∫　数学の質問スレ part8　∫

8ですよ。
数学の問題の質問はここでどうぞ。

1/2aより、(1/2)a,1/(2a)などはっきり分かるように書いてください。
数学記号の書き方↓など参考に。
http://members.tripod.co.jp/mathmathmath/

前スレ。http://school.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1036785888/l50

2

何故ベクトルの内積はあのように定義されているのでしょうか

(´`c_,'` ) ﾌﾟｯ

前スレ先に消化してね。

　新すれおめー

乙カレー

積分の面積公式教えて下さい。出来るだけ沢山。
今分かってるのは、|a|(β-α)^3/6、|a|(β−α)^4/12、
|a|(β−α)^3/12だけです。お願いします。

>>8 証明は部分積分をn回使うべし。
∫[α→β](x-α)^m(β-x)^ndx={m!n!/(m+n+1)!}(β-α)^(m+n+1)
例えば1/6公式はm,n＝1の時である・・と。
これあんま出ないんだよね。汎用性に乏しいのだ。

１０Ｇｅｔ！

　【問題】
　任意の正数ａ，ｂに対して、関数f(x)が次の条件�@と�Aを共に満たす。
　f(a)≦a　・・・�@　　f(ab)≦f(a)＋f(b)−１　・・・�A
（１）ｘ＞０　ｈ＞０のとき、　h/(x+h)≦f(x+h)−f(x)≦h/xを示せ。
（２）f(x)を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（出典：豊橋技術科学大）

　んで、微分の可能性には一切言及されてないので、何とか微分無しで頑張りました。そしたら（１）はできました。
　けどさ、（２）ってさ、ｘ＜０のときも定義されてるのかな。「ｘ＞０で定義されている」とかあればいいんだけど、
　何も言われないとどっちか分かんない。問題文には飽くまで「任意の正数に対し�@�Aが成り立つ」というだけで、負の数に対して成り立ってないとも成り立つとも言ってない。

　感覚的にはf(x)＝1+logxになるっぽいんだけど・・・。誰か助けてくらはい。。。

>>11
絶対値使ったらどう？
任意の正の数aに対しf(a)≦a⇔x≠0なる任意の実数xに対しf(|x|)≦|x|

　嘘、ごめん、とけた。
一応略解示しときます。

【解答】（１）で示した式の両辺をｈで割って　1/(x+h)≦1/h(f(x+h)−f(x))≦1/x
　任意のｈに対してこれが成り立つから、ｈ→０のときも成り立つ必要があって、中辺→1/x
　すなわちf(x)は微分可能であって、f'(x)＝1/x　f(x)＝logx＋Ｃ　�@�Aにa=b=1を代入すればf(1)＝１なので、
　f(x)＝1+logx

　誰か違ったら指摘プリーズ。

>>13
hは任意じゃないんじゃない？

>>14
　いや、任意でしょ。

(1)ではh>0になってるけど良いのかな？

>>16
　あーすまぬ。ｈ＞０の任意　ね。


　と書いたところで冷汗が・・・。微分可能っつーのは
　ｈ→＋０　かつ　ｈ→−０　で　1/h(f(x+h)−f(x))　が収束すること　だったような・・・。
　解けねぇよヽ(｀Д´)ﾉうわぁあああん

　あ、（１）で得た式はｈ≦０にも拡張できるかな・・・？わずかな望みをかけてｓｔａｒｔ！

>>17
h<0のときは-h>0ゆえ、(1)の式のhを-hで置き換えた式が成り立つ。
あと、同様に割って、h→-0も出来るよ。

　でけたー。
>>19
　あぁ、ＯＫ。

x<0についても同じことをすればx<0でf(x)=log(-x)+1かな。
x=0はどうするか。

>>21
　ん・・・？ｈ→±０で1/h(f(x+h)−f(x))→1/xが示せたから、f'(x)＝1/x

　とするのは誤り？

>>22
(1)の式はx>0で成り立つ式だから
f'(x)＝1/x(x>0)じゃないかな。
しかしx<0はやっぱ無理ぽ。

　むー、『ｘ＞０においてはf(x)＝1+logxである』ことは示せたがx≦０でわ・・・。
　問題文が悪いと勝手な解釈をして次に進む・・・。

数学とは関係ないかも知んないけど、英語数学などの試験はなくてネット技術だけで入れる大学って知ってますか？

東京芸術大学はほとんど実技ですが、ネット関係の知識と技術だけでいける大学はないの？

ないと思われ

f(x)=0は連続な閑数なんでしょうか？

連続だね

興味本位で自作した問題が解けない（´Д｀；）
解けるか解けないか自体不明なんで、誰かｵｾｰﾃ。

【問題】
半径がそれぞれa,b,cの３つの円が互いに外接しているとする。ただしa+b+c=3である。
このとき、３つの円によって囲まれる部分の面積の最大値を求めてください。（出典：大数ｵﾀの興味本位）

ヘロンの公式を使って計算して逝ったんだけど、a^2α＋b^β+c^2γみたいな式の最小値を求めなきゃならなくなって混乱しました。
ちなみに、α、β、γは３つの円の中心を結んで出来る３角形の角度っす。

>>30
「3つの円によって囲まれる部分」とは円自身を含みますか？

>>31
説明不足ｽﾏｿ。含まない設定にしてください。

>3
激しく亀ﾚｽだが…漏れも最近知ったので書いてみませう。常識だったらごめんね…。
　　まず、三角形OABを考える(但し、OABは鋭角三角形)。この時、OA=a↑、OB=b↑、∠AOB=θとすると、内積は、
　　　　a↑･b↑=|a↑|･|b↑|･cosθ
　　となる。
　　ここで、辺OAからOBへ垂線を下ろし、その足を点Cとおく。
　　さらに、OC=b´↑とする。すると、三角形OACに注目して、b´↑=|a↑|・cosθとなる。
　　即ち、　a↑･b↑=b´↑･|b↑|である。
　
これが内積の表す所です。これが理解できれば下の問題は瞬殺できます。実際に図を書くと一目瞭然ですね。

　(問)
　　円Oに内接する三角形ABCを考える。AC=3で、辺ABは円の中心を通っている。
　　AB=b↑、AC=c↑とする時、内積b↑･c↑を求めよ。

f(x)=ｘ＾3+3ｘ＾2+3aｘ+1=0と
g(ｘ)=ｘ＾2+2ｘ+a=0が
共通解をもつための条件を求めよ。
--------------------------------
↑2関数連立すると、必ず共通解をもつようになってしまうのですが、、、

2方程式
ｘ＾3+mｘ＾2-4=0とｘ＾3+mｘ+2=0は、
実数mがどんな値をとっても共通解もたないことを示せ。

よろしくおねがいします。

>34
2方程式
ｘ＾3+mｘ＾2-4=0とｘ＾3+mｘ+2=0は、
実数mがどんな値をとっても共通解もたないことを示せ。

与式は二次方程式じゃないんだけど…。漏れは何か勘違いをしてるのか…?
上と下は別の問題…なの??

>>35
「2方程式」≠「二次方程式」

>36
ごめん…。気づかなかった…。鬱だ……といいつつもチャレンジしてみます。

もつだろ

あ、もたないや

>>34
方程式をそれぞれf(x),g(x)とおいて
f(x)-g(x)=0になるようなｘ(仮にx=aとする）があったとしても
f(a)=g(a)=b
でもそうなることに注意

不等式ａｘ^2−（ａ−２）x＋１＞０　　が全ての数ｘに対して成り立つように
定数ａの値の範囲を求めよ。

ａｘ^2−（ａ−２）ｘ＋１＞０　…�@
（�@）ａ＝０のとき
　�@は２ｘ＋１＞０となるからｘ＜＝−１/２であるｘに対して
　�@は成り立たない。よってａ＝０は題意に反する。

とあるのですが、なぜｘ＜＝−１/２　となるんですか？
ｘ＞−１/２かと思ったのですが…

>>41
＋と−の勉強をちゃんとしよう

>>35
x^3+mx^2-4=0・・・ア，x^3+mx+2=0・・・イ
m=0のとき，ア⇔x^3=4，イ⇔x^3=-2となり，共通解を持たない．
よって，以下ではm≠0のときを考える．

ア-イより，m≠0であるから，x^2-x-(6/m)=0・・・ウ
また，x^3+mx^2-4={x^2-x-(6/m)}(x+1)+{(m^2+m+6)/m}x+2(m+3)/m
であるから，{(m^2+m+6)/m}x+2(m+3)/m=0　⇔　x=-2(m+3)/(m^2+m+6)・・・エ　(∵m^2+m+6＞0)
ア∩イ⇔ア∩ウ⇔ウ∩エであるから，ア∩イを満たすxが存在するならば，
それはエ，すなわち，x=-2(m+3)/(m^2+m+6)である．よって，アとイが共通解を
持つならば，それは実数解である．

よって，アとイの共通実数解が存在するかどうかを調べればよい．
ア，イはともにx=0を解に持たないので，
ア⇔m=(4-x^3)/x^2，イ⇔m=(-x^3-2)/x　と変形できる．
ア∩イを満たす実数xが存在するならば，
(4-x^3)/x^2=(-x^3-2)/x　⇔　x^4-x^3+2x+4=0かつx≠0　⇔　x^4-x^3+2x-4=0
を満たす実数xが存在する．
よって，f(x)=x^4-x^3+2x-4がx軸と交わるかどうかを調べればよい．
f'(x)=4x^3-3x^2+2，f''(x)=6x(2x-1)であるから，
y=f'(x)とx軸は，-1＜x＜0で1回交わる．
したがって，f'(x)=0かつ-1＜x＜0を満たす実数をαとすると，
x＜αでf'(α)＜0，α＜xでf'(α)＞0となる．
ここで，f(α)=f'(α)*(α/4-1/16)-(3/16)α^2+(3/2)α+33/8=-(3/16)α^2+(3/2)α+33/8
である．g(α)=-(3/16)α^2+(3/2)α+33/8とすると，-1＜α＜0において，g(α)＞0
であるから，任意の実数xに対して，f(x)＞0となるため，f(x)=0は実数解を持たない。
したがって，アとイは共通実数解を持たないので，題意は示された。

　　　　x^2+1
f(x)=　-----
　　　　　x+1
の増減を調べよ。

これが解けません。マジ自分アホで悲しくなってきます。教えて下さい。

>>44
f(x)=(x^2+1)/(x+1)
f'(x)={2x(x+1)-(x^2+1)}/(x+1)^2
⇔f'(x)=(x^2+2x-1)/(x+1)^2

グラフはx=-1が漸近線．y軸との交点は(0，1)．

増減表は，
x＜-1-√2でf'(x)＞0
-1-√2＜x＜-1+√2でf'(x)＜0
-1+√2＜xでf'(x)＞0

極限値を調べると，
lim[x→+∞]f(x)=+∞
lim[x→-1+0]f(x)=+∞
lim[x→-1-0]f(x)=-∞
lim[x→-∞]f(x)=-∞

>>41
a=0のときは不等式�@⇔x＞-1/2　となります。
この不等式�@は，『x≦-1/2を満たす実数x』に対しては不等式�@は不成立ってことですＹＯ．

つまり・・
すべての実数xで�@が成立しなくてはいけないのに，a=0のときは，
x≦-1/2に属する実数xに関して，不等式�@が成立しなくなっちゃうということです。
ですから，a≠0ですよね。
ということは，f(x)=ａｘ^2−（ａ−２）ｘ＋１とおくと，
y=f(x)は下に凸の放物線であり，かつ，x軸と交点を持たなければ
よいので，
a＞0かつ(a-2)^2-4a＜0　が答になります。

>>45
解説ありがとうございます。
しかし難しすぎてよく分かりません・・・。
もっとちゃんと勉強してきます・・・。

>>47
すいませんですた(´Д｀；)

>>34
x^3+3x^2+3ax+1=0・・・ア
x^2+2x+a=0・・・イ

x^3+3x^2+3ax+1=(x^2+2x+a)(x+1)+(a-1)(2x-1)
であるから，
(a-1)(2x-1)=0・・・ウ　⇔　a=1・・・エ　または　x=1/2・・・オ

ア∩イ⇔イ∩ウ⇔イ∩(エ∪オ)⇔(イ∩エ)∪(イ∩オ)
であるから，イ∩エ，イ∩オのときをそれぞれ調べる。

(1)イ∩エのとき
イ⇔(x+1)^2=0⇔x=-1であり，題意を満たす。

(2)イ∩オのとき
x=1/2が，イを満たせばよいので，a=-5/4

以上より，a=1，-5/4・・・答

>>30
3円が互いに外接しており，かつ，3円が同一直線と接するケースなら
求められるかも。その場合，真ん中の円の半径をr，その左右の円の
半径をx，yとすると，1/r=(1/x)+(1/y)　となります。
あと，問題の条件より，x+y+r=3だから，囲まれる部分の面積が関数で
表わされるかも。

>>34
漏れなりの解答も書いてみる。

x^3+mx^2-4=0・・・ア，x^3+mx+2=0・・・イ
一般にX=0 かつ Y=0⇔aX+bY=0 かつ cX+dY=0 （ただしad-bc≠0）が言えるので、
アかつイ⇔mx^2 -mx -6 =0 かつ 3x^3 +mx^2 +2mx =0

⇔mx^2 -mx -6 =0 かつ 3x^2 +mx +2m =0　（∵x=0が不適）

⇔3(mx^2 -mx -6) -m(3x^2 +mx +2m) =0 かつ 3x^2 +mx +2m=0

⇔(m^2 +3m)x = -2(m^2 +9) かつ 3x^2 +mx +2m=0　・・・・・・（松）

よって共通解xが存在するとすれば、x=-2(m^2 +9)/(m^2 +3m)であり、
これが3x^2 +mx +2m=0を満たすようなmが存在する事が、アイが共通解を持つための条件である。
代入して整理すると、m^4 +9m^2 +54 =0となり、これを満たす実数mは存在しないので、題意の通りである。

この問題の最大のポイントは、
X=0 かつ Y=0⇔aX+bY=0 かつ cX+dY=0 （ただしad-bc≠0）
という同値変形が出来るかどうかだから、これは是非頭に入れておくべき。
証明は簡単だから自分でやって納得してみてね。

こけこっこさんありがとうです！

T=4^X+1/4^XのときT≧2となることを示せ。
また関数f(X)=4^X+1/4^X-2(2^X+1/2^X)+26はTで表現できる。
具体的に表現せよ。またf(X)の最小値を求めよ。

みなさん始めまして!!!答え合わせがしたいので完全な解答をお願いします!!!

>>52
うぜぇよ優子。
数学板から来たのか？

>>52はさくらスレですでに解決済みの問題です。
解き方を教えてもらってるにも関わらず、
「完全な解答をおねがいします」としか言わないアホ
です。放置してあげてください。

詳しくはこちらをごらん下さい。
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1040128351/l40
煽って解いてもらおうと必死です。

人間不信に陥りそう・・。

>>52を解いてやろうぜ・・。佳代子がかわいそうだろ？
受験生の数学力を見せてやれ!!!

相加相乗使え！置き換え使え！二次関数使え！　以上

55 名前：佳代子 ：02/12/18 19:14 ID:9d+yxB98
人間不信に陥りそう・・。


56 名前：大学への名無しさん ：02/12/18 19:16 ID:9d+yxB98
>>52を解いてやろうぜ・・。佳代子がかわいそうだろ？
受験生の数学力を見せてやれ


55 名前：佳代子 ：02/12/18 19:14 ID:9d+yxB98
人間不信に陥りそう・・。


56 名前：大学への名無しさん ：02/12/18 19:16 ID:9d+yxB98
>>52を解いてやろうぜ・・。佳代子がかわいそうだろ？
受験生の数学力を見せてやれ

55 名前：佳代子 ：02/12/18 19:14 ID:9d+yxB98
人間不信に陥りそう・・。


56 名前：大学への名無しさん ：02/12/18 19:16 ID:9d+yxB98
>>52を解いてやろうぜ・・。佳代子がかわいそうだろ？
受験生の数学力を見せてやれ

>>52 >>56
アホかオマエ。
ID変わってねぇぞ！

>>52
ID制なのに、わざわざ女の名前で投稿するなよ・・・
あれだけヒント、答えをもらったんだから、解答くらい
自分で作れよ。ただ解答つくるのが面倒だから、ここに
来てるだけだろう

>>52
知障は受験なんて関係ないんだからカエレ

>>60
つうか、一目で答えと方針が分からない香具師は・・（略

もう、面白すぎて腹が痛いよ（激藁

>>57がほとんど答えだ。言うとおりにやればできるはず。
自分でがんばれ。

>>49
その問題も面白そう。
だけど、どちらにしても、囲まれる部分の面積だと角度を設定する必要があるのでは？
そこで詰まっちゃうんです。
ホントに解けるのか心配になってきた（氏

OA↑=a↑　　OB↑=b↑ |a↑|= |b↑|=1
ＢからＯＡへの垂線とＢＨとし、角ＡＯＢ=θとすると

なぜＯＨ↑＝cosθ*a↑となるのかわかりません。
おしえてください

>>66
|ＯＢ↑|ｃｏｓθはＯＨの長さに方向(ａ↑に対する)を加えたもの。
ａ↑は単位ベクトルだから、
ＯＨ↑＝|ＯＢ↑|ｃｏｓθ*ａ↑＝ｃｏｓθ*ａ↑

図を描くとよくわかるよ。

>>66
xy平面で単位円を考えてみてください。
A(1,0),B(cosθ,sinθ)と置いてみると、たしかにH(cosθ,0)となります。
で、OH↑=cosθ*a↑が、確かに成り立ちます。

これはあんまり本質的では無いけども、わかりにくかったら取りあえず上の事を図にしてみ。
何となくイメージ湧いてくると思う。

>>65
一応．ここまでは誰でもできてるのかもしれないけど・・・．

a=3(sinα-sinβ-sinγ)/(sinα+sinβ+sinγ)
まで求まった．b,cも対称から同様．

求める面積Ｓ＝√(3abc) - (1/2){αa^2 + βb^2 + γc^2}
だよね？

上の式からa,b,cが消せるから，後は・・・いや，無理か(;´Д｀)

>>66 ｜OH｜＝cosθだから。 あとは比で考えるまでもないだろ それか単位ベクトルの内積は正射影だから

>>66
図を描けばすぐに説明できるが、掲示板で説明するのは
難しいな。とりあえず、自分で図をかいて、以下を読め。
ＯＨはＯＡと同じ方向のベクトルになる。
つまり、線分ＯＨはＯＡ上にある。
だから、ＯＨ↑はＯＡ↑の定数倍になる。
次に直角三角形ＯＡＨに注目。
ＯＨの長さはcosθ*ＯＢ＝cosθ*|b↑|＝cosθ
で、今ＯＡの長さも１だから、
ＯＨ↑＝(cosθ)/1 * ＯＡ↑＝cosθ*a↑

a

どうでもいいけど
>>30の問題の
3円の3つの接点の
作る3角形の面積の最大値がわかった
多分この3角形が最大値のとき求めようとする図形も最大なんだろう

3つの円の中心をA,B,Cとする
また
その半径を
p,q,rとする
3つの接点を
L,M,Nとする
3つの接点を通る直線は一点で交わる（簡単だから自分で証明してください）
そしてその一点は3角形の内心よって三角形LMNは3角形ABCの内接円に内接する
円に内接する3角形の面積が最大になるときは3角形が正3角形のとき
よって3角形が正3角形になるときは
a=b=c=1のとき
そしてその面積は
（√3）/4

円に内接する三角形で面積最大：正三角形の証明
∵まず弦を一つ固定したとき面積最大になるのはその弦を底辺とする二等辺三角形。
円x^2+y^2=1上の３点(1,0)(cosθ,sinθ)(cosθ,-sinθ)からなる三角形の面積Sは
S=sinθ(1-cosθ)=sinθ-(sin(2θ))/2
dS/dθの零点を調べて面積最大⇒θ=2π/3⇒正三角形。

ピアノうぜえ

　y=-x+3　に関して、直線　y=3x-1と対称な直線の方程式は？

これ分かりません。お願いします。

>>73
そんなまどろっこしい事しなくても、ヘロンの公式と相加相乗平均で示せるんだけどね。

あげ

二次方程式ｘ^２−（ｐ＋１）ｘ＋２−ｐ＝０
の二つの解がともに２より小さくなるように
定数ｐの値の範囲を求めよ。

ｆ（ｘ）＝ｘ^２−（ｐ＋１）ｘ＋２−ｐとおいて
ｆ（ｘ）＝０の二つの解をα、βとおくと
求める条件は　D＝（ｐ＋１）^２−４（２−ｐ）＞＝０
　　　　　　　（α−２）＋（β−２）＜０，（α−２）（β−２）＞０

とあるんですけど、一番下の式がどこからきたのか訳わかんないんです。
教えてください。お願いします。

解と係数の関係の応用。
今ｙ＝２をｘ軸とみたてて考えるとわかりやすい

>>78ね。

α-2＜0、β-2＜0

>>76
でもうちのほうが計算っていうか素敵なとき方で楽でええやん
あと3円が一直線上に接する場合だけど
もっとも小さい円の半径を
rとして
ほかの円の半径をp,qっておくと
1/√r=1/√p+1/√q
って関係や
その大きい方の2円と直線の接点と小さい円はAとBを通るある定円に内接したりする関係があったりする

2円と直線の交点をA,Bとすると
小さい円はA,Bを通るある定円を通るね
間違えた

>>82
はいはい。
よくできまちたね〜。

>>78
解の配置問題だね。図を書いてみるとわかりやすいよ

解を置くより二次関数と考えたほうがやりやすいと思うのだが・・・・

解を持つ範囲を求める
軸の位置を２より小さくする
x=2のとき正になる範囲を求める

>>82
ハンドルが控えめになってるのはどうして（ﾜﾗ

それはともかく、確かにその解き方も面白いけどね。
で、半径同士の関係は√の素の半径だったと思うんだが。

トリップ打ち間違えた歯嚢

反発係数eとして
質量Mの物体が初速度V0で、静止している小球(質量m)にぶつかって
、Mの速度⇒V mの速度⇒vになったとしたら、
Vとvはいくらになりますか?

