(,,・д・)位相の問題を書き込むスレでちﾐ・д・,,ﾐ

ﾁｮﾊﾟｰﾘは何も知らないﾆﾀﾞ！
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暴れるならもう１個の駄スレの方でやってくれよ・・・

あぼーん

・・・

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同時多発テロから３年…

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h age

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ルールでち
１．問題番号を書くでち。
２．答えがわかったら書き込んでもいいでち。
３．未解決問題はやめるでち。
４．関係ない分野の問題はやめるでち。
５．煽り・コピペはやめるでち。マターリするでち。
６．でちでちウザイのは仕様でち。諦めるでち。

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(,,・д・)位相の問題を書き込むスレでちﾐ・д・,,ﾐ

>>19に同意

>>19に同意

>>19に同意

とりあえず質問です。

Bernsteinをつかって、[a,b]と（a,b)の濃度が等しいことが
証明されるが、じゃ実際その全単射の写像はどう実現されるの？

>>214
それでは、直観的に構成してみよう。まず線分ABと線分CDを平行に置いて、長方形
ACDBを作る（線分ABが上）。図はなるべく大きく描いたほうがいいだろう。
線分ABを区間(a,b)、線分CDを区間[a,b]と考えよう。そこで、点A,Bは白丸、点C,D
は黒丸にしておこう。
長方形の上方に点Oをとり、OC,ODがABと交わる点をそれぞれA2,B2とする。△OCDが
中店連結定理のような図になるが、線分OCをOを固定してOCからODまで動かすことに
より、線分CDと線分A2B2の一対一対応が得られる。これを[a,b]から(a,b)の中への
単射fと考える。C,Dが黒丸なので、A2,B2も黒丸であることに注意。
逆にABからCDの中への単射は、そのまま平行移動で重ねればできているが、対称的
に考えるため、同様に長方形の下方に点O2をとり、O2A,O2BとCDの交点をC2,D2とし、
ABとC2D2が一対一に対応すると考えよう。（この時点でダイヤモンドのような図が
できているはず。ＯＫ？）A,Bが白丸だから、C2,D2も白丸であることに注意。
こうしてできた長方形A2C2D2B2に対して、また同様の作業を繰り返す。すると、A2B2
の中にA3,B3ができ、C2D2の中にC3D3ができる。（ただし黒白は逆転）
この操作は無限に繰り返すことができ、交互に黒白になった無限個の点A,A2,A3,…,
B,B2,B3,…,C,C2,C3,…,D,D2,D3,…が得られる。
ここで、半開区間(A,A2]と[C,C2)、[B2,B)と(D2,D]を、それぞれ左右逆に一対一対
応させよう。同様に、(A2,A3]と[C2,C3)、[B3,B2)と(D3,D2]を対応させ…と順に内
側の半開区間を対応させれば、可算無限個に分割された各半開区間が、ひとつのこらず
一対一対応する。
（一般のBernsteinの証明も、注意して分析すれば、実は構造的にこれとまったく同じ
ことをしているのがわかるだろう）

スマソ、ちょっと間違えた。
直観的には215でも納得が行くかもしれないが、一般には最初に用意した写像
（この場合はOを利用した写像fとO'を利用した写像g）だけですべての対応を
実現しなければならない。

対応させる半開区間を、(A,A2]と(C2,C3]、[B2,B)と[D3,D2)、および、
[C,C2)と[A2,A3)、(D2,D]と(B3,B2]にする。
左右逆転ではなく、そのままの向きで、互い違いに内側に存在している半開区
間に対応させるのである。

こうすれば、これらの対応は、すべて同じ写像（OとO'を利用した最初の中
への単射fとg）で得られていることがわかるだろう。

いかん、まだ端点の開閉を多少間違えているかな？
まあ適当に修正してくれ…

I=[a,b]　a_n=a+(1/n)　A={a_n|n∈N}　とすると
x∈I　が　x∈A　ならば　x=a+(1/N)　となるNが存在する
そこで写像fを

f(x)=a+1　　　　　　（x=aの時）
　　　a+(1/2)　　　 （x=bの時）
　　　a+{1/(n+1)}　（x∈A　で　x=a+(1/n)と表されている時）
　　　x　　　　　　　 （x∈Aでない時）

