高校生にテンソルを教えるスレ

1 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/14(水) 22:59:30 ID:???

行列と関係あんの？
すげー興味ある

2 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/14(水) 23:06:43 ID:wbeaiSEd

ttp://www005.upp.so-net.ne.jp/yoshida_n/qa_a40.htm

でなおしてこい

3 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 00:29:26 ID:2AO5+QT6

テンソルてなんだべ？

4 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 00:36:03 ID:ZkXPQbQc

あれだべ
昔のおなごが足を成長させない為に履いてたアレだべ。

5 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 00:43:54 ID:tPDzwKwe

高校生に教えるなら，具体例で説明かな。

「具体的に説明すると，力を例にとろう。
例えば、テンソルというのは、

テンソル　⇒　Ｔxy

と書いたりするんだけれど、この意味する処は，

ｘ方向に力Fを及ぼした時に，ｙ方向に Txy だけの変化がある

-------------------> x方向 : 力　Ｆ
　　　　|
　　　　|
　　　　|
↓
y方向
　　　　Txy：　変化
という意味なんだ。ベクトルでは、それが向いている方向
しか表す事は出来ないんだけれども、
テンソルは、

ｘ方向を向いている時の、ｙ方向の変化　

を表す事が出来て，

Ｔxy

と書くんだ。
」

6 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 00:49:15 ID:tPDzwKwe

テンソル　Txy

というのは，　２階のテンソル　というんだ。
それは、Ｔの右下に２つ添え字があるから、
２階のテンソルというんだけれども、

それが１つなら，　１階のテンソル
それが０つなら、　０階のテンソル
というんだ。

１階のテンソル　は，　実はみんなが知っている　ベクトル。
つまり、　方向と大きさ　をもつもの。

０階のテンソル　は、　一番身近な、　数。
つまり、　大きさ　をもつもの。方向はない。

7 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 00:50:44 ID:wEpu8xaA

なんか広がりを表す量ってことですかね

8 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 00:52:11 ID:tPDzwKwe

だったら、

Ｔの右下に添え字が３つもあるのか？

というと、それは　３階のテンソル　といってある。
実は、　Ｔの右下に添え字が４つでも、５つでも、・・・ｎつ
でも、ある。それは、　４階のテンソル、５階のテンソル、・・・
ｎ階のテンソル、っていう。

より複雑なものやことを表したい時に、それらをつかう事になる。

9 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 01:05:31 ID:tPDzwKwe

Ｔxyz　となれば　３階のテンソル
Ｔ1324 となれば　４階のテンソル
・・・
といいます。

Ｔxyz というのは，　y方向，z方向で同じにある変化が起きた
時にx方向に　Ｔxyz　という変化が起きる。といった具合に
使われる時があります。このような例だけではなく、状況に合わ
せて使われます。

T1324 というのは，例えば，（1, 3, 4）という３つのペアの
時に, 2の方向に　T1324　という変化が起きる。

10 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 01:07:35 ID:tPDzwKwe

>>7
ある意味そうですね。
テンソル　Txy というのは，ｘ方向だけの話でもなく，
ｙ方向だけの話でもない。そういう意味で　広がり＝
一つの方向　って事だけでは済まない　というのが、
テンソルっても言える。

11 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 01:09:40 ID:tPDzwKwe

>>7
例えば，違う例でいうと

テンソル　Ｔxy
⇒
ｘ方向に走っていた時に，ｙ方向から　Ｔxy だけの強さの風を受ける

テンソル　Ｔxy
⇒
ｘ方向に走っていた時に，ｙ方向から　Ｔxy だけの強さの風を受ける

テンソル　Ｔzz
⇒
ｚ方向に走っていた時に，ｚ方向から　Ｔzz だけの強さの風を受ける

こんな使い方もします。

12 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 01:19:18 ID:tPDzwKwe

こんなものも　テンソル　です。

Ｔabc
⇒　３階のテンソル　
⇒　a,b,c は　1, 2, 3　のどれかの数
⇒　３つの数のペア(a,b,c)が全て違う数なら１か－１
　　３つの数のペア(a,b,c)のうち同じ数があるなら０

T123 = 1, T231 = 1, T312 = 1,
T132 =-1, T321 =-1, T213 =-1,

T111 = 0, T222 = 0, T333 = 0,
T112 = 0, T121 = 0, T211 = 0,
T113 = 0, T131 = 0, T311 = 0,
T221 = 0, T212 = 0, T122 = 0,
T223 = 0, T232 = 0, T322 = 0,
T331 = 0, T313 = 0, T133 = 0,
T332 = 0, T323 = 0, T233 = 0

こんな様にして，勝手に1, 2, 3の３つの数字
を使って，それらの３つのペア（ 1,2, 3）をつく
って，　それに T123 と名前をつけて、それを
１とします、と決めてル事もできます。

３階のテンソルっていっても簡単でしょう？

13 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 01:19:46 ID:3NnTKQxp

テンソルは高次元行列。それだけだ

14 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 01:31:00 ID:tPDzwKwe

>>13
抽象的で、高校生は分からないし、その様な理解が
先ではなくてもいいと思うなぁ。人それぞれだけど。
高次元行列って矛盾している名前でもあるし。

そりゃ、

ｎ階テンソル　T_{j1,j2,j3,・・,jn}　

ってのは，Ｔという量が e_{j1},・・・・,e_{jn}
というｎこの「積*」で

Ｔ＝T_{j1,j2,j3,・・,jn} e_{j1}*e_{j2}*・・*e_{jn}

と書かれるものを言うっていう事が一番正確で一般的だけど、
それは　高校生にとってはあまり意味がない　って俺は思う。
つまり、定義を知っただけでそれが何？っては理解は出来な
いから。　
　

15 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 03:36:30 ID:NEdJ9yw9

>>14

1 ではないけれど、サンクス。
2ch の良い使い方だと思う。
荒しはスルーして、ぜひ継続して貰いたい。
複雑なことを、初心者に解りやすく説明するのは、結構、能力が必要だし。

16 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 07:37:12 ID:???

1-formって具体的にどんなものですか？
教えてください＞＜

17 ：一回生：2005/09/15(木) 09:19:13 ID:5BuRB/kg

ベクトルが複数の変数で表せるって事か？f(x y z t)みたいなもん？

18 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 09:29:13 ID:???

>>3
式の筆記量を減らすための方便です。人間だらけると、テンソルを
使って楽をしようとします。というのは本当です。

19 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 09:47:49 ID:???

2-次元の碁盤の目(x,y)を考え、自分は交点に立っているとする。x方向に
１交点移動したら実数a_xだけゲットする、y方向に１交点移動したら実数
a_yだけゲットする、というゲームをしようとしたとする。（-x方向への
移動は符号が逆になるだけとする。）このゲームをするには、あらかじめ
各交点でa_x, a_yを与えておく必要がある。これが1-formの離散バージョン。
交点をつぎつぎと移動して、その移動の全過程で実数をトータルいくつゲット
できたかが計算できたりする。
このように、自分の立ち位置の微小変化に比例した値がゲットできる仕組み
を　1-formという。立ち位置の変化の方向は、考えている空間の次元と同じ
だけある。だから1-formもその数だけの成分で指定する必要がある。
1-dimなら　立ち位置xからx+dxの変化に応じて、a(x)dxをゲットする仕組み
となるので、a(x)がこの場合の　1-formつまりふつうの微分係数そのものだ。

20 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 14:38:26 ID:tPDzwKwe

>>16
1-form　というのは，高校の時に少し会っていて，
具体的には，　ｄｘ　とか　ｄｙ　というものが
1-formというんだ。

ｘ軸をｘ軸に垂直に平らな面で区切っていったものが　ｄｘ，　
ｙ軸をｙ軸に垂直に平らな面で区切っていったものが　ｄｙ，
なんだ。

2-form　というのも，あって，それは大きさと共
に方向を持つ。具体的には，　ｄｘ∧ｄｙ　なん
て書くんだ。　縦横がｄｘとｄｙである様な微小
な面積を表すと共に、ｄｘからｄｙにネジを回す
方向を持つ。

つまり、ｘ軸からｙ軸へのネジを回す方向なので、
ｚ軸方向だね。縦横がｄｘとｄｙの面積を持つ、
ｚ軸方向を持つものが、　ｄｘ∧ｄｙ　という、
２－formなんだ。

21 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 14:43:14 ID:tPDzwKwe

Ｔx は　Ｔの右下に添え字が１つだから　１階のテンソル
なんだ。これは　ベクトル　と同じと言ったけれども、何故？
って感じではある。

ベクトル　Ａ　＝（Ａx, Ａy, Ａz）と成分表示できたよね。
この成分一つ一つに注目すると　Ａの右下に添え字が１つある
よね？　ということは、　Ａx, Ａy, Ａz というのは、１階の
テンソルなんだ。

こう見てみると、　Ｔx　というのは、何か　ベクトルＴとい
うものの、ｘ方向の成分　Ｔx　という事らしい。

つまり、　１階のテンソル　Ｔx　というのは、ベクトルＴの
ｘ方向の成分を表す事が分かる。

22 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 14:48:31 ID:tPDzwKwe

すると、　ｘ方向の成分だけでなく、ｙ方向の成分、ｚ方向の成分
である、　Ｔx, Ｔy, Ｔz も全て、　１階のテンソルで、ベクトル
のx,y,z成分を表す。　ベクトルＴの各成分、Tx, Ty, Tzをまとめて

Ｔx, Ｔy, Ｔz －－－－＞　Ｔi

とＴの右下に１文字iと添えて、　その i が　x, y, z　を
意味する様にすれば、　ベクトルＴを

ベクトルＴ　＝>　Ｔi , i=x, ,y z　

と書ける。　これで

ベクトルＴ　⇔　Ti ⇔　１階のテンソル（Ｔの右下の文字が１つだから）　

と統一的に書ける訳。

23 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 14:49:36 ID:tPDzwKwe

つまり、ｘ軸からｙ軸へのネジを回す方向なので、
ｚ軸方向だね。縦横がｄｘとｄｙの面積を持つ、
ｚ軸方向を持つものが、　ｄｘ∧ｄｙ　という、
２－formなんだ。

24 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 15:00:30 ID:tPDzwKwe

２階のテンソルっていうのもそう難しくないんだ。

Ｔxy　とＴの右下に添え字が２つあるものを、２階のテンソルって
言ったけれども、具体例は無限にある。例えば、

１階のテンソルだった、
　ベクトルＴのｘ成分　Ｔx
　ベクトルＴのｙ正分　Ｔy
を使って，その積
　ＴxＴy
を　２階のテンソルＴxy　と定義も出来るんだ。つまり，
　Ｔxy ＝　ＴxＴy

25 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 15:03:27 ID:tPDzwKwe

Ｔｘ、Ｔｙは　ベクトルＴの成分だったから，その
ベクトルＴ　は　簡単に書くと　Ｔi　（i=x,y,z）
なんて書けたね。そうすると，２階のテンソルとして

Ｔij ＝　ＴiＴj　　（i=x,y,z； j=x,y,z）

なんても定義できるんだ。

26 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 15:06:31 ID:tPDzwKwe

ＴxやＴyというものの積だけで無くって，

ベクトルＡ＝１階のテンソル＝Ａi (i=x,y,z)　と
ベクトルＢ＝１階のテンソル＝Ｂj (j=x,y,z)　と

を使って　２階のテンソルＣij　を

Ｃij ＝　Ａi Ｂj　(i=x,y,z；j=x,y,z)

と定義も出来る。

27 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 15:09:01 ID:tPDzwKwe

こうなってくると、色んなものが勝手に作れそうな事が
分かってくるよね。例えば

２階のテンソルＴｘｙを

Ｔxy　＝　ｄＴy/ｄｘ　＝　Ｔｙをｘで微分

なんても定義できたりもする。すると、

Ｔyx　＝　ｄＴx/ｄｙ　＝　Ｔｘをｙで微分

とＴｘｙは同じではなくって　Ｔｘｙ≠Ｔｙｘ。

28 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 15:10:49 ID:tPDzwKwe

でも、
１階のテンソルだった、
　ベクトルＴのｘ成分　Ｔx
　ベクトルＴのｙ正分　Ｔy
を使って，その積
　ＴxＴy
を　２階のテンソルＴxy　と定義も出来るんだ。つまり，
　Ｔxy ＝　ＴxＴy
だと，

　Ｔyx ＝　ＴyＴx

だから，Ｔxy＝Ｔyx　と同じになる。
つまり、一般的には、テンソルというのは、その右下の
添え字を入れ換えると　違うものになるわけ。

29 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 20:34:48 ID:???

ずうっと一人で書いていて楽しいか？

30 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 21:12:44 ID:???

良レスじゃないか。ｱﾌｫは茶々入れるな。

31 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 23:21:16 ID:???

いやだておまい00時35分から15時杉まで書いてるんだぜ
自分で勉強しながら書いてるんじゃないかｗ

32 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/15(木) 23:34:08 ID:???

漏れは>>15の意見に賛成するぞ
これだけ砕いて説明するのは、良く分かってないとできないと思う

33 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/21(水) 12:28:03 ID:???

