)-cos(3π/7)+cos(2π/7)
=1-2{cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)}

「幾何学を学べる本スレ」に三角関数ネタがあったので、ここに記録
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1007545791/302-

lim[x→0] {sin(tan x)-tan(sin x)}/{arcsin(arctan x)-arctan(arcsin x)}=1

>>268 書き忘れ。幾何学的解法が次の本に載ってます

数理解析のパイオニアたち
スプリンガー・フェアラーク東京
蟹江幸博　訳 \1600

>>267
>0
>=cos(0π/7)+cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)+cos(8π/7)+cos(10π/7)+cos(12π/7)

=[cos(0π/7)+cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)]+[cos(8π/7)+cos(10π/7)+cos(12π/7)]
=[1+cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)]-[cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)]

これなら前置きなしで大丈夫

>>267
2{cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)}を求めればいいから
積和公式 2cos(x)sin(y)=sin(x+y)-sin(x-y)より
2cos(π/7)sin(π/7) = sin(2π/7)-sin(0) = sin(2π/7)
2cos(2π/7)sin(π/7) = sin(3π/7)-sin(π/7)
2cos(3π/7)sin(π/7) = sin(4π/7)-sin(2π/7)なので

2{cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)}sin(π/7)
=2{sin(π/7)-sin(3π/7)+sin(4π/7)}
=2{sin(π/7)-sin(3π/7)+sin(3π/7)}
=2sin(π/7)

両辺をsin(π/7)で割って 2を得る

>>270 たしかに (^-^；

>>223 e^{e^(iθ)}を e^x=�納0≦n≦∞]x^n/n! を用いて両辺を変形し、虚部を比較

e^{e^(iθ)}
=�納0≦n≦∞] {e^(iθ)}^n/n!
=�納0≦n≦∞] e^(inθ)/n!
=�納0≦n≦∞] cos(nθ)/n! + i�納0≦n≦∞] sin(nθ)/n!

e^{e^(iθ)}
=e^(cosθ+isinθ)
=e^(cosθ)e^(isinθ)
=e^(cosθ)cos(sinθ)+ie^(cosθ)sin(sinθ)

問題．sin(cos(x))とcos(sin(x))はどちらが大きいか？

この問題は計算で解けますが、２つの曲線のグラフはどんなになるんでしょうねぇ？

普通に。微分して増減表。

ｘ^3＋aｘ＋ｂ=0
が共役な複素数の解を持たないとき、この方程式の解を求めてちょ。

>>276 スレ違い
くだスレ、またはｍさくらスレに逝くべし

さくらたんはMじゃないやい

ごめん、ちゃんと読み返してからボタン押すべきだったね
短文だったので、ミスタイプしないだろうと思った私が馬鹿でした

>>274
f(x)=sin(cos(x))は2π周期
g(x)=cos(sin(x))はπ周期
グラフの概形はどちらもcos(x)に似ている
∀xに対して f(x)<g(x)

>>252 誰かが拡張してくれたこの問題を解いてみました（範囲は2π未満にした）
1+cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+cos(4x)+...+cos(nx)=0 (0≦x＜2π，n∈N)

まず、x≠0ﾟであることに注意しておいて、方程式は次のように変形できる
（方法は４通り。積和公式・ベクトル・回転行列・ドモアブルの定理を用いる）

cos(nx/2)sin({n+1}x/2)/sin(x/2)=0 （x≠0ﾟだから分母は０でないので安心）
∴cos(nx/2)=0 or sin({n+1}x/2)=0
∴x=(2k-1)π/n, 2kπ/(n+1) （k∈Nで、0≦x＜2πをみたすものとする）

>>281
途中で角度をラジアンに変えたのに、解答のなかの0ﾟを0に直すの忘れてた

>>239の式変形の問題も、分母分子をそれぞれ同じように変形すれば行けそう

>>1は何を期待してるの？
　　　　　　　　　　　

>>284
すでに>>1は建て逃げしてます
このスレを見た200番前後の人が、一時書き込みをしてましたが
ネタが尽きたのか残念ながら沈黙状態です
んなわけで、結局>>1は何をしたかったのか謎のままですな

このスレを保全してる方なら知ってるかと

284のπ吉さんが>>1だったりして、とかついでに言ってみる。

　

>>285の言うところの 200番前後の一人ですが何か？
>>1のことは自分も知らない。そのころは2chネラーじゃなかったからね。

せっかくageるのなら、何かおもしろそうな三角関数の問題を出しましょう。
2003年度年賀状用の問題を作ってみますた。
というか、外国のとある問題に2003を入れただけですが…。

tan(arccos(sin(arctan(cos(arctan(sqrt(2003))))))) の値を求めよ。

180番目より前のレスが重要なのです。
空白sage、コピペが>>1の意志と関係しているのです。

　　　　　　＿人人人人人人人人人人人人人人＿
　 　 　 　 ＞　　　　な　なんだってー！！　　　　＜
　　　　 　 ￣^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^Ｙ^￣
　 　 　 　 _,,.-‐-..,,_　　　　　　 _,,..--v--..,_
　　　　／　　　　　｀''.v'ν　Σ´　 　 　 　 `、_,.-'""｀´""ヽ
　　　 i' 　 ／￣""''--i 7　　 | ,.イi,i,i,、 、,、 Σ　　　 　 　 　 ヽ
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　　　 |'' !゛　i.oニ'ー'〈ュニ! 　 　 iiヽ~oj.`'<_o.7 !'.__ ' ' ``_,,....、　.|
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.　 ｌヽミ ゝ`‐、_　　　＿_,. ‐´　 ／　 ,.イ　　 ＼　ヽ　　　 　 　 　 　 |
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　　ヽ、.三 ミニ、＿ ＿＿＿ _,. ‐'´／/-─==＝＝=-、ヾ 　 　 　 ／ヽ
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　　　　　　　[　|、!　 /'￣r'bゝ}二. {`´ '´＿_ （_Y_）,. |.r-'‐┬‐l l⌒　| }
　　　　　　　 ゛l |｀}　..:ヽ--゛‐´リ￣ヽd、　''''　 ￣￣　 |l　　　!ニ! !⌒ //
.　　　　　　 　 i.! l .:::::　　 　 ソ;;:..　 ヽ、._　　　　　_,ノ'　　　　　ゞ）ノ./
　　　　　　　　 ｀ ー＝=--‐'´(__,. 　 ..、　￣￣￣　　　　　　i／‐'／
　　　　　　　　　 i　　　　 　 .:::ト、 ￣ ´　　　　　　　　　　　 l、_／::|
　　　　　　　　　　!　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 |:　 　 |
　　　　 　 　 　 　 ヽ　　　　　ー‐==:ニニニ⊃　　　　　 　 　 !::　　　ト、
　　　　　　　　　　　 ヽ　　　　　、＿＿,,.. 　 　 　 　 　 　 /:;;:　　　.!; ＼
　　　　　　　　　　　　 ヽ　　　　　 ::::::::::: 　 　 　 　 　 ／:::;;::　　／　　 l
おれたちはとんでもない思い違いをしていたようだ。

200番前後の住人その2、181です。
>>1のことは私も存じておりません。
さて超亀レスです。>>225をn/{2^(n-1)}と予想しましたが
証明できません。
ということで180さん降臨希望。
さて、289でもやってみますか…

>>293
おひさしぶりです、180=289です。
>>225の問題ですが、答えは合っていますよ。

α=cos(2π/n)+isin(2π/n)とおくとα^n=1で、
　x^{n-1}+x^{n-2}+…+x+1 = (x-α)(x-α^2)…(x-α^{n-1})
にx=1を代入して、両辺の絶対値を取ると
　n = |1-α|･|1-α^2|…|1-α^{n-1}| 　… ◎
ここで、k=1,2,…,n-1に対して簡単な計算から
　1-α^k = 2sin(kπ/n){sin(kπ/n)+icos(kπ/n)}
だから |1-α^k|=2sin(kπ/n)である。
これを◎に代入して整理すると、与式 = n/{2^(n-1)}

>>225
>Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)を計算せよ

遠回り

θ=2π/n
α=cosθ+isinθ
n=Π[1≦k≦n-1](1-α^k)　（←証明略）

n^2=Π[1≦k≦n-1](1-α^k)(1-α^(n-k))
=Π[1≦k≦n-1](2-2cos(kθ))
=Π[1≦k≦n-1](2sin(kθ/2))^2
=[2^(n-1)*Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)]^2

Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)＞0より
n/2^(n-1)=Π[1≦k≦n-1]sin(kπ/n)

かぶりました
微妙に違うも大筋は同じ

>>295
勉強になりますた (∵)ノ

>>294
なるほど,複素数に持ち込んでから絶対値ですか。
因数分解したものと展開したものを比較するという
発想にはならなかったです。

ちなみに私の予想は三角関数の性質のみから
nが2の冪のときを導き、それがn=3,5,9でも成り立ったので
プログラムで100まで確認しました。

>>295
ゆっくり書いてたらまたレスついてる。
むう、絶対値を取るかノルムとして扱うかの差ですか。
勉強になるです。

ほんと勉強になりますね
他人に見てもらうと、ミスの指摘や別解・拡張などがあって 得した気分です

>>299
結果的にはノルム計算と同じですが
式を立てた根拠は違います

どんなa(k)に対しても　I=Π[1≦k≦n-1]a(k)=Π[1≦k≦n-1]a(n-k)　なので
二つをかけて　I^2=Π[1≦k≦n-1]a(k)*a(n-k)　を得ます

Σkを出すときに逆向きに並べて足すあの要領です

俺の感覚がずれてるのかもしれないが、>>295を見て、
定積分 ∫[-x≦t≦x]cos(t)/(1+e^t)dt を思い出したよ。
積分区間を-x≦t≦0と0≦t≦xに分けてから式変形するやつ。

>>302
>>226とかのたぐいの問題とか？

>>303
おーおーおー、そういや そんな問題もありましたね
一ヶ月前に自分で質問しときながら、すっかり忘れてますた

>>289
√2004
寝る。

>>289
正解。sqrt(2004) = 2sqrt(501)

すまぬ。>>305だった。俺も寝ます。

つうか一般に引数が√nなら答えは
√(n+1)か？

ですな…

関数電卓の出した答えを思い付きで
二乗しただけなんて今さら言えない。

(；ﾟдﾟ) …

>>289
tan(α)=√n　0＜α＜π/2　とすると　α=Arctan(√n)　となる。
1+tan^2(α)=n+1　よりcos^2(α)=1/(n+1)　cos(α)＞0より　cos(α)=1/√(n+1)
故に　Arctan(√n)=α=Arccos{1/√(n+1)}
これより　cos(Arctan(√n))=1/√(n+1)
また
tan(Arccos(sin(x)))
=tan(Arccos(cos(x-π/2)))
=tan(x-π/2)
=1/tan(x)　
以上より
(与式)=1/tan(Arctan(1/√(n+1)))=√(n+1)

で、いかがでしょうか?

>>312
バッチシです

>>310
関数電卓で規則性を見つけたちんこさんもすごいですね

sqrt(n)→sqrt(n+1)なる演算ができたわけですね
三角関数とその逆関数の合成関数で、他の面白いパターンできないかなぁ？

314レス。狙ってるようでムカついたので1足す事にする。

別に>>314にムカついてるわけじゃない。
言うなれば……まぁそれはまた後で話す事にする。

今回のは簡単なので、ひっそりと問題うっぷ。
(1) tan{4arctan(1/5)+arctan(1/70)+arctan(1/99)}
(2) �納1≦k≦n]1/[sin(kx)sin{(k+1)x}]
(3) �納1≦k≦100]{(n-1)n/2}cos{(n-1)nπ/2}

問題>>1　, 解答 7
問題>>180, 解答 181
問題>>181, 解答 201 (188-200, 204-205, 210-212), 類題 206
問題>>207, 解答 240, 参考 230
問題>>215, 解答 217
問題>>219, 解答 227, 参考 236
問題>>223, 解答 273
問題>>224, 解答 ---
問題>>225, 解答 294-295, 参考 230-231, 298-304
問題>>226, 解答 302-303, 参考 301-304
問題>>239, 解答 ---, 参考 265-266
問題>>243, 解答 (1) 250 (2) 259, 拡張 252, 解答 281
問題>>261, 解答 263 (262-267, 270-271), 拡張 265
問題>>268, 解答 269
問題>>274, 解答 275
問題>>289, 解答 305-312
問題>>317, 解答 ---

>>224の解答がない様なのでやってみます。
一般化してみました。
Π[k=0 to 2^(n-1)] [ 4sin^2{kπ/(2^n)}-3] の値を求めよ。(n≧2)
k=0のとき　4sin^2{kπ/(2^n)}-3=-3
k≠0のとき　sinの三倍角の公式より　4sin^2{kπ/(2^n)}-3=-sin(3kθ/2^n)/sin(kθ/2^n)
これより
Π[k=0 to 2^(n-1)] [ 4sin^2{kπ/(2^n)}-3]
=-3*Π[k=1 to 2^(n-1)]　[sin(3kθ)/sin(kθ)]　となる。
sinの2倍角公式より
Π[k=1 to 2^(n-1)]　[sin(3kθ/2^n)/sin(kθ/2^n)]
=Π[k=1 to 2^(n-1)]　[sin(3kθ/2^(n+1))/sin(kθ/2^(n+1))]*Π[k=1 to 2^(n-1)]　[cos(3kθ/2^(n+1))/cos(kθ/2^(n+1))]
というように二つの部分に分けられる。
ここで　cos(3kθ/2^(n+1))/cos(kθ/2^(n+1))　の部分は
-sin(3π/2 - 3kθ/2^(n+1))/sin(π/2 - kθ/2^(n+1))
=-sin{ 3π(2^n-k)/2^(n+1) }/sin{ π(2^n-k)/2^(n+1) }

つづき
これより
Π[k=1 to 2^(n-1)]　[cos(3kθ/2^(n+1))/cos(kθ/2^(n+1))]
=Π[k=1 to 2^(n-1)] [sin{ 3π(2^n-k)/2^(n+1) }/sin{ π(2^n-k)/2^(n+1) } ]
2^n-k=ｔと置きなおして、かける順序を逆にするとこの式は
Π[t=2＾(n-1) to 2^n-1 ] [sin{ 3tπ/2^(n+1) }/sin{ tπ/2^(n+1) } ]
これに-1=sin(3π/2)/sin(π/2)をかければ
Π[k=1 to 2^(n-1)]　[cos(3kθ/2^(n+1))/cos(kθ/2^(n+1))]=(-1)Π[t=2＾(n-1) to 2^n ] [sin{ 3tπ/2^(n+1) }/sin{ tπ/2^(n+1) } ]
以上の結果より
Π[k=1 to 2^(n-1)]　[sin(3kθ/2^n)/sin(kθ/2^n)]
=Π[k=1 to 2^(n-1)]　[sin(3kθ/2^(n+1))/sin(kθ/2^(n+1))]　*(-1)Π[t=2＾(n-1) to 2^n ] [sin{ 3tπ/2^(n+1) }/sin{ tπ/2^(n+1) } ]
=-Π[k=1 to 2^n]　[sin(3kθ/2^(n+1))/sin(kθ/2^(n+1))]
=-Π[k=1 to 2^n] [ 4sin^2{kπ/2^(n+1)}-3]
となる
よって
Π[k=0 to 2^(n-1)] [ 4sin^2{kπ/(2^n)}-3]=-Π[k=0 to 2^n] [ 4sin^2{kπ/2^(n+1)}-3]
n=2　のとき
Π[k=0 to 2^(n-1)] [ 4sin^2{kπ/(2^n)}-3]=3
より
Π[k=0 to 2^(n-1)] [ 4sin{kπ/(2^n)}-3]　=3*(-1)^n

もとの問題はn=2000ですから3ですね。

かなり見づらいですね。スマソ。
しかし、複素数を利用してスパッとできたらどうしよ・・・。

>>321をまとめてみた。

S = Π[k=0,2^(n-1)] (4sin² (kπ/2^n) - 3) と置く。
sin(π-θ)=sinθを用いて、S = Π[k=2^(n-1),2^n] (4sin² (kπ/2^n) - 3) が言える。

S² = Π[k=0,2^n] (4sin² (kπ/2^n) - 3)
　　= Π[k=0,2^n] |4sin² (kπ/2^n) - 3|
　　= 9*Π[k=1,2^n-1] |sin(3kπ/2^n)| / Π[k=1,2^n-1] |sin(kπ/2^n)|
　　= 9
∵Π[k=1,2^n-1] |sin(kπ/2^n)| , Π[k=1,2^n-1] |sin(3kπ/2^n)| はともに
　 Σ[k=0,2^n-1] x^k に x=1 を代入したものの定数倍（2^(1-2^n)倍）に等しい。

Sの符号を考慮して、S = 3*(-1)^([2^n/3]+1) = 3*(-1)^n
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　[2^n/3]+1 は 4sin² (kπ/2^n) - 3 < 0 を満たすk(0≦k≦2^(n-1))の個数
　　　　[2^n/3]+1 の偶奇は、n の偶奇に一致する

