数学基礎論・数理論理学　その9

数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）

従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。

前スレ
数学基礎論・数理論理学　その8
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1309406249/

過去スレ

数学基礎論の質問スレッド
その1 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1097659610/
その2 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1143943264/
その3 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1170584559/
その4 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1207899938/
その5 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1244375946/
その6 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1265884076/
その7 http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1289481237/

関連スレ

非古典論理について語るスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1071060325/
集合論について語るスレ
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1228995380/
圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1156976472/

基礎論なぜなにスレッド
http://cheese.2ch.net/math/kako/970/970523340.html
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1043049229/

圏論信者VS基礎論信者VS数学者
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1288001068/

以上テンプレ

★こちらが本スレになります★

◆スレタイ変更議論◆

スレタイの数学基礎論を数学の基礎的な理論と勘違いされ
「この2次方程式の解き方を教えてください」などという質問がされる場合があり
スレタイを変更すべきだという議論があります

変更案としては

数学木曾論・数理論理学　その**
數學木曾論・數理邏輯學　その**
メタマス・数理論理学　その**

などがあります

『帰納的関数と述語』 (数学基礎論シリーズ) [単行本] 篠田 寿一
手に入れたいんだけど図書館にも紀伊国屋にも売ってないんだよね
ネットで買えるかな

それ凄い欲しいんだけど
もう手に入んないと思うよ。

そっかorz

基礎数学と数学基礎論
数理論理学と論理数学
数理哲学と哲学数理

単純に

数理論理学　そのxx

でいいんじゃないの？
数学基礎論なんて古い大時代的で大袈裟な呼び方はイイカゲンやめようよ。
そんな恥ずかしい呼び方を大っぴらに使ってるのって日本だけじゃないか。
他は数理論理学に相当するMathematical Logicと呼ぶのが普通で "Foundations of Mathematics" はかなり特殊で稀にしか使わないでしょ。

そもそも、今や「基礎論屋」と呼ばれる人達の中ですら、「数学基礎論」という言葉が元来表していた研究目的である
「数学に対する基礎付けを与える事」を目的として研究している人なんて現実にいないじゃないか。

公理的集合論・数理論理学　そのxx って名前でスレが立ってたんだ

それじゃそいつでいいよ。ともかく基礎論なんて前時代的で専門家にとっては実態とかけ離れ初心者には勘違いを助長する
そんな百害あって一利なしな名称は止めよう。

908 ：１３２人目の素数さん：2011/09/17(土) 17:29:04.91
「数学の基礎的な質問」みたいなのには閉鎖的にしたいけれど、
ロジックに興味のある高校生・専門外の人にはオープンにしたいよね。
玄人には「数理論理学」が好まれているようだけど、
高校生や専門外には「基礎論」の方がまだまだ通用する気がする。
とすると>>905案くらいが妥当かと。

数学：2ch勢いランキング

2011年10月4日 4:50:58 更新

1位 new 超数学・数理論理学　その9 4 100
6位 ↓-3 数学基礎論・数理論理学　その9 11 30
8位 ↓-6 公理的集合論・数理論理学　その9 8 23
13位 = 数学基礎論・数理論理学　その8 998 10
18位 = メタマス・数理論理学　その9 6 8
26位 ↑5 數學木曾論・數理邏輯學　その9 19 5

ちと悪乗りが過ぎるよな

スレタイ変更の議論がまとまるまではスレタイはそのままの方が良いと判断しました。
反論があれば承ります。

幾らスレタイが気に入らないからと言ってスレッドを乱立させるのは言語道断。
次々立てた連中もクソだし、自分で立てろと煽った「數學木曾論・數理邏輯學」派も同罪。

ぱかの自滅

>>15
＞ 自分で立てろと煽った「數學木曾論・數理邏輯學」派

煽ったのは「數學木曾論・數理邏輯學」派ではなく通りすがり

>>17
本人乙

前スレ908(>>11)が書いている理由によりスレタイはこの「数学基礎論・数理論理学」が理想。
ただし「数学の基礎的な質問」を避けるために理想通りには行かないというのなら
変更は最小限として「基礎」を「木曾」「木曽」に置き換えるだけにするべき。

バカ木曾じゃ人姓だろうが

山口？

ちょっと木曾義仲がとおりますよ

基素とかでいいよもう

●命題論理
命題論理記号：¬,∧,∨,→,⊥(〜でない,かつ,または,ならば,矛盾する)
原子命題：a,b,c...　※a＝「1+1＝2」,b＝「2は素数」など。
原始命題は命題。a,bが命題のとき¬a,a∧b,a∨b,a→bは命題。
真理値関数V：命題aが真ならf(a)＝1,偽ならf(a)＝0とする。
aが原子命題のときV(a)＝f(a)
V(¬a)＝1⇔V(a)＝0
V(a∧b)＝1⇔V(a)＝1かつV(b)＝1
V(a∨b)＝1⇔V(a)＝1またはV(b)＝1
V(a→b)＝1⇔V(a)＝0またはV(b)＝1
Vは一意に存在。トートロジーとは任意のVでV(a)=1となる命題a( |＝ a と書く)。
|＝ a→(b→a)
|＝ (a→(b→c))→((a→b)→(a→c))
|＝ (¬b→¬a)→(a→b)
上の3つのトートロジーを公理と呼ぶ、まとめて理論と呼ぶ(集合Tや{a}と書く)。
理論Tのすべての公理を1にする関数Vが命題pを1にすることを T |＝ p と書く。
公理は定理。a→bとaが定理ならbも定理。(MP,三段論法,cut等と呼ぶ)
aが定理ならaは証明可能( |― a と書く)。
有名なトートロジー：　|＝ ¬a→(a→b),　|＝ ¬¬a→a
演繹定理：T∪{a} |― b　⇔　T |― a→b
命題aとbで |― a→b∧b→aならaをbに書換え可能でa≡bと書く。
a→b≡¬a∨b,¬a∨¬b≡¬(a∧b),⊥≡¬(a→a)など。
T |― ⊥ のときTは矛盾すると言う、そうでないなら無矛盾。
T∪{¬a} |― ⊥ ⇔ T |― a 。
命題論理の完全性定理：|＝ a　⇔　|― a
命題論理のコンパクト性定理：
理論Tの任意の有限部分集合Aの全命題を1にする関数が存在⇒Tの全命題を1にする関数が存在。
命題論理のコンパクト性定理⇔離散位相の入った位相空間{0,1}^Nがコンパクト。

基礎論なんて専門にやってる奴いるか？
モデル論やってる奴とか公理的集合論やってる奴の余技にすぎないだろ。

新たな発見もなく進歩も全くない分野のトピックスなんて過去スレで殆ど取り上げられてないやん。

前スレで「これぞ基礎論の話題」なんてのがあったか？なかったろ？
前々スレだってそうだ

もうスレタイから基礎論を外してもなんの問題もない。

基礎論が何を指しているかが問題なんだよ。

再帰的関数論って数理論理学に含まれんの？

当たり前じゃん
計算論とかに入ってるよ
それないと不完全性定理も理解できないし

Part III. Recursive Functions
http://www.amazon.com/Introduction-Metamathematics-Stephen-Cole-Kleene/dp/0923891579/

今論理学勉強しています。
それをプログラミング言語につなげたいと思っています。
論理学の後は数学基礎論をやって、その後計算機科学
次に集合論として、最後にプログラミングをやろうと思っています。
このプランについて意見を聞きたいのですが。どうでしょうか。

プログラミングの何を研究するつもりですか？

c言語です。最終的にはＤＢやその他上級情報処理試験を合格したいです。
そもそも図書館職員になるための頼れる情報技術を身につけることを
目標にしつつ、なおかつ電子書籍化の技術に対応できるようになりたい
というのが目標です。

だけど理系ですらありませんotl　

数学基礎論も集合論も余り関係ないのでは。
良くても集合演算くらい。
情報処理試験は専用テキストと過去問やった方が良いよ。
上級でも基礎科学は凄い簡単だから。
ビット演算を確実に抑えて、離散数学の簡単な
問題が解けるようになれば良し。
上級なら符号理論とかの基本にも触れとく。
数学基礎論は相当遠回りになる、というかあまり関係ない。
だから数学に関しては情報学科の離散数学とか論理計算みたいなのが良い。

あと実際教本片手にプログラミングをやった方が良い。
計算機科学に詳しくなるというより
どーでも良い知識を捨てて実務に徹する方が良い。
OSとかコンパイラとかネットワークとかDBの導入とかできるように
なるためには実践がすべてだろう。

ありがとうございます。離散数学と論理計算やってみます。

>>35
あくまで過去問準拠で。
情報系の試験の基礎科学の部分は昔から
ほとんど変わってないから
ニュートン法とか数値解析みたいなのがたまに出題されるけど
個別に学習すると厳しいので過去問でやった方が良い。
完ぺきにやるなら結局微積線形数理統計など
理工学部教養課程がまんま必要になっていまうが、
遠回り過ぎるし他に労力回した方がまし。
（計算機科学は実務で不要＆情報処理はただの教養）

なるほど。色々ありがとうございます。参考になりました。

こんな時間に本スレで自演荒らしかよ。
お前だろ、スレ乱立したのは。

自演ではありません。ただスレを汚してしまい申し訳ありません。

>>25
「数学基礎論」は「数理論理学」の別名というか旧名だ。
モデル論も公理的集合論も数学基礎論の一部だ。
>>11が言ってるのは、専門家には旧名は不評だが、
専門外では旧名のほうがまだまだ通用するから併記すべきってことだろ？

で結局、木曾と山口人生にどのような関係が？

>25
お前はテンプレが目に入らないのか？

＞数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
＞19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
＞現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
＞多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。

このテンプレに従う限りモデル理論も公理的集合論も数学基礎論の一部なのだよ

umu

誘導されてきました

それで質問なんですが
ゲーデルの完全性定理って
数学には矛盾がなく、それによって得られた結果は正しい
ってことを保証しているんですか？

＞ 数学には矛盾がなく、それによって得られた結果は正しい 
＞ ってことを保証しているんですか？ 

完全性定理の扱う数学の範囲では、そう。

ここでいう「扱う」は「仮定する」と言う意味と同じ。
数学は、仮定によっていろいろと変わる。
仮定を少し変えて意図的に矛盾した体系を作ることも容易。

>>４４

完全性定理の扱う数学は
現在の通常数学と呼ぶものに比べてかなり狭い範囲なので
それを一般的な数学に当てはめてはいけない。

470 名前：468 [sage] 投稿日：2011/10/05(水) 11:45:14.16
http://www.nabejuku.net/nabeblo/?p=2882

ここのサイトに書いてあったんですが、違うってことですか？

基礎論ってアマに人気あるね。

数学を憎む人が多いからかしらね

逆に、数学好きからは疎まれる…

>>47
そのサイトの記述は正しくない。
完全性定理と不完全性定理は、それぞれ異なる仮定に基づいている。

よって
＞ 「「数学は正しいのです。正しいものだからこそ、無矛盾を証明できなくなるんです！」
という解釈は、通常ありあえない。

不完全性定理について簡単に言い直した、という
＞ １、「数学では『証明可能』か『証明不可能』かが分からない命題が存在する」
これは正しくない。
同じような言い方に直すなら（多少強引だが）
「数学には、正しいにも関わらずその証明は不可能な命題が存在する」
のほうがより自然。

その後の、
＞ 「証明可能」か「証明不可能」かが決定できないことが分かっている問題として、
＞ 「連続体仮説」が有名です。（1963）
ここも、不完全性定理とは関係ない。

そして、最後の
＞ ここで書いたことは、ほとんどの人が感じている「数学って正しいだろうけど、数学で全てのことが
＞ 分かるわけじゃないよね」なんていう、ごくあたり前の結論とほぼ同じなんですから！ 
この結論はあくまでもその文の著者が書きたいことであって
不完全性定理が示す結論とはほぼ関連性はい。

>>48
プロの中で、基礎論に興味だある人の比率と
アマの中で、基礎論に興味だある人の比率とでは
プロの方が多いと思うんだがどうだろうか。

国民の数学に対する意識アンケートでそういうデータがあれば面白いのだが。

>>50
この手の文章の中では比較的まともな部類ではないか？
大きな方向性で間違っているわけではないと思う。
明確に間違っていると言えるのは
＞ 「証明可能」か「証明不可能」かが決定できないことが分かっている問題として、
＞ 「連続体仮説」が有名です。（1963）
の部分くらいかな、連続体仮説は証明不可能と決定されてるので。

>>47
そのサイトは言ってることがむちゃくちゃ。

＞ 「完全性定理」で矛盾が無いことが分かったのに、
＞ その矛盾が無いことを証明できないって言うんです。

おいおい、完全性定理で証明できたんじゃないのか？


＞ 数学には矛盾が無い。つまりしっかりとした論理体系ができているのです。
＞ だからもし「矛盾がある」としても、数学自身はそれを「正しい」とも「誤っている」とも
＞ 言えないことになるんですね。

逆。 もし矛盾があったなら、正しいとも間違っているとも言う事ができる。
（矛盾を仮定すれば、どのような結論も導くことだできる）
そもそも 「矛盾は無い、だからもし矛盾があるとしても」 ← どういう論理やねん。

なぜ、そんなむちゃくちゃな解釈になるのか。
それは、完全性定理と不完全性定理では、何が完全か、何が不完全かの
「何が」（つまり対象が）異なっていることを著者が理解していないから。

別のものをそれぞれ指して、 こっちは完全。こっちは不完全。 と言っても、そこには何も不思議はない。 
無理な解釈をする必要もない。

>>53
それは怪しげな社会科学系での無茶苦茶な引用に比べればって話なのか？

プロの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で基礎論に興味がある人の比率

ではなくて

アマの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で解析に興味がある人の比率
アマの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で幾何に興味がある人の比率
...

という意味だろう
アマで一番人気は数論かな？やっぱり

>>53
そのサイトの記述は完全不完全の解説としては不適切。
おそらく 書写は 完全 と 無矛盾 が 区別できていないように 見受けられる。

「比較的まとも」というのは、数学としてでなければまあ同意。
それほどに不完全性定理のキチガイ引用率は高い。

失礼
× おそらく 書写は
○ おそらく 著者は

>>56
A ：＝ アマの中で基礎論に興味がある人の比率 / アマの中で解析に興味がある人の比率
P ：＝ プロの中で基礎論に興味がある人の比率 / プロの中で解析に興味がある人の比率
A ＞ B 

でないの？ 

＞ アマの中で基礎論に興味がある人の比率＞アマの中で幾何に興味がある人の比率

初等幾何まで含めると、これは成り立たんだろ。 
プロにも初等幾何マニアは案外多いみたいだが

>>54
偉そうなこと言う前に勉強しなおしてきな。何も分かってないのはお前だよ。

古い本だけど、「ゲーデル・エッシャー・バッハ」とかよく売れたと聞く。
購入者はアマが多いだろうな。

>>54がどこがわかってないのか、>>60が解説するそうです。

>>61
そりゃプロよりアマの方が母数も多いわけで

ここは諍いが絶えないね。

母数多くても専門書は門外はまず買わんよな。

他人を蔑むだけで、正しい意見どころか、相手の意見の否定すら言わないくらいだからね。

>>65
専門書はそうだろうが、突然どうしたんだ？

>>60
で、君は何が解っているの？

不完全性定理の場合、巷の解説の基地外率とここの基地外率は余り差がないような。
完全性定理と不完全性定理は適用範囲が重ならないから相反しないって素人の典型的な誤解じゃねーか。
ブルーバックスの解説しか読んでない連中が多いんだな。

いや、アマチュアと高等数学の関係を妄想していたら浮かんだ独り言だ。
意識の調査データが欲しいね。

完全性＝証明が可能か不可能か決まること
無矛盾性＝ある命題Pが真かつ偽でないこと

>>69
＞ 適用範囲が重ならないから

こんなこと誰が言った？

A ＝ ｛１，２，３｝
B ＝ ｛１，２，３，４｝

Aと B は 異なるが 重なってはいる。

そういことだろう。

素人の 典型的な誤解だな。

ブルーバックスには完全性定理と不完全性定理は
適用範囲が重ならないから相反しないなんて書いてあるのか。
どの本？

>>71
その理解じゃいつまで経っても>>54と同レベルの理解しかできないぜ

哲学風に言葉捏ねてるだけじゃマトモな結論は出ないんだよね。

>>69
ここはそういうことに興味があるひとしか来ない場所であって
さらには参加自由で、学識も要求されない。

巷よりは高くなるのが普通だと思うんだが

>>66
ほんとにお前の言うとおりだな。

DQN率が高いと

>>69
で、 君の考えでは ふたつの定理は相反してるの？

完全性定理は弱完全性と強完全性の二つがあるけれど、強完全性として理解すると、
自然数論も適用対象に入るので「自然数論は完全である」という結論が得られる。
そして不完全性定理はもちろｎ「自然数論は不完全である」と言っている。
さてどういうことか。

莫迦にする人の多い放送大学ですら、きちんとした不完全生定理がテーマの講義が有るのだが。
目標はその証明の理解。

ブルーバックス読むくらいなら、それを受講した方が良い。

第二不完全性定理の理解があやふやだから
誰かｋｗｓｋ教えてくれ

>>83
その講義、以前きいてみたが、前半で力尽きた。 起きてられない。

>>82
強完全性とするなら、前提として無矛盾であることが要求されると思うんだが。

>>84
数学に矛盾がないとしても、数学自身ではその無矛盾性を証明できない

嘘つきのパラドックスがいい例なんだが
「私は正直者である」
という文がある。
これは私が正直者であっても嘘つきであっても成り立つ
よってこの文は無矛盾
しかし「私は嘘つきである」という文からでは私が正直者なのか嘘つきのか決定することはできない

「私は正直者である」という文からでも
私が正直者なのか嘘つきのか決定することはできない、と思いますが？

「論理学の完全性」，「算術の不完全性」----- いずれも潰れる。

# 長くもって、１０年だ、　(^o^)　(^o^)　(^o^)

基地外がホイホイ獲れるテーマ

＞71
無矛盾の定義が間違っているよ。真かつ偽になることなんて最初からあり得ない。
完全の定義は正しいけれど、それだけでは>>69や>>82の言っていることは分からないだろうな。

否AとAが演繹されるなんてしょっちゅうw

背理法でちゅね。だからおみゃーの言っとることは間違っとるとw

区体論を学べばすべては解決

あと今井数学も

もう基地外ショーは終わりか？ついさっきまではホイホイ獲れたのに残念だな。

得意げに不完全性定理を解説している連中も
その解説が誤りだと得意げに指摘している連中も
どちらも大多数は基地外だということがよく分かりました

サイババが生きていたらなあと思う

>>91
完全性の定義も思いっきりおかしいだろ。

>>66がこれまでの流れの全てを表している

>>91
＞ 真かつ偽になることなんて最初からあり得ない。 

どこで？

>>91
無矛盾の定義としては 間違いというほどのものではないと思うが
もしかしてゲーデルの話だからω無矛盾としての定義のことを言ってるのかな？

一方、完全性の定義は
ゲーデルの話ならば、その意味ではなく
「すべての恒真命題が証明可能」の意味だろうと思うがどうか？

>>75
ブルーバックスのは未読なんだが
本当に適応範囲が重ならないなんて書いてあるのか？
それはずいぶんひどい本だな。

>>44
誘導されてきた？
嘘吐けｗ
このスレを本スレにするために
あえてお馴染みのネタで釣ってレスを伸ばしたんだろう？

そうやって初学者を追い出しにかかるあたりいかにも素人

まったくだのう・・・
不完全性定理は人間の知性の限界を示したというのに。

神の数学は完全なのですか？

↑グリムの定理

全く問題有りません。
神は数学を用いないからです。

不完全性定理は数ヲタの知性の限界を示したw

神が用いるのは何ですか？

なんか議論が錯綜しているようなのでまとめると、
健全(論理式が、証明可能⇒真)、完全(論理式が、真⇒証明可能)。

述語論理は健全かつ完全。

述語論理に新公理を追加したPAは健全だが完全でない。
つまり恒真なのに証明不可能な論理式が存在する。

この論理式が存在することを主張するのが第1不完全性定理。
ここでいう不完全とは、論理式に否定記号を付けても付けなくても証明できないってこと。
この定理の仮定で無矛盾が必要な理由は、矛盾してたらどんな論理式でも証明できるから。

で、その論理式が「PAは無矛盾。」だと主張するのが第2不完全性定理。

PAって何ですか？

Peano axioms

自然数論を含まないような数学的体系って考えられないの？

どういう意味？

自然数論を含まないような公理系。『群論』がそうらしい。

>>112
>つまり恒真なのに証明不可能な論理式が存在する。

それは違うのでは？

北田均著「ゲーデル 不完全性発見への道」ってどうなんでしょう。

>>112
無矛盾って仮定してるわけですから
矛盾している可能性もあるんですよね？

>>115
自然数論を含まない体系は数学的体系と呼ばないのでは？
>>118
そうですね。
正確にはPAの論理式で、PAのモデル、例えばNで解釈すると真になるのに
PAから証明できない論理式が存在するってことですね。
>>120
そうですね。
しかしPAに限っては全く別の方法で無矛盾性が証明されています。

確か超限順序数を使うんだっけ？

もろ集合論依存じゃん。集合論怪しいのに。アホ臭。

>>121
プレスバーガー算術知らないの?

文系はwikiと２ちゃんで聞きかじったみたいな知識で荒らすのやめてねｗ

実閉体の理論は数学じゃないのか

>>123
お前、有限の立場って言葉知らないだろ
だってお前アホっぽいもん

制限した怪しくない集合論なんて認めん。

４７の筆者です。確かに素人が手出しする内容ではないですね。
もう少ししっかりと理解した内容で、更新していきたいと思います。

何だか議論をさせて申し訳なかったのですが、
いつも取り上げられないブログが、こうやって議論されて
更に自分の無理解を示していただいたことに感謝します。

また混乱させてしまった方には申し訳ありませんでした。

>>122
そうですね。
>>123
有限の立場の超限順序数論だから集合論なんて出てこないよ。
それに1階述語論理自体もモデルが暗黙裡に集合論の
性質に依存してると思いますよ。
>>124>>126
それを通常の数学と呼ぶかどうかによると思う。
足し算と掛け算に関連する公理が揃ってなかったら
対角化定理が証明できなくなって不完全性定理は成り立たないけど
最低限自然数使えんと数学とは言えんと思うんですよね。
単なる言葉の使い方の問題ですけどね。

足し算かけ算ができない実閉体の理論って初めて聞いた

数理論理学や数学基礎論といっても所詮は単なる応用数学だな。
微分幾何や代数幾何、微分方程式論等とさほど変わらないのだよ。
だからこそ、数論のモデル理論への関わりがあったりするわけで。

>>121
＞ 自然数論を含まない体系は数学的体系と呼ばないのでは？ 

そのままではちょっと勇み足な感じがしますね。

自然数論を含まないもののみで数学を再構築しなおすには
これまでの（自然数論を含む）数学の結果の大半を破棄することになるので
今後、自然数論にかわるよほどのものがでてこない限りは
数学が（多様性も魅力も力も）乏しいものになってしまいかねないので、難しい。
というような意味なのでしょうけど。

足し算掛け算がなければ不完全性定理が成り立たない。
プレスバーがと代数閉体は
不完全性定理が成り立たないんじゃなくて
無矛盾で完全な理論ってこと。
不完全性定理の前提に
「Qの再帰的拡大」があることを忘れてはならない。
例えば真の算術の場合はQを含むが再帰的拡大じゃない。
真の算術の公理を判定しようとしても
チューリングマシンが停止しない。

証明判定機を述語記号として追加すれば再帰的である必要はないよ
胡散臭いけど

実閉体(代数的閉体でも良いけど)ではそもそも理論内部で自然数が定義出来ないから、完全でも無問題。

例えば有限群において、何らかの性質が成り立つことを要素の数による場合分けを使って証明している場合、
それはモデルによる証明である（形式的証明ではない）と言えるんでしょうか？

普通に数学やるときの証明と
述語論理での論理式の証明は違うんですよね。

有限群の性質を論理式に置き換えたものがあって、
AのときはB、CのときはDなんかは、
(A→B)∨(C→D)なんて形をしていて、
いくらAとかBが複雑だろうと、証明できるなら
その中にある原始論理式が真になれば
全体が真になるんですよね。

仮定となるAやCが論理式に置き換えられないときはどう？

ZFCなら現在研究されている
ほぼすべての数学を論理式に置き換えられると言われている。

なんかずれてるな。
それと意味なくageるんじゃない。

sageないと怒る奴は頭おかしい

「お願い」だろ

>>103
こんなこと書いてあるのを見つけた：

＞著者は、また、自然数論は完全性定理が成り立つには強すぎる体系である旨の主張もしている。

http://taurus.ics.nara-wu.ac.jp/staff/kamo/shohyo/logic-2.html

>>112
上のリンク先を読んで勉強しなおして来い。

あーあ、折角バカがホイホイ獲れてたのに、答え教えちゃって...

