無限に付いて語る。実無限VS可能無限

立場を明確にして相手を批判してください。
どうぞ。

>>1
あなた何者？

　　　　　∧＿∧　　　　　　∧＿∧
　　　　_（　´∀｀）　　　　　（´∀｀　）
　 三(⌒), 　　　ﾉ⊃　　　 （　１　　） 　 テメー>>1っ！
　　　 ￣/　/)　 ）　　　　　 |　|　　|
　　　 . 〈＿）＼_）　 　　　 （__（_＿_）

　　　　　　　　　∧＿∧　　∧＿∧
　　　　　　　　 （　　´∀）　（´∀｀　）
　　　　　 　≡≡三 三ニ⌒)　１　 .） 　　クソスレたてるなって
　　　　　　　　/　 /)　 ） ￣.|　|　　|
　　　　　 　　〈＿_）＿_）　 （__（_＿_）

　　　　　　　　 　 ∧＿∧　 ,__ ∧＿∧
　　　　　　　　　 （　　　 ´）ノ　）:;:;)∀｀）
　　　　　　　　　 /　　　￣,ノ''　バ　　） 　言ったろーが！！
　　　　　　　　 Ｃ　　　/~　/　/ 　 /
　　　　　　　　 / 　 /　〉 （__（＿_./
　　　　　　　 　＼__）＼）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ヽ ｌ /／
　　　　　　　　　　　　∧＿∧(⌒) ―― ★ ―――
　　　　　　　　　　　 （　　　　） /|ｌ　　／/ | ヽ 　　ヴォケがーー！
　　　　　　　　　　　（/　 　　 ノｌ|ｌｌ ／　/　|　 ヽ
　　　　　　　　　　　 （Ｏ　　ノ 彡''　 　/　 .|
　　　　　　　　　　　　/　 ./ 〉
　　　　　　　　　　　　＼__）_）

AAでこんなに動きのある絵ができるてすごいですね。

野矢茂樹先生の「無限論の教室・講談社現代新書」を最近読んだ初心者です。３３ページの言葉を借りると、「線分には無限個の点がすでに存在している」という考え方が実無限。「線分を切断すれば点が取り出せる。そしてそれはいつまでも続けていける。その可能性こそが無限であり・・」という考え方が可能無限ですよね。個人的には・・線分が有限である以上、「有限の中に無限が存在する」という発想にはどうしても違和感があります。そうなると可能無限の立場にならざるを得ないわけですが。皆さんの論争を興味深く拝見したいと思います。

そもそもその分類には何の意味があるの？
数学は数学の論理の上ではあくまでも実学であり、その意味で無意味な
概念の捏造は歓迎できません。

>>6
その無意味な概念って何を指してるんだ？
実無限という概念や可能無限という概念は無意味だと言いたいのか？

うん

野矢茂樹って何者?
googleで検索かけたら哲学者が引っかかったんですけど。

いってること聞いてると激しく板違いという気が。

無限とは幻であった。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝終了＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

もしかして実無限とか、可能無限って数学の用語じゃないの？

>>11
そだよ。
すーがくのわからないばかな哲学屋がへ理屈をこねるために作った用語だもん。

あいつらのずさんな脳みそには近づかないほうがいーよ

私は線は点の集合だと思ってるんだけどそれはどっちの派に属する考えなのかな？

「パースという偉い人がいて、その人も対角線論法からカントールのような帰結を引き出すことを拒否しています。・・自然数を書き尽くすことはできない。それに歩調を合わせて、実数も書き尽くすことはできない。書き尽くすことのできないものをあたかも一望のもとにして、一対一対応ができたとすると仮定するのは、そこに潜む実無限の想定がおかしいのであって、実数の方が濃度が大きいからではない、というわけです」（上記本ｐ７６−７７）・・これも哲学屋の屁理屈？

>>15
つーか、

☆「自然数や実数を書き尽くすことが出来る」

ことなんて想定しなくても可算バージョンの対角線論法を展開することは可能だよ。
だから「☆がオカシイ」と言うことで対角線論法を否定できると思うのは的外れ。

>>16 そうですね。このように書けばよい：

f:N→R が任意に与えられたとき，f(N) に含まれない x∈R を
以下のように作ることができる：
小数点第１桁はf(1)と違える，第２桁はf(2)と違える・・・and so on

>>17
なんか f を定義してるやつの跡を追っかけながら
x を作っていってる感じ・・・これね。

16と17は野矢氏のくだんの本をよく読んでいないと思われる。
東京大学の先生が、ド素人のつっこみにへたるような本は書きません。

>>19
>>17のやり方のどこに実無限な仮定が入ってるの?
実際にxの任意の桁を指定できて反例が構成されてるやん。
指摘は具体的によろしく。

今井塾に無間はありません

今井塾セミナーより

>>20
17の　and so on　の部分がおかしい。
この操作が実際に無限の果てまで可能であるという
保証がどこにもないのに、かってにできると思い込んでいる。
はっきりいって単細胞。

>>22
> この操作が実際に無限の果てまで可能であるという保証がどこにもない
可能無限も存在しないのかもな．

>>22
驚いた。
ひょっとして「任意の桁が指定可能」と言う意味を分かってないの?
「1桁目、2桁目、...と一つ一つ指定していく作業が完了する」という
意味ぢゃないんだよ。
>>23も言うように>>17の「and so on」は可能無限そのものでしょうよ。

>>22に質問。

g:N→N,g(n)=n^2 自然数を二乗するという写像

この写像g:N→Nの構成に実無限な仮定が使われているか?

>>24
よく読め。「ひとつひとつ指定していく」などとは書いていない。
任意の桁を指定するなどという行為が、どうして無限の数の列を相手にして
可能なのか、それが保証されていないというのだ。わからないのか？

数学板にＩＤ導入してくれ！！

この>>22はε-N論法なんかも理解してないんだろうな……

>>26
えーと、「任意の桁が指定可能」を否定すると「指定出来ない桁がある」
となることはわかるかな?
つまりあなたは意識してるかどうか知らないけど、前者を否定することで
いつのまにか「指定出来ない桁がある」という命題を支持してしまったわけです。

……で、たとえば何桁目が指定不可能なのさ? （笑）

>>28
「何桁目が指定不可能か」という問いは、それ自体が
「何桁目かを指定する」操作であって、
無限を相手にしてはなんら保証のない事項に属する。

それから、
εδ関連の論理操作は、完全に信頼できる数学で、これを
カントル流の無限論とごっちゃにしてはいけない。

>「何桁目が指定不可能か」という問いは、それ自体が
>「何桁目かを指定する」操作であって、
>無限を相手にしてはなんら保証のない事項に属する。

そうか? 有限なものだけで組みたてているのに「無限を相手にしてる」
との思いこみが強すぎて勝手に混乱してるだけのように見えるぞ。
たとえば「√2の十進小数展開で任意の桁が計算可能」というのはどうよ。
これも不支持?

将来人類が持ちうる最速のコンピュータで
ルート２を計算させたとして、
人類が滅びるまでに高々有限な桁までしか計算できないことは
承認するか？
そしたら、その人類滅亡の日にコンピュータが計算した最後の桁の
次の桁の数字は何か。
きみらはそれが答えられるといってるのだ。

可能無限で表現可能な無限って，例えばどんなものなの ?

微分方程式のリッカチ型って、どうしてベッセル関数を使わないと解けないの？

>>31
>将来人類が持ちうる最速のコンピュータで
>ルート２を計算させたとして、
>人類が滅びるまでに高々有限な桁までしか計算できないことは
>承認するか？

する。

>そしたら、その人類滅亡の日にコンピュータが計算した最後の桁の
>次の桁の数字は何か。
>きみらはそれが答えられるといってるのだ。

コンピュータを自動運転させとけば人類滅亡の次の日に答えが出るだろう。

あのさ、(容量や耐久性などの現実的な問題は無視して)
√2の桁を順次打ち出していくプログラムを書くとして、
ここでは「実行終了の時がくる」と言ってるのではないんだよ。
ここで言ってるのは「何桁目であってもいつかは打ち出される」ということだよ。
この両者の区別はついてるか?
>>31のようなこと書くなんて、はっきり言って「任意」と「全て同時に」とを
ごっちゃにしてるとしか思えない。

きみはもういちどようく考えてみるべきだ。
人類が滅亡したあとでも機械が永久に動きつづける
とでも思っているのか？
それで、人類滅亡後に出力された数字を
誰が見つづけるのか？君は神か？
おかしいことはおかしいと素直に感じる心がないようだが。

>>35
あのー、>>31では原理的な話をしてたのじゃなかったの?
いつのまにか「現実問題として計算可能か」という問題が混入してきたようで。
やれやれですな。

きみはレスをもう一度ていねいに読め。
任意の桁を指定可能だと言い出した者がいたから
それは本当かと聞いているのだ。
できないとはいいきってないぞ。
保証がないことは「わからん」と言え
と主張しているのだ。
わかるなどと主張する神学者がいるので、困ったもんだ
といっている。わからんか？

可能無限の存在は保証されているの ?

「計算されるまで√２の十進展開は存在しない。」か否かということですね。
たしかに計算されるまでは知ることはできない。これは真だろう。
はたして、知らないものは存在しないのかどうか。

数百年前には、遺伝子も粒子波も存在しなかったであろう。そして無理数も。

だから、わからんものはわからんといえ
といってるだけだ。わからんか？（苦笑）

>>22
「無限の果てまで可能」なんて言ってません。
「どんどん続ける」といってるだけです。
どんどん続けるとｘがf(1),f(2),・・・と異なることが
どんどん確かめられていきます。
したがって，x=f(n) となるような n はみつかりませんよ
とこう言ってるわけです。
これを認めないなら「可能無限」も認めないことになるんですが
いいんですか？

蛇足ですが，こんなこと言ってると数学では信用なくしますよ。
＞東京大学の先生が、ド素人のつっこみにへたるような本は書きません。
だれが言ってることであろうと，正しいかオカシイかは
最終的に自分で検証するしかないというのが数学です。

>>41
ルート２の値がどれほどでも正確に求められることは
数学的に保証されている（εδ式に完全に保証できる）。
しかし、ルート２の値そのものが
ごっそりまるごと数値化されている状態（神学者の主張）とは程遠い。
きみらはこの２つを混同しているのだ。
後半の部分（蛇足ですが・・以降）はきみが正しい。

>>42
>ごっそりまるごと数値化されている状態（神学者の主張）とは程遠い。

だからそうじゃないって>>34とかで述べてる人がいるじゃん。
√2の任意の桁は計算続ける限りいつかは知ることができるけど
全部の桁を知りうるなんて誰もいってない。
議論読んでるとそれを混同してるのはあなたに見えるよ。

「ごっそりまるごと数値化されている状態、つまり
なんらかの確定した数値の列」を仮定せずに、
それの任意の桁と違う数字ばかりでできた数を作り出す
（この時点でなんらかの確定した数値の列になっているはず）という
操作がどうして可能になるのか？
できるというのなら実際につくってみよ。

たとえば水の上を歩く方法という冗談がある。
まず右足を出して、右足が沈まないうちに
左足をだしなさい、and so on
というやつとさほど変わりはない。

>>44　なんかあまりにワカリ悪いね。
>>17　は，f(n) の第ｎ桁が決まった時点でxの第ｎ桁を
それと異なるように決めるといってるんだよ。
ホントはもう解ってるのにワカランふりしてるように見えるぞ。

水には粘度があるから、軽い生物で速く足が動かせたら、水の上は歩ける。
トカゲとかで現にいるね。＞＞まあネタに突っ込んでも詮ないな

それだと帰納法もだめなんだね。

>>44
…選択公理って知ってます?

まあ、仮定の上に成り立ちを図る数学と、疑いの上に成り立ちを願う哲学の相違。

出ました。棄て台詞。
ということで，一件落着。
乾杯といきますか。

>>46
そうか、きみはトカゲだったのか。てっきり人間相手に話をしている
のだと思っていた。＞まあネタに突っ込んでも詮ないな

>>48
でも、哲学の思考法で無限に関して有益な結果はでないんでないの。

選択公理を外した公理系で何がわかるかってなことは基礎論で
ある程度わかる(と思う…良く知らないから(w))けど、哲学で
そこまで考えられるわけ? 数学やってる者の目から見ると
実無限だの可能無限だのって意味のない(と言うか、とうの昔に
論じられて終わってる)概念に見えるけど。

＞でも、哲学の思考法で無限に関して有益な結果はでないんでないの。
まー哲学でも質のいいやつと悪いやつでは全然違うでしょう。
今回は悪い方にあたったということですか。

>>52
それは全くそうですね。
じゃあ他にも哲学特有の無限についての
議論ってあるのかな。興味ちょっとあるかも。

哲学∋数学だと思ってた。

>>54
現実の哲学者は数学をほとんど知らないのでそれは無理があると思われ

>>52
いまごろ、ぼそりと悪口を書くあたり、
まるで黒○のようなやつだ。図星か？（わらい）

>>56
都合が悪いことはすべて一部の人の仕業なのかい

>>50 帰納法にも突っ込んでやれよ。
突っ込めないのか？

　僕は野矢さんの本を読んで対角線論法への反論のくだりについては、結構納得した者なのですが、素朴な疑問をいくつかしたいです。

（１） 対角線論法には複数種類があるの？
“可算バージョンの対角線論法”てどんなものでしょう？>>17で説明されているようですが、「f:N→R」などの式の意味がよくわからないので、補足していただけると有難いです。
　野矢さんが批判する対角線論法というのは、「実数（非可算）と自然数（可算）の濃度が等しいと仮定して、そこから矛盾を導く」証明法でした。このカントール型の対角線論法以外に、可算無限である自然数だけを使った対角線論法があるのでしょうか？


（２）排中律は重要じゃないのですか？
　野矢さんによれば、可能無限を採る場合、排中律も拒否されます。>>34とか>>39に√2の展開が例にとられていますが、可能無限における√2というのは、まさに「展開の規則」のことですから、人間が実際に展開した位までしか人間は知ることができないことになります（コンピュータにやらせても同じ）。すると、『√2のどこかに７が連続して10個埋まっているか、それとも埋まっていないかどちらかだ』というようなタイプの排中律は拒否されます。既に展開された位までなら判断はついても、まだ展開されていない位は「存在しない」と見なされるからです。この板的には、それでもOKなんでしょうか。スレの流れを見る限り、OKな人が多いようですが。
　ヒルベルトが可能無限に反対した理由の一つに、排中立を守りたいという動機があったらしいので、数学者にとっては重要な公理ではないかと思って気になりました。

　以上2点、素人なのでピント外れてるかもしれないですけど、意見をお聞きしたいです。

まず(1)についてですが，17の記述は対角線論法のごく標準的なものです。
自然数の全体Ｎから実数の全体Ｒへの写像ｆ（すなわち実数列）が任意に
あたえられたとき，必ずその数列に含まれないような実数ｘが存在すると
いうことを，そのｘを，数列{f(n)}から次のような規則で
実際につくることで示します。
まず，xの整数部分は０としましょう。
そうしてｘの小数第１位をf(1)の小数第１位と異なるようにきめます。
（たとえばもしf(1)の小数第１位が５以外なら５，
　５ならば６とかいう規則で）
つぎにｘの小数第２位をf(２)の小数第２位と異なるように（同じ規則で）
きめます。このようにつづけて，次々とｘの各桁を決めて行きます。
そうすると，ｘの第ｎ桁はf(n)の第桁と異なりますから，結局ｘは
f(n)のどれとも等しくないことがわかります。すなわちｘは数列{f(n)}
にふくまれません。
これから，実数の全体Ｒを値域とするような数列{f(n)}は存在しないことが
結論できることになります。
(2)の排中律については，論理システムの問題で，排中律を使わないような
推論体系やそのモデル（直感主義モデル）について，ロジシャンのあいだで
詳しく調べられているようです。
排中律を使う通常の数学（古典論理の数学）とはかなり様子の違う状況が
えられるそうなのですが，わたしはあまり詳しくは知りません。
ここで詳しく議論されているようですが，私には解らない部分が多いです
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=970523340




もしf(n)が具体的なルールとして定義され

>>60

　丁寧な説明ありがとうございます。
　まず、（１）について。

＞自然数の全体Ｎから実数の全体Ｒへの写像ｆ（すなわち実数列）が任意に
＞あたえられたとき，

　これが、背理法の仮定になっているわけですよね。野矢さんの言い分は「ここに仮定が一つではなく、実は二つ含まれている」という主張でした。つまり、

　　仮定１:自然数や実数を“全体”として把握できるという「実無限」の仮定
　　仮定２:自然数“全体”と実数“全体”は一対一の写像関係を作れるという仮定

　という二つの仮定です。この指摘は間違っているのでしょうか？
　実数xの小数第n位を、f(n)の小数第n位と異なるようにxを定めれば、xはどのf(n)とも「最低１箇所、少なくとも小数第n位では」異なる数になる、ということは僕もわかります。野矢さんの表現を借りれば、「対角線論法は独身の実数作成方法」です。しかし、僕にはこの結果から仮定１を棄却してはいけない理由がわからないのです。「自然数“全体”と実数“全体”の濃度が等しい」と仮定した結果、実は濃度が等しくないことが帰結した。そこで、「実は両者の濃度は等しくなかったのだ」と結論することもできると思います。しかし、それと同じぐらいの権利で、「自然数や実数に“全体”なんて概念を適用したたのが間違いだったのだ」と帰結してよいのではないでしょうか。

　（２）について。
　直観主義数学がまだ議論の対象だったとは、初めて知りました。僕はてっきりもう廃れた数学なのかと思っていましたから。それでも少数派なんでしょうね。
　ところで、60さんは排中律を必要とされますか？もし必要とするなら、「√2のどこかの位では、7が10回続くことがあるか、それとも続かないかのどちらかだ」という命題を支持しなくてはなりません。もし可能無限の立場に立ち、放棄してもよいとお考えなら、逆に実数“全体”という概念を放棄しなくてはならないはずです。
　この点はいかがでしょう。

私には実無限も可能無限も表現の仕方が異なるというだけで
おなじものに見えるのだが。。。どのみち、無限の存在は
無限公理によって保証するもので、証明可能ではない。

自然数は 1,2,3,... と順番に数えていくことによって
いつかは任意の自然数 n を数えることができる。
(0,1]区間内の有理数の集合も 1/1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,... と
数えていくことによっていつかは任意の有理数 p/q ∈ (0,1] を
数えることができる。(この場合はしかも与えられた有理数 p/q が
何番目にくるかも分かる。)
しかし、実数の集合に対してはこのような手続きが(構成的なものであれ、
非構成的なものであれ)存在しないというのがカントールの定理の主張。

>>17の対角線論法は、普通の対角線論法とどこか違うんですか。

>>62（えくさん）

＞私には実無限も可能無限も表現の仕方が異なるというだけで
＞おなじものに見えるのだが

　どういう点で、両者は同じなんでしょう。
　実在する一つの物に二つの別の名前が付いている、というイメージですか？

＞無限の存在は
＞無限公理によって保証するもので、証明可能ではない。

　これは、「無限の扱い方ってのは、こういう公理（お約束／公理）になってるんだから、ルールにケチつけてないでさっさとゲーム（数学）をやろうぜ」ということでしょうか。
　もしそうだとすれば、僕もほとんど同じ感想です。野矢さんが対角線論法に異を唱えるのも、「証明が間違っている」とゲーム内でのルール違反を看破したからではなく、ルールの変更を求めてのことでしょうから（そこまで強い主張ではないかもしれない）。
　一言で言うと世界観の違いなのかもしれませんが、それ言うとthe endなので言わない。
　ところで、“可算バージョンの対角線論法”てどんなものでしょうか。ずっと気になってるんですが･･････

「Rから2^Rへの全単射が存在しない」も可能無限で書ける?

可能無限では、実数の集合や自然数の部分集合の集合などを認めないようです。
例えば、97ページ（『無限論の教室』）。

ここは数学板です。トンデモ概念を語るのはやめましょう。

正しい数学教科書を作る方法については
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/3422/mat.htm
を見てください。

トンデモ扱いされちまった。

数学専門の人にはあまり読まれてないのかな。

>>61
> 仮定１:自然数や実数を“全体”として把握できるという「実無限」の仮定
これがよくわからない。実数列{f(n)} は具体的手続きで与えられるし，
f(n) のどれとも異なる実数 x も{f(n)}を調べながら具体的に作れるわけです
>>63
別にふつうの対角線論法だとおもいますよ。
数学ではある性質を持つ対象を対角線論法を使って構成する場面が
他にもいくらもあります。

「濃度が等しいことの証明ができないとしても、そのことは濃度が
異なることの証明になっているわけではありません。」（78ページ）

この本では「濃度が大きい」というような考え方に反対していて、
対角線論法という「論法」自体は認めているように思う。
しかし冷静に考えれば、「濃度が大きい」といっても、それは、
対角線論法で新しい実数を作ることができるということの言い換え
でしかないと思うのだが。

「集合ＳからＳのべき集合P(S)（Sの部分集合の全体）の上への写像は存在しない。」
すなわち「任意の f:S→P(S) にたいして f の像に含まれない Ｘ⊂Ｓ が存在する」
は次のように f からＸを定義して証明しますね。
Ｘ＝{x∈S |¬x∈f(x)} と定義する。
このとき f(n)=X となるような n∈S は存在しない。
∵ もしも f(n)=X とすると n∈X⇔n∈f(n)⇔¬n∈X

この証明はＳが無限集合でも有限集合でも関係なく成り立ちますよね

>>71(”さん）
＞実数列{f(n)} は具体的手続きで与えられるし，
＞f(n) のどれとも異なる実数 x も{f(n)}を調べながら具体的に作れるわけです

　そう思います。実数f(n)を1000番目まで作れば、その1000個と異なる実数xは、根気があれば作れます。
　これは、f(n)のnが10でも1000000でも1000000000でも変わらないこともわかります。nの大小は、この際関係ないですね。なぜなら、xを作る「規則」が与えられているのだから、具体的手続きによってxを作り出す行為を何回でも繰り返せるから。
　この「数を作る、ある規則に従うのであれば、何回でもその手続きを繰り返してよい」というのは可能無限の立場でもあるわけですが、この場合、「実数全体」なんていう考えが登場する余地がないと思うのですが？
　だって、実数xを作る手続きは何回でも繰り返せるのだから、「ここまでが実数全体」という風に枠で囲ってみても、その枠からはみ出す次の実数は手続きを実行すればあっという間に作れるじゃないですか。
　だから、60さんが言うような「実数全体」なんて概念が、僕には理解できないのです。対角線論法というのは、>>72さんが言うように、「これまでの手続きで作り出したどの実数とも一致しない、新しい実数を作り出す方法」でしかないのであって、「自然数全体と実数全体の濃度が異なることを証明する方法」ではないのでは、と思うのです。

「実数の全体をカバーする数列はない」
すなわち実数は非加算集合であるというだけでは？

＞直観主義数学がまだ議論の対象だったとは、初めて知りました。

もろに直観主義数学の話をしてるの君自身じゃないか。何をいってるんだ。

>>76

＞＞直観主義数学がまだ議論の対象だったとは、初めて知りました。
＞もろに直観主義数学の話をしてるの君自身じゃないか。何をいってるんだ。

現代で直観主義がどういう扱いを受けているのか、僕は全然知らないのですよ。でもまあ、より正確に、

　直観主義数学が「アカデミズムの中で」議論の対象だったとは、初めて知りました。

に訂正します。あるいは

　直観主義数学が「あのスレッドの中で」議論の対象だったとは、初めて知りました。

の方が正確ですか？

>>77
直観主義はコンピュータサイエンスとの相性のよさから、
あの「数学の危機」以降でもよく取り上げられてると思うけど。

構成主義というのしってる？野矢先生の議論はそういう文脈の議論と思うが。

>>77

＞構成主義というのしってる？野矢先生の議論はそういう文脈の議論と思うが。

　構成主義という言葉は知っていますが、直観主義とどう違うのかといった、細かい点までは知りません。
　どちらも、プラトニズム批判（答は計算や証明の前に用意されているのであって、数学者の仕事は答を「発見」することと位置付ける）と、そこから帰結される排中律の放棄を主張の中心とする数学観だと理解しています。「数学者は、発見者ではなく発明家である」ですね。

＞野矢先生の議論はそういう文脈の議論と思うが。

　そうですね。ただ野矢先生は、あとがきでも書いておられるように、ブラウワーというよりウィトゲンシュタイン（結構怪しいけど面白い哲学者）の数学観をベースにしていると断っているぐらいだから、ブラウワーが主張した形での直観主義を完全に支持するわけでもないかもしれません。
　ウィトゲンシュタインの数学観も、ブラウワーから多大な影響を受けていることは、僕がぱっと見てもわかるぐらいよく似ていますけどね。講演聴いて感銘受けてるぐらいだから。

