数学の質問スレ【大学受験版】part34

数学の問題に関する質問をどうぞ。参考書・勉強の仕方等は各専用スレで。

質問をする際の注意
・その問題をどこまで解いたのか、どの部分が分からないのか、具体的に書く。
・必要と思われる場合は、自分がどこまで履修済みか書く。（例：1A2Bまで）
・数式を書くときは、極力誤解のない書き方をする。
　例えば、1/2aより、(1/2)a あるいは 1/(2a) のように書いた方が分かりやすい。

数学記号の書き方
http://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/
図・グラフ掲示板
http://www6.tok2.com/home2/wi2003/cgi-bin/bbs3/bbsnote.cgi

前スレ
part33 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1090668420/
それ以前は>>2-10あたり

part1 http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html
part2 http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
part3 http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
part4 http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
part5 http://school.2ch.net/kouri/kako/1032/10320/1032026826.html
part6 http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html
part7 http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
part8 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040034565/
part9 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1042765761/
part10 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044101232/
part11 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1044828874/
part12 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1045895181/
part13 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1047118250/
part14 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1049381621/
part15 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1052403965/

part16 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1054193413/
part17 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1056518836/
part18 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1058461770/
part19 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1060183061/
part20 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1061665677/
part21 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1063269681/
part22 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1065931301/
part23 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1067761519/
part24 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1069023159/
part25 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1071117417/
part26 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1073739135/
part27 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1075254162/
part28 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1076522562/
part29 http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1078963285/
part30 http://school3.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1083211973/

>>1
だから「板」は「いた」だっていってるだろ！
http://www.media-k.co.jp/jiten/wiki.cgi?mycmd=search&mymsg=%C8%C4%A1%DA%A4%A4%A4%BF%A1%DB%5B%CC%BE%5D

part31 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1085308650/
part32 http://school4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1088072580/

【掲示板での数学記号の書き方例】
■数の表記
　●スカラー：a,b,c,...,z, A,B,C,...,Z, α,β,γ,...,ω, Α,Β,Γ,...,Ω, ... （← ギリシャ文字はその読み方で変換可．）
　●ベクトル：V=[V[1],V[2],...], |V>, V↑, vector(V) （← 混同しない場合はスカラーと同じ記号でいい．通常は縦ベクトルとして扱う．）
　●行列（１成分表示）：M[i,j], I[i,j]=δ_[i,j]
　●行列（全成分表示）：M=[[M[1,1],M[2,1],...],[M[1,2],M[2,2],...],...], I=[[1,0,0,...]',[0,1,0,...],...] （← 行（または列ごと）に表示する．）

■演算・符号の表記
　●足し算：a+b
　●引き算：a-b
　●掛け算：a*b, ab （← 通常"*"を使い，"ｘ"は使わない．）
　●割り算・分数：a/b, a/(b+c), a/(bc) （← 通常"/"を使い，"÷"は使わない．）
　●複号：a±b=a士b, a干b （← "±"は「きごう」で変換可．他に漢字の"士""干"なども利用できる．）
　●内積・外積・３重積：a・b, aｘb, a・(bｘc)=(aｘb)・c=det([a,b,c]), aｘ(bｘc)

■関数・数列の表記
　●関数：f(x), f[x]
　●数列：a(n), a[n], a_n
　●平方根：√(a+b)=(a+b)^(1/2) （← "√"は「るーと」で変換可．）
　●指数・指数関数：a^b, x^(n+1), exp(x+y)=e^(x+y) （← "^"を使う．"exp"はeの指数．）
　●対数・対数関数：log_{a}(b), log(x/2)=log_{10}(x/2), ln(x/2)=log_{e}(x/2) （← 底を省略する場合，"log"は常用対数，"ln"は自然対数．）
　●三角比・三角関数：sin(a), cos(x+y), tan(x/2)
　●行列式・トレース：|A|=det(A), tr(A)
　●絶対値：|x|
　●ガウス記号：[x] （← 関数の変数表示などと混同しないように注意．）
　●共役複素数：z~
　●転置行列・随伴行列：M', M† （← "†"は「きごう」で変換可．）
　●階乗：n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1, n!!=n*(n-2)*(n-4)*...
　●順列・組合せ：P[n,k]=nPk, C[n.k]=nCk, Π[n,k]=nΠk, H[n,k]=nHk （← "Π"は「ぱい」で変換可．）

■微積分・極限の表記
　●微分・偏微分：dy/dx=y', ∂y/∂x=y,x （← "∂"は「きごう」で変換可．）
　●ベクトル微分：∇f=grad(f), ∇・A=div(A)，∇ｘA=rot(A), (∇^2)f=Δf （← "∇"は「きごう」，"Δ"は「でるた」で変換可．）
　●積分：∫[0,1]f(x)dx=F(x)|_[x=0,1], ∫[y=0,x]f(x,y)dy, ∬_[D]f(x,y)dxdy, �点[C]f(r)dl （← "∫"は「いんてぐらる」，"∬��"は「きごう」で変換可．）
　●数列和・数列積：Σ_[k=1,n]a(k), Π_[k=1,n]a(k) （← "Σ"は「しぐま」，"Π"は「ぱい」で変換可．）
　●極限：lim_[x→∞]f(x) （← "∞"は「むげんだい」で変換可．）

■その他
　●図形："△"は「さんかく」，"∠"は「かく」，"⊥"は「すいちょく」，"≡"は「ごうどう」，"∽"は「きごう」で変換可．
　●論理・集合："⇔⇒∀∃∧∨¬∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩"は「きごう」で変換可．
　●等号・不等号："≠≒≦≧≪≫"は「きごう」で変換可．

※ ここで挙げた表記法は１例であり，標準的な表記法からそうでないものまで含まれているので，後者の場合使う時にあらかじめことわっておいたほうがいい．
※ 関数等の変数表示や式の括弧は，括弧()だけでなく[]{}を適当に組み合わせると見やすい場合がある．
※ 上記のほとんどの数学記号や上記以外の数学記号は大体「きごう」で順次変換できる．

>>4
立てた直後に気づいた。正直すまんかった

ネットで見つけた問題です。
問
１０組の夫婦がいます。
いま、ある円卓に対して、妻が自分の夫と隣合わないように座る方法は何通りあるでしょう。
ただし、円卓の各席には１〜２０までの番号が付いているものとします。

答
全ての円順列を考えて隣り合う場合を引く。
隣り合う場合は夫婦を一組として左右逆の場合も考える。番号は関係無い。
20人の円順列が19!
隣り合う場合は9!×2^10
よって19!-9!×2^10

で、ちがうと言われました。
答えは公表してなくてどこが違っているのかわかりません。
座席に20まで番号を付ける事で夫婦が一夫一婦で20人と思わせるひっかけ問題なのかな、
とか思ってます。

定三角形ＡＢＣがある。実数ｋに対して、点Ｐが
ＰＡ+２ＰＢ+３ＰＣ＝ｋＡＢ（大文字はベクトル）を満たしている。
点Ｐが三角形ＡＢＣの内部にあるようなｋの値の範囲を求めよ。

という問題なのですが、まずＡに始点を揃えて、
-ＡＰ+２（ＡＢ-ＡＰ）+３（ＡＣ-ＡＰ）＝ｋＡＢ
-６ＡＰ＝（ｋ-２）ＡＢ-３ＡＣ
ＡＰ＝1/2ＡＣ+（２-ｋ）/６ＡＢ　・・・　１
（２-ｋ）/６は実数全体を動く。
よって、ＡＣの中点を通り、ＡＢに平行な直線がＰの範囲。

と解いたのですが、解説には
辺ＡＣの中点Ｄ、辺ＢＣの中点Ｅは、１において、それぞれｋ＝２、ｋ＝-１のときである。
このことからｋの値の範囲が求められる。
とあります。
ｋ＝２の時に（２-ｋ）/６が０になり、ＡＰ＝1/2ＡＣとなるのでＰがＡＣの中点になるのは分かるのですが、
ｋ＝-1の時に1/2ＡＢとなって、ＡＣの中点からＢＣの中点までの距離が1/2ＡＢだと言う事だと思うのですが、
なぜそういえるのかが分かりません。教えて下さい。

>>10
AP↑=(AB↑+AC↑)/2 になるんだから 点 P は BC の中点です。
一般に点 A,B の位置ベクトルがそれぞれ a↑,b↑ のとき
線分 AB の中点の位置ベクトルは (a↑+b↑)/2 となります。

ちなみに最後から2行目の AC の中点から BC の中点までを結んだベクトルが (1/2)AB だ、という文章を式に表すと
(1/2)(AB↑+AC↑)-(1/2)AC↑=(1/2)AB↑ となります。いわゆる中点連結定理ですね。

>>10
中学レベルじゃん！

ちょっと問題ミスでした。
（１）ｋが実数全体を動くとき、点ｐの軌跡を求めよ。
>>10にある問題は（２）の問題でした。

>>11
なるほど。
レスありがとうございました。

前スレにも書いたんですが1000取りとかで埋まってしまいそうなので
こっちに書かせて下さい。スマソ。あっちのは無視で。

二つ質問お願いします

x=√3-1　のとき、（x^5＋x^3＋1）/x^6　の値を求めよ、
という問いがあるのですが、
解法としては等式を変形して
x^3からx^6まで順に出して代入する、といった方式なのですが、

いかんせん計算量が半端ないのです。（ちなみに答えは　(40＋25√3)/8　です）

もうちょっとスマートな解法はないのでしょうか？
それともこのくらいの計算は常識内のレベルですか？（確かにただの作業ですし…）

二つ目
対数の問題の中で

log_{0.5}(x)＝−log_{2}(x)

という場面が出てきたのですが、
この意味（等号が成り立つ経緯）が良く分かりません…
一般論ぽいので問題文は省きます。

お願いします。

前スレより引き続き。
2以上の自然数nに対し、4/n=(1/x)+(1/y)+(1/z)をみたす自然数x,y,zが存在する事を示せ.
お願いします。

>>前スレ991
具体的にxyzを代入していっても埒があかないと思ったので、4/n-1/x=b/a(既約)とおいて、
b/a=1/y+1/zの自然数解を調べてみる。よく知られた変形をして
(by-a)(bz-a)=a＾2。aを素因数分解してa=pqr・・・(めんどいのでここでは例としてpqrでやります)
として、たとえばby-pqr=p⇔by=p(qr+1)でyが自然数となるには、bとpが互いに素だから
bがqr+1の約数であることが必要十分。
一般化して、「aの約数の一つ」がbで割って-1余ればよい。

最初に戻って、またn=4m+1型のときを調べたいので、それを代入する。
x=m+1を代入して
4/4m+1-１/m+１=3/(4m+1)(m+1)だから、m+1の約数の一つが3で割って-1余るようなものは、
m+1が2(→これよりmが奇数なら必ずおｋ)、5,8,11,14・・・で割り切れるもの。
次にx=m+2を代入して同様にすると
m+2が6,13,20,27,34,41・・・で割り切れるようなものはおｋ。

次に・・・と続くんですがやっぱり突破口にはならずn=24m+1で立ち往生。
5以上だと余りで分類して割り切れるかを調べるのは難しそうなので、この方針はダメかも
しれない。格子点も考えてみたけど、双曲線なので如何ともし難い。誰か助けてくれ泣

>>15
log_{a}(b)
=( n*[log_{a}(b)] )/( n*[log_{a}(b)] )
=[log_{a}(b^n)]/[log_{a}(a^n)]
=log{a^n}(b^n)
ただしa>0,b>0,n∈R

3行目
×　=( n*[log_{a}(b)] )/( n*[log_{a}(b)] )
○　=( n*[log_{a}(b)] )/( n*[log_{a}(a)] )
ね

質問者の俺が答えるのもどうかと思うが、一応考えてみたので・・・。
>>14
与式=1/x+1/x＾3+1/x＾6・・・�@．
x+1=√3∴(x+1)＾2=3⇔x＾2+2x-2=0.これを用いて次数下げ。
x＾3=(x＾2+2x-2)(x-2)+6x-4=6x-4=6√3-8。
x＾6=(6x-4)＾2=36(x＾2+2x-2)-120x+88=208-120√3。
∴1/x=(√3+1)/2、1/x＾3=(3√3+5)/4、1/x＾6=(26+15√3)/8。(全部有理化しただけ)
�@に代入して答を出せる。これならそこまで驚異的な計算量でもないと思うが・・・。

>>15
底の変換公式やって少し弄っただけ。
log_2_0.5=log_2_(2)^(-1)=-1より、log_{0.5}(x)=log_2_x/log_2_0.5=-1*log_2_x。

9は円順列じゃないんですね。

丁寧にレスサンクスです。

対数の方は経験不足もあり考察不足だったかも知れません。
底の変換公式なんて全く意識外でしたｗ

>>19
講師曰くその方法（初手で三つにバラす）は計算が面倒だから
と言って>>14で示した解法の方でやったんです…
どっちみち計算地獄は免れないのか
（この程度で地獄と感じる自分の根性不足かな）

重ね重ねありが�d

∫[1-2](t^2-1)^3dt
=[1/(8t)(t^2-1)^4][2-1]
この変形間違ってますか？答え合わないんですが

>>21
x=-1+√3
t=1/x

x+1=√3
x^2+2x-2=0
1+2(1/x)-2(1/x)^2=0
1+2t-2t^2=0

I=(x^5+x^3+1)/x^6
=(1/x)+(1/x^3)+(1/x^6)
=t+t^3+t^6

(t+t^3+t^6)を(1+2t-2t^2)で割った余りは(50t+15)/8
∴I=(50t+15)/8=(40+25√3)/8

計算の手間は整式の割り算（筆算）が1回と有理化が1回

>>22
1/(8t)(t^2-1)^4を微分しても(t^2-1)^3にはならないのでは。

>>23
確かに！そっちの方が断然上手い！

z/(z-√2)+{z/(z-√2)}~=0を変形して

|z-1/√2|=1/√2を導く途中の計算式をどなたか教えてください。

それと、また全然別の質問なんですが、
回転と相似の合成変換の問題で、点Aは点Bを、点Cの周りに
○度だけ回転し、△倍に回転したもの　というときの△は、どう計算して
出すのか教えてください。

>>25
z/(z-√2)+{z/(z-√2)}~=0
⇔zz~-z/√2-z~/√2=0⇔z(z~-1/√2)-z~/√2+1/2=1/2
⇔z(z~-1/√2)-1/√2(z~-1/√2)=1/2⇔(z~-1/√2)(z-1/√2)=1/2
⇔|z-1/√2|^2=1/2⇔|z-1/√2|=1/√2

>>26
絶対値。たとえば-1+√3i=2(cos120°+isin120°)なら○=120、△=2.


>>16ですが、これ未解決問題だったらしいです。orz
ttp://www.asahi-net.or.jp/~KC2H-MSM/mathland/math01/
もともとネットで拾った問題だったのですが、完璧釣りになってしまいました。すみません。

>>27
おお！！ありがとうございます。

>>26
○をθ、△をrにする。点Ａ、Ｂ、Ｃに対応する複素数をそれぞれα、β、γとする。
(α-γ)/(β-γ)=r(cosθ+isinθ)が成り立つので、両辺の絶対値をとって
｜(α-γ)/(β-γ)｜=r

>>27
あれだけ必死に考えたあの数時間は何だったんだ……

何度もすみません！！

どうしても、z/(z-√2)+{z/(z-√2)}~=0からzz~-z/√2-z~/√2=0
になる経緯がわからないので、ここの途中を詳しく教えてください！

z/(z-√2) + {z/(z-√2)}~=0

　↓(α/Β)~=(α~)/(Β~)の公式を使う

z/(z-√2) + (z~)/{(z-√2)~}=0

　↓分母を払う

z{(z-√2)~} + (z~)(z-√2) = 0

　↓(α-Β)~=(α~)-(Β~)の公式を使って、さらに展開、整理

2z(z~) - (√2)z - (√2)(z~) = 0

　↓両辺を２で割って

z(z~) - z/(√2) - (z~)/(√2) = 0

>>31 ああ！わかりました。分母払わずにまごまごしてました！！

『a^2＋b^2＋c^2=d^2
を正の整数a,b,c,d,がみたすとする
d2が３の倍数でないならば、a,b,cの中に３の倍数がちょうど２つあることを示せ。』
という問題で、対遇の
「a,b,cの中に３の倍数が0個または1個または3個」ならば
「dは３の倍数である」
を使って証明しようとしたんですができません。どこが間違ってるか指摘願います。

d2って何

>>34
d2→d^2です

　任意の整数tについて
(a)3の倍数ならば、明らかにt^2は3の倍数
(b)3の倍数でないならば、t^2を3で割ったあまりは1
(∵このようなtに対してある整数kが存在して、t=3k+1またはt=3k-1、とあらわせる
　　(3k+1)^2=9k^2+6k+1、(3k-1)^2=9k^2-6k+1よりいずれの場合にもt^2を3で割ったあまりは1)

(i)a,b,cの中に3の倍数が0個ある場合
a^2+b^2+c^2は(3の倍数)+(3の倍数)+(3の倍数)∴3の倍数
(ii)a,b,cの中に3の倍数が1個ある場合
a^2+b^2+c^2は(3の倍数)+(3の倍数 + 1)+(3の倍数 + 1)
より(3の倍数)+2。(a)(b)より整数の2乗を3で割ったあまりは0か1だから、d^2=a^2+b^2+c^2を満たすdは絶対に存在しない。
(iii)a,b,cの中に3の倍数が3個ある場合
a^2+b^2+c^2は(3の倍数+1) + (3の倍数+1) + (3の倍数+1)
より(3の倍数) + 3、従って3の倍数。

>>36
a,b,cの中に3の倍数が1個ある場合はdそのものが存在しないから
無視していいってことですか？

そういうことです。

どうでもいいことですが、
私は受験生時代偏差値70越えていました。が、このスレとか
数学板とか行くと、何というんでしょうか、もうね、
私など遠く足元に及ばない、神々のような方々が、ふつーに
いらっしゃるんですねー
ですから受験生の皆さんは背を伸ばし、襟を正してから
質問しましょうねー
君らの学校のあふぉ教師などお話にならん人ばっかですよ

p^2=13q（ｐとｑは互いに素）のとき、ｐは１３の倍数であるらしいんですけど､
このことを分かりやすく説明していただきたいです。
神様お願いします！！

>>40
「対偶」って知ってる？
知ってるかどうかで話はかわる

>>38
ありがとうございました

>>39
それはいえてるかも
うちの数学教師に東北大の過去問をききにいったら
一日おいてもわからない、と答えられた
　
信頼できなくなった

二つ質問です。またアフォなことかも知れませんが。

問題
数列a[n]の初項a_1から第ｎ項a_n までの和Ｓ_nは次式を満たしている
Ｓ_n＝　3a_n　＋ n^2/2　−　7n/2　＋　1

問．a_1とa_2を求めよ
（解答）
n＝1として
Ｓ_1＝　3a_1　＋ 1/2　−　7/2　＋　1
∴　a_1＝1

となっているのですが、これは計算途中で
Ｓ_1＝a_1と置き換えたという解釈で正しいのでしょうか？

また
n＝2として
Ｓ_2＝　3a_2　＋ 4/2　−　7　＋　1
∴　a_2＝5
となっているのですが、こっちは何がどうなっているのか全くわからないのですが。
よろしくお願いします…講義休んでしまったんで口頭説明無いんでダメぽ。

>Ｓ_1＝a_1と置き換えたという解釈で正しいのでしょうか？

◎

S_2=3a_2 + 4/2 - 7 + 1
a_1 + a_2 = 3a_2 - 4
2a_2 = 5
a_2=5/2

>>45
サンクス！そうだったんのか。

S_2をa_1とa_2に分解できること気付くなんてアンタ天才だよ！

連続投下スマソ。
今度は解答辿り着く前に手詰まりです。

関係式
a_1＝1　a_2＝10
a_n+2*(a_n)^2 = (a_n+1)^3　　（訳　n+2項とn項の二乗をかけたもの＝n+1項の3乗）
で定義される数列a_nについて次の問に答えよ。

（1）一般項a_nをnの式で表せ。
（以下、教師の書いた解答）
a_3*(a_1)^2 = (a_2)^3
a_4*(a_2)^2 = (a_3)^3 　　　　　　←質問：　これは何やってるんですか？
a_5*(a_3)^2 = (a_4)^3
a_6*(a_4)^2 = (a_5)^3
　･･･
a_n-1*(a_n-3)^2 = (a_n-2)^3
a_n*(a_n-2)^2 = (a_n-1)^3

a_n*(a_n-1)*(a_1)^2*(a_2)^2 = (a_2)^3*(a_n-1)^3　　←質問；　いきなり出たこの式はなんですか？
∴a_n*(a_1)^2=a_2*(a_n-1)^2

(以下解答続く）

>これは何やってるんですか？
ならべてるだけ。

a_3*(a_1)^2 = (a_2)^3
a_4*(a_2)^2 = (a_3)^3
a_5*(a_3)^2 = (a_4)^3
a_6*(a_4)^2 = (a_5)^3
　･･･
{a_(n-2)}*{a_(n-4)}^2 = {a_(n-3)}^3
{a_(n-1)}*{a_(n-3)}^2 = {a_(n-2)}^3
a_n*{a_(n-2)}^2 = {a_(n-1)}^3

これらを掛け合わせて、左辺と右辺の同じ物を割って消していくと
a_n*(a_n-1)*(a_1)^2*(a_2)^2 = (a_2)^3*(a_n-1)^3
になるはず。

質問です

確率の問題で、問題文中に、
　ただし、以下の各問いでは各問い毎に異なる変形サイコロを使用するものとする

とあるのですが、これは、例えば問一で出た答えとかを問ニに使えないってこと
なんですかね？

fx=a/x + b/1-x
0<x<1
における最小値

微分したのですがよくわらリマ線。

>>49
そういうことでしょう。

>>51
私もそう解釈したんですが、解説をみると、問２を解くのに、
問一の�@の式より〜　と使っているので、なんでかなと思ったんです。

他に、そう前置きをする意味があるのかな？

>>52
同様にして使える式があったとか？問題がわからんことには断言しにくいけど。

質問です。
問題：条件 x>0 のもとで式 (x+(4/x)) (x+(9/x)) が最小値を取るときのxの値は？
という問題なんですが、予備校で教えてもらった解答では...

