位相について語ろう！

まず位相って一言で言うと？

俺は数学専門じゃないんで言えないけど。
なんか抽象的すぎて難しい

距離空間から勉強すべし。

とぽろじー

ふぇいず

俺、2週間で位相マスターしたよ

「近さ」の概念の抽象化

なんか開球を今やってるんだけど、
授業で位相の分野やってないからつらい。

　距離空間っていうのはユークリッド空間の話を
一般化したもの？

位相って、波とかサイン曲線で
出てきたあの位相じゃないんですか？

それとは違うとおもう

phase space を物理では位相空間と言ってた。
いまは物理でも相空間という方が多い
三角関数のphaseは今でも位相と言う

数学ではTopology

でどっちが議論したいんだい？＞１

数学のほうでーす。

　今、開球のとこでつまづいてます。
なんか良い本とかある？

絶版かもしれないが
森田紀一（だったと思う）の位相空間論
EngelkingのGeneral Topology

開球てなに？

数直線で言う所の有限な開集合

領域Aについて、
∀x∈A、∃ε>0｜xのε近傍⊂A
うろ覚えでスマソ。これでよかったと思う。

早い話が、領域内の任意の点を取ってきても、
そのごく微小な近傍を取ってくれば、それがその領域に
完全に入ってしまう、そんな領域が開空間

あ、開球の定義だったっけ（藁

R^nの幽界快集合だよね，で
その何がわからんわけ？

朝倉の30講シリーズがいいよ。

>>16
距離を使って定義した方が良いと思われ。

距離空間Xにおいて、Xの中の点列が収束するならば
その収束先は一意であることをいうには、とりあえず
収束先をa,bとおいてa=bになることを証明するだけでよいのかな？
なんか答えが略になっていて自信ない。

>>19
だってここ、位相のスレなんだけど。。。
距離空間に限定していいの？

>>21
ε近傍、開球は距離空間でしょう？

あ、そうか。スマソ。
卒業してからもう何年もたったので完璧ウロ覚えやね。
ドキュソになってもうた。。。鬱氏。

>>20
点列{xn}の収束先をa,bと置く。
任意のε>0に対してあるNが存在して
n>Nならばd(xn,a)<ε/2、d(xn,b)<ε/2
となる。
この時、
d(a,b)<d(xn,a)+d(xn,b)<ε
これが任意のεについて成り立つので、
d(a,b)=0
だからa=b

「位相空間において本当に考慮すべきなのは、
その「点」や点からなる部分集合や点の間の近さなどの関係ではまったくなく、
この空間上の層と、これらがつくるカテゴリーである。」

グロタンディーク『数学者の孤独な冒険』より

なんか位相とかの勉強を始めてから
やたらと、三角不等式を使うね。高校の時は
あんまり使わなかったのに。

　距離空間上の収束先もやっぱり普通の収束の証明で
よかったんだ。ありがとうございます。＞２４

>>25
うーん、ありがたすぎる。
かんげき！

>>25
ぐろタン！
連接層って、各点の上に、有限R加群がファイバーのように、
のっかってるものと思えばいいの？
ベクトルバンドルに近いとイメージしておけばいいの？

第1加算公理とか正則空間とか、集合と位相でやったのを最後に、
全くお目にかかったことがないけど、どういうところで使うの？
第2加算公理と正規空間は一度づつでてきたけど。

>>29
関数空間論とか一般位相の道に進めば出てくると思うよ

なんか関数空間論とかって数学科にしかないのかな？
俺工学部なんだけど、そういった授業ないんだよね。

　独学でできるもんかな？いまんとこは大丈夫だけど、
もっと難しくなると自信ないよ。

ぐろﾀﾝ　(;´Д`) ﾊｱﾊｱ、篩のお話してYO！

ハウスドルフ空間の中のコンパクト集合は閉集合、コンパクト集合の中の
閉集合はコンパクトって言う事の証明ができないっていうかいまいち
よくわからん。最初にやるべき事ってなんなんでしょ？？

>>31
関数空間て信号解析では実質的に使うもんね
フーリエ懐石やウェーブレットでは不可欠

>>33
それって本にちゃんと証明出てるでしょ。ﾄﾞｼﾀﾉ

問題集しか持っていないのでわからんのですよ。
明日は図書館とかやってないから調べるに調べられなくて。
なんかわかんないと気持ち悪くてね。

位相って数学のなかで重要な位置をしめるのに、
あまり、ﾖｻｹﾞな教科書に恵まれませんね。
私は数学をはじめたばかりなので、これから位相を勉強しようとおもうのですが、
Kellyの『General Topology』を読み始めようと思います。
もし、ﾖﾘﾖｲ教科書をご存知のかたがいらっしゃいましたら、
私を殴ってでも止めてください。

>>37
殴るような非論理てきなことはしませんが、
森重文先生も読んで勉強されたとゆー
　　「集合・位相入門」松阪和夫著
はどうですか？

>>33
コンパクト集合の中の閉集合はコンパクト：
これは簡単。その閉集合Ｆの開被覆と、Ｆの補集合をあわせたものは・・・・

ハウスドルフ空間の中のコンパクト集合は閉集合：
コンパクト集合Ａの補集合が開集合であることを示しましょう。
補集合から任意の点ｘを取り、Ａの任意の点ｙに対しｘとｙを分離する開集合をとる。
Ａのコンパクト性を使えば・・・・

むんくれすハドウヨ？

>>39 もうちょい言ってあげないとね・・・

y をA全体で動かすとyを含む開集合の全体がAの開被覆となる。
そのうち有限部分開被覆をとり，対応するxを含む開集合の
共通部分（有限個だから開集合）をとる。
この共通部分はさっきの有限部分開被覆の和集合と
交わらないからAの補集合にふくまれる。
すなわちAの補集合の任意の点xに対し
xを含みAの補集合に含まれる開集合が存在するから
Aの補集合は開集合である。

ちょっと親切すぎたかしら

p進付値による位相、完備化ってどんなイメージだろう。

ぐろﾀﾝ(;´Д`) ﾊｱﾊｱ　が来ないから寂しいな。

>>37
けりーﾀﾝの本は厚いし、初心者にはつらいYO、たぶん。
>>38 の松阪ﾀﾝの本は俺でも理解できたから、初心者には（・∀・）ｲｲ!

>42
pに関するべき級数（ローラン級数）

任意の距離空間はハウスドルフ空間である事っていうのは
直感的には距離空間なら２点間の距離の半分の距離を半径とする
開円を描くと２円は交わらないって事？？

でも、これを数学的というか論理的にかくってのが難しいね。

＞３９，４１
ありがとうございます。
悩んでいたとこも解決してすっきりしました。
位相とかはみなさんどうやって勉強したのですか？
やはり、数学科とかかなんかですか？？

三角不等式で一件落着
芸能人は歯が命
距離空間は三角不等式が命

矛盾を示せばいいんだね。
ちゃんと書けた、よかったよかった。

素数が無限に存在することをトポロジーで証明することができるそうで。

>>42
たとえば1/2のp進展開とか√(-1) の 5進展開とか計算してみたら?
こーゆーのは具体例で手を動かしているうちに感じがのみこめてくるものだから。

p進付値ってなあに？

>>50
計算でなんとなく実感（というか計算感覚）は掴めても、それ以上が…
特に、絵のイメージが掴めないのがつらいYO！
ぐろﾀﾝ(;´Д`) ﾊｱﾊｱ　とかには手にとるようにわかるんだろうなぁ。

>>51
http://www.google.com/search?q=p%90i%95t%92l&hl=ja&lr=lang_ja

なんでも具体的にやってみるとわかりやすいよね。
線形とかもいきなりｎ次元だとむずかしいけど、
２，３次元とかで考えてみるとわかりやすいからね。

ぐろﾀﾝとか、空気を呼吸する感覚で、コホモロジーを扱えるのかな？
ｲｲﾅｰぐろﾀﾝ。。。(;´Д`) ﾊｱﾊｱ

金融工学本気でやろうと思ったら位相空間論は絶対必要だな。

＞５５
ファイナンスって位相空間論が必要なの？？
なんで？あんまり関係なさそう。

55はこけおどし。金融工学はまず確率過程。
位相空間論使わなくても書けます

ですね。金融工学は伊藤積分。

そういえば、たとえば Zpの位相なら　valuationから決めたやつより
lim(<-)(Z/p^nZ) で考えたやつの位相を考えたほうがまだわかりや
すいような気がするYO!
中身がかわるわけじゃないんだけどね。

これは>>44と同じでは。

　位相よりも関数解析をやりなさい。

積位相ってよくワカラン。
有限の時はわかるんだが、無限の時の感覚が掴めない。

今年の東大の院試で完全写像についてでたけど、完全写像って常識?
（問題には完全写像という言葉は出てこなかったけど）

55は金融工学のことなど何もわかってないと思うんだが。

>>64
55は位相空間論についても何も分かっていないと思われる

55はどっちつかずだね。結局

トポロジーの現実応用について
http://cheese.2ch.net/test/read.cgi?bbs=math&key=995552094

　位相空間から位相空間への連続写像の定義がいまいち分からん。
これが分からないと、多様体も理解できない。　だれか、簡単に説明して
くれないかなあ。

連続写像
＝ｆＸ→Ｙが連続とは、Ｙの開（閉）集合のｆによる逆像が開（閉）集合。
理解するコツ
（１）距離空間の場合のε-δ式で定義された連続写像が、上の定義と同値であることに注意
（２）測度論でも、可測写像の定義が、上で「連続」→「可測」　「開集合」→「可測集合」
に置き換えたものになっていて、数学でよくある定義の仕方。
なので、慣れておこう。

>>69

　なるほど、分かったような、そうでもないような気もするけど、感謝。
けど、集合への位相の導入の仕方って、一意じゃないじゃん？
集合の任意の一点を選んだとき、その点を内部に含む部分集合が有限個の
位相空間でも、連続性の定義は、可能なのかなあ、、、。
　

>>70
可能だよ．自明な例としては
有限集合にすべての部分集合が開集合として位相を入れる．
そういった集合の間の関数はすべて連続．

>>68
近傍フィルターで書き換えると、
微積分でのイプシロンデルタとつながるわ。

いつでも、離散位相と密着位相は考えてみるといいかも。

>>37
森田紀一　位相空間論　岩波全書
のほうがいいんじゃない。

>>70
むずかしく感じるのは、普通のユークリッドスペースになぞらえて
考えすぎてるからだと思うぜ。
位相の公理を満たす開集合のシステムが位相空間で、
同相写像は一対一に位相構造を保つ写像と割り切るもんだと思うよ。
それからたぶん、連続写像は「点をちょっと動かすと、像もちょっと動く」
ってイメージしてると思うけど、それは正当な感覚で、
連続写像ｆ：Ｘ→Ｙが存在するとき、Ｘの位相はＹより強いことにも注意。
つまり、Ｘの点っていうのは、ｆ（Ｘ）（⊆Ｙ）の点の動きでは区別できないほど
「微妙に動ける」んだよ。まあ、こんな言い方じゃ参考にならないかもしれんが。

>>71 72 73

うん、以前に比べたら、大分イメージできるようになったわ。
　多謝！！
　速いとこ、位相空間を一通り勉強して、多様体を勉強し、
１，２年後には、小平の複素多様体論などを読んでみたいわ。

三村・河田著「現代数学概説２」（岩波）

は結構お世話になりました・・・

net の話が載っている本が少なくなりつつある今日この頃・・・

>>37
梶原壌二『解析学序説』ISBN:4627031300

位相空間論の教科書。コンパクト性に関する記述が詳しい。
過去の院試や就職試験の問題が（ちょっと古いけど）多数収録されている。

Kellyのはちょっとツライとおもう。

＊ コンパクト・フィルター

　位相空間がコンパクトだという定義はよく知ってるよね。フィルターを使って
定義を述べると、その位相空間上の任意のフィルターが集積点を持つ、というも
のだ。これは任意の超フィルターが収束する、と言い換えることができる。
　そこで、この「コンパクト空間」の概念のまねをして、位相空間上のフィルタ
ー Φ がコンパクトであるという概念を、「Φ より細かい任意のフィルターは集
積点を持つ」ということで定義することにする。これは「Φ より細かい任意の超
フィルターは収束する」と言い換えてもよい。コンパクト・フィルターの例とし
ては、あるコンパクト集合 Ｋ を含む全ての集合からなるフィルターはコンパク
ト・フィルターだし、また、任意の収束フィルターもコンパクト・フィルターだ。
このコンパクト・フィルターについてもコンパクト空間の場合の「ハイネ・ボレ
ルの性質」とよく似た定理が成り立つ。
　これがなんの役に立つかというと、位相群における非常に一般化された閉グラ
フ定理の証明に使える。

>64,>65氏
金融工学をやるには確率解析が必要で，確率解析にはルベーグ積分論が
必要で，ルベーグをやるにはコンパクトの定義ぐらいまでは位相の知識
が要る，ということを極端に短縮したのが>55氏の発言ではないか，と．
好意的に解釈すれば．

結局，ちょっと気の利いた数学やるには位相は避けて通れないよね．

>>78
確率微分方程式だけなら関数解析だけで十分だけど、
商売でデリバティブやるなら確率解析が必要だから、
位相空間論は絶対必要だよね。
出来なかったら商売でコケルだけだと思う。

マグロウヒル大学演習はよくまとめっているうえに問題がアホほどあってよかった。
「閉包」とか「被覆」とか「開球」とかの言葉をイメージできるようになるまで
問題を浴びるようにといた覚えがある。位相空間は解析の基礎になるだけでなく
ここの練習問題や証明には解析的なロジックのエッセンスがつまってるからもっと
重要視されてもいいと思うが。

結局，極限が現れるところには位相が現れるからねえ．

>>6　これは正しいの？
直感的にはむしろ距離を無視して「形状」を抽象化しているような。
定義にのっとる限り勝手な開集合族で位相を入れてしまえるのだから、
距離が入っていなくても同相であることにより空間として同じ「形状」
であることがいえる、っていう感じだと思ってた。

>82
解析やる人にとっては>6>のように感じるかもね。
「距離」以前に「形」があり、その抽象的な扱い方を提供して
いるような。「距離」は「測り方」を入れないと出てこないし。
人間って、モノを見るとき先に「形状」を認識するよね？
「距離」測定するのはそのあとだから82のいうこともわかる。
というのは微分幾何をやってるから感じることかもしれない。

>>82のイメージは位相幾何的なイメージだね
位相空間論というよりは

あのう。位相空間から位相空間への写像ｆ：Ｘ→Ｙで，ｆ×idが閉写像になるものを
固有写像って言いますよね，確か。そんで，コンパクト集合の固有写像による逆像
がまたコンパクトになるそうなんですけど，その証明がのってる本とかHPとかしって
たら教えてくれませんか。もちろん，ここで証明してくだされば，それでも嬉しいん
ですけど。
　そういうことものってる詳しくて手に入りやすい位相の本ってありますかね。
「集合・位相入門」松阪和夫著にはのってないんだよなあ。（のってたりして）

ｆ×idて何？

すいません。省略して書いてしまいました。Ｚを任意の位相空間として，idはＺ上の
恒等写像です。つまり，ｆ×idは，ｆ×id：Ｘ×Ｚ→Ｙ×Ｚです。

>>85
　今では絶版(?)のブルバキ「位相」に載ってるよ。

ブルバキもってない．．．

>89
図書室に逝けよ･･･

マグロウヒル大学演習の「一般位相」をよみなはれ。

ぼくも勉強しなければ

図書室かあ。ここら辺にあるかなあ。田舎だしなあ。専門書をとりあつかってる
本屋もないしなあ。（専門書はいつもネットで購入）

鳥の絵の描かれた牌

↑それは「イーソー」

もってまわったどうしようもないボケだけど
それでもツッコんでくれる優しい人がいる。

>>83,84
レスどうも。
位相を距離の抽象化と捉えるのは解析的な見方なんですか。
もう卒業してから何年もたつけど、在学中解析が苦手だったもんで。。。
測度からやり直してきます(^^);

初歩的な質問だけど、物理で言う位相とは別物なの？

＞９８
別物です。

物理だからどうこうではなく，
かつてphaseの訳に「位相」を使ってしまったからね。
数学でもsin(＊)の＊を位相ということがあるし，
e^(i*) を位相因子ということもある。

さすがにphase spaceは物理でもいまは「相空間」

>>99,100,101
ありがとう。形だけに注目した空間を位相空間と呼ぶんだね。
物理とは用語が違うんだ。
位相同型もわかったような気がする。

　　　　ノルム空間―完備化→バナッハ空間
プレヒルベルト空間―完備化→ヒルベルト空間

それじゃ、>>93の言う距離の抽象ってノルムのことなの？
自分じゃこれ以上は調べられなかったんだけど。
それがわかるとヒルベルト空間と位相（数学でいう方）がわかるんだけど。

＞距離の抽象ってノルムのことなの？
逆逆！
ノルムから距離が「差のノルム」として入りますがが，
ノルム空間にならない距離空間はあります。(e.g.可算セミノルム系）
「距離の抽象」とは距離空間にできない位相空間もあるということです。

>>103
つまり、
ノルム空間⊂距離空間
可算セミノルム系⊂距離空間
ということであってるのかな？

>>104 あってます。

可算セミノルム系にはフリシェ空間があるよね？

　　セミノルム空間―完備化→フリシェ空間
　　　　ノルム空間―完備化→バナッハ空間
プレヒルベルト空間―完備化→ヒルベルト空間

こういうことなの？

distrubution のテスト関数---Ｃ^∞かつコンパクトキャリア---
の空間は可算セミノルム系だよね。
あれって完備だっけ。

あちがうか，反対だな。

Kellyの『General Topology』
松阪和夫　「集合・位相入門」　岩波書店
森田紀一　「位相空間論」　　　岩波全書
三村・河田「現代数学概説２」　岩波書店
梶原壌二　「解析学序説」

がお勧めなの？
セミノルムまでカバーして無いじゃん。

>>109
セミノルムは、関数解析の教科書の方が良いと思うです。

岩波の「現代数学演習叢書」のシリーズに、関数解析の
本があったと思うです。関数論、測度論、関数解析が書かれた
やつです。関数解析の所（小松さん）が参考になるのでは
ないかと思うです。

（余談）
有向集合による収束とかを考えた方が楽だったりしません？

useless college toukyouto

seminormとかnetのことは伊藤清三と誰かの「解析学の基礎」という本にきちんと書いてあった気がする。（うろ覚え）

そもそも蝉ノルムなんていう無理なもん考え出すのは
幾何より解析やろうな。

useless college toukyouto

位相を知らない人がいそうだ

ちょっと古い本だけど、
トレープ　位相ベクトル空間・超関数・核　　上下　吉岡書店
もあるよ。

>>109
梶原本にはセミノルムの話あるけど…

>>110
>セミノルムは、関数解析の教科書の方が良いと思うです。

増田久弥「関数解析」裳華房
を読んだんだけど載ってなかったよ。
普通は関数解析の授業でセミノルムもやるのかな？
>107の話からすると超関数と一緒にやるの？

★何が違う？？ベクトル空間とユーグリット空間★
の板の住人に距離空間を教えてやってくれ。
俺はツカレタ。

　　　　　距離空間―完備化→リンデレーフ空間
　　　　　　∪　　　　　　　　　∪
　　セミノルム空間―完備化→フリシェ空間
　　　　　　∪　　　　　　　　　∪
　　　　ノルム空間―完備化→バナッハ空間
　　　　　　∪　　　　　　　　　∪
プレヒルベルト空間―完備化→ヒルベルト空間

これはあってるの？

わかってるなら訊くな

>>119
ガロアやってるのも大変だな。漏れなら教えようとは思わん。
がむばって下さい。

距離空間を完備化するとリンデレーフ空間になるんだった？
距離空間が第２加算公理をみたすならリンデレーフ空間になるけど、
第２加算公理＝コンパクト化＝プレコンパクト化∩完備化
であって、…
あ、だから正しいのか、

>>120は本当に正しいの？
リンデレーフとかフリシェは初めて見るけど、

>>107
>distrubution のテスト関数---Ｃ^∞かつコンパクトキャリア---
>の空間は可算セミノルム系だよね。
>あれって完備だっけ。

ディラックが量子力学の諸結果を得た際のデルタ関数を用いた計算を考えると、
通常の関数の積分として扱うためには、超関数の積分を行う際にテスト関数
（コンパクト台をもつＣ^∞関数）を掛けてから積分を実行すればいいという
ことだよね。仮に完備じゃないとして、コーシー列が収束しないなら、
わざわざ何でテスト関数を掛けるんだい？

>>110,112
伊藤・小松「解析学の基礎」岩波書店
は絶版みたいだね。

netとは、「一般化された点列」で、
その添字集合が自然数だけでなくて実数のようなものも許すものだよね。
universal netの概念のおかげでTychonoffの定理をはじめとして、
色々な証明が簡単になるんだよね。

フィルターとnetぐらいは記述がある教科書を読もう！

位牌管理省の大臣

>>120
>距離空間―完備化→リンデレーフ空間

完備距離空間がリンデレーフ空間になるとは限らん。

>セミノルム空間―完備化→フリシェ空間

セミノルム空間の定義が不明だから何とも言えない。

問題.
>>123と>>128はどっちが正しいでしょう？

>>129
>>123は混乱してるんやろ.
コンパクト化＝プレコンパクト化∩完備化
は正しい.だからこそ,完備化でコンパクト化でない場合もある訳や.
そんなら,
コンパクト距離空間＝リンデレーフ空間
なんやから,
＞完備距離空間がリンデレーフ空間になるとは限らん。
は正しい.

