不等式への招待 第２章
【258'】(saikorodeka)
0≦a≦π, |x|≦1 のとき、
2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) + cos{a√(1-x^2)} ≦ 1 +cos(a).
(略証)
(a/2)|x| ≧ sin{(a/2)|x|} ≧ sin(a/2)･|x|
1 -(1/2)(ax)^2 ≦ cos(a|x|) = 1 -2sin{(a/2)x}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･x^2.
1 -(1/2)(a^2)(1-x^2) ≦ cos{a√(1-x^2)} = 1 -2sin{(a/2)√(1-x^2)}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･(1-x^2).
辺々加えて、2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) +cos{a√(1-x^2)} ≦ 2 -2sin(a/2)^2 = 1 +cos(a).
出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=261
0≦a≦π, |x|≦1 のとき、
2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) + cos{a√(1-x^2)} ≦ 1 +cos(a).
(略証)
(a/2)|x| ≧ sin{(a/2)|x|} ≧ sin(a/2)･|x|
1 -(1/2)(ax)^2 ≦ cos(a|x|) = 1 -2sin{(a/2)x}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･x^2.
1 -(1/2)(a^2)(1-x^2) ≦ cos{a√(1-x^2)} = 1 -2sin{(a/2)√(1-x^2)}^2 ≦ 1 -2sin(a/2)^2･(1-x^2).
辺々加えて、2 -(1/2)a^2 ≦ cos(a|x|) +cos{a√(1-x^2)} ≦ 2 -2sin(a/2)^2 = 1 +cos(a).
出題(不等式)
http://post.messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bdpbja1jiteybc0a1k&sid=1835554&mid=261
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