1: 式を展開し、相加相乗平均の法則で
2: 13 + x^2+(36/x^2) ≧ 13 + 2√(x^2*(36/x^2)) [等号は x^2 = (36/x^2)の時。]
3: x^2 = (36/x^2) より (x^2)^2 =36 → x=±√6　→ [題意より]x=√6

と、ノートに書きましたが、３行目の序盤、x^2 = (36/x^2) より、と確定される理由がわかりません。
教えて下さい、お願いします。

>>54
2で[等号は x^2 = (36/x^2)の時]と書いてあるから。等号が成り立つとき
最小値をとる。

あ、つまり等号の時以上にでかくなることはないと言うことですね。
なんとなくわかってきたような気がします、ありがとうございます。

積分の質問なのですが、
不定積分であれば∫ydx=∫y･(dx/dt)dtと書き換えられますよね。
これで定積分の場合は上限と下限をどのように変形すればいいのですか？

今年の東大後期の第三問の最後の積分計算がよくわからなかったので。

>>57
x を t で微分しているということは x は t の関数として表せているんですよね？
x=f(t) , a=f(p) , b=f(q) のとき
∫[a〜b]ydx=∫[p〜q]y(dx/dt)dt
つまり、a=(p) , b=f(q) となるような p,q を見つけてきなさいってこった。

ちなみに積分区間の上限、下限という言い方はよくない。上端、下端という。
上限、下限という言葉は普通は別の意味に用いられるのでな。

>>58
なるほど。ありがとうござしました。

あとまた質問なのですが、
複素数平面で、
w=r(cost+isint)のとき
w(z[n]-z[n-1])=w^n(z[1]-z[0])という変形があったのですが、
これはなぜこうなるのですか？

>>59
たんなるすうれつ

三平方の定理の証明お願いできますか？

グーグルで検索しなさい。

携帯からなので検索は無理です。証明は難しいのですか？

コピペ

∠Ａ＝∠ＲであるΔＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに下ろした垂線の足をＤとする。
ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢとする。
ΔＡＢＣ∽ΔＤＢＡ∽ΔＤＡＣ
∴ΔＡＢＣ：△ＤＢＡ：ΔＤＡＣ＝ａ^2：ｃ^2：ｂ^2（面積比）

∴ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2

関数f(x)＝x^3+3x^2cosθ+xsin^2θx+2は極大値、極小値をもつとする。ただし−９０°≦θ≦９０°とする。
(１)θの値の範囲を求めよ。
(２)f(x)の極大値、極小値に対応するy＝f(x)のグラフ上の２点を通る直線の傾きをmとおく
mをθの関数であらわし、傾きmのとり得る値の範囲を求めよ
文系なのですが数�UBまでの知識でこんな問題が解けるのですか？sinθやcosθの微分は範囲外なので解かりません。
良い解き方あったら教えて下さい

>>65
◆ わからない問題はここに書いてね １４９ ◆＠数学板
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1091520993/927

漏れ的には数�V範囲だと思う。xsin^2θx ってのが xsin^2(θx) を表すとしたらの話だが。

>>65
微分するにしてもxで微分するんだったらθは関係ないでしょうに。

>>65
(1)問題間違えてない？−90°≦θ≦90°って書いてある。
(2)f(x)＝x^3+3x^2cosθ+xsin^2θ+2の間違い？f(x)はxの関数だからsinθやcosθは定数。
2や3などの数字と一緒と思えばいい。

(2)f(x)＝x^3+3x^2cosθ+xsin^2θ+2の間違いでしたすいません。
皆さんありがとうございました

>>64
？？ すいません、正直わかりません。解説お願いできませんか？

y=sin(πx/2)
y=x^4

この交点ってどうやって求めるんですか？

>>70
それじゃ説明のしようがないよ・・・
具体的に、例えば証明の２行目まではわかったけど
３行目からわからないとか言ってくれないと

>>71
グラフ描く
→交点が第１象限に１つあるっぽい
→あ、(1,1)じゃねーの？（ここまでは勘）
→ほかに共有点が無いことを証明（差をとって微分、とか）
→終了

>>73
あ、原点も追加で

>>72
一行目のRは誤植ですよね？
相似の式からわからないんです。どういう三角形を書いたらその三角形とその三角形が相似になるのかというのが。

>>75
∠Rは９０°のこと。

>>76
そうだったんですか！わかりました。ありがとうございました。

ちょっと説明がクドくなるし、そもそも説明がすでに不要かもしれないけど一応。
まず紙と鉛筆を用意して、角Aが９０度となる三角形ABCをかいてください。
（ここでABとACの長さをかえることがコツです。例えば１：２とか）
そしてADとBCが垂直になるように、辺BC上にDをとります。
後でわかりやすいようにADに線を引っ張って、ついでに直角のマークをつけておきましょう。
いま描いた三角形を見ながら以下の説明を読んでください。

相似からわからないとのことですが、例として△ABC∽△DBAを証明します。
ここで使う相似の条件は「対応する二つの角がひとしい」です。
まず∠BAC=∠BDA、両方とも９０度ですから当然ですよね。
次に∠ABC=∠DBA、これも図をみれば明らかです。まったく角を指し示てますからね。
蛇足ですがこのことを「∠B共通」と言うこともあります。
以上より対応する二つの角が等しいので△ABC∽△DBAが成立します。
△ABC∽△DACについても同じように証明できますのでやってみてください。

さて△ABCと△DBAと△DACの相似比は、斜辺の長さを見比べればa:b:cです。
「相似な三角形の面積比は、相似比の二乗に等しい」ことから、
△ABCと△DBAと△DACの面積比は、a^2:b^2:c^2です。
ここで、図をみれば明らかに(△ABCの面積)=(△DBAの面積)+(△DACの面積)となってます。
これに上でもとめた面積比を代入すればa^2=b^2+c^2となり、三平方の定理が証明されました。

平面の三点O(0,0)、A(63,0)、B(15,20)に対し、三角形OABの内心を求めよ。
簡単すぎたらすみません、、　お願いします。。

>>81
(1/2)*OA*15=(r/2)(OA+OB+AB)…(1)
rは内接円の半径
(1)から中心のx座標が出るから
あとは点と直線の距離の公式

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=651535

三角形ＯＡＢにおいて、辺ＡＢ上の点Ｐ（Ｐ≠Ａ、Ｐ≠Ｂ）から
直線ＯＡ、ＯＢにおろした垂線をそれぞれＰＱ、ＰＲとするとき、
直線ＯＰが直線ＱＲに垂直である。a↑=OA↑、ｂ↑＝ＯＢ↑、ｐ↑＝ＯＰ↑
とする。
a↑・p↑＞０が成り立つことを示せ。

という問題なのですが、ＡＯＰ＞９０度の場合に矛盾する事を示せば良いとおもったのですが、
どうやればいいかわかりません。教えて下さい。

その内積が負になる場合は考えないんだ、へ〜

>>47（自分）に対するレス
>>48ですが
これは例えば左辺の1行目と3行目にある２乗と１乗のペアが
右辺の２行目にある３乗に対応していて消える、ということでいいのでしょうか。
（表現が数学的じゃないっていうか稚拙でスマソ）

a(1)=1 , a(2)=10 , {a(n+2)}^4={a(n+1)}^3*a(n) (n=1,2,3…)

漸化式なんですが、こんなの見たこともありません…
どなたかご教授ください。

連カキすまそ。

logの底は10なんで省略。

logA_n　＋1　＝2^n-1
⇔logA_n＝2^n-1　−1 　　　←ここから
⇔A_n＝10^2n-1 −1　　　　　←ここへの変形が全く分かりません。

ログがどう消えて
右辺の10はどう出てきて
なんで左辺から右辺に移った1はそのままなんですか？

>>87
a_nは必ず正だから対数とって、log_{10}a_nを考えれば普通の普通の三項間漸化式。

>>88
文面通りに受け取ると
logA_n＝2^n-1　−1 =２^n-2⇔A_n=10^(2^n-2)(底が10だから)にならないかな

>>84
（ i ）∠ＡＯＰ＞９０°のとき
三角形ＯＡＢにおいて、辺ＡＢ上の点Ｐ（Ｐ≠Ａ、Ｐ≠Ｂ）から
直線ＯＡ、ＯＢにおろした垂線をそれぞれＰＱ、ＰＲとしたとき、
図から　OP⊥QR　は成り立たない。

(ii)∠ＡＯＰ＝９０°のとき　も同様。

したがって、∠ＡＯＰ＜９０°となるから　a↑・p↑＞０　（証終）

>>84
（別解）
OA⊥PQ、OB⊥PR　より　∠OQP　+　∠ORP　＝180°
∴Q　,　R　は　OP　を直径とする円上にある。
更に、OP⊥QR　であるから、Q　と　R　は　OP　に関して対称である。
∴　△POQ　は　∠Q　＝90°の直角三角形であるから　∠POQ＜90°　
∴a↑　と　ｂ↑　のなす角は鋭角。
∴a↑・p↑＞０　（証終）

>>89さん、いまいちわかりません…
対数をとったらどんな形になるのか教えていただけませんか？
何度もすいません。

>>92
>>87の漸化式の両辺の対数をとると
　 4logl_{10}a(n+2)=log_{10}(a(n+1)~3*a(n))

⇔4logl_{10}a(n+2)=3log_{10}a(n+1)+logl_{10}a(n)

ここでlog_{10}a(n)=b(n)とおくと上式は

4b(n+2)=3b(n+1)+b(n)となる

あとは三項間の漸化式をとく要領と一緒

>>93
やっと理解できました、丁寧に教えていただきありがとうございました。
とっても分かりやすかったです。

>>81
>>82の方針で内接円の半径rを求める。
OA=63,OB=25,AB=52よりr=27/4
ここで、角AOBの二等分線の式がy=(1/2)xとわかる。
（tanの倍角使うとか、点と直線の距離使うとか）
よって
x=2r/√5=27/2√5
y=r/√5=27/4√5

>>91
> >>84
> （別解）
> OA⊥PQ、OB⊥PR　より　∠OQP　+　∠ORP　＝180°
> ∴Q　,　R　は　OP　を直径とする円上にある。
> 更に、OP⊥QR　であるから、Q　と　R　は　OP　に関して対称である。

ここまではオッケー
このあとはこうですね↓

よって、OPは角AOBの二等分線なので
角AOP=(角AOB)/2<90°とわかる。よって題意成立□

すいません
f(x)={(1-logx)logx}/x
底はe
を
lim x→∞
するとどうなりますか？
0になると思うのですが
どう説明すればいいかわかりません
よろしくお願いします

>>97
lim[x→∞](logx)/x=0を前提とすると
x=√tとして
lim[t→∞](log√t)/√t=0
lim[t→∞]{(1/2)logt}/√t=0
lim[t→∞](logt)/√t=0
lim[t→∞](logt)^2/t=0
f(x)=(logx)/x-(logx)^2/x
lim[x→∞]f(x)=0

>>96
それでもいいが、>>91では
直角三角形POQ に着目して、「直角三角形の直角でない角は鋭角である」ことを利用して、
∠POQ＝∠AOP＜90°　と導いている。

複素数平面上でα、αｚ、α(z^2)を表す点をそれぞれA,B,Cとする。
�僊BCが正三角形になるときｚはどのような複素数か。
この問題BA=BCかつ∠B=60°とすれば解けるんですが
AB=ACを使うとどうもうまく解けません・・・。
AB=ACを使って解く方法を教えてください。
お願いします。

>>98
どうもありがとうございます

xy平面上に三点で表される角で、その角の二等分線は二本の直線の方程式の傾きを足して２で割って点の条件を入れれば出てくる？

>>100
z~=zの共役複素数

AB=AC=BC
⇔|αz-α|=|αz^2-α|=|αz^2-αz|
⇔|α||z-1|=|α||z-1||z+1|=|α||z-1||z|
⇔1=|z+1|=|z|　（∵|α||z-1|=0のとき三点が一致するので不適
⇔1=(z+1)(z~+1) , 1=z*z~

z~=1/zより
z~を消去して整理すると
z^2+z+1=0
∴z=(-1±(√3)i)/2

座標平面上に3点A(1,0)B(−1,0)C(0,3)と放物線F:y＝x^2＋aがある。
点PがF上をもれなく動くとき、AP^2+BP^2+CP^2の最大値をaで表せという問題なのですが
P(t,t^2+a)と置くまでは解かりましたがその先をどうやればいいかわかりません。
こんな高２の私に解法を教えて下さい。また答えが雨で濡れてしまって今見れないので答えまで出していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします

>>104
aに何か範囲はないの？

>>9の問題だけど
番号ふってあるから横一列と同じで全ての場合から隣り合う場合を引いて
20!-10!*2^10
で、違うみたいだけどどこが違うの？

すいませんaの最小値を出す問題でした

>>104
AP^2+BP^2+CP^2=3t^4+3(2a-1)t^2+3a^2-6a+11
t^2=αとおくと　α≧0
3α^2+3(2a-1)α+3a^2-6a+11
=3[α+{(2a-1)/2}]^2-3a+(41/4)

最小値をm(a)とおくと
-(2a-1)/2≦0　すなわち　a≧1/2　のとき
m(a)=3a^2-6a+11
a＜1/2　のとき
m(a)=-3a+(41/4)
あとはグラフ書いて終了

>>106
全員が隣り合っている場合だけしか除いていないから
あと、全員が隣り合っている場合は 10!*(2^10)*2 通りだと思う。
10!…10組の並べ方 , 2^10…各夫婦の並べ方 , 2…一組目が1番,2番に座るか、1番,20番に座るか。

あ、番号は関係ないのかorzｽﾏｿ

ランダムウォークの確率です。

xy平面状の原点に墓石を１つ置く。サイコロを振り、１または２が出た
ら墓石をｘ方向に１動かす。３または４が出たら墓石をｘ方向に-１動かす。
５または６がでたら、墓石をｙ方向に１動かす。
サイコロを４回振ったとき、次の確率を求めよ。

（１）墓石が原点にある。
（２）墓石が（1,1）にある。

（１）はすんなり解けて、4Ｃ2（1/2)^2*(1/2)~2 ＝2/27
になりました。

（２）は、4Ｃ2（1/2)^2*(1/2)*(1/2) ＝2/27
だとおもったんですが、正解は4/27でした。

どうして、値が異なってくるのか解りません。
どなたか、解説お願いします。

>>111
ばちあたりめ。

>>111
墓石って書いてあるの？なんか縁起わるいね。
(1)は4Ｃ2*(1/3)^2*(1/3)^2でしょ。
(2)は4Ｃ2*2Ｃ1*(1/3)^2*(1/3)*(1/3)=4/27
(2)は4回中2回1か2が出るので4Ｃ2、残りの2回中1回3か4が出るので2Ｃ1をかける。

>>108
ありがとうございました。現役合格に向けてがんばります

もう一問聞いていいですか？ずうずうしくてすみません。気に食わなかったらスルーしてかまいません。
複素数z＝cos(360°/7)＋isin(360°/7)に対して、ｔ＝(z^2+1)/zとおく
(1)ｔが実数であることを示し、ｔが方程式x^3+ax^2+bx+c＝0の解になるような整数a,b,cを１組求めよ。
(2)6/5＜t＜5/4を示せ。
といった感じの問題なのですが解いた事の無いパターンなので手のつけ方が解かりません。
受験に向けて早めに対策を立てているのでもしよろしければお願いします。

>解いた事の無いパターンなので手のつけ方が解かりません。

。。。

墓石ではなく、碁石でした・・・

>>113
なるほど、よくわかりました。
ありがとうございました。

>>116
数学を勉強してる暇はないだろ

>>114
(1)だけ。

[(1)の証明部分]
ド・モアブルの定理より，z^7=1・・・甲
また，|z|=1 であるから，z*z~=1・・・乙
甲，乙より，z~=z^6・・・丙
ところで，t=z+(1/z) であるから，
t~=z~+(1/z~)
　=z^6+(1/z^6) (∵丙)
　=(1/z)+z (∵甲)
となる．しかるに，t=t~ であるから，tは実数である．

[(1)の証明部分の別解]
|z|=1 であるから，z*z~=1．
よって，t=z+(1/z)=z+z~=2cos(360ﾟ/7)=実数．

数学の答案で
式…�@
とかって記しつけたりしますよね？

�@の変わりに　い　ろ　は　とかって書いてもいいの？

・・・※
とかならよくみる

[(1)の続き]
t=z+z^6 であるから，甲を考えれば，
(z+z^6)^3+a(z+z^6)^2+b(z+z^6)+c=0
⇔ (b+3)z^6+az^5+z^4+z^3+az^2+(b+3)z+2a+c=0・・・丁
となる．ところで，z≠1 であるから，甲 ⇔ z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0・・・戊
丁-戊を計算すると，
(b+2)z^6+(a-1)z^5+(a-1)z^2+(b+2)z+2a+c-1=0・・・己
となる．己において，a=1，b=-2，c=-1 とすれば，己の左辺=0 となる．
またこれらはa，b，cが整数であることも満たす．
∴ a=1，b=-2，c=-1・・・答

>>119
何でもいい。オレはアンパンマンの顔書いたりしてる。
採点する人もたのしませたいやん？

>>119
ハートやスペードを使っている奴がいたら、そいつは大数戦士。
いろは にした所で理論は崩れないでしょ。マルで囲んだりして誤解の無いようにしておけば大丈夫だと思う。

>>122
マジでいってんの？
�Fとかになったらどうすんの？
アンパンマン、ドラえもん、くれよんしんちゃん・・
もうかけねぇじゃん、引用3つに抑えないと

引用がちょっとだけの時はアンパンマン。
でも考えてみれば
右向いたアンパンマン
上向いたアンパンマン
かじられたアンパンマン
顔なしアンパンマン
…
なんでもいけるさｗ

いざとなれば右向いたバタ子さんもいるしね★

左斜め前を向いたバタ子さんが一番可愛い

おそいかもしれんけど
>>111で爆笑してしまったorz

>>109
　　　１０組の夫婦がいます。
　　　いま、ある円卓に対して、妻が自分の夫と隣合わないように座る方法は何通りあるでしょう。
　　　ただし、円卓の各席には１〜２０までの番号が付いているものとします。
＞＞20!-10!*2^10　で、違うみたいだけ
＞全員が隣り合っている場合
「夫婦が隣り合っている場合」だよね。それ以外に除くべきものは何があるの？
＞あと、全員が隣り合っている場合は 10!*(2^10)*2 通りだと思う。
＞2…一組目が1番,2番に座るか、1番,20番に座るか。
なるほど。

>>114
z^7=1より(z-1)(z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1)=0
z≠1より
z^6+z^5+z^4+z^3+z^2+z+1=0
z^3≠0より両辺をz^3で割って
z^3+(1/z)+z^2+(1/z^2)+z+(1/z)+1=0
t^3-3t+t^2-2+t+1=0
t^3+t^2-2t-1=0
∴a=1,b=-2,c=-1

>>114
ついでに(2)も。

f(x)=x^3+x^2-2x-1 (x＞0) とおく．
xy座標平面上において，曲線C：y=f(x) (x＞0) とx軸との共有点を考える．
いま，f'(x)=3x^2+2x-2=3(x-α)(x-β) (α=(-1-√7)/3，β=(-1+√7)/3．)
であるから，0＜x＜β で f'(x)＜0，β＜x で f'(x)＞0．また，f(0)=-1＜0．
曲線Cの概形を考えると，曲線Cは x＞β においてx軸とただ1つの共有点を持ち，
そのx座標はt(=2cos(360ﾟ/7))であることがわかる．
ところで，f(6/5)=-29/125＜0，f(5/4)=1/64＞0 であるから，
中間値の定理より，6/5＜t＜5/4．

>>110
番号があると普通の円順列じゃなくなるよ。
回転させた時、同じじゃなくなるから。
隣り合う場合を考えた時、始めの2人が20―1もあるから単なる横一列並びとも違う。

こんな夜中に皆さんありがとうございました。
バリバリ勉強して現役合格目指します

>>129
(すべての)妻が自分の夫と隣にすわらない
⇔すべての夫婦が隣同士に座らない
これを否定すると
少なくとも1組の夫婦が隣同士で座っている。
だから除くとしたら「全ての夫婦が隣同士に座る場合」ではなく
「少なくとも1組の夫婦が隣同士になる場合」を除かなくちゃいけない。

>>132
「番号は関係無い」って書いてあったのは>>9の答案だったね。ありがと。

>>134
とすれば、余事象で求めるのは無理？

>>135
考えてみないとわかんない。ちょっとやってみる。

円順列の問題です。

互いに同形のガラス球g個と互いに同形のダイヤモンドd個と、表裏の
あるペンダント1個とを、まるくつないでネックレス状のものをつくる。
ただし、ペンダントは表をむけ、その両端はダイヤモンドにする
（d≧2,g≧1）。
どの2個のペンダントも隣り合わないことにしたら、何通りのつくり方があるか。

自分の答えでは、(g-d-3)*(g-1)!/(d-2)!*(g-1)!通り
になりましたが、正解は
(g-1)!/(d-2)!*(g-d+1)!通り
でした。

ちょっと面倒かもしれませんが、解説宜しくお願いします。

>>137
ごめん。ペンダントって何個あるんだっけ？

>>127
うｐ希望

>>138
すいません！！

円順列の問題です。

互いに同形のガラス球g個と互いに同形のダイヤモンドd個と、表裏の
あるペンダント1個とを、まるくつないでネックレス状のものをつくる。
ただし、ペンダントは表をむけ、その両端はダイヤモンドにする
（d≧2,g≧1）。
どの2個のダイヤモンドも隣り合わないことにしたら、何通りのつくり方があるか。

どの2個のペンダント→どの2個のダイヤモンド
でした。

それでは、改めて、宜しくお願いします。

>>91
図形がよくイメージ出来ていませんでした。
レスありがとうございました。

G:ガラス玉　D:ダイアモンド　P:ペンダント
............GDPDG...............
と並ぶから、残りの部分(G............G)をきめればいいよね。
どの2個のダイヤモンドも隣り合わないんだから、
まずガラス玉g個を一列に並べて、その間にダイアモンドd-2個を並べればいい。
G'G'G'G'G'.........'G'G'G'G'G'G
の「'」(g-1個)のところにDを入れればいいんだから、
g-1個の「'」からd-2個を選んで　C[g-1,d-2]とおり。

わかった？

>>142は>>140へのレス。

g-1Ｃd-2＝(g-1)!/(d-2)!*(g-d+1)!
になるということですか？？

お手数かけます・・・

>>144
g-1Ｃd-2＝(g-1)!/｛(d-2)!*(g-１−（d-2）)｝!
とすればわかりやすいか？

もしわからないなら、Ｃの計算を具体的に数字を入れてあれやこれやがんばってみな

点(1.2)に関し、曲線y=2X^2-3x+4と点対称の位置にある図形の
方程式を求めよ。

さっぱりわかんねぇ・・・('A`)
曲線を(1.2)で点対称移動させればいいんですか？

与えられた曲線は放物線だから、平方完成して頂点を求めて、それを点(1.2)に関し点対称に移動させればいいい。

y=2x^2-3x+4＝2(x-3/4)^2 +23/8
∴頂点（3/4 , 23/8）
これと点(1.2)に関し点対称な座標は（5/4 , 9/8）
∴求める図形の方程式は、
ｙ＝−2(x-5/4)^2 +9/8＝−2x^2 +5x -2　……（答）

【問題】

１つのサイコロを振って出た目の数だけ得点がもらえるゲームがある。
ただし、出た目が気に入らなければ、１回だけ振りなおすことを許すとする。
このゲームでもらえる得点の期待値が最大になるようにふるまったとき、
その期待値は(ア)である。同じルールで最高２回まで振りなおすことが出来るとすると、
このゲームの得点の期待値は(イ)である。

(ア)は解けました。(イ)は解けなかったので解説を見たのですが、雑すぎてよく分かりませんでした。
(イ)の詳しい解説の誘導をしてもらえるとうれしいです。

それぞれ長さ５０ｃｍのひもがAA',BB',CC',DD'の４本あり、端と端を選んで結ぶ。
例えば、端Ａと端Ａ’を結ぶと周囲が５０ｃｍの輪ができ、端Ａと端Ｂを結ぶと
長さ１ｍの１本のひもができる。
ただし、結び目に必要な長さは考えないものとする。

（問）端A,B,C,Dから無作為に二つ選んで結び、端A',B',C',D'から無作為
に二つ選んで結ぶとき、周囲１ｍの輪が出来る確率は□/□である。

4Ｃ2*4Ｃ2/4Ｃ2*4Ｃ2だと思ったんですが、それだと答えが１になってしまいました。

答えは1/6でした。

解答によると、4Ｃ2/4Ｃ2*4Ｃ2　をしているんですが、

端A,B,C,Dから無作為に二つ選んで結び
↑このときは、4Ｃ2/4Ｃ2だとわかるんですが、

端A',B',C',D'から無作為に二つ選んで結ぶとき
↑このときの事象が1/4Ｃ2になるのはどうしてでしょうか？

宜しくお願いします。

分子を分母に移したいんですが、
4/(2^n)＝1/(2^n-2)
6/(3^n)＝1/(3^n-2)　で、合ってますよね？

下はあってません。
6/(3^n)=2*(3/3^n)
=2/(3^(n-1))

>>152
ということは、
10/(5^n)=2/(5^n-1)
18/(3^n)=2/(3^n-2) ですよね、ありがとうございました。

数学の問題（主に確率）に出てくるゲームって面白くないよな。
誰がこんなのするんだ？って問題ばっかり。
ポーカーとか麻雀とか使えよ。

>>154
手元のハイがていきなりトイトイである確立を求めよ

>>148をおねがいします。

>>150
A,B,C,Dから2つ選んでA',B',C',D'から2つ選ぶ全ての場合は4C2*4C2通り。
そのうち、A,B,C,Dから2つ選んだのとA',B',C',D'から2つ選んだのが一致する
場合の数が4C2通り。
よって求める確率は4C2/(4C2*4C2)=1/6

　　　１０組の夫婦がいます。
　　　いま、ある円卓に対して、妻が自分の夫と隣合わないように座る方法は何通りあるでしょう。
　　　ただし、円卓の各席には１〜２０までの番号が付いているものとします。
>>134
>「少なくとも1組の夫婦が隣同士になる場合」を除かなくちゃいけない。
「一組隣り合う場合を考えてあとはどのような並びでもいい」を全体から引けば
いいのだろうか。
で、やってみると何か変になった。
誰かよろすく。

「一組隣り合う場合を考えてあとはどのような並びでもいい」
一組の夫婦の選び方に10通り、左右逆で2通り、
その夫婦の位置の決め方に1-2,〜,20-1まで20通り、
残りの18人の並び方が18!
で、10*2*20*18!になって全体の20!を超える。
どこかが間違っているんだけど。

>>158
学校で数学の時間に考えてみた。

各々の夫婦に1から10までの番号をつける。妻が自分の夫の隣に座っているような夫婦を「良い夫婦」と定義する。
n番の夫婦が「良い夫婦」である事象をA_nで表すと、求める値は
20!-|A_1∪A_2∪....∪A_10| (|C|は集合Cの要素の個数)である。

|A_a1∩A_a2∩...∩A_ak| (a1,a2,...,akはk個の互いに異なる1以上10以下の整数)
はa1,..,ak番の夫婦が「良い夫婦」である事象の個数なので、a1,...,ak番の夫婦を夫婦で一つのかたまりとした並べ方を考えれば
=(2^k)*(20-k)!+(2^k)*C[n,1]*(19-k)!
=20*(2^k)*(19-k)! と導く事ができる.