>>129
正確な情報が欲しいならじぶんで教科書を見れ

>>130
>コンパクト距離空間＝リンデレーフ空間

その等号はちょっと…

「閉包」の概念がわかりにくい。
だれか教えて。
（ヘイヘイホーってのはなしで）

age

「閉じて包む」か。
この訳語考えた人エライね。

age

>133
ヘイヘイホー

聖域なき閉包開核

開核。
オープンお願いしますぅ。

Ａ⊂Ｘ の閉包 ＝ ∩{Ｃ⊂Ｘ|Ｃは閉集合，Ｃ⊃Ａ｝
Ａ⊂Ｘ の開核 ＝ ∪{Ｕ⊂Ｘ|Ｕは開集合，Ｕ⊂Ａ）｝

居そうで居ない
位相学者

ここのひと完備ってわかってないみたい

完備化の分かる人
いないの?
ところで完備って「位相空間」の概念じゃないよね

完備って「一様空間」の概念だね。
一様空間では、コンパクト＝プレコンパクトかつ完備
プレコンパクト＝全有界
分離完備化＝極小コーシーフィルターの全体
ススリン空間＝可分完備距離空間からの連続な全射が存在する正則空間

>>107
＞ distrubution のテスト関数---Ｃ^∞かつコンパクトキャリア---
＞ の空間は可算セミノルム系だよね。
＞ あれって完備だっけ。

完備ですが、距離空間ではありませんが、(LFG)空間です。

>>144>>145
ブルバキ読んでる人がいるな
145はブルバキ以上だが
これは相当以上の年齢とみたが

>>145
＞ 可算セミノルム系だよね
これが勘違いだった。それはすぐ気づいて下に書いた。
可算セミノルム系だったら差のノルムたちを有界に圧縮して，
急減少の重みをかけて足せば距離空間になる。

>>146
確かにGrothendieckがやめて以来general nonsense流行らなくなったもんね。

アメリカは広いからいまでも位相線形空間の一般論みたいなの
やってるひといるみたい
よくは知らないが
Grothendieckのブラジル講義録をテキストにセミナーやってる
らしいとこを目撃したことある

位相線形空間は一様空間ですよね。
一様空間の場合は完備性が定義できる・・と。
どおいう定義でしょうか？
コーシー列がどお一般化されるのですか？

このスレで何冊か出てきたフツーの教科書とは
毛色が全然違うけど
森毅の「位相のこころ」ってどう思う？
俺はけっこうおもしろく読んだ。
点（実数）の概念は順序構造と一様構造の「二元論」だ、
なんてくだりは最初に読んだ時にふーんと思った。

共立21世紀数学の「距離空間と位相構造」（矢野公一）ってどう？

＞このスレで何冊か出てきたフツーの教科書

>>13
森田紀一「位相空間論」岩波全書
Engelking「General Topology」
>>18
朝倉の30講シリーズ
>>37
Kelly「General Topology」
>>38
松阪和夫「集合・位相入門」岩波書店
>75
三村・河田著「現代数学概説２」岩波書店
>>76
梶原壌二『解析学序説』ISBN:4627031300
>>80
マグロウヒル大学演習の「一般位相」
>>88
ブルバキ「位相」
>>110
伊藤清三・小松「解析学の基礎」岩波書店
>>116
トレープ「位相ベクトル空間・超関数・核（上・下）」吉岡書店
>>118
増田久弥「関数解析」裳華房
>>151
森毅「位相のこころ」
>>152
矢野公一「距離空間と位相構造」共立21世紀数学

ご苦労様

これもお勧めだよん

岡本久・中村周「関数解析（１・２）」岩波現代数学の基礎
吉田耕作，河田敬義，岩村聯「位相解析の基礎」
藤田宏，黒田成俊，伊藤清三「関数解析」
黒田成俊「関数解析」
ブレジス「関数解析」産業図書
荷見守助「関数解析入門〜バナッハ空間とヒルベルト空間〜」内田老鶴圃
藤田宏「関数解析」岩波書店
コルモゴロフ・フォーミン「函数解析の基礎（第２版）」岩波書店
K.Yoshida「Functional Analysis」Springer-Verlag
吉田耕作「位相解析�T」岩波書店
アヒエゼル・グラズマン「ヒルベルト空間論」共立出版
リース・ナジー「関数解析学（上・下）」共立出版
J.V.ノイマン「量子力学の数学的基礎」みすず書房
児玉之宏，永見啓応「位相空間論」岩波書店
小松醇郎，中岡稔，菅原正博「位相幾何学�T」岩波書店

このスレでは位相が入ってりゃなんでもいいのか？

＞黒田成俊「関数解析」

黒田成俊「関数解析」共立出版
です。

有名どころは出揃ったかな？

小松醇郎，中岡稔，菅原正博「位相幾何学�T」岩波書店
はダメでちゅか？

いそいそと　位相を学ぶ　居候

トポロジーの本がOKなんだったら範囲は滅茶苦茶広くなるだろ。
位相は基礎の基礎なのだからその後の道は広範な訳で、そこを全部認めると
スレの話題が発散するんじゃねーの？
えらそーに言ってるが俺は通りすがりだからスレ住人の判断次第だがな。

＞スレの話題が発散するんじゃねーの？
というか、終息ぎみなので最後にネタふりしたんだけど（Ｗ

それはすまんかった。

俺は
服部晶夫「位相幾何学」岩波書店
と
戸田宏,三村護「ホモトピー論」紀伊国屋数学業書３
で位相幾何を勉強した。後者は結構難しかった。

服部晶夫「位相幾何学」岩波書店
は入手できんかったけど
服部晶夫「多様体（増補版）」岩波書店
は読んだことあるよ。関係ないか（Ｗ
この本はファイバーバンドルまで書いてあって良かった。

服部晶夫は他にも本を書いてるのかな？

>>164
>服部晶夫「多様体（増補版）」岩波書店

これ、章の始めに、「読み物」があって、良いよね。

>>150
151の位相のこころ読んでみれば．
144のようにコーシーフィルター使うのよ．

工学に応用できるグラフ理論が詳しく載ってる本ないかな？

>>167は今ごろ見つけられたのかな…？

位相そのまま使える答えの書き方
もなかなか使えるかも。特に初心者にはね

>>169
というより、そんな本を読むような数学徒の資質を疑ってしまう。

>>168
まだ見つからないから、とりあえず、
永田先生の「理系のための線型代数」と
松坂先生の「集合位相入門」、
三村先生、河田先生の「現代数学概説」、
京大のグラフ理論のテキスト「アルゴリズムの設計と解析1」
エイホ、ホップクロフト、ウルマン著を買ってみたよ。

現在、理系のための線型代数から、ちょびちょび勉強してる。集合位相入門を
参考書として使いながらね。アルゴリズムの設計と解析はタイトルどおりで、
計算機とかの話題に触れてるから(情報工学寄り)、あんまり俺が目的としてた
用途には向いてなかったみたいだけど、計算機の話題は面白そうだから、
暇できたら読もうかと思ってる。

三村先生、河田先生の「現代数学概説」
→三村先生、河田先生の「現代数学概説2」

エイホ、ホップクロフト、ウルマン著
→エイホ、ホップクロフト、ウルマン共著
　(ちなみに訳は野崎昭弘、野下浩平他によるもの、
　　出版社はサイエンス社)

神経質に訂正してみた。

漏れは工学部だったが修士のころ趣味で
森毅著『位相のこころ』（日本評論社）と
児玉・永見著『位相空間論』（岩波）を併読した。
この組み合わせは当時の漏れにはすごく良かった。ヘンなやつ（藁

>グラフ理論

といえば、シュプリンガーから出てるね

俺の場合は、

1) カントロヴィッチ＝アキーロフの「関数解析」の英訳本
2) コルモゴロフ＝フォーミンの「“関数の理論と関数解析”の基礎」の和訳本と英訳本
3) 遠山啓（著）「無限と連続」（岩波新書）
4) 遠山啓（著）「現代数学の考え方」（明治図書）
5) B.Mendelson "Introduction to Topology" (Allyn & Bacon, Inc.)
6) R.E.Edwards "Functional Analysis --- Theory and Applications" (Dover)
7) G.Bachman & L.Narici "Functional Analysis" (Dover)
8) K.Yosida "Functinal Analysis" (Springer-Verlag)
9) 本間龍雄（著）「位相空間への道」（講談社ブルーバックス）
10) T.W.Gamelin & R.E.Greene "Introduction to Topology" (Dover)
11) リュステルニク＝ソボレフ「関数解析入門」の和訳本
12) 田辺広城（著）「関数解析（上）」（実教出版）
13) J.D.Baum "Elements of Point Set Topology" (Dover)

を併読した。

# これくらい読めば、馬鹿でもチョンでも、「位相に強くなるわな〜」 ヽ(＾。＾)ノ

13冊を併読できる強者、>>175。尊敬しる！！

>>175
そんなに似たような本沢山読むのって病気だろう。
それとも評論家？

>>177
アホ！ 病気でも評論家でもないわ！！

位相空間の*定義*にしても、結局は同値であるにしろ、著者によって微妙に違うんだ」よな〜。

# 「非零集合Xとその上に定義された位相τとの pair <X,τ> を“位相空間”と呼ぶ」
ってのが、最近の流行になっているけど、これはいささかオカシイ。

## 「非零集合Xに関して開集合系τが与えられているとき、このτを Xの上の位相と呼び、
Xを“（τのもとでの）位相空間”と呼ぶ」ってのが適切じゃ〜ないのかなぁ？

>>175
>>178
は、その書きっぷりからして、もしかしたら M_SHIRAISHI氏？

>>179
俺はDr.Gの方に一票！

やはり素人の評論家にしか見えん。

>>175
そんなにキバらんでも１冊きちんと読めば…

一つの分野で13冊も本買うって、どう考えてもおかしいやろ。
2〜4冊ぐらいが普通でないの？その分野を専門にしてる研究職
ならわからんでもないけど、学生だとしたら、読みすぎな
ように思える。

買ったとは書いてないけど…
それから3,8,9なんかはひとつの分野とは言えないかも

13冊を併読する方法を教えてくれ(w

>>185
「たわけ！ そんなこともわからんのか！」って言葉を100回唱えろ。

その心は、M_SHIRAISHI に近くなれる。

>「たわけ！そんなこともわからんのか！」って言葉を100回唱えろ。

コピペでよければ

M_SHIRAISHI 予想： M_SHIRAISHI＝175＝178＝180

予想の根拠：179の書いたごとく書きっぷりはおとなしいときの
M_SHIRAISHI 風であること。また「M_SHIRAISHI氏？」という問に
Dr.G という合言葉が、「山」「川」のごときタイミングで発せ
られているが、175=178を Dr.G の書き込みと予想するのはいかにも
無理。すると本人が目くらましの目的で相棒、宿敵、相思相愛の
Dr.G を引合いに出したというのが妥当な予想であろう。

M_SHIRAISHI 予想って、未解決だっけ？
解決出来ればどんな賞がもらえるの？

>>175
>>178
がM_SHIRAISHIかどうかなんてことは、漏れには、どーでもえーことだけど、
「非零集合Xに関して開集合系τが与えられているとき、このτを Xの上の
位相と呼び、Xを“（τのもとでの）位相空間”と呼ぶ」ってのは、渡りに
船で「戴かせてもらいます」って感じだなぁ〜。

漏れも、「対：<X,τ> を“位相空間”と呼ぶ」ってのは、どーも抵抗が
あった。

>>190
賛成する気持ちで考えれば、位相基が簡単なもので得られる場合、
開集合全体をそこに書くのはバカバカしいって感じ。しかもその
位相空間の定義がどの位簡単にできるか？という Definability
を問題とすれば数学的にも違いに意味がある。

反対の方は、開集合全体との組にすることにより、表記が一意と
なる。位相基は色々あるので一意の表記は気持ちがよい。原理的
立場。

まあ、どっちもいいんじゃない？

>>178
君が言いたいことなど、ある程度の学生なら、
テキストの注釈などがなくともすぐに理解できています。

よくまあここまでチュウショウテキな
ガイネンをよくりかいできるねえ！
あったまいいんだ〜〜〜〜みなちゃん！

>>193
初期の2chのよく見られた「煽り」です。
大抵は僻みや、妬みなどによるものですが、
おそらく何かしらのストレスに因るものだと思われます。
同じ人間です。暖かく見守ってあげましょう。

誰が煽ってることになるのか不明だが…

>>195
たぶん、193が煽っているということなのだろうと推測します。
「>>193」は193に向けたメッセージということではなく、
「193の書きこみについて」という意味なのだろう思います、
違うのかなぁ。

トポロギーを位相幾何学と訳したのは良くなかった。
位置の幾何学とか配置の幾何学の方が内容に即していた。

電気や物理だと位相というのはPhaseのことでトポロジーとは
ほとんど無関係だし。

>>197
>トポロギーを位相幾何学と訳したのは良くなかった。

訳すこと自体が、もう必要の無い国に日本は成りつつあるし、
また、そういう方向にもって行かなければならない。

# 我々の祖先が漢語を殆どそのまんま消化して日本語として
しまった様に、我々も英語をそのまんま消化してしまえば
よいのだ。

まぁ日本は欧米に完全に自然科学分野では負けてるわけだし、
そちらの言葉に従って勉強していくほうが手っ取り早いかもね。

今だ!200ゲットォォォォ！！
￣￣￣￣∨￣￣￣　　　　　　(´´
　　　　 ∧∧　　　）　　　　　　(´⌒(´
　　⊂（ﾟДﾟ⊂⌒｀つ≡≡≡(´⌒;;;≡≡≡
　　　　　　 ￣￣　 (´⌒(´⌒;;
　　　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

今勉強中なのでage

延々と続いてるわりにろくなこと書いてないなあ．．．。

もう本や授業で得た知識の受け売りだけってのはカンベンしてよ。

>202
おまえが一番退屈な書きこみ（ｗ

>>203
君も同位相。

f:202 →203
x → x

がその写像。

漏れは、>>175（M_SHIRAISHI氏？）があげている、遠山啓（著）「無限と連続」を
図書館から借りて読んでみたんだけんど、P.134に、源頼朝の系図があって、これも
位相空間の例だと書いてあって、たまげたYO！

疑問があるからこそ話題が発展する。
あまり面白い書き込みが無いと思うのなら
自分がまず面白い問題提起をしてみる事だね

ふ〜〜ん

当方、専門的な知識は皆無のものとして質問させてください。
位相解析学というのは、どのような学問なのでしょう？
また位相解析学の世界で松下真一という人は有名ですか？
松下真一が作曲家として話題に上ったのですが、その時、
「位相解析学の世界的権威」という枕詞で語られていたものですから。

>>210
検索すると確かにそう言われてるみたいだね。
http://www.google.co.jp/search?q=cache:MaIlcOaAzgQC:village.infoweb.ne.jp/~hirotta/musiker19.htm+%8F%BC%89%BA%90%5E%88%EA+%88%CA%91%8A&hl=ja&start=2
http://www.google.co.jp/search?q=cache:d1JaXxpnarAC:lion.zero.ad.jp/hanao/composer/comp12.html+%8F%BC%89%BA%90%5E%88%EA+%88%CA%91%8A&hl=ja&start=3

「時間と宇宙への序説」って本が松下真一著でサイエンス社から出てた
「西風にのって鐘は鳴る」って本も松下真一著で音楽之友社から出てる。

同一人物かな？

イソについてかたろう！
うそ！
あそぅ

開集合って言うのに近傍をとる操作に関しては
閉じてるんだね

近傍をとる操作というのはヘンないいかただね

それはともかく　何かを定義したらたいてい
何かで閉じているモノなんじゃないだろうか

フツウ閉じているように定義するか、閉じるように場所を広げるかだろ。

位相解析と言うのは、関数解析の古い呼び名のようです。
ただ、件の松下氏がこの分野の権威かどうかは知りません。

位相空間論の良書を教えてください。
出来るだけ詳しくていろいろ書いてあるのがいいです。
ときに、岩波の児玉・永見のはどうですか？

>>218
「位相幾何｣ではなく、｢位相空間｣という名前にこだわる理由は何なのよ？

>>219
「位相幾何｣と｢位相空間論｣は別物じゃろ

大体以下のような感じでそれぞれの教科書を捉えているんじゃないかな？
違ってたりして（藁

「位相幾何(topology)」…代数的トポロジーや微分トポロジ−などの基礎科目

「位相空間論(topological space theory)」…距離空間、コンパクト空間、完備距離空間、
パラコンパクト空間、一様位相空間などを導入する数学全般の基礎科目

いそーとは焼き芋と木の葉で語ることができます。

>>222
ｶﾀﾚ

219desu

個人的なイメージとしては、
集合-->位相空間-->位相幾何

集合の本の後ろのほう、トポロジー（多様体など）の本の最初のほうにかかれている、
という印象がある。
位相空間それだけの本は、あまりないのでは？

>>224
結構あるような気がするんだけど。

森田紀一「位相空間論」岩波全書
矢野公一「距離空間と位相構造」共立講座−21世紀の数学

このあたりは簡単過ぎかな？

書名に文句を言ってもしょうがないが、何が２１世紀の
数学なんでしょうか？

素人の基本的な疑問なんですが，
線分と平面は同位相なんですか？

NO!!

ではペアノ曲線はどうかんがえたらいいのですか．

何をきいてるんかな？
同位相とはbijecitiveかつ双連続な写像があるとき言うんだよ
ぺあの曲線やその親戚ではどれかが満たされていない
たとえばspace filling curveでは単射性がだめ

同相でないことの証明はクイズだから考えてみ

なーるほど、わかりました。ありがとう。

同位相＝位相同型＝同相＝（全単射かつ双連続な写像がある）

森田茂之先生の位相の本が出版されたけど、どうなのよ？
人柱の報告きぼーん

＞＞２３４　可もありなく不可もありなくでらます。

本ばかり追ってるとダメだらます。

固有写像(proper mapping)のことって，あんまり本に書いてないよね

ブルバキ見る

ぃそぅ

閉区間[Ａ、Ｂ]において、点列ｘｎは必ず区間内で収束する部分列をもつと
言ふ命題は、ワイエルシュトラウスの公理や実数の完備性を前提としている
のでせうか？僕的にはそれなしでも成り立つと思いまふが、よくわかりませ
ん。

罰として単位無し

>>240
実数とは何か？　明示してみなさい。
それから議論が始まります。

>>242
いや、実数の３公理があるでしょ、そっから連続性に関する公理
（ワイエルシュトラウスの公理、デデキントの切断公理、完備性）
をのぞいてもこの命題が成り立つのか知りたいんです。

低能未熟（藁

>>244

殺すぞマジで

「殺す」は禁句。バラすぐらいにしなさい。

>>244
バラすぐらいにしなさいぞマジで

全体集合に位相を導入するとは、
全体集合の任意の部分集合に対して、
黒と白と灰色の領域(開集合)を定義する事に等しいです。

黒：集合の内部
白：集合の外部
灰：集合の境界の内部

閉包や開核じゃなくて、
境界演算子を定義する形で位相は定義できますか？
その場合の公理はどういう形になりますか？

>>243
実数の３公理？
体であるという代数構造に関する公理と
順序構造に関する公理と
いわゆる連続性に関する公理（ワイエルシュトラウスの公理、デデキントの切断公理、完備性）
の３つしょうか？
順序体ではあるが完備でないようなような例をあげれば
よろしいのでしょう。
が、具体例を今はあげることができませんので、
考えてみましょう。

>>250
さうです。

>>251
わかちゃっいましたか！
例えば、Q(=有理数の全体)は順序体です。
この空間（位相は順序位相をいれたとして）では
「閉区間[Ａ、Ｂ]において、点列ｘｎは必ず区間内で収束する部分列をもつ」
と言ふ命題は明らかに成り立ちません。
つまり、この命題の成立するために「連続性」が必要なのがわかります。

>>249
境界を閉包や開核で表すことができるし
閉包や開核を境界で表すことができるのでできる。

よい教科書教えれ

トポロジーの入門書はいくつか知ってるますがあえて紹介しないことにします。

nanndenanosa

>>256
よいとはどのような意味ですか？
目的がはっきりしていなければ紹介（といっても個人的な
趣向によるものだろうが）できませんよ。

の演習書 > 福田和也

岩波共立講座８「集合と位相空間」なんてどうよ？

いや、演習書じゃなくって、解説に項数を割いてあるヤシ。
解析系や微分幾何か、数論幾何に進みた逸す。

解説が豊富なヤシが欲しいのなら和書はあきらめる。
洋書で探しなさい。introductionとかelementaryとかついてるヤシ。

dala--------------------------------------------------
--------------------------

dala--------------------------------------------------
--------------------------

境界演算子の公理はこれで必要十分ですか？
ちょっと自分では自信がないので…
∂E=∂φ=φ
∂~A=∂A
∂∂∂A=∂∂A⊂∂A
∂(A∩B)=(A∩∂B)∪(∂A∩B)
A⊂B⇒A∪∂A⊂B∪∂B

>>268
＞∂(A∩B)=(A∩∂B)∪(∂A∩B)
反例
Ｒ＾２でＡ＝｛（ｘ，ｙ）｜０＜ｘ｝，Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）｜０＜ｙ｝。

誤：∂(A∩B)=(A∩∂B)∪(∂A∩B)
正：∂(A∩B)⊃(A∩∂B)∪(∂A∩B)