>>142
同感です。
>>144
述語論理の完全性と
Σ1文の完全性が混同されているという例ですね。

アレフゼロって概念が意味わからんわ
これが最初の無限とか言ってるのもわけわからんし、第一勝手に1を加えていってω_1、ω_2・・・としていくのも納得いかん
1加えて大きくなるんならまだ無限じゃねーだろ
エリート文系にわかるように説明してけれ

結構素朴な難問だったりする？

＞1加えて大きくなるんならまだ無限じゃねーだろ
これが間違い。例えば順序数は無限だが常に
α+1＞αを満たすように作られている。

順序数、整列集合ぐらい位相やるとき仕込むだろ、あんぽん。

円周率の中に例えば20個連続した7があるかどうか決められてるっていうところとか
有界の単調増加数列で区間を2等分して数列が存在してる方の右側区間を選んでいけば
上限値が決められるっていうところも自然数全体を数え切ったうえでないと区間に
点列が存在するかどうかなど決められるわけがない
だとすれば自然数には最終項がなければいけないのに自然数の定義から矛盾が生じると
いって排除されてしまう

ここのところをどうやって実数とか排中律を理解していけばよろしいのでしょうか？

>>151
リトルウッドという数学者が、ある定理（Aとする）を証明するのに、
「リーマン予想が真ならばAが成り立つ。リーマン予想が偽ならAが成り
立つ。よってAが成り立つ」という論法を使ったことがあるそうです。

>>147
(自然数と有理数は一対一対応があるのに)
自然数と実数は一対一対応がないから、
濃度に複数あることは認めざるを得ないのでは?
認めない立場なら実数をあきらめないといけない。

>>146
同感です。
述語論理の関数・述語記号は、
関数と述語が入る変数。
ですから述語論理の完全性は
どんな関数や述語でも成り立つような規則なんです。

一方で理論特有の完全性定理とは、
何らかのモデルで具体的な関数・述語を解釈した場合の規則。

ですからこの2つ完全性定理の完全性は定義が異なるんです！

さらに不完全性定理の完全性もまた定義が異なる！
つまるところ3つの完全性があることに注意しなければならないんです＾＾；

>>152
排中律に∨elimを組み合わせたわけだな

>>152
その証明中にリーマン予想の真偽が有効に使われているんなら面白いな。

どんなモデルでも成り立つなら形式的証明が可能、って何か不思議だね。

理論Tの中で文Aを証明しようとして、
モデルの全要素数が偶数のとき、奇数のとき、無限のとき、いずれもAが成り立つ
がそれぞれ言えればAが証明できたことになる。
でもTが弱くて要素の数なんて概念を表現できないときは、この議論を形式的証明に翻訳
することはできないよね。
それとも必ず別な証明方法があるってこと？

>>150
近頃の大学じゃそんなマニアックなことまでやらないよ

キヨスクに集合論独立性証明へが並ぶ日は遠いだろうな

なんか釣り文書いてしばらく立ったら予想以上の収穫だったので種明かし。
俺は>>112の1段落で述語論理の健全性と完全性の議論をしている。
ところで3段落ではPAという理論についての健全性と完全性を議論している。
もちろん標準モデルを非明示的に仮定している。
つまりΣ1完全性定理のことで、これを受けて
第1不完全性定理がΠ1文の中に存在する具体的な論理式の存在を直接言及することを指摘した。
随分レスも伸びたしこのスレを自分が掌握していることを再確認した。

>>159
2chで釣り宣言をやるのはかなりの…
ソーカル事件みたいに実名でやるなら有効だけど。

>>112
一人で悦に浸っているところ恐縮だが、
君がその釣り文書書く前（つまり112以前）から、
同じような釣りがあって釣られているレスがあったわけなんだが

>>159
どうせ騙るならもっと昔のレス番騙ればよかったんじゃね

>>159
tsumaran

>>156
偶数、奇数、無限なんて場合分け普通あるか？

>>149
わからんなどうも
α+1＞αを満たすにしても、αが先ずはっきりしてないと定義出来ないんじゃねーの？
そもそもαが無限だって言うならα+1自体がαになるからα+1は記述は出来ても存在しないんでね？
α+1＞αが成り立ってるうちは可算の域を出てないだろ・・・
教授クラスの人説明キボン

>>164
>α+1自体がαになる
　濃度の大小と「+1」を混同してるだろ？

>>147はお前だよな？
>勝手に1を加えていってω_1、ω_2・・・としていく
の「1を加える」って言葉をあいまいに使ってるから誤解が発生するんだよ。

>>164
加えてるのは自然数の１じゃないんだ
自然数は無限数えるためのカウントに使ってるってことなんだな
濃度の大小が異なる順序数をソートしてるだけんだよ

後続関数も分からん、学習する気もない糞馬鹿なぞ相手にするな。
恐らくパアのβだろう。

要は順序数同士の大小は濃度を比較しているのではない、ということ。
あとは定義を読めばわかる。

>>147
「+1」と「添え字の１」をごっちゃにするなよ。

こうだ
ω、ω+1、ω+2、・・・・・・・・・、ω_1、ω_1+1、ω_1+2、・・・・・・・・・、ω_2、ω_2+1、ω_2+2、・・・・・・・・・
|-------------------- 　　　 |------------------------　　　|------------------------´
　　　　同じ濃度　　　　　　　　　　　　　　　同じ濃度　　　　　　　　　　　　　　　同じ濃度

馬鹿に集合論は無理

誰か>>156を教えて

β=東大 AGE

これは方程式では無く恒等式。

>>156
もうちょっとステートメントを厳密に言わないと無用の混乱を招くよ

>171
Tは要素のパリティを表現できる程度の強さが必要なんじゃね？双対とかそんな感じの。
あと蛇足だけど、偶数の無限と奇数の無限があるから、偶数奇数と無限を切り離して考えるのは無意味。

>>164
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0

＞数学でいう順序数（じゅんじょすう、ordinal number）とは、
＞整列集合同士の"長さ"を比較するために、自然数[1]を拡張させた概念である。
(中略)
＞整列集合 (A, <) に対して、A を定義域とする関数 G を超限再帰によって
＞G(a) = { G(x) | x < a }
＞と定義したとき、G の値域 ran(G) を (A, <) の順序数といい、これを ord(A, <) で表す。
＞ある整列集合の順序数であるような集合を順序数と呼ぶ[2]。
(中略)
＞8. 順序数の和は一般には可換でない。例えば、1 + ω = ω ≠ ω + 1 である。
(中略)
＞9. 順序数の積は一般には可換でない。例えば、2 · ω = ω ≠ ω · 2 である。

>>152
選択公理使って矛盾が出れば使わなくても矛盾が出るとかいうことですしょうか？
すみません、そういうのは難しくて理解できないので別の方法で何とか
>>151を理解出来る方法はないんでしょうかね...

スレッドのタイトルの件だが

>>11
＞ロジックに興味のある高校生・専門外の人にはオープンにしたいよね。

↑いま「ロジック」って云ったよね？
つまりその言葉で通じるってことだよね？

英語では、Mathematical logic(数学的論理学)といえば
set theory(集合論)も、model theory(モデル理論)も、
recursion theory(帰納理論)も、proof theory(証明論)も、
含むんだよ。
集合論は論理じゃないなんて馬鹿なこという奴はいない。

むしろFoundations of mathematicsのほうは、
数学における哲学的態度である
Platonism（実在主義）、Formalism（形式主義）、
Intuitionism（直観主義）、Logicism（論理主義）、
等を取り扱うものであるわけだ。

日本で「数学基礎論」という言葉が用いられるようになったのは
ヒルベルトとベルナイスによる本"Grundlagen der Mathematik"
によるところが大きいと思われるが、いまさらヒルベルト計画に
関心をもってロジックをやる奴なんてまずいない。

もう、数学基礎論はやめにしようぜ。
岩波で「数学基礎論」ってタイトルの本が出たから
とかいうのは、全然理由にならないよ。

＞数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
＞19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。

これは正しくないよな。少なくともブール論理を無視している。
フレーゲの概念記法は、集合論とは直接関係ない。
そしてラッセルのパラドックスも、フレーゲの理論に対して
指摘されたものであって、集合論に対するものではない。

カントルは、内包公理を主張したわけではない。
（だから内包公理から矛盾が導かれても、カントルの集合論が
直接ダメージを受けるわけではない。）
ツェルメロの公理的集合論は、カントルの理論を明確化しただけ。
（分出公理の提案は、内包公理から出る矛盾の解決の為、
ということではない。）

1の文章は、少なくとも
「数理論理学は、証明論、再帰理論、モデル理論、公理的集合論等、
　多くの分野に分かれ、純粋数学として発展を続けています。」
で十分。極めて高度な、も不要。言わずもがな。

タイトルで「数学基礎論」といわなければ
「従ってこのスレでは、
　基礎的な数学の質問は
　スレ違いとなります。 」
という文章は無用。

私の考える案は以下の通り

タイトル：数理論理学　その**

序文：
　数理論理学は、ブール論理、フレーゲの概念記法、
カントールの集合論、等を嚆矢として、現在では、
証明論、再帰理論、モデル理論、公理的集合論等、
多くの分野に分かれ、純粋数学として発展を続けて
います。また代数幾何学等、他の数学の分野、
計算機科学等、他の学問領域とも関連しています。

>>177
＞>>11
＞＞ロジックに興味のある高校生・専門外の人にはオープンにしたいよね。
＞
＞↑いま「ロジック」って云ったよね？
＞つまりその言葉で通じるってことだよね？

詭弁を弄するな。
>>11のその発言はこのスレッドの住人に対してであって
「ロジックに興味のある高校生・専門外の人」相手ではない

>>181
詭弁ではないな。

大体、数セミで竹内外史とかの
「数学基礎論とはヒルベルトプログラムのことだ！」
という宣伝文句しか読めなかった世代（今やリッパな中年）
の常識を、今時の若いモンに押し付けるのは犯罪行為ｗ

きっと>>178は国語の成績が１だったと思われる。

＞＞数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
＞＞19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
＞
＞これは正しくないよな。少なくともブール論理を無視している。
＞フレーゲの概念記法は、集合論とは直接関係ない。
＞そしてラッセルのパラドックスも、フレーゲの理論に対して
＞指摘されたものであって、集合論に対するものではない。

ブール論理を無視するとどうして正しくなくなるんだろうか？
引用してるテンプレの部分に「素朴集合論の逆理」という言葉は出てくるけど
ラッセルのパラドックスともフレーゲの理論も出てこない。

その後の文章は「素朴集合論」＝「カントールの集合論」という前提があるようだけど、
テンプレの正しくないと主張する部分にそんなことは書いていない。

つーか、ラッセルのパラドックスは最初はフレーゲの理論に対して指摘されたかもしれないが、
全く同じ論法で素朴集合論における逆理を作れるのだからそれをラッセルのパラドックスと読んで差し支えない。

>>182
「詭弁ではない」と唱えれば詭弁じゃなくなるわけじゃないよ。
根拠を説明できないとね、小学生でも知ってるキホンだよ。

>>183
残念ながら国語の成績は5だった。

1でいう「数学基礎論」が、mathematical logicとしての
数理論理学であるなら、その淵源の中にはブール論理もあるし
フレーゲの概念記法もある。これらは集合論とは関係ない。

「素朴集合論の逆理」というのも正しくない。
「素朴集合論」が「カントールの集合論」とは異なるのは当然だが
それでは「素朴集合論」とは誰がいつどこで言い出したものか
明確に示されたい。おそらく不可能かと思うがｗ

>>183
>つーか、ラッセルのパラドックスは
>最初はフレーゲの理論に対して
>指摘されたかもしれないが、

かもしれない、ではなく、明確にそうである。
根拠を確かめもしない君は、小学生でも知ってるキホンを
公然と無視した点で、リッパな幼稚園児だな。

ちなみに、私は幼稚園には行かなかった。

>全く同じ論法で素朴集合論における逆理を作れる
>のだからそれをラッセルのパラドックスと読んで
>差し支えない。

そう呼ぶのは勝手だが、その場合、歴史とは無関係になる。
つまり、君は歴史を改竄したわけだ。

＞>全く同じ論法で素朴集合論における逆理を作れる
＞>のだからそれをラッセルのパラドックスと読んで
＞>差し支えない。
＞
＞そう呼ぶのは勝手だが、その場合、歴史とは無関係になる。
＞つまり、君は歴史を改竄したわけだ。

これを歴史の改竄というのなら、人名の付いた数学用語なんて大多数が歴史の改竄だよ。
というか数学の世界では、こういう意味での歴史の改竄なんて気にしないしむしろ積極的にやる。
こういうことを問題視するのなら歴史板にでも帰り給え。

文kei、屑哲大暴れ。

用語や概念を慎重に取り扱うあまり、それらを粗雑に扱う人間に対し
大罪をおかしたかのような言葉を浴びせる人がいますね。

「詭弁ではない」の根拠は？小学生未満だと自己認定？
都合の悪い話には無視したままかよ。

その屑哲、最初は「公理的集合論・数理論理学」を推してたでしょ。
でも「公理的集合論・数理論理学」スレでこのスレタイ論破されちゃったから
今度は「数学基礎論・数理哲学」ってスレ立てて暴れているみたいだな。

>>173
ステートメントを厳密にですか・・・
↓
Tは一階の理論。文Aが任意のモデルで成立するが、それを示すために
モデルの要素数や、もっと踏み込んだ性質（偶数か奇数か等）に言及しているとする。
（初等群論とかで位数が素数のベキかどうかで場合わけするようなパターン）

Tは弱い理論で、そんな性質を表現できそうな関数や述語を持っていない。
それでも完全性定理によって文Aの形式的証明が存在するはず。
これはモデルの要素数などに言及しない別な証明方法が必ずあるってこと？

>>174
>偶数の無限と奇数の無限
？

ゲラゲラ

>>192
私は上で書き込んだ人間じゃないんだけど、
例えば領域の濃度が有限で偶数・有限で奇数・可算無限の3つのモデルで
文Aが成り立つとき、AはTから証明可能なんだけど、
逆に文Aが成り立つモデルの領域の濃度がどうなっているかは
一般に決まらない。
これが原因でモデルが無限次元ベクトルでも1次元ベクトルでも
共通する性質を論理式に翻訳しちゃうと、
逆に論理式からベクトル次元がどうなっているのか分からなくなってしまう。
これを避けるために1階論理を拡張した多領域論理というのがある。

>>187は国語の成績が１だったな。確実に。

ラッセルのパラドックスの系として、
「素朴集合論」の矛盾が示せる、としても
その素朴集合論とやらが、数学の歴史上の
どこにも現れないのだから、
「素朴集合論における逆理の解消」
を動機とする、という記述が、
歴史の改竄だといっているわけだ。

「数学者だから数学の歴史を改竄する権利がある」といったら
数学者を含む全世界の人間から嘲笑される。確実に。

>>191　
妄想乙。
残念だが、私は公理的集合論スレッドには書き込んでいない。

今、拝見したが、ロンパ君の主張は
「公理的集合論だって数理論理学の一分野！」
「公理的集合論だけ数理論理学から分けて記載するのは不適切！ 」
につきるらしい。

なら
「数理論理学　その9」
なら問題ないわけだｗ。

>>186を>>195で解説されているように読解しろというのは都合よすぎだろ。
自分で186を読み返してみろよ。195のように読めないから国語が１だって笑わせるなよ。

>>197
読解できないのは貴様の頭が悪いから。
いや悪いのは頭じゃなくて心か。

Rossor定義でのTの無矛盾性を表す論理式が証明可能な意味が分からん
ゲーデルの第２不完全定理と矛盾しないの？

「ラッセルがフレーゲの理論に対して指摘したのと同じ種類の方法で作られる素朴集合論のパラドックス」
を「ラッセルのパラドックス」と呼ぶことは「歴史の改竄」だと屑鉄君はまだ主張するのかな？

>>200
「ラッセルがフレーゲの理論に対して指摘したのと
　同じ種類の方法で作られる素朴集合論のパラドックス」
とやらについて、あたかも素朴集合論がカントールの集合論
であるかのごとく語り、カントールの集合論が矛盾したから、
数学界が慌てふためいたのだと語るのが、歴史の改竄だと
哲学のテの字も知らん、数学科卒、修士課程修了の私は
主張している。

不完全性定理についてのクリプキのバージョンについてどこで見れますかね？

186はどう読んでも
「ラッセルのパラドックス」と呼ぶことが「歴史の改竄」である
としか読めないのだがね

>>203
頭が悪い。（終）

なんか瑣末な議論になっているようだけど、本題のスレタイの話でいえば、
>>11を含めて「数学基礎論」を入れるべきとする人たちでも、
その名称が「ロジック」を指すのに適切だからという理由で
スレタイ入れるべきと主張しているわけではないと思う。
特に>>11というか前スレの904だけど、この名称に違和感を持っていると思われる。
それでも現実に世間では「数学基礎論」の方が通りが良いから
次善の策としてスレタイには入れようというのが「入れるべき」派の主張。
だから180が幾ら「その名称は不適切だ！」と主張しても議論は噛み合わない。
理屈でどんだけ不適切であっても、その名称が通用している現状はまず認めなければ。

>>202
何と言ってもBoolosのThe Logic Of Provability
第1章で様相論理を導入してGLで第2不完全性定理までやる。

多くの人に分かってもらうために多くの人に定着している名称に妥協するのか、
専門内の内輪の論理で最適な名称を固守して専門外との妥協を拒絶して行くのか
どちらにするかという論争なのですね。

素朴集合論が数学の歴史上のどこにも現れないとか意味分からん。

「多くの人に分かってもらうために多くの人に定着している名称」と
「専門内の内輪の論理で最適な名称」を併記すればいんでね？

>>209に一票
ってかそれはいまのままで良いってことだが

>>209
それでいいと思う

あの屑哲とは関わるなって話だな

>>199
ロッサーの可証性述語は
直感的には与えられたゲーデル数の論理式の証明が可能と解釈できるが、
厳密には通常の可証性述語よりも強い言明。
ロッサーの可証性述語から自己の無矛盾性を示すことはできない。
「ある体系が無矛盾である」ことを定義するためには、
公理や推論規則や論理式を算術化した物凄い長大な論理式を定義することになる。

>>205
>現実に世間では「数学基礎論」の方が通りが良い
>その名称が通用している現状はまず認めなければ。

こういうウソを平気でつくのが、●違いの腐れ数ヲタｗ

まず、「数学基礎論」という言葉を使用する行為が
あるイデオロギー、すなわち、ヒルベルト・プログラム
の遂行による数学の無矛盾性保障、の宣伝だという
ことを知るべき。

例えば、竹内外史はその顕著な例であるし、最近でも
田中一之はヒルベルト・プログラムの可能性に言及し
新井敏康はヒルベルト・プログラムから生まれた証明論
を主な研究対象としている。

彼等が、著書において「数学基礎論」という言葉を用いるのは
単に、現実に世間では「数学基礎論」の方が通りが良い、という
消極的な理由によるものではない、と考えられる。

>>207
>多くの人に分かってもらうために多くの人に定着している名称に妥協するのか、
>専門内の内輪の論理で最適な名称を固守して専門外との妥協を拒絶して行くのか
>どちらにするかという論争なのですね。

こういうミスリードを平気でやるのが、●違いの腐れ数ヲタｗ

現実には、一部の専門家が、数セミあたりで用いた言葉を
素人の数ヲタが勝手に「業界標準」と思い込んだための誤り。
しかも、その業界標準とやらも、もうン十年も前の話で
今時の話には全然疎いときているから始末が悪い。

証明論の研究者ならともかく、集合論やらモデル理論やら
再帰理論やらを研究している人間は「数学の基礎」なんて
別に意識しちゃいない。

いい加減、自分がヒルベルトの亡霊を信奉する
アナクロ野郎であることに気づけｗ

>>212
ロジックのロの字も知らん癖に
ムムジュン！ムムジュン！と煩い
アスペルガー症候群の腐れ数ヲタ
自作自演乙ｗｗｗｗｗｗｗ

この多弁さが物語るのは非数学者であること。

クズ哲！

論理学や基礎論はそれ自体何の価値もない学問だ
RPGツクールで遊んでいるようなもの
数学基礎論なんて呼んでいるのは日本だけだ

基礎ではなく、数学とは別の何かだ

人間の思考の記述？
それでもおかしい
ゲームの分析、こんなもんだ

>>213
ありがとう。やっぱむずいな
ロッサーの可証性述語って∃y[Prov(y,x)∧∃w{Neg(x,w)∧∀z≦y¬Prov(z,w)}]だろ？
∃w{…}の部分がどう関係してくるのかさっぱり分からん
Con:=¬Pr([0≠1])とするとどんなに長大な論理式といっても
Π1の中に含まれそうな気がするがそれでも駄目なのかな

また基礎論スレが増えてるぞ。
おまいら糞スレ連発するのも大概にしとけ。

>>219
第１不完全性定理ではメタ理論のProvという述語を表現する
論理式なら可証性述語は何でもいいけれど、
第２不完全性定理ではLobの可導性条件が成り立つ必要があるため、
述語論理の証明体系や理論を完璧に形式化しないと証明できない。
だから第１と第２の可証性述語はいっそ分けて考えたほうがよい。
第２の形式的可証性述語は第１の通常の可証性述語と同様の性質をもつようにする。
こうしてできた形式的可証性述語Prから¬Pr([⊥])を作ると、
これは理論の中で証明できない。

加えて言うとすべてのΠ1文が証明不可能なのではなく、
証明不可能な論理式はΠ1文の中にあるとまでしか言えない。

>>218 確かに現代数学とはちがう別のもの。
数学と思わなければ、学問で無いとまでは
いわない。ただ、かなり粗悪なものを多く含み、
長く居座っている人は学者としては三流。
ただとにかく学者になりたくて、だけど
数学の中心部では能力が無いとはじめからあきらめ、
やっと見つけた自分の縄張りを守ろうとするような
学問そのものより自分のほうがたいせつな人が多い

>>223 >>218 S. Shelah, E. Hrshovski, H. Woodin ...
そのほかにも沢山いるが、何にもしらないで書いているのだろう。
ゲーデルの当時の数学者のなかでも、周囲から優れた数学者と思われて
いたのだ。現在でも優れた数学者が多い。ただ、多くの数学者が理解でき
ていないだけだ。