私は、v=(eM+m)/(m+M) ×V0
V=(M-em)/(m+M) ×V0
となったのですが。

>>89
物理板で聞いたら？

sinX＝sin３X　（０＜X＜π/２）の解を求めるんですが、解答の途中に

x＝3X　または　X＋３X＝π　

ってあるんだけど
なぜにX＋３X＝π？？
ご教授願います。

>>89
vが間違ってる。
どういう計算してる？

>>91
sin(π-θ)=sinθ だから。

>>91
単位円書きましょう。図書くとわかりやすいよん。
さいんはY座標の値だよね。例えばさいんα＝さいんβだったら
α＝β の他に α＝π-β の可能性があるじゃん。
ていうかこの説明当たり前すぎでわかりずらいな。
説明下手でごめん。

９３さん一橋生さんありがとうございました、ﾜｶﾘﾔｽｶｯﾀ！

とりあえず、ホシュっとこ。

黄色チャートの重要例題って文系の国公立２次レベル？
難しくて解けません

１階１次微分方程式って何ですか？？
解説に書いてたんだけどワケワカラナイです・・・。
学校の授業は聞いてたんだけどなぁ。。

青チャート例題267
α-3＝0とすると
とありますが、何故そうしたのでしょうか？
教えて下さい。

>>98
x'(t)+a(t)x(t)+b(t)=0
で与えられえる微分方程式だったと思う．
具体的な例を挙げると
dy/dx=y
みたいな問題かな．大学入試で必要な微分方程式はせいぜい，変数分離型（上の例）
くらいのはず．数学では液体の流入・流出で使われることがあったかも．ちなみに上の問題は
dy=dx*y
(1/y)dy=dx
log|y|}=x+c
y=±e^{x+c}=±e^ce^x=Ce^x (Cは定数)
という風に解く．

>>99
左辺で定数部分がでない形に持ち込んでいるので、右辺の分子でも定数部分がでないようにαを定めてやります。
すると、後で分母分子を入れ替えたときに、綺麗に漸化式が立ちます。

最近は微分方程式が流行ってるみたいだな。
羨ましい。俺の高校時代はなかった。

>>101
おお、そういうことですか！！
どうもありがとう御座いました。

実数係数の方程式　x^4+ax^2+1=0　が
実数解　x1,x2,x3,x4　をもつとき、次の問いに答えよ。
(1)　aのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)　x1+x2+x3+x4
x1x2x3x4
x1x2+x3x4　の値をそれぞれ求めよ。

ヒントだけでもいいので、よろしくお願いします。

>>104
x^2=Yとおく。
Y^2+aY+1=0
これが異なる２解を持たなければならない。
Y>=０だから、

>>104
俺は定数分離が好きだけど･･・　まー人それぞれ

>>104
(1)
(注)問題文を『4つの異なる実数解を持つとき』と解釈して解答します。
x^2=t(≧0)とおくと，
t^2+at+1=0・・・ア
tに関する2次方程式：アが異なる正の実数解を持てばよい．
このとき2解をt=α，β(0＜α＜β)とすると，
x=±√α，±√βとなり十分．
∴アの判別式=a^2-4＞0　かつ　2解の和=-a＞0
　⇔　a＜-2・・・答

(2)
x=±√α，±√βであり，α+β=-a，αβ=1
x1+x2+x3+x4=0・・・答
x1*x2*x3*x4=αβ=1・・・答
x1x2+x3x4=-(α+β)，±2√(αβ)=a，±2・・・答

大学への数学1月号の
宿題であったんですが
2項係数(0 0)=1であってますか？

誰か教えてよー

マジで教えてー

学コンでもやりますから
分かる人教えてください

>>111
大数関連では、学コンと宿題の話はしないように。
http://school.2ch.net/kouri/kako/1031/10319/1031984612.html
確実にこんなんなるから。

つうか、マジですんなYO!!

>>112
前から不思議に思ってたんですが，大学への数学ってそんなに（･∀･）ｲｲ!
本なのでしか？？まわりでやっている人がいないので…。。
それとなんでその本の問題や解答に対してみんな過敏なのでしょうか？
賞金がかかっているの？それとも入試的中率が抜群にいいとか・・？？？
塾やﾁｬｰﾄや入試問題などの数学とは性質の違う問題集なのですか？

大学への数学ってたくさん本がありすぎて何冊やれば全範囲を
ｶﾊﾞｰするのかも知らないし，ﾚﾍﾞﾙも高すぎるというｳﾜｻなので
手につけてないんですが，よければ教えてください。。

>>112
わかりましたから
2項係数
(0 0)っぽく表記されてあるんですが
これは1と同じでいいですか？
>>113
高すぎなのかよくわからない
っていうかうちは
学コンと宿題と気に入った記事を読んだりするだけだから活用し切れていません
っていうか活用しきれる人はいないと思います

誰か本当に教えて

１月号ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━!!!
でも雨でﾌﾆｬﾌﾆｬ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━!!!

>>107
ありがとうございました！

>>116
うちもふにゃふにゃだった
で
お願いだから
宿題コーナーの
(0 0)の意味を教えてください

>>113
解答や問題に対して過敏というよりは、ネタバレすると荒らしが発生するから。「宿題」と「学力コンテスト」以外の問題に関しては全然問題無いが、この２つについては、締め切り前には触れないのが無難ということでつ。
ちなみに、月刊は網羅性が低いと思う。
面白いから良いんだけど。

>>114
スマソ、勘違いしますた。
ネタバレかと思ったら、問題の表記の話だった。
まだ１月号入手してないので漏れには判断出来ませんです。スマソ。

ふにゃふにゃの大数には何かしらの哀愁が漂うな・・・

>>118
行列じゃ駄目？

>>120
漠然と思ったんだけど、もしかして今月は発売日が前倒しされてるの？

いやなんかこんなかんじなんすけど
( 0 )　　←
( )　　←ここら辺は　）なってるからね
( 0 )　　←
ってどういう意味ですか？

>>121
25日発売だけど今日届いた。定期購読で。ｱﾋｬ

>>122
普通に考えると、ベクトルを縦に表示しただけじゃない？
問題見てないんで何とも言えないけど。

>>123
漏れだけのけ者ヽ(`Д´)ﾉ　ｳﾜｧｧﾝ!!
学コンの満点何人くらいですたか？ヽ(`Д´)ﾉ　ｳﾜｧｧﾝ!!
１２月号の日々演半分もやってませんが何かヽ(`Д´)ﾉ　ｳﾜｧｧﾝ!!

>>122
ん〜〜〜と、２行１列の行列なんだけど・・・
Σ[i=1,3]x^(ai)y^(bi)ai=0かつΣ[i=1,3]x^(ai)y^(bi)bi=0っつーことでつ。

>>125
なんか、いっぱい。

■ｘを実数とする時、√ｘー√(2ーｘ＾2)が実数となるための条件を求めよ。

□4√3＋4iの平方根を求めよ。

面白い問題なんだけれど、方針がたたない。。。
ヘルプ!

>>119
学力コンテストって模試のことでしょか？？
ﾄｩﾘﾋﾞｱﾀﾝも大学への数学をやってるんだ・・(　ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ
やってないとやばいのかな・・

平方根の方は、
士の
(√3＋1)＋(√3−1)iかな?

>>127
z^2=4√3+4iとなるzを求めてみます・・。複素数の平方根ってちょっとわからないので。

4√3+4i=8(cos30°+isin30°)
求める複素数の絶対値は2√2．偏角を0°≦θ＜360°とすると，
2θ=30+360n　⇔θ=15+180n　より，θ=15°，195°
∴z=(2√2)*(cos15°+isin15°)，(2√2)*(cos195°+isin195°)・・・答

>>127
前半の方．．．
√の中身が共に正の場合と、共に負の場合以外は明らかに不適。
前者の場合、題意の式は常に実数となる。
後者の場合、一般に√（実数）の取る値が実数か純虚数のいずれかであることから、題意の式の値を0にするx以外は不適。
以上のことから、0≦x≦2,x=-2

って、滅茶苦茶不安。こういうの激しく苦手だ．．．

>>128
模試とはちょっと違う。
時間無制限で全力投球して、添削してもらうようなヤツです。どっちかっていうと、乙会みたいな感じか？漏れは乙会やってないけど。
問題のレベルは標準〜難ぐらい。
成績優秀者にはささやかな賞品が贈呈されます。

>>131
見やすく場合わけしてしまえば（･∀･）ｲｲ!のでは？？

√x　⇔　√x(x≧0)，{√(-x)}i(x＜0)
√(2-x^2)　⇔　√(2-x^2)(|x|≦√2)，{√(x^2-2)}i(|x|＞√2)
よって，
x＜-√2のとき，{√(-x)}i-{√(x^2-2)}i=〔{√(-x)}-{√(x^2-2)}〕i・・・★1
x=-√2のとき，{√(√2)}i
-√2＜x＜0のとき，{√(-x)}i-√(2-x^2)
x=0のとき，-√2・・・★2
0＜x＜√2のとき，√x-√(2-x^2)・・・★3
x=√2のとき，√(√2)・・・★4
√2＜xのとき，√x-{√(x^2-2)}i

★1のとき，『x＜-√2　かつ　√(-x)=√(x^2-2)』を満たす実数xが存在するかを調べる．
-x=x^2-2かつx＜-√2⇔x=-2・・・★5

求める範囲は，★2，★3，★4，★5であるから，x=-2，0≦x≦√2・・・答

ｘ＾3+3aｘ＾2+b=0が負の解をもつために、a、bみたさねばならない条件をいえ。

>>132
なる(ﾟДﾟ)ほど。。かなりむずそう・・(；´Д｀)

>>134
^3+3ax^2+b=0 ⇔　x^3+3ax^2=-b
f(x)=x^3+3ax^2　とおくと，y=f(x)とy=-bの交点のx座標が解に相当．
f'(x)=3x(x+2a)

(1)-2a＜0　⇔　a＞0のとき
f(x)はx=-2aで極大，x=0で極小.
よって，-b≦f(-2a)　⇔　-b≦4a^3　となればよい。

(2)-2a=0　⇔　a=0のとき
f(x)は単調増加で，f(0)=0であるから，
-b＜0　⇔　b＞0　となればよい.

(3)0＜-2a　⇔　a＜0のとき
f(x)はx=0で極大，x=-2aで極小.
f(0)=0，f(-2a)＜0であるから，-b＜0　⇔　b＞0

以上から，
「a＞0かつb≧-4a^3」または「a≦0かつb＞0」・・・答

>>133
ま、大数的解答って事で（ﾜﾗ
場合分けをワシワシやっていくのは美しくないという意識が働いたんでつ。

どうでも良いけど、面白い問題を見つけますた。
「相異なる自然数a,b,cがあり,どの２つの和も残りの数で割ると１余るとする。a<b<cとして,
(1)a+bをcで割った時の商はいくらか。
(2)a+cをbで割った時の商はいくらか。
(3)a,b,cを求めよ。」

>>137
どこの問題ですか？
一見難しそうだけど、意外と楽に行けた。
とか言いながら間違ってたりして・・・

(1) 1
(2) 2
(3) (a,b,c)=(3,4,6),(6,10,15)

(3) (a,b,c)=(6,10,15)
に訂正

いややっぱり
(3) (a,b,c)=(3,4,6),(6,10,15)
だ。

>>137
類題も考えると面白いかも。

「相異なる自然数a,b,cがあり,どの２つの積も残りの数で割ると１余るとする。a<b<cとして,
a,b,cを求めよ。」

>>138
1990年の早稲田理工の問題です。
ひょんな事から入手した大数1998年３月号の日々演に載ってますた。

>>142
あ、答えはそれで正解です。

0<a<1の時、
｛(2n+1)a＾(n+1)+1｝/｛a＾(n+1)+(2n+1)｝>a＾nを示せ。
ただし、n>0である。
↓
こここまでは変形できましたが、ここからどう証明したらよいでしょうか?
よろしくおねがいします。

分母>0より1+2na＾(n+1)+a＾(n+1)>a＾na＾(n+1)+2na＾n+a＾n

ヘルプ!

>>145
色々試した挙げ句、当初の予想通り帰納法だった罠。

与式⇔(2n+1)(a-1)a^n -a^(n+2) +1 >0・・・・（あ）
を証明すればよい。

(1)
n=0のとき、
3a(a-1) -a^3 +1
=3a(a-1) -(a-1)(a^2 +a +1)
=(a-1)(3a -a^2 -a -1)
=(1-a)(a-1)^2>0
より（あ）が成立する。

(2)
n=kでの（あ）の成立を仮定すると、

(2k+3)(a-1)a^(k+1) -a^(k+3) +1
=a{(2k+1)(a-1)a^k -a^(k+2) +1 +2(a-1)a^k -1}+1
>a{2(a-1)a^k -a}+1 （∵仮定）
=2(a-1)a^(k+1) -(a-1)(a+1)
=(a-1){2a^(k+1) -a -1}
=(a-1){a^(k+1) -1 +a^(k+1) -a}
={(a-1)^2}{2a^k +2a^(k-1) +・・・+2a^2+2a+1}>0

よってn=k+1のときも（あ）が成立する。

以上(1)(2)より、全ての自然数nに対して（あ）が成立する。（証明終わり）

これであってるかな？

若干テクニカルな変形を使ったので補足。
=(a-1){a^(k+1) -1 +a^(k+1) -a}
={(a-1)^2}{2a^k +2a^(k-1) +・・・+2a^2+2a+1}
の部分では、
a^(n+1) -1=(a-1){a^n +a^(n-1) +a^(n-2) +・・・+a +1}
という因数分解を用いてます。
これは結構頻出な変形なので、頭の隅に留めておくと良いかも。

こんな変形しなくても数３を習っている人なら、
f(a)=2a^(n+1) -a-1と置いてaについて微分すれば良いけどね。

x^2+y^2-2ax-2by+2をFとする
領域x^2+y^2≦1上にある全ての(x,y)に対して
F≧0となるためのa,bに関する必要十分条件を求めよ


領域になるとわけわからなくなりました・・・・

>>148
x^2+y^2≦1　は原点中心、半径1の円の内側
F≧0⇔(x-a)^2+(y-b)^2≧a^2+b^2-2　は、
a^2+b^2-2>0のとき(a,b)中心、半径√(a^2+b^2-2)の円の外側
a^2+b^2-2≦0のときxy平面全体。
で、やてみよう。

三角形の五心って何ですか？
またそれぞれの性質も教えて下さい。

複素数平面上の３点Ａ( ｉ )、Ｂ(√３＋２i)、Ｃ（√３＋４i）について、
∠ＢＡＣの大きさ△ＡＢＣの面積を求めよ。

簡単な問題だと思うんで大変恐縮なのですが・・・
∠ＢＡＣですが、（γ−α）/（β−α）　を使ったところ、
3/2＋(√3/2)・i　とでてきて極形式にできません。だれかたすけてください・・・。

>>151
3/2＋(√3/2)・i　=√3(√3/2+i/2)
あとはできるよね。

何てハイレベルなスレッドですか。

>>152　Σ（￣□￣）　ガーン
　　　　マジで御丁寧にありがとうございます　ｍ（＿ ＿）ｍ
　　　　絶対値の値を出すとこがミスってますた。。。

まず、図を書くとわかりやすいよ。だいたい角度なんて有名角しかでないからね。

>>155
ううっ（；_：）２ｃｈにこんな良い人がいるとは・・・
もっかい基礎の基礎からやりなおしてきます。。。
報告すると、151は、おかげさまで解くことがでけますた！！
どうもですｍ（＿ ＿）ｍ

>>150
検索で出てくるだろ

cos^2x-4sinx+a=0 (aは定数) が 0°<x<180°において
２つの解をもつようなaの範囲は（　　）である。

これの答え教えてください。意味が分からん。

>>158
cos^2(x)は、cos(x)*cos(x)なのか？cos(2x)なのかわからん。

cos(x)*cos(x)でし。俺も分かりにくいかなと思った。

cos^2(x)-4sin(x)+a={1-sin^2(x)}-4sin(x)+a
ここでsin(x)=X とすると、0°<x<180°より
0<X<1 (与式)=-X^2-4X+(1+a)=0　が
1つの解をもつようなaの範囲を求める。
0<a<4

訂正　-1<a<4

点(1.1)(-1.1)を通る放物線y=f(x)=pｘ＾2+qｘr(p<0)がある。
y=f(x)の頂点をA、y=f(x)とｘ軸の交点をB、Cとする時、
△ABCの面積の最小値を求めよ。

よろしくおねがいします。

>>163
簡単な問題だから方針だけ。
まず、通る２点の座標を代入することでp,q,rの関係式を得ます。
次に、三角形ABCの面積をp,q,rを用いて表します。
最初に得た関係式から文字を消去したのち、微分するなり予選決勝法するなりして、最小値を得ます。

細かい所は自分で考えながら計算してみて。
そういう事も非常に大事。

>>164
もう一点追記。p<0という条件には十分注意してください。
コレを見落とすと、色々と支障がでてきます。

>>161
激しく意味わっかた。熱烈サンクス！

確率分布はセンター以外で出ますか？
青チャートに載っているからちょっと心配なのですが…。

三角形ＡＢ，ＢＣ，ＣＡの３辺の数値とcosAの値がわかってる時にsinAを出す公式をおしえてください。

>>168
(cosA)＾2+(sinA)＾2＝1
を変形して、
sinA＝√{1−(cosA)＾2}

>>169
ありがとございます！

>>167
２次試験では範囲外としてる大学が多いみたい。
漏れの志望大学でも範囲外だった。

>>170
逆に与えられているのがsinの時、cosを導く場合は、鈍角か鋭角か考えないと駄目なことに注意。
って、あまりそんな問題はないけどね。

>>163
大数ｵタ氏の解答を具現化。。

f(x)=p(x+1)(x-1)+1(p＜0)とおくと，
A(0，1-p)，BC=2√{(p-1)/p}
よって，△ABC=(1-p)√{(p-1)/p}
-p=t(t＞0)とおくと，
△ABC=(t+1)*√{(t+1)/t}=√〔{(t+1)^3}/t〕
g(t)={(t+1)^3}/tとおくと，
g'(t)={(t+1)^2*(2t-1)}/t^2
0＜t＜1/2でg'(t)＜0，1/2＜tでg'(t)＞0
よって，t=1/2のとき，△ABCは最小値=(3√3)/2・・・答　をとる．

>>164
予選決勝法って何でしょうか・・(；´Д｀)
激しく知りたいです。。

問題の質問じゃないんですが、数列の和を積分を使って解くのは可能ですか？

低レベルな質問で申し訳ないけど、センター２００２本試験の第２問の
ケ〜スのとこがが解説読んでもわかりません。教えてください。。

>>174
2文字ないし3文字の独立な変数がある時、一つに注目して他の変数を定数と見なし仮の最小値・最大値を求め、その後定数化していた変数に着いて考えてホンモノの最大値とか最小値を得る方法です。

例題がパッとおもいつかんけど．．．
多分未来中年ﾀﾝなら既にやってると思う。

>>175
漏れの知る限りでは無理です。
数列の和を評価する用途には使えるけど．．．

無限級数なら積分して挟み撃ちでできる

>>177
前ｽﾚ：http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
の919の問題に対して，969で解答がなされているのですが，
f(x)，g(x)の原始関数が存在するってどうしてわかるのでしょうか？

一般に，f(x)が区間[a，b]において連続であるとき，
その原始関数，つまり，f(x)=F'(x)を満たす関数F(x)が存在するかどうか
はわからないですよね？原始関数が存在するとわかって，
はじめて，{∫f(x)dx}'=f(x) であると言えると思うのですが，どうなんでしょうか？

塾のﾃｷｽﾄで，こういう問題があるんですが，f(x)の原始関数が存在することは
既知としてよいという注がついていますが，こういう注は不必要でしょうか？

なお，教科書によると，定積分の式：∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)　は定義
みたいな扱いになっています。(by　数けん)
問題文にf(x)が微分可能かどうかの注がついているということは，
f(x)の原始関数が存在するかどうかの証明もいるということでしょうか？

>176
�UBのほうでつか?多分�TAだと思うんだけど…。�UBの方だったら重傷じゃないかと…。
�TAの方は気合で割り算すれば絶対に解けます。おとなしくA＾2-B＾2とA+Bを(x-1)＾2で割りましょう。

↑
訂正。A+Bを(x-1)＾2で割ればよかったですね。。。。瞬殺できますね。

>>180

高校の範囲外なので、特に注釈は無くても既知として良い事柄らしいです。
証明方法は．．．漏れの力不足でﾜｶﾗﾝ。ｽﾏｿ。

>>183
やっぱりそうなんですね(；´Д｀)名古屋大学の問題を見てたら，
『f(x)が区間[a,b]で連続であるならば,{∫[a,b]f(x)dx}'=f(b)-f(a)』
というのは既知として解答してあったので多分大丈夫だとは思っていたんだけど,
そうじゃないｹｰｽもあるのかな？と思って質問してみますた。。
ありがﾄﾝごさいますた。大数ﾀﾝ,理iiiｶﾞﾝｶﾞﾚー．
明日,大学への数学,買ってみます！とりあえず,適当なのを1冊。
大数ﾀﾝを見習うのだ(￣ー￣)

>>184
なんで離散やねん。
漏れ京大工死亡やし．．．（´Д｀；）
離散行くには今から偏差値を１０以上上げないと無理でつ。

大数は１月号かって学ｺﾝに応募したらよいと思われ思う故に割れ鍋に綴じ蓋に真珠のネックレス.