どういう公理がエレガントなのか、解らないので聞いてみました。
ホモロジー代数とどう繋がるのか、興味が有ります。

>>270
＞∂(A∩B)⊃(A∩∂B)∪(∂A∩B)
反例
Ａ＝Ｑ，Ｂ＝Ｒ−Ｑ。

境界を使うなら閉包を使った位相の入れ方の
閉包のところをＡ∪Ｋ（Ａ）で置き換えたものに
Ｋ（Ａ）＝（Ａ∪Ｋ（Ａ））∩（（Ｓ−Ａ）∪Ｋ（Ｓ−Ａ））を
追加すれば位相が入れられその位相で
Ｋ（Ａ）はＡの境界。

Ｋ（Ａ）＝（Ａ∪Ｋ（Ａ））∩（（Ｓ−Ａ）∪Ｋ（Ｓ−Ａ））は
Ｋ（Ａ）＝Ｋ（Ｓ−Ａ）と同じ。
他の簡略化は今考えているところです。

http://www.freeml.com/message/[email protected]/0000073;jsessionid=yqqez704b1

集合と位相の本買ったら森田紀一と森田茂之を間違えたじゃねーか
紛らわしいんじゃｺﾞﾗｧ

もっとチョッカンてきに氷原できないのか

たとえは
中学くらいの幾何学では掃除は扱えるけど
左右対称は扱えないとか

>>273
＞(b2) ∂(∂A)=φ
を
∂（∂Ａ）⊂∂Ａ
に
＞Cl(C)=C∪∂C⊂D⊂Cl(D)
を
∂Ｃ⊂Ｄ∪∂ＤからＣｌ（Ｃ）⊂Ｃｌ（Ｄ）
とでもすれば後は正しい。

＞∂Ｃ⊂Ｄ∪∂ＤからＣｌ(Ｃ)⊂Ｃｌ(Ｄ)とでもすれば、
書き損じでしょう。
＞(b2) ∂(∂A)=φを∂(∂Ａ)⊂∂Ａに、
その必要はありません。但し、どちらを採用するかは美的センスの問題です。

でも俺中学校のころ幾何に興味があったから６冊ぐらい併読してたぞ
一冊が幾何学入門とかいうちょうムズいほんだった

開基がイメージできないんですけどぉ

>>277
＞＞∂Ｃ⊂Ｄ∪∂ＤからＣｌ(Ｃ)⊂Ｃｌ(Ｄ)とでもすれば、
＞書き損じでしょう。

間違っているところを指摘しているだけで
書き損じかどうかは関係ありません。

＞＞(b2) ∂(∂A)=φを∂(∂Ａ)⊂∂Ａに、
＞その必要はありません。但し、どちらを採用するかは美的センスの問題です。

境界は∂（∂Ａ）＝０という性質を持たないので
境界による位相の導入という目的では間違いで
美的センスの問題ではありません。

森田茂之先生は超ダンディです

亀レスで申し訳なく。昔のノートを紛失したみたいでして大部いい加減。


A=Q∩[0,1]の時
∂A=[0,1]
∂(∂A)={0,1}≠φ

∂(∂A)=φである必要十分条件はAが開集合且つ閉集合で有る事です。
248の例となる画像をアップしようと思ったのですが、ちょっとネットの調子が悪いので。

>>280
確かに。うーん、はかあなを掘ってしまったか！
が、∂A=∂(X-A)を除いた状態で境界もどきが定義されることは朗報か。

age

駄レスですが、248の例
ttp://www.h4.dion.ne.jp/~hari/images/A.png

f:X→Y、ｇ:Y→Z　が同相写像ならば　ｆ・ｇ：X→Z　は同相写像である事を証明せよ

どなたか教えて下さい、お願いします。

煽りだ

ｇ・ｆだろ？

盛り上がらない理由は何か？

新ネタの催促ですか？

距離空間（X,d)、a∈X、r＞０
B(a;r)＝{x∈X|d(a,x)＜r}
C(a;r)＝{x∈X|d(a,x)≦r}
として、
(B(a;r)の閉包)≠C(a;r)となる例が思いつかないので、わかる人いたら
教えてください。

D={x∈R| |x|<1/2 or |x|>=1}
みたいな非連結空間で、
a=0,r=1

>294
ありがとうございます。たすかりました。

誰か、ｎ次元実数体が開集合でもあり、
閉集合でもあることの証明をおせーて。

全空間がR^n ならR^nが開かつ閉は位相空間の定義どおり。

空集合は開集合で、その補空間である全体は閉集合。

任意の点xに対してその近傍は空ではない。
従ってxを要素に持つ開集合が必ず存在する。
開集合の和集合は(有限和であれ無限和であれ)開集合だから、
全体集合を含む開集合が存在する。故に全体集合は開集合である。

証明ではないけど、位相特有の性質を活かすとこういう感じかな。
でもこういう質問て答える側も困るような。

>299
これはジョークですよね？

>>299
普通に考えると循環論法。
特別な定義を出発点としてるのなら分からんが。

>>300
勿論ジョークだけど。。。。

いまいち296の言っている意味が分かんなかったと言うのか、
ひょっとして疑似科学関連の厨房の発言じゃないかと疑ったもんで、
論理より直観を重んじるタイプにはこう言ってやった方が分かりやすいかと。
余計な事して申し訳ない。

は位相ですか

１３２人目の素数さん
は存在しません。

磯男

位相といえばA sin(2πft+φ)のφです．(Aは振幅，fは周波数)
虚数単位にはiを使わず，jを使います．

>>307=別スレの２２３　逝け

ネタが無い…

正則（Ｔ1)空間だけれどの完全正則でない初等的な＝猿でもわかるような例が知りたいです！

そんなやつがきっといそう（位相）

３１０＝猿？？

高校のときとなりのクラスに「井草」というやつがいた。

井草＝イグサと読みます。

＞＞３１２
はい、親戚にるいじんえんがいます。

>>314
でも「イソウ」って読んでしまう奴、絶対にいそう。

東京には杉並区井草という土地があるから、
東京の人は、ほとんどイグサと読むと思うよ。

>>数学ヲタ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　._,,,,,,｡,,、　　　　　　 广'x、　　 ,,､.＿　　　　｣'ﾞ''i､　　　　　　
　　　　　,,,,,_.,,,,、广ﾟ┐　　　　 .,,,ｖ―冖"~゛　　　ﾞ'i､　　　　　 .ﾄ　 ,|,_　 rｉゃ　.｝　　　.,i´　'冖i､　　　　
　　　　 .］　｀ ｆﾞ,l° ,i´　　　　 .ﾞl＿　.ｙ-┐ 'や'ﾞ"ﾞ’　　　 _,,,ｖr"　　 .ﾞト.ﾞ'x,,,,广 ｨ・'''ﾞ~　 .._,,ｖ･ﾟﾋ''''･x、　
　　　　　入､rУ　,iﾚ-ｖ,,,、　　　.,r°."'''lﾞ　 ,|√ﾞﾟ'i､　　 匸 ._　 .y・'ﾞﾟ,,,ｖ―-,　 .:ﾟｰａ　 .√ ._,rll＿　 :｝
　　.,r''y|゛ﾞﾞl..,i´　,i"ﾞl,　　.ﾞト　　,r°,,,　 ..,　 .＿,,ｖぐ　　　 .｀√ .,i´l广.＿,,,,,,,,i´　 ,,i´　,i´　,｢ .:|　.~''''″
　.r″ .|ﾞl、 “　.,i″.yi入-ｲ　 il∠i、.｀ .,ﾒ|　 |　　　｣'ト　　 .,,i´ .,i´ ,,￣　　　　　 .[　 .,i´.,,,,,,!　.]_　　　　
　.ﾞl＿,i´,ﾚ　　.'�_,,,,ﾚ ~''┐　　　.,r°.,i´.|　 .|　　 ,lﾞ :ﾞl、　,,i´　,i´ l゜.ﾟＬ＿＿　　 .:―ﾔﾟ″_　　 :~''=、　
　　　.,r″.,x=,,　　　　　 .,i´　 ,x'".,,x'″ .ﾞl、 ﾞ冖''″　.］　|　 .,i´　.ﾞl,　　　　.~1　　　.ﾟＬ 'ﾞ〃　,n,　.,,}　　
　　.,l彡'''″　 .ﾞ~"''''''''''"゜　 .テ''~゛　　　 .:ﾟ'―---―･° ―″　　 .~''¬―'″　　　 .:ﾟ=＿,r″ ￣　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

地名と言う以前に「井草｣は有名な数学者でいるだろ。

>>数学ヲタ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　._,,,,,,｡,,、　　　　　　 广'x、　　 ,,､.＿　　　　｣'ﾞ''i､　　　　　　
　　　　　,,,,,_.,,,,、广ﾟ┐　　　　 .,,,ｖ―冖"~゛　　　ﾞ'i､　　　　　 .ﾄ　 ,|,_　 rｉゃ　.｝　　　.,i´　'冖i､　　　　
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た°？

位相空間って閉集合の部分集合でもいいんでしょうか？
位相空間の定義で、
「集合Ｘの位相とは次の条件を満たすＸの部分集合の族Ｏをいう。この族Ｏに
属する部分集合を開集合という。
１．Ｘ∈Ｏ、Φ∈Ｏ
２．有限個の集合Ｕｎ∈Ｏについて、Ｕ１∩・・・∩Ｕｎ∈Ｏ
３．族Ｕλ∈Ｏ、（λ∈Λ）について、Ｕλ∈Λ　Ｕλ∈Ｏ」
と書かれてるのですが、閉集合でも条件を満たすと思うんですけど。

無限個の閉集合の合併は一般に閉集合にならない。

>322
何を聞いてるのかいまいちワカランが、例えば
Ｕ[0,1-1/n]=[0,1)

>323,324
確かに無限個だと成り立ちませんが、
２も３も有限個の集合を仮定してるようなのですが。

>２も３も有限個の集合を仮定してるようなのですが。

そんな記述はどこにもないのだから、勝手に決めつけてはいけない。
少なくとも2と3の記述の違いを見れば、「有限個」という縛りが
2にあって3にはないと気づきそうなものだが。

>326
そうですね。３は有限とは限りません。
私がよく分からないのは、
「位相空間（Ｘ，Ｏ）の部分集合Ｆ⊂Ｘの補集合が開集合のとき、すなわち
Ｆｃ∈Ｏとなるとき、Ｆは閉集合であるという。」
という文で、Ｆが位相空間の部分集合ならＦは上の定義から開集合なわけで
その補集合は閉集合なのでは？と思うからです。よくわかりません。
後、「３点からなる集合Ｘ＝｛ａ，ｂ，ｃ｝の全ての位相を決定せよ。」
という問題があって点は開集合ではないので妙だと思ったりして、良く分かりません。
どう考えれば良いのでしょう？

位相は巡る。

>Ｆが位相空間の部分集合ならＦは上の定義から開集合なわけで
why?

僕には３２２が釣りなのか天然なのか区別がつきません

322の垂らした釣り糸の周りに魚が集まり始めています。

>329
322を読むと位相空間の部分集合は開集合だとおもうのですが、間違ってますか？

>332
だとしたらずいぶんと楽な位相クーカンですな。
>322は「Ｏに入ってたら開集合」ってだけだけど？

位相空間ってのは「開集合とは何か」がちゃんと定義された
空間のことだよ。開集合でできた空間の事じゃない。

…と俺は理解してる。間違ってたら誰か訂正お願い。

そもそも位相、位相空間ってどういうイメージですか？

>>327
Oについての制限は「Ｘの部分集合の族で条件1,2,3を満たすもの」のみ。

「OはＸの部分集合全てから成る族」「一点から成る集合はOに属する」
などとはどこにも書いてない。定義文をよく読め。

>>334
「集合Ｓが位相空間である」
⇔「集合Ｓに位相構造が定められている」

>>337
それって334とは全然違うの？

>>338
開集合族≠位相（構造）

>>339
あー、もちろん他のは開集合族から自然に、ってことで。

にゃるほど。

位相空間の集合Ωの各空間R∈Ωに大して、R内の点a∈Rを対応させる写像f:Ω→Rを考えます。
この時写像fの集合Xには次のどっちの位相を普通は入れるのでしょうか？

(1)有限個の空間R1〜Rnとその近傍U1〜Unに対し、∪Fiを近傍系とするもの。
　　（Fi⊂XをFi={f∈X|f(Ri)∈Ui}と定義する。）
(2)各空間RにRの近傍U（近傍系はΣとする）を対応させる写像F:Ω→Σを考え、
　　写像Fの集合を近傍系とするもの。

>位相空間の集合Ωの各空間R∈Ωに大して、R内の点a∈Rを対応させる像f:Ω→Rを考えます。

定義になっていないので放課後居残り

>>342
いやあ、なんていうか一行目はすごく斬新でいいね
でもここ数学板だからさ…

>>343、344
どこが変なの？

>>343-344
直積って言葉使ったらなんか突っ込まれそうで、
何とか突っ込まれない表現をと…と考えたのですけど却って駄目になっちゃったみたいですね。

これが駄目だとすると自分では正確な表現は思い浮かばないので

「位相空間の直積には次のうちどっちの位相を入れるのが普通でしょうか？
(1)有限個の空間は近傍をとり残りは空間全体を選んだ直積を近傍系とするもの
(2)近傍の直積を近傍系とするもの」

こっちの方にしますので、どうかこれで御容赦を

ま、百歩譲ってΩを位相空間全体からなる集合として
例えばR＾n（n次の実数空間）はΩの元なわけだけど
これには何が対応するの？　またそれはきちんと定義できるの？

>>346
あのさ、簡単なものでいいから、まずは
日本語を使わずに定義や主張を述べる練習をした方がいいよ
もちろん日本語であっても正確に書いてあれば一応読めるけど
あなたの場合はそれもできてないから…

要素が位相空間である集合Ωの各要素R∈Ωに対してR内の点a∈Rを対応させる写像を考え、
そのような写像によって出来る集合Xを考えます。
この時集合Xには次のどっちの位相を普通は入れるのでしょうか？

(1)有限個の空間R1,R2,…,Rn∈Ωとその近傍U1∈R1,U2∈R2,…,Un∈Rnに対し、
　　∪Fiを近傍系とするもの。（Fi⊂XをFi={f∈X|f(Ri)∈Ui}と定義する。）
(2)各空間RにRの近傍U（近傍系はΣとする）を対応させる写像Fを考え、
　　その集合を近傍系とするもの。

…もう一度考えてみましたけど、やっぱりこれが精一杯です。すいません。

(1)有限個の空間R1,R2,…,Rn∈Ωとその近傍U1∈R1,U2∈R2,…,Un∈Rnに対し、
　　∪Fiを近傍系とするもの。（Fi⊂XをFi={f∈X|f(Ri)∈Ui}と定義する。）
↓
(1)有限個の空間R1,R2,…,Rn∈Ωとその近傍U1∈R1,U2∈R2,…,Un∈Rnに対し、
　　∪Fiを考えて、これの集合を近傍系とするもの。（Fi⊂XをFi={f∈X|f(Ri)∈Ui}と定義する。）

に訂正します。

やっぱりこれでも駄目でしょうか？

まだ間違ってるでしょうか？
何か至らない点があるのなら、具体的に指摘していただけると有り難いです。

これは手の込んだ釣りなのか・・・
まさか天然だとは思えないのだが

天然です･ﾟ･（ﾉД`）･ﾟ･｡
ようはまともに質問できない奴は引っ込んでろor自分で調べろって事ですか？

直積の位相を定義したいみたいだが、なんですなおにやらないのやら。
集合の数が無限の時が気になるのか?
買い集合の直積を普通に買い基底にするだけじゃ不満?

だからその素直なのがどっちか分からないのです。

天然かよ。
つうか「直積位相の定義において、〜の部分がわからない」
とかならいいけど、定義そのものを聞くのは何故？
普通の位相の本見れば載ってると思うんだけど
それを読んでもよくわからなければ、どの部分がわからないかを書けば
誰かが教えてくれる。かもしれない

>>354
それはちょっと乱暴というか
あんたもわかってるのかどうか怪しい

自分の手元にある位相の本には(1)の定義が書いてあります。
それでもこのような質問をしたのは、ある本を読んでいて(1)の定義だと
どうも意味が通らない部分がありまして、それで気になって質問しました。

でも、だったらその本の気になる部分をここに書くべきでしたね。
今自分で該当部分を見ていましたが、どうも自分が誤解をしているような
気がしましたので、もう一度該当部分について考え直してみる事にします。

それと、最後に確認したいことがあるのですが、
一般に直積に位相を入れる場合は(1)の方法をやっていると考えていいんですよね？
本によって定義が違うなんて事はありませんよね？

（１）とかいう以前に、前提となる文章が明らかにおかしい
その本の名前と、あと定義の部分を抜き出して写してみれ

>>1こと子豚よ・・・いい加減にしたらどうだ（ＷＷＷＷ
お前は今までずっとそうやって生きてきたな（ＷＷＷ自分にとって都合のいい話しか聞かない豚野郎（ＷＷ
不快になる､反論される話は全く聞く耳を持たないんだろ（ＷＷ豚きわめりだな（ＷＷ
なぜ自分の卑小さを省みず､常にそんな傲慢な態度をふるえるんだ（ＷＷ
お前のような豚は､常に自分の精神状態を気持ちよくする事しか考えてないからだろ（ＷＷ
この世を自分中心…豚中心（ＷＷ豚世界（ＷＷお前が人間と会話する時は､論議するとか､
意味のある話をしようとか、そういうのがまったくない。ただアフォ豚が気持ちよくなれればそれでいい
自己豚満足しか頭に無い､典型的オナニー豚（ＷＷＷ
まさに幼児豚がする会話。幼稚豚の典型（Ｗお前の話は､ゴミだよ豚ちゃん（ＷＷＷ
イカレ豚のオナニーその最もたるは､お前が書いてきたレスだよ。そして自演ことバレ豚芝居（ＷＷＷ
なぜあんなレスをしかできない？あんなサトラレ豚芝居をする？自分ではわからないだろうな（Ｗ
それは､ただ自分が気持ち良くなりたいという豚望の結果ですよ（ＷＷＷ
真正面から否定する文は､ｵﾅﾆー豚には通用しまい（Ｗお前は誰にも論破できない（ＷＷ
論破できないというよりは、議論自体できない訳ですが（ＷＷＷ
豚は豚を不快にする文を受け入れられるような理論的人間じゃないからだ。
つまりｵﾏｴが豚だからだよ豚野郎（ＷＷＷ話の通じない狂豚。狂気豚見参（ＷＷＷ
ハナから戯言と決めつけることによって､どんなことをいわれても豚の精神状態を
安定させようとする。豚に都合の悪い事は見えません、豚目、豚耳、豚口（ＷＷＷ
豚のお前にしてみれば、豚が不快になる文は､「バカじゃん」「ただのキチガイ」「で？」で済まされてしまうだろう（ＷＷＷそんな事をしていては、他人と論ずる事などできる訳がない（ＷＷＷ論ずる事など元からｱﾌｫ豚にはできませんが（ＷＷできる事はｺﾋﾟﾍﾟと豚芝居（ＷＷＷ
とどのつまり、豚ちゃんはハナから他人と論ずるだけの脳味噌を持っていないってこと。
そして、そのレスはすべて何の価値も持たないゴミだということだ。
ｵﾏｴには何にもできないよ豚ちゃん。ﾈﾀ職人などと都合の良い冠が欲しいのか？（ＷＷＷ

>>359
Ωを位相空間の任意の集合とする。各空間R∈Ωに点α∈Rを対応させるような
関数αを考える。このような関数全体の集合をTとし、α∈Tに対してα(R)=R(α)とする。
即ち文字Rは、位相空間を表すためだけではなく、集合Tからその空間R上への(射影)写像を
表す為にも用いる事とする。M⊂Rに対して集合R^-1(M)が定義される。
集合Tの位相を、集合Ωに属する空間の基によって定義される基Σによって与えよう。

Σは次のようにして構成する。
任意の近傍U∈Σは、集合Ωの任意の有限部分集合R1〜Rkと
空間R1〜Rkの任意の近傍U1〜Ukとから、U=∪Ri^-1(Ui)とおいて定義する。

となってます。

それなんて本だ？　著者は？
本当にそういう文章なのかなあ・・

初めに位相空間の族{Ｘ_λ}λ∈Λが与えられていて、とか
そうなってない？　まあ今日はもう出かけるんでまた今度

ポントリャーギン「連続群論」の上巻P84-85です。
定義が書いてある部分は改行以外は変えてないです。

…すいません、今これしか手元に無いんです。

おかしいと感じる所があるのなら、どこらへんがおかしいのか教えて頂けると
勉強になって嬉しいです。

そうですか、普通は「族{Ｘ_λ}λ∈Λ」という表現を入れるべきなんですね。分かりました。

>>364
ポントリャーギン！！
ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━━!!!!!
がんがって上下よんでくれ。

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/~toshi/
ここのothers-24 の
Book Review of classics (Meicho Fukkatsu), Pontryagin, Continuous Groups,
なんかも読んでみるといいかも。

なんだか本当に困ってるようなんで。

多分多くの教科書では、直積位相は次のように定義してると思う

『定義』
位相空間の族 {Ｘ_λ}λ∈Λ に対して直積集合を Ｘ:＝Π(Ｘ_λ)λ∈Λ とする。
このとき各 λ に対して p_λ を Ｘ から Ｘ_λ への射影とし、全ての λ が連続
写像となるような Ｘ の位相のうち、最弱のものを Ｘ の直積位相とする。