>>319-322 なるほど。
自分の解答も書いてみます。やってることは一緒だと思う。
sin(2^m-k)π/2^(m+1)=cos(kπ)/2^(m+1)より
　{4sin^2(kπ)/2^(m+1)-3}{4sin^2(2^m-k)π/2^(m+1)-3}
　= …
　= 4sin^2(kπ)/2^m-3
だから、
Π[0≦k≦2^(1999)]{4sin^2(kΠ)/2^(2000)-3}
　= Π[0≦k≦2^(1998)]{4sin^2(kΠ)/2^(2000)-3}
　= Π[0≦k≦2^(1997)]{4sin^2(kΠ)/2^(2000)-3}
　= …
　= Π[0≦k≦2^2]{4sin^2(kΠ)/2^(2000)-3}
　= Π[0≦k≦2]{4sin^2(kΠ)/2^(2000)-3}
　= (4sin0-3){4sin(Π/4)-3}{4sin(Π/2)-3}
　= 3

>>323 すまん。後半まちがった。

Π[0≦k≦2^(1999)]{4sin^2(kΠ)/2^(2000)-3}
　= Π[0≦k≦2^(1998)]{4sin^2(kΠ)/2^(1999)-3}
　= Π[0≦k≦2^(1997)]{4sin^2(kΠ)/2^(1998)-3}
　= …
　= Π[0≦k≦2^2]{4sin^2(kΠ)/2^3-3}
　= Π[0≦k≦2]{4sin^2(kΠ)/2^2-3}
　= (4sin0-3){4sin(Π/4)-3}{4sin(Π/2)-3}
　= 3

>>324
> {4sin^2(kπ)/2^(m+1)-3}{4sin^2(2^m-k)π/2^(m+1)-3}

k=2^(m-1)の時、組み合わせるものがないから、


Π[0≦k≦2^(1999)]{4sin^2(kΠ)/2^(2000)-3}
　= -Π[0≦k≦2^(1998)]{4sin^2(kΠ)/2^(1999)-3}
　　＾＾
が出てこないとおかしいぞ。

分かりやすく、次式について説明します
Π[0≦k≦2^(1999)]{4sin^2(kπ)/2^(2000)-3} = Π[0≦k≦2^(1998)]{4sin^2(kπ)/2^(1999)-3}

積の中身は奇数 2^(1999)+1個あります。
　k=0とk=2^(1999), k=1とk=2^(1999)-1, …, k=2^(1998)-1とk=2^(1998)+1
上のように両端から2個ずつ組み合わせて積を計算すると
　4sin^2(0), 4sin^2(π)/2^(1999)-3}, …, 4sin^2(2^(1998)-1)π/2^(1999)-3}
となり、2^(1998)個できます。１個だけ余ったk=2^(1998)については
　4sin^2{2^(1998)π}/2^(2000)-3} = 4sin^2{2^(1997)}π/2^(1999)-3}
となるので、あわせて2^(1998)+1個できて 　(ﾟ∀ﾟ)ｳﾏｰ というわけです。

>>323, 324で積の中のπが大文字になってました。スマソ…

>>326
ん？ なんかおかしいな。
書き込んでから気づいた。逝ってきます

>>325
おっしゃるとおりですた。修正して

Π[0≦k≦2^(1999)]{4sin^2(kπ)/2^(2000)-3}
　=-Π[0≦k≦2^(1998)]{4sin^2(kπ)/2^(1999)-3}
　= Π[0≦k≦2^(1997)]{4sin^2(kπ)/2^(1998)-3}
　= …
　=(-1)^(1997)Π[0≦k≦2^2]{4sin^2(kπ)/2^3-3}
　=(-1)^(1998)Π[0≦k≦2]{4sin^2(kπ)/2^2-3}
　= (4sin0-3){4sin(Π/4)-3}{4sin(π/2)-3}
　= 3

つけたし。１個だけ余ったk=2^(1998)については
{4sin^2{2^(1998)π}/2^(2000)-3}
　= {4cos^2{2^(1998)π}/2^(2000)-3}{4cos^2{2^(1998)π}/2^(2000)-3}÷{4cos^2{2^(1998)π}/2^(2000)-3}
　= -4sin^2{2^(1998)}π/2^(1999)-3

>>323-329
なるほど。指数を減らしていったわけですね。
問題から考えれば、そちらのほうが自然かもしれません。
やってることは一緒のようですけど。

ageてしまった。スマソ。

ちょっと目を離した隙についていけなくなってる。

>>317
(1)やってみました。
4arctan（1/5)=arctan(120/119)を求められれば後は計算するだけ・・・。
なんですが答えが6桁の分数って…。出題意図がいまいちつかめないっす。
解説希望。

(2)(3)もこれからやってみます。
私も一問追加します。
Σ[k=1 to n]cosec(2^k)
簡単すぎかな・・・。

>>317(1)ですが、問題の符号を書き間違ってました。第二項はマイナスでした。
正しくは、tan{4arctan(1/5)-arctan(1/70)+arctan(1/99)} です。ごめんなさい。

333の問題もまとめて、書き直します。
(1) tan{4arctan(1/5)+arctan(1/70)+arctan(1/99)}
(2) �納1≦k≦n]1/[sin(kx)sin{(k+1)x}]
(3) �納1≦k≦100]{(n-1)n/2}cos{(n-1)nπ/2}
(4) �納1≦k≦n]cosec(2^k)

naottene-

直ってない ��(￣□￣；)！！
すみません。修正して再掲します。

(1) tan{4arctan(1/5)-arctan(1/70)+arctan(1/99)}
(2) �納1≦k≦n]1/[sin(kx)sin{(k+1)x}]
(3) �納1≦k≦100]{(n-1)n/2}cos{(n-1)nπ/2}
(4) �納1≦k≦n]cosec(2^k)

337(4) これ難しいですね
なんとかして差の形に持っていこうとしていますが、考え中…
これが上手く解ければ、今までの問題と組み合わせて面白いのが作れそうですね

>>337(4)の解答
sin(2^n-1)/{sin(2^n)sin(1)}
数学的帰納法で証明しました。

>>337(4)について
問題をsecに変えても同様にいけるかなと思ったら無理でした…

少し前に、別スレの65にチラッと書いた話ですが、某所に投稿していた
2003年用の三角関数の問題が採用されたので、楽しみにしててください
「2003年の年賀状用の数学の問題ありませんか？」
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1035088859/

>>317(2)と私が>>333で出した問題は同じ考え方で解けますね。
317氏が考えていた解法と同じかどうかはわかりませんが。

>>399　正解です〜。上述の通り数学的帰納法でない解答を用意してますので
ぜひ考えてみてください。

レス番間違えてしまった。
>>399　→　>>339　です。

>>342
考えてみまする

337(4) できますた ヽ(∵)ノ

1/sin(2^k)
= {1+cos(2^k)}/sin(2^k) - cos(2^k)/sin(2^k)
= cos{2^(k-1)}/sin{2^(k-1)} - cos(2^k)/sin(2^k)
= cot{2^(k-1)} - cot(2^k)

�納1≦k≦n]1/sin(2^k)
= cot(1) - cot(2^n)
= sin(2^n-1)/{sin(2^n)sin(1)}

>>345
お見事です。この問題は
cosec(θ)=cot(θ/2)-cot(θ)
という恒等式をもとにしたものでした。
ちなみにこう導くこともできます。
1/sin(θ)
=sin(θ-θ/2)/{sin(θ)sin(θ/2)}
={sin(θ)cos(θ/2)-cos(θ)sin(θ/2)}/{sin(θ)sin(θ/2)}
=cot(θ/2)-cot(θ)

cotってあんまり使わないので、関係式cosec(θ)=cot(θ/2)-cot(θ)は
今回の式変形で初めて知りました

電卓で一発ですね。

こっそりと問題うぷっ。
β=2π/(2n+1)とするとき、次式の値を求めよ。
(1) Π[1≦k≦2n+1]cos(kβ)
(2) �納1≦k≦2n+1]1/cos(kβ)

１／２＾（２ｎ）。
（−１）＾ｎ・（２ｎ＋１）。

>>350
正解です。
あっさり瞬殺されるとは。しかも こんな時間に…。　��('д'*)！

>>351
なんで起きてるの？

チェビシェフの多項式を読んでた

夜型なので…

さいきん、一日に何本も新スレ立ってるけど、このスレがdat落ちしないように…

このスレの守り神は強力ですよ。

>>356
呼んだかい？

神が降臨されますた (ﾟ∀ﾟ)

神ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━!!!!

この前に言ってた2003年用の三角関数の問題のリンク先を貼ります
大晦日に書き込むつもりでしたが、あちらに既にUPされているので…
お年玉問題になっているようなので、ここには答えやヒントは書かないで下さい
ていうか、このスレを見てる人たちには、解法がバレバレなのは言わぬ約束… (/ρ＼)

数算王神社 第31問
http://www.tokyo-shuppan.co.jp/susanowo/index.html

>>360
>ここには答えやヒントは書かないで下さい

ここにリンク貼った時点で終わってると思われ。
問題は面白かったよ。重複に騙された。

あと問題文の「０≦θ≦2π」を見てここの人だと確信した。
普通は「０≦θ＜2π」にするからね。

>>362
>あと問題文の「０≦θ≦2π」を見てここの人だと確信した。

0≦θ<2πとして問題をTeXで書いて divをgifに変換して投稿したのですが、
あちらさんが出題したときに書き直したときに、ミスったようですね
イコールがついていても答えには影響しないので、まぁいっか…

2chネラーなのバレバレでしたか…、ぐふっ
ということは、正解者の１３２人目の素数さんとは、あなたですね
解いていただいてありがとうございます

改めて見直してみると 0≦θ≦2π のところがだんだん気持ち悪く感じてきたので、
修正してもらうようにメールしてしまいました

神と言われたので必死におもしろ問題
探しているわけだが

>>360
と言うかこの前、さくらスレでその問題に関する質問があって
ひやひやものだったのよ。

こんばわヽ(∵)ノ
すでに さくらスレでガイシュツでしたか…、アブナ〜
神様、期待しておりまする

結局受験生の頃の参考書からパクったわけだが。
（１）
３辺の長さの和が１である直角三角形の斜辺の長さの取り得る範囲は？

（２）
a_1=1/1
a_2=1/(1+1/1)
a_3=1/(1+1/(1+1/1))
…
a_n=1/(1+1/(1+…(1+1/1))…)

a_nが収束することを示し、
lim_[n→∞]a_n=？

(2) a_{n+1} = 1/(1+a_n)
極限は α=1/(1+α)、α>0を解いて、{sqrt(5)-1}/2
この数列は有界だけど、単調じゃないから どう示したらいいんだろう…
分かったことは、a_{n+1}-a_n と a_n-a_{n-1} の符号が同じ、つまり
増えたり減ったりを繰り返してる数列で、0<a_n≦1くらいかな

>>369
a_{n+2}=1/(1+a_{n+1})=1/[1+{1/(1+a_n)}]=(1+a_n)/(2+a_n)
偶数番目のみの数列、奇数番目のみの数列にそれぞれ注目する。

>>370
ありがとう
方針が立ちました、やってみます

>>370の a_{n+2}=(1+a_n)/(2+a_n) から続けます
x=(1+x)/(2+x)の２解をα,β (α>β)とおくと
a_{n+2}-α = (1+a_n)/(2+a_n)-(1+α)/(2+α) = (a_n-α)/(2+a_n)(2+α)
a_{n+2}-β = (a_n-β)/(2+a_n)(2+β)
a_{n+2}-β≠0だから（0だとa_1かa_2がβになって矛盾）、辺々割って、
(a_{n+2}-α)/(a_{n+2}-β) = {(2+β)/(2+α)}×{(a_n-α)/(a_n-β)}
したがって
(a_{2n-1}-α)/(a_{2n-1}-β) = {(a_1-α)/(a_1-β)}×{(2+β)/(2+α)}^{n-1}
(a_{2n}-α)/(a_{2n}-β) = {(a_2-α)/(a_2-β)}×{(2+β)/(2+α)}^{n-1}
どちらも公比は同じで１より小さい正数だから、n→∞とすると
a_{2n-1}-α → 0、a_{2n}=α → 0 となるので a_n → (α=\sqrt{2}-1)/2

>>372
a_nの奇数番目をb_n、偶数番目をc_nとする。a_1=1,a_2=1/2より
b_1=1　c_1=1/2でb_{n+1}=(1+b_n)/(2+b_n)　c_{n+1}=(1+c_n)/(2+c_n)
漸化式より　b_{n+1}＜b_n　c_{n+1}＜c_n　b_1,c_1＞0より
b_n,c_nともに有界単調減少。故に収束する。
b_nの収束値をα、c_nの収束値をβとすると　α、βともに方程式
x=(1+x)/(2+x)を満たす0以上の値である。方程式を解けばα=β={-1+sqrt(5)}/2とわかる。
b_n,c_nとも同じ値に収束するのでa_nも収束してその値は{-1+sqrt(5)}/2

というつもりの>>370の書き込みだったんだけど
技巧的な証明で勉強になりますた。

偶数項、奇数項がそれぞれ単調数列であることを言えば、
一般項など求めずに済むことは気づいていましたが、
ついつい力まかせにやってしまいました (/ρ＼)

http://user.ecc.u-tokyo.ac.jp/%7Es21012/gtmb/mon/index.cgi?h=problem&n=010f
締め切り期限切れにつき御紹介。解答あり。
見た目には三角関数と無縁ですが…。

おお、そろそろ何か書き込もうかなって思ってたところにナイス！
ｻｿｰｸやってみます

さくらスレで見かけた三角関数の問題と解答を保存しときます
自分は証明できなかったのは秘密…

tan20ﾟtan30ﾟtan40ﾟ=tan10ﾟ

これが>>377の解答

積和公式を使って得られた次式を辺々割るそうな… （思いつきません）
8cos10ﾟsin20ﾟsin30ﾟsin40ﾟ = 2(2sin20ﾟsin30ﾟ)(2cos10ﾟsin40ﾟ) = … = sin60ﾟ
8sin10ﾟcos20ﾟcos30ﾟcos40ﾟ = … = sin60ﾟ

あと、こんな等式があったのも知らなかった
tan(3θ)=tanθtan(60+θ)tan(60-θ)

>>378
>tan20ﾟtan30ﾟtan40ﾟ=tan10ﾟ

さくらスレ542のリンクに詳細あり
http://groups.google.com/groups?dq=&hl=ja&lr=lang_ja&ie=UTF-8&threadm=aou529%24s02%241%40caraway.media.kyoto-u.ac.jp&prev=/groups%3Fdq%3D%26num%3D25%26hl%3Dja%26lr%3Dlang_ja%26ie%3DUTF-8%26group%3Dfj.sci.math%26start%3D100

>>366(1)
直角三角形の斜辺の長さをx、直角でない内角の一つをβとおくと
　x+xcosβ+xsinβ = 1 より x = 1/(1+cosβ+sinβ)
分母の cosβ+sinβ = sqrt(2)sin(β+45ﾟ) の大小を考えると、
45ﾟ< β+45ﾟ< 135ﾟより、sqrt(2)-1 = 1/{1+sqrt(2)} < x ≦ 1/2

３辺の長さをx,y,zとして式を立てて微分してたら、えらい大変な目にあったのは秘密

366の条件のもとで、面積が最大となるのはどういうときかって問題も作れそうですね

>>379のリンク先をみてきたけど、円分体の話は難しくて、今の自分には理解できなかったです
群環体のあたりを勉強すればいいのかな…

cos10ﾟの値ですが、簡単に求められるでしょうか？
cos10ﾟ=cとおいて３倍角の公式から 8c^3-6c-sqrt(3)=0 までしましたが…
なんかいい方法あったら教えて下さい
これが上手に求まれば、面白い問題が作れそうなんです

>>384
三次方程式だから解けない事はないけど、
お世辞にも簡単とは言いがたいです。

一つ問題だしときます。既出問題の応用なんで簡単とはおもいますが・・・。
Σ[n=1 to ∞]1/2^n*tan(x/2^n)

とそのスレで見つけたんだけど
これって収束する？

＞極限関数 lim[m→∞] {lim[n→∞]cos(m!πx)^n} は何？

>>386
ディリクレ関数です。
f(x)=0 (xが無理数の時), 1(xが有理数の時)

>>385
そっか、残念です
>>386
探してみたら 「解析入門 （田島一郎、p.112）」に載ってますた
ただし、m,nは自然数という条件がついていましたが…
そこを丸写ししまふ
g_m(x)=lim[n→∞]cos(m!πx)^nとおき、xが有理数・無理数に分けて考えると
(i) xが有理数のとき、x=p/q (既約分数でq>0)とおく。
mをm≧2qをみたし さらに十分に大きくとれば、m!πx=m!πp/qは2πの整数倍になるから
cos(m!πx)=1より、g_m(x)=1^n=1となり、f(x)=lim[m→∞]g_m(x)=1
(ii) xが無理数のとき、任意の自然数mに対して m!πxはπの整数倍にならないから
|cos(m!nx)|<1なのでg_m(x)=0となり、f(x)=lim[m→∞]g_m(x)=0

>>385
この問題、ムズイですね
差の形に持っていこうとしたけど、うまく消えないし…
気づいたら徹夜してるし… (ﾟ∀ﾟ)ｱﾋｬｯﾋｬｯ
仮眠とって もうしばらく考えてみます
それにしても三角関数の問題って、いろいろ作れますねぇ

>>387>>388
ありがとうございます。
>>368の（２）は模範解答が出ていますが、
（１）を｢幾何学的に明らか｣とせず真面目に数式でやった人はいませんか？

で、>>368の（２）関連で

a_0+(1/(a_1+1/(a_2+1/(...))))≡[a_0;a_1,a_2,a_3,a_4,...]
と定義する。たとえば
[0;1,1,1,1,...]=(√5-1)/2
が>>368の（２）。
では
1.[0;1,2,1,2,...]=?
2.[1;2,2,2,2,...]=?
3.[2;4,4,4,4,...]=?
ではよいお年を。

>>391
368(1)は>>380に計算による解答を書きました (/ρ＼)

帰省前に保守

2^(n-1)Π[0≦k≦n-1]sin(θ+(kπ/n)) = ??
既出ならスマヌ

謹賀新年、ただいま、そして今年もよろしこなのれす (ﾟ∀ﾟ)ｳﾋｮﾋｮｯ！

>>385 やっと できますた
1/x - 1/tan(x)

>>394
たぶん>>225に似ているのだけど、
同じやり方で出来なさそう（自信ないけど）なので
新しい問題ですね…。考えてみます

>>395
OKです。この問題が実は>>219の系だという事にはお気付きでしょうか?

