公理的集合論・数理論理学　その9

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
(p)ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その8
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1309406249/

過去スレ

数学基礎論の質問スレッド
その1 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1097659610/
その2 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264/
その3 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170584559/
その4 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207899938/
その5 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1244375946/
その6 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/
その7 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289481237/

関連スレ

非古典論理について語るスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
集合論について語るスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1228995380/
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1156976472/

基礎論なぜなにスレッド
http://cheese.2ch.net/math/kako/970/970523340.html
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/

圏論信者VS基礎論信者VS数学者
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1288001068/

●命題論理
命題論理記号：¬,∧,∨,→,⊥(〜でない,かつ,または,ならば,矛盾する)
原子命題：a,b,c...　※a＝「1+1＝2」,b＝「2は素数」など。
原始命題は命題。a,bが命題のとき¬a,a∧b,a∨b,a→bは命題。
真理値関数V：命題aが真ならf(a)＝1,偽ならf(a)＝0とする。
aが原子命題のときV(a)＝f(a)
V(¬a)＝1⇔V(a)＝0
V(a∧b)＝1⇔V(a)＝1かつV(b)＝1
V(a∨b)＝1⇔V(a)＝1またはV(b)＝1
V(a→b)＝1⇔V(a)＝0またはV(b)＝1
Vは一意に存在。トートロジーとは任意のVでV(a)=1となる命題a( |＝ a と書く)。
|＝ a→(b→a)
|＝ (a→(b→c))→((a→b)→(a→c))
|＝ (¬b→¬a)→(a→b)
上の3つのトートロジーを公理と呼ぶ、まとめて理論と呼ぶ(集合Tや{a}と書く)。
理論Tのすべての公理を1にする関数Vが命題pを1にすることを T |＝ p と書く。
公理は定理。a→bとaが定理ならbも定理。(MP,三段論法,cut等と呼ぶ)
aが定理ならaは証明可能( |― a と書く)。
有名なトートロジー：　|＝ ¬a→(a→b),　|＝ ¬¬a→a
演繹定理：T∪{a} |― b　⇔　T |― a→b
命題aとbで |― a→b∧b→aならaをbに書換え可能でa≡bと書く。
a→b≡¬a∨b,¬a∨¬b≡¬(a∧b),⊥≡¬(a→a)など。
T |― ⊥ のときTは矛盾すると言う、そうでないなら無矛盾。
T∪{¬a} |― ⊥ ⇔ T |― a 。
命題論理の完全性定理：|＝ a　⇔　|― a
命題論理のコンパクト性定理：
理論Tの任意の有限部分集合Aの命題を1にする関数が存在⇒Tの命題を1にする関数が存在。

過疎スレを２つも立てやがって!

2つどころじゃないだろ

スレタイとしてはこれが一番好き

公理的集合論だって数理論理学の一分野なのになぜ公理的集合論だけ特別扱い？
モデル理論その他分野に比べて集合論は頭一つ抜けているとでもいうのかね

莫迦どもが。カスめ、スレ乱立させて自滅かw

>>7
まあいいんじゃない。こういうのは学問が日本に輸入された時期の歴史的なごりだから。

◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
　同じ内容の重複スレが乱立しています。
　こちらのスレもスレタイが違ってもテンプレは同じであり、重複スレと考えられます。
　スレタイ変更に関しては十分な議論がされているとは言えず、引き続き議論を継続させる必要があります。
　
　↓こちらへ誘導のほどよろしくお願いします。
　
　数学基礎論・数理論理学　その9
　http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/
　
　
　削除ガイドライン
　http://info.2ch.net/guide/adv.html#saku_guide
　＞重複スレッド
　＞　同じ事象・人物に関するスレッドは、個々に多少の違いがあっても原則的に削除対象になります。
　＞　その場合、立てられた時期・時間、１に書かれている内容、レスがどれだけついているか、という優先順位で総合的に判断します。
　＞　客観的な判断が難しい時は、利用者同士の話し合いを待つか、立てられた時間の遅いものを停止処置をすることとします。
　＞　同一掲示板内ではない重複スレッドは、内容にほぼ変化のない場合は悪質なマルチポストと判断し、
　＞　板の趣旨に合った真面目な議論が続いた場合を除き、全てを削除対象とします。
　＞
　＞乱立スレッド
　＞　厨房板以外では、内容にほぼ変化のないもの、内容が無意味なもの、などの乱立は全て削除します。
◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