ここまで下添字しかでてきてねえｗ

34 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/21(水) 20:40:37 ID:jrbK4mEI

~~~~~~~~~~~~~~~~xy
Tuv = gux gvy T

これでどうだっ！

35 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/21(水) 23:50:25 ID:1bCv8qNF

>>34
それは本質ではないから、その段階では。

36 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/21(水) 23:51:06 ID:???

先生！上添字の具体的な意味も説明して下さい。

37 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/21(水) 23:55:57 ID:1bCv8qNF

>>35
失礼。
>>33
それは本質ではないから。その段階では。

38 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:23:24 ID:Qari2HiO

>>36
「一言で言えば、添え字が下か上かという違いは、

　　見方を変えている　
　
　という事なんだ。でも、元々は同じものだからさ、　
　　
　こうやって見方を変えましたよ　っていう　
　説明書　
　
　はちゃんとある。それが　gux だったり gvy
　だったりするんだ。」

39 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:28:20 ID:Qari2HiO

>>36

右下に２つ添え字がある　Ｔ_xy　にしたって、
右上に２つ添え字がある　Ｔ^{xy}にしたって、

元々は　同じＴっていうものなんだ。

右下に２つ添え字が付く様に，　Ｔを見てやると　Ｔ_xy
右上に２つ添え字がつく様に、　Ｔをみてやると　Ｔ^{xy}

ってなる。どっちも添え字が２つあるからさ、２階のテンソル
なんだ。

40 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:32:41 ID:Qari2HiO

>>36
だから，　
右上に２つ添え字がつく　Ｔ^{xy}　にしろ，
右下に２つ添え字がつく　Ｔ_{xy}　にしろ，

ある方向を見た時の、　別の方向への変化　を表している。
例えば、ｘの方向を向いていた時の、ｙの方向への変化って
具合にね。

じゃあ、上に添え字がつく時と、下に添え字がつく時とでは、
>>38　によるとだ、　元々同じものを別の見方をしたものだ＿
っていう訳だが、どう見方を換えているのかってのが、問題
だ。

41 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:41:20 ID:Qari2HiO

>>36
それに関わっているのが，　gux, gvy らしいのも分かった。
大学に入れば、数学的にきっちり展開されるんだが、直観的
なイメージのひとつはこうなんだ。

右上に２つ添え字がつく　Ｔ^{xy} てのは、Ｔっていう量を
ｘ方向（→）を向いていた時に、ｙ方向（↑）への変化を表
す量なんだ。

右下に２つ添え字がつく　Ｔ_{xy} てのは、Ｔっていう量を
ｘ方向（→）が垂直に貫く面（｜）、
　[・・・　→が｜を垂直にこう　→｜　貫いている]
こんな面（｜）で，Ｔっていう量を見た時に、

ｙ方向（↑）が垂直に貫く面（＿）、
　[・・・　↑が＿を垂直にこう　⊥　貫いてる]
こんな面（＿）への変化を表したのが、Ｔ_{xy}　って
いう量だ。　

42 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:45:36 ID:Qari2HiO

>>36
右上に２つ添え字がつく　Ｔ^{xy} てのは、Ｔっていう量を
ｘ方向（→）を向いていた時に、ｙ方向（↑）への変化を表
す量なんだ。

右下に２つ添え字がつく　Ｔ_{xy} てのは、Ｔっていう量を
ｘ方向（→）が垂直に貫く面（｜）、
　[・・・　→が｜を垂直にこう　→｜　貫いている]
こんな面（｜）で，Ｔっていう量を見た時に、

ｙ方向（↑）が垂直に貫く面（＿）、
　[・・・　↑が＿を垂直にこう　⊥　貫いてる]
こんな面（＿）への変化を表したのが、Ｔ_{xy}　って
いう量だ。　

ｘ方向（→）で見た時，ｙ方向（↑）への変化：　Ｔ^{xy}　でも
ｘ方向（→）に貫かれる（｜）で，ｙ方向（↑）に貫かれる（＿）
への変化：　Ｔ_{xy} でも，

43 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:46:15 ID:Qari2HiO

>>36
ｘ方向（→）で見た時，ｙ方向（↑）への変化：　Ｔ^{xy}　でも
ｘ方向（→）に貫かれる（｜）で，ｙ方向（↑）に貫かれる（＿）
への変化：　Ｔ_{xy} でも，

ある方向を見た時の、またある方向への変化　を表しているんだ。
ただ、その　ある方向　や　またある方向　というのが、どういう
見方での　ある方向　や　またある方向　であるかって言う違いが
あるだけなんだ。

44 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:55:24 ID:Qari2HiO

>>36
Ｔって言う量を

ある方向を　（→）　でみて，（↑）　への変化をみるのか：Ｔ^{xy}
ある方向を　（｜）　でみて，（＿）　への変化をみるのか：Ｔ_{uv}

元々同じものを、別の見方で見ただけなので、Ｔ^{xy}でもＴ_{uv}でも
対等なものです。だから、どちらで考えても言い様に、説明書がある。
その　どう見方を換えたのか　っていう　説明書　が，gux, gvyなんだ。

例えば，Ｔってものを，
右上に添え字が付く[（→）（↑）]という見方をしたＴ^{xy}を，
右下に添え字が付く[（｜）（＿）]という見方のバージョンにし
たいなら，説明書gux, gvyに従って，

Ｔ_{uv} =　gux　gvy Ｔ^{xy}

となるんだ。

45 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:57:34 ID:Qari2HiO

>>36
Ｔ^{xy}の上についていた添え字ｘは、説明書 gux　に
よって，添え字の位置は右下になるんだ。そして、もう１つの説明書
gvy　によって，Ｔ^{xy}の上についていた添え字ｙは、その位置が
右下にあるんだ。

つまり，
説明書 gux　によって：
gux Ｔ^{xy} = Ｔ_{u}^{y}

説明書 gvy　によって：
gvy Ｔ_{u}^{y} = Ｔ_{uv}

となるんだ。

　　

46 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 00:59:19 ID:Qari2HiO

>>36
Ｔってものを：

　右上に添え字が付く【矢印】[（→）（↑）]という見方をしたＴ^{xy}を，
　右下に添え字が付く【面】 [（｜）（＿）]という見方のバージョンにし

たいなら，説明書g ux, gvy に従って：

説明書 gux　によって：
gux Ｔ^{xy} = Ｔ_{u}^{y}

説明書 gvy　によって：
gvy Ｔ_{u}^{y} = Ｔ_{uv}

となるんだ。

47 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:06:21 ID:Qari2HiO

>>36
となると，Ｔってものを：

　右上に添え字が付く【矢印】[（→）]という見方　で見た時の，
　右下に添え字が付く【面】 [（＿）]という見方　で見たら

Ｔ^{x}_{y}

なんてもなる。当然、

　右下に添え字が付く【矢印】[（｜）]という見方　で見た時の，
　右上に添え字が付く【面】 [（↑）]という見方　で見たら

Ｔ_{x}^{y}

なんてもなる。Ｔ^{x}_{y}　も　Ｔ_{x}^{y}　もどちらも、元々は
同じＴっていうりょうなので，説明書 g ，ここでは，
g^{xx}, g_{yy}
g_{xx}, g^{yy}
によって，

Ｔ^{x}_{y} ＝ g^{xx} g_{yy} Ｔ_{x}^{y}

Ｔ_{x}^{y} ＝ g_{xx} g^{yy} Ｔ^{x}_{y}

となる。

48 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:07:00 ID:Qari2HiO

>>36
当然、

　右下に添え字が付く【矢印】[（｜）]という見方　で見た時の，
　右上に添え字が付く【面】 [（↑）]という見方　で見たら

Ｔ_{x}^{y}

なんてもなる。Ｔ^{x}_{y}　も　Ｔ_{x}^{y}　もどちらも、元々は
同じＴっていうりょうなので，説明書 g ，ここでは，
g^{xx}, g_{yy}
g_{xx}, g^{yy}
によって，

Ｔ^{x}_{y} ＝ g^{xx} g_{yy} Ｔ_{x}^{y}

Ｔ_{x}^{y} ＝ g_{xx} g^{yy} Ｔ^{x}_{y}

となる。

49 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:10:45 ID:Qari2HiO

>>36
Ｔ^{x}_{y} ＝ g^{xx} g_{yy} Ｔ_{x}^{y} ・・・①
Ｔ_{x}^{y} ＝ g_{xx} g^{yy} Ｔ^{x}_{y} ・・・②
①に②を代入すると，

Ｔ^{x}_{y}
＝ g^{xx} g_{yy} g_{xx} g^{yy} Ｔ^{x}_{y}
＝ g^{xx}g_{xx} g_{yy}g^{yy} Ｔ^{x}_{y}

なので，左辺＝右辺なので，

g^{xx}g_{xx} g_{yy}g^{yy} ＝１

ならないといけません。つまりは，

g^{xx} g_{xx} = 1 = g_{yy} g^{yy}

という関係があるわけです。これは，

50 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:14:48 ID:Qari2HiO

>>36
g^{xx} g_{xx} = 1 = g_{yy} g^{yy}
っていうのは，
　
　最初に，
　右上に添え字が付く【面】 [（↑）]という見方をして：

　右下に添え字が付く【矢印】[（｜）]という見方をした：g_{xx}
　んだけれど，また
　
　右上に添え字が付く【面】 [（→）]という見方で見た：g^{xx}

　ので，右上に添え字が付く見方を、一度、右下に添え字がつく見方を
　して、再度、右上に添え字がつく見方をしたので、

　右上⇒右下(g_{xx})⇒右上(g^{xx})　で　元に戻り,　戻るのだから
g_{xx} g^{xx} = 1 = 元に戻る

ってわけ。

51 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:15:29 ID:Qari2HiO

>>36　
　右上に添え字が付く見方を、一度、右下に添え字がつく見方を
　して、再度、右上に添え字がつく見方をしたので、

　右上⇒右下(g_{xx})⇒右上(g^{xx})　で　元に戻り,　戻るのだから
g_{xx} g^{xx} = 1 = 元に戻る

ってわけ。

52 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:27:10 ID:Qari2HiO

>>36
大学に入ると、色々名前がついていて、

右上に添え字が付く【矢印】[（→）（↑）]という見方をしたものを：
　Ｔ^{xy}, g^{xx}, ・・・・＞　
　contravariant(コントラヴェーリアント) テンソル

右下に添え字が付く【面】 [（｜）（＿）]という見方をしたものを：
　Ｔ_{xy}, g_{yy}, ・・・・＞
　covariant(コーヴェーリアント)テンソル

右下と右上に添え字が付く【矢印・面】 [（→）（｜）]という見方を
したものを：　Ｔ^{x}_{y}, g^{x}_{y}, ・・・・＞
　mixed(ミクスト)テンソル

なんていいます。

53 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:30:16 ID:Qari2HiO

>>36
Ｔ^{xy}, g^{xx}, ・・＞contravariant(コントラヴェーリアント) テンソル
Ｔ_{xy}, g_{yy}, ・・＞covariant(コーヴェーリアント)テンソル
Ｔ^{x}_{y}, g^{x}_{y}, ・・＞mixed(ミクスト)テンソル

どれでも、もともと同じものであるＴ　という量を　色んな見方　をした
ものですから、どれも対等です。

54 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:37:49 ID:Qari2HiO

>>36
じゃあ、なんで、３つも～テンソルなんて色んな見方をするのか？
それは、人間ていうのは、　もともと同じものであるＴ　という
量を　そのままでは分からない　からなんだ。
　つまり、
　このひもはどのくらいの長さだ？　って聞かれだ、
　何にもしない、つまり、　そのままでは分からないだろう？　
　　定規を持ってくるなり、
　　あらかじめ長さを決めておいたひも　をあてがって、その幾つ
　　分って測るなり、
　　そのひもを何かに巻きつけて、何回巻きつくかって、測るなり
　するだろう？

55 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:38:27 ID:Qari2HiO

>>36
つまり、定規でか、きめたひもか、巻き付けか、・・・どんな見方を
するかで、長さを測りたいひも：そのもの：　は、見え方が変わって
くる。　それが、丁度、テンソルでいう所の、
　上付き添え字：【矢印】(↑)(→)：コントラヴェーリアント
　下付き添え字：【面】(＿)(｜)：コーヴェーリアント
　上下付添え字：【矢印・面】(→↑)(｜＿)：ミクスト
っていう違いなんだ。

56 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:43:38 ID:Qari2HiO

>>36
でも、どれも、もともとは同じＴよいうものであるから、対等なんだ。
必要に応じて使い分けるわけだ。

そして、どういう物の見方をするかで、色々結果は変わる。
でも、それらは、対等で、どちらがどっちと言うわけではない。
なぜなら、もともとは同じものだから。

混乱しない為に、これはこういう見方をしましたよ　っていう
説明書がある。それが，　　g_{xy}, g_{x}^{y} なりなんだ。
この g　ってやつは，大学では，　metric(メートリック)　って
言われるもんだ。
　　人間は、そのままでは、何にも分からないから、
　【量】を　《ある見方》で【計る】ってこと　を
　　数学的に示したもが　：g：メートリック　なんだ。

57 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 01:47:36 ID:Qari2HiO

>>36
小学生でも幼稚園でも自然とやっている、

　たて（ぜんご）・よこ（さゆう）・たかさ（じょうげ）に幾つ

ってものもだ、人間が、そのままでは、何もわからないから、
無意識に、ある【量】を　《ある見方》で【計る】ってこと　
をやった結果なんだ。

それを大学に入ると、少し、知識も増えたから、

：ｇ：メートリック：テンソル：コーヴェーリアント：
コントラヴェーリアント：ミクスト：・・・

なんて名前を付けて、使い分けるわけだ。でも、その根本は、
素朴なところで、たて・よこ・たかさに幾つ　から出発しているんだ。

58 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 03:44:55 ID:???

反変とか共変とかも併記してあげたほうが
のちのちイメージ掴みやすいんじゃない

59 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 09:10:14 ID:Qari2HiO

>>58
日本語も必要でしょうね。敢えて、印象にのこるように、
英語読みで書いておいたんだけど。

60 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 09:20:18 ID:Qari2HiO

高校で習う　ベクトル　っていうのは，　１階のテンソルって
言うのは、以前説明したわけだが、上付き添え字　か　下付添え字か
ってのも出てきた。

ベクトルっていうのが，　１階のテンソルっていうのは，上付き添え字
だろうが，下付添え字だろうが、　変わらない。

ベクトルＡっていう時には，本来は，

Ａ
＝
（Ａ^1）
（Ａ^2）
（Ａ^3）
　
＝(Ａ^i)
の様に，
　成分が右上に添え字が１つ付く，
　上付き添え字：【矢印】(↑)(→)：コントラヴェーリアント
のものを言って，行列を習ったなら，分かると思うが，
　
　Ａ^1，Ａ^2，Ａ^3という量を縦に３つ並んで書いた，　
　３行１列の行列　＝　縦ベクトル

を，単に，ベクトルと言う時には指すんだ。

61 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 09:20:48 ID:Qari2HiO

ベクトルＡっていう時には，本来は，

Ａ
＝
（Ａ^1）
（Ａ^2）
（Ａ^3）
　
＝(Ａ^i)
の様に，
　成分が右上に添え字が１つ付く，
　上付き添え字：【矢印】(↑)(→)：コントラヴェーリアント
のものを言って，行列を習ったなら，分かると思うが，
　
　Ａ^1，Ａ^2，Ａ^3という量を縦に３つ並んで書いた，　
　３行１列の行列　＝　縦ベクトル

を，単に，ベクトルと言う時には指すんだ。

62 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 09:21:24 ID:Qari2HiO

行列を習ったなら，分かると思うが，
　
　Ａ^1，Ａ^2，Ａ^3という量を縦に３つ並んで書いた，　
　３行１列の行列　＝　縦ベクトル

を，単に，ベクトルと言う時には指すんだ。

63 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 09:25:57 ID:Qari2HiO

じゃあ，
　下付き添え字：【面】(＿)(｜)：コーヴェーリアント
の見方をした１階のテンソル：Ａ_i
はどうなんだ？　となる。
実は，Ａ_iは，

　下付き添え字の１階のテンソルＡ_i：　Ａ_1, Ａ_2，Ａ_3

を

　横に３つ並んで書いた，
　１行３列の行列＝　横ベクトル　＝　(Ａ_1, Ａ_2，Ａ_3）

を指す。

64 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 09:27:25 ID:Qari2HiO

つまり，

単にベクトルッて言う時には，

成分が右上に添え字が１つ付く，
　上付き添え字：【矢印】(↑)(→)：コントラヴェーリアント
のものを言いい
Ａ^1，Ａ^2，Ａ^3という量を縦に３つ並んで書いた，　
　３行１列の行列　＝　縦ベクトル
という。
　
　

65 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 10:14:33 ID:Qari2HiO

>>64
元々同じものである量Ａを

上付き添え字＝Ａ^{i}＝【矢印】(→)(↑)の見方＝縦ベクトル（単にベクトル）
下付き添え字＝Ａ_{j}＝【面】(｜)(＿)の見方＝横ベクトル

という別々の見方をしたわけで、立場は対等のはず。その見方をこう
換えましたよ　っていう　説明書：g_{ji}, g^{ij}　があった。
これを使うと、ある見方から別の見方に　移り変われる。

66 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 10:18:54 ID:Qari2HiO

Ａ^{i}→Ａ_{j}: g_{ji} Ａ^{i} ＝Ａ^{j} ・・・①
Ａ_{j}→Ａ^{i}: g^{ij} Ａ_{j} ＝Ａ^{i}　・・・②

って具合にだ。
①に②を代入すると：
　g_{ji} g^{ij} Ａ_{j} ＝Ａ^{j}　→　g_{ji} g^{ij}＝１
②に①を代入すると：
　g^{ij} g_{ji} Ａ^{i} ＝Ａ^{i}　→　g^{ij} g_{ji}＝１

g_{ji} g^{ij}＝１＝g^{ij} g_{ji}

っていう重要な関係もあるんだ。

67 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 10:22:13 ID:Qari2HiO

まあ、これはある意味当然で，
①に②を代入　⇒　Ａ^{i}→Ａ_{j}→Ａ^{i} ⇒　元に戻る⇒　g_{ji} g^{ij}＝１
②に①を代入　⇒　Ａ_{j}→Ａ^{i}→Ａ_{j} ⇒　元に戻る⇒　g^{ij} g_{ji}＝１
ってことだから。

68 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 10:36:28 ID:Qari2HiO

高校で　ベクトル　ってくれば，次に　内積　だった訳でしょう？
内積はこの調子だとどうなるんだ？って来る。

ベクトルＡ＝縦ベクトル＝Ａ^{i}＝３行１列の行列
ベクトルＢ＝縦ベクトル＝Ｂ^{j}＝１行３列の行列

内積っていうのは，実は，
　「縦ベクトル　と　横ベクトルを掛ける」
って事なんだ。つまり，

Ａ・Ｂ＝（横ベクトル）（縦ベクトル）
　　　＝（１行３列の行列）（３行１列の行列）

ってことなんだ。（縦ベクトル）の見方を（横ベクトル）の見方に
換えるには，見方を変えますよっていう説明書：ｇ_{ij}が必要だった。
つまり，
　（横ベクトル）Ａ_{j}＝ｇ_{ij}（縦ベクトル）Ａ^{i}
これと
　（縦ベクトル）Ｂ^{j} 　　　　
を掛けたものが，内積Ａ・Ｂ
　Ａ・Ｂ＝（横ベクトル）（縦ベクトル）＝Ａ_{j}Ｂ^{j}

69 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 10:41:35 ID:Qari2HiO

つまり，
　（横ベクトル）Ａ_{j}＝ｇ_{ij}（縦ベクトル）Ａ^{i}
これと
　（縦ベクトル）Ｂ^{j} 　　　　
を掛けたものが，内積Ａ・Ｂ
　Ａ・Ｂ＝（横ベクトル）（縦ベクトル）＝Ａ_{j}Ｂ^{j}

ちゃんと，（横ベクトル）＝下付き添え字，（縦ベクトル）＝上付き添え字
ってのに、合っていることもわかる。ｇが付いている形で書くと，

『　Ａ・Ｂ＝ｇ_{ij}Ａ^{i}Ｂ^{j}　』

となるんだ。これが，内積のきちんとした定義なんだ。

70 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 10:42:06 ID:Qari2HiO

高校で習う
内積は、特別なヴァージョンの内積で，世界が，平らで，どの方向
も同じような目盛になっている，時の内積なんだ。
　つまり，高校でならうｘｙ座標の平面とか，ｘｙｚ座標の空間と
かそんな世界での　内積　なんだ。

71 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 11:36:48 ID:2FFY9fxT

大学4年生にもテンソルを教えて欲しいレス

72 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 13:02:41 ID:???

大体テンソルのイメージがつかめたけど、座標変換に対して
共変とか反変とかはどうとらえればいいの？

73 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 13:14:11 ID:Qari2HiO

>>72
それについても，
　コントラヴェーリアント，
　コーヴェーリアント
の説明と，
　見方をかえているだけ，・・・・
　もともと同じものを，・・・・
　どう見方をかえたか，こうやって見方を換えましたよっていう説明書・・・・
　・・・
という辺りでちょっと，感覚的に説明はしてみました。

74 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 13:56:47 ID:???

>>73
失礼。よく読んでませんでしたｗ
誰かが書いていた「どうしてこのような見方が出てくるのか、または必要なのか」
というところが今ひとつわからないのですが。。。　少なくとも直交座標では
特に必要じゃないですよね？

75 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 17:24:20 ID:Qari2HiO

>>74
そうですね。ただ，考え方としては，自然な訳です。ある意味、
座標系によらないで、統一的な枠組に捉えられるという処が。

76 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 19:06:05 ID:???

>>75
考え方として自然、というところが素人には
わかりにくいです。何故、直角座標では同じだったものが、
一般的な座標に移ると、反変と共変に別れてゆくのかが素人には
よくわかりません。

77 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 20:38:55 ID:???

36です。ありがとう！

78 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/22(木) 22:59:19 ID:???

例えば、特殊相対論を記述するミンコフスキー空間という四次元時空では、
ベクトル（古い言い方で反変ベクトル）と一形式（古い言い方で共変ベクトル）は
第一成分（時間成分）の符号が異なる。
この符号の違いは、ミンコフスキー空間での内積を物理的に意味のある量にするために
要請された違いであって、これを認めて初めて首尾一貫した理論が構成できる。

79 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/23(金) 17:49:41 ID:???

>>72

たとえば平面の方程式は
ax+by+cz+d=0
だろ?
このとき、(x,y,z)が反変ベクトル、(a,b,c)が共変ベクトルだ。

これをてきとうに座標変換してみろ。
a'x'+b'y'+c'z'+d'=0
みたいになるが、このとき
(a', b', c')が(a,b,c)からどのように変換されるか
調べてみ? ふつうに(x,y,z)を(x',y',z')に変換するのとは
違った変換がされるだろ? (変換行列が転置の逆行列になる)。

高校生的に普通に正規直交座標系だけの変換を考えていれば、
変換行列は直交行列になるけど、直交行列というものは、
転置して逆行列にすると自分自身にもどるという妙な性質を
持ってるんだよ。だから正規直交系だけでは反変と共変の区別は
つかない。

80 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/26(月) 03:37:51 ID:eEG3LG4X

行列を積み重ねると立方体の行列になりますけど、これはテンソルと関係ありますか？

81 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/26(月) 11:44:03 ID:???

>>79
直交座標の場合はその例えでいいが、一般の場合はどうなる。
(a,b,c)は共変ベクトルの例になっているのか？

82 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/26(月) 12:42:49 ID:???

>>80
ありません。

83 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/26(月) 19:00:41 ID:eEG3LG4X

数を並べるとベクトル、
ベクトルを並べると行列、
では行列を積み重ねると何になるのでしょうか？

84 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/26(月) 21:39:26 ID:???

>>83
物を縦横にならべたものを行列というわけで、それ以上でも以下でもない。
また、物を1行にならべたものも行列です。
立体的に積み上げたものは、ふつう行列と呼ばないけれど、呼びたければそう定義
して「私の定義する行列」と呼んでも、それは勝手です。

行列というのは、物を縦横にならべる、という側面によって定義されるもので、
その行列要素が数であれば演算も定義できるけれども、行列要素が｛猫、豚、
犬、牛｝でも、まあ構わない。これが一行からなる行列だからといって、ベクトル
とはいわない。

べクトルやテンソルは、もともと幾何学的な対象で、そこから派生する性質に
着目して定義されているもの。それをいくつかの数で成分表示することがあるが、
そのときには、それらを紙の上に配置として表記するしかない、というだけ。

85 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/26(月) 23:41:04 ID:???

>>81
なってます。

86 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 09:24:08 ID:1wVTowEt

佐武一郎の線形代数学にのってるテンソル代数と
一般に言われるテンソル解析はどう違うんですか？

87 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 09:29:59 ID:PoJ+X+6k

>>86
同じ事を言っています。

88 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 09:45:15 ID:???

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　,. -‐''" ￣￣ﾞ'''‐-､_
　　　　　　　　　　　　　　　　　／　　　　　　　　　　　　＼
　　　　　　　　　　　　　　 ,.'　　　　　　　　　　　　　　　ヽ
　　　　　　　　　　　　　　 /　　　　　　　　　　 -‐　　　　　ヽ
　　　　　　　　　　　　　　,.'　　　　　　　　　　　　　　 l　ヽ　 i
　　　　　　　　　　　　　 iﾞ　　　 ,.‐'''ﾆテラ''''ﾝ‐-..,,,　__ ゝ　　　l
　　　　　　　　　　　　 l　　　/ i,/,,‐＝､_‐'''""ﾌ,.''"ヽ､　　　 l
　　　　　　　　　　　　　 !　　 i　 /ioﾟ:::::l　ヽ　 ''" 　､/ﾟ'>、　 /
　　　　　　　　　　 ,.r,.=┤ 　 l　 ! ゞ;;;ソ　　　　　,rﾐ./ヽ／ヽ,.'
　　　　　　　　　／,.ﾍ_ノ.i　　l　 l、　　　　　, 　 /ﾘ,ﾉ'",'彡-'
　　　　　　／,-<_／i'"'、　!､: !ヽ､　 r'''フ　　''"ノ,イ／　　　ここ通らないと
　　　　　　／／^)/,.'ﾞ|　ﾞ､│ヽi　__ﾊ‐---‐‐‐'"ノヽl/　　　　　　行けないので
　　　　　r" ,'ヾ／,.'　ﾊ　 ,.､l.　ヽ　　| -‐;ノ,..-l/.／ヽ　　　　　　　ちょっと通りますよっ♪
　　　　　ゝ"／／　　ｌ　,../..i」-､-‐､_/'i ‐''"|　 "/
　　　　　ヾ'‐､"　　　l r'　　　,'jﾞ　　/^}.l　　 !　 /
　　　　　　／　　＼ヽ___,,,.......ﾚ‐‐ン"ﾘ　　 i　/
　　　　　,.'　　　　ﾞ'''ヽ､_　r'_/"　ヽ__/　　 ,!/

89 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 10:02:34 ID:???

>>87
そうなんですか。
レスどうも。

90 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 10:19:35 ID:???

空間の一点（の接空間の上の）ベクトルやテンソルの代数と、
空間のある領域の各点でそれらがなめらかに定義されているベクトル場や
テンソル場の扱いは区別して考えるほうがよい。
後者を扱うと問題は最終的に偏微分方程式に帰する。

91 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 11:20:30 ID:???

>>85
よくわからんので説明してくれんか。

92 ：91：2005/09/27(火) 12:51:00 ID:???

いや、確かに逆行列の転置になっていた。失礼！

93 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 19:39:30 ID:aKE2+AoC

>>79
確かに(a,b,c)が共変ベクトルの例になっているけど、
>>76が聞きたいのは、一つのベクトルが共変になったり、
反変になったりするのは何故かということなんじゃないか？

94 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/27(火) 20:38:06 ID:b2lOQirP0

大学で、テンソルの定義は習ったが
それと共変が面、反変が方向ってのと結び付かない。
何でそう解釈できるの？

95 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/28(水) 16:09:31 ID:???

>>93の疑問は解決されていないけど、
(x,y,z)から、ax+by+cz+d=0を使って、(a,b,c)を定義するのは
結晶学で出てくる逆格子を思い出させてくれた。
逆格子空間って、ある意味共変的な空間だったとは
ちょっと気づかなかった。

96 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/28(水) 22:16:32 ID:???

>>93
基底の変換と同じ形式で変換されるのが共変ベクトル。
そうじゃないのが反変ベクトル。

おまえらは多次元で考えれるほど賢くないみたいだから
1次元で考えてみろ。

メートル単位のものさしで2メートルという長さを、
1センチ(0.01メートル)単位のものさしではかると200センチ
になるだろ? このときメートルというスケールはセンチという
スケールになるときに1/100になる一方、それぞれのスケールで
あらわされている「数字」は2から200というように100倍に
なる。この「数字」が反変で、スケールが共変だ。
(続く)

97 ：96：2005/09/28(水) 22:21:45 ID:???

この例では、例えば「速度」は反変である。秒速1mを前者の
単位で表せば1m/sとなり、後者の単位であらわせば100cm/s
となり、後者は前者の100倍だ。

一方、「温度勾配」みたいなのは共変である。2mの左端で0度C、
右端で10度Cみたいな温度場があるとして、前者の単位で
あらわせば温度勾配は5度C/m、後者の単位であらわせば0.05度C/cm
となり、後者は前者の1/100倍だ。

これでわかるように、空間のスケール(一般的には基底)に対して、
どのような意味で依存するかによって、反変と共変がわかれるんだよ。
単なる変換規則だけ眺めていてはそのへんの気持ちはわからんだろうな。

98 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 12:20:42 ID:vstgfEWD

>>96,>>97
空間での説明ができないから一次元に逃避したかｗ
断片的な説明ばかりで高校生はかえって混乱するだけだ。もうやめい。

>>94の指摘はスケールの変換とは関係なかろう。

99 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 12:34:25 ID:???

シュッツの相対性理論入門（上）３章に、一形式が面、ベクトルが矢印っていう描像のわかりやすい解説がある。

100 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 12:48:58 ID:???

ここは、高校生にテンソルを教えようとして悩む大学生のスレに
変更になりましたｗ

101 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 13:02:58 ID:NpDuDt5m

物理やのいうところのテンソル積とはベクトル空間だけについての
ことだったのか。

102 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 13:14:54 ID:???

>>98

スケールの変換も一種の線形変換だ。

共変ベクトルの例として、電場や重力みたいに、スカラー場の微分(勾配)で
あらわされるベクトルがある。それがなぜ共変なのかは、結局>>97の温度勾配の
例と同じ。そして、スカラー場の勾配はそのスカラー場の等値線(3次元の場合は
等値面)に直交することは知ってるだろ? だから共変ベクトルは面的なベクトル
と言われるんだ。もっともそういう表現のほうが断片的で混乱を招きやすいが。

重力みたいに力というのはベクトルだから座標変換でくるくるかわるが、変位との
スカラー積(内積)、つまり仕事とかエネルギーは座標系によらないスカラー量だろ?
2つのベクトルのスカラー積をスカラー量、つまり座標変換で不変な量にするには、
それぞれが互いに相反的な変換をしないとつじつまがあわない。で、基底変換と同じ
型式で変換される方を共変、そうじゃない方を反変と呼ぶ。で、それぞれの変換行列
は互いに転置の逆行列になる。そうなってればつじつまがあうことはすぐに計算でき
るからやってみろ。

ある座標系で(1,0,0)というベクトルがあったとしてこれは共変ですか反変ですかと
いう質問は意味を持たない。それは物理的な定義に遡って、なにを表現したいのかに
よる。数学的には、まず線形空間があり、その基底があり、その基底にクロネッカー
のデルタを割り当てる線形関数を考え、それが張る線形空間(線形関数からなる線形空間)
を双対空間と言い、その基底を双対基底という。そもそもの線形空間の基底で張られる
ベクトルが反変、双対空間の基底(双対基底)で張られるのが共変ベクトルだ。

103 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 18:00:13 ID:vstgfEWD

>>102
全くわかってないやつだな。お前のやっているのは、共変ベクトルに
こんなのもある、あんなのもあると言っているだけなんだよ。我々が
知りたいのは、君の解釈で>>94の疑問がどう説明されるかなんだ。

後半。。。結局教科書どおりってことかい。双対空間を持ち出すところを
見ると、数学屋に近い椰子のようだな。

104 ：94：2005/09/29(木) 19:15:01 ID:DfPq56qI

102の説明もまあ、ありがたいですけど。
>>103
102氏を数学屋思ってほしくないなぁ。

精確にはgrad fは、はんぺんだよ。
dfのメトリック・イクイバレントがgrad fだから。

105 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 19:19:14 ID:???

>>103
読んでわからんかね?
具体例を持ち出すのは君らがイメージを求めているからだ。数学の
理解って、定義と定理と具体例の間を行ったり来たりしながら自分で
構築するものだろ? 「わからんから一言ですぱっと説明してくれ」と
思う気持ちは理解できないでもないが、ちょっとは自分の足で歩こう
としろよ。

「共変が面、反変が方向」ということこそ断片的な理解に過ぎない。
大切なのは座標変換でスカラーを不変にするためには2種類のベクトル
を考えざるを得ないということだ。繰り返すが変換規則だけを見てると
そこが見えないぞ。ほとんどの教科書は変換規則で反変・共変を定義
しているがな。双対空間を考える方が理解しやすいのはむしろ物理屋
だと思うが。お前らなにかと言えば不変量、不変量って言ってるだろ?

106 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 19:37:38 ID:vstgfEWD

結局、「共変が面、反変が方向」の解釈では>>94の疑問は
説明できないってことだろ。

107 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/09/29(木) 21:31:04 ID:ld8JJe8C

体Kの上のベクトル空間V,Wに対して、
VとWのテンソル積空間を次のようにして考える。
それぞれの元は二重線形的で、基底はちょうどVの次元とWの次元の積の数の元から成る空間。
もちろん、そのような空間はいくつでも作ることができるが、互いにcanonicalな同型を与えられる。

108 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 21:31:44 ID:???

>>107 わかった。お前はもうこれ以上書き込むな。

109 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/09/29(木) 21:37:53 ID:ld8JJe8C

talk:>>108 その40秒間で分かったことは何か？

体K上のベクトル空間Vに対して、V*をその双対空間(共役空間)とする。
VとV*のテンソル積空間と、V上の線形変換全体から成る線形空間の間にはcanonical同型がある。

110 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/09/29(木) 21:39:12 ID:ld8JJe8C

canonical同型とは、基底の選び方に依存しない表現を持つ線形同型がとれるという意味。

111 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/29(木) 23:13:21 ID:vstgfEWD

kingさんがここまで現れるとは・・・

112 ：94：2005/09/29(木) 23:51:43 ID:DfPq56qI

話を混乱させてしまいすいません。
というわけで、更にややこしくしてみようと思いますが。

私は大学で、双対空間とか使って定義を習ったんですよ。
で、「それと共変が面、反変が方向ってのと結び付かない。」
>>105の言い方からすると、
「＝０となる超曲面を共変と同一視する」ということでよいのでしょうか？

113 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/30(金) 01:41:46 ID:/1LnzRCx

>>105
断片的な理解にしか過ぎない、そうだろうよ。でも、高校生に教えたり、どんなイメージが
一つの理解の仕方としてありうるか？って処だろようよ。
だから、そもそも前提が、きちんとボトムアップ的に洩れなく学んでから、解釈すると言
う、個々人で、、という話ではそもそもない訳。
断片的な理解といっても、君の定義もそれは定義であってさ。文字を述べて関係を提起し
名前を言って、さあこれがそうだって言っている訳さ。それは、正しい。全く正しい。
でも、何も質問者の背景と意図を汲んでない訳。全く正しいよ。だって、定義と関係を
述べているんだからさ。辞書を引いてるのと同じなんだ。それではここの掲示板の意味が
ない訳。さあこれが全てだ。確かにそう。漏れはない。でも、それを暗記して唱えても
それは、何も言っていないともいえる。つまり、面とか方向とか言っている人もいたし、
超平面がどうこう言っている人もいたし、貴方の様にさあこれが洩れないレシピだって
言う人もいる。貴方の場合も、それは断片的な理解と言えるんだ。さあこれが洩れない
レシピだと広げても、それはある意味、断片的なんだよ。だから、別にそこにこだわる
のは、どうかとも思う。君が警告をする意味は良く分かる。へんてこなイメージ持つなら
かえって、文字と数式と定義と定理の連鎖・関係をレシピとして頭にいれている方が、
確実。でもそれも、全てではない。レシピはレシピにしかすぎないという場面もある。

114 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/30(金) 03:46:15 ID:/1LnzRCx

>>105
初めに学ぶなら、文字と数式と定義と定理の連鎖・関係をレシピとして頭に
入れる事を先に一定量する事が重要だと思います。

私は大学で、双対空間とか使って定義を習ったんですよ。
で、「それと共変が面、反変が方向ってのと結び付かない。」
>>それは勉強不足というだけだと思いますが・・・。その人の
言っている意味を理解できるだけの深さの勉強が今の段階でない
というだけなんでしょう。ただ。

115 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/30(金) 08:26:30 ID:96EJL2NY

>>94
反変ベクトル(Vの元)には、計量gによる内積を通して一意に共変ベクトル(V*の
元）が対応している。これは数学屋のいうcanonicalな同型ですよね？
波数ベクトルk(Vの元）を、位置ベクトルxの関数として　k(x)=k・x
("・"は内積、u・v=g(u,v)) と書いたら、k()はV*の元だが、k(x)って
平面そのものでしょうが。この平面の法ベクトルがdualな反変ベクトルkで
あって。

この1-formを面にたとえるのは、Thorne-Misner-Wheelerの重力の有名な
教科書の最初のほうに絵入りで図解あり。

で、g_{ij}がδ_{ij}となるような計量と座標系では、kとk()を同一視する
ことが物理ではよくある。更にユークリッド空間の直交変換だけに基底の
変換を限定するとベクトルの成分の変換行列が同じになってしまい、
共変と反変を区別する意味がなくなる場合もある。

116 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/09/30(金) 08:48:28 ID:+tLkMO5C

talk:>>112 三次元空間に限定すると、共変ベクトルは対応する反変ベクトルを法線にもつ面の移動とみなすことができる。

117 ：94：2005/09/30(金) 09:44:30 ID:5xrOjgBY

「平面の法ベクトルがdualな・・・」
「面の移動とみなすことができる」
ということは今まで出てきた「面」とは「退化空間」のことなんですね。
そう考えると、例えば平面の面積素は点と解釈することになりますが、
これでよいのでしょうか。

>>115
残念ながらあまりcanonicalではないです。gは一般には固定されてませんから。

118 ：115：2005/09/30(金) 10:06:48 ID:96EJL2NY

>>94
#おもわず「退化空間」でググってしまいましたが

「面」というのは喩えというか言葉のあやで、大きさも持っていますから
退化してません。より正確には「平行な面の等間隔な重なり」に喩えて、
大きさの自由度も持たせています。だけど、どの程度この喩えをまじめに
考えるべきか。要するに1-form　k()を表す等間隔な面の重なりを、ベクトル
xで突き刺したときに、何枚の面を突き破るか(k・x)が不変量だということの
喩えに過ぎないとおもうのですが。

　> 残念ながらあまりcanonicalではないです。gは一般には固定されてません
> から。

いろいろな計量が入り得る、という可能性を考えているのですか？
さすが数学屋というべきか。

119 ：だって厨房：2005/09/30(金) 10:30:15 ID:???

ここなんてどうよ？
http://www.geocities.jp/kazato0826/
↑更新したよぉ＾＾

120 ：94：2005/09/30(金) 12:16:05 ID:5xrOjgBY

あ。退化空間は annihilator = {x | k(x) = 0} の意味で使いました。
なんとなく分かりかけてきました。どうもお騒がせしました。

121 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/30(金) 21:42:01 ID:VpPB9gvD

gradは共変ベクトルで等ポテンシャル面に垂直という話が
あったけれど、gradを反変ベクトルに変換したとき、
何かこのような具体的なイメージはあるのでしょうか。

122 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/09/30(金) 22:05:31 ID:CratBjdH

★★★ 韓国マスコミ、日本攻撃なら真っ赤なウソも平気 ★★★
　韓国大手テレビ局の番組「日本軍７３１部隊の生体実験」が、実は真っ赤なウソ、中国映画の盗用だった。今回の事件で「日本攻撃ならウソも平気」という韓国マスコミの腐った体質が改めて確認された。

　番組では生体実験を「白黒の記録フィルム風」に紹介したが、視聴者から「映画の場面と同じだ」との声が上がり、実は真っ赤なウソ、悪質なでっち上げが露呈した。
　この中国映画はカラー作品だが、テレビでは本物に見せかけて「白黒」に変えられており、意図的なでっち上げであることは明白。

　日本の民主党【前原党首】は、日本国内に数十万人もいる野蛮で反日的な在日朝鮮人に、日本の選挙権を与え、民主党に投票させようと画策している。
　在日朝鮮人の大部分は、戦後のドサクサで勝手に密入国した不法滞在者とその子孫だが、「強制連行された」と真っ赤なウソをつき、被害者のフリをして日本国内に居座っている。
　収入あっても税金払わず、しかも在日朝鮮人の半数近くが、収入とは別に毎月二十数万円の生活保護をもらっており、「在日は貴族で、日本人は奴隷だ」とほざいている。

　マンガ「嫌韓流」が隠れたベストセラーになっている。「隠れた」というのは、在日朝鮮人に実質支配されている朝日新聞など日本の大手マスコミが、この本の広告掲載を拒否しているから。

123 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/01(土) 12:05:23 ID:48ruaCKK

共変ベクトルは1-form、つまりベクトルを引数とする線型関数を表す。幾何学的には >>118 のとおり等間隔平面の集まりで
ベクトルが貫く平面の数が関数値とすると、ちょうどよく線形性が幾何学に表せる。
ちょっと一般化したのがgradに対応する dfで、これはf(x,y,..)=1, f(x,y,..)=2, ... という曲面の集まり。引数としてベクトルをいれると
そのベクトルにそってのfの方向微分の値がでる。
微分多様体ならば計量（内積）なしでも1-formやdfは定義できる。内積が入るとベクトルv に対応する線型関数を
f(x)=(v, x) で定義できる。この、vに対応する1-formの成分が、vの添え字を下げたもの。

124 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/02(日) 11:38:41 ID:???

微分多様体とは、座標系をいれられる滑らかなモノ。球面とか空間とか時空とか。

125 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/03(月) 07:08:28 ID:w3sXwqiS

局所座標系。

126 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/03(月) 08:18:37 ID:???

>>121
grad fはfの最大傾斜の方向を向き、勾配の大きさを持つ矢印だとすると、
それの(計量gによる)dual、つまり(微分幾何用語の）微分dfは、
fの等高面の重なり、(面の法線の向きは当然勾配の向き、面の間隔は
等高面の間隔だから勾配がきついと密になってくる）.

「gradを反変ベクトルに変換」といっているけど、grad fの、ある点p
での値は、pの接空間（であるベクトル空間V)の元で、それをVの基底で
表したら成分の変換は基底の変換と逆だから反変的に変換する。それが
>>104で、gradは、はんぺん、といっている意味。

Vの基の双対基でdfを成分表示したら、dfの成分は共変的に変換する。
これが物理側で、gradは共変といっている意味ではないかな。

127 ：124：2005/10/03(月) 09:16:06 ID:???

>>125
そうだね。一枚の座標系ではうまくいかなくても、何枚かで分担して覆うとうまくいくというのが
多様体のアイデア。その座標系の一枚一枚が局所座標系。

128 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/03(月) 12:52:21 ID:???

>>126
わからん。。。

129 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/03(月) 13:34:25 ID:???

「dfに対応する反変ベクトルw」の定義は、任意のベクトルvに対して(w,v)= v[f] 左辺はwとvの内積、
右辺はｆのv方向の方向微分)を満たすもの。