>>387
いえ、分からなかったです
とりあえず、どうやって導き出したか書いてみます

1/[2^(n-1)tan{x/2^(n-1)}}
　= …
　= 1/{2^n tan(x/2^n)} - (1/2^n)tan(x/2^n)

S_k = �納1≦n≦k]1/[2^(n-1)tan[x/2^(n-1)}] とおくと

S_k
　= �納1≦n≦k]1/{2^n tan(x/2^n)} - �納1≦n≦k](1/2^n)tan(x/2^n)
　= S_(k+1) - 1/tan(x) - �納1≦n≦k](1/2^n)tan(x/2^n)

�納1≦n≦k](1/2^n)tan(x/2^n)
　= S_(k+1) - S_k - 1/tan(x)
　= 1/{2^k tan(x/2^k)} - 1/tan(x)

両辺をk→∞として >>395に書いた答えを得る

>>399
tanの加法定理の逆数を取ってるのでしょうか？

>>219の応用というのはつまり
sinx=sin(x/2^n)/2^n*Π[k=1　to　n]cos(x/2^k)　としてから両辺の対数を取れば
log(sinx)=log{sin(x/2^n)}-log(2^n)+Σ[k=1　to　n]log{cos(x/2^k)}　
両辺をxで微分すれば
1/tanx=1/{2^ntan(x/2^n)}-Σ[k=1　to　n][(1/2^k)tan(x/2^k)]　となり
Σ[k=1　to　n][(1/2^k)tan(x/2^k)]=1/{2^ntan(x/2^n)-1/tanx
を得ます。
また、厳密性を抜きにすれば
sin(x)/x = Π[1≦k≦∞]cos{x/(2^k)}　を両辺の対数を取ってから微分すれば
すぐに極限での場合を得られます。

>>399
２倍角でゴリゴリと計算しました
はじめ無限和をSとおいて計算すると1/tan(x)となって、x=0で収束せずに失敗

>>400
ぉぉぉぉぉ〜、見事ですね〜
微分するという操作は、全く頭になかったです (/ρ＼)
勉強になりました
また何か思いついたらお願いします

>>394
これを>>225の解法を参考にして解くと、次のようになりました
2^(n-1)Π[0≦k≦n-1]|sin(θ+(kπ/n))| = |sin(nθ)|
絶対値が取れなかったので、このあとどうすればいいでしょう？

>>392
失礼しますた。
見落としていた。

で>>391は>>369のような形式的な計算で
答えが出る。
結果、√2,√3,√5が連分数で表される。
同様に以下も確認。
[3;3,6,3,6,...]=√11
[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,...]=√13

で、一般に
√n=1+((n-1)/2)/(1+((n-1)/4)/(1+((n-1)/4)/(1+...)))
です。

じゃあ、こいつは？
[2;4,2,6,2,8,2,10,...]=11^^(1/3)
[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...]=e
[2;6,10,14,18,...]=(e+1)/(e-1)
[k;3k,5k,7k,...]=coth(1/k)

>>404
うーん、むずかしい…

>>394
2^(n-1)Π[0≦k≦n-1]sin(θ+(kπ/n)) = sin(nθ)

図書館で探すと、証明抜きで与えられていました
225のやり方でやると絶対値が外せず、うまい証明方法が思いつきません
降参です、教えて下さい ｡･ﾟ･(ﾉД‘)･ﾟ･｡

225の方法を真似てというのは、次のようにしました

α=cos(2π/n)+isin(2π/n)、β=cos(θ)+isin(θ)とおくと、α^n=1より
(x^n-1) = (x-1)(x-α)(x-α^2)…(x-α^{n-1}) が成り立つから
{(xβ^2)^n-β^2} = (xβ^2-β^2)(xβ^2-αβ^2)(xβ^2-α^2β^2)…(xβ^2-α^{n-1}β^2)
xβ^2=1として
(1-β^2) = (1-β^2)(1-αβ^2)(1-α^2β^2)…(1-α^{n-1}β^2) … ★

ここで、|1-(cosθ+isinθ)| = |2sin(θ/2){sin(θ/2)-icos(θ/2)}| = 2|sin(θ/2)| より、
|1-α^k･β^2| = 2|sin(θ+kπ/n)|だから、★の両辺の絶対値を取ると
2|sin(nθ)| = 2^n Π[0≦k≦n-1]|sin(θ+kπ/n)|
∴ |sin(nθ)| = 2^(n-1)Π[0≦k≦n-1]|sin(θ+kπ/n)|

>>407
3行目の左辺が{(xβ^2)^n-(β^2)^n}だとスジが通るので
その方針を続けましょう。

絶対値を取らないで
1-(cos2φ+isin2φ)
=2sinφ(sinφ-icosφ)
=(-2i)sinφ(cosφ+isinφ)
または
=2sinφ{cos(φ-(π/2))+isin(φ-(π/2))}
として★に適用しましょう。

絶対値を取ったときに比べて余計な項が残りますが
Π(cos(a_k)+isin(a_k))={cosΣ(a_k)}+i{sinΣ(a_k)}のように
積を和に直していけばうまく消えてくれます。

>>408
おぉぉぉぉぉ〜、ありがとうございます
実は今日も３時ごろから閉館まで、だらだら図書館で探してました
結局 証明は見つからなかったけど、それなりに収穫があったからょぃょぃ、かな…
ではでは、408のヒントにしたがって、解答を完成させます

1-α^k･β^2 = 2sin{θ+(kπ/n)}[cos{θ+(kπ/n)-(π/2)} + isin{θ+(kπ/n)-(π/2)}]
�納0≦k≦n-1]{θ+(kπ/n)-(π/2)} = n{θ+(π/2)-} + (k/n)･(n-1)n/2 = nθ-(π/2)

★の右辺
= (2^n)Π[0≦k≦n-1]sin{θ+(kπ/n)} [cos�納0≦k≦n-1]{θ+(kπ/n)-(π/2)} + isin�納0≦k≦n-1]{θ+(kπ/n)-(π/2)}]
= (2^n)Π[0≦k≦n-1]sin{θ+(kπ/n)} [cos{nθ-(π/2)} + isin{nθ-(π/2)}]

★の左辺
= 1-β^(2n)
= 2sin(nθ)[cos{nθ-(π/2)} + isin{nθ-(π/2)}]

両辺を 2[cos{nθ-(π/2)} + isin{nθ-(π/2)}] (≠0)で割って、待望の答えが得られました ヽ( ﾟ▽ﾟ)ノ
2^(n-1)Π[0≦k≦n-1]sin{θ+(kπ/n)} = sin(nθ)

＜図書館での収穫のいくつか…＞
問題(1) �納0≦k≦n-1]cot{θ+(kπ/n)} = ??
問題(2) lim[n→∞](1/n)�納0≦k≦n-1]cos(kπ/n) = ??
問題(3) �納0≦k≦n]C(n,k)cos(kθ) = ??
まだあるんですけど、まとめてないので… (/ρ＼)

>>411
(1)　n*cot(nθ)　(2)　0　(3)　2^n*cos^n(θ)*cos(nθ/2)
でしょうか。

>>412
(1)は正解、(2),(3)は違います

>>413
(2)�納0≦k≦n-1]cos(kπ/n) = 1だと思うのですが。
(3)2^n*cos^n(θ/2)*cos(nθ/2)　でした。
どうでしょう?

>>411
問題(2)の訂正：lim[n→∞](1/n)�納0≦k≦n-1]cos(kx/n) = ??

>>414
(2) すみません。問題文を書き間違ってました。（記号πはxの間違いでした）
　　はじめの問題では、極限は０で正しいです。ごめんなさい

(3) 正解です。書店で立読み中に見つけた問題ですが、その模範解答も間違っていた罠

>>415
(2)そういうことですか。では改めて。sinx/x　でよろしいでしょうか?
(3)これが解けたのは間違いなくこのスレノおかげです。
何度か出てきてるパターンの解き方ですから。

ところで(1)の等式を応用するとζ(2)=π^2/6が示せました。
だいたいの部分は高校の範囲に収まっていると思うのでなかなか興味深いです。

>>416
(2) 正解です

(1)はどんな方法で求めたのでしょうか？
私は>>394の自然対数をとって微分して出しましたが、大雑把すぎますか？
ζ(2)については、ζ関数の知識がないので少し調べてから書き込みます

>>417
(1)は同じ方法ですね。ぱっと気付いたので。
逆に答えがわかってから微分等を使わずにできるよう
何らかの三角関数の恒等式を探してみるのも面白いとおもいます。
…ちょっと思いつきませんが(汗

わざわざζ(2)なんて書きましたが、ようは平方数の逆数の無限和です。
この話題自体は何スレか前のさくらスレで出ていたので。

無限積を検索してたら面白いのが見つかったので、ここに記録
とりあえず印刷はしたものの、まだ読んでないのは秘密 (/ρ＼)

1/sin^2(θ)の展開とその応用
http://auemath.aichi-edu.ac.jp/~kodani/article/epsilon44.pdf

>>418
なるほど、考えてみます

すれ違いですんません。
呼び出しの連絡Fe。

>>386. >>390. >>391. >>403. >>404.

朝は止めて､深夜になるのFeか？

さくらスレで すぐには分からなかった三角関数の問題があったので、ここに記録
∫[0≦x≦π/2]log(sin(2x))dx = -(π/2)log(2)
このスレのどこかにもあった よくあるテクで解けた

ζ(2)の問題は考え中…

TAN（3e/11）＋４SIN（2e/11）＝？

こんなんどうでしょ
a_1=sinθ
a_(n+1)=(cos2nθ/cos2(n+1)θ)a_n+sinθ
ただしk=1,2,3,...に対して
coskθ≠0
a_n=?

>>423
a_n = (sin2nθcosθ-sinθ)/cos2nθ

>>404
1/{(1/x)-1/{(3/x)-1/{(5/x)-1/{(7/x)-1/{(9/x)-1/…}}}}} = ??

>>424
分母を払ったら階差型の漸化式になるので、�伯v算 （ここで例の差の形にするテクで消える）
残った４項を和積公式を使いまくって計算すると、おもしろいようにまとまっていく
最後は、かなりサッパリした形にまとまりました （計算ミスがなければですが…）
ということで、神の審判を待つのみ

連分数
ζ(2)を調べてて、>>404を発見
連分数の知識ってないから、そのうち勉強します

ζ(2) = �納1≦n≦∞]1/n^2 = π^2/6

sin(x)の無限乗積展開とマクローリン展開のx^3の係数を比較して得ることを知りました
　sin(x) = π[1≦k≦∞]{1-(x/kπ)^2}x … �@
　sin(x) = x - (1/π^2){(1/1^2)+(1/2^2)+(1/3^2)+(1/4^2)+…)x^3 +(…)x^5 + …

�@の無限乗積展開を導き出す際に、>>225と>>394の等式を利用するらしいことまで分かったところ
まだ、確認できていませんが (/ρ＼)

このスレのおかげで、いろいろ勉強になってます
以上、保守ついでに現状報告した>>180でした

>>426
> ζ(2)を調べてて、>>404を発見

これは 「ζ(2)を調べてて、>>424を発見」 の間違いでした (´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ

>>427
sin(x)の無限乗積展開の下に マクローリン展開を書くのを忘れていたので付け足し (´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + …

（＾＾）

>>427
sin(2nx)=n*sin(2x)Π[k=1 to n-1][1-{sinx/sin( kπ/(2n) }^2)] (n>1の自然数)
という式でx=x/(2n)と置き直したあとn→∞とする事でsinxの無限積展開
sin(x)=xΠ[k-1 to ∞]{1-x^2/(kπ)^2}　が得られるようです。

sin(2nx)=n*sin(2x)Π[k=1 to n-1][1-{sinx/sin( kπ/(2n) }^2)]
は>>394を元にして>>225をさらに利用する事で導けます。

>>424
完璧。
>>425
tan(x)

>>431
おかげさまで何とか導き出せました
まだ、細かいところ （Πとlimの交換が出きるための条件） は考えてませんが…

>>432
正解です
無限小数って奥が深そうですね

センター数学の選択問題で複素数が出た。
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/center/mondai/sugaku_iib/mon4.html

ここでよく出たネタに近い。
原始n乗根、極形式、ド・モアブルの定理周辺の問題に慣れていれば楽勝だが
受験板を見る限りでは手が付かない人も多かったようだ。文系には特に厳しかろう。

久々に問題投下。
Σ[k=1 to n-1] tan^2{kπ/(2n)}

ｷﾀ━(ﾟ∀ﾟ)━ｯ!! （←明け方なので小声で…）

このスレの住人達にピッタリの文章を、数セミの古いやつから引用。

数学の問題には、
ある条件をみたす数が存在するか否かという定性的なものと、
その数が一体いくつになるかという定量的なものがある。
そして後者の問題は一見地味だけれど、
それを解くためには力強い計算力と閃きが必要となる。

>>437
やっと出来ました
計算間違ってなければ (2n-1)(n-1)/3 ですね？
解けたのは、運がよかったと言うか…
解き終わってから気づいたけど、この問題って>>349と同じ解き方でした

>>441
正解です。よければ解き方をお聞きしたいのですが。
私は　{1+x/(2n)}^(2n)-{1-x/(2n)}^(2n)　を因数分解した後
x^3の項の係数を比較しました。

>>442
そんな方法があるのですね、勉強になります
とりあえず私の解答を書いた後で、その解法をやってみます

(cosθ+isinθ)^{2n}を２通りに変形（ドモアブルの定理、二項展開）して虚部を比較します
一方は sin(2nθ)、もう一方は (cosθ)^{2n}*tanθ で括ると (tanθ)^{2} のn-1次の多項式で、
それと同じ係数をもつxのn-1次方程式をf(x)とおくと、
　sin(2nθ) = (cosθ)^{2n}*tanθ*f((tanθ)^2)
θ_k = kπ/2n (k=1,2,…,n-1) とおく
{tan(θ_k)}^2 が f(x)=0の異なるn-1個の解であることを確認して、解と係数の関係を用いました

それから類題として、私も問題投下しておきます

�納k=0 to m]cot^2{kπ/(2m+1)}

>>437
Σ[k=1 to n-1] tan^2(kπ/n)=(2n-1)(n-1)/3 になったが…
z^{2n}=1の偏角の最小はπ/nであってπ/{2n}じゃないと思う

>>445
n=3のとき
Σ[k=1 to 2] tan^2(kπ/6)
=tan^2(π/6)+tan^2(2π/6)
=1/3+3=10/3
(2*3-1)(3-1)/3=10/3
あってると思われ

>>445
取り組んで頂いてありがとうございます。
私=180=443です。443に書いた解法でしか確認していませんが
　　Σ[k=1 to n-1] tan^2{kπ/(2n)} =(2n-1)(n-1)/3
は正しいと思います。まだ出題者の442さんの解法は確認していませんが…。

> Σ[k=1 to n-1] tan^2(kπ/n)=(2n-1)(n-1)/3 になったが…
> z^{2n}=1の偏角の最小はπ/nであってπ/{2n}じゃないと思う

一行目の等式は、nが奇数という条件下で考える必要がありますが、どうやって出したのでしょうか？
二行目から察するに、442の解法で得たのだと思うので、とりあえず442の方法を確認してみます

>>444を>>437と同様の方法でやってみます。
(2m+1)=a　exp(-2kπi/a)=b とします。
(1+x/a)^a-(1-x/a)^aを因数分解します。
(1+x/a)^a-(1-x/a)^a
={(1+x/a)-(1-x/a)}Π[k=1 to n] [{(1+x/a)-(1-x/a)b}*{(1+x/a)-(1-x/a)b^(-1)}]
=2x/a*Π[k=1 to n]　[(1+x/a)^2-2{1-(x/a)^2}cos(2kπ/a)+(1-x/a)^2]
半角の公式等を用いて括弧の中の定数項が1になるよう整理すれば
2x/a*Π[k=1 to n] [4sin^2(kπ/a)]*Π[k=1 to n] [1+cot^2(kπ/a)*(x/a)^2]　
xの係数が2になる事が(1+x/a)^a-(1-x/a)^aの展開からわかるので
(1+x/a)^a-(1-x/a)^a=2xΠ[k=1 to n] [1+cot^2(kπ/a)*(x/a)^2]　
でもとの式とx^3の項の係数を比較し整理すれば
Σ[k=1 to n]cot^2(kπ/a)=m(2m-1)/3　をえます。

多分(1+x)^a-(1-x)^aの因数分解で十分だと思うのですが
sinh(x)の無限席展開を考えていたのであのような形になってます。

>>448
正解です。
実は>>442の方法が分からなかったんですけど、>>448見ながらやってみます。

昼間、友人のお兄さんから「大数1989-2」の宿題に出題されていた問題を教えてもらいました。
ただ、解答の載っている号を持っていないそうなので、答えは分かりませんが…
まだ自分も取り組んでないけど、とりあえず問題投下しておきます
１とl(エル)が見間違えそうなので、lをnに変えて書いておきます

問題． n、mを２以上の整数とするとき、次式の値を求めよ
　　�納k=1 to m-1] sin(nkπ/m)/sin(kπ/m)

今ごろ、>>442の方法で>>437と>>444を解いてみました。
自分では気づけそうにないです。計算の途中で
Π[k=1 to n-1] sin^2(kπ/{2n}) =(2n)/(4^{n-1}) や
Π[k=1 to m]sin^2(kπ/{2m+1}) =(2m+1)/(4^m) が出てくるのがスゴかったです。

さて、次は>>451に取り組んでみます。
誰か解答の載ってる号を持ってればいいんだけどね…。

>>451の問題…、うまくいきません　 ｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡
気分転換に問題UPします。>>451も含めて解いてみてください。

�納k=0 to n-1]tan{x+(kπ/n)} = ??