あとは包除原理を用いれば
20!-|A_1∪A_2∪....∪A_10|
=20!-Σ[k=1→10]{(-1)^(k+1)}*C[n,k]*20*(2^k)*(19-k)!
で求められる事はわかった。現実的な計算ではないけど。

・10~n(nは自然数)は200!を割り切る。　このようなnの最大値を求めよ。

この答えは、

200!が10の因数をいくつ持つかを求めればよい。
10=2*5であり、200!に含まれる2,5の素因数は5のほうが少ないので、
5の素因数がいくつ含まれるかを考える。
[200/5]+[200/5~2]+[200/5~3]=40+8+1=49　∴n=49

となっているのですが、なぜ2ではなくて5の素因数の数をしらべるんですか？
あとなぜ200から割るのですか？200!についてきいているのに。。。
どうかお願いします。

積分で面積を求める問題で
面積が負になることはないからとりあえず絶対値つけとけばいいの？

１　２　３　４　５　６　７　８　９　１０
１１１２１３１４１５１６１７１８１９２０

５の倍数は５個に１個だが
２の倍数は２個に１個。

200/5=５の倍数の個数
200/25=２５の倍数の個数
…
全部足せば掛け合わされた５の個数になる。

>>162
面積を求めるときはな。

>>161
5の素因数の数を調べるのは、「200!に含まれる2,5の素因数は5のほうが少ない」から。
　　　　　　５　１０　１５　２０　２５　３０…　１２０　１２５…
５の倍数　　○　○　　○　　○　　○　　○　　　　○　　　○
２５の倍数　　　　　　　　　　　　○　　　　　　　　　　　○
１２５の倍数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　○
上の○の数だけ5がかかっていることになるが、[200/5]が一番上の「５の倍数」
になる○の個数で、[200/5^2]が2段目の○、[200/5^3]が3段目の○の個数。

>>162
式の考え方が合ってる場合は計算が違う可能性があるから注意。

>>165
ごめん、ずれた。どこに○が対応するかはわかると思うから考えて。

>>163
すみません、まだよくわからないです、
2と5ではなぜ素因数の少ない5のほうで考えるのですか？？　2の場合を考慮しなくていいのはなぜですか？

200/5=５の倍数の個数
200/25=２５の倍数の個数
…
全部足せば掛け合わされた５の個数になる。

なぜ足すと掛け合わされた5の個数になるのかもわからないし、求めたいのは掛け合わされた10の個数なのになぜ5の個数を？・・
頭悪くて申し訳ないです。

5の倍数の個数より２の倍数の個数の方が多いんだから
５で割れる回数が１０で割れるかいすうだろうがあああああああああああああああ

>>167
たとえば800の場合で考えてみ。
800=2^5*5^2で5の方が少ないから、10^nで割り切れる最大のnは2でしょ？
2は5^2の2に一致する。

考えながらレスかいてたんで>>165みてませんでした。すみません。
>>168-169と>>163と>>165の考え方でわかりました。
どうもありがとうございました

黄昏

>>171
10秒くらい「たそがれ」って読めなかった。
ネットで調べようとしたところで思い出した。
だれか>>158きぼんぬ。

lim〔t→ +0〕{t(logt+1)-1}≦-1には成り立ちますか？考え方教えてください

>>158
余事象で考えてもマンドクセってことで普通に考えればいいんでないの？
２０の席が直線に並んでいると考えて一番左の席に座る人は20通り
次の席は19人から左の人の妻（夫）をのぞいた18人から選べばいいから18通り
同様にして17、16・・・・

よって　20*18!

まちがってたら誰か訂正してね

A B A'　・・・
って考えたら普通に間違えてるや
すいませんすいません
>>174はほっといてください

三角関数の和⇔積の公式って覚えなくても適応できますか？
やっぱり無理してでも覚えた方が良い？
加法定理、半角・２倍角・３倍角の公式はマスターしたんですけど。。。
和積は複雑っぽくて覚えにくいです・・・（´д`；）

>>176
30秒以内で導けるようにしておけば覚える必要はないと思うよ

>>176
俺は加法定理･倍角半角までしか覚えてない。
3倍角は使う場面少ないし、和積･積和は作れるから。
センターみたいな時間ないテストだと作ってるとしんどいけど、
センターで和積や積和がほしいときってのはめったにないでしょ。

シュレディンガーの猫の思考実験について解説します。１時間の間に1/2の
確率で放射線を出す物質と、その放射線を感知すると青酸カリが入った瓶の
ふたが 開くような装置を作ります。この装置と猫を同じ箱の中にいれます。
１時間後猫が生きている確率は放射線が出る確率が50%だから、生きている確
率が50%、死んでいる確率が50%になります。箱の中では半分生きていて半分
死んでいる猫が存在する訳です。(アインシュタインは、そんなあいまいな状態
でしか表現できないのは、量子力学が不完全な理論だからだ！！っと言ったそ
うだ）

>>178
一応三倍角までは形の雰囲気ぐらい覚えておいた方がよいのでは・・

>>180
まぁ、雰囲気は覚えてるよｗ

>>173
>>98でおまいがやっているように lim[x→∞](logx)/x=0 を前提とすると
t=1/x とおくと
lim[t→+0]tlogt=lim[x→∞](-logx)/x=0
となるので、>>173の左辺=-1 となり成り立つ。

2つの複素数α,βがα＋β＝αβ,｜α｜＝｜β｜＝１をみたすとき、
等式α^2+β^2+αβ＝０が成立することを示せという問題なのですが
(α＋β)(α−β)＋αβ＝０
αβ(α−β＋１)＝０となり答えが出ません
よろしくお願いします

とりあえずα^2+β^2+αβ＝０から(α＋β)(α−β)＋αβ＝０への変形が間違ってる

>>181
今年のセンター追試は和積と積和が出たよ

a+b>c,b+c>a,c+a>bをみたすときa,b,cは正の数であることを示せ

>>186
a+b>c,b+c>aより
2b+c>a+b>c
∴b>0 他も同様

>>183
α＋β＝αβ,｜α｜＝｜β｜＝１
α＋β＝αβ　→　|α＋β|＝１　→　(α＋β)(α~＋β~)＝１　（２乗した）
→|α|^2＋α~β＋αβ~＋|β|^2＝１　（展開した）→　α~β＋αβ~＋１＝０　（|α|^2＝|β|^2＝１を用いた）
両辺にαβを乗じて、　α~β*αβ＋αβ~*αβ＋αβ＝０　→　α^2＋β^2＋αβ＝０■

途中からベクトルにしてみる。α、βをベクトルと見て
|α＋β|^2＝2＋2α･β＝１　αとβの無い席が-1/2なので偏角は１２０度。
α＝１、β＝cos120°＋i*sin120°として、α^2＋β^2＋αβ＝１＋cos240°＋i*sin240°＋cos120°＋i*sin120°
＝・・・・・・＝０■
途中から荒削りだけど。

>>148
　ルール確認。２回ふったら１回目の出目はパーになっちゃうんだよね？
　N回振れるときの期待値をE(N)として、
（ア）一回目の出目ｋ(1)が何だろうと、２回目の期待値はE(1)＝7/2だから、ｋ＝１〜３なら振りなおしが吉。
　よってE(2)＝1/6*(3*E(1)＋４＋５＋６)＝1/6*(21/2＋15）＝51/12＝17/4■
（イ）もし三回振ってしまえば、三度目の期待値は当然E(1)＝7/2なので、k(2)＝１〜３は振りなおしが吉、４〜６はSTAYが吉。
　そのように振舞えば、k(2)の期待値は（ア）で求めたようにE(2)＝17/4＝4.025＞４になるので、
　一回目の出目については、k(1)＝１〜４は振りなおしが吉、k(1)＝５，６はSTAYが吉。
　そのように振舞えば、振りなおしたときは期待値＝17/4の出目が得られ、５か６ならそのまま５，６の出目が得られる。
　よって、E(3)＝1/6*(4*E(2)＋５＋６)＝28/6＝14/3＝4.66666666・・・■

k(1)→k(1)：STAY
↓
k(2)→k(2)：STAY
↓
k(3)

　と図を描いて。k(3)のとこは期待値7/2とすぐ分かる。てことはk(2)でSTAYすべきは４，５，６．
　そのように振舞ったときk(2)の期待値は（ア）から17/4
　なのでk(1)でSTAYすべきは５と６．
　そのように振舞ったとき・・・で、どうでしょう。

３倍角と和積と積和くらい語呂でも使って覚えときゃいいじゃん
大した手間じゃないんだし、入試でも頻出だし。
もちろん加法定理からの変形もマスターしておくべきだけど。

↓3倍角の語呂

　cos3＝陽子さんまだ未婚＝4cos3-3cos
sin3＝三歳は負け四歳は見事＝3sin-4sin3

サンシャイン引いて夜風が身にしみる
３番三振、引き続いて４番三振スリーアウトチェンジ


洋子参上、引く身越す

↓２倍角の語呂

にしこり死ね
2sin cos = sin 2
こんにちわ死人を殺せ
cos^2-sin^2=cos2

↓半角の公式　(マジで参考になります。ありがとう＾＾)

ttp://www.d2.dion.ne.jp/~hmurata/goro.html

１つのサイコロをn回繰り返し投げ、同じ目がはじめて２回続いたとき
それまでに投げた回数をＸとする。ただし、ｎ回まで一度も同じ目が続か
なかったらＸ＝ｎ+1とおく。確率分布P(X=r),1<=r<=n+1を求めよ。

答えを見てみると、
P(X=1)=0･･･(1)
P(X=r)=1/6*(5/6)^(r-2) (x<=r<=n)
p(X=n+1)=(5/6)^(n-1)
となっています。
(1)は分かるんですが、そのほかの二つは何故そうなるのかわかりません。
P(X=r)=(1/6)^2*(5/6)^(r-2) (x<=r<=n)
p(X=n+1)=(5/6)^(n) になると思うんですが･･･
よくわからないので、どなたかご教授お願いします。

>>198
1回目は何でもよく、2回目からr-1回目まで前の目と違う目が出るので(5/6)^(n-2)
r回目は前の目と同じなので1/6
よってP(X=r)=1/6*(5/6)^(r-2)(1≦r≦n)
1回目は何でもよく、2回目からn回目まで全て前の目と異なるので(5/6)^(n-1)
よってp(X=n+1)=(5/6)^(n-1)
>>198の解答では1回目は何でもいいことに気付いていないみたいね。

数�Vで置換積分と部分積分の見分け方を教えて下さい。

>>200
経験。置換積分には定石がある。網羅系の問題集の定積分　不定積分のところを一通りやればわかるようになるよ。

>>200
置換積分はある程度決まっているのが多い。よく使うのが部分積分で、
例えばlogxは微分すると1/xになって簡単な形になるから部分積分で微分する方に
もっていく、とかいうのを少しずつ慣れればいい。

>>199
一回目は何でもいいんですね。
気づかなかったです。理解できましたどうもでした。

>>183
[証明]
|α|=1，|β|=1 より，αα~=1，ββ~=1・・・ア が成り立つ．
また，α+β=αβ より，|α+β|=|αβ|・・・イ が成り立つ．
このとき，
α^2+β^2+αβ
=αβ(αβ~+α~β+1) (∵ア)
=αβ{αβ~+α~β+(αα~+ββ~-αα~ββ~)}
=αβ{(α+β)(α~+β~)-(αβ)(α~β~)}
=αβ{(α+β)(α+β)~-(αβ)(αβ)~}
=αβ(|α+β|^2-|αβ|^2)
=αβ(|α+β|+|αβ|)(|α+β|-|αβ|)
=0 (∵イ)
となるので題意は示された．
[証明終]

新課程の黄チャ1の基本例題103なんですがどこから<ABD=30がでてくるんでしょうか?

ｎ(A∩Bﾊﾞｰ∩Cﾊﾞｰ)　＝　ｎ(A)　-　ｎ(A∩B)　-　ｎ(A∩C)　+　ｎ(A∩B∩C)
ってｎ(A∩B∩C)の部分を２回引いてるんですがこれでいいんですか？

>>206
2回引いてるから最後にｎ(A∩B∩C)を足してるんだろが

>>207
２回引いてるのに１回だけ足せばいいんですか？

>>205
新課程の黄チャもってる人は少ないと思われ。
問題書いてよ。

ちなみに∠ABDね。多分だけど

>>208
!?工エエェ(ﾟ〇ﾟ ;)ェエエ工!?

ｎ(A∩Bﾊﾞｰ∩Cﾊﾞｰ)がどの部分を指してるかわかってないのか。

>>208
2回引いて1回足しているので、都合1回引いたことになっています。

いや、分かってるんですが
-　ｎ(A∩B)　-　ｎ(A∩C)　で真ん中の+　ｎ(A∩B∩C) の部分がダブって引いてるじゃないですか
だから１度引いたところからさらに引いていいのかなと思ってるんです

日本語下手でごめんなさい

Z会チェクリピIA [17]です。
解説見て解らないのこの問題だけなんですが…。

整式F(x)をx-1で割ると5余り、x^2+x+1で割ると-5x+1余る.
F(x)をx^3-1で割るとき、余りを求めよ.（中部大　工）

余りをax^2+bx+cとおくと、
F(1)=a+b+c=5

…で、この後どうするんでしょうか？
解説読んでも全然わからないもんで。
よろしくお願いします。

>>211
ありがとう！！心のつっかえが取れました！！
こういうのがあるから数学ってﾂﾗｲ・・・

>>212
何回でも引いたり足したりして良いんだよ。
結局はｎ(A∩Bﾊﾞｰ∩Cﾊﾞｰ)が求まればいいのだから。

>>213
x^3-1は因数分解できる？

>>215
解説ありがとうございます！

質問
カードが以下の３枚あります。
�@両面が赤のカード�A両面が青のカード�B片面が赤で反対面が青のカード

これらを「くじ引き箱」の中でごちゃごちゃに混ぜ合わせました。
ある人がカードを引いた結果「赤」でした。(裏は見ていません。)
箱の中には�@�Aもしくは�A�Bのカードが入っているはずです。
ここで「くじ引き箱」の中に黄色いカードを混ぜた場合、
太郎の相続財産を８割以上受け継げるのは浩司と悠子のどちらか？

>>213
解説ではその後どうしてるんだ？　それを書いてどこがわからんのか聞くのがいいと思うんだが。
漏れだったら ax^2+bx+c を x-1 で割ってみるかも。

>>217
最後の1行でﾜﾛﾀ

>>215
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
ですよね。
でも、x^2+x+1は実数の範囲では因数分解できないので、
これ以上どうにもならなくなってしまうのですが。

>>218
解説では
F(x)をx^2+x+1で割ったときの余りが-5x+1より、
ax^2+bx+c=a(x^2+x+1)+(b-a)x+c-a
∴b-a=-5 , c-a=1
ってありますが…

>>220
そこまでは正解♪

次は
F(x)=(x-1)(x^2+x+1)Q+ax^2+bx+c
F(x)=(x^2+x+1){(x-1)Q+a}+(b-a)x+c-a
がわかるかどうかだな

>>220
ほうほう。解説では ax^2+bx+c を x^2+x+1 で割っているわけだな。で、商が a で余りが (b-a)x+c-a だと。
F(x)=Q(x)(x+1)(x^2+x+1)+ax^2+bx+c
=Q(x)(x+1)(x^2+x+1)+a(x^2+x+1)+(b-a)x+c-a
={Q(x)(x+1)+a}(x^2+x+1)+(b-a)x+c-a
だから、F(x) を (x^2+x+1) で割った商は Q(x)(x+1)+a で余りは (b-a)x+c-a

>>221 >>222
なるほど。解りました。
(x+1)(x^2+x+1)Q(x)+ax^2+bx+c
を無理矢理(x^2+x+1)でくくってしまうのですね。
丁寧な解説ありがとうございました。

質問よろしくお願いします。かなり厨ですが。

部分分数分解について

例
(2x+1)/(x+1)(3x+1)のような、分子が１でないものの分解の手順がわかりません。



普通の分子が１の部分分数の方法はわかるのですが････。
どなたかお願いします。

>>224
a/(x+1) + b/(3x+1) を通分して元のと比較してa、bを決める

>>182 98は俺ではないがサンきゅ。

b[1]=2 b[n+1]=(b[n]/2) + (1/2) + (1/4)^n ただし、n=1,2,3,4････

このとき、　数列｛b[n]｝の一般項をｎを用いて表せ。


(1/4)^n が無かったら余裕なんですが。。。、
お願いします。

両辺に4＾（ｎ+1）かけてみ

b[n]=(1/2)^n + (2/4^n) + 1 になりました。ありがとうございます。

ついでで申し訳ないんですが、質問させてください。
特性方程式って、何を表してるんでしょうか？

黄チャの数学Ａ重要例題２０からなんですが、
途中の式変形で
�納k=0,n]1/2*(n-k+1)(n-k+2)=�納k=1,n+1]1/2*k(k+1)
が分かりません。代入して調べてみたのですが、分かりません。
後、数式の打ち込みが間違っているかもしれないので、
おかしかったら指摘してください。多分大丈夫だと思うんですが。

>>229
ただ単にそうすると解けるよってだけの話。

>>231
いい加減な事いうなよ．

特性方程式は，数列の漸化式を解くときや，行列のｎ乗計算とか，
簡単な微分方程式（厳密には，定数係数線形常微分方程式）
の解を求めるときにも出てくる．
この三つの解き方は，特性方程式の根（解）を用いて，本質的に同じ解き方で対応できる．

a_n+1=Ba_n+C
t=Bt+C
上から下ひくとCが消えてa_n+1 -t=B(a_n -t)
数列{a_n -t}は公比Bの等比数列だからｔ（特性方程式の解）と初項があれば解けるってふうに習ったよ。
教科書と違うけど。

http://members.lycos.nl/bertjandotcom/cams.html
このせいで最近勉強できない＆夜更かし。。。
やばい　rica roxanaマジかわいかったし・・
完全無料だから見てみ！free web camera chatってやつかな。
チャットしてたらpvt(=private)に入って来いって言われるんで、privateにさえ入らなかったら無料です。
しばらくズリネタには困りませんで。
まぁある程度の英語力は要求されますが。
・hi, how are you?
・where r u from? I'm from japan.
・how old are you?
・show your boobs (nipples,breats,pussy etc..)
・what's your favourite possision(style)?
・r u ok for anal?
等聞けたら十分です。

>>234
ビッチ言ったら蹴られた

それはやめたほうがいい。　想像以上にひどい言葉だから

知らんかった。気をつけるよ

idiotとかmoronとかもやめとき
てか日本人、英語コンプレックスかしらんけどなんでそういうこというの？
オレも日本人だけど、立ってケツみして　っつたら普通に見せてくれた！で

ムシャクシャして言った。今は反省している。
つーかシステムがよくわからんｗので調べ中

なんか順番待ちで見れない部屋もあるみたいだからそんときは適当に他の部屋はいったら見れるときがある
ちなみにjavaはonにしとかないといけない
ルーマニア人やイタリア人がかわいいね。　アメリカ？かどっかわからんけど、ゲルマン系よりラテン系の方がエロイ

いきなりケツ見せろだと無視されるので
まずhi, how are youとかいって、age/location/fav positionとか聞いて、んで気分がのってきた頃に
why dont you bend down in front of camera?とか
touch your breasts and put 'em up, i dont mean show them. it'll make us happy.とか
stand up, and move on pleeeeeeeease
とかいったら脱いではくれないけどストリップみたいなことしてくれるときがある。
脱ぐのはin pvt(有料)らしい($1.99/min)　　無料で十分ｗ

お前ら他所でやれ．

>>232
いい加減なのはどっちだ。
その三つの例だって本質的に同じ解き方で解けるよってだけの話。

わからない問題が出たので質問させてください。

z = x^2 - 4xy - 2x + 5y^2 -2
を与える時、ｚが最小となるようなx,yを求めよ。

平方の形を作ってそこが＝０になる数を求めればよさそうなことはわかるんですが。。。
よろしくお願いします。

>>243
その通りxについて整理してxの平方の形を作り、次にyの平方の形を作る。
x^2-4xy-2x+5y^2-2 = x^2-2(2y+1)x+5y^2-2
={x-(2y+1)}^2-(2y+1)^2+5y^2-2 = {x-(2y+1)}^2+y^2-4y-3
={x-(2y+1)}^2+(y-2)^2-7 ∴x=2y+1,y=2つまり(x,y)=(5,2)で最小値-7

>>245
素早いレスthxです！
2y+1ごと二乗の中に入れるのは思いつかなかった。。。
おかげで理解できました。

簡単な問題で恐縮なんですが

α、Βを複素数とする
[α](絶対値)＝[Β]＝[α＋Β]＝1のとき、α^2＋αΒ＋Β^2の値を求める
という問題で

(α＋Β)(1／α＋1／Β)＝1の所までは分るのですが、どうして答えが0になるのか
分りません。

あと途中式で(α＋Β)^2＝αΒ　となってますがこれは↑の括弧を展開した
結果と解釈してよいのかお願いします。

あげ

(α+β)(1/α + 1/β) = (α+β)^2/(αβ) = 1　⇔　(α+β)^2 = αβ
α^2+β^2+αβ = (α+β)^2 - αβ = αβ - αβ = 0

分かった！有難うございます！
簡単な見落としでしたｗ

虚数の絶対値、ってなんですか？
複素平面のグラフで、原点からの距離だから、
|a+bi|=√(a^2+b^2)　になる。。。
でもbiの大きさってなんですか？
複素平面に置いて原点からの距離は、実数値ですよね。距離だから。
でもa+biのbiの大きさは実数値で表せ無い気がする。
biはプラス？マイナス？どっちでもない虚数・・・
わけがわかりません。助けて下さい。

サマリー数２Ｂのp14の（２）なんですけど

直線Ｌ：（ｋ＋２）ｘ−（ｋ＋１）ｙ＋２ｋ−１＝０が与えられている。
（２）点Ｐ（２，１）、Ｑ（５，２）に対し、線分ＰＱ（両端含む）と
Ｌが共有点をもつためのｋのとりうる値の範囲を求めよ。


解）−７／５≦ｋ＜−１、−1＜ｋ≦−２／３

となってるんですが、−１のところは≦にならないんですか？分かりません・・・。

＞250
頑張れ

>>251
K=-1
代入してみ

>>253
レスありがとうございます。
えーと、ｋ＝−１を代入するとＬ：ｘ＝３という式になり、これは線分ＰＱと
共有点をもつから可じゃないんでしょうか？

あ、ほんとだｗ

解答のミスとかだったら許せねぇ。
どうしても気になる・・・。

高校数学公式活用事典の旧課程版ってありましたっけ？

>>250
複素数とは回転のあるベクトル座標。長さ(ノルム)はユークリッド空間のベクトルと同様に|z|=√(z*z~)で定義される。
但しz~は複素共役な値[ベクトル]とする。

>>250
|a|=a (a≧0のとき)
=-a (a<0のとき)　｢ただしaは実数｣←ここ重要

おそらくこのことを頭の中で引きずってるんだろうけど、
実数と複素数は別物だと割り切りましょう。

Σ_[k=1,∞]((-1)^(n-1)*x^n)/nの収束半径を求めよ。
解答では１となっていますが、どうしても自分で解くと−１と
出てしまいます。答え（＝１）のほうは間違っていませんか？

>>260
Σ_[k=1,∞]→Σ_[n=1,∞]でした。

>>260
収束半径って正数(∩{+∞})でなかったっけ?
隣接項間の比で出そうとしたと思うけど、それなら
R=lim{n→∞}|a_n/a_{n+1}|
だよ。

次の2つの条件を同時に満たすように関数f(x)=ax^2＋bx＋cの係数a,b,cを求めよ。
ただし、a≠0,b≠0,c≠0とする。

条件1　y=f(x)のグラフは2点(0,3),(-2,-5)を通る。
条件2　y=f(x)のグラフの頂点は直線y=x＋3の上にある。

------------------------------------------------------------------------
頂点を(t,t＋3)と表すと、求める放物線の式はy=a(x-t)^2＋t＋3・・・※
これが(0,3),(-2,-5)を通るので代入。

3=at^2＋t＋3→at^2＋t=0・・・(1)

-5=a(-2-t)^2＋t＋3→-5=4a＋4at＋at^2＋t＋3→at^2＋4at＋4a＋t＋8=0・・・(2)

(1)と(2)を計算すると4at＋4a＋8=0→at＋a＋2=0→a(t＋1)＋2=0

ここまでは出来たのですが、この後はどうしたらいいでしょうか？
答えはa=-1,b=2,c=3になるそうなんですが。

(2)-(1)よりat+a=-2
(1)より(at+1)t=0→at+1=0またはt=0
場合わけして(a,t)=(-2,0),(-1,1)

答えが間違ってるわ。

あのー…球体の表面積ってどうやって求めるんですか…？
突然気になって…

>>265
体積を半径で微分

>>265
大学で面積分ってのやればわかるよ

>>265
証明は省きますが球がピッタリ入る円柱の表面積の2/3です。
体積もです。

積分を利用するなら、
例えば円周なら円周上の一点を動かすことを考えθで積分すると、速度はθのr倍なのでrをθで積分→2πrになります。
同様に、球面上の点を(rsinθcosδ, rsinθsinδ, rcosθ)と曲座標表示します。
δはいつもの。θはz軸との角です。
0≦θ≦π
0≦δ≦2π
です。速度を考え、θの速度からr倍、δは点をxy座標に投影すると、原点との距離はrsinθ倍なのでそれ倍。
結局r^2 sinθをθで積分して2r^2
さらにδで積分して4πr^2
を得ます。

もっと簡単な方法もあります。

あ、すいませんもう一つの方は大学の知識を使いますね。
上だけで勘弁して下さい。

>>262
半径だからそうですよね。
でも、１って言う答えに辿りつけないので
もしよかったら解法を教えてくれませんか？

>>270
Σ_[n=1,∞]((-1)^(n-1)*x^n)/n
だから、a_n=((-1)^(n-1))/nとすれば上式はΣ_[n=1,∞]a_n*x^nの冪級数式になる。
だから収束半径Rは
R=lim{n→∞}|a_n/a_{n+1}|
　=lim{n→∞}|((-1)^(n-1)/n)*(n+1/(-1)^(n))|
　=lim{n→∞}|(n+1/n)*(-1)|=1
かなぁ。

>>265
厳密には大学レベルだけど、直感的に納得するだけなら
「球の体積　球の表面積　カヴァリエリの原理」あたりで検索すると参考になるかも。

argβ＝１０５°であるとき、β^nを純虚数とする最大の２桁の自然数nはいくつか？という問題なのですが
１０５°ｎ＝９０°＋１８０°k　k:整数
７ｎ＝６(１＋２ｋ)
ここでｎ＝６ｍとおける　m:奇数
ｍ＝１５のときｎは最大の２桁になるので
最大のｎは９０

これで合ってますか？

>>273
合ってると思う。

a：b=c：dの時､a/c=b/dとできるのは何故でしょうか?

a/b=c/d
cが０でなければ
b/cを両辺にかけて
a/c=b/d

nが相異なる素数p,qの積、n=pqであるとき、(n-1)個の数nCk(1≦k≦n-1)
の最大公約数は1であることを示すにはどうすればいいのでしょうか？

xの関数 f(x)=(x^2+ax+b)e^-x (a,bは定数)がある。ただし、eは自然対数の底である。
(1) f'(x)を求めよ。
(2) f(x)がx=0で極小値をとるとする。
(2-1) bをaで表し、aの値の範囲を求めよ。
(2-2) xの方程式f(x)=c(cは定数)が異なる3個の実数解をもつようなa,cの条件を求めよ。
ただし、lim x^2e^-x=0であることは、ことわりなしに用いてよい。
　　　　　x→∞

お願いします。

nC1=pq
nCp=pq(n-1)…(n-p+1)/(p*(p-1)…1)
のpq, (n-1), …, (n-p+1)の区間にpの倍数は一つ(pq)なのでpで割ってるからこれはpの倍数でない。
同様にnCqはqの倍数でない。
よってこの3つの公約数は1のみ。
よって全体の公約数も1のみ。

Cの計算法も忘れてぼやけてしまってるが…orz

>>278
どこまで解いたの?