長さ固定の元で内積(w,v）を最大にするvはwだからwがfの方向微分を最大にするベクトルになる。
Minkowskiの内積だと事情が変わるかな？

130 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/03(月) 16:40:19 ID:L514fLpO

>>126
はんぺんって、反変のことだったのね。おでんのはんぺんかと思った。。。
いや、gradをナブラと書かないことを皮肉ったのかと思ってね。

131 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 09:38:00 ID:???

∇

132 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 10:03:12 ID:???

ナブラ
ノーベル賞？
そりは、南部

133 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 14:23:35 ID:N6rRYYy0

透磁率は6階テンソル。

134 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 16:04:55 ID:0DHuwhy6

石村園子なっとくするテンソル解析近刊でも嫁。

135 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 17:56:35 ID:NTEUocGs

>>128
ベクトルは、反変テンソルだから。反変であるものを普通のベクトル：
縦ベクトルなんだよ。

136 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 17:59:42 ID:NTEUocGs

でもさ、∇考えた人って、ある意味、数学にも物理にも貢献している
よね。∇＝nabula＝atled＝grad＝ハミルトンの演算子＝・・・
色々言い方あるらしいです。

137 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 18:09:58 ID:???

>>135
よくわからぬ・・・
gradはごく自然に共変になっていると思うのだが。

138 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/04(火) 19:07:37 ID:???

＞１階のテンソル　は，　実はみんなが知っている　ベクトル。
＞つまり、　方向と大きさ　をもつもの。

二階のテンソルの具体例は、方向と大きさと何を持つもの？

・・・どうでもいいが、いつも一瞬
「高校生にツンデレを教えるスレ」
に見えてしまう

139 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 09:38:01 ID:???

二階のテンソルはベクトル二つを引数とする線形関数。返り値は数。n階のテンソルも
同様で、引数がn個のベクトルの線形関数。特に１階のテンソルは１フォームと呼ばれる。

140 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 12:31:18 ID:???

>>139
高校生には「引数とする」「返り値」と言われても理解しにくい。もっとかみ砕かないと

>>138
二階のツンデレはしっぽ二つを括っているツインテール。返り討ちに遭う。お向かいのツンデレも
同様で、クラスが同じの眼鏡の委員長。特に１階のツンデレは妹と呼ばれる。

141 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 16:41:27 ID:???

>>139 で「テンソル」といっている所は「共変テンソル」と置き換えるべき。

142 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/05(水) 18:13:24 ID:LzX17vlK

ベクトル一つをベクトル一つに対応させる線形写像も二階のテンソル。

143 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 19:08:53 ID:xMr08HOO

>>142
>>139-140
これではまったく分かりませんね。（笑

144 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 19:11:25 ID:xMr08HOO

>>142
>>139-140
嘘ではなく、間違いではない処のイメージと高校生で無理なく容易に分かる
数式と用語で説明しないと。そうでないなら、「数学辞典でテンソル
(tensor)と引きな！」っていうようなものじゃん。それじゃぁ、ちょっとね
・・・というのも正直あるから。

145 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 19:19:19 ID:???

けっきょく、全くわからん。
テンソルって写像？
ベクトルありきの概念？
相対論のテンソル方程式は、座標系に依存しない概念を表現しているらしいけど、
そんならベクトルありきってのはおかしくない？

おれがベクトルの純粋な概念というものを理解していないのがまずいような気はするけど。
ベクトルの概念は座標系には依存しないというのはなんとなくわかる。
テンソルもそうなんでしょ？

146 ：142：2005/10/05(水) 19:42:16 ID:???

ああ、おれはとっくに高校生に説明することは放棄してるんで（スレ違いなの
だが）、もし高校生に説明するなら、共変・はんぺんの説明なんで捨てるしか
ないのじゃないか。

見る方向によって、玉虫色にかわる点のように、方向性をもったものだよと。
あ、ちょうど色ってベクトル空間なんだったｗ

147 ：146=141：2005/10/05(水) 19:45:33 ID:???

ごめん。146は　142が書いたのではありません。

148 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 20:05:09 ID:???

>>144
よくわかっているようじゃん。説明はあなたにまかせた。期待してる。

149 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/05(水) 22:11:12 ID:7dklKdit

これはテンソルが分からない大学院生が作ったスレだな

150 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 08:28:26 ID:JDe90rGa

>>145
物理で言っているのは、物理量が座標系に依らないというだけで、
テンソルが座標系に依らないと言う意味ではないんです。事実、
テンソル自体は、座標系によって表面的には標識が違う。しかし、
それは、座標変換で結んで等しい。

151 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 11:04:55 ID:???

テンソルの成分とテンソル自体をごっちゃにしてるのでは。成分は座標系（基底）によるけど、テンソル自体は座標系にはよらない。
ベクトルの成分は座標系（基底）によるけどベクトル自身はよらないのと同じ。

152 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 11:31:23 ID:???

空間ベクトルを定義するのに「向きのついた線分」で定義する方法と、「変換式を満たす３つの数」で定義する方法の二通りある。
前者の定義を取ると、ベクトルを座標基底（高校でいうところの基本ベクトル）で展開したときの展開係数が後者でいうところの「変換式を満たす３つの数」になり、両者は同値。

テンソルの定義も同様で、「幾何学的実体」と「数の組で、座標変換に伴いある変換式を満たすもの」の二通りある。
前者を取った場合、それを座標基底で展開したときの展開係数が後者で言うところの変換式を満たす数の組になる。
ベクトルの場合とまったく同様、つーか、見習って拡張したんだろうね。

手っ取り早く導入したい場合には数の組の方を定義とする（Landauの教科書）。しかし意味がわかりづらい。反変だの共変だのが天下りで押し付けられる。
じっくり導入の場合には幾何学的実体からはじめる（Misner-Thorn-Wheelerの教科書）。反変や共変が対応する幾何学的実体が何であるか分かる。
しかしたくさん図を描いてみないとなかなか理解できないし、特に曲面上（曲がった多様体）の場合、ベクトルの概念自体が結構難しくなってしまう。

153 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 12:21:45 ID:Ta2T6CF/

2階反変テンソルは何に対応する概念だろうか？
やっぱり曲率テンソルとか？

154 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 12:44:14 ID:???

>>153
そういう質問は意味ないんじゃないの？　 2階共変テンソルから
2階反変テンソルにいつでも変換できるんだから。

>>152
「反変や共変が対応する幾何学的実体」という言葉に興味を覚えたんだけど
どういうものなの？　簡単にいうと。。。

155 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 12:55:52 ID:Ta2T6CF/

talk:>>154 基準となるベクトル空間がある以上は、共変と反変は違うものだ。

156 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 12:59:23 ID:???

>>155
表現が違うだけで実体は同じなんじゃないの？
例えば、物理で出てくる応力テンソルとか考えてみそ。

157 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 13:14:45 ID:Ta2T6CF/

talk:>>156
基準となるベクトル空間があるとき、
p1+q1=p2+q2のとき、
p1階反変q1階共変テンソル空間とp2階反変q2階共変テンソル空間の間に、
線形空間としての同型は必ず存在するが、
p1≠q1, p2≠q2の少なくとも一つを満たす場合、両者に canonical 同型が与えられることはない。
(基準となるベクトル空間の基底の選び方によらない表現を持つ同型がない。)

158 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 14:01:20 ID:???

>>157
難しくてわからん。一番簡単な p1=0, q1=1, p2=1, q2=0 の
場合で説明してくれんか？　それと、canonical 同型の意味が
よくわからんのだが・・・

159 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 14:08:53 ID:Ta2T6CF/

talk:>>158
基準となるベクトル空間を実数空間Rとしよう。もちろん、係数体も実数体。
これに対応する双対空間(共役空間)R*は、定数項の無い一次関数全体の作る空間となる。
RとR*の同型として、rをr倍写像に移すものがある。
Rの基底をb(但しb≠0)として選ぶと、双対基底として1/b倍写像が選ばれる。
基底を変えたらそれに伴って、双対基底は反傾的に変わり、
結果、R,R*間の同型は基底の取り方によって表現が変わってしまう。

160 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 15:08:50 ID:???

>>159
それって上で誰かが言っていた、あるものの長さを
ミリでメートルで測るか、メートルで測るかの違いの類では。
単位を変えても元の測られるものの物理的な実体は変わらないよね？

161 ：160：2005/10/06(木) 15:31:33 ID:???

ミリでメートル　←　ミリメートルの間違い。

162 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 15:58:32 ID:Ta2T6CF/

talk:>>160 私はcanonical同型の話をしたまでだ。それに、先に線形空間としての同型は与えられると注意したはずだ(ここは多くの理系が理解できるだろう。)。

163 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 16:00:16 ID:Ta2T6CF/

反変ベクトルが縦ベクトルなら、共変ベクトルは横ベクトル。
一階テンソルは大変分かりやすいたとえができる。

164 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 16:11:04 ID:???

>>162
だから、canonical同型って何？　それに「反傾的」とは？

>>163
言っていることがわからん。縦ベクトルには、反変的に変換されるのと
共変的に変換されるのと両方あるだろ？　だから、縦ベクトル=反変ベクトル
とはいえない。

165 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 16:18:11 ID:Ta2T6CF/

talk:>>164
canonical同型はすぐに理解できるようなしろものではないし、
いくつかの段階を踏まえないと説明できない。
私も理解するのに苦労したのだから。
反傾的とは、線形空間(ベクトル空間)の基底の変換Aがあったとき、
双対基底の変換が(A^T)^(-1)で与えられることをいう。
ちなみに、双対基底の変換の法則は常に反傾的となる。
ところで縦ベクトルが反変ベクトルなら共変ベクトルは横ベクトルといったほうが良かったか？

166 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 17:15:01 ID:???

>>165
「反傾的」というのは、物理でいう反変的ということはわかった。
どうも数学屋さんの用語はよくわからん・・・
canonical同型が難しいことはわかったけど、物理の世界では
対応するものはないの？　一応、ここは物理板だし。。。

後半だけど、縦ベクトルにも共変的に変換されるものがあるけど、
これはどう捉えればいい？　共変的というのは、(A^T)^(-1)
すなわち、逆変換の転置という意味。

167 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 17:21:58 ID:x8nOmtOh

このレスを見た人は必ずいいことか、
悪い事が起きます。
なぜならば、これを五個所に置くと
自分の願っていた事が必ず実現
出来ます。
これを見るだけで信じない人は、
貴方の好きな人に振られてしまったり、
必ず上手く行きません。
これは私が相澤由美先生(運命師)
の講習のとき教えてもらったのです。
必ず当たります。だって私もこれを
五個所に置いたら三日後に好きな人に
告白されたりしたからです

168 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 17:36:12 ID:Ta2T6CF/

talk:>>166 canonical同型を説明するには、基本となる線形空間(ベクトル空間)の基底の変換にともなうテンソル積空間の基底の変化を述べないといけないだろう。

169 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 19:27:06 ID:JDe90rGa

>>164
反変ベクトル＝縦ベクトル＝普通のベクトル、
共変ベクトル＝横ベクトル
　これは、慣習でもあり、定義でもありますので、こう言えるんですね。
>>168
何の為に、キャノニカル同型、傾斜的、という言葉が要るのか疑問です。
無用な用語だと思います。正直。テンソルを勉強する上でそれは、無用な
数学的用意だと思うよ。ひとそれぞれだけど。

170 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 19:34:04 ID:???

テンソル？
http://gallys.nastydollars.com/mn/11/4.jpg

171 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 19:37:13 ID:???

>>169
慣習というのは、数学屋さんのってこと？　物理ではどうだったかな・・・
おれのやった範囲ではそのような区別は特にしてないね。
確かに、そのように定義すれば内積が横ベクトルと縦ベクトルの積で
書けるから、形式美的にはいいかもしれないね。ただその定義の中に
変換の規則の違いがどのように入っているかはよくわからんが。

172 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 19:56:05 ID:p+fZUcNr

696 名前：ネム ◆ZSxIfyU42I [sage] 投稿日： 2005/10/06(木) 18:45:16 ID:6yCwdnMk
＜問＞
人はなぜ食べ物を噛み砕いて
細かくしてさらに消化するのでしょう

703 名前：ネム ◆ZSxIfyU42I [sage] 投稿日： 2005/10/06(木) 18:57:04 ID:6yCwdnMk
>>699
>>701
ありがと

特にため息氏は頭の回転が速いですね

私の回答は
体のエントロピーの増加を防ぐために、食べ物を無秩序にして採算を合わせている

http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/wcomic/1128476396/l50
少年漫画のスレでインテリぶった真性コテ発見ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
理系ぶってるんで皆さん論破してやって下さいｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

173 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 19:59:28 ID:???

>>172
放置しろマルチするな

174 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/06(木) 21:46:27 ID:Ta2T6CF/

talk:>>169 基本となる線形空間の基底の変換に伴うテンソル積空間の基底の変化法則こそ、反変と共変を区別するポイントなのだ。それを考えなかったら、わざわざ反変テンソルと共変テンソルを区別する意味がない。

175 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/06(木) 22:29:10 ID:JDe90rGa

>>174
そう考える人もいるけど、わざわざそんな言い方しなくてもよくて・・。
無用な用意なんですね。

>>164
反変ベクトル＝縦ベクトル＝普通のベクトル、
共変ベクトル＝横ベクトル
　これは、慣習でもあり、定義でもありますので、こう言えるんですね。
>>168
何の為に、キャノニカル同型、傾斜的、という言葉が要るのか疑問です。
無用な用語だと思います。正直。テンソルを勉強する上でそれは、無用な
数学的用意だと思うよ。ひとそれぞれだけど

176 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 01:14:07 ID:???

king vs ^^

^^のいつものパターンにkingも歯が立たない！

⇒物理板の基地外＞＞＞数学板の有名コテ

177 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/07(金) 07:13:01 ID:jJAhJ9VG

talk:>>175 さて、変数に右上に添字が付いたり右下に添字がついたりするのは何故？

178 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 08:02:30 ID:5Ugj7fX5

>>176
ばかだね、君（笑。

>>177
学習しなよ。
>>164
反変ベクトル＝縦ベクトル＝普通のベクトル、
共変ベクトル＝横ベクトル
　これは、慣習でもあり、定義でもありますので、こう言えるんですね。

179 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 08:03:00 ID:5Ugj7fX5

>>168
何の為に、キャノニカル同型、傾斜的、という言葉が要るのか疑問です。
無用な用語だと思います。正直。テンソルを勉強する上でそれは、無用な
数学的用意だと思うよ。ひとそれぞれだけど

180 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/07(金) 08:13:13 ID:jJAhJ9VG

talk:>>179 反変ベクトルと共変ベクトルを区別する方法は何か？

181 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 08:16:56 ID:5Ugj7fX5

嘘ではなく、間違いではない処のイメージと高校生で無理なく容易に分かる
数式と用語で説明しないと。そうでないなら、「数学辞典でテンソル
(tensor)と引きな！」っていうようなものじゃん。それじゃぁ、ちょっとね
・・・というのも正直あるから。

182 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 08:19:03 ID:5Ugj7fX5

>>180
区別する方法は何か？ではなくて、もうそれが定義でしょう？
だから、慣習だといっているんです。そこに論理的理由はない
から。下付きテンソルを反変と呼んでも、別に問題はない。
ただ、それは慣習的な定義ではない。

183 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 08:25:14 ID:5Ugj7fX5

>>180
悪いけど、キャノニカル同型、傾斜的、まったくいらない、用語ですし
数学的用意ですね。テンソルを単に勉強する上で、無用です。
ひとそれぞれだけど、高校生に対してそれを言うのは、ズレパン（ツ）
ですよね。また、分かりにくい。別にそんな言い方しなくていいんだから。

184 ：152：2005/10/07(金) 10:35:47 ID:???

>>154
３次元空間で考えるなら、基礎になる概念は、やっぱりベクトル（矢印）。これが反変ベクトル。ベクトルを引数とする線形関数つまり1-formが一階の共変テンソル。

1-formは >>123 の通り、幾何学的には等間隔の平行な平面の集まりで表される。ベクトルが貫く平面の数が関数値。
重要なのは、この1-formもベクトルと同様「基底での展開」ができること。
1-formの自然な基底はwx,wy,wz。wxの定義は基本ベクトルをex,ey,ezと書くと、
wx(ex)=1, wx(ey)=0, wx(ez)=0
後は線形性から任意のベクトルvに対する値wx(v)が決まる。でこれの幾何学表現は、
「間隔1で並んだx軸と垂直な平面の集まり」。eyはこれらの平面と平行だからまったく貫かない。だからwx(ey)=0なわけ。
おっと、各平面にはxの増える向きに番号がついていて、それがwxの向きを決める。逆向きのベクトルでの値は負になる。
wy,wzの定義も同様。wy(ey)とwz(ez)が1, ほかは０．

任意のベクトルvと1-form u をそれぞれの基底で展開する：
v=v1 ex +v2 ey +v3 ez, u=u1 wx + u2 wy +u3 wz
するとw(v)は線形性からおなじみの形になる。
w(v) = u1 v1 + u2 v2 +u3 v3
この右辺はu1,u2,u3を成分とする横ベクトルとv1,v2,v3を成分とする縦ベクトルの行列としての掛け算で
自然に表されるので、 >>163 の通り成分を並べるときは 1-form は横ベクトル、矢印ベクトルは縦ベクトルで表すのが便利。

以上は、おれがMisner-Thorn-Wheelr の始めの方を読んで理解したこと。
1-formの集まりは基底で展開できるという意味で矢印ベクトルと同じ数学的構造をもつのでやはりベクトル空間になる。
矢印ベクトル空間の双対空間、と呼ぶらしい。

185 ：152：2005/10/07(金) 11:18:01 ID:???

上のw(v)はu(v)に直てくれ。1-form u　に引数としてベクトルv を入れたときの値、という意味。

186 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 11:28:35 ID:???

>>152
208?

187 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 11:32:55 ID:???

>>184
その本は読んだ事ないんだけど、結局
「1-formは基底で展開できる→ベクトル空間をなす」
って書いてあんの？1-formの線形性については
＞1-formは >>123 の通り、幾何学的には等間隔の平行な
＞平面の集まりで表される。ベクトルが貫く平面の数が関数値。
と暗示してあるだけ？　　　…だとしたらひどい本だと思う。

188 ：184：2005/10/07(金) 11:43:12 ID:???

もちろん本にはもっとキチンと書いてある。２ｃｈの狭いところに何もかも書くことを要求されてもなあ。

あんた自身はあげ足取り以外のことが書けるの？

189 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 12:45:32 ID:???

さて、本題の高校生に教えるという観点から立てば、
反変、共変の区別はまだ早いと思う。彼らは、直交座標しか
習わないのだから、座標系に依存しない、ということぐらいでいいと思う。
そんでもって、テンソルはベクトルとはというところを、このスレの最初に
親切そうな人が言っていたような説明をすればいいんでないかな（おれは
あんまり理解できなかったけど）。

190 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 13:03:27 ID:???

反変、共変はそれが現れる理由というのがわからないのとね。
結局、定義だの慣習だのと説明されても、高校生は「？？？？？」
となるだけだと思う。数学科を目指す人にはそれでいいかもしれないけど。

191 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 13:51:43 ID:???

数式じゃなく、インタラクティブなグラフィックスの威力をかりて直感で
把握してもらうことができないだろうか。ジョイスティックでO(3)の回転
操作をすると、それにつれて回転体の多成分量が変化示す変化する様子とか。
あ、単なるbivectorの回転みたいなものにになってしまうか。

192 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 15:19:16 ID:???

>>191
是非トライしてみて。
個人的には、直行座標が斜行座標（言葉はあっている？）に移行するとき、
直交座標から共変的に変換される座標系と反変的に変換される座標系に
じわじわっと分かれるところも入れてくれるとうれしい。

193 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 15:51:42 ID:5Ugj7fX5

>>190
反変ベクトル＝縦ベクトル＝普通のベクトル、
共変ベクトル＝横ベクトル

これが、まあ、ベクトルや行列を知っている彼らには一番身近な例だと
思いますね。本当に理解したいなら、きちんと数式をサポートしないと
いけませんので。それは、必要はありませんから。そうなると、必然的
に説明の仕方や説明の用語を選ぶ必要が出てきますよね。
　キャノニカル同型、傾斜的という用語は、ホント無用だと思いますよ。
大学生でも無用な用語だし、無用な用意ですよね。まあ、人それぞれ
だけれども。

194 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 16:06:24 ID:5Ugj7fX5

>>189
あの説明は、ある意味、高度なイメージだから。あれで分かるという事は。ただ、数式をサポートして初めて分かるという処ががるので、曖昧さは、
残していても、その説明の方法では、その程度の広さ・深さで止めておくのが、懸命だと思います。それ以上の広さ・深さで説明を考えるならば、
きちんと数式をサポート出来るまで訓練しないといけません。また、高校生にはそう説明すればいいと思います。

195 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 16:53:50 ID:???

高校生的には、応力テンソルを用いるのが一番わかりやすい
気がする。実際に実験してみられそうだし。ただ、これだと
２階のテンソルの一面－ベクトルをベクトルに対応させる－
を強調することになるけど。応力なら、大学に行っても役に立つよ。
弾性体力学、流体力学、電磁気学など。

196 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 17:18:45 ID:5Ugj7fX5

>>195
応力テンソルは、誰かの説明：ある方向を見ている時の、また別の方向の
変化、というものが一番分かり易いですね。じじつ、それはテンソルの
数学的な定義の根本的な所を言っている訳ですから。

197 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/07(金) 19:12:39 ID:jJAhJ9VG

talk:>>193 一体誰が傾斜的などという言葉を使い出したのか？p階反変q階共変テンソル空間をどうやって特徴付けるのか？

テンソルを教えるには、線形空間(ベクトル空間ということもある)から教えないといけない。
その線形空間をどうやって高校生に説明するのか？

198 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 19:19:22 ID:???

>>197
「線形空間」とかしこまらなくても、直感的把握でいいんじゃない。
高校生がやる空間というのは、無意識的に平面幾何学が
成り立つものとなっているだろうし。

199 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/07(金) 19:39:17 ID:jJAhJ9VG

talk:>>198 0階のテンソルはスカラーで1階のテンソルは反変ベクトルか共変ベクトルかのどちらかだが、2階のテンソル(三種類ある)はどのように説明する？

200 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 19:49:29 ID:???

>>199
三種類とは？

201 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 20:00:22 ID:5Ugj7fX5

>>200
mixedがあるっていみさ。

>>197
それが君の知性の限界。君にテンソルの事聞くなら、辞書引くのと変わらないよ。>>198の言うとおり。人は線型なものしか理解でき
ませんから、線型空間をまず考えて来たのでしょう？歴史的にみて。>>197さん。>>196,>>193-194が言っている通り。
高校生にテンソルを教えるという意味合い、それと、>>197の様なまるで大学課程のテンソル解析・代数の項の説明通りの展開、そんな
形でしか、説明出来ないのは、きちんと理解できていないと言う事。理解が浅いんです。そんなの君に聞かなくて言い訳、そんな説明
なら、テンソル解析、テンソル積、テンソル代数、・・・というものが載っている大学課程の本を読めば済むの。そんな君の様な説明
じゃね。つまり、君の様な説明は　無用　ってこと。そんな説明しか高校生に出来ないなら、君の知性が低いってこと。同時に、テンソル
の意味合を深く理解していない事の現れ。>>195,>>196がテンソルの意味合いの本質を簡単な例で示している。

202 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 20:30:39 ID:5Ugj7fX5

>>197
簡単な話。線型空間ってのは、

「努力したらその分だけ報われる」様な世界

なんだ。・・・ってね。例えば、
　１０ｍを５秒で走れる奴がだ、５０ｍをその調子で走れば、５倍の２５秒になる。
まただ、同じ調子で１００ｍを走れば、１０倍の５０秒かかる。そんな世界が「線型
空間」っていうもんだ。数式で書けば、ｘやｙに対して、a,b倍したものがこんな関係
にある事を線型、それが成り立つ世界を線型空間というんだ。
　f(ax+by) = af(x)+bf(y)
ちゃんと、ｘがa倍されたら、f(x)もa倍、ｙがb倍されたら,f(y)もb倍。これが、
２倍速く走れば２倍の距離を走れるって事だ。axとbyの和はちゃんとfがついても和でaf(x)+bf(y)。
これは、努力した分は、それぞれきちんと積み重なるって事だ。
　まあ、人生は、「努力した分報われる」ってことはないわな（笑。ちゅうことは、人生は、線型で
ない、つまり,「非」線型ってことだ。でも、同じ大きさの積み木を２倍の数積み上げれば２倍高くなるし、
風呂に同じ量で２倍長く入れれば２倍の量になるし、A君の体重が６０Kgだとすると、その体重計にB君
８０Kgが載れば、きちんと、積み重なって１４０KGになる。自然界は、ある程度日常で感じる世界では、
「線型」って事がなりたつから「線型空間」ってことになる。「努力したら報われる」って事だ。

203 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 20:30:42 ID:???

GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wはうざいから放置でいいよ

204 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 21:10:05 ID:???

GiantLeaves◆6fN.Sojv5wはぬるぽ神スレで叩かれてるようだな

205 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 22:05:59 ID:???

>>176
> king vs ^^
^^って誰？　気になる。。。

206 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 22:34:58 ID:???

漏れは176じゃ無いけど、＾＾って言えばこいつじゃね？
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1091539094/200-426
とっくに亡くなったファインマン先生の亡霊とカルテクで話をする人。
とっくに無くなったレニングラード大学の研究者と話ができる人ｗ

207 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/07(金) 22:39:42 ID:jJAhJ9VG

talk:>>201 数学は全て簡単なことの積み重ねなのだよ。テンソルの話をするには、テンソルの話ができるベースから作るべきだろう。

208 ：205：2005/10/07(金) 22:48:04 ID:???

>>206
サンキュー。ユニークな人なんだね^^

209 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/07(金) 23:21:33 ID:???

だいたい、高校生がどっからテンソルなんて言葉引っ張ってくるんだ？　もし相対論のブルーバックスあたりからなら、結局
相対論まで理解しないとテンソルも分かった気にはならないだろう。数学は使ってみないと理解できないから。でも
ただでさえ勉強することが多い高校生にそんなことまでやる時間があるとは思えない。やっぱり大学に入ってからのお楽しみだな。

210 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 00:56:41 ID:qhtaqwck

>>207
それは人それぞれ。高校生がそれをその時望むかは、その時点時点とその個々人の選択。雰囲気を知りたいのか、数式もサポートしてしりたいのか。それに、
必要な事、用語、概念を捉えて教える。それが君には出来ないんだよ。　　君のような説明なら、辞書引くか、大学課程の教科書読めば良い訳で。
「辞書でテンソル（Tensor）って引きな！」って言っているようなもの。それなら、本があるんだから、君は無用なんだよ。
　線型空間にしてもだ、ベクトル空間もいい、それはこういう要件を満たすもの、だらだら・・・こんな条件、実空間どうこう、写像がどうこ
う、線形性は、体Ｋ上のベクトル空間Ｖにおいて・・・・。こんな事、別に要らない訳。その時点の説明において。
　所詮、なんで人間が線型空間を考えて　しまったのか？　っていうのは自然界がある部分でそうなっているから。人間の脳がそう考えてしまう。
線型な部分しか人間の脳ははっきりと把握出来ないから。それを抽象化を後からしたに過ぎない程度のもの。線型空間、線型という事を説明するの
に、更に、高校生にだ、細かい準備なんていらなら、一言「努力した分だけ報われる様な世界」と喩えれば、その本質は全て満たしている。

211 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 01:02:32 ID:qhtaqwck

>>207数学は全て簡単なことの積み重ねなのだよ。テンソルの話をするには、テンソルの話ができるベースから作るべきだろう。
　：そういうレベルの低い話をしているんではないんですよ。知性のない。

>>210で言うような意味合で説明出来ないから、知性がないっていうです。君のは本をそのまま写して、唱えて、解説しているだけで、
「辞書でテンソル（Tensor）って引きな！」といっているに過ぎず、その本質が分かっていない。線型とは何か？線型空間とは何か？
テンソルとは何か？　大学課程の本に載っている準備からだらだら解説してもそれは、その本質は分かっていないだよ。
更に、高校生に教えるという事も念頭にない。終わっている。

212 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 01:03:35 ID:qhtaqwck

>>203
　ほんとそう。知性がないし、頭悪いし。

213 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 01:43:47 ID:???

>>210-212
恨みでもあるような粘着批判だね。

214 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 02:06:08 ID:???

激しくすれ違いかどうか解らないんですけど

スピノルでベクトルもスカラーも表せる　ってのはどうイメージしたらよろしいでしょうか？？

215 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 03:51:46 ID:qhtaqwck

>>212
物理的に言って、粘着される側も、粘着って事？（笑：これは困った。しかし。

>>214
一般的には無理です。考えている舞台が、orientableな物でないといけないので。スピノ－ルでベクトルやスカラーを表せるというのは,ベクトルやスカラーの座標
変換特性を再現出来るという意味です。２つのスピノ－ルの積で、スカラーもベクトルも表せますので、そんなイメージを持っているといいでしょう。特に,
スピノ－ルをΦとして
Φ^{*}Φ:スカラー,　Φ^{*}τ_jΦ:ベクトル,　Φ：スピノ－ル　
と表せます。

216 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 03:53:08 ID:qhtaqwck

>>214
特に,直観的に,スカラーΦ^{*}Φの平方根が,スピノ－ルΦなんて考えます。事実そんな感じでしょう？
また,スピノ－ルはベクトルの平方根とも言います。それも上の形式を見ると分かるでしょう。事実、物理的にベクトルは例えば、光子などがあり、
スピノ－ルは電子があります。電子（スピノ－ル）２こ＝光子（ベクトル）ですから、ベクトル（光子）の平方根＝スピノ－ル（電子）１こという訳です。

つまり、スピノ－ル２つでベクトル１つって事。これは、ファインマンダイアグラムという反応過程図において、必ず、電子（スピノ－ル）２つが、
光子（ベクトル）１つに繋がっているというのもそこに理由がある訳です。

更に、ベクトルは１回転すれば、元に戻るけれども、スピノ－ルは２回転しないと元に戻らない性質があります。
つまり、スピノ－ルでは、１回転では半分しか回らない。だから、ベクトル１つを作るには、その性質：
１回転して元に戻るを作るために、スピノ－ルが２つ要る訳です。

スカラーの場合は,回転に対して、不変つまり、回転しない。回転に対して０．これをスピノ－ルで作るには、
半回転－半回転＝０回転という意味合いをつくる必要がある。それが、Φ^{*}Φ。

217 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/08(土) 06:38:33 ID:VUDJqB6H

talk:>>210 最低限、線形空間と基底の話は要する。その上で、線形空間同士のテンソル積空間を定める。テンソル自身は「双線形的」かつ縮約が定められる。私は必要なことは全て述べた。

218 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/08(土) 06:39:33 ID:VUDJqB6H

talk:>>211 私は本を見ないで書いている。私の書いたことと同じことが書いてある本を見せてみろよ。

219 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/08(土) 06:43:32 ID:VUDJqB6H

テンソル積空間は、それ自体は線形空間でしかない。
テンソル積空間のもとを考える必要がある。

220 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 07:36:17 ID:++sS3fN8

物理で反変べクトルを「それに対応する」共変ベクトルに移す操作は、成分表示で
v_i = g_{ij} v^j
となるけど、この対応が、基底の変換でどうなるか、というとGiantLeavesのいう
canonicalな写像V->V*なら　g_{ij}のところが不変でなければならないところが
実際にはg_{ij}は２階テンソルとして変換してしまう、物理的にそれでいいのか？
つまり座標系によってv_iとv~iの対応関係がかわっていいのか、という問題に
なるのでは？

221 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 07:52:32 ID:++sS3fN8

実際には基底のとりかたによっていいはずがないし、実際に拠らないんだとおもう

222 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 07:57:43 ID:???

>>220-221
不変なのはg_{ij}dx^i dx^jであって、g_{ij}だけでは変換して当然でしょ。

反変、共変ベクトルも成分表示（脚があらわな書き方）では変換するし、
基底も含めて脚をなくした表示なら基底の取り方によらない。

223 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 08:59:55 ID:???

スピノールってベクトルみたいな「幾何学的実体」ってないよね。成分の変換性や回転群の表現として定義するしかない。
となると、テンソルも成分の変換性で定義するほうが本質的で、対応する幾何学的実体があるのはただの偶然だろうか。

224 ：220：2005/10/08(土) 09:25:23 ID:???

そう、だから>>159でいう
[基底のとりかたに拠らない「表現」を持つV->V*の同型は存在しない]
というときのその「表現」というのを、変換行列g_{ij}そのもの、という意味
にとっているなら一応正しいのかもしれないけど、
[基底のとりかたに拠らないV->V*の同型は存在しない]というのは誤った主張
ではないかとおうのだが。
数学でcanonicalなV->V*の写像、というときには後者を指すのではないのか...

225 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 11:44:43 ID:qhtaqwck

>>217
線型空間の話も基底の話も、特に、大風呂敷広げて述べる事でもない。線型空間も基底の話も端的に喩え話で必要な事は全て理解できるもの。
双線型性なんていう言葉も要らないよね。はっきりいって。高校生に教えるのに。　必要な事は全て述べた＿？？　それって最悪の態度です
よね。それこそ「辞書でTensor：テンソルって引きな！」って言っているのと変わらない。カレーのレシピを書いて、さあこれがカレーだ！
って言っているのと変わらない。終わっていますよ。知性が低いからそういうことになる。深く理解していないから、大学過程の本に書いて
いるような道筋でしか、説明出来ないし、端的にその本質を教えられないんだよ。

226 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 11:45:39 ID:qhtaqwck

>>218
そういう事をいっているのではなくてさ・・、知性がないね。

227 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 11:48:57 ID:???

このスレ本当に高校生が読んでるの？

228 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 12:02:55 ID:qhtaqwck

>>277
確かにそれは疑問。きちんと理解できていない人もいるからね。

>>255
必要な事は全て述べた＿？？　それって最悪の態度です
よね。それこそ「辞書でTensor：テンソルって引きな！」って言っている
のと変わらない。カレーのレシピを書いて、さあこれがカレーだ！って
言っているのと変わらない。終わっていますよ。知性が低いからそういうことになる。
深く理解していないから、大学過程の本に書いているような道筋でしか、
説明出来ないし、端的にその本質を教えられないんだよ。

229 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 12:04:23 ID:qhtaqwck

>>223
一応、幾何学的実体はありますよ。

230 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 12:30:05 ID:???

本当？　線型に関係した幾何学的実体といえば直線と平面（とその次元を上げたもの）しか思いつかないだけど、それ以外のものがあるの？

231 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/08(土) 18:31:34 ID:VUDJqB6H

talk:>>225 テンソル積空間自体は線形空間でしかないというレスを読んだのか？だからこそ、その線形空間の中身について考えないといけないのに。それでは手始めにお前は行列の本質を端的に説明してみろ。

232 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 19:17:17 ID:qhtaqwck

>>231
何でお前に命令される必要があるんだよ、くそが。知性ないやつは
黙ってろっ。無用なんだよ、お前は。世の中、良い本や辞書がある
んだからよ。うざい。頭悪い奴って。

>>230
スピノ－ルの幾何学的実体というのはあります。

233 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 19:43:46 ID:???

もう新しい説明はでそうもないし、教育上悪い流れになってきたようだからここいらでお開きにしない？

234 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/08(土) 20:58:58 ID:VUDJqB6H

talk:>>232 高校生がテンソルを理解できるような本や辞書があるのかどうか示してみろよ。

235 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/08(土) 22:28:41 ID:???

礼儀正しく知性あふれるID:qhtaqwck氏のレス

486 名前：ご冗談でしょう？名無しさん投稿日： 2005/10/08(土) 06:02:35 ID:qhtaqwck
>>483
礼儀のしらない人ですね。
じゃあ、ゲボイ知性なき粘着だんご兄弟の一人である貴方が、だんごのかっこし
た写真をここに貼り付けて、おでこに、粘着って、ガムテープに書いた
やつをjpegで置いたら答えるよ。

236 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 00:00:18 ID:qhtaqwck

>>234
ほんと頭悪いね。そういう意味ではないだろ？はぁ？
知性がない奴だね。こんな奴に教わったら、大量生産
製品って感じだね。まったく。
　無用なんだよ、お前は。世の中、良い本や辞書がある
んだからよ。お前の説明は無用なんだよ。無用。うざい。
頭悪い奴って。

237 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 00:04:02 ID:???

どんどんID:qhtaqwckの内面が曝け出されてきたな。

238 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 00:23:16 ID:???

ID:qhtaqwck氏のありがたいアドバイス
一番最後に注目

68 名前：ご冗談でしょう？名無しさん投稿日： 2005/06/01(水) 02:49:06 ID:mX935ZrE
学部での物理で知っていれば十分な数学：
[線形代数]ベクトル、ベクトル空間＝線形空間、基底、直交性、線形性、部分空間、補空間、ランク、一次方程式系、行列、行列式、余因子、次元、余因子展開～ラプラス展開、
線形独立、線形従属、写像、線形写像、単写、全写、作用素＝演算子、イメージ、固有値、固有方程式、固有分解、固有空間、固有関数～固有ベクトル、対角化、座標系、
ジョルダン標準形、ジョルダン分解、準同型写像、同型写像、テンソル、スカラー、テンソル代数＝テンソル解析、関数解析＝関数論

239 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 01:42:59 ID:???

GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
は数学板にいた人です。

このスレは、「高校生にテンソルを教える」という無理難題を目標に掲げながらも
結構うまくいっていたと思ったのだが。
(すくなくとも>>106までは。ref >>107.)
確かに難しい課題だけど、頑張ってほしいものである。

難しいからといって単に抽象的に議論するのは味気ない。
自分も数学屋だが、こういうのしか書けないのは少し恥ずかしい気がする。

240 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/09(日) 07:44:40 ID:qqI9Mtvo

talk:>>236 その一点張りこそ無用だ。お前は自分が何しているか分からないのか？

241 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 08:16:17 ID:???

>>240
関数解析と関数論の区別もつかないやつ相手にしてもしょうがないよ。

242 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 09:55:57 ID:???

質問は高校生にのみ許すってことにしたらどうだろう。疑問のレベルで判断。大学生以上はそれに答えるだけ。他人の答に対する批判も禁止。代りによりよい答を提示すれば高校生が勝手に選ぶ。

243 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 10:14:07 ID:???

>>242