直積集合を普通に捉えればこれでいいと思うけど、多分342が言おうとしてるのって
集合の直積をある条件を満たす写像全体として捉えてるんじゃないかな。まあそれでも
（このスレで書いてるのを見る限りは）おかしい文章なんだが。
342が言おうとしてる写像って

{Ｘ_λ}λ_Λ に対して、Λ上の写像φで φ(λ)∈Ｘ_λ となるもの全体を
Ｘ_λの直積というとか、そんなんじゃないか？
これはようするに ΠＸ_λ:＝{(a_λ)λ∈Λ ｜ a_λ∈Ｘ_λ} と定めてる
のと同じことで、普通に直積集合を考えれば、直積位相は上記の定義でいいはず。

あ、このときＸの(開)基底がどういう集合になるかは
わりと簡単にわかると思うから、自分で考えてみてね

どっちにしろ“まじめな”落ちこぼれ候補だろ>>342は。

とりあえず教養の期間が終るまでには何とかまともになるよう頑張ります(;´Д`)
皆様ここまで付き合って頂いてほんとうにありがとうございました。

今現在の問題としてdviをpsに変えるのが上手く行くようにせねば…

位相を独学中のものですが（マグローヒル大学演習を使っています）、
こんなものについている名前とか無いのでしょうか？
すべての開集合の集合族のことを位相と呼びますが、
この反対で閉集合の集合族に名前とか無いんでしょうか？

開集合の集合族で特定の条件を満たすものが位相であって、
それと同値な条件を満たす閉集合の集合族も同じように位相であるわけで

ありゃ、ひょっとして勘違いしているのかな？
位相の要素が開集合と認識していたのですが、違ってますか？

開集合系で位相を与えることも閉集合系で位相を与えることも同等。
閉集合系を与えた場合閉集合の補集合が開集合と定義される。

そういえば、近傍やら閉包やらからも位相空間が定義されるんでしたね。
実は今、誘導位相のところをやっています、このあたりは生成ばっかりで、すっかり忘れてました。
しかし、こうレスが付かないところを見ると、閉集合全体の集合族には特に名前とか無いみたいですね。
特に重要視されていないのかな・・・

どうしてお前そんなに必死なんだ(w >> 369

またまた質問なんですが、
「一般に２つの開球の共通部分が開球になるとは限らない」
と書かれていたのですが、開球にならない共通部分とはどういうものが在るのでしょうか？
有限集合ならば、それに距離を定義するとその要素は一つのこらず開球になってしまうし、
実数体の通常位相だと、開球で共通部分を作ったらどうやっても開球になってしまいそうなのですが・・・

>>378
開集合になるのは確かだが､開球になるとは限らないと思われる。

おい、円周率に続いて
開球の定義まで変わってしまったのか？

なんでこのスレには変なのが多いんだろう

せっかく質問しに来てくれたお客さんなんだから、そう子供みたく邪険にしちゃいかんよ。

>>380
そのレスは>>378宛てですか、それとも>>379宛てですか？

なんか僕のせいで荒れているような気がする・・・
バカなんです、高卒なんです許してください〜
群論とかとかこの種の抽象度の高い数学は、まともに数学を勉強したことの無い人間にとってキツイんです。
円って書いてあったら、円だなんて思っていたら、定義からしてぜんぜん違うことが書いてあったり、
それでもって単語の意味を無視すれば、こんどは思わぬポカしたり・・・

>>379
R~2を考えれば当たり前でした、私はアホですバカです、すみませんでした。
またバカな質問するかもしれませんが、笑って許してください〜

なんで384が謝るの？
荒れてるのがいけないのだとしたら、荒らした奴が反省すべきだよ。

ここで言う位相は力率とは無関係？

そっちはフェーズ、こっちはトポロジ

荒らした奴=384

388とかいうオチ

加算性がわからない、なんか急激に難しくなったよぉ。
しかもこの辺から、日本語訳があんまり日本語になってないし・・・
なんか参考になりそうな本とか、インターネットのページとかないですか？

http://alink3.uic.to/user/ranran2.html

>>390
391は位相の参考にはならないページ

可算性について、なんとなく分かりかけてきた・・・
質問なんですが、

第１可算空間の公理
　位相空間を(X,T)と書くとして
　どの点 p∈X についても、p を含む開集合を元とするような
　可算な類 Bp を巧くとれば p を含むどんな開集合 G
　も Bp のある元を包含するようになる。

で、少し気になったのですが、「p を含むすべての可算な類」を
集合で書くとどうなるんでしょうか？どうやっても書けないんです。
例えば p を含む開集合の類であれば、
{ G | G ∈ T ∧ p ∈ G }
みたいに書けますが、G が非可算だと、この中から可算個取り出すというのは
どうやって記述すればよいのでしょうか？
G が列挙できないので、いきずまってしまいます。

位相の前に集合論を学びなさい。
否、集合論以前に集合算を学んだ方はよい。

位相の本を読んでいると鬱になります。
自分だけでしょうか？

はやく多様体を勉強したいのにたどり着けません。

>位相の本を読んでいると鬱になります。
そうですか？僕は結構楽しいんですけど。
>はやく多様体を勉強したいのにたどり着けません。
僕も同じく、速くたどり着きたいです。

>>393
選択公理

>>397
これって選択公理に関るものだったんですか、
あっちこっちの本で時々見かけていますが、なにをいっているのかさっぱり分かりませんでした。
こういう時に必要になるんですね、もういっぺん読んだらその辺もいっぺんに分かるかも。
取り合えず当面放置しておいて、後でゆっくり考えてみます。

sage
sage

みなさんはどんな位相空間が好きですか？

Φ

>>400
ふぁ〜い？、ん？

イソ子さん一筋です。

環太郎君に一途です。

磯男たん（；´Д｀）ﾊｧﾊｧ

ここが「位相についてタカル！｣の掏れですか？

位相空間が距離空間になる(距離付け可能)なための必要十分条件は？

朝からしつこいよ

>>407
長田（ながた）−スミルノフの定理．

>>408
確かにそうだが、あんまり邪険にしない。
距離付け問題は今でも形を変えて生き残っているのだからね。
多分、こいつは永遠に不滅さ。

>>410
>>406 につけたレスじゃないかな？

ここのところ集合論も押さえておかないと、とか思いつつ。
赤攝也先生の集合論入門という本を読んでいるのですが、
この本ではBG集合論が使われているようです。
この集合論には公理が17個あって、いずれも記号論理に書きにくく
整理もしにくかったので、ちょっと頭が痛くなっていました。
で、Googleしてみますといいますと、ZF集合論というのが
最初から記号論理でかかれていて公理も9個とよく整理されているので
こっちで行きたいなとか思いつつあるのですが・・・
ZF集合論で書かれた集合論の良い入門書があったら教えてもらえませんか？

Topology の日本語訳が「位相数学」：　これで、大失敗．
数学の、選択必修で　「位相数学」があったけど、一年間
ｓｉｎ（θｔ＋φ）　の　位相φ　について　勉強か？　と
思い込んでしまい、位相数学を　全然勉強しなかった．
　後年、距離群の作用する位相空間で　学位を取るために
Ｋｅｌｌｙ　「Ｇｅｎｅｒａｌ　Ｔｏｐｏｌｏｇｙ］　を独学。
独学のお陰で、力がついて、　学位が取れた．　

>>412
その本はBGとZFの関係を書いてなかったかなあ？
一般存在定理と、集合に関する命題の体系の同等性。

田中尚夫：公理的集合論，培風館（ZF集合論ならこれがいいでしょう）
田中尚夫：選択公理と数学，遊星社（位相との関連など）
倉田令二朗、篠田寿一：公理的集合論，河合出版（これだけでも間に合う、BGとZFの関係など）

なお、ZF集合論の分離公理と置換公理は公理図式で、無限個の公理を持ちます。

>>413
その学位論文をどこかにうぷしてくれ。PDFかPSで。
読んでみたい。

>>414
とりあえずレス有難う御座います、
早速紀伊国屋に行って調べてみたんですが、残念ながら
公理的集合論、選択公理と数学ともに入手不可能なようです、
古本屋にあたるか、別の本で我慢するしかなさそうです。
当座は赤攝也先生の本を使ってネット情報で補う事にしようと思います。

もう一つだれか知っていたら紹介してほしいのですが、ネットとフィルターについて書いてある
位相の本を紹介してもらえないでしょうか？
位相を勉強した後にやりたい事として、多様体とともに、超準解析をやってみたいのですが、
手元にある本ではここでネットとフィルターが使われていて、これを知っておく必要がありそうです。
今使っているマグローヒルの一般位相では、用語だけしか紹介されていなくて別の本にあたらないとならなくなりました。
読むのは当分先になりそうですが、いい本があれば紹介してもらえると嬉しいです。

超準解析の本、何使ってる？

>>417
中村徹著、超準解析と物理学です。

選択公理と数学はあったよ。遊星社 ; ISBN: 4795268908 ; 増補版 (2000/09)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4795268908/qid=1038246598/sr=1-1/ref=sr_1_0_1/249-4906436-5052334

>>416
.もう一つだれか知っていたら紹介してほしいのですが、ネットとフィルターについて書いてある
位相の本を紹介してもらえないでしょうか？

Bourbaki の　位相１．

>>419
すみません、amazon をすっかり忘れてました（クレジットカードが嫌でamazonは購入に使った事がないもので）、今週末はちょっと古本屋めぐりする気になってました。

>>420
すみません、見つからなかったので ISBN 番号を教えてもらえると嬉しいです。

>>416
>位相を勉強した後にやりたい事として超準解析をやってみたいのですが、
今ひとつわからん。
超準解析は所詮、道具に過ぎない。
位相と論理の接点を目指すべきではないか？
その方向で文献をあさった方がよい、と思うが。
俺には関係ないが。
ま、マグローヒルの一般位相を読んだ程度で位相がわかったつもりに
なるようではダメだろう。

余計なお世話、な気がする。

増補版なら紀伊国屋でも注文できるはずだけど、なぜかな？

＞ネットとフィルターについて書いてある本

たぶん、このスレの上の方にもあったとおもうけど。

>増補版なら紀伊国屋でも注文できるはずだけど、なぜかな？
僕は直接いって聞いてみたんですが、別に調べる方法があるんでしょうか？
もういっぺん行って、お姉さんを小一時間問い詰めてみたいです。(笑)

http://www3.to/12345678

ていうか紀伊国屋のHPで、検索したら出た、小一時間問い詰めてやる。

質問です。
k:可換体、　v: 三角不等式を満たす ｋ上の附値 ,とします。
このとき、ｋ上に v から誘導された 位相体の構造を持つ距離空間が自然にできます。
では、ｋ：可換体　の条件下で、
１．ｋ上の任意の, 位相体の構造を持つ距離空間は、ある附値から導かれるか？
２．　位相体の条件をはずした場合、どうなるか？
３．ｋ上の距離空間から位相体の構造は導かれるか？
　

今さらながら，
>>25
のお言葉には何か深い意味を感じるんだけど，
誰か詳細解説おながい！

>>429
エタールコホモロジーのこと。

>>429
トポス。

>>431
北千住にあるディスカウントストア？？

>>431
トポス＝エタールコホモロジーを定義する位相

４３３の訂正
　
４３１⇒４３２

御意！
されど、エタールのみとは限りませんが・・・

>>435
北千住にあるディスカウントストアも、
開集合として許容しようというわけですね。
さすがは日本通のグロたん様！！

>>436
グロたんは江戸っ子

位相の定義って、ふしぎふしぎ。

>>436
warata

>>435
etaleとcrystalでは？

位相ってもともとなんで生まれたわけ？無限にあるものを整理するためでしか？

>>441
距離の一般化

>>441
そうゆうこと言ってると「ガキ」っていわれるよ

これから100年ぐらい経てば位相に取って代わるものが出てきたりするのかなぁ？

>>444
これ以上数学は発展しないよ。
既に、重要なことは発見し尽くされたと思う。
だから、これからの数学には創造性という物は必要ない。
強靭な計算力さえあれば、一流の数学者としての道が開ける。
俺みたいな凡人にとってはありがたい時代の到来かな？（ｗ

>>445
そういう意見は色々と聞くけど、それを実感するには具体的にどうしたらいい？

>>446
ワシもそれに大いに興味がある

>>445
それはないと思う。まだまだ発展する余地は有るはず。

>>448
その具体的根拠は？

>>445
＞強靭な計算力さえあれば、一流の数学者としての道が開ける。
電波さんの登場ですか？

age

ポアンカレ予想すらも解決されていないし、超ひも理論に使われる数学もまだ整備されたとは言いづらいし、数学にはまだまだ進歩して貰わないと困る。

「数学」に「日本人による」という修飾を付けると皆納得したりしてな。

age

ほしゅ(い)

456ｹﾞｯﾄｫｰ!!!

今時、位相空間の専門家なんておるんやろか？
解析の専門家とかが授業で扱っているのはわかるが、
プロパーな人って・・・どこにいるの？

保守age

位相が体位に見えたよ　（´Д⊂

>>459
たまってるんだ、色々なモノが・・・
ゆっくりおやすみ。

以下のスレで集合と位相の解説がありますた。
ケコー面白い！

モナー先生の数学講座一時限目（極限） (557)
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1013324981/521-557

>457
そこらじゅうにイッパイ　居そう　ですが。。。

age

>>462
プロパーな人って・・・という分類ではそこらじゅうとも思えませんが。

>>462　いっぱいいるけど近くにいないだけなのか、
それとも　>>464　で書いてあるのが本当なのか・・・。

「そこらじゅう」「イッパイ」の解釈次第

どういう位相で考えるのか…

>>466
そこらじゅう　→　everywhere

いっぱい　　 →　dense

でどうよ？

たしかに位相だけど、なんちて

"everywhere"って"everywhere dense"のことですよね？
だとしたら、"そこらじゅう"＝"いっぱい"でいまいちかな。
なーんて思いましたが。

（そこらじゅう）　＝＞　almost all Univ.

とかのほうが雰囲気出てるんじゃないか？

>>471
> （そこらじゅう）　＝＞　almost all Univ.
> とかのほうが雰囲気出てるんじゃないか？
（そこらじゅう）　＝　almost every Univ. とか、、、

（＾＾）

X：コンパクトハウスドルフ空間　R:実数体　C(X,R)：XからRへの連続写像全体が作る環

このときI：X→Max（C(X,R)）
　　　　　　x→｛ｆ∈C(X,R）｜ｆ(x)=0}
はX→Max(C(X,R))への全単射であることを示せ、という問題を次のように考えてみたのですが
どうでしょうか。（Max（C（X,R））はC(X,R)の極大イデアル全体の集合）

MをC(X,R)の極大イデアルとする。ｆ∈Mとする。ｆ（ｚ）≠0（∀ｚ∈X）とすると1/ｆ（ｚ）∈C(X,R)より
１∈MとなってMの極大性に矛盾。よってf∈Mなら∃ｚ∈Xに対してｆ（ｚ）=0

ここで全射を示すために∀z∈Xに対し∃ｆ∈Mがあってｆ（ｚ）≠0と仮定して矛盾を示す。
ｆ∈C（X,R)に対し、ｆ´=｛z∈X｜ｆ（ｚ）≠0｝とする。ｆ´はXの開集合。
また「∀z∈Xに対し∃ｆ∈Mがあってｆ（ｚ）≠0」という仮定よりX＝∪ｆ´。
（ただし和集合はMに属するｆのｆ´全体をわたらせるものとする。）
よって∪ｆ´はXの開被覆だからXのコンパクト性より有限個の開集合ｆ_1´、・・・f_ｎ´でXは覆われる。
よってｚ∈Ｘならｆ_１（ｚ）、・・・ｆ_ｎ（ｚ）のうち少なくともひとつは0にならない。
一方ｆ_１（ｚ）^2＋・・・＋ｆ_ｎ（ｚ）^2∈Ｍより∃ｚ∈Ｘに対してｆ_1（ｚ）＝・・・＝ｆ_ｎ（ｚ）＝0とならなくてはならない。
これは矛盾。

また、Ｍ＝Ｉ（ｖ）=Ｉ（ｗ）（ｖ≠ｗ）とする。このときｆ∈Ｍ、ｆ≠0なるものをとる。明らかにｆ（ｖ）＝ｆ（ｗ）＝0．
コンパクト空間ＸからＲへの連続写像はＸ上で最小値ｒと最大値ｓをとる。
ｆ≠0よりｒ、ｓのうち少なくとも一つは0ではない。ｒ≠0とする。ｇ（ｚ）=ｆ（ｚ）-ｒとすると
ｇ（ｖ）＝ｇ（ｗ）=-ｒ≠0　かつ　ｇはｆ（ｚ）が最小になるようなｚに対してｇ（ｚ）=0となる。
よってｇはＭに含まれず、ｇは逆元を持たないので、Ｍにｇを添加したイデアルはＭより真に
大きい自明でないイデアルである。これはＭの極大性に矛盾。s≠0としても同様。

・・・というわけなんですけどどうでしょうか。長々とすいません。あと、Ｒを任意の全順序集合である位相体Ｆ
に置き換えても成り立つことを示せというのが分かりません。

>>466
殆どいたるところ

>>474
ハウスドルフ性つかってないような･･･
ハウスドルフじゃないと反例あるみたいだから証明おかしいんじゃない？
たぶん単射性のとこ。

>>476
返信ありがとうございます。
僕もそこが気になったのですが単射を示したときｆ∈M、ｆ≠0をとる、
といったのですがMとして零イデアルをとることもありえると思います。
そのときC（X,R)には自明なイデアルがないからC（X,R）は体。よって
ｆ∈C（X,R）、f≠0のとき∀ｚ∈Xに対してｆ（ｚ）≠0。
コンパクトハウスドルフ空間は正規空間だからXからRへの連続写像
でｆ（ｚ）=0となるものが存在するからこれはありえない、と思ったのですが。

>>477
まあ、自分で気付いてたんならもうなんにもいうことないけど。
もしレポートかなんかならそこんとこは明示しとかんとだめだよ。
さらにハウスドルフやコンパクトでないときの反例なんてのせておくとＡ確実。

>Ｍにｇを添加したイデアルはＭより真に
>大きい自明でないイデアルである。これはＭの極大性に矛盾。

このへんがおかしいと思ったんだけど・・・

ｆ∈Ｍ、
ｇ（ｚ）=ｆ（ｚ）-ｒ、
ｒ≠0、
だからＭにｇを添加したイデアルはC(X,R)。

＃「自明なイデアル」って{0}のこと？C(X,R)のこと？

>>478
レポートじゃなくてゼミの発表です。
おかげで自信がつきました。ありがとうございます。
複素数体Cの場合も似たように示せそうですが
一般の全順序の位相体の場合は分からないですね・・・。

誰か位相

>>479
自明なイデアルというのはC(X,R)のことです。
ｇ(z)=0となるｚがあるからｇはC(X,R)の単元ではない。
よってMにｇを添加したイデアルM＋（ｇ）はC(X,R)では有り得ない、
ということです。

でもMにｇを添加したイデアルM＋（ｇ）には定数関数ｒ（≠0）が入っておる

>>483
その通りですね。考え直してみます。

>>474
>MをC(X,R)の極大イデアルとする。ｆ∈Mとする。ｆ（ｚ）≠0（∀ｚ∈X）とすると1/ｆ（ｚ）∈C(X,R)より
>１∈MとなってMの極大性に矛盾。よってf∈Mなら∃ｚ∈Xに対してｆ（ｚ）=0

f は"not unit element"という条件が必要です。
（この問題,アティヤ＆マクドナルドの可換環論の本の
演習問題に出ていたような気がする)

>>485
"not unit element"って可逆じゃないって意味？
真の極大イデアルMからとってきてるんだから必然的に非可逆な気がするけど･･･

>>485
極大イデアルといったときはC（X,R)自身は含めないので
>>486での指摘通りMに単元は入ってないと思います。

>>474の単射の証明は間違っていたんでもう一度考えてみました。

M=I(v)=I(w)とする。（ただしv≠ｗ）
Xはコンパクトハウスドルフ空間だから正規空間。
よってｇ∈C（X,R）でｇ（ｖ）=0、ｇ（ｗ）≠0なるものが存在する。
ｇは明らかにMに属さない。また∀ｆ∈M＋（ｇ）に対してｆ（ｖ）=0。
よってM+（ｇ）はMより真に大きく、かつC（X,R)ではない。
これはMの極大性に矛盾。

これで合ってるかな？

>>487
こんどのはよさそうに一票。

>>488
>>474では難しく考えすぎてたみたいですね。


発表無事終わりました。
みなさんありがとうございました。

v,w∈X,v≠wに対してg∈C(X,R)でg(v)=0、g(w)≠0となるのが
存在するためには、Xが正規空間じゃないと駄目なの？

>>490
ウリゾンの定理！！
>>474
同相性は要らないのですか？

>>490 >>491
定理の内容は


Xを正規空間とする。A,Bを共通部分を持たないXの空でない二つの閉集合
とする。このとき、つぎの性質をみたす連続写像ｆ：X→Rが存在する。

（１）　Xの任意の点に対して、0≦ｆ(x)≦1
（２）　ｆ（A)=0　ｆ（B）=1


というものなのでA,Bとして一点集合ｖ、ｗを選んで
ｇ∈C(X,R)でｇ(v)=0、ｇ(w)≠0となるものがある、と考えました。
同相性とはどういうことでしょうか？

A=C(X,R）とし，SpecA の部分空間として位相を入れます。
これが　X　と同相になる，ということです。

>>493
SpecAというのはC(X,R)の素イデアル全体のことですよね？
そのことについてはあまり詳しくないのでよく分からないのですが
>>492の定理を適用するにはXが正規空間であれば十分だと思うのですが。

>>492の定理を適用するにはXが正規空間であれば十分だと思うのですが。
　
ＯＫ！

位相幾何学スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1020572089/

ほしゅったらあげろ！

500get

このスレッドは５００を越えました。
あと５００書けるので、１０００まで頑張ってくださいです。。。

後半からは、ユークリッド空間の位相について語ろう！

ユークリッド空間に通常の位相をいれる。
この中の可算集合が閉集合となるための条件を述べよ。
十分条件、必要条件だけでもよい。

>>501
十分条件：有限個の集積点を持つとき
（ハウスドルフ空間のコンパクト集合は閉集合になる）

＞＞502
集合Xの点でないものは、どんなものでもXの集積点とは言わないのですか？

>>503

もう一度勉強しなおしてくらさい……。

要するに、たとえば
0はR^1の部分集合{1/1,1/2,1/3,1/4,…}の集積点とは言わないということですね？

あら、502間違ってたかも……。すまそ。

503,505の説明もまずかったか？
{1/1,1/2,1/3,…}は、この集合の中には集積点がないが、
(これも有限個の集積点を持つうちである。)
{1/1,1/2,1/3,…}はRの閉集合ではない。

>>505

syuusekitenndesuyo!