>>74
＞この「数を作る、ある規則に従うのであれば、何回でもその手続きを
＞繰り返してよい」というのは可能無限の立場でもあるわけですが、この場合、
＞「実数全体」なんていう考えが登場する余地がないと思うのですが？
ですから、実数全体を集合として定義する時は「これこれの規則で
作れるものが実数だ」という形ではなく「この条件を満たすものが
実数だ」という形で定義するわけです。具体的には、有理数の切断
や、コーシー列や、無限小数です。実際に解析の問題を解く時には、
「集合としては何であるか」などは気にせず、公理だけを気にすれ
ばいいわけですが。

>>80

＞ですから、実数全体を集合として定義する時は「これこれの規則で
＞作れるものが実数だ」という形ではなく「この条件を満たすものが
＞実数だ」という形で定義するわけです。

　う〜ん、何か全然わかんないんですけど･･････「この条件を満たすもの」の「この条件」とはどのような条件でしょう。「条件を満たすものを実数」と考えた場合、どのようなメリットがあるのでしょう。

　もう少し考えてからまたレスします。

何も難しいことは言ってないよ。
問題は、君が、

　　Ｓ＝｛ｘ｜ｘは無限小数｝

というようなＳを集合として認めるかどうかだ。
タジマ先生なら、「ある数が無限小数であるのは、どこまでも数字を
作っていく規則があるからだ。規則を作っていく規則を明示しない限り、
Ｓは集合といえない」とでも言うのかな？

>>82 それ以前の問題だと思うよ
>>80 も野矢も高校レベルの数学しか知らないのに
対角線論法を論じるという愚かさに気がつくべきだ

えくはどかなんかしらんがよこから
いらんくちだしするな
いらんのはおまえじゃぼけかす

集合論を置き去りにして対角線論法を攻撃してるところがイタイよな
なんでツォルンの補題とかシュレイダー・ベルンシュタインの定理とか
じゃなくて、対角線論法なんだろ？それは彼らの聞きかじった知識には
対角線論法しかなかったから。彼らの同類に虚数を攻撃する人たちがいる
けど、彼らは行列や群を攻撃したりはない。まったく知らないから。

対角線論法でなく集合論そのものを攻撃するならまだ首尾一貫してるけど、
そんなら無理して数学に興味を持たなくてもいいのにね。

＞高校レベルの数学しか知らないのに
ある意味ではその通りかもしれない。
僕も最初は違和感を感じたが、少し勉強が進めば、
「非常にうまくできている」とある種の感動すら覚えた。

カントールの対角線論法とは独立であるような、
実数の全体が非加算無限集合であることの証明はあるのか？

>>85
ある対象が集合であるのは、それが公理によって保証されているから
にすぎないってことね。

>>87 測度論を使えばできる。
あと連結コンパクトハウスドルフ空間は一般に非可算。
（こっちの証明には変形された対角線論法を使う。）

>>88
引用されたものを読む限り野矢は無限集合の存在を認めたくないんだろ。
彼はそれなら「実無限」と「可能無限」について論じれば良いのであって、
対角線論法に口出しする理由がない。無限集合論は認められないから、
測度論を拒否すると言ってもいいわけだし。俺には、彼がどこかで聞きかじった
対角線論法という言葉を集合論という土台から切り離してもてあそんでいる
に過ぎない、とうつる。

>>87
ずっと以前に考えたんですが，
実数の連続性の公理（切断の公理）
を使って非可算性の証明ができます。
具体的には，実数の可算集合Ｓがもし密ならば
(i.e. a<b a,b∈S ならば a<c<b, c∈S ならば)
Ｓの切断で上組の最小値も下組の最大値も
存在しないものが作れるということです。


i.e.

a<b a,b∈S ならば a<c<b, c∈S ならば

　　　　　　　↓

a<b a,b∈S ならば ∃c∈S a<c<b とすると

S⊂Ｒ は可算集合だから１列に並べることができます。
トランプのカードのように重ねられていると思ってください
あと2つの箱ＡとＢ，それとA,B２つの状態をとるスイッチＦ
があると考えてください。
まずはじめにＳから２枚とり小さい方をＡに大きい方をＢにいれ
スイッチＦをＡとしておきます。
以下Ｓから一枚づつ取り出し(これをxとする），次の操作をします。
1)x<max A ならば x を箱Ａに入れる
2)x>min B ならば x を箱Ｂに入れる
3)max A<x<min B で F が 状態Ａ ならば x を箱Ａに入れ F を 状態Ｂにする
4)max A<x<min B で F が 状態Ｂ ならば x を箱Ｂに入れ F を 状態Ａにする

Ｓが密だとの仮定から 3) と 4) のケースは交互に限りない回数おきるはずです。
Ｓは可算集合ですからＳの要素はいずれ取り出されて箱Ａまたは箱Ｂに入れられます。
箱Ａに入るものと箱Ｂに入るものの集合をそれぞれあらためて
Ａ，Ｂと呼ぶことにすると，(A,B)はＳの切断で，
その作り方から，Ａの最大値もＢの最小値も存在しません。

>>91-93 すごくイイね

>>91-93

証明を読んでいて、ふと疑問が生じました。

実数の密な可算集合というのは、順序集合として、すべて同型なのでしょうか？そうでないとしたら、同型でないものはどのくらいあるのでしょうか？

すみません。下げちゃって。

>>95 ちょっと考えてみました。
次のことがいえるようです。

Ｓが可算全順序集合で，
∀a,b∈S [ a<b ⇒ ∃c∈S a<c<b ]が成り立ち
かつ最大値も最小値ももたないとする。
このときＳからＲの区間(0,1)内の有限２進小数の全体への
順序同形 f が存在する。
（Ｓに最大値最小値が存在するときは f でそれぞれ 1,0
へ持っていけばよい）

証明は簡単なので自分で考えてみてください。

哲学屋って理系の板ではどこでも顰蹙買ってるね。

>>97
うーん。この構造定理？で、実数の非可算性をよく理解できた。

ヒンシュク買ってすいませんね（僕は哲学屋ではなく、ただのサラリーマンですが）。
「集合論をきちんと勉強すれば野矢先生がトンデモだとわかる」ということなので、集合論を勉強してみますよ。

ハイチュウ

森永排中律

直観主義、あるいは構成主義の数学について書かれたよい本はありませんか。

>>97
可算で稠密、最大限と最小限をもたないものは全て同型になる、って
証明は知っているけど、(0,1)内の有限２進小数の全体なんてのを使う
証明は初耳。
証明のアウトラインだけでも教えて下さいな。
（ちょっと考えたけど、有限小数を意味あるように使う証明は思いつか
なかったんで）

もう、みんな博士に行くよね。もち、学位とって
企業に就職する。学生のうちから、バンバン派遣
とかやって、スキルも身につけておこうかなー、
って思ってます。

このぐらいの証明は自分で考えて欲しいがまー一応書いときます。

S={A[1],A[2],・・・,A[n],・・・}とする。
f(A[1])=1/2 とする。
f(A[1]),・・・,f(A[n-1]) が既に定義されているとき，
x=(2m+1)/2^j を，A[n]<>A[k]⇔x<>f[A[k]) k=1,・・・,n-1
となりかつ j が最小となるように選びそれを f(A[n}) と
定義する。
こうすると f が順序を保存することはすぐわかる。
すべての x=(2m+1)/2^j が Im(f) に含まれることは，
Sの稠密性をもちいて，j についての帰納法で示せる。

>>106
なるへそなるへそ、多謝です。

＞なるへそなるへそ
オトロシイ死語じゃー
http://yasai.2ch.net/test/read.cgi?bbs=middle&key=995289288&

なんかこのスレ俄然タメニナルお話になってきた。

ところで１は？
田舎へ帰ったのかな？

>>103
日本語の本はないねえ．
それゆえ誤解や嘘がまかり通るのだが．
あと直観主義数学といえば普通はBrouwerやHeytingのものをさすが，
構成的数学は色々なバリエーションがあるよ
（こっちは主義ではないことに注意）．

>>９１，９３，９７
９１，９３，９７を使って、
「実数全体が可算集合ではない」をどうやって示せばよろしいのでしょうか。

高校生ですけど、
まだ決着がついていないということは、
どちらであるかは、それほど重要なことではないのですか？

まだこのスレあまり読んでないけど、そもそも野矢って数学分かってんのかな??
むかしこの人の授業受けた事あるけどさっぱりわからなかったよ(^^;;
わかったのは野矢氏はあまり数学的センスはないという事だけだ(藁

＞野矢氏はあまり数学的センスはない
うーむ。ああいう本を書くからにはそれなりの自信があると思っていたが。

読み物としては面白かったよ。
「ポアンカレの贈り物」よりは。

>>112 可算集合だとすると実数の連続性（切断の公理など）が成立しない
ということです。
実数の連続性についてはあなたの持っている微積の教科書にのって
いるでしょうか？
解析概論をお薦めします。

あそこに登場する学生て悲惨だよな。
わかい美空で
あんなトロい先生のひま話の相手して，

しかし、0.999･･･が1ではないというのは無理があると思うが。。。

そんなことまで言ってたっけ。
立ち読みだったから記憶にない。
オシエテ！

実数の0.999……が1でないと主張するならただの電波。
実数以外の代数系で「(0.999……と表現され得るもの)≠1」となる
ようなのはいくらでも存在するが、もちろんそんなことは
「実数0.999……は1と等しい」の反論にはなりゃしない。
つーか、そういう意味での反論であればそもそも「0.999……は1でない」
という表現にはならないはず。
(0.999……=1？という質問自体は舞台となる代数系を明示しなければ
全く無意味なのだが、質問者のレベルを考慮すればこれが実数を舞台と
したものであることは暗黙の仮定としてよかろう)

野矢大先生は一体何を言いたいんだろう。

小数表示が、有限小数と無限小数の２通りある実数は、何進法かにもよるよね。
たとえば、十進法の1/2(=0.5)は２進法だと、0.1でもあるし、0.011111....でもあるわけだから。
つまり、0.999...=1は、実数と１０進小数表示が、１対１対応でない、という例にすぎんと思う。

もう野矢はイイよ。
晒してヨロコブのは別に・・・オモロイけど

>>121
そもそも可能無限の立場に立つ野矢のいう「実数」が何を意味するのか不明。
俺の知っている実数は無限集合を含む集合論で構成されたものだけだし。
きっとセンセイはなにか特殊な実数論をお持ちなんでしょう。

デデキント「数について」岩波文庫
くらいは読んどいて欲しかったね。
読んでもわからなかったのかな？

あとは、可算無限、不可算無限、実数の濃度とか
ここでは不可算無限について議論されているね
議論の内容は全然数学とは違うけど

>>121
>野矢大先生は一体何を言いたいんだろう。
あれを数学だと思うからこういう疑問になる。
そのへんかんちがいしてる人が多い。
そこんところわかって読めば面白いと思う。

>>127
数学だからダメで哲学だからよい、というものでもないと思うが…

ところで数学を「愛する」諸君に尋ねたい。
なぜ、まず集合論ありきなのかな？

集合論は実無限の存在を前提している。
しかしながら、それを前提しなくては数学は
全く語り得ないという証明でもあるのかな？

全ての数学の操作はむしろ終わらない操作と
いう意味で、可算無限的なものだ。実無限は
それをただ実体化したにすぎない。しかし、
わざわざそうしなければならない理由がある
のだろうか？

＞まず集合論ありき
でない数学には大変興味を抱いておりますが、このスレで続けるのはちょっと…

旗色悪しとみて、逃げに入ったか？
ヴィト氏の意見に異義のある実無限派はきっちりと
自分の意見を書くように。
そうでないと、いままでの悪口雑言は
東北のどこぞのＢＢＳで見かける悪口雑言とかわりがないことになる。

異義→異議

>>129
個人的意見ですが、
・ほとんどの数学が集合論上で行える
・集合論でやると、いろいろとやり易い（簡単になる）
要するに、集合論は便利だから使っているだけです。
恐らく「集合論でなくてはいけない」理由はないでしょう。
（集合論がなかった時代にも数学はあったのですし）

また、実無限を認めずに数学を行うことはもちろん可能でしょ
うけど、そうしますと証明は（実無限を認めた集合論で行うよ
りも）複雑なものになるでしょうし、何より現代数学の結果の
ほとんどがだめになってしまうと思います。
そこまでしても実無限を認めない理由というものは、私には思
いつきません。

問題は生産性だよ。
解析学では上限下限で定義される数の役割は基本的なものだ。
その元になる実数の連続性も集合概念が基礎になってる。
それなくしては収束発散の議論も満足にできない
整数論だってイデアルの概念なしでは2次体ひとつ扱えない。
同値関係や剰余群も・・・
挙げていったら切りがない。
集合概念なしでどういう数学がつくれるのか
逆に示してみせてほしいもんだ。

あんたはこのスレで，90〜110 あたりで展開されてる内容
ちゃんと理解できてるのかね。
もしできてるのなら「集合なしで」なんてセリフは
でてきようがないだろうと思うがね。

>>131
＞ヴィト氏の意見
「わたしの意見」でしょ。次は誰？M.D？スコット？

被害妄想？

あ、134のひとも勘違いの相手にレスしてますよ。

>>136
ああ、「基礎論なぜなにスレッド」で有名人の名前をハンドルにしてる人がいたんで。
てっきりその方かと。
ところでsageないの？

>>138

あはは、よくわかったね（笑）

でも、実無限を認めないとして、そんなに変わるかな？
実際「在る」といっているのは、εーδに従う「手続き」
だよね。で、二つの異なる手続きが同じ数を表すかどうか
判定することは、一般には可能ではない。すなわち実無限
は実際の数学のレベルではすでに絵に描いた餅になって
しまっているんだ。

認める、認めないじゃないの
定義を元に理論体系が組み立てられてるだけなの
たとえていえば、ユークリッド幾何学に対して
非ユークリッド幾何学があるようなもので
今までの数学理論をくつがえすような理論体系を
くめるならば、くんでみればいい

それが価値のあるものならば、論文を書いて数学の
専門誌にでも投稿してみな

>>139
勉強不足。

じゃ試しに，フラクタルで代表的な
コッホ曲線のフラクタル次元が log4/log3 であることを
集合概念なしで導いてみてよ。
どんな風にやるのか興味ある。

>>140
定義を元に→定義と公理を元に、かな
ちょうどそんなスレも出ているし

過去の有名人の名前をハンドルにするやつってキモイよな。
自分を大きく見せたい幼児性のあらわれかな。
それとも「××ならこう考えるだろう」とか勘違いしてんのかな。

>>130
詳しくは知らないが、圏論とかいうのが(公理的)集合論を前提にしていないやつなんでは。

集合論を前提にしてない数学はほとんど無いんだね。

高校数学

圏論では公理的集合論で集合としてあつかうには
技術的ないみで「大きすぎる」対象を取り扱う場合が
あるので，そういう対象に対しては，
集合論的な演算については禁欲的というか
注意深くやる必要がでてくるということかな

>>140

＞認める、認めないじゃないの
＞定義を元に理論体系が組み立てられてるだけなの

「定義を元にする」という行為がすなわち「認める」ということ。
おわかりかな？

>>144
あ、こいつ、先こしやがった（笑）

>>145
「有限主義の数学」って圏論のことじゃないよ。

>>149

具体的な話をしてくれないと M_SHIRAISHI のいう論理学の改革と一緒だよ

>>142
＞じゃ試しに，フラクタルで代表的な
＞コッホ曲線のフラクタル次元が log4/log3 であることを
＞集合概念なしで導いてみてよ。

つまるところlogの解釈だけの問題だろう。
logをε-δに従う計算手続きと考えればよい。

すなわち「収束点」などという「虚妄」は必要ない。
実数の定義を見ればわかるが、結論を先取りしているだけだ。
それを止めたところで、推論が示すところの実質は失われない。

Zornの補題を使って存在を示す定理とかは、集合論なしでどうやるの？
injective moduleとか代数閉包とかは？

有限主義の数学で有限体上のWeil予想とかは証明できるの？

>>152
もしもその数学でそういう定理が証明できないのなら、その数学には
そういう定理がないんじゃないの？

>>153 そうだよ。有限主義の数学では面白いことは多くないんだよ。

>>152

なぜ対象の「存在」を示すということが成果なのかね？
結局は「存在」をある程度先取りした集合の定義によって、
手続きを対象の「存在」に読み替えているだけだろう。

>>155 美的感覚だろ。>>152が挙げた定理（あるいはその他の定理）の
美しさを味わえないから、そういうことが言えるんだ。定理も証明も
知れば知るほど胸が張り裂けそうだよ。

>>153

もしかして
「有限主義の数学は、普通の数学より貧しい」
といいたいのかな？

しかしながら、その考えは貧しすぎる。
有限主義は、存在に対して慎重であるがゆえに、
従来の結果よりも繊細な結果を導くだろう。
そして、その繊細なる結果は、無限に対する
人間の感覚により忠実であると考えられる。
これは十分面白いといえるのではないかね？

>>156

「美」とは「思考の節約」を意味するのかね？

ところでキミのような喜びは私から見れば「学童の喜び」だ。
そのような喜びを感じるのは結構であるが、それが理論の
正当性を保証するものではあるまい。

>>153 有限主義の数学で示せることは無限主義の数学でも示せるだろ

> 具体的な話をしてくれないと M_SHIRAISHI のいう論理学の改革と一緒だよ

>>155
いや、成果というのでなく、大体、理論の最初にZornの補題で
存在定理やって、その後、お話しが続くのです。

たとえば、injective moduleの存在やって、それを使ってコホモロジーを
定義するとか。それを使って計算するとか。

ヴィトさんの言うように手続きを読み替えてるかどうかは、
それほど自明ではないが。さっさとその分野の先に進みたいって
のが使ってる人の本音ですね。

>>157
どこに関心があるか、趣味の問題ってことですか？

>>158 俺から見ればキミは偏執者だね。下らない事に拘泥している。
これで俺とお前の意見も一致したってわけだ。

>>151
> つまるところlogの解釈だけの問題だろう。
> logをε-δに従う計算手続きと考えればよい。

そうじゃなくてフラクタル図形とそのフラクタル次元を
集合論の枠組みなしで，どう定義し，どう結論するのか
という部分を聞いてるんだよ

>>164 いぢわるな質問すんなよ。
彼がフラクタル次元だろうがハウスドルフ次元だろうが知ってるわけないじゃん。
彼は単なる批評家なんだから。俺は数学者として批評家たちを軽蔑してるよ。
特に自分では何も新しい価値を産み出さないくせに他者に難癖をつけることに
よって自分のことを高尚な人間だと勘違いしてる人たちをね。

ハウスドルフ次元でなくてもっと初等的な
議論がうまくできないかとか何度か考えたり
したもんだから・・・
　　　まーちっとは「いぢわる」もあったかもしれん。反省

>>166
ハウスドルフ次元は道具立てがおおがかりすぎるし，
箱数え次元は相似次元との一致の議論が面倒だし
たしかに，
もっと単純で使いやすいフラクタル次元の定義が
発明されれば大歓迎されるよね。

>>161

＞いや…

いや、じゃなくて、
なぜZornの補題を最初に持ち出すのか
考えたことはないのかね

＞さっさとその分野の先に進みたいってのが使ってる人の本音ですね。

それは「先」ではないのだというのが私の主張だ。
すなわち、君らの「記号遊び」は、実は有限の
レベルの話であって、その前に唱える「呪文」が
なくとも立派に展開可能だといっているのだ。

>>164
＞そうじゃなくて

それはこちらのセリフだ。（ｗ

＞フラクタル図形とそのフラクタル次元

とやらを論じるにあたっても、本当にやっていることを
見たならば、その前提としての集合論の「呪文」にさしたる
意味などないことが分かるはず。もう一度証明を読みなおせ

>>165
＞俺は数学者として批評家たちを軽蔑してるよ。

僕は哲学者として無批判な人間を軽蔑するね。

＞特に自分では何も新しい価値を産み出さないくせに
＞他者に難癖をつけることによって自分のことを
＞高尚な人間だと勘違いしてる人たちをね。

特に自分のやっていることに何ら疑いを持たずして
ただ自分がそう信じているというだけで真実だと
勘違いしている人をね。（ｗ

>>168
>なぜZornの補題を最初に持ち出すのか
>考えたことはないのかね

選択公理や超限帰納法でも書けるのだが、Zornの補題が一番短くて
すむし、余計な概念が少なく使いやすいからだね。

>それは「先」ではないのだというのが私の主張だ。
すなわち、君らの「記号遊び」は、実は有限の
レベルの話であって、その前に唱える「呪文」が
なくとも立派に展開可能だといっているのだ。

君の趣味の主張は、別にいいんだが、「有限レベル」ってのは、
数学の中の有限とメタの立場の有限を混同してるよ。

>>165
それってヴィトも批判してるが、ヴィトに難癖つけてる人間
も批判してるように見える。

> 特に自分のやっていることに何ら疑いを持たずして
> ただ自分がそう信じているというだけで真実だと
> 勘違いしている人をね。（ｗ

そういうやつは、俺も軽蔑するな。
数学は真実追求じゃなくて、公理上の議論だから。
真実だと思っている奴の木が知れん。

如何にエレガントな公理系で価値ある議論をするかだもんね。
何が価値あるかは、数百年経たないと判明しないことがあるが（わ

だから、価値のないことなんかで足踏みしないよ。

＞何が価値あるかは、数百年経たないと判明しないことがあるが（わ
＞だから、価値のないことなんかで足踏みしないよ。
自己同着

何気に議論が噛み合ってないね

>>168
>＞フラクタル図形とそのフラクタル次元
>　とやらを論じるにあたっても、本当にやっていることを
>　見たならば、その前提としての集合論の「呪文」にさしたる
>　 意味などないことが分かるはず。もう一度証明を読みなおせ

わかったからそれだったら，集合なしでフラクタル次元を
定義して実際に具体的な場合にどういう手続きで結果を
得るのかやってみせてよ。
実際にやってみせない限り説得力はないよ。
逆にそれに成功したらとても価値ある仕事になると思うよ。

>>171 知ってるよ。だから>>163を書いた。
数学者は「学童の喜び」で満足しているし、
哲学者はどうでもいいことに拘泥している。
そしてお互いを軽蔑している。お互い関わらなければいいだけの話。
彼が数学をたいして知らないのは明らかだし。
俺は哲学には興味無いけどわざわざそれを哲学板に出張して
言いふらしたりはしないよ。哲学の話がしたいなら哲学板に帰れ。

>>176
今井並みの馬鹿。

上では勢いでああ書いちゃったけど、俺は全ての哲学者を軽蔑してはいないよ。
哲学であろうとなんであろうと新しい価値を産み出した奴は偉い。
それに難癖つけるだけの奴はクソ。特に内容も知らないのに難癖つける奴はね。
ドゥーリーニュの定理も知らないのかヨ。

哲学者ではキエルケゴールがすきだ。
「死に至る病」もいいし，「反復」はもっとよかった。

ローマ皇帝マルクス・アウレリウス
の「自省録」もいい

あとプラトンの対話編はどれもいい

哲学といっていいのか知らないけど
「荘子」はいいよ。
すごいイマジネーションだ。

荘子は実無限の世界だな。
根源的な実無限だ

ウィトゲン･･･ｸﾞﾌｯ

>>152
逆数学って知ってる？どれだけの弱さ、強さの数学理論で、どこまで
のことが言えるのかを探る学分野だ。

http://members.tripod.co.jp/nbz/ref/revmath.html

を読め。

>>184　見てみた。
以外なことにまともなサイトだった。
最近変なのがはやってるからこれもトンデモかと
疑心暗鬼だったが・・・よかった。

>>169
数学を学んでから発言してみな。

>>178
＞ドゥーリーニュの定理も知らないのかヨ。

Deligneなんて有り難がるほどのものかヨ（ｗ

＞「有限レベル」ってのは、数学の中の有限と
＞メタの立場の有限を混同してるよ。

なるほど。メタの立場では有限だが、数学では無限だといいたいわけか？
しかし、それがいかほど根拠のあるものか。いかに学童とはいえ気づかない
わけではあるまい？

選択公理にしろ超限帰納法にしろZornの補題にしろ「有限の記述」に過ぎない。
そして、一旦そのように定義されてしまったならば、それを元にした議論は、
意図するにせよ、せざるにせよ、結局、有限の記号処理でしかない。

すなわち、全ては算術だ。

>>188
それがメタの立場なの。

君の議論は、漢字で「無限」って書いたとき、それは「２文字」だから
有限だといってるのと同じレベル。

>>188
>選択公理にしろ超限帰納法にしろZornの補題にしろ「有限の記述」に過ぎない。
そして、一旦そのように定義されてしまったならば、それを元にした議論は、
意図するにせよ、せざるにせよ、結局、有限の記号処理でしかない。
すなわち、全ては算術だ。