>>9
公理的集合論は日本に輸入された当初から数理論理学の一部として入ってきたわけだが。

だが、なんなの？

公理的集合論だけ数理論理学から分けて記載するのは不適切！

何に対しての適不適なのか？

>>13
言いたい事は分かる、だが｡
「まて、それは孔明の罠だ」以前に言う方が逆だ、数理論理学の方じゃなくて数学基礎論の方だ｡

言いたい事を補足して進ぜよう｡
(公理論的集合論∈数学基礎)&(公理論的集合論≠数学基礎論)
¬(数学基礎論∈公理論的集合論)

>>10、此れが>>9の述べたかった事なり…多分｡

>>猫
自分で調べろ

>>14
お前バカか？スレタイとしての適不適の話に決まってるんだろうが！

>>16
混じれ酢かこわるい

楕円関数論と複素関数論の関係みたいに、単なる一分野を超えている、というニュアンスを含んでいる。

>>15
ソレは一体何の話や？

猫

>>16
「何に対する」に答えていない。

>>16
12,14,20は真面目に議論する気はなさそうだから答える必要はないよ。

必要がない と  してはいけない は同義語ではないよ。

>>22
例えば：
★必要がない：数学板。
★してはいけない：痴漢。
という様な事ではないでしょうか。

猫

いや（公理論的）集合論は論理学の一部なのか、
論理学の結果を応用することが多いだけなのか微妙な所だけどね。
代数幾何にロジックの知識を応用するからって
代数幾何は数理論理学の一分野だとは言わんのと似たような話で。

基礎論村の隣人ってことだと。
でっかい順序数構成している人たちも、
本人の志向はともかく分野そのものが基礎論的な傾向があるし。

少なくとも集合論の載っている雑誌や研究者の属する学会と言った
外形的なものを見る限り数理論理学の一分野としか言えない。
集合論だけの雑誌も学会も聞いたことないし。

作ればあるもん

作ってからまた来てね！
AMSに認定されるか、日本数学会の中で集合論分科会が独立したら認めてあげるからね。

日本数学会は、基礎論も数学史も似たようなもんだろうという
怖ろしい分け方してるところなのでアレだけどね

スレッドのタイトルに問題はないが、
「数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として」
というのはウソなので、削除した上で別の文章に書き換えられたい。

カントールのパラドックス
「集合の全体を集合とすると矛盾する」
ブラリ・フォルティのパラドックスとか
「順序数の全体を順序数とすると矛盾する」
について云えば、背理法を適用して
「故に、集合の全体は集合に非ず」
「故に、順序数の全体は順序数に非ず」
と読めばいいだけのこと。
実際、カントールはそのように考えてたそうだ。

もっとも、その場合には、
「じゃ、何が集合で、何が順序数なんだよ？」
という問いが生じるわけで、その答えとして
公理的集合論が誕生した、というのはあるがね。
それだけじゃ数学の基礎云々には発展せんね。

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/112
>健全(論理式が、証明可能⇒真)、完全(論理式が、真⇒証明可能)。
>述語論理は健全かつ完全。
>述語論理に新公理を追加したPAは健全だが完全でない。
>つまり恒真なのに証明不可能な論理式が存在する。

この場合、PAの公理（具体的には数学的帰納法）は
２階論理で与えられる必要がある。
１階論理なら、完全性定理から抜けだせない。

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/208
素朴集合論が数学の歴史上のどこにも現れないとか意味分からん。