>>278
f'は略
a=b, a>2
MAX(4-a, 0)<c<a

>>275
a,b,c,dいずれも0でないとする。
a:b=c:dのとき0でない実数kを用いて
c=ka,d=kbとかける。
このときad=kab,bc=kabより、ad=bc
∴a/c=b/d

複素数平面上に、4点z1=-1,z2=1-i,z3=3+i,z4=-1/3+3iをとる。
4点z1,z2,z3,z4は同一円上にあることを証明せよ。
という問題で、以下の様に解いたのですが合っているでしょうか？

異なる4点が同一円上にあるならば、4点からの距離が等しくなる1点が存在する。
その点をa+biとする。
|a+bi+1|=|a+bi-1+i|=|a+bi-3-i|=|a+bi+1/3-3i|
√(a^2+2a+1+b^2)=√(a^2-2a+b^2+2b+2)=√(a^2-6a+b^2-2b+10)=√(a^2+2/3a+b^2-6b+82/9)
2a+1=-2a+2b+2=-6a-2b+10=2/3a-6b+82/9
4a=2b+1 a=1/4(2b+1)
-3/2(2b+1)-2b+10=1/2(2b+1)+1
-2(2b+1)-2b+9=0
-6b+7=0 b=7/6
a=5/6
よって円の中心は5/6+7/6iであり、ここから4点への距離を求めると
5/3+1=-5/3+7/3+2=-5-7/3+10=5/9-7+82/9
8/3=8/3=8/3=8/3
よって4点は同一円上にある。

数�Vで、グラフを書く問題で、微分した値がすっごいややこしく、因数分解して増減表が書けないときってどうすればよいの？
技とかある?

>>283
円の中心を求めるところまでOK。あと４点への距離をちゃんと求めよ。
>>284
その文章からではどのような問題なのかわからない。問題を具体的に挙げよ。

>>283
5/3+1=-5/3+7/3+2=-5-7/3+10=5/9-7+82/9
下から3行目の↑は間違い。円の中心と4点の距離は↑ではなく、√(a^2+2a+1+b^2)だから。
それに、まだその時点では仮定でしかなくて、距離が等しい点が存在するかわかってないから、
いきなり等号で結ぶのは減点の対象になる。
√(a^2+2a+1+b^2)と√(a^2-2a+b^2+2b+2)と√(a^2-6a+b^2-2b+10)と√(a^2+2/3a+b^2-6b+82/9)
の4つの値を全て計算して、最後にそれらが等しいから等号で結ぶというふうにする。

>>284
とりあえず計算ミスしてないか確かめて、なかったら飛ばす

>>283
3点からの距離が等しくなる1点を探す
（3点がなす三角形の外接円の中心と半径を求める）
↓
残りの1点からも距離が等しくなることを確認

>>283
>異なる4点が同一円上にあるならば、4点からの距離が等しくなる1点が存在する。
はちょっと危険。「異なる4点が同一円上にある」という命題はこれから証明する事で、まだ証明されてないから。

皆さんレスありがとう。
>>286
なるほど。計算途中で等号を結ぶ⇒その時点で等号が成立する事が分かっている
という事になって、等号が成立するかどうかを確かめる計算をしているのに、ということですか。
>>288
その方が効率が良さそうなやり方ですね。
>>289
命題が成り立つという前提で進めると、命題が成り立たなかった場合に
下手な鉄砲も数うちゃあたるみたいな、行き当たりばったりみたいな事になるということですか？

4点が同一円上となる必要十分条件ってあっただろ。

なんかここ最近計算ミスで数学の点数落ちてくんだけどどうすれば良いのかな？
やり方は分かってるんだけどどっかで計算ミスする…
欝だ氏のう

(1) 4^x-2^(x+2)+3<0を解け。
(2) xが(2)の範囲を変化するとき、f(x)=8^x-2^(2x+1)のとり得る値の範囲を求めよ。

答えだけでいいので誰かお願いします

>>293
4^x-2^(x+2)+3＜0
2^(2x)-4*2^x+3＜0
(2^x-3)(2^x-1)＜0
0＜x＜log[2](3)
2^x=tとおくと1＜t＜3
f(x)=t^3-2t^2(=g(t)とおく)
g'(t)=3t^2-4t
増減表とグラフより、-32/27＜g(t)＜9
∴-32/27＜f(x)＜9

>>294
訂正
×-32/27＜f(x)＜9
○-32/27≦f(x)＜9
下から2行目も同じ。

>>290
効率の良い解法求めてるのか？　漏れだったら円周角の定理の逆を使うかも。
これだと中心の座標が求まらんがな。
>>289の指摘している点は>>290の解釈ではズレてるな。
いつでもどんなときでも証明すべき結論をその証明に用いてはならない。循環論法で証明にならなくなるからな。
円の中心を求めるところまでは値の見当をつけているだけで、
その求めた点から4点への距離が等しいことを示す部分のみが証明の中身であるという認識を持っていれば問題ない。

>>291
4点を結んでできる四角形の、向かい合う角を足すと180度ってのは必要十分だっけ？

>>297
異なる4点 ｚ1，ｚ2，ｚ3，ｚ4 に対して，
α＝（ｚ4-ｚ1）/（ｚ3-ｚ1），β＝（ｚ4-ｚ2）/（ｚ3-ｚ2） とするとき，
α，βが共に虚数かつ α/β が実数 ⇔ 4点 ｚ1，ｚ2，ｚ3，ｚ4 が同一円周上

>>297
必要十分条件ですよ。必要性は中心角と円周角の関係からすぐわかるわな。
十分性も円周角の定理の逆の証明みたいにしてできる。今の教科書じゃ載ってないかもしれんが。

>>298
それはおかしい。
z1=1 , z2=-1 , z3=0 , z4=i としてみな。

極限を求める問題なのですが、
lim[n→∞]{3^(n+1)+(-5)^(n+1)}/{3^n+(-5)^n}
=lim[n→∞]{3*(3/5)^n+(-5)*(-1)^n}/{(3/5)^n+(-1)^n}
=lim[n→∞]{3*(-3/5)^n-5}/{(-3/5)^n+1}=-5
で合っているでしょうか？お願いします。

>>300
は？

>>301
○
最初から-5で割れば?

>>300
それ同一円上なんだぁ

4点円上の問題は3点を選び、その3角形がピッタリ収まる円にもう一点が乗ってるのを示すのが一番では。

確かに最初に(-5)^nで割った方が良いですね。
即レス有難うございました。

>>305
それが萬独裁から（ｒｙ

>>307
図を書けば初等幾何で瞬殺!!

>>283やってみたけどね。

>>308
その初等幾何の定理をそのまま書き換えたのが>>298
z1z2z3z4がこのままの頂点の順番で四角形になってるっていう条件が抜けていて
α，βが共に虚数って条件が余分だがな。

>>298の式は良くわかんないやー。
普通にやっても4、5行で終わるからオレはそれで良いやー。

>>310
間違い。

四面体OABCにおいて点R,S,Tがそれぞれ辺OA,AB,OC上に
OR:RA=1:3　AS:SB=1:1　OT:TC=1:9
となるようにとります。
で、3点R,S,Tで決まる平面と辺BCとの交点をPとするとき、
ベクトルRTとベクトルSPは平行にならいのですか？

>>313
ならないね

アホばっかりですな。

y=sinx^2のグラフってどうゆうふうになりますか？

sinx^2 ＝ (1-cos2x)/2

>>316
(sinx)^2 であれば>>317の通り。sin(x^2)であれば微分して増減表書いてうんぬんかんぬん。

細野真宏の積分[計算]が本当によくわかる本[数�V]　Section8　P122より

「まず、問題を解く前にこの章で必要になる重要公式を導入しておこう。
f^n+1(x)をｘで微分すると
{f^n+1(x)}’＝(n+1)f'(x)f^n(x)　　…�@
となるのは知ってるよね？」

ごめんなさい、知りませんでした。藁
ていうか、この書き方だとイマイチ理解出来ないのですが、
f^n+1(x)をｘで微分すると
{f^n+1(x)}’＝(n+1)f'(x)f^n(x)
の具体例なんかを挙げてもらえないでしょうか？
定理・公式集にも掲載されていないので、大前提の部分を理解できずに困っています。お助けくださいませ。

>>319
（2x+3）＾3の導関数は3(2x+3)＾2･(2x+3)’=6(2x+3)＾2
（2x+3）＾3の微分は展開してもできるからそれと比較してごらん。

あと、その公式を数学的帰納法と積の微分法を用いて証明してみるといい。
帰納法の良い練習になるよ。

２項分布の使い方がわからないんですが・・・
黄チャートで調べたんですが載ってないですよね？？

今、計算・証明などなど終了いたしました。
原理はよく分かりませんが、まぁとにかく成り立つ事は確認できましたし、どういう事かもふんわかと掴めました。
ありがとうございます。

>>322
原理は合成関数の微分法でつよ。
y=f(x) と z=y^(n+1) の合成関数とみる。

>>314
どうしてならないのでしょうか？
平面の見切りだして考えれば、向かい合っている辺になるので平行になるのでは・・・？

３つのタイプからなる合計１０枚の同じ形状のカードがある。
第１のタイプは3枚で両面が黒、第２のタイプは3枚で両面が白、
第３のタイプは4枚で片面が白で他面が黒である。
これらのカードの中から1枚を無作為に取り出すとき
（１）上面が白であったとき、下面が黒である確率を求めよ。

この問題で、
上面が白であった時点で第２，３のタイプのカードに可能性は絞られ、
第２のタイプであった場合に条件を満たさず、第３のタイプであった場合条件は満たされる。
よって下面が黒である確率は
第３のタイプのカードの枚数/両タイプのカードの合計枚数であるから
4/7である。

としたのですが、解答では上面が白である事象W下面が黒である事象Bから
Pｗ（B)を求めて2/5となっています。
僕の考え方では何処が間違っているのでしょうか？

（　）にあてはまるものだけでなく、やり方を教えてください。
よろしくお願いします。

f(x)=x^2-(a+b+5)+4a+b（ただし，a，bは定数）があり，方程式f(x)=0はx=2を解にもつ。このとき，b=( ア )a-( イ )である。

（１）不等式f(x)<0の解がp<x<2の形になるときp=( ウ )a-( エ )であり，aのとりうる値の範囲はa<( オ )/( カ )である。

（２）（１）の場合，x^2<4を満たすxが，つねにf(x)<0を満たすような，aのとりうる値の範囲はa≦( キ )/( ク )である。

>>325
上面が白であったときってのは
10枚から無造作に1枚選んだらたまたま上面が白だったよってこと。
さらにその裏が黒である確率は？って問題。条件付確率ってやつだね。

>>326
問題ぐらい正しく写そう

>>325
１０枚のカードの中で、
白の面は１０枚ある
（第２のタイプが３枚・・・白の面は６枚
第３のタイプが４枚・・・白の面は４枚）
これらの白の面１０枚のうち、
反対側が黒なのは４枚だから
４わる１０で２／５

>>326
（ア）（イ）ｆ（２）＝０をｂについて解く
（１）ｐはｆ（ｘ）＝０の解のうちｘ＝２でないもの
　　　また解のかたちよりｐ＜２、これをａについて解く
（２）x^2<4はー２＜ｘ＜２と同値だから求める条件は−２＜ｐ、これをａについて解く

＞＞２３８
一番最後の行の求める条件はｐ＜−２の間違い

必要十分条件で、
→がOK；十分条件　←がOK；必要条件
ってセンター程度の問題なら考えると思うのですけど。

記述のかなり難しい問題で、
命題→
　　→
　　→答え(必要条件)

答え→命題　に戻して、十分条件を証明する

これって上の流れに反しませんか？

あと、十分条件を示さないといけない問題の区別がつきません。
問題を解く過程にそれをしなきゃいけないヒントがあるのかとは思いますが・・・
なぜその問題ではしないといけないのですか？

ありがとうございました。

>>330
そんなとき方をした事もないし、
そんな状況におちいったこともないから分からない。
問題の解き方変なんじゃない？

てか具体例出してよ。

>>325
既に>>327-328さんが答えてくださったのですが，それでもなお理解できないという
場合に限り読んでください。感覚的に理解できない場合は，愚直でも定義に従って
計算するほうが（･∀･）ｲｲ!と思います。

事象A：「上面が白である」
事象B：「下面が黒である」
事象X：「第1のタイプのカードを引く」
事象Y：「第2のタイプのカードを引く」
事象Z：「第3のタイプのカードを引く」
とおくと，求める確率は，条件つき確率 P_A(B)=P(A∩B)/P(A) である．
事象X，Y，Zは互いに排反であるから，

P(A)=P(X∩A)+P(Y∩A)+P(Z∩A)
=P(X)*P_X(A)+P(Y)*P_Y(A)+P(Z)*P_Z(A)
=(3/10)*0+(3/10)*1+(4/10)*(1/2)
=1/2

P(A∩B)
=P(X∩(A∩B))+P(Y∩(A∩B))+P(Z∩(A∩B))
=P((X∩A)∩B)+P((Y∩A)∩B)+P((Z∩A)∩B)
P(X∩A)*P_(X∩A)(B)+P(Y∩A)*P_(Y∩A)(B)+P(Z∩A)*P_(Z∩A)(B)
={(3/10)*0}*P_(X∩A)(B)+{(3/10)*1}*P_(Y∩A)(B)+{(4/10)*(1/2)}*P_(Z∩A)(B)
={(3/10)*1}*P_(Y∩A)(B)+{(4/10)*(1/2)}*P_(Z∩A)(B)
={(3/10)*1}*0+{(4/10)*(1/2)}*1
=1/5

∴ P_A(B)=(1/5)/(1/2)=2/5・・・答

ちなみに，325さんがはじめに求めた確率は P(Z)/{P(Y)+P(Z)} を計算しただけに過ぎません．
求めるべき確率はP_A(B)=P(A∩B)/P(A)です．

>>330
必要条件だとか十分条件だとかいう名詞は副詞節(句)がなくてはわけが分からなくなりますよ。
ｐ⇒qという命題が真であるとき
qであることはpであるための必要条件
あるいは
pであるためにはqであることが必要
などといいます。
なお、命題とは真偽判定可能な平叙文のことです。

自分の解答を添削をしてほしいのですが、よろしいでしょうか？
減点ポイントなどあれば教えてください。

【問題】4^x −　a*2^(x+1)+1=0・・・�@　が二つの相異二実数解
α、βをもつような、aの値の範囲を求めよ。
またそのとき、α＋βは、aの値に関係なく、一定であることを
示し、その値も求めよ。

【解答】
2^x=Ｘ > 0とおくと、
f(X) = X^2 -2aX+1=0・・・・�A　とおける。
これが、Ｘ＞０の範囲に、解を二つ持てばよいから。
（�@）軸＞０　（�A）判別式Ｄ＞０　（�B）f(0)>0
より、a>1・・・（答）
次に、�Aの二解をＡ、Ｂとおくと、
解と係数の関係より、
ＡＢ＝１・・・�B
Ａ＋Ｂ＝２a
ここで、2^x=Xであることから、
α＝log 2(Ａ)
β＝log 2(B)
とおけるから、α＋β＝log 2(A)+ log 2(B)=log 2AB=log 2 (1)=0
よってα＋βはaの値にかかわらず一定であり、
その値は０・・・・（答）

図形と方程式のところの定理で
２つの円の方程式の差が２つの交点を通る直線を表すってのがありますよね。
それってなんでですか？
ぐちゃぐちゃやってみて傾きがそうなるって所までは証明できたんですがそれ以上がわかりません。
どなたかお願いします。

lim_[ｘ→∞]f(x)g(x)=α(有限確定値)　のとき
lim_[ｘ→∞]f(x)=∞ならば、lim_[ｘ→∞]g(ｘ)=0

という定理は成り立ちますか？

>>334
すいません、「命題」ではなく普通の「問題の条件(式)」です。
数学の問題をやってると、たまに出てくるやつです
(証明問題ではなく)答えを求めたのに、答えを問題の条件に戻して
十分条件を言っておく問題のことです。
なぜこれをしなければいけないのかということが聞きたいです

>>337
lim_[ｘ→∞]g(ｘ)は
０に収束、０以外に収束、正の無限大に発散、負の無限大に発散、振動のどれか、
０に収束以外だとlim_[ｘ→∞]f(x)g(x)=α(有限確定値)かつlim_[ｘ→∞]f(x)=∞に矛盾する

>>335
一行目の>0は(>0)とするか、書かない方がいい。
二行目は何をf(X)と置いたのかが曖昧。なお「おける」わけではないだろう。
三行目の「これ｣は方程式f(X)=0をさしてるのだろうが、悪意に解釈すれば
「解｣の意味を勘違いしてる可能性アリととられかねない。
四行目、「軸」はグラフの用語、「判別式」は方程式の用語であることを分かってることを
つたえられる書き方をした方が。
五行目、より「何が」a>1なのかが書いてない。書いたほうがよい。
下から三行目、「とおけるから」ではなくて「となるから」

甘い採点なら満点。厳しい採点なら三分の二くらいかな。

>>339
随分持ってまわった解き方するな。

>>338
x^2=1かつx>0を満たすxを求めよ
という問題は
x^2=1かつx>0であるためのｘの必要十分条件を求めよ
という問題です。
この問題の場合、
「x^2=1かつx>0」⇒「x^2=1」⇔「x=1またはx=-1」
ですので
「x=1またはx=-1」というのは「x^2=1かつx>0」であるための必要条件を出したに過ぎません。
「x=1」⇒「x^2=1かつx>0」ですから
「x=1」は「x^2=1かつx>0」であるための十分条件でもありますが
「x=-1」⇒「x^2=1かつx>0」は偽なので
「x=-1」は「x^2=1かつx>0」であるための十分条件ではありません。
結局
「x^2=1かつx>0」であるための必要条件は「x=1」ということになります。

もっと複雑な問題であっても同じような議論をしなくちゃいけません。

>>338
最低満たすべき条件を考えただけで答えが1個の絞られたとしても、それが本当に答えなのかはわからない。
なぜなら、その問題の答えが存在しない可能性が否定できないから。
解答中で使用している条件が｢必要条件｣なのか｢必要充分条件｣なのかをよく考えよう。

>>341
では、もって回らない方法で示してみてください。

g(x)＝f(x)g(x)・｛1/f(x)｝

！！

>>345
試すようなことしてすみませんでした。

X^5=ｰ1 をといてください

みんなすごい問題書いてて自分のがバカらしくなっちゃうけど
３角関数が、授業に遅れ気味ーーーーー。。
あー先生かえてほしい

>>349
先生のせいにすな

>>324
すまん、ぼけて設定を間違えてた。
平行になる。

>>348
夏休みの宿題っぽいなあ。
xも-1も極形式にしてみて、ドモアブル

あとはcos36°なんかが分かればいいんだけど
それは単位円に内接する正五角形でも描いて
トレミー

>>352
x^5+1=0を因数分解して
(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)=0
四次部分は相反形なので、x≠0に留意しつつ
両辺をx^2で割り、
x+(1/x)=tとおいてtの二次方程式、なんてのも。

パワプロ風に言うと　あったまいー

tとおいて t^2ｰtｰ1=0 因数分解してt=1±√5 /2 x+1/x=1±√5 /2 �@ 2x^2ｰ(1+√5)x+2=0 �A 2x^2 ｰ(1ｰ√5)x+2=0 からができません

x の方程式　x^4 + (2p)x^3 + (p^2)x^2 - (2p)x -(2p^2) -1 ＝ 0
に関する次の問いに答えよ。ただし、p は与えられた正の数とする。

（1）正の解は　1　つしかないことを示せ。
（2）（1）の解を　α(p)　とするとき、lim[p→∞]α(p)　を求めよ。


（1）はできたんですが、（2）が皆目わかりません。どなたか教えていただけませんか？
すいませんが、答えは紛失してしまいました。
一応、私の（1）の解答を晒しておきます。間違ってたら指摘していただけると幸いです。

（1）
　ｆ（x）＝x^4 + (2p)x^3 + (p^2)x^2 - (2p)x -(2p^2) -1　とおくと、
ｆ´（x）＝2｛2x^3　+　(3p)x^2　+　(p^2)x　-　p ｝
ｆ´´（x）＝2｛6x^2　+　(6p)x　+　p^2 ｝
∴　x≧0　では　ｆ´´（x）＞0
∴　x≧0　では　ｆ´（x）は単調増加。
また、ｆ´（0）＝　-2ｐ＜0　、ｆ´（1）＞0　.
ｆ´（x）は連続なので、中間値の定理より、0から1の間に
　ｆ´（x）＝　0　を満たす　ｘ　がただひとつ存在する。（それを　β　とおく）
そして、
ｆ（0）＝　-(2p^2) -1　＜0　、ｆ（2）＞0　より、
ｙ＝ｆ（x）　の　x≧0　での増減を考えると、
0≦x≦β　では　単調減少、 β≦x　では単調増加。
ｆ（x）は連続なので、中間値の定理より、0からβの間に
　ｆ（x）＝　0　を満たす　ｘ　がただひとつ存在する。（証明終わり）

訂正（下から二行目）

ｆ（x）は連続なので、中間値の定理より、「βから2」の間に
　ｆ（x）＝　0　を満たす　ｘ　がただひとつ存在する。（証明終わり）

>>355
因数分解してってのがよくわからんけど
ともかく
x+(1/x)=(1±√5)/2から
2x^2-(1±√5)x+2=0
が出たんならあとは解の公式でいいんじゃないの？

>>356
lim[p→∞]α(p)＝√2 かな．

√のなかが ｰ10+2√5 になっちゃうんですよ 二重根号がはずせなくて(>_<)

その前にそれ実数？

>>361-367

>>255をみてﾜﾛﾀ

367　まで責任重大だな。

だな。タイプミスすまん

>>363
ボケごろしが!!