(nの偶奇で分けてください)

ほしゅったらあげろ！

>>455
この問題って場合分けせずともいけるのでは?
>>451はさっぱりわかりませんな。ゆっくり考えてみます。

>>458
場合分けせずに解けたんですね
きっと私と違う解法なのかもしれないですね
答えはいくらになりましたか？
>>451はメモした紙を持ち歩いて考えてますが、まだできないです

>>459
>>455は�納k=0 to n-1]tan{x+(kπ/n)} = -n*cot(nx+nπ/2)
となりました。>>394の応用です。

>>460
やり方も同じですね。
私は、そのあとさらに計算したために、「場合分けが…」って書いてしまいました
　nが偶数のとき -n/tan(nx)
　nが奇数のとき n*tan(nx)

調べていて、証明も何もなしで使われている次式を見つけました
いろいろやってみたけど うまくいきません
どうやって導くのか教えて下さい

tan(x) = �納1≦k≦∞]T(k)x^(2k-1)
ただし、T(k) = (2/π)^(2k)*2*{1 + (1/3)^(2k) + (1/5)^(2k) + …}

>>462
その展開式は、ある三角関数の和 (>>451とは別問題) を計算するのに使うんです
sinやcosの無限乗積を利用するのかもと思って、今日は図書館で何冊か借りてきました

>>462
T(k)はタンジェント数といってベルヌイ数で表せる・・・らしい。
何となく見当はついてきたんで形式的にならそれらしいのができそう。

>>464
おお、ありがとうございます
自分もいろいろ調べてみます

>>462
a=(2k+1)πとします。
まずtanxの部分分数分解を考えます。sinやcosの無限積から導く事ができると思います。
tanx=Σ[k=0 to ∞]　2x/{(a/2)^2-x^2}　　で、これを以下のように変形します
tanx=2xΣ[k=0 to ∞]　(2/a)^2/{1-(2x/a)^2}
この(2/a)^2/{1-(2x/a)^2}を無限等比級数の和と見て等比級数に展開すると
tanx=2xΣ[k=0 to ∞]　Σ[i=0 to ∞](2/a)^2*(2x/a)^(2i)
これの和の順序を入れ替えて、xで同類項にまとめてやれば
tan(x) = �納1≦k≦∞]T(k)x^(2k-1)
ただし、T(k) = (2/π)^(2k)*2*{1 + (1/3)^(2k) + (1/5)^(2k) + …}　が得られます。
和の交換は「絶対収束しているから」と片付けていい物なのかわかりませんが
取りあえずこのような感じかと。

>>466
おおっ！ ホントありがとうございます
じっくりと読んでみます
それと、近いうちに これを利用する問題というのを書き込みますので…

今月の数学セミナーのNOTEに、(tan)^2の和の計算が載っていたね
立読みなので どんな式か思い出せないけど、このスレの中に既出かな？
図書館に入ったらジックリ読んでみよっと

>>468
あれ、このスレの住人かと思った

あの問題は高校生が送っていたけど、180も181も大学生のようだし…
あれよりもムズイ問題はここに一杯あるから、きっと違うと思うなぁ

( ﾟ▽ﾟ)＜ 手元に今月号ある人、その問題please

【定理】互いに素な自然数m,nと実数θに対して次の等式が成り立つ：
�納0≦k≦n-1]tan^2(m/n*kπ+θ)=(n/sin(nθ+nπ/2))^2-n
=(n/cos(nθ))^2-n…n:odd
　(n/sin(nθ))^2-n…n:even


図書館くらい行って読もうや、青年。

おっ、ありがとう。

>>451解決しました。
まず2m≧nの場合について考えます。
Σ[p=0 to n-1]cos{(n-2p-1)θ}=sin(nθ)/sin(θ)が左辺を加法定理で展開してから和を処理すれば
容易に示す事ができます。この式を利用すると与えられた式はθ=kπ/mとすれば
Σ[k=1 to m-1]Σ[p=0 to n-1]cos{(n-2p-1)θ} となります。和の順序を交換して
Σ[p=0 to n-1]Σ[k=1 to m-1]cos{(n-2p-1)θ} としてΣ[k=1 to m-1]cos{(n-2p-1)θ}の処理を考えます。
ここでnを偶数とするとn-2p-1は奇数ですから0にならず、2m≧nの仮定より|(n-2p-1)π|＜2πだから
pの値にかかわらず和の処理を考える事ができて、(n-2p-1)=aとおくと
Σ[k=1 to m-1]cos{(n-2p-1)θ}=cos(aπ/2)sin{(m-1)aπ/2m}/sin{aπ/(2m)}　となる。
ここでaは奇数であるからcos(aπ/2)=0であるのでΣ[k=1 to m-1]cos{(n-2p-1)θ}=0となり、これより
nが偶数ならΣ[k=1 to m-1]sin(nkπ/m)/sin(kπ/m)=0がいえます。

またnが奇数の場合n=2c+1と置くとn-2p-1=2(c-p)となります。c-p=tと置きなおすと
Σ[p=0 to n-1]cos{(n-2p-1)θ}=Σ[t=-c to c]cos(2tkπ/m)となります。
これはt=0のときとcos(-θ)=cos(θ)に注意すれば　1+2Σ[t=1 to c]cos(2tkπ/m)となるので
Σ[k=1 to m-1]sin(nkπ/m)/sin(kπ/m)=Σ[k=1 to m-1]{1+2Σ[t=1 to c]cos(2tkπ/m)}　をえます。
m-1+2Σ[k=1 to m-1]Σ[t=1 to c]cos(2tkπ/m)を得るので再び和の順序を交換して
Σ[t=1 to c]Σ[k=1 to m-1]cos(2tkπ/m)を考えると
Σ[k=1 to m-1]cos(2tkπ/m)=cos(tπ)sin{(m-1)tπ/m}/sin(tπ/m)　となり
sin{(m-1)tπ/m}=sin(tπ-tπ/m)=-cos(tπ)sin(tπ/m)となるので、
cos(tπ)sin{(m-1)tπ/m}/sin(tπ/m)=-1が得られ、Σ[t=1 to c](-1)=-cより
n=2c+1のときΣ[k=1 to m-1]sin(nkπ/m)/sin(kπ/m)=m-1+-2c=m-(2c+1)=m-n
したがってnが奇数のときΣ[k=1 to m-1]sin(nkπ/m)/sin(kπ/m)=m-nとなる。

またn＞2mのときn=2rm+n'とおける。(r,n'∈N　n'＜2m)
このときsin(nkπ/m)=sin(2rkπ+n'kπ/m)=sin(n'kπ/m)となり2m≧nの場合に帰着する。
以上よりnを2mでわった余りをn'とおけば
Σ[k=1 to m-1]sin(nkπ/m)/sin(kπ/m)={ 0 n=even , m-n' n=odd }

となりました。実際計算するとこのようになるようです。
大数での解答はどうなってるのか気になります。

>>475の7行目の最後　|(n-2p-1)π|＜2π⇒|(n-2p-1)π/m|＜2π
>>477の1行目(r,n'∈N　n'＜2m)→　n'は0のときもありますがそのときの結果は明らかです。
訂正です。まだあるかもしれませんが適宜読み替えてください。

むむむっ、すごいです
印刷したので、じっくり読ませてもらいます
すごすぎるっ！

受験板から

nが正の整数のとき次の等式を示せ
(2cosθ)^(2n) = C(2n,n) + 2Σ[0≦k≦n-1]( C(2n,k) * cos(2(n-k)θ) )

複素数の極形式表示にドモアブルの定理を用いたものと、
二項展開式で表したものの実部を比較したらいけそう…（まだ成功してません）
もとになる複素数を どう取ったらいいかで考え中。
三角関数の和の問題って、おもしろいですね〜。

右辺=Σ[0≦k≦2n](C(2n,k)*cos(2(n-k)θ))
さてどうしよう…

>>482さんに続いて計算したんだけど、どっかで計算ミスったようで
(2cosθ)^{2n}cos(nθ) になってしまった。

Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*cos(2(n-k)θ) + iΣ[0≦k≦2n]C(2n,k)*sin(2(n-k)θ)
= Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*{cos(2(n-k)θ)+isin(2(n-k)θ)}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*{cos(-2kθ)+isin(-2kθ)}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*{cos(-2θ)+isin(-2θ)}^k
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{1+cos(-2θ)+isin(-2θ)}^{2n}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{1+cos(2θ)-isin(2θ)}^{2n}
= {cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{2cos^2(θ)-2isin(θ)cos(θ)}^{2n}
= {2cos(θ)}^{2n}*{cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{cos(θ)-isin(θ)}^{2n}
= {2cos(θ)}^{2n}*{cos(2nθ)+isin(2nθ)}*{cos(-2nθ)+isin(-2nθ)}
= {2cos(θ)}^{2n}
実部、虚部を比較して、
Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*cos(2(n-k)θ) = {2cos(θ)}^{2n}
Σ[0≦k≦2n]C(2n,k)*sin(2(n-k)θ) = 0

読みづらいかもしれませんが、何とか解けました。
最近、総和記号�狽ｪ機種依存文字と知って、Σに変更しました。

例のタンジェント数を使う問題をメモった紙が紛失して探してるところです。
見つけ次第かきこみます。

ついでに、>>482の式変形について、右辺を
　C(2n,n) + Σ[0≦k≦n-1] + Σ[0≦k≦n-1]
と分けて第３項を変形。2n-k=k'と変換すると
　C(2n,k) = C(2n,2n-k)= C(2n,k')
　cos(2(n-k)θ) = cos(2(-n+k')θ) = cos(2(n-k')θ)
より、第３項 = Σ[n+1≦k'≦2n](C(2n,k')*cos(2(n-k')θ)) から得られる。

受験板に行ったら、まだ解決していなかったので、答えだけ貼ってきました

　　_n
　（　l　　　　_、_
　 ＼ ＼　（ <_,`　）
　　　ヽ___￣￣　 ） 　　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ!!　
　　　　　/ 　 　/

>>480
ド・モアブルの定理による解法は出たようなので数学的帰納法で考えてみる事にした。
…出来なくはなさそうだがこっちのほうが面倒な気がする。

>>475-478
解答を追ってみました。凄すぎますね。
喩えるなら、横一列に並んだ sinkθ/sinθ
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
の和を求めるのに、それぞれの〇を縦にcosの和に分解して
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 → 〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 → 〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 → 〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 → 〇
〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇 → 〇
これを各行、横にまとめるんですね。自分じゃ思いつかなかったと思います。

>>490
イメージとしてはそのとおりです。何でこんな事をしたかと言えば、
まずPCで実際に計算する事で2m≧nについての結果を予想しました。
結果を見ての通り、和はnの偶奇に強く依存します。このことから
Σ[k=1 to m-1] というmに関する和の形よりもnに関する和の形のほうが
自然な形なのでは？と考え、sin(nkπ/m)/sin(kπ/m)を和の形で表しました。
和の順序の交換と言うのアイディアは、ちょうど>>466でやったのが参考になってます。

このスレもそれなりにたくさん人がいるようでなんかうれしい475=181でした。

181さんでしたか、おひさです。
sage進行で順調に話題が提供される、いい感じです。
参加者もそれなりにいるし、この調子で三角関数のコレクションをしましょう。

>>480に二項係数の混じった三角関数の和の問題が出てたので、類題を…。
　Σ[0≦k≦n]C(n,k)*cos(kx)、 Σ[0≦k≦n]C(n,k)*sin(kx)

続けて、今度は二項係数の代わりに等比数列に変えたものを考えてみます。
>>492を問題(1)としておきます。

問題(2) 0≦r<1とするとき、次の和を求めよ。
　Σ[0≦k<∞](r^k)*cos(kx)、 Σ[0≦k<∞](r^k)*sin(kx)

さらに、分数をつけてみたり…

問題(3) 0≦r<1とするとき、次の和を求めよ。
Σ[1≦k<∞] {(r^k)/k}*cos(kx)

ここまで書くと、次に何をするかバレバレだったりしますが…

問題(4) 0≦r<1とするとき、次の和を求めよ。
　Σ[0≦k<∞](k+1)*(r^k)*cos(kx)、 Σ[0≦k<∞](k+1)*(r^k)*sin(kx)

もうちょっとだけ、お付き合いを…

問題(5) 次の和を求めよ。
　Σ[0≦k<∞]{1/(k!)}*cos(kx)、 Σ[0≦k<∞]{1/(k!)}*(r^k)*sin(kx)

上の問題の訂正です！！ sinのほう消し忘れてました、すみません
綺麗に書き直します。

問題(5) 次の和を求めよ。
　Σ[0≦k<∞]cos(kx)/(k!)、 Σ[0≦k<∞]sin(kx)/(k!)

とりあえず、これで最後です。
一度に出さないで、小出しにした方がよかったですか？

問題(6) 次の和を求めよ。
　Σ[0≦k<∞]cos(kx)/k、 Σ[0≦k<∞]sin(kx)/k

読みづらくなってすみません。下にまとめますので、ぜひ解いてみて下さい。

問題. 次の級数の和を計算せよ。ただし 0≦r<1 とする。
(1) Σ[0≦k≦n]C(n,k)*cos(kx)、 Σ[0≦k≦n]C(n,k)*sin(kx)
(2) Σ[0≦k<∞](r^k)*cos(kx)、 Σ[0≦k<∞](r^k)*sin(kx)
(3) Σ[1≦k<∞]{(r^k)/k}*cos(kx)
(4) Σ[0≦k<∞](k+1)*(r^k)*cos(kx)、 Σ[0≦k<∞](k+1)*(r^k)*sin(kx)
(5) Σ[0≦k<∞]cos(kx)/(k!)、 Σ[0≦k<∞]sin(kx)/(k!)
(6) Σ[0≦k<∞]cos(kx)/k、 Σ[0≦k<∞]sin(kx)/k

さくらスレより

|x|＜1
Σ[1≦k＜∞](-1/k)*{(-x)^k}*{sin(kα)}^2＝？

>>501
計算が間違ってなければ次のようになります。
499の中にも同様に解けるものがありますが…。

与式
=(1/2)Σ[1≦k＜∞](1/k){(-x)^k}cos(2kα) - (1/2)Σ[1≦k＜∞](1/k){(-x)^k}
=(1/4)log({(1+x)^2}/{1+2xcos(2α)+x^2})

>>499の訂正とか追加を…
問題の条件を |r|<0 とします。
計算で角度xでまずいところが出たら適当に除外してください。
(3) 0<x<2πとしたら Σ[1≦k<∞]{(r^k)/k}*sin(kx) もできそうですかね
(4) 類題として､次を追加
　 Σ[0≦k<∞]k*(r^k)*cos(kx)、 Σ[0≦k<∞]k*(r^k)*sin(kx)
(6) 0<x<2πが必要ですね

（＾＾）

保守代わりに
(1)Σ[k=1 to n]cot^4{kπ/(2n)}=?
(2)　(1)の結果を用いてΣ[k=1 to ∞]1/k^4の値を求めよ。
…芸がないな、俺もw
>>499
(1)(2)(4)(5)は何とかなりそう。(6)は微妙にわからん。
(3)はサパーリわからん。項別に微分するのか?

pを素数とする。
�納k=1,p]sin((2π)(k^2)/p)
を求めよ。

>>499-503、509-510
キタ━(ﾟ∀ﾟ)━!!!!
しばらく楽しめそう…

>>510
p=2のとき与式=0だから、pが奇素数のときを考える。
k=pのとき0で、k=p-mのときはk=mのときと同じ値をとるから
　 与式 = 2Σ[k=1 to (p-1)/2]sin(2πk^2/p)
である。sinの周期性から、ガウス記号を用いて
　 sin(2πk^2/p) = sin{2π(k^2/p-[k^2/p])}
ここまで変形して、多分0〜πの間の角を全て取ってくれればいいなと思ったが、
実際に p=3,5,7,11,13まで調べてみたところ、π〜2πの間の角も入っていた…。
p=3のとき与式=sqrt(3)
p=5,13のときは、うまく打ち消しあって与式=0になるんだけど、
p=7のときに、与式 = 2{-sin(π/7)+sin(2π/7)+sin(3π/7)} の計算を、
このスレの上の方の問題にあったと思うやり方を参考にして、θ=π/7とおき、
sin(3π)=sin(π-4θ)を３倍角・２倍角を使って関係式を作ったが、結局求まらず。
難しいですね…。