確かに説明が適切がどうかを判断するのはスレタイどおりに高校生であるべきで、
そうでない人があれこれ言う筋合いはないな。

244 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 12:18:50 ID:???

まあ高校生に適切さの判断ができるかはあやしいが、感情的な叩きあいを見せたところで判断できるわけでもないからな。

245 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 13:16:45 ID:???

実年齢30超、理数年齢高校生レベルではどうでせうか？

246 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/09(日) 13:33:02 ID:???

質問だけ見て判断。

247 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/10(月) 07:44:17 ID:???

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1124899208/551-552
こんなこと言ってるヤツには判断できないことは確か

248 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/11(火) 09:52:35 ID:???

もう高校生は読まないほうがいいだろうな。

249 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/12(水) 20:59:34 ID:5qI3Ppd+

反変と共変の違いを教えるには、一次形式を使って、直行座標から
斜行座標に変換させてみればいいと思う。例えば、
f = a*x + b*y
として、x = p*x' + q*y', y = r*x' + s*y' と変換してやれば、
確かに、a, b は、行列 {p, q, r, s} の逆行列の転置で変換される
ことが示せる。ついでに、直交変換の場合は、変わらないことも示せる。
これなら高校生でも楽勝でできそうだね。反変、共変が自然に現れることを
感覚的にとらえるにはいい例題だと思う。天下りで定義を押しつけるよりかは
ずっといい。

250 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/12(水) 21:23:18 ID:???

これだけだと、共変とは面であるという椰子が現れそうだから、
別な例を出してみるのもいいと思う。距離の２乗 x^2 + y^2 に
>>249の変換をほどこしてやる。x*x+y*y と書いて、まず、x､yの一方だけ
変換してやると、(p*x+r*y)*x' + (q*x+s*y)*y' と書ける。ここで、
X' = p*x+r*y, Y' = q*x+s*y とおいてやれば、X', Y' は、x,yの
共変的に変換したものだと言える。それゆえ、x^2 + y^2 は、
X'*x' + Y'*y' に変換される。（以下略）

251 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 08:10:04 ID:WxwVY0kw

２次元の平面上のベクトル場は、ベクトルを知っているのだから、それが
なめらかに分布しているイメージで、理解できるだろう。
平面上の一点の近傍で、ベクトル場の「微分係数」＝「線形近似での変化率」
をなんとか定義してみろ、といって考えさせればいいとおもう。

そうすれば自然に　ベクトル場v(x)の成分について∂v_i/∂x^jという
多成分量が必要なことに到達できるだろう。（偏微分の記号はつかわないで
説明するとして。）

この平面の回転での変換性を議論するところまでは無理かな。
変換性をいうと、ただちに∂/∂x^j の変換性が問題になってくるので。

252 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 09:12:46 ID:v5eb2bxF

>>247
関数論といえば、複素関数論といってもいいわけで、複素解析を関数解析で
引き直す事が出来るから言っている事は間違ってはないよね。慣習的には
関数論というと複素関数論となっていますが、定義はなくて、一般的に、関
数を扱うという点で差別する必要はないというのが、一定の見解ではるんで
すよね。標語的になる人が多いから。

>>250-251
説明がちょっと、ボッタくなっているかもしれないね。厳密さはかなり、
犠牲にしていいと思うよ。反変/共変という言葉の命名は歴史的なもので、
基底の変換性と共なのか反なのか、それを簡単な例と計算で説明すれば
いい。一般的に説明はしなくて、特別を説明して、「察して知るべし」と
すればいいんではないですか？

253 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 10:59:48 ID:???

>>251
教科書だと共変の例として、∂/∂x^j はよく出てくるね。ただ、
ちょっと高校生には無理かと。普通の初等代数の範囲で
示せるのが>>249、>>250のいいところ。
それと、理系の大学生でも∂/∂x^j をちゃんと座標変換できる
やつは少ない気がしないでもない。。。

254 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 14:07:19 ID:???

>>252
「推して知るべし」もしくは「察して下さい。お願いだから」のどっちか。
混ぜこぜはダメよ。

255 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 15:06:43 ID:v5eb2bxF

>>252
察して知るべし＿って使うよ。というのは、その先を察する事で、知る。
物事の事情などをおしはかってそれと知る。推察する。という事です。
推して・・・、という言葉は、推する＝推察するという事でしょうから、
使うんでしょうね。

256 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 15:11:41 ID:v5eb2bxF

>>253
そのエッセンスを感覚でウソではなく、その雰囲気を分かった気にさせる
という事で高校生には教えるのが一番です。数式で、大学過程の数学の
知識、定義を全て用意して説明するのは、誰でも出来る訳でしょう？だっ
たら、その人はいらないんです。彼らが大学生になって、本や授業などで
知ればいいし勉強すればいい。

257 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 16:14:46 ID:???

http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%BB%A1%A4%B7%A4%C6%C3%CE%A4%EB%A4%D9%A4%B7&kind=jn
http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=%BF%E4%A4%B7%A4%C6%C3%CE%A4%EB%A4%D9%A4%B7&kind=jn&kwassist=0&mode=0

まぁ^^に言っても意味ないだろうけど。

258 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 16:58:17 ID:???

関数論＝関数解析のときと同じように、絶対に間違いを認めないのねｗ
お前にした通用しない定義を他人に押し付けるなよ＞＾＾

259 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 16:59:09 ID:???

やってもうた。
お前にした→お前にしか

260 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 17:20:18 ID:???

>>256
もちろん、∂/∂x^j が悪いと言っているわけではない。
教えるにあたっては簡単なものから難しいものに行けばよし。
また、自分の手で確かめられる具体例というのも大事。

で、∂/∂x^j のエッセンスとは？

261 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 17:23:40 ID:???

ゲラゲラｗｗｗｗｗ

252 名前：ご冗談でしょう？名無しさん投稿日： 2005/10/13(木) 09:12:46 ID:v5eb2bxF
>>247
関数論といえば、複素関数論といってもいいわけで、複素解析を関数解析で
引き直す事が出来るから言っている事は間違ってはないよね。慣習的には
関数論というと複素関数論となっていますが、定義はなくて、一般的に、関
数を扱うという点で差別する必要はないというのが、一定の見解ではるんで
すよね。標語的になる人が多いから。

262 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 17:34:36 ID:???

>>261
もういいよ。難しすぎて大学生にもよくわからんだろう。
高校生にわかるように説明するなら許す。

263 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:18:09 ID:v5eb2bxF

>>258
間違いではないのだから、仕様がないでしょう（ｗ
標語的な形でしか数学を学んでいない人とは違うから。
恥じなのは気味らだよ、関数論というのは複素関数論、
つまりは、解析関数を扱うものである、標語的に考えて
しまう。別に、関数解析で引きなおす事でも出来る。
関数を扱うという点で差別する必要もないというのが、
玄人の見解。

264 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:22:25 ID:v5eb2bxF

>>258
君の勉強不足。標語的にしか考えられない硬直化した脳だからそうなる
んだよ。おれも、ＵｎｉｖＯｆｄ.ｆ.の意味しらないが、このｄ.ｆ.
というのは、数学をよく勉強している人は知っているそうですよ。

265 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:24:29 ID:???

252 名前：ご冗談でしょう？名無しさん投稿日： 2005/10/13(木) 09:12:46 ID:v5eb2bxF
>>247
関数論といえば、複素関数論といってもいいわけで、複素解析を関数解析で
引き直す事が出来るから言っている事は間違ってはないよね。慣習的には
関数論というと複素関数論となっていますが、定義はなくて、一般的に、関
数を扱うという点で差別する必要はないというのが、一定の見解ではるんで
すよね。標語的になる人が多いから。

↑（ ´,_ゝ`）ﾌﾟｯ

266 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:26:10 ID:???

スレ違いの妄言はもういい加減ウザい。
テンソルの議論に戻れ。

267 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:28:52 ID:v5eb2bxF

>>265
笑われてもね。間違いでないのだから、仕方のない事で。事実なので。
更に、単に標語的にしか考えられない硬直化した脳だから、そうなる
だけで。正直に言いますが、プなのは君だよ。

268 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:31:53 ID:???

ええと、もう一回念のために言っておくけど、

「テンソルの議論に戻れ」

269 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:33:56 ID:???

煽りますね．
あなたは関数論も関数解析も勉強した上で
関数論＝関数解析と言っているんでしょうか？
もちろん、やったんでしょうね？
問題投下したいのですがよろしいですか？
これで投下予告2回目ですが今度は逃げないで下さいね（ ´,_ゝ`）ﾌﾟｯ

270 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:35:12 ID:???

テンソルの議論に戻れ

271 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:37:24 ID:???

プケラッチョ┐(´ー｀)┌

272 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:55:46 ID:???

複素関数論が出てきたけど、等角変換って共変なの反変なの？
それともどちらでもないもの？　それとその理由は？

273 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 21:56:08 ID:v5eb2bxF

>>269
なんでお前の馬鹿さ加減に付き合わないといけないんだよ。硬直脳に
用はないんだよ。

274 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 22:00:37 ID:v5eb2bxF

>>269
面どくさ。一人でかってにやってろ。

275 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 22:08:25 ID:???

ゲボイ君がﾌｧﾋﾞｮる寸前です。

276 ：関数論≠関数解析・問題：2005/10/13(木) 22:09:02 ID:???

玄人のふりをするのはよくないなー

277 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 22:13:04 ID:???

誰も騙されないのにねぇ。
アレで騙せてると思ってるなら、頭の中身がオメデタ過ぎるｗｗ

（現存しない大学である）レニングラードの研究者って誰ですか？＞＾＾

278 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 22:14:49 ID:v5eb2bxF

>>275
ゲボイ奴がゲボイ事言うなよ。

279 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 22:16:16 ID:???

ゲボイ君のゲボイ発言ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━ｯ!!

280 ：関数論≠関数解析・問題：2005/10/13(木) 22:17:27 ID:???

＞んだよ。おれも、ＵｎｉｖＯｆｄ.ｆ.の意味しらないが、（以下略）

UnivOfd.f.においてUniv.Ofd.のOfd.は多分オクスフォードのことだろうが、fは何？？

281 ：関数論≠関数解析・問題：2005/10/13(木) 22:19:31 ID:???

d.f.なんて意味不明だしｗｗ
一般に使われてない単語を使うなら説明しろよ、本筋を外れたアホなのか？－＞＾＾

282 ：関数論≠関数解析・問題：2005/10/13(木) 22:27:09 ID:???

おい、専門本を書いた事も無い、
板書もしたことも無い、
数学本を読んだこともない、
そこの自称玄人なるID:v5eb2bxF（　≒＾＾　）、ＴＰＯも知らんのか？
ここは高校生対象だぞ？

283 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/13(木) 22:30:30 ID:???

＞数学本
っていうか数学書な。まだか？

284 ：269：2005/10/13(木) 23:53:13 ID:???

ゲボイ逃げ腰
プケラッチョ┐(´ー｀)┌

285 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 04:42:39 ID:0ObS+5s0

>>283
日本語勉強したら。
>>282
勝手な君の意見であって、相手にならない。

286 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 04:51:39 ID:???

>>285
＞日本語勉強したら。
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！
お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！お前が言うな！

287 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 11:04:56 ID:???

また、高校生でもわかる有意義な書き込みをしようかと
思ったが、ノイズに消されそうだからやめよう。。。

288 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 11:26:47 ID:0ObS+5s0

>>287
キタ－！！！オエッ。
ゲボイ粘着知性なき硬直脳だんご兄弟がやってきたからね、粘着菌を
振りまいて、みんなゲボクなるから、みんな逃げよっ！！

289 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 11:31:47 ID:0ObS+5s0

>>287
ちなみに、君のことじゃないよッ！！
一緒に逃げよッ！！感染するから、粘着菌に。
もう、迫っている、みて！、あっち、「ゲボゲボ兄弟、ゲオボゲオ兄弟・・」
って言いながら、粘着菌を振り撒きながらこっちに来てる。オウェー。
逃げろ－！！感染するぞー。ワクチンないから、あの一員になってしまうぞー。
うぁ、臭って来た。なんていうにおいだッ。

290 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 11:40:26 ID:???

ここ、高校生にテンソルを教えるスレなんだよな。
なんで小学生がいるの？
「○○菌に感染する！」なんて言ってるのは小学校低学年までじゃないか？

291 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 11:52:09 ID:???

>>290
うむ
幼児が紛れ込んでいるようだw

292 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/14(金) 12:08:14 ID:zP5iHZzA

どうでもいいけど、「菌」という字は人の奥歯に似てない？

293 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 12:08:15 ID:???

「ゲボイ」というセンスといい「粘着菌」といい、
年齢が2桁に達した人間のセリフではないなｗ

294 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 12:36:29 ID:???

>GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
また火に油を注ぐやつが現れた。困ったもんだ・・・

295 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/14(金) 12:46:21 ID:zP5iHZzA

talk:>>294 お前に何が分かるというのか？

296 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/14(金) 12:49:49 ID:zP5iHZzA

0階のテンソル、これは実数または複素数。簡単のため、実数の場合だけ考えよう。
1階のテンソルはベクトルだけを考えればよさそうだが、ここも高校生にとってはやっかいなところ。

297 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/14(金) 12:50:43 ID:zP5iHZzA

もちろん、数学では0階のテンソルは実数、複素数以外にもありうる。

298 ：関数論≠関数解析・問題：2005/10/14(金) 12:53:18 ID:???

何この独り言レス・・・

299 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/14(金) 12:54:34 ID:zP5iHZzA

ちょっと趣向を変えて、対称テンソルと交代テンソルをやってみよう。
a ox b=b ox a のような法則が成り立つようなテンソルを対称テンソルという。
a ox b=-b ox a のような法則が成り立つようなテンソルを交代テンソルという。
a,bはどちらもベクトルとする。

300 ：関数論≠関数解析・問題：2005/10/14(金) 13:06:59 ID:???

あ！
この人、数学板のアイドル・kingかｗあっちから追い出されたか

301 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/14(金) 13:20:08 ID:zP5iHZzA

talk:>>300 何が言いたいのだ？

302 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 13:42:23 ID:???

>>276 >>279-282 >>298 >>300
恥ずかしいやつだなｗ
君はhyper functionもD-moduleも知らないんだろうな．
いや，知らないからそういう結論に至るのだろうが．

303 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 15:34:33 ID:???

他のスレは比較的平和なのに、なんでここは
こんなに荒れるのか。。。どっかの過疎スレで
やってくれればいいのに。

304 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 17:49:33 ID:???

高校生がいないからでない？

305 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 18:15:29 ID:???

小学校低学年ならいる。

306 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 18:20:56 ID:???

知識があるんだろうけど、二人ともささいなことに
過剰に反応するね。数学板の２０８みたい。

307 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/14(金) 20:49:17 ID:???

GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wって香具師いつも荒らしてくるな
　　　　　　　　　　　 ∧＿∧
　　　　　∧＿∧ 　（´<_｀　）　現実では誰からも構ってもらえないのさ
　　　　（　´_ゝ`）　/　　 ⌒i
　　　　／　　　＼　　　　|　| 　
　　　 /　　　/￣￣￣￣/　|
　＿_(__ﾆつ/　ｳｻﾞｽ　 / .| .|＿＿＿＿
　　　　＼/＿＿＿＿/　（u　⊃

308 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/15(土) 10:02:10 ID:???

オマエモナー

309 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/15(土) 10:04:55 ID:hEDuT2tt

talk:>>307 お前何しに来た？

310 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/16(日) 20:52:56 ID:???

最初は良スレだったのに、すっかり糞スレと化したな

311 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 14:00:54 ID:or2SvwVT

やっと、静かになったな。

あの二人、今日はどこのスレで戦っていることだろうかｗ

312 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 14:08:46 ID:HFvyjVFc

>>310
だね。高校生にテンソルを教える簡易講義、誰かやってくれない？
　>>310さんどう？

313 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 16:17:05 ID:???

GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wって香具師いつも荒らしてくるな
　　　　　　　　　　　 ∧＿∧
　　　　　∧＿∧ 　（´<_｀　）　現実では誰からも構ってもらえない単なるニートだからな
　　　　（　´_ゝ`）　/　　 ⌒i
　　　　／　　　＼　　　　|　| 　
　　　 /　　　/￣￣￣￣/　|
　＿_(__ﾆつ/　ｳｻﾞｽ　 / .| .|＿＿＿＿
　　　　＼/＿＿＿＿/　（u　⊃

314 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 17:21:12 ID:or2SvwVT

GiantLeaves ◆6fN.Sojv5wは何者だか誰か知っている？
いや別にいちゃ悪いと言っているわけではないが、自動翻訳か
なんかを通したような独特な語り口が不気味。

315 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/10/17(月) 18:07:11 ID:Hje8qdzN

talk:>>313-314 お前に何が分かるというのか？

316 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 18:22:39 ID:???

>> talk:>>313-314 お前に何が分かるというのか？
返答するときもいつもワンパターンでだよね。やっぱ
自動翻訳？

317 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 19:38:33 ID:dXyq4eOy

せっかく雑音が減ったと思ったのに、構うなって。

318 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 22:38:41 ID:0d3nkqqe

>>316
何の翻訳だよｗ馬鹿ｗ

319 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/17(月) 23:56:13 ID:HFvyjVFc

＃１：テンソルとは？

テンソルとは、英語で　tensor[テンサー]　と書く[読む]。
これは数学用語です。

以下、続けて！！

320 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 00:12:38 ID:???

>>319
テンサーってなんさー

321 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 00:34:45 ID:59g8XhlH

>>320
こんもてんさー＝今日も天気だね；

322 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 14:46:24 ID:59g8XhlH

＃１－１：テンソルが出て来る大学課程

テンソル[tensor:テンサー]は、理学部/工学部/理工学部の課程で
一般的には出てきます。線型代数の講義の後半に出て来たり、力学
の慣性テンソルという話題で出て来たり、微分幾何学、多様体の講
義、特殊/一般相対性理論の講義で出て来たり、連続体の力学（流体
力学、弾性力学）で出て来たり、します。

323 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 20:19:51 ID:???

テンソルという名前と行列がポツポツ出てくるだけで、誰もテンソルが何なのかを理解せずに大学を卒業していく。

324 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 20:35:43 ID:59g8XhlH

＃１－・：

続けて！！

325 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 21:17:08 ID:???

＃１－２：テンソルと行列
テンソルのある種のものは行列とよく似ています。数が縦横に整列したものとして表され、足し算やかけ算も
行列と同じ形のものが使われます。
ただ違うのは、テンソルの場合はその成分（行列の形に並べた数一つ一つの値）が座標系に依存するということです。
正確には、ベクトルの展開に使う基底ベクトルと強い関連性があり、基底ベクトルを変えるとある規則に従って成分も
変わります。一番わかりやすいテンソルはベクトルの成分そのものです。ベクトルの成分とは予め定めた基底ベクトルで
ベクトルを展開したときの係数のことなので、基底を変えると成分もかわるのです。
行列の形で書くときは、次元をｎとして、n行１列の行列として書くことが多いようです。この、
ベクトルの成分と同じ形の変換規則に従うテンソルを歴史的な理由から一階の反変テンソルと呼び、成分の一つ一つは
A^x, A^y, A^z の様に「上付き添え字」をつけます。（ここでA^x は、Aの左肩にxを添え字としてつけることを意味します）
添え字が一つなので「一階」、「反変」なので添え字を上付きにすると考えてください。

326 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 21:55:33 ID:???

ベクトルはベクター、スカラーはスケイラーだけど

327 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/18(火) 23:06:55 ID:59g8XhlH

>>325
まずは投稿：題名：内容：サンクス！！

基底、座標系、依存する、ベクトルの展開、基底ベクトル、成分、
ある規則、基底ベクトルでベクトルを展開、係数、基底を変えると
成分も変わる、　

辺りが高校生は用語のイメージも何を言っているのか分からないの
で、具体的に数式を高校課程で用いる概念、文字、数式で、書いて
しまった方が分かり易いかとも思います。
　その点考慮で期待しています！！

328 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 01:37:54 ID:???

ふと思うのだが。
>>テンソルの場合はその成分が座標系に依存するということです。
というよりも、ベクトルや行列や更にそれを一般化したものを
「座標」を主体として考えたものがテンソル
なんではないかな。
ま、捕らえ方の違い、たいした違いはないけど。

つまり、
いままで、ベクトルは(x, y, z)のような３つの数組で表されていた。
例えば(1,0,0)は右に長さ１のベクトル。
しかし、座標を回転させて考えると(0,1,0)になったり(0,0,1)になったり。
座標を変えることで色々表現が変わり、右とか上とかいう言葉では表せないけど、
実体は何かしらあると思える（つまり向きと長さ）。
これが座標変換も含めたベクトルの捕らえかた。

この際、ベクトルを表現するには座標(x,y,z)と３つの数組が必要になる。

329 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 06:20:23 ID:???

俺なんか一階はｽｶﾗﾙ
二階はｳﾞｪｸﾀｰ
三階はﾃﾝｻｰ
と思い込んでるが

330 ：325：2005/10/19(水) 07:23:57 ID:???

>>327
いわれてみるとその通りだけど、考えてみるとそもそも高校生に「座標系を取り替える」なんて概念あるのかな？
ちょっと高校時代が遠くなりすぎたようなので、書き換えはもっと高校時代を覚えている人に期待。

331 ：325：2005/10/19(水) 07:39:01 ID:???

>>325
誤　「左肩にxを添え字としてつける」
正　「右肩にxを添え字としてつける」

332 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 08:37:20 ID:TnDRvpdV

>>330
一度は僕らも通った道なんだけど、通ったら忘れちゃう？んだよねｗ

333 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 08:46:53 ID:TnDRvpdV

＃１－２：テンソルと行列

続けて！！

334 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 15:46:35 ID:???

＃付録ーＡ：大学入学後、数学系教官にベクトル空間をおそわったあと物理に
進学するひとへの、ベクトル、テンソルに関するリテラシー・ギャップに
そなえる補遺

もよろしく。

335 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 16:10:35 ID:TnDRvpdV

>>334
『逆から読む本』スリーズみたいだね！

336 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 19:00:55 ID:TnDRvpdV

＃１－２：テンソルとベクトル
前回は、テンソル[tensor:テンサー]がどの様な課程で学ぶのかに少し
触れたと思う。ここでは、高校の数学Ｂで出て来るベクトルとテンソル
[tensor:テンサー]の関係を見ていきたい。

　実は、何の事は無い、ベクトルというのは大学課程で学ぶテンソル
[tensor:テンサー]の特別な場合なんだ。つまり、テンソル⇒ベクトル
ではなくて、ベクトル⇒テンソルと言う事だ。正確な呼び方なんだが、
　『ベクトル＝１階（いっかい）のテンソル』
なんて呼ぶ。”階”段みたいだな。まあ、階数が上がればより一般的で
多くの事を表すから、階段というイメージ自体はそうウソではないかな。
＜”階”数が上がる⇔一般的・多くの事をあらわす＞というイメージの対応
が付く。ちなみに、実際に数学で「・・・階のテンソル」という・・・を
そのテンソルの『階数』と本当に言う。だから、
　ベクトル　は　１階のテンソル　なので、『階数』は　１．

つまり、１階よりは２階の方が上だから、１階のテンソルより、２階の
テンソルの方が、一般的で多くの事を表すって具合だ。２階より３階、
３階より４階、・・・、ｎ階より（ｎ＋１）階、・・・という感じだ。
となると、テンソルって言えば、まず、何階？のテンソルっていう事を
考える。つまり、「階数」を聞くわけだ。
　ベクトルは何階のテンソル？って聞かれたら、　１階！！　って
思いってきり答えてくれ。
　

337 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 19:01:28 ID:TnDRvpdV

そのテンソルの『階数』と本当に言う。だから、
　ベクトル　は　１階のテンソル　なので、『階数』は　１．

つまり、１階よりは２階の方が上だから、１階のテンソルより、２階の
テンソルの方が、一般的で多くの事を表すって具合だ。２階より３階、
３階より４階、・・・、ｎ階より（ｎ＋１）階、・・・という感じだ。
となると、テンソルって言えば、まず、何階？のテンソルっていう事を
考える。つまり、「階数」を聞くわけだ。
　ベクトルは何階のテンソル？って聞かれたら、　１階！！　って
思いってきり答えてくれ。
　

338 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 19:02:51 ID:TnDRvpdV

以下、続けて！！！

339 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 19:04:28 ID:???

もう続けなくていいよ。
っつか>>333 >>338はギャグですか？

340 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 19:11:46 ID:TnDRvpdV

>>339
なら、このスレッドはいらないね。ギャグではないけど。
まともな事を書いているから。

341 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 19:48:09 ID:???

２階のテンソルの例１：
風が一定方向にながれています（水でもいいが）。平たい板を
持って風に向かいます。すると、板の方向によって、板が受ける
力の方向と大きさが変わることがわかる。体験または実験してみること＞＞高校生
板の方向と板が受ける力を結びつけるなんらかの関係がありそうである。
実はあるわけであって、それが（以下略・・・）。

342 ：328：2005/10/19(水) 23:07:25 ID:???

>>330はレス違い？

えっと。文章が下手ですいません。誰かうまくまとめてほしいのですが。
つまり、私が言いたいのは、高校生には「座標系を取り替える」という概念がない。
しかし、「座標系を取り替える」という概念で見ればベクトルもテンソルであると考えられる。
というかベクトルもテンソルも考えるときは「座標変換」を考えなくてはならない。
というようなこと。
「座標変換」の意味さえつかめりゃテンソルの理解くらい簡単ではない？

343 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/19(水) 23:34:35 ID:TnDRvpdV

>>342
高校生には「座標系を取り替える」という概念がない
：無い訳ではなくて、それをそれとして理解していないというだけでは？

344 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 00:10:15 ID:???

>>343
まあそうだと思います。
しかし、座標変換してテンソルの理解はありえないし、
座標変換さえ理解すればベクトルを理解できる高校生ならテンソルも理解できると思います。
私は作文が苦手なので誰かお願いします。

345 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 00:19:05 ID:MqOApsiN

>>344
座標変換というものの本質を高校生の持つイメージ、用語、記号で
説明すればいいのだと思います。その為に、具体的な例を取って、
それを以って、その一般的な場合に付いては、察して知るべし、と
するのがいいと思います。数学者でさえ、その思考回路で歴史的には
発展してきた上でテンソルは考えられてきましたので。

346 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 01:59:21 ID:???

ていうか、テンソルだけ理解してもつまんないと思う。
相対論なんかの物理といっしょに勉強しないと。

347 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 06:09:57 ID:???

高校生って、角度θの２次元回転行列
R(θ）=(a_{11},a_{12},a_{21},a_{22})=(cosθ,-sinθ,sinθ,cosθ)
による平面上のベクトルの回転を使った説明はわかるのかしら。

直交行列だから、共変、反変の説明には向いてないだろうけど、. . .

348 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 09:18:12 ID:MqOApsiN

>>347
それがわかるかどうかではなくて、恐らく、それを分からせるか
”分かったつもり”にさせるのが我々の仕事？？ｗ

349 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 09:33:52 ID:???

まず、座標変換を含めてベクトルを考える。

はじめは簡単のため世界は１次元としておこう。つまり線。
この状況で２人の観測者がいたとする。ＡとＢ。
ある物体が世界（１次元）の上を走っていった。等速度・ずっと同じ方向を向いて。
Ａいわく、その物体は「右方向に走っていった。」
これに対してＢは「左に走っていった。」という。

まあ、これはさして難しい状況ではない。
つまり、ＡとＢは互いに向かい合っている状況であったのだ。
以上を少し数学的に書いてみる。
ふつう座標といわれたらどんなものを思い浮かべるか。
それは右に線を引いて、上に線を引いて（２次元座標）というものであろう。
このとき物体はＡの座標では(1,0)の方向に走っていたといえる。
これに向かい合うＢの座標ではこの方向は(-1,0)にあたる。

これからもわかるように、物体の速度という一つの定まったベクトルも、
座標を変えると表示も変えなくてはならないということである。

350 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 12:21:23 ID:???

では座標とは何か。ではあるが。
座標は右方向にどれだけ動いて上方向にどれだけ動いて・・・と調べて、
考えたい量の方向・位置を決定するものであった。
つまり、座標は固定したベクトルの組
（２次元だったら右に１と上に１、３次元だったら右と上と手前に１）
のことである。

以上から、ベクトルは座標＝ベクトルの組(x,y)を決めると
２つの数の組（例えば(1,0)）と表されるといえる。

>>349の例ではＡの座標を(x,y)とするとき、
Ｂの座標はそれに向かい合ってるから（左右が逆になって上下は変わらないから）(-x,y)となる。
まず、Ａの座標＝(x,y)では物体の速度ベクトルは(1,0)であった。
これがＢの座標＝(-x,y)では(-1,0)と表せるのは当然であろう。
同様に座標＝(y,x)を考えれば、(0,1)となる。（首を傾ける感じ。）

351 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 13:51:34 ID:MqOApsiN

>>349
つまり、ＡさんからみるとＢさんがマイナス方向に遠ざかる、
ＢさんからみるとＡさんがプラス方向に遠ざかる。Ａさんと
Ｂさんとで立場が違うので、プラス方向とマイナス方向と、
遠ざかり方が違ってくる。違う立場で同じ事を見た時に、
Ａさんが言っていることとＢさんが言っている事が辻褄が
あっているか？という説明書、翻訳機が　座標変換　という
事ですね。座標～立場という感じで、座標変換～立場の違い
というイメージですね。

352 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/20(木) 13:53:16 ID:MqOApsiN

>>350
良い感じですね！！＃１－２題名とか＃２－３題名・・とかすると
目次みたくでいいと思います。皆さんも続けて！！

353 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/21(金) 10:05:02 ID:???

用語をもう少し整理して、座標系と座標値という用語を導入する。上に書かれてるように
座標は点の位置を指定するもので、予め決めてある原点から右にどれだけ動き、
さらに上にどれだけ動くとその点に達するか、を表した。

ところがこの原点とか、右方向、上方向は絶対的なものではない。ある学生Ａに「君にとって
先生のいる位置の座標は？」と聞けば、彼は自分の立つ位置を原点とし、そこから（彼にとっての）「右方向に
２メートル、前方向に３メートル進めば先生の位置に達するので（２，３）です」と答えるだろう。
でも別の場所にたち、後ろを向いた学生Ｂに聞けば、別の答えがくる。後ろを向いているから、多分座標には
マイナスの数が入るだろう。先生自身にとっては（０，０）になる。

つまり点の座標は「原点の位置、右方向、上方向の取り方」に応じて変わってしまうのである。この点をはっきり
させるために、「原点の位置、右方向、上（前）方向の取り方」を一つ決めたら「座標系を一つ決めた」と言うことにしよう。
学生ＡとＢでは違う「座標系」を使うことになる。それぞれにとっての点の座標を「Ａの座標系での座標値」、「Ｂの座標系での座標値」
と呼ぶことにしよう。

354 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/21(金) 10:11:03 ID:???

注：上の「座標値」という用語は、単に「座標」と言われる方が多い。でもここでは座標系を決めた上で初めて決まる値、という意味を強調するため「座標値」と呼んだ。

355 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/21(金) 13:51:32 ID:???

>>354
「座標値」は座標に関する成分ということですね？

ところで、座標変換も直交変換なら高校生にも分かると思うけれど、
直交でない場合のイメージってどんなものがあるのでしょう？

356 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/21(金) 22:33:51 ID:???

あんま思いつかないね。結晶構造ぐらいかなあ。ローレンツ変換の図はある意味で斜交座標みたいに見えるんだけど。

357 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/22(土) 01:13:28 ID:???

ベクトルを数の組（ｘ、ｙ）として導入したが、ベクトルを向きのついた線分（矢印）と見る考え方もある。
向きと長さを持ったもの、と言ってもよい。向きと長さが同じ二本のベクトル（矢印）があれば、それらは同じものと見なす。
一本の矢印を平行移動して位置を変えただけ、と見なすのである。

ベクトルの始点から右にｘ、上にｙ進んだときにちょうど終点に達するなら、このベクトルの成分は（２，３）である、という。
上で「ベクトルは座標＝ベクトルの組(x,y)」とあるのは、正確にはこのことを意味する。つまり
「ベクトル（ｘ、ｙ」）＝「始点からｘだけ右へすすみ、そこからｙだけ上へ進むと終点に達する矢印ベクトル」
なのである。

358 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/22(土) 02:21:39 ID:???

>>357
ごめん分かりづらかったみたい。
矢線でも良いけど。>>357は高校の範囲。
座標変換ということを考えたいので。

ベクトルは、
「座標＝ベクトルの組(x,y)」を決めると
２つの数の組（例えば(1,0)）と表されるといえる。

つまり、矢線でも座標を決めないと
成分が定まらない（座標を変えれば成分も変わる）ことが重要！ということ。

359 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/22(土) 08:49:21 ID:???

>矢線でも良いけど。>>357は高校の範囲。
>座標変換ということを考えたいので。

何をいいたいかよくわからないんだが。もちょっと言葉を足してくれない？

360 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/22(土) 16:17:03 ID:???

高校ではベクトルは矢線、つまり向きのついた線分（矢印）として教えているはずですが。
だから>矢線でも良いけど。>>357は高校の範囲。と書いたのです。

>>357では「ベクトル（ｘ、ｙ）＝「始点からｘだけ右へすすみ、そこからｙだけ上へ進むと終点に達する矢印ベクトル」
と書いてあり、確か高校でもこんな感じで習うはずです。
しかし、これでは「右」「上」がどの方向かによってベクトル（ｘ、ｙ）が変わりかねない。
例えば観測者ＡとＢが向かい合っていたらベクトル（１、０）といっても、これがＡの（１、０）かＢの（１、０）のどちらのことか分からない。
つまり高校でのベクトルの単元は、はじめから座標（上の例ではＡの「右」「上」か、Ｂの「右」「上」か）が決まった世界で勉強をしていた。
テンソルを考えるときはこの座標というものをあらかじめ固定しないで、自由に変換すること（コーディネート・フリー）の考え方が重要だと思う。

当然、座標（「右」「上」の方向）を固定すればベクトルは成分で表示できる。

361 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/22(土) 18:34:35 ID:???

coordinate free って座標系なしで定義できるっていみでね。

362 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/22(土) 19:32:20 ID:???

高校では座標＝標準座標と固定しているから、
コーディネート・フリーの概念が無いということ。

363 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/27(木) 08:54:00 ID:???

茶々を入れたがるやつ、なんで自分で書かんの？

364 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/27(木) 19:19:22 ID:???

コーディネートはこうでねーと

365 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/10/28(金) 02:37:39 ID:???

それもとネタなに？　どっかで聞いたんだが。

366 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/02(水) 22:25:01 ID:WzxO79XL

以前質問した者です。なんで行列を上に積み重ねないのでしょうか？
自然な考えだと思うのですが。。。
まだ誰も手を付けてない分野なのでしょうか？
それとも積み重ねても意味がないのでしょうか？

367 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/02(水) 22:40:43 ID:???

上に積み重ねる、というのをきちんと数学的に表現してみましょう。

368 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/02(水) 23:45:59 ID:???

添え字が三つあるようなもののことじゃない？
三つ目の添え字が上への積み重ねのことだと見た。

俺が知ってる限りでは"Cubic matrix"なるものがある。
Poisson bracketの拡張であるNambu bracketの代数(の量子化)の例として
以前、米谷さん達が論文書いてた。

369 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/03(木) 08:51:39 ID:???

素朴に考えると３階のテンソル表すのに適した形だろう。でも紙に書きづらいから使われないだけかと。
いや、行列同士のかけ算がきれいに定義できないかな？

370 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/03(木) 19:15:36 ID:AdUF3ME+

数を並べるとベクトル、ベクトルを並べると行列、とくれば次は行列を積み重ねてみようと思うのは自然だと思ったのです。
0階が数、1階がベクトル、2階が行列、3階が立体の行列、という理解であってますでしょうか？

371 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/03(木) 22:06:54 ID:???

（2階）テンソルと行列は似てるようで、全く同じではない。

372 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/04(金) 09:30:31 ID:???

計算式がきれいに表されるなら問題ない。

373 ：みのる：2005/11/09(水) 21:44:30 ID:jXtnG7CH

キュービックマトリックスなるものに興味あります。2×2×2の行列と2×2×2の行列の積は、テンソルを使えば計算できるのでしょうか？

374 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/10(木) 23:22:13 ID:???

何か話が逆。テンソルの計算を行列を使えばきれいに表されるのか、と聞くべき。ま、
３階のテンソルと１階のテンソル（ベクトル）のコントラクションとると２階のテンソルにあるっていのは自然に表せそう。でも
立体はやっぱり紙にかきづらいから有用とは思えん。

375 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/13(日) 01:33:29 ID:???

久々に覗いてみたら、なんか質問があるようですね。

>>373
立体行列の積なるものがどんなものか分からないからどうだか？
