無限に付いて語る。実無限VS可能無限

>>87
ずっと以前に考えたんですが，
実数の連続性の公理（切断の公理）
を使って非可算性の証明ができます。
具体的には，実数の可算集合Ｓがもし密ならば
(i.e. a<b a,b∈S ならば a<c<b, c∈S ならば)
Ｓの切断で上組の最小値も下組の最大値も
存在しないものが作れるということです。


i.e.

a<b a,b∈S ならば a<c<b, c∈S ならば

　　　　　　　↓

a<b a,b∈S ならば ∃c∈S a<c<b とすると

S⊂Ｒ は可算集合だから１列に並べることができます。
トランプのカードのように重ねられていると思ってください
あと2つの箱ＡとＢ，それとA,B２つの状態をとるスイッチＦ
があると考えてください。
まずはじめにＳから２枚とり小さい方をＡに大きい方をＢにいれ
スイッチＦをＡとしておきます。
以下Ｓから一枚づつ取り出し(これをxとする），次の操作をします。
1)x<max A ならば x を箱Ａに入れる
2)x>min B ならば x を箱Ｂに入れる
3)max A<x<min B で F が 状態Ａ ならば x を箱Ａに入れ F を 状態Ｂにする
4)max A<x<min B で F が 状態Ｂ ならば x を箱Ｂに入れ F を 状態Ａにする

Ｓが密だとの仮定から 3) と 4) のケースは交互に限りない回数おきるはずです。
Ｓは可算集合ですからＳの要素はいずれ取り出されて箱Ａまたは箱Ｂに入れられます。
箱Ａに入るものと箱Ｂに入るものの集合をそれぞれあらためて
Ａ，Ｂと呼ぶことにすると，(A,B)はＳの切断で，
その作り方から，Ａの最大値もＢの最小値も存在しません。