うっかり、sage忘れました。
すみません。

p=7のときは
sin(2/7π)+sin(8/7π)+sin(18/7π)+sin(32/7π)+sin(50/7π)+sin(72/7π)+sin(98/7π)
=sin(2/7π)+sin(1/7π)+sin(4/7π)+sin(4/7π)+sin(1/7π)+sin(2/7π)+sin(0π)
=√7
になる。p≡1(mod 4)のとき０になるのはまあ簡単だけどp≡3(mod 4)のときは
たぶんメチャメチャむずかしいよ。答えは予想できるけど。

>>515
sin(8π/7)=-sin(π/7)、sin(50π/7)=-sin(π/7)では？
予想できると言うのは、もしかしてsqrt(p)になりそうとか？

ひょっとしてスレタイの元ネタは>>510の式？

とりあえず p=11 のとき
Σ[k=1,11]sin((2π)(k^2)/11) = tan(3π/11)+4sin(2π/11) が確認できたので
Σ[k=1,11]sin((2π)(k^2)/11) = sqrt(11) は真

>>516
あ、そうそう。そのとうり。
　
＞もしかしてsqrt(p)になりそうとか？
　
なりそうというかなる。証明はめちゃくちゃムズイとおもう。
(�納k=1,p]sin((2π)(k^2)/p))^2=p
はそんなにむずかしくないかも。

なんにせよ、面白い問題ですね。
もうちょっと俺もがんばってみます。

グラフかいてみたけど、特に素数ってのに拘る必要はなさそう。

予想。
p = 4n, 4n+3 のときは、sqrt(p)
p = 4n+1, 4n+2 のときは、0

>>521
一般にそうだが素数の場合は比較的楽に示せるとか、そういうことだと思ったんだが
示せたわけじゃないんで実際どうなのかは何とも。

素数でなくても成立するよ。

あ、ごめん>>523はうそ。ただしいかどうかしらない。

タイトルの問題がこんなに深いものだったとは…。
みんなで掛かれば直ぐに解決しそうだね。

だれか、早く解いてー

おれ出題者なんだけどこれたぶん元ネタしらないとなかなか自力では証明できないと
おもう。自力で証明するんじゃなくて証明のってる本さがしたほうが早いかも。
もちろん自分でできるにこしたことはないんだけど･･･

簡単には思いつかないような解法なんですね。
ずっと考えてましたが降参です。
このスレに書き込み始めてから６ヶ月、図書館で三角関数がらみの問題を
かなり探してますが、まだ こんな面白い問題が埋もれていたとは…。
ぜひとも参考文献を紹介してください。

>>528
元ネタはガウスの定理　
　
　�納k=1,p-1]x(k)exp(i2πk/p)
　=√p (p ≡ 1 mod 4) or (√p)i (p ≡ 3 mod 4)
　
　ただしx(k)はt^2≡k (mod p)が整数解tをもつとき1,もたないとき-1でさだめられる関数。
　
を使えば示せます。さらにその元ネタはこの両辺を２乗した式
　
　(�納k=1,p-1]x(k)exp(i2πk/p))^2
　=p (p ≡ 1 mod 4) or -p (p ≡ 3 mod 4)
　
をガウスが平方剰余の相互法則といわれるものを証明するのに発見したことからはじまるらしいです。
下の等式の証明はいろんな整数論の教科書にのっているし証明もわりとやさしいです。
それで�納k=1,p-1]x(k)exp(i2πk/p)の可能性はあと符号をきめるだけなのですがそこが
めちゃめちゃむずかしく天才ガウスをして証明に４年の歳月を要したそうです。現在では
いろんな証明があるそうですが私は一つしかしりません。岩波の現代数学の基礎の数論２
にのってます。アウトラインだけでも１０レスぐらい必要です。

矢張り平方剰余の相互法則とからんでたか。
なんかそんな気がしたんだよなぁ。

>>529
ありがとうございまする〜
さっそく図書館行ってみます

その１０レスぐらいをおながいします。

>>532
ながいので教科書みながら復習がてらコツコツ書いてみます。
ひまをみつけてやってみますのでしばしお待ちを。

よろしくおながいします。

>>534
…。

おいらが知ってた証明ってのは代数体のζ関数ってのをつかう証明だったんだけど
もっと簡単な証明みつけた。なんのことはない、ガウスのオリジナルの証明。
高木貞治の初等整数論講義って本の付記ってとこにあった。こっちの証明はすっげー簡単。
ああ、こんな簡単にしめせるのかって感じ。といってもオイラには到底おもいつかないけど。
どうしよ。もちょっと挑戦する？もう答えうぷしたほうがいい？

>>499を教えて下さい。

>>540
逝ってよし！

ageるな、危険！

>>540は丸投げ厨と同値。

>>540
このスレの過去ログを読んでください。
基本的に既出問題の解法で片付くものばかりです。
復習問題のつもりで出題したので、がんばって解いてください。
>>543の言う通り、丸教え君は相手にしないつもりです。

>>536
まだいいです。
答えがあると、つい見てしまうから…。

（＾＾）

o(*´д`*)oﾌﾞﾝﾌﾞﾝ

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

5月age

久しぶりです。問題うっぷ！

【2003京大後期】 次の不等式を示せ。
2sin40ﾟ + 3sin80ﾟ + … + 9sin320ﾟ = -9/(2tan20ﾟ)

不等式じゃないやん

��(￣□￣；)！！

ごめん、等式です。
（それにしても書いて５分も経ってないのに、もう見つかったか…）

>>555
元ネタがわからない・・・
積和でシコシコ

(補)
正9角形の9頂点の重心を考えて
cos20ﾟ + cos60ﾟ + cos100ﾟ + … + cos340ﾟ = 0

(与式) * (2sin20ﾟ)
= (2sin40ﾟ + 3sin80ﾟ + 4sin120ﾟ + … + 9sin320ﾟ) * (2sin20ﾟ)
= 2(cos20ﾟ - cos60ﾟ) + 3(cos60ﾟ - cos100ﾟ) + 4(cos100ﾟ - cos140ﾟ) + … + 9(cos300ﾟ - cos340ﾟ)
= 2cos20ﾟ + cos60ﾟ + cos100ﾟ + cos140ﾟ + … + cos300ﾟ - 9cos340ﾟ
= (cos20ﾟ + cos60ﾟ + cos100ﾟ + cos140ﾟ + … + cos300ﾟ + cos340ﾟ) - 9cos20ﾟ
= - 9cos20ﾟ

(与式) = (- 9cos20ﾟ)/(2sin20ﾟ) = -9/(2tan20ﾟ)

>>558
ぉぉ！

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

>>562
何がしたいの。

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

次の数列の一般項を求めよ。

a_{n+1}=(a_n)^2-2, a_1=1/3

>>563
保守ですよ。長期間 書き込みがないと、たぶん消されるから。
それにしても書き込みがあると思ったら、山崎だった…。

>>565
サッパリ分かりません。ヒント下さい。

久々に問題うっぷ。180です。みんな元気かな？
【お茶の水女子大】 次の不等式を示せ。
　cos(1/2)cos(1/3)…cos(1/n) > 2/3

初項を1/3ではなく，適当な三角関数に置き換えてみよう。

>>566
書き込みがあったって削除されるスレは削除される。

>>565
ａｂ＝１のときａ＾２＋ｂ＾２＝（ａ＋ｂ）＾２−２だから
ａ（ｎ）＝ｐ＾（２＾（ｎ−１））＋ｑ＾（２＾（ｎ−１））。
ｐ，ｑは（１±√（３５）ｉ）／６。

>>566
ｃｏｓ＾２（１／ｎ）≧（１−１／２ｎ＾２）＾２≧１−１／ｎ＾２。
（ｃｏｓ（１／２）ｃｏｓ（１／３）．．．ｃｏｓ（１／ｎ））＾２≧（ｎ＋１）／２ｎ＞１／２。
ｃｏｓ（１／２）ｃｏｓ（１／３）．．．ｃｏｓ（１／ｎ）＞１／√２＞２／３。

>>569
そうですね。a_n=2cos(2^{n-1}arccos1/6) でもＯＫです。

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>>587
埋めるな。

かな〜り前に言ってた問題が、やっと数算王に掲載されたよ

>>589
win電卓で出して2乗しますた。これからちゃんと考えます。

むむっ、その手があったか
してやられたな…
この問題は、このスレのタイトルの問題を参考にして作りました。
と言うわけで、解法もごにょごにょ…

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

このスレッドは

　　　おはようから、おやすみまで、暮らしを邪魔する在日
　　　捏造一筋、朝日新聞
　　　お口の悪臭 キムチ
　　　あしたのゴミ 捨民党
　　　他人を殺しても自分を守る　人間の盾
　　　The fabrications are infinite, 韓国政府
　　　Drive your delusions, ヒュソダイ自動車
　　　Shift the past, シンスゴ
　　　犬を、おいしく、楽しく、COREAN
　　　Inspire the anti-Japanese, プロ市民
　　　拉致ひとすじ 金正日
　　　妄想 ふくらまそう 在日団体
　　　淫らな明日のために 従軍慰安婦
　　　黄色いエラ 偽右翼
　　　犯行は計画的に ほのぼのレイプ
　　　歴史をクリエイトする 韓国
　　　電波も全開に　コリア　政府
　　　悪名世界一への挑戦　サムスン電気
　　　
　ご覧のキムチ野郎の提供でお送りします。

塾のバイトで見つけた入試問題から、うっぷ。
【千葉大】 次の無限級数の和を求めよ。
Σ[1≦k<∞] {1/(2^n)}*tan(π/{2^(n+1)})

揚げ玉ボンバー

(σ･∀･)σｹﾞｯﾂ!! ６００

Σ[n=1 to ∞]Arctan{1/F_(2n-1)}の収束する値を求めよ

ただし　F_1=1　F_2=1　F_(n+2)=F_(n+1)+F_nをみたす。
あんまり三角関数ぽくないが一応。

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

なかなか

651 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/08/14 01:10
3つの実数、sin(2π/7)/sin^2(4π/7), sin(4π/7)/sin^2(8π/7), sin(8π/7)/sin^2(16π/7)
を解に持つ3次方程式を求めよ。

sinを含まない答えになるようですが、どうやったら方程式が求まりますか？

さくらスレのヒントを元に計算
逆数a,b,cを解に持つ方程式は(y-a)(y-b)(y-c)=0

a+b+c=…=sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(6π/7)+sin(8π/7)+sin(10π/7)+sin(12π/7)=0
ab+bc+ca=…=(-1/2)*(3-(cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)))=-7/4
abc=…=(-1/4)*(sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7))=-(√7)/8
∴8(y-a)(y-b)(y-c)=8y^3-14y+√7=0

よって求める方程式は
(√7)x^3-14x^2+8=0　⇔　x^3-(2√7)x^2+(8/√7)=0
↓と微妙に違う

661 ：１３２人目の素数さん ：03/08/14 01:40
ａ＾３−４√（７）ａ＾２＋８／√（７）＝０。

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

>>606
俺がやると ab+bc+ca=-9/4 になってしまうのですが…

>>608
たぶんcosか何かの符号ミス…
ab+bc+ca=(-1/2)*(4±(1/2))
　　　　　　　　　　　　 ↑
計算過程は違うだろうけどこの辺り

>>606であってんでわ？以下rubyによる計算

require 'Mathn'
PI=Math.atan2(1,1)*4
SR7=Math.sqrt(7)
s=2*PI/7
x=Math.sin(s)/(Math.sin(2*s)*Math.sin(2*s))
u=-2*SR7
v=0
w=8/SR7
print x*x*x+u*x*x+v*x+w
　
結果
-8.881784197e-016

>>610
検証�dクス

計算過程で>>529のガウスの式と同値な
√7=2(sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7))
この式を証明なしに使った

608ですが、半角の公式を使うところで符号を間違ってました。
ab+bc+ca=-7/4になりました。

なんとか606になりました。
計算方法など、いい勉強になりました。

ba+bc+caのところで、z^7=1の解と係数の関係の実部を利用して
　cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7) = -1/2
が得られていたので、abcのところは次の計算で。

{sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7)}^2
　=3/2-{cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)}/2

>>613
素晴らしい
今回の謎は全て解決

ほしゅったらageろ！

3･sinθ/(2+cosθ) ＜ θ ＜ tan(θ/3)＋2･sin(θ/3)
Snellius が発見し Huygens が証明したとされる。

Google使えば秒殺

http://www.google.com/search?hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&c2coff=1&q=pi+*+log+e+*+163%5E0.5+%2F+log+262537412640768744&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=
http://www.google.com/search?hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&c2coff=1&q=262537412640768744*e%5E%28-pi*163%5E0.5%29%2B196884*e%5E%28-2pi*163%5E0.5%29&btnG=Google+%8C%9F%8D%F5&lr=

tan((3 * pi) / 11) + (4 sin((2 * pi) / 11)) = 3.31662479

どうかな？

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00147.html
解読ｷﾎﾞﾝﾇ

http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/56.html
http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/menu/trig_printable.shtm
l

↑貼りミス
http://www.nrich.maths.org.uk/askedNRICH/edited/menu/trig_printable.shtml

あんまり面白くもないがネタもないので書いてみる。保守がわりと思ってください。
m=2nとする。
t^m-a^m
=Π[k=0 to m-1] {t-aexp(kπi/n)}
=Π[k=0 to n-1] {t^2-2atcos(kπ/n)+a^2}
t=(1+x)　a=(1-x)　を代入、整理すると
(1+x)^m-(1-x)^m
=4xΠ[k=1 to n-1]{4sin^2(kπ/m)+4cos^2(kπ/m)x^2}
=4xΠ[k=1 to n-1]{4sin^2(kπ/m)}*Π[k=1 to n-1]{1+cot^2(kπ/m)x^2}
(1+x)^m-(1-x)^mのxの係数は4nなので
(1+x)^m-(1-x)^m=4nxΠ[k=1 to n-1]{1+cot^2(kπ/m)x^2}
両辺対数を取って微分すると　（長いのでtとaでかく)
{t^(m-1)+a^(m-1)}/{t^m-a^m}=1/x+2Σ[k=1 to n-1]cot^2(kπ/m)x/{1+cot^2(kπ/m)x^2}
両辺xかければ
x{t^(m-1)+a^(m-1)}/{t^m-a^m}=1+2Σ[k=1 to n-1]cot^2(kπ/m)x^2/{1+cot^2(kπ/m)x^2}
cot^2(kπ/m)x^2/{1+cot^2(kπ/m)x^2}を等比級数の和としてみて展開、和の順序交換をすると
以下のマクローリン展開を得る。(ちゃんと剰余項を評価する事もできるが)
x{t^(m-1)+a^(m-1)}/{t^m-a^m}
=1+2Σ[p=1 to ∞](-1)^(p-1)*{Σ[k=1 to n-1]cot^(2p)(kπ/m)}x^(2p)
これよりf(x)=x{t^(m-1)+a^(m-1)}/{t^m-a^m}と置きfのn階導関数をf^(n)と書くとすると
Σ[k=1 to n-1]cot^(2p)(kπ/m)=(-1)^(p-1)f^(2p)(0)/{2*(2p)!}
となる…が、実際の計算には役立たん罠。

ほしゅったらageろ

名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/12 15:56
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/12 03:49
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/12 00:38
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/11 15:23
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/10 23:24
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/10 16:45
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/10 03:17
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/09 16:57
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/09 15:31
名前：１３２人目の素数さん 投稿日：02/06/08 13:43
だれじゃーヽ(`Д´)ノカキコしてる奴ぁ！
こんな単発スレ、さっさと倉庫逝きにしろやｺﾞﾙｧ（ ゜д゜）!!