そもそもうまく、掛け算できるのだろうか？

>>370
あたりで、数を並べてベクトルといっているが、この考え方は高校生ですね。
数を並べたものは「ベクトルを表したもの」であってベクトルそのものではない。
ということを>>349あたりで書いたつもりだったが。
高校生には難しすぎるのかなぁ。

376 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/13(日) 04:02:13 ID:???

ベクトルを表したものっていうよりベクトルの例だろ

まあ物理ではどっちかというとそういうことはどうでもいいんだろうし
本によっては「ベクトルとは数を束ねたものである」みたいな書き方がされるときもあるけどね

377 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/13(日) 09:53:44 ID:???

つーか、物理ではどっちの見方も頭の引き出しにいれといて使い分けることが要求される。

378 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/13(日) 09:56:08 ID:???

今思ったがこのスレ数学版の方がふさわしかったかも。物理に入れたのは相対論を念頭においたのかな。

379 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/13(日) 15:44:17 ID:LuhWbHdo

わかりやすいのがあった。
http://photo-collage.jp/gensougarou/gall/gall/81.html

380 ：みのる：2005/11/14(月) 18:28:13 ID:1xMPAWCH

数学、物理学の分野において3階のテンソルの積はまだ定義されてないのでしょうか？
物理で使うテンソルは2階までで足りているのでしょうか？

381 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/14(月) 19:29:01 ID:???

3階どころか、単なる縮約程度の意味でなら何階でも定義できとるわ。
11階までは見たことがある。

でもな、Cubix matrixは3階のテンソルとは別物な。
テンソルと行列の違いを理解しないでCubix matrixなんかに興味を持つな。
あんなもん知ってたところで使う場面はない。

382 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 01:08:00 ID:???

>>376
座標変換って知ってます？

383 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 01:32:27 ID:???

知ってますけど数ベクトルはベクトルの一種ですよ
原点に特別な意味があるような（座標）系でなければ、
もちろんそんな点はこの宇宙には無い、というのが普通の考え方ですけど
相対論によって、数ベクトルはベクトルではないことが証明された、とかいうのは無茶かと

それにベクトル空間ってもっと色々ある訳で、、

384 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 01:34:09 ID:???

失礼
一行抜けちゃいました

原点に特別な意味があるような（座標）系でなければ、
変位ベクトルあるいは位置ベクトルではない、というのは確かですけど

385 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 02:53:11 ID:???

>>383
数ベクトルということは、あなたは基底を固定した世界を考えていたのですね。
点だけでなく基底も固定するならばベクトルは数の列ですからね。

386 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 03:21:01 ID:???

原点と基底を固定しなければアファイン空間であって
ベクトル空間ではないからね
物理でもヒルベルト空間の原点とかは結構本質的な原点ですね

387 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 08:19:31 ID:???

>>385
数学としては言い方があいまい。任意のベクトル空間で基底を固定すると、そのベクトル空間と数ベクトル空間の間に対応（線型同型）を作れる。
数の列の集合がベクトル空間になることは基底を固定うんねんとは無関係。

388 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 08:27:27 ID:???

数ベクトル空間の中だけでも基底の取り方のバラエティはある。

389 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 08:50:11 ID:???

>>386
基底を固定するかどうかはaffine空間の定義と無関係。wikipediaにaffine空間の定義がのってるから見てみ。

390 ：みのる：2005/11/15(火) 15:38:58 ID:???

>>13
高次元行列とはどういうものでしょうか？
キュービックマトリックスは3次元行列でしようか？

391 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 17:48:38 ID:???

基底を固定するのは数ベクトル空間（というか体の直積？）と
同型写像を取りたいときだけでいいよね
そもそもベクトル空間であるか、アファイン空間であるかとは確かに無関係でしたね、失礼

物理やるには、ベクトル空間とは（一般次元の空間の）矢印のことだ、
くらいの理解で大抵間に合うでしょうね

392 ：385：2005/11/15(火) 19:08:55 ID:???

>>390
ここはテンソルすれであって、キュービックマトリックスのスレではありません。

>>386-389
すいません。話を混乱させてしまいました。
要するに数ベクトル空間のとき、「標準的な」基底が取れてしまうということが言いたかっただけです。

393 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/15(火) 23:50:43 ID:???

>>390
テンソルと行列の違いがわかるようになるまでキュービックマトリックスのことは忘れろ。

394 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/16(水) 10:18:12 ID:???

> 基底を固定するのは数ベクトル空間（というか体の直積？）と

直和。。じゃなかったっけ。成分ごとの和がとれるし。

> 物理やるには、ベクトル空間とは（一般次元の空間の）矢印のことだ、

賛成。矢印だけど、基底をとるから数の組と対応がつくという見方が柔軟性がある。図でわかるし基底の変更のアイデアも自然にでる。
でも数学屋さんの幾何本だとはじめから数の組R^nにするのが多い。厳密さを追求すると矢印なんてのは定義できないからだめなのかね。

395 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/16(水) 16:27:26 ID:???

一般の集合のときは直積って言うけど
加群の場合は直和って言うんだっけ、演算が加法だから

数学の人もイメージの重要性は分かってるんだろうけど、
ベクトル空間に矢印のイメージが付きまとって
それ以外の対象を見落とすのを嫌うんじゃないかな
例えば線型の常微分方程式（つまり微分方程式の基礎の基礎）とか
習うとベクトル空間とか基底とか出てくるけど、
ベクトルとは矢印の事だと思ってたら理解できないかもしれない

396 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/16(水) 22:52:51 ID:???

あえて言うと有限直積を直和と言います。
また、体の直和はベクトル空間になるけど、ベクトル空間が成るとは限らないんじゃないかと思います。
（無限次元とか。）
まあでもそんなことどうでも良いでしょう。矢印でよいと思いますよ。
むしろ、数学屋としては物理の人の持つイメージがどんなものなのか、もっと参考にしていきたいと思っている。

397 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/17(木) 12:38:31 ID:???

無限次元でも矢印は矢印じゃない？
向ける方向の自由度が死ぬほどあるってだけで。

398 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/17(木) 16:16:17 ID:???

３次元を超えるとイメージできないから矢印といわれても。

399 ：396：2005/11/17(木) 16:29:20 ID:???

うわ。言葉が抜けてた。
「ベクトル空間が体の直和に成るとは」ってことで。
まあどうでも良いことです。

400 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/17(木) 23:12:05 ID:???

イメージできないのに、矢印を使う必然性が全くわからない。
素直に基底の線形結合で考えたほうがいいだろ。

401 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 09:19:22 ID:???

３次元までのわかりやすいイメージを利用しつつ、計算で確認。併用がいいかと

402 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 10:35:08 ID:???

ある一次元を縦軸にして、残りのN-1次元を横軸にして矢印書いたりするじゃん。
それで十分厳密な議論ができる。

403 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 15:46:49 ID:???

>>402
＞それで十分厳密な議論ができる。
ただのイメージに厳密もへったくれもねーよｗ
ちゃんと理解してる人はそれでもまちがわないかもしれんが、
勘違いしてる人はめちゃくちゃなことを言いかねんぞ。

404 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 19:54:11 ID:arx9+YL4

もう受験勉強しないといけないのでテンソルのことはもう調べることができませんので最後に一つだけ質問させてください。
13さんのいう高次元行列の3次元バージョンがキュービックマトリックスでしょうか？

405 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 20:26:48 ID:???

>>404
キュービックマトリックスのことは忘れなさい。あれは非常に限られたところで出てきたもので、
用途も非常に限定されています。というか、本当に使い物になる代物なのかも定かではない。
>>14で
＞高次元行列って矛盾している名前でもあるし。
とツッコミが入っているように、テンソルと行列は似てるようで同じではない。
高次元行列という単語も忘れなさい。

（2階の）テンソルは行列で表すことができるが、行列があるからといって、それがテンソルかどうかは別。
3階のテンソルも無理やり立体的に数字を並べることで表すことができるが、これも逆は真ではない。
キュービックマトリックスはさらに特殊な代物で、演算が特殊。

「立体的な行列？面白そう。」
とでも思ったのだろうが、何も面白くはないよ。

406 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 20:59:09 ID:???

普通の行列で十分深く面白い、しかも役に立つ、てことす。

407 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 22:48:39 ID:???

ダイソンの本に数理物理の歴史的エピソードがあるんだが、面白い。ベクトル空間の創始者は
教師やってたグラスマンだそうだが、生きてる間には誰もその重要性を認めてくれず、しょうがないんで
サンスクリット語の研究に移り、インドの大古典をドイツ語に訳して名を上げたんだと。

408 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/18(金) 23:28:20 ID:IvuGHk2c

>>404
なんでキューブにこだわる?四面体でもいいではないか。

409 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 07:57:48 ID:???

>>400
矢印というイメージのなかには、基底の直交変換に関する不変量とかまで
はいっているし。

410 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 08:57:40 ID:???

どこに？　長さのことか？

411 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 08:59:51 ID:???

つーか、基底変えても矢印自身はもちろん変わらんが、言ってるのはそれだけか？

412 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 10:34:58 ID:???

基底が変化したり矢印が変化したりって、いったい
不変量はなんなのさ？

413 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 13:45:01 ID:???

>>412
それがベクトル（テンソル）。

414 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 15:02:15 ID:???

>>409
単純にはイメージできない4次元以上にまで矢印を使う必然性がわからんといってる。
あくまで「わかってる」人同士で説明の便宜上に使うならいいが
そうでないと勘違いの元にしかならん。

415 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 17:01:18 ID:UbNCriWP

テンソルに矢印があるなんて始めて知った～
すごいね～

416 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 18:39:08 ID:???

>>415
誰もテンソルが矢印だなんていってないぞ。

417 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/19(土) 21:52:29 ID:???

テンソルは矢印を組み合わせたもの？

418 ：みのる：2005/11/22(火) 23:59:25 ID:???

テンソルならば行列であらわせる
が
行列だからといってテンソルとはかぎらない
ということはテンソルより行列のほうが広い概念なのでしょうか？
行列であることはテンソルであるための必要条件ということでしょうか？
つまり行列の特殊なものがテンソルでしょうか？

419 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/11/23(水) 07:28:55 ID:h50DBl0a

talk:>>418 行列はテンソルだぞ。

420 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/23(水) 08:44:03 ID:???

はぁ？

421 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/23(水) 09:01:08 ID:???

>>418
理解するのはいったん諦めて、大学に入ってから線形代数をしっかり学ぶことをオススメするよ。

>>419
単純に同じではないよ。

422 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/23(水) 09:03:10 ID:???

ああ、そろそろループか。テンソルは「座標変換に対してある変換性を持つ数の組」（もっと幾何学的な定義は過去スレ参照）。
行列では（普通は）座標変換など考えない。数を並べ、並べたもの同士の演算が定義されるだけ。

つーわけで、テンソルと行列は別物。歴史的にも行列は線形方程式の議論から出てきた、と聞いたような気がする。テンソルは
リーマン幾何学とか弾性体理論かな？　座標変換が重要なところ。

しかし、両者の演算には線型性という共通部分があるので、特に１階、２階のテンソルの成分やそれらの演算は
行列を使うと非常に便利に表せる。しかし３階、４階とかになるとあまり単純にはいかない。

まあ行列自体を線型空間の要素、つまりベクトルと見なすという立場なら行列自体もテンソルと
言えないこともないが、>>418　の質問の意図がそこまで聞いてるとはおもえん。

423 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/23(水) 10:16:22 ID:???

>>418
簡単に言うと>>422のとおり、
ベクトル(数組)や行列に「座標変換」という考え方を加えたものがテンソル
といってよいと思います。

座標変換を考えずに演算があるという性質だけ取って
テンソルを定義する抽象数学的方法もあります(これが>>419)が
特に物理では座標変換が重要と思います。

座標変換については過去に書いてあるのでそちらを参照。
分からなければ、それについて質問してください。

424 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/25(金) 06:04:17 ID:???

物理で環や体（実数体とか複素数体以外ね）って何に使うの？

群とかベクトル空間は分かりやすいんだけど、、

425 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/25(金) 06:46:08 ID:???

多元環なら使うけど、ただの環は使わないな。

426 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/25(金) 09:03:07 ID:???

リー群リー環の表現論なら連続的対称性の議論（量子力学の角運動量とか相対論的不変性）で使ってるんだけどね。リー環という言葉は使わない。

427 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/25(金) 09:59:39 ID:???

場の量子論までいくと別だけど。

428 ：みのる：2005/11/26(土) 23:24:59 ID:???

座標変換って例えば（X,Y)=A(x,y)
展開すると
X=ax+by
Y=cx+dy
見方をかえると
(X,Y)=(a,c)x+(b,d)y
になり、つまり基本ベクトルが(1,0)(0,1)から(a,c)(b,d)に取り替えられたことになりますけどそのことでしょうか？
(a,c)(b,d)が平行でなければ座標軸が斜めに交じわりますけどそのことでしょうか？

429 ：みのる：2005/11/26(土) 23:45:16 ID:???

平行でなければ
↓
平行でなく垂直でなければ

に訂正

430 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/27(日) 02:15:42 ID:???

それは特殊な座標変換
直線は直線になるまっすぐな変換で、線型変換と言う
もっとぐにゃぐにゃした変換でもおｋ
対応する点がかぶってたりしない限り

431 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/27(日) 09:42:54 ID:???

ぐにゃぐにゃした座標変換のいい例は極座標系。点Ｐの位置を原点Ｏからの距離ｒと原点から見た方向（線分ＯＰとｘ軸の角度θ）で指定。
ｘｙ座標との関係式はｘ＝rcosθ, y=rsinθ。変換式にsin,cosが入るので線型変換ではない。

432 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/27(日) 16:45:26 ID:???

まあ初めは線形変換から考えていくのが良いと思う。
ちなみに、平面で平行でない⇔三角形を作れるということだけど、
これを「(a,c)と(b,d)は線形独立」という。
数学的にはdet(a,c)(b,d) = ac - bd not= 0ということ。

ちなみに垂直な場合も線形変換である。
このような変換は回転による変換のみである。
これを直交変換という。

変換に対して、ベクトルの表示がどう変わるかを考えてみてください。

433 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/27(日) 23:08:28 ID:???

> ちなみに垂直な場合も線形変換である。
> このような変換は回転による変換のみである。

この二行省略が多すぎて何を言ってるのかわからない。

434 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/28(月) 01:47:39 ID:???

> ちなみに垂直な場合も線形変換である。
> このような変換は回転による変換のみである。

１行目は>>429が垂直なときのことを気にしていたため、
それでもかまわないということを書いただけ。
２行目は実平面上の直交変換は回転のみであるということです。

435 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/28(月) 03:34:17 ID:???

鏡映は？

436 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/28(月) 08:45:24 ID:???

その通り、鏡映（反転）も直交変換。

ついでに、座標の変換と点の変換、点の変換とベクトルの変換を区別しないで書いてるのが気になった。
原点を決めて位置ベクトルを介せば関係はつくんだが、概念としては区別しとかないと。

例えばこんな問題を考える上で大切：。
平面上の点の変換で二点間の距離を変えないものは３種類ある。全て挙げ、それらだけに限られることを証明せよ。
（前半だけだと直観でいけるが、後半が結構難しい。おれは自力ではできんかった）

437 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/28(月) 08:53:51 ID:???

どこが難しいかというと、「ぐにゃぐにゃした変換」をどう排除するかというところ。

438 ：みのる：2005/11/28(月) 20:36:21 ID:???

ぐにゃぐにゃした変換とは座標軸がぐにゃぐにゃしてるのでしょうか？行列で変換するとその行列の1列目と2列目のベクトルが基本ベクトルになるのでぐにゃぐにゃしようがないと思うのですが。

439 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/28(月) 21:01:38 ID:???

＞行列で変換
だから行列を考えてる時点で線型変換を考えてるんだって

440 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/28(月) 21:38:15 ID:???

極座標だと座標格子が　原点を中心とする同心円＋原点から放射状に伸びる直線　になる。
もちろん行列では書けない。

441 ：みのる：2005/11/28(月) 22:32:47 ID:???

〉〉439
いわれてみればそうでした＾＾；

テンソルだとぐにゃぐにゃした変換ができるのでしょうか？
でも行列の特殊なものがテンソルだとしたらテンソルも線形変換しかできないと思うのですが。

442 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/29(火) 06:31:00 ID:???

テンソル（の２階のもの）はベクトルを変換するもので、点を変換するものではない。だから区別しろといってる。

443 ：GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w ：2005/11/29(火) 12:15:17 ID:99HdsYOx

talk:>>437 意味が分からないので、数学的に説明してくれ。

444 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/29(火) 18:21:48 ID:???

一般的な変換ではなくアフィン変換に制限できるということ。アフィン変換に限れば後は簡単。

445 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/29(火) 18:44:08 ID:???

Kingが出てきたｗ

446 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/29(火) 19:31:34 ID:???

え、有名人なのか？

447 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/11/30(水) 13:40:28 ID:???

ウザキャラとして最近ではAﾌｫｰより有名かも

448 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/01(木) 19:41:40 ID:???

おお、A4を超えたのか。そりゃすげえ

449 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/03(土) 00:05:54 ID:???

数学偏差値37ですが、ベクトルを数値的に求めるのは直交軸に沿った
成分の値を求めればいいわけですよね？
２階のテンソルが3＾2の成分が必要なら、ベクトルは3＾1の成分を
持つから１階のテンソル、スカラーは０階のテンソルと考えていいんでしょうか？？

450 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/04(日) 09:23:51 ID:8tRVRN0s

>>441
テンソル等は座標を変換するためのものではない。
座標の変換は３次元空間から３次元空間への写像(関数)でおこなわれる。

テンソル・ベクトルは座標を変換すると(その表現は)一緒に変換される。
変換の仕方により共変・反変が区別できる。

451 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/04(日) 16:55:54 ID:???

テンソルとテンソル場をきちんと区別しましょう。
空間の各点における接空間にテンソルを貼り付けていったものが
テンソル場ですよ～

座標変換うんぬんとかかわりが深いのはテンソル場。

452 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/07(水) 00:39:54 ID:???

テンソルの説明なしで場といわれても

453 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/07(水) 20:39:48 ID:???

上げてみるテスト。

454 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/10(土) 17:35:38 ID:???

灘中学校・灘高等学校part7
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1128093643/
★★★★★【筑駒】【学附】【筑附】★★★★★
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1108547503/
筑駒スレ　（ブΘヨ）アlt;君達は馬鹿なんだ！
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1096202783/
∞♂☆★開成学園　その壱拾七★☆♂∞
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1133945450/
【受験・辛夷】学芸大学附属高校3【制服・教官】
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1128000009/
学芸大学付属高等学校大泉校舎
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1127377832/

麻布学園Ⅹ
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1134033744/

455 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/12(月) 11:27:43 ID:???

>>1
いろいろ出たからここらで中間まとめやれよ

456 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2005/12/19(月) 21:42:52 ID:???

なんだ立て逃げか

457 ：中川秀泰 ◆IPeKUwqiHM ：2006/03/14(火) 18:27:17 ID:???

高校生に捩率・曲率テンソルなどの高次テンソルを教えるのは無理だな

458 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/03/15(水) 09:18:59 ID:???

結局、テンソルの数学的定義だけ教えてもハア？ってだけで、背景となる幾何学とか相対論の
知識がないと意味がない、てこと。
でもこのスレ立てたのはテンソルでこけた大学生だろうから、参考にはなったかも

459 ：中川秀泰：2006/04/12(水) 22:35:09 ID:eW/M9ZAh

と言う事で、

このスレ

　～～～終了～～～

460 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/12(水) 22:36:25 ID:???

このスレ

　～～～終了～～～

>>459
このコピペを数学板に貼ってたのはお前か？

461 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/23(日) 09:46:54 ID:iBrht/aK

がいしゅつだと思うが「高校生にツンデレを教えるスレ」に見えた。

462 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/23(日) 17:45:22 ID:???

俺高3だけど、ある程度分かってるつもり。

463 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/23(日) 18:37:54 ID:???

どういう風に理解してるの？

464 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/23(日) 22:26:25 ID:???

相対論で使える程度に

465 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/23(日) 23:11:21 ID:???

このスレちょっと覗いてみたが数学板に持って行ったら爆笑間違い無しだな。
昔ゼミで教官とゼミ生がテンソルの定義で紛糾していた事思い出したよ。

466 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/24(月) 06:47:21 ID:???

で、あんたの定義は？

467 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/28(金) 00:00:15 ID:2Yt+azjx

>>462
曲率テンソルまで行かず、二次のテンソルでの理解なら高校でも十分可能。

468 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/04/28(金) 21:21:01 ID:???

田代嘉宏のテンソル解析が復刊されましたよ。
どうせまたすぐ品切れになって手に入らなくなるんだから見かけたら買っとけ。
日本語で書かれたテンソルのちゃんとした教科書はこれしかない。

469 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/03(水) 14:08:55 ID:???

>>465
皮肉しか能がないクズ

470 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 13:21:16 ID:???

反変ベクトルと共変ベクトルは、
あるベクトルを反変成分で表せば反変ベクトル、共変成分で表せば共変ベクトル
と言われる。
反変とか共変とかの単語は、座標変換したときに成分の変化の仕方を見ると
なっとくいくはず

471 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 15:20:04 ID:???

>>470
「あるベクトルを」っていってるけど、あなたのいうベクトルの定義は？

472 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 15:42:58 ID:???

>>471
簡単に言うとベクトル空間の元。
詳しくは、ベクトルを扱っている書籍を見ればたいていそう書いてある

473 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 17:20:29 ID:???

>>472
この程度で本を見ろと逃げるようじゃ何もいわんほうがいいな。過去ログはもっと詳しい

474 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 18:19:13 ID:???

>>473
逃げているわけではないんです。

質問は「あなたのベクトルの定義は？」とありますが、
僕は自分自身で勝手に定義しているわけではなく、
和の公理とスカラー倍の公理が満たされたベクトル空間の
元という当たり前のことを言っているのです。

高校でベクトルというのは向きと大きさをもったものとして
扱われています。
ですので、質問者がどの程度の水準の理解を求めているのか
この質問からは定かではありません。

475 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 19:17:59 ID:???

>>474
反変、共変の説明をしようというなら自然とベクトル概念の「レベル」もだいたい決まるもの。
ベクトル空間の公理を満たすなんてあたりまえで、反変、共変以前の問題。
双対空間とか内積とかがでなけりゃしょうがない。

476 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 19:21:55 ID:???

もっと具体的に言うと、リーマン多様体の接ベクトルとか、相対論の４元ベクトルとか。

477 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 20:10:12 ID:???

>>475、>>476
それもそうですね…。
多様体や相対論か…。

テンソルをうまく説明したサイトを紹介します。
ttp://www.f-denshi.com/
ここは高校生でも理解できる水準で書かれています。
線形代数のところにテンソルも載っています。
（ちなみに、共変、反変ベクトルについては詳しく載っていません。）

このサイトの線形代数のところに、ベクトル空間と双対空間の説明
が載っています。さきほど私が言ったのは
ベクトル空間の任意の元(ベクトル)Vは、ベクトル空間の元と双対空間の元
によって表すことができ、ベクトル空間の元で表されたVを反変ベクトル
双対空間の元で表されたベクトルを共変ベクトル。ということを書こうとしたのです。
具体的に言うと、
　記号の説明
Aを任意のベクトル空間の元
x_1、x_2をベクトル空間の元
a^1、a^2を係数（反変成分）
x^1、x^2を双対空間の元
a_1、a_2を係数(共変成分)
＾　、　_　上に書かれた添え字、下に書かれた添え字
　
A＝a^1x_1+a^2x_2　A＝a_1x^1+a_2x^2
と二通りの表現がある。前者は反変成分で表現されており、後者は共変成分で表されてる。

もし間違っていたら、知ってるどなたか訂正してください。

478 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 20:11:10 ID:???

あと、ちゃんと説明してくれた方にお礼として言うと、
実は僕も勉強中なのだｗ
知ったかごめん…

479 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/06(土) 20:59:23 ID:???

>>477
厳密には間違ってる。
> A＝a^1x_1+a^2x_2　A＝a_1x^1+a_2x^2
左の等式だとＡはベクトル空間の元になるし、
右の等式だと双対空間の元、つまりベクトルを引数とする線形関数になる。
ベクトルと、ベクトルを引数とする線形関数は同じモノではない。

普通は、内積が定義されていて、それを使ってベクトルと双対空間の元の間に対応をつける。
相対論だとその辺を「添え字の上げ下げ」として片付けてしまうが、双対空間まで
導入するならもっときちんとやらないともったいない。

480 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/07(日) 09:35:23 ID:???

>>479
ふむふむ・・・。

>>普通は、内積が定義されていて、それを使ってベクトルと双対空間の元の間に対応をつける。
対応付けに関しては、スカラー積やリーマン計量等が思いつくんですが、あっていますか？

あと速度ベクトルや加速度ベクトルは反変ベクトル、電場は共変ベクトルとどこかの記事で書かれてあった
記憶があるのですがいかがでしょうか？

僕が知りたいのは、反変(共変)ベクトル(テンソル)の数式や定義を知りたいのではなく、
頭の中で抽象的な関係として描かれる鋳型を求めています。

ここでテンソルやベクトルを知りたい方は、『ベクトル解析30講』という本をオススメします。
大学過程で学ぶ数学書の中では平易に語られており、理解が深まるかと思います。

481 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/07(日) 10:10:39 ID:???

>>480
>対応付けに関しては、スカラー積やリーマン計量等が思いつくんですが、あっていますか？
あってる。

>あと速度ベクトルや加速度ベクトルは反変ベクトル、電場は共変ベクトルとどこかの記事で書かれてあった

速度や加速度は座標という反変ベクトルを固有時間というスカラーで微分したものだから、やはり反変ベクトル。
しかし電場は磁場と合わせて2階の混合テンソルになる。電場磁場合わせて一つのテンソルで表されるのが
相対論電磁気のキレイなところ。

482 ：451：2006/05/07(日) 11:45:26 ID:???

>>481
明快な答えありがとうございます。

もっと突っ込んだ質問よいでしょうか？『多様体の基礎』を参照したのですが、
速度ベクトルは接ベクトル空間の元になるのでしょうか？
それとも、接ベクトル空間の基底となるのでしょうか？
また速度ベクトルという反変ベクトルを共変ベクトルとして書き換えることが可能とするならば、
その共変ベクトルは物理学でどのような名前がつけられているのか知りたいです。

多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何、場の古典論
これらは共通する要素がはずなのに、頭の中で一本の腺に繋がらない…。
複線が絡み合っている状態です。
接ベクトル空間t－－－－→余接ベクトル空間T^{*}－－－→(直積記号)_{k}T^{*}－－－－→∧^{k}T^{*}
　　　　　　　　　　　　双対性　　　　　　　　　　　　　　　　直積　　　　　　　　　　　　　　　交代性
ベクトル場－－－－－－－→1次微分形式－－－－－－→k次テンソル場－－－－－－→ｋ次微分形式
ネットとかで調べて、多様体におけるこういった繋がりはわかったものの、それと物理学が繋がらない…。

質問ばかりですいません。

483 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/07(日) 17:37:29 ID:???

> ？『多様体の基礎』を参照したのですが、
多様体ではベクトルは曲線に基づいて定義される。ある点Pでの接ベクトルを定義するにはその点を
通る滑らかな曲線を取り、Pにおける、その曲線にそった方向微分演算子として定義する。但し
物理向けには抽象的過ぎるので、曲線の座標（時空なら４つの関数）の、パラメータでの微分を
ベクトルとして定義することも多い。座標変換に伴いある変換則を満たす数のセットになる。
多様体の基礎では前者の定義、場の古典論では後者の定義、だったような。もちろん同値になる。

> 速度ベクトルは接ベクトル空間の元になるのでしょうか？

なる。四元速度は曲線として粒子の世界線をとった時の接ベクトル。

>それとも、接ベクトル空間の基底となるのでしょうか？

質問の意図がわからない。基底の意味がわかってないのでは。

484 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/07(日) 17:40:22 ID:???

いや、場の古典論では座標の「無限小変化」のセットと同じ変換則を満たす数のセットをベクトルとよぶんだっけ。
意味がわからなくて苦労した。パラメータ（固有時間）の無限小変化で割れば普通の微分係数のセットになる。

485 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/08(月) 06:19:49 ID:OTJ3qVa5

テンソル知りたくて読んでるが、非常に難しいなあ。
ちょっと挫折しそうですよ。。。

486 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/08(月) 07:08:51 ID:???

だれかもっと簡単に説明して！

487 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/08(月) 18:34:49 ID:???

>>485
多様体ではテンソルというよりベクトルの定義自体が難しくなってしまう。
曲面（一番簡単な多様体）で考えると分かるが、普通の意味でのベクトル（有向線分）は
曲面上に乗らない（曲面から飛び出してしまう）ので使えない。曲面上に乗っている
ものだけ使ってベクトルを定義しようとすると >>483のようになる。
ベクトル空間（ベクトルはもう定義されてるとする）でのテンソルならもっと簡単。

488 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/08(月) 20:35:38 ID:???

大事なのは座標の変数変換をしたときにどう変化するかによって共変か反変か
決めるわけだが
数学でいうと共変ベクトルは余接空間の元、反変ベクトルは接空間の元と同一視する。
まあ物理だと計算の都合によって文字を上げたり下げたりするしあんまりどちらの元か
考えるよりもどういうふうに変換されるか（つまり実際に計算されるか）を理解することのが
重要

489 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/08(月) 22:45:37 ID:a2p84JVV

>>482
テンソルを物理から勉強して、純粋数学のテンソルへ接続する際に良い本を紹介
します。（自分が学んだ道筋ですが参考になれば幸いです。）

「相対論→テンソル解析／代数：物理寄りの記述：場の古典論系の記述」
－和田純夫　「相対論的物理学のききどころ：物理講義のききどころ (6)」岩波書店
－須藤靖　　「一般相対論入門」　　日本評論社

「連続体力学→テンソル解析／代数：物理寄りの記述：場の古典論系の記述」
－W. フリューゲェ「テンソル解析と連続体力学：　(理工学海外名著シリーズ ; 30)」　ブレイン図書出版

「物理数学→テンソル解析／代数：数学と物理の間：多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何」
－和達三樹　「理工系の基礎数学10：　微分・位相幾何」　岩波書店

－新井朝雄　「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門」　共立出版
－新井朝雄　「現代ベクトル解析の原理と応用」　　共立出版
－新井朝雄　「現代物理数学ハンドブック」　　朝倉書店

490 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 06:02:42 ID:???

>>488
反変というのは、何かの「反対の変化（変換）」を意味してそうなのですが、何の反対なのでしょうか。

491 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 07:07:20 ID:???

contravariantとかの訳語じゃなかったっけか

492 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 07:41:13 ID:???

んじゃcontravariantの意味は？　（反変とか言わないように）

493 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 07:50:58 ID:???

contra
【名-1】反対｛はんたい｝のもの、反対意見｛はんたいいけん｝
【名-2】《簿記》反対｛はんたい｝の側
【名-3】反政府勢力｛はんせいふせいりょく｝
【前】～に対して、～に反対｛はんたい｝して
【形】反対｛はんたい｝の、逆の
【副】反対｛はんたい｝に、逆に

494 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 08:03:53 ID:???

おお、でvariantは？

495 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 12:17:05 ID:???

>>494
今時ネット上で英和辞書引けるところがいくつもあるんだから、自分で調べろよ。

496 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 13:18:28 ID:???

>>495
意味わかってねーなwww

497 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 13:33:02 ID:???

反変でぐぐったらEMANの物理
ttp://homepage2.nifty.com/eman/relativity/variant.html
が引っかかって、それによると
　　基底ベクトルを変えたときに、それと反対の変化をするから反変
だそうだ。本当かどうかはわからんが、もっともらしい希ガス

498 ：478：2006/05/09(火) 17:24:56 ID:???

いろいろ読んでると
物理で扱う反変（共変）ベクトルと数学で扱うそれは毛色が違う。
どういうふうに違うかというと、
物理の本では、あくまで成分がどのように変化するかに着目しており
添え字の上げ下げなどの技巧がよく書かれている。
しかし、数学の本では、基底の変換などの構造的なところに着目して
成分の変化などは、多く書かれていない。
この橋渡しがうまくいかないから、穴にはまるんだと思う。

反変ベクトルの基底を変換行列Pを用いて
F=PE…①
R上の任意のベクトルXは係数を小文字で表して
X=xE=yF…②
と二通りに書ける。②に①を代入すると
xPE=eE　 ∴x=fP…③
今、変換された基底Fの係数と変換される基底Eの係数の関係を知りたいのだから
③の両辺にPの逆行列P{-1}を掛けて
y=p^{-1}x
一方、基底変換に伴って双対基底が変換されたとき、双対基底の変換と係数の変換は
まったく同じ変換によって処理される。
簡単に言うと、基底をｍ倍したら、その成分は1/m倍になり、
双対基底をn倍したら、その成分はn倍になる。
こういうところから、反変、共変と名づけられたんでしょうね。

テンソル場とかむずい…もうダメポ…

499 ：478：2006/05/09(火) 17:47:36 ID:???

改めて488のレス見て気づいたのだが、
「物理学では速度や電場などの概念によって、すでに反変とか共変とか決まっちゃってるんだ」
という解釈でおｋ？

500 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 18:57:37 ID:???

>>498
> 物理で扱う反変（共変）ベクトルと数学で扱うそれは毛色が違う。

そうでもないんだな。Gravitation(1973)という定番教科書は
ベクトルを微分演算子として導入して変換そくを導いているし、
Hawking-Ellisの有名な重力の専門書はもろに多様体の
数学的な定義から入ってる。Gravitation以降のがっちりした
洋書はそういうのが多い。

日本の教科書は薄いんで、ページ数が少なくてすむように
変換則を天下りに与える方式をとってる気がする。あるいは
数学的概念より計算、応用を重視してるのか。

501 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 19:02:20 ID:???

>>498
③ は xE=yPE ∴x=yP が正しい。だから y=xP^{-1}

ついでにいうと、基底は横に並べるほうが多い気がする。その場合は
F=EP で、 y=P^{-1}x になる。

502 ：478：2006/05/09(火) 19:50:57 ID:???

>>500
英語わからないので、洋書に関しては何とも言えないのが歯がゆいですが、
洋書の方が選択の幅が広そうですね。

>>501
訂正ありがとうございます。

昔、数学は物理学を定量的に表す道具に過ぎないとナメてかかった
末路がこれかｗ
ほとんどの数学の本が一般化されて書かれているので、次元を２とか３に置き換えて
泥臭くやっていこう…。

503 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/09(火) 20:30:55 ID:???

行列でキレイに扱えるテンソル算は限られる。行列にこだわらず
Einsteinの規約を使った「添え字算」になれたほうがいい。

504 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/14(日) 12:39:25 ID:x9rDjAAu

テンソル解析といえば、この本じゃない？残念ながら絶版

連続体力学の名著「固体の力学／理論」へ投票してください。
同じファン著の「連続体の力学入門」は販売中なのに・・・
http://www.fukkan.com/vote.php3?no=24421

505 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/14(日) 22:53:30 ID:qefgBEaA

テンソルを物理から勉強して、純粋数学のテンソルへ接続する際に良い本を紹介
します。（自分が学んだ道筋ですが参考になれば幸いです。）

「相対論→テンソル解析／代数：物理寄りの記述：場の古典論系の記述」
－和田純夫　「相対論的物理学のききどころ：物理講義のききどころ (6)」岩波書店
－須藤靖　　「一般相対論入門」　　日本評論社

「連続体力学→テンソル解析／代数：物理寄りの記述：場の古典論系の記述」
－W. フリューゲェ「テンソル解析と連続体力学：　(理工学海外名著シリーズ ; 30)」　ブレイン図書出版

「物理数学→テンソル解析／代数：数学と物理の間：多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何」
－和達三樹　「理工系の基礎数学10：　微分・位相幾何」　岩波書店

－新井朝雄　「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門」　共立出版
－新井朝雄　「現代ベクトル解析の原理と応用」　　共立出版
－新井朝雄　「現代物理数学ハンドブック」　　朝倉書店

506 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/14(日) 23:19:46 ID:???

