複素関数論スレッド

微積分の時間にテーラー展開を習った後で指数関数expｘの展開式の中のｘのかわりにｉｘとおいてみたらコスエッキスプラス愛サインエッキスになったのには驚きました。
独立変数を実数から複素数に広げたら関数はどんなふうに見えるのだろうかという疑問はその後複素関数論を学ぶことによって氷解しました。目から鱗が落ちるとはこのとこを言うのでしょう。
みなさんも複素関数論を勉強したら、こんなことに感動した！というのはありますか？

この意味において，複素数の世界では，微分可能も積分可能も同意語である。
驚嘆すべき朗らかさ！Cauchy およびそれに先立って Gauss が虚数積分に
触れてから約百年を経て，我々はこの玲瓏なる境地に達しえたのである。
　　　　　　　　　解析概論 216頁下

関数が微分可能（正確には正則）と仮定するだけで、
各点の近傍で必ずベキ級数表示でき、
結果的に何回でも微分可能になること。

>>2
高木貞治先生はなぜこれほどまでにうまい文章がかけるんだろう。

age

このすれ２ちゃんらしからぬいい話です。

正則関数て，等角写像⇔ヤコビ行列がSO(2)の行列のスカラー倍⇔コーシーリーマン
ということだよね。
R^3の場合「ヤコビ行列がSO(3)の行列のスカラー倍」という形の
写像になると思うんだけど・・・
具体例とか，主な性質とか，あまり知らない。
知ってる人・・・おしえてちょ。

微分が0となる点のまわりで等角ではありませぬ

age

age

高校の数学が終わったらお遊びで覗くといいかも。
手軽で面白い（個人差はあるが）ネタも多し。

工房ども！
積分定理にのけぞれ！！！

コーシーの積分定理ね。

>>12
そんなに驚くべき定理なんですか

>>14

微分可能な関数（正則な関数）を
ぐるりと一周積分すると、
値が常にゼロになる。

>>15
「力の場がポテンシャルで表せて、それに
対する仕事は経路に拠らない」
を連想させるけど、関係あり？

数学が専門じゃないから何ともいえないけど、
グリーンの定理が使えるから関係ありかも。

でもこれは、覆素平面上の問題だからね〜・・・

俺も似てると思った。

どうも、コーシーの定理の意義がよくわかりませんね。
積分経路の変形ができることぐらいでしょうか？

でも、それよりこの定理から
特異点の情報を引き出せるのが凄いと思った。

もし、囲みの中に特異点が存在したら
そいつの値が求まる。

特異点って、
　 　z
f(z) = ------
z^2+1
だったら、z=±i みたいな点のこと。
微分不可能点？

ず、ずれた・・・

積分経路によらない不変量ができるという事だけど、
数学者は不変量大好きだから。
応用は多いぞ。物理とか。

しかし、級数展開可能な関数ってクラスとしては
すごく狭い気がしてきた此の頃。

>>21

たしかに、コーシー・リーマンの微分方程式を
満たすのって厳しい気もする・・・・？

（一変数）関数論は確かに面白いけど、専攻しようとはあまり思わない（ｗ

個人的には「リウビルの定理」かなぁ。
結果も綺麗だしある種ターニングポイントなんじゃないかな？（工学系には）

>>24
「有界な整関数は定数である。」ですよね。
重要なんですか？

有意義なレスが続いてるなぁ。いいスレだ（笑）

私が函数論とその周辺で感動した定理。

「与えられた周期群に属する楕円函数体は有理関数体のもっとも簡単な代数拡大になる。」
スゲェとおもって、ただちに岩沢先生の名著を借りにいった。

リーマンの写像定理。
平面の単連結領域は複素解析的に同型なんだから、
解析函数というのは意外なほど広いクラスの函数だよね。
位相的な写像が解析函数で書ける（？）って言うんだから。

アーベルの定理　代数関数の世界を端的に言い表してるよね。美しい。

数論に応用も感動的。だから、函数論は代数＆解析だと思われます。
佐藤幹夫大先生の代数解析の目指すものと一致してるんじゃないでしょうか。

ちなみに私は、リーマン流のやりかたがワイヤストラス方式より好きだな。
べき級数でやるのは自然だけど、見通し悪すぎ、と思いますが。

ワイヤストラスはリーマンの論文をみて、
「一度できたものをエレガントに導くのはつねに可能だが、
最初からエレガントな方法で結果が得られるとは思えない」とか
いって当てこすりをいったそうです。

ちなみに、コーシーの定理の意義って、あれのおかげで、「原始関数」という
概念が成立するわけですよ。積分が経路に依存したら、原始関数という概念は
意味がなさないわけで。

ところで、一変数函数、たしかに完成した理論ともいえるが、解析数論に応用するのは、
興味深いし、いまの函数論って、
多変数と数論関係しか研究してないんじゃないんですか？
純粋に一変数で研究してる人いるの？

>>16
かなりあるとおもいます。
自然界の力が正則関数のよって記述されるという事ではないでしょうか。
(詳しく知らないので例外あったらごめんなさい。
あ、電場や磁場の発生点みたいなのは例外)

>>26
うう、物理厨房にはちと難しいお話じゃ。

>>25
重要か？って聞かれると答えられないけど、↓こんなのがあった。
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=983374449&st=36&to=36&nofirst=true

>>26
>与えられた周期群に属する楕円函数体は有理関数体のもっとも簡単な代数拡大になる

w=z^2 のとき C(w)⊂C(z) は代数拡大でどっちも有理関数体です。
これは「簡単な代数拡大」ではないんですか？

>平面の単連結領域は複素解析的に同型なんだから、

同型でないのもあります。

>純粋に一変数で研究してる人

どういう意味ですか？

>>28
意味のわからないところがあって難しいような気がします。
「アーベルの定理　代数関数の世界を端的に言い表してるよね。」
なんてところは 26 に是非詳しく解説して欲しいと思います。

＞＞２９
楕円函数体の話だけど、あんまり簡単な例を持ち出すと、
そりゃ代数拡大だよ（笑）。正確には、
「有理関数体でない最も簡単な代数関数体」というべきで、申し訳ない。

同型でない単連結領域　お説のとおり、正確には
「リーマン球面、複素平面、単位円のどれかに同型」だね。不正確でした。
２ちゃんなんだから、多少の不正確さは目をつぶって（笑）

アーベルの定理　私のまずい解説を展開するより、岩沢先生の名著を
推薦しておきます。
古典的には「代数積分（ｘ、ｙがある代数方程式Ｆで結ばれているとき
ｘ、ｙの有理式でかける函数の積分）の一般加法定理を書くとき、
Ｆの種数の数にまで積分を縮約できる。」
現代では、「局と零点のある種のデータを与えたとき、
閉リーマン面上の有理型函数（代数関数）の存在状況を、
第一種微分の値で表す定理」
　代数積分はセンス的には代数の領域の問題と思うんだけど（私の偏見ね）、
種数という決定的な不変量で代数関数体が記述できるという
法則性を示した。超カッコええ！　と思うんですが。（笑）

それから、純粋に1変数云々、余計な話でした。数論に応用するには
具体的な式を研究する必要があるんで、そういう一般論じゃない魅力が
函数論にあるんじゃないかと。

あげ。
今日、留数定理を勉強した初心者には
有意義な話じゃ。

f(z)=2πi・Res[f(z),α]ってやつね。

実数の積分公式を知らなくても解けるなんて
美しすぎるＮＥ！

f(z)　→　∫f(z)dz

複素数の代わりに一般の体を使って、形式的べき級数環の理論として
複素解析を拡張するとか、そういう方面で面白い研究ないかな？

あんたらみたいな頭イイ人達が２ちゃんに出入りしてることの方が
オレには理解できない。
世界８番目の不思議だな（W

あと、函数論で美しい定理は、「リーマン＝ロッホ」の定理だよね。
あれは絶対落せないと思う。

>>36
球面の上でも、三角形の内角の和＝１８０°が
かなり成り立つってやつ？

詳しく知らんので、知ってる方解説きぼ〜ん！

>>37
おそらく君のいうとおり。

e~iπ＝-1 って等式を初めて見た時には感動したなぁ、俺。

>>39
オレは中学校の時に知った。

その後、一般的にe^ix=cosx+isinx と書けることを知って、
感動したね。
やっぱりみんな少なからず印象に残ってるもんだね。

>>40 39

なんで、感動すんねん。 定義の結果必然的に導かれた定理でしょ？
そんなに、かんどうするかい？

オレは楕円関数の加法定理。数算王神社の第2問

http://www.tokyo-shuppan.co.jp/susanowo/2000_002/index.html

がとけなくてココで解き方質問したら楕円関数勉強しろっていわれて
楕円関数の参考書かってきて楕円関数の加法定理をつかうとあっという
まに解けた。しかも加法定理の証明はめちゃむづかしくて既出の
リーマン･ロッホとか関係してくるのにはメタ感動した。

>39
同感。

>>41
ｅ＾（ｘｉ）＝ｃｏｓ（ｘ）＋ｓｉｎ（ｘ）ｉ
を定義とするなら感動しないけど
そうじゃないなら感動するんじゃない。

テイラー展開
　　　↓
オイラーの公式
　　　↓
　e^πi　= -1
　　　↓
　　( ﾟДﾟ）ｳﾏｰ

この美しい流れ・・・
数学がより大好きになった瞬間・・・

オレのいいたいことは44さんが代弁してくれた。
もう思い残すことなし。

Z(ｘ)=ｃｏｓ（ｘ）＋iｓｉｎ（ｘ）を微分して

Z(ｘ)’=−Sin（ｘ）＋iCos（ｘ）
=i（Cos（ｘ）＋iSin（ｘ））
=iZ（ｘ）となり
Z(ｘ)’=iZ（ｘ）という微分方程式を解いて
もオイラーの公式が導けるよ。

（「オイラーの贈り物」で知った）

>>46
「δ-δ論法」の導入で解析学の厳密性が達成されたなんて考えるのは
間違いで、「δ-δ論法」なんて、一つの通過点に過ぎないと考えるべき
やね。

#「無限小の概念」をフルに使ったオイラーは多産な数学者だった。

その「無限小」の概念を復活させたのが、Non-Satandard Analysis (NSA)
なんだけど、その NSA が複素函数論を扱う迄に到っていないのは残念！

書き間違ごうた。（＾＾；）

「δ-δ論法」なんで書いちゃったけど、勿論、「ε-δ論法」のこと。

うざいやつが嫌いな奴は今すぐ来い！
今なら新しい掲示板創設に参加できるぞ！


＜兄ちゃんねる＞
http://www.i-love-you.gr.jp/
＜かちゅ〜しゃ用パッチ＞
http://www.i-love-you.gr.jp/2channel.brd

雑談系に
ラウンジから派生した新しい掲示板群を開設しました！
まだ人が少ないので駄スレ、糞スレ立て放題です。
かちゅにも対応して おりますので、これをかちゅの
フォルダにぶち込めば板メニューにも 登録できます。
どうぞお気楽にどうぞ、軽いですよ〜 　　

>>48
超準解析のことですね。
私は流派みたいものって見てますけど。
まだそこまで自分の力量がないので
やってないですけど。興味あります。

も一つ間違ごーてた（＾＾；）

Non Standard Analysis と打った積りだったのに、Standard が Satandard
になってた。 m(_ _)m

age

>>47
厳密性が達成されてないだのなんだのいいだしたら、全ては通過点に過ぎないのだよ．．．NSAも含めてね

>>53
「全ては通過点に過ぎない」とまで言ったら、それは言い過ぎになる。

ラプラス変換に萌え。

>>46
> Z(ｘ)’=iZ（ｘ）という微分方程式を解いてもオイラーの公式が導けるよ。

え〜っと、その微分方程式を解いたんじゃ、「積分定数が残ちゃって」、
ストレートには、オイラーの公式に持ってはいけないと思うんだけど・・・。

>>56
Z(0)=cos0+isin0=1
を初期条件にすればよかろう。

なんだこりゃ？？？？？？？？？？？？？？？？？？

>情報数理研究者(京都府勤務　会社員) http://bbs9.otd.co.jp/kazumoto/bbs_plain
> 2001年08月31日

> 情報数理研究者　京都府勤務　会社員です　３４歳に
> なります　ところです

> 高等教育　メールフォーラムで　社会人教育研修を　卒業した
> 井口先生が　掲示板研究所を　設立しました　議論の顧客として
> 議論研究に　はじめています　さっそくです　開発
> テーマを　精査しています　クオリアについて
> 貴重な議論を　もらいました　センター試験における
> 研究問題を　今日は取り扱いました

> 議論研究をおこない　開発テーマを　精査して　よい
> 研究テーマを　仕上げたいです　どうか　メールフォーラムにて
> 研究してます　大学の先生がた　にも　議論研究して
> もらえれば　ありがたいように　おもいます

> 井口先生の　ＷＷＷ研究所　ホームページ　掲示板は
> メールアドレスが　ここに　あります
> http://bbs9.otd.co.jp/kazumoto/bbs_plain

>>55
ラプラス変換なんていらん。

微分方程式ごとき、グラフ描いて求めろ！！

コーシーは、複素函数論の研究では、実際には*無限小*を使って、
「コーシーの公式」なんかを発見したんじゃないかな？

# 発表する時には、無限小なんか使わなかったフリをして・・・。

ニュートンもニュートン力学の証明は
幾何学でやったよね。

出も実際は微積を使って証明している。
使わなかったふりしてさ。

# 関係ないけど>>60に対応してレス。

age

>>61
え？
幾何学で証明したの？

コーシーage

>>61,64
「ファインマンさん、古典力学を語る」
に書いてあったよ。
プリンキピアは読めないので自己流でファインマンは解いてる。

プリンキピアは超難解らしい。
アレを読んだら、微積のありがたさが深く深く分かるんだと。

>>66
でもさ、「チャンドラセカールのプリンピキア講義」みたいに、
正面突破しちゃってるのもあるんだよね。
幾何も極めると微積並みの道具になるんだなと感心した。

幾何による証明って、信憑性あるの？

ユークリッド幾何学とか、リーマン幾何学とかあって
特殊な場合のみの証明になりそう・・・・

>66
らしいも何も自分で読めよ
日本語訳あるのだから
難解っていうか、あれは言葉が整理されてない時代だからか
回りくどいが

辻正次さんの「複素函数論」に書かれているような、
マニアックな内容を講義しているところって無いものかしら・・・

アールフォルスの複素解析読みたいんだけど必要な予備知識ってなんですか？
あと、それを得るのにどのくらいかかる？

>>71

大学1回生でやる程度の知識でとりあえず読みはじめられるよ。
期間は・・・個人差あり。何とも言えない。

テータ函数について語ってください。

整数 m，n に対して，実数 f(m,n) が定まっている．
この f が次の（１），（２）を満たすと仮定する．

（１）任意の(m,n)に対して f(m,n)≧0．
（２）任意の(m,n)に対して
4*f(m,n) = f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1)
が成り立つ．

このとき実は f(m,n) は（m，n に依存しない）定数である
ことを証明せよ．

「この問題の関数方程式はラプラスの方程式に相当する方程式だから、
ラプラスの方程式で成り立つ定理と最大値の原理を使えば、ほとんど自明である。」
と言うようなことを(正確な引用でなくて申し訳ない)「わからんスレ」で
言われたのですが、どうなんでしょ。「まゆつば」ではないか、とひそかに思っているのですが。
もしかしてスレ違いではないか、と思いつつ。

「ほとんど自明」は正しいと思う。もし、f(m,n)が一定でなければ、隣接する
(m',n')で f(m,n)とf(m',n')が異る点が必ずとれる。そのfの値の大きい
方を(m1,n1),小さい方を(m2,n2)とする。(m2,n2)の周囲の4点でのfの
値を見ると、f(m1,n1)はf(m2,n2)より大きい。ところが、f(m2,n2)は
囲む4点のfの値の平均だから、必ずf(m2,n2)>f(m3,n3)となる点(m3,n3)
がある。あとはこれを続ければ、f(m1,n1)>f(m2,n2)>f(m3,n3)>...
これらは全て整数だから、1以上減少が続くので、いつかは負になってしまう。
これはf(m,n)が負にならないことに矛盾。

>>75
ｆ（ｍ，ｎ）が整数なんていう条件はない。

74の問題について

yanyanさんへ
76番さんの言われるとおりです。問題をよくごらんください。

「直感的」には「自明」な命題なんですけどね。
m+n<=c(定数)の範囲内でせまい意味での最大値、最小値があるとすれば
m+n=c上意外にはありえないことは証明できます。これは調和関数論で
最大値の原理と呼ばれるものと似ている、ような気がします｡
某数学辞典によればある領域で定数である調和関数は全領域で定数である、
と言う定理があるようです。
ここら辺に問題を解くカギがあるのでしょうか？
なにぶん解析がさっぱりなものですから．．．

f(m,n)に最小値(広い意味で)が存在することが証明できればいいのですが、、。
＞＝０であることから下限があることは分かります｡
その下限をａとしてf(m,n)-aをあらためてf(m,n)とすれば同じ関数方程式が
成り立ちます。このときf(m,n)=0となるm,nが存在することが証明できれば
おしまい。いたるところでf(m,n)=0であることになります。
以上のことまで考えました。何とささやかな成果！(時間かけたんだけどな)

どなたか、ご教授ねがいます。

私も、「自明の証明」というやつを教えて欲しいクチです(^^;

素人考えで恥ずかしいのですが、もう少し条件がないと
難しいのではないかと思うんです・・・

関数論の最大値定理でも、「領域の内点で絶対最大値をとる」
とかいう条件が入っているので、今回の離散領域に対しても、
それに対応する条件が必要なのではないかと・・・

79正解
反例あり。対称性のあるのだと　(0,0)=>1 (1,0)=>3/2 (0,1)=>3/2
(-1,0)=>1/2 (0,-1)=>1/2 として右あがり３倍左さがり３分の１、
右下がり、左上がりは一定でＯＫ。

>>80 おいおいおいおい
それをＺ×Ｚ全体に正の値で拡張できるかね？

>>81
はやとちりあり。79は間違い。ただ反例があるという予想に
留まる。

>>82
直感的には正しいような気がするのですが、そうかもしれない。(笑)
うまい反例を考えてください。

わが直感(的妄想)の中身
定数でないとすれば、斜面のイメージになるんですね。
下に有界ですから、xy平面が漸近面(こんなことばある？)になる
ような気がするのですが、そうすると、そりができて
関数方程式と矛盾する．．．ような気がするんですけど。

>>74
調和積分論でやる平均値定理って知ってます？
その定理の離散版なのですが
普段、差分とかやってないと難しいかな？

age

>>74
複素解析でいうと，
「entire function で実部が常に正なら定数」とかで，
これは簡単にいえるけど，
うまくこの離散版をつくればいいんだよなー

>>84
>>85
別人だとは思いますが、まとめてお尋ねします。
この問題は調和積分論とか複素解析(要するに私の理解を超える世界)を
知らないと解けない問題なのでしょうか？

age

>>87
そう謙遜なさらなくてもできると思いますよ
ただ、微分方程式と差分方程式は表裏一体で
19世紀の数学者は両方平行して考えておられたと
いうことで、両者の理解は役にたつかと思います。

と、偉そうなことを書きましたが、私は先程式を拝見して
ぱっと証明を思い出せない自分も歳ですかねぇ

ちなみに平均値定理というのは、調和関数uに関して
u(a)=(1/(2π))∫u(a+ r exp(i θ))dθ
※中心a半径ｒの円周で積分を取ります。
※つまり、円周上での値の平均を取るわけです。

最近の本でいいますと、数学選書12「複素解析概論」野口潤次郎の
100頁あたりに載ってますのでそこらへんを読まれてはどうかなと
思われます。

調和関数u
↓
正則関数u

でした。どちらも成り立ちますが

３次元のラプラス方程式だと，関数論使えないね。

>>74　の問題の１次元版。

2f(n)=f(n-1)+f(n+1) かつ　f(n)>=0

の時、f(n)は定数。

証明:与えられた関数方程式は連続関数で言えば f"(x)=0 にあたる。だから(!!)
　　f(x)は高々一次の関数となる。１次関数とすると、絶対値の十分大きな
　　数xをとることで、f(x)<0とする事が出来るから、f(n)>0と矛盾する。
　　だから、f(n)は定数。

あの人たちが言っているのも、言ってみればこんな感じではないのか、と邪推して
いる。

恥ずかしいけど、>>92 さんの書いていることを書かせてちょ。

f が定数で無いと仮定すると、ある k（整数）で、
f(k) != f(k+1) となる。このとき、任意の整数 m に対して、

f(m) - f(m-1) = f(m+1) -f(m) = ・・・ = f(k) - f(k-1) = f(k+1) -f(k)
（ここで調和関数の性質）

より、任意の点での差分が等しい。 c := f(k+1) -f(k) != 0 と置く。

任意の整数 n に対して、( n >= 0 として）

f(n)
= ( f(n) - f(n-1) ) + ( f(n-1) - f(n-2) ) + ・・・ + ( f(1) - f(0) ) + f(0)
= cn + f(0)

f(-n)
= ( f(-n) - f(-n+1) ) + ( f(-n+1) - f(-n+2) ) + ・・・ + ( f(-1) -f(0) ) + f(0)
= -cn + f(0)

と書けることから、|n| を十分大きく取ることで、f(n) < 0 とできるから、
これは矛盾。

「内点で最大値を取る」という条件は f(m, n) >= 0 に対応するので
しょうね・・・大掛かりな定理を使うこと無く、証明してみたい・・・

>>80
の「反例」は面白い。本人が間違いを認めてるもんだから、今までちゃんと
考えてなかった。失礼しました。ようするに、

m+n=偶数のとき　f(m,n)=3^((m+n)/2)
m+n=奇数のとき　f(m,n=1/2*3^((m+n+1)/2)