虚数かな

ボケた人すいません。ツッコミきれませんでした。
３６７になったことだし、

↓数学の質問どうぞ↓

>>360
計算過程を教えていただけませんか？

全体をp^2で割って極限に飛ばすと
x^2=2
∴x=√2
ってありかな?ありだな。

x^4+2px^3+p^2*x^2-2px-2p^2-1=0
(x^2-2)p^2+(2x^3-2x)p+x^4-1=0
p={-(x^3-x)+√(2x^2-2)}/(x^2-2)
pが無限大に発散⇔(x^2-2)→0
∴x>0の条件を考え、
x→√2
とかね。

まぁ、根本は同じだけど。

>>361
はずせなきゃいけない理由はないですよ。
というか二重根号なんて外れる方が珍しいくらいに思っといた方が。
どういう時外れるかの研究をお勧めするよ。

>>362
実数かどうかなんてのもどうでもいい話ではないかと。

http://yosshy.sansu.org/tokusei.htm
ここの隣接３項漸化式のところの、

　　ａn+2−αａn+1＝β（ａn+1−αａn）
　　ａn+2−βａn+1＝α（ａn+1−βａn）
　と書ける。
　初項、第２項をａ1、ａ2 とすると、
　　ａn+1−αａn＝βn-1（ａ2−αａ1）
　　ａn+1−βａn＝αn-1（ａ2−βａ1）

このa1,a2としたときの変換がよく分かりません。教えて下さい。

>>373
a_(n+1)-αa_n=b_n
a_(n+1)-βa_n=c_n
とおいて出直してこい。

an+1-αan=bnとおくだろ？

すると、
bn+1=βbn…�@　となる。　
bn=βbn-1だからこれを�@に代入すると、
bn+1=βbn=β(βbn-1)=β2bn-1
ってなっていくこれをn回繰り返すと
bn=βn-1b1 …�A
んで、bn=an+1-αan だったから、b1=a2-αa1 を�Aに代入すると
bn=βn-1(a2-αa1)

等比数列だってこった。

かぶった…鬱

だからどうした

>>377
何が？


漏れは時間だから落ちる。

またねー（＠盆＠）ノシ

2項間漸化式もそうだけど
3項間漸化式の特性方程式はなんて美しいんだろう…

a_n=x^nと置けば特殊解が2次方程式の解として出てきて等比数列に帰着するんだもんな…

>>375>>374
理解できました。ありがとうございました。

>>370-371
lim[p→∞]α(p)＝α（＞0）と仮定するとα＝√2が必要

・・・ということにはなるものの
極限値αの存在を示せていないので
答案としては不十分でしょうね。

>>382
ではどうすれば正確な答案になるのでしょうか？
挟み撃ちの原理を使うのかな？とか考えてみましたができませんでした。

あと、ついでに
>>356-358 の（1）の答案の書き方に不備はないですか？
自分ではできたつもりになっているのですが…。

上手い方法が思いつかないので強引に。

f(x)＝与式とする。

(3)　0≦β(p)≦α(p)≦γ(p)
(4)　β(p)→√2
(5)　γ(p)→√2
(6)　f{β(p)}→負（正）
(7)　f{γ(p)}→正（負）

このようなβ(p)とγ(p)を見つけたい

β(p)＝√2{1-(1/p)}
γ(p)＝√2
と置くと、明らかに(4),(5)が成り立つ。

(6)　f{β(p)}＝{-4p^5+(pの4次式)}/p^4→-∞（負）
(7)　f{γ(p)}＝2√2p+3→∞（正）

(6),(7)と(1)の結論より(3)が成り立つ。
(3),(4),(5)より挟みうちの原理でα(p)→√2となる。

ありがとうございます。今から理解に努めます。

>>356->>358
増加、減少の範囲は開区間にしといたほうが無難かと。(理由は考えておいてください)
βから2の間に　は　(β,2)内に　にした方がいいです。
あとはよし。(最後の四行はもっとすっきり書けそうですが。)

>>370
α(ｐ)の極限の存在を断っとかなきゃいかんけどね。
でもどうやって存在示すのかな。
任意の発散する正数数列{p_n}に対して数列{α(p_n)}は有界で
>>371で出てくるxの関数pの導関数(dq/dx)が
(x^2-2)^(5/2)(dq/dx)
={-(3x^2-1)√(x^2-2)+x}(x^2-2)-{-(x^3-x)√(x^2-2)+(x^2-2)}(2x)
=(-3x^5+2x^4+9x^2+1)√(x^2-2)+(-x^3+2x)
となるのである番号以上ではかならず{α(p_n)}は単調列だってことつかうのかな。

>>370-371
さんくすです。。。が、
これもまだよく理解できてない 　(´Д｀；)

(x^2-2)p^2+(2x^3-2x)p+x^4-1=0
p={-(x^3-x)+√(2x^2-2)}/(x^2-2)　←根号の前の−を省いているのはなぜなんでしょう？
pが無限大に発散⇔(x^2-2)→0　←これもわからない　(´Д｀；)

ここでの x って定数と考えるんですか？
でも、ここでの x って　(x^2-2)p^2+(2x^3-2x)p+x^4-1=0　を満たす　x のはずだから、
x は　p　の関数になるのではないのですか？　

(;´Д`)？
質問を整理してからまた来ます。

>>382
示せてる。

>>387
厳密には>>370-371のような式変形はできないので深く考えないように。

lim[p→∞]α(p)＝α（正の有限確定値）

という仮定を許すと
与式のxの代わりにα(p)を使って式変形した後に
p→∞の極限を取ることでα＝√2が導かれる。

x^2(x+p)^2＝2px+2p^2+1 として左右のグラフを考えれば(1)は自明．
また，これらのグラフより α(p)＜√2 もわかる．(√2 でなくても上に有界なら十分．)

{α(p)}＾2＝2p/{α(p)+p}+1/{α(p)+p}＾2 と 0＜α(p)＜√2 を使って挟み撃ちより
{α(p)}＾2→2 (p→∞)

>>389
……

皆さんありがとうございます。

>>390
{α(p)}＾2＝2p/{α(p)+p}+(p^2+1)/{α(p)+p}＾2 と 0＜α(p)＜√2 を使って挟み撃ちより
{α(p)}＾2→2 (p→∞)
　
この最後の二行が分かりません。
{α(p)}＾2＝2p/{α(p)+p}+(p^2+1)/{α(p)+p}＾2 と 0＜α(p)＜√2　が成り立つのは分かるのですが、
ここからどうやって挟み撃ちの原理を使えばいいのでしょうか？

{α(p)}^2>2p/{α(p)+p}=2/{α(p)/p+1}→2

旧過程青チャート２BP４２７から。

6月のある日、A、B両市を受け持つセールスマンS氏は、それぞれ確率
P（A）＝０．６、P（B)＝０．４で、いずれかの市に滞在している。
一方、S氏が滞在しているとき、A市、B市で雨の降る確率は、それぞれPa（C)＝０．５、Pb（C)＝０．４である。
（１）S市が雨にあう確率P（C)を求めよ。

という問題なのですが解けません。
こういう問題の場合、S市について何の条件も書かれておらず、
雨の降る確率を求める事は不可能である。
と答えればよいのでしょうか？
市が氏の誤字であると考えて問題を解いた場合、点数はもらえるのでしょうか？
それとも、誤字である場合とそうでない場合に場合分けして答えるのがベストでしょうか？

場合わけ。

誤字であったとして、試験中に訂正が成されない場合、「解けない」と書けば、間違いではないので点数がもらえ

色の違う5個のﾀﾏﾀﾏをA・B・Cの記号をつけた3個の箱に入れる時、
どの箱にも少なくとも1個のﾀﾏﾀﾏが入るような入れ方は何通りか。

っていう問題なんですが、よく分からないんです・・・解説お願いします

点Pがｘｙ平面上を独立に動く、各時刻ごとに、点Pは1秒後、
1/3の確率でｘ座標だけが１増加する点に進み、２/3の確率でｘ座標とｙ座標の両方が１増加する点に進む。

っていう条件の時、点ｐは確実にｘ座標が増えると言えるのでしょうか？
それとも、
1/3の確率の方でｘ座標が増えて2/3の確率の方で増えない
+前者で増えず後者で増える+両者で増える（この場合２増える）の３パターンと考えて、
1/3・1/3+2/3・2/3+1/3・2/3＝（1+4+2）/9＝7/9
となるのでしょうか？

3^5-(3+(2^5-2)・3)


であってる？

1/3+2/3=1

3^5-(3+(2^5-2)・3)
↑
いや、かなり間違ってるか。

3^5-(3+3・2^5)

かな？

>>396
だったら最初からひとつずつ入れとけよ。

>>402
そうしたら場合わけがかなりめんどくさくなりそう。

解答には空箱1つの場合と2つの場合で分けて書いてあります

3^5-(3+(2^5-2)・3)
でやっぱいいのかな？

216-3-3・32+6=222-99=123

123通り？

>>390>>393
{α(p)}＾2→2 (p→∞)
までは理解したのですが、ここから　α(p)→√2 (p→∞)　を言う為には
lim[p→∞]α(p)　が存在することが分かっていなければならないと思うのですが、
lim[p→∞]α(p)　が存在することはどこから分かるのでしょうか？

挟み撃ちしたら極限が定まる。

>>406
0＜α(p)＜√2

>>408
それでは極限値があることは言えない。

y=sinθ
-1<y<1
だが
θ→∞で振動

>>409
言いたい事がわからんが、

α(p)＝√[2p/{α(p)+p}+(p^2+1)/{α(p)+p}＾2] だから問題ない。

>>408かつ>>410なら○だね。

× α(p)＝√[2p/{α(p)+p}+(p^2+1)/{α(p)+p}＾2]
○ α(p)＝√[2p/{α(p)+p}+1/{α(p)+p}＾2]

質問なんですが、なぜ１+１は田んぼの田なんですか？テストで２って書いたら普通に書くな！オチつけろや！って言われてはねられたんですけど・・・。

君に会うために生まれた　愛するために生まれた

we love the earth　いつか　二人だけの good viveration

思いではいらない

>>412
じつはね。間違えてる方だと極限が｡｡｡
1+√2ぐらいか。

>>413
どろだんご2つをねり合わすと1だろ?

>>411
{α(p)}＾2→2 (p→∞) かつ 0＜α(p)＜√2 でも α(p)→√2 (p→∞) は成り立つだろ。

>>416
いや、そうなんだけど>>406はそれが分かってなかったろ?
極限の存在ははさみ打ちをしてα^2=2になるのを見つけ出した時点で分かってるんだけど、
0<α<√2
の条件だけでは存在が言えない、と。
言いたかったんだ。

>>416
ん?あぁ、そういう意味か。

>>415
ああ！そういうことですか！って算数でそんなこと考えないじゃないですか。

>>412
{α(p)}＾2→2 (p→∞) だけでは α(p) の極限の存在はわからない。

誤爆。
>>417 ね。

>>420
小問1でp>0で解がただ一つあると示されていて、それが有限値√2だと示したことになるから○

>>421
>>417ははさみ打ちによって極限値の存在は示された後

>>406
存在することまでが言えるところが「はさみうちの原理」の強力なところです。

>>413
その先生、確実にオチの意味が分かってないね

>>424
あら、勘違いしてた。つかよく読んでなかった。
α(p)=√(α(p))^2で√xの連続性からいえるんだね。

>>425
そうですよねー。ひどいっすー

>>427
難しすぎてわかりませんとか、いきなりドラえもんの絵を描き始めれば良かったのでは？

xの多項式 (1-2x)^60 の係数のうちで、最小のものと
　最大のものの字数を求めよ

　　教えてください

>>429
n次の係数をa_nとおく。二項定理より
a_n=(60_C_n)*(-2)^n
|a_(n+1)|/|a_n| の大きさから |a_n| の増減を調べて
nが偶数で|a_n|が最大になるところとnが奇数で|a_n|が最大になるところを求めるってのはどう。

>>390>>412>>415

x^2(x+p)^2＝2px+2p^2+1　から
{α(p)}＾2＝2p/{α(p)+p}+1/{α(p)+p}＾2
　
はどうやったら出てくるのでしょうか？
x^2(x+p)^2＝2px+2p^2+1　を満たす正の解　ｘ　が　{α(p)}　なのだから、
x ＝{α(p)}　として　{α(p)+p}＾2　で両辺を割ると
{α(p)}＾2＝2p/{α(p)+p}+(p^2+1)/{α(p)+p}＾2　になると思うのですが…。
右辺の　p^2　はなぜ消えるのですか？

{α(p)}＾2＝2p/{α(p)+p}+(2p^2+1)/{α(p)+p}＾2　でした。

>>431-432
おまいは 2px を (x+p)^2 で割ると 2p/(x+p) になるのか？
(2px+2p^2)+1 を (x+p)^2 で割るんでつよ。

合成関数の図形的意味ってなんですか？

>>434
文脈によります。前後の文章を書いてください。
漏れ的には関数は図形ではないのだから図形的意味などあるわけがないかと。

R2→R2への線形写像なら図形的な意味がある

>>436
それに限らずなんらかの特殊な関数についての話ならありえるよな。だから前後の文脈が必要。
何の脈絡もなしに唐突に書いた場合には一般的な話になってしまうからな。

ここにいる頭がいい方々は、写像もマスターしてるんですか？

>>433
分かりました。ありがとう。

>>438
大学生です

>>440
なるほど・・・

x+yが無理数であることはxまたはyが無理数であることの必要ではないが十分条件である。
が証明できません。
だれか教えてくださいm(＿)m

>>442
十分条件の証明は対偶を使え。
必要条件でないことの反例は x=√2 , y=-√2 くらいでOK

>>438
写像をやらないと数学なんて出来ない。

オレの持論だが。

金色の玉がn個ある。これをk個の袋に入れたい。
これは何通りあるか？

これ、わからないんですけど。

>>443
っていうことは
xかつyが有理数のときx+yが有理数である
が真と証明できればいいんですね？？
ありがとうございます！

どちらも区別はしないよね。

>>444
なんで高校で集合・写像が軽視されるようになったのでしょうかねえ。

>>448
明治の学者はすごかった。奴らが作った勉強プランを政府が部分部分改正するたびにあちこちガタが出てきた。

写像同値存在をやらずに数学をやっても、センスや経験に頼る部分が多くなってしまうし、
力も全くつきにくい。

>>449
センスや素質がないやつは、その分野をしないほうがいいでしょ
バカが勉強するのは無駄でしょ

a,b,cは実数である。
x^3+ax^2+bx+c=0 −−１
x^3+3x^2+(b-4)x+b=0　−−２
１は複素数1+2iを解に持つ。また１・２はただ一つの解を共有する。
この共有解とa,b,cの値を求めよ。

お願いします。

>>449
明治までさかのぼるわけに行かんでしょう。
そもそも(素朴集合論であったとしても)集合論がでてきたのは
十九世紀末に「無限」を真正面から扱うために生まれたようなものだし、
公理的集合論も二十世紀になってからだし(今年は選択公理百周年です。)
ゲーデルの学位論文は’３０年代(昭和だ！）だし、ブルバキだってその後だ。

初等中等教育の現代化は五十年代に新数学者集団(SSS)なんかが
ブルバキの影響をもろに受けての結果なんじゃないかな。
ともかく、

「ブルバキ全盛の頃の日本の数学者たちが、初等中等教育の現代化をすすめ、中曽根臨教審によって
詰め込み批判がなされ半分ほどにカリキュラムが削られた」

ってのが、案外的を射た要約なんじゃない？

グラフが下に凸になるのはどうしてですか？

>>451
x^3+ax^2+bx+c=0
条件よりこれは1+2iと、それと共役な1-2iの解を持つ。
(x-α)(x^2-2x+5)=x^3-(α+2)x^2+(2α-2)x-5α
a=-(α+2)
b=(2α-5)
c=-5α
さらにx^3+3x^2+(b-4)x+b=0より
x^3+3x^2+(2α-1)x+(2α+5)=0
また、ただ一解を共有するのでx=αがこれの解
α^3+3α^2+(2α-6)α+(2α-2)=0
(α+5)(α^2+1)=0
α=-5
a=3
b=-5
c=25

>>316

>>316
式の書き方ぐらいわかれや!

(1) 4^x-2^(x+2)+3=0を解け。
(2) 4^x-2^(x+2)+3<0を解け。
(3) xが(2)の範囲を変化するとき、f(x)=8^x-2^(2x+1)のとり得る値の範囲を求めよ。
お願いします

>>457
2^x=t とでもおいてｶﾞﾝｶﾞｯてください。

a^2+ab+b^2って
a^2+ab+b^2=(a+b/2)^2+(3/4)b^2＞0ですよね？
なんで0取れないんですか？
a=b=0のときいけそうなんですが。

今数学偏差値５３だけど頑張って慶応目指します！

なぜ0が取れないと思うのかを説明してくれ。

>>460
がんば

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次の３つの複素数Z1=1+5i,Z2=2+3i,Z3=-1+9iの表す3点が
１直線上にあることを示せ。
また点Z1は線分Z2Z3をどのような比に分けるか。

複素数苦手でさっぱりです。お願いします。

ベクトルやった？

ベクトル出来るなら、
z1,z2を通る直線mは

m:z=z1+k(z2-z1) (kは実数)っておいて、

z3=z1+k(z2-z1) を満たすkが存在することを証明したらいい希ガス


直交座標で考えたら、
z1(1,5) z2(2,3) とおいてこの点を通る直線がz3(-1,9)を通ることを
示せばいいよ。
んで、比はベクトル使って求める。

z1の座標はわかってるんだから、それを利用して比を求めてみると、
z1のx座標はz2z3を1:2に分ける値でy座標もz2z3を1:2に分けてる
だからz1はz2z3を1:2に分ける。

>>474
分かりにくかったら取りあえずxy平面上に直せ。複素数は回転のあるベクトルだからベクトルと同じ様に考えれば楽。

点は全てy=-2x+7上にあり、
x座標から考えて2:1に内分している。

複素数が苦手とか以前に図を書けば初等幾何(中学の幾何)で3秒で終わる問題だぞ。
しっかりしろ!

数学七大難問のうちの一つのボンカレー予想が解決したんだってよ


http://news16.2ch.net/test/read.cgi/scienceplus/1094562666/l50

一年半以上も前の話じゃねーか
しかも正式な証明論文出てないみたいだし。
いい加減に汁

１辺の長さが２の正三角形ＡＢＣがある．点Ｐが頂点Ａを出発し，
毎秒長さ１の速さで反時計回りに辺上を１周するとき，線分ＡＰを
１辺とする正方形の面積ｙを，出発後の時間ｘ（秒）の関数として
表し，そのグラフをかけ．ただし，点Ｐが点Ａにあるときはｙ＝０とする．

なんですけど、この問題の解答は
条件から，ｘの変域は０≦ｘ≦６
０＜ｘ≦２のとき…．２＜ｘ≦４のとき…．４＜ｘ＜６のとき…
って場合わけしていって解くようなんですが
４＜ｘ＜６のとき　点ＰはＣＡ上にあり，
ＰＣ＝ｘ−４から　ｙ＝ＡＰ^2＝(ＡＣ−ＰＣ)^2＝(ｘ−６)^2
ってなるみたいなんですがこの(ｘ−６)^2がなぜＡＣ＝２，ＰＣ＝ｘ−４なのに
(ＡＣ−ＰＣ)^2＝(６−ｘ)^2でなくて（ｘ−６）^2になるのかわかりません。
教えてください。御願いします。

>>480
(3-5)^2と(5-3)^2は違うと思う？

>>481
あっなるほど!!同じですね!!(ﾟДﾟ;)かなりボケてました。
答えてくれてありがとうございましたm(_ _)m

俺文系で数学のことよくわからないんだけど、数IIIを独学ですることって神レベルなの？やたら自慢してくる奴がいるんだけど。
俺個人としてはそこまで誇らしげにできることではないと想像してるんだけど。

放置しる

>>483
いたって普通

1から９までの数字が一つづつ書いてあるカードが９枚ある。
この中から、三枚カードを取り出して、書かれた数字の小さいほうから順に
Ｘ、Ｙ、Ｚとする。
(1)Ｘのとる値は1<=X<=7である。1<=k<=7のとき確率P(X=k)を求めよ。
わからないので宜しくお願いします。

確率Pの定義は？

>>487
問題文は486しか書かれてないです。

[9-k]C[2]/[9]C[3]=(9-k)(10-k)/168になった。

みすった。(9-k)(8-k)/168

k=1を代入して1/3になるからこれで間違いない

>>489
あぁ、そうやって解くんですね。
どうもありがとうございました。

積分の面積に関する問題なんですが

放物線ｙ＝−ａｘ^2＋b　において、　a＝1-ｔ／ｔ、b＝1-ｔ　とする
ただし、0＜ｔ＜1である。
※この放物線とx軸で囲まれる部分の面積Sを、tを用いて表せ

という問題で、
x＝±√tから

Ｓ＝∫[−√t、√t](−ax^2＋b)dxとなり
これを公式に当てて＝a／6(√t＋√t)^3となるまでは分かるのですが
ここから、4／3・1-t／t・t√tになるのが理解できません。
何故4／3が出てくるのでしょうか？どこをどういじったら↑の式に変換されるのか分かりません。
よろしくお願いします。

a＝1-ｔ／ｔ

↑
何これ

a=0ってことですか？

>>493
一番最後の式は(4/3){(1-t)/t}*t√tでその前は(a/6)*(√t＋√t)^3ということ？
見る人にわかるようにかいて。
(a/6)*(√t＋√t)^3
=(a/6)*(2√t)^3
={(1-t)/6t}*(8t√t)
=4/3*({1-t)/t}*t√t

xyz空間に定点A（0、0、1）と円C:x~2+y^2=1、z=0がある。点Pを中心として点Aを通る球面をSとすると、球面Sは平面z=0と共有点をもち、かつ、その共有点の集合は円Cの内部または周上に含まれるという。このような点Pの全体は立体となるが、その立体の体積を求めよ。
という問題なのですが、第一手としてまず何を考えればいいでしょうか？

原点とｚ軸を通る平面で切って円の方程式をたてろ。

体積はπ/4でいいのかな。
まずは中心の座標を設定、球面の式にz=0を代入して断円を出す。
それがあの円に含まれるので…
あとは不等式の同値変形。

どうもありがとうございます。
ちなみに答えは4/15πです。

>>497
π/12

>>497,>>501
俺もπ/12になった！なぜだ…。

一応これ予備校でやった問題なので講師の回答はあるんですけど、第一手目は
題意より
√(x^2+y^2)+√{x^2+y^2+(z^2-1)}≦1
となっててよくわかりません。

題意がわからないから答えるのは無理。

>>503=497?
それは球面の奇跡？それともPの奇跡？
適当な値を代入してみるとおかしいような気もするけど・・・

まずこれを証明してみな　

「ｎ(≧５）次元のホモトピー球面はｎ次元球面に同相である」

>>505
>>503は
√(x^2+y^2)+√{x^2+y^2+(1-2z)}≦1
なら点Pの条件式になるけど…

体積はπ/12でいいと思う。
円錐の側面と回転放物面で囲まれる部分の体積だよね？
（2z-1≦x^2+y^2≦z^2）

>>507
ちょっと俺も気になる。その過程をぜひ書いていただけませんか？

>>503
それが第一手目？それはおそらく「共有点の集合は円Cの内部または周上に含まれる」
条件を示したいんだろうと思うけど…。俺の解答は以下の通り。誰かわかる人いたら
間違いを訂正して。
P(s,t,u)とすると(s,t,uは実数)球の方程式はRを正の実数として
(x-s)^2+(y-t)^2+(z-u)^2=R^2とおける。また、0≦u≦1
これが(0,0,1)を通るので、R^2=s^2+t^2+(u-1)^2
球とZ=0の共有点の集合は
(x-s)^2+(y-t)^2+u^2=R^2
(x-s)^2+(y-t)^2=s^2+t^2-2u+1
共有点を持つとき(右辺)≧0からs^2+t^2≧2u-1……�@
つまり、中心(s,t),半径√(s^2+t^2-2u+1)の円だが、これがCの周または内部にあるから
√(s^2+t^2)+√(s^2+t^2-2u+1)≦1……�A(←これが>>503の式に似てる)
√(s^2+t^2)=rとおくと、r＞0であり、�Aは
r+√(r^2-2u+1)≦1
r≦u……�B
これと�@より共有点は
0≦u≦1/2のとき0≦r≦u
1/2≦u≦1のとき√(2u-1)≦r≦u
よって求める体積は
∫[0,1/2](πu^2)du+∫[1/2,1]{πu^2-π(2u-1)}du
=π/12