意味分からん【いみわからん】

相手の主張が誤っていると感じているにもかかわらず、
自分ではその誤りの証拠を明示できない場合に発する言葉。
意味が分からないのは、実は相手の主張ではなく、
自分の主張の正当性であるが、その自覚がない。

最初の使用例は、アニメ「涼宮ハルヒの憂鬱」の中で
ヒロインである涼宮ハルヒが、キョンの言葉に対して
返した言葉「意味わかんない」

ヲタクは日本語をアニメで学ぶらしいｗ

>>30
バカヤロウ、いちいち立て直しを促すレスしてんじゃねぇ
次回スレ立てで直せてればいいじゃねぇか、それが自浄能力ってもんだし
スレ潰してまで直してる例の方が超稀少だってんだよ

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/225
＞実際、ロジックはフィールズ賞の対象になったことさえない。

反例：ポール・コーエン（選択公理及び連続体仮説の独立性）

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/248
＞俺は集合論やるために後付けで論理学も勉強したが
＞学部時代は完全性定理もわからんかったｗ
＞ロジックはほとんど使わないよ

フォーシングの理解に、ロジックは必要ないんだろうか？
モデルは全く理解しなくても理解できるんだろうか？

集合論はロジックか否か？

「ロジックは数学じゃない！」とわめく奴でも
さすがに「集合論は数学じゃない！」とはいえまい。

しかし、そういう奴のいう集合論というのは、
あくまで「数学を記述するための言葉」であって
それ自体が研究の対象だとは考えてないらしい。

その意味でいうと、集合論自体を研究対象として
しかもモデルつかいまくりのコーエンの研究など
噴飯モノのはずだが、これがフィールズ賞をとった
のは、奴にとっては黒歴史？ｗｗｗｗｗｗｗ

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/258
>>数学とは仮定の学問である、と言われる。
>>つまり仮定から純粋に論理的に導かれる
>>結論のみを研究対象とする。
>それでは詰将棋も数独も全部数学になってしまう

実際、数学として研究もされている。
数独の解法はNP完全らしい。
将棋の必勝法はもっと難しいレベルらしい。

さて、1の修正案でも考えるか。

数理論理学　その10

数理論理学は、
・ブールによるブール代数
・カントールによる集合論
・フレーゲによる概念記法（述語論理の元）
などを淵源として19世紀に誕生、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
(p)ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

※なお、ここでは、数理論理学が数学の分野として
確立している現状に鑑み、「数学基礎論」を用いない
こととします。

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/259
>現代数学が非構成的な存在証明をやっているうちは
>数理論理学的なデリケートな議論も必要になる。

数学者が、選択公理やら順序数やらをバンバン用いようが
背理法を用いた非構成的な存在証明をバンバンやらかそうが
数学じゃなくロジックだなとは思わないだろうな。

しかしこれがモデルだフォーシングだとかいうことになると
さすがに話は別だろう。小平邦彦がフォーシングを理解
できなかったというのは、ある意味ごもっともである。
彼がやってきた数学ではそういうアタマの使い方は
しなかったから。

しかし、彼の世代ならともかく、いまどきそんなこといってたら
アナクロニズムと嘲笑されるのがオチである。

書かれたスレにレスした方が良いだろう

>>40
フォーシングとグロタンディーク流代数幾何との密接な関係を竹内外史が指摘していたような
うろ覚えでゴメン

こいつ等に基礎論の理解をフォーシングしてくれ。

理力を使え！

>>35 どんだけ昔のこと言ってんだか。しかも一例のみ。
しかもコーエンはもともと解析屋で、
数年間だけロジックに来て、また解析にもどった。
解析の指導ででしもだしてる。