ということですね。m+nが偶数のとき、関数方程式は確かに成り立ちますね｡
m+nが奇数のときは成り立たないのが残念。でもこの反例はヒントになりそうな
気がします。
　ところで、隣り合う格子点上の数値をa,bとすると、1/3a < b < 3a となる
ことまで分りました。これが役に立つかどうか分りませんけど(笑)。
>>93
「内点で最大値をとる」というのが、どうしてf(m,n)>=0に対応するのか、
ちっとも分りません。いずれにしろ、調和関数の定理を使ってこの問題
をやっつけられるとは信じられませんね。できるものならやってみろってんだ。
でも、ほんとにできたらごめんなさい。
（と、あらかじめあやまっておこう）(笑)

>いずれにしろ、調和関数の定理を使ってこの問題
>をやっつけられるとは信じられませんね。できるものならやってみろってんだ。

「定理を使って」というんじゃなくて，そこで使用されてるアイデア（グリーン関数とか）
を，離散のケースに置き換えて１から作り直すということだと思う。

初めすぐわかった気がして名前を「答え」にしたが撤回。これいい
問題だよ。自然だし。６角形で平面を埋め尽くせば、一点から３本
線分が出る形の問題ともなる。もっと色々な変形も考えられるから
ちゃんと解けば、グラフ理論がらみの論文になると思う。また考える
けど、今はどちらともわからない状態。

>6角形で平面を埋め尽くせば、

あなた、頭良いね！！
私は、ちっとも気がつかなかった。

ところで、上で差分がどうとかおっしゃってた方々、そろそろ厳密な
証明を示して下さいな。

浦川肇「ラプラス作用素とネットワーク」に離散版の定理が載ってましたよ>all

それとも、余白が狭すぎますか？（いや、真面目に(^^;）

>「ラプラス作用素〜」

ありがとう！
なんて親切な方。

あーいや、漏れは幾何勉強中の工系厨房なんで、定理の条件とかが
皆さんの議論している条件とちょっとちがうかも。（優調和がどうとか
グラフの作用素を用いた表現になってたとか）

>>98
そうか、もう解かれていたか。苦しみが短くてよかったことを喜ぶ
ことにしよう。残念。

>>100
条件書いてくれ、上下に有界だと何とかいえる気はしてるから。

スマソ、自室の積ん読く本の山から書名だけメモってきたんで
定理の正確なすてーとめんとは今は述べられましぇん。

>>77
訂正：
　>m+n<=c(定数)の範囲内でせまい意味での最大値、最小値があるとすれば
　>m+n=c上意外にはありえないことは証明できます。
→
　|m+n|<=c(定数)の範囲内でせまい意味での最大値、最小値があるとすれば
　|m+n|=c上意外にはありえないことは証明できます。

98番さんへ
　私にもわかるような形にして（優調和もグラフの作用素もわかんない）紹介
　していただけるとありがたい。ところで「漏れ」って何？「もれ」って読む
　の？
　

浦川肇：ラプラス作用素とネットワーク,裳華房,129頁,定理(2.25)
（点 x と点 y が隣接するとき x 〜 y、点 x に隣接する点の個数を m(x) と書く）

[定理]
(Σ[y〜x]f(y))/m(x) ≦ f(x) … (i)
とする。
f(x) ≦ min{f(y); y 〜 x} … (ii)
ならば、f(y) = f(x) が任意の y 〜 x について成り立つ。

[証明](i) と (ii) を合わせると、(Σ[y〜x]f(y))/m(x) ＝ f(x)でなければ
ならないが、(ii) を満たす f について、この等式が成り立つのは
f(y) ＝ f(x) (∀y: y 〜 x)となる場合に限るからである。

…うーん、(ii)がここの問題で成り立つかは全く明らかではないですよね…
ちょっと勘違いしてたみたいです。すみません、忘れて下さい。m(_ _)m

＞ところで「漏れ」って何？「もれ」って読むの？
「私」を表す方言です。読みは「もれ」。

私も読みましたよ、某図書館で(^^;
確かに、ちょいと話が違うね。

でも、これが連続の場合に対応してる定理なんでしょ？
だから、やっぱり多くの人々が題意を誤解して、
「自明である」とかんちがいしたんじゃないかな。
f(x)=inf を与えるxがありゃあ、誰も苦労はせんワイ(^^;

でもね、それはそれとして、この本は良書だと思うよ。
その意味でも、>>98には改めて礼を言いたいですね。

平面の格子点が隣どーし同じ値の抵抗で結線されていて，
全体に定常電流が流れている。
そのときのときの各格子点の電位だと考えれば
「電流が０でないなら電位は上にも下にも有界でない」
は直感的に正しそうな気がしてくるね。

そのイメージだと，
抵抗が一様でなくても，
結線が格子状でなくても
成り立つ感じあるね。
しかも正しそう！

ツッコミ：証明もまだなのに一般化？

変分原理：電力消費最小
はもともと有界領域での話だけど，
逆に「非有界領域で電位が有界でない」
ことを言うのにうまく使えないだろうか？

突然ばたっとレス途絶えたね。
みんな必死で考え始めたのかな。

>105
そっちじゃなくて、方程式の差分化の本なんかを探してみなされ
広田さんの本に書いてあったかな？あるいはその周辺の先生の本

>>74
の問題
>>80　の答えさんの「反例」を参考に、適当に条件を付加して反例を作って
みようとすると、結局「定数」ということになってしまう。そんなこんなで
反例を作ってやろうと、必死に考えていたら、ふいっと証明ができてしまった
ではないですか。


なあんてことになったらいいなあ。

　ところで、複素関数論とは関係ねえだろ、との声がないのが不思議。

以上、からあげ。

>>74　の問題
おおもとの出題者の方に聞きたい。
問題の出典は？答えわかってたら教えて。

>>95
>「定理を使って」というんじゃなくて，そこで使用されてるアイデア（グリーン関数とか）
>を，離散のケースに置き換えて１から作り直すということだと思う。

能書きはいらない。思わせぶりも聞き飽きた。やって見せて。

からあげ、その２でした。

割り込んでスマヌがｉ＾ｉがなぜ主値ひとつだけでなく
Ｎ個出てくるのかをわかりやすく説明してくれんかのう。
式変形はわかるんじゃが、ある数をべき乗したら何個も
解が出るというのがしっくりこないんじゃ。

>>114
iが虚数で、出てくる解は複素平面上に幅を持つから。

「N個」じゃなくて N＝0,±1,±2・・・ で無限個だろう？
i^i=exp(πi/2+2Nπi)^i=exp(-π/2-2Nπ) N＝0,±1,±2・・・
だよね。

>>114
角度は２πのＮ倍を足せば同じになるから。
実質的には１つの様なものだ。

１２０°、４８０°、８４０°・・・
これらはどれも同じだろう？

すまんのう。
それにしてもi^iは実数じゃ。
複素平面上に１周期毎に１つ、無限個あるというのならわかるのじゃが、
実数として無限個あるというのがどうものう。。。
一度、複素平面上に変換されると、再度実数に変換されても
その周期毎に一つ、無限個という効果は残るということなのかのう。

それと、ある数の複素数もしくは虚数乗というのもいまいちじゃのう。
虚数回かける、というのがちょっと･･･
複素平面と極座標の関係も教えてほしいのう。

それにしてもなぜ、EXP（ｉ×実数）は周期関数になるのかのう。
定義だから？
マクローニン展開のＸにそのまま複素数を入れたわけだから
定義だからという説明もいまひとつじゃ。
それと、EXPとサイン、コサインが結びつくのは偶然なのかのう？

膜浪人てんかい

微分できる関数は全て級数展開できる。
expも三角関数も微分できる。
よって、両者は結びつく。

こんなんじゃダメ？

すいませんネタじゃないんですが
2a＋１の答えわかりません・・・・
〇文字＋数字って式わすれちゃって・・・
だれか教えてください。スレとｾﾞﾝｾﾞﾝ関係ないんですが、お化けスレも人いなさそうなので・・

sin(x) = Σx^(2n+1)/(2n+1)!・(-1)^n
cos(x) = Σx^(2n)/(2n)!・(-1)^n

exp(x) = Σx^n/n!

より、
exp(x) = cos(x) + i・sin(x)　は明らか。

>>123
aの値が分からないと答えようがないよ。

それに答えって何よ（ｗ
式の値のこと？？

はい式の値のことです。
例で2a＋1=
は何ですか？

>>126
だから、aの値はいくつと決められてるのよ（ｗ

>>126
例えば、aの値が１なら
２×１＋１＝３

aの値が２なら
２×２＋１＝５

これで終わりな。

ぶふぅ。なんのことやらさーぱりわかりません（ｗ
ちょっと教科書でも開いて基礎からやりなおしてきますぅ・・・Zzz

>>126
aに決められてる数字を代入しろ！
それで値は求まる！

>>129
ﾔﾊﾟｰﾘネタか・・・

>>128
あーなるほどなるほど。
その値っていうのはどうやってわかるんどすか？

＞＞１２９

○　さっぱり
△　さぱーり
×　さーぱり

まずは２ちゃんの用語の使い方と、日本語を勉強してこい（ｗ

２ちゃん用語より数学おしえてくれよ〜

>>132
問題文に書いてある

書いてなければ無理。先生に文句を言え。
絶対にとけん。
数学者でも無理。

>>135
ぐえ！書いてないですよ・・・・・・
ちくしょう！

>>136
じゃ、無理。終了。

　４＋２χ−３＋４χ＋１＋５χ＝
このような式がでたわけなんですよ。

あと　２ａ＋ａ＋４＋３＝
こんなの

>>138
同類項をまとめて

１１χ＋２　　終了

何でχ（カイ）？Ｘ（エックス）って書けよ。

>>139

同様に　３ａ＋７

>>140
おわ、終了できるんですか

>>142
じゃ、これ以上どうするっていうの？

じゃぁこの式はできて、さっき僕がだした式がおかしいってことですね・・
ぬふぅ・・

えっと、ちなみに
ttp://www.edu-c.pref.kumamoto.jp/ws/kcmathws/
ここの文字式の計算の２番目ででてきた問題なんですよ。

いっとくけど、「３ａ」と「７」は次元が違うから足せないぞ。

イチゴとメロンの重さを求めるのに、
それぞれの数を足したりしないでしょ？
それと一緒。

みなさん真夜中にちゅぼーんの戯言に付き合ってくれてありがとございましたm(_ _)m

>>147
いえいえ。がんばって勉強してね。

>>113
95を責めてても出てこないんじゃない。差分でうまいのを見つける
のは結局あなたが112に書いているようなことだから。拙者は「答え」
なんだが本当に答えられるまで、名前に「答え」って書かない（書け
ない）ことにした。

sage

四元数、八元数の関数論のよい教科書ないの？

数概念の拡張―実数・複素数から4元数・多元数まで
ポントリャーギン数学入門双書〈5〉森北出版 ; ISBN: 4627042515 ;

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4627042515/qid%3D1003684280/250-4476424-4437004

ポントリャーギン・・・盲目の数学者
爆発事故で失明したのが１５、６歳のころ。
数学者としての全キャリアを盲目で過ごす。

sinX＝−２を満たす複素数Xを求めよ

ポントリャーギン(Lev Semyonovich Pontryagin, 1908.9.3-1988.5.3).
　モスクワに生まれる。
　14才で失明するも母の助けを借りて勉学を続ける。 モスクワ大学を卒業(1929)，1935年モスクワ大学教
授。1931年以降ソ連科学アカデミーの研究所にも所属。
　学生のとき，師のP.S.アレキサンドルフの双対定理の一般化の証明(1932)，位相群論の研究。位相幾何
学，特にホモトピー論で活躍。ポントリャーギン類・指標・空間など。
　かって，彼の仕事を読んでいたとき，彼の数学の特異な感性を、「目明きに見えない障壁の向こう側が，
彼には見えるようだ」と友達と話し合ったことを思い出す。
　A.A.アンドローノフと，振動論や制御理論に関る常微分方程式の研究をする。 最適制御過程の理論を
確立。あるとき，ヨーロッパの学会に出てきて，ミサイルが目標に到達できるかどうかというテーマの講演を
したことがある。そのとき聴衆だったA.グロタンディエクが，彼の軍事協力の姿勢を強く非難したが，「あ
あ，でも役には立たんのですよ」と答えて，論争にならなかったというエピソードがある。
　日本語の本には『連続群論』(岩波書店)，『常微分方程式』(共立出版)のほか，中等教育用の教科書の
シリーズ(森北出版)もある。

＞１５４
−ｉｌｎ（ｉ）、−ｉｌｎ（−５ｉ）

あべ

4元数は三次元空間の幾何に使えるけど
8元数て何に使うんだろう？

>>158は「使える」ことにしか価値を見出せないｳﾞｧｶ

>>159
「使える」ことも価値の一つではあるだろ。

>>160
問いのかけ方が悪いのは否めないでしょう。
価値がいくらあっても「使えるか」と聞かれたら応用例を知らない限りは「わからん」と答えるしかない。

>>161
じゃーその「使える」以外の価値でいいから
教えてよ。

おくたにおん
は
れいがいがた
りー
ぐん
で
ちょっと
つかえる
らしい

あと
8っつの平方数の和のかたちの数を
ふたつかけたら
やはり8っつの平方数の和になるって
ことに対応するのが
ノルム関係式からでるんじゃないか

けーれーの関係式っていうやつ

けえれ，っていわれたって
けえれねえよ．えどっこかい．

4元数は行列で
(z,w~)
(w,z~)
z=x+iy,w=u+iv,x,y,u,v∈C
て表せるけど・・・
8元数てそういうのある？

8元数は結合法則成り立たない。
だから行列では表せない。

i, j, k を四元数として基底は：

　 [ 1 0: 0 1 ]
　 [ i 0: 0 -i ]
　 [ j 0: 0 -j ]
　 [ k 0: 0 -k ]
　 [ i 0: 0 i ]
　 [ j 0: 0 j ]
　 [ k 0: 0 k ]
　 [ -1 0: 0 1]

とあらわせるらしいが。

>>169
168さんのいうとおりだと思う．
行列で書いたとしても演算が八元数のとは
ちがう．

ところで
けーりーさんは
なんでまた8元数なんて考えたんでしょう
しってるひといる？

>>167
正しくはこうね
(z,-w~)
(w, z~)
z=x+iy,w=u+iv,x,y,u,v∈C

積のノルムがノルムの積になるような、実数体上の有限次元の多元環は
実数、複素数、四元数、八元数の直和になるとかいうのなかったかな？

>>172
正しくはこうね
(z,-w~)
(w, z~)
z=x+iy,w=u+iv,x,y,u,v∈Ｒ

>>173
四元数までじゃなかったっけ？

多元環の定義に結合法則をいれるかどうか
はっきりさせなさい

行列の指数関数について
AB = BA ⇔ exp(A+B) = exp(A)exp(B)
の(→)はわかるんですが(←)ってどうやって証明するんでしたっけ？
四元数でも
q1*q2 = q2*q1 ⇔ exp(q1+q2) = exp(q1)*exp(q2)
って成り立つんでしょうか？
定義は
exp(q) = 1 + Σ[n=1,∞](q^n)/n!
とします。

変数tを導入して
exp(A+B) = exp(A)exp(B)と
exp((A+B)t) = exp(At)exp(Bt)の同値性を示し
tの２次の係数を比較。
４元数は行列で書けるのでそれに準じる。

exp(A+B) = exp(A)exp(B) ⇒ exp((A+B)t) = exp(At)exp(Bt)
はむずくない？

そもそも１７７の主張は正しいのでしょうか?

>>179

exp((A+B)t) = exp(At + Bt) = exp(At)exp(Bt)

？？？

181は何を言ってるの？

カンチガイが甚だしいのか？
天才なのか？
前者に一票．

８１は反省しる

>>178
Thanks.
方針はわかりましたが、>>179が難しそうですね。
考えてみます。

178=181だとしたら？
わしは怪しいとにらんどる。
181は反省しる

178は普通の指摘で、場を荒らすために181がわざとあんな書き込みしたのかもね。
159も荒れることを期待してやったような気がする。

…考え過ぎ？だって数学板で揚げ足取り多くてつい思っちゃう。

>>187
ちがうよん。命題が成立する事を前提にアイデアを考えたらああなったのん。
でも、固有値が全て2 \pi iの整数倍の対角化可能行列の時には指数関数は
Iだから命題が成立しないね。

あ、「任意の A, B」に対して、ということではないのですね。
失礼しました・・・逝ってきます。

あ、荒らしでも何でもないです。すまそ。

反例ありだよ

>>190
任意って問いにははじめから意味がない．
カンチガイの仕方にも救いがないな．

おれの学生だったら破門だ．

みんな
反例づくりは面白いよ．

反例作ってから証明しちゃうぞ

破門されてから 甚だしく
カンチガイするぞ

甚だしくカンチガイして181を弟子にとるぞ

>>191
早くー反例教えてよ。

行列で書くと面倒だから，ちょうど上の方で四元数のベース
を2かけ2行列で書いたのあるんで，それをJ,K,L とかしよう．
(それでなくてもいいんだが，ついでだから．それと本来は
i,j,kと書きたいが虚数単位iを使うからへんな文字にした)．
すると
JK=-KJですね．またJ^2=K^2=-1 (1は単位行列)．
A=aJ, B=bKとする．C=A+Bについて
C^2=-(a^2+b^2) (scalar)
そこで詳細は略すが
a=4πi, b=6πi
なんておいてみると，
exp(A)=exp(B)=exp(C)=1だが
もちろんA,Bは可換ではない．

a=6πi, b=8πi

補足：
a, b の取り方はピタゴラス数から

>199
なんでexp(A)が単位行列になるのかわからないんですが。

>>202
a,b の前のiはよけいでした．
それならはじめから i, j, k使えばよかったな．

a=6π, b=8π
などに訂正です．

AB = BA ⇔ exp(A+B) = exp(A)exp(B)
は実数行列についてだけだったかも。
それなら成り立つんでしょうか？

>>179
exp(A+B) = exp(A)exp(B)
⇒ exp(A)exp(B)=exp(A+B)=exp(B+A)=exp(B)exp(A)
だからexp(A)とexp(B)は可換となり
exp(A+B) = exp(A)exp(B)の両辺をt乗すれば
exp((A+B)t) = exp(At)exp(Bt)

＞exp(B+A)=exp(B)exp(A) ホアイ？
＞両辺をt乗すれば　ハウ？

>>206

＞exp(B+A)=exp(B)exp(A)

　また「任意のＡ,Ｂに対して」と錯覚してるんじゃない？

>>206
行列の実数乗ってどう定義するんだ？

>>205
実数係数にかぎっても同じとおもわれ。整数a,b,c,d,e,fを
a^2+b^2=c^2、d^2+e^2=f^2で(ae)^2≠(bd)^2となるようにとる。
行列A=[[0,2πa^2],[-2πd^2,0]],A=[[0,2πb^2],[-2πe^2,0]],
とおくとA+B=[[0,2πc^2],[-2πf^2,0]]でA,B,Cの固有値はそれぞれ
±2πadi、±2πbei、±2πcfiだからexpA=expB=exp(A+B)=Eだけど
AB≠BA。

Ｍ(n,Ｃ)からＭ(2n,Ｒ)への単射準同型があるからね。

>>211
それで説明できんの？いま考えてるのはM(2,R)だからその準同型だと
n=1のばあいでしょ？それだとM(1,C)のなかに非可換な２元がとれないんじゃ
ないの？M(1,H)なら非可換だけどそれだとこんどはM(2,R)に準同型
がとれなくなるんじゃないの？とれるの？

いやＭ(2,Ｃ)でできたらＭ(4,Ｒ)で自動的にできると
それだけのいみです

>>213
ああ、そういう意味ね。ならわかる。やっぱりM(2,R)のときは別にあつかわんとダメね。
まあ、この問題もうおわっちゃったけど。

よおし，反例つくってから証明するぞ
ってじょうだんじゃなかったんだ．
206のことよ．

206って181じゃあないんだろうな

>>210 うわぁ 完全に僕の勘違いだったか。
AB = BA ⇔ exp(At+Bt) = exp(At)exp(Bt)
ってのを間違って覚えてたのかも。ｽﾏｿ

そうだと思ってた。
だけど反例作りが面白いから黙ってた

>>216
たぶん別人。
こんなやつっていっぱいいるんだ。
きっと。

よく問題を読まずに解こうとする奴ってよくいるけど，
だめだな．期待できない．

ところで>>74まだ解けないの？

それこそ>>220じゃないけど、
「問題を良く読まなければ」解ける、って感じかな（笑）。

>>74、まじで難問だって。

>>221
何とか今年中には証明したい。

あの、exp(A+B)≠exp(A)exp(B)である例ってあるの？

exp(A)=�納0≦n]A^n/n!と定義して|A+B|≦|A|+|B|が必ず成り立つのなら
exp(A+B)=exp(A)exp(B)ってなる気がするのだが…

http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/483
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/521
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/567
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/576
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/1006859798/789

>>224
て凄いね，上の話ぜんぜんみてないのか．
もっとあたりまえのこと聞いてきたぜ．
それにしても何でさげてんの?