>>185
あ,京工ですたか・・。
よければほむぺでも見てって下さいませ。。める乱。
てか，今はネト絶ちしたほうが（･∀･）ｲｲ!ような気も。。(；´Д｀)

>>186
そろそろﾈﾄ絶ちしたほうがよいかなって考えてるけどね。
世界史ヤバイことだし。
取りあえず、１日３０分ぐらいに。

>>141
難しい・・・。

>>188
入試問題風にしてみました。

相異なる自然数a,b,cがあり,どの２つの積も残りの数で割ると１余るとする。a<b<cとして,

（１）ab+bc+ca をabc で割ったときの、余りを求めよ。
（２）ab+bc+ca をabc で割ったときの、商を求めよ。
（３）a,b,c を求めよ。

>>189
ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━ｯ!!
元ネタ(>>137)があるとはいえ、こんなの自分で作るなんてすごいっす。
(2),(3)はもっとイイ方法があるのかなあ。

(1)
・a,b,cは互いに素
・ab+bc+ca-1はa,b,cで割り切れる
⇒　余り１
(2)
・a≧2、b≧3、c≧4より、(1/a)+(1/b)+(1/c)<2
⇒　ab+bc+ca<2abcより　商１　（∵商０は明らかにﾀﾞﾒ）
(3)
(1/a)+(1/b)+(1/c)=1+1/(abc)、a<b<cより、a≧3はﾀﾞﾒ ⇒ a=2
(1/b)+(1/c)=1/2+1/(2bc)、b<cより、b≧4はﾀﾞﾒ　⇒　b=3
⇒　c=5

すいません。ちょっと三角比の質問なんですが、
sin^2A=sin^2B+sin^2Cが成り立つとき
三角形ＡＢＣの形を答えよ。
っていう問題なんですが、
ちょいと指針がわからないんです。
教えてください。

こういう類の問題はほとんどが正弦定理、余弦定理を使えば道が開ける

こんな時期にこんな質問ってヤバいのでしょうが、
数�Vの微積の分野別問題集って何が一番いいでしょうか？
本屋で立ち読みしまくったのですが、なかなかいいのが見つかりません…。

一対一をやりこんで、結構標準レベルのは解けるようになったと思うのですが、
特に抽象関数とか、絶対値が入ったりしてちょっと捻られた問題とか、
難関大の入試レベルにはまだ歯がほとんど立ちません…。

で、一対一だけを本番までやりこんでも足りるんでしょうか？
どなたか返答おねがいします m(_ _)m

a/sinA=2R ⇒ sinA=a/2R・・・
より
sin^2A=sin^2B+sin^2C
⇒
a^2=b^2+c^2

あ、１９４は
１９１に対してね

a1=1,an+1-an=[√n]のときan^2を求めよ←数列です
ただし、[x]はxを越えない最大の整数を表す


もうこんがらがって何がなんだか・・・・・・

>194
なるほど。理解できました。
どうもありがとうございました。

>>196
an+1-an=[√n]
an-a1=Σ[k=1→n-1][√k](両辺をそれぞれ足し合わせる)
an=Σ[k=1→n-1][√k]+1
一方、[√n]=m(整数)を満たすｎの範囲をｍで表すと、ガウス記号の定義より
m≦√n＜m+1
m^2≦n＜(m+1)^2
m^2≦n≦(m+1)^2-1
よって[√n]=mとなるｎの個数は
{(m+1)^2-1}-m^2+1=2m+1(個)となる

an^2
=Σ[k=1→n^2-1][√k]+1
=(1+1+・・・+1)(←2*1+1個)+(2+2+・・・+2)(←2*2+1個)+・・・・・・
　+{(n-1)+(n-1)+・・・(n-1)}(←2(n-1)+1個)+1
=Σ[m=1→n-1]m(2m+1)+1
=(計算略)
=1/6n(n-1)(4n+1)+1

すいません。またわからない問題があって。
鈍角三角形の３辺の長さがｘ・ｘ+１・ｘ+２のときｘのとりうる範囲を求めよ。

>>199
最長辺の二乗＞他の二辺の二乗和
ってのが鈍角三角形の条件なので、これで計算してみな。ただしｘ＞０であることに注意してね

あと、三角形の成立条件より、ｘ＞１も忘れちゃだめよ

おめえら数学よくできるみたいだから聞くけどよ、
解法暗記ってどこらへんまでやりゃいいんだよ。偏差値で答えな
ちなみに俺は６０だ

>>202
何の模試の偏差値か分からないと答えようが無いし、そもそも学年によっても違うと思います。

一浪。
だけど今年から数学始めたの。わけあってね。
でも数学なんて〇年間まともにやってねぇから、
何やるべきか全くわからなくてここまで着たのです。まだ複素数終わってねぇし。

模試は代ゼミの代三回全国記述。

円(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
の微分ってどうやるんでしたっけ？

マンコ＋チンコの答えがわかりません。

なんでしたっけ？

>>206

セックス

>200
ありがとうございました。わかりました。

>>204
今年受験？
なら、本番直前まで解法暗記に徹しないと苦しいと思われ。穴を作っちゃダメだからね。
多分、これからは何故そういう解法を取るのか考えながら理解しないと効果半減だと思うよ。偏差値６０ぐらいあるんなら。

＞205
(x-a)^2は普通に微分して、2(x-a)
(y-b)^2はyで微分してから、dy/dxをかけて、2(y-b)*dy/dx
左辺は0
∴2(x-a)+2(y-b)*dy/dx = 0
(x-a)+(y-b)*dy/dx = 0
y<>bのとき、dy/dx = (a-x)/(y-b)

4行目間違い。左辺→右辺

aを0≦a≦1を満たす実数とし、数列anをa1=a,
an≦1/2のとき　an+1=2an
an＞1/2のとき　an+1=2-2an とする
すべての自然数nにおいてan=an+2が成り立つとする
このようなaを全て求めよ


手が動きません・・・・

>>212
取りあえずヒントと方針だけね。
まず、「初項と３項目の関係がa[1]=a[3]で無ければならない」という必要性に注目します。３項目までの事を考えて、aを丹念に場合分けして関係を求めてみましょう。すると、aの候補が見つかります。
あとは十分性を確かめたら出来上がり。
こういう問題は、場合分けを自分で考えたりしないと解いてる意味が無いので、じっくり考えてみてください。

後、イマイチ題意が掴めないときは実験するのも有効な手段です。

>>213
なんか日本語おかしいな。
必要性から「a[1]=a[3]」かな？
記述力なさすぎ、逝ってきます。

>>213
はい、そこまではやったんですが
＞あとは十分性を確かめたら出来上がり

これがよくわからないのですが・・・・

>>215
つまり、そうして求めたaの候補の内で、全てのnについて成り立つようなモノがあるかどうか確認したり、証明したりするっつうことです。

数学的帰納法を使えばいいんですか？

>>217
端的に言うと、そういう事になりますね。

ありがとうございました。なんとなく方向性が見えてきました

テイラー展開って高校で習うんですか？
今高２なんで名前しか知らないんですが、数�VCに出てくるのかな？

>>220
普通は習いません。
たまに知ってると有利な問題も有るけど、別に敢えて知っておく必要も無いと思うよ。

>>210
ｻﾝｸｽ!

>大数ｵﾀ

ありがとう。我ながらなめてると思うけど、今年受験です。死ぬ気で取り組むわ。
それにしてもあんたすげぇな。

やるか。

>>221
テイラー展開を勉強出来る大数の増刊を教えて下さい。

>>221
・・・

>>224
一応2002年8月号の記事で扱ってるのがあるね。
興味が有るなら見て見りゃいいと思う。
でも、入試じゃ要らないよ。

実数全体で定義された関数f(x)
は常に正の値をとりすべての実数ｘ、ｙにたいして
3f(x+y)=f(x)f(y)
が成り立つ。またf(1)=6であるとする。

f(1/n)をnで表せ。

わかりますか？

>>227
f(x1+x2+x3+・・・+xn)=(1/3)^(n-1)×f(x1)×f(x2)×f(x3)・・・×f(xn)

>>228？

>>190
正解。きれいに解いてくれてｱﾘｶﾞﾄ。

x1=x2=・・・=xn=1/nを代入

で答えは何になります？

>>227に追加です。すいません。
nは自然数です。

>>231なるほどわかりました。

>>230
(*/∇＼*)

正の整数ｎに対して、ｆ（ｎ）は√ｎに最も近い整数とする。このとき、

Σ[ｎ=1→∞]〔２＾｛ｆ（ｎ）｝+２＾｛-ｆ（ｎ）〕（１/２＾ｎ）

の和を求めよ。

訂正 　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓

Σ[ｎ=1→∞]〔２＾｛ｆ（ｎ）｝+２＾｛-ｆ（ｎ）｝〕（１/２＾ｎ）

age

aを正の定数とする、不等式a^x≧axが全ての正の数xに対して成り立つという。
このとき、aはどのようなものか。

質問させてください。
三角形ＡＢＣにおいてＡＢ＝７、ＡＣ＝８、角ＢＡＣ＝１２０°
角ＢＡＣの二等分線とＢＣの交点をＤとするときＡＤの長さを求めよ。

なんか計算すると答えが２つになってしまうんですけど。

2辺侠角が決まってるから
3角形がだたひとつ定まるから計算違い

指数法則は何故あのように定義されたのでしょうか？

けいさんしやすいから　　

計算しやすいからだけじゃあないな
うまく展開できる出来るからも入ってるな

青チャート�V･Ｃ例題90
がよく解らないのですが…。
どなたかお願いします。

代ゼミ東大理系数学のテキストより質問
3m+2nで表せない数を全て求めよ。
誰か教えて

>>246
それは数えていくと規則性が出てくるよ
たしか自治医科の問題にそんなのがあった

>>246
n,mの条件は？
とりあえずn,mは自然数という条件で

m＝1のとき、n＝1,2,3,4,5,6…
3m+2n＝{5,7,9,11,13,15…}
m＝2のとき、n＝1,2,3,4,5,6…
3m+2n＝{8,10,12,14,16,…}

∴7以上の整数は全てあらわされる。

nの周期が2なのに注目して、mを固定すると簡単。

正の整数ｎに対して、ｆ（ｎ）は√ｎに最も近い整数とする。このとき、

無限級数Σ[ｎ=1→∞]〔２＾｛ｆ（ｎ）｝+２＾｛-ｆ（ｎ）｝〕（１/２＾ｎ）

の和を求めよ。

助けて下さい。
〔２＾｛ｆ（ｎ）｝+２＾｛-ｆ（ｎ）｝〕←分子
（１/２＾ｎ）←分母です。

2^nが分母だよね？？

>>250
そうでした。
ごめんなさい。

S(m)=Σ[ｎ=1→m]〔２＾｛ｆ（ｎ）｝+２＾｛-ｆ（ｎ）｝〕（１/２＾ｎ）
とおく
S(m)>(m/2^m)(2^1+2^-1 + 2^2+2^-2+ ・・・+2^m+2^-m)
=(m/2^m)(2^(m+1) - (1/2)^m -1)=2m - m/2^2m - m/2^m=T(m)
T(m)→∞(m→∞)よりS(m)→∞(m→∞）

あんま自信ないけど一応解答

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1040698718/l50
わかりにくい数式には
ここのスレの「お絵かき掲示板」を借りるといいよ
図形とかも。

>>253
【ベクトル図】受験板のお絵描き掲示板【回路図】
http://school2.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1040384892/

使ってやれよ・・・

>>253
そこに書いときました。

置換積分をするかどうかはどうやって判断するんですか？

>>212
0≦a≦1/2 のとき，a(2)=2a
さらに，2a≦1/2，すなわち，0≦a≦1/4 ならば，a(3)=4a・・・ア
　　　　2a＞1/2，すなわち，1/4＜a≦1/2 ならば，a(3)=2-4a・・・イ

1/2＜a≦1 のとき，a(2)=2-2a
さらに，2-2a≦1/2，すなわち，3/4≦a≦1 ならば，a(3)=4-4a・・・ウ
　　　　2-2a＞1/2，すなわち，1/2＜a＜3/4 ならば，a(3)=4a-2・・・エ

a(1)=a(3) が成り立つので，それぞれ，
ア：a=0　イ：a=2/5　ウ：a=4/5　エ：a=2/3 となる．
aの解の候補はこの4つに絞られるので，これらが条件に適するかを調べればよい．

(1) a=0 のとき
　　すべてのnに対して，a(n)=0 となるので，条件に適する．

(2) a=2/5 のとき
　　このとき，a(2n-1)=2/5，a(2n)=4/5 となるので，条件に適する．
　　
(3) a=4/5 のとき
　　このとき，a(2n-1)=4/5，a(2n)=2/5 となるので，条件に適する．

(4) a=2/3 のとき
　　このとき，a(n)=2/3 となるので，条件に適する．

∴a=0，2/5，4/5，2/3・・・答

でも，この問題，それぞれの候補をきちんと数学的帰納法
で証明しなければならないのでしょうか・・・。
解答ｽﾍﾟｰｽにもよるけど・・。

>>236
２５２のであってる

xy平面において、x軸上に中心をもつ円の内部に
３点（-1,-1）,(2,-2),(1,2)が入っている。
このような円のうち、半径が最も小さい円の方程式を求めよ。


という問題が泥沼にはまってます、救ってください。

簡単な質問ですまんのですが……。

Σ_[K=1,n] { k(k+1) } を求める時にそのままガリガリやるんじゃなくて、

3k(k+1) = k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) の関係より
1/3Σ_[K=1,n] { k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) }
= 1/3n(n+1)(n+2)
ってなるのがよく分からないっス。

(k-1)k(k+1)が定義のK=1よりってので消えるのは分かるんですけど、
k(k+1)(k+2)がそのままnの式になるってのが生理的に理解出来ないっス……。

これが理解できればk(K+1)(k+2)(k+3)の整数和なんかの計算も
楽になるらしいんスけど……。

直前期にこんな質問でスマンのですが誰かアドバイスお願いします(;´∀｀)

>>260
円周を含むかどうか分からないけどとりあえず含むとするよ。

中心をP(p,0),半径r(r>0),A(-1,-1),B(2,-2),C(1,2)とする。
PA^2=(p+1)^2+1
PB^2=(p-2)^2+4
PC^2=(p-1)^2+4
A,B,Cが円の周および内部にある⇔r≧（PA,PB,PCのうち最大の値）⇔r^2≧（PA^2,PB^2,PC^2のうち最大の値）

y=(p+1)^2+1,y=(p-2)^2+4,y=(p-1)^2+4のグラフを描いて、
p≦1のときr^2≧(p-2)^2+4
p≧1のときr^2≧(p+1)^2+1
r^2の最小値はp=1のとき5
円の方程式は(x-1)^2+y^2=5

こんな感じ。

>>261
kに1からnまで代入していくと
Σ_[K=1,n] { k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1) }

=1*2*3-0*1*2　←ここの1*2*3と
+2*3*4-1*2*3　←ここの-1*2*3で消える。以下同じ
+3*4*5-2*3*4
+・・・
+(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n
+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

=n(n+1)(n+2)-0*1*2
=n(n+1)(n+2)

途中の和の部分が消えてしまうのである。

助けてください。どう解けばいいのかすらわかりません。

二つの数列an、bnがあり、an=3n-2 bn=5n-3である。
このとき二つの数列の３００以下の共通な数字の総和を求めよ。

>>263
なるほどね！
ていうか部分分数の和と同じ考え方なのね！

マジでありがとう(つД;｀;)
トゥリビアサンクス！

>>264
3m-2=5n-3 ⇔ 3m-5n=-1・・・ア　を満たす自然数(m，n)を考える．
3*3-5*2=-1・・・イ
ア-イより，3(m-3)=5(n-2)
3，5は互いに素なので，m-3=5k，n-2=3k(kは整数)とおける．
よって，m=5k+3，n=3k+2　m，nは自然数なので，k≧0
したがって，a(n)=3(5k+3)-2=15k+7　(0≦k≦19)の総和を求めればよい．
∴Σ[k=0,19](15k+7)=7+15*(1/2)*19*20+7*19=2990・・・答

>>239
ちょっと計算したところ，a=e になりますた。
でもﾛﾋﾟﾀﾙを使わないと解けない部分が出てきた・・(；´Д｀)
やり方が悪いせいかもしれないけど・・。

>>239
いちおう，書いておきます。。極限値を求める時にﾛﾋﾟﾀﾙを使いますた。

a^x≧ax・・・ア
a＞0，x＞0なので，アの両辺の対数をとって，
xloga≧loga+logx
loga=k とおくと，
kx≧k+logx ⇔ k(x-1)≧logx・・・イ
x=1 のとき，イはkの値によらず，成立．
0＜x＜1 のとき，イ ⇔ k≦(logx)/(x-1)・・・ウ
1＜x のとき，イ ⇔ k≧(logx)/(x-1)・・・エ
よって，ウ∩エを満たすkを求めればよい．

ここで，f(x)=(logx)/(x-1) (x＞0，x≠1)とおく．まず，f(x)の概形を調べる．
f'(x)=(x-1-xlogx)/{x(x-1)^2}
さらに，g(x)=(x-1-xlogx) (x＞0，x≠1)とおくと，g'(x)=-logx
よって，0＜x＜1で，g'(x)＞0，1＜xで，g'(x)＜0
g(1)=0 であるから，x＞0，x≠1 を満たすxに対して，g(x)＜0
よって，f'(x)＜0 となる．
また，lim[x→+0]f(x)=+∞，lim[x→1-0]f(x)=lim[x→1+0]f(x)=1，lim[x→∞]f(x)=0
以上より，f(x)の概形がわかる．
y=f(x)とy=kのグラフを考えると，k=1のとき，ウ∩エ を満たす．

∴a=e・・・答

>>264
　初項から全部書いていけば、まぁＩＱ３０もあれば分かる。厳密に証明しなくていいから、せめて一般項の見当くらいは実験でつけよう。

>>268
どこでロピタル使ったの？
使わなくても行けると思う。

(logx)/(x-1)=(logx -log1)/(x-1)
だから、微分係数の定義で勝負出来るよ。

>>270
あ・・そうですた・・（・∀・）
定義できちんと出せたんだ・・。

確率が全然わからないので細野の確率のやつをしようと思うのですが、どうでしょうか？
もし他にこれがｲｲ!!っていう参考書があれば教えて下さい。
現在高２の国立文系です

>>272
そういう質問は参考書スレでした方が良いと思われ。
でもまあ、安田亨のハッと目ざめる確率がオススメかな。

＞＞272
細野シリーズは理系用だと聞いたことがありますが？

>>273
あっスイマセン...次からは参考書板にします。。
そのお勧めの参考書明日にでも見に行ってみます〜！

>>274
細野シリーズって理系なんですか・・・

>>260
河合の東大理類数学やんけ．．．

ここにいる奴すげーな。なんでそんな解法ぽんぽん思いつくんだ。。

>>262
ありがとうですミスター。
周は含むようでした。すいません。

>>276
大数ｵﾀさんは受けてるのですか？
感想は？

ｍ＝１，２，３・・・の順にｍを(２ｍ−１）個並べて出来る数列　
　　　　　　　１，２，２，３，３，３，３，３，４，４，４，４，４，４，４，５
・・・
　　　を｛an｝であらわす、たとえばa1=1、a2=a3=a4=2、a5=a6=a7=a8=a9=3である。
　　　この数列｛an}について次の問いに答えよ。
　　　（１）an=10を満たす最大のnを求めよ。
　　　（２）自然数ｍに対して、an=ｍを満たす最大のｎと最小のｎをそれぞれｍで
表せ。
　　　（３）不等式√n=<an<√n＋１（ｎ＝１，２，３，・・・)が成り立つことを示
せ。
　　　（４）極限値limn→∞ １/n√n　n を求めよ。
Σak
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ｋ＝１　

>>278
漏れ京大志望だから受けてないよ。
友人にテキストを見せてもらったのさ。

>>279
(1)
1|2，2，2|3，3，3，3，3|・・・
数列{a(n)}を第k群に2k-1個の数字が入るように区切ると，
第k群に属する数はすべてkであり，
第k群に属する最後の数は，数列{a(n)}の第{Σ[k=1,k](2i-1)}=k^2項である．
したがって，第k群の最初の数は，数列{a(n)}の第(k-1)^2+1項である．
a(n)=10となるnは第10群に属しているので，(10-1)^2+1≦n≦10^2
これを満たす最大の自然数nは，n=100・・・答

(2)
(1)と同様に考えて，
(m-1)^2+1≦n≦m^2 であるから，最大のnはn=m^2，最小のnはn=m^2-2m+2・・・答

(3)
証明すべき不等式は，√n≦a(n)＜(√n)+1・・・ア である．
a(n)が第m群に属していると，a(n)=m であり，m^2-2m+2≦n≦m^2・・・イ である．
したがって，イを満たす任意の自然数nに対して，√n≦m＜(√n)+1・・・ウ が成立することを
証明すればよい．ウ ⇔ m^2-2m+1＜n≦m^2 であるから，イ→ウ が成立．(∵m^2-2m+1＜m^2-2m+2)
よって，題意は示された．

>>279
mの終わりまでは、Σ_[K=1,m] {2m-1}=m^2 項ある。
(1) m=10として、∴n=100
(2) (1)と同様に,　∴Nmax=m^2 , Nmin=(m-1)^2+1
(3) √n=<an　を示す。an=m についてn=Nmaxで成立すればよい。∴√Nmax=m=an　
　　an<√n＋１　を示す。同様にしてn=Nminで成立すればよい。
(4) 問題の意味がわからん。

円周上に任意にとった3点を結んだとき鋭角三角形になる確率をもとめよ

円周上に任意にとった3点をＡ，Ｂ，Ｃとするとき△ＡＢＣが鋭角三角形となる確立を求めよ

>>284
どっから手をつけていいか全く分からず・・。。
まずはじめに，3点が三角形をなす確率を考えるのかなあ・・。
例えば，円周上に無作為にとった3点のうち，少なくとも2点が一致してしまったら，
三角形をなさないわけだし・・。
で，三角形をなす確率を求めて，そのうちで，鋭角三角形になる確率を考えるというﾊﾟﾀｰﾝ
でしょうか・・。解答になってなくてｽﾝマソン。。。

>>285
仮に，問題文が，「円周上に3点A, B，Cを△ABCをなすようにとるとき」
となっていれば，これは，3点を取る際に，意図的な操作が入っているから，
確率としてはどうなんでしょうか。『同様に確からしい』という
定義に触れそうで恐い・・。(；´Д｀)

π/4
たぶんおかしいであろう俺の論理で答えはこうなった・・・

頂点(1,3）のｙ=ax＾2+bx＋c・・・�@
はy=a(x-1)＾2＋3・・・�A

なんで�@が�Aになるんですか？

nが自然数、kを正の奇数とする。

1^n +2^n+ ・・・+ｎ＾ｋ　　が

1+2+・・・ｎ　で割り切れることを証明せよ。

ちゃんとした解がだせないんです。
なんとか、お願いします。

＞円周上に任意にとった3点をＡ，Ｂ，Ｃとするとき△ＡＢＣが鋭角三角形となる確立を求めよ

これは某数学サイトの問題で
今現役の東大生が中３のとき作った問題だそうです。

1/8より小さい

1/4
検索した（ｹﾞﾗ

eを自然数の底とする
e≦p＜qのとき不等式
log(logq)-log(logp)<(q-p)/eを示せ

↑を誰か一文字固定で解いてくれませんか？
一応といたは解いたけど、平均値の定理でしかやりかたがわかんねえ。

>>293
　ＡＬＬ暗算でスタート！

【解凍？】f(p)＝log(logp)−p/e＋q/e−log(logq)と置く。ｆ’(p)＝1/plogp-1/e＝(1-plogp)/eplogp
　これが０となるのはplogｐ＝１のときで・・・見つからないからαとでも置きますか？めんどくさい！！

　っつーことで平均値の定理が思い浮かべば何の問題もないからこの解法は下手　っつーことで。

>>293 オレは平均値の定理が使えない(T_T)

>>284
異なる３点を取るとして方針を考えてみます。
円周上に等間隔にn個の点を取って考えるのかな。

円周上に等間隔にnこの点を取り、順にA1,A2,A3・・・,Anと呼ぶことにする。
一点A1をあらかじめ選ぶ点として定めて良く、残り２点をA2〜Anの内から選ぶことになる。
選ぶ２点をAi,Aj(i<j)としたとき、A1,Ai,Ajが鋭角三角形となる条件は、円周上でA1A2の長さを１として、
A1Ai≦n/2,AiAj≦n/2,AjA1≦n/2
を満たすことである。
よって、A1Ai=x,AiAj=y,AjA1=zとすると、
x+y+z=nかつ、x≦n/2,y≦n/2,z≦n/2
であるような自然数(x,y,z)の組の個数を求めればよい。

という方針は立てたけど、この後の処理がﾜｶﾗﾝぽ（´Д｀；）
個数の処理苦手なんで、誰か助け船だして下さい。

1/4になった。

>>296
漏れも1/4になりますたヽ(´ー｀)ノ
フツーにやれば出来たし、鬱。

おれも1/4になった

ってか大数をたさんと全く考え方が同じ（わらい

１文字固定でやって答え出せました。
確かに平均値のほうがずっとはやい(*´∀｀*)