コーエン自身はダメな研究者とは思わない。チャンスがあると思えば
応用数学の問題でもやればよい。
ダメなのはそういう応用分野に常駐して専門家と名乗っているもの。

数学史的に見れば、個別としては興味深いが
それだけ独立した組み合わせ論の問題を一つ
解いただけにすぎない。FLTなどとは大違い。

数年というか、一年か半年だったと思う。

>>38 そういうのは数学とは呼ばない。
それを数学と呼ぶのはマトモな数学を
知らないから。それを数学と呼ぶのは
純粋数学に対する冒涜。

藁藁藁藁。分反りかえるのが趣味か。

目の見えない人、美人を見たことの無い人が
芸人の光浦靖子を美人とよんだとして、
それは美人では無いと説得させるためには、
もっと外に出て、若くて美しい女性を見てくれ
というのが一番なんだが。外に出ることをせずに
光浦をじっくり見ることしかしないんだよな

>>42
その考えからスタックなども生まれた。
>>45
数学史的にみるから組合せ論の問題になる。
ロジックはロジックであって数学ではない。
FLTなどと比較するものではまったくない。

>>45
常駐している人間を専門家と呼ぶのではないか？
サーストンやエルデシュやタオやトムをロジックの専門家と呼ぶのか？

コルモゴロフは数理論理学での業績が力学系での業績と切り離せない感じだね

コンウェイやマルティンレーフやクヌースや
キレンやセールや秋山仁もロジックに足をつっこんでおる。
数理論理学はありとあらゆる世界に応用され、
数学のルネサンス的様相を帯びておる。
とりわけ群論やトポロジーへの応用が著しいようじゃ。
まさに数学界のメッカと言えるんじゃろうの

おいおい凄い広義の解釈に出たなー

>>51 専門家不要の分野なの

>>53
ネルソンは最近ヘマをしたけど、彼も立派なロジシャンだよね。

>>45
＞実際、ロジックはフィールズ賞の対象になったことさえない。
｜反例：ポール・コーエン（選択公理及び連続体仮説の独立性）
＞どんだけ昔のこと言ってんだか。しかも一例のみ。
一例でもあれば十分。しかも集合論研究のエポックである。

＞個別としては興味深いが それだけ独立した
＞組み合わせ論の問題を一つ解いただけにすぎない。
＞FLTなどとは大違い。

FLTなんて、特殊な不定方程式の解の存在問題にすぎない
不定方程式一般の解法の非存在をしめした
第１０問題の解決に比べたら大した話じゃない。
純粋数学屋の価値観はイカれてる。

>>47
＞それでは詰将棋も数独も全部数学になってしまう
｜実際、数学として研究もされている。
｜数独の解法はNP完全らしい。
＞そういうのは数学とは呼ばない。
＞それを数学と呼ぶのは
＞マトモな数学を知らないから。
＞純粋数学に対する冒涜。

数学と呼ぶ。マトモかどうかは
腐れ数ヲタの貴様が決めることじゃない。

>>49
光浦靖子はまだ許容範囲内だな。
相方の大久保佳代子になると
ちょっとキビシイ。

ロジックは、私が見たところ多部未華子だな。
そんでもって純粋数学屋がつける因縁が
「新垣結衣に比べたら、デコなんて月とスッポン」
だとすれば、ロジック屋が返す文句は
「ガッキー、悪くないけど・・・歯グキでてるじゃん！」
かな。
ちなみにガッキーと多部ちゃんは日出の同級生。

>>57 そのへんの見方自体から、
数学の経験のなさを感じる

数学の結果の良さは、
主定理の命題だけをながめているだけでは
評価できないの。

むしろ、不完全性定理なんてのは、主定理の
叙述だけみれば、美しいと思うが、それが結局すべて。
組み合わせ論の命題の一つにしかすぎない

>>58 では、ロジックは詰将棋や数独と同レベルということで。

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/269
>数学的対象として、土台がしっかりして居て
>千年後でも保っているであろうものは、整数くらい。
>せいぜい有理数くらいだ。それ以外の数学的対象は
>実数も複素数も行列も位相も選択公理もすべて、妄想。
>整数論や物理学などに役に立つから採用しているだけ。
>妄想そのものに研究する価値はない。