だれか例つくってやれよ。
Ｍ(2,Ｒ)で１と０適当にまぜれば
だいたい反例になる

やばい、中学生だから何言ってるかわかんない。

>>74>>221-223
なんとか力技で…

f(n,m)=Σ[Ｚ∋i,j≧0]a_ij･n^i･m^jとおいて、(n=m=0に対してfが定義されているとして)
f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1)=4a_00+4na_10+4ma_01+4nma_11+…
だから、4*f(m,n)-f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1)=(n,mの二次以上の項)となり、
よって、f(n,m)=a+bn+cm+dnmの形のときのみ、∀n,m∈Ｚに対して条件(2)は成り立つ。
さらに、条件（１）より、b=c=d=0.よって、fはn,mに依存しない定数。

間違いがあったら適当に修正してください（汗
同じ論法で三次元以上にも拡張できるはずです

>>229
>f(n,m)=Σ[Ｚ∋i,j≧0]a_ij・n^i・m^jとおいて、

こう書けるのは自明なの？
たとえば f(1,1)=Σ[Ｚ∋i,j≧0]a_ij となるけど・・・

>>229
ｆ（ｍ，ｎ）がｍ，ｎの多項式で表せないもので
（２）を満たすものがあるので間違い。

>>230-231
本当だ、逝って来る

複素数習いたての高2ドキュソですがちょと気になったので質問
X軸に実数、Y軸に虚数を取るって事は
Z軸に次の概念が出てくる数学の分野もあるんですか？
もしあるのなら複素平面と同様その概念を用いて
空間を解析できるのでしょうか？教科書には載ってないので
板違いならスマソ

いい疑問だ。
でも複素数というのはなぜか不思議なほど完結してるんだ。
４元数というのがあって三次元の幾何に使われたりもするが
重要性ではとても複素数に比肩しうるものじゃない。

>>233
おいおい、高校生＝DQNってわけじゃないぞ。

>106
>でも、これが連続の場合に対応してる定理なんでしょ？

離散の場合と連続の場合が１対１に対応してるとは限らないよ
適当な極限を取って連続の場合の定理になればいいわけだから

>>233はドキュソ高校2年という意味では？（ｗ

高校生＝DQNだろ？（ｗ

>>234マリガトコザイマス
ここの板などを見てるとどうやら複素数というのは
ただの図形解析の道具ではなくて関数とかに関係のあるものなんですね。
奥深い。数学のテストの点はあまりよくないし授業も面白くないけど
こうやって教科書外れて背伸びして考えてみるのは面白いですね。
大学理学部逝こうかな

>>234の「いい疑問だ。」のセリフに
>>234の優しさを感じた一瞬．

柄にもなく人をほめてみたりする

>>74もうちょいでイケそう。

以上中間報告

マジで恥ずかしいミスしたのでお詫びとして74今年中に解きます。
241よりは早く解いたる

>>241
いけー！待ってるぞ。

>>242
がんばってね。「241より早く」というよりは「241とは別の発想の」解を期待しています。

KARLﾀﾝ最近芸風かえた？

>>236
＞１対１に対応してるとは限らないよ

１対１の対応を期待している訳ではありません。
私の文章がまずいので、そう読めたのかもしれませんね(^^;

＞適当な極限を取って

期待しているのは、そこの部分です。も少し、具体的にお願いします。

「あとちょいでいけそう」ということですので、かなりワクワクしてます！！

>>74
は正しいが，ちょっと計算しないといけないな．
大域的な問題だから，アタリマエではない．
いい問題ですよ．私も結構たのしんだ．

>>247
本当にできたの。

証明を書き下してはいないが，正しいことが
確信できる程度に問題を把握した．
証明の方針を言ってもいいが，
ほかの皆さんの楽しみを奪うのはよくないから，
まだ黙ってますよ．煽られても言わない．

ヒントは．．．言いたいけどやめとこう．

あやしいな
言うだけならただだからな

方針を書いたとたんに間違いの指摘をされたりして。

がんばれage

ところで、「上にも有界」って条件をつけた場合に、
証明できたよ。

‥‥‥たぶん(^^;

皆さんの御意見をお伺いしたいので、今週末か来週頭くらいに
ここにupしようかな。その前に自分で間違いを見つけたら、
これは全部取り消し（笑）。

「上には有界でない」場合と比べたら、随分と難易度が
低い感じではある‥‥‥。

>>74
>「この問題の関数方程式はラプラスの方程式に相当する方程式だから、
>ラプラスの方程式で成り立つ定理と最大値の原理を使えば、ほとんど自明である。」
>と言うようなこと

これは一見正しそうだが，ちゃんと計算してないからそう見えるだけで，
離散版に右から左には移せない(少なくとも私には)．
わからない人へのヒントは，連続版の方が易しいんじゃないか，という
こと，を付け加える．もちろん私の思いもよらないすばらしい方法が
あったら脱帽だが．

つまり，言いたいことは，連続版のアナロジーでできるが，そのためには
基礎の計算をちゃんとやってみないと(多分)いけないということ．

>>254
できたの？どうやんの？連続ｲ版のアナロジーったってどの連続版の証明？
漏れの知ってる証明は複素数値正則関数が実部が正である関数を
考えることに帰着する方法で、そこからメビウス変換で有界ケースにもちこんで
最大値の原理を使うんだけど離散版だとメビウス変換に相当するものが構成できなくて
つまっちゃうんだけど。これとはちがう方法？

>>255
もっと素朴にやればいいんだよ．
調和関数といえば，ポアソン核．

ああ，ヒント言っちゃった．

>>255
2次元ラプラス方程式だと
正則関数に持ち込んでそういう話
でできるけど，
一般の次元のラプラス方程式だと
どういう風にやってるんだろうか。
だれかポテンシャル論に
詳しいひといるかな？

>>256
境界値問題だとポアソン核だけど
境界がどんどん外へ動いていくわけだから・・・

>>258
まあその線で考えて

>>256
わ〜か〜ら〜ん〜。ポアソン核に相当するものが構成できるの？
というかポアソン核を利用した連続版の証明ってどんなん？
それだけでもおしえて。

ポアソン核でできるんなら
最大値の原理だけでもできるはずだ。
その線で考えてたんだが・・・・

そんなこと教えて他の人から恨まれるのいややな．

でもいいか．ポアソン核の評価から，中心付近での値
は中心の値で評価できるってわけ．
全体で正ならあまり変動できないわけよ．

>>257
いわれてみてはじめて気づいた。そういや漏れ暗黙のうちに２次元の
しか知らんかった。つまり
“fがR^n全体で定義された非負値調和関数であるときそれは定数である。”
って成立するの？知らんかった。そりゃ成立しそうな感じだな。
どうやって証明するん？

最大値の原理だけじゃなくて
平均値の性質ね。
それで条件使い切ってるはずだよね。

>>262
＞そんなこと教えて他の人から恨まれるのいややな．

だれに恨まれるの？

＞でもいいか．ポアソン核の評価から，中心付近での値
＞は中心の値で評価できるってわけ．
＞全体で正ならあまり変動できないわけよ．

さっぱりわからん。具体的にはどうやんの？連続版でもいいから
おしえてたも。ひまなときでいいから。

やっぱりアヤシイよな

>>266
同感

>>266
怪しむのは勝手だろうが，問題を一生懸命考えてる
人間にとっては，先を越されるのは悔しいにきまってるだろ．
推理小説の犯人教えちゃうのおなじようなことじゃないか．

上のほうでは，一生懸命考えてる人たちが，途中経過など
報告して涙ぐましいじゃないか．

答えだけわかればいいってのは数学じゃないんだよ．
(君には分からないかもしれないが)

というかポアソン核という話が
腑に落ちないといってるだけだと思う。

？？？
ポアソン核を使えば境界で与えられた
関数から内部での調和関数を書き下せるんだから，
ポアソン核が大事なのはアタリマエじゃないだろうか．

P(w, z) をポアソン核として(ゼータと入力するのが
面倒なのでwで代用)
連続版で0を中心の半径Rの円板内で考えると，
|z| が(1/2)R以下なら，P(w,z)は4P(w,0)でおさえられるだろ．
このことから
半径Rの円周上で関数が0以上なら，半径(1/2)R以下では
関数の値はz=0での値の4倍で押さえられる訳だな．

詳しいことは自分で補ってもらうことにして，これが
連続版の証明の一つのキーを与えている．

連続版では「平均値定理」だけからも
導く方法もあるが，離散版に移すのは
そのままでは行けなさそうに思える．

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜しおり〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜
折れも参戦してみようかな。もう遅いかも，だけど。
〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜ここまで読んだ〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

がんばれ

>>270-271
もう少し詳細きぼん。
＞|z| が(1/2)R以下なら，P(w,z)は4P(w,0)でおさえられるだろ．
これどうするの？評価式の名前だけでも教えて。
＞導く方法もあるが，離散版に移すのは
このポアソン核をつかう方法なら離散版にうつせることは確認ずみ？
具体的にかけるの？

ポアソン核より
グリーンの公式のほうが
形を問わないだけ有望だと思ってたんだが。
四角いのを作るんだから結局同じかな

>>272
もう遅いもなにも>>270さんはもうできたんじゃないの？

グリーンの公式の場合
δ関数相当品を何にとるかだな。

δ関数相当品じゃなくて基本解の方ね

>>274
不等式について
連続版ならポアソン核の具体形
(R^2-|z|^2)/|w-z|^2
から分かるのでは．

離散版で具体形は面白そうだな．
評価式は酔歩をつかってみると
大体正しそうだと思うけど，まだ確信はもてないな，
正直のところ．

すまない。漏れも昨日から参加してるのでよく流れがよめん。
この問題とけてるの？解けてないの？べつにすくなくとも漏れは
一番のりに解答をうぷしたいわけじゃないし、漏れがこのスレを
よんだ範囲では(どうも古くからの数学板の問題みたいだけど)
そんなことをのぞんでるひともいないみたいだから、できたのなら
解答うぷしてもだれもおこらないと思う。うぷしてちょーよ。
>>270さんはできたの？この方針ならできそうっていう見こみにすぎないの？

みんながんばれ
まだ間に合うぞ

>>270のくちぶりはできてるようだよ。
この問題自体は古くから知られた結果らしい。

>>282
古典的有名問題なのか？なんて問題か知ってる？情報きぼんぬ。
証明あるんならなんか印刷されてるものないかな？
とりよせてでも読んでみたい。

ポテンシャル論のプロだったら
そう苦労せずにひねりだすんだろう
多分

>>74
［証明のつもり］
M={f | fは（１）（２）を満たして，かつf(0,0)=1を満たす},
a=sup{f(1,0)| f∈M}とおく．
h(1,0)=aとなるh∈Mをとる．（このようなhは存在する．）

hを前後左右に1だけ平行移動したものをそれぞれ
p,q,r,sとおく．（p(m,n)=h(m,n-1)等．）
明らかにp,q,r,sも（１）（２）を満たす．
数aの定義より
p(1,0)≦a*p(0,0),
q(1,0)≦a*q(0,0),
r(1,0)≦a*r(0,0),
s(1,0)≦a*s(0,0)
が成り立つが，
p(1,0)+q(1,0)+r(1,0)+s(1,0)
=4*h(1,0)=4*a*h(0,0)
=a*p(0,0)+a*q(0,0)+a*r(0,0)+a*s(0,0)
だから実は
p(1,0)=a*p(0,0),
q(1,0)=a*q(0,0),
r(1,0)=a*r(0,0),
s(1,0)=a*s(0,0)
が成り立つ．（↓）

（↓）
同様の論法により，結局，任意のm,nに対して
h(m,n)=(a^m)*h(0,n) であることがわかる．
定数関数1がMの元だからa≧1なのは明らかだが
ここで仮にa＞1だとすると
h(m,n)は横方向には凹とゆうことになり，
このことと条件（２）より縦方向には凸になっている．
するとどこかでh(m,n)＜0となってしまい矛盾．
よってa=1で，これはMの元が定数関数だけで
あることを意味する．［証明終］

…アホなことやってるかもしれん．
270の話にはついていけそうもないし…（汁

>>285
＞このようなhは存在する
ここんとこ、も少し詳しくお願いします。

↓「このようなhは存在する」の理由です．

lim f_k(0,0) = a
を満たすf_1, f_2, f_3, ...(∈M)をとる．

各(m,n)で
{f_1(m,n), f_2(m,n), f_3(m,n), ...}
が有界であることに注目して，対角線論法を使うと，
{f_k}の部分列{g_i}が存在して，各(m,n)で数列
g_1(m,n), g_2(m,n), g_3(m,n), ...
は有限な値に収束する．この極限値をh(m,n)とおく：
h(m,n) = lim g_i(m,n).

このhが条件（１）（２）を満たし，
h(0,0)=1,
h(1,0)=a
であることはすぐわかる．

注：
fが条件（１）（２）を満たすなら
f(m,n)≦(4^(m+n))*f(0,0)
が成り立つので，各(m,n)に対して
{f(m,n)| f∈M}は有界集合です．

>>285さん
レスどうもありがとう。色々と、勉強になります。

ところで、>>288の極限関数h(m, n)が題意の調和条件を満たす
ためには、「部分列{g_i}」は、(m, n)によらずに定められなければ
いけませんよね？

そのような、「(m, n)の関数ではない」部分列{g_i}を、選ぶことが
できる、ということなのでしょうか？

>>289
288に書いた通りです．

ある部分列{g_i}が存在して，任意の(m,n)に対して
g_1(m,n), g_2(m,n), g_3(m,n), ...
は有限な値に収束する．

…ということです．

>>285-290
なぜsage進行？
>>285は全部理解できたんだけど>>286の冒頭
＞同様の論法により，結局，任意のm,nに対して
がわからない。も少し詳しくきぼん。

>>291
あ、いまわかった。なるほど。あってるかも。

漏れはポアソン核使った証明を知りたい

285-286 の証明でいいんとちゃう？
もとの問題は既に誰かが証明してるらしいけど、これが新しい証明だとしたら
"A short proof of ○○'s theorem"
みたいな題で短い論文を書いてもおかしくないような。

　ｆ（０，０）−（１／４）ｆ（１，０）
＝ｒ（ｎ）ｆ（０，０）＋�狽唐�（ｍ，ｎ）
≧ｒ（ｎ）ｆ（０，０）
でｌｉｍ＿｛ｎ−＞∞｝ｒ（ｎ）＝３／４から
ｆ（０，０）≧ｆ（１，０）。

>>295
なにが言いたいのかわからんのだけど？>>285-286の証明がまちがってるって言いたいの？

すまないのだが
＞{f_k}の部分列{g_i}が存在して，各(m,n)で数列
＞g_1(m,n), g_2(m,n), g_3(m,n), ...
＞は有限な値に収束する．
となる理由をもう少し詳しく教えて頂けないだろうか？>>285

あと>>295
r(n)と�敗f(m,n)はどんな関数なのか教えてくれ

う〜ん、私も>>297さんと同じく、どうやって部分列{g_i}を
選ぶことができるのか、ちょっと分かりません。

>>285さんでも良いし、「この証明が理解できた」と言っている
他の人達でも良いです。

部分列{g_i}の具体的な選び方を、教えて下さい。

>>298
285 さんではありませんが。。。
点 (m,n) 全体は可算集合だから番号をつけて P_1,P_2,・・・ とする。
まず {f_k(P_1)} は有界数列だからボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理より収束部分列
{f_k(P_1):k∈I_1} を含む。ここで I_1 は自然数からなる可算集合です。
次に {f_k(P_2):k∈I_1} は有界だから収束部分列 {f_k(P_2):k∈I_2}, I_2⊂I_1, を含む。
以下同様にして自然数からなる可算集合の減少列 I_1⊃I_2⊃・・・ ができる。
自然数の増大列 k_i を k_i∈I_i となるように取り g_i=f_k_i とおけばよい。
これでマズければ 285 さん、正解をどうぞ。。。

300ゲット(^^;

>>299
どうもありがとう！！
>>285さんも凄いけど、>>299さんも賢いねー。

有界条件下での証明は、今更馬鹿馬鹿しいのでupしません(^^;


丁寧な解説のおかげで、ようやく私にも今回のレース（？？）が
>>285さんの完勝であることが理解できました。
あなたは、偉いっす。

すんません。
286の「同様の論法により」
私は未だに理解してません。誰か解説お願いします。

この問題、数学セミナーの別冊「エレガントな解答を求む」にありますよね。
以前出題された時、誰も解かなかったらしい。（解けなかった？）

>>285 の素晴らしい解答の蛇足ですが、さらに同じ方法で
f(0,0) = 1, f(0,1) = a (Max) の中で f(1,0) = b が最大
となるもの h をとっておくと大小関係は 1, b, a の順序
です。>>285 の a に関する議論を条件つきで b に適用
させると、a + 1/a + b + 1/b = 4 です。
y = x + 1/x は 1 より大で狭義単調増大、よって
a=b=1 以外に解がない。

ふ〜ん、ついに証明されたか。
初等的であるってところが、素晴らしいね。>>285のセンスの
良さを示してるよ。だから300氏も「完勝」と表現したのだろうね。

ところで、285で証明されたのなら、最早誰に「恨まれる」ことも
ないはず。>>270は、ポアソン核を用いた厳密な証明を、示して
くれるのだろうか？
それとも、今まで通りごにゃごにゃ言ってお茶をにごすんだろうか？
みんなは、どう思う？

303は他に書くことないのかと思う。

12: 証明関連統一スレッド (304)　13: ёについて (144)　14: 複素関数論スレッド (304)

また並んだ(w

簡単な証明ができたらしいな．脱帽する．
ただし，時間がないので読めないが．

ポアソン核についていえば，次のようにする．
まず平面上の格子点の距離は，当然だが，普通の距離ではなく，
L^1型で考える．つまり(a,b)と(c,d)の距離は
|a-c|+|b-d|であたえる．これは格子上での最短経路の長さ．
そうすると「円」は45°傾いた正方形．半径Rを固定したとき
ポアソン核はその円内の点における調和関数
を境界の点で表す密度なので，前後左右に1/4の確率で
酔歩して，境界に到達する確率．ただし，境界の点では
吸収されて，反射しないとする．たとえば円の中心からだと，
確率は辺の点に応じて二項係数を4(2^r-1)で割ったものになる．
中心を外れると計算を厳密にするのは，難しそうだが，
中心からR/2の円周上の点からの酔歩を考えると，確率は
近い方の辺に到達する場合が大きくて，かつその方向に
(たてよこ)1/2で酔歩する方が効率的だから
それで置き換えて評価する．(角のところではまた別に考え
ないといけないが)．すると二項係数について
値2n_C_nが4^nと漸近的に等しいことの評価と
そこからのずれをみてやることで，
ポアソン核は中心の値の4倍(連続版と同じ評価式)
で押さえられる．以上の準備がいえれば，証明は
連続版と同じで，まず定数を差し引きして，inf f(z)=0として
考え，infに近いf(z_0)について(\epsilon)
任意のzにたいし，z_0 との距離の二倍をRとして，
ポアソン核　P(w,z)をつかって
f(z)=\sum_{||w-z_0||=R} P(w,z)f(w)
と書いてやる．
境界での値f(w)が0以上ならポアソン核の評価から
||z_0-z||=R/2なるzについては
f(z)はf(z_0)の４倍で評価されるので
どのようなzについてもf(z)は4\epsilonで押さえられる．

式を長く書くのはつらいので，こんなところです．
許してもらえないかもしれないが，これ以上は時間がない．

>>306
う〜ん。こっちの証明さっぱりわからん。もうすこし詳しくきぼん。
P(z,w)をもうすこしくわしく解説きぼん。
P(z,w)って各z0とRごとに存在して(つまりP[z0,R](z,w)の形)をしていて
任意のΔf=0にたいしf(w)=�納|z-z0|=R]P(z,w)f(z)をみたすものって
かんがえていいの？それが
＞前後左右に1/4の確率で酔歩して，境界に到達する確率．ただし，境界の点
＞では 吸収されて，反射しないとする．
を計算するとP[z0,R](z,w)になるって意味？

>>299
マズくないです．


>>301
「同様の」とゆう言葉が変だったかもしれない．
つぎの(i)(ii)(iii)を順に確かめればいいです．

(i)
fが（１）（２）を満たすならば
任意の(m,n)に対してf(m+1,n)≦a*f(m,n)が成り立つ．

(ii)
fは（１）（２）を満たすものとする．
ある(m,n)に対してf(m+1,n)=a*f(m,n)が成り立つならば，
f(m,n)=a*f(m-1,n),
f(m+2,n)=a*f(m+1,n),
f(m+1,n-1)=a*f(m,n-1),
f(m+1,n+1)=a*f(m,n+1)
が成り立つ．

(iii)
fは（１）（２）を満たすものとする．
ある(m,n)に対してf(m+1,n)=a*f(m,n)が成り立つならば，
任意の(m,n)でf(m+1,n)=a*f(m,n)が成り立つ．

>>306
この証明やっと途中までわかった。つまりこんな感じ？
z0,Rを固定しD={z;||z-z0||≦D},C={z:||z-z0||=R}とおく。
まず点列W=P0P1・・・PlがDの酔歩であるというのを
Pi∈D,(Pi∈C⇔i=l)
をみたすものとし、このときW:P0→Plとかく。さらにl(W)=lとかく。
そしてz∈D＼Cとw∈CにたいしP(z,w)=�納W:z→w]4^(-l(W))...(*)とおくとき
任意のΔf=0とz∈D＼Cにたいし

　f(z)=�納w∈C]P(z,w)f(w)

が成立する。
・・・ここまでわかった。このさきがわからん。
＞境界での値f(w)が0以上ならポアソン核の評価から
＞||z_0-z||=R/2なるzについては
＞f(z)はf(z_0)の４倍で評価されるので
これがわからん。連続版のときはP(z,w)がもっとわかりやすい形であたえられるので
この評価式もすぐでるみたいだけど(*)式のままでは複雑すぎてどうすりゃいいのかわからん。
たとえばP(z,w)≦4P(z0,w) (||∀z-z0||≦R/2)みたいなことがいえるならおけと
いうのはわかるんだけどそんな感じ？のことがしめせるの？もそっと詳しくきぼん。

>>308様
たびたび質問してすみません。
どうしても手順の２番目が示せないんです。
教えてくれませんか？

>>310
(i)を使います．

(ii)
ある(m,n)でf(m+1,n)=a*f(m,n)が成り立つと仮定する．
まず(i)より

f(m,n)≦a*f(m-1,n),
f(m+2,n)≦a*f(m+1,n),
f(m+1,n-1)≦a*f(m,n-1),
f(m+1,n+1)≦a*f(m,n+1)

であるが，

f(m,n)+f(m+2,n)+f(m+1,n-1)+f(m+1,n+1)
=4*f(m+1,n)
=4*a*f(m,n)
=a*f(m-1,n)+a*f(m+1,n)+a*f(m,n-1)+a*f(m,n+1)

だから

f(m,n)=a*f(m-1,n)
f(m+2,n)=a*f(m+1,n)
f(m+1,n-1)=a*f(m,n-1)
f(m+1,n+1)=a*f(m,n+1)

が成り立つ．

ありがとうございました。
完璧に理解できました。

ブラボー！！！

元の問題は >>285 で明確に解けたから一般化を考える。
次元を高くする話は >>285 の基本方針 >>302 のコメント
など入れれば成立する。
しかし>>285 の証明の中で Supremum を実現する関数がある
ということを示す手法が平面を六角形で埋めつくすとき
各点での値が周りの和の1/3の場合(>>96)に適用できなさそうに
思う。すると >>306 のアプローチはうまくいくなら意味が
ぐっとでてくると思われますがいかがでしょうか？