そんなことは、基礎論の本の最初に書いてあるじゃん。自分の思想
みたいに言うなよ。ヒルベルトの形式主義を半分取ってきただけじゃん。

でも君の言うのは、単なるメタ算術だよ。
ヴィトって、Dr.G みたいな奴だな。

>>189
＞君の議論は、漢字で「無限」って書いたとき、
＞それは「２文字」だから有限だといってるのと同じレベル。

全くその通り（ｗ
私が言いたいのは、それが選択公理や超限帰納法や
Zornの補題に変わったところで同じだということ。
すなわち、メクソハナクソだということだ。（ｗ

＞そんなことは、基礎論の本の最初に書いてあるじゃん。
＞自分の思想みたいに言うなよ。
＞ヒルベルトの形式主義を半分取ってきただけじゃん。

そう、私の思想の半分はヒルベルト、もう半分はブラウアーだ。

＞でも君の言うのは、単なるメタ算術だよ。

見かけは同じだ。

ところで、君は始めに対象ありきと考えるから
「メタ算術」というのだろう？
私がいいたいのは、実は「メタ算術」の操作が
先にあって、その操作が生み出す幻影を勝手に
「対象」と読んでいるだけではないのか？
ということだ。

ちょいと話の腰を折るが、ヴィト氏に質問。
ヴィト氏は実無限（または集合論）の存在の妥当性
はともかく、議論（証明）の方便としては認めてい
る、と考えてよろしいのかな？

形式的言語を上手く設計して，その体系の中で理論を表現すれば，
ゲーデルの方法によって，それを自然数の中にコード化できる。
このとき，ある原始帰納的述語Ｆを，
F(P,T)が真⇔Ｔが命題のゲーデル数でＰがその証明のゲーデル数
となるように作ることができる。これがメタ数学の証明論の立場。
対角線論法によって，自分自身の証明不能性をあらわす命題を
構成すれば，不完全性定理が導ける。
もし形式的言語の「意味」をすてて記号列の操作とのみとらえれば
すべての定理はこのもとで，自然数に関する命題に還元される。

しかしこれは，実際には，数学的理論が完成し，さらにある定理
の証明がみつかってから後にそうできるということで，
理論それ自体をどう作り，ある定理がなりたちそうであると見通したり
様々な知識や直感に導かれてその証明をみつけるという
実際の営みはそれ以前になされていなければならない。
ＺＦの元での，選択公理と連続体仮説の無矛盾性と独立性が
証明されたあとも，ゲーデル自身は実在論者で，
連続体問題に決着がつけられるための，集合論の新しい公理
を生涯にわたって求め続けたのは有名な話だ。

さらに話の腰を折るかも知れないが、事実として言える事として、
数学の大部分の議論が公理的集合論+適当な公理系の上に成り立っている事、
多くの公理系、特に公理的集合論のモデル（解釈）は一通りには定まらない
事があると思われ。

そう考えると、公理的集合論を集合によらずに解釈する事がヴィト氏の
主張を説得力のあるものにすることができると思うのだが、如何か？
（もっとも集合論の記号法を用いている時点でその操作の産み出す
物は集合と同じに考えられると言われるかも知れないが）

ところで、上の話と関連するかはわからないがLoewenheim-Skolemの
定理によれば、可算濃度の言語で記述される任意の公理系は可算濃度の
モデルを持つ事が示される。可算濃度というのは有限とまでは行かなく
とも高々自然数全体の集合と同じ濃度しか持たないので、可能無限派
にとっては有用な材料なのではないだろうか。

殆ど哲学屋を煽るような文章になってスマソ。

ところでヴィト氏=KUROIWA氏=Dr.G？

レーベンハイム・スコーレムの定理の「可算モデル構成法」
は，コーヘンのフォーシング手法の背景となっており
さらに，巨大基数の存在のモデルの構成なども
その手法で行われているのはいかにも皮肉な事実だね。

>>195
ってか、俺的には何故哲学者がLoewenheim-Skolemの定理という
極めて彼等にとって都合が良いと思われる定理をあまり持ち出さ
ないのか疑問だ。

ヴィト氏=Dr.Gはどうも違うみたいだ。
Dr.Gは自分のやっている事が哲学ではないと自覚しているが
ヴィト氏にはその自覚が無い。

>>193

数学者の「直観」はいつでもどこでも正しいのかね？

違うだろう。いわゆる直観はアテ推量に過ぎない。
玄人のそれが素人よりマシだからといって完璧だと
いうわけではない。

>>195

巨大基数の相対的無矛盾性が、自然数の集合の
一種の「組み合わせ論」の結果として示される
ことのほうがよほど皮肉だろう。

０＃や０†はもちろん御存知だろう？

>>194
>>196

Loewenheim-Skolemの定理は、確かにこの議論の
馬鹿馬鹿しさを示している。すなわち誰も「濃度」
の本当の意味を語ることは出来ないということだ。

ところで、諸君らは、なんらの哲学もなしに数学を
研究しているのかね？そんなことはないだろう。
諸君らは、哲学を持たないわけではない。ただ
それを自覚せず、さらには、自覚することを怖れて
いる。すなわち、実無限を当り前のことと考え、
実はそこには何の根拠もないと知ることを怖れて
いる。

しかし、何を恐れる必要があるのか？実無限が
無くなったら数学も雲散霧消すると思っているのか？
そんなバカなことはあるまい。

ゲーデル本人の哲学はあくまでも実在論だった。
彼は自身で形式的体系を算術化まで徹底し，
その限界を不完全性定理という形で示した。
また，その後自らＶ＝Ｌ公理のＺＦとの無矛盾性
（したがって一般連続体仮説の無矛盾性）
を示し，コーヘンの独立性の結果をも吟味したのち，
「実在」のさらなる探求へと残りの生涯をついやした。
コーヘンも，著書「Set Theory and The Continuum Hypothesis」
の中で，V=L は実在の真実に合わず，
べき集合は順序数の方法で構成されるいかなる基数より
も大きいはずである云々の，実在論的議論をしている。

遡って，ZFCがなぜ選ばれたのかという時点で，
実在としての現実の数学が救われなくてはならない
という判断が根底にあるのではないのか。

>>198
数学者の哲学といったら、「anything goes」では？
それなりに妥当であろう、無矛盾である、議論が簡潔になる、発展
性がありそう、面白い等々の長所があるならば、それで議論を進め
てみる。
その点からいって、矛盾を特に引き起こさず、認めれば数学が素晴
らしく豊かになる実無限は（例え詭弁的なものだとしても）問題な
く認められる。集合論も同様。
実無限を認めない数学や直観主義数学も面白いだろうが、その数学
はあまりにも窮屈。
（竹内外史が「直観主義をどう思うか？」とタルスキーに質問した
ら「哲学的に弱く、数学的に醜悪である」と答えたそうだが、その
回答は共感できる）

それとも、これが典型的ドキュソ数学者の姿か？

実在といえばこの世の物理的実在を
忘れてはならない。
数学的認識（ペンローズはプラトン的と呼んでいる）
が物理的世界に有効だということこそは根源的な謎だろう。
「なによりの不思議は世界が理解可能であることだ」
とのアインシュタインの言葉もこのことをさしている。

物理的実在と同時に経済的実在も重要だ。
数概念の発生と交換経済の発生はつながっている。
また連続体概念の発生と貴金属通貨の発生も
つながっている。

経済といえば最近流行のデリバティブとかって
数学のカタマリだよな。
いいのかなあんなんで。

>>203
数学だけだと通じないから平気です。

金融数学やってると求人がすごいらしいね。
だから，大学で教える人がつかまらなくて
どこも困ってるらしい。

>>199
＞ゲーデル本人の哲学はあくまでも実在論だった。

実在論けっこう。しかしながら「非可算集合が存在する」
と証明できる可算モデルの存在は、実在の薄弱さを示して
いるのではないかな？

>>200

「議論が簡潔になる」ことと「豊かになる」こととは両立しない。

集合論は、構成に関する繊細な問題を塗りつぶした点では、
数学を詰らないものにしたといえる。その点では人を考えなく
させるアヘンといってもよい。

アヘンに一度でも溺れた人間にとって、アヘン抜きの生活は
耐えがたい。しかしながら、超越的手段は、所詮アヘン中毒
患者の幻想に過ぎないのである。現実の人間の為し得ること
は窮屈なのだ。それを痛感することがバカげているというなら
さっさとあの世へいったらどうか？

非構成的な数学は
「哲学というより宗教であり、
　あまりにも清浄であるが故に
　いずれ何びとも近づけなくなる」
といっておこう。

人は所詮神にはなれぬ。

＞構成に関する繊細な問題
これはKleeneがHierarchy理論をちゃんとやってるよ。
Recursive Function Theory はその辺のことは
徹底してやってるけど，実無限がどうしたとかは関係ない。
それはそれ，これはこれだ。

>>206
ほんと馬鹿だね(w。
自分じゃ気の効いた事言ってるつもりなんだろうけど。
以後あんたの発言は無視するよ。

>>208
まーまー
いろいろと背伸びしてつっぱりたい年頃なんだろ。
適当に相手してやってもいいと思ってるよ。

無限が存在するか、しないかは問題じゃない。
無限という概念を元に組み立てられた数学が
現代の数学だとすれば、それに対して「実無限」
という概念なしで、どの程度の数学理論を作る
ことができるかヴィト君自身が示せばいいこと。
本を書くなり、論文を書くなりすればいい。

ヴィトさんマンセー！

>>209 ﾜﾗﾀ

全員ガモフ全集嫁

？？？

>>212
そうか？俺はヴィトじゃないが気分悪い。

ちょっと但し書き。
有限的数学と実無限の話は区別しなければならない。
私も有限的数学についてはヴィト氏を支持するが、実無限は拒否しないよ。

>>207
＞これはKleeneがHierarchy理論をちゃんとやってるよ。

いや、そういうレベルの話ではない。
例えば、集合論の定理が、適当な変換によって
数論の定理として読みかえられるといったこと。

>>217
いいかげん夏虻は氏ねよ。

>>217 ヴィトたん元気ないみたい。鬱期に入っちゃたのかな？

直観主義が最近見直されてるようだ↓
http://fcs.math.sci.hokudai.ac.jp/doc/announce/am96.html

>>220
最近てあんた・・・
直観主義モデルの研究はずっと続いてるよ。
様相論理との関係も調べられてるし。

>>221
うーむ、モデルによる研究というより、直観主義論理を実際に推論体系
として実用して欲しいのだ。
例えば直観主義論理を使った解析学の教科書出すとか・・・。

選択公理のない解析学とかは、けっこう意味のある結果がでていると
聞いたことがあります。

排中律を前提にした普通の数学では、選択公理を使って証明される「少し一般性を
持った」命題はすべて選択公理と同値になってしまう、という「特徴」がある。例
えばツォルンの補題などその典型的な例だ。しかし、ツォルンの補題は、選択公理
を使っている「部分」は最後の「ほんのちょっと」の部分であり、実は、排中律を
「無限回使っている」ところが本質なのだ。だから私は選択公理とツォルンが同値、
という主張は、「本質的」に「ウソ」だと感じている。

>>223

伝聞推定の記憶だけ言われてもなー。

>>224

感じだけ言われてもなー。

数学って最後にちょこっと使うのが本質的だったり証明ってのも
あるからね。

なんか定式化してくれないと。「あ、そうですか。」としか言えんな。

まあ、
田中尚夫　選択公理と数学　遊星社星雲社
竹内外史　直観主義集合論　紀伊国屋
でも読んだほうがいいわ。

>>224
＞実は、排中律を「無限回使っている」ところが本質なのだ。

そう、それが「実無限」だ。

存在とは、在るか無しかの判別だ。
その手続きを無限回行って完了し切る
と考えることが実無限の本質だ。

そうではなく、任意の有限回では終わらない
と考えるのが可能無限だ。

それゆえ、実は自然数論ですら、実無限なのだ。
たとえばｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘの証明というのは、
つまるところ交換の手続きに過ぎないのであって
それが任意の自然数について成り立つ「証明」だ
と見なすのは、既に実無限的である。

しかしながら、その信仰は決して成就されない。
すなわち、自然数論自体が、無矛盾であるという
有限的証明は決してなされないのであるから。

>>225
「定式化」というフォーマルな話だったら「排中律を仮定しないと、
ツォルンの補題と選択公理は同値にならない」ということに尽きる。
私はブッチャケたところを説明するために「感覚」の話をあえてして
いるのだ。
　ツォルンより整列可能性を選択公理を使って証明するときの「感覚」
で説明しよう。Ａ を任意の集合とする。もし Ａ が空ならそれで終り。
もし空でなければ Ａ から勝手な元 a を取る。Ａ＼{a} が空ならそ
れで終り。もし空でなければさらに Ａ＼{a} から勝手な元 b を取る。
このような操作を「超限的」に繰り返せば、いつかは Ａ が空になり、
取り出した順番で整列順序がつく、という寸法だ。ただ、各ステップで
勝手な元を取り出しているから、これを「いっぺんに」並べるために選
択公理を使うわけだ。
　ところがそもそもこの各ステップでは「考えている集合が空であるか
元を持つかいずれかである」という排中律を使っている。Ａ が無限集合
なら、まさに「排中律を無限回使っている」ことになる。
　以上が「感覚的な」説明。

>>227
>しかしながら、その信仰は決して成就されない。

信仰じゃなくゲームなんだよ。君の方が信仰にみえるけど。

>>228
しかし、排中律を仮定しないとすると、「Ａ を任意の集合とする」。」
とした最初の時点で、どの対象も「Ａ に入るか、入らないか」が
排中律なしに確定しているんだろ。
それだったら、各ステップでの「考えている集合が空であるか
元を持つかいずれかである」も排中律がいらない感じがする。

問題は、むしろ「任意の集合」と言う概念が違うってことじゃないのか？
以上が「感覚的な」説明。

>>229
>信仰じゃなくゲームなんだよ。

それは私のセリフだ（笑）

>>230
＞「Ａ に入るか、入らないか」

これを世間一般では「排中律」と呼ぶのだが（笑）
君の感覚はどっか狂ってるな

>>231
いいえ。ヒルベルトです。

>>227
ついにあらが出ましたね。
では、次の用語を調べてみてから考えてみて下さい。
・可算
・非可算
・加法群
・有限和
・無限和
・級数

>>232
君は読み違いしてるよ。

排中律を仮定せずに確定してるってことだよ。

>>235
君こそ読み違いをしているよ。

確定していると思うのが「排中律の仮定」なんだよ。

>>233
ヒルベルトのいうゲームと、私のいうゲームは違う。

前者は無矛盾性証明の為の方便である。
彼自身は、数学の営みそのものがゲームだ
とはいわなかった。

私は、逆に数学の営みそのものがゲームだと
主張したい。そのゲームが前提条件の不備に
よって矛盾する場合もあるだろうが、その際には
新たな前提条件によってやり直せば良いだけの
ことである。現にゲームが行われているのに、
そもそもゲームが可能かどうかを疑うなどと
いうのは、ナンセンスの極みである。

>>234

何がいいたいのかな？

口からデマカセ君なら
相手する暇はないよ。

顔洗って出直し給え。

>>232
だから>>230 が言いたいのは無制限に排中律を前提にせずとも集合の概念の中に
排中律に相当するものを組み込めば良いということだろう。
要するにどの対象も「Aに入るか、入らないか」が確定していなければ、
そんなAは（存在するとしたら）集合と呼べる代物ではないということだろう。

>>238
あれ？ヴィトって数学知らんの？
>>234に書かれてあるキーワードは君の考えている事に深く関わってくるんだけど。
>>234に書かれてあるキーワードの概念を知らずに無限について語ってる訳？

>>236
君も読み違いがわかってないな。
排中律っていうのは、「Aに属す、 または 、Aに属さない」という命題さ。

私がいっているのは、「Aに属す」が確定しているか、「Aに属さない」が確定
してるものを集合として話している。239の言う通りである。

もともと「感じ」の話だし。集合の概念が違うのか？と230で聞いているんだよ。
だから、225で定式化しないと「あ、そうですか。」となると先に言っているよ。

聞くが、排中律なしのとき、集合をどう定義するんだい？

>>242
分かってないのは君さ、

集合として
「「Aに属す」が確定しているか、
　「Aに属さない」が確定 してるもの」
を考えることが、無意識的な排中律の密輸入だと
いっているのさ。

239は
「どの対象も「Aに入るか、入らないか」が
　確定していなければ、 そんなAは
　（存在するとしたら）集合と呼べる代物ではない」
なんていってるけど、ウソだな。
直観主義集合論IZFは、こういうものを集合と
呼んでるんだよ（笑）

＞排中律なしのとき、集合をどう定義するんだい？

公理的集合論ZFの公理に排中律は入ってるかね？（笑）

>>241
あれ？君、数学理解してるつもりなの？
>>234のキーワードのいくつかはここでの議論に関して
君が思いっきり誤解をしていることを明らかに示しているよ。
君は、自然数論で無限和とか級数を使うのかい？（笑）

>>242
なんで自分自身にレスしてんだよ。
そりゃ普通に考えたらZFは古典論理で形式化されるものだから、
ZF自体には排中律、もしくは「どの対象もAに入るか、入らないかが
確定している」なんてものは入っていないだろうよ。
単純に直観主義論理にZFを載せただけなら確定しないがね。
直観主義論理+ZF+「どの対象もAに入るか、入らないかが 確定している」
こういう公理系は見たことがないが、立場としては可能だろう。
「どの対象もAに入るか、入らないかが 確定している」ようなAは
存在しないということが直観主義論理から出て来るのか？
ところでIZFってどんなんだろう? 本か論文で良いから示して欲しいのだが。

>>243
自然数論はヴィト氏が勝手に持ち出して来ただけだろうが。
>>224 についてはどう説明する?
241氏 がどう考えているかは知らないが。

それにしても「君」とか（笑）とかって...やっぱりDr.Gか？

最近の議論はヴィト氏が全面的に勝っているな。
排中律を仮定しなくたって集合は定義できるよ。
P(x) を(排中律が成り立つとは限らない)任意の命題とするとき
A={x|P(x)} はいつでも集合(厳密にはクラス)である。
常に x∈A か not x∈A が成り立っている必要は、一切無い。

>>245
>>230 に感覚的な説明だと書いてある事からして、もともと230氏が問題にしていた
「集合」というのは公理的集合論じゃなく、日常の意味での集合だろう。
だとすれば、「x∈A か not x∈A」は日常の意味での集合の性質として
要請されていると考えるべきなのでは？
特にP(x) があるxに対して排中律が成立しない命題だったら、
A={x|P(x)}は集合ではないし、クラスでもないと考えるべきだろう。
公理的集合論に関して言えば、直観主義集合論のモデルであって、古典論理+ZFの
モデルにならないようなもの（あくまで内部モデル）はどんなものだろう?

>>245
そんなの認めるんじゃ、実無限認めるのとどう違うんだい。
{x|x派自然数}も集合なんだろ。君の立場じゃ？
ヴィトは、どうなんだろ？

>>247
結局、集合とは{x|P(x)}だというなら、
P(x)を直接考えたっていいだろうと
いうことになってしまうだろうな。

人間はどうも手続きという動的なものを
そのまま扱うのがイヤなようで、なんだ
かんだと静的な存在に帰着させたがる。

しかしそうしたところで、手続きの本性は
変えようがない。

この議論は有限時間内に決着がつくのでしょうか

>>249
warata

>>249
　たとえ有限時間内に決着がつかなくても、実無限を認める人にとっては決着はつく
からよいのだ。

>>251

正しくは

「たとえ有限時間内に決着がつかなくても、
　実無限を認める人にとっては決着”がある”
　からよいのだ。」

というべき

鬼怒川の上流逝くと何があるの？
川俣湖！
それから先へ行くと？
オクキヌ温泉郷
もっと先へ行くと？
大きな山があって越えられないよ！
それでもさらに先へ行くと？
逝くなよ！

すべての無限は加算です。

むげんげんげん

まだ読んでるかどうか知らないが、
>>248
で、その場合の「手続き」って何だ？
つーか>>246に反論してくれ。

>>256
もう誰も読んでない。
自分で考えて反論してくれ。
人に頼るな。以上。

「虚無限」て言葉ひょいと思いついた。
いいと思わない？
あと「不可能無限」もちょっと良くない？

「量子無限」は？

「虚無限」てなんか恐ろしい・・・

無限に付いて語る。虚無限VS不可能無限VS量子無限

不可能無限次元空間

実無限＝複素平面で実軸の方向に限りなく絶対値を大きくしていった極限
虚無限＝複素平面で虚軸の方向に限りなく絶対値を大きくしていった極限

だから複素球面で考えると実無限＝虚無限

-------------------------- お し ま い -----------------------

実無限実無限後光の擦り切れ

「今井無限」

無限と言う言葉はしばしば底の見えない暗い穴を連想させるが、
この組み合わせはそれを最も表現していると言えるだろう。

見えない。本当に見えない。その底が…いったいこれを把握する事は出来るのであろうか？

ためになるスレ、あげよう

>>265
絶対的自己矛盾自己交錯自己撞着。見えない、そしてきみの悪い、吐き気を催す
ような暗黒、、、んんん。

無限あげ

>>267
毛ツル？
懐かしいような感じの文だ

ある元がその集合に属するかどうかを有限回の操作で判定可能なもの以外を
集合として認めない立場に限定したら、物事が極めて楽になりそうに思う。

しかし、無限小数全体が加算無限であることは以下のように証明できますよ。

0と1の間の無限小数、

0.x1 x2 x3 x4 x5 ... xn ...　　(xn は1桁の数字)

について考える。
これら無限小数の全体を集合Sとする。
Sは、小数第一位の数値によって、S0,S1,S2,S3, ... S9という
10の集合に分割できる。Sのすべての要素はこのどれかに含まれ、重複もない。
次に、S0, ... ,S9のそれぞれは、小数第二位の数値によって
S00, S01, ... S09, S10, S11, .... ,S98, S99 という
10*10の集合に分割できる。やはり、Sのすべての要素はこのどれかに含まれ、
重複もない。
以下、小数第三位、小数第四位、……についてもこれと同様の分割が行えるので、
Sの全体の要素数は

lim 10^n
n→∞

となり、これは加算無限である。
■

幼稚園からやりなおし

質問です。

アレフ１という濃度が存在することが整列定理によって証明できる
そうですが、そんなものが証明できて何かの役に立つのでしょうか。
存在するといっても（ＮやＲのような）具体例はないんですよね。

夢幻について語る。実夢幻VS可能夢幻

>271

>lim 10^n
>n→∞
>
>となり、これは加算無限である。

このへんが特に納得いかねーな

271以前に270の定式化をしないと意味ないんじゃ？

いーみなーいじゃーーん

270によれば{1}は集合ではない

>275
しかし、それを否定すると、整数の個数が非加算無限ということになりますよ。

実際、271の証明を何人かに見せましたが、証明の誤りを
見つけた人がいません。だから、どなたか誤りを示せるならやってみて
くださるとありがたいです。

おまえらぱーか

>>271の仕方で集合 S を小数第 n 位まで分割してできる部分集合の個数が
10^n 個であるというのは確かに正しいだろう。

しかし、n が有限の場合は、
こうしてできたどの部分集合も S の元を２つ以上含んでいることに注意すれば
「これらの部分集合の個数」と「S の元の個数」は等しくないことがわかる。

では n → ∞ なら前者と後者は等しいのか？

n が大きくなるにつれ、これらの部分集合のそれぞれに含まれる 「S の元の個数」は減っていく。
（本当は「無限個」含まれているのだろうから「個数」というのはおかしくて、
　全ての自然数 n について
　S00...0 (0がn個) ⊃ S00...00 (0がn+1個)
　かつ
　S00...0 (0がn個) ≠ S00...00 (0がn+1個)
　などが成り立つということ。）

しかしどんなに n を大きくしてもその「個数」は１にはならないし、１００にもならない
ぶっちゃけた話有限個にならない。

これが n → ∞ で突然 1 になるということを仮定すると>>271の結論が導かれるのだろうか。

うんこ無限しか知りません

うんこ四間

>>278
＞270によれば{1}は集合ではない。
どうして？
｛１｝＝Sとおく。ある元を持ってきてそれがSに含まれるかどうかが
有限操作で判定できるではないですか？　この場合１以外の元をもって
きても、Sには含まれないことが１回の操作でわかるでしょう。

>>284
　数学が無矛盾である限りａ＝１なのかａ≠１なのかを絶対判定できないような
実数ａを具体的に構成することができます。
　このようなａについてはａ∈{1}であるか否かを有限回の操作で判定することは
できません。