わからない問題あって、このスレに書き込もうと勇む。
どう分からないのか、説明しようと文章に書き起こしてみる。



メモ帳に疑問点を打ち込んだら、理解できた。



なんかすごく嬉しかった。

ありがとう。


俺、やっぱり北大に行きたい。行ってやるぞ絶対！

>>302
ゆけ〜。

＞289
を解いてｸﾚｸﾚあげ｡

>>289,>>304
途中から添字が変わってるんだけど・・・
n^1+n^2+・・・+n^k　じゃないのかな？

>>305
コレも東大理類数学やね。
見たことあるよ。

たしか
1^k+2^k+・・・+n^kだったと思う。

このボーリングゲームって完成度高くない？

http://osaka.cool.ne.jp/pestyc/boling/

>266
お答えありがとうございます。
自分は数を一つずつ代入して答え出しましたが。
質問なんですが、
＞3，5は互いに素なので，m-3=5k，n-2=3k(kは整数)とおける．
この部分がよくわかりません。
これは法則か何かなのでしょうか？

対称軸ってなんですか？

>>308
互いに素の意味は分かりますか？
最大公約数が１であるということです。
3(m-3)=5(n-2)
で3と5の最大公約数は1ですね。
ならば、左辺の素因数3は右辺では(n-2)に含まれている事になります。
同様に、右辺の5は(m-3)に含まれていることになります。
コレを数式で表すと、こけ氏の解答のようになります。

>>310
互いに素な自然数a,bがあります。
m,nは自然数で、
am=bn
という等式が成り立っているとします。
左辺のaは右辺でnの「約数」として含まれている筈で、同様に右辺のbは左辺のmの約数になるしか無いのです。

なにが言いたいかっていうと、aとbが互いに素である事が重要で、
素数か素数で無いかは問題ではないってことです。
>>310で無意識に「素因数」と書いてしまいましたが、あまり気にしないでください。

y=(x^2/4) と合同な放物線Cがあり。

Cを領域x≧0,y≧0 内で,x軸,ｙ軸の両方に接するように動かすとき,

Cの焦点Fの軌跡の方程式を求めよ。


グラフとかないと理解できないかもしれないけど、よろしくお願いします。

因数分解とか展開って暗記するもんなんですか？
考えても全然わかりません。どうすればいいんでしょう？

因数と約数って違う意味？

ちがうちがう

因数と約数の違いを教えてクレ

誰か312の解法を教えてください｡
おねがいします｡

どう動かしてるのか分かりません｡
何かの計算ででてくるんですか？

因数も約数も同じでしょ？
>>313
覚えるべき
覚えなくちゃ話にならない

>>318
因数は別に整数で無くても良いけど、約数は整数でなくちゃならないって事じゃないかな？

>>319
約数にも負は入るらしいよ

ああ整数ね、自然数と読み間違えた

負でも整数だよ

２の５０乗は何桁かという問題なのですが
log10,２^50＝15.05を使って
ｎ−１　＜＝　15.05　＜ｎ　まではわかるのですが次の式が
15.05＜＝ｎ＜16.05　となっているのは何故ですか？
計算したら15.05＜ｎ＜＝16.05になってしまうのですが・・

>>312
それの答えってｙ=ｘ√(x-1)/(x-1)
であってる？

>>323
14桁

>>312
y=x^2/4に接する2つの直交する接線を考えると良さそう。
2接線の交点に対して焦点(0,1)がどのような位置にあるか、というのを
接点の片方のx座標をパラメーターとして求める。
その後、2接線をx,y軸とするような座標系での焦点の座標を求める。
あとはパラメーターを消去して終わり。

計算してないからうまく行くかどうかわからないけど。

あげ

不定積分
∫e＾(-ｘ)sinｘdｘ
∫e＾(-ｘ)cosｘdｘ を求めよ。

何だか、条件が激しく少ないと思うのですが、
どうしたらよいのですか?

赤球３個と白玉４個を円形に並べるとき起こりうる場合の数。
おねがい。

あげ

329
をよろしく

>>328
教えてやる
単なる振動関数だ(ﾌﾟ
e＾(-ｘ)sinｘ←ｺﾚをxで微分する�@
-e＾(-ｘ)sinｘ+e＾(-ｘ)cosｘ

e＾(-ｘ)cosｘ←ｺﾚをxで微分する�A
-e＾(-ｘ)cosｘ-e＾(-ｘ)sinｘ
�@’＋�A’＝-2e＾(-ｘ)sinｘ
�@’＋�A’/-2＝e＾(-ｘ)sinｘ
∫�@’＋�A’/-2dx＝∫e＾(-ｘ)sinｘdx
で、ﾓｰ分かっただろ？

>>328
もしくは部分積分法を２回かましてやるという方法もなきにしもあらず。
効率悪いけど、困った時は部分積分法してみるってのは、他にも使える場合がある。

>>332-333さん
丁寧に教えていただき、ありがとうございます。
でも、それだと定積分の場合しか値がでない。のではないのですか?

>>334
積分定数Ｃをはじきだしゃ、関係無いよ。
部分積分法をもう一度復習してみる事をオススメします。

>>329
円卓問題はﾄﾞｰやったかね？
6!/2!3!＝６０くらいか？ｗｗ
忘れちまった
>>334
定積分って言葉を忘れてしまったｗｗ
己が推測するとこ
ｿﾚは、積分範囲が0〜nπなんじゃないのか？ｗｗ

積分範囲が表記されている＝定積分かｗｗ

>>335-337さん
わかりました。
ありがとうございました。

>>328
この手の問題は
e^(ix)=cosx+isinx(iは虚数)
というオイラーの公式を使用すると楽に解けます．
つまり
∫e^(ix)e^(-x)dx=∫(cosx*e^(-x)+isinx*e^(-x))dx
だから，
∫e^(ix)e^(-x)dx
を計算してやって，それの実部と虚部に分ければ
実部が∫e＾(-ｘ)cosｘdｘの答え
虚部が∫e＾(-ｘ)sinｘdｘの答え
という風に一回の計算で二つの答えが出ます．ちなみにこの問題には，微分方程式を
解くのに便利な三角関数のラプラス変換などが背景にあると思われます．

>>339
高校数学のうちは、一種のウラワザで、解答に書いたら×食らわない？
とくにああいう出題の場合．．．

でも、こういう話も面白かったり。

>>339
ﾄﾞｷｭﾝのおなにー(ﾌﾟ

ここってオナニーとかいろんな思いが入り混じったスレだよな
正直>>339も数学オリンピックでるようなやつらには手も足も届かないと思うと
泣けてくるよ

lim[n→∞]（ｎ＋１）＾（１/ｎ）＝１　らしいんですが、証明出来ません。

教えて

まだぁ？

もうしばらくお待ちください。

早くして下さい
僕には時間がないんです

僕にも時間がないんです！

・・・・

まあ、一緒に気長に待ちましょうよ。

>>349
斉藤守さんは大学で数学はなかったの？

取りましたよ。線形代数の初歩の初歩です。

実はこれ大学の問題といってみるテスト

そうなんですか。でもここの優秀なアドバイザーならきっと答えてくださるでしょう！

パッと見高校の知識で解けそうだから挑戦してみました

でも証明って難しいですよね。もう大変ですよ。

まだかよage

赤球３個と白玉４個を円形に並べるとき起こりうる場合の数.


お願いします。

(7-1)!ですか？
紅白分かれてるのでまだ何かしないといけないかもしれません。

>>358
なんとかしてください。

斉藤さんでも呼んで下さい。

斉藤さ-ん

赤球３個と白玉４個を円形に並べるとき起こりうる場合の数

onwgai

まず赤、白を並べるときの怒りうる場合の数は
7!/(3!4!)=35 これをふちどうしをつないで円にしたとき
おなじ並びが７こずつあるから
35/7=5とおりになる
王子じゃなくてごめんね

>>362
おお、ありがとうございます。
この問題は１つ固定してやるってのはできないんですか？

斉藤です

できるよ

>>365
おねがい

赤固定パターン
6!/(2!4!)を3で割る

>>343
今からやるからちょっとまってね

なんで３で割るの？

赤3個あるから

みんながんばれ

あ！だからか。じゃあかぶらない奴を固定していけばいいんだ。

ありがとうございました。

>>372
いえいえ。がんばってください。

数学の勉強法おしえてください

ひとずつ着目してとかなければならないのでしょうか

>>373
なにか答えて！！

答えは自分で見つけるものさ。

斉藤さん
百マス計算何秒で解けますか？

＊マス＝マスタベーションではありません。

>>378
暗記カードでも使って機械的に覚えていくよ

１００マス計算ってなんですか？

(1+n)^1/n>1なので
(1+n)^1/n=1+Anとおく
(An→0 (n→∞）を示せばいい）

1+n=(1+An)^n ここで二項定理をつかうと
=1 + nC1An + nC2An^2 + ・・・+nCnAn^n
⇒(1+An)^n > 1 + n(n-1)An^2/2
⇒1+n>1 + n(n-1)An^2/2
これを変形していくと
0<An<√(2/(n-1))　になる
よってｎ→∞のとき　An→０

適当でごめんｗ

百回マスカキするらしい

>>380

>>380

∞の出てくる問題だとはさみうちを使えば解ける場合があって、
これはその上下ではさむものを,求めたい対象を近似した式の一部を
用いて作るってやつだね

この考え方はたまに使うから覚えておくとｲｲ！

あ、この問題だと近似っつーかｲｺｰﾙか
まぁ同じようなもんだ

>>379
百マス計算はゲームです。
>>380
０〜９までの数字をランダムに１００回掛け算するだけです。
>>382
神業ですね。私はできます。

>>374
根性です

今空間ベクトルしてるですけど立方体ってすべてのへんが等しいんですか？
もうパニックに陥っててわかりません
どうやって座標求めたらいいのかわかりません

全ての辺が等しいって意味不明だ(ﾌﾟ
長さは等しい
ベクトルの大きさも等しい
でも、方向は違うぞ(ﾌﾟ

座標求めるのは基準勝手に決めろ(ﾌﾟ

>>343
これは誰も解いてくんないの？

>>391

>>381さんのは違うんですか？

俺がといたのに・・

x+x^2=12 x^3=k

kの値を求めよ。出来ますか？

>>394
方程式解いて代入すれば良いだけじゃないんですか？
複素数解が出てくるけど．．．

>>394
ｋの値？ｋを場合わけして、解の個数とかそんなんじゃないの？

>>395

それだ！神。

３９６を見て思ったのは
やっぱり
高校の試験でいい点を取るための数学というのが存在するんだなあと思った

>>398
なんか悪いこと言ったか？
別にテクニックとかそんなんじゃなく当たり前のこと言っただけだが？

>>397
それなのかよ！

>>399
おまいにも感謝。

>>399
いや別に悪いことはいってない
まあ当たり前なのかもしれないが

数研の「スタンダード」（傍用）を解いていて、
解答が間違いじゃないか？というのがあったのでお尋ねします。

「数学B」の74番なのですが、問題と略解は以下の通りです。

＜問題＞ａ,bを定数とするとき、
方程式 f(X)=(a+b)(X+a)(X+b)+abX=0 を解け。

＜略解＞a+b≠0 のとき X=-ab/a+b, -a-b
a+b=0, ab≠0 のとき X=0
a=b=0 のときすべての数

略解は与式を因数分解により、{(a+b)X+ab}{X+(a+b)}=0 に
変形して場合分けしているんだなと、やっていることは分かる
のですが、ちょっと見落としがありますよねぇ

なぜなら、X=-a とおくと、f(-a)=-a^2･b=0
つまり、aがどんな値でも常に ab=0 が成り立つはず。
これを踏まえて因数分解すると、

　与式は X(a+b){X+(a+b)}=0 となります。

ゆえに、
＜正解＞は a+b=0 のとき Xはすべての数
　　　　　 a+b≠0 のとき X=0,-a-b

となると思うのですが、いかがでしょうか？

X=-aのときにf(X)=0が成り立つとはどこにも書いてないので
>X=-a とおくと、f(-a)=-a^2･b=0
とはできない。f(X)=0が成り立つXを求めよというのが、そもそもの問題。

青チャートAＰ９１例題６２の
「正の数ｘ、ｙに対して、√ｘ＋√ｙ≦a√（ｘ＋ｙ）
が成り立つような正の数aのうちで最小なものを求めよ。」
という問題のやり方がいまいち納得いきません。
予想してうんぬん、といって予想した数を証明しても
それ以外の数もあるかもしれないわけだし、
下のNOTEのところの感覚でやるみたいなので、
正確な解がでるなんて説得力に欠けるし・・・。
助けてください

直感
２乗して、x+y=X,xy=Yとでも置くのかね？ｗｗ

>>404
両辺2乗して相加相乗平均じゃダメなの？

ってか、己の直感正解だろ？ｗｗ

>>402
(a+b)(x+a)(x+b)+abx=0 ⇔ (a+b)x^2+{(a+b)^2+ab}x+ab(a+b)=0
　　　　　　　　　　　　　⇔ (x+a+b){(a+b)x+ab}=0
　　　　　　　　　　　　　⇔ x=-(a+b) または (a+b)x+ab=0・・・[1]

方程式[1]については，次のように場合わけされる．

(1) 「a+b=0 かつ -ab=0」 ⇔ (a，b)=(0，0)のとき
　　[1] ⇔ 0*x=0 となるので，xは任意の実数をとる．
　　よって，f(x)=0の解は任意の実数．

(2) 「a+b=0 かつ -ab≠0」 ⇔ 「a+b=0 かつ a≠0」のとき
　　[1] ⇔ 0*x=-ab(≠0) となるので，[1]を満たす実数xは存在しない．
　　したがって，f(x)=0の解は，x=-(a+b)=0となる．

(3) a+b≠0 のとき
　　[1] ⇔ x=-ab/(a+b) となるので，
　　f(x)=0の解は，x=-(a+b)，-ab/(a+b) となる．
∴
a=b=0 のとき，解は任意の実数．
a+b=0 かつ a≠0 のとき，x=0．
a+b≠0 のとき，x=-(a+b)，-ab/(a+b)・・・答

>>404
相加相乗平均を用いるのが普通だと思います。
でも、上に凸な関数の図形的考察でも出来るかも。

f(x)=√xなる関数f(x)について考える。
この関数は上に凸であるので、0<x≦yなる２数x,yについて、
f(x/2+y/2)≧{f(x)+F(y)}/2
が成立する。（これはグラフより自明）
x=yの時等号が成立するので、この式と問題の式を比較して
a=√2

こんな解法をする必要があるんか？と思うかもしれないけど、問題によっては、左辺ー右辺より簡単になることもあるので、一応紹介してみました。

やっぱ√２だったか
（２−√３）／２と悩んだ

>>402
結論からいうと，数研の解答は正しいです．
402さんは，
a+b=0 のとき Xはすべての数
a+b≠0 のとき X=0,-a-b

という答を得ましたが，これが間違いなことは簡単にわかります。
たとえば，a=1，b=-1のときを考えれば，
f(x)=0 ⇔ x=0　となり，x=0しか解に持たないからです。
任意の実数が解になるのは，a=b=0のときだけに限られます。

なお，「a+b=0かつ-ab≠0」⇔「a+b=0かつa≠0」
なので，>>408の解答のように答えてもOKです。

結構初歩的な質問ッスけど
p/qが有理数の時
pとqが互いに素な整数になるのはなぜですか?

ｦﾏｴﾗ数学出きるんですね
己なんてﾓｰ忘れっちゃったよ

何とか２乗してから平方完成でできました。
でも、このやり方だとそのうち限界でてきますよねぇ。
このチャートのやり方ってのは、
どうゆうやりかたなんでしょうか？
x=1,y=1を代入して云々というやつ、
こんな当てずっぽうぽいのでなんでいいのか
私に説明してくださいませ。
>>406>>409
相加相乗でどうやってやるんですか？うまくできませぬ
>>409
それすごい楽かも。イイですね

>>412
互いに素でない場合、約分されるからです。
有理数出ない場合は、そもそも分数で表せません。
表せないから、無理数という数が考え出されたわけです。

>>414
（左辺）^2-（右辺）^2
=(a^2 -1)(x+y) -2√(xy)
≧2(a^2 -2)√(xy)　　（∵相加相乗平均よりx=yで等号が成立する）
よって題意が成立する為には、a^2-2≧0が必要十分である。
答え：a=√2

これは定石ですね。

403さん、こけこっこさん、ありがとうございました。

言われてみれば、f(-a)=0 として話を進めるのは、おかし
かったですね。お騒がせしますたｗ

判別式と相加相乗平均は解と係数の関係でつながってるけど
3次式にはあてはまるのかわかんないよー
おせーてよ　だれか

判別式と相加相乗平均は解と係数の関係でつながってる
これはっけんしたおれって天才かも

もっと初歩的ッスけど
有理数は小数で表せて無理数は表せない数と考えていいんですか?
それと素って１とその数自身だけが約数の数ですよね？

素数は一以外の約数を持たない数で
2以上のもの

有理数は小数で表せて無理数は表せない数と考えてい

>>414
もう一つ別解思いつきました。
例によって平方して差を取った後．．．

(a^2 -1)(x+y) -2√(xy)≧0
⇔(a^2-1)(x/y +1) -2√(x/y)≧0　（∵√y≧0）
ここで√(x/y) =tと置くと
(a^2 -1)(t^2 +1) -2t≧0が全ての正数tについて成り立つようなaの範囲を考えればよい。
以下、a^2-1の正負で場合分け。

この解法は、与式の文字に対称性が無い場合にも使えるというメリットが有ります。
以前どこかの大学でそんな問題が出題されていた記憶が．．．

代入して得た必要条件から十分条件に戻る解答は、減点では済まないような気もします。私としてはオススメしません。

>>420
キッチリ言うと、無理数は循環小数で表せない無限小数です。

相加相乗平均から
3次式が3つの正の実数解を持つ条件はつくれますが
2次式のように二乗してないので
正負が分かれてしまい一般化できません
どうしましょうか

おまえら、数式はTeXのソースで書いたほうが(俺には)判りやすいんですけど・・・

>>419
どういう意味かおせーて。

>>422
じゃ、このやり方無視していいんですね！
チャートの馬鹿・・・
ありがとうございました。

二次式の場合
相加相乗平均が
二乗されると正負の区別がなくなってしまうので実数解条件として
一般化できるんですが
ためしに三次式でその極値の積＜0からジッカイ条件を出してみても
相加相乗平均との関連が見えてこない　この数式は必要条件で
あることは確かなんだけど　ねー　わかんねーーーーーーよっ

ax^2++bx+c=0 b^2-4ac>0 ⇔　(b/a)^2-4c/a>0
解をαβとすると解と係数の関係から
(α+β)^2-4αβ>0 α.β>0のとき　α+β>2√αβ
これが
ax^3+bx^2+cx+d=0においてどういう意味をもつのだろうか
ということですよ

α.β>0のとき　α+β>2√αβ →　b^2-4ac>0　と一般化できますよね
そうすると
αβδ>0のとき　α+β+δ>3(3~√αβδ)　→ (-b/a)^3>27(-d/a)
a^4>0より　a*b^3-(27a^3*d)<0 としてこれは
三次式が3つの正数をもつ実数解条件ですよね

一方でax^3+bx^2+cx+d=0の実数解条件は
この極値f(α)f(β)<0 から判別式を求めることができます。

この式を計算すると長くなるんだけど
とにかく
このようにして導き出される判別式とa*b^3-(27a^3*d)<0
が2次式のように相関関係を持っているか調べたいのです
a*b^3-(27a^3*d)<0 がなりたつとき
f(α)f(β)<0 から導き出される判別式がなりたつことを
証明したいんです
これは難問です
f(α)f(β)<0 から導き出される判別式
は長いけどきれいな数式が出てきます
前に計算した紙すてたからちょっと今はかけないけど

逃げた？

>>433
風呂いってますた。
激しく眠たいので、明日読みます。
有り難うございますた。

>>434
明日じゃなくて、今日か。

>>432

『2次方程式：ax^2+bx+c=0 (a≠0)が実数解：x=α，βを持つ．』⇔『a≠0 かつ b^2-4ac≧0』・・・ア

『α，βはともに実数である．』⇔『α^2≧0かつβ^2≧0』
　　　　　　　　　　　　　　　⇔『α^2+β^2≧0 かつ (αβ)^2≧0』
　　　　　　　　　　　　　　　⇔『(α+β)^2≧2αβ』・・・イ

アとイは同じことを言ってるだけだと思いますが・・。
相加相乗平均というよりも，実数条件を言い換えただけだと思います。

相加相乗平均は，実数条件そのものをいいかえた式だと思います。

『x=実数』⇔『x^2≧0』

2つの実数α，βがあり，x=α+βとすれば，
『x=実数』⇔『(α+β)^2≧0』⇔『(α+β)^2≧2αβ』・・・★

もし，α，βがともに正数であるから，
★の式より，α+β≧2√(αβ)　を得る．

>>437
訂正；；
『x=実数』⇔『x^2≧0』

2つの実数α，βがあり，x=α-βとすれば，
『x=実数』⇔『(α-β)^2≧0』⇔『α^2+β^2≧2αβ』・・・★

もし，α，βがともに正数であるならば，
α^2=A，β^2=B(A＞0，B＞0)であり，α=√A，β=√B
であるから，★の式より，A+B≧2√(AB)　を得る．

ちょっと聞きたいのだが、センター入試の時ってテストはじまる前にマーク用紙に名前と受験番号書いていいの？

loga｛loga（logaX）｝＞０
の証明の仕方がわかりません。どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

実数x、yは x^2+xy+y^2≦3を満たしているときxy-2x-2yの取る値の範囲を求めよ
と言う問題の答えは=（イコール）入りますか?