>各点での値が周りの和の1/3の場合(>>96)

この場合は定数関数になるのは自明のような気がするんですが…

と思ったら勘違いでした（鬱

このまま静めては駄目だ。

>>74のような問題を…誰か！！

沈めるの間違いﾀﾞﾀｰﾈ

>285 のすばらしい解法はあるものの313指摘の問題の他
色々な variation がありこの（これらの）問題は解くに
あたいする問題である。ポアソン核で解けると宣言してる
方は本当に成立あうるなら、かなりの一般形で定理を述べ
られるはずである。とくに２chの場で説明する必要もない
と思うが、新しい結果になっているのなら、よい論文にし
てほしい。

誰か論文書くならプレプリント公開きぼーん

ひさびさage

数学セミナーに >>285 が出ていた。

>>321
それってsageで言うことか？（ｗ

>>322
なんでsageじゃだめなの。

>>321
いつの号だか教えて。

>>324
最新号
2ｃｈ数学板の最高の快挙だな

http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/index.htm

どの記事？

一松さんの記事

やっぱりこれね。でどんな内容？

エレガントな解答がやってきた／雨宮問題の解決 一松　信

うーん。
明日大学で読もうっと。

立ち読みで読んだよ。

>>330
何か、コメントないの？
285との比較とか他の問題とのつながりとか、とか。

故雨宮一郎氏が、数学セミナーの「エレガントな回答をもとむ」に出題した問題
だったんだね。　雨宮氏の出したヒント（一松氏の記事の補助定理１）に沿って
考えるとしたら、数セミに載った山田氏の証明が理想的な解答なのかな。
たぶん雨宮氏自身の持っていた証明もこれに近いものだったんだろう。
山田氏も285も、隣接点における関数値の比の上限（または下限）に注目して
証明しいてるが、285はこの上限が実は最大値であることに気づいたため、
不等式についての技巧をほとんど使わずに証明することができた。

>>285は降臨しないの？（笑）

>>332 の説明のとおり！
わしゃ、285の証明に軍配をあげるじょ。sup （記事の方だと inf )
が max になってるため不等式がいらないし 302のコメントを使う
と sup = max の後はほんの 8点の情報で矛盾がでる。
ずっとエレガントだとおもうじょ。
やはり、もう一押し 313 をやっつけちゃどうかの？

>>285の方がエレガントだよね。
証明がわかりやすいし、何より読みやすい。
山田氏の証明はちょっと乱暴な感覚が否めないし。

とりあえずアゲ

むむ、今>>74を見に来た者ですが、>>92-93と同じ事を書きそうになった。うむ。

めちゃ今更ながら（１）の条件はf(m,n)＞0のがよさげ。

「285」という数字は、もはや数板の「栄光の永久欠番」だね！

２８５すげ-！！。
神降臨！！
素で凄い。マジで凄い。
それに比べて学歴版の奴らは・・・

>それに比べて学歴版の奴らは・・・

別の意味で凄い

>>286
＞ …アホなことやってるかもしれん．
＞ 270の話にはついていけそうもないし…（汁

この謙虚さ。
爪の垢でもだれかさんに・・・

学歴版、大学受験版で幅を利かせてる自称高学歴で数学の才能あるとオモテル
馬鹿を平伏させたいな。
俺には無理。２８５だったら圧倒的な実力の差を知らしめることが可能。

＞学歴版、大学受験版

そもそも、彼らにはここで行われた議論の内容は理解できないでしょ。
放置一択。あんな（どんなだ？）連中と関わりを持たせたら285の手が汚れるわい。

285を神格化しすぎでないか？
たしかに285はすごいし、証明もうまいとは思うが。
でも、論文にしたってまず一流誌は無理でしょう。それに285自身も論文にしたがらないのでは？
あの手の結果は論文として採択されにくいと思う。
神格化して何かに利用しようとするなんて、下劣だよ。
それと、数学だといい仕事をしている人は謙虚な人が多いと思う。自分には厳しいだろうが。

あたりまえだ。
元々論文になるような話じゃない。
だから罪がなくて楽しいんじゃないか。

345です。
285を持ち上げるついでに他を批判するような小役人みたいなのを散見したから書いたわけだ。

超人然とした人物に出会ったときの人間の取りうる行動なんて大抵決まっている。
ヒトラーとドイツ国民を観れ。

後向きでなく前向きになるようにもう一度問題をいう。
285のやり方で次元を上げるのは同じ方法で解ける。
（302を使うと簡単）
平面の場合にもどって、三角形で埋めつくし1点に
6 本の辺のある型は同様の方法でできる。しかし
6角形で埋め尽くされていて1点に3 本の辺がついて
いる場合はうまくいかない。

306のアプローチはうまくいくのか？あるいは別な
方法か、はたまた6角形のときは成り立たないのか？

格子点でなくて、こんな感じのグラフの時も同じような問題で、
f(n,m)が定数になるような気がするけど、間違い？
2分木も、各点で三叉に分かれてるけど、この場合は違う気がするぞ。

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350で思い出したけど、フラクタル図形の場合はどうだろう。
シルベンスキーガスケットとか。（呼び方違うかな？）
有界だと境界値問題みたいになるからだめかな。
非有界っぽいフラクタルってあったっけ？

なんか次の話題くれ

もう出てる。やべ

>>350
それは6角形と同じだけど、一つずらして重ねようとすると、
ひっくり返さないといけないから、前の方法がつかえない
でしょう。元の証明を全部書いておくといいかと思います。
二つずらして重ねてできればいいんだけど、よくわからない。
で 306 風の考えになりそうになると眠くなるんだよ。

２分木を上下につけたものは、ほぼずっと前に反例っていい
だした人がいってたものだな。つなぐところを １-２ として
おくと下のほうは０に収束して上のほうには３に収束するな。
これは一様ではないならね。一般にサイクルがなければ同じ
ようにできるってことかな。

だから、350 の図のやつをやっつけて下さい。（「わからない
問題」に書くべきなのかもしれないけど、まあいいでしょう。）

>>351
フラクタルの上だととなりって概念がないから定式化自体
が違うな。フラクタル上のラプラシアンなんてやってる人
いるでしょ。

http://www.asakura.co.jp/cgi-bin/ncommerce3/ExecMacro/asakura/FRAMES_PROD.d2w/report?w_prrfnbr=12704
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1314-5.htm
どっちがいいかなぁ。迷う。両方買っても良いんだけど。

>>355　マグロウヒルの『複素解析』演習書なんか面白いぜ。

すまない、私は新しい問題を出すつもりで書いたんでなくて、
各点で４叉のグラフは他にいくらでもあるけど、
同じような問題になる物とそうでない物があるような気がする事をいいたかったの。
例えば無限ハシゴのグラフも無限個の各点で三叉だし、どうかな？って。

>>357
謝られるようなことでなかっただけでなく、350さんの例
を間違って解釈していました、失礼しました。ただコメント
はそれで通用していますが、いおうとしたこととずれている
ので説明します。
350の例は平面で実現されていない例ですね。一つずらし
がうまくいきませんので６角形モデルと同じように、私は
分かりません。（私は350の裏を通っている線を無視して
しまったので６角形と同じグラフと受け止めていたのです。）
ハシゴは平面に広がっていないのに定数になりますね。これは
ひとつずらし、ひっくり返しがききますから、前の方法がつか
て、a + 1/a + b = 1, ab + 1 + b/a = b を解くことにより
a = b = 1 となる。
いまのところ２分木を２つつけたモデルで非常に自由に
関数を定義できるのとあとは定数しかないですが、ある程度
関数の形がきまるという場合もあるんでしょうかね？
306をあまりよく読んでないのですが、雨宮先生のヒントの
補題のようなものに対応しているのだろうか？ともかく
６角形や350など１つづらしはできない場合どうなんでしょ
うね？

こう思われたのか。ははぁ
六角形？なんで？と思ってた。
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はは、これも無限個の各点で三叉だ。

違った。
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┤│├─┤│├─┤
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こうか、これなら5角形だ。
でも各点で同じ次数でないなぁ。

>>360
別に各点同じ次数でなくても接してる点の値の平均
になるという条件で何かいえればいいんじゃない？

レスサンクス。本屋で三つを眺めてみて、良さそうなの買ってみるよ。

質問です

Ｚ∈Ｃ：複素数体

Ｚを原点を中心に半径２の円周を正の向きに一周するとき、
線積分
∫ｄｚ/（ｚ＾2-1）
の値を教えてください！

答えは 0 です。
これはひっかけ。
１と-1での留数もとめて消しあうのを確かめるまでもない。
半径を２から∞に近づけたとき値が変化せず 0 にいくから。

同様にして一般に
有理関数で分母の次数が分子の次数＋２以上なら
全部の極の外側をまわる積分は０

>>364
どうも、ありがとうございます。
助かりました。

>>107-109の
直感的イメージをあてにするなら，
どんな形の格子（回路）
でも成り立ちそうな気はする。

>>366
その予想面白そうだが、平面の格子に限るか？あるいは
その制限もはずすか？349からあとを読んで、明確な問題
にされたし。
現在、平面でわかっているのは、一つずらしが成功する
場合、つまりもとの４角、また３角で平面を埋め尽くす
ものとハシゴと一直線。ダメなことがわかっているのは
サイクルのない型。６角はわかっていない。

ラプラス方程式相当品が
キルヒホッフの法則か

複素関数やってると心が落ち着く。
代数、解析はどうもなあー
なぜかは解らんが。

>>369
複素関数も一応は解析ではないですか？
関数解析のような「抽象的」な解析は嫌いだ、ということ？

368はその感覚で解析数論の勉強やるといい。
そのうち代数にも親しみもてるように
なると思う。

369は

無限のグラフを考える。
各リンクは一定の電気抵抗であり，
各ノードは電極でないとする。
（流入する電流の総和はゼロ）
このグラフに定常電流が流れているとすると
各ノードでの電位は定数であるか
または電位は上にも下にも有界でない。

ってのが証明できたらいいのにねぇ

>>373
354 に反例をかいてあるのだけど、別の問題もできたのでちょっと
丁寧に書いておこう。常に分かれている木は反例となる。簡単のた
め典型的２分木のときてっぺんを 1 として左 1/2 右 3/2 として
左はあと自然に半分づつとして、右は増えていく方だから均等に増やして
いけばよい。

問題：有限分岐の木で反例となる条件をグラフの性質として述べよ。

端点は切り取ることができるので、端点のないものだけ考えてよい。
また一本道になればそこは一定あるいは増加としなければならない。
有限分岐の木でどこから先でもどこか分岐していても、一本道の長
さでどんどん長いものがでてくるようなものは一定値しかもてない。
という状態なのでこれ面白いかもしれない。

>>373の最も単純な反例は
1次元グラフで抵抗の総和が
どちらか方向に有限なときだ。
２進木の反例も束ねると
これに帰着する。

>>376
ちょっと意味がつかめないのですが？
373の設定はノード間の抵抗が一定なので、どちらかに一定の
場合というのはノードの個数が有限ということである。375に
あるように端点はとなりと同電位だから結局、その部分は反例
意味がないので、どうして反例ができているのか疑問です。

>>376
「抵抗の総和が有限」という意味は回路としての意味なのでしょうね。
それだと多少理解できますが、それでも無限に延びているとき、ハッキリ
反例となるような流れかたがあるとき初めて「抵抗の総和が有限」という
ことがわかるのではないでしょうか？
ともかく「抵抗の総和が有限」という意味を明確にされたし。

抵抗の総和が有限の例：
一次元だから各リンクに整数で番号づける。
リンクnの抵抗値がたとえば 2^(-|n|)。

グラフが無限２進木状で抵抗値一定のとき
すべての枝分かれを束ねるとこれと同じこと。

>>373の「一定の電気抵抗」というのは，
全部が同じ値という意味ではなく，
各リンクに固有のそれぞれの抵抗値という意味にとる。

>>379
状況がわかりました。
一次元といわれているのは直線のことですね。

誰か、コーシーの積分定理の証明のヒントをおしえれ。気になって眠れん。

あげ

閉曲線が三角形の場合は結構簡単だった。
それともストークスの定理使う？

いや、一般的な場合がしりたいっす。ヒントだけでいいんで。ぷリー図。
＞＞ストークスの定理
あ、それか。グリーンの定理と勘違いして、
解析の教科書見て詰まってたーよ。

>>385
閉曲線を閉折れ線でうまく近似すると
閉曲線上の線積分の値が閉折れ線上の線積分の値に幾らでも近くなる。
だから閉折れ線に関してコーシーの積分定理が証明できればいい。
閉折れ線は三角形分割できるから
三角形に関してコーシーの積分定理が証明できればいい。

実級数が条件収束（つまり収束するが絶対収束しない）のとき、項を並べ替えると
任意の実数値に収束させることができる、という定理があるよね。
複素級数が条件収束のときはどうなんだろう？
たとえば項の実部を取り出した級数が絶対収束で虚部を取り出した級数が条件収束なら、
もとの級数を並べ替えて収束させることができるの値の集合は垂直線になる。
奇数番目の項が実数、偶数番目の項が純虚数で、奇数番目だけの級数も偶数番目だけの
級数もともに条件収束なら、並べ替えて収束させることのできる値は全平面になる。
一般には何が言えるんだろう？

>>387
実数部と虚数部にわけ、一方が絶対収束の場合は、実数の結果
を適用すれば結果はわかる。
問題は両方条件収束の場合だな。
これいい問題だぞ。両方条件収束でも、部分列は絶対収束になって
る場合があるからどこにでも収束するとはいえないからな。
これは長引く予感あり。

a[2n-1]=1/n
a[2n]=i/n

このようにあらゆる複素数値に近づけられる例もある。

a[2n-1]=(-1)^n/n
a[2n]=i(-1)^n/n

今月の数学セミナーのP.101の「お詫びと訂正」を見てみれ〜。
2chのことが載ってるぞ〜。

山田氏曰く「その解答の方が私の解答よりエレガントでした.インターネットの力はすごいですね」

＞奇数番目の項が実数、偶数番目の項が純虚数で、奇数番目だけの級数も偶数番目だけの
＞級数もともに条件収束なら、並べ替えて収束させることのできる値は全平面になる。

？？？　ｘｙ平面じゃない？

72ってのはまちがいです。
で、>>392は私の勘違いでした。すみませんでした。

「インターネットの力はすごいですね」
ってなんか痛くないか？

調和関数の話題が出てたのでEdward Nelson の有名な論文を貼っておきます
これであなたも「数学の論文を１本読み通した！」 と自慢できます。
打ち間違いがありますが、敢えて直しません。コピペして恥をかくのはあなたです。


　　　　　　　A PROOF OF LIOUVELLE'S THEOREM
　　　　　　　　　　　　　　EDWARD NELSON
　Consider a bounded harmonic function on Euclidean space.
　Since it is harmonic, its value at any point is its avarage over any sphere,
and hense over any ball with the point as center.
　Given two points, choose two balls with the given points as centers and of
equal radius.
　If the radius is large enough, the two balls will coincide except for an
arbitrarily small proportion of their volume.
　Since the function is bounded, the averages of it over the two balls are
arbitarily close, and so the function assumes the same value at any two
points.
　Thus a bounded harmonic function on Euclidean space is a constant.

Proc.A.M.S.12(1961)995

まさに芸術品！

上の証明を利用すると非負値調和関数は定数であることも証明できます。

できます．が，離散バージョンには，通用しません．

複素解析のテスト終わりました。
また来年のお楽しみ

みんな複素関数論のお世話になってるくせに、感謝しない。
いわば、空気みたいなものだな。

400あいてた。げと。

>>399ｶﾞｲｲｺﾄｲｯﾀ

３９９ってもしかして東...以下自粛

コーシーの閉曲線定理は、はたして、閉曲線がいたるところ微分不可能な
曲線（フラクタルなど）であってもなりたつか？

コーシーの閉曲線定理って積分定理のこと（違ったらスマソ）？
だったら成り立つと思う。適当な折れ線に対してホモトープだから。

>>403
有界変動な曲線でないと
そのままでは線積分が定義できないが
フラクタルの場合，生成規則の極限として
定義することができる。
極限だから
等号はそのまま成り立つ

複素関数って大学一年でやりますか？

普通はやらないとおもわれぇ。

普通は2回生からかと。

複素関数論の演習書で、例題が豊富で、問題の解答もかなりていねい、
というのはありますか？

おちてるな、、、あげ

どなたか、パワーアップ複素関数　渡邊　共立出版
を使ってる方いませんでしょうか？
評判はどうなんでしょうか？
これがテキストなんですが、お勧めの演習書などありませんでしょうか？
電気系の学生です。

なんか、見た感じ字の感じとかがサイエンス社の黄緑の微積の本に似てる。

>>411
演習書ではないけど
アールフォルス「複素解析」現代数学社
はお勧め.
特に第５章の「級数展開と無限積展開」は優れてると思う.
工学部向けの教科書だと無限積展開は省略されているものがほとんどだから、
手にとってみると良いですよ.
ここがわかるとゼータ関数とカシミール効果の不思議な関係も
興味深く感じることができるようになります.

>ここがわかるとゼータ関数とカシミール効果の不思議な関係も
>興味深く感じることができるようになります.
ﾜﾗﾀ

どうしてここまでさがっちゃったの
age

サーバー移転のときに順番が無茶苦茶になった

∂z~(1/z) = -πδ(z) って公式？（z~はzバー、zの複素共役？）があるらしいんですが、
意味も導き方もわかりません。教えて下さい。

基本解ですねぇ。
ラプラシアンの基本解（微分してδ関数が出てくる解のこと）はフーリエ変換で求まるので、
そいつをzで微分すると出てきますよ。
下の式が成り立つからね。

∂・∂~ = △/4 （∂~をディーバー？デルバー？作用素とする）

基本解の求め方については偏微分方程式が専門の人に聞いてみるといい。
超関数の微分についても偏微分方程式が専門の人に聞いてみましょう。
ここじゃ書きにくい・・。

多分Hormanderの本あたりに詳しく載っていると思われる。

>>417
ありがとうございます。
Δ1/2π log√(x^2+y^2) = -δ(x,y)
ってのを使うと、
∂z∂z~ [log(zz~)] = -π/4δ(x,y) までわかりました。
ここで、z微分するんですが、∂zlog z~=0なんでしょうか？
問題が、∂z~(1/z) = -πδ(z)なので、正当化できなそう…。

仮にそうとしまして、
∂z~(1/z) = -π/4 δ(x,y)
となりますが、δ(z) = 4δ(x,y) なんでしょうか？
δ(z)ってどういう風に使うんですか？

-ΔE(x)=δ(x)
という式の方が公式としてよく見かけます。
Δはラプラシアンで、このEが-Δの基本解と呼ばれています。

>>417
＞∂・∂~ = △/4 （∂~をディーバー？デルバー？作用素とする）
この∂~はWirtingerの微分係数と呼ばれているんじゃないですか？

z =x+iy
z~=x-iy
(∂/∂z )=1/2{(∂/∂x)-i(∂/∂y)}
(∂/∂z~)=1/2{(∂/∂x)+i(∂/∂y)}
なので
(∂/∂z )(∂/∂z~)=1/4{(∂/∂x)^2+(∂/∂y)^2}
　　　　　　　　　=1/4Δ　　←Δはラプラシアン

もし普通に計算したら
(∂/∂z~)(1/z) =1/2{(∂/∂x)+i(∂/∂y)}{1/(x+iy)}
　　　　　　　　=1/2{-1/(x+iy)^2-i*i/(x+iy)^2}
　　　　　　　　=0
となってしまい、-πδ(z)にはなりません（ｗ

どうやるのこれ？

『fが正則関数であることと、
(∂/∂z~)f =0であることは同値で、
このとき f'=(∂/∂z)f』
と言えるけど、
f=1/zが正則関数で無いなら…ということ。

マルチ。他スレで解決済。

>>424
どこのスレ？

雑談スレ

age

AhlforsさんのComplex Analysisを読んでて出てきたんですけど、
analyticとholomorphicの違いってなんかあるのでしょうか？
ただ２つ呼び方があるだけなのだろうか。

余談ですが、この本難しいけどすごい面白いですね。
学部にいる間に読破できたらいいな。

>違いってなんかあるのでしょうか
「定義が異なるけど結局同じ事だよ」っていうのが結論。
それぞれの定義を見て味噌。

>>429どうもあほです。レスどうも有難うございます。
一つ覚えたのであほ＋1になれました。
ちょっと見直してみます。

>>430悪い方にむかってるのか？（ｗ

>>431
それはオマエ

>>430
Ahlfors「Complex Analysis」
Rudin「Principle of Mathematical Analysis」
溝畑茂「数学解析（上・下）」
この三つは同じ分野だけどそれぞれ面白いのでお勧め

整関数と有理型関数を理解すると吉

メビウス変換（１次分数変換）も理解しよう

>>430
しまった、気付きませんでした。あほですね。
でももう引っ込みつかないのでいいです。

>>433
ありがとうございます。今ちょうど一次分数変換をやっています。
非調和比はクリアしました。これ便利ですね。
が、放物型、楕円型などの所が難しいです。がんばります。

目指せ「あほ＋132」

Rudin「Principle of Mathematical Analysis」
amazonで見てみたけど、高すぎ。
こんなの買えねー
アールフォースのものは現代数学社から出ていた気がするから、いつか買ってみたい。

>>428
analyticとholomorphic
ははじめのうちは同じようにみえるけど
ニュアンスはちがう　のちには
特異点があってもanalyticという
regular analytic (かつ一価)
とholomorphicが対応する