それらは、ロジシャンであって数学者ではない。

もちろん「数学」と「ロジック」の定義は人それぞれだし、一般的には「数学」の中に含まれるだろう。

けれど通常の数学とは微妙だが決定的な違いがある。
実際、ロジックはフィールズ賞の対象になったことさえない。

ロジシャンは本質的に数学者ではない。
これが分かるかどうかがひとつの数覚。

shelahあたりが数学者じゃなけりゃ
ErdosやRudinやルベーグ・クラトフスキーその他も数学者から外れるだろう

まぁでもゲーデル辺りはロジシャンだとは思う

実際、ロジックはフィールズ賞の対象になったことさえない。

数学者というより幾何学者とか言い出しそうだな

圏論スレにいた人か、数学の本スレにいた人だろう。
フィールズ賞は数学の賞だからロジックの研究には与えられんだろう

数理論理学なんか応用数学の一種だからな

全体としての傾向を語ることに対して
個々の事例を数例あげて反論というのは
どうも違和感があるな。

違和感など棄てろ！

数理論理学は論理学だよ。
問題は数理論理学と言ったときに
組合せ論や一般位相・測度・集合論・基数算術みたいな
ものまで含んでいるイメージがあるから生じているんでないか？

あと応用数学に工業数学みたいなイメージがあることも原因だろう

逆数学モデル理論再帰理論証明論なんかロジックであって数学ではない。

数学ってナンダロウ

ロジックは数学のツールになるしロジック自体は数学をツールとして使う
とりあえずロジックも計算機科学も理論物理も全部数学にぶち込んで良いと思うが

ロジックも計算機科学も理論物理もぜんぶ応用数学だろ

理論物理も計算機科学もどっちも経験科学であって、数学とはまるで違う。

数学は数学的対象についての研究で、ロジックは数学的行為についての研究。
こういう見方に立てば、たとえば幾何学とロジックは違う。

理論物理が数学に影響を与え与えられているのを見ると
数学とロジックの関係は
数学と理論物理の関係に非常に近いな
もちろん
数学と計算機科学も似た関係だな

>>240
ここでいう計算機科学ってのはPvsNP問題みたいな計算量理論だとか計算モデルの意味ね

何かの都合でそう思ったほうが認知的にコストが安いからそう思っているという可能性は？
たとえば貴方が圏論好きの職業プログラマーである可能性は？

ところで、理論物理と数学の関係性とロジックと数学の関係性は同じだろうか？
数学に影響を与え与えられ、という点からいえば、科学や学問のあらゆるジャンルが可能性としてはそうだ、ということになる。
そもそも数学が理論物理と同程度にロジックから影響を受けているのか、という事実レベルの検証も必要だろうが。

>>239
コレは私見ですが：
★★★『理論物理は唯単に「数学を言語として使用してる」という
　　　　　　事であり、応用される事を目的とする研究では必ずしもない。』★★★
という解釈が妥当ですね。つまり「理論物理学の研究の目的は自然をき
ちんと理解スル事」であり、従って応用数学とは別物でしょう。加えて：
★★★『計算機科学は「人間が恣意的に構築したルールブック」の上で
　　　　　　　何が構築出来るのかを、また何にどう使えるかを研究する学問である。』★★★
という解釈を私はしています。従ってコレも応用数学とは違い、その全
てが人工物だと思います。某計算機科学者の有名な台詞で：
★★★『自然科学と計算機科学の関係は、流体力学と配管工の関係と同じ。』★★★
というモノがあり、私は全くその通りだと思います。

猫

計算量理論とロジックとは何か関係があるのですか？
何にも関係なさそうに素人には見えます。
ロジックを使って複雑性について何か強い（つまり自明でない）ことが言えたりするの？

もしかして、論理学なんかは哲学の
一分野として分類すべきなのかも・・・

>>245
特定の強さの算術的な公理系と抽象機械が対応してたりする
あとさまざまな述語論理(等号の有無とか階数)が計算量クラスに対応してる話とか

俺は集合論やるために後付けで論理学も勉強したが
学部時代は完全性定理もわからんかったｗ
ロジックはほとんど使わないよ

集合論やってよかったことって何かある？

いいことはないだろうｗ
ルベーグ積分とか集合・位相辺りをもっとやりたいならおすすめ

ルベーグ積分

>>232
誰に対して言ってるのかわからん、アンカーつけなさい。
>>234
そこらへんは含んでないということにしよう。
>>238
数理系にぶち込めば良い。
>>240
計算機科学というと、理論の方とコンピュータ屋の使う方の2つがある。
そして数学的行為だけでなく形式的行為全般の研究だろう。
>>241
ロジックが集合論まで含むか否かによるだろう。
>>243
数学がロジックから影響を受けていることはあまりない。
数学で使うロジックの結果は自明なものしかない。
>>244
>>239は数学を道具として使う研究を応用数学と呼んでいるのだろう。
それから理論物理学の研究目的が自然をきちんと理解するというのは
初めの頃の理念で、現状がその通りになっていると断言できますか。
>>245
算術的階層
>>246
日本で哲学を専攻している人間がモデル論証明論計算論にまで興味を持つだろうか。
>>248
実際集合論の一部でしか使わないだろう。
>>249
数学やってよかったことって何かある？
>>251
きちんと主語と述語を書きなさい。

数学とは仮定の学問である、と言われる。
つまり仮定から純粋に論理的に導かれる結論のみを研究対象とする。
虚数が何であるかは問わない、虚数の満たすべき性質からの結論が重要。
この定義からすると、ロジックはもちろん、
計算機科学の理論系や理論物理の数学よりの大半は数学である。

>>253
勿論そんなことはない。
数学研究は確かめてないけど多分こうだろう、という勘と予想に満ちている。

>>221-222
そっか、納得した
それにしてもLobの可導性条件をきちんと証明してある本ってなかなかないんだよな

比較対象としては推測を方法的に禁欲する実証主義的な研究を思い浮かべて書いた

>>255
最近出た数学基礎論に完ぺきな証明が載っていました。

>>253 それでは詰将棋も数独も全部数学になってしまう
複素数は18世紀には認められなかったのには
理由があるの。その頃の数学者がバカだったからではないの。
ガウスも悩んだ末に複素数をみとめた。
複素数はが認められるようになったのは、
公理の整合性の話ではなくて、既存の問題を解決するのに
重要な道具とみなされたから。

基礎論が数学と認められるかの基準もここ。
既存の数学に重要な道具を与えるかどうか

現代数学が非構成的な存在証明をやっているうちは数理論理学的なデリケートな議論も必要になる。
ある種の三角圏の構成で順序数の性質を使っているところもある。ネーマンの三角圏の本にはシェラハへの謝辞がある。

複素数が有効だと認められてからも、
複素数の研究そのものは、19世紀から現在まで
研究分野として続いているわけではない。
あくまで複素数の道具として有効な部分が
研究されるだけであり、複素数そのものに
対する興味からでる研究は無いし、
あっても価値が低い。
そこが整数の研究がずっと続いていることとの違い。

だから、論理そのものの研究は論理学であって
数学では無い。あくまで、数学に役立つ部分が
数学。

>>260
複素関数論はいまでも重要だ。
複素関数論自体は複素数ではないというのなら、そもそも複素数自体の有用性はあまりない。

例としては不適切。

>>260
数学に役に立つ部分が数学ということは
はじめに数学だった部分はどこなの？

リーマン予想も複素関数論

>>261 複素数学は数学でないということ。
複素関数論も重要だが、複素関数そのものではなくて、
その役割が重要という事。整数論にも代数幾何にも
いかなる分野への応用もない複素関数自体の研究は
数学としては価値が低い
ということ。

複素関数論は、その実、
ほとんど整数論か代数幾何(か数理物理)だろ。

261は260しかみてなくて、それまでの流れを
汲み取って解釈してない。

>>253,258,260の流れね

複素数がなぜ認められたかの理由を
考えれば、数学での価値観がわかるという話

じゃあ、整数論も、ほかの分野への応用を見据えずに整数論自体の研究に
没頭し始めると、数学としては価値が低いと。

代数幾何も、ほかの分野への応用を見据えずに代数幾何自体の研究に
没頭し始めると、数学としては価値が低いと。

>>267
ある意味Yes
ただ、整数論くらいになると、応用というより
関わりね。
だから整数論でもどんなに古い問題でも、
初等整数論内だけの議論で済むようなものは
価値が低い。

代数幾何もしかり。ただし、現代の代数幾何は
既に複合分野的色彩が強いので、他の分野との
関係を断ち切れないほど。だけど、例えば、
グロタン以前のイタリア学派が昔やって居た
代数幾何固有の問題は、現代人がやっても
評価されない(問題自体が易しいわけではないよ、
現代でも)

数学的対象として、土台がしっかりして居て
千年後でも保っているであろうものは、整数くらい。
せいぜい有理数くらいだ。それ以外の数学的対象は
実数も複素数も行列も位相も選択公理もすべて、妄想。
整数論や物理学などに役に立つから採用しているだけ。
妄想そのものに研究する価値はない。

ただし、妄想の研究が、役に立つのなら、その時だけ
限定で、妄想の研究が意味を持つ

>>269
実数・複素数あたりから妄想臭が強くなってくるのは分かるが、
そのノリで行くと、自然数でさえ
1000年後には残ってるか分からんような。
ttp://ac-net.org/tjst/archives/05710-tjst-kyouritsu.pdf

>>265-266
複素数を例にあげるのが不適切なのを棚に上げて流れを読めというのはおかしい。

「数学」という範囲を恣意的に設定して
その中でのほかの分野の応用がないと「数学」じゃない
ってそれまともな定義になっているの？
最初の範囲の設定次第でどういう結論でも導けるじゃん！

>>268
代数幾何も分化していないだろうか？
局所環とかコホモロジーとか表現論とかそれだけの研究もあるじゃん

最初の数学の範囲の設定は>>253みたいに客観的なみたいなものにして
価値の優劣はその範囲内での他分野との関連性の強さによる、とかならまだしも。
もっとも現実世界との関わりを無視して数学の中だけ見ていていいとは思えないが。

論拠も何もないから
音楽マニアの＊＊はロックか？
みたいな論争と変わんないんだよ

>>276
同意、実に同レベル

>>271
実数・複素数は、どう考えても整数・有理数よりも単純な対象なのでは？

ロジックつまり基礎論が数学ではないことはセンスでしかいえない。
小平さんとかアティヤとかなら同意してくれると思う。
こういうセンスが大切だったりする。

ロジックが数学なら分析哲学の一部の議論とか言語学の一部の議論とかも数学になってしまう。

数学についての考察と、数学についての考察についての考察は分けたほうがいい。

>>279
＞ロジックが数学なら分析哲学の一部の議論とか言語学の一部の議論とかも数学になってしまう。

そんなアホな

>>279
要約すると、
ロジックは僕には難しすぎて解りません！

>>279
数学的対象の研究と、数学的対象の研究を基礎付けるものの研究を
両方とも数学と呼ぶという話し。
分析哲学とか言語学の一部が数学ってのは
カテゴリー文法とかランベック計算の話か？
それならYes、それらもロジック、すなわち数学。
無論チョムスキーの文脈自由言語も今では立派な数学の一分野。
型付λ計算もメンタルスペースもエージェントの論理も
非単調な論理も全部数学的な産物。

小平やアティヤらの世代には余り知られていない。
ここら辺の話題はTaoでさえ言及してる。
ファジー論理なんかはロシアの新聞のインタビューでペレルマンも称賛していた。

アティヤの言葉を引用するなら
こちらはペレルマンの言葉を引用しよう

「すべての数学的理論は、それがしっかりとしたものであるならば、
早かれ遅かれ、利用されることになる。
たとえば、数世代に渡って、数学者や哲学者は原理の公理化を試みた。
この試みの結果、アイルランドの数学者で哲学者のジョージ・ブールの
名前にちなんでつけられたブール代数の理論が提唱された。
この理論は、サイバネティックや一般的な制御理論の中核となり、
他の学問の成果と共に、コンピューター、近代的な船舶・航空機・宇宙船を
開発するに至った。数学の歴史には、こうした例は数知れない。」

>>257
もしかして新井さんの本ですか？
あれ結構値段高いから買おうかどうか迷ってるんだが

>>282 ペレルマンの意見記事のソースは？

タオは全然主流じゃないから

>>284
そうですね。
日本語の本ではかなり不完全性定理について解説している本です。
何を持って可導性条件や不完全性定理の完璧な証明と呼ぶのかは案外自明じゃないです。
あの本のPAは指数関数をあらかじめ含んでいるので、多少簡単です。
可導性条件を示すために証明とΣ1完全性定理を形式化するだけで済みます。
PAが指数関数を含んでいなければ、β関数定理の形式化も必要になります。
前原の数学基礎論入門や田中の数学基礎論講義辺りが
こういった体系での証明のアウトラインを載せています。

あ、やっぱり前原のには可導性条件出てなかったかもしれない・・・
田中のには間違いなく載ってた

>>287-288
ありがとうございます
大学の図書館にあるみたいなので一度読んでみます

>279
根拠も何もない君のセンスなど誰も興味ない
君が小平さんやアティヤになったら聞いてあげるからね

数学科の人に聞きたいんだが、定義を表す記号で「：＝」ってあるけどどんなときに使っていいの？

例えば「f(x)＝x^2とおく」みたいなのを「f(x)：＝x^2」と書ける？（書く実用性があるかはともかく）

ねこさんによると、数学とは
『「定義→命題→証明」の繰り返しによって記述される論理体系
　　　　　　　　　　　　　であって、特に人間の恣意を一切排したもの。』
するとロジックも囲碁や将棋の研究も数学なんでしょうか？
チョムスキーの数理言語学も数学なんでしょうか？
型付λ計算もメンタルスペースもエージェントの論理も非単調な論理も全部数学なんでしょうか？

＞証明論の研究者ならともかく、集合論やらモデル理論やら
＞再帰理論やらを研究している人間は「数学の基礎」なんて
＞別に意識しちゃいない。
証明論の研究者もウェルカムってことでスレタイに「数学基礎論」入れとけばいいじゃない

名は体を表さなければならないという考え方は合理的ではない。

>>292
コレは単なる私見ですが：
★★★『どんな学問であっても、その記述の体系は「論理の
　　　　　　　　流れがきちんと明示されたモノ」でなければならない。』★★★
と思いますね。だからロジックでも囲碁でも将棋でも（例えばゲームの
理論ではそういう扱いがなされている筈。）そういう事だと思いますね。
ソレで各研究分野の名前に関しては、例えば数学であれば：
★★★『アル特定の議論の流れに対して数学という名前が付けられているだけ。』★★★
という理解をしています。だから別の学問、例えば物理とかは、「ソコ
で使う事が許されている基本的なルールが違うだけ」ですよね。（例え
ば何かの物理命題の真偽判定をスル場合は「数学の意味の証明」ではな
くて『実験事実との整合性を重視する』とか。）

だから他の学問（例えば社会科学や人文科学も）の場合も全く同じだと
私は考えています。要は：
★★★『それぞれの分野に依って、ソコで使っているルールブックが違うだけ。』★★★
だと私は考えています。コレは「それぞれの国に拠って法律が違う」の
と全く同じですね。

猫

社会科学や人文科学って「定義→命題→証明」の繰り返しによって記述されないような

>>293, >>294
奴はこのスレのレス数を伸ばさないように別の基礎論スレで返事してるぜ。
さんざん見てきたようにまともに議論する気もなく、
こういう姑息な手段で別のスレのレス数を増やそうとまでする奴の相手なんかするなよ

>>296
ソレは当然に違うでしょうね。特に数学でない場合は（理論物理であっ
てさえも）命題の主張が正しい事を示す論拠は（数学の意味での）論理
的な証明ではなくて、例えばソレを支持する（充分な数の）実例のかき
集めだったりしますから。だから（悪い実例かも知れませんが）例えば
FLTの場合であれば、N=100000000000000とかの充分に大きいと誰もが認
める数であれば、或いは（現在の意味での）純粋数学としての主張では
なければ、「もうソレでFLTは証明された」という認識も可能でしょう。

猫

理論物理でも、仮説から想定される実験結果を導くのは純粋に数学的に
（つまり数学のルールブックに則った形で）できますよね？
その部分は数学だと言ってしまっていいんでしょうか？

>>291
：＝　か？
パスカルでは＝と同じだが、マセマティカなどではディレイド＝だな。

数学とフェラチオの関係についてわかりません

>>297
あいつ、スレタイに数学基礎論と書いてないという理由であのスレが基礎論スレでないとか言ってるよ。
タイトルに○○とついてない、という理由でそのスレを○○スレと呼んではいけない、というのはおかしいんだが。

>>299
そうですね。まあ私が知ってるケースでは：
★★★『物理は（その理由の如何は別として）数学という言語を用いて
　　　　　　　表現されるので、だからその「計算という側面」は非常に重用
　　　　　　　　　　されるでしょうが、でも必ずしも厳密性は求められてはいない。』★★★
という場合が殆どでしょう。つまり厳密性に拘り過ぎたら先に進めない
場合が殆どだろうと思うからです。勿論例外はアルとは思いますが。ま
あ物理に関係した計算の場合はrigorous（数学の意味で厳密）とexact
（計算が全部具体的に実行可能：コレを物理では「解析的」という言い
方をしてますね。表現が紛らわしいですが。）という区別をしてるみた
いで、物理の場合では大概の場合ではそのexactというのが大きな価値
になってるという印象ですね。例えば水素原子とか調和振動子とかがそ
の範疇ですよね。オンサーガーのイジングの論文もその範疇ですかね。

でも非常に面白い（有名な事例として知られてる）のが例えば湯川先生
の中間子論の論文で、入口の基本設定と出口の結論は合ってますが、で
も途中の計算はかなり間違われて居られて結構無茶苦茶ですね。だから
ちゃんと物理の本質が見えてる天才には、途中の計算なんてどうでも良
かったりスルんでしょうね。数学者でこんな凄い事をして正しい結論が
導けるのはオイラーとかラマヌジャンくらいじゃないんですかね。

猫

猫はネット中毒

おい！ガロアが抜けてるぞ！

ガロアの場合、「遺書」はともかく普通に論文。

>>302
「ざ・ん・ね・ん・で・し・た。」って幼稚すぎてワロタ。
亡霊がどうのとか、ココロの山井系のヤバそうな感じだな。

ゲルファント-ライコフの定理の原論文も論証が無茶苦茶で、
「これ本当に証明したのか」と講義で泉正己先生がおっしゃってました。
ロシアの論文って色々制限があって完全な証明が載せられない
場合もあるそうですが、ゲルライは特にひどいみたいです。

>>307
「姑息な手段」ってところに反応がないのは何でだろね

>>308
私はその話は良く知りませんが、問題の論文というのは：
I. Gelfand and D. Raikov, Irreducible unitary representations of
locally compact groups, (in Russian), Mat. Sbornik, 13 (1943),
301-319.
ですかね？

そういう関係は私は良く知りませんが、でも私が思い出すのはAtiyah-
Singerが最初に出した指数定理の証明のアウトラインで（確かBulletin
か何処かに出版）、コレでも証明か、みたいな内容でしたね。まあだか
ら、そういうのはアチコチにありますよね。でも結局はアイデアが大切
な訳で、まあ誰かがアトできちんと埋めればソレで良い、という場合も
多々ありますからね。（トポロジー関係だったら他にもそういうのを知
ってますね。）

まあでもそんな事をしても許されるのは大物だけで、我々下々がそんな
事をしたらソレでもうアウトですよね。私も実は命題だけ発表して証明
を省略したヤツがアルにはありますけどね。

猫

命題だけ挙げて証明を省略

合意を省略して勝手に女性の体をさわるようなもんか

やっぱり良く釣れますなァ。

猫

後からの釣り宣言はよくありませんよ

>>313
『釣り』とは本来はそういうモノ。ROMってた時にココから学びました。

猫

釣りってのはエサとなるレスに釣りだという痕跡を残しておいて（縦読みとかメール欄を工夫したりとか）
後で種明かしして釣られた奴をﾌﾟｷﾞｬｰするもんなんだが

>>315
ああ、そうですか。ソレは誠に深い考察で、私はま（す）だま（す）だ
勉強が足りませんワ。では次回からはもっと痴漢ネタで馬鹿が沢山釣れ
る仕掛けを考えてみますので。

まあ取り敢えずは「将来の努力目標」という事で。

猫

>>298
その考えを応用したのがチャイティン数によるリーマン予想の書換えですね。

モデル論的な枠組みとか
証明論的な枠組みってのが普通の数学にあるんだろうけど
普通の数学は古典論理でOKだと思う。
クリスマスツリーの電飾がすべて点灯すれば、
それらはすべて電源から電線でつながっているってのは
直感的に明らかだしね。
それに構造とかは部分群に置き換えれば済んじゃうしね＾＾；

関連スレが逝ったね

>>317
そういう話がアルんですか。なるほど。

猫

ロシア人の場合は大物と言うよりも
結果そのものが間違っていて、
現在まで放置というのもある。
表現論や代数幾何あたりで誰かが文句を言ってたな。

・小泉進次郎は身体障害者だと思います。左の鼻の穴が右より大きいです。
（左右の鼻の大きさが違うということは他もところでも左右の大きさが違ってるということです、遺伝的に）

つまり遺伝子が傷ついていて左右対称の体ではないと思います。(身障者を差別する意図はありません)

・小泉進次郎が１日２時間｢ディベート訓練｣ 女性セブン2010年4月29日号
↑
マスゴミは小泉進次郎の話し方(演説)がすばらしいとおだてているが…単なる丸暗記でしたｗ

・小泉純一郎にしても、そのストレス解消法はさすがに番記者たちも記事にできないものだった。
女性を含む親しい記者たちを集め、何時間も「セックス談義」をし続けるのである。

http://megalodon.jp/2011-0701-1814-13/jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/school/21200/1304959982/4449-4450

マスコミが流さない小泉進次郎の正体

↑
■偏差値４２の学歴ロンダが総理大臣になるぞwwww

■原発推進の東大の御用学者が本気で小泉進次郎を総理大臣にしようとしてるぞwwww

■■■警告■■■


左右が非対称な小泉進次郎はイケメンではありません

oo

一寸質問
基礎論系の分野どれかやりたいんだが解析と代数の知識がヘタレだとダメ？

知識はそれほど必要ないが
ぶっちゃけその程度で躓いているようなら見込みがない。

ありがとう
そらそうね
みっちりやってみるわﾉｼ

集合論とかモデル理論の基礎やるなら解析と代数必須。
しかし基本的な定理だけでOK。
ただし定義可能集合とかガロア拡大周辺まで使うこともある。
あと位相とルベーグ積分の積分以外のところとか。
なくても位相代数の知識が最初か付録でついてることが多い。
証明論とかなら集合位で大丈夫かも。
逆数学なんかはかなり広い数学の知識が必要かもしれない。
どの分野にしろ基礎だけなら集合以外余りいらないと思う。

結局、このスレ以外の基礎論系スレは消されて行ったようだな
当然の判断だろうが

んで「スレタイの『基礎』を『木曾』か『木曽』に置き換えるだけ」案だけが残ってるわけだが。
このスレになってから「数学の基礎的な質問」は殆どなかったから変更は不要とするか、
このスレになってからでも実際に>>291なんてのがあったから変更が必要だとするか？

あほらし

>>209
数学会も「歴史」を分離して「数学基礎論及び数理論理学分科会」とすべきだな

「基礎論も数学だ」という人はいるが「数学史も数学だ」っていう人はいない。
だのに何故、数学会に歴史の分科会があるのか非常に謎。
それ自体が数学でなくても数学に関わりある学問も取り扱うというのなら
数学の哲学や数学の教育学の分科会もあるべきだろう。

基礎論は哲学科でやれ

>332
言いたいことはそれだけか？

確かに哲学科でいいかもな
欧米とかだと哲学科だしな

>>326
詳しく書いてくれてどうもありがとうございます、すごく参考になります
まだ何をやりたいかわからないので、とりあえず解析代数と集合論をしっかり身に付けてきますノシ
とりあえず岩波から出てる新井本を買ってみました