>>508
P(p,q,r)とすると、球面Sを表す式は
(x-p)^2+(y-q)^2+(z-r)^2=p^2+q^2+(1-r)^2
Sの式にz=0を代入すると
(x-p)^2+(y-q)^2=p^2+q^2+1-2r
これが円周（または一点）を表す条件は
p^2+q^2+1-2r≧0（★）
また、その円周上で原点からもっとも遠い点までの距離は
√(p^2+q^2)+√(p^2+q^2+1-2r)
この距離が１以下なので
√(p^2+q^2)+√(p^2+q^2+1-2r)≦1（☆）

つづく。

>>497
P(a，b，c) とおくと，球面Sの方程式は (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+(c-1)^2．
ただし，(a，b，c)≠(0，0，1)．このとき，球面Sと平面 z=0 の共有点は，
「(x-a)^2+(y-b)^2=a^2+b^2-2c+1・・・★ かつ z=0」を満たす(x，y，z)の集合であるから，
この集合が存在するためには a^2+b^2-2c+1≧0 でなければならない．

[1] a^2+b^2-2c+1＞0 のとき
　　★はxy平面上の円を表わすので，a^2+b^2-2c+1=r^2 (r＞0) とおく．
　　円★の周上の任意の点は，円Cの内部または周上に含まれるので，
　　0＜r≦1 かつ √(a^2+b^2)≦1-r
　　⇔ 0＜r≦1 かつ a^2+b^2≦(1-r)^2
⇔ 0＜r≦1 かつ r≦1-c・・・ア
　　が成り立つ．アを満たす実数cが存在するためには 0＜1-c≦1 ⇔ 0≦c＜1 でなければならない．
　　0≦c＜1 のとき，r≦1-c ⇔ r^2≦(1-c)^2 ⇔ a^2+b^2≦c^2
であるから，結局，この場合の求める条件は，
　　「(a，b，c)≠(0，0，1) かつ 0＜a^2+b^2-2c+1≦1 かつ 0≦c＜1 かつ a^2+b^2≦c^2」
　　　⇔「0≦c＜1 かつ 2c-1＜a^2+b^2≦c^2」・・・イ

[2] a^2+b^2-2c+1=0 のとき
　　★はxy平面上の点(a，b)を示す．点(a，b)は円Cの内部または周上に含まれるので，
　　この場合の求める条件は，
　　「(a，b，c)≠(0，0，1) かつ a^2+b^2-2c+1=0 かつ a^2+b^2≦1」
⇔「a^2+b^2=2c-1 かつ a^2+b^2≦1」・・・ウ

イ，ウより，点P(a，b，c)は「0≦z≦1 かつ 2z-1≦x^2+y^2≦z^2」・・・エ
で定まる立体をなす．よって，この立体をXとし，立体Xの体積を求めればよい．
立体Xを平面 z=k (0≦k≦1) で切ったときに生じる断面積をS(k)とすれば，
0≦k≦1/2 のとき，S(k)=πk^2，1/2≦k≦1 のとき，S(k)=πk^2-π(2k-1)=π(k-1)^2
であるから，求める体積は，∫[0,1/2](πk^2)dk+∫[1/2,1]{π(k-1)^2}dk=π/12・・・答

>>510
あ、先をこされたのでつづきません。

最初のほうで指摘があったけど、xz平面で考えるとわかりやすいかも。
z≧x かつ z≧-x かつ z≦(x^2+1)/2
この領域をz軸中心に回転させたものが求める立体。

サンクス
読ませてもらいます。

>>511の訂正・・
[1]の文章の中において，

誤：アを満たす実数cが存在するためには
↓
正：アを満たす実数rが存在するためには

お三方とも条件をうまく使っていて僕には間違っているようには見えない。
すみませんわざわざ横から。(_ _)
>>497
もう一度予備校の講師に答え聞いてみたらどうです？

そうしてみます。どうもお騒がせしてすみませんでした。

>>516
できればその結果の報告もよろしく。

ちんぷんかんぷんです。
解き方や答えを教えてください。

問題
次の数列の第n項を求めよ。また初項から第n項までの和Snを求めよ。
２，２２，２２２，２２２２，……

Σを使って答えたいんですが、a(n)がわかりません。
それが分かればS(n)は計算なので自分で求められます。

>>518　朝からおつかれさん
a(n) = Σ_[k=1,n]　2*10^(k-1)
　　　= 2(10^n - 1)/9

>>519
ありがとうございます。
その答えを見ながらずっと考えていました。やっと分かりました、、
まず最初は２，２２，２２２・・を半分（１，１１，１１１・・）にして考えるんですよね？

そしたらa(n)=Σ[k=1,n] 10^(k-1)
　　　　　 　　=(10^n-1)/9
という答えになり、これに2を掛けたものが答え　…でいいんですよね？

>>520
わざわざ半分にして考える必要はないと思うが。
2，22，222，2222，22222，・・・・・・
これを
2，2+20，2+20+200，2+20+200+2000，2+20+200+2000+20000，・・・・・・
のように考える。
初項2、公比10の等比数列の和。

これでいいかい？

>>518>>520
わからんときは階差数列にしてみるってのもひとつの手
階差はただの等比数列。

２、２２、…
は暇なので２項間で考えれば
a_(n+1)=10(a_n) + 2　…�T　　だから、
特殊解をαと置いて
α=10α+2　…�U
α=-2/9
�T-�Uで、
{a_(n+1)-α}=10{(a_n)-α}
a_n=10^(n-1){20/9}-2/9
として求めても良いね。

双曲線4x^2-9y^2=36について
直線2x-3y=hと共有点を持たないように定数hの値を求めよ。
がわかりません。教えてください。m(＿)m

判別式

4x^2-9y^2=36　⇔　(x^2/3^2)-(y^2/2^2)=1 より、漸近線は y=±(2/3)x
2x-3y=h　⇔　y=(2/3)x - (h/3)

双曲線を描いたら一発ですよ。
h=0
(漸近線と重なるとき)

問題が、hの「範囲」じゃなくて
「値」を要求しているところにも注目。

2次関数 y=-3x^2+7x-5 のグラフの頂点の座標を求めよ。


これを暗算でできる人どのくらいいますか？
簡単すぎ？

>>528
暗算でやる意味がない

>>524
(2x)^2-9*y^2=36
2x=h+3y
下の式を上に代入する。
6hy+h^2=36
これが解を持たない条件は、h=0

4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2を因数分解せよ
なんか閃きがないと先生は無理と言っていましたが、本当にそうなんでしょうか？
とりあえずバラバラにしてみましたがグダグダになってしまいましたorz

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

あっ！・・・orz
ありがとうございました。

>>531
にしても良い問題だな。答えがすごくきれいだ。
(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)

>>534
へロンの公式の拡張版関連だな。

f(x)=−x^2＋ax＋a−2　g(x)=x^2−(a−2)x＋3について、
次の条件を満たすように定数aの範囲をそれぞれ定めよ。

(1)　どんなxの値に対してもf(x)<g(x)が成り立つ。
(2)　どんなx1､x2の値に対してもf(x1)<g(x2)が成り立つ。

この問題がわかりません。
解説を見ても分かりづらいのでどなたかお願いします。

>>536
(1)f(x)<g(x) ⇔ g(x)-f(x)>0
g(x)-f(x) は x の二次式で、これが常に正なんだから、判別式だ。
(2)今度はそのようにはいかなくて、まず f(x) の最大値 M 及び g(x) の最小値 m を求める。
このとき、どんな x1 についても f(x1)≦M で、どんな x2 についても m≦g(x2) である。
したがって、M<m であればよい。
（必要性が気になるなら、逆にf(x)の最大値を与えるようなx1とg(x)の最小値を与えるようなx2について仮定より M<m がいえる。）

グラフを描いてみるのもよいかも。ここではグラフ描けないから説明しにくいけども。

国公立の総合大学の医学部の問題は、医学部だけの問題として作られている場合が多いのか
それとも他の学部と共通になっている場合が多いのでしょうか？

だいたい他学部と共通だと思われ。

>>539
独法化後統合された医学部はさにあらず

>>529
意味がないことはないですよ・・。
できるんですか？できないんですか？

538は勿論数学の話です

>>539
ありがとう。やっぱそうなんですか。

>>541
出来るよ。
やる意味はない。

>>541
>>528の質問の真意は頂点の y 座標が判別式 D を用いて -D/4a と書けるということなのかな。
違うか。簡単すぎではあると思う。

>>543
暗算で出来るのに筆算でやるほうが意味ないんじゃないですか？
なんのために？

>>544
余裕すぎますか？

2つの2次関数 y=-x^2+6x+a　y=4x^2+bx+39 のグラフが同じ頂点を持つとき、aとbを求めよ。

じゃあこれは出来ますか？

>>545
紙に書いてやるか頭の中でやるかでなにか違いがあるのか？　やってることは同じなのだが。
紙に書くことは、後に残して見直せる、人に見せてチェックしてもらえるなどの利点がある。

>>545
暗算でやると、�@計算ミスを犯す�A見直しが出来ない
の二点が挙げられる。

そして、暗算で出来ることが、式変形するより確実で早いという
保証に何らなっていないことに気づけ。

>>546
じゃあってなんだ？
暗算で解けってか？

>>546
やろうと思えば出来るよ。

>>547
>>528くらい単純なものを紙に書いておいても見直しには影響しないんじゃないでしょうか？
紙に書いて見直ししやすくなるのは論理のつながりなどではないですか？

>>550
やろうと思えばとはどういうことですか？

暗算ってのを途中経過無しでポンと答えが出せるものと勘違いしているのではなかろうか。
紙に書くのと同じことを頭の中でやってるだけなんだがな。
もっとも途中を書いてないからミス検討のために余計な検算をする手間がかかりまくってめんどうなことこの上ないが。
紙に書いたほうが２度手間がなくて楽だし時間かからないし間違いの可能性も低いし信頼性が高いのにな。

ちなみに>>546を暗算でやってみた。a=-6 , b=-24。やっぱ書かないといまいち答えに自信が持てないね…

>>552
暗算で解けと言われれば別に解けるってことだよ。
それくらい分かれよ

>>553-554
アフォの相手乙。感動した

暇だし、別にいい

>>551
おまいは>>547の2行目に関して（本旨は1行目なのだが）利点にならない可能性があると指摘している。
筆算に意味があるということの一例として挙げた２つの利点に関して、そのうちの１つが利点とならない可能性もあるかもしれない。
ということを暗算ができれば筆算に意味が無いと主張する根拠にするのはいささか無理があるような気がする。

と煽ってみるテスト。夜はまだまだ終わらない

暗算といっても、そろばんの名人の暗算とファインマンさんの暗算は違う。
そろばんの名人はアルゴリズム通りの計算。ただし超人的に早い。
ファインマンさんは地道に計算。独自の工夫をする。ただし、凡人には思いつかぬ工夫をする。
四桁の掛け算だので競争すると、そろばん名人の勝ち。
五桁の立方根だので競争すると、ファインマンさんの勝ち。

4　ここまでが必須問題
四面体OABCがOA=1,OB=OC=2,∠AOB=∠COA=90°,∠BOC=60°を満たしている。
三角形ABCの重心をGとし、線分OGをt:1-t(0<t<1)に内分する点をPとし、
Pから平面OABに下ろした垂線の足をHとする。
OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとするとき、

(1)内積aベクトル･bベクトル、bベクトル･cベクトル、cベクトル･aベクトルを求めよ。
(2)OPベクトルをt,aベクトル,bベクトル,cベクトルを用いて表せ。
(3)OHベクトルをt,aベクトル,bベクトルを用いて表せ。
(4)四面体ABHPの体積Vをtを用いて表せ。また、tが0<t<1の範囲を変化するとき、
　 Vの最大値とそのときのtの値を求めよ。

お願いします。

>>559
(1)定義より直ちに求まる。(2)重心だから OG↑=(a↑+b↑+c↑)/3
(3)OH↑=sa↑+(1-s)b↑ とかける。
PH↑・a↑=0 , PH↑・b↑=0
(4)底面が△ABHで高さがPHの三角錐
△ABHの面積の出し方は色々あるだろうが、漏れならヘロンの公式でやるかな。

>>537
ありがとうございます。
とても分かりやすい説明ですね。

>>559
おまえが救いようの無い程ﾊﾞｶなのは　よくわかったからさ、
マルチポストはするなよ。

分からない問題はここに書いてね１８５
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1094542985/401

（512＋812332＋8＋69998540820×55）−265211を底辺とした正五角形の体積を
3×62二乗、8×94二乗、28×411二乗を用いてとけ。


ってどいすればいいんですか？よろしくお願いします。

正五角形の体積

sageて質問してるし
釣りだろう

>>564
０

いやいや三角すいの間違いでした

ある値を底辺にすることは出来るのだろうか。

釣りって最低だよな？

x→+∞　のとき、　(logx)/x=0

これはどうやって説明すればいいんですか。

>>570
コピペですがﾄﾞｿﾞｰ

738 ：(☆8) ◆QRDTxrDxh6 ：04/08/13 02:52 ID:HkOTrtqB
>>736
f(t)=e^t-(t^2/2)とおけばf'(t)=e^t-t,f''(t)=e^t-1,なので
t>0でf''(t)>0.よってf'(t)はt>0で増加。f'(0)=0なのでt>0でf'(t)>0.
よってf(t)はt>0で増加.f(0)なのでt>0でf(t)>0.
これよりt>0で(2/t)>(t/e^t)>0となるので(t/e^t)→0 as t→∞.
x→∞のときlog(x)→∞であるので
log(x)/x=log(x)/e^(log(x))→0 as x→∞.

バーカ、知るか

グラフの軸の条件ってどうゆーことなの？
教えください

>>571
少々ミスってるとこ補足しとく。
×f'(0)=0 なので t>0 で f'(t)>0
○f'(0)=1 なので t>0 で f'(t)>1>0

×f(0) なので t>0 で f(t)>0
○f(0)=1 なので t>0 で f(t)>1>0

>>574
すみません。ありがとうございます。

次の無限級数の収束、発散を調べ、収束するものについては和を求めよ。
（３）2-2/3+2/3-3/4+3/4-4/5+・・・・・・

部分和をS_nとする。
n=2m(m=1,2,3,・・・・・)のとき
S_n=S_2m=2-2/3+2/3-3/4+3/4-・・・・・・+(m+1)/m-(m+2)/(m+1)
=2-(m+2)/(m+1)
∴limS_2m=1・・・A
n=2m-1(m=1,2,3,・・・・・・)のとき
limS_2m-1=2・・・B
A,Bより lim(m→∞)S_2mとlim(m→∞)S_2m-1は異なる・・・C
したがって、この級数は発散する。

という問題なのですが、何故Cから結論に達するのかが分かりません。
nが偶数と奇数の時で交互に部分和が1と2に変わるのですから振動ではないのですか？

>>576
「数列が収束しない時その数列は発散する」これが数列の発散の定義です。
発散する数列の例としては、極限が+∞のもの、極限が-∞のもの、極限が振動するものなどが代表的な例です。
今の場合は振動タイプの発散ですね。

>>577
振動も発散に含まれるのですね。
ありがとうございました。

東大の去年の過去問で、サイクロイドの問題の答えはいくらですか?
今携帯なので過去問見れないので…

あ、あと、sin(X) (X→∞)も発散でしたっけ。

>>580
そうですね

>>579
(108/5)πと(392/5)π

>>581-582
さんくすです

>>576
解答としては lim(n→∞)|a_n|＝1≠0 の方がもっと早いけどね。

黒大数Ｂの4ページに

ベクトルa↑の定義
ベクトルa↑が有向線分ＡＢ↑によって代表される時
・ベクトルa↑の向き＝有向線分ＡＢ↑の向き
・ベクトルa↑の大きさ＝有向線分ＡＢ↑の長さ＝線分ＡＢ
と定める。また、
ベクトルa↑の大きさ＝│a↑│
という記号で表す。
上のベクトルa↑の向きや大きさの定義が、a↑を代表する有向線分の選び方によらない
ことを納得してください。

とあるのですが、「ベクトルa↑が有向線分ＡＢ↑によって代表される時」と
「上のベクトルa↑の向きや大きさの定義が、a↑を代表する有向線分の選び方によらない
　ことを納得してください。」という部分の意味がわかりません。どういうことですか？

三項間漸化式の解法（大学への数学8月号59ページ）
「【もんだい】初項1　第二項17 a(n+2)=-a(n+1)+6a(n)　　の一般項は？
【こたえ】前略
ア　t^2=-t+6　の二解をα,βとして
α^2=-α+6
β^2=-β+6
だからα^n ,β^nをかけて
α^(n+2) =-α^(n+1) + 6α^n
β^(n+2) =-β^(n+1) + 6β^n

イ　よって
α^nなる一般項の数列b(n)
β^nなる一般項の数列c(n)
は共に条件式を満たす

ウ　以上よりA,Bを定数として、同じ順番の項を足した
A｛b(n)｝＋B｛c(n)｝の形の数列は全て条件式を満たし
一般項はAα^n + Bβ^n

エ　初項と第２項よりAとBが決まり・・・　

」は、どうして必要十分条件になっているのでしょうか？必要条件なのは分かる気がするのですがこれ以外にないと言うにはイの部分が心配です。指数α^n以外の形の可能性は考えなくてもよいんでしょうか？泣？

２１４＋Ｔ=２１

の定義をおしえてください

>>585
始点が違っても○ってことだろ。

>>586
必要十分条件?

>>586
漸化式に2つの条件で3項間の数列が定まるからだろ?

>>587
何の話?

必要条件と十分条件の意味を逆に考えてたかもしれないです。必要十分の意味も質問してからだんだん分からなくなってきました。

いづれにせよ、その他の形はいいのかな、などとなどと・・・・

|X|+|Y|≦10　の時のXとYの個数を求めよ　（東京電機大学）

>>592
対象性からX>0,Y>0の範囲にくぎってからすると楽だな。

a_n=2n+1を1〜9まで足したものに2+a_10を足せば終了か

>>592
無数。

>>595
何故?

整数なら絞れるだろうけどね・・・

わろた

>>592
答えは、296らしい。

219じゃない?

>>589

ありがとうございます。

よく考えてみます。

第ｎ項がＡｎ＝１・ｎ+2(nー１)+・・・+n・１で定義される数列Ａ1,Ａ2・・・
を考える。
このとき、Ａn>1000を満たす最小のnを求めよ。
必要ならば、６＾-3=1.817を用いても良い。　　（東京電機大学）

An=Σ[k=1,n]k(n+1-k)
　=Σ[k=1,n]{-k^2+(n+1)k}
　={-n(n+1)(2n+1)/6}+{n(n+1)^2/2}
　=n(n+1)(-2n-1+3n+3)/6
　=n(n+1)(n+2)/6
なので、n(n+1)(n+2)>6000を満たす最小のnを求めればよい。

ここで、n(n+1)(n+2)>n^3である。
n^3>6000を満たす最小のnを求めると、6^-3=1.817より、n>18.17
となるので、n(n+1)(n+2)に18から順番に小さくしながら自然数を代入すると、
18×19×20＝6840、17×18×19＝5814なので、題意を満たすのはn=18

>>586>>591
>これ以外にないと言うにはイの部分が心配です。

必要十分でないと気持ちが悪いかもしれませんが
まず「漸化式を解け」という問題の意味は
「答えを一つ見つけよ」のように意訳しておいてください。

「どうして必要十分条件になっているのか？」という懸念ですが
そもそもイ→ウは必要条件で絞る流れにはなっていません。

　一般項として{Aα^n + Bβ^n}のように表せる数列は
　漸化式a(n+2)=-a(n+1)+6a(n)を満たす

・・・という十分性であって

　漸化式a(n+2)=-a(n+1)+6a(n)の一般項（一般解）は
　{Aα^n + Bβ^n}で全て尽くされる

・・・という必要性を示したつもりはないのでしょう。
実際の解答の文面がどうなのか>>586ではわかりませんが
もしそのままであれば誤解を生みやすい表現になっています。

「これ以外にない」かどうかを気にする必要があるのは
エで初期条件に該当する答えが見つからなかった場合ですね。

>>603　正解

>>591
解があれば唯一つを示してみれば

>>591
初期条件で定まる変数が2つで自由度が2だからそれが一般解になると言える。

一般解は別の方法でも求まる。

要するに3項間は2つの初期条件で定まるが、2つの初期条件と組んで消せる変数の数は2つだろ?
それ以上の変数を含んでいる可能性は無いんだ。

すみません。
教えてください。
平面上に8本の直線があり、そのいずれの3本も一点で交わることがない。
この8本中2本だけが平行であるとき、
それら8本の直線によって出来る三角形の数を求めよ。
どう考えたら良いのでしょうか。。。

>>609
書き方によらず三角形の数が定まらないとこんな問題作れないんだから問題どおり8本線引けば?

>>610
できる三角形の最大の数を求めよ、でした。
すみません。。。

答えが24なら答えようかな。。

720かもな

>>609
{8本のなかから3本を選んでくる選び方}-{3本中2本が平行線であるような選び方}
8C3-6C1=50
しかしこれだとズバリ値が求まってるので「最大の数を求めよ」の意味がわからんから違うっぽい。
>>612-613の回答ｷﾎﾞﾝﾇ

ごめん、頭寝てるから訂正しっぱなし。
平行である2本を用いると三角形はできない。
よって、1本用いる時には残りから2本選び、平行棒は2本あるので、
(n-2)*……*1=(n-2)!
(n>4)
0本だと、
nC3
(n>5)
(書き方合ってる?)
よってn=8なら、
720+56=776

740か。また間違えてるよ…。まぁ、大体解き方は分かったかな。

>>612-616
有り難うございます！

。。

ハキハキの手形をおしえてください

log10^10は10^10と同じですか？

対数の底は何？

何もかいてなかったんですけど問題まちがいですか？

底が何も書いてないときは常用対数（底が10）か自然対数（底がe）の
二通りが考えられる。


それは数学2・Bの問題集ですか？

�UB です じゃあ log10^10 は 10 ってことですね(^^) ありがとうございました

自己解決乙。

やさ文やれば黄チャートいりませんかね？教科書レベルはわかります

>>588　　それだけじゃないと思うのですが、もう少し詳しくお願いします。

０は正の定数と言ってよいのでしょうか？
そもそも定数の定義ってなんですか？

代数・数値計算で、一定の値を表す文字や数のこと。

０は正かというとそうではない。
ちなみに、大学では自然数に含まれることが無きにしもあらず。

関数ってのは、何か数が与えられたときにその与えられた数に対して別の(異なるとは限らない)数を対応させるような対応規則のことを言う。
与えられる数が変化するとそれに応じて対応する数も変化するので、この与えられる数とそれに対応する数のことを変数という。
そして変数でない数のことを定数という。

このように、変数や定数といった概念はまずある関数(または数の対応規則)が１つあって初めて意味を持つ。
したがって１つの問題のなかで複数の関数を扱う場合には、ある関数に関しては変数扱いだったものが別の関数に関しては定数扱いになるということも起こり得る。
どのような関数に着目しているのかが定数と変数を区別する際に重要である。

数Ｂの数学的帰納法。

k+2/k+1+(k+2)(k+1)/1を利用してk+2/k+1を示したいんですが、
どうしたらいいでしょうか？教えてください。

k+2/k+1
は果たして命題なのだろうか。

>>631
問題ぐらい正確に写そう。あと表記の仕方も注意。
そんなんで人にわかってもらおうなんて自己中すぎ

http://hp4.0zero.jp/data/40/asdfghjkl/pub/1.jpg
問）　aの地点が通行止めのときＲを通らない経路は何通りあるか？

というのがあって、
全ての通り数からＲを通る場合を引けばいいと思うのですが、全ての通り数はどのように求めればいいのでしょうか？
通行止めのところがあってわかりません。

ヒントでもいいのでよろしくお願いします

なるほど。分かりやすい解説どうもです。

>>634
aを通らない全ての通り方なら、通行止めがないときの通り方からaを通る通り方を除けばよい。

>>634
ヒントを与えると通行止めのところを消した
図を描いてみればいい。

全体　C[11.4]　から
http://hp4.0zero.jp/data/40/asdfghjkl/pub/2.jpg
の囲んだ部分の通り数の
C[3.1]×C[7.3]
を引いたのがaを通らない全体の通り数ですよね？
そこからRを通るのが72なので
330-105-72=153　　ですかね？

数�Vのグラフを書けという問題で
１回微分まででいいのか、２回微分（変曲点まで調べる）まででいいのか、
問題によって違うのですが
どう見分ければいいのでしょうか？

>>639
｢グラフを書け｣が単独で問題になってるなら、
基本的な関数(y=x^2+x^2+5とかy=sin(2x+π/3)とか)以外なら
2次導関数求めたほうが無難じゃないかな。
答案を書く上での補助としてグラフを書くならよっぽど1回微分で十分。

>>639
学習の段階によることもある。
たとえば極値については習ったけど変曲点は習ってないという段階での演習問題ならば、その模範回答には1回微分までしか計算してないでしょう。
変曲点まで学習してあることが前提であって「グラフの概形を描け」であれば、変曲点まで調べなければ減点の可能性大です。

ちなみに、模範解答がどうあれ変曲点まで求めたことが原因で減点されるなんて事はないから全部やっときゃ間違いない。
解く途中で補助として描くときも全部求めといて損はない。何が解く上で役に立つかはやってみないとわからんからな。
単純計算で思考はあまりいらないからたいした時間ロスにはならないし。

3次関数ｙ=f(x)のグラフは原点に関して点対称であり、f(x)はx=p,q
で極地を取る. |p-q|=|f(p)-f(q)|=4であるとき、f(x)を求めよ.
(電機大学）

>>642
f'(x)=a(x-p)(x-q)とかける。
f(p)-f(q)=∫~p_q f'(x)dx=(-1/6)a(p-q)^3
|f(p)-f(q)|=(1/6)|a||p-q|^3
よってa=±(3/8)
あと原点対称なのでp,qは±2
よってf'(x)=±(3/8)(x^2-4)
f(x)=±(1/8)(x^3-12x)（答）

あと、誰とは言いたくないが、模試のネタバレはネタバレスレに行くように。
河合の模試の問題がこのスレに事前に流れてて、
親切な人が（知ってか知らずか）答えちゃってます。

>>643
誰とは言えよ。

>>643
本年度の東京電機大学の入試問題です。

>>644さんへ
>>278
>>293
>>457
>>559
これが河合の全統記述の問題。基準実施日9/12(日)

----------------
条件a[1]=3, a[n+1]=2a[n]-n (n=1,2,3,……)によって
定義される数列a[n]の一般項を b[n]=a[n+1]-a[n] を利用することにより求めよ。
----------------

この問題、答えがどうやっても合わないんです。
解き方が間違ってるかもしれません。。

----------------
a[n+2]-a[n+1]＝2a[n+1]-(n+1)-{2a[n]-n}＝2(a[n+1]-a[n])-1
ゆえに、b[n+1]＝2b[n]-1
これを変形して、b[n+1]-1＝2(b[n]-1)

また、b[1]＝a[2]-a[1]＝2
公比２の等比数列であるから、b[n]＝2^(n+1)-1

n≧2のとき
a[n]＝Σ_(k=1,n-1)(2^(k+1)-1)
＝3+2^(n+1)-(n+1)
　　＝2^(n+1)-n+2

.
.
.