>>437
どうもあほです。ありがとうございます。レベルアップ。
将来のためにがんばって覚えています。

一次変換の分類、やっぱいまいちよく分からないです。
質問できるレベルになったら皆さんにお聞きするかもです。
ご教授頂けたらうれしいです。

神保道夫「複素関数入門」、どうですか？
パラパラ眺めただけだけど、重々しくないのと、精神や展望を語ってるのが、
入門書としてイイんではないかと思いました。

神保先生なんだからきっといいだろう

>>439
入門のシリーズではtop３に入るくらいの出来。
即購入。

>>438
複素関数はガウス平面上の領域でなくリーマン面上の写像と考えるほうが自然。
それゆえ、（複素）関数論は曲面論に帰着する。
この話は、Ahlforsでは出てこないけど、小平邦彦「複素解析」に詳しい。
概略は
長野正「曲面の数学」培風館
の７章が初学者にとってわかりやすいと思う。

神保道夫「複素関数入門」も
長野正「曲面の数学」培風館＋小平邦彦「複素解析」/２
という形でダイジェスト風にまとめた感じ。（というと言い過ぎかな？）

小平さんのはちょっと入門書の範疇に納まらないので言い過ぎと反省。

前半部分は関数論への、後半部分はリーマン面へのすばらしい入門となっている。
（コーシーの定理を証明するあたりのところでちょっと細かかったりするのが難点ですが）

　

>>436
高い？ハードカバーだからじゃない？
三省堂でペーパーバックを3,400円で売っていたよ。
Amazon.UKなら5,000円ぐらいだった。
瞑輪姦で古本を2,000円で売っていた。

447はRudin「Principle of Mathematical Analysis」のことね

age

レンメルトの教科書はどうですか？

aa

複素積分に関する問題です。
\int_{C_R} 1/(1+z+z^2+……+z^{2n} dzを求めよという問題です。
ただし、C_Rは中心0、半径R（>1）の円周の上半分を反時計回りと
-RからRまで結んだ直線とを足したものです。
留数定理を使うと思うのですが、各留数を足しあわせるのはしんどいと思う
ので何かいい方法は無いかと考えているんですけど上手くいきません。

＞留数定理を使うと思うのですが、各留数を足しあわせるのはしんどいと思う
＞ので何かいい方法は無いかと考えているんですけど上手くいきません。
いい方法は無いかと考えているまえに各留数を足しあわせるという
方法ではとけたん？

>>453
極はz=exp(2kπi/(2n+1))、k=1,2,…2nで
極が考えている領域内にn個あり、各留数は1/(1+2z+…+2nz^{2n-1})に
exp(2kπi/(2n+1))を代入した物だと思いますが、これらを足しあわせ
のってしんどくないですか？

>454
例えば、n=2とか3あたりでやってみれば？

1/(1+z+z^2+……+z^{2n}) =Π_{k=1to(2n)} 1/(z-a(k))
みたいに因数分解しておいてやれば

たぶん、根{a(k)}に関する交代式か対称式になってるんでは？

>>452
1/(1+2z+…+2nz^{2n-1})=(z-1)/{z^(2n+1)-1}=f/g とおくとgの零点a(≠1)の近傍で
f/g={f(a)/g'(a)}*{1/(z-a)}+(正則関数)と書ける。あとは簡単。

>>456
質問者の分かっているところだけ書いてどうする…
質問の内容から理解しよう。

>>457
そう思うならキミが補えば？
文句を言うならf(a)とg'(a)を計算してから。

あまりの馬鹿さ加減に居直りか…(;´д`)

質問者の為に頑張った（藁）俺が
質問者の為に何もしない奴に非難されるなんて…(;´д`)

456さん、かわいそー

457は答える義務がある

>>454
(方法１)
w=1/zと置換する。
与式＝∫[|w|=1/R]((ここ自分で計算しる))(-dw/w^2)＝0
(方法２)
公式(有理関数の留数の総和)＝０を利用する。(ただし和の部分には
無限遠点の留数を含める。)本文なら無限遠点での留数はこの関数は
無限遠点で正則なので０。
(方法３)(おすすめ)
部分分数分解して計算する。
これいま自分でやってみた。たしかにめんどいけど出題者のもとめてる
解法はこれだろうし、この程度の計算が力技でできないとあとあと困るよ。

>>458-462
ちなみにおれ>>457じゃないから。おれをまきこまないでね。

>>464
数学以外の事で騒ぎたがる虫はマジレスが来ても散らない程悪質じゃないから安心しな。
ただ一部のスレにはさらに悪質な虫も住んでるけど。

>>463
の方法2と本質的にはおなじだが半径Rをどんどん大きくとる
とってもかわらないことはコーシーの定理
半径を大きくすると積分の絶対値を評価して0に行く

しかし方法3
で十分　計算力というほどの計算ではないだろ
留数の計算では1位の極だから微分をつかえよ

答えは本によると
2π(1+cos[π/(2n+1)])/(2n+1)sin[2π/(2n+1)]
だそうです。
>>463,>>466さんもう少し具体的に教えてくれませんか？
>>454のように足しているんですか？

>>467
あ、ごめんごめん。積分路全部の極を内包してるとおもった。
上半分だけなのね。やりなおします。。。

>>467
いま計算用紙みなおしてみた。こうやった。
N=2n+1,ζ=exp(2πi/N)とおく。
f(z)=1/(1+z+･･･+z^(N-1))=1/(Π[u=1,N-1](z-ζ^u))
であるので
Res(f,ζ^k)
=(z-ζ^k)/(Π[u=1,N-1](z-ζ^u))|z=ζ^k
=1/(Π[u=1,N-1,u≠k](ζ^k-ζ^u))
=(ζ^k-1)/(Π[u=0,N-1,u≠k](ζ^k-ζ^u))
=(ζ^k-1)/(Π[u=k+1,N+k](ζ^k-ζ^u))
=(ζ^k-1)/(Π[u=k+1,N+k](1-ζ^(u-k)))
=(ζ^k-1)/N
以下これをk=1〜nまで足したらたぶんいいんだとおもうけど。
たぶんあってると思うけど。。。どうかな。。。

>>469
ごむえん。まちがってる。
=(ζ^k-1)/(Π[u=k+1,N+k](ζ^k-ζ^u))
=(ζ^k-1)/ζ^(-k)(Π[u=k+1,N+k](1-ζ^(u-k)))
=(ζ^2k-ζ^k)/N
これでいいかも。。。自信なし。。。自分でやるべし。

>>470
それでいいだろ　あとは等比級数の和でおわりだし

目に止まるように複数投稿してますが。
ベッセル関数の積分の漸近形を探しています。ご存知の方は教えてください。
【詳細】
整数次の第１種ベッセル関数 J_n(x) の区間 0からx の積分をA_n(x)とする。
xが大きなところの関数形を求めよ。ただし、0から無限の定積分はWeber積分
と呼ばれていてガンマー関数で書けることは知られている。またJ_n(x)自身の
漸近形はよく本に載っている。知りたいのは積分した A_n(x) の漸近形。

>>469さん
有り難うございました。なんとかなりそうです。
微分でやるほうのほうがもう少し簡単にできました。

複素関数のスレとあるので質問したいんですが、
{Z:|Z|＜1,|1-z|^2/1-|Z|^2＜α}で、α＞0でαは定数。
がどんな図形であるかという問題なんです、
方針を教えてくださいませ。

>>474
>{Z:|Z|＜1,|1-z|^2/1-|Z|^2＜α}で、α＞0でαは定数。

「{z : |z|＜1,|1-z|^2/(1-|z|^2)＜α}で、α＞0でαは定数」ということ？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

age

小平の複素解析で、コーシーの定理の証明に四角形の分割が使われてないことに気がついた。
Arlforsも、杉浦も、高橋礼二も四角形の分割使ってるのに。

でも証明のアイディアがいまいちよう分からん。勉強不足ですね。

多価関数はなぜローラン級数展開できないのか教えてくれ。

>>481
こまったことになるから

なぜ困るのか教えてくれ。
多価関数が被積分関数だと留数定理は使えないのか？

age

みんなで議論し、考え抜くことでローラン級数の本質を解明しようではありませんかage

それより1冊の本をじっくり読んだ方が早いんじゃないかage

工学系の本をじっくり読んだけどわかりませんでしたage

>>481
単純に、ローラン級数は穴あき円盤D上で収束してしまい、Dの各点での値が
一意的に決まるから、というのではダメ？

>>488
いいと思います

>488

サンクス。

複素多様体について詳しく書いてある本があったら教えてください。

>491
そんなもん、本が少なくて探すまでもないだろ。和書
原書でも好きなの読め

>>491
小平は？

どうやったらEulerをオイラーなんて読めるんだ。
何人？
ていうかアメリカだったらユーラーとかエウラーとか読んでるんだろうね。

ドイツ語読み

アメリカ人と中国人は、どんな言葉も自国語読みで通します。
米　チューリヒはズリッチと読みます
中　東京は　Tong(1) Jing(1)と読みます。

何か嫌ですね.

漢文を日本語読みして、さらに学校で教えている
日本についてはどう思いますか？（ｗ

日本の英語読みがJapanになるのが謎

日本の（ある時期の）中国語読みから来てるのでは？

500げと

>>497
日本の文化のひとつとして読むからだよ。

勘違い西洋人のフジヤマ、ハラキリ、ゲイシャみたいなものかな？

金正男を金玉男に見間違えて、「キンタマオトコ」って読んだ奴いない？

>>496
どの国でも大抵そんなもんかと。
日本人が中国語の単語を日本語読みするのは文字が同じだからで、
アメリカ人がドイツ語の単語を英語読みするのも文字が同じだから。
日本人にはドイツ語をわざわざ英語読みする理由が無いけど、
ドイツ語の発音を日本語で忠実に再現できるわけではないので、
チューリッヒとかも結局日本語としての発音になってる。
（どちらかというとツーリッヒの方が元の発音に近いし）

３Ｄプログラミングで４元数っての使ってるんだけど、
数学の世界ではどんくらい使われてるもんなんだ？

ハミルトニアンのことなら、むしろ物理で多用されていると聞くよ。

４元数→ハミルトニアン、っていうつながりを、もう少し
詳しく解説ｷﾎﾞﾝﾇ

直角をあらわすのに複素数を使うと便利なのと同じで、
三次元をあらわすのにハミルトニアンが便利という仕組み。

ハミルトニアンって

これ
http://boat.zero.ad.jp/~zbe89326/math5.htm

ハミルトンの４元数だからハミルトニアン？
数学の世界ではそう呼ぶのか。
３Ｄプログラミングの世界ではクオータニオンと呼ぶのだが。

物理でハミルトニアンというと
ラグランジアンをルジャンドル変換したもので、
系のエネルギーに相当するものになる。

http://web2.incl.ne.jp/yaoki/i.htm

直交座標を表すのに、変数をでたらめに導入するんじゃなくて
直交性を保つ演算子を導入するのがアイデアで、
ハミルトンの四次数がベクトル空間とハミルトニアンとに独自？に発展したとさ。

>>511
数学でも４元数をハミルトニアンとは呼ばないと思う。

>>513
そりゃすまない。

・空間の曲率を積分したようなものにエネルギーが蓄積されていると考ええる
・法線ベクトルが空間に直行している事を演算子で表現する

物理でも確かにQQM（４元数量子力学）とかいうので
４元数ハミルトニアンとか出てくるけど、
物理の主流って感じじゃない気がするな。
それ抜きにしても、たまに物理で４元数使ってる論文は見かける。
でも、やっぱ主流って感じじゃない気がするな。
俺があまり知らんだけなのかもしれんが。

>>515
えと、あれはなんだっけ、三次元の空間で座標軸をどうとっても結果が同じ演算子。
いわんとしている事はあれと同じだと思われるが、物理は球体でエネルギーをもっているものを
扱うのがイメージに合うので、そっちの方が主流なのだろう。

>>516
ラグランジアンのことかな。
物理ではラグランジアンもハミルトニアンも両方よく使う。

４元数のうち実部が０であるようなものの集合はＲ^3と同型だよ。
a→(q^-1)aq、q∈Ｈで直交変換になる。

軸にいちいち名前を付けるより、行列だかベクトル空間だかの
部分行列同士の演算を一般に考えて、演算子の性質をちゃんと定義していった方が
数値を当てはめるのに役に立つ・・・というのは言える。

まさにそれを使って３Ｄの座標を回転するんですわ。
任意の軸に対する回転が作れるし、
線形補完もラックラクなんですわ。
４元数さまさまなんですわ。

>>520

>>518を解読すると、原点の位置に依存しないプログラムなどが
書いていけるものと思われるよ。

>>521
座標は「原点から座標までのベクトル」と考えるんで、
一応原点の位置には依存します。
でも、座標系を複数用意して階層構造にしてやることによって
この点を克服できます。

って、３Ｄや物理の話はどうでもええんです。
数学です。数学。
４元数自体はもう研究し尽くされてるとしても、
４元数を使って何かすることくらいはされてるんでしょうか？

うーん。
あまり使われないということでしょうか。
メジャーなのは３Ｄプログラミングの世界のみ、
ってことでしょうか。
分かりました。

Sp

明日複素解析の追試・・・
このスレ結構参考になりました。ありが�d

追試ボロボロだった・・・

>>526
ドンマイ。

１２８

　４元数は結局clifford algebraにまで一般化されるんじゃなかったっけ？
clifford algebraは、強力な道具だよ〜〜。ディラック作用素の研究の時にも
でてくるし。

　あと、３Dとquaternionとの関連も、僕的にはものすごく興味あります。

>>530
支離滅裂なご意見ありがとう

３Dとquaternionとの関連って、何を言いたいのだ？

>>532
>>518を嫁。

ローラン級数の具体的な求め方を誰か教えてください
たとえば１／sinzをｚ＝０を中心に展開するとどうなるの？

頭のいい人限定
風俗サイト広告逝ってよしっ！第３回戦
ただいま戦闘中！！！
嫌いな人はこちらへ漏れなく串つき
http://live.2ch.net/test/read.cgi/festival/1029826982/l30

>>535
とりあえず未定係数法で何項か求めてみなさい。

はい　

未定係数法って何？

>>539
(x-x^3/3!+x^5/5!-…)(1/x+a_0+a_1 x+a_2 x^2+…)=1
とおいて展開して
a_0,a_1,…を求める。

1/sin z のローラン展開て
ベルヌーイ数かなんかで
書けるんだと思うけど…

age

あげ

んで、

四元数関数論ができない理由を二百字以内で述べよ。

↑今井召還の呪文↑

>>544
できなくはない。

４元数におけるコーシーリーマン方程式を書き下せ。

ふむふむ

＞今井召還の呪文

どれだけ呪文も唱えられようと、今井は来ません。関数論は初めからいかがわ
しいことばかりで、議論の土台が出来ていません。およそ数学になっていない
ものに首を突っ込むことは決して致しません。今井の複ベクトルで関数論が構
築されるならば、今井は登場いたします。

４元数微分ってどうなるの？

>>550
接ベクトル空間みたいなものか？

>>547
普通のコーシーリーマン方程式って
ヤコビ行列が複素掛け算の行列(回転行列の正数倍）
になるという条件と同値だから，
4元数の場合もヤコビ行列が4元数行列になる
という条件でいいのじゃないか？

はいぱーけーらー多様体の話はどうよ。

コーシーリーマン風にやると
微分可能な関数は 一次関数しかなくなるんよ。
例えばx＾2なんかも lim (h->0) {(q+h)(q+h)-q^2}h^(-1)
書き込み面倒だからx=iで hがiのほうから近ずくと 2iで
jのほうから近ずくと 0やんか だから微分できない。
だから プロはつまらないからやんないの。

へーそうなんだ
>>552もあってそうに思うけど。

でも 一般化したコーシーリーマん
df/dw +i*df/dx+j*df/dy+k*df/dz=0 f:H->H を考えることには
大変意味があるだろう。

質問スレにも書いたのですが誰も答えてくれなかったので。

Ｉ＝∫[-1,1](1-Z^2)(-1/2)dZ　を留数使って計算せよという問題です。

もちろん普通に実数軸上で計算するのは簡単なんですが、留数を使えと言われても・・・。
切断[-1,1]の周りを回ってＩ＝πResだと思うのですが、留数の求め方が分かりません。
無限遠点の周りを回ったと解釈してもダメみたいだし。

Σ1/k
は収束ですか？発散ですか？

>>557
Ｉ＝∫[-1,1](1-Z^2)^(-1/2)dZ
の間違いかな？

>>558
kはなに？実数なら発散
とマジスレ

>>557 >>559
Ｉ＝∫[-1,1](1-Z^2)^(-1/2)dZ
だったら
「流体力学と複素解析」今井功
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4535606013/ref=sr_aps_b_/249-2954223-1821119
Ch8.§4 をみるとよい。
線分の上下を周って積分する。
極は∞,留数は1

>>559,561さん
ありがとうございます。
５５９さんの通りです。^が抜けてました。

やはり∞を回ると考えるですか。今井さんの本、取りあえず近場でみつかりません。
Z→∞の留数て、Z→1/Zとして、Z→０の極と考えてはいかんのですか？

>>562
だいたいそれでいい，ただ
z=1/w とおくとき
f(z)dz=-f(1/w)dw/w^2
となることに気をつけてね。

あと言いわすれたけど，
「複素平面で反時計まわり」＝「∞の周りを時計まわり」
であることも押さえといて。

563さん
ご丁寧にありがとうございました。
ようやく分かりました。

なんも

563の件だけど、一般に
Res[z=∞](f(z)）＝Res[z=0](-f(1/z)/z^2)という事ですか？

なんでdzからの寄与が出てくるのか、ピンと来ない。
Res求める段階で既に積分は終わってるわけでしょ？

>>568
元の積分表示に戻って考え直せばいいだけの事。

というか一般に変数変換 z=φ(w) に対して
Res[z=φ(a)](f(z))×(φのaの周りでの多重度)＝Res[w=a]f(φ(w))φ'(w)
を押さえておこう。

訂正：
Res[w=a]f(φ(w))φ'(w) → Res[w=a](f(φ(w))φ'(w))
かな？

ag

コーシーの積分定理・公式に感動しますた。
ベタですんません

漏れはPicardの定理に感動しますた。

解析接続の入門書でおすすめってありますか？

ｉ！って誰もなかなか答えられないね（＾m＾）ﾌﾟ

そういう所で笑うとは面白い感性をしているね。

>>575
複素解析の本に書いてありませんか？

「任意のZ上の関数はC上の解析関数に延長できる」という命題は真か偽か?

なんとなく真なような気がするけど、具体的に数列
「...,a_0,a_1,a_2,....」が与えられたとき、それを補間する
解析関数f(z)を何か一つ構成せよと言われてもすぐには浮かばない。
もしかして延長できない例もあるのかな?

昨日、ｶﾉｼﾞｮと喧嘩して東大出版会の「複素解析（高橋礼司））」がコーヒーまみれで茶色くなっちゃった
鬱だ

>>579
もちろんありますよ！！

>>580
あの名著がヌレヌレですか・・。

コーヒーに佐藤が入ってたら悲惨

>>579

とりあえず
f(z)=Σf(n)sinc(z-n)
でどうでしょうか。

注）　sinc(x)=sin(πx)/(πx)

砂糖…ってか牛乳入りだ…
将来はこの分野に進んでみようと決意しかけていたのに…
買い直すには高い…読めないほどの被害じゃあないが…
友人に譲ってもらおうかと検討中。
鬱だ

色のついてる部分が妙に記憶に残ったり、読みにくい部分は自分で補完して
より身につくようになったりと、結果としてプラスになったと考えよう。

>>584
f(n) が有界なら収束するのかな。

>>584が収束しない例は作れると思うけど，
だれか考えてみて・・

exp(z^2)ぐらいで収束はしないように出来るけど、
だったらsinc(z-n)に何か掛けてもっと急激に減少させればいいし。

>だったらsinc(z-n)に何か掛けてもっと急激に減少させればいいし。

それだと係数も大きくせざるを得ないから、あまり収束性の改善にならないような。

>>584

Sampling定理ですね。条件に「fのFourier変換のsupportが[-π、π]に含まれる」ってのがあるから、それを無視すれば収束しないのなんていくらでも作れそう。

あの、全てのzでf(z)が収束したらf(z)は正則だと言えるの？

>>592
広義一様収束ならね。

>>584のやり方、一様に収束する？

z を無理数に適当に定めてf(n) の大きくなりかたを調整すれば収束すること
さえ危ないんじゃない?
だから g(n) を |f(n)|+1 の整数部分として
Σf(n)* sinc (g(n)*((z-n)^3)) でどうでしょうか?

>>584
単純に z = 1/2 とすると
F(1/2)= Σ(-1)^n f(n) / (n-π/2)
だから、これが発散する f(n) は有界でもありうる。

>>596なんかよくわからんよ。
ちゃんと書け。

>>597
f(n)=(-1)^n とか成り立たないよね。

実軸に限って話をすると、>>591で話したとおりfのFourier変換の台が[-π、π]
に含まれるって条件があるのよ。つまりf(x)がまず可積分じゃないとだめなわ
け。fがf(n)を普通に補間するような関数だったら、そもそもこの条件から外れ
る。

じゃあ、補間という目的を忘れてf(n)の周りだけに値が局在するような関数を考え
て、無理やり可積分にしてしまうとどうなるかと言うと「多分」(変動が激しい関
数になるから)、次のFourier変換の台の条件が成り立たなくなる。そうなると、f
(n)から補間したf(x)についてx=nとしたとき両者が等号で結ばれる保証がないんですよ(というか多分ない)。

>>595はよく分からないのだが、右辺のz=nとしたときにf(n)と一致する？

>>598
＞f(n)=(-1)^n とか成り立たないよね。

そんなことはない。
cos(πx)=Σ(-1)^n sinc(x-n)
は実軸上で成り立ってるよ。

ミッターク・レフラーの定理から、整数点以外では正則で各nにおけるローラン展開の
主要部が {(-1)^n}f(n)/{π(z-n)} であるような、複素平面上の有理型関数 g(z) が
存在するね。
f(z)=sin(πz)g(z) とおけばいいのでは？

>598
sin π((g(m)*(z - m)^3) は z=n で 0 で ( π(g(m)*(z - m)^3))^(-1)
は m が n でないときは 0 でないこのことから n 以外のところでは
級数の各項が 0。これは 584 の設定と同じ理由。違うのは sin の外にある
g(m) により f(m) の影響が緩和されること、3 乗(2 乗でよかった) した
ことで収束する。

項別微分の収束が問題だから595はダメみたいだな。

>>600
そうか。ミッターク・レフラーの定理を使えばいいんですね。サンクス。

アールフォルスの複素解析、買ってしもうた。

>>604
感想ギボンヌ

＞＞６０５
まだ読みはじめたばかりだし、
工房なので、感想は控えたいです。
　岩波数学入門コースの複素関数よりは
議論がしっかりしていて読みがいがありそうです。

「複素関数」現代数学への入門
これは分かり易くていい！

アールフォルスはその次の段階でないと読めないと思われ。
アールフォルスは層の説明がいい！

小平の複素解析はそのまた次の段階でないと読めない。
これはリーマン面の説明が充実してるのがいい！

応用数学っぽいのですが、質問させてください。

branch cutを日本語に訳すとなにになるのですか?