なんか、クロネッカーの亡霊が沸いて出てきたぞｗ。

ゲーデルの不完全性定理は、自然数すら
土台がしっかりしてるとは明確に示せない
ってことを示しちゃってるわけなんだが。
（まあ、土台がしっかりしてる！と信じるのは随意だけどね。
その意味では、自然数と実数に明確な違いがあるわけじゃない。）

>>61　整数論もね、所詮、詰将棋や数独と同レベルｗｗｗｗｗｗｗ

>>62 そういう意味の土台じゃない。

>>60
君のいう「数学の経験」とやらには何の正当性もないよ。
所詮、同好の士が互いに褒め合ってるだけだから。

ゲーデルの論文は、現代数理論理学のパラダイム。
いわば根幹。所詮枝葉に過ぎない、ケチな結果と比べるなって。

>>63 君がかわいそうになってきた

>>64
｜ゲーデルの不完全性定理は、自然数すら
｜土台がしっかりしてるとは明確に示せない
｜ってことを示しちゃってるわけなんだが。
＞そういう意味の土台じゃない。
じゃどういう意味の土台なんだい？

ところで、あんた、twitterで変なこと書いて
ロジシャン連中に袋叩きにあったあの人だろ？ｗ

>>66　あんたにピッタリの言葉があるよ。
　　　「老兵は死なず。ただ消え去るのみ。」

>>67 知らん
因みにここで批判しているの私一人で無いし。
まぁ、数学の中心部と称されている分野の勉強してみてよ
いろいろいわれるということは根拠ある事だから

頭の悪さがひしひしと伝わってくるなw

>>69
何が中心になるかは時代によって変わるさ。
頭の固い馬鹿どもが何を根拠にいったところで
所詮死ぬのは奴等のほうさ。

>>70
＞頭の悪さがひしひしと伝わってくるなw
君がねｗ

一行しか書けない君は真正の馬鹿

では、ロジックは詰将棋と同レベルということで、手打ちね。
そちらがそれでいいなら、もう何も言わん

>>71 何が中心かという話はおいといて、現在中心と
言われている数学を見て、それで納得しなかったり
他にチャンスがあると判断してから傍系やれば？

とりあえず、美人だと噂されている人にあって見れば？
美人の定義はおいといて。
美人かどうかは貴方自身が決めるとしても

>>67
Nathema？

中の人は、M.M(Y大学S数学研究所副所長)らしいね。

ジジイの粘着キモイわ

>>73
うん、数学は詰将棋と同レベルということで、手打ちね。
そちらがそれでいい、もう何も言わん、といったんだからねｗ

>>73 君がかわいそうになってきた

>>74　付き合えばわかるけど、美人は性格悪いよｗ
その割に締まりは良くない。

まあ、童貞にはわからないかｗ

一体何と戦ってるんだと言いたくなる

>>80
私は「ロジックは数学じゃない！」と言い張る耄碌爺を
さっさと次の世界に送り出しているだけｗ

耄碌爺が何と戦ってるのかは知らない。
どうせ、ゲーデルの不完全性定理が理解できなくて
頭にきてるだけだと思うがｗｗｗｗｗｗｗ

集合論は、数学の基礎付けとは無関係だから
集合論を数学基礎論というのはまったくおかしいわけだ。

で、あげｗ

モデル理論も、数学の基礎付けと無関係とすれば、
今の集合論の研究を、モデルを使ってるというだけで
数学基礎論というのも、おかしいわけだ。

で、あげｗ

モデル理論なんか一種の応用論理学だしくだらねぇーな

>>84
ん？応用論理学？

なんか「純粋論理学」というものが
あるみたいな言い草だね。

それっていったい何？

論理学＝純粋論理学　それだけのこと

>>60具体的に組合せ論の言葉で言うとどうなるの？
あと不完全性定理の証明のどこら辺が美しいの。
かなり煩雑で面倒な証明だと思うが。
>>69>>74その数学の中心部ってどこ？数論幾何とか？

