モナー先生の数学講座一時限目（極限）

　　　 　 　 ∧＿∧∩　　　　　 ／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　 　 （　´∀｀）/　　　　＜　　モナー先生！そろそろ
　　＿＿ / /　　　/　　　　　　 |　 距離空間と位相空間を教えれ！
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おぉ！
極限から位相に進むのか。
至極まっとうな展開。
期待しとこう（ｗ

今後の展開は

集合→位相空間→位相多様体（位相幾何学）→可微分多様体

この順番でやると良いと思います。
無理かな？

集合はﾔﾊﾟｰﾘ10個の公理から始めるのかな？
で、位相は４つの分離公理か？
ま、先はナガーイですね(藁

公理的集合論を紹介します.

S1) [外延性公理]
∀a∀b[a＝b⇔∀x(x∈a⇔x∈b)].
「任意の集合a,bについて、a＝bとなるための必要十分条件は、
任意のxに対して、x∈a⇔x∈bが成り立つことである.」

S2) [空集合の存在公理]
∃a∀x[¬(x∈a)].
「どのような元をも含まない集合aが存在する.」

S3) [非順序対の存在公理]
∀a∀b∃c∀x(x∈c⇔x＝a∨x＝b).
「任意の集合a,bに対してa,bを元として含み、
それら以外の元を含まない集合cが存在する.」

S4) [合併集合の公理]
∀a∃b∃x[x∈b⇔∃c(c∈a∧x∈c)].
「任意の集合aに対して、集合bが存在し、
任意のxに対して、x∈bとなることと、
xが、aに含まれる或る元cの元となることが同値となる.」

S5) [無限公理]
∃a[φ∈a∧∀x(x∈a⇒x^+∈a)].
「集合aで、φを含み、かつ任意の集合xについて、
x∈aならばx^+∈aとなるようなものが存在する.」

S6) [分出公理]
P(x)を集合xを自由変数とする命題とすると、次のことが成り立つ.
∀a∃b∀x(x∈b⇔x∈a∧P(x)).
「任意の集合aに対して、
P(x)を成り立たせるようなaの元xの全体から成るaの部分集合bが存在する.」

S7) [べき集合の公理]
∀a∃b∀x(x∈b⇔x⊂a).
「任意の集合aに対して、aの部分集合全体から成る集合bが存在する.」

S8) [選出公理]（ツェルメロ）
∀a∃f[f∈(∪a)^a∧∀x(x∈a∧x≠φ⇒f(x)∈x)].
「任意の集合aに対して、aから∪aへの写像fが存在し、
aの任意の元で空集合とは異なるものxに対してf(x)∈xとなる.」

S9) [置換公理]（フレンケル）
P(x,y)をx,yを自由変数とする命題とし、aを集合とするとき、次のことが成り立つ.
∀x[x∈a⇒∀y∀z(P(x,y)∧P(x,z)⇒y＝z)]⇒∃b∀u[u∈b⇔∃x(x∈a∧P(x,u))].
「aの任意の元xに対してP(x,y)が成り立つようなyが存在すればそれは一意的であるとしよう.
そのとき集合bで、P(x,u))x∈a)を成り立たせるようなu全体から成るものが存在する.」

S10) [正則性の公理]（フォン・ノイマン）
∀a[a≠φ⇒∃b(b∈a∧a∩b＝φ)].
「空ではない集合aに対して、
その元bで、bのいかなる元もaには含まれないものが存在する.」

age

>>533
言うまでもないとは思いますが、
選出公理のことを選択公理ともいいます.

選択公理は以下の定理と同値であることが証明されています.

「選択公理」＝「帰納的順序集合定理」
　　　　　　＝「整列可能定理」
　　　　　　＝「チホノフの定理」
　　　　　　＝「（一般の無限次元ベクトル空間の）基底の存在定理」

連続濃度の集合族に対して「選択公理」を適用すると、
「バナッハ・タルスキーの逆理」が演繹されてきます.

公理S1)からS7)までを基礎として自然数、整数、有理数、実数などを
集合論的に構成できる.
しかし、これら無限集合同士を比較するために
「選出公理」と「置換公理」を付け加えるのである.

先生質問です。

１．　選択公理というのは証明不可能な仮定であるとの話を聞いたことがあります。
これを仮定することにより、そこから理論を展開するというようなイメージがあるのですが
このイメージに間違いはないのでしょうか？

２．　選択公理があくまでも仮定であるとするのなら、
選択公理を仮定しない別の公理系というものが存在しても良いと思いますが
そのような公理系は一体どんなものなのでしょうか。つか、存在するんですか？


過去レスを見ずに書き込んだ素人でした。チャンチャン

S1)からS10)の10公理から選出公理を除いたものを
「ツェルメロ・フレンケル集合論の体系（以下ZF）」といいます.
ZFに選出公理を加えたものを「ツェルメロ・フレンケルの公理系（以下ZFC）」といいます.
集合を、ZFなどから出発して、厳密な論理の演繹体系の枠に収めて、集合論を展開しようとする理論を公理的集合論といいます.（実は出発点として他にBGという公理系もあります.）
これにたいして素朴集合論という取り扱い方もあります.

数学史でみるとつい最近のことになるのですが、
1963年にP.J.Cohenが全く予想もしていなかったことを証明しました.

ZFから出発して集合論を組み立てていった場合、
1)ZFに「選出公理」を加えた集合論（ZFC）が出来る.
2)ZFに「選出公理の否定」を加えた集合論も無矛盾である.
3)ZFCに「連続体仮説」を加えた集合論が出来る.
4)ZFCに「連続体仮説の否定」を加えた集合論が出来る.
そして、これらの集合論が、お互いに矛盾しないで構成できるのである.