「分枝切断」もしくは「分枝線」だと思いますが、何か？

>>608
１０時のおやつ抜き

rectifiable curve ってなんて訳すんですか？

（＾＾）

野口の複素解析概論って使える？

上の方のミッターク・レフラーの定理って正確にはどういうステートメント？
できれば証明のスケッチきぼん。
あと次の定理、ワイエルシュトラスのらしいんだけどどうやるかスケッチきぼん。
定理
fを多項式でない整関数、z[r]を|z[r]|→∞となるようにfの零点をならべたものとする。
p=limsup[r→∞]loglogM(r)/logr (ただしM(r)=max{|f(z)|;|z|=r})
が整数であるとき
lim1/|z[r]|^(p+1)は収束する。

>>611
rectifyを辞書で調べてご覧。

>>611
有限長曲線

age

>>600
＞ミッターク・レフラーの定理から、整数点以外では正則で各nにおけるローラン展開の
＞主要部が {(-1)^n}f(n)/{π(z-n)} であるような、複素平面上の有理型関数 g(z) が
＞存在するね。
＞f(z)=sin(πz)g(z) とおけばいいのでは？

ミッタク・レフラーの定理で作るg(z)てかなり人工的だよね。
で
たとえば>>584の級数が広義一様収束の場合についていえば
600で作ったf(z)が584(sampling theoren)のf(z)と一致するように
g(z)を作れるかというのが興味がある。

オス！　オラ素数！

みんなも積分してくれよな！

今年のバレンタインは微分すると0個でした

>>622
氏ね

世界中の男性を1,2,3,・・・と適当に番号付ける。(漏れを1とする)
男性nの貰ったチョコの数をf(n)と置く。
チョコは有限個しかないのでfは有界な関数である。
リューヴィルの定理よりfは定数関数。f(1)=0なのでfは恒等的に0である。
よって昨日は誰もチョコを貰わなかった。

>>625
f(n)は正則なんですか？

すっかり複素数スレに活気を奪われてしまったのぅ…

複素数平面上の複素数値関数の中で解析関数を扱うのが複素関数論であると
するならば、
四元数空間上の、四元数値関数が「解析的」とはどういうことかを
適切に定義して、そのような関数に対して、四元関数論を展開することは
出来ないものか？

同様にして八元数についても関数論が作れないのだろうか？？？

>>628
19世紀に研究されてます。

>>628へ >554と>556みた?
19世紀で終わった研究ではない。1935 R.FueterのUber die analytische
Darstellung regularen Funktionen einer Quqternionenvariablen
Comment.Math.Helv.8(1935),371-378でf:H->H,で556の偏微分方程式
が解かれた。これしらないやつは このへんではモグリ。
まあ近年では より一般のClifford Algebra上でのHypercomplex Analysis
に統一されているので 、院生なら熱核をまず学ぼうね。
工学系ではまだなんかやってるみたい。
K.Imaeda Quaternionic Formulation of Classiacal Electrodynamics and
The Theory of Functions of a Biquaternion Variable.
Department of Electrodynamic Science Okayama Univ.1983
まあ 終わっていないが 複素関数のように しろうとが遊べる程には
開拓されていないというところですか。

>>630
解かれたってどういう意味ですか？調和解析の熱核みたいなものが構成された
という意味ですか？
あと調和解析のラプラシアンって群の作用と可換とかいう普遍性で記述できた
とおもうんですけど>>556の微分作用素もやっぱりそうなんですか？
なんか最近よくきくカシミール元とかいうやつともかんでるんですか？
解説してもらえませんか？

ここが本当の複素数スレですか。
正則関数と、2変数調和関数の違いを簡潔に説明してください。
ってか私がやるのか？
2変数調和関数の引数には、一般には積が定義されていない。

エルミートは複素数(2次元)を3次元に拡張しようとして大変苦労したようですが、
それからどうなったのですか？

R^3の元に積を導入すること自体はできるものの…

すいません。このスレの最初の方よんでたんですがこんなのありました。
　
　36 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：01/08/31 22:11 ID:O0JYAWQ.
　あと、函数論で美しい定理は、「リーマン＝ロッホ」の定理だよね。 　
　あれは絶対落せないと思う。
　　
　　
　37 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：01/09/01 00:50 ID:zvbIgHe6
　>>36
　球面の上でも、三角形の内角の和＝１８０°が
　かなり成り立つってやつ？
　
　詳しく知らんので、知ってる方解説きぼ〜ん！
　
これどういうことかわかりますか？リーマンロッホの定理ってベクトル束
の切断の次元をオイラー数とチャーン数であらわすってやつですよね。
それが３角形の内角の和の話となんかつながってるんですか？

つながりは無い。
>>37のわけのわからん書き込みがスルーされたという構図。

ttp://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/wshosea.cgi?W-NIPS=9976691610
伝説の師による名著、降臨

複素解析関数（正則関数のこと）の列がある複素領域上で広義一様収束してたら、
極限関数も複素解析関数ですね。
証明の鍵はコーシーの積分公式。
実解析関数の列がある開区間上で広義一様収束していて、極限関数が実解析関数に
ならない例はありますか？

>>638
多項式近似でも考えればいいんではないでしょうか。

>>637

堀川頴二「複素関数論の要諦」日本評論社 \2,500(税別)
(2003-03-10出版予定)ISBN:4535783802

本書は２００１年度冬学期におこなった“複素解析学１”の講義
（東京大学理学部数学科進学予定の２年生向けの必修講義）と演習をもとにしている。
第３章まで、ほぼ忠実に講義内容を再現し、
付録Ａ、Ｂは、もし時間があれば講義したであろう内容を書き加えた。

第１章　複素数と複素平面
第２章　複素関数
第３章　複素積分
付録Ａ　解析接続
付録Ｂ　コーシーの積分定理再論
付録Ｃ　イプシロン・デルタ速修
ヒントとコメント

>>638
そんなのいくらでもあるだろ。
「広義」でない一様収束でいい。
例えば

n→∞で　
√（x^2+1/n^2) は　|x| に
Ｒ全体で一様収束する。

>>640
なんで複素函數論なのにε‐δ速習なんかあるんだろ？
ちょっと気になる。

付録ってのはお得感を増す為に存在しているからさ。

>>641
たしかに。
特異点（分岐）±i/n がどんどん0に近づくから
Ｃでは 0 の近傍で広義一様収束しない。
でもＲ上では一様収束。

>>644
連続で区分的滑らかな周期関数のフーリエ級数は
実軸で一様収束し，しかも部分和はentire function
で特異点なしです。

（＾＾）

>>645
でも実軸以外のすべての点で発散だろ。

フーリエ級数Σ1/n^n cos(nx)はＣ全体で広義一様収束かな。

n^nは指数オーダーより高いオーダーだから
Σ1/n^n cos(nx)はC全体で一様収束だろう。
(いや、本当はオーダーだけで一様収束が言えるわけではないが…。)

Ｃ全体で「狭義」一様収束はしない。
虚数部が大きくなるほど収束はおそいから。

おやまぁ、これは目から鱗。(大袈裟)

Σz^n/n!=exp(z) が「広義一様収束」なのと同じね。

ほしゅったらあげろよ

ﾎｼｭはage不用

不用でもあげろ。それが出来ないのなら別にいい。自分がやっといたる。

リーマン面

>>642

東大はε-δやらんでも数学科に進学できるから

この本どうよ？

http://www.saien-t.com/shinkan/ryuu_pg.html

アールフォースの複素解析を読んだ人いますか？

どこにもいません。

>>660
ゼミでやりました。
半分くらいだけど。

>>662
今日から始めました。

「複素数はじめました」

冷やし中華みたいで(･∀･)ｲｲ!

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

「複素数は今年はおしまいです」

人生の成功において必要なことは、学歴でも地位でもありません。
知恵と勇気と冒険心です。
果敢に未知なる世界に挑戦し続ける事です。

http://www.h2.dion.ne.jp/~achooooo/index.html

>>668
今現在、何一つ持っていない奴が、こういうことを言って自分を慰める。
惨めだね。

＜今現在、何一つ持っていない奴＞
いいじゃないか。
ちっぽけな成功体験にしがみついているよりずっといい。
いつでも裸一貫
これでなきゃ。

今大学で応用解析学という名目で複素関数を勉強しているのですが
何か初心者でもわかりやすい参考書があったら教えて下さい。

表実って人の本が実用的で良かったような
ちょっと簡単過ぎるけど

>>671ね

Ahlforsってのは万人に勧められる物ではないのか？

Ahlforsは最初の方かなり丁寧に導入してるから
意外と初心者にも優しいんじゃないかと思いまつ。

参考になりました。ありがとう。

√５＝９ｘ
ってどうとけばいいんですか？
エックスは乗です
９のエックス乗です

>>677
スレタイも読めない香具師に教えることはなにもない。

やっぱlogで答えるのか？
わからん教えて

>>677=679
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1052297017/891

「金正日総書記の側近が米に亡命」
http://japanese.chosun.com/site/data/html_dir/2003/05/17/20030517000000.html
　朝鮮民主主義人民共和国（北朝鮮）の金正日（キム・ジョンイ
ル）総書記の最側近で、韓国の大統領府秘書室に当たる金正
日総書記の吉在京（キル・ジェギョン／６９）書記室副部長が、
最近、米国に亡命したことが分かった。
　ソウルのある外交消息筋は１７日、「先日、吉在京書記室副部
長が他の２人と一緒に、第３国で米側に亡命を要請し、現在安
全な場所に滞在している」と明らかにした。
　この消息筋は「現在滞在している場所についてはコメントでき
ない」とし、「しかし米国に亡命を要請しただけに米国にいる
か、あるいは米国の管轄する地域にいるのではないか」と付け
加えた。

　吉副部長の亡命動機について、同氏は「吉副部長一行が第
３国で、先月２０日にオーストラリア当局に拿捕された５０００万
ドル相当のヘロイン５０キログラムを載せた北朝鮮船舶『ポンス
号』の麻薬密輸を総指揮していた」とし、「この船舶が拿捕さ
れ、金正日総書記からの処罰を恐れて亡命したと知っている」
と主張した。
　外交官出身の吉副部長は、外交部（現外務省）副部長、党
国際部副部長を歴任、９０年代初めからは金総書記の書記室
副部長に抜擢され、主として金総書記の裏金助成に関係して
きたと伝えられた。

誤爆陳謝

良スレ上げ

ってかさ、すごくない？複素関数とかいって。
まじでさー。オイラーの公式とか言って綺麗過ぎだし。
もうやばいよ、コーシーの積分定理とかいってさ、なんでゼロになるの？って感じだし
留数定理までいったらもうだめ。すごいやばい。
だって積分の計算めんどくさいのしないで値が出るんだよ？
ヤバ過ぎじゃん。複素関数最強

685は
教師を嬉しがらせて点数かせぐ
世渡り上手な生徒ですね。

コーシーの積分定理は、ほぼあたり前のことを言っている気もする。

例えば函数 z の不定積分は、z^2/2 だから、円周にそって積分すれば０．
これから、多項式や整級数の積分も０になることが分かる。

不思議だと思っててもよく考えたら当り前の事言ってるって場合が
意外に多いよ。複素関数には

コーシーリーマンはrot=0ということ。
だから、１周回って戻ってくれば０になる。
なんてね。

rotってなんでつか？

回転

「宇宙ヤバイ」の真似か。

留数計算なんて十分めんどくさいと思うのだが

>>693
微妙にめんどくさいかもしれないけど、きれいな値が出るのはうれしくない?
初めてやったときに、余りにうまくいくので、だまされたような気分になりました。
著者がいい例題を拾ってきているというのもあるのでしょうけど。

>>694
確かにπとか出てくると面白いね。
あと複素解析が素数と関連してるという話はすごいと思った。

>>695
＞あと複素解析が素数と関連してるという話はすごいと思った。

リーマン・ζ函数の話ですね。
複素平面で零点を考えるとリーマン予想の話も出てきますね。

久々に新入生が来て
みんなうれしそう(w

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

700get

この本はどんなでしょうか？

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4914903865/ref%3Dsr%5Faps%5Fb%5F/250-3135556-5677854

流線までの複素関数論―Mathematicaで検証する
藤井 幸一 (著), 谷沢 俊弘 (著)

価格：￥1,500

誰か読んだ人いる？

複素数の単位元って何？

>>703
どういう演算に関する単位元？

>>703
実数と同じで
0 加法
1 乗法
だと思うけど?

>>705
加法：０
乗法：１及びi

>> 706は単位元の一意性に反する。
そもそも、iが単位元とは何事か？

iは単位元なのか。知らなかった・・。
>>706をさらしあげ

>>707
× >> 706
○ >>706
いい子だから直そうね

>>696
それに関連した定理が数論スレに出てきてるんだが（以下そこから転載）、

F(t), G(t), H(t)=G(t)/F(t)を正の連続関数で次の性質を満たすものとする：

F(t)≧1かつF(t)は単調に増加し正の無限大に発散する、
G(t)≦1/2かつG(t)は非増加、
F(t)/G(t)=o(e^F(t))。

このとき、|ζ(σ+it)|=O(e^F(t)) for σ≧1-G(t), t≧3ならば、
ある定数N>0が存在し、ζ(σ+it)≠0 for σ≧1-NH(2t+1)となる。


これってどう証明するの？

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

電位と複素関数の関係を教えて下さい。
一周して戻ってくるとゼロになる所や、値が経路に依らないって所とか
複素積分とそっくりですよね。

>>707 >>709
少しずつだが、Ｑは前進しているようですね

>>713
随分前から何度も>>709のように指摘されて、それでも>>707のようなことを
してくれるのですが、それが前進しているとでも？

ガウス整数環の単元かな。
それならあと -1 と -i もだけど…

「単位元」を「単位」とまちがえているのでは？
右へ１単位行くのが１
上へ１単位いくのがｉ
とか？

identity に対する「単位元」という訳に
問題というか責任があるのかも知れない。

今大学院入試の勉強しているんですが、積分を複素関数を使って
解くとき、その経路はどうやって思いつくものなんですかね？
例えば f(x)=sin(x)/x の０→∞積分とか。
あとどういうときに偏角を考えるのでしょうか？偏角を考えないと
＋−逆になって困るときもあれば、円周を積分するのに考えないときも
あります。わけわからんです。

積分経路は、経験と勘
発散や収束に慣れれば自然に身につく・・と思う。
問題を解いてみる事が第一。

偏角は、積分経路の中にlogの特異点があるとき使うことが多い。
極や真性特異点しかない時は考えないときが多い。
ケースバイケースですがね

本当に面白いのは多変数複素函数論。

>>720
面白さを存分に語ってくだされ

>>721
実は俺もそれ程詳しくはない。俺は代数幾何との関連で勉強してみた。
クザンの問題とか正則凸領域の問題を層のコホモロジーを利用すると鮮やかに解決されるとことか。
一変数とはまったく異なった風景が広がっているね。因みにセールのGAGAは、多変数函数論と代数幾何との関係
を示すものとして非常に綺麗な結果だね。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>718
それは、\integral_{0}^{∞} sin(x)/xの被積分関数は、偶関数なので
積分範囲が、（-∞、∞）で考えられるし、さらに特異点ｘ＝0を複素平面で
かんがえてやって、ｚ＝0をさけて積分路をとればコーシーの積分定理から
０となって、exp(iz)/zとしてやれば、実軸で、その虚部は奇関数より、積分
の値が０となって都合がいいとわかる。こんなかんじ。
∫dx cos(x^2)=∫dx sin(x^2):フレネル積分のときも考えるといいよ。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

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http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

Cartan の複素解析は小平先生のものと比べて、どういう特色がありますか?

小平「複素解析」は後半部分がリーマン面になっている。
つまり一次元複素多様体として扱っている。
これに対してCartan「複素解析」は多変数複素多様体を扱っている。

結局、一変数で具体的に示すか、多変数で理論的に行けるところまで説明するか
という違いがある。
両方とも読んでおく方が良いと思いますよ。

具体例と一般論の違いがあるってことだね。
具体例とはいえ、小平「複素解析」のリーマン面の話は綺麗だし、
ワイル「リーマン面」をコンパクトにまとめたものになってる。
リーマン・ロッホの定理へ向かって真っ直ぐに話が進んでいく。
これを高次元化したら複素多様体の一般論だけど、
Cartan「複素解析」はそういうものを狙った訳ではない。

>>732
親切な返事ありがとうございます。

複素解析は勉強していて楽しい分野なので、Cartan のほうも購入して、
定理の並べ方や証明方法などいろいろ比較してみたいと思います。

だれか複素力学系勉強してる？
いい本あったら紹介してほしいなぁ。

超複素数って？
クウガの超変身みたいなものですか？

>>736
超実数の複素数バージョンなんじゃん？

>>734
老婆心で忠告しておくけれど、カルタンの複素解析は読めたものじゃない。
うちの数学科の教授様は言っておられた。やめた方がいいって。
小平先生のかアールフォースとか読んだら。アールフォースは読んでしま
ったのかな？

>>738
自分で読んで言ってるの？

アールフォースいいか？平凡だと思ったよ。函数論の面白さが伝わってこない。
俺は吉田洋一を読んで感激した。

最近出た「ビジュアル複素解析」ってどうよ？
図を多用してるらしいが。

>>740-741あたりはDQN向け
死んだ方がいい

>>735
京大の谷口さんの本読んでみたら？

岡潔の上空移行の原理が載っている教科書にはどんなのがあるんでしょうか？
小平「複素解析」、高木「解析概論」、堀川「複素関数論の要諦」には載っていませんでした。
上でも挙がっていたカルタン「複素解析」には出ているんでしょうか？
意外と多変数関数論の教科書がないので困っています。

多変数関数論は一変数とまったく違うからね。一変数をやっている人間にはとっつきにくいんだろう。

邦書ではこの二冊には書いてあります。
他にもあるんでしょうが私にはわかりません。

大沢健夫「多変数複素解析」岩波講座　現代数学の展開２
山口博史「複素関数　応用数学基礎講座」朝倉書店

山口さんの本の4章はズバリ「岡の上空移行の原理」となっています。

この本でも岡の上空移行の原理は扱っているとか。

西野利雄「多変数函数論」東京大学出版会

西野さんは岡潔の直弟子で、山口博史さんもこの本を参考にして>>746の本を執筆されたそうです。

>>745
実一変数関数で成り立つ定理を実多変数関数へ拡張するのは素直に行くけれど、
複素一変数関数で成り立つ定理を複素多変数関数へ拡張するのはすーっと行かない。
「多変数函数論」といえばH"ormanderだけど、一般領域では使えない。
ここで指針となるのが岡の上空移行の原理。

多変数を最初にやったのは Poincare でしたっけ？

>>749
YES!

ここまでに出てきた複素関数論の本：

高木「解析概論」
小平「複素解析」
H.Cartan「複素解析」
アールフォルス「複素解析」
堀川「複素関数論の要諦」
大沢健夫「多変数複素解析」岩波講座　現代数学の展開２
山口博史「複素関数　応用数学基礎講座」朝倉書店
西野利雄「多変数函数論」東京大学出版会
Lars Hormander "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables"

高木「解析概論」・・・読んだ、一番最初の部分に循環論法になる部分があると聞いたが本当か？
小平「複素解析」・・・読んでない
かるたん「複素解析」・・途中まで読んだけど面白くなかった
あーるふぉるす「複素解析」・・現在ピカールの定理をマスターすべく勉強中
堀川「複素関数論の云々」・・読んでない
大沢「多変数云々」・・・一番最後の漢文の意味を教えて欲しい
山口「複素関数云々」・・・まだ見た事ない、探してみよ
西野「多変数云々」・・・岡潔の世界に埋もれていきそうでちょっと怖い
へるまんだー「A.....」・・Stein多様体の勉強しなきゃなぁ

まだまだ勉強不足ですな

みなさんは一変数と多変数とどちらが好み？

>>752
ほとんど読んでないのと同じだね。
何か一冊きちんと読んだ方が良いよ。
難波誠さんの本でもいいじゃん。あまり背伸びすると何も
身につかないで終わるよ。

>>752
一変数と多変数を同時に勉強してるの?