おもしろいね

＞285
どんな風にやるのか
サワリだけ教えて

ゲーデルの不完全性定理の証明に出てくる自然数を変数にもつ命題 Ｐ(n)
で、Ｐ(0),Ｐ(1),Ｐ(2),… はすべて証明できるのに、∀nＰ(n) という
命題も、その否定命題もいずれも証明できない、という命題が存在します。
そこで、ｃ_n を、Ｐ(n) が正しいとき 0 、正しくないとき 1 、で定義
します。そして

ｃ＝Σ ２^(-n) ｃ_n

と定義します。すると、ｃ は 0 に等しいことも 0 でないことも絶対
に証明できません。この ｃ を用いて ａ＝ｃ＋１ と置けばよいのです。

>>288
＞ゲーデルの不完全性定理の証明に出てくる自然数を変数にもつ命題 Ｐ(n)
＞で、Ｐ(0),Ｐ(1),Ｐ(2),… はすべて証明できるのに、∀nＰ(n) という
＞命題も、その否定命題もいずれも証明できない、という命題が存在します。
漏れののってる教科書とはちがう証明みたい。なににのってた証明？
具体的にはそんなＰ(ｎ)ってどうやって構成するの？

そういえば　無限なものにたいする対角線論法って
一瞬正しそうにみえるけど
どうも　卵と鶏のどっちを先にたべるかと
いう問題とおなじで
ありゃ証明にならんぞ
おれは手羽からたべるな

>>290

オメー、証明ってなんだか知っとるケ？

>>289
オマエの教科書を読め。
どうせ、マクラにしてるだけだろ（笑）

>>290 は日本の恥だな

>>291>>293
適当にクズが混じってるのが
2chらしくてまたいいんだよ。

>>292
＞どうせ、マクラにしてるだけだろ（笑）
かも。漏れの教科書は数理論理学、福山克、培風館。
これにのってる証明(２つのってる)にはそんなＰの存在を不完全性定理の証明
のために経由しないんだけど。そんなＰの存在(or構成)の載ってる本(or論文)
の名前きぼん。そんなＰの存在信じられんのだけど。よみまちがってるのかな？

>>295
ω無矛盾はゲーデルの証明では本質的じゃないか

>>296
漏れの教科書(先述)には不完全性定理とは
Nがω無矛盾ならNは不完全である。
とある。理論Lがω無矛盾の定義は
LにおいてP(1)＆P(2)＆P(3)＆・・・とnot∀xP(x)は両立しない。
とある。これからNにおいて>>288がいうPの存在をどうやって導くの？

├ P(n) ,n=0,1,2,
で
├ ∀xP(x)
でないものが存在するからω無矛盾が意味をもつんだ。
├ ∀xP(x) だったら無矛盾だけですむ。

>>298
う〜んすまヌ。まだわからん。
├ P(n) ,n=0,1,2
と
├ ∀xP(x)
が同義でないことはわかってる(つもり)。つまりω無矛盾でない理論の
存在もわかってる(つもり)。(というか矛盾してる理論をもってくればよい。)
つまりNとはちがう理論Lをとってくれば
L├ P(n) ,n=0,1,2
と
L├ not∀xP(x)
の両立するものが存在するってのはわかるんだけど
N├ P(n) ,n=0,1,2
と
N├not∀xP(x)
となるPの存在はどうやってしめすの？なんか漏れ勘違いしてるのかな？

さてみなさん
くだらん議論がつづいてますが
ここでもっとクダラナイはなしをさせてもらいます。
πは無理数でございますが　少数以下を計算すると
0が何回か連続することがあります
さて最大何回連続することがあるのでしょうか
無限界連続することもありえるのでしょうか
そう　計算のとちゅうから　はてしなく　0が続くことが
あるのでしょうか
無理数であることは分かってますから
いつか0以外の数字がでてくるのに
いつまでたっても0が続くことはあるのでしょうか

もしランダムなら
いくらでも長い０の列が存在する

ランダムなら
10の無限乗桁けいさんすると発生する確率は1回とかいうのかな???

数日レスできませんでしたので、今答えます。

>281
>しかしどんなに n を大きくしてもその「個数」は１にはならないし、１００にもならない
>ぶっちゃけた話有限個にならない。
>
>これが n → ∞ で突然 1 になるということを仮定すると>>271の結論が導かれるのだろうか。

これは当然予想した反論です。
それに対しては、次のように説明できます。

※用語の定義
小数第一位の数字によってS0..S9に分割された10個の集合を、集合群S(1)、
小数第二位までの数字によってS00..S99に分割された100個の集合を集合群S(2)、
以下小数第k位まで10^k個に分割された集合を集合群S(k)と呼び、その要素となる
集合をs(k)と、ここでは呼ぶことにします。


さて、k→∞においてすべての無限小数が別のs(k)に分割されることを示すには、
異なる無限小数は、いずれかのS(k)において別のs(k)に属することを
示せばよいわけです。
それで、「異なる無限小数」とは定義から、少なくとも一つの桁が異なっている
ものです。ある2つの無限小数について、その異なる桁がn桁目とすれば、
それら2つの無限小数は、S(n)において別のs(n)に分割され、
それ以後のS(n+1)、S(n+2)、... においてもすべて別のs(n+1)、s(n+2)に属する
ことになります。
これは任意の無限小数の組み合わせについて適用されるので、
k→∞ですべての無限小数が別のs(k)に分割される、つまり
k→∞においてS(k)の要素数が無限小数の個数と等しいことが示されます。

>>299
＞ω無矛盾でない理論の存在もわかってる(つもり)。
＞(というか矛盾してる理論をもってくればよい。)

てゆーか、もしかして無矛盾だけど
ω無矛盾でない理論はないと思ってる？

>>304
やっとわかった。今朝おきて教科書よみなおしてやっとわかった。
つまりまず
定義
(1)Lがω無矛盾:⇔すべての命題PでL├ P(n) ,n=0,1,2 ├ not∀xP(x) が両立しない。
(2)Lがω不完全:⇔ある命題PでL├ P(n) ,n=0,1,2 かつ not├ ∀xP(x) が成立する。
としておくと、Nはω無矛盾でω不完全だという意味なのね。(2)は>>295の
練習問題にのってた。(1)も(もちろんNでは証明できないが)同書の
定理６、定理１１などをみとめれば正しい。(P167にそのことがかいてあった。)
Nのω無矛盾性がNで証明できないということとNのω無矛盾性が証明できない
ということを混同してた。おさわがせしました。納得した。

>>305
ちなみにω無矛盾を前提にしなくても不完全性定理は証明できるよ（ロッサー）。
それも教科書に載ってるよね？

>>306
のってる。それは確認ずみ。てか教科書にじっさいω無矛盾を前提にしない
不完全性定理の証明がのってる。

>>307
ついでに確認のために質問。“Nのω無矛盾性の証明はNで形式化できない”
は成立するんだよね。
だんだん理解に自信もてなくなってきた。なんせ完全独学なもんで。(←いいわけ。)

>>303
もういいよ、間違ってるんだから。もう書き込むな。

集合の数と実数の数が一致するのは別に間違ってないんだよ。
間違ってるのは、10^ω （ωは自然数の濃度とする）が加算だと
単純に思い込んだところ。

確かにそこに行き着く過程はすべて可算であるだろう。だから極限も
可算であると思い込んだのだろうが、極限値というのは操作の結果
到達できる値ではなく、操作の結果が限りなく近づいていく先の値で
しかないの。操作の結果得られる値ではないんだから、その過程で
得られるものがすべて可算であっても極限値が可算であることは
なんら保証されないの。おーけー？

もしも過程のすべてがある性質を持っている場合、極限もその性質を持って
なければならないのならば、e や πは有理数って事になるぞ。

>>308
ああ、うそうそ。そんなこと一言も教科書にのってない。逝ってきます。

>>307 >>310
当然いえるだろ。
ω無矛盾ならば無矛盾なんだから
無矛盾が導けてしまう。

>309
>もういいよ、間違ってるんだから。もう書き込むな。

数学をやる者の態度ではないですね。

>しかないの。操作の結果得られる値ではないんだから、その過程で
>得られるものがすべて可算であっても極限値が可算であることは
>なんら保証されないの。おーけー？

でしたら、lim[n→∞] 10^n は非加算だと言うのですか？
そうすると、自然数全体の個数も非加算になりますね。

>>312
可算非可算とか・・・定義に基づいて議論しないと
屁だよ。
まず定義をいってみな。それと
limというのであんたは何をいってるのか
その定義をちゃんと書きな。
そうしないと議論にならんよ。

まだ続いてたのか

>>290
同意。
というか、対角線論法には、致命的欠陥があります。
それは、１０進小数では、無限に存在する”ように見える”異なる小数も、
２進小数では、”ただ一つ”しか存在しないからです。

特に、対角要素がすべて”０”の場合、
0.111111111111…＝1
になり、矛盾も生じなくなります。

>>315 唯一つあれば十分だと思うが．．．

>>312
＞数学をやる者の態度ではないですね。

あのね、厳しいことを言わせてもらうけど。数学のある分野の勉強を
するときの最小限の知識を身に付けようともしないで、手前勝手な
思い込みで議論することは数学をすることにはならないと思うよ。

じゃあ君が言う通り、実数が可算だとしよう。そうすると、区間[0, 1]
の実数には自然数のナンバーをふることが出来て、

{x_1, x_2, x_3, ........}

と名前を付けてあげることが出来るね。

また、君の区間の分割に従えば、S0,S1,..S9 から Sm_1 を選び、
さらに Sm_1 1,Sm_2 2, ... Sm_3 9 の中から Sm_1 m_2 を選び、、、
とすることで、分割された区間の無限系列

　　　　　Sm_1 ⊂ Sm_1 m_2 ⊂ Sm_1 m_2 m_3 .....

が得られるわけだね。で、君の主張に従えば、この区間全てに含まれる
実数 y が少なくとも一つ存在するわけだよね？

＃長くなったのでひとまずここまで、、なんかねたにまじれすっぽくなって
＃ちょっと鬱。

>>317
ここで、ある君の分割に従った区間の系列を次のルールに従って作ることを
考えてみよう：

　　　Sm_1 m_2 m_3 ..m_k を選ぶとき、x_k ∈ A が入っていない
　　　区間を選択する

このルールに従って区間の列を作った場合も、区間全てに含まれる
実数 z が一つ存在するはずだよね？

けれども、z が区間[0, 1]に含まれる実数であるのならば、{x_1, x_2, x_3, ........}
のどれか一つが z ということになるね？そうすると、ルールから言って、
区間を選んでいくいずれかの過程で z が入っていない区間を選択しているはず。
これは明らかに矛盾している。

以上より、実数が可算とすると矛盾が導かれることがわかった。

っていうかさ、これは区間縮小法を使った初歩の初歩の定理だぞ。

>>315
前半の主張はおれにはよく理解できないのだが
>特に、対角要素がすべて”０”の場合、
>0.111111111111…＝1
>になり、矛盾も生じなくなります。
これはひどいなぁ。
対角線論法は、(0,1)区間の全部の実数を並べたらと仮定するのだから
対角線が全部０にはならないだろう。
君がもし数学科ならば、証明読解力がかなりやばいぞ。

対角線論法を使って濃度が違うとかを証明するところのおかしなところ
まず
背理法が使われている点である
背理法は大変取り扱いが難しい

例えば　背理法で
A<B<Cが否定されたら
A>B>Cが正しいことになるのかな

以下あまりにもくだらないので略

>>320
本当にくだらないね

有名なパラドックス
ひとりの場合は
「オレは嘘つきだ」
偽なのか正なのか

つぎは二人の場合
A「Bは嘘つきだ」
B「Aはいつも正しい」

つぎは・・・・次は無限の場合

実無限論は常にこの罠にハマってるように思えるのだが

>>322
なんだそりゃ
どういう関係があるのか
説明してみろよ

俺は誰だぜ！　一足お先．

>317
>あのね、厳しいことを言わせてもらうけど。数学のある分野の勉強を
>するときの最小限の知識を身に付けようともしないで、手前勝手な
>思い込みで議論することは数学をすることにはならないと思うよ。

なんとも傲慢な口のきき方ですねぇ。
それが数学をする態度なのですか？

>317-318について答えましょう。
これは対角線論法の変形ですね。

>じゃあ君が言う通り、実数が可算だとしよう。そうすると、区間[0, 1]
>の実数には自然数のナンバーをふることが出来て、
>
>{x_1, x_2, x_3, ........}
>
>と名前を付けてあげることが出来るね。

そもそも、これができるかどうかは別の話。
もし可能であるのならば、

>このルールに従って区間の列を作った場合も、区間全てに含まれる
>実数 z が一つ存在するはずだよね？
>
>けれども、z が区間[0, 1]に含まれる実数であるのならば、{x_1, x_2, x_3, ........}
>のどれか一つが z ということになるね？そうすると、ルールから言って、
>区間を選んでいくいずれかの過程で z が入っていない区間を選択しているはず。
>これは明らかに矛盾している。

で確かに矛盾していることになりますね。
しかし、そのzも0.m1 m2 m3 m4 ... という形に書ける以上、
S(0), S(1), S(2), S(3) のどれかに含まれていることが示されます。
ということは、「実数に自然数の番号を振ることができる」というのが
誤っているのでしょうね。

おっと、「S(0), S(2), S(3), S(4) のどれかに含まれている」
では意味が明白でなかったですね。
「S(1), S(2), S(3), ... のすべてについて、s(1), s(2),
s(3), ... それぞれのどれかに含まれている」と書くべきでした。

ついでに。
>317
>　　　　　Sm_1 ⊂ Sm_1 m_2 ⊂ Sm_1 m_2 m_3 .....

これ、部分集合の向きが逆で、

　　　　　Sm_1 ⊃ Sm_1 m_2 ⊃ Sm_1 m_2 m_3 .....

ではないですか？

だからね
自然数と対応付けできない　実数を作ることができる
というのが　間違いということもできるのよね
対角線論法で新しく作った実数は
じつはすでに数え上げたもののなかに存在する
ということも証明できるのよね

>>325
これを傲慢だと思う君のがよほど傲慢だよ。謙虚に教えてくれる人の
言葉を聞きなさい。

初学者、特に文系志向の強い人が数学の勉強をする場合に陥りがちな
落とし穴を指摘したまで。

＞ということは、「実数に自然数の番号を振ることができる」というのが
＞誤っているのでしょうね。

自分の言ってる言葉の意味がわかってる？可算無限の定義は何？

世の中には番号付けできない可算集合なんてものがあるのか・・・・（ｗ

有限回の操作で到達できるもののみを数学の対象とすると限定を
あらかじめしておけば、可算の濃度に限定できて、実数が存在
できなくなるという不便があったりするけど、やさしくなるはず。

ある元がその集合に属するかどうかを有限回の操作で判定可能なもの以外を
集合として認めない立場をといっているのに、
S=｛１｝が集合だということになんの問題があるのだ？
｛ｃ｜ ｃ＝Σ ２^(-n) ｃ_n　｝は、無限和を含んでいるので、
有限界の操作ではｃを確実に求めることなど出来ないわけだから、ｃの
値はもともと判定不能だ。よって、こういうような集合は認めない
という立場であれば、議論してはならない対象なのだろう。

>>330

やさしければいいっていうのは厨房の言いぐさだな。

>328
>自分の言ってる言葉の意味がわかってる？可算無限の定義は何？

「自然数と同じ個数の集合」ですね。

>329
>世の中には番号付けできない可算集合なんてものがあるのか・・・・（ｗ

そのとおりですね。
証明のほかの部分はまったく間違いがなく、結論が矛盾しているのだから
そう考えざるを得ません。

要点をもう一度いいます。
・0と1の間の無限小数全体は、自然数と同じ数(lim[n→∞] 10^n) 個の
集合に分割できる。(>271 で書いたとおり)
・この分割によって、すべての無限小数が別の集合に分割される。よって、この
集合の個数、つまり自然数の個数は無限小数の個数と等しい。(>303)
・この分割に含まれない無限小数をいかなる方法で生成しようとしても、生成した
「対応に含まれないはずの」無限小数もまた、この対応に含まれていることが
容易に示される。(>325)

そろそろ分かってきましたか？
この証明は崩しようがないのですよ。

>>333
スゴイ！！！
最初の一歩、しょっぱなで間違っていて、
何度も指摘されているにもかかわらず、
それを受け入れることができないで、
> そろそろ分かってきましたか？
> この証明は崩しようがないのですよ。
とか吠えることができるアタマの堅さ＆異常性は、
まさに〈とんでも〉の称号を受けるにうってつけである。
M_SHIRAISHIや山口人生と同列に扱ってやろうほどに、
以後はコテハンを名乗るがよい。
偽物対策にトリップも忘れずに。

トリップつけるの忘れた。

lim[n→∞] 10^n個の集合か…
これが加算集合だって証明どうやってすんだろ？

>>336
アレだろ、
１．４〜５年後にprestigiousな場で(©M_SHIRAISHI)、
２．来年４月に出版で(©山口人生)、
のどちらかでやるんだろ。

オレとしちゃあ、
３．クリスマスプレゼント換わりに12/24
ってのを希望したいところだね。
まちきれないョ。

>>337
俺は良い子じゃないからクリスマスプレゼント貰えねぇや
お年玉代わりにくれや>>333

どこをどうかんがえれば、lim[n→∞] 10^nが自然数と同じになるんじゃ。

大ざっぱに考えたって、n -> ω なら 10^n -> 10^ω になりそうなもんで、
10^ω = 2^ω > ω って考えるの普通ってもんじゃない？

◆mathHJFk の 糞トンデモぶり については、ここ↓
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi/math/979918889/201-300
の >>233 参照。

>>336
だいたいlimて定義してないじゃｎ

>自然数全体の個数も非加算になりますね。

いっとくけど、例えば
・・・・１１１１
なんてのは、自然数じゃないよ。

自然数は有限桁だけど、実数はそうじゃないでしょ。

一日待って見ましたが、もうまともな反論は出てこないようですね。

>334
>最初の一歩、しょっぱなで間違っていて、

どこが間違っているのか具体的に言ってみては？

>339
>どこをどうかんがえれば、lim[n→∞] 10^nが自然数と同じになるんじゃ。

ならないというのですか？
それこそ、従来の理論がひっくり返ってしまいますが。

>341
>だいたいlimて定義してないじゃｎ

世間一般の定義ではいけませんか？

>342
>・・・・１１１１
>なんてのは、自然数じゃないよ。

そりゃそうですが。
証明の本題と何の関係もありませんね。

内容のある反論がほぼなくなり、単なる中傷が大部分になってきたことが
はっきりと現れていますね。

>>だいたいlimて定義してないじゃｎ
>世間一般の定義ではいけませんか？
正確に文献をあげてください。

>>343
＞従来の理論がひっくり返ってしまいますが
ひっくり返ってしまう理論があるの？
一つでいいから教えてくれないかな？
単純に疑問に思ったのだが

確かに極限操作というのが明白でない。というか何のことやらわからない。
>>271の”証明”はこういうことだ。

「x,y∈[0,1]　に、次のような同値関係を定義する。
x,yを10進小数展開したときの小数点以下第n桁までの数がすべて一致するときx〜y
この同値関係による商集合をS_nとする。#S_n＝10^n

ここでn→∞とすれば、lim[n→∞]#S_n＝∞　」

これで何か意味のある結論が得られた訳ではない。lim[n→∞]10^n=∞　は当たり前。

注意すべきは、lim #S_n≠#(lim S_n)　ということ。
というよりは、#(lim S_n)の意味が不明である。どうやって定義しているのか？

実際には、「n→∞の極限を取ったと錯覚している状況」は、始めから次のようなものを考えているに過ぎない。

　x,y∈[0,1]　に、次のような同値関係を定義する。
　x,yを10進小数展開したとき、すべての桁が一致するときx〜y

この同値関係による商集合をSとすると言うまでもなくS＝[0,1]だ。
この集合が、何らかの「極限移行」によって得られるのだろうか？
頭の中で「無限に細かくする」「無限に続けていく」と唱えただけでは駄目だ。

＞そもそも、これができるかどうかは別の話。

無限小数の要素一つ一つに、自然数の要素一つ一つが対応できる、と
主張しているのは、このスレッドのあなたですよ〜。お〜い。

347は>325です。

もともとネタだろ。
マジレスするとつけあげるだけ

>>349
まぁそうだけど…確認にもなるからもうちょっとやらせて。

どちらにしろ
１対１対応するとどっちが多いとかいうことは証明されないということですね

さすがに　実数のほうが多いとかいう人はすくなくなりましたがね

人類の数と　人類が使った文字の数とか
比較しても意味のないものということで　よろしいのでは

一ケ所　か、　が抜けた　　鬱だ...

なんか真性くさいので晒し上げ。

私の疑問に答えてくれないかな351さん。
見過ごしてるだけ？それともわざと無視しているのかい？

数学板の人たちは、凄いことをおっしゃる先生相手にも懇切丁寧にマジレスしてあげているのでとても偉いと思った。
理系全般版で凄いことをおっしゃる先生の相手をするのが嫌になってやめた僕はまだまだ徳が低いと思った。

>>343先生、

>>>339
>>どこをどうかんがえれば、lim[n→∞] 10^nが自然数と同じになるんじゃ。
>
>ならないというのですか？
>それこそ、従来の理論がひっくり返ってしまいますが。
>
>>>342
>>・・・・１１１１
>>なんてのは、自然数じゃないよ。
>
>そりゃそうですが。
>証明の本題と何の関係もありませんね。

342をお認めになる一方で339を否定なさるのがとても不思議に思い、お手紙さしあげる次第です。
342をお認めになるのは、数字の無限列は自然数ではない、という、世間的な自然数の定義に基づいてのこと
と理解してもよろしいのでしょうか。
すると、339を否定なさるからには、lim[n→∞]10^nが有限の桁数で表せる、とお考えになっておいでなの
ではないかと思われましたのですが、その理解でよろしいでしょうか。
その際、私がこれまで考えておりましたlimが、343先生がお使いのものとわずかばかり異なっているように
思われてならないのです。どのような定義でlimをお使いなのか、浅学な私にご教示願えませんでしょうか。

>>356はテストです。スレとは何の関係もありません。悪しからず。

>>355
>339を否定なさるからには、lim[n→∞]10^nが有限の桁数で表せる、とお考えになって
それ、読み違えじゃないっすか？
333と271見たら、lim[n→∞]10^nが自然数だ、っつってんじゃなくて、可算無限だ、っつってるんでしょ。

対角線論法は
Aを仮定するとBという操作で矛盾が発生する
ということですから
そこから結論できるのは
Aを仮定するとBという操作はできない
というのも正解で
Aが否定されるかどうかは不明ですね

lim[n→∞]n=∞=lim[n→∞]10^nなんてオチだったら泣くぞ。オイ

>>359
あほか。命題「A を仮定すると B という操作が出来なければならない」という
のが正しくなければ、背理法としてそもそも正しくないだろうが。

Aが否定されるかどうかは不明なのは貴様の脳内だけだ。

背理法スレッドを立てましょうか（ﾜﾗ

「lim[n→∞]10^nは可算無限だ」

電波？

背理法はだまされた感じが後に残る

>>363
そういう人をみんなで諭してるんですよこのスレ。

ネタだの真性だのと言う割には、まともな反論が出てきませんね。

>346
>これで何か意味のある結論が得られた訳ではない。lim[n→∞]10^n=∞　は当たり前。

>303もごらんになってください。
lim[n→∞]10^n 個の分割によって、すべての無限小数が別の区間に分割される、
つまり無限小数の個数はlim[n→∞]10^n個に等しいというのが肝要です。

>この同値関係による商集合をSとすると言うまでもなくS＝[0,1]だ。
>この集合が、何らかの「極限移行」によって得られるのだろうか？

何が言いたいのかよくわかりません。
>303において、任意のkについて、∪s(k) (s(k)すべての和集合) = [0, 1]ですよ。


>347
>無限小数の要素一つ一つに、自然数の要素一つ一つが対応できる、と
>主張しているのは、このスレッドのあなたですよ〜。お〜い。

混同しないように。
>333で示したのは、「無限小数と自然数の個数が同じである」ことです。
(これを1対1対応と呼べるかも知れないが)
それに対して、対角線論法が示しているのは、「無限小数に1から順番を付ける
ことができない」ということです。
つまり、同じ個数ではあるが、すべての無限小数に順番を付けるのはできないという
ことですね。
確かに摩訶不思議ではありますが、それが証明されるのですから仕方がありません。

違うというのであれば、>333に示した証明を「すべての無限小数に順番を付けられる」
という前提無しに崩してください。
私にはそれができるとは思えませんが。
もしできたら、私は降参しますよ。