501の答えとしては、
X⊂R^nを可算集合として、
Xの集積点がXの点であること。
というよりも、これでは答えにならぬか？

すまそ。なんか起き抜けでよく考えずに投稿した。
十分条件：その点列AnがX/Anで集積点を一つも持たない場合

位相空間論ML
http://www.freeml.com/ctrl/html/MessageListForm/[email protected]

(,,・д・)位相の問題を書き込むスレでちﾐ・д・,,ﾐ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1042776592/l50

ぐえ

ありす、お茶くみ、L、良識


[1] 無記名投稿 2年9月13日2時50分47秒
この４人は２ちゃんねる運営人ではないとされているが、
本当にそうなのであろうか？
かなり疑わしい。
そこで、このスレッドで検証をもう一度してみようじゃないか。

引用レス
[2] 無記名投稿 2年9月14日0時19分15秒
＞ありす
元２ｃｈ復帰屋。トオルに感化されて感涙を流したアホ。
単細胞にして、感激屋。無報酬のボランティア止まり。
（つまり、何も知らないバカ）

＞お茶くみちびふさ
切込隊長に金で雇われたプロ固定（1ch.tvスレ専属）
隊長追放後、精力を弱める。

＞LLL
プロ固定。ちびふさと同じく切込隊長派。
良識などと同じ共有トリップを持つ。
引きこもり３０男。漫画アニメオタク。

＞良識
共有トリップのひとつ。年金最悪、ＬＬＬなど、多数のプロ固定が使用。

ほしゅったらあげろよ

（＾＾）

　　 ∧＿∧
　　（　　＾＾ ）＜ ぬるぽ（＾＾）

age

集合に位相を入れる事によって何が起きる？
そもそも何の為に位相を導入するの？

>502
例えば，すぐ横が分かったりして，微分できたりするように
位相をいれることも出来るんだ．

>>521
「横が分かったり」ってどういうこと？
微分と位相では相当距離があるので、違うと思う。
>>520
そもそも位相とは距離の概念を抽象化したものだから、
集合に位相を入れると集合の元の間の遠近関係が定義できる。

遠近関係を定義することの一番のメリットってのはなんでしょか

極限の概念が定義できることでしょう。
たとえば、ある点列x(n)がｙに収束することを言うためには、
x(n)がｙに近づいて行くことを言わなければなりません。

http://homepage.mac.com/ayaya16/

>>524
なるほど。

>522
感覚的にいったわけですが・・・．
そういうのってピュアマスにおいて重要だと思うけど･･．
だって「横がわかる」というのは元ｘｙがどのように近いか」と
言う意味でいったので．そうすりゃ「極限操作」や「完備」だとか
「コンパクト」だとか「バナッハ空間」，より詳細に知ろうとすれば
「ヒルベルト空間」になるし･･･．そうすりゃ，微分も概念として
自然に入ってくるしゃん．微分なんて，「横」が分かるからできる
ってもんでしょ．（ちょっといいすぎたか？）
「横が分かる」って言い方あまりしないか？
（じまえの言葉は誤解を生む！？）
他には，「端がある」っていうのも使うでしょ？
「位相」は数学基礎論の議論を無しスリャ，感覚的には
「雑然となんかの集まり」である「集合」に
「意味を与えるもの」と考えてます．
それを詳細に解析したりして，いろんな数学の理論や道具が
出来てきたジャン．

ああ、やっと言っている意味がわかった。
「すぐ横が分かる」を「すぐに横が分かる」だと思った。
あなたは、ある元のすぐ横（隣）にある空間が定義できる、
という意味で言ったんですね？
それなら、遠近概念と同じことだ。
でも、説明が分かりにくいよ。

というよりも、レス番間違えたり誤字があったりするのをどうにかしておくれ

位相などの構造を抜きにして単なる点集合と見れば
平面、直線などほとんどの図形が同一視されるので、
幾何がやれない。

位相ではなくて他の構造を入れる事によって
幾何ができるようにすることは可能か？

うーんやっぱり位相と幾何の関連性が分からない。
位相の概念自体は空間的な考え方って言うよりも集合の考え方って感じだし

☆^〜^★　50音順で探せて楽して得する
http://sagatoku.fc2web.com/
　　　あなたの探し物きっとみつかるよ☆^〜^★

age

ドキュンとドキュソは位相同型

H_0(ドキュン)＝Z^7
H_k(ドキュン)＝0 (k≧1)

抽象的過ぎてわかんねぇんだよ！
具体例を出しながら教えてけよ！





位相初心者全ての人の悩みです

全てではないだろう。

数学が嫌いになった原因は？　対象：数学科の大学生

4位：一様連続性やコンパクト性など
3位：ε-δに依る極限の扱い
2位：数ベクトル空間から公理的に論じられる抽象ベクトル空間への飛躍
1位：位相空間論（全般）

http://homepage.mac.com/hitomi18/

>>539
同値関係とか商集合とかはランクインしてないのか

個人的経験に拠ってるんじゃない？
おれは2と4に当てはまってるけど、1年もすれば慣れたよ。

位相と代数はつまらん

嫌いにはならなかったけど、
位相の強弱の関係を理解するのは抽象的で大変だったなあ。
例えばパラコンパクトとかリンデレフだとか。
使わないでいると、直ぐ忘れてしまうし・・・

>>541
あれは簡単だろ

漏れが代数で落ちこぼれたのは、体の超越拡大のあたりだったな。
ところで、なんか話題がずれてきている感じだけど・・・

位相と幾何学の間にどのような関係があるのか教えていただけますか
位相がどう応用されるか興味あります

>>547
解析幾何から距離函数を除いて位相だけを残してやると
位相幾何というものが展開できることがわかりました。

そこでどんな集合で在れ、位相を入れる事が出来るなら
位相幾何が展開できる様になりました。

微分方程式の理論においてこれを応用したのは
トポロジーの創始者であるポアンカレです。

＞＞548
なるほど！

もう，位相に変なロマンもつのやめよーぜ！

>>550
理解できないからってそんな事言うなよ
まぁ俺もよくわかんないが

>>551

ヴァカかおまえは

位相に変なロマンもつと，
かえって理解のさまたげになるよ

何も期待するなって事ですな。

そういえばトポロジーに興味を持つ最初のきっかけは
みんな「メビウスの輪」だと言う事がどっかに書いてあったような

トーラスだった自分は少数派なのね

>>555　漏れも

距離空間はパラコンパクトってどうやって証明するの？

　　 ,.´ / Vヽヽ
　　　 ! i iﾉﾉﾘ）) 〉
　　　 i l l.´ヮ｀ﾉﾘ　＜先生！こんなのがありました！
　　　 l く/_只ヽ 　　　
http://www.yamazaki.90.kg/moe/hankaku072html
http://yamazaki.90.kg/mona/index.html
http://www.yamazaki.90.kg/moe/hankaku08.html
http://yamazaki.90.kg/moe/hankaku10.html
http://www.yamazaki.90.kg/moe/hankaku07.html
http://yamazaki.90.kg/moe/hankaku03.html
http://www.yamazaki.90.kg/moe/hankaku05.html
http://yamazaki.90.kg/moe/hankaku01.html
http://www.yamazaki.90.kg/moe/hankaku06.html
http://yamazaki.90.kg/moe/hankaku04.html
http://www.yamazaki.90.kg/moe/hankaku09.html

パラコンパクトってプレコンパクトと違うの？

数学以外の人は位相に変な妄想を抱いているらしい

http://homepage.mac.com/hitomi18/

precompact

>>559違うよ。

優良スレに認定されてます

◆ 「知」の欺瞞
http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/philo/1047993277/
◆ アーベル賞にセール
http://news2.2ch.net/test/read.cgi/newsplus/1049380704/
◆ 数学の本
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1044371030/
◆ 代数学
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
◆ 数学セミナー
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1050563258/
◆ Poincare 予想 解決
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049433413/
◆ Lie群・Lie環
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/997388738/
◆ グロタンディック
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011949239/
◆ 基礎論
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/
◆ アーベル賞にセール
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049442770/
◆ 素数判定は「決定的」多項式時間
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1028813059/
◆ スペクトル系列
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1031726106/
◆ unix と数学
http://pc.2ch.net/test/read.cgi/unix/1043629084/

>>563
詳細キボンヌ

プレコンパクトなんて用語はブルバキしか使わんよ

>>565
位相空間の任意の開被覆に対して局所有限開被覆が取れることをパラコンパクトっていいまつ。
前コンパクトとは、全有界と同義でつ。
つまり、パラコンパクトは位相空間の、前コンパクトは一様空間の概念でつ。
大抵の位相空間の教科書には出ているよ。

オマンコ

>>565

そのキボンヌっての自分でカッコいいと思って使ってない？
繰り返し同じ駄洒落を聞くようでしらけるのは俺だけかな？

>>569
2ちゃんねる的にはこっち使うのが妥当

>>569
数学板に話を限定しなければお前と同じ事を言う奴は結構いるが、
だからといってそいつら如きに深遠なるセンスを否定出来る筈が無い。

>>569
http://www.media-k.co.jp/jiten/

「詳細キボンヌ」でワン・センテンスかつ２ch慣用表現だから
カコイイも糞も無い。
むしろシラケル君が２chに合わないだけに見える。

まあ、>>565がどう思うかは知らないが（ｗ

>>573

素直に詳細希望でいいだろ。こっちのほうが短いし、打ち込むのもより簡単だ。
なに気取ってるんだよ。２ｃｈの慣用？　それで僕ちゃんも立派に仲間入り出来たんだ？
おめでとうさん。

>>574
いちいち打ち込まないだろ。
少なくともコピペするだろ。
どんなＯＳ＆ソフト使ってんだ？

それとさぁ、ちょっと突っ込まれただけで
周りの人間を僕ちゃん呼ばわりっていうのも
子供っぽいよ、僕ちゃん（ｗ
友達いなさそうだな（ｗ

>>575
誰に対しても攻撃的な奴って良く居るよね。

放置しよう（ｗ

>>575

まいったな。子供に子供っぽいって言われちゃった。

>>575

キボンヌをわざわざコピー＆ペーストするの？

反省だけなら猿でも出来るというけど、
猿以下（藁藁

猿以下氏ねＹＯ！

ｷﾎﾞﾝﾇって、カッコつけてんの？　うーん・・・

そんなこと言ったら、2ch用語なんてみんな変じゃん（笑
（いちいちムキになる方が、どうかしてると思うけど・・・）

『なに気取ってるんだよ。』←（藁藁

『子供に子供っぽいって言われちゃった。』←(･∀･)ｱﾋｬ

>>563
素直に
詳細希望、詳細ｷﾎﾞﾝﾇ、詳細ｷﾎﾞﾝ、詳細ｷﾎﾞ-ﾝ

ここも祭か…

数学板的には「くだらねぇ書き込みでageんなｳﾞｧｶ」ってところかと。

位相なんかに変なロマンもたないで，
さっさと通り過ぎてくれよ

そのずっと先にもっとおもしろいものがあるんだから

弱い位相にゃ超準解析は役に立たぬ。

>>522さんがこんな事を言っていますが

距離空間を集合と距離関数で(X,d)とかける様に位相空間も(X,O)とか書きますよね。
位相ってのは距離を抽象化したもの（近さ）だから
距離空間での距離関数dと位相空間に導入された位相Oは何か対応したものがあるって事でしょうか？

初心者ですいません

>>589
距離空間に位相を入れれば位相空間になりますが、
位相空間の中には、どのような距離を定義してもその距離から導かれる距離位相が
元の位相に一致しないものもあります。
詳しくは位相の本で読んで下さい。

確かに距離は遠近を抽象化したものですが、位相のほうが抽象化の度合いが高いのです。

>>590

それはそうなんだが、大抵の重要なハウスドルフ位相空間は距離空間となる。
この場合、同じ位相空間にいくつもの距離が入るわけで、特定の距離に縛られる理由は無い。
つまり、距離というのは、位相空間という立場からは本質的でない。ここに、位相空間の重要さがある。

多様体論の入り口で躓いています。
初等的なgeneral topologyの問題であろうと思いますので、このスレッドで質問させてください。

位相多様体は、局所コンパクトということは大抵の多様体の入門書にかいてありますが、理由はどの本でも明らかと書いてあります。
まじめに証明しようとするのですがわかりません。
私が躓いているのは次の一点です。

多様体をM、その任意の点xをとります。
これの座標近傍Uをとって、これをユークリッド空間R^nの開集合Vと同相とします。
Vで考えて、十分小さな開近傍Wをとると、その閉包が、有界閉集合、すなわちコンパクトにある、という論法をとるのだと思います。

この「閉包」というところがわかならくなってしまうのです。
WのV内での閉包は、WをVよりずっと小さくとれば、R^n内での閉包とみなせます。
VとUがhomeoなので、Mでの対応物は、U内での閉包とみなせます。
つぎが問題なのですが、それがMでの閉包とみなしてよいか、ということです。
Mがハウスドルフで、局所ユークリッドであるという条件だけで、示せるのでしょうか。
R^n内での開近傍何重もの同心円で考えていっても、結局Mに戻すところで躓いています。
（紙の上で絵を書くと直感的には自明なのですが、絵に描いた時点でユークリッド空間というか距離空間になってしまいます。）

Mが局所コンパクトであることは、既知として先を読め、という学習法もあるかもしれませんが、１の分解その他のいろんなところで、類似の論法
がとられますよね。
たとえばMの座標近傍を適当にとると、R^n内の球面の内部とみなすことができて、それの閉包はballになる、なんて、なんの説明もなく書いている
のですが、Mでも閉包をとると必ずしもそうではないのか、少なくとも懐疑的になってみることが必要ではないかと思います。

どなたかご教授いただけますでしょうか。

>>591
>それはそうなんだが、大抵の重要なハウスドルフ位相空間は距離空間となる。
(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ

>>592
R^n 自体が局所コンパクト。コンパクト近傍が取れれば良いんだから、自明。
閉包をとるというような「拡大」ではなく「縮小」の視点で見なさい。

>>592
コンパクト集合を連続写像で写すとコンパクトだって知ってるか？

592です。
>>594,595
レスありがとうございます。
でも、理解できていないので質問つづけさせてください。
（初歩的すぎて、何がわからないのか理解されてないのだと思います。）
R^n 自体が局所コンパクトであることもコンパクト集合を連続写像で写すとコンパクトということもわかります。
局所コンパクトって、閉包がコンパクトであるような、開近傍がとれることですよね。
で、Mが局所コンパクトであることを示すためには、Mでの閉包がコンパクトであるような近傍が必要です。
でもWをVの中で考えた閉包はコンパクトでも、Mの中で考えた閉包は一般に大きくなるのでコンパクトでないかもしれない、という不安が残るのです。
いくら小さく小さくとっても（これが「縮小」の視点ということですよね。）、Mでの閉包をとった時点でバッと大きくなってしまうイメージがあって、不安なんです。
多分ハウスドルフという仮定によりその不安がなくなるんでしょうが、それがわかりません。
それともハウスドルフであることも必要なく、「局所ユークリッド」ならば局所コンパクトなんでしょうか。

＞局所コンパクトって、閉包がコンパクトであるような、開近傍がとれることですよね。

一般にはもっと弱い条件だよ。
確かに局所コンパクトHausdorffだったらそういう開近傍がとれるけど。

じゃあこうしよう。まず
「任意の点x∈Mに対し、xを内点にもつようなコンパクト近傍が存在する」
ことを証明しなさい。で、この主張とHausdorff性を用いて
「閉包がコンパクトであるような、開近傍」
の存在を証明しなさい。

>>597 は忘れて下さい。基本近傍系の話とごっちゃになっていた。

>>592

面倒なのでUとVを同一視します。WのUでの閉包をAとします。AはUの部分空間としてコンパクトである。
Uは、Mの開集合なので、AはMの部分空間としてもコンパクトであることがわかる。これは、AのMでの開被覆からAのUでの
開被覆が得られることから分かる。MはハウスドルフなのでコンパクトなAはMの閉集合である。
これからAはMでのxのコンパクトな近傍であることがわかる。

>>593

お前、引用した文の意味が分かってないだろう。

(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ

>>594

自明に見えるだけでしょう。599の証明が理解できてそれでも自明というのなら別だが。

>>601
(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ

>>603
（*´ε｀*）ﾌﾞﾁｭ

>>602
自明なんだけど何か？

>>605
(･∀･)ﾆﾔﾆﾔ

>>592,596
W⊂M openとすると （Wの閉包）＝∩_[W⊂X open] X
だから W⊂U なら （Wの閉包）＝∩_[W⊂X open] X∩U
なので
>Mの中で考えた閉包は一般に大きくなる
なんてことにはならないでつ．

感覚的には，Wの閉包をとるいうことは，Wにいくらでも近い点を集めてやる
ということなので，Wを含む開集合の外側に閉包の点があるとマズイでつ．

>>597

>「任意の点x∈Mに対し、xを内点にもつようなコンパクト近傍が存在する」
>ことを証明しなさい。

Mは位相多様体であるから、xの開近傍Ｕで、R^nと同相なものが存在する。
R^nは局所コンパクトだから、xの開近傍ＶでＵに含まれ、そのＵにおける閉包Ａがコンパクトであるようなものが存在する。

>で、この主張とHausdorff性を用いて
>「閉包がコンパクトであるような、開近傍」
>の存在を証明しなさい。

Ａはコンパクトだから、ＭのHausdorff性からＡはＭの閉集合であることが分かる（この証明は、よく知られているので省略）。
VのＭにおける閉包をＢとする。ＡはＭの閉集合でありＶを含むからＢを含む。一方、ＢとＵの共通集合はＵの閉集合であり、Ｖを含むからＡを含む。従って、ＡとＢは一致する。すなわちＡはＶの閉包でコンパクト。

592&596です。
レスいただいた皆さんありがとうございました。

599さんの証明で理解しました。
「MはハウスドルフなのでコンパクトなAはMの閉集合である。」
がキーでした。やはりハウスドルフか。基本的な事実ですので、自明と言われても仕方ないですよね。
（本スレ39,41に証明があるので、本スレはself-containedと言えよう。）
594さんや605さんのように本当に自明である方がほとんどだとしても、自明のつもりで分かっていない人も少なくないのではないでしょうか。
実は、私もかつて「松本：多様体入門」を読んだときは、素朴にR^n内のballで囲った絵を思い浮かべて、自明と思い込み、読み過ごしていたのですが、改めて「小林：複素幾何」を読みはじめて考え込んでしまいました。
（どの部分で考えての閉包か、閉集合か、なんて意識していない人や、初めからR^nの中でしか位相空間のイメージがない人は、こいつ何悩んでるんだ？って思うでしょう。）
>>608
599と同じ証明ですよね。最後の部分がより丁寧になっていますね。597は無視してください、と言われたので無視しました。
>>607
この２つの等式、ちょっと違いませんか。（cf 140)
>感覚的には，Wの閉包をとるいうことは，Wにいくらでも近い点を集めてやる
>ということなので，Wを含む開集合の外側に閉包の点があるとマズイでつ．
感覚的には正しい気もしますが、証明していただけますか。
たしかに外点を含まないかもしれませんが、境界点は含みますし、境界点がむちゃくちゃたくさんある場合もありますよね。スキームみたいな（普通の位相の意味での）分離性が全然ない空間なんかでは開集合がdenseになることなんてざらなので、なんらか分離性が必要では？
>>Mの中で考えた閉包は一般に大きくなる
は、そんなに間違っていると思いませんが、やはり私DQNですか。

で、話は元にもどりますが、局所コンパクト性について、Mがハウスドルフを外したらどうでしょうか。次の問題はいかがでしょう。（初学者演習問題レベル？）
「局所ユークリッド位相空間（T2を仮定しない）は、局所コンパクトであるか」
Noとすれば、反例はつくれるか。
さらにTn（nは2ではない）という条件をつけたらどうか。