微分概念と積分概念からそれぞれどんなものが得られたか？

微分概念→テーラー展開→複素解析→リーマン面→複素多様体論
積分概念→フーリエ展開→実解析→ルベーグ積分→超函数→函数解析

>>755
なるほどちょっと感動。

ところでマクローラン展開ってなに？
マクローリン展開？ローラン展開？どっち？

>>756
テーラー展開の特殊な場合をマクローリン展開といいます。

ローラン展開は-∞から+∞までの級数に展開したもので、複素解析でやります。
留数計算はローラン展開で使うんだけど強力です。

一変数関数論って数学的には終わってるんじゃないか？
まだ開拓の余地があるのかな？

>>758
リーマン面がシンプレクティック幾何学と深い所で繋がっていることが解ったので、
一変数関数論にはまだまだ開拓の余地があるのではないかと思います。
でも、それを説明する能力は漏れにはない。

>>757
いや、マクローリン展開もローラン展開も知ってますが
マクローランというのは初めて聞いたもので・・

>>760
ネタだったのか…鬱氏。

マクローリンを「マクローラン」って読んだだけの筈さ。

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

>>761
いや、半分マジ、半分ネタです。
マクローリン→マクローラン→ローラン
って風に変化してったのかなって思ったんで

>>764
じゃあさ、こういうことだとでも？

テーラー→テーラーマクロ→マクローリン→マクローラン→ローラン

>>765
実際なんかの本にマクローランって書いてあったんです

>>766
そういや友達も同じこと言ってたな。
本の名前は聞かなかったが。

高木の流れを汲んでいればマクローリンと書いてるはずだ。
小平とか杉浦とか・・・
どこの流儀だろう？

誤植じゃねえの？

マクロニー展開は？
http://www.google.com/search?hl=ja&ie=Shift_JIS&c2coff=1&q=%83%7D%83N%83%8D%83j%81%5B%93W%8AJ

>>770
ﾜﾗﾀ

全言語のページからマクロリーン展開を検索しました。
4件中1 - 4件目・ ・検索にかかった時間0.05秒

お前等、数学やる気があるのか？

留数定理を使わないと解けない定積分の計算の例ありますか？

>>774

∫[-∞,∞]exp(iλx)/(1+x^2) dx

☆こんなに見えちゃってヤバクない？？？ ☆
　↓　↓　↓
★貴方の見たい娘がイッパイ（＾０＾）★無修正★
http://endou.kir.jp/akira/linkvp.html

今だ！777ゲットォォｫｫ！！
￣￣￣￣￣∨￣￣￣　　　　　　　(´´
　　　　 ∧∧　　　）　　　　　　(´⌒(´
　 　⊂（ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　 ￣￣　 (´⌒(´⌒;;
　　　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

物理科の者ですが、よい複素関数論の本を探しています。
物理板の教科書スレで

>複素関数論

複素函数論
犬井鉄郎,石津武彦著 東京大学出版会

というのがあったんですけど、どこの本屋にもありませんでした。
どなたか内容などの書評をお願いします。

志賀浩二さんの本でマクローラン展開をﾊｹｰﾝだYO！
志賀さんの記した本全てでマクローラン展開という言葉が使われてるYO
どうやら癖らしい

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>779
どうでもいいだろ。数学の話をしてくれ。

マクローランはMaclaurinのフランス語読みですな。

>>781
マクローリン展開を知ってからこのスレに来ようね・・。

おれにはおまえらがなにを言っているのか分からない
だがおれは数学が好きだ。
おまえら数学がんばれ
おれは工学部だから
結果のみを使うだけだから

>>783
どうでもいいといった意味がわかってないようだな。
マクローリンでもマクローランでもどっちでもいい。
数学の話をしてくれ。

>>785
お ま え も な

恥さらしな>>785のいるスレはここですか？

なるほど>>785の頭の中ではマクローリン展開は数学ではないのか・・。

ﾇﾙﾇﾙちむっぽ

なるほど>>788の頭の中ではマクローリンをマクローランと呼ぶのが
正しいかどうかを議論することが数学なのか。

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

数学にある程度は関係のある話題ではあるけどね。
それを数学の話題と読んだって完全に間違いって訳じゃない。
そういうのを駄目とするのならまず>>790>>785の話題時代をやめるべきですな。

話題時代→話題自体

>>792
負け惜しみ。いいからもうやめろ、マクローランは。

早朝から粘着ごくろうさまです。

お前等、よっぽど数学に疲れてるんだな。
だから、数学と関係ない、くだらない話題に盛り上がるわけだ。
ちょうど、学生が試験前に関係のない本をむしょうに読みたくなる
のと同じだ。もろ逃避。そんなにつらいなら、数学やめてもいいんだよ。
数学だけが人生じゃない。

だからといってくだらないと思う話題をやめさせる事に一生懸命になる必要もないかと。
そっちの方がよっぽど数学に疲れてるように見えます。

>>797
面白い話題なら数学に関係なくても少しはしてもいいよ(あくまで少し)。
この話題は、激しくつまらないんだよ。お前等、よっぽど数学に疲れてるとしか思えん。

>>798
語るに落ちるとはこのことだね。
おれは君の書き込みを見るまで、数学に疲れるなんて
考えもしなかったよ。
そうへこむな。がんがれ。

>>798
ここはお主のスレではない。くだらぬと思うのならば放置するのが賢明です。

>>800
ここはお主のスレでもない。放置するしないは個人の自由。
くだらない話題を数学と関係あると勘違い
してる奴がこのスレでのさばってるんで、言ってみたわけだ。
これで、本来の複素関数論の話題に戻れば、俺の意見も少しは
役に立つわけだ。

>>799
少なくとも複素関数論の面白さをよく理解してないようだな。
もし理解してたら、マクローランなんて呼び方はどうでもいいと思うはずだ。

マクローランがどうでも良いというのには同意できるがなぜにそんな必死なの？
確かに放置しない自由もあるわけだけどさあ。
むしろ自分が複素関数論の面白さを語ればイイと思うけどなあ。

必死なわけないだろ。半分からかってるだけ。本来のスレに戻すため
というのも、５０％くらい単なる口実。といって、マクローラン
の話題はもううんざりだよ。

http://homepage.mac.com/maki170001/

>>804
叩かれて辛いのは分かりますが人に迷惑掛けるのはやめましょう。
必死なわけないといいながら相当感情高ぶってますね。
>>804で何を言っているのか全く理解できません

>>773=>>781=>>790=>>794=>>796=>>798=>>801=>>802=>>804

迷惑なのはお前等だろ。俺は、正常なスレに戻そうとしてるわけだ。
例えそれが建前だとしてもだ。

>>808
多数決により迷惑なのはあなたです。

なにやら盛り上がってるような所申し訳ないのですが
四元数についてなんか面白い本は>>152あたりなんですか？
amazonで検索かけてもこれしか出てこないんですけど。
1年の線形代数に出てきた4元数がどうも気になってて一度
ちゃんと勉強してみようと思うんですけど。
>>530のクリフォード代数とかも関係あるんですかね？
検索かけて4元数と関係があることはわかったんですが
一体何者なのかが全く分かりませぬ。誰か詳しい人教えてくれませんか

スレが荒れるから皆さんこれ以上そういう事は書きこまないように、
>>808も正常なスレに戻したいんだったら文句ばっか言ってないでなにか話題を振れよ

＝＝＝＝＝＝＝＝以後放置＝レス不要＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

>>810
Lie 群とか表現論やればわかると思われ。

Lie環　Lie群　理論物理　微分幾何　くらいかな。

すみません、Lie群とかLie環ってなんですか？名前しか聞いたことありません。
微分幾何は多様体ですよね？３年のときにほんの少しだけやりましたけど、、、

道は険しそうな悪寒。

なんで俺の言うこと聞いてくれないんだよーーーーー！！！うわぁぁぁぁぁぁぁーーーーーーん！！！

ﾁﾝﾎﾟでかいんだからなーーーーー！！！！どきゅーーーーーーーーーん！！！！！！！！！！

リーマンロッホの定理の証明が分かりません。
分かりやすい証明が載ってる本を教えてください。

>>816
誰の証明？どの本を読んで解らないの？
それがわからないとどのレベルの本を紹介するべきかわからぬ。

>>817
岩沢の代数関数論です。

>>818
それなら　環と体２　堀田　岩波　　の３章。

>>819
その証明は岩沢と同じ方法、つまりアデール環を使ったものですか？
あの証明は技巧的、人工的で好きじゃないんです。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>820
アデ−ル使うね。

>>822
贅沢を言って申しわけないですが出来れば複素解析的証明がいいですね。
岩沢の証明は代数的というか数論的ですね。リーマン面は、
複素多様体として捉えることも出来るし、代数曲線として捉えることも
出来るし、代数関数体の素点の集合としても捉えることが出来る。
この観点の違いにより、それぞれ複素解析的、幾何的、数論的な
証明があると聞いたことがあります。私としては、古典的な
複素解析的証明が知りたいです。

＞私としては、古典的な複素解析的証明が知りたいです。

ひたすら微分方程式の議論をするやつだよね？
あれはメチャクチャ難しいぞ。
オレは理解出来なかった。
普通は層コホモロジ−を使うが、これは本質的にアデ−ルの証明と同じ。

つまり、この２つは矛盾である、と。

＞分かりやすい証明が載ってる本を教えてください。

＞出来れば複素解析的証明がいいですね。

>>825
両立しますよ。複素解析的証明で分かりやすい証明ってことですが。
このことを最初に言わなかったのはこちらの落ち度ですが、
ここは複素解析のスレなので断るまでもないと思ったわけです。

826ですが、訂正します。
上の｢両立しますよ。｣は削除します。
複素解析的証明で比較的分かりやすい証明があれば、教えて下さい。

>>824
>普通は層コホモロジ−を使うが、これは本質的にアデ−ルの証明と同じ。

層コホモロジ−を使う方法って、セールの双対定理を使うやつですか？
あれは、確かセールが｢代数群と類体論｣という本の中で、
アデ−ルを使った証明は技巧的であるが、彼の双対定理を使う証明は
リーマンロッホの証明の中で最も自然な証明と書いていたように記憶
してますが。これからみると、アデールの証明と本質的に同じとは
思えないんですが。ただ、セールの双対定理自体が難物ですよね。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/2ch.html

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>826
「両立しますよ。」と言いきれるぐらい知っているなら、
その古典的な複素解析的証明は誰によるものであるか言ってもらえると
他にもこういうのがあるよと説明し易いわけなんだがな。

>>831
827で訂正してあります。Weylですが。

小平の複素解析の後半部分とかはどうなん？
ワイルと似てると思うし、わかりやすいと思うよ。
人によっては小平は議論がくどいとも言うけど。

小平先生の本はくどいけど、きちんと読めば、明快で分かりやすいと思う。

>>816のネタ振りはこの辺で終了でいいのか？

Q.リーマンロッホの定理の証明が分かりません。
A.小平の複素解析の後半部分をきちんと読めば、明快で分かりやすい。

有難うございます。
だけど、小平の本は絶版じゃなかったかな？
図書館で見てみますか。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz10.html

>>833
それは解析的にうるさい

及川広太郎「リーマン面」共立
にも一味違ったリーマンロッホの証明があるでよ。

リーマン面の理論の初歩で一番難しいのは解析関数の存在定理ですよね？
リ−マンでさえ証明に失敗したところです。私は、岩沢で勉強しましたけど
よく理解出来なかった。小平もちょっと見ましたけど難しくて追う気力が
失せました。しかたないので定理は証明抜きで鵜呑みにしています。
ただ、私の関心のあるリーマン面の大部分は代数曲線であり、
この場合、解析関数の存在は自明なので、この方針であまり不自由は
していません。

＞私の関心のあるリーマン面の大部分は代数曲線であり、
＞この場合、解析関数の存在は自明なので、

リーマン・ロッホを使うだろ。
晒しあげ。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/hankaku07.html

>>841
リーマン・ロッホはセールの双対定理を使う証明で理解しています。
セールの双対定理はハーツホーンの本で勉強しました。

小平のより説明がわかりやすそうな本としてはこういうのがあります。

Phillip A. Griffiths "Introduction to Algebraic Curves" AMS
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0821845373

>>840
堀川穎二の複素代数幾何入門に層と簡単な関数解析を使った証明があった。
この証明はわりと分かりやすい。
Xをコンパクトリーマン面。O_XをXの構造層とするとき、
１次元コホモロジー群 H^1(X, O_X) が有限次元であることを証明する。
これから定数以外の有理型関数の存在が言える。

Griffithsの本は、前半でアーベルの定理とリーマン・ロッホの定理の証明をやり、
後半ではその二つの定理の応用をやります。この応用に力点を置いているところが
ワイル、小平と違うところです。

>>846
応用に力点を置くってのは大事ですね。大抵の本は、リ−マンロッホと
アーベルの定理の証明を最後の方で証明して終わってしまう。

画像集！
http://www.sexpixbox.com/pleasant/dx/index.html

リーマン・ロッホの定理って位相的な性質と代数的な性質が一致するという定理だけど、
同じように異なった性質が一致する定理としてガウス・ボンネの定理があるじゃない。
なんでガウス・ボンネの定理に比べてリーマン・ロッホの定理って説明が難しくなってしまうんだろう。

位相的な性質と代数的な性質が一致するという定理を証明する場合、
[A]位相的な性質を調べた結果、代数的な性質が導けたという道筋で説明するのか、
[B]代数的な性質を調べた結果、位相的な性質が導けたという道筋で説明するのか、
二通りの説明の仕方がある。
小平やワイルの本では[A]の方法で説明している。
岩澤の本では前半で[B]、後半で[A]を説明し、両方の考え方を紹介している。

それぞれの問題点をまとめてみよう。
[A]の場合、問題となるのは証明が長くて道を見失い易い事と特殊性指数や正準因子の概念が何故出てくるのか分からないこと。
[B]の場合、問題となるのは証明は短いが道筋自体が抽象的で分かり難い事と代数的な準備がかなり必要なこと。

正則微分のなすベクトル空間の次元が位相的な種数と一致する
というのは著しい結果であり、この証明は厄介。
っていうか、どうやって証明するんでしたっけ？

岩澤の本の緒言によれば、
リーマン・ロッホの定理には３通りの方法がある。
[1]代数的方法(Dedekind-Weber-Schmidt-Weil)
[2]解析的方法(Riemann-Klein-Hilbert-Weyl)
[3]代数幾何学的方法(Brill-M.Noether)
しかし、岩澤の本で[3]は扱っていない。
代数幾何学的方法を扱っている本はあるんでしょうか？

岩波の講座にないか?

WalkerとかFultonの代数曲線の本は代数幾何的方法で
リーマンロッホを証明していたと思う。

>>854
Walkerの本はスキームは使いますか？
複素関数論の知識は初歩的な知識も怪しいですが読めますか？

代数幾何的方法では今の知識でいう所のヤコビ多様体の概念が使われるので、
ヤコビ多様体の構成の難しさがある。
そのため、代数的方法、解析的方法と比べて代数幾何的方法にも理解を困難にする問題が横たわっている。

>>856
実は、自分ではWalkerの本に関して言えばそれに関する講義をきいた事があり読めると
直感しているわけですが、本が手に入らず知り合いの詳しい人に尋ねるために>>855
を書きました。お答え願えませんか？

>>855
スキームは使いません。Walkerは古いし,本当に幾何的証明なのか
今手元に本がないので確信が持てない。Fultonなら確実に
Brill-M.Noetherの方法を使っている。この本もスキームは
使わないがより現代的に書かれている。必要な基礎知識は
代数の初等的知識(群、環、体、線形代数)のみ。

歴史的にはリーマンが示した解析的方法が最初に出てきた。
（それが解析的方法が一番わかりやすいという事を示す訳ではないが。）
リーマンが示した際の問題点はディリクレ原理だった。
ワイエルシュトラスがこれを指摘したが、シュワルツ、ニューマンが別の方法を編み出して解決した。
クラインとヒルベルトはリーマンの考えた方向でディリクレ原理を解決した。
その後、ヒルベルトの方法を簡略化したワイルは>>832の著書にそれを示している。
これは直交射影の方法と呼ばれている。
直交射影の方法には２つの方法がある。
ワイルの本ではルベーグ可測関数を用いる方法が載っている。
小平の本ではルベーグ可測関数を用いない方法が載っている。

>>858
どうもありがとうございました。記憶していた感じに近いと思います。
Fultonの本も面白そうですね。重ね重ねありがとうございました。

Q.リーマンロッホの定理の証明が分かりません。

A.どの方法が分からないかによってお勧めの本が異なる。
[1]代数的方法⇒岩澤
[2]解析的方法⇒ワイル、小平
[3]代数幾何学的方法⇒Fulton

>>855
今Walkerの本を探してきました。確かにFultonより古いですが、
こちらも捨てがたいですね。むしろFultonよりいいかもしれない。
確かに代数幾何的方法でリ−マンロッホを証明してます。
必要な予備知識はFultonと同じかそれより少くていいでしょう。
本の中で必要な代数的知識はある程度説明してあります。

上で挙がっている本は全てここに網羅してある様です。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/tg/listmania/list-browse/-/1Z9C5559QBP6

>>862
どうも、わざわざ探してきて下さってありがとうございました。
やはり、自分の記憶道理のようです。

ブリル-ネーターの方法は、少々古臭いが、
ファン・デル・ヴェルデン，「代数幾何学入門」，シュプリンガー東京
にもある。これなら学部1年生からでも読める。

>>863
どうもありがとうございます。
自分が本屋に言った時も言われたし、そのHPにも書いてありますが
版元切れだそうです。

>>859
Weylの本には直交射影の方法は使われていないです。
ただし、1913年の初版に関してです。ひょっとして1955年の
第３版では直交射影の方法が使われているのかも知れない。
小平によるとWeylは直交射影の方法の発案者(1940年)にも
かかわらず、その方法は好きでなかったらしい。
つまり非構成的方法であり、数学的に安全でないと考えて
いたらしい。

>>865
そうですか、それじゃあ、手に入りますね。
どうも、ありがとうございます。

リーマンロッホの定理に関連する話題として>>846にあるような応用の方向がありますが、
もう一つ、高次元化の方向性があります。
高次元化については「現代数学の土壌２」に堀田良之さんの解説があります。
その方向ではヒルツェブルフのリーマンロッホの定理をさらに拡張した
アティヤーシンガーの指数定理にまで話が広がっていきます。
ヒルツェブルフのリーマンロッホの定理やアティヤーシンガーの指数定理において、
[1]代数的方法
[2]解析的方法
[3]代数幾何学的方法
をそれぞれ考えてみるのも面白いテーマですね。

>>869
ある代数幾何数学者が書いていたが、代数曲線に対しては
リーマンロッホは非常に強力だが高次元代数多様体では
リーマンロッホはそれ程有効ではないそうです。
もっと別の公式で強力なものがあるはずとか、あって欲しいとか
書いていた。

>>869
一次元の場合は、複素多様体、代数多様体、代数関数体は本質的には
同じものであるという三位一体が成り立ちますが、高次元では
成り立ちません。従って、一次元の場合のように３種類の証明方法が
あるとは考えにくい。

>>870
例えば、代数曲面における宮岡-タウの不等式のようなものかな？

http://that.2ch.net/test/read.cgi/gline/1059880142/
■2ちゃんねらー分布地図 Part6■
　ただいま２ちゃんねらー分布地図の製作を行っています。
　お手数ですが、時間に余裕がありましたら
　本スレに都道府県と市町村名をカキコしてください。
　現時点での分布はこの図のようになっています
　http://map2ch.tripod.co.jp/map.png

※郡部にお住まいの方は郡と町、村まで
　政令指定都市にお住まいの方は区までお願いします。

2ちゃんねらー分布地図 Part6
http://life2.2ch.net/test/read.cgi/kankon/1059914321/　←書きこみはコチラ

>>867
Weylさんの世代では構成的であることは重要だったようですね。
今ではブルバキやグロタンディークの影響から抽象・非構成的なものにも寛容になっていますが。

Weylの本ではどんな方法で証明しているんでしょうか？

>>871
高次元バージョンでは[1]代数的方法、[2]解析的方法、[3]代数幾何学的方法
のどれに近い証明方法なんでしょうか？

>>875
代数幾何学的方法

>>876
ヒルツェブルフのリーマンロッホの定理やアティヤーシンガーの指数定理を理解するためにも
Walker、Fulton、ファン・デル・ヴェルデンの本でBrill-M.Noetherの代数幾何学的方法を勉強してみようと思います。
ありがとうございます。

リーマンの不等式：g≧1＋degＤ−l(Ｄ)

欠如数：i(Ｄ)＝l(Ｄ)−degＤ−1＋g ⇔ l(Ｄ)−i(Ｄ)＝degＤ＋1−g …�@

ロッホの公式：i(Ｄ)＝l(Ｗ−Ｄ) …�A

�@�Aよりリーマン・ロッホの公式は、

l(Ｄ)−l(Ｗ−Ｄ)＝degＤ＋1−g.