哲学者で数学できる奴なんているの？

昔の人だが、フレーゲなんてどっちの人かよくわからない。

ライプニッツとか

ベルクソンは数セミのNOTE欄レベルの数学の論文があるらしい

様相論理とか線形論理とかは人文系多いみたい。
逆にモデル理論とか計算論は余り興味自体が湧かないだろうな。

最近感じるんだが、数学なんか何やっても無駄だと思う。

え？最近まで無駄じゃないと思ってたの？

確かに気付くのが遅すぎるな

欧米だと基礎論は哲学科ってのは間違いだろ。
確かに分析系が強い英米系の国ではどこの哲学科でもロジックが必修だったりする。
しかし必ずしもロジックの研究をしているかというと別で、
分析哲学の道具として必要だから講義が必修になっているだけのところも多い。
一方、どこの数学科でも数人のロジックの研究者がいるのがアメリカ。

日本人は非論理的だから論理学が根付かなかったの？

やっと完全性定理の証明を理解できたわ。
項モデルとかヘンキン理論とか最初意味不明だったけど、地道にノートに取ってやったらわかりまひた。

それはよかったですね・・・。

>>346
何の本でやりましたか？
テクニカルな部分は位相とか群論とかの基礎的なところと大差ないのに、
自分はどうも馴染めないんですよね。
何がっていうと、結局理論とモデルを別物として取り扱うということ自体がそうなんだよね。
役割が分離されててそれぞれ別個に拡張してみたりする議論とか、ね。

>>348
"ヘンキン理論"でぐぐるとヒットするPDF(どこかの大学の講義ノートかな？)を見てやりました。松本和夫の本も持ってますがいまいち分かりにくかったですね。

すみません、ゲーデル文Gの真偽について考えていたら分からなくなりました。


まず、第一不完全性定理より、Gおよびその否定は証明できない。(a)

ここで、PA |=G と仮定する(背理法の仮定)

完全性定理により、PA|=G ⇒ PA|-G
故にPA|-G
しかし、これは (a)と矛盾する。したがって、PA|=G でない。すなわち、PA|=?�G
しかし、ここでもまた完全性定理により、PA|=?�G ⇒ PA|-?�G 故にPA|-?�G
これもまた(a)と矛盾する。したがって、、、、、、延々ループ



何がおかしいんでしょうか。どなたかよろしくお願い致します。

>>350
＞ 完全性定理により、PA|=G ⇒ PA|-G 

ここが間違い

>>349
PDF落としてみた。
定理1.12とか補題5.4で ∪Tn なんてものがあっさり導入されてる打ね。

定理の証明なんか理解しても無駄だよ。

>>344
> 欧米だと基礎論は哲学科ってのは間違いだろ。

それはその通り（日本で「数学基礎論」と呼ぶ分野の研究者の多くは欧米でも哲学科でなく数学科所属）だが、
同時に、「数学基礎論」なんてその学問分野の現在の実態とかけ離れた哲学的な呼び方を現在でも使っているのは日本だけ。
欧米では "Mathematical Logic" ないしはそれの各言語への逐語訳的な名称をこの学問分野を指し示すのに使っており
"Foundations of Mathematics" という言い回しは文字通り数学の基礎付けを意図した仕事とかのかなり特別なニュアンスを
込めたい場合にのみ使用される。

日本もいいかげんに「数学基礎論」なんて時代錯誤の呼び方は止めて「数理論理学」というニュートラルで余計な哲学的雰囲気のない
呼び方に統一して、２ちゃんのスレッド名からも外せよ。

そもそも、今の日本のロジシャンで数学の基礎付けを目的として研究してる人間なんてほとんど皆無だろうが。
田中先生ら逆数学一派だけは「自分らは数学の基礎付けをやってます」と言うかも知れんが。
（何しろ田中先生は逆数学はHilbert's Programmeの現代版だとどこかに書いてたからなあ）

スレッド停められても懲りずにまたバカが湧いてきたな

>>355
354ははっきり
＞日本で「数学基礎論」と呼ぶ分野
と認めちゃっているから前のバカとは別人ではないかと。

超関数なんてのもロマンチックな香りがしてよくないな

欧米にも FOM (Foundations of Mathematics) ってメーリングリストあるよ。
そこで議論されているようなことって、このスレで議論してもいいんじゃない？

a

>>350
>PA|=G でない。すなわち、PA|=・G
PA|=・Gは言えません。
PA|=GはPAの任意のモデルがGのモデルになるということ。
これの否定は、PAのモデルでGのモデルでないようなものが存在する。
つまり、PA|=/=G なので完全性定理の対偶より
PA|-/-G が出てきて、一件落着。

>>354
田中編纂の数学基礎論講義の最後の方ですね。

>>357
英語だと一般化された関数ですね。

>>365 distribution 分布だろ、英語

>>361
365 => 360

ロジックは、数学的技術や精神はともかく、手法は数学的形式に
のっとっている。
数学的論理形式は、学問的方法として普遍であって、
研究対象は数や図形や物理だけでなく、今後も
大いに拡大していくだろう。
だから、どんどん数学の外へ出て行って、
そこの当該分野で一流ないし主流を目指してほしい。

数学の中にとどまる限り、数学としては
ロジックは、一流でも主流でもないし、その望みも無いほど
他の数学の分野が進展しているのだから。

次男坊三男坊には外で活躍してほしいという
親心。親の土地に止まる必要は無いし、かえって
害になる。

親がいくら多産だったからといって、全ての子が
親の残した土地や畑にたよっていたら、
一族の子孫の拡大は望めない。
一子相伝といって、親の財産や独占的権利は長子が継ぐものだ。
長男にはとどまって親の職を継ぎ、土地や畑や
墓を守って欲しいが、
次男坊三男坊には、親の土地にとどまらず、
外へ出てそれぞれに向いた
世界へ羽ばたいていって、一族の繁栄に
貢献して欲しい。


でもたまには連絡して欲しい。
法事やらお盆やら暮れには暖かく迎えれる
よう嫡男は用意している。

>>361
一般化された関数の中に
distribution とかHyperfunctionがあるんですよ。

次スレは、
「数理論理学・模型理論・証明論・計算論・集合論 その10」
が良いと思う。

>>365
いや、私361の意図は、
超関数という用語が良く無いとは
よく聞く話で、創始者はもともと
物理的背景から分布と言っていたので，
それを尊重すべきという意味。

ロジックは、哲学科や計算機学科では教員として
のポストが無いの？

>>354
> > 欧米だと基礎論は哲学科ってのは間違いだろ。
> 欧米でも哲学科でなく数学科所属

むしろ日本のほうが基礎論って言うと哲学科に属すよねって話だし、
「欧米だと哲学科」ではなく「欧米だと間違い」という風に掛かってると思うので
「欧米でも」というのはよく分からない表現。

>>367
シュヴァルツの分布だけを尊重して、シュヴァルツ以外の超函数概念の創始者を
蔑ろにしていいというのも変な話。

>>369 シュバルツ以外って、佐藤だけでしょ？しかも佐藤は歴史的に後、
シュバルツから学んで発展させた。そういう意味では創始者の大元はシュバルツ

ロジシャンには、数理物理学者や
理論計算機科学者や数理経済学者のような
逞しさはないのか？
数学科に引き受ける事によって、
学生や教員の定員枠が大幅に増えるなら
処世術として認めてもいいが、
互いに食い合うようなら、数理論理学者は
哲学など数学の外で生きる場所をみつけたほうが、
数学者にとっても数理論理学者にとっても
幸福。

長男でもないのにいつまでも地元に残ろうとして引きこもっている。

コロンボの超函数とか蟲スンナよｗｗ

ゲルファントトリプルとかもあるしな。

>>371
理論計算機科学者なんて元来は情報系で職を得ようとしたロジシャンのことを指したんだよ

つーか371は他所の板でいうところの「長男教」の信者ってやつか？

>>374 368の答えは？yes?no?
集合論や証明論のロジシャンの意味で。

>>355は、自分の気に入らない相手を
馬鹿呼ばわりした時点で、賛同者を失ったな

>>356は、現状にこだわってるみたいだが、
現状を無条件に容認する必要はないと思う。

>>363
一流とか主流とかいうのは、時代によって変わる。
だいたい、自分の興味で研究している人にとっては
どうでもいい話。

＞次男坊三男坊には外で活躍してほしいという親心。

↑上の発言は、自称「長男」のものかと思う。

数の多さ少なさは別にして、日本でも欧米でも、
数理論理学者が哲学科にポストをもった例は
あったはずだが、彼らは後釜を育てて後任ポストを
拡大しているの？そこで。

それとも陳腐な技術論に埋没してしまって、
他の哲学者らから信頼(とポスト)を失いかけてきてるの？

>>364
数学は農業とは違うが。
農業には土地が必要だが、
数学は自分の頭があれば研究できる。

そもそも、研究費が目当てなら、数学自体を
代数学・幾何学・解析学etcに解体したほうがいい。
土地を分割するのは損だが、名前を増やすのは得。

>>371
別に、整数論やら代数幾何やら、
トポロジーやら表現論やらが
外に出て稼げばいいんじゃね？

>>380 一子相伝というのは、ほとんどに言えるんだよ。
能や歌舞伎でもそう。原則嫡男にしか芸は教えないよ。
ただし、芸人や興業を増やせば客が二倍にも三倍にも
増えそうな拡大路線が見込める場合は別。

学問としての話と教員ポストの話をわけよう。
教員ポストの話をしよう。
在野で(自腹ないし民間のスポンサーについて)
研究するなら、また違った話になる。

学者の主な収入源は教育に頼っているという
現状がある。(研究費は生活費にならないから別)
数学科という枠で募集できる学生数には
限りがある。数学を広義に解釈して
いろんな分野の教員ポストをつくると、
ひとつの分野のポスト数が減る。
だから、外で学生数を拡大できるなら、
歓迎するが、そうでなければ、
リストラがおこるのは当然だよ。
学生数増加が見込めないなら。

>>381 宣戦布告するなら受けて立つよ。
ロジックごときが勝てる自身があってあってるの？

土着信仰は告げなかった次男坊三男坊だけじゃなく、長男の負担もデカすぎるからな。
むしろ農業のほうが、土地へ憑く跡継ぎがいなければ続かない個人事業から
どこへ進出して就職しても会社の土地でやれるというような状況に改革されるべき。
農地は資産と考える層には、借り上げて賃貸料払う方向で納得させろ。

それぐらいの改革努力もしないでTPP反対する議員や大臣は、辞めちまえ。
日本の農産物は世界に大量輸出できるくらい高品質なのにもったいない。
減反政策などしている場合ではない、世界的に日本食ブームがおきているうちに
海外の市場開拓しないと本当に日本の農業は死んでしまう。

>>378 いや、親の立場からだよ。

親は一に自分の遺伝子の確実な保存、
二に拡大を望んでいる。

だから、誰を嫡子にするか決めないで
成人するまで同じ土俵で戦わせるというようなことを
しない。一人以外、あるいは全員倒れるから。

一番有望そうな子、大抵の場合、長男が最も敵している
(障害など問題をかかえていたら別)
その嫡子以外は、早くから嫡子の
希望を捨てて、他の世界で生き抜く準備と
心がけをさせる。
嫡子が早く死んだ場合に限り，次男ついで三男が呼び戻される。

論理学科をつくって、学生数が凄く多くなって、
数学科を超えるように大きな野望を考えたらいいじゃないか。
計算機科学者はそれに近いことをしたし。

>>385　いや、長男の立場からだな。

そもそも、親は遺伝子の保存拡大なんて意識しちゃいない。
単純に自分の子供がかわいいだけ。

嫡子云々は、単に土地の相続の問題にすぎない。
土地は増えない。それだけの話。

ところで「敵している」じゃなく「適している」だな。
もう老眼でロクに画面が見えてないんだろうが。

＞計算機科学者はそれに近いことをしたし。
その母体になったのはロジシャンなんだがね。
つまりいまだに親のすねかじってる代数幾何解析より、
一度でも外で成功した経験のあるロジックに家督を譲ったほうが
一族繁栄の為にはいいんじゃないか？

>>387
ほう。ロジシャンが外で成功したなら
結構なことだ。
皮肉でもなんでもなく。
それで、
>>376, >>379
には答えてくれないの？

>>385
＞論理学科をつくって、学生数が凄く多くなって、
＞数学科を超えるように大きな野望を考えたらいいじゃないか。

そんなことを考えるのは、学者ではなく学校経営者。

＞計算機科学者はそれに近いことをしたし。

「計算機科学」というのは、実際には
「計算機を使ってやること」

数理論理学が、数学の研究に活用されて困るのは
数理論理学を知らない耄碌爺だけ。

全人口における農家の割合が数％の現状で、
「長子相続」とかいう言葉は何の説得力もない。
今や、産業革命以前の封建主義者など滑稽なだけ。

そもそも、数学のポストが増えないのは、数学自体の問題であって
新興分野を追い出したところで、整数論なんかどうせ死に絶える。

>>377
他人に分かる言葉遣いをするには
現在どう使われているかという現状に妥協せざるを得ないのは当然のこと

>>388
皮肉でもなんでもなく
一子相伝やめて外に拡大して行くことを考えるなら
外で成功する才能の一番有望なロジックに家督を譲るべき
ってことには答えてくれないの？

>>387
＞いまだに親のすねかじってる代数幾何解析

そもそも親なんていないんだけどね。

昔どこぞのトンチンカンが
「整数論あっての代数・解析・幾何」
とわめいてたが、全く見当違い。

複素数が重要視されたのは、
整数論よりも電気のおかげ。
そういうことが分からないのは
物理もろくに知らない
非常識な人間だから。

>>391
＞他人に分かる言葉遣いをするには
＞現在どう使われているかという現状に
＞妥協せざるを得ないのは当然のこと

今時は、皆、数理論理学といってるからそれでわかるけどね。
むしろ、数学基礎論といいたがる人のほうがアナクロっつーか。

「ロジックは計算機科学科に行くべし！」
とほざく人が１９世紀に生まれてたら
「複素解析は電気工学科に行くべし！」
とほざいてたんだろうなあ。

>>392 親が経営していた田舎の団子屋を
長男に継がせて、次男を都会に働きにいかせたら
次男は画家として成功し、富と名声を得た。

で、親は長男を追い出して次男に団子屋の経営をさせたいと思うか？
親は団子屋にこだわっているわけじゃ無いんだよ、
長男と次男のどちらが優秀かなんて気にしてるわけじゃない。
子供らが孫を産んで安全に暮らして欲しいんだよ。
そういう種族が生き延びて来たわけ。

そもそもFoundations of mathematicsは"数学の基礎"
であって、「数学基礎論」（数学の基礎となる理論？）
ではないよな。

整数論はnumber theoryだし
確率論はprobability theoryだろ。
英語ですら、理論とつかないものに
論をつけることがそもそもおかしい。

>>396
今時は、田舎の団子屋なんて
どうみたって商売になりそうもないから
子供が継ぎたいといっても継がせないｗ

安全に暮らして欲しいんなら、
イの一番にこういうはずさ。
「数学なんかやめとけ。食えねぇぞ」

種族の保存、というなら、そもそも
数学どころか文明自体が必要ない。

文明は人口の増加をもたらしはしたが、
それはかえって人類を危機に陥れている。

原始時代のままなら、食糧危機もエネルギー危機も
地球温暖化も放射能汚染もなかった。

>>393 整数論あっての、という言い方は変かな。

ただ、現在の大学の数学のカリキュラムは、
整数論や代数幾何への応用が最も
効果的に現れるように構成されているんだよ。

だから整数論を知らないというのは勿体ない話。

これから大学の数学科や数学系の大学院の募集要項には
卒業者の進路について明確に記載した上でこう書くべきだろう。

「当学科の卒業（及び学位の取得）は
　数学における研究職を保証するもの
　ではありません。」

>>398 隠喩でいってる。
団子屋は数学科教員のことね。
一応は食えてるし、すぐに潰れるとかは
無いだろうけど、経営拡大の見込みはない。
(縮小の可能性はある)

ロジシャンに言って。食い扶持は早い段階で
別のところを探し始めたほうがよいぞ。
同じ店の隣にもう一件団子屋つくっても
はやらんぞ、
って。

>>400
＞現在の大学の数学のカリキュラムは、
＞整数論や代数幾何への応用が
＞最も効果的に現れるように
＞構成されているんだよ。

単に、現代の整数論が代数幾何を利用し
代数幾何がトポロジーを利用してる、と
いうだけで、カリキュラムとは無関係。

＞だから整数論を知らないというのは勿体ない話。

いまどきロジックを知らないのも勿体ない話。
ヒルベルトの第１０問題の解決法は、いわゆる
従来の数学者には全く思いもつかないものであり、
もし御存知ないなら、一見の価値がある。

>>402
隠喩はわかっている。

ロクに業績がない奴でも
数学科のポストにありつけた
時代は確かにあった。

しかし今はもう無理。
世間が、数学に価値を見出さなくなった。
だから整数論とか代数幾何やってる連中も
さっさとあきらめて塾講師にでもなったほうがいい。
世間の連中が、数学に用ががあるのは大学入試まで。

ロジックが数学になると、代わりに
別の分野が衰退すると思ってるなら
そんなことはない。

衰退する分野は、そもそも勝手に衰退するｗ

何の慰めにもなってない？
そりゃそうだ。慰めの言葉なんかじゃない。
ただ、現実を話したにすぎない。

>>405 ロジックが外に出て行ったって、
中では生存競争が繰り広げられるさ。
一口に整数論とか、代数幾何といっても、
その中はいろいろ広いからね。
ただ、その生存競争にロジックが生き残れる可能性は無いよ。
わずかに残っても冷や飯食い。

数学科教員ポストという狭い世界で競うより、
数学的方法と教育が、哲学論理学経済学工学と
学問のあらゆる分野で
使われることの方が、数学界全体としては、
より夢があることじゃないか。

>>403 個別に見て良い定理は、応用数学の分野にも
確かにある。しかしそれらの多くは、大きな世界観を
作り上げることなく、個人的名人芸で終わることが多い。
個別に良いものは、どうしても発散してしまうし、そういう
類のものは次から次へと出てくる。

数学の内部では、解析にそういった傾向があるので、
代数や幾何より解析を低く見る見方があることは知っておいた方が良い

所詮は不完全な人間の虚構だからな。
解析や代数と分けるものおかしい。
でも食っていくという面ではどこの
業界も大変だから、逃げ場は無いと考えたほうが良い。
むしろ、自分はこれでも良いと考えるべきだな。

>>407
多くの研究者から低く見られてる物の重要性を見出だすのが研究の醍醐味だ、と思わないのかい？

そりゃその辺は人それぞれだよ
反骨の輩もいれば、長いものに巻かれる奴もいる
どっちがいいともいえん

どうでもいい話だな。よそのスレでやってくれないか。
中二なんだか、ポストのないポスドクなんだか、知らねーけど。

>>410
長いものに巻かれるやつがいいとか、そんな情けない見解はさすがに聞いたことがない。
長いものに巻かれるのは仕方ない、ならわかるが。

>>366
> 次スレは、
> 「数理論理学・模型理論・証明論・計算論・集合論 その10」
> が良いと思う。

単純に「数理論理学　その10」でいいだろ。
「数理論理学」という名前ならスレの内容に関して余計な誤解を生む危険性もゼロだし。

模型論も証明論も計算論も数理論理学の一分野なんだから、スレタイに数理論理学とあれば不要。
Shoenfieldの数理論理学の古典的教科書だと公理的集合論も数理論理学の一分野になってるが、
最近は集合論は研究の量も多いから数理論理学の一分野じゃなくて隣接分野という捉え方の方が
むしろ主流のように感じないこともないが、数理論理学ってスレタイで公理的集合論の話題はＮＧって主張する人間は
ほとんどいないだろ。だったら「集合論」って語もスレタイには不要。
スレタイはスッキリと「数理論理学」って単純かつ明快な名称＋「そのＮＮ」って番号だけで十分だし
それがベスト。

>>412
君がよくないとか情けないとか思っているからに過ぎないだろ

貧乏でも職なくても数学しろ！

しかし金または仕事がなければ数学などできないのであった

金がなくても全然平気。
実際、仕事を無くしたからな。
仕事にありついても研究できないし
心の健康のほうが深刻だよ。

金がないとうまいもんも食えんだろ

数学とうまいものを食うことにはどのような相関があるのか？

>>407
あんたの主張に説得力がない理由がわかったｗ

あんたは
「解析学はもはや数学じゃない！」
と思ってるが、実際には、解析学は
「代数？幾何？フフン、
　あいつらは所詮チンピラ
　オレ様が数学の影のドンさ」
という顔してふんぞりかえってる。
そりゃそうだ。
他の分野に一番利用されてるのは解析学。

>>413　354の意見に全面的に賛同。

結局、「数学基礎論」に固執する人の主張は、
「いまだに、世間でそう呼ばれている」
というだけ。それも実際には世間じゃなくて
著名人の書いたテキストの名前がたまたま
そうなってたというだけのこと。
現に鹿島亮氏の「数理論理学」（朝倉書店）
もあるんだが、自分の主張に反するだけで
無視されてる。

>>414
長いものに巻かれることをよしとする見解を妥当とする根拠はないと思われる。
繰り返すが、仕方ないならわかる。

woodinとかの方面は間違いなく数理論理学でOKだと思うが、
公理的でない普通の集合論研究はどうなるんだろう。
Cardinal Arithmeticとかは論理学の手法も使っていないし、
位相空間論とか測度とか一般的な代数の研究の仲間に入るんだろうか。
しかし現時点でこういった専用スレが存在しないようだけど。

集合論じたいがロジックというより代数だろうな

じゃあ算数は哲学って訳か

つまりスレタイは数学基礎論・数理論理学のままでいいってことだな

お前は大学数学をやる前に義務教育国語を勉強し直せ
みんな「数学基礎論」の部分をタイトルから割愛して数理論理学で良いって言ってるんだよ

>>424 アティヤが批判するところの悪しき公理主義が
でている一部の代数、というか、雑数学。

>>428
黙ってろ！

逆数学とか将棋ソフトのプログラミングの研究と同じじゃん。

計算機科学であって、理学でさえない

>>430
黙ってろ！

数学の好みの話だけされてもな
それこそ数学の好みの話なんて数学じゃないからなｗ

わたしお嫁にいくもん☆

>>430 うん、いわんとするところは分かる

数学の好みの話はメタ数学だ。

好みではなくて、もっと社会的に高い立場からの
見解でしょう。
税金には限りがあり、どんな研究に重点的に
サポートするか、どんな研究から仕分け対象に
するか。
歴史に残る見込みがある研究はどんな研究か、の
高い見地からの見解。

税金が無限にあるか私費でするなら、
どんな研究でもやればよいが。

どっちにしろ数学の話じゃないな

>>431

あまり調子に乗るな　くさいぜ
β　包茎君

そうだ超数学の話だ

新井さんの『数学基礎論』買ったぜ。ぶあつい

>>423-424
Cardinal Arithmeticは数理論理学と関係ないよ。
そもそも起源が別。
例えばErdosも大量に定理出してるけど、彼はロジックは全く知らなかった。
公理的集合論は基数算術のごく初等的な結果をツールとして使っているだけで、研究対象が違うよ。
一般の集合論研究が基礎論に入るなら、
モデル理論に代数を使うから代数も基礎論ってことになっちゃう。
相当売れてるんだろうな新井の基礎論...