>>599

>Uは、Mの開集合なので、AはMの部分空間としてもコンパクトであることがわかる。

これは、勘違いでした。Ｕが開集合であることは、Ａのコンパクト性とは関係ない。位相空間の部分集合がコンパクトというのは、その部分集合を位相空間として見たときの性質であり、それが開集合に含まれることとは関係ない。
従って、Ｕが開集合でなくてもＡはコンパクトである。

因みに、私は、591, 599, 608です。

部分位相空間に含まれる集合に対して、相対位相での閉包と、親空間での閉包は一致する。

そもそも、親空間の方が開集合が多いので、閉包が大きくなるなんて
ことは絶対にあり得ない。

>>611

>部分位相空間に含まれる集合に対して、相対位相での閉包と、親空間での閉包は一致する。

例えば、Ｘを位相空間。ＵをＸの部分集合。ＶをＵの部分集合。ＡをＶのＵでの閉包としたとき、
ＡはＶのＸでの閉包でもあるということ？　これは、一般には成り立ちません。例えば、Ｘとして実数体Ｒ、Ｕとして開区間(0, 1)
をとる。Ｖ＝(0, 1/2] とする。ＶはＵの閉集合だからＶのＵでの閉包はＶ。しかし、ＶのＲでの閉包は[0, 1/2]
となり、Ｖと異なる。

話題を中断してスマソ
Kervaire ってどう読むのですか？

592=596=609です。
>>611
612さんの言うとおり。
一般に、X：位相空間、Y：その部分空間、A：Yの部分集合とするとき、
（AのYの中での閉包）=（AのXの中での閉包）とYの共通部分
が成立します。（これはいろんな教科書、たとえば森田紀一：位相空間論に書いてます。）
したがって、両者が一致することは、「AのXの中での閉包がYに含まれる」が同値です。私は後者の条件が成り立つことを示そうとして悩んでました。
で、真に大きくなることがあるか、というとYesです。YをXの開集合、AをY自身とすればよいですよね。
Yの外点まで含むことがあるか、というとそれもありそうな。Zariski位相ではありそうな気がしませんか。
611さんの主張は誤りとして、607さんの、
＞Wを含む開集合の外側に閉包の点があるとマズイでつ．
は、私の中ではOpen Problem.
真か、偽か、証明がほしいです。

>>609
>「局所ユークリッド位相空間（T2を仮定しない）は、局所コンパクトであるか」
この場合、局所コンパクトの定義とは、一体何なのでしょうか？
やっぱり、「閉包がコンパクトになるような近傍が存在する」ということですか？

でも、そもそも「閉包をとる」っていうのは、「（出来るだけ少ない『付け足し』
で）閉集合にしよう」っていう感覚ですよね。「コンパクト集合は閉集合なんだ
から、閉包をとればコンパクトになるかもしれない。少なくとも、ちったあ
コンパクトに近付く（？？）んじゃねえかな」
っていう意味だと思っていたのですが。

でも、T2を仮定しないということは、はじめっから「コンパクト集合は閉集合と
は限らないよー」という発想ですよね。で、コンパクト集合が閉集合じゃないの
に「閉包がコンパクトになるか？」っていう問いかけは、「えーと、どうして
閉包とらなきゃいけないわけ？」
っていう疑問が。だから、局所コンパクトの定義が、よく分からないのですが。

>開集合がdenseになることなんてざら
という、分離性の低い空間を念頭に置いていらっしゃるようですが、そのよう
な空間で「局所コンパクト」という概念は、どういった意味を持つのでしょう
か？

>>614
>＞Wを含む開集合の外側に閉包の点があるとマズイでつ．
> は、私の中ではOpen Problem.

すみません、私が論点を理解していないだけだったら、許して下さい。
単に、A⊂B ⇒ Cl A⊂Cl B
ということじゃなくて？？

>>まおまおさん
そうですね。たしかに数学的な意義はほとんどないです。
ただ、このような問題を考えるのは、教育的、論理トレーニング的な意味はちょっと意味があると思って書いてみました。
（位相空間論なんてつまらないものにこだわらず、もっと先に進め、という意見もあるでしょうが）
また、592の証明に悩んでいた時は、T2をどのように使うのかわかっていなかったため、閉包について考えるときは、
十分一般的は空間（Zariski位相のようなユークリッド空間からはかけ離れた空間でのgeneral topologyを考える必要があったため、分離性の低い空間も念頭にいれたわけです。
先々、Noether空間なんて考えなければいけない人にはこのような論理トレーニングも無駄ではないとおもいます。
私個人としては、592が片付いたので、とりえあず、general topologyは置いておいて先に進みます。

＞単に、A⊂B ⇒ Cl A⊂Cl B
相対位相を考えるので、このように単純にいかないんです。

でも、A⊂B ⇒ Cl A⊂Cl Bは、親空間では成り立ちますよね？
で、>>612なんかで言っているのは、相対位相のclosureの方が
親位相のclosureよりも「小さい」ということのような気が。

そしたら、相対位相のclosureとしてのCl Aが、（もちろん親位相の
closureの意味での）Cl Bをはみ出ることは、なさそうに見えますが・・・。

今まで位相のことは全然わからなかったが、
今日「数の世界」というすごく古い本を読んで、
「背広の下に着てあるチョッキは背広を脱がなくても脱げる」
というやつを見て、感動した。
クラインの壷なりと、興味がすごくでてきますた。

それは、素人のはまる数学の罠と言う奴です。
あなたは興味深い事象を知らないうちに素通りしてるのです。

「Σ={0, 1}^Nに{0, 1}の無限直積としての直積位相を入れる」
という表現が出てきたんですが、意味がよくわかりませんでした。
{0,1}の位相の入れ方は４つあるから、それぞれの{0,1}でどれを採用するかが示されないと
直積位相は決定しないと思うのですが…
どういう意味なんでしょうか？

{0,1}に離散位相を入れることを暗に仮定しているのではないかと。

今日の２限目か。

前後を把握してから、質問しろ。

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

━―━―━―━―━―━―━―━―━[JR山崎駅（＾＾）]━―━―━―━―━―━―━―━―━―

む？

ｷﾀ━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━!!

位相の勉強方法を教えてください。
俺はひたすら本を読んでるんですけど・・。
やっぱたくさんてぇ動かした方がいいんですか？

ひたすら抽象的なものをぐりぐりしてても辛いので、
多くの具体例を計算することが一番だと思います。
コンパクトとかハウスドルフとか、逆にそれが成り立たない空間とか。
多様体を学ぶとよりいっそう実感できますが(^^;

11

>>630
>>多くの具体例を計算することが一番だと思います。
具多異例を計算するとは如何なる行為化？

公理的数学としてのトポロジーは
単に論理を追う能力さえあれば、
数学をなにも知らなくてもマスターすることができる。
これは群論とかの抽象代数でも同じだが、
公理的理論をマスターすること自体は簡単だし予備知識も
ほとんどいらない。必要なのは言語能力のみ。
微積分とか線形代数よりまだやさしい。

つまり恐るるに足らずってこと。

「公理的数学としてのトポロジー」をマスターしただけじゃ、数学者にはなれないって事なのか…

>公理的理論をマスターすること自体は簡単だし予備知識も
ほとんどいらない。

数学的背景を何も持たずに公理的数学を学んだ人が出来ることは
与えられた証明の正誤をチェックすることだけ。
普通そういうのは「マスターする」とは言わない。

>数学的背景を何も持たずに公理的数学を学んだ人が出来ることは
与えられた証明の正誤をチェックすることだけ。

そんなこともないだろ。入門書一冊読み上げて問題解くくらいのことは
できる。またそれで充分。必要なら知識を増やしていくことはあとから
いくらでもできる。

具体的数学(微積ぐらい）を学んだ人が位相を勉強するには
頭を別のモードに切り替えなければならないが、
かといって位相が微積分より難しいというわけではない。

＞またそれで充分
何に十分なのか詳しくおせーて

＞位相が微積分より難しいというわけではない。
微積分がやさしいとは思わないが、わけではないを詳しくおせーて
ttp://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokyuroku/contents/1107.html

連続の概念は、距離の概念（エプシロンーデルタ）を使わなくても、開集合だけで定義できる。
これが、点集合位相の要点。これだけ分かれば、後は簡単。さっさと済まして、もっと面白い数学を
やろうね。

　（＾＾）

>>639
何が面白いと感じるかは個人の勝手だろ、自分の趣味を他人にまで押し付けるな。

>>638
貴様の論点が激しくずれている。
消えろ。デブヲタヒキコモリ

>>641

確かにそうだ。好きなだけやってろや。

>>1
君、工学部でしょ？数学的な位相と物理的な位相では概念が違うから数学科
に聞いても余計分からなくなると思うけどなぁ。
>>1さんはsin波とかcos波の波の位相の事ですよね？
そうだとすると位相は波で運動が波形のどの位置にあるか示す量でそれを角度
で表しているだけの事であんまり難しく考えないほうがいいよ。

てかこのスレかなり前のじゃん！
マジレスする意味無かったＹＯ・・・・

さて、可算開基をもつT_2位相空間で、距離化可能でない例はあるだろうか？
また、可算開基をもつT_2位相空間で、局所ユークリッド空間にならない例はあるだろうか？

>>646

>また、可算開基をもつT_2位相空間で、局所ユークリッド空間にならない例はあるだろうか？

これは、沢山あると思う。例えば、閉区間[0, 1]。

Re:647
じゃあ少し変えよう。
可算開基をもつT_2空間で、多様体にも境界をもつ多様体にもならない例はあるだろうか？

http://homepage.mac.com/yuuka20/

>>648

これも沢山ある。例えば、十のような十字形の図形。

>>648

いたる所、局所ユークリッドでないのも沢山ある。例えば、リー群にならない
可算開基を持つ位相群。例えば、有限群に離散位相を入れたものとか、それの可算直積。
p-進整数環 Z_p　もそうだな。

創造力豊かなこと。
距離化の方もやってくれ。

　（＾＾）　（＾＾）

http://book-i.net/ad04/

>>652

すぐには、分からん。悪いが、興味も無い。

R^nの加算個の元からなる閉部分集合は孤立点を持つ、
という命題があったのだがなぜだろう？
感覚的にはわかるが証明がつかない。。。

>>656
R^nの可算個の元からなる閉部分集合をXとし、孤立点を持たないと仮定
する。

x∈Xをとったとき、xの周りに高々可算個の点しかないので、「xを含む
連結成分」= {x}であることが分かる（完全不連結）。（つまり、十分小
さい半径の超球で、境界上にXの点が存在しないようなものをとることに
よって、開かつ閉な近傍をいくらでも小さくとれる。）

十分大きいM∈Rをとると、半径Mの超球の内部にXの可算個の元を含む
ことができ、これをX_1とする。定義から当然、X_1は孤立点を持たない。
X_2 = Cl (X_1)とおくと、もちろんX_2も孤立点を持たない。また仮定より
Xが閉なので、X_2⊂X。X_2は有界かつ閉なのでコンパクト。

孤立点を持たない完全不連結なコンパクト距離空間はカントル集合
{0, 1}^Nと同相（証明は、教科書なんかを参照。ちょっと長いけど、
特に難しくはないっす）。X_2は{0, 1}^Nと同相なので非可算、よって
Xも非可算となり、矛盾。

要するに、
「孤立点を持たない」→「非可算個必要」
「可算個しかない」→「孤立点が存在」

一応、この方針で証明は出来てると思うのだが。
間違ってはないと思うが、最短の証明とも信じ難い(^^;

x^2 + y^2 = 1
を球面と呼ぶのに対して、
x^2 + y^2 < 1
はなんと呼ぶのですか?
単に球？
今読んでいる本だと球体という言葉が割り当てられているのですが、なにか別の用語が
あったように記憶しているのですが、、、

|x|<1を開球、|x|≦を閉球という言い方をしてる本ならあった。
ただx^2+y^2=1は「円」とか「円周」って言い方をしないか？

>>660
> ただx^2+y^2=1は「円」とか「円周」って言い方をしないか？
x^2 + y^2 = 1
というのは手を抜いて書いているだけで、実際は、
x_1 ^2 + x_2^2 + ... + x_n ^2 = 1
です。

勘違いしちゃたーじゃないかよぅ

相対位相
そうたい/そうつい?
どっちですか？

>>663
「そうたい」
双対 は そうついと読むのが数学では普通のようですね。

>>657,658
「問題」
R^nでなく一般の位相空間での話とした場合、どの程度の性質を仮定すれば
この定理が成立するか？ （可算条件、分離条件等）

>>664
「そうたい」なんですか？
「そうつい」という返事をひそかに想定していたのですが(w
とりあえず、人前で発音する前に聞いておいてよかった。

868 ：１３２人目の素数さん ：03/07/14 17:50
>>866
おいチキン、まだ解析学の推奨本だせないのか？

>>665
・・・すんません、難しそうに感じたので、ちゃんと考えてませんでした。
濃度に関する話だけなら、T2で非可算個必要が簡単に言える訳ですね。
いや、「何か冗長なことをやっとる」というヨカンはあったのですが、
まあどこまで行ってもｱﾌｫはｱﾌｫですな(^^;

T0だと、自明な可算個の反例があるね。T1でも、ちょっと考えると
可算個の反例があるねぇ。

>>656
ヒントです。R~nは完備距離空間です。これから結論を得るは容易でしょう。

Kelley と Bourbaki 以外の洋書で何かいいのありませんか?
Engelking は絶版みたいだし。

filter って知ってないとまずい?

>>671
場合による。一様空間とかその完備化をやるときに必要になる。
filterと同値な有向点族でもいいが。

a

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

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夏なのにカノジョがいなくてこまってるそこのアナタ！

同じくカレシのいないなつきちゃんに会いにこないっ？

一週間の間、１０分間はカクジツにさんごはあなたのもの♪

え？それ以上？それはぁ・・・えへっ(≧▽≦)~~*

アナタがなつきにもっと会いたくなってくれたら、かな☆

ここで待ってるから、必ず来てね！来てくれないなら…おしかけちゃうぞ♪

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age

＞６７２

普通の開集合や開オペレータ，vesinityとかで定義するのとフィルタとか有向族とかで定義するのはおんなじでないの？解析学の基礎に載ってたと思う。ただ場合によって使いやすさが違うだけだと思ってましたが。

田村一郎さんの「トポロジー」は解答がないんですね。
独学しているひとには、今ひとつの親切さ(涙)

>>679
数学の専門書の場合、解答がないのが普通だけどね。

解けないなーとか思って、巻末の略解開いてみたら
「略」としかかいてないとき、プチ切れそうになる。

>>680
> 数学の専門書の場合、解答がないのが普通だけどね。
これってまったく悪しき慣習だよな。
計算機学者のKnuth先生の本にはかならず詳細な解答がついている。自習を励行するためだ。
「"1+1=2を証明せよ""上の定理を証明せよ"などという
不愉快な問題は入れないように努めた」とある。
解答の貧しい本は指導者に恵まれなければなかなか読みづらい。
一人でやってると、どうしても >>681 のような状況に陥るんだよね。

どのレベルの本なのかというのにもよるけど、アメリカ人の書いた本だと、多めの練習問題と
親切な解答が書いていることが多いから、この点は日本人も見習ってもいいのではないかと思う。

特に学部の３年くらいまでの本だと。

4

「略」とも書かずに、解答を掲載しない場合もある。
大学生で、数学の入試でパスできるなら、良い指導者に恵まれなくとも、
一生懸命本を読んでいけばなんとかなる。
それでどうしても本が難しい場合は、他の類書を読んでみるといいと思う。

数学の本だけ一生懸命読んでいられるわけではないのよね。
私のような非専門の人間はさ。

お前らよう、数学の最前線で研究してる数学者に解答集なんて無いんだよ。
自分で解答を探すしかない。しかもその解答が正しいと判定してくれる
人もいないんだよ。世界中どこを探してもいない。何故ならその問題を
解いたのは世界中で彼だけなんだよ。まあ、論文を発表すればいずれ
判定してくれる人が出てくるが、そのとき間違ってましたじゃ、
しゃれにならないんだよ。数学者とは違う？　当たり前だろ。
たかが演習問題だ。解けて当たり前。甘ったれるな。

>>679
結構難しい本だよそれ。
M2のオレですら、苦戦を強いられている。
学部生でそれを読めるやつなんかいないんじゃないかな？

>>688
M2かよ。

M台とM崎かよ。

君と僕、二つの点からなる集合に、密着位相を入れたいんだ！

>688
それ、ギャグで言ってんのか？　釣りか？

田村さんのって、岩波全書のでなくて？
漏れの勘違いなら、ゴメンよ！

>>692
彼は本気だよ。そっとしてageてください。

>>692
理解力は人それぞれ。
理解してしまえば、かかった時間など関係無い。
車の免許みたいにね。

そりゃ、その通りなんだがなぁ。
でもアンタ、はーとしょーんをみなtrivial扱いしてたやんか。
頭良いんだろ？　何で今頃岩波全書なんか読んでんだよ。

>>695
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1062383371/315

>>696
ｻﾝｸｽｺ

>セミナーの誰もが整係数ホモロジ−群を知らなかったので、

そりゃあ先生切れるだろうがよ。
教官の見識の方が狭すぎるか？？？

単に整係数ホモロジ−群を知らないだけでは田村先生の本には移らないと思うのだけど。
それまでのセミナーでの問題点がつもりつもって、最終的に「基礎からやり直しましょう」
ということになったのでは？

位相について、 「集合・位相」 (松坂) で勉強しています。

今のところ位相を 「集合Sの冪集合の部分集合」という理解をしています。
しかし、この理解だと、そんなもの考えて何が嬉しいの？と思えてしまいます。

そういうのを考えると嬉しいことを実感したいのですが、どんなものを勉強すれば
良いのでしょうか？

>>699
続けて読んでください。

>>699
距離空間って知ってる？
知らなかったら距離空間を先に勉強したほうがいい。

>>699
701の言うように距離空間を先に勉強するのもいいかもしれないが、数学では
「集合Sの冪集合の部分集合」くらいのものを考えるのは極めて普通なので、
それくらいでいちいち不安になる必要はない。

見通しを良くするために,少し先をチラッと覗いてくるのもいいかもね.
でも,いま自分がいるところに戻ってくることを忘れないようにね.

松坂の本って距離空間を一般位相の後に導入してるの？
もし、そうだとしたら教育的にはいいと思えないな。
ブルバキもそうだけど、あれは最初に読む本じゃないから。
大抵の重要な位相空間は距離空間であるし、
歴史的には距離空間が先に考えられた。
歴史の順番通りに必ずしもやる必要はないけど、
論理的順番を優先させるのも考えものだと思う。

位相がどうのこうのなんて、出来る人なら躓くような所じゃないから気にすんな

最近、Which不一致氏を見かけないが、どうしたんだろう？

> 大抵の重要な位相空間は距離空間
なんだけど、距離空間で無い T0 や T1-空間も情報科学で有効に使われてるらしい。
これを聞いて、数学の凄さを改めて感じた。

> 松坂/集合・位相入門
R^nの距離と位相をやったのち、すぐに一般的な位相空間に入る。
『前節で Euclid 空間について概観したことは、本節以後で述べることに関する
　直感的なイメージを与える便宜を提供するであろう』(p.152)
まず開集合系により位相を定義。
その後、この定義が閉集合系、近傍系etc による定義と実質同じ事を見る。
延々と位相に関する基本的な事項を説明した後、距離空間に入る。

>>704
> 歴史の順番通りに必ずしもやる必要はないけど、
> 論理的順番を優先させるのも考えものだと思う。

同意。

やっぱり、一番理解の助けになる道は
ユークリッド空間の位相（R^n）→一般の距離空間の位相→位相空間論だよね。

松坂和夫先生の本は全体的にとてもいい本だと思うけど
そこんとこだけは入門書としては間違いだったと思うな

>>709
折れは、
ユークリッド空間の位相（R^n）→位相空間論→一般の距離空間の位相
のほうがかえってわかりやすかった。人によって向き不向きがあると思う。
さすがに、ユークリッド空間の位相をやらずにいきなり位相空間をやるのは
まずいと思うが。

位相の良書といえば
内田伏一の本だね

漢なら Bourbaki の "General Topology" で勉強。

>>712
Bourbaki の General Topology はいいね。最初に読む本じゃないけど。
ただ、日本語訳（by森毅）はイマイチだと思う。
原文では「一意的に存在する」と書いてあるところを単に「定まる」とか訳し
てたりして（簡潔にしたつもり？）、わかりにくい箇所が多い。仏語か英語訳
で読むことをお勧めする。

あぼーん

位相は巡る。

３０

29

Ｃ＋＋。

katarou

189 名前：某D 投稿日：03/05/21 16:23
まったくワシの教授は出て行ってしまったわな。後で聞いたら土けん屋にゴツイ
いやがらせされてた話。いま週一で出て行った先に指導受けにいってる
けど、多元で学位は取れんな。ここ数年はマシな教授は出て行くだろうから、
もう多元もオシマイや。ついでにワシも。

30

「ベクトル空間Vがノルム|　｜_Vに関して局所コンパクトなら完備である」
というのが分かりません。実数の普通の絶対値に対して実数のコーシー列が収束するのと
似たような証明で出来るんでしょうか？

原点の近傍でコンパクトなものを定数倍で膨らませてみるといいかも

>>723
レスありがとうございます。Vが体F上のベクトル空間とします。
V内の数列{a_n}がコーシー列のとき、lim[n→∞]{a_i(n)}=αなる部分列が存在することが言えれば

|a_n-α|_v<|a_n-a_i(n)|_v+|a_i(n)-α|_v→0　(n→∞)