　

たぬきage

面白い問題おしえて〜な 七問目 160より

Σ[k=1,n] ( tan(kπ/2n+1) )^2 をもとめんしゃい。

2n+1=mと置く
ドモアブルの定理より　(cosx+isinx)＾m=cos(mx)+isin(mx)
二項定理より　(cosx+isinx)＾m=Σ[K=0,m]comb(m,k)*(i^k)*cos^(m-k)(x)*sin^k(x)
虚部を比較して　sin(mx)=Σ[k=0,n](-1)^k*comb(m,2k+1)cos^(m-2k-1)(x)*sin^(2k+1)(x)
この式の両辺をcos^(2*n)(x)*sinxで割ると　
sin(mx)/{cos^(2n)(x)sinx}=Σ[k=0,n](-1)^K*comb(m,k)*tan^(2k)(x)
となる。左辺はx=k*pi/m　k=1〜nで0になるので、右辺でtan^2(x)をxと置きなおし
Σ[k=0,n](-1)^K*comb(m,k)*x^k=0　というn次方程式を立てると、解は
x=tan^2(k*pi/m)　k=1〜n　解と係数の関係より
Σ[k=1,n]tan^2(k*pi/m)=comb(2n+1,2n-1)/comb(2n+1,2n+1)=n*(2n+1)

面白い問題おしえて〜な 七問目 218より

Σ[n=1,∞] (sin(n)/n)^2

��(sin(n)/n)^2
=��(1-cos2n)/(2n^2)
ここでフーリエ展開の公式
�把osnx/(n^2)=(1/4)(x-π)^2/4-π^2/12
にx=2を代入して
�把os2n/(n^2)=(1/4)(2-π)^2-π^2/12
だから
=��(1-cos2n)/(2n^2)
=(1/2)(��1/n^2-�把os2n/(n^2)
=(1/2)(π^2/6-(1/4)(2-π)^2+π^2/12)
=(1/2)(π^2/4-(1/4)(2-π)^2)
=(1/8)(π+(2-π))(π-(2-π))
=(1/8)(2)(2π-2)
=(π-1)/2
まあ�敗in(n)/nの方でフーリエ級数使ったから次もそうだろうなとあたりはついてたんだけど。

面白い問題おしえて〜な 七問目 203より

Σ[n=1,∞] (sin(n))/n

とりあえずe^i=ρとおいて
im�敗in(n)/n
=im��(ρ^n)/n (←これが収束するとすると仮定してAbelの定理より)
=imlog(1-ρ) (logsはRes>0で定義された正則関数でlogs=log|s|+iargs
=arg(1-ρ)
=arctan(sin1/(1-cos1)) となったんだけど。よく考えるとさらに
=arctan(2sin(1/2)cos(1/2)/2sin^2(1/2))
=arctan(cot(1/2))
=arctan(tan(π/2-1/2))
=π/2-1/2

　　　　　　　　　　　　　　 /　　／　　　　　／　　　|　 　 　 ＼ ヽ
　　　　　　　　　　　　 　 /　／　 ／　　 / /　　　 ||　 |　　i　 ヽ i
　　　　　　　　　　　　　 i　/　　/　/　　/ / /　 　 ||　 ||　　|│ |ﾉｽ
　　　　　　　　　　 　 　 |//　 /　/___, -一ｧ|　　/! |ﾄ、|│　|　|　く」
　　　　　　　 　 　 　 　 |,-‐¬ ￣---┘'７ |!　 ﾊ! |,､-┼十|!　|　| |
　　　　　　　　　 , -‐ ''"　　し' '´_ ／,ィ二l |ﾄ、/!ヽﾄ､＼_ヽ!|!l　| ﾊ |
　　　　　　　,r／　　　　　　__　　 ,イ|ﾘ ヾハ! ヽ!　 ,ィ⌒ヾﾐﾘﾉ!/ﾘ　 |
　　　　　 ／ ||ヽ　　-'　　 　 ／￣ )｀　__　　　　　　|ヒﾉ:} '` ,ｲ/ |　 |　
　　　 ,r '　　 ヾ､　　,-､＿___ , イ￣,r=＝-　　　　　　==-'　 ﾚ' /|　 | 　　
　　／　ヽ　　　 `ーｿ　 '　|　|ﾄ､,ﾍ ′""　　　　　　　 　 "" / / ||　|　　　
. ／　　　 ＼_　　／　　|　ﾊ　ヽ｀ﾞ'ﾍ　　　　　　 ' '__. ィ　　／ / | |　 |　　
　　 　 　 　 　 ／　　 /　/ |　 ヽ 川＼　 　 ヾ三ﾆ‐'′／/! |　 | |　 | 　　　このスレを死守するであります
　　　　　　　 /　　　 /　/ 八　 ＼川| |`ト-　..　 __ , イ‐ｧﾍ |　 | ||　 |!
　　　　　　／　　　 /　/ /　 ＼　 ＼ 「`ー- ､　　　　／ 　.〉　 ト､|　 ヽ、
　　　　 ,イ　　　 ／-─＝¬ﾆヘ､_　 ＼ 　 厂＼　厂ヽ　/!| 　 |　`ｰ＝ﾍ
　-‐ ￣ /─　' ￣　　　　　├-　ヽ＼　 ＼ﾉ＼　＼　人 ﾊ!ヽ　||　　|-┤ ヽ
　 　 　 /　　　　　　　　　 ／!‐--　| |＼ 　 ﾄ､_｀ヽ oヽ　　ﾄ､!　 ||　　|‐┤- ヽ
　　／/ 〉　　　　　　__ ／　 ├‐-　 ||　 | 川-‐　　|　|　　厂7! ﾊ!　 ├:┤　￣ヽ
　　／ / ｰ ─ 　 ￣ 　 　 　 ├‐-　ﾘ　 || ﾊ!ﾍ　　 |　|　　ト┤|/′　ヾ,┤　　　ﾞi_
　　‐ '　　　　　　　　　　　　　 〉‐-　　　 | /　/＼ .|o |　/ヽ/（′　 　 ∨　　　　 ＼
‐--─　──-r､___-､　　　　/ー_　　 　 {(　　　'´＞､! /ヽ/　　　　　　 |＼ 　 　 　 ＼

6 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：03/11/25 02:08
nは2以上の自然数。
Σ[k=1,n-1] sin^(-2)(kπ/n) = (n^2-1)/3 を示せ。

よろしくお願いしまつ。

7 ：１３２人目の素数さん ：03/11/25 04:26
>>6
めちゃむずい。簡単な解法思いつかん。とりあえず↓これで
S=Σ[k=1,n-1] sin^(-2)(kπ/n)=Σ[k=1,n-1] 2/(1-cos(2kπ/n))
そこでP(t)=Π[k=1,n-1](t-cos(2kπ/n)とおく。このときS=2P'(1)/P(1)。
まずn倍角の公式より
cosnx=�納k=0,[n/2]]C[n,2k](cos^2(x)-1)^k･cos^(n-2k)(x)
=�納k=1,[n/2]]C[n,2k](cos(x)-1)^k･(cos(x)+1)^k･cos^(n-2k)(x)
　+�納k=0,n]C[n,k](cos(x)-1)^k
そこでQ(t)=�納k=1,[n/2]]C[n,2k](t-1)^(k-1)･(t+1)^k･t^(n-2k)+�納k=1,n]C[n,k](t-1)^(k-1)
とおくとcosnx=Q(cosnx)･(cosnx-1)+1となる。因数定理+αの議論よりP(t)=Q(t)×定数がわかる。
そこでQ(1)とQ'(1)をもとめればよい。
Q(1)
=�納k=1,[n/2]]C[n,2k](1-1)^(k-1)･(1+1)^k･1^(n-2k)+�納k=1,n]C[n,k](1-1)^(k-1)
=C[n,2](1+1)^1･1^(n-2)+C[n,1]
=n^2
Q'(t)
=�納k=1,[n/2]]C[n,2k](k-1)(t-1)^(k-2)･(t+1)^k･t^(n-2k)
+�納k=1,[n/2]]C[n,2k](t-1)^(k-1)･k(t+1)^(k-1)･t^(n-2k)
+�納k=1,[n/2]]C[n,2k](t-1)^(k-1)･(t+1)^k･(n-2k)t^(n-2k-1)
+�納k=1,n]C[n,k](k-1)(t-1)^(k-2)
より
Q'(1)
=C[n,4](2-1)･(1+1)^2･1^(n-2･2)+C[n,2]1^(n-2k)+C[n,2](1+1)^1･(n-2)t^(n-2-1)+C[n,2](2-1)
=n^2(n^2-1)/6
∴S=2Q'(1)/Q(1)=2･n^2･(n^2-1)/6/n^2=(n^2-1)/3

こんなのは既出だっけ？
Σ[k=1 to n-1]tan^4(kπ/(2n))の値を求めよ。

あげ

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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　> -=　　　　ﾉ　/
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やがてこのスレも腐海に沈む…＞　ヾヽヽヾヾヾヽヽヾヾヾ
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　　　　　　 /" /　　　 |　　　l､　l`ｰ､_ ヽ　＼ ＼ :|｀ヾl,>､　ヾ__,　　 |
　　　 /　 /　/　　　　/l　 j / `i.│ 　ヽ｀ヽヽ､､ヽ,| 　 （ ｀ｰ､,ノ　　　|　　　　
　 　 /　 /　/　 ,/ /'/ l　//　　l　|　　　＼ヽ ヽヽ｀､　 `''l　　　　　　 |　　　
　　/ 　 / /' / /'/'/ ,/　'/　　　| ,'　　　　,>､ヽヽヽ｀､　　｀ｰ-､　　　　|　　　　保守！
　/　　 / / / ,// /`/,><　　　　},' 　　 ／　｀､l､ヽヽ |　　　　　 l　　　 | 　　　
''"　　 / / / //,/ ,/',';;;;;､ヽ､　／ 　　/,ﾆヽ. ﾊl V）|Y　　　　　　 |　　　|
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　　　 |　|,l,ﾄ-’　　,. ,. `'''" lー―--‐;　　¨７-''／　　　　　　　　　 |　　　　|　
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　 /　　 /　./ .ハ__,...二ー ､ `''",. -'　 ,.--`､_,r-､!‐T　Y　　|　|､ノ　　　　　/
　/　　 /　 |　|イ　　_,.,..ニ,>-､ﾆ--､../､_　　　　,. ｀l `ｰr'､_ノ､ノ　　　　　 ,/

>>451だけど、今日、書庫で過去問を漁ってたら
The American mathema〜 Monthry 1951年 P.266
に載ってた。これが最初なんだろうと思う。

これを解いた475も、ここ読んでるかな？

>>649
一応見てます。ネタ提供なり何なりが出来てないのが心苦しいとこです。

大数にしても10年以上も前でしたが、一気に年代がさかのぼりましたね。

よかった。 ついでに もう一つ>>462の問題を やっと再発見しました。
タンジェント数の解説をしてくれた人が同一人物か知らないけど…。
次の問題の解説で出てきました。まだ理解してないので説明できないけど…。

「数学セミナーリーディングス エレガントな解答を求む 第２集」 117問(P.163)
無限積 Π[n=3 to ∞]cos(π/n) の値をできるだけ正確に求めよ。

　　　　　　　　　　　　 　 /　／　 ／　　 / /　　　 ||　 |　　i　 ヽ i
　　　　　　　　　　　　　 i　/　　/　/　　/ / /　 　 ||　 ||　　|│ |ﾉｽ
　　　　　　　　　　 　 　 |//　 /　/___, -一ｧ|　　/! |ﾄ、|│　|　|　く」
　　　　　　　 　 　 　 　 |,-‐¬ ￣---┘'７ |!　 ﾊ! |,､-┼十|!　|　| |
　　　　　　　　　 , -‐ ''"　　し' '´_ ／,ィ二l |ﾄ、/!ヽﾄ､＼_ヽ!|!l　| ﾊ |
　　　　　　　,r／　　　　　　__　　 ,イ|ﾘ ヾハ! ヽ!　 ,ィ⌒ヾﾐﾘﾉ!/ﾘ　 |
　　　　　 ／ ||ヽ　　-'　　 　 ／￣ )｀　__　　　　　　|ヒﾉ:} '` ,ｲ/ |　 |　
　　　 ,r '　　 ヾ､　　,-､＿___ , イ￣,r=＝-　　　　　　==-'　 ﾚ' /|　 | 　　
　　／　ヽ　　　 `ーｿ　 '　|　|ﾄ､,ﾍ ′""　　　　　　　 　 "" / / ||　|　　　
. ／　　　 ＼_　　／　　|　ﾊ　ヽ｀ﾞ'ﾍ　　　　　　 ' '__. ィ　　／ / | |　 |　　
　　 　 　 　 　 ／　　 /　/ |　 ヽ 川＼　 　 ヾ三ﾆ‐'′／/! |　 | |　 | 　　　このスレを死守するであります
　　　　　　　 /　　　 /　/ 八　 ＼川| |`ト-　..　 __ , イ‐ｧﾍ |　 | ||　 |!
　　　　　　／　　　 /　/ /　 ＼　 ＼ 「`ー- ､　　　　／ 　.〉　 ト､|　 ヽ、
　　　　 ,イ　　　 ／-─＝¬ﾆヘ､_　 ＼ 　 厂＼　厂ヽ　/!| 　 |　`ｰ＝ﾍ
　-‐ ￣ /─　' ￣　　　　　├-　ヽ＼　 ＼ﾉ＼　＼　人 ﾊ!ヽ　||　　|-┤ ヽ
　 　 　 /　　　　　　　　　 ／!‐--　| |＼ 　 ﾄ､_｀ヽ oヽ　　ﾄ､!　 ||　　|‐┤- ヽ

センター試験でド・モアブル出なかったな

25

ほしゅったらageろ！

　

悪いが、いくらageてもネタがないから書けん。

age

　

愛の愛情。
それは、良い麩のパイの半分くらい。

Σ＿｛ｎ∈Ｚ｝（１／（ｘ＾２＋ｎ＾２））＝πｃｏｔｈ（πｘ）／ｘ。

777

Σ[k=1 to n]1/[1+tan^2(θ)*cos^2{kπ/(2n)}]=?

このスレまだ見てる人いるのかなあ?

>>679 もちろん見てますよ。
さっそく解いてみるか…。
　　 ┏┓　 ┏━━┓　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼ 　　　　　　　　 .┏━┓┏━┓
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　┗┓┏┛┃┗┛┃┏━━━/　　　　　　　　　　　　　　　ヽ.━━━┓┃ 　┃┃　 ┃
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　　 ┗┛　 　 　 ┗┛　　　　　　ヽ::::::::::::::::::.　　＼／　　　　　ノ　　　　　　┗━┛┗━┛

いつものように二項展開してゴチャゴチャやってみたけど
tan^2θがじゃまで、問題の形が出てこない。すこしだけヒントをキボンヌ。

　　　　　　／￣￣￣￣￣￣＼
　　　　／　ノ（　 　　　U　　　　＼
　　　/　　U ~ 　　　　　　　　 　 　ヽ
　 　 l:::::::::　　　　　＼,, ,,／ 　 　 　 |
　 　 |:::::::::: 　|||（●） 　 　 （●）　 　|
　　　|::::U::::::///U＼＿＿_／ ///　|
　 　 ヽ:::::::::::::::::::.　　＼／　　　　　ノ

結構無理やりな問題なんで、問題の形から答えを導くのは厳しいかも。
その意味じゃあまり良い問題じゃないかも。
最初はΣ[k=1,n-1]1/{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}を求めました。

>>682
その最初で鉛筆が進まないのだった…。

x^(2n)-y^(2n)=(x^2-y^2)Π[k=1,n-1]{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}
から両辺対数とって微分してごちゃごちゃと･･･

ネタがない。
x^(2n)-y^(2n)=(x^2-y^2)Π[k=1,n-1]{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}
から両辺対数とってxで微分して
2nx^(2n-1)/{x^(2n)-y^(2n)}=2x/(x^2-y^2)+Σ[k=1,n-1]{2x-2ycos(kπ/n)}/{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}
両辺xをかけて
2nx^(2n)/{x^(2n)-y^(2n)}=2x^2/(x^2-y^2)+Σ[k=1,n-1]{2x^2-2xycos(kπ/n)}/{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}･･･（１）

x^(2n)-y^(2n)=(x^2-y^2)Π[k=1,n-1]{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}
を両辺対数とってyで微分すると
-2ny^(2n-1)/{x^(2n)-y^(2n)}=-2y/(x^2-y^2)+Σ[k=1,n-1]{2y-2xcos(kπ/n)}/{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}
両辺-yをかけると
2ny^(2n)/{x^(2n)-y^(2n)}=2y^2/(x^2-y^2)+Σ[k=1,n-1]{-2y^2+2xycos(kπ/n)}/{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}･･･(2)

(1)+(2)
2n{x^(2n)+y^(2n)}/{x^(2n)-y^(2n)}
=2(x^2+y^2)/(x^2-y^2)+2Σ[k=1,n-1](x^2-y^2)/{x^2-2xycos(kπ/n)+y^2}

むずかすい…

個人的に創設した”糞の中にあるのに、まれにみる良スレで賞”を貴スレに差し上げます。

糞スレも3年待てば少しはマシになるという一例だな。

お前ら誰も気付いてないが

このスレがtanasinn発祥の地だったんだよ！

41

>693
tanasinnって誰よ？

tanasinn　age

tanasinn　age

tanasinn　age

ほしゅったらageろ！

不等式スレに書こうか迷ったけど、三角関数なのでココに。

任意の実数θと 正の数a,bに対して、次の不等式を示せ。
　a^{(cos θ)^2} + b^{(sin θ)^2} < a+b
〔出典：ASU 1984.5〕

　　 ＿＿＿　　　　　 ＿＿＿　　　　　 ＿＿＿　　　
　.／　 nCr ＼.　　.／　　≧　＼.　　.／ 　 cos ＼
　|:::: 　＼ .／　|　　|:::: 　＼ .／　|　　|:::: 　＼ .／　|　
　|::::: (●　(● |　　|::::: (●　(● |　　|::::: (●　(● |　ﾜｸﾜｸ
　ヽ::::... .∀....ノ 　　ヽ::::... .ワ....ノ 　　 ヽ::::... .▽....ノ　

＞＞703
a 、b ＝ 1/2 でθ＝π/4 の時
左辺＝ 2^(1/2) ＞ 右辺＝ 1
で、反例があるのでは？

>703
a,b>1 ぢゃないか??