>>82集合論というとフォー寝具とかLS定理とか使っているから
基礎論の本で書かれることもあるけどモデル論の手法は数えられるほどしか使わないし
使わない研究がほとんど、一般位相とか測度の周辺分野と言った方がしっくりくる
証明論・計算論とは大分遠い。
>>84>>86モデル論と証明論が今の数理論理学の主流だろう？

JSLだのAPALだの、数理論理学のメジャーな雑誌で一番論文数が多いのは集合論かと。

>>86
ん？つまりモデル理論は論理学ではないってことかな？

２つの疑問が生じるな。
１つは、なぜモデル理論は論理学ではないと思うのか？
そしてもう１つは、なぜ、論理学でもないものを
「応用論理学」と呼んだのか？

おそらく、後者のほうが答えやすいだろう。
さあ、答えなさい（鈴木健二風ｗ）

>>88
別にフォーシングもレーヴェンハイム・スコーレムも
数学の基礎付けとは無関係だが。

証明論はヒルベルト・プログラムの申し子だから
「基礎論」と誤解されても仕方ないかもしれんが
モデル理論はそうじゃない。
どちらも数理論理学だが、モデル理論を
基礎論と呼ぶのは露骨に違和感があるね。

集合論はネタが多いから

「基礎論」という名前に固執したがるのは証明論の人だろうな。

なぜなら、「数学の基礎」云々という建前をとっぱらうと
結局、「木」の研究にすぎないからｗ

集合論自体がもう数学の基礎付けをやってるように見えないんだが

それから一般位相も集合論にしかみえん

なんか向うでは
「複素数は数学じゃない！
　整数論に応用されたから数学になっただけ」
みたいな数論馬鹿がスレチなこと書いてるみたい。

これであのスレは終わったなｗ

本スレの大勝利！

確かに木の研究
しかしそれなら幾何も結局代数の研究とも無理やり言えん事もない

>>94
「もう」は必要ない。
集合論は、そもそも数学の基礎付けなんてやってないから。

ヒルベルトのいう「数学の基礎付け」が
集合論の防衛のためだった、というだけのこと。

>>96
＞幾何も結局代数の研究とも無理やり言えん事もない

というかいっちゃってもいいかも（をひ）

今や「幾何」という名前に特別のコダワリなんてあるんだろうか？
代数幾何は代数学、微分幾何は解析学、でいいんじゃね？
え？トポロジー？あれはもう圏論だな。うん。

だいたい、分野名をタイトルに掲げておきながら
全然関係ないこと書いてるスレッドがある一方で
「巨大数論」なんてなんかフザケタタイトルの
スレッドで、証明論の論文の内容を一生懸命
トレースしてたりするのが２ｃｈだよな。

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/279
>ロジックつまり基礎論が数学ではないことはセンスでしかいえない。
>小平さんとかアティヤとかなら同意してくれると思う。
>こういうセンスが大切だったりする。

年寄りのセンスは必要ない。
フルショフスキーとかが聞いたら鼻で笑うぞｗ

エウド・フルショフスキー（Ehud Hrushovski 1959年 - ）は
イスラエルの論理学者。ヘブライ大学教授。
1986年にカリフォルニア大学バークレー校で博士号を取得。
専門はモデル理論とその幾何学への応用。
幾何学的安定性理論に新しい手法を導入し、
幾何的安定性理論を塗り替えた。
その理論のもとで構築された幾何学的モデル理論を
ディオファントス幾何学の応用することと
フルショフスキーによって構築されたザリスキー幾何学
によって関数体上のモーデル予想の別証明を与えた。
モデル理論が代数幾何学、数論幾何学の問題を解決したことは
（別証明とはいえ）非常に画期的なことであり、
フルショフスキーによって新しい流れを生み出したといえる。
他にもマニン・マンフォード予想の別証明等がある。

こういうセンスは、小平やアティヤには決定的に欠如している。

なるほど。ソレは凄い話ですナ。

猫

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/279
>ロジックが数学なら
>分析哲学の一部の議論とか
>言語学の一部の議論とかも
>数学になってしまう。