わたしお嫁にいくもん☆

>>441
＞一般の集合論研究が基礎論に入るなら
いまどき一般の集合論研究なんてあるの？

＞税金には限りがあり、

なら、真っ先に整数論の研究がカットされるな。

そりゃそうだろう。いくら整数論愛好家が
「歴史に残る」といったところで、世の中の
９９．９９％は整数論のセの字も知らん。
彼等にとって整数論は無に等しい。
まだロジックのほうがマシ。

世間の連中にとっては複素数は電気工学の役にたつ
のであって、素数分布の証明の役に立つといった所で
「素数？どうでもいいな」
というのがオチ。

自閉的な数学愛好家のいう歴史は、
世間では歴史でもなんでもない。

基礎論ってネーミングがよくないな。

でも数理論理学っていうのもよくないよ。

やっぱロジックでいいんじゃないの？

計算機科学ってロジック（基礎論）とやっていること同じだし、起源的にも同じものだな。
そうなると、仮にロジックが純粋数学なら、純粋数学は計算機科学、という例が出ることになってしまい、話がおかしくなる。

ロジックは、数学とはいいがたいし、それを認めると、哲学や言語学、計算機科学まで数学になってしまう。

という話をすると、集合論は数学だろ、という人がいる。
確かに集合論は数学だろう。
だから、ロジックから集合論を除外すべきだ。

>>446
別にロジックでもいいんだが、
「なんで日本人のくせに日本語使わないんだ」
とかワケワカランなこという奴が出てきそうでな。

数理論理学は、「数学的な論理学」もしくは
「論理学の数学」という意味だと思えば
別段おかしくもない。

個人的には、論理というより「順序論」とでも
いったほうがいいと思うこともあるがね。
そこまでぶっ飛んだ意見に賛同を求めるつもりもない。

>>447
計算機科学が実は純粋数学だとしてなんか困るのか？ｗ

わが研究所の数学の宣伝をさせてください。

＊＊論数学研究室

定義

「それ（思考の対象物）」が数学の対象であるという条件を、
＊＊論における存在条件として捉えそれを満足する時、
それを元と呼ぶ。その存在条件を満たす元の集まりを集合と呼ぶ。
その集合の元の存在条件を満たす場を世界と呼ぶ。
場は自然界で物理学的に構成出来る。この場合は元は存在と呼ぶ。

>>443
あるよ。ある基数の作るイデアルの基数不変量の性質だとか、
pdf集合で基数の性質を解明するとかJonsson代数だとか、集合の微細構造とか...
開集合でさえも、一般化すると実は何種類もあったりして話題が出てくる。
位相空間や組合せ論や測度論と絡み合っている。

元は次の三条件を満たす。

�T　元は他の元から区別される。
�U　元は保存する。　
以上２つがいわゆる数学の集合の元に言える。唯無論ではこれに�Vが加わる。
�V　元は他の元に作用してその元をその他の元にする。

以上から群が定義される。

(i) <![endif]>　世界Gの任意の２つの元A,B、に対して作用と言う演算が定義され、AがBに作用してCになることを、AB=Cと書くと、Cは又世界Gの元である。これは条件�Vのことであるが、条件�Uから言えることである。

(ii) 　３つの元A,B,C,に対してA(BC)=(AB)Cが成立する。これは（BC）と（AB）でBが共通でBは初めにCと作用しても、Aと作用しても同じである。Bの性質は保存している。条件�Uから言えることである。（結合律の成立）

(iii) 　無は何も作用しない。従って無＝Eとおいて、EA=A、AE=A　である。Eを単位元と言う。（単位元の存在）

(iv) 　無の分解の関係。今、A=A(+)とおき、その逆元をA(-)とおくとE=A(+)A(-)　である逆元が世界Gに存在する。もちろんE=A(-)A(+)である。（逆元の存在）

ここでの無は世界Gでの完全無である。

整数論が駄目なら、物理学だってもう駄目だろ
ひも理論とかさ。

でも、なぜそれらの研究が正当化されるか？
それは、そこにロマンがあるからだ。
素数や宇宙の謎。

逆数学に興味持つ人は稀だが、素数や宇宙の神秘に思いをはせる人は多い。
地球外生命体もきっとそれらを研究しているだろう。

ロジックにはそういう根本的な謎というものがない。
将棋と同じである種の知的ゲームの感じがどうしても拭いきれない。

これは好みであるが。

＞素数の神秘に思いをはせる人は多い

そうか…？
それこそ世間では愚にもつかない数遊びという認識では

後は位相の定義と続くが、数学の限界はゲーデルによって示されたが
それはあくまでデジタルでの話である。アナログ数学の話ではない。
デジタル数学（算術・数）を基礎とした今までの数学を越えるアナログ
数学にこうご期待。ただ数学はあくまで物理学での極限を扱う特殊解である。

正則開集合 → 半正則
___↓__________↓
θ-開集合 → δ-開集合 → 半開集合 → b-開集合 → β-開集合
___↓_________↑___________↑
開集合 → α-開集合 → 前開集合

へぇ、こんなあったんだ。

たとえばMergeは健全でMoveだけに障害が出る
ことから、ある部位をMoveの神経基盤だとする
提案があるにゃが、理論上はMerge=Moveであり
両者を分けるのはおかしい
つまり理論上同じ操作やモジュールとされる

ゲーテルが示したのは病理的な現象の存在であって、「数学の限界」でも何でもない。
きちんと不完全性定理の証明を追った事がない哲厨に限ってこういうことを言う。

>>447
代数寄りの圏論屋な計算機科学屋さんもいるっしょ。

何故、スレタイだけでここまでスレが伸びるのかな、
僕には理解できないよ。

>>459
僕も「数学の限界」と一般化してとらえるのは反対だ。
しかし、PAの証明から病理的文が存在することを証明して、
「PAの証明の限界」の存在をいうことまでは否定できない。
ヒルベルト第10問題も限界のひとつだよね。

スレタイの専門家が沢山いるんだね

>>314
くくくかかｗｗ後付け釣り宣言ｗｗｗそりゃβじゃねーかｗｗｗｗ

俺は「基礎論」という言葉をどこかで見聞きし興味を持った中高生が
スレタイ検索で間違いなくこのスレに辿りつける必要があると思うよ。

「基礎論」をスレタイから外すべきという人は、できたら、そういう中高生でも
「数理論理」だけでここに来れるはずだからそういう問題は起こらないと
感じているのかな？

>>464
数学基礎論の話を何かで読んで興味を持った高校生なら大抵は数理論理学って言葉で辿りつけるだろうし
「数理論理学」って言葉でちゃんと来れないような奴じゃ所詮は来ても無理だろ。

それに「数学基礎論」だと「基礎的な数学」って誤解をして初等的な数学の質問をする人間の方が「数理論理学」で辿りつけない高校生より多い、
つまり「数学基礎論」という言葉の場合、メリット（高校生が辿りつけること）よりデメリット（基礎数学の下らん話題を持ちこまれる危険性）の方が大きい。

更に、近年は田中らの最近増刷されたのと新井の本は例外的にして「数学基礎論」よりも「数理論理学」というタイトルを採用している本の方が多いぞ。
誰かが書いてた鹿島のだけじゃなく、小野・古森のも朝倉から出てた角田のもかなり前だが林の本も、どれもタイトルには「数理論理学」を使ってる。
少し前に復刊された共立の松本のも『数理論理学』じゃないか。
だから次スレは「数理論理学　その何番」って簡潔なタイトルで良い。

>>465
その中では林しかもってないが、あれは数理論理学というのがいいんじゃない。

＞逆数学に興味持つ人は稀だが

>>454が興味を持たなかったかたといって
他の人も自分と同じだとは限らんさ。
「総意誤認効果」っていうらしいよ。
覚えておいたほうがいいね。

>>464
＞俺は「基礎論」という言葉をどこかで見聞きし興味を持った中高生が
＞スレタイ検索で間違いなくこのスレに辿りつける必要があると思うよ。

いきなりこのスレに辿りつくのは有害無益だなｗ
内容が論理に関わることを、もっとマットウなページで
知ってから来てもらいたいもんだ。

いきなり２ｃｈはダメだろう。
だいたい論理のロの字もしらんくせに、
「論理は数学じゃない」なんて
●違いな発言目にしたら、ふつうの中高生は
「やっぱ数学やってる奴って人格的にやっべー」
といわれるのがオチｗ。

>>466
鹿島氏の本は不完全性定理まで取り扱っている。

小野・古森の本の範囲は、狭義の論理だな。
その代わり、部分構造論理とか扱ってる。

もちろん、小野・古森の本の題材もリッパな数学であるし、
むしろ最先端に近いんじゃないか、と私は思っているが。
（岩波数学辞典の「ノンスタンダード論理」では、
ジラーの線形論理に先んじて、グリシンや井関、
小野、古森等の研究についても紹介してる。
まあ、書いたのは多分古森さんだとおもうけどｗ）

>>459
ゲー「テ」ルじゃなくてゲー「デ」ルね。

林晋氏も「不完全性定理」（岩波文庫）の解説で書いてるが
ヒルベルトが期待した、数学の「可解性」が成立しないという点
では、確かに「限界」である。

しかし、そんな限界は、今の数学にとっては遥か彼方のことである、
というようなことを、同時に林晋氏も言っている。

もっとも、
「ゲーデルは、世界ではじめてQuine（クワイン：自己印刷プログラム）
　を書いた”ハッカー”である。」
と紹介するのも、いかがなものかとｗ

>>447
普通に計算機科学も数学だろう。
（狭義の計算機科学ね。
>>451
pdfじゃなくてpcf集合ね
>>454
＞逆数学に興味を
逆数学に興味は現代数学への習熟度に依存するからだろう。
比べて素数の問題意識は割と直感的。
ロジックにも根本的な謎が多いよ。
>>468
真っ当なページじゃなくて真っ当なテキストやノートで知った方が良いけどｗ

今や不完全性定理は数学の限界というより
形式体系の強さを比較したりモデルになるか判定したりする道具でしかない。

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　　　　　　　　 |＿＿＿＿＿_|＿＿＿＿_|　　　　　　　　か　積　 　 l
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　　　　　　　　　 　 ＼　　 ｀ ｰ一'´: 　 :/　 |:.:.:.:.:',｀:.ー-　、
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　　　　　　　　　　　　 　 '.ｰ- 　 j: :/　　 　 |:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.｀
　 要　 　 も　 　 明.　　　'.　　 　 入　　　 |:.:.:.:.:.:.:.:',:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
　 求　　　っ　 　 日　　 　 ',　　 / / ＼ 　 !＼:.:.:／.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
　 す　　　と　　　は　　　　 ｉ　　j./　　　＼|:.:.:.｀:ー‐┐:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:
　 る　 　 多　 　 　 　 　 　 | 　 j′　　 　 .!:.:.:

>>441 >>447
>だから、ロジックから集合論を除外すべきだ。
ふむ。

☆

数理論理学がなぜ数学としては価値が低いのか、
それは、まず、なぜ詰将棋は数学としては価値が低いのか？
を考えるとよい。
次に、なぜ理論計算機科学は数学として価値が低いのか？
がわかる。
すると、次に、なぜ数理論理学が数学として
価値が低いのか？
もわかる。

されど、詰将棋も理論計算機科学も数学として
価値が低いことは、存在価値そのものが否定される
わけでは無い。数学とは異なる価値観の世界で
存在てきるし存在できる。

数理論理学は、数学としてでは無く、独自の価値観で
数学とは別のものとして、独立して生きて行ったほうが
良い。

数学者が数理論理学を低く見ているというのは、
数理論理学だけ特別の価値基準を当てはめて
評価しているのでは無い。
ある統一的な価値基準で判断している。
だから、よくみると、そと価値基準で、
他の応用数学や、純粋数学の各結果や各研究者も
評価されているのがわかる。

応用数学者ほど、数学的厳密性のみが
数学であるかどうかの基準だと思っている
節があるが、違う。美的感覚である。

だから数学的厳密性には怪しい物理の
ウィッテンがフィールズ賞とっていたりする。

上手いひらめきパズル解きが数学では無い。
数学的美観は数学を学ぶことで培われる。

>>475
訂正。
価値が低いことは、存在価値そのものが否定される
わけでは無い。数学とは異なる価値観の世界で
存在できるし存在している。(将棋や理論計算機科学は)

補足

だから、私は数理論理学の存在価値そのものを
否定しているわけではない。
数学の外で居場所を作れば良い話。

このスレッドになってから、半月たっているが
「基礎的な数学」のスレだと勘違いした書き込みはどのくらいあったのか？
デメリットを過大評価しすぎじゃね？

>>465
近年はというか、もともとテキストのタイトルは「(数理)論理学」の方が多いでしょう。
ただ、集合論は基礎論は抜いて考えても数学の一分野として成立していると言っていた
新井さんが「数学基礎論」ってタイトルで出したのが興味深い。
出版社の意向だろうか？

基礎論と書いてあると荒らしの付け入る隙を与えてしまうってことだろ
まあ、荒らしには完全スルーで対処すればいいと思うが

荒らしの付け入る隙なんてどこにでもある。
その程度の理由で、一般的な用語を抜くほうが不便だと思うよ。

>>479
> >>465
> 近年はというか、もともとテキストのタイトルは「(数理)論理学」の方が多いでしょう。

単なる「論理学」なら哲学系の人とかが大昔からいくらでも書いてるから「論理学」や「記号論理学」と
「数学基礎論」（あるいは「数理論理学」）とを比較してもあまり意味はない。
書き手や対象とする読み手の範囲が違うから。

いや、少し古くなると「数学基礎論」ってタイトルの方が多いかも。
教科書のタイトルとして「数理論理学」が使われたのって、70年代前半に培風館の数理科学シリーズの
前原が書いたGentzenの基本定理を解説した巻（Hilbertのε記法を扱ってる点でもユニーク）と
竹内が書いた語の問題を扱っている巻の２つが、恐らくは最初だと思う。
それら２冊に続いて80年ころに福山の培風館の数学の教科書シリーズから出したのも『数理論理学』。
これら３冊以前で哲学屋じゃなくて数学屋が書いた論理学の教科書のタイトルとしては、
『数学基礎論』や『記号論理（学）』かそれに近いタイトルで『数理論理学』というタイトルのはないと思うよ。

だから哲学系学生向けの教科書と共通に使えるタイトルの『論理学』や『記号論理学』はともかく、
従来の『数学基礎論』というタイトルの教科書と同様の目的と読者を狙った教科書のタイトルとして
『数理論理学』が使われるようになったのは比較的新しいんだよ。
と言っても俺も全部を調べた訳じゃないが。

>>479
> >>465
> 近年はというか、もともとテキストのタイトルは「(数理)論理学」の方が多いでしょう。

単なる「論理学」なら哲学系の人とかが大昔からいくらでも書いてるから「論理学」や「記号論理学」と
「数学基礎論」（あるいは「数理論理学」）とを比較してもあまり意味はない。
書き手や対象とする読み手の範囲が違うから。

いや、少し古くなると「数学基礎論」ってタイトルの方が多いかも。
教科書のタイトルとして「数理論理学」が使われたのって、70年代前半に培風館の数理科学シリーズの
前原が書いたGentzenの基本定理を解説した巻（Hilbertのε記法を扱ってる点でもユニーク）と
竹内が書いた語の問題を扱っている巻の２つが、恐らくは最初だと思う。
それら２冊に続いて80年ころに福山の培風館の数学の教科書シリーズから出したのも『数理論理学』。
これら３冊以前で哲学屋じゃなくて数学屋が書いた論理学の教科書のタイトルとしては、
『数学基礎論』や『記号論理（学）』かそれに近いタイトルで『数理論理学』というタイトルのはないと思うよ。

だから哲学系学生向けの教科書と共通に使えるタイトルの『論理学』や『記号論理学』はともかく、
従来の『数学基礎論』というタイトルの教科書と同様の目的と読者を狙った教科書のタイトルとして
『数理論理学』が使われるようになったのは比較的新しいんだよ。
と言っても俺も全部を調べた訳じゃないが。

すまん、投稿時の専ブラのトラブルで482,483とダブっちゃった。483は無視してくれ。

とりあえずその話題は
「基礎論という言葉をスレタイに使うべきかどうか」とか
「近年は基礎論ではなく数理論理のほうが一般的なのか」
というスレを立ててそっちでやればいいと思うよ

できればここでは、基礎論や数理論理そのものの話題をしてほしいな

わざわざ新しくスレ立てんでも↓

雑談はここに書け！【４３】
http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/1317469275/

>>483
> 恐らくは最初だと思う。 (略)
> と言っても俺も全部を調べた訳じゃないが。

こんな奴がはたして数学をやってるのだろうかw

>>479
新井さんの本に載っている集合論は
ロジック寄りの話題中心だと思いますよ。
内容はjechのset theoryとかなり重なっていると思います。
4章の素朴集合論が一般集合・位相空間論と
公理的集合論の分岐点になっているんだと思います。
7章の集合論を読んでいても
やはりモデル論視点な感じがするんですよね。

モデル論使わない集合研究は
一般位相空間論が集合論まで含んじゃってるんだよ。
研究の結果がある数学的対象の集合としての
性質を示しているものでもタイトルに集合論が付かない。
今集合論というと自然に公理的集合論を意味してしまう。

複素関数論とか線形代数がないようなものか＞＜；

なんかムーアとかルディンとかの集合論研究って日本じゃ忘れられてるような。

>>487
> >>483
> > 恐らくは最初だと思う。 (略)
> > と言っても俺も全部を調べた訳じゃないが。
>
> こんな奴がはたして数学をやってるのだろうかw

数理論理学や記号論理学の日本語の教科書なんて
読む意味のある（＝内容や構成にオリジナリティのある）のは20冊もないだろ。
その程度の本なら自分で持ってるから、自分の書棚に並んでる
それ方面の教科書のタイトルをちょっとチェックして書いただけだよ。

＞ 読む意味のある（＝内容や構成にオリジナリティのある）のは20冊もないだろ

つまり無作為抽出をしたわけじゃないんだね。

>>483
竹内とか前原とか故人の本を挙げてる時点で終わってる。
え？竹内外史はまだ生きてる？いや、もう俺にとっては故人だからｗ

田中一之や新井敏康が著書に「数学基礎論」とつけるのは
ヒルベルト・プログラムに独自のこだわりがある世代だから。
（どちらも１９５０年代生まれ）

しかし、１９６０年代生まれならまだしも、
１９７０年代生まれ以降の人にとっては、
そんなんは、ただの歴史でしかない。

＞ここでは、基礎論や数理論理そのものの話題をしてほしいな

こんな下らないスレ見るより、twitterで、
発言をチェックしたほうが全然マシ。

中高生だって気付くぜ。そんなことｗ

ここはゲーデルの不完全性定理すら理解できなかったような
トンデモジジィどもが馬鹿丸出しの発言をする祭りの場。

中高年は、いまどきの中学・高校生の情報収集解析能力を
非常に低く見積もる悪い傾向がある。

もちろん、ロクに調べもしないDQNな奴はいるだろう。
しかしそういう奴はそもそも数学に興味を持たない。

数学に興味を持つ人間なら、当然「基礎論」以外の重要なキーワード
を検索によってゲットするから、「基礎論という言葉しか知らない」
なんてDQN丸出しな事態は全く考える必要がない。

だいたい、DQNがスレに来られたら迷惑だろうｗ

>>475
いまどきは詰将棋の解析の研究価値が大幅上昇中だったりする。
悪いが百年も二百年も昔の整数論の成果なんかクソだｗ

>>476
美的感覚というのは、ぶっちゃけていえば、
人手で考えられる「単純さ」の別の言い方
に過ぎない。

その意味では「今時の数学は美しくない」
というのは正しい。もうそんなシンプルな
ネタは大抵誰かがほじくりかえした後だから。

数学は終わった

mathemathics is dead

>>495
＞ ここはゲーデルの不完全性定理すら理解できなかったような 
＞ トンデモジジィどもが馬鹿丸出しの発言をする祭りの場。

だったらスレタイに基礎論を含むほうが盛り上がりそうでいいじゃん。

ヒギィ

完全性定理の証明について質問です。
モデルを構築する際に、同値類を導入するのはどういった理由からなのでしょうか？つまり、以下のように定義すると何か問題があるのでしょうか？


構造M<|M|,F >が言語Lの論理式φを充足する
を以下のように定義します。

cが閉項のとき、F(c)=c (←cの同値類ではない)

φが原子論理式のとき
M|=P(t_1,...,t_n ) ⇔ T|-P(t_1,...,t_n)
つまり、P=｛ (t_1,...,t_n)| T|-P (t_1,...,t_n ) ｝とする。
ただし、Pは述語記号(Pは"="も含む)とする。

要するに"="も他の述語記号と同じように定義してしまえばいい気がするのですが。。。この定義で何か不都合ってあるんでしょうか？

>>499
The mathematics is NOT over. However, the people working on math.
already seems to be all dead, particularly in Japan.

--neko--

オワとるのは増田一族の未来よ

猫

そういえば猫さんの跡継ぎってどうなるの？

>>500は自らトンデモと白状ｗ

>>506
子供も居なければ、また弟子も居ません。ソコだけは私が誇れる部分でしょう。

猫

何かオススメの数学って無いですか？
素人でも嵌るヤツ

>>502
出来るけど、それだとその完全性定理は、
「等号記号を素直にそのまま解釈するようなモデル」に予め限定した定理になってしまう。
どうせ証明するならより一般的な言語に対する定理の方が良いので、
言語が等号公理を持たなければ同値類なしで良いし、
等号記号が付いてれば、同値関係で割って領域を潰そうという考えだと思う。
等号記号の有無で述語論理の性質が変わったりするので。

>>510
説明ありがとうございます。
まだ分からない点が多々あるので質問させてください。


>「等号記号を素直にそのまま解釈するようなモデル」
ではないモデルとは、たとえばどんなものがあるのでしょうか。


>等号記号が付いてれば、同値関係で割って領域を潰そうという考えだと思う。

領域を潰すとはどんなことなのでしょうか？またどんなメリット、効果があるのですか。

根本的に分かってない点としては、
述語記号(等号も含む)の解釈は、>>502のようにしたとして、定項の解釈を「その同値類」とするのか「そのままの記号」とするのでどのような違いがあるのかということです。

質問ばかりで申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

=に関して同じ同値類に属する対象が別の対象である。
そういう理論を構築したいなら>>502の言う通りで良い。

>>512
レスありがとうございます。

つまり、>>502の定義では

M|= s=t ⇔ T|- s=t
であるにもかかわらず
F(s) ≠ F(t)

となってしまい、通常の等号の解釈とは異なる解釈になる、という理解でよろしいでしょうか。

いやモデルに通常の数学で使う等号記号ぶち込んで
その記号「＝」はアリティになる個体変数が等しいという意味に
解釈すれば普通にできるよ
標準モデルは<N,＋,・,s,＝,＜>と書くとか。
モデルが等号記号しか持たないものとか考えられてるし。

論理学をつくる、って駄本？

数学に興味あるなら駄本。
冗長すぎる。

いずれにしろ等号を述語として定義するだけでなく
等号公理をぶち込まないと同値関係ができなくて
モデルの方と整合性がとれなくなるだろう...
しかし>>502の定義はおかしいと思うけど。
はじめから領域の個体変数と言語の定数が1対1になっているように見える

という理解でよろしいでしょうか。

>>515
読みやすさ、分かりやすさはピカイチ

読みやすいんだけど
分からなかった部分の副読本として使った方が良いんじゃん？
それ主体でやると飽きちゃう人も多いと思う。
数学用の述語論理オンリーならの江田の数理論理学が最短最速。

>>515-516 >>519-520
戸田山の「論理学をつくる」は名著、と認めた上で、
さらに、数学としての論理学に興味があるなら、
「現代数理論理学序説」古森雄一、小野寛晰
（日本評論社）がいいと思われ。
証明図とラムダ項の間のカリー・ハワード対応や
非標準論理（部分構造論理）について、よく書かれている。

あくまで個人的な見解だが、
命題論理における縮約規則を除いた
部分構造論理の”発見”は、
かつての数学基礎論争よりも
はるかに革命的なのではないか？

古森小野も別に悪くないけど
モデルの方の説明が少ないような気がする。
自然な流れで型と証明を融合させるような内容で
林の数理論理学のその後みたいな内容。
一応この2冊は両方手元にキープしといたほうが良い。
あと後で結構見直す頃になりそうなのでEbbinghausのMathematicaLogic
辺りも完読しなくていいから技術的な部分の参考用にとっとくべき。
ゲーデルと20世紀論理学の2巻のモデル論もできれば同時並行でやっとく。
終わったら坪井のモデル理論（安定性ばっかだけど）も薄いからやる。
新井の数学基礎論の計算論の章も読む（他の邦書で掲載されていないのがアリ
優先論法も確認しとくこと。
不完全性定理は前原の数学基礎論入門か田中の数学基礎論講義、
もしくは新井の不完全性定理の章、これ以外で良いのは余りない。
あとbluckburnのmodallogicで現在の様相論理の形式について確認しとく。
斎藤の数学の基礎が半分位理解できるなら
もう直接jechのsettheoryいく、kunenは翻訳あるけどちょいわかり辛い。
逆数学はEbbinghausの前半程度できるようになった時点でsimpson直接読む。
不明な用語は新井の本の計算論の章で確認。