となり、lim[n→∞]{a_n}=αとなるのは分かるのですが部分列が存在することが分かりません。

Wを0∈Vのコンパクトな近傍としたとき、{a_n}⊂cW={cw|w∈W}(∃c∈F)が言えれば、
cWのコンパクト性より{a_n}の収束する部分列がとれるのは分かります。
ただ、どんなcをとっても{a_n}がcWに含まれない場合もあるんじゃないかと思ったのですが。

もう少し考えてみます。

>>724
あとちょっとだね
Wが近傍であることと、コーシー列の性質を使えばできるよ

{a_n}はコーシー列だから適当なδを一つ固定すると十分大きいm,nに対して|a_n-a_m|_v<δ
よって|a_n|_v<M(n=1,2,...)なる定数Mが存在する。

また、Wは0∈Vの近傍だから0のε近傍U={x∈V| |x|_v<ε}⊂Wなるものが存在する。

M<|c|_Fε(| |_FはFの付値)なる0≠c∈Fをとると、{a_n}⊂cU⊂cWでcWはコンパクトだから
{a_n}の収束する部分列がとれる。

というように考えたのですが、「M<|c|_Fε(| |_FはFの付値)なる0≠c∈Fをとる」
というｃがとれるのか気になります。実数の普通の絶対値なら|c|がいくらでも大きくなるような
cは明らかにとれますが、一般のF上の付値（例えば自明な付値）だと言えないのではないかと
思ったのですが。

FがRかCだと思ってた
一般のFなら先に0のε近傍でWの中にあるものをとって、それからεにたいしてコーシー列から
nを決めて|a_n -a_m|<ε (m>n)にしてから、Wをa_nまで平行移動させてやればいいと思う

やっと分かりました。
こんなことに気づかないなんてアホだ…

ありがとうございました。

空間

age

ユークリッド空間ではどんな半径ｒの円を取ってきても、
有限個の半径ｓ（ｒ＞ｓ）の円で覆うことが出来ますが
一般の局所コンパクト距離空間でもこれは言えますか？

738

位相むずいよTT
それで気になるやつ質問。
Xに位相O1,O2を入れたときO1では開集合でもO2では開集合ではないものって
ありますよね。
それで連続写像f:X→Y（Yも位相空間）について
開集合の逆像も開集合だと連続ってのがあるけど、
Yの開集合をBとしてA∈O1がBの逆像だった場合、fは連続となるけど
O2で考えたときAもO2に含まれるとは限りませんよね？
つまり同じ写像でも位相の入れ方によって連続だったり、そうでなかったり
するっていう理解でいいんですか？
すごい気になってるんで誰か教えてください・・・

>>733
まったくもってその通りだ。
ところでXに離散位相(開集合系としてXの冪集合を取ったもの)を入れれば
任意のY(位相空間)とf:X→Yに対してfは連続となる

>>734
おお、ありがとう御座います。

＞ところでXに離散位相(開集合系としてXの冪集合を取ったもの)を入れれば
＞任意のY(位相空間)とf:X→Yに対してfは連続となる

これはXの任意の集合が開集合だから、任意のYの部分集合の逆像も
開集合であってるかな、
なんか面白いですね。

あ、あと位相は近さとかの概念を表すもんだと言うけど、
具体的なイメージがつかめません・・
これはどういったことなんですか？

開集合に含まれてる点は含まれてない点より近くて、
さらにその集合に含まれる開集合の点は更に近い、
っていうのでいいのかなぁ、うーむ。。

あー７３４さんのでちょっと思いついた・・
aについて連続っていうのは
ようするに、それに限りなく近い値をとるっていうのだから、
位相の入れ方によっては連続になったり、そうでなかったり。
つまり近かったり、遠かったりっていうのが定まる。
例えばf(x)=1 (x>0) f(x)=0 (x≦0)ていう写像があったとき
Rに離散位相をいれればx=0についても連続で、
f(0)=0とlim[x→+0]=1は近いっていうことなのかな。
見当違いなことだったら恥ずかしい・・・
てか書き込みすぎですねｍ（＿　＿）ｍ

>>738
後半の例は逆。
{0}が開集合なので0に収束する点列は有限項を除いて0に一致するもののみ、つまり0に近い点は0だけ。
すべての点が互いに離れているからこそ離散位相という。

反対に密着位相はすべての点が近い。
例えば密着位相をいれたXから実数（通常の位相）への連続写像は定数写像のみ。
直観的には、すべての点が互いに任意に近く、それらが任意に近い値をとらねばならないから。

しかし、（距離空間でない）一般の位相空間を考えるときは遠近のイメージから徐々に離れていったほうがよい。
むしろ何をもって連続とするかを決定するために位相を導入する、ともいえる

R上の開区間が通常の位相に関してコンパクトでないことは
どう証明するんですか？

>>740
与えられた開区間をI=(a,b) a<b とする。
a<a_n<b_n<b であってlim[n→∞]a_n=a , lim[n→∞]b_n=b
となる数列{a_n},{b_n}をとる。
Iの開被覆として∪[n=1〜∞](a_n,b_n) をとれば、これの有限部分開被覆は
Iを覆わない｡従ってIはcompactでない｡

平山が童貞である事の証明を凸結合と絡めて証明せよ

Ｒに（−∞，ａ）（−∞≦ａ≦∞）を開集合とする位相を入れる。
ＡがコンパクトなのはＡ＝０またはｍａｘ（Ａ）が存在するとき。
ａ∈Ｒに対してａの近傍でコンパクト集合に含まれるものが存在する。
ａの近傍の閉包はコンパクトではない。

連結、弧状連結、局所連結はそれぞれ違いますが、
連結ではあるが弧状連結でも局所連結でもない例や
連結かつ局所連結ではあるが弧状連結ではない例...etcはあるのですか。

age

>>744
> 連結ではあるが弧状連結でも局所連結でもない例

例えば良く知られた例で、R^2で

A={(x, sin 1/x); 0 < x <= 1}, B={(0, y); -1 <= y <= 1},
C=A∪B

としてやったCで良いかと。CがAの閉包と一致してAの連結性から連結。
しかしBの元(0, y)のCでの近傍で連結となるものはとれない。またAの
元とBの元を結ぶ連続な弧は存在しない。

> 連結かつ局所連結ではあるが弧状連結ではない例...etcはあるのですか。

こっちは誰か詳しい人おねがい。

>>746
> 連続な弧は存在しない。

「C内に存在しない」、の間違いですた。ごめん。あと「元」じゃなくて
「点」と言った方がいいか。

更に訂正。なにやってんだ俺。

> しかしBの元(0, y)のCでの近傍で連結となるものはとれない。

「Cでの基本近傍系で連結集合からなるもの」の間違い。連結な
近傍ならばC自身を含めていくらでもある罠。

>>748
教科書に載ってたからその例は知ってたけど、サンクスコ。
しかし、弧状連結なのに局所連結でない例なんては考えても無意味なのかなあ。

(S',O')を位相空間　f:S→S'　を任意の写像として、
O={f^(-1)(A)|A∈O'}を作ると、OはSの位相となる。の証明で
S∈Oだけがどうしても自明な様に思えません。
どう考えればいいのですか？

分かりました。ゴメンなさい。
f(S)=S'　だからっすよね。逝って期末

>>751
f は全射とは限らないんじゃ？
S の任意の元 x に対して、x∈B_x, B_x∈Ｏ となる B_x が存在する。
∪{B_x｜x∈S} = S だから、S∈Ｏ。

>>751
S=f^(-1)(S') と言えばよかったんだな。

Ｒ（Ｚ＾２）はＲ＾２の部分空間で連結で弧状連結で局所連結でない。

Ａが順序集合で任意のＢ，Ｃに対してＡ＝Ｂ∪Ｃ，Ｂ≠０，Ｃ≠０で
ｂ∈Ｂ，ｃ∈Ｃならばｂ＜ｃとなるとき
Ｂに最大値がありＣに最小値がないか
Ｂに最大値がなくＣに最小値があるとき
Ａは連結で局所連結でａ∈Ａ，ｂ∈Ａ，ａ＜ｂでａ，ｂを結ぶ曲線があるとき
｜｛ｘ｜ａ≦ｘ≦ｂ，ｘ∈Ａ｝｜＝｜Ｒ｜。

Ａを２＾Ｒを整列したものとしてＡ×［０，１）に
ａ＜ｂまたはａ＝ｂかつｓ≦ｔのとき（ａ，ｓ）≦（ｂ，ｔ）とする順序を入れると
連結で局所連結で弧状連結でない。

Ａを２＾Ｒを整列したものとする。
ｍ＝ｍｉｎ｛ｓ｜ｓ∈Ａ，｜Ｒ｜＜｜｛ｘ｜ｘ＜ｓ，ｘ∈Ａ｝｜｝。
Ｂを｛ｓ｜ｓ＜ｍ，ｓ∈Ａ｝の有界でない部分集合全体に
ｍｉｎ（（Ｃ−Ｄ）∪（Ｄ−Ｃ））∈Ｄのとき
Ｃ＜Ｄという順序をいれたものとすると
Ｂの異なる二点を結ぶ曲線はない。

あげ　

33

ほしゅったらageろ！

age

位相という概念があるのなら、

稲相という概念もあるだろう。　はたまた否相かもしれんが。

おいらの本「距離空間と位相構造」には連結なユークリッド空間
は弧状連結であるという証明がしてあるが、これは一般の
距離空間では成り立たないの？７４６あたりを見ると
どうやら無理っぽいが。。。。。。。。。。。。。。。。。。

Re:>>760 ユークリッド空間の連結部分集合は弧状連結だが、
一般の位相では、連結で弧状連結でない場合がある。
ちなみに、弧状連結な集合は、同じ位相に関して連結になる。

>>760
連結でないユークリッド空間があるのかと小一時間(ry

位相線型空間になら一般化できると思われ。線分を取ればよろしい。
この場合凸集合の連結性が便利に使える。R^1ならば空でない連結
集合は区間に限る、という強い主張が成立して、区間Iから区間Jへの
狭義単調な連続全射が同相写像になることの証明に使える。

>>761
R^2のユークリッド位相で弧状連結でない連結集合の例(シヌソイド)が
>>746に出てるんですが…

Re:>>763 仕方の無い人だ。
多様体は、自身の位相に関して連結ならば、弧状連結である。

シヌソイドは一次元多様体になりませんが、何か？ 櫛形空間も。

Re:>>765 別にシヌソイドが多様体になったり弧状連結になったりするなどと云うつもりではないし。

>>744, >>760
完備距離空間では連結かつ局所連結ならば弧状連結らしい。>>754の
連結かつ局所連結で弧状連結でない例が、R^nで作れないのはこの理
由によるもの。手許の

Engelking, R., _General Topology, Revised and Completed Edition,_
Berlin, Heldermann Verlag, 1989.

では「局所連結な完備距離づけ可能な空間Xの開連結な部分空間Vにおいて、
相異なるVの二点x_1, x_2に対して、x_1とx_2を含む単位区間Iと同相なVの
部分空間が存在する」という形で載っている(p.376, 6.3.11)。

この定理はK.Menger(Monatsh. fuer Math. und Phys. 36 (1929), 193-218.)
及びR.L.Moore(_Foundations of Point Set Theory,_ New York, 1932)による
ものらしい。

ちと訂正。

> 完備距離空間では連結かつ局所連結ならば弧状連結らしい。

「完備距離空間は連結かつ局所連結ならば弧状連結。」従って、

> 連結かつ局所連結で弧状連結でない例が、R^nで作れないのはこの理
> 由によるもの。

ここは「連結かつ局所連結で弧状連結でない閉集合の例が、R^nで作れな
いのはこの理由によるもの」となる。Engelkingに載ってる定理だと開集
合でも連結かつ局所連結ならば弧状連結ということになる。

松坂先生の「集合・位相入門」の次は何読んだらいいですか。
複数でもいいので挙げてください。

前にどこかで書いたけど、

Kelley, J.L., _General Topology,_ NJ., Van Nostrand, 1955.
(児玉之宏訳 『位相空間論』 吉岡書店 1968.)

Bourbaki, N., _Topologie Genarale,_ Paris, Hermann, 1940-1961.
(『ブルバキ数学原論 位相1〜』 東京図書.)

河田敬義、三村征雄 『現代数学概説 II』 岩波 1965.

児玉之宏、永見啓応 『位相空間論』 岩波 1974.

Engelking, R., _General Topology,_ Berlin, Heldermann, 1989.

てなところでは？児玉・永見が再版中とは知らなんだ。買うべきか？

位相空間ヲタ以外は他分野の本を読むのが普通だろ

>>770
ありがとうございます。
上2冊は問題演習時に参考にしたことがあった気がします。
上のほうが読みやすかったかな。
>>771
この分野は現在あんまり研究されてないんですか？

ほしゅったらageろ！！！

初心者で申し訳ございませんが、どうしてもよくわからないことが
ありますので質問させてください。
1.　一般位相論=位相空間論(=位相数学)であり、一般位相論≠位相幾何学
で合ってますか？
2.　「かたい幾何学」「やわらかい幾何学」で比喩される
数学の分野は、前者については一般的に高校までで知るところの
(すなわちユークリッド的な)幾何学および非ユークリッド的幾何学
(および射影幾何学等々)であると思いますが、後者にあたるものは
位相空間論が正しい見方ですか、それとも位相幾何学が正しい見方ですか？

ばかばかしい質問であると思いますが、どうか回答の程よろしくお願い申し上げます。

>>775
general topology は連続性云々で(・∀・)ﾆﾔﾆﾔするもので、
topologyは連続性が保持されるもので(・∀・)ﾆﾔﾆﾔするもの

微妙に違う見解をしてみる。
general topology は位相同型で(・∀・)ﾆﾔﾆﾔするもので、
topologyはホモトピー同値で(・∀・)ﾆﾔﾆﾔするもの

位相幾何学はきったはったのやくざのような学問

544

二つの位相が同じであることを示すにはどうしたらいいの？
なんか､片っぽ位相の開集合の中にもう片っぽの位相の開集合が
取れて､なおかつさっき片っぽとか書いた二つを入れ替えても
同じことが言える時だったような気がするけど。なんかいまいち
納得できない。だれか、うまく説明してよ。

1. 恒等写像が同相写像
2. 開集合系が同じ(開集合系による位相の定義)
3. それぞれの開基底が互いに他方の開基底(2.の系)
4. 閉集合系が同じ(2.の双対)
5. 任意の部分集合の閉包が同じ(4.の系:Kuratowskiの閉包公理による位相の定義)
6. 任意の部分集合の開核が同じ(5.の双対)
7. 各点の近傍系が同じ(各点の近傍系による位相の定義)
8. 各点でそれぞれの基本近傍系が互いに他方の基本近傍系(5.の系)

他にもあるんだろうけどさ。

例えば8.の例だとR^nの通常のユークリッド距離に対して
x=(x_1,...,x_n), y=(y_1,...,y_n)について
d(x, y) = max |x_i - y_i|
で定義した距離による位相が同じになることは、それぞれ
の開球を基本近傍系として証明してやればいい。

d(x,A)=inf{d(x,a)｜a∈A}
B(ε,A)={x｜d(x,A)<ε}
dH(A,B)=inf{ε>0｜A⊂B(ε,B)∧B⊂B(ε,A)}
とする。このとき
　　dH(A,C)≦dH(A,B)+dH(B,C)
を示せ。

・・・うろ覚えなので問題が間違っていたらすみません。かなり頑張りましたが全然解けませんでした。どなたかお願いします。

"Hausdorff metric"でネット検索汁。つうか、

A⊂B(ε,B)∧B⊂B(ε,A),
B⊂B(δ,C)∧C⊂B(δ,B)

とおいて、x∈A, y∈Cに対して

d(x, C) <= d(x, B) + d(y, B) < ε+δ,
d(y, A) <= d(y, B) + d(x, B) < δ+ε

を示せばいいんでないの？そうすれば

A⊂B(ε+δ, C) かつ C⊂B(ε+δ, A)

となるのでは？あとは下限の定義。

>>782
B を二つの意味で使うな!

dH(A,C)の定義から、dH(A,C) ≦ dH(A,B)+dH(B,C) を示すには
ε = dH(A,B)+dH(B,C) とおいたとき
A⊂B(ε,C)∧C⊂B(ε,A)
が成り立つことを示せば良い。

dH(A,B)の定義から
∀a∈A d(a,B)<dH(A,B)
⇔ ∀a∈A ∃b∈B d(a,b)<dH(A,B)
が常に成り立つ。
∀a∈A ∃b∈B d(a,b)<dH(A,B)
∀b∈B ∃c∈C d(b,c)<dH(B,C)
より
∀a∈A ∃b∈B ∃c∈C d(a,b)+d(b,c) < dH(A,B)+dH(B,C).
また
d(a,c) < d(a,b)+d(b,c) なので
∀a∈A ∃c∈C d(a,c) < dH(A,B)+dH(B,C)
⇔ ∀a∈A d(a,C)<ε ⇔ A⊂B(ε,C).

C⊂B(ε,A)も同様。

d(a,c) < d(a,b)+d(b,c) じゃなくて d(a,c) ≦ d(a,b)+d(b,c) だな。
関係無いけど。

細かい話だけど、

> dH(A,B)の定義から
> ∀a∈A d(a,B)<dH(A,B)

これは一般には成立しないのでは？特にA=Bならば両辺ともに0で距離の公理を
満たすと。

>>786
うわっ、ほんとだ。といわけで、訂正してみた(笑

dH(A,C)の定義から、dH(A,C) ≦ dH(A,B)+dH(B,C) を示すには
ε = dH(A,B)+dH(B,C) とおいたとき
∀δ>0 A⊂B(ε+δ,C)∧C⊂B(ε+δ,A)
が成り立つことを示せば良い。

dH(A,B)の定義から
∀δ>0 ∀a∈A d(a,B)<dH(A,B)+δ
⇔ ∀δ>0 ∀a∈A ∃b∈B d(a,b)<dH(A,B)+δ
が常に成り立つ。
∀δ>0 ∀a∈A ∃b∈B d(a,b)<dH(A,B)+δ
∀δ>0 ∀b∈B ∃c∈C d(b,c)<dH(B,C)+δ
より
∀δ>0 ∀a∈A ∃b∈B ∃c∈C d(a,b)+d(b,c) < dH(A,B)+dH(B,C)+δ.
また
d(a,c) ≦ d(a,b)+d(b,c) なので
∀δ>0 ∀a∈A ∃c∈C d(a,c) < dH(A,B)+dH(B,C)+δ
⇔ ∀δ>0 ∀a∈A d(a,C)<ε+δ ⇔ ∀δ>0 A⊂B(ε+δ,C).

∀δ>0 C⊂B(ε+δ,A)も同様。

どうもありがとうございます。
まだ全部理解出来てませんが、頑張ってみます。

位相習いたての大２です。
二つの位相空間X.Yの同相を示す場合は、一方が一方の全単射であることも示さなければいけないんですか？

>>789
「一方が一方の全単射」って何よw
まず集合論きっちりやったほうがいいんでない？

じゃあ真面目にかきます。
XとYの同相を示すためには、f:X→Yとf^(-1):Y→Xが連続写像であることのほかに
写像f:X→Yが全単射であることも示さなければならないのですか？

>>791
「f^(-1)」って何よｗ
やっぱ集合論きっちりやったほうがいいんでない？

f^(-1)は、fの逆写像です。

>>793
「逆写像」ってなによｗ
って、ちゃかしてばかりじゃ悪いからマジレスすると、
「逆写像」ってのはどういうときに存在するの？

あー、もうわかったからいいです

>>791
ちょっと可哀想だからマジレスすると、キミがいいたかったのは
「f: X → Y、g: Y → X という連続写像が存在してgf = id、fg = id」
を示せば X と Y が同相か？ ってことなんじゃないの？
それならOK。

ひどいですね。

全射の右逆写像を切断と云いますが、
単射の左逆写像は、何と云うのですか？
それは位相幾何学で出ますか？

>>798
retraction じゃない？ 日本語は何になるのかな。

彌永・小平、『現代数学概説 I』では「引き込み。」

>>800
なるほど「引き込み」か。しかしいまいちピンとこないな。
そうすっと、section は「切り込み」かなｗ

真面目に答えると「切り口。」この本では右逆写像、左逆写像を非常に
頻繁に使ってるね。帰納的極限や準同型定理あたりでも、右逆写像によ
る存在証明をしている。

準同型定理、それはG/Ker(f)=Im(f)なるものか。
G,Hは群とする。f:G→Hを群準同型とする。
G→G/Ker(f)の右逆写像を証明に使うということか。

>>803
ちょっと意味わかんね。何が言いたいの？

ちなみに G→G/Ker(f) の retraction は
存在するとは限らないけど。

>>804
あ、スマソ。"retraction" じゃなくて "section"
は存在するとは限らない。

っていうか、今書いてて気付いたが >>803 は
準同型の section じゃなくて、単に集合論的な
section のこといってんのか？

Ker(f)/G → Im (f) なる(同型)写像の存在。
準同型写像をf:G→H, 標準射影Φ:G→G/Ker(f), 包含写像j:Im(f)→H,
同型写像g:Ker(f)/G→Im(f)として図式(ずれたらゴメン)

G → H
↓ ↑
G/Ker(f) → Im(f)

が可換になるわけだけど、Φが全射であることを使って右逆写像
s:G/Ker(f)→Gをとるとき、合成写像 f \circ s: G/Ker(f) → H
の全像がIm(f)と一致して、こいつをG/Ker(f)からIm(f)への写像
gと見れば良いということ。

つうか、ここは「位相」スレなんだが…

んじゃ「位相」の話をしよう。

i: X → Y を位相空間の間の連続単射とし、
「i に retraction が存在するか？」という問題を考える。

i に retraction が存在したとすれば、
ホモロジー群の準同型 H(i): H(X) → H(Y) にも
retraction が存在する。つまり、H(i) は単射であり、
かつ H(X)（の像） が H(Y) の直和因子にならなけ
ればならない。

この方法で retraction が存在しないことを示せる
i: X → Y の例を挙げよ。

>>806
>>806
> 同型写像g:Ker(f)/G→Im(f)

Ker(f)/GじゃなくてG/Ker(f)だった。ゴメン。

152

股間位相

324

Hausdorff空間の部分空間ってHausdorff空間になりますか？
もしそうだったら定理として教科書に載ってそうなんですけど
そんな定理見当たりません。

ごめんなさい。わかりました。出直してきます。

賦値体は位相体だが、
加藤一也の超局所体は、収束概念はあるが、位相体にならない。
あれは何なのだ。

位相体を知らんのか？

無限次元の空間って何を連想すればいいの？
例えばコンパクトでなくても、何か別の条件を付けて、
実連続函数が最大値を取るって弧と言えないの。

I の無限直積は何故糖質空間なの？

三年三分。

オマコンパクト空間ってなんですか？数学辞典にも載ってないんですけど・・・

つまり物理学辞典には載ってる訳でつね。

>>820
おまんこ空間なら知っているが

このスレも終わりか

643

演習問題
f ： R → X, g： X→ R
が右連続、上半連続であることをそれぞれ R の別の位相での連続性に置き換えて述べよ

>>825
鳴瀬さんの出番ですよ。

位相野カツオ

>>827
くたばりやがれ！

幼女がふたなりｲｸｯｲｸｯｳ

>>827
ﾜﾛﾃｼﾓﾀ

>>829
もっとくたばりやがれ！

もうこのスレには位相に詳しい人は居そうにないなあ

位相に詳しい人 = あらゆる位相に精通した、開集合の達人

位相は、各点の近傍系によって述べられるべきである。

Xを集合とし、OをXの開集合系、∀a∈Xに対してh(a)はaの近傍系全体のなす集合とし、hはHausdorffの公理を満たすとする。
o∈O⇔∀a∈o,∃b∈h(a),b⊂o

FeaturesOfTheGod ◆
>>825
を解いてみよ。

Re:>836
[a,∞)という区間全体から成る集合系から生成される開集合系。

Re:>836
実数空間に、[a,∞)という区間全体からなる集合族から生成される開集合系による位相を入れたときに連続であることが、右連続。

今度こそ。
Re:>836
実数空間に、[a,b)という区間全体からなる集合族から生成される開集合系による位相を入れたときに連続であることが、右連続。

右連続はやっと当たったな。おめでとう。
では上半連続は?