うひゃ。
こっちにもまた＾＾＝「関数解析＝関数論」が来てやがる。

507 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 01:46:50 ID:3JK76z3r

>>506
誰かとかん違いすんな。ぼけ。
－ちなみに、君は物理学徒にまともなテンソルの参考書を紹介できないのでしょうかね。

あと、関数論を関数解析的に展開できるのは知ってるのでしょうか、君は。

508 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 08:23:08 ID:???

>>507
関数論∩関数解析≠φだからといって、関数論＝関数解析とは言わないだろバーカ。

509 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 08:51:09 ID:???

その話はやめてくれ。荒れるだけなの分かってるだろ。

510 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 18:39:43 ID:???

この人の言う関数解析ってのは複素解析のことですんで＾＾

93 名前：馬鹿さらしあげ 2005/06/01(水) 21:22:36 ID:???

>>68
>関数解析＝関数論

へえ、いつから関数解析と関数論が等号なのかな？
無知というか馬鹿というか・・・氏ねよ

97 名前：ご冗談でしょう？名無しさん 2005/06/02(木) 00:32:06 ID:6H3C8rIw

関数解析と関数論ともいうんですよ。無知ですね。＾＾

98 名前：ご冗談でしょう？名無しさん 2005/06/02(木) 00:32:54 ID:6H3C8rIw

>>93
無知。
複素解析とも複素関数論ともいうんんです。

511 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 19:40:38 ID:???

506=508=510 も荒しだな。ボケ！

512 ：506：2006/05/15(月) 21:04:08 ID:???

>>511
いや、違うから。

513 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 21:10:48 ID:3JK76z3r

514 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 21:16:37 ID:IeRscpSg

なんか線形代数学と線形代数Ⅰでもめてるようだな
おれが力になろう。

515 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 21:16:51 ID:???

本当にテンソルを理解したいやつは田代嘉宏のテンソル解析を選べ。
何冊も集めただけでマトモに読んでないバカの言うことは無視しろ。
これ一冊だけを徹底的に使い倒せ。演習問題が本文の延長線上に配置されてるから
全部解いてから先に進め。

516 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 21:43:16 ID:3JK76z3r

>>514
　－意味わからない。線型代数の勉強をしている訳ではないので。。。
　　悪しからず。物理の勉強なのね。
　－相対性理論（特殊／一般）、連続体の力学（流体力学、弾性理論）
　　電磁気学、場の量子論、数理物理学、・・・

≪何冊も集めただけでマトモに読んでないバカの言うことは無視しろ≫
　－それは君のコンプレックス。

>>515
　－田代のテンソル解析、良くないよね。。。まじで。

517 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 21:49:19 ID:???

和田のききどころみたいな薄っぺらいクソ本に飛びつくから色んな本を追い求めて、結局何も得られないハメになるんだよｗ

518 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 21:53:23 ID:3JK76z3r

>>517
誰も、それ一冊だけを勉強しているわけではないのね。
田代、あんな本よむなら、和田、須藤靖、W. フリューゲェ、和達三樹、
新井朝雄のほうがよっぽどいい。

≪結局何も得られないハメになるんだよｗ≫
≪何冊も集めただけでマトモに読んでないバカの言うことは無視しろ≫
　－それは君のコンプレックスの裏返し。

519 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 21:54:48 ID:???

もう一度言う。田代一冊で十分。

520 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 22:07:07 ID:???

同じことを二回以上書かないで欲しいんだけど
目障りだから

521 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 22:10:41 ID:???

おまえは三回書いてるけどなｗ

522 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 22:14:40 ID:???

？

523 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 22:39:49 ID:3JK76z3r

>>519
田代、記述煩雑。ぼったい。

誰も、テンソルを中心勉強しているのではないのね。テンソルを勉強する
為に和田、須藤靖、W. フリューゲェ、和達三樹、新井朝雄を読んでるの
ではないの。

524 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 22:40:28 ID:???

日本語でおｋ＞ID:3JK76z3r

525 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 22:43:49 ID:???

>>523
ここはテンソルのスレなんだけど、お前くらいアホだとそんなことも理解できんのだな。

526 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 22:54:08 ID:3JK76z3r

>>524
中国人はバイバイ。

>>525
その様な単純な意味ではありません。色々な学ぶ道筋があるということを込めて、
幾つか参考書を紹介しました。テンソルを物理から勉強して、純粋数学のテンソルへ接続する際に良い本を紹介
します。（自分が学んだ道筋ですが参考になれば幸いです。）
　
「相対論→テンソル解析／代数：物理寄りの記述：場の古典論系の記述」
－和田純夫　「相対論的物理学のききどころ：物理講義のききどころ (6)」岩波書店
－須藤靖　　「一般相対論入門」　　日本評論社

「連続体力学→テンソル解析／代数：物理寄りの記述：場の古典論系の記述」
－W. フリューゲェ「テンソル解析と連続体力学：　(理工学海外名著シリーズ ; 30)」　ブレイン図書出版

「物理数学→テンソル解析／代数：数学と物理の間：多様体の基礎、ベクトル30講、曲線と曲面の幾何」
－和達三樹　「理工系の基礎数学10：　微分・位相幾何」　　　　岩波書店

－新井朝雄　「物理現象の数学的諸原理―現代数理物理学入門」　共立出版
－新井朝雄　「現代ベクトル解析の原理と応用」　　　　　　　　　共立出版
－新井朝雄　「現代物理数学ハンドブック」　　　　　　　　　　　朝倉書店

527 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/15(月) 23:00:23 ID:???

うぜえ

528 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 08:29:16 ID:???

>>526
「日本人でおｋ」でググレカス

529 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 08:40:12 ID:???

＾＾がデビューしたスレ（６８以降）
大学生の為の参考書・教科書 Pt.18
ttp://makimo.to/2ch/science3_sci/1117/1117214167.html

１７５以降
大学生のための参考書・教科書Pt.20
ttp://makimo.to/2ch/science4_sci/1124/1124899208.html

物理数学
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/sci/1091539094/196-

530 ：528：2006/05/16(火) 13:17:06 ID:???

ミスった。
「日本語おｋ」でググレカス

531 ：528：2006/05/16(火) 13:17:38 ID:???

またミスったorz
「日本語でおｋ」でググレカス

532 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 16:14:13 ID:7Y/L68iD

ランダウ「弾性理論」の公式(1.7)にも載っていますが、
これはどうやって導いたらいいのでしょうか？？
カーテシアン座標からの変換で導くことができるようなことを
先生に言われたのですが、どうやればいいんでしょうか？
過程を詳しく教えてください・・・

urr=∂ur/∂r
uθθ=(1/r)*∂uθ/∂θ
uφφ=(1/rsinθ)*(∂uφ/∂φ)+(uθ/r)*ctgθ+ur/r
2uθφ=(1/r)*{(∂uφ/∂θ)-(uφ*ctgθ)}+(1/rsinθ)*(∂uθ/∂φ)
2urθ=(∂uθ/∂r)-(uθ/r)+(1/r)*(∂ur/∂θ)
2uφr=(1/rsinθ)*(∂ur/∂φ)+(∂uφ/∂r)-(ur/r)

533 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 16:56:26 ID:???

定義はわかってる？　例えばuθθ　は？

534 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 22:13:39 ID:LZuu8HPH

>>532
ランダウ、リフシッツ「流体力学」にもありますね。ネヴィア＝ストークス（Naviar=Stokes方程式）の
一般座標系での表現が紹介されています。直交座標系Ｏは一般座標系Ｇに含まれます。

直交座標系Ｏ｛ｘ_ｉ｝＝｛ｘ_１，ｘ_２，・・・，ｘ_ｎ｝
一般座標系Ｇ｛ｑ_μ｝＝｛ｑ_１，ｑ_２，・・・，ｑ_ｎ｝
　　
直交座標系Ｏ（Ｏrthogonal＝直交－）と一般座標系Ｇ（Ｇeneral＝一般－）とが
１ｔｏ１＆Ｏｎｔｏの関係（変換）にあるときに、以下の関係が成立します。
　
　－直交座標系Ｏ｛ｘ_ｉ｝の単位ベクトル
　　：　｛ｅ_ｉ｝＝｛ｅ_１，ｅ_２，・・・，ｅ_ｎ｝
　－一般座標系Ｇ｛ｇ_μ｝の単位ベクトル
　　：　｛ｕ_μ｝＝｛ｕ_１，ｕ_２，・・・，ｕ_ｎ｝

　－直交座標系Ｏ｛ｘ_ｉ｝のベクトルＡ
　　：　　Ａ＝Σ［ｉ＝１，ｎ］Ａ_ｉ　ｅ_ｉ
　－一般座標系Ｇ｛ｕ_μ｝のベクトルＡ
　　：　　Ａ＝Σ［μ＝１，ｎ］Ａ_μ　ｕ_μ

　－計量ｇ_μ＝√（ｇ_｛μμ｝）
　　：　ｇ_｛μμ｝＝Σ［ｉ＝１，ｎ］｛∂ｘ_ｉ／∂ｑ_μ｝＾２

535 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 22:14:19 ID:LZuu8HPH

　－偏微分作用素（演算子）
　　∇ｆ
　　＝Σ［ｉ＝１，３］∂ｆ／∂ｘ_ｉ　・・・直交座標系Ｏ｛ｘ_ｉ｝表現
　　＝Σ［μ＝１，３］（１／ｇ_μ）∂ｆ／∂ｘ_μ・・・一般座標系Ｇ｛ｕ_ｉ｝表現
　　　　　※ｆ＝スカラー量

　－発散，湧き出し（divergence）作用素（∇・）
　　∇・Ａ＝ｄｉｖ（Ａ）＝スカラー量
　　＝Σ［ｉ＝１，３］∂Ａ_ｉ／∂ｘ_ｉ・・・直交座標系Ｏ｛ｘ_ｉ｝表現
　　＝（ｇ_１ｇ_２ｇ_３）＾（－１）
　　｛∂（ｇ_２ｇ_３Ａ_１）／∂ｑ_１
　　＋∂（ｇ_３ｇ_１Ａ_２）／∂ｑ_２
　　＋∂（ｇ_１ｇ_２Ａ_３）／∂ｑ_３・・・一般座標系Ｇ｛ｕ_ｉ｝表現

536 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 22:15:25 ID:LZuu8HPH

　－回転，循環（rot,curl）作用素（∇×）
　　∇×Ａ＝ｒｏｔ（Ａ）＝ｃｕｒｌ（Ａ）＝ベクトル量
　
＝Σ［ｉ＝１，３］Σ［ｊ＝１，３］Σ［ｋ＝１，３］
　ε_｛ｉｊｋ｝∂Ａ_ｋ／∂ｘ_ｊ・・直交座標系Ｏ｛ｘ_ｉ｝表現

＝ｕ_１（ｇ_２ｇ_３）＾（－１）
　　｛∂（ｇ_３Ａ_３）／∂ｑ_２－∂（ｇ_２Ａ_２）／∂ｑ_３｝
＋ｕ_２（ｇ_３ｇ_１）＾（－１）
　　｛∂（ｇ_１Ａ_１）／∂ｑ_３－∂（ｇ_３Ａ_３）／∂ｑ_１｝
＋ｕ_３（ｇ_１ｇ_２）＾（－１）
　　｛∂（ｇ_２Ａ_２）／∂ｑ_１－∂（ｇ_１Ａ_１）／∂ｑ_２｝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・一般座標系Ｇ｛ｕ_ｉ｝表現

　－ラプラス作用素（ラプラシアン）（△，∇・（∇），∇＾２，ｄｉｖ（ｇｒａｄ））　△ｆ＝∇・（∇ｆ）＝∇＾２ｆ＝ｄｉｖ（ｇｒａｄ（ｆ））

＝Σ［ｉ＝１，３］∂＾２ｆ／∂ｘ_ｉ＾２・・直交座標系Ｏ｛ｘ_ｉ｝表現

＝（ｇ_１ｇ_２ｇ_３）＾（－１）
　　｛∂（｛ｇ_２ｇ_３／ｇ_１｝∂ｆ／∂ｑ_１）／∂ｑ_１
　　＋∂（｛ｇ_３ｇ_２／ｇ_２｝∂ｆ／∂ｑ_２）／∂ｑ_２
　　＋∂（｛ｇ_１ｇ_１／ｇ_３｝∂ｆ／∂ｑ_３）／∂ｑ_３
　　　　　　　　　　　　　・・・一般座標系Ｇ｛ｕ_ｉ｝表現

537 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/16(火) 23:57:26 ID:???

>>532
http://homepage2.nifty.com/eman/analytic/bibun.html

538 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/18(木) 00:24:39 ID:1obBd5kV

>>537
それは、煩雑だね。

539 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/18(木) 00:49:46 ID:???

煩雑でも、初等的で単純だから、敢えて>>537の方法を取ってる本も多い

540 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/18(木) 01:37:23 ID:fS5jGsAs

テンソルの第2不変量ってなんなんだ？

541 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/05/22(月) 08:25:56 ID:???

*：ホッジ作用素
d：外微分作用素
rot：＝*d
div：＝*d*

542 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/06/14(水) 22:34:27 ID:1NXtvaB2

テンソルは一般に対称行列であると言っていいんですか？

543 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/06/15(木) 00:42:56 ID:???

だめ。対称なのも反対称なのも、どっちでもないのもある。>>542

544 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/06/23(金) 01:08:42 ID:???

だいたい添字が3つ以上のものもあるしね。

545 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/01(土) 01:14:53 ID:???

テンソル⊂行列でしょうか？

546 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/01(土) 01:16:01 ID:???

高校生にメコスジを教えるスレ

547 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/01(土) 03:02:01 ID:???

テンソル⊂行列でも行列⊂テンソルでもない。

548 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/01(土) 11:32:08 ID:???

2階のテンソルは行列ですか？

549 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/01(土) 11:54:55 ID:???

>>548
過去レス >>325 あたり参照

550 ：548：2006/07/01(土) 13:19:40 ID:???

>>549 失礼しました、ありがとうございます

551 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/01(土) 19:07:46 ID:8SffGlIM

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●不合格●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
これを見た人は確実に【不合格】です。これをコピペでどこかに１回貼れば回避できます。
これは本当です。やらないと一年無駄になります.

552 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/05(水) 15:38:43 ID:???

テンソルに予め座標変換による変換性が与えられていると考えるのは
リーマン幾何学と一般相対論の中の方言では?．
変換性を考えなければベクトルの2階テンソル積を
行列と考えても差し支えないから，
2階テンソルを行列と考える直感的な理解を
わざわざ否定する程のものではない．
テンソルの本質はむしろテンソル積にあって，
それは変換性とは独立の概念．

553 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/06(木) 05:48:57 ID:???

リーマン幾何学とかを考えないなら「座標変換」が「基底の取替え」になるだけ。
方言でもなんでもない。

554 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/06(木) 05:53:11 ID:???

そもそもベクトル空間の基底の取り方なんて必ず自由度があるから、
別の基底の取り方をとった場合に、成分がどう変換されるかを考えておくのは自然なこと。
そのことを考慮に入れない行列と同じに考えてしまうのは乱暴すぎ。
行列は最初から成分で定義されるが、ベクトルやテンソルは基底を決めて初めて成分が決まるもの。全然違う。

555 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/06(木) 06:47:40 ID:???

行列は基底に関係なく定義されると何故そこまで強弁できるのか謎だ
何を行列によって表現するかに依存するだろ．
同じ基底の上のベクトル同士の線形な関係を表すものだって行列だし
異なる基底のベクトル同士の線形な関係を表すのも行列
前者はあなたがたがいうテンソルそのものだよね．
ベクトルやテンソルを最初から成分で定義したっていいし．

数学の概念の理解の自由度を狭めて理解しにくくする意図が
まったく分からん．
基底変換なんて後付けでもいいじゃん．
いきなり基底変換を考えないと成分表示ができないなんて
言ってもいたづらに理解しにくくするだけ．
成分表示から入って，実はこの表示はある特定に基底による
表示なんだって説明した方がスムーズだと思うな．

556 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/06(木) 07:05:00 ID:???

成分表示を前提にするほうが概念を狭めてるよ。

557 ：553,554：2006/07/06(木) 07:22:15 ID:???

>>555
＞行列は基底に関係なく定義されると何故そこまで強弁できるのか謎だ
基底に依存した定義しかないわけじゃないだろう。
使い方次第では（テンソルの行列表示とかに使う場合以外は）
基底に関係なく定義してもかまわないと思うけど。

＞同じ基底の上のベクトル同士の線形な関係を表すものだって行列だし
＞異なる基底のベクトル同士の線形な関係を表すのも行列
＞前者はあなたがたがいうテンソルそのものだよね．
そのものというより、テンソルの「行列表示」だな。

＞数学の概念の理解の自由度を狭めて理解しにくくする意図が
＞まったく分からん．
＞基底変換なんて後付けでもいいじゃん．
＞いきなり基底変換を考えないと成分表示ができないなんて
＞言ってもいたづらに理解しにくくするだけ．
>>554は理解しやすさを念頭において書いたわけじゃないよ。
別に基底の取替えに対する変換性を最初に理解しろといってるわけじゃない。
理解の順序についてどうこう言うつもりはないよ。

だが、理解しやすいからといって、重要な性質を無視するわけにがいかんだろ。
定義は定義。理解しやすさとは別。

558 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/15(土) 17:11:48 ID:???

>>541
ストークスの定理とかそれで考えるとさくさくうひょーだよな
学生時代にschaum'sでtensor calculusやっときゃよかったと後悔中のｵﾚｶﾞｲﾙ

559 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/07/15(土) 21:38:14 ID:???

>>552
言われてみるとそういう気もする。

560 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/10/29(日) 18:47:23 ID:???

age

561 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/10/29(日) 19:04:51 ID:???

森の現代の古典解析がおすすめ

562 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/10/29(日) 20:46:21 ID:???

スレのage/sageと添字の上げ／下げの違いを説明してくれ

563 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/10/29(日) 20:47:51 ID:???

スレタイが変だな。高校生というか、物理屋にテンソルを教えるスレだろ。

564 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/10/31(火) 18:34:05 ID:???

座標変換による変換性がテンソルに必須の要素だというのは
物理というかリーマン幾何学での方言だろう。
テンソルはテンソル積で定義できればよい。

リーマン幾何学におけるテンソルは
もとになるベクトルの座標変換に対する変換性を
引きずっているだけでしょ。

565 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/10/31(火) 19:06:49 ID:???

>>564
線形空間のテンソル積から自然に、テンソル積ベクトルの成分がいわゆる
テンソルの成分の変換則に従うことが言えるのだが。線形空間のテンソル積
の定義を理解して言っているのかな？もっと一般のテンソル積（Ｒ－加群）
もあるが、このスレの趣旨から外れるので発言を控える。

566 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/10/31(火) 20:23:05 ID:???

>>565
変換性なんて考えなくてもテンソルは定義できるってことを
言いたかったのだけど、たしかにスレの趣旨からずれるからいいや。

567 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/05(日) 13:53:12 ID:8dD/9nHc

>>548
(1, 2) テンソルが行列

568 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/05(日) 14:37:29 ID:???

>>567
出鱈目いうなよ。１階共変１階反変だから(1,1)だろ。

569 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/09(木) 12:10:46 ID:L+g0KI0i

だからテンソルとテンソル場を区別しなさいと言ってるでしょうが。

570 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/09(木) 12:25:18 ID:???

>>569
Ｖを線形空間、Ｖ＾をその双対空間、Ｆ：Ｖ→Ｖを線形変換とする。
Ｆは反変ベクトルに反変ベクトルに対応させるテンソル場であるが、
ＶとＶ＾のテンソル積Ｖ×Ｖ＾の元と見ることも出来るから、(1,1)テンソル
でもある。

571 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/09(木) 12:29:46 ID:???

>>579
線形空間 V を一つだけしか考えていないので
F は別にテンソル場ではないよ。
(1,1)テンソルであるというのは正しい。

572 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/09(木) 12:33:50 ID:cPxi5fwR

多次元の行列みたいなもの？

行列が立体的になっているかんじで

573 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/09(木) 12:39:19 ID:L+g0KI0i

>>572
イメージとしてはそんな感じでいいとおもう。
ただし行列として捕らえるには線形空間の基底を一つ決めて
それに関する成分表示だと思うこと。

>>570
（多様体上の）テンソル場とはテンソルが点（位置）の関数になっているものです。

574 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/09(木) 16:45:32 ID:???

>>573
通常、線形写像をベクトル場と見るとは、次のような意味合いだと思うのですが。

Ａをアフィン空間、Ｖをその同伴ベクトル空間（自由ベクトルの空間）とする。
Ａの１点Ｏを選んで固定する。接ベクトル場φ：Ａ→Ｔ（Ａ）を
　　φ（Ｐ）＝Ｐ＋Ｆ（ＯＰ）
で定める。線形写像Ｆ：Ｖ→Ｖで定まる、原点付きアフィン空間（Ａ、Ｏ）上の線形ベクトル場
とは接ベクトル場φのことを言う。ようするに、φは点Ｐの位置ベクトルＯＰをＦで線形変換
して点Ｐまで平行移動する写像である。

アフィン空間を多様体と見るとき、アフィン空間では標準で平行移動が定義されているので、
Ｔ（Ａ）の元（束縛ベクトル）をＶの元（自由ベクトル）と自然に同一視（平行移動で重なる物を
同じとする）できます。それにより、φの定義が可能となり、Ｆは原点付きアフィン多様体
（Ａ，Ｏ）上ののベクトル場φとみなされます。Ａの元ＸにＶの元ＯＸを対応させれば、
（Ａ、Ｏ）はＶと同一視できますから、φはまた線形多様体Ｆ上のベクトル場とも見ることが
できます。

575 ：573：2006/11/09(木) 18:12:00 ID:???

>>574は>>570で F がテンソル場であると言っていることに関連してるのでしょうか？

その定義は知りませんでしたが、それならば確かに F をベクトル場とみなすことができると思います。
でもそれで表せるのはある特殊なクラス（>>57４では線形ベクトル場と言っている？）の
ベクトル場に限られますよね？

576 ：573：2006/11/09(木) 18:20:37 ID:L+g0KI0i

>>574の定義は
リー群論で群多様体上の左不変ベクトル場をリー代数と同一視するのと
同じ考え方でしょうかね？

左不変ベクトル場　 ←→　線形ベクトル場
リー代数の元　　　　←→　原点での線形変換
左移動　　　　　　　　←→　アフィン空間の平行移動

って感じ？

577 ：570=574：2006/11/09(木) 18:38:00 ID:???

>>575
その通りです。>>570では説明が簡略過ぎました。現代人は線形空間を習うので、
昔の人とは逆に束縛ベクトルの概念が希薄になっていると思います。（初等ベクトル
代数で、平行移動で重なる矢印は同じと思えと繰り返し訓練される。やがて自由
ベクトルの概念を得るが、今度は束縛ベクトルの概念を失う。線形空間論で駄目押し。）

多様体を習うと、場所（ベクトルの始点）が違うと別の空間の接ベクトルだ、多様体上
の各点ごとに異なる接空間がある（束縛ベクトルの再来）と教えられ、ぎょっとする
学生がいるのはそのせいでしょう。

578 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/11/30(木) 00:09:52 ID:???

俺浪人生だけどわかんねえやｗｗｗ
わかんないから浪人したのかなｗｗｗ

579 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/25(月) 15:27:47 ID:qVTxitqp

誘電率テンソルって何に使われてるんですか？

580 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/25(月) 20:24:06 ID:???

高校生にメコスジを教えるスレ

ツルメコと関係あんの？
すげー興味ある

581 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/25(月) 21:32:33 ID:WjHiJ0kC

>>579
異方性誘電体の物性に関して用いられます。
又、非線形光学（現象）を用いた高次高調波によるレーザー等でも出てきます。

582 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/26(火) 01:08:44 ID:WGnUgI12

２階はわかりました。じゃあ３階でTxyzと表すとき、これはx方向の作用がyとzに及ぼす
影響の量と捕らえていいのですか？

583 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/29(金) 02:06:30 ID:???

物理を勉強中です。
質問１　座標変換にどう変換されるかで、スカラー、ベクトル、テンソルを定義する　と
　　　　　物理の本で読んだのですが、そういう定義は物理屋さんの勝手な定義で、
　　　　　数学屋さんは不満っていうことなんでしょうか？

質問２　A_i、B_j (i,j=x,y,z)をベクトルとしたときに
　　　　　　　∂A_i 　　　　　　　　A_i
　　　　　---------- とか -------- は
　　　　　　　∂j 　　　　　　　　　B_j
物理屋さんのいう意味でのテンソルでしょうか？　数学屋さんにとってはテンソルでしょうか？

よろしくお願い致します。

584 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/29(金) 02:09:25 ID:???

>>583
ごめんなさい。意味不明でした。

　　　　　　　∂A_i 　　　　　　　　A_i
　　　　　---------- とか -------- は
　　　　　　　∂j 　　　　　　　　　B_j
というのは、微分係数や　ベクトルの成分の比からなる行列　の意味で書きました。

585 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/29(金) 18:10:16 ID:???

>>584
心配しなくていい。物理屋が普通テンソルと呼んでるものは、数学屋にとってもテンソルだよ。

586 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/31(日) 03:16:47 ID:???

>>585
ありがとうございます。

　　　　　　　∂A_i 　　　　　　　　A_i
　　　　　---------- とか -------- は　テンソルでしょうか？
　　　　　　　∂j 　　　　　　　　　B_j

587 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2006/12/31(日) 13:00:30 ID:???

>>586
　　　　　∂A_i ∂A_i
　　　　　------- = -------
　　　　　∂j 　 ∂x^j
だよね。これは、ヤコービ行列でもちろんテンソル（１階共変、１階反変）。
２番目のは駄目。

588 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/01/01(月) 01:47:54 ID:???

>>587
∂A_i
-----　の意味はその通りのつもりで書きました。
∂j

どうもありがとうございました。

589 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/01/11(木) 17:55:03 ID:XlRjlBHx

てんそる。

590 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/01/21(日) 04:37:00 ID:205NZMjQ

あげ

591 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/05/12(土) 20:41:38 ID:???

age

592 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/05/12(土) 23:38:59 ID:zMzNPDzk

すいません、なんか抽象的でよくわからないんですが
直感的にわかりたいです
たとえば、ルービックキューブの解法って
３次元のテンソル？の掃きだし？計算とかでできるんですか？
エロイ人おせていただければ・・・

593 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/05/26(土) 05:50:26 ID:???

【世界政府　W A N T E D】

[名前]翠星石 ◆TpscMoaZcU
┏━━━━━━━━━━━━┓
┃　　　　　　　　＿__　　　　　　┃
┃　　　　　く/',二二ヽ>　　　　 ┃
┃　　　　　　 |l |ノﾉｲﾊ)）　　　　 ┃
┃　　　　　 |l |ﾘﾟｰﾟﾉｌ|　　　　　┃
┃　　　　　ﾉl_|(l_介｣).|　　　　　┃
┃　　　　　 ≦ノ｀ヽﾉﾍ≧　　　　 ┃
┃　　.　　　ミく二二二〉ﾐ　　　　 ┃
┗━━━━━━━━━━━━┛
[特徴]お茶の入った如雨露を所持
[賞金]7900万ベリー（生け捕りの場合）

594 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 21:09:44 ID:bFkpRxJc

テンソルって結局なんなの？

595 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 21:16:33 ID:BBUrQwt5

>>594

596 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 21:17:19 ID:BBUrQwt5

>>594
幾何学的存在。図形のようなもんだよ。

597 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 21:28:28 ID:bFkpRxJc

いや、図形ならベクトルみたいに明確な定義づけができるはずだが、
テンソルとかスピンとかはそういう幾何学的にwell definedな説明がない。
ぜひ、ここでそういう説明を開陳していただきたいのだが、ここの住人には無理な要求なのだろうか？

598 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 21:49:23 ID:???

>>597
出来てるよ。テンソルの定義は本質的にベクトルの定義と同じ。
物理の教科書に、変換則による定義が載ってるでしょ。
まさにあれ。線形空間論を使った数学式のが知りたいんなら、
佐武の「線形代数」の多重線形写像の所でも読めばいい。

599 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 21:52:47 ID:???

逆に、なんでwell-definedな定義がないと思ったんだ?

600 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 21:56:07 ID:???

>>599
向きと方向のある量式の、楽にイメージできるモデルが
欲しいんとちゃうか？

601 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/02(土) 22:46:47 ID:???

楽にイメージできない⇒well-definedじゃないって
トンデモに通じる図式だよな。

602 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/03(日) 20:30:25 ID:???

つーか　「well-defined」の意味がわかってない。

603 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/03(日) 20:50:44 ID:???

応力テンソルで

σ11　σ12　σ13
σ21　σ22　σ23
σ31　σ32　σ33

ずり応力（せん断応力）
σ21で与えられるとき
σ11－σ22＝法線応力　とよばれるの？

604 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/03(日) 21:41:15 ID:???

テンソルはともかく、ベクトルで
向きと方向のある量式の、楽にイメージできるモデル
がないと苦しかろう。Lie微分の意味とかがわからなくなる。

605 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/03(日) 23:07:40 ID:???

それらを楽にイメージする力を鍛える為に勉強するんだろが

606 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 08:14:44 ID:???

説明につまって怒鳴るセンセーそっくり

607 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 16:42:16 ID:???

>>604
ピント外れな。Lie微分の理解に向きと方向のある量式の
イメージなど必要ない。関数のLie微分は自明。ムズイ
分からんというのは、ベクトル場のLie微分とその値を計算
する公式の証明だろうな（LIe括弧）。標語的にはLie微分とは
ベクトル場場の積分曲線に沿う微分だ。

608 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 18:48:34 ID:???

ピント外れはあんた。向きと方向のある量式のイメージなしで積分曲線をどう理解するんだ？
それにそったベクトルの移動をどう理解するんだ？

609 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 19:02:53 ID:???

>>608
そこがポイントだが君は分かってるのかね？
説明できなければ分かっていないことになる。

610 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 19:05:37 ID:???

そういうこと。　>>607　の答が楽しみ。

611 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 19:14:05 ID:???

>>608
１径数変換の接写像を使って接空間を重ねるわけだが、
どこに向きと大きさのある量を使って分かりやすく使うのか
見ものだ。

612 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 19:16:57 ID:???

>>609 >>610
煽っても教科書にある程度以上の説明は出さないからね。
ヒントをもとに自分で考えてみることだ。

613 ：612：2007/06/04(月) 19:19:04 ID:???

訂正
>>609 →　>>608

614 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/04(月) 19:34:10 ID:???

あーあ、自分で煽ってるっていっちゃった。

615 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/05(火) 21:31:06 ID:???

>>608
わかりやすい解説まだー？

616 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/06(水) 07:02:45 ID:???

>>615
煽っても教科書にある程度以上の説明は出さないからね。
ヒントをもとに自分で考えてみることだ

617 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/06(水) 12:14:53 ID:???

なんだ、こいつら結局説明を逃げてやんの

618 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/06(水) 12:25:53 ID:???

だな。 >>609 でやな悪寒はしたが。

619 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/06(水) 13:20:52 ID:???

だいたい
向きと方向のある量
じゃなくて
向きと大きさのある量だよな　ｗｗ

620 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/06(水) 19:37:05 ID:???

ベクトルとは何か、だったら 480-500　あたりの過去ログにもあるよ。
変換性 vs 方向微分

621 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/08(金) 16:34:07 ID:???

>>609みたいな奴は適当に持ち上げて言いたいだけ
言わせときゃいいんだよ。それを>>608がくだらん煽り入れ
やがって。責任とって>>608、お前が説明しろ。

622 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/08(金) 19:19:53 ID:???

せや、はよLie微分を直感的に教えてけれ

623 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/08(金) 21:19:30 ID:???

>>609 ‥恐ろしい奴

624 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/08(金) 22:06:08 ID:???

高階のテンソルの実体はテンソルじゃなくて実数？
もうわけわからん

625 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/09(土) 16:45:32 ID:???

>>621
何言ってんですかあなた。代償の求め方が間違っています。
　　「勉強し損ねた。責任とって、代わりにお前が
　　　メコスジについて教えれ」
と詰め寄るのが本筋です。
　　　

626 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/09(土) 16:58:06 ID:???

男が知りたい女の　　メコスジ

627 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/25(月) 00:24:29 ID:LpZPlTlV

アトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ね
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628 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/25(月) 11:06:39 ID:???

高校生にメコスジを教えるスレ

629 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/06/26(火) 23:08:21 ID:???

高校生なら、教えなくたって勝手に勉強会開くに決まってる

630 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/08/15(水) 02:04:13 ID:???

アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
アトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ねアトポス死ね
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631 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/04(火) 16:12:32 ID:FoeovslK

質問があります。
「応力」は反変テンソル、共変テンソル、混合テンソルのどれですか？

632 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/04(火) 20:36:59 ID:???

>>631
曲がった空間の話は別として、反変共変の区別は斜交座標系を使うと必要になる。
直交座標系ではその区別がない。応力テンソルに関してもそう。

633 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/04(火) 21:05:22 ID:FoeovslK

斜交座標系で考えた場合、応力は反変テンソル、共変テンソル、混合テンソルのどれですか？

634 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/04(火) 22:40:47 ID:kiVsSl0V

>>632へ

>>633に対する答えを聞かせてよ。

635 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/05(水) 09:19:43 ID:???

>>633
どれを使っても表せる。
でも、応力テンソルが出て来るようなところで斜交座標を使う利点を思いつかない。

636 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/05(水) 12:39:00 ID:dBObnCgf

>>635
斜交座標系で考えた場合、反変テンソル、共変テンソル、混合テンソル
の変換則はどれも異なります。
それでもやはり、斜交座標系で考えた場合でも応力はこの３つのどれでも表せる
ことになるんでしょうか？ご教授お願いいたします。

637 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/05(水) 17:42:57 ID:???

>>636
当然表せる。

>>635
結晶なんかだと斜交座標系で考えると便利な場合があるよ。

638 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/10(月) 01:59:31 ID:f25TE1Fy

テンソルなんてものは、正体がわからなくても、
内積(x,y)が定義できれば、そのテンソルTのx,y成分は(x,T(y))だ。
xとかyとかは、単なる数字でもベクトルでもテンソルでも関数でも、
他定量的に考えられる量であれば問題ないところがミソ。
重要なのはいかに内積が定義するかだ。
内積の概念は数学の世界だけでは無くて、意外と知らない間に使っていたりする。
実験の観測量、テストの点数、社員の評価、会社の評価だったり。。。

639 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/10(月) 03:03:54 ID:???

高校生のメコスジを舐めるスレ

640 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/11(火) 14:59:04 ID:GAVCk2uS

>>637
斜交座標系だと混合テンソルになると思う。

641 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/11(火) 18:07:57 ID:oIbvguQd

物理学においては必ず計量テンソルg_ijもしくはg^ijによって添字を上げ下げ出来るので
その意味で>>638の言う通りどのような2階のテンソルも、同じ物理的内容を持つ、数学的
には別のテンソルに変換できる。ただ、その定義において最も自然なテンソルの形態、と
言うのはある。（基本的に）1階の物理量は全て反変。よって計量テンソルは2階共変が
自然な定義、etc.。で、実はこの分野不得意なので間違ってるかも知れないのでご容赦の
程を。
　応力テンソルってのは基本的に連続体に働く力の場の微分みたい（その対称部分？）と
考えられるので反変場である力を反変である座標で微分する事になるので>>640の言う通り
1、1ーテンソルが数学的には一番自然な形ではないかと思う。ただ、伝統的な教科書だと
その辺がこんがらがっていて、確か巽先生の流体の教科書は数学的にすっきりしている分、
伝統的なのとは定義に於ける添字の位置が異なっていたように思う、要するに伝統的には
応力テンソルの類いは反変2階か共変2階として（わざわざ分かりにくい方法で）定義され
ていた気がします。
　なお補足すると数学に於いてはn階共変完全反対称テンソルは特別な地位を占めているが
物理の具体計算をする限りそのご利益は感じられない、まあ保存則等一般論に関しては
重宝しますが。

642 ：万有方程式論研究者：2007/09/11(火) 22:14:10 ID:yTabpyQf

わしは立体ベクトルと言うの考えた事あるよ。でもそれがテンソルだね。

643 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/12(水) 17:19:59 ID:N3pmVQe8

>>641
なるほどー　勉強になった。サンクス。

644 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/13(木) 02:17:20 ID:???

>>641
>言うのはある。（基本的に）1階の物理量は全て反変。よって計量テンソルは2階共変が
確か、grad（勾配）は共変だった気が・・・

>>638
物理の基本的な概念である仕事を抽象化すれば内積になりますよね。

645 ：641：2007/09/15(土) 22:34:46 ID:CqPcrLLn

>>644 遅レスですが、grad f って普通はdfの添字を上げたものに用いる記号だと思う。
数学的には全く不要な操作なんだがニュートン力学の意味での力の定義に合わせるには
このような事が必要になる。一方解析力学における一般化力は共変量として問題無し。
で、数学大好きなおいらだが、物理も、もっと好きなので不必要な変換と言われようとなるべく
反変量を基礎に据える姿勢が好きなんですよー。

646 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/16(日) 00:35:04 ID:???

>>645
>grad f って普通はdfの添字を上げたものに用いる記号だと思う。
この意味がわかりません。

647 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/16(日) 14:07:49 ID:sZQBz+jx

>>646
ベクトル空間「Ｖ」と「Ｖの双対」を、
計量により定まる標準的な同一視を用いて
お互いを対応付けているってことです。