とすれば全単射になりそうじゃない？
つっても　b-a>1　って言う前提があるけど
もし b-a<ε なら (1/N)<ε　となる　N　について　A={a_n|n=N,N+1,N+2・・}　として（略

Card(X)>ｱﾚﾌ　Card(A)≦ｱﾚﾌ_0　A⊂X　　ならば　　（X-A）〜X　ってのを使って作りました

>>218
＞Card(X)>ｱﾚﾌ　Card(A)≦ｱﾚﾌ_0　A⊂X　　ならば　　（X-A）〜X　ってのを使って作りました

それだったら、次のように言ったほうが早い：
[a,b]を有理点と無理点に分け、有理点にa,bを付け加えた集合については、適当に番
号をつけて一列に並べておき、(a,b)の有理点を並べたものと一対一に対応させる。
無理点どうしはそのまま対応させる。

ただこの方法だと、[a,b]と(a,b)の差が高々可算個（この場合は２個）ということ
を本質的に利用している。しかし、Bernsteinの定理にはそんな条件は必要ない。
（互いに中への単射があればよい）

>>218>>219と同じことだけど
ヴィジュアル的にこんな言い方が分かりやすいかしら。

特に a=-1, b=1 のときを考えればよく、f: [-1, 1] → (-1, 1) を
｛ f(-1/n) = -1/(n+1)
｛ f(1/n) = 1/(n+1)
｛ f(それ以外) = そのまま
とすればこれは全単射。

>215-220

皆さん、どうもありがとうございます。
つたない私ごときのために時間をさいて、
大変わかりやすいご指導をいただき
感謝いたしております。
位相は学び始めたばかりですが、
とてもおもしろいですね。
ますます好きになりました。

>>214
いえいえ、これからも頑張って下さい

親切なぼるじょあ・・・

ℵฺ

無限集合は有限個の元を追加しても濃度が変わることはない。

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ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

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大変お見苦しいレスがついたことを深くお詫び申し上げます

　 ∧∧　 　∧∧　 　∧∧　 ∧∧　 ∧∧　 　 ∧∧　 　
　(,,・∀・)　(,,・∀・)　(,,・∀・)　(,,・∀・)　(,,・∀・)　(,,・∀・)
　＠＿）　　＠＿）　　＠＿）　 ＠＿）　　 ＠＿）　　 ＠＿）

そのままマターリとおまちくだちゃい

マターリと待ったりして

1+1/2*CosZ+1/4*Cos2Zの位相特性を求めよ

位相（Topology）と位相（Phase）を混同してるヤシハケーン

位相は体にいいそうです。ｳﾋ

みのもんたとあるあるが紹介しないと信用できないな

１、（X,d）を距離空間とする。このとき

　　　　　d'(x,y)=d(x,y)/｛1+d(x,y)｝

はｄと同値であることを示せ。

２、(X,d)を距離空間とし、f,g:X→Rを連続関数、c∈Rとする。このとき
　　　　　(f+g)(x)=f(x)+g(x)
(fg)(x)=f(x)g(x)
(cf)(x)=cf(x)

と定義するとf+g,fg,cfは連続関数であることを示せ。

３、距離空間(X,d)の部分集合Aに対して次が成り立つことを示せ。

　　　　 (�@)Aの内部=Aの補集合の閉包の補集合

　　　　（�A)Aの閉包=Aの補集合の内部の捕集合

４、(R,d(1))においてQの内部と閉包は何か。

「超」基本的問題ですけどわかりません。

>>235
ﾁﾐの氏ってる範囲で同値､閉包､連続の定義をまず列挙汁
あと何なら稠密の定義も書いてみて貰うか

(,,・д・)位相の問題を書き込むスレでちﾐ・д・,,ﾐ

　(,,・д・)　マターリいくでち！

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ager

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