>345
>一つでいいから教えてくれないかな？
>単純に疑問に思ったのだが

これはちょっと待ってください。
「lim[n→∞]10^n が自然数の個数に等しい」に対する反応を見てから答えます。

>363
>「lim[n→∞]10^nは可算無限だ」

いや、実はこの証明、というより自然数の個数に等しいという証明は
ごく簡単ですから、碩学の皆様には申し上げるまでもないと思ってあえて
出しませんでした。
どなたか証明してみてくださいませんか？

10^nはあるn<Kを用いてk=10^nとなります。
nをどんどん大きくすると、無限小数をどんどん細かく分類することが出来ます。
よって無限小数の個数はlim[n→∞]10^n個に等しい
よって無限小数の個数はlim[k→∞]k個に等しい。

…これで満足ですかぁ？

>>366
まず
lim[n→∞]10^n　個
なんてのは零点！
個数、数学では基数っていってますが、この概念が欠如している。
あなたの書いていることは、無限小数の表記の全体が自然数の部分
集合全体の個数と同じだという証明です。つまり可算だってのは
あなたが勝手にいってるだけ。まあ今井さんあたりと仲良くやり
あわれたら楽しいんじゃないですか？

可算無限の集合の部分集合全体の作る集合の個数は
lim[n→∞]2^n
自然数kをとって、この個数をk個に分割することを考える。
kを大きくすると、分割はどんどん細かくなる。
そしてlim[k→∞]k個の分割によって、すべての部分集合は別の区間に分類される。
したがって可算無限の集合の部分集合全部の個数は
自然数の個数（＝可算無限個）に等しい。

kを大きくすると分割が細かくなっていくからって、
lim[k→∞]k＝○○の個数、としていいの？ねえ？

271氏にとって「自然数と個数が同じである」ということは「自然数と１対１対応が取れる」ではないのか。

じゃあどういう状態なら「個数が同じ」になるんだろーか？

ああ、367>271です。
271さんのいう通りにやったら、369みたいな結果まで
でちゃったんですけど、どうなんですかあ？271さん

もう飽きたから
下がってよし

「lim[n→∞]10^nは可算無限だ」
これも私には分からないな。

君はどうしてわざわざ答えるのを先延ばしにするの？
別に今答えてもいいじゃないか。歓迎するよ。

本当に分からないんだ。教えてくれ271さん

kを大きくすると○▲※の分割が細かくなっていくからって、
lim[k→∞]k＝○▲※の個数、としていいの？ねえ？

>>370も言っているけど
加算濃度の定義って「自然数全体の集合と一対一対応が取れる」以外に無いの？

>>375
それが定義。
どんな本にも書いてある。

なら271の証明は間違っているというレベルじゃなくて
意味のある文にすらなってない気がするのだが…違うのかな

根本的にわかってないな。
集合を作る操作に、「極限をとる」なんてものは無い。
（直極限、逆極限、ｌｉｍなども結局やってることは既存の集合演算の組み合わせに過ぎない）

>>303　のどこがおかしいかというと、「k→∞において」という言葉ですべてを誤魔化していることだ。
「k→∞とする」をきちんと集合算の言葉で言い換えなければ駄目。
言い換えが出来たとしても、一般に　lim #S_n≠#(lim S_n)　であるから、結局証明は誤りであるが。

それと、ある集合が可算集合であることを示すためには何をやればいいのかがわかっていないし、
基数（濃度）の概念も理解していない。だから「lim[n→∞]10^nは可算無限だ」なんて頓珍漢な用語の使い方をする。

>>378
またマジレス現る。
皆さんキマジメ

同じねたを延々とひっぱりつづけると
それにマジレスする人は入れ替わり立ち代り
現れる。
どーしようもないな。
放置しかないのにね。

工房の俺にとってはこういうやり取りは勉強になるので有り難い。
厨房役の人間は抜かすけど

>>271

私の理解では、ある集合が加算(無限)であるということは、自然数全体の集合と
１対１の対応がつくということなのですが、271の「証明」には1対1の対応について
何らの言及もありません。これでは0と1の間の無限小数は有限個でないことを証明
したに過ぎないと思います。271さんは「加算無限」について独自の定義を採用して
いると思われます。いわゆる「濃度」とはべつの何か。紛らわしいですね。

数の個数なんて敢然に数学にとってはメタなことを
数学で処理しようなんて正気の沙汰じゃありませんね
ま　数の個数なんて紛らわしい言い方は止めましょうね

An={0,1}^n, n=1,2,3,・・・　に対して lim An の意味としては
は帰納的極限と射影的極限のどちらかと考えることができる。
この場合
帰納的極限は「有限個の成分を除いて０」であるような
０−１列の全体で，その濃度は可算濃度。
射影的極限は，すべての０−１無限列の全体で
その濃度は連続濃度。

>>384
271=366 は帰納的極限と射影的極限を混同してる
と言っていいのかな（好意的に解釈すれば）
でも帰納的極限は確かに可算だけれど
有限小数の全体だから実数のごく1部分だよね。

おやまあ
１個の１と１グラムの１の本質がちがうことに今頃
気がついたのかね

>>386
難しいこといっちゃってぇ。
もうちょっと説明しないと話がつうじないんじゃない。
順序数と基数についての極限として射影的極限は普通
使ってないんだから、順序数と基数の積の話など丁寧
になさらないと、、、。

基数についての話じゃないよ。
集合族 An={0,1}^n, n=1,2,3,・・・の間の
自然な射影に関する射影的極限と
自然な入射に関する帰納的的極限
の話

数式読みづらいねえ・・・
LaTeXみたいに読みやすく出来ないもんかねえ。

この掲示板がタグを認識してくれればいいんだが

>>388
それは失礼。
順序数 A_n (n=0,1,...)の積は有限積 A_0...A_n の上限であり
基数 A_n(n=0,1,...)の積は無限直積 A_0...A_n... の濃度とし
て定義されているので、この筋でおっしゃることと同じことにな
ると思います。>>386 は直積を通さないと極限という言葉で順序
数、基数という概念からすぐ帰納的極限と射影的極限の両方がで
てかないだろうってことです。

>>271
＞Sの全体の要素数は
＞lim 10^n
＞n→∞
＞となり、これは加算無限である。

×。

それは論理でもなんでもない。

確かに分割を繰り返せば、最後には１点になる。
しかし、その全体の個数が可算集合だといいきってみせるためには
自然数と１対１に対応できることを示さなくてはいけない。
それいがいの逃げ口上などない。思いつきのホラを吹いては困る。
こんな理屈以前のホラを吹く奴が、他人様の理屈を批評する資格はない。

可算であることを主張する
　　　⇔自然数の集合との１対一対応を構成してみせる。

可算であることを否定する
　　　⇔自然数の集合との１対一対応の存在を仮定して矛盾を導く

どっちかだよね。
話は明快だ。

>>自然数の集合との１対一対応の存在を仮定して矛盾を導く
この作業のために、たいていの場合、
新たな仮定が追加されていることを見落としてはいないか??

>>394
新たな仮定は「自然数の集合との１対一対応の存在」。
見落としてないか？なんていう人は「存在している対応をｆ」と
するっていうと、それどうやってもってくるんだ？なんてきくん
だよ。それは選択公理じゃないか？なんてね。
面白いね。

>>394
>新たな仮定が追加されていることを見落としてはいないか??
ということにしたいのですね :-)

＞新たな仮定
とは？

>>397
394とか396が望んでるオバケ！
２人に出してもらいやしょう。

>>394

対角線論法の証明をみればわかるけど、いってることは
「どんなものであれ、一対一対応があるなら、対角線をとって
　その要素に変化を加えることで、未対応の要素が常に
　出てしまうので、そんなものは存在しない」
ということ。否定されるべき一対一対応以外には何の仮定もない。

その上で、自然数から実数への単射はあるけど、
実数から自然数への単射はないから、実数は
自然数より「大きい」という主張に対しては、
後半の「実数から自然数への単射はない」と
いう主張に対して、どのような仮定から証明
しているかが問題になるだろう。

いっとくけど、オレは271でも394でもないよ。

そりゃそうだ

すんません

このスレのタイトルにある「実無限」「可能無限」てのは
それぞれ「非可算〜」「可算〜」ということなのでしょうか？

googleで調べたら違うっぽいですね
失礼しました

>>91-94

lim[n→∞]の無限が可能無限で、無限濃度の無限が実無限だと思っとります。

271に告ぐ。
早くコテハンを名乗って下さい。
さもないと、はずかしい名前を公募しちゃうぞ。

対角線をとってるんるんるん
のところは　自明なことなのか???
ここはやはり仮定ではないのかな

>>407
じゃ、可算個で対角線を取れないような反例を作ってみたらいいのでは？

>>408
ごめんなさい。
なんかの拍子に2ｃｈ用ブラウザの書き込みの設定で名前の設定が変になってました。
ヴィトさん失礼しました。

>>408
可算個で対角線を取れる
というのは　どういう根拠　定義に拠っているのてスか??

面白い！
407は対角線が目にみえるように引けると思っているんだよ。
そうだよね。片方が自然数で相手方が実数じゃ、対角線なんて
引けないよな。なに仮定したって引けないよな。

対角線論法が嫌なら>>91-94のやりかたもある。
カントールの最初の証明はこれに近いものだった。
デデキントとの交流も密だったらしいね。

測度論を使えば一瞬です

実数が連続であると定義した時点で
自然数と実数は、まったく別物であるということね

測度論は集合論の後にくるものだから、測度論を使うのは順番からいって変。

>>407
411みたいなこと書いておいてまともに書くのは変だけど
ちょっとまともに書くか。
対角線をとってるんるんるん、っていうけど対角線でも
なんでもないよ。いま自然数の全体の集合NxNから{0,１}
へ写像ｆがあったとき g(m)=1-f(m,m) mod(2) で写像g
を定義するだけるんるんるん、だよ！

デデキントカットage

Rの非可算性をいうなら>>91-94のような
解析的なやりかたのほうが「連続性」の本質との
関わりにおいてベターな面がある。
でも，より一般的に
「集合 S のべき集合 P(S)＝{X|X⊂S}の濃度はSの濃度より大きい」
ことを示すのはやはり対角線論法が本質的だろう。

任意の f:S→P(S) は全射でないことをいう：
M＝{x∈S｜¬x∈f(x)}∈P(S) とする。
f(x)＝M となるような x∈S があると仮定すると
x∈f(x)＝M⇔¬x∈f(x) となり矛盾。
従って　¬M∈Im f

カントールはこの論法のほうが
より普遍性があることに気づいたんだとおもう。

個人的事情により、しばらく回答できませんでした。
年内に議論を終わらせるつもりでしたが年が明けてしまいました。すみません。

>367
それはきちんとした証明になっていないと思われます。
「どんどん」では明確でありませんので。

>368
表記の数が同じなら、個数が同じでしょう。
表記の数と個数が同じでないってどんな例ですか？
同じ表記で複数の無限小数が作れるとでも?

>371
369はざっと見ただけですが、いいように思えます。
もともと、私はすべての無限集合は同じ個数と証明できるのではないかと
思っていますから。
これはまだ証明できていませんがね。

>382
>271の「証明」には1対1の対応について何らの言及もありません。

それについては、>303に書きました。

>392
同じく、>303に書いてあります。

>399
そこが間違いなのです。
対角線論法には、「1対1対応ができる」＝「1列に並べられる」という仮定が入っています。

>406
分かりました。
じゃあ、今後「protestor」と名乗ります。

lim[n→∞]10^n が自然数の個数に等しいという証明はこうです。

まず、f(n) = n という数列を考える。
この関数は当然f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, ...という値をとるが、この数列は
「自然数の個数を数え上げる」ものである。よって、
lim[n→∞]f(n) の値が自然数の個数に等しいことは自明。
(∵自然数の個数の定義である)

ここで、1, 2, 3, ...個の順に自然数を数え上げる代わりに、
10, 100, 1000, ...個という順で数え上げていくと
g(1)=10, g(2)=100, g(3)=1000, ...という数列g(n)ができる。
ここで、g(n)もまた、f(n)と同様に自然数の個数を数え上げていることが
同じなので、lim[n→∞]g(n) = lim[n→∞]f(n) であることが示される。

もうちょっと数式らしく書けば、
g(n) = f(10^n) の関係が成り立つので、g(n) は f(n) の部分列である。
よって、lim[n→∞]g(n) = lim[n→∞]f(n) が示される。
ということになるでしょうか。

>>419
>そこが間違いなのです。

そこが間違いだって（笑）

>対角線論法には、
>「1対1対応ができる」＝「1列に並べられる」
>という仮定が入っています。

自然数と一対一対応が「できる」んでしょ？
自然数は1列に並べられるんでしょ。
どうして、一対一対応の結果がそうできないの？
おかしいでしょ？

>>420が証明でないことは自明。
なぜなら、一対一対応によって
自然数の１，２，３に対応した
並びをつくることができないから。

>>420
はなからωと10^ωの基数が同じと前提しておかないとその証明は通りません。
しかしそんなもの前提したら証明になりませんね。

> g(n) = f(10^n) の関係が成り立つので、g(n) は f(n) の部分列である
駄目です。g(n) = f(10^n)なので、ωと10^ωの基数が同じと前提しないなら、
g(0)からg(ω)まで並べた列（という言い方はおかしいか）は、
f(0)からf(ω)まで並べた列の部分列である保証はなく、
f(0)からf(10^ω)まで並べた列の部分列であることしかわかりません。
従って、何か示されるとしても、せいぜい
lim[n→∞]g(n) ≦ lim[n→∞]f(10^n)
です。fとgを使わずに書けばただの
lim[n→∞]10^n ≦ lim[n→∞]10^n
で、何の進展もありません。

protester=抗議する人…呼びたくねぇ

>>>407
>411みたいなこと書いておいてまともに書くのは変だけど
>ちょっとまともに書くか。
>対角線をとってるんるんるん、っていうけど対角線でも
>なんでもないよ。いま自然数の全体の集合NxNから{0,１}
>へ写像ｆがあったとき g(m)=1-f(m,m) mod(2) で写像g
>を定義するだけるんるんるん、だよ！
とか絶対見てないんだろうね…>>420は

実数が
少数以下　可算桁で表記できる
　........ 凄く変な表現だ
というのが　トンでもない仮定だ

実数は　0.1111...という表記では表せないかもしれないのだ

>>420
lim[n→∞]f(n)/g(n)=0となると言うのに
lim[n→∞]f(n)=lim[n→∞]g(n)と主張するの？

g(m)=1-f(m,m) mod(2)
ところが
f(∞,∞)やg(∞)は値が定まらない
例えば　f(m,m)=m mod(2)
のときはどうなるのだ
f(∞,∞)やg(∞)が存在するということも仮定である

上　訂正
f(m,m)=m mod(2)のとこは　h(m)=m mod(2)
　h(∞)はどうなるのだ

>>427
対角線論法のどこでf(∞,∞)やg(∞)やらh(∞)が出るのですか？

>>429
もちろん、ご本人がだしたいだけなんだと思います。普通は出てき
ませんからね。
たぶん、その無限大のところがないと対角線の端点がなくて対角線
が引けないってことじゃないですか。「対角線が引けないのに、対
角線論法っていうのは矛盾だ！」なんて議論の仕方なんていかがで
しょうか？

>>430
両端があるからこそ一列なんだとか思ってるというわけ？
そんな奴この世に存在しないと信じたいのだが

100歩譲って対角線論法による矛盾をみとめよう
しかしその矛盾の原因はなにかな
自然数が可算無限としたことかな
　　　これは　定義として認めよう
では　自然数と実数の対応付けが可能としたことかな
実数を可算の無限小数で表せるとしたことかな
対角線上の数をとることにより新しい実数が作れるとしたことかな

ま　ほとんどの数学者が数学史上でもっとも実りのない
議論だといってるそうだ

>>431
430の予想が当たらずと遠からずというのは 432によく現われている
と思います。論理的な処理を許さず、色々な推論、議論がすべて自分
が慣れ親しんだ対象とつながりをもっていなくてはならないのです。
ですから、背理法のように矛盾しているところでの話はもともと、
ありえない世界のものですから、結局認めることができないのです。
「直観主義症候群」というカテゴリー分類されたし。

直観なんて言葉をあんな馬鹿に使うな。
「鈍感主義症候群」で十分だ

>>434
確かに、「ちょっかん」って語呂は「鋭い」って感じも
ありますね。しつこく、ほぼ同じことをいうということ
から鈍感っていうのがあってるとも思います。ただ反応
するところが決まっていて条件反射みたいなところは
動物的な直感はあるのかもしれませんね。

なんと愚か者の多いことか
カントルが　証明だといってることは
カントルが　実数と自然数の濃度が違うといった瞬間に
証明にならないことに気がつかぬか
たんに　ハラドクスのひとつを示したにすぎず
卵が先か鶏が先かといったではないか

>436
句読点をちゃんとつけて真っ当な文章を書いて下さい。
独り言なら別だけど。

>>437
いや独り言でしょう。

ネタにしてもしつこすぎる
いいかげんにせよ

>439
申し訳ないが、誰に向かっておっしゃっているのか教えていただきたい。

>>440
不特定のネタで書いてる奴とただ一人の真性の方に、じゃないかな？

>>440おまえだよ

>442
「しつこすぎる」というのですから、もっと前のレスについて言っておられるのでしょう？
レス番を指定していただけませんか。

>>440　人違いだったか失礼。
まー前を読めばわかります。

このスレ、面白いので、もっと続けてほしい。
というわけで、protestorさんマンセー。
でも、"実無限"＝"可算無限"というのはちょっと言い過ぎかな？

ところで、脳のない私には、>271やその後の集合論は理解できないので、
勝手に、「無限10分木」に置き換えて理解しています。

1)　[0,1]のなかの、任意の無限小数ａは、「無限10分木」を”無限に”たどることで
　ａ自身に辿り着ける。
2)　「無限10分木」なので、”末端の”分岐の数は　lim[n→∞]10^n

という理解で、よろしいのでしょうか？

>>445
それでもいいけど，
得られるものは，
「n桁の有限小数全体」のnに関する和集合
すなわち「任意桁の有限小数の全体」であって
これは確かに可算集合だよ。
でも「無限小数」はどこでも入ってこない。

上で帰納的極限といってるのがこの
「任意桁の有限小数の全体」なんだ。
射影的極限をとると無限小数の全体が
はいってくるがこれは非可算だ。

>>446
確かに、"無限"と逝った時点で、極限をとらないと無限小数に
たどり着かないのは理解できますが、
では、極限を用いない「ただの”無限”10分木」とは、どんな存在でしょうか。

通常の有限10分木を有限小数に対応づける場合、有限小数は、その”末端”に
対応づけられます。途中の分岐は、単なる通過点にすぎません。

たとえば、小数点以下３桁の小数を、３段の10分木に対応づける場合、
"0.5"は通過点にすぎず、実際の小数は"0.500"になるはずです。

では、「無限10分木」の”末端”は、どこにあるのでしょうか？

同じ様なことが、「無限小数」自身についても言えると思います。
つまり、「極限」や「無限級数の収束」を使わないで、「無限小数」が
定義できるのでしょうか？
「単なる数字の羅列」では意味がありません。

ここで有限小数といっているのは
有限個の桁以外０の小数と思ってください。

どうも、忙しくてすっかり間が開いてしまいました。
たくさんの反論に即答えられないので、答えられるものから。

>421
>自然数と一対一対応が「できる」んでしょ？
>自然数は1列に並べられるんでしょ。
>どうして、一対一対応の結果がそうできないの？
>おかしいでしょ？

分かりません。
しかし、「無限小数と自然数の個数が同じ」と「無限小数を自然数の順序に
並べられない」の両方が証明されるのだから、認めるしかないでしょう。

>422
>はなからωと10^ωの基数が同じと前提しておかないとその証明は通りません。
>しかしそんなもの前提したら証明になりませんね。

しかし、g(n) = f(n^10) ですから、任意のg(n) に対して対応するf(n^10)は存在します。
また任意のf(n)に対して、f(n') = g(10√n) となるn' >= n も存在します。

>駄目です。g(n) = f(10^n)なので、ωと10^ωの基数が同じと前提しないなら、
>g(0)からg(ω)まで並べた列（という言い方はおかしいか）は、
>f(0)からf(ω)まで並べた列の部分列である保証はなく、
>f(0)からf(10^ω)まで並べた列の部分列であることしかわかりません。

だから、g(1)..g(∞) が f(1)..f(∞) の部分列であることは確かでしょう。

もう一つ、部分列に関して極限が等しい理由として、

定理：g(n) が f(n) の部分列である場合、lim[n→∞]g(n) = lim[n→∞]f(n)である。

証明:

f'(n) = f(n) + 1/n
f"(n) = f(n) - 1/n

という二つの数列を考える。
明らかに、lim[n→∞] f'(n) = lim[n→∞] f(n) = lim[n→∞] f"(n) である。
g(n) が f(n) の部分列であることから、任意のkについて、
g(k) = f(k') となるk'が存在する。
ところで、任意のnについて f'(n) > f(n) > f"(n) なので、
任意のkについて f'(k') > g(k) > f"(k') を示すことができる。
したがって、lim[n→∞] f'(n) >= lim[n→∞] g(n) >= lim[n→∞] f"(n) である。
lim[n→∞] f'(n) = lim[n→∞] f"(n) であることから、
lim[n→∞] f'(n) = lim[n→∞] g(n) = lim[n→∞] f"(n) である。
よって、lim[n→∞] g(n) = lim[n→∞] f(n) である。

これではどうでしょう。

_･)ぷっ

まだやってたんだ。あんた達も好きねえ

>>450
∞という記号を平気で使うアナタは小学生ですか？

>>452
この手の話し、たとえば、1=0.999...? なども毎年、毎月
繰り返されるものだからね。まだって、いつまででもやって
られるんだよ。わかる人は何にもいわないし、わからない人
はいつまででもいう。疲れたら休むけど、またいうってわけ
でね。やることがあって結構！

protestorさん復活しましたね！
じゃあ（このスレを続けるという）私の役目は終わったかな？

ただ、言われっぱなしというのも何なので、少しだけ反論させていただきます。
>>446>>448
　議論がかみ合っていませんね。（というか私の一方的勘違いか？）
　私は「無限10分木」の枝の数を議論していたのですが、
　446さんは、
　1)「有限10分木」から、「無限10分木」を作る操作は存在しない。
　2)そもそも「無限10分木」なんて存在しない。
　と思われているのでしょうか？
　それとも、
　3)「無限10分木」のなかで、”意味のある”枝は、「有限個の桁以外０」の
　　枝だけだ。
　と思われているのでしょうか？

>450protestorさん。「挟み撃ちの定理」ですか、いいですね。
　数論よりも、微積分のほうがずっと信頼できる。

>>447についてのレスが無いので、ちょっと方法を変えます。

ある”無限小数”ａ，ｂを考えます。
　ａ＝Σａi＊(10^(-i))
　ｂ＝Σｂi＊(10^(-i))
ここで、
　ａi＝ｂi　(i≠m)
　ａi≠ｂi　(i＝m)
すなわち、小数点以下ｍ桁目のみ異なり、他の桁はすべて同じで
あるとします。

　ａ≠ｂ

は自明ですね。

　ここで、ｍ桁目とｍ＋１桁目を入れ替える操作を行います。

　ａ'＝Σａ'i＊(10^(-i))
　ｂ'＝Σｂ'i＊(10^(-i))

　ａ'i＝ａi　　　(i≠m,かつi≠m+1)
　ａ'i＝ａ(i+1)　(i＝m)
　ａ'i＝ａ(i-1)　(i＝m+1)

　ｂ'i＝ｂi　　　(i≠m,かつi≠m+1)
　ｂ'i＝ｂ(i+1)　(i＝m)
　ｂ'i＝ｂ(i-1)　(i＝m+1)

ここで、ａ’，ｂ’，ａ’i，ｂ’iを
それぞれａ，ｂ，ａi，ｂiと定義し直します。

以上が一回の操作です。
以上の操作を行っても、ａ≠ｂであることに、変わりはありません。
以上の操作は、任意回数行うことが可能です。

では、以上の操作を”無限回”行ったら、結果はどうなりますか？
ａ＝ｂ？　ａ≠ｂ？

　極限を使えば、ａ＝ｂは明らかでしょうが…。
　ようは、「無限小数を定義するには、極限の概念が必要」
　なのではないでしょうか？

>456
しまった、オーバーしてしまった。

>>455
有限木の有限集合の和集合なら濃度は可算になるが
そこには無限木は含まれないということです。
無限木の集合を作るには直積操作が必要なので，
無限木全体の濃度は非可算濃度になります。

まちがいました私は456でなくて>>446です.
なお458を補足すると，
前半の，有限木の全体の集合の作り方を
帰納的極限といい，和集合が元になっていますから
濃度は可算です。
後半の，無限木の全体の集合の作り方を
射影的極限といい、直積が元になっていますから
濃度は非可算です。