>>441
入るでしょ。
多分、xy-2x-2y≦5となるはず。
勘だから絞り込みが不足してるかもしれないけど。

あ、それ俺も知りたい。＞439

>>440
loga｛loga（logaX）｝＞０

(1) 0＜a＜1 のとき
0＜loga(logaX)＜1 ⇔ a＜logaX＜1 ⇔ a＜X＜a^a

(2) 1＜a のとき
loga(logaX)＞1 ⇔ logaX＞a ⇔ X＞a^a

∴
0＜a＜1 のとき，a＜X＜a^a
1＜a のとき，X＞a^a
・・・答

>>439
　試験監督の人が、試験始まる前に「受験科目に、マークをしてください。名前の欄に、名前を記入してください。・・・」
　って５分くらいかけて言うよ。

　名前長い人が不利になるからかな。安西常陸ノ介柿右衛門とか可哀相だもんね。

(1)曲線y=1−cosｘ (−π≦ｘ≦π)と直線y=1とで囲まれた図形をy軸まわりに回転
してできる回転体の体積を求めよ。
(2)点(π/2.1)を通る曲線y=aｘ＾2＋b(a<0)と
直線y=1とで囲む図形をy軸回転してできる回転体体積が、↑で求めたものと等しくなる様に
a.bを求めよ

よろしくおねがいします。

ってか、また直感だが
∪って感じになっているとこ、回すだけなんだろ？
何が難しいんだ？

数学を20日で極めたい。
しばらく勉強してなかったら、ほとんど忘れてしまっていた。

あなた方の数学の勉強方法を教えてくだされ。

問題を解く

チェビシェフの多項式って使いますか？
国立医学部志望です。

稀に使える問題が出ます。
使わないと解けない問題は出ません。
シュワルツはそれなりに使う場面があると思います。

＞４５２
そうですか、ありがとう。
あと、ラグランジェはどーすか？じっさい本番や模試でたことありますかね？

３人の人が次の方法でジャンケンをして、一人の勝者を決める
各人は一枚ずつにそれぞれグー、チョキ、パーのかかれた３枚のカードを箱に入れて持ち、
箱の中から無造作に一枚取り出して、そのカードによってジャンケンをする
引き分けのときはそのカードを箱に戻してやり直す。
一人だけ負けたときはあとの二人でグーとパーとのカードのみを用いて同様にジャンケンする。
（問）ｎ回目までに勝者が決まらないときｎ＋１回目に勝者が決まる確率を求めよ

すいません誰か教えてください。どうやって答えを導いたみたいのも…

>>446
　ばーむくーへん分割できないのかな。言葉じゃ説明しづらいからモノの本でも読んでけれ。
>>451
　背景を言い出せば切りが無いと思うけれど、実際そんなもん知らなくても解けるﾊｽﾞだし、
　逆に使って解いたら減点なんてことも無いとは言い切れないのでわ。もっと素直に受験生やってりゃ良いと思うんだけど。

こけこっこさんどうもありがとう！

>>446
(1)
曲線 y=1-cosx はy軸に関して対称である。
題意の体積Ｖは領域D={(x,y)|= x≧0,y≦1,y≧1-cosx}をy軸のまわりに
回転させて得られる立体の体積に等しい。

dy/dx = sinx より
V=π∫[0,1](x^2)dy = π∫[0,π/2](x^2)(dy/dx)dx
=π∫[0,π/2](x^2)sinx dx

(x^2)sinx = {2xsinx + 2cosx - (x^2)cosx}’ であるから

V= [2xsinx + 2cosx - (x^2)cosx](x=0,π/2)
= π^2 - 2π

(2)
y = ax^2 + b (a<0)
題意から b>1は明らか　（グラフで考えてね）

この曲線は(π/2,1)を通るので
a*π^2/4 + b =1

体積について
V1= π∫[1,b](x^2)dy = π∫[π/2,0](x^2)(dy/dx)dx
= π∫[π/2,0](x^2)(2ax)dx = 2πa∫[π/2,0](x^3)dx
= πa/2 * [x^4](x=π/2,0)
= -(π^5)*a/32

V1が(1)のVに等しいとき
a = -32(π-2)/(π^4) 　（←　たしかに負）
これと a*π^2/4 + b =1 より
b = 1+ (8π-16)/(π^2)　（←　たしかに１より大きい）

ちょっと質問。
二次関数と直線の積分公式は、(1/6)(β−α)＾3
だよね?
二次関数と二次関数。及び二次関数と三次関数。
又、三次関数と三次関数は
(1/12)(β−α)＾4でいいの?

京都大学、入試の軌跡（過去10年分の数学の過去問）ｹﾞﾄｰ

>>458
どうだったっけな…もちろん|a|はいるけど…
その４次の式に当てはまるのは、他に
三次関数その接線の囲む面積、三次関数とその2接線が交わるときその囲む面積

５次の式は四次関数とその接線の囲む面積とか…

おおっとここは高2ｽﾚでなかった・・・失礼！

>>454
n回目のジャンケンの後に２人残ってる場合と３人残ってる場合と分けて考えてみ。
分けなくてもいいような気もするが。
ちなみに答えは1/3？

>>462
あ、ごめん２人の時云々って文読んでなかった。
そしたら1/3と1/4を足せばいいのかな？

>>441
等号は入ります。一応，解答書いときますた。

x+y=a，xy=b とおくと，実数条件より，a^2-4b≧0・・・ア
(x+y)^2-xy≦3 ⇔ a^2-b≦3・・・イ
このとき，k=a-2b とおく．
ア，イを同時に満たす(a，b)の領域と，直線L：b=(a-k)/2 が共有点を持つようなkの
範囲を求める．直線Lは傾きが1/2である直線であり，
直線Lが(-2，1)を通るとき，k=-4．
また，直線Lが，放物線：b=a^2-3 と接するとき，2a^2-a+k-6=0 が重解を持つので，
1-8(k-6)=0 ⇔ k=49/8
したがって，-4≦xy-2x-2y≦49/8・・・答

>>448
まあ，たしかにそうだけど・・(；´Д｀)
計算が少し複雑なんだと思う。

>>461
(*´д｀*)

>>457さん
丁寧に教えていただき、ありがとうございます。

y=e^x＋e^(−x)上に点P(α、β)をとる。ただし、a>0とする。
(1)Pにおける接線の方程式?
(2)Pでの接線とｘ軸との交点をQとして、PQの長さをβを用いて表す。
↑
(1)は、y=(e^α-e^(−α))(ｘ-α)＋βとなり、
これとｘ軸との交点、ｘ=｛-β+α(e^α+e^(−α))｝/e^α-e^(−α)と
なりました。
(2)は普通に2点間距離を求めるしかないでしょうか?

>>467
普通に求めるしか無いでしょうね。
ただ、コツとしては、β=e^α +e^(-α)
であることから、Pの傾きを、初めからβ'などと表記してやると、後で楽かも知れません。

f(x) ={e^x＋e^(−x)}/2としたとき、y=f(x)のグラフをカテナリーと言います。
カテナリーに関する問題ではf,f'をxで表現せずに、{f(x)}^2 -{f'(x)}^2 =1とf''(x)=f(x)という関係を駆使して、そのまま計算を進めていくのがポイントになります。

この問題は、カテナリーもどきなので、その筋が有効になってきます。

∫(範囲0〜x)f(t)(x-t)dtをxについて微分すると
∫(範囲0〜x)dt+xf(x)-xf(x)になるそうなんですが
どうしてこうなるのかさっぱりです。
助けてｴﾛい人！

>>469
数�Uの教科書にインテグラルが入った式の微分の公式あるでしょ？
それと数�Vの積の微分が合わさったやつですな。
最近スレのレベルがアップして答えられない問題が多いのぅ。
時期が時期だからみなさまレベルアップしてんのかね。

∫(0〜x)f(t)(x-t)dt
=[F(t)(x-t)](0〜x)+∫(0〜x)F(t)dt　　（←部分積分）
=-F(0)+∫(0〜x)F(t)dt
これをxで微分すると右半分だけ残って、F(x)だけにならない？
どっか計算ミスってるかな？

センターで満点取るにはどうしたらいいですか？

>>472
ベーシックを選択する。

>>470
ありがとうござます！
ちょい調べてみます
>>471
はい。最終的に∫(範囲0〜x)dtだけ残るみたいです。
ありがとうございます！

>>471
3行目。
[F(t)(x-t)]=-F(0)*x
だよ。

>>474
ん？
その表記だと、
∫(範囲0〜x)dt　→　∫(範囲0〜x)f(t)dt　(定数項は消えるかな？)
がF(x)を表すと思う。

揚げ足取るみたいだけど、
∫(範囲0〜x)dtだと、
f(x)=1　っていう常に定数な関数を積分してることになって、
∫(範囲0〜x)dt = ∫(範囲0〜x)(1)dt =[t](範囲0〜x) = x^2
になっちゃうかな。

∫(0〜∞)(SinX)/X･dx　はどうなりますか？　

>>475
あ、そうだね。ごめん。

>>477
勘だけど、発散しないか？

ごめん全く発散しなかった。

自然数Nのすべての正の約数の和は６０であるという。このようなNは〜〜個あり、それらのうちで２と３のみの積で表せるものは〜〜個である。
二つの〜〜に入る数字を求めよ。

tをパラメーターとする曲線ｃ{x=t-sinx y=1-cost (0≦t≦2π）上に動点P
をとり、Pにおける法線上に点Qを次の(ア).(イ)を満たすようにとる。

(ア)PQ=１ (イ)Qのy座標はPのy座標以上である
ただし、Pが(0,0).(2π,0)のときはx軸を法線と考える。
このとき、線分PQの通貨する領域の面積を求めてください(-公-)
お願いします。
全然検討がつきません(;´Д`A ```

一つ目は24,38,59の３つ
二つ目は24の１つ

かな？
取りあえず60=2^2*3*5を約数の和を、素数の累乗の和の積で表すのと組み合わせてみた。

∫(0〜∞)(SinX)/X･dx　はどうなるの？
このスレで誰もわからないの？　

なんだ、バカばっかだなこのスレ

>>484
ってかそれ出展何ですか？
高校のレベルで解けます？

>>484
(1/2)π？

π/2になります。 範囲外かと。

解けなくて焦ったよぉ．．．

>>487
>>488
やっぱ検索した？
なんか大学っぽい展開してから積分行ってて焦った。

>>490
検索したら出てくるの？

>>491
π/2と言う数字は出てきたかナ

487が正解　なかなかやるね
では　∫(0〜∞)e^(x^2)･dx　はどうだい　指数のX２乗

>>493
∞

>>493
（−ｘ＾２）じゃなくて？重積分させたいのか？

どっちにしても√π/2かな？

>>484,>>493
公式集でも見ながら出してんの？楽しい？

>>482
点Ｐ、点Ｑの描く曲線をそれぞれＣ１,Ｃ２とする。
Ｃ１において
dx/dt＝1-cost dy/dt＝sint であるから dy/dx＝sint/(1-cost) ( 0<t<2π)

よってＣ１の点Ｐにおける法線の法線ベクトルの１つを
n↑＝(-sint,1-cost) と表せる
ＯＱ↑＝ＯＰ↑ + kn↑（kは実数）とおくとき
条件（ア）よりＰＱ↑の大きさが１であるから、kn↑の大きさも１である
よって　k^2*{(-sint)^2 + (1-cost)^2}＝1
k＝±1/√(2-2cost)＝±1/{2sin(t/2)}　　 (∵0≦a≦2πより√{sin(t/2)}^2=sin(t/2) ）
条件（イ）を鑑みてkは正であるので　　k＝1/2sin(t/2)

ＯＰ↑＝(a-sina,1-cosa) (0≦a≦2π)であるとき　倍角の公式を用いて
(点Ｑのx成分)＝a-sina-ksina＝a-sina-sina/{2sin(t/2)}＝a-sina-cos(a/2)
同様に
(点Ｑのy成分)＝1-cosa+k(1-cosa)＝a-sina+sin(a/2)
曲線Ｃ２においてx＝t-sint-cos(t/2), y＝1-cost+sin(t/2),　dx/dt＝1-cost+(1/2)*sin(t/2)

Ｃ１とＸ軸とで囲まれる部分の面積をＳ１、Ｃ２とＸ軸とで囲まれる部分の面積をＳ２とすると
求める面積はＳ＝Ｓ２-Ｓ１
Ｓ１＝∫[0,2π]ydx＝∫[0,2π]y(dx/dt)dt＝∫[0,2π](1-cost)(1-cost)dt＝∫[0,2π](1-cost)^2dt
Ｓ２＝∫[-1,1+2π]ydx＝∫[0,2π]y(dx/dt)dt＝∫[0,2π]{1-cost+sin(t/2)}{1-cost+(1/2)*sin(t/2)}dt

{1-cost+sin(t/2)}{1-cost+(1/2)*sin(t/2)}＝(1-cost)^2+(3/2)*sin(t/2)*(1-cost)+(1/2)*{sin(t/2)}^2
＝(1-cost)^2+3*{sin(t/2)}^3+(1/4)*(1-cost)＝(1-cost)^2+{sin(3t/2)+4}+(1/4)*(1-cost)

Ｓ＝Ｓ２-Ｓ１＝∫[0,2π][ {sin(3t/2)+4}+(1/4)*(1-cost) ]dt
＝[-(2/3)*cos(3t/2)+4t+t/4-sint/4](x=0〜2π)
＝17π/2+1/3

後半の積分の計算は適当なので許して。

最初の目標はとりあえず点Ｑの描く曲線をパラメーター表示することね。
２倍角、３倍角、面倒〜。

５００

×よってＣ１の点Ｐにおける法線の法線ベクトルの１つを
○よってＣ１の点Ｐにおける法線の方向ベクトルの１つを

数学科スレ落ちてる・・・

センターまであと２週間・・・。
数列の知識ほとんどないんだけど今からやって間に合うかな？
無理なら数Iに切り替える手もある。。。
ちなみに俺は数学苦手（偏差値不明、今日の模試で５５点くらい）
なんだけど、そのことを前提に誰か答えてくれい

>>503
間に合うかな？じゃなくてやれ！

センターは数学以外はどうなんだ？
苦手なのを潰していく方が、効率的だよ

ヨゼミセンタープレの、数学�UＢの微積の最後の問題

y≧x^2
y≧-x^2+2x+4
y≦x+17/4 を満たす面積

を求めるのに三分の一、六分の一、十二分の一公式だけで解くの無理かな？

>>505
やろうと思えば出来るかも知れないけど、無駄が多いと思った。
地道に手計算でやった方が確実かもしれない・・・

ｺﾞﾒｻｲ。やってみたら普通にできますた。

って、計算ミスってどうしようもないことやってたよ漏れ。
積分計算弱いわ。練習しよ．．．

不等式ｘ＾2+y＾2≦(1-z)＾2、0≦z≦1で表される円錐がある。
この円錐を平面y+z=(1/2)で切った時、この平面より上側の体積を求めてください。
よろしくおねがいします。

∫1/(1+tanx)dx　と　∫1/(sinx-cosx)dx　の計算をよろしくおねがいします。

>>510
初めのは、tanx=tと置いたら、与式＝∫dt/(1+t)(1+t^2)=…

次のは、分母分子cosで割ってtanx=tと置けば良いんじゃないかな？

今から計算してみる…

数列の問題で(1)で
An=1/n(n+1)(n+2) (n≧2)
A1=2/3 (n=1)
と出てて、(2)でA1+A2+A3+・・・+An求めるときは
1/1*2*3+1/2*3*4+・・・+1/n(n+1)(n+2)
とするのかA1は(1)で求めたように
2/3+1/2*3*4+・・・+1/n(n+1)(n+2)
とするのかどちらなのでしょうか？
初めての質問なので書き方が下手かも知れませんがよろしくおねがいします。

ありゃ…方針ミスか？

とりあえず、
∫1/(1+tanx)dx=(1/2)*log(cosx+sinx)^2+x/2　？？？

間違った係数は4分のか

∫1/(1+tanx)dx=∫dt/(1+t)(1+t^2)

=(1/2){∫dt/(1+t) - ∫tdt/(t^2+1) +∫dt/(t^2+1)}

=(1/2){log|1+t|-(1/2)log(t^2+1)+arctant}

=(1/4)log{(1+t)^2/(t^2+1)}+(1/2)arctant

=(1/4)*log(cosx+sinx)^2+x/2

できた！

tanはcos,sinになおしてlog分母と直感
sin-cosもsinなりcos掛けて、log分母と直感

違っていたらｽﾏﾝ

>>513
良く分からんよ
(1)だの（2）だのが、ｽﾏﾝ

小問かっこ１とかっこ２ということです。
すみません。

しかく２番の
かっこ１とかっこ２ということです・・・。

>>510
∫dx/(sinx-cosx) = x/(sinx-cosx)
かな？

てか、もう質問者いないし…

間違った…逝って来る

違った
(s+c)を掛けるって直感!!
違ったらｽﾏﾝ

S+C/S^2-C^2ならlog分母だな
直感炸裂!!ｗｗ

違うかｗ

>>524
ﾜﾗﾀｗ
二人で何してんだｗ

>>509
なんとか解けた．．．結構ムズイよコレ。
円錐の斜めの断面が放物線になることを使わないと、とても計算してられない。

【略解】
題意の円錐をy+z=tという平面πtで切断する。
このとき、平面πtと円錐面の共有点は放物線をなす。
平面πt上の直線y=tで、円錐の底面内部にある部分の長さを2a、
放物線の軸で、円錐内部にある部分の長さをbとすると、
この放物線は、
y=-(b/a^2)(x^2 -a^2)
と合同である。
よって平面πtの円錐に含まれる部分の面積をS(t)とすると、
S(t)=2∫[0〜a]-(b/a^2)(x^2 -a^2) dx=・・・=(4ab)/3
tを微少量Δtだけ増加させたときに挟まれる円錐の微小部分は、
底面積がS(t)、高さが(1/√2)Δtと見なせるので、
求める部分の体積は、
∫[1/2〜1]{S(t)/√2}dt
=・・・・＝1/3 +π/9

最後の計算は滅茶苦茶自信なしです。

>>513
数列Anの定義に従いましょう。
初項が別に与えられているなら、その値を採用します。

>>526
これって円錐なの？

またしても間違った…円柱とごちゃに…逝って来ます

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>>509
x^2+y^2≦(1-z)^2・・・ア
0≦z≦1・・・イ
y+z≧1/2・・・ウ
ア∩イ∩ウ を満たす(x，y，z)で作られる立体図形をSとする．

y+z=t (1/2≦t＜1) で切ったSの断面積をf(t)とすると，f(t)は
x^2+(t-z)^2≦(1-z)^2 ∩ 0≦z≦1 ⇔ z≦-{1/(2-2t)}x^2+(1+t)/2 ∩ 0≦z≦1
で定まる(x，z)の領域の面積である．(∵1/2≦t＜1)
(t+1)/2＜1 であるから，
f(t)=2*∫[0,√(1-t^2)]〔-{1/(2-2t)}x^2+(1+t)/2〕dx
　　=(2/3)*(1+t)*√(1-t^2)

よって，求める体積をVとすると，
V=∫[1/2,1]f(t)dt
=(2/3)∫[π/6,π/2](1+sinθ)*cos^2θdθ　(t=sinθと置換)

∫[π/6,π/2]cos^2θdθ=(1/2)∫[π/6,π/2]{1+cos(2θ)}dθ=π/6-(√3)/8
∫[π/6,π/2](cos^2θ)*sinθdθ=∫[0,(√3)/2]t^2dt=(√3)/8 (cosθ=tと置換)
であるから，
V=π/9・・・答

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>>526
その方法のほうがいいですね(；´Д｀)
どっちにしてもV=π/9　になりますた。
にしても，どうしてそんな簡略化できる方法を思いつくんだろう・・。
いつもこういう問題の解答をカキコすると，(茶の解法で解くと，)計算厨と言われるんだもん(´；ω；`)

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保守あげしときます。

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>>535

＞x^2+(t-z)^2≦(1-z)^2 ∩ 0≦z≦1 ⇔ z≦-{1/(2-2t)}x^2+(1+t)/2 ∩ 0≦z≦1

ここでyを消去しているから
断面をxz平面に正射影して得られる図形の面積g(t)であり
平面y+z=t とxz平面（y=0)との成す角をφとすると
g(t)=f(t)cosφ になるのでは。φ＝π/4　だけど。


＞f(t)=2*∫[0,√(1-t^2)]〔-{1/(2-2t)}x^2+(1+t)/2〕dx
＞　　=(2/3)*(1+t)*√(1-t^2)

これはf(t)ではなくg(t)ぽい気がしますが。

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>>510

＞∫1/(sinx-cosx)dx

tan(x/2)=tと置換しませう。

答えは(1/√2)*log|{tan(x/2)-α}/{tan(x/2)-β}|+(積分定数)
α=-1+√2,β=-1-√2

>>538
x^2+y^2=(1-z)^とy+z=tからzを消去した式の表すグラフが、平面πtと円錐面の共有点のxy平面に射影したグラフとなることを用いた方が、無難かもしんない。

面倒くさがりなんで、省略出来るところは省略したいんだよね。

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>>504
別に数Iにしてもそんなに困らないんだけど、
参考までに聞いておきたかった。

１週間で数列終わらせる事は可能？

>>560
等差、等比、シグマに絞って勉強する。
数列の問題が難しい年は、問題の最初から難しいので、
どうするかは試験場で決める。

>>550
すっかり忘れていた・・。
f(t)={(2√2)/3})*(1+t)*√(1-t^2)
で，V={(√2)/9}πという罠。。訂正しときます。

>>556
やっぱり，
z消しが1番いいのかも。

遅ﾚｽすいません。
511さんありがとうございました。
555さんありがとうございました。
＞∫1/(sinx-cosx)dx
tan(x/2)=tと置換しませう。

置換したんですが、たどり着けませんでした。
途中経過をおしえていただけませんか？

tan(x/2)=tとするとき、1+{tan(x/2)}^2=1/{cos(x/2)}^2などから
cos(x/2)=1/√(1+t^2),sin(x/2)=t/√(1+t^2)と表せて←こういうときは大抵符号を正にとると割り切って

sinx=2sin(x/2)cos(x/2)=2t/(1+t^2) ,cosx=2*{cos(x/2)}^2-1=(1-t^2)/(1+t^2)
dx=2(1+t^2)*dt

∫1/(sinx-cosx)dx=2∫{1/(t^2+2t-1)}dt
ここで、t^2+2t-1=0の2解をα=-1+√2,β=-1-√2とすると
1/(t^2+2t-1)={1/(α-β)}*{1/(t-α)-1/(t-β)}

∫1/(sinx-cosx)dx={2/(α-β)}*∫{1/(t-α)-1/(t-β)}dt=(1/√2){log|t-α|-log|t-β|}+C(積分定数)
で、最後にxで表す

4行目
dx=2(1+t^2)*dt
じゃなかった

dx/dt=2/(1+t^2)
です

510は分母をサインなりコサインなりで合成すれば
タンジェントの置き換えを使わなくても簡単にできるのでは？

∫1/(sinx-cosx)dx=∫(1/{√2sin(x-π/4)}dxですか

>>564
tan(x/2)=tとおく方法のほかに，合成で解く方法もあります。

∫1/(sinx-cosx)dx=(1/√2)*∫1/sin(x-π/4)dx
x-π/4=tとおくと，
与式=(1/√2)*∫(1/sint)dt=(√2)*∫{sint/(1-cos^2t)}dt
cost=uとおいて，
与式=(1/√2)*∫{-1/(1-u^2)}du
　　=-{(√2)/4}*log|(u-1)/(u+1)|+C
　　=-{(√2)/4}*log|{cos(x-π/4)-1}/{cos(x-π/4)+1}|+C・・・答

うん。∫dθ/sinθ　はできるでしょ？
じゃあ問題なし

＜
＜ 　　　　おもしれーＹＯぉぉぉぉ！！ バぁぁぁ！！ヴァァァ！！！
＜
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　　　　 　　ヽｰ─¬ｰ〜ｰ―――　:::::::::::::

565さんありがとうございました。
おかげで解くことができました。

510の最初の問題∫1/(1+tanx)dx　の解法をおしえていただいたのですが、
見たときは「なるほど！」と納得してしまったのですが、
改めてやってみるとtanx=tの置き方を知りませんでした（汗
そしてtanxの逆関数もまだ習ってなくよくわかりませんでした（汗汗
高校知識でもう一度お願いしたいのですが。