>>523
テキストにはそれぞれ固有の目的があると思う。
古森・小野に関していえば、モデルは主たる関心事ではなかった
ということだろう。
もちろん、モデルを中心とした数理論理学の研究も考えられる。
たとえば、リンデンバウム代数とか。
そういうテキストが出たら、ぜひ読んでみたいと思う。

>>523
不完全性定理はともかくとして、
Paris=Harringtonに関心があるなら
田中の数学基礎論講義はいいと思う。

>>524
そうですね
古森小野さんは証明論に近いですね。
リンデンバウム代数は青山の論理体系と代数モデルが詳しいです。
完全性定理も確かリンデンバウム代数で証明してます。
ちなみに>>523で想定していたモデルってのはもっと一般的な
LSの定理やコンパクト定理や構造の型や安定性や範疇性とかの話です。
>>525
他にも独立命題が色々紹介されてるのでおススメですね。

>>526
「論理体系と代数モデル」は知らなかったな。
今度読んでみよう。

上の方でロジックは数学か論争があったけど
さっき両者の違いが分かった。
通常の数学は無限を自明なものとして扱う
ロジックは無限と有限を慎重に有限的な視点から扱うって点だわ。
だから通常の数学の方が自由度が高くて、
数学的対象を内省なしに美的観点からも研究できる。
ロジックは割と技術的、数学自体の正当性や具体的な実現可能性を
研究することが可能なんだ。

自明なもの、っていうか「与えられた」ものだよね。
具体的な手続きを有限的な視点で扱うという立場はどこまで徹底されてるのか不明だが。

集合論の中じゃ、普通の数学よりはるかに自由に無限を使うと思うが。

ロジック　　|　　　集合論、普通の数学

って区分けなんじゃね？

>>530
普通の数学は集合論に乗っかってるわけだからその言い方はおかしい

公理的集合論は使ってるんだけど前提がある。
むしろどういった前提があると
どれくらいの無限やその性質が設定できるかが
公理的集合論の研究対象になる。

>>532
一応集合論の中で全部できるってことなんだけど、
実際のところは多領域論理で、
使用する分の論理式とそのモデル集合だけで十分では？
つまり集合論自体の詳細はブラックボックスでも数学ができる。

よく知らんけどモデル理論って集合論に依存してるの？
あくまでひとつの数学理論であって、数学の基礎付けなんて色彩はなし？

>>528 全然そんな話じゃない。
ロジックは通常の数学と異なった美意識価値観をもっている
というか、通常の数学の美意識や価値観で、
数学の内部には中心部と傍流と雑多なものという
階層があるが、それでいくとロジックは最下層に近いという話。
雑多な個別の問題を個別のアプローチで解いている側面が強いので。

集合論とか論理学ってそんなに面白い？
普通に理論物理とかやる方が楽しくない？
公理的集合論とか全くの無駄に思うけど。

通常の数学では、素数定理とかフェルマー予想とか、
整数や有理数をもとにした具体的な問題を対象にしていて、
無限を扱っているように見えて、便宜的なものとしてだけ
無限を扱っているので、本質的にはそんなに病的な無限は
扱っていないんだよ。

>>537 無駄は言いすぎだけど、すでに役目は終わったかもね

私は539(<>537)
もちろん、過去の遺産には意味があるけど、
さらなる研究は、ということ。位相空間論などと同じ。
少なくとも数学としては。

>>535
数学を基礎付けるのではなく
形式体系を基礎付けてる。
モデル自体の一般的な性質の研究。
現代的な研究はシェラーがほぼ単独ではじめた。
もちろんモデルは集合論の存在を前提としている。
ただし集合論を使わなくても型理論みたいな考えでも作れるみたい。
>>537
理論物理も面白いが、公理的集合論と理論物理が対比される理由がわからん。
そもそも無駄だと思うのは何かの役に立つことを前提としているからでは？
>>538
確かに普通の数学で使う無限のバリエーションは少ない、ツールにすぎない。
一方、公理的集合論は無限について多角的にアプローチしている、研究対象。

>>538
選択公理にまつわるような議論全く知らんのかいな。

形式的体系を基礎付けるのはいいとして、
数学の基礎付けに関しては何か進展あるの？

>>542
なんのコト？説明してくれる？
選択公理を使ったあの手の定理の証明は、選択公理が抜ける。
だから、たいして気には止めてないんだよ。

集合論は集合の最も病的な場合を扱っているが、そんなものは
通常の数学では本質的にはでてこない。議論を簡単化するために
便宜上つかっているだけ。

>>543
舞台が既にZFCの外側に飛び出して、数学の基礎付けも連続体仮説の真偽位で、
基数に関する研究が多くなってきている、かなり研究が細分化した。
もちろん公理的集合論が持つ性質への理解も深まっている。

細分化したということは、分野として重箱の隅をつつく
よつなことしかしなくなったということ

>>546
すべての研究に一般化される法則

数学は細分化してないよ。数学は一つ。この意識が大事

なんか、当たり障りのない抽象的な批判ばっかりだな…

結局、数学とはこうこうこういうものだと
言いきれるような結論ってないんですか？

>>550 数学とは、よく出くわす具体的な問題群を
統一的に解くための理論たちの体系だった有機複合系。
(問題とその解答を羅列した問題集では無い。
個々の問題がどんなに興味深く、個々の解答がどんなにエレガント
であっても)

>>550
数や図形の性質を調べるのに使った方法を別の物に適用して、
その中である程度性質が分かった物をさらに調べて、その際に
用いた手法で別の物を調べて…の繰り返しで発展してきたもの
だから、再帰的な定義しか出来ないだろう。

>>541
モデル理論自体が集合論を前提としたものであっていいけど、
完全性定理だけはそれでは困るでしょ。
普通の数学で行われているモデルを使った証明が、本当に証明になっていることを保証するわけだから。
完全性定理は超越的な方法によらずに成り立ってくれなきゃ困る。

>>535
数学の基礎付けという色彩の方が強い。数学理論というとちょっと違うだろう。
>>537
両方やろう。
>>548
確かに従来の数学は1つである。
しかし実際にアプローチする際はある程度
興味の対象を絞らなければならないほど深化広大化している。
>>551
しかし一方でモデル論や公理的集合論や
証明論や理論計算機や計算論や逆数学も一体となっている。
従来の数学とは全く違う視点からの有機複合体になっている。
ただし数理論理学が対象とするものは、
数学的対象だけでなく形式的対象全体となる。
例えば巨大基数などは通常の数学では扱われない論理的産物である。

>>553
その通りです。
>>541を補足すると、シェラーのモデル理論が公理的集合論を前提に成り立っているということです。

>>536
＞（ロジックは）雑多な個別の問題を個別のアプローチで解いている側面が強い

単に無知による妄想。
数学のほうがはるかに雑多な個別の問題を
個別のアプローチで解いている。
代数と解析は明らかに方法論が異なる。
数論とか幾何とかいうが、アプローチは多種多様。
同じという奴がいたらそいつは数学を知らない。

>>537
理論物理って面白いか？
数学に比べたらクソじゃんｗ

>>538
単に貴方が”簡単”な問題にしか興味を持てないだけかと思われる。

>>548
＞数学は細分化してないよ。数学は一つ。この意識が大事

数学を知らない奴の発言だな。

現に、いかなる数学者であれ、
自分の研究の範囲の外のことは
ロクに知らないという現状がある。

決して怠慢なのではない。
もはや数学は多様化しすぎて
個人の頭ではその全てを把握できない。

自分が知らないというだけで
「そんなものは数学ではない」
とわめきちらすのは幼稚。

>>550
＞結局、数学とはこうこうこういうものだと
＞言いきれるような結論ってないんですか？

上記の文章中の「数学」を「論理」に置き換えた場合にも
結論は存在しないといっていい。

古典論理と直観主義論理の違いなんて今や目糞鼻糞の違いでしかない。
部分構造論理は、「論理は一つだ」という常識を木端微塵に破壊した。
あれほど簡単な方法で、非常識極まりないものが生まれるなんて、
実にエキサイティングじゃないか。興奮しない奴は感覚が鈍磨してる。

>>556 数学では、いろいろな問題を統一的な手法で
解いたり、一つの主要な問題をいろいろな
アプローチから解いている。有機的総合体とはそう言うこと。
ロジックなどの応用数学では、
その辺りが乏しい。
ロジックと理論計算機もたいして関わっていないし、
ロジックの内部ですら細分化されバラバラ

>>560 通常の数学とは違う価値観をもつのは悪くない
数学の外で主張しろ、という話。

>>561
＞ロジックと理論計算機もたいして関わっていないし、
大嘘。
形式体系の表現能力＝計算クラス

数学の内部でも細分化してしまった分野は
はっきりと低評価をうけている。ロジシャンは
数学の中心部にいないから、その辺がわかっていない。

>>563 手法としては別物だよ、問題毎に別物。

>>564
数学の中心部とは具体的にどこでしょうか？
ごまかさないで具体的に記述してください

>>565
別物ではないだろう、逆数学とか知らんのか？

>>566 そんなこと聞かなくても想像付かない？
フェルマー予想、リーマン予想、この二つとその子孫の周辺だよ。

この分野って、いったい何を目指しているの？目指しているものを
失ってしまったの？

>>568
＞フェルマー予想
これはないだろ。
あんた数学やってないだろ

フェルマー予想の子孫って言ってるでしょ、まだ解かれていないものを
さして欲しいなら、abc予想

つまり整数論が数学の中心と言っているのか
それ以外に関して無知なだけじゃん

整数論は全数学を包含するんです。
数学の内部の特定の問題を特定の手法で
解いている人たちのことを指しているわけでは無い。

だから、整数論は代数幾何や微分幾何と対じして
使う言葉じゃ無い。

将棋で例えると、代数機幾何が居飛車党、
微分幾何が振り飛車党なら、
整数論は、終盤重視型
みたいな言い方の違い。特定の戦法をさしているわけでは無い。

いいかえると整数論屋は何でも屋。いろんな武器を
オールマイティーに使いこなせる人たちが多い。
理論物理学者もその辺は似ている。

あほくさ
整数論で使われてるはほとんど代数だし
例えば解析使うっても最近の実解析の成果とかぶる部分もあくまで一部だし
むしろ整数は代数体の性質研究だから代数がすべてを包括するって言い方もできるじゃん
去年の数論のフィールズ賞受賞者は圏が数学の中心ですと言っていたぞ
理論物理学もありとあらゆる数学を縦横無尽に使ってるわけじゃないだろう

まあ宗教の信者は自分の信仰だけが正しいと主張するものだから。笑って見過ごしてあげようよ。

無限の研究なんかやったってそれは無限論にしか
ならないわけで、数学の本質とは関係ないですよね？

無限は結構危ないよ
ルベーグ可測が導入されたのも集合論が発達して
R上の部分集合で可測にならないのが出現したためだよ。
それに異なる濃度の無限を分類した方が
測度空間で測度無限の集合の差の測度が
どういった値になるかを具体的に記述できたり、
複雑な議論が簡単になることもある。
ルベーグ可測の関数の値に∞や-∞を
簡単に加えてる本とかあるけど、
本の中だけでwell-definedになるか確かめないと
不安になるし、もう超準元として加えてくれよって思う。

カレーを一度も喰わずにカレーの味を議論するのは無意味。

訂正：
R上の部分集合で可測にならないのが出現したためだよ。
↓
R上の部分集合で加法性や平行移動不変性を同時に満たさない集合が出現したため。

カレーの代替に糞を食えば良い。

>>557
いや、物理学を度外視した数学ほど無味乾燥としたものはないですね。
そういう意味では、集合論や論理学などにほとんど価値を見出せない。

論理や集合の有用性は何？と尋ねて回答があると、必ずスルーよね
どうして？

いくら有用だと言われても本人がそう思わなければ仕方ない。

>575
順序のない関係って整数論で扱えたっけ？

>>578 いや、ルベーグ可測、ルベーグ積分が普及したのは
リーマン積分よりも取り扱いが易しく自然だから。
(極限操作など)
それにそれは100年も前の話。無限集合の深い研究の
発展をしばらく待って、集合論研究成果を大々的に
つかって初めて可能になったわけじゃ無い。
実用上の困難は創始者グループが短期間に取り除かれてる。
そんな100年も前の例を出して、それから今まで何やってるの？

>>575 知ってる数学が相当偏ってるな。
確かに実解析は複素解析に比べて美しく無いとは思う

>>564　＞数学の中心部とは具体的にどこでしょうか？
>>566　＞フェルマー予想、リーマン予想、この二つとその子孫の周辺だよ。
>>570　＞これはないだろ。 あんた数学やってないだろ
>>571　＞フェルマー予想の子孫って言ってるでしょ、
　　　　＞まだ解かれていないものをさして欲しいなら、abc予想

なんか数学のスの字もしらん
整数論マンセー馬鹿が
わけもわからずわめいてるなｗ

>>572 ＞つまり整数論が数学の中心と言っているのか
>>573 ＞整数論は全数学を包含するんです。
>>574 ＞いいかえると整数論屋は何でも屋。
>>575 ＞あほくさ 整数論で使われてるはほとんど代数だし

整数論は雑多な問題を雑多な手法で解いてる。
つまり一つの理論の体を為していない。
その意味で幾何学と同じ。
ただ研究対象がが異なるだけ。

数学としてロジック認めると自動的に将棋の解析とかも数学として認めることになる。
すると、数学科で計算機科学の一部が教えられ、数学史として将棋ソフトの解析なども掲載しなければならなくなる。

数学に対する各種リソースをどう分配するか、という問題がある。
数学としてロジックを認める（ないしは評価する）ことはそういう問題と関係している。

>>582
＞物理学を度外視した数学ほど無味乾燥としたものはないですね。

あんたの味覚がオコチャマなだけかと思う。

>>589 あー、整数論も幾何学もとにかく数学をご存知無いんですね。
良い数学を見てくれとしか言いようが無い。

計算機科学が数学でないのと同じ程度にロジックも数学でない、と普通考えられているだろうね。

数学は、数学的対象の研究として理解しないと、将来おかしなことになる。

>>590
将棋の解析は数学だがｗ
勝てるかどうか判定する手順の計算量はEXPTIME完全。
ちなみに、チェッカーも囲碁も同じクラス。
オセロはPSPACE完全だから一つ下。
これは将棋や囲碁と異なり、手数有限のゲーム
であるかららしい。

数学的概念とそうでない概念を判定するアルゴリズムを示せ。

>>592　「良い数学」というが、ただの自画自賛。
　　　　数学科にいったからわかる。
　　　　整数論にリソースを割くのは無駄である。
　　　　ロジックにリソースを割いたほうが、
　　　　はるかに興味ぶかくかつ有用な成果が得られる。

ロジックを数学として考えているのは、おそらく数学好きのプログラマーではないかな。
そういう考えもありだけど、やっぱ、なあ。

整数論教信者は生まれ変わらない限り信仰はやめないよ。諦めな。

>>598
別に改宗は求めてない。
彼等がパラノイアであることが
他の人々に明らかになればよい。

素数とかζ関数は何でも知っているんだろ？

>>596みたいな考えがある。
ロジックを数学として認める、とはそういうことを帰結する。

ところで
「ロジックが数学なら、将棋も数学」
とかいいだす奴は、ロジックとは
「任意の論理式に対して、証明可能か否かを判定する手続きの研究」
と考えているようだ。

し・か・し、そんなものはすでに１９３０年代に
「無理」と分かっている。
つまりそんな手続きは存在しない。
ゲーデルの不完全性定理の系として、チャーチが示した。

こんな基本的なこともしらず、わけのわからんことをわめく奴は
このスレに来るまえに、論理の勉強をしろといいたい。

>>596 君は数学科へ行っててもまだそのレベルなのか？
低学年生？
数学科では、ロジックにはリソースをさいていないが、
実は整数論にも通常派表向きはほとんどカリキュラムには無い
(個別の先生が工夫すれば別)
その変わり、学部レベルの数学を全てマスターしたのちに
数論の良い定理をほんの少し証明するだけで、
学部の数学を総動員する感動をあじわえる。
そのようにカリキュラムは出来ている。

>>601
では尋ねるが、２０世紀において
整数論でいかほど大きな成果が
あがったというのかね？

ぶっちゃけ、フェルマー予想の解決で特別賞が出るのに
ヒルベルトの第１０問題の解決では、大した賞も出ない
数学界の態度は明らかに狂っているといっていい。

特定の不定方程式に解がないことを示すより
一般の不定方程式に解があるか否か判定する手順が
存在しないことを示すほうが遥かに有意義だろうがｗ

>>593 同意

>>603
学部は卒業した。
私が通った大学は、某Ｔ大とは違って
ロジックは蔑ろにはされていなかった。

ところで、なぜ「総動員」すると感動するのかね？
単に面倒くさいだけだろうｗ

ゲーデルの不完全性定理は、ちっとも難しい理論を使わないのに
実に有意義で興味深い結果が得られる点で、感動する。
それに比べて、フェルマーは何がどう面白いのか全然ワカランｗ

>>604 単純にその特定の問題の見かけの良さだけでは
価値基準は決まらないのさ。
その第10問題はたしか20才そこそこの若者が
それまでの資産をあまり使わずに個人の天才的発想で
解決したんだよね。その発見者個人が優秀なのは
認めるが、学問としての価値は低い。10歩ゆずって
言い直すと数学としての価値は低い。

だから、数学の外で、ロジックはロジックだ、数学で無い
といばればよいでしょ

>>607　価値を決めるのはアンタでもなく数学界でもない。
　　　第１０問題の最終解決は確かにマチャセヴィッチによるものだが
　　　それ以前に、デーヴィス、パトナム、ジュリア・ロビンソン等の
　　　研究があってこその解決である。個人の天才的発想に幻惑される
　　　のは大局が見えない小人物である。

　　　数学そのものを変革する定理の証明に賞すらだせない、
　　　数学界の反動ぶりは実に嘆かわしい。

いや、ロジックは価値があるけど、数学として考えるべきではないってこと。
計算機科学なんかと一緒のグループで考えておくべきだなあ。

数学は、科学と違って研究の方向が人間の主観で左右される学問なので、何が数学か（何を評価するか）は重要な問題だと思う。

下手すると整数論が下火になって誰も研究しなくなったり、実用性が重視されて数学そのものがガラリ一変してしまうかもしれない。

第１０問題の解決は、ぶっちゃけ、論理式の充足可能性問題を
不定方程式の解の問題としてコーディングすることにより行われる。
論理式の充足可能性問題を手順が存在しないことはすでに
ゲーデルの不完全性定理の系として証明されていた。
デービス、パトナム、ジュリア・ロビンソンは、既に、
指数も変数とするようなディオファントス式の解の問題に
コーディングするところまで実行していたが、通常の多項式にも
コーディングできることを示したのがマチャセヴィッチ。

>>609
ロジックの研究には計算機を必要としないｗ
もちろん、計算機を用いるのは自由だが。

ロジックが数学でも困る奴はいない。

整数論が衰退するのは、
整数論自体のつまらなさが原因であって
ロジックとは全く関係がない。

ロジックが面白いにも関わらず、何が気に入らないのか、
いつまでも頑固に「ロジックは数学じゃない」と言い張ると
数学自体が消滅するのは火を見るより明らかである。

まあ、そのときは、従来数学を
「ロジック」の一部門として
認めてやればいいことか（￣ー￣）

＞整数論が下火になって誰も研究しなくなったり、

そうなるとすれば、
「整数論がつまらない」
「整数論の問題が難しすぎて、もはや歯が立たない」
からであって、ロジックとは全く関係がない。

整数論はロジックを追い出した暁には
増長しまくって、幾何学も追い出すだろうな。
ただその際「数論幾何は、幾何じゃない」とか
わけのわからん理屈をこねることは忘れないだろうがｗ

環論の看板で代数幾何学やってます。

>>610 そんなこと分かってる。
しかしその資産のスケールが比較的小さいといってる

>>614　分かってない。少なくともコーディングの意味が分かってない。
　　　　それじゃロジックの価値なんか分かりようがない。

>>614 比較的 => 比較にならない程

>>609 第一第二段落は同意
第三段落は、そんな弱気になる必要は無いとは思う
ただ、悪貨が良貨をなんとやらで、
良いものを良いとキチンと評価する土壌が無いと、
文化として学問全体が堕落する

>>582
なるほど、ほとんどの数学が無味乾燥になる。
>>583
既に何回も出てる、つまり形式体系すべての原理の保証と性質の探究による方法論の創設。
>>586
ルベーグ積分自体が集合論の発展を待ったとは全くいっとらんぞ。
測度論の胡散臭いところが集合論の探究で微修正されてるって話。
また今も測度論が集合論の発展で書き直されたりしている。
>>587
実解析の例を出したのは公理的集合論の問題の多くがR上の公理に関わるから。
無限集合の組合せってのはR上の性質の問題、ススリン仮説を理論に
付けたりとったりして相対的無矛盾性を議論するだとかが有名な例。
逆数学でも主な考察対象がR上の定理とか位相空間と測度に関する定理。
逆に複素解析や上の数論とか代数みたいな綺麗に閉じている世界とは余り関係ない。
>>611
同感。ノイキルヒ読んで面白いと思ったんだけど、
理論が深化していくと途中で飽きてくる。
でもロジックがなかったら数論ばっかりやってたと思う。

おまいら、泥臭い議論が好きなんだなw

＞数学は、科学と違って研究の方向が人間の主観で左右される学問
バカじゃねえの？科学だって主観で左右されるだろうが！
左右されない学問なんて存在し得ない

近代以降の重工業の発展への応用を考えれば代数幾何解析の有用性は素晴らしい。
それゆえに数学が学問として尊重され、
社会的リソース（ポストとか、要するに金だな）が与えられてきた。
しかし高度情報化社会の発展、中でもハードはともかくソフトの部分への応用では
ロジックの有用性は代数幾何解析の比ではない、というより後者の貢献は僅かでしかな。
ロジックとしてはそれを前面に出して数学の外で生きていくほうが楽だろうが、
数学全体の立場から見れば、ロジックをしっかり数学に取り込む方が
社会的リソースをまわしてもらうには有利だろう。

それでは一般人の現代数学へのイメージがますます歪んだものになるぞ...