数学が、哲学や言語学に"応用"されるのは実に結構なこと。
例えば、様々なゲームが実はＮＰ完全だったと証明されるのも
それはそれで結構なことである。

>>101
で以前、特殊な問題の為だけに今更基礎論なんて勉強できるかいと代数幾何学の専門家が砂かけてたな。

>>104
別に年寄りはもう勉強しなくていい
どうせクタバルだけだからｗ
数学を作るのは、下らぬ常識にとらわれない若者だけ。
ちなみに若いくせに、ヒトのケツばかり追いかける奴は
ロクな仕事ができない。

グロモフのasymptotic coneや代数幾何の超離散化・トロピカル化とか
新しい数学を生み出してるし、有限群論の研究もある。
超準解析もそうだしガロア理論周辺を大幅に簡素に記述する試みもある。
これらもモデル理論の成果だろう

モデル理論でよい応用のあるものは
モデル理論的発想で通常の数学を研究したものであって、
既存のモデル理論の研究成果は、
ほとんど使っていない。
モデル理論そのものを研究する事で
応用ができたわけじゃない。最初から
応用目的で研究している
こういう態度が重要。

さいしょから内向きな研究は内向きで終わる

>>107
「モデル理論的発想」という言葉の意味がワカラン。
モデルを使えばモデル理論。
既存の成果とかいってるが、研究と称して
他人の研究をあさるだけのフォロアーには
数学で成果を出すことは無理。

最初からケツを追う奴は最後までトップに出られない。

>>108 そこまで拡大解釈しちゃいかん。
整数つかったら全部整数論か？そしたら
数学イコール整数論だ

>>108 温故知新という言葉があってだな。
君は学問に対する愛もなく、
ただの<研究者なりたい君>なのか。
だから自分の数学全体での立ち位置が見えてないんだよ。

>>107
つまりRCとかFLTの研究がなんの役に立つと聞かれて
暗号への応用があると答えるようなものという意見でしょうか
確かにモデル理論で使用するのはLSの上下定理、モデルの同型、
初等部分構造や埋め込みくらいなものかもしれない。
しかしいずれは、範疇性・独立性・安定性・型・階数・定型・正則性・
既約性・深度・原子性・NDOP・次数・分岐性・均質性・ヴォート対のような
ありとあらゆるモデルの性質が駆使されることになると予言しておく

>>109
整数論の結果を用いて問題を解決したら、それは整数論の成果「でもある」。

>>106
トロピカル化、おもしろいと思うのですが、あれって元々どんなコンテクストで出てきたんですか？

>>113
兼ねてから私も疑問だったので調べてみたんですが、ココ：
http://en.wikipedia.org/wiki/Tropical_mathematics
にナンボかの説明があります。ほんで名前の由来は：
http://en.wikipedia.org/wiki/Imre_Simon
という（既に肺癌で亡くなられた）人だそうで、その説明のネタは：
http://www.math.tohoku.ac.jp/coeharu/2007.1/LNishikawa.pdf
に書いてありました。私も知りませんでしたね。

猫

モデル理論的発想って要はコペルニクス的転回って言ってるのと似た様なものだろ

>>109
拡大解釈でもなんでもない。
「整数つかったら全部整数論か？」
の答えが然りであっても問題はないｗ

しかしモデルの使用は整数ほど多くはない。

>>111
＞モデル理論で使用するのはLSの上下定理、モデルの同型、
＞初等部分構造や埋め込みくらい

それだけ使えば十分。

>>110
立ち位置を意識する馬鹿は
ロクな仕事ができない。

さっさと次の世界に逝って良し！

>>115
＞モデル理論的発想って
＞要はコペルニクス的転回って
＞言ってるのと似た様なものだろ

全然違う
（終）

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/293
＞証明論の研究者もウェルカムってことで
＞スレタイに「数学基礎論」入れとけばいいじゃない