>>572
arctanってならわなかったっけ…ごめん。

>>573
すいませんまだ習ってないです。

ま、無視してくれていいけど参考に

y=arctanxとすると、
(d/dx)arctanx=1/(dx/dy)
　　　　　　　　　=1/(dtany/dy)
　　　　　　　　　=cos^2(y)
　　　　　　　　　=1/(1+tan^2(y))
　　　　　　　　　=1/(1+x^2)

ａx−ａy＝(ｘ−ｙ)ｄ
数列の公式みたいなんですけど、これは何？？
みんな教えてくれない…誰か…

>>576
ａx−ａy＝(ｘ−ｙ)aじゃなくて？ｗ
大数ｦﾀが来るまで待ちましょう。

>>576
等差数列じゃない？{An}のn=x,y よね？axとayってのは。

とーさ数列でしょ？
ａx＝ａ+(ｘ−1)ｄ　ａｙ＝ａ+(ｙ−1)ｄ　だから
ａx−ａy＝(ｘ−ｙ)ｄ　なのでは

今日はかぶりまくりだ。うちゅ。

>>577
待つなコラ。

f(x)=(ax+b)^2 (a≠0,0≦x≦1)の最大値をM(a,b)とする。このとき、
M(a,b)≦m∫[0〜１]f(x)dxが任意の実数a.bに対して成立するような
実数mの最小値を求めてください(-公-)

>>582
　実は背景が。
　大数ｵﾀが来るまで待ちましょう。

>>583
待つなコラ。

眠いんで、背景考えないで寝ます。
後ヨロシクお願い。

少し考えてみたんですが・・・・・
どう考えても場合分けめちゃ多くないですか・・・・・？ｗ

できたー。けど、流れ的に大数ｵﾀに背景を説明してもらいながら
解説してもらうのがいいんだろうなw

漏れは背景知らんので計算でゴリゴリとやりましたが。

この手の問題は数こなさなければ出来ないですか？ｗ

ル・ジャンドル関数とかバームクーヘン積分とか外積とか
平面の式とかmodとかって記述の問題で使っていいの？
ロピタルとかパップス・ギュルタンはタブーみたいけどさー

黄色チャートが最高だって

この手の問題ってなんすか？
いわゆる典型問題ではない問題っすか？
いろんな問題やるといろんなアプローチが頭に浮かぶから
そういう意味では数こなすとときやすいんじゃん。

ふぅむたしかにおっしゃる通りですね。
方向性だけ教えていただけないですか？

>>591

f(x)=a^2(x-(-b/a))^2 だから
M(a,b)=(a+b)^2 (b/a≧-1/2)
M(a,b)=b^2 (b/a≦-1/2)

∫[0〜1]f(x)dx=a^2(1+3(b/a)+3(b/a)^2)
と上式が常に+である事を確認して、M(a,b)/∫[0〜1]f(x)dx　を考える
結局 t=b/a とおいて g(t)=M(a,b)/∫[0〜1]f(x)dx の最大値が
求めるmの最小値と一致する。計算めんどいのでだいぶ省略するけど
答えは4になる・・と。（違ってたらごめん）
必要性から攻めたらもっと簡単になるのかもしんないけどねぇ。

∫[0〜1]f(x)dx=(a^2/3)(1+3(b/a)+3(b/a)^2)
でした。ちなみに平方完成したら正である事は確認できるよね。

以前オイラーの公式e^(ix)=cosx+isinxというのがありましたが、これを使って以下の問題は解けますか？
f(x)=e^x*sinx+e^(-x)*cosx (0≦x≦π)について、
(1) f(x)はx=□において最大値□をとる。
(2) f(x)はx=□において最小値□をとる。
(3) ∫(0〜π)f(x)dx=□である。
(4) ∫(0〜π)[{f(x)}^2]dx=□である。
この問題を出した大学の問題は全て空欄完成なので、範囲外だろうがとにかくスピードを追求したいのです。よろしくお願いします。

サイコロを１００回振って１の出る回数が１０回以下になる確率は？
よろしくお願いします。

>>595
>>595
近似値だよね？
二項分布B(100，1/6)は，平均μ=100/6=50/3，標準偏差σ=√{100*(1/6)(5/6)}=(5√5)/3
の正規分布に従う．
P(x≦10)=P(z＜(10-μ)/σ)
=P(z＜-(4√5)/5)
=P(z＜-1.79)
=P(z＞1.79)
=0.5-P(1.79)
=0.5-0.4633　←正規分布表を見ますた。
=0.0367・・・答

>>586
背景なんてｼﾗﾈｰﾖ。
漏れが教えて欲しい。ジオソﾀﾝお願い。
で、漏れの解法はこんな感じ。

f(x)は下に凸な２次関数だから、最大値は区間の端で、
M(a,b)=Max{f(0),f(1)}
である。従って、
m∫[0〜1]f(x)dx≧f(0)且つm∫[0〜1]f(x)dx≧f(1)
が常に成り立つようなmを求めれば良い。

後は平方完成するなりなんなりして求めて下さい。

m=12?????

>>596
近似値が試験範囲な大学ってあんまりないのによくできるな。

>>596
レスありがとうございます。
標準偏差を使うのか全然わからんかたーよ・・・

ａx−ａy＝(ｘ−ｙ)ｄ
ってどういう所で使うの？？

>>601
10メートル間隔で一列に並べられた木の、
左から８本目と３本目の間隔は何メートルか？

>>602
微妙な計算が苦手だから、おれはそれに解答するのに７秒くらいかかるよ。
まず頭の中で１本目と２本目考えて、「あぁ普通に引けば良いんだな」と分かって初めて解答できる。

代数ｵﾀﾀﾝ，ありが�dですた。。（＾∀＾ヾ
∫√(1-t^2)dt　って円の面積で求められるから
計算をもっと省略化できたという罠・・。
でも∫t√(1-t^2)dtの不定積分って置換しなくてもできるのかという・・？

数3てﾑ隋・・(´；ω；`)

>>604
出来るんよ。
試しに(1-t^2)^(3/2)を微分してみ。そしたら気付くと思うよ。

>>604
>でも∫t√(1-t^2)dtの不定積分って置換しなくてもできるのかという・・？
って文の意味がよく分からんが…

∫t√(1-t^2)dt = -(1/2)*(2/3)(1-t^2)^(3/2)
=-(1/3)(1-t^2)(3/2)

でしょ。変数変換の公式。
荻野の言う、f,g,g'いつもやるのは…ってやつ。

ｶﾞ━━ΣΣ(ﾟДﾟ;)━━ﾝ
被った

>>605
>>606
ｷﾀ━━━━（ﾟ∀ﾟ）━━━━!!!!!!
完全にわかりますた。ﾏｼﾞでありが�dです。。

>>582
f(x)=p(x+q)^2 (p>0) として積分しると(ﾟдﾟ)ｳﾏｰ

>>588
モッドは平気
数オリでは常識

フィボナッチ数列の隣接する2項は互いに素

の証明はどうやったら良いのでしょう？

最初の2項が素じゃなかったら成り立たないと思うが

>>612
ごめん、そのへんは割愛した。
{1,1,2,3,5,8・・・}として、第2項以降でお願い。

背理法で瞬殺では？

>>614
n+1とn+2が互いに素でない⇒nとn+1が互いに素でない
（⇔
　nとn+1が互いに素⇒n+1とn+2が互いに素）

と、2項3項が互いに素で証明完了？

最近数学始めた高２です
五秒で解答見てる暗記ドキュソですが、よろしく(；´Д`)ｂ


青チャA　
例題４７（1）　解答の一部が(　ﾟдﾟ)ﾎﾟｶｰﾝ…

p≧0　q≧0　
f(x)=x^2+ax+b
の時

pf(x)+qf(y)=px^2+qy^2+a(px+qy)+b

とあるんですが、

pf(x)+qf(y)=px^2+qy^2+a(px+qy)+　「２b」

じゃ無いんですか(；´Д`)
分かる人には常識過ぎて説明とか出来なかったりして(((((((;゜д゜）　ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ

すまそ。よろしくお願いします。

！！ってどーゆー意味ですか？何て読むんですか？

　　　　　　　　　　　　 　∧ 　　　　　　　　 ∧
　　　　　　　　　　　　　/　・　　　　　　 　 /:::::';,
　　　　　　　　　　　　 /　　';　　　　　　　/::::::::::';　　　　　　 ∧　　　　∧
　　 　　 　　　　　　　/　　　；＿＿＿＿/::::::::::::::；　　　　　 /　・　　　/::::・
　　 　　　　　　　　／　　　　　　　　　　　　::::::::::::＼　　　 /　　；　　/:::::::::：
　　　　　　　　 ／　　　 ○　　　　　　　　　　○:::::::::＼ ／　　　；　/::::::::::::::；
　　　　　　　 /´　　　　　　　　　＿＿_　　　　　::::::::::::/　　　　　　　　　:::::::::
　　　 　 　　 | 　　　　　 　　　　|　　 　| 　　　　 ::::::::::|　　　○　　　　　○::::
　　　　　　 　|　　　　　　　 　　 | 　 　 |　　　　　::::::::::|　　　　　　　　　　　:::
　　　　　　　 |　　　　 　 　　　 丿　　　|　　　　　 ::::::::|　　　　　|￣￣|　　 :
　　　　　　　 |　　　　　 　　 ／￣￣￣＼　　　　 :::::/ l　　　　ノ　　　|
　　　　　　　 ＼　　　　　　　 　　　　　　　　::::::::::／ 　 |　　／￣￣￣＼　:::
　　　　　　　 　 ヽ　　　　　　　　　　　　 　:::::::＜　　　　＼　　　　　　　　 ::::

<616
+　「２b」
じゃなくて、+　「(p+q)b」 じゃねーのか？と小一時間、、、（略）
つーか、青チャは糞だから捨てちゃえ。

http://cgi.2chan.net/m/src/1041917627191.bmp
これお願いします。
（双葉借りました）

>617
だぶるびっくりまーく　2回びっくりすること

>>616

> ＞pf(x)+qf(y)=px^2+qy^2+a(px+qy)+b
>
> とあるんですが、
>
> pf(x)+qf(y)=px^2+qy^2+a(px+qy)+　「２b」
>
> じゃ無いんですか(；´Д`)

pf(x)+qf(y)=px^2+qy^2+a(px+qy)+"(p+q)b" じゃないの？

>>619
糞はおまえだぞ。気付かないのか？

>>616
pf(x)+qf(y)=px^2+qy^2+a(px+qy)+b(p+q)

にきまってるのでは

>>616
pf(x)+qf(y)=p(x^2+ax+b)+q(y^2+ay+b)=px^2+qy^2+a(px+qy)+b(p+q)

です。bの後の(p+q)が印刷ﾐｽか何かで消えたのかも。。。

>623
オマエモナー

>>620
公式で、2乗の係数をかけるのを忘れている、とか。

>>620
α=0,β=1/(a+1) β-α=-1/(a+1)

1/12={-(a+1)/6}*{-1/(a+1)}^3

(a+1)^2=2

公式適用できるじゃん。

親切にサンクス｡･ﾟ･(ﾉД`)･ﾟ･｡

けど問題の式は解答の一行目。
この後平気で答えまで導いてるのだが…

誰か青チャAのP73を見てくれYO！

別冊版だからページ違うかも(；´Д`)

回答の過程で、p+q=1とか出てたりして＞チャート

とりあえず数研出版に通報しる。

　-==-t-==-　ﾌﾞｰﾝ
　　 ∧||∧
　 （　 ⌒ ヽ　>>630
　　 ∪　　ﾉ　問題文に　p+q=1　載ってた
　　　 ∪∪ 　まぢでスマソ。糞は漏れですた



これからもよろしく(；;´Д`;;)ｂ

ドンマイ。

このスレ見て思い出した

トリビアの泉見逃した

ドンマイ。　　　　　　　　　　　　　

>>631
入試本番じゃなくて良かったなー。

>>628
ええ？
公式って
(1/6)*(β-α)^3ですよね？

>>636
違うぞー。

>>636
x^2の係数を掛けないと。

もう一度、公式チェックしようぜー。

あっ。初耳です。
先生が授業でやったときは２乗の係数が１ということを前提にやっていたんですね。
いろいろありがとうございました。

俺が間違っとるがな。

α=0,β=1/(a+1) β-α=1/(a+1)

1/12={|-(a+1)|/6}*{1/(a+1)}^3

(a+1)^2=2

サルベージage

オレ理系なんですが
どうも<外分>がよくわかりません…。
本当にあやふやなんで馬鹿なオレにどうかご教授を…。

>>643
教科書を読め

>>644教科書無くしてないんすよ
今ファミレスだし…。
ＡＢ間を１対２で外分するＣはどこにあるのか教えてくれませんか

C--A--B じゃないか？

>>646
どうもありがとう！

１：２で外分＝１：（−２）で内分

１対−２で内分ってのはＢを始点でＡ方向に２倍伸ばせばいいんですよね？
低レベルでゴメンなさい

　外分は多分誰も分かりづらいﾄｺだと思う。
　外分は内分の拡張　と捉えてみてはどうだろう。普通、「ｍ：ｎに内分」といえばｍもｎも正であることが前提(?)なわけだけど、
　ｍが負のときも考える。で、これに特別に外分という名前をつける。
　つまり、「ｍ：−ｎに内分」＝「ｍ；ｎに外分」と捉える。

　そうすると、先の「１：２に外分」は「１；−２に内分」のことだから、普通はＡからＢにﾋﾟｺﾋﾟｺ⌒：⌒⌒と「進む」んだけど、この場合はＢを通り越して⌒⌒⌒といってから、２つ⌒⌒「戻る」ことになる。

>>644さんや>>648さんが言ったことほぼﾏﾝﾏだけども分かりづらいﾄｺなので一応レス。

　|　　1　　|　　　２　　　　|
　･――――･――――･――――･
　Ａ　　　Ｂ　　　　　　　　Ｃ
　

　こんな感じ？ずれたら謝る。Ａ→Ｃ→Ｂの順番にたどりますです。

あなたがた優しいですね。
この時期外分の事聞いたら叩かれると思ってたんですよ。
感謝です。

　ズレるどころか点が違う。

　Ｃ―――Ａ―――Ｂ

　これでいいや。Ａ→Ｃ→Ｂの順番に辿り、ＡＣ；ＣＢ＝１：２でつ。

651だとABを２：１に外聞やね。

ファミレスで勉強してるんかいｗ

>>654
ほんとか？

>656
誤爆。３：２や。３進んで２戻ればいいんや。

　そだね。すまぬ。

　３：−２に内分　＝　Ｂを通り越して３進んで、２戻ってＢに辿りつく

>>17
偶数または奇数だけの積でつくる階乗。
たとえば、
10!! = 2*4*6*8*10
11!! = 1*3*5*7*9*11
読みかたは知らない。

数オリ事典に書いてあるね

壱) a,b,c,nは自然数,nは3以上とする。
このときa^n+b^n=c^nを満たすa,b,cは存在しないの証明

［１］n=3の時
知らん
［２］n=k（>=3)の時a^k+b^k=c^kが成り立つと仮定すると
c^(k+1)=c*a^k+c*b^kとなりa^(k+1)+b^(k+1)となる条件は
a=b=cであるがa^k+b^k=c^kよりa<c b<cよって成立しない

なんですが
c^(k+1)=c*a^k+c*b^kとなりa^(k+1)+b^(k+1)となる条件は
って何で　
a^(k+1)+b^(k+1)
になるんですか？
解答した本人は数学的帰納法というんですが

>>661
ﾏﾀ-ｸ読んでないけどa,b,cを一定にしてる時点でﾀﾞﾒ-だと思う。

　解答した本人と知り合いなんですか？羨ましい。

>>662
どういうことですか？
自分は
c^(k+1)=c*a^k+c*b^kとなり
その式がa^(k+1)+b^(k+1)と等しいって扱うのがおかしいと思う
なんでk+1のとき成り立つと仮定していないと思うんですが

帰納法でとけたらワイルズの苦労だいなしだな

>>661
コピペってのが凄く気になるな。
でも、間違ってるのは明かでしょ。帰納法になってないよコレ。
背理法と帰納法がごっちゃになって、どっちも達成されてない。
大体がフェルマーの最終定理なんだし、こんなに簡単に解決されません。

>>666
そうですよね

>>663
意味がわかんないんすけど

［２］n=k（>=3)の時a^k+b^k=c^kが成り立つと仮定すると


ここからもう違う。成り立たないのに

>>669
成り立つと仮定すると・・・
ってやって
そうすると矛盾が起こってダメーってするんじゃないの？

>>670
　それを証明したヒトをご存知無いようで。
　１７世紀に予想された「フェルマーの最終定理」という有名なもので、それを証明したワイルズって数学者は１９９５年にフィールズ賞もらってるです。

　僕はｎ＝３のときやってみよー　と思ってかなり苦しんだ覚えが。

>>671
いや知っています
アンドリューワイルスでしょ
ワイルズかも知れんけど

本読んだらワイルズやった

>>670
帰納法ってのは
１ある特定の整数nについて示す
２一般の整数kについて命題が真と仮定すると、k+1ork-1について命題が成り立つ。
という流れ。勿論微妙に２のステップが違うことがあるけど。
だからK+1でkの場合と同じ結論が引き出せないと、次々と繰り返して進んでいくことが出来ないんよ。

あー
どうもありがとうございました　

>>671
信州大学がコレに関して傑作な入試問題作ってますたね。
「知らないものとして」ってくだりが凄く笑えた。

n=3の時は漏れもやろうとしますた。結局無理でしたが．．．

俺がさっき書いたのは、n=kのときあるabcが存在して式を満たすとしても、
n=k+1のときにも「その」abcが式を満たす必要はﾏﾀ-ｸないだろーってこと。

結局、正しい部分を探す方が難しい誤答例ってことか・・・

>>671
ワイルズってフィールズ賞もらってるの？年齢制限にひっかかるから
特別賞とかいうのだったと思うけど。

階乗【かいじょう】
　1からn まで全ての自然数を掛け合わせること。
　例：「4! = 1*2*3*4 = 24」

二重階乗【にじゅうかいじょう】
　1（又は2)からnまで、２つ置きに自然数を掛け合わせること。
　n!! = 1・3・5・…・n　(nが奇数)
　n!! = 2・4・6・…・n　(nが偶数)
http://simfan.cn1.jp/mathmarks/rfrs.htm

順列組み合わせで
よく、３Ｐ２や３Ｃ２みたいに具体的な数で表されてたら解けるけど、
ｎＰｒやnＣｒとして一般化されるとその式展開できないって人いるよね？

そうゆう人って普段３Ｐ２、３Ｃ２とかどんなやり方で解いてんの？

>>681
九九みたいに覚える

>>682
うそだろ！？
めんどくさすぎじゃん

うそです。

Z会のセンター試験演習数学２ｂのオリジナル問題50番の複素数Ｚ4のおき方が意味が分かりません
おねがいします

>>685
問題書いて

>>681
ただ単に抽象的な数字示されると分からなくなるだけじゃない？
nを最大とする連続するk個の自然数の積、をn!/k!に繋げられないとか。
あとn-kだっけn-k+1だっけ、みたいな端っこが曖昧だったり。
後者は俺もいつもやります。

三倍角やら半角やら、和→積・積→和の公式ってみんな
暗記してる？それともその場で導き出す？

３倍角、倍角、半角、積和は暗記してるけど、
どうしても積和が覚えられないので和の公式から導いてます。

y=ax-2a+1とy=-x^2+4x(ただしy≧0)
が異なる２点で交わる時のaの範囲を求める時

２式を連立して、その判別式＞０としてやるとなぜだめなんでしょうか？

>>688
漏れは倍角以外覚えてません。
だから計算遅いんだけど・・・

>>690
y≧0という条件を捉えられないからじゃない？

>>689
積和は暗記してるが、覚えられない？？？

2＾{log_2(x-3)}=x-3
となる理由を教えてください。
お願いします。

>>694
log_a{b}=c
a^c=b
a^(log_a{b})=b
だけど，これは定義より当然である，と考えれるようになるべきだと思う．

>>694
2＾{log_2(x-3)}=y　とおく．
両辺に，底が2である対数をとると，
{log_2(x-3)}*log2_2=log_2y　⇔ log_2(x-3)=log_2y
よって，y=x-3 となる．

>>690
直線：y=ax-2a+1が放物線：y=-x^2+4x (0≦x≦4) と異なる2点で交わればよいので，
2次方程式：-x^2+4x=ax-2a+1 ⇔ x^2+(a-4)x-2a+1=0 が，0≦x≦4の範囲に相異なる
2実数解を持つようなaの範囲を求めればOKです．
すなわち，f(x)=x^2+(a-4)x-2a+1　とおくと，
1．f(x)=0の判別式＞0．
2．f(0)≧0
3．f(4)≧0
4．0＜(4-a)/2＜4　(注)放物線：y=f(x)の軸，x=(4-a)/2が，0＜x＜4の範囲にある．
の4つの条件を満たすようなaの範囲を求めればOKです．

log_2(x)ってのは2を何乗したらxになるかって数だからな。

>>690
>>697
直線の式をf(x)として、f(2)=1<4 だから
f(0)≧0 と f(4)≧0 だけで良くないか？

もっと言うなら点(2,1)を通る直線と放物線y=-x(x-4)を書いて、「図より-1/2<a<1/2」
って書いてもよさそう

>>699
イコールが抜けてた

>>699-700
その解法のほうがシンプルやね。

簡単な質問ですんまそん
数Bの確率で「排反」ってどういう意味ですか？
過去問やったら出てきたんだけど習ってなかった…

二つの事象AとBにおいて同時に起こることがない時、排反。
-----visual-----
　　A 　 B
　　↓　↓

　　○　○
---------------
即ちA∩B=Φ

　　　　　　　↑空事象のつもり

数I教科書P175より

>>703
>数I教科書P175より
数Iの教科書見たら載ってました
すみません＆ありがとう

不等式の証明で、等号成立条件って絶対書かなきゃいけないの？
ねぇ、教えて…。

>>705
時と場合による。でも、確認の意味で書いておくのがﾍﾞﾀｰ。
例えば、相加・相乗平均の関係を利用して最小値を求めるような解答の場合、「実際に○○の時等号が成立するので〜」と書かなければ、減点される可能性もある。
逆に、等号がついているのに、実際は等号が成立しないこともある。
「>」より「≧」の方が条件としては緩いから、そういう事もあるのです。

辺ADとBCが平行な台形ABCDの対角線ACを (m+1):1 に
内分する点をEとし、辺CDを 1:m に内分する点をFとする。3点
B,E,Fが一直線上にあるなら、台形ABCDは平行四辺形であることを示せ