18th ASU 1984 problems
http://www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov84.html

問題を写すし間違えているじゃん。

相変わらずの写し間違い。
死んでお詫びを…
　　　　　　 　　∧＿∧
　　　　　　 　 （´Д｀　）　　　
　　　　　 　　 / 　y/　 ヽ　　　　　　
　　　　Σ(m)二フ ⊂[_ノ
　　　　　 　 （ノノノ | | | l ）
　　　￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

＞708
z＝a^{(cos θ)^2} × b^{(sin θ)^2} とおく。
( a+b )/z ＝ x^{(sin θ)^2}＋x^{ー(cos θ)^2}　；x＝ a/b
x＞1 ==> x^{(sin θ)^2}＞1 、x^{ー(cos θ)^2}＞0
x ≦ 1 ==>　x^{(sin θ)^2}＞0 、x^{ー(cos θ)^2} ≧１
( a+b )/z ＞ 1 よって　a+b ＞ z

>711
なるほどッ！
ありがとうございます。

選挙って近所の小学校とかであるじゃん。前に行ったらたまたま
小学校のときの同級生だった女の子と会って。懐かしいねぇなんて
言ってそのままお持ち帰りで即マン。

tanasinnあげ

面接官「特技は数ヲタとありますが？」
数ヲタ 「はい。数ヲタです。」
面接官「数ヲタとは何のことですか？」
数ヲタ 「数学オタクです。」
面接官「え、ヲタク？」
数ヲタ 「はい。ヲタクです。数学板で質問したり解答したりします。」
面接官「・・・で、その数ヲタは当社において働くうえで何のメリットがあるとお考えですか？」
数ヲタ 「はい。数式で(´д｀；)ﾊｧﾊｧしたりできます。」
面接官「いや、当社では数式で(´д｀；)ﾊｧﾊｧする暇などありません。
　　　　それに数ヲタは肩身が狭いですよね。」
数ヲタ 「でも、他の趣味より安上がりですよ。」
面接官「いや、安上がりとかそういう問題じゃなくてですね・・・」
数ヲタ 「数式のほかにも、ロリＡＡに(´д｀；)ﾊｧﾊｧしたりもできますよ。」
面接官「ふざけないでください。それにロリＡＡって何ですか。だいたい・・・」
数ヲタ 「ロリータのＡＡです。アスキーアートの略です。アスキーアートというのは・・・」
面接官「聞いてません。帰って下さい。」
数ヲタ 「あれあれ？ 怒らせていいんですか？ 質問しちゃいますよ。数学の問題を。」
面接官「いいですよ。質問してください。数学の問題とやらを。それで満足したら帰って下さい。」
数ヲタ 「sin(A)+sin(B)+sin(C)=cos(A)+cos(B)+cos(C)+1をみたす三角形ABCの形状を求めよ。」
面接官「…。宿題の丸投げは禁止ですよ。もしかしてマルチしてないでしょうね？」
数ヲタ 「おやおや、分からないから問題のすり替えですか？」
面接官「誰も質問に答えるなんて言ってませんよ。質問して満足したら帰ってください。」
数ヲタ 「今日はハズレの日だ…」

sin(A)+sin(B)+sin(C) = cos(A)+cos(B)+cos(C)+1 をみたす三角形ABCの形状を求めよ。
A+B+C=180°、0＜A,B,C＜180°より、
sin(A)+sin(B) = 2sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2} = 2cos(C/2)cos{(A-B)/2}
また、cos(C)+1 = 2cos^2(C/2)　なので、sin(A)+sin(B)+sin(C) = cos(A)+cos(B)+cos(C)+1
⇔　2cos(C/2)cos{(A-B)/2}+sin(C) = 2cos^2(C/2)+cos(A)+cos(B)
⇔　2cos(C/2){cos{(A-B)/2}-cos(C/2)} = cos(A)+cos(B)-sin(C)
⇔　-4cos(C/2){sin{45°-(B/2)}sin{(A/2)-45°} = cos(A)+cos(B)-sin(C) ‥‥(*)
cos(C/2)≠0 なので左辺が0になるのは、
A = 90°, B+C=90°か、B = 90°, A+C=90°のどちらか一方。
A = 90°のとき、(*) より cos(B)-sin(90°-B) = cos(B)-cos(B) = 0 で右辺も0になるから、
B,Cにかかわらず常になりたつ。B = 90°(C = 90°)の場合も同様。以上より△ABCは直角3角形

A+B+C=180°、0＜A,B,C＜180°のとき、
sin(A)+sin(B)+sin(C) = cos(A)+cos(B)+cos(C)+1
⇔　sin{45°-(A/2)}sin{45°-(B/2)}sin{45°-(C/2)} = 0
∴ △ABCは直角3角形

面接官「まだあるのですか？ 数学の質問とやらが。質問したら帰って下さい。」
数ヲタ 「sin(A)sin(B)sin(A-B) + sin(B)sin(C)sin(C-A)
　　　　　+ sin(C)sin(A)sin(C-A)+sin(A-B)sin(B-C)sin(C-A) = 0
　　　　をみたす三角形ABCの形状を求めよ。」
面接官「なんですか、この長ったらしい式は？ どこから掘り出してくるのやら…」
数ヲタ 「おやおや、解けないからって、傍観者ぶるのですか？」
面接官「誰も質問に答えるなんて言ってませんよ。質問して満足したら帰ってください。」
数ヲタ 「(´д｀；)ﾊｧﾊｧ」
面接官「なんだこいつは！ 数式にハァハァしてやがるッ！」

>722
計算ミスでなければ、任意の角A,B,Cに対して成立か？

sin(A)sin(B)sin(A-B) + sin(B)sin(C)sin(C-A)
+ sin(C)sin(A)sin(B-C)+sin(A-B)sin(B-C)sin(C-A) = 0 ではないか？

sin(A)sin(B)sin(A-B) + sin(B)sin(C)sin(B-C)
+ sin(C)sin(A)sin(C-A)+sin(A-B)sin(B-C)sin(C-A) = 0 でした…

　　　　　　　　　　r〜〜〜〜〜
　　　＿_　　　　_ﾉ うっうっうっ・・・
　 ／__　 ｀ヽ_ ⌒ヽ〜〜〜〜〜
　 |〈___ﾉf レ1(
　,L|　しL.し'ﾞ"
　"｀　　"′

sin(A)sin(B)sin(A-B) + sin(A-B)sin(B-C)sin(C-A) = sin(A-B){sin(A)sin(B)+sin(B-C)sin(C-A)}
= (1/2)sin(A-B){cos(C)-cos(3C)} = sin(A-B)sin(C)sin(2C) より、
与式 = sin(B)sin(C)sin(B-C) + sin(C)sin(A)sin(C-A) + sin(A-B)sin(C)sin(2C)
= sin(C){sin(B)sin(B-C) + sin(A)sin(C-A) + sin(A-B)sin(2C)}
= -(1/2)sin(C){cos(2B-C) - cos(C) + cos(C) - cos(2A-C) - cos(2B-C) + cos(2A-C)} = 0
よって、A,B,C に関わらず常になりたつ。

ひさびさに。もうこの手の問題はみんな食傷気味かもしれないけど。
Σ[k=0,2n-1]{(-1)^k}*cot{(2k+1)π/(4n)}=?

さっそく解いてみるか…。
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もうしばし お待ちを…

age

ﾇﾌﾟﾘﾇﾌﾟﾘと新ネタｷｳﾞｫｵﾇ

>>727
解けなんだ…

>>732
しょうもないが、新ネタを。
cos(cos(cos(cos(x))))=sin(sin(sin(sin(x)))) を解け。

>734の補足
Sourece. 1994 Russian Math Olympiad Final Round
答えは 「解なし」

>>727ですが、解答書いちゃったほうがよいですか?

よろしくおねがいします、先生…。

まずおなじみの手法から　
sin(2nθ)=Σ[k=0,n-1](-1)^k*C[2n.2k+1]cos^(2n-2k-1)(θ)*sin^(2k+1)(θ)
ここから
1-sin(2nθ)=1-Σ[k=0,n-1](-1)^k*C[2n.2k+1]cos^(2n-2k-1)(θ)*sin^(2k+1)(θ)
両辺をcos^(2n)(θ)で割って、整理すると
{1-sin(2nθ)}/cos^(2n)(θ)=1/cos^(2n)(θ)-Σ[k=0,n-1](-1)^k*C[2n.2k+1]tan^(2k+1)(θ)
ここで　1/cos^(2n)(θ)={1/cos^2(θ)}^n={1+tan^2(θ)}^n　とできるので　tan(θ)=xと置くと
{1-sin(2nθ)}/cos^(2n)(θ)=(1+x^2)^n-Σ[k=0,n-1](-1)^k*C[2n.2k+1]x^(2k+1)

sin{(-1)^k*(2k+1)π/(4n)}=(-1)^k*sin{(2k+1)π/(4n)}=(-1)^k*(-1)^k=1　となり、
k=0,･･･2n-1についてtan{(-1)^k*(2k+1)π/(4n)}=(-1)^k*tan{(2k+1)π/(4n)}は全て異なるので
(1+x^2)^n-Σ[k=0,n-1](-1)^k*C[2n.2k+1]x^(2k+1)=0　の2n個の解は
(-1)^k*tan{(2k+1)π/(4n)}　k=0,･･･2n-1　とかける。　左辺の最高次の係数は1なので
(1+x^2)^n-Σ[k=0,n-1](-1)^k*C[2n.2k+1]x^(2k+1)=Π[k=0,n-1][x-(-1)^k*tan{(2k+1)π/(4n)}]
右辺の各項の定数項が1になるように変形すると、左辺の定数項が1であるので
(1+x^2)^n-Σ[k=0,n-1](-1)^k*C[2n.2k+1]x^(2k+1)=Π[k=0,n-1][1-(-1)^k*cot{(2k+1)π/(4n)}*x]
となる。右辺を改めて展開し、1次の係数を比較すると
Σ[k=0,2n-1]{(-1)^k}*cot{(2k+1)π/(4n)}=C[2n,1]=2n　を得る。

大学生以上の人にどぞ。
―問題―
∫[1/2-i∞,11/2+i∞](π/(s-1/4)^2) cotπsds
求めよ。

訂正
大学生以上の人にどぞ。
―問題―
∫[1/2-i∞,1/2+i∞](π/(s-1/4)^2) cotπsds
求めよ。

積分区間が意味不明。
ネタか？

書かなくてもわかると思った。確かに明示しとくべきだな。スマン。
積分は複素線積分。積分路はγ(t)=1/2+it (t∈-∞,∞)でさだめる。
複素線積分の表示しないなら
―問題―
∫[-∞,∞](π/(1/2+it-1/4)^2) cot(π(1/2+it))idt
を求めよ。
――
あるいは
―問題―
lim[T→∞]∫[-T,T](π/(1/2+it-1/4)^2) cot(π(1/2+it))idt
を求めよ。
――
でもいいんだけど。あんまり美しくないからな。

ｆ(^_^;)

　

∫[A(t)cos(ωt+φ(t))]dtってどうなりますか？

三年。

　　　

地震

じしーん

363

次スレ立ててこのスレ終了すれ

>>761
はぁ？
何故？
何のために？

(1) まだ 250 近く書き込めるのに、次スレを急ぐ必要がない。
(2) ネタもなく、カウント厨以外に書き込みもないのに次スレの必要がない。
(3) なぜこのスレを終了したがるのか意味不明

ゆえに、761 はただの馬鹿。

1/tan(π/7)+1/tan(2π/7)-1/tan(3π/7)=√7
以前オイラーのsinxの無限積表示を積分してxにm/lをつっこんで、(´д｀；)ﾊｧﾊｧした式です。
ざっとここまで読んでとてもはずかしくなったのですが、メモしときます。

1/sin(π/7) = 1/sin(2π/7) + 1/sin(3π/7)

発掘元
http://www.math.nwu.edu/~mlerma/problem_solving/problems/math_hor-11-4-apr04.pdf
　　　　　　　　　　＿＿＿
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　三角関数と聞ゐちゃぁ
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　　黙っちゃゐられねゑ…
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　　ﾊｧﾊｧ
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　　　（何ヶ月ぶりか…）
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

　

×積分して
○確か、対数とって微分したんだったと思う。そんで、３つくらいの式を足したり
引いたりしてみた様な記憶がある。ともかく、オイラーのsinxの無限積表示は偉大
だ。いじってるとおもしろいよ。

　　　　

>>766　これはこのスレ既出の結果を使うと比較的容易。
1/sin(π/7)-1/sin(2π/7)-1/sin(3π/7)を通分して計算した分母は
{sin(π/7)-sin(2π/7)-sin(3π/7)}^2-Σ[k=1,3]sin^2(kπ/7)　となる。
Σ[k=1,3]sin^2(kπ/7)=Σ[k=1,3]{1-cos(2kπ/7)}/2=7/4
sin(π/7)-sin(2π/7)-sin(3π/7)
=-2cos(2π/7)sin(π/7)-sin(2π/7)
=-2cos(2π/7)sin(π/7)-2sin(π/7)cos(π/7)
=-2sin(π/7){cos(2π/7)+cos(π/7)}
=4sin(π/7)cos(3π/14)cos(π/14)　　ここでcos(π/2-θ)=sinθ　を使って
=4Π[k=1,3]sin(kπ/7)　とできる。　よって
{sin(π/7)-sin(2π/7)-sin(3π/7)}^2
=16{Π[k=1,3]sin(kπ/7)}^2　となるが、これはsin(π-θ)=sinθ　をつかって
=16Π[k=1,6]sin(kπ/7)　と直せる。これは>>295から
=16*7/2^6=7/4　ゆえ　{sin(π/7)-sin(2π/7)-sin(3π/7)}^2-Σ[k=1,3]sin^2(kπ/7)=0
結局1/sin(π/7)-1/sin(2π/7)-1/sin(3π/7)=0

>>765　このスレっぽい(と思う)求め方を1つ。
tan(3π/7)=tan(π/7+2π/7)={tan(π/7)+tan(2π/7)}/{1-tan(π/7)tan(2π/7)}　より
0=tan(π/7)+tan(2π/7)}/{1-tan(π/7)tan(2π/7)}-tan(3π/7)
右辺を計算した分母はtan(π/7)+tan(2π/7)-tan(3π/7)+Π[k=1,3]tan(kπ/7)　よって
tan(π/7)+tan(2π/7)-tan(3π/7)=-Π[k=1,3]tan(kπ/7)
以上の結果を用いて
1/tan(π/7)+1/tan(2π/7)-1/tan(3π/7)　を通分して計算すると
=-[{tan(π/7)+tan(2π/7)-tan(3π/7)}^2-Σ[k=1,3]tan^2(kπ/7)]/{2*Π[k=1,3]tan(kπ/7)}
=[Σ[k=1,3]tan^2(kπ/7)-Π[k=1,3]tan^2(kπ/7)]/{2*Π[k=1,3]tan(kπ/7)}
Π[k=1,3]tan(kπ/7)＞0はすぐわかるので結局
Σ[k=1,3]tan^2(kπ/7)とΠ[k=1,3]tan^2(kπ/7)がわかればよい。
tan^2(kπ/7)　k=1,2,3　を解とするような方程式をこのスレおなじみの方法で構成すると
x^3-21x^2+35x-7=0　となるので解と係数の関係から
Σ[k=1,3]tan^2(kπ/7)=21　Π[k=1,3]tan^2(kπ/7)=7　より
1/tan(π/7)+1/tan(2π/7)-1/tan(3π/7)=(21-7)/(2√7)=√7
ついでにtan(π/7)+tan(2π/7)-tan(3π/7)=-√7もわかる。

　　 ＿＿＿
　.／　　sin ＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！ >770-771
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

　

>770-771の2レスどちらも「分子」を分母と書き間違ってます。
あと負号が消えてたり括弧が欠けてたりするところもありました。
(>770の8→9行目で-が消えてる、>771の3行目の等号の直後の括弧が消えてる。)
書き間違い＆読みづらくて申し訳ない。

>>768　個人的には真に偉大なのはド･モアブルの定理ではないかと思っている。

　　

　

cos10ﾟ/sin20ﾟ-cos20ﾟ+sin20ﾟ*tan10ﾟ の値を求めよ

　

Re:>778
Windows付属のCALCでやったら2になった。
cos(10°)/sin(20°)-cos(20°)+sin(20°)*tan(10°)
=cos(10°)/(2sin(10°)cos(10°))+2sin(10°)^2-1+2sin(10°)cos(10°)*sin(10°)/cos(10°)
=1/2/sin(10°)+4sin(10°)^2-1
=(8sin(10°)^3-2sin(10°)+1)/(2sin(10°))
そして、
1/2=sin(30°)=3sin(10°)-4sin(10°)^3より、
sin(10°)^3=(6sin(10°)-1)/8
よって、cos(10°)/sin(20°)-cos(20°)+sin(20°)*tan(10°)=2.