別に証明論を数学基礎論と呼んでいいといってるわけじゃないよ。
証明論も、数学の基礎付けのためにやってるわけじゃないから。

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317641432/294
＞名は体を表さなければならないという考え方は合理的ではない。

過去の名称は保持しなければならないという考え方に何の合理性もない。

ワイエルシュトラウスのペー関数とか欝陶しいよな。
なんであんなの使い続けてるんだろう。

幾何の共変ベクトルも多様体間の写像では反変的だし。

ブルバキの数学原論もsをつけた方が現状に則している。

>>118 ロジックは数学か？という話をしてるんだから、
立ち位置の話だろ。

>>95 誤読してないか？(というか、痛いところをつかれて
誤読でもしなけりゃやってられないか)
ある数学的対象物なりその研究なりが
数学と認められるためには、
その外の重要な数学の問題に影響を持つ事が
必要かつ十分という話だ。

その意味で位相空間論と集合論の研究は終わった。
(影響を持っていた時期はかつて短期間だがあったのは確か)

影響を持つのと研究が終わるというのは違う。混同させちゃいかん。
常微分方程式の古典的成果が、他分野の数学に今でも影響を与えることがあるし。

>>124 昔の結果が現代の研究に役立つのは
ごく普通にある。だから、そういうものをまとめて
教科書に並べてある。
しかし、必要なものはある程度で出揃う。
むしろ出揃っているから便利に使われるのだ。
現代の数学の主流の最先端は、位相空間論そのものの
これ以上の発展に何も期待していない。

>>124 よく考えたら私の意見と
矛盾はしてないな。
初等幾何学も線形代数も位相空間論も集合論もすべて
現代の数学に影響力をもつ。
だから教育には使うのは結構なんだけど、
そういう分野の研究者を名乗られると
そういう人は信用出来ない

素晴らしい成果の堆積があっても案外基本的なことが判ってないこともあるからね。
素数が無限にあることがどれくらい弱い公理系で証明できるかとか。

>>127 それはいくらその分野で基本的でも
他の分野への応用がなければ、数学としては
重箱の隅と扱われる。

後半。それは素数の研究ではなくて、公理系の
研究。数学では無い。論理学。

なんだか眠いんだが

>>128
>>127は、論理学は過去の成果だけが重要じゃない、研究しがいのある面白い課題がまだまだある、
という意図で書いたので、数学じゃなくて論理学と言われても困る。

トロピカル幾何にアメーバにハワイアンリング・・・
モデル論の応用分野の一例

>>130
アレはロジックの研究が理解できない爺ィ
ほっとけば数年以内に次の世界にいくｗ

ttp://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317639944/297
＞奴はこのスレのレス数を伸ばさないように
＞別の基礎論スレで返事してるぜ。

ここは公理的集合論、数理論理学スレであって
タイトルに基礎論の文字は一切入ってないｗ
ざ・ん・ね・ん・で・し・た。

＞まともに議論する気もなく、

それは君のほう。
「今までそう呼ばれてきた」の一点張りは
君の●違いっぷりを如実に示している。

公理的集合論も現代の数理論理学も、数学の基礎付けとは無縁。

いまだにヒルベルトの亡霊を信奉している
アナクロニストにも困ったもんだｗｗｗｗｗｗｗ

ラッセルの逆理が、誰がいいだしたかもわからん
「素朴集合論」とやらの逆理であったとしても
それはツェルメロの公理的集合論ではおきない
（なぜなら「内包公理」とやらが分出公理に
改められたから）のだからそこで話は終りである。

バカヤロウ解散

誤爆すまん

>>131
ハワイアンイヤリングやろ

歯はイヤン

>>116
> しかしモデルの使用は整数ほど多くはない。

ええ！？
モデル理論的な枠組みの上に構築しない数学の方が圧倒的に少ないのでは？

モデル理論とか本気でいっているのか？ｗ

グラドル理論

ある分野の研究者がモデルを使用しているか否かと
その分野がモデル理論的な枠組みで構築されているかの
ふたつを混用してはいけない