という問題で、AD=BCを示せればなぁと思うんですが・・・
どなたか教えてください

>>707
ベクトルが楽そう

>>706
ありがと

そだーね。↑AD=k↑BCとおいて、k=1を導く方針でOKでした。>>707

>>708
>>710
ありがとうございました。

たびたびすいません。
↑AD=k↑BCとおいた後どうすればいいんでしょうか？

>>712
BEFが一直線で有ることを式で捉えればいいんだから、
↑AE＝p↑AB+q↑AF(ただしp+q=1)
とでも置いてから、
適当に分点の公式を用いて↑ADと↑ABで統一したらk=1になったりするんじゃないかな？
勘だから試してないけど。

>>707
�@　BFの延長とADの延長との交点をGとおく。
�A　�僂ADと直線EFGについてメネラウスを用いてAD；DG＝１；ｍ
�B　DGとBCの平行、DF；FC＝ｍ；１よりDG；BC＝ｍ；１
�C　�A�BよりAD；BC＝１；１
比を表す記号が；でｽﾏｿ｡

A(0.3),B(4.0)を通る直線ABは　４分のX+３分のY＝１　となるのが分かりません！！

>715
座標代入して成立してるからいいんじゃない？　深い意味ないと思ふ。

座標代入って？？？

キン肉バスターのベクトルを解析してください。
キン肉マンの首をＯとする

>>715
　最近は載ってない教科書もあるんだけど、旧過程では(特に空間で)常識でした。
　「切片型」と呼ばれる直線の表し方で、２切片(a,0)と(0,b)を通る直線は、x/a＋y/b＝１で与えられます。証明は、代入すりゃなり立ってるからいいね。
　更に空間での３切片(a,0,0)と(0,b,0)と(0,0,c)を通る直線は、同様にx/a＋y/b＋z/c＝１で与えられるです。

　まぁ、知らなくても問題は解けるんだけど、数IIIの微積とかで切片型もよく見かけるから、知っておいて損は無いと思うﾉﾀﾞ！

>>719
空間の場合平面じゃないのかなぁ〜とか思いました。
空間図形の知識は無に等しいので、確信は全く有りませんが。

>>720
　細かいこと突っ込むなブタ！

>>721
ブタゆーな。いじめられたヽ(`Д´)ﾉｳﾜｰﾝ

>>721-722
息合ってますね〜

確率分布でAとBの事象が独立である時、AかつBの確率＝Aの確率ｘBの確率
になるのはなんでですか？独立だからそもそも「AかつBの確率」が存在
してはいけない気がするんですが・・

A;くじがあたる確率 1/5
B;ｼﾞｬﾝｹﾝに勝つ確率 1/2
くじがあたって且つｼﾞｬﾝｹﾝに勝つ確率は？
考えてみれ！

独立と排反を勘違いしてるに1000ぺりか

青チャ�Tの例題117がわかりません。
なんで（2）でｰ2するの？
誰か教えて

数Aのコンピューターって今からでも間に合う？

模範解答には
(3x+2)(x+3)
とあるのですが、

(x+3)(3x+2)
ではいけないのでしょうか。

どっちでも可 ＞ 729
ネタ？

>>727
問題文を書いて。
（１）も含めて。

>>713
>>714
ありがとうございました。

>>731
運転席1、普通座席7（区別しない）の同じボートが2隻ある。
運転できるA､B､C､Dの4人、運転できない6人の計10人を
ボートに分乗させて運航する。

ゴメん。ここまで書いてたらわかっちゃった。
ありがと

http://members.tripod.co.jp/bobi_harinezumi/sub_n.htm
数学って計算しないの？

>>734
普通にする。ただし余計なものは書かない。
物理なんざ余りまくるっつーの。

>>705
　相加相乗平均で最小を求める場合、最小値の定義
「Ｆ(x)の最小値がＡ」⇔「（１）すべての範囲内のｘについて、Ｆ(x)≧Ａ
　　　　　　　　　　　　　（２）あるｘについて、Ｆ(x)＝Ａ
　　　　　　　　　　　　　　言いかえれば、Ｆ(x)＝Ａなる範囲内のｘが存在する」
より、等号の成立を述べなければ、（２）が保証されないので、最小値となりません。
等号成立を書かないと、まず減点を食らいます。

　値域（とり得る値）を示す不等式の場合
「Ｆ(x)の値域がα≦F(x)≦β」
　⇔「範囲内のｘで、F(x)はαからβまでの全ての実数値をとる」
ことから、増減表や判別式の≧、グラフなど利用して、何らかの形で
等号の成立を保証しなけば減点を食らいます。

　その他の不等式（単に大小を比較するだけの不等式）について、等号成立条件は
あればベター程度で考えていいと思います。
ただ、導く過程で、グラフや増減表があれば、それが等号を保証する時が多いので
特に等号成立条件を書かなくても良いでしょう。ただ、最大・最小に関わるときは、
「表より」「グラフより」と「ｘ＝□で」の最低一方は書くべきでしょう。

白チャートの113ページ基礎例題45の解答のところで
なぜ△ABDにおいて、∠ADBが45°になるんですか？

教科傍用オリジナルからです。おねがいします。
aの値が変化する時、2点(a,2a-a^2),(3a,3a^2-4)を結ぶ線分の中点（ｘ、ｙ）
の軌跡をもとめよ。

tan(3π/8)　ってどう求めます？

無限級数　x +x/1+|x| +1/(1+|x|)^2 +……の和をf(x)とおいて
関数y=f(x)のグラフをかきその連続性を調べよ。
という4STEPの問題があるのですが、
このｆ(x)をグラフをかけるような状態にもっていく計算方法を教えてください。

>>737
　白チャート持ってる人少ないと思うから、問題書いて。
>>738
　Ａ(a,2a-a^2)　Ｂ(3a,3a^2-4)　と置くと、中点Ｍ＝(Ａ+Ｂ)/2なので、Ｍ＝(2a、a^2+a-2)＝(X,Y)
　X＝2a　Y＝a^2+a-2からaを消去すればよく、a＝X/2をＹに代入してＹ＝(X/2)^2+X/2-2＝X^2/4＋X/2−2
　全部暗算。ﾐｽしてたらごめぬ。
>>739
　角度を２倍したtan(3π/4)は求まるので、3π/8＝αとすれば　
　−１＝tan2α＝2tanα/(1-tan^2α)　めんどくさいからtanα＝ｔとおいて分母払えば
　t^2−１＝2t　⇔　ｔ＝・・・解の公式
>>740
　なんか書き方がよくわかんない。等比級数にもなってないみたいだけど・・・？

>>739
tan(3π/8)=sin(3π/8)/cos(3π/8)
sin(3π/8)=√[{1-cos(3π/4)}/2]
cos(3π/8)=√[{cos(3π/4)+1}/2]
よって
tan(3π/8)=√{(2+√2)/(2-√2)}
=√(3+2√2)
=1+√2
こんなんはどう？tanの２倍角を知ってれば済む話だが…漏れは知らん

>>742
　２倍角っつーかさ、tanの加法定理覚えてりゃ作れるよっつーか俺もさっき作ったよ。

　別解思いついたんで一応ﾚｽ
【別解】Ａ(1,0)　Ｂ(−1/√2、1/√2)とすると、tan3π/8は直線ＡＢに垂直な直線の傾き。なぜなら、ＡＢがｘ軸と為す角は3π/4で、
　更にＡＢは円の弦であることから、∠ＡＯＢの二等分線とＡＢは直交する。
　傾きＡＢ＝1/√2÷(−1−1/√2)＝−1/(1+√2)　これに直行する直線の傾きは、1+√2　（答

　いかん、文法やらにゃ・・・。

整数a,bを係数とする2次式f(x)=x^2+ax+bを考える。
f(α)=0となるような有理数αが存在するとき、以下のことを証明せよ。
(1)αは整数である。
(2)任意の整数lと、任意の自然数nに対して、n個の整数
f(l),f(l+1),……,f(l+n-1)
のうち少なくとも1つはnで割り切れる。

> 無限級数　x +x/1+|x| +1/(1+|x|)^2 +……の和をf(x)とおいて

第３項がx/(1+|x|)^2ではないのかなあ…。
第３項が本当にこのままだと、第４項も書いてくれないとわからんねぇ。

f(x)=x +x/(1+|x|) +x/(1+|x|)^2 +……と勝手にやると

x=0のときf(x)=0

x≠0のとき　　0<1/(1+|x|)<1より
f(x)=x*1/{1-1/(1+|x|)}=x(1+|x|)/|x|
　　　x>0のとき　　　f(x)=x(1+x)/x=1+x
　　　x<0のとき　　　f(x)=x(1-x)/(-x)=x-1

うけけけけ。

>>741
白チャートの問題です

1km離れた海上の2点A，Bから、同じ山頂Cを見たところ、Aの東、見上げた角が30°、
Bの北東、見上げた角が60°の位置に見えた。
この山の高さを求めよ。ただし数値計算は電卓を用いてもよい。

解答
山の高さCDをhkmとする。
直角三角形ACDにおいてtan30°＝h/AD　　よってAD＝√3h
また、直角三角形BCDにおいてtan60°＝h/BD　　　よってBD＝h/√3
したがって、△ABDにおいて、∠ADB＝45°であるから、余弦定理により、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑ここです（なぜ45°になるのかわかりません）
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・　　
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・
　　　　　　　　　　　　　　　・

>>746
座標におきかえてみたら？
C(0,0,h) D(0,0,0) が山。(ｚ軸）
x軸方向を東、y軸方向を北にとる。
Aから見ると山は真東にあったんだからAは(-a,0,0) (a>0)とおける。
Bから見ると山は北東にあったんだからBは(-b,-b-0) (b>0)とおける。
つまり、北東=北より時計回りに45°傾いた方向ってわけ。
△ABDは∠ADB=45°となっているってわかるでしょ？
あとは
△ADCは∠A＝30°だからa=√3h
△BDCは∠B=60°だからb=h/√3
で、△ABDに余弦定理をつかって、AB＝１を使えばおわり。

訂正
誤　Bは(-b,-b-0) (b>0)とおける。

↓

正　Bは(-b,-b,0) (b>0)とおける。

>>741
ありがとうございました

次の2つをお願いします。（２つは全く関連はありません）

１．直線4x-2y+1=0に関して、直線x+y-3と対称な直線

２．放物線ｙ＝ｘ＾２−ｋｘ＋ｋがx軸と共有点を持つように、kの値が変化するとき、
　　この放物線はどんな曲線を描くか。

>>750
2のほう。
x^2-kx+k=0
D=k^2-4≧0
k≦0,4≦k

k(x-1)=x^2-y
x=1のときy=1
x≠1のときk=(x^2-y)/(x-1)
(x^2-y)/(x-1)≦0,4≦(x^2-y)/(x-1)
(x^2-y)(x-1)≦0,(y-x^2+4x-4)(x-1)≧0

(x,y)=(1,1)
x≠1かつ(x^2-y)(x-1)≦0
x≠1かつ(y-x^2+4x-4)(x-1)≦0

>>750
　1.　グラフ描いてから質問しよう。分からないわけないから。
　2.　変わった問題だね。
【解答】実解条件Ｄ≧0⇔k^2−4k≧0⇔ｋ≦0　又は　4≦ｋ
　この放物線はモニック(最高次係数が１)なので、その頂点の軌跡を求めてｳｨｰﾝてグラフを描けばよく、その頂点は
　ｙ＝(x-k/2)^2−k^2/4＋ｋ　頂点Ｔ(X,Y)＝Ｔ(k/2、−k^2/4＋ｋ)
　Ｘ＝k/2　かつ　Ｙ＝-k^2/4＋ｋ　からｋを消去して
　ｋ＝２Ｘ　Ｙ＝−Ｘ^2＋２Ｘ　ただし、ｋ≦0　又は　4≦ｋの条件から、Ｘ≦０　又は　2≦Ｘ　（∵Ｘ＝k/2）の範囲を動く。（答

　全部暗算。違っても知らん！
　しかし、もーちょっと上手くやる手がある気がするな。まぁいいや、英語の過去問解こ。。。

　ん・・・？何か違う・・・？　>>751さんが正しいということで。

>>747
ありがとうございました
よくわかりました。よく見たら簡単でしたね、情けない・・・・・。

>>750
1のほう。
4x-2y+1=0とx+y-3=0の交点は(5/6,13/6)

２直線のなす角をθ(０＜θ＜π/２）とおくとtanθ=|(2-(-1))/(1+2(-1)|＝3
求める直線の傾きをm（≠-1)とすると
3=|(m-2)/(1+2m)|
∴m=-1、-1/7
m≠-1よりm=-1/7

y-13/6=-(1/7)(x-5/6)
x+7y=16

この放物線はどんな曲線を描くか。
↓
この放物線の頂点はどんな曲線を描くか。

だと思われ。ジオソさんので正しいとおもいます。
通過領域だとかんちがいしますた

ジオソトゥリビア合格祈願Age

y=x^4に変曲点はありますか？

>>758
自信を持って「無い」

>>759
そうですか。
ありがとうございます。

黄色チャートのところで質問なのですが、
なぜ
Σ（K=0〜ｎ）(n-k+1)=Σ(k=1〜n+1)K
と変化するのですか？

Σ（K=0〜ｎ）(n-k+1）＝(n+1)^2-(1/2)n(n+1)＝(1/2)(n+1)(2n+2-n)＝(1/2)(n+1)(ｎ+2)

Σ(k=1〜n+1)K＝(１/２)(n+１)(n+２)

となって一致するから

この放物線はどんな曲線を描くか。
↓
この放物線の頂点はどんな曲線を描くか。

すいませんその通りです。お騒がせしました。

この問題がわかんないです。お願いします

「次の漸化式で与えられる一般項anを求めよ。
ａ(1)=p
ａ(n+1)=a(n){a(n)-2}」

anの二乗はどうやるんだ。。

ｎの２乗のシグマってなんだっけ？どわすれ・・・

>>766
１／６ｎ(ｎ+１)(２ｎ+１)

>>766
1/6 n(n+1)(2n+1)

>>766
Sｎつかって解くんかこの問題？

ﾄﾞﾓ
両方とも+でしたね

>>764
a(n )+a(n+1)=3かな？
コレを用いたら解けそう・・・

>>771
違う、計算ミス。

>>771
どうやったらそうなるの？

というかもの凄い勘違い。

解けない・・・・

実は漸化式が
a(n+1)=a(n){a(n)+2}
だったりするオチは無しだよね？

>>775
しか考えられんな

>>764
昔のｺﾋﾟﾍﾟ問題・・(；´Д｀)
a(n)=b(n)-1とおいたあとで，b(1)=x+(1/x)とおいてみて。
そうすると，b(n)=x^{2^(n-1)}+(1/x)^{2^(n-1)}　になっているはず。
だから，x+(1/x)=p-1⇔x^2-(p-1)x+1=0の判別式で場合わけすればOK。

D＞0 ⇔ p＜-1，3＜pのときは，x={(p-1)±√(p^2-2p-3)}/2　だから，
a(n)=〔{(p-1)-√(p^2-2p-3)}/2〕^{2^(n-1)}+〔{(p-1)+√(p^2-2p-3)}/2〕^{2^(n-1)}+1
p=3のときは，a(n)=3
p=-1のときは，a(1)=-1，a(n)=3(n≧2)
-1＜p＜3のときは，x=)=〔{(p-1)±i*√(-p^2+2p+3)}/2　だから，
a(n)=〔{(p-1)-i*√(-p^2+2p+3)}/2〕^{2^(n-1)}+〔{(p-1)+i*√(-p^2+2p+3)}/2〕^{2^(n-1)}+1
となります。

>>777
着眼点が全く分からん。

>>777
ホンマや・・・お見それしますた。
流石こけﾀﾝ。

これ誘導無しだと辛いよ、やっぱり。

こういう問題では差がつかないだろう。
たいていの受験生は正解に至らないだろうから。

ていうか普通誘導あるな。なかったら基地外

＞a(n)=b(n)-1とおいたあとで，b(1)=x+(1/x)とおいてみて。
＞そうすると，b(n)=x^{2^(n-1)}+(1/x)^{2^(n-1)}　になっているはず。

ここがﾜｶﾗﾝ・・・解説キュボンヌ
a(n+1)=a(n){a(n)-2}なので
b(n+1)-1={b(n)-1}{b(n)-3}
　b(n+1)={b(n)}^2-4b(n)+2・・・？？

>>779
>>782
もちろん誘導ついていたと思う・・。誘導なしのやつがｺﾋﾟﾍﾟされてたけど・・。
この数列：a(n+1)={a(n)}^2-2，a(1)=p(＞2)は，上のように一般項も出るうえに，極限値もかわっています。。
なお，b(n)=〔1+{2/a(1)}〕*〔1+{2/a(2)}〕*〔1+{2/a(3)}〕*・・・*〔1+{2/a(n)}〕
としたとき，lim[n→∞]b(n)=√{(p+2)/(p-2)}となるのは，よく出題されるようですＹＯ．

>>783
こけﾀﾝのタイプミスかな？
an=bn+1だと思った。

>>783
ごめん・・。b(n)=a(n)-1　の打ち間違えですた。。
元ﾈﾀは，東京学芸大学の問題？っていうｶｷｺがあったけど
本当かどうかは知りません（　ﾟ∀ﾟ）。
数●板でよくｺﾋﾟﾍﾟされてた問題でした。

どうやったらこんな解法にたどりつくんだ・・

一般項が出なそうだけど実は出るという数列をまとめて起きますね。

a(n+1)={a(n)}^2-2，a(1)=p(＞2)　⇒　a(1)=x+(1/x)とおくと，a(n)=x^{2^(n-1)}+(1/x)^{2^(n-1)}になる。

b(n+1)=√{(1/2)+(1/2)b(n)}，b(1)=1/√2
⇒漸化式を2乗すると，
{b(n+1)}^2={1+b(n)}/2となっている。これって「{cos(θ/2)}^2=(1+cosθ)/2」に似ている。
すなわち，b(1)=cosθとおくとb(2)=cos(θ/2)，b(3)=cos(θ/4)，・・・
つまり，b(n)=cos〔θ/{2^(n-1)}〕，θ=π/4　となっている。
ちなみに，c(n)=b(1)*b(2)*・・・*b(n)とすると，lim[n→∞]c(n)=2/πとなります。
これはﾐﾙｸｶﾌｪでｺﾋﾟﾍﾟされてた問題。(；´Д｀)

>>785
>>786
だとしたら、b(n+1)=b(n)^2より
b(n)=b(1)^{2^(n-1)}・・・？

99年度の阪大の問題
「xy平面で、x座標とy座標がともに有理数であるような点を有理点という。
　xy平面で、3点がすべて有理点であるような正三角形は存在しないことを証明せよ。
　ただし、√3が無理数であることを証明なしで用いてもよい」

>>787
ﾍﾝﾃｺﾘﾝな数列は初項をうまい形で置き換えると，一般項が出ることもあるようです。
a(n+1)={a(n)}^2-2，a(1)=p(＞2)　⇒　a(1)=x+(1/x)とおけ。
b(n+1)=√{(1/2)+(1/2)b(n)}，b(1)=1/√2 ⇒　b(1)=cosθとおけ。
c(n+1)=√{2+c(n)}，c(1)=√3　⇒　c(1}=2cosθとおけ。

これだけ覚えておけば十分かも。
確かに最初に考えた人はすごいと思いﾏｽ。

>>789
自己レス。ごめん間違えた。解決

>>788
知識量が漏れより圧倒的に上かも．．．
漸化式解き込んでないからこの問題知らないわ。

背理法で一発じゃ！

>>794
その「一発」の部分を採点者は見たいのではｗ

>>795
マジレスこわひ・・・

>>790
有理点をどのように２点定めても、もう１点は有利点にならない。
という方針はどう？
計算で示せそう。

>>793
ここらへんのことは，ﾎﾑﾍﾟの1月の問題ところにまとめてあるので
よければ見てってくださいな（＾∀＾ヾ
こないだはありが�dですた。

>>790
こういう問題嫌い。数値が具体化されてないやつはできないよ。。

>>799
99年の阪大はこの問題が一番簡単やったよ

>>798
じゃ、漸化式関連で作問した問題やる？
例によって早稲田過去問が叩き台になってるけど・・・

790の解答きぼんぬ

>>790
三角形の１点を原点Ｏにとっても一般性は失われない。
Ｐ(a,b) としたとき
Ｑ(c,d)は原点のまわりにπ/3回転させて得られた点とすると

c=a*cos(π/3)-b*sin(π/3)
d=a*cos(π/3)+b*sin(π/3)

あっさり風味やな。

aとbは共に有理数な。

３頂点が有利点だと仮定して、
面積を2通りの方法で求めてみれ

Ｑ(c,d)は原点のまわりにπ/3回転させて得られた点とすると

じゃなくて

Ｑ(c,d)はＰを原点のまわりにπ/3回転させて得られた点とすると

>>801
(((（ ;ﾟДﾟ)))ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ

>>790
普通に座標計算で証明してもいいのかな、といってみるﾃｽﾄ。

>>802
有理点A,BをA(p,q),B(r,s)と置く。（p,q,r,sは有理数）。
三角形ABCが正三角形となるような点Cは座標平面上に2カ所定められる。それらはどちらも線分ABの垂直２等分線上で、線分ABとの距離が(√3)/2ABであるような点である。
このような座標を実際に計算すると・・・

だと思われ。

>>744
(1) m，nを互いに素な自然数とすると，αは有理数であるから，
　　α=0 または ±n/m とおける．
　　0は整数なので，n/mが整数となることを証明すればよい．
　　α=n/m のとき，
　　f(α)=0 ⇔ (n^2/m^2)+a(n/m)+b=0
　　　　　　⇔ (n^2)/m=-bm-an=整数
　　mとnは互いに素なので，m=1．よって，αは整数である．
　　同様にして，α=-n/m のときもm=1 となり，αは整数となる．
　　よって，題意は示された．

>>808
一点を原点にとれよボケという感じ。

>>744
(2)は適当です・・(；´Д｀)

(2) f(L),f(L+1),……,f(L+n-1)がすべてnで割り切れないと仮定する．
　　このとき，kを0≦k≦n-1を満たす任意の整数とすれば，　　
　　{(L+k)^2+a(L+k)+b}/n≠整数 が成り立つ．
　　したがって，2次方程式：f(x)=0 はx=L+kを解に持たないので，
　　f(x)=0 を満たす整数xは存在しない．(∵f(L+k)=0 ⇒ 0≠整数 となり矛盾する．)
　　
　　ところで，(1)の結果より，有理数αがf(α)=0 を満たすならば，αは整数となるが，
　　いま，f(x)=0 を満たす整数xは存在しないので，f(x)=0 は有理数解を持たない．
　　これは，問題文に与えられた条件：『f(α)=0となるような有理数αが存在する．』
　　に矛盾する．したがって，最初の仮定が否定され，背理法で題意は示された感じがする．