&deg;.&#176;は、私の環境だと全角の度記号になって、変にスペースがあいてしまう。
やっぱり半角かなの半濁点にするか？
&#65439; ﾟ

>>781
荒らすなよ。

(1-cos(40°))/(1+cos(80°)+cos(160°))の値を求めよ

レベルが落ちたな。
厨房レベルの宿題なんざ、カテキョーに聞け！
このクズ野郎！

(1-cos(40°))/(1+cos(80°)+cos(160°))
=(1-(2(2cos(80°)^2-1)^2-1))/(1+cos(80°)+2cos(80°)^2-1)
=-(8cos(80°)^4-8cos(80°)^2)/(2cos(80°)^2+cos(80°))
=-(8cos(80°)^3-8cos(80°)/(2cos(80°)+1)
-1/2=cos(240°)=4cos(80°)^3-3cos(80°)
8cos(80°)^3-6cos(80°)+1=0

お初です。

次の値を求めよ：
4arctan(1/5)+arctan(1/239)

足してどうする

>>787
ほんとだ（汗
4arctan(1/5)-arctan(1/239)です

今のところ一番難しい問題は>>1か。

その１のとき方はわかった。が、どうして、そうなるのかを
もっと直観的に示せんのか？

　

224

tan(4π/11)+4sin(π/11)=√11
tan(9π/11)+4sin(6π/11)=√11

http://www.google.com/search?hl=ja&inlang=ja&c2coff=1&q=tan%28e*pi%2Fe%5E%28-pi%5Epi%5Epi%5E%28-e%29%29&lr=

どうよ？

TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）
=TAN（3*3.141592/11）＋４SIN（2*3.141592/11）
=TAN（0.85679781818181818181818181818182）＋４SIN（0.57119854545454545454545454545455）
=0.014955057719840804309848252255121 ＋ ４ * 0.0099691301654641508687442815464801
=0.05483157838169740778482537844092

>>798
ラジアンでやり直し

>796-797
　　 ＿＿＿
　.／　　sin ＼
　|:::: 　＼ .／　|
　|::::: (●　(● |　マジすか？ ﾊｧﾊｧ
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
￣￣　　　＼　 　 （ E）
フ 　　　 /ヽ ヽ_／／

tan(π/11)+4sin(8π/11)=√11
tan(5π/11)-4sin(4π/11)=√11

>801
それ一般式か背後にある一般性示せる？あれば、知りたいです。

>802
ガウス和から変形していくとそうなるというだけで
それ以上のことはよく分かりません。

TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）
=TAN（3*3.141592/11）＋４SIN（2*3.141592/11）
=TAN（0.85679781818181818181818181818182）＋４SIN（0.57119854545454545454545454545455）
=1.1540611048752994941693293758474 ＋ ４ * 0.54064071748564420396613273508046
=3.316623974817876310033860316167

√11 = 3.3166247903553998491149327366707

　

　

　　

1/cos(2π/7) + 1/cos(4π/7) + 1/cos(6π/7) = -4

tan(π/14) * {cos(π/14) + cos(3π/14) + cos(5π/14)} = 1/2

　　　

　

age

>>810
x=2π/7, 4π/7, 6π/7 は cos 4x = cos 3x を満たすので、
４倍角、３倍角でばらして因数分解すれば、
cos 2π/7, cos 4π/7, cos 6π/7 を解に持つ３次方程式が得られるので、
あとは解と係数の関係。

>>811
2 sin(π/14) cos(π/14) = sin(π/7),
2 sin(π/14) cos(3π/14) = sin(2π/7)-sin(π/7),
2 sin(π/14) cos(5π/14) = sin(3π/7)-sin(2π/7)
∴(左辺) = sin(3π/7)/{2 cos(π/14)}
= cos(π/2-3π/7)/{2 cos(π/14)}
= 1/2

　　

　

207

　

　

tan(e*pi/e^(-pi^pi^pi^(-e))

tan(-e^(pi^(pi^(1/(e*pi)))))

>>825
tan((-e)^(pi^(pi^(1/(e*pi)))))

age

　

ome

　

(cos(5π/22)/cos(3π/11)) + 4cos(7π/22)

(1) sin(20ﾟ)*sin(40ﾟ)*sin(80ﾟ) = ?
(2) cos(20ﾟ)*cos(40ﾟ)*cos(80ﾟ) = ?

(1)
sinの3倍角公式より
sin(3x) = -4{sin(x)}^3+3sin(x)
-sin(3y) = -4{-sin(y)}^3+3{-sin(y)}

x = 20ﾟ より (√3)/2 = -4{sin(20ﾟ)}^3+3sin(20ﾟ)
x = 40ﾟ より (√3)/2 = -4{sin(40ﾟ)}^3+3sin(40ﾟ)
y = 80ﾟ より (√3)/2 = -4{-sin(80ﾟ)}^3+3{-sin(80ﾟ)}

異なる3数 sin(20ﾟ) , sin(40ﾟ) , {-sin(80ﾟ)} は
(√3)/2 = -4s^3+3s ⇔ 8s^3-6s+√3 = 0 の3根

解と係数の関係より
sin(20ﾟ)*sin(40ﾟ)*{-sin(80ﾟ)} = -(√3)/8
sin(20ﾟ)*sin(40ﾟ)*sin(80ﾟ) = (√3)/8

ついでに
sin(20ﾟ)+sin(40ﾟ)-sin(80ﾟ) = 0

(2)
同様にcosの3倍角公式より
cos(3x) = 4{cos(x)}^3-3cos(x)
-cos(3y) = 4{-cos(y)}^3-3{-cos(y)}

x = 20ﾟ より 1/2 = 4{cos(20ﾟ)}^3-3cos(20ﾟ)
y = 40ﾟ より 1/2 = 4{-cos(40ﾟ)}^3-3{-cos(40ﾟ)}
y = 80ﾟ より 1/2 = 4{-cos(80ﾟ)}^3-3{-cos(80ﾟ)}

異なる3数 cos(20ﾟ) , {-cos(40ﾟ)} , {-cos(80ﾟ)} は
1/2 = 4t^3-3t ⇔ 8t^3-6t-1 = 0 の3根

解と係数の関係より
cos(20ﾟ)*{-cos(40ﾟ)}*{-cos(80ﾟ)} = 1/8
cos(20ﾟ)*cos(40ﾟ)*cos(80ﾟ) = 1/8

ついでに
cos(20ﾟ)-cos(40ﾟ)-cos(80ﾟ) = 0

別解
・積和公式でうまくバラす
・2倍角公式
・（複素数平面）正九角形の各頂点に対応させる
・その他募集

(2)はsin(70゜)sin(50゜)sin(10゜)だから
(1)にかけると
sin(10゜)sin(20゜)sin(40゜)sin(50゜)sin(70゜)sin(80゜)
=2*(2/√3)*Π[k=1,8]sin{kπ/(18)}
=2*(2/√3)*sqrt[Π[k=1,17]sin{kπ/(18)}]
=2*(2/√3)*sqrt(18/2^17)
=sqrt(3)/64
(1)がsqrt(3)/8なので(2)は1/8
(1)をやった上でだがこんなのはありだろうか。

あり

>>836
(cos(5π/22)/cos(3π/11)) + 4cos(7π/22) = √11

1/{sin(1)*sin(2)}+1/{sin(2)*sin(3)}+...+1/{sin(89)*sin(90)}=cot(1)/sin(1)
（単位は度）

　

１はどうやって問題つくったんだろうか？
種あかしは？

>>847
三角関数･逆三角関数の加法定理と、
Gauss 和でも勉強しろ

　

>>849
逆三角関数にも加法定理があるの？
ガウス和？

>>851
>>529参照

　

>>853
荒らすな

>>844
sin(1) = sin{(x+1)-x} = sin(x+1)cos(x)-cos(x+1)sin(x)　より
sin(1)/{sin(x)sin(x+1)} = cot(x)-cot(x+1)

　

>>837(2)
8sin(20ﾟ)*cos(20ﾟ)*cos(40ﾟ)*cos(80ﾟ)
=4sin(40ﾟ)*cos(40ﾟ)*cos(80ﾟ)
=2sin(80ﾟ)*cos(80ﾟ)
=sin(160ﾟ)
=sin(20ﾟ)

>>840の2倍角公式ですね

　

(1-cot(22ﾟ))*(1-cot(23ﾟ))=2

　

age荒らしするバカが住み着いたな。
荒らす時間があったら勉強しろ、落ちこぼれ！

>>860
1-cot(22ﾟ)={sin(22ﾟ)-cos(22ﾟ)}/sin(22ﾟ),
（分子）=(√2)sin(22ﾟ-45ﾟ)

　

　

このスレも過疎化ですか

　

まだ見てる奴もいたのか

　

tan((3 * pi) / 11) + (4 * sin((2 * pi) / 11)) = 3.31662479

(+ (tan (/ (* 3 pi) 11)) (* 4 (sin (/ (* 2 pi) 11))))

　

なんか粘着がいるな

　

今更だが>>734
まずcos(sin(x))≧cos(x)が成り立つ。
∵0≦x≦π/2ではcosの単調減少性とx≧sin(x)から成り立つ
π/2≦x≦πではcos(x)≦0　0≦sin(x)≦1なのでcos(sin(x)＞0　となるので成り立つ
cos(sin(x)),cos(x)ともに偶関数なので以上より-π≦x≦πで成り立ち
周期性から常にcos(sin(x))≧cos(x)となる。等号成立はx=2kπ　k∈Z
この不等式のxをx-π/2に置き換えればcos(cos(x))≧sin(x)　を得る。
等号成立はx=π/2+2kπ　k∈Z
これのxをsin(x)とすると|sin(x)|≦1である事から
cos(cos(sin(x)))＞sin(sin(x))となる。
cos(cos(x))は0≦x≦π/2で単調増大でこの範囲で
0≦sin(x)≦cos(cos(x))≦1であるので
cos(cos(cos(cos(x))))≧cos(cos(sin(x)))
xをπ-xと置いて見ればこれが0≦x≦πで成り立つ事がわかる。
ゆえ、0≦x≦πでcos(cos(cos(cos(x))))＞sin(sin(x))
また0≦x≦π/2で0≦sin(sin(x))≦x≦π/2なので
sin(sin(sin(sin(x))))≦sin(sin(x))
xをπ-xと置き換える事でこの不等式は0≦x≦πで成り立つ。ゆえ
0≦x≦πでcos(cos(cos(cos(x))))＞sin(sin(sin(sin(x))))
-π≦x≦0ではcos(cos(cos(cos(x))))＞0≧sin(sin(sin(sin(x))))なので
任意のxについてcos(cos(cos(cos(x))))＞sin(sin(sin(sin(x))))

上の問題に関して未証明だが
sin(sin(sin(sin(x))))≦1/2{Arctan(x)+x/(1+x^2)}　(0≦x≦π/2)
が成り立つようだ。Arctanはtanhとしても良い。
(tanh＜Arctanであるのでより精密といえる。Arctanにしてるのは微分すると簡単な形になるから)
また不等式スレで既出の結果にsin(sin(x))≦tanh(x)がある。
とりあえずわかっただけを書き並べると
sin(sin(sin(sin(x))))≦tanh(tanh(x))≦1/2{Arctan(x)+x/(1+x^2)}≦Arctan(tanh(x))
一番右の不等号は微分によって簡単に示せる。真ん中は考え中。

　

　

395

　「１０桁で終了」　円周率ついに割り切れる
無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた。千葉電波大学の研究グループがこれまでの
円周率演算プログラムに誤りがあったことを発見。同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を
使って改めて計算しなおしたところ、１０桁目で割り切れたという。１０桁目の最後の数字は「０」だった。

千葉電波大学の研究グループの発表によると、円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラム
を点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に誤りがあることに気が付いた。この数値を正常値に
直して計算しなおしてみたところ、円周率は１０桁で割り切れたという。

同大の発表では円周率は「３．１５１６７３９８０」。３．１４１５・・・と続く、従来考えられていた数値は全くの誤りで、
早急に修正が必要だという。また、これをうけて円周率暗記記録のギネス認定（５万４千桁）も取り消される見通し。

うはー…専門板はやっぱりすごいな。目頭がﾁﾘﾁﾘする
そんな俺はｵｶ板住人

正弦定理、余弦定理は上式だけど、
正接定理もあることにビクーリしました。

使ったことある？

age

age

>>1-10000000000000000

>>1024

age

　

　

　

age

うめるな

　

　

埋めんなハゲ！

　

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=tan%283pi%2F11%29%2B4*sin%282pi%2F11%29&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

ttp://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=tan%283pi%2F11%29%2B4*sin%282pi%2F11%29-sqrt%2811%29&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

君達、その後進展はあったのかい？
一般化はすすんだのか？
後ろに何があるのかはみきわめたのか？

　

age

シンプルで難しい問題より
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1011067036/685

[685] △ABCについてtanA,tanB,tanCが整数のときそれらを求めよ。

[689] それぞれa,b,cとおいてa+b+c=abcを解くんだべ？
どれか一つは1になる（角度が60度以下だから）事を利用して後はしこしこ。

[690] a≦b≦cとおいてみる。
3a≦a+b+c=180°より
0°≦a≦60°
tanxのグラフは0°から90°で単調だから
tan0°≦tana≦tan60°
→0≦tana≦√3=1.73..
tanaは整数だから1で、このときa=45°
めんどいからtanb=B、tanc=Cとおいてみると
加法定理使って
tan(b+c)=(B+C)/(1-BC)=tan135°=-1
→B+C=-(1-BC)
→BC-B-C-1=0
→(B-1)(C-1)=2
B,Cが整数ならB-1、C-1も整数だから
{(B-1)、(C-1)}=(1,2)(2,1)(-1,-2)(-2,-1)のどれか
→(B,C)=(2,3)(3,2)(0,-1)(-1,0)
0だと0°で駄目。
よって求める組み合わせは1,2,3。

age

君が意味もなくageるたび、残りレス数が減るのだが、どう責任を取ってくれるのかね？

　

Re:>>923 何か書きたいことでもあるのか？だったら早く書け。

age

無気味なスレだねここ

　

9=3^2

　

9=3+6

今更だが>>734
　cos(cos(cos(cos(x)))) > |sin(sin(sin(sin(x))))|.

(略証)
　まず cos(cos(u)) ≧ |sin(u)| が成り立つ。
　∵　|t| > |sin(t)| より　1-t^2 < cos(t)^2.
　これに t=cos(u)を入れると…….　( 等号成立は u= (n+1/2)π のとき)
　|sin(u)| も cos(cos(u)) も 0 ≦ u < π/2 では単調増加.

　(左辺) ≧ cos(cos(|sin(x)|)）> |sin(sin(x)| ≧ … ≧ (右辺) または
　(左辺) > |sin(cos(cos(x)))| ≧ sin(|sin(x)|) ≧ … ≧ (右辺).　(終)


出題（不等式）
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=230

(続き)
^nでn重合成函数を表わせば

【734の一般化】
　cos^(2n)(x) > |sin^n(x)|.
　n≧4 のとき　cos^(2n)(x) ≧ cos^(2n)(0) > sin^n(π/2) ≧ |sin^n(x)|.
(補足説明)
　0≦x≦π/2 では cos^(2n)(x) も |sin^n(x)| も単調増加ゆえ
　cos^(2n)(0) ≧ cos^8(0) = 0.722102425026708…
　sin^n(π/2) ≦ sin^4(π/2) = 0.678430477358956…

不等式への招待
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/329

出題（不等式）
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=233

age

ﾆｬﾎｰ

ﾆｬﾎｰ

ﾀﾏｸﾛｰ

ﾆｬﾎﾆｬﾎﾀﾏｸﾛｰ

ﾆｬﾎﾆｬﾎﾀﾏｸﾛｰ

君が意味もなく書き込むたび、残りレス数が減るのだが、どう責任を取ってくれるのかね？

なんどでも建てればよいじゃないか

　

【220】(saikorodeka)
(π/4)√2=a とおくとき
cos{a*sin(x)} ≧ |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)}.


不等式への招待
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/333


出題（不等式）
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=220
及び 253

　

>949

【220'】(saikorodeka)
0≦a<(π/4)√2 のとき
　cos{a*sin(x)} > |sin{a*cos(x)}| = sin{a|cos(x)|} ≧ sin{a*cos(x)^2} ≧ sin{a*cos(2x)} ≧ -sin(a),
　0 ≦ sin(a) < sin(√2 * π/4) = 0.896018935926807….

不等式への招待
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/336

出題(不等式)
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=257

　

【258'】(saikorodeka)
　0≦a≦π, |x|≦1 のとき、
　2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) + cos{a√(1-x^2)} ≦ 1 +cos(a).

(略証)
　(a/2)|x| ≧ sin{(a/2)|x|} ≧ sin(a/2)･|x|
　1 -(1/2)(ax)^2 ≦ cos(a|x|) = 1 -2sin{(a/2)x}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･x^2.
　1 -(1/2)(a^2)(1-x^2) ≦ cos{a√(1-x^2)} = 1 -2sin{(a/2)√(1-x^2)}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･(1-x^2).
　辺々加えて、2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) +cos{a√(1-x^2)} ≦ 2 -2sin(a/2)^2 = 1 +cos(a).


不等式への招待
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/338


出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=261

age

∫[0, π/2] {sinθ/(sinθ+cosθ)}^2 dθ をなるべく簡単ですっきりした方法でキボンヌ！

　　　　　　　＿＿＿　
彡　　　　 ／　 cos ＼　　　　彡　ﾋﾞｭｩ……
　　彡　　 |:::　 ＼ .／ |　　彡　　どうやら私の出番のようだな
　　　　　　|:::: (●　(●|　　　　積分区間を半分に分けて整理し、
　　　　　　ヽ::::......ワ...ノ　　　　tanθ=xとおけば、求める値は 1/2 となる。
　　　 　 　 人つゝ 人,,　　　　　　　　　ﾃﾍｯ！
　　　　　 Ｙノ人　ノ ノノゞ⌒〜ゞ 　　　
　　　 .　 ノ /ミ|＼、　　　 ノノ　（　彡
　　　　 `⌒ 　.Ｕ~Ｕ`ヾ　　　　丿
　　　　　　　　　　　　 ⌒〜⌒

age

age

√１１

クズは失せろ！

sin(x_1+sin(x_2+sin(x_3+…ってタイプの問題は無いかね

オワ

クロハチ

　

　

クナイ

>>958がなかなか計算できません。
どなたか解答を書いてください。
LaTeXソース形式でお願いします。
以上です。

>>972
ことわる！
ペプシ工ry

　

三年三百四日七時間。

age

どうやら、クズの巡回ルートに入っているようだな。
嘆かわしいことだ