grad fを知ることと、dfを知ることは同じですが、入る空間が
違うんです。

648 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/16(日) 22:19:46 ID:???

>>647
grad fを反変にしたのがｄｆといいたいのですか？

649 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/16(日) 22:44:57 ID:???

>>648 逆では

650 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/22(土) 17:43:01 ID:1bB/gMYz

微分形式とは何かを教えてください

651 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/24(月) 20:10:14 ID:rBqcwV7i

>>650
多重積分やヤコビアン、関数の発散、回転、ストークスの定理等が
統一的に扱えるように発明された代数体系。
あくまで代数だから、自然現象とは関係ないはずなのだが、
なぜか相対論等に上手くはまった。

652 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/24(月) 23:15:37 ID:???

>>651
代数に限らず数学全般に言えることだから＞なぜか物理理論に上手くはまった

653 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/25(火) 01:14:00 ID:jOoZ1XGK

外積代数について教えてください。

654 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/09/30(日) 20:59:49 ID:vWu+JYXx

外積代数がようやくわかりました。岩波基礎数学「テンソル代数」で勉強しました。

655 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/10/22(月) 22:49:20 ID:TcmFEL89

「テンソルの対称部分と交代部分への分解が、一意的でないとすると、どのような不都合が生ずるか？
具体例を2つあげて説明せよ。」
という課題が出たのですが、ネットで調べてもさっぱりわかりません
どなたか教えていただけないでしょうか？

656 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2007/10/22(月) 22:57:24 ID:???

高校生にメコスジを教えるスレ

657 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/05/23(金) 03:57:25 ID:???

テンソルってのはただの多重線形写像。

658 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/05/24(土) 15:37:05 ID:???

>>656
高校生にメコスジ教えてもらうスレのほうが需要はありそうやね

659 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/08/01(金) 06:28:44 ID:???

age

660 ：デタラメしかいえない：2008/08/01(金) 09:41:12 ID:Th93eEXV

>>657
テンソル積が多重線形写像になるわきゃあねえだろう。
乗群テンソルもあるんだぞ？

661 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/10/26(日) 15:13:44 ID:???

【韓国】国内株式市場の外国人売り越し、４０兆ウォン超[10/26]

1 ：喫茶-狼-φ ★：2008/10/26(日) 14:20:11 ID:??? ?2BP(43)

国内株式市場の外国人売り越し、４０兆ウォン超

【ソウル２６日聯合】国内株式市場での外国人投資家の売り越し額が、今年４
０兆ウォン（約２兆６２７０億円）を超えた。
　金融監督院が２６日に明らかにしたところによると、外国人投資家は今年は
１０月２４日時点で有価証券市場が４０兆６６６９億ウォン、コスダック（店
頭株市場）が１兆９４２２億ウォン相当の売り越しを記録した。総額４２兆６
０９１億ウォンで１９９２年の株式市場設立以来、最大となった。

　外国人投資家は２００５年から４年連続で売り優勢だが、今年は世界的な金
融危機が深刻化し、株を売って現金を確保するペースが速まっている。特に今
月の場合、外国人投資家による上場株式と債券の売り越しは２４日までに総額
６兆５０００億ウォンに達し、外国為替市場にも大きなショックを与えている。
金融当局は、外国人投資家の投売りを株式市場の下落をあおる主因とみて、市
場が安定するまで空売りの全面禁止措置を維持することにしている。

http://japanese.yonhapnews.co.kr/economy/2008/10/26/0500000000AJP20081026001200882.HTML

662 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/11/02(日) 22:46:29 ID:???

テンソルって結局ベクトルを変化させる何者かってこと？

663 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/11/08(土) 06:36:49 ID:???

ベクトル→行列の関係を拡張したようなもんだ

664 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/11/28(金) 20:22:57 ID:???

弾性の解析なんかを勉強しているんですけど、応力とひずみの関係が

σij = Dijkl・εkl

で書かれているところで、異方性を表すのに、D をRijで回転したい。
応力とかなら、
　　　　　T
σ'ij = Rij・σij・Rij
とかできるんだけど、４階のテンソルを回転させたい場合ってどうやればいいんだろう？

665 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/11/30(日) 19:16:19 ID:gg6rnPHs

４つの添え字をそれぞれRとの縮約とるんじゃね？

666 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/12/02(火) 18:37:04 ID:???

ありがとです。
教科書にあったように、

D'ijkl = RipRjqRkrRs Dpqrs

としてみたけど、うまくいかないなぁ。どっか間違ってるのかな

667 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/12/02(火) 19:32:10 ID:???

右辺の添え字にlが見当たらないが。

668 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/12/03(水) 04:01:14 ID:???

それはどっからどうみたってただのミスタイプだろう
さすがにそれくらいは読み取ってやれよwwwww

669 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/12/04(木) 10:50:18 ID:???

ごめ、

D'ijkl = RipRjqRkrRls Dpqrs

だった。さすがに、l が抜けてたらプログラムにならんから、そっちはあってるｗ

670 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2008/12/07(日) 17:36:39 ID:???

実際にどういう計算を実行したのか示してもらわないと、どこで勘違いしてるのか指摘できない。

671 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/01/08(木) 14:25:49 ID:1olCYici

[5階のテンソルは正の直交変換に関して等方であることを示せ]

っていう問題がわかりません

誰か教えてくださいm(TT)m

672 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/01/08(木) 19:42:30 ID:???

1. 5階のテンソルの定義
2. 正の直交変換の定義
3. 等方の定義

これら三つの定義をまず調べてください。
定義さえわかればほぼ自明な問題です。問題と呼ぶのすらバカバカしいです。

673 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/01/28(水) 18:10:14 ID:D4DRxMts

テンソル解析 (基礎数学選書 23) 田代嘉宏　裳華房
たまにテンソルを見かけたときの何とも言えない感じを解消したくて勉強しようと思うのですが
独学するのにこの本のレベルはどうですか？
当方工学部の応用物理科3年です。

674 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/01/28(水) 20:19:00 ID:???

まさに独学用に書かれたような親切な本。

675 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/01/29(木) 00:33:18 ID:???

わかりました、早速買って勉強しようと思います。

676 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/10(火) 10:48:27 ID:M4Ygk9zJ

テンソルを理解する秘訣　それは普遍性。

677 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/10(火) 12:30:51 ID:???

絶版やないけ

678 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/10(火) 22:37:47 ID:???

>>672、これ嘘だろ、「任意の」５階テンソルが等方的になるはずないじゃん、
簡単に反例作れるじゃん。
反例　添字を1~3、として、ある座標系において
A11111=1、それ以外Aijklmn=0、．

679 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/11(水) 16:56:31 ID:jqYX3i3d

テンソルを実体としてつかみたいなら
ジョルダン標準形・テンソル代数 (岩波基礎数学選書)
がおススメ。

680 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/12(木) 19:21:49 ID:???

昨日の夜、窓からテンソルがどっこいしょと入ってきた。
窓は閉まっていたのに・・・　テンソル畏るべし。。

681 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/16(月) 01:29:40 ID:???

尊敬する俺の親父に、初めて分からないと言わしめたテンソル。
俺はこれを理解してやるぜ！

682 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/16(月) 23:39:41 ID:brMhO89n

テンソルのどこが難しいのかがわからない。

683 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/17(火) 03:18:39 ID:cawKiQD2

宗教トラウマを治す方法としては、上級大学の一般教養を2年間きっちり受けることが、中上級の治療法かな。
それで治らないのは、サイコ暗示を受けている場合が考えられる。この場合、病院に行って、宗教トラウマを治す会にはいるここも、いいかも。間違っても、斎藤学クリニックにいってはいけない。その他、危ない病院はいかないほうがいい。
当り前だがな。

684 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/17(火) 19:21:05 ID:???

テンソルはべつに難しくないんだけど、物理学科ではちゃんと教わるチャンスが乏しい割りに
入門以上の物理の本を読むと説明なしに平気でたくさん出てくるので気持ち悪い思いをする人が多いのだと思う。
材料工学とか建築とか機械工学とかの卒業生のほうがテンソルを良く理解してるかもしれない。
物理数学とか名の付いた科目で、ベクトル解析は結構ちゃんと教えられるのが普通だから、ついでにテンソル解析の
初歩まで教えればいいと思う。
教員からは、そんな時間あるわけねえだろって文句が出るだろうけど、ベクトル解析の時間を少しだけ削って
テンソル解析の初歩まで踏み込んだほうが、物理の学生にとってはありがたいカリキュラムになると思う。

685 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/18(水) 06:09:18 ID:zLObcI4p

「普遍性」を理解してない学生は、テンソルを場当たり的に解釈するしか
ないんだろうな。

686 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/18(水) 06:54:43 ID:???

高校生にメコスジを教えるスレ

交尾と関係あんの？
すげー興味ある

687 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/18(水) 10:58:18 ID:???

>>684
俺は化学科なのに、テンソルが必要になった・・・
全く3年次までの授業で習ってないのに、独学しろとか無理

688 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/02/18(水) 23:05:45 ID:???

>>687
無理じゃない。
化学科ならそんなに高度なことは必要なさそうだけど。

689 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/03/15(日) 05:18:34 ID:???

院卒だけどテンソルやらずじまい。
こんなカリキュラムでいいのかね。

690 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/03/20(金) 14:35:17 ID:???

テンソルが必要になる理論で使う他の数学・物理の知識も化学科なら十分じゃないだろう
終わったな

691 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/03/20(金) 21:22:57 ID:???

化学科で高度な数学が必要な人って
一部には結構居そうだけど、
そういう人は皆独学してるんじゃないの？

692 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/03/20(金) 21:39:55 ID:???

そうでもない

693 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2009/09/03(木) 12:50:45 ID:???

［CEDEC 2009］決め手はテンソル，物理シミュレーション導入の勘どころ
http://www.4gamer.net/games/032/G003263/20090901058/

694 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/03/07(日) 19:46:17 ID:ErNs26tM

高校生にテンソルを教えるスレ

695 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/09(金) 21:22:56 ID:8pixEYRU

私立文系卒だが
テンソルはスピノルとか四脚場とかゆう
別名がついてるんだな
たぶん

接続とかもテンソルなんだろうな

696 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/11(日) 22:47:18 ID:xXwdycEs

テンソルってキュービックマトリックスのことでしょうか？

697 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/12(月) 12:46:26 ID:hj9SliFd

基底のテンソル積が意味不明
Ei(×)Ej
は直交する外積と考えるべきなの？？？

注
(×)は、○のなかに×がある記号と思ってください

698 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/12(月) 13:30:03 ID:???

外積はベクトル
テンソル積はテンソル

699 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/12(月) 19:06:54 ID:hj9SliFd

テンソルの具体例がないと
なんで便利なのかさっぱりです

700 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/12(月) 19:30:41 ID:???

2階の慣性テンソルしらべてみ

701 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/12(月) 22:12:00 ID:6ShazMTO

数学屋(代数幾何専攻)ですが、上をずっと読んでみると、数学者と物理学者で、
テンソルの理解(意味)が微妙に異なることがわかります。
数学者の場合は、抽象的にベクトル空間のテンソル積によってテンソル空間を定義して、
そのテンソル空間の元をテンソルと呼ぶので、
物理学者が言うテンソルより、ずっと広い範囲のものがテンソルになります。
例えば、ずっと前の >>83で
「では行列を積み重ねると何になるのでしょうか？」
という問に対し、数学者なら「3階のテンソル」と即答するのに、
力学屋さんだと、テンソルの範疇に入れない人もいるようですね。
数学では、「ベクトル＝1階テンソル」、「行列j状の表＝2階テンソル」と
考えても、有限次元の場合、それほど間違いではありません。
ただ、「共変」「反変」は「双対空間」の概念を利用して定義するので、
物理屋さんには理解しにくくなるかも。
力学でいうテンソルは、数学でいう3次元1階共変1階反変(2階)(対称?)テンソルの
ことのようですね。
3階以上のテンソルは、一般相対性理論以外やゲージ理論以外では、あまりお目にかからない。
>> 697 さんへ
Ei(×)Ej は、(2階)テンソルを行列で表現した場合には、(i,j)成分が1で、
その他の成分は0である行列のことだと理解してみて下さい。

702 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/12(月) 22:56:40 ID:???

＞数学では、「ベクトル＝1階テンソル」、「行列j状の表＝2階テンソル」と
＞考えても、有限次元の場合、それほど間違いではありません。
じつはテンソルのことあまりわからないので、
行列と2階のテンソルは何が違うのかということを教えてください。

2階のテンソルはベクトル空間:V、スカラー:K
V^2→K
となるもので、テンソルの商法則を用いて
K=T(V)
これは行列と同じ？
まだ反変性共変性の問題が残っている？

703 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 06:32:26 ID:???

20まで読んで、何に使うかがさっぱりわからない

704 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 06:38:27 ID:Cbr7RZB0

>>696
いいえ、違います。テンソルと配列とはなんら関係がないと思っ差し支えありません。
成分の並べ方はどうでもよろしいのです。ほとんどすべての本で、２階のテンソルと
行列との対応が書かれていて、それはそれでいいのですが、
２階テンソルからの安直な類推によって高階テンソルを配列として
理解しようとしてしまうなんとも不可思議な症状が多くの方に見られます。
まったくのナンセンスです。

705 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 07:00:38 ID:cWtnFxRL

>704へ
701の者だが、テンソルの成分表示だけなら、n次元のr階階のテンソルは、
1辺にn個の数をr次元状の(超)立方体状に積み上げた配列だと理解しても間違いない。
例えば、4次元の3階の共変テンソル a^{ijk} (数学屋の書き方だと、
Σ_i Σ_j Σ_k a^{ijk} e_i \otimes e_j \otimes e_k)
は、各添え字 i, j, k が 1,2,3,4 の4つの値を取る 4^3 = 64 個の数を 4^3 の
立方体状の配列で表示して差し支えない。
ただ、共変・反変成分の意味と、縮約という演算を理解しようとすると、704が言う
ように、配列では理解できない。
力学でよく使う1階共変1階反変テンソルだけは、縮約と行列のかけ算が同じ演算になるので、
行列表示するのが適切になる。
そういう意味では、2階の共変テンソルや2階の反変テンソルを行列で表すのは
誤解のもとかもしれない。
「行列もベクトルの一種だ」というと、数学屋は当然のこと(積を考えないかぎり)と
思っているけど、物理屋には違和感あるかな。

706 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 07:14:33 ID:Cbr7RZB0

>>1辺にn個の数をr次元状の(超)立方体状に積み上げた配列だと理解しても間違いない。

それはテンソルの理解とはいえないんじゃない？単に成分の格納法を言っているだけから。
縦に並べようが横に並べようが斜めに並べようがランダムに配置しようが立体的に並べようが、
配置法がテンソルを理解することと関係あるとはとうてい思えない。
（３次元以上の）配列同士に行列のような演算が定義されてないんだから書き方を云々いってもコジマヨシオ。

707 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 07:38:59 ID:XjZbf7hK

具体的な数値計算例が欲しい

テンソル入門とかいう類の、ぜんぜん入門じゃない本では
具体例はたいてい応力対称テンソルとかいうものだけど

応力対称テンソルとやらが例えば
１　２　３
２　４　６
３　６　８
として与えられたら
これをどう使うの？
これを使えば建築がうまくいくのだろうか？

必死にテンソルの定義を丸暗記
『２回座標変換するものがテンソル？』
とか覚えても
具体的にテンソルが与えられたあとに
どう使うのかが全くわからない

どの本も、定義とか証明ばかりで
２階テンソルを表現する３×３行列の作り方までしか記述がない

３×３行列ができたらその後、どう活用するのかな？
３×３行列を作ったらおしまい？

708 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 07:41:59 ID:cWtnFxRL

老婆心だが、数学で習った用語が、物理の文献で登場したときは、
ちょっとした翻訳作業が必要な場合が多い。
例えば、特殊相対性理論のところで、「(4次元)ベクトル」という
言葉が出てきたら、数学書の意味では、4次元の実ベクトル(空間)に、
ローレンツ内積の構造を入れて考えたもの、と解釈しないといけない。
また、物理で「行列」という場合は、2～4次の「正方行列」の
ことで、5行6列行列なんて、めったに出てこないよね。
テンソルも物理学書では、数学書のテンソルに独自のルールや制約を、
非明示的に追加しているので、注意が必要。
このような暗黙の翻訳ルールを知っている数学屋には物理書は簡単だが、
そうでない数学屋には謎の世界になってしまう。

709 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 07:58:25 ID:cWtnFxRL

> 707へ
応力テンソルの話は、数学の話というより力学の話っだから、
力学のちょっと高級な演習書の問題を解いて、理解せよ。
数学書は読む必要なし。
一般相対性理論のように、3階以上のテンソルを厳密にしたい場合くらいしか、
数学書のテンソルは不要。

710 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/13(火) 08:05:37 ID:cWtnFxRL

> 706へ
数学的には、テンソルの簡便な表現方法として、
1辺にn個の数をr次元状の(超)立方体状に積み上げた配列だと理解してよい。
ただ、物理のそれぞれの分野でテンソルを利用するとき、
それがあまり意味がないことも、>706がいうように事実だが、
初学者に入り口のハードルを高くする必要もない。
706氏だって、「行列を使わないで線形写像を理解すうようがよい」
などと言われたらいやだろう。

711 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 01:38:14 ID:yS1u6Svj

>710
２階のテンソルの行列表現の類推からのそういった安直な連想がテンソルの理解を妨げているといっているんです。
係数の配列法はテンソルの理解とは無関係です。テンソルとは係数をリッポウタイ状に並べたものではありません。

712 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 06:54:33 ID:mLzVkZw3

ところで、電場(ベクトル場)や電磁場(複素ベクトル場)を速度ベクトルのような
普通のベクトルと初学者が混同しないように、普通のテンソルとテンソル場は、
きちんと区別して話そう。
例えば、2階の共変テンソル a^{ij} でもテンソル場だと、数学的な表現は
下記のようにずいぶん異なる。
(1) 普通の2次元2階共変テンソル Σ_i Σ_j a^{ij} e_i \oimes e_j
(2) テンソル場 Σ_i Σ_j a^{ij}(x_1,...,x_n) dx_i \oimes dx_j
(3) 対称テンソル場
Σ_i a_{ii}(x_1,...,x_n) dx_i^2 + 2 Σ_{i<j} a^{ij}(x_1,...,x_n) dx_i dx_j
(4) 交代テンソル場 2 Σ_{i<j} a^{ij}(x_1,...,x_n) dx_i \wedge dx_j

>711 が言いたいのは、係数の a^{ij} や a^{ij}(x_1,...,x_n) より、
基底部分の dx_i \otimes dx_j 等が大事だということかい ?

713 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 07:04:20 ID:mLzVkZw3

ゴメン、書き間違えた。
a^{ij}(x_1,...,x_n) と書いた部分は a^{ij}(x^1,...,x^n) の間違い。
直しておいて。

714 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 07:21:00 ID:mLzVkZw3

追加のゴメン。
共変と反変が逆だったね。
a^{ij} が2階反変テンソル、a_{ij} が2階共変テンソル。
久しぶりにテンソルやったら間違えちゃった。
暗記法は、点 P が共変で、P の座標は多様体から R への関数だから、
x^i = x^i(P) は反変、その導分 ∂^i が反変だから、その双対の
dx_i は共変、って覚えるんだった。ちがったけ ?

715 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 07:27:48 ID:yS1u6Svj

>>712
まさかまさか。双方大事でしょ、当然。しかし係数の格納法は高階の場合はどうでもよいってこと。
２階の場合は当然行列として表現したほうがよい。変換則が行列とベクトルの演算そのものだからね。
この類推からだろう、高階のテンソルを「立体行列みたいなもの」なんて怪しいこと言う人が後を絶たないので
ちょっと注意をしておいたまでです。

716 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 08:17:26 ID:mLzVkZw3

ベクトル空間の場合の、共変・反変の暗記法を復習すると、
まず、R^n の点を共変とし、ベクトルは点の座標だから反変で、
Σ_i a^i e_i は反変ベクトル。
その全体の集合を V とするとき、
双対空間 V^* = Hom_R(V, R) の元は共変。
(R^n の点) = (ベクトル) と勘違いすると、
共変と反変が全部逆になっちょうから、すごく間違いやすいんだよね。
添え字が上なら反変、下なら共変、というのはダメだよ。
だって、Σ_i a^i e_i は反変ベクトルだから、e_i は反変ベクトル。
もっと、間違えにくい暗記方法誰か知らない ?

717 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 08:38:27 ID:yS1u6Svj

座標変換で１フォームがどう変換されるかを見れば残りの変換則は自動的に出てくるから覚えることはなにもないと思う。
ベクトルもその係数も形式もその係数も、全部の添え字をすべて下に敢えて書いたとしても（高階の場合は不便極まりないからこんなことはしないけど）変換則は添え字のつけ方とは無関係に決まるから間違えることはない。

718 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 12:29:39 ID:mLzVkZw3

>>715
2階テンソルを行列に格納する必要性と、
3階テンソルを立方体に格納する必要性に、差はないと思うけど。
実際、3階テンソルの測定値を論文に書こうと思ったら、
表を何個か並べて、立方体のスライスみたいに書くしかないでしょう。
このスレは、何も知らない初心者が抵抗なくテンソルを受け入れられる
教育方法を考えるのが趣旨だと思うけど。

719 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 17:15:35 ID:???

3階までは立方体で代用できても4階5階って増えると破綻する、って僕は解釈している。
（立方体に棟番号を付けて団地をイメージすれば4階も行けるかもしれないけど、もう無理矢理過ぎだからやめた。計算にも使えないし）

720 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 22:06:13 ID:mLzVkZw3

ベクトルでも、数を並べた数ベクトルは、みんな理解してくれるけど、
抽象的なベクトル空間と線形写像の話になると、相当数の人が give up するよね。
テンソルだって、抽象的なテンソル空間やテンソル場からスタートしたら、
みんな give up する。
だから、数をr次元状に並べたもの、という易しい例から始めて、
少し納得してくれたら抽象論に移行する。
別に、r次元状に並べるのは、階数の概念を直感的に理解させる方便。
そういうカリキュラムでダメかな。

721 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/14(水) 23:14:12 ID:???

女子高生にメコスジを教えるスレ

722 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/15(木) 00:35:18 ID:???

>>711
>>710の
> 706氏だって、「行列を使わないで線形写像を理解すうようがよい」
> などと言われたらいやだろう。
に対してはどう答えるんだ

まさか、一般の線型空間から多重線型空間作ってテンソル導入して、
一般の多様体に接空間入れることでベクトル場導入して、
その合わせ技でテンソル場を理解させることこそが教育的だというわけじゃあるまい

線型写像とは「2次元配列」そのものではないが、
一旦基底を選べば2次元配列は表現として極めて便利だ
だから、標準的な線形代数のカリキュラムでは、
最初にまず行列の演算に習熟させ、そのあと線型空間の一般的な性質を学ぶわけだ

テンソル場の理解にも同じルートを辿ればよい
まずテンソル場の便利な表現である「多次元配列」の演算、特に縮約に習熟させた上で、
その後に基底によらない御本尊の性質をゆっくり教えればよろしい

723 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/15(木) 02:13:17 ID:+XeUuiFV

多次元配列と縮約等の演算とはなんら関係ないだろ。

> 706氏だって、「行列を使わないで線形写像を理解すうようがよい」
> などと言われたらいやだろう。

「２階の場合の類推から」とわざわざ明示してるんだけどね。
もうちょいちゃんと読んだらどうよ。

724 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/15(木) 05:16:27 ID:???

> 多次元配列と縮約等の演算とはなんら関係ないだろ。
多次元配列と縮約が関係ないなら、二次元配列と「行列の積」だって関係ないわな
多次元配列にテンソル積と縮約の2つの演算を入れてやったのが、テンソルを基底で展開した係数
その2つの操作をまとめた、特に二次元／一次元配列の演算が「行列の積」と称され、これを入れたのが行列／ベクトル

> 「２階の場合の類推から」とわざわざ明示してるんだけどね。
じゃあ、なぜ2階（あるいは1階）の場合は特別なのだ？
2階のテンソルは、テンソル積をとって縮約するという演算において、
「行」と「列」のいずれの方向を縮約するかを、
右側に作用させるか左側に作用させるかという形で書き分けることが可能になるが、
それがそんなに特別なことなのか？
「3階以上だとそのような表記はできない」違いはこの一言だけで十分ではないのか？

725 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/15(木) 08:40:08 ID:+XeUuiFV

>多次元配列にテンソル積と縮約の2つの演算を入れてやったのが、テンソルを基底で展開した係数

「多次元配列」を「真横にまっすぐ並べた数」と置き換えてもその文章の意味するところは何も変わらないよね。
つまり係数の配列法はテンソルの理解とは無縁ってことだよね。
係数の組で変換則を満たすものをテンソルというのはひとつの理解の仕方で、そこを否定するつもりは毛頭ない。
しかし多次元配列なんて入れ物をテンソルとは呼ばない。何度も言ってるけど。テンソルの初心者が抱いてしまう妄想に過ぎない。
むしろ聞きたい。高階テンソルを立体配列としてとらえることが、なぜテンソルの理解につながるのか？

726 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/15(木) 09:35:29 ID:dzIvzn8x

テンソルってあれだろ。
油を捨てられるようにするやつだろ。

727 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/15(木) 10:14:16 ID:???

油っ固が何だって？

728 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/15(木) 20:56:13 ID:???

> 「多次元配列」を「真横にまっすぐ並べた数」と置き換えてもその文章の意味するところは何も変わらないよね。
じゃあ、線型写像理解するには、二次元配列使わなくとも、
演算規則さえ与えれば「真横にまっすぐ並べた数」でやっても意味は一緒だよね
キミはどうかしらんが、俺はそんなの真っ平ごめんだけど

> むしろ聞きたい。高階テンソルを立体配列としてとらえることが、なぜテンソルの理解につながるのか？
多次元配列ととらえることで、直観的にテンソル積と縮約を導入できる
そうやって得た概念で計算ができるようになるならば、それはテンソル場の理解への導入に他ならない
多くの線型代数のカリキュラムで、まず行列の計算ができるようになることが線型空間の理解への導入と扱われているように

729 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/16(金) 09:48:44 ID:???

２階のテンソルなら２次元配列による表現が便利なときもある、というのは
誰も反対していないのでは？それを安直に多次元に拡張することの是非が
問われているときに、
>多次元配列ととらえることで、直観的にテンソル積と縮約を導入できる
これは何というか。３次元以上の配列に積などの演算は定義されていないのに、
どうして多次元配列を使うことで直観的なテンソル積と縮約の導入ができるというのか？

730 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/17(土) 00:06:28 ID:???

> ２階のテンソルなら２次元配列による表現が便利なときもある、というのは
> 誰も反対していないのでは？
それはそうだ
高階のテンソルでは一体どこが変わるというのだ？

> ３次元以上の配列に積などの演算は定義されていないのに、
> どうして多次元配列を使うことで直観的なテンソル積と縮約の導入ができるというのか？
定義されていないものを定義するものが数学だろう
二次元配列にも積は定義されておらず、これに積を定義したのが行列
同様に、多次元配列にテンソル積と縮約を定義したのは、テンソル空間（テンソル場ではないぞ）の公理を満たす
直観的の程度はどちらも変わらない

731 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/17(土) 01:09:22 ID:C5EFlp+m

>>730
とりあえずサイズの異なる二つの行列A、Bのテンソル積を考えみることをすすめる。
出来上がった４階のテンソルを「立体的な配列」として理解できるかどうかやってみるといい。

>>テンソル空間（テンソル場ではないぞ）
わざわざテンソル場ではないなどと注意を促す理由なんてある？

732 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/17(土) 20:37:32 ID:MI7nPAbZ

高校生にトンスルを教えるスレ。

733 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/17(土) 21:05:49 ID:BQJa3/5y

だから一言で説明したらテンソルってなんなの？

抽象的なことばかりじさっぱりわかんないよ

もっと具体例で

734 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/17(土) 21:15:41 ID:???

ベクトル=1つの向きを持つ量
テンソル=複数の向きを持つ量

735 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/17(土) 21:19:17 ID:BQJa3/5y

なるほど
２階テンソルは
２つの向きがあるんだね

736 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/18(日) 11:01:43 ID:???

テンソルを図にしたら
点のまわりに２つの矢印がついてるんですね
きっと

737 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/18(日) 13:45:44 ID:???

テンソルに矢印が2つあるなら
3次元2階テンソルの成分が9個になるのが不思議です。

それはそうとテンソル行列の使い方は
普通に行列計算すればよいのでしょうか？

物体の内部にある特定点にかかる力は
特定点座標を
x
y
z
として、テンソル行列を
T11　T12　T13
T21　T22　T23
T31　T32　T33
としたら、その特定点にかかる力は
かかる力のx成分＝T11・x＋T12・y＋T13・z
かかる力のy成分＝T21・x＋T22・y＋T23・z
かかる力のz成分＝T31・x＋T32・y＋T33・z
となって、かかる力はベクトルになるのでしょうか？

いまひとつ利用方法が具体的にわかりずらい

738 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/18(日) 22:22:47 ID:???

>>731
> とりあえずサイズの異なる二つの行列A、Bのテンソル積を考えみることをすすめる。
> 出来上がった４階のテンソルを「立体的な配列」として理解できるかどうかやってみるといい。
どういう意味で「立体的」と言ってるのか知らないけど、超直方体に並べた配列として理解することに何か問題でも？

> わざわざテンソル場ではないなどと注意を促す理由なんてある？
だって、それだけじゃテンソル場じゃないでしょ？

739 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/19(月) 02:05:17 ID:aMhJdPFy

>>超直方体に並べた配列として理解することに何か問題でも？

二つの行列のテンソル積が「チョウリッポウタイ」として理解出来ますか？
是非その理解とやらをお聞かせください。

>だって、それだけじゃテンソル場じゃないでしょ？
意味不明。ベクトルの話をしているときに「ベクトル場じゃない」ことを
わざわざ明記する必要があるだろうか。なぜテンソルに限って明記する必要があるのだろうか。
区別が難しいとでもお考えなのだろうか。

740 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/19(月) 05:23:50 ID:ZjvsVLz4

3階テンソルが
ルービックキューブみたいな形というのは
直感的でわかりやすい
素晴らしい説明だ

厳密さに欠けるとか
そんなことはどうでもいい
わかりやすさが一番

741 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/19(月) 07:07:03 ID:aMhJdPFy

>厳密さに欠けるとか
>そんなことはどうでもいい
>わかりやすさが一番

わかりやすいもなにも３階のテンソルがルービックキューブみたいな形という
たとえそのものがテンソルの理解を妨げる諸悪の根源だと指摘しているんだがな。

742 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/19(月) 12:51:40 ID:ZjvsVLz4

じゃあ正しい例えをお願いします。

抽象的なのじゃなくて

743 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/19(月) 13:00:06 ID:???

女子高生にメコスジを教えるスレ

744 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/19(月) 16:47:34 ID:???

志が高い、テンソル勉強しようとする初学者には何を勧める？

745 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/20(火) 00:12:53 ID:???

>>739
2つの行列
A = (a_pq) (p=1,...,k, q=1,...,l), B = (b_rs) (r=1,...,m, s=1,...,n)
に対して、
C = A ⊗ B
を
C = (c_pqrs) = (a_pq b_rs)
という四次元配列の形で表すことができて、
各 c_pqrs を { (p,q,r,s) | p=1,...,k, q=1,...,l, r=1,...,m, s=1,...,n }
上に配置する
この格子点は R^4 の部分集合に自然に対応付けられて、
その対応先は超立方体内の格子点でしょ？

> 区別が難しいとでもお考えなのだろうか。
キミにとっては難しいと考えて、わざわざ注意を喚起してあげたけど
キミに対してなら、多様体と一切関係ない一般の線型空間の元であるベクトルについても、
「ベクトル場ではない」と明記してあげるつもりだよ

746 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/20(火) 03:38:47 ID:RwW5UMpR

>>745
釣りじゃなくて本気でそう考えているとしたら「やり直したほうがよい」という他ない。
君は成分の添え字をばらして並べているだけ。係数の格納先を言っているだけ。それはテンソルの理解とは何の関係もない。

747 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/20(火) 04:06:50 ID:???

２次元テンソル…伸び伸びサロンシップ
３次元テンソル…スーパーボール

748 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/20(火) 12:55:50 ID:???

>>746
「R^n についての理解がベクトル空間の理解と無関係」と言ってるに等しいくらい、意味不明な主張だなあ
そりゃ、 R^n はベクトル空間の一例でしかないが、もっとも単純でかつ重要な例だ

同様に、「成分の添え字をばらして並べ」た空間
R^(n_1) ⊗ R^(n_2) ⊗ ... ⊗ R^(n_m)
も、多重線型空間の一例でしかないが、もっとも単純かつ重要な例

和とスカラー倍が自然に定義され、多重線型性を満たし、
かつ n_i = n_j の時は (R^(n_i))^* = R^(n_j) とみなせるから、
自然に i 番目と j 番目の添字に縮約を導入することも可能

749 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/20(火) 14:06:16 ID:RwW5UMpR

>>748
>同様に、「成分の添え字をばらして並べ」た空間
>R^(n_1) ⊗ R^(n_2) ⊗ ... ⊗ R^(n_m)
>も、多重線型空間の一例でしかないが、もっとも単純かつ重要な例

R^(n_1) ⊗ R^(n_2) ⊗ ... ⊗ R^(n_m) は、「成分の添え字をばらして並べ」た空間などではない。
見かけで満足して肝心の中身が見えていない。
君がテンソルを単なる量の集まりとしてしか理解していない証拠。
テンソルのuniversal propertyを全然理解していないのがその理由。
テンソルで重要なのは機能。係数の受け皿の形などどうでもよい。

750 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/20(火) 21:52:48 ID:???

普遍性？
そんなの初学者、あるいは「高校生」に理解させるつもり？

普遍性に基づくテンソル積の構成なんてものは、後から学びたいやつが学べばよい
R^m × R^m から R^m ⊗ R^n への写像など、最初は「成分の積」で十分だ

751 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/21(水) 02:48:01 ID:PqFS/8NL

>普遍性？
>そんなの初学者、あるいは「高校生」に理解させるつもり？

初学者にも普遍性を表立って理解させろなどと一言も言っていませんが。
君の理解を問うているのです。テンソルの普遍性、機能的側面を理解していない者が果たして直感的にテンソルを把握することが出来るのでしょうか？

>同様に、「成分の添え字をばらして並べ」た空間
>R^(n_1) ⊗ R^(n_2) ⊗ ... ⊗ R^(n_m)
>も、多重線型空間の一例でしかないが、もっとも単純かつ重要な例

具体例を背景にきちんと理解していないのではありませんか？
この例が単純なのでしょうか？これでいったいテンソルの何がわかるというのですか？
この例は果たして教育的なのでしょうか？（高校生、初学者に拘っているみたいですから聞いておきます）

>普遍性に基づくテンソル積の構成なんてものは

電磁気学やりましたか？テンソルによる表現形式で理解してますか？
E、D、H、Bは１階および２階の反対称テンソルで表現すべき量であることがわかってますか？
ベクトル解析の枠組みでは、これら性質の異なる量をベクトル一本槍で表現してしまいますが、にも関わらず（見かけ上）計算がうまくいく理由を説明できますか？
本当に普遍性について理解してますか？
物理のテンソルと数学のテンソルの大きなギャップを感じているんじゃないですか？

わかっていないから受け皿の形に拘るしかないんですよ。

752 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/21(水) 21:30:58 ID:???

> この例が単純なのでしょうか？
これ以上単純な、自明でない例は？
> これでいったいテンソルの何がわかるというのですか？
和、スカラー倍、テンソル積、縮約等の演算が分かるが？
テンソル積が分かれば、自ずと双線型性も分かるが？
> この例は果たして教育的なのでしょうか？（高校生、初学者に拘っているみたいですから聞いておきます）
以上が分かるだけで十分教育的だと思うが？

> にも関わらず（見かけ上）計算がうまくいく理由を説明できますか？
「独立な成分数がいずれも3であるから」という説明で不足か？
気取った言い方をすれば、「∧R^3 と ∧^2R^3 がベクトル空間として同型であるから」とでも言えるが、
前者の言い方で何か問題があるか？

全く、質問を繰り返すだけで建設的な話が一切出てこないやつだ
>>742にはどう答えるのだ？
> テンソルで重要なのは機能。
その機能とは何なのか？それを教えるのにもっとも有効な方法とはどういうものか？
ベクトルで重要な「機能」とは何か？
ベクトルを教えるのは通常 R^n から入るが、それと同じ教授法が通用しないと考える理由は？

753 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 04:10:36 ID:6EVPR+km

>「独立な成分数がいずれも3であるから」という説明で不足か？
>気取った言い方をすれば、「∧R^3 と ∧^2R^3 がベクトル空間として同型であるから」とでも言えるが、
>前者の言い方で何か問題があるか？

テンソルの定義を上っ面だけ眺めてわかった気分になってるんじゃないですか？

>その機能とは何なのか？それを教えるのにもっとも有効な方法とはどういうものか？
>ベクトルで重要な「機能」とは何か？
>ベクトルを教えるのは通常 R^n から入るが、それと同じ教授法が通用しないと考える理由は？

君のdualityに対する理解も怪しいことが伺えます。
「テンソルの機能的側面」を仄めかすために、わざわざ電磁気学から例を引っ張ってきているのですが。

>全く、質問を繰り返すだけで建設的な話が一切出てこないやつだ

少なくとも俺にとっては極めて建設的。「テンソルがわかっていない人はどこをどう勘違いしているのか」が本当によくわかった。この点についてはとても感謝してます。
> >>742にはどう答えるのだ？
答えるつもりなど最初からない。テンソル初学者に「テンソルとはこういうものです」とは言いたくないので。
教えるなら電磁気学の初歩と絡めて「絵を描きながら」説明する。経験上それが一番理解させやすいとわかっているから。

754 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 06:08:20 ID:Ra9mFV5g

最初は単純に、あるベクトルの線形応答を
ベクトルの関数として表現したものと理解すれば(教えれば）いいような気がするけどな。
もちろんベクトルには共変、反変ベクトルの2種類があることは前提で
これは従来からやっている。
そして、結局ベクトルはテンソルの1種であることが理解できた上ならば、
いままでのベクトルという表現の部分をテンソルと置き換えることができ
一般化されることは自然に理解できるはず。

長文で荒れる程の概念ではないはず。

755 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 08:11:22 ID:6EVPR+km

>最初は単純に、あるベクトルの線形応答を
>ベクトルの関数として表現したものと理解すれば(教えれば）いいような気がするけどな。

まさしく。線型関数とベクトルの関係を物理量とその測定の関係で説明すればすんなりわかる。
２階、３階も同様。「数を超直方体に並べたもの」としてテンソルを捉えることがまったくのナンセンスであることがわかるだろう。

756 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 15:48:42 ID:???