(1)
x^2 -px -q =0
の2解をα,βとするとき、
α^(n+2) -pα^(n+1) -qα^n =0
β^(n+2) -pβ^(n+1) -qβ^n =0
が成立することを示せ。
(2)
a[1]=p,a[2]=q,
a[n+2]=s*a[n+1] +t*a[n]
によって定義される数列{a[n]}が、周期６を持つような実数p,q,s,tの組を一つ求めよ。
ただし、周期６とは、a[n+6]=a[n]が全ての自然数nについて成り立つこととする。

元々作ったときはもっと誘導付いてたんだけど、こけﾀﾝ用に削りますた。
普通に簡単です。難しい問題なんて作れないよ。(；´Д｀)

背理法って裏かつ逆の対偶を使って解く方法だよね？

ここにいるコテの数学のレベルにワラタ

３頂点が有理点だと仮定すると
３頂点はO,A（a,b）,B（c,d）と表せるa,b,c,dは有理数
ベクトルOA、OBの成分からこの三角形の面積は
1/2*lad-bcl
と表せる
また三角比から、三角形の面積は
1/2*OA*OB*sinπ/3=1/2*OA*OB*3^(1/2)/2
1/2*lad-bcl=1/2*OA*OB*3^(1/2)/2
左辺は有理数、右辺は無理数なので矛盾

原点は有理数？

P(a,b) Q(c,d)
c+di=(a+bi)*{cos(π/3)+i*sin(π/3)}={(a/2)-(b√3)/2}+{(a√3)/2+(b/2)}i

a,bが有理数、√3が無理数だからc,dはどうみても無理数

へ？

一次変換

ひとつの頂点を原点においても一般性は失われないな

無理数と有理数の違いがわからんくなってきた

有理数はratial nummber(比で表される数)って意味
無理数はそれ以外

numberだった

ｺｹｺｯｺって受験生？
ﾎﾑﾍﾟあるなら教えてください

え？え？え？

分数で表せるのが有理数
それ以外は無理数

既約分数

ルートついたら無理数だよね

>>828
ルートが外せなかったらな。
それにルート以外にも無理数はあるぽ

>>829
たとえば？

πとかeとか

>>830
πとか

>>830
π、eなどね。循環しない無限小数は無理数だよ。

８．３９３９３９３９３９３９３９・・・・・
これは？

>>834
有理数。循環してるでしょ？

８３１/99

循環してたらいいのか。知らなかった。

277/33だった

>>837
循環してたら、分数に戻す方法が存在するんよ。

>>824
>>186のめる乱・・

>>812
ありが�dです。今ｴｰｽｺﾝﾊﾞｯﾄ中なのであとで・・。

2002年度千葉大
(1) log2_3は無理数であることを証明せよ。
(2) nが正の整数のとき、log2_nが整数でない有理数となることが
　　　あるかどうか調べよ。

補足
log2_3 →log 2底の3です。
わかりにくい書き方だと思ったので。

>>841
底の変換公式使うのかな？

>>843
いや、普通は背理法やろ。

(1)はでけた
log2_3=b/a(a,bは互いに素)であると仮定
このとき
２^b=3^a
左辺は偶数、右辺は奇数で矛盾

>>844
なんで普通は背理法って思うの？
解法を覚えてるの？

>>846
無理数は正確に定義できないからな。
しいて言えば無理数＝有理数でない
なので自然と背理法が出てくる

>>847
それは自分で考えてそう思ったの？
どっかに書いてあったの？

>>845のa,bって互いに素じゃなくてもいいの？

>>849
だめ。
既約分数で表せてはじめて有理数だから

>>850
既約分数でなくても整数ならば有理数になりますが駄目ですか？
あとa,bが負のときはどうなるんですか？偶数じゃなくなりますよ？

互いに素じゃなくても有理数でしょ。
ただ、互いに素と置かないと矛盾が導きにくい事が多いから、互いに素と置くんじゃないの？

整数も既約分数やん。
あとa,bが負のときやけど、log2_3>0だからaが負ならｂも負
両辺逆数とって無問題やん

なるほどわかりました
自殺してきます

>>853
「任意の有理数は既約分数で表せる」ってのは、別に既約分数でなくても良いの。分かってる？

>>855
分かってるし。なんでそんな当たり前のことを気合いれて言うのさ

>>856
なら

>>849
だめ。
既約分数で表せてはじめて有理数だから

とか言うなよ。この問題の場合、a,bは自然数でも差し支えないじゃない。849が誤解すると良くないからね。
でも、もうｱﾎらしいので、この話題止めにしますわ・・・

>>857
たしかに誤解を招くかも・・・スマソ
まあおれが言いたかったのは
「既約分数にもっていけなかったら有理数ちゃう」ってことですた・・・

>>845
右辺のaが偶数のこともありえる気がする

>>859
aが偶数でも右辺は奇数やん

>>859
それがどうした？

aが偶数なら右辺は偶数だろ
845は間違ってるよって。

ﾊｧ？

あ、間違えたｗ
右辺が3aだと思った

>>812
f(n+2)=f(n)が成り立つものは自動的にf(n+6)=f(n)が成り立つけど
そういうのはなしだよね？たとえば，(s，t)=(0，1)とか。
もっと極端にいえば，(s，t)=(0，0)とか．(a(n)=0)

>>841
(2)
n=1,2のときそれぞれlog2_n=0,1となり題意を満たさない。
n≧3のとき、log2_n>0。
a/b = log2_n（a,bは互いに素で、b≠1）とすると、
2^a = n^b
a,b≠0だから、n=2^k（kは自然数）となる。
このとき、a=bkとなり、これはa,bが互いに素であることに反する。
よって、題意を満たすnは存在しない。

＞a,b≠0だから、n=2^k（kは自然数）となる
なぜ？

>>867
スマン。なんかトンチンカンなこと書いてた。
a,b≠0だからの部分は消して。

>>868
いや本気でわからん
なんでn=2^kになるの？

>>869
2^a = n^bの両辺はともに正の整数で、
左辺は2の累乗の形だから、右辺もそうでないといけないじゃん。

>>845
　（１）log2_3が有理数であるとするとlog2_3＝q/p　(p,qは自然数)と置けて、このとき2^(q/p)＝3　⇔　2^q＝3^p
　左辺は２しか素因数に持たない。右辺は３しか素因数に持たない。（∵p,ｑ∈Ｎ）　よって矛盾。

　無いだろうなぁ・・・と思って解こうとすると
（２）ｎ＝１のときlog2_1＝０　ｎ≧２のときlog2_n≧１だから、log2_nが整数でない有理数b/a（a≧2　a,bは互いに素な自然数）になるとすると
　2^(b/a)＝ｎ　⇔　2^b＝n^a　左辺は２の自然数乗なので　ｎ＝2^cと置けて、このとき　2^b＝(2^c)^a＝2^(ac)　⇔　ｂ＝ac
　これは、aとｂが互いに素であることに矛盾。　よって、そんなもんは無い。

　背理法を使う典型問題で、難しく無いと思うｮ。

>>869
　2^b＝n^a　　←ｎは２以外の素因数を持つことはできない！

　！
　何故か更新されてなかった・・・　禿しく重複sumimaseng

>>865
ゴメン。ちょっと定義悪かった。
f(n)=f(n+k)が常に成立する最小のkが６である。という定義に変更してください。

過去の数学質問スレのアドレスどなたかわかりませんか？

7…http://school.2ch.net/kouri/kako/1036/10367/1036785888.html
6…http://school.2ch.net/kouri/kako/1033/10334/1033469482.html

は分かったんですが、それ以前がわかりません。
テンプレになかったんで…

age

ほしゅほしゅ
あげあげ

>>874
４は何故かﾌﾞｸﾏｸに入ってた。
http://school.2ch.net/kouri/kako/1029/10298/1029866597.html
そこから穿って逝って
３http://school.2ch.net/kouri/kako/1025/10257/1025785783.html
２http://school.2ch.net/kouri/kako/1020/10200/1020087580.html
１http://school.2ch.net/kouri/kako/1016/10160/1016008085.html

これだけ発掘しましたが、５が行方不明。

聖十二角形の１２個の頂点のどの二点間にも一方通行の道がある。
このとき任意の点に二回以内の移動で到達できるような道が存在することを示せ。
ただし道の乗り換えは頂点でしかしてはならない。

>762
Σ（K=0〜ｎ）(n-k+1）＝(n+1)^2-(1/2)n(n+1)
ここで質問なのですが、
なぜに(n+1)^2なのですか？n(n+1)じゃないんですか？

>>879
Σ（K=0〜ｎ）(n-k+1）
＝(K=0〜n){(n+1)-k}←n+1はKについての式じゃないからn+1がn+1個あるので・・・
＝(n+1)^2-(1/2)n(n+1)

>>879
　僕ならΣを分けて　Σ(n-k+1)＝Σ(n-k)＋Σ１＝Σk＋(n+1)＝1/2n(n+1)＋(n+1)＝1/2(n+1)(n+2)　
　とやるかな・・・
　Σ(n-k)において、n-k＝ｍとでも置くと、ｋ＝0〜nなのでｍ＝n〜0　よってΣ(n-k)＝Σm＝1/2n(n+1)　を使いました。

　ちょ、重複すまぬ・・・　最近多いﾅｧ

>>878
存在しないときがあるんじゃない？

a[1]=1,a[2]=-1,
a[n+2]=a[n+1]-a[n]

三次関数f(x)がある異なる整数a,bに対して
f(2a)=f(3a)=f(2b)=f(3b)=0を満たす。
方程式f(x)=0が異なる二つの素数海を持つとき、
a=(ア),b=(イ） ただしa<b
センター試験こういうのにして欲しい。

>>883
わからんのです。国語力ないのかな。。。

>>878
道じゃなくて頂点じゃないの？
コレメッチャ有名問題だね。実はn個の点に拡張可能。

２回以下の移動で行ける点の数が最も多い点をAとする。
BがAから２回以下では行けない点とすると、A及びAから一回の移動で行ける全ての点にはBからの道が有る筈である。
するとこのBから題意の条件で行ける点の数はAから行ける全ての点とAなので、Aが最大で有ることに反する。
即ち、Bが存在しない。

証明から一目瞭然だと思うけど、拡張出来ます。
帰納法でも出来るけど、面倒くさいので自分で考えて見れ。

簡単すぎて試験にならないと思われ。

>>877
どもども。
うーん、勉強になるから全部みようと思ったんです。

５がほしぃ

>>887
任意ってそういう意味なのか。

{(x^m)^n}-1がｍ≧２のときｎ+１個の正式に因数分解できることを示せ

＞BがAから２回以下では行けない点とすると、A及びAから一回の移動で行ける全ての点にはBからの道が有る筈である。
これがよくわからん

>>764の問題はったもんですがコピペ問題とはしりませんでした。
某数学サイトの問題を考えてもわからなかったので質問させていただきました

n+2)-pβ^(n+1)-qβ^n=(β^n)*(β^2-pβ-q)=0　(∵β^2-pβ-q=0)
よって，題意は示された．

(2) s=0とすると，a(n+2)=t*a(n) ⇒ a(n+6)=t^3*a(n)
したがって，t=1を得るが，これは周期2になるので不適．よって，s≠0である．
　　いま，2次方程式：x^2-sx-t=0 (s≠0)が相異なる2解を持つとし，2解をα，β(α≠β)とおく．
　　n≧2 のとき，
　　a(n+1)-αa(n)=β{a(n)-αa(n-1)}={β^(n-1)}{a(2)-αa(1)}・・・ア
　　a(n+1)-βa(n)=α{a(n)-βa(n-1)}={α^(n-1)}{a(2)-βa(1)}・・・イ
　　とおけるので，ア*β-イ*αより，
　　a(n)=〔{β^(n-1)}{a(2)-αa(1)}-{α^(n-1)}{a(2)-βa(1)}〕/(β-α) (n≧3)
　　となる．これは，n=1，2においても正しいので，{a(n)}の一般項は，
　　a(n)=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) (A=-{a(2)-βa(1)}/(β-α)，B={a(2)-αa(1)}〕/(β-α) ) とおける．

　　続く

続き

　　a(n+6)=a(n) が成り立つので，
　　Aα^(n+5)+Bβ^(n+5)=Aα^(n-1)+Bβ^(n-1) ⇔ A*{α^(n-1)}*(α^6-1)+B*{β^(n-1)}*(β^6-1)=0・・・ウ
　　ここで，s，tがともに実数となり，かつ，任意の自然数nに対してウを成立させるα，βは，
　　{α，β}={-1，1}，{cos60°+isin60°，cos120°-isin120°}，{cos60°+isin60°，cos300°+isin300°}
　　　　　 {cos120°+isin120°，cos240°+isin240°}，{cos240°+isin240°，cos300°+isin300°}
　　　　　 {cos300°+isin300°，cos60°+isin60°}
　　の6組ある．このうち，s≠0となるものは，
　　{cos120°+isin120°，cos240°+isin240°}，{cos240°+isin240°，cos300°+isin300°}の2組．
　　したがって，この場合，考えられるケースは(s，t)=(1，-1)，(-1，-1)の2組．
　　(s，t)=(1，-1)のとき，a(n+2)=a(n+1)-a(n)
　　このとき，{a(n)}はp，q，q-p，-p，-q，p-qの繰り返しとなる．この6つの値がすべて異なるようなp，qを選んでおくと，
　　(p，q)=(√2，√3)．
　　(s，t)=(-1，-1)のとき，a(n+2)=-a(n+1)-a(n)
　　このとき，{a(n)}はp，q，-p-qの繰り返しになり，周期3になるので不適．

　　以上より，(s，t，p，q)=(1，-1，√2，√3)・・・答

ｼﾞｵｿは数学苦手っぽいな

>>895の続き
なお，x^2-sx+t=0が重解を持つときは，周期6にはなりえないことは
証明できます。ということは，『(s，t)=(1，-1)で，かつp，qが同時に0でない
実数である』ことが，数列{a(n)}が周期6になることの必要十分条件になると思います。

>>887
ほー、面白いですね、少し感動しました。

>>892
＞頂点のどの二点間にも一方通行の道がある
わけだから、
Aを含め、B以外のどの頂点からも「Bへ一回で行ける道」か「Bから一回で来れる道」のいずれか一方だけが必ず存在しますよね？
(これはAだから、とかAから一回で行ける頂点だから、って話でなくどの頂点を考えてもこんな道が有ります)

で、「Aから１回で行ける」頂点とBの間にも当然そのどちらかの道が存在します。
ここで、それらの道の中に「Bへ一回で行ける道」が存在したとします。
すると、「Aから１回で行ける頂点」からBへ１回で行けることになり、
つまり　A→その頂点→B　という移動を２回の移動で行えると言うことです。
でも、Bは「Aから２回以下では行けない点」と仮定しましたよね？
Aから１回で行ける頂点が一つでも「Bへ一回で行ける道」を持つことはそれに矛盾することになります。

ということは、矛盾を生じないためには、
Aから１回で行ける頂点は全て「Bへ一回で行ける道」を持てないわけです。
「Bへ一回で行ける道」か「Bから一回で来れる道」のどちらか１方だけ持つ、と決められていて、
さらに「Bへ一回で行ける道」を持つことも禁止されたわけですから、
「Bから一回で来れる道」を持つしかないわけです。

なんか冗長な説明になってしまいました、すいません。

>>896
ﾏｼﾞﾚｽしとくと，ｼﾞｵｿﾀﾝはむちゃくちゃ数学偏差値高いと思うのですが・・
多分他の科目も。試験で寝なければ受かるだろうと。

>>大数ｵﾀﾀﾝ
あと，この問題のように『1組求めよ』みたいなやつって
偶然に見つけて，答だけを書いてもいいものなの？
それとも，見つけた根拠をできるだけ記さないといけないんでしょうか？
たまにこういう問題って見かけますよね・・。茶にはあんまりないけど・・。

>>741>>745
迷惑かけました。
>>745のおっしゃるとおりです。
考えてみるとただ公式にほうりこむだけの簡単な計算ですね。
ありがとうございました。遅くなって申し訳ありません。

>>899

>>899
見つけた過程は書いた方が良いと思うよ。

ちなみに(1)の誘導は・・・
数列a(n)の特性方程式の２解をα、βとすると、
α^(n+2) -sα^(n+1) -tα^n=0
β^(n+2) -sβ^(n+1) -tβ^n=0
が成り立つため、Aα^n +Bβ^nが一般項である数列はa(n)の漸化式を満たす。
と直接言えるんだけど、コレはちょっとどんな誘導をすれば良いか分かんなかった・・・良いアイデア有ったら教えて欲しいな。

>>887
>>899
ありがとやんした。

>>902
うーん・・。いちおう13日の問題でかなり条件をきつくして改造しますたが，
完全に答が1つであることを証明するにはいたらなかったという・・。
まあ，ｾﾝﾀが終わったあとくらいにでも読んでみてください・・

こけっこっこってどこ大？

>>905
　代わりに答えてあげちゃお。中学３年生だってさ。やな感じ。

こけこっこってさ、たまに数学系サイトで見かける「にわとり」って人と何か関係有るの？
なんかその人のサイト欄に2chのアドレスが書いてあったりするし。

>>906
高２だろ？

>>908
いや、正真正銘彼はちゅーさんです。
漏れもあの頃から数学やり始めてたらなぁ・・・

俺もその頃からやってれば…。
大学行ったら「高校のあの時期２chなんかやってなければ…」とか思うのかなぁ

>>909
マジか！？
そんなに数学が好きなのに文系なのか、もったいない

このスレで一番数学できるのだれ？

俺かな。

>>913の言うことに黙れんなよみんな！

いや、問題出すとか煽るとかなんか素敵な展開はないんですか？

じゃあ
1/{(x+1)√(x^2+x+1)}を積分してちょ

ごめん、x+1=sqrt(3)/2 tanθ
とか置いて置換積分→三角関数の合成で1/sin(θ+α)みたいな形に

って方法しか思いつかなかった。

だから、
∫1/{(x+1)√(x^2+x+1)}dx
=∫2/(sqrt(3)*sin(θ+30°))dθ　とかかな？

的はずれだったらごめん。

積分は苦手だから整数問題を。
例によって早稲田過去問を改題。

相異なる自然数a,b,cについて、どの２数の和も残りの数で割り切れるための必要十分条件を求めよ。

多分簡単。

>>918
a>b>cとして一般性を失わない。
b+c<2a　がaで割り切れることから、b+c=a
よって
b+a=2b+cがcで割り切れることから、2bはcで割り切れる。
a+c=2c+bがcで割り切れることから、2cはbで割り切れる。
これらから、
2b=mc 2c=nb(m,nは自然数)と置くと、mn=4となる。
b>cより、
(m,n)=(4,1)のみ
よって、b=2c
これから、a=3c

よって、(a,b,c)は(n,2n,3n)と自然数nを用いて表される物と、その並び替え。

>>919
せーかいでし。

やたー。
大数は学コン今月はやる暇無かったから宿題だけ出しといたよ。
そしてその発表の３月号は二次の受以下略。
大数ヲタさんも京大文系だっけか…。

>>918
元ネタは>>137？

旅館に二人部屋を三室借りた。五人の仲間で合宿するとき、
宿泊の方法は何通りあるか。

部屋は区別するのだろうか

おそらく。

180通りくらいじゃない？

答えは９０通りらしいのですが。

(´-`).oO(・・・人の分けかた30通り・・・)

(´-`).oO(・・・部屋の分けかた3通り・・・)

ごめん９０通りだね。
４人を２部屋ずつに分ける方法＝１２通り、にしてた。
まるで白痴だな…。

>>928
ここに顔を出す暇があったら、センターの勉強しろ！
（もしくはハイレベル理系数学50）

>930
ハイレベルのスレのびないね。ageときますた。
センターあるから仕方ないか、、、

>>916
これできるのか？

(´-`).oO(・・・>>930　ｾﾝﾀ(ﾟдﾟ)ﾏｽﾞ-・・・)

２曲線ｙ＝x^3+x^2-x-1,y=x^3+x-1,および２直線x=a,x=a+1
で囲まれる部分の面積は？

>>932
917はやっぱ大胆に違ってるかな？

>>934
及び　の意味がよく分からないんだが、
「囲まれる部分」ってのは、その領域の境界が２曲線と２直線の全てで構成されてる、って事？
２曲線が交差してて、その左と右に直線があった場合、面積は０？

一応、答えは13/12になるんですけど

>>933
Σ（ﾟдﾟｌｌｌ）ｶﾞｰﾝ

>>937
取りあえず、x座標が２直線の間にあって、y座標が２曲線の間にある部分の面積、として計算してみたら。

* a＜-1 or 2≦a の時*
a^2-a-2/3
* 0≦a＜1 の時*
-a^2+a+2/3
* -1≦a＜0 の時*
-2(a^3)/3+a^2+a+2/3
* 1≦a＜2 の時*
2(a^3)/3-a^2-a+2

みたいになったんだが、なんで答えが定数になるの？
最小の時を示せ、って問題かなやっぱり？
それでも、a=0の時とか2/3＜13/12になる気がするんだが…。

>>916
∫1/√（x^2+a）dx = log |x+√（x^2+a）| ＋ C
を使えばいける。
x+1=tと置いて
∫1/｛t√（t^2-t+1）｝dt
1/t=uと置いて
−∫1/√（u^2-u+1）du
u-1/2=vと置いて
−∫1/√（v^2+3/4）dv
で、最初の公式を使う。

>>940
正解！すごいっすね。

たぶん誘導無しでは試験問題には出ないだろうね
(1)で∫1/√（x^2+a）dx = log |x+√（x^2+a）| ＋ C
を証明しろとかいう形になるかと。

>>941
最初の公式を”探す”のに時間かかってたりしてまつ。

こけっここ中�Vかよ・・・今東大うけても受かりそうだな・・・

>>943
彼は頭いいけどそれは無理だと思う。

>>943

x+1/2=(√3/2)tanθ　とおいて，次に，θ+π/6=t とおいて，
最後に，cost=uとおくと，uに関して答が出るけど，
これをxに戻すのが難しいという・・。定積分のほうがかえって楽かも。

>>943
(´-‘)．｡oO(いつか入れればいいな)

>>945
高校行く？

>>945
確かに。
原始関数求めろって話だと、最終的に　1/sin(θ+30°)　の積分になってると思うけど、
tanからx用いて表して加法定理で…とか、面倒なステップ踏まなきゃいけないですね。

>>941
はー、凄いですね。
そうやってコツコツ変換していくとそんな簡潔に解けるんですか…。

>>921
ちょっと違って京大理系でつ。
最近センターに引きずられて理学部に死亡学部変更気味ｗ。
>>918
その通りでつ。

（＾＾）

全ての初等関数の合成関数の不定積分は初等関数で表わす事ができると思っ
ている工房は多いと思うな

「積分ができない」という表現を良く使っているがどういう意味で使ってい
るのだろうか

>>950
多くの工房が全ての初等関数の合成関数の不定積分は初等関数で表わす事ができると思っ
ていると思っているらしいが

どのような意図でその問いを発してい
るのだろうか

>>950
難しい積分のことだと思うけど・・。

>>951
僕もそれが知りたい・・

倍角の公式と半角の公式のイイ覚え方有りませんか？