リーマン・ロッホの高次元化については>>869の「現代数学の土壌２」に
堀田良之さんの解説があるけど、層のコホモロジーを使った方法(p.88-90)が紹介されている。
じつは堀川穎二さんの複素代数幾何入門も同じ方法なのだが、この方法の発見によって高次元化とホモロジー代数化が促されたということらしい。
この方法を代数幾何学的方法と呼ぶ。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/

>>870
今はどうなのか知らないけど、昔はリーマン・ロッホと消滅定理と・・・
もうひとつは忘れたが三種の神器と言われていた。

宮岡-タウの不等式のようなものを>>878のように拡張できれば高次元代数多様体でも有効な道具ができるのかな？

教えて君ですみません。
定理をみつけた時って、どこに発表すればよいのでしょうか？
へたに伝えると、悪意で使われる気がして・・・

>>882
発表せずに秘蔵しておいた方が良いでしょう。
悪意で使われる可能性もありますし。

>>883
ありがとうございます。
そのように致します。しかし、現在の研究の発展を考えると
「解る」というのは言葉では言い表せない心の矛盾を感じます。

>>881
ヒルツェブルフのリーマン・ロッホの定理と消滅定理と双対定理の３つを三種の神器と呼んでいました。
ヒルツェブルフより前に小平もケーラー用のリーマン・ロッホの定理を秘蔵していて消滅定理と双対定理の３つを駆使して研究していたそうです。

http://homepage.mac.com/hiroyuki44/jaz05.html

>>879
一次元複素代数多様体のリーマン・ロッホの定理の代数幾何学的方法は、トムのコボルディズムを基礎に拡張すると、ヒルツェブルフのリーマン・ロッホの定理が出てくる。
ヒルツェブルフのリーマン・ロッホの定理からは(1)グロタンディークのリーマン・ロッホの定理(2)数論的リーマン・ロッホの定理(3)アティヤー・シンガーの指数定理、が出てきます。
数論的リーマン・ロッホの定理はアラケロフの交点理論を取り入れる。これにはファルティングスの教科書がある。
アティヤー・シンガーの指数定理はグロタンディークのリーマン・ロッホの定理から出てきた。
以上の話からこういう流れを追ってみると面白いと思います。
リーマン・ロッホの定理の代数幾何学的方法⇒ヒルツェブルフのリーマン・ロッホの定理⇒グロタンディークのリーマン・ロッホの定理⇒アティヤー・シンガーの指数定理

今だ！888ゲットォォｫｫ！！
￣￣￣￣￣∨￣￣￣　　　　　　　(´´
　　　　 ∧∧　　　）　　　　　　(´⌒(´
　 　⊂（ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　 ￣￣　 (´⌒(´⌒;;
　　　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

>>881
>>885
三種の神器の話は小木曽さんの代数曲線の本にも書いてありました。

やばいレベル高くなってきた。

ついていけん！！！！！！！！！！！

>>890
たしかに。
しかし、代数関数論のリーマン・ロッホの定理でも、
Brill-M.Noetherによる代数幾何学的方法が重要だということを知らなかったので
大変勉強になりました。どちらかというと解析的な方法が重要だと思ってましたから。

Faltings の数論的リーマンロッホの定理に関する本がありますが、
あれはどういう位置づけですか？

>>892
読んだ事ないので伝聞ですが、解析的なテクニックが全部、断熱極限として扱われていて、Faltingsの流儀で全篇押し通しているそうです。つまり、類書が無いという事です。わかりやすく数論的リーマンロッホの定理を解説してくれる本が出ないかなと思います。

>>892-893
Gerd Faltings "Lectures on the Arithmetic Riemann-Roch Theorem" Princeton
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0691025444/

>>892
下記の本にJ.ジョルゲンソン/S.ラング 「どこでも熱核」という小文が収録されていますが、その中でFaltingsの本が紹介されていて分かりやすいです。P.161-162を参照。

数学の最先端 21世紀への挑戦〈volume2〉
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4431709630

複素関数論を逸脱してるな。
たぶん、数学板のｽﾚの中で今現在一番レベル高い。

では、少しレベルを下げて(?)、アーベル・ガロア楕円関数論(朝倉書店)。
読んだ人いたら感想聞かせて下さい。

>>896
＞複素関数論を逸脱してるな。

逸脱していないですよ。
数論的リーマンロッホの定理は、ビスミューが確率積分を用いて熱核を扱ったが、ファルティングスが確率論の言葉を使わない方法に改めた。
この辺の話は極めて複素関数論的な解析学の話です。

>>778
の本を誰か知りませんか？どこの書店にも置いてないんですよ。
主値積分とかのってますか？

>>899
売ってます。

犬井鉄郎,石津武彦「複素函数論　東京大学基礎工学」東京大学出版会
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4130640089

>>899-900
マルチにマジレス（ｗ

>>900
アマゾンで注文しようか迷ってるんですよ。
中身をみれないので困ってるんです、、、

図書館においてないの？

>>903
図書館に行く気すら無いんだろ。
他にもっと良い本があるかどうか探す気もないんだろうし。
やる気の無い奴にかまっても時間の無駄。

>>856
リーマン面とヤコビ多様体とテータ関数の関係って、
リーマン・ロッホの定理とも関係があるんですか？

図書館にもありませんし、かなりの数の大型書店を探しまわりました。
それでもみつからないのです、、、
ご存知ないですか、、、

>>906
激しくスレ違い。数学の本スレで訊け。

只今、放送中！
浜崎あ○み･松嶋奈○子･矢田亜○子・木村よ○のに極似！！！
生脱ぎ･生オナ･･･その他あなたの要望に応えます。

http://61.115.1.12/index.html

>>907
本スレでもきいてんだろがボケ！
しね！

あまりの馬鹿さ加減、居直りかよ…(;´д`)

マルチダ夫人がここにもいるんですか？

>>911
誰にも相手にされんだろうよ（ｗ

複素関数について語るから複素関数論と言う。

ど〜ぞど〜ぞ、気の済むまで御語りください（ｗ

いや、気の済むまで語りきった。

じゃあ、>>905に答えてやれよ。簡単だろ？（ｗ

分からないので916に任す。

>>917
パチンコは元々細々と景品交換していた庶民の娯楽だった。ところが敗戦後
駅前の一等地を襲撃・不法占拠した朝鮮人が、米軍から横流しされたタバコ
を景品にしたことで、それを渇望していた庶民を急激に魅了し、その上戦勝国民
を自称した彼ら三国人・朝鮮人はバックの朝鮮系ヤクザ共々“不逮捕特権”を
武器にして公然と換金行為まで行って賭博産業としてぼろ儲けし始めたのだ。
今や脱法ギャンブル産業パチンコは社会病理の根源として深く根をおろして
いる。主婦のパチンコ依存症は人格形成に最も重要な時期にある幼児のネグレクト、
駐車場車中での子供の熱中症死、サラ金地獄・主婦売春・ソープ転落という
朝鮮人産業たらい回しを生みだし、暴力団への利益供与、特定顧客への出玉
遠隔優遇、裏ロム、北朝鮮への送金資金源、そして毎年のように超高額脱税
が摘発されるなど、表15兆、裏15兆とまで言われるまでの異常な現実に。
今日大概のパチンコ店経営者は日本最高企業・トヨタ社長の年収すら遥か下に
見下ろして長者番付の上位に連なるなど日本の所得配分・資産蓄積において
著しい不均衡を生み出している。
つまり得体の知れないインチキ産業・脱法賭博産業経営者が日本で最も儲けて
しまっているのである。これは戦後日本社会の悲劇である。
その上、パチンコ店を警察が天下りの対象として癒着構造を形成していることは
公権力がその最重要の捜査・警戒・監視対象と特別な関係を持つことになり、
さまざまな裏社会の悪行取り締まりを不可能にしてしまっている。
亀井と許の関係、後藤田と朝総連の関係を見れば明らかだ。
今すぐパチンコの換金行為を全面禁止し、脱法経営者をことごとく摘発するべきだ。
これ以上朝鮮人に荒稼ぎさせてはならない。
パチンコにはせめて競馬、競輪、宝くじ並みの重税をかけなくてはならない。
そして、ここが最も重要なのだがパチンコをしている人は今日をもって止めて欲しい。
周りのパチンコをしている家族、友人、知人にも止めるように勧めてくれ。
パチンコをするという事は北朝鮮を支援する事に直結するんだ。
止めろ！　日本人なら止めるんだ！！「売国奴」に堕ちるな！！！

おらおら早く書評しねーと荒らすぞ！

>>912に戻る。

>>919
なかなか良かったよ。

>>917
わからねえじゃねえよ。調べてでも書き込め。

勉強して>>816-898のレベルで話せるようになるまで戻ってくるな。

>>923
虎の威を借る狐かよ！！！

確かにそれは正論だな。了解

コンパクトなリーマン面、ほぼ同じことだが代数曲線の理論は、
面白過ぎ。飯を食うのもsexするのも忘れるほど。
解析、代数、幾何が密接に絡み合う。しかもそのどれもが
高いレベル。この分野はまじで気をいれてやる価値があると思うよ。
フェルマーの定理で有名になった、楕円モジュラー関数も、当然関係ある。
モジュライの理論は、string theoryとも関係する。

もう古いかと…．

>>926
string theoryってどういう理論ですか？

>>928
楽器工学です。特に弦楽器の。

>>929
そうなんですか、>>927で古いと言われているのですが、どの位前に
研究されていたのでしょうか？

レベルについていけないやつが、下らんレスつけ始めた…

「おまえもな」

だよな　ｗ

>>931
お ま え が な

じっと静かになるまで見守っている視線に気がつかんかなあ？
お前等、実生活でもそういう視線に気がついたほうがイイんと違うか？

>>933
ごめ
すづかにしてますです…

>>874
ワイルの「リーマン面」のディリクレの原理による調和関数の存在証明は、区分的に滑らかな関数の列
　u_1, u_2, u_3, …, u_n, …
をうまく構成して、その極限として求める調和関数
　u＝lim u_n
を得るというもので、直交射影の方法による証明よりもはるかに安全である考えられていた。
それはワイルが直観主義の立場に立っていたからだそうだ。

直交射影の方法は、調和微分形式の存在証明に有効な方法でありワイルが発見した。

Weyl,H., The Method of Orthogonal Projection in Potential Theory, Duke Math. Jour., 7(1940), 411-444

もっとも、ワイルの「リーマン面」は1913年だから、まだ直交射影の方法は発見されていないのだが。

ワイルの「リーマン面」の第一部はトポロジーで、第二部はポテンシャル論になっている。

リーマン面上の実数値関数uが(多価)複素解析関数の実数部であるための必要十分条件は、リーマン面上の実数値関数uが調和関数であることであり、ワイルの「リーマン面」ではこの証明を二つの部分で構成している。
[1]リーマン面上に与えられた特異性をもつ実調和関数を構成する。
[2]その調和関数を実部とする複素解析関数の存在を証明する。

[2]に用いたディリクレの原理はリーマンの証明に穴を空けた事でも有名である。

ディリクレの原理と簡単にいっているが、実は２つある。
１形式に関するディリクレの原理と関数に関するディリクレの原理の２つがそれ。
１形式に関するディリクレの原理から関数に関するディリクレの原理を導くことが出来る。
ワイルの「リーマン面」では関数に関するディリクレの原理を証明しているのに対し、
小平の「複素解析」では１形式に関するディリクレの原理を証明するという方針の違いがある。
直交射影の方法は１形式に関するディリクレの原理の証明に使われるが小平の「複素解析」ではあえて使っていない。

K.Kodaira, Harmonic fields in Riemannian manifolds(generalized potential theory), Ann. of Math.,50(1949),587-665

こちらの論文には直交射影の方法が使われている。

前にも紹介した堀川の本に書いてある方法。
O_Xをコンパクトなリーマン面Xの正則関数のなす層。
H^1(X, O_X)を１次元コホモロジー群とする。
これがC上有限次元が言えれば、X上に０でない有理型関数
が存在することが簡単に出る。H^1(X, O_X)の有限性は
２乗可能積分なコチェインを考え、直交射影の方法を使うと
２，３ページで証明できる。

解析的方法には３つぐらい有名な本がある。

１形式に関するディリクレの原理を証明するという方針には、
直交射影の方法を使っている岩澤の「代数函数論」と
直交射影の方法を使っていない小平の「複素解析」がある。

岩澤の本はルベーグ可測関数を用いる方法で、
小平の本はルベーグ可測関数を用いない方法と考えてもいい。

関数に関するディリクレの原理を証明するという方針には、
ワイルの「リーマン面」がある。

岩澤の「代数函数論」を読んで分からないなら、
まず小平の「複素解析」を読んでみるとルベーグ可測関数を用いない方法なので理解できるかもしれない。
小平の「複素解析」を読んで分からないなら、ワイルの「リーマン面」を読んでみるといい。
こちらは１形式に関するディリクレの原理を証明するステップを踏まずに、直接、関数に関するディリクレの原理を証明するので論理が明快で分かりやすい。

ワイルの本の内容を簡単に書き出してみると

[1]コンパクト１次元複素多様体が三角形分割を持つことを示した。
[2]リーマンの切断線の理論を厳密に再構築した。
[3]ディリクレの原理を用いて特異点を持った調和函数や調和形式の存在を証明した。
[4]リーマン・ロッホの定理を証明した。
[5]アーベルの定理を証明し、関連するヤコビの逆問題とアーベル函数論の関係を示した。。
[6]リーマン・ポアンカレ・ケーベの一意化定理によって、リーマン面をその普遍被覆多様体の商多様体として取り扱うことが可能になった。

これを高次元化した小平の論文ではリーマン・ロッホの定理は含まれなかったが、その他はほとんど含まれている。ワイルにとってこの論文の手法が自分の本を原型にしていることが余程うれしかったらしく、第三版の序文で紹介している。

K.Kodaira, Harmonic fields in Riemannian manifolds(generalized potential theory), Ann. of Math.,50(1949),587-665

実はその５年前にドイツ語で刊行された論文もある。

K.Kodaira, Uber die harmonischen Tensorfelder in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, �U, Proc. Imp. Acad. Tokyo, Vol. 20 (1944)

リーマン・ロッホの定理の高次元化は、セールが予想し、ヒルツェブルッフが証明した。

ヒルツェブルッフのリーマン・ロッホの定理の証明はドイツ語で刊行された論文にある。小平の東大紀要以来12後のことである。

F.Hirzebruch: Neue Topologische Mwthoden in der Algebraischen Geometrie, Erg. der Math., H. 9, Springer-Verlag, 1956.

小平の全集が欲しいんだが、絶版みたい。

>>943
インターネットで古本を見つけたので注文した。270ドルなり。
210ドルのもあったが、こっちはハードカバーなんで。
天才数学者の全集だ、安い買い物。

>>944
３冊セットで $270?

>>942
英語版、日本語版もある。小平はちょっとくやしかったみたいだね。
｢私にはこういう難しい定理を証明する才能がないようだ｣みたいな
ことを書いていた。

>>945
Yes.

数学板にしてはレスが速めのスレなので>>950あたりで次にいきますか？

女子校生がヤられてます！
アニメの中の美少女もヤられてます！
当然モロ見え。無料画像をどうぞ。
http://www.pinkfriend.com/

数学の本はすぐ絶版になるね。いいと思ったら無理してでも買って
おいたほうがいいね。

http://homepage.mac.com/hiroyuki45/hankaku09.html

高次元化の流れで話を続けよう。

リーマンの理論で最後に解明されたのがモジュライの理論である。
リーマンの等角写像の理論がタイヒミュラーの擬等角写像の理論に1930年代に拡張されると、
リーマンが示した3p-3次元のパラメーターの解析的な明らかになった。
その後、タイヒミュラー空間の理論は姿形を変えて骨太く一般化され、
小平・スペンサーの複素構造の変形理論へと発展した。
この発展段階は多くの著作物に再現されて残されている。

K.Kodaira, D.C.Spencer, On deformations of complex analytic structures, �T-�U, Annals of Math., 67(1958), pp.328-466
小平邦彦「複素多様体と複素構造の変形 Ｉ．」TOKYO UNIV.MATH.(1968)
小平邦彦「複素多様体と複素構造の変形 �U．」TOKYO UNIV.MATH.(1974)
小平邦彦「複素多様体論」岩波書店(1992)

>>946
ちょっとどころか、かなりね。

少し引用してみよう。
『ヒルツェブルッフはプリンストンに来たときには、あまりものを知らなかったですね。
・・・
ヒルツェブルッフはプリンストンに来てからチャーン類の多項式の研究を始めて、
わずか一年と二ヶ月で有名なリーマン・ロッホ・ヒルツェブルッフの定理を証明したんです。』

こういう奴を間近に見ると自分には才能がないようだと思うんでしょうね。

種数g > 1のコンパクト・リーマン面の同型類の全体が、
ある高次元の代数多様体の点と１対１に対応する
というのがモジュライの理論。この代数多様体の次元が
3g-3になることを、既にリーマンの天才は見抜いていた。

しかしリーマンといえども複素構造の変形理論までは見えていなかったでしょう。
変形理論は奥が深いよ〜。

複素多様体って、どんな分野なんでしょうか？

代数幾何？
位相幾何？
微分幾何？

それとも、この全部を網羅してる分野？

>>956
全部を網羅しているわけではない。
つまり、複素多様体論をやったからと言って、上記の３分野の
専門家になれるわけではない。
しかし、上記の分野のかなりの知識が必要なことは確か。
数学は結局一つ。つまり数学の各分野は密接に関連しているんじゃ
ないでしょうか？

>953
あまりものを知らなかったのはスペンサーだったと書いて
いた。

ヒルツェブルフについて、この本は外せないでしょう。

ヒルツェブルフ「代数幾何における位相的方法」吉岡書店

層の理論と同環境の理論、Todd種数を用いてヒルツェブルフのリーマン・ロッホの定理を証明し、ファイバー束、特性類等の概念に明快な解説を与える。

>>953,>>958
やっぱりヒルツェブルフですね。>>953の一節がそのまま掲載されてます。
怠け数学者の記のP.221参照。

リーマン面のオリジナルがこれ↓なら、

Ｈ.ワイル「リーマン面」岩波書店(原書1913,和訳1974)

高次元化はこれら↓３つを会わせたものに相当する。

K.Kodaira, Harmonic fields in Riemannian manifolds(generalized potential theory), Ann. of Math.,50(1949),587-665
ヒルツェブルフ「代数幾何における位相的方法」吉岡書店
小平邦彦「複素多様体論」岩波書店(1992)

これ↓の和訳に相当するのってあるのかな？

K.Kodaira, Harmonic fields in Riemannian manifolds(generalized potential theory), Ann. of Math.,50(1949),587-665

>>962
論文の英語、それも日本人の書いた英語だ。
辞書を引けば理解出来る。

>>963
そういうことじゃなくってさあ。
すぐそういう反応ってのも、底の知れた奴だな。
浅い研究しか出来ないと思うよ。

大数学者の書いた論文の劣化コピーを日本語で読みたいと言ってるほうが･･･

>>965
知らないなら書くなよ。
そんなレスしてどうするよ。
ただの荒らしか？

>>942
ヒルツェブルッフがリーマン・ロッホの定理の証明を解決したのは1953年の秋らしいんだけど、
論文は1956年なんだね。
小平とヒルツェブルッフの共著論文も1957年まで3年ぐらい出来あがらなかったらしいし。
この頃、多産だった所為で論文を書くのが追いつかなかったみたいだね。
偉大な数学者って必ずこういう時期があるんだろうね。

次スレは970が立ててくれ。
このスレッドと同じ展開になるようなタイトルなら何でもいいから。

969もｹﾞｯﾄしとく。

小平さんがアメリカにいた1949年から1967年までの18年間の略年表

1949　調和積分論の発表(Harmonic fields in Riemannian manifolds)
1949　プリンストン高等研究所に渡米。
1949.10　プリンストン大学のスペンサーと出会う。調和形式のゼミを週一回行う。
1950.01-04　ワイルとジーゲルの指導で調和形式のゼミが始まる。
1950.05　MITで講演。ザリスキー、ホッジと親睦。
1950夏　シカゴ大学でヴェイユ、岩澤と勉強。ケーラー曲面上のリーマン・ロッホの定理を証明。
1950.09-1951.06　ジョーンズ・ホプキンス大学に移る。チャウと共同で研究。
1951　リーマン・ロッホの定理の証明(The theorem of Riemann-Roch on compact analytic surfaces)
1951.06　プリンストン高等研究所に戻る。
1951?　スペンサーと層のゼミを始める。複素曲面分類論の開始。
1952　チャウと共同で代数的に独立な有理型関数をもつ曲面は代数曲面であることを証明(On analytic surfaces with two independent meromorphic functions)
1952.09　スペンサーの世話でプリンストン大学に移る。スペンサーとの共同研究が始まる。
1953春　スペンサーとの共同でセベリの予想の層による証明。
1953秋　ヒルツェブルッフがリーマン・ロッホの定理の証明。
1953　消滅定理を発表(On a differential-geometric method in the throry of analytic stacks)
1954　ホッジ多様体が射影的になる証明を発表(On Kahler varieties of restricted type(an intrinsic …))
1954.09　フィールズ賞を受賞。
1955.04　アインシュタイン死去。
1956　フレーリッヒアとノイエンハウスが複素射影空間の複素構造は変形できないことを証明。
1956秋　スペンサーとの共同で複素構造の変形理論の研究を開始。
1957　ヒルツェブルッフとの共同論文(On the complex projective spaces)
1958　複素構造の変形理論を発表(On deformations of complex analytic structures, �T-�U)

1960　楕円曲面論の発表(On compact complex analytic surfaces, �T)
1960　高木貞治死去。
1961.09-1962.06　ザリスキーの誘いでハーバード大学に移る。
1961冬　広中平祐が特異点解消問題を解決。
1962.09-1965.06　チャウの誘いでジョーンズ・ホプキンス大学に移る。
1963　楕円曲面論の発表(On compact complex analytic surfaces, �U-�V)
1964　K3曲面論の発表(On the structure of compact complex analytic surfaces, �T)
1964.08-09　スタンフォード大学でスペンサーと休暇を楽しむ。
1964.10　ギルバーグにスタンフォード大学に誘われる。
1964.10　ミルナーにプリンストン大学に誘われる。
1965夏　スタンフォード大学に移る。
1966　K3曲面論の発表(On the structure of compact complex analytic surfaces, �U)
1966夏　日本に一時帰国。
1967.08　帰国
1968　K3曲面論の発表(On the structure of compact complex analytic surfaces, �V)
1968　K3曲面論の発表(On the structure of compact complex analytic surfaces, �W)

>>970
複素関数論スレッド§２
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1060287216/
立ててくれてありがとね。

次スレを建てました。

複素関数論スレッド§２
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1060287216/

>>972
どういたしまして。

この二つの特集号もおもしろいらしいよ。

数学セミナー1997.12 特集　小平邦彦

数学のたのしみ2000.08 特集　小平数学の調和と美

>>962
和訳ではないけどいい解説があります。

数学のたのしみ2000.08 特集　小平数学の調和と美,
深谷賢治「複素多様体論あるいは小平数学における超越的方法」pp.11-25

この本でHarmonic fields in Riemannian manifoldsの中でも重要なホッジ・小平の分解定理の話が解説されています。
他にも消滅定理や変形理論の解説なども分かり易く書いてあってお勧めです。

受賞理由が↓これなら、
Achieved major results in the theory of harmonic integrals and numerous applications to Kählerian and more specifically to algebraic varieties. He demonstrated, by sheaf cohomology, that such varieties are Hodge manifolds.

この辺りの論文が対象なんだろうな。たしかに上３つで理論の枠組や道具を作って、
４つめでホッジ多様体が代数的になる証明ってすごいよね。
ひとつめもワイルがGreat Workと呼んだぐらいすごいんだから。
Harmonic fields in Riemannian manifolds
The theorem of Riemann-Roch on compact analytic surfaces
On a differential-geometric method in the throry of analytic stacks
On Kahler varieties of restricted type(an intrinsic …)

Fields Medal Prize Winners (1954)
Kunihiko KODAIRA
born March 16, 1915, Tokyo
Princeton University

http://www.icm2002.org.cn/general/prize/medal/1954.htm

>>971
> 1968　K3曲面論の発表(On the structure of compact complex analytic surfaces, �V)
> 1968　K3曲面論の発表(On the structure of compact complex analytic surfaces, �W)
このころは50才を超えているんですね。
すごい能力だ。