>>541
１．合っていると思います.

２.>>542を参照してください.

>>538
「選択公理」は「ツォルンの補題」とも同値です.

>>543
>>542
ありがとうございます。

選択公理を含めたZFCを仮定し、そこから集合と言う概念が演繹される.
演繹された集合概念は10公理によって病的な性質を取り除いてある.
この集合の概念を使って理論を展開するというのが現代数学の主な手法だと思います.
このようなイメージがあるのですよね？

微積分で実数を導入したときのことを覚えているだろうか？
実数には、「代数的構造（加減乗除の四則演算ができる）」と「連続性」という
２つの特徴があった。

しかし、ここで注意しておきたいのは、一方が「構造」であるのに対して、
もう一方は「性質」であり、完全には並べて論じることが出来ていないことである。そこで連続性をもう少し掘り下げて考えることで、構造というレベルで考えられるようにしたいのである。

結論から先に言ってしまうと、「集合」に対して「位相構造」を考えるのである。
すると「集合」から「位相空間」という「空間」を作ることが出来るのである。
「位相空間」の概念を定義したのはハウスドルフである。

「集合」の基本的な概念（集積点、内点、外点、境界点、閉集合、開集合など）は、
カントールによって考えられている。
このときカントールは「近傍」の概念を駆使してこれら基本的な概念を定義した。

では、集合から位相空間は作ることが出来たが、
実数の性質は「距離空間」というもので説明するのである。
「距離空間」の概念を導入したのはフレシェである。

では「位相空間」と「距離空間」との関係はどうつければよいのだろうか？
これを「距離づけ可能問題」という。

『「位相空間」が与えられたとき、
その「位相空間」がどのような条件を満たすときに、
ある「距離空間」と位相同型になるか？』（距離づけ可能問題）

この問題をウリゾーンが解決したことによって、
「集合」から「位相空間」を経て「距離空間」へと結びつけることが
できるようになった。
つまり、実数を「代数的構造」と「位相構造」という２つの構造で
説明できるようになったのである。

この理論は「集合と（一般）位相」とか「位相空間論」という名前の本で
紹介されている。

実数の概念は、「順序構造」と「一様構造」
の二元論からなる集合として理解できる.

Sを１つの空でない集合とする.
Sの部分集合の族Яが次の４条件を満たすとき、
ЯはSに１つの位相構造を定める.
O1）S∈Я.
O2)φ∈Я.
O3)O_1∈Я、O_2∈ЯならばO_1∩O_2∈Я.
O4)(O_λ)λ∈ΛをЯの元から成る任意の集合族とすれば、∪O_λ（λ∈Λ）∈Я.
（添数集合Λは任意の有限または無限集合で、すべてのλ∈Λに対してO_λ∈Я）
集合Sとその１つの位相Яとの組（S，Я）を位相空間と言う．
Яをこの位相空間の位相という．
Sをこの位相空間の台という．
Sの元を位相空間の点という．

Sの部分集合の族Яに属する集合O_λ（λ∈Λ）をSの開集合という．

ウリゾーンの結果によって、位相空間論は数学の多くの分野に接続された理論となった．
その後、位相の概念は、コホモロジーという量に置き換えられていった．
コホモロジーは、位相幾何学において「ホモロジーに双対的な概念」として登場した．
そして数学の多くの分野においてコホモロジー的な量が取り出され、その結果、
コホモロジーが数学の異なる研究対象にも相互の関連があることを示すように成ってきたのである．

さらにグロタンディークがヴェイユ予想の解決を目標に代数幾何学を根底から再構築し、
スキーム理論を開始した．（数論的代数幾何学と思ってもよい．）
このとき「モチーフ」と「エタール・コホモロジー」という概念を登場させた．
この道具を用いることで、「グロタンディークのガロア理論」を構成することが
ひとつの目標だった様である．

「グロタンディークのガロア理論」は、古典的ガロア理論のように体上の方程式に限らず、
どんな環でも代数多様体でもそのまた拡張概念のスキームでも良いのである．
要はその上に拡がった環やスキームのなすカテゴリーで、
ガロア・カテゴリーの条件を満たすものを取ればガロア理論が成立するということにある．
代数多様体のunivarsalなコホモロジー理論（モチーフ）から生じるmotivicガロア群が
代数多様体のコホモロジー（エタール・コホモロジーなど）の本質を完全に記述するというのである．
この様に考えると、０次元多様体の全体が持つ対称性が古典的ガロア理論であると解釈できる．

今だ!555ゲットォォォォ！！
￣￣￣￣∨￣￣￣　　　　　　(´´
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　　　　　　ｽﾞｻﾞｰｰｰｰｰｯ

標数ｐ＞０の体上多様体に対してはQ_p-係数のエタール・コホモロジー（l＝pの場合）は
良いコホモロジーには成らないが、この場合には良いｐ進的なコホモロジーとして
クリスタル・コホモロジーを導入するというのがグロタンディークの答えである．
つまり、エタール・コホモロジーはベッチ・コホモロジーの類似で、
クリスタル・コホモロジーはドラーム・コホモロジーの類似と考えるのである．
「グロタンディークのガロア理論」には未解決の問題が多く残されているが特に「標準予想」という
代数サイクルについての問題が残っている．

長々と話してきましたが、集合、位相へと話が進んできたのですが、コホモロジーまで来ると、
代数的構造と位相的構造という二元論がモチーフという形で統合されるのではないか
というのが話の趣旨でした．