----------------

どこで間違えてるか、大体検討は付くんですがどうしても分かりません。。
お願いします。
答えは2^(n-1)+n+1 となっています。

>>647
省略されている主語を補うと
b[n]-1 は公比 2 初項 2 の等比数列
b[n]-1=2^(n+1)
b[n]=2^(n+1)+1
検討ついてるのにどうしてもわからないってどういうことなんだろうな。
c[n]=b[n]-1 とおくなりなんなりして途中省略せずに書けば計算間違いは減らせると思うんだけど。

しまった。
b[n]-1 は公比 2 ,初項 b[1]-1=2 の等比数列
b[n]-1=2^(n-1)
b[n]=2^(n-1)+1

また間違えたし…　ちょっと頭冷やしてこよう。
ミスの場所はわかっただろからあとは自分でなんとかして。

>>640>>641
サンクス。

sinθ-cosθ=2sin(θ-45°)
上記のようになるんですか？答えはルート2sin(θ-45°)ではないのでしょうか？
教えてくださいm(__)m

合成公式から、sinθ-cosθ= (√2)*sin(θ-45°)

>>653
回答ありがとうございます。
やっぱりそうですよね。どう考えてもおかしいよな〜と思ってました。
でも、自分より参考書（白チャート）信じた方が良いよな〜…？と思ってました。
本当にありがとうございました。

質問です

自然数aに対して、b＝（９a^2+98a+80)/(a^3+3a^2+2a)とおく
bも自然数となるようなaの組とbの組（a,b)をすべて求めよ

普通に解けません。どなたか解答お願いします。

また、x,y,zはx+y+z=0 x^2-x-1=yzを満たす実数とする
xのとりうる値の範囲を求めよ　という問題があるのですが、
これが、y,zがtの二次方程式t^2＋xt＋x^2-x-1=0
のふたつの実数の解である…というくだりが分かりません

よろしくお願いします…

>>655
y+z=-x , yz=x^2-x-1
解と係数の関係の逆より y,z は t の二次方程式
t^2+xt+x^2-x-1=0
の解である。

阪大に行きたいのですが、数学でおすすめ参考書教えて下さい。

場違いでした。すいませんでした

>>655
(a,b)=(2,13)(8,2)

簡単な郡数列の問題で恐縮なんですが

※１、1／2、2／2、1／3、2／3、3／3、1／4、2／4、3／4、4／4、…………
において、244項を求めよ

で、不等式を使って解いていくのは分かるのですが、その式が

ｎ(ｎ−1)／2＋1≦244≦ｎ(ｎ＋1)／2

の、左辺の＋1が何処からきたのかが分かりません。あと、不等号も何故≦を使うのかが分かりません。

同じ問題でも

※1／2、1／3、2／3、、1／4、2／4、3／4、1／5、2／5、3／5、4／5…………
の666項目の分数を求めよ
の式を立てると1／2ｎ(ｎ−1)＜666≦1／2ｎ(ｎ＋1)

と、どうして不等号が＜と≦になるのかサッパリ分かりません。

よろしくお願いします

>>655
n=a+1 とおく。n≧2。分子=9n^2+80n-9=9(n^2-1)+80n　分母=n(n^2-1)
n と (n^2-1) は互いに素なので、n(n^2-1) で割り切れるための必要十分条件は n で割り切れかつ(n^2-1)でも割り切れることである。
9(n^2-1)+80n が n で割り切れるので 9(n^2-1) が n で割り切れる。したがって 9 が n で割り切れる。
9(n^2-1)+80n が(n^2-1)で割り切れるので 80n が (n^2-1) で割り切れる。したがって 80 が (n^2-1)で割り切れる。
n は 9 の約数なので n=3 , 9
n=3 のとき n^2-1=8 となり、これは 80 を割り切る。
n=9 のとき n^2-1=80 となり、これは 80 を割り切る。
よって答えは (a,b)=(2,13),(8,2)

漏れはこう解いた。参考までにどぞ。

誰か〜お願い〜！
一昨日から待ってるんだよ！

低レベルな質問スマンがマジで分かりません。
y-(t＾2-2t)=(2t-2)(x-t)
は何故
y=(2t-2)x-t＾2
になるのですか？
解説宜しくお願いします。

>>663
質問する暇があったら手動かせ

これは一度全部計算してから整理した物なんでしょうか？

>>662
要するに向きと大きさが同じものは同じベクトルだとみなすと言う事だよ。
言い換えると、平行移動して重なるものは同じものだと言う事。

微積の問題で1/12公式は証明無しにいきなり用いても大丈夫なんでしょうか？

xについての連立方程式
l=4x^3-6x^2-6x
m=-3x^4+4x^3+3x^2
が異なる二つの実数解を持つ。このときl、mの満たすべき条件を求めよ

微分の問題らしいです。
いくら考えても何からすればいいのかすら分かりません。
よろしくお願いします。

>>667
別に差し支えないと思うけど定理や公式の証明はできたほうが良いよ。応用がきくから。
俺はそういうのが気分悪いので使う公式は全部証明できるようにした。

こう言うのは連立方程式とは言わないだろ。
共通解の問題だろ。

>>669
どうもです。
青チャに証明過程付きで載ってたので、試験で使えたら便利だなと思ったのですが、
公式として使っても大丈夫なんですね。

しっかりと自力で証明出来る様にしときます。

>>668
f(x)＝(4x^3-6x^2-6x-ｌ)−(-3x^4+4x^3+3x^2-m) とでもおくと
ｆ’(x)＝6(x+1)(2x^2-2ｘ-1) となるはず。
後はお任せ。

ちょっと勘違い。
f(x)＝4x^3-6x^2-6x-ｌ、
g(x)＝-3x^4+4x^3+3x^2-m
とおくと
ｆ’(x)＝6(2x^2-2ｘ-1)、
g’(x)＝-6ｘ(2x^2-2ｘ-1)

>>585>>662
それを読む限りは「ベクトルa↑の向き」の定義と「ベクトルa↑の大きさ」の定義がそこに書かれているようだが、
「ベクトルa↑」の定義はどこかに書かれてないのか？　それがないと「ベクトルa↑を代表する有向線分」の意味がわからん。
書かれてないなら教科書読んどけ。一般に基本的な用語の定義は参考書より教科書のほうが正確にわかりやすく書かれていることが多い。

>>660
n(n-1)/2 と 244 はともに整数だから
n(n-1)/2＜244 と
{n(n-1)/2}+1≦244 は同じこと。
＜か≦かの区別は、ちょうど等しい時にどうなるのかを考えるのが良い

高１ですが関数の授業全部聞いてなくてさっぱりです。
独学でやろうとしているのですが、やり方が分からないです。
教科書は一読しましたが分かりません。
諦めたくないです。
どうすればいいか教えてください。

これだけ色々とレスして返事があったのが>>651ひとつだけってなんかちょっとさみしいね。
お礼を言うとか文句を言うとか、人とコミュニケーション取るってことあんまりしないのかな。
一言だけでも、うれしいんだけどな。明日になったら返事してくれるのかな。そう信じよう。
ボランティアだから、別にお礼なんてなくてもがんばるよ。PCの向こうで無言で喜んでくれてる人がいると信じて。
もうすぐIDが変わる。また新しい1日が始まる。

>>676
どこからわからないのか、なんとなくわからないかな？
それだけではこちらとしてはなんとも言えないし。
今の1年生なら、俺ら(現3年)が中学でやったことも一部は
高校内容だろうから、なおさらもうちょっと書いてくれないと答えようがないです。

>>676
解の公式覚える
解と係数の関係覚える
頂点の座標を出す式を覚える

>>676
まず中学の教科書は全部用意して、関数に関係あるところだけでもしっかり読み漁りましょう。
で、一読で理解できるほど数学は甘くありません。わかるまで何度でも繰り返し熟読しましょう。
細部に至るまで注意深く読み、わからない言葉は初出の部分をさがしてそこまで戻って確認しましょう。
場合によっては、小学校の教科書まで戻ることも覚悟して。それが数学の本の読み方です。

基本的なことは分かっております。
関数は中学時代得意でしたし…。
グラフを移動し始めたらもう分かりません。
最大最小、方程式や不等式との絡み→さっぱりです。

>>681
2次関数のグラフ移動は頂点の座標以外に何考えるの？
基本が何もわかってないと認めるよーにｗ

時間が相当かかること覚悟ですか…。
授業の大切さを実感したような感じがします。

>>681
自分では分かっているつもりでも実はそれほど分かっていないという可能性もあります。
問題が解ける≠分かっている　です。
まずはどこがわからないのかを特定することです。
教科書の説明のどの部分がわからないのか、どの問題のどの部分がわからないのか、というところまで特定できれば
あとは教科書をさかのぼって調べるなりここで聞くなりして解決の方法はあるはずです。
ガンガレ

単発の質問をします。
・授業の予復習は重要ですか？（と言うのも学校に頼るor独学でやっていく）
・教科書ガイドは買ったほうがいいですか？
・数�TとAは学習方法は違いますか？

>>685
君による
授業の質が悪ければ
君の言う学習法とは?

一番いいのは1節ごと授業に合わせ予習をしていって授業をし休みの日に復習
ですけど、授業がうるさすぎる！！！

>>685>>687
授業がうるさくても気にスンナ。センセの声聞こえんなら席替わってもらえ。
授業が受けられないので席替えてくださいって涙ながらに必死で訴えればなんらかの対策は講じられるだろ。
あと授業を受けたら、一切終わった授業で扱った内容についての疑問は残さないようにしろ。
わからんことはセンセに質問汁。聞いて答えん香具師がいたら職務怠慢だから給料受け取る資格無し。勤務時間内であれば。
いかなる内容の質問でも、数学の質問であるかぎりはセンセはそれに答える義務がある。それが仕事だからな。
授業中でも休み時間でもいい。他の香具師が質問しててなかなか空かないようなら質問事項を紙に書いてわたしとけ。自分の名前を忘れるなよ。
どんなあほらしいと思われるようなことでも必ず聞け。聞くは一時の恥、聞かぬは一生の恥。

学校に通えることの幸せをかみしめておけよ

サンクス

2^x=3ってどうやって解くんですか？

>>690
^xがめんどくさいねんからまずlogとれや。

>>691
両方対数とれば簡単でした…
ありがとうございます

>>666 サンクス。そういう風に解釈していいのかな？
僕は

上のベクトルa↑の向きや大きさの定義が、a↑を代表する有向線分の選び方によらない
ことを納得してください。

は例えば座標平面に点A,B,C,Dがあった場合、
a↑をAB↑が代表するとしてもCD↑が代表するとしても
a↑の定義はa↑の向きや大きさはその代表したベクトルの向きや大きさと一致する
ということですよね？つまりa↑の定義は代表するベクトルによって変わったりしないで
常にすぐ上にあるような定義であるということですよね？

>>656
>>661
丁寧な解答、サンクスです。
ただひとつめの問題、６６１さんので分かったのですけど、
b＝（９a^2+98a+80)/(a^3+3a^2+2a)≧１　を使う式ってどうすればいいか
どなたか教えていただけますか？
これは自然数だから１より大きいと設定してある…と考えてよいのでしょうか？

（問題）
aが全ての実数をとる時、直線y=ax-a^2の通過領域を図示せよ

解答を読むとえらいすっきりまとまってんですがこれでは何がなにやら
さっぱり分からんとですよ。こんな感じ

（解答）
y=ax-a^2⇔a^2-xa+y=0･･･(1)
条件よりaの方程式(1)が実数解を持つのでx＾2-4y≧0（図省略）

aが実数で、y=ax-a^2を満たすx, yが存在する条件だから、a^2-xa+y=0の解が存在するx, yが範囲内にある。
ということ。

>>675
レス有難うございます。
＞n(n-1)/2＜244 と
＞{n(n-1)/2}+1≦244 は同じこと。

これの意味が良く分かりません。どういう計算で＋1が出てくるのでしょうか？

>>697
「１より大きい整数」と「２以上の整数」は同じだってことがわかるか？
整数 a,b について b>a ならば b≧a+1 を証明する
異なる整数の差は必ず1以上であるから
b>a であるような整数 a,b に関して
b-a≧1 , b≧a+1

反日

ADとBCが平行でAD：BC＝１：２である台形ABCDについて
ABを１：３に内分する点をE、CDを４：３に内分する点をF、
台形ABCDの対角線の交点をPとする。
（1）Pが直線EF上にあることを証明しなさい。
（2）EP：PFを求めなさい。

(1)は∠AEP=∠CPFさえ証明できれば何とかなると思うのよ。
そのためには補助線が必要な悪寒が･･･
でも、どこに引けばいいかさっぱり分からない。
(2)に関しては全然分からない。
誰か助けてください。お願いします。

>>700
角度とか考えるよりベクトルの式を作り無理やり解いたほうが簡単
(2)７：８で合ってる？

>>701
レスありがとうございます。
でも、そのベクトルというのをまだ習ってないのよね｡
できたら図形の性質を使った解法を希望なのですが。

(2)は７：８であってます。

みんなサンクス！！！！！！！！

どうしてみなさんそんなに数学できるんですか？

>>704
ガンガったから

>>702
悪い、Aの範囲だとわからんね
ベクトルだと簡単なんだが
ほかの方お願い

文系数学の良問プラチカ数学１・Ａ・２・Ｂとチャート式　受験数学　IA＋IIB基本200題とどっちを買ったら良いですか？阪大法志望です。

xy平面上で原点oを中心とする半径１の円周上に４点、P（1,0）・
Q（cos30,sin30）・R（cos60,sin60）・S（0,1）をとる。

(1)RSベクトルのy成分が2sin15cos75であることを示せ。
(2)PQベクトル、QRベクトル、RSベクトル、のそれぞれのy成分に着目して
2cos15(cos15+cos45+cos75)の値を求めよ。
(3)2sin10(cos10+cos30+cos50)の値を求めよ。

たのむ...　_|￣|○

>>700
BA,CDの交点をQ、
BCの中点をRとする。
Pは△QBCの重心なので、
PはQRを2:1に内分する点。
また、EはQBを5:3に内分し、
FはQCを5:2に内分する。

△QBCの面積を1とすると、
△QPE=5/24,△QPF=5/21となりその和は
△QEF=25/56に等しい。
よってPはEF上にあり、線分比は三角形の面積比に等しく7:8(答)

>>708
(1)1=sin90°で和・差→積公式
(2)y 座標に注目すると 2sin15°(cos15°+cos45°+cos75°) が求まってしまうんだが…
こっちの求め方なら PQ↑+QR↑+RS↑=PS↑ ってことね。最初がcosだとよくわからん。
(3)今度は 0°,20°,40°,60°の点をとって同様に。

>>710
(1)の「和・差→積公式」について詳しくお願いします...

>>708
ORSは頂角30度の二等辺三角形なので、
RSの中点をMとすると
RM=SM=sin15
OMがx軸の正方向となす角が75度より(1)がいえる。
PQ,QR,RSのy成分の和が1なので、2sin15(cos15+cos45+cos75)=1
Q'(cos20,sin20),R'(cos40,sin40),S'(cos60,sin60)として同様の議論をすると
2sin10(cos10+cos30+cos50)の値はOS'のy成分に等しく
その値は(√3)/2(答)

まあ要するに積和の公式の誘導なわけだが。

>>711
「三角関数の積を和になおす公式」で調べると吉

>>698
分かりました。有難うございます。

>>709
ありがとうございます。これで分かりました。

思うんだけどさぁ、解法暗記とか網羅とか言ってるバカってさぁ、高校数学解法辞典に載ってる3377題でもやってりゃ良いんじゃないの?

>>716
８：２の法則も知らないバカ
さらしあげ

自分の中の常識を世間の常識と思ってるバカ発見

>>648-650
遅くなりましたがありがとうございました。
じっくり考えてみたら>>647の下のほうは全然違ってました・・
ありがとうございました。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　,イ^i
　　　　　　　　　　　　　　　　 ,イ::::　 l
　　　　　　　　　　　　　　　 /::::::::　　 l
　　　　　　　　　　　　　　 /:::::::::: 　　 ｛　　　　　　　／|
　　　　　　　　　　　　　／::::::::　　　 ＿`-､＿　　／::　{
　　　　　　　　　　　　/:::::::::::　　　＜ 。＼ 　 ￣　　__　l
　　　　　　　　　　　./:::::::::::　　　　r ￣￣ :::::::.....　<。ﾞyi
　　　　　　　　　　 /:::::::::::　　　　　　人　　 :::::::::::::::.￣、
　　　　　　　　　　 |:::::::::::.　　　　 　 l __`ｰ-､.＿＿,,.ノ!　 !　　多浪生の妄想は
　　　　　　　　　　 |::::::::::::. 　 　 　　 ＼ ..`..＿＿＿_' /　 |　　聞き飽きた
　　　　　　　　　　 .l:::::::::::::.　　　　　　 ＼:::::::::::::::::/ 　/ 　
　　　　　　　　　　　ヽ::::::::::. ＿＿＿　 　 ＼_￣~^/ 　 ,/ 　　　勉強してオナニーして
　　　 　 　　　　　　　＼::／`ｰ---‐^ヽ　　　 ﾞ`=' 　 ／　　　　　さっさと寝ろ
　　　　　　　　　　　　　　l:::　　　　　　l 　 　　 　 　/ 　　　　　　
　　　　　　 　　＿ ／,--､l::::. 　 　　　ﾉ　　　　　　 l　　　　　　　でなきゃ来年も全滅だぞｗ
　　　　 ,--､_ノ::　`ｰ'::　　 ､ﾐｰ---‐,,l　　　　　　　 ＼

x^2+y^2=r^2 の接線の方程式を求めたいのですが、教えて下さい。
まず接線の傾きを出す為に微分しようとおもったのですが
2x+2y(dy)/(dx)=0
であってるんでしょうか？r^2は定数だから0でいいんですよね？
たぶん(dy)/(dx)= の形に出来ればそれが傾きだと思うので計算して-x/yが傾きとして
とりあえず以下の様に進めたのですがあっているのでしょうか。
y=-x/y(x-x_1)+y_1
-x^2/y+x・x_1/y+y_1=y
-x^2+x・x_1+y_1・y=y^2
x・x_1+y・y_1=x^2+y^2=r^2

x^2+y^2=r^2
よって2x+2y(y')=0
y'=-x/y
なので、点(a, b)の接線は、
(y-b)=-(a/b)(x-a)
ax+yb=a^2+b^2=r^2

全く方針がたたないのでお願いします｡
(1)a,bは a^2+b^2=1,a≧0,b≧0…�@
を満たす定数とする｡
I=∫0〜1(|x-a|+|x-b|)dxの値を求めよ｡
(2)a,bが条件�@を満たしながら動くとき､
Iの最大値､最小値を求めよ｡

対象性よりb>aとする。
I=∫[0 to a](a+b-2x)dx+∫[a to b](b-a)dx+∫[b to 1](2x-a-b)dx
=a^2+ab-a^2+(b-a)(a-b)+b^2-1-(a+b)(b-1)
=-a^2-b^2+2ab-1+a+b

あとはa=sin(x), b=cos(x), 0≦x≦π/2とかしてやれば。

対照性よりb>aってどういうことか教えてください(>_<)

積分する際に、xとaとbの大小関係を考えて絶対値を外したいわけ。
で、a>bとb>aの両方を考えないとだめだけど、
どっちにしろ、aとbを交換しても同じ式になるから、同じ答えになるから、
片方だけを考えればいいって事。(解答のaとbを交換すればもう一つの条件から出る式になる)
その条件を入れると0≦x≦π/4になるかな？

>>723-725
某予備校の教材では……。「対称性」と書く。>>724計算間違ってるよ。
方針としては絶対値の中が正か負かで場合分けすればよい。以下a＜bとする。
I=∫[0,a](a+b-2x)dx+∫[a,b](b-a)dx+∫[b,1](2x-a-b)dx
=a^2+ab-a^2+(b-a)(b-a)+1-a-b-b^2+ab+b^2
=a^2+b^2+1-(a+b)
=2-(a+b)
Iの最大値は1、最小値は2-√2

>>693をよろ

>>728
言いたいことが伝わらん。本に書いてある意味は始点がどこであろうと向きと大きさが同じなら同じベクトルとみなすということだ。

>>585
を少し見直して来たが、

「その定義が他の有効線分でも成り立ちますよね」

ってことだな。

>>585>>728
>>674にもおまいに対するレスがあるのには気付いているか？
おまいはスルーしているみたいだが。

>>727
(1)はわかりましたが(2)がわかりません…どのように計算すればいいのでしょうか?

>>732
一例だが、
a^2+b^2=1 (a≧0,b≧0)だから、
a=cosθ, b=sinθ (0≦θ≦π/2)とおくと、
a+b=cosθ+sinθ=(√2)sin(θ+π/4)
なので、1≦a+b≦√2

中3の学力テストで出た問題なんですが、親子共馬鹿でわかりません。
変な解き方で答えはわかったのですが、納得いかないと言うか式が
絶対間違ってるんです。
大学受験のスレで中3の問題をお聞きするのは失礼かとも思いましたが、
申し訳ありませんが説いていただけないでしょうか。

お父さんは、現在いくらかのお金を持ています。
明日から、毎朝決まった金額の昼食代をお母さんから
もらうことになりましたが、毎日1000円の天丼を食べると
20日間で残金が500円にまってしまいます。
また、900円のカツ丼を食べると、30日間でちょうどお金が
なくなります。

１．お父さんは現在いくら持っていますか。
答　7500円
２．お父さんは昼食代をいくらもらうことになりましたか。
答　650円

どうぞ宜しくお願いいたします。

真ん中の文の4行目、ミスしました。

>20日間で残金が500円に「な」ってしまいます。

です。すみません。

お父さんが現在持っている金額をｘ円、毎朝貰う朝食代をy円とする。
条件より
x+20(y-1000)=500
x+30(y-900)=0
これを解いて
x=7500
y=650

お父さんそんないいもん食べないでもっと節約しないと…
って感じだな。

>736
教えていただいた式は中学生でもわかるんでしょうか（汗
なんて言えばいいのかわからないんですがxとyを求めるのに
どうしていいのかわからなくて・・・

私、27000-20000+500=7500
（27000-7500）÷30=650　ってやってたんです。
でも、27000-20000って絶対おかしい。なんでこんなのか
わからなくて、でも、帳尻合うのに、理屈が教えていただいた式なのに
それがわからないんです（泣　すみませんでした。

うらやましい・・・うちの子もそうなってくれたらな。
ありがとうございます。

>737
問題読んで、考えるより先にまず、同じこと思ってしまいました。
体にも悪そうだし。

ほんとにありがとうございました。
お勉強のお邪魔失礼しました。がんばってくださいね。

>>738
中学2年生の教科書/参考書の「連立方程式」という単元で扱われているはずです。

>>738
その計算（27000-20000+500)はおかしいよ。
たまたま答えとあってるけど。

例えば、カツどんが800円で50日でちょうどなくなる、としても答えは同じになるけど、
40000-20000+500=20500
が最初の所持金7500円と同じにならないでしょ。

>>734
板違い。お受験板、または数学板などへ。
ここは「大学」受験板です。

733
ありがとうございました｡
まだまだ私にはそんな発想が全然できないです…｡

円だとさっきみたいなsinやcosで表示する方が楽だって思っとけば良いよ。

−∞×∞＝−∞　と考えて良いのですか？

うん

こ

うん

ち

>>742
(2)は他にもa+b=kとおいて、a^2+b^2=1と、この直線が共有点を持つ範囲を考える
ことによってもできる。本当にsinやcosの置き換え思い付かない？理系ならかなり
やばいよ。たとえばxとyが
(x-1)^2+y^2=1を満たすなら
x=cost+1,y=sint
と置き換えるとか、こういうのも解法の1つとしては思い付くようにしよう。

でも、>>743の言うとおり、面倒だな。
a+b=kを、a^2+b^2=1　に突っ込んで、判別式が０以上ってやったら　-√2≦ｋ≦√2　になった。

a≧０，ｂ≧０　を考慮せにゃあならん。

>>750
a≧0,b≧0だから、この場合は円の4分の1と直線の共有点をグラフで考える。数�Uの
図形と方程式にあるやつ。

自分名大志望なんですけど名大の数学の問題って東大京大のどっちに近いと思いますか??
よろしくお願いします!!