無限小数なんて考え自体がナンセンスだといいうとかね

他の人は呆れちゃったみたいなので、私もこれで最後。

>>449-450
極限の操作をもう1回勉強し直してください。
449ではωが何なのかを勉強しましょう（しかしそれも知らないでよく
可算無限とか非可算無限とか言えますね）。
450は高校生レベルの間違いです。

>>455
> >450protestorさん。「挟み撃ちの定理」ですか、いいですね。
> 　数論よりも、微積分のほうがずっと信頼できる。
高校生ですか？ もうちょっと勉強したほうがいいですよ。本当に。

>>279
＞実際、271の証明を何人かに見せましたが、証明の誤りを
＞見つけた人がいません。
そういや今井も最後まで自分の考えは間違ってないと言い張ってたな…

「無限」を普通の数のように扱ってるんだよな……。

>>446＝>>458-449はとても丁寧な説明だと思う。
>>455はいったい何を言ってるんだか。
子供のカタコトのようだけど。

言葉が話せるつもりでムニャヌニャ言ってる
アカンボのようだね。

無限小数とかいう分けのわからないものを
あたかも存在するように扱うのは数学としてはおかしいね
あの対角線ろんぽうも、その誤りを犯しているようだが

>>466
どこで？具体的に指摘してくれないかね

>>454さん、
あなたの説の実証例（症例？）がまた来ました。今度の奴は凄く態度悪そう。
次から次へと飽きさせませんな。

πは無限小数で表現できるとでも言うのかな
自然数と無限回の演算で定義できる
というのは、認めるがね

ま みなさんには 無限小数をきちんと定義することから
始めることを お勧めするね

>>467
答えは、いっぱい書かれてるが
実数が
0.123......
という表記で 表現ができるとしたとことこでしょう
それは アプリオ なのですか

>>468
ええ、おしゃっるとおりで、ちょちょっと言葉使い雰囲気が
変わるところを楽しむのが通ってものなのでしょう。

466の主張の「対角線ろんぽう」ってのは、対角線があって
はじめてその「ろんぽう」が使えるものだとすると、430に
あるように端点がないのに対角線を引きようがないじゃないか
って議論にもってけばかなりの頑張りがきくと思われます。
あとは論理を認めなければいいわけで。

>>470>>469>>466
高木貞治「解析概論」の付録I「無理数論」に10進展開のこと
対角線論法などかいてありますので、この本の、ここがおかしい
あそこもおかしい、高木貞治ってのはすこしおかしいんんじゃな
いか？って調子で論を展開されると、とても皆さんが賛同される
可能性が増すんではないでしょうか？

対角線論法とかは、絵を描いて説明しているようなところが
ちょっと厳密性がかけているように見えたりするが、そこは
ちょっとだけ変えれば救えるよね？
文章とか数学の証明を縦横のある紙面に書くのではなくて、
１次元（テープみたいな）に記述せねばならないという
制約を設けるときに、一方向への無限の記述は、なんとか
できるとして、２方向への無限の広がりを記述することは
ちょっと難しいのではないだろうか？（無意識のうちに
無限個のものの並び方とそれに番号を振ることに関する
なんらかの公理を設けていたりすることにはならないのかな？）

>>449
>>自然数と一対一対応が「できる」んでしょ？
>>自然数は1列に並べられるんでしょ。
>>どうして、一対一対応の結果がそうできないの？
>>おかしいでしょ？

>分かりません。

分からないのはあなたが考えていないからです。

>しかし、「無限小数と自然数の個数が同じ」と
>「無限小数を自然数の順序に並べられない」の
>両方が証明されるのだから、認めるしかないでしょう。

後者が成り立つのは、前者が言えていないからです。
つまり、個数が同じというために唯一無二の手続きである
一対一対応の構成を行っていないからです。
あなたが、間違っているのです。

>>474
チャチャです。
人は通常、「自分が間違っている」とは考えません。ですから
「あなたが間違っている」ということで人を説得することは
難しい。ですが、かりに「自分が間違っている」ということを
納得した人がいたとします。さて、そのときその人は何をどう
正しいものとして受け入れることができるのでしょうか？
自分というシステムに誤りがあるということがわかってもどこ
が故障個所かなかなか特定できないのではないでしょうか？し
かもその故障だと思っていることも間違っている可能性があり
ますようね。

チャチャでないほうです。
449さんは、「うすぼんやり、自分が間違っていると感じている」
というなかで色々書いていると思うのですが、そうではないので
しょうか？

「自分が間違っていると感じている」なんて言うのは簡単だけど、
だからと言って他人の言うことを素直に聞いたり、勉強して理解
しようとするのが簡単とは言えないからね。

それを俗に今井病という

>>469
算術で定義可能な実数しか存在しない、という立場ですか？

>>478
469さんは無限小数って言葉も使ってはいますからね。
それに、「算術で定義可能な実数」なんて高級な概念
を使うお相手じゃないんじゃないでしょうか？

>>472
権威主義は、数学に関わるものとして恥ずかしいことですね
無限小数が定義なしに使われているという疑問にたいしては
キチンとした定義を示してくれると親切なんですけどね
手元にその本がないもんでね

権威がどうって問題じゃないよね。
既に古典的な書籍に書いてあるからそれを見て言えってことでしょ。

無粋かな、こんなこと書くのは。

話の筋ではないのですが、ここエンエンとやってるのは射影極限
と帰納極限の話で、これは実無限と可能無限に対応しているから
スレッドの主旨にぴったりってことですね。

↑
そういう見方もできるかな

可能無限派＝「やればできる」と思い込んで満足しているDay Dreamer

↑の方にいる無限の個数が全部等しいとかふざけた名前で
言ってる奴は可能無限派ですらない、只の馬鹿かと思うけど…

何か、おとなしくなったのは高木貞治先生のご本など
お買いになって、壮大な反論の準備にいそしんでいられる
からなのでしょうか？

そんな暇があるのなら　ここではなくて
学会で発表するよ　そん時は権威を借りるよ

十進一桁で表せる数は10種類だよね
その対角線をとった時の桁数は何桁なんでしょう
では　ふた桁になったときは、るんるんるんで
無限大になったときは、　　当然対角線なんか存在しないではないか

という問題にたいして　ずる賢くも
対角線論法は　関数(写像)というものを考えだしたのだよね

だれか　このことについて　ばかとかあほ以外のコメントある

>>487
10x1 じゃ対角線とれないじゃない、るんるんるん。
で、まあ、だいぶ頑張ったからもうそろ転戦されるのが潮時か
と思いますが、転戦に際して新たな武器をもたせてさしあげる
ため、ちょっと実例を。

あなたみたいにヘソの位置が横っちょについている人はヘソの中
がメイビウスの帯みたいになっているんです。さて、このメイビ
ウスの帯に対角線を引いてごらんなさい。念をいれるために、対
角線は紙を裏がえして透き通ったところをなぞって引いておいて
ごらんなさい。対角線がもとにもどってくるでしょう。循環して
いるんです、つまり対角線論法は循環論法なのです。だから、い
つまででも続くんですよ。

どっかで、うまく使ってごらんなさい!

面白いでも　一応つっこんどく
メイビウスの帯に対角線なんかないだろう
四角じゃない

>>489
確かに！
自分でメイビウスの帯をつくることに夢中になっていた。

四角に対角線を書いて、それからメイビウスの帯にするんだ。
つまり、対角線論法をへそ曲がりのへそに押し込むと循環論法
になるって筋でどうだ！

手順が大切だったな。

このスレまだあったのか。なかなか長寿だな

>>492
対角線論法が循環論法だって証明がされちゃったみたいだからね。

そんなネタのどこが楽しいのか
気が知れんけどね

>>493
こんなバカバカしい対角線論法がるんるんなっていってるん
だから、こういうネタでも楽しまなければやってられない
ってことさ！

>>492が循環レスになってるのはネタですか？

>>495
確かに492は循環が最小単位で起きてるから、対角線も見えませんよね。
ヘソの中なんでしょうかね！490の流れだと。

無限とは、向かいあわせにした鏡のようなもの
とはいえ　鏡の世界も光りの速さが無限大か
鏡が無限の過去から存在するとかしないと、無限にはなり得ない

しかし　人間の思考は、時空をこえて　無限に到達できるらしい

だからちゃんと定義された物と漠然とした概念を一緒にする輩が出てきちゃって困るんだよね…

それもまたよし、漠然とした概念を抽象したものが定義なのだから
厳密な定義の大いなる母たる感覚を崇拝せよ

>>499

信じる信じないとか感覚なんてどうでもよいから、
議論するならきちんとした手続きを踏みましょうよ、といいたい。

自分らが漠然とした感覚で持ってる数ってのが
定義された実数だけで完全に表せるわけじゃないしねぇ

>>501
句読点を使わないで書いているのは、日本語の伝統を
守るって殊勝な心がけなわけ？
「殊勝」っていう概念とは相容れないようにもみえますが。

だんだん　神がかり　になってきたな
これは　恐いことだ

想像してみよう。ある想像上の宇宙ではすべてのものごとの
標数が有限であったとしよう。

標数が有限しかない世界では、整数は存在できないので、
当然無限濃度もない？　すると実数もない？？？

ところが、任意の命題の数学の証明を記号で書き連ねていくときに、
その記号の個数がその宇宙で定まっている標数以下であれば、
その証明を標数以下の種類の記号をもちいて記述できる可能性がある。
その証明や命題は、われわれの世界のものと同じ記述であるとすれば、
どういうことになるか？

そもそも、われわれの世界の森羅万象の事象も標数が無限大ではなくて、
もともと有限である可能性はないのだろうか？
＃
平行線公理が公理であるように、無意識のうちに証明において
ものごとの標数が無限であることを仮定しているでしょ？
たとえば、「無限集合が存在する」みたいなことを。

>>502
日本語にはもともと句読点はありません

>>504
＞任意の命題の数学の証明を記号で書き連ねていくときに、
＞その記号の個数がその宇宙で定まっている標数以下であれば、
＞その証明を標数以下の種類の記号をもちいて記述できる可能性がある。

ない（笑）

なぜってベリーのパラドックスに抵触するから。

>>５０６
そのパラドックスについて語ってください。

>>507
「日本語で２０字で定義できない最小の自然数」は２０字で定義できている

ってのらしいけど、もうちょっと変える必要があるな

実無限と可能無限の立場の感じをつかむには
　講談社現代新書「無限論の教室」野矢茂樹　ISBN４−０６−１４９４２０−１
を読むとよい。
構成論的数学あるいは計算機科学的に都合のよい立場は、可能無限である。

>>509
おまえこのスレ頭から読んでみろよ。
ハズカシ

カントールの対角線論法にはその主張の前提として
選択公理が黙って使われている。
＃
おそらく実無限の立場というものは、実無限を認めるという何らかの
仮定（公理）を加えた体系を前提としていることに他ならないのだろう。
そのような仮定を加えた体系が無矛盾かどうかは証明しなくてもよいのかな？

＞対角線論法にはその主張の前提として選択公理が黙って使われている。

はつみみです

レーベンハイム=スコーレムの定理があるんだから、実無限でも
可能無限でもどうでもよいように思うが。

>>513
レーベンハイム=スコーレムの定理からなんでそんな
結論がひきだせるのかわからないんですが。

>>511はヨタだよ。
選択関数なんて使ってないよ

>>511はヨタだよ。
選択関数なんて使ってないよ

即約分数ってなんですか？

>>513
レーベンハイム=スコーレムの定理には気をつけたほうがいいね。
あれは一階述語論理の話だから。

何階であろうと可算モデルはつくれる。
有限記号列なんだから。

>>519
それは、いいコメントだと思う。ただ2階以上のモデルは部分集合
すべてをとるタイプだと受け止めている人もいるみたいだね。

>>５１２
対角線論法において、例えば実数の全体Rが可算であると
仮定して自然数との対応づけを行う際に、無限集合Rが可算
であるとしたので（何らかのある）一対一対応があるとしていますね。
でも、そのような（構成的に与えられたわけでもない）一対一対応が
存在するよということだけから、直ちにつぎつぎと自然数ｘに
Rの元　a(x)を表として具体的に書き出して対応させることができる
というところには、ギャップがあって、そこには選出公理が必要です。

…選択公理使わないんだったら濃度も何も無いような気が……

自然数全体を定義域とする対応（写像）a が存在すれば
a(x) がとり出せるというのは論理。
521のような心配はよくあるね。たとえば性質Ｐを満たす
ｘが存在すると仮定する。しかし、そのｘはどうやって
とりだすんだ？沢山あったら選択公理を使わないと一つ
だけとりだせないんじゃないか？
これは、よーくある疑問なんだよね。数学は論理的に処理
するから別に１つだけをとり出しているというより量子
力学的にあっちかもこっちかもしれない確率的な存在として
存在しているっていった感じなんだね。だから性質Ｐを満た
すものがひとつしかないっていう場合は皆安心するんだよ。
そんな変な疑問でもないけど、ずっとがんばってるのは論理性
がないってだけだね。

>>522
そんなことないさ。比較可能でない濃度が沢山あるってことに
なるから、あんまり面白くないってことにもなるけど、実数全体
と非可算基数の最小アレフ１が比較不可能ってのはそのほうが
自然な気もするんじゃないかなぁ。

対角線論法って、自然数との１対１対応が出来ると「仮定」するわけでしょう？
どうしてそこに選択公理の入り込む余地があるのだろう。

>>525
523に書いてあることだよ。何か存在するとき、その中から
どうやって１つとりだすのだ、ってことさ。
自分の好きなものが沢山あると、１つだけとりだせ、って
いわれると迷うだろ。そこに選択ってのが現れるわけだけど
まんざら選択公理と無関係というわけでもない。

実無限：無限大の状況なるものに１ステップで達することができるという立場。
可能無限：段段と無限大の状況に近づいていくが、論理の有限ステップでは
　　　　　常に途中の有限な状態にとどまっているとする立場。

＃
実数とは、問い合わせれば有限ステップで、任意の桁にかかれた数字を
得られるようなものであるという立場にしよう。
カントールの対角線論法を行なう際に、自然数ｋに対応する実数A(K)の
小数点以下ｋ桁目の数字は有限ステップで見出せる、しかし
だからといって、対角線論法のための「各桁が異なる実数」を
作るための処理には自然数全体に対応して数字を集める処理が
必要で、当然ながら有限回のステップでは集められないので
いつまでたってもそのような実数を作り上げることはできない。
よって有限ステップの範囲ではそのような（対角線の否定に相当する）
実数は構成できないので、証明が主張するような矛盾は有限ステップの
範囲では生じない。（いつまで待っても結果が帰ってこない）
よって背理法は成立しない。
＃
平面幾何で、平行線の交点が無限遠に”ある”と考えるか、
そうではなくて有限な範囲内には交点が無いと考えるかは、
似ているが微妙に立場が違う。
平行線にも最初から交点があると考えるのが”実無限”的、
一直線が固定されているときに、それと交わるもう一本の
直線を交点を持ちながら、その交点がだんだんと遠くへいくように
傾きを変えていくが、常に交点を持ちつづけている。その極限を
無限遠で交わると「みなす」のだが、実際の途中のいつの時点でも
必ず交点は有限範囲に収まっているというのが、”可能無限”的。

>>527
自然数全体の直積は極めて構成的に、つまり
(m+n-1)(m+n-2)/2 + m を使って自然数で数えあげることが
できるから別に「当然ながら有限回のステップでは集められ
ないので」っていうことはない。つまり、問い合わせれば有限
ステップで、任意の桁にかかれた数字が得られている。

＞何階であろうと可算モデルはつくれる。
＞有限記号列なんだから。

それは形式化した場合でしょう。
問題は二階論理以上の論理が、
形式化できるかということですよ。

例えば「任意の述語において」という表現を
記述可能な述語すべてにおいてと考えるなら
形式化可能だが、はたしてそれが本来の意図
であったのかどうかは考える必要があるだろう。

>>529
強制法により自然数の部分集合の複雑性が明白になった
のであるから(強制法を理解しない人のなかにはこれを認
めない人は多々いる)形式化されていない2階の論理につい
て考える価値があるという問題提起は1940年ころと同じ
問題提起では無意味。

>>５２８
最後の
　　有限ステップで任意の桁にかかれた数字が得られている。
というのは正しいが、それと、１個の実数の全桁を無限遠まで
含めて得られたとするとの間には（可能無限の立場だと）
ギャップがあるのだよ。
有限ステップまでで止めて考えれば、新たに作った実数ｚの有限
桁までしか得られていない。ｚは対応表の最初のｍ個の実数と
それぞれ異なる桁の数字を持っているから、最初のｍ個の実数とは
異なることは示せても、それから直ちに対応表の全実数と異なる
ことは示せていない。ｚが最初のｍ個の実数とは異なる実数である
というだけのことしか示せない。

無限個の全桁を含む実数ｚを先にいったんつくる
（これは可能無限の立場では無理）
その後で無限個の実数との比較を無限ステップをやり終える
（これも可能無限の立場では不可能だ）
という論理になっている。
チューリングマシン的な立場では、無限ステップの操作を
終了したものとしてその先をさらに進めるなどということは
認められない。もしも、なんらかの本当は無限ステップかかる
演算を別の尺度での１ステップだとみなすのであれば、
それは新たな公理を設けたことに相当する。
その差が可能無限と実無限の差にあたる。

可能無限の立場では、実数とは任意に高い精度で与えることが
できるという存在ではあるが、最初から無限精度でとか、小数展開
でいえば、１ステップで一斉に無限につづく全桁を得られるとする
ことは出来ない。有限ステップではあくまでも有限桁までが判明
するに過ぎないのだ。もちろん、構成的に与えられた実数の中には
無限につづく全桁を一斉に与えることができたとして良いものもある。
例えば　０．３３３３３３３…　というぐあいに、小数以下の全部の桁が
３であると定義して与えた数は定義により無限に続く全桁が一ステップで
得られたとしてよい。有理数も、循環節までを有限のステップで求める
ことで、無限の全桁を一斉に１ステップで与えた形で書くことができる。
ところが、一般の実数は、それが単に実数であるというだけで、その
小数展開が無限先の桁まで一斉に与えられたとするには、無理があり、
有限ステップでは有限の精度桁までしか知りえないという以上のことは
（可能無限の立場では）いえない。

可能無限の数学というものは、通常の電子計算機を一般化して、
（固定）有限種類の記号を蓄えることができるメモリーを
可算無限個もったものと等価なものを考えて、その上で行い
うる操作しか認められないと考えたらよい。その場合ある実数
ｘがこの計算機の上で求められるという意味は、ｘの任意の有限
桁が、ある有限ステップで求められるという意味であります。
（イプシロンーデルタ論法に似てますね。）だからといって、
全部の無限個の桁が有限ステップでは求められないことに注意。

>>531
まあ結局、直観主義論理の世界ってことで、それならはじめから
背理法は無理!!!

…可能無限だったら実数全体の集合、って言葉自体が無意味な気がするけど…

>>533
それもそうだね。まあご都合主義で既存の数学にゲリラ的に攻撃
を仕掛けるっていえばかっこいいけど、いつも同じところを攻撃
してるんじゃゲリラじゃなくて傭兵戦だな。傭兵にしてはただで
やってるんだから、ボランティアの傭兵か、ウーン、そりゃないな。

>>533
すべての物を含む集合と、なにも含まない集合で矛盾が生じるから
選択公理が必要だということで
実数全体の集合なんて認めないは実無限も同じではないの

＞ボランティアの傭兵か、ウーン、そりゃないな。

volunteer には志願兵の意味もあるよ。

無限をあくまでも可能無限の範囲にとどめておけば、
実質的には議論が常に有限の範囲にとどまるので、
いろいろな集合論などのパラドックスは生じない・
生じにくいのではないだろうか？

>>537
だったらすでに数学者は実無限を捨てているはずだし、
数学基礎論も必要ないはずなのだが。

どうしてそうなってないか考えたことある？

>>537
可能無限なんて危ないこと考えずに、真と偽の ０ と １ だけに
すればパラドックスなんてでないんじゃないの？

訂正： １ だけがよい。真も偽もない、「我あり」、これだよ。
もちろん矛盾もないからパラドックスもない。

「数学は無限を扱う学問である」ヘルマン・ワイル

ぜんぜん斜めにしか過去ログを読んでない。
初学者です。あってる？

つまり「実際に構成可能でない事実」は、すべて証明されていない事実として
扱うべきである、という感じであろうか？
この人は排中律も否定されていると思いまして、

たとえば、ある命題Aについて
Ａが公理から構成できれば、Ａは真
¬Ａが構成できれば、Ａは偽
Ａも¬Ａも構成できない命題については、真偽を割り当てない。
Ａの構成の失敗によって、¬Ａの証明としない。

で、有限回の操作で構成できない（これが単に構成できない、という場合と
どのような差があるかは私にはわからない）
命題については真偽を割り当てない、ということなのでしょうか？

http://mentai.2ch.net/test/read.cgi/philo/1012384916/l50
*********************************************************************
238 ：考える名無しさん ：02/02/03 22:55
ひとこと言っておきたい。
数学版でも言ったけど、実無限―可能無限は完全に論理学・哲学だ。
それを知らないからって「数学を理解してない」とかいう態度はやめてほしい。
それ系の人たちが言う数学は数学ではない。
数学は実学として発展してきた部分も大いにあるわけだし。

このスレではあまりいないけど、他スレでそういう奴が結構いるので。

*********************************************************************
↑これ、このスレにいるのかな？

しかし哲学板は可哀相だ…厨房が多すぎる
こっちは一日1つ程度の単発・駄スレ立てる厨房と
トンデモを主張する常駐ﾄﾞｷｭｿ少数を抱えるだけですんでいるのだから…

>>544
しかも最近はDr.Gが哲学板にやって来て、数少ない優良スレまで
荒らすもんだから随分迷惑したよ。生半可に知識をひけらかすのは
数学の知識だけじゃなく哲学のもだったんだな。

>>535
実数の集合を定義する時に選択公理持ち出さなきゃいけないの？
どこで矛盾が生じるかもうちょっと詳しく教えてくれ

>>535はヨタ

>>535とか
「選択公理」の意味も知らずに
つかってるやつがいるな

「矛盾」
盾と矛の例のお話て
対角線論法ぽいね。

>>549
話の筋がぎゃくじゃない?
対角線論法が矛盾を導くのに使われるのを見て、「矛盾」の
話が対角線論法っぽいっていったるように見えるのですが?