ベクトルを矢印のイメージで縛る所から誤解が始まった

757 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 21:38:48 ID:???

矢印のイメージは別に問題無いでしょ。

758 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 23:07:02 ID:???

算数の勉強はよくできても
国語の勉強ができないお馬鹿ちゃんがいますね

高校生に易しくテンソルを教えるスレ

想定知識は、高校数学限定です
つまり３次元ベクトル、２×２正方行列までしか知識がない高校生を対象に解説するわけです

双対空間、多重線形性、共変反変とか
物理学科の大学院生相手と勘違いしてませんか？
そんなもん高校生が習ってると思いますか？

高校生にもわかるように説明しろよ
スレ違いの馬鹿が

難しいことを易しく噛み砕いてこそ
きちんと消化し血肉にしてる専門家とみなされる

難しいことを難しく説明するやつは
ほんとは自分でもよく理解してないんだろ

759 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 23:29:15 ID:???

このスレは >>1-100 は良い解説ばかりだったのに
>>107 からスレ違いのアホがあらわれた

760 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 23:34:14 ID:???

多次元直方体に並べることがはたして易しく噛み砕いたことになっているのか
が争点になっているときに、>>758はだから何？としか言いようがないな

761 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 23:44:25 ID:W/2Qj/EB

つまらん論争はブログか
チラシ裏にかいてくださいね

初学者には興味なし

762 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/22(木) 23:47:29 ID:W/2Qj/EB

テンソルを絵にかいて説明してください
漫画になってないとわかりません

763 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 00:07:36 ID:???

①テンソルを具体的に図解してください

②３階テンソルはルービックキューブのような立体行列

③『それはおかしい』
うんぬんかんぬん

④だ～ッ面倒くせ～ッ(怒)
どうでもいいんだよッ(怒)
抽象的なことはい～からッ(怒)
具体例をだせよッ(怒)

→

①に戻る

764 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 02:10:33 ID:mrAJfKW1

>双対空間、多重線形性、共変反変とか
>物理学科の大学院生相手と勘違いしてませんか？
>そんなもん高校生が習ってると思いますか？

どこをどう読んだらそうなるんだか。「教える側の理解」が中途半端でも構わないんだね、君は。

>難しいことを易しく噛み砕いてこそ
>きちんと消化し血肉にしてる専門家とみなされる

それは専門家とは言わない。教え上手というのだよ。
「テンソルとは数を超直方体に並べたもの」が「易しく噛み砕い」た説明なの？
それは単なる妄想だと言っているのだが。

765 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 06:36:02 ID:b9onL+1G

>>764
長文の教え下手は有害です。消え失せてください。

高校生にも理解できるよう、簡潔な解説者が求められています。

超立体が不適切なら、それに代わるわかりやすい例えをお願いします。
もちろん高校数学範囲内でです。
できないなら消え失せてください。

766 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 07:10:01 ID:???

>>764
スレ汚しだな
他人の批判はいいから、お手本みせてくれ
あんたウザいよ

767 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 07:33:48 ID:mrAJfKW1

>高校生にも理解できるよう、簡潔な解説者が求められています。

君は何か勘違いをしているようだが、簡潔に説明できるためには教える側わかっていることが大前提なのです。
わかっていれば「超立体」なんて例えはどう転んでも出てこないのですよ。それを指摘しているわけです。

768 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 08:34:50 ID:b9onL+1G

行列と関係あんの？
すげー興味ある

↑
この素朴な疑問から、このスレは立てられました。

あなたがテンソル博士なら、この質問にこたえてください。

「テンソルは行列でも立体配列でもなく、○○です」
と

あなたは「○○です」の部分をきちんと説明しないから
スレ汚しの有害なんですよ

769 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 08:58:41 ID:???

そもそも高校生に簡潔に説明できないといけない対象なのか＞テンソル

770 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 10:00:01 ID:???

>長文の教え下手は有害です。消え失せてください。
全面的に同意するので超立体も消え失せてください

771 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 13:11:10 ID:b9onL+1G

当たり前だ

772 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 13:25:12 ID:???

女子高生にメコスジを教えるスレ

773 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 19:23:42 ID:???

男女の体位でいうと
松葉崩しみたいなのがテンソルなわけか

774 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 21:53:04 ID:RwcgpvQ6

例えるなら
dy/dxはこれ全部でひとつの記号だ派
と
dx分のdyだ派
の争い？
高校生なら後者がいいんじゃないかな

775 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/23(金) 21:53:43 ID:???

騎乗位⇒テンソル
正常位⇒ベクトル
オナニー⇒スカラー

776 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/24(土) 02:59:59 ID:ycVzkWV8

>例えるなら
>dy/dxはこれ全部でひとつの記号だ派
>と
>dx分のdyだ派
>の争い？

dxとdyはそれぞれ意味のある量として捕らえるのがオイラーの見方。
それは厳密じゃないとの批判から、dy/dxを記号と見る立場をとったのがコーシー。（近代の微積分）
オイラーのやつは今ではちゃんと正当化されてるから、両方とも間違いではない。
見方の違いで計算過程がまるで違ってくるからどっちがいいかは一概には言えない。

しかしテンソルを超直方体で例えるのは完璧な誤り。

777 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/24(土) 11:32:14 ID:???

しかしテンソル積のUniversalityは、そんなに大切なものかね？

778 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/24(土) 11:57:01 ID:ycVzkWV8

とても大切

779 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/24(土) 12:22:50 ID:???

ちなみに直和や直積もuniversalityを持つけど、そっちも大切なんかな？

「R^2の元は二つの数を並べたもの」というのは完璧な誤り、普遍性を抜きにして語るべからず。とか？

780 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/24(土) 21:08:01 ID:n/AnpiDa

無理やり行列にこじつけたいんだったら
　　　┏ 1┓
[1 -1]┃ ┃
　　　┗-1┛
見たいな行ベクトルと列ベクトルを並べたものをテンソルの例と思っていたらいい。
3x3行列をテンソルと結びつけるよりは遥かに教育的にまし。
大学の教育を受けて、ベクトルの概念が頭の中で再定義されて、
直積の概念が頭に出来たときに
この式の意味がわかるようになると思う。

781 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/24(土) 21:22:58 ID:???

ダイアディック？

782 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/24(土) 22:05:28 ID:???

ああ、ごめん
左右が逆だった。ずれてるし修正。
┏ 1┓
┃　┃[1 -1]
┗-1┛

>>781
こういうのをダイアド積とよんで、線形結合すると
ダイアディックっていうのか。知らなかったよ。

783 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 15:56:51 ID:???

任意の高階テンソルは一階テンソルのテンソル積として表される？

なんだか嘘っぽいなあ。

784 ：某大学教員：2010/04/25(日) 16:21:46 ID:8QB3wY9p

面白そうなスレなので今さらだが新規参入。

>>332 一度は僕らも通った道
>>334 数学系教官にベクトル空間をおそわったあと物理に進学するひとへの、
ベクトル、テンソルに関するリテラシー・ギャップにそなえる補遺

これは大事なポイントだと思う。
>>701が数学屋の立場から書いているが、
物理屋である自分の学生時代を思い出してみても、
大学の先生のいう「ベクトル」という語に２種類の意味があると悟るまでが大変だった。

＊広い意味のベクトル → ８公理を満たすような加法とスカラー倍云々
＊狭い意味のベクトル → 空間と結びついた物理的実体（座標系の助けを借りて数値化）

テンソルっていうのは「狭い意味のベクトル」を拡張したものだ。
正方行列やら立方体やらで表現されるっていうのは、完全な間違いではないが、
それが本体だと思ってはいけない。
その背後に「空間と結びついた物理的実体」があることを常に注記すべき。

785 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 16:48:32 ID:uiEtSZF3

> 776
19世紀には、dx, dy に単独で意味があることが疑問視されたが、
20世紀になって、抽象代数を用いて、微分形式の理論として正当化された。
発散級数も19世紀には解析学で否定されたが、20世紀に整数論で合理化された。
ただ、こういうものは集合論の上に基礎づけられた抽象論だから、
物理的な意味を持つかどうかは別問題で、使う時には注意してね。
素粒子論で、くりこみにおける発散の問題を「発散級数」の話で
説明しようとしているのを見かけたことがあるけど、さすがに
あれは怪しいように感じる。
>783 の話は数学では常識だけど、テンソル積に物理的意味づけは困難だから、
違和感はあるかもね。

786 ：某大学教員：2010/04/25(日) 16:49:27 ID:8QB3wY9p

>>783
正しくは「一階テンソルのテンソル積の線形結合」

>>780
教育的にはディアドから入るのは有効なやりかたのひとつだと思う。
ただし縦ベクトルと横ベクトルに完全に頼るよりも、
⊗という記号を導入して
a ⊗ b = (a1 e1 + a2 e2) ⊗ (b1 e1 + b2 e2) = a1 b1 e1 ⊗ e2 + …
みたいに代数的に行けるところまで行く、というのを教える。
初心者は成分がないと不安だから、最後に e1 ⊗ e2 を成分表示で行列にするが、
慣れてきたら最後の展開は省略する（e1 ⊗ e2 のままで置いておく）。

>>784
言葉がちょっと足りなかった。
× テンソルっていうのは「狭い意味のベクトル」を拡張したものだ。
○ 物理屋のいうテンソルっていうのは

787 ：某大学教員：2010/04/25(日) 16:55:46 ID:8QB3wY9p

>>786 書き込んでから書き間違いに気づいた orz
… = a1 b1 e1 ⊗ e1 + a1 b2 e1 ⊗ e2 + …
分かるよね？

788 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 17:08:12 ID:???

学生が最初に出会うテンソルが古典力学の慣性テンソルだけど、
これが大抵の場合単なる行列として表現されてて、座標変換で成分がどう変わるとかいう議論は決してなされない。
テンソルと行列を同一視してしまう原因はこのあたりにありそう。

789 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 17:12:42 ID:???

テンソルはなぜ必要なんですか？
こんな面倒臭い数量を導入する理由がわかりません。
いったい何の役に立つのでしょう？

790 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 17:14:46 ID:uiEtSZF3

一般相対性理論を必修科目にすれば、テンソル(場)も正しく理解してくれるでしょ。
ところで、貴殿の大学では、一般相対性理論、必修ですか、選択ですか?

791 ：某大学教員：2010/04/25(日) 17:18:21 ID:8QB3wY9p

>>762
2階の対称テンソル限定だったら、楕円体で表示できる。
弾性論の本なんかに載っている場合がある。
高校生の頃に「物理学 One Point (7) フックの法則」を見てちゃんと理解できたから
スレの趣旨にも合致していると思われる。

ただ、このイメージと、y = T x という線形写像としての定義を
頭のなかでつなげられるかどうかが問題。（線形写像についての本人の理解度次第）

>>789
背後に物理的実体があるって言っただろ？「テンソルな物理量」があるんだよ。
弾性論、流体力学、一般相対論あたりがテンソル量（テンソル場）が出てくる典型例。

792 ：某大学教員：2010/04/25(日) 17:37:02 ID:???

うちの学生に最初に教えるときには（「嘘も方便」と心のなかで思いつつ）

「テンソルとは、ベクトルを成分とするベクトル」

と教えている。
表現は行列である必要はなく、(a,b) みたいに書いてaとbを太字にしたっていい。

もちろんこれは不正確だ。
「ベクトルは、スカラー（みたいなもの）を３つ並べたもの（として表現できる）」
という文の括弧内をすべて省いて言うのと同じくらい嘘が混じってしまう。
でも、学生の何割かは、たとえば
左辺がスカラーで右辺がベクトルという式を答案に平気で書く人たちなので、
そういう学生に最初から厳密なことを説いても仕方がないというのが悩ましいところ。

793 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 17:46:48 ID:???

たとえば、誘電率テンソルと電場ベクトルから電束密度ベクトルを作ったとして、
誘電率をあえてテンソルというのはなぜ？誘電率行列でいけない理由は？

テンソルは「物理的実体」があるというなら
行列のうち、物理的実体を持つ量をテンソルと呼んでいるということ？
つまり、テンソル狭い意味でのベクトルを拡張したものだから、行列と一部重複しうる概念であると理解していいの？

794 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 17:58:51 ID:???

一般の行列には幾何学的意味がないけど、テンソルは座標変換したときに成分が特定の変換を受ける。
誘電率テンソルが電場ベクトルから電束密度ベクトルへの変換を行えるのはテンソルとしての性質をもつから。

795 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 17:59:28 ID:???

わからないなりに具体例をさがすと
応力テンソルというのがよく検索されました。

これは３次元２階テンソルというものらしく
３×３正方行列になっていました。

この応力テンソルは、物体内の応力だかのかかりかたをあらわすらしいのですが
物体内の座標を(X,Y,Z)という位置ベクトルで指定したなら

応力テンソル(行列)と座標(位置ベクトル)との積は
その座標における応力の方向と大きさなのでしょうか？

796 ：某大学教員：2010/04/25(日) 18:04:01 ID:???

>>793「誘電率行列」
「誘電率テンソルの行列表示」の略であることが了解できるような文脈でなら、
ありだと思う。もちろん表示のための基底はすべて暗黙の了解としたうえで。

誘電率テンソルという名称をあえて使う理由は、物理屋的には
「狭い意味の（物理的）ベクトルDの、
　狭い意味の（物理的）ベクトルEに対する比例係数（という物理的実体）」
であることを明示するためだというのが自分の理解だけれど、違うかな？
（数学の人から「ほかにも無意識に黙って仮定してるだろ」とか言われそう）

797 ：某大学教員：2010/04/25(日) 18:11:31 ID:???

>>795
位置ベクトルじゃなくて、考えている面のベクトル（面積と方向）。
たとえばある面に圧力がかかっているとすると力 = 圧力 × 面積
この式を、剪断力がある（力の方向と面の方向が一致しない）場合に一般化し
ΔF = τ・nΔS とする。
（本によっては nΔS の代わりに太字のΔSになっていたりする）

798 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 18:15:49 ID:???

>>794
つまり、
（2階のテンソル）⊂（行列）
で、一般のテンソルは2階のテンソルの拡張概念であると。
でも、特定の変換と基底の取替ってなにが違うの

>>796
誤解を与えたようですが、私はテンソルのことなにもしらないんです教えてください

799 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 18:40:35 ID:???

テンソルは
ベクトルを入力して、ベクトルを出力する関数のことなのでしょうか？

なにかの変換装置みたいな

800 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 18:41:33 ID:???

>>799
最初はその理解でいい。

801 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 18:46:30 ID:???

それ、まんま行列じゃね

802 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 19:51:18 ID:???

>>784 >>786
一粒子系のHilbert空間から多粒子系の第一量子化形式を作る操作だってテンソル積だし、
その元はテンソルでしょ
別に物理に出てくるテンソルが全て「「狭い意味のベクトル」を拡張したもの」、というかテンソル場ではない

>>796
D_i = ε^(1)_ij E_j + ε^(2)_ijk E_j E_k + ...
と一般にTaylor展開した一次の係数が誘電率だと思えば、
高階まで拡張した時のことを考えて「テンソル」とするのが自然だろう

>>798
一般に物理では「曲がった空間」（多様体）を扱い、
（別に一般相対論に限らず、例えば普通の3次元空間でも極座標表示すれば「曲がって」いる）
「場」とはその多様体の各点毎に定義される物理量をいう

それで、多様体には適当に座標を導入することができるけど、
ベクトル場とかテンソル場の特徴は、その多様体の座標変換に応じて決まった形で基底が変換されること
そういう意味で、幾何学に一切関係なく自由に基底を取り替えることができる行列とは違う

803 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/25(日) 21:33:27 ID:???

＞ベクトル場とかテンソル場の特徴は、その多様体の座標変換に応じて決まった形で基底が変換されること
＞そういう意味で、幾何学に一切関係なく自由に基底を取り替えることができる行列とは違う
これでスッキリした。ありがとう！

804 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/26(月) 04:03:08 ID:iV4rAHUh

>>801
>それ、まんま行列じゃね

複数のベクトルを入力してスカラーあるいはベクトルを出力する線型関数

これはもはや行列ではないでしょ？

805 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/26(月) 16:14:52 ID:???

>>804
テンソルの商法則を使えば、行列が出てくる。
そしたら、テンソルは2次元で表現される行列をn次元直方体に拡張したもの？

806 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/26(月) 22:06:30 ID:???

特に根拠も示さず、ダメだダメだ言ってた奴も1人ほどいるが、
そういう認識で問題ないんじゃね？

807 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/26(月) 22:08:44 ID:byNnV1/l

[-1 1][1 -1][2 3]
みたいなベクトル×ベクトル×ベクトル
に作用するようなテンソルは行列で書けない。

808 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/27(火) 13:43:04 ID:???

>>807
だから、長方形の行列を直方体に拡張したものってみんな言ってるじゃん。
紙にどうやって書くかは別にして。

809 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/27(火) 17:17:21 ID:???

でも、行列と違って幾何学的意味があるようだけど？

810 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/27(火) 23:09:33 ID:PFTtmjwa

>>808
釣れますか？

811 ：某大学教員：2010/04/28(水) 11:01:16 ID:???

>>802
> 一粒子系のHilbert空間から多粒子系の第一量子化形式を作る操作だってテンソル積だし、
> その元はテンソルでしょ
> 別に物理に出てくるテンソルが
> 全て「「狭い意味のベクトル」を拡張したもの」、というかテンソル場ではない

おっしゃるとおり。その意味で>>786は十分に正確な書き方とは言えない。

それでも、話の趣旨は理解してもらえると思うのだが、どうだろうか。
＊何をもってベクトルとするかは文脈というか前提条件によって違う。
　たとえば、十分な前置きなしに「Hψ=Eψのψはベクトルか?」と問うのは引っ掛けクイズ。
＊テンソルをベクトルに関係づけて定義している以上、
　何をベクトルと呼ぶかに依存して、何をテンソルと呼ぶかも変わる。
＊したがって「○○はテンソルである」「いやテンソルでない」という判断も前提条件次第。

自分としては、テンソルを単なる行列と区別する文脈が存在することを書きたかったが、
それを「物理屋のいう…」と表現したのは正確ではなかった。

いずれにしても指摘ありがとう。 >>802

812 ：某大学教員：2010/04/28(水) 11:06:14 ID:???

>>799
> テンソルは
> ベクトルを入力して、ベクトルを出力する関数のことなのでしょうか？
>>801
> それ、まんま行列じゃね

「ベクトル」が、成分として数を2つか3つ並べたものを意味する文脈では、それでよい。

「ベクトル」という語を、相対位置とか速度とか力とか角運動量とか電場とかいった、
幾何学的な向きと物理的な大きさをもつようなベクトル量に限定して用いる場合は、
そういうベクトルを入力してそういうベクトルを出力する線形関数がテンソルだ。
「ベクトル」「テンソル」をこの意味に限定して用いる場合があることを知らないと、
たとえば相対論の本で「ε^ijkはテンソルではない」という記述に出会ったとき、
その意味が理解できず苦しむことになるかもしれない。

さらに言うと「ベクトル」が状態ベクトルみたいなものを意味する文脈では（以下略）

813 ：某大学教員：2010/04/28(水) 11:14:04 ID:???

とりあえず高校生の常識(?)に合わせて、
以下でベクトルといえば (3,5) みたいな数ベクトルを意味するものとする。

ベクトルを入力してベクトルを返す線形関数を成分表示するには、
必ずしもタテヨコに数を配置してあらわす必要はなかろう。
ベクトルの内積をあらわすドットを援用し、
(x,y) → (X,Y) = ((3,2),(6,7))・(x,y)
みたいに書く書き方があってもよい（たしかMathematicaはこの書き方だったような）。
ただし、どの階層のベクトルと内積をとるのか解釈が多義的になり得るので、
ドットの解釈を決めておくか、またはいちいち注記する必要があるが。

この書き方なら、高階への拡張も容易だろう。
別に立方体行列の演算規則などを定義する必要はなく、
ベクトルの内積のドットを援用すればよい、というのがポイント。

（内積は a b cosθでしょ? という人は別途議論しましょう）

814 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/28(水) 12:55:11 ID:???

>>812
＞「ベクトル」「テンソル」をこの意味に限定して用いる場合があることを知らないと、
＞たとえば相対論の本で「ε^ijkはテンソルではない」という記述に出会ったとき、
＞その意味が理解できず苦しむことになるかもしれない。
実は苦しんだからここに来たんですｗ
内山「相対性理論」（岩波）読んでテンソルが理解できなくて…

815 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/04/28(水) 13:03:09 ID:???

いずれにせよ、幾何ベクトルやら数ベクトルやらをごっちゃにして何がマズイの？とか思っていたので、
そのあたりに気付かされました。ありがとうございます。

816 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/07(金) 09:08:29 ID:KWAbCi7X

行列を立体的に並べたやつがテンソルだよ

817 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/07(金) 10:30:53 ID:???

経緯を無視して蒸し返す、が発動されました

818 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/07(金) 15:27:36 ID:???

テンソルって数学というより…どちらかというと物理数学っぽくない？
座標変換とか反変共変とか・・・まあ幾何学なんだろうけども。
ものすごく具体的すぎてちっとも抽象数学っぽくないよ。

819 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/08(土) 02:49:25 ID:pRHu8tMH

テンソルは立体行列　間違いない

820 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 03:55:20 ID:OQbaJHaP

2*2*2の行列と2*2*2の行列ってどうやって掛け算が定義されているんでしょうか
気になります。

821 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 04:04:16 ID:OQbaJHaP

(0,0,0) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
の順に

「a b c d e f g h」
「o p q r s t u v」
という数が並んでいる立体行列の積はどんな感じになりますでしょうか

822 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 04:06:58 ID:OQbaJHaP

そして
行列
「a b c d e f g h」
「o p q r s t u v」
はテンソルなのでしょうか？

823 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 04:09:45 ID:???

なるほど。結局\otimesを定義して成分表示で計算しなきゃいけないってことか。勉強になった。

824 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 04:09:46 ID:???

掛け算はひととおりではない（何種類もある）のではないかな？
また、テンソル解析ではそれは「縮約」と呼ばれているのでは？

825 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 07:20:10 ID:so42ghNa

テンソルの直感的イメージ、それは立体行列

826 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 13:16:27 ID:V4fFi55/

小学生に英語を教えるスレになぞらえて言うと
「ローマ字と関係あんの？すげー興味ある」
座標変換に対する普遍性が… = 英文法から入るやり方
幾何学的な写像に着目しろ = 英会話から入るやり方
立体行列 = 「ローマ字にxやqを追加したのが英語です」

表記と内容を混同しちゃいかんよ。

827 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 15:31:00 ID:???

その例えで言えば、普通は英語学習するとき最初にアルファベットから覚えるだろ
テンソルも、それから幾度となく比較に出されたベクトルも、最初は「数を並べたもの」から入るべきってことだな

828 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/09(日) 20:26:28 ID:???

俺ならりんごはｱﾎﾟｰ、牛乳はﾐｩｸから教えるな

829 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/11(火) 02:52:38 ID:CtEDbV4b

ですから何度も言ってるようにテンソルとは立体行列のことです。
それ以上でもそれ以下でもありません。「テンソル＝立体行列」が本質。

830 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/11(火) 13:09:40 ID:???

>>829
じゃあ相対論の本に時々出てくる「～はテンソルじゃない」という記述の意味を説明してくれ。
それとも>>814が苦しむのは別にかまわないとでも？

831 ：こんなの見つけた：2010/05/11(火) 16:31:51 ID:???

立体行列
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1246851207/16
16 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2009/07/19(日) 01:48:12

1.26　立方行列式
　行列式の理論および応用のだいたいは以上ですんだ。最後に立方
行列式(cubic determinant, kubische Determinante)のことにつ
き一言を加える。
　行列式の概念を得られた人が誰でもただちに思い浮かべることは、
n^2 個の a_ik の代りに n^3 個の a_ijk (i,j,k=1,2,････,n) を立方体に
配列して、行列式の概念を拡張できないかという疑問である。
　この考はヴァンデルモンドにまで遡ることができるが、特に 1861
年にド・ガスパリ (De Gasparis) が論じて以来、多くの学者の研究
があり、さらに n^p 個の元素を考えてp次元の行列式まで拡張された。
　しかしその理論は複雑で、とうてい普通の行列式のような簡潔
さを得られないばかりでなく、今までにそれらの概念を応用すべき
なんらの実際問題にも出会わないのである。故にここにはその記述
をやめ、ただこのような拡張がすでに考えられているということだ
けを報告して、この第１章を結ぶことにする。
(出典)
　藤原松三郎著「行列及び行列式」改訂版、岩波全書40, p.85 (1961)

832 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/11(火) 18:31:09 ID:???

立方行列式はいらない。立方行列は要る。

833 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/11(火) 19:06:46 ID:???

>>827
高校生が最初に習うベクトルは数ベクトルなんだから、全くその通りなのでわ。

834 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/12(水) 00:21:31 ID:???

>>827は妥当だが>>829はおかしいね

835 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/12(水) 07:23:57 ID:cQRQlO5S

何度言えばわかるのですか！テンソルは立体行列なんです！
上にも完璧な説明があるじゃないですか！！

836 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/12(水) 10:22:12 ID:???

> 上にも完璧な説明があるじゃないですか！！
すぐ上を見ると

>>827は妥当だが>>829はおかしいね

と書いてあるが

837 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/13(木) 01:20:45 ID:akWt3002

テンソルの直感的イメージ　それは立体行列

838 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/17(月) 07:32:15 ID:???

直観が理解の妨げになることはよくあること

839 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/17(月) 13:51:08 ID:???

誰もが一度は通る道。
獅子は我が子を千尋の谷に突き落とし、そこから這い上がってきたものだけを（略

840 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/18(火) 08:09:38 ID:NpcKNMwP

>>839
這い上がってきたものだけが得られる直感、それが立体行列ですね。

841 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/18(火) 10:40:17 ID:???

這い上がって来れなかったものが抱く幻想、の間違いでしょ

842 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/18(火) 11:37:53 ID:???

>>837
空欄を埋めよ：直感を論理に優先させるのは○○○○の特徴

843 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/18(火) 13:35:15 ID:???

ょぅι゛ょ

844 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/19(水) 00:51:25 ID:???

「テンソルは立体行列」と主張している奴へ。

逆に問うが、おまえさんのいう「立体行列」ってのは何だね？
物理的な意味もなく、数学的な演算が定義されているわけでもない、
単に数を立方体に並べたもの、などというアホな答えだったりしないよな？
もし万一そんな答えしかできないんだったら、過去ログを全部読んで出直すべきだ。

いやいや、ちゃんと考えてます、というのならば、>>820と>>830に答えてほしい。
それができないのなら「立体行列」という言葉だけ振りかざしても何の意味もないよ。

それとも「立体行列」ってのは釣りかね？
ならば>>820 >>830に対する答えがないのも仕方がないかもしれないが…。

845 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/19(水) 18:46:22 ID:???

立体行列って大人気なんだな。

846 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/19(水) 20:31:06 ID:???

>>844
ageてるやつはともかく、真面目に書いてる奴は>>834の認識だろ
>>820については>>824にちゃんと回答があるが

847 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/19(水) 22:49:51 ID:???

>>846
すまん、>>844だが、じつは>>824は自分なんだわ。
自分としては、とにかく立体行列君に何か言ってやらないと気が済まなかったので
「おまえは>>820に対して>>824以上の解答をちゃんと考えているのか？」
というつもりで書いた（もともと>>824は略解に過ぎないのだし）。
たぶん考えてないだろうけどさ。
（万一、考えてるのなら、単位行列の立方体版はどうなるのか説明して糒）

848 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 10:07:15 ID:y53iVOTl

>>696 から　>>808にかけて立体的に数を並べたものがテンソルの直感的理解として
相応しいか議論されてる。で結論としては

テンソルの直感的理解、それは立体配列！！

849 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 11:24:26 ID:???

数を並べただけではベクトルにもテンソルにもならない。それは単なる行列。

850 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 12:08:05 ID:???

量子力学の基礎でspin 1/2系なんかやる時に、Hilbert空間としてC^2とるけど、
その元はただ数を並べただけだからベクトルにはならないんですね

二粒子系にしたときに、対称or反対称のテンソル積とるけど、
そうやって構成した元もテンソルじゃないんですね

851 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 13:52:26 ID:???

先ほど改めて>>696-以降を読み返してみたが、なんで>>848のような結論になるのか謎だ。

>>846
> 真面目に書いてる奴は>>834の認識だろ
こちらに賛成。
べつに数を並べた表現を否定しているわけじゃないが、
>>849も書いているように、ただ数を並べるだけではダメで、
「テンソル」の名にふさわしい物理的意味を与えるなり数学的に演算を定めるなりしてはじめてテンソルと呼べるものになる。
>>850は物理的な背景を特定しているし
それで演算も特定されるだろうから、そこが了解済みならテンソルと称してもおかしくないだろう。
（「Hlbert空間として…」と言っているくらいだからその元はベクトルに決まっている）

852 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 14:46:25 ID:???

さっき気づいたんだが
>>848
> テンソルの直感的理解、それは立体配列！！
今までとは言い方が微妙に違う
>>819 >>825 >>829 >>835 >>837 >>840
> テンソルとは立体行列のことです
> テンソルは立体行列　間違いない
> テンソルの直感的イメージ、それは立体行列
> 何度言えばわかるのですか！テンソルは立体行列なんです！

別人だろうか
それとも>>847に対する防御反応だろうか
掛け算も単位行列も関係ない！と開き直った、みたいな

853 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 18:16:26 ID:???

>>851
C^2持ってきただけで（＝数二つ並べただけで）、自然にHilbert空間の構造入るでしょ
それをC^2の元は（自然に構造入れるまでは）ベクトルじゃないとかいうのは、ほとんどナンセンスに近い主張だと思うけど

854 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 20:54:05 ID:???

C^2に内積なんか定義されてませんが、一体どうやってヒルベルト空間の構造が自然に入るのでしょうか？

855 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 22:17:08 ID:???

>>854
ベクトル空間Cについて、Cの絶対値をベクトル空間のノルムとみなすのが自然で、そのノルムを導くHermite内積も自然に定義できる
それをC^2に自然に拡張するだけだけど？

856 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 23:05:34 ID:???

内積の定義が自然かどうかなんて問題じゃないんですけど？

857 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 23:21:11 ID:???

自然に定義されるものを「定義されていないから云々」と問題にするのはナンセンスだって言ってるんですけど？

858 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 23:28:13 ID:???

ですけど？

859 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/20(木) 23:32:14 ID:???

内積の定義は色々ある。どの内積が“自然”かなんて恣意的なものにすぎない。

860 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/21(金) 00:24:13 ID:???

まあそりゃそうだが、そうは言っても「自然な」という形容は数学で一般に使われてるだろ
どういう意味で自然かを規定するのは直観でしかないが

861 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/21(金) 01:27:20 ID:h3PPsHSs

なんか論点がずれてる…。

C^2に自然な和とスカラー倍と内積が入り得ることは仮に認めるとしてもだ
論点はC^2じゃなくて「立体行列」の掛け算はどうなってるんだ？ということ
説明不要なほど自明というわけじゃないでしょう？
（和とスカラー倍は自然に入るとしてもいいが、掛け算はどうなの、という問い）

しかも自分が知りたいのは答えそのものじゃなく、
立体行列君がどう思っているかなんだ。
奴が単なるアホなのか、それとも何らかの考えがあって言っているのかを知りたい。

862 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/21(金) 01:51:13 ID:???

まずもってキレイに定義できるのか？
行列なら a_{ij} = b_{ik}*c_{kj} でいいけど、立体行列を考えたらこれを拡張しようと思っても足が浮くからある種特殊なルールを置かねばならんと思うが。

863 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/21(金) 01:59:46 ID:???

>>857
必ずしもナンセンスとは限らないんじゃないでしょうか。
C^2に見えるデータは、じつはベクトルじゃなくて平面上の線分の表現かもしれません。
もしこのデータの加法に「線分をつなぐ」という意味を持たせたいと考えたら、
「自然な」定義とは異なるものを採用することになるでしょう。

いくつかの実数を並べたデータがあったとして、それがベクトルと思うのは早計で、
何らかの物理的理由により通常の足し算が適用できない可能性もあります。
それは緯度と経度かもしれないし、最高気温と最低気温かもしれません。
今日の最高気温と明日の最高気温を足しても普通は無意味ではないでしょうか？

もちろん>>853のおっしゃることも分かりますけれど、
数ベクトルでさえこのとおりケチをつけようと思えばつけられるわけですから、
ましてテンソルの場合、定義の一部として演算を明示的に示せという主張は
むしろ道理にかなっているように思われます。

864 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/21(金) 02:04:12 ID:???

>>862
普通に考えつく方法をとる限り、できないと思う。
だからこそ立体行列君に「君はどう考えてるんだ」と問いただしたいわけだが。

865 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/21(金) 05:35:59 ID:???

お前ら立体君に釣られすぎ。
単細胞だな。

866 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/22(土) 00:52:41 ID:???

>>863
論点が二つあって、一つは純粋に数学の話
自然に定義できるもの以外に定義をすることはもちろん可能だし、
そこに関してはまったく正しい
が、テンソルに関しては、テンソル積は少なくとも自然に定義されると主張して賛同を得られると思うんだが
三次元ベクトルの内積や外積に該当する概念は自然には定義されないし、
それに関しては明示的に示す必要があると思うけどね
（個人的には縮約までなら自然と言っていいと思うけど）

それで、もう一つ、数学を科学にどのように用いるかの話
例えば、氷点以上の温度は摂氏で表すことができて、
これはT>=0の空間だから、少なくとも内部で閉じている加法と乗法が自然に定義できる
が、摂氏を何かと掛けても意味ないことを論拠にして、「数を一つ持ってきても乗法は定義されない」なんていうのはナンセンスじゃない？
何かしらの物理量を表すのに数学的集合を持ってきたとき、その集合には色んな構造がくっついてくる
でも、その構造のうちどれが科学として意味のあるものかは、それは数学とは別途に考えるべきことでしょう

867 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/22(土) 14:41:13 ID:???

なんだ結局立体君は釣りだったのかｗｗ
何か信念があってマジで書いてるのかと思ったよ

868 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/22(土) 17:34:54 ID:???

>>866
どちらの論点についても、簡単に言えば
「大人どうしなら全くそのとおり、でも子供相手には違う対応が必要」
というのが私の意見です（大人というのはもちろん比喩的な意味で言っています）。

まず第1の数学的に何がどこまで自然に定義されるか云々ですが、
自然に定義される、という言い方が通用するのは
既に基礎ができている人のあいだに限った話であるように私には思われます。
全くの初心者は 2 + 3 = 23 とか (a,b)・(c,d) = (ac, bd) とかいう式を
それこそ「自然に」書くことがありますから。

言ってみれば、茶道の心得を問われたときに
「自然に振る舞えばいいのですよ」と答えるようなもので、
間違ってはいませんが、場合によっては不適切なアドバイスになるかもしれません。
そういう意味で、数学の初心者を相手にする場合、
「自然に定義されるものなど何一つない」
ということを一度は強調すべきではないかと思います。

869 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/22(土) 17:36:05 ID:???

>>866 >>868
第2の論点ですが、
「数を単独で持ってきても演算は定義されない」というのはもちろん不正確な表現で、
「数を単独で持って来た場合、おまけとして『自然な演算』がくっついてくるが、
　それが、いま考えている問題において意味がある演算になるかどうかは別問題」
というのが正しい表現でしょう。
けれども、いつでもこんな長ったらしい表現をするのが良いこととも思えません。
また、何らかの特定の分野の著書において、
「自然な演算」が物理的に意味のある演算にならないことを著者が予見していて、
なおかつそこを見分ける「大人のセンス」を読者に期待できない場合、
演算はすべて自分で定義しない限り無効と見なす、という立場をとるのも、
それなりに筋のとおったやりかたなのではないかと私は思っています。
気持ちとしては Fortranの「implicit none」宣言に似ているかもしれません
（ただ、この宣言自体が明示的になされていないことがあって困るのですが…）。

870 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/23(日) 07:43:31 ID:OEUFB0+4

>>740を引用
>3階テンソルが
>ルービックキューブみたいな形というのは
>直感的でわかりやすい
>素晴らしい説明だ
>
>厳密さに欠けるとか
>そんなことはどうでもいい
>わかりやすさが一番

やはりテンソルの直感的理解は立体配列！！！

871 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/23(日) 08:29:03 ID:???

>>870
もう飽きたから、別の手口を使え

872 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/25(火) 03:07:46 ID:238URqaD

>2つの行列
>A = (a_pq) (p=1,...,k, q=1,...,l), B = (b_rs) (r=1,...,m, s=1,...,n)
>に対して、
>C = A ⊗ B
>を
>C = (c_pqrs) = (a_pq b_rs)
>という四次元配列の形で表すことができて、
>各 c_pqrs を { (p,q,r,s) | p=1,...,k, q=1,...,l, r=1,...,m, s=1,...,n }
>上に配置する
>この格子点は R^4 の部分集合に自然に対応付けられて、
>その対応先は超立方体内の格子点でしょ？

やはりやはりテンソルの直感的理解は超立方体！！

873 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/25(火) 14:06:34 ID:???

もう秋田

874 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/25(火) 22:48:24 ID:???

>>873
いちいち反応するなよ。

875 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/05/25(火) 23:12:47 ID:238URqaD

>いいえ、違います。テンソルと配列とはなんら関係がないと思っ差し支えありません。
>成分の並べ方はどうでもよろしいのです。ほとんどすべての本で、２階のテンソルと
>行列との対応が書かれていて、それはそれでいいのですが、
>２階テンソルからの安直な類推によって高階テンソルを配列として
>理解しようとしてしまうなんとも不可思議な症状が多くの方に見られます。
>まったくのナンセンスです。

終了

876 ：ご冗談でしょう？名無しさん：2010/08/11(水) 21:40:32 ID:???

黙って佐竹嫁　

終了