Re:>840
実数空間に、(-∞,a)という区間全体から成る集合族から生成される開集合系による位相を入れたときに連続であることが、上半連続。

あたり。
God にしては珍しいな。
これから少し認識を変えよう。

Re:>842 何が珍しいのか。

この位相がハウスドルフではなく、これが実質的に意味を持つというところがポイントだ。
>>843
まさか教科書丸写しじゃないだろうな。
これを書いた教科書を私は知らないから、一応ほめておこう。
God は少なくとも大学1年前期最低レベル以上はある。
（誤解するなよ。「以上」だから、大学院も含まないとは限らないとは、
限らないとは、限らないとは、限らないとは、限らないとは、限らない）

Re:>844 一文だけで右連続、上半連続を説明している教科書ってのを一度見たみたいものだ。

>>845
＞一文だけ
でないならあるのか?

FeaturesOfTheGod ◆
位相で見直したのにほかで又株を下げたな。

122

293

てｓｔ

FeaturesOfTheGod ◆
は数学板のｴﾑｼﾗ

あれ？ｴﾑｼﾗって四色問題の人じゃなかったの？

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDMはエムシラ並みのウザ野郎って事だろ。
書き込みの内容は数学的にずっと下だが。

距離位相、近傍位相、開集合位相、閉集合位相、閉包作用素・・・
有向点列そして最後にフィルターの順に学ぶべし。余裕があったら一様位相構造もどうぞ。
一様収束が位相で定義できます。（一般の場合はsupノルムで定義できまへん）

漏れの場合背伸びして最初に開集合位相をやったけど、論理としては理解できたが
使いこなすことが全くできなかった。距離位相、近傍位相とやって初めて使えた覚えがある。
一般論としては開集合位相が一番使いやすいんだがね。

>>854
> 近傍位相、開集合位相、閉集合位相、閉包作用素
位相空間の同等な定義なのだが・・・

>>855
それを学習するのが初学者の主なテーマの一つと言える。
論理的に同値であることと、概念的に同じであることは区別する必要がある。
解析函数と正則函数、２次曲線と円錐曲線これらの同等性と同じく自明とは言えない。
初歩の位相空間論は、位相同値命題を並べてそれらの同等性を確認する演習がかなり有効だよ。
どれから出発して同じと言うことが分かればよし。
位相空間というのは、最初に位相空間であると指定した位相構造（普通は開集合族）に同値な
構造の総体だなんて、初心者にわかるわきゃない。

マジでやるんなら実数論もお忘れなく。

実数論てコーシー列とデデキントカットだけでしょ？

>>856
たかが位相空間で熱くなるなよ・・・

> 位相空間というのは、最初に位相空間であると指定した位相構造（普通は開集合族）に同値な
> 構造の総体だなんて、初心者にわかるわきゃない。

近傍系，開集合系，閉集合系，開核，閉包のいずれで
定義した位相も互いに同等であることは，初心者用の
演習問題だぞ

準開基について教えてください。
開基については分かりました。
調べたら開基は基底とも言って、準開基は基底の基底、と書かれていました。

初心者といってもレベルがあるのでは（ｗ
それが理解できる香具師は　位相ムズいといっても理解できんとはいわない

Re:>859
教科書読め。
Xを集合とし、Oをその開集合系とする。
BがXの集合族で、任意のY∈Oに対してあるZ∈Bが存在して、Z⊆Yとなることと、
Bが開基になることは同値である。
Bが準開基であるとは、任意のY∈Oに対して、ある有限個のZ_{1}∈B,…,Z_{n}∈Bが存在して、∩_{k=1}^{n}(B_{k})⊆Yとなることである。

基本的には 861 と同意見だが、入門書にない見方を知りたいんだろうから説明しよう。
Xを集合、Bをその部分集合族とする。Xの位相でBの元をすべて開集合とする物の
最小をO、すなわちBで生成されるXの位相をOとする。
（Bの元を開集合とするXの位相すべての交わりにを取ればそれがO)
このときBを位相Oの準開基という。要するに準開基とは位相の生成系のことだ。
Bの元有限個の交として表される集合の全体をAとすれば、Aは位相Oの開基である。
（ただし、空集合族の交は全空間Xと規約する）
この意味でBは開基Aの基底であるといえ、通常の定義と同等なことが分かる。

Oの準開基にその任意有限個の交を添加し拡大した集合族はOの開基である。
OはBの元を開集合とする位相の中で最も粗いものである。

以上はやさしい入門書には無いかも知れないが、詳しい教科書にはのっていると思う。

>>862
>>入門書にない見方を知りたいんだろうから
そうなんです。
察知してくださってありがとうございます。
とても細かく分かりやすくありがとうございます！！

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM
ウザイ

せっかくの位相もGodが出てくるとクズになるな

Re:>865 お前に何が分かるというのだ？

>>866
また、そのセリフか！たまには違う答えを返してみろ！

Re:>867 お前にはこのセリフしか見えないのか？

FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM もいい加減にしとけよ。
今お前のやってることが上げ荒らし以外の何だというのだ？

Re:>869 2chでの意見交換。

>>870
はぁ？
ストーカー予告じゃなかったの？

>>870
意見交換？
お前が彼女がどうのこうのと上げ荒らしをして、他のみんなにそんなことはやめろと言われているだけだろ。
いいかげんにしろよ。

Re:>871 お前はここに何しに来た？
Re:>872 位相が分からないからってその言い草は無いだろう。

986

そうだよね
　 ∧＿∧　　　∧＿∧ 　 ＼　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　（　・∀・）　　（・∀・　） 　　｜＜ なんか最近Kingウザイんだけど
　（　　　　）＿_（　　　　）　 ＿| 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
_∧　　∧＿∧￣￣￣／.／／|　
　　)　（　　　　）　　／┃.| ｜
　￣￣￣＼　)＿／　　　|__|／
　　　　　　｜|　┃
　　　　　　｜_）

Re:>875
お前ここを何処だと思っている？

>>838-841 のやりとりでは重要なことが抜けているな。
それは「定義域の位相か、値域の位相か」という論点。
右連続や左連続は定義域の位相の話で、上半連続や下半連続は値域の位相。

>>877
>>825

そうだよね
　 ∧＿∧　　　∧＿∧ 　 ＼　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　（　・∀・）　　（・∀・　） 　　｜＜ ゴキブリKingはウザイよね
　（　　　　）＿_（　　　　）　 ＿| 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
_∧　　∧＿∧￣￣￣／.／／|　
　　)　（　　　　）　　／┃.| ｜
　￣￣￣＼　)＿／　　　|__|／
　　　　　　｜|　┃
　　　　　　｜_）

597

Re:>879 お前に何が分かるというのか？

ほんとなの？
　 ∧＿∧　　　∧＿∧ 　 ＼　　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　（　・∀・）　　（・∀・　） 　　｜＜ Kingが数学パラリンピックに出場するって
　（　　　　）＿_（　　　　）　 ＿| 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
_∧　　∧＿∧￣￣￣／.／／|　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　)　（　　　　）　　／┃.| ｜
　￣￣￣＼　)＿／　　　|__|／
　　　　　　｜|　┃
　　　　　　｜_）

Re:>882 数学パラリンピックって何だよ。

>>883
「1+1＝2」を100回、一番速く書く競技とかじゃないの？

942

583

位相は丸を書くだけ位のやさしい話なんだが
なぜかわからん椰子にはわからんらしくて
数学者がウマーしている世界だと思うｗ

Re:>887 分からない奴は予備知識が足りないからだろう。それ以外の原因が考えられない。

>>887
所詮、数学者のオナニーなんだけどねw

>>887-888
是非、ポアンカレの予想のPerelmanとは違う証明を与えてください！

Poincareは理論物理学者でしょう。

数学者はオナニーでもしてなさい。

ネーターの定理しってる？

数学オナニスト諸君。

マックス・ネターなのか娘のエミー・ネターなのかはっきり汁!
話はそれからだ。

父親の方ではない。
Amalie Emmy Noether

数学オナニストの諸君。

クラインとヒルベルトが保存則の解釈に苦しんでエミーちゃんに相談したら
オバハンが返したご託宣のことだろ。代数学者らしい解答だよ、あの定理は。
物理の理論系の学部学生なら、ラグランジュ形式の解析力学で必ず習うよな。

対称性で自由度が下がるという奴だな

左右対称の例
　　　　　　　　　　　　　／⌒ヽ,　　,／⌒丶､　　　　　　　,-
　　　　　　　`,ヾ　　 ／　 　　,;;iiiiiiiiiii;､　　　＼　　　_ノｿ´
　　　　　　　　iｶ ／　　 　,;;´ 　;lllllllllllllii､　　　 ＼　ｉｶ
　　　　　　　　iｻ'　 　 　,;´　 ,;;llllllllllllllllllllii､　　　　ｆｻ
　　　　　　　　 !ｶ､._　 ,=ゞiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii!!　＿_ｆｶﾍ.
　　　　　　　/ 　`ヾｻ;三ミミミミﾐご彡彡彡ミヾｻ`´　'i､
　　　　　　 i' 　　,.＿Ξミミミミミミき彡/////ii＿　　　|
　　　　　　 |　　;ｶ≡|ヾヾヾミミミミミぶ､//巛iﾘ≡ｶi　　|
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　　　　 　 |　 iｻ ;iｶ, | ﾘ彡彡川川川川|爪ﾐﾐｉﾘ　,ｶi :ｻ、　|
　　 　　　　,i厂　ｉｻ, |彡彡彡彡ﾉ|川川|爪ﾐミﾘ　,ｻi　`ヘ､
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　　　　　　　　　;ｶ,　　|彡彡彡彡リﾘﾘミミミｼ　 　,ｶi
　　　　　　　 　,;ｻ,　 　|彡彡ノリリﾘﾘミミミｼ　　　 ,ｻi
　　　　　　　 ;ﾒ'´　　　　i彡ノリﾘﾘﾘリゞﾐミｼ　　　　　`ﾍ､
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　　　　　　　　　　 　 ／ 　　　　　　　　 　　＼

良くわからんが、数理物理スレで拘束系がどーたらこーたら
言ってた物理屋さんが、数ヲタの対応にキレてこちらに乱入
してきたのか？

ここは位相のスレだから、相空間の話題はスレ違い

質問です。
空でない集合Ｘの部分集合系Ｙについて、Ｙが集合Ｘのある位相の開基となる必要十分条件は、
[1] Ｘ＝∪Ｙ
[2] Ｂ_1，Ｂ_2∈Ｂ、ｘ∈Ｂ_1∩Ｂ_2 ⇒ ∃Ｂ∈Ｙ s.t. ｘ∈Ｂ，Ｂ⊂Ｂ_1∩Ｂ_2
であることらしいんですが、[2]の条件は、
Ｂ_1，Ｂ_2∈Ｂ ⇒ Ｂ_1∩Ｂ_2∈Ｙ
であることと同じですよね？なぜこんな書き方をしているんでしょうか？

さらに、[1]、[2]をみたす場合の位相は一意的に決まり、｛∪Ｚ｜Ｚ⊂Ｙ｝らしいんですが、これの意味もわかりません。
なぜ、｛∪Ｚ｜Ｚ⊂Ｙ｝が位相になるのでしょうか？ご教授お願いします。

>>901
＞Ｂ_1，Ｂ_2∈Ｂ ⇒ Ｂ_1∩Ｂ_2∈Ｙ
＞であることと同じですよね？なぜこんな書き方をしているんでしょうか？
　
ちがうよ。たとえばX=R^2、Y={Be(x) | x∈R^2,e>0}とする。ただし
Be(x)={y∈R^2 | d(x,y)<e}とする。
するとYは[1]、[2]をみたすけどB1,B2∈Y⇒B1∩B2∈Yはみたさない。
　
＞｛∪Ｚ｜Ｚ⊂Ｙ｝が位相になるのでしょうか？
　
普通に公理みたしてるかどうかチェックしてみりゃいいじゃん。

>>902
失礼！！思いっきり間違えてました。
[2] Ｂ_1，Ｂ_2∈Ｙ、ｘ∈Ｂ_1∩Ｂ_2 ⇒ ∃Ｂ∈Ｙ s.t. ｘ∈Ｂ，Ｂ⊂Ｂ_1∩Ｂ_2
でした・・・！申し訳ないです。
って、間違いだってわかってるようですね。

位相であることのチェックを自分でやってみたところまで書いてみると・・・
Ｘ、φ∈｛∪Ｚ｜Ｚ⊂Ｙ｝は、[1]から明らか。
次に、とりあえず、Ａ_1、Ａ_2∈｛∪Ｚ｜Ｚ⊂Ｙ｝⇒Ａ_1∩Ａ_2∈｛∪Ｚ｜Ｚ⊂Ｙ｝を証明したいんですが、
これが全然わかんないんですよ、どうすればいいでしょうか？

>>903
Ａ_1、Ａ_2∈｛∪Ｚ｜Ｚ⊂Ｙ｝と仮定したとき
A_3=∪[A∈Y、A⊂Ａ_1∩Ａ_2]A
とおいて定義からA_3∈Y。そこでA_3=Ａ_1∩Ａ_2であることを示す。やってみそ。

>>904
ありがとうございます。助かります。
もう一度チャレンジしてみますね。

なんか知らんがいい雰囲気になってきてるなあ．

780

772

そんな初等的な話でふいんき良くなるなよ

　 　∩＿＿＿∩　　 　　　　　　｜
　　 | ノ＼　　　　 ヽ　 　　　　　　|
　　/　　●゛　　● |　　　　 　　　|
　 |　∪　　( _●_)　ミ　 　　　　　j
　彡､　　　|∪|　　 |　ふいんき Ｊ
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もう少し高級な話題提供してくれ

位相はいいそーだ

位相の話は・・・もういそう

zariski topologyについて語ろうか

語れよ

A：可換環with1 として SpecAにzariski topologyを入れると
自明な場合を除いて常に非ハウスドルフとなる

自明な場合というのは完全不連結な場合のこと
その自明な場合を考察しよう

Aが体の場合は実に興味深いな。

体の有限又は無限直積の事などを言っているのか?

体の直積であれば自明な場合となることは明らか
では逆はどうだろう？
そのようなものは体の直積となっているのであろうか？
これが私の疑問である。どうやらそうなるっぽいが

逆は当然成立しないよ
k[x]/x^n

？

>>923
なんと、ではそのようなものを考察しよう。

>>924
？

>>923
いやまて、それはある体の直積でかけないというのは自明なのか？

そもそも
>>920
が余計な馬鹿だったんだな。
甘えかえれ

>>923
自明だったorz

>>927
自明じゃないかこの馬鹿消えろ

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　 |　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　▽　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　　◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
とは云わない

dimA=0ということから何かわからないだろうか

確かに自明だった…

体の無限直積に対しては Spec は、
各体以外にも存在する。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　_,,..､-―-- .,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　,..-''"　　　　　　　 ｀ヽ
　　三|三　　　　　　　 　　　,. '"　　　　_,,... - __　　　　ヽ、　　　　　
　　イ `＜　　　　　　　　／　　　　,..=-‐''~￣_ ~'''- ､ 　 ヽ
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　　　　　 _,,-"／..'/:::/;;;-'"　 !_ヽ/´,,‐''_｀、`''-.,,:!　　ﾞ';ヽ、
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　 ,.-'"::;;／.'／',/^ヽ``､､　　　　 ﾞ,　 　 <ノ ノ' /　,ﾊ,　 ﾞ;:'; ヾ､
../"/:;;／ '‐'／,「｀ヽ､ `　､ =　__　 ﾞ､　 　'v'"／｀､'　'l　　',::',　ヾ､
l' /::;'"　 ,.:';:"/;;!　　　`.ー､~''ーﾆ.,ﾊ, 　　ﾊ'"　　 ヽ, ﾞ,　　!::;!　 ヾ!
　!:/　　/:/ /:/;ﾄ､　　　...ﾞ, |　　　_|　＼_,ﾉ::.＼= ､._ l ,!､　 l::;!　　ll
　!:!　 ,//' /::/::ﾊ ',..　　　ﾞ',l　,-',-ﾄ､　　`'ｰ-､ヽ, 7./l ﾄ`､, !ﾉ　 丿
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　　 /,'　,!::/!ll`i;;;｜ ヽ..　　 ヽ `/:　 ヽ ﾆﾆ‐=/ノr' ,' l;!l,:l 'ヾ;、
　　,!:!　 !::l'l:!l::!;;:::ﾊ　　 ヽ､. 　ｿ' :　　 ........,~7,　 ,l /　!;;!ll!!　ヾ;、

>>934
もう少し詳しく！

>>936
体の無限直積
R = K_1×K_2×......... において、第 n 成分が 0 なる元全体 I_n は極大イデアルだが、
有限個の成分を除いて 0 となる元全体のなすイデアルは、（無限積であることにより）
R と異なるからこれを含む極大イデアルが存在する。これはどの I_n にも一致しない。

>>937
ultraproduct か。

>>983
yes!

>>939
断定が早すぎた。確認しないといけないな。
ultraproduct ならそうだが、逆は言えるかどうか。

>>940
体の無限直積の極大イデアルと添字集合上の超フィルターが
一対一に対応することは昔確かめた記憶がある。

添字集合を I とする体の族 K_i の無限直積 ΠK_i の極大イデアルを m とする。
ΠK_i の元 a に対し X_a={i∈I | a(i)≠0} とおいたとき、
>>937 にならって、{X_a | a∈m} が I の超フィルターになることをいえばよい。

a∈m に対し、b(i)=1 (a(i)≠0), b(i)=0 (a(i)=0) とおくと、
b∈m かつ X_a=X_b となることを使えば証明がわかりやすくなる。

>>941
なるほど。
フィルター⇔イデアル
極大フィルター⇔素イデアル⇔極大イデアル

系
素イデアルは極大イデアルとなり、 Spec (R) はザリスキ位相で離散
位相的位相では離散位相空間の Stone-Cech コンパクト化。

誤記の訂正。
X_a={i∈I | a(i)≠0} => X_a={i∈I | a(i)=0}

395

Construct a set A which is a subset of [0,1]×[0,1] and contains at most
one point on each horizontal and each vertical line and boudary of which
is [0,1]×[0,1].

位相の話はもういそう

http://info.2ch.net/guide/map.htmlに載せる
紹介文を雑談スレで議論しています。
ご意見のある方は、ネタでも結構ですので是非いらしてください。

マルチ

マルチってこういうマルチは別に良いじゃん
ってかむしろ複数のスレに貼るべき内容だと思うんだけど

俺ルールｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!

じゃあレスの削除以来でも出してきたら良いじゃん
多分通らないと思うけど

>>951
じゃんじゃんうっぜー