無限のことについては、それをどうとらえるかは信仰の問題である。
そのむげんについて「性質がこれこれである」と信仰するというのを
公理として持ち出して（あるいはこっそりと無意識のうちに密輸して）
いるのに過ぎない。

無限のことについては、それはもともと有限の手順では到達できない場所
なわけだから、それがどういう状態であるかについてはなんと定義しようが、
有限ステップではボロが出ない（破綻しない）から論理的には矛盾は
生じない。（もちろん無限に対する複数の公理や要請を行えば、それらが
相互に論理的に矛盾することはありうる。ここでの話は、有限＝可能無限
の体系に実無限においての公理を１つ添加することを意図している。）

無限（無限遠）での性質をかたるのに、有限でのいろいろな命題や
公理の述べ方の性質がそのまま無限でも成り立つように要請する
統一的な態度と、無限の時だけは例外的として取り扱う態度と主に
二種類が考えられる。
　平面幾何なら例えば前者は射影幾何における無限遠点の扱いかたで、
後者は、ユークリッド幾何における無限遠点の扱い方に例を見ることが
できる。

高校以下の範囲で濃度が連続濃度より大きい集合ってありましたっけ？

関数の集合

>>553
連続関数なり、何箇所かで不連続な関数なら連続濃度じゃないのかな？高校では初等関数しか扱わないからそれで収まると思う。

>>553-554
全ての点において不連続な値をとるような汚い関数も入れなきゃダメですか…
なんかイメージが湧きにくくて困ってます。

例えば、R+を正の実数の集合とした時、
R+→｛0,1｝の写像の集合に大小関係を入れることは出来ないでしょうか？

ある複素平面上の領域に置いて正則な関数の全体の濃度は連続濃度である。


有限実区間内で可算個の例外点を除いてフーリエ級数に展開可能な
実数関数全体の濃度も連続濃度である。

>>555
大小というのが全順序という意味なら選択公理が必要。

可能無限という数学外の用語を数学用語っぽく基礎付けるとすると、
「（実）無限のうち、選択公理またはそれと等価な概念を含まない無限概念」。

>>558

> またはそれと等価な概念

これは蛇足しょ。念の為なんだろうけど。

あげ

あえｇ

>>558
可能無限というのは、無限集合を正面から認めない態度で数学をしよう
という基本的に自然数論の範囲に入りこもうとするもの。古くは、ランダオ
あたりかな。ともかく論理的には無理があるが、自分の分野に閉じこもれば
結構通用する立場。撰択公理をもちだすような話ではない。

「自然数全体」すら集合として認めない、とか

あげ

　　　

明日韓国vsトルコ戦だね。かんこくとるこ、かんとる、カントール・・・

a

４０４日。

野矢さん、自分で(専門の数学者から見れば)トンデモだと自覚してからね。
数学と数学の哲学は違うからな〜
でも面白いと思ったよ。人間の考えってのはいろんな方向に進むもんだ。

数学の哲学としてもとんでものようなきがしますが？

実無限は思想をやっている僕にとっても非常に重要なテーマなんですよね。
実無限がないと困っちゃうんですよ。
なんというか、論理の枠組みがなくなってしまうというかなんというか。
実無限と可能無限の思想的な点を誰か詳しく教えていただけませんか。

ここで聞くより哲板で聞いた方が早いんじゃ…？

今更ながら言うけど、野矢氏のこの本は彼の思想を表した本というより、
将来哲学方面に行く学生達に数学の中で哲学と関係がある物を解説した本、って感じがする。
いちいち対角線論法を持ってくるのは、それが何も知らない人達が
興味を持つ話題であるからだと思う。

ブルーバックスや高校生向きのセミナーと同じようなもん、
と捉えるのがいいんじゃないかな。

スレの最初の方に浅はかな考えを書き込んでいた"えくはど"って人へホントは
これをレスしたかったんだが、何せ１年前だからもう彼もいないだろうし、
そーいうわけでまだこの本を読んでいないけど興味を持っているが
万が一このスレをROMってるかもしれないって考えてレスする事にします。

>>584
検索した限りにおいて､”えくはど”氏の発言に特におかしな所が見当たらないのは
気のせいだろうか・・・。念のために言っておくと､私は”えくはど”氏とは別人です。
いくら興味を持ってもらうための話題振りだとしても、数学的に間違った事を
主張しているのは問題だと思うけど。

>>585
検索した限りにおいて､”えくはど”氏の発言にはおかしな所しか見当たらないのは
気のせいだろう・・・。念のために言っておくと､私は”えくはど”氏と同一人物です。
いくら興味を持ってもらうための話題振りだとしても、数学的に間違っていない事を
主張しているのは問題ではない思わないけど。

?

>>586は
まるで三つの子供だ

常に有限の範囲でのみ論理を使うという立場ならば、確かに、自然数
全体の集合というものは「あたかも最初から存在するもの」ではなくなる。
ある数が自然数であるとは、０から初めて、１を有限回加えて得られる
数のことだということになるが、自然数の有限個の集合を包含関係に
おいて、整列させて、いくらでも後に続く有限個の集合があることを示せる
が、だからといって極限である自然数全体の集合というものは導けない。
無限を回避する立場なら、どうしてもそうなる。
　「いくらでも」とか、「いつまでも」とか、「何回でも」というのは
上限がないというだけであって依然として有限の範囲を意味するので、
無限回とか無限操作や極限移行を意味しない。
　電子計算機で一操作ステップできる演算が有限個であるとして、
「有限時間」内に構成できること、それ以上のことは、有限の立場からすれば
神学である。

どうして有限個の有限長の記号例で無限を扱えると信じるのだろうか？
無限には深い闇が横たわっており、そこの水面に浮いた一枚の葉っぱの
上に漂う有限の世界のわれわれに、どうして無限の心がわかるのだろうか？
われわれが思い浮かべている無限とは、いったいおもちゃや飾りの無限なの
ではないだろうか？

ここは詩作スレですか？

実は無限は単に方向であって値ではない。可能も何もありゃしない.

実無限にイチャモンをつける人って、数学での無限の扱い方を
よく知らないってことじゃないか。
実無限と可能無限の議論が正しいとか間違っているとかってこと
じゃなくてさ。

「えくはど」って出てるからZeilbergerとなんか関係あるのかと
思って見てみたら、俺の昔の書き込みじゃん！！　ツマンネー。
俺はモロに古いタイプの数学者で計算機とはとんと無縁だけど、
Zeilbergerのことはスゴク尊敬してる。彼は「厳密な有限数学」の
信奉者で非常に強力だ。(ココだけのハナシだが、かなりの変人でもある。)
数学という思想全体のことをギロンするとき(たいていは酒の上だ)、
俺は常に彼の存在を思い出す。

興味あるヤツはぜひ彼の意見に耳を傾けてくれ。
http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/

計算機が数学において果たす役割といえば、
最近Gowersなんかも次のような意見を述べている。
人間の数学活動のほとんどは、計算機科学に大したブレイクスルーが
なくとも、計算機が行うことが可能になるだろう。

スレの話題とは無関係だったな。スマソ。

>>593
ω+1も方向？

>>595
そろそろHNは固定して下せぇ

「えくはど」氏の書き込みは意味がない。

すいません、「のりお」さんの正体分っちゃいました。
ハンドルもリアルネームと矛盾しないし、多分合ってるはず。。。
ICM直前の研究集会で一緒に飲んだときも、
数学の将来について熱く語ってくれたでしょ。
来月の研究集会のときに直で尋ねますね（ﾆﾔﾘ

πの数値表現3.14----は宇宙が終わる日が来ても「原理的に」表示しきれない。
πが表示しきれないのは人間の限界ではなくて、この宇宙の限界である。
こういうものを「実在」であると主張する連中がト学会のメイン会員であるのは
もはや疑う余地がない。

>>600は「何桁目でも表示できる」と「全ての桁を表示しきれる」の
区別すらつけられないアホ。

601はただのアホ

600は「何桁目でも」という主張が何を意味しているか
わかっていないのがさらに痛い。こいつは
ただのアホのくせに数学に関して口出しするな。

>>601
ちょっと興味があるのは、
その区別ができない人に次の4つの命題のどれなら許せるかということ。
(1) 最大の整数は存在しない
(2) 最大の素数は存在しない
(3) √2は無理数である
(4) πは無理数である

また >>600 についてはπを√2で置き換えたものが許せるかどうかも気になる。

要するに600のような連中は無限小数を理解できてないのだから、
何も無理数にしなくても、1/3=0.333....でも同じことだね。
「右辺を最後まで書き終える」ことなど誰も前提としちゃあいないのに、
そうだとは夢にも思わず勘違いしたまま現代数学を攻撃する。

>>605
これのどこが現代数学なのか？
おまえの現代というのは何世紀なんだ？

結果として現代数学を攻撃する事にはなるけどね。
…って下らない揚げ足取りはいかんな。ガキじゃあるまいし

無限があるというのは、仮説であって、公理のひとつだ。

無限が存在しない公理にはどんなものがありますか？

群

>>605
πと1/3とを同列に考えるところがセンス悪いな。
0.33333----------とどこまでいっても同じとみなされるものと
πのように実際に計算しなくてはわからんものとを混同するのは
よくない。
そして、この無限に続く数の列は
宇宙の終わる日がきてもぜったいに計算が完了しない。
何桁目でも計算できると主張するバカがいるが
実際には不可能であることがなぜ理解できないのか。
コンピュータで数学をやる人間なら、
神学につきあってるヒマはないはずだ。

>>「右辺を最後まで書き終える」ことなど誰も前提としちゃあいない
605はそういうお化けを実在と信じる神学者のひとりだ。

「計算出来る」と「アルゴリズムが存在する」を混同してないかい？

あと「神学」「お化け」「実在」等という自分用語や
計算しなきゃπの何が分からないのか・コンピュータで数学をやるとはどういう事か
それについてもうちょっと分かりやすく説明すれば貴方の意見に賛同する人が現れるかもね。

アルゴリズムって言い換えただけで何かえらいと思ってるのか>>612
そんなことは東大の某哲学教授がすでに書いているのだよ。
アルゴリズムを数と認定するのかというところが問題だ。
>>計算しなきゃπの何が分からないのか
たとえば、途方もなく精密な円形の医療機器を
現実に設計しなければならないとき、
神学では何もつくれないっていう意味だ。
そうでなきゃ、患者が死んでしまうことにもなる。

確かに言い方がまずかった。それは謝る。だから色々言い直す。

「何桁目でも計算出来る」と言ってる人は
「計算出来る環境が存在するのなら」という前提を仮定していると思うよ。
この前提が必ず成り立つ、とまでは思ってないって。

あとその神学とやらは「その前提が成り立つかどうかを抜きにした学問」という解釈で合ってる？
だったらその神学を軽んじちゃいけないよ。
神学だけじゃ医療機器は作れないけど、神学を抜きにしたら
そもそも医療機器という概念すら存在してないよ。

>>611,613
現実問題として10進数表示できるかということになれば、
表示不能なのは無理数だけではない。
1/3だって有限桁までしか表示できないし、
整数にしても9^(9^(9^(9^(9^(9^(9^(9^(9^9))))))))の
全ての桁を表示することはできない。
なにしろ表示できる媒体がないし、人間の寿命も有限だから
一生のうちに入手できる情報量は限られている。
そういう意味での「人類の技術で表現可能」と
数学で言う「理論的に表示可能」とを混同したまま
「数学は意味のない神学だ」とかなんとか言い続けるのなら、
「このスレからお引取りください」というしかないな。
(大体、そういう認識でどうやって無限を語れというのよ)
野矢氏にしても、そこまで次元の低い数学批判はしていない。

１／２も１／７も計算しなくては分からない。

あげ。

数学で言う「理論的に表示可能」
だからおまえはバカなんだ。
おれが書いたのは
「理論的に表示不能」なんだよ。よく読め。能無し。

>>616
611ヲ読め。循環する部分にドットを打てば片付くものと
ぜったいに不明なものを混同するおまえの数学センスは0だ。

>>618
自分の脳内でしか定義されてない言葉を振り回したって
誰も理解してはくれないよ。

>>620
おまえのような能無しには何をいっても通じない。
自分の頭で考えないやつは気楽でいい。

>>620
おまえは一度脳外科にでも行って
レントゲンをとってもらえ。ひょっとしたら
ほんとに脳がないかもしれんぞ。

>>622

知性があるかどうかは、脳があるかどうかとは
違うと思うぞ（笑）

>>623
ちゃかすのはいいから、君の意見を書いてみてくれ。
おれもちょっと度のすぎたことを書いて反省しているが
できもせんことをできると主張するやつはどうしても許せん。

>>624
つーか、>>614や>>615を読んでもまだ分からないの?
ここは計算数学のスレでなく無限論のスレだ。
このスレで「計算できる」というのは
「宇宙の終わる日までに人類が計算を完了できる」という意味ではない。
あなたはそこを勘違いしているから、「何桁でも計算可能」という主張を
「できもせんことをできると主張している」と受け取ってしまっているのだが、
何度指摘されても理解できないとは困った人だ。

無限を数学的に扱うときに、無限回とか無限操作や極限移行
なんて本質的な部分ではでてこない。
と思うんだけど。

πを単位とする数体系にすれば一文字で済むぞ｡
代わりに今まで1と呼んできたものが表現しずらくなるが｡
宇宙の限界でもなんでもない｡「宇宙の限界」なんて言葉を
持ち出す辺り､>>600の方がよっぽどトンデモ臭を漂わせている｡

>>625
つーか、ヴァカは相手にしてもむだだ。

>>625,626,628
おまえらは救えないバカだ。自分の頭で考えてものを言え。

自分に都合のいいレスしか返せないのは悲しいよね…

ここはひょっとして２人しか書きこんでないのか。

4人ってとこだな。

なんとπを１６進数で表示することに決めるならば、任意の桁の値を
いきなり求めることが可能であることが数年前に示されたらしい。
これからπの１０進展開の任意の桁の値も原理的には計算できることに
なるらしい。詳しくはどこかに解説があるはずだが。。。

「いきなり」とは？
一定の計算量でどの桁も求まるという意味とすると多分ネタ。

n-a桁目(a＞0)までが決まると、いきなりn桁目が計算できる。

　　　 　 　 ∧＿∧∩　　　　　 ／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　 　 （　´∀｀）/　　　　＜　　そろそろ｢巨大基数公理｣
　　＿＿ / /　　　/　　　　　　 |　 についてｶﾀﾚ！
　 ＼　⊂ノ￣￣￣￣￣＼　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　||＼　　　　　　　　　　　＼
　　||＼||￣￣￣￣￣￣￣||
　　||　 ||￣￣￣￣￣￣￣||
　　 　 .||　 　 　 　 　 　 　 ||

>>633-635
けっこう有名ですが ...
www.nersc.gov/~dhbailey/

（＾＾）

ほしゅったらあげろ！

可能無限ってのは、
10進数の0.3333....と、3進数の0.1はノットイコールだと言っているの？
そんな定義になんの意味があるの？

0.333....がそもそも、無い。

つまり表記方法の問題なんですかね。

可能無限は純粋数学だから、だからこそ、センスが必要だと思う。
「ヘイッ！ボーイ。アーユーハイセンス？」（訳：君は可能無限が分かるかい？）
諸々の純粋数学をすべて了解しなければならないというわけでもあるまいし、リベラルにだね、
己の数学を心に据えていればいいだしょ。ＶＳなんて言ってるのは自らがそれらから乖離している証拠では
ありませんか。

純粋数学じゃないです。不純数学です。
でも不純数学であろうとリベラルであった方が世の中楽しいです。

表記方法の問題ねえ。
例えば Mathematica とか Gap みたいな系では 1/3 や Pi といった
有理数や実数も必要に応じて指定された桁までの小数表記を得ることもできるし、
さまざまな演算を施すこともできるという意味で操作可能な対象。
もっとも計算機は計算可能性と実装の有限性による制約はあるけどね。
反射性によってデータと実行に同等の地位を与える計算機と対比すると、
定義と操作に同等の地位を与えるのが数学なのかも。
表記することを操作と思えば定義することができ、
その定義を対象として扱うことができる。
その意味では、数学はある種の実行可能性を前提にした学問ではなかろうか。
この実行可能性は記述の有限性に先行する。それが可能無限に代表されるのだろう。
一方で、無限を排除したultrafinitismでは意味のある数学的言明はできないと思う。

>>647
最後の一行は、単に貴殿の信念の言明に過ぎない。

>>542
初等平面幾何の有名な例で、
例の平行線公理を昔の幾何学者の多くは定理であろうとして、
それ以外の公理から導こうとずいぶん努力した。
平行線公理Aは、それ以外の公理の組Sから独立であると認識
されるようになるまでずいぶん時間がかかった。

命題Aを、Sから演繹して真であると導く証明は出来ない。
（努力不足で出来ないのではない）

命題Aの否定命題を、Sから演繹して真であると導く証明も出来ない。
（努力不足で出来ないのではない）

そういうことがありえるのだ。
ある矛盾の無い体系のもとで、適当な命題を与えて、それの真偽が決定
出来ないということがありえる。その場合その命題を新たな
公理として添加して得られる体系は無矛盾になる。
もちろんその命題の否定を新たな公理として添加して得られる
体系も矛盾がない。

（＾＾）

ネガティブ集団を日光に晒したい

あげるか。

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

(･∀･)ｹﾞﾊﾊﾊﾊ

数学の証明なんて、最初から結論は決まっているんだよ。
ああだこうだといろいろ理屈を並べるけど、腹のなかでは
もうこうしようっていうのがあってさ、それにどうやって
こじつけていくかなんだよ。だからさ、きわめて思い込みが
一方的で、みていて滑稽なんだよな。反対者は認めないって
いう態度ありありでさ、法律屋とおんなじでさ、わざと難しい
言葉とか記号を使って、素人や大衆を議論の場から排除して
自分たちの寄り合いでカルト同然の集団を形成して悦に入って
恍惚として、お経の呪文を並べているようなもんさ。
　自分たちの派閥以外には読めない方が反論されにくし、
神秘性が増すから、ありがたい感じがするもんな。あまり
大衆化して俗化したら、つまらない。大衆は愚民だから
愚民のままで、疑問なんかもたれないほうが、ややこしく
なくて便利なんだよ。　証明なんて、後付けの理屈で、
そんなもの最初から結論は決まっている。これだけ
押さえておけ。高みに達したものは、もはやああでもない
こうでもないと迷ったり悩んだりしないで、ぱっと結論
を選択して、それをとうとうと正当化する、それでなく
てはカリスマとはいえない。なんだったら正反対の結論
でもとうとうといえるぐらいでなければ、大衆を導く
ことなどできはしない。真理に到達するためには方便も
使いようなんだよ。おぼえておけ。

みていて滑稽なのは自分が理解しようと少しも努力しない事を
「相手が自分にも理解出来る様に書かないのが悪い」とほざく姿かと。

反対者を歓迎するぐらいの気持ちでないと真理には到達出来んよ。
ただし余りにもぐぅたらなどうしようもない奴までサポートするのは無理やね。

カントールのアレフ０から、べき集合を作ると何故無限のランクが１つ上がって
アレフ１になるのか解りません。
基数がふえるのならアレフ＋アレフ、アレフ×アレフでも基数は増えるのでは・・・

A, B がともにアレフ0とすると、
A+B から a1, b1, a2, b2, a3, b3, ... と取り出すことができるから A+B はアレフ0
A×B からは (a1,b1), (a2,b1), (a1,b2), (a3,b1), (a2,b2), (a1,b3), (a4,b1), ... と取り出せるからこれもアレフ0

>>655
数学の証明ほどオープンソースなもんはないぞ？
知識の積み重ねは必要だよ。誰がみたって判るようにったって、
おまえは、教科書何十冊や論文何百本もの知識のギャップをうめようとしたら
一体どれだけの長さの証明を読むことになると思うね？

>>657 は連続体仮説支持者ですね？

まずアレフ0についてもうちょっと勉強した方がよろし。

>>658
レスありがとうございます。
でもべき集合だと、なんで無限の密度が上がるのでしょう？
>>660
いや、無限に魅入られた・・・という本を読んだ素人です。
>>661
素人なんでよろしくお願いします。

感覚的なことを言うと、
∀ｎ，ｌｉｍ｢ｘ→+∞｣（２＾ｘ）／ｘ＾ｎ　＝＋∞
べきはどんなｘ＾ｎよりも急速にでかくなる。

６６３さん、レスありがとう御座います。
すみませんが、∀ｎ←の意味を教えて下さい。
＞＞ｌｉｍ｢ｘ→+∞｣（２＾ｘ）／ｘ＾ｎ　＝＋∞
ともかくべき集合をつくると→、＋∞ ということなのですね。

>>662
可算濃度のつぎの濃度が連続体濃度だというのは、連続体仮説を指示している
ということになります。

>>664
騙されるな。カントールの対角線論法を調べなさい。

>>662
べき集合の場合は対角線論法で示す。
A^B がアレフ0だと仮定して並べてみるが、
その中にどうしても抜けが生じて矛盾が起こる。

ちなみに >>660 が言っているのは、
A, B をアレフ0の集合としたとき A^B の濃度がアレフ「1」になることが
まだ証明されておらず仮説にすぎないこと。ランクが「1つ」上がるのか
否かは未解明。アレフ0より真に大きい濃度であることは対角線論法で
容易に示されるけどね。

もっとも、>>660 はしつこく書いているが、>>657 の返答としては的外れ。

しかし実際対角線論法見てもさ
なんかきつねにつままれた気がするよね（って俺だけか？）
まあ確かにそうなる事は分かるけど、
｢なぜ｣には答えてくれないと言うか。

>>668
連続体仮説を仮定しても否定しても、無矛盾な公理系が得られることは
すでに周知の事実のはずだが？

「自然数の濃度と実数の濃度の中間に来る濃度は存在しないが成り立つ」
ことを証明しようとカントールが悩んでいたというのが
連続体仮説だろう。これは、他の公理系とは独立の命題である
ことが示されたはずだが。

>>671=>>670
しつこいよ？

無限の濃度を持つ対象に対角線論法を使ってよいということはぜんぜん自明
ではない。むしろそれ自体が仮説か公理みたいなものだと私は思う。
推論のパターンとしての対角線論法を記号記述したものを、公理として
採用することを提案したい。無限の対象に対して操作を無限の先までまず
いったん行ってから、、、、という論理を認めることは、それを公理と
して認めるならよいが、そうでなければギャップがある。

はいはい。

>>673
∃f∈X^N ∀x∈X ∃n∈N f(n)=x のという仮定のどこが変か説明して

永遠に生き続けることは可能ですか?

オイラはまだ死んだことがないのですが、不死身ということなんでしょうか?

>>676
板違い

>>677
んじゃ、別の訊きき方をしよう。

「無限に続く上り階段」の最上段にたどり着くことはできますか?
そもそも、「無限に続く上り階段」に「最上段」なんて存在しますか?

>>678
板違い

>>678
ttp://mathworld.wolfram.com/AxiomofInfinity.html

おめでとう、君は死ぬまではずっと生き続けることができるよ。

>>675
673はたぶん集合論に置ける「等しい」の意味が分かっていないと思われ。
集合Aと集合Bが等しいということは、f:A→B（fは全単射）となるような
AからBへの写像fが存在することなのだが・・・・・。

>>682
(・∀・)ﾆﾔﾆﾔ

>>678
そーいう考え方が違うんだけどにゃー

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

いつまでたっても証明が終わらないのは
可能無限の呪いでしょうか?

無限の反対は有限ですか　それとも　無ですか

　　　 　∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　(　　＾＾ ） ＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣〕
　　＝ ◎――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉

まあ有限は無限と同時に規定されるんだけどね

ﾎﾟｶｰﾝ >>682

濃度のことがいいたいんじゃないの？
しかし可能無限とかいう言葉を有限て意味で用いる人がよくでてくるね。

> しかし可能無限とかいう言葉を有限て意味で用いる人がよくでてくるね。

え、どれ？

哲学さんの言葉はよく分からないが可能無限と実無限って
数学では区別できないんじゃないの？

いや私も哲学さんの言葉はわからんけどさ，「可能無限！」て言ってる人が
「有限界の手続きで到達」にやけにこだわってるみたいだから．
「最上段」とか言い出すんだったら順序やら束やらの本でも読んでみりゃいいのに＞哲学なひと

なるほど。
ふと思ったんだが哲学さんがいうところの可能無限の可能という部分には
前者の一意性が含まれてるんじゃなかろうか。

要するに1個ケーキを1/2、1/2、1/2と延々に分けていくと
物理的な限界として物質の最小単位にたどり着くと。
そこが限界点であり、それより小さくすることは不可能。
アキレスと亀の関係も同じで
どんどん距離は狭まってき、
最終的には物質の最小単位に等しい距離より狭めることができない為に
そのそこに至った時点で到達したことになる。

ゼノンのパラドクスを矛盾もなしに現実に起こったとすればどのようになるのか
ってことを描いた話がジョジョ6部の緑の赤ちゃんなのかな

うが、ミスぽ(ﾉД`)ヽ(ﾟДﾟ )

　

4

　__∧＿∧_
　|（　　＾＾ ）|　＜寝るぽ（＾＾）
　|＼⌒⌒⌒＼
　＼ |⌒⌒⌒~|　　　　　　　　　山崎渉
　　 ~￣￣￣￣

19

　　　 　∧＿∧　 ∧＿∧
ﾋﾟｭ.ｰ　（　 ・３・） (　　＾＾ ） ＜これからも僕たちを応援して下さいね（＾＾）。
　　＝〔~∪￣￣￣∪￣￣〕
　　＝ ◎――――――◎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎渉&ぼるじょあ

132さんと同じ事を考えてました。
a0 = a00.a01 a02 ...
a1 = a10.a11 a12 ...
a2 = a20.a21 a22 ...
.
.
an = an1.an2 an3 ...