うーん100レスいかなかったか残念＾＾；

「ロジックは数学じゃない派」は623みたいな正論にはいつもスルーしかしないよね

間違えた：623じゃなくて621だ

世で論理的と言われるものは、数学の論理とは異なるもの。

ビックリした
なんでこんなに伸びてるんだよ

しかも議論のレベル低すぎるだろ

そういえばスレタイ変更については「変更不要」で結論が出たという理解でおk？

>>626
同意。
>>627
そもそも何を議論しているのか曖昧だから

いやいや目的も対象も曖昧なまま議論すること自体が稚拙なんだよ。
その意味で議論が低レベルだと言っている。

その上自己解釈にこだわって中身もない。
「俺（の解釈）が、俺（の解釈）が」ってやつ。

随分前からそういう議論が続いてる
圏論スレから流れてきたんだろ？
隔離スレがなくなった今、このスレは伏魔殿になる

同意、圏論信者スレ再開したほうがいいかもな

>593
計算理論ぐらいは数学に入れてクレよ。

低レベルだろうがスレが伸びようが、それが２ｃｈじゃないのか？

数学じゃないとか言われそうだが、計算量理論のモデル理論からのアプローチどう思う？？

>>621
数学科を実際に運営してる教授陣ですら思ってないほど
数学科の現状にマンセーな奴に何言っても無駄だわな

すべての数学の根底にあるのが論理式
これが世界のはじまり。

>>628
＞そういえばスレタイ変更については
＞「変更不要」で結論が出たという理解でおk？

NG。最初にスレ立てただけで正当だと認める判断が間違ってる。
こういう馬鹿が２ｃｈを仕切っているから
２ｃｈは馬鹿のスクツと言われる。

１．スレッドのタイトルから数学基礎論を削除すべし
２．>>1の文章を以下のものに変更すべし

数理論理学は、現在、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。

前スレ

http://kamome.2ch.net/test/read.cgi/math/･･･

つまり、現行通りってことだね。

Q.タイトルに数学基礎論の文字がないと、
　高校生がアクセスできないのでは？

A.あなたははじめて聞いた言葉について、
　全くgoogleで検索しないまま
　２ｃｈでスレッドを探しますか？

>>640
現行は　「数学基礎論・数理論理学　その＊」
次回案は「数理論理学　その＊」

Q.素朴集合論における逆理の解消こそ
　数学基礎論の究極目的ではないのか？

A.その考え方は間違っている。
　そもそも、素朴集合論の逆理は
　ツェルメロの分出公理によって
　解消された。
　無矛盾性の証明はできないし必要ない。
　ここは数学史スレではないから
　既に終わった、数学の歴史については語らない。

ラッセルのパラドクスが解消したというより
パラドクスを証明の論法として使用できるようになった。
これによってすべての集合の集合は存在しないことや、
jechによる集合論の第二不完全性定理の短証明が出てきた。

>>643

＞　ここは数学史スレではないから
＞　既に終わった、数学の歴史については語らない。

これは意味のない禁欲だ。

>>633 無理

基礎論を外せ、という主張の大きな理由に、馬鹿が基礎という言葉を勘違いしてやってこなくなる
と言うのがあったが
先のスレ乱立の時には「基礎論」が入っていないところにも馬鹿がたくさんやってきていたことを考えるに
基礎論を外す効果は期待できない。

>>647 お前自身がバカだから

>>648も外す効果がないことは認めている

なんで数理論理学のスレはこんなに伸びるの？
数理論理学ってそんなに人気あったっけ？

現行のスレタイに反対しているのは、どうやら独自研究君の一人だけのようだな。
現行通りってことでほぼ合意ができているわけだ

本のタイトルがどうこうって話が出ていたけれど、
集合論やモデル理論まできちんと書いてある本で「数理論理学」ってタイトルの本ある？
洋書で "Mathematical Logic" なら Shoenfield とかあるけど、和書ではないのでは？
和書になると「数学基礎論」ってタイトルしか見当たらないように思うのだが。
和書で「数理論理学」っていうと、完全性定理や不完全性定理とそのちょっとした発展的話題だけでしょ。

そもそも独自研究クンの「『数学基礎論』という本だけじゃなくて『数理論理学』って本もある」という話が、
「数学基礎論」と「数理論理学」の併記をやめて「数理論理学」の単記にすべきってことの根拠になあるのか分からん。
「数学基礎論」単記をやめろという根拠になるかも知らんが。

>>650
ロジックは数学ではないから。
多弁で思弁的な性格の人がロジックやっている。

>>652
非古典論理とかの専門家の中には、
数理論理学というと「なんとか論理」の研究しか指さない人もいるよね。
そういう人たちにとっては集合論やモデル論は「数理論理学」に含まれないし、
だから英語の Mathematical Logic と数理論理学は等価ではないんだよね。

>>621への反論はないのー？

ロジックには２種類ある。
数学の一部であるものとそうでないものだ。
世間でいう論理的思考などは一般には数学ではないもの。

>>656
そもそも何が言いたいのか不明なものに反論も何も

>>656はロジックの社会的意義を語っているが、
そんなの者我々高貴なロジック耽美趣味者には無関係。
ロジックは宇宙の外側を考えるがごとく奇怪なモノ也。
よって数論だか代数だかみたいな閉じた系-----それ自体
自己批判のなされぬまま存続してゆくのだろう-----とは
無縁の創造的行為なのである。

初歩的な数学の質問よりも鬱陶しいのがいるのが問題なのだから、スレタイは現行通りで問題ない。

ロジックで一括でいいと思う

数理論理学だと仏教論理学とかからアホが流れてくるし
基礎論だと哲学からアホが流れてくる

ロジックという単語は綺麗な響きがあると思うしね
英語のlogicって日本語の論理学よりかなり意味するものが大きい。
ロジシャン

ロジッ糞が数学の一部ならあらゆるものも数学になっちゃう。

ロジックは数学ではなく、数学やプログラムやゲームなど人間の知的営為を数理的に分析する科学。

数学は、数学的対象を研究する。

ロジッ糞

ロジックのしたらそれこそ哲屑の巣窟になりかねん

哲学板にも論理学スレあるみたいよ。
まったく違う方向へ進んでるけど。
圏論や直観主義論理なら向うのが詳しそうよ＾＾；

>>662 言葉は悪いが、言わんとすることはわかる。

精密科学理論のひとつだが、数学とは心が違う。むしろ
精密科学からは外れる物理の方が、心は近い

はは仏教論理なんてあんのか
これが論理ならカントもヘーゲルも論理学だろ

>>662
数学やプログラムやゲームなど人間の知的営為は数学的対象ｗ

数学と精密科学は分けた方が良い。
数学と物理はもともと同じで、思想は同じなれど、
手法の違いで別れた。
ロジックはスタイルこそ厳密科学で数学と同じだが、
思想や美意識が異なる。

人間の知的営為は数学的対象、という考え方だと、数学を運営していく理念としてはおかしいよ、やっぱ。

虚数も認められるのに時間がかかったけど、それは既存の数学に役立っている。

数学と物理は同じかな？
整数論なんか物理屋が馬鹿にする典型じゃん。
アイソスタインとか。

西洋の学術史を根拠にすれば、
中世の自由学芸では、
論理学的科目と数学的科目の二つが、哲学（今でいう物理学なども含む）と神学の予備科目になっている。

論理学的科目は、アリストテレスの論理学と文法、修辞学。
歴史的には、ここからロジックという言葉が出てきているわけで、数学とは別のもの。

>>668
コホモロジーだとか表現論だけ特化してやり続けている人もいるが、
そこらへんも従来の数学の美意識が残っていると思うのか？
>>669
人工知能みたいなものもあるだろう？

アイソスタインって数論バカにしてたんだ・・・。
やっぱアイソスタインは数学センスないなぁ。
しかし論理学語るのに西洋のリベラルアーツが登場するとは。
間抜けな西洋学問がまともになったのは
最悪でもブール、せめてフレーゲ以後だろう。
それ以前は論理学じゃないし、単たるlogicの語源でしかない。
結局論理学はアップデートされる学問で今の研究がすべて。

>>671 特化していても、遠巻きにでも
数学の中心部への応用をにらんでいるなら
数学。そうで無いなら数学ではない、または
三流の数学。

一流の数学w
一流の大学の教員さんが妄想してるんだろうwww

ブールは数理論理学だけど、フレーゲは基礎付け色が強いな。

>>670 第一段落はよく理解できなかったけど、
第二と第三段落には拍手をおくりたい

>>672 その言い方するなら、リーマンの数論研究の影響を
うけていないものは現代数学ではない。
(もうすぐ、リーマンがグロタンにアップデート
するかも)

>>677
リーマンは良いがグロタンはないだろ。
わしにはグロタンが万能数学者には思えん。
数論や代数幾何みたいな綺麗で疑いのないものしかやっとらんイメージがある
それを言うならヒルベルトじゃないか？

>>675
量化演算子や推論規則をロジックに持ち込んだって点でね＾＾；

>>678 綺麗で無い時点ですでに
数学では安住の地はないだろ

量化演算子なら、フレーゲに先立ってパースが導入している

中世の自由科目では、論理学は数学と並ぶ学問だったんだから、
その独立した地位を復活させれば良いではないか。

学問としての論理学には価値はあるとおもう。数学ではないと言っているだけ

>>680
そうは思わん
楽園で安住し続けるのか？

推論規則もパースだしね。
彼は存在グラフという概念によって
ヴェンやオイラーを超えた。
図示として存在グラフを超える表現力を持つものは2011年現在存在しない。

>>682
前々から思っていたんだが
誰もロジックが数学とは主張していないのだが。
つまるところ数学がロジックだと。
数学的対象や数学の記法のすべてをロジックは内包している。
とりわけロジックの中心に公理的集合論とモデル理論がある。
モデル理論はある種の洗礼を受けていない人間には難しい。
であるから計算論や具体的な計算モデルを提示することで
地上の者ども、つまるところ美しいものを賛美する盲目者を導いているのだろう。

ロジックで算術をどう形式化するんだよ。

>>686
ネタ？算術の形式化がロジックの初歩じゃない。

>>655
> >>652
> 非古典論理とかの専門家の中には、
> 数理論理学というと「なんとか論理」の研究しか指さない人もいるよね。
> そういう人たちにとっては集合論やモデル論は「数理論理学」に含まれないし、
> だから英語の Mathematical Logic と数理論理学は等価ではないんだよね。

こりゃまた素人らしい珍説だな。AI屋しか研究しないような論理モドキやってる人間ならいざ知らず、
非古典論理でも部分構造論理とか様相論理を研究してる連中にとっては少なくともモデル論的考察は必須に近いが。
数学基礎論と英語のMathematical Logicとが等価でないのは良く知られているが。
何しろ、仮にそれらが等価ならばFoundations of Mathematicsに対応する日本語が存在しない事になって
Hilbert本来のFoundations of Mathematicsを日本語で語ろうとする場合に困ってしまうからな。

>>661
> ロジックで一括でいいと思う
>
> 数理論理学だと仏教論理学とかからアホが流れてくるし

逆だろうが。ロジックなら仏教論理学も含むしヘーゲルの弁証法的論理も含む。
数理論理学はそれらを含まないから、スレッド名を「数理論理学」としておけば
そいつらが来ても「スレ違い」の一言でＯＫ。

> ロジックという単語は綺麗な響きがあると思うしね

西洋かぶれ乙

白人かっこいいとか思ってる馬鹿か？

>こりゃまた素人らしい珍説だな。AI屋しか研究しないような論理モドキやってる人間ならいざ知らず、
>非古典論理でも部分構造論理とか様相論理を研究してる連中にとっては少なくともモデル論的考察は必須に近いが。
ワロタ。非古典論理で出てくるモデル論的考察が「モデル理論」だと思ってるなんて素人っぷり丸出しw

>>691
> こりゃまた素人らしい珍説だな。AI屋しか研究しないような論理モドキやってる人間ならいざ知らず、
> >非古典論理でも部分構造論理とか様相論理を研究してる連中にとっては少なくともモデル論的考察は必須に近いが。
> ワロタ。非古典論理で出てくるモデル論的考察が「モデル理論」だと思ってるなんて素人っぷり丸出しw

モデル論的考察とモデル理論とが同じじゃないのは分かってるさ。
問題は証明論以外の様々な手段も自分の研究対象に用いているのにそれら手段を生み出して来た領域を数理論理学の構成要素と認めないなんてのは
マトモな感性の研究者ならば有り得ないって事。
もしそういう感性の人間がいるとしたらタコツボもいいところだね。そういうタコツボ研究者では自分以外の研究者にも意義を理解できる結果など何も生み出せない。
そもそも、部分構造論理こそ数学基礎論という言葉と全く馴染まないじゃないか。
部分構造論理や対応する代数構造などの研究のどこが数学の基礎付けと関係するんだｗ
今や数学基礎論の名に値する研究は数理論理学の中の極めて狭い領域で数理論理学が指す学問領域全体の中に包摂されてしまっている。
従って、数理論理学・証明論・モデル論といったタイトル案の証明論やモデル論という部分領域名が冗長で不要な様に
数理論理学・数学基礎論というタイトル案の数学基礎論も冗長で不要。

数学の基礎付けを重点的に議論したいならば、それこそ「数学基礎論・数理哲学」という別スレッドでも立てたらどうなのｗｗｗ

お前らアホやなｗ

>問題は証明論以外の様々な手段も自分の研究対象に用いているのに
>それら手段を生み出して来た領域を数理論理学の構成要素と認めないなんてのは
>マトモな感性の研究者ならば有り得ないって事。
>もしそういう感性の人間がいるとしたらタコツボもいいところだね。
>そういうタコツボ研究者では自分以外の研究者にも意義を理解できる結果など何も生み出せない。
また独自研究クンだな。何故「数理論理学」って言葉を君と同じ程度に広い意味で使わないといけない？
非古典論理に有用な手段を生み出してきた領域も「非古典論理」と呼ばないといけないのかい？
そうしないとタコツボなのか？名前の付け方の問題でタコツボかどうか決まるのか？お前アホだろ

すまん、一行書き損じた。2文目は以下の通り：
数理論理学に有用な手段を生み出してきた領域を「数理論理学」と呼ばないといけないなら、
非古典論理に有用な手段を生み出してきた領域も「非古典論理」と呼ばないといけないのかい？

つまり、現行通りってことだね。

反対者は声が大きいだで少人数のようだよ

＞「数学基礎論・数理哲学」という別スレッドでも立てたらどうなのｗｗｗ
そういうスレッドを立てて停止された当人がこのネタで笑えるとは随分と自虐的だなｗ

David Schultz
Doctor K

非古典論理の研究で用いられる「モデル論的」手段なんて、
モデル理論が一つの分野として他のロジックの分野から分化する前のものだろ。
一つの分野として確立されてから生み出されてきた手法が使われてる例なんてあるか？
Morley rank が非古典論理で使われるか？安定性が非古典論理に出てくるか？
「モデル論的手法」という名前が付くから「モデル理論」で生み出されたなんて勘違いするなんて
これぞ正に素人らしい珍説だなｗ

お前ら得意げに論理ってことば使ってるだけだろ
だせぇ

彼はshelahやkeislerのmodeltheoryを読んだ方が良いな。

シャラハは俺の弟子

>>673
何度も同じ質問が出ている筈なんだが、まともな回答をしていない。
再度聞くが「数学の中心部」ってのは何なのか？客観的な定義があるのか？
そうでないなら誰がどのようにして決めるのか？

分野として確立して以降の集合論（CHの独立性以降）やモデル理論を取り扱っている
「数理論理学」というタイトルの和書の例を挙げて貰いたい

>>692は、集合論もモデル理論も非古典論理の構成要素に含めないのはマトモではないと言うのですね、分かります。

>>704 何度も答えられてる。きく耳を持て

>>685
では、ロジックは数学では無い。
このスレの合意事項と言うことで。

数学ゲームみたいなものか。
囲碁とか将棋なんかと同じ？

>>707
都合が悪いことからはそうやってスルーするのが常套手段だな

あのー、そろそろ内容のあること話しませんか？
誰か第二不完全性定理の証明のアウトライン教えてください

マジレスすると、数学板にあるこのスレッドに書き込む時点で
数学基礎論・数理論理学は数学であるということに合意したものと看做すべきだろう。

>>712 哲学版にでもスレつくったらどう？
邪魔なんだけど。

>>713
お前がどんだけ騒いでも何も変わらんよ。
削除権限でも持っているのかい？

>>712
およそ数学者らしくない論理だね

>>715 だね。

数学者らしく無いもいうか論理学者らしくない

>>712
おまい哲厨だろｗ

>>708
ロジックの中に数学も含まれるんだから
ロジックそのものは数学ではない、その通りだ。
>>709
囲碁や将棋は現象、研究対象。
>>711
内容がないのは貴様のレスポンス。
そんなものも知らないなら書き込むべきでない。
>>712
数学板とは数理板である。
>>713
自己言及。

>>688
＞数学基礎論と英語のMathematical Logicとが
＞等価でないのは良く知られているが。

然り。したがって、数学としてのMathematical Logicを表わす
日本語として「数理論理学」のみを用いなくてはならない。

＞何しろ、仮にそれらが等価ならば
＞Foundations of Mathematicsに対応する
＞日本語が存在しない事になって
＞Hilbert本来のFoundations of Mathematicsを
＞日本語で語ろうとする場合に困ってしまうからな。

数学基礎論とはぶっちゃけヒルベルト・プログラムのことである。
日本では、ゲーデルによりヒルベルト・プログラムが粉砕された後も
「まだだ。まだわからんよ」とトンデモハップンなことをいってる輩が
「数学基礎論」という言葉を用いたために、素人がロジックとは、
数学基礎論のことだと誤解したわけだが。

>>692
＞そもそも、部分構造論理こそ数学基礎論という言葉と
＞全く馴染まないじゃないか。
＞部分構造論理や対応する代数構造などの研究のどこが
＞数学の基礎付けと関係するんだｗ

今や、無矛盾性証明の十八番であったカット除去が
部分構造論理の研究に用いられてる有様。

もう「数学の基礎づけ」とか「数学の無矛盾性証明」とかいう
寝言をいうのはよそう。
いまどきそんなこといってるのは精神異常者。

そもそも>>1の
「数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
　･･･生まれ、発展した数学の一分野です。 」
という文章を書いた奴は元の田中一之氏の文章
「数学基礎論は，数学の基礎に関する問題意識から生まれた学問である．」
を「改悪」している。

まず
「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として」
というのが真っ赤なウソ。
内包公理による逆理は、ツェルメロの公理的集合論により解決した。
基礎論はあくまでヒルベルトの
「数学は無矛盾だ！そして完全だ！俺様がそれを証明してみせる！」
という”粋がり"から生まれたもの。

ゲーデルの不完全性定理は、
数学基礎論を終わらせた
記念碑的定理。

したがって、「数学基礎論」として
ゲーデルの不完全性定理を語るのは
自己否定といってよい。
（岩波文庫「不完全性定理」が
　ヒルベルト・プログラムへの
　レクイエムのごとき書きぶり
　なのは当然である。）

ここで延々と語ってるやつ。屑哲と認定する。
数板のゴミ、カス、粗大ごみ。

ところで、「数理論理学」という言葉を
「あるルール（公理＆推論規則）による文字列を操作するゲーム」
としか解釈しない人は、数理論理学を全く誤解している。

ゲームの研究は、ゲームの実践とは全く異なる。
将棋の研究者は、棋士ではないのである。

あっというまにレス700越え
数学基礎論ってこんなに人気あったんだね

日本語の研究は、日本語を話すことではない。
論理の研究は、論理を用いることではない。

基地外が二人くらい書きまくってるだけだ。

次期スレッドタイトル

数理論理学　その10

　数理論理学は、「数学を基礎付ける」ための学問というよりは、
論理の構造、数学における論理的構造などを研究する数学の分野
となっている。
　ゲーデルの論文は、数理論理学という数学の一分野のパラダイム
となっている。
　現在では、数理論理学は、証明論、再帰的関数論、構成的数学、
モデル理論、公理的集合論など、多くの分野に分かれ、極めて高度な
純粋数学として発展を続けている。
（岩波文庫「不完全性定理」 6.4節より）

>>728
●違いは貴様だｗ

俺は数学基礎論は歴史的な言葉だと思う。
ヒルベルトプログラムの終了とともに
数学基礎論はより大きな数理論理学に発展した。

悪いけど、いくらレス数伸ばしたって
スレタイ変更議論がまとまってなければ
前スレと同様にスレタイはそのままで
議論は次スレへ先延ばしになるだけなんだが

>>722
勘違い。
内包公理とラッセルのパラドクスは無関係。
ZF全体からラッセルのパラドクスが導出でいないだけ。

モデル理論詳しいやついる？？

名称とかいくらこだわってもキリがないと思うけどなあ…

実数とか複素数も完全に名が体を表すわけでないやろ？
実数は完備数
複素数は完解数
でどうかと思うんだが？

>>734
何をもって詳しいと言うのか。
>>735
完備と完解が今一綺麗な対応じゃないだろう

数学界でも呼び方にばらつきがあるんだから
こんなところで決めてもなあ

>729でいいんじゃね？

>>735だけど、
「実数と複素数の呼び方変えろ」って意味じゃないよ。
数学基礎論って呼び方にばかり反応するのはアホらしいと言いたいだけだからね。

つまり現行通りか。

>>730
反応しちゃうところがもうね

>数学基礎論とはぶっちゃけヒルベルト・プログラムのことである。
また俺様定義かよ。俺様定義を壊れたレコードみたいに繰り返したって賛同者は得られないぜ。
俺様定義が世間で通用しているのか考えてみろ。>>705にちゃんと答えられるか？
都合悪いレスにはスルーかよ、>>700にもスルーしてるし。

　　　　　　　　　　　　　人i
　　　　　　　　　　　　ノ:;;,ﾋ=-;､
　　　　　　　　　　　(~´;;;;;;;ﾞ'‐;;;）
　　　　　　　　　　,i`（;;;ﾞ'―---‐'ヾ
　　　　　　　　　　ヽ;;';ｰ--―-､'';;;;;ﾞ）
　　　　　　　　　イ　"" 　⌒　　ヾ　ヾ
　　　　　　　;;;;;;;-=・==-　;;;;;　-==・=-;;;;;;
　　　 　 　 　 ヽ.　　 ヽ. ⌒⌒　ﾉ　 　 /　
　　　 　　 　　　ヽ. ヽ、｀＝＝´ ／　/
.　　　 　　 　　　　ヽ　｀ ‐--‐ ´　／
　　　　　　　 　,.ﾞ-‐- ､　｀二´'／　　　屑哲？
　 　 　 ┌､.　/　　 　 ヽ　ー‐　　ヽ.
　　 　 　 ヽ.X､- ､　　 ,ﾉi　　　　　 ハ
　　　　⊂＞'">┐ヽノ〃　　　　　/　ﾍ
　　　　　入 ´／/ ﾉ　　　　　　　 } ,..,.._',.-ｧ
　　　 ／ 　 ｀ｰ''"´　　　　　 ,'　 ｃ〈〈〈っ<

>>739
同意。名称はどうあるべきかを延々と論じたからって数学的な益があるわけじゃない。
世間一般で通用してしまっている名称があるのなら、それを利用すればいいだけの話。
数理論理学も数学基礎論もそれなりに通用しているのだから併記するのが常識的な態度。

2chで常識を語られても

じゃあおまえも2chで名称の議論なんかすんなよ。

数学基礎論って用語を使った数学書をみつけたら、こんなとこでクダをまかずに作者に直接ケチつけに行けよ。
数学基礎論って講座名みつけたら直接そこの数学科と責任者の教授にケチつけに行けよ。

名称の議論でまともなレスが流れてしまって迷惑なんだよ！
専用のスレ作っていつまででも議論してろよ。

＞名称の議論でまともなレスが流れてしまって迷惑なんだよ！
ロジックは数学じゃないだの、数学はロジックだのってのが「まともなレス」だとでも仰るか？

>ロジックは数学じゃないとかの議論

それ名称の議論してたやつとほぼ一緒じゃねーか。
議論したいやつはロジックの研究室が数学科にある名古屋大とか東北大に直接イチャモンつけにいってくれ。名称と同様2chにはそんなことを決める権限は一切ないのだから。

俺がいいたいのは、モデル理論とか不完全性定理とかの話題がしょうもない議論でスルーされたことだよ。

モデル理論不完全性定理














アーユー屑哲？

>>732
スレタイ変更議論は変更でまとまった。
今後、数学基礎論という名前をつければ
荒らしとしてスレもスレ立てた奴も抹殺される。
リビアの狂犬と同じくな。

次期スレッドタイトル

数理論理学　その10

　数理論理学は、「数学を基礎付ける」ための学問というよりは、
論理の構造、数学における論理的構造などを研究する数学の分野
となっている。
　ゲーデルの論文は、数理論理学という数学の一分野のパラダイム
となっている。
　現在では、数理論理学は、証明論、再帰的関数論、構成的数学、
モデル理論、公理的集合論など、多くの分野に分かれ、極めて高度な
純粋数学として発展を続けている。
（岩波文庫「不完全性定理」 6.4節より）