>>752
旧帝はそれぞれ独特。

internet の全ての文字を使ってできる順列は何通りか。
そのうち、どのtも、どのeよりも左側にあるのは何通りか。


上が、　8!/(2!2!2!)=5040[通り]　というのはわかるんですが。。。

どうも、区別できないものの順列が苦手です。

下の解説をどなたかお願いします。

>>754
まずはtとeの位置を決めてみては？8C4で。
それから問題の条件を当てはめればＯＫ！
（この場合は「どのtも、どのeよりも左側にある」ので8C4のままでいける罠）
あとは残りを区別できないものを考慮しつつ一列に並べるべし

2^2002を5で割った余りを求めよ。
答えが4らしいんですけど全然わかりません(>_<)

>>756
1の位がいくつになるのかを求めればよいのでは？
2の累乗は2,4,8,6,2,4,…って循環してるから（一の位は）
あとは2002っていったら何がくるのかを考えればＯＫ

>>756
2^2002=4^1001=(5-1)^1001=5の倍数+(-1)^1001
=5の倍数-1=5の倍数-5+4=5の倍数+4

>>757
わかりました！ありがとうございます！
>>758
すみません、どうして(5-1)^1001=5の倍数+(-1)^1001と変形できるのかわかりません…。
二項定理使おうとしたけどわかんなくなりました。
二項定理使えますか？

>>759
使えます。
(-1)^1001 以外の項は全部５を因数として１つ以上含んでいるはず。
だからそれらを全部足しても５の倍数。コンビネーションは自然数だからね。

>>760
あ、そうか〜わかりました！！感謝です(>_<)

A1=A,A(n+1)=-1/2An^3+3/2An(n=1,2,…)
によって定義される数列{An}について
(1)すべてのnについて､0<An<1であることを示せ
(2)AnとA(n+1)の間の大小関係を調べよ
(3)r=1-A2/1-A1とおく｡次の不等式が成り立つことを示せ
1-An+1≦r(1-An)　(n=1,2,…)

公式が全くあてはまらないんで、数学的帰納法とか使えばいいんでしょうか？

>>762
使いたければ使ったらいいよ。誰の許可もいらないよ。
使った上で疑問点が生じたのならそう書かないと何を聞いているのかわからないよ。

>>763
これ以外は当てはまる気がしなくて
やってみたんですが、何も証明できそうにないです…

式を、かっことか使ってきちんと「誰でも一通りにしか解釈出来ない様に」書いたら手助けしてやるよ。

>>765 式だけですが､書きなおしてみました｡お願いします(>_<)
あと一つ条件抜けてました｡0<A<1とする｡
A[1]=A,　A[n+1]=-(1/2)A[n^3]+(3/2)A[n]
(1)0<A[n]<1
(2)A[n]とA[n+1]
(3)r=(1-A[2])/(1-A[1])
　 1-A[n+1]≦r(1-A[n])

>>766
A[n^3]なの？A[n]^3じゃなくて？

>>767
そうでした…(>_<)

(1)
a_1は成り立つ。
nのとき成り立つとすると、
a_(n+1)
=a_n{3 - (a_n)^2}/2
0<x<1のとき
f(x)=-x(x-√3)(x+√3)/2
より、
f(0)=0<f(x)<f(1)=1
よって、
0<a_(n+1)=-a_n(a_n-√3)(a_n+√3)<1
(2)
a_(n+1)-a_n=-a_n{(a_n)^2-1}/2
0<a_n<1より
(a_n)^2-1<0から、
a_(n+1)-a_n>0
a(n+1)>a_n
(3)
1-a_(n+1)={(a_n)^3-3a_n+2}/2=-(a_n -1)(a_n +2)(1-a_n)/2
-(a_n -1)(a_n +2)/2をr_nとおき、
g(x)=-(x -1)(x +2)/2とおくと
これは0<x<1で減少関数。
よって、r=r_1>r_n>r_(n+1)
よって、{1-a_(n+1)}=r_n{1-a_n}≦r{1-(a_n)}
あとは数３だと0<r_n<1より、
a_n→1なんて答えをつけて問題があるんだね。

ありがとうございます(>_<)
同じように解いてみます！

同じ問題やっても仕方ないからこれやっとけ。
4<a_1<12かつa_(n+1)=3+(a_n)^2/16なる数列がある。
(1)4<a_n<12を示せ。
(2)a_n>a_(n+1)を示せ。
(3)a_nの極限を示せ。
数３習ってなかったら
(3)0≦a_n -4≦{(a_1 +4)/16}^(n-1)(a_1 -4)を示せ
で。

>>755

8Ｃ4でｔとeの位置を決めたら、あとはそこに
　t t e e の順番で並べるだけなんですね、、、

残りは、ただの順列で　8Ｃ4 × ４！＝　1680 [通り]　ですかね。

ありがとうございました！

>>772
惜しいな。残りの4文字は i r n n だから４！じゃないぞ。

x>0とする。
f(x)=[x] g(x)=x^2-6x
[x]はxを越えない最大の整数を表すものとする。
g(f(x)-1)≦16を満たすxの値の範囲を求めよ。

という問題なのですが、以下の様に解いたのですが解答と合いません。
[x]-1=tとおいて、g(t)≦16からt^2-6t-16≦0
(t-8)(t+2)≦0 -2≦t≦8　-1≦[x]≦9
[x]+1>x≧[x] (x>0) であるから
10>x>0

しかし解答は10>x≧2
どこが間違っているのでしょうか。教えて下さい。

1＜∫[0,π/2]cos(sinx)dx＜π/2 sin1
がまったくわかりませんおねがいします！

>>773
そうですね。。。
1680 ÷ ２！＝840[通り]　ですか。。

ありがとうございます、、

>>774
解答が違うんだろ。
ｘ＝１は満たしてると思うが。

>>775
数学板からのマルチ。しかも解決済み。
分からない問題はここに書いてね１８６
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1095268834/574

>>777
レスありがとうございました。

もう一問質問です。
２つの放物線A・・・y=x^2
B・・・y=(x-n)^2+n^2とy軸で囲まれた部分(境界線を含む)にあって、x座標、y座標がともに整数である点の個数をa_nとする。
このとき、次の問いに答えよ。ただし、nは自然数である。
（１）a_nを求めよ。

y=x^2が原点を通る下に凸の放物線で
y=(x-n)^2+n^2が(n,n^2)を頂点とする下に凸の放物線で
０から二つの放物線の交点（境界線になる方の交点でBの頂点になる）
のｘ座標までの整数値をｘの値とした時の二つの放物線の値の差に、
その差は整数値になるから、放物線が整数値上にあった場合、求める点の数のカウントを一つ増やす。
これが求める点の数となる・・・のだろうか。

{(k-n)^2+n^2-k^2} (k=0,1,2,3,,,,,,,,,,n)
この数列の和に放物線が整数値上にある場合の数を足したものが求める点の数となる。
でもその放物線が整数値上にある場合の数の求め方が分からないです。
というかそもそも考え方があってるのか自信が無いです。

>>779
まずは図を描いてみる。で、求める領域を直線 y=n^2 によって3ヶ所にわけて考える。
その直線より下側、その直線上、その直線より上側　の3ヶ所です。それぞれ領域(i),(ii),(iii)とする。
(i)は x^2≦y＜n^2 , x≧0 を満たすような領域。
(ii)は直線 y=n^2 上の x 座標が 0≦x≦n であるような部分。
(iii)は n^2＜y≦(x-n)^2+n^2 , x≧0 を満たすような領域。
ここで s=-x+n , t=y-n^2 とおくと、x,y が整数のとき s,t も整数。点(s,t)1個につき点(x,y)が1個対応する。
領域は 0＜t≦s^2 , s≦n となる。上の式を満たす整数点(x,y)の個数はこの式を満たす整数点(s,t)の個数と同じ。
領域を表す文字を変えてもそこに含まれる整数点の個数は変わらないから、0＜y≦x^2 , x≦n
これと(i),(ii)の領域をあわせると 0＜y≦n^2 , 0≦x≦n の領域になる（ただし放物線y=x^2上の点だけは重なってる）
（以上の式変形は(iii)の領域を左右反対にして y 軸方向に -n^2 平行移動させているということ）
この底辺 n 高さ n^2 の長方形の領域内の整数点の個数は(n+1)*n^2
それにだぶっているy=x^2上の整数点の個数を加えなければならないが、それは
(x,y)=(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),…,(n,n^2) の (n+1)個
したがって、求める個数は (n+1)*n^2+(n+1)=(n+1)(n^2+1) 個

ちょっと改良して見ましたら答えが合いました。
二つの放物線の式から、整数値のｘ座標に対してどちらのｙ座標も整数値となる。
（あるｘ座標における二つの放物線の値の差が１でもその間に含まれる整数値の座標は1個の場合と2個の場合があるので悩んでいましたが、
この問題の放物線においては整数値のｘ座標に対してｙ座標も整数値にしかならないので値の差+１が整数の座標の数
だと考えられる・・・）
よって、０〜ｎまでの整数値のｘ座標ごとに、(k-n)^2+n^2-k^2+1個の整数値の座標があるので、
{(k-n)^2+n^2-k^2+1} (k=0,1,2,,,,,n)
(k-n)^2+n^2-k^2+1=-2nk+2n^2+1
a_n=�納k=0,n](-2nk+2n^2+1)=n^3+n^2+n+1

>>780
より一般的なやり方なんだと思いますが頭が追いつきません。
明日また考えて見ます。
レスありがとうございました。

>>775
[略解]
y=sinx（0＜x＜π/2）は単調増加
y=sinxの原点における接線と端点を結ぶ直線を考えて2x/π＜sinx＜x
y=cosx（0＜x＜π/2）は単調減少だからcosx＜cos(sinx)＜cos(2x/π)
これを[0,π/2]で積分して∫[0,π/2]cosxdx＜∫[0,π/2]cos(sinx)dx＜∫[0,π/2]cos(2x/π)dx
∴1＜∫[0,π/2]cos(sinx)dx＜(π/2)sin1

問題
座標空間において、直線lは2点A(1,1,0),B(2,1,1)を通り、直線mは2点C(1,1,1),D(1,3,2)を通る。
定点E(2,0,1)を通りl,mの両方と交わる直線nを求めよ。また、lとnの交点、およびmとnの交点を求めよ。

解答
nの方向ベクトルを(a,b,c)(≠0↑)とする。
l,m,nの方程式はそれぞれ　(1,1,0)+p(1,0,1)　、　(1,1,1)+q(0,2,1)　、　(2,0,1)+r(a,b,c)　(p,q,r：パラメータ)　とおける。
このとき、lとnが交わる条件は
1+p=2+ar　かつ　1=br　かつ　p=1+cr、
すなわち　r=1/b　かつ　p=1+(a/b)=1+(c/b)を満たすp,rが存在すること。
∴a=cかつb≠0
また、mとnが交わる条件は
1=2+ar　かつ　1+2q=br　かつ　1+q=1+cr、
すなわち　r=-(1/a)　かつ　q=-(1/2)-b/(2a)=-c/aを満たすq,rが存在すること。
∴a≠0かつb-2c=-a
以上よりnがl,mの両方と交わる条件はa=b=c≠0
よってnの方程式は(2,0,1)+t(1,1,1)　（t:パラメータ)と表せ、
またlとn、mとnの交点はそれぞれ(3,1,2)、(1,-1,0)

下三行のあたり記述を相当省いたんですが、この解答ぐらいだと記述式でどれくらいもらえるでしょうか。
ちなみに問題はやさしい理系数学という問題集の63ページの85番からとりました。

>>781
上半分を左右逆にして下にずらせばちょうどぴったり長方形になるってのがわからないのかな。
交点がちょうど頂点になってて、２つの放物線は合同で、放物線は左右対称なんだけどな。まいっか。

すいません。教えてください
１対１数�TAの確率の問題なのですが
　
１枚の硬貨をｎ回繰り返して投げるとき、確率変数Tを規則
「K回目に初めて表出たときT=Kとし、ｎ回とも表が出ない場合にはT=ｎとする」
で定める。１回の試行でこの硬貨の表が出る確率をp(0<p<1)とするとき
(１)P(T=K)を求めよ

(１)k=1,2,3,,,,,n-1の時
　P(T=K)=(1-p)^k-1*p
またT=ｎとなるのは、n-1回まで裏が続く時だから
　P(T=ｎ)=(1-p)^n-1
　　　　　　　↑なぜ　T=nの時こうなるのかよくわかりません
ｎ回まで裏が続くのでは？・・・・・・・
よろしくお願いします

>>785
ｎ回目に初めて表が出たときもT=ｎになるから。
つまり、ｎ−１回目まで裏が続いたら、ｎ回目は表が出ても裏が出ても
T=ｎに変わりはないので、ｎ回目は確率１とみなしてます。

数Ａの重複順列の所で質問です。
７人を、区別をしない２つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし、それぞれの部屋には少なくとも一人は入れるものとする。
という問題なんですけど
区別をしない２つの部屋とはどういう意味なんですか？
意味が全くわかりません。
どうかよろしくお願いします。

>>787
たしかにw
２つのグループって考えればＯＫ

二つのグループ？？？
どういうことですか？

201号室がAさんBさんCさん
202号室がDさんEさんFさんGさん
↑区別する

AさんとBさんとCさんが同じ部屋
DさんとEさんとFさんとGさんが同じ部屋
↑区別しない

>>789
例えばＡＢＣＤの四人がいるとするでしょ。
区別しないってことは

Ａ　　　ＢＣＤ　と
ＢＣＤ　　Ａ　　は同じってこと

レスありがとうございました。区別についてはわかりました。
でも問題で区別をなくすときに÷２をしていたんですが
これはどうしてなんでしょうか？？

二つの部屋の重複を打ち消すため

>>792
ちょっとは自分で考えてるか？

＞問題で区別をなくすときに÷２をしていたんですが
問題で÷２してるとはどうゆうこと？

解答ではまず区別して数えてないか？
実際に４人の場合を考えて数えてみな。

すみませんでした
解説でした。

>>795
もう解決できた？

できてません
助けていただけないでしょうか？
お願いします

NAGOYAJO　の8文字を全て並べてできる順列で、
(1)AAとOOという並びををともに含む順列は何通りか。

(2)同じ文字が隣り合わない順列は何通りか。


（1）の、6!=720[通り]　は理解できるんですが、（2）の答えが合いません。
AAOO AOAO AOOA OOAA OAOA OAAO
ＡとＯの並びを上記の６通りに分けて、
ＮＧＹＪを、間や両端に入れてみたんですが、正解と全く違う答えが出てきます。
何がいけないんでしょうか？

全事象-(1)?

>>797
区別すると言う事は
Ａ　ＢＣＤ　と
ＢＣＤ　Ａ　は違う分け方になる。
したがってＡとＢＣＤのグループに分ける場合の数は２通り

しかし区別がないとすると上記は同じ分け方であるといえる。
つまり区別する場合の半分になる。２÷２＝１通り

質問です

１＞円x^2 +y^2 =3 と放物線y=x^2 +aが２点で交わり、それぞれの交点における放物線の
接戦がともに原点を通る時、次の問題にこたえよ
１）定数aの値および接戦の方程式を求めよ
２）円と放物線とで囲まれる部分のうち上側の面積を求めよ

？＞それぞれの交点における放物線の接線、のイメージがつかめません

また、
２＞曲線ｙ＝x^2 上の点（a,a^2 ）での接線をｍとする。ｍ上の点でx座標がa-1とa+1のものを
それぞれPおよびＱとする。aが-1≦a≦1の範囲を動く時、線分PQの動く範囲の面積を求めよ

範囲で上手く動かせないです

３＞∫［x,2｝f(t)dt＝xf(x)-2ax^3+bx^2+2c
両辺の微分が出来ません。何か勘違いしてるみたいなんですが…なぜ
f(x)=f(x)+xf'(x)-6ax^2+2bx
になるんでしょうか

多くてすみません…
助けて下さい

>>798
＞ＡとＯの並びを上記の６通りに分けて、
＞ＮＧＹＪを、間や両端に入れてみたんですが、正解と全く違う答えが出てきます。

この辺を書いてくれないと何がいけないかいえない

>>801
＞？＞それぞれの交点における放物線の接線、のイメージがつかめません

２次関数上の１点から引ける接線だったらイメージわく？

なんか、余事象使ったほうがはやくない？

＞803
なんか凄くバカーなことを聞いてる気がするんですが、
放物線ってどこですか？
交わった所の円ですか？それとも交点ふたつを通る放物線でしょうか
読解力がないんだなあと痛感するんですけれども…

>>805
放物線ってのは問題に載っているy=x^2 +aのことだと思われ。
円は放物線とは言わないよ。放物線→２次関数って覚えておけばよさげ

＞それとも交点ふたつを通る放物線でしょうか
これは俗に言うイタチゴッコってやつだなw

＞806
はっ…………………………！！！！ orz
ほ、ほんとだ…そうだ、そうです、そうですね…
ああぅ大変失礼しました…ば、ﾊﾞｶだ…。
ありがとうございました。

他のもﾊﾞｶｰな勘違いしてそうなんですが、よろしくお願いします……

787>>場合の数を求める問題がわからなくなったときは
自分で簡単な例題をつくって大きな紙に実際に書き出してみると
いいと思います。
　それが低レベルなようで一番賢い方法です。

>>786
本当にありがとうございます

y+x*y'+x^2*y''=e^x
このときyを求めなさい｡
東大後期向け｡よくわからない

>>802
何がいけないのかがわかりました。。
ＡＡやＯＯの間に、１つの文字しか入れてませんでした。。

スイマセン、出直してきます。。

４人を３つの部屋に分ける場合の数はいくつですか？
自分は答えが３になるんですが、
とき方など含めて教えてもらえるとうれしいです

>>812
その３通りを書いてみて

A/B/CD
AB/C/D
A/BC/D

て書いてみると、人の区別があるのを忘れてました。

A/B/CD
AB/C/D
AC/B/D
AD/B/C
A/BC/D
A/BD/C

６通りでしょうか。
きちんとしたとき方や考え方がないと、
数が増えたときに解けなくなって困りそうです

自分の考え方は
○,○,○,○

丸の間の３箇所ある,に矢印を二本引いて、
３つの部屋に分けるというやり方なのですが、
これでは人の区別ができてませんでした。

>>814
部屋の区別をしないと言うならＯＫ
１の部屋２の部屋３の部屋と区別するならもうちょいあるっぽいよ。

>>815
>>814を書いて気づいたと思うが、誰と誰が二人部屋になるかってことだよね。
４人から２人を選ぶ組み合わせだから4C2って考えればよさげじゃない？

>>815
部屋の区別をしないのであれば、4人のうち2人になる組み合わせを考えて
4C2=6

即レスどうもありがとうございます

４人を３部屋に分けるなら、２人が相部屋になると考えれば
解けるのですが、
もし６人を３部屋に分けるなら、どうなるのでしょうか。

はじめに３人を部屋に一人ずつ入れる。
○６人から３人を選ぶので6C3＝20

残った３人を３部屋に分けると考えて（ただし既に部屋には一人はいるので、
この３人については、行かない部屋があっても良い）
○3人を3部屋に適当に分けるので３の3乗＝27

20*27=540
部屋の区別がないのでこれを３！で割って９０
これでいいのでしょうか。

>>818
それだと最初に考えた3人が別々の部屋に入る場合しか考えてないし、最初に6C3なら
その時点で部屋を区別してないから3!で割るのはおかしい。

>>818
この場合は部屋に入る人数の組み合わせで場合分けした方がいい。
�@(1,1,4)�A(1,2,3)�B(2,2,2)の3通り。
�@のとき
さっきと同じで6C4=15
�Aのとき
6C3×3C2=60
�Bのとき
6C2×4C2÷3!=15
これらを合わせて90通り。答えは一致するけど多分偶然だと思う。

まず６人を３部屋に分けると（空の部屋がある場合も含む）
○３の６乗＝729

6人全員が一部屋に固まる場合を引く
○729-3=726

6人が2部屋に固まり、1部屋だけ空になる場合を引く
○（ここの計算が良くわかりません、ここの数値をXとおく）726-X

部屋の区別がないので３！で割って
(726-X)/9

これならどうでしょうか。

>>820
合理的でわかりやすい解法だと思います。

>>821の解法もそうですが、
やはり数が増えた場合（たとえば100人を10部屋に分けるなど）
が、とても解けそうにないでです。

ただあまりそんな問題はみたことがないので、
>>820の解法でこれから通していこうと思います。

>>822
どんなにまともな解法でも計算できなければ答案には使えないよ。
100人を10部屋だとどうがんばっても大変な計算になると思う。
全ての場合の数を過不足なく数えることが大事。

>>810
取り敢えずax^(±i)が解の内の2つだというのは分かったが、一般解が求められなかった。

てか大学入試問題じゃないよね。

明らかに違うね

後期東大は微分方程式は結構出ているが？

>>825
代入してみろ。e^xを除いた時の解だろ。後は特解を足せば一般解になる。

{a+(4/b)}{(9/a)+b}≧25
とかの例を見ると相加相乗よりコーシーの方が安全かなと思うんですが
皆さんはどう思いますか？（相加〜だと左辺が24になる、等号成立を調
べるまで矛盾に気が付かない）

>>828の例から言えるのは
等号成立のときを調べないのは危険である。ということ。
相加相乗を用いることの危険性を指摘していることにはならない。
どんな便利な公式も使い方を誤ればおかしなことになるということだ。

すみません、どなたか２と３もお願いします

>>828
時と場合による。たとえその例ではコーシーが良かったとしても、別の場合においては
相加相乗の方がいいときもある。

>>801>>830
2.PQの長さを a の関数として求めてから a をその範囲で動かす。
3.積の微分

しまつた。2番勘違いした。

>>830
３は「どこがわかっててどこがわからないのか」がわからない。もっと細かく示して。
それと、∫の下がxなの？
２
(a,a^2)における接線はy=2ax-a^2
P(a-1,a^2-2a),Q(a+1,a^2+2a)
それぞれ(X,Y)とすると、X=a-1,X=a+1より、a=X+1,a=X-1
これらをそれぞれのYに代入して、いずれもY=X^2-1を得る。
よってP,Qはともにy=x^2-1上を動く。
このことと、線分PQは常にy=x^2に接していることより、PQが通る図形は
x^2-1≦y≦-2x-1(-2≦x≦-1)
x^2-1≦y≦x^2(-1≦x≦1)
x^2-1≦y≦2x-1(1≦x≦2)
よって求める面積は10/3

>>828
相加相乗でも答えは同じだよ。
展開してから使えばね。

９枚のカードがあり、それぞれには　Ｉ，Ｉ，Ｄ，Ａ，Ｉ，Ｇ，Ａ，Ｋ，Ｕ　
という文字が書かれている。これら９枚のカードをよく混ぜて、
横一列に並べる。Ｄ，Ｇ，Ｋ，Ｕのカードだけ見たときに、左から
右へこの順序で並んでいる確率は [ ア ]である。
また、�Tのカードが３枚続いて並ぶ確立は [ イ ] である。

答案
全ての並べ方は、　9!/(3!*2!)
Ｄ，Ｇ，Ｋ，Ｕ の順で並ぶのは、
9個の場所から４個選ぶのと同じだから、　9C4
∴求める確立は、9Ｃ4/(9!/(3!*2!)) = 1/240


何がいけないんでしょうか。。。

正しい答えは、1/24　だそうです。。