とあって、少なくともanから始まる対角線数？の数はｱﾚﾌ0の濃度しかないわけで、

＝　　＝　　　　　＝
ｎ＝横の実数＝斜めの実数

＝ ｱﾚﾌ0
に思えるんですが…

あ、
anから始まる対角線数
→annから始まる対角線数

斜めの実数
→くだんの操作をして得られる斜めの実数

でお願いしまつ。

んげ、132さんって誰だよ…
っていうか、誰だか解らん…

この板初めて故失礼しました。

それは実数を10進数表示したときの桁の数が高々可算個
だといってるにすぎない

んと、整理してみると

ある実数区間（例えば[0,1[）の全ての実数と、自然数の集合Ｎを対応づけるとする。
＜対角線論法＞
常に対応できない実数があらわれるので、背理成立。

ここで出てくる対応出来ない実数の集合がｱﾚﾌ0より上の濃度を持つ
事を証明できなければ、この背理は成り立たないのでは無いか？
という事なんですが…

>>707
主張は、ある f∈[0,1)^N が全射でない、ということではなくて
任意の f∈[0,1)^N は全射ではないというもの。

度々済みません。もう一度整理してみると、俺の疑問は
　この背理は成り立たないのでは無いか
ではなく
　この背理をして実数濃度＞自然数濃度とは言えないのでは？
　（なぜならこの論法から導かれる対応できない実数値の個数は、たかだか可算個
　にしか＜俺には＞見えないので）
のようです。

何分、たまたま手にしたブルーバックスを読んでるだけの香具師なので
ちゃんと数学学んでる人達にはｱﾌｫだなーと思われてるでしょうが…

もともと、少数では表現することができない無理数を
無限桁の少数で表現できるなんて考える時点でおかしいのね

仮定は自然数と実数との完全な対応が存在するとしたのだから、
対応できない実数値の個数がひとつでもあれば背理法の仮定に
矛盾する。

無限桁の小数で表現できる数全体は実数全体より微妙に多い
1と0.999…が異なる小数だと思った分だけ多くなる。
結局、濃度は同じだが、数としての構造が微妙に違ってくる。

まだ生きてんだ、このスレ　ｗ

>>709
その議論に入る前に、いくつかの準備をしなければならない。

【定義1】
集合AからBへの全単射が（1つでも）存在するとき、|A|＝|B|と表し、
AとBは等濃度であるという。|・|＝|・|は同値関係である。
|A|＝|N| となるとき、「集合Aの濃度はアレフ0である」という。

【定義2】
集合AからBへの単射が（1つでも）存在するとき、|A|≦|B|と表す。
|・|≦|・|は順序関係である。|A|≦|B|かつ|A|≠|B|のとき、|A|＜|B|と表し、
Bの濃度はAの濃度より大きい、という。

（集合クラスの同値分割で濃度を定義するステップは省略）

【補題1】
アレフ0は無限基数のうちで最小の濃度である。

【補題2】
任意の2つの濃度は比較可能である。

>>714
はい、ここまでは理解できたと思います。

ということは、対角線論法より
　|N|≦|R| かつ |N|≠|R|
定義２より
　|N|<|R|
証明終わり

ということで問題無いですか？
（証明、というよりある種の定義、という感じがしました。どこか飛躍してます？）

すると補題1、2より、|N|≦|R| となる。

ここでN→Rの全単射が存在すると仮定すると、
対角線論法により矛盾が出る。
よって|N|≠|R|。従って|N|＜|R| となる。(終)

対応できない個数がどうとかではなく、
「全単射が存在しない」ことがキモのなだ。
まだ疑問はあるかな？

>>714訂正：
|・|≦|・| は順序関係ではなく、ただの≦が順序関係だった。

ああ、レスが遅れた。>>716でいいよ。

あ、丁度見ていてくれたんたんですね。

>「全単射が存在しない」ことがキモのなだ。
＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾＾
ｶﾅｰﾘすっきりしました。これで今夜はぐっすり眠れそうです（ｗ
ありがとう御座いました！

>711

しかし　のそ背理法からは
自然数と実数のどちらの濃度が大きいかはわからない

積分してくらべてみるべーか、

冗談がすぎますぜ旦那
微積分は無限回の演算を認めてますかね

>>720
>>714-717の後でそんなこと書かんでも…

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

N進数において整数部分が0であるM桁の小数の個数はN＾M

M→∞のときのN＾M、すなわちN＾∞は整数部分が0である実数の個数になる。

これってどうよ？

どうよ？って、なにがいいたいんだよ？

5

11

二年百三十日二十二時間八分。

姦ト-ルの対角線論法って、なんだか怪しいよネ。論理にギャップを感じない？

あなたのいう「論理」とは何？

ギャップがあるのは>>730の頭の中だけ。

有理数についても対角線論法って成り立つような気がするんだけど、
有理数で行おうとするとどこがまずいわけ？

対角線論法で作った奴が有理数である保障がないのです。

どこがまずいもなにも、1桁目がf(1)と違って、2桁目がf(2)と違って、、、
と言うような数を作っていくと、必ずしも有理数にならないだろ。

対角線論法って１対１対応の二重基準の上に成り立ってるから、
だめだ。
詳しくは話せない。準備ができてない。
要するにですよ、自然数と偶数は１対１対応だといってるわけですよね。
でも、普通に考えて、偶数の方が少ないじゃないですか。
でも、無限に対応させられるから、１対１だと。
偶数の気持ちになってみてほしい。
「にゃろめ〜、こっちがあたらしい玉出すたびに倍になりやがって、
いつまでたっても倍、でもな、でもな、おれはいつまでもおめぇを
追いかけられるぜベイベー」

１対１対応は２種類ある。
カントルちんは知らぬ振りをしたぽ。
その罪は大きすぎるな。
対角線論法が誤りだと広く知られるのは、、、
５０年後くらいかな。そのとき、２１世紀はじめに
そのことにいちはやく気づいていた日本人が２ｃｈにいた、と
記事に書かれることはないか。まぁ、そのとき、あぁ、そういえばと、
この書き込みを思い出して欲しい。

数学的帰納法の次は、対角線論法ですか。。。

それで無限論の入門書はなんですか
哲学は野矢の本らしいけれど、数学は？

1/2=0.500000・・・
1/3=0.333333・・・
2/3=0.666666・・・
1/4=0.250000・・・
2/4=0.500000・・・
3/4=0.750000・・・
・・・・

で対角線論法を行う（成分が１だったら０、１以外だったら１）と、
出てくる少数は無理数ですか？

>>738 数学の無限論って何だ？

『無限と連続』とか

>>739
2/4等の既出な奴は外しなされ。

分母が10のn乗となる部分は10^n-1個だけ続く。
その部分では成分が必ず0になる。
これで出てくる数が有理数なら、ある桁以降はずっと1が続かなきゃいけなくなる。
しかし1/(9*10^n)という分数では成分が1だから0が出てしまう。
よって有理数でない。

「出てくる有理数をxとすると、xから選ぶ時に違う数字が出てきてしまう。
だから有理数にはならない。」

これだけでいいんだった…変に考えてしまった。

今か過去ログ読んできたけれど
>>12って恥ずかしいレスしてるな。
数学の歴史は知らんのだろうな。こわいこわい

>>744
数学者が数学史に無頓着なのはごく普通のことでは

>>745

まあ、自分の分野くらいはわかってると思うけどね。。。でも全数学史（西洋数学以外
を含む）ともなると、分からないのが当然だ罠。


ところで関係ないんだが、「無限小解析」をそのまま変換すると、「∞蒋介石」
になってなんかﾜﾗﾀ

専門を選ぶ前に入門書とかよまなかったのかね

記号が無ければ、記述もなく、証明もないし、数学もない、
この世の空間が1次元ならカント-ルの対角線もない。

実無限とか可能無限ってのは数理哲学(≠数学基礎論、というか無関係)であって、数学じゃないし。

>>749

まあそうだけど「数理哲学板」はないしな。

>>749　そんなに悔しいの？

>>751
数理哲学板がないことがか？

実無限とか可能無限って数学辞典に載ってないしな。
早い話が哲学板へ帰れ。少なくとも数学板で話す話ではない

数学板で話しちゃいけない話ではない

漏れも、別に話していけない話ってわけではないと思うぞ。他のクソスレ
と比べても、それなりに数学と親和性がある話題だと思うし。

数理哲学の懸案(?)は無限以外に何がありますか?

数学的対象の存在論じゃない？

『無限と連続』には実無限は載ってるね。
>>757　数学的対象は存在論というより実在論だよ。

存在論と実在論があるのか。。。虚在論とか複素在論とかもあるんだろうか。。。

>虚在論とか複素在論
が何を指すのかはいまいちわからんけれど

一応書いとくけれど話題の野矢は東大数学科卒、後哲学科に再入学

実在論とはそれがすでにあると仮定していること。
実無限の実は実在論の「実」
たとえば虚数とか無理数とかね。

実無限とちょうど反対なのは有限主義だろ
ここの人たちは「可能無限」と有限主義を取り違えてない？
可能無限は可能無限的な解釈ゆえに、現代数学を別に根本から否定しようというのでない。
むしろ数学と「数学の哲学」は別物。
それと数理哲学と数学の哲学は、かなり違う。

たとえばπについて
実無限：πのすべての位は確定、有限の位しか求められていない。
　無限を実体として捕らえる。
有限数儀：πは有限であり、どこかで必ず終わる。
　無限なんて無い。
可能無限：πの位は無限続く可能性もある。
　あるのかないのか有限の時間を生きる人間には外的にも内的にも証明不可能
　無限を可能性として捕らえる。

無限蒋介石。

8

15

感とーるのいったことなど、所詮気違いのたわごとに過ぎぬ。
頭のおかしいやつの証明など間ともに検討するにあたらぬわ、
けけけっけ、

30

■韓国DCinside、2ｃｈ攻撃中■
韓国DCinsideの掲示板内で2ｃｈ攻撃が画策され、攻撃されています。
相変わらずF5攻撃ですが、一報しておきます。
DCinside HP
http://www.dcinside.com/
掲示板
http://j2k.naver.com/j2k.php/japan/dc1.donga.com/zero/zboard.php?id=47

http://etc.2ch.net/bobby/
ロビーをチョンが荒らしています。

30

Re:>>730
対角線論法を使わずに実数全体と自然数全体の間に全単射が取れないことを示す方法もある。(区間縮小法の原理をうまく使えば良かったような…。)

>>770
詳細キボンヌ

カントールの最初の証明ね｡ほかにも､等比級数の和を利用した、高校レベルの証明もある。

カントールは無限をアレフと定義しておいて、単位として加減乗除を提唱した
ので、数学というよりは、数理哲学的なのだと思う。
じゃあ、１アレフについて虚数が認められるのかどうかということを考えると
数論全般を覆す理論とも言えなくはないわけで。

基数の全体が集合にならないのだから、
代数的な扱いができないのでは？
とりあえず、-1という基数を定義してくれよ。

Re:>>771
とりあえず某書籍を参照することにしよう。
数列a(1),a(2),a(3),…に全ての実数が現れるとする。
b(1)=a(1)とし、a(n)>a(1)となる最小のnに対してb(2)=a(n)とする。
b(1)<a(n)<b(2)なる最小のnに対してb(3)=a(n)とする。
同様に、b(k)<a(n)<b(k+1)なる最小のnに対してb(k+2)=a(n)とする。
区間[b(k),b(k+1)]の列はコンパクト集合の有限交叉閉集合列なので、交わりcを持つ。
b(k)<c<b(k+1)なので、a(n)=b(k+1)とすると、a(i)=cをみたすiは、i>nを満たす。
一方これは全てのkについて成り立つので、a(i)=cなるiは存在しないことになる。
これは、a(n)に全ての実数が現れるという仮定に反する。

>>773,774
おまいら、コンウェイの本でも、もめ！

ゴメン・・・クヌースだった。クヌースの「超現実数」

ヒラリー・パトナムじゃ駄目？

▲▲▲　量の起源　▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲▲
人々は宇宙を途方もなく大きいものだと認識していますが、実は宇宙は
とても小さいものなのです。
　ネズミは人間から見れば小さな生き物ですが、ダニにしてみればネズミ
は大きな生き物です。そしてダニから見た人間は途方もなく大きなものな
のです。その途方もなく大きな人間も鯨から見れば尻尾の先でしかありま
せん。その鯨も・・・ 実はこの宇宙というものは神様の鼻くその一部でしか
ないのです。【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小
さいと認識していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小
さいものなのでしょうか？】

【この世は有と無から成ります】
まず、何も無い空間。その空間には大きさも重さも何もありません。
全ての【認識は不可能】です。
次にその何も無い空間に一点の有(物体、個体)をイメージします。
そこから【認識は始まり】ます。

無(空間)は有(物体)に働きを与え、有は様々な現象、実像を起こします。
一点の有には一方向の時間(無)という実体の無いものの働きにより運動
(有、変形)が起こります。
時間を宿した有はやがて二方向の実体のないものの働きによりAとaの
二点に分裂(有)されます。
Aとaの分裂は新たなる個々の時間の発生を意味しますが、同時に一つ
の全体の時間というものにAとaは繋がれています。

A★　　★　B★　　　　　　　　　　　　　　★
さて、AとBの星から星までの距離はAは→Bより距離が短く、Bは→Aより
距離は長い。といえますが、このAとBの量の違いは空間(無)の違いでし
かありません。しかし空間(無)そのものには量はないのです。何も無い空
間に二つの星(有)が存在することで、始めて量としての働きが生まれます。
重さ(地球と林檎)にしても同様で【量は空間(無)と二点(有)で決まります】

二点の内の一点(基準)は我々個々に存在しています。
その(人間)基準から見れば宇宙は間違いなく大きいものなのです。
　【我々人間は大きいものを大きいと認識して、小さいものを小さいと認識
していますが、果たしてそれらは真に大きいものであり、真に小さいもの
なのでしょうか？】この愚問には基準が存在していません。量の認識は
不可能。となります。
そしてこの逆が人間の言葉でいう【無限】です。基準は存在しても量を決
定するもう一点がないものです。
【無】は限りがありません。大きくも小さくもなく、広くもなく狭くもありませ
ん。しかし人間は量があるかのごとく無限【大】などとして形容します。
無限に大きいものは存在しません。分かる範囲のみが量として成立する
のです。つまり量は【有限】なのです。
http://aa4a.com/chichannel/　8/29【2千5百年の眠りから】
▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼▼

245

>>777
超現実数…　友達にパクられたまま戻ってこず…

　野矢茂樹氏の「数学の哲学」の評価は自分には分からない。
　でも、野矢氏の哲学的議論は、面白いとは思うが(哲学の素人が偉そうかな)。

487

初心者向けの論理系の本も、結構面白いよね。

340

無限は論理の中にだけあって、実在ではありません。
だから、無限に関する議論は、論理に基づく
きちんとした証明以外にはその成否を示す手段がありません。

迷信

>>775
亀レスですが・・・

b(3) < b(2) なのに、「同様に、b(k)<a(n)<b(k+1)」ってどういうこと？

やっぱ『無限ホンダ』が最強である
http://www.mugen-power.com/top.html

http://hobby5.2ch.net/test/read.cgi/occult/1083334783/l50
悩んでるから助けてやって

age

>>788
実在を定義せよ。

>>794
定義を定義せよ。

924

354

527

595

円について、話し合ってほしいです。シンエンとは何ぞや？

高卒なので(しかも工業高校)難しいことは分からないが、点Ａを中心として
シンエンの弧を使って円を書いてもシンエンになりません。
シンエン事態が存在しないから出来ないから書くことが出来ない。
だから・・・無ってことになりますよね？
馬鹿だから言いたいことが上手くかけないですが、すいません。

　　　　　　　｜
　　シンエン→Ｏ
　　　　　　　｜
　　　　　　　｜
　　　　　　　・中心点
ぐるっと回して中心点からシンエンの中心を通る直線とシンエンの弧と
交わる点を使って円を描いた時に、
中心点もシンエンだとしても一周した時に出来る円はシンエンではないという
結論になりました。理由もちゃんと説明できます。
シンエンは存在しないし、出来ないと言う結論になりました。
無って事ですよね？
ＰＣに関しても素人なんで意味の分からない事を書くなと思われるかもしれませんが
本当にすいません。言いたいことが分かって頂けると嬉しいのですが・・・

工高卒をバカにすんなよ
そこらの私大卒よりはるかに頭のいいやつを
たくさん知ってるぞ

すいません、自分に自信がないもんで・・・
自分自信も工高卒なのに軽率でした。

だれも見ないんですね。がっかり。

>>805
今度から投稿するときは
メール欄に
sage
と書き込んでみてネ

これで良いのかな？

学歴持ち出して免罪符にされても困るんだけど。。。

とりあえず意味が判らん。

>>ぐるっと回して中心点からシンエンの中心を通る直線とシンエンの弧と
>>交わる点を使って円を描いた時に、
>>中心点もシンエンだとしても一周した時に出来る円はシンエンではないという
>>結論になりました。理由もちゃんと説明できます。

1行目なにを「ぐるっと回し」たの？作図法を説明しているようだけど、全然わからん。
図に頼らずに具体的に手順を書いてケロ。

3行目「中心点もシンエンだとしても」。一般に点は円じゃないと思うが。

てか普通円を描くというとコンパスを使うと思うんだが、何故コンパスを使わない？

376

数学の素人です。

例えば、１と２の間って、無限に考えられるし、
数そのものも、無限に考えられるし。
アレフ？みたいな濃度の考え方もあるように、
大きさでは語れないってことですよね？

フラクタル構造の、部分が全体、全体が部分みたいに、
１と２の間に無限。その無限の中にまた１と２…でしょうか？

>>810

すいません。質問をもういちど、今度は日本語で書いてきていただけますか？

>>810
言ってることはなんとなしにでも分かるとしても
肝心の聞きたいことが何なのかが全く分からんな。

聞きたいんじゃなくて云いたいんだろう。

810です。
わかりにくかったらしく、ごめんなさい。
無限は、フラクタルと何か関係あるのか？
という疑問です。

>>810>>814
関係はあるかという質問なら、答えは
ある

無限集合もアレフも理解してないのに、フラクタルを理解できている、未曾有の天才810に乾杯。

そういうのって文系とかに多いんじゃないの

数学の素人です

∞−∞って、どうなのでしょうか？

実数、∞の∞乗、複素数は、アレフでどう表せるのでしょうか？

連続体仮説って、１次元だけで、２次元以上はないのでしょうか？

>815
あ、お礼遅れました。
ありがとうございます。

>>818

一行目に関しては、∞は数じゃないので、なんともいえない。
二行目に関しては「実数」と、「∞の∞乗」、「複素数」がどういう
意味を持って併記されているのか良くわからない。実数と複素数は
集合だけど、∞の∞乗はもしあったとしても「数」であって集合では
ないだろう。そして一行目と同じ。∞は数じゃないので、∞の∞乗
とか言われても困る。

三行目、1次元の連続体仮説というのが何を表すのか良くわからんのだけど。

きっとあなたは何か、本でも読んで無限に興味を持ったのでしょうが、
もし本当に知りたければ集合論の教科書を読むことをお勧めします。
集合・位相入門 松坂 和夫
とか。

数学の素人です

>820
∞−∞は、無限の和は同じ無限。じゃ無限の差は？といういみです。
フラクタルって、複素数と関係があるらしいので。

無限って、連続性と次元の広がり度合と思っています。
数直線や、複素平面など。

ここで聞きたいことは、アレフ０、アレフ１、…
は、いまの数学で立証されそうでしょうか？またはされているか？

私の勝手な解釈では、アレフＮのＮは、次元のＮかなぁと。
０は、有理数。連続性がない？
１は、無理数？連続性がある？
２は？

あ、超越数って、どうなるんでしょう？

もしかして釣り？

>>821

まず、何度も言うのですが∞は数じゃないので、引き算は出来ません。
足し算もできません。「無限の和は同じ無限」と言いますが、一般には
意味不明です。無限は数じゃないので足せないので。

てか、あなたの文章全体的に意味が判りません。普通質問と言うのは
「Aについて、Bは成り立つでしょうか？」というような形式をもつと思います。

「一般に実数aの二乗a^2は、正の数になるでしょうか」
とか
「毎日牛乳を飲むと、私の背は伸びますか？」
とかです。

しかるにあなたの文章では

「アレフ０、アレフ１、…は立証されますか？」
「超越数ってどうなるんでしょう」

などなど意味不明です。数学板で質問する前に日本語の勉強をすることを
オススメします。

>∞−∞は、無限の和・・・

∞は一般に無限に多くのといった意味で使い、物ではないです
A-Bは、Aという物とBという物のあいだの演算を表します
物でないものに、物の間の演算を適用することはできません
ただ無限の和は同じ無限といってるから∞を基数と考えているみたいですが、
A-Bが差集合の濃度を意味するのであれば、
どのような集合Aに対しても、AからAを引いて得る差集合は空集合だから、
その濃度は0になります
基数、濃度、差集合は調べてください

>フラクタルって、複素数と関係があるらしいので。

フラクタルが複素数と関係あるとして、
あなたが考えているであろう同じ無限の差∞−∞が、
どんな関係があるのか突飛すぎて怪しい感じ

>ここで聞きたいことは、アレフ０、アレフ１、… されているか？

アレフ０ < アレフ１ < アレフ２ < … ということであれば定義から成り立ちますが、これは連続体仮説とは違います

>アレフＮのＮは、次元のＮかなぁと。

アルファベットのNじゃなくて、アラビア文字の1番目の文字です（アルファベットでいうAのようなもの）。

>０は、有理数。連続性がない？・・・あ、超越数って、どうなるんでしょう？

意味不明です数学を正しく学んでないひとは、定義を曲げて自分なりの解釈をしている場合が多く、
とくに「無限」という概念にそれが多いので、議論当初から話がかみ合わず、
互いが「あいつは分かってない」と言い合いに行き着きます
イメージも大事だけど、基礎の無いイメージは妄想でかなり危険
まず、∞の定義、連続性の定義、次元の定義、アレフの定義を調べたほうがいいです
解説やイメージ図などではなく、定義の記述そのものを理解することが大事

数学の素人です

結局わからないのですね。
ココで質問することじたい、間違っていました。
ごめんなさい。

>>826
は？>824-825で説明してるやん
お前の言葉足らずの説明を正してやった上で0だといってるのに
結局分かってないのはお前なんだよボケ

>>827

>>826は、釣りか騙りかバカかどれかだ。
いずれにせよ、怒ってもしょうがない。

>>828
そうだなすまんかった orz

三年七時間。

可算有限の範囲を越えたものは、すべて信仰と同様のものであって、
こうあって欲しいという願望や、こうなるはずだ、べきだという
要請を課した仮説を基本として論理展開したものですから、そういう
お約束の中でのゲームでしかなく、それはそれ、これはこれであって
数学も色々、無限も色々、論理も色々、、、、でしかありません。
お互いに矛盾する仮説は、どれが絶対に正しいというものではありません。
それらは単にフィクションや要請に過ぎないのですから。

有限の範囲だって信仰だろう。

ある有界な有限の対象であれば、そこまではいつかは到達出来ることは
ペアノの公理を認めるのであれば、認めざるを得ないだろう。
ところがそうでないもの、本質的に有界では無くて無限になりうる場合、
本当に具体的に対象を操作することを原理的に見届けることができない。

>>831
では実数が連続していることに根ざす統計・物理・工学理論は全て破棄だな

物理の理論が実数の連続性に根ざしていると
決めつけるおまえの単純な頭に乾杯

>>833

なんでそこで「認めざるを得ない」と言い切れるのか疑問。
そもそも「ペアノの公理を認めるのであれば」がOKなら
「無限に関する公理を認めれば」もOKだろ。

>>835
実数が連続してなければ微分も積分もなくて差分と和分だけだから完全に壊滅

そもそも実数の連続などという概念が定式化されたのは
微分積分学が誕生してからだいぶ後のことだ。
これをどう説明するかね。
おまえのような「連続教」の信者にはわからんだろうが。

>>838
微分積分学を定式化したら実数の連続性が必要なことが分かったってわけ
それ無しでは崩壊

　無限は決して有限の範囲では到達ができない彼岸の側にあるものだから、
そこにはもともと永久に辿り着くことができない。有限の範囲のみを扱う
場合には、無限の場合がもともと排除されている。
つまり、有限の場合のみを扱う論理体系と無限をも含める論理体系とは、
前者は後者の特殊な場合に当たることは当然であるが、それ以外の場合に
対しては任意の要請・仮定を置いても良い（矛盾が無いという意味で）。
　その場合でも、なるべく数学的美観の観点からは、単純なものが要請
として望ましい。射影幾何学は、ユークリッド幾何学に比べて、有限の
場合と無限の場合とが統一され区別されない公理系になっており、
ユークリッドの体系よりも美しい。

>>840
「有限の場合と無限の場合とが統一され区別されない」って
もしかして直線を点として扱うということを言おうとしているの？
もしそうならそんなの「有限の場合と無限の場合とが統一され区別されない」ってことじゃないけど

無限遠点の事を言ってるんじゃないかな。よくわからんが。

>>842
そうかありがと
でも無限遠点はコンパクト化してるだけですよね

>>843

そういう解釈が出たのは、射影空間が整備されて位相空間論が発達した
近代で、射影空間が最初に考えられたときはそういう発想は無かったと
思うよ。

公理で任意の相異なる二直線が必ず交点を1点のみ持つとしたので、平行線の場合にも、交点が
1つあると考えるのです。そうすると交点が有限のところにない平行線の場合には
その交点を無限遠点にあるということにします。

この公理は、
任意の相異なる二点を通る直線は必ず1本のみ存在するという公理と
双対の関係になっています。
すなわち、「直線」と「点」を入れ換え、「二直線が点で交わる」と
「直線が二点を結ぶ」を交換した命題は、
片方が成立すればもう片方も成立し、逆もまた真なりです。