>>742
残念だが、数学基礎論という言葉は私が作ったものではない。
”数学の基礎”を表わすドイツ語を、日本語に翻訳したものだ。

「世間」というのは、世界のことだ。
日本とかいう極東の島国のことではない。
いまだに数学全体の無矛盾性証明に固執する
ヒル・プロ厨は地獄に逝って良し！

＞俺がいいたいのは、モデル理論とか不完全性定理とかの話題が
＞しょうもない議論でスルーされたことだよ。

そんな個別の話題をこんな漠然とした名称のスレッドで語るなよ。
不完全性定理の話題なら、不完全性定理スレたてろよ。
モデル理論の話題なら、モデル理論スレたてろよ。

数学基礎論って屑哲ホイホイだからなあ
ロジックか数理論理学でいこう

実際、欧米だと基礎論という語は使わない

ロジックでいいと思うんだけど、白人崇拝とかいう輩がいるので、
数理論理学でも可

本当は、ロジックのほうがいい
数理論理学だと、各種論理学厨が検索して、煽ってくるし、そもそも英語のロジックとは意味が違う。

ロジックという分野を強調するためにも、ロジックというまだ手垢のついていない中性的な単語を使う

>>754
屑哲とか各種論理学厨は、ロジックでも食いついてくるｗ

どうせなら
「代数論理学」「位相論理学」（モデル理論）
「組合せ論理学」（証明論）
「(無限)序数・基数論」（集合論）
とかつけるのがいいんだがな。

>>750
＞スレタイ変更議論は変更でまとまった。
＞今後、数学基礎論という名前をつければ
＞荒らしとしてスレもスレ立てた奴も抹殺される。

それあなたじゃなくて運営が決めることだからｗ

>>725
最後の段落はなっとく。
ロジックは数学の文法学者であって、数学者ではない。
数学の言葉で知的物語を表現する数学者とは別物。
駒や盤の作者と、棋士との違い。

そして数学の文法は数学者が作りあげる。
文法学者は文法を観察するが、創造はしない。

>>757
極めて分かり易い

無限ループ

>>754
> 本当は、ロジックのほうがいい
> 数理論理学だと、各種論理学厨が検索して、煽ってくるし、そもそも英語のロジックとは意味が違う。
>
> ロジックという分野を強調するためにも、ロジックというまだ手垢のついていない中性的な単語を使う

各種論理学厨が煽ってくるのはロジックのほうがずっとひどいだろ
ロジックは余りにも意味が広すぎるし十分にん手あかがついてるよ
誰かが書いてたけどヘーゲル弁証法みたく訳わからん哲学の話題までカバーしちゃうから哲学かぶれに荒らされそう
ヘーゲル論理学だのカント論理学だのな哲かぶれは数理論理学なら「数理」じゃないだろって追い返せる可能性あるじゃん
ロジックとかロジシャンって言っても大丈夫なのってmathematical logic(ian)って大前提が暗黙のうちにあるからじゃん
おれらがロジックとかロジシャンって会話の中で言うのは単にmathって言うのが面倒だから省いてるだけだと思う
それに哲学的論理学でもRestallのsubstructural logicみたくちゃんと数理的な内容ある本の話題ならここで議論したっていいと思われ

>>752
日本語の掲示板で日本語のスレタイつけるのなら、
名前の使われ方を参照する範囲は当然日本語圏だろ。
島国だろうが世界の流れに取り残されていようが、それが現実なんだから仕方ない。
>>705に答えてみろよ、出版されている本の名称がどうのと言い出したのはお前だろ？
それともスレッドごと英語掲示板に移転して、英語でスレタイ付けるってのか？

720> 数学基礎論とはぶっちゃけヒルベルト・プログラムのことである。
742> また俺様定義かよ。俺様定義を壊れたレコードみたいに繰り返したって賛同者は得られないぜ。
752> 残念だが、数学基礎論という言葉は私が作ったものではない。”数学の基礎”を表わすドイツ語を、日本語に翻訳したものだ。

752で742への反論となっていると思っているの??
一つの言葉とその意味の関係について、幼稚園児並の理解をしているおめでたい人間のようだ。

同じことを何度も書き込む執拗さといい、
一人でスレッドの冒頭を何度も書く執拗さ、
自分の脳内でしか通用しない理屈を繰り広げるとか、
なんとなく人生を連想するんだが。

厨厨厨、釜の中。

あとマツシンタンとか

>>763
人生ｗ
確かにｗｗｗ

スレタイ以外に語ることないのおまえら？
語ることないのなら、まだ初心者が初歩的な質問してスレが賑わってくれるほうがいいわ。

じゃ質問、様相理論がコンピュータプログラムに役立っているそうだけど
どいうこと？バグ対策？教えてエロい人

>>768
時相論理でググれ

　　　　　　ヽ.X､- ､　　 ,ﾉi　　　　　 ハ
　　　　⊂＞'">┐ヽノ〃　　　　　;;;;;;;-=・==-　;;;;;　-==・=-;;;;;;
　　　 　 　 　 ヽ.　　 ヽ⌒　　ヾ　ヾ
　　　　　　　;;;;;;;-===-　;;・=-;;;;;; ・
　　　 　 　 　 ヽ.　　 ヽ. ⌒⌒　ﾉ. ⌒⌒　ﾉ　 　 /　 ロジックおｍまんじゃな？
　　　 　　 　　　ヽ. ヽ、｀＝＝´ ／　/
.　　　 　　 　　　　ヽ　｀`（;;;ﾞ'―---‐'ヾ・
　　　　　　　　　　ヽ;;';ｰ--―-､'';;;;;ﾞ） ‐--‐ ´　／
　　　　　　　 　,.ﾞ-‐- ､　｀二´'／　　

述語Pに最小化を施す関数 μy［P(x,y)］に対応する論理式って何でしょうか？

　　　　　　ヽ.X､- ､　　 ,ﾉi　　　　　 ハ
　　　　⊂＞'">┐ヽノ〃　　　　　;;;;;;;-=・==-　;;;;;　-==・=-;;;;;;
　　　 　 　 　 ヽ.　　 ヽ⌒　　ヾ　ヾ
　　　　　　　;;;;;;;-===-　;;・=-;;;;;; ・
　　　 　 　 　 ヽ.　　 ヽ. ⌒⌒　ﾉ. ⌒⌒　ﾉ　 　 /　 述語Pに最小化を施す関数 μy［P(x,y)］
　　　 　　 　　　ヽ. ヽ、｀＝＝´ ／　/
.　　　 　　 　　　　ヽ　｀`（;;;ﾞ'―---‐'ヾ・
　　　　　　　　　　ヽ;;';ｰ--―-､'';;;;;ﾞ） ‐--‐ ´　／
　　　　　　　 　,.ﾞ-‐- ､　｀二´'／　　

浪花節だよ人生は。

>>771
ちょうど有界作用素を何となく考えていたところへ
この書き込み...

>>748
話題がしたいなら出せば良い。
>>751
止めとけ、説明的過ぎる。
「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 」だけ削除すりゃ良い。
>>753
いくつ立てる気だ！
>>754
カタカナは微妙だなぁ...
>>755
その分類の仕方はダメだろう。
>>760
長いから読んでない。

もう、名称は、「証明論モデル論集合論再帰関数論」でいいよ。

現状で良いだろ
何が問題？
基礎的な数学と勘違いしたレスなんてめったにないだろう！

>>777
イチャモンつけてるやつが、勘違いしてたんだろ。
恥ずかしいね。

ベルシャザール

今日ジュンク堂行ったら田中一之「数学基礎論講義」と志賀浩二「多様体論」が復刊されてて思わず両方買っちゃった

大分前じゃｎ
復刊したの

初心者質問で申し訳ないのですが、
有限モデル理論の記述計算量って、どうやって計算量を表現するんですか？？

おお

今夜はマツシン＝人生はいつもの書き込み時間(日付が変わる前後)におとなしかったな
マツシンタンってのは図星だったんか？だからおとなしいんだな

『志賀浩二 多様体論 2ch』でググると>>780のレスが二番目に出るな
流石Google

>>757
ん？棋士は研究者ではない。
数学者といえども論理を研究しない限り、
論理においてはただの素人。

>>760
ヘーゲルの弁証法に対して数学的な枠組みが与えられるなら構わんけどｗ

数学基礎論という名前で、無矛盾性証明に固執する
ヒルプロ厨が「まだだ、まだわからんよ」というより
よっぽどマシと思われｗ

>>762
720> 数学基礎論とはぶっちゃけヒルベルト・プログラムのことである。
742> また俺様定義かよ。俺様定義を壊れたレコードみたいに
繰り返したって賛同者は得られないぜ。
752> 残念だが、数学基礎論という言葉は私が作ったものではない。
”数学の基礎”を表わすドイツ語を、日本語に翻訳したものだ。
762> 752で742への反論となっていると思っているの??

なっている。そもそも742は何もいえてない。762も同様。
ヒルプロ厨による「数学基礎論」の宣伝活動を
現状と見なす素人は不見識にして馬鹿。

＞スレタイ以外に語ることないのおまえら？

ならオマエ、語ってみろやｗｗｗｗｗｗｗ

「数理論理学は、「数学を基礎付ける」ための学問というよりは、
　論理の構造、数学における論理的構造などを研究する数学の分野
　となっている。
　　ゲーデルの論文は、数理論理学という数学の一分野のパラダイム
　となっている。 」

＞止めとけ、説明的過ぎる。
＞「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 」
＞だけ削除すりゃ良い。

「19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、」という時期も違うな。
ブール論理が生まれたのは19世紀半ば。
いっとくけど、（ヒルベルト・プログラムとしての）数学基礎論じゃないぜ。
（ロジックの数学的取り扱いとしての）数理論理学だぜ。

751のいちゃもんをうけ、書き換えた。

次期スレッドタイトル

数理論理学　その10

　数理論理学は、今や「数学を基礎付ける」ための学問というよりは、
論理の構造、数学における論理的構造などを研究する数学の分野
となっている。
　現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、
公理的集合論など、多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学
として発展を続けている。
（岩波文庫「不完全性定理」 6.4節より）

>>751
「数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 」
から、明らかな誤りである、
「素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、」と
「19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した」を除くと
「数学基礎論は、数学の一分野です」だけになってしまう。
それではあまりにも無説明すぎるｗ

そりゃ取り除くだけしかしないなら何でも無説明にできるわ。

>>777
＞現状で良いだろ 何が問題？

「数学基礎論」といいたがる奴は、無意識的に
ヒルベルト・プログラムによる数学の無矛盾性証明
を追求したがる無矛盾厨というトンデモであること
が数学にとって有害無益である。

数理論理学という名称は、あくまで論理の数学的研究
であることしかいっていない。数学の基礎付けなんぞに
こだわるのはそれこそ糞哲なわけだ。

要するに数学基礎論なんて名前をつけた過去の論理学者こそ
糞哲なわけで、糞哲ぶりを現状と肯定する奴も同じ糞哲なわけだ。
数学至上主義の立場から、糞哲的な「数学基礎論」の文字を
文字通り水洗トイレで流しちまいたいわけだ、糞哲ごとｗ

>>793
取り除くだけでいい、といったのは751。
793はそれがまちがいだというのなら、
自分で新しい文章を書けばいい。

どうでもいいが、ラッセルのパラドックスに
ヒルベルトがファビョったとかいう通俗的な
ウソ歴史はもう書かないでくれ。

＞ラッセルのパラドックスに
＞ヒルベルトがファビョった

へえ、そんな話はじめて聞いたよ。

そもそも、ブール論理やカントールの集合論は
数学の基礎付けとは無関係だ。
数学の基礎付けという意味では、フレーゲが始まりだろうが、
それは数理論理学の始まりではない。
また、ヒルベルト・プログラムの動機は、ラッセルの逆理以前に
クロネッカーに対するアンチテーゼの意図もあった。
いずれにせよ、基礎付け云々は今や哲学的、歴史的価値しかない。
もはや数学ではない。固執する奴こそ糞哲、糞歴。

ヒルベルトがファビョった相手はパラドックスの提案者ではなく
集合論、いや、無限を否定したクロネッカーであり、
イグノラビムスとかいった、デュ・ボア・レイモンであろう
と、「不完全性定理」（岩波文庫）の解説にはある。

>>760
＞哲学的論理学でもRestallのsubstructural logicみたく
＞ちゃんと数理的な内容ある本の話題なら
＞ここで議論したっていいと思われ

あんたバカぁ？
substructural logicのどこが哲学的？
まさか、古典論理以外の論理は、"標準的"じゃないから哲学的
なんていってるんじゃないだろうね？
こういうバカの知ったかぶり発言のいちいちが、
数理論理学を貶めているんだね。

そうだそうだ

>>788
引用の仕方を勉強してこい。

>>725の「論理学＝論理ゲーム」の誤解もさることながら
「古典論理＝正統、その他の論理＝異端」みたいな
バカ・アホ・タワケの三拍子揃った誤解も困ったもんである。

非古典論理の研究は、
「数学の証明に、非古典論理を用いるべし」
というような新ルールによるゲームの提案ではない。

>>797
＞ いずれにせよ、基礎付け云々は今や哲学的、歴史的価値しかない。 
＞ もはや数学ではない。

もしかして、初等幾何なんかも、今や初等教育的、歴史的価値しかなく
もはや数学ではないという考え？

>>803
なぜ、そんな質問がでてくる？

「基礎付け」といっても、基本とか簡単なこととかいう意味ではない。

初等幾何は別に幾何学の基礎付けではないが。
ヒルベルトの幾何学基礎論は、幾何学の基礎を
実数論に求めているのであって、別に初等幾何を
研究するものではないことは、「幾何学基礎論」
を一度でも読んだなら明らかだが。

>>803 初等幾何はもう研究の価値はない。数学的資産ではある。

「数学の基礎付け」はギリシャ時代からあるだろ。
幾何学の公理の最小化とか。

>>805
その 研究の価値はない と いうことと 
数学ではない と いうのは同義か？

初等整数論という分野はあるが、初等幾何という分野はない。

その「分野はない」 ということと 
「数学でない」ということは 同義か？

初等幾何は完成され尽くした便利な道具ということでは？
研究と言うからには何か新しいことを見つけなければならない
初等幾何にはもう新しいことの見つかる余地がない
しかし、現代の幾何学研究にとっては無くてはならない道具であるし、もちろん数学である

それでは「数学の基礎付けは数学ではない」というのは
現代の数学研究にとってはその結果など誰も利用しない
不要のものということなのだろうか。

おいいい加減にしろよ。
>>771とか>>782のレス押し流してまでスレタイ議論する必要あるのか？？

同じ書き込みばかり一方的にして、しかも大した内容が無いんだよ。

>>812
まだ分からないで悩んでおります。
教科書によって、μ作用素の定義が異なるので、混乱してます。

マツシンタンは、いまだに言葉の俺様定義と俺様歴史観を振り回して暴れているな。
相手にすればするだけ暴れるぜ、しかも同じ内容の繰り返しで嵐と変わらん。

>>813
教科書によって定義が違うというのであれば、具体的にそれらの定義をここに書き写して質問したら、答えてもらえやすいよ。
こちら教科書ではこう書いてあり、あちらの教科書ではああ書いてある、とね。

それらは実は君が分からなかっただけで等価かも知れないし、どちらかが間違えかも知れない。
だけど具体的に書いて質問してくれてれば、どちらのケースなのか指摘しやすいでしょ。
そういう訳だから質問は出来るだけ具体的にしよう。

>>811
そのとおり。

なるほど、では数学の基礎付けを扱うスレは
数学板にふさわしく有りませんな。

>>782
> 有限モデル理論の記述計算量って、どうやって計算量を表現するんですか？？

計算量屋に聞いたほうが詳しいと思う。(情報学という板があったはず)
あまり詳しくないので簡単に。

一階述語論理に様々な演算子等を加えることで、
記述できる理論に階層が出来る。
この階層を計算量クラスの階層に対応させて、
論理学の手法で計算量クラスを研究する。

だから「記述計算量」というのが新しい計算量の定義なのではなくて、
述語論理の記述能力クラスと計算量クラスを対応させて研究する学問。

>>813
対応するというのをしっかり定義しないと何を訊きたいのかよくわからんのでは？

>>782
計算量の側をいじるんじゃなくて
述語論理の側を集合にして計算クラスとの包含関係を調べてる。
注意すべきは述語論理の構造の領域は有限で、
述語記号と定数記号も有限個、また関数記号は一般に述語に全部置き換える。
例えばplus( , )のような足し算はPLUS( , , , )に置き換える。
んで構造は<{0,1,...n},＝,0,1,Suc()>みたいな感じになる。
この述語と定数の組合せによって計算力の強さが変わるというイメージ。
あるMに対応する言語L(M)について、そのある論理式をφとすると、
FO(φ)＝{M | M|＝φ}
こいつがFO(φ)⊆DSAPACE(log(n))になったりする。
一階論理に推移閉包をつけたり二階論理を使ったりもする。
証明方法は千差万別。

また次スレの話題で恐縮だが次スレのテンプレには哲学板の論理学のスレを貼ると良いと思う

なんで嫌われていても数学板にスレ作り続けるの？
哲学板か情報板にはなぜいかない？

>極めて高度な純粋数学として発展を続けています。

ダウト。高度でも純粋数学でもない。それほど発展も無い

>>1

東大様にお辞儀をせんかカスども。
こんなものは数学ではない。東大数学科の常識だ。

Smoke on the water!!
Deep Purple

Hell, Yeah!!!

>>823
ダウト。純粋数学ではないが、発展はかなりしている。

>>822
荒らしは一人か二人しかいない。
圏論スレが落ちてからこっちに流れてきた。

もうID表示にしたほうがいいな。
基地害はなにいってもわからん。
意味不明な自己主張を繰り返すだけ。

表示しても書くのが気狂い

最小化の件、自己解決しました。
今日一日中、再起的関数の表現定理をひたすら証明してました。思いのほか面倒ですね、これ。

みんなでID表示を実現させよう

スレタイとか数理論理学=?数学に興味あるのはたぶん一人か二人だと思う。
ID表示でまずそれをはっきりさせよう。

このままだと、このスレッドの存在意義が「スレタイとか数理論理学=?数学」と勘違いされて、よけい人がいなくなる。

ちゃんと中身のある興味を持ってる人もいるんだしそれでかなりよくなると思うんだが。

ID表示って日付が変わると同一人物かどうか分からないんでなかったっけ？
このスレ程度の書き込み数では同一人物判定には役立たないと思われ。
1日に数百とか行くスレッドで使うもんだろ、こんな過疎板では無意味。

例のボケ老害については、「ロジック＝数学？」の話題について
こちらから触れなければ、ほとんど反応が無いことが分かる。
一度に書き込むレスも短文であり、こちらがスルーしていれば
実害は無いと思われる。

もう一人のスレタイ人については、妙に精力的であり、
レスも長文であり、スルーしても効果は薄いと思われる。
もしスレタイを変更しないなら、今後もかなりの期間に渡って
粘着が続くと思われる。

スレタイに拘って長期間戦い続けて、その話題でスレを埋めるか、
さっさとスレタイを変更して終わらせるか、
まあ好きにすればいい。

>>835
あんたがスレタイ人じゃないという根拠は？？
スレタイをどうしても変えたいがために他人のふりして書き込みしてる可能性も考えられるんだけど。
だから、俺はＩＤ導入派だわ。

だいたいスレタイ変えたら、それこそ「数学と関係ない単なる論理なんだから哲学板か情報学板にいってね」とかいう訳のわからないこと言い出すんじゃないの？？

あといちおう言っておくと、『数学＝？論理』という分類の問題はどっちでも良いと思ってますよ。
ただ現状、このての話題は哲学ではなくて数学で語られてるわけだし、
そういうことに興味持った人間がまず哲学板に行くことも考えづらいんですけど。

スレタイ人は一日のうちの短時間に長文のレスを幾つもしてるだろ。
同一人物だってのは見れば分かるし、当人も別に自演しようともしていない。
ID導入する意味があるか？スレタイ人が同一人物だっつう既知の事実が分かるだけだ。

>>836
俺はスレタイ人ではない。スレタイ人はスレタイの話しかしない。
俺はありのままの現状を書いただけ。

「スレタイ人と争えば、長期間続いてその話題でスレが埋まる」

↑何か間違ってるか？合ってるだろ？現状まさにそうなってるだろ？
それだけの話。

で、俺はこのスレに愛着があるわけでもないから、
好きにすればいいと言っている。ID入れたきゃ入れればいいし。
例のボケ老害はたまに自演まがいの書き込みをするから、
IDが入ったらどうなるか、個人的には見物だ。

スレが埋まると何か問題でも？

掲示板がIDあろうがなかろうがどうでもいい。
荒らしは無視すりゃいいんだから。

>>831
結局何が分からなかったの？

区体論の意義が分かりません。

>>806
＞「数学の基礎付け」はギリシャ時代からあるだろ。
＞幾何学の公理の最小化とか。

↑のどこが基礎付け？
矛盾がないという保証の追求なんて全然ないじゃないかｗ

>>833
ID表示すれば、数学基礎論に固執する奴が
たった一匹だと露見するので万歳ｗ

＞スレタイ人

なんかスキタイ人みたいだｗ

もちろん、数理論理学は数学だ。これを疑うバカは嵐として抹殺すればいい。

数学基礎論という名前に対する不満は、業界でも高まっている。
数学界で、整数論の連中がデカイ面してるように、
数理論理界では、証明論とかの連中が「我等こそ基礎論の主流」
とデカイ面してるわけだ。集合論やモデル理論の研究者は、
「こいつら一体何様」と不快感を感じている。
その意味では、基礎論固執厨は、数論至上厨と全く同類のクソ爺ｗ

数学基礎論という名前に固執する奴は証明論マニアで
”我こそはヒルベルト・プログラムの完遂を目指す
　基礎論界のメインストリーム！”
といいたがってるだけの、時代錯誤の●違い爺。

>>845 数学の定義による。
数学の定義をそんなに広げるものではない。
数理論理学は、数学の方法で論理学をしている。
方法論が数学と同じ形式をとっているだけ。
これは数理経済学も同じ。

だから数理論理学は数学と呼ぶべきでは無いと思う。
価値観も目的も違うわけなので。

ID表示がいいなら情報学板いけばいいのに。

>>845
数理論理学は数学では無い、ということについては
すでに
>>685 >>708
で、結論がついている。
だれも数学だと主張する人はいなかったわけだ。

>>845 が初めて数学であると主張するなら、
その論拠をださないとだめだ。
一度落ち着いた結論を蒸し返すのなら。

運用情報板見てきたがID制変更は難しいみたいだな
http://qb5.2ch.net/test/read.cgi/operate/1294846025/

篠田麻里子

>>849
そんな自演による「合意」なんか意味ないよ

>>852 その現実を直視しない態度は流石だな。
批判派はここでも国内外でも多数いて、
それが今の境遇をつくっているんだが。

たとえ自分一人になってもこの分野を守り抜く
という態度が全くない。
落ちこぼれが集まって外を見ないように傷を舐め合っているよう。

スレタイ人は基地外だ。
本人に納得させようw

以前あった圏論スレを拡張させて
「# 学問分野の名称・意義を問う！@数学 #1」
みたいなスレを立ててはどうかな

似非数学と認定する。自決せよ糞スレ。

似非数学撲滅。

>>849
合意を得たと自分で思いたいだけだろ。そう思うのは自由だな。
あとは自分を騙すのがどれだけ上手いか、それだけだ。

>>857 あの時は、そのスレの全員がその意見に一致したんだ
誰からも異論はなかった。
今になって異論を唱えるのは、あんた一人なんだから、
自己の意見をのべろといっているの。
たった一人でも意見がまともならちゃんと聞くから。